SPRAWDZANIE PRAWA OHMA I KIRCHHOFFApracownie1.fuw.edu.pl › pw › pliki › 2-prezentacja.pdfPOMIARY W ramach ćwiczenia badane będą podstawowe prawa rządzące przepływem prądu

SPRAWDZANIE PRAWA OHMA I KIRCHHOFFA

PRACOWNIA WSTĘPNA [1100-1AF26]

POMIARYW ramach ćwiczenia badane będą podstawowe prawa rządząceprzepływem prądu stałego w obwodach elektrycznych – prawa Ohmai Kirchhoffa. Będzie to dokonane przez pomiary napięcia i natężeniaprądu. Ważnym elementem ćwiczenia jest nabycie umiejętnościposługiwania się miernikami napięcia, oporności i natężenia prądu(tak zwanymi miernikami uniwersalnymi - multimetrami).

Do dyspozycji mamy:– regulowany zasilacz stałego napięcia ZSR 2-12 V 100 mA podłączony do złącza

śrubowego,

– dwa mierniki uniwersalne DPM DT830D,

– 400 polową płytkę stykową, służącą do włączania elementów obwodu,

– przewody z krokodylkami do podłączenia do sond miernika;,

– przewody połączeniowe do płytki stykowej,

– oporniki o różnych opornościach.

PRACOWNIA WSTĘPNA [1100-1AF26] - SPRAWDZANIE PRAWA OHMA I KIRCHHOFFA 15.05.2020 2

ZASILACZ ZSR 2-12 V 100 mA


Złącze do podłączania zasilacza do

płytki stykowej.

Pokrętło do zmiany napięcia

zasilacza

Czerwona linia oznacza przewód dodatni zasilacza.

min

max

MIERNIK UNIWERSALNY DPM DT830D


Wybór zakresu podczas pomiaru natężenia prądu stałego. Wybór zakresu

10 A wymaga podłączenia sondy pomiarowej do gniazda 10A.

Wybór zakresu podczas pomiaru stałego napięcia.

Wybór zakresu podczas pomiaru

oporności.Gniazdo pomiarowe do podłączenia czerwonej sondy (+): pomiar napięcia

(V), oporu elektrycznego (Ω) oraz natężenia prądu (maks. 200 mA).

Gniazdo pomiarowe COM do podłączenia czarnej sondy (-).

Sprawdzanie ciągłości obwodu -

sygnalizowane sygnałem dźwiękowym przy oporności < 30 Ω.

Przed rozpoczęciem użytkowania należy dokładnie zapoznać się z instrukcją obsługi miernika dostępną na stronie pracowni (zakładka Instrukcje do przyrządów)

Wyłącznik – aby przedłużyć żywotność baterii miernik

powinien być wyłączony, gdy nie jest używany.

Wskaźnik wyczerpanej baterii - niski poziom

baterii może powodować błędne wskazania

miernika.

Przełącznik zakresu funkcji.

http://pracownie1.fuw.edu.pl/przyrzady/DT830D.pdf

MIERNIK UNIWERSALNY DPM DT830DDokładności miernika

w temperaturze 23ºC ± 5ºC, wilgotności względnej poniżej 75%

zgodnie ze specyfikacją techniczną producenta.

Dopuszczalny graniczny błąd wskazania (Δ) określany jest jako:

Δ =w(%)100

x + nc

Niepewność odczytu:

u = Δ/√3

ZakresRozdzielczość

Procent

wskazania

Liczba cyfr

znaczących

c w (%) nc

pomiar oporności

200,0 Ω 0,1 Ω

1,2 3c

2000 Ω 1 Ω

20,00 kΩ 0,01 kΩ

200,0 kΩ 0,1 kΩ

2000 kΩ 1 kΩ

pomiar napięcia stałego

200,0 mV 0,1 mV

1 2c

2000 mV 1 mV

20,00 V 0,01 V

200,0 V 0,1 V

1000 V 1 V

pomiar natężenia prądu stałego

2000 μA 1 μA

1 1c20,00 mA 0,01 mA

200,0 mA 0,1 mA

10,00 A 0,01 A 1,8 3c


MIERNIK UNIWERSALNY DPM DT830DPamiętaj, aby podczas pomiarów odpowiednio dobierać zakrespomiarowy. Optymalny zakres pomiarowy jest wybrany gdy mierzonawielkość jest mniejsza od aktualnego zakresu i większa od zakresunastępnego.

W trakcie wykonywania pomiarów notuj dokładnie format liczbw jakim miernik wyświetla wartości (wraz z nieznaczącymi zerami).Format ten definiuje zakres, na którym wykonano pomiar, a tenwyznacza dopuszczalny graniczny błąd wskazania.

Aby pomiar oporności opornika (zestawu oporników) wmontowanychw układ był wiarygodny, musi on być wykonywany na opornikuodłączonym od reszty układu, a w szczególności od wszelkich źródełzasilania.


_ + _+

123456789

101112131415161718192021222324252627282930

123456789

101112131415161718192021222324252627282930

a b c d e

a b c d e f g h i j

f g h i j

_+ _+

PŁYTKA STYKOWA


Sześćdziesiąt szyn, każda po 5 pól kontaktowych,

przeznaczone do podłączania elementów

elektrycznych

Cztery szyny, każda po 25 pól kontaktowych,

przeznaczone do podłączania

zasilania

Przewód połączeniowy męsko-męski do łączenia pól na płytce stykowej.

Przewód gniazdo żeńskie-krokodylekzłączony z przewodem męsko-męskim do połączenia pola na płytce stykowej

z sondą miernika.

Złącze śrubowe do podłączenia zasilacza do płytki stykowej.

KOD PASKOWY OZNACZANIA OPORU OPORNIKA


kolor cyfra mnożniktolerancja

± %

współczynnik temperaturowy

± ppm/K

czarny 0 1 250

brązowy 1 10 1 100

czerwony 2 100 2 50

pomarańczowy 3 103 15

żółty 4 104 25

zielony 5 105 0,5 20

niebieski 6 106 0,25 10

fioletowy 7 107 0,1 5

szary 8 108 0,05 1

biały 9 109

złoty 0,1 5

srebrny 0,01 10

brak 20

Parametry opornika są zakodowane umieszonymi na nim 3-6 kolorowymi paskami.

pierwsza cyfra

druga cyfra

trzecia cyfra

tolerancja

mnożnik

wsp

ółc

zynnik

te

mperatu

row

yto

lerancja560 kΩ

opornikpierwsza

cyfradruga cyfra

mnożnik tolerancja wartość

brązowy czerwony czerwony złoty 1,2 kΩ ± 5%

czerwony czerwony czerwony złoty 2,2 kΩ ± 5%

żółty filetowy czerwony złoty 4,7 kΩ ± 5%

brązowy czarny pomarańczowy złoty 10 kΩ ± 5%

żółty fioletowy pomarańczowy złoty 47 kΩ ± 5%

brązowy czarny żółty złoty 100 kΩ ± 5%

KOD PASKOWY OZNACZANIA OPORU OPORNIKAOdczytaj nominalne wartości oporów oporników, które znajdują się w zestawie.


