Standar Untuk Kelas Pra

Standar untuk Kelas Pra-K-2

Selama bertahun-tahun dari lahir sampai usia empat, banyak pengembangan matematika penting terjadi pada anak-anak.Apakah mereka dirawat oleh anggota keluarga selama tahun prasekolah atau menerima perawatan dari orang luar keluarga mereka, semua anak perlu keinginan bawaan mereka untuk belajar dipelihara dan didukung. Di TK sampai kelas 2, pertimbangan seperti pengaturan pendidikan berkualitas tinggi dan pengalaman menjadi penting. Sepanjang tahun-tahun awal, Standar dan harapan khusus untuk matematika pembelajaran direkomendasikan di sini dapat membantu orang tua dan pendidik memberikan anak-anak dasar afektif dan kognitif yang kuat dalam matematika.

Matematika untuk Learner Termuda

Landasan untuk pengembangan matematika anak-anak yang didirikan pada tahun-tahun awal. Matematika belajar dibangun di atas rasa ingin tahu dan antusiasme anak-anak dan tumbuh secara alami dari pengalaman mereka. Matematika di usia ini, jika tepat terhubung ke dunia anak-anak, lebih dari "bersiap-siap" untuk sekolah atau mempercepat mereka ke aritmatika dasar. Pengalaman matematika yang sesuai menantang anak-anak untuk mengeksplorasi ide-ide yang berkaitan dengan pola, bentuk, angka, dan ruang dengan meningkatnya kecanggihan.

Prinsip bahwa semua anak dapat belajar matematika berlaku untuk semua usia. Banyak konsep matematika, setidaknya di awal intuitif mereka, berkembang sebelum sekolah. Misalnya, bayi spontan mengenali dan membedakan sejumlah kecil benda (Starkey dan Cooper 1980). Sebelum mereka masuk sekolah, banyak anak-anak memiliki pengetahuan informal yang substantif matematika. Mereka menggunakan ide-ide matematika dalam kehidupan sehari-hari dan mengembangkan pengetahuan matematika yang bisa sangat kompleks dan canggih (Baroody 1992; »Clements et al 1999;. Gelman 1994; Ginsburg, Klein, dan Starkey 1998). Sukses jangka panjang anak-anak dalam belajar dan pengembangan membutuhkan pengalaman berkualitas tinggi selama "bertahun-tahun janji" (Carnegie Perusahaan 1999). Orang dewasa dapat mendorong pengembangan matematika anak-anak dengan menyediakan lingkungan yang kaya akan bahasa, di mana pemikiran didorong, keunikan dihargai, dan eksplorasi didukung. Bermain adalah pekerjaan anak-anak. Dewasa mendukung ketekunan anak-anak dan perkembangan matematika ketika mereka mengarahkan perhatian pada matematika anak-anak gunakan dalam permainan mereka, menantang mereka untuk memecahkan masalah, dan mendorong ketekunan mereka.

Anak-anak belajar melalui menjelajahi dunia mereka; dengan demikian, kepentingan dan kegiatan sehari-hari adalah kendaraan alami untuk mengembangkan pemikiran matematika. Ketika orangtua menempatkan kerupuk di tangan balita dan mengatakan, "Berikut adalah dua kerupuk-satu, dua," atau ketika tiga tahun memilih bagaimana dia ingin dia roti dipotong-potong berbentuk seperti segitiga, persegi panjang, atau kotak kecil pemikiran -mathematical terjadi. Sebagai seorang anak mengatur boneka hewan dengan ukuran, orang dewasa mungkin bertanya, "Yang hewan terkecil?" Ketika anak-anak mengenali tanda berhenti dengan berfokus pada bentuk segi delapan, dewasa memiliki kesempatan untuk berbicara tentang berbagai bentuk di lingkungan. Melalui pengamatan yang cermat, percakapan, dan bimbingan, orang dewasa dapat membantu anak-anak membuat hubungan antara matematika dalam situasi akrab dan yang baru.

Karena anak-anak mengembangkan disposisi untuk matematika dari pengalaman awal

mereka, kesempatan untuk belajar harus positif dan mendukung. Anak-anak harus belajar untuk mempercayai kemampuan mereka sendiri untuk memahami matematika. Yayasan matematika diletakkan sebagai teman bermain buat jalan-jalan dan bangunan di pasir atau membuat playhouses dengan kotak kosong. Ide matematika tumbuh sebagai anak-anak menghitung langkah seberang ruangan atau mengurutkan koleksi batu dan harta lainnya. Mereka belajar konsep-konsep matematika melalui kegiatan sehari-hari: menyortir (menempatkan mainan atau bahan makanan pergi), penalaran (membandingkan dan bangunan dengan blok), yang mewakili (gambar untuk merekam ide-ide), mengenali pola (berbicara tentang rutinitas sehari-hari, mengulang sajak, dan membaca buku-buku diprediksi ), berikut arah (menyanyikan lagu-lagu gerak seperti "Hokey Pokey"), dan menggunakan visualisasi spasial (teka-teki bekerja).Menggunakan benda-benda, peran-bermain, menggambar, dan menghitung, anak-anak menunjukkan apa yang mereka ketahui. »

Hasil belajar yang berkualitas tinggi dari pengalaman formal dan informal selama tahun-tahun prasekolah. "Informal" tidak berarti tidak direncanakan atau serampangan. Karena matematika paling kuat belajar untuk anak-anak prasekolah sering hasil dari eksplorasi mereka dengan masalah dan bahan yang menarik perhatian mereka, orang dewasa harus mengambil keuntungan dari kesempatan untuk memantau dan mempengaruhi bagaimana anak-anak menghabiskan waktu mereka. Orang dewasa dapat menyediakan akses ke buku dan cerita dengan angka dan pola; musik dengan tindakan dan arah seperti atas, bawah, di, dan keluar; atau permainan yang melibatkan aturan dan bergiliran. Semua kegiatan ini membantu anak-anak memahami berbagai ide-ide matematika. Anak-anak perlu hal-hal untuk menghitung, semacam, membandingkan, pertandingan, mengumpulkan, dan mengambil terpisah.

Anak-anak perlu perkenalan dengan bahasa dan konvensi matematika, pada saat yang sama menjaga hubungan pengetahuan dan bahasa informal mereka. Mereka harus mendengar bahasa matematika yang digunakan dalam konteks yang bermakna. Misalnya, orangtua dapat meminta anak untuk mendapatkan jumlah yang sama garpu sebagaisendok; atau saudara mungkin lebih tinggi dari anak, tapi saudara yang sama mungkin lebih pendek dari gadis sebelah. Anak-anak perlu belajar kata-kata untuk membandingkan dan untuk menunjukkan posisi dan arah pada saat yang sama mereka sedang mengembangkan pemahaman tentang penghitungan dan nomor kata.

Anak-anak cenderung memasukkan pengaturan sekolah formal dengan berbagai tingkat pemahaman matematika. Namun, "tidak tahu" lebih sering mencerminkan kurangnya kesempatan untuk belajar dari ketidakmampuan belajar. Beberapa anak akan membutuhkan dukungan tambahan sehingga mereka tidak mulai sekolah dirugikan.Mereka harus diidentifikasi dengan penilaian yang tepat yang disesuaikan dengan kebutuhan dan karakteristik anak-anak.Wawancara dan observasi, misalnya, teknik penilaian yang lebih tepat daripada tes kelompok, yang sering tidak menghasilkan data yang lengkap. Penilaian awal harus digunakan untuk mendapatkan informasi untuk mengajar dan potensi intervensi awal bukan untuk menyortir anak. Dokter anak dan penyedia layanan kesehatan lain sering mengenali indikator kesulitan belajar awal dan dapat menyarankan sumber daya masyarakat untuk mengatasi tantangan ini.

Pendidikan Matematika di Prekindergarten melalui kelas 2

Seperti tahun dari lahir sampai pendidikan formal, Prekindergarten sampai kelas 2 (pre-K-2) adalah masa perubahan perkembangan mendalam bagi siswa muda. Pada ada waktu lain di sekolah adalah pertumbuhan kognitif begitu luar biasa. Karena siswa muda disajikan dalam berbagai pengaturan pendidikan yang berbeda dan mulai program pendidikan di berbagai usia, kita lihat anak-anak pada tingkat ini sebagai siswa untuk menunjukkan pendaftaran mereka dalam program pendidikan formal. Guru siswa-termasuk orang tua dan muda lainnya pengasuh-kebutuhan untuk menjadi pengetahuan tentang berbagai cara siswa belajar matematika, dan mereka harus memiliki harapan yang tinggi untuk apa yang dapat dipelajari selama tahun-tahun awal.

Sebagian besar siswa masuk sekolah percaya diri dalam kemampuan mereka sendiri, dan mereka ingin tahu dan ingin belajar lebih banyak tentang angka dan objek matematika. Mereka memahami dunia dengan penalaran dan pemecahan masalah, dan guru harus menyadari bahwa siswa muda dapat berpikir dengan cara yang canggih. Siswa muda yang aktif, individu akal yang membangun, memodifikasi, dan mengintegrasikan ide-ide dengan berinteraksi dengan dunia fisik dan dengan teman sebaya dan orang dewasa. Mereka membuat koneksi yang memperjelas dan »memperluas pengetahuan mereka, sehingga menambah arti baru untuk pengalaman masa lalu. Mereka belajar dengan berbicara tentang apa yang mereka pikirkan dan lakukan dan dengan berkolaborasi dan berbagi ide-ide mereka. Kemampuan siswa untuk berkomunikasi melalui bahasa, gambar, dan sarana simbolik lainnya berkembang pesat selama bertahun-tahun. Meskipun cara siswa mengetahui, mewakili, dan berkomunikasi mungkin berbeda dari orang dewasa, pada akhir kelas 2, siswa harus menggunakan banyak representasi matematika konvensional dengan pemahaman.

Hal ini terutama penting dalam tahun-tahun awal bagi setiap anak untuk mengembangkan dasar matematika yang kuat. Upaya anak-anak dan keyakinan mereka bahwa matematika adalah pembelajaran dalam jangkauan mereka harus didukung. Siswa muda sedang membangun keyakinan tentang matematika apa, tentang apa artinya untuk mengetahui dan melakukan matematika, dan tentang diri mereka sendiri sebagai pelajar matematika. Keyakinan ini mempengaruhi mereka berpikir, kinerja, sikap, dan keputusan tentang belajar matematika di tahun kemudian (Kamii 2000). Oleh karena itu, sangat penting untuk menyediakan semua siswa dengan program berkualitas tinggi yang mencakup matematika signifikan disajikan dengan cara yang menghormati kedua matematika dan sifat anak-anak. Program-program ini harus membangun dan memperluas pengetahuan matematika siswa intuitif dan informal. Mereka harus didasarkan pada pengetahuan tentang perkembangan anak dan berlangsung di lingkungan yang mendorong siswa untuk menjadi pembelajar aktif dan menerima tantangan baru. Mereka harus mengembangkan kerangka kerja konseptual yang kuat serta mendorong dan mengembangkan kemampuan siswa dan kecenderungan alami mereka untuk memecahkan masalah. Kegiatan jumlah berorientasi pemecahan masalah dapat berhasil bahkan dengan anak-anak yang sangat muda dan dapat mengembangkan tidak hanya menghitung jumlah dan kemampuan, tetapi juga kemampuan penalaran seperti mengklasifikasikan dan pemesanan (Clements 1984). Penelitian terbaru telah mengkonfirmasi bahwa kurikulum yang sesuai memperkuat pengembangan pengetahuan siswa muda 'dari jumlah dan geometri (Griffin dan Kasus 1997; Klein, Starkey, dan Wakeley 1999; Razel dan Eylon 1991).

Matematika mengajar di kelas-kelas yang lebih rendah harus mendorong strategi siswa dan membangun mereka sebagai cara untuk mengembangkan ide-ide yang lebih umum dan

pendekatan sistematis.Dengan mengajukan pertanyaan yang mengarah pada klarifikasi, ekstensi, dan pengembangan pemahaman baru, guru dapat memfasilitasi matematika siswa belajar. Guru harus memastikan bahwa masalah yang menarik dan merangsang percakapan matematika adalah bagian dari setiap hari. Mereka harus menghormati pemikiran siswa individu dan penalaran dan menggunakan penilaian formatif untuk merencanakan instruksi yang memungkinkan siswa untuk menghubungkan matematika baru belajar dengan apa yang mereka ketahui. Sekolah harus memberikan materi yang memungkinkan siswa untuk terus belajar matematika melalui penghitungan, pengukuran, membangun dengan blok dan tanah liat, bermain game dan melakukan teka-teki, mendengarkan cerita, dan terlibat dalam permainan drama, musik, dan seni.

Dalam Prekindergarten sampai kelas 2, konsep-konsep matematika berkembang pada waktu yang berbeda dan tarif untuk setiap anak. Jika siswa untuk mencapai tujuan matematika yang dijelaskan dalamPrinsip dan Standar Sekolah Matematika, pendidikan matematika mereka harus mencakup lebih dari pembelajaran jangka pendek prosedur hafalan. Semua siswa perlu waktu dan kesempatan untuk mengembangkan, membangun, tes, dan merefleksikan pemahaman mereka meningkat matematika yang memadai. Pendidikan dini harus membangun pada prinsip bahwa semua siswa dapat belajar matematika yang signifikan. Seiring dengan harapan mereka bagi siswa, guru juga harus menetapkan standar yang tinggi sama »untukdiri mereka sendiri, mencari, jika perlu, pengetahuan baru dan keterampilan yang mereka butuhkan untuk membimbing dan membina semua siswa. Pemimpin sekolah dan guru harus mengambil tanggung jawab untuk mendukung pembelajaran sehingga semua siswa meninggalkan kelas 2 percaya diri dan kompeten dalam matematika dijelaskan untuk band kelas ini.

Sepuluh Standar disajikan dalam dokumen ini tidak topik terpisah untuk studi tetapi hati-hati helai terjalin dirancang untuk mendukung pembelajaran yang terhubung ide-ide matematika. Pada inti dari matematika di tahun-tahun awal adalah Standar Nomor dan Geometri.Angka dan hubungan mereka, operasi, nilai tempat, dan atribut dari bentuk adalah contoh dari ide-ide penting dari Standar ini. Setiap lainnya Standar Isi matematika, termasuk Aljabar, Pengukuran, dan Analisis Data dan Probabilitas, memberikan kontribusi untuk, dan belajar bersama dengan, Nomor dan Geometri Standar. Standar Proses Pemecahan Masalah, Penalaran dan Bukti, Komunikasi, Koneksi, Perwakilan dan mendukung pembelajaran, dan dikembangkan melalui, Standar Isi. Dan konten pembelajaran melibatkan pembelajaran dan menggunakan proses matematika.

Program matematika di Prekindergarten sampai kelas 2 harus mengambil keuntungan dari teknologi. Pekerjaan dipandu dengan kalkulator dapat memungkinkan siswa untuk mengeksplorasi jumlah dan pola, fokus pada proses pemecahan masalah, dan menyelidiki aplikasi realistis. Melalui pengalaman mereka dan dengan bimbingan guru, siswa harus mengakui bila menggunakan kalkulator sesuai dan ketika itu lebih efisien untuk menghitung secara mental. Komputer juga dapat membuat kontribusi yang kuat dan unik untuk belajar siswa dengan memberikan umpan balik dan hubungan antara representasi.Mereka bermanfaat bagi semua siswa dan sangat membantu bagi peserta didik dengan keterbatasan fisik atau mereka yang berinteraksi lebih nyaman dengan teknologi dari dengan teman sekelas (Clements 1999a; Wright dan Naungan 1994).

Siswa muda sering memiliki pengetahuan yang lebih besar dari mereka mampu mengekspresikan secara tertulis. Guru perlu menentukan apa yang siswa sudah tahu dan apa yang mereka masih harus belajar. Informasi dari berbagai rutinitas kelas penilaian-kelas,

percakapan, karya tulis (termasuk gambar), dan pengamatan-membantu guru merencanakan tugas bermakna yang menawarkan dukungan untuk siswa yang pemahaman yang belum lengkap dan membantu guru menantang siswa yang siap bergulat dengan masalah baru dan ide-ide. Guru harus menjaga keseimbangan, membantu siswa mengembangkan baik pemahaman konseptual dan fasilitas prosedural (skill). Perkembangan siswa dari sejumlah akal harus bergerak melalui tingkat semakin canggih membangun ide-ide dan keterampilan, mengenali dan menggunakan hubungan untuk memecahkan masalah, dan menghubungkan pembelajaran baru dengan lama. Seperti yang dibahas dalam Prinsip Belajar (bab 2), keterampilan yang paling efektif diperoleh ketika pemahaman adalah dasar untuk belajar.

Belajar matematika bagi siswa di tingkat ini harus aktif, kaya bahasa alami dan matematika, dan penuh dengan peluang pemikiran. Siswa menanggapi tantangan harapan yang tinggi, dan matematika harus diajarkan untuk memahami daripada sekitar prasangka tentang keterbatasan anak-anak. Ini tidak berarti meninggalkan cara-cara anak mengetahui dan mewakili; bukan, itu adalah panggilan yang jelas untuk menciptakan peluang bagi siswa muda untuk belajar baru, matematika penting dalam cara-cara yang masuk akal bagi mereka.

Number and Operations

Jumlah dan Operasi Standar untuk Kelas Pra-K-2

Program instruksional dari Prekindergarten sampai kelas 12 harus memungkinkan semua siswa untuk-

Dalam Prekindergarten sampai kelas 2 semua siswa harus-

Memahami nomor, cara yang mewakili angka, hubungan di antara angka, dan sistem nomor

• menghitung dengan pemahaman dan mengenali "berapa banyak" di set objek;

• menggunakan beberapa model untuk mengembangkan pemahaman awal nilai tempat dan sistem bilangan basis-sepuluh;

• mengembangkan pemahaman tentang posisi relatif dan besarnya bilangan bulat dan bilangan ordinal dan kardinal dan koneksi mereka;

• mengembangkan rasa bilangan bulat dan mewakili dan menggunakannya dalam cara yang fleksibel, termasuk yang berkaitan, menyusun, dan membusuk nomor;

• menghubungkan kata-kata nomor dan angka untuk jumlah mereka mewakili, menggunakan berbagai model fisik dan representasi;

• memahami dan mewakili fraksi umum digunakan, seperti 1/4, 1/3, dan 1/2.

Memahami maknaoperasi dan bagaimana mereka berhubungan satu sama lain

• memahami berbagai arti dari penjumlahan dan pengurangan dari seluruh angka dan hubungan antara dua operasi;

• memahami dampak dari menambahkan dan mengurangkan bilangan bulat;

• memahami situasi yang memerlukan perkalian dan pembagian, seperti kelompok yang sama dari objek dan berbagi sama.

Menghitung lancar dan membuat perkiraan yang wajar

• mengembangkan dan menggunakan strategi untuk keseluruhan jumlah perhitungan, dengan fokus pada penambahan dan pengurangan;

• mengembangkan kefasihan dengan kombinasi nomor dasar untuk penambahan dan pengurangan;

• menggunakan berbagai metode dan alat untuk menghitung, termasuk benda-benda, perhitungan mental, estimasi, kertas dan pensil, dan kalkulator.

Konsep dan keterampilan yang berkaitan dengan jumlah dan operasi adalah penekanan utama pembelajaran matematika di Prekindergarten sampai kelas 2. Selama rentang ini, anak kecil

yang memegang dua jari dalam menanggapi pertanyaan "Berapa banyak adalah dua?"tumbuh menjadi anak kelas kedua yang memecahkan masalah canggih menggunakan strategi perhitungan multidigit. Dalam tahun-tahun ini, pemahaman anak terhadap jumlah berkembang secara signifikan.Anak-anak datang ke sekolah dengan pengetahuan informal yang kaya dan beragam dari sejumlah (Baroody 1992; Fuson 1988; Gelman 1994). Selama tahun-tahun awal guru harus membantu siswa memperkuat rasa nomor, bergerak dari pengembangan awal dari teknik penghitungan dasar untuk pemahaman yang lebih canggih dari ukuran nomor, hubungan jumlah, pola, operasi, dan nilai tempat.

Karya siswa dengan nomor harus dihubungkan dengan pekerjaan mereka dengan topik matematika lainnya. Misalnya, kelancaran komputasi (memiliki dan menggunakan metode yang efisien dan akurat untuk komputasi) dapat baik mengaktifkan dan diaktifkan oleh investigasi siswa data; pengetahuan tentang pola mendukung pengembangan skip-menghitung dan berpikir aljabar; dan pengalaman dengan bentuk, ruang, dan jumlah bantuan siswa mengembangkan keterampilan estimasi berkaitan dengan kuantitas dan ukuran.

Karena mereka bekerja dengan angka, siswa harus mengembangkan strategi yang efisien dan akurat yang mereka mengerti, apakah mereka belajar penjumlahan dan pengurangan kombinasi nomor dasar atau komputasi dengan nomor multidigit. Mereka harus mengeksplorasi nomor ke dalam ratusan dan memecahkan masalah dengan fokus khusus pada nomor dua digit. Meskipun penilaian yang baik harus digunakan sekitar yang nomor penting bagi siswa dari usia tertentu untuk bekerja dengan, guru harus berhati-hati untuk tidak meremehkan apa yang siswa muda dapat belajar tentang jumlah. Siswa sering mengejutkan mahir ketika mereka menghadapi angka, bahkan jumlah besar, dalam konteks masalah. Oleh karena itu, guru harus secara teratur mendorong siswa untuk menunjukkan dan memperdalam pemahaman mereka tentang angka dan operasi dengan memecahkan menarik, masalah kontekstual dan dengan membahas representasi dan strategi yang mereka gunakan.

Memahami angka, cara yang mewakili angka, hubungan di antara angka, dan sistem nomor

Menghitung adalah dasar untuk pekerjaan awal siswa dengan nomor.Anak-anak termotivasi untuk menghitung segala sesuatu dari memperlakukan mereka makan ke tangga mereka memanjat, dan melalui pengalaman mereka berulang dengan proses penghitungan, mereka belajar banyak konsep jumlah mendasar. Mereka dapat mengasosiasikan kata nomor dengan koleksi kecil dari objek dan secara bertahap belajar untuk menghitung dan melacak objek dalam kelompok yang lebih besar. Mereka dapat membangun satu-ke-satu korespondensi dengan memindahkan, menyentuh, atau menunjuk benda seperti yang mereka katakan kata-kata nomor. Mereka harus belajar bahwa menghitung objek dalam urutan yang berbeda tidak mengubah hasilnya, dan mereka mungkin melihat bahwa jumlah keseluruhan berikutnya dalam urutan penghitungan adalah salah satu lebih dari jumlah hanya bernama. Anak-anak harus belajar bahwa nomor terakhir bernama mewakili objek terakhir serta jumlah total objek dalam koleksi. Mereka sering memecahkan penambahan dan pengurangan masalah dengan menghitung benda konkret, dan banyak anak-anak menemukan pemecahan masalah »strategi berdasarkan strategi menghitung (Ginsburg, Klein, dan Starkey 1998; Siegler 1996).

