Stabilitáselmélet I rész 13¡selmélet...Bemutatjuk az általánosított Ayrton-Perry formulát és az arra alapozott új numerikus méretezési eljárások gondolatmenetét. A

Papp Ferenc Ph.D., Dr.habil

Stabilitáselmélet a mérnöki gyakorlatban

Előadásvázlatok

Budapest 2012

Dr. Papp Ferenc: Stabilitáselmélet a mérnöki gyakorlatban - előadásvázlatok

-2-

Előszó A jelen jegyzetünk a Széchenyi István Egyetemen az építőmérnöki BSc képzés Tartók statikája II . tantárgyához kapcsolódik. A jegyzet rövid címe alapján arra gondolhatunk, hogy a stabilitási problémák elvont, matematikai megközelítésével foglalkozik. Ezért fontosnak tartjuk tisztázni, hogy a jegyzet a stabilitáselméleti alapkérdéseket a mérnöki gyakorlat szempontjából kívánja megközelíteni. A Tartók statikája II. című tantárgyhoz kapcsolódó jegyzetünk ezért viseli a Stabilitáselmélet a mérnöki gyakorlatban címet. A stabilitáselmélet tudományágának számos kiváló hazai művelői közül ki kell emelnünk Korányi Imre (KORÁNYI I. 1965.) és Halász Ottó professzorokat (HALÁSZ O., IVÁNYI M. 2001.), akik megalapozták az acélszerkezetek stabilitáselméletének hazai művelését. Fontos kiemelnünk Kollár Lajos és Dulácska Endre professzorok munkásságát, akiknek számos magyar nyelvű publikációja a mai napig irányadó a témával ismerkedő hallgatók számára, de a kutatók és gyakorló mérnökök számára is. Műveik közül különösen fontos megemlíteni a héjak horpadásával foglakozó könyvüket (KOLLÁR L., DULÁCSKA E. 1975.), amelyre a jegyzetünkben sokat fogunk hivatkozni. A teljesség igénye nélkül a fiatalabb tudósgenerációból meg kell említenünk Gáspár Zsolt professzor nevét, aki nemzetközi hírű művelője a stabilitáselmélet egy elvontabb ágának, a katasztrófaelméletnek (GÁSPÁR ZS. 2006.). A nagyteljesítményű számítógépek világában a stabilitáselmélet klasszikus módszertanának szerepe változóban van: az elméleti modellek vizsgálata helyett előtérbe kerülnek a valós szerkezeti viselkedést szimuláló számítógépes eljárások. A két megközelítési mód azonban még sokáig együttélésre van ítélve. Ismert, hogy az európai szabványrendszer (Structural Eurocodes) támogatja az egyszerű (kézzel is kiszámítható) méretezési formulák alkalmazását, de ezek mellett különös figyelmet fordít a numerikus eljárásokkal segített méretezési módszerekre is. Mindkét esetben jelen vannak a méretezési formulákban a klasszikus stabilitáselméletből származó paraméterek. A két módszertan párhuzamos jelenléte sokszor gondot okoz a stabilitástani alapfogalmak megértésében. Mit jelent például a nyomott rúd kihajlása? A klasszikus stabilitáselmélet szerint a nyomott rúd az Euler-féle erő hatására az addig egyenes (tökéletes) helyzetből hirtelen kigörbül (kihajlik), és közben végig rugalmasan viselkedve új egyensúlyi helyzetet vesz fel. A jelenséget matematikai analízis (differenciálegyenlet) segítségével írjuk le. A korszerű számítógépes módszertan a valós (tökéletlen) rúd viselkedését laboratóriumi és (vagy) számítógépes virtuális kísérlettekkel vizsgálja, és az eredményeket matematikai-statisztikai módszerekkel értékeli. Mivel a vizsgált rúd viselkedése formailag nagyon hasonlít az előző elméleti viselkedéshez, ezért itt is nyomott rúd kihajlásáról beszélünk. Neves kutatók állítják, hogy a valós szerkezeti viselkedést vizsgáló módszertanban helytelen használni a klasszikus stabilitáselméleti alapfogalmakat. Szerintük a valós szerkezeti viselkedés minden esetben (így a fenti példa esetében is) egy folyamatosan kialakuló deformációval járó jelenség, amely elvezet a szerkezet végső teherbírásához. Annak ellenére, hogy hajlunk az utóbbi álláspont elfogadására, a jegyzetben felvállaljuk a kettős fogalmi rendszer alkalmazását, de minden esetben jelezzük, hogy a stabilitási jelenségről elméleti értelemben beszélünk (rugalmas elmélet alapján), vagy valós szerkezeti viselkedést feltételezünk. Álláspontunknak gyakorlati oka van: a klasszikus stabilitáselméleti alapfogalmak jelen vannak a valós mérnöki szerkezetek méretezését előíró szabványokban.


-3-

A Stabilitáselmélet tantárgy alapvetően a klasszikus stabilitáselméleti módszertannal foglalkozik, de nem öncélúan. A tantárgy feladata, hogy a rugalmas stabilitáselmélet vonatkozásában, figyelembe véve az előző szakasz megállapításait, megfelelő alapot adjon a valós szerkezetek méretezésével foglalkozó tantárgyak számára. A tantárgynak nem témája a valós szerkezeti elemek és szerkezetek méretezése, de az érthetőség és teljesség kedvéért egyes esetekben (nyomott rúd) utalást teszünk a szabványos méretezési formulákra, illetve azok stabilitáselméleti vonatkozásaira is.


-4-

Bevezetés Az első fejezetében áttekintjük a legfontosabb stabilitáselméleti alapfogalmakat. Az áttekintés érdekében tökéletes és tökéletlen elvi szerkezeteket (modelleket) vizsgálunk. A nyomott rúd problémáján keresztül kitekintést adunk az elemei stabilitáselmélet és a méretezéselmélet kapcsolatára. A második fejezetben a síkbeli rúdszerkezeti modellek lineáris stabilitásanalízisét a méretezéselméleti és didaktikai szempontból is kiemelkedő fontosságú stabilitásfüggvények alkalmazásán keresztül mutatjuk be. A módszer jelentőségét a modern numerikus analízis módszerének tükrében értékeljük. A harmadik fejezetben először a rúdelemek csavarásával foglalkozunk, majd a központosan nyomott rúdmodell térbeli kihajlásával, a hajlított gerenda kifordulásával és a nyomott-hajlított elem stabilitásvesztésével foglakozunk. A levezetett, illetve bemutatott eredményeknek jelentős szerepe van a modern szabványok szerinti méretezési eljárásokban. A negyedik fejezetben a térbeli rúdszerkezeti modellek lineáris stabilitási analízisének numerikus módszerét tárgyaljuk. A mérnöki gyakorlat szempontjából értékeljük a 14 szabadságfokú általános rúd végeselemes módszer jelentőségét.

Megírás alatt álló további fejezetek: Az ötödik fejezetben - az előző fejezetek összefoglalásaként - a kritikus igénybevételek (kritikus terhek) szabványos méretezési formulákban betöltött szerepét elemezzük. A hatodik fejezetben kitekintünk a jegyzet szorosan vett témájából, és röviden bemutatjuk a valós nyomott rúd Ayrton-Perry formulán alapuló méretezési módszerének eredetét. Bemutatjuk az általánosított Ayrton-Perry formulát és az arra alapozott új numerikus méretezési eljárások gondolatmenetét. A hetedik fejezetben az izotrop lemezek horpadáselméletébe tekintünk be. Az itt tárgyalt ismeretanyag a keresztmetszetek szabványos méretezésénél, illetve az egyes szabványos horpadásvizsgálatoknál kapnak szerepet. A nyolcadik fejezetben az alkotó irányban nyomott és a gyűrűirányban nyomott hengerhéjakat tárgyaljuk, majd vizsgáljuk a gömb- és a gömbsüveghéjak horpadásának problémáját.

A jegyzetben tartózkodunk a hosszú matematikai levezetések bemutatásától, amelyek számos könyvben megtalálhatóak. A hivatkozásoknál igyekszünk mindig a legeredetibb publikációkat megjelölni. Az analitikus megközelítés mellett a stabilitásvesztési jelenségeket numerikus modelleken keresztül is megmutatjuk. A numerikus modellek analíziséhez a ConSteel programot alkalmazzuk. A modelleket az olvasó szabadon letöltheti és a bemutatott analízist saját maga is elvégezheti.


-5-

1. Stabilitáselméleti alapfogalmak 1.1 Tökéletes szerkezetek stabilitásvesztése Ebben a szakaszban egyszerű, elméleti szerkezeteket (modelleket) vizsgálunk. A modellek tökéletesen merev elemből (rúdból) és lineárisan rugalmas erő- vagy nyomatéki rúgóból állnak. A modelleket tökéletes csuklók támasztják meg. A modellekre konzervatív terhek hatnak, a modellek elmozdulása síkban történik. A vázolt modellek nem reálisak (közvetlen gyakorlati jelentőségük aligha van), de a viselkedésük elemzése fontos stabilitáselméleti alapfogalmakhoz vezetnek el. 1.1.1 A szimmetrikus stabilis egyensúly elágazás Vizsgáljuk az 1-1a ábrán látható elvi szerkezetet, amely egy tökéletesen merev rúdból és a csuklós támasznál elhelyezett lineárisan rugalmas k karakterisztikájú nyomatéki rugóból áll. A modellt P erő terheli.

1-1. ábra. Szimmetrikus stabilis egyensúly elágazás: a) elvi szerkezet; b) egyensúlyi útvonal.

Keressük a P erő azon értékét, amelynél a φ szöggel kimozdított modell egyensúlyi állapotban van. A kimozdult állapotban a P erő nyomatéka egyensúlyban van a rugó által közvetített nyomatékkal:

ϕϕ ⋅=⋅⋅ ksinLP (1-1)

Az (1-1) egyenletből a P erő kifejezhető:

ϕϕ

sinL

kP ⋅= (1-2)

A nem triviális megoldás érdekében vegyük a szinusz függvény Taylor sorának első két tagját:

6sin

3ϕϕϕ −= (1-3)

Helyettesítsük be az (1-3) kifejezést az (1-2) egyenletbe:

k

L

ϕ

P

+ φ

Pcr

- φ

a) b)


-6-

+⋅=

61

L

kP

2ϕ (1-4)

Az (1-4) kifejezés alapján a következő megállapításokat tehetjük:

� Amennyiben φ → 0 , akkor a P erő kitüntetett értékéhez jutunk:

L

kPcr = (1-5)

Ezt az erőt kritikus erőnek nevezzük. Amennyiben P kisebb, mint Pcr, akkor a kimozdítás után magára hagyott modell visszatér a kezdeti helyzetébe. Amennyiben P nagyobb, mint Pcr, akkor a modell egy kimozdult helyzetű egyensúlyi állapotot vesz fel.

� A P függvényében leírt φ görbét egyensúlyi útvonalnak, az egyensúlyi útvonal (φ=0;Pcr) pontját elágazási pontnak nevezzük (1-1b ábra).

� Az elágazott egyensúlyi útvonalon növekvő φ elmozduláshoz növekvő P érték tartozik, ezért az elágazás stabilis. Az egyensúlyi útvonal φ-re nézve szimmetrikus, ezért az elágazás szimmetrikus.

1.1.2 A szimmetrikus labilis egyensúly elágazás Vizsgáljuk az 1-2a ábrán látható elvi szerkezetet, amely egy csuklósan megtámasztott tökéletesen merev rúdból, valamint a rúd tetején vízszintesen elhelyezett lineárisan rugalmas erőrugóból áll. A modellt a P erő terheli.

1-2. ábra. Szimmetrikus labilis egyensúlyi elágazás: a) elvi szerkezet; b) egyensúlyi útvonal.

Keressük a P erő azon értékét, amelynél a φ szöggel kimozdított modell egyensúlyi állapotban van. Az egyensúlyi helyzet feltétele, hogy a kimozdult állapotban a P erő nyomatéka egyensúlyban legyen a rugó által közvetített erő nyomatékával:

( ) ( )ϕϕϕ cosLsinLksinLP ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅ (1-6) Az (1-6) egyenletet átrendezve:

L

Lsinϕ

ϕ

P

+φ

P

Pcr

Lcosϕ

k

˙-φ

a) b)


-7-

0cosLk

Psin =

−⋅

⋅ ϕϕ (1-7)

Az (1-7) nem triviális megoldása érdekében vegyük a koszinusz függvény Taylor sorának első két tagját:

2

1cos2ϕϕ −= (1-8)

Az (1-8) kifejezést helyettesítsük be az (1-7) egyenletbe, és fejezzük ki a P erőt:

−⋅⋅=

21LkP

2ϕ (1-9)


� Amennyiben φ → 0 , akkor a P erő kritikus értékét kapjuk:

LkPcr ⋅= (1-10)

A P nem lehet nagyobb, mint Pcr.

� Az elágazási útvonal mentén növekvő φ elmozduláshoz csökkenő P erő tartozik, ezért az elágazás labilis. Az egyensúlyi útvonal a φ értékére nézve szimmetrikus, ezért az elágazás szimmetrikus (1-2b. ábra).

1.1.3 Az aszimmetrikus egyensúly elágazás Az 1-3a ábrán látható elvi szerkezet egy csuklósan megtámasztott tökéletesen merev rúdból, valamint a rúd tetejétől 45 fokban vezetett, és az alapszinthez rögzített lineárisan rugalmas erőrugóból áll. A modellt a P erő terheli.

1-3. ábra. Aszimmetrikus egyensúlyi elágazás: a) elvi szerkezet; b) egyensúlyi útvonal.

A modell egyensúlyi útvonala az előző elvi példák mintájára levezethető. A levezetést a szakirodalomban megtaláljuk (KOLLÁR L. 2006. 22-24. oldal). A hivatkozott irodalom alapján az egyensúlyi útvonal képlete a következő:

+−⋅⋅⋅=

ϕϕ

sin1

11cotLkP (1-11)

L

ϕ

P

-ϕ

P

Pcr k

L

+ϕ


-8-

Alkalmazzuk a trigonometrikus függvények alábbi sorbefejtett alakjait:

ϕϕ

ϕϕ

ϕ ⋅−=+

−=4

31

sin1

1 és

3

1cot (1-12)

Behelyettesítve az (1-12) kifejezéseket az (1-11) egyenletbe az egyensúlyi útvonal linearizált kifejezésére jutunk (1-3b ábrán szaggatott vonallal jelölve):

⋅−⋅⋅⋅= ϕ4

31Lk

2

1P (1-13)


� Amennyiben φ → 0 , akkor a P erő kritikus értékét kapjuk:

2

LkPcr ⋅= (1-14)

Amennyiben a φ elmozdulás pozitív, akkor egyensúlyi helyzet csak csökkenő P erő mellett lehetséges. Amennyiben a φ elmozdulás negatív, akkor egyensúlyi helyzet csak növekvő P erő mellett lehetséges.

� Az elágazási útvonal attól függően stabilis vagy labilis, hogy az elmozdulás melyik irányban következik be. Az ilyen viselkedést aszimmetrikus (vagy ferde) elágazásnak nevezzük.

1.1.4 Az indifferens egyensúly elágazás Az 1-4a ábrán látható elvi szerkezet egy csuklósan megtámasztott tökéletesen merev rúdból, valamint a rúd tetején egy vízszintesen és egy függőlegesen elhelyezett, azonos karakterisztikájú lineárisan rugalmas erőrugóból áll. A modellt a P erő terheli.

1-4. ábra. Indifferens egyensúlyi elágazás: a) elvi szerkezet; b) egyensúlyi útvonal.

A modell egyensúlyi útvonala az előző elvi példák mintájára levezethető. A levezetést az irodalomban megtaláljuk (GÁSPÁR ZS. 1984.). A hivatkozott irodalom alapján az egyensúlyi útvonalra a következő kifejezést kapjuk:

LkP ⋅= (1-15)

L

ϕ

P

+ϕ

P

Pcr

k

-π +π -ϕ


-9-


� A P erő kritikus értéke: LkPcr ⋅= (1-16)

A P erő a -π ≤ φ ≤ π tartományban nem függ az elmozdulás értékétől.

� Az elágazási útvonal mindkét elmozdulási irányban indifferens (a kritikuson túli teherbírás szabadosan konstans).

1.1.5 A határpontos egyensúly elágazás Az 1-5a ábrán látható elvi szerkezet csuklós összekapcsolt két tökéletesen merev rúdból áll, ahol a rudak végeit mozgó sarú és egy-egy lineárisan rugalmas vízszintes erőrugó támasztja meg. A szerkezet viszonylag lapos (f<<2L ). A modellt a P erő terheli.

1-5. ábra. Határpontos egyensúlyi elágazás: a) elvi szerkezet; b) egyensúlyi útvonal. A modell egyensúlyi útvonalának levezetését a szakirodalomban megtaláljuk (KOLLÁR

L. 2006. 31-32. oldal). A hivatkozott irodalom alapján az egyensúlyi útvonal képlete a következő:

⋅+⋅⋅−⋅⋅⋅= 3

22

22

2

wL

1w

L

f3w

L

f2kP (1-17)

Az (1-17) kifejezés elemzése a következő megállapításokra vezet:

� A P erő legnagyobb értéke:

2

3

max L

fk385,0P ⋅⋅= (1-18)

A Pmax erőnél az egyensúlyi útvonalnak határpontja van, ahol a szerkezet „átpattan” egy másik egyensúlyi állapotba.

� Növekvő elmozduláshoz a határpontig növekvő P erő, a határponton túl csökkenő P erő tartozik. Ez a viselkedés eltér a tökéletes modellek viselkedésétől. A viselkedési formát határpontos elágazásnak nevezzük.

A fent leírt szerkezeti viselkedés átmenetet képez az eddig tárgyalt tökéletes modellek viselkedése és a következő szakaszban tárgyalt tökéletlen modellek viselkedése között, ahol a tökéletlen modellek már a terhelés kezdetén kimozdult állapotban vannak.

k k

L L P

f

w

P

Pmax


-10-

1.2 Tökéletlen szerkezetek viselkedése 1.2.1 A kezdeti geometriai tökéletlenség hatása Vizsgáljuk meg az előző szakaszban szereplő elméleti modelleket azzal a különbséggel, hogy a modellekbe kezdeti geometriai tökéletlenséget (adott esetben kezdeti ferdeséget) viszünk! Először az 1.1.1 szakaszban szereplő és az 1-1a ábrán látható modellt vizsgáljuk úgy, hogy a rendszerbe egy kezdeti φ0 ferdeséget viszünk (1-6a ábra).

