Statyka kratownicy stalowej o 2 różnych przekrojach prętów, obciążonej temperaturą

ORIGIN 1:= - Ustawienie sposobu numeracji wierszy i kolumn macierzy

E 208GPa:= - Moduł Younga stali

αt 10 6−:= - Współczynnik rozszerzalności cieplnej stali

A1 35cm2:= - Pole powierzchni przekroju elementów 1...5

A2 25cm2:= - Pole powierzchni przekroju elementów 6...10

Parametry pomocnicze:

Lss 2:= - Liczba stopni swobody węzła

Le 10:= - Liczba elementów

Lw 6:= - Liczba węzłów

Lr Lss Lw⋅:= - Liczba równań

KoLr Lr, 0:= Deklaracja globalnej macierzy sztywności i wypełnienie jej zerami

pToLr0:= Deklaracja globalnego wektora obciążeń termicznych i wypełnienie go zerami

Funkcja LBM - Lokuj Blok Macierzy, używana przy agregacji macierzy sztywności i wektora obciążeń termicznych

LBM (A, B, w, k) ZNACZENIE PARAMETRÓW: A - nazwa macierzy B - nazwa bloku w - numer wiersza, od którego zostanie wprowadzony blokk - numer kolumny, od której zostanie wprowadzony blokUWAGA: Macierz B zostanie ulokowana w większej macierzy A,poczynając od elementu usytuowanego w wierszu o numerze "w"i kolumnie o numerze "k".

LBM A B, w, k, ( )

Aw i+ k j+, B1 i+ 1 j+, ←

j 0 cols B( ) 1−..∈for

i 0 rows B( ) 1−..∈for

A

:=

Współrzędne węzłów kratownicy

X

0

3

5

5

7

5

m:= Y

0

2.4

4

0

0

5−

m:=

Numery węzłów początkowych(Wp) i końcowych (Wk)elementów Przyrost temperatury elementów Przekroje elementów

Wp

1

2

3

1

4

4

1

2

2

3

:= Wk

2

3

5

6

6

5

4

6

4

4

:= T

0

0

0

50

0

0

40

50

0

0

:= A

A1

A1

A1

A1

A1

A2

A2

A2

A2

A2

:=

e 1 Le..:= Pętla po wszystkich elementach kratownicy

Rysunek elementów kratownicy pozwala kontrolować poprawność wprowadzonych danych

Exe

X Wpe( )X Wke( )

:= Eye

Y Wpe( )Y Wke( )

:= Ex, Ey - współrzędne węzłów elementów kratownicy

1− 0 1 2 3 4 5 6 7 8

5−

4−

3−

2−

1−

1

2

3

4

Ey1

Ey2

Ey3

Ey4

Ey5

Ey6

Ey7

Ey8

Ey9

Ey10

Ex1 Ex2, Ex3, Ex4, Ex5, Ex6, Ex7, Ex8, Ex9, Ex10,

Macierze sztywności elementów kratownicy

Lxe X Wke( ) X Wpe( )−:= Lye Y Wke( ) Y Wpe( )−:= Le Lxe( )2 Lye( )2+:=

Lx

1

12

3

4

5

6

7

8

9

10

3.0002.000

2.000

5.000

0.000

2.000

5.000

2.000

2.000

0.000

m= Ly

1

12

3

4

5

6

7

8

9

10

2.4001.600

-4.000

-5.000

-5.000

0.000

0.000

-7.400

-2.400

-4.000

m= L

1

12

3

4

5

6

7

8

9

10

3.8422.561

4.472

7.071

5.000

2.000

5.000

7.666

3.124

4.000

m=Je

E Ae⋅

Le( )3Lxe( )2

Lxe Lye⋅

Lxe Lye⋅

Lye( )2

⋅:=

Mimo, że nie jest to potrzebne w dalczych obliczeniach, można pokazać bloki J macierzy sztywności wszystkich elementów