Sepanjang tahun-tahun awal, guru harus secara teratur memberikan siswa kesempatan bervariasi untuk terus mengembangkan, menggunakan, dan menghitung praktik karena

mereka mengukur koleksi benda-benda, mengukur atribut bentuk, mengidentifikasi lokasi, dan memecahkan masalah. Prasekolah dan TK guru, misalnya, harus menggunakan alami kesempatan untuk membantu siswa mengembangkan konsep jumlah dengan mengajukan pertanyaan-pertanyaan seperti, Berapa banyak pensil yang kita butuhkan di meja ini? Akan kita menghitung berapa banyak langkah untuk taman bermain? Yang berada di urutan ketiga? Siswa sering menggunakan pendekatan yang berbeda ketika berhadapan dengan jumlah yang lebih kecil dibandingkan jumlah yang lebih besar. Mereka mungkin melihat sekelompok kecil benda (sekitar enam item atau lebih sedikit) dan mengakui "berapa banyak", tetapi mereka mungkin perlu untuk menghitung sekelompok sepuluh atau dua belas benda untuk menemukan total. Kemampuan untuk mengenali sekilas kelompok-kelompok kecil dalam kelompok yang lebih besar mendukung pengembangan visual pengelompokan benda sebagai strategi untuk memperkirakan jumlah.

Pada tahun-tahun awal, siswa mengembangkan kemampuan untuk berurusan dengan angka mental dan berpikir tentang nomor tanpa memiliki model fisik (Steffe dan Cobb 1988). Beberapa siswa akan mengembangkan kapasitas ini sebelum masuk sekolah, dan lain-lain akan memperoleh selama tahun-tahun sekolah awal mereka. Dengan demikian, di kelas pertama-kelas di mana siswa diminta untuk memberitahu berapa banyak blok yang tersembunyi ketika jumlah total, mengatakan, tujuh, diketahui tetapi beberapa, katakanlah, tiga, ditutupi, siswa akan bervariasi dalam bagaimana mereka berurusan dengan tertutup blok. Beberapa mungkin dapat diketahui bahwa ada empat blok terlihat dan kemudian menghitung dari sana, mengatakan, "Lima, enam, tujuh. Ada tiga tersembunyi!" Tetapi orang lain mungkin tidak dapat menjawab pertanyaan itu kecuali mereka melihat semua objek; mereka mungkin perlu untuk mengungkap dan titik pada atau menyentuh blok sebagai mereka menghitungnya.

Sebagai siswa bekerja dengan angka, mereka secara bertahap mengembangkan fleksibilitas dalam berpikir tentang angka, yang merupakan ciri khas dari sejumlah akal. Siswa dapat memodelkan dua puluh lima dengan kacang dan kacang tongkat atau dengan dua dime dan nikel, atau mereka mungkin mengatakan bahwa itu adalah 2 puluhan dan 5 orang, lima lebih dari dua puluh, atau pertengahan antara dua puluh dan tiga puluh. Pengertian jumlah berkembang sebagai siswa memahami ukuran angka, mengembangkan beberapa cara berpikir tentang dan mewakili angka, menggunakan angka sebagai referen, dan mengembangkan persepsi yang akurat tentang efek operasi pada nomor (Sowder 1992). Siswa muda dapat menggunakan nomor akal untuk alasan dengan angka dalam cara yang kompleks. Sebagai contoh, mereka mungkin memperkirakan jumlah batu yang mereka dapat memegang di satu tangan dengan mengacu pada jumlah batu yang guru mereka dapat terus dalam satu tangan.Atau jika ditanya apakah empat ditambah tiga lebih atau kurang dari sepuluh, mereka mungkin menyadari bahwa jumlahnya kurang dari sepuluh karena kedua nomor tersebut kurang dari lima dan lima ditambah lima membuat sepuluh.

Model beton dapat membantu siswa mewakili angka dan mengembangkan sejumlah akal; mereka juga dapat membantu membawa makna untuk penggunaan siswa dari simbol tertulis dan dapat berguna dalam membangun konsep tempat-nilai. Tetapi menggunakan bahan, terutama dengan cara hafalan, tidak menjamin pemahaman. Guru harus mencoba untuk mengungkap 'berpikir karena mereka bekerja dengan bahan beton dengan mengajukan pertanyaan yang menimbulkan siswa siswa berpikir dan penalaran. Dengan cara ini, guru dapat menonton untuk kesalahpahaman siswa, seperti menafsirkan 2 puluhan dan 3 orang dalam gambar 4.1c hanya sebagai lima objek. Guru juga harus memilih tugas yang menarik

yang melibatkan siswa dalam berpikir matematika dan penalaran, yang membangun pemahaman mereka tentang angka dan hubungan antara nomor. »

Gambar. 4.1. Berbagai cara yang mewakili 23

Hal ini mutlak penting bahwa siswa mengembangkan pemahaman yang kuat dari sistem penomoran basis-sepuluh dan konsep tempat-nilai pada akhir kelas 2. Siswa perlu banyak pengalaman instruksional untuk mengembangkan pemahaman mereka tentang sistem, termasuk bagaimana nomor ditulis. Mereka harus memahami, misalnya, bahwa kelipatan 10 menyediakan jembatan ketika menghitung (misalnya, 38, 39, 40, 41) dan bahwa "10" adalah unit khusus dalam basis-sepuluh sistem. Mereka harus mengakui bahwa kata sepuluh mungkin merupakan satu kesatuan (1 sepuluh) dan, pada saat yang sama, sepuluh unit terpisah (10 orang) dan bahwa representasi ini dpt (Cobb dan Wheatley 1988). Menggunakan bahan beton dapat membantu siswa belajar kelompok dan ungroup oleh puluhan. Misalnya, bahan-bahan tersebut dapat membantu siswa mengekspresikan "23" sebagai 23 orang (unit), 1 sepuluh dan 13 orang, atau 2 puluhan dan 3 orang (lihat gambar. 4.1). Tentu saja, siswa juga harus mencatat cara-cara yang menggunakan bahan beton untuk mewakili angka berbeda dari menggunakan notasi konvensional. Sebagai contoh, ketika angka untuk koleksi yang ditunjukkan pada gambar 4.1 ditulis, susunan digit hal-angka untuk puluhan harus ditulis di sebelah kiri angka untuk unit.Sebaliknya, ketika dasar-sepuluh blok atau menghubungkan batu yang digunakan, nilai tidak terpengaruh oleh susunan blok.

Teknologi dapat membantu siswa mengembangkan sejumlah akal, dan mungkin sangat membantu bagi mereka dengan kebutuhan khusus.Misalnya, siswa yang mungkin tidak nyaman berinteraksi dengan kelompok-kelompok atau yang mungkin tidak secara fisik mampu mewakili angka dan simbol yang sesuai display dapat menggunakan Manipulatif komputer. Komputer secara bersamaan menghubungkan tindakan siswa dengan simbol. Ketika susunan blok berubah, nomor yang ditampilkan secara otomatis berubah. Seperti menghubungkan kubus, siswa dapat mematahkan komputer dasar-sepuluh blok menjadi lebih atau bergabung yang bersama untuk membentuk puluhan.

Konsep tempat-nilai dapat dikembangkan dan diperkuat dengan menggunakan kalkulator. Sebagai contoh, siswa dapat mengamati nilai-nilai yang ditampilkan pada kalkulator dan fokus pada yang digit berubah. Jika siswa tambahkan 1 berulang kali pada kalkulator, mereka dapat mengamati bahwa unit digit berubah setiap waktu, tapi puluhan digit perubahan lebih jarang. Melalui percakapan kelas tentang kegiatan dan pola seperti itu, guru dapat membantu memfokuskan perhatian siswa pada penting ide tempat-nilai. Gambar 4.2 menunjukkan contoh-kegiatan kalkulator menantang lain untuk kedua kelas-yang dapat digunakan untuk memperkuat pemahaman siswa tentang »nilai tempat. Dalam kegiatan ini, siswa mulai di satu nomor dan menambah atau mengurangi untuk mencapai sejumlah sasaran. Karena mereka tidak terbatas pada apa yang dapat mereka menambah atau

mengurangi, kegiatan seperti ini memungkinkan mereka untuk menggunakan berbagai pendekatan untuk mencapai angka sasaran. Mereka dapat memutuskan apakah akan menambah atau mengurangi yang atau kelipatan 10 atau bagaimana mereka mungkin menggunakan beberapa langkah untuk sampai pada target.Dengan memiliki siswa berbagi dan mendiskusikan strategi yang berbeda yang digunakan oleh anggota kelas, guru dapat menyoroti cara-cara di mana siswa menggunakan konsep tempat-nilai dalam strategi mereka.

Gambar. 4.2. Kegiatan kalkulator untuk membantu mengembangkan pemahaman nilai tempat

Siswa juga mengembangkan pemahaman nilai tempat melalui strategi yang mereka adakan untuk menghitung (Fuson et al. 1997). Dengan demikian, tidak perlu menunggu siswa untuk sepenuhnya mengembangkan tempat-nilai pemahaman sebelum memberi mereka kesempatan untuk memecahkan masalah dengan nomor dua dan tiga digit. Saat masalah tersebut muncul dalam konteks yang menarik, siswa sering dapat menemukan cara untuk memecahkan mereka yang menggabungkan dan memperdalam pemahaman mereka tentang nilai tempat, terutama ketika siswa memiliki kesempatan untuk mendiskusikan dan menjelaskan strategi mereka diciptakan dan pendekatan. Guru menekankan nilai tempat dengan mengajukan pertanyaan yang tepat dan memilih masalah seperti menemukan sepuluh lebih dari sepuluh atau kurang dari jumlah dan membantu mereka kontras jawaban dengan jumlah awal. Sebagai hasil dari pengalaman biasa dengan masalah yang mengembangkan konsep tempat-nilai, siswa kelas dua harus menghitung ke dalam ratusan, menemukan pola dalam sistem penomoran yang berkaitan dengan menempatkan nilai, dan menyusun (menciptakan melalui kombinasi yang berbeda) dan membusuk (berantakan dengan cara yang berbeda) nomor dua dan tiga digit.

Selain bekerja dengan bilangan bulat, siswa muda juga harus memiliki beberapa pengalaman dengan pecahan sederhana melalui koneksi untuk situasi sehari-hari dan masalah yang berarti, dimulai dengan pecahan umum dinyatakan dalam bahasa yang mereka bawa ke kelas, seperti "setengah." Pada tingkat ini, itu lebih penting bagi siswa untuk mengenali kapan hal dibagi menjadi bagian yang sama dari fokus pada notasi fraksi. Kelas kedua harus mampu mengidentifikasi tiga bagian dari empat bagian yang sama, atau tiga perempat dari kertas dilipat yang telah berbayang, dan untuk memahami bahwa "perempat" berarti empat bagian yang sama dari keseluruhan. Meskipun pecahan bukan topik untuk penekanan utama

untuk »pra-K-2 siswa, pengalaman informal pada usia ini akan membantu mengembangkan dasar untuk belajar lebih dalam nilai yang lebih tinggi.

Memahami makna operasi dan bagaimana mereka berhubungan satu sama lain

Sebagai siswa di kelas-kelas yang lebih rendah bekerja dengan tugas-tugas kompleks dalam berbagai konteks, mereka juga membangun pemahaman tentang operasi pada nomor. Konteks yang tepat dapat muncul melalui kegiatan-mahasiswa dimulai, cerita guru-dibuat, dan dalam banyak cara lain. Sebagai siswa menjelaskan pekerjaan mereka tertulis, solusi, dan proses mental, guru mendapatkan wawasan ke dalam pemikiran siswa mereka. Lihat "Komunikasi" bagian dari bab ini untuk diskusi yang lebih umum dari masalah ini dan lebih banyak contoh yang terkait dengan pengembangan pemahaman siswa tentang jumlah dan operasi.

Pemahaman tentang penjumlahan dan pengurangan dapat dihasilkan ketika siswa muda memecahkan "bergabung" dan dibawa pulang masalah dengan langsung pemodelan situasi atau dengan menggunakan strategi penghitungan, seperti menghitung atau menghitung kembali (Carpenter dan Moser 1984). Siswa mengembangkan pemahaman lebih lanjut dari Selain itu ketika mereka memecahkan masalah hilang-ditambakan yang muncul dari cerita atau situasi nyata. Pemahaman lebih lanjut dari pengurangan disampaikan oleh situasi di mana dua koleksi perlu dibuat sama atau satu koleksi perlu dibuat ukuran yang diinginkan. Beberapa masalah, seperti "Carlos memiliki tiga cookies. María memberinya lagi, dan sekarang dia memiliki delapan. Berapa banyak yang dia berikan kepadanya?"dapat membantu siswa melihat hubungan antara penambahan dan pengurangan. Karena mereka membangun pemahaman tentang penjumlahan dan pengurangan bilangan utuh, siswa juga mengembangkan repertoar representasi. Untuk diskusi lebih lanjut, lihat bagian "Representasi" dalam bab ini.

Dalam mengembangkan makna operasi, guru harus memastikan bahwa siswa berulang kali menghadapi situasi di mana nomor yang sama muncul dalam konteks yang berbeda. Misalnya, nomor 3, 4, dan 7 mungkin muncul dalam situasi pemecahan masalah yang dapat diwakili oleh 4 + 3, atau 3 + 4, atau 7 - 3, atau 7 - 4. Meskipun siswa yang berbeda mungkin awalnya menggunakan cukup berbeda cara berpikir untuk memecahkan masalah, guru harus membantu siswa mengenali bahwa pemecahan satu jenis masalah terkait dengan pemecahan jenis lain. Menyadari hubungan terbalik antara penambahan dan pengurangan dapat memungkinkan siswa untuk menjadi fleksibel dalam menggunakan strategi untuk memecahkan masalah. Misalnya, seorang siswa memecahkan masalah 27 + = 36 dengan memulai pada 27 dan menghitung sampai 36, melacak 9 hitungan. Kemudian, jika siswa diminta untuk memecahkan 36-9 = , Dia mungkin mengatakan segera, "27." Jika ditanya bagaimana dia tahu, dia mungkin menjawab, "Karena kami hanya melakukannya."Siswa ini memahami bahwa 27 dan 9 adalah angka di kanan mereka sendiri, serta dua bagian yang membentuk seluruh, 36. Ia juga mengerti bahwa pengurangan merupakan kebalikan dari penambahan (Steffe dan Cobb 1988). Siswa lain, orang yang tidak menggunakan hubungan antara penambahan dan pengurangan, mungkin mencoba untuk memecahkan masalah dengan menghitung kembali 9 unit dari 36, yang merupakan strategi yang jauh lebih sulit untuk diterapkan dengan benar.

Dalam mengembangkan arti penjumlahan dan pengurangan dengan bilangan bulat, siswa juga harus menghadapi sifat-sifat operasi, seperti komutatif dan associativity penambahan. Meskipun beberapa siswa menemukan dan menggunakan sifat-sifat operasi

secara alami, guru dapat »membawa sifat ini ke permukaan melalui diskusi kelas.Sebagai contoh, 6 + 9 + 4 mungkin lebih mudah untuk memecahkan dari 6 + 4 + 9, memungkinkan siswa untuk menambahkan 6 dan 4 untuk mendapatkan 10 dan 10 dan 9 untuk mendapatkan 19. Siswa melihat bahwa menambahkan dan mengurangkan jumlah yang sama dalam perhitungan setara dengan menambahkan 0. Misalnya, 40-10 + 10 = 40 + 0 = 40. Beberapa siswa mengakui bahwa jumlah yang setara dapat diganti: + 7 = 8 8 + 2 + 5 karena 7 = 2 + 5. Mereka mungkin menyadari bahwa menambahkan jumlah yang sama (misalnya, 100) untuk kedua hal perbedaan (misalnya, 50-10 = 40) tidak mengubah hasil (150-110 = 40). Penggunaan sifat ini merupakan tanda berkembang jumlah akal siswa muda '. Siswa yang berbeda, bagaimanapun, membutuhkan jumlah yang berbeda waktu untuk membuat sifat ini sendiri. Apa yang beberapa siswa belajar dalam satu tahun dapat mengambil dua tahun atau lebih untuk orang lain.

Dalam Prekindergarten sampai kelas 2, siswa juga harus mulai mengembangkan pemahaman tentang konsep perkalian dan pembagian. Melalui kerja dalam situasi yang melibatkan sub kelompok yang sama dalam koleksi, siswa dapat mengaitkan perkalian dengan berulang bergabung (penambahan) dari kelompok dengan ukuran yang sama. Demikian pula, mereka dapat menyelidiki divisi dengan benda-benda nyata dan melalui masalah cerita, biasanya yang melibatkan distribusi saham yang sama. Strategi yang digunakan untuk memecahkan masalah tersebut-yang berulang bergabung, dan partisi ke dalam, sama subkelompok-sehingga menjadi terkait erat dengan makna perkalian dan pembagian, masing-masing.

Menghitung lancar dan membuat perkiraan yang wajar

Anak-anak sering awalnya menghitung dengan menggunakan benda-benda dan menghitung; Namun, Prekindergarten sampai kelas 2 guru perlu mendorong mereka untuk menggeser, dari waktu ke waktu, untuk memecahkan banyak masalah perhitungan mental atau dengan kertas dan pensil untuk mencatat pemikiran mereka. Siswa harus mengembangkan strategi untuk mengetahui kombinasi dasar nomor (pasangan Selain satu digit dan rekan-rekan mereka untuk pengurangan) yang membangun pemikiran mereka tentang, dan pemahaman, nomor. Kefasihan dengan penambahan dan nomor pengurangan kombinasi dasar adalah tujuan untuk pra-K-2 tahun. Dengan kefasihan kita berarti bahwa siswa dapat menghitung secara efisien dan akurat dengan angka satu digit.Guru dapat membantu siswa meningkatkan pemahaman dan keterampilan mereka di samping satu digit dan pengurangan dengan menyediakan tugas yang (a) membantu mereka mengembangkan hubungan dalam pengurangan dan penambahan kombinasi dan (b) memperoleh mengandalkan untuk penambahan dan menghitung untuk pengurangan dan diketahui- situasi ditambakan.

Guru juga harus mendorong siswa untuk berbagi strategi mereka berkembang dalam diskusi kelas. Siswa dapat mengembangkan dan memperbaiki strategi karena mereka mendengar deskripsi siswa lain dari pemikiran mereka tentang kombinasi nomor. Sebagai contoh, seorang siswa mungkin menghitung 8 + 7 dengan mengandalkan dari 8: "..., 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15." Tetapi selama diskusi kelas solusi untuk masalah ini, dia mungkin mendengar strategi lain siswa, di mana ia menggunakan pengetahuan tentang 10; yaitu, 8 dan 2 membuat 10, dan 5 lagi adalah 15. Dia kemudian mungkin dapat beradaptasi dan menerapkan strategi ini kemudian ketika ia menghitung 28 + 7 dengan mengatakan, "28 dan 2 membuat 30, dan 5 lagi adalah 35."

Siswa belajar kombinasi nomor dasar dan mengembangkan strategi untuk komputasi yang masuk akal bagi mereka ketika mereka memecahkan masalah dengan konteks yang menarik dan menantang. Melalui diskusi kelas, mereka dapat membandingkan kemudahan penggunaan dan kemudahan penjelasan berbagai strategi. Dalam »beberapa kasus, strategi mereka untuk komputasi akan mendekati algoritma konvensional; dalam kasus lain, mereka akan sangat berbeda.Banyak kali, diciptakan pendekatan siswa didasarkan pada pemahaman suara angka dan operasi, dan mereka sering dapat digunakan secara efisien dan akurat. Beberapa rasa keragaman pendekatan siswa menggunakan dapat dilihat pada gambar 4.3, yang menunjukkan cara beberapa siswa di kelas dua kelas yang sama dihitung 25 + 37. Siswa 1 dan 2 telah mewakili mereka berpikir cukup benar, yang pertama dengan kata-kata dan yang kedua dengan penghitungan. Kedua menunjukkan pemahaman tentang arti dari angka-angka yang terlibat. Siswa 3 dan 4 masing-masing menggunakan proses yang mengakibatkan jawaban yang akurat, tapi pemikiran yang mendasari proses ini tidak jelas dalam rekaman mereka. Siswa 5 dan 6 keduanya menggambarkan sumber umum dari kesalahan-mengobati digit dengan cara yang tidak mencerminkan nilai tempat mereka dan dengan demikian menghasilkan hasil yang tidak masuk akal.

Gambar. 4.3. Solusi Enam siswa untuk 25 + 37

Selama diskusi kelas, siswa lain melaporkan strategi berdasarkan menyusun dan membusuk nomor. Satu siswa mulai dengan 37 dan menggunakan fakta bahwa 25 dapat didekomposisi menjadi 20 ditambah 3 ditambah 2 untuk memecahkan masalah sebagai berikut: 37 + 20 = 57, 57 + 3 = 60, dan 60 + 2 = 62. Siswa lain digunakan fleksibel menyusun dan membusuk dengan cara lain untuk menciptakan setara, masalah lebih mudah: Ambil 3 dari 25 dan menggunakannya untuk mengubah 37 menjadi 40. Kemudian tambahkan 40 dan 22 untuk mendapatkan 62.

Sebagai siswa bekerja dengan jumlah yang lebih besar, strategi mereka untuk komputasi memainkan peran penting dalam menghubungkan kurang pengetahuan formal dengan

pemikiran matematika lebih-»canggih. Penelitian memberikan bukti bahwa siswa akan mengandalkan strategi komputasi mereka sendiri (Cobb dkk. 1991). Penemuan tersebut berkontribusi terhadap pembangunan matematika mereka (Gravemeijer 1994; Steffe 1994). Selain itu, siswa yang digunakan menciptakan strategi sebelum mereka belajar algoritma standar menunjukkan pengetahuan yang lebih baik tentang dasar-sepuluh konsep dan lebih baik bisa memperluas pengetahuan mereka untuk situasi baru, seperti menemukan berapa banyak $ 4,00 akan ditinggalkan setelah pembelian $ 1,86 (Carpenter et al . 1998, hal. 9). Dengan demikian, ketika siswa menghitung dengan strategi mereka menciptakan atau memilih karena mereka bermakna, belajar mereka cenderung kuat-mereka mampu mengingat dan menerapkan pengetahuan mereka. Anak-anak dengan ketidakmampuan belajar spesifik dapat secara aktif menciptakan dan strategi pengalihan jika diberikan tugas yang dirancang dengan baik yang sesuai dengan tahapan perkembangan (Baroody 1999).

Guru memiliki peran yang sangat penting dalam membantu siswa mengembangkan fasilitas dengan perhitungan. Dengan memungkinkan siswa untuk bekerja dalam cara yang memiliki arti bagi mereka, guru dapat memperoleh wawasan pemahaman mengembangkan siswa dan memberikan bimbingan. Untuk melakukannya dengan baik ini, guru perlu menjadi akrab dengan berbagai cara yang siswa mungkin berpikir tentang angka dan bekerja dengan mereka untuk memecahkan masalah. Pertimbangkan cerita hipotetis berikut, di mana guru menimbulkan masalah ini ke kelas siswa kelas kedua:

Kami memiliki 153 siswa di sekolah kami. Ada 273 siswa di sekolah di jalan. Berapa banyak siswa di kedua sekolah?

Seperti yang diharapkan di sebagian besar ruang kelas, para siswa memberikan berbagai tanggapan yang menggambarkan berbagai pemahaman. Misalnya, model Randy masalah dengan kacang tongkat bahwa kelas telah membuat awal tahun, menggunakan ratusan rakit, puluhan tongkat, dan kacang longgar. Dia model angka dan menggabungkan tongkat kacang, tapi dia tidak yakin bagaimana untuk mencatat hasil. Dia menarik gambar dari tongkat kacang dan label bagian, "3 rakit," "12 puluhan," "6 biji" (gbr. 4.4).

Gambar. 4.4. Randy model 153 dan 273 menggunakan kacang, kacang tongkat, dan rakit kacang tongkat.