1-6. ábra. Geometriai tökéletlenség hatása az 1-1 ábra szerinti szimmetrikus stabilis egyensúly elágazásra:

a) elvi modell; b) egyensúlyi útvonal. A feladat matematikai megoldását megtaláljuk a szakirodalomban (KOLLÁR L. 2006, 27. oldal):

⋅+⋅⋅−−⋅= 20

0cr 6

1

6

11PP ϕϕϕ

ϕϕ

(1-19)

Az (1-19) kifejezésben Pcr az (1-5) szerinti kritikus erő. Az (1-19) szerinti egyensúlyi útvonalat az 1-6b ábra szemlélteti, ahol szaggatott vonallal feltüntettük a tökéletes (φ0=0) modellhez tartozó egyensúlyi útvonalat is. Az (1-19) kifejezés elemzése a következő megállapításokra vezet:

� Az egyensúlyi útvonalnak nincs elágazási pontja, a P erő a φ abszolút értékének növekedésével monoton növekszik.

� A modell nem érzékeny a kezdeti geometriai pontatlanságra (tökéletlenségre).

Most az 1.1.2 szakaszban szereplő és az 1-2a ábrán látható modellt vizsgáljuk úgy, hogy a rendszerbe egy kezdeti φ0 ferdeséget viszünk (1-7a ábra). A feladat matematikai megoldását megtaláljuk a szakirodalomban (KOLLÁR L. 2006, 28. oldal):

⋅−⋅⋅+−⋅= 20

0cr 2

1

2

11PP ϕϕϕ

ϕϕ

(1-20)

k

L ϕ

P

+ φ

P

Pcr

- φ

ϕ0

+ φ0 - φ0


-11-

1-7. ábra. Geometriai tökéletlenség hatása az 1-2 ábra szerinti szimmetrikus és labilis egyensúlyi elágazásra:

a) elvi modell; b) egyensúlyi útvonal; c) tökéletlenségérzékenység

Az (1-20) kifejezésben Pcr az (1-10) szerinti kritikus erő. A modell egyensúlyi útvonalát az 1-7b ábra szemlélteti, ahol szaggatott vonallal tüntettük fel a tökéletes (φ0=0) modellhez tartozó egyensúlyi útvonalat. Az 1-7c ábra a modellnek a kezdeti tökéletlenségre való érzékenységét szemlélteti. Az (1-20) kifejezés elemzése alapján a következő megállapításokat tehetjük:

� Az egyensúlyi útvonalnak Pmax erőnél tetőpontja van, és Pmax < Pcr .

� A szerkezet érzékeny a kezdeti geometriai tökéletlenségre. Későbbiekben még részletesen tárgyaljuk a lineáris stabilitáselmélet ismert tételét, ami szerint, ha a kezdeti tökéletlenség konform a stabilitásvesztéshez tartozó első sajátalakkal, akkor az elmozdulás kifejezhető a kezdeti tökéletlenség nagyításával:

0

crP

P1

1 ϕϕ ⋅−

= (1-21)

Mivel a fenti feltételek az előzőekben vizsgált tökéletlen modelleknél fennállnak, ezért az (1-19) és (1-20) kifejezéseket úgy is megkaphatjuk, hogy az (1-21) képlet átrendezéséből kapott

ϕϕ0

cr

1P

P −= (1-22)

kifejezés jobb oldalával „megszorozzuk” a tökéletes modellekre vonatkozó, hasonló alakra hozott kifejezések jobb oldalait. 1.2.2 Anyagi tökéletlenség hatása Az anyagi tökéletlenség hatását az 1-8a ábrán látható elvi szerkezeten vizsgájuk. A modell egy tökéletesen merev rúdból és egy viszonylag kis hosszúságú rugalmas-képlékeny elemből áll. Az elem viselkedését az un. Van der Neut-féle I keresztmetszettel írjuk le

L ϕ

+φ

P

Pcr k

˙-φ

- φ0 +φ0

Pmax ϕ0

+φ0 -φ0

cr

max

P

P

1

P a) b) c)


-12-

(KOLLÁR L. 2006, 33. oldal), ahol a két övlemezt összekötő gerinclemez hatását elhanyagoljuk, valamint feltételezzük, hogy az övelemezek σy folyáshatárig tökéletesen rugalmasan, majd a folyás pillanatától tökéletesen képlékenyen viselkednek (1-8b ábra).

1-8. ábra. Anyagi tökéletlenség hatása a szerkezeti viselkedésre: a) elvi szerkezet; b) Van der Neut-féle

keresztmetszet; c) egyensúlyi útvonal. Először tételezzük fel, hogy a modell geometriailag tökéletes (ϕ0=0), és írjuk fel a nyomatéki egyensúlyi egyenletet a bal oldali övre:

hN2

1sinL

2

hP pl ⋅⋅=

⋅+⋅ ϕ (1-23)

Az (1-23) egyenletben a keresztmetszet képlékeny nyomási ellenállása:

ypl A2N σ⋅⋅=

Alkalmazzuk a szinusz függvény sorának első tagját,

ϕϕ =sin

és fejezzük ki az (1-23)-ból a nyomóerőt:

)L2/(h1

1NP pl

⋅+

⋅= ϕ (1-24)

A teljes egyensúlyi útvonal két szakaszból áll: a 0-ból kiinduló függőleges egyenesből, és az (1-24) által meghatározott, az Npl erőnél elágazó és csökkenő erőt mutató görbéből (1-8c ábrán szaggatott vonallal jelölve). Most tételezzük fel, hogy φ0≠0, azaz a modell geometriailag tökéletlen. Ebben az esetben az egyensúlyi útvonal első szakasza nem a P tengelyen fekszik, hanem az 1-8c ábrán vastag vonallal jelzett görbét követi. A görbe jól közelíthető az (1.21) kifejezéssel, ha Pcr helyére Npl-t írunk. A közelítő görbe és az (1-24) által meghatározott görbe metszéspontjában, (Pmax erőnél) az útvonal elágazik, és az utóbbi görbét követi csökkenő P erő mellett. Az (1-24) kifejezés és az 1-8c ábra elemzése a következő megállapításokra vezet:

� Az egyensúlyi útvonalnak Pmax erőnél elágazási pontja van, és Pmax < Npl .

� A modell érzékeny az anyagi tökéletlenségre.

� Az anyagilag tökéletlen modell egyensúlyi útvonalának viselkedése lényegében független attól, hogy az anyagilag tökéletes modell melyik viselkedési formát mutatja (az 1-6 ábra szerinti stabilist, vagy az 1-7 ábra szerinti labilist).

ε

σ

σy

ϕ

P P

ϕ h

A A

Npl

ϕ0

Pmax

a) b) c)

L ϕ0

P


-13-

1.3 A nyomott rúd vizsgálata A nyomott rúd vizsgálata a mérnöki szerkezettervezés egyik alapkérdése. A tökéletes (rugalmas) nyomott rúd vizsgálata az elemi stabilitástan alapfeladata, míg a geometriailag és anyagilag tökéletlen (valós) nyomott rúd vizsgálata a méretezéselmélet egyik alapkérdése. 1.3.1 A rugalmas nyomott rúd kihajlása Vizsgáljuk meg az 1-9a ábrán látható, végein csuklósan megtámasztott nyomott rudat! A rúd anyaga tökéletesen rugalmas, az A keresztmetszeti területe és az EI hajlító merevsége állandó.

1-9. ábra. A rugalmas nyomott rúd mint stabilitáselméleti alapfeladat: a) nyomott rúd modellje;

b) kihajlott állapot; c) egyensúlyi útvonal. Helyezzük a P nyomóerő hatására kihajlott rudat az (x;z) koordináta rendszerbe. Legyen w=w(x) a kihajlott rúd alakját leíró függvény. Írjuk fel a rúd egy tetszőleges pontjára a külső és belső nyomatékok egyensúlyát:

0wP''wEI =⋅+⋅ (1-25)

Osszuk el az (1-25) egyenletet EI-vel, és vezessük be a EI

P2 =κ paramétert:

0w''v 2 =⋅+κ (1-26)

Ismert, hogy a (1-26) homogén és állandó együtthatójú differenciálegyenlet megoldása a valós számkörben a következő:

( )xcosB)xsin(Aw ⋅⋅+⋅⋅= κκ (1-27)

A megoldáshoz két peremfeltétel tartozik:

x=0 → w(0)=0 x=L → w(L)=0

Az első peremfeltételből B=0 adódik, amit behelyettesítve az (1-27)-be:

)xsin(Aw ⋅⋅= κ (1-28)

A második peremfeltételből az alábbi kifejezésre jutunk:

A ; EI L

P

P

z

x

x

w(x)

EI⋅w” P

w

P

Pcr

a) b) c)


-14-

( ) 0LsinA =⋅⋅ κ (1-29)

Az (1-29) egyenlet nem triviális megoldása:

( ) 0Lsin =⋅κ (1-30)

Az (1-30)-ból κ kifejezhető: ( )

,...2,1nL

n

nL

=

⋅=

⋅=⋅πκ

πκ

(1-31)

Mivel definíció szerint EIP 2 ⋅= κ , ezért a kihajlott alakhoz tartozó erő és a kihajlási alak az alábbiak szerint írható:

2

22

L

EInP

⋅⋅= π (1-32a)

L

xnsinAw

⋅⋅⋅= π (1-32b)

A kihajláshoz tartozó kritikus erőt és alakot az (1-32) kifejezésekből n=1 behelyettesítésével kapjuk meg:

2

2

cr L

EIP

⋅= π (1-33a)

L

xsinAw

⋅⋅= π (1-33b)

Az (1-33) kifejezések elemzése alapján a következő megállapításokat tehetjük:

� A rugalmas nyomott rúd egyensúlyi útvonala Pcr kritikus erőnél elágazik.

� A kihajlási alak tetszőleges amplitúdójú fél szinusz hullámmal írható le.

� Az elágazás szimmetrikus (1-9c ábrán szaggatott vonallal jelölve).

Pontosabb vizsgálattal kimutatható (IVÁNYI M. 1995, 41-41. oldal), hogy a rugalmas nyomott rúd elágazása - viszonylag kis elmozdulások tartományában - enyhén stabilis: a kritikuson túli állapotban növekvő amplitúdóhoz kis mértékben növekvő P nyomóerő tartozik (1-9c ábrán vastag vonallal jelölve). 1.3.2 A valós nyomott rúd teherbírása Tételezzük fel, hogy a tökéletlen nyomott rúd kezdeti görbesége és rugalmas-képlékeny anyagi viselkedése egyértelműen meghatározott. Az 1-10 ábrán vázolt valós modell elméleti megoldása régóta ismert (CHEN W. - ATSUTA T. 1977a). A modern számítógépes eszközök világában a feladat numerikus megoldása sem jelent különösen nehéz feladatot (SZALAI J. 2007). A megoldások ismeretében a következő megállapítások tehetők:

� A valós nyomott rúd vizsgálata minden esetben az 1-10c ábrán látható határpontos elágazáshoz vezet.

� Az egyensúlyi útvonalnak Pmax nyomóerőnél tetőpontja van, és Pmax<Pcr.

� A Pmax nyomóerőt a valós rúd teherbírásának (ellenállásának) nevezzük.


-15-

1-10. ábra. A valós nyomott rúd mint méretezéselméleti alapfeladat: a) nyomott rúd modellje;

b) keresztmetszet és anyagi viselkedés; c) határpontos egyensúlyi útvonal. A rugalmas nyomott rúd (1-9 ábra) és a valós nyomott rúd (1-10 ábra) stabilitásvesztési módját egyaránt rúdkihajlásnak nevezzük, annak ellenére, hogy a két viselkedési forma merőben eltér egymástól. Ugyanakkor a kihajlást okozó erőt az első esetben kritikus erőnek, a második esetben teherbírásnak (ellenállásnak) nevezzük. 1.3.3 A nyomott rúd tervezési ellenállása A mérnöki gyakorlat számára az 1-10 ábrán vázolt modell csak akkor jelent megoldást, ha a vizsgált rúd minden paramétere „pontosan” ismert. Az irodalomban ezt a modellt determinisztikus modellnek nevezik. Ilyen esettel állunk szemben például laboratóriumi kísérlet, vagy meglévő szerkezetek szakértői vizsgálata esetében, amikor lehetőség van a paraméterek megmérésére. A mérnöki tervezés állapotában a majdan megépülő szerkezet paraméterei legfeljebb csak becsülhetőek, de semmiképpen sem mondhatjuk, hogy pontosan ismertek. Ezért a modern szabványok a nyomott rúd modelljét valószínűségi alapon határozzák meg: a modell főbb paraméterei valószínűségi változók. Kezdetben magát a nyomott rúd teherbírását tekintették valószínűségi változónak, és számos laboratóriumi kísérletet végeztek kétcsuklós nyomott rudakon különböző szelvénytípusok és rúdkarcsúságok mellett. A kísérletek célja szinte minden esetben a teherbírás (Pmax) meghatározása volt. Később a költséges laboratóriumi kísérleteket felváltotta a modern számítógépi eszközökkel végrehajtott numerikus analízis (virtuális kísérletek). A témában a mai napig irányadó módszertant publikált Strating és Vos, akik valószínűségelméleti modell segítségével numerikus módszerrel reprodukálták az előzőleg kísérleti alapon meghatározott ECCS kihajlási görbéket (STRATING J. - VOS H. 1973). A kutatók a nyomott rúd teherbírását az alábbi formában határozták meg:

( )λσσ ,A,a,e,,fP 00rymax = (1-34)

Az (1-34) kifejezésében a modellparaméterek valószínűségi változók:

σy - acélanyag folyási szilárdsága σr - belső maradó feszültség paramétere e0 - nyomóerő kezdeti külpontossága

L

P

P

w

P

Pcr

a) b) c)

w0 σ

ε

Pmax


-16-

a0 - kezdeti görbeség (geometriai tökéletlenség) amplitúdója A - keresztmetszet területe λ - karcsúság

A valószínűségi változók eloszlását részben saját statisztikai felmérések, részben irodalmi adatok alapján vették fel. A virtuális kísérletsorozatot a Monte Carlo néven ismert matematikai módszerrel hajtották végre. A módszer lényege, hogy a kísérleti determinisztikus modellek paramétereit a valószínűségi eloszlások alapján véletlenszerűen vették fel, majd a modelleken numerikus analízissel határozták meg a Pmax teherbírást. Függetlenül attól, hogy a kísérleteket laboratóriumi próbatesteken vagy numerikus modelleken hajtjuk végre, rendelkezésünkre állt n számú mintához tartozó (λ - Pmax)i

értékpár. Adott λ karcsúság esetén a teherbírás karakterisztikus értékét az alábbiak szerint határozhatjuk meg:

skmP*max ⋅−= (1-35)

Az (1-35) kifejezésben m a teherbírás átlagértéke, s a szórásérték. A k értékét a

*maxmax PP ≤ (1-36)

feltétel 2.3%-os valószínűségével kalibrálva, valamint a teherbírás eloszlását Gauss típusú eloszlásnak tekintve, k=2.

1-11. ábra. A nyomott rúd tervezési ellenállása: a kihajlási görbék származtatása.

A nyomott rúd tervezési ellenállásának meghatározását szemlélteti a 1-11 ábra. A diszkrét módon megválasztott λ karcsúsághoz tartozó Pmax teherbírási eloszlás P*

max karakterisztikus értéke egy diszkrét pontot ad. Mivel a különböző karcsúsághoz tartozó diszkrét pontok halmaza nem alkalmas (kényelmetlen) a gyakorlati méretezésre, ezért bevezették a kihajlási görbe fogalmát. A kihajlási görbe parametrikus kifejezését az un. Ayrton-Perry formulára alapozták, és a görbe paraméterét a hibanégyzetek minimumának elve alapján kalibrálták az adott karakterisztikus teherbírási pontokra (MAQUOI R. és RONDAL J. 1978). Az Ayrton-Perry formula eredetét, és annak általánosított formáját egy későbbi fejezetben részletesen tárgyaljuk. A fentiekben bemutatott valószínűségi módszer gyakorlatban történő alkalmazásának határt szab a nagyszámú kísérlet szükségessége, valamint az a tény, hogy a modellparaméterek valószínűségi eloszlása sok esetben nem áll rendelkezésre megfelelő pontossággal. A nehézségek elkerülése érdekében a kutatók az utóbbi évtizedben a determinisztikus modellek alkalmazása felé fordultak. A kihajlási (illetve a kifordulási és az

λ

P*max

átlagérték (m) karakterisztikus érték

kihajlási görbe

i

L=λ

Pmax


-17-

interakciós) teherbírási görbéket numerikus analízissel határozták meg, oly módon, hogy a determinisztikus modellek paramétereit a karakterisztikus értékükkel vették fel (például kihajlás vizsgálat esetén az S235-ös acél folyáshatárát σy=235N/mm2-re, a kezdeti görbeség amplitúdóját a0=L/1000-re vették). Jelenleg az Eurocode 3 szabvány számos formulájának kalibrálása ezzel a módszerrel nyert tudásbázison alapszik (pl. BOISSONADE N. et al. 2001; GREINER R. 2002). Szakai József fiatal kutató munkájában a valószínűségelméleti módszer pontosságát ötvözte a determinisztikus módszer egyszerűségével (SZALAI J. 2007). 1.4 A rugalmas extrapoláció elve Az előzőekben láttuk, hogy a nyomott acélanyagú rúdszerkezeti elemek stabilitásvizsgálata elvben megoldottnak tekinthető. Gyakorlati szempontból azonban korántsem ez a helyzet. Az eddigi kutatások általában olyan alapmodellekre korlátozódtak, amelyeknek kezelhető számú változó paramétere volt (keresztmetszet, rúdhossz és anyagminőség). Amennyiben a vizsgálatba bevonjuk a terhelő erő eloszlását és/vagy a peremfeltételeket is, akkor olyan modellhalmazhoz jutunk, amelyre nem áll rendelkezésre kellő számú kísérleti adat. Ennek elsősorban „gazdasági” oka van, ugyanis mint láttuk, a módszertan rendelkezésre áll, de az iparág képtelen finanszírozni egy teljes körű vizsgálati programot. Ha kitekintünk a nyomott rúd feladata mögül, és vesszük például a hajlított gerenda kifordulását, akkor az előző megállapítás hatványozottan igaz (elég csak arra gondolni, hogy egy gerendát hányféle nyomatéki ábra terhelhet). És ha még azt is figyelembe vesszük, hogy a szerkezeti elem általában a globális szerkezet része, és az elem viselkedése interakcióban van a globális szerkezet viselkedésével, akkor könnyen beláthatjuk, hogy a rendelkezésre álló elméleti módszerek alapján a szerkezetek stabilitásvizsgálata gyakorlati szempontból nincs megoldva. A fent vázolt probléma áthidalására a méretezés gyakorlatában a rugalmas extrapoláció hipotézisét alkalmazzuk (a hipotézis egy olyan elv, amely megérzésen alapszik, ezért egzakt elméleti háttere nincs, de a sok évtizedes tapasztalat visszaigazolja az elv használhatóságát és hasznosságát). Maradjunk az acélanyagú nyomott rúd feladatánál, ahol a stabilitásvizsgálat - különböző keresztmetszeti kialakításokra és anyagminőségekre - kísérleti alapon megoldott, feltéve, hogy a modell csuklósan megtámasztott, állandó központos nyomóerővel terhelt, és állandó méretű keresztmetszettel rendelkezik (EUROCODE 3, 2005). Kérdés, hogyan méretezzük például a két végén befogott rudat? Ugyanis a méretezési formula hátteréül szolgáló kísérleti adatbázis nem, vagy csak alig tartalmaz erre az esetre vonatkozó adatokat (hiszen az említett gazdasági okok miatt a kísérletek túlnyomó részét csuklós rudakon végezték). A gyakorlati megoldást a rugalmas extrapoláció elve adja:

Tételezzük fel, hogy az A és B szerkezet stabilitásvesztési módja hasonló jellegű. Legyen ismert az A modell Pmax,A teherbírása a λi,A ideális karcsúság függvényében, azaz

ahol Amennyiben ismert a B modell λi,B ideális karcsúsága, akkor a Pmax,B teherbírás meghatározható az A modell teherbírása alapján: ahol

)(PP A,iAmax,Amax, λ=

A,crA,i P

AE ⋅⋅= πλ

)(PP B,iAmax,Bmax, λ=

B,crB,i P

AE ⋅⋅= πλ


-18-

Az elv gyakorlati alkalmazását az 1-12 ábra segítségével mutatjuk be. Az ábrán a kétcsuklós nyomott rúd (A jelű alapmodell) kísérleti és matematikai-statisztikai alapon meghatározott, szabványos teherbírási görbéjét (kihajlási görbe) látjuk, amelyről a λi,A

karcsúság függvényében a Pmax,A teherbírás leolvasható. Az ábra jobb oldalán látjuk a B modellt, amely abban tér el az A modelltől, hogy végein befogott. A rugalmas extrapoláció elve szerint, amennyiben rugalmasságtani alapon (tökéletes modellt feltételezve) meghatározzuk a B modell karcsúságát, akkor a Pmax,B teherbírás a λλλλi,B karcsúság függvényében az A modellre érvényes teherbírási görbéről olvasható le.

