Stateczność ramy drewnianej o 2 różnych przekrojach prętów, obciążonej siłą skupioną

ORIGIN 1:= - Ustawienie sposobu numeracji wierszy i kolumn macierzy

E 10GPa:= - Moduł Younga drewna

Wymiary przekrojów

a1 7cm:= b1 7cm:=

a2 7cm:= b2 10cm:=

Parametry pomocnicze:

Lss 3:= - Liczba stopni swobody węzła

Le 5:= - Liczba elementów

Lw 6:= - Liczba węzłów

Lr Lss Lw⋅:= - Liczba równań

KoLr Lr, 0:= Deklaracja globalnej macierzy sztywności i wypełnienie jej zerami

l 1m:= - pomocnicza stała długość

Ponieważ MathCad nie pozwala przechowywać w jednej macierzy składowych wyrażonych w różnych jednostkach tomamy do wyboru 2 mozliwości: - nie zapisywać jednostek w których wyrażone są te składowe- przekształcić tak te składowe, aby były jednolite (wyrażone w jednakowych jednostkach miary) Wybieram 2 sposób i przekształcam niewiadome występujące w macierzach następująco( l - oznacza tu dowolną stałą o wymiarze długości) :

uzi l φi⋅= uzj l φj⋅= Mi l Ti⋅= Mj l Tj⋅= λ2 L2 A⋅

J= η L

l=

Wszystkie poszukiwane przemieszczenia są więc przesunięciami, a węzłowe wielkości statyczne - siłami.Macierz sztywności zmieni sie więc do postaci, którą MathCad akceptuje:

Fxi

Fyi

Ti

Fxj

Fjy

Tj

E J⋅

L3

λ2

0

0

λ2−

0

0

0

12

6η

0

12−

6η

0

6η

4η2

0

6η−

2η2

λ2−

0

0

λ2

0

0

0

12−

6η−

0

12

6η−

0

6η

2η2

0

6η−

4η2

S

L

0

0

0

0

0

0

0

1.2

0.1η

0

1.2−

0.1η

0

0.1η2

15η2

0

0.1− η1−

30η2

0

0

0

0

0

0

0

1.2−

0.1− η

0

1.2

0.1− η

0

0.1η1−

30η2

0

0.1− η2

15η2

⋅+

uxi

uyi

uzi

uxj

uyj

uzj

⋅=

Funkcja LBM - Lokuj Blok Macierzy, używana przy agregacji macierzy sztywności i wektora obciążeń termicznych

LBM A B, w, k, ( )

Aw i+ k j+, B1 i+ 1 j+, ←

j 0 cols B( ) 1−..∈for

i 0 rows B( ) 1−..∈for

A

:=

Współrzędne węzłów kratownicy Numery węzłów początkowych (Wp) i końcowych (Wk) elementów Siły wewnętrzne w elementach

X

0

0

0

0

0

5

m:= Y

0

1

2

3

4

4

m:= Wp

1

2

3

4

5

:= Wk

2

3

4

5

6

:= S

1−

1−

1−

1−

0

kN:=

e 1 Le..:= Pętla po wszystkich elementach ramy

Rysunek elementów kontrolować poprawność wprowadzonych danych

Exe

X Wpe( )X Wke( )

:= Eye

Y Wpe( )Y Wke( )