Ana pertama menambahkan ratusan, merekam 300 sebagai hasil tengah; kemudian ia menambahkan puluhan, menjaga jawaban di kepalanya; ia kemudian menambahkan yang; dan akhirnya ia menambahkan hasil parsial dan menuliskan jawabannya. Catatan tertulis nya ditunjukkan pada Gambar 4.5. »

Gambar. 4.5. Sebuah catatan tertulis dari perhitungan 153 + 273 dengan hasil antara

Beberapa siswa menggunakan algoritma konvensional (menumpuk addends dan kemudian menambahkan yang, menambahkan puluhan dan mengubah nama mereka karena ratusan dan puluhan, dan akhirnya menambahkan ratusan) secara akurat, tetapi yang lain menulis 3126 sebagai jawaban mereka, menunjukkan kurangnya pemahaman bahwa guru perlu alamat. Becky menemukan jawaban menggunakan perhitungan mental dan menulis apa-apa kecuali bawah jawabannya. Ketika diminta untuk menjelaskan, dia mengatakan, "Yah, 2 ratusan dan 1 ratus 3 ratusan, dan 5 puluhan dan 5 puluhan yang 10 puluhan, atau ratusan yang lain, jadi itu 4 ratusan. Masih ada 2 puluhan tersisa, dan 3 dan 3 adalah 6, jadi 426. "

Praktek bermakna diperlukan untuk mengembangkan kefasihan dengan kombinasi nomor dasar dan strategi dengan nomor multidigit. Contoh di atas menggambarkan bahwa guru dapat belajar tentang pemahaman siswa dan pada saat yang sama mendapatkan informasi untuk mengukur kebutuhan untuk perhatian tambahan dan pekerjaan. Praktek perlu memotivasi dan sistematis jika siswa untuk mengembangkan kefasihan komputasi, apakah mental, dengan bahan manipulatif, atau dengan kertas dan pensil. Praktek dapat dilakukan dalam konteks kegiatan lain, termasuk game yang membutuhkan perhitungan sebagai bagian dari nilai pembukuan, pertanyaan yang muncul dari sastra anak-anak, situasi di dalam kelas, atau kegiatan terfokus yang merupakan bagian dari penyelidikan matematika lain. Praktek harus terarah dan harus fokus pada pengembangan strategi berpikir dan pengetahuan hubungan jumlah daripada bor terisolasi fakta.

Tanggung jawab guru adalah untuk mendapatkan wawasan tentang bagaimana siswa berpikir tentang berbagai masalah dengan mendorong mereka untuk menjelaskan apa yang mereka lakukan dengan nomor (Carpenter et al. 1989). Guru juga harus memutuskan apa tugas-tugas baru akan menantang siswa dan mendorong mereka untuk membangun strategi yang efisien dan akurat dan dapat digeneralisasi. Diskusi kelas dan tugas yang menarik membantu siswa membangun langsung pada pengetahuan dan keterampilan sambil memberikan peluang untuk penemuan, praktek, dan pengembangan pemahaman yang lebih dalam. Penjelasan siswa solusi mengizinkan guru untuk menilai perkembangan mereka dari nomor akal. Seperti pada contoh sebelumnya, berbagai tingkat kecanggihan dalam memahami hubungan jumlah dapat dilihat pada tanggapan siswa kelas kedua '(gbr. 4.6) untuk masalah berikut. Perhatikan bahwa semua siswa digunakan pemahaman mereka tentang penghitungan oleh balita atau lima sebagai unit dalam solusi mereka.

Ada 93 siswa akan sirkus. Lima siswa bisa naik di setiap mobil.Berapa banyak mobil akan dibutuhkan?

Gambar. 4.6. Strategi perhitungan siswa menunjukkan berbagai tingkat kecanggihan.

Siswa dapat belajar untuk menghitung secara akurat dan efisien melalui pengalaman rutin dengan prosedur yang bermakna. Mereka mendapatkan keuntungan dari instruksi yang memadukan kelancaran prosedural dan pemahaman konseptual (Ginsburg, Klein, dan Starkey 1998; Hiebert 1999). Hal ini berlaku untuk semua siswa, termasuk mereka dengan kebutuhan pendidikan khusus. Banyak anak dengan ketidakmampuan belajar dapat belajar ketika mereka menerima berkualitas tinggi, instruksi berorientasi konseptual. Intervensi khusus instruksional bagi mereka yang membutuhkan mereka sering fokus sempit pada keterampilan alih-alih menawarkan instruksi seimbang dan komprehensif yang menggunakan kemampuan anak untuk mengimbangi kelemahan dan memberikan hasil jangka panjang yang lebih baik (Baroody 1996). Sebagai siswa menghadapi situasi masalah di mana perhitungan yang lebih rumit atau membosankan, mereka harus »didorong untuk menggunakan kalkulator untuk membantu dalam pemecahan masalah. Dengan cara ini, bahkan siswa yang lambat untuk mendapatkan kelancaran dengan keterampilan perhitungan tidak akan kehilangan kesempatan berharga untuk memecahkan masalah matematika kompleks dan untuk mengembangkan dan memperdalam pemahaman mereka tentang aspek lain dari nomor.

Aljabar Standar untuk Kelas Pra-K-2

Harapan



Memahami pola,hubungan, dan fungsi

• semacam, mengklasifikasikan, dan ketertiban objek dengan ukuran, jumlah, dan properti lainnya;

• mengenali, menjelaskan, dan memperluas pola seperti urutan suara dan bentuk atau pola numerik sederhana dan menerjemahkan dari satu representasi yang lain;

• menganalisis bagaimana kedua mengulangi dan pola tumbuh dihasilkan.

Mewakili dan menganalisis situasi matematika dan struktur menggunakan simbol-simbol aljabar

• menggambarkan prinsip-prinsip umum dan sifat dari operasi, seperti komutatif, menggunakan nomor tertentu;

• menggunakan beton, bergambar, dan lisan representasi untuk mengembangkan pemahaman tentang diciptakan dan konvensional notasi simbolik.

Menggunakan model matematika untuk mewakili dan memahami hubungan kuantitatif

• situasi model yang melibatkan penambahan dan pengurangan dari seluruh nomor, menggunakan benda-benda, gambar, dan simbol.

Menganalisis perubahandalam berbagai konteks

• menggambarkan perubahan kualitatif, seperti siswa tumbuh lebih tinggi;

• menggambarkan perubahan kuantitatif, seperti tumbuh dua inci siswa dalam satu tahun.

Konsep aljabar dapat berkembang dan terus berkembang selama Prekindergarten sampai kelas 2. Mereka akan diwujudkan melalui kerja dengan klasifikasi, pola dan hubungan, operasi dengan bilangan bulat, eksplorasi fungsi, dan langkah-demi-langkah proses. Meskipun konsep yang dibahas dalam Standar ini adalah aljabar, ini tidak berarti bahwa siswa di kelas-kelas awal akan berurusan dengan simbolisme sering diajarkan dalam kursus aljabar sekolah tinggi tradisional.

Bahkan sebelum sekolah formal, anak-anak mengembangkan mulai konsep yang berkaitan dengan pola, fungsi, dan aljabar. Mereka belajar lagu berulang, nyanyian berirama, dan puisi prediksi yang didasarkan pada mengulangi dan pola berkembang. Pengakuan, perbandingan, dan analisis pola merupakan komponen penting dari perkembangan intelektual siswa. Ketika siswa melihat bahwa operasi tampaknya memiliki sifat tertentu, mereka mulai berpikir aljabar.Misalnya, mereka menyadari bahwa mengubah urutan dua nomor ditambahkan tidak mengubah hasil atau bahwa menambahkan nol untuk nomor jumlah daun yang berubah. Observasi siswa dan diskusi tentang bagaimana jumlah berhubungan satu sama lain untuk memimpin pengalaman awal dengan hubungan fungsi, dan representasi mereka situasi matematika menggunakan benda-benda konkret, gambar, dan simbol adalah awal dari

pemodelan matematika.Banyak dari proses langkah-demi-langkah yang siswa menggunakan membentuk dasar dari pemahaman iterasi dan rekursi.

Memahami pola, hubungan, dan fungsi

Menyortir, mengelompokkan, dan memesan memudahkan pekerjaan dengan pola, bentuk geometris, dan data. Mengingat paket berbagai macam stiker, anak-anak cepat melihat banyak perbedaan antara item. Mereka dapat mengurutkan stiker menjadi kelompok-kelompok yang memiliki ciri-ciri yang sama seperti warna, ukuran, atau desain dan ketertiban mereka dari terkecil hingga terbesar. Pengasuh dan guru harus mendapatkan dari anak-anak kriteria yang mereka gunakan saat mereka memilah dan objek kelompok. Pola adalah cara bagi siswa muda untuk mengenali perintah dan mengatur dunia mereka dan penting dalam semua aspek matematika di tingkat ini. Anak-anak prasekolah mengenali pola di lingkungan mereka dan, melalui pengalaman di sekolah, harus menjadi lebih terampil dalam memperhatikan pola pengaturan benda, bentuk, dan angka dan dalam menggunakan pola untuk memprediksi apa yang datang berikutnya dalam pengaturan. Siswa tahu, misalnya, bahwa "pertama datang sarapan, maka sekolah," dan "Senin kami pergi ke seni, Selasa kita pergi ke musik." Siswa yang melihat angka "0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9" berulang akan melihat pola yang membantu mereka belajar untuk menghitung sampai 100-tugas berat bagi siswa yang melakukan tidak mengenali pola.

Guru harus membantu siswa mengembangkan kemampuan untuk membentuk generalisasi dengan mengajukan pertanyaan seperti "Bagaimana Anda bisa menggambarkan pola ini?" atau "Bagaimana hal itu dapat diulang atau diperpanjang?" atau "Bagaimana pola-pola ini sama?" Misalnya, siswa harus mengakui bahwa pola warna "biru, biru, merah, biru, biru, merah" adalah sama dalam bentuk sebagai "bertepuk tangan, bertepuk tangan, langkah, bertepuk tangan, bertepuk tangan, langkah." Pengakuan ini meletakkan dasar untuk gagasan bahwa dua situasi yang sangat berbeda dapat memiliki sama matematika »fitur dan dengan demikian adalah sama dalam beberapa hal penting. Mengetahui bahwa setiap pola di atas dapat digambarkan memiliki bentuk AABAAB adalah untuk siswa pengenalan awal untuk kekuatan aljabar.

Dengan mendorong siswa untuk mengeksplorasi dan hubungan model dengan menggunakan bahasa dan notasi yang berarti bagi mereka, guru dapat membantu siswa melihat hubungan yang berbeda dan membuat dugaan dan generalisasi dari pengalaman mereka dengan angka. Guru dapat, misalnya, memperdalam pemahaman siswa tentang angka dengan meminta mereka untuk model jumlah yang sama dalam banyak hal-misalnya, delapan belas sembilan kelompok dua, 1 sepuluh dan 8 orang, tiga kelompok enam, atau enam kelompok tiga .Memasangkan menghitung angka dengan pola yang berulang benda dapat membuat fungsi (lihat gambar 4.7.) Bahwa guru dapat menjelajahi dengan siswa: Apakah bentuk kedua? Untuk melanjutkan pola, apa bentuk yang datang berikutnya? Apa nomor yang datang berikutnya ketika Anda menghitung? Apa yang Anda ingat tentang angka-angka yang di bawah segitiga?Bentuk apa yang akan menjadi 14?

Menghitung angka Pairing Gambar. 4.7. Dengan pola berulang

Siswa harus belajar untuk memecahkan masalah dengan mengidentifikasi proses tertentu. Misalnya, ketika siswa skip-menghitung tiga, enam, sembilan, dua belas, ..., salah satu cara untuk mendapatkan istilah berikutnya adalah menambahkan tiga sampai jumlah sebelumnya. Siswa dapat menggunakan proses yang sama untuk menghitung berapa banyak untuk membayar tujuh balon jika salah satu balon biaya 20 ¢. Jika mereka mengakui urutan 20, 40, 60, ... dan terus menambah 20, mereka dapat menemukan biaya selama tujuh balon. Atau, siswa dapat menyadari bahwa jumlah total yang harus dibayar ditentukan oleh jumlah balon dibeli dan menemukan cara untuk menghitung total langsung. Guru di kelas 1 dan 2 harus memberikan pengalaman bagi siswa untuk belajar menggunakan grafik dan tabel untuk merekam dan mengatur informasi dalam berbagai format (lihat buah ara. 4.8 dan 4.9).Mereka juga harus mendiskusikan notasi yang berbeda untuk menunjukkan jumlah uang. (Satu balon biaya 20 ¢, atau $ 0,20, dan tujuh balon biaya $ 1,40.)

Gambar. 4.8. Sebuah grafik vertikal untuk merekam dan informasi mengorganisir

Gambar. 4.9. Sebuah grafik horisontal untuk merekam dan informasi mengorganisirLoncat-menghitung dengan angka yang berbeda dapat menciptakan berbagai pola pada seratus grafik bahwa siswa dapat dengan mudah mengenali dan menjelaskan (lihat gbr. 4.10). Guru secara bersamaan dapat menggunakan seratus grafik untuk membantu siswa belajar tentang pola jumlah dan untuk menilai pemahaman siswa tentang pola menghitung.Dengan mengajukan pertanyaan seperti "Jika Anda menghitung oleh puluhan dimulai pada 36, apa nomor yang akan Anda mewarnai berikutnya?" dan "Jika Anda terus menghitung puluhan, akan Anda mewarnai 87?" guru dapat mengamati apakah siswa memahami korespondensi antara pola visual yang dibentuk oleh nomor berbayang dan pola penghitungan.Menggunakan kalkulator dan grafik seratus memungkinkan siswa untuk melihat pola yang sama dalam dua format yang berbeda. »

Gambar. 4.10. Skip-menghitung pada grafik seratus

Mewakili dan menganalisis situasi matematika dan struktur menggunakan simbol-simbol aljabar

Dua tema sentral dari pemikiran aljabar yang sesuai untuk siswa muda. Yang pertama melibatkan membuat generalisasi dan menggunakan simbol-simbol untuk mewakili ide-ide matematika, dan yang kedua adalah mewakili dan memecahkan masalah (Carpenter dan Levi 1999). Misalnya, menambahkan pasangan nomor dalam urutan yang berbeda seperti 3 + 5 dan 5 + 3 dapat menyebabkan siswa untuk menyimpulkan bahwa ketika dua nomor ditambahkan, agar tidak menjadi masalah. Sebagai mahasiswa generalisasi dari pengamatan tentang jumlah dan operasi, mereka membentuk dasar pemikiran aljabar.

Demikian pula, ketika siswa terurai nomor untuk menghitung, mereka sering menggunakan properti asosiatif untuk perhitungan. Misalnya, mereka mungkin menghitung 8 + 5, mengatakan, "8 + 2 adalah 10, dan 3 lagi adalah 13." Siswa sering menemukan dan membuat generalisasi tentang sifat-sifat lainnya. Meskipun tidak diperlukan untuk memperkenalkan kosakata seperti komutatif atau associativity, guru harus menyadari sifat aljabar yang digunakan oleh siswa pada usia ini. Mereka harus membangun pemahaman siswa tentang pentingnya pengamatan mereka tentang situasi matematika dan menantang mereka untuk menyelidiki apakah pengamatan dan dugaan spesifik berlaku untuk semua kasus.

Guru harus mengambil keuntungan dari pengamatan mereka dari siswa, seperti yang digambarkan dalam cerita ini diambil dari pengalaman di kelas TK.

Guru telah menyiapkan dua kelompok kartu untuk murid-muridnya. Pada kelompok pertama, jumlah di bagian depan dan belakang setiap kartu berbeda dengan 1. Pada kelompok kedua, angka-angka ini berbeda dengan 2.Guru menunjukkan siswa kartu dengan 12 tertulis di atasnya dan menjelaskan, "Di belakang kartu ini, saya sudah menulis nomor lain." Dia berbalik kartu itu untuk menunjukkan jumlah 13. Kemudian dia menunjukkan siswa kartu kedua dengan 15 di bagian depan dan 16 di belakang. »Sambil terus menunjukkan siswa kartu, setiap kali ia bertanya siswa," Apa Anda berpikir akan berada di belakang? " Segera siswa tahu bahwa ia menambahkan 1 ke nomor di bagian depan untuk mendapatkan nomor di belakang kartu.

Kemudian guru dibawa keluar set kedua kartu. Ini juga nomor depan dan belakang, namun jumlah berbeda dengan 2, misalnya, 33 dan 35, 46 dan 48, 22 dan 24. Sekali

lagi, guru menunjukkan kartu mahasiswa sampel dan dilanjutkan dengan kartu lain, mendorong mereka untuk memprediksi apa nomor itu di belakang setiap kartu. Segera siswa tahu bahwa nomor di punggung kartu yang 2 lebih dari angka-angka pada bidang.

Ketika set kartu habis, siswa ingin bermain lagi. "Tapi," kata guru, "kita tidak bisa melakukan itu sampai aku membuat satu set kartu." Satu siswa berbicara, "Kau tidak perlu melakukan itu, kita hanya dapat flip kartu lebih. Kartu semua akan dikurangi 2."

Sebagai tindak lanjut diskusi, guru ini bisa dijelaskan apa yang ada di masing-masing kelompok kartu dengan cara yang lebih aljabar.Angka-angka pada punggung kartu di kelompok pertama bisa disebut sebagai "nomor depan ditambah 1" dan yang kedua sebagai "nomor depan plus 2." Berikut saran siswa, jika kartu di kelompok kedua yang terbalik, angka di punggung kemudian dapat digambarkan sebagai "front jumlah dikurangi 2." Kegiatan-kegiatan tersebut, bersama-sama dengan diskusi dan analisis yang mengikuti mereka, membangun landasan untuk memahami hubungan terbalik.

Melalui diskusi kelas dari representasi yang berbeda selama pra-K-2 tahun, siswa harus mengembangkan kemampuan meningkat untuk menggunakan simbol-simbol sebagai sarana merekam pemikiran mereka. Pada tahun-tahun awal, guru dapat memberikan perancah untuk siswa dengan menulis untuk mereka sampai mereka memiliki kemampuan untuk merekam ide-ide mereka. Representasi asli tetap penting sepanjang studi matematika siswa dan harus didorong.Representasi simbolik dan manipulasi harus tertanam dalam pengalaman pembelajaran sebagai kendaraan lain untuk memahami dan membuat rasa matematika.

Kesetaraan adalah sebuah konsep aljabar penting bahwa siswa harus menemukan dan mulai memahami di tingkat yang lebih rendah. Penjelasan umum dari equals tanda yang diberikan oleh siswa adalah bahwa "jawabannya akan datang," tetapi mereka harus mengakui bahwa tanda sama dengan menunjukkan hubungan-bahwa jumlah di setiap sisi yang setara, misalnya, 10 = 4 + 6 atau 4 + 6 = 5 + 5. Dalam tahun kemudian band kelas ini, guru harus memberikan kesempatan bagi siswa untuk membuat koneksi dari notasi simbolis kepada perwakilan dari persamaan. Sebagai contoh, jika seorang siswa mencatat penambahan empat 7s seperti yang ditunjukkan di sebelah kiri pada gambar 4.11, guru bisa menunjukkan serangkaian penambahan benar, seperti yang ditunjukkan di sebelah kanan, dan menggunakan keseimbangan dan batu untuk menunjukkan kesamaan-kesamaan. »

Gambar. 4.11. Representasi A siswa penambahan empat 7s (kiri) dan representasi yang benar guru dari penambahan yang sama

Menggunakan model matematika untuk mewakili dan memahami hubungan kuantitatif

Siswa harus belajar untuk membuat model untuk mewakili dan memecahkan masalah. Sebagai contoh, seorang guru dapat menimbulkan masalah berikut:

Ada enam kursi dan bangku. Kursi memiliki empat kaki dan tinja memiliki tiga kaki. Semua bersama-sama ada dua puluh kaki. Berapa banyak kursi dan berapa banyak bangku yang ada?

Satu siswa dapat mewakili situasi dengan menggambar enam lingkaran dan kemudian menempatkan penghitungan dalam untuk mewakili jumlah kaki. Siswa lain dapat mewakili situasi dengan menggunakan simbol-simbol, membuat tebakan pertama bahwa jumlah bangku dan kursi yang sama dan menambahkan 3 + 3 + 3 + 4 + 4 + 4. Menyadari bahwa jumlah tersebut terlalu besar, siswa mungkin menyesuaikan jumlah kursi dan bangku sehingga jumlah kaki mereka adalah 20.

Menganalisis perubahan dalam berbagai konteks

Perubahan adalah sebuah ide penting bahwa siswa mengalami awal. Ketika siswa mengukur sesuatu dari waktu ke waktu, mereka dapat menggambarkan perubahan baik secara kualitatif (misalnya, "Hari ini lebih dingin dari kemarin") dan kuantitatif (misalnya, "Saya dua inci lebih tinggi dari saya setahun yang lalu"). Beberapa perubahan yang diprediksi. Misalnya, siswa tumbuh lebih tinggi, tidak lebih pendek, karena mereka mendapatkan lebih tua. Pemahaman bahwa kebanyakan hal berubah dari waktu ke waktu, bahwa banyak perubahan tersebut dapat digambarkan secara matematis, dan bahwa banyak perubahan yang diprediksi membantu meletakkan dasar untuk menerapkan matematika untuk bidang lain dan untuk memahami dunia.

Geometri standar untuk Kelas Pra-K-2

Harapan



Menganalisis karakteristik dan sifat dari bentuk geometris dua dan tiga dimensi dan mengembangkan argumen matematis tentang hubungan geometris

• mengenali, nama, membangun, menggambar, membandingkan, dan mengurutkan dua dan bentuk tiga dimensi;

• menggambarkan atribut dan bagian dua dan bentuk tiga dimensi;

• menyelidiki dan memprediksi hasil menyusun dan mengambil bentuk terpisah dua dan tiga dimensi.

Tentukan lokasi dan menggambarkan hubungan spasial menggunakan koordinat geometri dan sistem representasi lainnya

• menjelaskan, nama, dan menafsirkan posisi relatif dalam ruang dan menerapkan ide-ide tentang posisi relatif;

• menjelaskan, nama, dan menafsirkan arah dan jarak dalam menjelajahi ruang dan menerapkan ide-ide tentang arah dan jarak;

• menemukan dan lokasi nama dengan hubungan sederhana seperti "dekat" dan dalam sistem koordinat seperti peta.

Menerapkan transformasi dan menggunakan simetri untuk menganalisis situasi matematika

• mengenali dan menggunakan slide, membalik, dan ternyata;

• mengenali dan menciptakan bentuk-bentuk yang memiliki simetri.

Gunakan visualisasi,penalaran spasial, dan pemodelan geometri untuk memecahkan masalah

• menciptakan gambaran mental dari bentuk geometris menggunakan memori spasial dan visualisasi spasial;

• mengenali dan merupakan bentuk dari perspektif yang berbeda;

• berhubungan ide-ide dalam geometri untuk ide-ide dalam jumlah dan pengukuran;

• mengenali bentuk dan struktur geometris dalam lingkungan dan menentukan lokasi mereka.

Geometris dan spasial pengetahuan anak membawa ke sekolah harus diperluas dengan eksplorasi, investigasi, dan diskusi dari bentuk dan struktur di dalam kelas. Siswa harus menggunakan pengertian mereka tentang ide-ide geometris untuk menjadi lebih mahir dalam menggambarkan, mewakili, dan menavigasi lingkungan mereka.Mereka harus belajar untuk mewakili dua dan tiga dimensi bentuk melalui gambar, konstruksi blok, dramatisasi, dan kata-kata. Mereka harus mengeksplorasi bentuk oleh membusuk mereka dan membuat yang baru. Pengetahuan mereka tentang arah dan posisi harus disempurnakan melalui penggunaan bahasa lisan untuk mencari benda-benda dengan memberikan dan mengikuti arah tahapan.