O POMIARACH ELEKTRYCZNYCHRozważając wykorzystanie danego typu miernika należy zwrócićuwagę na oporność wewnętrzną – impedancję wejściową miernika.

Aby dokonać pomiaru prądu płynącego przez opornik R podłączamyamperomierz szeregowo czyli tak jak przedstawia rysunek poniżej.

Na amperomierzu nie powinien nastąpić spadek potencjału (napięcie).

Idealny amperomierz powinien więc mieć zerowy opór wejściowy(wewnętrzny). W praktyce oznacza to opór dużo mniejszy od wartościoporu rezystora R.


R A

O POMIARACH ELEKTRYCZNYCHAby dokonać pomiaru napięcia na oporniku R podłączamywoltomierz równolegle czyli tak jak przedstawia rysunek poniżej.

Przez woltomierz nie powinien płynąć prąd.

Idealny woltomierz powinien więc mieć nieskończony opór wejściowy(wewnętrzny). W praktyce oznacza to opór dużo większy od wartościoporu rezystora R.


R

V

O POMIARACH ELEKTRYCZNYCHW rzeczywistości gdy chcemy jednocześnie zmierzyć napięciena oporniku R oraz prąd przez niego płynący stosujemy jednąz dwóch konfiguracji podłączenia mierników


R

V

A R

V

A

Gdy opór wewnętrzny woltomierzajest znacznie większy niż wartośćoporu R oraz (lub) opór wewnętrznyamperomierza nie jestzaniedbywalnie maływ porównaniu z R.W tym przypadku napięcie znamy

dokładnie.

Gdy opór wewnętrzny amperomierzajest zaniedbywalnie maływ porównaniu z R oraz (lub) opórwewnętrzny woltomierza nie jestznacznie większy niż wartość oporuR.W tym przypadku znamy dokładnie

prąd płynący przez opornik.

POMIARYPrzed przystąpieniem do pomiarów należy zapoznać się z instrukcją

dostępną na stronie pracowni (zakładka Materiały).

Pomiary wstępne:– Zmierz opór przewodu męsko-męskiego poprzez bezpośrednie zetknięcie pinów

znajdujących się na ich końcach z metalową częścią sond miernika.

– Zmierz opór tego samego przewodu po połączeniu do płytki stykowej. Czy wpływoporu połączeń stykowych jest zauważalny? Jeśli tak, to na jakim zakresie?Sprawdź to również konstruując dłuższy obwód.

– Zmierz oporności wszystkich oporników dołączonych do zestawu. Pamiętaj abywpiąć opornik w płytkę tak, aby nóżki opornika wchodziły w pola które nie sąpołączone jedną szyną na płytce. Spisz rzeczywiste wartości oporu posiadanychoporników i porównaj je z wartościami nominalnymi podawanymi przezproducenta.

15.05.2020 13PRACOWNIA WSTĘPNA [1100-1AF26] - SPRAWDZANIE PRAWA OHMA I KIRCHHOFFA

http://pracownie1.fuw.edu.pl/pw/pliki/2-instrukcja-2020.pdf

Sprawdzenie prawa Ohma dla wybranego opornika (1 kΩ – 100 kΩ)

Na płytce stykowej skonstruuj układ do pomiaru charakterystyki prądowo-napięciowej wybranego opornika.

Zwiększając stopniowo napięcie zasilacza wykonaj kilka-kilkanaściepomiarów wartości natężenia prądu i napięcia.

POMIARY


0000

COM

10AVΩmA

OFF

zasilacz

0000

COM

10AVΩmA

OFF

miernik nr 1 (amperomierz)

miernik nr 2 (woltomierz)

pły

tka

styk

ow

a

złącze śrubowe

op

orn

ik

-

+R1

A

V

POMIARYPomiar napięć oraz oporności zastępczej przy łączeniu szeregowym

oporników.

Na płytce stykowej skonstruuj układ trzech oporników połączonychszeregowo. Zanotuj rzeczywiste wartości użytych oporów.

Przed podłączeniem zasilacza zmierz miernikiem oporność Rcs

całkowitą wszystkich oporników.

Zmierz napięcia VAB, VBC, VCD oraz VAD.


A B C DR1 R2 R3

-+I

POMIARYPomiar natężeń prądu oraz oporności zastępczej przy łączeniu

równoległym oporników.

Na płytce stykowej skonstruuj układ trzech oporników połączonychrównolegle. Zanotuj rzeczywiste wartości użytych oporów.

Przed podłączeniem zasilacza zmierz oporność Rcr całkowitąwszystkich oporników.

Zmierz natężenie Ic prądu czerpanego ze źródła i natężenia I1, I2 orazI3 prądów płynących w każdej gałęzi obwodu.


R3

-+ Ic

R1

R2

I1 I2 I3

ZADANIAPrzed przystąpieniem do ćwiczeń należy zapoznać się z materiałemzawartym w Podstawach analizy danych pomiarowych cz. 2dostępnych na stronie pracowni (zakładka Materiały).

Prezentowane wartości obliczonych parametrów i ich niepewnościsą raportowane zgodnie z ogólnymi zasadami podanymi we wzorcuraportu dostępnym na stronach pracowni (zakładka Materiały).

Pamiętaj jednak, aby wszystkie obliczenia wykonywać z największąmożliwą dokładnością, a zaokrągleń dokonać dopiero podczaspodawania wyniku końcowego. Również podczas użyciaraportowanych parametrów do dalszych obliczeń używaj ich wartościz pełną dostępną precyzją.


http://pracownie1.fuw.edu.pl/pw/pliki/2-podstawy.pdf

http://pracownie1.fuw.edu.pl/pw/pliki/wz%C3%B3r_raportu.pdf

ZADANIE 1Użytkownik chce zmierzyć napięcie na oporniku. Spodziewa się otrzymać wartość ok. 2 V. Ma do dyspozycji dwa mierniki: BRYMEN 805 oraz CHY85. Którego z nich powinien użyć?


ZakresRozdzielczość Procent wskazania Liczba cyfr znaczących

c w (%) nc

BR

YM

EN

805

400,0 mV 0,1 mV 0,3 4c

4,000 V 0,001 V0,5 3c

40,00 V 0,01 V

CH

Y85

200,0 mV 0,1 mV

0,5 1c2,000 V 0,001 V

20,00 V 0,01 V

Dopuszczalny graniczny błąd wskazania (Δ) mierników wynosi:

Δ =w(%)

100· x + nc

gdzie w, c, i nc podane są w specyfikacji mierników (Tabele A1 i A2 w instrukcji):

Niepewność pomiaru wynosi: u = Δ/√3

ZADANIE 1BRYMEN 805

Przy pomiarze napięcia ok. 2 V, zgodnie ze specyfikacją miernika, użytkownikpowinien skorzystać z zakresu do 4,000 V.