J1115543.2

92434.6

92434.6

73947.6

kN

m⋅= J2

173314.8

138651.8

138651.8

110921.5

kN

m⋅= J3

32557.1

65114.3−

65114.3−

130228.6

kN

m⋅=

J451477.4

51477.4−

51477.4−

51477.4

kN

m⋅= J5

0.0

0.0

0.0

145600.0

kN

m⋅= J6

260000.0

0.0

0.0

0.0

kN

m⋅=

J7104000.0

0.0

0.0

0.0

kN

m⋅= J8

4617.9

17086.1−

17086.1−

63218.5

kN

m⋅= J9

68216.4

81859.6−

81859.6−

98231.6

kN

m⋅=

Agregacja, czyli dodawanie bloków macierzy sztywności elementów do macierzy globalnej

ne Lss Wpe⋅ 1−:= ke Lss Wke⋅ 1−:= <--- numery stopni swobody węzłów początkowych (ne) i końcowych (ke)

K

e

LBM Ko Je, ne, ne, ( ) LBM Ko Je, ke, ke, ( )+ LBM Ko Je, ne, ke, ( )− LBM Ko Je, ke, ne, ( )−( )∑:=

K

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

12

3

4

5

6

7

8

9

10

271020.6 40957.2 -115543.2 -92434.6 0.0 0.0 -104000.0 0.0 0.0 0.040957.2 125425.0 -92434.6 -73947.6 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0

-115543.2 -92434.6 361692.2 132140.7 -173314.8 -138651.8 -68216.4 81859.6 0.0 0.0

-92434.6 -73947.6 132140.7 346319.2 -138651.8 -110921.5 81859.6 -98231.6 0.0 0.0

0.0 0.0 -173314.8 -138651.8 205871.9 73537.5 0.0 0.0 -32557.1 65114.3

0.0 0.0 -138651.8 -110921.5 73537.5 371150.1 0.0 -130000.0 65114.3 -130228.6

-104000.0 0.0 -68216.4 81859.6 0.0 0.0 432216.4 -81859.6 -260000.0 0.0

0.0 0.0 81859.6 -98231.6 0.0 -130000.0 -81859.6 373831.6 0.0 0.0

0.0 0.0 0.0 0.0 -32557.1 65114.3 -260000.0 0.0 292557.1 -65114.3

0.0 0.0 0.0 0.0 65114.3 -130228.6 0.0 0.0 -65114.3 ...

kN

m⋅=

Globalna macierz sztywności K bez uwzględnienia warunków brzegowych jest osobliwa tzn. |K|=0

Aby obliczyć wyznacznik macierzy, której elementy nie są liczbami bezwymiarowymimusimy macierz pomnożyć przez odwrotność jednostek aby doprowadzić elementy dopostaci bezwymiarowej - to jest wymóg MatCada.

Zamiast zera wyznacznik może być "bardzo małą" liczbą ze względu na niedostatecznądokładność wyrazów macierzy sztywności.

K1m

kN⋅ 0.000 100×=

Globalny wektor sił węzłowych Rzutowanie siły w węźle 3 na osie globalnego układu współrzędnych

Fx3 7− kN sin 50deg( )⋅ 5.362− kN⋅=:=

Fy3 7− kN cos 50deg( )⋅ 4.500− kN⋅=:=

p

0

0

0

0

Fx3

Fy3

0

0

0

0

0

0

:=p

1

12

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

0.0000.000

0.000

0.000

-5.362

-4.500

0.000

0.000

0.000

0.000

0.000

0.000

kN⋅=

- siły węzłowe wywołane temperaturą w elemencie "e"

te αt Te⋅E Ae⋅

Le⋅

Lxe

Lye

:=

Agregacja wektora obciążeń termicznych pT (metodą podobną do stosowanej w agregacji macierzy sztywności)

pT

e

LBM pTo te, ne, 1, ( ) LBM pTo te, ke, 1, ( )−( )∑:=

pTT 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1 46.539 -25.739 6.784 -25.099 0.000 0.000 -20.800 0.000 0.000 0.000 -32.522 50.838kN⋅=

Kopiowanie Macierzy K i wektora p przed modyfikacją uwzględniającą warunki brzegowe