Geometri menawarkan siswa aspek pemikiran matematika yang berbeda dari, tapi terhubung dengan, dunia nomor. Sebagai siswa menjadi akrab dengan bentuk, struktur, lokasi, dan transformasi dan ketika mereka mengembangkan penalaran spasial, mereka meletakkan dasar untuk memahami tidak hanya dunia spasial mereka tetapi juga topik lain dalam matematika dan seni, ilmu pengetahuan, dan ilmu sosial. Kemampuan beberapa siswa dengan konsep geometris dan spasial melebihi kemampuan jumlah mereka. Membangun kekuatan ini mendorong antusiasme untuk matematika dan menyediakan konteks di mana untuk mengembangkan jumlah dan konsep matematika lainnya (Razel dan Eylon 1991).

Menganalisis karakteristik dan sifat dari bentuk geometris dua dan tiga dimensi dan mengembangkan argumen matematis tentang hubungan geometris

Anak-anak mulai membentuk konsep bentuk jauh sebelum sekolah formal. Tingkatan utama adalah waktu yang ideal untuk membantu mereka memperbaiki dan memperluas pemahaman mereka. Siswa pertama belajar untuk mengenali bentuk dengan penampilan secara keseluruhan (van Hiele 1986) atau melalui kualitas seperti "pointiness" (Lehrer, Jenkins, dan Osana 1998). Mereka mungkin percaya bahwa sosok yang diberikan adalah persegi panjang karena "terlihat seperti pintu."

Pre-K-2 geometri dimulai dengan menggambarkan dan penamaan bentuk. Siswa muda mulai dengan menggunakan kosakata mereka sendiri untuk menggambarkan objek, berbicara tentang bagaimana mereka sama dan bagaimana mereka berbeda. Guru harus membantu siswa secara bertahap memasukkan terminologi konvensional menjadi deskripsi mereka dari dua dan tiga dimensi bentuk. Namun, terminologi itu sendiri tidak harus menjadi fokus dari program geometri-K-2 pra. Tujuannya adalah bahwa pengalaman awal dengan geometri meletakkan dasar untuk geometri yang lebih formal di kelas nanti. Menggunakan terminologi untuk memusatkan perhatian dan mengklarifikasi ide-ide selama diskusi dapat membantu siswa membangun landasan itu.

Guru harus menyediakan bahan dan struktur lingkungan tepat untuk mendorong siswa untuk mengeksplorasi bentuk dan atributnya. Misalnya, siswa muda dapat membandingkan dan semacam blok bangunan karena mereka menempatkan mereka pergi di rak-rak, mengidentifikasi persamaan dan perbedaan mereka. Mereka dapat menggunakan bahan-bahan yang umum tersedia seperti kotak sereal untuk mengeksplorasi atribut bentuk atau kertas dilipat untuk menyelidiki simetri dan keselarasan. Siswa dapat membuat bentuk pada geoboards atau dot kertas dan mewakili mereka dalam gambar, konstruksi blok, dan dramatisasi. »

Siswa perlu melihat banyak contoh bentuk yang sesuai dengan konsep geometri yang sama serta berbagai bentuk yang nonexamples konsep. Misalnya, guru harus memastikan bahwa siswa melihat koleksi segitiga dalam posisi yang berbeda dan dengan ukuran yang berbeda dari sudut (lihat gbr. 4.12) dan bentuk yang memiliki kemiripan dengan segitiga (lihat gbr. 4.13) tetapi tidak segitiga. Melalui diskusi kelas contoh dan nonexamples seperti, konsep geometri dikembangkan dan disempurnakan.

Gambar. 4.12. Contoh segitiga

Gambar. 4.13. Contoh nontriangles

Siswa juga belajar tentang sifat geometris dengan menggabungkan atau memotong terpisah bentuk untuk membentuk bentuk baru. Misalnya, siswa kelas dua bisa ditantang untuk menemukan dan mencatat semua bentuk yang berbeda yang dapat dibuat dengan dua segitiga yang ditunjukkan pada gambar 4.14. Program komputer interaktif menyediakan lingkungan yang kaya untuk kegiatan di mana siswa mengumpulkan atau mengambil terpisah (menulis dan terurai) bentuk. Teknologi dapat membantu semua siswa memahami matematika, dan program komputer interaktif dapat memberikan siswa dengan kebutuhan khusus instruksional akses ke matematika mereka tidak mungkin sebaliknya pengalaman.

Gambar. 4.14. Dua segitiga dapat dikombinasikan untuk membuat bentuk yang berbeda.

Tentukan lokasi dan menggambarkan hubungan spasial menggunakan koordinat geometri dan sistem representasi lainnya

Empat jenis pertanyaan matematika tentang navigasi dan peta dapat membantu siswa mengembangkan berbagai pemahaman spasial: arah (? Yang arah), jarak (seberapa jauh?), Lokasi (di mana?), Dan representasi (benda apa?). Dalam menjawab pertanyaan ini, siswa perlu mengembangkan berbagai keterampilan yang berhubungan dengan arah, jarak, dan posisi dalam ruang. Siswa mengembangkan kemampuan untuk menavigasi pertama dengan landmark memperhatikan, maka dengan membangun pengetahuan tentang rute (serangkaian terhubung landmark), dan akhirnya dengan menempatkan banyak rute dan lokasi menjadi semacam peta mental (Clements 1999b).

Guru harus memperluas pengetahuan siswa muda 'dari posisi relatif dalam ruang melalui percakapan, demonstrasi, dan cerita. Ketika siswa bertindak keluar cerita dari tiga kambing

billy dan menggambarkan lebih dan »bawah, dekat dan jauh, dan antara, mereka belajar tentang lokasi, ruang, dan bentuk.Secara bertahap siswa harus membedakan ide-ide navigasi seperti kiri dan kanan bersama dengan konsep jarak dan pengukuran. Karena mereka membangun model tiga dimensi dan membaca peta lingkungan mereka sendiri, siswa dapat berdiskusi yang blok digunakan untuk mewakili berbagai objek seperti meja atau lemari arsip. Mereka dapat menandai jalur pada model, seperti dari meja ke tempat sampah, dengan selotip untuk menekankan bentuk jalan. Guru harus membantu siswa berhubungan model mereka untuk representasi lain dengan menggambar peta kamar yang sama yang mencakup jalan. Dalam kegiatan serupa, siswa yang lebih tua harus mengembangkan keterampilan peta yang meliputi membuat peta rute dan menggunakan koordinat sederhana untuk menemukan sekolah mereka di peta kota (Liben dan Downs 1989).

Komputer dapat membantu siswa abstrak, menggeneralisasi, dan melambangkan pengalaman mereka dengan navigasi. Sebagai contoh, siswa mungkin "berjalan keluar" benda-benda seperti karpet berbentuk persegi panjang dan kemudian menggunakan program komputer untuk membuat persegi panjang pada layar komputer. Ketika siswa mengukur karpet dengan jejak kaki dan menciptakan sebuah persegi panjang yang dihasilkan komputer dengan dimensi relatif sama, mereka menjelajahi scaling dan kesamaan. Beberapa program komputer memungkinkan siswa untuk menavigasi labirin atau peta.Guru harus mendorong siswa untuk bergerak di luar trial and error sebagai strategi untuk bergerak melalui jalur yang diinginkan untuk memvisualisasikan, menjelaskan, dan membenarkan bergerak mereka butuhkan untuk membuat. Menggunakan program ini, siswa dapat belajar orientasi, arah, dan konsep pengukuran.

Menerapkan transformasi dan menggunakan simetri untuk menganalisis situasi matematika Siswa secara alami dapat menggunakan pengalaman fisik mereka sendiri dengan bentuk untuk belajar tentang transformasi seperti slide (terjemahan), bergantian (rotasi), dan membalik (refleksi). Mereka menggunakan gerakan-gerakan ini secara intuitif ketika mereka memecahkan teka-teki, memutar potongan, membalik mereka lebih, dan bereksperimen dengan pengaturan baru. Siswa menggunakan program komputer interaktif dengan bentuk sering harus memilih gerakan untuk memecahkan teka-teki. Tindakan ini adalah eksplorasi dengan transformasi dan merupakan bagian penting dari pembelajaran spasial. Mereka membantu siswa menjadi sadar akan gerakan dan mendorong mereka untuk memprediksi hasil perubahan bentuk ini posisi atau orientasi tetapi tidak ukuran atau bentuk.

Guru harus memilih tugas geometris yang dapat diakses oleh semua siswa dan cukup terbuka untuk melibatkan para siswa dengan berbagai kepentingan. Sebagai contoh, seorang guru kelas dua mungkin menginstruksikan kelas untuk menemukan semua cara yang berbeda untuk menempatkan lima kotak bersama-sama sehingga salah satu ujung dari setiap persegi bertepatan dengan tepi setidaknya satu persegi lainnya (lihat gbr. 4.15). Tugas harus mencakup menyimpan catatan dari pentomino yang diidentifikasi dan mengembangkan strategi untuk mengenali ketika mereka transformasi dari pentomino lain. Guru dapat »mendorong siswa untuk mengembangkan strategi untuk menjadi sistematis dengan bertanya," Bagaimana Anda akan tahu jika setiap pentomino berbeda dari yang lain? Apakah Anda yakin Anda telah mengidentifikasi semua kemungkinan? " Mereka dapat menantang siswa untuk memprediksi pentomino mereka, jika dipotong

dari kertas grid, akan melipat ke dalam kotak terbuka dan kemudian verifikasi (atau menolak) prediksi mereka dengan memotong mereka keluar dan mencoba untuk melipat mereka ke dalam kotak.

Gambar. 4.15. Contoh pentomino dan nonpentominoesGuru harus membimbing siswa untuk mengenali, menjelaskan, dan informal membuktikan karakteristik simetris desain melalui bahan mereka menyediakan dan pertanyaan mereka meminta.Siswa dapat menggunakan pola blok untuk membuat desain dengan garis dan simetri rotasi (lihat gbr. 4.16) atau menggunakan guntingan kertas, kertas lipat, dan cermin untuk menyelidiki garis simetri.

Gambar. 4.16 Simetri dapat ditemukan dalam desain..

Gunakan visualisasi, penalaran spasial, dan pemodelan geometri untuk memecahkan masalah

Visualisasi spasial dapat dikembangkan dengan membangun dan memanipulasi pertama representasi konkret dan kemudian mental bentuk, hubungan, dan transformasi. Guru harus merencanakan instruksi sehingga siswa dapat mengeksplorasi hubungan atribut yang berbeda atau mengubah salah satu karakteristik dari bentuk sambil menjaga orang lain. Dalam kegiatan di angka 4,17, siswa memegang loop tali panjang sehingga tangan masing-masing siswa berfungsi sebagai titik dari segitiga. Dalam pengaturan ini, siswa bereksperimen dengan mengubah bentuk dengan meningkatkan jumlah sisi sementara perimeter tidak berubah. Percakapan tentang apa yang mereka perhatikan dan bagaimana mengubah dari satu bentuk ke yang lain memungkinkan siswa untuk mendengar sudut pandang yang berbeda dan pada saat yang sama memberikan guru wawasan pemahaman siswa mereka. Bekerja dengan bentuk konkret, diilustrasikan dalam kegiatan ini, meletakkan dasar yang berharga bagi akal spasial. Untuk lebih mengembangkan kemampuan siswa, guru mungkin meminta mereka untuk melihat di "mata pikiran" mereka bentuk yang akan dihasilkan ketika bentuk membalik atau ketika persegi dipotong diagonal dari sudut ke sudut. Dengan demikian, banyak kegiatan bentuk dan transformasi membangun penalaran spasial jika siswa diminta untuk membayangkan,»memprediksi, percobaan, dan memeriksa hasil kerja sendiri (lihat gbr. 4.18).

Gambar. 4.17. Membuat segitiga string yang

Gambar. 4.18 Kertas pemotongan. Dapat membantu visualisasi spasial dan penalaran

Kegiatan kelas yang meningkatkan visualisasi, seperti meminta siswa untuk mengingat konfigurasi titik pada domino dan menentukan jumlah titik tanpa menghitung, dapat mempromosikan memori spasial. Seorang guru bisa menempatkan objek (seperti gunting, pena, daun, klip kertas, dan blok) pada proyektor, menunjukkan benda sebentar, dan meminta siswa menyebutkan benda mereka dilirik. Atau guru mungkin memiliki siswa menutup mata mereka; ia kemudian bisa mengambil satu objek pergi dan meminta yang satu telah dihapus.

Di lain "cepat gambar" kegiatan, siswa dapat ditampilkan sebentar konfigurasi yang sederhana seperti yang pada gambar 4.19 diproyeksikan di layar dan kemudian diminta untuk mereproduksi itu. Konfigurasi ditunjukkan lagi selama beberapa detik, dan mereka didorong untuk memodifikasi gambar mereka. Proses ini dapat diulang beberapa kali sehingga mereka memiliki kesempatan untuk mengevaluasi dan mengoreksi diri pekerjaan mereka (Yackel dan Wheatley 1990).Bertanya, "Apa yang Anda lihat? Bagaimana Anda memutuskan apa untuk menarik?" kemungkinan untuk memperoleh penjelasan yang berbeda, seperti "tiga segitiga," "sebuah tenggelamnya perahu layar," "persegi dengan dua jalur melalui itu," "y dalam kotak," dan "sandwich yang telah dipotong menjadi tiga bagian. " Siswa yang dapat melihat konfigurasi dalam beberapa cara mungkin memiliki pengetahuan matematika lebih dan kekuasaan daripada mereka yang terbatas pada satu perspektif.

Gambar. 4.19. Dalam kegiatan cepat-gambar, siswa mencoba untuk mereproduksi gambar ini, yang telah secara singkat diproyeksikan pada layar.

Visualisasi spasial dan penalaran dapat dibina dalam kegiatan navigasi ketika guru meminta siswa untuk memvisualisasikan jalur mereka hanya berjalan dari perpustakaan dan menggambarkannya dengan menentukan landmark sepanjang rute atau ketika siswa berbicara tentang bagaimana padat bentuk geometris terlihat dari perspektif yang berbeda. Guru harus meminta siswa untuk mengidentifikasi struktur dari berbagai sudut pandang dan untuk mencocokkan dilihat dari struktur yang sama digambarkan dari perspektif yang berbeda.Menggunakan berbagai foto majalah, siswa yang lebih tua mungkin membahas lokasi fotografer ketika mereka mengambil masing-masing.

Guru harus membantu siswa menjalin hubungan antara geometri, pengukuran, dan nomor dengan memilih kegiatan yang mendorong mereka untuk menggunakan pengetahuan dari pelajaran sebelumnya untuk memecahkan masalah baru. Kisah anak kelas kedua memperkirakan cranberry untuk mengisi botol, dijelaskan dalam "Connections" bagian dari bab ini, menggambarkan pelajaran di mana siswa menggunakan pemahaman mereka tentang jumlah, pengukuran, geometri, dan data untuk menyelesaikan tugas-tugas. Ketika guru menunjukkan bentuk geometris di alam atau dalam arsitektur, kesadaran siswa tentang geometri di lingkungan meningkat. Ketika guru mengajak siswa untuk menemukan mengapa sebagian besar hidran kebakaran memiliki topi pentagonal daripada yang persegi atau heksagonal atau mengapa bola bisa bergulir dalam garis lurus tetapi kerucut berguling ke satu sisi, mereka mendorong mereka untuk menerapkan pemahaman geometris mereka. Ketika siswa diminta untuk memvisualisasikan nomor geometris dengan pemodelan berbagai pengaturan dari nomor yang sama dengan ubin persegi, mereka juga membuat koneksi ke daerah. Membuat dan menggambar array persegi panjang seperti kotak membantu primer-nilai siswa belajar untuk mengatur ruang dan bentuk, yang penting untuk pemahaman mereka kemudian grid dan sistem koordinat (Battista et al. 1998).

Standar pengukuran untuk Kelas Pra-K-2

Harapan



Memahami atribut terukur dari benda-benda dan unit, sistem, dan proses pengukuran

• mengenali atribut panjang, volume, berat, daerah, dan waktu;

• membandingkan dan benda-benda agar sesuai dengan atribut ini;

• memahami bagaimana mengukur menggunakan unit tidak standar dan standar;

• pilih unit yang tepat dan alat untuk atribut yang diukur.

Menerapkan teknik yang tepat, alat, dan formulauntuk menentukan pengukuran

• mengukur dengan beberapa salinan unit dengan ukuran yang sama, seperti penjepit kertas diletakkan ujung ke ujung;

• menggunakan pengulangan satu unit untuk mengukur sesuatu yang lebih besar daripada unit, misalnya, mengukur panjang ruang dengan meterstick tunggal;

• menggunakan alat untuk mengukur;• mengembangkan acuan umum untuk langkah-langkah

untuk membuat perbandingan dan perkiraan.

Pengukuran adalah salah satu yang paling banyak digunakan aplikasi matematika. Ia menjembatani dua bidang utama sekolah matematika-geometri dan nomor. Kegiatan pengukuran secara bersamaan dapat mengajarkan keterampilan sehari-hari penting, memperkuat pengetahuan siswa tentang topik penting lainnya dalam matematika, dan mengembangkan konsep pengukuran dan proses yang akan diformalkan dan diperluas pada tahun kemudian.

Pengajaran yang didasarkan pada pemahaman intuitif siswa dan pengalaman pengukuran informal yang membantu mereka memahami atribut yang akan diukur serta apa artinya untuk mengukur. Sebuah yayasan dalam konsep pengukuran yang memungkinkan siswa untuk menggunakan sistem pengukuran, alat, dan teknik harus ditetapkan melalui pengalaman langsung dengan membandingkan benda, menghitung unit, dan membuat koneksi antara konsep tata ruang dan nomor.

Memahami atribut terukur dari benda-benda dan unit, sistem, dan proses pengukuran

Anak-anak harus mulai mengembangkan pemahaman tentang atribut dengan melihat, menyentuh, atau langsung membandingkan benda.Mereka dapat menentukan siapa yang memiliki lebih dengan melihat ukuran tumpukan benda atau mengidentifikasi mana dari dua benda lebih berat dengan menjemput mereka. Mereka dapat membandingkan sepatu, menempatkan mereka berdampingan, untuk memeriksa yang lama. Orang dewasa harus membantu anak-anak mengenali atribut melalui percakapan mereka. "Itu adalah sebuah lubang yang dalam.""Mari kita menempatkan mainan di dalam kotak besar." "Itu adalah

bagian panjang tali." Di sekolah, siswa terus belajar tentang atribut karena mereka menggambarkan obyek, membandingkan mereka, dan ketertiban mereka dengan atribut yang berbeda. Melihat hubungan order, seperti bahwa bola lebih besar dari bisbol tetapi lebih kecil dari bola pantai, adalah penting dalam mengembangkan konsep pengukuran.

Guru harus membimbing pengalaman siswa dengan membuat sumber daya untuk mengukur tersedia, berencana kesempatan untuk mengukur, dan mendorong siswa untuk menjelaskan hasil dari tindakan mereka. Wacana membangun pengetahuan konseptual dan prosedural siswa pengukuran dan memberikan informasi yang berharga bagi guru melaporkan kemajuan dan perencanaan langkah selanjutnya. Percakapan yang sama dan pertanyaan yang membantu siswa membangun bantuan guru kosakata belajar tentang pemahaman dan kesalahpahaman siswa. Misalnya, ketika siswa mengukur panjang meja dengan batang, guru mungkin bertanya apa yang akan terjadi jika mereka menggunakan batang yang setengah panjang. Apakah mereka membutuhkan lebih banyak batang atau batang lebih sedikit? Jika siswa sedang menyelidiki ketinggian meja, guru mungkin bertanya alat ukur apa yang akan sesuai dan mengapa.

Meskipun dasar konseptual untuk mengukur berbagai atribut yang berbeda harus dikembangkan selama tahun-tahun awal, pengukuran linear adalah penekanan utama. Pengalaman pengukuran harus mencakup perbandingan langsung serta penggunaan unit tidak standar dan standar. Sebagai contoh, guru dapat meminta siswa muda untuk menemukan benda di dalam ruangan yang sekitar selama kaki mereka atau untuk mengukur panjang meja dengan menghubungkan batu.Kemudian mereka dapat menyediakan alat pengukuran standar, seperti penguasa, untuk mengukur tanaman kelas dan menggunakan pengukuran tersebut untuk memetakan pertumbuhan tanaman '. »

Siswa membutuhkan kesempatan untuk memperluas pemahaman mereka mulai dari atribut selain yang terkait dengan langkah-langkah linier dan daerah. Anak prasekolah belajar tentang volume yang mereka tuangkan pasir atau air dari satu wadah ke yang lain. Di dalam kelas, mereka harus terus mengeksplorasi kapasitas berbagai wadah dengan perbandingan langsung atau dengan menghitung jumlah sendok atau cangkir diperlukan untuk mengisi masing-masing. Mereka juga harus bereksperimen dengan mengisi wadah yang lebih besar dengan isi yang lebih kecil dan dugaan apakah kuantitas mungkin terlalu banyak untuk sebuah wadah yang diusulkan.

Siswa muda juga harus memiliki pengalaman dengan berat benda.Saldo membantu mereka memahami bobot komparatif dan memperkuat konsep kesetaraan; misalnya, mereka dapat memprediksi bahwa dua kubus akan berat sama dengan dua puluh link dan kemudian menguji prediksi mereka. Atau mereka dapat mengukur bobot yang sama dari tanah liat untuk proyek seni atau membandingkan bobot blok yang berbeda ukuran. Timbangan mengizinkan siswa untuk menetapkan nilai numerik untuk bobot benda (sebagai penguasa memungkinkan mereka untuk menetapkan nilai numerik untuk langkah-langkah linier) dan memungkinkan mereka untuk mulai menggunakan langkah-langkah standar dalam cara yang berarti. Pada akhir kelas dua, siswa harus berhubungan langkah-langkah standar seperti kilogram atau pound untuk atribut "bagaimana berat."

Penekanan lain pada tingkat ini harus mengembangkan konsep waktu dan cara itu diukur. Ketika siswa menggunakan kalender atau peristiwa urutan cerita, mereka menggunakan ukuran waktu dalam konteks nyata. Peluang muncul sepanjang hari sekolah bagi guru untuk fokus pada waktu dan pengukuran melalui percakapan singkat dengan siswa

mereka. Seorang guru mungkin mengatakan, misalnya, "Lihatlah jam. Ini 01:00 waktu untuk gym! Hal ini sama seperti gambar jam di jadwal kami." Sebagai guru meminta perhatian ke jam, banyak siswa muda akan belajar untuk memberitahu waktu. Namun, ini adalah kurang penting dibandingkan pola pemahaman mereka tentang menit, jam, hari, minggu, dan bulan. »

Proses pengukuran identik, pada prinsipnya, untuk mengukur atribut setiap: memilih unit, membandingkan unit yang ke objek, dan melaporkan jumlah unit. Jumlah unit dapat ditentukan dengan iterasiunit (berulang kali meletakkan unit terhadap obyek) dan menghitung iterasi atau dengan menggunakan alat ukur. Sebagai contoh, siswa dapat genteng ruang dan menghitung jumlah ubin untuk menemukan daerah. Untuk pengukuran linear, mereka dapat merekam tinggi badan mereka dengan menggunakan meterstick a.