W tym zakresie:

w = 0,5%, nc = 3c, c = 0,001 V

w związku z tym dopuszczalny graniczny błąd wskazania wynosi:

Δ =0,5100

∙ 2,000 V + 0,003 V = 0,010 V + 0,003 V = 0,013 V = 13 mV,

co z kolei oznacza niepewność zmierzonego napięcia równąuV = Δ/√3 = 8 mV (zgodnie z zasadami raportowania niepewności) i niepewnośćwzględną 0,38%.

Przypomnienie odnośnie raportowania zmierzonych wartości – w przypadku pojedynczego pomiaru na mierniku pamiętaj, że wartość odczytaną wraz z jej

niepewnością zaokrąglasz zgodnie z rozdzielczością (c).


ZADANIE 1CHY85

Spodziewana wartość mierzonego napięcia jest na granicy zakresów miernika

Jeśli napięcie nie przekracza 2 V, optymalny zakres to 2,000 V.

Wówczas w = 0,5%, nc = 1c, c = 0,001 V i

Δ =0,5100

∙ 1,999 V + 0,001 V = 0,010 V + 0,001 V = 0,011 V = 11 mV,

stąd uV = 6 mV i niepewność względna 0,32%.

Jeśli napięcie przekracza 2 V, optymalny zakres to 20,00 V.

Wówczas w = 0,5%, nc = 1c, c = 0,01 V i

Δ =0,5100

∙ 2,01 V + 0,01 V = 0,01 V + 0,01 V = 0,02 V,

stąd uV = 0,01 V i niepewność względna 0,50%.


ZADANIE 1Użytkownik chce zmierzyć napięcie na oporniku. Spodziewa sięotrzymać wartość ok. 2 V. Ma do dyspozycji dwa mierniki: BRYMEN805 oraz CHY85. Którego z nich powinien użyć?

Porównując otrzymane wyniki widzimy, że odpowiedź na pytaniepostawione w zadaniu nie jest jednoznaczna.

Gdy jesteśmy pewni, że mierzone napięcie będzie mniejsze bądź równe2,000 V, to dokładniejszy wynik otrzymamy za pomocą miernikaCHY38 (niepewność względna 0,32% vs 0,38%).

Gdyby jednak mierzone napięcie było nieco większe od 2,000 V,to dokładniejszy wynik otrzymamy za pomocą miernika Brymen(niepewność względna 0,38% vs 0,50%). Dodatkowo nie będziemymusieli zastanawiać się nad zmienianiem skali przyrządu w trakciepomiaru.


ZADANIE 2Wykonano wielokrotny pomiar dwóch zależnych od siebie wielkości xi y, w wyniku czego otrzymano N par danych (xi, yi). Model zakłada,że zależność łącząca te wielkości to zależność liniowa postaci y = ax.Przyjmując, że wartości xi są zmierzone dokładnie, zaś wielkości yi

z niepewnością ui, sformułuj metodę najmniejszych kwadratówdla proponowanego modelu i znajdź ocenę parametru a wraz z jegoniepewnością.


ZADANIE 2W zadaniu 1 omawianym w ćwiczeniu 1 „Wyznaczanie gęstości ciałstałych”, wprowadziliśmy wielkość R będącą sumą kwadratów różnicwartości mierzonej (xi) i wartości oczekiwanej (μ) znormalizowanychprzez kwadrat niepewności (ui

2)

𝑅 =

𝑖=1

𝑁𝑥𝑖 − 𝜇 2

𝑢𝑖2

którą traktowaliśmy jako miarę „odległości” punktów pomiarowychod ich spodziewanej wartości.

Następnie w celu wyznaczenia estymaty wartości oczekiwanejsprawdzaliśmy dla jakiej wartości oczekiwanej R przyjmuje wartośćminimalną.


ZADANIE 2W przypadku tego problemu stosujemy tą samą metodę. Interesuje nassuma odległości wartości mierzonych yi od wartości „oczekiwanych”axi.

Tak jak poprzednio odległości będziemy normalizować przezniepewności wyniku czyli ui

2. Zazwyczaj taką sumę oznacza sięprzez χ2.

Ma ona więc postać:

𝜒2 =

𝑖=1

𝑁𝑦𝑖 − 𝑎𝑥𝑖

2

𝑢𝑖2

Chcielibyśmy wybrać taką wartość stałej a, aby zminimalizować

przedstawioną sumę traktowaną jako funkcję jednej zmiennej χ2(a).


ZADANIE 2

Przypomnienie:

Operacja „obliczania” pochodnej jest operacją liniową. Oznacza to,

że pochodna sumy jest sumą pochodnych.

𝑑𝜒2

𝑑𝑎=

𝑑

𝑑𝑎

𝑖=1


2

𝑢𝑖2 =

𝑖=1

𝑁𝑑

𝑑𝑎

𝑦𝑖 − 𝑎𝑥𝑖2

𝑢𝑖2

Pochodną funkcji złożonej obliczamy jako:𝑑

𝑑𝑥𝑓 𝑔 𝑥 =

𝑑𝑓 𝑦

𝑑𝑦

𝑑𝑔 𝑥

𝑑𝑥

gdzie 𝑦 = 𝑔(𝑥)


ZADANIE 2

𝑑𝜒2

𝑑𝑎=

𝑖=1

𝑁1

𝑢𝑖2

𝑑

𝑑𝑎𝑦𝑖 − 𝑎𝑥𝑖

2 =

𝑖=1

𝑁1

𝑢𝑖2 2 𝑦𝑖 − 𝑎𝑥𝑖 −𝑎𝑥𝑖 = −2𝑎

𝑖=1

𝑁𝑥𝑖𝑦𝑖 − 𝑎𝑥𝑖

2

𝑢𝑖2 = 0

𝑖=1

𝑁𝑥𝑖𝑦𝑖

𝑢𝑖2 − 𝑎

𝑖=1

𝑁𝑥𝑖2

𝑢𝑖2 = 0

Co daje nam ostatecznie ocenę parametru modelu:

𝑎 =

σ𝑖=1𝑁 𝑥𝑖𝑦𝑖

𝑢𝑖2

σ𝑖=1𝑁 𝑥𝑖

2

𝑢𝑖2


ZADANIE 2W celu obliczenia niepewności parametru a przyjmujemy, że jegoniepewność wynika tylko z niepewności zmiennej y i skorzystamyze wzoru na błąd pośredni funkcji a(yi) – tak zwana propagacjaniepewności pomiarowych. Traktujemy a jako funkcję N zmiennych yi

- a(y1, y2, …, yN), gdyż tylko yi obarczone są niepewnościami.Wielkości xi i ui traktujemy jako stałe parametry.

