5. Statika

Dio mehanike koji proučava zakonitosti slaganja sila koje djeluju na tijela i ravnotežu tijela.

Tijelo je u RAVNOTEŽI kada se ne ubrzava !

Pri tom tijelo može:• mirovati• gibati se jednoliko po pravcu• jednoliko rotirati oko osi koja prolazi kroz centar mase

Općenito gibanje krutog tijela može se rastaviti na translaciju tog tijela brzinom kojom se giba neka njegova točka (centar mase) i rotaciju oko osi koja prolazi kroz tu točku.

5. Statika

Kruto tijelo = tijelo koje pod utjecajem sila ne mijenja oblik .- sustav od mnoštva materijalnih točaka čiji meñusobni razmaci ostaju uvijek isti- idealizacija

Čvrsto tijelo = tijelo koje pod utjecajem sila mijenja oblik(deformacija – elastična/plastična)- realno tijelo

5.1. Centar maseGibanje sustava od nn čestica možemo opisati promatranjem gibanja svake pojedine čestice. Ako n → ∞, opis gibanja postaje nemoguć. Zato se definira zamišljena točka, centar mase sustava, pomoću koje možemo opisati gibanje sustava kao cjeline.

Sustav od n čestica.

5.1. Centar mase

Kruto tijelo → velik broj čestica (1023 cm-3)

Koordinate centra mase:

1

1

; ;

n

i ii

CM CM CMn

ii

x m xdm ydm zdmx y z

dm dm dmm

=

=

= = = =∑ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫∑

CM

rdm r dVr

dm dV

ρ

ρ= =∫ ∫∫ ∫

� �

�

Centar mase nalazi se negdje “u sredini” sustava.

TEŽIŠTE – zamišljena točka u kojoj je hvatište težine tijela.Na Zemlji je u svim točkama nekog tijela sila teže homogena –

težište i centar mase nalaze se u istoj točki.

5.1. Centar maseGibanje centra mase: 1

1

/

n

i ii

CM n

ii

r mr m

m

=

=

= ⋅∑

∑

�

�

1

n

CM iii

m r m r=

⋅ = ⋅∑� �

- derivacija po vremenu:1 1

n n

CM iCM ii ii i

m r m v m r m v= =

⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅∑ ∑� � � �ɺ ɺ

- 2. derivacija po vremenu:1 1

n n

CM i v uCM ii ii i

m r m a m r m a F F= =

⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = +∑ ∑� � � � �� ��ɺɺ ɺɺ

Fv – rezultanta vanjskih silaFu – rezultanta unutarnjih sila = 0 (III Newtonov zakon)

1

n

vi vCM

i

m a F F=

⋅ = =∑� �� ��

Centar mase giba se kao materijalna točka mase m = Σmi na koju djeluje ukupna vanjska sila Fv.

5.1. Centar maseGibanje centra mase:

Gibanje sustava svedeno je na gibanje jedne materijalne točke, centra mase, bez obzira na to kako složen bio taj sustav.

0

0

.

vCM

CM

CM CM

m a F

v const

r v t r

⋅ = =

=

= ⋅ +

� ��

�

� � �

Ako na sustav ne djeluju vanjske sile:

- centar mase miruje ili se giba jednoliko po pravcu

5.1. Centar masePrimjer:Izračunajte položaj centra mase za četiri čestice smještene na vrhovima kvadrata stranice 1 m. Veličina i raspored masa je na slici.

m1=1 kg

m2=2 kg

m4=4 kg

m3=3kg

x

y

4 4

1 14 4

1 1

ˆ ˆ

0,0 0,1 1,1 1,0

CM CM CM

CM CM

CM, CM

1 2 3 4

x ; y

CM x y

r =x i +y

j

m ; m ; m ; m

i i i ii i

i ii i

m x m y

m m

= =

= =

= =∑ ∑

∑ ∑

�

ˆ ˆ ˆ ˆCM CM CMr =x i +y j= 7 1i+ j

10 2�

5.1. Centar mase

Primjer:Odredi CM homogenog štapa.