Guru harus menyediakan banyak tangan-peluang bagi siswa untuk memilih alat-beberapa dengan tidak standar dan lain-lain dengan standar unit-untuk mengukur atribut yang berbeda. Siswa harus belajar bahwa batang dan penguasa dengan sentimeter dan inci dapat digunakan untuk mengukur panjang. Mereka harus mengakui bahwa unit yang berbeda memberikan berbagai tingkat presisi untuk pengukuran mereka. Meskipun untuk banyak tugas pengukuran siswa akan menggunakan unit tidak standar, adalah tepat bagi mereka untuk bereksperimen dengan dan menggunakan langkah-langkah standar seperti sentimeter dan meter dan inci dan kaki pada akhir kelas 2.

Menerapkan teknik yang tepat, alat, dan formula untuk menentukan pengukuran

Jika siswa awalnya mengeksplorasi pengukuran dengan berbagai unit, tidak standar serta standar, mereka akan mengembangkan pemahaman tentang sifat unit. Sebagai contoh, jika beberapa siswa mengukur lebar pintu menggunakan pensil dan lainnya menggunakan klip kertas besar, jumlah klip kertas akan berbeda dari jumlah pensil. Jika beberapa siswa menggunakan klip kertas kecil, maka lebar pintu akan mengukur belum nomor yang berbeda dari unit. Demikian pula, ketika siswa meliputi area, beberapa menggunakan domino dan lain-lain menggunakan ubin persegi, mereka akan mengakui bahwa "pengukuran domino" memiliki nilai yang berbeda dari "pengukuran ubin." Pengalaman dan diskusi tersebut dapat membuat kesadaran akan kebutuhan untuk unit standar dan alat-alat dan fakta bahwa alat ukur yang berbeda akan menghasilkan pengukuran numerik yang berbeda dari objek yang sama. »

Konsep pengukuran dan keterampilan dapat berkembang bersama sebagai posisi siswa beberapa salinan dari unit yang sama tanpa meninggalkan ruang antara mereka atau karena mereka mengukur dengan iterasi satu unit tanpa tumpang tindih atau meninggalkan celah.Kedua jenis pengalaman yang diperlukan. Demikian pula, dengan menggunakan penggaris, siswa belajar konsep dan prosedur, termasuk keselarasan akurat (misalnya, mengabaikan terdepan di awal banyak penguasa), mulai dari nol, dan berfokus pada panjang dari unit daripada hanya pada nomor pada penguasa . Dengan menekankan pertanyaan "Apa yang Anda menghitung?" guru membantu siswa fokus pada arti dari pengukuran mereka membuat.

Guru tidak bisa berasumsi bahwa siswa memahami pengukuran penuh bahkan ketika mereka dapat memberitahu berapa lama sebuah objek ketika sejajar dengan penggaris. Menggunakan alat akurat dan mempertanyakan ketika pengukuran mungkin tidak akurat memerlukan

konsep dan keterampilan yang berkembang dalam waktu lama melalui banyak pengalaman bervariasi. Pertimbangkan episode berikut diambil dari pengalaman kelas:

Seorang guru telah memberikan kelasnya daftar hal-hal untuk mengukur; karena ia tertarik untuk mengetahui bagaimana siswa akan mendekati tugas, ia meninggalkan pilihan alat ukur untuk mereka. Mari menggunakan penggaris ketika guru mampir meja untuk mengamati dia mengukur bukunya. "Ini dua belas inci," kata Mari saat ia menulis pengukuran pada lembar perekaman. Berikutnya ia diukur pensilnya, yang terasa lebih singkat dari buku. Guru mengamati bahwa tangan Mari tergelincir saat ia menyelaraskan penguasa nya dengan pensil.Mari tidak berkomentar tapi mencatat pengukuran ini sebagai dua belas inci juga.

"Saya melihat bahwa Anda menulis bahwa masing-masing adalah dua belas inci," kata guru itu. "Saya bingung. Buku ini terlihat jauh lebih lama dari pensil untuk saya. Bagaimana menurutmu?"

Mari mendorong kedua item berdekatan dan mempelajarinya."Kau benar," katanya. "Buku ini lebih lama, tetapi mereka berdua belas inci."

Dalam catatan anekdot, guru mencatat apa yang terjadi dalam rangka untuk mengatasi masalah ini dalam pelajaran masa depan dan percakapan dengan Mari dan kelas.

Kegiatan estimasi adalah sebuah aplikasi awal nomor akal; mereka fokus perhatian siswa pada atribut yang diukur, proses pengukuran, ukuran unit, dan nilai acuan. Jadi memperkirakan pengukuran kontribusi untuk perkembangan siswa akal spasial, konsep jumlah, dan keterampilan. Karena pengukuran yang tepat tidak selalu diperlukan untuk menjawab pertanyaan, siswa harus menyadari bahwa sering tepat untuk melaporkan pengukuran sebagai perkiraan.

Analisis Data dan Probabilitas standar untuk Kelas Pra-K-2

Harapan



Merumuskan pertanyaanyang dapat diatasi dengan data dan mengumpulkan, mengatur, dan menampilkan data yang relevan untuk menjawab mereka

• mengajukan pertanyaan dan mengumpulkan data tentang diri dan lingkungannya;

• mengurutkan dan mengklasifikasikan benda-benda sesuai dengan atribut mereka dan mengatur data tentang obyek;

• merepresentasikan data menggunakan benda-benda konkret, gambar, dan grafik.

Memilih dan menggunakan metode statistik yang tepat untuk menganalisis data

• menggambarkan bagian dari data dan set data secara keseluruhan untuk menentukan apa data menunjukkan.

Mengembangkan dan mengevaluasikesimpulan dan prediksi yang didasarkan pada data

• mendiskusikan kegiatan yang terkait dengan pengalaman siswa lebih mungkin atau tidak mungkin.

Memahami dan menerapkan konsep dasar probabilitas

Informal membandingkan, mengelompokkan, dan menghitung aktivitas dapat memberikan awal matematika untuk mengembangkan pemahaman pelajar muda 'data, analisis data, dan statistik. Jenis kegiatan yang diperlukan dan sesuai untuk anak TK sangat bervariasi dari orang-orang untuk siswa kelas kedua; Namun, seluruh pra-K-2 tahun, siswa harus mengajukan pertanyaan untuk menyelidiki, mengatur respon, dan membuat representasi dari data mereka. Melalui investigasi data, guru harus mendorong siswa untuk berpikir jernih dan untuk memeriksa ide-ide baru terhadap apa yang mereka sudah tahu dalam rangka untuk mengembangkan konsep untuk membuat keputusan.

Sebagai pertanyaan siswa menjadi lebih canggih dan data mereka set yang lebih besar, mereka menggunakan representasi tradisional harus meningkatkan. Pada akhir kelas dua, siswa harus mampu mengatur dan menampilkan data mereka melalui kedua tampilan grafis dan ringkasan numerik. Mereka harus menggunakan hitungan, penghitungan, tabel, grafik batang, dan plot line. Judul dan label untuk menampilkan mereka harus secara jelas mengidentifikasi apa yang mewakili data. Sebagai siswa bekerja dengan data numerik, mereka harus mulai memilah makna angka-orang yang berbeda yang mewakili nilai-nilai ("Aku punya empat orang dalam keluarga saya") dan orang-orang yang mewakili seberapa sering nilai terjadi dalam satu set data (frekuensi ) ("Sembilan anak memiliki empat orang dalam keluarga mereka"). Mereka harus mendiskusikan ketika kesimpulan tentang data dari

satu populasi mungkin atau tidak mungkin berlaku untuk data dari populasi lain. Pertimbangan seperti ini adalah prekursor untuk memahami gagasan kesimpulan dari sampel.

Ide-ide tentang probabilitas pada tingkat ini harus informal dan fokus pada penilaian bahwa anak-anak membuat karena pengalaman mereka.Kegiatan yang mendasari probabilitas eksperimental, seperti melempar sejumlah batu atau dadu, harus terjadi pada tingkat ini, tetapi tujuan utama untuk kegiatan ini difokuskan pada helai lain, seperti nomor.

Merumuskan pertanyaan yang dapat diatasi dengan data dan mengumpulkan, mengatur, dan menampilkan data yang relevan untuk menjawab mereka

Tujuan utama pengumpulan data adalah untuk menjawab pertanyaan ketika jawaban tidak segera jelas. Kecenderungan alami siswa untuk mengajukan pertanyaan harus dipupuk. Pada saat yang sama, guru harus membantu mereka mengembangkan cara-cara untuk mengumpulkan informasi untuk menjawab pertanyaan ini sehingga mereka belajar kapan dan bagaimana membuat keputusan atas dasar data. Sebagai anak-anak masuk sekolah dan kepentingan mereka memperpanjang dari lingkungan sekitarnya mereka untuk memasukkan lingkungan lainnya, mereka harus belajar bagaimana untuk melacak beberapa tanggapan atas pertanyaan mereka dan orang-orang yang diajukan oleh orang lain. Siswa juga harus mulai memperbaiki pertanyaan mereka untuk mendapatkan informasi yang mereka butuhkan.

Mengorganisasi data ke dalam kategori harus dimulai dengan pengalaman menyortir informal, seperti membantu untuk menyingkirkan bahan makanan. Pengalaman ini dan percakapan yang menemani mereka memusatkan perhatian anak-anak pada atribut objek dan membantu mengembangkan pemahaman tentang "hal-hal yang pergi bersama-sama," sambil membangun kosakata untuk menggambarkan atribut dan untuk mengklasifikasikan sesuai dengan kriteria. Siswa muda harus melanjutkan kegiatan yang berfokus pada atribut objek dan data sehingga oleh »kelas dua, mereka bisa memilah dan mengelompokkan secara bersamaan, menggunakan lebih dari satu atribut.

Siswa harus belajar melalui beberapa pengalaman yang bagaimana data dikumpulkan dan diatur tergantung pada pertanyaan mereka mencoba untuk menjawab. Misalnya, ketika siswa diminta untuk menempatkan counter ke dalam mangkuk untuk menunjukkan apakah mereka memilih untuk perjalanan kelas ke kebun binatang atau ke museum, tanggapan diatur sebagai data dikumpulkan (lihat gbr. 4.20). Untuk mengatasi pertanyaan tertentu seperti "Apa minuman favorit Anda disajikan di kantin sekolah?" benda nyata seperti wadah untuk susu coklat, susu plain, atau jus dapat dikumpulkan, terorganisir, dan ditampilkan. Di lain waktu, gambar benda, counter, kartu nama, atau penghitungan dapat disumbangkan oleh siswa, terorganisir, dan kemudian ditampilkan untuk menunjukkan preferensi.

Siswa Gambar. 4.20. Dapat berkontribusi counter untuk mangkuk untuk memilih.

Metode yang digunakan oleh siswa di kelas yang berbeda untuk menyelidiki jumlah kantong pakaian mereka memberikan contoh pertumbuhan siswa dalam investigasi data selama periode sampai kelas 2. siswa yang lebih muda mungkin menghitung kantong (Luka bakar 1996). Mereka bisa survei teman sekelas mereka dan mengumpulkan data dengan daftar nama, bertanya berapa banyak kantong, dan mencatat bahwa jumlah samping setiap nama. Bersama-sama kelas bisa membuat satu grafik besar untuk menunjukkan data tentang semua siswa dengan mewarnai sebuah bar pada grafik untuk mewakili jumlah kantong untuk setiap siswa (lihat gbr. 4.21). Di kelas dua, namun, siswa dapat memutuskan untuk menghitung jumlah teman sekelas yang memiliki berbagai jumlah kantong (lihat gbr. 4.22). Metode mereka mengumpulkan informasi, pengorganisasian, dan menampilkan data cenderung berbeda karena mereka pengelompokan data-tiga siswa memiliki dua kantong, lima siswa memiliki empat kantong, dan sebagainya.Mereka akan harus berpikir hati-hati tentang makna semua angka-beberapa mewakili nilai sepotong data dan beberapa mewakili berapa kali nilai yang terjadi.

Gambar. 4.21. Sebuah bar grafik yang menggambarkan jumlah kantong pakaian TK siswa

Gambar. 4.22. Sebuah grafik garis-plot jumlah siswa di kelas kelas dua yang memiliki dari satu sampai sepuluh kantong

Siswa tidak otomatis memperbaiki pertanyaan mereka, mempertimbangkan cara-cara alternatif mengumpulkan informasi, atau memilih cara yang paling tepat untuk mengatur dan menampilkan data; keterampilan ini diperoleh melalui pengalaman, diskusi kelas, dan bimbingan guru. Ambil, misalnya, episode berikut diambil dari pengalaman kelas: »

Para mahasiswa telah menjadi tertarik pada pertanyaan apakah lebih keluarga memiliki mobil dengan dua pintu atau empat pintu. Saat mereka merencanakan, siswa harus memutuskan apakah truk harus dimasukkan. Bagaimana van dengan empat pintu atau station wagon dengan lima pintu? Setelah kelas telah menetap di kategori umum, berbagai kelompok mahasiswa terus melacak data dengan cara yang berbeda. Satu kelompok menempatkan batu dalam cangkir yang berbeda yang mewakili kategori yang berbeda. Kelompok lain mencatat data menggunakan penghitungan. Kelompok ketiga siswa membuat daftar keluarga dengan mobil dengan dua pintu dan orang-orang dengan mobil dengan empat pintu tanpa mencoba untuk mengatur informasi atau menyepakati hasil pengumpulan data mereka. Guru digunakan karya siswa untuk diskusi kelas tentang kelompok mana yang mampu menjawab pertanyaan mereka berpose.

Siswa representasi harus dibahas, bersama dengan teman sekelas, dan dihargai karena mereka mencerminkan siswa 'pemahaman. Representasi ini mampu guru kesempatan untuk menilai pemahaman siswa dan untuk memulai diskusi kelas tentang isu-isu penting terkait mewakili data. Kesalahpahaman yang timbul karena representasi siswa data menawarkan situasi untuk belajar dan instruksi baru. Seorang guru meminta siswa kelas pertama untuk melipat selembar kertas di setengah dan memotong jantung (diadaptasi dari University of North Carolina Matematika dan Jaringan Pendidikan Sains [1997, hal. 19]).Ketika siswa diurutkan hati mereka menjadi tiga kolom sesuai dengan ukuran (lihat gambar 4.23a.), Beberapa dari mereka menyatakan bahwa hati besar diwakili pilihan yang paling populer karena kolom yang tertinggi. Seorang guru bisa menggunakan diskusi kelas perbedaan antara ukuran dan jumlah hati sebagai pengalaman awal dengan skala dan sebagai kesempatan bagi siswa untuk merencanakan bagaimana untuk merevisi grafik untuk menyampaikan data lebih akurat. Dengan menyisipkan hati mereka pada bagian yang sama-berukuran kertas, siswa dapat membuat grafik baru, yang ditunjukkan pada gambar 4.23b. »

Gambar 4.23 Tampilan Data menyesatkan dan revisi selanjutnya (sumber (a): University of North Carolina Matematika dan Ilmu Pendidikan 1997, p 19.)...

Memilih dan menggunakan metode statistik yang tepat untuk menganalisis data

Melalui investigasi data mereka, siswa muda harus mengembangkan gagasan bahwa data, grafik, dan grafik memberikan informasi. Bila data yang ditampilkan dalam cara yang terorganisasi, diskusi kelas harus fokus pada apa yang grafik atau representasi lain yang melekat dan apakah data membantu menjawab pertanyaan-pertanyaan spesifik yang diajukan. Guru harus mendorong siswa untuk membandingkan bagian dari data ("Jumlah yang sama dari anak memiliki anjing sebagai memiliki kucing") dan membuat pernyataan tentang data secara keseluruhan ("Kebanyakan siswa di kelas hanya kalah dua gigi").

Pada akhir kelas 2, siswa harus mulai mempertanyakan pernyataan yang tidak pantas tentang data, seperti yang digambarkan dalam percakapan kelas ini: Dua siswa, tertarik pada bagaimana banyak dari teman sekelas mereka menonton acara televisi tertentu, yang disurvei hanya teman-teman mereka dan melaporkan hasil mereka ke kelas."Kau tidak meminta saya dan saya menontonnya!" seorang gadis mengeluh. Siswa lain mengatakan, "Tunggu sebentar, Anda tidak meminta saya dan saya tidak menonton. Saya yakin kebanyakan anak-anak tidak menonton itu."

Investigasi data dapat mendorong siswa untuk bergulat dengan masalah penghitungan yang mendasar untuk semua pengumpulan data: Siapa yang saya hitung? Bagaimana saya bisa yakin saya telah dihitung setiap bagian data sekali dan hanya sekali?

Konsep sampel sulit bagi siswa muda. Sebagian besar pengumpulan data mereka untuk populasi penuh, seperti kelas mereka sendiri.Dengan bimbingan, siswa dapat mulai mengenali kapan kesimpulan tentang satu populasi tidak dapat diterapkan ke yang lain, seperti yang ditunjukkan dalam mengikuti contoh hipotetis: Seorang guru membaca buku tentang bersiul untuk kelas kelas pertama. Para siswa memutuskan untuk survei kelas dan menemukan bahwa delapan siswa bisa bersiul dan sembilan belas tidak bisa. Ketika guru meminta kelas untuk judul grafik mereka telah menciptakan, para siswa setuju bahwa»judul yang tepat akan" Kebanyakan Anak-anak tidak bisa Whistle. "Guru kemudian bertanya, "Apa yang Anda pikir akan terjadi jika kita meminta siswa kelas empat?" Para siswa mengulang survei dan menemukan bahwa hampir setiap kelas empat bisa bersiul, sehingga mereka memutuskan untuk retitle grafik "Jumlah Siswa di Kelas kami Siapa yang bisa Whistle."

Mengembangkan dan mengevaluasi kesimpulan dan prediksi yang didasarkan pada data

Kesimpulan dan prediksi yang lebih banyak aspek-maju Standar ini.Perkembangan konsep-konsep ini membutuhkan kerja dengan pengambilan sampel yang dimulai di band kelas. Sebagai awal yang tepat untuk konsep-konsep ini, bagaimanapun, guru harus mendorong diskusi informal tentang apakah atau tidak siswa di kelas lain akan mencapai kesimpulan serupa.

Memahami dan menerapkan konsep dasar probabilitas

Pada tingkat ini, pengalaman probabilitas harus informal dan sering mengambil bentuk menjawab pertanyaan tentang kemungkinan kejadian, menggunakan kosa kata seperti lebih mungkin atau kurangmungkin. Siswa muda menikmati berpikir tentang peristiwa mustahil

dan sering bertemu dengan mereka dalam buku-buku yang mereka pelajari untuk membaca. Pertanyaan tentang lebih dan kurang mungkin peristiwa harus datang dari pengalaman siswa, dan jawaban akan sering bergantung pada masyarakat dan lokasinya. Selama musim dingin, pertanyaan "Apakah mungkin untuk salju besok?"memiliki jawaban yang sangat berbeda di Toronto dan San Diego.

Guru harus membahas awal dari probabilitas melalui kegiatan informal dengan pemintal atau nomor kubus yang memperkuat konsep dalam Standar lainnya, terutama Nomor. Misalnya, sebagai mahasiswa berulang kali melemparkan dua dadu atau nomor kubus dan menambahkan hasil setiap lemparan, mereka mungkin mulai melacak hasil. Mereka akan menyadari bahwa sejumlah 1 adalah mustahil, bahwa jumlah 2 atau 12 adalah langka, dan bahwa jumlah 6, 7, dan 8 yang cukup umum. Melalui diskusi, mereka mungkin menyadari bahwa pengamatan mereka memiliki sesuatu untuk dilakukan dengan sejumlah cara untuk mendapatkan jumlah tertentu dari dua dadu, tetapi perhitungan yang tepat dari probabilitas harus terjadi di kelas yang lebih tinggi.

Pemecahan Masalah standar untuk Kelas Pra-K-2


membangun pengetahuan matematika baru melalui pemecahan masalah; memecahkan masalah yang timbul dalam matematika dan dalam konteks lain; berlaku dan beradaptasi berbagai strategi yang tepat untuk memecahkan masalah; memantau dan merefleksikan proses pemecahan masalah matematika.

Pemecahan masalah adalah ciri dari kegiatan matematika dan sarana utama mengembangkan pengetahuan matematika. Ini adalah menemukan cara untuk mencapai tujuan yang tidak segera dicapai. Pemecahan masalah adalah alami untuk anak-anak karena dunia baru bagi mereka, dan mereka menunjukkan rasa ingin tahu, kecerdasan, dan fleksibilitas karena mereka menghadapi situasi yang baru. Tantangan pada tingkat ini adalah untuk membangun bawaan kecenderungan pemecahan masalah anak-anak dan untuk melestarikan dan mendorong disposisi yang menghargai pemecahan masalah. Guru harus mendorong siswa untuk menggunakan matematika baru yang mereka pelajari untuk mengembangkan berbagai strategi pemecahan masalah, berpose (merumuskan) masalah yang menantang, dan belajar untuk memantau dan merefleksikan ide-ide mereka sendiri dalam memecahkan masalah.

Apa yang harus memecahkan masalah terlihat seperti di Prekindergarten melalui kelas 2?

Pemecahan pada awal tahun masalah harus melibatkan berbagai konteks, dari masalah yang berkaitan dengan rutinitas sehari-hari untuk situasi matematika yang timbul dari cerita.Siswa di kelas yang sama cenderung memiliki pemahaman matematika yang sangat berbeda dan keterampilan; situasi yang sama itu adalah masalah untuk satu siswa dapat mendapatkan respon otomatis dari yang lain. Misalnya, ketika siswa kelas pertama bekerja dalam kelompok kecil untuk membuat model hewan dengan padatan geometris, beberapa memiliki kesulitan melihat bagian-bagian dari hewan bentuk geometris. Siswa lain mudah melihat bahwa mereka bisa menggunakan prisma empat persegi panjang tujuh untuk membuat jerapah (lihat gambar 4.24). Demikian pula, pertanyaan "Berapa banyak buku akan ada di rak jika Marita menempatkan enam buku tentang itu dan Al menempatkan tiga lebih lanjut tentang itu?" mungkin tidak menjadi masalah bagi siswa yang tahu kombinasi dasar nomor 6 dan 3 dan kaitannya dengan pertanyaan. Untuk siswa yang belum belajar kombinasi nomor dan mungkin belum tahu bagaimana untuk mewakili tugas simbolis, masalah ini menyajikan kesempatan untuk belajar keterampilan yang dibutuhkan untuk memecahkan masalah yang sama.

Gambar. 4.24. Blok jerapah terbuat dari tujuh prisma empat persegi panjang (Diadaptasi dari Russell, Clements, dan Sarama [1998, hal. 115])

Memecahkan masalah memberikan kesempatan siswa untuk menggunakan dan memperluas pengetahuan mereka tentang konsep-konsep dalam setiap Standar Isi. Sebagai contoh, banyak masalah berkaitan dengan klasifikasi, bentuk, atau ruang: blok mana yang akan muat di rak ini? Akan potongan puzzle ini sesuai dengan ruang yang tersisa? Bagaimana angka-angka ini sama dan bagaimana mereka berbeda? Dalam menjawab pertanyaan-pertanyaan ini, siswa menggunakan keterampilan spasial-visualisasi dan pengetahuan mereka tentang transformasi. Masalah lain mendukung perkembangan siswa dari jumlah rasa dan pemahaman tentang operasi: Berapa banyak hari sampai liburan sekolah? Ada 43 kartu dalam kelompok ini; berapa banyak paket dari 10 kita dapat membuat? Jika ada 26 siswa di kelas kami dan 21 yang di sini hari ini, berapa banyak yang absen? Ketika siswa muda memecahkan masalah yang melibatkan membandingkan dan menyelesaikan koleksi dengan menggunakan strategi penghitungan, mereka mengembangkan pemahaman yang lebih baik dari penjumlahan dan pengurangan dan hubungan antara operasi ini.