:= Ex, Ey - współrzędne węzłów elementów kratownicy

1− 0 1 2 3 4 5 60

1

2

3

4

Ey1

Ey2

Ey3

Ey4

Ey5

Ex1 Ex2, Ex3, Ex4, Ex5,

A1 b1 a1⋅:= - Pole powierzchni przekroju elementów

J1a1 b1( )3⋅

12:= - Moment bezwładności przekrojów

i 2 4..:= Ai A1:= Ji J1:=

A5 b2 a2⋅:= J5a2 b2( )3⋅

12:=

Wielkości pomocnicze do wyliczania składowych macierzy sztywności elementów ramy

Lxe X Wke( ) X Wpe( )−:= Lye Y Wke( ) Y Wpe( )−:= Le Lxe( )2 Lye( )2+:=

Lx

1

12

3

4

5

0.0000.000

0.000

0.000

5.000

m= Ly

1

12

3

4

5

1.0001.000

1.000

1.000

0.000

m= L

1

12

3

4

5

1.0001.000

1.000

1.000

5.000

m= A

1

12

3

4

5

49.00049.000

49.000

49.000

70.000

cm2⋅= J

1

12

3

4

5

200.083200.083

200.083

200.083

583.333

cm4⋅=

ηeLe

l:= λ2e

Le( )2 Ae⋅

Je:= μe

E Je⋅

Le( )3:= κe

Se

Le:=

η

1

12

3

4

5

1.0001.000

1.000

1.000

5.000

= λ2

1

12

3

4

5

2448.9802448.980

2448.980

2448.980

30000.000

= μ

1

12

3

4

5

20008.33320008.333

20008.333

20008.333

466.667

N

m⋅= κ

1

12

3

4

5

-1000.000-1000.000

-1000.000

-1000.000

0.000

N

m⋅=

Bloki macierzy sztywności elementu ramowego w lokalnym układzie współrzednych

K11e μe

λ2e0

0

0

12

6ηe

0

6ηe4 ηe( )2

⋅:= K12e μe

λ2e−

0

0

0

12−

6− ηe

0

6ηe2 ηe( )2

⋅:= K22e μe

λ2e0

0

0

12

6− ηe

0

6− ηe4 ηe( )2

⋅:=

Macierz sztywności elementu zapisana z użyciem bloków

KK11

K21

K12

K22

= K21 K12T=

Bloki macierzy geometrycznych elementu ramowego w lokalnym układzie współrzednych

G11e κe

0

0

0

0

1.2

0.1ηe

0

0.1ηe2

15ηe( )2

⋅:= G12e κe

0

0

0

0

1.2−

0.1− ηe

0

0.1ηe1−

30ηe( )2

⋅:= G22e κe

0

0

0

0

1.2

0.1− ηe

0

0.1− ηe2

15ηe( )2

⋅:=

Macierz geometryczna elementu zapisana z użyciem bloków

GG11

G21

G12

G22

= G21 G12T=

Macierze obrotu do globalnego układu współrzednych

ceLxe

Le:= se

Lye

Le:=

Re

ce

se

0

se−

ce

0

0

0

1

:= R1

0

1

0

1−

0

0

0

0

1

= R2

0

1

0

1−

0

0

0

0

1

=

Transformacja macierzy sztywności i macierzy geometrycznych elementu 1 do globalnego układu współrzędnych.Uwaga! Macierzy elementu 5 można nie transformować bo kąt obrotu jest równy 0Macierze elementów 1..4 są identyczne

K11e Re K11e⋅ ReT

⋅:= K12e Re K12e⋅ ReT

⋅:= K22e Re K22e⋅ ReT

⋅:=

G11e Re G11e⋅ ReT

⋅:= G12e Re G12e⋅ ReT

⋅:= G22e Re G22e⋅ ReT

⋅:=

Mimo, że nie jest to potrzebne w dalszych obliczeniach, można pokazać bloki macierzy wszystkich elementów

K111

240.1

0

120.05−

0

49000

0

120.05−

0

80.033

kN

m⋅= K115

14000

0

0

0

5.6

14

0

14

46.667

kN

m⋅=

K121

240.1−

0

120.05

0

49000−

0

120.05−

0

40.017

kN

m⋅= K125

14000−

0

0

0

5.6−

14−

0

14

23.333

kN

m⋅=

K221

240.1

0

120.05

0

49000

0

120.05

0

80.033

kN

m⋅= K225

14000

0

0

0

5.6

14−

0

14−

46.667

kN

m⋅=

G111

1.2−

0

0.1

0

0

0

0.1

0

0.133−

kN

m⋅= G121

1.2

0

0.1−

0

0

0

0.1

0

0.033

kN

m⋅= G221

1.2−

0

0.1−

0

0

0

0.1−

0

0.133−

kN

m⋅=

G115

0

0

0

0

0

0

0

0

0

kN

m⋅= G125

0

0

0

0

0

0

0

0

0

kN

m⋅= G225

0

0

0

0

0

0

0

0

0

kN

m⋅=

Agregacja, czyli dodawanie bloków macierzy sztywności elementów do macierzy globalnej