Ko K:= po p pT−:=

Uwzględnienie warunków brzegowych

Lwb 5:= - liczba warunków brzegowych

s

2

9

10

11

12

:= - globalne numery przemieszczeń węzłówblokowanych na podporach

i 1 Lr..:= j 1 Lwb..:=

Kosj i, 0:= zerowanie wierszy

Koi sj, 0:= zerowanie kolumn

wstawianie jedności na przekątnąmacierzy sztywności

Kosj sj, 1kN

m:=

po sj( )0:= zerowanie wartości w wektorze "prawej strony"

Ko

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

12

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

271020.6 0.0 -115543.2 -92434.6 0.0 0.0 -104000.0 0.0 0.0 0.0 0.00.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0

-115543.2 0.0 361692.2 132140.7 -173314.8 -138651.8 -68216.4 81859.6 0.0 0.0 0.0

-92434.6 0.0 132140.7 346319.2 -138651.8 -110921.5 81859.6 -98231.6 0.0 0.0 0.0

0.0 0.0 -173314.8 -138651.8 205871.9 73537.5 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0

0.0 0.0 -138651.8 -110921.5 73537.5 371150.1 0.0 -130000.0 0.0 0.0 0.0

-104000.0 0.0 -68216.4 81859.6 0.0 0.0 432216.4 -81859.6 0.0 0.0 0.0

0.0 0.0 81859.6 -98231.6 0.0 -130000.0 -81859.6 373831.6 0.0 0.0 0.0

0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0

0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0

0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0

0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 ...

kN

m⋅=

Ko 1⋅m

kN4.325 1037×= - wyznacznik macierzy Ko jest zawsze większy od zera, |Ko|> 0

poT 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1 -46.539 0.000 -6.784 25.099 -5.362 -4.500 20.800 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000kN⋅=

Rozwiązanie układu równań: u lsolve Ko po, ( ):=

u - wektor przemieszczeń węzłowych

uT 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1 -0.3092 0.0000 -0.2690 0.0061 -0.2283 -0.0562 -0.0648 0.0268 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000mm⋅=

Rysunek przemieszczeń kratownicy pozwala kontrolować poprawność otrzymanych wyników

skala 1000:=Dxe Exe skala

u 2 Wpe⋅ 1−( )u 2 Wke⋅ 1−( )

⋅+:= Dye Eye skala

u 2 Wpe⋅( )u 2 Wke⋅( )

⋅+:=

1− 0 1 2 3 4 5 6 7 8

5−

4−

3−

2−

1−

1

2

3

4

Ey1

Ey2

Ey3

Ey4

Ey5

Ey6

Dy1

Dy2

Dy3

Dy4

Dy5

Dy6

Dy7

Dy8

Dy9

Dy10

Ex1 Ex2, Ex3, Ex4, Ex5, Ex6, Dx1, Dx2, Dx3, Dx4, Dx5, Dx6, Dx7, Dx8, Dx9, Dx10,

Obliczenie reakcji podpór

r K u⋅ p− pT+:=

rT 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1 0.000 -13.992 0.000 0.000 0.000 -0.000 0.000 -0.000 20.624 -7.552 -15.261 26.043kN⋅=

Obliczenie sił wewnętrznych

NeE Ae⋅

Le( )2u2 Wke⋅ 1− u2 Wpe⋅ 1−−( ) Lxe⋅ u2 Wke⋅ u2 Wpe⋅−( ) Lye⋅+

⋅ αt Te⋅ E⋅ Ae⋅−:=

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1125−

20−

15−

10−

5−

0

5

10

15

20

Ne

kN

e

N

1

12

3

4

5

6

7

8

9

10

6.672-2.032

8.443

-13.893

3.899

16.848

4.614

-20.84

19.11

-10.782

kN⋅=

Obliczenie naprężeńσe

E

Le( )2u2 Wke⋅ 1− u2 Wpe⋅ 1−−( ) Lxe⋅ u2 Wke⋅ u2 Wpe⋅−( ) Lye⋅+

⋅ αt Te⋅ E⋅−:=

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1110−

8−

6−

4−

2−

0

2

4

6

8

σeMPa

e

σ

1

12

3

4

5

6

7

8

9

10

1.906-0.580

2.412

-3.969

1.114

6.739

1.845

-8.336

7.644

-4.313

MPa⋅=