Stateczność ramy obciążonej siłą skupioną - przykłady 6-1 i 6-4 zksiążki: "Mechanika budowli - Ujęcie komputerowe" (MbUk)

ORIGIN 1:= - Ustawienie sposobu numeracji wierszy i kolumn macierzy

E 10GPa:= - Moduł Younga

Wymiary przekrojów i długościelementów

a1 12cm:= b1 10cm:= L1 10m:=

a2 12cm:= b2 10cm:= L2 10m:=

a3 12cm:= b3 10cm:= L3 10m:=

Dane zostały tak dobrane aby :

E J⋅

L21kN=

ułatwi to porównanie wyników zamieszczonych w książce MbUk

Parametry pomocnicze:

Lss 3:= - Liczba stopni swobody węzła

Le 3:= - Liczba elementów

Lw 4:= - Liczba węzłów

Lr Lss Lw⋅:= - Liczba równań

KoLr Lr, 0:= Deklaracja globalnej macierzy sztywności i wypełnienie jej zerami

l 1m:= - pomocnicza stała długość

Ponieważ MathCad nie pozwala przechowywać w jednej macierzy składowych wyrażonych wróżnych jednostkach to mamy do wyboru 2 mozliwości: - nie zapisywać jednostek w których wyrażone są te składowe- przekształcić tak te składowe, aby były jednolite (wyrażone w jednakowych jednostkach miary) Wybieram 2 sposób i przekształcam niewiadome występujące w macierzach następująco( l - oznacza tu dowolną stałą o wymiarze długości) :

uzi l φi⋅= uzj l φj⋅= Mi l Ti⋅= Mj l Tj⋅= λ2 L2 A⋅

J= η L

l=

Wszystkie poszukiwane przemieszczenia są więc przesunięciami, a węzłowe wielkości statyczne - siłami.Macierz sztywności zmieni sie więc do postaci, którą MathCad akceptuje:

Fxi

Fyi

Ti

Fxj

Fjy

Tj

E J⋅

L3

λ2

0

0

λ2−

0

0

0

12

6η

0

12−

6η

0

6η

4η2

0

6η−

2η2

λ2−

0

0

λ2

0

0

0

12−

6η−

0

12

6η−

0

6η

2η2

0

6η−

4η2

S

L

0

0

0

0

0

0

0

1.2

0.1η

0

1.2−

0.1η

0

0.1η2

15η2

0

0.1− η1−

30η2

0

0

0

0

0

0

0

1.2−

0.1− η

0

1.2

0.1− η

0

0.1η1−

30η2

0

0.1− η2

15η2

⋅+

uxi

uyi

uzi

uxj

uyj

uzj

⋅=

Funkcja LBM - Lokuj Blok Macierzy, używana przy agregacji macierzy sztywności i wektora obciążeń termicznych

LBM A B, w, k, ( )

Aw i+ k j+, B1 i+ 1 j+, ←

j 0 cols B( ) 1−..∈for

i 0 rows B( ) 1−..∈for

A

:=

Funkcje ścisłe występujące w macierzy sztywności pręta ściskanego siłą osiową (MbUk)

Alfa x( )x sin x( ) x cos x( )⋅−( )⋅

2 1 cos x( )−( ) x sin x( )⋅−:= Theta x( )

x2 1 cos x( )−( )⋅

2 1 cos x( )−( ) x sin x( )⋅−:=

Delta x( )x3 sin x( )⋅

2 1 cos x( )−( ) x sin x( )⋅−:=

Współrzędne węzłów kratownicy Numery węzłów początkowych (Wp) i końcowych (Wk) elementów Siły wewnętrzne w elementach