5.1. Centar masePrimjer:Odredite centar mase homogenog stošca čija je visina 1 m.

h

R

y

x

x

y

h

R

2 213

,

dm mx dy R h

m dmV dV

dm mVdV

π π

ρ ρ

=

= =

=

- : : x h y R h

=∫∫

CM

CM

x =0

y dmy =

dm

CM1y = h=0.25 m4

5.2. Ravnoteža materijalne to čke

Čestica je u ravnoteži ako je rezultantna sila na tu česticu jednaka nuli (zatvoren vektorski poligon sila na česticu).

1 1 ... 0i

i

R F F F= + + = =∑�� �� �� ��

m

F1F2

→ →

F1 + F2 = 0→ →

N + G = 0→ →

F1 + F2 + G = 0→ → →

F1 + F2 + F3 = 0→ → →

5.3. Djelovanje konkurentnih sila na kruto tijelo

Konkurentne sile = sile koje djeluju u istoj točki (imaju isto hvatište)

F1 + F2 = 0→ →

Ako na tijelo djeluju dvije sile s različitim hvatištem, koje leže ne istom pravcu, tijelo je u ravnoteži ako su sile istog iznosa, a suprotnog smjera. fl Hvatište sile može se pomicati duž pravca nosioca, a da se djelovanje sile na kruto tijelo ne promijeni (sila na kruto tijelo je klizni vektor ).

F5

→

F1

→

F2

→ F3

→

F4

→

O

F1 + F2 + F3 + F4 + F5 = R→ →→ → → →

5.4. Moment sile

Djelovanje sila na kruto tijelo može uzrokovati translacijsko gibanje, ali i rotaciju oko neke osi. Utjecaj sile na rotaciju opisuje se momentom sile.

� ��M=r×F θ=rFsin [Nm]

Pravilo desne ruke.

5.4. Moment sile

M = 0 M = 0 M = r ä F

M = vektor okomit na F i r- pravac mu je proizvoljan (na osi rotacije)

aksijalni vektor

r

5.4. Moment sile

- djelovanje više sila

F1

→

F2

→F3

→

( )1 2 1 2... ...M r R r F F M M= × = × + + = + +��� � �� � �� �� ��� ���

r→

5.5. Djelovanje nekonkurentnih sila na kruto tijelo

Nekonkurentne sile = sile čiji se pravci djelovanja ne sijeku u istoj točki tijelafl nemaju isto hvatište

Gibanje tijela = translacija + rotacija

R M→ →

5.5. Djelovanje nekonkurentnih sila na kruto tijelo

Slaganje paralelnih sila

( )( )

1 2 1 2

1 1 2 2 1 21 2

... ...

... ...

R F F u F F

M r F r F r F r F u

= + + = + +

= × + × + = + + ×

�� �� �� �

��� � �� � �� � � �

- želimo pisati cM r R= ×��� � ��

F1

→

F2

→

F3

→ F4

→

R→

u→

rc

→

1 21 2

1 2

...

...

i ic

i

r Fr F r Fr

F F F

+ += =+ +

∑∑

�� �

Sustav paralelnih sila (R ≠ 0) možemo zamijeniti jednom silom čiji je pravac djelovanja odreñen prethodnom relacijom.

5.5. Djelovanje nekonkurentnih sila na kruto tijelo

TežištePromatramo djelovanje sile teže na tijelo.

im g∆

G��

Ako su dimenzije tijela zanemarive spram Zemlje (g = const), ukupna sila teža:

ii

G m g= ∆∑��

s hvatištem u točki:i ii i

T CM

i

r m g r mr r

m g m

∆ ∆= = =

∆∑ ∑∑

� �� �

težište centar mase=

Primjer :Primjer :

Tijelo se sastoji od polukugle polumjera R i valjka jednakog

polumjera i gustoće čija je visina h. Ako je težište polukugle udaljeno

od njezine baze za , a težište valjka u središtu

(homogeni valjak), gdje je težište tijela ?