1-12. ábra. A Nnyomott rúd tervezési ellenállásának általánosítása a rugalmas extrapoláció elve alapján.

A rugalmas extrapoláció elvét általánosíthatjuk, és kimondhatjuk, hogy a méretezési gyakorlatban az alapmodellekre (nyomott rúd, hajlított gerenda, nyomott lemez) a kísérleti és matematikai-statisztikai alapon meghatározott teherbírási görbék alkalmazhatóak az alapmodellektől eltérő kialakítású modellekre is (például eltérő teher, peremfeltétel vagy keresztmetszeti kialakítás esetén), amennyiben a karcsúságot rugalmasságtani alapon határozzuk meg. Különböző acélszerkezeti feladatok esetében a rugalmasságtani alapon számított karcsúságok redukált értékei az alábbiak (EUROCODE 3, 2005):

� Nyomott rúd kihajlása: cr

y

N

fA⋅=λ

� Hajlított gerenda kifordulása: cr

yLT

M

fW ⋅=λ

� Nyomott-hajlított elem térbeli stabilitásvesztése: cr

k,ultop

ααλ =

ahol

yy

Ed.y

y

Edk,ult

fW

M

fA

N1

⋅+

⋅

=α

� Nyomott lemez horpadása: cr

k,ultp

σαλ =

λi

Pmax A

P

P

λi,A

P

P

B

λi,B

λi,A

Pmax,A

λλλλi,B

Pmax,B


-19-

ahol 2EdEd,xEd,x

2Ed,z

2Ed,x

yk,ult

3

f

τσσσσα

⋅+⋅−+=

Láthatjuk, hogy a stabilitásvizsgálatok gyakorlati végrehajtásában a kritikus erőnek (Ncr; Mcr), a kritikus tehernek (αcr) és a kritikus feszültségnek (σcr) fontos szerepe van. 1.5 Összefoglalás A stabilitáselméleti alapfogalmak bevezetése érdekében merev rudakból és lineárisan rugalmas támaszrugókból összeállított elvi szerkezeteket (modelleket) vizsgáltunk. A geometriailag és anyagilag tökéletes modelleken bemutattuk az elemi egyensúly elágazási formákat (stabilis, labilis, aszimmetrikus és indifferens). Megállapítottuk, hogy az összes elágazási formánál egyértelműen létezik a Pcr kritikus er ő. Megvizsgáltunk azt az esetet is, ahol a kezdetben geometriailag tökéletes modellen a teher folyamatosan növekvő elmozdulást okoz, majd Pmax erőnél bekövetkezik az átpattanás. Az ilyen stabilitásvesztési formát határpontos elágazásnak neveztük, és megállapítottuk, hogy ez a viselkedési forma átmenetet képez a tökéletes modellek és a tökéletlen modellek viselkedése között. Az elvi szerkezeteken kezdeti geometriai tökéletlenséget alkalmaztunk, és meghatároztuk az egyensúlyi útvonalakat. A következő megállapításokra jutottunk:

� a stabilis elágazást mutató tökéletes modellek nem érzékenyek a kezdeti geometriai tökéletlenségre (az egyensúlyi útvonalnak nincs tetőpontja);

� a labilis (és indifferens) elágazást mutató tökéletes modellek érzékenyek a kezdeti geometriai tökéletlenségre (az egyensúlyi útvonalnak Pmax-nál tetőpontja van).

Megvizsgáltuk az anyagi tökéletlenség hatását is, és megállapítottuk, hogy az egyensúlyi útvonalnak tetőpontja van: a modell érzékeny a képlékenység hatására, függetlenül attól, hogy a megfelelő tökéletes modell melyik stabilitásvesztési formát mutatja. Megvizsgáltuk az acélanyagú nyomott rúd problémáját különböző feltevések alapján. A tökéletesen rugalmas rúd esetén levezettük a Pcr kritikus (vagy PE Euler-féle) erő képletét, és szakirodalmi ismeretek alapján megállapítottuk, hogy az egyensúlyi elágazás enyhén stabilis. Bevezettük a determinisztikus modell fogalmát, ahol az anyagi és geometriai tökéletlenségek pontosan ismertek. Megállapítottuk, hogy a determinisztikus modell viselkedése határpontos elágazást mutat, ahol az egyensúlyi útvonal Pmax tetőpontja a modell teherbírását adja meg. Azt is kimondtuk, hogy ez a viselkedési forma lényegében független attól, hogy a tökéletes modell stabilis vagy labilis viselkedést mutat. Megállapítottuk, hogy a tervezési gyakorlat számára a determinisztikus modell nem jelent „pontos” megoldást, mivel a tervezendő elem paraméterei valószínűségi változók. Pontosabb eredmény érdekében bevezettük a valószínűségi modell fogalmát. Bemutattunk egy eljárást, amely alapján kísérleti és matematikai-statisztikai módszerek segítségével meghatározható az acélanyagú nyomott rúd várható teherbírása (ellenállása). Megállapítottuk, hogy a gyakorlati problémák olyan sokrétűek, hogy a stabilitásvizsgálat tisztán elméleti alapon nem kezelhető. Bevezettük a rugalmas extrapoláció elvét, amely gyakorlati megoldást ad a problémára. Most fel kell tennünk a kérdést, hogy hol húzzuk meg a mérnöki stabilitáselmélet (és egyben jegyzetünk) témakörének határát? Kézenfekvő határvonalat jelenthet az anyagi viselkedés jellege: tökéletesen rugalmas anyagot feltételezve az elemi stabilitáselmélet egzakt világában maradunk, míg az anyagi tökéletlenség (képlékenység) figyelembe vételével átlépünk a méretezéselmélet gyakorlati világába. Megmutattuk, hogy az elemi stabilitáselmélet nem öncélú tudományág: a gyakorlati világ szabványos teherbírási


-20-

formuláiban jelen vannak a stabilitáselmélet elvont világának eredményei. Jegyzetünk az elemi stabilitáselmélet azon klasszikus eredményeit kívánja bemutatni, amelyekre a méretezéselméleti formulák alapoznak. Kiemelt figyelmet fordítunk a geometriai tökéletlenségre nem érzékeny szerkezetek (rúdszerkezetek, lemezek) kritikus terhének és stabilitásvesztési módjának meghatározására, de elemezzük a geometriai tökéletlenségre érzékeny szerkezetek (héjak) kritikuson túli viselkedését is.


-21-

2. Rúdszerkezetek síkbeli viselkedése 2.1 A nyomott rúdelem merevsége 2.1.1 A mereven befogott rúdelem 2.1.1.1 Az elfordítási merevség Határozzuk meg a 2-1a ábrán látható mereven befogott nyomott-hajlított rugalmas rúdelem elfordítási merevségét, ha a rúdelem keresztmetszete (A, EI) és a rúdelemre ható P nyomóerő állandó. A rúdelem két végét jelöljük j és k betűkkel. Legyen a rúd j végének elfordítása (befogással együtt) θj. Az elfordításhoz az állandó P nyomóerő mellett Mj és Mk rúdvégi nyomaték és V nyíróerő tartozik. Határozzuk meg a θj rúdvégi elfordításhoz tartozó Mj és Mk nyomatékokat és a V nyíróerőt!

2-1. ábra. A nyomott-hajlított rúdelem elfordítási merevségének meghatározása:

a) modell; b) egyensúlyi feltétel.

A feladat megoldása érdekében helyezzük a rúdelemet az (x;z) koordináta rendszerbe. Legyen w=w(x) a meggörbült rúd z irányú elmozdulását (görbe alakját) leíró függvény. Írjuk fel a rúdelem egyensúlyi egyenletét az x koordináta által meghatározott pontra (2-1b ábra):

0xVMwP''wEI j =⋅−+⋅+⋅ (2-1)

A (2-1) egyenletben EI⋅w” a rúd görbületéből származó belső nyomaték. A V nyíróerő ismert, mert kifejezhető a külső nyomatéki egyensúlyi feltételből:

L

MMV kj +

= (2-2)

Osszuk el EI-vel a (2-1) egyenletet, használjuk fel a (2-2) kifejezést, és vezessük be a

EI

P2 =κ paramétert:

EI

Mx

L

MM

EI

1w''w jkj2 −⋅

+⋅=⋅+κ (2-3)

k θj

Mj

Mk

L

EI

P P x

j z

b)

x

z

a)

x

w

Mj EI⋅w”

V V

V


-22-

A (2-3) hiányos inhomogén differenciálegyenlet megoldása ismert:

( ) ( )P

Mx

L

MM

P

1xcosBxsinAw ABBAAB −⋅+⋅+⋅⋅+⋅⋅= κκ (2-4)

A (2-4) egyenletben az A és B állandók, valamint az Mj és Mk rúdvégi nyomatékok az ismeretlenek. A négy ismeretlen a következő négy független peremfeltételből meghatározható:

a) x=0 → w(0)=0

Behelyettesítés és rendezés után:

P

MB j= (2-5a)

b) x=L → w(L)=0


( ) ( )( )( ) ( )Lsin

1

P

M

Lsin

Lcos

P

MA

MP

1Lcos

P

MLsinA0

kk

kj

⋅⋅−

⋅⋅⋅−=

⋅+⋅+⋅⋅=

κκκ

κκ (2-5b)

c) x=L → w’(L)=0 (zérus rúdvégi lefordulás)


( ) ( ) 0L

MM

P

1LsinBLcosA)L('w kj =

+⋅+⋅⋅−⋅⋅= κκκκ

Az A és B állandó a (2-5a) és (2-5b) alapján ismert. Legyen c a rúdvégi nyomatékok aránya:

( )

( ) ( )ααααα

⋅⋅⋅−⋅⋅−⋅==

2cos22sin

2sin2

M

Mc

j

k (2-5c)

ahol

2

2

E

E

L

EIP

P

P22

L

⋅=

=

⋅=⋅=

π

ρ

ρπκα

d) x=0 → w’(0)=θj (ismert rúdvégi lefordulás)


jkj

L

MM

P

1A)0('w θκ =

+⋅+⋅=

Fejezzük ki az Mj rúdvégi nyomatékot a rúdvégi elfordítás függvényében:

jj ksM θ⋅⋅=

ahol ( )( )

ααααα

θ −⋅⋅⋅−⋅=

⋅=

tan

2cot21

k

Ms

j

j (2-5d)

L

EIk =


-23-

A (2-5a-d) képletek alapján a következő megállapításokat tehetjük:

� A mereven befogott rúdelem j végének θj elfordításához állandó P nyomóerő mellett az alábbi rúdvégi nyomatékra van szükség (2-1a ábra):

jj ksM θ⋅⋅=

A kifejezésben s az elfordítási stabilitási függvény:

( )( )

ααααα

−⋅⋅⋅−⋅=

tan

2cot21s

Az α paraméter kifejezhető a ρ fajlagos nyomóerővel:

2

2

E

E

L

EIP

P

P2

⋅=

=

⋅=

π

ρ

ρπα

Továbbá: L

EIk =

� A rúd befogott végén az alábbi rúdvégi nyomaték keletkezik:

jk kcsM θ⋅⋅⋅=

A kifejezésben c a nyomaték átviteli stabilitási függvény:

( )

( ) ( )ααααα

⋅⋅⋅−⋅⋅−⋅=

2cos22sin

2sin2c

A fenti összefüggések megértését az alábbi észrevételek alapos átgondolása nagymértékben megkönnyítheti:

� Ha P=0, akkor s=4 és c=0,5, ami az elemi statika (elsőrendű elmélet) ismert összefüggéseire vezet:

j2

jk

jj

L

EI6V

L

EI2M

L

EI4M

θ

θ

θ

⋅⋅=

⋅⋅=

⋅⋅=

� Ha ρ=2,042, akkor s=0 és c→∞, azaz a rúdelem kritikus állapotban van, ahol a kritikus erő:

2

2

Ecr L

EIPP

⋅⋅=⋅= πρρ

� A ρ fajlagos nyomóerő és a υ kihajlási hossz között az alábbi kapcsolat áll fenn:

ρ

υ 1=

Ha ρ=2,042 (lásd az előző pontot), akkor υ=0,7, ami az egyik végén mereven befogott, a másik végén szabadon elforduló rúdelem ismert kihajlási hossza.


-24-

Amennyiben a P erő húzóerő, a fenti gondolatmenethez hasonlóan levezethetjük az s és c stabilitási függvények megfelelő képleteit, amelyekben az α paraméter hiperbolikus függvényei szerepelnek (HORN M.R. - MERCHANT W. 1965). A mérnöki szemlélet oldaláról elemezve az eredményeket kimondhatjuk, hogy a rúdelemre működő nyomóerő csökkenti, a húzóerő pedig növeli a rúdvégi elfordítási merevséget.

2-1 Példa Határozzuk meg az alábbi ábrán vázolt rúdszerkezet Pcr kritikus terhét! A rúdelemek végei befogottak, a szerkezet sarokpontjában a rúdvégek mereven kapcsolódnak egymáshoz (merev keretsarok).

Használjuk a mereven befogott rúdelem előzőekben meghatározott elfordítási merevségét! Tételezzük fel, hogy a rudak összenyomódása elhanyagolható, és így a keretsarok csak elfordulni tud. A két rúd elfordítási merevsége a keretsarokban összegződik, így a keretsarok elfordításához szükséges Mext külső nyomaték az alábbi formában írható fel: θ⋅⋅+=+= k)ss(MMM 212,j1,jext

Kritikus állapotban a keretsarok elfordításához Mext→ 0 nyomatékra van szükség, ezért

0k)ss( 21 =⋅⋅+ θ

Mivel a modell kihajlott állapotában θ ≠0, ezért

0ss 21 =+

Az 1 jelű rúdban a kihajlás pillanatában nem ébred normálerő, ezért s1=4, és így a kritikus állapot feltétele:

4s2 −=

A 2 jelű rúdban a kihajlás pillanatában a nyomóerő egyenlő a külső P erővel, ezért keressük a P erő azon értékét, amelynél a (2-5d) szerinti s stabilitásfüggvény -4 értéket vesz fel: ρcr=2,877 → s=-4

A 2 jelű rúd Euler-féle kritikus ereje:

kN2135L

IEP

m10708,3I ;m

kN101,2E ; m6L

2

2

E

452

8

=⋅⋅=

⋅=⋅== −

π

A kritikus erő: kN6142PP Ecrcr =⋅= ρ

Az ábra a szerkezet kihajlott alakját mutatja.

L

L

Keresztmetszet: HEA 200 Anyagminősség: S235 Rúdhossz: L=6,0 m

Pcr=?

1

2


-25-

2.1.1.2 Eltolási merevség Határozzuk meg a 2-2a ábrán látható mereven befogott nyomott-hajlított rugalmas rúdelem eltolási (kilengési) merevégét. Jelölje δ a j rúdvég z irányú elmozdulását, miközben a rúdvég nem fordul el. A feladat megoldásához nem szükséges felírni az egyensúlyi differenciálegyenletet, mert viszonylag kis elmozdulásokat feltételezve (sinα≅α; cosα≅1) a probléma visszavezethető a már ismert elfordulási merevségre (ld. a 2.1.1.1 szakaszt). A 2-2b ábra szerint az eltolt végű rúdelem úgy tekinthető, mint a két végén ϕ=δ/L szöggel elfordított rúdelem, ahol a rúdvégi erők megváltozását elhanyagoljuk.

2-2. ábra. A nyomott-hajlított rúdelem kilengési merevségének meghatározása:

a) modell; b) közelítő feltevés.