Berpose masalah, yaitu, menghasilkan pertanyaan baru dalam konteks masalah, adalah disposisi matematis bahwa guru harus memelihara dan mengembangkan. Melalui mengajukan pertanyaan dan mengidentifikasi informasi apa yang penting, siswa dapat mengatur pikiran mereka, sebagai episode berikut diambil dari observasi kelas menunjukkan:

Lei ingin tahu semua cara untuk menutupi segi enam kuning menggunakan pola blok. Pada awalnya ia bekerja dengan blok menggunakan trial and error yang cukup terarah. Secara bertahap ia menjadi lebih metodis dan ditempatkan berbagai pengaturan di baris. Guru menunjukkan padanya program pola-blok pada komputer kelas dan bagaimana "lem" pola-blok desain bersama-sama di layar. Lei diselenggarakan pengaturan oleh nomor blok digunakan dan mulai memprediksi yang mencoba akan transformasi dari pengaturan lain bahkan sebelum dia menyelesaikan segi enam (lihat gbr. 4.25).Tantangan berikutnya Lei ditetapkan untuk dirinya sendiri adalah untuk melihat apakah dia bisa menciptakan sosok heksagonal hanya menggunakan kotak oranye. Dia bereksperimen dengan blok persegi dan tidak bisa membuat segi enam. "Tapi," ia menjelaskan kepada gurunya, "mungkin berbeda pada komputer," menunjukkan bahwa dia merasa komputer adalah alat pemecahan masalah yang kuat.

Gambar. 4.25. Pengorganisasian pengaturan yang membuat segi enam

Kyle yakin bahwa ia bisa menemukan lebih pengaturan untuk segi enam dari Lei telah ditemukan. Siswa lain bergabung dengan diskusi antara Lei dan Kyle. Ketika kegiatan ini menciptakan permintaan yang besar untuk "berubah" dengan blok pola dan komputer, guru mengambil keuntungan dari bunga kelas dengan memiliki siswa mendiskusikan bagaimana mereka akan tahu kapan pengaturan blok adalah duplikat dan bagaimana mereka mungkin menyimpan ditulis catatan pekerjaan mereka.

Partisipasi Kyle menggambarkan bahwa siswa gigih ketika masalah yang menarik dan menantang. Minat mereka juga merangsang rasa ingin tahu pada siswa lainnya. »

Siswa bekerja sama sering mulai memecahkan masalah salah satu cara dan, sebelum mencapai solusi, mengubah strategi mereka. Selain itu, karena mereka membuat dan memodifikasi strategi mereka, siswa sering menyadari kebutuhan untuk mempelajari lebih lanjut matematika. Episode berikut, yang diambil dari observasi kelas, menggambarkan bagaimana guru dapat membuat masalah matematis yang kaya.

Beberapa kelas pertama-kelas di sekolah yang sama menanam taman di halaman sekolah. Para siswa ingin setiap kelas memiliki jumlah yang sama ruang untuk penanaman; dengan demikian, bagaimana membagi daerah menjadi tiga bagian yang sama itu sangat diperdebatkan. Sebuah jalan, dua pohon rindang, dan beberapa bangku rumit diskusi. Para siswa mulai daftar semua kekhawatiran mereka dan pertanyaan yang mereka butuhkan untuk menjawab sebelum membagi daerah untuk taman: Seberapa besar dapat menjadi kebun? Apakah tiga bagian harus menjadi bentuk yang sama? Bagaimana kita bisa yakin setiap kelas memiliki jumlah yang sama ruang?

Para guru menggambar peta besar untuk setiap kelas dan menunjukkan perkiraan lokasi dan jumlah ruang yang diambil oleh pohon, jalan, dan bangku. Dalam satu kelas siswa memutuskan mereka ingin kebun persegi panjang dan diperlukan untuk mengukur halaman untuk mencari tahu seberapa besar persegi panjang bisa. Setelah banyak pengukuran dan banyak perdebatan, mereka memotong tiga persegi panjang yang empat kaki dengan sembilan kaki untuk menunjukkan seberapa besar masing-masing taman bisa.Ketika mereka tidak yakin bagaimana menggunakan informasi ini pada peta mereka, guru menunjukkan mereka skala pada peta jalan dan bagaimana skala peta yang digunakan. Dia menyarankan dimensi yang tepat untuk tiga persegi panjang, yang mereka dipotong dan terpaku peta mereka.

Kelas kedua dimulai dengan diskusi tentang apa yang "daerah yang sama"

berarti. Mereka menggunakan besar-grid kotak kertas dan ditempel mereka untuk peta mereka untuk mengalokasikan ruang maksimum untuk berkebun, menghitung dengan cermat untuk memastikan setiap kelas memiliki jumlah yang sama dari kotak meskipun bentuk dari daerah yang berbeda. Kelompok ini juga diperlukan untuk belajar tentang skala untuk benar-benar membuat rencana untuk menandai off kebun luar.

Sebelum pemungutan suara tentang cara menandai kebun, kedua kelompok disajikan rencana mereka untuk semua kelas.

Memutuskan bagaimana untuk berbagi lahan untuk taman adalah contoh dari masalah-kelas berbasis yang memfasilitasi perkembangan siswa dari strategi pemecahan masalah. Tugas itu kompleks. Para siswa berjuang dengan cara berbagi daerah yang sama, bagaimana mengukur, dan bagaimana mengkomunikasikan ide-ide mereka.Namun, proyek ini kaya dengan strategi yang diusulkan, usul balasan, dan peluang untuk guru untuk memperkenalkan matematika baru.

Sastra anak-anak sangat membantu dalam menetapkan konteks untuk kedua masalah-siswa yang dihasilkan dan guru-berpose. Misalnya, setelah membaca 1 Hunter (Hutchins 1982) untuk kelasnya, guru kelas dua siswa diminta untuk mencari tahu berapa banyak hewan, termasuk pemburu, yang dalam cerita. Gambar 4.26 mengilustrasikan beberapa pendekatan yang digunakan oleh siswa.

Gambar. 4.26. Detemining jumlah hewan di 1 HunterSharing memberi siswa kesempatan untuk mendengar ide-ide baru dan membandingkannya dengan mereka sendiri dan untuk membenarkan pemikiran mereka. Sebagai siswa berjuang

dengan masalah, melihat berbagai solusi sukses meningkatkan»kesempatan mereka belajar strategi yang berguna dan memungkinkan mereka untuk menentukan apakah beberapa strategi yang lebih fleksibel dan efisien. Ketika guru mengajak siswa untuk menjelaskan solusi mereka ke 1 masalah Hunter,beberapa dari mereka ditemukan menghitung atau kesalahan komputasi dan membuat koreksi selama presentasi.Menjelaskan solusi bergambar dan tulisan mereka membantu mereka mengartikulasikan pemikiran mereka dan membuatnya tepat.

Apa yang harus menjadi peran guru dalam mengembangkan pemecahan di Prekindergarten sampai kelas 2 masalah?

Keputusan yang membuat guru tentang peluang pemecahan masalah mempengaruhi kedalaman dan luasnya matematika siswa belajar.Guru harus jelas tentang matematika mereka ingin siswa mereka untuk mencapai karena mereka struktur situasi yang baik bermasalah dan dapat dicapai untuk berbagai siswa. Mereka membuat keputusan penting tentang kapan untuk menyelidiki, ketika memberikan umpan balik yang menegaskan apa yang benar dan apa yang salah mengidentifikasi, kapan harus menahan komentar dan merencanakan tugas-tugas serupa, dan kapan harus menggunakan diskusi kelas untuk memajukan pemikiran matematika siswa. Dengan membiarkan waktu untuk berpikir, percaya bahwa siswa muda dapat memecahkan masalah, mendengarkan dengan hati-hati untuk penjelasan mereka, dan penataan lingkungan yang menghargai pekerjaan yang siswa lakukan, guru mempromosikan pemecahan masalah dan membantu siswa membuat strategi mereka secara eksplisit.

Alih-alih memecahkan masalah secara terpisah mengajar, guru harus menanamkan masalah dalam kurikulum matematika-konten. Ketika guru mengintegrasikan pemecahan masalah dalam konteks situasi matematika, siswa mengenali kegunaan strategi. Guru harus memilih masalah khusus karena mereka cenderung untuk mendorong strategi tertentu dan memungkinkan untuk pengembangan ide-ide matematika tertentu. Sebagai contoh, masalah "Saya punya uang, dime, dan sen di saku saya. Jika saya mengambil tiga koin dari saku saya, berapa banyak uang yang bisa saya telah mengambil?" dapat membantu anak-anak belajar untuk berpikir dan mencatat pekerjaan mereka.

Menilai kemampuan siswa untuk memecahkan masalah yang lebih sulit daripada mengevaluasi keterampilan komputasi.Namun, sangat penting bahwa guru »mengumpulkan bukti dalam berbagai cara, seperti melalui karya siswa dan percakapan, dan menggunakan informasi tersebut untuk merencanakan bagaimana untuk membantu siswa secara individual dalam konteks seluruh kelas. Mengetahui minat siswa memungkinkan guru untuk merumuskan masalah yang memperpanjang pemikiran matematika dari beberapa siswa dan yang juga memperkuat konsep belajar oleh siswa lain yang belum mencapai pemahaman yang sama. Ruang kelas di mana siswa memiliki akses siap untuk bahan seperti counter, kalkulator, dan komputer dan di mana mereka didorong untuk menggunakan berbagai strategi mendukung berpikir bahwa hasil di berbagai tingkat pemahaman.

Dua contoh menggambarkan bagaimana percakapan dengan siswa memberikan guru informasi yang berguna tentang pemikiran siswa. Kedua contoh telah diambil dari pengamatan siswa.

Katie, seorang mahasiswa TK, mengatakan bahwa adiknya di kelas tiga telah mengajarinya untuk berkembang biak. "Beri aku masalah," katanya. Guru bertanya, "Berapa tiga kali empat?"Ada jeda panjang sebelum Katie menjawab, "Dua belas!" Ketika guru bertanya bagaimana dia tahu, Katie menjawab, "Aku menghitung bebek di kepala-tiga saya kelompok dengan empat bebek." Katie, sambil menunjukkan pemahaman aditif dari perkalian dengan menghitung bebek di masing-masing kelompok, juga menunjukkan minat dalam, dan kesiapan untuk, matematika yang secara tradisional fokus dalam nilai yang lebih tinggi. Luis, siswa kelas kedua, menunjukkan kefasihan dengan menyusun dan membusuk nomor ketika ia mengumumkan bahwa ia bisa mencari tahu perkalian. Gurunya bertanya, "Bisakah Anda ceritakan empat kali tujuh?" Luis tenang untuk beberapa saat, dan kemudian dia memberikan jawabannya dua puluh delapan. Ketika guru bertanya bagaimana dia mendapat dua puluh delapan, Luis menjawab, "Tujuh ditambah tiga sepuluh, dan empat lagi adalah empat belas, enam lebih dua puluh dan satu lagi adalah dua puluh satu, tujuh lagi adalah dua puluh delapan." Pendekatan Luis juga dibangun di atas pemikiran aditif tetapi dengan menggunakan jauh lebih canggih dari hubungan nomor. Dia menambahkan 7 + 7 + 7 + 7 mental dengan melanggar tujuh menjadi bagian-bagian untuk menyelesaikan puluhan sepanjang jalan.

Siswa tertarik dengan kalkulator dan komputer dan dapat ditantang oleh matematika bahwa teknologi membuat tersedia untuk mereka, seperti yang ditunjukkan di episode berikutnya, diadaptasi dari Riedesel (1980, hlm 74-75.):

Erik, mahasiswa TK sangat mampu, diamati gurunya menggunakan kalkulator dan bertanya bagaimana ia bekerja. Guru menunjukkan padanya bagaimana untuk menghitung penambahan sederhana. Erik mengambil kalkulator ke sudut matematika dan beberapa menit kemudian keras menyatakan, "Lima ditambah empat sama dengan sembilan. Hei, hal ini sudah benar!"Beberapa menit kemudian, ia berjalan ke guru dan mereka memiliki percakapan berikut:

Erik: Apa artinya tombol ini?Guru: Itulah yang disebut dengan "akar kuadrat." Ini adalah ide yang cukup sulit

dalam matematika.Erik: OK. (Dia mengembara jauh, tapi tidak lama.)Tapi ini adalah bencana! Aku

menekan 2, kemudian tombol persegi akar, dan aku mendapat seluruh banyak nomor.

Guru: Coba gunakan 1. (Erik mencoba ini.)Erik: Yang hanya memberikan 1 kembali. »Guru: Coba 4. (Erik mencatat bahwa hasilnya adalah 2 dan bertanya mengapa.

Guru memberitahu dia untuk mendapatkan ubin persegi dan mengeluarkan satu.) Apakah itu persegi? (Erik mengangguk.) Cobalah untuk menambahkan lebih ubin samping satu ini sampai adalah persegi lagi. (Erik menambahkan satu ubin.)Apakah itu persegi?

Erik: Tidak, itu persegi panjang. (Guru bertanya bagaimana dia bisa membuatnya menjadi persegi, dan Erik menambahkan dua ubin lebih.)

Guru: Berapa banyak ubin yang ada di semua? (Erik menjawab bahwa ada empat.) Baik. Tekan 4 pada kalkulator. Berapa lama bagian bawah alun-alun?

Erik: Dua.Guru: Dan di sini di sisi kiri?Erik: Dua di sana, juga.Guru: Tekan tombol persegi root.

Erik: Hei, itu keluar 2!Guru menantang Erik menambahkan lebih ubin sampai ia membuat persegi lain. Erik membangun 3 3 array, menghitung total ubin, masuk nomor ini ke dalam kalkulator, dan menekan tombol persegi root. Ia menemukan bahwa hasilnya adalah jumlah baris dan juga jumlah ubin di setiap baris. Erik terus membangun kotak sampai pada 9 9 Array katanya matanya terluka. Guru bertanya apa yang dia tahu.

Erik: Nah, jika Anda membuat persegi, maka yang harus Anda lakukan adalah menghitung ubin dan tekan nomor dan kunci persegi akar dan kalkulator memberitahu Anda berapa banyak ubin ada di setiap sisi.

Guru: Kerja bagus! Apa lagi yang jumlah itu berarti?Erik: Ini berarti bahwa ada banyak baris dan banyak ubin di setiap baris. (Guru

mengucapkan selamat Erik pada mencari tahu ini.) Ya, saya kira jika Anda ingin belajar sesuatu yang benar-benar buruk, Anda bisa. Besok, aku akan pergi ke seratus!

Guru harus meminta siswa untuk merenungkan, menjelaskan, dan membenarkan jawaban mereka sehingga pemecahan masalah yang baik mengarah ke dan menegaskan pemahaman siswa tentang konsep-konsep matematika. Sebagai contoh, berikut kegiatan estimasi di kelas pertama-kelas, siswa belajar bahwa ada delapan puluh tiga kelereng dalam stoples. Ada dua puluh lima siswa di kelas, sehingga guru bertanya berapa banyak kelereng setiap anak bisa mendapatkan. Graham mengatakan, "Tiga." Ketika guru bertanya bagaimana dia tahu, Graham menjawab, "Delapan puluh tiga adalah hanya sedikit lebih dari tujuh puluh lima, jadi kami hanya mendapatkan tiga. Ada empat kuartal di dolar. Ada tiga perempat di tujuh puluh lima sen. Jadi kita hanya bisa mendapatkan tiga. "

Guru harus memastikan bahwa pemecahan masalah tidak diperuntukkan bagi siswa yang lebih tua atau orang-orang yang memiliki "mendapat dasar-dasar." Siswa muda dapat terlibat dalam pemecahan masalah substantif dan dalam melakukannya mengembangkan keterampilan dasar, keterampilan tingkat tinggi-pemikiran, dan strategi pemecahan masalah (Cobb et al 1991;. Trafton dan Hartman 1997).

Penalaran dan Bukti Standar untuk Kelas Pra-K-2


mengenali penalaran dan bukti sebagai aspek fundamental matematika;

membuat dan menyelidiki dugaan matematika; mengembangkan dan mengevaluasi argumen matematika dan bukti; memilih dan menggunakan berbagai jenis penalaran dan metode pembuktian.

Siswa muda hanya membentuk toko mereka pengetahuan matematika, tapi bahkan dapat alasan termuda dari pengalaman mereka sendiri (Bransford, Brown, dan Cocking 1999). Meskipun anak-anak yang bekerja dari basis pengetahuan kecil, penalaran logis mereka dimulai sebelum sekolah dan terus dimodifikasi oleh pengalaman mereka.Guru harus menjaga lingkungan yang menghormati, memelihara, dan mendorong siswa agar mereka tidak menyerah keyakinan mereka bahwa dunia, termasuk matematika, seharusnya masuk akal.

Meskipun mereka belum mengembangkan semua alat yang digunakan dalam penalaran matematika, siswa muda memiliki cara mereka sendiri untuk menemukan hasil matematika dan meyakinkan diri bahwa mereka adalah benar. Dua unsur penting dari penalaran untuk siswa di kelas awal adalah pengenalan pola dan klasifikasi keterampilan. Mereka menggunakan kombinasi cara membenarkan mereka jawaban-persepsi, bukti empiris, dan rantai pendek dari penalaran deduktif didasarkan pada fakta-fakta yang diterima sebelumnya. Mereka membuat dugaan dan mencapai kesimpulan yang logis dan dipertahankan dari sudut pandang mereka. Bahkan ketika mereka berjuang, tanggapan mereka mengungkapkan rasa mereka membuat situasi matematika.

Siswa muda secara alami generalisasi dari contoh-contoh (Carpenter dan Levi 1999), sehingga guru harus membimbing mereka untuk menggunakan contoh dan tandingan untuk menguji apakah generalisasi mereka sesuai. Pada akhir kelas dua, siswa harus menggunakan metode ini untuk menguji dugaan mereka dan orang lain.

Apa yang harus penalaran dan bukti terlihat seperti di Prekindergarten melalui kelas 2?

Kemampuan untuk berpikir sistematis dan hati-hati terjadi ketika siswa didorong untuk membuat dugaan, diberi waktu untuk mencari bukti untuk membuktikan atau menyangkal mereka, dan diharapkan untuk menjelaskan dan membenarkan ide-ide mereka. Pada awalnya, persepsi mungkin metode dominan menentukan kebenaran: sembilan penanda tersebar berjauhan dapat dilihat sebagai "lebih" dari sebelas penanda ditempatkan dekat bersama-sama. Kemudian, sebagai siswa mengembangkan alat matematika mereka, mereka harus menggunakan pendekatan empiris seperti pencocokan koleksi, yang mengarah ke penggunaan metode yang lebih abstrak seperti menghitung untuk membandingkan koleksi. Jatuh tempo, pengalaman, dan peningkatan pengetahuan matematika bersama-sama mempromosikan pengembangan penalaran sepanjang tahun-tahun awal. »

Membuat dan menggambarkan pola menawarkan kesempatan penting bagi siswa untuk membuat dugaan dan memberikan alasan untuk validitas mereka, sebagai episode berikut diambil dari pengalaman kelas menunjukkan.

Mahasiswa yang menciptakan pola yang ditunjukkan pada gambar 4.27 bangga mengumumkan kepada gurunya bahwa dia telah membuat empat pola dalam satu. "Lihat," katanya, "ada segitiga, segitiga, lingkaran, lingkaran, persegi, persegi. Itu salah satu pola. Lalu ada yang kecil, besar, kecil, besar, kecil, besar. Itu pola

kedua. Lalu ada tebal tipis,, tipis, tebal, tipis, tebal. Itu pola ketiga. Pola keempat adalah biru, biru, merah, merah, kuning, kuning. "

Temannya mempelajari deretan blok dan kemudian berkata, "Saya pikir hanya ada dua pola. Lihat, bentuk dan warna yang pola aabbcc. Ukuran adalah pola ABABAB. Tebal dan tipis adalah pola ABABAB, juga. Jadi Anda benar-benar hanya memiliki dua pola yang berbeda. " Mahasiswa pertama dianggap argumen temannya dan menjawab, "Saya kira kau benar-tapi begitu aku!"

Gambar. 4.27. Empat pola dalam satu

Mampu menjelaskan pemikiran seseorang dengan menyatakan alasan merupakan keterampilan penting bagi penalaran formal yang dimulai pada tingkat ini.

Menemukan pola pada papan seratus memungkinkan siswa untuk menghubungkan pola visual dengan pola jumlah dan untuk membuat dan menyelidiki dugaan. Guru memperpanjang berpikir siswa dengan menyelidik luar pengamatan awal mereka. Siswa sering menggambarkan perubahan dalam jumlah atau pola visual ketika mereka bergerak ke bawah kolom atau baris di. Misalnya, diminta untuk mewarnai setiap nomor ketiga dimulai dengan 3 (lihat gambar 4.28.), Siswa yang berbeda cenderung melihat pola yang berbeda: "Beberapa baris memiliki tiga dan beberapa memiliki empat," atau "pola berjalan menyamping ke kiri." Beberapa siswa, melihat diagonal dalam pola, tidak akan lagi dihitung oleh bertiga untuk menyelesaikan pola. Guru perlu meminta siswa tersebut untuk menjelaskan kepada teman sekelas mereka bagaimana mereka tahu apa yang harus warna tanpa menghitung. Guru juga memperpanjang penalaran matematika siswa dengan mengajukan pertanyaan-pertanyaan baru dan meminta argumen untuk mendukung jawaban mereka. "Anda menemukan pola ketika menghitung dengan berpasangan, bertiga, merangkak, balita, dan puluhan pada seratus papan. Apakah Anda pikir akan ada pola jika Anda menghitung dengan angka enam, tujuh, delapan, atau sembilan? Bagaimana menghitung oleh sebelas atau Fifteens atau dengan angka apapun? " Dengan kalkulator, siswa bisa memperpanjang eksplorasi mereka dari ini dan pola numerik lain di luar 100.

Gambar. 4.28. Pola pada papan seratus

Penalaran siswa tentang klasifikasi bervariasi selama tahun-tahun awal. Misalnya, ketika siswa TK menyortir bentuk, satu siswa dapat mengambil bentuk segitiga besar dan berkata, "Ini adalah besar," dan kemudian meletakkannya dengan bentuk besar lainnya. Seorang teman dapat mengambil bentuk segitiga besar lain, melacak ujungnya, dan mengatakan, "Tiga sisi-segitiga!" dan kemudian menempatkan »dengan segitiga lainnya. Kedua siswa ini berfokus pada hanya satu properti, atau atribut. Dengan kelas dua, namun, siswa menyadari bahwa bentuk memiliki beberapa properti dan harus menyarankan cara pengklasifikasian yang akan mencakup beberapa properti.

Pada akhir kelas dua, siswa juga harus menggunakan properti untuk alasan tentang angka. Sebagai contoh, seorang guru mungkin bertanya, "Yang nomor bukan milik dan mengapa: 3, 12, 16, 30" Dihadapkan dengan pertanyaan ini, seorang siswa mungkin berpendapat bahwa 3 tidak termasuk karena merupakan satu-satunya nomor satu digit atau satu-satunya nomor aneh. Siswa lain mungkin mengatakan bahwa 16 bukan milik karena "Anda tidak mengatakan itu ketika menghitung oleh bertiga." Seorang mahasiswa ketiga mungkin belum lagi ide dan menyatakan bahwa 30 adalah satu-satunya nomor "Anda katakan ketika menghitung puluhan."

