'.

-', ".

ATIKA GRADEVINSKII-I I(Ol'JSTR lJKCI]A

;'"

) ," '.: " -.. '

'".'.

t

J

~~~~S::'1p~·,,~~ komora MO$w. il fal:u1tet Sarajevo

Ilustratot

Ti1wrm'r Kar.a5l. dipl.

Lektor A~a SakIi!

Tehni&i urednik Ditma Mottvlt

Korektori: RuZa Mlal. BrollislatJa Vari.:ak

rzdaje

"Sviet!ost" OOUR Zavod z:a udfbenike na~tavna ''Jredstva, Sarajevo

Zaizdavaca Abdustlam'RWltmpaIit

,:!,iraf: 2000 primierab

Stampa

RO Minerva Subotica. """"':' OOUR Stamparska delatnost

Za ~tampariju Stjepan VuJulit.'. graf. into

Po odlud Pedagoikog savj·'!ta Bosne i Hercegovine od 12. jula 1979. godine. braj 07-94/79, oval udibenik ie adapdran ptema Davorn nastavnom planu i programu. I odobren za upotrebu u S\tolama srednjeg usmjerenog obrazovania.

NarodJu i Wlivenitcdka.' bibliotekll BiH. Sarajevo Katalogizacl;a u pu~1ikaciji (eIP)

624.04{075.3) ! KARACIC. Tiho~ir !

Statika grad~hcikih konstrukcija : u III razred gradevinskih 1ehni&.ih 'Alcala I Tihomir Karacic; Lju­bomir 2ivaIjevic ; [ililstratot Tihomir Kara~ic]. _ 5. izrl. - Sarajevo :',Svjetlost. 1987. - 255. 59 sti'. : graf. prikazi i 24 em, - (Srednje ikole)

ISBN 86-0H10939·5 1. 2IVALJEVIC, Ljubomir

ISBN 86-01-00939-5

i

I I ~

PREDGOVOR

Udibenik Statika gradevinskih konslrukclia namijenjen je prvensrveno za ucenike gradevinskih tehniCkih skola egzistirajucih ods;eka, odnosno smjerova, kao i za polaznike gradcvinskih skola za obr;-zovanje strucnih ka­drova onih profila U okviru kojih se zahtijeva, U odredenom obimu, poznavsnje materije iz ove, na poseban naCin, ncophodne i znacajne predmetne ob;asti.

Ova knjiga uz vee objavljenu OSII(lvi gradevinske Slalihe a koja saddi materiju iz zajednickih osnova strucnog obrazovanja za gradevinsku struku, zaokruzuje i komp!etira, odnosno z3do\,olj<1va potrrbu za udibenickom litera­rurom -za ovaj zn3cajan predmet iz kon~p1ck:-,a stfuf;-,u-reorijske grupe Wed­meta, n SlO predstavlja osnovu suu(~nog ospns"hlj;l\';J;lja kvalificiranih kadmv:; srednjeg stupnja usmjerenog obrJzo\"3nja u graJcvinskoj srrud, Struktura nasravne grade, sadriaj i obim obuhv3cene m3terije odgovaraju zahtjevim3 naceiima vaieceg nastavnog plana i program a za predmet Sla,:'ka grad, 'uin­skih kOn5crukcija, a koji se predaje - izucava u drugom i tree-em razredu gradevinskih tehnickih skola, arhirektonskog, grac1evinskog (i eventual no i odredenog drugog gradevinskoga) smjera. U materiji udzbenika je, pored nastavne grade iz Stat ike konstrukcij~., s3drZano gradivo jz Otpornosti mone­rijaia i to U onorn neophodnom obimu KOill.1 se obezbjeduje funkcion:dno jedinstvo predmeta koji se prema ovomc obra.scu - nat!nu, ad uvijek: preda'.'3.o u gradevinskim (srednjim) tehnickim skolama. Posebno obiljeije i specific­nost udibenika sadriano je u njegovoj konciznoj jedinstvenosti. a stO je orna­gucilo da se cjelokupna propisana nasta\·na grada iz ovoga predmeta koji sc predaje uzastopno u dvije skolske godinc, nasuprot ranijoj redovnoj praksi, izlozi - predstavi u jednoj knjizi. I pored toga, smatramo da konc!cnzacijd strucnih sadr:taja, odnosno n:.r>tavne materiJe, prirodno u razumnaj mjeri, ne moze umanjiti korisnost. efikasnost i upotrebljivos[ ovoga udlbenika, nego te uvjereni smo, izostavljanjem neporrebnih, suviSnih i zamaflljucih ponavljanja, preopsirnosti, :storicizama, iz\'jesnih analogija i preobimnih odnosno prerjerano mnogo uHstenih (inace slicnih) primjera i obrndenih zadataka - udibenik biti kori.sniji, funkci00'Jlniji, ekonomicniji i bli:ti llce­nicima. U svakom slucaju, ucenici, poJaznici kao i nastavnici koji predaju ova; predmet, kao i drugi zainteresovani faktori - koristenjem ovog udibe­nika) kao neophodnog nastavnog srcdstva, moei ce uspidnije, pauzdanije i kvalirctnije odgovoriti ozbil;nim zahtjevima reformiranl·ga nastavnog pla!1a i programa u ostvarenju opsteg cilja racionalizacije, poboij§anja i uar,stC postizanja viseg kvalirativnog nivoa nastave - posebno U okviru srednjeg stupnja usmjerenog strucnog obrazovanja kadrova.

S obzirom na prihvaceni koncep[, kompoziciju, struktuiranost nacin iz!agania i prije svega kondenZOVflnOS{ .- sazcto~t u '~ksplikaciji sadr!-anc

~~~~~f.t;~.~i,.~~;t konstruktivn~a~,j;·~~~~~~~~~~~~~~~~~~~.~[~!~ 0, , " _ ~ biti ce ,rado prihvacemi sa- Zahvalno5Cu i dragI?ClJez:u po~oc u I:'adu 11a poboljsanju teksta za eventualno novo DOV leno_ lZdanJe. - po-

. Na?izu veorna korisnih, interesantnih i znacajnih sugestija i prijedlo a lo}e POtIcu od .odabra~ih kompetentnih strucnjaka iz darnena tre[iran~g strucnog pod~cla) a. kog su ~:ezentirani u fazi pripreme i konacne redakdje neophodne za lzdan)c ove knJlge - posebno iskreno zahval;ujemo.

Sarajevo, septembra 1976. god. Autori

NAPOMENA UZ II IZDANJE

,. ~a~Zaji udibenika u odnosu na prerhodno izdanjc su u biti nepro­fIl!jW)Cnl. Medutirn, zbog porrcbe nastale zakonom 0 obaveznosti primjene nO:'og Meduna:odnog sistema mjcrn;b jedinica (SI sistcm) kod nas naikasnije p~,~ev ad 1., janu.ara ! ~81. god,i,ne, s:'i primjeri i ilustraciie koji su u p. d~JO~Om lzdanJu dati u ranl)em Slstemu mjcra mafali su biti kon­'.'crUfam U no::e, VJzt:ce osnovne i izvedene mjerne jedinice. S obzirom na. to,' p?le~c!)alne sHgestije i primjedbe (J 2plikati\,nosti ovdje koriStenih mJ.er~lh . )e~mlC~ ~? ~odrucje gradevinske mehanike (statike) autori rado Prlh\3ttlJU 1 konstJC'c ~h u cwnru31nom n8:-ednom i7d3!1)U.

Sarajevo, marta 1980, Autori

NAPO,\iENE UZ III AD,\PTIRANO IZDANJE

Gradivo ,12 prcJmcta stalib gmdcvinskih konstrukcija. sadrzano u (l.\.~\~, udzbcnlku, po redo"ljcdu, ~bimu i sadrzaju prcda;e s~ po vazeccm n'l,~!~\nom rianu I, pn?gramu u III razredl.l skola srednjeg usmjerenorr ohr3Zovarda I \'3spltanja) gradl'vinsh slruke' za IV stupanj struCnosti. ""

Udib;nik sadrii, u odnosu na odgo\'arajuci predmet lZ zajednickih rr~)~a!:1sklh osnova Jgradevinskej struke, prosireno, dopunjeno i posebnim sa r' ::lJlma oh.rad::no gradivo, koje je ncphodno za realizaciju programa IL1stave - do lzIaska novog udibenika za ova;, strucno-ttorijski predmeL

S::lrajcvo, dccembra 1982. godinc, Aut 0 r j

NAPOMENE UZ V IZDANJE

_ l!~ odnosu na prcrhodno izd~lHje iZHsena je t;jdovita primjena novib­-\"u~cclh ("Sl"~si.~tcm) mjcra - posebnu pri izradi numcrickih primjera, a dati su, ! ?dg:)."<lr,n)~Ci ~)blici ObraZ:.lGl kt.lrcspondentni uwojenim i propis~mim m)crmm Jcdlmcarn<l. Ostali sudrzaji - bez promjene.

Sarajevo februD-ra, !987, godine Aut II r i

4

1. U V 0 D N I D.I 0

Mehanika "je _teorijska-prirodna nauka, koja proucava probleme kretanja tijela. Sastoji se, 'odnosno dijeli se na tri, dijela, i to: dinarniku, kinem3.tiku i statiku. Tehnicka mehanika, U okviru primarne naukc, proucava ove prob­Ierne sa fizic-ko-tehnickog. aspekta i od posebnog je znacaja za konkretnu tehnicku praksu. Dinamika prouCava probleme kretanja-gibanja, vodeCi strogo racuna'u njihovim uzrodma (site), dok kinematika prollc-ava probleme krctanja-gihuuja,']le uJazeCi u uzrol::.e zbog kojih su ta gibanja nastal::! (gco­metrijska kretan;a). Statika, kao dio tehnicke mehanike, bay i se kompleksom prohlema smnja mirovanja, pa se ponekad naziva naukom 0 ravnotdiJ kr prouc<~va, zapravo, razliCite probleme ravnoteie sib. Postavke, pravi!a i z:1koni statike, !:vji proizilaze iz klasicne mehanike, odnosno njenih osnovnih principa (Njutnovi aksiomi - I ab:iorn: zakon inercijej" II aksiom: F = m' <l i III aksiom: zakon akcije i reakcije), omogucuju rjeScnje zadataka koji sc odnose na problemc ispitivanja i utvrdivanja stabiliteta (bezbjednng mir~Aa! ia), PO:'-;Cbl1() u oblasti i za potrebe gradcvinske tehnikc. Statik;l stug.:.. im_.t s\·~­

stranu i obimnu primjenu u rjeS3vanju velikog broja prak~~'::nih zuJ<lt3ka i problema sa aspekta konstruktivne sigurnosti - bezbjednosti, odnosno stabiJiteta obiekata, razmatrajuci, pri wr.1e, konstruktivnu cielinu objckta i ojegovc sastavne di;c1ove u neprotuslovnom 1 organskom jedinstvu.

Osnovni zadad statike gradevinskih konstrukcija svode se, prema tome, na izracunavanje (odredivanje) stabiliteta, tj. pruzanja dokaza 0 stabilnosti pojedinih nosivih sastavnih dijelova objekata kao cjeline., Takvi staticki do­kazi stabilnosti moraju biti saddani u posebnom elaboiatu - dijelu projekta objekta koji se naz~va Slacilki proracun.

Staticki proracun objekta mora da- se zasniva na zakonima i prav.ilima statike, da detaljno obradi svaki nosivi elemenat konstrukcije i konstrukdju (objekat) kao cjelinu, te da se pri njegovoj izradi vodi racuna i uVaZuv<iju svi tehnicki propisi, norme i standardi koji regulisu ovu materiju.

Staticki zadaci, (osnovni proracuni) mogu da se. rjeSavaju analitic.kim (racunskim) postupkom iii crranjem (graficki). U prakstse uglavnom primje­njuje maliticki postupak rada, mada se do niz zadataka pregledno, jedno­stavnije i bde rjesava grafickim postupkom.

Zavisno od poloi.aj~ sila koje djeluju na utvrdenu materijaInu tacku ili tiido (u stvari, na nosate, odnosno objekte), stadka sc: dijeli na statiku u ravni i statiku u prostoru, Posto vetinu zadataka. u pnlksi mozerno rijditi primjenjujuCi principe, odnosno zakone i praviIa statike u rayni, ovdje cerna obradivati is'kljucivo rnateriju koja se odnosi na statiku u ravni (5to ce reCi do. Sl; -,,,ilc kojc napadaju tacku iii tijeIo, odnosno nosace, svojim pravcima djdu\'~lllia n<llaze u jt.:dnoj ravnini).

t

I

Statika, takodc, mofe se podijditi u stariku odredenih i statilm neodre­den.ib nosa~ (konstrukcija)~ Smtika odredenih konstrukcija obraduje tzv. statilki odredene nos&ee, odriosno. konstrukcije, -8 statika neodredenih kon­strUkdja nosa~ koji se defmiSu statiCki neodredenim.· Stati~ka odredenos[, odnosno neodredenost -nooaea proizilazi iz_ nacina i -us1ovp, rjciavanja .. lr.ao i sloUnosti proral!una takvih nosaea.

. Na;zad da hi pojmove iz stadke lakSe shvatiIi; a zadatke jednostavnije, i bd.e rjclavaliJ dio mate'rije iz statike podijelicemo na dva dijela, i to statikl,l mmerija.ln.t lalke i sltUiku krucog lijela. Pod pojmom materijalne tatke p.odra­zwnijcva se tatka (dio 'prosrora) bez dimenzija, a kruto tiie10 saoitjaya dio pf03tora (plobe) sastavljen od beskonal!uo velikog broja materijalnm taCaka.

_ Ked krutog tijela r,retposnlvlja se njegova apsolutna krutost, odnosno materijalne ta~ke (cestic~) iz kojm je tijelo sasravljeno M mijenjaju ,vol medu­sohni prostorim polofaj~ Takvo tijeio sm3tra se neraskidivim, a ni.egov oblik nepromjenljivim pod u~cijem bilo kakvih sila, odnosno 'uticaja. Jasno je da takvih tijela u prirodi st'{arno oem3, jer tijela izgraden~ od rna kakvog materija-1a ne posjeduju takve osobine~ ona mogu promijeniti obJik (deformisati se) i biti· slomJjena, pa·za ~a. tijela se We da sri (-vrsta. Medutim, pojmovi i zakoni statike lak§e se'shvataju i prouCavaju U odnosu na krut;1 tijela (teorijska statika), mada vafe i za evrsta (stvarna tijela), pa ;e to osnovni razIog njihovog uvodenja u statiku.

Otpornost marerijala, rj. dio-mehanike (statike) koji cemo kasnije detalj­nije obracliti, obraduje pojmove i zadatke koji se odnose na evrsta (stvarna) tijela. Prema tome, otpomost materijala uzima u obzir elasti~na svojstva mataijala tijela (nosa~), sto omogucuje da se po njenim zakonima i pravilima odreduju naprezanj~, dimenzije tjels (nosaCa) koje napadaju sile, kao i da se rjeiavaju ostaIi zadaci k~ji iz' toga mogu proisteci (npr.,. p'rom;ene obIika tzv. deformacijc tijela iIi nosa6i,- itd.).

Osnovni statiaci clementi su, sto vee treba da znamo, sUa i dufina (u lcinemadci - duiina i vrijeme; u dinamici - sila, duzina i vrijeme). Prerna tome, u stand se operise sa silama·j duzinam.a, kao i velie-inania koje ce iz-njih proi4teci. '

U narednim izlagaiijima, saglasno va~ecem planu:! programu iz posebnog dijeIa programa strutilOg· obrazovanja za gradevinsku· struku, bice dato gradivo iz statike gradevinsJdh konstrukcija, koje treba da posluti kao mnov· za sticanjc i dalje pro~ir~nje i produbJjenje znanja iz 0'" oblasti. . , Konaeno, xnanfa iz s,tatike su neophodan uslov za 'pravilno shvatanje' i razumijevanje problem'a postojanosti - stabilnosti gradevinskih obJekata koji se izvode, ukljiltlljuci sve njihove nosive dijelove - elemente utkane IJ

strUkturu objekta. To 6mogueuje, u s[vari, ne sarno razumijevanje i strui!m.l interpreraciju statiadh prora~una - elaborata razlicitih sadrzaja nego i samtt, osposobljenost za neposredno proracunavanje - dokazivanje stabilnosti u domenu i u primjerima za koje je dovoljno poznavanje grade iz ovog predrnet3, aadrfano 1;1 pvome rad~ - posehno u granicama zahtjeva koji se postavljaiu peed gradevinske' strucnjake profila na koje s~ odnosi ova; program.

6

I , I I

,

I

·1

j

I J

I

Z. S I L E

2.1. POJAM I DEFINIClJ;\ SILE

U mehanici pod silom podrazumi)evamo svako prirodno dje/ovanje kl'ic moze da prouzr.okuje gibanjc -.- kret3nje n~kog tijela k0j~ se. loac:, nn. uLi J

stanju mirovania. odnosno' koje moze da lzazov~ p~omJenu stan.)a glb~n);J ukoliko se tijelo vee nalazi u krctanju (stanju gibanp -- RretanJa). POP In

sile i njena znacenje, u stvari, poznati su iz fizike, gdje je si~~ definisana. ~ao uzrok promjenc stanja' mirovunja, oc:no<;n? kretanje nckog tlJeI? y statl~l u pojarn 0 siB morarno ukljuCiri i svojstva tljeb da se odupru teznJI prom)cnc

stanja mirovanja, odnosno kreranja tijda. Sile koje tdc da izazQvu promjene u stanju rnirov~nja, l~dnosno kretanid

tiic!a mozemo nazv3ti jednim imenom - akeijama. a s:!e k?!c se suprotsw\·­Ijaju (onemogucuju - "poniStavaju") toj teinii - reakcl)ama.

Sila je vektorska vcliCina, stO, U slvari, znaCi da jc u potpunosti odreden8, ad nos nO definisana ako su joj dati ili pmnati sljedeCi elementi:

ve!icina sile (inten·..:itct),

pravac djelovanja sile (JinijJ dejstva), smjer sile (upravljenost iJi smisao), napadna tacka sile (hvatistc).

Ukoliko nedostaje bilo koji 0(1 ova cetiri e1ementa, SILA je nepotp,lf10, odnosno nedovoljno odredena, za stO postoji poseban razIog.

Zavisno od uzrocnika, razlikujemo i razliCite vrste sila:, koje testa posje­duju i poscbna obiljeija, U gradcvinskoj pra~i SUSl ,:~emo :e nalcesce s~~ silama Cije je porijeklo gravitacione prirode (slla ~cmlJI~c t?Ze)~ :> to maC! da poticu' od tdine odredenih tiie!~ - o~:.terecen!~) 1.::0)a dJeluJu na /ru,~a tijeJa, zapravo na nosive konstruktlVne . dlJel?v: tl~ e1em,e~te grade\ IOsk,t!1 konstrukcija. odnosno objekata. Rcgistar slia kOle lmaJu razlicne d.ruge.uzr.o~ , odnosno porijcklo jc obiman) ali se u praksi staticUh prl}r~cun~ rJ7dc. Javl?)~. Dc jst\ J vjerra, odredena dinamicka dejstava - udan, ~elzmlcb. ut.leap, hidrostatski i drugi slicni pritisci, odnosno opterecenja, kao 1 posebm pnro(~­ni uticaji odnosno fenomeni - prcdstavljaju, u stvari sile (opterecenja) k?l.e su cesto ~risutne i ne mogu se i7.osraviti u proracuni.ma i ut,,:rdi~anju H3bl\~­teta nosivih gradevinskih kOI.srruktivnih cJemenata I grade\'ms~lh kon~tn.k­dja bo strukturalne cjeJine. Detaljnija objasnjenju 0 k.a:·~kteru 1 o~:edlvanIU ovakvih uticaja, sila i opterecenja bite data U odgovarajuclffi poglavlpma, kada budu obradivane konkretne temc i zadaci.

7

,

Silu Gije je djelovanje usredsredeno -- uprayljeno· U Jcdnu tacku naziv~1~ koncencriblOm silom za razHku od drugaCijih optereeenja, koja mogu bm 1

razlicito - ravnomjerno, odnosno na odredeni l;laCin neravnomjerno raspo­redcn::i. U objasnjavanju materije i pravila statike, u pocetku cemo se za ilustracije koris~iti, u pravilu, koncentdcnim silama, a kaSnije ee, po utvrde­nom slijedu, biti uvodena u elaboriranje i ostala opterecenja, odnosno uti­ca)l.

2.2. NAl:IN PREDSTAVLJANJA SILE

U mehanici opcenito, pa time i u statici, odnosno u statickim elaboratima - proracunima, sila se predsravlja u grafickom obliku jednom ogranicen?m dm:!1om (linijom), koja, kada se efta u mjerilu za sile, predstavlja velie-mu silc. Na ·jcdnom kraju te duzi oznacena je napadna tacka (hvatiSte) sile, a na drug om haju stre!ica koja oznacava smjcr djelovan;a, ·d. dejstva sile.

Pr:lV3c iIi linija dejstva je duz koja se na obje strane prostire bez ograni­cenja i Ciji jedan, onaj ograniceni dio, predstavlja veliCinu (ili intenzitet) site.

:'<a slki 1. je dat !:r;;tficki ublik prcdoCuvanja - prcdsravljanja sile u ops\cm slucaju. Ovdjc tncb .-\ prcdstavlja napadnu tacku djelovanja sile

I: i(l)

SL i Grdfi':h; pr<!JuCavdnjt: ~de: A - napadna tacka (hvatBtc) silo:, P ~ vditina, intenz-irct sile, ! - I - pra­v<le (linija) djejstya sill.', B - strelic.l koja (\Zml~a\'a smj<!f djejstva sik.

Si. 2, a) potporm zid, b) zidovi objekta, &1 i G t -- sik koje poti':u od mase (tdine) dije}ova z-ida.

(hvatiste sile), duiina A - B, oznatena simbolom P, predstavlja ve!iejnu iIi intenzir.ct sHe, strelica u rued B oznacava smjer dje1ovanja, a isprekidana (ili tnnja) linija; koja se pruza bcskonacno nel abje strane, predstavlja pravac djclovanja date sileo

D narednih nekoliko karaktcristicnih primjera vidljivo je na koji naCin predsruvljamo sile, shod no naprijed n;]vedenam opisu, u slucajevima koji poticu ad raznovrsnih - razliCitih uzroka.

}.Ia slici 2. predstav.ljcne su sile koje potieu od vla.stite tcline konstrukdje, odnosno dijelova konstrukcije koji Cinc jednu cjelinu (konkrctno: jednosrav­ni betonski zid - brana, na kaju djeluje boena, pritisak vodene rnase, opr, u bazenu i s1., i djclovanje vode oa dati zid - branu). Na slid 3. date su i na opisani naCini predstavljcne sile koj~ poticu od saobracajnog oprcrecenja (voziLl i dr.).

8

I \

a)

r SI. 3. Osovinski ptitisci; Pl , P, i p~ - sile koje potiCu od opterecenja vozila.

p

IS.

sll" u stubu)

I

==jbm=~~~~"" I I

a b)

- teret (saa}Q

Sl. 4, a) Djelovanje sile na drvenu konstrukciju, b) DjeJovanje sHe (tereta) kod ciizaliC1'!.

Q.

a,

S1. 5. Q - opterecenje (sHa) koje poti~e 01.1 p.oknja zida, a) nosiva konstrukdja, b) nosivi zidOvi.

SI. 6. Opterecenje silama ~eli~nog rdetkastog nosaca mosta.

Na slikama 4, 5. i 6. su dati sistemi, odnosno skupovi siIa (sile kojc·uej­stvuju u jednoj ravnini) koje napadaju, odnosno mogu napadari ' .. dejsfH!Vuti na pl'ikazani nacin, kao i prikaz njihovog o2nacenja U statici.

,

I

J

2.3. JEDINICE MJERA

Zakonom 0 mjcmim jedinicama' i mjeritima llrvrdeno je da se u nasoj z.emJji primjenjuje rnedunarodni sistem- mjernih jedinica - SI~sistcmJ koji je, prema tome, obavezan i u statii::kim proracunima gradevinskih konstruk­cija. Od sedam (7) osnovnih mjemih jedinica definisanih SI~sistemom (du~ fina, masa, vrijeme, jatina elektritne struje, termodinamil!ka temperatura, perna svjetlosti i kolicina materije), za staticke proracune u gradevinarstvu bitne su sljedeec osnovne ;edinice:

- za dulinu - I metar (m). odnosno i nj,:govi dije10vi (decimetar, centimetar, milimetar) i ~ultipH.

- za vrijeme - 1 -sekunda (s), odnosno njeni multipli, izuzetno i njeni diie1ovi. '

- za masu - 1 kiloiram (kg), odnosno njegovi dijelovi i multipli. Dijelovj predstavljaju! manje, a multipli vece vrijednosti u odnosu na

osnovnu mjemu ;edinicu. i.N;ihove simboIicne oznake, kao sto je poznato, dobivaju karakteristicne predmetke radi lakseg pisan;a: deka 101, kilo 10',. mega, 10', giga 1011, ded 10-1• centi 10- 2 , mili to-s.

Za svaku od navedenih"osnovnih jedinica SI-sistema data ie (pomenutim Zakonorn) i odgovarajl!ca i defbicija.

Sve ostaJe jedinice su izvedene. Ove jedinice se stvaraju - izvode kombi­oovanjem osnO'o'nm jedinka j a prema jcdnacinama (dcfinicijama) koje pove­zuju odgovarajuce osnovnc veliCine.

Od izvedenih jedinica. u statickim proracunima centralno mjesto zauzima jedinica za silu, a to ie I njutn (N). (Simbol pOt ice od imena cuvenog naucnika [saka Njurna).

Definiciia ove vafne izvedene jedinice je sljedeca:

I njutnje sila koja mas; odjednog kilograma daje iii saopSta1)" Fbrz4nje (akrele­raciju) od 1 mlsec" (Jkrlml;'),

VcCa jedinica za situ (muhipl-umnozak) jc: lkilonjwn (kN). Odnos izruedu ranije mjerne jedinice za silu 1 kiloponda (kp) i vazece jeJinice sile 1 njutna (N) je:

[ kilopond ,;" 9,80665 N odnosno njutn = 0,1019716 kp

Ovo ie porrebno znati s obzirom na neophodnost numerickog upo­redenja velicina iZra:ienih, u ranijem sisIcmu mjcra i sada vazeeih SI-je­dinica. Najva:iniji od dru'gih izvedenih jedillica koje se koriste u statickim claboratima su:

10

za sHu:' 1 kilonjutn (lOOON), sa oznakom kN,

za momena{ (umnoki sUe i du.zine) I kiIonjutnmetar) sa ozna-

korn kNm, ,-, i ,~

- za naprezanje(sila podijeijena paskaJa), sa ozn~9m MPa.

sa povrSinom) 1 megapaskal (10-6

I .

Sa ostalim izvedenim mjcrnim jedinicama C.,dimenzijama") susreccmo sc U odgovarajucim nastavnim jcJinicama koje se po utndenonl redoslijedu izlaiu U ovome udfheniku.

Napomena: u matcriji koja obraduje otpornost materijala (naprezanja i dr.) U obrJscima zu prllkricna fJC:U!1anja treba racun'ati sa korcspondirajuCim fakrorom -:- .,10" za n;)ponc iUJI.cnc u MPa i sile, oprcrccenja u kN.

MJERILA

Pri grafickom radu, neophodno je za sHu i drug~ ve1iCin~> kadn. je, [Q

neophodno. odabrati prikladno i za taCllost rada pr~vilno usv~Jeno nW:do: VeliCina - intenzitet sile ima za predodlbu ekvlvalent duime. sto znaCi

da iedinici sile odgovara odredeni, broi jedinica duline. Npr:,: 1 kN ~vl em iIi 1 N ~ J mm, itd, Ovo ce hill dpwljniie obrazloieno u dlJe1u 0 graflcK\)m rjeS8\'anju statickih zadataka.

V]E2B.'\NJA

_ Prikazilti djdov3flj~' silc koja rOt:;";: od optercetnfa zida i temdja m tlo - zcrIl­

ljisle. (Opst!l skiea.)

_ Prika:Z~li dlelO\';l,njc silt ~kk na pOd!0gu. (OpS\"

_ ~'-j(.T(ali \iqem<: sib (~()I:~t';11;i$~;1e vertikaltw 5lic) h)ji poticu oj o~tcrtC~'-;ia motOf[Jog \'aljka i n1Oforno;; '.-oziia (kamiona) na podlogu - nosac. \Kon.krlL:~a 'ikica - ikma)

_ Odn:di veliCin~ _ imcnzirct sik koja police od reiiD\! (mas..:) b..:wnskoga u)da (bloka) U obliku prizmc,J .. oji ima ()snO .... u 1,0 >< !,O i visinu O,50m ()Ib =

= 2,4 tIm'. Obrazac; G = V· y. _" _ Odrcditi veliCinu opten'_':enja p'-' du;i.nom menu ko!,,; pouce ud Idl.~C (n:J,'~)

drvene nosive grcde - prizma!itnog stapa cije $U poprecne JimenzlJc: SlrlnR = 25 em, visina = )0 em (:'d = 800 k&lmJ).

I!

~ER:ALNE~:~:··.·\ 3.1. DJELOVANJE SILA NA MATERLJALNU TACKU

3.!.!. SiIe is toga pravca djelovanja

Rt'.zuitanw J' .ravlloteza sifa

li'i'et:inja (ako u tome nije posebno sprijecena) iii da Qstane u stanju' mirovanja. Tach bi presta u stanje kretanja (dinamika!) ako se dvije iIi viSe sUa u svome dje10vanju nc uravnote-zc (ne ponista\'uju svoja dejstva), a ostale bi u st&nju

SI. 7. A - napadna tatka, A' - idtllticna napadna t'jcka (pomje:rena) bez ucrtanih sila PI i Pv R - umjesto sUa PI i P t , a':3;' - praV3C djeistva sila

P l i Pl'

mirovunja ata su sile koje je napadaju u ravna­tezi. 0"0 posljcdllje je od posebnog zn8C:aja za statiku) jcr u stadci utvrdujemo uslove pod ko­jima cc sila biti u ravnoteZi, a time i tacka u stunju mirovanja.

Posmotrimo sada dvije site istog pravca djelovanja (tj. kolinearne sHe) koje napadaju jednu marerijalnu tacku (51. 7).

Posta Stl obje sile isroga smjera (smisla djelovanja), njihovo s'e djelova~je oCigJedno sla­ze - s"abira i, umjesto sila PI i Pz) mozerno za­mis!iti da na tacku A djcluje jedna nova, zam­jenjujuca sib R, koja je nastala iz· navedene dvije sile - sl:..lganjem. Pod uticajem, odnosno djeiManjem te nove - zamjenjujuce (ekviva­Jemn<') ~.ile R, tacka bi se kretala (aka u tome nijc nasiino :->prijecena) potpuno jednako kao i pod ulicajem istovremenog dielovanja sila P 1 i Pt.'

Va'llOVa zamjenluju6i (e Vl\'a entna Sl a=-

Rezultanta je, prema tome, sila koja u statickom smislu u potpunosti moze zamijeniti djelovanje sila iz kojih je nastala. 1z prakticnih razloga, vrlo b:sto u statiC:kim elaboratimu rn,r,lcUf1im:l [l to je i zauauk statikc -­djeJoY<inje vise siJa Zji1ljC!ljuj'~n1t>, "_::iWl'" ,:".',Jmjci;tumo djclov~lrljcm icdne

12

I r

sile, rj. rezuiwmc, time omoguc:ujemo jednosta\'nije, preglcdnije i hr7.e rje-senje zadatku. '. . ..

Vratimo se- panovo na djelovanje pomenute dvtle sde na matenJalnu tacku (sl. 7).

Djelovanje,siIe Pl i P" na lijevoj 'skid U odnosu na tacku. A potpuno je jednako (ekvivalentno) dje10vanju njihove r~zultante R. n~ tu ~tu taCku. Na isti nac:i~, bismo ostu i' " ",<~~ • __ <, ~",--__ ~,~

ezu tantu dviju iii viAe sila istog pravc~ k~je ~je1uju na i!~ taCkll J:>.

( ~~~~~aj: :.'tf:,~!!'v~~~u~~'::,sil~i~l~afl~~~:~,.;:o~Za)~, sillI koJe '

~,, __ "{) azeci od piana polozaja i pozmitih sila, crtamO plan .sila koji nam omoguc:uje iznalazenje rezulranre. (R).

To Cinimo nu sljedeci naCin:

p, p,

J~ I

~--

A -1-PI

I

"I R

R

0)

b) Za primjer veliCine s.ila: PI"'" 1,0 kN (kiIonjutna), Pi =- 2,0 kN, Pa = 3',0 kN.

Vidimo da u plan sila prenosimo paralelno ;ednu za drugom site P 1 )

P2l P3 (i dalje ako ih ima), te na taj naein dobivamo rezultantu. Velicina rezultante se ocita sa plana sila prema mjerilu plana sUa (od tacke 1-4). Rezultanta zaddava smjer- sila.

Ako neke od sila imaju suprotan smjer, postupak osta;e isti, aE se [\ smjeru vodi raeuna pri nanosenju sila u planu '5ila.

Prakticno rjclavanje zadataka u ovakvim sluc~evima moze se vidjcti iz sljedecih primjera.

Primjer I.

Odrediti rezultamu sUa isrog pravca (ko;e zapravo mozemo zvati i koli:.. nearne sile), koje nl'IDudaju materijalnu tacku A. Podaci se vide iz plana poh­za/a. (slika 8. i slika 9).

l\l\\t\ l I

f

I

Za primjet. vclitine ,lila: PI =- - IS,O kN, P, =- + 22.0 kN.

51. 9. a) plan polofaja, b) plan sila (u mjeriJu lila).

Kao sto vidimo, rezulranta iznosi R = 6 kN i usmjerena je nadale, a mora imati isti pravac djelovanja kao i sile PH P'l i P a (zajednicki pravac), odnosno R = + 7,0 kN (slika 9).

Iz grafickog postupka',iznela~enja sila istog pravca, koje napadaju neku tacku A. mo~emo zakljuc!iti da je rezultanta po svojoj velicini jednaka zbiru (algebarskom zbiru) sila~· Prema tome, analiticki do velie-ine rezultante dola­zimo pomocu obrasca:,

R = L P = PI + P, + P, + ... + P,.

Pri ovom postupku, moramo strogo \'oditi racuna 0 predznaku siie, koji oznaeavaIno sa plus iII minus (+, -). Predznak plus (+) dobice sve sUe kojr; su usmjerene na jednu· stranu (npL, desno iIi gore), a predznak minus (-) dobice sve sUe koje su usmjerene na drugu (t;. suprornu) stranu. Rezultat ce pokazati, prema ,tome, smjer i vdiCinu rezultante. a rezultanta mora zaddati istu napadnu ,tacku (tj. taeku A) i isti pravac.

Primjer 2.

Odrc:diti analitiCki velitinu j smjer rer;ultante sila iz prethodnog primjera (sl. 10).

Pl=+2,OkN;. P,=+S,OkN; PJ=-.-4,OkN; p.=-S,OkN.

ol A' R'

AI 0.-

--~--~ ij P, ~ Po

bl

SI. 10. a) plan poloiaja, R - pomjereni pravac. b) plan Silll (mjerilo 1 em;Q I kN). Od ta5:e 1 nanosimo. u mjerilu:;(Pi (1-2), P, (2-3), p. (3---4), p. (4-5). R (1-5). PI =- 2,0

kN, PI "'" 5,0 tN, :p. = 4.0 k~. p, = S,O kN,. R = 6,0 kN. I ~

14

I<. = I P {titaj: rczultanr:: jc jcdnaka sumi svih sila P; L -je znak za Sllmut

R --- -1- 2 -,,5 ,- 4 - 5 "'~ + 6,0 kN.

To :mac! da rezultanta ima veli<':inu R = 6,0 kN i u.s.mierena- je udesno.

Rat)lDle2a sila

Iz prethodnog izlagan;a maierna laka zakljuciti da pri napadu viSe sila istog prayeR djelavanja na jednu materijalnu taCku. moze doC! i do s!ucaja da rezultanta bude jednaka nuli. Ovaj slucaj je od naroCitog znacaja za rjcsa­vanje statie-kih zadataka.

Nairne, kada rezultanta po svojoj \'eliCini bude jednaka nuE, sile iz kojih je pro'istckla (slozena)- naJaze se u nvnorezi. a tacka na koju djeJllje jc \1 S,:i.:',:,u mirovanja.

Iz ovog proistice i uslo\' ravnoteze ovih sHa koji glasi (graficki uslov

ravn::::';stih pcav"'a koje napad~ju mG[er~jalnu tacku bice " ::not:~~-~!: talka U SlQnju mirovanja, ako pla'1 si!a bride za!voren (graficki uslo-v), ocinOS'; aka rezulranca til! sila bude jed}wha nu/i. __

Z ovoga posljednjeg stay;'! proizlazi i analiticki uslov ravnotele, se izraZava oV::lko:

R ~ L P = 0,

R = 0; ') P = 0 (analiticki uslov ravnoteZe).

Pod pojmom "zatvoren plan sila" (Ui poligon sila) podrazumijevamo ta;;::3\' plan kod kojeg se, pri nafiosenju sila u mjerilu, panovo "vratimo" u pocetnu tacKu. Ova objasnj;;;liie, rn;;;ciutirn, bite lake shvatljivo na pr2ktii"n:m primjerima koji ce u ok:viru ovoga poglavlja llsIijediti.

Ako na materijalnu tac;-u djeJuju sarno dvije sile, tada. da bi objc hilt u ravnoteii, ocigledno moraju bid istc vcliCine i pravca, ali suprotnih smjerovZ!. To proizlazi iz grafickog, i analitickog uslova. ravnotefe ",ila. Kod grafickog naeina rada, ovdi_e to treba posebno i ponovo naglasiti, zadatke ridavamo crtajuti plan poloiaja u mjerilu dU:L'n:? a !llan sUa u mjerilu sUa. Prik!adnost ocl.abranih _mjerila bite vidljiva iz narednifi primjera.

Primjrr

Kolika je sila P~ koja treba da uravnotdi tri si!e !stog praycli. djdovanja, koje zajcd­ni&i nllpadaju tllcku A? CSt 11).

PI = + 3,0 kN; P, = + 5,OkN; l\ = -2,0kN~

Radeci analititki, odredir.·c najprije rezultantu tri poznate siJe: R = .L p = + 3 +­+ .5 - 2 = + 6l:::N. lz ovoga proizlazi da sila Ph koja treba da ih mavnotdl, treb>i da po vdi6ni bude jednaka njihovoj rezultanti, ali da ima suprotan smjer, Ij. P 1 = - R; p. = -6,OkN.

15

~,,6kN

0)

b)

5

$1. 11 3) plan potohja. b) plan sila (l em ~ I kN. P1 (I~2j P l (2~3); p~ (3~4): R 'J-.f>; r. 11-:'\); 1). sik kl))e \lravnoteZuju rezu!tantu.

0<:;. vagO/1tt rUll mau:rijal<l (smatr.ajmo ga o\'djc u:;\ovno matcrij:linom t:.l'::kum, za~ mi~liaJuCi cia je 'i\'ll njegov:!. tdim, odnosno masa sKoncentrisana u njcgovom teiBtu, tj. u jdna) l'drcd~;:.oj tacki) djduj~ 5ila u pravcu \·tjznje (kolosij~ka) odP= 10J O k:N. Kolika ncb" (1:( je si!" -llpllrJ plOtiv kretanja (Po), pa Ja vJ>:0n~t ostam: u mirovanju (da ,e ne klCC:C' -\nJ,it:";,, tl<:;;i\-:\)u~i o\'aj iedmuavan c_ac!a\;lK, irnlrno:

f? = ~ p 0, st\l zru('i da je

P J\ - 0, [,Jakie s!ijedi:

Po"'" -P iii p~ ~- -p -10,0 kN.

5iJa atpara p~ [reba da je jcdnaka 10,0 kN, is tOg pravea ali suprotnog smjcra (znak minm\

, S1. 12. Ravnote:l3 dvije sile.

Primjer

Sl. 13. Plan poioiaja tu mjcrilu duiin::t:' R -- - realc.cija, otpor, S ~ sita u uietu.

Kolil:a je sila R~ (reakcij:l u driacu uzeta, npe, srropu) ako na uietu visi tent cija je td:i~a (] = 500kN? (SI. 13)

i\na!iti~ki usloy fa\'nolc-ZI.' riSe se i (l\,dje u obliku:

2: l' U, Ii.

G j- RA ~ 0, oano,no,

RA =" ~G, ri. R.i = ~ 50U,OkN

~ ,\ i!

3.1.~. Djelova~je sUa raznih pravaca na materijalnu tafSku

Ako na <><kedenu materijalnu taCku djeluju dvije ill viSe silo razliCitih prav.c. (u·istojravni),tada mpzemo, kao i kod posmatranja ·djelovanja koli­nearnih, sila (sUe- istili pravaca), zakljuciti: sile koje uapadaju tacku, pri sla­ganju, mogu dati rezu1tantu odredene vrijednosti jIi rezultantu koja je jed~a nuli (poseban sIuea;). Ako rezultanta nij~ jednaka nuli, tatka bi se (ako nije u_ tome nasHno sprijeeena) kretala u pravcu i smjeru rezultante. Ukoliko je rezultanta_ jednak3. uuli, tackil ce biti u mirovanju, a sile koje je napadaju u ravnotezi. I ovdje cerna, clakIe" poCi od postupka za odredivanje rezulcame ovakvih sila i poslije toga utvrditi pod kojim su uslovirna (uslovi ravnotcle) sile raznih pravaca, kada napadaju jednu metari;alnu taCku, u ravnoteii.

Najprije cerna pokazati kako se grafickim posmpkom odreduje rezultama dviju sila razlicitih pravaca kojc napadaju odredenu rnaterijalnu tacku (s1. 14).

>I (PI) I

of ~:l~'

SI. 14. a) Plan polozaja i paralclogram sila, b) Paraldogram sila (crtano u mjerilu sita), c) plan ~ila (m;erilo sila).

Na planu polozaja date su dvije sHe Pl i P2 (sl. 14) koje djeluju na mate· rijalnu tacku A i cije su velicine - pravac i smjer poznate (dati).. Rezultanta tih dviju sila, tj. njima ekvivalemnu -' zamjenjujuc:u silu moiemo odrediti crtanjem paralelograma sila (sjetimo se odgovarajuceg gradiva iz fizike -odjeIjak statika) iii, pak, crtanjem tzv. plana sila. Paralelogram sila cnamo tako sto na pogodnom injestu pored iIi ispod plana poloZaja nacrtamo u mje­rilu sila paralelogram sila, take da od proizvoljno odabrane ta&;e (koja rep­rezentuje - predstavJja materijalnu tacku A iz plana polozaja) povucemo pravce paralelne pravcima datih sila iz plana polozaja i odmjerimo po svakom pravcu duzine koje odgovaraju odabranom mjerilu za sileo Zatirn nacrtamo paralelogram (ovdje cetverougao) cija dzjagollala, upravl;ena u pocetku oda­branoj tacki (A), predstavlja trazenu rezulcancu. Smjcr strelice rczulranre je usmjeren ka tacci, jer su tako usmjerene i sile iz kojih je nastala, tj. njene komponente (vidjeti sliku 14b).

Velicimi rezultante utvrdimo odmjeravanjem, uzimajuci u obzir mjerilo sila. Pravi polofaj rezultante dobice se crtanjem na planu polofa;a pravca paralelnog sa dobivenim u paralelogramu sila koji prolazi kroz napadnu ta­cku A i koji ima smjer - strelicu (smisao) analognu iz paralelograma sila. ParaleIogram sila mozerno, ako to felimo, !1acrtati i na sarnom planu po1o.:. zaja, ali, sile u tome pIanu mora;u bid nacrtane u mjeri~u sila.

Um;esto manja paralelograma sila, moterno, a to je u praksi redovan sIuca;, crtatrsamo polovinu paraleJograma sila a to:;e plan siIa (sl. 14c):Plan sila se crta tako da se od odabrane tacke, obicno pored iIi ispod plana poJo:Z:1ja, nanese prvo jedna, a zatim drusfl sila iz plana pol0Zaja t':iju rezu1t,lntu ~r~1~

t

, ,

:lImO, Ove sile (komponcmc;) se crtaju \'odcCi strogo racuna da su paralelne sa svojim pravcima djeIovanja iz plana poloZnja i da su njihove velicine pre­dzno ocimjerene premo odabranom mjerilu plana sila, Pocctna i krajnja tatka na tome planu poligonu, kada se spoje, daju rezultancu. Smjer, strelica (smisao) urvrdcn je taka da se ona treba sukobiti sa'smjerom - strelicom one druge, krajnje sileo Vra6mje rezultante u plan polozaja se vrsi na isti oacin kako sto ie to vee reteno u siucaju rjden;a pomocu paralelograma sila. Posto o\'a; plan sila imn 'oblik trough), ponekad ~a nazivamo i trokutom sila.

Kad imamo~ umjesto dvije, tri iii vBe sila koje napadaju neku materijalnu, tacku, a 'ciji su 'pravd djeJovanja razliciti, mda jc staticki tretman odnosno postupak rjeAenjn - -'j7.~alazcnj~ rczultante analog-an postupku sa dvije sile (istovjetan princip). Nairnc, najprije odaberemo dvije sile iz skupa sila koje napadaju datu t3cku. pa nademo Jljihovu (parcijalnu) rczultantu. Zatim slazemo tu rczultuntu i 'prvu sljcdecu oouhranu silu, te taka dohivamo novu parcijalnu rC7.ult<lntu. koja sada zamjcl)juje \'Cl: obradene tri sile. Ova rezul­ranta i sljedeca sHa Cf dati novu rezultantu, koja jc i konacnu :lko ncma viSe sila. Dakle. postupanio postepeno - sIaj.uti silu po silu do konacnog rezul­tata. I ovdje -to mot.elTlo raditi, naravno, uz pomoc paralelograma sila iii plana sila (poligona ,:sHri). U praksi, bk.o rekosmo, prefedramo, plan sila. Postupak sJaganja pri djelovanju vise :;ik razlicitih pra\'UGl muucku A) vid­Iji\' je, uz primjenu ve~ datih pravib, nn slid 15.

b/ P, 01

~

/ 2 I: ,

.. '-;\1 I' ~'p' ·t .,~uk

, lo<.- P,

I ,

--f ~, __ /' liUk

J Rukl P,

F,' F,' * Ruk A If F,' P, F,' P, cl ,

51. 1 S. a) plan polo:laji (A - napadna tatka). b) para1elogram sUa (mjcrito sila), c) plan sila (mjerilo sila). PI (I-2),'P, (2-3), P, (3-4), R"k (1-4). Intenzitct rezulrante 06ta se

. sa plana (paralelograma) sila.

Na slid 15a (plan polozajaj, ISb (paralelogram sila) i ISc (plan sila) je vidIjivo da su rezultante dobivene po naCinu paralelograma sita i posebno pJana sila (poligona)" idenricne (jednake), ali da je postupak pomocu plana sila jednostavniji i svrsishodniji, pa ce se taj postupak u daljem radu i izlaga­njima isk1juCivo konstiti.

Primjeri

Odn:diti V(Iiam.(~~I~~j i smjer rezultan/e' koja je p~oist~kla iz dvijc sile koje na· padaiu odrc:dc:nu materi;alnu' ta~ku A (vidjeti plan polo.:!a)a shke 16).

Na $Jici 16. Ie vidljiv i razumljiv konkretan rostupak iznaia;lenja rc;!;uhante.

18

. , I

b/

2.

3Y~ F?,. f

SI. 16. n) pbn poh\iJja, h) pllll siJa (;nj<'ri!u ~iln) . . \1j: I em C": I kN; P, - 3,0 k:-". P t - },() k~, R", 5,0 kl'-:; ", i ", uerlani ~t\'arnom vriiednu~(u.

Primjeri

Odrediti vcliCinu, poloiaj, pranlC i Sf'.lje: rczu][ante R sistema sib: PI = 2,0 k~, p~' ,= 3,0 kN i P~ = 4,0 tN, kpjc naradaju tl~ku .-\, Po!o:laj sila (ugao nagiba pra\'(J djelovanja prcma hpriznntul dal k \l I'bnu pd]d;l,Jia. K(lri~liti st' planum polotajs i pbnnn1 sits.

Pn'mjer '

"I

S1. 17. a) plan rol(\i:Ji~j, h~1 rl:!n ~iL!. mierilo: I em""-'" "':'1 k1'-:; 1'1'-'- 2,0 kN ()--21, P, - J,O kN (2-31,

P, "'--' 4,0 kN (3 ,~- 4), R 0-,- 4,5 kN (1-4).

Odredili rezullantu sijcdecih ~ib ('!cii rlan polozaja) sa Z 'jed ,i(korn nnracimH'''' tackom iIi hv'!li~!CI'n I) lacki (\.

S1. 18, a) plan p~)IOlnja, b) plan sila (I em ~ 2 kN j p) = 4,0 kN (1-2), p~ '"~ 6,0 kN (1-3), PI = 3,0

kN (3-4), P, = 4,0 kN (4-5), R 12,0 kN (1~5).

3.2. RAZLAG,~NJE SIL\

Raz!uganje na dvije kompom;1l[c

Vidjeli sma kako mozemo grafickim rostupkom odrediti rczultannt viSe sila koit: napadaju m::lterijalnu taCku. Sada cerno obraditi obratan zad::lt;:Ii-.:. Nairne, kako mozemo poznatu silu 'rnloziti (rasl'aviti) na sile iz kojih je ona mogIa nastati (odnosno, n:lstal::l). Ako takvu silu shvatimo kao rezuttalHu,

,

postavlja se pitanje ~ mozemo Ii pomocu nje naci sHe iz kojih -je ona stoZena j Cije pravce poznajemo? Pokusa;, u tom smislu, p6:kazace da sUu P mozemo, jednoznacno, sto ce reci, potpuno odredeno, razlotiti u dvije komponente

,) 0)

---~-

(sile iz kojih je ana slozena), pod us­lavant da poznajemo pravce djelovanja komponenata. Pravci ovih kompone­nata sc, naravno, moraju sjeCi na prav­eu sileo

Razlaganje poznate sile, P na dvije komponente' graficki vrsimo na miCin kao oa s1. 19.

51. 19. a) plan poloiaja, b) plan sila_ Vidimo 'da, posta je dat' plan po-. laiaja (pravci komponenata P' i P",

bo i sila P), crtamo plan sila u mjerilu sila, nanoseCi poznatu silu P paralelno sa pravcem darim u planu poiozaja. Sa dva keaia nanesene sile P vu(;emo para1elno zadane pravce sila Ckomponenata) P' i P", do mjesra njihovog presijecanja. Time dobijcmo tfougao sila_ Strelice se orijemisu rako da .se poznata sihl P svojom strelicom sukobi sa strelicom jedne od komponenars, dot;: srrelice kOffii,":1Cnata (PI i P") slijedc jedna drugu.

Primjer

Razloiiti silu P """ 3,0 kN- na komponente P' i P" Ciji su pravci dielovanja zauani (vidi plan poloiaja n:\ 51. 2m.

~rz~ ~V---: :': \It

51. 20. a) plan poloiaja (Mj : 1 : 100), b) plan sila (Mj ; 1 em Q 1,0 kN), P' (3-2), p" (1-3), P (1-2),

Razlotiti silu P = 2 kN u kosniku koji se odupire 0 horizontalnu i vertikalnu pod­logu, na komponeme P' i P" (vidi pJan pololaja, sl. 21).

0' "Lj'; , , - . 2 r ' ,.

Sl. 21. a) plan polotaja, b) plan sib (Mj: I em 0. 0,5 k~).,P = 2,0 kN (1-2), P'=J,4' kN (3-2), p" ~ 1,4 kN (1-3)

20

i I

I

I'

Primjer

Razlofiti ~iiu p na k~mPon~ntu paralelnu podIo?:i (vucna sila) i komponentu upravno na podlogu (st •. '22).

I} \IP-P'~""'<I

.~:;~,'" -~' ... I P :3

81. 22. a) plan poioiaja, b) plan sila (u mjerilu sila) .. P (1<'-2), p' (1~3). p" (3-2)

Razlagal1je site na dvije komponente moze se izvditi i anaJitickim postupkom. sto ce biti objasnjeno kasnije.

3.3, RAVNOTEZA SILA RAZNIH PRAVACA DJELOVANJA

3.3.1. Graficki postupak

U prethoqnim izlaganjirna prikazano Je kako se iznalazi rezultanta viSe sila koje napadaju odredenu marerijalnu tatku (slu!!anie sila), kao i kako se· poznata sila moze rastaviti u dvije komponente kada su pravci n;ihovog djelo­vania poznati (razlaganje site).

Sada cerno obraditi, za statiku gradc\·inskih konnr~:l(,:ib ?nac:1ian sluCaj, bda su site koje napadaju t<ld~u u' n\\"nmdi (t,;";b L')~; l1~q';l<..bju sHe je u stanju mirovania).

Kao 5tO je vee receno, kada smo obradivali dijclovanje kolincarnih sib na tatku, ravnoteza sHa ce postojati_ u slucaju kada njihova rezultama bude jednaka nuli, tj. R = o. Ovaj zakljucak u porpunosti vrijedi i ovdje, rj. u sJu­cuju djclovanja viSe sila oa jednu rae-ku, pa, kao sto l-e~o kasnije vidjeti, i uorste u stadei. Iz ovog mozemo odrediti uslov Codnosno uslove) koji rnor~ Ja bude ispunjen da bi sile bile u ravnotezi, a tucka koju one napadaju u stanju mirovanja.

Ova; uslov ravnoteze ocigledno proizlazi iz Cinjenica da za ravnorezu sila njihova. rezultanta.mora biti jednaka nuli, rj. R = O.

Ako raj uslov primijenimo s obzirom na graficki postupak iznalazenja rezultante, vidjecemo da sile koje napadaju ticku moraju dati zatvoren plan Cpoligon) sila, a vrh strclice, posIjcdnje, u mjerilu nanesene, sile u planu sHa, mora pasti u pocetak prve nanesene sHe (ne ost3vljajuCi, dakIe, mjesto

. za crtanje - unosenje rezultante). To znaci· da rezultanta postaje jednak~ nuli. Ovaj grafiCki uslov ravnoteZ ·la ko·c na ada'u .. ~

zem? i~rgitL . cLnatin' a J2J sile t a a osta a u scan u mirovan'a 'DIre no e

itt" 01· -Ptifrijenjujuci n-avederu graficki uslov, rijesicemo sljedece zadatke:

Primjer

o Stapove A-C i A-:-B u taCki A objden je teret (si1a) P. Sile k.oje'se-javljaju . u stapovima moterno oZllaCiti sa simbolima St i St- Potrebno je odrediti - utvrditi vdi­emu i karakter (pritisak iii zatezanje) ovih 5ila u !tapovima date konstrtikcije, koja (zajedno

21

t

I

. I . sa. tackom A) mora bid u stKniu mirovanja, a sile koje je napadaju (PI' SI i Sf) U ravTlOtei:i. Podaci za rje!enje' ud.ltaka ;dati su na skid - pb.nu po!ofaja. Zadatak rjdavamo pd· mjenom gr,afiCkog uslova ravnotde.

Rjden]t:

51. 23. a) plan poloiaia (I : 100), b) plan sila (Mj : I em ~ ~ 1,0 kN). Ol!itano: 51 = 0)8 kN, $1 "'" 4.2 kN. Paho su iftelice u planu poioiaja usmjerenc suprotno ad tacke A (na. padua tatka sile P) sile SI j $1 Sll zateiuCe. (+).

Objaini~nje:

Plan polotala je nacrt:m U odabranom po.-;odnom mierilu (ovdjc I : 100), Time su dati i pravci djelovanja sila SI i SI u ~tapovima konstrukdje date na planu poioiaja. Za plan sUa koji smo nacrtali pored plana poloiaia odabrali smo pogodno mierito (ovdje 1 em 0 1 kN). Plan sila smo nacrtali tako da smo prvO nanileli zadanu silu P paralc:1nu sebi jz plana poloiaja1'.a zatim sa oba njena kraja povukli praVce paralcJne pravcima Sta~ pova A - CiA - B iz plana polotaja - sve do presjeka. Dobili smo tako zat\'orcn plan sila (ovdje trougao)' i time ispunili uslm' ravnolcZe. Strelice u tome planu - trouglu slijede smisao - smjer sile P (bez iukobljavanja). Strelice koje odgovaraju silama SI i SI sa plana sila prenesu 5e na plan potoiaja u odnosu na tacku A i time se. ujcdno, dobije imino (ka~

. rakter) sila u hapovima kortstrukcije. SJijedimo pravila daJ ako je strelica usmjerena ka ta&i, sila u datom Stapu je pritiskuiuCa (llak), I, ako je usmjerena suprotno od tacke. sHa u datom trapu je zateiuca (\'~ak). KonaCflO veliCine (intenzitet;,;) tila u hapovima konstrukw die odrerlujemo oOtannjern: sa plana sila. vodeti raeuna 0 mjerilu sila. (U konkretnom slueaju. svaki centimater ;ednak je jednom megapondu.)

U ntrednim primjerinia vidliiv je postupak odredivanja nt~poznatih sila u Uapovirna konstruJ.:cije karla sile napadaju jednu tacku - primjenom graficKog uslova ravnotefe.

Prim]er

- Pod uslovom raVnoteie odrediti vditinu nepoznatih sila S1 i S3 sa podacima datim u planu polofaja.

Rijditi sl;edeci zadatak prim;enjujuCi grafitki usJov ra\'noteie sila (podaci na planu polo!aja).

1 ! , :" s. ( '. \s.

\\\ I ".

-1 "w·. j f. " • t,

·'~·~"f.

'\ "

, ,

SI. 24, .) plan polof,;. (I : 100), b) plan sila (M; : 1 em ~ 1.0 kN). OOw tano: S. 0-2) -- 10,8 kN,' S. (2-3) ... 9.6 kN~ SUa u ltapu SI (A-B) je z:a tdua (+), a sUa u ,tapti S. CA-

e) je pritislrnJuta C-).

22

,J oJ ;,

{ __ c P~SOJkN ./

J' -Z "A H S ~~.!!!-+ 2

S1. 25. a) plan polo:laja (1 : .sO). b) plan sila­(1 cn1 Q JOOk.~). Oo!itano: S. (2-3) >= 460 kN,S. (3-1) =- 460-kN. SUe S~ is. su prl~

tiskujucc C-) (strelicc Ita tatki C).

Grafickim r()~tul'k()rn rii~;;iti ',licJcCi l.ndatak (podaci dati na planu pol07_a;a), Odrediti \'diCinl: 5ila .\', i S. \l Jicama n3 koiima visi svj~tiljka, teiine G = 50,OkN. Odrcditi veliCinu pritiskujlh':e sile u kosniku konstrukcije (vidjeti plan poloi;Jj~j.

• 0,

~~ , t~~1',. ~Il\,.

~'A '1 G, ','\ kN

'" "

SI. 16. a) plan rolo/.aia (M;: I : 1(0), b) plan sila (Mj: I ~ em 50 kl':-l), 06-tano: S1 (2-3) 150kN, S, (3~I) -"-

-< !SokN, '<','1 is. z'J!cl.UCC ~ilc (i-).

3.3.2. Analiticki postupak

a) Rczu//UI/(,l silo

,j p, 2[J kN "

~i / , ' ; LF <.;\'

" ,0

05' , , -.J ~ 3 ' , " SL 17. a) plan polo2aja (Mj": I : 100;" 11) plan sita (Ali; I em ~ kN), Otitano: Si (J­J) "'" 2,80 kN, S~ (2-3) "< 2,80 kN" Si\a u

kosniku 51 jc j1ritiskujuca (-),

IZlIu!azclljl_' rCli//d/llt, U pre!l:odo1_1i1l r'l\~la\'iju SI1)Il naul.'iti kJJ.~() \c iznalazi rezuilor.!'.l d\'ijc: iIi vise Si\;l kojc n;lp,hbju !1ldtcrijillnu t:1CKU. ,S;).Li

cerno isti z<ldat,l!z rjcSu\,uti ;ln~l!itld::im poslUpkom. Prije ncgo SIC) nbjasninl,) sam posturak, objasniccmo nacin bLo Sf: oJrcucna sila P anaJititkim plJtCnl moze raz/ozirl U d\'ijc mcuusnbn0 ul'fJVne komroncme Pj{ i 1\. (horizonraillu i vertika1nu) ..

Ako kroz n,lp,IJnu ucku stle P (ncb JC to kosa sdJ) povucemo dyije pomocne) mcJusobno ul'l.lVnC lln!Jc (kOl)1 J103tni sistcm) 1 ako upo n:1~ib? pravca sile P prcm3 horizontali ohiljl';limo S3 (I (alf3), taua, rozna\'<!Jucl trigonomctrijske funkcijc sin 1.( i cos II (\'idi t<lblice\ imamo:

F'1I = P . cos ft

Ovo su ~Jnjc silc ~l1ali{ld,i})j 2~),

(li'~li (lhr~)5c\ I.a r'.;lZlJ­nil dvije KOlllpUnCI1l<.' pO:-:!II{lho/li (\'idjcti ;,1.

To su, J,d-.Jc, pn)jckcijc si!c l' na ose.'( i j u dJtom konrJin<ll­nom sisrcrnu.

S1. :::X. Ra,dag-anjc . ilc Il;l J\'jje kumpul1<:I1:': dlnliti':kim postupkom. TaCka A 'J s(':di~IU

koordinarnog ~is[ema xoy. Aka jc horiwnt;J!n~1 kll!1l],P­nenta sill' PJ1 uSll1jcl"cna rlJdcs!1(), dobija znJk (+), 11Jlijc\'o minus (_ .. ). \'cniblna k()l1lpn!lc!lt;! PI> lad ic usmjerena nat--:orc, dobiva znak plus ( ), naJo!!c minus (-). Sada mUle· m0 z<111is1iti d,l n;1 wcku A, umjcslo si!c P, djeluju JVljC silc: Ptf i P" (njcnc komponcntc),

Ako bi nu tacku A djclova\t\ dvijc iii vise sila, svaku :;i!u hi;>IllP pOSChlll1

rastavili na dvijc komponcntc u pravcu nsa x i y i dobili bi'illlO, u stv<:lri, ~i,­tem kolincarnih sila u pravcu osc x poscbno i u pravcu OSI.: y posebm1. I,r

,

kolinearne sile (sile isrog pr:wca) znamo da je njihova rezultanta jednaka algebarskom zbiru kalinearnih sila. Prema tome, aka na tatku A djeluju dvi­ie si1e Pl i 1:1.' imamo (51. 29):

Y lose)

P,

.J."'l-"':;~""'-;:J0.",,--,,'~--x (OJ o) .fj~

,p ,

S1. 29. Razlaganic: sila na komponentt- u pHlVCU X i Y osc.

PIt) = + PI . sin a,

Pm ·= +.P l · cosu

Pgv = + P'l. . sin {J,

Pm = + P'l. - cos fl, Rezultanta komponenata u

pravcu osc x bice:

Rf{ = i"\u + P2li'

(Rif "'"~ + P l ' cos a + P~ . cos {J),

RezuJtanta komponcnat£l u pravcu ose y bice:

Rr: = P IU + P'.!t" (R e· -0 Pi - sin a ~ P2' sin fJ)·

Aka sad slozill1o ~iJc R II sila Pi i p~) pa ccmo !m:.llt:

RJI

J?,; ('. , t&: ;:

i !(, u rczultantu, to l·c bit!, u stvari, rczulwnt::l

Obrazac za \"t~!\cinu reLlllt;wte p,oiziiiao je prirnienom Pitagorinog pc;! ..... i!a n3 trougal) sila. C;'::J.o n~q::ib<.\ rCI.ult311tc mozcJl1o nJrcditi prcko t311-~cnsa u~!a )" po n.lvcUCllUril obrascu, ,,]I1·I.CC1 sc tablicJma (prirounc vrijed­nasti tri~!onofT1c(riiskih funkcija). 1'ri uJrcJinlnju ugb " treba strogu voditi racuna l) predZ112,·im:l R, j R I ., da bis['ild pr:l\'ilno orijcntisali ugao y, (Po pr,1\"ilu, ugao y mjcrimo l'J ;\ usc u smjc! u suprOtIlom au smjera krct:mj:) bzaljkc n3 satu,)

Iznalaienje rc;;:ulr::l!ll"': :\~ialitickim postupkom U KOokretnim slucajevima \·iJljivo je iz sljcJc<·ih prirnjcrao

,\n,lliti\'kim l'utun pJr<:.l.\i ,di:·illu i I'l'i'),~Jj (pravac j sllljer) p:.wltantc dviju );i!a (\ idjcli plJn pu!ozajJ .

r

'>t,:-~:,; .~~~:-"', T ,. .,,",,;

'., Sl. 3D,

0:-,

tg y

Pril!1jcr

PI = 2 kN. (JI = 30°;

p. = -3 kN, at =: 120";

R "'" VRtH + R'v,

RH =0 PlY-Pub

14 "" RIO + Rt{lJ R.

tgy--. RH

PI" = PI' sinal = 2-0,5 = + J,O kN;

P IH = PI - cos 01 =·2' 0,87 = 1,74 kN;

Pw =P,'sina,=3'O,87= +2,61 kN;

P,H = -p,. cos Ilt = 3 -a,s = -1,5 kN;

RH= + 1,74-1,5= +0,24kN;

R" = + 1.0 + 2,61 = + 3,61 kN;

R' = 0,24~ + 3,6P = 0,058 + 13,1 = 13,158;

R = V r~f5·8-; R = 3,62 kN,.

+ 3,61 = --- = 14,6, ovome odgovara ugao

0,14 ;' ~ 86'j',

Odrediti R sku~a sih. Podaci i rjdenja na planu pololai:.t (sl. ~J:, ,y

R,f

P;~'2v / / /

~-c~P"-__ </'~O~/~;~-"~~'~'~2~"~O'. ;x F{di .. ----~

.y

SI. 31. Plan polQiaja PI = 5,0 kN~ P1U = PI = = 5,0 kN; PIV = 0,P! = 4,0 kN; PtH= 0; PIV = PI = 4,0 kN; P3""'" 2,0 kJ~; P;lf =­- p;\. cos 210; p~JJ -'" - 2,0 - 0,87 = - 1,74 W; PJv -'- p". siu270 = 2,0 -0,5,,--1,0 kN; RH ""'- PIH -I- P~Il·+ 1';11=5,0"" 0,0 ,+ 1,74·= '-' +3.26 kN, H. = Plv + p~~. t P;v = 0,0 + + 4,0- 1,0 = + 3,OkN. R -= VR:u +R~~= Rv

= V3,26:+ 3:0i ..= 4,42 kN, ~g y = - ...

R" 3,0 ~-- "" 0,92 3,26

Da hi sUe koje napadaju materi;alnu tacku bile u ravnotdi, a tsCka U l;tanju mirovanja, potrebno ie, kao sto smo vee rekH, da njihova re-zultanta ~ude· jednaka nuli, tj. ~

R= 0.

25

t

J

Ako rezulrantu R izjCdnacimo sa nulom, imamo

R = VR'n ~FR\ = o. Izraz pod znakom korijena bite jednak nuli, ako je:

RH = 0 i Rv = O.

Odavde slijede analiticki uslovi ravnotdc sila, eiji je analiticki izraz s-IjedeCi:

RH = O,lj. 2/11 = 0, odno,no I H = 0 iIi (IX =0)' R. = 0, ti·

I p. = 0 odno,no IV = 0 iii (IY = 0).

Simbol H (X) oznacava horizontalne komponente sila. a simbol V (Y) vertikalne komponente sUa koje napadaju materijalnu tacku.

Rijecima iskazani, oyi analiticki uslovi ravnotei:e sUa glase;

Da hi sile koje napadaju' mate~£jalnlJ tacku A bile u ravflOleZi, a latka hila u Slallju m£rovanja. potrebno je da algebarska suma projckcija (Ij. kcmponenaca) sv£h sila, kako u pravcu ose x (hor:"zomalno), tako ,. u pravcu ose y (vert£kalna f{sq), bude jednaka nuli.

Pri praktienom rjesayanju zadaraka ravnoteie dvije iii viSe sila, koje napadaju materijaJnu tacku; potrebno ,ie poznavati rjcsavanje linearnih jednatina (dvije iedna~ineL sa dvije nepoznate). , Primjer

,

Odrediti ~i1u it zatezi St: k~nstrukcije date na skid ("idl plan ro\ozaia), <l -,.,. 30", p~ lkN ..

SI. 32. a) plan poJotaja, koordinatni sis­tern sa src-diStcm (0) u [acki (A), b) shema

konstrukcije.

StH = -SI: cos U = -Sl' cos 30" =- -SI' 0,B7,

SW = 0 (posto je S~ upra\'o na y osu),

Prema wlovitna ravnotcie, imarno:

IH~O, Ij.

-SIll + S~ll = 0;

-0,87 ~\ + S~ = 0,

L V=O, tj.

26

+ 0,5 'SI ~ 0 ~ P '"-.. ° (P"-. vertiblna 5ila -,- koja n<lpada A),

+ 0,5 SI ~" P,

2 R,'cScnje-m m'e dvije jcdnacine, imamo: 0,5 S, ""- 2; S = ~ = + 40 ill (poSto je

I 0,5 ' prcdznak plus, to znaCi da je- prcdznak si]c 51 bio pravilno prcdviden).

Ako sada u prvu jcdna<:inu llvmimo vrijcdnost sa 3 1 ;;:;; + 4)0 kN, imamo:

-0,8751 +5 1 =0.

~ 0,87 . 4 -t 51 =. 0,

Sz = 4· O,R7 --',' ,1,.:ll'l kN (posto jc ovdjc prcdznak plus, to znaCi da je smjer sile S, bio pravilno prcdviden),

Sila u !;tapu (z,l(<:zi) 51 ic Z:l.tcZUC:l, a siia u stapu (de-me-ntu konstrukcije - grcdi) .)', ie pritis;';'aju('z, (Znak .+, odpwara zal>:/,u(-oj, a znak - pritis~ajuroj sill.)

Primjcr

Analilii'kil11 Pe'\[Upk,'m rijdi!i ~Iic:d,ci l:!da(ak (viJi plan poioiaja), (Rjdenje u okviru ~kic::,)

51. 33. a) plan pold_ai~, b) shema komtnJkciic, St - siLl u stapu A-C, S, - sib u st'Jrll A-5, Trcba odrediti 51 i Sl analiritkim pure-m T Sllf'= = + $\, cos 60° = + 51' 0,5; SIV =- +- 51 ' . sin 60~ = -:- SI' 0,87, 5111 = ~S" co; 4-5" =' .. _ - $1' 0,71; SIV = + S~, sin 45° = + $1' 0,7l.

Pv = -Pi Pu "'" 0. prerna LX = 0 imamo:

, S 0,71 ~. + 1.0,5 - 5:,0,71 = 0; $1 = ~- 'Sl =

0,5

1,42' 5 l prcma wilovu rltVnorcie L Y = a imu­

mo: II. + $1' 0,87 + 5.' 0,71-P = 0; 'r-5 1 •

. 0,87 + s~ '0,71 = P = 2,0 ridi:njcm j!:dnacina Ii I! imamo: ~1,~:,_.!.:..46 kN S, =~1,03 !~.

Napomcna:

Objc "ile su zateiuce (+)

PITANJA I ODGOVORI

t . y c 01 ~I_.J,,"-_~//'f'--/

1 ,

- Kakvc staticke- zadatkc moiem) rid,n'ari primjenjujuCi pravila iz statike matc-rij:llnc !a2kc?

- Kako drug~cije nnivamo kolineul1c silc?

- Aka na materijalnu tatku djeJu)c sarno jedna siia P (iIi R), :ita sc ddava sa tackom?

- Definisati uslov ravnateie dvijc si!e kojc napadaju rnli.'cdialnu taCku (grafifkJ usJov).

- Odabrati nekoliko primjera iz; g:adilisne praksc (skeJc, privremeni objekti j sl.), koji sc mogu statitki lfe-tirati primjcnom pravib statikc matcrijalne Ulckc (odr("~ div:wjc ncpoznutih sila),

27

. r:·

~.:', ._'., -,

4. STATIKA KRUTOG-TIJELA

OStlovna objalnjenja

U prethodnom poglavlju razmatrali smo _ djclovanje sila na materijalnu tacku i, na' osnovu pravila, odnosno uslova kaje sma nal;1cili, rjesavali neke oj prakticnih zadataka koji, spadaju U oblast statike materijalne tacke. Sada cerna se upoznati sa statikom krutog tijela, sto ce nam omaguCiti rjdavanje Citavog niza zadataka s kojima se mozcmo susresti U svakodnevnoj praksi, .' '."-~ kao i razumije\'anje materije koja se na tome zasniva. ;fJr~

Apsolutno kruta tijcla, nJ.r:lVno, u prirodi ne postoje i mi ih ()vdje uv~It_( 'i!' dimo u razm:1tranje u teorijskom smislu. S:va~na t~j:[a, pa p~ema tome~ \.,_ :

k(1l1strukttvm nOSl\'l clementI u gradcvl ''\ ' l1,-ustvu, odnosno m<ltcrij,lli Gd kujih su -", I I izradeni, imaju, u vecoj iii manjoj mjeri, I lzrazcna e1asticna svojstva, ali l11i ccmo !

'\

tu Cinjenicu uzimati u obzir kasnije -obradom u 'posebnom dijelu ovog udi:-bcnika, koji se odnasi na otpornost ma-terijala. .

S1. 34. Rekli smO vee da sile koje napa­

daju na tijela (konstruktivne nosive ele­mente ~ konstrukcije) posmatramo pri

djcJovanju u jednoj (istoj) ravnini. S obzirom na to, takva tijela imaju, zap­ravo, karakter place (kruta ploca), ali mi: cerno iz prakticnih, odnosno funkcionalnih razloga zadriuti naziv (terrnin) kruto tijelo. Pod terminom k:-uti stap treba podrazumijevati iiduzerio tijelo karakteristicnog oblika (ob­lib stapa), Cija je jedna dimenzija (duiina) dominantria u odnosu na pre-ostale dvije (dimenzije presjeka stapa) koje se u statickam tretmanu ave vrste zanemaruju. '

Kada site kojc djduju 'na kruto tilelo imaju zajcdnicku napaJnu tacku (djeluju u isto; 'tacki), takve zadatke rjdavamo prema pravilim~ St3ti~c mat:­rijalne tacke - a t9 smo vee proucili. Ostaje nam oa ubradtmo dJelovanJe sib na tijelo kada onc nemaju zajeonicku napaunu tacku tj. kada sHe djcluju na tijclo (plocu) u raznim napadnim tackama.

Karz.kteristiean primjer djelovania sila, razlicitih napudnih tucaka, kaje djeluju na jedno tijelo (piocu), ovdjc konkretno na temelj jednog tuostovskog objekta, dat je na 51. 34.

28

-

I

I

SHe koje-napadaju'prikazano tijelo. u pravilu, nalaze.seu istoi ravnini, pa ova tijelo moi:emo (a to i cinimo) u statickom smislu posmatrati kao platu (kruta ploea) u Cij,oj ravnini dje1iJ;u' date site .

4.1. DJELOVANJE SILA ISTOG PRAVCA NA KRUTO TIJELO (PLOCU)

c·) (.) 51. 35. Napadnu racku dje;stva sile moiemo pomjeriti dui pravca diejstva

sHe (npr. iz A u B). S1. 36.

Neka te dvije sHe budu jedna u tacki A i jedna u B sa smjerom suprotnim ad onag koji ima sila iz tacke A. Preostala sHa je u tacki B, sto dokazuje da napadnu tacku sHe moze pomjeriti u pravcu djelovan;a sileo

Prema tome, (uopste) mazerna zakljuCiti:

Napadna taeka.sile P moze se pomjerici iz A u B (uz zadovoljenje uslova da se obje tacke nalaze na istom pravcu, tj. pravcu - liniji djelovanja sHe).

Iz ovog sIijedi i sljedeci zakljucak: Rezultanta sila istog pravca djelovanja (kolinearne 'site) koje napadaju

kruto tijelo (plocu - stap), dobije se na isti nacin (uz postovanje prethodnog pravila 0 rnogucnosti pomjeranja napadne tacke sHe) kao' kada hi te sHe dje­lavale na datu materijalnu ta"leu .,.. a to je vee ranije rijeSeno.

4.2. DJELOVANJE DVIJU ILI VISE SILA RAZLICITIH PRA­VACA NA KRUTO TIJELO(PLOCU)

Kada na tijelo djeiuju dvije sHe razIiCitih pravaca u raznim taCkama, tada njihovo djelovanje mozemo zamijeniti djelovanjem rezultante - slaga-njem tih dviju siIa. .

29

I

J

Posto sma vidjeli"da I se: napadne tacke sila magu pOITijcrhi -u pravcu djeJovanja sile, 'ova) zadatak se, u stvari, svodi na slagan;e sila sa zajedoiekom napadnom taekom (a to, smo vee prou~ili u statici mate:ri;alne taeke).

Napadnu tatku rezultante zatim pomjerimo (postavimo) u presjeenoj tacki pravca rezultante i linije povrSine tijela (ivice). .

U slucaju da su dvije sile koje napadaju ti;e1o paralelnih pravaca, moiemo u njihovim napadnim tackama dodati djelovanje dviju jednakih sila, istih pravaC3, a suprotnih smjerova. To Cioimo oa sljedeci naCio:

..

v •

, Sl 37. a) plan poJoiaja, .. b) plan sila (u

mjerilu sila). SI. 38. R, J = Rli (rezu!tanta lijevo), R. 3 =

~ Rd (rezul!anta des no) .

Dobijemo dvije rezuitante R13 i Ru pa cerno sada naCi njiho\,u rezul­tantu R na :vee pokazani oacin. rz-ovog vidimo da je rezultama dviju paralel­nih sila po velicini jednaka zbiru '(algebarski zbir) sila jz kojih je sioiena, tj.

R = 2 PI + P:., a njen :polozai je izmedu sila PI i P2> ali b!ize vecoj silL SHena konstrukcija se primjenjuje kada dvije paralelne sile imaju razlicite smjerove (tzv. antiparalelrie site). Kod dviju paralelnih sila raznih smjerova rezuItanta te bid jednaka'· njihovoj razlici (veta sila minus manja sila), tj. R = Pl - Pi (ako je Pi ~ P2), a po poloiaju ce biti takva da ce njen pravac djeIovanja biti izvan.meduprostora Pi i P2' tj. blize vecoj siB i sa smjerom veee sileo i . .

" " " , , .. ) ~

Po :!?

-- hjtlo pcoeol

SI. 39. C - na.padna tacka, Pt i PI - antiparalelne sile (paralelnih prava­ca- suprotnih. smjc:rova). Rli = P"n

~d = p •. ,

d

TJELO !p!o~a I

, ,\ ~ I 1 ' , .\ 1R" \ 'i ! ,2\ I I , "

SI. 40. a) plan pol9uja (u mjerilu dufina). b) plan sila (u mjerilu sila), R ... = Rt,s,dl-4).

R", (1-3),

Ako na tijelo (plotu) 'djeluju tri iIi viSe sUa razHcitih pravaca) re~ultantu tih sila moterno naci na snalogan nacin, tj. postepenim slaganjem uvijek 'po dvije sile. tj. naprije dVije sHe, pa ,zatim n;ihovu rezultantu i sljedecu sHu, itd. - do zavrsetka rada.:Ovo se vidi iz sljedece skice (vidi sJiku 40).

30

Tnkode, o\'dje mozem~ zakljuciti d3, po~tujuCi pravi/o 0 mogucno.~ti pomjeranja napadne tacke duz pravca (linijc) djelovanja sile, rezultanta dVlju iii vise sila razliCitih pravaca djelovanja i sa razliCitirn 'laradnim taCkam3 -

01

f(,) r \ ,II,,;, , r )

S1. 41. a) r1an rnjr)[aja (mjerilo duilflJ 1 : 100), C - presjecna lacka pra\'cJ .,110 P, I cr, e - pn:,je..':na lacka pravca sila R",,(; I P" iz P, i G dobivamo R),,(;, 17. Rp,(; I p'. d')~'I< J­

ma R"k; bi rbn sila (mj, sib: t em;::;:; I k1'.:', P, = 3,0 kN (1-2), p./~ 2,0 kN (3--11, G = 4,OkN (2-3), Rp ,(; = 5,0 kN (1-3), R"k '" 6,5 kN (1-4).

mozcmo odrcditi na nacin slaganj,l sil;:\ (para!eiogram, odnosnn plall silL'), koji je vee ()bj,lsnjen u slucajcvima djch)\"aoj8. ovaKvih sib 0;1 jcdnu m:1tI:rijJ1L1J UlCKU (\'idjeti Lmijc izlaganjc - sW.rib m;ncrijalne Tacke).

4.3. ST!,rrCKI MOMEN .. \T SILE

Pojam i karakreris!ike sratJ"tkog momenra sile.

Vidjeli smo ranije da, kao posljedica djelovanja sHe na tacku, odnosno tijelo, dolazi do pomjcranja sile, 81:0 to pomjeranje ni;e nasHno sprijeceno (nekom drugom silom - odnosno otporom), Takvo tiielo irnalo je karakter (obiljdje) sJobodnog tijels, medutirn, u praksi djela (nosaci) testo ne mogu slobodno da se krecu pod djelovanjem sila - jer su vezani za neko drugo tijelo - podlogu (veze, oslond, itd.). .

Ak.a posmatramo tijdo (plocu) koje je u tacb A vezano za podt)gu. i .~k~ u nekoj drugoi tacki B na tijelo djcluje sila P, tijelo se nde kretati pr~yolml)sb u pravcu sile, nego ce se poceti obrtati oko vezne tacke A (ako nlJe u tom nasilno sprijeceno nekom drugom silom - odnosno uticajem; sl. 42).

/' ./

'O&' /'

" / T /

l~~\; ./

A

51. 42. Statitki moment slle; T - tlje!D (pInta), r - krak ,dc, .\1 = p. r.

31

·Obrtno -djeJovanje site P bite vece ako je veca sila iIi ako vee; krak sile T. Podkrakom (T) .

taCke do· .

sile i kraka ili meganjutrunetriina

M ~ P' r(kNm),

gdje je; M staucki momenat sile (za neku tacku),

P vc!iCina sile (kNm),

r krak sile (m).

Predznak statickog momenta, za koji sma rekli da tdi da izazove obnanje (rotiranje) tijela, odredu;e se prema smjeru obrtan;a. Ako sila leii da o'brce lljelo oko lalke U smr:s[u kretanja sarne kazaljke, scalilki momenat ima predznak plus, a u obralnom smislu· ~ minus.