X

0

L1

0

L1

:= Y

L1

L1

0

0

:= Wp

3

1

4

:= Wk

1

2

2

:= S

0

0

1−

kN:=

e 1 Le..:= Pętla po wszystkich elementach ramy

Ae be ae⋅:= - Pole powierzchni przekroju elementów

Jeae be( )3⋅

12:= - Moment bezwładności przekroju elementów

Rysunek elementów pozwala kontrolować poprawność wprowadzonych danych

Exe

X Wpe( )X Wke( )

:= Eye

Y Wpe( )Y Wke( )

:= Ex, Ey - współrzędne węzłów elementów kratownicy

1− 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 110

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

Ey1

Ey2

Ey3

Ex1 Ex2, Ex3,

Wielkości pomocnicze do wyliczania składowych macierzy sztywności elementów ramy

Lxe X Wke( ) X Wpe( )−:= Lye Y Wke( ) Y Wpe( )−:= Le Lxe( )2 Lye( )2+:=

Lx

1

12

3

0.00010.000

0.000

m= Ly

1

12

3

10.0000.000

10.000

m= L

1

12

3

10.00010.000

10.000

m=E J1⋅

L1( )21 kN⋅=

ηeLe

l:= λ2e

Le( )2 Ae⋅

Je:= μe

E Je⋅

Le( )3:= κe

Se

Le:=

η1

12

3

10.00010.000

10.000

= λ21

12

3

120000.000120000.000

120000.000

= μ1

12

3

100.000100.000

100.000

N

m⋅= κ

1

12

3

0.0000.000

-100.000

N

m⋅=

Bloki macierzy sztywności elementu ramowego w lokalnym układzie współrzednych

K11e μe

λ2e0

0

0

12

6ηe

0

6ηe4 ηe( )2

⋅:= K12e μe

λ2e−

0

0

0

12−

6− ηe

0

6ηe2 ηe( )2

⋅:= K22e μe

λ2e0

0

0

12

6− ηe

0

6− ηe4 ηe( )2

⋅:=

Macierz sztywności elementu zapisana z użyciem bloków

KK11

K21

K12

K22

= K21 K12T=

Bloki macierzy geometrycznych elementu ramowego w lokalnym układzie współrzednych

G11e κe

0

0

0

0

1.2

0.1ηe

0

0.1ηe2

15ηe( )2

⋅:= G12e κe

0

0

0

0

1.2−

0.1− ηe

0

0.1ηe1−

30ηe( )2

⋅:= G22e κe

0

0

0

0

1.2

0.1− ηe

0

0.1− ηe2

15ηe( )2

⋅:=

Macierz geometryczna elementu zapisana z użyciem bloków

GG11

G21

G12

G22

= G21 G12T=

Macierze obrotu do globalnego układu współrzednych

ceLxe

Le:= se

Lye

Le:=

Re

ce

se

0

se−

ce

0

0

0

1

:= R1

0

1

0

1−

0

0

0

0

1

= R2

1

0

0

0

1

0

0

0

1

=

Transformacja macierzy sztywności i macierzy geometrycznych elementu 1 do globalnego układu współrzędnych.Uwaga! macierzy elementu 2 można nie transformować bo kąt obrotu jest równy 0

K11e Re K11e⋅ ReT

⋅:= K12e Re K12e⋅ ReT

⋅:= K22e Re K22e⋅ ReT

⋅:=

G11e Re G11e⋅ ReT

⋅:= G12e Re G12e⋅ ReT

⋅:= G22e Re G22e⋅ ReT

⋅:=

Mimo, że nie jest to potrzebne w dalszych obliczeniach, można pokazać bloki macierzy wszystkich elementów

