Stabilita nelineárního systému

se dále pohybuje tak, že pro libovolné t 0 odchylky jeho stavu od xS splňují podmínku

Stabilita podle Ljapunova Za systém stabilní podle Ljapunova považujeme takový, který po počátečním konečném vychýlení z rovnovážného stavu xS splňujícím nerovnost Sxx )0(

st xx

Asymptotická stabilita

Přísnější podmínka stability singulárního bodu, vyžadující zaujetí rovnovážného stavu v tomto bodě

st

t xx

lim

Nelineární systém - možná existence více sing. bodů - sing. bod může měnit svou povahu v závislosti na velikosti působícího vstupu uS.

Kontrola stability nelineárního systému podle linearizace

Ljapunovovu věta o stabilitě rovnovážného stavu

Jestliže nelineární systém má při vstupu uS rovnovážný stav v xS, v němž existují všechny derivace Jacobiho matice Jx, pak ze stability jeho linearizace vyplývá, že pohyb systému je v okolí xS asymptoticky stabilní.

))(),(()(

ttdt

tduxf

x

nejbližší pokračování pohybu lze aproximovat

0000 , uuJxxJuxfx ttdt

tdux

kde Jx a Ju jsou Jacobiho matice derivací (použitelnost podmíněna existencí všech těchto derivací)

Omezená lokální stabilita

stabilita omezena na určitou podoblast stavového prostoru, která odpovídá jen určitému rozsahu a kombinacím vstupů a počátečních podmínek

Globální stabilita

systém stabilní v celém stavovém prostoru nezávisle na kombinaci vstupů a počátečních podmínek

Příklad (Lorenzův model turbulence)

tCxtxtxtx

txtxtxtBxtx

txtxAtx

3213

31212

121

)(

)()()(

0

0

0

321

3121

12

Cxxx

xxxBx

xxArovnovážný stav

391

198.101

3

21

Bx

xCBx

s

ss

A = 20, B = 40, C = 8/3

6667.2198.10,198.10

198.10,1,1

0,20,20

,,

,1,

0,20,20

12

13

Cxx

xxB

ss

ssxJ

04160160667.23det 23 ssss xJ1

linearizace v rovn. bodě 39,198.10 321 sss xxx