Momenrno pravilo (Varitljonova ceorema). Naucili smo sta treba podrazu­mijevati pod statickim mornentom sUe U odnosu na tacku (ili osu). Da bismo

r ~ \ 8 \ krok iile

b)

SI. 43. Predznak statickog momenta: a) pozitivan moment, MA = + P, r (kNm), b) negativall moment, MA = - P' r (kNm).

rnogli r;esavati prakticne zadatke u vczi sa statickim momentima (Hi posred­stvom statickih momenata), mommo se upoznati sa jednim veoma vaznim pravilo'm - momentnim pravilom, poznatijim pod nazivom Varinjonova teorema (po autoru). Ova teorema glasi:

SlGlilk{momenat reZU[lame dviju iii vife siia koje napadaju cijda (nosal) u raznim talkama, U odrlosu ria bilo koJu fat~u - jednak je algebarskom zbiru statick£h momenaCa komponenaca (od kojih pottle rezultama) U odnosu na isLU

[aehu. Dokaz 'ove teoreme pravila, !uko je izvodljiv, posebno, grafickim postupkom.

Dorn Varinjo7lOve teoreme vidljiv je iZ interpretacije postupka datog na slid 44a i 44b. Za i!ustraciju dokaza Varinjonove'teoreme uieli smo dvije sile PI i PI za zajcdnickim hvatistem ':1 tacci O. Momentna tatka je odabra­na u A. Rezu1tantna sila PI i P,! odredena je ovdje (namjemo) pomocu paralelo­grama sila. Za razumijevanje dal;eg rada, neophodno je ukazati 'na Cinjenicu koja se odnosi na mogucnost grafickog pdkaza statick0g momenta sile u

32

{ I

·1 I

odnosu na odredenu momcntnu tacku. Nairne, ovaj momenat se moze iskazati dvostrukom vrijednoscu povrSine- trougJa, -Cija je osnovica (nacrtana) sila P, a visina,-~ sHe -r (s1. 44a). Sada mozemo interpretirati koilstrukciju na istoj

S1. 44: Sile Pd PI sa hvati~tem u 0 i odgo-:. varajuCa fezultanta R. Momentna tacka A:.a) Grafick,i ekvivalent statickog momenra,MA-_

. p. r = P or, FA"'" -----, MA ..,..., 2 FA. Kons-

2 tatacija: statii;ki moment sHe P za tacku A jednak je dvostrukoj povr~ini rrougJa cije je osnovica sila, P, a visina krak r, tj. normala-od A do pravca sile P. b) Dokaz (graficki) Varl- a)

o

• ., njonove teareme: M t = 26. OBA, M~ =

=260CA; MR=260DA, 60CF~ ~ ~ 6. BDF, Mi = OA' hi, /01. = OA- h" '. M~"_:: 0/\· ~, .. hR = hI +- h.!.:...Dokaz: MR= P

= OA· hR =OA(hl + h1}=OA hJ+OA· hu prema tome: MR = Ml + M~ A < o

slid (51. 44b). Krajeve sila Pl' P2 i R spojiU smo sa odabranom momentnom tackom A i dobili odgovarajuce trouglove Cije d\'ostruke vrijednosti (2· FJ )

daju staticke ffiomente ovih sila za tacku A, Iz slike je vidljivo da se za sva tri troughl (kod siJa P l , l',! i R) povrSinc n10gu izracunati mnoicnjem iSle

OSIlIJVICC OA i odgovarajuCih visina !tv h~ i hi?' Posto se vidi da je hR = h~ + h~) jednostavno se dalazi do zakljucka da je:

.Un = All + AI,!,

,J !bz' J[n ::"~: 0.-[ i:;; ().:[ )I l -: .. hJ ,0-. O. i'. I.Y,j" , /;~ ~""' It'll time je dokazana Varinjonova teorema Cija ie ddinicija vee data.

Primjer

Na tijdo djeluju dvije paraldne sHe iste veliCine i istog smjera. Odrediti velic:inu i potoh; rezultante i staticki momenat za odredenu (proizvoljno odabranu) tacku D. PI = = 2 kN, Pl = 2 kN. rastojanje a = 4,0 m (st 45).

Sl. 45. Varinjonova teorema (pri­mjena). PI = 2,0 kN., PI"'" 2,0

kN, R -= 4,0 kN,

Vidimo de rezultanta dje1uje na poJovini medurastojania sila PI i P, i da je ;dnaka sumi ovih sila. tj. R = 2 + 2 = 4,0 kN. Staticki momenat datih sila i njihoye rezultante za tacku D bite:

MD = PI . 1,0 + P:' (+ 5) = 2· 1,0 + 2·5,0...." 12.0 kNm,

MD = R' (2 + 1) = 4,0· 3,0 = t2,? kNm.

Kao ~to vidb:no, rezultat je isti, C::ime ie ovim numerickim primjerom pokazana val;anost Varinioncivog pravila (pravilo - teorema vaii, naravno, 7.:\ proizvuljan hroj sila, bez oh7.ira na pravce i smjerove njihovog dejstva).

J Statlka gradev!nsklh konstrukctja. 33

,

t

J

Primjtr , Ii '-~ _ '

Primjcnom Varinjonow t~Qrc~c ~reqiti'vcliO!inu i poloiaj re:zuitantc R za podalkc dlltc na slid (s!. 46), . "

I I I' .R ,

jr x.l8Sm J 1---. d b

I ~ ,

51. 46. Varinjonovu tcorcma (primjcna). PI -:- 3,0 kN •• P, "" 5,0 kN. P,,'" 5,0 k~ .• R = 1: P = 3,0 + 5,0 + 5,0 = 13,0 Iflm ~ 20m

kN.

Zadati sistem ~ila rezuhanta R i7.nMi:

R -- L P """ 3,0 + 5,0 -!- 5,0 = 13,0 kS'.

Oda.b:ana momentna tao!ka nalazi 5C ispod prvc si!e PI> tj. U "a". Prema Varinjonovoj teo· reml Imamo:

R· XR ...". P,' ~,O + P3' 6,0 = 5,0·4,0 + 5,0, 6,0 = 50,

50 13· XR '= 50, X r "" -- -~ 3,85 m.

13

Puma lome, Tezuitanta R je udalieoa za 3,85 m oJ ta~kt :l (Ii, sile PI)'

4.3,1. Redukcija sile na zadanu tacku

Kada iz utvrdenih razloga zeHmo pomjeriti-redukovati zadanu (datu) sHu na novu - zadanu'tacku (nova napadna tatka), tad a to mozemo uciniti, a da se staticki ueinak ne izmijeni, take 5to p0mjerimo zadanu sHu parale1no svom prvobitnom polozaju (translaci;a) za potrebnu vrijednost razmaka, odnosno rastojanje. Pri' tome moramO dodati djelovanje jednog sprega sila (momenat sprege), cija' vriiednost se dobij~ umnoskom veliCine sile (koju sma pomjerili) i razmaka (kraka), postujuCi, pri tome, naravno, i -smisao, rj. smjer momenta (predznak), Korektnost navedenog iskaza - pravila vidljiva je na slid 47.

U taed B, gdje iz odredenih razloga (razlozi proracuna) zelimo imati novu napadnu tacku zadane sile P, postavimo dvije nove sHe ve1itine, takode, P, koje imaju isti pravac djelovanja, i to paraJ'!:lan sa zadanom sHorn P, ali suprotne smjerove djelovanja. Ova sma mogli uCiniti jer smo dodali isto­vremeno dva.nova ul!inka (sile), koji se medusobno anuliraju u dejstvo - jer su u ravnote:fi. Vidimo sada da sila P u taed A i jedna od dye novouvedene sile' P - obrazuju spreg sa momentom sprege M = P . r i da je u taed B jos preostala sUa P. Prema tome, djeIovanje novog sprega (M= P' r) i sile P u taed B je statiCki ekvivalentno djel.ovanju z~pane sile P u taed A. To je srrusao pravila 0 pomjeranju (redukovanju) sile na zadanu taeku - sto je u odredenim slueajevima potrebno ueiniti da bi se lakSe i funkcionalni;e rije­sin odredeni zadaci (u okyiru odredenih statickih, proracuna). Cesta potreba pomjeranja - redukovanja site na zadanu tacku javlja se kod tzv, ekscentricno

34

'I I I r ~P I

B' A

"' " , I ,--

<I

sila u B P plus mC'merDi

B spre'jd ~.i,

::IL '~j L-, ______ ~--_ --,

p

B

I'

S1. 47. Redukcija sik na zadanu talku: a) prl'obilD1 P07.icija, b) pomjeranje P iz ,\ II j)

c) nova pozicij'L

opterecenih presjeka. Tada sill! koja djelujc iZ\'3n ose smpa (nosz\;;;l) P("'·:--'­raffiO u asu, ali 7.'.1tO doda\emo i djci(1\",ni'" m,'m\:nl~l srrc.~'.1 (LI hi")Y'.i1 'Z~llk ljili us!ov ckvi\'alencijc.

4.4. SPREG SILA

Vidjeli smo vee da staticki n1ome?at sir,: t.eZi ?a prou.zrokuje obrtno djelovanje tijela na koje djeiuje. Slicno dJelo\'nnje lf~a 1 spreg sll~, Pod sf:!,-Cgl)J}i

sila podrazwmievamo djelovQlI}'e dvijlJ sila pa/'alelmh pravaca, me velle/nc) 0

suprotnog smjera - na mko tijelo, Spreg sila mozemo nazvati i paron; silo. Staticki prikaz i djelovanje sprega sila dato jc nn skid :sl. 48).

.; ~--' , I P

? , , M P ( I

lnUL I

,

c 0 J 0

S1. 48. Spreg sila: :I) graficki prikaz, b) r,azlika djdova~jll spr.ega i slatickog, mom('[H" r _ djcioy;)nje srnritkog mOmtnt:l sdc P, II - djclovan)c ,prcga (paLl) ~!la.

RezuItanta sprega sila, bo 5tO se vidi, ;ednaka je nuli (R = P - P ::-= 0) ali, statitki momenat sila S obziram nn bila koju tatku, razliCit je od oule i

. jednak je umnosku site i kraka,' tj.

M':;;;"P'r,

gdje je: M momenat sprega (kNm),

P sila Ckl-f),

r krak (m):

Predznak momenta para sila, tj. sprega sila utvrdu;e se nn osnovu istog pravila kao i predznak statickog momenta sile, tj. kada abrce u smislu kazal;ke oa satu, tada ima pozitivni_ predzna~ (plus), a kada obrce supromo kaz.aljci na satu, tada ima nega~ivni predznak (minus).

Razlika'u djelovanju statickog momenta sUe i odgovarajuceg djelovanja sprega sila; mada 'oba VISe obnno kretmje, Qcituje se u cinjenici da se pri de;stvu momentom sile u veznoj taed (tatka pricvrScenja - mornentna tatka) javlja reakcija koja je po veliCini' jednaka samoj sili, dok u slucaju dejstva sprega, odnosno para sila, to ne postoji. Ova cinjenica imn svoje implikaCije u odrec1enim prakticnim rjeS3\'anjima odrcdenih problema (vidjeti sliku 48b).

Par iii spreg sila, koji, dakle, preJstuvlja dvije antiparatdnc sile isre veliCine - para!elnih pravaca, a surrotnih smjerova Jjelovanj'd S'.l rezultan­rom R = 0, posjr::duje odrcdcIlC karaktcristicne osobinc koje jc ncophodno poznavati pri racunanju. Od ovih asotina - obiljeija sprcga, n:J\'odimo slje­decc'

Intcnzitct momenta sprega (M = P' r) ne z[lvisi od pulol-aia momcntne tacke u ravni dejstva sprega, tj. z8drZaya istu yrijednost za bilo koju momenmu tacku u ravni dcjstva para sila (vidjcri sliku 49a).

Dva iIi viSe spregova koji djeluju na tijelo, odnosno plocu (nosac) mogu se aIgebarski sabrati, dajuCi pri tome, sumarni - rezu!tujuci sprcg, Ciji je intenzitet jednak algebarskom zbiru komponentnih spregovu (slika 49a i b)c

MR =.2 M = Ml + All + A13 + ... + M".

Sila i spreg, slazuCi se, daju rezultantu u vidu sileo Ova rezultanta jednaka jc po intenzitetu samoj sili, s tim .da je njen pravac dejstva za odredenu vri­jednost pomjeren (slika 49c).

" t·f 'l " , 'l

.......:.L .... ---Il~

01 ~",

- ~ P, ., } ., «;';'Hi * ,,-'-",

36

" d I

~Lrl "

\", ~.~.:p +

SI. 49. Osobinc sprega: a) PQmjcranje i zakretanje (I i II poloiaj). Konstata­cija; rnCmcnt sprega za ism tatku (A) u obs polozals para sila mora ostati isti; dokaz; za polozai I Mil = p. r, za polotaj II M = P (r' a) - P' a = = P' r + p. a- p. a"",: p. fj b) Sa­biranje: sptegova": I-rezultujuCi·spreg .

(M' - L M - M, +. M. ;- M.) c) sabiranje sile: i sptega sila: PI j PI daju rezultantu R1,l a R I,} i Pt novu konac-

nu reZU!tantnu situ Ruk.

, I

I , " ,

,:-,::;- ~

Dva ilfVUe sprcgova (kDji n::lpa~aiu tijelo .plotu) ~u ,u' r~vnoteZ.i ako'

je. njihov :aIg~~a~ski- zbir jcdnak 0, tj.

i"-j<,:--' AJR

=.2: Af = 0.'

Prim/a

Odrcditi velicin~ dvije antip:lIaldne sHe (para sila)_koje djd~ju n.a odredeno tiido. ako je njih6vo tastp;anje ,- krak r e-: 2 m, a i:iji momenat sprcg~ 12nOSl: k! = 6,0 leNm.

6,0 M ~ p. r;;" '6~O; . P'- 2,0 ,,-, 6; p"-

2,0 3,u kN. ~Intenzitet 'sila -p ~ 3,0 kN.)

4,5, VERltNI POLl GO" (VARI;-';JONOV POLIGON)

-'- Pojam i svojstya vcriznog poligona. Ranije smo vee ~zloZi1i _~o mo­zerno odrediti rezultantu dviju iti vise sHa razlicitih pravaca dlelf;lvanJa - pos­tupkom slaga~ja silo, O\'dj~ cf!mo, mcdut~m, pokazati nacin iznalaienja rezultante pomoc-u veriznog- -poligona. .. 'v' •

Rezultantu dvije iIi \'ise :c;ifa razliCitih prm'aca dJelovanJa sa razlicltlm naD::ldnim tae-kama iii paralelnih sib (sto je u praksi najceSCi sluca/) iznalazimo u ~Fraksj ccsto i grafi2kirn pnsrupko!11, pomncu tZ\'. 1..'criz1!Og polz~o~a i pl~tl~ .Iif,/ (yc!'ir:c - lana..:, j:.:r lici r,a tan;JcJ. V('rizni r',-liigon predstavIJa IZloml)enl ni;~ pr:J\';ci1 - linija koie $C sikku 11".1 rnl\"cim<l .~Utl koje rre~iramo ovim po~~­i.';("1()jJ1. Sr;,isao l';'\l~ rcli2'(),Ll l'ic(' i:!~na iz uh:~!~:1!:,;aia g.!"afictc konstfukcl)e ~br:,t si!..! i oj!!\)\·<I .. ;.!jU"-L~ \·,~:·ii.1W!.! p\1ii!l~)[la k,_~;i ":1'::11110 rl;~ rl,lnU poio:i.Jja. 1'('7;'. 'i,; u r-hnt: ~~c'!I';:~;;;~(, ,'\t',\:U 'u ('\,h~hrnnc'm mi .. ::ri!!J Juzina, a plan :o>ib 12 pn..,d-,p() uJ<lOlaOOm llLi-:ri!u sil..l :u skladu S~l !"~,!liiim t'has!lic-lliima). . l),c;.:ultantu dxiitl ili \·i.~e sil:! k,';,c OHpJJHiu tiido u razr.im napadni01 tJ('brrHl (ba obzir;] :13 rnl\'~'C i ~)ni..:r .Jj~,;\,,:.'I!:,1 ~jl;J) iznaLd010 m. sJjedcCi nacin (s1. 50):

SI. 50. a) plan p010iaja (micrito du~ina) 0---1-2-3- veritni poligon; b) plan siiu (micrilo duiina). 0, I, 2, 3 u planu sila su polne. zrake. Presjecistem prvc (0) i p<Jsijcdnjt.' (J) zrakc veriinog: po!i~ona

pruLwi pra\'ac rezultante (tacka d'!.

,

, P,

t.; plal1u polo}.aja proJuzimo pravce djelovanja sila'(tankim Hi isprekida­nim linijama) dok u planu sHa, nakdn nanosenja sila, jedne za drugom, -oda­biramo tacku .,..... polO, i povlaCimo polne zrake, -koje obiljeZimo brojevima od 0 do n .-(do potrebnog broja). ':J '

Na pravcu (produ:lcnom) Jjdovanja p:n! sllc (1t) odabc.rc,?o _)cqnu ttlcku (a) i kroz nju \'uccmo paraklu sa polnun zrakom 0, pa kroz IStu rac~u (a) vUl:cmo paralelnu sa polnim zrakom j. U presjcku zrake sa pravcem slic

37

f

J

P" dobijemo tacku (b) krol koju vucemo iiniju paralcJnu sa polnim zrakom 2. Ova zraka, dalje, sijece' liniju dje10vartja sile u tacki .ee) kroi koju pavlacimo liniju paralelnu sa palnom zrakom 3. j."

ProduZimo prvn 0 i posljednju 3 liniju 'poligona kojeg smo nacrtali (.,stranica"), do presjeci~~3 u tacki (d) kroz koju mora da pro1azi pravac djela­vanja rezultante R. Napadna tacka rezultante R nalazi se u presjecistu linije djeIovan;a rez~Itante i S3mog djcta (ivice tijela).

Poligon 0, 1,2,3 ui,planu poloiaja naziva se verizm' po[jgon. Ova, poli­gon je, kako se vidi, otvorkn, sto znaci da u ovom slucaju ovaj poligon ne pred~ stavlja povclinski zatvore~u,g'eometrijsku figuru. (Poslijc cerna se susresti i sa zatvorenim veriinim poligonom.)

An3lizirajuCi. ovaj' postupak, zapazamo da polne zrakc 0 i I 1. sila Pi zatvaraju trougao u plan~ lila, a linije (stranice veriinog poligona) 0 iii pravac site P l sijeku se u' zajednickoj t3cki (a). Ism vazi i dulie za svaku sljc­decu silu i njoj odgovarajuce zrake (.urania). Ovo mozcmo shvatiti i.zapamtiti kao pravilo koje ce nam' ota,k~ati rjcsavanjc zadataka primjenom plana sila i veriznog poligona. kao i za kontrolu rada pri r;davunju zadatuka ove vrste.

}';APOlv1ENA: Princip veriino!; poli!;ona proistckao je iz vee poznatih pra­vila 0 sJaganiu, odnosno razlaganju sib oa Jvije komponcnte.

Primjcna veriznog ptlligona za graficko iznalazenje rezultante dvije iii viSe sita koje napadaju dato tijdo (nosac i 51.) \,idljiva je, S obzirom na postu­pak, iz sljedeCih primjera.

Primjcr:

NaCi rc:zultantu sistema sila P u Ps i Pa koje napadaju dato tijelo (nosa~ ovdjc: pred­sta\'ljamo u planu polo:laja pravougaonom piocom, 51. 51).

Prim]IT (51. 52):

~: ;/ 11

c' ,

O\~fV,./ ': \1 i' 1

'. SI. 51. a) plan polotaja (Mj : J : 1 000). b) plan sita (Mj : 1 em .Q 1 kN). R"k svojim praVcem prolazi kroz d (napadna tacka u d)

ocitano jz plana ~ilt; Rr.oR = 6,9 kN.

Nati rezultantu lIi5tem~ paralelnih sila (osoyinski pritisci drumskog vozila) P u P3 j p~ (bez obzira. na ito sile djetuju).

Napomena: (w: sliku 52)

KrutiCi oka strc:1ice. u pravilu, oznacavaju da su sile pokrctne (vazUo i sl..).

Pnmjer Csl. 53):

Odrc:diti velicrnu i polohi rc:zuitllnte sila kojc: djc:luju na rid, dat u planu polobjll (sile oznacene $a G predstavljaju vlastitc: tdinc: dijelova zida, a djehijU: j1 ~e1Htu tih dijdova. Zid St, U pravilu, ratuna na jedan dufni metar).

38

aJ

I: ~:iRuk i t , , );

d ,

II~I

~' :i'~ ~, ~ , '" , .?, '

b)

• P, ,

i Po Ruki

0",,_,, __ ':-1

~: 51. 51. a) j!]Jll p<lh,/.aja (mi: I: 100), b) plan sila (mj; I em A 2 kN). R"k - 11,5 kN

raraklna it ()stahm ~ilamJ Cl n)CIl pra\"3C prolui krOl \a~ku d.

al

SI. 53. a) plan poloiaja (m;: [ : 50), hi j,!an sil:o. em; : 1 em.Q 2 k~): W = 4,5 kt-: za beton y = 2)4 kX!mJ, G, = 7,2 k>-1,:'m', G~ = 4,8 kB·!m\ R (1.......-4) = 6,4

SI. 53a. a) plan poloiaja (mj: J : 50), b) plan sila (mi : 1 em 0 2 kN), W = 4,~ kN/ml. G, = 7,2 kNtml, G, = 4,8 kN fml, R,

= 6,4 kNtml.

'I

Rezultantn u prethodnom zadatktl moierno naCi j posrepc:nirn s\aganjem sila (sl. 53~).

Kao sto sc \'jJi, raul tat je iJcnti'::an (mora biti isti).

Pn'mj"r (51. 54).

PomoCu veriinog poligona odrediti rezuluntu sistema sUa razlititih pravaca i smje­.r:0va djdo\'anja. Podaci su dati na planu poloiajll.. Postupak je, postujUQ vee pozp-ala pra-vila, u porpunosci demoostriran n:a datoi slici. .

SI. 54. a) plan polozaia <Mj : I 100), 0; plan sib (Mj : I em 0 1 kN). 1\ 3,0 kN, P1 = 4,0 kN, Po, -.., ~,O kN, P, 2,5 k.,\ R"k (ocitano iz pJana si!a) = 7,0 kN, Pr;jV;)c djejs[va R proJazl kroz tacku C', Ij .. kroz presjccistc prve (0) i posljcdnje zrakc (4) H:riinog

pOilg0na na pb.nu polozaja.

4.5.1. Iznalaz.enjc vrijednosti statickog momenta sistema sila za datu tacku - pomocu veriinog poligona

Za sis rem (skup) ad dvije iii vise sila, paralelnih iii razW:'itih pra\'oca dje10vanja (opsti slucaj), a kaje djeluju u jednoj ravnini na neko tijela (plocu _ nasac i s1.), mozemo odrediti ~-. utvrditi vrijednost statickog momenta datog: skupa - sistema silo:! za bilo koju tacku (iIi zadanu tacku) i u toj is(Oj ravni ,-

OJ

s

SL 55. a) plan poloiaja (u micrilu duii­na), b) plan sila (u mjeri!u sila) Moment si1e P za ta~ku C : Mc= f: y, f - polno rastojanjc, a1 - aJ = y (ordinata veriinog

poligona;.

40

pom'oell plana. sila i odgovarajuceg ,'criblog poligona nacrtanog na pla­nu polozaja.

Postupak je u konacnici grafo­-analiticke prifode jCf, zapravo, dvije velicine, koje dobivumo i od­redujemo graficki (postujuci odgo­varajuca m;erila za sUe i duzine), medusobno mnozimo i taka, kao rczultat) dobivamo trazeni staticki momenat sila. Postupak kojim se utvrdu;e: ova] staticki momemlt sila bice lako shvatljiv ako najprije ob­jasnimo kako se postupa u slucaju sarno i.edne sileo Graficka konstruk­cija postupka vidljiva je - data ;e na slid 55.

K3plaiju'polohja (51. 55) data je i nacrtana sil. P, koja je potpuno odr":' dena svojoI~(-v~iqnom,-pravcem, smjerom i napadnom tafrom. Kroz zadanu: (datu) momentnu taCku, ovdje obiljezenu sa C, povukli sma najprije liniju paralelnu s~- pravcem d;e1ovan;a zadane sile P. Ovakovu (paralelnu) liniju obilje:iili smo'simbolom S (kako se' cesce tini U grafostatickoj praksi). Po,ebno smo (oydje:de<no) nacrtali pial! siia, oydje plan koji se odno,i sarno na jednu zadanu silli'"Za proizYoljno odabranu tacku (pol), oznacenu sa 0, povukil smo poInc):rake ka" pocetku i kraju, u mjerilu za sile, nacrtane sile P. -Te zrake su- -oznacene sa 0 i 1.

Tzv~-~P;UnoJaslojanje koje je,.oznaceno saof-, na planu sila predstavlja najkrace (upravno) tastojanje od pola 0 do pravea sile P ll_ planu sila.

Sada sma ad proizvoljno odabranc taCkc na pravcu djelovanja -sile P u' planu polotaja npr: od tacke a1 povukJi liniju paralelnu polnom zraku ,,0" iz plana sila, tj. a1 - at. do prcsjeka sa linijom. S (koja prolazi kroz tacku C). Kroz istu tacku a1 povukli smo takode Hniju paralelnu sada polnoj zraci "J" iz plana sila do presjeka sa linijom S tj. a1 - 3 3 , Ovo sto smo sada nacrtali u planu polofaja tj. linije a1 .- a2 i a1 - a3 predstavlja verizni poligon date sile P. Vidimo da smo na iiniii S (kroz tflcku' C) dobili sada odsjecak "Y" koji zatvara na slid - 'planu polozaja Jobivcn i srafiran trokut 3 1, a2• 3 3,

Visina toga trougla iednaka je najkrucem rastojanju zadanc mllmentne tacke C od pravca deistva sile P u phmu polozaja. a to je oznaceno o\"djc sa I. Sra­firani trokut a1 - :t'! - a 3• sa plana polo7,aj~, stiean j(' tn'b,ltu u planu sila kojcg obrazuju poine zrake 0 iIi sama sila P tj. Trouglu 0 - I - 2.

1z slicnosti datih trouglo\'a sHjedi razmjer

Y:I=P:j,

odnosno (rjesenjem - sredivanjcrn)

P·l= y.! Proizvod p. I, u stvari, je M (M = P' I . - staticki momenat sile, s

obzirom ila taCku C), a to znaci da se raj staticki momenat moze izraziti (dobiti) i kao proizvod

y. {, tj. M = y. f·

Ovdje.je Y odsjecak sto ga u planu polofaja Cine stranice veriznog poli­gona (sHe P) na liniji S, tj.liniji koja je paralelna sUi P, a prolazi kroz momentnu tacku C (cesto se ovakva linija zove osa momenta). .

Ovaj odsjecak se moze adrediti u mjeriIu duzina kakvirn· se efta i sam plan polozaja (nap. I : 100).

Polna udaljcnost ,,[" vczana jc za plall" sila ,i nju, moiemo proizvoljno oJabrati - obieno to bude djeli broj, tj. vrijcJnost sa kojom se lako racuna. Ova polna udaljenost J utvrduje se u mjerilu sila kojim se erta i plan sila (posta je odsjecak Y uzet u m.ierilu dU2ina - kao plan poloiaja, u principui moVglo se postupiti i obratno),

Konacno, na bazi interpretacije (objaSnjavan;a) konstrukdje na slid 55, moiemo zakljuCiti: Staticki momenat sile U odnosu nn datu taCku grafiad maze bid predstavljen U obliku trougla. Taj momenat se konkrerno' mo'le odrediti crtanjem plana sila i veriZnog poligona. Staticki momenat sile P u odnosu na zadanu tacku C u ravni dejstva. te sile, maze'se odrediti ;tako da se

41

f

/

polna udaljenost f iz' plana sita, pomnoZi sa odsjel:kom sto ga stranice veriznog 'poHgona, koje se sijeku na pravcu sile P, Cine na liniji povucenoj paralelno pravcu dje10vanja sile P~ hox momentu tatku C, tj.

M=j·y iii

M = H· y (ako ozna&noj = H, tj. kao sto cinimo <esto u'praksi). Pri tome se striktno uvaiava mjerilo koje se odnosi na f (mjerilo sila) i Y (m)erilo dufina). ,

Sada kada smo objaSniIi postupak kojim se utvrauje statiCki momenat jcdne sile za zadanu taCku, bice mnogo jednostavnije shvatiti analogan postu- . pak. koji se moze primijeniti za bilo kakav skup - 5istem od dvije iii vise sHa paraJelnih iii razlititih pravaca djelovanja. Postupak u svakom slueaju korcspondira vee- opisanom i uz uVaZavanje Varinjonove lCoreme (momentnog poucka) - po kojoj rnomenat rezultante za datu tacku jc jednak algebarskom zhiru statickih momenata!nienih komponenata za tu istu tacku - je vidljiv na slid (grafostaticka :kOJlstrukdja - 51. 56):

, I " I

ol b.) .

o ~ I( ;UHj

'I

I I I I I L

o

o

51. 56, a) plan poioiaja (u mjerilu duiina). b) plan sila (u mjerilu sila), C - momentna latka. Yr-" e-<:I> Me"'" f· y,.]>'l~ = H' Yr. Prt'dwak momenta_ (ovdje) pozitivan,

Na slid jc vidljivo-idaismo kwz zadanu 'tncku C nu planu poioiaja povukli liniju paratctnu'dubivcnorrezultanti R, tj. Iiniju koju smo obiljezili simbolom S. Na [OJ liniji (S) prv. (I) i posljednj' (4) zraka - lini)a vcriznog poligona, kuji jc nacrtan na planu poloiajaJ odsijcca odsjecak vclicine Y.

Umnoskom ranije uivrdel)og (vidi plan sila) polnog rastojanja f(ko)i mozemo oznaciti i sa-H)-i dobivenog odsjecka Y - iz plan(i polozaja dobijemo trazeni stati~ki rnomenat datog skupa (sistema' sita). Predznak statickog mo­menta je vidljiv iz sIike. Na datoj slid njegov predznak je utvrden na bitzi pravila koje va:!i za predz~ak statickog momenta, tj. kada tezi da vrsi obrtaje

42

u srnislu kazaljke na satu, dobivamo znak )lus (+), i abratno, znak minus (- ).

U praksi imamo testa slueajeve sistema paralelnih sUa. Nije porrebno posebno naglasavati da takve slucajevc rjeSavamo naprijed navedenim postup­kom, uz tada jednostavnije crtunje, jer je to sarno specijaJan slucaj opsreg) proizvoljnog sistema sila u ravni,

4.5,2. Analiticki pos(Upak iznalaienja statickog momenta skupa ~ sistema sila za zadanu tacku

Anali[lcki poslUpak iznalahoj;l s[<1tlckog momenta skura -- sistcrnJ sila za zad:1nu tJcku u r:::tvni dcj\t\-;l lih siia, zasnovan ie nJ samoj Jefin(ciji statickog momenta sile.

Potre-bno je, d<lJ..Jc, za utvrdcnu -- %aLia{u momentnu tacku (c) odrditi najkrac3 raswjanja (hake) od momcntne llll>kc do rravca svakc 5ilc pOnaOS(lo. Ova 'na)kracc rastojanjc) kao stO je pnznato, dohi'la se poviacenjcm okomicc iz momcntnc wckc nu pravuc dcjst\,U sile. l\,jedinacni momenti s\3ke- silc u odnosu na zajednicku inomcnrnu t'J("ku (c;, dobiju St, kao sto je, raKoocr, poznato, umnll_5kom date sile i njcnog (odgcl\'arajuccg - korespondirajuceg) kraka, Algebarski zbir pojedinacnih statickih momenata datog sistema sib na zadanu t3cku je, u stvari, jedo,lk st;:HiCkom momen[U rc:zultante datog sistema od dVlje ili vise sila (parale1oih iii raz!iCitih pravaca deistva) u odnosu oa datu racku (Varinjon07.!a (COrelll'l). Izm1!azcoje smtickog momenta sk\lra siia - an::tlitickim poslUpkom U (ldn()su na zadanu moment 'U tacku -- viJi se iz pOStupka ilustriranog n3 sEci 57.

SI. 57. Iznalaienjc- statitkog momenta skupa sila analititkim postupkom: C - rnOmC'D'i;;l

tatka, I - j7-1omljeni stap (tijdo - nu­sat), Me = ? Me = P,x 1,0 -+ po); 3,0 i + Plx 6,5 + p.x 2,0 Me = 1,0 - 1,0 -' 2,Ox

3,0 + 4,Ox 6,5 .1-- 1,5·2,0 = + 36,0 tN.

VrijeJnost ukupnog 5tatickog mComentJ datog skupa -- sistema sib koje napad:1ju tjeln (prcdsta\'ljeno na slici) i Zi1 datu tacku, iskazan je jed nO­

stavno i rezultatom na samoj sJici (AI = 36,0 kNm),

4.6. Ii:N,\!.AZENJE ](EZULTANTE SISTEMA SILA KOJE NA­PADAJU TIJELO ANALlTIL:KIM POSTUPKOM

4.6, J. Paralclnc sile

Rani)\.' sow VCl: objasnili gr;lfiC:ki poslupak kujim smo 'pomoc:u slaganja sila, odnosno pomocll plana polobj<l i plana sila odred:vali rezuitantu) pored osra10g, i sistema - skupa dvijc iii vise paralelnih sib koje _napu{jaju neko tijelo (pJocu - nosaca), Sada cemo obj<lsniti, a to je i znarno jcdnostavnijc, kako sc utnd.uje rczultantJ dJtih p~l:',delnih 51Ja analitickim postupkom.

,

Velicina (intenzitet) rezultante paralelnih siIa (sHe paralelnih pravaca djclovanj"a) data je obrascem:

R ~ 2: p. "" P, + P, -10 P, + ... + p •.

Ako ne.ka sila ima suprotan smjer (~o gore), onda dobiva znak mi­nus ( -')', ' '

P~vac dejstva rezultante paralelan je pravcima dejstva siia v (kompo­nenata), a predznak (smjer) je utvrden s;unom algebarskom (racunskom) operadjom. __ _ _ . Po pravih.l' (konvenciji), sile llsmjerene ka dolje dobiva;u ovdjC zn~k plus (+), a gore minus (-).

Poloiaj rezultante (odnosno i napadna tal:k~) od,red::11 je,.vel.iCinama i medusobnim razmacima komponentnih (paralelruh) s11a lZ kOJlh Je nasrala odgovarajuCa rezultama. Taj poloza; (nstojanje od_odredene tacke) ~~zemo odrediti primjenom vee pozn~Hog momentnog poucka, zapruvo r'ilYll1Jo,!o'ce leoreme. To cinimo tako da, za odabranu momentnu (referenmu) tacku, koju-obicno odaberemo na pravcu djelovanja jedne ad pa:-aldnih sila, post?­virno mOl;nentnu jednaCinu, rj. algebarski saberemo staueke momente sVlh sila U odnosu na tu (mamentnu) taeku, pa to izjednaCimt) sa proiz\'oJom iz-

. mcdu vee p0Zr13te (n::licine) rezut­

SL 58. Sistem paraldnih sila

Postavljanje momentne jednaCine

rante i jos nep,!zn,1tl)~ njcl1ot: r:J~­rojanja x (kraka) do d:Jtc mOn'tt:mn;:: tacke. Odatle, buduci l\~' ic "-\-~ ,,~­

talo poznato, iz:acutl;1 ~'"l ~'~:-·-\.'r~-ii'·

rastojanie (x), a rime del ini'>emu i polozaj rczultante R ~i~l\::ln pur;.;.­

le!nih sila u ra\'ni .. \lOtnCfllOiJ tUlj.:U,

inace, moterno, aka zc!imv, oJub­rati bila gdje u ravHi lkjstVJ. sil3.

je vidljivo iz sljedeceg (s1. 58),

R = L p .. (Pn - je prGizvoijni broj paralelnih sib),

Po' 0 + P1 . al + p .. ' G .. + P3' a 3 ± Pn ' all = R· X.

Odavde je:

2: P,,' a. X=·---,

R

Time je 'odreden i polol.aj rezultante analitickim putem, pa je ana tako u potpunosti definisana) tj. konkretno utvnlena,

Neposred~a primjena navedenih stu\,ova vidljiva je iz sljedccih prim­jera:

?rimjer,

Raeuoski ...:.. primjc;nom Varinjollove te~m,:me~ odrediti poJoiaj rezultante skupa -nita',lla(koie potiru od lokomotive -osovinskih pritisaka): PI "" P; = P, = P ~ = 80 kN. P f = 60kN. .

44

Za momentanu tacku uzecemo. napa-dou taCku prve sile (A).

R = P1 + p. +.P~ + p. + p. =.80 + 80 +' 80 + 80 + 60:= 380 kN)

R· x = p.' 1,0 + p~. 2,0 + P4' 3,0 + + p.' 5,0,

380·x = 80'· 1+ 80· 'l + 80.3.0 + 60.5,,0.

380· X'= 8.0 + 16,0 + 24.0 + 30,0.

380·x = 780.

7S0 x = 380 = 2,05 m.

SI. 59. Odredivanje polohin re­zultante skupa - niza sUa. Ru,l- =

4·80 + 60 ~ 3S0 kN.

Rl'll.dlanta -R -= 380kN udaljena je od prve sile (tacka A) 2,05 m.

Primjer

Odrediti analitickinl postupkorn veliCinu i polota} rezultante dviju paraldnih sUa suprotnih_ smjerova koje napadaju odredeno tijelo (nosae) istovremeno (vidi plan poIotaja). P, = 2.0 kN, P, = 1,0 Mp (-.:idi sliku,' tj. plan polofaja). .

~ R = L P = - 2 + I = - t,o kN (usmiereno

Si. 60.

lila;;: ':<;mi:',J \"(:c(' sile, Pn: ... iai b: .-\. Osta]o se "idi na slid.

!,3 gore, tj. u pravcu vece siIe). Nelea ie momentna nicka odabrana u napadno;

l<lcki sik P, ~A). Odstojanjc rezultante od momentne lackc ce se dobiti rje!cnjem sliedece jdr.:Jcine:

-Pl' 2 .. ~ 2,0-1,0 X= _. __ ~ __ _

R -1,0 R· x + J-\ . 1 = 0;

= 4,Om.

Vidimo da se rezultanra po $\'ome poloiaju na. lazi na strani vete siJe (ovdje lijevo) i d3 nosi pred­

n:zultante je definhan razmakom od x = 4,0 m od tac.

4.6.2. SHe razlicitih pravaca djelovanja

Ako sistem - skup oJ dvije iIi vise sHa koje napadaju tijeio imaju razli­Cite pravce djelovanja, smjerove i napadne tacke - dakle, kada unamo opsti slucaj proizvoljnog sistema - skupa sila, tada, radi iznalaienja rezultante analitickim postupkom, cinimo sJjedece:

BuduCi da su sve zadane sHe skura definisane, tj. potpuno poznate, to, s obzirom na phin poloiaja, mozerno svaku od sila rastaviti _ razloiiti na po dvije medusobno upravne komponente. 'U praksi obic-no u planu polo1aja postavimo pogodan koordinatni sis~--"'sa horizontalnom (x) i vertikalnom (y) koordinatnom osorn. Tako svaka sila ima odredene koordinate svoje napadane tacke (hvatiste) i ugao djelov~ja U odnosu ria horizontalnu (x) osu.

Razmotrimo ;edan takav (opsti) slucaj na"stjede'coj slid (sl. 61). S vaku od datih sila razlozirno na komponente paralelne osi x i y po vee

pozna tim obrascirna, tj. PllX = Pll' cos a,

P'fIY = Pn ' sin Q.

45

!

j

Posebno sada provedemo komponentc rezi.11tante ovih sUa _za pravac x i pravac y, tj.

.... Sl. 61. Plan polofaja. Sile komponente: PIX"'" "" Pu PlY = 0, Pn- .", O. p.,Y. .... - PI Pax ... =+P, COSQ •• P')I = P,sina., PII;f - PM

COS a,> P"y=-P"sina:hRl<wk= 2: Pl<'

RII~ = L pY' Rill = YR'.:nlk +R'yuk

Njihov- poJozaj (tj. R%' i R,.) molemo odrediti koristeCi se Varinjonovom teoremom uzimajuCi za momentnu tacku, u stvari, liniju cse koordinatnog sistema X j Y. .

Na taj naCin smo odredili komponente rezuItame R zadanog sistema siJa, a koje nam 'sada ornogucuju iznalazenje same rczuhfi~te analitickim postupkom. KoristeCi se mogucnosti pomjeranja sile duz svoga pravca djelo­vanja, rj. mogucnosti pomjeranja napadne tacke sHe dux roga pravca (upam~ limo lil1jmicu da je sila "klizeCi" vektor), maierno dalje na isti naCin kilo i iz statike materijalne taCke odrediti tratenu rezultantu - po ve1icini, poloiaju, pravcu (i smjeru) u napadnoj tacki.

VeliCina (intenzitet) rezultante, kao ~to je vee poznato, odredice se po obrascu:

R = v'R; + R~~-a odgovarajuCi ugao nagiba koristenjem, takoder vee poznatog obrasca:

R tgy =2~

Rx

uz vodenje racuna a predznacima radi pravilne orijentacije rezultante.

Napomella:

usmjerenja

NOlpadnu ucku .rezultante R, kao ito je poznato, moterno pomjerati dux njenog pravca dje;stva. Konkretna napadna_ tacka (na tome pravcu) utvrduje se na samom planu poloiaja - zavjsno od karak.tera zadatka koji rjebvamo.

4.7. RAZLAGANJE SILE NA TRI KOMPONENTE

Prije nego sto pred~mo na razmatranje i definisnnje uslovne ravnoteze sila kojc napadaju tijelo, objasnicemo kako' i pod kojim uslovima mazerna zadanu sHu p;. umjesto u dvije, kako je jednoznacno u pravi}u moguce, raz~ loziti - rastaviti u tri (3) komponente. Poznavanje, n~ osriovu vee poznatih pravila, postupka kako se razlaze zadana sila na tri komponente (kada je to

46

jednoznacno moguce) je od watne koristi pri ridavanju odredenih prakticllih zadataka iz domena grafostatike i grafickim putem.

Postupal< razlaganja sile (P) u tri (3) komponente. kada to mozemo Ciniti, vidljiv je iz sljedece slike (slika 62).

Na proizvoljno tijelo djeluje sila P u tac.d 0 .. Pravci djeIovanja kompo­nenata (na knje treba razloiiti P) su pc.:nati bo i eventualno njihove napadne

0)

b)

r

SL 62. Kulmanov postupak: a) pbn poirlZaja (u f'1jerilu duiina), b) plan si!a (u mjeri'.\'. sUa), K - Kulmanov pravac Ve-1iclne komponenata (PI} PI) P,) sile P ocitaju 51': sa riJrn

sib.

tacke (komponenta Pp P'l' Pa i napadne tacke 1, 2, 3), pravac djelovanjn jed.1I~ 0d komponenata (ovdje napr. PI) sma vukli do presjeka sa pravccm djelovanja zadane sile P i time dobili presjccnu tacku a. Pravce djelovanja drugih (preastalih) komponcnata (ovdjc Pz i Pa), takoder, dovedemo do DH~ sjeka i time dabijemo drugu presjccnu tacku b. Spojimo liniju (ispresije~J.r.e lihije) presjeche tacke a i b i time sma dabili vaian pomoeni pravac djelavanja (tzv. Kulmanovu siIu, po autoru Kulmanu) kojeg nazivamo .r(ulmanov pravac.

Sada zadanu silu P razlozimo u nacnanom planu sila (desno) u dvije komponente, i to:-K i komponentu I'L> ~iji .St pravci dejstva, dakle;si;eku oa praveu sile P (tacka a). Time sma dobili v-ee jednu komponentu, tj. oydje P1 1 drugu Kulmanovu (,Kulmanov pravac). DaIje postupamo taka da Kul­manovu sHu (pravac) razlaiemo na preostale dvije komponente (Pi i Pa) na istorn planu sila. Ove tri posljednje sile (K, P, iPs) irilaju zajednicku prosjecnu tacku b u planu polazaja. Taka smo konaeno na· planu sUa dobiIi zatvoren paligon (cetverokut), cije stranice u mjerilu' precistavl;aju kompo­nente P l , Pt , P3 u koje sma razlozili zadanu silu P. Strelice (srnjeravi) ns planu sila Sll utvrdene pravilom 0 razlaganju sile (rezultante) na komponente, sto je poznato jos od ranije.

Te stre1ice prenesemo sa plana sHa u plan polofaja (na odgovarajuce pravce) i time, konacno, rjclavamo postavljeni ·zadatak - raZlaganja sile u tri komponente. VeliCine komponenata dobijcmv oCitavanjem sa plana sita, vodeti racuna 0 njegovom mjerilu (mjcnto sila koie smo prethodno pogodno odab,<tli, npr.) 1 em ~ 1,0 kN iIi sW<:no). Grafic-ka konstfukdja razlaganja je,

47

prema tome, u potpunosti vidljiva na datoj nrl¢teristicnoj slici - u zadatku (51. 62).' . "/'4,0,:,- .

Sadii'-inofeino, analizirajuCi ovaj postupak;,-,,'utV'rdiu uslove (slucajeve) . kada rusmo u _moguenosti jednoznacno i na: ~~~ nacin rijesiti zadatke ovakve vrste; sto ce reCi, rastaviti ?:adanu siJU"-U -tri lomponente. Nernoguc~ nost razlaganja data je na skitarna u okviru slike63.

SI. 63. Nemogucnost raziaganja site na komponente. P - sUa koja se r2zlaie, PI> p~> P, komponente.

1z skice se vidi dJ zadanu silu iii rezultantu ne mozemo razloziti u rri (3) komponente u sljedeCim ~lucujevima·.

~ a) aka se pr;:wci djejstva dvije komponente sijeku nu pravcu zadane sile, odnosno rezultamc koju ielimo razloziti u tri komponente darih prm'aca;

b) ako se pravci djcjw;a sve tti komponente sijeku u jednoj taeci koja se nalazi na pravcu djejstva zadane sile, odnosno rezultante;

c) ako se pra\'ci djcjstva komponenata sijeku u jednoj racki koja se nalazi van pravca zadane sile - rezultantc.

Mozemo, dakIe, zakljuCiti da zadanu sHu (odnosno rezuItanru) rnozerno razloi.iti·u tri komponente zadanih pravaca djelovanja Ci.ednoznacno), jedino ako se zadani pravci ne sijeku u jednoj tacki i ako se pravci dviju od kompo­nenata ne sijeku na pravcu zadane si1c (rezultante) koju zelimo rastaviti jedno-znacno na tri komponente. .

Pn'mja

Razlofiti zadanu sHu (rezultantu R) u td (3) komponente ako su potn:bni podaci i pozicija sila i komponenata dati na planu poloiaja (vidi 51. 64).

a ..,r- 1.,0 H_

rlOCn

~: .. ~----. Po

lP p

P,

,OkN b

SI. 64. l<ulmanov postupak: a) plan po­lobja (mj : I : tOO), b) plan sila (mi: I em "':: 1 kN). Ocitano iz olana sna: PI "'" = 3,4 kN.,P, = 3,0 kN. 1'3 ~ 1,0 !tN. Pu PI> Ps komponentc sile P.

Pozicije i vrijcdnosti kOnll'oncnata viJljivc su na obradenom planu 'pololaja,

48

, 4.8. USLOVI RA VNoTEZE

4.8.1. Grarl~1d ""Iovi ravno.tde

. " Posmo~~ naj~re uslove pod kojima ce dati sistem sila~ iavni'biti 'u . raynoteZi. . '. .

Sisiem'Iii.i (dviju iii viJesila) lui. napadaju !<ruto ,ijela (nOsal) bileu ravnote.fi ako jelijelo pad njilwvim djelovanjem u ,tanju mirOfJanja. To ZOllO da oUo kakvo kreranje - a ono bi mogbbiti transIatorno i rotadono - mora biti iskljureno;':Podsjetimo se Cinjertice da- translaciju -mogu prouzrokovati .sil~, a -rotaciju---..:.- -obrtanje, momenti (statilli momenti) odn~no momenti· sprega sila. '

Na osnovu ovoga mozemo izvesti uslove ravnotcle, koji u slueaju pri­mjene grafiCkog postupka - tj. grafiCki uslovi" ravnotefe - _glase: da b£ sUe koje napadaju tiJelt? (s£le u jednoj ravm) bile u ravnoteii a 1.ije10 u miru, pocrebno je:

I) da plan (poligon) sila bude zaWorm.

2) da venin; peligon bude, taWe, zatvoren.

Prvi uslov .. znaci, u stvari, nepostojanje mogucnosti tra~Iatornog kre­tanja, jer jerezultanta sila R = 0 (jednaka nuli).

Drugi uslov oznacava nernogucnost obnnog kretanja tije1a, jer je, pri zatvorenom veriZnom poligonu, iskl;ucena mogucnost fonniranja sprega sila i u slucaju kada je R = 0 (spreg sila hi, inace, prouzrokovao abrtanje bez translacije), a to je, kako znamo, takode, jedan oblik kretanja tijela. (Verizni poligon, je zatvoren kada njegove stranice obrazuju zatvoren mnogougao - poligon.)

Na osnovu razmatranj~ navedena dva grafiCka uslova ravnotdf; moterno daci do zakljuCka: iiko su U p£1.anju sama cri s£le koje napadaju tiJelo, njilwvi pravci dje/ovanja moraju se u slueaju ravtWteie 'sila sjeti u utoJ talk(.

Sl. 65. _ Tri aile U r&vnote!i: a) plan polo.­iajll (u mjerilu dtdina)1 b) plan sila (umie­dIu sila). Svaka lila je u rav:notefi sa pre­ostalim dvjcina silama (P sa PI i P" PI sa

PiP .. PI sa P i PJ.

p

/ I;io l " lpl~<.!

(Rezultanta dvije od takve tri sile jednaka je po velicini treCoj sill i mora imati isti pravac, sjeci se sa prve dvije u isto; taCki i imati supt'()tan smjer od smjera treee, sUe). Uslovi: ravnotcle imaju velUm primjenu pri praktitnom rjeSavanju mnogih zadataka. U sljedeCim primjerima data je prJmjena grafiCkih uslova ravnotde za rjeSavanje odredenih -- karakteristicrllh udataka.

Primjer: :Na kruru plofu (ABeD) djeluje sila P == 3,OMp pod uglom a = 30" u taCki E. Odrewti velieoe sila P" i PH koje djeluju u dodirnim taCkama sa drugim tije10m (oslonciIlUJ), pod uslovom da sile P b PA i Pa budu'u ravnoteZi (s1. 66). •

49

t

J

Of C , _______ -,0

P

.I..

" ,-

'-

1s.-~-,--------~ , , , '" ,,-

'< o

bl

p

SL 66. a) plan polofaj. (u mjcrilu dufina), b) plan sila (u mjerilu sila), trougao sila zatvoren, ,,,(!ione P A i PB ocitano sa plana siia.

Ovdje smo iskorisrili uslov da pravci djelovanja tri sile koje se nalaze u ravnoteu, imaju zajednicJ...'1l presjecnu tacku svojih pravaca (a).

Odtediti veJitinu sHa P A i Pn koje se javljaiu'u dodirnim tatl:.ama krutog tijeJa (stapa-grede) sa. osloncima, ako ne uzmemo u obzir tdiuu staf>;l, a stap je optereten -napadnut silom P = 5,0 k..'f u napadnoj tal!ki C (s1. 67).

Primjer

S1. 67. a) plan poloz.aja (m; : 1 ; 100), b) plan sila (mj : I em Q 1 kN). GrafiCko oeiranje: P = 4,20 kN,

P =-1,40 kN.

Primjenom grafi&ih uslova ravnote!e odrediti velionu sita koje se javtjajl·. u tack~ dodira tijela sa podlogom (sile yeze). Ovdje tijelo ima obHk krutoga !tapa (&f\~e - nosaCa) • • sile ve:ze su, u stvari. reakcije u ta&ama Ai B. cd kojih je pravac sUe u A (reakcije) poz~ nat, tj. ol::Oinit na podlogu na' koju se O$lanja. Podaci su. dati u planu palota;a (s1. 68).

Objaiojenje konstrukcijei, - postupka nt &lid 68: U planu polo1aja produi.eni IU pravci djeiovanja sila PI ~ PI hn i -aila (sile vae),

tj. reakciia u ta&ama A i B. Pravcl reakcija (RA. i RB ). takode su vertiltalrii. Pocevii od odabrane tacke a na pravcu sile-reakciie R" povucen je ved!ni poligon. na ranile opiaan na1:in ):;oji se u.vdava u taal fr. Zakljubla (zavrlna) 'zrab - lini;a I, koju YUcemo (ispre-­kida.ni~ linijama) od a do b zattJara venini Poligon i time ispunjavam~ jedan od dva gra~

50

ficka uslov~ ravnoleZe. U planu sila iz p0l:J 0 \'IJ~('"mo p:lf::lklnll liniju (uaku) "s" iz plafla poloiaja (vcrilnng poligona), laico Ja ona od,ij~'ca na lin!)i sila: P, i P, odsjeck<::- koji dllju trafene silt Vt7.t, Ii. reakcije RA j Rn- Reakc-ija R.i nalazi se (u planu sila) izmec1u zfaL:!

01 b1

fR. p. ro R. { A B 0

T , 0

N~ , b -~--

S I

Rt I

2 I ,d

, 2

I I 3 , 51. 68. a) plan pnlohja (u mjeril;.l dulina), '0; plan sila (mjerilo sUa)::<I, b, c, d, b, a - ZIII"O­

ren verizni polignn; R/l 1 Nil otitano sa plana ~jla.

(linii~) () i $, a rl':lkcijJ RIJ izml'du zraka ~ : :;ij.l 0, ~ i 2. Smienl\"i (strelice) su mrnjtrn;i ka gore. Plan ~ib ie ume, ukm..k, zalPorm, nclllllSflO, isrunien j llflaj drugi. grafi':ki \Ish)\' ravllO((;l,t ~il;j. Vclicillc rcakcij.l R,1 i Nfl ()Clt.\!l1l' ~a plana sila, uzim;!juc'i u ublir ud;lbr8lw mjerilo. Ostali dnalji vczan; ;t<l ovaj P"<;1\I;".'~ irrimkn<: gra(ickih \J~!ova fJ\"r1\llele), \'id­Ijivi su j;:: ~l;lycdrw:. ..Jikc ~_ Z:1(\J\1:.1

Prtmjcr

Primierom grafickih usJo\'i\ ra\'ooleie c,di"cJiti siit (re<lkcije) u A i B srapa (gr :d::) date na slici 69 (vidjeti plan poloZa)J;.

SL 69. 11) plan roioZaja (mj : I 1(0), b) pian sila (rnj J em:';;";; I kN); s - zakljucl13 ztaka, rcakciia RA je negalivna-u'.mjcreoa prtma dolje,R A = 1,20 kN, RB = 3,20 kN

(OCiUIOO sa plana siLl) P(I-2), RA (3-1), Rn (2-3)

ObjaInjtllje

Posto je $ila (reakeija) u B, tj. Rn po pravcu vcrtikalna (o):omira ria podlogU), kau i zadana sila P, w j pravac silt u A (reakeii~;, rj. R A je vcrtikalan - dakle, paraJdan 53 P iRA. Pos!upkom kojim su ispunjena oh~ grafitka u~lo\"a ravnoteie odredene su sik _ rcakcije RA i RB. Za RA kazemo da je nepltivna jer je, za razlil.:u ad Rn, usmjercna suprotno, (Takva veza-Idaj iii os)onJc bi sc za dato oplerecenje 'norao, dakle, u praksi ankerovati.)

Na analogao natin, striktnom prirnjco'ln) grafitkih uslova ra\,notde, kada ra(l:mo grafi~ko:n met()dom, mozemo rijditi razh~itc zad.llke ave \"(5Ie, poscbno tes{O bda rje­savamo iznalaicnie reakcija konstruktivnih nO,i\'ih e!emo:ol!a - nosa-:a, l za razlicila np­t<:rc('eoja s kojim3 ~e susrdcmo u tchni{koj prabi,

51

-'- c" t' :' .

': 4.8.2 .. AIiaUtl~k1 uslovi ravnotde· - ':-~' ,

:.<iko i,!iIn,o',z~datke rjclavati analitiCkim pinem, tada cemo za slu~j ., ravnoteZe, siIa prUnijeniti ravnoteze sHa koje" 'napadaju kfuto tijelo (nosat), '. a ovi usJovigIase:·· , ' .

Di bUu1ao eli·t!o. (iwsae) 'bilo ~ mirov~ju, a die k~je ga napadaju u ravno­uE,.potrebno 1'8 da algebarJk.i zbirovi projek;cija' svih sila na osu x (horizomalnu) i osU y (t>h-eikalnu) budu jednaki nuli, kao i do algebarsk; zbt'r scq-titkih mome­tiara roih 'sila, koje riapadaju tiielo, za bilo koju talku u ravni dielovarlja sila, buge: iednak, -'fUli.

" Analiticki izrazi za ove uslove ravnotefe glase: 1. uslov I X ~ 0, odnosno '(I H "= 0 )

II. uslov IY~ 0, " (2: V ~ ° ) ,

III. uslov IM~O,

U odnosu na uslove ravnoteze materi;alne tatke, ovdje vidimo da prva dva uslova osta;u nepromijenjena i da postoji jos ;edan (treci) uslov koji se

odnosi na sumu statickih momenata (I M = 0 ), Za momcntnu tacku obiC­no bimmo oslonacku tacku nosata.

U poredenju sa grafickit:1 us!O\-ima ravnoteze rijela, prv3. dva uslova

(2: X = 0 i L Y = 0 ) oJgO';.u·aju gr:lfick'om uslovu - da je plo.n sila zatvo­

ren, a treci analiticki uslo\' 0:: AI = 0 ) odgovara drugom grafickom uslovu ravnoteze - da jc verizni poligon zatvoren.·

Uslovi L X = 0 i L Y = 0 iskazuju eIiminaciju mogucnosti translator­nog pomjeranja u horizontal nom i u vcrtikalnom (ali i u bilo kojem drugom)

pravcu, ~ok usIov L M = 0 oznacava iskljucen;e mogucnosti obrtnog (rota­cionog) kretanja tijda (ploce). Sva tri uslova zajedno, istovremeno iskljucuju mogucnost translatornog i obrtnog kn::tanja, tj. pomjeranja uopsre.

IH~O iliIx~o,'Iv~o iliIY~O i IM~O nazivaju se i jednaC£nama ravnoteze.

Analiticki uslovi ravnotcic imaju vdiku primjenu pri odredivanju orpora oslonaca, tj. reakcija nOS(lCa. SmatrajuCi reakcije nosaca vanjskim silama, tj. kao i site koje napadaju nosac (akcije), postavljanjem jcdnaCina ravnoteze i njihovim ·rjclavanjem odredujcmo reakdje nosaca, ,

Primjena analitickih uslova ravnotcZe, s obzirom na postupak. vidljiva je iz sl;edecih primjera. '

Primjer

Odreditfvclitine o,tpora ostonaca krutog stapa (grede) opterecenog prema skid (vidi plan poloiaja) primjenom analitickih ustova ravnoteie (zanemarena tdina hapa _ grede 51. 70). .

Prvi uslru; ravnoteie:

LX - 0 iU L H = o. Ovaj uslov,ostaje neiskoriiten, jer nemamo U ovom slu­caju hOrUontalnih sila, tj. horizontalnih projekdja sila.

52

I "

,I

Drugi,ll:'loV"

LV=O' (LY-o.), . ,

I V-+RA-P+R. -0.' A F======;!B RA + RB - P; RA + RB ,... 410,-

. RB = 4 -i- Rt (R;, je. zasad. jot neporoata.-pa time i,Ra). . '

Treti uslov 51. 70. Plan, polOfaja

lena.

L M8 == <> <~Cka B j~ -namjer;" ~b~~" ~ momentnu taCku, jer sila R8 prolUi

keoz; taCku B). '

IMB~RA'6-P'4=O,

RA'6 "'" P'4·O.

RA·6-4'4-16·0.

RA '6,= 16·0.

RA = ~ = 2,67 ill; ako RA = 2,67 kN uvrstimo u jednaBnu za RB. imamo 6

RB = 4 - RA = 4,00 - 2,67 = 1,33 kN.

Napom(ma:

Rjdenje prethodnog zadatka nam je ujedno POkaZ3!O bk~ se mOie. sila raslavlti n:l

dvije komponente ciji su pra\'cj paraldni (parateJni sa solom kOJu r.a~tav!Ja.';Io n~ k<;mpo­nente). U prethodnom primjeru moiel~o silu P (P = 4,0 kN) .shvauu .kao sllu .. koJu zehmo razloiiti u dvije komponente paralelnih pravaca, a to su Q\·d~e otpon (reaKcl/e) ,o:<.l~maca RA i RB' VidjeU smo da to analicicki moierno uCiniti primjcnom uslo~a ramoteZe Slia na kruta tijela.

Ako zelimo i:tvditi rast3vljanje sila na dvije komponcmc paralelnih pravaca,. graficki.r.n putem. tada cemo Ie poslu1iti veriinim (za~vorenim) p~Iigor:~m. ,Pri izna1~eDJU: reakclJ8 (otpora oslohac;l) nosaCa koji napada jedna sila, u s(van, lzVdJ~l smo r.a::1ag:mJe !ill kompo­nente paralelnih pravaca (tj. reakcije - otpora os!onaca), a to Je vee ob,Mnleno 1 pokuano na pdmjeru. '. . . ,

Rastavljanje sUe na komponente, bo §to je vee rcteno, obrama Je racinja sastavlJaIlJu (slaganju) sila u rezultant1,l, Ovo treba imati na UfiU pei rjesavaniu zadataka..

Primjer

Primjenom analitiCkih uslova ravnoteie izratunati reakd;e (nepoznate sUe) u tai!kama Ai B (oslonc.im.a -ldiStima) nosafu datog na skici (~l. 71), .-

j 20m

!~-10m JB10n r lOml

81. 71.'Plan poloiaja - starlClU' ~ema; PI =: 2,0 kN, P, = 1,0 kN, P, = OJ5 kN.

53

I

I

Ponavimo usJO'ic

i

" r,vfioEc!e:

r. uslov: r H "'" 0 (ill L X = 0 ). Uslov osU\je neiskorihen, jet nemamo hon·

zont.alnih alla..

II. w10v: .E V - 0 (m r y - 0 ) •

RA - Pl + Rs-P,-P, = 0; R.., + RB = P 1 + p. + P,;

RA + RiJ ,... 2,0 + 1,0 + 0,5 "'" 3,5.

III. us[ov: L MA "" 0 (odabrana momenta tacka A).

Pl' 2,0 - Rs . 4,0 + PI' 5,0 + P J' 6,0 = 0, zamjenom poznatih vrijednosti (mamo:

2,0' 2,0 - Re • 4,0 + 1,0' 5,0 + 5,0' 6,0 = O.

l,O-RS'4',O + 5,0 + 3,0 = 0,

12,0"'; RB·4,o.

12,0 RB = -- "" + 3,0 l::N,

4,0

Napomena:

Patro je dobiven prectznak jHUS (+), prctpostavljcni smjer dciH\'il rc;tko.:ijc Rn (kao gore) bio ie ispravan.

Poznatu vrijednost RB uyutimo U L V = D, [j.

RA + 3,0 = 3,5,

RA = 3,5 - 3,0 =-, + :0.5 kN. I ovdje jc znak plus (--) odrc:dnica smjera rcakdje RA koja je, takode, usmjcrc~a ka gore:.

Napometl4:

Vlastita:teiina ltapa -T nosaea ovdje jc bila zanemarena. tj. nije bila uzeta u obzir. Na analogan naCin. postavljanjem analitiekih uslova rsvnoreze. mozemo rijditi

tunovrsne zadatke ovc vnre: - posebno pri iznalaienju reakcija nosaea.

vJE2BANJA I ZADACI

54

_ Kako definBc:mo huto tijelo, plocu i ~tap? _ Kako bismo $latiCk! rjdava!i dido\'anje sila (optcreccnja) na po!porni zid _ kao

na kruto tijdo iii ma!erijainu tacku? - Pri koioj se metodi rjes>iI\'anja zadataka (graficko; iii analititkoj) koristimo i koordi­

natnim sistemom? - Koliki je 5t'ti&i momemH sile za tacku koia se nala?! na pravcu dldo"'Jnjll. -il!!:' - Na sto se svodi istovremeno djelovanj.e jedne sile i jednog para sila (sprega) na

kruto tijelo (plotu)? - AnalitiCldrn postupkom utvrditi velicinu i potohj rezultante viSe vertikalnih kon­

centrisanih sila (paralelne siIe) na podlogu (nosac). R;ostojanja siJa su jednaka i iznose: a = 2 m, a sile su PI = 2,0 tN, PI = 3,0 kN i P l = 4,0 kN. Odtediti veliCinu statitkog momenta la taCku pod P J (napadna taeKa sHe P 1)'

- Za pre:thodni ptimjer dati rjdenje: gr-afiCkim postupkom (veriini poligon), - Oda.brati nekoliko jednostavnih prirnjera iz gradili§ne prakse na kojima. u n;.nit·

korn ratunu treba. primijeniti grafilke, odnosno analiti&e uslo\'c ravnoteie sUa (zido'li, dijeiovi ohid.ta. skelc, privre:meni obiekti - dijelovj i 51.).

- Kada je mo2UCt jednoznatno rastaviti zadanu sHu u tri komponenre zadanih prav.a dje!ovilnja?

5. T E Z 1ST A

5.0. TEZISTA LINIJA, POVRSINA I TIJELA

Prilikom r)eSavanja prakticnih 7.;JJJt;lb iz statike, \'coma cesto mOfJO"lO poznuvati tc%i,~nu rack.l: (tc;JjS.tc), i1','KC li,nijc, pO\Ts~nc ili tii da" .' .. ,-,'1

OhiiK linljl: - dun u st::mu Hna Slap, ~l rod st3f'om podr,lZuml)c':,L .. :.J izeiu;',cni Kn!1Slruklivni c!Cllicnat (rh,';,h:) kou koga jc l~lJzina u p~:c~cnlil $:3

Jimcn '.ij:nllJ j"':{lprCl'lWb prr:sjck,\ /;'.-.li:Ll P(ldu!~ir:lcc kod ,~kcl;l III SlrOVC ,u

jarmO\'imd _ $tubcwc kilO i ::;rcck dl'I.'Cill\'b (dl ,n?kog Jru,g:lg) s~lor:a~ I, nJ slicnih Kon::;tn!l,ti\'l1ih c!cmcn;lt:l, n1(lZClllO u Sl~HICI sn1,ltrZltl I nuZ1V;m Jtapo­

vimu, OhliK r,\\'r.~iflC imi\ju

dijcl(l\'j )'('-.1 LUi:!' if.' d('hJjin~1 u 'h~'" su n;t ,Juzinu

sprarr.a r2.\';1J. plobl i sl.) Obl;L t~;\'l'.\ '~hi("lL\) in'.?iu, Ll "1' ,1'<"'. i 5\'i nn5;1'~:i, ',lli o\'djc r~? tir:l p:d1f'cl­

zumijCY;lJ11n kmlStruktivnc Jijclo\-c, ,',.l:lP;:C'i' \'nlumcnc kod kOJ!h ,~1t1 )e.'l,IlJ

dimenzija (du2:ina, visina i sirina) nijc ~natno manja od ost~le d\:IJ~. OV.dJlc ubrajamo r':lZlICite zidoYc, potpornc zldovc, brane, temelJe obJekata lta,

Marerijalnu liniju, povrsinu j rijc\Ll, )~~'i oc.rcJivanju te7jsta, smatramo hor\lo-

1':'--1'';;1(':1. I:',\(I i t'.lk\'j Konstru\;"i\'"i i :;irinLl malJ (npr" J11cJu~

genim. .. '.") .'. ( c Teiisnu tacku iii teziste neke mat-:npllne ltnlje (stapa ) povrsme np_.

presjek) iii tijeb (npr, zida) moz2mo s~-l\'ati:i ,bo ~~padnu ta~~u :ezult~n:: paralelnih (verrikalnih) ~il~ koje TH.eC1sr~:'IJ~.lu tezlil~ ma:cnJal~l.h ta:",\.:~,~ (cestica) od kojih sc sasto)C nap,. po,'rsJ03 III t1Jclo, To je'.,dakle, tac~~ u ~~:;,I je, kako zamisljamo

j skoncc:nrns:lll:l (jelokupna mas a tlJda,. ~ol?zaJ tCllS,a

mozerno odrediti anaJirlckirn iii g;-;lfi0kim postupkom. Anahucktm posrup­korn polozaj tdista mozemo odrditi primjer:om, Var~~jonove ~eoreme (rno­menl:nol! p"n:ib), a graficki pomo:'u plana sda 1 vertznog poiIgona,

J : , b

Lr 1~2 ....-1e"c"<'---y: \b

2 ,~ c -\

S1. 72, Poloiaj tdista dobijen prcsjekom barc:m dvijc tdisne linjj~' (plota - [rollb"'))

SI. 73. Tdiste prave liillje: T - reiHna {atka

. U aba slueaja cjelina Hi .odredeni di~ duzine povrSine iii zapremine mo.t~mo predstaviti uslovno' kao sHu odreden~ ve!icine: Pri tome jedanput uzimamo da sUe djeluju -vertikalno~ 'a drugi put hor4tmtalno.' U presjeku tih prava~ djelovanja" rezultante za jedan i" drugi .pravac. nalazi, se teZlste.

Paloiaj teZiSta, kao ta&e koju dobjjemo presjekom barem dvije tezisne linije (tzv. teiisnice), vidljivo je no karakteristienoj skid (s1. 72).

5.1. TE2'ISTE LINIJA (DUZI)

'unije; ialo':ito znamo, mogu- bitl·prave,~TzIOmiJene i zakrivijene. Teillte prave linije (stap) nalaii se oa rijego~oj srediru (polovini duzine). Tefiste izlomljene linije na!azi se obicno van same linije. Njega moze--

mo odrediti primjenom naprijed nave~enih postupaka - grafitkog iii ana­,'litiCkog.

Uzecemo za primjer izloml;enu liniju {stap) ABC (sl. 74).

2 \

\ 1;

~J. 74. Tetj~te izlo.~ljene i}nije: a~ plan poiuiaja (u mjerilu dutina)~ b) plan sila (u mjerilu Ida). U presJeku dJeJstv3 slia Lv 1 Lu (plan poloiaja) nalali ae te:li~te izlomljene liniie

A-B-C,

Qbiljciirno sa L1 '" AB (duzinu dijela izlomljene linije ABC)i L, "" Be. VeliCinc (srnatrajmo ih uslovno silama) L1 i L" izlozcne su u jedinicama

za duzinu (npr.) u centimetrima iIi slicno). Ako postupimo na prethodno isKazani nacin, tj. veJicine (sile) Ll i L z najpre upravimo vcrtikalno (i usmje­rimo) npr., prema dolje) i nademo njihoyu rezultantu pomoeu plana sila i Vl'rll.iloga poligona, a zatim postupimo na jsti nacin, postavljajuCi veliCine (sile) Ll i L3 - sada horizanralna - i tako dabijemo rezultantu u harizon-

56

" ....

talnom pravcu "'U ,presjeku prav.ca te'dvije rezultante (Lv i LH ) dobijemo tefiSnu taB::u (T)'izlomljene ·linije ABC. "~, :':,-.

~AnaIitiCkiIn., pOsiupkom dobi1i bisino identican rezultat ako_ bism,~.,uz pomoo Varinjoiwve £eoreme (momentnog. pravil.), naSli poIou; pravcan:l.1ll-,· tant •. kado sili::,Li i Lt' post.virno . v.rtlkalno, 1m ponovljen posrupak ~'L, i Li postaviino~:ho.cizontalno., Time bismo'dobili, zapravo, .J\Oo~dinat~ t~ta· (T), pod uslovom·'da smo kroz unaprijed utvrdenu tacku post.Vili koordiqatni sistem (x i y).!'dnmo za momentnu taCkuuzeli koordinatni poCetak (taCka 0), odnosno: za ~~m~ntn.~ (referentne) ose: ose koordinatnog. sistema_,~,"~, .. X._

Na' arialogan-;·;·'gore opisani nacin, moZemo odrediti ,tez~te viSestruk0 izlomUene Iinijntapa grafickim ili anaiitiCkim postupkom. ,. " ..;,,.

. Na slican nacin,s. postupa i kod zakrivljenih (krivih) Iinija. Kriva Iinija se moze shvatiti kao visestruko izloml;ena lifiija, leao poUgon upisan iIi opisan oko date krive .linije. Podudarnast je utoliko pri teme ve6t, ukoJiko broj strana ·poHgona" b.iv3,veCi, odnosno postaje potpuna kada broj strana teZi ka beskonacnosti. )~ . . -

Matematskim postupkom se, na bazi naprijed iskazane postavke i pos­tupka za iznalaienje le.tiSta, doJazi do obrazaca za definisanje poJo~ja ttiiSt~ (kad pravHnih krivul;a). U opstem slucaju, nt!praviIno zakrivljenu liriiju,. a prema zahtijev-anoj tacnosti, podijelimo na odreden bra; dijelova (odsjeCaka), pa te manje dijelove (ods;ecke; tetive) smatramo da nisu vise zakcivljeni nego pravi. Dalje postupamo na vee opisani nacin, tj. kao kad visestruko izlomljene linije, bilo da to Cinimo grafickim iIi analitickim posrupkom (s1. 75.)

L .. • r'",,· " "

" ,.. .

S1. 75. Teiiilte zakrivljene liniie A-=-B: a) podije1jcno nn dvUe tetivl!, b) podije­

Jjeno na vUe tetiva (veta taenost).

51. 76. a) Tdisre kruinog luka AD: L­R· t

duiina luka'Yl =--, b)tdHtepolu­L

, 2 Rn kruznog !uka: l = 2R,·L = -2'

2R YT = - = O,64R.

'" Na slid 76 date su skice i matematskim putem izvedeni obrasci za karak­

teristicne zakrivljene 1inije sa kojima se teste susrecemo U gradevinskoj praksi. '

5.2. TE2ISTE POVRSINA

Povrsine susrecemo'u statici uglavnom kao presjeJ.~e (zamiStjeni pop'refui' , iIi neld drugi presjek) tijela (nosaca). PovrSinu (plohu) u smislu odredivanja tezista smatramo, rekli"smo, homogenom, 8tO ce reCi da'po jedinici povcline· ima uvijek koristantnu vrijednost tdine - mase.

Tezista osnovnih geometrijskih figura (likova - ploha) kao lito su pravo­ugaonik, Haugao, trapez} krug, polukrug, kruzni isjecak. odsj~cak itd., odn.:..-

57

"

t

I

dujemo - u[vrdujemo~ U pravilu, prlmJenom matematskih obrazaca za polota} (definiciju) te1ista~- odnosno ponekad grafickim putem na bazi poz­natih - vee iskazanih pravila za odredivanje te1iSta. PokaHmo to na prim;eru pravougaonika.

,_, $1. 77. TdiHe pravougaonika: x· i y_ ose simetrije, teiBte T u pres;ecihu osa simetrije, odnosno dijagonala pravougao­nika. Plan sila (Zi odredivanje polo!aja FJl i FI', tj. osa simctrije x i y) nije nacrtail. jer ovdje vee unaprijed znamu po!oiaj

ovih osa.

Kod pravougaonika, koji je u praksi veoma test, tcziste se moze dobiti, slijedcci gore navedeni postupak, .tako da povrsinu prdvougaonika ra:ldijeJi­mo U odreden bro; pravilnih djelova (ponovo pravougaonika), tj. lamda i teZinu, odnosno povrSiriu s\'ake te lamele shvatimo kao sHu. Dobijemo niz p'J:ralelnih sila rezultante R, tiji pravnc proiazi vcrtikalno sredinom prnvo­u~aonika. To .je, u s-tvari, osorilia .~imcmic. Osovina simetrije u isto je vrijcmc, dJkle, i tdina linija Za pravo'J.~'J.onik. Aka postupak sa lamelama i odgovara­juCim sHama pono\'imo~ tako da iii CiUlV pravougaonik iIi lumclc sa silama okrenemo za 90", dobicemo: novu rezultamu i njen pravac koji proiuzi, takode, sredinom (ali sada ne sirc" negr, uze strane pravougaonika) pravougaonika i sijec-e se sa prcthodnim pr4\'ccm rczultantc pod p(avim uglom, i to u zeti§ru pravougaonika. Posto je i Q\'O efuga linija, U sIvari, linija simctrije) oJncsno teiisna linija (te:iisnica), to se Icziste cijelc pIohe, ovdje pravougaonika, dobija presjekom navedene dvije linije. UOPSIC vai.i za -pravilo, da je waka osovina simemje ploha istovremeno ieiifna /in£ja, sto je od posebnog znacaja za odre­divanje te:iista. Naravno, Ja se tcZiste pravougaonika maze naCi i na drugi nacin, sta nam je vee iz geomcaije poznato, npt.: presjecistem dijagonala, medutirn, za razumijevanje materije iz oblasti tdista, kao i za njegovo, kon­kretno odredivanje u prakricnim zadacima. neophodno je poznavati i slijediti put odredivanja tei:isra zasnovan na, kod linija vec,. u principu objasnjenoj grafickoj, odnosno analitickoj meo:odi odredivanja teZiSta.

Kod rrougla leiiste pronaiazimo, prakticno u presjeku teiisnih linija, a ta linija je ovdje, u stvari, sredllja lim)'a koja vezuje bila koje tjeme trougla sa sredinom suprotne sIranice. Polota; tdista, dobiven ria opisani natin nalazi se u donjoj trecini visine tmugIa. To se vidi i oznaceno je i oa slid 78.

S1. 78. TdHte trougla

58

S1. 79. Tc!Ute trapeza. AnalitiBci obra~ h a + 2b

zac za visinu tdi~tll: Yr = "3 >= ~

I

Tei.iste trnpeza dobijem'o, kao sto se na odgovarajucoj slid vidi u rres­jecistu dvije iinijc, i to linije koja spaja sredine paraldnih strana i linije koja spaj~ krajnje tacke produzenih paralelnih strana trapeza.

I) b) b

c) i' of

f--. __ . b ··f

Ovo produ2cnje na kracoj strar,! (rapt:za iznosi, tj, jednako je duzini vec-e strane, a na duzoj strani manje (vidi 51. 79) strane - OSDove [rapez;),

Teiisr:i nekih drugih geometrijskih likova, znacajna za gradevinsku praksu, datB. su na slici 80.

Tei£s{e rJepYQ'i.'ilnih (slozeu{h) ponsina (ptoha)

U praksi se veoma ceslO susrecemo sa slozenim presjecima - povrsinam:l, Cije teiisne '-lse, odnosno rezisw rreba da odredimo. U takvim siucajevim8, u pravilu, slozcn (ncpravilan) pre-sjck - povrsinu podijelimo na sastavnc dijelove koji su sa svoje str:mc pruvilni i tiji polozaj tezista poznajcmo. Po­stupak i ovd~e mo:l.c biti grafitki (pomocu odgovarajuceg plana sila i vcri:i.n()i~ poligona) ili analiticki (uz primjenu momentnog poucka). Na narcdnoj slici (stika 81) pokazan je naCin odredivanja teiiSta za jednu slozenu plohu - .. gratickim i (alternativno) analitickim postupkom (s1. 82).

Pojedinosri iz grafiCkog postupka su vidljive iz :-;ra:icke konstrukcijc trazenog tezisIa ukupne plohe - povrSine (T).

PrimjenjujuCi analiticki postup;)k za j<;ti primjer (sIuca;), postavi!i bismo momentne jednaCine u odnosu na koordinarne, pomocne ose (horizontaln:l X i vertikalna Y) sa koordinatnim pocctkom u donjem lijevom uglu (tacka

59

~,: b, b, ~

~i- F.

V Yj , \ / / I

:'\ 1/ , , ,I h, ," IlL I F. ,.T 1/ I-._. "'" . .,..

, lY,'F.., 1

/ 'i . I \ F" h, / F . '\

-/""V I \.

"

'~';R'~ x .

l' d "

" F." 1;" e "

.~ .. ~~ i

~~

S~ . .--- 0

, Q ." I 0

YI F i ' SI. 81. Teiiste 5!uicnog presjeka, graficki postupak:

FII; = F1v = b (hi'; h,;, F~f{ F,v = b~' h", 5ile su izraZcne u jcdinieJ.J1la povrl,inc.

A) slike - crtei.a slozcnog prcsjeka. Posto su ovdjc sile izrazene u jedinicama za povrsinu (npr., cm\ dm\ m 2), to i odgo\'arajuCi mOnl~nti im3ju k?rakter Ir.omenata povrJillt: Cr.l<,,:,'~} rOb~·.~lj vcnikaine teZlsnc ose slozcno.: prcsJcka pr;JVC;J rezuItame siLl u vcnibJnorn poiotaju, oJrcdcn rastoj;JnjC!:1 od osc Y, daje koordinatu X tezista, a oJgovarajuci polozaj U odnosu no. honzontalnu mordinatnu osu Y daje koordinutu Y tez.ista. Prema tome, tCiiste ukupne s!ozene plohe F u odredeno je koordinatorn teiista T U odnosu nll odabrani (lIi dati) ko?rdinatni sisrem (s1. 82).

SL,82. TeiiSte 'sloienog presjeka, ana!iticki pos­tupal<. xT i YT dobiju se iz sJjedcCih jednaCina

b, ( b» F!' 2 + F1 b l +- i. = (FI + F:) xT;

""' ( h') . Fl' ~2- +F~ hI + 2' = (F1+f',) YT·

Na analogan naCiu bismo postupili pri iznalazenju teiista u bilo kojem drugom siucaju - primjcru, kod slotenih povrsina (ploha - presjeka).

fumjer

Odrediti po!oiaj [dilita slozene povdine, oblika i T -presjeka (graficki postupak). Pndaci su dati na planu poloiaja (nacrtu presjeka).

60

2! F.

SI. 83. TeiiSte s.lozene povriine oblika T; grafilli postupak; plan polo!aja (mj : 1 : 10), plan sila (mj:-lcmO::::::400 eml ). F1 =80'20= 1600cm.~ F, =30.40= 1200cml; anaHticki postupak (prema Varinjonovoj teoremi); Fl' 50 + F,· 20 = (FI + Fa) V,;

• 104000 . 1600· 50 + 12oo·.s0 = 2800 ·Y,• 104000 = 2800 Yj> YT = -_ = 37,15 em.