K111

1.2

0

6−

0

12000

0

6−

0

40

kN

m⋅= K112

12000

0

0

0

1.2

6

0

6

40

kN

m⋅=

K121

1.2−

0

6

0

12000−

0

6−

0

20

kN

m⋅= K122

12000−

0

0

0

1.2−

6−

0

6

20

kN

m⋅=

K221

1.2

0

6

0

12000

0

6

0

40

kN

m⋅= K222

12000

0

0

0

1.2

6−

0

6−

40

kN

m⋅=

G111

0

0

0

0

0

0

0

0

0

kN

m⋅= G121

0

0

0

0

0

0

0

0

0

kN

m⋅= G221

0

0

0

0

0

0

0

0

0

kN

m⋅=

G113

0.12−

0

0.1

0

0

0

0.1

0

1.333−

kN

m⋅= G123

0.12

0

0.1−

0

0

0

0.1

0

0.333

kN

m⋅= G223

0.12−

0

0.1−

0

0

0

0.1−

0

1.333−

kN

m⋅=

Agregacja, czyli dodawanie bloków macierzy sztywności elementów do macierzy globalnej

ne Lss Wpe⋅ 2−:= ke Lss Wke⋅ 2−:= <--- numery stopni swobody węzłów początkowych (ne) i końcowych (ke)

n

7

1

10

= k

1

4

4

=

K

e

LBM Ko K11e, ne, ne, ( ) LBM Ko K22e, ke, ke, ( )+( ) LBM Ko K12e, ne, ke, ( )+ LBM Ko K12eT

, ke, ne, ( )+

∑:=

G

e

LBM Ko G11e, ne, ne, ( ) LBM Ko G22e, ke, ke, ( )+( ) LBM Ko G12e, ne, ke, ( )+ LBM Ko G12eT

, ke, ne, ( )+

∑:=

K

1 2 3 4 5 6

12

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

12001.2 0.0 6.0 -12000.0 0.0 0.00.0 12001.2 6.0 0.0 -1.2 6.0

6.0 6.0 80.0 0.0 -6.0 20.0

-12000.0 0.0 0.0 12001.2 0.0 6.0

0.0 -1.2 -6.0 0.0 12001.2 -6.0

0.0 6.0 20.0 6.0 -6.0 80.0

-1.2 0.0 -6.0 0.0 0.0 0.0

0.0 -12000.0 0.0 0.0 0.0 0.0

6.0 0.0 20.0 0.0 0.0 0.0

0.0 0.0 0.0 -1.2 0.0 -6.0

0.0 0.0 0.0 0.0 -12000.0 0.0

0.0 0.0 0.0 6.0 0.0 ...

kN

m⋅=

G

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

12

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.00.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0

0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0

0.0 0.0 0.0 -0.1 0.0 -0.1 0.0 0.0 0.0 0.1

0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0

0.0 0.0 0.0 -0.1 0.0 -1.3 0.0 0.0 0.0 0.1

0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0

0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0

0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0

0.0 0.0 0.0 0.1 0.0 0.1 0.0 0.0 0.0 -0.1

0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0

0.0 0.0 0.0 -0.1 0.0 0.3 0.0 0.0 0.0 ...

kN

m⋅=

Globalna macierz sztywności K i macierz geometryczna G bez uwzględnienia warunków brzegowych jest osobliwatzn. |K|=0 , |G|=0

Aby obliczyć wyznacznik macierzy, której elementy nie są liczbami bezwymiarowymimusimy macierz pomnożyć przez odwrotność jednostek aby doprowadzić elementy dopostaci bezwymiarowej - to jest wymóg MatCada.

Zamiast zera wyznacznik może być "bardzo małą" liczbą ze względu na niedostatecznądokładność wyrazów macierzy sztywności.