Siswa harus menjelaskan rantai mereka penalaran untuk melihat mereka dengan jelas dan menggunakannya secara lebih efektif; pada saat yang sama, guru harus model bahasa matematika bahwa siswa mungkin namun tidak terhubung dengan ide-ide mereka. Pertimbangkan episode berikut, diadaptasi dari Andrews (1999, pp 322-23.):

Satu siswa dilaporkan kepada guru bahwa ia telah menemukan "bahwa segitiga sama persegi." Ketika guru memintanya untuk menjelaskan, siswa pergi ke blok sudut dan mengambil dua setengah-Unit (persegi) blok, dua setengah unit segitiga (triangle) blok, dan satu unit (persegi panjang) blok (ditunjukkan dalam gambar. 4.29) . Dia mengatakan, "Jika dua [persegi setengah-unit] adalah sama dengan satu unit ini dan dua [segitiga setengah-unit] adalah sama dengan satu unit ini, maka persegi ini harus menjadi sama dengan segitiga ini!"

Gambar. 4.29. Penjelasan A siswa dari daerah yang sama dari wajah blok persegi dan triangluar

Meskipun siswa-kata yang bentuk yang "sama" -adalah tidak benar, ia menunjukkan alasan kuat saat ia menggunakan blok untuk membenarkan idenya. Dalam situasi seperti ini, guru bisa menunjukkan wajah dua blok yang lebih kecil dan menanggapi, "Anda menemukan bahwa» luas persegi ini sama dengan luas segitiga ini karena masing-masing dari mereka adalah setengah area persegi panjang yang lebih besar yang sama. "

Apa yang harus menjadi peran guru dalam mengembangkan penalaran dan bukti di Prekindergarten melalui kelas 2?

Guru harus menciptakan lingkungan belajar yang membantu siswa menyadari bahwa semua matematika dapat dan harus dipahami dan bahwa mereka diharapkan untuk memahaminya. Kelas pada tingkat ini harus diisi dengan bahan fisik sehingga siswa memiliki banyak kesempatan untuk memanipulasi objek, mengidentifikasi bagaimana mereka sama atau berbeda, dan generalisasi negara tentang mereka.Dalam lingkungan ini, siswa dapat menemukan dan menunjukkan kebenaran matematika umum menggunakan contoh-contoh spesifik.Tergantung pada konteks di mana peristiwa seperti yang digambarkan oleh tokoh 4,29 berlangsung, guru mungkin berfokus pada aspek yang berbeda dari penalaran siswa dan melanjutkan percakapan dengan siswa yang berbeda dengan cara yang berbeda. Daripada menyatakan kembali penemuan siswa dalam bahasa yang lebih-tepat, seorang guru mungkin menimbulkan beberapa pertanyaan untuk menentukan apakah siswa berpikir tentang bidang yang sama dari wajah blok, atau sekitar volume yang sama. Seringkali tanggapan siswa untuk pertanyaan yang fokus pemikiran mereka membantu mereka kesimpulan frase dalam istilah yang lebih tepat dan membantu-guru memutuskan garis konten matematika untuk mengejar.

Guru harus mendorong siswa untuk membuat dan menyelidiki dugaan matematika dengan mengajukan pertanyaan yang mendorong mereka untuk membangun apa yang mereka sudah tahu. Dalam contoh menyelidiki pola di papan seratus, misalnya, guru dapat menantang siswa untuk mempertimbangkan ide-ide lain dan membuat argumen untuk mendukung pernyataan mereka: "Jika kita memperpanjang seratus papan dengan menambahkan lebih banyak baris sampai kami memiliki papan ribu, bagaimana akan pola skip-menghitung terlihat? "atau "Jika kita membuat grafik dengan deretan enam kotak atau baris dari lima belas kotak untuk

menghitung sampai seratus, akan ada pola jika kita Sign In-dihitung dengan berpasangan atau balita atau dengan nomor apapun?"

Melalui diskusi, guru membantu siswa memahami peran nonexamples serta contoh dalam bukti formal, seperti yang ditunjukkan dalam studi siswa muda (Carpenter dan Levi 1999, hal. 8). Para siswa tampak memahami bahwa jumlah kalimat seperti 0 + 5869 = 5869 selalu benar. Guru meminta mereka untuk menyatakan aturan. Ann mengatakan, "Apa pun dengan nol dapat menjadi jawaban yang tepat."Mike menawarkan counterexample: "Tidak. Karena jika itu 100 + 100 itu 200." Ann mengerti bahwa ini batal aturan, jadi dia diulang itu, "kataku, umm, jika Anda memiliki nol di dalamnya, itu tidak bisa seperti 100, karena Anda ingin sekadar nol seperti 0 + 7 = 7."

Para siswa dalam penelitian ini bisa membentuk aturan atas dasar contoh. Banyak dari mereka menunjukkan pemahaman bahwa satu contoh tidak cukup dan bahwa tandingan dapat digunakan untuk menyangkal dugaan. Namun, sebagian besar siswa mengalami kesulitan dalam memberikan pembenaran selain contoh.

Dari awal, siswa harus memiliki pengalaman yang membantu mereka mengembangkan proses berpikir yang jelas dan tepat. Ini pengembangan penalaran berkaitan erat dengan perkembangan bahasa siswa dan tergantung pada kemampuan mereka untuk menjelaskan alasan mereka bukan hanya »memberikan jawabannya. Sebagai siswa belajar bahasa, mereka memperoleh kata-kata logika dasar, termasuktidak, dan, atau, semua, beberapa, jika ... kemudian, dan karena. Guru harus membantu siswa memperoleh keakraban dengan bahasa logika dengan menggunakan kata-kata seperti sering. Sebagai contoh, seorang guru bisa mengatakan, "Anda bisa memilih apel atau pisang untuk camilan Anda" atau "Jika Anda terburu-buru dan mengenakan jaket Anda, maka Anda akan memiliki waktu untuk ayunan."Kemudian, siswa harus menggunakan kata-kata model bagi mereka untuk menggambarkan situasi matematika: ". Jika enam blok pola hijau menutupi segi enam kuning, kemudian tiga Blues juga akan menutupinya, karena dua hijau menutupi biru"

Kadang-kadang siswa mencapai kesimpulan yang mungkin tampak aneh untuk orang dewasa, bukan karena alasan mereka rusak, tetapi karena mereka memiliki keyakinan yang mendasari yang berbeda.Guru dapat memahami 'berpikir ketika mereka mendengarkan dengan cermat siswa siswa penjelasan. Misalnya, ketika mendengar bahwa dia akan menjadi "Star of the Week" di setengah minggu, Ben protes, "Anda tidak dapat memiliki setengah minggu." Ketika ditanya mengapa, Ben mengatakan, "Tujuh tidak bisa masuk ke bagian yang sama." Ben memiliki ide yang membagi 7 dengan 2, mungkin ada dua kelompok 3, dengan sisa 1, tapi pada saat itu Ben percaya bahwa nomor 1 tidak dapat dibagi.

Guru harus mendorong siswa untuk membuat dugaan dan untuk membenarkan pemikiran mereka secara empiris atau dengan argumen yang masuk akal. Yang paling penting, guru perlu mendorong cara membenarkan yang berada dalam jangkauan siswa, yang tidak bergantung pada otoritas, dan yang secara bertahap menggabungkan sifat matematika dan hubungan sebagai dasar untuk argumen. Ketika siswa membuat penemuan atau menentukan fakta, daripada memberitahu mereka apakah itu berlaku untuk semua nomor atau jika sudah benar, guru harus membantu siswa membuat tekad sendiri. Guru harus mengajukan pertanyaan seperti "Bagaimana Anda tahu itu benar?" dan juga harus model cara-cara yang siswa dapat memverifikasi atau menyangkal dugaan mereka. Dengan cara ini, siswa secara bertahap mengembangkan kemampuan untuk menentukan apakah sebuah pernyataan benar,

generalisasi yang valid, atau jawaban yang benar dan melakukannya sendiri bukan tergantung pada otoritas guru atau buku.

Standar Komunikasi untuk Kelas Pra-K-2


mengatur dan mengkonsolidasikan pemikiran matematika mereka melalui komunikasi;

berkomunikasi pemikiran matematika mereka koheren dan jelas untuk rekan-rekan, guru, dan lain-lain;

menganalisis dan mengevaluasi pemikiran matematika dan strategi lain; menggunakan bahasa matematika untuk mengekspresikan ide-ide matematika

tepatnya.

Bahasa, apakah digunakan untuk mengekspresikan ide-ide atau untuk menerimanya, adalah alat yang sangat kuat dan harus digunakan untuk mendorong pembelajaran matematika. Berkomunikasi tentang ide-ide matematika adalah cara bagi siswa untuk mengartikulasikan, mengklarifikasi, mengatur, dan mengkonsolidasikan pemikiran mereka. Siswa, seperti orang dewasa, bertukar pikiran dan ide-ide dalam banyak cara-oral; dengan gerakan; dan dengan gambar, benda, dan simbol. Dengan mendengarkan dengan hati-hati kepada orang lain, siswa bisa menyadari perspektif dan strategi alternatif. Dengan menulis dan berbicara dengan orang lain, mereka belajar untuk menggunakan bahasa matematika lebih-tepat dan, secara bertahap, simbol konvensional untuk mengekspresikan ide-ide matematika mereka. Komunikasi membuat pemikiran matematis diamati dan karenanya memfasilitasi pengembangan lebih lanjut dari pemikiran itu. Hal ini mendorong siswa untuk merefleksikan pengetahuan mereka sendiri dan cara-cara mereka sendiri untuk memecahkan masalah. Sepanjang tahun-tahun awal, siswa harus memiliki kesempatan setiap hari untuk berbicara dan menulis tentang matematika. Mereka harus menjadi semakin efektif dalam berkomunikasi apa yang mereka pahami melalui notasi dan bahasa mereka sendiri serta dengan cara-cara konvensional.

Apa yang harus komunikasi seperti saat Prekindergarten melalui kelas 2?

Anak-anak mulai berkomunikasi matematis sangat awal dalam hidup mereka. Mereka ingin lebih banyak susu, mainan yang berbeda, atau tiga buku. Kemampuan komunikasi kebanyakan anak-anak telah mengembangkan sangat sebelum mereka memasuki taman kanak-kanak. Pertumbuhan ini ditentukan untuk sebagian besar oleh kematangan anak-anak, bagaimana bahasa dimodelkan untuk mereka, dan peluang dan pengalaman mereka. Interaksi verbal dengan keluarga dan pengasuh adalah alat utama untuk mempromosikan pengembangan awal kosakata matematika.

Bahasa adalah sebagai penting untuk belajar matematika seperti itu adalah untuk belajar membaca. Sebagai siswa masuk sekolah, kesempatan mereka untuk berkomunikasi diperluas oleh sumber daya baru belajar, penggunaan diperkaya bahasa, dan pengalaman dengan teman sekelas dan guru. Keterampilan komunikasi berkembang siswa dapat digunakan untuk mengatur dan mengkonsolidasikan pemikiran matematika mereka. Guru harus membantu siswa belajar bagaimana berbicara tentang matematika, untuk menjelaskan jawaban mereka, dan untuk menggambarkan strategi mereka. Guru dapat mendorong siswa untuk

merenungkan percakapan kelas dan untuk "berbicara tentang berbicara tentang matematika" (Cobb, Wood, dan Yackel 1994). »

Sebuah langkah penting dalam berkomunikasi pemikiran matematika kepada orang lain yang mengatur dan memperjelas ide-ide seseorang.Ketika siswa berjuang untuk mengkomunikasikan ide-ide jelas, mereka mengembangkan pemahaman yang lebih baik dari pemikiran mereka sendiri. Bekerja berpasangan atau kelompok kecil memungkinkan siswa untuk mendengar cara berpikir yang berbeda dan memperbaiki cara-cara di mana mereka menjelaskan ide-ide mereka sendiri. Memiliki siswa berbagi hasil temuan kelompok kecil mereka memberikan guru kesempatan untuk mengajukan pertanyaan untuk klarifikasi dan untuk model bahasa matematika. Siswa di Prekindergarten sampai kelas 2 harus didorong untuk mendengarkan dengan penuh perhatian satu sama lain, mempertanyakan strategi lain 'dan hasil, dan untuk meminta klarifikasi sehingga kemajuan belajar matematika mereka.

Memadai waktu dan menarik masalah dan bahan matematika, termasuk kalkulator dan aplikasi komputer, mendorong percakapan dan belajar di kalangan siswa muda, seperti yang ditunjukkan dalam episode berikut, yang diambil dari pengalaman kelas:

Rosalinda, biasanya anak yang tenang, sangat bersemangat untuk belajar bagaimana untuk melompat-hitung untuk 100 pada kalkulator. Namun, dia bingung ketika menghitung sampai 100 oleh bertiga. "Ini selalu pergi lebih dari 100!"serunya. Guru mendorong Rosalinda dan pasangannya untuk menyelidiki fenomena tersebut. Selama beberapa hari, para murid berdiskusi tentang mengapa kalkulator tidak menampilkan 100 ketika mereka dihitung oleh tiga orang.Mereka menggunakan seratus papan dan counter bersama dengan kalkulator dan menyimpulkan bahwa kelompok yang sama berpasangan bisa dibuat dengan 100 counter tapi tidak kelompok yang sama dari tiga. Penyelidikan menghasilkan grafik yang Rosalinda dan pasangannya dibuat untuk menjelaskan kepada kelas apa yang telah mereka tahu dan bagaimana kalkulator telah mendukung kesimpulan mereka.

Pengalaman seperti ini membantu siswa melihat diri mereka sebagai posers masalah dan juga melihat bagaimana alat-alat seperti kalkulator dapat digunakan untuk mendukung penyelidikan matematika mereka.

Memanipulasi objek dan gambar gambar cara alami bahwa siswa berkomunikasi dalam Prekindergarten sampai kelas 2, tetapi mereka juga belajar untuk menjelaskan jawaban mereka secara tertulis, menggunakan diagram dan grafik, »dan untuk mengekspresikan ide-ide dengan simbol matematika. Bahasa mereka harus menjadi lebih tepat karena mereka menggunakan kata-kata seperti sudut danmenghadapi bukannya sudut dan sisi. Peluang untuk mengekspresikan ide-ide mereka mendorong siswa untuk mengatur dan mengkonsolidasikan pemikiran matematika mereka.

Kemampuan siswa muda 'untuk berbicara dan mendengarkan biasanya lebih maju dari kemampuan mereka untuk membaca dan menulis, terutama pada tahun-tahun awal band kelas ini. Oleh karena itu, guru harus rajin dalam memberikan pengalaman yang memungkinkan beragam bentuk komunikasi sebagai komponen alami dari kelas matematika, sebagai episode berikut, diadaptasi dari Andrews (. 1996, p 293), menunjukkan:

Seorang guru TK membaca cerita tentang perjalanan keluarga di seluruh negeri. Dia meminta para siswa untuk membuat peta untuk menunjukkan rute yang diambil

oleh keluarga. Saat mereka bekerja dalam kelompok, beberapa siswa yang tergabung huruf atau simbol lain ke dalam pekerjaan. Satu kelompok menggambar setiap tengara. Kelompok lain diminta guru untuk membantu mereka bagian label dari peta dan nomor setiap langkah di sepanjang jalan. Seperti setiap kelompok dibagi bekerja dengan kelas, guru bertanya apa perubahan mereka akan membuat waktu berikutnya yang dapat meningkatkan pekerjaan mereka. Peta digantung di lorong, memberikan kesempatan guru untuk mempertanyakan siswa tentang ide-ide matematika ruang dan navigasi mereka telah digunakan dalam menciptakan peta.

Apa yang harus menjadi peran guru dalam mengembangkan komunikasi dalam Prekindergarten melalui kelas 2?

Guru dapat membuat dan struktur matematis lingkungan yang kaya bagi siswa dalam beberapa cara. Mereka harus menyajikan masalah yang menantang siswa matematis, tetapi mereka juga harus membiarkan siswa tahu mereka percaya bahwa siswa dapat menyelesaikannya. Mereka harus mengharapkan siswa untuk menjelaskan pemikiran mereka dan harus memberikan siswa banyak kesempatan untuk berbicara dengan, dan mendengarkan, rekan-rekan mereka. Guru harus menyadari bahwa belajar untuk menganalisis dan merefleksikan apa yang dikatakan oleh orang lain sangat penting dalam mengembangkan pemahaman dari kedua konten dan proses.Ketika sulit bagi pelajar muda untuk mengikuti penalaran dari teman sekelas, guru dapat membantu dengan membimbing siswa untuk ulang kata-kata penalaran mereka dengan kata-kata yang lebih mudah untuk diri mereka sendiri dan orang lain untuk memahami. Guru harus model kosakata konvensional yang tepat dan membantu siswa membangun kosakata tersebut atas dasar pengetahuan dan proses bersama.

Guru harus mendukung matematika siswa belajar melalui bahasa yang mereka bawa ke sekolah; mereka juga harus membantu mereka mengembangkan standar kosakata bahasa Inggris dan istilah matematika yang akan memungkinkan mereka untuk berkomunikasi lebih baik dengan orang lain. Siswa harus didorong dan dihargai ketika mereka menggunakan bahasa asli mereka serta bahasa Inggris dalam komunikasi matematika mereka. Jika memungkinkan, istilah matematika harus ditampilkan dalam bahasa Inggris dan bahasa asli.Siswa yang belum mahir dalam bahasa Inggris dapat dipasangkan dengan siswa lain yang berbicara dengan bahasa yang sama dan dengan siswa bilingual atau relawan masyarakat, yang dapat mendukung komunikasi ide untuk guru dan seluruh kelas.

Guru juga perlu menyadari bahwa pola komunikasi antara siswa dan orang dewasa di sekolah belum tentu cocok dengan pola komunikasi di rumah siswa. Misalnya, pola »pertanyaan bisa sangat berbeda. Dalam beberapa budaya, orang dewasa umumnya tidak mengajukan pertanyaan ketika jawabannya adalah dikenal; mereka mengajukan pertanyaan terutama untuk mencari informasi yang mereka tidak memiliki. Di sekolah, bagaimanapun, guru sering mengajukan pertanyaan yang jawabannya diketahui. Siswa yang tidak terbiasa pertanyaan tersebut dapat bingung, karena jelas bahwa guru sudah tahu jawabannya. Demikian pula, dalam beberapa budaya, orang secara rutin mengganggu satu sama lain dalam percakapan, sedangkan di lain, interupsi dianggap sangat kasar. Siswa dari kelompok pertama diskusi kelas mungkin terlalu mendominasi.Dalam budaya lain, anak-anak diharapkan untuk tidak mengajukan pertanyaan tetapi untuk belajar melalui observasi.Seorang mahasiswa dari kelompok tersebut mungkin mengajukan pertanyaan tidak nyaman di kelas (Bransford, Brown, dan Cocking 1999). Guru perlu menyadari pola budaya dalam masyarakat siswa

mereka untuk memberikan kesempatan yang adil bagi mereka untuk berkomunikasi tentang pemikiran matematika.

Membangun komunitas pelajar, di mana siswa bertukar ide matematika tidak hanya dengan guru tetapi juga dengan satu sama lain, harus menjadi tujuan di setiap kelas. Perhatikan contoh berikut, yang telah ditarik dari pengalaman kelas:

Seorang guru bertanya, "Berapa banyak buku yang saya perlukan untuk kembali ke perpustakaan jika saya memiliki tiga nonfiksi dan empat buku fiksi?" Seorang mahasiswa yang jarang berbagi jawaban dengan kelas secara sukarela menjawab, "Tujuh." Di masa lalu, jika guru bertanya bagaimana ia tahu masalah, siswa hanya mengangkat bahunya.Kali ini, bagaimanapun, guru memutuskan untuk melibatkan siswa lain dan bertanya, "Bagaimana menurut Anda Maury menemukan jawabannya?" Siswa kedua mengangkat tiga jari sambil menjawab, "Saya pikir dia melakukannya dengan cara ini. Saya tahu ada tiga, jadi aku hanya memasang empat jari lagi dan kemudian menghitung mereka semua." Hal ini mendorong Maury untuk menanggapi, "Aku melakukannya dengan cara yang berbeda. Aku hanya tahu bahwa tiga dan tiga membuat enam dan kemudian aku menghitung satu lagi."

Guru sehingga menetapkan panggung untuk dua siswa untuk menjelaskan metode mereka dan untuk semua teman sekelas mereka untuk mendengar dan membahas dua cara berpikir tentang masalah yang sama.

Sama seperti guru menerima beberapa bentuk komunikasi dari siswa mereka, sehingga mereka juga harus berkomunikasi dengan siswa dalam berbagai cara untuk memastikan keberhasilan maksimum untuk semua. Misalnya, karena tidak semua anak-anak pada tingkat ini dapat mengikuti instruksi tertulis, guru bisa memutuskan untuk membaca petunjuk atau untuk menarik gambar untuk mewakili urutan dan isi tugas.

Ini adalah tanggung jawab guru untuk mengenali waktu yang tepat untuk membuat koneksi antara simbol ditemukan dan notasi standar. Ketika siswa menyajikan representasi mereka sendiri pengetahuan matematika mereka, presentasi sering unik dan kreatif. Misalnya, angka 4,30 adalah notasi anak TK untuk mengingat bahwa stoples diadakan sepuluh setengah sendok.Guru harus berusaha untuk memahami apa yang siswa mencoba untuk berkomunikasi dan menggunakan informasi tersebut untuk memajukan belajar siswa individu dan kelas secara keseluruhan. Penggunaan simbol matematika harus mengikuti, bukan mendahului, cara lain untuk berkomunikasi ide-ide matematika. Dengan cara ini, guru membantu siswa muda berhubungan bahasa sehari-hari mereka untuk bahasa matematika dan simbol dalam cara yang berarti.

Gambar. 4.30. Notasi seorang anak selama 10 1/2

Koneksi standar untuk Kelas Pra-K-2


mengenali dan menggunakan koneksi antara ide-ide matematika; memahami bagaimana matematika ide interkoneksi dan membangun satu sama lain

untuk menghasilkan koheren keseluruhan; mengenali dan menerapkan matematika dalam konteks di luar matematika.

Koneksi yang paling penting untuk perkembangan matematika awal adalah antara intuitif, matematika informal yang siswa telah belajar melalui pengalaman mereka sendiri dan matematika yang mereka pelajari di sekolah. Semua koneksi-antara lain satu konsep matematika dan lain, antara topik matematika yang berbeda, antara matematika dan bidang pengetahuan lainnya, dan antara matematika dan kehidupan sehari-hari-yang didukung oleh hubungan antara pengalaman informal siswa dan matematika yang lebih formal.Kemampuan siswa untuk mengalami matematika sebagai upaya bermakna yang masuk akal bertumpu pada koneksi ini.

Ketika siswa muda menggunakan hubungan di antara konten dan matematika dan proses, mereka maju pengetahuan mereka tentang matematika dan memperluas kemampuan mereka untuk menerapkan konsep dan keterampilan lebih efektif. Memahami koneksi menghilangkan hambatan yang memisahkan matematika belajar di sekolah dari matematika belajar di tempat lain. Ini membantu siswa menyadari keindahan matematika dan fungsinya sebagai sarana lebih jelas mengamati, mewakili, dan menafsirkan dunia di sekitar mereka.

Guru dapat memfasilitasi koneksi ini dalam beberapa cara: Mereka harus menyoroti banyak situasi di mana siswa muda menghadapi matematika dan keluar dari sekolah. Mereka harus membuat eksplisit hubungan antara dan di antara ide-ide matematika siswa berkembang, seperti pengurangan dengan penambahan, pengukuran dengan jumlah dan geometri, atau representasi dengan aljabar dan pemecahan masalah. Mereka harus merencanakan pelajaran sehingga keterampilan dan konsep yang diajarkan topik tidak terisolasi melainkan sebagai dihargai, terhubung, dan bagian yang berguna dari pengalaman siswa.