2800

Po~to je T-presjek simetrican tl odnosu na vcnikalnu CY) OSUJ

palataj tdisne tacke T mora bid na simetrali presjeka. U presjeku vertikalne simetrak i horizonta!ne rezultante ponsint' presjeka (RH ) nala7.i se taCks T-leiiha.

5.3. TEZrSTE TlJELA (BLOKA - VOLUMENA)

Onu ~t(, j.e n:i;eno 0 iZllalazcnju teiista linijc i !-.h)v{sina vaii, u principu, i kod odredivan;a teZista tijela. Kod osnovnih geometrijskih tijela po!ozaj teiEta i nacin kako se odreduje poinat je iz geometrije. Osnovni uzroci dati su na skid 84.

51. 84. Tefi~ta njela: a) zid i temelji (prizme), b) greda (§tap), c) piramida, d) kupa.

U slucaju 'slozenih tijda, teiiste se nalazi na sliean nae-in 1010 i kod 510-zenih povrsina (teZiSta, u praksi najcclcih oblika tijela, cesto su sadrlana u tablicama koje sadrfe prirucnici i knjige iz oblasti statike i konstrukcija).

61

t ,

,

Primja

Odrcditi napadane'tuike sHa tdine gornjeg: dijeIa potpornog zida i nje­govog temelja. Napadne t~cke ~e7jna dijelov3 zida su, U $tvari, tefista tih dije1ova. PoSto zidove racunamo u praksi na jedan metar duzine (rnl)~ zida (ovdje zida i terne!;a).

j I'

S!. 85. G j - sila teline (mase) gornjeg dije­la, G~ - sila tezine (mase) donjeg dijela, Ty i Tf - tefi!ta gornjeg i donjegj dijela tiie1a (napadne tacke G 1 i GJ, x, i Xl - td.Hne os("

Polozaj te2Bta) kao SID se \'idi, iz rr~kticnih razloga odreden je) ovdje, grafickom konstrukcijom.

VJEZBANJA

62

- Sta, u stvari, predstavlja tefHte neke linije, plohe ili tijela? - Odrediti grafickim,postupkom tefilte presjdca konstruktivnih nosivih elemenata

iz gradc\'inarstva, praksom utvrdenih oblika i dimenzija (temelji. zidovi. tazlititi nosaei, clementi, itd.),

- Provieriti tacnost ut\'r&enog polofaja teZi~ta 23 neke od daUh zadataka - analitic-kim postupkom.! .

- Odrediti tefHte nekog!'(usvojenog. sapdutastog nepravilnog) presjeka. (Supijina poligonalna iJj zakrivijena,)

6. NOSA':;! I OPTERECEN]A

6.1. NOSACr

Pod nO$<lccm treba podrJ7.umijcvati e1crnenat (f::redu, stub ltd.) Kl,~i ima z3?atak da prcuzmc odrcdcno optcrecenjc (sile) i dJ ga pouzdano prCf;,c,'c no S\'0J.C osloncc, Po s\'o)O) konslrukciji, nosaci mogu biti pUlli i reSuk"Si,' Za razliku od punih, rdCtK3Sti nosacl s:1stavljeni su od niz(l rnedus(dmo r1C'\'C:~ znnih s(Qpova, lJkt, cia )..:.10 cjdina Cine no;;;jvc kunsrruhi\'nc clcmcn~c ko;:,,, sc mogu ostvnriri cC"sro i \'c!iki ra!:'puni (rdetbsti C11\Sr, re.ktk'lSti t.::' ... ,.>

rdctbsri stuh, lId.).

4 5

~$ I :/

bJ

p---, I I ; I 4 '5

S1. 86. a) puni nosae (staticka ~ema): 1-1 - pre~jt:l(, 2-2 - prcsjck, 1 - raspon, b) rdetkasti nosac: 1 - raspon, ~ - stapovi.

Puni iIi rcletkasti nosaCi prema svojim statickokonstruktivnim karaktt> ristikanla mogu biti gredni i lue-ni, odnosno zasvedeni. Prema obliku svojc ose, gredni nosaci mogu biti pravi, izlomljeni iii zakrivljeni. Lucni iIi zasvc­deni nosaci SU, u pra\'ilu, zakrivJjeni (najcdce u obJiku kru7.nog Juka, potu·· kruga, elipsc iii pl!rabolc).

63

Pojava IUCnog, odnosno zasvedenog nosses. (svoda) u star~ doba znucHa je pravu ~oluciju u iehnici gradenja gradevina (nntiCkih). jer jc omoguceho natkrivaitje- prostora sa 7.natno vearn otvorima- i rasponima nego 8m je to ranije bilo moguce.

U s_tatickom smislu, sve ,nosacc moze-rrio podijeliti, u dvije skupine i1i grupe, i to: J) slalicki odredole 'lOsaCe i 2) llo.licki ntodredene nosQce.

U grupu statiCki odredenih nosaea' 'ubrajamo' sve nosace Cije optcreccnjc ostonaca (tj., reakdje) mozemo odrediti na,osnovu poznatih uslova ravno­te2e sUa u eavni (analiticki iii grafitki uslovi ravnotez.e).

b)

51. 87. a) Gredni nosac, b) lucni (zasvedeni) nosa~.l) Juk (syod).

Staticki neodredenim nosaCima nazivamo (uslovno) i $ve one nosace za Cije je rjeSenje (iW'llaicllje re3.kcije) potrebna primjena od:-ec1enill uslova (novih jecinaCina), L+ f'!'i,lisri,C-u iz elasticnih svojstava m;1tcrijala nosabl j

karakteristika oslonjJnj3 -, pored vee navedenih uslot'<J f;:l';;:,\otcze:

NosaCi koje cerno prouCavati pripaci ... ju kategoriji linijskih nosaca za razliku ad prosrornih nos3c3 - sistema koji ovdje nisu obuhvaceni.

6.2. LEZISTA, OSLONCI NOSACA

Nosivi konstruktivni dementi - nosaCi prenose svoja optcrecenja na oslonce preko lezista. Hazlikujcmo tri osnovne vrste Idista nosaea, i to: I) nepokretno le1.iste (fiksirani zg:ob), 2) pokretno le:tiSte (pokretljivi zgJob) i 3) uklijdteno lefiste (ukljdtenje). Svaki tip lezista ima i svoje karakteristicnc osobine. koje su od znacaja za proracun i ponaSanje konstrukcije. Kad nepo­kretnog lefiSta 'otpor oslonca (reakcija -nosaca)) mor~ proCi kroz oslonu tacku (zglob), dok kod pokretnoga lezista, pored toga, pravac reakdje mora biti okomit na podlogu leziSta. Pokretno leiiste omogucuje pomjeranja u pravcu osc nosar.a, sto moze da bude prouzrokovano temperaturnirn uticajima (pd povecanju temperature tije1a se sire!)l kao i drugim uzrocima. Nepakretno Ieiiste ne dopusta podutno ili bocno pomjeranje oslone lacke nosaca (a lime i nosaea), ali -omogucuje njegovo povijanje -:- malo zaokretanje ose nosaca na mjestu oslanjanja. Pravac reakcije hod pokretnog [diJta, sto treba posebno zapamtiti,_ upravan je na podlogu.

Uklijclteno Ieziste onemogucuje" pomjeranje oslonea nosaca i ana maze biti potpuno (total no) uklijeStcno iii djelomicno (elasticno) uklijeStena na osloncu (kada nije apsolutno nepomjerljivo u smis!u zaokretanja), kao sto je prikazano na odgovarajucoj slici.

64

. _:';'";~:'~';:'_"_ Kod nosaea znatnih rasponaJ opterecenja u sastavu yecm_objckata poseb-.. :' '/<>"nc namjene (mostovi~ hale, itd.) leZiSta se i konstruktivno izvode, tako da se

E.:'ponilSaju u skladu sa svojim. statiCkim karakteristikama (koi_ smo opisali).

" ;.,

> .. b) c)

A~ '0 ili .i

K r'lla

S1. 88. a) Shema nepokretnog leii~ta (zgloba). b) shema pokretn .... g "Jd.i~ta (zgloba\ c) shema uklije~tenog leiHta. 0) osa nosaca.

Taka, na primjer, kod eelicnih mostova pokretno leliste cesto se izvodi sa valicima ko;i omogucavaju,pomjeranje i daju reakciju upravnu na·podlogu, a kod armiranobetonskih: mostova takvo leiiSte moie se izvesti i u vidu naro­Citih armiranobetonskih stubica ("pendlovi"), koji, takode, ornogucuju

0) , , // -' -' -' 1// 'r -" r' / n

(podmetot)

cJ d) / n

/ o

51. 89. a) iednostavno naiijeganje: z - zid (opeka). I! - eeliCni nosa~ (podvlaka), p _ podmetac; b) nepokrewo «!ieno leiislc: n - nosal!, 0 - oslonac;' c) polaetno (t1Ulgcncl~ jalno) celitnQ ldgte: n - noslilc) 0 - oslonac; d) armirano betonsko letUte (pendl): n-

nosal!, s - spedjalno armirano~ 0 - oslonac.

S St.:;tika gl adevinskih konstTukcij& 65

f

J

uzdufno pomjeranje. U visokogradnji, bo Sto jc pomato, u veCini slucJjeva takva posebna lei:iSta se ne wade. jer nisu neophodna. Karakteristicne skice leiiSta date 8U na 'Ijedecoj ,kiel (81. 88).

Na slid 89. dati su: neki karakteristU:ni primjcri izv'!dbe nepokrctnog i pokretnog IcliSta nosaca u vidu konstruktivne sheIl?e.

6.3. STATICKE SHEME NOSACA (PRORACUNSKE SHEME)

Pri izradi statickih proracuna, najceSce je dovoljno nacrtati sarno staticku shemu nosaea u kojoj je nosac predstavljen osom, tj. punom Hnijom, a lezi­sta utvrdenim shemama. Na sljedeCim skicarna bire date statieke sheme osnov­nih staticki odredenih i statitki neodredenih nosaea koji imaju najceScu pri­m;enu u tehnickoj gradevinskoj praksi.

Na svakoj skid data je i oznaka h!zgta i raspona nosaea. Raspon nosaca je - kao stO se vidi dutina - rastojanje mjereno od jednc do druge (susjedne) leiiSne tacke. (s1. 90). Standardna oznaka (simbol) za raspon je I, a za odgo­varajuti otvor nosaca lox (I > 10)'

oj

c)

eJ

b)

At£,

7'-

.,.......-------.,.fii,8

----f

A Z$ & ?

k a, ... " ______ L-_ -Y, ~

At:I, !(

"

( Dolje) A A"--"'--"-'------;B'""';,..-'(;:;pr"'ep.J'" J t)

c---- ___ 1 _____ -,\'---"----+

,(1\~ . I'

-7- -----------+

t)

S1. 90. 5ratiCki odredeni nosaCi: a) prosta greda (l - raspon). b) greda sa jednim prepu­stom, c) greda sa dva prepusta, d) konzolni Msat, e) nosal': sa zglobovima (gerber, 2 polja), f) luk sa tri zgloba: A. B osloni zglobovi, j - raspon, f) mijda luka (visina svoda), G-

tjemeni zglob.

Naravno, datim shemama nosaca nisu oi iz d;J;~k~ iscrpljene sve do sada poznate vrste - tipovi nosaca koji se primjenjuju II praksi, ali navedeni nosaci i njihovl varijeteti su u praksi najvise i najceSce zastupljeni.

6.4. OPTERECENJA

Opterecenja koja' djeluju na nosace potiell uglavnom od s9pstvene teZine nosaca i konstrukcije koja svoju teiinu prenosi na nasae, kao i od korisnoga opterecenja. Prvo opterecenje ima stalan karakter, d~k drugo (korisno) dje.,

66

0)

A ~:t----------,.Z:.B

c)

-~:l-. ---*~-A 8

e) -+__ __ .l _____ +

g) hi

i) !

h z I A 81

{'. _~_.l. ___ ._~+

b)

d)

r i

A (~­, "';.,.1

/-

-~~A--------~A~B~----'------+_Q_-+-

AI';;, -l'----

f)

!I

C Z § = =

I, , I, ~

~(~I::\B

y-

+--,'

.. lr02EorL ___ -r_

I

I

. I

i 18

-T------,

51. 90a, a) poduprta konz,)!a (jednostrano l!J.:lije~tena greda), b) poduprta konzola sa pre­pustom, c) obostrano uklijdtena greJa, Ii) Kontinuirani nasac (primjer sa dva polia), c) kontinuirani nosac sa prcpustom (dv1I pUil~), f) uklijdrcni luk (svod), g) luk sa d\'a zgloba, h) ramovski (okvimi) nosac sa dva zgloba i uklijdten, i) r .. mrvska konstrukcija (skelct),

,loieni okvirni nosaCi, j) viSestruko st:lticki neodredeni sloieni okvir (ram),

luje povremeno) ?ito im daje karakter pokretnog ili slucajnog opterecenja. Stalno i korisno opterceenje mogu hili jednako podijeljena (kontim'irar.o) iii nejeJnako podijeljena opterecenja. Jednako podije!jeno optereeenjc jc takvo koje na jedinicu duzine nosaca imn istu - stalnu \,.;~jednost.

Ako sila napada nosac preko male povrsine koju mozemo smatrati tackom, tada ona ima karakter koncem,.isQlIi si/('. Koncemrisane sile mogu biti nepo­kreloe - stalne i!i pokretne, Ovc rnslicdnjl roricll uglavnom od optcree-cnj;)

67

pokretnih vozila koja se krccu duz nosaea (toekovi kamiona na rnostu. kran po kranskoj stazi, itd:). . '. .'

U praksi se SUSfeeemo sa nizom razliCitih optereeenja, koja mogu imati razliota - sasvim utvrdena porijekla. Tak~, na ,primjer, kad potpomih i

0) 10 "</,p I r"q 4,0 kN/m'

.I,i}\! ~~

At,A::S--.lI_P'--,I_p-'L? ''''''

~,~ -.(-. Cl ... ------t--Q".. --,,' --Q,.. -_..I-

r--_____ ~l ____ __

b)

q . b ~q A~~B,

j x ,A _, m-nn _

l

d)

J~t2 ,~~,----~----~--~--?Z\B

l ~ ~---~,---- ------,--~--

Sl. 91. Sheme opterecenja: a) r .. VnODl)ernO podijeljcnu optereccnje, b) ner~momjerno podijeljenG opterecenje (op{u primjcr), (.) opt<Tt'cen)1! koncentrisaniI!l silama, d) optert'tenje

konct:ntrisanim pl)k.Jt.:tnlrrt siluna.

slicnih zidova susreccmo sc sa pritiskom zt:mlje, kod bran2. sa pririskom vade, kod krovnih konsuukcija s:t opterecen;em koje potice, pored astruog, od vjetra i snijega, itd. Pri statickom proracunu objekata. staticar uzima u obzir sva mogUC:3, odnosno tehnickim" propisima i Ilormama utvrdena opte­recenja za pojedinc vr:jtt objtkata i nll osnovu njih racunom dokazuje stabil­nost konstnIkcije*).

Pri st<lliCkim proraCullim:l oJrcu<'::Jlih jednnS(;J\'llih kvnslrukti\'nih dcmCnnt3 oa grudilislU (prO\'iZ0Jlli ub;d.li, elementi skeJ<1, itJ.), potreb­no je uzcrj _U ohzir .s:vartlo mogu('J Ol'lCreccnja d<lwg dcmcnra (iIi ob!~kta), a ~'lhovu veitclllu dace nam tzV. analiza optt:recenja, rj. raeun ko]! prethodi konkremom statickom proraCunu.

Jt.dinica mjere. Oprerecenja sti izraiena u iedinicama za silu. Ravno­mjerno podijeljcno opfcrcCcnjc kojc pOli6: od sopstvene mase-fezinc oznaca­va se sa g, a kOje potice od korisnog. oprcrecenja sa p. Njihov zbir ozna6ava s(' sa q, Ravnomjerna i n~ravnQrnjcrna podijeljena opterecenja izrazavaju se u kN/m'.*'

Koncentrisane tcrete (sile) stalne iii poitretne obilieiavamo obieno sa P, a izraiavam,:, ih, sto Vee znama, u N (njutnima) iii ill (kilonjutnima).

Karla imamo ploCast nosac, opterecenje izrrlavamo u -N/m~ ili kN/ms. Medutim, posto plate rac-unamo sa sirinom b = 100 em, tj. b = 1,00- m,

*) Vidjeu Zbirku tehnitkih propisll., uhni&ih uslova. mjera i normativ& u gr&de~ virurstvu _ po,cbno izdanje.

68

, z

pa se optereeenje u static-korn raeu:u:u svodi na N/ml ili kN/m~ (kad armirano- . betonskih. konstrukcija). Sllcno se postupa kad zasvedenih nosata - kon­strukcija.

Prop£Si 0 -oplereienjima. Vrste, karakter i Intenziteti (veJicine) opterecenja za razlicite objekte utvrduju se u sv"akom konkretnom slueaju u skladu sa odgovarajuCim, tehnitkim propisima koji se adnose Da opterecenja u grade­vinarstv:u. U statitkim proracunima gradevinskih a~hitektonskih, 'odnosno imcnjerijskih objekata obavezno je uVaZavati propise 0 optereeenjima koja su posebuo navedena u Zbird tehni,kih propisa (tehnickih uslov3, mjera i nonnativa u gradevinarstvu). Neki od ovih propisa, odnosno njihovi odabrani dijelovi, dati su i u ovom radu - u posebnom dijelu ,sa prilozima) pod naslo-vom Dodatak: .

PITANJA I YJE2BANJA

-' Kakvu funkciiu .....:. zadatak imaju no!>aci? -- Koliko i kakvih iciiiita ima nosa';: sistema proste' grcdc?

- Kakvog je karaktera ukljdtenje anniranobctonskih ravnih stropnih ploea u beton-ske zidove (pancH), (visokogradnja)? Kak\'og jc karaktera opterecen;e - osovinski pritisak yozila? Iz kojih poznatih vrijednosti utvrdujemo vhs!im tciinu nosaca (kao npterc':<'nj<,'-?

Kako klilSificiramo oprtw.:cnje snijegom, odnosno "jetrom?

Kakvog je karaktera i gdje racunarno sa opterccenj,ml poznatim pod Jl:.I :11,>1:\

ljudska naval::!?

- Nacrtaj staticku shemu proste grede optcrecene sralnim optercccnjcm i upji,j potrebne oznake.

- Sta su to osnovna, poselma i dopunska (specijalna) ()pterecenja, koja uzimamo u obzir pri proracunu gradcl,-'inskih nosivih konstrukcija? (Vidjeti propise 0 oprctc­cenju zgrada, mostova, kranova.)

- $ta su to seizmiCka opterecenj:t? (Vidjeti odgO\'arajuce propi~e 0 seizmicldm uti­cajima u Zbirci propisa.)

- Uvjeibati operacije pretvaranja (konverzije) jedinica opterecenja iz veCih u manie i odgovarajucc kombinacijc (opr., M_p/m' u kp/cm', itd.).

- l;vjdbati opcracije pretY3ranja jedinica iz ranijeg, tehnickog sistema micrJ (SiKS - meta-r, kilopond, sekunda) u novi medunarodni sistem mjera (51 -sistem).

69

:

I

L

7. S TA TIC K EVE L reI N E

Svako oprerecenje koje djeJuje na odredeni konstruktivni . nosiyi eIe­menat - nosa~ prouzrokoyace na nosaeu) u svakom nfegovom (zamisljenom) popree-nom presjeku) odredene staricke veIiCine - uricaje. Velicine·koje cerna oydje objasniti su:

l) rransverzafna sila iIi poprecna sila,

2) normaina 'sifa (uzduzna sila) i

3) mommal savijan.ja £Ji napadni'montcnal.

Svaka od ovih velicina u'istam presjeku opterecenog nosaca ima svoju sasvim odredenu vrijednost, s tim da ra vrijednost maze bid jednaka nuli. U narednom izlaganju bite izlozene navedcne staiicke velie-ine (pojmovi), uzimajuCi, pri tome objasnjavanju> za primjer prostu gredu - nosac) a pra­vila i objaSnjenja koja ce pri tome bid data, vaze. naravno~ i za druge nosace s kojima cerna se susresti u nasoj praksi.

Transverzalnu sHu motemo definisati - iskazati na sljedeci naCin:

Pod pojmom transverzafne s£lc (iii popreC'lC sile) u nekome prisjeku oprere­cenog nosaca treba podrazumijevaci zb£r (algebarshu sumu) svih sila (oplereeenja) okomitih na osu nasala, posmalrana, ·lj. racunajuCi lijeva iii demo od posmatra­nog presjeka nasda.

Transverzalna sHa se) prema tome, izraiava u jedinicama zu silu, t;. u njutnima (N), odnosno U kHonjutnima (kN). Transverzalna siIa maze

u nekom pre;sjeku nosae-a imati pozitivnu Cznak plus) iIi, pak, negativnu (znak minus) vrijed~ nost. Ona je pozitivna ako je sita koja nju

-1 predstavlja, posmatrajuCi Jijevo od presjeka, us~ mjerena ka gore. Aka uzmemo.u posmatranje desnu stranu od presjeka, formuladja za pred~ znak je obratna. Treba riaglasiti da ce vrijed~

nost transve;rzalne sile, premC!. nieno; definiciji,

$1. 92. Staritka shcma, q = 2,0 kN/m\

bid ista, ·bez obzira na to da Ii je . racunamo S

lijeve iIi desne SHane presjeka nosaca.

70

Odred:vanje vcliCine i p~cc!zn:\k:t rraosverzulne ?sile (sim.bo~ T) presjedmn nosuca bite dato u sij,~dc(:cm numenckom pnmjeru

92).

Primjer

u nckim (vidi sl.

Potrcbno je odrediti transvcrzillnc silc u prcsjccima 1-1, 2~2, i 3-3 pro,tog nosai':a

optw;ccnog prcma slici. p. = 2P kNj q 0"" 2N kNiml•

I-I prcsjek neposredno uz sHu P" ali Jijt\'o od nje (beskona~no blizu iijc\'o),

2-2 presjek- ncposredno uz si!u PI' ali J<:,no oJ nje (bcskona~no blizu dcsno),

3-3 prcsjck na udaJjenju x = 4 m oJ oslonca A. - - " ' I ",. rcakci,·e na vee poinati natin, tJ Najprije cerno odrcdin - IUaCUn;l1l GO; ,lnK,;:c

postavljanjem jednacina ravnotcic:

RA + R 8 -· q' 1-1', = ll,

RA + R8 = 2·6 '+ 2 = I";,

RA = 14 -RfJ.

2. uslov L ArB =0 0 (za mOD1~J~t 1~1 ::l(h.l 'ndi smO oslonu tacku B).

K::da. izvrSimo uvrstavanjc (sl\p~tim ~)U;' ·,l<'Z; ... dlih nilcdm:."ti U I!<lprijcd datu (simh'.)­

litnL) je,.n3cinu, imamo:

I RA . 1- q. il"- PI' 4,0 = 0,

RA . 6,0 - 12,0' 3,0 - 2,0' '1,O ""'" il,

RA - 6,0 = 36,0 + 8,0 ~ 44,0,

4·' ._ = 7,33 kN, 6

RA

,,- 14,00-7,33 = 6,67 1;";.

Tral1sverzalr\e silt u pojedil1im V'~)jecjma bite: a) presjek 1-1 (beskonncno ]ijevo od n'~p3dnt ratke sile P)

'[I._j -'--' RA - q' 2,0 = 7,33 - 2,0 - 2,0 """ 7,33 - 4,00 = 3,33 kN.,

'T~_2 '-". RA --q' 2,0- P,· = 7,33 _. 2,0' 2,0......, 2,0 = 7,33 __ 4,00 - 2,00 = 1,33 kN.

Is_" '''" RA, -q. 40-40~PL '-'=. 7,3}~ 2,0· 4,0 ~ 1,0

,} 7,)}-S!OO-2,OO '""'"' _2,67 .kN (daklc,

negativno).

Ako bismo traiili vrijednost transvcr~alne, ;iiJc u presjeku nad oSJo,nce~_ A, tada zami~!jajuCi taj presjek neznatno pOffi)CrcnlJn desnO od oslonca A, lmah.

TA = RA = -7,33 kN.

bismo,

TrJnsvcrzalna sila nad osloncem, u stvari, (ovdjc) jedn~ka ji re~dji R A • MoramO zapaziti da ana nad oslon~em dos~ic s\"oju. Ilai\"~tu; tj. mllkslmalnu HIJednost (t,am vcr­zalna sUa nad osloncem H Jednab JC reake')l H/J)

TIl = Rn = - 6,67 kN, a to jc rn~I1je od T.4 = + 7,33 kN.

71

PostupajuCi nB diean lUtein (koii je u skladu sa definicijom transvcrzalne sile), moierno izrarunati veliCinu transven:.alne sile u bilo kojcm presjeku nekog llosaea, s napQmenom da, pri tome strogo po~tujemo pravila prerlznaka xQja su vee' obj~njena.

Utinicemo to jo! na 'primjeru konzolnog nos-aCa (aI. 93).

~ ~\O .... " . c-$l$JrrK t.-~, 2 = 0)5. kN/m'

Sl. 93~ StatiCka shema. q = O,s kN/mI, RA = T A = 2,0 kN, . (q. l' ). (0,5. 2' )

MA=- -2~+P.J =- -2-+1,0'2,0 =3,OkN

Primjer

Odrediti vrijednost tfaQsverz'alne' sUe u prcs;ecima konzolnog nos&ca datog na skid.

P"" 1,0 kN; q = 0,5 mim\ I ""~ 2,0 ffi-; x "'~ I,D m (od tacke 1),

T1 _ 1 = P +_q. 1,'0 = 1,0 + 0,5, 1,0 = + 1,5 leN,

TA = + P + q' / = 1,0 + 0,5'2,0 = t 2,0 kN.

T A = R A, tj. trans\'erzalna si!a nad o~!oncent jednaka je reakciji nosa'::a (ovdje _ kUHzolnog nosaca),

7.2. NORMALNA SILA (N)

Normalnu (uzduznu) silu mozerno definisati ovaka:

Pod normalnom silom U lIekom presjeku optereienog nosaca Uwpa) rreba podrazumijevaci algebarski zbir sv£h sila koje djeluju okom:"co na popreltll' presjek nosaca, posmacrano lijevo iJi. JCS1l0 ad dawg presjeka. Normalna sila djeluje, dakle, U osi nosaca. Ukoliko je zbog djeIovanja navedene normalne sile dati presjek pritisnut, sila ima predznak minus (-), a ako je presjek zaregnut, tada nonnaina sHa ima predznak plus (+),

Kao i transverzalna sila, i normalna sila se izracunava u jedinicama za silu, tj, megapondirua (Mp) ili u kilopondima (kp), Kako se odreduje veliCina normalne sile (simboI N) u nekom presjeku nosaca, bice pakazano u sljede­cern numerickom primjeru (s1. 94),

Primja

Potrebno je Odtediti vdi6nu sila N tl prcsjecima I-I i 2-2 konzo!nog'llosaca sa oprerecenjem datim na slid,

, , P, ,

11/. ;;1 21

NA ~::lL!!L-;t' SI.94. Statifu shema. Podaci: PI = 2,0 kN, p. = 1,0 ~ezuItatj; R:; = 2,0 kN, RA = 0, MA ~;; - 4,0 kNm

Presjek 1-1 je neposredno uz napadnu ufru sHe Ph ali na li;evu strunu,

72

kN.

\

l Presjek 2-2 je neposredno uz napadnu' taCku sile PI> takode, ulij~vo, Razlozimo n,ajprije ~ilu Pl u komponente (vertikalna i horizontalna kcmponenta):

Pl~ =. p~, sin 30° = 2·.0.5 =. 1,0 kN', . .

PIH'::;; PI,' cos 300 = 2' 0,87;;: 1,74 kN,

RA!J = P1H = 1,74 ill •

, R"w = PlY + P~ '----'- 1,0 --T- 1,0 => 2,0 leN,

MA = PIV·,~-P.· 3 = -:-1, 1-1·3 ='-4,0 kN~.

Normalna ,siIa u presjeku 1-1 bice:

N 1_ 1 = -PlH = -L74'~

(ptesjek pritisnut). Normalna sila u ptesjeku 2-2 bice: N:_! = () (jer,~ posmau-ajuCi desno od presieka 2-2 nemamo siJu okomitu na po-

precni presjek).' . Analogan postupak hismo primjenili i u drugim slueajevima - zadacima. Normalna sUa dolazi do'na.roO.tog izraiaja i znacaja kod lucnih zasvedenih i ramovskih

nosaca.

7.3. MOMllliP,"I" .. SAVIJANJA (M)

Ovo je, zapravo, staticka veliCina koju naJcesce susr.ecemo u stauckim proracunima. Mozerno je definisati na sljedeCi naCin:

Pod momencom savlj'anja (napadni momenat) U lIekom presjeku oprerecenog lIosaca podrazumijevamQ algebarski zbir slaliCkih womer/ala svilt sila (opcereee­nja) koje djeluju na nosac, posmalramo lijevo iii demo od dacog presjeka, u odnosu na cezisce presjeka kao momemnu uuku. Preqznak momenta'Savijanja odredu­jemo prema sljedecem pravilu: Momenat savijllnja u nekom presjeku nosaea je pozitivan aka mu je, posmatrano lijevo od presjeka, smjer obrtan;a kao ked kazalike na sam, a negativan ako nasto;i da obrce suproino smjeru lcretanja kazaljke na sarU.

Ako, posmatrano desno od pre'sjeka, momenat savijanja nastoji da obrce u smislu suprotnom od smjera kretanja' kaz"illjke na s~tu, ada ima pozitivan predznuk, a obratno, negativan.

Sasvir:n je svejedno (kao i kod T ili N sile) pri racunanju kaju cerna stranu odabrati za posmatranje, jer konaCni rezultat je isti. Po praviIu, oda­biramo Qnll stranu, gdje ima manje sila, tj. gdje je racun Jednosrilvniji.

Odredivanje vrijednosti za momente savijanja (simbol M) bite prikazano u sljedecem primjeru.

Pn'mjer

Odrediti momenat savijanja M 1_ t u presjeku 1-1 i MB nad osloueem B (s1. 95).

S1. 95. Stati&.a shema. Zamjenjujucc op­terecenje: Ql -= 4,0' q = 4,0· 2>0 = 8 ill,

Q = 2,0· q = 2,0' 2,0 = 4,0 leN

I I

73

, ,

,

J

L Ma --- 0 (direktno uvrsla\'anjc),

RA . 8,0 - 8,0' 2,0 . 4,0 "r 2,0' 2,0 . 1,0 oj. 0,5 . 2,0 .:;, 0,

RA • 8,0 .... , 64,0-4,0-1.0..<.: 59.0,

59 RA = i = 7;37 kN. Ix uslo ... a L Y "" 0, imamo:

R8 = (8 + 2)' 2,0 + 0,5 -7,37' "'" 20,00-7,37 '-' 13,13 kN.

Momcnat savijanja U presjeku 1-1 biee:

Ail-! = 29,48 - 16,00 = + 13,48 kNm (pozitivan).

Momenat savijanja nad osloneem (presjekom) B biee:

a . 2 = --P'a-q'-';' = -0,5'2- 2·2-

2 2 MS

M8 = 1,0 - 4,0 """ ~ 5,0 kNm (negativan).

7.3.1. Maksimalna vrijednost momenta savijanja

Am!izimjuCi jcdnacinc Z<l .H i T silu u mcduz;]yisnosri zaldjuc:ujemo; Momenat savijanja i transverzalna sila u nckon1 prcsjcku nosaca su medu-

sobno z::l\·isne veiiCinc. }·.,Tajt'Cf3i (ekscremni) - J'laksimaJni monlimat saviJanja j.:z~'icc sc It Ollom prcsjcku IlOsaLta Ii kojem :rallS1.'er:::alllil sifa lJIijellja pred;mak, udllOPIO Ii kojcJ/I jc j~'dllak" IlIIli.

Presjek u kojcm sc jadja maksimalni mornenat nazivamo kriticlli iii opasni presjek 1lOsaca. Kod pmste grede kritican presjek se nalazi u polju (oko sredine). a kod konzolnol;; nosaca ria mjestu ukljeStenja (osloncu). Pre­cizan poloi.aj kriticnog presjeka moze se odrediti analitickim postupkom ili se moie ocitati graficki na prethodno, u mjerilu nacrtanom dijagramu tran­sverzalnih sUa. 0 kojem ce u narcdnom izIaganju biri data objasnjenja.

Maksimalni momenat je veoma vazna veJicina na osnovu koj,e se (kako ce to biti docnije objasnjeno) vrSl dimenzioniran;e nosaca, provjera napre­zanja i dr.

U odredenim slutajevima - presjecima momenat savijanja, Sto znaCi, naravno, i za druge statitke velie-ine, - moze imati vrijednos[ je~naku nuli (0). Tako, npr., momenat:savijanja naa os!oncima kod pro:te grede: u pr~vilu, jednak je nuli - osim ako nije u pitanju poscban sluca) opterecenia (liPr. kada na sam oslonac djeluje koncenrricni momenat - sprega).

I '

n.2. Dljagrami statlcklh veli<!ina '(1', .v j M) • . I

D!ia~rami sratitkih Jelicina crraju se z~ svaki nosae, odnosQo nlegovo opterecenje, nakon sto smo prerhodno odredili reakcije hosaca i izracunali karakteristiene vrijednostl'odredenih statitkih vcl-iCina neophodnih za cnanje dijagrarna. Dijagrami prikazuju raspored i veliCinu pojedinih statickih veliCina duz cijeie duiine nosaca. Oni se crtaju nano~enJcm izracuriatih velicina .,od prethodno nacrtane nul-linije preko ordinata, tj. ·upravnih Iinija na nul­-Jiniju prema sore, odnosno dolje. Crranje -- izrada dijagrama za n3nsvcr-

74

zaInu silu, normalnu silu i momcnat savijanja blce prikazani na neko!iku karakteri~jjcnih primjcr<i ~lbsaca sa uobicajenim opterecenjima. Analogrw bi se postupilo za razlicita druga oprcrecenja i nosace.

?rimier

N.a~nati dijagr~me, TiM proste gredc optercccnc jcdnom koncclltrisanom ~ilnm na Sredml rasponll (sila I raspon dati su u op~tim brojevimll.).

S1. 96. S!aticka shema. Kriticni prcsjck OJiJzi se u prcsjeku ispod sUe P (I-I), T - dijagram transvcr­z:alnih sila, M -·dijagram momenata s3vijanja,

J-f!

P·l p Ml = M<l\ax = -4-' RA = Rn = 2·

P 2 (simetrija).

p

2 2

Mn -'- 0

PI

4

-- R Il ,

A[aksi,lIailli IJ)Ulilt'Jlar' PI

4 (Zapam[itl p05t:bno oval obrazac - za dati

s!ucaj optereccnia).

Objnsnjcnja za cnanje (nanoscnje) dijagrama:

a) Transvcrzahla sda

Na nancsenoj nul-Hnjji nacrtamo najprije vdiCinu transverzalne sile u oslon~u A, ti. TA = R,!, i.to u od~branom mjerilu (npr. J 1 ern ~ I kN. TA nanQSlIllO ~rema g?rc, Jcr 1 reakcija R A , tj. 7A imn smjer ka gore). Izmeou tacke (rres)cka) A 1 I nema opterecenja, pa i transverzaIna sila se ne mijenja, a to znac:i da je dijagram na tom dije1u predstavljen horizontalnom Jinijom (paralelno sa nul-linijom). U presjeku 1 djeluje sila P i t'u' transverzalna sib opada za veliCinu P (skok), a odntle do I - B opet se ne mijenja, a u osI;)nCL B jednaka je reakciji RB , tj. Tn:;;-..:.: RH . Dijagram iznad nul-linije ima zmd·( +, a dijagrnm is pod nul-linije znak --.

75

b) MOTn:ma1 savlj'anja

Posto smo ispod dijagrama transvea-.aIne :sile fia pogodnom rastojan;u nacrtali nOVU nul-liniju, oznacimo'tacke u kojima je momenat savi;ania jedz?ak nuli: To su taeke A i B, jer nad osloncima proste grede momenat je jednak

nuli.Ispod sile P l , tj, U presjeku'l momenilt je j~dnak:M, = ~. ( Mmu =

PI).. , 'I d I' K' A ' B = 4 . Ovu vflJednost nanesemo u rmen u prema 0 Je. raJeve 1

spojimo kosom linijom (jer izmec1u Ail iIi B oema tereta). Momentna linija ti_ dijagram, kako vidimo, ima oblik trougla. Dijagriun je pozitivan; Nairne, dio dijagnlma ispod nulte linije (pozitivni momenti crtaju se ka dolje) a negativni ka gore), ima pozitivne vrijednosti. a iznad nul~l~nije nega­tivnu vrijednost (obratno, U odnosu na dijagram T-sile).

Dijagrami se srafiraju okomito na svoju nul-osu,

?rimjer

Potrebno je nacrtati dijagrame transverzalnih sila i momenata savijan)a 2a prosti nosac optcrecen r:J.vflomjerno podijdjenim opterecenjem po cijeioj duiini raspona (sl. 97),

~--q~20/;Nlm'

-----:--.1..8' 1·6.G,~ IRs

SI. 97. Stati~ka lihema, Kriricni presjek i<. II srediui raspona (I-I), RA -- Nu

q '/ 2,0' 6,0 . , = -2- = --~., --- = 6,0 kN, 1 A "'~ RA =

~6,o kN,T~=RB=-6,OkN,Mmax"'" q ./2 2,0' 6,01 2,0' 36,0 -~~ --~ ~ --~ = 9,0 kNm, 888

Najprije odn:Jimo reakcije (Jirektni olnuzac);

N.,! q ./ 2' 6,0

"'" '2,"- = 6,0 kN, 2

q , I 2· 6,0 RlJ '",' ~ 6,0 kN.

2 2

Zatim crtama dijagram T sila, koji, kako se vidi, ima trouglasti oblik (transver.!:ulua sila opacla hne-arno iduCi od oslonca ka sredini)_ b,iaksimalni momenat izracunacemo po defi­niciji a za sredinu raspona, tj, tacku - presjek I-I:

Ni-lpom£lla:

Naprijed dati obruac za hiaksimalni mornen.at s.avijanja treba po:>ebno zaramtiti.

76

'1 I

· · · I

I

l "

Linij. momenta je parabolicnog oblika, Momenat 8avijanja faSte iduCi 00 oslonca ;ka, sredini:nos~Ca.- Najveea vrijednost mom~1lt-savijan,J'a ovdle je u sredini nosaa.{jci" u tom presjeku transverzalna sUa mijenja predznak), DiJagram monienatli saVijanja mozemo nacrtati tako da na sredi.ni nul-lini;e nanesemo kiI doljevrijei!nost maksimalnog momenta' u odabranom mjerilu i tada, znajuCichije'momenat na osloncu jednaknuli, crtamo (konstruiJemo) parabolukrozte tri, ta¢ke,

Prj/l~e1'

Prost'i noaat_-:-_greda opttTceen if: nizom kanttntrisanih .ila. Odttditl ttakciie i nacrtati dijagrame tran~vetuJnih sUa i momenata savijanja. (81. 98). '

P,':<2,Q,kN i"2,okN

SI. 98. StatiCka shema, Momenti savi­janja: Ml = RA ·-1,0 = 4,0' J~O = 4~O kNm, M~ "'" RA' 3,O-Pl· 2,0 = 4,0· ·3,0-2,0' 2,0 "'" a J;;:-Nm, M, = RE , . 2,0 = 4,0' 2j O = kNm_, Mmax = MI =

= M3 = + 8,0 kNm.

0 0

" , .8,0"

Najpriie odredimo rcakcije nosaca (analitickim postupkom):

I.IY~O,

RA-Pl-P!-P,1 + Rn = O.

RA + Rn = Pl + P1 + P,.

RA + Rn = 2 + 2 + 4 = 8,0.

RB = 8,0 = R A _

2, IMn - &,

Rtf·a-P l ' 7 ~ PI,S-P$·2 = O.

RA -8-2' 7-2· 5-4· 2 = O.

RA' 8-14-10-8 -= O.

,Rd' 8-32 ~ 0,

RA·8 - 32.

J2 RA= 8" =4,0 ~.

RA = 8 _4 ~ 4,0 ill.

m4.p kN

"

Kada su poznate rea.kcije"moie se pristupiti crtanjU dijagttmJI T sila. P<ltnemo. u pravilu, od Ujevog ollonca. tj . .oslanca A. Od nacrtane nul-linije nanijeli smQ-najprijl! reak­ci)u R.1- Izrnedu presjcka A i t. T-siJa se ne mijcnja.

77

t

I

hmedu pr-esjcka 2 i 3, transvt:rzalna ~ila jcdnaka ie nuB, !to uiedno InaC! da je u svim tim presiccima. momtnat savijanja najveti - maksimalan. Linija transverzalnih sUa je, ho !to se ,ridi, stcpenasta~ sa ,koko\o]ma na mjc5tu djelovanja sila. Dij"gr:'!m (!jnija) ffiC''11cnta savijanja je ·ovd;e izlomliena Iini;a. Dijagr.un crtarno tako da ilra~unamo vriiedMst mo· mcnata u svakom presjeku poscbno (I, 2, 3), pa te vrijcdnosti nancsemO Qd nulte linije ka dolje na mjestu pre-s;eka i te tatke $p6iimo pravim linijamll (jer izrnedu napadnih tacaka lila P nema optereten;a).

f!rjmia

Izraeunati reakdje, nsertati dijagrame transverzalnih ~ila i momcnata sayijanja, re ut\Tditi njihove maksimalne vrijednosti za sliedeCi noue (sl. 99).

.1D kN

51. 99. Staucka shema. M ra"", -"'0. Ms = =- 1,0' 2,0:=-2,0 kNm, T~ + T~=

= RH'

Rt:akciie;

I.) L }-' co 0; RA '" RB-P1-P! = 0.

2.) LMB~O.

RA -I' Rn = PI -+ P~. Rn '" (PI + Pl)-RA,

RA . 5 - PI' 2 + p~. 2 = 0.

RA' 5-P j '2 + Pt'2.

RA . 5 = PI' 2 - P; . 2.

RA '5 2'2-1,2.

2 RA "~-5 OA kl'-.",

Rn=(2+ 1)-0,4-),0--0,4 . .., 2,6 }<N.

Potnemo opet od nul-linde, Najprije nanesemo reakciju RA i dalje crtamo prema vee obja~njenom postupku.

U presjeku (I) transvtrzalua sila mijenja predznak. Dakle) to je I,opasan" pr~sjek. Moment savijanja u presjeku (1) pod silom PI bice jednak: Ml = R"f' 3 := 0,4' 3 =-<. l,l kNm. .

- Nad osloncem B bice vrijednost momenta. MB = - P, " 2 => _ 1 ' 2 = - 2,0 kNm (negativan momenat), Momenat nad osloncem B je, u stvari, maksima!m (po veliCini). Maksimalna transverzalna sila je u prcsjeku koji se nalazi neposredno uz oslonac

ELi s liieve smnt (katemo nad osJoncem BLi i jednaka je Tmn = 1,6 kN -vjdi dijagram T-sila).

Izraeunati reakcije i nacrtati dijagrame TiM, te utvrditi maksimalne. vrijednosti statitkih veliana n none i oprerecenje dato kako slijedi: (sIika 1(0); q = 2,O'kN/ml.

1.) L y ~ o.

78

-QI ;-. RA-Q. r RB-Ql = O.

RA + RB - Q + Q. + Q •. RA + Rs = 2 + 12 + 4 "'" 18.0.

~B = I&-R,i,

21 L A-f/f 0,

-- Q,' 6,5 + R,i' 6 ~ Q.' 3 QJ'

- 2' 6,5 '7' R A ' 6 - 12·3 -.;- 4,

RA·6 = 13 + 36 -4 "-~ 45.

45

6

RIJ =- 18,0- 7,5.~ 10,5 kN.

o. " 0.

Na taj "aCin smo izrac1.Inaii reakcije, Sada moicmo crtali T, a zatim i ,\1 diiagram·(momc11',,_i', nakon sto izratunamo odgo\'arajuce vrijrdnnsri moml'l)ata.

S1. 100. Stalicka shema. Rczul,ati: , 7,5 kN, Ril = )0,5 kN, lvfA=--~-·

2,0' ),0' .". = ~~~:_, ~)---- "--' I kNm,

:,0 1,O" -- ------ = ~ 4,0 kNm.

C

PoJoin! krilienog presjeka u poliu:

Tx = 0; - Ql + RA - q' X"" 0: -- 2,0 t 7,5 - 2· X --;- O.

2X -"'"" 7,5 - 2,0 "'" 5,5.

x = 5,5 c,", 2,75 rn (ad o<;lonta A, desno)_ 2

.~= Mma,,=-Ql'3,25+RA'2,75~q'2,75 2

= -2'3,25 + 7,5'2,75-2,0'2,75 ·J,375.

M m ,,, = - 6,50 + 20,62 - 3,78 = 10,34 kNm (u polju).

-"'fA = Ql '0,5 = - 2, 0,5 = - 1,0 kNm.

M8 = - Ql' 1,0 = - 4, 0,1 -4 kNm.,

T max '-" - 6,5 kNm (0510nat B, lijevo),

Ove vrijedr'lOsti su neophodne za Crtilnje d:jagrarna Af.

Objaln./cnjc:

Dijagram T"sila pocnemo crtati s lijc\'o;:; kra)a prepusta gdje je T sila ;ednaka nuli Dalje ka osloncu A opada Zft vriiednost Q\ (a, . q =.; 1,0 2,0 = 2,0 kN). U ta~kj' A (oslonc1.1) imamo prom;cnu predznaka jer smo nanijeli prema Eore vrijednost reakcije R A, Dalie. T·sjJa po novo opada (kosa linija koja pucia uc:ksno) svc do osJonr:a H. Ovdje nanl:SCnln prC'n,-!

gore, vrijednost,reak.cije RB ka gore i pomwo doIm do p~jene predznaka T-sile. Od :lti!onca B .. i~uti dal,c delino (prepust), T-lilll nrada, do. hi na desn0m laa,-" p"pusta hila )ednaka" null.' 'I . .'

. ,Dijagrani M Cttamo na novo; nu1~liniji ispod. Nad oe.lo~m A i B naueserno vrijed- . nos~ I~tog momenta ~A i M~ od nul-linije ka gore (zbog %nak.a minus). U kritienom f)esJ.cl:u ~o Mmu u po!!u. pa 1 to nanesemo ria tome mjestu od nul-linije ka dolje.' .

oblvene tn ~: uda spoJ1ntO par:abolom. Na oba pn:pusta, "tl\kode. ucrtamo parabolu (ko~avna) maJl1:~ da ~u na ~J~~I~a_ prepuUa momenti ;ednaki nulL Oba dijagrama poslije konatrukClJe:lrafrramo 1 obil}eiimo potrebnim simbolima (T M). Dijagrain N-sila u kon1tretnom slu6tju n~ postoji, jer je N-sila dui clieIe linij~ duii~e nesaea jednaka nuli. .

7.4_ NERAVNOMJERNO PODlJELJENA I POSREDNA OPTE-RECENJA . .

. Pored. ra.\,l\om jcrno. ~odije~jenih" op,tcrcccnja i kom:cntristmih siln (tcreta) kOJc ~ P~l I?r~dstavIJaJu zaLSta._najCciCi oblik :- nacin optere{;enja kon­st:n;ktivnih noslvih e1emenata (nosata), U odredenim slueajevima susrecemo SC 1 sa neravnomjernim opterecenjima, kao i s tzv. posrednim opterecenjem.

N~aV1~mj~rn.0 POdli:!~'ello opterecenje je takva VTSla (oblik) opteret.-:ellja hod kojega !~~enzllet (vellcl1la) opcerecenja na jedinicu duzine llosaca (rasporta - otvora) mJe k01lSranran.

. _ . ~~ tor;:e) zavisno od uzrocnib opterecenja, promjena intcnziteta po Je~{~lC! d.uz.lne raspona. mo.z~ da bULle razliCira. U opstem slucaju, linija o~ tt:rece~Ja JC neb pravllna l!t nepravilna krivulja. U o\'akve oblike opterece­nJa ub,raJ~mo ~()S~b:lO rro.!lglaslO i lrapezasw optereienje. Kod trouglastog optereCeU)3 pOCetOl .. mtenzlter jednak je nuli, a krajnji intenzitet ima SVOj{l

~HYrde,nu <.datu) vr!!ednost; Kod trapezastog postoji pocctni, bo i krajnji lnteUZltet, }edan vecr od drugoga, a promjena izmedu niih je (bo i kod tfO­ug!astog.opterecenja) po pra:oj. - ~osoj liniji. Slueajevi proizvoljnog, trou­glastog 1 trapezastog opterecenJa pr!kazani su na slici 101.

.----________,f'..

31. 101. a) proizvoijno neravllomjerno pOdijdjnlO optereccnje,- b'J [fOUglaslO opterecenje c) trapeza~w orrerecenje, '

~taticko rjt;Sa~anje ~adataka u slueajevima neravnomjerno raspodije!jenih (~ta~Ql~) optereCe.nla ,vrsl se na, analogan naCin kao i kod ravnomjerno podije­lJ~ruh ,I koncentnsamh opterecenja (sila). Potrebno je medutim ukazati na slJedece: - , ,

Kod. neravnomjern.o ~odijeIjcnog iadanog opterecenja (gornja linija ~pt~reCenla utvrdena kn~lJa) potrebno je izvditi pomocnu podjelu optere­~enJa dUi r~pona ?a odsJ~cke. (IameJe) tako da se gornja linija opterecenja tzrnedu graruca dVl~u .. susJednih odsjecaka moze zamijeniti (aproksirnirati) p~~vom - kosorr:- llillJom: Un~tar. s.va,kog odsjecka - lamele, u njegovom teziSru potrebna }e llcrtatl zamJcnJuJucu koncentrisanu silu Cija ie veJiCinn

SD

I jednaka velicini datog opterecenja unutar odsjecka ~ lame1e: Na taj naoll, umjesto kontinuiranog- neravnoriljerno .. podije1jenog optereeenja" dabjjemo nix koncentrisanih.sila, -za koje n~ je postupak.statick.og rje§enja vee poznat .. Nrume, ako radimo' ~ti€kiJ postavimo ,analitiCki uSl~ve r3.VnoteZe, i rjeSe--: njem postavljt:nih jedna&a odredujemo dotad nepoznate otpore ()Slonaca ~ reakcije, Nakon toga moierno nacrtati i dijagrame $llltitkih ve!i&a (T, M), uzimajuCi, nakon toga, u- obm i Onj~cu da je stvamo- opt~je'bilo ne­ravnomjemo podijeljeno,. a ne zamjenjujuCe koncentrlSane sile (od 'laroda) koje sma uveli U _poStupak radi jednostavnijeg, bdeg ~ prakticrujeg rjeSenja zadatka. Opisani postupak rjeSenja zadad<3 sa neravnhmjemo podijeljenim opterecenjem(u vidu krivulje) na nos3eusistema proste grede, dat i.e ns slid 102.

Linije TiM SU, leao sto ~e vidi; krivulje. Za niz utvrdenih vrijednosti transverzalne sHe i momenta savijania nenesu se odgovarajuce koordinate

f:1. 102. Qu Qu Qu Qt - zamjenju­juce silc, X~ - polotaj kriticnog pre­sjeka, ql i Ql-potetni i krajnji inten­zitet opt~rccenja) ),-odabrana duzina

lamela. .

q - [ SI. 103.-Trougaono opteretenje: Q = - (za-

- 2 mjenjujuca sila), 1-1 krititni presjek. Rezul·

_ q-[ q-[ ,/3 tau: R,.{ ="6-' RB=-T' XO='-j" -I,

Mmax = 0,064 q 'JI.

od nuI-linija, nakon cega je moguee nacrtati kompletne dijagrame uz lJomoC' krivuijara .. ,

U slucaju trougaonog opterecenja, koje je U ovoj kategoriji posebno karakteristi¢ilo, postuparno tako da trougaono opterecenje zamijenimo kon­{.:entrisanom zamjenjujutom silom Q i, na bazi uslova ravnbte:1.e, orlredimo reakLijc f!sloriacn RA i Rno Nakon toga crtamo dijagramc stntickih velicina TiM, vodcCi mellna da je stvarno optereeenje u obliku tlougla. Postupak i konstrukcija dijagrama TiM vidljivi su na slid 103. VrijeJnost zamjenjujuceg: opterecenja Q_ jednaka je:

Q _ q • I ( ,- - I . . -) = ,--, povr:.ma troug:1 opterecenJa ,

2

6 StnUka grailevinsklh konstrukclja 81

t

I

Otpore oslonaca (reakcije) dobijcmo, kao sto znarno, pos~avljanjem rjclenjem jednaCina ravnoteze:

RA - Q + R8 = 0; RA + Ra = Q,

IMB =0. / [

RA . / - Q . 3' = 0, RA . [ = Q . 3' /: I

RA = g = 2. . L~ = 'L! .. 3 3 2 6

Zamjenom u prvu jednacinu, imamo:

q .[ --+RB

6

q . I = .--; odf!rle

2

q' [ RA, = --,

6.

imamo:

Pol.oiaj kriticnog (opasnog) presjeka r12Jazimo iz jedna~ine zalnu sIIu u navedenom presjeku, rj.

Tx = 0 (presjek u kome je T siJa jednaka nuli),

Xo apscisa kriticnog presjeka (udaljenost od A);

qo - intenzitet opterecenja na m;estu kriticnog presjeka,

za transver-

RA _;co ~ qo = O. VeliCina qo dobije se iz trougla opterecenja od

0- Xo na bazi sIjedeceg odnosa (slicnost trouglova):

I x, Xo; qo = : qj odavde imamo: q = __ . q.

I Zamjenom ave vrijednosti u -jednncinu za TJt = 0, irnamo:

R xu·qo A ---= O.

2

82

I' X~=-r;

Xu = 0,577 /,

q-},-6

X,' x,:!!.. = 0/: q 2·1 2"

/ x~ ---.·-=0· 3 I '

I x~ .... '.= -- -", 3 I

/Ii- I I

Xu = "' '3 = vr = 1,73' odnosno:

Sada mozemO odredili i maksim::J.loi m0mtOa[ knji :;e pojavljuje, kao !itO I

znamo, u kriticnom presje-ku, tj. za Xu=:, , ,/J

ako izvrsimo zamjene za R Il , X Q

qo~ kuje vee znamo) imamo:

V3 A1mn~ = iT· q. f2 = 0,064 . q' 12.

Ovo je, u stvari, obrazac za mabimalni momenat za trouglasti oblik opterecenja na nOS<lCU sistcmrJ prllsre grede.

Na sliean bismo nacin rijcSili siucaj trareznog optcree-cnia. Trapezno optcrecenje je, kao sto sc vidi i oa odgovaraiu.:oi s!ici. s::J.stavljeno, tj. komhi­novana iz trouglasrog i ravnomjcrno podijcljcnog optereecnja. Da bismn odrediJi rcakcije, nndcmo z:lrnjcnjujw:.'a optcrcccnja (sile), i to: QI knic pori(;c od dijcla ravoomjerno pndijcljcnn~; oprcrcccni3 i Q~ knje potiee od dijc!::l trouglastog optercccnj~l.

Na bazi uslova ravf1ote7:c L Y '----=- 0 i L Mn = 0, u~\"!"d;mo - odredimo

reakcije RA j Rn. kojc :;::; s~lda adnose 113 ukupno, tj. napczno optcrccenjc­Dalji po stupak (iz.nuhll.c-njc kritlcnog prcsjcLl X (I i m:1ksimalno£ moment'" Mmo) je ann!ogan izlolcnom klld trouglastog ollrcrcccnj:.J, pa 1;3 nije potrcbr.(\ ovdje posebno iskaz3ri. Konstrukcija dijagr;lma u oK,·i,u ()dgo'.:<lfujt:c~~~

posrupka za trnpezno optcrecenje- dJm je na slici 104,

SI. 104. Trapezno optefccenje. ql·j l(q,-q,)

Ql =--2' Ql=~-2~'"-zamjenjujuce sileo Rjdenje jednatina

~> ~ 0, L Mil ~ 0, J 1

RA = - (2q! + q~) I, RB = - (q! + 2q,) 6 6

I· X~ i Mmax dobijemo prema odgovara­jucim definicijama, koristcCi u ratunu j prin­cip superpoziciie.

Vidimo da su dijagrarni za trape-zno i za trouglasto ofnereccnje po ohliku slicni (p:1rubolicni dijagrami za T i 111).

7.5. POSREDNO OPTERECENJE

~p[~reCe~j~ se, kao sto smo vidjelit ~'prn:vili.i;' prenosi direktno na .kon­s~vru nOSlV! ele.menat, odnosno nosac. Ip~" u praksi. U odredenim slu- ' ~,~m~, posebn~ .JZ konstruktivno-tehni~ -'razIoga, opterecenje se mofe premJet1-na nosac I1ndirektno, tj. posredno preko. tzv.sekundarnih ele t ?dno.sno ,nasaea. Oya~av naCin prenosenja optereeenja na nosae jem:i~j:~ 12 slJcdece karaktenstlcnc staticke sheme' nosaCa (s1. 105).

Iz she~~ oa preth0;1noj slid se vidi da se optcrecenje prenasi na nosae-. prck~ unaprtJcd urvr.denth tacaka - dodirnih tacaka .....,. oslonaca sckundarnih nosaca oa sa~ nosac. (Te tacke su oslond sekundarnih nasaca.)

U ~vakvlm siubjcvima, imajuCi on u.mu vee do sad a naucena staticka pra­v~la, pOStupamo na isri o3cin bo' kod dlrektnog opterecenja. Diiagrame sratic­klh veJicina. (T i AI) moramo naknadno korigovati U odnosu nn obJik dobiven

.. ~ T ! 2 -("- _. ~L---..'-______ ""_._~ +-._"_",_, ___ .J __

SI. J 05. Posredno op!erecenje (shema nosaca;, D - detalj (shema), n __ nasai'.

, "'":-;'.~, '

SI. lOti. Sta!icka shcma nosaca sa OPtc(ccenjem, Silo::: u ('vow,.ima: Q, = Q~ Qa = q' 1., RA = RB =

2;Q q'3J. = 2-'= -"2-' Dijagram M omcdcn

je poligotlom upisanim u paraboJu.

Z<l, to. is~o •. ali direkt~o optcrecenje, vodeti racuna da je stvarno 0 te­r~~enle tndlre~tn.o, t) .. yosrecino. Post~pak i korigovanje _ dotjeriv;n'e d. lja. gra.m.a s.tatlcklh vclluna -za O\'akav sluca)' d ) . posre nog opterecen)a vidljiv je lZ nesen)a zadarka - primjera is:} opstim brO)'evl'lIla _ d . . . . \ vn)e nostlma za opterecenJa I raspon) na slici 106. '

. ~a dij~gra~ima Za T i "~! se vidi da je korigovanje izvrseno tako sto smo pr~)ek:ovalt taeke. preko ,koJlh se prenosi opterecenje sa - sekundarnih na (gl:~,:ru) nosae. Pr~iekto.vah s~no ih posebno na T i posebno ua M _ dija ram kOJl. J~ nacrr;an za Iden:lcn~ (lsro), ali direktno optcrecenje. Dijagram iz~edu prole .ov~~h tacaka Je y lmcaran, sto je' posljedica posrednog prenosenja o~ter:cenJ~1 na nosae, a sto odgovara, u stvari, opterecenj u nosaca koncen­!nsamm 81 ama.

7.6. POKRETNO OPTERECENJE SILE .

., O:terec~nja koja djel,uju na nos?ce, ~ao sto sma vee vidjeIi, imaju stalan ~:, ~O\~etneru k~~-akter. dJelo~'nnja_ Optcreccnje vlastitom tdinom nosaca i

lJe a __ ons.trukclJ~, kOla s~'oJom teiinom opterecujc odredeni nos:lc, ima rrajan V!emenskl ncprekld:1ll br:lktcr.

84

·1

Korisna, odnosno sJuea;na opter'cecnja su povremena, ali su kao i stalna . fiksirana zit utvrdeno nijesto, tj: poziciju na nosacu. To su, u stvari, nepo­, kretna optereeenja, .za razlilq.1 04 pokrctnih optcrece:nja - sila (tcreta) koje

mijenjaju svoj po!Oz.j (poziciju) na .10Saeu. zato sto Se nalazeu pokretu. OvRkvu 'opteteemja (sile) potieu, il 'pravilu, od razlicitih vozila (odnosno 'sttojeva ,- ,uredaja-_~ kotaCirna i s1.) koja se krecu d~ odredenog nosata. Tako, npr.) glavni nosati kod mostovskih objekata iii nosaa kranskih uaza (u industriji) su optereceni, pored ostalog-, pokretnim koncentrisanim silama ~ teretima koji se krecu du~ nosata i mijenjaju, dakie, svoj polo:zaj 'u odnosu na odredeni presjek - npr.} oslonac no!,aea. Staticka serna optereecnja odre­denog nosaca pokretnim koncentrisanim sHama data je na slid 107.

S1. 107. Pokre:tna opterece:llja sile: (motorno vo­zilo). PI> PI i ostate veliCine utvrdene Sll odgo­varajuCim propisima (vidjeti Zbirku tehnickih

propisa - opterecenja), I - raspon.

Kruzna strelica sila oznacavaju takvc koncentrisane pokretnc sHe (u pravilu u pnivcu ase nosaca).

Odredivanje statickih vrijednosti - veltClna za o\'akve pokretnc sile i to za ebtremne tj, najvece mogu,:e v'riiednosti tih veiicin:l, sto jc.od posebnog interesa pri statickom proracunu, vrsi sc po razralJcniln poscbnim postup­cima - metodama za ovakav vid opterecenia. Ovi postupd se odnose po­sebno na iznalrlcnje ekstremnih (maksimalnih i eventual no minimal nih) vri­jednosti atpara oslonaca, transverzalnih sila i mOrne-nata savijanja. U praksi se obicno koristi metod tzv. uricajnih lim'ja posebuo za svaku nu\'cdenu \'eliCinu. Pomocu odgovarajuce uticajne linije je' moguc-e za s\'aki sistematizovani iii odabrani presjek nosaca izracunati odrediti ekstremne vrijednostl za- odre­dcnu staticku veliCinu (T i M) odnosno i za reakcijc.

Buduci da mi ovdje oe obradujemo marcriju iz oblasti uticajnih iinija, pokazacemo sarno, izostavl;ajuCi sa razlogom dokaz ispravnosri postupka, metodu odredivanja vrijednosti maksimalnog momenta savijanja za sistcm od dvije Hi vise koncentrisanih pokretnih sila i to za nosae sistema proste gl=ede. Ovo je _ u praksi cesto potrcbno rosebno pri izradi jetlnostavniiih statickih proracuua nasata sistema proste grede optercccnih pokretnim sila­rna - vozilima (npr. kod mostova i sl.),

l\1aksimalni momenat savijanja u rakvom slucaju mozemo odrediti primjenom sljedeceg pravila - kriterijuma:

Maksimaltli i1JOmClIal sistema od dvijc iii viSe koncelllrisani/i pokremih iila na proslom nosacu dob;l; ce se laM ako sredina raspona grede (nosala) raspolovljava rastojanje izmedu rezultante sistema sUa i proe (susjedne) vete sae. Maksimalm' momenal ce biti u presjeku {spod n.avedene prv€. - susjedne veil! sile - sptam rczultame.

Pri1pjena pravila - kritcrija jc vidljivo iz opsteg primjcl"a datog na sljedecoj slid (sl. 108),

05

/

• !, ;

. U datom (naznacenom) poJozaju na slid sHe treba dal;e posmatrati 'kao da Sll nepokretne. , .

Poloiaj rezultante je odreden primjenom momentnog pravila uzimajuti za momentnu taCku - napadnu tacku ispod prve siIe (P1). U presjel...-u ispod

• T" x

A 'Iffl, 1 ,1~~rospona

"" (J ~(

+ ~: + I

0

8

R o 51. 108. Sistem pokrelnih sila (dvije pok­retnesileP j i Pz). PI > PI> R = Pi +p~,

, Pt R·b X "-' - . a, R ;.~. - ,- Maksimalni

R I moment prcsjcka ispod sile:o

te sHe (PI) nalazi se maksimalni momenar - saglasno ranije iznesenom op­Stem praviJu.

Ka anaIogan nacin' bi se postupilo sa s;stemorn od tri iIi vise pokretnih sUa cija su medurastojanja razumije se - fiksna - unaprijed odredena.

Ako je sistem predstadjen sarno jednom pokretnorn koncentrisanom siJom !ada ce (sagIasno i kriteriju) rnaksimalni momenat na prost oj grcdi bid u presjek-u ispod silc, knda ana bude u s,edini raspona. Taj slucaj nam je poznat od ranije (kada se nije radilo 0 pokrttnoj sili) i rnaksimalni momenat iznost;

P ·1 M =~~

max 4,

Poznavanje vrijednosti maksimalnog: momenta nosaca 'za odredeno opterecenje je,. kao sto cerna to kasnije vidjeri, od posebnog znacaja u statici, jer cerno .13 osnovu toga' utvrdivati, posebnim proracunom, dimenzije nosaea i druge potrebrie veHCine.

Primjer

Odro::diti mjesto kriticnog presjeka i vrijednos[ maksimalno£, momenta sallijanja za shtem od d\'jje koncentrisane pokrerne sile (vozila) koje 5C krc(:u dut nosaca, sistema proste grede. raspona lO.O metara (dika 109).

A'~------~~s~,,~~~ro~~~,--~B R'

86

f""m ,Om .. SI. 109. Ra = 2,025 ,kN, Rb = 2,475 kN, Mmu = R,,' d l = 2,02.5' 4,5 = 9,10 kNm.

Najprije odredimo veliCinu i poloiaj rezultante sistema si!a, tj.

R =< L: P = Pi + p. = 3,0 + 1,.5 = 4,5 kN.

Polohi rel:ultamc o...ircCimb ua OSilDVU momcntnoga pravila (Varinjon).

R·:z: = PI > 3,0; P l 1,5

x = - . 3,0 = - . 3,0 = 1,0 m. R 4,.5

P l , 5,5 - p.' 2,5 kN. 10,0

.\i.u::s.i.n'lIbi momcr::11 lC'

. \! ",..<.1 .~, .:"'. f ( 1,0) ~,025 5,0 - '2 '

.'.[,,;a = 2,025 -1,5 = 9,J kNm.

_ SaYcJj de.fi.;;i::iir ,.0-:~~c~,-:~'::~: sl~tjCkih vdicina za T, N i 1\i u ner.om presjcku optCre-.."eDog nc>,;, .; c

_ Su. ic ;:0 i 1~0;J. ;;: ~,>,"~,,,}~ i'-:1i.l~'- '6 :0pllsnog; pn:sjeka nO$aca?

_ N ':"p o\i,j o'.)l~ I dl;;~~l'.lljJ ciijagrama staricklh veiicina?

_ ~a\"eill cb~-.:;;...."e 2;; ~Hj,"Si7..::J.lle v",j;:.in05u m0menata s;lvljanj,a na prostol gredi i konzoli, <t U .\:;;...--a.l:::tr-j,,:i(:l~ ;G~;~dc..,) optereeenia u prahi.

_ ~lI.,edi n.ili};.~ iz.'T.edu ran:wDjerno j neravnomjemo podije\jenih optercCerJja.

_ Rijcli niz numeriChb primjera iz oblasti odredivanjll. dijagramll. TiM na p:os(Oj g:rcdi i konroli z.;t us\"o;ene pxlatke.

87

8, IZL01l1LJENI I KOSI NOSAC!

Pored nosllca sa ravnom osom) koji su u vet:ini slucajev<1 horizontalno polozeni u konstrukciji (objekta) kojoj pripadaju, postoje i nosaCi sa izlom­Jjenom i nosaCi sa koso polozenom osom - kosi nosaci. Izlomljena osa se susrece uglavnom kod ramovskih nosaca, a kosi osa kod nosaca u krovnim konstrukdjama (rogovi) i kod stepcniSta (stcperusni abrazni nosaCi). Razmo­trima najprije nasace sa izlamljenom asoro.

0.1. IZLQ,\\LjEI'! C>:c)S,IC!

Iznalazenje rcaKcije K<JJ \.)\',11";\'111 n05a(:a - kad~l s'U \.1\'1 sUll',":ki o .. lrcdeni, vfsimo, takode, n3 bazi ,ma!itickih, o,JnOSllo ~r,-\fiCk1h uslo\'a r~\\'llUlc2(: sila u ravni. Cnanje dijagramJ ~[',ltickih vcliCina T, X i M \,L~i!l\') prem;! istim pravilima koja smo ranijc [zin;:ili) vodeci uvijck ru(una 0 Jcfiniciji oJn:Jene staticke vc1icine.

Dijagrami slalichih t'clihllll - sc (Haju u odnosu na nultu osu1 (:iji oblik 1 veIiCina odgovara samom obliku i ve!iCini osc nosaca, tj. njegovc staticke sheme. Ovi dijagrami se cnajLl nakon -stO se odrede reakcijc - na pogodnom mjestu i mjcrilu) pored plan;] poloiaja, tjo skice staticke sheme nosaca. Ordi­nate dijagrama, razumijc se, crtaju se upravno na odgovarajuCi dio nul-linijeo Svaki dio plohe uijagram.! %'.1 T, .Y i ,\1 Jobiva i SYClj od,l:()Var,ljuci pr...:dznak (plus iii minus), a stO sc lltl.rJujc shoJno ranije definis:.l!lilll pravjlil:13 za predznak svake starickc \-c!icloc posebno. Konkretll~l primjcn;l, od ranije poznatjh postupab, za rj6cnjc zadalaka ovab'L: wstc n.lji.:jdbhuJnijc jt' vidljiva' iz braktcristicnil1 primjera - zaliawb, odnosno njiho\'ih rjc­senja.

U sJjcJcCim primjcrim<l bi2c (hlto rjdicnjc jcJnosta,onijih ll\lsaCa SJ izlom­ljenom osom zu zadana opcrCCCltj:t, HJ kojima mogu bi[i UOCCrlC osubcnosti k:J.raberlsticne za ovakve nosace.

Prill/jer

Odrediti reakcijc i nacrtati Jij:lgr:l,.1 T i Jl za izlomljtni llV~a(; (~iSlI.'IIl pro~tt grcde) dat na slid 110.

Reakdjc:

RAV--Q-f-Rll 0,

HAV f-- R13 ~ Q -=--- 80"

88

LH=O (2:: X~O), ·'RAlJ +P = 0,

R.i11 - -r =< -10 kN.

MB '=' 0 (momentna tati:a od~brana u B).

R"u,,-4 +.RAH o 4.-P·1_ Q'2 =0,

RAV' 4 +10· 4-10· 1 ,SO, 2 = OJ RAv'4 = 130.

R,w-","130 ""32 5 kN 4 '

Dijagram shlti&ih veJjona 1~ M j N;

Tx = 0 (za kritItan presjek u polju).

RAV = q' r,

x = !<'H~_= ?3.~_ = 1 625 m. q 20 '

RB = 80,0 - 32,5 = 47,50 kN.

N~O

A R' A R: 3

M, ':,1)

M, ,Parabola

R'

,<; @ MmQx

Sl. 110. Nulte Jinijl: dij:.lgram3 SU i:duU1lj<:Il~> kao j osa nosaea.

q (4,0- X)'

2

20 0 !,J75!

A1m~" = ,I 55,2 kNm.

f

B

®

89

I

Pre10m u taro 2 ose nos~ca pod uglom 900 je fiksan, ito ce reCi da je veza dva dijc:la nosaea U {oj taW vcrtilcalnog stuba A-2 i horizontalnog nonca ,.rigle" 2-B kruta. avo vaii za bilo kakve n'nte pre10me (bel. zgloba) kad izloml;enih nosaca.

Dijagrami T, N i M dati na prc:tbodnoj slid (:d. 110), kao §to se vidiJ odgovaraju po nacinu cnanjll i obliku dijagramima za odgovarajuee velicine ko;e smo vee rani;e objasniH i aje rjdavanje naucili - uvjcfbaJi. .

Pn'mjer

Balkonski izlomijeni nosac opterecen je po horizontalnom i vertikalnom diie1u nosa~a ho stO je dato na skid - statickoj shemi. NoslI.c je sistema konzole. Odrediti reakcije i naccrati dijagram T, N i Ai (s1. Ill).

P l """ 1,0 kN

i Pt .... l,OkN

!Q=8,OkN JOkN/mt ~AI 1 b!j:::lli",ill, Ii!illlll!ll~1 ~"'~I ·lII!IIlII!IIill·lli"illl~~8'--..!R~

f-____ ~I~.~2.~0~m"_ ___ ,~ M,

SI. Ill.

Prillljcr

I R' ,

Jt:dnaCine ravnott!'ie:

" R A - (Q + PI) ""- 0,

R~ '"'" Q +' P1 = 8,00 +­

+- 100 = 9,0 kN,

R:'; + P: = 0,

R~ = -P l ,

R:1 = - 1,0 kN (usmjerena na desnu stranu od oslonca - ukljdte­nja B).

LMB~O;

I ME + Q. 2" + PI ·1 + Fa' It = 0,

Ma + ~oo· 1,9 + ~OO· 2,0 + + ~OO· 1,0 = 0,

AlB ~ - (~OO + l,OO + 1,00)­

= - 11,0 kNm.

Na osnovu izracunatih reakcija pot:natih sila - optcrecen'ja konzole, dak~ Ie, poznatih ::poljnih iii vanjskih &ila na­crtaH sma odgovarajw':e dijagrame T, N i AI premll vee po"lnatim pravilima za crla­nje ovih diiagrllma. (U osnovi oyih pra~ vHa. kao sto znamo. su, :tarravo, dcfini~ dje ovih statickih velitinlol koje smo ranije nautili).

Za zadani izlomljeni 'nosat (ram) i dato optcrccenje be:/; zadanih vrijednasti za visine, raspone i opterecenja. nacrtati kakav ce oblik poprimiti staticke velicinc T, N i M (s1. 112).

90.

Q"'<I-I w",w h

2

B

qpnp/m')

M

A I

B"

51. J 12. It:lomljcni nosac (ob-ir), ~taliC-"a shema i dijagrami, 1', M, N, R~) R~) R ~ (R) dobiju sc it: lislora ramoteie.

Napomena:

Nacrtani oblik dijagrama je karakterislicafl za zadano oPJereccnje i zadanu staticku ~emu nosaca, a preci:zne (tacne) plohe dij~grama hi se dohile za konkretne vrijedno:;ti dimcll­;dja nosaca i optereb::nja (W - vjetar i q) nakon Sto se i"lracunaju reakcije - na poznari nacin,

8.2. KOSI NOSACr

Kosi nosaCi za ycrtika!na oplcrcccnja, u pogJeJu momenata s;}vij;.lIljJ se ponasaju kao i hUfiwnt<llni nos.!ci sa rasponom jcdnakim horizonlaln(Jj kornponenti koso!; raspona (Juzine nosJc'a). Transverza!ne soe i normalnc silc, mcdutim, llloraju se koJ kDSih -nosaca posebno odredivati saglusnu svojoj Jcfiniciji.

Uzmimo prim;t;r p\'(\!)tog kusog llOSaC<l optercccnog silom P u sredini.

Urnjesto st<1ticke shcmc na pn'oj slid, mozcmo usvojiti staticku shemu datu na drugoj slid (51. 113),

91

Maksimalni momenat savijanja koji je rnjerodavan za staticki proracun prema drugoj shemi, jednak je:

M - p·tH • pd tome J'e max- 4 '

B

I R ___ ·_~Jh;;;k~

"!:-__ -J. ___ -lB

i ~IJlJIlJllIo:iJIQIlIQIIlJ~1l

~f R R

Mm".", P.~';()S.( P..I."" P cos).

P"",PS,fl ,1..

R

S1. 1 J 3. Kosi nosaCi.

IH = /. cos 11, pa imamo:

P·/COSf!

4

1

Na isti naCin bismo postupili aka, umjesto sHe P, imamo ravnomjerno podijeljeno optcrcccnje q duz cijeiog nosaca. Posto umjesto P imamo ovdjc Q, tj. Q 'IH, tada ce obrazac za A1,,,,,,,:dobiti ovakav izraz:

Q'/H' Mmax = 4

Ovaj obrazac Jobicemo posmatrajuCi prvu staticku shemu, ako bismo prethodno sHu P, odnosno. Q = q . In razloz.ili u komponcntc upravo nu osu i pumlclno osi nosaCa. Ovo vai.i i ~a rcakciju RA . ( i Rn). Kosi nosat':i javljaju se obicno kod stepenisnih konstrukdja, krovistu i drugih ohjekata. Ukoliko je nagib rdativnq mati, tu Cinjcnicu u prakticnom I'acunu cesto ne uzimamo U obzir, tj. racunumo kao da nosae nema nagib.

Inutc kosc nosacc, takodc, racunamo, u pravilu, na vee poznatc, ubjas.­njene nacinc. Rcakcijc izracunavamo nu bazi uslova ravnoteZc j dijagramc crtllmo Slrogo vodcCi racuna 0 definic1jama pojcdinih statickih veliCina.

Primjcna postupka, fla bazi poznatih pravila i datih objasnjenja, bice vidljiva iz karakteristicnog primjera na slid 114.

92

Primjcr

Krovn(rog (~tol,ict:'jli vjdaljke) opterea:fLje saglasno analizi optere&nja ~ propisiroa kao na slid._ Odrediti Mmu: (rndi dimenzioniranja).

I = 4,i'~~

(II"""" lOON/mi.

q ....,. 2000 N/ml,

P ..". 1000 N (tcrct u sredini),

IH ~ /. cos 30" := 4,20·0,87 = 3,65 m.

U rscun cerna uvcsri vet poznatc_ obrasce za M fl)~)( nil prostoj gredi i za dati 0blik opterecenj;i.

Koristeo se pnncipom superpozicije*), imamo:

q'I~1I q./f Aim",; = -." + --'_ +

8 8

P -III . . -4 - ; zarnlenom, Imamo:

2ooo-3·65 l 300-4,20' 1000.3,65 Mmax= -- ._-+- -~.+ ___ .. _~,

8 8 4

~"-=--,f-l!'-'--4w q

B R.

S1. 114. Ktovni rog (shema): w - vjetar (opteteecnje),

1 = 4.2 m, w =< 300. N/mt, q = 2000 N/m1• P = 1000 N.

At m3)IC .."" 3400 + 660 + 910 = 4970 Nm (njutnmetara) u presieku upod sile P.

Napomena;

Opteretenje q je gravitadono-vertikalno optcreccnje od P, dok je optereeenje vjelra (d - upravno na osu nosata - odnosno ravninu krova kome rog _ nosal: pripada.

Kod kosih nosata, kao sto se vidi, za razliku od horizontalno-polozenih, i za vertikalno opterecenje javlja se i normalna sila U nosacu. Ovu cipjenicu ce trebati uzeti u obzir u proracunima koji se odnose na dimenzioniranje nosaca i sl. - sto cerno razmatrati u kasnijim izlaganjima.

Kosi nosaCi se ponekad kombimiju sa borizontalnim> pa se dobije pose­ban oblik izlomljenog nosaca. Demonstriracerno takav slucaj ·na jednom primjeru:

Primjer

Odrediti reakcije i nacrtati dijagrame T,}II i M za nosat dat na slici (st. 115). Zamjenjujuca opterecenja Ql i Q, imaju sljedece vrije~nosti;

Ql = 11' q = 4,0' 2,0 = 8,0 kN; Q, = I.· q = 2,0·2,0 = 4;0 kN·;

QUK = Ql + Q1 = 8,0 + 4,0 = 12,0 xN.

Odred.ivanje reakcije u A i B:

uslov: L x. = 0 (neid:.ori*ten uslov J jet ovdje nemnmo horizontaInih sila).

* Princip superpozicije - princip nezavisnosti djeIdvanja sila. Na primjer: ako na gredu diduju. dvije razlitite site u isto vrijeme, mi to opterecenje molemo posmatrati po_ se-hno, tj. s\·itko 7.a sebe (kao da onoga drugoga nema) i, na koncu, algebanki sabrati rezu!­tate (uticaje).

93

t

J

SL 115. homhinovani kosi nOSAt (shema i dijagrami), Me = 6,0· 2,0 - 4,0· I,D "" 8,0 k.Nm, M rnJx ~ M, (momenr 11 presieku 1-1). Numeritke vrijednosli z:t ohHjeiene vdi­

tine uraditi 7.3 \"jeibu.

III uslo\': r MB = 0 (mom.cnma tatka u B, £dje imamo pokn::tni ldaj).

RA ./ •• - Q,. (~+ /,)- Q. (~) - O.

RA· 6,O-8,O·4JO-4,O~ 1;0 = i), RA· .6,O-QUK' 3,0 = 0,

36 RA =- = 6,0 kN,

6

RA, + R8 = 12,0, ·6,0 + RB = 12,0

RB = 12,0 - 61J == 611 kN. rj. vrijednost kao i RA• ~to je i razumljivo jer se ovai izlomljeni - kosi nosat u smislu odredivan;a reakcija ponailao kao da je horizontalan (redukovan oa horizontalnu O$u). N a slid pored< plana poloiaja, rj. stati&e $heffie nosata dati &U dijagrami T. N j M. Na'djelu nosaea A-C (kosi dio). kao ho se vidi. postoji j normalna sils,

PITANJiI I VJEZBilNJA

94

- U koju grupu spndaju ramovski (okvirni) nosaCi s obzirom nn oblik svoje ose -statitke s.heme? Kako se odredu;u reakcije _ rjdavaju (statitki odrederii) ;7.ic'mljeni nOloa~i - u poredenju ·sa neizlomijenim, ravnim nosa~ima? K.sko se staticki tretiraju kosi nosaci sistema proste grede? Iskaii. cemu je jedmika vclicina transverzalne (n i posebno normalne (N) site u osloncu kosog prostog, ravnomjerno podijelienog vertikalnim opterecenjem (q) - optere¢enog nosaea? .