K1m

kN⋅ 0.000 100×=

G1m

kN⋅ 0.000 100×=

Kopiowanie Macierzy K przed modyfikacją uwzględniającą warunki brzegowe

Ko K:= Go G:=

Uwzględnienie warunków brzegowych

Lwb 6:= - liczba warunków brzegowych

s

7

8

9

10

11

12

:= - globalne numery przemieszczeń węzłów blokowanych na podporach

i 1 Lr..:= j 1 Lwb..:=

Kosj i, 0:= Gosj i, 0:= zerowanie wierszy

Koi sj, 0:= Goi sj, 0:= zerowanie kolumn

wstawianie jedności na przekątnąmacierzy sztywności

Kosj sj, 1kN

m:=

Ko

1 2 3 4 5 6 7

12

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

12001.2 0 6 -12000 0 0 00 12001.2 6 0 -1.2 6 0

6 6 80 0 -6 20 0

-12000 0 0 12001.2 0 6 0

0 -1.2 -6 0 12001.2 -6 0

0 6 20 6 -6 80 0

0 0 0 0 0 0 1

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 ...

kN

m⋅= Go

1 2 3 4 5

12

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

0 0 0 0 00 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 -0.12 0

0 0 0 0 0

0 0 0 -0.1 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 ...

kN

m⋅=

Ko 1⋅m

kN1.742 1016×= - wyznacznik macierzy Ko jest zawsze większy od zera, |Ko|> 0

Go 1⋅m

kN0.000 100×= - wyznacznik macierzy Go może być równy zeru

Ko σ Go⋅+ 0= - warunek niejednoznaczności przemieszczeń, czyli mozliwość utraty stateczności

KG x( ) Ko x Go⋅+( )m

kN⋅:=

Oszacowanie "z dołu" i "z góry" wartościsiły krytycznej za pomocą wzoru EuleraN 200:=

i 1 N..:= σi i 0.1⋅:=P1

π2 E⋅ J1⋅

1 L1⋅( )2:= P1 9.870 kN⋅=

Wi KG σi( ):=

Wykres zmienności wyznacznika macierzyP2

π2 E⋅ J1⋅

0.699 L1⋅( )2:= P2 20.200 kN⋅=

0 2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 20

1− 1016

×

5− 1015

×

5 1015

×

1 1016

×

1.5 1016

×

2 1016

×

Wi

σi

E J1⋅

L1( )21.000 kN⋅=

Siła krytyczna ma przybliżoną wartość Pkr=14,878 kN - jest niecomniejsza niż wartość podana w książce MbUk, przykład 6-4b (14,8794),gdyż w tym przykładzie uwzględniono ściśliwość podłużną prętów

N1 1487:= N2 1488:=

i N1 N2..:= σi i 0.01⋅:=

Wi KG σi( ):=

14.87 14.872 14.874 14.876 14.878 14.88

2− 1012

×

2 1012

×

4 1012

×

6 1012

×

8 1012

×

Wi

σi

Siła krytyczna wyliczona za pomocą Algora bez podziału prętów nawiększą liczbę elementów Pkr=14,8741 kN

Siła krytyczna wyliczona za pomocą Algora przy podziale prętów na10 elementów Pkr=14,581 kN

Obliczenie siły krytycznej za pomocą ścisłych funkcji (MbUk)

KG x( )

4 Alfa x( )+

2

Theta x( )−

2

8

6−

Theta x( )−

6−

12 Delta x( )+

:=

N 400:= i 1 N..:= σi i 0.01⋅:= Wi KG σi( ):=

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

0.25−

0.25

0.5

0.75

1

1.25

Wi

1000

σi

Siła krytyczna wyliczona za pomocą ścisłych funkcji Alfa, Theta, Deltaoraz założeniu nieściśliwości prętów ma wartość Pkr=14,586 kN - jestnieco mniejsza niż wartość obliczona MES bez podziału prętów aletrochę większa niż obliczone MES z podziałem pręta sciskanego na 10elementów i uwzględnieniu ściśliwości podłużnej preta

N1 3819:= N2 3820:=

i N1 N2..:= σi i 0.001⋅:=

Wi KG σi( ):=

3.819 3.8192 3.8193 3.8195 3.8197 3.8198 3.82

0.4−

0.3−

0.2−

0.1−

0.1

Wi

σi

σ 3.8192:=

Pkr σ2E J1⋅

L1( )2⋅:=

Pkr 14.586 kN⋅=