A megoldás érdekében írjuk fel a globális nyomatéki egyensúlyi egyenletet a j rúdvégre:

0PLVMM kj =⋅−⋅−+ δ (2-6)

Írjuk fel a rúdvégi nyomatékokat a 2-2b ábra és a 2.1.1.1 szakasz alapján:

jk

kjj

MM

kcsksM

=

⋅⋅⋅+⋅⋅= θθ (2-7)

Mivel θj=θk=δ/L, ezért

( ) δ⋅⋅+⋅==L

kc1sMM kj (2-8)

A V nyíróerőt fejezzük ki a (2-6) egyensúlyi egyenletből:

LP

L

MMV kj δ−

+= (2-9)

Használjuk fel, hogy

2

2

E L

EIPP

⋅⋅=⋅= πρρ (2-10)

és így a (2-9) az alábbi alakban írható:

( )[ ] δρπ ⋅⋅⋅−+⋅⋅= 22

L

kc1s2V (2-11)

k ϕ =δ/L

Mj

Mk

L

EI

P

P x

j z

b)

a)

V

V

δ

θj=ϕ

θk=ϕ

P P

Mj Mk V

V


-26-

Vezessük be az alábbi stabilitási függvényt: ( )

( ) ρπ ⋅−+⋅⋅+⋅⋅=

2c1s2

c1s2m (2-12)

Fejezzük ki a V nyíróerőt a (2-12) függvény segítségével:

( ) δ⋅⋅+⋅⋅= 2L

k

m

c1s2V (2-13)

A (2-8) és (2-13) képletek alapján a következő megállapításokat tehetjük:

� A mereven befogott rúdelem végének δ eltolásához állandó P nyomóerő mellett az alábbi rúdvégi nyomatékok tartoznak (2-2a ábra):

( ) δ⋅⋅+⋅==L

kc1sMM kj (2-14)

A kifejezésben s és c függvények megfelelnek a 2-1a ábra szerinti feladatnak.

� A rúdvég δ eltolásához az alábbi V nyíróerő tarozik:

( ) δ⋅⋅+⋅⋅= 2L

k

m

c1s2V (2-15)

A kifejezésben m stabilitási függvény az alábbi alakban írható: ( )

( ) ρπ ⋅−+⋅⋅+⋅⋅=

2c1s2

c1s2m (2-16)

A fenti összefüggések megértését az alábbi észrevételek alapos átgondolása nagymértékben megkönnyítheti: � Ha P=0, akkor s=4, c=0.5 és m=1, ami az elemi statika (elsőrendű elmélet) ismert

összefüggéseire vezet:

δ

δ

⋅⋅=

⋅⋅==

3

2kj

L

EI12V

L

EI6MM

� Ha ρ=1,0, akkor s=2,467, c=1, m→∞ és a fajlagos eltolási merevség zérussá válik, ami a rúdelem kritikus állapotát jelenti. A kritikus nyomóerő:

( )

0m

c1s →+⋅ és 2

2

cr L

EIP

⋅= π

� A ρ fajlagos nyomóerő és a υ kihajlási hossz közötti ismert összefüggés alapján a mereven befogott kilengő rúdelem kihajlási hossza:

0,11 ==ρ

υ


-27-

2-2 Példa Határozzuk meg az alábbi ábrán vázolt rúdszerkezet Pcr kritikus terhét! A függőleges oszlopok alsó végei befogottak, a felső végeket végtelen merev gerenda köti össze. Az oszlopok mereven kötnek be a gerendába.

Mivel a két befogott oszlopot a gerenda mereven köti össze, a két oszlop vízszintes irányban együtt tolódik el. Tételezzük fel, hogy az oszlopok összenyomódása elhanyagolható. Használjuk fel a rúdelem előzőekben meghatározott eltolási merevségét. A gerenda vízszintes δ eltolásához az alábbi Hext külső erőre van szükség:

( ) ( ) δ⋅

⋅+⋅⋅+⋅+⋅⋅=+= 2

3

3

3

3322

2

2

2232ext L

k

m

c1s2

L

k

m

c1s2VVH

Kritikus állapotban az eltoláshoz Hext→ 0 erőre van szükség, így

( ) ( )

⋅+⋅++⋅8

m

c1s

m

c1s

3

33

2

22 =0

A 2 jelű oszlopban a kihajlás pillanatában nem ébred nyomóerő, ezért s2=4, c2=0,5 és m2=1, és így a kritikus állapot feltétele:

( )

75,0m

c1s

3

33 −=+⋅

Mivel a 3 jelű oszlopban a kihajlás pillanatában a nyomóerő egyenlő a külső P erővel, ezért keressük a P erő azon értékét, amelynél teljesül a fenti egyenlet. A megoldás:

ρcr=1,123

A 3 jelű oszlop Euler-féle kritikus ereje:

kN540.8L

IEP

m10708,3I ;m

kN101,2E ; m3L

2

2

E

452

8

=⋅⋅=

⋅=⋅== −

π

A kritikus erő: kN590.9PP Ecrcr =⋅= ρ


L

L

Keresztmetszet: HEA 200 Anyagminősség: S235 Rúdhossz: L=6,0 m

Pcr=?

1

2

L/2 3


-28-

2.2 Különleges kialakítású rúdelemek merevsége A 2.1 szakaszban mereven befogott rúdelemek merevségét határoztuk meg másodrendű elmélet alapján. Az irodalomból számos olyan eredmény ismert, amely a stabilitásfüggvényeket különleges peremfeltételekre, terhekre és rúdmentén változó keresztmetszetre terjeszti ki. Ebben a szakaszban ezekből a különleges esetekből mutatunk be néhányat. Hangsúlyozzuk, hogy a modern számítógépek és végeselemes analízis programok elterjedésével ezen ismeretek gyakorlati jelentősége nagyban csökkent, de didaktikai szempontból fontosnak tartjuk a rövid ismertetésüket. Az itt megismert gondolatok, módszertani meggondolások jelentősen segíthetik a mérnöki gondolkodás és a statikusi készség fejlődését. 2.2.1 A csuklós végű rúdelem merevsége Először határozzuk meg a 2-3 ábrán látható csuklós végű nyomott-hajlított rugalmas rúdelem elfordítási merevségét, ha a rúdelem keresztmetszete (A, EI) és a rúdelemre ható P nyomóerő állandó. Fordítsuk el a rúd j végét (befogással együtt) θj -vel. Az elfordításhoz állandó P nyomóerő mellett Mj rúdvégi nyomaték és V nyíróerő tartozik. Határozzuk meg a θj

rúdvégi elfordításhoz tatozó Mj nyomatékot és V nyíróerőt!

2-3. ábra. A csuklós végű nyomott-hajlított rúdelem elfordítási merevségének meghatározása.

A feladat megoldásához nem szükséges a 2-3 ábrán vázolt modellre felírni az egyensúlyi differenciálegyenletet, ahogy azt a 2-1a ábrán vázolt esetben tettük. Elegendő felhasználni az eddig levezetett stabilitási függvényeket. Írjuk fel a rúdvégi nyomatékokat az eddigi ismereteink alapján:

kjj kcsksM θθ ⋅⋅⋅+⋅⋅= (2-17)

0kskcsM kjk =⋅⋅+⋅⋅⋅= θθ (2-18)

A (2-18) egyenletből az alábbi összefüggést kapjuk:

jk c θθ ⋅−= (2-19)

A (2-19) kifejezést használjuk fel a (2-17) egyenletben:

( ) jj2

j2

jj k"skc1skcsksM θθθθ ⋅⋅=⋅⋅−⋅=⋅⋅⋅−⋅⋅= (2-20)

A (2-20) alapján a csuklós végű rúdelem elfordítási merevségének fajlagos értékét megadó stabilitásfüggvényhez jutunk:

( )2c1s"s −⋅= (2-21) A V nyíróerő a globális egyensúlyi feltételből adódik:

k

θj Mj

L

EI P P x

j z

V V

θk


-29-

jj

L

k"s

L

MV θ⋅⋅== (2-22)

Most határozzuk meg a csuklós végű rúdelem eltolási merevségét (2-4 ábra).

2-4. ábra. A csuklós végű nyomott-hajlított rúdelem eltolási merevségének meghatározása.

Írjuk fel a rúdvégi nyomatékokat az eddigi ismereteink alapján:

δϕ ⋅⋅=⋅⋅=

=

2j

k

L

EI''sk''sM

0M (2-23)

A V nyíróerő a rúdelem globális nyomatéki egyensúlyából kifejezhető:

0PLVM j =⋅−⋅− δ

L

1)PM(V j ⋅⋅−= δ (2-24)

Mivel 2

2

E L

EIPP

⋅⋅=⋅= πρρ , ezért

( ) δρπδπρδ ⋅⋅⋅−=⋅⋅⋅−⋅⋅= 22

3

2

3 L

k''s

L

EI

L

EI"sV (2-25)

2.2.2 Egyéb különleges esetek Vizsgáljuk a 2-5 ábrán látható rugalmasan befogott nyomott-hajlított rugalmas rúdelem merevségét. A rúdelem végein képzeljünk el egy-egy lineárisan rugalmas nyomatéki csuklót. A csuklók a rúdelem részei, a rúdelem csomópontjai a „csuklókon túl” helyezkednek el.

2-5. ábra. A rugalmasan befogott nyomott-hajlított rúdelem merevségének meghatározása.

θj’

θk’ P P

Mj Mk V

V

θj

θk

j k

Cj

Ck

k Mj

L

EI

P

P x

j z

V

V δ

ϕ=δ/L


-30-

Legyen θj és θk a j és a k rúdvégek elfordítása. A rugalmas csuklókban létrejövő relatív elfordulás miatt a csuklók mögötti rúdvégek elfordulása θj’ és θk’. A csuklók mögötti rúdvégek nyomatékai felírhatóak az eddig megismert stabilitási függvényekkel és merevségi kifejezésekkel:

'k

'jj kcsksM θθ ⋅⋅⋅+⋅⋅= (2-26)

'k

'jk kskcsM θθ ⋅⋅+⋅⋅⋅= (2-27)

A (2-26) és (2-27) rúdvégi nyomatékok felírhatóak a csuklók rugalmas karakterisztikájával is:

( )'jjjj kcM θθ −⋅⋅= (2-28)

( )'kkkk kcM θθ −⋅⋅= (2-29)

A (2-28) és (2-29) kifejezésekben cj=Cj/k és ck=Ck/k, ahol Cj és Ck a [kNm/rad] dimenziójú rugóállandók. Az (2-26)-(2-29) egyenletrendszerből a rúdvégi nyomatékok kifejezhetőek:

k'

j'jj k)cs(ksM θθ ⋅⋅⋅+⋅⋅= (2-30)

k'kj

'k ksk)cs(M θθ ⋅⋅+⋅⋅⋅= (2-31)

A (2-30) és (2-31) kifejezésekben a vesszővel jelzett módosított stabilitásfüggvények a levezetés mellőzésével a következők:

( )

−⋅+⋅=k

22'j c

c1sss β (2-32)

( )

−⋅+⋅=j

22'k c

c1sss β (2-33)

( ) ( )cscs ' ⋅⋅=⋅ β (2-34)

A fenti kifejezésekben a β paraméter a következő:

( )kj

22

kj cc

c1s

c

1

c

1s1

1

⋅−⋅+

+⋅+

=β (2-35)

A szakirodalomból további különleges esetekre vonatkozó megoldások is ismertek. Eredeti angol nyelvű szakirodalomnak tekinthető Horn és Merchant szerzőpáros híres könyve (HORN M.R. – MERCHANT W. 1965). Több magyar nyelvű szakirodalom is összefoglalja az ismert eseteket (pl. IVÁNYI M. 1995; HALÁSZ O. - IVÁNYI M. 2001). A legfontosabb különleges esetek a következők:

� Merev végű rúdelem: a modell figyelembe veszi a rúdelem gj és gk hosszú végeinek

tökéletes merevségét, ami például csomólemez vagy kiékelés modellezését teszi lehetővé.

� Képlékeny csomópontú rúdelem: a modell figyelembe veszi a rúdelem végein

esetlegesen kialakuló merev-képlékeny csuklót; a modellnek a képlékeny alapú tervezésnél alkalmazott eljárásoknál lehet jelentősége (például ilyen a földrengésvizsgálatnál alkalmazott „push-over” eljárás).

gj gk L


-31-

� Keresztirányú megoszló teherrel terhelt rúdelem: a modellre levezetett

stabilitásfüggvények alkalmazása esetén nem kell a rúdelemet részekre bontani, és így nem növekszik az ismeretlenek (szabadságfokok) száma.

� Változó keresztmetszetű rúdelem: a hajlító nyomaték változását követő változó

gerincmagasságú rúdelem alkalmazásával elkerülhető a részekre (pl. állandó magasságú szegmensekre) bontás, ami jelentősen csökkenti a modell szabadságfokát.

A különleges esetekre levezetett megoldások elsősorban a kézi számítás pontosságának növelését, illetve a kézi és gépi számítás kapacitás igényének minimalizálását szolgálták. A különleges esetek alkalmazásával a szerkezeti modellek szabadságfoka (ismeretlen elmozdulások száma) jelentősen csökkenthető volt. A mai korszerű számítógépek és programok alkalmazásával a szabadságfokok számának kényszerű csökkentése már nem mérvadó. Ugyanakkor, a fenti modelleknek a kézi ellenőrző számításokban továbbra is jelentős szerepe lehet.

2-3 Példa Határozzuk meg a 2-1 példában látható modell Pcr kritikus terhét, ha a rúdelemek végei rugalmasan befogottak!

A két rúd elfordítási merevsége a keretsarokban összegződik, így a keretsarok elfordításához szükséges Mext külső nyomaték az alábbi formában írható fel:

θ⋅⋅+=+= k)ss(MMM '2

'12,j1,jext

Kritikus állapotban a keretsarok elfordításához Mext→ 0 nyomatékra van szükség, ezért

0k)ss( '2

'1 =⋅⋅+ θ

L

L

Pcr=?

1

2

C

C

gj gk L

Keresztmetszet: HEA 200 Anyagminősség: S235 Rúdhossz: L=6,0 m Rugalmas befogás: C=5000 kN⋅m/rad


-32-

A modell kihajlott állapotában θ ≠0, ezért

0ss '2

'1 =+

Az 1 jelű rúdban a kihajlás pillanatában nem ébred normálerő, ezért s=4 és c=0,5. A keretsarokba a rúdvég mereven köt be, ezért C=∞ . A (2-29) szerint s’1=3,491, így a kritikus állapot feltétele:

491,3s'2 −=

A 2 jelű rúdban a kihajlás pillanatában a nyomóerő egyenlő a külső P erővel, ezért keressük a P erő azon értékét, amelynél a (2-29) szerinti s’ stabilitásfüggvény -3,491 értéket vesz fel:

ρcr=2,059 → s’=-3,491

A 2 jelű rúd Euler-féle kritikus ereje:

kN2135L

IEP

m10708,3I ;m

kN101,2E ; m6L

2

2

E

452

8

=⋅⋅=

⋅=⋅== −

π

A kritikus erő: kN4396PP Ecrcr =⋅= ρ


A kihajlási alakot érdemes összevetni a 2-1 Példa esetén kapott alakkal, ahol a rudak mereven befogottak voltak. 2.3 Az összetett szerkezetek stabilitásvizsgálata A stabilitásfüggvényekkel összetett szerkezetek is vizsgálhatóak. Ehhez célszerű az elmozdulás-módszernek nevezett mechanikai módszer és a mátrix-módszernek nevezett matematikai módszer kombinációjából álló eljárás alkalmazása. Az eljárásra a továbbiakban az elmozdulás-módszer megnevezést alkalmazzuk. Az elmozdulás-módszer alkalmazásának lényege, hogy a szerkezetet rúdelemekre bontjuk, ahol az egyes rúdelemek merevsége ismert. Például síkbeli szerkezeti modellek esetében alkalmazhatjuk a 2.1 és 2.2 szakaszokban meghatározott stabilitásfüggvényeket, de alkalmazhatunk más elven alapuló síkbeli vagy térbeli rúd végeselemeket is. A továbbiakban a stabilitásfüggvényekkel leírt rúdelemek alkalmazására szorítkozunk. 2.3.1 A szabadságfokok meghatározása Amennyiben a rúdelemekre osztott szerkezet minden egyes rúdelme megfelel egy olyan rúdelemnek, amelynek merevsége ismert, akkor meghatározhatjuk a modell szabadságfokát (azaz az ismeretlen elmozdulásokat). Az elmozdulások meghatározásánál alapvetően két módszert követhetünk:

� „gépi” módszer; � „kézi” módszer.

A továbbiakban csak a „kézi” módszerrel foglalkozunk, mert vizsgálatainkat csak egyszerű, kézzel is végrehajtható számításokra kívánjuk korlátozni. Induljunk ki abból, hogy a szerkezeti modell i jelű pontjának a globális (X;Z) síkban bekövetkező elmozdulását a 2-6 ábra szerint három független elmozdulás komponens (szabadságfok; angolul: „degrees of freedom”, a továbbiakban DOF) írja le. Ezek rendre az ui és wi globális irányú elmozdulások, és a θi elfordulás (DOF=3). Amennyiben a modell csomópontjainak száma n, akkor a modell


-33-

szabadságfokainak száma ∑DOF=3⋅n. Ez azt jelenti, hogy még a legegyszerűbb modellek esetén is jelentős számú szabadságfokkal kellene dolgoznunk. A szabadságfokok száma általában jelentősen csökkenthető, ha élünk az alábbi lehetőségekkel:

� a rúdelemek összenyomódásának elhanyagolásából következően a megfelelő szabadságfokok összevonása;

� zérus elmozdulású szabadságfokok kizárása; � szimmetriából következően a megfelelő szabadságfokok összevonása.

2-6. ábra. Csomópont szabadságfokai (DOF=3).

A 2-7 ábra néhány szerkezeti modell „kézi” számításhoz felvehető szabadságfokait mutatja. A szabadságfokok meghatározásánál éltünk a fent felsorolt egyszerűsítési lehetőségekkel.

2-6. ábra. Példák a „kézi” számításhoz felvehető szabadságfokok meghatározására.

X

Z

ui

i

wi

θi

θ

DOF=1 DOF=1 DOF=2 DOF=3

θ θ u 1 2

θ1 θ2 u

1 2 θ1 θ2 u

DOF=3 DOF=6 DOF=4

1 2 θ1 θ2 u12

3 4 θ1 θ2 u34

1 2 3 θ1 θ2 u12 θ3


-34-

2.3.2 A globális egyensúlyi egyenletrendszer összeállítása Az elmozdulás-módszer alkalmazása általánosságban az alábbi alakú globális egyensúlyi mátrixegyenletre vezet:

FUK =× (2-36)

A (2-36) egyenletben U az ismeretlen elmozdulások vektora, amelynek mérete megegyezik a modell szabadságfokainak számával (∑DOF), F a tehervektor, amelynek mérete azonos az U vektor méretével, továbbá K a merevségi mátrix. A merevségi mátrix négyzetes, és mérete szintén megegyezik a szabadságfokok számával. A merevségi mátrix elemeit a megfelelő rúdelemek merevségeiből állítjuk össze. A (2-33) mátrixegyenlet minden sora egy egyensúlyi egyenletet jelent, ahol az adott egyenlet mechanikai tartalmát az U elmozdulás vektor megfelelő elemének mechanikai tartalma határozza meg. Amennyiben az elmozdulás eltolódás (u), akkor az egyenlet erőegyensúlyi egyenlet, amennyiben az elmozdulás elfordulás, akkor az egyenlet nyomatéki egyensúlyi egyenlet. A (2-36) egyensúlyi mátrixegyenlet felírását egy konkrét példán keresztül mutatjuk be. Tekintsük a 2-7 ábrán látható szerkezeti modellt, ahol feltüntettük a 2.3.1 szakasz alapján felvett szabadságfokokat.

