STABILNOST KONSTRUKCIJA 6 19 - grf.bg.ac.rs · STABILNOST KONSTRUKCIJA 17 Nehomogena diferencijalna jednačina. Partikularni integral. Diferencijalna jednačina zategnutog štapa

STABILNOST KONSTRUKCIJAVI ČAS

V. PROF. DR MARIJA NEFOVSKA‐DANILOVIĆ

3. SABILNOST KONSTRUKCIJA 1

Univerzitet u BeograduGrađevinski fakultetKatedra za tehničku mehaniku i teoriju konstrukcija

Metoda početnih parametaraOsnovne jednačine štapa:◦ Linearizovana teorija II reda‐tačno rešenje

◦ Linearizovana teorija II reda‐aproksimativno rešenje

R K q Q

0 g R K K q Q

3. STABILNOST KONSTRUKCIJA 2

Matrice krutosti po K i Kg linearizovanoj Teoriji II reda, tačno i aproksimativno rešenje, znamo da odredimo.

Treba odrediti vektor ekvivalentnog opterećenja po linearizovanoj Teoriji II reda, tj, Q = ?


Metoda početnih parametara

Vektor ekvivalentnog opterećenja ćemo odrediti primenom metodepočetnih parametara iz nehomogene diferencijalne jednačine šapa.

Vrednost partikularnog integrala ćemo odrediti u zavisnosti od zadatogopterećenja.


Metoda početnih parametara

Metoda početnih parametaraPritisnut štapPritisnut štap – homogena dif.jednačina i rešenje

Ci su integracione konstante koje se određuju iz graničnih uslova štapa


kxCkxCkxCCxvEISkvkv

cossin)(

)(0

4321

22

Integracione konstante se određuju iz graničnih uslova na početku štapa:

‐ ugib

‐ nagib

‐ momenat savijanja

‐ transverzalna sila


0 0v v

0 (0)v

0 (0)M EI v

0 (0) (0)V EIv Sv

Metoda početnih parametaraPritisnut štap

Diferenciranjem se dobija


kxkCkxkCxv

kxkCkxkCxv

kxkCkxkCkCxv

sincos)(

cossin)(

sincos)(

34

33

24

23

432


Unošenjem dobijenih izraza u granične uslove, dobija se sistem jednačina po konstantama Ci


0 1 4

0 2 3

0 4

0 3 2 3 2

(0)(0)(0) (0)

(0) (0) (0) ( )

v v C Cv C k C kM EIv M C SV EIv Sv V C kS S C k C k SkC

gde je S=k2EI


Rešavanjem sistema jednačina dobija se:


02

04

01 0

0 03

,

,

,

,

VC

SkM

CS

MC v

SV

Ck Sk


Rešenje homogene dif. jednačine pritisnutog štapa Metodom početnih parametara glasi:

gde su v0, , M0 i V0 početni parametri (ugib, nagib, momenat savijanja i transverzalna sila na početku štapa)


EIkkxkxV

EIkkxM

kkxvxv 302000

sincos1sin)(



Nehomogena diferencijalna jednačina. Partikularni integral.

d

p(x)

v0

V0

SM0

v(x)0

p( )d

x

x-

Nehomogena dif. jednačina: 2( ) ( ) ( )IV IIv x k v x p x

x

y

Rešenje nehomogene diferencijealne jednačine je zbir rešenja homogenog dela vh(x) i partikularnog integrala vp(x) :

Partikularan integral pretpostavljamo u obliku:


x

p dpEIk

xkxkxv0 3 )()(sin)()(

( ) ( ) ( )h pv x v x v x

silapomeranje usled sile

Opšte rešenje se može prikazati u obliku:


)()()()()(

)(sincossin)()(

)(cos1sincos)()(

)(sincos1sin)(

2

00

000

2000

302000

EISkdpVxvSxvEIxV

xvEIkkxVkxMkxkEIxvEIxM

xvEIk

kxVEIkkxMkxxvx

xvEIk

kxkxVEIk

kxMkkxvxv

x

p

p

p


Ako uvedemo funkcije:


1 2

3 4

sin( ) 1, ( ) ,

1 cos sin( ) , ( )

kxF x F xk

kx kx kxF x F xS kS



)()()(

)()()(cossin)(

)()()(sincos)(

)()()()()()()(

2

00

022000

033000

0440302010

EISkdpVxV

dxFpxFVkxMkxkEIxM

dxFpxFVEIkkxMkxx

dxFpxFVxFMxFxFvxv

x

x

x

x


Ako uvedemo nove funkcije Ij(x), j=1,2,3,4:

1 10

2 20

3 30

4 40

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

x

x

x

x

I x F x p d

I x F x p d

I x F x p d

I x F x p d



dobijaju se izrazi za pomeranje, obrtanje i sile u preseku:

0 1 0 2 0 3 0 4 4

0 0 0 3 3

0 0 0 2 2

20 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )sin( ) cos ( ) ( )