Gdje je težište ako je ?

3R8

Rh=2

0CMx =( )5

/ 28p v

CMp v

Rm m R h

ym m

⋅ + ⋅ +=

+3 24

;6p vm R m R hπρ π ρ= =

225/ 2

122 /3CM

RRh h

y RR h

+ += =

+

5.6. Par sila

Kada na kruto tijelo djeluje više paralelnih sila (F1, F2, ... Fn) čiji je vektorski zbroj jednak nuli (ΣFi = 0), one se mogu zamijeniti dvjema paralelnim silama istog iznosa, a suprotnog smjera.

H1

r1

r2 H2Od

F1

F2Kako par sila djeluje na gibanje krutog tijela?

0R =��

( )1 2 1 1 2 2

1 2 1 1

M M M r F r F

M r r F d F

= + = × + ×

= − × = ×

��� ��� ��� � �� � ��

��� � � �� �� ��

Moment ne ovisi o izboru točke O.

Kruto tijelo na koje djeluje par sila giba se tako da centar mase miruje, a tijelo rotira oko osi koja prolazi centar mase.

Par sila ne možemo zamijeniti jednom silom. Uravnotežiti ga možemo samo drugim parom sila čiji je moment istog iznosa, ali suprotnog smjera.

5.6. Ravnoteža krutog tijela

Kruto tijelo je u ravnoteži ako je, promatrano u nekom inercijalnom sustavu, linearna akceleracija njegova centra mase jednaka nuli i ako je njegova kutna akceleracija oko bilo koje nepomične osi u tom sustavu jednaka nuli.

v = 0; v = const. ω = const.

1. uvjet ravnoteže: 0i

i

F =∑��

2. uvjet ravnoteže: 0i

i

M =∑���

Vektroski zbroj svih vanjskih sila koje djeluju na kruto tijelo u ravnoteži = 0.

Vektroski zbroj svih vanjskih momenata (s obzirom na bilo koju točku) što djeluju na kruto tijelo u ravnoteži = 0.

5.6. Ravnoteža krutog tijela

Primjer:Ljestve mase 10 kg prislonjene su uz veretikalni zid pod kutom 45º (slika). Odredite sile koje djeluju na ljestve u točkama A i B. Trenje u točki B zanemarite.

A

B

dB

dT

FB

FAx

FAy

T

G

x

y0

0

ix B Axi

iy Ayi

F F F

F G F

= − + =

= − + =

∑

∑0i

i

F =∑��

0i

i

M =∑���

(A): 0

cos sin 02

2 20

2 2 2

T B B

B

B

G d F d

dG F d

dG F d

ϕ ϕ

⋅ − ⋅ =

⋅ − ⋅ =

⋅ − ⋅ =

49 ; ; 982B Ax B Ay

GF F F F G= = = = =N N

Primjer:Osoba drži u ruci kuglu težine 50 N (slika). Podlaktica je horizontalna. Mišićbiceps ima hvatište 3 cm od lakta, a kugla je udaljena 35 cm od lakta. Odredi silu bicepsa (prem gore) i silu kojom nadlaktica djeluje na podlakticu u laktu. Zanemari težinu podlaktice.

iM =∑

Primjer:Ulična svjetiljka mase 20 kg poduprta je horizontalnom šipkom zanemarive

mase. Na kraju šipke zavezano je uže pod kutom od 30° koje takoñer podržava svjetiljku. Nañi:

a) napetost užetab) horizontalne i vertikalne sile koje djeluju na štap.

T = 392 N

: cos30 0 339

: sin 30 196 0

x H T H

y V T V

− ° = → =+ ° − → =

N

N