Niepewność obliczamy zgodnie ze wzorem (patrz Podstawy analizydanych pomiarowych cz. 1):

𝑢𝑦2 = σ𝑖=1

𝑁 𝜕𝑓

𝜕𝑥𝑖𝑢𝑖

2

,

Co w przypadku tego zadania oznacza:

𝑢𝑎2 =

𝑖=1

𝑁

𝑢𝑖2 𝜕𝑎

𝜕𝑦𝑖

2



ZADANIE 2Zaczniemy od obliczenia pochodnych pamiętając o tym, że pochodna jest operatorem liniowym:

𝜕𝑎

𝜕𝑦𝑖=

𝜕

𝜕𝑦𝑖


𝑢𝑖2


2

𝑢𝑖2

=

𝜕𝜕𝑦𝑖


𝑢𝑖2


2

𝑢𝑖2

=

𝜕𝜕𝑦𝑖

𝑥1𝑦1𝑢12 +⋯+

𝑥𝑖𝑦𝑖𝑢𝑖2 +⋯+

𝑥𝑁𝑦𝑁𝑢𝑁2


2

𝑢𝑖2

=

𝜕𝜕𝑦𝑖

𝑥1𝑦1𝑢12 +⋯+

𝜕𝜕𝑦𝑖

𝑥𝑖𝑦𝑖𝑢𝑖2 +⋯+

𝜕𝜕𝑦𝑖

𝑥𝑁𝑦𝑁𝑢𝑁2


2

𝑢𝑖2

Jak widać w sumie w liczniku pochodna 𝜕

𝜕𝑦𝑖daje niezerowy wkład tylko dla jednego

wyrazu tej sumy 𝜕

𝜕𝑦𝑖

𝑥𝑖𝑦𝑖

𝑢𝑖2 =

𝑥𝑖

𝑢𝑖2,

więc

𝜕𝑎

𝜕𝑦𝑖=

𝑥𝑖𝑢𝑖2


2

𝑢𝑖2


ZADANIE 2Stąd

𝑢𝑎2 =

𝑖=1

𝑁

𝑢𝑖2 𝜕𝑎

𝜕𝑦𝑖

2

=

𝑖=1

𝑁 𝑢𝑖𝑥𝑖𝑢𝑖2


2

𝑢𝑖2

2

=


2

𝑢𝑖2


2

𝑢𝑖2

2 =1


2

𝑢𝑖2

Szukana niepewność parametru a wynosi:

𝑢𝑎 =1


2

𝑢𝑖2


ZADANIE 2Mając do dyspozycji N par wyników (xi, yi) i wiedząc, że tylko wielkości yiobarczone są niepewnościami ui oraz, że pary powinna łączyć zależność linioway = ax, zminimalizowaliśmy, ze względu na parametr a, sumę ważonych kwadratówodchyleń

𝜒2 =

𝑖=1


2

𝑢𝑖2

W wyniku tego działania otrzymaliśmy ocenę parametru a

𝑎 =


𝑢𝑖2


2

𝑢𝑖2

Niepewność tego parametru wyznaczyliśmy z propagacji niepewności pomiarowychotrzymując zależność

𝑢𝑎 =1


2

𝑢𝑖2


DYGRESJAW przypadku gdy nieznane są niepewności pomiarowe, to zakładamy,że są takie same i szacujemy je na podstawie rozrzutu danychpomiarowych (patrz: Podstawy analizy danych pomiarowych cz. 2 ):

𝑢𝑖2 = 𝑠2 =

1

𝑁 − 1

𝑖=1

𝑁

𝑦𝑖 − 𝑎𝑥𝑖2

W przypadku badanej liniowej zależności y = ax prowadzi todo wzorów na ocenę współczynnika a i jego niepewności:

𝑎 =σ𝑖=1𝑁 𝑥𝑖𝑦𝑖σ𝑖=1𝑁 𝑥𝑖

2

𝑢𝑎 =s


2



ZADANIE 3Użytkownik zmierzył charakterystykę prądowo-napięciową opornikao nominalnej wartości oporności 7,6 kΩ. Pomiary natężenia prąduwykonywał miernikiem BRYMEN 805 natomiast pomiary napięciana oporniku wykonywał miernikiem CHY38. Wyniki jego pomiarówznajdują się w tabeli.

Zaproponuj model, który mógłby opisywać dane doświadczalne. Oceń,który z pomiarów jest wykonany dokładniej i którą z mierzonychwielkości można traktować jako zmienną niezależną. Metodąnajmniejszych kwadratów wyznacz parametry zaproponowanegomodelu wraz ich niepewnościami. Wykonaj wykres danychpomiarowych wraz z dopasowanym modelem. Sprawdź zasadnośćwybranego modelu.


U [V] 3,05 4,04 5,04 6,05 7,05 8,05 9,04 10,04 11,06 12,05

I [mA] 0,405 0,530 0,660 0,800 0,930 1,060 1,190 1,320 1,460 1,590

ZADANIE 3WYBÓR MODELU

Oczywiście modelem, jaki powinniśmy zaproponować, który mógłbyopisywać nasze dane doświadczalne jest zgodnie z prawem Ohma

zależność liniowa postaci U = IR lub I =1R

U.

Postać, którą zaproponujemy zależy od tego którą ze zmiennych –napięcie czy natężenie uznamy za mierzoną dokładniej.


ZADANIE 3WYBÓR ZMIENNEJ NIEZALEŻNEJ

Aby dokonać wyboru zmiennej niezależnej i zależnej porównujemyniepewności napięcia (uU) z niepewnością natężenia (uI).

Nie możemy porównać bezpośrednio tych wartości, gdyż dotyczą różnych wielkości fizycznych!

Zgodnie z prawem Ohma, skoro U = IR, a R przyjmiemy jako stałą,

to uU =dUdI

uI = RuI

Jeśli więc uU < RuI to uznajemy, że dokładniej zmierzyliśmy napięcie,a w odwrotnym przypadku przyjmujemy, że dokładniej zmierzyliśmynatężenie prądu.



Przekopiuj dane do arkusza kalkulacyjnego.

Dla każdej zmierzonej pary (Ui, Ii) uzupełnij zgodnie z tabelami A1 iA2 dokładności każdego odczytu oraz oblicz ich niepewności uUi, uIi

Nominalna wartość oporu wynosi R = 7,6 kΩ – oblicz RuIi.

Dla każdej pary porównaj uUi oraz RuIi.


Miernik ZakresRozdzielczość Procent wskazania Liczba cyfr znaczących

c w (%) nc

BRYMEN 805 4000 μA 1 μA 1,2 3c

CHY85 20,00 V 0,01 V 0,5 1c

Parametry użytych mierników w odpowiednich zakresach pomiarowych na podstawie Tabel A1 i A2 w Instrukcji.



U [V] uU [V] I [mA] uI [mA] RuI [V]

3,05 0,0146 0,405 0,00454 0,03449

4,04 0,0174 0,530 0,00540 0,04107

5,04 0,0203 0,660 0,00630 0,04792

6,05 0,0232 0,800 0,00727 0,05529

7,05 0,0261 0,930 0,00818 0,06213

8,05 0,0290 1,060 0,00908 0,06898

9,04 0,0319 1,190 0,00998 0,07582

10,04 0,0348 1,320 0,01088 0,08267

11,06 0,0377 1,460 0,01185 0,09004

12,05 0,0406 1,590 0,01275 0,09688

Dla wszystkich par uUi < RuIi, możemy więc uznać, że dokładniej mierzone było napięcie.