ne Lss Wpe⋅ 2−:= ke Lss Wke⋅ 2−:= <--- numery stopni swobody węzłów początkowych (ne) i końcowych (ke)

nT

1 4 7 10 13( )= kT

4 7 10 13 16( )=

K

e

LBM Ko K11e, ne, ne, ( ) LBM Ko K22e, ke, ke, ( )+( ) LBM Ko K12e, ne, ke, ( )+ LBM Ko K12eT

, ke, ne, ( )+

∑:=

G

e

LBM Ko G11e, ne, ne, ( ) LBM Ko G22e, ke, ke, ( )+( ) LBM Ko G12e, ne, ke, ( )+ LBM Ko G12eT

, ke, ne, ( )+

∑:=

K

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

12

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

240.1 0.0 -120.1 -240.1 0.0 -120.1 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.00.0 49000.0 0.0 0.0 -49000.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0

-120.1 0.0 80.0 120.1 0.0 40.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0

-240.1 0.0 120.1 480.2 0.0 0.0 -240.1 0.0 -120.1 0.0 0.0 0.0

0.0 -49000.0 0.0 0.0 98000.0 0.0 0.0 -49000.0 0.0 0.0 0.0 0.0

-120.1 0.0 40.0 0.0 0.0 160.1 120.1 0.0 40.0 0.0 0.0 0.0

0.0 0.0 0.0 -240.1 0.0 120.1 480.2 0.0 0.0 -240.1 0.0 -120.1

0.0 0.0 0.0 0.0 -49000.0 0.0 0.0 98000.0 0.0 0.0 -49000.0 0.0

0.0 0.0 0.0 -120.1 0.0 40.0 0.0 0.0 160.1 120.1 0.0 40.0

0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -240.1 0.0 120.1 480.2 0.0 0.0

0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -49000.0 0.0 0.0 98000.0 0.0

0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -120.1 0.0 40.0 0.0 0.0 160.1

0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -240.1 0.0 120.1

0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -49000.0 0.0

0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -120.1 0.0 40.0

0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 ...

kN

m⋅=

G

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

12

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

-1.2 0.0 0.1 1.2 0.0 0.1 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.00.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0

0.1 0.0 -0.1 -0.1 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0

1.2 0.0 -0.1 -2.4 0.0 0.0 1.2 0.0 0.1 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0

0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0

0.1 0.0 0.0 0.0 0.0 -0.3 -0.1 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0

0.0 0.0 0.0 1.2 0.0 -0.1 -2.4 0.0 0.0 1.2 0.0 0.1 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0

0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0

0.0 0.0 0.0 0.1 0.0 0.0 0.0 0.0 -0.3 -0.1 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0

0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.2 0.0 -0.1 -2.4 0.0 0.0 1.2 0.0 0.1 0.0 0.0 0.0

0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0

0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.1 0.0 0.0 0.0 0.0 -0.3 -0.1 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0

0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.2 0.0 -0.1 -1.2 0.0 -0.1 0.0 0.0 0.0

0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0

0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.1 0.0 0.0 -0.1 0.0 -0.1 0.0 0.0 0.0

0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0

0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0

0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0

kN

m⋅=

Globalna macierz sztywności K i macierz geometryczna G bez uwzględnienia warunków brzegowych jest osobliwatzn. |K|=0 , |G|=0

Aby obliczyć wyznacznik macierzy, której elementy nie są liczbami bezwymiarowymimusimy macierz pomnożyć przez odwrotność jednostek aby doprowadzić elementy dopostaci bezwymiarowej - to jest wymóg MatCada.

Zamiast zera wyznacznik może być "bardzo małą" liczbą ze względu na niedostatecznądokładność wyrazów macierzy sztywności.