9. 0 T P 0 R NOS T MAT E R I J A L A

Orpornosr materijala, odnosno naub 0 (vrstoCi, bnvi se prollCav::mjl'I;, unutarnjih si13 u konstruktivnim nosivim elcmer.rima - nosariOla, pos'~~V':1 so. aspekta uzaiamnog odnosa u djc1,.)\,unju \';1!1)skth i llnutilrnjih sih~ k'J!-': :";:, kao posljedica niibovog dje1ovanja, pojnvljuj'...l u samOln (materij:::l~J) !lO~,U(\" Unutrasnje silc, otpori koji se javlj:tju u samorn nosaeu, a koje raC~j;::Jr.l.') f~O

jedinici povrsine presjeka nosivog elementa, nazivamo naprezanjima iU /iQPv­nima i oznacuvamo ih simbolicno -.- u st:1tickim pror::lcunima oda8r:: ~\:01 slovima grckog: nlfabeto.: (J (sigma), r (t::Iu), [! (ro) i dr.

S obzirorn da mutcrijal od kojih '<;11 izr:1dcni konstruktivni nosi\'l cl:::m::r.:; - nomCi, ncm;~ju svojstva kab'J smo im l1omjcrno prida!i, prcuc;}\'~~;_;,";

zakone i pru\·jla statike krutog lijela, ncgo, no.protiv, posjedujll oS0bine cL­sticnih tijelfl. kakva II prirodi stV[lfnO POStojc (drvo, cclik, beton i dr.), :,\ na;Jb, 0 or;:-,orno5li mo.tcrijab r:l,':-:; d:l pC'\'"'~~n0 \'odi ::aeuna 0 c!:Js' :c;­osobinama matcrijala od kojih ~u i-u:Hleni ti nosuci. OtpornoSl ma~cri;.l::) proucava stoga i promjene obUb i dimenzija nosaca n:lStale pod raz]ie-i,i:,L opterecenjima, rj. proucava deformacije (izobJicenja) nosaCa.

Mi, nairne, zarniSljamo da je cio ~)rosror volumena nosaca (tijelo) ispunjC:l mikromaterijalnim cesticama - molei::1.:1ama :-:oje medusobno dde povezanll:-, u jednoj cjelini - unurarnje kohczione sileo Pod dejstvom opterecenja (tj. spolinih-vanjskih sila) nosaea, prvobitno ravnoteZno stanje izmedu cestica doZivljava promjenu iz koje rezultira teZnja vracanja u prvobitno sranjc, rj. polozaL sve dok se stvarno ponovo ae uspostavi ravnoreZa izmedu vanjskih i unurrasnjih sila· nOsaCa.

ProucavajuCi odnose izmedu vanjskih sila Cuticaja) i unutarnjih sila - .. naprezanja, nauka 0 otpornosti materijala daje merode i obrasce neophodne za kontrolu - izracunavan:e velicina pojedinih vrsta naprezarija, odnosno za odredivanjc dimenzija nosaca, sto nazivamo u statickim' proratunima dimenzioniraflje. Nosati koje primjenjujemo u praksi, kao Sto je reecno, izra­deni su od elastitnih materijala koji pasjeduju, u vecoj iii manja; mjeri izra­iena, eIasticna svojstva. Ova svojstv::, matcrijala ogledaju se prvenstvcno u karukteru deformacija, Deformacije elasticnih tijcla su privremene i traju dok· postoji opterocenje,' Nakon rastcrecenja, nosac, po pravilu, poprim<l prvobitni oblik a deformacije nestaju. Plasticna rijela su ona kod kojih defor­macije usljed oprerccenja ostaju trajne. Takve promjtne oblika nazivamo plasticnim deformacijarna. Treba napomenuti du i elasricna tijela prj op';erc­tenju-mogu dobiti, osim eiusricruh, i odrcdc:ne plasrii;ne Jeformacijc, kojc sc ocituju i poslije rasterecenja nasaca,

Poznavunje mutcrije iz oblasti 'orpornosri m<ltcrijala je od poscbnng znacaja ne sarno za kompleksnije i porpunijc r,lZ~nl'jevanje problema iz

95

-do'mena'definisanja, utvrdivanja i promjene stabilite~a gr~deyins~il; i od~ed: nih' drugih"konstrukcija nego naroeito 7.3 konkretnu lZradu CJelOVltlh statltkih prot-acuna k?IlSrrukcija. Zato se O1:p?rnost.~aterijaIa ovdje, I:0sebno i~ pr~­tiCko-funkcionalnih razloga, obradu)e U okvlru programa statike konstrukClJa.

~ Najpriie cerno se upoz~ti sa pojmovirna .~oji se odno~e n.a ~odje1u, vrste i karakter pojedinih naprezanJa - napOlJ1l kOll se mogu Javl,an U odredenom riapregnutom (opterecenom) nosaCu, kao posljedica djelovanja dosad vee definisanih i objaSnjenih statiCkih i drugih uticaja.

9.1. POTAM I PODJELA NAPREZANJA

-Naprezanje iIi napon predstavlja spccificnu ·unutarnju silu (otpor). u nosaeu koja se odnosi na jedinicu povrsine presjeka, To je, dakle, jedinicna unutarnja sila izraiena u jedinicarna za silu podijeljenim sa vrijednoscu jedinice za povrsinu, tj, Njcm2 iIi kNfcm2 Hi N/m'il. (paskal) odnosno u "SI" sistemu - izrazeni .u mcgJpaskalima ..... MPa i dr.

Naponi se javljaju Rao posljedica djelovanja van;skih sila - uticaja i mogu bid razliCitog tipa

Zavisno od nacina djc10vanja \'nnjsklh sila (uticaja) na knnstrukth'ni demenat (stap-nosac), u njemu sc rnogu pojnyiti razliCita nap;T7.:ll1ja. Razli­l, .. ujemo sljedece vrste osnovnih naprczanja:

1. naprezanje na zatczanje, kao pos\jedica djelovanja zatduce (aksijalne) sile, vlacnc sile,

1.

~t.==~=·:::::==. ='J;--=-Z .. 5," A !3

2

~f:=~:::O:C~~:::O=j-P ,,6p' A B

3.

b"

/N. ti ;;'8 +i--"---f 5.

18

6.

,.6('

SI. 116. Naflrez.anja: I - naprezanjo:: na zatezanje: § - ilt:1p, 2 - naprO::Z:lnjc nu pritisak, 3 - naprezanje ns smicanje, 4 - naprezanje na s11vijanje (N _ nosa~), .5, - naprezunje nll izvijanje (V - vitak ~tap - zid), 6 - naprezallje na uvijanje _ torziju.

96

.,

I

I I

:1

·:1

2. naprE'7.anje na -_pritisak; ka\.1 posl.icJka djciovJnja pritiskuju(c sik -Llatnl' ~ilc,

J. tangencioriaino - .smicuce naprezanje, kao posljedica djelm"anja odrcdcne smicuce siJe (odnosno transvcrzalne - popree-ne sile),

4. naprezanje na savijanje, kao posljcdica djelovanja momenta sayija­nja -. napadnog momenta,

5. naprezanje na j~"ijanjc, kao posljcdica djelo\"anja pritiskujuce sile ua izvijanje,

6. naprezanje na torziju (uvijanje), kao posJjedica djelovanja momenta torzije - uvijanja.

Na slid 116. dat je shematski" prikaz na:->rajanja rojt'"dinih vrsta napreza­nja, posebno sa aspekta uzroka naprezanja.

Detal;nije 0 svakom naprezanju~ .. posebno bi(:e izlozcno na odgovaraju(:em rnjcstu - u -narednim izlaganjima.

9.2. DOZVOLJENO NAPREZANJE I KOEFICIJENT SIGURNOSTI

Za svaku vrstu naprezanja date su one granicne nijednosti napona koje, po pravilu, ne smiju biti prekoracem:. Te, propisima d:lte vrijednosti nuzivamo dozvoljcnim naprczanjima iii naponima (u tehnickim propisima za roicdinc \Tste konstrukdja, odnosno materijale date su veliCine uopustenih naprezanja kojima se koristimo -pri izradi statickih proracunu).

Dozvoijena naprezanja, bo i naprczania UOpstc, izraz'-l\"uju se u ieJini­cama nu napone i koristimo ih u stati'::kim proracunima poscbno za kontrolu nctpona u nosacu (uporedenjc), bo i 2ft dimenzionisanje prcsjeb !1(lSaCa.

OznactlYamo ga obicno sa a,l (Jopusteno) odnosno -T,[ i sl -Dopusrcni naroni su znatno manji od onih napon,\ kuii. se poiad)uju

pri samom slomu matcrijalJ. Tu jc razumljin) s ,.)b,ir~';J1 it;:> Cinjenicu de:. u :;\',\1.::\1111 nusJ.2u - b1flstrukdj! In\lr;lmo il~l,I;~ ,-_,~ •. c! ":":~r\'u U :-rni,,]u sigurnosti. Ta sigurnost izrazena je kee{I'oicIlLOtIl Sil[lIfnOSli S obzirom na na­pone.

Ko.:jio/mt sigurnosci je bra} ko}i nalll kaze kolilw "'ll plaa do;z'C'oljena llapre­zanj(1 manja ad naprezanja' pri lomu, i}. od cvrslOce marerijala. Sto je materijal kvalitctniii i pouzdaniji, taj koeficijent jc manji. i obratno, Npr., za drvo 5C

krece ad 4 do 10, za celik (zeljezo) ad 1,7 do 3, ird. Koeficijent sigurnosti, inace, _5 obzirom i na druge staticke aspekte,

bro; je'koji iskazuje odnos nekog utica;a (npr., sHe) koji prouzrokuje dezin­tegraciju (lorn) rnaterijala nosaca i utica;a (siJe) koji materijal nosaca moze s3svim bczbjcdno da prihvati.

9.3. HUKOV ZAKON

" ~ravil~ i obra;>ci lz otpo:nosti materijala zasnovani su u oshovi na zakonu kOJI Je prVJ utvrd~o engleski n~u.cnik Huk '(Robert Hook, XVII vijek) i koji smatram~ ?s~ov~l1m - ter,neljmm zakonom otpornosti materijala. Hukov zakon, rt)eClma'tskazan, g:lasi:

Nat.0n; -su propo~cl:on.alni def~.rmaC1iama (lat. orig. -- Ut censio sic vis!), sco znact da su napam I defarmacfje medusobllO direktno zavisne veliCinE __ ito su veCi napani u elementu, veie su de/ormacijc, i obra[lIo.

7 ";(~\!~.J ~r--,dt'vln,klh Kun~tlukc!j'l 97

:

I

AnalitiCki izraz (obrazac) ovog Ulkona je sljedeCi:

(/ = E' £.

Ovdje oznaeavamo sa: • - f1 - napon u ;.\1Pa (zatezanje, odnosno pritisak iii vlak, odnosno

tlak) ;"'Jl.

- 1::: - koeficijenat proporcionalnosti iii modul elastienosti, tzv. jungov modul (Thomas Young). Izratava se kao i naron

- e = j 1 _ deformacija, odnos dijela izduzenja (ili skracenja) stapn I

prema prvobitnoj - nedeformisano; duzini (e - epsilon). Epsilon (e) je nei­menovan bro;;

- Lli - izdutenje (iii ,kratenje) stapa po apso!utnoj - 'tvarnoj vrijednosti izrazeno u jedinicama duzine (npr., mm ili em);

- l - pn'obitna: (nedeformisana) duzina elemenata (stapa), takoder, izrafena u jedinicama dufine (iste mjere, rj. mn}. iIi em).

Hukov ruon u praksi primjenjujemo, u pravilu, za sve gradevinske konstruktivne materijale od kojih mogu biti izradeni nosaci za naponska stanja elasticnog podrucja (dok su naponi u nosaeu manji Hi najvise jed­naki naponu na granici proporcionalnosti - elastienosti),

U stvari, za nepotpuno Clasticnc materijale: beton, liveno ze-ljczo, kamen i dr., Hukov zakon sarno pribliino, ali za praksu, ipak, dovoljno tacno iskazuje odnose e i (f - dilataciie i nupona, pa je, kao 5tO su ustanovili naucnici Bah i Sile, dat i tzv. prosirer.i Htlkov zakon U Oi:pornosti materijala, ciji je izraz:

tJ'"=E'e,

gdje je m - bro; potencije razlil:it:i dat za razliCite materijale, npr. za Hveno tyo:Me m = 1,083, itd.

Zna~enja e i E su vee data .. Kao sto ie vee reeeno u praksi; posebno u gradevinskoj praksi se koristi

u proracunipla osnovni Hukov zakon kQji smo vee ovdje definisaH, a prosrreni mon se, u pravilu i za navedene, nepotpuno elastfcne rnat-I!rijale praktieno ne koristi.

U odredenim granicama (vidjeti dijagram e i q u narednom izlaganju), tj. u e1asticnom naponskom podrucju, sto ce reCi, kad napon po vrijednosti se krece od nul-napona do vrijednosti napona na granici elastienosti - modul e1astitnosti E je kORStantan - stalan broj. Ovaj modul mozerno shvatiti bo zamiSljeni, fiktivan nation pei kojemu bi izduZen;e ~tapa bilo jednako r·"'Vo­bitnoj dilZini, pod uslovom da naponi·ne predu vrijednost napona na i;I".uUci eIasticnosti. < Neke od ovih stalnih vrijednosti za E su sljedeee:

98

za gradevinski celik

za camovo drvo ., ... ~ ..

za heron

= 210.000 MPa

10.000 MPa

21.000 MPa

IN *ll. I MPa = IO'Paj 1 Pa = '- (paska1).

m'

Ranija jedinica za napon hila je "I kp{cm:"

IMPa = IO-kp/cm1 ; I MPa = 0,1 . kN/cml (nesistemske jedinicc napona).

Na osnovu Hukovog zakona mozemo, pored f)stalog, odrediti ~ izraeu­nati napr(;zanje u nekom optereccnom elementu -- nosaeu ako prethodno

utvrdimo defomHlciju J/, c1 I

odnosno c = ---. I

oCitati specijalnim mjernim instrumentima.

Ova defonnacija se moze

Popreena deformacija. Poprecna dcformacija stapa javJja se Kao posljedica - aksijalne deformacije. Poprecna dcformacija se manifestira 1.::ao suzenie (kontrakcija), odnosno prosirenje (di!atacija) roprccnof: presieka stapa. Dok. poduzna deformacija (izduzenje, skraccnje) predstavli ~ f'romjenu duzine e1emema (stapn), poprecna deformacija predstavlia, u stvari, promi ~nu popree-nih dimcnzija za odrc.denu vrijcdnost (st. 117). Izmedu poprecne i

. produznc dcforrnacije postoji odrcdcni odnos:

1 cp =--' E,

m

gdje je deformacija, Ep =

ill e=-

I

SI. l17. Naprez:lnje n:l pririsak (shem:l i presjck ~tapa). 1- G .. 1ina ~tapa, :1l- skra cenje po dU7_ini L~,f -- r Q rrecn0 skr3(:C;";)t (Ltd = D - d), poprccna dcformadja Ep = .1 d .,11 _, uzduina deformacija £: = -, a = E· r, d I . .

Odnos £:p = _ em - poasonov bro)). m

6.1

d

'" "

wduzna deformacija

Koeficijent m je Poasonov (Poison) broj koji ima vrijednos! 3-4 zavisno od vrste materijala stapa. 1v~oie se priblizno, U opstem slucaju, uzeti da poprecna deforrnacija iznosi 1/3 poduzne deformacije Stapa.

9.4. DIJ.~GRAM NAPREZANJA I DILATACIJA (a, ,)

Izmedu naprezanja - napona i dcformacija dilatacija (izduicnja iIi skracenja) postoji odredeni uzajamni odnos iskazan, kao Sto smo vidjeli, kod elasticnih materijala, zakonom Huka.

Prakticno, odnos izmedu defonnacija stapa, a sto se oCituje izdliZenje;:r: (za slueaj zatezanja), odnosno skracenjem (Za sl~lcaj pritisaka), ~?fe ~e ~:vrdl.tl i precizno rnjeriti pomocu probnih stapova - tljeia u laboratortll za lSpltlVanJe materijala.

ObEle, velicina i dimenzije takvih (probnih) stapova - tije1a (prizme, kocke) su propisima utvrdeni .. - standardizovani. <

Postupak _ procedura ispitivanja probnih tijela (stapova) ukljucuj~ i vodenje pisanih z.apisnika - proiokola na odgovarajutim obrasdma, sto Je, takode, posehno utvrdeno.

99

Da bismo stekli uvid u odnose·naPona i deformaci;a koji se ispoljavaju pri ispitivanju oglednog - probnog. ~pa, kada se Stap podvrgne ispitivanju - testu na zatezanje, pomoCu specijl1lri~ IDaSine za tu svrhu, (hidtauliCki stroj, odnosno presa), nacrta6emo dijagram ·napona i defoffilacija (dilataclja) karakteristitan za celik (kakav se upotrebljava za konstrukcione svrhe u

&rad~tvu i dr.). Na l<.oordinatnom.s~temu sa ~pscisriom osom ~ (1/) i

ordinatno~ oso~ (/ (;) crta ~e dijagram koji se naziva jos i dc.fonnaci~na linija. Na dijagramu su vidljive sljedece karakteristicne granicc - mtke.

S obzirom na znacenje i velicine naprezanja to su:

01-1 ~.}.~

..).-' . .1--1

tatka P -

tacka E -

moo R -

6

m _ l- __ k

Sl. 118. Napraunje flU zatczanje, dijagram p

napona i dilatacija (za celik): tJ' =-(napon), .... F JI

f; = - (diJatacija), tJ = E" <: (vaii za napo~ I

ne od O-fJp ).

granica proporcionalnosti, tj. napon do koje vrijcdnosti (pocev od nul e) su naponi i defonnaci.je (dilatacije) strogo proporcionalni. ~\'apon U 1".1 tclCR.i 20L'C se NapOll tl<1 grdilici proporciorwlnosti (a"p,.).

granica elasticnosti - napon do kOje vrijednosti (od P do E) su elasticn·~ i eventualne plasticne deformacije zanemarljive. Unutar tog naponskog raspona (od nuIe do E), prl'ma tome. deformacijc se smatraju da su u potpunusti elasticne prirode. Napon u ovoj lacci zove se naport na granic:' elastibwsti (dE);

granica velikih izduienja, odnosno' gornja granica razvlacen;a. Za napone ud E do R materijal trpi znatne plasticne (tra;ne) defonnacije;

tatka F - donja granica veli.kih izduzenja, tj. razvlacenja. Od tacke R do 1;' traje proces razvlacenja materijaJa. (stapa). Naponi u tacld R, odnosno F lOVU se naponi na granici (gornjoj i donjoj) velikih izduzenja- - razvlacenja;

ciCka M - granica evrstoCc materijala - koju nazivamo jaCina maurijala (aM)' Od Tacke F do M napon, kao Sto se vidi, poCin;e osjetno da raste (liZ kontrakciju - sllzenje presjeka ~fapa) i to prethodi momentu kidanj-a materijala;

100

.'(, , , ,!

tacka K - ovdje nastupa stvaran slom - kidanje, nakon s~o su nast31e velike poduZne deformacije - izduzcnje i sIabljenje prcsjeka na sarnom mjestu lorna. Taw K je granica kid:mja rnaterijala. SHi::an dijagram se poja ... ljuje (u III kYadrariru koordinatIlog ~istema) pri ispitivanju - restu na pritisak. Kao sto je reeeno, kod rnaterijala sa skromnije izrazenim ela­.sticrum svojstvima linija defonnacije, odriosno dijagram <1 i f

po obliku osjetno odstupa od naprijed izlo"ienog. I na dijelu dijagrama od·q = 0 do <1 = apr, odnosno q == (fE. dijagram ie nclto zakrivljen, a poslije toga vidljivo· odsrupa od vee pOlllacog prikazanog oblika (za cclik) .. Mcuutim, u praktir::nim racullima, u elastiC-nom podrucju, ipak se primjenjuje linearna proporcional­nost (/ i e - kao sro je to dato Hukovim zakonom ((1 = E· ~-) .

. Razumijevanje dijagrama napona i deformadje je od posebnog znacaja. za dalje inrerpreracije u aarcdnim izlaganjimfl, a koje se odnose na prakticne posrupke prorncuna nosaca u sklopu nosivih gradevinskih konstrukcija.

9.5. NAPREZANJE NA ZATEZAl':JE - VLAK

Sada cerno detaljnije·obraditi pojedine vrste naprezanja koje smo mnijc iskazali. .

Naprezanje na zatezanje nasraje hlO posljeJicd dje/e.,"anja zatezucc aksi­jalnc (osovinske) sHe u slucajcvlma khia ta si!a ·napada konstruktivni nosivi elerne.nat (stap), koji je, u pravilu, sast~1\"ni dio KOQstruk:.:ijl' kao cjelinc.

SI. 1 !V. l'Ll!\ puluz<!)a (sh~flla): C-D. nut st:1!', l' - prcsjek 5tllr~ (mcle :l:!i l'ihlg uU :b).

LJz pretposravku ravnon,-j~mc raspodjcle sile PI) presjeku st~lpJ, tj. ravnomjcrne raspodjcJc nar()n~l, obr:lz:te za racunanje vclicinc z:ltcZllcih napona g!asi:

(1. = ~; odnosno: ut = (~O; Z)*I zatezuCl iIi vlacni napon u (lylPa) a,

Z F

z2teiuca sita u kilonjutnima (kN) povrsina presjeka .~tapa u cm:.l.

Kada je poznat presjek stapa i veliCina sile L, kontrola naprezanja, prema tome, rreba da poWe racunsku vrijednos[ napona i odnos toga napona prcma dopustenom. .

Pri tome se sluzimo obrascem:

Napomena!

_ (lO.Z) fI. - ---;;-- ~ (1d~p.

. *1 Silu .~" izratcnu u "kN" mnoiimo (u prakticnin-. obrascima) sa faktorom ,,10" da bl n:tpon blo ~ korespondentno - izraien u "MPa" -- megapa5kalima. Isto cemo Cilliti i u narednim izlagan)ima - poscbno u zadacima - primjerima.

IOJ

f

I

U slutaju odredivan;a presjeka, tj. dirnenzioruran,ja !tapa. koristicemo se obrascem koji je proistekao iz prethodnog i koji glasi:

(10. Z) F = --- (em'). (J/l.IJI'.

Iz veliCine F poz~atog obli.ka presjeka dobice se dimenzi;a presjeka. Ovo Cerno ilustrirau sljedeCim primjerima:

Pri"g&r (slika 120) • NAPOMENA! Naprezllnja cemo izraiavati u megapaskalima (MPa)

Odred1ti dimenzije presjeka ~lltnog itapa - iipk,,: kVlldratnog presjeka aka je !tap napadnut zatduoom ,ilom Z "'" 30 leN i akc it:

, ,

T 00 o

(JJgp ';"" J40 M.Pa

10·z 10.30 P,= -- - --- = 2,14 eml,

(J;4JP. 140

F = a' (povdina. kvadrata),

S1. l20. Shema: Z = 30 kI'. ~ - Stap, (Jdap "" 140 MPa

SI. !21. a) plm poloH)a (J : 100), b) plan S11a (I em ::"::: J kN-), Z = 50 kN,

a = v'2,i4" = 1,46 em.

Usva.jamo 4 = 1,5 em, tj. presiek 15 x 15 mm. U daljim _ narednim primjerima napont izraZavam() -- prema propisu i to u meg~f'as~ kaHma - MPa. Faktor kom'erziie je: 10.

Primjer

Odrediti veliCinu zate.iucc sUe koju moie da preuzme teiiena okrugJa ~ipl;-a prccnika d.""" 20 mm ako je (fdIJp = 140 MPa. Najprijc postavimo odgovarajuci obrazac:

Z (IO·Z),; (f<!op = -,odnosno;(frt= ,_." "';( .. 10 -faktor)

F F

d'.. 2,02 " 3,14 (IO·Z) = - ···OdIJp = -----·140

4 4

Iz ovog slljedi %akijuM:

. 439,6 10· Z = 3,14· 140 = 439,6; Z = . -._- = 43,96 kN

10

Celitna okrugla Upka d -= 20 mm (betonski ~elik) moie pouzdano prihvatiti zateiutu silu veliCine 43,96 kN, odnosno 0 niu maze biti obidcn teret izracunate veiicine.

Primjer (slika 121)

Z.atega nasu-csnice izvedena je od okruglog cclika, precnika 25 nun. Ako je (}~op = = 165 MPa, utYrdiri da Ii zado\'oljava presiek §ipke.

102

SiJa u zatezi B (oznacena je sa Z). Najprije odredimo vdiCinu sile Z (grafitkim pu-tem):

Z .... 50 k.N (ooUlmo iz plana sila).

Povdina pres)cka ~ipke (d ",,25 mOl) izoosi: F= d2

7t = :~,:::_:..:,_l~ = 4,9 em! 4 4

(n - 3,14) Kontrolll naprezanja:

(IO·Z). 10·50 G =-'

F 4,90 iJ'hp = )0::':,0 ,\1Pa < (""I' =0 165.\\1''-1

Napon na zatezan;e je osjetno mar,ji od dOlvoljenog. Prema wrne, prcsjek zatcgc zadovoJj~I\·J. (U sluca;u da je ra.':unski napon a veci od

dapu~tenoga, morali bismo povccati prC'sjd: sipke, tj. usvojiti \"cci pre'::nik zJrege.) Na analogan nati!1 bismO rjeSav::l~; "s,'Jle zad~!ke i2: o\'oga podrucja.

9.6. NAPREZANJE NA PRITISAK - TLAK

Naprezanjc na priris::lk je istovjetnog karal::::tera, k::10 i naprezanje n3 zatezanje. Raz!ika pri rucunanju jc sarno u predznaku sile, dakIe, inn predznak minus (.~). Pod jednakom prerpoSta\,Kom 0 ravnomjernoj raspo­djeli napona po pre~jeku aksijalno (osovinski - cemricno) opterceenog - pritisnurog $,JP~\, O'U~U::;:lC za ve-lieine HarOn" pritiskd glasi:

p ---::; UUm)snu. r

P pritiskujuca sila L2 (Iz>':),

(10, r

F povrsina presjeka stapa (err,:!). cr1' oapon u megapnslzalirna (.\l[>a)

Znak minus'oznacava da se rani (l [niriskujuCirn (tlacnim) naprczanjirn2 Gornjim obrascem se kontrolisu pritiskujuca naprezanja u stapu. Dimenzioniranje se vrsi prcma obrascu:

F ~ (IO:.!)_ (em') Vd.,,,

Iz pozrrate velicme presjeka i oblika presjeka odredimo daljc dirnenzijc presjeka (kao i kod zalegnutih elemcnata),

Ova cerno ilustrirati sljedeCim primjerima:

Primjer (~lika 122)

Kratak stub (bez poja\'c i:lvijanja) u sastavu drvcnc skele ima kvadratan presjek, stranice a = 20 em, tj. 20{20. Optereccn je centricnom SilOlll P = lQO kN. U(vrditi da Ii odgovaraju dimen~ zije poprecnog presjeka stuba. IZYrSicemo, dekle. kontrolu na· prezanja.

o'/Gp = 6,0 ,\1Pa UvrHavanjem zadatih vriicdnosri u obrazac, S.l faKt(lro01 ,,10", prj kome sHu iskazujemo u "kN" a !lapoo U .,I\IP;," i~l;'.mo:

a = ~~ = ~I_~,?- = ~9 ,,~ 2,50 MPa F 400 400

Ij. (J -. 2,.'U ,\iPa <: lidO;> ''''' (',0,\\1':1 $1. 122.

103

. . Dimenziie presj..:ka stuba S obzirom na djclovanje centricnc sile, P = l00kN zadovo-IJ2vaJu. .

Ispod zida od 38 COl nalaz! se betonski trakasri temdj. Odrediti potrebnu ~irillu tcmeJja akn je Or{cr('('('nic, ukijw:'ujuci i masu {{'melia, P = 120 kNlrn' (ce!ltricnaj, a do­pus(eni naron t!ll 0,20 .\11':1 ,>ld,)\T, trakaSle (emelje i ur. ra~unam() na j~>d:lIl JUllli !l1e[ari.

10· P (l_~l_~~) 1200

0,20 0,20

F= 100'b,

6000 h = 60 '::nl.

100

6000 cm'

P~crna tome~ u:,\-aja SI.' <;i,lllil. (e!llcija trak..: od b "'~ (,0 em (lIs\'"jcna ~irin-a jcJnuka je racunskl potrcbno), 7a"kruieno na pn'u \'ccu ciert! sa nu!om iii peticoI1l na kr"J)u).

51. ! 23, Presiek i abllllorncuijsb prika;, temtija.

Prill/jet (slika 124)

51. i 2'-1

Zid od opcke ('\'l.p ISO) u krc(noIT\ malrcru optcrclcn ie centricno sdo!l1 (Jobivenom nuko)n analize.op[cre~er:j~ zida~ o~ P = .. 15~ kN(m'. ~'id ie debljine 38 em j \"isjne 2,5 m, I otrcb~o Ie prov)erw d~ 11 dllnCnZI)e zlda zadovol)avaju (Sirill".l~). Dopusteni napon mJa za opisane uslove da( Ie lclll\i~'bm propisil1l<l i iZIlOSI (1'/"1' - O,':IO,\iPa.

" _ Pro:'jera napr.:zanja \"rsi ,~e 1I Ji!njoj Sjx'jn!ci zida. Sila P obu!\\'ata i !ljcgo \ u vlastiru tt';IllU kOla ~e dobl)!: mnoicJ1)cm Z3pr~'rninc (n~ dU'lni metal' ziLla) i l;\pr":Hlil1~kc teiine Zlu~. Posnn'lmo cbrazat:

10 . l' Mj;- ~ (Jd,

Zamjcnom - U\'I~t..:l1km fl(,/nalih l'nj,'dIH':,ti J,a Pi F. irn'lrn'i

,\'ilpomena!

, Dopusteni nap0fl: kod :tidm-u ou opeke i stubova ovis:.!n je: () odno$L! vismc n.~s:vog elem~~ta (7.,ld:.1 ~, s(~bi1) i manjc dimenzije poprccnog rresjeka (slrtoe -- debl)lne), t). od t7,:', \'\tkOSII, Z:.\(\.l je to ovdje, pri oUl'cdinllju Jopu­stcnog n3pona, uzeto u obZlr - shodno nJh~dball1a odgovarajucih tehnickih

104

propisa. 0 vitkosti i poiavl tzv. iz\'ijanja bite govora U odgovarajuCim izlaga­njima, neSto kasnije.

Na analogan naCin se racunaju i stubovi ad opeke, odnosno she-ni i od nabijenog betona. Nairne, bitno je uvijek, zavisno od pavedene tZv. yitkosti, utvrditi velicinu dopustenog napona. Pos[upak nakon toga je istovjetan vee opisanim i ilustriranirn primjerima.

9.6.1. DefQrmacija aksijalno optcreccnog stapa

Deformaci;a aksijalnp opterecenog stapa napregnutog na zatezanje iIi pritisak: oCituje se u produZenju, odnosno skracenju stapa za odredenu mulu vrijednost.

Ako prvobitnu duiinu stapa obiljc:i:.imo sa I, a ::;kracenj.:: iIi ;:,:-.!u;;~.'nje sa .JI (delta I), Iada navedemo LIt mozemo izracunati po obrascu'

jf = ~:...!- (izduienje stapa), l,dnosno: tfl 0-= ~L~..:_!l: ~ ((111' E'P E·P P'I (IO'P)

Lil = .. (skracenje: sI2pa), (ldno$l),J: ill = ,-- /'.'r:-EF L·F

Dimenzije: P (kN), I ((!ll), E (.\ iPa), F (cm 2), .:!i (ern).

Desnc stranc_ obrazaca sm0 izjcdnacili i oobiJi d<uu vrijcdno:;t. \'".'Iicinu

.JI nazivamo jos apsolutno (ukupno) skracenje iIi izduzenje stapa, a ~-~ I

re!ativno (izduzenje iIi skracenje - dilatadja), Napomena: '\'idjeri i skicu koja se odnosi na objasnjenje Hukovog zakona.

Ovo cerno ilustrovati sljedecim primjerom;

Prillljcr

Cdicna zatega kvadr;i(nog prcsjeka, u -, 20 mm (20/20), napadnu(a jc zatdu~om silom X' 50 kN. DuJ.ina zal~gc iznosi I ~ 4,0 m. Odrtditi i'l.duJ.cnjc !ipkt "1.ateg-e LJI. I'ostavill\() obrazac i u\'rslimo poznate vc!i('inc:

z

Si. 125. Z = .50 kN, a"" 2,0 mm, F = aX ~:, 2,Ot '_0 4,0 cm',

E = 210000 MPa . lO·Z'/ (10·50)'400

jl = --_. = . = C,024 em, E'F 210000'~'2

odnO$'no ill = 0,24 nun.

Nu anaiogan na~in se odred\Jje, 'racuna skrll(-cnje u sIuc:aju prhiska.

105

f

9.6.2. Deformacija usljed temperaturnih promjena

U slueajevima promjene temperature, svaki stap se izduzi, odnosno skrati za odredenu manju velU:inu. Povecanje temperature prouzrokuje izdutenje, a smanjenje temperature skracenje stapa. O· ovo; pojavi se mora voditi racuna u statiCkim proracunima konstrukcija osjetljivih na takve prom­jene. Ukoliko je deformaci;a od temperature nasilno sprijecena (iz konstruktiv­nih razloga), u !tapu nastaje dodami napon koji moze doseci velike vrijed­nosti. Tom fenomenu se poklanja posebna paznja.

Izduzenje zbog promjene temperature moze se izracunati po obraseu:

"g = K t ·/·(, gdje je:

K t - koeficijem teernie-kog izduzenja (vidi odgovarajuce tabIiee),

I - duiina stapa (em),

- razlika temperature f = ([2 - lIte.

Odgovarajuca diletacija ce biti: £t = :t.!.:. Napon usljed povecanja I

promjene temperature' iznosi (po Huku)

Pr:"mier

Odrcditi veliCinu napona na pritisak koji ce podnositi icJjezni :,,)5ac Cija je duiil11. l = 4 m, pri razlici temperarure q,d f = 20"C, ako je sprijeceno uzdu;.no dilatiranie - izdu-zcnjc nosaca (urr. nosac uldijdten izmedu dva ma~i\"["l zidai_ 1:' 210000 J..jPa.

Rjefcn;.: ..

I 1=400 cm; Kt =--··

100000

1 _1lt "'" - -- . 400 • 20 C"C,. O,OH em.

100000

Po Hukovom zakonu. imamo: " -'" E· t:/> rj.

.H! tTl = --;-.. E, (MPa)

a, 0,0&

... ·210000 = 42,0 MPa. 400

Na analogan nacin (m primjcnu navcdenih obraz&.ca) bismo rijeSiH druge slicne zadatke iz ovoga podrut;a.

9.7. TANGENCIJALNA, SMICUCA NAPREZANJA

SmiCllca iIi tangencijalna naprezanja javljaju se kao pasljedice djelovanja sila u samoj ravni presjeka - opcenito nazvanih smi::uce sile . . Kod nosaca stapova, to je zapravo poprecna (transverza1na) sila koja, kao Sto od ranije znamo, djeluje okomito na osu nosaca, daklc, i u ravni normulnog poprecnog

106

presjeka. Pod prcrpostavkom .ravnor:ljcrnc podjeJe smicuce sile po obrazae 7.2 smicuca naprezan)a gbSl:

presjeku,

Q. . (IOQ) T = .. -; Odl1n;;no: T = .'- -,

gdje je: F F

r - (tau) smicuce nnprezanje u megap~l;;bJima

Q smicub (papucna ~ tf3n:;\'crzalna) 51la u

F povrSina presjeka (smicuCa ploba) u ernl.

(,\1Pa)

kiioniumima (kN)

U slucaju dimell7.ioniranja prcsjeka on ovako dcfinisano (Cisto) smic:mjc, gornji obraz3c dobija sljedeCi obliL

F -0-.- (10, Q) (cm~)

\ i Q

~h_'* {A-AI

0' Sl. I :6. ",1~l:2i: ;::;,1;:::11. (J ~ s: ." II kp. F ~ "1'-1)( IC'] r-rw,~in;l II [['1" .. -\-" .. ~

pr~,il'k

p

;27. N'-Iponi u kosor.", pres)' \-,' )1'-1: F - normaloi rr<:s)ck. F;

1 l'rc~Jtk, r",;,:, 2 r Z;l 'I

Velicine dupusrenih smitucih n::tpoIl~1 Z<l razliCite materijale dalt: I);l odgovarajuCim tehnickim propisima (vldjcri zhirku tehnickih propisa, odnosnCJ prirucnik Telmicar iIi slicno).-,t) Smicuea naprezanja i~vljaju se'j kad nos~.ca riapregnutih na s3vijanjc (usljed utiCl;:! transverzalne sJle, n~ po.seban ?aCl~, o cern'] cerna se upoznati u rem! n savijanju tj. u naredmm- lzlagan)lln8)

lVaponi u k05{)1!l prcsjeku srapa

Napon, kao stu znarno, dot)ijclT10 dijeljeojem aksijalne sile i napadnutt

P) povrsine poprecnog presjcka (if F· IZazmotrimo ovdje, sa posebnilll

razlagom) slucaj kada aksijalno naprcgr,ut (Witisnut iIi zategnut) stap presjc~ cemo pod 'uglom if' (fi).

Napon, p =!-. je upravan (lJ na kosi presjek. F

Aka silu P razlozimo na dvije komponente NiT, tj. jednu.upravnu na ravan kosog presjeka, a drugu u ravni toga prcsjeka, i kad POVfsinu kosog prcsjcb oznaCimo sa Pi' imamo:

,I") DOll.·olirni napord iz pr T\Sa ovdtt ,,\l prcrJ~una(i poodnosu: 1 kpJcmt _O,I,\\l'.l

107

N = p. cos'l]'j" T'=J? - sin 'l-'! odnosno

F .. ' r, ~ -~. (F ~··PQvrSina .cosrp ',' upravnog, tj. normalnog presjeka)_ Kom-

ponenta N dace ttv 'n~fma!ni napon:

N (] =-,

'P, _.~ .p . cO .. S.'._'1 - = p. costrp.

F

Komponenta.! .dace,. u srvari, smitue] ili tangencijalni napon (u ravni kosog presjeka), ko]! lznOSI:-' ,

__ T P'sing 'COSf? P, r - ~ = -----~--,-, .... - '= _---'. sm 2 qJ,

Pi F 2

ovdje je p, kao tito sma vidjc1i, napon u normalnom presjeku, rj. p = _.~ .

Iz obrasca z~ (J' i r je vidljivo da t:c najveCi norn:talni napon vladari u preSj~u za If' = 0, tJ· u normalnom presjeku, a najveCi smicuCi _ tangencijalni za

~ ~

?' = ---,:- (jc~ ;e sin 2rp = 1), sto mati rod uglom ad 45 c . ., .\lJl-:simalni T napon, o\"Jjc za '/ =_ 4Y, iznosi:

p.

-j. Ka~ .. smicuc~? .naprezanj~_. ~S:ta'po'\'a ~ap~egnutih s;J~nn nd smicmje) ucfOrmaCl)a se aCHUje U spcC1!JCnoJ prom)cm oblika stapa. OV3kv3 deformacija je vidljivJ ;7: prik:l7.:1 (seme) na ski !2~,

/~IC"Q . '" >c,1 :

.~'J. ;) : ., '

~'. 0..:., I _~.

SL I ~(i, T<lllg":!H;ijalna ,kip! IllJc:ii.l: lO-O) i (i-I) ~ dva beskulI'-\(IH) (1l!sk;, prtsjeka, .!!-klizanje,_!i:l~ X;Y,Y "za

1/

tangencijaina deformanj:J (kJiL;lllje).

Vidljivo je da tzv. $pcClfiblO- kliza.lIje pd smicanju ,koje oznUCUV'1ll10 sa ~' (,f:~a)) kolienik dvi!u duzina - dakle, neimenovan' broj, pa to ~ozemo :11\ aml ka? luenu m)ef1:1 ugla skrctanja zamisl;enih poduznih vlakanaca stapa (ovd)e, konzolnoga ~tapa)

Uz analogi;u poznat?g Hukovog zakona, po kome jc:

(J = E . f odnosflo E = a E

.. ~: I ; .

'I

Mozemo izvrsiti odgovarajucc zamjene za odf!(warajucc velicinc (umjesto f1 uzeti T, umjesto :; u7.cti j'_ i umjcsto E uzcti G). pa imamo;.

T ~ G 'y, gd;e je:

T - smiCllCi napon u (MP.). . .

G - modul klizanja (u jeuillicama naponah·

y - specifiena tangencijalna deformacija (klizarije).

Prema tome, miicuCi naponi su proporcionalni smicucoj - cangencijalnoj defor­maciii, lj. specifibwm klizanju, i ,obramo.

Modul klizanja G moze se utvrditi (z,a odreJcnc materijatc) iz slicdeceg obrasca:

G ~.- ~ . fi. 2 (I + u)

Dimenzije (jedin'ice) modula klizanja G su iste kao i kod modula elasticnosti, tj. kp/cmz ili slieno.

Poasanov koeficijent It (mi) susreli smo vee ranije) pri proucavanju pap-

recne dcformacije srapa (m = ~, g-djc je m Pousanov braj). I'

U nekoliko narednih primjera prikazacemo pastupak rjesenja zadataka u adnosu na smicuca naprezanja.

Primjer

Odrcdiri prosjccnu vrijcdnoS[ smicu":eg napuna u drn~n0j grcJi, a u prcsjcku \ :,;-".1 osloncem) gdje transverzalna sila (rcakcija) iznosi RA '" 30 kN. Presjek grede 20.130 em.

T"'---- (I0..:.1?) (!~A) = 10 ·-)0

F F 600 Primjer

)00 -- - = 0,5 !v\Pa

600

Odrediti duiinu X prepusta \wrizonta!ne grede (nrc, wzne gn:de kroYis{a! na koiu , se prikljutuje kosnik na kosi zasjek:

Tdop =0 J ,0 Ml'a (siika ! 28a),

l b.:::2Qc!Tl\ 1 1

[J x +------+

SI. 128a, H - ,mittIe. ,;1" H ~ S cos JO" ~ )0·0.87 = 26,1 <N.

Prvo nademo velicinu smiruce sHe H (npr., grafoanaliticki):

Jl "- S· cos n = 30.0,87 = 26,1 kN (kilonjutna)~ }f "", 26,1 kN

F = (to. Hl = ,~~~ = 261 em' 1,0

ili-)

f

/

,

F = X' 20 (smicuCa povdina),

X·20=2td.

261 X =-= 13,05 em.

20

Usvajamo X => IS em (potte:bna dutina prepusta),

Zakovice

Kod celicnih konstrukci;a za spajanje konstruktivnih eJemenata u jednu cjeIinu, koristimo se zakovicama, odnosno vrSimo zavarivanje. U odredenim slucajevima koriste se i drugi elementi veze, kao, npr" ,zavnnji i dr.

Zakoyice kao sredstva za vezu u. ceHcnim konstrukcijama napregnute su prvenstveno na smicanje i s obzirom na to naprezanje vrSi se njihovo dimen­zioniranje (odredivanje pre~nika zakovice, broja zakovica i s1.).

U gradevinskim, ~elicnim konstrukcijama se upotrebljavaju zakovice kao sredstva veze, naj~eSCe movice sa sfernom glavom. PreCnik zakovke odnosi se na njegov izdufeni dio (vrat), a standardne velicine precnika koje se koriste u praksi odredene su propisirna (npr., 11,13; 17,20,23,26 mm).

U smislu statickog proracuna, zakovice mogu djelovati kao ;ednosjecne, dvosjecne iIi viSesjecne - ~zavisno od broja smicuCih povrSina, u vezi, koja se izvodi zakovicama (,1. 128b),

Z z

Q

Z $ Z----....L-: A..........J-...·d ---->+2-

z 2"

b =!', z "2

FIn +~t s, z

z i z

Sl. 12gb. Zakovice: a) jednosjetoe (x - smituea sUa, d _ pfeenik zakovice • .11 i dB - deb­ljina limova), b') dvosjecne: N - zakivak, d -·precnik zakivka.

Osim smicanja kojem su izlofene zakovice u vezi ostvarenoj pomoc:u njih, moraju se kontrolisati - naprezanja pritiska pO omotacu perforacije zakivka (e -+ - ro naponi), kao i eventualno drugo naprezanje u dijelovima

lID

elcmenata koji sc vezu zai::cwicama, Hazmak zako\'ic~ u n!~U (u pra:'cu J~\S(\'~ siJe) i u redovima norma!no n~ rra\,:l~. dcjstva .:a!c 1 drugl razma<.:\ rcgud5dnl

SU tehnickim propisima za konsrrukcl)Q od cehka.

lednosjeene zakovice

Nosh'ost jedne jednosjccne zakovice na smicanje iznosi:

gdje je: NJ _ sib koju n10ze d3 primi jccinosjccna zakoyiCa 08 smicanjc u k':<

Tdop

__ dozn)~jcn l1apon .smicaw' U ilwg:ljl;lSblima (,\lP,l)

presjek zakovice u cm2.

4 1 "

.,10 koeficijcnr (zbog n<lvcdcnih jcdinica mjcra u obrascu)

Dvo~icCne, zakovice

Kada u vai im8 -vise :<.ako\'ica (n-z;lkovica)) njihova ukupna nosivns[ i':8

smicanje iZl1osi: ., d'" ,I ( d' ~ ) ,

V =C-~ Tl .. - 'Td odnosno '\"J = ,-.. \rI' . T,l,'ji ) • "J.- 4' - 10 4

Ova ukupna nosivost mora biti jcdnaka sili koja napada vezu sa zako\-i-

cama, tj. Z = N~" _ . ,. ." Proracun zakovica i zavarivan.1il ijustriracemo u sljedeClm pnm)efl:-T;~,

Primjr:r

Dva e!cmwta od pljosnatog gvoh13 flotlf'bno ie veza[i u jednu cjdinu (nast~\iti\ pomocu ieJnc r.;lklll·ice. Odrcdit"1 ni~fl rrecnik :l~() je,rdap 0-. 100.MPa (sl. f23[;), /: = 20 kN.

z

z

z a 1 z

5l. 12Sc, JecinosjcCne zakovice (primjcrl: '\ i '), - drbljina Jimova = 0,8 em, F", = d ,I,

(10 ·2) _ e "" :.::. t!rkJp'

F.

Koristimo obrazac: Z

p;.l7.natc vcJiCine; 20-0--

. NI .. ~ ~. (~tn. ), z·,· 10 4' 'dep J a 1m uvrstimo

1

10

d t. 3,14' lOa

------4

,

3,14·10,0

odavde Imamo:

800

],14 2,55

d = vTs5 = 1,59 = 1,6 mm; usvojena je :t.akovica od d = 17 mm. Ako idimo pnwjeriri pritisak po ornotaCl.l perforaciic (rupe), imamo:

fo ·Z

d, ,j

-10: 20, ioo r,7 - 0,8 ! ,36 .

'!'I"I' 2401\1Pa

!47,OMPa

If} - ro, napOn po omotueu perforacijc -_ .. 'rupe 1:a nkivke).

Primjer

Na (Vorni lim debljine 12 mm (rdetkasti krovni nosat) u jednom njegovom cvorn prikljuccna je dijagonala (!tap dijagonalc) koia se sastoji od dva ugaonika tj, 2L 45· 45·5 mm. Aksiialna zatciuea sila u dijagonali S = 102 kN. Ugaonici su v:zani za cvorni lim sa zakovicarria prccnika 14 rrun. Odrediti bro) zakovica u vezi, medusobna iastojanja i rusro­"',!e' "J 1-:~;;ia demCl,1!3. Td~' !40 ,\iPa (sl. 129'1.

s

5 /

,. _ 0

evorni lim

S1. 12? D.l"Osje~ne zakovice (primjc:r): s = 102 kN, 0 - osa ~tapa i zakovicc, c - cvornj hm, 5 - stap, 2L = 45, 45· 5 mm, d = 14 mm, 01 (cvorni lim) = 12 mm.

PO~1O imamo dvosjccne zu\:.o\')ce, postavimo obrazac za nosivoS[ nu smic:mjc ZlI /I zakovica:

N"J.' ~, (n' 2. d~n . TdQJ");

Sada izvr~imo zamjene poznatim vrijednostima. (S = N).

102 ---" /0' (n. 2 .I,4'.~.~~. ~~o) Odavde iztacunamo dosad nepoznato II.

io .-4. 102 n "'. usvajamo, n = 3 zakovicc.

I I

Poduini ciwnak zakovica f -~, S 1.4 "- 7 em. a 01.1 krajJ e1ementa C1 = 2 ' d = 2· 1.4 ., ." 2,8 '~. 3.0 em.

Ukoliko':lelit:n0 provjeriri napon po omotacu pcrforaeije za zakiyke, koristi6=mo se obrascem: , '

(fo:Sj f! = ---- gdie cerno uvrstid _.'" ,,, /')1· d

- konkretno (u,' nil primjer):

S ~ 102!;N, 1/ '''-', 3' (tri :takovice, tj, tri perforacije na tij.: 'se ornotace prcilose naprezanja).

,)1 ~"" debtiina cvornog lima, l,~ em.

d = ptecnik· zakovica 1,4 em.

Uvr~telljem imamo:

JQ:'T02 --,- """ 20] MPa, a (0 je mabie O? tdfJt< (I!JOt~ .2, f1J" 2'·-140 = 280MPa)

. 1,2. I,~

Zavarivanje

Rekli smo da veze izmcdu elemenata u merainim konstrukcijama mozemo ostvariti, osim zakoyicama i zuwtnjima, i z;1,"uri..-:mjcm, Dok se ked zakovica ve:za ostvut'ujc, zapravo, prcko jcJne iIi vik m,':ab (y.akm'ic3), datle ked zava­rivanja imarno iinijsku kominuiranu vezu duJ. rui."'\'n zclV;lfcr1ih elcmenata -a sto nazivamo savovima - \·~lrovil11:J..

ZU\":lreni S~l\"ovi (\"aro\'i) ~ll n:lprq!nuti 1,:1 ·i::il:.:,:; (I'...:;': linik (duzinc) Sava. Pri proracunu veze sa za\"~1rivanjem, naiprije ;~wra:no odrediti debljinu sava (vara) a, koja ovisi 0 debljini zavarenih c1cmcnJta i ne smije biti debJja od debljine tanjeg elemcnta u z3varcnoj vczi, odnosno (reba biti manja od te debljinc. Dopusteni napon smicanja'u savu rd~p,!. urnJen je kao dio dozvoljenog napona na zatezanje u ce!iku koji je predmet vcze i z::\visi. od vr:ste elcktroda. kvaliteta zavarivan;a i dr. (vidjed propise). Microda\'na smicuta debljina vara, vazna za proracun iznosi a = 0,7 . d, gdje je d, kao sto smo rekli, deb­ljina elemema.*)

Iz ,ovoga mozerno napisati obrazac za nosivost jeunog vara (sava) duZine I na smicanje (sliClfO kao kod zakovica):

'" 1 (I .. . . .1\'1' = _ .. a' Tuo .. I) r;u)c Ie: 10 • .

N v - nosivost jednog sava ~. vam nu smic::mk u kN.

I - duzina yara u em,

TdoP,I. - dopusreni smicuci napon sava - vtlr8 U .\1Pa.

U vezi, naravilO, imamo dva iii vise savova - varova, pa jc nosivost za n puta veea.

Primjcr

Stap sastavljen iz dva celicna ugaonika 2L 80 ' 80 . 8 treba prikljuCiti n a ~vomi lim rdetkastog nosaca u zadanom cvoru, Debljina cvornog lima a = 14 !Urn, Veza je izvedena

" "idjeri odgllVaraiuct;' rchni,:kc

~ S1otlk:l gl'"dc\"ln~klh k01\,!;uhcij" 1 13

f

Uv.arivaniem bvovjma po: tub i J . . . .,.. 335 kN Odr di . d' "U ~ pravcu eJstVa sllc u pnkljucenom stapu a iznosi S =

• e tl uneozlJ,1! J8VOVa, dcbljinc i duiinc (51. 130), J

Ugaon liar

I I I

[, d

/f---.,..--, lLX80XaOX& . --_. -. r-' -~ S

a

, $1. 130, Zavarivanie (primjer); I ' 1 l' .

vara, 0 _ 14 mm, d = 8 :n:n I - p~tr~ me \.;uz.me savova (varova), 3) dcbljina , S =: J.,5 :;:N, '-"'I <.-. 5,74 em, el ""'" 2,26 em.

Debljina savova - spoje";'a u uv r k .. . .. '8,0 = 5,6 = 6 nun = 0,6 em, a 1 OJI ce prcrll)cti silu, iznmi: at = 0,7 . d = 0.7 .

d" = O,7 o l,2'd = O,i· J,2· 8,0.~ 6:: 7 ;;,\';1 = 0,7 em.

(DDev~ljina ~av .. a je [Unkcija debljini za .... arcllih dcmcnata _ vidjeti propishl uzme II 1 I, bvova _ spojeva 1". ,'. . '-,'

Cvornog lima) dobiCemo ix uslova da s U u~a ~ lzn:,edu,O\lh.vezamh elcmenata (ug:lOnika i limj'a prikIjucenih hapova tj te:!i~ne i·~~anv~nJcm ~avovmla nr: promijeni poloitlj ldint

• J " Inl}e po}asa rcSetkasrog nosata (Sistc"la). S obzu:om na to, postavimo jednaeine ,.'

Obja~njenja:

"dop,t."'"* odredimo:

"dop." = 0,65 Gdop 0,65. T40 = 91 MPa Cd • pu~teni smi-:uti napon u savu). 0

II. al · ~ I, . it = a l • I, . II eu stvari ~tapa). ' rnOmentna jednaCina iinija ~:wova prem3 tetUno;

Odavde mamo:

I, = (10· S) JO . 335

2'a, (1 +~) ( 5,74) = 8,7 em.

: Taop.,: 2·0,6·. 1 +'-~ ·91 .. ' 2,26

Usvojeno It =: 10 em

I, 10 'S 10 . 335

h'(I+~)' ( 2,26) ;9cm.

<,iqi>.'. 2'0,70 1+- ·91 5,74

Usyojeno II "'" 20 em.

osi

Podaci potrcbni za gornji rae ka' , , . . vidljivi su U: date 'slike (51. 130),un. 01 taspored 1 dlffienzlje bvova 12; ovog primjera,

J 14

I

I j

PITAl'-iTA 1 VJL?H"\:-"'J:\

$ta jc: I,) napon ~ r.a"r':7.~njc materii~la?

Nlbroja[i OSnm'ne vrs;:c nrrez:mj:li

Koje $t n~li'rtzanjc ja\"lj~l bo poslje,liC::3 diclo\';miOl m():l1(,i\l~ sJI'ijania?

Rijetim:l j·;i:azati osnol"ni .z:lkon 0tr()~n()srj mattrij·>jJ.

Kolika jc \'flitdnost m0-!\\:a c\aS{jI:nfl')\1 7 . .1 ;:ln10I'O ,1,1'(1, a b'iikfl za cclik?

Koje O~1l0\"jh) n2prczanA ;r;K z::d,n;'ic' i ;;'!\"(1\1 Z:l\';ncnih s;,oiC"a")?

Kolika it ahij:llna nosi.:o"t (kl'liku ;,111I z.!ttzanp moze oa primi) sipkc okru!;log bew!1skc.g i::cli!.:3 profi\:1 d. 25 n1111 J,'lyolicn')i: n:q,"nJ (J,}"f' cOO 1(,) ,\iP~.

K;)iiko n~i\'ccc ccnlri,:'no ortcrec(l1:c (";j\I) nh~~C d3 prim] temdina k\"t\.iratll.1 ~topa i~p"d stub:! (reme]) snll\cr~ ,el111:,,·· a\~o Il" "''';' t],l n.::'5 ,\1]>3. ,iT"" .. lia­JOpU5tCI1() nnprC7.Joje: lb.'.?

Qdr,.'dili i; Jul.cn;,' ('ci:':oe okrugic ~id\, dulinc akfl iL' si!,b J,1[l"!;f1,nJ "i]{).'n;';" ;(] k~i _.1/

Knsnik 11 '~J I'enoj kc'os,nlkciji presid::,1 20'"20 em ;,;':,ii:llno ic rrilimut (hCi. savi­ianjD) ~i!C)!\1 P 100 kN, (I""p ~: 7Jl,\\1';'I. Da Ii ,u d,\\'()\im: roprc[nc ,'In,n· liic k()",li\;a nptcn:ccnog oa da(1.1 Sl!(l

l'rO\'iCflll d:l Ii jc prclhndnl I.:(>S1 it ,j','.(.'lj.l!1 ~~ Ill" ~(,: ~in:ctricn0 osbbi pfesjd t2ko d:r !-';I;]C ~O x j(1 em?

K )!ik~ i~ ukurn,j :1;lsi\'0st na so, d11<' n::?c ;1~() ie "'c'; \'S: ;:"CI1~ 5a 4 ;etin, "'c :-,~ rakx;:

100,\:l'Cl.

9.S. "1\1'I<EZ,\"JE N.~ SAVlj.-\,<)F.

.ir0\·,l;~':~ ~tm cclicnnm stapu ;'~c:nib 2fl mrn', '1.,1'

Narn~zanje na s:}\'ijanje je posljc~iiC;j djc!o\'anja mOmenta s3vij:mja no. nosac (srar) i f1:ljvccc vrijectno5ti dnsczc u presjeku u kojem je momenat maksimo.bn, (1jnosno u kojcm dOSli7.e ekstremnu vrijcdnost (kritibn iii op<l"un pr,-'sjej..;) Za nosac kaicmo do. jc n:lprcgniJt nt! s;).\'ijanjc kada optcrcce­oje (silc) djc!ujc upravno na osu nos;)c;),

Pri 0plcrcccnju nosaca napregnurog 03 s3\'ijanje, u samom nosacu, oJ nos no u s\';)kom njego\'om (7amisljenom) poprccnom rresjeku pojavtjuju se narrel-noja koj3 su normalna na prcsjck i ko]a po visini prcsjcka imaju ne sarno promjcnlji\'u vri)ednost nego i predzn2.k. U nos:}ctl napregnuwffi na s3vijanje dolazi do formiranja dviju zona: zOl1e pririska i ZOI1£ zarezanja. Kod proste grede za bilo kakvo oprcrecenje kojc djclujc q jcdnc strome - odozgo ka doije, (tzv. gravitaciono opterecenjc) zatcgnuta zona formira se u donjem, a pritisnuta'u gornjem dijelu presjeka (poj:1su). Granica'izmcdu te dvije zone predstavljena je neutralnim slojem, a prcsjck neutralnog sloja i ravni optere­(enja daje neunalnlt limju nosaca, tj. osu n\)saca. Ako OVI, p()smatramo hoz poprccni presjek nosata, granica pritisnurc i zategnute zone data je t?v, r..eurralnom osom presjeka, Kod simetricni!1 ,Iresjcka neutralna' osa p;oL.lZi sredinom presjcb ~ u stvari, kroz tdi,snu racku presjeka. U pritiskujucoj

115

zoni javljaju se -pritiskujuCi .(dacni), a u zategnutoj zoni Z3tezuci (vlacni) naponi ~- naprezanja na savijanje. Na slicj 131. su date neke karakteristicne . statiCke ~.h:me_ nosaca napregnutih_ na s2vijanje.

oj bJ

/~ 7:Cito]Ovt::l

1 ztn:l <3 --+--~-

/ -' 1 p-I\;snvta

/

lora 0

I_I zctegnutc

--EtwnaG

n n "-. pritisnuto

zonaG

SL 131. N:lprcz3nic n:l s;Jl'ija,ljc: a) greda, b) konzob.

12 sheme kOilzole na datoj slici je vidljivo do. je kod ovakvih nosaca, kao i kod rrepusta grecJa, rasporeu zona obrnut u odnosu oa prostu gredu, tj. pritisnuta L:On3 Se nabzi so. donje straw?;, a z:ucgnuta z::ma so. gomjc strane presjeka (ad nos no neutralne ase presjcka nosaca). Aka je nosac opterecen iskljuCivo momentom sprcga, odnosno aka se savijanje vrsi be;,: transverzalne (popreene) site (koja ie tada jednaka nuli), tada govorimo 0 tzv. Cistom savi­janju (M " 0, T = 0).

Izvodenje jednaCine savijanja kojQJn dolazimo do analitickog izraza za veJiCinu (intenzitet) nupona s3V'ijanja u bila kojoj tacci poprccnog presjeka nosaca (opsti slucaj), zasniva se posebno na sJjedece tri usvojene pretpo­stavke:

Hukovom zakonu, prcma kome su naponi proron:ionalni deformaci­jatl1a (0" = E· t);

- postavci kaja potiee ad naucnika Luja Navijea, a prema koja; su naponi proporcianaini udaijenju od neutralne ose presjeka;

-- Bernulijevoj hipotezi, prema kojoj poprecni presjeci (nosaca) i nakon savijanja, odnosno deformiranja nOSllell ostaju ravni.

Da bismo dosli do analitickog izraza - obrasca za napone savijanja (jednaCina savijanja), mozerna pati od sljedeceg razmatranja (vidi sliku 132).

Iz optere¢enc grcdc A - B iSiecemo din izmedu dva medusobno bliska (beskollaeno blizu -jedan drugom) poprccna presjeka 1-1 i 2 - 2. Na oba kraja toga isjeeenag dijela grede djeIuju, kao sto vidimo, momenti savijanja _M, zbog cega je (odnosno usJjed oprerecenja) greda, pa time i dio izmedu navedenih presjeka deformisan -Cs:wijen).

Posma.traju6 isjeceni dia, vidimo da su presieci l~l i 2--2 zaokrenuti ,iedrm prema drugom za ugao .drp i da su ostali ra\'ni (Bernuli).

116

aI a Ip

,~

cI

a

n

1-2a

I- 12

11 '2 I(raspon)

p

-.....:=

4F

Y

Ip a __

,~ 8

R,

SI. 132. a) slaticka shema nosaca; b) dio izmeuu prcsjcb j -I i :::~2 .;brikiralll'), ~ - po-

JuprecniK zakrivljenosti, ~t = I; c) dio grcde lijc\'o oJ F.,r.:sj<.:b l~l j prcsjc:k \-\ (uvecan): F _ povrSina presjeka, .JF = demclHarna ponsl,na; d) Ul)agram .n~pona u rrcs)eku I-I. Cornja vlakna (Ymu) nbiljcia\'unH1 sa I a d.'11I;l ~;l 2, l)Jgovaraluce rubne

(ivicnc) napone sa t1) i "1'

Du1jna zamisIjenog ylak;m n~utralnog 'sloja izmcdu presjeb, tj. duzina ---III - n2 bice: ~

1/1 - 112 0'"" !! . LvI',

gdje je 'J '(ro) poluPfecnik krivine elasticne linije (neutralne 1i~ij~ .. ~ o~e). Duzina zamisljenog vlakna na udaljenju Y od neutralne ImlJe (sloJa),

bite: ---. lUI - m2 = (g + Y)' 6. (I'.

1z manjeg trougla na skici uz presjek 2 - 2 vidimo da je izduzenje tih vlakana (na ostojaniu y), ti. m, - IJI" kojc oznacavamo sa fll, jednako:

LlI"" y. b<p.

Smatrajuci Lt/''kao mali luk ciji je radijus - Y, re1ativno izdliZenje -dilataclja ce biti:

til =~f;:.~ til c =-=

I f} . 6.r

117

f

I

odnosno nakon skracenja: Y

e =--

Prema Hukovom zakonu (0' = E· E), imamo:,

a e =--,

E

Sada moierno iZVfsiti izjednaccnje dcsnih strana prethodnih izrazJ, tj,

Y a odakle jc:

E

E· j' a=--.

C

l\apon ()' maze biri sa znakom ...:, iii --, zavisno od toga da 1i se radi 0

izduienju iii skracenju v\akanaca (rj, zavisno od tog da Ii je vlakno u zatcgnu­roj iIi pritisnutoj zoni presjeka nosaca),

Naprijed navedeni obrazac, tj, 0' "--=- li_' Y pokazuje da su naponi 9

(prj s<.!vijanju) proporcionalni udaljenju od neurralne ose (Navije),

Dijagram napana po prcsjeku je traugaonog oblika - kao stO sc vidi na slid: Najveti naponi ( + i ..:......) nalaze se na krajnjim gornjim i donjim vlaknima, koji su najvise udaJjeni od neutralne ose presjeka (Y rna:,,), dok Sll naponi u neutralno; osi (sloju) jednaki nuli.

Sada moz-erno doci do funkcionalne veze izmedu napona savijanja i mOmenta savijanja koji je njihov uzrocnik,

Posmorrimo ponovo presjek 1-1 opterecene grede i zamislimo da smo odstranili, npr., desni dio grede, Posta Jijevi dio nosaca - grede (lijevo' ad presjeka 1-1) mora ostati u ravnotezi - mora postojati ravnotd3 ·izmedu vanjskih sila, odnosno momenta ,\.1 i unutarnjih sila posmatranog presjeka,

Aka sa 6F oznacimo povrsinu beskonacno malag dijela (sloja) povrSine F koja se nalazi na udaljenju Y od neutralnog sloja (ose pres;eka), tada je

E'Y napon savijanja na ro; povdini - mjestu: - (j = ---.

Q

Ako napon pomnoiimo sa odgovarajucom povdinom 6.F, tj, a' 6F, dobicemo unutarnju situ u tome dijclu povrsine - elemcntu, tj.

E ",N = a . 6F = - . LJF· Y.

e Aka ove elementarne sHe .6.N inregriramo (saberemo) po cijeloj plohi

presjeka, dobicemo spreg sila (unurarnjih siJa), odnosno momenat sprega, koji mora biti jednak po velicini i suprornog predznaka spoijnjem spregu, odnosno spoljnom momentu (savijanja) da bi bila zadovoljena ravnote:ia -odnosno uslovi raVnoteze,

118

E L61" y ~ O. F

Budu~i cia o\'dje irna~,0) U S[V:l 'i, proiz\"od dviju \'elle-inn kojc moraiu dad rez-uh;)'i iCj,UK nuli, '~'r();/: ';.1 ,::1

01 je: I

GNflji i"~l"l1Z llrcJ:;~:l\ l:~i, u ';[Yaci, SLHi~-ki morj1cnat riohc F prem:) te5:1snoj osi prcsjcl~(l F ":i, '.::1;\1 lil,lmo 00 ranije, mora biti jednak nuli, OdQl-,dt~ :;:"h1i1l,;"j,IJ1:' .-fa 5< qc:ill' In" pr~.\j,'l::a pod.'d(ll"« sa It:!;iS/lUIII Osunl

i '''':jU(-;Ll.:: fir-avila,

imrlrno:

odnosno: E I 6f" Y'.

OVdje je:

L .cF' './'~ - tzv. !ll'l!11CT1~H in:-rcijc [,[csjcka F za neutralnu osu. F

Ova; izraz:S /! F' y~ obilic-z:]VarT;il .:,:1 J, o~hosno ovdje Konkretno Jx (jeI" se adnos! na ;':iU ),._--.\', nClltr;dnu ()Sll nL0 koic se \':-si s8vijanje i dcfarmacij;1). o mo'mcntima incrcije ] bite l'i>$!iic poscbno gnvorcno.

Uzima)uS U obzir g0rc navcdcni stmbo! - oznaku J, imamo:

E· I, M = --~--, odnk!e imamo:

C

Ai

E I,

.. I Od ranije vee znamo O:l)C "---

pa, s obzirom na ava, izjedna-

C cujuCi ctesnc stranc izra:w, imarrlo:

];".y

119

','M a Nakon skrac~'j~)~:.dobivamo .izraz:

.;~/' = E· Y q=~: .. ~~i\U. . . >

Ato je;.u stvari, analiticki izfazza najXlpe.;SllYijania (jednaCina.savijanj~) iz kajeg se daIje izvode porrebni obmscfziproraeun.konstruktivmh nOSlvih elernenata (S~pova .....,. nosata) na'pregnu~~,''9:~.sayijanje_ - .

U'· -,gomjem obraseu simboli oznaeavaju:"' '(j*> .:-' napon savijanja u bilo kojoj '{aag:' presjeka u "MPa"

M-':- momenat savijanja u presjeku u-,)tl~.i-cmJ1 (sa faktorom ,,10,,-·1\1),

J);-- niorit~nat inercije presjeka F u Cnit (u Odnosu na osu x-x),

y .:. ordinata taek~ u kojoj se racuna napo~ sa~ijanja (<1) U em. Maksirrialni napon savijanja, javlj~ se u krajnjim vlaknima (taCkama)

presieka, tj: za Y m~~'

M M atn"~ = ~ ,Y map odnosno O't,l = - . Y"'HX-

J. . ... J

NajveCi napon s3\'ii,anja flosaea pojaviti ce se ~ kritienom presjeku (u krajnjim vlaknima - tae-kama 1 i 2) i racunacemo ga po obrascu:

M r1m ,,, = 0'1.2 == ,,_~_J[. Y mal-

J. Aka

J, odnos ,--- uzn~\(:imo sa HI' (oyclje W,,-jer sc rudi 0 osi x-x),

YmH

nazivajuCi ga ocpornim momentom presjeka, imamo:

am ... = <112 = ~~, odnosno kada se radi_o kriticnom presjeku (M = AIma,), . W"

imamo:

·\Jm~' (d . (10· },lmax) Gmu = 0'1.2 = LV < 0 110sno: o'mu = <11.t = W ; ?YIPa) ,

. Gornii obraza~ sc kori.sti obieno za kontrolu napr~z:nja, u kom slucaju racunska n~prezanJa moraJu zadovoliiri uslov: o'mu = 0'1.2 ~ (fdW'

gdj<7'- je ad - dopus[cni napoll savijanja *)*l. Za dimenzioniranje s obzirom l1U savijanjei koristimo se obrascem: '

IV=M~;.- odnosno t17,,=~fIU;X; (Odn~sno:·w.= (IO-Mmu); Cffi3) (/"#7. I adoS' ' (/401'

Iz W? tj. otpornog- mon:enta dobivamo- dimenzije presjekn F.

Monienti in~rcije.presje~a (J) i otporni momenti presjeka - ploha (W) predmet SU, narednog lzlaganja. ' '

120

*-) Jedinice za napon imaju relaclje: 1 kN/c~1 = 1000 Nfcmt = 10 MPa . ito treba koristiti adekvatno konkretnim zadaCima. '

.... ) ~ rjeSavanju .. za~ataka koriste se dimenzije _ jedin.ice mjera: za napon~ MPa' za ffiOOlenat savljanJa: kNcm; U obrascima se zato ukljutuje vee poznati faktor ".1.0", - zbogkorespondentllosti jedini!¥3 mjcra. Vidjeti primjere naprezanja na sa~ Vl)an)el .

"

;... .••.. 9.9. MOMENTlli-IEI~CiJE I MOMENT! OTPbJA~OVRSI;'A': , . . ~ PRESJEKA '. . . . :::jj/;~L~f\t~~;,~ ~" ,- -. ",-",:~, , _. _ ,_~_:·:-\;~';~~;t~,::·, :,' ~ . _ .

":",~';':;,:~$.~,\~ '~,:' 1,,' ~ lzvodenjem jedn'acine savijanja 'susreli smo se sa'. _pojmo~:"moinenta . :;' :;1;:;':::",,:inercije presjeka (pOvdine). Momenat inercije presjeka mo:!emo shv.ritHao ~'~ \}~~~:~,~::---':.~" 'odredenu :matematskli veliCiriu, ,sa precizno utvrderiom:·~dermjcijOin,· koja'· ~'/>'_:~'~,~~'~/'-"::'-'_predstavlja mjeru ..... -::·srepen 'sposobnosti presjeka (riosaca}-'da preuzme na

, '(' .. '~.:, sebe odre4eno optereeen;e,(preko uticaj~ momenta savHanja.fdr.); Momenat otpora, kao posebmi veliCina kojomse koristimo ce?to u statiCki.O:t proraCunima l

ima sliena znaf!enja kao i momenat incrcije i izvodi se iz njega na nat-in koji ce biti sada objaSnjen. , . '----

Momenat inerci;e koji se pojavlju;e u jednaCini savijanja 'odnosi -se na glav,~e ose inercije presjeka i pripada vrsti aks£jaln£h momenata intrcije. Osim

SI. J33. Momenti inercije: F - povrSina - prcs­

jek, F = L dF, x i.Y - date ose incrcije (koordi­

natni sistem), p~ -' x~ +- yt (p - poteg).

,

E

.,

.,

N .,

aksijalnih postoje polami ,. cenmfugalni 11IomelUi inel'ci"je, koji sc odnose u prvom slucaju na tacku (pol), a u drugom na dvije medusobno upravne ose ex i y) isrovr<:meno.

Momcnmc inercije presjcb (p(lVfSinc ,- plohe) moJ,cnw dcfinisati na ovaj nacID:

Aksijalni momenat inercij~ odredenog presjeka, tj. lllomenat koji se odnosi n~ utvrdcnu osu (asu inen::ije) ie-dnak je :llgcbarskom zbiru proizvoda elementarnih povrsit.la i kvadrara rastojanJa do dare ase:

Polarni momenat incrcije odredenog presjeka"tj_ momenat kaji se o-dnosi na odredenu tacku (;>01), jednak je algebarskom zbiru proizvocfa elementarp.ih povrsina i.kvadrata njihovih rastojanja do date tacke (pola):

Jp ~ L ilF· p' (em'). F

Centrifugalni momenat inercije odredenog presjeka, tj. momenat koji se odnosi na dvije (medusobno upravne) ose istovremeno, jecfuak-je algebarskom zbiru proizvoda elementarnih povrSina i njihovih udaljenja od'te dvije ose (ose inercije, npr., x, y):

J . ='- L ilF' X' Y (em'). x.y F

121

f

I

U gornjim izrazim~ L,JF = F (rj. pO\'rSina cijelog presjeka). a X,Y i P su odgovarajuCa odstojania od date ose (ose incr.cije koje mOlerno obiljditi sa x i y-osa), odnosno od pola iIi tal:ke (tacka 0 u .presjeku osa x i y - identifi­drati sa. koordinatnim osama x· i y).

Glavne osc inerciie presjeka proJaze .kroz te~Whe presjeka, medusobno su upravne i kod simetricnih prc$jcka, kakvi su u praksi najceSci, podudaraju se sa osama simcrrije prcsje-ka. Za pomenure gl:l\'ne csc cenrrifugalni ~omenat intrcije ;ednak jc nuli, rj. J.-.:y = O.

Pojam glavnih osa incrciic presjcka i ghl\ nih momenata inereije mozemo objasniti poblize i fla sijcdcCi nacin:

Kroz teiiSnu tacku prcsjeb -- povrSina (kao i kroz bilo koju drugu tacku) moiL'mo pototiti bcskonucno mnogo mC'dusobno upravnih OS;!, odnosno osa incrcijc. Za sva!-d par o~a !~lO±Cmo, po dcfiniciji, odrcditi odgovarujuce (aksi­jalne)· momente inereijc,. a njihovc ve!icinc ce zavisiti od polo£aja tih osa (ugla n~giba U odnosu na, npr., horizonralu),

Za ose u polozaju (ugao nar.iba prema horizantalnoj osi) rri kojem mome­nat inercije za icdnu aSH bUdc nnjveCi muksimalan i za drugu - isrovrerneno najmanii - minimalan, knicmo d~i $U gla~'lIe (tefisne-cef![l"alne) ose inercije prcsjeka.

)Jjima korespondcntni \.<JJgovarajuCi) m0mcnti inercijc)~ = J1 i fy = J2-zovu sc glavni momenti inc;-cijc. presjeka.

-- Odnos aksijaillih trell/(./. polr.nlO.'11 J/;"til."l1tU itlCl"c:j",; presjeka.-

1z slike 133. jc vidljivQ dli za bilo koju tJcku n\~kog presjcka - povdine mozemo U odnosu prema koordin&tnom sis(cmu xoy, posraviti sljcdeCi ·odnos:

p! = x:! -;- y~,

gdje je p - poreg, rj. rasrojanje od tacke do poJa, rj. koordinatnog potetka O. 17.: jefinicije za polarni mOmmat inercije nekog presJeka slijedl:

.L:c::1F· yt, a to jc: F

o.datle slijedi pravilo:

Polami mammal inercije nekog presjeka u odnosu na racku - polO, jednak je sumi aksiia/nih momend'ca inercije z'a ost! koje se sijeku u coj talki - polu O.

$Iajnerova leorema

Sada cerno se upoznati sa vainim pravilum koje omoguc.uje' odredivan;e momenata inercije slozenih presjeka, tr. 'tak,,"ih presjeka koji se mogu rascla­niti na dva iii vise pravilnih (osnovnih) oblika geometrijskih pm'dina. U taJ.;:vim slucajevima se obicno koristlffiO tzv. Slajflerovam teoremom - pouc­korn koji glasi:

122

,\fOil/Olaf in.:.rclje prcsjcka zc: OSH hoja je paraidlla LCziSl1nj OS) Il)", SjCh,l jedll;)h jc sumi SapH1.'Cllog i polo:'ajl/og 1Il0lllCnfa illCrClje.

Izv0d ovoga pravila i macenja pujmova vidljivi su na sEci 134,

S1. 134. $t:ljnero\':l lcnrc'rna (~kicJ. ~ "cl:-J"sj' - tcii~n;] osa, d - r;lzll:ak ()~J, x -- /",<,\'a )'x = Y.~o + F· J'.

PustaviCCml) ohrazac (ro l.kfi:1iciji) 7,:1 momtmt incrcije pr..;slcj;~l (F) za osu x. Tc;'isre presicka T, t(';·.i.~nJ (1.~J. (TO) i mornen3r incrc;je ,::1 , . .,:) .. ~nll (sop~tve!1U) ()SU su, rrctl~o:;[;l\'lnKI >'\'l' po:wati:

J~ :=--d~ >,IF , ::j I: Ll F 'y + L ·1 F . y" F

jednnk(i nidi. r-':.:,,~r\l 2n;:c,,) ,LI Ji; 7: _IF --- F~ Imam\): ,

} , ,I' 1; I co

iii J r f d~,

" gdje je:

J x momeO,l[ inereije r!"hc F ;-:~l iI~U :\. .- X pnralcJnu tCZ[S!1oj t)si [lrts;",ki.l (TO) (cm~),

.1,>:0 -, Inomenat iner.::ije piohe r' Z;1 vja>;tiw t.:zisnu osu (TO) 17.V. 50rsn'{JII-

lJlOlIl{/lot i'lcrnj",',

F

d rastnjanic oJ tdisnc osc (TO) do o~c x - x za kniu trUl.l010 mOml'\l'Jt inercije)

Umnoiak F· eLf. - polo~~ajlli mOmil/(J[ j'neroie presjeka.

Time je, prema gornjem izvodu} objasnjena Stajnerova teorema.

i\fomeml in2n:ije pra'L'iinih 1H110l'llih presjeka - plolw

Za staticke pn)racuoc ,C od po"boog zoaea,a poznavan;e momemd inercije (aksijalni l~l()m("n(i) osno'd,ih, prnvilnih presjeka, jer oni su, pored ost::Jlog, ncorhodni i %;1 lzrJCUl1J\'3fljc odgoV:lfaillt~ih mOmt'n:H:l ine;'ciic slo2.:nih presjcLL

" .• ····;tt~.trF . '-;~~J1;;z'~t~rf~ , Ko4kiet~r: pbfasd (formule) za izra~vanje 'vrijednosti navedenih:';·;';,,;.i9~~t:·::")_,~:,~~i,:,i< momenata uierctje-izYode se polazeC"i od njihoyedefinkije, tj. obrazaca koji~~._:·.'::~Jf'~;1:.;{SJ,1:;~~;_\¥;':';, . suo ~ef~ani?j~ :',':. " <:: ~_" '. ',·'-~f!~~,~if~~';<' .. ;~~,:~;,'-.t;;[,;

Mi Ce~o',.'ila·naroci~? odabraaksni. jed~~~vnij~ :na~in, ~~e:>.ti obrazac 'za:;A~~t5>':: ~,."'.f .. _.~."~,.-:~.~~:,,.:., aksij:uni ,momep~t inerc1le ~ pr. 1 .n?J~QS~eg_ 1- naJznal.;3JillJcg osnov~og/'/'~~i.1~y-,:-::· ", pres)eka, a to )e pravougaom preSJek (vidl slik" 135). . "~';"'"

, ' t..n, :

~lL I ' ,

~ in ! I ., S1. 135./ AksijaIDi moment mercije (pravougaoni

. b·h' presjek J~): x - x - teiisna OS3, Jx = n-'

Iz sIike je vidljivo da moicmo postaviri sljedeCi odnos (slicnosr trouglova):

h by : Y """ b : '- odatle imamo:

2

b . II b = -y--.

2 'y

:;-"-:;'L-~',.-"

Sada Cerno posta viti izraz (po definiciji) za aksijaIni momenat inercije (prema osi x - x) tj.

1 ~ )'.JF·y'= l:.Jh·b·y', dalje; , F

J% = l: L1h . -II h

'f' '~-2 l:.Jh·by·Y, 2· Y

"'C.J'''' '~L.-r y. 2

Vrijednost L LlF" Y predstavlja statick! momenat trougla (srafirani trougao -- vidi sliku) za osu x - X, tj.

Ako ovo .uvrstimo u prethodni izraz za Jx' imamo:

11 bhZ b . III J =-·-~---(em·). , 2 6· 12

124

l , , I

I i

"

. A to je poznati obrazll~,d' momenat incrcije pravougaonog presjeka u · odnosu na osu x _- x; __ ,,_ ,_: .~:-. ' .. _ ,,' . . _.' · . Na anaIogan naCin, rol~eaodizraza I<ojim se definiSe orupi6rl mO!"~t

inercije, mogli bismo izvl"!u'.konkfeme obrasce za.ostale p~e -;np;&ie · presjeke (povrSlne) koji seIlaj¢cice pojavljuju u.praksi.KoIlafui obras<;t, za

u,pIliksi naj~eSCe koPStene presjeke, imaju za aksijalne momet\te.inemje u odnosu na tetiSne ose x i y .sljedeCi oblik:

a) Kvadralm" presjek

a' J ~~(em'); % 12

b) Pravougaoni presjek

b· h' Jx

= __ (cmt)j 12

h . b' ly ~ --(em').

12

e) Okrugli presjek

d' on J = J ~-- (em').

x y 64

d) Prstenasti presjek

d4 0n d"n J =J =_tl ____ " __ = % Y 64 64

= !:.. (d:-d:) (em'). 64

I, , ,)

S1. 136. AksijaInl reomenti mercije za : a) kvadratni J b) pravougaoni, c) okrugIi prcsjck, d) prsten, e) trougaoni, f) aanduCasu - §up­Iji (simetricni) pmjck. Is"" I.-It> J,-mo­ment" inercije sanduwtog presjclca, J. - mo­ment inerdie vceeg ptavougaonika, J J - mo-

ment inercije manjeg pravougaonika •.