Apa yang harus koneksi terlihat seperti di Prekindergarten melalui kelas 2?

Anak-anak sering menghubungkan ide-ide matematika baru dengan yang lama dengan menggunakan benda-benda konkrit. Ketika seorang anak prasekolah mengangkat tiga jari dan meminta orang dewasa, "Apakah saya banyak ini berusia tahun?" ia sedang mencoba untuk menghubungkan kata tiga dengan jumlah yang mewakili usianya melalui satu set objek beton, jari-jarinya. Guru harus mendorong siswa untuk menggunakan strategi mereka sendiri untuk membuat koneksi antara matematika »ide, kosa kata yang berhubungan dengan ide-ide, dan cara ide-ide yang diwakili. Misalnya, siswa sering menggunakan benda-benda dan strategi penghitungan karena mereka mengembangkan pemahaman mereka tentang penjumlahan dan pengurangan dan menghubungkan dua operasi.

Siswa dapat lebih memahami hubungan antara banyak aspek matematika karena mereka terlibat dalam kegiatan yang bertujuan.Seringkali kegiatan yang meliputi pembuatan estimasi

menyediakan link di antara konsep-konsep dalam beberapa Standar (Roche 1996).Perhatikan contoh berikut:

Dalam kelas dua kelas di mana siswa menyelidiki mengisi botol dengan sendok cranberry, guru telah siswa pertama memperkirakan jumlah sendok diperlukan. Mereka mengorganisir perkiraan dalam grafik dan berbicara tentang kisaran angka. Setelah menuangkan beberapa sendok ke dalam botol sebagai rujukan, para siswa halus perkiraan mereka dan berbicara tentang bagaimana dan mengapa rentang dipersempit.Sepanjang pelajaran, yang mencakup beberapa kegiatan yang lebih, siswa bekerja dalam kelompok dan berulang kali datang kembali ke diskusi seluruh kelas yang melibatkan harapan matematika tentang jumlah dan operasi, analisis data, dan koneksi.

Dalam contoh lain, proses pembuatan serangkaian kubus dengan hanya menggunakan dua warna menghubungkan kubus membantu siswa memahami Selain. Hal ini juga melibatkan pola dan berhubungan ide-ide dari jumlah dan geometri. Sebagai siswa mencoba untuk menemukan cara yang berbeda untuk membangun serangkaian empat kubus, jika pesanan tidak masalah dan hanya ada dua warna yang berbeda, mereka mungkin menemukan bahwa hanya lima solusi yang berbeda yang mungkin. Penyelidikan lebih lanjut dapat mengungkapkan bahwa ada enam cara untuk membangun serangkaian lima batu (lihat gbr. 4.31).Menggunakan pengetahuan ini, beberapa siswa dapat menggeneralisasi dan memprediksi bahwa serangkaian enam kubus dapat dibangun dalam tujuh cara yang berbeda.

Gambar. 4.31. Membangun serangkaian lima kubus dengan hanya menggunakan dua warna

Matematika tertanam dalam berbagai kegiatan yang siswa muda lakukan sepanjang hari. Misalnya, di kelas pendidikan jasmani, anak-anak bisa menghitung berapa kali mereka dapat lompat tali berhasil. Mereka mungkin mengukur dan membandingkan jumlah waktu anggota tim ambil untuk sprint dari satu ujung gym untuk yang lain. Konsep yang melibatkan bentuk-bentuk geometris yang diperkuat anak-anak membentuk lingkaran untuk bermain game, mengambil tempat mereka di sekitar tepi luar dari parasut, atau menganggap posisi mereka untuk bermain game di lapangan. Siswa mengeksplorasi simetri dalam kelas seni karena mereka membuat hati dengan melipat dan memotong kertas. Mereka mengklasifikasikan daun dikumpulkan pada sifat berjalan dalam pelajaran sains. Dalam musik, mereka menyanyikan lagu-lagu kaya pola.

Dalam satu kelas pertama-kelas, anak-anak menggunakan matematika pola untuk menyelidiki dan mengukur suku kata dalam nama, seperti terkait dalam episode ini diambil dari pengalaman kelas:

Guru bertepuk tangan keluar nama siswa (satu bertepuk untuk setiap suku kata) dan meminta para siswa apakah mereka bisa mencari tahu yang namanya dia bertepuk tangan. Mereka menyadari bahwa bertepuk tangan nya cocok dengan nama-nama beberapa mahasiswa. Ketika kelas mulai mencoba untuk menentukan siswa memiliki jumlah yang sama tepukan di nama mereka, guru menggambar grafik yang ditunjukkan pada gambar 4.32 di papan tulis. Dia menambahkan nama siswa sebagai kelas diidentifikasi jumlah ketukan sebuah nama.

Gambar. 4.32. Sebuah grafik yang menunjukkan jumlah ketukan dalam nama siswaSalah seorang mahasiswa menyatakan bahwa ia tidak bisa menemukan nama dengan tujuh ketukan. Siswa lain tidak setuju dan diilustrasikan tujuh beats by termasuk »ketukan di nama tengahnya total nya. Siswa lain kemudian mulai bereksperimen dengan nama tengah dan nama panggilan untuk mencocokkan jumlah ketukan dalam nama lainnya. Satu siswa melihat grafik dan mempertanyakan apakah John Gosha dan Timmy Simms sebenarnya "mengalahkan kembar." Meskipun jumlah denyut adalah sama, nama-nama yang terdengar berbeda. Ini mendorong siswa untuk merekam pola nama-beat mereka dengan cara yang lebih spesifik menggunakan jumlah suku kata dalam setiap kata untuk membantu mereka menulis persamaan yang berbeda dengan jumlah yang sama (lihat gbr. 4.33).

Gambar. 4.33. Rekaman pola nama-beat

Sebagai siswa menentukan cara terbaik untuk menggambarkan nama mengalahkan melalui nomor, mereka juga memperkuat keterampilan aritmatika mereka. Mereka juga benar-benar menciptakan sebuah fungsi yang ditugaskan nomor untuk nama masing-masing siswa.Interaksi tersebut, di mana matematika menerangi situasi dan situasi menerangi matematika, merupakan aspek penting dari koneksi matematika.

Melihat kegunaan matematika kontribusi untuk keberhasilan siswa dalam situasi yang membutuhkan solusi matematika. Ketika siswa mengukur lapangan untuk seratus yard relay, mereka benar-benar tahu tujuan dari belajar untuk mengukur. Menentukan kapan mereka telah menyelamatkan uang saku yang cukup untuk membeli mainan berharga membantu siswa menyadari kegunaan dan pentingnya pengetahuan tentang penghitungan, penambahan, dan nilai koin.Menunjuk ke pola heksagonal dalam sarang madu menggambarkan penggunaan ide-ide matematika dalam menggambarkan alam. Survei teman dan anggota keluarga tentang situs liburan favorit memberi arti dan tujuan untuk pengumpulan data. Mengamati pola pada pagar di kota menunjukkan bagaimana matematika digunakan dalam konstruksi. Asosiasi ini menambahkan tujuan dan kesenangan untuk pembelajaran matematika.

Apa yang harus menjadi peran guru dalam mengembangkan koneksi di Prekindergarten melalui kelas 2?

Di ruang kelas di mana menghubungkan ide-ide matematika adalah fokus, pelajaran adalah cairan dan mengambil berbagai format. Guru harus memastikan bahwa link yang dibuat antara kegiatan sekolah rutin dan matematika dengan mengajukan pertanyaan yang menekankan aspek matematika situasi. Mereka harus merencanakan tugas-tugas dalam konteks baru yang kembali topik yang diajarkan sebelumnya, memungkinkan siswa untuk menjalin hubungan baru antara belajar sebelumnya konsep-konsep matematika dan prosedur dan aplikasi baru, selalu dengan mata pada tujuan matematika mereka.Ketika guru membantu siswa membuat eksplisit koneksi matematika untuk matematika dan matematika lain untuk konten lainnya daerah-mereka membantu siswa belajar untuk berpikir matematis.

Sering koneksi terbaik yang dibuat ketika siswa ditantang untuk menerapkan pembelajaran matematika di proyek diperpanjang dan penyelidikan. Seperti »mereka merumuskan pertanyaan dan pertanyaan desain, mahasiswa memutuskan metode pengumpulan dan merekam informasi dan rencana representasi untuk mengkomunikasikan data dan membantu mereka membuat dugaan yang masuk akal dan interpretasi.

Guru dapat menemukan dalam cara seorang anak menafsirkan situasi matematika petunjuk untuk memahami bahwa anak. Mereka harus mendengarkan siswa untuk menilai hubungan siswa membawa ke situasi mereka, dan mereka harus menggunakan informasi ini untuk merencanakan kegiatan yang akan memajukan pengetahuan matematika dan keterampilan siswa dan membangun koneksi baru dan berbeda. Seorang guru dapat, misalnya, melihat pemahaman yang berbeda diwakili oleh komentar siswa yang berbeda 'atau pertanyaan tentang pola blok: satu siswa dapat meminta guru untuk nama bentuk pola-blok; mahasiswa kedua mungkin membangun desain pola-blok dan mengarahkan perhatian guru untuk simetri; mahasiswa ketiga dapat menjelaskan kepada guru bahwa dua trapesium pola-blok bersama-sama membuat segi enam.

Ini adalah tanggung jawab guru untuk membantu siswa melihat dan mengalami keterkaitan topik matematika, hubungan antara matematika dan mata pelajaran lain, dan cara bahwa

matematika tertanam di dunia siswa. Guru harus memanfaatkan kesempatan belajar yang tak terduga, seperti pelajaran di mana suku kata dalam nama siswa dicatat sebagai persamaan. Mereka harus mengajukan pertanyaan yang berpikir dan hadir tugas siswa langsung 'yang membantu siswa melihat bagaimana ide-ide yang terkait.

Representasi standar untuk Kelas Pra-K-2


membuat dan menggunakan representasi untuk mengatur, merekam, dan mengkomunikasikan ide-ide matematika;

pilih, menerapkan, dan menerjemahkan antara representasi matematika untuk memecahkan masalah;

menggunakan representasi untuk model dan menafsirkan fenomena fisik, sosial, dan matematika.

Siswa muda menggunakan banyak representasi beragam untuk membangun pemahaman baru dan mengekspresikan ide-ide matematika. Mewakili ide dan menghubungkan representasi matematika terletak di jantung memahami matematika. Guru harus menganalisis representasi siswa dan hati-hati mendengarkan diskusi mereka untuk mendapatkan wawasan ke dalam pengembangan pemikiran matematika dan untuk memungkinkan mereka untuk memberikan dukungan sebagai siswa menghubungkan bahasa mereka dengan bahasa konvensional matematika. Tujuan dari Standar Komunikasi terkait erat dengan orang-orang dari Standar ini, dengan setiap set menyumbang dan mendukung lainnya.

Siswa di Prekindergarten sampai kelas 2 mewakili pikiran mereka tentang, dan pemahaman, ide-ide matematika melalui bahasa lisan dan tertulis, gerakan fisik, gambar, dan diciptakan dan konvensional simbol (Edwards, Gandini, dan Forman 1993). Representasi Ini adalah metode untuk berkomunikasi serta alat yang kuat untuk berpikir.Proses menghubungkan representasi yang berbeda, termasuk yang teknologi, memperdalam pemahaman siswa tentang matematika karena koneksi mereka membuat antara ide-ide dan cara-cara ide-ide dapat dinyatakan. Guru dapat memperoleh wawasan pemikiran siswa dan pemahaman mereka dari konsep-konsep matematika dengan memeriksa, mempertanyakan, dan menafsirkan representasi mereka.Meskipun aspek mencolok dari pengembangan matematika anak-anak di pra-K-2 tahun ini pertumbuhan mereka dalam menggunakan simbol matematika standar, guru pada tingkat ini harus mendorong siswa untuk menggunakan beberapa representasi, dan mereka harus menilai tingkat pemahaman matematika disampaikan oleh mereka representasi .

Apa yang harus representasi terlihat seperti di Prekindergarten melalui kelas 2?

Siswa muda mewakili ide-ide matematika dan prosedur dalam banyak cara. Mereka menggunakan benda-benda fisik seperti jari-jari mereka sendiri, bahasa alami, gambar, diagram, gerakan fisik, dan simbol.Melalui interaksi dengan representasi ini, siswa lain, dan guru, siswa mengembangkan citra mental mereka sendiri ide-ide matematika.Meskipun representasi bahwa anak-anak menggunakan mungkin tidak yang secara tradisional digunakan oleh orang dewasa, representasi siswa memberikan catatan »upaya mereka untuk memahami matematika dan juga membuat pemahaman mereka tersedia untuk orang lain.

Representasi membuat ide-ide matematika yang lebih konkret dan tersedia untuk refleksi. Siswa dapat mewakili ide-ide dengan benda-benda yang dapat dipindahkan dan disusun kembali. Representasi konkret seperti meletakkan dasar untuk digunakan nanti

simbol.Representasi siswa seringkali wawasan dan berkali-kali menyerupai representasi yang lebih konvensional. Misalnya, siswa kelas kedua bekerja dengan tempat-nilai tikar dan basis-sepuluh blok dapat mewakili 103. Siswa mungkin menunjuk ke blok dan tekan pada kolom kosong, menjelaskan, "Seratus, (tap), tiga." Keran membantu siswa menghubungkan nol dengan kosong kolom puluhan.

Berikut rekening pelajaran, diambil dari pengalaman kelas, menggambarkan bahwa apa yang dilakukan anak-anak dan mengatakan mereka menemukan jawaban dan mewakili pemikiran mereka memberikan guru informasi tentang tingkat pemahaman mereka.

Ketika seorang guru kelas pertama membaca Rooster Off untuk Lihat Dunia (Carle 1971), representasi siswa dari jumlah hewan pergi untuk melihat dunia bervariasi (lihat gbr. 4.34). Dua kucing, lalu tiga katak, empat kura-kura, dan lima ikan bergabung ayam untuk total lima belas binatang. Untuk menemukan berapa banyak melanjutkan perjalanan, beberapa siswa menggambar hewan dan mencatat mereka. Dua siswa dimodelkan hewan dengan counter, dihitung, dan menulis "15" pada surat-surat mereka. Siswa lain yang digunakan notasi yang lebih tradisional, meskipun representasi mereka mengungkapkan cara berpikir yang berbeda.Seorang mahasiswa menyatakan jawabannya menjadi nol, karena semua binatang sudah pulang ketika tiba gelap. »

Gambar. 4.34. Representasi Tiga siswa untuk jumlah hewan yang pergi

untuk melihat dunia

Guru bingung, namun, oleh mahasiswa yang jawabannya adalah 21 (lihat gbr. 4.35). Guru meminta siswa untuk menjelaskan.Siswa menjawab bahwa ia telah melihat bahwa ada kunang-kunang dalam cerita di halaman di mana binatang memutuskan untuk berbalik dan pulang. Dia tidak bisa menghitung berapa banyak, tapi dia pikir ada enam karena itu pola, jadi dia menarik hewan dan ditambahkan. Guru bertanya tentang daftar di bagian kanan atas kertas siswa, dan dia menjawab bahwa dia telah membuat penghitungan untuk menunjukkan berapa banyak, dan ada 21.

Gambar. 4.35. Representasi A siswa dari jumlah hewan yang pergi untuk melihat dunia

Representasi membantu siswa mengenali sifat matematika umum situasi yang berbeda. Siswa mungkin mewakili tiga skenario berikut dengan menulis 5-3 = 2. Masalah pertama adalah untuk menentukan jumlah objek yang tersisa setelah tiga objek telah diambil dari koleksi lima. Masalah kedua adalah, Berapa tinggi adalah menara lima batu dari menara tiga kubus? Masalah ketiga menanyakan jumlah bola yang harus dimasukkan ke dalam kotak jika ingin memiliki lima bola dan sudah ada tiga kotak. Siswa juga bisa mewakili situasi seperti 3 + = 5. Melihat kesamaan dalam cara untuk mewakili situasi yang berbeda merupakan langkah penting menuju abstraksi.

Siswa menggunakan representasi untuk mengatur pemikiran mereka.Representasi dapat membawa beberapa beban mengingat dengan membiarkan siswa merekam langkah-langkah perantara dalam proses.Misalnya, seorang mahasiswa mencoba untuk menemukan jumlah roda empat sepeda dan tiga becak menarik gambar yang ditampilkan pada gambar 4.36. Pada baris pertama, siswa mewakili jumlah roda pada sepeda dan di kedua, jumlah »roda di becak. Sehingga siswa mampu menghitung jumlah secara terpisah dan menambahkan mereka

bersama-sama. Representasi menjabat sebagai tempat untuk pengalaman yang belum terinternalisasi.

Gambar. 4,36. Representasi A siswa dari jumlah roda empat sepeda dan tiga becak (Diadaptasi dari Flores [1997, hal. 86.])

Memahami dan menggunakan konsep-konsep dan prosedur matematika ditingkatkan ketika siswa dapat menerjemahkan antara representasi yang berbeda dari ide yang sama. Dengan demikian, siswa menghargai bahwa beberapa representasi menyoroti fitur dari masalah dalam cara yang lebih baik atau membuat lebih mudah untuk memahami sifat tertentu. Misalnya, seorang mahasiswa yang mewakili tiga kelompok empat kotak sebagai array dan menggunakan skip-menghitung (4, 8, 12), penambahan berulang (4 + 4 + 4), dan bahasa lisan untuk menggambarkan representasi sebagai tiga baris empat kotak adalah meletakkan dasar untuk memahami perkalian dan sifat-sifatnya serta daerah persegi panjang.

Apa yang harus menjadi peran guru dalam mengembangkan representasi di Prekindergarten melalui kelas 2?

Tanggung jawab utama guru adalah untuk menciptakan lingkungan belajar yang digunakan siswa dari beberapa representasi didorong, didukung, dan diterima oleh rekan-rekan mereka dan orang dewasa.Guru harus membimbing siswa untuk mengembangkan dan menggunakan beberapa representasi efektif. Dengan demikian siswa akan mengembangkan persepsi mereka sendiri, membuat bukti mereka sendiri, struktur proses analisis mereka sendiri, dan menjadi percaya diri dan kompeten dalam penggunaan matematika.

Guru pada tingkat ini perlu mendengarkan apa yang dikatakan siswa, serius mengamati kegiatan matematika mereka, menganalisis rekaman mereka, dan merefleksikan implikasi dari pengamatan dan analisis.Menggunakan representasi membantu siswa mengingat apa yang mereka lakukan dan menjelaskan alasan mereka. Representasi memberikan catatan pemikiran siswa yang menunjukkan kedua jawaban dan proses, dan mereka membantu guru dalam merumuskan pertanyaan yang dapat membantu siswa merefleksikan proses dan produk mereka dan memajukan pemahaman mereka tentang konsep dan prosedur. Informasi yang dikumpulkan dari berbagai sumber ini memungkinkan penilaian yang jelas tentang apa yang siswa memahami dan apa ide-ide matematika masih berkembang.

Siswa harus didorong untuk berbagi representasi yang berbeda untuk membantu mereka mempertimbangkan perspektif lain dan cara menjelaskan pemikiran mereka. Guru dapat model cara konvensional mewakili situasi matematika, tetapi penting bagi siswa untuk menggunakan representasi yang berarti bagi mereka. Transisi ke»notasi konvensional harus terhubung ke metode dan berpikir siswa.Misalnya, ketika siswa menggunakan blok atau perhitungan mental untuk memecahkan masalah seperti "Cari jumlah dari 17 + 25," mereka

sering menambahkan puluhan pertama. Guru dapat menulis langkah-langkah perantara bagi siswa 10 + 20 = 30, 7 + 5 = 12, dan 30 + 12 = 42. Siswa harus melihat metode mereka direkam secara horisontal dan vertikal dan harus mengembangkan cara-cara mereka sendiri melacak pekerjaan mereka yang jelas bagi mereka (lihat gbr. 4.37).

Gambar. 4.37. Merekam metode untuk menemukan 17 + 25 dengan dua cara yang berbeda

Melalui diskusi kelas siswa cara berpikir dan rekaman, guru dapat meletakkan dasar bagi siswa memahami cara konvensional yang mewakili proses penambahan nomor. Sama pentingnya, pekerjaan dan percakapan siswa tentang representasi mereka dapat mengungkapkan sejauh mana mereka memahami penggunaan simbol-simbol.

Karya tulis sering tidak mengungkapkan seluruh pemikiran siswa, seperti cerita hipotetis berikut tentang Armando menunjukkan:

Armando tidak menunjukkan tanda untuk mencoret setiap digit atau menulis kecil "1" untuk mewakili "pinjaman" dengan pengurangan kertas dan pensil, tapi dia konsisten menulis jawaban yang benar (lihat gbr. 4.38). Ketika probe guru, Armando menjelaskan bahwa ia telah belajar dengan cara yang berbeda untuk mengurangi di rumah. Guru meminta dia untuk menjelaskan metodenya. "Dari 8 sampai 14-yang adalah 6, dan kita perlu menambahkan 1 ke 2 karena kami menggunakan 14 bukannya 4." Dia menulis 6 di unit tempat dan terus, "Dari 3 sampai 7 adalah 4," dan ia menulis 4 di kolom puluhan. Guru rephrases bagian kedua dari metode ini, menekankan nilai tempat: "Jadi, Anda menambahkan 10 ke 20 dan kemudian mengurangi 70 - 30." Menyadari bahwa metode ini didasarkan pada properti kelas baru-baru ini dibahas, bahwa jumlah yang sama dapat ditambahkan ke kedua istilah »perbedaan dan hasilnya tidak berubah, dia mengajak kelas untuk berbicara tentang proses Armando menggunakan. Setelah beberapa diskusi, satu siswa menjelaskan, "Anda menambahkan 10-74 karena Anda benar-benar 14-8, dan Anda juga menambahkan 10-28 karena Anda melakukan 70 -. 30. Jadi jawabannya adalah sama"

.. Gambar 4.38 Finding 74-28 tanpa "meminjam"

Guru harus membantu siswa memahami bahwa representasi adalah alat untuk model dan menafsirkan fenomena yang bersifat matematis yang ditemukan dalam konteks yang berbeda. Guru harus membantu siswa mewakili aspek situasi dalam istilah matematika, mungkin dengan menggunakan lebih dari satu representasi. Teknologi dapat membantu siswa yang ditantang oleh komunikasi lisan atau tertulis menemukan kesuksesan yang lebih besar. Pengolahan skema yang diperlukan dalam beberapa program komputer dapat membantu siswa dalam menunjukkan apa yang mereka ketahui. Sebagai contoh, ketika seorang mahasiswa mengubah representasi dari nomor dengan basis-sepuluh blok di layar, komputer menunjukkan bagaimana simbol yang sesuai berubah.

Adalah penting bahwa guru menyadari dan mengajarkan siswa bahwa setiap representasi, tidak hanya mereka yang dibuat oleh siswa, tunduk pada multitafsir. Gambar, diagram, grafik, dan diagram, misalnya, dapat dibaca dengan cara yang berbeda. Oleh karena itu, guru tidak boleh berasumsi bahwa siswa memahami diagram atau persamaan dengan cara yang sama orang dewasa. Berkomunikasi arti yang diinginkan dan menggunakan representasi alternatif dapat meningkatkan pemahaman siswa dan guru.

Documents

Standar Untuk Kelas Pra