2-7. ábra. A három szabadságfokú rúdszerkezeti modell.

Először állítsuk össze az U elmozdulás vektort. Ehhez rendezzük sorba a három szabadságfokoknak megfelelő ismeretlen elmozdulás komponenst (a sorrend tetszőleges):

U=

u2

1

θθ

(2-37)

A (2-37) elmozdulás vektornak megfelelő tehervektor:

F=

===

HF

0M

0M

u

2

1

(2-38)

A (2-38) tehervektorban M1 és M2 az 1 és a 2 jelű csomópontokban ható (jelen esetben zérus értékű) külső nyomatékok, Fu az u elmozdulás komponens irányában ható külső erő, jelen esetben H. Mivel a modell szabadságfokai között nem szerepelnek a csomópontok függőleges elmozdulásai (az oszlopok összenyomódás elhanyagolható), a P1 és P2 erők nem szerepelnek a tehervektorban.

θ1 θ2 u

1

2 3

DOF=3

1 2

P1 P2=α⋅P1

H


-35-

A K merevségi mátrix felírása már nagyobb rutint igényel. Az eljárás megértése érdekében, első lépésben, írjuk fel a három egyensúlyi egyenletet:

1. egyenlet: nyomatéki egyensúlyi egyenlet az 1 jelű csomóponton:

0uKKK 13212111 =⋅+⋅+⋅ θθ

ahol a K merevségi elemek fizikai tartalma rendre a következő:

K11 - a θθθθ1=1 és θ2=u=0 elmozdulások alapján kapott deformált alakból származó rúdvégi belső nyomatékok összege a 1 jelű csomóponton, az adott példa esetén (2-8a ábra) :

22112,1,11,1,111 ksksMMK ⋅+⋅=+=

K12 - a θθθθ2=1 és θ1=u=0 elmozdulások alapján kapott deformált alakból származó rúdvégi nyomaték az 1 jelű csomóponton, az adott példa esetén (2-8b ábra):

1111,2,112 kcsMK ⋅⋅==

K13 - az u=1 és θ1=θ2=0 elmozdulások alapján kapott deformált alakból származó rúdvégi nyomatékok összege az 1 jelű csomóponton, az adott példa esetén (2-8c ábra):

2

2222,3,113 L

k)c1(sMK ⋅+⋅==

2. egyenlet: nyomatéki egyensúlyi egyenlet a 2 jelű csomóponton:

0uKKK 23222121 =⋅+⋅+⋅ θθ


K21 = K12

K22 - a θθθθ2=1 és θ1=u=0 elmozdulások alapján kapott deformált alakból származó rúdvégi belső nyomatékok összege a 2 jelű csomóponton, az adott példa esetén (2-8d ábra) :

3"3113,2,21,2,222 ksksMMK ⋅+⋅=+=

K23 - az u=1 és θ1=θ2=0 elmozdulások alapján kapott deformált alakból származó rúdvégi nyomaték a 2 jelű csomóponton, az adott példa esetén (2-8e ábra):

3

3"33,3,223 L

ksMK ⋅==

3. egyenlet: erőegyensúlyi egyenlet az „összevont” 1-2 jelű csomópontokon:

HuKKK 33232131 =⋅+⋅+⋅ θθ


K31 = K13 K32 = K23 K33 - az u=1 és θ1=θ2=0 elmozdulások alapján kapott deformált alakból származó rúdvégi nyíróerők összege az 1 és 2 jelű csomópontokon, az adott példa esetén (2-8f ábra):

( ) ( )

23

32"22

2

2

223,3,32,3,333 L

ks

L

k

m

c1s2VVK ⋅⋅−+⋅+⋅⋅=+= ρπ


-36-

A fenti kifejezésekben és a 2-8 ábrán a belső M és V erők indexelése a következő szabályt követi: első index az igénybevétel helyét, második index az igénybevételt kiváltó elmozdulást, harmadik index a rúdelemet jelöli. A fentiek alapján felírhatjuk a (2-36) egyensúlyi egyenlet mátrix alakját:

( )

( ) ( ) ( )

=

⋅

⋅⋅−+⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅

⋅⋅+⋅⋅⋅

⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅

H

0

0

u

L

ks

L

k

m

c1s2

L

ks

L

kc1s

L

kskskskcs

L

kc1skcsksks

2

1

23

32"22

2

2

22

3

3"3

2

222

3

3"33

"311111

2

2221112211

θθ

ρπ

(2-39)

A (2-39) egyensúlyi egyenletrendszer megoldásával a következő szakaszban foglalkozunk.

2-8. ábra. A belső nyomatékok és nyíróerők egységnyi elmozdulásokból. 2.3.3 Egyensúlyi egyenletrendszer megoldása A (2-39) egyensúlyi egyenletrendszer szimmetrikus és nemlineáris, ugyanis a K merevségi mátrix elemei a rudakban ébredő normálerőktől függenek. Amennyiben a jobb

M1,1,2=s2⋅k2

θ1=1

M1,1,1=s1⋅k1 M1,2,1=s1⋅c1⋅k1

θ2=1

M1,3,2=s2⋅(1+c2)⋅k2/L2

u=1

M2,2,3=s” 3⋅k3

M2,2,1=s1⋅k1

M2,3,3=s” 3⋅k3/L3

a) b) c)

d) e)

( )2

2

2

2

222,3,3 L

k

m

c1s2V ⋅+⋅⋅= ( )

2

3

32

3,3,3 L

k"sV ⋅⋅−= ρπ


-37-

oldalon az F tehervektor nem zérus, akkor a teherparaméter növelésével a modell elmozdulása (deformációja) is növekszik, ami a normálerők eloszlásának változásával jár. Ebben az esetben a modell viselkedése a 2-5 ábrán vázolt határpontos viselkedéshez hasonlít. Mivel az egyensúlyi egyenletrendszert a kis elmozdulások elve alapján írtuk fel, az egyensúlyi útvonal végtelenhez tartó elmozdulásnál tart az Fmax tehermaximumhoz (2-9 ábra). A modellek ilyen típusú nemlineáris vizsgálatával a továbbiakban nem foglalkozunk.

2-9. ábra. A rúdszerkezeti modell nemlineáris viselkedése és a kritikus terhe.

Amennyiben a (2-39) egyensúlyi egyenletrendszer jobb oldalán a tehervektor zérus, azaz a példánk esetében H→ 0, akkor a

0UK =⋅ (2-40)

mátrixegyenlet nem triviális (U≠0) megoldása a

0)det( =K (2-41)

feltételre vezet. Amennyiben az egyparaméteres teherrendszer teljesíti a (2-42) feltételt, akkor a teher megfelel az 1-1 ábrán vázolt szimmetrikus stabilis elágazáshoz tartózó kritikus tehernek. A rugalmas stabilitásvizsgálat (2-41) szerint történő végrehajtása során feltételezhetjük, hogy kritikus állapotban a rudakban ébredő normálerők megegyeznek a kezdeti (elsőrendű) normálerőkkel. A számítás néhány (legfeljebb három) szabadságfokig kézzel is könnyen végrehajtható (2-4 Példa).

Fcr

u

Fmax

F

„harmadrendű” megoldás

„másodrendű” megoldás

Lineáris stabilitásvizsgálat eredménye


-38-

2-4 Példa

Határozzuk meg az ábrán vázolt szerkezeti modell kritikus terhét!

A modell viselkedése (kihajlása) az alábbi két független elmozdulással (szabadságfokkal) írható le, ahol θ a sarokcsomópont elfordulása és u a gerenda csomópontjainak összevont eltolódása:

A modell merevségi mátrixa a 2.2.1 szakasz alapján az alábbi ábra segítségével állatható össze:

Kezdetben az 1 jelű rúdban nem ébred normálerő, ezért

3s"1 =

A két rúd azonos keresztmetszetű és hosszú, ezért

LLL

kkk

21

21

====

A merevségi mátrix a 2-es index elhagyásával az alábbi formában írható:

L

L

Pcr=?

1

2 Keresztmetszet: HEA 200 Anyagminősség: S235 Rúdhossz: L=6,0 m

θ u

=

u

θU

u=1 ; θ =0

s” 1⋅k1

s” 2⋅k2 s” 2⋅k2/L2 (s”2-π2⋅ρ2)k2/L2

2

θ =1 ; u=0

( )

⋅⋅−⋅

⋅⋅+⋅=

22

22

2"2

2

2"2

2

2"22

"21

"1

L

ks

L

ks

L

ksksks

ρπK


-39-

A kritikus állapot feltétele, hogy a merevségi mátrix determinánsa zérus értéket vegyen fel:

( ) ( )[ ] 0L

kss3s)det( 2

22"

cr2"" =⋅−⋅−⋅+= ρπK

Tehát keressük a ρcr értékét, ahol a kapcsos zárójelben lévő kifejezés zérus értéket vesz fel. A számítás például próbálgatással (try & error) is elvégezhető:

ρ s c s” π2⋅ρ det(K) 0,120 3,840 0,532 2,755 1,184 1,448 0,130 3,826 0,534 2,733 1,283 0,844 0,140 3,812 0,537 2,712 1,382 0,244 0,150 3,799 0,540 2,691 1,480 -0,353 0,144 3,807 0,538 2,703 1,421 0,004

A számítás szerint a ρcr=0,144 értéknél a merevségi mátrix determinánsa közelítőleg zérus értéket vesz fel, azaz a modell kritikus állapotba kerül. A kritikus erő:

==

=⋅=

=⋅⋅=

635,21

kN307PP

kN2135L

IEP

cr

Ecrcr

2

2

E

ρυ

ρ

π

A kihajlás alakját az ábra mutatja. 2.4 Összefoglalás A fejezetben nyomóerővel terhelt és síkban elmozduló rúdelemek merevségét határoztuk meg egyensúlyi differenciálegyenlet segítségével, a másodrendű elmélet közelítő feltevései alapján. A fajlagos merevségeket a normálerőtől függő stabilitásfüggvényekkel fejeztük ki. Az így meghatározott merevségek a másodrendű elmélet keretein belül érvényesek. Amennyiben a normálerőt zérusnak választjuk, akkor a stabilitásfüggvények értékei az elsőrendű elmélet szerinti merevségi konstansokat adják meg. A másodrendű merevségeket befogott és csuklós végű rúdelemre is meghatároztuk. Bemutattuk, hogy a másodrendű merevségek számos különleges esetre is meghatározhatóak, és a megfelelő kifejezések a szakirodalomban megtalálhatóak. Megállapítottuk, hogy az egyre összetettebb megoldásokat a számítás kapacitásigényének minimalizálása, azaz az ismeretlenek számának csökkentése kényszeríttette ki. Kimondtuk, hogy a mai számítási kapacitás mellett a stabilitásfüggvényes megoldások gyakorlati jelentősége jelentősen csökkent. Ugyanakkor azt is megállapítottuk, hogy a mérnökképzésben didaktikai szempontból fontosnak tartjuk az alapesetek ismeretét és kézi számításban történő alkalmazását. Bemutattuk az összetett rúdszerkezeti modellek vizsgálatának általános módszertanát „kézi” számítás esetére. Az eljárást a matematikából ismert mátrix-módszer és a mechanikából ismert elmozdulás-módszer kombinációjára alapoztuk. Bemutattuk, hogy az eljárás két alapfeladatra vezet. Amennyiben a tehervektor nem zérus, akkor határpontos

( )

⋅⋅−⋅

⋅⋅+=

22""

""

L

ks

L

ks

L

ksk)3s(

ρπK


-40-

elágazási feladatra jutunk, amely nemlineáris egyenletrendszer megoldására vezet. Amennyiben a tehervektor zérus, akkor a tökéletes modell kritikus elágazásának feladatára jutunk, ami a merevségi mátrix determinánsa első gyökének meghatározását jelenti. A módszer alkalmazását számpéldával illusztráltuk.


-41-

3. Térbeli stabilitásvesztési módok A rúdszerkezetek térbeli viselkedésének van egy közös jellemzője: a rúdelemek tengelyeik körül elcsavarodhatnak. Ezért a térbeli stabilitásvesztési módok vizsgálata előtt a rúdelem csavarásával kell foglalkoznunk. A csavarás problémájának megoldása után térhetünk rá a térbeli stabilitásvesztési módok vizsgálatára. 3.1 Prizmatikus rúdelem csavarása Az egyenes tengelyű és állandó keresztmetszetű (prizmatikus) rúdelem csavarásáról beszélünk, ha a rúd tengelye körül működő csavaró nyomaték hatására a rúdelem keresztmetszetei a tengely körül elfordulnak. A csavarásnak két alapesetét különböztetjük meg:

� egyszerű (vagy St.Venant-féle) csavarás; � gátolt csavarás.

A csavarás részletes mechanikai leírása a szakirodalomban megtalálható. Tetszőleges vékonyfalú keresztmetszetekre vonatkozó átfogó megoldást eredendően Urban és Vlaszov publikált (УРВАН И. В. 1955; VLASZOV V.Z. 1961). Munkáik nyomán számos irodalom foglalkozott a témával. Az angol nyelvű irodalomból a következőket emelnénk ki: (KOLLBRUNNER F.C. BASLER K. 1966); (CHEN, W. - ATSUTA, T. 1977b); (KOLLBRUNNER F.C. - HAJDIN N. 1992.). A magyar nyelvű irodalomból a következőket kell megemlítenünk: (CSELLÁR Ö. – HALÁSZ O. – RÉTI V. 1965.); (IVÁNYI M. 1995.). Az alábbiakban a csavarás problémáját a gyakorlat oldaláról közelítjük meg. Mellőzzük a szakirodalomban számos helyen megtalálhatóak levezetéseket, és csak a legfontosabb fogalmakra és összefüggésekre koncentrálunk. 3.1.1 Az egyszerű csavarás Egyszerű, vagy St.Venant-féle csavarásról beszélünk, amikor a csavaró igénybevételből a rúdelem valamennyi keresztmetszetében csak nyírófeszültség keletkezik. Ez azt jelenti, hogy a csavarás hatására a keresztmetszet egyetlen alkotója sem szenved relatív nyúlást (vagy rövidülést), és így nem keletkeznek normálfeszültségek. Ennek az esetnek általában két alapfeltétele van:

� állandó csavaró igénybevétel a rúd hossza mentén; � keresztmetszet szabad öblösödése.

A csavarás során – szemben a hajlítással, ahol a keresztmetszetek síkok maradnak – a keresztmetszeti pontok kilépnek a síkjukból: a keresztmetszet öblösödik. Amennyiben állandó csavarónyomaték mellett az öblösödés szabadon létrejöhet, akkor az alkotókban nem keletkeznek normálfeszültségek. Az egyszerű csavarást a 3-1 ábra segítségével mutatjuk be. Vizsgáljuk az I keresztmetszetű rúdelemet, amikor a végein ellentétes előjelű, de azonos nagyságú csavarónyomaték hat. A 3-1b ábra a numerikus módszerrel végrehajtott csavarási kísérlet eredményét mutatja. Az egyszerű csavarásra vonatkozó kísérletből az alábbi általánosítás vonható le:

� a keresztmetszet minden alkotója egyenes marad; � a keresztmetszetek öblösödnek; � a keresztmetszetekben csak nyírófeszültség keletkezik.


-42-

3-1. ábra. Az egyszerű (St.Venant-féle) csavarási modell: a) modell; b) csavarási deformáció; c) öblösödés.

(övlemezek: 300-12; gerinclemez:288-10; rúdhossz: 6000mm; anyagminőség: S235; csavarónyomaték: Mx=30 kNm)

A keresztmetszetek öblösödését a 3-1c ábra szemlélteti. I vagy H szelvények esetén az öblösödés az övlemezek pontjainak a keresztmetszetre merőleges irányú elmozdulásában jelentkezik. Az elméleti rugalmasságtan összefüggései alapján levezethető, hogy az egyszerű csavarásnak kitett, viszonylag vékony lemez keresztmetszetében a nyírófeszültség a középvonalban zérus, és a lemezoldalak felé haladva lineárisan változik (3-2 ábra).

3-2. ábra. Az egyszerű csavarásból származó nyírófeszültség eloszlása a vékony lemezekben.

Mx

a)

b)

c)

τSV,max b

t


-43-

A 3-2 ábrán vázolt St.Venant-féle nyírófeszültség legnagyobb értéke:

tI

M

SV

xmax,SV ⋅=τ (3-1)

A (3-1) kifejezésben Mx a külső csavarónyomaték, ISV a keresztmetszet St.Venant-féle csavarási inercianyomatéka, és t a falvastagság. Vékony lemezek esetén a csavarási inercianyomatékot közelítőleg az alábbi kifejezéssel számíthatjuk:

3SV tb

3

1I ⋅⋅= (3-2)

Az egyszerű csavarásnak nincs kitüntetett tengelye, ezért a vékony lemezekből összetett keresztmetszetek csavarási viselkedése jól leírható az alkotó lemezek csavarásának összegeként (3-3 ábra).

3-3. ábra. A vékonyfalú összetett keresztmetszetek egyszerű csavarásának modellje.

Mivel a 3-2 ábra szerinti feszültségeloszlás a lemezek végein (illetve a lemezek csatlakozásánál) zavart, ezért az összetett keresztmetszet csavarási inerciája „kézi” számítás esetén az alkotó lemezek (3-2) szerinti inerciája módosított összegével számítható ki:

∑ ⋅⋅⋅= 3SV tbc

3

1I (3-3)

A (3-3) kifejezésben a c módosító tényező a 3-4 ábra alapján vehető fel (pl. CSELLÁR Ö. –

HALÁSZ O. – RÉTI V. 1965.).

3-4. ábra. A c módosító tényező értékei.

keresztmetszet c

b

t63,01 ⋅−

1,31

1,12


-44-

A keresztmetszet öblösödése a lemezek középvonalában fekvő pontoknak az (y;z) keresztmetszeti síkra merőleges u(y,z) elmozdulásával írható le. Az egységnyi elcsavarodásból keletkező elmozdulásokat öblösödési mértéknek nevezzük:

[ ]2m)z,y(u

)z,y(ϑ

ω = (3-4)

A (3-4) kifejezésben ϑ [1/m] az egységnyi rúdhosszra jutó fajlagos elcsavarodás.