. Kod !upljih (sandutastib) simetricnih presjeka moterno odrediti veliCinu momenta inercije (kao kod prstenastog pces;eka) oduzimanjem vrijednosti koji se odnosi na prazan dio 'prostora od vrijednosti koja se od.nosi na cijeli presjek - kao' da nije bilo supljine.

e) Trougaoni presfek

b ; )z' b = osnovica trougJa, J% ~ -- (em'), gdje je

36 h = visina' trougla.

125

f

I

Slozeni presJeci

. Kod slozenih presjeka postupamo taka, du najprije odrcdimo tei;istc T slozenog presjeka primjenom Varinjonove teoreme za staricke momcnte pIohe. Kroz teziSte T polozimo ose x i y, p~ odredimo rastojanja ad sopstvcnih osa Xo iyo pojedinih sastavnih dijelova slozene pIohe i cse x i y koja se odnosi na cia presjek F. Nakon toga, mozema primijeniti odgovara;uCa sumiranja liZ primjenu vee poznate. St~jnerove teoreme.·

Po$tupak Cerno .pokazati na _karakteristicnim primjerima na s1. 137.

;y

S!. 137. Slofcni presjek (primjer): FI = 20·50 = 1000 cml • F, = 20' 30 = 600 cm2 •

Na slici dati presjek mo!~rno Sh\'2ti:i. da se: snstoji iz dva pravoug:lona. presjeka -pIche: F1 i FI> Ciji zbir daje veliBnu ukupnog presjcka, tj. F = PI + Ft< !'iajprije odr:edimo polotaj teiista ukupnog presjclca u odnosu na pomocne koordinatne osc postavljcnc duz krajnje lijevc i donjc jvice (boda) presjeka sa prcsjecilitcm u donjcm Iijevom uglu konture presjcka.

Sile prctstavljenc vclttinom ploha Fl i FI kojc djeJuju u tdiStima dijelova - pr3vou­gaonika imaju sIjede&: .,rijcdno~ti:

126

P 1 =- 20·50 = 1000 em:; F: = 20·30 = 600 cmz.

Primjenorn Varinjonove teorerne, imamo:

20 (." 20) Fl' 2" + P 20 + 2" "'" CPt + Ft } - XT" Uvristimo vrijednosti, pa dobijemo:

1000' 10 + 600, 30 ~ (1000 + 6(0), XT',

28000 = 1600XT',

28000 XT' = -- = 17,12 em;

1600

50 F,' -

2

, JO) F,' (20 -, -:;- .",(F,

JOoo 25 f" 600, 3S ,,~ (1000 --'--- (100). YT"

25000 + 21000 0- J 600 1"[',

YT'

46000 = 1600 ::J:r',

46000

1600 2B,71 em.

Kroz ceigte T (Xy' "'-" 17,12; Yr' = 23-,71 em) poloi.lffiO tdisne osc x iy.

S~~a moicmo lzraCUi1:lti ~1)OllH;nle iwrcije J;< i ly uz primjenu StajllCTO\.tC tcorcmc - pra,'l,:!.

20·50'

12

SO· 20-' j, ~ -"""--" J::

o· i0·5()·.),7!'--:-20 20'

30· 20' 50-2(l'7,12'+

~ 20 - 20· 6,29' --=- 251.6')4 Cl'l',

f- 30· 20· 12,R8' '" 203.576 em'.

Na nnalog,n 1ll1Cin bismo postupili i \;od rc.zliCirih orugih slozenih (\fe. sjeka. Kod siml'lricnil-l si,)zcnih r'resjd~8 tacKa T;;zisra se nolIn; na osi simec'ri!;;, sto pojednostavljuj:: ,,,(ur.. '

(j slucaju f.upljih (s:,ndu(-~lStih) ~l()7.cni!-j prc:sjdza, takude, koristirr;" S~ ~tajnerovom tC'O':::li(llri. Pri tome din mcY"cma inercije praznog (sup!)':;;) prcsjcka, po S,;;j'MTu, od'Jzirn(\!11\) o,j (jdir;;;, POKnaccmo ovo na k;-rJ::~(:­i"isticnom rrirnje;'tJ n:l sli:::i 138.

SI.138. Suplji (sanduc:l.sri) presjck (primjer): x jy~ose sunetrije, Fl = 60, 20 = 1200 em', o 10'3,14

PI = 20·30 = 600 cn .. , P, (kruga) ,= ~-4'-- = 79 eml, y-osa je Osa simctrije y = y'.

. Dat je ,tzv. T-prcsjek sa kruznoIIl sup!jinom prctnika 10,0 em u donjcm dijc1u pre­SJek~. OdredH:cmo prvo, bo i u ranijcrn primjerk\J, poloiaj tdgtll integralnog ~ ukurnog pres.)eka F.

127

. . lor. 3,14 60'20' 40 +20' 30·15 ---" -·IO~(1200 I 600.-79)' y/, . . 4

. . '< '. :',48:000 + 9000~790 "";'.1721 Yr;'-'

5621"0 = 1721' Yr,

: ,- - 56210 . Yr' ..." _._- = 32 6 em.

1721 '

Kroz tdBte-ukupnog' presjeka polofimo osc: X i y (osa y podud~rQ se sa simetralom presjeka). Sada inoiemo_-izracunati ~o~ente inercije Jz i ~y..~

60 - 20t 20 .- 30~ J x =.~ + 60- 20· 7,4~_ + ~- -~)~: 30-17,62

-

(10', 3,14 10" 3,1{ ) .

_ ~~- -L -,, __ . __ • 22 2' = 297373 em·' . 64 - 4 ' , '

20·60' 30-' 20~ l~' 3,14 Jy

= "-__ + - __ ~ __ ~ = 38023() cmt. - 12 12 M-

Na analogan nai':im bismo izracunaH sn.ki.drugi primjer - zadatak sa s!ozcnim pre­sjckom i supljinom (prazninom u p~csieku),

,\fomenri ocpora

Vee sma napomenu~i da je momenat otpara iii otporni rnorne:lat presjeka (plohe) veliCina koja se izvodi iz momenta inercije. AfomenG£ otpora, po defi­t1iC1Ji, dobije se tako da se momenat inernie presjeka pod:jeli (reducira) sa raSlQ­janjem - udaljenoSiu krajnjih vlakanaca (tache) presjeka (vidjeti oznake na slici J 39).

ai 1 y

i 1

TI x[~Tj- -r--

I ; I

l t I YrTlOX i

Tnit- x- I h

I Ymc, i

~ + 2

S1. 139. a) ,imetriean presjek, b) nesimetri¢an presjek.

Prema tome, obrazac za momenat otpora U opstem slucaju glasi;

12R

. J J odnosno:, Wx = --'-_, w. = -y-

,,' <,'~ , y mu' Y XmaJ( "." -." ":;';0..\',;<':" " ~ '_ - -.,., ' . :':',_'" _,'.' .-.--, J -.

.,i.;,c:,; J~ca mjere (dimenzija) za orporni momenat, kao ito se vidi, je cm'(od-.,~(,~", .. ··llosno· adekvama jedinka); . .' ..... .

'.,,-',',' '-1" ,- , . ,", "'

'<" >" '; ','U slueajevima karu:ije-presjek nesimetriean po visini, ti. bda"rastoJanja ., gornjih i donjih viakanaca (taaua.) od neutralne ose (x: -:- xl Wsu. jednaka,

, U '. proratun je I!1lerodavan otporni momenat 'presjeka dobiveii -dije1jenjem .- (kao sto se vidi Iz -obrasca) momenta inercije i maksimalnog rastojanja vlaka-. • W Jx (k .. naea tj.' x = --.-~ ada se-saVIJanje vrSi ako x ~ x ese) •. _ , Ym.u

, Obrasci za napone savijanja u gomjini i donjim vlakniina presjeka kada je ~:es~ek t;esimetritan po visini -proizlaze jz opsteg obrasca za ove napone pri saVIJanJU tj.

Kada se radi 0 kriticnom presjeku, tj. 0 najveeim naponima' u djelom nosatu, tada, umjesto M, imaruo Mml):' pa je:

gdje je:

M",,<U" 0'2 = ---,

UJ';2

W:.;1 =J;t; I

y,

W., =!.x (vidjeti slilm 1 ;19). y,

Gorn;i obrasc:i, u pravilu, se koriste za kontrolu naprezanja napona savi­janja za ovakve presjeke, pri cemu dobijeni racunski naporu moraju (kao !to znamo) zadovoljiti uslov da je 0'1,2:5: O'Jt)p, (O'dop - dopusteni napon savi­janja). Obrasce koristiti vodeci racuna 0 korespondirajucim mjemim jedini­eama, (Za "a" u MPa i momenat u kNcm - treba momenat savijanja "M." pomnoziti sa ,,10".-)

PITANjA I VjE7.BANjA

- Kada i pei kakvom polo1.aju opterecenja U odnosu na nosa~.(osu nos80l) nanaje naprezanje us savijanje? '. ' "

- Ka~a ~astaje tzv. t!isto savijanie. smat~ajuCi gll sprcijaJ!1im siucajem normalnog savIJan), (uz transverzalnu silu)? .

- ~pis~ti -po~o~je zo~a pritiska i zatez:mja ko~ grede sa 2 p~epu'ta opteretene po' clleio, dufml? Sra; Je to neutralna (lsa - hnlia presieka? '

- Kako glasi icdnaNna «(lhra7.llc) saviianja?

- Sta su to ose inerciie presjeka, a ita glavne ose inerdj'e p~jeka (plohe)?

- Slit su 'glavni momenti inercije presjeka?

9 stntlkfl grnrtevlnsklh konstrukclJa 129

f

J

Kako glasi Stainerova tc:orema? Odabtati nc:koliko karaktcristiCnih slozenih presjcka (npr,. dUplo T. u obliku Cirilicnib ,Jova PiG i sl.). Dati im dimcnzije stranica i oclrediti aksijalne momer.te inercije presjeka.

_ Uvjetbati korHtenje tablica (vidi - dodatak) z;l. odredivanie momenta inercijc i otpomih momcnata l'elicnih profila (prc:sfeka),

9.9,1, Radijus inerCije pres;cka , ,

Radjjus inerciie presf,eka, odnosno plohe odreden je sJjedecim izrazom: , -!. ji ( ) i' = F em , odnosno

I;. = j~(cm), gdje je:

1

os i), radijus inerci;e presieka u em (odnosno ix, i iy prema odgovarajucoj

J - momenat inercij,e presjeka u em' (Jx iii ly)}

F - nOVrSina presieka u cm2.

Za odredene proracune mjerodavan je minimalni radijus inercije presjeka rj.

. jim;, ( ) tmi"= F em.

Jm ;" - momenat inercije za osu sa manjim momentom inercije. (Kod pravo­ugaonog presjeka sa horizontal nom osom x i vertikalnom y imrn se odnosi na y osu. tj, imi,. = iy (jer je Jy < Jx ).

Radijus inerdje kao skalarna velicina jzra.zen je u jedinieama duzine, najceSce (u prorac-unima) u eemimetrima.

9.9.2. Elipsa Inereljc

Izracunamo Ii vrijednost radijusa incrcije za d\'ije ose (x i y) i te vrijed­nosti nanesemo okomito na odgovarajuce ose (u aba smjera), dobicemo ele­mente (poluose) za crtani~ elipse r'nercije presjeka plohe.

U slucaju pravougaonog presjeka, imarno:

i ,.,," = ,~,

Elipsa inerdje je naertana, za presjek n8 slid 140,

130

Slicno je i kad oswlih oblika rresjeka. Odredivanje konkretnih hroj[lih vrijednosti za crranje elipsc inerl.-ijc,

u slucaju pravougaonog presjcka, a koji je tipican, vidlji\'o je iz sljedeccg

primjera.

Primjer

h

I V

_iL~ bL ___ *,"_ /1 I '

t---\ 'x

-ic I, i'A

-~~,~--

"0 .. -'-: / ':: ~'~-'? -~ - -

i . , ! ,

'-.""'. '

-~/ -)~----:+:-

'j. I 11.

1/

-(

x

IJ 1];. . Sl. 140. E~elipsu inercije, 1)0 = I ,-~, ly~· I-

F-, Imin = Ii'

"< r "-I

Odrediti velicine radijusa ioereije Z~ pravougaoni pre-sick dime-nzija 20/30 em.

~JJ; F

Odredimo Ii vrijedn0S! brojittlja i imenitelja:

ly = 30·20'

12

)0·8000

F:= 20·30 = 6(}() em", tad a imamo:

2()()()() imin = iy ""

600

200 = 33,)3 = ),) em,

6

ix = 13's!5iY? = R,70 em. " 600

Konkretrm chrsu incrcije ~a izraCl.l'1JIi'l', r~diju~i!n~ inercij~ (poluos.c e!ipse) ertam.(l prem1, vee da(0) dici (sl. 140;'. Treb:l \JO~HI da se I'rIJednost"la Ix erta o\::omHo na osu x, a iy okomito na OHI )'.

13 \

'9.JO.PROPISr ZA OPTERECENJA

1'<TehniCkipropi,iza oplereeenja

Kad~ mimo statiCki.proraeun nosivih konstruktiVl1ih elemenata (nosac.) 'u"_sllstavu- Cje10vite kOIistrulccije objekta, dufui limo uzeti u obm, ~dnosno

~-:- .'uvem u ra~ opteretenja predvidena, odnosno definisana i odredena odgo­... mjuom tehni~kim propisima. .. . .. .

:," '". __ ~ '::-.:Tehrii&!- propisi, -nairne, 'k1asificiraju, odnosno dijeIe opterecenja' prema -:-::-~":--:-~~:~~.Yrsti:objekatif(ti" visokograanji - zgradarstvo, u mosrogradnji i dt.) i prema

. 'uzroku i karaktcru opterecenja. Tako imamo optereeen;e l;udskom nayalom, stvarima, materijalima, vozilima ird., a ova opterecenja mogu biti ravnornjerno iIi neravnomjerno podijeIjena, koncent,risane sile i dr: Opterecenja mogu bid staIna (nepokretna) i pokretna. An'aiizorn optereienja utvrduju se oprerecenja ad vlastite tdine nosaca i dije1a konstrukci;e ko;a svoju masu-tezmu-opte­reeenje prenosi na dati nosac. Takode se U okviru analize - definisanja kon­kre~ opterecenja u,tvrduju sva opterecenja,posebno i obavezno ona predvide­na tehniCkim propisirna, koja staticar treba obuhvatiti st.atickim proracunima radi dokazivanja stabiJiteta. Pri rome se kao mierodavna uzimaju ona optere­cenja i njihov raspored po nasatu, kaja daju najvece staticke uticaje mjero­davne za stabilitet, tj. dimcnzioniranje nosaca, odnosno kontrolu' naprezanja.

Pored gravitacionih optcrecenja (vlastita {dina - masa i korisno pokretno iii nepokretno opterecenje) propisima su definisana i adredena naroCita opte­rcecnja - uticaji koji, takade, mogu uticati,zajedno-sa osnovnim opterece­njima na pouzdanost nosaea - stabilitet. To Sll tzv. dopunska i posebna opte­recenja. Zavisno a Vrsti, tipu i karakteru konstrukcije objekta uvode se u tacun i ova opterecenja. Uticaji skupljanja betona (kod betonskih nosaea -konstrukci;a). temperatumih promjena~ popustanja oslonaca objekara i dr. su najce.sci oblici ovih posebnih optereccnja. Oprerecenje: vjerrom, snijegom­kao i dinamiCki - seizmicki uticaji mogu ponekad biti mjerodavni u utvrdi­vanju stabiliteta.

U Zbirci tehnickih propisa 0 opterecenjirna date su potrebne vrijednosti -podaci za odredivanje optereecnja u konkretnim zadacima - proracunima. Ovo je daro u posebrioj knjizi, koja zapravo, pored ostalog, sIuzi kao neop­hodno prirucno radno sredstvo (uz logaritmar, elektronski kalkulator, odnosno odgovarajucu racunsku masinu) pri izradi statickih proracuna.-

U dodatku UZ ovu knjigu sU'dati neophodni izvodi (tablice i dr.; iz Zbirke propisa 0 opterecenjima, a sto se moze naCi i u brojnim statickim i slicnim priruOlicima.

Prim jeri njeIenih zadataha J'z podrucja savijanja (naprezanje na savijanje)

Primjer I

Kontrolisati da 1i drvena dasKa (foma) i!irine 25 em, debljine 5 cm~_rnoze bezbjedno prihvatiti terd - situ teline P = 1,0 kN (I!ovjek-radnik) ako je razmak oslonca [mne J = 3,0 rn, a teed dieluje u sredini raspona (foslla nil skdi). (stika 141). f1,!~-p = 7.5 MPa (0.75 kN/cm l )

U obrascinu saviJanja, pn peakticnom racwlanju, takoder cerna kotistiti faktor 10" iuaj..avajuCi rnomenat savijanja u kNCll1, a napane u MPa. " ,

132

KontrolU:: _~f~._ muno po obrascu:

.p

15m":' -15m

t .

L

FOSNA -PRESJEK

'f?2??'A 5 c rn 25cm

SI. J41. Saviianje (pnm;er): P = 1,0 ):N,/ = 3,Om.

Otporni momenat presjcka fo~ne iznosi:

b· hI _ 25·5 l ~ 25'~ =~ = 104,1 em3, W~6--6-- 6 6

10·75 5 MP 0'1-,2 = .-.----- = 7,2MPa < (1Mp = 7 j a.

104,1

Zakljulak: Dimenzije fosne zadovoljavaju posto su racunska naprezanja na savijanje manja

ad dopustenih.

Pr£mjer 2. P eko aea . eta rozoea visoke zgtade, izba'cena je greda 20120 em od dr-veta da bi _

posluii[a ka~Pnos~ za ~izanje teret,a. Istak je 1,5 m, a teret koji ,treba da preuzme P=lO..o kN. Da li presjek grtde zadovo!java aka je IJdqp = 10 MPa (shka 142). -

Kontr01Hemo naprezanje

AI ma>; 10 • j\! mu (J =' --; odnosno: (J = '---~ :; "<lap

W'" ;Vz

Mmu"" p., = 10·1,5 = IS kNm

lSOOkNcm,

~, ~~=-t ".le-kN He'"

0 1 o,'"

51. 142. Savijanje (primjer). a3 203 800c W """ _ = ___ . = 1333,3 cro l ,

% 6 6 6

(J = ~ = 11,3 MPa > (1<1011 = 10 MPa 1333,3

PoSto je 5tvar~ DBpon veei od dopustcnoga. presjek greqe (konzole) ne zadovoljava J

pa mor~o .pove¢ati dimenzije .presjeka (j~Ci presjek}. Kontrolisacemo naprezatl}c na pres}ek 22/22.

22~ 10500 J W ."", __ =--= 1750 em J

X 6 -, 6

M nOOO a _ -~- _ -- = 8,6 MPa < (J<f<Jp = JO M.!'a W 1750

Ova; presjek zadovoljllva.

133

t

/

PrimjtT 3.

O,~:editi otporni momcnat celicnog nosaca duplog T*presjeka (traverze) koji se pri adaptaC1Jl zgr2d:e ubacuje iznad otvora is-pod kajeg ce s-e ru~iti zid. Podacu s-u dati na sIld. (.Iika 143).

" O,lop = l40 t\1.Pa

I-V, = (to· A1max)

(jdop.

Mmu = 1000 kNcm,

10' 1000 SJ. 143. Celitni presjek (profit n: zadani moment Mmu =10,0 kNm.Podatke ("numere 'profila") uzimati'

W .. = --~- = 71 Sem3 140 ,.

iz tab!ica prem. Wx

Napomma:

Prema ovoj veliCini. jz tabliee za celie-ne profile (vidi dodarak) odabercmo nosac (ve1icinu - broi celicnog presjeka). To ie nosac NP IN? 14 ciji otporni momcnar ima vrijednost W,. = 81,9 cm~.

Kad cdicnih nos-aca dimenzioniranje se s",odi na odredivanie olpornog momenta, a zatim IZ odgovarajucih tablica se odabire profiJ (broj profila).

Primjer 4.

. Dimenzionirati Stropne drvene grede iznad prostorije sa rasponom I = 4,0 m (poro* dH~na stambena zgrada). razmak gteda ). = 0,80 m, korisno opteret~enje p = 1,5 kN/ml~ i7<i,.p = S.O ,\\Pa (51ika 144).

S1. 144. Savi;llnje (primjer: q =3,01 ill/m', g = q'/l

1,81 kN/m,~ P =1,20 kN/m'.Mmu = ~-; presjek 8

stropa: p~patos, m·medu$loj, o-oplata, n-nosac, T-trstika i malter; presjek grede b : Ii = 16: 18

ANALIZA OPTERECEN]A I) Pod 0,025' 1,0' 0,80' 700 2) Nasip 0,08' 1.0' 0.80' 1500 3) OpIlOta (kao patas)

4) Nasac tj. greda (pretPostavljeno) 5) Donja opJata (vidi ~z. 3) 6) Tntika + malter 0,025 • 1,0 . 8,0 . 1400

Ukupno sopstv.·tefina: Korlsno optere¢enje: 0,8' 150 = 120,0

Zbir g sa p daje q, t;: t + p "'" q.

q """ 301 k&/ml odnosno 3,01 kN/ml.

14,0 kg/m' = 96,0 u

= 14,0 = 15.0 J~

= 14,0 = 28,0 J)

g = 181,0

P=_120,O " q = 301,0 n

q'lI 3,OJ' 4Z 3,01 . 16 Mrn.o.x =.-- ~ -' ~-- o. --- - 6,02 kNm.

8 8 8

odnosno prctvoreno U kpcm Mmu: = 602 kNcm.

134

Otparni momtnat p1csjeka ilnD,i:

(iO - l\1m~,J IF' =--' ~~-.-"~

0401'

]0·60l = i,55cm'

8,0

pravougaonl prcsjck).

Aka prctpostavimo (usvojimo) cia je sirin:l gTccic b = 16 em, imamo:

16 ·h t

W = -.~ = 755, 6

ht =_ 6· 755 .. _- ~

16

~530 ------ 23--1 em!, II = ,/284 = J6,8, uSVOicn'l

]6

h = 18 om.

Prema tome, dimenzije sr(opne grccle bile bi 16/18 em.

NapomCllil:

I ovuje l'J p"w:ltl tF = 755 em' ~ dilncllzije btCJ.C mO'lI'DlO ut'VrJiri iz r~blica (I'i­

djeti dodarak),

Primjer 5. Na gradilislU ic pOlrebno izgraJiii rr:\T~;-]ll'lLi (prrwiz\lrnil mostic .prcko p.~t~k:l

Glavni nosaci SI.l prcch'idcni oj okrug!og jrl'da ~. o';)1tca, Ra<;pon nosaca (mostlc3.),v 1 = 40 m. Opterccenje _ \'07.110 ~kaml0t'\'. GiJ\'o: nosaCi su 2 '( 3 .ok~ugk gr~de (\"::lI slUm ~ poprttni prcsick). Dimennonlran grnJc ,,,~)II~\') :l.ko je optere~enJ~?d to::b nlZtl.l P = 50 kN, odnOS;10 ll\,(:,'anO n 50'_'Q (,I;: dinan1h·'j.::h razloga - udarcl), q. lznOSI p,-" 75,0

kN; Od,>/-, "--0 10 \iL\.

0" Mostd

I

Najnepovoljniji polobj "'ozila (tj . .silc koja sc pn:nvsi. preko, toC~ vozi!.a) ie kada sib p = 75 kN djclujc tl sredini raspona. P\'StD St ~:iJ [,re-nOS1 na tn gre"e, na )cdnu otrJ.da

r 3

_!_~= 25 kN. Najprijc o'lrdin1O vdiCinu .Mmox, tj. l

25,0' 4,0 ~~-~--- 25,0 kNn1 = 2500 kNcm.·

4

:fl . :rr. IV = ----- = 2500;

64

:i"sci60 J = 2500 em ,

10,0 64 . 2.500

d J = .. .-__ ___ "" = 50900, 3,14

I J j

Pn'tnjer 6.

Tnili .e otporni momenat tditnog duple T -presjeka - za zacian( nosac sa dva _pre­pwtL StaIno, ravnomjerno opterceenje .,(Po analiU optcreeenja) iznosi ~ - 10,0 kNlml .'korisno (Ibla;oo); takoder ravnomjemo podijeljeno opter«enje, neka it p "'" 20~O kN/m' . q -, + p -.1..o~ -= JO,~ kN/~l* -Oa~'podad sU ~ti na slid 146,' .

~ - ' (cfu)rn -~-" -f'1JJ'1'

A, ~, , B "

, ' --p

L q A ~ 8

II. L brn. " p q

I Ai ~B , , S1. 146. Savijanjt (primjer): I-slu':OI.) rasporl:Ju opten~­tenia za maksimalni moment u poliu, II'sluca) raspore­da optcrecenja za mabimalni moment nad osloncima

·AiB.p = 2,0 kN/m' q = I,OkNjm1; GaOl' = 145MPa

Najpri/e cerna oJrediti n1abimalni mllmcnat savijanja u poliu, rj. izmedu aslonaca Ai B, a prema shemi opterecenja prema ~Iici 146b (g du:! cita\'og nosata, a p u polju).

q./! g'a~ 30·6 l to'J,Ot Afmu; {poljeJ = ---------- = -- - ---- ~

8 2 6 2

30' 36 101080 -- 40 1040 ' = ~- - - = --- "'" _~. = -130 kNm (13 000 kNcm). 8 2 S 8

Mabimalnl mom~nat savijanja nad· osloncelll A iii B - jet su oba prepusta Jednake duEne, dohiee se po shemi optcrecenja iz slike 146c, tj. prepusri optereceni sa q.

q'a l 30, I,Ol MmlX {"'/""",) -...-' - "'2--- = 2" = -15,0 kNm = 1500 kNcm.

Za dimenzioniranje nosaca, odnosno odc<.'divanje triienog otpornog momenta W x mjerodavan jt' momenat u polju - 1::ao Yea, Aka je dopuSteni napon nll savijanje udo!) = J 45 NlPa, tada imamo: •

(10' Mmax) (10' 13000) J.f' = ---- = .------- == 897 cml.

"UIJop 145

Zit izraeunatu vrijednost W.., iz tablica (vidjeti dodatak knjige) odredi se konkretni broj (numc:ra.) n=ala. duplo T-presjeka, (Ovdje: 1& 34)

Prin;jer 7.

Nosat sistema proate grede je sio:Zenog presjeka -(montaini) od homogenog materijaia - drveta. Dimenzije i oblik presjcka su'zadarle. OdrMiti maksimalni napon !lavijanja U kiiticnom presje)aJ akn ie greda optereecna knncentrienom sHorn P = 5,0 ill u sredini fMIXlna. O,tali pOOaci na did (vidi sliku 147). Ovdje, dille, vdimo kQntrolu haprezanja (0' = ?) l.a vee pomati presjek i opterecenje.

136

I •

,+-

Pre5jek, . !y

2dcrn !

, !.------ --·h-

i

1 I

4--,I

p~r{-

,p.! 5.0,4,0 ( 500kN) 51. 147. Savijanje (primjer), Mma>: = ~4~ = --,;--_= 5,0 kNm. MIlUoJ< = em

Da bismo odredili (provjerili) maksimalni napon savijanja za izraeunato Mmu:, moramo odrediti Dtporni mornenat presjeka. To cerno uCinin na vee poznan ootin - kako slijedi:

a) p%laj ,di/ta presjeka (T.presjek)

5'20·22,5' + 20·5· 10 = (5·20 +,20' 5)' YIn

2250 + 1000 --'. 200' YIr. •

b) momenut inerdic Ix

3250 ylr"'" -'- "'" 16,25 em;

200

20'5~ 5·20a

Ix"'" -12 +.20' 5' 6,]5: + -,--+ 5·20' 6,25', 12

J x ~ 208,3 + 3906 + '3333,3 + 3906 = 11 353,6 cm4~

, I:.; - 11353,6 W:.;l = - = --- = 1300 em',

Yl' 8,15

'x 11353,6 W 1 = ~ =- --- "'" 699,0 em3', ~ J'~ 10;25

(10'· Mmu) 10·500 P 0'1 = = ---- = 3.84M a

W"'l 1300

(10' M ma:,,} 10.' 500 715 MP 0'.= =---=, &. U7:.;. 699 .

Za kontro!u napona mjerodavan ie, prema tome, napoll u donjim vlaknitna (tilcci), a to je (]l' Ako je ()</op = 7.5 MPa, tada je 11~ < lf~~p - ~{O znaci da presjek zadovoliava. Pret-

137

f

J

hodni primjer je, k&.o !to smo vidjdi, ilus.trativan i karakrerisli~an za provjeru nap~czanjli pri dimenzioniranju nC'simetri'::nih - slofenih presjeka. Na analogan naCin bismo pOSlupili prl rjd2vanju sli'::nih zadauka - kod iloienih presjelta.

PITAl{JA I VJE2BE

- Opisati, iskazati lta znaci dimenzioniran;e a ita kontrola napona? - U kojem presjeku nesaea nastaju najve(:i naponi na savijanje? - Sta hi lie moglo det;iti ako bi izraeunati naponi hili osjetno veo od dopultenih? - U kojem presjeku se pojavljuju najvcei naponi (i momenat uvijanja) kod konzola? - Sta je radiju$ inetcije.? - Koji predznak ima momenat savijanja kod konzo!a i prcpusta nosata? - Koja je j~dinica mjere (dimenzija) za momenat inercije. a koja za otporni momenat? - Pronadi nekoliko zadataka iz prakse sa gradi!iSra gdje su dementi napregnuti

na savijan)ei kontroliii naprezanje za analizirano oprerecenje (skele, provizorni objekti, krovitu, dijelovi objekta - grede i st.).

- Pronadi nekoliko zadataka jz praksc sa gradilista sa dementima napregnutim na savijanje j izvrsi .dimenzioniranje!

9.11. T.,\NGENCIJALNA NAPREZANJA PRI SAVlJANJU

Kod nosaca naprc:gnudh na savijanje. pored napona na savijanje, pojav~ ljt;ju se i tangencijalna - smicuca naprezanj:1 bo p031jedica uticaja (djelo­va.J.ja) transverza.ine sileo Jedino u slucaju tzv. cistog savijanja, tj. kod savijanja nosaca momentom sprega - para sila, bez transverzalne sile, ne pojavljuju se navedena smieuca naprezanja.

Smicuci - tangencijalni naponi pri savijanju ;avljaju se u svakoj taeci presjeka nosaea, kao i naponi na savijanje, pa ih mozemo medusobno, po pravilima statike, slotiti U odgovarajuce rezu1tujuce napone.

Da bismo stekli neposrednu pre­

( :

SI. 148. Savijanj~ - l"-smiCtiCi naponi.

dodzbu 0 postojanju i smislu navedenih tangencijalnih napona pri savijanju, zamislimo i posmotrimo na slici 148. da je greda nosac, koja je napregnu­ta na savijanje, sastavljena od poduznih elemenata. Ako je materijal gred'e drvo, onda su navedeni elementi daske iz kojih je greda sastavljena. Pri optere­cenju dolazi do poduznih pomjeranja elementa po elementu (tj. daske po das­ci), sto se ne bi dogodilo da je greda

kompaktna, tj. sastavlFma ',iz jednog komada jer se teznji -~ tendenciji pomje­ranj' suprotstavlj.ju unutr.snii otpori koje identifidramo (obiljeiavamo) kao navedene tangencijalne napone i oznacavamo vee poznatim simbolom l' (tau). .

Vidimo, dakle, da se smicuci naponi pd savijunju javljaju i u poduznim -sa neutrainom ravninom nosaca, paralelnim presjcdma. a ne sarno u poprecnim presjecima 'nosaca. Utistinu, smiCllci naponi p·ri savijanju jay; \. ;";: 1 u 1'ro:""'~'0-

138

ljnom presjeku nosu{'a, a njiiwv smju dcjsn'o i intcnzit(:t) pored osta!,,~, :'3~ visice i od P()!oz~lja takyog prc$JL:bl.

SmicuCi naponi pri s<lvijaoju koji sc javijaju u nekoj :ilcki koja InOle da pripada dvjem<l medusobno upravnim ravninama - presjecima nazivaju se konjugovani smicuii naponi. O\'i naponi su jednake velicine - imcnzite.cl i usmjereni su Jcdan ka drug\lm (usmjerenjL sudica kao oznake smjera) jii abramo.

o O\'oj osobini navedcnih sn:i(ucih -~ konjugovanih napona moierno se uvjcriti posmarrajuCi zami.51jcnu pizmu Kaju sma izdvojili iz nosJb naprcg­nutog: na savijanje i promorrili njcnu ravootczu - u skladu sa pravilima st:l­tike.

Ovo jc vidljivo iz slike 149.

Smicllci naponi ') j ,') koji sc otinosc na po d\'ije medusobno l'.prJvnc ravni ave prizme pomnozeni sa pril'adJjuCim ckn1entarnim povrsina.m8 J;]ju clementarnc srnicllce silt. POStD 0\·;:: site moraju biti u ravnotezi, posta.viccnlJ

- " '~(?,t'; F~~.r~;'

M! U7,,/ c ~

",,/" SL 149. Naroni srnicJnja - "konju· govani "f". r-smicu,'j nap<mi, o-l1or­

l~l·,j\n~ nU)lur,i.

usIav ravnotcze - L AI = 0, odabLh-.~i za momentnu tacku (liniju) jcdnu ugJovnu tacku (ocnosno liniju) ove eicmcmnrr:c prizme.

Postavljajuci navedcnu jcdnacinu, irnamo:

T,· ",1), '.:::1z - T;, . .:1z ' jy "-'=' O.

OJ<-\vdc nak.on srcdivunja, Im;}!l,O:

T, ;c.;.: T,',

time potvrJujc!llo vee flmnrlisani SL\\' 0 k:.!wktcru i s\'ojstvim<l smicucih konjugovanih napOJ1a pri savijanju.

,- Da bismo u(vrdi!i velieinu i hlSporcd smicucih oupana pri savijanju u odnosu na porrccni (bilo koji) prcsjek nosat:a, posmatracemo, ou odrcdcni nacin) oosac naprcgnllt na savijllnjC, so :lspekta odredivanja navedenih smi~ cuCih naprczanja. Posmorrimo sliku J 50.

1 )9

Na slid uoomo dva poprecna medusobno ~bcskonacn6 bIiska prcsjeka 1.....:.'1 i II -;- n .. Naravno, ove presjeke i detalje na slid prikazacemo uvecanp -karikinimo iz pJ?kticnih razloga-. _ _

Ako'u presjeku I-I imamo momenat savijanja 1\1 i transver.lalnu silu',' T, u presjeku H-II imacemo istu transverzaInu sHu -T (ako izmedu pres;eka nemamo opterecenja), a momenat Co biti' uveean za .1M =1· .1Z (gdje je z rastojanje pI~j~ka). Odavde' je: .'

.1M T=--,

.1Z

sto znaci da je 'lransverza!na sila u nekom presjeku jednaka- kvocijefllu prirasta ' momenta, 1j. LlM i prirasta razmaka, cj. apscise' LlZ.

Aka zamislimo da smo datu gredu ·-__ nosaf presjekH ravninom paraldnom ncutralnom sloju, izuzevsi diu na duzini LtZ, tj. izmedu presjeka I-I i ,II-II j te dijelove odstranili, tada rnozemo pcismatrati ravnotezu toga preostalog ckI1lentarno~ dijela. Uticaje odbacenih dijelova (Iijevo i des no) zainijenimo dcmcntarnim unutrasnjirh sibma L1N (elementarna normalna sila). Ova ~ib LV = (1' tf F. Aka napon zamijenimo, njegovim obrascem datom vri­jcdnoscu, koji nam je poznat ad ranije, tj.

M·y a ~ ---~ imamo

Ix

LIN ~ .JF.-l>~. I.

Ako posmatramo Iijevu stranu presjeka i izvrsimo integriranje - zbrajanje} imamo:

N, =L.JN ~LLlP' M,.), = M. L.JP·y. F F 1", 1", F

lzraz L: .dF· y predstavlja, Sto od ranije znamo, veliCinu statickog momenta F

plohe - tj. lijeve plohe na koju se odnosi sila Nl U odnosu na osu x-x, !ito ozna~avamo sa S~. S obzirom na ove oznake imamo:

M'S N 1 = -.--~. I.

Analogno ovome unutarnja sila N z sa desne strane jednaka je

(M + JM) ·S. N z :;:" ,. - ~-- --""---. Iy

Rezultanta unutarnjih sHa Nl i N" bice jednaka -nj~ovoj razlici, jer su te sile (kao sto jc vidljivo) suprotnih smjerova. Ova rezultanta Nt - Nl rai ua smakne elemcntarni diD grcde (primlU) u Ii;evo po plohi b . Liz u

-kujuj :iC javljaj,u smi~u~i naponi r. Uz uslov Hlvnotde (LX = 0) imamo:

N~ ~ Nl = T = b· jz· T.

140

I

I r

f

Ako izvrsimo poirebne zamjene, imamo:

Odavde im.mo:

(M +' &M) M -.. : ·S~----·Sx=b·L1Z·T.

" J# ' '}#

. LIM S . 't = -"-'-'. Poste vee znamo da je

. .1Z J.' b .

····.1M T= __ . _, kad jzvrsirno zrunjenu, iIIiamo:

.1z - .. T·S·' (IQ.T)·S

gdje ie: T = -~---! ; odnosno: r -= • (MPa) . J~.b, 1 •. b

T- smieuea odnosno: transverzalna sib u datorn pres;eku nosa{::a -u odgovarajutim jedinican1u<

S. - Staticki momenat dijela plohe poprecnog presjeka iznad date taCke (Hnije) U odnosu na tezisnu x - x -osu presjeka (em3),

J~ momenat inercije presj~ka (cm4),

b - sirina pr~jeka na datom mJo;':stu (em).

Naprijed navedeni obrazac predstavlja analiticki' izraz za smicuce -tangencijalne' napone pri savijanju i ima opste znacenje. Na osnovu ovoga obrasca mogu se izvesti ,posebni - specijalni obrasci za max r napone za odred~ne, oblike presjeka koji se u praksi najceSce javljaju (pravougaonik, krug, ltd)," .

Ako izvrSimo anaHzu navedenog obrasca, moierno zakljuc-iti da je raspo­red smicuCih napona pei savijanju po visini presje~ ovisan posebno od oblika poprecnog presjeka i da se maksimalni naponi smicanja u nekom- presjeku javljaju u neutralno; osi presjeka, a da su jednaki nuli' na krajnjoj gornjoj, odnosno donjoj ivici presjeka. Sjetimo se da je ovo suprotan model rasporedu napona na savijllnje za isti presjek (za <max; a-= 0, i obramo).

Apsolutno maksimalni smiCllci napon pri savijanju javice se uvijek u prcsjeku U kojem je transverzalna sila maksimalna} rj. T (obicno nad osIon­cima nosaca), i to u neutralnoj liniji _ osi presjeka. mal;

Polazeci'od osnovnog opsteg obrasca

. T·S, (10· T)'S, 1" = --j odnosno: T = ,.(.MFa)

J,.b J,' b

moiemo izvesti posebne obrasce za T max za pojedinc karakteristicne _presq jeke. '.

Tako imamo: .Za pravo,ugaow' presjek

'm" = ~'T_; odnosno; T_ =~. (10. T .... )(MPa) 2 F . 2 F

gdje je F = b .. h - povriina poprecnog presjeka u cm1':, 'SiLt TmM. U W.

EI' kN/cm! =-10 MPa! 1 141

f

!

Za kruzni presjek:

4 Tmu = 3

I'm". ; odnosno: F

~ (10. T c',) (MPa) 3 1'. .

d · . F d27£ x' g Je Je • = .- povr:..lna

4 kruga. (em'); Tm ... (kN)

Dijagrami smicutih napr~zania pri savijanju im~lju za karnktcristicnc (odabrane) presjeke izgled - oblik kao na slid 151.

,. b

h='2R X

'62- 2"° d

c I, , . B

~ !hz _·X·_· t max -d--X r·

! X-

. b

I' J

SI. 151. Smieuca naprezanja - dijagrami .. -r" za: a) pravougaoni presjek, l"mu: = 2" . Tmu T· ,

-r)_) = --b~" S;;: = F· y' 3; b) okrugli pre-sie-k, c) sJozeni presjek "T", J"" d) sanduCasti presjek.

Na slici je vidljivo da kod slozenih presjeka dolazi do tzv. skoka u dija­gramu na mjestu gdje presjek mijenja sirinu (tj. b u'obrascu za T).

Na analogan na<':in racunali bismo smi<':uce napone pri savijanju i crtali dijagrame i za druge - razlicite presjeke koji se mogu pojaviti u tehnicko; gradevinskoj praksi.

Primjtr

Nosal:: sistema prone grede.' izraden ad homogenog matedjala '(drvO)i optcreccn je ukuppim ravnomjerno podijeljenim opterc:tenjem q = 4.0 kN/m1• Dimerizife popret­nog presjeka su vee poznate i iznose 20/24 em. Ako je raspon nosata I "" 4,0 m. odredlti

142

, t ,

'I

(

f ,

maksimalni smituci Ilapon pri sal'iianjll k;w i n~;'{'n r U vhkn\1 ud:llicnom Z:l y = f, em cd neutralnc l),t x ~ x U is(om prcsjckll, Ii, nad o:;jooccm nn~a(a ($!ika 152). (1 ovdje, n3f:1\i1,I,\ II rr:lkricnim o~~;;'~'im",> )..:"riqimc, f;,kwr "Jon la ,iltl izr~/C:l'J u .. ;;;--.;" anapDllu",\\J <i .J

ii,

SJ..152. Smicu;-~ naprC7.:lnja (primjer: (I 4,OkNlm', /\,'1 -, 8,OkN, Tf1"~ pre5i~k gr~d(: ~ J :,l~,r";i' F :ii r; - !20 em'.

J}

I)

s~ F'.y· = 12')· 9,~ 10~(l em'.

Tin"'

4,0· 4

2 , 8,0 kN,

F 0.0, 20·24 = 480 em'

'!I) ::;,0) '--.. ---.-- = 0,25 ,'viPa < 480

s.c', kN;

(Ova vrijedno,r ohicno je osjetno ll1anj~ od doz\,o!jenog smicuceg napona za ovakve slu­tajeve - vidjcu ocigovarajl(cc tchnickc rfClpise).

A silda CCfl10 Or1rcdili napon r U islom presjeku z~ y = 6 em (ras[()janie zadar.e t3(Kr. vlakna od ose x -- x).

Iz obrasca 'I.·idimo da moramo najprijc odrcditi vrijcdn0Qj ');0; i fl'

,

S;;: "'" 20" 6·9 ,"0 1080 em',

b = 20 em (sirin3 presjcka).

Nakon ~to unstimo pGZnate \'rijcdnosli, imanw

(l0. Tm.~)-Sr r ~ """ --- --~-, _ .. ,-

J,. b ~~2~-.:_I~~:~

23040· 20 0,18\ ,\\Pa.

Napoml1la.'

U slutajcvima sloienih presjcka i bela se traii vrijcdnost naron:! r u odredcnirn taCkama (vlaknima) presjcka u obrascu za ,mit-uci napon T, un{tava sc vrijcdnosl ~irinc prcsjeka "b" lla mjcsru (poziciji) zadanih ,tataka (vlakana).

143

9.12. DEFORMAc;IJE PRl SAVjJANJU

. Konst~vfu\niisi~iU elementi - siapovi,' napregnuti na savijanje; defo.rmiraju .. se.'~o., ,da osa stapa - nosaea poprima,.ako je prethodno, tj; u neopterecenoitfstanju bila rav'na, zakrivljeni. oblik ..

Deformisaria:osa, koja je data' - definisana PfeSjekomravni opterecenja i neutra1nom,~ravru' nosaea, posjeduje u svako; 5VOjOj tacci dvije znacalne karakteristike;~odnosno- elementa, a to su 'nagib.{ ugib.

Pod nagilx)-m-:, defonnisane ase iii tzv., elastilni lin£je nosaca podrazumije­varno ugna !to.gct, zatvara tangenta na elasticnu.liniju u datoj racci sa nede­formisanom linijom~ odnosno osam nosaca. Oznaeavamo ga sa fl, p i 51.

Ugib iIi progib elasticnc_linije u datoj (zadap.oj) ,tacci. odnosno presjeku Hosaea jednak je ordinati i7.medu nedeformisane o~e nasaca. j deformisane ase, rj. elastiene linije. Oznacavamo g~ obicno sa f i izraiavamo u mm Hi em.

Sl. 153. Ugib c!asticne linije 1J zadanoi tacki: a) grecla, b) konzola.

Ugibi i nagibi nosaca su relurivno male veliCineJ ali Sll ad poscbnog zna­caja za proraeun nosaca - konstrukcija. :M.aksimalne dopustene vrijednosti ugiba n-osaea (pod opterecenjem) su definisane i date tehnic-kim propisim\1. Ovaj idop je, u pravilu, U' funkciji ad vrste i karaktera nosata, apterecenja i

raspona nasaca, tj, f = _1; , gdje je n propisima utvrden braj 7.uvisan od nave-n

denih faktora (n ~ 100; 200, ied). Maksimalni nagibi clasticne linije su n~d osloncima (jedan od oslonaca

nosui::a), 1I. maksimulni ugibi (prog:ihi) u polju, odnosno kod'simctricnih nOSllea i optcrecenja ,u srejini raspona. Nag/b i ugib ela;sticne lillije nosaca 111.1 mjeSll! uklje!lenja (puno kruco ukljeJlCllje) jedllaki su -'JUli. Kad elastic nih ukljdtenja nasata, nagib (tL ugaa nagiba) elastic-ne linije ovis.an jc od stepcnll elasticnog ukljdtenja - ~aravno) kada u prJksi' r<ll:unamo sa takvim ukljeStenj~m.

Po~navunje posturakal pa i gorovih obrUi:Ql'a za veiii::inc nugilla i ugiba c1asti~nc li.nije.-za karuktcristicna optercccnja i nosuc:e (prostu greua, konzola), oJ poscbnog je znacaja zu rosrupak pranl(Una staticki nt:ildn:dcnih nn:l"Jc'J - t)

. cemu cc sc guvqriti puslijc, na rosebnom mjL~stu ..

Izllala'ctljc vrij,drlOsri nagiba i ugiha liosal'a

Da ~ismo daSH do posrupka kako konkfctno odrcditi vrijednost"nagiha i ugiba elasd61¢ Jinijc u d:noj t .. lL-d (prcsjt-ku)-nusuca. posJuziL'eOlo se sJjcdedm (pojcdnostavljcninl) i:dag:lOjcm. .

a) Ugao nagiba (nagib) eiasricnc lillijC

Pnsmotrimo kom:olni nosac n:l slid 154. 7.(\ opsri slu2:1j savijanja.

144

,Pretpostavimo (namjemo) da je mali dio konzolnoga nOsata elllstitan, • di d· .. •·· d 'b' 'A 'b'b' .,' a"' 1, ".·M .tJ,. 0 na IUoUU a, ta a nag1 ill ugao Ll<P 1 10:Lltp·=··;·=·a,·I--=~.

," , '. , R R E·]· :'Od ranijeznamo (vidjeti lidjeljak 0 savijanju - izvodenj. jecikcne savijanja),

51. 154. Elasticna Iinija - nagib, ugib: Oznake 6..'P·elementarni naiih., <p-ukupoi nagib (u B») 6./ = elementarni ugib j. -ukupni ugib (u B). a) rastojanje presjeka 1 i 2, 6F J,.-f"elementama povdina dijag­rama M. F",-ukupna povdina dijagrama

M ila (konzolnom) nosaru.

d . I MId" .. a Je - = --. Z IJagrama momenata savlJanja za' datu konzolu R E·]

(opterecenje - sUa na kraju) vidirno da izraz a' M predstavlja e1e­mentarnu povrSinu dijagrama, M (momenta savijanja) LfFM • PoSto je cijela komola elasticna, nagibni ugao 'I' na kraiu konzole (slobodni krai) ;ednak ie sumi nagibnih uglova svih dijelova konzole, tj.

'" ,a:M 1 '" 1 'I' ~ L., Llrp = L. --= -- . L., LlFM = --'- ·,FM • E,] E'] EJ "

Ovdje je PM - cijela povrBina momentnog dijagrama M, izraZena u kpm. • m = kpm' (iJi' kpcm'). '" ,

b) Pgib (progjb) elastilne /inije If)

Ako ie elastican samo djelic ,Q kOD2oinog nosata(kaoranija pretpostayka)

tada je ugib Ll'l' nakraju 'konzole jednak Llrp = x; tg .1'1' = " . ...!!..'.M . . E']

Ovdje je tg .1'1'"= .1'1' {.bog veoma malog ugla). Ugib konzolnog nosaOi ""s!obodnom kraju, ti. f biee, kad izvrSimo sumiranje (integriranie), jer je ciieli konzolnin~ ~aStitan, kaleo slijedi: ""

/= ILlf=I,,·a' M ':'.~ Ex·".;"~ -!""ILlFM ' x;;" , E·] E,] E·]

, 1 " ~ ---OFM"XT'

E·]

10 Statika gradevin&k1h konstrUkc1j1l 145

,

f

I

Onlje jc U7.cto da j~ L. ·1F.11 • x = F.H . XJ") gdje je

E· J - tZV~ krutost nosaca.

F", - povdina momentnog dijagrama AI,

'\.1" - rasto;anie teiisra diiagrama Ai od slobodnog baja konzole.

Ako analiziramo prednjc obrasce za Juglb i ugib eIasticne linije ·kon­zainog: nosaca - a sto vrijcdi i za druge sisremc nosaca) tad a mozemo izvesti sJjedece vafne zakljutke - pr~\'ila (Morova pravila - po naucniku Moru).

l. Sagib elasticne lillijc u mkoj [aeci (presjeku) na sa&ijanJe optereeenog nosaca, jcdnak je kolicniktl transverzalne silc od IZV. fiktivnog optereeenja i krulOsli nosala izrazenog tl ut1l11OIku E . 1.

2. Ugib (progib) elasliene linije u tlekoj lafei (prcsjeku) na savijanje optere­cenoga lIosala,jednakje kolicnikfl mome1lla sa'i'tj"allja ad rzv. fiktivnog oprereeellja pOdijeljmog sa knlloscu Jlosa!"~a E· J.

Po,f /ikli'vnim (zamiJIjOlilJl) op!ereeenjcm podrazwm/evamo opterecenje momenwim diiagramq.m AI od SiVQmog opureienja nosaca.

Prema tome, za rjeScnjc zadataka iznaiaienja veliCine nagiba i ugiba elasti(."nc lini;c u nckoj tnb.:i (presje\.:.u) nosuea, potrcbno je na novo; statickoj (iswvjemoj she.mi) nosaca iZ\Tsiti oprcreccnje fiktivnim opterccenjem, tj. momemnim dijagramom .'1 st\·arnop- oprerc'~cnja i nn osnovu vee pozna tog proracuna dobiti traZene vrii;:dnostl za Tf i MI'

0rsri obrazac za izracun.wanjc nagiba elastic-ne linije u nekorn presjeku (tacci) nosaea, prema tome, glasi:

Tr ct· . . b (.l = ._- (g je Je a oznaka - sim 01

E] -zn n3gib).

Analogan obrazac za < izracunavanje ugiba glasi:

j Mr d·· = ..... _', g Je Je E·]

f ~- oznaka - simbol za ugib,

7j - transverzalna sHa od fiktivnog optcrecenja,

Mf - momenat savijanja od fiktivnog opterecenja.

Posebno se ukazuje na pravilo da kod kanzolnih nosaca pri crtanju (postavljanju) stati¢ke shemc za fiktivno opterecenje, treba mjeslo uklie1unja stavid na suprotnu stranu od stvarne sheme. Naravno, pri tome se dobiveni rezuItati odnose na stvarnu staticku shemu nosaca.

Korisleei naprijed navedeni postupak, odriosno pravila (pod. I i 2.) koja se odnose na izracunavanjc nagiba i ugiba kod nosaca} mozem9 u op~ stem slucaju doci do obrazaca (formu·la) za nagib i ugib, a koji se odnose na karakteristicna opterecenja i nasaee (od inacaja za najcescu praksu).

U navedenom dijelu izlul!anja izveScerno, odnosno dati obrasce "koji se odnose na maksimalne vrijedn~osti nagiba i ugiba konzolnoga nosaca i proste grede za karakteristicna opterel-enja.

146

_ Kom::olni 110SaC Opfereeen 51/0111 P na sIohodnoll1 krajll

Neb jc konzobi nosac optereeCfi silorn P nn slobodnom kraju. Odrediti obrasce za maksimalni nagib i ugib.

Na slici 155b konzolni nosae, sa llkljeStcnjem oa suprornoj strani, Clple­retiE sma momcnrnim dijagramom st,,::unog oprerccenja (ovdic trougao 1\1). Povrsina momcntnog dijagramu· iZ110S!:

j} , I . I F~l=

2

? I'

2

Prema opstcm obrascu, za 11 (nugib) imamo:

01 'j~ , ~ l:. 1_0 ..:: ~·.,v~

t-""~~) :'. Hm;)~-1_ UHUl~~:m~

: 'F __ ;1- t

tl r!IIrtS.::b~-+-1·:,jhl-2'Jt~

.,._.-_.1. ----.f

51. 155. SI. J 56. ami>;;

q . f~

= 61:.J ,Jmu q . Ii

8EJ

Tf P12 a = _. = .-.-"--- Ovo ie, ZJpruvo, konacan obrazac za ugoo nagiba cbs-

E] 2E·] ticne: linije na slobodnom kraju konzole, a za daro k<.rakreristicno optere­cenje. Maksimalni odgovarajuci ugib ee iznosi(i:

Xl/ __ p. /2 . _~ .. I = _P_~ .. L~, , 1m" ~-£:J - 2E 0) 310 . J

Sto predsravlja obrazac za mak··

simalni ugib.

Konzolni 110sae opu/"cCen sa q (q = g + p)

Za slueaj ravnomjerno podije1jcnog opterecenja q na konzolnom nosset!, maksimalni nagib c!asticne linije a",,",x i ugib /"klX nn slobodnom kraju kon.~olc. dobice se na analogan naCin kao i u pre.thodnom slucaju ~ primjeru;

Na slici 156. konzolni nOJuc smo opteretili sa momentnim dijagramom M od stvarnog opterecenia i ukljdtenje prebaciJi oa suprotnu stranu. Pri racunanju (erno polaziti ad vee poznatih (odredenih) izraza 7.3 clemente elasticne linije - nagib i ugib (prema, dak!e i\foroVDj analogiji).

Najprijc odrcdimo maksimalni nagib u",,;u:

. q I" . /. 2

q.j3

6· E· ] Ovo je, dukle, obrazac

147

Maksimalni ugib '(na slobodnom haju kOnzoIe)_ bice: M ' 1· 'q . I' 3 q . /, .• ,--, ,-

f' = _l_.= ~ . ~,-- . " ,./ = --. Ovo'jeobrazac zafmu.'za da-~u E' J ; E '.f,' 6 4 8E· J'.~_",,<._

ti' :- karakteristiean slucaj opterecenja konzole .. ;:', _ ',_ . . _;-.--,:1."

Prpsta greda

, Na analogan - -opisan naein, odredicemo ~ i~vesti' obrasce za maksi- ' malni nagib i ugib kod nosaca, sistema proste grede za karakteristicna optere- . (enja, a sto je indikativno za odredivanje ovih vrijcdnosti i za druga (netipicna) opterecenja.' - ------ - -

Najprije cerna odrediti - izvesti obrasce za O:max-ifmu. za slucaj djelovanja koncentrisane sile P u sredini raspona gred~ (stika 157).

1:')

_ .-J~.-.: t-~--'_ , ,.--±!':,--,~-~

8t

~ . ""'" ~.r;.:.:l~. ' ,II',

P·l2 . 1 SL 157. 0max = --, Cama:< = fJmax), - FM =

16E] 2 1 P'1 I P ./1 - ._' =Rj=RfA=RfB. 2 4 2 ,16

Maksimalni nagib e1asticne linije (uz oslonac nosaca) bite:

Tf a =---max E.i

T j = Rf , gdje je R j reakcija od fiktivnog opterecenja na gn!di:

Rf lIP, I I a =---~.'~--'-m.. Eo J - E] 7 4 2

PI' a - -'(a -p )

max -16£' ] mn - ron

Maksimalni ugib ispod (sHe u sredini raspona) bite:

. M j 1 (PO" 1 P·I' 1 1) f .... ~E0~ E! 16~ '2'--ii; "2 "3 '

f mu = p ~- ZS .' Obrazac za maksirnalni ugib elastienc Iinije za dati sluca; . 48E·J· -

oprerecenja. Za 81u&;, ravnomjerno podi;djenih opterecenja q, sto . je za praksu naj­

karakteristicniji (na;tipicniii) slucaj opterecenja, obrasci za (Jma)( i fm~l{ se izvode ponovo nJ analogan naC:in (:;;lika 158).

148

t I , i ,

I I

I I

Maksimalnl nagib. elasticne linije (uz oslonac) biee:

. TfRf a ---=--"""-.E·J 13'/

SL 158. Fm-ukupnapovdinaMdi;agrama ~ FM = ~ . q:il 2 q:_ls ,-·--· .. ---Rf-Tf'

8 3 24EJ

Maksimalni ugib elasticne linije (u sredini raspona - gdje je i momenat od, fiktivnog opccrecenja maksimahi.n) bice:

. M f, _ •. ~L

mu - E']'

1 (q'l' I qo!, 3 ') 1m" ~EJ 24 . '2 - 2T . 8' . -i

finn = _~_5L_~ . Ovaj poznati obrazac za f max zasluzuje da se posebno 3M·E·] . .

pamti. D slucaju kotribinovanog opterecenja (sila P -u sredini' i ravnomjerno

podije1jeno optereeenje q na gredi) -posluiili bi se superpozidjom - ciji smisao i znaeenje od ranije poznajemo.

Navescemo jos dva slucaja opterecenja znacajna za staticke proracune -posebno kod staticki neodredenih nosaca (0 cemu cerno govoriti poslije), a to su opterecenja momentima sprega na jednoj odnosno na oba kraja grede.

H " ,,-----. J. ~

1==~ J - 'iF,. ~"1 "i- ~ll1Illlmllll!!l!!llnil~

..l. 1--r-.:l.," .. " S1. 160. M", """MB -- M~ FM = I

.y.J M, Umu "'" fI~'" a .... /1 ... 2EJ

149

,

f

I

na U sIueaju oprere6:nja momema sprega M (koncentrisani momenat)

jednom kraju, nagihi elasticne linije bite: , Tf R f 1 1 M-I 21M-I a = - =,:--.; a = __ ._ - __ . _ _ j _ _ = __ _ EJE] E-] 2 3 I 3E-/

{I= Tf = Rf 8; {I=_~ M-I E-] EJ £J 2 3

1M-I

I 6£- i =

Ako na oba kraja d;eluju momenti sprega M, imamo (slika 160):

a = {3 = _ TL = _RfA = RfB =' M -1M- I E· J E - J E - J £J-2 - = 2E - i

Obrazac za nagibe ne izvodimo jer ovdje nisu od znncaja.

Primjer

Nosac si~tt:ma pr~ste grede 16/20 od homogcnog materijala (drvo) optereecn je jed~ nom .. kon~ery~nsan?m, sli?m prem.a poziciji datoj na skid (slika 161). Odrediti elemcnte clas~lcne .. ,.nlle ~aglb t u!?b u. ~ilcel c. Zadatak cerno rijditi na vee poznati naCin __ poste~ pemm f)Csa\'alllem, po pravlbma .\\ora. 16. 20~

,P'lJ,O kN J", = .. _--- = }0660 em', ----." l5m' 2Sm~ P,,,W,,- 12

~"" - , "i;B ,-' ~ P '5 , 5 R~--:;, . ~-I~i6m -~.::=- R~ .1'-LJ-_J~ R"l = --" ---' = ~~ "" 6 87 kN; : i : ", 4,0 4,0 '

~I ~' ~"}-' IO,3JkNm' :_;Mc';J-": .-Hm~x = RA' 1,5=-6,t17· 1,5 = +IO,JOkNm, '} ~ .. ,---- Mrrm_Mc I

)~8 R!~R'

L 1) rr; ;n!'Q lSl J'~ "

51. 161. Odredivanje e1emenata eJasticne Iinije (nagib i ugib) u taCki c: 0=0,0122, p = 0,0104 (numericka vrijednost) f =

, I Q f = 2' ' 1,5 -10,10 = 7,72 kNmt,

1 Q"f = '2 . 2,5 '10,30 =12,87 kNmt,

7,72' 3,0 +12,87' 1~67 =~---,-------- ~

4,0 = 1.21 em.

= 11,13 kNm~,

RfB = (Q'f + Q"f) - RIA = (7,72 + 12,87) - 11,13 = 9,47 kNm!,

RJ A IJl300 a ~ -- ~ ------- = 0,0122,

E· J 1000,0. 10660

RIB 94700 p.= EJ .., 1 000 ' 10660-' = 0,0104 (numericka vrijednost)

Mef 1 j, ~ - ~ -(R/.- I 5-Q'f-05) EJ EJ ~, ,

111300 -150- 7700-50 -------

1000 - 10660 je = 1,21 em.

Napornma:

U gornjim jcdnaCinama vetiCine se izraiavaju u kilonjutnima i centimetrima odnosno odgova~a!utim nj.Ll-tovim relacijama. To znaCi da raspon koji jt udan u metrima treba pretvonu u centunetre (npr., 1 = 4,0 m = 400 em), odnosno oprereccnje koje je zadano \'eJicinc izrafcne sa "kN" mnoic se faktorom ,,10" ~ za modul elasticnosti (i napone) iz. raiene u MPa.

150

u k.Nfml iii Nfm l aeba pretvoriti u kNlcm\ itd. ~- da bi 5e vriiednost ugiba doblia u centimetrima. Na analogan nacin rijdili bismo i druge zadatkc ~z: oblasti dcformacijc f'(\~ saca na savijanjc, liZ prcthodno zadanc (odtedene) pouebne vditine.

PITANjA I VjE2BE

- Koja vrsta naprezanja nasraju bo pos!jdica dielovania momenta s~\<;;an:~ u datom pre~jtku (nosata)?

- Koia vrSia nJpona se jav!ja pri s;l\-ij:mjll kao posljcdica djdo\'ania Irans\"erzalnc ~ik

- Kako su r~sporedeni po prcs)cku Smil"Uci rta{,oni pri savijanju? Sta SU to konjugovani smic\I\'j n~poni?

Nandi (o.inosno izvC"di) obra<ce za maksimalne vrij<:dnosti smicucih n8rr,> zan);). r,,,"x - 1a karakrer:sli,'n,; Ii[,skc rH'$j~ke.

Na koji l1a,'in SC dcformiraju 11();;~l(i narregnUli III sJ\'ij;mjc?

Koji su osnovni elementi e\a"ic'ne iinijc u svakom prcsjcku nO~3c'a?

Dd tcga (wis.i d07solicoi maksimalni ug;ib nos~ca pod optcn'ccnjcm i (iwc Jt: odrtden? Pronadi r;,'\;oiikn z:!ddtaka i1 pr8ksc; sa gr~dil;5rJ gdj" su clemcnli n~I'rt:g""!1 na S~\\'ij:1nic i k('I1\fnli;;i narru:lllJ~: !.:l :lI1Jli7.irano optncccnjc (skc1c, pn,\'lz,Hi1! obit'kli, did'h'i nhjd 1.1 - l.,l:raJr:: i Jr.).

maksirr,;:' ';1; t;giha i ujloredi ga sa d{)z\'''!i(:'~;:

odg:-J':fH-ai::c': l~;lni~kc r['0)1; ,-~ ,ii" ;J d0;,,'oljcniI11 w:::ibim" 1] \ ,c:'"· n0sat~> ")'I'.in,-, ':1 i r:l"l'''t~:\

Vitki konstrukti\'ni nosivi c!cmenri (stapovi) optereccni aksijalr:om sijum (u pravcu cse stapa) naprcgnuti Sll na pritisak sa izvijanjem.

Za razliku od krarkih (nevitkib) srapova kod kojih bi pri do\'o!jno velikim naprezanjima (odnosno djelovanjcm Javaljno ve1ike sile) doslo do 10m3 elemenata drobljenjem (mrvljenjcm) matcrija!a, kod vitkih stapO\'a prije toga bi doslo' do iz'Uija'1ja, rj. do hocnng z:lkrivlienog deformisanja (\.:.ao kod S<1\'I­j\lnja) i bo r0s1jedicl toga do 10m:! stapa.

Da bi konsrrukrivni nosivi clcmcn~!t-vi[ki stap, ostao stabilan pod djcIo­vanjem sile (opterecenjem) u skl(lpu konstnlkcije Ciji je diD, potrelmo Ie obezbjediti d:l ne dade do izvij.mj;l Eksrerimenri koji su vrseni sa vilKtm stapovima, ];::1<) i rrnracuni, ~O\'orc nJl1l ~la pri jcdnakom p0prccnom prcsjcku dva stapa oel is tog n1atcrijala ali r;:vliC:itc yi,kosti l"az!iCito se ponasaju u pog!eJu nosivosti. ViLlI-:: star 1110%C pl'ihv;llili i ;;i~unw na os\on::lc prcnijeti silu manjcg intenzitcta (vclie:inc) u Otl!wsu na manJc yira:-;. ili-kratki star (koji se nc izvijJ). Na sJjedccnj s!ici prikaz<lna jc sustina st<1tickog ponasanja i odredeni pararnetl-j koji ljC korist'e pri proracunu vitkih srapo\'a. (Slika 162, a, b, c).

Na slid ! 62. pod c) d,nc su tzv, slobodne dui:ine (visine) izvijanja Stllpova. Kada n,\ nba kraja stapa postnjc zglobovi (fiksni zglob) tad a jc slo­bodna duzina izvijanja I; jed nab gcometrijskoj duzini stapa. Ovaj slucaj u praksi jc najcesCi ~- ('jju shemu (esto praKticno usvajamo i Ii siucajc\'irm kada veze n:1 oba kr:lja i nisu izwdrnc U ob!iku zgloba (npr. u slueajC\'im:l elastic-Q.ih ukljcslcnja i dr.). Duzinc izvij:lI1ja u naredna moguC<l Hi S!U(;WI 1, 2 i 3. vi(~lji\'c su il S<ln1C slikc.

StatiCki -proraeun stapova napregnutih na izvijanje zasniva se na primjeni utvrdenih postupaka medu kojima,navodimo - rll2likujemo 'ljedece: .

,~Ojierovposrupak ' '--T¥aierov 'posrupak

. (-,' .••••. :;,~ega;! . postUpal:. ~, '''.<1" - ~-' ___ ..,.,._

-t,:~.~~,. -i~;.~;-~;O)

Si. 162. a) iz\'ijanje - vitak stap, b) bez ir;ij:l:ljJ - kratak Stap, c) duline izyijanja vitkih stapova (Ii). U pr,iksl it najcesc:i sJucaj pod c.

U praksi-se ipak, neba istaCi, najccsce primjenjuje "omega" postupak nazvan po odgovarajucem simbolu - s19vU grckog alfabcta omega (w).

a) OjlerO'V pos~upak

Ovaj postupal< nazvan jc po autoru - naucniku Ojlcru (L. Euler, XVIII vjek). Polazi se 'od' njegovog poznatog analitickog obrasca za kriticnu silu iz'uijanja: .

/; = - ; 0 osno: P},: c= -. ------ , k~'. P· ""E'Jm," dn . 1 ("'-E'Jm,") . gdje je: ,1/2 . lO 1/ ;r2 - 3,!4'l- = 10 (u proracunu se uzima okruglo 10)

E - modul elasticnosti materijala stapa (u MPa)"*)

J min - minimalni (ana; manji) momenat inercije presjeka stapa (cm4)

Ii - duima izvijanja stap~ (em).

P, - 'ila, u kilonjutnima, (kNJ

, Kada se ~vrsre konkretne 'vrijcdnosti U obnizac, dobije sc vrijednost slle pri kojoj bi doslo do pojave izvijanja stapa -(dakJe, i sloma),To je sila "Pk ': .

Da se to ne bi dogodilo, stvama sila kojom se smije opteretiti stap treba biti manja za koliko iznosi koeficijent sigurnosti (protiv izvijanja -. a tD je zadato. poznato).

,.) Za "E" izraien u MPs, treba, da bi sila bila iua!ena u "kN"-koristiti fakwr ,,10'" I '

(I.: 10 E,

152

Premo tome, dozvoljen,a (dopu'tena) silo koj. optereCujestap (stub elemenat)moze d. 'bude: ,. .

P _.p.

J-'-' n .. '---::" -:'c.'!. ;,' r '-" . /'--_cc:'::.;_-':" _;, . ' .

gdje ie n koeficljent sigurnosti, a p. veCwzii!ua kritilna siIa iz lruUieg obrasca. . Kada'~~o u prethodni ob~c;.~ieSto simbO~ :P" njegovu vri-jednost,imaCemo .' .' ..... .' ,:.' .:

. .p'':; nO . B . J mi. • od . 'p. ~ 1 (no. E.] .... ) (kN') " , nosno. 4 :0---.' ••

•. --- ',7'" _.'- -n ·// ., ·:-·----~-/-~'.IO '. n ~-I, .. :-·-- . .

OdatIe se obrazac sredi PC) 'min' tj.

1. _ n.(IO.P).I.'(

I - ------. cm~) 01'" w.E .

Ovdje sma umjesto Pd stavili sarno P,' tj. -stvarnu silu koja optereeuje -ttap napregnut na, izvijanje.

Prethodni obrazac se moze koristiti ~ dimenzioniranje presjeka - bda je u pitanju naprezanje na·izvijlinje PQd uslovom da takozvana vitkost §tapa (l citaj lamda, rj. vitkost) ne prede odredenu vrijednost za odredene materi· jaJe ,tapa (drvo, zeljezo i dr.). Ovo ie zbog modula elastienosti (E), koji se pojavljuje u prethodnorn obrascu i koji treba da je stalne vrijednosti (kon­stantan) ako prirpjenjujemo navedeni' obrazac (po Ojleru).

Da bismo utvrdili kriterij valjanosti Ojlerovog obrasca za praktiene proracune, sto ce reCi kada mourno a kada. ne mozerno koristiti postupak po.Ojleru, ucvrdicemo granice vitkosti stapa za razlicite materijaIe iznad kojih (vrijednosti) moterno koristiti ovaj postupak. Vitkost stapa definisana je sljedecim o?rascem:

, Ii ( . b 'J A = - nelmenovan rOJ, imin

_gdje je Ii - slobodna duiina (visma) izvijanja - vidjeti naprijed date sheme,

tmill - minirnalni ra~ijus inercije koji se racuna po obrascu:

OVdje.eje:

'min - ona; manji momenat ''inerdje presjeka ~tapa (~~),

F - presjek (povdina presjeka) stapa u em'.

. Kriti~ naponizvi~anja stapa. dobij~' sedijelenjem kriticne, (Ojlerove) slie u presJeku sa poyrilUom pres,eka, tj: " i

'dk

= !:A = n3

• E· P·,"'rnln = n" E. (iml~)' F F'//- 0 Ij

153

f

I

v ~ d ., I,c. (I.), e<.: znamo a)e J\. = -,-"7. odnosno }.~= ~.'-' J pa kada to uvrstimo u tmin Imin

obrazac za erA' imamo: ' n~' E

a, ~, ' ~-'; (MPa). J.'

~osto. je us1?:, za ispravnost Ojlerovog obrasca Cinjenica da je modul ~l~ucnostl m~terlJala E s~aIan - konstantan, a to ce biti dok Sl! naponi (izvi-· JanJa) u grru;tcama proP9rcionalnosti tj. u elastiC-nom podrue-ju naprezanja) ~o preth~dru obrazac vee omogucuje utvrdivanje onih granica vitkosti J. l,zna~ ~OJl~ se mo~:mo k~ristiti Ojlerovim postupkom. Nairne, ova; postupak ce bm valJan ako }C:

gdje je broi).

• )(11' - napon na navedenoj granici propordonalnosti (za qtdit:ite materi-Jalc.

p.~sto SU ovi naponi (<1p) poznati za konstruktivne nosive gradevinske materlJale, to mozerno dati prcglcd vitkosti (l.) iznad kojih se mozemo kori~ stiti Ojterovim postupkom., Ovo je dato u sljedeccj tablid.

Tablica gnmiO::nih vitkosti (MPa) -------, Materijal (i svrha)

J. Celik (za rdetke) 2. Ce-lik: (za snibove) 3-. Uyeno gvo!de (stubovi) 4. Camovo drvo (konst)

koeL 51g. n

4

5 6

7-10

modul eL

260000 260000

100000 10000

E Vaii za !.

}. > 105 .i. > 105 }. > 80

.i. > 110

Interpretirajuci gornju tablicu, mozemo zakljuciti da se tretirani postu- . pak moze primijeniti kod naglaseno vitkih stapova, tj. cijc su vitkosti veee od u tablici datih za navedene materijale.

b) TClmajerov poslupal,l

Ovaj postupak je, takodc, dllbio imc po nutoru> naucniku Tctmajcru. Rezultat je prvenstveno: ckspcrimcnta.lnog prollcavanja problema izvijanja za stapovc cija je vitkost 'prakticki m<lnja oJ navedenih vitkosti datih u pret~ hodnoj tablid (tj. granicnih vitko'iti) iznuu kojih- vri;cdnosti vazi Ojlctov postupal;;.

Prema tome, Tetmujerov postupak rrimjenjuje se za slucajeve proracuna stapova pri izvijanju kada su stvarne vitkosti manje od granicnih,. tj. ranije navedenih.

Obrazac za dopuStenu situ Pd izvijanja, po Tetrnajeru, glasi:

,,= - =--j 0 nosno: Pd = -. ------P p. a,'F d 1 (a"F) (kN) n n 10 n

154

I.

gdje je:

(fie - kritican naron ;-ri izvijanju po Tetmajeru (~MPa),

F - povrsina presjeka stapa (cm2i,

n - koeficijent sigurnosti (:lcimenovan braj).

Kritican napon izvijanja iz prethodnog obrasca racuna se po obrascu:

O'k = A B . ),

gdje su A i 13 koeficijcmi dati U fl:lrcdflOj tablici) a}. je vee pozn?ta vitKost stapa.

Vrijednosti A i B (za obrazac (tk = A - B . A) daju se u sljedeeoj t::lb~ lici.

Drvo Celik

Materijal slapa

Livcno icljuo

Tab\ica Kocficijel1at3: A i B·;l

A

29,3 JIO

7JG L:"j ]1\"':0 "'/'1 fJ~ ee-. (776 -~ J2,O? .:- u,05Ji')

B

0,194 1, I ~'J

12,00

U slucaju p;-imjc'ne Tctnnj:':lU\'(lg j:1oswpb, prCH'<ICUn se svodi m. l!' kn da je stvarna (z~:(L1J);\) ak51jal:n sib koja narada star (P) manja ili llJj'.'ISe jednaka izracc.naroj dopusten~).i ';~ijcdnosti sik (P

d), rj.

o'F 1 (u.,1') P?: PJ =cc '.;; --; OJlli):'l1U: J)~:; Pd c--= 10' '-~-~-. (kN).

c) Omega p05fupak

Omega posrupak nasta0 jc u tcinji da se proracun elemcnuta na jzvij~lr1jc pojednostavi nn taj natin da se s\-ede na slican proracun kao kod naprCZ;1.;1jn na cisti pritisak (bez izvijunja), prouzrokovan aksijaJno,n pritiskajucom silom.

Posrupak jc naz\'rm po simholu omega (slovo grckug alfabeta (I)). Obr,uac za provjeru naprczanja pri rHl.pr,-z:lnju stupJ, na izvijanje, po ovom posrupku glasi:

'" I' (IO·P) (f - {!} ~:::;;- (Jdop' odnosno: (J = (J). ..-~- < ad

gdje je: F OJ F -- op

w koeficijenat lzvijanjn zavis:ln od vitkosti materijala stap "

P pritiskajuca sila (kN)

F poprecni presjek stapa (cm1)

(]</QP - dozvoljell napon ') AlP;] utvrden tehnitkim propisima.

U praksi se obicno za prctpostavljcne iii date dimcnzije stapa naprcg­nutog na izvijanje izracunavaju narrezanja po navedenom obrascu i uporc-

*) (Za napone izrazene u M':'a.)

155

duju. sa dozvoljenim. U slucaju potrebe vrse .• ~ korekcije dimenzija stap. d. bi . uslo)' konrrole:IlJlprezanja bio zadcivoljen: ;';;:.' .-

'Onlegapostupak se primjenjuje'bez.veCDavedenih ogranicenja u pogledu .... ;. vitkosti 5tapit'(l). U odgovarajuCimtablic.ma(Vidi prUog) date su vrijedOo.ti' . za kOeficijente izvijanja w. '_ :'_' ':.;'.>,,; :.,' , ,:

Praktii!na primjena navedenm' Po8tu~~:biCe datana sljedetim karakt~ risticrum primjerimac . ''-:'''' . . .

fumier.

. Drve~ ,'t?b, kvadratnog presjeka, u sutavu skt:le_1 opteretc:n je iliijalnom aiiom P '"': = 60 ill. Vwna aruba. II "'" 1,5 m; n"'" 6 (koefidjent ligurnosti). Izyditi dimenzioniranje stuba (vidi sliku 163), Visina stuba jednab je duiini izvijanja.

a} PrimjerruCem.o Ojl~r~v postupak:

! /. t:·(IO·P)·I,l .

Iz obraSca - Jmln = ' __ . __ - uvdtavanJem ;it ·E

poznatih (zadanih) vrijednosti, dobivamo~

Q'

F' -= 810, 12

S1. 163. Naprez.anje na izvijanjc (primjer): a = 14 em, usvojen pre­

sjck 14/14. a' = 12·810 = 9720;

/972ci = 9,9 em = 10 em.

Provjera vitkosti:

. /. A _ -.-'-;

lmin

a, . . fIrnin 12 ~_' -,-.\.... .

11= 150cm; 1== /~- =: - = r,-;;' foun-O,29·a~ I>.J F a l v-12 -, ./

'~.. : ,-:'.... (( Imin-:'f' 0,29.10 = 3,0 em, '1

.... - _/ -• 150 "~--

3 = SO, a to je manje od 100 (x:; drvo), jcr bo sto sc iz tablice:za granicne vit-

kosti vidi, za. drva je ta granica jednaka 100. bti zadatak sada cerno raditi po Tetmajerovu postupku. b) Ojlerov pOHupkak, koji

smo prove1i, nije mjcrodavan za proraeun jer je ). = 50 < 100. Zato cerno dalje primijeniti Tetmaierov postupka sa pretpostavljenim dimenzijama popretnog presjeka (po Oj1el'll, trebalo ie lO{IO em). Pretpostavimo neka je presjek: 14/14 em.

Postavimo obrazac Uk = A - B·,1,. Iz tabliea za A i. B je:

Ii 150 A~-.-~-:7:":"'~

lmin 0,29 . 14

150 --= 36, 4,20

}. = 36, A = 29,3; B = 0,194 (tablice!)

Ok = 29,3 - 0,194·36 - 22,3 MPa

Pk = Ok • F = 22,3 x .14- = 22,3 . 196 = 437,0 kN

Pit 437,0 Pd = - = --- = 72,83;

n 6·

11 to je vece od Pd ='p = 60 kN (Pol> P) Dimcnzije presjd:.a 14 x 14 on xadovoljavaju. Ovim je postavl;eni zadatak praktieno.

rije&en.

156

v-i;£'r\O t fl \l,k\--- .' .

.~) Provjera dimenzija. po ome~ postupku. ',,' Nek;l jc'dimenzIja p~~je~ I~ x. 14~! F ='14: 14.- 196'cmi ,:il""' lS0'~t~~';':'

~6.)z. tab~ca za.kocf10lcnt lZvllanl~ doblJantO da Ie (II ~ 1,11 (vidjtti-prilog).;\:~i'~;:~·~::

.' ','1',,\"::"(10:60) 661 . ,' .. :," ",:.,,;:;:;:,::.;: :,,,",: w.·.·f ... ·~'V.)I.l-: ~ = 196 7" 3,37 MEa, a to Ie manJe .. :~ .. _~.ozv~11;;.~d~:~:·""_' za. devo, tl. :~aPje cd (f4 = 7,5 MPa. ZakljuCak: usvojeni" pmjCk~ 14/1(~zad()oo,.

, ,"(:.:',,:~, '!;.

. Pn,'mjer:

. - -u .~taV:U·telibi~io·nStrukcije obickta nalazi se stub sastavijcn 0'd--2 i: profila'-Cmcdu':" sob.no zavarcna); tako da tvore pravougaoni (iuplji) pm;jek. ;." ---. - . ." ,------ -

Odrediti nosiValt icdnog takvog atuba aka je [ profil Nt 20, Viaina $lupa (i izvijanja) h -= 1, "'" 3,2 m, n = 3 (stika 164).

. Najprije Cerno odrediti vitkost" !tapa da . motemo poredenjem ,utvrditi koj' postupak u alternativi Ojlcr-Tctmajet jc m;erodavlUl. Zna-"d'", I; '. jJmm.. ; mo a Ie I\. = -.-& lmin = _. _ .. Mlrumal~ E

'min F ~ ni momenllt. inercije Imin jednak je manjem • mot;tentu inerciie ovoga slolenog presjeka. Pro-' -f nae cerno najprije obje velicine; tj. J~ i Jy i / uporediti.

Ix = 2· 1910 = 3820 emf. Da odredimo

'P I

'R, J", posluiiti cerno se Stajnero\"om teoremom.

Jy - 2 [148 + 32,2' (7,5 - 2,1)'J - 2· (148 + + 32,2· 5,4:),

SI. 164. P·nosivost stuba, P = 53,0, Mp, )\jI = 20

Jy = 2 (148 + 939) = 2· 1087 = ::!174 em'.

PO.d:lUte za izracunavanie J;x i Iy uzimali smo jz odgovarajuce tabIice za telicne profile-pnloga. .

. . Prema ~Q~e) ~min = 2174 :mt , Sada moterna odrediti i vitkost .t ltupa - da pro­YJenmo da It Ie mJerodavan Ojlerov postupak. .

I· A ~-.-'-,

'min

; . - jJm,. j 2174 _ jID4 ~ min F "'" 2'32.2 - 64,4 = , =

Po!to ie ova rnanje od grarncne vitkosti A ~ lOS (za cclik). primijerucemo Teunajerov postupal<.