Czyli ostatecznie jako zmienną niezależną traktujemy napięcie, jako zmienną zależną – natężenie, a dopasowywany model to zależność

I =1R

U = aU.

ZADANIE 3METODA NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW

Pomiary: 10 „zestawów” zmierzonych wartości (Ui, Ii, uIi)

Model teoretyczny: I = aU

Minimalizacja 𝜒2 = σ𝑖=1𝑁 𝐼𝑖−𝑎𝑈𝑖

2

𝑢𝐼𝑖2 prowadzi zgodnie ze wzorami

wyprowadzonymi w zadaniu 2 do

oceny parametru modelu 𝑎 =σ𝑖=1𝑁 𝑈𝑖𝐼𝑖

𝑢𝐼𝑖2

σ𝑖=1𝑁 𝑈𝑖

2

𝑢𝐼𝑖2

i niepewności tej oceny 𝑢𝑎 =1

σ𝑖=1𝑁 𝑈𝑖

2

𝑢𝐼𝑖2

.

Korzystając z arkusza kalkulacyjnego oblicz a i ua.

Wynik: a = 0,13177 mA/V, ua = 37 μA/V


ZADANIE 3Model I = aU

a = 0,13177 mA/V, ua = 37 μA/V

Możemy stąd obliczyć opór:

R = 1/a = 7,589 kΩ

Niepewność w ten sposób wyznaczonego oporu obliczamy korzystając z propagacji niepewności pomiarowych:

𝑢𝑅 =𝑑𝑅

𝑑𝑎𝑢𝑎 = −

1

𝑎2𝑢𝑎 = 𝑅

𝑢𝑎𝑎

uR = 21 Ω


ZADANIE 3DOPASOWANIE W PROGRAMIE DO ANALIZY DANYCH

POMIAROWYCH

Przekopiuj dane do używanego przez Ciebie programu do analizydanych pomiarowych (Origin lub podobny) i wykonaj wykres danychpomiarowych

Pamiętaj!

Jeśli są określone niepewności pomiarowe wykres powinien być wykonany wraz z niepewnościami.

Pomoc dotycząca obsługi programu ORIGIN dostępna na stronie pracowni (zakładka Materiały)


http://pracownie1.fuw.edu.pl/pw/pliki/funkcje_Origin.pdf

ZADANIE 3

• Podpisz odpowiednio osie (nie zapominając o jednostkach),

• Pamiętaj, że dane pomiarowe zawsze prezentujemy w postaci pojedynczych punktów/symboli. Niepewności oznaczamy pionowymi znacznikami pokazującymi ich wielkość. Dobierz wielkość symboli, tak aby w miarę możliwości nie zakrywały niepewności.

• Dobierz skalę napięć od 0 do 13 V i odpowiednio skalę natężeń (również od zera).


ZADANIE 3Wykonaj dopasowanie zależności liniowej postaci U = aI


• Wyznacz w używanym programie ocenę parametru a i jej niepewności

• Na wykresie danych pomiarowych wykreśl dopasowaną prostą.

• Pamiętaj, że dopasowywane zależności modelowe prezentujemy w formie ciągłych prostych/krzywych.

ZADANIE 3Jeśli podczas dopasowania otrzymałeś wartości parametru a i jegoniepewność identyczne jak poprzednio obliczone przy użyciu wzoruw arkuszu kalkulacyjnym to możesz być pewny, że używany przezCiebie program do obliczania parametrów dopasowania korzystaze zdefiniowanej wcześniej przez nas metody najmniejszychkwadratów.


Wskazówka dotycząca programu Origin:Aby otrzymać poprawną wartość niepewności

dopasowywanego parametru Opcja Scale Error

with sqrt(Reduced Chi-Sqr) – skalowanie

niepewności zgodnie z wartością oczekiwaną 𝜒2

powinna być ODZNACZONA.

ZADANIE 3WALIDACJA MODELU

Jednym z podstawowych sposobów na ocenę dopasowania jest ocena tzw. „wykresu reszt”, czyli wykresu różnic wartości yi zmiennej zależnej (u nas to natężenia prądu Ii) i dopasowywanej zależności f(x) (w naszym

przypadku aU) obliczanych w punktach zadanych zmienną niezależną xi

(u nas to napięcia Ui).


Wykres ten pokazuje na przykładczy w trakcie pomiarów nie pojawiają siębłędy systematyczne, pozwala zidentyfikowaćrównież punkty odstające.Na wykresie tym nie powinno być widaćrównież żadnych zależności. Jeśli takazależność jest widoczna, to jej kształt sugerujejakiej funkcji zmiennej objaśniającej brakujew modelu.Jak widać obok u nas reszty układają sięchaotycznie wokół zera, więc naszedopasowanie wygląda dobrze.

ZADANIE 3ODSTĘPSTWA OD PRAWA OHMA

Każdy opornik oprócz jego oporności R charakteryzuje moc maksymalna.

Ze wzoru𝑃 = 𝐼2𝑅

można obliczyć jaki maksymalnie prąd może płynąć przez dany opornik.

𝐼𝑚𝑎𝑥 =𝑃𝑚𝑎𝑥

𝑅

W przypadku przepływu przez opornik prądu o natężeniu dochodzącymdo granicznego, w charakterystyce prądowo-napięciowej widać wyraźneodstępstwa od liniowości (w przypadku wykresu reszt obserwowalibyśmywzrost reszt dla dużych napięć). W takim przypadku dane pomiarowe dlaktórych widać odstępstwo od liniowości należy odrzucić podczasdopasowywania prawa Ohma.



Czy możemy zastosować test 3σ do sprawdzenia zgodności otrzymanego parametru modelu – oporności ze zmierzoną wartością tej oporności?

W urządzeniach cyfrowych omomierz jest najczęściejrealizowany przez pomiar napięcia na badanym elemenciepo zasileniu go prądem z wbudowanego źródła prądowegoo znanym, stabilnym natężeniu prądu oraz wyznaczenia oporu przywykorzystaniu właśnie prawa Ohma.

W ten sposób nie sprawdzilibyśmy modelu, a jedynie porównalibyśmydwie wartości oporu, których wyznaczenie opierało się na tym samymmodelu.



Poprzez porównanie wartości χ2, który minimalizowaliśmy podczas

procedury dopasowania (lub wartości zredukowanej χ2) z wartością oczekiwaną.

Test χ2 Pearsona

Porównanie χ2 z modelowym rozkładem 𝜒2 dla określonej liczby stopniswobody d = N – k (liczby niezależnych wyników obserwacji (N)pomniejszonej o liczbę związków (k), które łączą te wyniki ze sobą).