Az ω(y,z) öblösödési mérték, egységnyi fajlagos elcsavarodást feltételezve, megadja az (y,z) koordináták által meghatározott keresztmetszeti pont rúdtengely irányú elmozdulását.

Az ω(y,z) öblösödési mérték a keresztmetszeti pont „harmadik koordinátája ”, amely hasonló szerepet tölt be a csavarási feszültségek számításánál, mint a hajlítási tengelyektől mért y és z távolságok a hajlítási feszültségek számításánál.

Legyen p az A keresztmetszeti pontot tartalmazó alkotólemez távolsága a D csavarási tengelytől (3-5 ábra). Az A pontól ds távolságra lévő pontba áttérve az öblösödési mérték megváltozik:

dspd ⋅−=ω (3-5)

A (3-5) kifejezés szerint az alkotólemez A és B pontja között az öblösödési mérték megváltozása (3-5b ábra):

BA

B

A

B

AAB F2dspd ⋅=⋅−==−= ∫ ∫ωωωω∆ (3-6)

3-5. ábra. Az öblösödési mérték megváltozása két keresztmetszeti pont között.

Amennyiben adott a csavarás tengelye és a keresztmetszet középvonala egy pontjában az öblösödés mértéke, akkor a (3-6) alapján a teljes keresztmetszetre kiszámítható az öblösödési mérték.

Legyen adott a rúdelem csavarási tengelye, és legyen ϕ(x) a tengely elcsavarodását leíró függvény. Egyszerű csavarás esetén a külső csavaró nyomatékkal a (3-1) szerinti nyírófeszültségek TSV eredője (belső csavarónyomaték) tart egyensúlyt:

dx

)x(dIGT SVSV

ϕ⋅⋅= (3-7)

A (3-7) kifejezésben G az anyag nyírási rugalmassági modulusa, ISV a keresztmetszet (3-3) szerint meghatározott csavarási inercianyomatéka. A térbeli stabilitásvesztési módok vizsgálatában a (3-7) kifejezésnek fontos szerepe lesz.

D

p

A ds

A

B

D

FBA

+Mcs

a) b)


-45-

3.1.2 A gátolt csavarás Egyszerű csavarás esetén a csavarónyomaték állandó és a rúdelem keresztmetszetei öblösödnek (a keresztmetszeti pontok kilépnek a síkjukból), de az alkotók hossza nem változik meg, és ezért az öblösödés minden keresztmetszetben egyforma:

ϑω ⋅=u (3-8)

Amennyiben a 3-1 ábrában vázolt rúdelem x=0 végénél az elcsavarodás értékét ϕ(0)=0 értékre választjuk, akkor az x távolságra lévő keresztmetszet elcsavarodása:

x)x( ⋅= ϑϕ (3-9)

A (3-9) szerint az elcsavarodási függvény lineáris, ezért a csavarási tengelytől r távolságra lévő alkotó egyenes marad, de α szöggel elfordul:

ϑα ⋅= r (3-10)

Amennyiben a ϑ fajlagos elcsavarodás a tengely mentén változik, akkor a (3-10) szerint az alkotó α elfordulási szöge is változik, aminek következtében az alkotó meggörbül (kivéve a csavarási tengelyt, amelyik egyenes marad). A csavarásnak ezt a módját gátolt csavarásnak nevezzük.

A gátolt csavarásra mutat példát a 3-6 ábra, ahol egy villás kéttámaszú tartót középen Mx külső csavarónyomaték terhel. A numerikusan végrehajtott csavarási kísérletből jól látszik, hogy az övlemezek alkotói meggörbülnek (3-6b ábra).

3-6. ábra. Az egyszerű csavarásnak kitett gerenda: a) csavart rúdelem modellje; b) csavarási deformáció

felülnézetben. (övlemezek: 300-12; gerinclemez:288-10; rúdhossz: 6000mm; anyagminőség: S235; csavarónyomaték: Mx=30 kNm)

A fentiek alapján kimondhatjuk, hogy gátolt csavarás esetén a fajlagos elcsavarodás változik a rúdelem mentén:

dx

)x(d)x(

ϕϑ = (3-11)

A keresztmetszeti pontok síkból való kilépése (öblösödés) a (3-11) alapján kifejezhető:

dx

)x(d)x()x(u

ϕωϑω ⋅=⋅= (3-12)

Az öblösödés megváltozása a keresztmetszettől dx távolságban:

dxdx

ddu 2

2

⋅⋅= ϕω (3-13)

Az alkotó fajlagos nyúlása kifejezhető a (3-13) kifejezéssel:

Mx a)

b)


-46-

2

2

dx

d

dx

du ϕωε ⋅== (3-14)

A (3-14) fajlagos nyúlásból öblösödési normálfeszültség keletkezik:

2

2

dx

dEE

ϕωεσω ⋅⋅=⋅= (3-15)

Az öblösödési normálfeszültség az alkotó mentén változik. A növekményt a τω öblösödési nyírófeszültség ellensúlyozza (3-7 ábra):

ωω

ωϕστ S

t

1

dx

dEdst

dx

d

t

13

3

s

⋅⋅⋅−=⋅⋅⋅−= ∫ (3-16)

ahol

∫ ⋅⋅=s

dstS ωω (3-17)

3-7. ábra. Az öblösödési normálfeszültség változását ellensúlyozó nyírófeszültség ábrázolása.

A (3-17) keresztmetszeti jellemzőt öblösödési statikai nyomatéknak nevezzük A (3-16) öblösödési nyírófeszültség a falvastagság mentén állandó, és párhuzamos a lemez középfelületévtel. Kimutatható, hogy az öblösödési nyírófeszültségek eredője a Tω öblösödési csavarónyomaték:

dsptTs

⋅⋅⋅= ∫ ωω τ (3-18)

A (3-18) kifejezésben p a nyírófeszültség karja a csavarási tengelyre vonatkoztatva (3-5a ábra). A (3-5) és a (3-16) felhasználásával a (3-18) alábbi alakban írható:

∫ ⋅⋅⋅−=s

23

3

dstdx

)x(dET ωϕ

ω (3-19)

Vezessük be az öblösödési inercianyomatékot:

∫ ⋅⋅=s

2 dstI ωω (3-20)

A (3-20) felhasználásával az öblösödési csavarónyomaték:

3

3

dx

)x(dIET

ϕωω ⋅−= (3-21)

σω

dxx

⋅∂

∂+ ωω

σσ

dx

τω

dss

⋅∂

∂+ ωω

ττ

ds


-47-

Vezessük be a bimoment („kettős” nyomaték) fogalmát:

∫ ⋅⋅=⋅⋅⋅=≡s

2

2

dx

dIEdst)m(B

ϕωσ ωωω (3-22)

A (3-21 ) és (3-22) felhasználásával írjuk fel az öblösödési feszültségek gyakorlatban alkalmazott alakjait:

ωσω

ω ⋅=I

B és

tI

ST

⋅⋅=

ω

ωωωτ (3-23)

Emellett vegyük észre az öblösödési csavarónyomaték és a bimoment kapcsolatát:

dx

dBT −=ω (3-24)

A térbeli stabilitásvesztési módok vizsgálatában a (3-21) kifejezésnek fontos szerepe lesz.

Láttuk, hogy az ω öblösödési mérték függ a csavarási tengely helyétől, amit eddig adottnak feltételeztünk. Azt is láttuk, hogy a gátolt csavarásból keletkező σω öblösödési normálfeszültség eloszlása azonos az ω öblösödési mérték eloszlásával. Mivel a rúdelemre csak csavarónyomaték hat, ezért az öblösödési normálfeszültségeknek egyensúlyban lévő erőrendszert kell alkotniuk. Ebből következően szükséges, hogy az öblösödési normálfeszültségek eredője és célszerűen az y és z tengelyekre vett nyomatéka zérus nagyságú legyen:

∫

∫

∫

=⋅⋅⋅

=⋅⋅⋅

=⋅⋅

s

s

s

0dstz

0dsty

0dst

ω

ω

ω

σ

σ

σ

(3-25)

A (3-25) kifejezéseket a keresztmetszeti állandók kiemelésével egyszerűsíthetjük:

∫

∫

∫

=⋅⋅⋅

=⋅⋅⋅

=⋅⋅

s

s

s

0dstz

0dsty

0dst

ω

ω

ω

(3-26)

Keressük azt a kitüntetett keresztmetszeti pontot (csavarási tengelyt), amelyhez tartozó ω eloszlás kielégíti a (3-26) feltételi egyenleteket. Ehhez vegyünk fel a tetszőleges (y1;z1) keresztmetszeti ponthoz tartozó D1 csavarási tengelyt, és határozzuk meg a hozzá tartozó ω1 eloszlást. Ismert, hogy ha az (y1;z1) pont által meghatározott tengelyről áttérünk az (yω;zω) pont által meghatározott D tengelyre, akkor az ahhoz tartozó ω öblösödési mérték az alábbi kifejezéssel határozható meg:

( ) ( ) 0111 yzzzyy)z,y( ωωω ωω +⋅−−⋅−+= (3-27)

Mivel a (3-27) három ismeretlent (yω ,zω és ω0) tartalmaz, ezért a (3-36) szerinti három független feltétel elegendő az ismeretlenek meghatározására.


-48-

A fentiek szerint meghatározott (yω;zω) pont a keresztmetszet csavarási (vagy másképpen nyírási) középpontja. A csavarási középpont által meghatározott D tengely a rúdelem csavarási tengelye. A D tengely az egyetlen olyan alkotó, amely a csavarás folyamán egyenes marad. A gátolt csavarással összefüggő keresztmetszeti jellemzőket és feszültségeket a keresztmetszet csavarási középpontjához tartozó D csavarási tengelyre meghatározott ω öblösödési eloszlás alapján kell kiszámítani. A csavarási középpont helye a gyakorlatban előforduló keresztmetszetek többségénél előre ismert, vagy részben ismert: � kétszeresen szimmetrikus keresztmetszetek esetén a D csavarási középpont

egybeesik a C súlyponttal (3-8a ábra); � egyszeresen szimmetrikus keresztmetszetek esetén a D csavarási középpont a

szimmetriatengelyen helyezkedik el; a keresztmetszeti alaktól függően a D pont a keresztmetszeten belül (3-8b ábra), vagy azon kívül található (3-8c ábra).

3-8. ábra. A csavarási középpont helye a leggyakoribb keresztmetszetek esetében.

A tetszőleges kialakítású vékonyfalú szelvények csavarási keresztmetszeti jellemzőinek számítására a szakirodalomból ismert eljárások és képletek alapján történhet. Ezek közül kiemeljük Kolbrunner és Basler könyvét, ahol számítógépes programozásra is alkalmas „kézi” agoritmust találunk (KOLBRUNNER F.C. BASLER K. 1966), illetve Csellár, Halász és Réti magyar nyelvű könyvét, ahol táblázatokba gyűjtött képleteket közöltek a keresztmetszeti jellemzők számítására. 3.1.3 A gátolt csavarás differenciálegyenlete Gátolt csavarás esetén az Mx külső csavaró nyomatékot az egyszerű csavaráshoz tartozó TSV belső csavaró nyomaték és a gátolt csavaráshoz tartozó Tω öblösödési belső csavaró nyomaték együttesen ellensúlyozza:

ωTTM SVx += (3-28)

A (3-7) és a (3-21) figyelembe vételével a külső és a belső csavaró nyomatékok egyensúlyát kifejező differenciálegyenlet az alábbi alakban írható:

'''IE'IGM SVx ϕϕ ω ⋅⋅−⋅⋅= (3-29)

A (3-29) egyenletben φ= φ(x) a csavarási tengely elcsavarodását leíró elmozdulási függvény, és (’) az x szerinti deriváltat jelzi.

A (3-29) harmadrendű lineáris differenciálegyenlet megoldásával számos szakirodalom foglakozik. Ezek közül ki kell emelnünk Kollbrunner és Hajdin könyvét, ahol a megoldásokat megbízható formában találjuk meg (KOLLBRUNNER F.C. - HAJDIN N. 1992). Ezekkel a

y

D≡C C

D

C

D

C D

b) c) a)


-49-

U 180x160x100x6

a) b) c) P

megoldásokkal a továbbiakban nem foglalkozunk, mert nem tartoznak a szerkezeti elemek térbeli stabilitásvizsgálatának tárgykörébe. A továbbiakban számunkra a (3-29) egyenletnek lesz kiemelt szerepe. 3.2 A térbeli elcsavarodó kihajlás Vizsgáljuk a 3-8a ábrán látható központosan nyomott rúdelemet, amelynek végei csuklósak és elcsavarodás ellen villásan megtámasztottak. A rúdelem keresztmetszete legyen a 3-8b ábrán vázolt vékonyfalú aszimmetrikus U szelvény. A rúdelem a Pcr=299,08kN erőnél a 3-8c ábrának megfelelően kihajlik.

3-8. ábra. A térbeli elcsavarodó kihajlás bemutatása numerikus kísérlettel.

A 3-8 ábrán vázolt numerikus kísérlet eredménye azt mutatja, hogy az általános alakú vékonyfalú rúdelem központos nyomásra a Pcr erőnél kihajlik. Kihajlás közben a villás támaszok közötti keresztmetszetek eltolódnak és elcsavarodnak. A kihajlásnak ezt a formáját térbeli elcsavarodó kihajlásnak nevezzük.

A rúdelem térbeli alakja leírható a v(x) és w(x) elmozdulás függvényekkel, valamint a φ(x) elcsavarodási függvénnyel. A 3.1.2 szakasz alapján tudjuk, hogy a rúdelem keresztmetszeteinek elcsavarodása a D csavarási középpont körül történik. A 3-9 ábra alapján felírhatjuk az C súlypont elmozdulását:

ω

ω

ϕϕ

yww

zvv

C

C

⋅−=⋅+=

(3-30)

● D


-50-

3-9. ábra. A C súlypont eltolódása (vC,wC) a független v, w és φ elmozdulásokkal kifejezve.

A (3-30) kifejezésekben v és w az y és z tengelyek irányában értelmezett elmozdulások, φ az elcsavarodás, yω és zω a D csavarási középpont koordinátái a súlyponti koordináta rendszerben. A súlypont elmozdulása miatt a P nyomóerő nyomatékot okoz a két súlyponti főtengelyre:

( )( )ω

ω

ϕϕ

ywPwPM

zvPvPM

CPz

CPy

⋅−⋅=⋅=

⋅+⋅=⋅= (3-31)

A rúdelem alkotói a v(x) és w(x) elmozdulások következtében meggörbülnek, aminek következtében a P erőnek a keresztmetszeti síkba eső P·v’ és P·w’ komponensei csavaró nyomatékot okoznak a D csavarási középpontra nézve (3.10 ábra):

( )'wy'vzPM vw,Px ⋅−⋅⋅= ωω (3-32)

3-10. ábra. A P nyomóerő komponenseinek csavaró nyomatéka..

A φ elcsavarodás miatt a rúdelem alkotói α szöggel elferdülnek:

'a ϕα ⋅= (3-33)

A (3-33) kifejezésben a az alkotó és a csavarási középpont közötti távolság. Az alkotóban σ·t·ds fajlagos erő működik, amelynek a keresztmetszeti síkba eső σ·t·ds·α nagyságú komponense az a karon fajlagos csavaró nyomatékot okoz:

y (v)

z (w)

C v

w φ

yω

zω

φ· zω

-φ· yω

D

vC

wC

y (v)

x (u)

P

P·v’

z (w)

x (u)

P

P·w’

N N

v

w

C C C

D yω

zω

P·v’

P·w’


-51-

'dstadM 2,Px ϕσϕ ⋅⋅⋅⋅= (3-34)

A fajlagos csavaró nyomatékot a teljes keresztmetszetre összegezve:

∫ ⋅⋅⋅⋅=s

2,Px dsta'M σϕϕ (3-35)

A (3-35) kifejezésből általánosított kifejezésre a szakirodalom Wagner-tényezőként hivatkozik:

∫ ⋅⋅⋅=s

2 dstaK σ (3-36)

Vezessük be a csavarási középpontra vonatkoztatott poláris inercianyomatékot és poláris inerciasugarat:

222z

2y

p

s

2p

zyiiA

Ii

dstaI

ωωω

ω

ω

+++==

⋅⋅= ∫ (3-37)

A (3-35) csavarónyomaték a (3-37) paraméterek felhasználásával az alábbi alakban írható:

'iPM 2,Px ϕωϕ ⋅⋅= (3-38)

A rúdelem teljes deformációja következtében a P erő által okozott csavarónyomaték a (3-32) és a (3-38) összegzéséből kapható:

( )'i'wy'vzPMMM 2,Pxvw,PxPx ϕωωωϕ ⋅+⋅−⋅⋅=+= (3-39)

A térben kihajlott rúdelem globális egyensúlyát a külső és belső hajlító nyomatékok, valamint a külső és belső csavaró nyomatékok egyensúlya fejezi ki:

0MM

0MM

0MM

Pxx

Pzz

Pyy

=+=+

=+

(3-40)

A (3-40) egyenletekben My, Mz és Mx a belső csavaró nyomatékok. Felhasználva a (3-31), (3-31) és (3-39) kifejezéseket a (3-40) egyensúlyi egyenletrendszer az alábbi alakban írható:

( )( )

( ) 0'i'wy'vzP'IG'''IE

0ywP"wIE

0zvP"vIE

2SV

z

y

=⋅+⋅−⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅

=⋅−⋅+⋅⋅

=⋅+⋅+⋅⋅

ϕϕϕϕ

ϕ

ωωωω

ω

ω

(3-41)

A (3-41) egyenletek a térbeli elcsavarodó kihajlást leíró differenciálegyenlet rendszert alkotják. Trahair munkáját követve (TRAHAIR N.S. 1993) a megoldást a kétcsuklós és villás megtámasztású rúdelem peremfeltételeit kielégítő elmozdulás függvények alakjában keressük:

xL

sinC

xL

sinCw

xL

sinCv

3

2

1

⋅⋅=

⋅⋅=

⋅⋅=

πϕ

π

π

(3-42)

A (3-42) elmozdulás függvényeknek a (3-41) egyenletekbe történő behelyettesítése után keressük - a zérustól különböző C1, C2 és C3 állandók mellett - a nem-triviális megoldást.