5,81

Pa = ~ • (~). za n =- 1 imamo: 10 n' .

1 P. Pa = -.- .--

10 )".

em,

al; = A-8 'J, = 310-1,14'55 = 31O-62 j 7 = 247,7MPa

p' = :2·32,2 "'" 64.4 em l ,

PI; = 247,7' ~4.4 =l 15951 (kN)

1 15951 PI! = 10 '--3-= 531,6kN.

320 -- ... 55. 5,81

. Prema _lome, nosivost stuba sas[avljc~og od 2 ( profiIa Ul date ka.rakte~istike i:t.no$j 531,6 kN (uz usvojeni koefici;ent sigurnosti ,: = 3).

157

t

!

Naporruna:

!sti zadatak u prusi bismo mogli rijeliti, a ho je i jednostavnije, pomoru omega postupn. ,-

Pn'mjer:

Aksijalno pritisnut nosivi clemenat ceJRne konstrukcije ob;ekta optcrecen je sa Pm3'lf. = 250 ill. Siobodna duiina ·izvijanja, jednaka duiini ~tapa izoosi I· = 25m. Ele­m:nat -:- ~!ap)e ko~nruktivr'!~ izraden od cclieoog v::Iljanog profila I pres'jeka (duplo T), DlmenzlOmrau profil (odredlu' Nt nosaca IZ tablica), koristeti omega postupak. (Jd" = = 165 MPa. i P

Polazimo od obrasC<1: '

, (10' Prn3~) n = (0 • E :5: a"op"

~epoznat je koeficijenat .. izvijanja (tI kao i F - povdina presjeka celicnog profila. Iz tahliet: za ove proflle USVOJlmo profil koji po pribliinoj procjeni odgoVI'Ia zadatku.

Kadaneuzmc:mouobzirizvijanje,tj.w.", 1,0tadajc:F = \.I~,·.Pmn) = ~~ =

= 15,2 em'. adojJ 165

Posta je _ ~tap vitak) odabracemGl hap (profi!) sa odgo\'arjuCim veCim pres)elwm, npr. A':> 22 eiji ie F = 39,6 em',

Za profil M 22 imamo (vidjeti tablieu);

iy = imin = 2,02 em. Vitkost i. iznosl:

lj 250 ). = -. - ~.-- - 124 (elasticno podrucjc !).

Imin 2.02

Z~ ovu vitkost iz.tabUca odredimo koeficijent izvijanja w) koji izoosi ill = 2,60. Sada kontrohkmo naprezanJ' 17,

(10·250; 2500 a_ w--- = 2,0 ,-.-----. = 164,} MPa,

39,6 .19,6

A 0"0 je manie «) ad t1~p = 165 MPa.

Iz prednjc:g zaktjurujemo da ce1icni ~tap duplog T prcsjeka (1) M 22 zadavoljava.

PITANJA I VJE2BANJA

- Sra su to vitki itapovl? - time je definisana (ana1iti~) vitkost ~tapa? - Navesti posrupke za proraCun !tapova naprcgnutih na izvijai,jcl - U kojem slue&ju Ojlerov postupak nije mjc:rodavan za proraeun? - Kada Ie moze primijeniti ttl (omega) postupak? - Od tega ovis,i vrijednost koc:ficijenta izvijanja ill (omega)? - Kako IU optereCeni i napregnuti itapovi" pritisnutog pojasa rdetkastih nasata? - Odaberl,!ckoliko .primjera itapova napregnurih na izvijanjc iz gradili~ne prakse

(skc:le. provizorni objckti. dije10vi obje.kta i dr.). Pri proracrmu koristiti Be nai~ prikladnijim pOsrupkom - posebno omega postupak, koji je u praksi najtdti.

9.14. NAPREZANJE NA TORZIJU

Torziono naprezanje iIi napon na uvijanje javlja se kao posJjedica djelo­,Tanja tzv, torzionog momenta (momenta uvijanja). Torzioninlomenat, odnosno odgovarajuci (torzioni) spregovi sila nastoje da vrse obrtan;e stapa oko Iljegove uzduZne osovip.e. Torzioni momenatJ odnosno i napreza.'1je na torziju - uvi-

158

janje nasraje, zapravo, u slucajc:vim8 bda sc r,w;l.n dcjst\'J optcrecenja (sib) stapa, odnosno nosaca nc podud:Jfa sa njcgovom poduznom (glavnom) osnom ravni (vidjeri sliku 165).

SI. 165. Uvijanje - lOn:ijn: R = L P, M.·torzion-I moment, T,-tofzioni smituti nnp"rl

-kru7_ni prcsjck, .1-I, ~""" p. c.

Tcme (spoljni';:m) ctjC'lo\'anju se. suprotst3\,lj'.lju, bo sto mozemo po analogiji sa drugim nsram3. n~rrc:::1nj3. rrctf'ost:lviti, unutarnje (jedinicnc-) sHe rasporedcnc n;1. PGscban na(i~l po jcciini,:i povrsina odgovarajuceg rlrC­

sjeka, a to slll1(J/,rc::m:Jel 11(1 [(lr;"lju -,,- tri __ 'ly-an;>, kOla imaju karakter - ohiljt:!i" tangencijalnih (smiC:uc:h) nar~('7~"-tja Na ilustr3ciji (skici) daroj na s;iei 165, prikazan jc stap ~- nOS3C naprcgnur na to,ziju usljcd djelvvanja torziOl;(lf.: momenta - sprcga iz (-cga sc moze stcCi prcdst~va 0 osobcnostima tangcncij:ll­nih - torzionih n:iJ,rl'Z;lflj:l koji rri tome n,lqaju. Za kruzni presjck stJl"u, maksimalna - lOrziona smicuca napre,.;u,)U f0 wib:: se u rackama (vlaknirna) krajnjeg obima prcsjeb i mogu sc odrcdili lZ ~lj~deccg obrasca:

:\ [, max T'{' 'c-_ (,dl1\l\no: m,lX T,

lFT

Ml = torzioni (ma.x) momcnat - (kNcm),

J o

10 - polarni momenar inercijc 10

R - radijus (em).

R

R~;r , ~\ = ---- (em ),

2

(iO· M,) (MPa). weT

U ·vlaknima ~ t:lcKama bJi'i.e sredistu kruga (prcsjeka) naprezanja m torziju rroporciol1~llno opadaju. Ovaj zakljuCak se odnnsi i na druge obi ike poprecnog presjeka snpa napregnurog torzijom. Za Llzlicite oblike pop­reenog presjeka kOrlsrc sc druf:i - posebni obrasci za racunanjt· m?ksi­mal nih torzionill I1:lprez:::mjJ, koje O\'djc roscbno ne iznosimo, a ko;i su po tipu slieni obrascu -"Hom za kru;~ni rresjek. Uopste uzcvsi, prcsjck (Star) napregnut nJ rorziJd konrro!isc sc PI-t)vjcrom \'(~JiCine ovih naprc7.anja pomocu pomenutih obrazacl, -;;a\<Jsno od m~HcrijJ.la i ohjjku poprcC:nog presjeka StJp;l

159

160

_ lO.SLQZENA NAPREZANJA

Naprezanja (naponi) koja sma' do sada obradivali SU, u stvari, osnovna naprezanja (aksij~ni pritisak i zatezan;e, smican;e, savijanje, izvijanje, torzija). koja se cesta, usljed istov.remenog djelovanja odredenih uticaja ko;i ih izazi­vaju, shull u slozena naprezcmja. Slozena naprezanja, prema tome, pretstav~ ljaju rezultantu dva iii vi!c osnovnih naprezanja u istoj taro presjeka nosata (stapa). Taka, na primje~, aka na· ncisac djeluje opterecenjem normalnim na osu nosaea, a istovremeno· i opterecenjem (sHorn) uzdufnom, tj. u 6si nosaea, imanio kao rezultat savijanje sa uzduznom siiom, a to daje slozeno naprezanje u svakoj tacd poprecnog presjeka nosaea.

Ako, pak, ravan djelovanja oprerecenia nije podudarna sa jednom ad glavnih asa inercije presjeka, dolazi do tzv. kosog savijanja. Koso'savijanje se javlja, na primjer, -kod rogova palozenih na podraznice u kosoj krovno; ravni, taka da vertikalno opterece-nje, kaje potite od krova i odgovarajucih opterecenja, prouzrokuie navedeno koso savijanje raga. Rezultat je, takode, posebna vrsta slozenog naprezanja - od kosog savijanja.

U domenu slozenih naprezanja,-u praksi ¢esto nailazimo na ekscenlTienG optereienja. . .

Pod' ekscentricm'm podrazumijevamo opterecenje (situ) liji se pravac djelovanja ne podudara sa osom konstruktivnog nosivog eIementa - "stapa, nego je paralelno pomjereno za odredenu vrijednost na jednu ill drugu stranu .

. Ovo odstupanje (udaljenost) i1.azivamo ekscetztriC£u! sile (optereeenja) i obilje-zavamo simbolom e. .

SI. 166. Slotena naprezanja: koso savijanjc (k~krovni nosa~ - -veza~) n-nO$a~ "podro!­niea"), eksccntricno optereeenje (r-ravan oprereeenja, g-glavna ravan, e.ebcentricitet).

1! Stl!tJka gral.1evinsklh konstrukelja 161

,

:

I

Na slid 166, dati su neki karakteristicni slucajcvi opterecenja nasaca, kOji. kao posljcdicu. daju odredena sIozena (naprijcd navcdena) naprezanja,

Naravno, kombinacija u sJaganju razlicitih 'osnovnlh naprezanja moie biti vise, ali ·su navedena slozena naprezan;a u praksi najceSca.

a) Koso saviianie

Koso savijanje, kao sto smo "':;C rekli. i kao sto je iz prethodne slike vidljivo, na'ltaje - kada rowan dejs[vu opt~recenja nijc f'odudarna :,a jednom od gIavnih asa presjeka, odnosno glavnih ravni nasaca. Ravan opterecenja (sila) zaklapa odredeni ugaa a U odnosu na karespondirajucu - adgavarajuCu gIavnu ravan nasaca :(odnosno osu prcsieka).

StatiB::-o tretiranje nosaea (presjeka) u sJucaju kosog savijanja moze se vrsiti taka da opterecenje (sile) fllZlozimo u dvije komponente - u pravcu gJavnih osa .. Time' cerna dobiti, uobicajenim posrupkom, i momente savijanja

\ koji se odnose-na-te dyije-glavpe ose. Takode, moierno i momenat savijan;a : k<;>ji se odnosi-na napa(Jnu ravan; posebno razloziti u dvije komponente i tako

dobiti komponentile momente savijanja kaji se odnose jedan za jednu i drugi za drugu glavnu-'osu,hosaca (presjeka).

Kada dobijemo yriJedn~s1:i komponemnih momenata savijanja M..; i . My, tada mo~emo) -koHsteci princip superpozicijc, odrediti na poznati naCin velitine naprezanja na $avijanje u konrurnim (uglovnim) tackama presjeka. i te rezultirajute napone uporediti (za krirican presjek) sa dozvoljenim,

Postupak se razraduje uz ilustraciju na slki !67.

i !~ P' I

SI, 167; Koso savijanje:- Mmax-- __ , obrazac za 4

.,.. (M. My) ql,~; al.~ "'" T -117 + tv ::;

x y Mymu: ~ Mm~x ' sin <l (anaiogija vdi i za druge 0·

pove optereccn ia),

162

d (ana!ogna jc i za druL:D Silu P koja dic!uje u sre-dini ras,r0na rro~t~ gre- e , d' l' od wdorn' (l

, . . a1 ~ i u~e U')O\'C nosaL"), po~to )e uJe P ~ . nptcrcccnJc I za eventu ne (r - >; I 's'ck'l( i prouzrokuje koso savijanjC), u odnosu na vertikalnu osu y pcprc\;uog prt: J. '" ' razloiimo na kornpancntc u pravcu asc XI) ,

P" -= p. 5in'~,

Pv

"j"COS((.

1, 'ok·, nsc,: \,.'.~" a Knmponenta P)' oka osc x-x Kompanenta .l. sa",IJJ v J

recnog pre-sjeka nosaC;]., 'k ' .j pOP. I ' ' ) kr'.""lIl pr"sj~k upra\'L' II preSjC u ISpO~ Posto Je (u avome s UL.3JU ,hlL <.. ~ .. z rn' od"c-

'I ( . k' 1) ta koristeCi vee rOlnate ohrasce od ramje, rna c, L ' Sl e presJe j -, • ,

diti sljedece veliCine: p . I k) Ai" = -)'~- (obrec - savija 0'0 ase x-x,

ma:>( 4

P",' 1 ,_ M y = ___ ._ \ obrcc

m'x 4 - s3.vija ako ose y--y).

t,c.!cO da rnomenat savijanja iz napa, dne Ove ve!lcme maze rna doblt! 1 " .. vni (ravan dCJstva sllc P) razlo:hll1a 11a kom~.?nen.~e u .~r~vcu savlJanja

ra . b y To ClnlnlO no. SJ)e-dcCl nacm . oka ase x-x 1 pose no y'- . ~

P '/ ' \-1 ",-" --- (05no\,nl

• mu 4 rn('n1C"1~,t ::; napadne ral/nj),

P' / Y M ' sin a = --- . sin a. Aimax = max 4

,",' ozemo koristeCi se po-Odredivsi komponentn? ~om.en:e SR\ lsluaJp'lear'po~iCrl'" utvrditi napone u 'b . avijan)a 1 pnnClpom ~, .

znaUID ,0 rasc~ml~~n~m tackama presjeka (ovdje pravougaoni, presJek). , '

kontuN~ij; ce~o odred~ti napone savijm:ja ~a, rnoom~;c~~oM~'r~sj~~: ;:rz~~~ gornja (1, 2) i krajnja dondla (d3~ ~) vla~~;n?~ ~"t~afnj~ lijeVi~ (2, 3) i lcrajnjc cerno za momenat lWy 0 re IU nap' ~7.( desnim (1) 4) vlaknima, taekaroa 'presJe~a,

Za saviianje okc osc x - x unamO. Mx

0 1,2 =-- w" ,

Za savijanje aka csc y-y imama:

(fl,' =

16J

AImsada aIgebarski saberemo - superpornrana naprezania~ko;a se olinose, na ism (uglovnu) tacku; imamo: ',,~' , ' .

_'Mx' My, M.r J\fy 0'1= ---- '(TlI:= ....... -'+-,

W.>; Wy: . W~ Wy

:., "M. My (/'=+---,

• W' W • y

, Vidi!J1~'da 'naporu ~ ta~~a' l~ i 3. u op~ ;abirka imaju iste predznake, pa su oni mje~~vni 'za rezultantnu vrijedn0stkQju uporedujemo sa O'~. ________ '-

" TaCke~ 1 i 3 su' zapra,vo najudaljenije od neutralne ose presjeka (n-n) za konkretno koso savijanje, dok su tacke 2 i 4 blile neutralno; osi, mogu u posebnom slucaju biti i' na neutralnoj osi, a to'znaCi da bi i 'naponi U tini tackama bili jednaki nuli. - ;

Zg mjerodavne (od neutralne-- ose najudaljenije tacke presjeka) -napone imamo jedinstven obr,azac:

" = 'f (M. M,) s:: 'dn ' _, _ (M. M,) P 1.3 W + W """ O'd' 0 osno. a1.3 - + 10· ,.-.- + -- M a.

"", Wz IVy PomoCu ovog obrasca komroliSemo naprezanja pri kosom sRvijanju;

odnosno vdimo dimenzioniranje presjel<a kada je to neophodno. Komponentni momenti "1x i lHy , tada sc uzimaju u maximalnom iznosu, rj. M~u: i ~1lX'

Posto kad kosog savijanja neutralna osa n-n poprecnog presjeka nije narmaJna, na ravan (osu) dejstva optereeenja, to palazaj neu~ra1ne ase presjeka moicmo odrediti iz uslova da je napon u jednoj odrcJcnoj tacki presjeka jednak nuli Oer . U ll.:!utralnoi OSI naponi su jednaki nUli).

S obzirom na to. prethodni se izraz za 0'1 3 maze pisati i u obliku koji se odnosi na bilo koju tacku poprecnog _presjeka: '

0' = =t= M --' y + --' x (COS a - Sina)

~ Jx ./y

Ako su x i y koordina(c tackc u kojoj Jc napon jednak nuli, imamo:

:'~'Y + sina.x=O. Jx J;y

Odavde transformacijom imarrto, r;. dobijamo:

y J~ sin a -=tga = -_ . __ ~ x Jy cosa

J. - -tg a. Jy

. ~ U~ao a (nagib neutrclne linije prema osi x-x) dobije se, prcma tome, lZ gornJcg obrasca - krajnji desni dio.

.. Na ~lici 167. dat je, tatode, i dijagram naprezanja pri kosom savijanju, kOJ1 je po obhku, kako sto se vidi, isti kao i kod normalnog (pravog} savijanla. Postupak (proracun) za koso saviianje ilust~"iraeemo u sljedecem prinijeiu:

Pn'mjer

, Drvepi_ nosac ptav-ougaonog pres;eka dimenzije 16/20 em. :r3Spona I,... 4 tn, opte~ re&n je tavnomjerno podijdjeniro optere&njern q = 2 ill/mt. S obzirom na polotaJ

164

, q.JI 20·4' Mmax = -- ~ -'-- = 4 0 kNm .." 400,0 kNcm.

·8, 8 '

M!u = MII'lU . cos 300 <= 400· 0,87 - 340.0 kNem:

M~ = Mmu:' sin 30Q = 400· OlSO = 200,0 kNcm,

M' M" (l4(JO. 2000) , u ~ T' 10" ,( m"+ --"") ~ T -,~ + ~- - T S,70MPa

I,B " tv; w)' 1067 8.53

(l'l.l = ::;:: 5,7 <: <T.t"p; a,lap = 8,5 MPa.

(Napomena W,; i Wy - zapresjek 16.120 uzeti su iz tabiica - \,idi prilog.)

b) Ekscentricno opterecenje

Ekscentricno optereeenje nastajc kada $e pravae dejst~ 'opterece~ja ne podudara sa osom konstruktivnog nosivog eJementa (zid, stup, ltd.) 1, kao 5tO smo vee pomenuli, paraIelno je pomjerl!u za vrije:dnost e - eksCeritrici­teta.

Kod ekscentrienog optereeenja naprezanja po pres;e¥:u nisu ravnomjemo rasporeciena, tj. veca su na ivici ko;a je bliza sili, i obratno. '

Posta'se: kod ekscentricnog optereccnja (ovdje pritiska) pojavljuju isto­vremeno dva 'uticaja, i tv od momenta savijanja i uzdufne '(aksijalne) sile, to je i obrazac za naprezanje pri ekscentricnom optereeenju proistekao iz vee poznatih obrazaca za date uticaje, tj. pritiska i savijanja.' Na' slici 169. dat je karakteristican primjer ekscentricnog opterecenja (prltiska), kao i odgov:wajueeg dijagrama napona.

.... -;------I P

S1. 169. Ekscentricno optere6cnjc:' ~ntticitct •

" d' .. (10' P) e.,-gralllce Jezgra. ·dl)agram fI, at •• , ~ - --F-- ±

(IO'M) , , ±-;v-

""--l-~ 1 2

::; Udof!' F = b· 100 (eml ), M "'"' P ~ "·(kNcm). w = 100'. W b·

~ -_., e" = - = - (em) 6 F 6

165

f

I

,

Ivieni (rubni) naponi sljedeceg obrasca:

P M all = - - ± _.r- <1, , . F W";:;:' I>p

savijanja. Ovdie ie:

prj ekscentricnom opterecenju odreduju se jz

gdie P .,

- pou ... c F

od uticaja pritiska, a ±M W

od

P-sila ukN (za napon U HMPai',mnozi se U obrascu sa faktorom "lOti). F - pOvrSina presjeka u emf, M - mamenat (savijanja) od ekscentricne silc, tj. momenat ekscentri­

citeta U kNeffi; (mnozi se U obrascu sa fakwrom ,,10"),

M = p. e, u (kNcm)

e - ekscentricitet u ern,

W -' otpami momenat presjeka u ems.

Posebno se mora :voditi racuna 0 predznacima za P i M. IzraCtinata naprez~,l1ja"kao sto je naznaeeno u konkretnim proracunima,

moraju biti u granican)a (manja iIi ;ednaka) dozvoljenih naprezanja.

JEZGRO PRESJEKA

U vezi sa ekscemricnim optcrecenjem dolazimo i do pojma jezgra pres­jeka.

1z naprijed navedenog obrasca moze se, naime, doa do velie-ine ekscen­tricite1:a ek iznad koje naprezanja po presjeku vise ne budu jednoznae-na (tj. kod ekscentrie-nog pritiska - pritiskuiuca). Ova je za praksu neobic-no valno, jer je veoma cesta potrebno da i kod ekscentricno opterecenih presjeka naprezanja po presjeku budu jednoznacna, tj. pritiskujuca (a ne djelomie-no i zare1uCa, jer neki mareri;ali, npr., neanrurani beton, zid od opeke i s1., imaju malu cvrstocu na zatezanje).

J ezgro se mofe definisati na sljedeCi nac-in: Dio presjeka (povrsine) ako te.zista unutar kritlcnog ekscentriciteta naziva

se jezgro presjeka. To je zatvoreni dio presjeka unutar kojeg kada djeluje sUa (napadna tacka), naprezan;a po cijelome presjek.u su jednoznacna. Kod pravougaonih presjeka koji su u praksi najceSci, jezgro presjeka obuhvata

srednju treCinu sirine, rj. ~ (b - sirina prcsjeb). 6

Obrazac za napone (° 12) pri ekscentricnom oprerecenju (pritisku) maze imad i drugi oblik, zapravo oblik ko;i se i u -;::-raksi cesto primjenjuje, a koji ie nastao iz vec,datog,ohrasca:

-P M °1 :1=-- ± ---• F W

Ovaj obrazac mofe da se iskaie (ako !.. izvuc-emo ispred zagrade) i na F

sljedeci naCin:

166

I i

I I

I I

. Fl.. IV Aka ozouclmo - = .----- III ek ===- --- (kriticni ekscenrricitet iii granicl

H7 "It F jezgra), dobijemo sljedeci obrazac:

Ako

oblik:

0"12 = ~ !:"'(l::;: . F : .. _) < O"_~ • __ uQP

" - ~ oznacimo :;a au (s[cdisni nap on)! tada gornji

F obrazec (Iobile

gdje je: I· viC-oj n:Jllon 1.1 ,\lP:1 (.ll I-:;-';lhndllim obrascima tada korisrimo L'.~­

al.~ --tor "lO"-~%. ,,P" j .. ,\V').

~ srcdisni napon (O"n 0----',

10· f'\ F ); "Ir;)

e - stvarni ekscentrici;:et u em,

Dijagram f13prCz;lI1ia pri CbC,'Il!r;'~-n')! '; ()pter~celliu ima, L1 pra\'ii~'.

trnptz::..n ohlik. Graficka k";,,strukcija Jijaf:rJm~i ()\'i!l I1Jprezanja prikazana je na s:i~'i

170.

f--~

$1. 170. Dijagram ,,<1" pri ckscentricnom of'tt::rctenju - ~omtrukcija: a) sila u jezgnl i! < i!h b) sila nll granici jezgra e - Ck, c) sib van jagra e < ck; za pravougllone presjckc

/, ek .'"- - (gr:lnicJ. jczgra).

6

Postuprtk ima tok, kako stjedi: Posta se u mjerilu- (mjcrilo duzina, npr., I : 50 iii 1 : 20, itd.) nacrlJ

presjek, odredimo i odmjerimo granice jezgra (ek) i po!ozaj sile P (ekscr.mri­cite!, e)

Nad osom (tdistem presjeka) nancscmo u mjerilu napona (npr.: 1 MPa .;;:;

fd: lcm) veliCinu a = ~~~i bo kod centricnog opterecenja. Zatim o F

iz krajnje tacke jezgra, supromo od sile, vu'::erno pomocnu pravu liniju del presjeka s pravccm sile Pi d::ilje ad te Tacke paralelno presjeku (horizontal no) do ivice presjcka. Tom tackom (l ') je gr::ificki odredena veliCina napona G 1

167

nljagram naporia (f za cio presjek dobijemo kada povutemo pr<:'1vu liniju laoz taCku kojom je odreden napon 0'1 i tacku k.ojom it: odreden srediSnji napon (1.,-, Na drugom (desnom) ktaju 2' 'odsjeCak daje velitinu n.apona (fl'

Konstrukcij. je potpuno vidljiv. iz datih skica. Iz navO<ienog se vidi da poslOje tri. karakteristiena oblika dijagrama napona pri ekscentrienom optereeenju, zavisne od poloiaja napadne tae!;e sile Pu oWwsU na jezgro presjeka, Kada . sUa djeluje I! osi, tj. za e = 0 dijagram je. pravoligaonik, a to je' vee sluea; .

".,;'.":'.': "" .. < Centrlenog. oprereeeoja.· ..... . Postupakodredivanja'rubnih iviCnih naprezanj' i iznaiazenj~ jezgni pri

el<scentrienom optereeenju biee ilustriran sljedeciill primjerima . . . --- Najprije-'~emo obntditi jedan primjer koji se odnosi ua odredivanje jez~ gra presjeka.

Primjer

Zadan j~ 'prav~~gaoni presjek 30 x ~o (6 . h). Potrebno je odrediti granice jezgra u pravcu os~ x i y (krititne granicne ekscentricitete eh) i nacnati jezgro presjeka (stika 171) •.

st., t7l. J"-2gro presjeka (primjer): h = 40 em, erk = h 40 b 30 _ = 6,67 em eY-" = - (b = 30cm) 6 6 6 6

~ 5,0 cm,

1:>' h' Wr ~ b·h' h 40

r), =ji =t;:h- = 6~= 6' = 6" = 6,66cm,

b 30 -=-=--"""Scm

6 6

(rh - graniou ekscentricitet upravan na osu x, tj. u osi y;

eY Ie - granicni ek:icentricitet upravan na osu y, tj. U pravcu osc X).

Krajnje tafre jezgra po osi x i y spojimo pravim linijama i time smo dobili konture jezgra.

Pn'mjer-

Stub izveden od celicnog profila dupIog T -presjeka, NP.I Nt 30 (vidi tabw lieu - prilog), 'Optmeen j, rncentril­nom uuiufnom lilom P = 300 kN. Eks­centricitet e u pnvcu ose y iznosi e = = 3 em. Odrediti napone u hajnjim tac­

-Icarna presjeka (izvijanje stuba iskljuceno, ill = 1~O). Vidieti aliku'172.

h

S1. 172. Ekscentrieni pritisak (primjer).

NapO/~~,w: l': obrascima"uz "P" i ,,;\1" koristimo fahor "lO"-da bi naponi bili izrazeni u "MPIl , 8 lila u "kN • '

168

Granice ;ezgra pO' osi y ~ose: ,"

· W. .653 (pod . e". = - = -- - 9,45 an aCl

P 69,1 '. . F uzeti iz tablica).,

· "; .IO.P ., '3000 30 · .1 .• = '~'-'---'P '(1 ±-) .. -'-'0 (1 ± -'-) ~ - 43,4 .(1 ± 0,32), , _. " ,_ ," -C'~, 69,_ 9~45 .

'u, = -43A'1;3~ ~ -57',3 MPa

',-I1,i = .....: 4JA'" 0,68 = "'- 29,5 MPa.

, Poito je napadna taw sile bila unutar jez:gra presjeka naponi iU jednozn.acru, ti. ovdje pritiskujuCi, (i kao ito se moie zalc.liuoti :mamo ispod veliCine dopuHenih napona pritis:b za celilc). .

Betonski trakasti temeI; optere~ je ekscentricno (vidjeti sliku 173). Opterecenje, ukljutujuci i teiinu zida do temeline fuge - spojnice. je P = .12S ill/mi. Pottebno je uzeti u racun i teiinu temelja (beton). Quali podaci su dati na skici. Odrediti ivicna napre­zanja u temeljnoj stopi.

rT,/UI' • II" = 0,)0 MPa,

S117) Ek ., ... k ., /lO'R/ . ' $centn m ptlusa (pnm)er): t7c = - ,,-~ F -(-

!O, !4~,3 (1. ,"- 90. 100 '--'- O,!5B A1Pa, 11, = - 0,268 MPa ~,

d: '" - 0,047 MPa,

!';-iajprije ,erno odrediti teiinu (masu) temelja na dufni met.r.

. , j~

,. , -~~

" ';$

G 0,90" 0,80 X 1,0 " 2,4' 1,73 Mp/m'.; ~ 17,3 ill/m>.

A sada Cerno Qdrediti velitinu ekscentriciteta uk~pnog opterecenja R = P + G = = 125,0+17,3 = 142.3 leN/mI • .na temcijnoj stopi (u odn09U na OSU, - sredinu stope),

P' 12 + G • 0 = R . e (prirnijeniena Varin;onova teorema),

125 • 12 + 17,3 ·0 = 142.,3 ' e,

1500 = 142,3 . e,

., ""~ -10,54 CJll.

142,3

159

f

I

Granica jexgra u &topi iznoji:

b 90 til =6" "" 6" = 15 em.

(10, R) ( ') 1423 ( 10,54-0,,1=- . ';±;: =-90:-100' 1±is)=-O,158(1±{),70)

G: = - 0,158' 1,70 = - 0,268 MP".

:11: = -0,158,0,)0 = -0,047 MPa.

,f'osto iU naponi u temeljnoj stopi u granicarna d02vo\jenih napona za tlo, ~irina temclJllC stope U ovome udatJcu - slueaju zadovoljava (a"l < rYacp. t/IJ)'

(JdQ;J tla = (),25 MPa - 7.3dana vrije.:lnost'.

PITAN]A I YJEZBANJA

- Sta su i icada naslaju sloiena naprezanja?

- <?d kojih O$novnih naprezanja jt sasr,wljeno 5avijanje sa uzduinom (pritiskujucom) s!lom? :

- Da Ii jt klju<!\l ,btai pri okreranju napregnut ua torziju pa i ako jeste _ zaho? - Sta jt ekscentricltet; sile?

~la je i kako definheml' jo;gro presieka?

~aka: jt ,oblik dyag~2i:la Ilapana kada sHa djduje ria lvil:l jagra, ;t kOlka\' kada sJla djdu}t van Jezgra ~

Kada nastaje koso $a','ii~;,i-:: nosaca?

- NaYcdi obrazac za kor:t:c'!U naprc<:anja Fi k(jsom sadjaniu!

- Iz gradevinske prakse ,)":)3beri neko\i}',o l'rimjera tk,centricnu optereccnih cle-men~ta ka~ i nC$Ilea n3.ptcgnutih kosim s:J.\·ijanjem i i7.\'fsi kontrole napona 7.a

usvoJene 51k - opterecenja i dimem:ije nos:!':a.

- Odredi~. maksimalnu veliein~ opteretenja kOje moze da prihvati temelina tr~a smne ~ = 90 em S ob.zl.rom fia dopustene napone t!a adop tla '7 0,3 MPa, S tim da. se 1 pon~d ekscenmclteta optcreb::nja (sjle) u tlu ne poiave Z3.teZllCa naprezanJa (uslov a'i = 0;.

11. TRENJE

Nosuci, odnosno dijelovi objekt:l i objckat kao cjclina, pored ostJ.!og, moraju bit! stabilni i osigurani oJ djelovanja odredenih kosih iIi pak llOri­zontalnih sila, koje tde da ih pomjere u pravcu svoga d~jstva. Ovakvim sibma supro'~stavlja se sila crenja koja se juvlja izmcdu povrsina dva tijcla (elemen::na) koja se dodiruju, odnosn<;> leze jedno na drugom.

U tehnickoj praksi razliicujemo razlicira trenja) odnosno o!pore (rCllia, i to: otpor rrenja koji podeu od odredene sredine kroz koju se dato Tilda kreee) a takve sredine su zrak 1dn05ti i dr., zatim otpor trenja pri klizanju (tijela po lijelu) i konaeno, otpor trenia pri korrljanju (toeak - valjak po pO\T,si­nil·

U gr~lde\'inskoj t'ehnickoj P[;l].:.<;I, :Josl'bno pri izradi odredcnib dijdov:! statickih rrorscuna, u pravilu, SllSfccemo se s trenjem, odnosno OTj,()fOm rrenja kli:;,:c:1~ia., knje cerne oydjc u neophodnoj mjeri i obraditi,

Za ilustraciju i poimanje pojJ.vc trenja klizanja, neb nam poslulc slje-deea razmatranja (vidi sliku 174).

Na slid 174, tijelo kaje Idi nJ. kosoj ravni A-D leZ! da se pohcnc i klizne ka nizo; tacei A. Ako masu ti­jela (teiina) G (koja djeluj~ vertikalno na nize) raz!ozimo na dvije kompo11en~ te - jednu upr;)\'nu na kosu fW,t'JI1, ;)

drugu puralelnu kosoj ravni, imumo.

G i '----" G . LUS ,/ (1dnosno,

-~--.----~--~-.~ .-~'----:f-L

SI. J 74. Trenje klizanja: lrenia, rI-ugao rrenja, Ig U .'0 I'".

Gil G· sin 'L

Pi pruuznAzujtc !czisni pritis,!K upr<\\'an na poJlut:u, a Gil nu::toji pob-c­nuti (kliznuti) tijeJo niz kosinu. U doC:irr.oj spojnici - rnvnini ;avlja se sila - otpor rrenja klizanja koji sc suprorsmvlja pomjeranju sve dok sila (kom­ponenta Gil) ne postane jednnka, odnosno veca ad otpora - sile rrenja, nakon cega) jer otpor rrcnj<l biva s<lvladan, nastup3. ~lizanje. h prethod>1ih je':inasina moiemo izraziti komponenru koja tezi da pornjeri tiido:

Gil -= G 1 . tg 14.

Za odredcni ugao a koieg r-azivamo ugao crenja klizan/a stvarno CC C 06 do klilanja~ pa <:>.ila -- kompon(:nra Gil se izjednacuje sa sUom trpnja, koju

170 171

moterno ,obiljezlti sa T. Prema tome, si1a trenja T Carpor trenja' kJizanja) daje sc. sljedecim izrazom:

T,:::;;:: G1· tg,a.,

AleD, C?i oz~aJ kao st0.i~- tiobi~jeno u prak$i, sa N (normalna komp~ n.enta),. ~ tg a'~ .1'0 .(koeflClJenat. trenia kliZanja), tada prethodni izrazza stIu (otpor) trenla klIZaIlja 'dobiva '"ljedeCi oblik: .

T=N,I',

. Za ?jelo ~je leii na ho;ko~t:ili,oj podIozi, sila koja ga moze izvesti iz --stanJa~?vanJ~_ (ra~noteZ~), u;eba ~ je veta od navedene sHe trenja, i obratno, -da se oddi stanJe mlrovanJa l s.da trenja mora- da bude veta od sHe koja nastoji da izvrli pomijeranje. .,' .

K~icijenat trenja.~anja flo odnpsi se na tzv. staticko rrehje klizanja, za . r~u ad, odgov~Juce?, koeficijep;t:a koji se odnosi na pojavu klizanjaj kOla Je vee u toku (dlnamlCko trenje).·

Naved:~ ko~~cijent trenja kliz~ja - kao neimenovan braj zavisi od vrste rnateoJaIa kOJl se medusobno taru i stanja povrsina dodirivanja. .. U slijedefuj tabeli daju se vrijednosti ovog koeficijenta za rieke mate-.

flJale od posebnog znaca;a ill gradevinsku praksu.

Tablica koefidienata statiCkog trenja pri klizanju

M.aterijal

Liv. ieljezo po liv .:leJj.

Cdik va celiku

Drva po drve'tu (brast)

Kamen po kamenu

Lid po zemlji

Stanje ruapavosti

malo masua suva

malo masno

suva

SUva

ug!acano-grubo

mokro

suvo

Koeficijenat Po

0,15 0,20

0,14

0,44

0,62

0,70

0,65

0,30

. Ure~aj - 's~rava kojom se' ?,dreduju vri}ednosti koeficijenra trenja kli­~nJa nazlYa.se mb~metar, ~ sastoJ1 se U OsnOYl od kose ravni pomotu koje se, uz odgovaraJucu mJernu skaJu, odreduje ugao [renja klizanja a time i koren-spundirajuci koeficijent (sl. 175). . . '

~' ~. 1>, •

o~· St, I ?5::Tribom.ctar: 'p~-ugao trenja klizanja, .tg t1 ''-."'''Q_ . ~koef~ClJent [renla klizanja. s-skala, I-tijdo.

Osnovne zakone [renja kJi7.anja tonnulisao je nauenik Kulon (XVIIf.­-XIX vijek) kako sIijedi: .

)72

.- Pra~ac '.n7e (otjJOra) 'trenia klizanja podudara:s~'~,$a .. prfWCem sile koja-,lui da pokrene lijelc, ali jf!' suprotnog smjera.· ..

- Otpor trenja klizanja proporcionaJan ·je 'l!el(fr.~m ncnnciInog pn·tiska· ('ijeia) napodlogu. .. ..

. - Koe!icij.m lTmja kJizanja (P;), zavisi od VT~t~. i'j.tanja .mumjaJa, .' odncsno povrlina koj. s. ihdiruju, a ne zavisi odvelili". Mdirn4 piche. .

Odredivanje veliCine sile orpora trenja (kliZanja) ;bic.. ilUS\rovano u slje-deCim primjerima. . . ..

Primj«

OdreQjti veliOn~ sUe - otpora trenja. koji piufa" armirano--betomki bIok' oblika paralelopipeda -.- odnosno prizml':, tdine G = 50 ill; pIi pokuiaju' pomjennja - po suhorn prirodnom tIu) i to pod sljedeCim uslovima: .

a) kada je tIo horU<?n'ta!no.

b) kada je tlo nagnuto pod. 'uglom a = 20". Pomjeranje u pravCu pada - kosine (51. 17Sa).

S}. 175a. Pomjeranje u pravcu pada -kosin'e: a) horizontalna podloga, b) nag­

nuta podloga.

a) Za slucaj -horizontalnog tla

T = N· Po = G . flll = 50,0·0,65 = 32,50 kN

- za pomjeranje (suvladivanje trenia) je potrehna sila od P = T """" 32,S kN. b) Za slutaj nagnutog terena Cvidjeti sliku) Najpriie odredimo komponentu mase tijeJa upravnu na podlogu (tlo), tj. kompo-

nentu N. .

N = G· cos 20~ = 50,0·0,94 = 47,00 ill.

Tl = N· Po = 47,0 • O~65 = 30,55 leN.

lz ovog se vidi da na nagnutom tiu sUa trenja klizanja (otpor) je urnanjena za _

d T - T - T, - 32,50 - 30.55 = 1.95kN •

Primjer

Odrediti - itratunati veliOnu sile tren;a klizanja (otpOr trc:nja) koja.8e pojavljuje u k1iznom ldi!tu konstniUanom od dvije uglatane plaCe (nosaa r podlop)) ako je le:iilna rcakcija na'tome mjestu jednaka R "'" 600 kN (-slika 176).

S1. 1176. sUa tren;a: N,d "'" 600 kNj T = n • • N '" ~ 0,25· 600 -ISO!tN; R - 600 !tN.

lz tablice. za koeficijem trcnja -klizanja utvrdimo' cia je Jlt =- 0..25. VeliBna Idilne reakcije (00 nosata lije je ovo ldi!te) iznod R' "'" 600 liN, a to je

istovremeno nonnalna komponenta pritiska, ti. N = 600 kN.

173

.

:

/

Sila trenja u laHro iznosi:

. T,-, N, II, "'" fioo. 0,25 "'" 150,0 kN.

PITANjA I VjEZBANjA

174

- Kakve vrste trenja postoje? - Kako se defini!e trenje. klizanja? - Kakva je tulika izmedu statitkog -i dinamickog trenja kJizanja? - Kako se analititki b:raiava _ odreduje sila frenja? "~ Kako gJase Kulono\-i zakoni?

- ~~!u si1u ttenja treba uzeti u rafun kod Itliznih, a koju kad eventual nih kotrlja­Jucih leftSta?

-.:... ~daber~ nekoli~,! zadataka iz gradimne prakse gdje se javija otpor _ siJa nenja 1 odredl te vehtme I

12. PRlTISAK VODE I PRITlSAK ZEMLJE

12.1. PRITISAK VODE

Vodcna m~lS::' u dodiru sa C\Tstom plohom (ziti, brana, kosina - dno) vrsi na nju odrcdeni pritisak. Akumulir:wc vOGcne mase pr"uzrok:uju, dak1e. tzv; hidrostatski priris;}).; na dna i bubvc b::2Cn:l (prostora) u kome sc nal:Jzc_ Hiclrostatski pritiS:1k je upr;,v"n net p,~,~,~l dej,:,:a i njegova vrijednost r,,~i';

linearno s dubinom, tj. s visinom venib.lnQg vodcl1cg stubrr iznad date plohc, Jedinicni pritisa1: vode (na kvadrawi cer:timet8.', metar i dr.) jednRk je m::si (teZini) venikabog vodenog swba od date tscKe (jedinicne plohe) do niHl3 vode i izraiava sc u jcdiniclma analof,no naponima, tj. u Nlcm2 iIi kNlcmz

i dr.) i oznaeava simbokm w. J edinicni pritisak jednak je pritiskll (ekvivalcnt) od jedne tenm'Clw armMj2r3.*.l Po~to je zapreminska masa (teZina) vode jednaka jcdinici ([,0), visina vodenog sruba (presjeka f = 1,0 cm2) ekvivalenma jednoj (tehnickoj) atmosferi pritiska iznosi okruglo 10 metara.

BuduCi da pritisak vode linearno raste s dubinom (visina vodenog stuba), to ie i dijagram pritiska vade po dubini u obliku rrougia. Ordinata dijagrama pritiska vode u dnu (l1ajnizoj tacki.l okomita j~ na napadnu plohu i jednaka visini (dubini) vade (odnosno - tec-nosti) na datom mjestu.

Na sljedecoj skicl (slika 177) prikazaccmo dijagram priIiska vode na ravnu vertikalnu i proizvoljno nag-num (kosu) plohu.

d ~ _,,~. __ ~"..32..J:'.!.vOfo ,C ~;;:::~'2?i;?;;;;;:;:::~;9lli:ilUllllJ'-,/ t:. w, i

/ W," ~I r.L·-

SI. 177. Dijagrami pririska \lode na ravn'l vertikalnu i proizvoijno nagnutu (kosu) p:0hu I

W A_B-rezultanta pritiska vode, IV A-D(uulL'ka!no) = "2 1'm . hi ill/ml, W A-B(n~lll"IQ)

I - 2" i'wh ' h'KN/m', _r", = 1000 kg/mt "'" 10 kNlm':

*l at = 0,098 MPJ CMNjml) :::: O,! MPa (ml;::ap:1sknla) - odnosno 1 bar. kN/em· = 10 ,\1Pa tehn. atmusJcra - jedinica prltiaka izvan "SI".

J75

Rezultanta pritiska vode djcluje u tezlSw dijagrruna ~ ovdje, naravno, u teZlStu,trougla koji predstavlja clijagram Lusmjerena je pod pravim uglom u odnosu na napadnu plohu. Velitina rezultante, tj. ukupnog p'ritiska vQde bite: :,,'< "

: a) za'vertikainu ravnu plohu

W=~'r 'h' '2 • b) za kosu, plohu ,

W = -~)' . Ii· h" 2 •

Tu je:

kN/m'

kN/m',

i'w -:- zapff:minska masa (teZin~) vode *)- llvn,titi: 10, (9,81),

II .~'_ dubina vode u odnosu na dno (n:t),

fl' - 'kosa visina (dliZina) plohe (m).

.,.,. "

U slueajevima izlomljenili ploha koje napada voda, dijagrami pritiska se odreduju (konstruib - crtaju) analogno vee izlozenim pravilima zasnovanim na zakonu hidrostatskog pritiska. U skladu sa navedenim) dijagram pritiska vode i parcijalni pI itisci na pojedine dijelove pIoha, odredu;u· se na na¢in i!ustriran na sljeJeeoj slici (s!ika 178).

k NIVO VODE

SI. 178. Odredivanje parciialnih pritisaka na pojedine plohe: W 1_ t = ~ 'WI' hi '-r". w, + w.

WI-l" "'" --2-' hi ·1,0.

za dio plohe od .tacke I do 2, dijagram cr'amo 'ako da u tacki 2 podig­nenio okomicu na liniju (plohu) 1-2 veli?:ine ordinate h1 (visina - dubina

. vodenog aruba nad tackom Z), Yrh ordinate spojimo pravol1) linijom sa ta~­kom 1 i time ~obijemo, nakon srafiran;a (upravnog na 1-2), dijagram pritiska vode za taj, tj. gornji dio ukupne pIche. ' ' '.

Da odredimo (naen-arno) dijagram za plohu 2-3, u taed 2 dignemo ordinatu okomitu na liniju (plohu) 2-3 velicine hl (visina vodenog stuba nll tome- mjestu). a u tncki 3 (dnu) ordinaru veIicine hl + h t ukupne visine

*l .y", __ 1000 kgfm', l;onvertirano u jedinicamll sile - 9,81 kN/m' ~ 10,

176

h.'Vrhove ordinataIzmd 2'i 3.~pojimo tinijorn i dobijemo dijagram U obliku . uapeza. ,Ordinate- 'dijagriuna izrazirno u kN/J?-J. ., '.' ,. '. .

Ukupne sile piitiska vode prolaze kroz te:bsta nJlhovih dilagr~a l,:prav­. ne su na svoje.pl.ohe;~.~l,to·se', vidi na daroi slici, odnosno dij~lu slike kOlun su :',priicazani dijagramt;',~·~~,:.~ . .-~ .'Na analog:in'niiin se postupa kod visestruko izlomljenih napadnih

,ploht SI~CajevhM~Vlj~ih pIoha,.posrupamo. tako da u.o'!"branim tac- . , ',kama zakrivljeneplohe,'podiZemo ordmate okom"? na~vllenu plohu u

- toj tacci, velicirie jedDatcc dubini vode, takode u toj taCCt. K.-ada.t~ko.postu-pima zii nekolil::.o:povoljno. odabranih tacakas Ir.ozemo nacrtau .1 d'J~gram Ciji oblik je' zakrivljeni- trougao. Dalje postupamo na vee poznan naem.

Ilustra,tivan primjer dijagrama za kombinovanu zakrivljeno nivnu plohu dat je na slid 179.

S1. 179. Dijagram pritlska 'vode za J:.Jtu plohu.

Uzgon vade

-~."'1~' =_=_""L - -,-'- _. '-C'f~ ~~. ~1 .....:..- ~~.

+O--;~~ll\llllllllllfl~t" ·1' LLWllUJ1H.!..:~ ..J..""o,-,(NP:""

51. 180. Dijagra:m uzgona vode (verti­kalno ka gore): TMteren, NMnivo pod­zemne \"ode, hu-\·isina (dubioa) uzgon3.,

O-obieicat,

U sIucajevima kada je tiido potpuno iii djelomicno uronjeno u V~dU sa donje strane (dno), pojavljuje se pritisak vod~ usmjeren odozdo na Vise, koji nazivamo uzgon vade. . . U gradevinskoj praksi eesro se susrecemo sa pojavom uzgona, kod obje-kata eiji su najniii dijelavi ispod nivoa vade, odnosno podzemne vode.

Velieina site uzgana vade po jedinici povrSin~~ (d~a) )<:dnaka je masi (tezini) zamisljenog stuba vode ad date taeke (tezlst& Jedl~lcne plohe~ d,o produzenog nivoa vode iznad te ta~ke i izrazava se kao sto vee znamo, U Jedl­nkuma za hidrostatski tlak.

. Na sljed~~oj slid '(slik~, 180) d~t je pri.kaz. p,ojave ~go~.a i ~d¥o~arajuCih dij'<tgrruna pntlska vode kOll se, pn tome, J.av~JaJu. (~aJtescl pruuJen uzgona vode javljajJ.l se pri fundiranjima i gradenJu Ispod mvoa, podzemne vode -podrumi.,zgrada i dr.) .

U sljedecim prlmjerima ilustrira se naCin odre~.ivanja pritiska v?d~ ~a stijene - plohe objeka,a za konkrctnc - zadane vrllednos" potrebmh v~h­dna (parametara). Pri tome ce se koristiti prakticna reia.ella: I m dubme (visjne) vode = 0,01 MPa odgovarajuceg hidrostatskog pri'iska.*'

Primjer Nacnati dijagrarn pritislr;a. vode na vertikalnu piohu (pregradu) A":'" B. elj!!. je vi-

lIina h = 4,0 m (stika 181). .-Jedinitni pritisak vode u dnu (tach B), kao ~to!le na dijagramu vidi. iznosi WI "" 40 l:.N/ml

-I>-l I Nfcmt =. O,QI MPa.

177

f

J

(iIi 4 N/cm l). Ukupni p"."."'. ,·od" (h ~ 4,0 mi· d···· d d I ~""'.... na lU.mu pregta t 0 ,0 m (na

;cdan metar du1ni) iznosi;

, '"

51. 18!. Pritisak vode na plohu A _ B: Rezultanta

L~ -, . k I I Prlus·3. vode: W ~" _ .. i'w' ht (kN/ml) = _ . 10. 2 2

.4,01 = 8,0 kN/ml, Ye = 10. 61 - 2-- 3-dijagram pritiska vode na p!ohu A _ B.

h RC:::Jl,arlta, sila W djduje n3 visini

4

3 J ,33 m od dna (tdBrc trough) i

Ilpra"!1<l ;~ na pregradu.

Od~editi dijagram ptitiska \'ode na i:domljenu plohu 1- 2 -_ 3 (n;;padn;] piohn hrane) sa vrijedno5tima dimenrijJ datih na slid 152.

51. 182. Dijagram pritiska vode na_ izlom'. ljcnu Jiniju 1 - 2 - 3: WI = 3,0 N/cm';

UI. "'" 6,0 NIemi,

Ka.o sto Ie v!di ~~ ',lid. dijagrarni. ~ prelomnoj tacci 2 se djelimicno (zbog lorna) preJda~a)u, Ukupnt pntiSCl vcde na duhru od 1 metra dije10va ploha 1 _ 2 i 2 _ 3 su lednaki:

2 10.-3,0' = 45 kN/mt,

1 60 + 30 hi = ~-2-- . 3,16 = J42,2 kN/mt

(W'_J - dato je obra~cem koji predstavlja povriinu dijagrama pritiska _ trll.pez).

. ,Odredici vtijednost uz~on~ na 1 f?etar k~adra~ni Po .. 't~ine dna (odozdo na ViSe) Ul honzontalnu piohu (dno ob,ekta u vodi) ako Je dubina vode (OOno\no r,od:temnc ';ode) h "'" 2.5 mt (slika 183), •

to =1· h" i'", = J.O· 2,5' 10 = 2'5 kN/mt.

178

I. VdiCina uzgona po jdinici pO\Tsim (I 11l~! ie, KaO s[() \-iJimo, brojcano jednab IV

puta visini (vuJc) - Jubilli i izraicna u kN/ln".

St. 183. V[ijednosl uzgona za horizon· talnu plohu: W,,= 15 kNfml, f~

'""" 1.0m!,

PITANjA I \,jE2BANj.\

- Dcfiniraj hidros«(!ISki pritisak :)(.' 1:,l,n;:itctu i pravcu djdo\,unja? Kaknv je ohlik dijagr;1ma prirj,ka YOLk za \"(~nikalne i nagnutc plohe?

- Knliki jt rri\i~;Lk \ "de Il~ h0fil"T~t;d;11; pld!1\1 "- dnc: Llbid:\~: po jedinici povr~i;"'-

- $ta je to uzgon \ nck ~ Da Ii postoje razlike izmedu zap[('minsh~ masc (rdin,\ slarke i morske v0Jc i ako posroje - koj;; je \Tijd;~0q n:b' Prepo{sravi i dcfinir;;j Eckoli\.::,' r:wg-u ii, primjl'rJ i~ rrJkse (vodni obje-"ai: odredi dij;!gr~me i rrili~ke voile- 7.a Hrllkulnc, na\_':-:'..lll'. :7.1omljene i zakrh-ljc ploh~ - h;lfCnl r'l jedan kaLlkkriqi~.'-' prim;cr I

12.2. PRITlSM< lE.I\LJE

Pritisak (aktivni tlak) zemljc - tla na vertikalne iIi nagnute napadnc plohe (raziiCiti objekti, potporni zi,-:ovi i dr.) ispoljava se slicno kao i pri',is2J vode - teenasti, tj. raste na odreJcni r,a2:in proporcionalno dubini - visilll zemljinog sloja - masc. U gradevinskoj tehnickoj praksi - pri uobicajenim proracunirna koja ukljutuju odredivanje rasporeda (dijagrama) i veliCine pritiska (aktivnog botnog tlab) zemljc:, prctpostavljamo da je zemljina mas:, koja vrSi pritis8k, uslovno shvaceno, u polutei':m m $fanju i da pritisak po svomc intenzitetu rMte linearno sa dubinom. Pri tome je ad posebnog zDacaja cia zemljani materijal tretiramo nekoherernim, tj. da od unutarnjih sUa, otpora U zemlji - tIu, u koji ubrajamo kohcziju i ulluwrnje lrenje - racunamo, u pravilu, sarno sa unmarnjim trenjem.

Otpor unutarnjeg trenja zemljanog matcrijala izraien je koeficijentom trenja (cestica 0 cestice) zemlje i oznacen sa Co (ra-nula).

Ovaj koeficijent Qn jednak je tangensu ugla unutarnjeg trenja cp en), tj.

tgq; = eQ·

Ovaj ugao ff jednak je, zapravo, uglu prirodnog nagiba zem1;anog mat':­rijala i moie se utvrdiri Iaboratorijski:-:'1 putem, odnosno i jednostavrum poku­sam, jer je ugao r jednak uglu nagibn ivice (izvodnice) kupe koja se farmira kada pustimo da dati materijal slobodno pada na jedno mjesto - ravnu po­vrSinu.

Ova je predaceno na slid 184, i':ime se stice i slikovita predstava 0 sustini znacenju ugla unutarnjcg trenja zemljanog Ci dru-gog rastreshog) ma~er~;ab.

179

;;{ -:"--,- ::'~~~;'"i;\i"

Kod ~j~~ih-__ cibiekata koii se masovno izvode,_ po~ebno pri' saobraeajnica;,'k9sine tfupa saobraeajnice (wjek, nasip) u zemljanom matc;rl'" juJu izvo~e,-~~_:~-~ ~p'Ip~: koji obezbjeduj~,st~bi1itef kos~.na i taj ugao , .... _'_ ••

, . - _. ,. ne YrSl vJeStacko oSlguranJe -, f. flak je,. odnosno manji od ugla nrirndnoli

~/----:~\ nagiba za dati (s. utvrderum karakte-, . ....... '-/\'~ \ ristikaina) zemljani ·materijal. U slu~:::: .

. '~ .. ,~;>,'.--.:.' .•. ~.~.:::-:';.:'~:""~'~;j.'~ jevima riagiba koji je veti od navedenog _ - «(1 > r-),-'doslo bi do.tdeformiranja kosine'; ,-," "::,<t;:)

->" ',"I (obruvavanja i sl.) usljed djelovanja ,~'::., _',','0, --~"~.';;';i'.#~; SL 184. u~.'~.~nreg.-tr~ia ('1'). caja koji savladuiu unutarnje otpore, U '

. . zemljanom tijelu. . - -. .

KosinezemJjanih.objekata (trup saobraeajnice) kod kojih je stabiUtet obezbijeden pravilnim izvodenjem n~giba kosine (ugao a) iJustrirane su na slici 185; -

IJ _ ' OSA

~-r~ 51. 185. Kosine zemljanih objakata: a) nasip, b) usjek, 'p-ugao prirodnog nagiba.

U praksi je veoma cest slucaj da zcmljane objekte ne moicmo izvesti na naCin d.a stabilitet obezbijedimo izvodenjem odgovarajuCih (pravilno nagnu­tih) kosina, pa je potrebno izvesti vjeStacke gradevine - objekte koji ce prih­vatiti pritisak zemlje, a to Sil najceSce razliciti potporni zidovi i slie-ne kon­strukcije.

Aktivni pdtisak zemlJc (tla) na napadnu plohu zida mozemo shvatiti kao silu upravljen~ ka napadnutoj plohi zida koja predstavlja komponentu mase (teiine) zemljanog klina (trougaone prizme) koji omcdavaju: napadnuta ploha (leda) zida, povrSina ferena i ravan obrusavanja (vidjeti sliku 186). Ova komponenta se uravnote:t.uje otporom mase (tdine) zida.

180

SI, 186. Aktivni pririsllv zemlje: K-klizna ravan (ravan abruvavanja). R·ravan prirodnog nagiba, G­-tdina klina ABC, E·aktivan pritisak zemlje, S-

komponcnta,

Druga_kompon~ta, kao:sto se viill na sl~ci, ~mj~ren~ je. lea ra;ni obru­v8vanja.i' uravnoteZuje se sa silom otpora u tOJ ravw. PravCl, deJstvk sile otpora zida- E' otpora'ravni ,(kosine) obruvavanja S' i sile G Sijeku ;se u jl!dnoj tatci, • sile s~ u ravndteZi; Kada ne bi POStOjaJo trenje Csiletrenja) IIdodirnoj ravni izmedu zemJjei napadue·plohe (led.) zida·k.ci. iu samoj ravni obruvllvanja navedene komponente sile G tj. E is, a time i otpori E'i S' po pravcu dejstva bili bl.okomiti nanapadane ravniCkao sto je kada je u.pitanj';' pl?ha na~ad. uda ..:. brane, s1ua.j sa teenoseu' - vodom). Zbogdje!ov";"ja. sile tr~~ja u navedeItim' ravnima, korespondenme sile Codilosno otpon) odstupaju 6d normale.i djeluju pod odredenim uglovima;-i to e', ~':. --- ugao trenja izmedu zemlj'e i zida) i e~ (eo - ugao' treilja izmedu cestiai ~je, tj. unutarnje trenje). ." .'. ., Pritisak zemIje na 'zid iSpoljava se u punoj velicini posto dode do popu­

stanja zida neznatnim pomjeranjem (oortanjem) ok~. un~tarnje ivice stope (tacka B) naprijed. , '"

Zemljani klin A-B-C se neznatno spusti (klizne) duf iavni A-B i C-B i tako ostvari pretpostavke za svoje aktivno dejstvo} odnosno posto­janje.

U sLucaju totalnog pOPllstanja zida, tj, njegovog ruscnja, odnosno prevr­tanja (sto bi se desHo ako nije obezbijcdcn stabilite.t zida) iIi ukIanjanja, odnos­no sarno 'u mislima preq:lostavljenog izmicanja zida - doslo hi do deformiranja mase zemljanog klina iza zida obrusavanjem po ravni obruvavanja (klizna ravan), a kasnije postepeno usljcd raznih uticaja (prirodni uticaji) i do daljeg deformisanja sve dok se fie uspostavi stanje pune ravnotde) tj. formiranja kosine pod uglom prirodnog nagiba.

Odredivanje pr:itiska zem/fe - lfa

U praksi je, naravno) potrebno poznavati naCine, odnosnometode- po­mocu kojih odredujemo pritisak zemlje -; rIa na napadne pIohe objekta, najceSce razlicite potporne zidove. Da bismo mogJi rjdavati takve zadatke. a sto je neophodno pri static-korn ispitivanju stabiliteta objekata - zidova opterecenih pritiskom zemlje, ovdje cemo prikazati dva osnovna naCina­-metoda koje u praksi obieno primjenjujemo pri rjdavanju uobica;enih kon­kretnih zadataka eve vrste.

Reban - Pomelova metoda

Ovu metodu (Rehban-Poncelel, XVIII), nazvanu po autorima, pri­mjenjujemo, u pravilu, kada imamo. ravnu, odnosno zakosenu povdinu

. terena;"iznad zida. To je u osnovi graficka kOnStfukcija, pa Je potrebno strogo voditi racuna 0 taCno,ti grafickog prikaza konstrukcije zida (napadne plohe), terena i korektnosti. usvojenog 'mjerila crtanja. Qvu metodu mozemo pri­mijenhi kako za, vertikalne napadne plohe (leda 'zida) tako i za zakoSene, u ;ednu ili drugu str,anu. Za konstrukciju, odnosno._proraeun pritiska.u~ po ovo; metodi potrebno' je poznavati ugao unutarnjeg trenja :zemljanog mater-ijala koji opterecuje zid,-tj. ugao !f', zatim'.ugao trenja izmedu zemlje i zida (J i ZaIJreminsku masu (tcfinu) zemljanog matedjaln. Y.c' Kao §to je uocIjivo. od unutarnjih sHa u zeml;anom rnaterijalu rac-unamo sa sHorn unu­tarnjeg trenja, dok uticaj kohezije C (kod koherentnih materijala) z.anema-

lSI

:

!

rujemo, Sto znaci da proracj.lQ vrsimo smatrajuCi zemljani materiial neko-herentnim. ,

G.ra.fiCka. kon..'itrukcija - posrupak odredivanja pritiska zeml;e po ova; metod! I1ustrrran je na _sljedecoj sEd (vidi s1. 187):

v-POlo!6jni , prav ,

h

rrL~-~;CJ ~I

+ '-------

G

, , S1. 187. Reban- Pcnse!ovll metoda odredivanja pritiska zcmJie: rp~ugao unutarnjeg trcnja,

k U

y,,-zapremins a rezina tla, pritisak zeml,'e tla: E = F" 'y. kN,'m', P kNt ' w~ :=-;;'m,

Pr.itisak .ze~lje .na,plohu A. - B zida dobiCemo tako stO (nakon sro smo nacrtah u m]enlu zld ! :~ren) lZ podnozne tacke napadne plohe _zida B po­vucemo pra~ac (kos~ 1.1!'llJU) pod uglom cp (ugao unutarnieg trenja materijala) s:e do presJeka sa ImlJom terena u taed C. Ii gomje taCke napadne plohe Zlda A povucemo pravac pod uglom rp + b, sve do presjeka s'a prethodno p~)Vucentr;: pravcem B -, C (koji predstavlja liniju prirodnog nagiba terena) elme ?obl!~mo tacku I? Nad duii B - C opisemo polukrug poste prethodno na tOJ. dUZl kao precruk kruga odredimo, nel poznati nacin) sredisnju tacku . . ~ada 12 taeke D l?ovucemo okomicu na nacrtani polukrug i dobijemo pre- ~-, sJeCnu ta~ku E. I~. tacke B otvorom se~tara ,(B - E) opise se 1uk do pravca B _-. <:!. clIl~e, doblJcmo presjetnu tacku F, <koja se, kao sto se vidi, nalazi na.UnUl pnrodnog nagiba zemlje B - C. . Iz r.a':ke F yuc:e se paralelna linija sa prav('em A - D (koji nazivamo t {oloza;nt pravac) do presjeka sa linijom terena A - C, tj. U taecl G. Iz ta~e F povute .se Juk sa otvorom sestara F - G do presjeka sa linijoffi B "- C (prIrodn~ ~glba. te!ena) i time dobija (atka H. Tatke G i H spoje se ~ruv­ce:n: - tetlvom 1 tIme ~onac:no dobije lrougao pritiska F - G - H, !cuji nazlvamo Rebanov trougao.

. PovrS~ ovoga r:ougla pritiska (Rebanovog trougla) pomnozena sa jedi­rucom d~~e'(1 ffit 1 zapreminskom masorn (tefinom) zeml;e Y:: -daje, za­pravo,·, ve~lcmu aktivnoga _priLisk~ zeml;e na napadnu plohu zida A - B, ra0maJUCt ~v.o t;a. jedlnicu duZine zida, tj., u pravilu, na 1,0 metar duzini (ztda). AnaliUCkl lzrafena ova veIicina pritiska dobi;e se kako sljedi:

E = PA ' Y,;- kN/ml,

182

gdje je:

PovrSina ovdje:

E - vclicina pritiska zemlje na odrcdcnu pl0hu u kN/ml,

P l:>. - povdina trougJa pritiska u m\

Y ... _ zaprcminska PlaSa (tezina) zemljc data u kNfm3,

trougla pritiska P,::, odre:di se llobicJjenim obrascem

P ~GH

6~

2 ) gdje je f visina trougla u mcuima,

Raspored pritisaka (zemlje) po visini, tj, po dubini je linearan -- uz uvazavanje prerpostavkc linearnog poveeanja pritiska zr.m!je sa dubinom, tj. kao kad hidrostatickog pririsb, Tako lincaran, odno.'>llll troug;lOni dij:1gr:lrll pritiska zemlje odstupa u izvjcsnoj mjer! od stvarnog, ipi.lk se zbog jcJno~ stavnosti i prakticnosti (bez implikacija na sigurnost u smislu dokaza stabi­liteta ispitivanog zid" i sL) prctposmvlja i us\';!ja lineHl1a r<lsrodjeJa pritiskn Trougaoni dijagram rritisK<l oc-reden je vdiCinpJ1l o;-,--:i:'.:.ltc pritisb u dnu (za tacku B zidu) h,ju iu'(>'Cur,ilV'.lITLO l1a osnol"u posr;,-;\jene: iednh_kosti po~ vrSine dijagrama (tr\lU1;~lt)) i utvrclenc veliCine pririska zemije, tj,

,h odavdc lC1<i'11U

2 Ie' (" ., .. p_ = .-~- )(:K 1m-). • h

Dijagram pritiska zemlje 1 ~ 2 - J smn pri crtanju namjerno pomje~ riIi na desnu stranu ua diD slobodnog- prostora ,- radi preglednosti i jasnijc!;,.

I . prikaza djcJe sEke, U teiistu dijagrama pritiska (uougao) ovdje na ------' vis1l1c

J

dje1uje rezultanw pritiska zemlje, tj, E Tei:iste dijagrama (oydje -trougla) '[ projektujemo na samu napa0.J1U

plohu zida Tl (para!elno pomjeranje neke T u lijcvo) i u toj racci srV,lflW nap ada (napadna wCka) sila E (pritisak zemlje) na napadnu plohu zid[L

Kada bi ploha zida A - B bila savrseno glatka,. tj. kada ne bi postojalo rrenjc izmedu zemlje i zida, tada bi pravac dejstva sile E bio okomit na na­padnu pIohu zida (blo kod hidrostatskog pritiska), Zbog trenja koje se ispo~ Ijava u kontaktnoj (napadnoj) pIohi, pravac E odstupa od normale i djeluje na zid pod uglom 0 (delta) U odnosu na normalu (vidjeti slik.u).

Nn ovaj natin obja!lnjcn je postupak odrcdivanja pritiska. zcrnljc (Ilklivni tlak zemlje) na napadnu plohu zida - a sto je, kao sto smO rekli, neophodno za kasnije staticko ispitivanje stabilircta objekata (zidova i s1.) koji trpe pri­tisak zemlje.

Zakrivljeni lerefl

Ako je'1inija terena iza zida proizvoljno zakrivliena, tada odredivanje pritiska zemlje po Reban~Ponselovoj metodi mozemo zamijeniti merodom klizruh ravni (po Ku/manu) kako sljedi (vidi sliku 188),

18.1

Nakon sto nacrt:3!Ilo u mjeriIu polozaj napadne pIohe A - B, odnosnl? zid i tt.ren, -iz pod~ozne tacke B povuccmo prav~c pod uglom 9) do presjeka. sa Iinijom ter~na) tj. do tacke C. Iz tacke, B (podriozja). povucemo. pnivaC.

51. 188. Kulmanov metod odrcdt\':J.nja rriti~ka z.cm!je. -'F :~ (kN/m')_

"

. ,~ ,

Aklivni pritisak

klizne moguee ravni pod proizYoljno ouabranim uglom at prema horizontali do presjeka sa linijom ter~D:1, ti. !:1ckotn D. Sada odn'dimo velie-inu mase (tdine) zemljanog klina A - B - D a. za duzinu, od 1,0 metra duznog IU3cunatu vrijedriost G t (zapremina pum zaprcminska masa~[eiina) nane­serno f:raficki u odabranom mierilu n sile (npr. 1,0 kN /', 1,1) em i s1.) po liniji B - C, tj. liniji priroJnog l1J.).!,iba, i to pocev od podnnznc taeke B (ka tacei C). Sa kraja n:.lIlcscnc silt; G t (\'rha strelice) povucemo liniju para­lelnu polozajnom pra\'cu koji prcthodno nacrtamo kroz tacku A (polozajni rravac-linija pod uglom Ii -;--- 0 prem3 napadnoj plohi zida). Povucena li~ nija se sijece sa svojom (kurcspodentnom) linijom kJizne u\·ni u taed 1 koju posebno fiksiramo - obiljc:2:imo.

Sadu cjelokupan postu;'J.k ponovimo, ali s novom, wko,-k', proizvoljno odabranom kIiznom ravni, koju crtamo pod (sada neSto manjim) uglom 0., U odnosll na horizontalu.

~ Pnivac ove kliznc ravni se prcsijcca sa linijom terena u tacci E 'j time dobivamo novi klin (zemljana prizma) A '- B - E, (iju 1nasu - tezinu G2 odredimo na vee poznati nacin. Ovu vrijcdnast'Gz nanesemo u vt'e oda~ branom mjerili,l za -siie po liniji B - C, opet pacey ad wckc B (plll.1nozja) i sa nanesenog kraja sile (vrIl strelice) povucemo liniiu paralclnu polozajnom pravcu do presjeka sa korcspondirajucom (prethodno t'laerranom) kliznom ravni, a to je II tacei 2.

Sada ponovo, vucemo pravac nove (slcdece izabranc) KJlWe ravni pod odabranim uglom as i obnaYljamo posmpak u ciklusu' - analogno prethod­nom. Kao rezultat dobicemo jos jednu tacku, tj, tacku 3. Ako je potrebno (sto zavisi od konkremog zadatka i zeljenog stepena tacnosti konstrukcije,. a time i realizacije postupka) odredima jos nekoliko krajnjih tacaka, tj. 4,5 itd. kroz koje, pacev od tacke B, sada nacrtamo zakrivljenu purabolihm liniju,· pomocu koje graficki, odredujemo konacno -polohj stvarne klizne ravni i veliCinu pritiska zemlje. Ovo Cinimo tako sto pavuc-emo (nacrtamo) tangentu na \'ec nacrtanll zakri\,ljcnu parabolicnu lini_ju, paralelnu liniji B - C, tj.

]84

li,i;jipriro.fuog nagiba datog zemijanog materijala_ Kroz dodirnu taCku lan­geo,t"povu~emo pravac para/elan poloZajnom pravcu do linij •. B - C.I time -dobijemo dui (a - b) koja u mjerilu za silo predstavlja veliCinu aktiv--nega 'prltiski zemljiSta na napaWiu plohu (ovdje A - B)_ ' , :,"'::DllIji'pil$tUpak je sada analogan vee opisanom prilikom objaSnjavanja , ReiJtin-Ponselove metode: Ovo se oWiosi na crtanje dijagrama pritiska zenilje iodredlvanje napaWie ta<:ke i pravca dejs<va sile E (plitiska zemlje) na /lll-paWiu'plohu zida. " .,., ' '. - - _, ' ,

--<:0~~~"-RazuInije se" sarno po -sebi, da ovaj metod moZemo ·primjeni~_ t ked .amog, ierena 'toobicrto. u praksi ne tinimo, S obzirom na bm .1" jed-_

-__ ~i~~1'-n~'\~f~dj}o-:,~ije '_ ~oieIlOm Reban-Ponselovom ~st:UPku.· .

Analiticki postupak -

U slueaievima horizonta1nog terena iXa vertikalnog zida (oporea -,. ""Ionca objekta i 01.) u praksi (81. 189) obicrto odredujemo ve!iCinu aktivnoila pd­tiska zem1jiSta na napadnu plohu koristeci se (aproksimativno) analirlCkim metodom.

h Sl. 189. AnalitiCki postupak. odredivanja ve~ 1 litine aktivnog pritiska zemljiita na napadw nu plohu! !p-ugao unutamjeg trepja. r,,~za- GI

.. 2£ preminska tei.ina zemlje, P:tB = _ (kN/m 1

),

h ht

H = ~)/;:. h· tgt (45"- i) (k..~jml). ('l

Analitickf izraz za aktivni tlak zemljista na napadnu pIohu A - B ima sljedeci oblik:

E= ~ .y,_/zL rg'(45--}) CkN/ml)_

Dijagram. pritiska ·zemlje je trouglasr (kao hidrostatski tlak), a napadna

·tacka je u ~ visine, analogno ranije datim objaSnjenjima. Pravac dejstva - 3 , "

sile E u napadnoj taed crtamo tako da on zaIdapa ugao d (delta) 8a okomicom na vet"tikalnu napadnu plohu.

V rje<lnosti '1', 0 (0 =L - ..!.. '1') i y, moraju blti, dakako, prethodno - 4 3 '_

odredene - poznate.

PQsebn~ slulaievi

Izlomv-ena ploha zida '

U siualju izIomljene napadne plohe zida postupieemo aruuogno objd­njenjima datim kod odgovar_ajueeg slublja pri hidrostati&m pritisktL Ovo cerna ilusmrati na slici 190. Napadna ploha ima izlomljen oblik A - B - C, pa cerna posebno tretirati dio A - B, uzimajuCi da taCka B ima svojstvo

185

f

I

'POdume tacke iz prethodnih odgovarajucih obj~njenja. Za diD. A - B, provcleemo postupak odredivan;a sile pritiska E1 nR vee poznati, prethodno opisani nacin. ... .... "

Sada cerno pravac napadne plohe B - C produZiti ka gore do presjcka sa Iinijom terena u ta~ci D i odrediti pritisak zemlje za napadnu plohu C - D.

~

" SL 190. Odredi\'anje vcticln~ aktimog l'I'jtiska zcmljisl:l za slwcaj izlomljenc piohe zida. Za odrc:di\'anje aktivnog pritiska ;:~rrdjc Z:l plohe A - B i C - D primjenjujemo pozn:!l1.1

RebaIl.Ponse;on.! metodu (\'idjt:ti sliku 187),

Iz dijagrama pritiska ;.emljc, k\)ji se odnosi (i koji nacnamo) za p!ohu C - D, iskljucimo dio koji S::! odnosi na B - D. a time dobijemo st\'arr.i dijagram pritiska zemlje na B - C (trapezni oblik). Napadne tacke pritisaka E1 (za dio A - B) i Eot (za dio B - C) se odrede prema odgovarajuCim teiistima dijagrama pritiska zemlje. OsraJe pojedinosti odgovaraju objasnjenjima da­rim u rJnijim iziaganjima.

Ravnomjemo podijeljcno op[ereccllje iza zida

U slucaju horizontalne linije rerena iza zida i postojanja ravnomjerno \""lldijeljenog opterecenja p preko linije terena ,(npr, saobracajno iii neko drugo slueajno optereccnje) moz.emo kod odredivanja ukupnog pritiska na napadnu plohu postupiti tako da ovo opterecenje p pretvorimo' U opterecenje zemljom - ucinivsi ga ekvivalenrnfm opterecenjem (slika 191).

\ •... } ..• o _L~-. ____ ~\

1 ~===~--- --------+"-- ,.

Sl. 191. Ravnomjerno podijeljeno opte­recen;e iza zida: h'~dodatna vis ina, h-vi­sina zida, D-diiagram opterecenja (tra~ pez).

Opterecenje p pretvaramo u ekvivaJenmu visinu (novog) zcmliinog sloja h' uz sljedecu jednakost:

p = y" . h' (referentno na 1,0 m2. povrsine).

186

Odavdc imamo:

h' = _t (ml), y,

Visinu h' (sloja zemlje) nanesemo u mjcrilu od tacke A ka gore i dobijemo tacku A' koju smatramo vistnom z:lmisljcnc linijc terena, Analiticki (iIi gra~ fiCki) odredimo veliCinu prinska zemlie ?a plohu od A' - B i kada nacrtamo odgovarajuCi dijagram pritiska zemlje (rrougao), dobijemo od njega gornji diD koji sc odnosi na d~o stvarno ncposwjel'c visine, p!ohe A - A'. Time dobijemo trapez opterecenja, iz cega (preko povrSine) odredimo stvarnu vrijednost ukupnog pritiska zemlje (u srvari, zemlje i opterecenja p) na na~ padnu plohu A - n. Ostale pojedinosri Cinimo analogno ranije datim obias~ njenjima.

PITANJA 1 VJE21L\NJ/\

- Sta jt to i kako 51: izrazava uga() un narnjcG frcnja zemlje?

Kojc llnlltamje sik u zcmljism sc 1.;z:m3ju U {jl>Zlt' vri odr'..:divanju pritiska zcmlje? -- Kako ~c ddii1l~e akti\'ni prins,lk -~ [).II; 7-,'mIje?

- $('1 )e \0 faVUIl prirodn0g nag!!):! lnnijisl'J i $!a je klizna ravan?

- Kojc objckrc i kal;\'C iZ\'odimo ZQ J':'cll:.:im<.il1i'~ rritiska zemljc?

- U (emIl jc S!i{'D0St i n;:!ib pr::d:., ;:cilllic i prirj,ka \'"J~ na napadne plohc ~

Navedi fazlog koji uslovlp\J 1""rc:"\1 ('drcdil'anjJ priti,;';a lcmlje u konkrerr.im s\ucilievim<l.

Navedi mewde koj<! poznajd a koi:r;L~ se koristimo la oJrcdiumje pritis:~a zemlje.

- Skiciraj konstrukci;u odredivanja pritiska zcmlje za raV/lU napadnu plohu po Reban-Ponselovoj mewdi za kosi lel'en.

- Navedi neke specijalne sluca;eve koji ~e jav',j~j\l pri odredivanju pritiska zemlj~,

12.3. ISPITIVAN]E STAIIILITETA POTPORNIH ZIDOVA I SUCNIH OB]EK,\ TA

Objekri koji se odupiru pritisku zC1l11je odnosno pritisku vode, prven-­stveno svojom masom (teZinnm), bo rorpomi zidovi, brane. pregrade i slicni objekti, pri statickom ispitivanju moraju zadovoljiti utvrdene uslovc stabiliteta.

Uslovi stabiliteta koje [reba da zadovoljc potporni zid, gravitaciona brana i stieni objekri',

a) Slabililel S obzirom na flaprCZ(lnja U IIIjerodavlIim pres}ecima - po­sebno u [eme/jnaj slOpi, na kOluaRrll Hope l' cIa.

b) Swbililet S obzirom na mogure prCVfEanje zida OAO moguCe cacke obr­lanja (ose).

c) Scabilitet s ob::irolJl lIa fIIogll<'limr Uizd!lja zida.

Ad. a) StabiJitet S obzirom nn nap,<:;umja bice obezbi;eden aka naponi u mjerodavnim presjecima i u temeJjnoj stopi budu u gr?nicama dozvoJjenih, Post" se Dvuje, u pravilu, radi 0 eksccf1tricnim optereccnjima prcsjeka, to

187

je neopho&to da_ riaponi u jute napregnutoj ivici budu· manji ill najviSe jednaki dozvolj'enUn, §to Ce reCi, i:la-u temcijnoj stopi budu u granicama dozvoljenih naprezanja za dato tIo.· U teroe1jnoj stopi, posebno, potrebno je da naponi budu i jednoznaCni, u stvan, pritiskujuci, a to znati i da rezultailta, u pravilu, treba da proIazi jezgrom presjeka. U sIuCaju, propisima dopu.stenog ekscen"· triciteia, kada rezuItanta izlazi neSto van jezgra ikada se na suprotnoj s!rani javljaju-zateZuCa 'naprezanja, tada -sa !aj dioiirine stope temeljaiskljucr iz rai:una i preostali dio uzima kao pritisnut, s tim da tako dobiveni iviCnl (rubni)naponu'stop; ostane u granicama dopuitenih; Dijagram ~:I)~~~_.· :;;:~;~~~ u temeljnoj"swpi-, kada_rezultanta prplazi jezgrom j karla je dozvoljeno, ~=~7 ;:?~~~~~~~. ,tupa Van jeigra, prikazan je na slid 192. - ,

SL 192. Dijagram napona u tcrneljnoj stapf. kada rezultanta prolazi jczgrom i kada je doz­\'o!i~no odstupanje van jezgru: e·ckscentri~ citct, D-dijagram napon3 "a", I-iskliuceno,

b -Granica jezgra tl: =' - 0"1> 0"1-rubni (iyi~ni)

6 naporu,

Dijagram naprezanja je nastao kao posljedica djelovanja kornponente rezultante upravne na temeljnu Stopu i njegova graficka konstrukcija (koja se u praksi najceSce koristi) je poznata od raniie - iz materije koja se odnosi na objaSnjavanje ekscentricnih opterecenja.

Ad. b) Stabilitet s obzirom na mogucnost prevrtanja zida abezbjeduje se dokazom po kame seaeilki momma! sila koje se suprowavljaju prevrianju mora bt'ti barem 1~5 iIi vise pUla veii od stau'lkog momenta sila koje teze da prevrnu zid OM moguee tacke (ose) prevrcanja.

Sile koje se suprotstavljaju prevrtanju patitu od same rnase (tdine) zida, a sile koje nastoje da prevrnu zid su, u stvari~ opterece­nje ,od zernlje, vade i s1., odnosno njihovi rezultirajuti pritisci.

Oprazackojim se <\okazuje sta­bilitet protiv prevrtanja (p'retura­nia, uda, s 'o~zirom na prikaz po slid 193, ima oblll<:

K = 01 . al -\- G1 ' al

, E· r 21,5,

---

S1. 193, Prevftanje zida.

Taw oko \ koje je moguce prevrtanje (zbog dejstva sile E) je ovdje tacka I, koja p~edstavlja, u srvari, momentnu taCku angaiovanih sUa u na­prijed navedenom obrascu.

U slueajevima slozenih presjeka zidova (odnosn'o opterecenja) postupa se analogno opisanom naCinu.

188

Ad. c) StabiJitet S obzirom oa klizanje' obezbjeduje se dokaZom da ie ugac Ito ga zaWara pravac rezuitamc i Qkonzicc na podlogu (stQPu) ~llanji t7i. nafviIe jednak. uglu trenja i'zmeau' ;:imliaitog malenjala i zida, odnosno' te-inelja Slope; ll~ -: . - .

a'"5;,'6;::: '

gde je: d ugao ir~nia izm;du zemlje i~ida: Ovai uslov iltistri~ je n. slid 194. , - .

B-=! j -.>- '-----: , , , '

S1. 194. Kliunje zida,

-' . ,"(/ :--. ,

, !

S,iR... , 1- --

S1..195. a) zako!enje stope zida, b) stepe­nasta stopa zida, ~ugao trenja izrnedu tla

i stope zida. .