W naszym przypadku

𝜒2 =

𝑖=1

𝑁𝐼𝑖 − 𝑎𝑈𝑖

2

𝑢𝐼𝑖2

d = 10 – 1 = 915.05.2020 46PRACOWNIA WSTĘPNA [1100-1AF26] - SPRAWDZANIE PRAWA OHMA I KIRCHHOFFA

MODELOWY ROZKŁAD χ2

Rozkład χ2 o liczbie stopniswobody równej d, to rozkładzmiennej losowej, która jest sumąd kwadratów niezależnychzmiennych losowycho standardowym rozkładzienormalnym.

Wartość oczekiwana (średnia) tegorozkładu jest równa d(maksimum rozkładu dla d – 2)natomiast jego odchylenie

standardowe wynosi 2d.


χ2 ZREDUKOWANY

Ponieważ wartość χ2 zależy odliczby stopni swobody (d), częstowygodniej jest użyć wartości

zredukowanej χ2 :

𝜒2 =1

𝑑𝜒2

Wówczas oczekiwana wartośćrozkładu jest równa jeden.


WALIDACJA MODELU NA PODSTAWIE WARTOŚCI χ2

Jeśli otrzymana wartość χ2 jest porównywalna z liczbą stopni swobody (lub wartość χ2 jest bliska jeden), to możemy przyjąć, że model dobrze

oddaje dane pomiarowe.

Warto zauważyć, że obliczanie wartości χ2 opiera się na porównaniuodstępstw danych od modelu z niepewnościami.

Jeśli otrzymana wartość χ2 jest wyraźnie mniejsza od liczby stopniswobody (lub wartość χ2 jest znacznie mniejsza od jeden), tonajprawdopodobniej pomiary nie były niezależne lub przeceniliśmyniepewności pomiarowe. Wynika to z faktu, że dane podlegająpewnemu rozkładowi, więc bardzo mało prawdopodobne jest, abywszystkie otrzymane wyniki tak dobrze pasowały do modeluteoretycznego.

Podobnie wartości χ2 wyraźnie większe od liczby stopni swobody(lub wartości χ2 znacznie większe od jeden) mogą świadczyć nie tyleo nieprawidłowym modelu ale o niedoszacowaniu niepewności.


TEST χ2 PEARSONAPrzeprowadzić test χ2 Pearsona można na następujące sposoby:

1. Poprzez porównanie otrzymanej wielkości χ2 z wartością krytyczną χ2

kr dla zadanej liczby stopni swobody d i poziomu zgodności α.

2. Poprzez obliczenie poziomu zgodności α jaki należy dopuścić aby móc przyjąć prawdziwość badanego modelu.


TEST χ2 PEARSONAWARTOŚĆ KRYTYCZNA ROZKŁADU χ2

Porównanie otrzymanej wartości χ2 z wartością krytyczną (χ2kr)

rozkładu dla zadanej liczby stopni swobody d i poziomu zgodności α(Tabela 1 w Podstawach analizy danych pomiarowych cz. 2 ).

Jeśli χ2 > χ2kr to odrzucamy model jako sprzeczny z danymi

na zadanym poziomie ufności.

Jeśli χ2 ≤ χ2kr to przyjmujemy, że zaproponowany model jest

niesprzeczny z naszymi danymi.

Często stosowanym punktem odcięcia między wynikami istotnymii nieistotnymi jest poziom zgodności α = 0,05.



TEST χ2 PEARSONAPOZIOM ZGODNOŚCI ROZKŁADU χ2

Jeśli dysponujemy oprogramowaniem, który umożliwia wyznaczaniedystrybuanty rozkładu (całki rozkładu prawdopodobieństwa), lepiejjest, w miejsce wartości krytycznej, podawać tzw. wartośćprawdopodobieństwa, że zmienna rozkładu χ2 przyjmie wartośćwiększą niż wartość χ2 uzyskaną z danych.

Podejście to dostarcza informację o poziomie zgodności (α) jaki należydopuścić aby móc przyjąć prawdziwość badanego modelu.


TEST χ2 PEARSONAWażne jest aby pamiętać, że stosując test χ2 Pearsona nie uważamy,

że udowodniliśmy słuszność badanego modelu, lecz jedynie z pewnym prawdopodobieństwem stwierdzamy jego niesprzeczność

z obserwowanymi danymi.

Warto zauważyć, że podczas porównywania wartości χ2 czy χ2

z wartością oczekiwaną (równą liczbie stopni swobody w przypadku

χ2 i jeden w przypadku χ2), termin „bliska wartości oczekiwanej”, dla poziomu zgodności α = 0,05 oznacza:

dla d = 1: χ2 = χ2 = 3,84,

dla d = 10: χ2 = 18,3 i χ2 = 1,83,

dla d = 30: χ2 = 43,8 i χ2 = 1,46.


ZADANIE 3

W arkuszu kalkulacyjnym oblicz 𝜒2 = σ𝑖=1𝑁 𝐼𝑖−𝑎𝑈𝑖

2

𝑢𝐼𝑖2

oraz 𝜒2 =1

𝑑𝜒2.

Dla przypomnienia w naszym przypadku wykonano 10 pomiarów,natomiast model zawiera jeden parametr a, w związku z tym liczbastopni swobody wynosi d = 10 – 1 = 9.

Wynik: χ2 = 1,42, χ2 = 0,1578.

Otrzymane przez nas wartości są dużo mniejsze od wartościoczekiwanych, co potwierdza testowany model, ale zwraca uwagęna możliwość przeszacowania niepewności.


ZADANIE 3Porównaj otrzymaną wartość χ2 z wartością χ2

kr dla poziomu zgodności α = 0,05.

Wartość krytyczną χ2 możesz odczytać z Tabeli 1 w Podstawach analizy danych pomiarowych cz. 2 lub obliczyć w arkuszu kalkulacyjnym korzystając z funkcji:

ROZKŁ.CHI.ODWR.PS(poziom_zgodności;stopnie_swobody),

która oblicza wartość 𝜒2 dla której całka prawostronna rozkładu (w granicach [χ2, ∞)) jest równa żądanemu poziomowi zgodności.


Czy otrzymany wynikuprawnia do zaakceptowaniamodelu na zadanympoziomie zgodności?Odpowiedź: TAK, ponieważ

χ2 < χ2kr.


ZADANIE 3W arkuszu kalkulacyjnym oblicz poziom zgodności dla uzyskanej

wartości χ2.

Skorzystaj z funkcji

ROZKŁ.CHI.PS(x;stopnie_swobody).

Odpowiedź: poziom zgodności wynosi 0,9977,

czyli BARDZO dużo, co oznacza wyjątkową zgodność modelu z danymi.

Otrzymana wartość χ2 pozwala na przyjęcie badanego modelu na poziomie zgodności 0,997, jednak równocześnie mocno sugeruje

przeszacowanie niepewności pomiarowych!

W przypadku problemów z samodzielnym obliczeniem patrz: https://youtu.be/PgF8CEnNrNY


https://youtu.be/PgF8CEnNrNY

ZADANIE 3

Sprawdź w używanym przez Ciebieprogramie do analizy danych możliwościprzeprowadzenia walidacji modeluprzy użyciu testu χ2 Pearsona.