( ) sin cos ( ) ( )

( ) ( ) ( )

v x v F x F x M F x V F x I xk kxx kx M V F x I x

SM x EI k kx M kx V F x I x

SV x V I x kEI



Diferencijalna jednačina zategnutog štapa je :

Koriste se rešenja za pritisnut štap, u koja se unose sledeće izmene:


2 ( )IV p xv k vEI

1cos sinS S k ki i

iz chz i iz shz

Metoda početnih parametaraZategnut štap

Za pritisnut štap je:


1 2

3 4

sin( ) 1 ( )

1 cos sin( ) ( )

kxF x F xk

kx kx kxF x F xS kS


Za zategnut štap se dobija:


1

2

3

4

( ) 1sin( )

1 cos 1( )

sin( )

z

z

z

z

F xikx i shkxF x

ik i kikx chkxF x

S Sikx ikx i kx shkxF x

ikS i kS


Konačni izrazi za zategnuti štap su:


0 1 0 2 0 3 0 4 40

0 0 0 3 30

0 0 0 2 20

20

0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

xz z z z z

xz z

xz z

x

v x v F x F x M F x V F x p F x d

ksh kxx ch kx M V F x p F x dS

M x EI k sh kx M ch kx V F x p F x d

SV x V p d kEI


Ako uvedemo funkcije Ij(x), j=1,2,3,4, dobijaju se izrazi za pomeranje, obrtanje i sile u preseku:

0 1 0 2 0 3 0 4 4

0 0 0 3 3

0 0 0 2 2

20 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

z z z z z

z z

z z

z

v x v F x F x M F x V F x I xksh kxx ch kx M V F x I x

SM x EI k sh kx M ch kx V F x I x

SV x V I x kEI



gde je:

1 10

2 20

3 30

4 40

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

xz z

xz z

xz z

xz z

I x F x p d

I x F x p d

I x F x p d

I x F x p d



Stepenasto promenljivo opterećenje pravog štapaMetoda početnih parametara


V0

M0

S

p0

p1

p2P1

M1

P2M2

a1

a2

x

Funkcija ugib grede je oblika:


)()()(|

)()()(|

)()()()()(

22242232

11141131

04030200

2

1

axFaxFPaxFM

axFaxFPaxFM

xFxFVxFMxFvxv

pax

pax

p

Stepenasto promenljivo opterećenje pravog štapa

Nagib grede je:


)()()(sin|

)()()(sin|

)()(sincos)(

222322

2

111311

1

03000

2

1

axFaxFPS

axkkM

axFaxFPS

axkkM

xFxFVS

kxkMkxx

pax

pax

p


Momenat savijanja je:


)()()(cos|

)()()(cos|

)()(cossin)(

2222222

1112111

02000

2

1

axFEIaxFPaxkM

axFEIaxFPaxkM

xFEIxFVkxMkxkEIxM

pax

pax

p


Transverzalna sila je:


)(|

)(|)(

222

11100

2

1

axpP

axpPxpVxV

ax

ax


Partikularan integral za pritisnut štap opterećen raspodeljenim opterećenjem je:

0

( ) sin ( )( ) ( )x

pk x k xF x p d

kS



Za konstantno opterećenje p(x)=const partikularan integral je:


2 2

2

2 2

2

( ) (cos 1 ) 0 ( .)2

( ) ( 1 ) 0 ( .)2

p

p

p k xF x kx za S pritk S

p k xF x chkx za S zatk S


Stabilnost pravog štapa sa const. poprečnim presekom i aksijalnom silom primenom metode početnih parametara

Pritisnut štap

Kritično opterećenje je najmanje opterećenje pri kojem homogen problempo linearizovanoj teoriji II reda ima netrivijalno rešenje.


2 20IV

c

Sv k v k

EI

Homogeni granični uslovi:◦ Slobodan oslonac v = 0, M = 0◦ Uklještenje v = 0, v’ = 0◦ Slobodan kraj M = 0, V = 0


2

0 00 0

M vV v k v

Imamo homogenu diferencijalnu jednačinu i homogene granične uslove. Tražimo vrednost parametra opterećenja k za koje postoji rešenje.

Problem svojstvenih vrednosti diferencijalne jednačine

Svojstvene funkcije problema (oblici izvijanja) i svojstveni brojevi (kritične sile)


Svojstvene vrednosti: k1,k2,...km,...

predstavljaju vrednosti k za koje homogena dif. jednačina ima netrivijalno rešenje.

kmin - definiše Pcr

Svojstvene funkcije: v1,v2,...vm,...

predstavljaju elastičnu liniju štapa za određenu vrednost ki (oblik izvijanja)


Ojlerovi slučajevi izvijanjaKonstantan poprečni presek: EI = const

Sila pritiska na krajevima štapa (px=py=0)

Diferencijalna jednačina je data sa:


IV 2 2 Sv k v 0 kEI

Opšte rešenje je dato sa:


)()(

sincossin)(

cos1sincos)(

sincos1sin)(

20

000

2000

302000

EISkVxV

kkxVkxMkxkEIxM

EIkkxV

EIkkxMkxx

EIkkxkxV

EIkkxM

kkxvxv

a) Prvi Ojlerov slučaj

Konzola Granični uslovi:

x = 0: v0=0, x = l: M(l)=0,V(l)=0

Iz uslova ravnoteže vertikalnih sila V0=0


l

SEI

kxMxM cos)( 0

Granični uslov na slobodnom kraju x = l:

Trivijalno rešenje: M0 = 0

Netrivijalno rešenje: cos(kl) = 0

k l = (2n-1) , n = 1,2,3,...

(svojstvene vrednosti)


0)cos(0)(: 0 klMlMlx

Kako je

Svojstvene funkcije (M0):


2

22

n 2

S k EIEIS ( 2n 1) n 1,2,3,

( 2l )

),3,2,1()cos1()( nxkCxv nn

22

322

222

1)2(

25)2(

9)2( l

EISl

EISl

EIS

Prvi Ojlerov slučaj


b) Drugi Ojlerov slučaj

Prosta greda Granični uslovi:

x=0: v0=0, M0=0x=l: v(l)=0, M(l)=0

Iz uslova ravnoteže vertikalnih sila V0=0

Dobija se ugib u obliku:


kkxxv )sin()( 0

Sl

Iz graničnog uslova v(l) = 0 se dobija:

Takođe je:


0)sin(0

0)sin(0)(

0

0

klkkllv

0)()sin()( 0 lMkxkEIxM

Svojstvene vrednosti:

Kritične sile izvijanja:


,3,2,1,0)sin( nnlkkl

22

322

222

1

222

94

,3,2,1

lEIS

lEIS

lEIS

nlEInS

lnk nn

Drugi Ojlerov slučaj


c) Treći Ojlerov slučajUklješten‐slobodno oslonjen štap

Granični uslovi x = 0: v0 = 0,

x = l: v(l) = 0, M(l) = 0


l

S

Granični uslovi na kraju x = l:

Homogen sistem linearnih algebarskih jednačina po M0 i V0.


0)sin()cos(0)(

0)sin()cos(10)(

00

00

kklVklMlM

SkklklV

SklMlv

Uslov da postoji netrivijalno rešenje:

Karakteristična jednačina:

Svojstvene vrednosti:

( )tg kl kl


klklkl

kklkl

Skklkl

Skl

cossin0sincos

sincos1

1( ) 4.4934, ( ) (2 1) 2,3,4,2nkl kl n n

Kritične sile izvijanja:

Svojstveni oblici izvijanja:


21 22 2

254.4934 ,4

EI EIS Sl l

)sin()cos1()( 21 xkxkCxkCxv nnnn

d) Četvrti Ojlerov slučajObostrano uklještena greda

Granični uslovi: x = 0: v0 = 0, x = l: v(l) = 0, (l) =


l

S

Granični uslovi na kraju x = l:

Homogen sistem linearnih algebarskih jednačina po M0 i V0.


0)cos(1)sin(0)(

0)sin()cos(10)(

00

00

SklV

SklkMl

SkklklV

SklMlv

Uslov da postoji netrivijalno rešenje:


1 cos sin

0sin 1 cos

2sin( ) [2sin( ) cos( )] 02 2 2

kl kl klS k S

k kl klS S

kl kl klkl

Karakteristična jednačina i svojstvene vrednosti


21 1 2

22 2

2 2

prva jednačina:2( ) sin 0 4

2 2druga jednačina:

( ) 4.4934 4 4.49342 2 2

4 39.478, 4 4.4934 80.763

kl kl EII k Sl l

kl kl kl EIII tg Sl

Efektivna dužina izvijanja

Efektivna dužina izvijanja je dužina fiktivnog štapa, zglobno oslonjenog na oba kraja, čija je kritična sila ista kao i za posmatrani (realan) štap, sa datim graničnim uslovima.

Stvarna dužina posmatranog štapa ... l

Koeficijent efektivne dužine izvijanja ...

Efektivna dužina izvijanja ... li = l


kr

kri

kr

SEI

l

lEISodn

lEIS

2

22

2

)(.

Efektivne dužine izvijanja za Ojlerove slučajeve


22

22

22

22

(1) 2.0(2 )

(2) 1.0

(3) . 4.4934 0.70

(4) . 0.50(0.5 )

kr

kr

kr

kr

EIKonzola Sl

EIProsta greda Sl

EIUklj Slob Sl

EIUklj Uklj Sl

Documents

STABILNOST KONSTRUKCIJA 6 19 - grf.bg.ac.rs · STABILNOST KONSTRUKCIJA 17 Nehomogena diferencijalna jednačina. Partikularni integral. Diferencijalna jednačina zategnutog štapa