, Za sluca! da tigao a bude yeti od ugl~ -0, uslov ce se zadovoljiti zako­senje.r:n. t;meljne.stop.e (ka·.unutra) i-tako smanjiti ugao a za potrebnu vrijed­ncst III ce <;e stopa Izvestl stepenasto i praktiCki postiCi odgovarajuCi ekvi­valentan efekat, Ovo je vidljivo na slid 195.

Klizanje bi nastalo' kao posljedica djelovanja komponente rezultante paral.dne .~topi, ali do kIizanja nece doCi, kada je sila orpora trenja klizan;a od nle veca, a to se desava, sto je poznato od ramje, kada ,ie d > a, odnosno a~~ ,

Prim fer

. O~editi velicinu, pravac i smjer dejstva kao i napadnu taCku rezultujuce sile aktlV,nog tlaka - pritiska zemljista na napadnu plohu porpornoga zida sa podaClma datim na skici, primjenjujuci Reban-Ponselovu metodu (sIika 196),

Cjelokupno . (graficko) rjcienje zadatka sa odredenom vrijednoscu sUe aktivnoga pritiska zemljista,. dato je u prethodnom prikazu -- na slid. Crte.z se radi u odabranom mjerilu (npr. 1: 50).

189

t

I

Primjer

lspitati uslove stabiliteta potpornoga zida) Cije su diinenzije i presjek dati na skici, ako je zid opterccen aktivnim tlakom zemlje, sa horiwntnlnnm linijom tcrena (iza zida) i poznatim sljedeeiru podacima:

'I' = 30'; I

8 = -'I' = 10'; 3

Yo = 1600 kg/rn'; y, = 2400 kg/rn';

(I.s~ tIa = 0,20 MPa (dopusteni napon tla u temeljnoj stopi, vidjeti sliku

191). ')~~r,;~f.'

r:';z >. I , .

G,

- - - ---;;.-

/

E

/

/ / <I E

G,

G,

SL 191. a) skica, b) plan poloiaja, c) plan sila:

Najprije cerno odrediti velicinu aktivnog tlaka - pritiska zemljiSta na napadnu plahu zida (A - B). Pasta je,. teren iza zida harizontalan> materna (umjesto grafike) primijeniti analiricku metodu, odnosno vee poznati ana­Btitki obrazac za sHu E:

E = + . Y.· b' 'g' (45'- ·i) kN/rn>.

Kada zamijenimo poznate vrijednosti, imamo:

Sada cemo iZratunati vrijednost tcline zida, i· to gornjega. dijela Ol ,cmelja G. (na metar dufni):

G1= V1 · r. 1,60 + 1,0 .3,0' 1,0' 24 = \,30· 3,0' 24 = 93,6 kN/m" 2

G, = V,, r. -2,10· 1,00' 1,0· 24 =50,4 kN/m'.

190

Rezultanl:l sila E, G j i G:. ti uk!.!;''';:; r<?ultanta svih sila koje djc1u,u na zid u adnosu n<l tcmc1jnu ,<;t(1rU (sf'njnicu) lltvrdcn:l j: gr<lficb .- ,,1.\­ganjem sib_

Sada mo7.cmo ut\'rditi cia 1i z"dtwc,lj,l\',ljU us!ovi stabiliteta. l'ajprije cerno izracunrni - odrediti, odnosn,i knn,;-,-..Ii:;:lti naponc u tcmeljnoj sfori Vertikalna (n3 tcrndjnu stopu urravn:~) kn:-'l!1C'I1Crna ukurnc rezultante Pz dobije se oCita\'anjcm (uz m'jeril:l) iz pI:-t~a siiJ: R:.:; = 157,0 kN/mI. Ekscc,,­ttidtet razultamc se oCita iz rbna f010,::lj;; (nacrta) i iznosi e :::= 10,0 Cln. Kriticni ek~((:ltricitet u stori (lI,Ii!.;), ti. ~ranica jez~r;\ :/-

h :.10 nosi I!k = = 35 em.

6 it

Sada mo!.c:no odr-cditi i\'i(:n~ 'Ju~,r'l'; n ·".'lie \l teme1jnoi -"tori \-:.oriSl,", sc vee pozn<l[i~ Ohr8$Cern:

r! I ,~

, .~

10· 1:'/.0 . -, -"'--, I i 210· IUC \.

if. "'_ (),07:, 0.71

III K __ (I = _~) /. c,".

lU9),

Kao s-;:(1 ~,C vidi, ivitni naponi' su t.: s"lnic11T13 dozvoljenih (pd porede-nju sa doz\'cIljc;-:.i:r: w:f1U:10m do), ;~3 j(: l~:o:.h\' s:ahiliteta zadovoljcn.

Srabiiitc[ rroti\' rrcvrtaoja zida 'c,ko t;)(~C !) dO~Dzacemo korisreci sc vee pcznarim obrJscem U ooli!:;u koli :nika odgovarajuCih mOfl1cnata, Kuji daje koeficijent sigurnosri rrori\' pc.. ;nan);: (prcturanja) zida:

93,6 1,4 + 50,4 1,05

E r 23,7' 1,50

K I3 52,':!

35,5 35,5 :5,2> J,).

Odavde ?8ldjucujemo da je i oV~lj us!;\\' s;.::,i!itera (vcoma dobra) ispunjl'n I konacQo, mndujcmo s-rabil:tct prwi\' rr,ogucnosti klizanja zida (po

rerneljnoj stOp i). Izmjerimo ug:.w 11, koji zarvarJ nnrm:lL! 11;\ rcmc!jnu stOpU (ovcljc vcni­

kala) i pravae tlKtJrne rezultante R~' -'0- g' a to jc m:lnje od dozvoljcnos ugla 0:5 = 10°, tj.

(1 = 8'" -:: 0 = lO~.

Moierna iz gornjeg zakljuciri da je i~pun)en i ovaj (posljednji) uslo\' stabiliteta zida. Dimenzije :id" Z;td(1\'c,ji~l\'aju

I Y I

13 •. NOSAtI SA· Z<iLOBOVIMA

Ovdje cerna obraditi -one nosace ;sa zglobovima koji su, zahvaljujuci njirna, staticki odredeni.

. Zglob kao konstruktivni element povezuje dva dijela jedinstvenog no­saca u jednu: cfelinu i moze, kao sto sma to vee ranije objasnili, bit~ nepo­hetan i pokretan. U zgIobno; taed nosaca presjek nasaca je reduclran na rnaterijaliziranu izvedbu zgloba, a to se rcalizuje na' razliCite natine, zavisno od marerijala nosaca (celik~ bewn i dr.), kao i konstrukti\'oih karakte:.-istika i namjene nosuea.

Na sljedeco; skici dati Sil karakteristicni shcmatiziralli prik:1zi izvedbc zglobova kad armiranobetonskih, odnosno celicnih "nosaca,

O)~. -0t~ £~~ .. _J

c)

[~_I:~]([: I Sl. 19$, Zglobovi: armirani beton i celik

\ I

Preko zgloba se prenosi poprecna i poduzna sila (nepokretan zglub), odno'sno' poprecna sila (pokretni zglob), ali ne i momenat savijanja. Morne­nat savijrinja II zglobu jednak je nuli.

Ova cinjenica je od posebnog znaeaja za proracun ovakvih nosaca, jer se time .postavljaju dodatni uslovi ravnoteie, a sto je neophodno (uz poznata. tri uslova) za odrediyanje otpora.oslonaca ovakvih nosata, tj, stati¢ki odre­denih nosaea sa zglobovima.

Od navedenih nosaca sa zglobovjma, oydjc cerna u ncorhodnom obimu obraditi rayne nosate prcko vi~e polja (tzv: Gerbercwi nosaci) i luk (odnosno svod) sa trf zgloba.

192

-;;'

'(

';f

_13.1. GER13EROVI NOSACI

.. ; ...... Nosao .p~<ko·'dva iii viSe polja (sa ill bez prepusta) saodredenim brojem ,- :: :?:gl?bt?y~ ~aspores!enih, na pravilan -:nacm, -nilzivaju se, po svome -au~ru, . '. qerberotii nosati (dr ing. Hajnrih Gerber, 19/20 vijek). Gerberov nosac pred­

stavlja, u stvarl, kombinaciju prostih gred. i greda sa prepuStima (prepustom), . povezan.ih niedusobno zglobovima. Broj zglcbova je jednak, uproviiu, broju

", _, tn~uo~lo~a, odnOStW broju po/ja minus jidan,' rj. .

n = bro; zglobova,

m =' broj polja Gerberovog nosaea.

Posravijanjem (umetanjem) zglobova nosac preko ·dva Hi viSe polja, koji bi, inace, bio statiCki neodreden, postaje statitki odreaeni nosal. Ova '~:injenica je od posebnoga znacaja za proracun, osobine i primjenu ovaJc-vih nosaea

.u praksi (kroviSta, mostovi i dr.).'· ' .. Na sljedecoj skid (s1. 199) Sll dati staricka shema Gerberovog nosaca

sa 2 i sa 3 polja i odgovaraju¢e ekvivalcntne sheme, na kojim je vidljivo iz kojih posebnih staticki odredenih nosaea je sastavljena Gerberova greda

nosae.

A.if G ---t_B I. CA I. --,i'--------- -, f AI Ll: "",B

A cZ:

At I. i'

I. I I. , G. ; )' G. ~B

Ai fA OA -I B

EC ZOo A k

S1. 199. StatiC-Ita shema Gerberovog nosaca sa dva i tri' polja.

.. Nosa'; na slid sa dva (2) polja ima zglob u drugom (desnom) polju.po­mJeren za odredenu :vrijednost iza srednjeg osIoTIca - medutim, .ova; zglob moie bid i u pivom (Ijevom) polju, jer u·oba slueaja dobivamo stabilan iedin­s.tVeni (Gerber~)V) nosac-. SHeno je sa nosacem sa tri (3) Polja, gdje su zglo­

, bovi ~sporedeni u prvom i trecem polju, ali mogu b;ti i aba u drugom polju, pa .bi 1 tada nosac kao cjelina bio stabiIan. Pri izbotu poloZaja zglobova po­lazl se ad uslova da nasac kao ;edinstvena cjelina mora bin stabilan, a sto se najbolje vidi (i ocijeni) kada takav nasac prikazemo U faSclanjenoj statickoj

IJ Statif;" gr3dev!t1s~:lh konslrukcija 193

:

I •

shemi. Pri odabiranju polozaja zgJobova, u stvari, njihovog svrsishodnog i korektnog rasporeda, rukovodimo se teznjom da posiigncmo uravnotcZcnjc momenta s3vijanja, It t~ znaci, da vrijednosti pozitivnih i ncgativnih momenata za daw opterceenje duz cijclog nosaca budu, aka je mognee, priblizno istc - jef se taka (uz' konstaritan presjek n'osaca) najekoriomienijc karisti mate~ rijaI. Analogna razmarranja va.zc i za nOS3ce sa vi.k potja, uz posebnu napo­menu da jedan od oslonaca mora bid uvijck nepokretan (da nosac kao cjelina bude u podufnom -srnislu nepomjcrljiv), a osmli) u pravilu, pokremi.

Rje!avanje Gerberovih nosaca

a) Analiticka metoda

PosmatrajuCl Gerberov nosa("; kao cjC'!inu, za dato opterecenje mozemo (kao i uvijck) postaviti tri analiricke jednacine ravnotezc, tj.

I>, ~ 0,

L: y ~ 0,

L:MB~ o.

Kao i dodatnc jednacillc koj..: se odnose nJ. uslo\' da jc momcnat savijanja u zg/obu (zgJobovimo) jcdn:.1k nuli, ri.

AfG = 0 (G - oznaka za zg!ob),

O\'ih dodatnih jednacina (Ate = 0) posravimo onoliko koliko ima zglobova. Na ova; nacin dobijemo ukupan bra; jednaCina jednak oroju nepoznanica

(reakcija oslonaca), a to sc: rjeSava na poznati naCin (Ii jednaCina sa n nepo­znanica).

Kada se odrede otpori oslonaca (reakcije), tada se mogu, bez te§koca, nacnati i dijagrami'statickih velicina T, N i M, poStu;uCi vee od ranije na­ucena pravila odnosno 'posrupak vodeCi racuna 0 kontinuiretu (cjelini) no­saca. Maksimalne vrijcdnosti za T, N i Ai utvrde se takode na vee poznati naCin,

Ova ce bin' ilustrirano u sljedecem karakteristiCnom primjcfu,

Primjer

Izraeunati otpore oslonaca (reakdie) Gerbero\'ng nOSll':a .:'iii su statitka shema, op­[eretenje i drugi podad dati na skici (stika 2(0). IZnaJaiel;je rc:akcija:

194

R.-0-0+%-Q.-P+~-0-~+~-~

RA+~+%+RD-~"0+Q.·~1W~~

RA, -i. RB + Rc + RD """" (80 + 20 +- 120 + 20 +- 80) +- 30,

R/I ~ RB + Re + RD = QUK +- P = 320 +- 30 = 350;

2: 1H8 = 0,

RA ' 16,O-Qt' 14,0- Q1' [1,5 + Rc' 11,0- Q, ~:,o- p. B,0 + Rv' 5,0---:- Q. ·4,5 _ Q,' 2,0 ~ O. On1 jcdnaCinl! m{\zcmo j~b7,nti i \l icJnos{U\-niicm ohJiktl po~to jC

ej,

G

SI. 200 .

RA . 16,0 .-.j. Rc 11,0 +- RD' 5,0 - QUI": . il,O ~ p, R = 0,

R A '16,Q -'- Rc II,O-+Rn·S,Q = J50 ·8,0= 2800.

Sada cerno posraviti jednacine knje se Qdnosc na clndatnc \lslovc, rj,

MGt = 0 (m()mena( savijanja U 7.g1obu cJ, iednak nuli),

R A ' 4,0 - Ql . 2,0 = 0,

RA · 4,0 = 80' 2,0 = 160,

160 RA ~ ~- = 40kN· 4,0 '

MGI = 0 (posravicc[1l0 jtdnaCim, S :Jh;oir0T11 na dCSlll1 srranu od zgloba G.).

RiJ' 40 ~ Q. ~,() - 0,

Rs' 4,0 = 80 . 2,0 'OO 160,

160 RB "" --- -, 40 tN.

4,0

~ _simetrije rcakcije R,A i Rs su medusobno jcdnake~. Sada cerno, u.vtitay~nj;~"Po­matih mjednoati za RA i Rn u prethodne jednaCine, dab do konaenog nclen)R (~.- odre' diti Reo i .Rd), tj. . :"

RA + Rc + RD + RB = 350, ',.,.-

40 + Rc + Rv + 40 = 350,

Rc + RD = 350 - 80 = 270.

(1) RC + RD = 270. ,Sada uvrslimo po:z:nate vrijednosti u postavljenu jednaOnu za

LMB ~ 0, tj, 40 '16,0 + Rc 'll,O + RD' 5,0.,- 2S(XL(I.)

(II) 11 . R, + 5,0' RD = 1800 - 640 = 2160. (II.)

Rjdenjem jednaCina I i II pO Rc i Rd dobivamo sljedeee rezultate:

R; j350 kN,

Rn -- 1350 kN, (Re = RD - zbog simetrije).

TransV(:rzalna sila u prvom (i tn:cem) polju lI1ijenja znak u presjek, gdje je TJ = O.

R,1---Q'X , =0,

RA 40 , Xl = -- = - = 2,0 m (t). na 2 m od oslonca A). Analogno je (zbog simetrije)

q 20 is':! treCim poljem X, = 2,0 (ri. na 2,0 m od OSlOllC:l B - nalijevo).

Na slilan nacin racunamo puloiaj kriticllog presjeka (T" = 0), i ,I drugom polju. OCigledno U ovom primjeru je to (zbog simetrije) U sreclinl raspona ii, is pod sile P, tj, XJ =3,Om.

Izralwuroanjt mommCQ S(1)'anja u presjecima gdje crallsverzalna sila mijenja znak 11 poljima i nad tnlondma.

Prvo i treee polje:

4,0 q' 2,0' MI= MIII=RA-T---i-= 40 ·2,0-10 -2,0= + 40 kNm.

Drugo polje ispod sile P_

Mu = RA' 8,0' q' 8,0· 4,0 + Rc' 3,0 = 40 - 8,0 - 20 ·8,0' 4,0 +- 135 . 3,0 =

= 310 - 64-0 + 40.5 = 85 kNm.

Momenti nad osloncima: /viA=O, i'viB=O,

Me""' RA,' 5,0- q' 5,0,2,.5 = 40 '.5,0 - 20 . .5,0'2,5 = 200 - 250 = - 50,kNm,.

MD => Me =' - SO kNm (zbog simetrije).

NajveCi momenat uvijanja pojavJjuje se II drugom poliu (ll sredlni raspona), tj. MIl i lznO!i:

Mnu.x = MIl = + 85 kNm.

Najvete ekstremnt vrij~nogti za transverzalne sile pojavljuju se nad osloncirna - i):O je vidljivo iz dijagrama ovih sila (T). Maksimalna transverzalna sila ovdje je u pr-esjekU oolonca C (i D) i iznosi:

Tm~= +75kN.

Posto oema honzontaInib sila (odnosno kosi!! sib, opteretenja), na ovome nosaeu dija­gram sila normalnih dui cijdog nosaCa je j<;dnak nuli (N = 0).

Na inalogan naon bismo rijdiH j druge udatke iz grupe Gerberovih nos3ea (za smtiena - mirna - stalna opterecenja).

196

'.~

il

b) Graficka metoda rje1avanja

Ponekad .. u praksi ~ofemo, ovisno od koiikretnih oko~osti koje mogu ukazati na prednosti grafiCkog t~d., primijeriiti i.gr3riCki metod za tjda-vanje zadataka kcid Getbetovih nosaea, .

IznaJafenje reakcija ..:.. otpori OSIO!lRCa po grnfiCkoj'metodi vcli se u skladu sa vee poznatim grnfiCkim posrupkom za odtedivanje teakcija nosaCa,

Nairne, pomoCu plana sila i veriZnoga poligona, koje crtamo u posebnim mjerilima - primjenjujuci grnfiCke uslove ravnotde,. odredujetno teakcije, Posta u zgIobu (zglobovima) momenat savijanja je jednak nuli (Ma ~ 0), to se projektuje taCk:r zgloba na nosacu ria'_ nacrtani verifni poligon i kroz dobijenu taCku (taCke) prolai:i zakljuena slranica S ovoga poligona. Time

, omogucujemo ,crtanje Zatvorenog, veriZnog poligona. Buduci da je i plan sila zatvoren) lime se ispunjavaju uslovi ,ravnotefe, 'moiemo pouzdano Utvr­diti i reak<:ije za- konkretni zadatak - nosac sa zadanim opterecenjem.

Ovaj (graficki) metod cemo ilustrirati 'ua sIjedeeem primjeru (slika 201).

Primjer

Odrediti reakcije - ()tpore oslonac:I Gcrbcrovoga nosaaa 1;:1 koji su l'oduci dati na slid 201,

u/Pla.npoloioja

SI. 201.

bjPiao silu Mjeri1o:

) nun '" I !:N,

197

t

I

Cjdokupan postupal.:. je vid!jiv iz grafitke konstrukcije U okviru koje su dati i do~ biveni rezuJtati.

Kada se od;-cde teakdje. ako ie potrebno, dijagrame stati~ldh ve1i~ina %a T~ N i M konstruiSemo' - cnamo na prclhodno prikazan natio (kao kod analiticke metode).

PITANj.' I VjElBANJA

- Kako defioHemo i dijelimo nosace sa zglobovima? - Sra je to zglob i kat"i mogu biti zgiobo\"j s obzirom Ola ;:omjerljivost? - Sra su to Gerberovi nosati? - ~avedi dopunske US!OH ra\'noteie! - >:a nosatu sa 3, 4 i 5 polja rasporedl pravilno zglobQvd

Rijdi nckoliko samostalno postavljenih zadataka sa Gerberovim n0~acima -na analitiCki natin,

13.2. LUCN! ! Z.~S\'EDEN! NOSACI - LUKOVI I SVODOVI

Pod lucnim i zasvedl!nim nosaCima - lul;:('l'ima i svodovima podrazu­mijevamo nosace koii (i za vertikalna optereeenja) imaju, u pravilu, kose reakcije. To su Lradicionalni nosaCi u gradC'.'inarsrvu koji se primjcnjuju i danas - mada U ogranicenom opsegu, rjede u visokogradnji (zgradarsrvu), a teSce u inzen;erskim konsi:rukcijama.

Ovim nosaCima postizu se znatni r'dsponi (npr, u mostogradn}i) i mogu preuzeri relativno velika opterecenja. Materijali u kojima se izvode lutni i zasvedeni nosaci (kao konstruktivni nosivi ,dijelovi - elementi) su: opeka, kamen, beron (tradicionalno), kao i ar:mirani beton, ceIik; i dr. Osa luenih i zasvedenih nosaea, u geomerriiskom· smislu; obicno je zakrivljena (luk, parabola i dr.), ali maze bid i nezakrivljena, izlamljena i s1. Lucni i zasvedeni nosaci su karakteristicni po tome sto trpe i prihvaeaju prvenstveno pritiske - naprezanja koja potitu od normalnih sila, dok je utica} transverzalnih sila i momenata savijanja manji, Ova je od znacaja i za izbor materijala (uglav­nom masivni materijali od kojih se izvode ovakvi nosaCi - konstrukcije),

Luene i zasvedene nosace> u sratickom smislu, tretiramo prakricno na isti naein - koji ce u daljem objasnjenju bid izlozen.

Razlika izmedu lukova i svodova je konstruktivne prirode - pO$.cbno .s obzirom na Cinjimicu da zasvedeni nasaci (svodovi) imaju konstruktivnu sirinu koja je veea ad debljine (visine) presjeka svoda, dok je kad luka (lucnih nosaea),_ u pravilu, manja sirina od visine ili se mnogo 11e ;azlikuje .)(! te vrijedf1osti.

Luk, dakl-e, mozemo predstaviti i kao zakrivljeni stap - nosae, a svod kao zakrivljenu plocu - nosac sa definisanim nepokretnuTI leZistima, Kad svodova racunska (staticka) sirina nosaca se uz,ma t,o metar duzni (po sirini nosaea), Staticke sheme ovih nosace se predstavljaju na istovjetan naCin. U daljem teksru bite koriSten uglavnom termin luk. s tim da data objas.­njenja, u praviluJ wie i za svod (zasvedene nosace).

Lucni. odnosno zasvedeni nosaci, u statickom smislu. mogu bid staticki odredeni i staticki neodredeni (slika 202). Luk iii svod na rri (3) zgloba,

198

ad kojih su dva oslonacka i treei rjcmcni ~ jc sraticki odrcden, pa cerna ovaj nosae ovde posebno i obradiri. Luk sa jednim zg:lobom (u rjemenu, dok su osland ukljcS[eni - prakticno sc i oe primjenjuje u gradcvinarstvu) i luk sa dva zgloba - aba osknacka, Sl'aticki su neodredeni. Takoder,

J) staticki je neodreden i ukljdteni luk, rj. ovakav nos3C bcz zgloboY<l Ciji su aslonci ukljdtcni. Primien:~ ovakvog luka iIi SV();'.l3. U pfJKSi jc eu kategcriji lucnib nosa,:,): (l'S[~~_ P~' --·/t1 ....•

ZgloboYi koji se rrirnjcnjuju ~.'.

kad oVlh nosab mogu b'.t! lZ\'C-deni na razliCitc nuC:ine sJie:ou kao kad prethodno {)nr:lc1Cllib Ger--­berovih nosaca. O\'djc Sl! U\-ijcl-; zglobovi ncpokrerni. K:!r:l;";rc;-istic­ni oblici ovih zglobov:l, shcrn;nski prik..lzar:i, za svod(l\'c j iub \'e 1/,­

vedene u betonu, odn05nc' ,,,'rni[~l­nom betonl! ! b:lil:u, d:I[] su n<1 sljedecoj skici (slik2. 203,).

BuduCi da su ')s10n~l~<c ; \' dje lucnih i ~[L;\Tcenih nos;,cC!, kao stO smo rekli, ):()SC, to, ra$t,;"'- :::, 2<)2. ~j ju~ (sv(\d) '5:\ JI'U zgloba, bj UK­

ii;cs!e:li \uk, c) it!k ~a tri zgiobJ. IjajuCi ih na vertiblnu i liori7.or,­talnu komponentu, mOrnmo obez­bijediti i oslonce (oporc~) koji Omof;uCJ.vaju prihvutanje 1 daJje prenosenje (npr) na tIo) ovak-vih reakcija.

c)

Sl. 203. Karakterisricni obtici -zglobova 22 s':,-;:iril'e i !U,;0ve: a) shema Ctjemenih) zglobova, b) armirani beton, c) cdik.

Horizonralnc komponentc rcakcija (luena sila) na osloncirna luka mogu se prihvatiti (u odredenim slucajeyima - uslovima. _: ovisno 0 namjeni konstrukcije) i tzv. zategom izmedu oslonaca, sto predstaylja poseba'1. sl'lcaj U okviru sratickog tretiranja lukova,

Rjdavanje luka na tn' zgloba

LUI~ na tri zgloba, kao sw smo vidjeli, jc sraricki odreden j za njegovo rjclavanje, odnosno iznalaienjc orpora oslonaca (rcakcija) mozerna se kori­stiti pozn'atim grafickim, odnosno analitickim uslovima ravnot~ze (dva gra-

fiCka Odn08UO' tri ailaliticka uslova), kao -i .dodatni uslov koji proistil!c', iz_ Cinjecice ,da je momenat savijanja u' (tjemenom! zglobu jednak nuli;- '~. Mo=O.

Grafilko rjeJeroanje. Iznaiaienje reakcijagrafickim postupkom .v~imo : na osnovu od ranije, poznatih pravila (stavova) lZ grafostauke. NalpnJe u mjerilu za dUZine nacrtnmo plan polczaja (nacrr) nosaca, rj. luka na ~ zglob. sa optereeenJem. Pored ovoga (iii ispod). na pogodnom mjestu, vode6 raCtma o prostoru za crtanje i preglednosti rada, crtarno plan sila u. 'odabran?ID mjerilu za sileo Postupak cerna ilustrirati karakteristicnim ynmjer~m -:-7.adatkom U okviru kojega cerno objasniti, takode} i konstrukclJU (kao 1 defl­niciju) tzv. reZuItantnog poligona) odnosno potporne limje iIi ~in~'e frjeisa.ka koja je od posebnog znaeaja u statickom treunanu (racunanJu-l~plt1VanJl'9 lucnm nosaca - posebno luka na 3 zgloba. U interesu pouzdanostl (tacnosn) dobivenih rezultata u okviru grafickog postupka, neophodno je veoma pat­Ijivo, precizno i sa pomno priprernljenim priborom pristupiti izvrsenju za~ dataka ov3.kve Yfste. Ovo posebno, -s obzirom n3 Cinjenicu da se testa zadaCl ovakve vrste (!ipa) u praksi rjdavaju grafickom metodom i da se, na osnov~ dobivenih podataka, izvade potrebni zakijucci (npr, u pogkuu. korektnostl linije luka i dr.) 'kaa i dalja racu-nanja U okviru cjelovitog stunckog prora­cuna (vidjeti sliku 204).

0) plan pololaja (notic.ka shemo)

~, ,\ , , \ , ' I

"'V

, ,

J~ , ,

/ . , I

I

',0,' ';;Jf, / , rAM"",","", ,,:-, .. """~2,-.rrS?\t~-

.\

5l. 204.

A sada cerno rijcliti vee pomenuti zadatak.

b) Plan silo

Ovakav zadatak rjclavamo tako, da najprije posmatramo opterecenje na lijevom dijelu IUCnog nosaca (izmedu oslonackog zgloba A i tjemenog zgloba G) sa pripadajuClm opterecenjem, ovdje silama P1 i P'l,' Na planu sHa su nacrtane (paralelno svojim pravcima dejstva) sUe PI i p~ i dobivena par­cijalna rezultanta R1, tiji pravac je odreden crtanjem parcijalnog verifnog poligona. Posto na desnom dijelu nosaca ad G ,do B (zamisljamo) nema

200

1 '

":,

. '. -, .. - ,.

Opterecenja -' pravac parcljalne reakcij~ Rill. mora--p~>krOz ta~e (zglo-90ve) B'i G, sjekuQ se sa pravcem Rl U taCCl Cl.,_Kioz,ta~ C1 1 tacku A (oslonaCki zglob) mora proa pravae parcijaine reakcijecR,.jt~ RAt i RSl ~u parcijaine reakcije za opterecenje, li;evo od' zglob. G;;:N~, aoaiogan naelD

'posmatrarno'desnl dio IUCnog nos.ea, Ij. kadaopterecenj,,"djeluje sarno na tome dijelu, a to'SU ovdje sile Pa i P,. Na p1!lUU sila~:n.as~vimo crtad sile P.I P, 1 dobijeuio drugu parcijalnu rezulranni R" ajl: polozaj (pravac) nacrtamo pomoeu pardjalnog veriZnog poligo.t;tBJ koji. -s~ -od.nosi na posebno posmatrane'sile P s i P4' Sada kroz A i G provucemo,prav~c koji se sijeee sa pravcom rezultante R2 i Ct. . _. _

Kroz taCku ~ i B (zglob) povucemo pravac pa~cija1ne rezuItante Rm. Posto je prethodno odreden pravac parcijaine rezq1tante R"u> to. sada mo­tema odr:edid ukupne (totalne) reakeije oslonaca RA (aje· su komponente

. RAt i R A2) i RB (Cije su komponente REt i Rsz). Pravee i vrijednosti za RA i RB dobicemo kada na planu sila spojirno tacke a i 0 (RA), odnosno- 0 i e (R~). TaCku 0, pol ukupnog plana sila (za sve sile Pl' P2) Pa, P4), dobijcmo kada iz tacke -b i d povucemo parale1ne linije ~ pravee; pravdma parcijaJnih odgovarajueih reakcija, ovdje RA2 i RBI' U njihovom presjecistu (f) nalazi se pol 0 (identican za racku f).

Na prikazani nacin u potpunosti su (graficki) odredene reakcije u 0510-nackim zg!obovima A i B.

Sada cerno objasniti crtanjc l'ezu!tantnog poligona, odnosno (vet po­menute) potporne lini;'e lub.

U planu sila povucemo polne zrake od tl1cke 0 (f) do pocetnih i krajnjih taCaka sila u planu sHa i [e zrake oznaCimo sa 1',2',3',4' i 5' (pnwac RA je identiC-an sa l' i Ra sa5').

U planu polozaja pnivac oslonacke reakcije RA (tacka A E::--" I) produzirno do presjeka sa prav(''effi sile Pi i dobijemo tacku ,n. ,Od ove racke, dalje, vucemo paralelnu liniju sa 2' (iz plana siJa) do presjeka sa pnn'Cem sile P~ i dobijemo tako tacku III. Sada od ove t?cke vuc-emo liniju p:uaJelno sa polnom zrakom J' do prcsjcka sa pravccm dcjstva sHe P a i dobijCHlo tacku IV. Ova stranica rezuItantnog poligona od tacke III i IV (3') prolazi i treba prolaziti, karla sc svc tacnu radi, kroz tjcmcni zglob, tj. tacku G.

Dalje od tacke IV vucemo paralelrlO sa zrakom' 4' dp presjeb sa prav­t.:cm sile P 4' cime dobijemo tacku V. Dalje od ove taCke, preko oslonca tacke A dobivamo pravac reakcije Rs - idemican sa zrakom 5'.

Time je zavrseno crtanje rezt.iltantnoga, poligona iIi pozpome lim}"e koja/ preds.tavlja} prema tome, veriini (rezuItantni) poligon prov-ucen kroz tri tacke, pod posebnim (ovdje postovanirn) uslovima:

Potporna linija (linija, pritisaka) pra.ti -linij1.\ ose IUCnog nosaca i moze se konstatovati, -'da je; za odredeno opterecenje, linija luka utoliko funkcional­nije - bolje 'odabranaj ukoliko potporna linija bolje (prisniie) prati liniju samoga luka. Idealno bi bilo podudaranje 'ove dvije lini;e, -_5to, naravno, U

praksi, u pravilu, nije izvodljivo.

Srafirarui povrSina (oko~ice na osu .luka) pre~tavllaju udaljenja rezul­tame u svakom presjeku luka (ekscentricitet rezultante - _ podsjetiti se eks­centricnog optereceri;a) od ese luka.

Ova Hnija (ploha) ukazuje. takodcJ na karakttr momenata linije luka, a momenti savijanja, rekli smo, u pravilu ne precistavljaju dOlllinantne uti­caje kada su u pitanju lucni nosaCi.

201

/

J

Rezultanta sila u bilo kojem pr~jeku luka moze sc odr~diti iz plana sila (identicna sa odgovarajuc:om polnom zrakom - sHorn) i potporne linije, tj. rezultantnog-'poligona. Odredivanje naprczanja u karakteristicnim presjecirna luka, prema tome, svodi se na odredivan;e ivicnih - rubnih ~la­prezanja za poznatu ekscentricnu sHu (normalna komponenta mjerodavne rezultante za odredeni presjek) sa pozI1atim ekscemrkiretom (koji se pre­cizno' ocita iz plana polo'iaja luka) i poznatog (prerpostavljenog) prcsjeka) odnosno, tiji su oblik'j 'di'menzi;e zadati - usvojeni pretpostavljenL Analiza - rezuItati naprezanja ii' svih karakteristiCnih ptesjeka, pokafu da Ii di­menzije presjeka luka zadovoljavaju. .

Na sIjedeCo; slid' ilustriran je opsti sluca; ispitivanja jednog presjeka luka S obzirom ha naprezanja (slika 205). Kada je rezulranta (svojim prav­cern) poloiena - prolazi' jezgrom presjeka, tada je cio presjek napregnut jednoznacno. tj. na pritisak - kakav je sIuCa; ovdje prikazan. U protivnom bi se na supromoj ivici pojaviI~ zatezuca naprezanja - sto se u pravilu, kod nosidh lucnih konstrukcija - nosaca ne dozvoljava, odnosno moze se prihvariti samo pod uslo\"ima koje definisu odgovarajuCi tehnicki propisi (dozvolje-ne vri;ednosti zatduCih napona I.).

$1. 205. Opsti slutaj lSp1t1Vanja pres­jeka luka s o~z-iram na naprez3_nja: a) pres;ek In - m. b) dijagram 0';- -e-eks-

cenrar.

SL 206. Iznalaienje otpora oslonaca anal i­tickim putem (statlcka shema).

Presjeci su korektno dirnenzionirani - dostatni po plohi, kada su na­poni u granicarna dopu.§tenih za marerijalluka. Konkretno rac-unanje ivicnih

napona vrsi se· analitfcki, uz primjenu odgovarajuceg obrasca [(d1,2 = -

= - 1~ (1 ± :.) j, odnosno evenrualno i grafic-ki na bazi vee poznate

grafiCke konstrukcije, obj'aSnjene u materiji 0 ekscentricnom opterecenju. Osrale pojedinosti neophodne za interpretaciju i provodenje proracuna na­prezanja vidljive su u dato; slid.

202

.-ll1a/iullw .'J(,§(,llje

Iwal<Jzenjc otpora oSIOnaGl ;Illdlirickim putem, zasno\,ano jt na posr·,l\'­Ijanju an:llirickih uslova ravnOtl:/.e: i dodatnog usJova da jc AIG = 0, Ij. momenat savijanja u zglobnoj race! (G) jednak nuli,

lake jc postupal--:. <lna/og'.ln postUPKU iznalazenj::.. reakcija kad dru~ih nosaca sa zg!obo\·ima (nrr, GerberO\' nOS;1('), ilustriracemo iz.n~Uall.'"1}e \'tr nra

oslonca na slicdccem karaktaisticnom Or~[em primjcru - zadnku l\,jdjcti sliku 206). Na daroj sEc! su svi pndaci neophodni za pror;.J(:un -~ iznalazenic rC3kcijJ, a nakon raga, j za da!ja potrcbna f;:-;cllnanj;,J. Sile (orterdenja) su ovdjc \'e,rti­kalne, a d<l su kosc, razlozili bismo ih rrelhodno na horizontalnc i vcnikainc kornponente.

Olpon' rwkCljc OS/ON<1W. Post:wimo iskaze za uslovc u ravnotdc i do­punski u510\', tj,

I uslo\': L. .\.r"= O.

R,4li ---; Ril!1 C,,, 0, F.,HI = ~- Rli!r Ildriz0nLllnc komponentc rcakcija N..:!I

i RlIl( (lucna "ib) S11 I1l';::dusohnI1 ;LJl1d"~:': i c,uprotnog smjcra,

1 J US)(H'· I y n

III uslov, L Mu Co 0

RAV · I - J\ ' hi -' p~ r~ '------= 0 Oda\'de imariH;

P 1 . hJ + p~ . 62 RAv "'"_ ~ "~.- - ~-'.---~. 0\ ,',j i'l.rJZ je identiean sa iUUWnl (obraSl.'Ci 1) I

koji bismo dobili dd smo) urnjcstci istim Optc!'cccnjem i raSpOflOnl paziri. KonaCl1n j1ostaviml) dOpUil

!Lk~l na 3 z~loba, imali prostu greJu Cia ill je c:injcnica KOju {raba P(lSChD(l 1,,­

ki u\;!ov ravnotezc, rj:

L AI" " o. Razmolrlcemo silc (optcreccnja) sc iij(:\'c strane presjeka, u kojem sc

nalazi zgloh G.

R,1J'· - R~lJ1· j 2

I' . , (0, I ' 2) ~ o.

Izraz u brojniku na desnoj snanI ie u srvari izraz za momtn<tt S<lVI­jan)a korcspondcntnc prostc p'cdc <::1 pr'csjck u s~edini raspona (tj. u G), po moiemo pisati:

/'.1""

J

MOG - momenat savijanja koji dobijemo kada, umjesto luka ni~ tri zgioba,. imamo prQsru gredu, i to 'za isto opterecenje, isti raspon i za presjek u G

. j strele (visim) luka (m).

Konacno, rjdenjem naprijed navedenih jednacina, ia kOnkretne (zada~e) - podatke dohijemo reakcije RA i RB (preko komponenata) na analiticki nacin~

. , RA = V RAH2 + RAVi,

Rn = V R8H2 + Rnv:'·

Ugao koji zatvaraju pravd dejstva reakcija prema hOf,izontali (spojnici A - B) Jobiju se, na vee pomati nnein - preko tangensa ugla (1, odnosno [3, tj.

Vrijednosti statickih veliCina za T, 1',,' i Ai, od kojih jc posebno znacaJna N sila, dobiju se u svakom presjeku, postavIjajuCi izraz zasnovan nu odg­Ilarajucoj definiciji za traienu statieku veliCinu. (Vidjeti materiju 0 staric­kim veliCinama N, T i Ai), Dijagrami statickih veliCina (ukljuc:ujuCi i izna­lazenje ekstrcmnih vrijcdnosti) izractuju se, takode, ua vee .- poznati uaCiu, analog no objasnjenjima darim za gredne nos ace,

Na prethodno; slid (slika '206) odabran je proizvoljni presjek I ~ 1 upravan na osu nosaca (tj. tangentu na osu luka u teiisnoj tued presjeka I - 1 luka). Staticke veliCine u datom presjeku racunaju se na osnovu po­stavljcnih (sastavljenih) izraza - jednaCina, ito:

a) Transverzalna sil<l

T1_ 1 = RAV • c,os 01. - RtI,H . sin aI'

gde je at (vidi siiku) ugao ?ito ga zaklapa ravnina poprecnog presjeka lub u 1 - 1 i vertikala,

b) Normalna sila

c) Momenat savijaJ?ja

M 1- 1 = RAV ' x - RAH . YJ

gdje je: x apscisa; y, ordinata tezi!ne tacke presjeka luk. u I - I· Na analogan nacin se odredujll vrijednosti statickih veliCina i u bilo

kojem drugom presjeku. ,A sarli cerno U osnovrum crtama obraditi staticko tretiranjl1 ~,ispiti­

vanje lukova i1i svodova bez .stvamo izvedenih zglobava, tj. ukljeStenih luc­nih nosaca koji se izvode u praksi obicna kad masivnih konstrukcija ..

Potrebno je neSta viSe reCi 0 oblicima - vrstama vee pomenutih pot­pomih linija, odnosno linija pritisaka.

204

Vrste potpornih limj'a ..... liniia pritisaka . .

Pri statiCkom ispitivanju masivnih - ukljdtenih -Iukovaf odnosno svo­dova sluZimo ,se razliCitim P9tpornirn linijama. Vee smo' pomenuli da ce se oblik ose luka, i to radonalni ohlik ose,. dobiti, odnosno provjedti porede­njem sa nacrtanom-'-sre~njom -potpornom linijom luloL U}roliko ova linija Ill!crtana (konstruisaita),:za.stalno (vlastito) op.terecenje oyakvog luka (iii svoda) dobro~. prisno·prati (bez znaeajnih odstupanja) liniju-osu luka, tada takav "oblik' ose"'mo!emo smatrati racionalnim.

i.uCrie~ -6dnosrio 'wvedene uklijeStene nosace mozem~ u uobieajenim sIueajevimaj Za ixitrebe standardne prakse, staticki tretir~ti .,- ispitivati po teoriji luka na tri (3) zgloba. U vezi s tim, neop~odno je izvtiiri. i ovakvo raz­matranje:

Aka na slid 207.- posmatramo hipoteticki niz - (kontinuiranih) zasve­denih nosaca sa osloncima (oporci-stubovi), tada mozerno predstaviti i za­kljuCiti sljedece:

q q

-- - - -,. , ,. I) '-t:

,

81. 207.

Ako je poije (svod) I i III optereceno, a -polje II neoptereceno 5

korisnim opterecenjem q, tada ce se u I i III polju (pd dovoljno velikom opterecenju i pri popuStanju os!onaca) pojaviti pukotine prikazane (kari­kirano) na slid.

Djelovanje je isto kao da ~mamo luk (svod) na tri zgloba koji se nalaze u suzenim dijelovima presjeka (pukotine) i kraz koje mora proci odgovarajuca patporna linija. .

U neopterecenom polju (svod) tjeme svoda ce se izdlgnuti (polje II) tako da nastaje pukotina sa gamje strane, a oslond ce dobiti pukotine sa donje strane. .

.I ovdje zakljueujemo na isti naCin, tj. da potporna linija mora proCi -kroz tri ovakVa zglob. u pukotinama_ .

Naravno,navedeni zglobovi U oba slueaja (I i III polje i II pol)e) su fiktivni, ali Cerno pd radu, odnosno ststiCkom ispitivanju postupiti kao da su stvarw. Njihov polouj u spojnicama (prikazanim moguCim pukotinama), U oslondma i tjemenu je posebno definisan s' obzirom na uslove stabiliteta svoda.

205

,

t

'.

J

I7. o'l.'og proizilazi da pri ovakvom trcrmanu, u s\"akom svodu mozemn z3misliti da postoje dvijc ekstremcnc potpornc linije (Iiniic pritisaka). i to jedoa jace zakrivljena (strrna), a druga blaie zakrivljena. Prvu nazivamo minimalnG potporna linija luka ili svoda (jer daje minimalni horizontalni potisak) i drugu maksz"malna porpoma limja.

Koja od te dvije ekstremne Iinije ce Slvarno egzlstirati u datom - ne­korn konkrernom slucaju; nije moguce ustanoviri iskljucivo na osnovu zakona ravnoteie.

U praksi se postavlja, u praviiu (kod masivnih konstrukcija - beton, opeka, kamen i 51.), zahtjev da u luku, odnosno svodu ne smije biti pukmina i kada je takav zahtjev ,neophodno ispuniti, tada potporna linija n~ smije izlaziti van jezgra presjeka - a kod pravokutnih presjeka, to je srednja treCina visine. Tada je poioiaj 'zglobova (fiktivni zglobovi) odrcden kako slijcdi:

a) kod strme, minimalne potporne linije tjemeni zglob je u gornjoj racci jezgra, n oslonacki zglobovi u donjim tackama jezgra presjeka (tzv: trccinske tacke-kod pravougaonih prcsjcka);

b) kod blaze nagnute -' mnksimalnc potporne linijc, tjcmeni zglob jc u donjoj wed jezgra, a oslonacki u gornjim we-kama jczgra.

Graficki prikaz minimalne·i maksimalnc potporne linije luka, odnosno svoda dat je na sljedecoj skici (slika 208).

'j - - --- b

bj , 0.

S1. 208. GrafiCki prikaz a) minimalne i b) maksimalne potporne linije luka: a-g-b, i 0 a' _ g' _ b' su fiktivni zglobovi.

Treba istaci da, pared navedenih ekstremnih potpornih linijn, postojc i druge karakteristicne p:o sVome obliku i fiktivnim zglobovima kroz koji prolaze, zavisno od polozaja i vrste opterecenja i krakteristika nosaea. Za svaku od ovih linija vazi '; praviIo da treba da prolaze jezgrom presjeka i da (kao i za maksimalnu i minimalnu) budu ispunjeni odgovarajuCi uslovi sta­biliteta luka ill svoda.

Uslovi ce biti zadovoljeni aka:

naponi. u karakteristicnim presjecima luka - ivieni naponi budu u granicama dozvoljenih za dati matedjal luka iIi svoda (stabilitet s obzirom na naponc - cvrstocu rnaterijala),

ugaa koji zaklapa rezultanta u bila kojoj, odnosno pasebna u karak­teristicnoj spajnici bUde manji (iIi najviSe jednak) uglu .trenja mate­rijalasvoda(stabilitetprotiv k1lzanja), a ;;;. 6{b = ·ugaa trenja u svadu).

Postupak iznalafenja potporne linije kod maSivnih (uklijestcnih) svo­dova (Iukova) provodi se kako slijcdi (slika 209). Za ilustraciju sma uzeli

206

simetrican luk (sHld) ; utvrdivanjc src,jisnjr rm;~()rnc liniic s\'odJ, a /.,1 Sf,linn opterecenjc: knjc poticl: od vlaslilc Idinc S\\,(1,\ i k()!lstruktivnc Il:lJ)..:r,ldI1jc (sve do gornje pO\'fsini': preko knjt: hi sc (i:lijc rrenosdo korisno optcrcccnjc).

0) Plan poloiajo

bl Pion do (u mjerilu Sito)

Polozaj zgJobova (fiktivni zglobO\·j) je u srcl.isnjim tackama jezgra u tjemcilu i ostonCimf:L Zbog simetricnosti, tnama (jer je dovoJjno) sarno jednu polo­vinu svoda sa odgovarajucom karakteristicnom nadgradnjomJ i to u mjeriJu duzina (plan polozaja), a desrtO je rezervisani prostor za crtanje plano. sda. U samom svodu smo obiljc.zili sredisnju liniju svoda (osu) i jezgro sa gor­njom i donjom Iinijom (granicom _ ... srednja tretina presjeka).

Odredivanje optercccnja - 5il8. kaje napadaju svod vrSimo taka da svoJ po duzini podijelimo na odreden brl)) lame!a. Najbolje je; ako je mogue\.', duzinu lamc1e uzeti kao cia '')roj - obicno jc to 1,0 ffi-metar. Vc1iCine muse (tc­zinc) tih lamcla G1> G2> G::, . .. Gn odredimo mnozeei zapremine lamcla (dijelo';e zapremine) sa pripadajucom zapremins:-:,oE1 m8som (tdinom), tj. koristcCi opsti obrazac G = V' (111 (V - zz:premina u m 3) },," zapreminska D1:J:,,1

materij31a u mp,im 3.). Dalje postupamo tako da liZ pomoe plana sila (u odabranorn mjeri!u

za siJe) i veriinog (pomocnog) poligona odredimo ukupnu rezu[tantu Fe svih sila izrnedu A i G (oslonca i rjcmcna svoda). Tako smo dobili i pravac dejstva R. Da bismo zadovoljili graficki uslav ravnoteie moraju ')c pravci triju sila, i 10 ovdje R.i , R i RG , sjcCi u iedno; tacei (ovdie racka C) i oorazo­vati zatvoren poIigon (trougao) sib. Pravac sile RG i zgloba G (reakcij,l desnog dijela luka - svoda) je horizontalan (simetrican nosac) i prolazi krn;: tucku - zglob G. Time je) zapravo, odredcna tacka C, a kroz ovu tacku i tacku A (oslonac) mora prolaziri rravae oslonackc: reakcije RA ·

Presjok praYed RA i Ro 11 ·plnn.u (trouglu) sila odrcduje tacKu - poi () iz koje vuccrno - cnamo poInt 1.1";.1-.::[' 1,2,3. prema pocecima i Zflvrst:(-

cima sUa G1, G%) G). G" •• , Sada s'c moze vecnacrtati potporna linija postup~ korn vee opisanim ~ ,q'tanje pqtpornc linijc {uka na tri zgloba, a sto je nn slid ra kojoj jt.: \icrtRri.a potporna -linija, na odredenom opstem primjeru, prikazano, odnosno vidljivo.·

Analognim postupkom- bismo mogli odrediti bilo koju drugu (za pro­, racun potrebnu) pDtPomu liniju"k9d luka iii svoda za zadane ~ poznate

podatke neophodne- za' r:ealiza<?ju opisane grafostaticke konstrukci;e.

Slalicko ispitivaTife. oporaca

Upornjad (oporci)' lukova-' iIi svodova se ispituju na sliean naein kao i potporni zidovi. BuduCi da "su oporei masivna tijda odredenog oblika, koji moraju da bezbjedno prenesu na tIo sva opterecenja (sile) koja se na njih prenose, to je potrebno uzed U obzir najnepovoljni;e kombinacije uticaja (opterecenja) koji mogu _(pod odredenim okolnostima) opteretiti aporae' i statickim ispitivanjem, analogno ispitivanju porpornih zidova, utvrditi zado­voijenje uslova stabiliteta. Uslovi' stabiliteta su identieni navedenim u ma~ rcriji koja se odnosi na potporne zidove. U slucaju nezadovoljenja uslova, vrse se korigovar.ja -siluete upornjaka (oblik presjeka, dimenzije), analogno postupku kod potpornih zidova.

Prirr.jer

D~[a )e staticka shema lub na ui (3) zi;!oba po!ukruinc ose, Rasp0n, strela i optere­(~nit: k0ncentrisanim teretima dati Sll 11a sal"oj skici (s!ika 210).

b) PIon silo I~ 0) PIon po!ofaja ! SO kN

(shemo konstrukcije):' ." ,40 kN

I f'---1--~~d,

SL 210. '

Potrebno je:

a) grafilkom metodom Odrediti reakcije i nacrtati rezu1tantni poligon (potpornu liniju); :analitiCkim pos~pkom odrediti reakcij~ radi provjere tacnosti rezultata dobivenih grafickom mctodom.

Ad. a) Cjelokupan grafiCki postupak (grafOstalii:ka konstrukcja), iZ'Ied<!11 u skladu sa vee datim objdnjenjima, vidliiv je na £~llloj slid. (Mjerilo pod a) za dutine i pod

:\d, b) Analitieko odrcdivanjt rca\;.cija b) za sileo

:ws

. i,

Koristicemo ~'ec powate. ranije izvedene inaze -,obrascc:

SO . 8,0 + 40 . 3,0 no .. 'I.T

10 "" 10 - 52 kI'I,

RBV"'" (P, + Pt}-Rtfv = 50 +40-52- 90-.52=38 ill,

M; 52 '5,0-50 '(8,0-5,0) 260-150 RAH - -I :- ------,

5,0 $,0

110 RAH = -- = 22 kN. Ran = RAH "'" 22 ill.

5,0

Ukupne rcakdje Rtf i RB iznose:

R,-i - ./R~AV + RtAVH ./52' ,+ 22' 56,S ill,

RB = /R1BV +-RtBu = /381 + 21; = 43,9 tN.

PITANjA I VJE2BANJA

- Navedi nonce sa zglobovima koje poznajeH - Koliko u jednom polju (srednje polje) Gerberovog nosaea smije biti najvik

zglobova? - Koliki treba da bude bro; zglobova kod Gerberovog nosaea koji im3 m polja? - Od c~ga ovisi raspored zgiobova? - Navedi staticke osobine zgloba? - Sta su lueni i !ta tasvedeni nosai':i? --Koji od luenih (zasvedenih) nosaea je statil:ki odreden? - Kako 5e rjdavaju (na koje naeine) lutni n05ai':i na tri zgloba? - Sta je potporna Iinija iii linija pritisaka (re:tultamni poligon)? - Kaku 8~ vrii statitko ispitivanje (stabiliteta) luka, odnosno svoda? - 1<ako se mogu rjdavari masivni (uklje~teni) luci'i svodovi? - Kako se statilki ispituju oporci (oslond) :zasvedenih o0$8ea? - Odaberi sam nekotiko primjera za rjdenje potporne linije tuka sa pretpostavljenim

(potrebnim) podacima i ispitsj uslove stabiliteta za karakterisrilcne presjeke!

14 Statlka gr!ld:ev!ns}dh konstrukclJa 209

I

J

14. STATleKI NEODREDENI NOSACI

Do sada obradeni. nosnci (grcda na dva oslonca, konzolni nosac, greda sa propustima, nosaci sa zglobovima) imali su zajednicko obiJjeije - karak­terisriku da pripadaju' skupini ~ kategoriji staticki odredenih nosaca, za Cije staticko rjesavanja odnosn0 izracunavanje (odredivanje) otpora oslonca je bilo do\·oljno primi;eniti poznate us/ove ravnoleZe, uklju(;ujuCi, ako se radi 0 nosacima S3 zgloboyima, j post:1vljanje dopunskih uslov3, koji se od-

nose na Cinicnicu dol ie lllOmena[ s3\'ijanja u zglobu jednak nuli (:L X=O;

:[ 1'""" 0; L ,Ha ~'O"-oO; c'dr.\)$r,o i .Me = 0),

SIari¢ki ncodrcJc.ni ':.Ji!~ij:;ki) nosnct, medutim, pripadaju kntegoriji 110-

sac;] Z3 tlje staticko rjesa\'anjc, odnosno iznalazenje otpora oslonaca, nisu do\'oJjni sarno poznari opsti uslovi ravnoteze nego i posebni, zasnovani na postadjanju jednaCina koje ukljucuju u sebi clasticna svojsrva materijala, od kojih su nosaci izradeni. odnosoo kod kojih su moguce deformacije. Ove posebne jednacine, koje je neophodno postaviti i rjesavati uz jednacine raynotcie, nazivamo obitno eiaSlii1lim jednaCinama. Prema tomc, rjesavanje staticki neodredenih nosaca je neSto slozenije i zahtijeva poznavanje zakona i praviJa otpornosti matcrijala. (elasticnosti); dok njihova primjena u konstruk­rivnoj gradevinskoj prahi jc \'coma bogata i raznovrsna. Konstrukcije kom­ponoyane (projektovane) od (sistema) sraticki neodredenih nosaea izvanredno su srabilne i otporne na n,'Isiinc i drugc destrukcije, koje mogu biti uzrokovane, npr., i elementarnim nepogodama J kao sto su seizrniCki udari. eksplozije i dr.

Bitna odrednica ~ pokazatelj neodredenosti su nacini i karakteristike oslonjanja ovakvih nosac~) p~ stepen staticke neodredenosti nosaca mozerno utvrditi zapravo, na osnovu broja, vrste (tipa) i karaktera os1onaca nosaea. S obzirom ~a to, treba da je evidcntno da oslonac sa punim (krutirn) uklje­stenjem n~si soborn 3 nepozn'anice (komponente reakcije), oslonac u vidu nepokretnog Jet.ja - zglob. 2 nepoznanice i oslon.c U obliku pokretnog Ietaja - ;z:glQba 1 nepoznanicu.

Stepen staticke neodredenosti nosaea, dakle, mozerno odrediti, u opstcm slucaju, tako da sumiramo broj nep6znanica u svim Idistima (osloncima) takvoga nosaca i tu sumu umanjimo' za 3. (3 analiticka uslova ravnoteze). Za staticko rjeS~nje zadatka (nosaea) potrcbno je postaviti onoliko posebnih jednacina (eJa!ititne jednaCine - uslovi) koliko iznosi stepen staticke neodre­denosti. tj. koUko jc pura nosac staticki neodreden (spoljna staticka neodre­aenost!).

210

Na narcdnoj skici (slika- 211) prikazani su statickim shemam3 OSnO\T:l

staticki ncodredcni nosaCi sa oznabma stcpena q::n:cKe ncodredcnosti u opstem slucaju.

01 bl cI

Ji1 A;';{ ~ FB A" ----':'8 A . .:;;-- eiii ~B

T--_L_~ --,. I i __ ••• -01--~

51. 2! l. Osnovni Sla ~(k1 nc<),jreJcni nosaci,

Na slici 2) la prikazana je grcda sa iedne stran~ ukJijestcna, a sa d,'cl: .. :>.: slobodno oslonjcna (rodurna kon::(lb). Ov;lI,av 110S:lC je 11 = (3 --:- I) -= 1, tj. jedan put (\) sraticki nCOO1"<':l;,;n (ukliidtcno kzi~IC - 3 nCp()zn:li~il-;' slobodno, pokrctno -, 1 nepoznanicu)_

Nosac na sJici 211b je obostraoo uklijcstr:na !:!rcda. Ova) nos:lc jc (u(lp;rc-: n = (3 + 3) - 3 = 3 putn sraticki ncodrcJcn.

Na anaJog::m n3Cin mCi;1i bis:no odrcdiri, u npstcm sJucaju, stq'~;1 staticke (vanjskc) ncodrcdcnosti i Zd bilu Kllji drugi ~taticki ncodredcni nc,~ 1:: (hiperstatican nOS:1C - sis rem). N2\'cdmi npsZlCi. dati n3 sEci 21 !) su OS!hY, u kategoriji staticki ncodrcdcnih n0~ 1:';" !~:1 ~'cmn ill O\'Jj,: u ncorh0Jnom :t!i ogranicenom opscgu -- mjeri nbc·,' ~:1jri'ijL' cenw ohraditi, i? nJ\'(',I~,,~

skupine, jednostrann llkliiesrcnu ;l,-:JU.

14.1. GRED,\ S.>\ jED;';E S1R.-I'-:E U(LljESTE:--;,-\ ,-\ S.-I DRU;;: SLODODNO OSLONjE'H - 1'OL02EN,\

Za rjdavanje ovakovog nosaCa, 5 obzirom da je jcdanput st::!.ticki n<..:o­dreden (hiperswtican) potrebno je, pored opstih us/ova jcdnaCina ravnotcic, postaviti i dod,ltni (dopunsk.i, poscbni) us!nv, odnosno jednacinu zasnO\'(lnu na daS"licnim svojsrvima materijab, odnosno potencija!nim elasricnim JeC)r­macijarna nosaca (elasticnu jednat:inu)

Prema opstO) (klasicnoj) mCIChE rjda\'anja zadataka oyah·c vrstc, pOSlU­pamo tako cia izabercmo najpre t7.\ ('sn')(.-'IJl- sisrem, tj. nosac koji je, u pr;,,-'i:\., staticki odreden i k0ji zumjcnjuje, u svrhu proracuna, stv:::rc\ nosa(. Osnovni sistem - nasac dobijemo uklanjanic:n prekohrojnih veza knjc ga cine stati{:ki neodredenim) 5 tim da uticaj uklonjcnc vezc (promjene naCina oslanjanja; nadomjestimo odgo\'3rajuCim statickim utioj':m, ciju vrijednost rreba pro­racunom utvrditi.

U s\ucuju greae (Ilosaca) sa jcdnc strane uklijdlcnc) a sa drugt s!nbodlll) oslonjene, mozemo zadatke rjdavati post8vljajuCi jedan ad dva osnovna sistema (zamjenjujuCa nosaca), i to:

a) konzola - koja nastaje uklanjanjem slobodnog oslonca eiji uricaj zamijenimo dje!ovanjem konccntrisane sile - reakcije Ciju vrijcdnnsr treba odrediri;

b) prosca greda -- koj •• naS('lje kada uklijdteno Jezisre zamijcni[l)() slobodnim (ncpokretan 1cl.3j\ a uticaj ukljestenja fl2doknadirno djek'-

2 i ;

vanjem momenta ~prega (koncentrisani momenat) na -tome IdiSni, Ciju vrijednost, takodej treba odrediti.

Stati~kim rjeScnjem., kao stc z.namo .• odredujemo reakcije ovakvog n.osaea za utvrdeno· opterecenje i na osnovu toga, u daijem radu, odredujemo dija­grame s,.,Wcih veliCina T,. N i M, kao i njihove ekstremne - maksimalne (OdnOSDO i minimalne) vrijednosti. . .

Za ilustraciju rjden;a, uzecemo da: je nosac vertikalno opterecen, ravne­mjemo podijeljen opterecenjem q dut cije10ga raspona II liZ uobitajenu napomenu, da se analogan postupak primjenjuje i za bil~ koje -drugo optereee­nje koje susrecemo i1 standardnoj praksi proracuna ovakvih nosaea.

Najprije Cerno zadat'3.k rijcliti primjenjujuci za osnovni sistem kon­wIni nosae, a zatim, potedenja radi, ovdje, i za osnovru sistem tipa proste grede. .

. Na slid 212. dati su statieka shema jednostrano uklijcltenog nosses sa pripadajuCim ,opterecenjem i nacrtanom elastiC-nom linijom (deformacijom pod, opterecenjem), kao- i staticki ekvivalentni asnovni sistem _- nosac ko;i

01 bl

I q A/ijljiflllll'lII!th: llii ill l!lilJllllllllllliil t B

,. 1

cl dl

Jliiiiiiiilii!!l)i"";';'" ""i!iillllllil" -- --_ Jf"

51. 212,

sma odabrali, a to je konzola Ciji jc slobodni kraj napadnut koncentrisanoUl silom RB - reakcijom, Ciju vrijednost, pod utvrdenim uslovima, treba odre­diti.

Kada ne bi bila sUe RB - reakcije, tada bi ugib konzole (deformacija) na njenom slobodnom kraju, tj. u B iznosio:

q . 11 fB., ~ 8El'

Kada ne bi bilo opterecenja q, nego sarno sila Creakcija) RB koja djeluje na slobodnom ktaju konzoie, tj. u Ulcci B, Ulda bi ugib (u pravcu sile) iznosio:

Rs ./, - fBI ~ - 3El'

Gornji obrasci su nam poznan iz poglavlja 0 deformacijama nasaca napreg-nUM na savijan;e. .

212

. i

!

Buduci da stvarnLugib u taed B jednostrano uklijeStene grede mora biti jednak nulil tj.:fiJ::k ~Ot' to matemo postaviti sljedeeu ;ednaCinu koja to iska--zuje: . i' .\.'.'","'i_~2-' J

,.:.~' fB = fBt + f132. = 0, 09n0sno: . ; :,)'-

q'I'Rs '[' fB ~ ----- = O.

8El·· 3El

Naprijed --navooena jednacina je, u stvarl, e1astU:na jednacina, kojom cerno - uz tednaCine ravnoteie, doci do konaenog rjclenja zadatka.

RjeSenjeri;_~'g;~je (elasticne) )ednacirie, dobijamo: .

RB '/3

3El

q . /'

8El a odavde:

3 Rlj = -g·l.

8

Ostale vrijednosti za Rei i AIA (momenat ukljeStenja u A) dobivamo po-' motu jednacine' ravnoteze:

5

8

I y= 0,

3 5 . q' I = . q . I.

8 8

I MB = 0.

1 RA ·1 - q , I· ~ + i\1A = 0,

. 2

. q . I . / I' .,- MA = O • - q' 2

a odavde:

5 I'

q :,2 iWA -.. - q +

8 2

Prema tome, sistematizirajuci rezultate, imamo:

) R8 =, _.- . q . I;

8

Predznak mOI1len.ta nad osloncem je negativan, a Ito je (u pravilu!) karakte­risticno za osIonacke inomente uklijestenih nosata J nasata 'preko' viSe Polja~ A sada cerno, kako smo rekli. isti zadatak; porederija radi, ovdje, rijcliti uzi­majuci-za osnovni sistem (nosae) -: prosm gredu (slika 213).

Zamjenjujuci jednostrano uklijeStenu gredu prostom' gredom- (osnovni sistem) potrebno je utica; ukljeStenja nadomjestiti odgovaraj'-1cim momentom . sprcga - ukljeStenja M , koji djeJuje U osloncu A (u smislu suprotnom kazaljci n<l saw). Ova je vidljivo sa skice 213b.

213

:

I

Sada cerno posmatrati odvojeno djelovanje opterecenja q' i momenta ukljcltenja M A • Na mjestu ukljeStenja (tacka A) kod stvarnog, puno uklije­stenog nosaea, ugao nagiba elasticne linije mora bili jednak nuli:

01

cl

A Ri!j!i!!ifliln".hli!i!Jl l' .:;,'t 8

I

b)

d)

'_I ::! i J.

Posmarrajuti posebno q (113 prostoj gredi), ugao elasticne linije u racci A iznosi:

q , j3 alA =--

24EJ

Ako na gredu djeluje sarno momenar AfA , tada je odgovnra;uCi ugao elasticne linije u tacd A jednak:

_MA·l Il,--;~ -= 3 EJ

q' (J M,--; aA = ----,,- + -- = 0, a odavde:

24· EJ 3EJ q. I'

MA = - --.-. Taj obrazac ;e identican prethodno dobijenom obrascu 8

za M A •

Postavljanjem uslova - jednacma ravnoteze '!: Y = 0 i L M B = 0 dobili bismo rezultate identicne vee dobivenim. Iz ovoga je vidljivo da oba osnovna sistema koja sma: odabraJi, posto je rjesen;e zasnovano nn istim prin­cipima. moraju dati jednako rjeSenje.

Za crranje dijagrama statickih veliCina TiM, postupamo na ranije objasnjeni nacin.

2i4

Ovdje [rebamo pron~\{j Hijcdnost ekstremne vriicdnosti momenta s?"i­janja u polju (maksirn~lni p07.irivni n1omen"Jr), ;] Z:.l tl~ prethodno odrcJH'.lO

poloi::lj kriticnng (opasnog) presjeka:

q 5 1 q. 8

5 . I. 8

Uv rsrimo Ji l)VU vriJ'c:dnnsr U dhr::u,:lC 7:1 momenat za presjck u,:bljen Xo = :-\

(+.q.I).(q. 5 I) ..• 9 q . I' o. 0,07 q I'.

128

Sada mozenw n:lnl:lli dij,'<.:r~l:\lC '!e! TiM (eV dija~~r',lIn j(~ jeJn,IK mdl lei

nije bila uzdu/_nih siLl) Na ::;h.:i 2]4, U kq!(lni :1), n "TtJni Sll dijagr:lmi T i

hodnog: z"datK'd, k,1ris\cci S'.: supcrpozic:ijc, sistemll tip:) "ST< ~, .• I" ~!ici, 1I :":olnni :~\

tv

.\1. 214.

posebno "\[ it: PI'Cl­

).l prema OSnO\'il\'r1l

rlirektnq

Na slid 2143 dijagram T jc nacrt::ll1 poznavajuCi objc reakci!~ RA i R ll , uz kontrolu do u ',resjcku udaljenonl za Xo oJ oslonca A mora bIt! trans:'cr­zalna sib jcdnak::i nuli (mijeni,apr-:dn:1>1:\ N,1 istoj slid pod a2 nacrram su

::: 1 ~

jedan preko'drti"goga di;agrarni M i to - trougaoni koji potiee od M,.{ i par~:­bola koja ponee -od opterecenj'a q. Posto su dijagrami suprotnih p.redznaka preklopijene . ploh~ se potiru po vrijednosti, a preostali dijelovi ploha Cine zblmi dijagrarif:M~ koji se dalje obic-no erta (a3), tako da se nulta lini;a ~ja­grama svode .. n~- ~orizontalu, odnosno nuHiniju paraleInu osi nosaca. _.

U ko!onii?> iste slike nacrtani su (isti) dijagrami, ali direktno, postujuci vee dobro poznata pravila za crtanje (konstrukciju) ovakvih dijagrama. Ovdje je za crtanje; dijagrama M bilo potrebno provuci parabolic-nu liniju kroz definisane 3 t8t-ke od koje dvije na osloncima (osIonac A sa ordinatom - M i oslonac B gdje ic: __ MB_ = 0) i treca .na rnjestu kriticnog presjeb sa ordinatom + MII\~),' _.n_.

->

~~"--'00 14.2. OBOSTRANO UKLIJESTENA GREDA

Ovakav no'Sac U opstem slucaju je 3 puta staticki neodreden. Medutim, kada je opterecenje vertikalno (kao sto je u pravilu), odnosno kada imarno simetricno optereeeaje (veoma rest slucaj) tada je stepen staticke neodrede­nosti manji od' 3.

Princip i postupak rjeSavanja obostrano uklijeStene grede je slican vee opisanom kod grede sa jedne strane uklijdtenom, a sa druge slobodno oslo­

njel1om. Za osnovni sistem, pri rje.sa­vanju) najDrikladnijc. je uzeti prostu gredu, a utica; ukljeStenja na aba kraja kompcnzirati - nadomjestiti odgovara­ju6m momentima ukljdtenja na jednom i nu drugom osloncu.

Za ilustraciju rjdenja P0l10VllO cerna posn'1~(rati i ,rijeSiti o\'akav nosae opte­recen ra\'nomjernim podijeljenim opte­recenjem q dUl: cijeloga raspona, s tim da bismo za neko drugo opterecenje pas-

S!. 115. rurali na analog an r\acin.

Na prostu grcdu (2ISb), koju sma odctb;'ali za nosac osnovnog sistema, djeluje 'opterecenje q. i momenti ukljestcnja: ,MA i ,\111' isrovremeno, 510 cini oyakav nosac (u statickom smistu) ekvivalentnim stvarnom nosaeu i opterecenju.

Zbog simetricnosti opterecenja, ovdjc, momenti uklje5tenja ,i.[A i hIB su medusobno, jednaki, ti.. A1A = ;HLl ~"- AI, sto doprinosi pojednostavljenju facuna,

Posrnarrajuci oslonac A, moiemo zakljutiti da se njegova uglovna uefor­macija (zaokretanje)' sastoji iz sume uglova alA) (128 i (13B' Cija suma mora biti jednaka nuli - jer, zbog ukljestenja stvarnog oslonca, ugao deformacije na tome rnjesru mora biti jednak nuli, tj. aA = 0 (puna ukljeStenje).

Sada cerno postaviti jednaCinu (elasticna jednaCina) koja predstavlja navedep.u sumu i izjednatiti je sa nulom:

216

A otpori oslonaca - reakcije RA i RD (i bez postQvljanja uslova ravnoteze zbog simetrije) iznose:

, q' I 1\..1 = RB = -2-'

Palotaj kriticnog presl'~ka u polju (zbog simetrije) je Xc =~. Sada moterno . . 2

(kao 8tO je to dato na slid 215) nacrtati i dijagrame statitkih veliCina za T i M .:.. na nacin kako ie to vee ranije objaSnjeno, tj. superpozicijom pafcijalnih dijagrama (za M) iIi direktno. Ekstremni pozitivni momenat savijanj<r u polju iznosi:

I I -q' - '--MAI

2 4

q I q'I' ./v! - -- - - - - ~- -max 2 2 8

q-I' q·I'_q·I'

4 8 12

q·I' i.\-11l1~)' = -_ ..

24

Ovaj momenlt je u apsolutnom iznosu dvostruko manji od ekstremnog negativnog momenta nad osloncima ("tA , Mn), cija vrijednost je mjerodavna za dimenzioniranje nosaca.

14.2.1. ElaSlicno - djelimicno uJdjeiitenje Dosaca

Pored punog (krutog) ukljestenja s kojima sma do sada uvijek racunaii, u praksi se susre¢emo i sa potreborn racunanja - uzpnanja U obzir, pri racunanju stepena uklje1unja ovakvjh oslonacaJ a -§to je n~op'hodno kod tzv. eIasticnih ill djelomieno ukIijcltenih leZi~ta, koja se u ·praksi. s· obzirom na nrirodu i osobine materijala i konstrukcija, testo javljaju,

Stepeo ukljeStenja, kod elasticno uklijcltenih lctista, omogucuje D;am racunsko iznalafenje korigovanih, zapravo adekvatnih, vri;ednosti dobivenih statickih velie-ina za TiM, kao i njihovih ekstremnih vrijednostL

Stepen- ukljestenj<l je broj koji se kreee od 0 ~ t Za vrijednosl nula ukljeStenja, u srvari, i nema, tj. oslanjanje je slobodno, a za vrijednost I

217

:

J

(jedan) uldjeStenje je puno. Vrijednosti stepena ukljcltenja koje ozp.aeavamo sa E (epsilon)) a koje su > 0 i < 1, odnose se na clasticno ukljeStenje.

Stepen ukljeStenja £-u nekom eIasrienom uklijcltenom lclistu defirusemo, shodno dato; ilustraciji, kako slijedi:

~. A , B '-_0.._-- -,

o _/ -----SI. 216. i -M~linija za puna ukljdlcnjc, 2 - M~linija za elastitno uldjdtenjc,

Jednrsrrano uklijeJWJQ greda (s1. 2163)

Ako o'tnacimo sa a l ugao nagiba elasticne linije za odredeno optcrecenjc u clasticno uklije~tenom JeziStu, a sa (lIP isti ugao, ali za slueaj sJoboJnog ldista (nepokretno IdiSte prosre grede), taela ce biti:

a C1 = ~:::: 1 koefkijent smanjcnja ~ ndukcijc. alP

Srepm ukljeJlenja e1 kod jednostrano uklijestene grede bice dat sljedeCim izrazom:

alP - fll

ObOSlrano ukhjeluna greda

Analogno prethodnom, kod obostnl11o uklijestene grede imamo (slika 216b):

U odnosu 'na oslonac A

U odnosu M osIonac B

Odgovarajuci stepen ukljestenja na liievom (A) i desno uklijclrenom osloncu, bite:

"'l = I " . -!... = 1 - GIl odnusno: alP

218

Poznavajuc! vrijednosti 5rcpena ukljdtenja, bo sto je pomenuto, mOlcOla, uz dnpunski proracun, odrcditi Il1lHnentc clasticnog ukljeStcnja, umjesto momcnata krutog ukljestcnja kojc poznajcmo. IntcrprecirajuCi dijagrame momentnih linijCl (M) za slobodna naleganja, djelimicna i puna ukljdtcnja oslonaca (kod jednostrano I obostr3no uklijeStenc grede, 51. 216)', m07..ClllO

zakljuCiti da usljed elasticoog ukljcstcnja na osloncim3, momenti ukljc~tcnja (u odnosu na punO ukljdtenjc) se smanjuju, ali se zaw, momenti u potju povecavaju. Uz clasticno ukljcsrenje, <':esto jc moguce postici povoljniji rasfo­red - posebno momenata savijanja, kod ovakvih (i slicnih) nosaca - d<lKlc. i racionalnije iskoris[cnje prcsjeka oos;]ca, 5[0 doprinosi, posehno, ekoooTTliC:-nosti postignurih rjdcnja. .

Prilll}c'r

IzraCUflari rcakcijc i n3cna!i dij.lgr,uHc statickih vc1itina za TiM jednostrano ukll]c­Stene grcde ~a pOlrcb!llrn podacirna (ra~I'on j oprerccenje) da!im na skici (slib 217), P.?stupamo na a!l3logan !latin kao c slll;ajll rav!lomjerno podi,;eljrnog opterceenja (duz CIJeJOg raspona - q). Za odnOSl11 ~i~;tcm usvo-jena je prosta grcda koja jc s;Jcia optereccna sa Pi momentom sprega - ukljdtenj<1 ;\I.~.

Najprijc cerno jlu;!;\viti rLlqi~n\l jcdnJb­nu na osnovu 11slo\'a da ugall !l:!!;ib:! ci:!sticne linijc na mjesl\l ukJj('slenja 1110f3 1;lti (; ,1 \ll"arni nosac) jednak mrli «I.,! = (1\

UgIO"J m.gib.! rL1-'llhll: linljc li :\ 'U - za p.

tI,~; =

J\' 161:) ,

.\1"1 !

3L!

lO\:1 ubrasci ,U pOlllari iz udjdika 0 Jci'()rlllJ­

cijama,) EJasticna jcdnJcin:!, prema tome, do· bija oblik;

p

,\[.4 . !

JU == (J,

--Mmox

::>1. 217. P = 20kN, ! = 4,00 rl1.

16' P' t, I\ko un,{imo j>\\/Il;tl(; \'rij~Jnosti Z~ 1) i i, imllmo:

J 24-0 Ai'1 = - -·20·.:+ = - ~ = - 15 kNm.

. 16 16

Da!je, Pos[<1vli~nicrn jedna(;ina (us]()va) rJ.vnoteic, irnamo;

I I' - 0,

1<,1 ~ P R8 = 0,

/{,j -;. Ru = P, 1<.,'1 ---;. R8 = 20j

\" L i~!/J = 0,

f RA:/-.MA _po 2 '"".0,

31 RA '/~ - P,/-p·- ::::.0,

16 . 2

P I 3J1 {- -II ' .. RA'I ~ - T -- ~ -1'·1

2 16 ,'.'16 J

II . -'1'. 16

Kada unstimo za P "'" 20, im3mll:

II - --220 i6.20=~=13,7 k....'1,

5 5 -' P =:- ;20= 63 kN, odnOs.no 16 16 '

RA + Rn -'" 20. 13.7 + RB = 20,

RB "'- 20,0 - 13,7 = 6,3 kN (a sto je isto).

Na. osno~ .n~prijed .d,obiven,ih vrij'ecinosti moguce je konstruisati dijagrame koji su nacr­tam na shell odredin mak~>Imalne nijednosti sta(icldh velicina.

Posta T ~ila mijenia predznak u \?resjeku iSf:'?d sHe P (kriticatl presjek u polju), u t('Hl presieku Imamo ekstremnu (makslll1alnu) Yfl)ednost pozitivtlog momenta savijanja u polju, tj.

I , -.,- - "I A ~,.13,7 . 2 - 15,

.\1 m.l' - 27,4 - 15,0 = 12,4 kNm.

Z" dilne~zionir~nj~ nosara, r~ed~!im, l1lieroJav.~n je mornenar fla,j os!oncem MA, kao d.slrenlll! negatlVm momenat, lef)C po ap~oJut!10J ITijednosti yeti od ekstremnog momenta u pol)u CAr mal( .= (12,4 kNm).

1- RB

M;, ~ ® AOiffi Me

~max SL 21!L

220

P,imjel"

Obesteann uklijdtena gredll optt:re~ cella ie prema slid. OJrcJiti reakcije i nacrtati dijagrame za T i Ai (slika 218). Osnovni sistcm je prosta greda kod ko~ ie je uticaj uklidtenja, nil oba kraia, za~ mijenjen momentima ukljdtenja u oslon­cima Ai B, tj. MA = ME = M (zbog simetrije). Elasticna jednaclna ima slje~ dtCi obJik:

P'l' MA . { + M A ' L = O. 3E1 6EJ 16£1

PoHo je M.1 .. ~ ME = ,\1, imamo:

},{l ,'v!l PI' ,1/:1 ,I (,pj' "', -"iGT'J ' a ndavde (uz

Jijcknjc sa iD) illl!lmo

I I

'1 I

Ml

2

PI' =-16' M=-~ odn05no: za P = 30kN ima:mo:

8

P'I 30·4 " MA ~ MB ~ - --~ -- ~-IS,o kNm.

8 8

Zbog simetrije (i bez postavljanja uslova ravnoteze), znamo da je:

. l' )0 RA = Rn = - = - = 15,0 tN. , 2

.Ekstrcmni pozitivni momenat savijsnja u polju iz:n~i:

PI PI PI 30.4 '. = __ ---= _ = __ -= 15,0 kNm.

4 8 8 8

Na osnovu dobivenih- vrijednosti naertani sa i dijag;- :.1i za TiM, ho ~tO je to nB slici priruano.

14.3. KONTINUIRANI NOSACI

Pod kontinuiranim nosaCima podrazumijevamo takve gredne nOS ace koji se, bez prekid" kontinuiteta, pruzaju preko tri ili viSe oslonaca, 3to znaCi da imaju dva iIi vise polja (raspona izmedu dva susjedna osionca). Slicni su, dakle, Gerberovim nosaCima, s tim, da nemaju zglobova kao pomcnutl no­saei. Jedan od oslon:ca nosaca mora biti nepokretan, a ostali su (0 pravilu) pokretni.

Posco pdpadaju kategoriji - skupini sraticki neodredenih nosaea, to je neophodno, u svakom' konkremom slucaju. prethodno utvrditi i stepen statieke neodredenosti.

Kontinuirani nosaei sa n oslonaca su, za vertikaina opterecenja, n - 2 put. statioki neodredeni (krajnji oslonci slobodno !)llleiuCi). Ovo prakticno znaCi da je kontinuirana gredu onoliko puta sratitld neodredena koliko ima meduoslonaca, odnosno, sto je isto) bro; polja minus ;edan (1).

'U 'odredenim slucajevirna kontinuirani nosaci mogu na jednom ili oba kra;a bid uklijeS~eni iii, ~ogu imati prepuste (konz'ole) preko ;edriog ill oba krajnja osionca (vidjeti sIiku 219). Kontinuirani' nosaCi imaju znatajnu primjenu u konstruktivnim rjdcnjima objekata (glavni iIi sekundarni nosa­ci j sl.) i rnogu SC' izvesti u svim nosivim - konstruktivnim materijalima.

Konkretni staticko-raeunski trcUllan evdje, odnosice se na kontinuirane nosa,ce rayne osc, konstantnog popreenog pr~jeka sa osloncima (leiajima) U, istome nivou.

Rjesavanje kontinuiranih nosaea zasniva. se na analognim oSrlovarna' -postavkama, odnosne ,postupku, vee objaSnjenim pd rje§3van;u uklijeSrenih (jednostrano Hi obostrane) nosaca - greda. To znaCi da uz postavljanje opstih uslova - jednaCina ravnoteze moramo sastaviti - postaviti j onoliko dopunskih - eIasticnih jednaCina koliko je puta nosae staticki neodreden.