Wskazówka dotycząca programu Origin:Podczas procedury dopasowywania w opcjach należyzaznaczyć:Residual Sum of Squares (RSS) – odpowiadająca wartości χ2

Reduced Chi-Sqr – odpowiadająca wartości χ2

Funkcje:chi2inv(1-poziom_zgodności; stopnie_swobody) - wartośćkrytyczna rozkładuchi2cdf(x;stopnie_swobody;1) poziom zgodności

Pomoc dotycząca obsługi programu ORIGIN

W przypadku problemów z samodzielnym obliczeniem patrz: https://youtu.be/oeqUxjtKmVE

DOPASOWANIE W PROGRAMIE DO ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH

http://pracownie1.fuw.edu.pl/pw/pliki/funkcje_Origin.pdf

https://youtu.be/oeqUxjtKmVE

ZADANIE 4Użytkownik dysponując miernikiem BRYMEN 805 zmierzył wartościoporu trzech posiadanych przez siebie oporników, a następniepołączył je najpierw szeregowo, a następnie równolegle, za każdymrazem mierząc opór całkowity układu. Wyniki jego pomiarówznajdują się w Tabeli 2. Za pomocą testu 3σ oceń, czy otrzymaneoporności całkowite zmierzone przez użytkownika są zgodnez opornością zastępczą układu obliczoną przy użyciu wartości oporukażdego z oporników.


R1 (kΩ) R2 (kΩ) R3 (kΩ) RCS (kΩ) RCR (kΩ)

39,43 50,3 40,9 130,1 14,47

Tabela 2. Zmierzone oporności poszczególnych oporników (R1, R2, R3) oraz oporności całkowite przy łączeniu szeregowym tych oporników

(RCS) oraz przy ich łączeniu równoległym (RCR).

TEST 3σHIPOTEZA: Dwa pomiary x ± σx oraz y ± σy są pomiarami tej samej wielkości.

TEST: Wyznaczamy wartość x − y i sprawdzamy, jak wartość ta ma się do trzech

odchyleń standardowych (3σ;) gdzie σ2=σx

2+ σy

2.

Jeślix − y

σ > 3, to odrzucamy hipotezę.

Jeślix − y

σ ≤ 3, to wnioskujemy, że hipoteza ta nie jest sprzeczna z danymi.

W przypadku, gdy test 3σ nie odrzuca hipotezy, nie oznacza to, że udowodniliśmy jej słuszność,

a jedynie godzimy się z nią, gdyż nie jest sprzeczna z danymi.W przypadku rozkładu Gaussa test 3𝜎 dopuszcza odrzucenie prawdziwej hipotezyz prawdopodobieństwem 0,003 (np. test 2𝜎 dopuszczałby taką możliwośćz prawdopodobieństwem 0,05).

W praktyce na ogół nie znamy wartości dyspersji σ,a jedynie jej oszacowanie u, czyli niepewność standardową wyniku pomiaru.

15.05.2020PRACOWNIA WSTĘPNA [1100-1AF26] - SPRAWDZANIE PRAWA OHMA I KIRCHHOFFA 59

ZADANIE 4W naszym przypadku będziemy porównywać zmierzony bezpośrednioopór całkowity układu z wartością oporu zastępczego wyznaczonegopoprzez pośrednie pomiary oporów składowych. W przypadkupomiarów bezpośrednich niepewności możemy wyznaczyć znającdopuszczalny graniczny błąd wskazania przyrządu (Δ).

Korzystając z tabeli A1 w instrukcji odczytaj w, n, i nc w przypadkupomiaru oporności dla odpowiednich zakresów (zakładamy,że użytkownik w każdym przypadku wybrał optymalny zakrespomiarowy) i oblicz niepewności wyznaczenia R1, R2, R3, RCS i RCR.


R1 R2 R3 RCS RCR

Zmierzona wartość oporu (kΩ) 39,43 50,3 40,9 130,1 14,47

w (%) 0,6 0,6 0,6 0,6 0,6

n 4 4 4 4 4

c (kΩ) 0,01 0,1 0,1 0,1 0,01

Δ (kΩ) 0,28 0,70 0,6 1,2 0,13

Niepewność oporu (kΩ) 0,16 0,41 0,4 0,7 0,07

ZADANIE 4W przypadku pomiarów pośrednich musimy skorzystać z propagacji

niepewności pomiarowych.

ŁĄCZENIE SZEREGOWE:

opór zastępczy:𝑅𝑍𝑆 = 𝑅1 + 𝑅2 + 𝑅3

niepewność oporu zastępczego:

𝑢𝑅𝑍𝑆2 =

𝜕𝑅𝑍𝑆𝜕𝑅1

𝑢𝑅1

2

+𝜕𝑅𝑍𝑆𝜕𝑅2

𝑢𝑅2

2

+𝜕𝑅𝑍𝑆𝜕𝑅3

𝑢𝑅3

2

Ponieważ 𝜕𝑅𝑍𝑆

𝜕𝑅𝑖= 1 więc

𝑢𝑅𝑍𝑆2 = 𝑢𝑅1

2 + 𝑢𝑅22 + 𝑢𝑅3

2

Co daje wartość: 𝑅𝑍𝑆 = 130,63 ± 0,57 kΩ


R1 R2 R3

ZADANIE 4ŁĄCZENIE RÓWNOLEGŁE:

opór zastępczy:1

𝑅𝑍𝑅=

1

𝑅1+

1

𝑅2+1

𝑅3

𝑅𝑍𝑅 =𝑅1𝑅2𝑅3

𝑅1𝑅2 + 𝑅2𝑅3 + 𝑅1𝑅3

niepewność oporu zastępczego:

𝑢𝑅𝑍𝑅2 =

𝜕𝑅𝑍𝑅𝜕𝑅1

𝑢𝑅1

2

+𝜕𝑅𝑍𝑅𝜕𝑅2

𝑢𝑅2

2

+𝜕𝑅𝑍𝑅𝜕𝑅3

𝑢𝑅3

2


R3

R1

R2

ZADANIE 4ŁĄCZENIE RÓWNOLEGŁE:

obliczmy 𝜕𝑅𝑍𝑅

𝜕𝑅1𝜕𝑅𝑍𝑅𝜕𝑅1

=𝜕

𝜕𝑅1

𝑅1𝑅2𝑅3𝑅1𝑅2 + 𝑅2𝑅3 + 𝑅1𝑅3

=𝑅2𝑅3 𝑅1𝑅2 + 𝑅2𝑅3 + 𝑅1𝑅3 − 𝑅1𝑅2𝑅3 𝑅2 + 𝑅3

𝑅1𝑅2 + 𝑅2𝑅3 + 𝑅1𝑅32

=𝑅22𝑅3

2

𝑅1𝑅2 + 𝑅2𝑅3 + 𝑅1𝑅32=

1

𝑅12

𝑅12𝑅2

2𝑅32

𝑅1𝑅2 + 𝑅2𝑅3 + 𝑅1𝑅32=

𝑅𝑍𝑅𝑅1

2

Analogicznie pozostałe dwie pochodne…

Ostatecznie niepewność oporu zastępczego wynosi:

𝑢𝑅𝑍𝑅2 =

𝑅𝑍𝑅𝑅1

4

𝑢𝑅12 +

𝑅𝑍𝑅𝑅2

4

𝑢𝑅22 +

𝑅𝑍𝑅𝑅3

4

𝑢𝑅32 = 𝑅𝑍𝑅

4𝑢𝑅12

𝑅14 +

𝑢𝑅22

𝑅24 +

𝑢𝑅32

𝑅34

Co daje wartość: 𝑅𝑍𝑅 = 14,349 ± 0,060 kΩ


ZADANIE 4ŁĄCZENIE SZEREGOWE ŁĄCZENIE RÓWNOLEGŁE

Zmierzony bezpośrednio:

RCS = 130,1 ± 0,7 kΩ RCR = 14,47 ± 0,07 kΩ

Obliczony na podstawie pomiarów R1, R2 i R3:

RZS = 130,63 ± 0,57 kΩ RZR = 14,349 ± 0,060 kΩ

TEST 3σ

Dla każdej pary oblicz 𝑅Z − 𝑅C

Oblicz niepewność tej różnicy: 𝑢 = 𝑢𝑅Z2 + 𝑢𝑅C

2

Sprawdź czy 𝑛 =𝑅Z−𝑅C

𝑢𝑅Z2 +𝑢𝑅C

2≤ 3

Jeśli tak to możesz przyjąć, hipotezę, że te wartości są zgodne

Wartości są ze sobą zgodne w granicach trzech odchyleń standardowych.


UWAGA NOMENAKLUTUROWAKlasyczna statystyka matematyczna rozróżnia dwa rodzaje testów:parametryczne i nieparametryczne.

Przedmiotem testów parametrycznych (np. test 3, test t-Studenta) jestweryfikacja wartości parametru w kontekście których używa sięterminu „istotność”. Są to więc testy istotności na zadanym poziomieistotności.

W teście nieparametrycznym (np. test 2 Pearsona) przedmiotem testujest zależność matematyczna. W odniesieniu do takich testów używanyjest termin „zgodność”. Są to więc testy zgodności na zadanympoziomie zgodności.


PODSUMOWANIE

DOPASOWANIE ZALEŻNOŚCI MODELOWEJ

Pomiary: (𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 ± 𝑢𝑖)

Dopasowanie modelu liniowego: 𝑦 = 𝑎𝑥

Minimalizacja 𝜒2 = σ𝑖=1𝑁 𝐼𝑖−𝑎𝑈𝑖

2

𝑢𝐼𝑖2

Parametr dopasowania: 𝑎 =σ𝑖=1𝑁 𝑥𝑖𝑦𝑖

𝑢𝑖2


2

𝑢𝑖2

Jego niepewność: 𝑢𝑎 =1


2

𝑢𝑖2

WALIDACJA MODELU


Porównanie χ2 (lub χ2) z wartością oczekiwaną.

Test χ2 Pearsona:

1. Porównanie χ2 z wartością krytyczną dla zadanej liczby stopni swobody d i poziomu zgodności α.

2. Obliczenie poziomu zgodności αjaki należy dopuścić aby móc przyjąć prawdziwość badanego modelu.

PODSUMOWANIE

OPÓR ZASTĘPCZY

ŁĄCZENIE SZEREGOWE OPORNIKÓW:

𝑅𝑧𝑠 = 𝑅1 + 𝑅2 + 𝑅3𝑢𝑅𝑍𝑟2 = 𝑢𝑅1

2 + 𝑢𝑅22 + 𝑢𝑅3

2

ŁĄCZENIE RÓWNOLEGŁE OPORNIKÓW:

𝑅𝑧𝑟 =1

𝑅1+

1

𝑅2+1

𝑅3

−1

𝑢𝑅𝑧𝑟2 = 𝑅𝑧𝑟

4𝑢𝑅12

𝑅14 +

𝑢𝑅22

𝑅24 +

𝑢𝑅32

𝑅34

Porównanie oporu zmierzonego bezpośrednio (RC ± uRC)

z obliczonym oporem zastępczym (RZ ± uRZ)

Test 3σ

Porównanie różnicy obu

zmierzonych pomiarów RC − RZ

do trzech niepewności standardowych (3u),

gdzie 𝑢 = 𝑢𝑅Z2 + 𝑢𝑅C

2 .


RAPORT KOŃCOWYRaport końcowy, przygotowany zgodnie z ogólnymi zasadamipodanymi we wzorcu dostępnym na stronach pracowni, powinienzawierać w części odnoszącej się do analizy danych i dyskusji:– porównanie wartości nominalnych użytych w doświadczeniu oporników

z ich wartościami zmierzonymi (test 3);

– analizę charakterystyki prądowo-napięciowej na wybranym opornikuzawierającą:

propozycję modelu teoretycznego opisującego dane pomiarowe;

oszacowanie którą z wielkości można traktować jako niezależną;

dopasowanie metodą najmniejszych kwadratów wybranego modeluwraz z wyznaczeniem jego parametrów i ich niepewności i dyskusją reszt;

porównanie wartości oporności otrzymanej z bezpośredniego pomiaruoraz z wykonanego dopasowania;

sprawdzenie przy użyciu testu χ2 Pearsona czy proponowany model może opisywaćTwoje dane pomiarowe;

wykres zależności między napięciem a natężeniem wraz z dopasowanym modelem;


http://pracownie1.fuw.edu.pl/pw/pliki/wz%C3%B3r_raportu.pdf

RAPORT KOŃCOWY– analizę wyników pomiarów oporności i napięć w połączeniu szeregowym

pod kątem ich zgodności z prawami Kirchhoffa (test 3σ);

– analizę wyników pomiarów oporności i natężeń prądu w połączeniurównoległym pod kątem ich zgodności z prawami Kirchhoffa (test 3σ);

Raport powinien zawierać wszystkie surowe wyniki pomiarów(np.[]w suplemencie), aby można było, bez odwoływania siędo zapisków sporządzonych w trakcie wykonywania doświadczenia,powtórzyć wszystkie obliczenia i sprawdzić ich poprawność.

W raporcie (na przykład w suplemencie) umieść szczegółowądokumentację prowadzonego doświadczenia (również fotograficzną),pozwalającą osobie nieobecnej podczas pomiarów ich odtworzenieoraz ocenę ich poprawności.

Raport końcowy należy wysłać asystentowi w formie cyfrowej (nazwa pliku: 2020_E_Imię_Nazwisko, format PDF)

wraz z danymi pomiarowymi również w postaci cyfrowej.


Documents

SPRAWDZANIE PRAWA OHMA I KIRCHHOFFApracownie1.fuw.edu.pl › pw › pliki › 2-prezentacja.pdfPOMIARY W ramach ćwiczenia badane będą podstawowe prawa rządzące przepływem prądu