-52-

A feladat a (3-41) egyenletrendszer együtthatóiból alkotott mátrix determinánsának zérus értékének meghatározására vezet:

( )0

PPiyPzP

yPPP

zPPP

det

x2

y,cr

z,cr

=

−⋅⋅−⋅⋅−−

⋅−

ωωω

ω

ω

(3.43)

A (3-43) egyenletben a referencia erők:

⋅+⋅⋅⋅== SV2

2

2x IGL

IE

i

1)P(P ω

ωω

π ; 2

y2

y L

IEP

⋅⋅=

π és 2

z2

z L

IEP

⋅⋅= π (3-44)

A (3-43) az alábbi harmadfokú egyenletre vezet:

( ) ( ){ }( ) 0PPPiPPPPPPiP

zPPyPPPPiPzyiP)P(f

zyx2

yxxzzy2

2y

2zzyx

222223

=⋅⋅⋅−⋅+⋅+⋅⋅⋅+

+⋅⋅−⋅−++⋅⋅−−−⋅=

ωω

ωωωωωω (3-45)

Bizonyítható, hogy a (3-45) harmadfokú egyenletnek három (P1, P2 és P3) valós gyöke van, és a legkisebb gyöke a Pcr=min(P1,P2,P3) kritikus erő, amelyik mindig kisebb (legfeljebb egyenlő) a (3-44) szerinti referencia erők legkisebbikénél.

3-1 Példa Számítsuk ki a 3-8 ábrán látható vékonyfalú nyomott rúd kritikus erejét a térbeli elcsavarodó kihajlás esetére levezetett (3-45) összefüggés alapján!

Keresztmetszeti jellemzõk (ConSteel program)

Iy 14.62106⋅ mm

4⋅:= Iz 4.688106⋅ mm

4⋅:=

iy 75.5 mm⋅:= iz 42.7 mm⋅:=

yω 88.9 mm⋅:= zω 5.4 mm⋅:=

ISV 32178 mm4⋅:= Iω 19.1210

9⋅ mm6⋅:=

iω iy2

iz2+ yω

2+ zω2+ 124.3mm⋅=:=

Geometriaia és anyagi jellemzõkrúdhossz L 4000 mm⋅:=

rugalmassági modulusz E 2.1 105⋅

N

mm2

:= υ 0.3:=

GE

2 1 υ+( )⋅80769

N

mm2

⋅=:=

referencia erõk Pcr.y

π 2E⋅ Iy⋅

L2

1894 kN⋅=:= Pcr.z

π 2E⋅ Iz⋅

L2

607 kN⋅=:=

Pcr.x1

iω2

G ISV⋅π 2

E⋅ Iω⋅

L2

+

⋅ 328 kN⋅=:=


-53-

Kritikus erõ meghatározása iterációval

P 299.16 kN⋅:= β 108

kN3⋅ mm

2⋅:=

f1 P3

iω2

yω2− zω

2−

⋅

1

β⋅ 2014=:=

f2 P2

Pcr.x Pcr.y+ Pcr.z+( ) iω2⋅ Pcr.zyω

2⋅− Pcr.y zω2⋅−

⋅

1

β⋅ 34795=:=

f3 P iω2⋅ Pcr.y Pcr.z⋅ Pcr.xPcr.z⋅+ Pcr.xPcr.y⋅+( )⋅

1

β⋅ 91157=:=

f4 iω2

Pcr.x⋅ Pcr.y⋅ Pcr.z⋅1

β⋅ 58376=:=

f f1 f2− f3+ f4− 0=:=

A kritikus erőt az f(P) függvény első gyökénél kapjuk meg: Pcr=299,16 kN

Amennyiben a keresztmetszet egyszeresen szimmetrikus, és a szimmetria tengely az y főtengely, akkor zω=0 és a (3-45) harmadfokú egyenlet egyszerűsödik:

( ) ( ) ( ) ( ){ } 0yPPPPPyiPP)P(f 22xy

22pz =⋅−−⋅−⋅+⋅−= ωω (3-46)

A (3-46) harmadfokú egyenlet gyökei a következők:

( ) ( )

22p

2p

22p

2pyx2

yxyx

3,2

z1

yi

i2

yi

iPP4PPPP

P

PP

ω

ω

+⋅

+⋅⋅⋅

−+±+=

=

(3-47)

ahol 2z

2y

2p iii += .

Az egyszeresen szimmetrikus keresztmetszetekre vonatkozó (3-47) megoldás elemzése a következő megállapításokra vezet: � a kihajlás a Pz, P2 és P3 erők közül a legkisebbiknél következik be; � a kihajlás módja síkbeli a Pz erő mellett, vagy térbeli a P2 vagy P3 erő mellett; � a térbeli kihajlás az y tengely körüli kihajlás és az elcsavarodás eredője.

Amennyiben a szimmetriatengely az y helyett a z tengely, akkor a (3-46) és (3-47) kifejezésekben az y és z felcserélődik.

-2500

-2000

-1500

-1000

-500

0

500

1000

1500

2000

280 290 300 310 320

P

f(P

)


-54-

3-2 Példa Határozzuk meg az L=4m hosszú központosan nyomott, kétcsuklós és egyszeresen szimmetrikus vékonyfalú U szelvényű rúdelem kritikus terhét! A rúdelem három különböző keresztmetszeti méretével számolunk. Ezeket az alábbi ábra mutatja. Vegyük észre, hogy az a) és a b) keresztmetszetek esetén az y szimmetriatengely az erős tengely, de szemben az a) keresztmetszettel, a b) keresztmetszetnél az erős- és gyenge tengely inerciája közel esik egymáshoz, továbbá a c) keresztmetszetnél a főirányok 90 fokkal elfordulnak, és a szimmetria tengely a z gyenge tengely. A számítási eredményeket a részletek mellőzésével táblázatos formában adjuk meg.

szelvény adatok mértékegység

a) b) c) L mm 4000 E 210000 G

N/mm2 80769

Iy 7,316 13,01 23,12 Iz

106·mm4 1,146 7,699 18,71

iy 62,9 68,1 78,3 iy 62,9 52,4 70,5 yω 47,9 119,9 0 zω

mm

0 0 196,1 ISV 103·mm4 23,60 35,13 46,54 Iω 109·mm6 4,768 32,80 102,7 ip

2 4576 7383 11101 iω

2 mm2

6871 21759 49556 Px 367 326 344 Py 948 1685 2995 Pz 148,5 997 2424 P1 148,5 997 2995 P2 1659 5640 12047 P3

kN

315 286,8 309,2

kihajlási alak

síkbeli

térbeli

térbeli

y

z

y

z

z

z

y

a) 160x80x6 b) 160x160x6 c) 160x240x6


-55-

A kihajláshoz tartozó kritikus erőket a táblázatban bekereteztük. A kihajlás alakját numerikus kísérlettel határoztuk meg. Látható, hogy az a) szelvény esetén a kihajlás síkban történik, mivel van határozott gyenge tengely. A b) szelvény esetén az erős- és a gyenge inerciák közel esnek egymáshoz, ezért a kihajlás már térben történik. A c) szelvény esetén a tengelyek 90 fokkal elfordulnak, a szimmetriatengely a z gyenge tengely, és a kihajlás szintén térben történik.

3.3 A kifordulás Vizsgáljuk a 3-11a ábrán látható villás kéttámaszú gerendát. A gerenda szelvénye hegesztett I szelvény (övlemezek: 200-12; gerinclemez: 388-8; anyagminőség: S235), a gerenda két vége elmozdulás ellen csuklósan, elfordulás ellen villásan megtámasztott. A gerendát középen, a függőleges szimmetriai síkban - a felső öv mentén - P koncentrált erő terheli.

3-9. ábra. A hajlított gerenda kifordulása: a) modell; b) kifordulási alak.

Végezzünk el a gerenda numerikus kísérletét. A P erő növelésével a gerenda lehajlása a függőleges szimmetria síkban növekszik, majd a Pcr=140,85kN erőnél a gerenda hirtelen kifordul. A 3-9b ábra a kifordult tartó alakját mutatja. A modell stabilitásvesztési viselkedése megfelel az 1.1.1 szakaszban tárgyalt szimmetrikus és stabilis elágazási módnak. Az elágazás pillanatában a kritikus erőből keletkező legnagyobb hajlító nyomatékot kritikus nyomatéknak nevezzük, amely a példánk esetében a háromszög alakú nyomatéki ábra csúcsának értéke:

4

LPM cr

cr

⋅= (3-48)

Célul tűzzük ki, hogy a gerenda mentén tetszőleges eloszlású nyomatékra határozzuk meg az Mcr kritikus nyomaték értékét. A feladat megoldását Clark és Hill eredeti munkája nyomán

P a)

b)


-56-

mutatjuk be (CLARK J.W. – HILL H.N. 1960). A megoldás az energiamódszeren alapul, ezért először a módszert mutatjuk be, majd utána rátérünk a feladat tényleges megoldására. 3.3.1 Az energiamódszer 3.3.1.1 Az energiatétel Vizsgáljunk egy kizárólag konzervatív erőkkel terhelt homogén, izotróp és tökéletesen rugalmas rendszert. Jelölje Πb a rendszer belső potenciális energiáját és Πk a külső potenciálját. A rugalmas rendszer teljes potenciális energiája:

kb ΠΠΠ += (3-49)

A (3-49) potenciális energia a rugalmas rendszer egyensúlyi útvonala mentén - a fenti feltételek mellett - állandó értékű. A rugalmas rendszer alakváltozásán a belső erők ∆Lb munkát végeznek. Ezzel az alakváltozási munkával azonos az alakváltozási energia, ami a belső potenciális energia megváltozását jelenti:

bb L∆∆Π = (3-50)

A rendszer elmozdulásán a külső erők munkát végeznek, ami a rendszer külső potenciáljának megváltozásához vezet.

kk L∆∆Π −= (3-51)

Egyensúlyi állapot esetén a (3-49) kifejezés állandó értékűségéből az alábbi tétel következik:

kb L∆∆Π = (3-52)

A (3-52) összefüggést energiatételnek nevezzük. A tétel azt jelenti, hogy a rugalmas rendszer belső potenciális energiájának megváltozása egyenlő a külső erők munkájának növekményével.

3-3 Példa Határozzuk meg az 1-1 ábrán vázolt tökéletes modell kritikus terhét a (3-52) energiatétel alkalmazásával.

A rugalmas rendszer elmozdult állapotában a belső potenciális energia megváltozása egyenlő a nyomatéki rugó alakváltozási energiájával, azaz a rugóerő alakváltozási munkájával:

ϕ∆∆Π ⋅== kBb M2

1L

A rugóban ébredő nyomaték, ϕ⋅= kM k

és ezért a rugalmas rendszer belső potenciális energiájának megváltozása:

2B k

2

1 ϕ∆Π ⋅⋅=

A külső erőnek az elmozduláson végzett munkája: vPLk ⋅=∆

A v elmozdulás az alábbiak szerint írható fel: ϕcosLLv ⋅−= Vegyük a koszinusz függvény sorának első két tagját,


-57-

2

1cos2ϕϕ −=

és írjuk fel az elmozdulást:

2

L2

1LLv22 ϕϕ =

−⋅−=

Végeredményben a külső erő munkája:

2

LPL2

K

ϕ∆ ⋅⋅=

A (3-52) energiatétel értelmében a belső potenciális energia megváltozása egyenlő a külső erő munkájával:

2LPk

2

1

L2

2

kB

ϕϕ

∆∆Π

⋅⋅=⋅⋅

=

A P=Pcr erőhöz tartozó elágazási pont környezetében a φ elmozdulás nem zérus, ezért az egyenlet mindkét oldalát eloszthatjuk φ

2-el, és kifejezhetjük a Pcr kritikus erőt:

L

kPcr =

Látható, hogy a kritikus erő megegyezik az 1.1.1 szakaszban kapott eredménnyel, ahol a statikai módszert alkalmaztuk.

3.3.1.2 A virtuális elmozdulások tétele A virtuális (lehetséges) elmozduláson a rugalmas rendszer peremfeltételeivel összeférő tetszőleges és végtelen kicsi elmozdulást értjük. Vegyük a (3-49) teljes potenciális energia első variációját:

( ) kbkb ΠδΠδΠΠδΠδ +=+= (3-53)

Mivel a (4-51) és (4-52) összefüggés a virtuális elmozdulásra is érvényes, ezért:

kb LδΠδ = és kk LδΠδ −= (3-54)

A (3-54)-ből következik, hogy a (3.53) potenciális energia első variációja zérus:

0=Πδ (3-55)

A (3-55) azt jelenti, hogy az egyensúlyban lévő rugalmas rendszer potenciális energiájának első variációja zérus, vagyis a virtuális elmozdulás közben a teljes potenciális energia állandó marad.

A П potenciális energia a virtuális elmozdulás következtében ∆Π értékkel megváltozik, amely változást felírhatjuk a sorba fejtett alak első két tagjával:

ΠδΠδ∆Π 2

!2

1 ⋅+= (3-56)

Mivel a (3-55) szerint a potenciális energia első variációja zérus, ezért

Πδ∆Π 2

!2

1 ⋅= (3-57)

ahol δ2Π az elmozdulás (és deriváltjának) második hatványát tartalmazza.


-58-

A rugalmas rendszer kritikus állapotának feltétele, hogy legalább egy virtuális elmozdulásra a potenciális energia második variációja zérus (azaz minimum) értéket vegyen fel:

0k2

b22 =+= ΠδΠδΠδ (3-58)

3.3.1.3 A rugalmas rúdelem potenciális energiájának második variációja

A rugalmas rúdelem belső potenciális energiájának második variációja a rúdelem elmozdulás függvényével kifejezhető. Tiszta hajlítás esetén az alakváltozási energia alábbi alakban írható (hajlítás a z tengely körül δv virtuális elmozdulásból):

∫ ⋅⋅⋅⋅=L

0

2''zv,b

2 dx)v(IE2

1 δΠδ (3-59)

Bizonyítás A hajlítási normálfeszültség kifejezhető a Hook-törvénnyel, illetve a görbülettel is:

2'' )v(zEE ⋅⋅=⋅= εσ A rúdelem elemi hosszán az alakváltozási energia egyenlő a teljes keresztmetszetben a normálfeszültségnek a fajlagos nyúláson végzett munkájával:

sdt2

1dL

s

v,b ∫ ⋅⋅⋅⋅= εσ

Felhasználva a normálfeszültség kifejezését az alakváltozási energia:

∫∫ ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=s

2''z

2''2

s

2

v,b )v(IE2

1)v(dstzE

2

1dst

E2

1dL

σ

A teljes rúdelem potenciális energiájának második variációja:

∫ ⋅⋅⋅⋅==L

0

2''zv,bv,b

2 dx)v(IE2

1LΠδ

Csavarás esetén az alakváltozási energia alábbi alakban írható (csavarás az x tengely körül δφ virtuális elcsavarodásból):

[ ]∫ ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=L

0

2'SV

2'',b

2 dx)(IG)(IE2

1 δϕδϕΠδ ωϕ (3-60)

Bizonyítás A St,Venant-féle csavarásból származó belső csavarónyomaték a (3-7) szerint:

dx

dIGT SVSV

ϕ⋅⋅=

A rúdelem elemi hosszán az alakváltozási energia egyenlő a teljes keresztmetszeten a csavaró nyomatéknak az elfordulás differenciális változásán végzett munkájával:

ϕdT2

1dL SVSV,b ⋅⋅=

Az első kifejezésből az elfordulás differenciális változása:

dxIG

Td

SV

SV ⋅⋅

=ϕ

A kifejezés felhasználásával:

( ) dxIG2

1dx

IG

T

2

1dL

2'SV

SV

2SV

SV,b ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅

= ϕ

Az alakváltozási energia a teljes rúdelemre nézve:


-59-

( )∫ ⋅⋅⋅⋅=L

0

2'SVSV,b dxIG

2

1L ϕ

A gátolt csavarásból származó alakváltozási energia levezetése formailag analóg a hajlítási alakváltozási energia levezetésével.

A rugalmas rúdelem külső potenciáljának második variációja szintén kifejezhető a rúdelem elmozdulás függvényeivel. Nyomott rúd kihajlása esetén a P erő munkát végez a δv=δv(x) lehajlás függvénnyel kifejezhető tengelyirányú elmozduláson:

∫ ⋅⋅⋅−=L

0

2'k

2 dx)v(P2

1 δΠδ (3-61)

Bizonyítás Az összenyomhatatlan rúdelem felső vége a v=v(x) kihajlása közben ∆l-el elmozdul, amin a P erő munkát végez: lPL P,k ∆⋅=

A ∆l elmozdulás kifejezhető az L rúdhossz és a l vetületi hossz különbségeként: )lL(l −=∆ Az ábra alapján az L rúdhossz kifejezhető az ívhosszal:

dxv1Ll

0

2' ⋅+= ∫

A négyzetgyökös kifejezést sorának első két tagjával közelítve:

∫∫ ⋅+=⋅

+=

l

0

2'l

0

2'

dxv2

1ldx

2

v1L

A fentiek alapján a végpont elmozdulása:

∫⋅=−=l

0

2' dxv2

1)lL(l∆

A külső pontenciál második variációja egyenlő a P erő külső munkájával, de fordított előjellel:

∫ ⋅⋅⋅−=⋅−=−=l

0

2'P,kk

2 dx)v(P2

1lPL δ∆Πδ

Mivel L≅ l, ezért az integrált az 0-tól L-ig is végezhetjük.

L l

∆l

L

P

dx

dx·v’

v’

dxv12' ⋅+

v

x

3-10. ábra. A P nyomóerő munkája.


-60-

A hajlított gerenda kifordulása esetén a szimmetria tengelyen fekvő D csavarási tengelytől dp távolságra ható p megoszló erő (illetve a p erőből származó M belső nyomaték) munkát végez a δv=δv(x) lehajlási és a δφ=δφ(x) elcsavarodási függvény által meghatározott elmozduláson (kiforduláson), amivel kifejezhető a potenciális energia második variációja:

[ ] dx)(M2vM2pd2

1 L

0

2'y

''2pk

2 ⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−= ∫ δϕβδδϕδϕΠδ (3-62)

Bizonyítás A (3-62) kifejezés első tagja a P erő potenciáljának változását fejezi ki, ami kifejezhető az elcsavarodás során a P erő függőleges elmozdulásának munkájával. Ugyanerre az eredményre jutunk, ha vesszük a δφ elcsavarodás miatt keletkező p·δφ erőkomponensnek az elcsavarodás okozta dp·δφ eltolódáson végzett munkáját (3-11a ábra):

( ) ( ) 2pp1,k pd

2

1dp

2

1L δϕδϕδϕδ ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=

A (3-62) kifejezés második tagja a δφ elcsavarodás miatt keletkező M·δφ nyomatéki komponensnek a kihajláson végzett munkáját jelenti (3-11b ábra):

''2,k vML δδϕδ ⋅⋅=

A (3-62) kifejezés harmadik tagja a δφ elcsavarodás miatt az alkotókkal azonos mértékben

elferdülő belső normálerők (3-35) szerinti 'K δϕ⋅ csavaró nyomatékának munkája:

( ) 2'''3,k )(KKL δϕδϕδϕδ ⋅=⋅⋅=

ahol ∫ ⋅⋅⋅=s

2 dstaK σ

A szimmetria síkban történő hajlítás esetén:

zI

M

y

⋅=σ

A keresztmetszeti pont és a csavarási tengely a távolságának négyzete:

( )222 zzya ω−+=

3-11. ábra. A külső erők munkája a kiforduláson. Vezessük be az alábbi kifejezéseket:

( )∫ ⋅⋅+⋅⋅=

−=

s

22

yy

yy

dstzyzI

1q

q2

1zωβ

φ

v M·φ

M

b)

φ

a)

D

p p

dP dP·φ

p·φ


-61-

A fentiek alapján a Wagner-tényező az alábbi alakban írható:

y

s

2 MdstaK βσ ⋅=⋅⋅⋅= ∫

A fenti kifejezések felhasználásával a (3-62) kifejezés harmadik tagja:

2'y3,k )(ML δϕβδ ⋅⋅=

3-4 Példa Határozzuk meg a központosan nyomott rugalmas rúdelem kritikus terhét a virtuális elmozdulások tétele alapján!