K1m

kN⋅ 0.000 100×=

G1m

kN⋅ 0.000 100×=

Kopiowanie Macierzy K przed modyfikacją uwzględniającą warunki brzegowe

Ko K:= Go G:=

Uwzględnienie warunków brzegowych

Lwb 5:= - liczba warunków brzegowych

s

1

2

3

16

17

:= - globalne numery przemieszczeń węzłów blokowanych na podporach

i 1 Lr..:= j 1 Lwb..:=

Kosj i, 0:= Gosj i, 0:= zerowanie wierszy

Koi sj, 0:= Goi sj, 0:= zerowanie kolumn

wstawianie jedności na przekątnąmacierzy sztywności

Kosj sj, 1kN

m:=

Ko 1⋅m

kN5.882 1039×= - wyznacznik macierzy Ko jest zawsze większy od zera, |Ko|> 0

Go 1⋅m

kN0.000 100×= - wyznacznik macierzy Go może być równy zeru

Ko

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

12

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 480.2 0 0 -240.1 0 -120.1 0 0 0 0

0 0 0 0 98000 0 0 -49000 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 160.1 120.1 0 40 0 0 0 0

0 0 0 -240.1 0 120.1 480.2 0 0 -240.1 0 -120.1 0

0 0 0 0 -49000 0 0 98000 0 0 -49000 0 0

0 0 0 -120.1 0 40 0 0 160.1 120.1 0 40 0

0 0 0 0 0 0 -240.1 0 120.1 480.2 0 0 -240.1

0 0 0 0 0 0 0 -49000 0 0 98000 0 0

0 0 0 0 0 0 -120.1 0 40 0 0 160.1 120.1

0 0 0 0 0 0 0 0 0 -240.1 0 120.1 14240.1

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -49000 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 -120.1 0 40 ...

kN

m⋅=

Go

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

12

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 -2.4 0 0 1.2 0 0.1 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 -0.267 -0.1 0 0.033 0 0 0 0 0 0

0 0 0 1.2 0 -0.1 -2.4 0 0 1.2 0 0.1 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0.1 0 0.033 0 0 -0.267 -0.1 0 0.033 0 0 0

0 0 0 0 0 0 1.2 0 -0.1 -2.4 0 0 1.2 0 0.1

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0.1 0 0.033 0 0 -0.267 -0.1 0 0.033

0 0 0 0 0 0 0 0 0 1.2 0 -0.1 -1.2 0 -0.1

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ...

kN

m⋅=

Ko σ Go⋅+ 0= - warunek niejednoznacznosci przemieszczeń, czyli mozliwość utraty stateczności

KG σ( ) Ko σ Go⋅+( )m

kN⋅:=

Oszacowanie wartości siły krytycznej"z góry" i "z dołu"

N 1000:= i 1 N..:= σi i 0.1⋅:= Wi KG σi( ):=

P1π2 E⋅ J1⋅

0.5 Y5⋅( )2:=

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

1−

1

2

3

4

5

6

Wi

1039

σi

P2π2 E⋅ J1⋅

0.699 Y5⋅( )2:=

P1 49.369 kN⋅=

P2 25.260 kN⋅=

N1 39370:= N2 39380:=

i N1 N2..:= σi i 0.001⋅:= Wi KG σi( ):=

Siła krytyczna (pierwsza wartość własna) ma przybliżoną wartośćPkr=39,372 kN

39.37 39.371 39.372 39.373 39.374 39.375 39.376 39.377 39.378 39.379 39.38

4−

3−

2−

1−

1

2

Wi

1035

σi

Siła krytyczna (pierwsza wartość własna) wyliczona za pomocąAlgora, przy podziale pręta poziomego i pionowego na 10 elementówPkr=34,4645 kN

N1 86000:= N2 87000:=

i N1 N2..:= σi i 0.001⋅:= Wi KG σi( ):=

Druga wartość własna ma przybliżoną wartośćσ2=86,55 kN

86 86.1 86.2 86.3 86.4 86.5 86.6 86.7 86.8 86.9 87

200−

150−

100−

50−

50

100

Wi

1035

σi

Druga wartość własna wyliczona za pomocą Algora, przy podzialepręta poziomego i pionowego na 10 elementówσ2=80,2545 kN