A nyomott rúdelem belső potenciális energiája második variációját a (3-59), a külső potenciál második variációját a (3-61) adja meg. A (3-58) értelmében a rúdelem kritikus állapotában a potenciális energia második variációja köteles minimumot, azaz zérus értéket felvenni:

( ) ( )[ ] 0dxvPvIEL

0

2'2''2 =⋅⋅−⋅⋅= ∫ δδΠδ

A matematikai variációs probléma általános megoldása helyett megmutatjuk, hogy ha a feltételi egyenletet kielégítő δv=δv(x) virtuális kihajlást a

xL

sinAv ⋅⋅= πδ

alakban feltételezzük, akkor az így kapott Pcr kritikus erő megegyezik a sajátérték feladat megoldásából kapott (1-33a) kifejezéssel. Deriváljuk a megoldás függvényt kétszer a közvetett deriválás szabálya szerint:

⋅⋅⋅= xL

cosL

Av' ππδ

⋅⋅⋅−= xL

sinL

Av2

2'' ππδ

Helyettesítsük be a deriváltakat a potenciális energia második variációjába, emeljük ki a konstansokat az integrálok elé, majd osszuk el az egyenletet (A2·π2/L2) kifejezéssel:

0dxxL

cosPdxxL

sinL

IEL

0

L

0

2cr

22

2

=⋅

⋅⋅−⋅

⋅⋅⋅⋅ ∫ ∫πππ

A fenti egyenletből a kritikus erő kifejezhető:

∫

∫

⋅

⋅

⋅

⋅⋅⋅⋅= L

0

2

L

0

2

2

2

cr

dxxL

cos

dxxL

sin

L

IEP

π

ππ

Mivel a fenti kifejezésben a jobb oldali hányados nevezője és számlálója azonos értékű, ezért:

2

2

cr L

IEP

⋅⋅= π

A fenti számítással indirekt módon bizonyítottuk, hogy a variációs probléma megoldása sajátérték feladatra vezet.

3.3.2 A kifordulás problémájának általános megoldása A szimmetriasíkjában hajlított rúdelem (gerenda) kritikus terhét a nyomatéki eloszlás referencia helyén (általában a nyomatéki maximumnál) értelmezett MR,cr kritikus nyomatékkal fejezzük ki. A kritikus nyomaték általános formuláját eredendően Clark és Hill szerzőpáros


-62-

közölte a sokszor hivatkozott cikkükben (CLARK J.W. – HILL H.N. 1960). A kifordulás problémájának általános megoldását a hivatkozott szerzők munkájára alapozva tekintjük át.

A (3-58) értelmében a hajlított rúdelem kifordulásnak (egyensúlyi elágazásának) az a feltétele, hogy a rúdelem potenciális energiájának második variációja zérus (minimum) értéket vegyen fel:

( ) ( ) ( )[( ) ] 0dxpdM2vM2

IGIEvIE2

1

2p

2'y

''

L

0

2'SV

2''2''z

2

=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+

+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅= ∫

ϕϕβϕ

ϕϕΠδ ω (3-63)

A (3-63) egyenlet első sorában a (3-59) és (3-60) szerinti alakváltozási energiák szerepelnek. Az egyenlet második sora a (3-62) szerinti külső potenciál változását jelenti.

A szimmetriai síkra merőleges síkban csak a φ·M nyomaték hat, ami az M nyomaték komponense a φ elcsavarodás következtében. A globális egyensúly feltétele, hogy ebben a síkban a külső és belső nyomatékok egyensúlyban legyenek:

0MvIE ''z =⋅+⋅⋅ ϕ (3-64)

A (3-64) egyensúlyi egyenletből a v’’ kifejezhető,

z

''

IE

Mv

⋅⋅−= ϕ

(3-65)

A (3-65) felhasználásával a (3-63) egyenletben egyetlen ismeretlene a φ=φ(x) elcsavarodás függvény lesz. A szimmetria síkban ható p megoszló erő szintén kizárható az egyenletből, ha figyelembe vesszük, hogy

)M(dx

Mdp ''

2

2

== (3-66)

Vezessük be az alábbi kifejezéseket:

X=x/L és m(x)=M(x)/MR, (3-67)

ahol MR az M(x) nyomatékfüggvény referencia értéke, például a 3-12 ábra szerint.

3-12. ábra. Az MR referencia nyomaték két jellemző esetben.

A (3-65), (3-66) és (3-67) figyelembe vételével a (3-63) egyenlet az alábbi alakba rendezhető:

∫ ∫

∫∫∫

=⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−

−

⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅−⋅

⋅1

0

1

0

2''4

2'2

SV

1

0

2'y

21

0

''p2

R1

0

22

z

2R

0dXL

IEdX

L

IG

dXm2dXmdL

MdXm

IE

M

ϕϕ

ϕβϕϕ

ω

(3-68)

p

L

x

M(x)

MR=p·L2/8

L

x

M(x)

MR=p·L2/24


-63-

A (3-68) egyenletben a deriváltakat az X=x/L szerint kell érteni, például:

dX

d' ϕϕ =

Látható, hogy a (3-68) egyenlet az MR referencia nyomatékra nézve másodfokú. Vezessük be az alábbi kifejezést:

⋅⋅

⋅⋅= ∫∫

1

0

''1

0

22 dXdXmI ϕϕ (3-69)

A (3-69) alkalmazásával vezessük be a következő paramétereket:

I

dX

C

1

0

2'

1

⋅=∫ϕ

; I

dXm

2

1C

21

0

''

2

⋅⋅⋅−=∫ ϕ

; I

dXm

C

1

0

2'

3

⋅⋅=∫ ϕ

(3-70)

Továbbá legyen

dX

dX

k 1

0

2''

1

0

2'

22

⋅

⋅⋅=

∫

∫

ϕ

ϕπ (3-71)

A (3-69) és (3-71) kifejezésekkel, valamint a (3-70) paraméterekkel a (3-68) másodfokú egyenlet gyöke adja a referencia nyomaték kritikus értékét:

( )( ) ( )

⋅+⋅−⋅−⋅+

⋅⋅⋅⋅⋅+⋅

⋅⋅⋅⋅= y3p2

2y3p2

z2

SV2

z2

z2

1cr,R CdCCdCIE

IGLk

I

I

Lk

IECM ββ

ππ ω

(3-72) A (3-72) kifejezésben a dp távolság tágabb értelemben akkor pozitív, ha a p erő a támadáspontjából nézve a D csavarási középpont felé irányul. A k tényező a rúdelem végeinek a kifordulás síkjában bekövetkező elfordulásának gátlására utaló tényező (kihajlási hossztényező), amely tiszta kihajlás esetén 0,5-1,0 közötti változhat (csuklós végek esetén 1,0; befogott végek esetén 0,5). Ugyanakkor a (3.71) arra utal, hogy a k tényező függ a φ elcsavarodási függvénytől. (Ebből viszont az következik, hogy a kihajlás elleni befogási tényező kényszerkapcsolatban áll az öblösödés elleni befogási tényezővel.) A C1, C2 és C3 tényezőket akkor tudjuk meghatározni, ha ismerjük a φ elcsavarodási függvényt és az M(x) nyomatéki eloszlást. Az utóbbi konkrét feladat esetén ismert, azonban a φ elcsavarodási függvényt, amelynek meg kell fellelnie a peremfeltételeknek, általában csak közelítőleg tudjuk felvenni. A megoldással sokan, sokféle megközelítésben foglalkoztak, aminek következtében a C1, C2 és C3 paraméterek számos forrásból állnak rendelkezésünkre táblázatok és közelítő kifejezések formájában (MSZ ENV 1993-1-1:1995; …..). Sajnálatos, hogy az irodalomban sok megbízhatatlan érték is napvilágot látott. Ugyanakkor mára a táblázatok és közelítő képletek jelentősége nagymértékben csökkent, mert egyre több szoftver jelenik meg, amelyik végeselemes analízissel képes tetszőleges szerkezeti elemek és összetettebb szerkezetek kritikus terhének gyors és megbízható számítására. A 4. fejezetben egy ilyen általános numerikus módszert mutatunk be.


-64-

3.4 A kihajlás és a kifordulás interakciója Vizsgáljuk a 3-13a ábrán látható villás kéttámaszú rúdelemet, ahol a P nyomóerő és ellentétes előjelű M rúdvégi nyomatékok egyszerre hatnak (a modell geometriai adatai azonosak a 3-9a ábrán látható modellel).

3-13. ábra. A nyomott és hajlított rúdelem térbeli stabilitásvesztése: a) modell; b) térbeli alak.

Végezzünk el a rúdelem numerikus kísérletét. Legyen a nyomóerő P=250kN, és növeljük az M értékét addig, míg bekövetkezik az egyensúly elágazása. A kísérlet eredménye:

kNm250PP

kNm190M

cr

cr

===

(3-73)

A 3-13b ábra a (3-73) szerinti kritikus erőknél bekövetkező térbeli stabilitásvesztési alakot mutatja, amely szemmel nem különböztethető meg a 3-9b ábrán látható kifordulási alaktól. Célul tűzzük ki az egyszerre nyomott és hajlított, kétszeresen szimmetrikus rúdelem kritikus terhének meghatározását. A feladat megoldását Halász és Iványi szerzőpáros publikációja nyomán mutatjuk be (HALÁSZ O. - IVÁNYI M. 2001). Induljunk ki a nyomott rúdelem (3-41) egyensúlyi differenciálegyenlet rendszeréből, de vegyük figyelembe, hogy kétszeresen szimmetrikus keresztmetszet esetén yω=zω=0 és az egyenletekben megjelenik az M nyomaték hatása is (3-14 ábra), valamint a függőleges síkú hajlítás független problémaként kezelhető:

( )( ) 0vM'iPIG'''IE

0MvP"vIE'

y2

SV

yz

=⋅+⋅⋅−⋅−⋅⋅

=⋅−⋅+⋅⋅

ϕϕ

ϕ

ωω

(3-74)

A megoldás során vegyük figyelembe, hogy a keresztmetszetben ható My nyomaték az (1-21) figyelembe vételével az alábbi alakban fejezhető ki:

y,cr

y

P

P1

MM

−= (3-75)

P

a)

b)

M

M


-65-

3-14. ábra. A hajlításból származó csavarónyomaték értéke.

A (3-74) megoldásának gondolatmenete azonos a 3.3 szakaszban bemutatott megoldással. A részletek nélkül a sajátérték faladat az alábbi megoldásra vezet:

−⋅

−=

x.crz.cr

2

cr P

P1

P

P1

M

M (1-76)

Az (1-76) egyenletet kielégítő (P,M)cr értékpár a modell kritikus terhe. Az egyenletben Mcr a (3-72) kifejezésnek megfelelő kritikus nyomaték (C1=1; k=1; C2=C3=0), Pcr.z és Pcr.x a (3-44) kifejezéseknek megfelelő kritikus erők:

⋅+⋅⋅⋅==

⋅⋅=

⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=

SV2

2

2x.cr

2z

2

z.cr

z2

SV2

z2

z2

cr

IGL

IE

i

1)P(P

L

IEP

IE

IGL

I

I

L

IEM

ω

ωω

ω

π

ππ

π

(1-77)

3-6 Példa Számítsuk ki a 3-13 ábrán látható numerikus kísérleti modell kritikus terhét az (1-76) egyenlet segítségével! Keresztmetszeti jellemzõk (ConSteel program)

A 7904 mm2⋅:= Iy 231 10

6⋅ mm4⋅:= Iz 16.2 10

6⋅ mm4⋅:= ISV 299 10

3⋅ mm4⋅:=

Iω 639.3 109⋅ mm

6⋅:= iy 171 mm⋅:= iz 45.0 mm⋅:= iω iy2

iz2+ 176.8 mm⋅=:=

Anyagi jellemzõk E 210000N

mm2

⋅:= GE

2 1 0.3+( )⋅80769

N

mm2

⋅=:=

Rúdelem hossza L 6000 mm⋅:=

Kritikus erõk Pcr.z

π 2E⋅ Iz⋅

L2

933 kN⋅=:= Pcr.x1

iω2

G ISV⋅π 2

E⋅ Iω⋅

L2

+

⋅ 1950 kN⋅=:=

Mcr

π 2E⋅ Iz⋅

L2

IωIz

L2

G⋅ ISV⋅

π 2E⋅ Iz⋅

+⋅ 238m kN⋅=:=

Kritikus teher Pcr 250 kN⋅:= MP.cr Mcr 1Pcr

Pcr.z−

1Pcr

Pcr.x−

⋅⋅ 190m kN⋅=:=

A szakirodalomban további megoldásokat is találunk általános keresztmetszetre, valamint lineárisan változó nyomatéki eloszlásra (IVÁNYI M. 1995).

x

v(x)

x

v’(x) My

My ·v’(x)


-66-

4. Általános rúd végeselemes analízis


-67-

Irodalom KORÁNYI I. 1965. Stabilitási kérdések a mérnöki gyakorlatban, Kihajlás a síkban, Akadémiai Kiadó, Budapest 1965

HALÁSZ O. - IVÁNYI M. 2001. Stabilitáselmélet, Akadémiai Kiadó, Budapest 2001

KOLLÁR L. - DULÁCSKA E. 1975. Héjak horpadása, Akadémiai Kiadó, Budapest 1975

GÁSPÁR ZS. 2006. A mérnöki stabilitáselmélet különleges problémái – 4. Katasztrófaelmélet alkalmazása a szerkezetek stabilitásvizsgálatában (Szerkesztette: Kollár Lajos), Akadémiai Kiadó, Budapest 2006

GÁSPÁR ZS. 1984. Buckling model for a degenerated case. Newsletter, Vol. 2, No. 4. Technical University of Budapest, p. 5-8.

IVÁNYI M. 1995. Stabilitástan. Műegyetemei Kiadó, 1995

CHEN, W. - ATSUTA, T. 1977/1. Theory of Beam-Columns. Vol.1: Space Behavior and Design, McGraw-Hill, p. 31-51, 1977

CHEN, W. - ATSUTA, T. 1977/2. Theory of Beam-Columns. Vol.2: Space Behavior and Design, McGraw-Hill, 1977, (a: p.31-51; b: p.539-534; c: p.559)

SZALAI J. 2007. Melegen hengerelt acélrudak szabványos teherbírásának vizsgálata valószínűségelméleti alapon, PhD disszertáció, Budapest Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem, 2007

STRATING J. - VOS H. 1973. Computer simulation of the E.C.C.S. Buckling Curves using a Monte Carlo Method. HERON Vol.19., No.2., 1973

MAQUOI R. - RONDAL J. 1978. Mise en Equation des Nouvelles Courbes Européennes de Flambement. Revue Construction Métalique, Vol.1, 1978

GREINER R. 2001. Background information on the beam-column interaction formulae at Level 1. ECCS TC 8, Ad-hoc working group on beam-columns. ECCS TC 8, Ad-hoc working group on beam-columns, Technical University Graz, 2001

BOISSONADE N. - JASPART JP. - MUZEAU JP. – VILLETTE M. 2002. Improvement of the interaction formulae for beam columns in Eurocode 3. Computers and Structures 2002; 80:2375-2385, 2002

EUROCODE 3 2005. MSZ EN 1993-1-1, Eurocode 3: Acélszerkezetek tervezése 1-1. rész: Általános és az épületekre vonatkozó szabályok, 6.3.1 szakasz.

HORN M.R. – MERCHANT W. 1965. The stability of frames. Pergamon Press Ltd., London, England, 1965

УРВАН И. В. 1955. Теория Расчёта Стержневых Тонкостенных Конструкций, Государственное Транспортное Железнодорожное Издателъство, Москва, 1955

VLASOV V.Z. 1961. Thin-Walled Elastic Beams, 2nd ed., Washington D.C.

KOLBRUNNER F.C. - BASLER K. 1966. Torsion, Springer, 96-128. o., Berlin 1966

KOLBRUNNER F.C. - HAJDIN N. 1992. Wölbkrafttorsion düüwandiger Stäbe mit offenem Profil Teil I, Verlag, Schweizer Stahlbau-Vereinigung, Zürich 1992

CSELLÁR Ö. – HALÁSZ O. – RÉTI V. 1965. Vékonyfalú acélszerkezetek. Műszaki Könyvkiadó, Budapest 1965.

Trahair N.S. 1993. Flexural-Torsional Buckling of Structures. E & FN SPON, 1993

MSZ ENV 1993-1-1:1995. Eurocode 3: Design of steel structures. Part 1-1: General rules and rules for buildings, 270-271. oldal


-68-

BORSOUM R.S. - GALLAGHER R.H. 1970. Finite Element Analysis of Torsional and Torsional-Flexural Stability Problems, International Journal for Numerical Methods in Engineering, Vol. 2. 335-352, Wiley & Sons 1970 Turkalj, G. - Brnic, J. - Prpic-Orsic, J. 2003. Large rotation analysis of elastic thin-walled beam- type structures using ESA approach, Computers & Structures 81 (2003) 1851-1864

VÖRÖS, G. 2005. A gátolt csavarás hatásának vizsgálata rudakban és merevítő rúdelemekben, BME Gépészmérnöki Kar Habilitációs Füzetei, Budapest 2005

Documents

Stabilitáselmélet I rész 13¡selmélet...Bemutatjuk az általánosított Ayrton-Perry formulát és az arra alapozott új numerikus méretezési eljárások gondolatmenetét. A