Ove -doP1Jnske jednacine za kontinuirane nesaee imaju poseban oblik i izvode se, obicno, u standardnom opstem obliku. koji se lako pamti, <l sto je

221

f

J

ad posebn0g znacaja za njihovu (inace veoma ccstu) primjenu. Ovc jednaCine (iIi je~nacina) nazivaju se jedfloCillc rriju 11l01l/CI14t1a ~Ii po njihovom autoru Klape),"onove iednatine (Benoit Clapeyron, XIX). '

a) A"::>: AC AB .. ~ I ! ,,'" I, ,,'

b) A4 Z::c LS:.D AB ~" I, ,It I) r 13 I

c) A,A A z:: :;;;:;:---------,z:;. I, I-----'r 13 , r r I '2 +-

d) A H ~B :ZS:C ~~

I, 1~ '2 ."

e) A4 Ac A B +-- I, 12 ,' oJ t

SI. 219. Staricke sh~me ~ontinui~anih. nosaca: a) dva polja, b) tri poija, c) 11 poija, d) ukli­IeStem osionq, A I B, d) prepul;t preko oslonca R

Do Klapejronove jedn<:lcine dolazimo kako slijedi (vidi sliku 120). Posmatraimo dva susjedna srednja polja kontinuiranog nosaca sa viSe

(n) oslonaca, Cije cerna raspone obiljditi (uslovno) sa '2 i 13 , Opterecenje h

OJ .r'" '"

SI. 220.

vl!nikalno (proizvoljno) reprezentno i predstavljeno kontinuiranim oprerece-njem q za oba potja. .

222

Buduci ...fa posmatramo dio cijd0g nosacJ, tj, uva susjcdn~l polja, u(lCl]C Jijc\'o~ djcb nadnmjcsticcmn mnrnentnm .~rl·c~a n~lJ (lSI0IHTIll 1 kn)i "7.1l,1l~1-vamO sa :H1 i rezulrujucorn'siJom lijcvog dijela Rl i anaJogpo tome, utiL'aj desnog diic!a nosaca momentom srrcga n:1 os]nncu 3 sa o7.nakom Af., i si­lorn Ra.

Od navedenih vcliCina Af i R, u daljem radu, racunamo sa uticajima Ml i M 3 , a izostf]vijamo si!c H! i R~, jer ne uti('u na konacno rjesenje laJ;ltKa (elasticnu liniju nosaca).

Sada cerno dohijenu grerlu "i.1 d\'a polja (If i '2) presjeCi nad oS,lon:.:cm 2 i tako, koristeCi vee poznatu, ranije obj;lsnjcnu metodu, dobiti d\'ije prostc grede, cije cerno mcdusobne uricait:' (Jijc\'c 11:1 dcsnu, i obratno) uzeti u r;lCUil. Ove dvije proste greek (\.;ao osnovni sisrem) su, uz kompenzaciju medusob;;ih uticaja, ekvivakntne u statick-om smisiu ncrrclzinuroj g;-edi sa 2 polja (sITL11'j.j dva putja cijclog nosac(l sa \'i~c r(1I!~j), k.l sji.ci nOe priLazane su shemc: objc grede sa medusobnim uticajim2 -, momentirna sprega nad oslonccl1l ?

Buduc-j da je nosae stvarno Knntinuoian, to i njec:ova e1asticna iini\'J mora bid konlinualna, a w ~n<lC:i ,1;) nad oslonccm 2 (s;cdnji oslon'-lc) r]1L'''J

imati zaJedl1llku wngC>l!11.

Ovo :t:naci da je ug(l(l nagibil eLlsticnc linije lijc\'c grede na deS;-I( ::1 osloncu (/I z) i desne gredc nfl lijc\"om osloncu (U.1) mor3ju biti istc velie'inc i supromog predwaJ.:a, tj.

Ugao /)2 porjc(:e od ll[icaja ql' ,I'll i M~, (l ugao III oci uticaj,\ 'b ,\(, i

1'vf,'i' Zarim mozemo ris~ri.

kada izvrs!lllo izjednacenje, imamo:

f3~ + ~; --c_ e;' ,:-.co -- (a3 + a; + ('). Kada uvrstimo od ranije roznatc obrasce 7.a pojcdine c!anove postnvljcnc jednaCine, imacemo:

MnozeCi cijelu jednaCinu sa E· J (konstanrna vrijedn0st), uz potrebna sre­divanja, imamo:

G' Rf + 2 A12 "2 -+- Ml . I)

a odavde:

Ova jedrlalina je, u sevaTi, K/apcjrollova jed/laCina, odnomo jedllah'na [Tljl<

momenata koja se koristi za rjeSa\,i1.njc kontinuiranih nosZlea i ima obilje7.:c elasticne jednaCine.

Vrijednost na desnoj srrani - U :lagradi predstavlja zbir fiktivnih re::d:­cija Hjeve i desne grede na srecinjem osloncu, tj. reak..~lja ad fiktivno; opterecenja koje, kako znamo, predsra.\'Jjaju optcrecenje momentnim dij<t-

223

gramorn od stvamog optere¢enja~ Ovaj zbir ozna~avarno zapravo jedinsrvenim simholom R~, s tim da indeks 11 OZTIacava oslonac, a gornji indeks F. Ie inidjal za termin - rijCt fiktivan. _ , .

Posro smo dobili opsti 6blik Klapejronove jednaCine (iii jednacine trij4 rno~enata - ovclje MlJ M 2) M 3), sada mozemo dati shemu postavljanja sistema ovm jcdnaCina ~ Dosai:: sa viSe po~ja. Postavicetno onoliko Klapejto­novih jedna~ina koliko je puta kontinuirani nosa_c staticki. neodreden. Za ' svaka dva uzastopna poljs - pocevsi ad krajnjeg (lijevog) oslonca, postavi-· cerno po jedil1J.-jePnaCinu, tako da drugo poIje za prvu jednaCinu bude prvo paUe za drugiI jednaeinu; i taka redam. Ovo cerna ilustrirari na primjex:u no­saca--sa 4 polja'l oinakain<i datim na skid (51. 221). - ----

. . jfJ J~ ~o

J~ ~E At=h ~ i2 :, , , ,

I/A,,;;; " r) ~ ~D

11/ AC 2'C O bE

111/ A:; 0 =E

SL 221.

KJapejronove jednaCine imaju sljedeei obIik:

I. MA • 11 + 2 Me (11 + IJLA1vq ~. 6 R~,

II. lyle ·It + 2MD (It + Ia) + AlE ,13 ,= - 6 ·-RE. III. MD' I, + 2 ME (I, + I,) + Mil . I, - - 6 R~.

r' 14

-itd

IZjclenjem ovih jednacina (tri jednacine sa tri nepoznate) uz jednacine ravno-' teze, dobijamo orpore oslonaca ~ reakcije sto nam omoguc-uje crtanje d:ja~ grama statiCkih veIiCina T i AI, kao i iznalaienje ekstremnih vrijednosti ovih velicina neophodnih za dalji proracun (dimenzioniranje nosaca i dr.).

Kada s'u, kao sto je najcesce siuca;, krajnji oslonei (ovdie A i B) slobodni, [j. nepokretni, tada i momenti nad tim osloncima su jednaki nuli, tj. MA = = 0; Ms = 0, a to pojednostavijuje rieSenje ;ednacina.

U slueajevima kada krajllje oslance napadaju spregovi sa momentima spregova MA i Ms. odnosno-kada preko krajnjih oslonaea imamo prepuste, tada U jednaCinama treba sravid stvarnu - poznatu vrijednost za ove mo­mente (MA i M8)·

Za siucaj da su krajnji oslond uklijciteni, tada postupamo takO: da pb-· stavimo tzv: r:udta po/ja Hjevo od oslonca 1\), takoder, desno od oslonca B (koji su inaiX: 'UklljeSteni) i, postavljarno vee, poznate Klapejronove jednatirie za novu statiacu shemu (modificirana staticka sherna sa nuldm poljima).

Naravno, ,da su momeuti nad novodobivenim' krajujim (fiktivnim) osloncima, kao _ i opterecenja nultih polja, jednaki nuli - sto pri rjeSavanju siSTema jednaona olakSav<l rad.

224

1

, J

I " I I

. Navedeni slueajevi ilustrirani su opitim primjerima na skici (s1. 222). , y' sluEaju kQntinuirane grede sa' je4nim ill dva prepuSta preko. krajnjih

osionaeR (s1. 2220),· post.vliamo "ofljllllne .Klapejronove jednatine (ovdje ~ jednaCine~ jer imarno 2 med\:loslongl),_s, tim da-za MA i MB uvrstimo $tvarne vrljednosti mom.enta prepusta - ko.nzOJ~

13

It ~8 "

b/

S1. 222.

Ked uklijestt!ne kontinuirane grede postavicemo, tuoder, uobicajene (date) Klapejronuve jednaCine (s1. 222b i c), i to ovdje 4 jedna~irie (jer irnamo ukupno 4 meduoslonc:a - po shemi sa nultim poljima - 51. 222c). U jedna­Nne m:ba uvrstiti:

ili..!Q = 0, NIBil = 0, lAO = 0, Iso = O.

Rjesenjem sistema Klapejronovih jednaCinu, dobiveni momenti Ar( .. Ms predstavljaju momente ukljcitenja nad tim osloncima.

1::lIalaienJe reakciJa

RjeSenjem sistema' Klapejrono'vih jednaCina, dobivaInO momente savi~ jauja nad svitn oslondnla kontinulrane gredc koju rjdavamo - po vrijednosti i predznaku (negativni piedznak).

Da bismo dobili vrijednosti orpora svih osIonaca - reakcija oslonaca, posmatramo sistematski svako polje posebno, kao prostu gredu opterecenu pdpadajut-im oprerecenjem toga polja i istovremeno napadnutu na oslondma odgovarajuCim momentirna sprega, tj. momentima koje smo vee izratunali, rjeSenjem Klapejronovih ;ednaCina .. Za rjeSenje - iznalafe'nje reakcija po-

stavljamo analiticke usl~ve ravnoteze L Y = 0 i L M· = 0 za svako polje - pros{U gredu posebno: Za svaki srednji oslonae kontinuirane grede dobi­cerna - preko posmatranih prostih greda, po dvije parcijalne reakcije (lijeve i desne grede ili lijevog i desnog polja), koje, kada sabererilo, da;u punu reak~ ciju za oqgovarajuci oslonac. . , ..

aVO ce posebno biti ilustrirano rjeSavanjem prvog prakticnog (numeric­kog) primjera.

,Crranje Cjijagrama ~tatitkih" vel£Ci~a

Za cjeloviti kontinuirani nos~c dijagrame statiCkih ve1itina za N, :T i M, odnosno kod vertikalnih opterecenja, kako se u praksi, u pravilu" i javljaju, za TiM (transverzalne sHe i momenat savijanja) .crtaino u'skladu sa vee paznatim praviIima koja su objasnjena kod staticki odredeIiih nosaca (prosta

15 Statlka. gradevlnsklh konstrukclja 225

:

!

greda, Gerberov norae i dr.), odnosno za prethodno obradcne stati,cki neodre­dene nosace - jednostra'no i obostrano uklijcStenu .grcdu. Za poznate reak w

dje oslonaca i polotaje presjeka u kojima transverzalna sila mijenja pred~ znak (opasni - kriti6ni presjeci) odrcde sc' odgovarajuce stati~ke velicine i ekstremne vrijednosti za'M - momente savijanja, pa 'se, nakon crtanja dija­grama trans.verzalne sUe '(T)} crta i dijagram za momente savijanja· (Ai) po poznatim pravilima.

0\"0 ce, takode, biti ilustrovano na prvom numerickom prakticnom primjeru,

Pn'mjena tabfica za rJeIavanje kor.tinuiranih nosaca

Buduci da je primjena kontinuiranih' nosaca u prakSl relativno cesta i obimnu. nastale su i railitite tablice koje olaks3vaju· racunski rad za staticko rjesavanje oyih nosaca, Izmedu njih, 'pomenucemo ovdje VinklerDve tablice koje se mogu kciristiti za rjesavanje kontinuiranih nosaca sa poljima'iednakih raspona za ravnomjemo podijeljeno opterecenje g, p, odnosno q duz cijelog raspona potja.

Njihovom primjenom dobijemo vrijednosti statickih veHcina TiM za

presjeke svakog desetog dijela odgovarajuCih ·raspona polia (fa)' Uz koristenje datih obrazaca za ekstremne vrijednosti T i Ml u navedenim

presjecima dobivamo i podatke - vrijednosti za crtanje odgovarajuCih dija­grama ekstremnih vrijednosti za T i Ai - za daw ravnomjerno podijeljeno opterecenje.

Navedeni obrasci za T i Ai dati su u Vinklerovim !ablicama (vidjeti ove tablice u Prilogu knjige) i imaju sljedeCi oblik:

a) za ekstremne vrijednosti momenata' savijanja u presjecima polja fla I

10 + Mm" = [a' g+ (+ fl)' p] 'I',

-,Mmu "", [a' g + (- {J), p] ,I';

b) za ekstrernne vrijednosti transverzalne sile u korespondirajuCim

presjecima !..-.: 10

+ Tm" = [Y' g + (+ v)' p] , I,

- Tmu =[y'g + (-v)'p] 'I,

Koeficijenti a J f1 i V dati su u navedenim tablicama za odnose ~ . x je rasto-1

janje od lijevog oslonca, a 1 raspon odgovarajuceg poJja za koji se vrSi prOraCll:1 u okviru djelog kontinuiranog nosaca. Nakon sto se dobHu sve vrijednosti

za navedene veliCine u svim deseticnim presjecjma (/0) ) crtaju se dijagrami

za ekstremne vrijednosti TiM prema dobivenim numerickim velicinama· -po!tujuti vee poznato pravilo za ova; grafiCki rad .

./;.. sada cerno staticko rjeSavanje kontinuirariih nosaea ilustrirati karakte­risticnim primjerima.

226

Primj("

'-----, Rijdi!i kon(inuirani nOS2C S<l Ifi p\)lja (odreJiti rcakciic oslonaca i oacnati dijagr~;:;c

TiM) i naponirna i nptcrcccnjcm darim na skici (5J, 223).

",

SI. 223.

Dati nosat k n - 2, ti. 4 - 2 = 2 rU(;l sl;ltini ncodrc(kn. Potrchno je post:l.viti (;, (dastitne) KLlpcir0Vn\)\'e jedna:::inc: jn\r,u -lJ i'f\"t_' i Jrugo poijc, ,1 drugu za drugo i (Ie polje.

1. .1-(-1'~' ,~ 2 AfC (1, -'- I,,! kIf) It = - 6 R~,

II. MC'/2+2A1D(l, +!l) LMfI ·t,=-6·Ri;.

K&d zarnijcnirno p07natc nijcdnosti 7.a r3QrOnC ,.'C)lia i f'()~tn znJrno da je: ,HA = 0 i ,\In = 0, imamo:

2 Afe (4 + 6) ,! ,H.'J· 6

,lfe' 6 +,2 Af!) (6 -'- 4' -- (,

Vrijednasti sb~)(ldnih cla~ova na desr:lJ~, qr.ll ;;1~a iC;::lJ,'in3, bo Sto sma rddi, lJ\':SC

od opteretenja i ra~p()n3 odgol'ar,ljllcih p, ljd. Vri;rj·,\o,' R~: je "lbir fiktivnih rcak("i)~ prva i drug-a polje u ()sloncli C p("l,m:l.ll:''''~ ()\'~ j'(!)i~ ~;.,-) rrOste nO,:I(:e OP1~(ctcr.c n-,',­

mentnirn dii:lgramon1 stvarnog oj"ltcl'c':cnj:!. \'nj(.lnosl }(~; jt: al1'1\0gna i odno,i se: na Un.l­go i trcce polie:

Prva dVll cJana izraza (u zagradi) odnose sc na lijn'o, tj. prvo polje, a (reti cJan na de5P.I', tj. drugo polje, posmatrajuci prva dva poljJ kao cjdinu nn koju S~ odnosi prva :Klapejro­nova jednatina. Znmjctlom poznntib vrijdnosti, imamo;

F q.f: q.!." R = -- + .--. Prvi t]an odnosi sc nJ d,ubo p;)ijt, a dnlgi cJan izraza na (reee pelie

D 24 24 kontinuiranog nosaca.

Kada ove vrijtdnosti u\'(srimo u postadjei~c i vee djeiimitno sredene Klap~ironovc jed­nacine (I ill), imnnw:

20· M, + 6 - Mn= - 6· 253,3 = .- 1519,8,

6 Me + 20' AIn ",-, - 6·233,3 = - ]399,8.

Rijdimo sada oye dvijc sredene jcdnaCine. Pomnoiimo Ji p, .... u jednacinu sa - 6, II drugu sa 20, imamo: '

- 120Mc - 36 MD = + 9118,8,

120 Me + 400 MD = - 27996,0. SJbirJnjcm obje jednatine, imamo:

~ 364 Mn -.- ~ 18877,2

18877,2 AID = - - '364--- ~ - 51,66 kNm.

2'1')

dalje:

6·_Mc -20·S1.6.6 . ...;.; -.13.99;8,

6· Me = - 1399.8 + 1037~ "'" - 362,6,

362,6 Me"" - -6- == - 60,43 kNm.

Sada motemo -Odrediti ~je OJlonaca posmatraju¢i, kako znamo, svako' polje leao prostu gredu optcieCcnu pripadajuCim optere¢enjem svoga polja i odgO\:arajuctm momentirrill nad osloncinu, tj. uticajima IrUSjednih "polja. StatiCke (Poinoene) sheme ove tri proste grede date su na skid (51. 224)., .

SI. 224.

KoristeCi analiticke uslove rB.vnoteie (L: 1-: = 0 i L MB = 0) za svaku gredu posebno

i sluicCi se odmah direktnim izrazima za reakcije proste grede za data (standardna) op­terecenja, imamo:

RA ~ ~._~ + -:... __ N_f_c =2_0_' _4 + ~ __ 60_,4_3 = 40 + 10 _ 15 1 = 34 9 kN 2 2 11 2 2 - 4 " ,

j- 15,1 = 40 + 10 + 15,1 = 65,1 ill,

D q ·1, Me MD 20-6 60,43 51,86 . Rc = -2- + Z;-T = -2 + -6-6-- = 60 + 10,07 - 8,64,

Rg = 61,43 kN,

Rc = R~' + R~ = 65,J + 61.43 = 126,53 kN,

RL = q'/, +- MD _ Me """ 20·6 + ~!~_f>O,43 = 60+ 8,64 -"10,07 = 58,57kN, D2 Ill12 66

Rd "q' is Mv 20·4 51,86 D 2- + l;"- = -2- + --4~- = 40 + 12,96 = 51,96 kN,

RD = Rt + ~D= 58,57 + 52,96 = 111,53 kN,

. q '/, . MD 10·4 51,86 Rn----- ~ --.- ~ 40- 1296 ~ 2704 <N.

2 I~ 2' 4 - > ,

Kontrola

Zbir sNih reakcija morll biti jednak.ukupnom opterecenju (prcma L Y = m, tj:

RA + Rc + RD + RB = QUK + P, 34,90 + 126,53 +.11L53 + 27,04 = 300,00 = (40 + 60 + 40) - 2 + 20 = 300,00 (tal-nost uda je potpuna).

228

, i I I

.!. + i

.1

r , I

!

T

Sad3 je moguee pr~tupiti crtanju dijagrama za T i naken ~to ~e odr.!de presjeci u kojima . 'tt1I.nsverz~na sila mijenja pred:wak, kao-.i izrafunaju odgovarajuci momenti. sa~jlUlJ~ za nvc presjeke, mo!emo -crtati i dijagtam momenta- savija.nja. Prema dobivenim rezUltatuna dijagrami TiM IU posebno nacrtani na skid (st; 225). _ . ,.

.J.. 20m p .. ' A

l~

1.~'Om If6Dm R A Rc

S1.,325.

Ktiticni presjeci u poljima dobi\'clli ~u prema sfjcdeecm:

- pr\'O polje: (II)

RA 34.9 Xl = -_.- = --= 1.745 m;

g 20,0 - drugQ polic: (/,)

R~-q - '"(:I = 0,

R~ 61,43 Xs = --- = -----0 = 3,071 m;

, 20 - (reee polje: (/~)

~~-q. X3 = G ~

]{.i 52." x~=~ = ~= 2,648 m.

, 2.

Lq

rU '1.(. 1.;4,0 m"

R

B

r:. R. •

Momenti savijanja (ekstremni momemi u poijima - za na-vedene kritiene presieke)-imaju s!jedece vrijednosti:.

q' xi 20· I,745~ . A-!I ma:.:= RA -xl-2'~ = 34~9 ' 1,745 - -~- = 30,5 kNm,

229

I

I

'\"'/ '--' 1\." ...... -

SA i-i:;:'"VA nA ci(SSno

.v 'q'x1 20'),07P AJ1 m4j( = Re . x, - --...!..- Me"'" 61,43 - 3,071 - _ 60,43,

2

Af2m~~= + 33,9 k..N"m,

q' (ls-xJI M amu "" RB '.(/, - x;,) - 2 - (posmatrano s desne strane presjeka\

. 20·(4,0-2,648)t :W'1,352: M,mu = 27,04 '(4'0-2'648)---- --~27,04,I,1l2---..

2 2

Mlmax =36,55 - 18,28 = 18,27 kNm.

Momenti nad osloncima ,He i .liD neophodni za crtanje dijagrarna M bili su vee rar. ! ; sracunati_ . 8 VA-tAn foI:l \-C)f.'t

Obostrano uldijdteni nosac sa rasponom i oprcrecenjem datim na skid (s1. 216) rijditi preko Klapejronovih jednatina, nacrtavs:i modificiranu stati(';ku shemu nosa(';a. Postavitemo Klapejronove jedna(';ine:

~' . IP=30kN ~~20kN/m' OJ ~jj \] i nil i Ii i \! lIh!!lll 1111011 !!!~

A~ 2,0 m I 20m f~B

~-_~~"-.!'.:'I!: ___ ..&!'IIIIIIIIIIIIIIr,1I111 '"I1I1I~9k-_~~~!'~~_n_~. "l!lq ,c A l(,m ~_l~ __ .*_

51. 226.

1. M,.fO· JAO + 2AfA (lAO + l) -+ M:9' 11 -~ - 6R~,

II. MA '/1 + 2 MB(/l + 'HO) + MBv . 'EO ---.:. - 6 Rt,

zbog limetrije (ovdje), bite MA = ,.Ids. pa jc potrebno, u stvari, rije!iti sarno jednu (rccimo prvu) Klapejronovu jednaCinu, uvrstiv!i u nju poznate vriiednosti. odnosno i nul~\"rijednosti (za MAO i lAO = 0). Imamo:

q . I.' 2 AlA' 4 -t. MA ' 4 -= ···6· (--.-

<- 24

(20.4' 30.4')

8MA -:- 4AtA -'-- -·6 '-24" -'--!6-,-'

12 MA = - 6 (53,3 +- 30) = _ 6·83,3 = - 499,8,

499,8 MA = --'2- = -41,65 kNm.

Isti rezultat bismo dobili korisreti vet poznate obrasce za momenat ukljdtenja obostrano uklijesrene grede za ino opterecenje - primjeniv~i istovremeno princip superpozicije (za utica; optereecnja q i P),

. q,/t p~ I 20,4t 30.4 tJ.M=-----·-,"'------ "'-4I,6kN.

12 8 12 S

230

Ovo na S\'ojcvfstan oac-]o dok~zujc da i o~."--')rrano t:kliid((,IlU gredu moicmo riiditi r~im: nom KJapejronovih jedna':ina uz modifih,ciju st:ni,:b: ~hemc na mode! kontinuiran, g (fiktivnog ckvivalentnog) nosac3. ..

Zbog simerrije (i bez poslav!janja usl'~\'a ravnotcZc), mamo da. su reakCI)C RA,,',RlJ da iznosc:

Kritiean presiek u polju je (o\"dje) 11 Hedini raspona rj. ispod silc Pi momenat s:lvijanj3 \, ovome presjeku iZn0<;i:

Mmax= C-,~"~-+;~~) -MA

30·4 --_.) - 41,6

4 .

,Hmox ""-' (40 + 30) - 41,6 '''' (70,0 - 41.6) co, -;- 28,4 kNm.

Dijagrami T i ld kojc mo2.cmo naCrtatl n" ,)_,11<1\,\1 dnb:l'(:nih vrijt:dnilsti imaju tce oj i .1L

poznati oblik.

Primjer (za rrirnjcnu VinklenYl_'ih tJOli-:,1

Kominuirani no,ac sa ai (3) jcdn;lb rC·ij3 (npr., poctylaka u od[c:d~noj ta\;l;';il-, opterecen jc (prema 3na]izi optcrcecnja> :'~ r::\"[10mj,'ffJO podijeljcnim op(~recenjcm, L,,( potice ad vlastitc td.int nosab i kOf1-\\:u',:UjC _~ = 15,OkN!m', i korismm (~!UtaJ~I::~ takocte, jedmko podijcljenim optcrCccnjnl p . .-" 10,0 kNfml.

Potrehno je (na primjcr) odredili_ ~'K,rrcmnv, ~n13k$imlllnc i minimalne; vrij;.:,j,' transvcrzalne sile na osloncll A (kr-njnii \l)C\ 1 (\$IO'.~lC;, \.ao i ck5trttnl1~ \'rijednoSli 111\)11,,:;' savijanja (max i mini La prcsjck lldaijcn :::a Xl =0,1 [I (od os!onc~ A). (Vidjc(i slikll 22~ . 11 = II = I, = 6,0 m

D

(III II Iii Ill!!! 11111 ! IITILlllllllllIIIIIlII[rrnmmIIT.!lIIIIIillillmIInr~ 9 A 'ilIIIDIIITnm \ \1\ j jjj III j jIll) IUTIJIDTm:mmmrrnmmmUllllIilll)l!I!!! j I iUnr~B

- ~-' :n .. ~ ~o:.\.,.j AC 0 ~.. lo 6'0 ~ , . ____ J 0 60 -"-- 10 60 " ~ ~ 1

:2 ::: g-t-p (Ukupno opterecenje)

$1. 227.

Rjdavanic:

Presjek A. (,,·,Ionnc- /\)

MA=O (slobodno nalijcganjc, pa je momenat jednak nuli),

max TA "-' (O,4' 15 "r- 0,45' 10), 6 = + 63,0 kN,

min TA = (0,4· 15 "'- 0,05' 10)' 6 = + 39,0 kN.

Prt!sjck x~ ~ 0,2 I"

max AI =-'-. (0,060' 15 + 0,070' 10)· 6~ = + 77,60 lim,

mini\-{ (0,060' J5 __ ~O,()!() 10)·6: ~~ 28,80 kN.

. . . :. . . Na 'isti, ~alogan nacin, mogli bi .. ~o odrediti (u d?!je,m' radu) ekstrenme~ tj. ~~~l<_-. ...... . . ." I.'

~ne' i minimalne vrijcdnpsti z.a T.j M Zll sve ~dabrane presjeke kO,ii se nal.nze,l;la ;}O"

'. (i1('_!)'~YakO~ r~pona. Za praksu je do .... oljno llzeti presjeke oa 0,21, tj, !... da biSm~:'d~tiU{' ~_ : .. ,' _: _ - 5 • ,_.' :_'_'f:~/ . . povoljno pOdataka za. crtaoje_dijagrama (';kStremnih vr':jednosti ia TiM. . ", :~::-

'- _. V k'JDkretnOm slucaju_ (nasata sa' tri polja iz ovog zadatka) dijagtlmu ekstremnih:­vpjednosti za T j M (obvojnica dijagrama T i At) bi imali (i da sma izraC1.!llali sve potr:t:bne vrijednosti kako je rowano) oblik ho' na sl. 228. .

B = 0 4b

); l3 --,!<-

Dijagrame je za prakticno koristenic (kako ;:namo'; puv:ebv> crtzti U odredenoj _ pogodnoi, izabranoj rllzmjeri.

PITANJA I vJE2B,;NJA

232

- Kako definikmo staricki llcodredcne no~ac~:'

Kako se odre..1uje (uops:te:, s{epen stalick\: r,~QJreJ.enos!i Jl()~;!c':l t

- Navesti karakreristicna ~\"uis[\'a HatiCki neodredt.'nih n;)saCa u p<m.'d:-:nju sa sta-titki odr\:denim r .

-' Kalika nepoznanica (kamponenti reakojc' ukljucuje u stbi l.:klje'teni kiaj -..:. o~lon.c? KoUka nepoznaniC'd (komponenti) ublihvata nepokretui, OJuoSfH.l pokretni oslonac?"

Na kojim osnovimll - posravkama rjdavamo staticki needredene nosace? Objasniti ilta je to "osnomi sistem" pri rjdavanju staticki neodredenih nosa¢.a! 'Kako ~azinrr.e dopunske uslovt.' - jednacine za rjdavanje nepozna.llica ked statitki needrc..1enih nosa?:a? Sta su to kontinuirani nostle!? Kake se nazi\"a, po autoru, jcdna(ina (icJe:!~lne) Z3 rjdaV:l:lje Kootinui!:lnib nor saca?

. )

,.

!.

. . .

Sea ~~e~tavlja 11Q~'Clan Klapejron6~~ jednatine (oa desnoj stnmi)? .' Navcsu alutajeve.kada se mogu primijeniti ~lapejronove ieduaane"i za neke druge statiW neodredene: nosRce?

_ Navesu 'su~tinu piimjen~ lablica za rjesavanje );.6ntinuiranih nosata. _ Odabrati nekoukO primjera CpO'moguCnOsti iz' nepouedne prakse) iz podniqa

statiiki·neOdredenih nanCa (obostrano i jednostrano uklijeiteni n0S4c) kontin~ greda)· i ia odabrane (usvojene - zadane) podatke ixvriiti statiCko rjclavanJ: zadataka"- ·odrediti. rClIkcije, eksttemne vrij':dllosti statiCkih velicba i na.crtlltt di.iagrame.

233

t

J

15.RE!iETKASTI NOSACI

Opfli dio

Za razliku ad punih nOS2.Ca ciji it popn:cni presjek pun (sanduc:ast ili s1.), feSctkasti nosaci sastavlieni 5U oJ. swpova koji su medusobno povczani (svojim krajevima) zglobovimu, taka da bo cjelina oorazuju nepomjerljiv·­sklap (kompoziciju) stapova. Osovinc tih srapO\'a sijeku se u sredistu zl!loba ~i\'arno cvorom .... Stapovi resetkastog nasaca (Odnosno, nphove OSOVl!'.~)

leze U IstOJ ravui, taka da je i cia nosac ravan, a takvi ravni fes:etkasti nosaci su predmet daljcg interesovanja. Zglobne veze iz.:nedu pojedinih stapova pr~=­;tavli?l~zapravo, sarno teorijsku pre! .ostavku; kQla se PfgttHaO. fie reah?~!!. ,er, um)f'.;;l:-'3-zgroEm , u pra.vl U,. lzvodlmo !aute vcZe, marla se lzuzetno, za odredene konstrUkclJe, mogu pnmljenni t zgt?One'V"eze. Roje su se raffije"u 'pJ~si}orifill~Ftire veze se lzv6ae porrniCU z~~a, zavrtn}ev~,Jll~~_~l: \·anjem. Ovakvlm vezama, UlStmu me om \!c~no zaokretz.Ii.i,~~ta2o.l.tl.~~::._, _ evo a, 0 1 1 9 moguce ti0 Idea1n~ ... ~,Btoba, ali ova 6nienica, kat2~ -pt)ica2!ilrpos~ prora¢pni t ispitivanja, ne prouzrokuje prekoracenje JO::Y_9: Jlemfi t<:lsr'!!lQJa.J!.1i~'Elllg lmt'lV% '\,§2L nallilama dooun,kln na£f~­zanla nastalih od krute veze. osta om, TIl zglobne veze ne bi bilo moguce

izvesti bez h~nla, p§ se u praksi zanemaruje postojan;e (u pravilu) dopunskih naprezanja, a sile u stapovima rdetkastih nosaea iacunaju se u skladu sa teorijskim posravkama 0 zglobno; vezl. Na 'skid (s1. 229) su date sheme veza stapova pomOCll zgloba(stose sada. u pravilu, ne izvodj) i krute veze koje se u pniksi, u pravHu, i primjenjuju.

a)

.7{ .. SI. 229. a) zglobna veza, b) kruta \,eza, c) drvo.

Re.setkasti nosaci u geometri;skom smislu sastavljeni su iz trouglova aje su ..stranice materijalizirani s~apovi povezani zglobovima . - u cvornim tackama. Takva f!gura predstavlja, ?apravo, nepomjerljiv sklop stapova u kojem je osnovni lik - trougao, koji je, kao sto znamo, osnovna geometriiska nepomjerljiva figura. L:vorovi ovoga trougla (tjemene tacke), odnosno cije!og

234

, feSetkastog nOS::lca, ncmajll sJobodnih pomjcranja, iskljllCid;i pomjeranja IlJ­stala usljed elasticnih dcformacija stapova resctke .- usljed dcjstva optc,c­tenja - a kaje ovdje (zbog malih vclicina) ne tretiramo kaq pomjeranjc

Na narednoj skid (sl. 230) predsra\'ljcn je trokut bo osnovna nepomjcr·· ljiva (geometrijska) figura i cetverokut (s1. 230b) koii je pornjerljiv s obzirom na postavk'll da su VC7.e stranica - srapova zglobne. Ovakve pomjerljivc fiL;L re "e mogu so koristiti kao sastal'ni dio sklopa re!etkastog nasaea koji se primjc­njuje u praks! nosi\'ih gradevinskih konsrrukcija,

Rcletkasti nosaCi kao cjelina mogu im3ti r3zliCite oblike, ali ovi ob!ici, u pravilu, O\·i~ni Sll 0 funkciji (zaJ2tku) ovaYvih nosaca. Primjcna reSctKasrih nosaca u in'lenjcrskoj (gradevinskoj) praksi je veoma Ces!,l i znaeajnJ, POSCb!h-),

00 --T' , , !.

,-- --~)'.

Si 2."\0. S1. 231. Resnbsri nos;!'; (opsra ~C:;-".'.').

S obzirom on odrcdcnc prcdn0s1i. h,,:;:, !"',-i jcdnakirn ostalim usloviua, inlaju, za odredene zachrke ovakvi nosaci. ;'\jima ~e mogu izvesti vcliki rasponi, posebno u cdiku, llZ waeainu ckonnmi'':nosr (ali ne uvijek i 3trakti'lUi estcts\i izgled) konstrukcijc.

U pogledu starickih sistema i n~lCina oslonianja (os:o:lci, (lslona(:kc vc:t,c) feSetkaste nosace trctiramo na isti naCin bo i pune Sto, pored ost8Je'g, Lnae') da mogu biti u st<ltickom (vanjskoll1) smislu stClticki odrcdeni (npr., prOSlJ.

greda, greda sa propustima konzola i dr.) i vanjski ~ sruricki ncodrcrlc:,j (npr) kominuirani nosac i dr.). Pominjanje izraza valZj~ke stati?ke neodrc:h:­nosti, ukazuje i na cinjenicu postojanja ullutCim/e sLatitke neodredenosti reS :th,.,tog nosaca, a $to ce biti objClsnjeno u narednom izlagan;u.

Prema gore izlozenom, mozemo konstarovati da arpore osJonac:l - rca}.:­dje odredujemo na isti naCin (analiricki iIi grafitki), kao i kod punih nos3(:I, a sto je vee ad ranije dobrr pOZllato.

U daljem izIaganju obradivacemo unurarnje staticki 'Jdredene (raYlJt) nosace) koje u praksi najcdcc i primjenjujemo. UnutrasnJi sta[icki odrcdc!1i rdetkasri nosaCi su sastavljeni, kao sto smo rck!i, ad, niza rrouglova koji \.:.an cjelina treba da poprime odredeni flLlkci;:}f\JJno-konsrruktivni oblik. Bro) stapova i broj (-\,orava je u mcdusobno) funb:icl'...Jlnoj vezi. Ovaj odnos braja stapova s i broja cvorova tI, koji treba da bude zadovoljen da bi reSetbsti nosac bio sraticki odreden, dobivamo kako sljedi (vidjeti prethodnu skicu - s1. 231). Za formiranje prvog trougla resetkastog Dosaca potrebni su 3 stapa i 3 cvora .. a za svaki dalji trougao po 2 srapa i jedan evor.

Prema tome, za cia reSetkasti nasac (niz trouglova) potrebno je:

s = 3 + (n - 3)·2 stapovi1, tj. kuda sredimo:

s = 21J - 3 (stapova).

ReSetke kod .,koiih ie zadovolien gomii uslov (uz kontrolu ispravnosti komponovanja reSetke) su unutarnje '-staticki ociredene, sto ujedno 2MCi da sile u svim §tapovima'Tcletke moferna odrediti na osnovu statickih .uslova ravnotcle .. ' Ako . je: -

s>.1n -3,

tada "je" reSetkasti nosac imutarnje, statiCki neo,dreden,' pa i sile u'stapovima t~eSetke ne maierna 0drediti iskljuCivo primjenom statitkih uslova ravnoteie, nego i na dopunskim jednaCinama zasnovanim na'tretmallu e1asticnih svoj~ stava'materijaIa ..

Navedene site u stapovima reS~ikaStog nosaca su unurarnje sile, za cazliku ad opterecenja koje napada nosac i reakcija' oslonaca koje smatramo tJ(lnjskim. silamd.

Vaniske sile (opterecenje) dje1uju, il pravilu, preko cvorova (preko odgo­varajuCih sekundatnih ill slicnih I).osaC'a cjeiovite rclctkaste konstrukcije), a sarno izuzetno i izmedu cvorova, karla u datom stapu nastaje, pored naprezanja proisteklog od dejstva aksijalne sUe stapa, jos i naprezanje na savijanje - a to se, ~ pravilu, izbjegava kao nepovoljno rjdenje-..

- Opis I'dulil,./Swg lIuj./(il (vidjcti skicu sl. 231)

Stapovi od kojih su sastavljeni (izradcni) feSetknsti nos;J(:i imaju svoje standardne nazive. Posta rdetka predstavlja zatvorenu (geometrijsku) figuru1

~ve stapove gornje'strane (od aslanea do oslanea) nazivamo slapo'vima gornjeg pojasa, a sve stapove sa donje strane reSetke - stapovimQ donjeg pojasa. Sta­pove izmedu gornjeg i donjeg pojasa nazivamo scapo'vima ispwie. Ovi stapovi mogu biti di;agonalni - nazivamo ih dijagotwle i vertikalni - nazivanlo ih vertikale.

Svaki stap pojeuinacno dobiva svoju standaruiziranu .oznaku radi identi­fikacije. Oznake su date simbolima u indeksu. Srapovi gornjeg pojasa nose oznake ._- simbole G sa odgovarajuCim indcksom (GlJ Gz, itd.), stapovi donjeg pojasa oznake - simbole N uz odgovarajuce indekse (arapski brojevi racunajuCi slijevli nudesno), Stapovi ispune nose oznake V (vertikale) i D (dijagona1e), uz potrebne indebe. (vorov! reSetkastog nosaca moraju imati, wkode, oznake i one se d3jU arapskim brojcvima, a sto omogu(:uje laku identi­fikaciju j pregledan raCun. OZIlake - simboli kojima je na poseban naCin opisana reSetka, dati su pfopisim3, ho je ovd;e uvaiavano.

Oblici reStllkastih nosaca

U narednoj skid bice dato nekoliko karakterlsticnih oblika reSetkastih nosao. koji 8e prhiljenj~ju u gradevinskoj ptaksi. Pojedini oblici (karakteri­sticne kompozicije) irriaju i svoje posebne nazive, sto nije, naravno, od znacaja z.a njihovo stati~ko tretiranje, a sto 'je Dvdje od primarnog znaeaja.

Na ,lie;" 232a i 232bsu dva karakteristicna oblika krovnih r~setkastih nosaca (vezata), odabranih izmedu niza ostalih mogutih obliku, cije je zajed­rucko obiljeije obIik gornjeg pojasa - kao posljedica funkcije krOvova.

Na slid 232c dat je primjer re?ictkaste konstrukcije (nosa<::a) za tvornitku balu, dok Sll na skicama pod d) i e) date staticke sheme feSetkasrih nosaca

236

1 I

I' 1

koji se, uglav'norn, "koriste u m~stogr.adnji (trapezasti j ,paiale;Ini resetkasti nosa~). Gornji 'pojas -kod ovakvih'_cdetki moze hiti i zakriv:1jen-,,:"" .parabolican (d. . .

A

OJ tJ 0 /: :% " ~

:/ A ~.

S1. 232. a) krovni re~etkasti nosac (VCZllC). b) krovni vezac - Vigmanov (po!onso), c) re~ letka - okvir. d) trapezoa rektka (mostovi)j e) pai~eJn3 .rdetka. f) konzo!na rdetk:l

Na istoj slid pod f) dat, je trougaoni konzolnr reSctk3sti nosac (riastrd­nica), gdje treba obratiti painju na oblik pokretnog [dista - zatcgu.

Navedenf obUci predstavljeni sY$t:tatickirn shemama nosata, koji cine osnovu za statiCki proracUn ~- kada sti-'uz to date dimenzije, oznake i optere­tenja nosa~a.

15.1. ODREDIVANJE SILA U STAPOVlMA RESETKASTIH NOSAGA.

Op,re pOSlavke

Sile u stapovhila reSetkastog.nosao. sa aksija!n~,tj. njlhov pravae dje!o~ vanja podud~ se sa, pravcem ose stapa- ":""'" odnQsno spojnice (pravom lini­jom) dva susjedna Cvo!~ izmedu k~jih se milazftretirani stap. Prema pr,edznaku IUOgu biti·pritiskujuee-'i.zatetuce, Cirrie je i ·!Jdieden. na~ dinienzioniranja ~tapova kadil su·powte sile (ekstremne vrijednosci'sile _Za dati stap, 7..a·razli~ cita optereeenja) koje ih. napadaju. .

Site u stapovima fcletke mozemo odredivati analitickim iIi grafickim (eventualno grafo-analitickim) posturcima.

237

i

J

U cjelini, razlikujemo dvije QPste metode rjeS:avanja - odredivanja sila U stapovima resetkastog nosaea, i to:

- metoda presjecanja J

- metoda tvorova. Obje metode, naravno, prerpostavljaju prethodno odredivanje re::lkcija

- otpora oslonaca r~etkastog nosaea - grede, a StC se Cini sto sma vee istakli, kao!. kod punih. nosaea, na bazi uslova (anallticklh, odn~sno grafickih) ravnoteze Ulela u ravru.

.Swtina metod.~ pr~ijecanja sastoji se u tOme da na odgovarajucem mjestu (polju re!.e~ke - ?lJelu . gdje se nalazi stap tiju unutarnju silu treba- izracunati - odredltl) presJeterno reSetkasti nosae i zatim postavimo uslove ravnoteze ~ pr<:Dstall dj~ nos~& (drugi. dio j,e "odbacen"), prema kame sve unlltarnk s~~ (sile u presJecemm !tapovlma,ll sve S ofne sile to a di'ela osaea mo~u bm u ravnoteii. .SiJ~ u presjeteni~ stapovima imaju poznat) pravac prav3c ose stapa), dok "lm Je pretpostavIJeni predznak pozitivan - sto se poslije definitivno utvrdi na bazi stvarnog predznaka rezuItata.

Metoda Cvorova, nasuprot presijecanju, posmatra ravnotezu svakog Cvora resetke ponaosob i dolazi do rezuitata postavljanjem uslova ravnoteze za sv~i evo: - za s,:e. si17 unutarnje i spoljoe, koji dati evor napadaju,

~lpote~lCa~ pOZltlVnl predznak unutarnjih sila se kasnije definitivno utvrdt doblVentm rezultatima.

U o~vir~ na~edenih met.oda rada fazliklljemo tri (3) konkretna postupka za odredrvanJe sIla.u ~tapovtma rcietke, nazvane po svojim autorima:

- Riterov posrupak (metoda), - Kulmanov postupak (metoda),

- Kremonin postupak - Kremonin plan sila. Px:ri poC?enuti metod je anaIitieki, a druga dva su grafieka. .:<lt~rov 1 K.~a.nov postupak se mogu llpotrijebiti za iznalaienje unu­

tarnJlh s11a U pOJedml~ s.ta~o:'¥TIa ~eSetkastog nosaea, a Kremonin plan sila (metod tvorova) ~e prtmJenJuJe za lz~~azenje sila u svim stapovima re§et­~tog nosaea za odredeno (dato - izanalizirano) opterecenje. Ovo optercce­nJe .(kao sto smo rekli) prenosi se preko evorova na re.setku) a 'sa-resctke kao geltne ns oslonce.

Za primjen? sv~e od navedenih metoda moraju bid ispunjene pretpo­s~vke - ';lSl?Vl kOle .smo v.ec t.t ~pstem dijelu naveli, jer je. tako moguca nJihova. pnmJena a rezuJrau - fJesenja pOllzdani. .

U ~avedenom izlaganju bite, u neophodnoj mjeri, objasnjena svaka od naved;.nth metoda - posrupaka, a sto sluii kao osnova za staticko rjesavanje ovakvlh nosaa u neposrednoj gradcvinskoj praksi.

15.2. METODA CVOROVA - KREMONIN PLAN SILA

O,?-i ~i&i metod ,?d:edivanja sila reS:tke za d~t~ opterecenje, koje se prenosl I?reko ~or?va, z~ruva se ':~ postayc~ da je :tS~lkasli nosac u cjelihi U ravnoteit (stanJe nnrovanJa - stab~ll£et) aka)e svakl l1)egov CVM istovremeno, (akoder, u stanju ravnoleze (vaZi i obratno). _ . P:e,dnost, ~.osno racionalnost ove metode ra~a ispoljava se narocito u

CinJemcl da se Jcdtnstvenom grafickom konstrukcijom plana fiobtaja (naern

238

I

I

feSetke) i plana sila (Krcmollill plan sila), tj. bez ponavJjanja nanosenja pr3\'ac.:a (sHa) dolni do konacnih n:.:zulta:~l, ri- odredivanja vcJiCinc i rredznaka sib u svim stapovima fdetkaste greelc nosaea.

Buduci da svc spoJjne i ulluwrnje sile (sile u stapovima) moraju bill U

ravnoteii; Kremonin plan si/a mar:::! (~hodno grafiekim uslovima ravnote7.c)

bid zatvoren, Sarna shema re!etke, sa syoic strane, sa svim SmpoYima Koji satinjaYdju

~je!inu) prcdstavlja svojcYrs{an zatvoreni veriini pojigon. Postllpak cnanja Krcmoninog plana sila, odnosno odredivania sib, po

ovo; metodi, je flU sljedcci na6n: Nacrta se staricka shema rcsetke Ul pripadajuce optereeenje (plan polo­

zaja) u odabranom mjerilu du'l.in'.! (rJpl"., t 1001 1 : 50 i dr.), a desno iIi ispod, na pogodr.om mjestu, l1:lcrta se plm! :iiIa U odabranom mjerilu sib (npr., I em {:- I (kN) i 17.nadl1 rcakcije oslonaca (uz crtanje pomocnog veriznog poligona - <lko ie porrcbno) gr:lfiekim putem. Sada se \Tsi obr<1da - ur:n'nu­tezenje (rjeSenj~) $v::;,koga (:\'or::: POSd)flO, idul:i od eYora do c\'or:l, po urwtk­nim pravilima principim3. U rrn\'ilu, (uobicajeno) 'Jbruda (\'oro\';:\ K0d resetkastib gredJ (rrosta grcJ~l) n~; S~ pocey od krajnjeg lijevog CYOrCl, Z:I­pravo oslonca, i d;\!je sc n~\.'ir::H'!j<1 udcsno, po urvrdcnom redos!ijcdu S\'C do posljednjeg cvonl (o;:;!nncl). Pocerni (,'or nc- smije jrnuli vise od dvije nepo~ znanicc, sto ce fcci, da u n;cmu mogu biti najvise dv') ~;(a~"3. s nc.pC>Zl1:;:im ullutarnjim silarna u nji111a. I svaki d:llji (vor je moguct.: rijcsiti jedino ako Sll u njemu ne sustizu \'iSe od dvije nepozo<:nc vdiCine (stapa). Ovo, za;:.rra\'o, definiSe rcdoslijed preia7,enji1 S C\'O:-(1 n3 evor, pri rje..hvanju cjdovitog zad3tk3

Pocemi (i S\'Ji-:i n3rcJni) CYUl okruzimo, zamisljajuCi da je isjecei1 i/ cjeiine, i na njega primjenjujenlO grafith us love. r~vnoteze koji vaie za mJ­terijalnu tacku (rj. ovdjc C\"Oi"), a to 7,l1a6 da maramo u ohiru Kremoninot~ plum sila zatvoriti parcijalni plan siia koji vazu upravo za dati (obradiv:Jni)

Cvor, Smjer obilazcnja oka (vorne ~:lCke pri slaganjll - nanosenju sila, kejc

dati eyor napadaju (spoljn~ i unuFr;njc siJe), takoder, utvrden je i idclHic;.n sa smjcrom obrranja saUle kazaljke (moguce je i abramo, ali k'onsekyemno ;,:8.

sve cvorove, uz ispunjenje i drugih odrednica). Nakon 5to Sl; rijdi (tli-avnotdij obradivani evor, nancsu sc i, llZ cvornU t3cku na pravcu stapova, odgovaraju':i dobiveni predznaci za sile, i to ka C1,2n, za priciskujuce sile, odnosno od biOI""

za zateiuie sile swpa. Smjcrovi SU odrcueni, na~avnOJ z;ltvorcnim planom sila jer su istovjcrni

sa onim u pJanu. Kada se zavr.si pocctlli (odnosno svaki drugi) c:vor1 pre1azi se na sllsjedni,

posto prcthodno na njcmu obiljdimo predzilake silll u §tapovima kojt Sll

rjeSenjem prethodnog evora vee posrali poznati. Postupak se, analogno vee opisanom, ponavlja sve dok ne budu o'bradeni svi cvorovi - odnosno reSetka

kao c;elina. U odredenim slucajevim,a neb od stapova reSctke mogu (za posmatrano

opterecenje) imati vrijednost intenziteta unutarnje sile jednaku nuli. To su tzv. nulti stapovi, koji se mogu bez tclkoca identificirati, imajuCi na llmu mogue-nost postizanja ravnotde_ ~i!G. u takvoIU cvoru (tatki). sagbsno gra­fiekom uslovu ravnoteic. Ovdje cemo nuvesti karakteristicne slucajeve identi­

fikacije nul-stapova.

239

Tako, zakljucujemo, za slucaj neopterecenog Cvora u kojem se sustiZ:u tri stapa~ od kojih dva'imaju isti'pravae prutanja, sila u trecem stapu je jed.p.aka .. nuli (ntd-stap)~>.Ta1c~er, ncoptereeeni evor u -ko~e se suStiZu sarno dva ~tapa;' . oba postaju' Jiul-stapovt. . _ . -. -

evor sa -dva' stapa sa opterecenjem ciji s~ pravac podudara s pravc~ . pruianja jednog od stapova -' eirri onaj drugi nultim stapom.

: Konactlo. kada je Zav!'Sen cijeli postupak, na opison naCin, dobiveni r=l­ta'ti za unutamje sile srede se i unase u tab lieu radi lakSeg korisrenja i preg~ , lednosti. .

Posttipak iznalazenja sila u stapovima feS,etkasrog nosaca, sistema proste , grede, 'po -'metodi Kremoninog plana sila (po~ekad se naziva' i, ,Maksve1ov ,

plan sila ...;.... po idejnom zacetniku ave, metode naucniku Maxwe/lu),' bice prikazim na' sljedt?tim karakteristicnim' primjerima - zadacirna: fcletkastoj prostoj gredi i. konzolnom feSctkastorq nosaCu.

Primjer

-Odn.:diti\;ile· u svim- stapovima fe.sCtkastOg nosaca, sistema proste -grede, aJ,m su opterecenje i dimenzije nosaca date na skid (sl. 233). Zadatak rijeSiti metodom cvorova, tj. f,rimjenom I<n;mollinog plana sila.

Opis raaa

I'ajprije sma naertali u mjerilu nacn feSetke (plan polozaja) U mjerilu Z:.i dU7,ine, sa pripadajuCim cyornim optcrecenjima. Na pogodnom slobodnom r;-oStofU, ovdje, ispod enda rdetkc, nacrtali smo (Kremonin) plan sUa u mjerilu za sile, i to najprije plan kojim odredujerno reakcije nosaca RA iRE' ZnamQ da reakcije odredujemo pomoc_u plana sila i veriznog poligona koji trcba (za ravnotezu) da budu Zaixorenl. Ovdje nismo crtali 'veriZni (pomocni) po ligon, jer je optcrecenje simctricno, pa su i reakcije oslonaca medusobno jednake i iznose polovinu Likupnog opterecenja reSetke, tj.

Nakon lito su odredene reakcije, pocinjemo crtati Kremonin plan sila, postepeno, iduci sJijeva nadesno, obilazcci cvorove radi uravnoteienja 511a koje i~ napadaju - u smislu kazalike na satu. Ovdje smo poceli sa evorem A (oslonacki evor) jer u njemu imamo dvije nepoznanice (G1 i N1).

ParcijaIni zatvorei1i poligon sila, U okviru ,Kremom'nog plana sila} nacrtali smo, poIazeCi 04 tacke, a iduCi k. t.cci b (reakcija RB-vidjeti sliku plana sila), zatim smo se vratili do t.eke c (cil. P,) i vukli paraleIu s pr.vcem stapa (sile) :G1 do pr~jeka sa.pravcem stapa (sile) Nl u tacd d. Pravae sile Nl poeeli smo vuti od pOCetne tacke a - da bismo zatvorili Qva; parcijalni poligon sila koji se odnosi na prvi evor (evor A). Strelice su (u planu sila) odredene s>mjerom pocetne sile) tj. reakcije RA • Ove strelice (smjerove) prenesemo u istom smi­slu u c:vor A, tj., ~a pravce stapova G1 i N'l - U okviru kruzita koji Sf 0

nacrwli oko njcga. Ovim je, zapravo, zavrSeno rjclavanjc prvog evora, pa

240

I

prije n~go sto predemo na sljt:deci, potrebno je pre!1ijeti .. str~.ice sila G1 i ~l , na susjedne Cvorove (ovdje na Cvorove 1. i 4) U OkYlru nllh<?vlh .krugoya kOJe

smo, takoder, nacnall. Posto je sil~ G1 irpala strelicli k.a Cvorut t~ 1 U susJednom

01 Plan sila"

MJ 1:100

0 P.=1.0kN C·

Toblco

Oz:n"ka Velicina

N. • 5,80

N, • 5180

N, + ~80

N. + 5,80

G. - 6,50

G. - 4;30

G. - 4,30

G. - 6,50

V, 0

v. + 2po

V, 0

D. - 2,20

O. - 2;10

f!=2.0kN

D.

N.

,. m

·j",,12m

M,.

f!""'2.0kN

N. 2 ,

3

Kremonin plan sila

MJ lcm ~ 1 kN

SI. 233.

4

o

tvoru (4) mora biti orijentisaua ka evczu (pritiskujuca sila). Sila u stap~ N~ imala ;e smjer - strelicu od cyora, pa i u susjednom (;vorn (t) mora lmatl strelieu od evora (z~tetuca sila).

16 StatlkB gradevlnsklh konstrukcljll 241

,

; ,

J

Sada moiemo preci na susjedni (:Yor, ali takav u kome su sarno dvije nepoznanice. To je &or 1 sa silaroa u stapovima G u G t i VI; od kojih je G1 vee poznata i ucrtana. Pardjalni poligou, ovdje trokut (zapravo trokut cija je ;edna strana jednaka nuH), zatvaramo crtal.ljem na planu sila pocev od tacke 3, nanoseCi poznaru sil~ G1 od a do tacke d (a to je vecnacrtano), zatim bismo crtanjem Vt i Gt zatvorili ,tmugao. OCigiedno je da je, dakle. VI = 0 (nul­-stap), jec je moguce povratiti silu u paternu tacku sarno crtanjem novog pravca d -a koii predstavlja silu u stapu G2< Za G"! stavIjamo streHcu uz vee nacrtanu za G1• Sada srcciice" (smjerove) prcnesemo U evor (evar 1) u ok,,!! u kruga, a to jc ovdjc sarno streIica za O2 koja ide od l:vora rj. sila je zatezu::'a (i icdnaka je po velicini: s~ Ot). Posta sma upisnli (nu naertu re~etke) da je VI == 0, sada mozemo prcCl na susjedni evor sa Jvijc ncpo7.nanice, a to je cvetr 4. Parcijalni paligan evora 4 crtamo pocev ad vee poznntc sile G I > a to

je na planu sHa tacka d. ~ilu 0 1 imarna vee nacrtanu, ali sada ~trelica ide koso gore, tj. ka tui':d c. Dalje slijedi (po smislu kazaljke na satu) sila P'l.l koja je, takode, \'ec naertana duzinom c-e i strelieom ka dolje. Od tacke e crtama paraldno sa pravcem stapa (sile) G:!) a od tacke d (odakJe sma paSli) pllralclna sa pravcem dijagonale (sile) Dl - do presjeka u weci f. Time je i ovaj paligon, koji pripada cvoru 4, zatvoren. Streliee sa plana sila rre~esemo u evor U okyiru kruga, pa novoutndene streliee prenesemo u susJedne cvorove, pa k~o ranije, moiemo preci nn sli_cdeci evor. Sljcdeci evor sa dvije nepoznanic;e je evor 5 (nepoznate V2 i Ga) i panovo crtamo parcijalni paligon paee\'si od vee poznate sile Gz - a to jc u planu sila taCk a f. Redosliied sila je, dakle, G2 , P3 , G" i 1-'2 - Cime se poligon (cetveroug::l.O), takoder, zatvara (f -e-g-h-f). Prebac'Jju Sf: strelice 11 evor 5, bo i susjedr.c c:vorne nO\'outndene sile u stapovim3 (o\"djc G2 na r\'or 6 i Vz na b·or 2). Sada je mogu~e preCi na evor 2.

Postupak jc analogan prethodno opisanim i nije ga potrebno dalje opisi­\',ni. Posebno treba napomenuti da je do!askom u evor B (oslonac B) zadatak vee rijden - pa pravilno pracenjc z3tvaranja za ovaj tvor predstav-Ija zavrsnu kontrolu tacnosti rada.

Nakon 5tO je korektno zavrSeno ¢rtanje Kremoninog plana sita potrebno je sistematizirati dobivene rezultare. U pravilu, sila vrijedilOsti u stapovima sa odgovarajuCim predznacima se daje tabe1arno ~ stO je oydje dato i pri­kazano.

Primi~r

OJrediti siI<: u ~vim sto.pm'ima r("se!b~tog kon7.01nog n05o.~'a (nastte1inka) ilk'l ~u opterecenj~ i dimenzije dale- na ~kici. I'rimiicniti nlc!udu tvumv3 - Kre-nwnin phn ,ib (sl. 234).

Opir rada

.. t!aertali smo u mjcrilu za duiine plan poloiaja Chocrt resetke) sa optcrccenjem i. n3n1jel! sile- P u PI> P3 j p. U plull sila. te pomoCu (pomotnog) veriznog poligona oJrc-dili pol?!a) re7.ultante R (ovdje u sredini ukupnog raspona konzole - zbog simetricnog optere"": cen)a). Koristeci uslov ravnote!e da 5e Iri sile knje su u ravnoieii - moraju sjeC:i svojim pravcima u je-dno; tllCci (ovclje tacka ·a') - produiiIi smo pravac reakc;ije Rn do pravea rczuttante R i dobili tae::ku c' kroz koju (uz taCku A) mora proCi pravac. reakdje RA' Pastn sma u (K'reml'ni"om) planu sUa odredili rcakdie RA i RiJ (Rn - harizontalna, 7.bog hori~ zon!alnog lc:J.aia - nte!uci klaj), prhtupamn crtal1ju stvarnog Kremoninog plana sila u OkvlTU vee njegovog nacrtanog dijelll _ kojim sma oJredili reakcije.

242

i . I

Polazni (potc:tni) cvor je ovdjc Cvc,r I. l'(\~IO it t,) evor hc7. 0plcrcccnla, sik u nh;"! &Iapa otiglcdno moraju biti iednakc: nuli !Yl I N l), Ii. t,) Stl nul-:lIapovl. (Sj~tirn() se d:; dvije sile da bi bile U ravno,ei.i mnr,lju !rr.~\1 is!l pr3\";!c djciovanja - ~(Q o\"dje nije slub).)

10ZNAKA o I

- 000 l -=z:;o--] G1 +0,.8::'--.J Gz + 20:::::::: ,"-G, + 4,55

-i V, 0

V2 + 0,40

~. ~ 1110 I ,

VI, - i;1Q I

D1 - Cles ,

.---' °2 I

- 2PC

o

Sf. 2J4, a) plan poJozaja (mj: : 50). h) Krcrnonin plan sila (m; : 1 em;;;:;' 0,50 kN).

Sada vee maierna prl=Ci nB sljcdtci (Y,)r, a to je tvor 4, gdje imamo dviie nepowanicc (DI i G\). Polazimo ad prve pOZO;J[e sile u h'm evoru (PI) i zatvar:lJ'lO parciialni poligon u planu sila _ obilazeCi oko evora \l smis!u k~lalikt na saw, U planu ~t!a je \0 !rUU"n') e---J -b--c. Po~to ubiljclima strdicc u knlg oko (vora I i prcnesemo nO\'outvrJcnc vrijcJrhl<;u ns susjedoe cvorove (2 i 5), moiemo preci na susjedni Cvor gdje imam\! S:lmu dvijc ntpo­znanicc, a 10 jc eyor 2. Ovcljc palazimo ad vet poznate sik U stapu /)1 i sa Vr j N, za'varam\) novi parcijalni poligon (troktlt) u planu sUa. To jc traugao c-h-d-c. Nakao Sit> upi~cm(\ smjerove - sttdic-I: U krtlg oko evora 2 i prtncsemo novoUlvrdt'n'; na susje-dne ':·VOWVC

(ovdjc 3 i 5), moze-ma prcci na sljedeei t\'or, a 10 jt tvor 5 - jer U Ilicmu imamu dvi;c nc­po:z:nanke. Posttlpak je analogan ranijc opls;wim, i tako idcmo rcdom dol: nc dotlcmo u pasljednji evor, a ta je ovdjc: cyor A (oslonl.lc),ko'li se pri :i3nktku rada na prctposlitdnjc!l1 Cyaru (ovdje B) sam zatvori, ra jc potrerlf1(l ) to nlcrtati tI ~1.;Jajlu ~a pravilima r~\'II<'!<"It' cvota.

243

Posljednli ~vor'_~jedno,niun daje zavdnu kontrolu ispr/lvnosti'cjdokupnog rada na Crtanju Kremoninog-~ tila -.: ito je i ovdje provedeno i konstatovana korektnost u r-eatiuciji poitupka. ,'-:_';:,~_" ,-. .

. U tablici u ok~ s!ike'.(I.L 234c) data je tablica. u kojoj IU sistemlltizirano date vrijed­u03ti i odgovarajuti p~naci,lila U 8Vim stapovima ovog konzolnog tdetkastog nosao..

Pn-mjer

Odtcditi sile u s;iOt t:'tapovima rdetkaste (celicne) konstrukcije okretne dizalice sa oblikom, dimenzijama i teretorn Q datim na skid. Koristi se -metod cvorova (st 235).

"

a

Oll<AI(A vWClIo.. kN !~ - s.so .~ _ fi.10

I' " + 4./0 , ... 2.BO

" .. 4.00

SI. 235. a)' plan poloiaja (mj : 1 : 50),b) Kremonin plan si\:i (mj; I em,9; 0,50 kN).

Kratak opis uda. Najprije sma flaW na reakdje RA i Rn eRA i R}J i R, Ij. Q) morajll se u panu poioiaja svojim pr-avcima sjeti u jednuj tatd (u evoru). Tako smo na pianu sila odre­dili i reak-cije RA i R B, pa je time omoguceno crtanjC' Kremollillog pfmUJ sila. Poceuli evor je u tottci 1, pa je odatIc i potctak crania (rada) Krcmouinog plana. lluduCi da se i ovdje radi 0 Vftti konzolnog nosaea - dalij postttpak je u skladu sa vee poznatim ranijim obja!­njenjima - vidljiv sa slike. I ovdje (kao $to je pravilo) dobivcni rczulrati su srcdcni i dati u tablici.

15.3. RlTEROY rOSTUPAK - ANALITICKI POSTUPAK

Za razliku ,od metoda Cvorova, ovaj metod, kao sto smo rekli, pripada metodi presijecanja i ima- analiticko obiljdje. Ovim postupkom koji je pro­izasao iz opsteg analititkog racunskog postupka rjdavan;a sila u sta'povima, fcletkastih nos8ea, mogu se, uz relarivno jednos!avan postupak., odrediti sile u pojedirlim stapovima fdetke, a prakticki i za sve stapove uz repetiti;u postupka. .

244

.' J

.'.~ ~ , ,

, ',1;

I

" ~ "

A

I'· je, I' j P, jP, ----

'" ~

"

SI. 236. a) ncprcsicccn nosac, b) presjccen nosac.

Ako smo presijecanje izvrsili u trecem poIju -(kao ovdje), tada spoljne sHe lijevo od ,presjeka I - I i sile u stapovima G, l'! i D (unutar~j~. siI.e~ moraju biti u ravnotezi. Z~ lijevi dio (kao i za desnt) mozemo pruuIJemtl,:_ uslove ravnoteze i. .,na oS,novu posta,Yljenih i _rjeSenih jednacina... dobiti, na odredeni nacin, veliCine i smjerove (predZn:ake) sila~::::'':t''p~~j~~enim stapo-virna resetke. ' - _.

Riter' (Ritter) autor postupka za odredivanje sila u presjecenim (zelje­

rum) stapovima koristi se uslovom ravnoteze sila L M = 0) taka da se iz­vdi presjek u polju u kome se rtalazi stap Ciju silu zeJ~o odrediti, liZ uslov da presjek pagodi najvt"se cri scapa.

Za rriomentnu tacku se odabirc tacka u kojoj se sijeku preostala dva stapa, pored onog treceg, ciju, sHu u stapu racunamo. Presjecna tacka je, dakle, j.edan od susjednih cvorova, sto u rnnogom olakSava i inace jedno­stavan proracun.

Rherav anaJiticki postupak sc koristi, bez te.skoea, za odredivan;c sila u pojasnim stapovima feSetke, dok kad stapava ispune ponekad: nije moguCa njegova primjena s obzirom na nemogucnost ispunjenja uslova koji ova) postupak zahcijeva, Taka kod paraJelnih pojaseva (paraJelni rcletkasti nosac) neeemo moci primjenom Riterovog postupka odrediti silu u dijagonali datog polja - jei se preosta}a dva stapa (corriji i donji paralelni .~tapovi pojasa) sijeku u beskonacnostl - lito znaCl da nemamo upotrebhtvu momentnu

tacku. M'edutim, ostaju nam osta1:l2 uslova ravnoteie sila (2: X =0; L Y = 0).

245

,

i

/ J

U ovakvIm sIucajevima, Ij. za odredivanje siia-u takvim stapovima, pri­mjenjujemo op§ti analiticki metod, lito znaci da na odsjeceru dio rc.sctke sa presjecenim §tapovima, ukljuc-ujuCi) naravno, i stap Ciju silu nismo mogli

izrac-unati (po Riteru) - primijenimo osrale uslov~ ravnoteze. tj.L Y = 0

(m kada je potrebno L. X = 0). Postavljanjem i rjeSenjem i ove jednacine ravnOteie za odsjeceni (npr., Iijevi) dio nosaca, dolazimo do rczuItata bez tclkoca. Ovim opstim analitickim postupkom u praksi se sJuzimo, zapravo, vrIo testa, posebno S obzirom na prednosri koje nam pri proracunu pruzaju racunskc maAine - kalkulatori, - ukljuc:ujuci i male (dzepne) elektrJl1ske kalkularore:

A sada cerna objasniti primjenu Riterovog poslUpka -zu odredivanje sila u pojedinatnim stapovima, sto ponekad sluzi i kao anaJiticka kontro!a tac­nosri rezultata za sHe U odredenim stapovima, dobivenim nekim drugim postupkom - posebno Kremoninim planom sila. Primjcnu Riterovog posrupka ilusrriracemo na reSetkasrom nosacu sistema proste gredc datom na skici (si. 237).

SI. 237. Staticka shema. podaci: 11= = 3,0 m, i, = 4,0, PI = 1,0 kN,. p~ = 2,0 kN, P3 = 2,0 kN~ p~ = 2,0 kN, p. = = 1,0 kN.

L:dimo li analirickim pUIem pronaCi sile, npr.) u srapovima G 2 i N z rcletkaswga nosaea, nakon Stu smo prethodno (analiticki) odredili reakcije RA i RB, ptesjetemo nosed: U drugom polju, tako da presjek pogodi tri stapa~ uklju(:ujuci srapove cije sile zelimo odrediti. To je presjek 1-1. Sile u presjecenim srapovirna obiJjciimo kao zateiuce (vJacne), sro je polazna prct­posravka - jer Stvarne pn:dznake ne znamo. Ako rezuItat pokaze znak plus - tada je prerpostavka bila valjana. a ako predznak rezultata (sile u stapt') bude minus, tada treba jednosravno staviti raj predznak kao konacan. Naj­prije cerno odrediri silu u stapu G2 • Postavimo jednacinu ravnoteze;

LM, =0.

Momentna ta.tka 2 je tatka (~vor) prcsjecislu druga dva ~Npa, tj, N~ i Dz.· Sada u posravljenu (simbolicnu) jednacinu uncsemo kon~tetne vrijec!1J.-;ti:

I M, = RA . (2;.) - PI (21.) - P,' ,\ + G, ." = o. Odavde imamo:

G _ - R. (2, ),) + Pi . (2,\) + P,' ,\ ,-

.h

UVrStavanjem poznatih vrijednosti U OVU jednacinu, dobijc se konatna vrijed­nost sHe G1 U odgovarajucem stapu. Da \;:onkretizujemo ova; primjer) pret­postavimo da je:

246

PI = 1\ =_0- 1,0 kN; F~ ,,- 1\ -]>1 = 2,0 kN. Ecakcije (-zbog simctrijc)

If 1,0+2,0+2,0+2,0+1,0 ~ su medusobno jcdnake i iZfl_JS~: R 4. = Rn = -- = ---- ---~ . 2 2 = 4,0 kN. Ako je h = 3,001 i ;,0;;;:; 4,0111, 7:a G 2 imamo:

- 4· 8i I· S G.·c-----.. ~ J

.j -16 ~ -- ~ - 5,33 IN.

3

!Justo ic rczultat (- 5,3J) nct:,Jti\ .i[l, siLl U .~[apu G~ je, daklc, sa ncgarimi:,l pfedznakom, tj. pritiskujuca. (Tlak),

l"akon oven::, na 3mllo[,an I1dl'\[j udrL'diccmo siJu u donjem :,-'0),,';]11.;:11

srapu N". Posra;'lmo jCdm;'inu:

L M 4 =, 0 (moll1cnrna laC'ka -t),

L All = RA 'i, _. Pj·;. -,. X,-,-' h ~o 0, OJuvJc imamo:

Ako j ovdjc uvrsrim0 nijc,;lt,-"",, k'li'~ 0.,'.10 prerhodno izracunidi i U\'j'::;ciJi prJ trazenju sik G~, imamc'.

T 'j,0·4,0-1,0·--,. ,\, ~ ._--::- ;--_ ... - . .',(.1

12.0 , -...:-. = + 4,0 k~. 30

Posto Ie prcJzn;\k r0ziri\':ifl, ~i!;j .\ irna prclpost:1\'ljeni smjcr (--;.-J, rj. to je zateiuca sila (vlak).

PrimjclIJ opSlCg anoft'r:'()wg i")' ':'lc'!i,;

A sada jns da ohj~lsnimn kakp l i:-,,,Iiti sdu u dijagon:\!i D~ koju nc ll11l!c.:

odrediti dirCKtno primjcnom Rirc,!-t-'\ :):!. ['I), tu pb .. Poscaviccmo uslo\' ravDot,j,,::

L Y = 0 koji se odnosi 113 LiD lijn-j udsieceni dio n::sctke, rj.

L Y 0:.-0:: O. Uvrstenjcm vrijed:1{Ysri, lmamo:

Ovdjc jc CDS U I,

vli~ ·i· A~

3,0 3,0

~'J;! -~, 4~ v25

R.1 - Pi - p~ 0,"" V" ' COS u.,

3 -:- '---'-- 0,600.

)

1) ..• NA - P 1 - J->~ I. . • ., d . k .

~ _ A:-.::o 1 uvdjC uvrsttmo VflJe nOS[l 'ole SIllO

COS a runijf u o\'om primjcru korisrili, imamo:

1,0

0,6 + 1,67 kN.

Posto je prcdznak pozitivan (znak pius) pretpostavka nijc izmijenjena.) a to znati da je sUa Dz ·u dijagonali (4 - 2) pozitivna. . .

Na analogan nacm rjclavali bismo i druge slicne primjere primj~nom Riterovog, odnosno opsteg analirickog postupka. Pri radu. bi se koristili odgovarajutim tablicama u koje unosimo sistematizirane vrijednosti Inten­ziteta i predznaka sila u stapovima - dobivene primjenom pnkazanog op-steg lUlalitickog postupka. .

15.4. KULMANOV POSTUPAK

AVO je graficki postupak kojim mozemo jednovremeno odrcditi tri site, u tri prcsjecena stapa, reSctkastog nosaca i mozemo ga primijeniti (mada se ovo u praksi rjede tirri) kada telimo graficki odrediti sile u pojedinacnim· starovima rcletkastog nosaea. Postupak se zasniva na poznatom Kulmanovorn problcmu, a odnosi se na mogucnost razlaganje jeduc sile (rezultante) n: (ri komponente ako se njihovi pravd ne sijeku u jednoj tacci.

Ovaj graficki postupak razlaganja osnova je Kulmanovog metoda odre­divanja sila u presje~enim stapovinla reSetke. Presjek nacinimo u Qnom polju (kao kad Rhera!) u kojem se nalazi stap (iIi stapovi) Ciju sHu zelimo grafitki odrediti, Naravno, da presjek i ovdje trcba da pogodi najvise tri stapa - da bi zadatak mogao na ova; naCin biti rijden,

Postupak tete kako slijedi (vidjeti sliku 238): ';

0) Pion poioiaja (u rnjerilu dutina)

Ro\O k~ ,

R

---

~) Pion sila (u· injerilu SI'IO)

o

51. 238.

Aka je potrebno, iIustracijc radi, odrediti veliCine i predznake sHa GZ1 Dl i N'J. U odgovarajucim stapovima rdetke date na slid, tada l.7.vr.simo presje­canje u drugom polju; taka da presjek P9godi tri ieljena stalla, Prethodno smo odredili reakcije nosaca grafickim postupkom nacrtavsi plan sila i verizni ·poligon, koji, s obzirom na postojanje ravtioteie, moraju biti zatvoreni.

Nakon izvrsenog presjecanja, potrebno je odrediti rezuleanru spoljnih sila odsjecenag, avdje lijevog (magio bi, naravnO, i desnog, ako bismo zeljeli) dijela reSetke, ej, konkreeno sila Rl1 P l i P2 , kaje se nalaze lijevo od izvrsenpg rresjeka I - I u drugom poIju, Ova rezultanta RI_I ic vertikalna, tj. paralelno

I~

tvornim:- opterec.enjima i prolazi kroz prosjecnu tacku c stranice veriZnog poligona· 2 (koja·,.se· nalazi ispod presjeka I - I) i zaldjucne stranice veriZnog poligona s~,:1ia :pl~u siIa ova rezultanta predstayljena je s dufi izmedu poI­nih ziaka ·S. i.2' i-.tismjerena· je ka gore. Ova rezuleanta Rr_l nacrtana je i na planu po!oiaj./tj; sa 'pravcem dejslVakroztaCkuc.

Sada se).w,Sava, zapra,;o, Kulmanov. zadatak, a to je da ovu rezultantu RI_l rast3vimo"na ~i komponente ciji su pravci dejstva poznati - a to su pravci:osfstilpova' G2) Dr. i N2 resetkastog.riosaca ..

Prema:. ad ~je poznatom postupku, pravce Rr_1 iN. dovedemo do presjetnegt.Cl<;,,<t(lijevo od oslonca A),'dok druge dvije sile (G, i DJ·im.ju. presjeenu taCliu' svojih pravaca djelovanj. (st.pov.) u evoru 5. Ta&u· d i taCku (evor)'.s spojimo Kulmu1lovim pravccm (k) i sada mozemo na nac~anom planu sila: 1) razloziti rczultantu RLI u K i N'l' a zatim 2) situ K u kOffipci­nenee G'Z i- D'Z·, kao sto je to na planu sila uCinjeno.

Smjerovi sihi' u ·zatvorenom cetvorouglu (u okviru plana sHa), i to G:u D'J. i N:. odredeni su poznatim smjerom (strelicom) rezultante R[ _1'

Sada je potrebno smjerovc (streli(;e) povratiti na plan poloi.aja~ tj, dati ih u istoffi'smislu odgovarajuCim stapovima. Nakon 5tO se ocitaju s plana' sila rezliltati (za veHCine sila), postupak je prak-ritki zavfsen jer smo rijclili na potetku postavljeni zadatnk.

Ovo cerno ilustrirati koristcei se vee opisanim opstim primjcrom -- fJC­

senjem sljedeceg zadatka,

Primjer

Neka rdetka na prcthodnoi skid '(s!ika 238) ima dimenzije i opterecenje: (aspon poija..i = 4,0 ffi, srediSnja visina Ii" "" 4,0 m, visina nad o~loncem h! '- i,6 m i \"isina nad cvorem I = 3,2 m, PI = Ps = 1,0 kN, p~ =-= P J = PI -'" 2,0 kN. Reakcije (zbog simetri:c)

8 su iste, rj. RA = R8 = - = 4,0 kN, Potreboo je odrediti pomocu Kulmanovog postupka

2 "=='.=== sile u stapovima G~, D: i N~.

Rjese-nje: Zadatak na skid (51. 238) nacrtati u mjerilu za duiine (plan poloh-ja) i za sile (plan sila)) i to upravo za optcrecenje i dimenzije koje su ovdje (u primieru) date, malla to nije na samom primjeru obiljeicno. Prerna tome, potrebno je sarno ol!itati vrijednosti za sile Gu N, i DI sa plana sila, uz n:spekto\'anie primiienjenog mjerila sUa, i zadatOlk ie rijden.

PITANJA I VJEZBANJA

-:- Kakva je razlika izmcJu pllnih i rdetkaSlih nosaca? - Odkojih geomwijskih !ik(lV;l jc (u prOlvHu) sasta\"ljeno rdctka (rdctkasti nusa':)

uz uslov nepomjerijivl)s(i?

- Kako 5e ~ovu i kakvl.: {Jwbillc imiliu tu('ke !;uj( sc ~ustiJ.u ~tilJluri rc5nkc? - Kako se u praksi i:tvodc Z:vorol'i?

- Sta jc to unUtarniOl l>\ati\:ka odreucilost rdctkastng nosa~a? - Kakav ic odnos i"\'oro\'a i stapO\'3 kod unutarnic stalicki ncodredenc reiktkt:?

- Kako se odreduju reakdie - OtPl)rl oslollacil kod rdetkaSlih nosal'a? - Sta su to unutra~nje sile kad rdetkastih nusaca? - Na kaje nacille (metode) mozemo odrediti sile u stapo\'lma rdetk..:? - 0 koju grupu metoda ubrajamo Rherov postupOlk i Kulmanovu mcwJu, <l U kl1jU

KrCllwllin plan si!a?

249

t

I

- Kada se) u pravilu, primjerljuju navedene metode? - Navc:di osuovna -pravi!a za cnar.je Kremoninog plana sHa!

Sta su to nul-!tapovi i mwedi primjere za identifikaciju nul-~tapovil?! - Na osnovu 'koje ttlltitke postavke ~e zasniva Riterova metoda?

U kojim (op!tim) lilueujevima Riterova me-toda nije primjenjivll.oa? Kiko cerna odrediti cnu u nekom ~tapu rektkastog nosata ana!itiCkim pOHupkom ;;ko Ritetova metoda nije primjenijiva?

~a osnovu kojeg statiCk0g pravila se p,imjenjuje Ku/mal1OfJ ponupak? - Opisi u op!tim crtama prirr.jcTl!:: K:~lm::rJ(n..'og P0stupka.

Odaberi nc:koliko :r.aci:m.ia, po Ologli"::ncsti iz nc:po:srednc prakse, sa plclro~:avlj<:~ nim iii datim podBcima u reSctbste nosacc i odredi sile u stapovimll rdel:;ka po Kremoni. a za neke stapc\'c po Ritcru i Kulmanu1 odnosno i po opstcj ;;n;\iitickoj metodi.

LITE1Zt\TURA

I. RaIkovii: Mehani-ka-SI~lika, BCt'!;rJel

2. Sa/iKer: Prakticna statika, Zagreb 3. SO/(nJjr:v: Statika konslrukcija, r d:\J /~u(il'kl ldrnkni ~istcmi:, ! i 2 kniiga

4. Soiovjcv: Stadka konslrukcija, II din (SI<l!l(J....' ncodn:'kni sislI!mi), Uni'd:;-rit·· u Sarajcnl, Sarajevo

5. Bogullovi6, S.: Tehnicka mcha:llKa -- Stalika arhitekt,);)skih konstrukcija, I, 11, III dio, Sarajevo

6. Zadirm: Stalika inienjenkih kons[~\lkcii;i (Stalicki odrcdcni nosaCi), Beograd

7. Dordcvic, K.· Staub gradevinskl:, kormnlkcijJ za II ill! razrcd GTS, Lko t> ad 8. NeIic, S.: Sratib f, IHllbcnik Z~l C;TS, Beograd 9. Siro/a, B.' Statika gradn'inski!J konslfukcija (Udibenici za GTS), Zagreb

10. Dje!ak, L.: Statika gr:ljt" inskih konstrukcija, UCibenici za GTS, Zagreb 1 L Srajer: Prak,itna gradevin~k3 slJ,tiU, prirllcr,ik

11. NeIic, S.: Tehnicka mehanika, DUI PI-j - S(;llika, Unin:rlite( u Beogradu, - Bn-grad

13. Dvorak, ].: Stavbeni mechanika; p.:<na, 197.;

14. UrbrJn, L.: Konstrukcijc budowlanc J i 2, Praha 1974. 15. SZ)'IIWIISki, E., IFr;;cmiowski, Z.: ;\LHcrialy bud()wlane, Praha~nytom, 1973 16. Hlilbjcv: Otpomost matcrijala, Beograd J7. TimoI.enko: Otpornost matcrijala, Beograd 18. Milr~it.: V.: Repetitorij mehanike sa otpornoku materijala, Sarajevc

19. Karalic -2£va/jl'vic: OS!lovi gradcvinskc me!unike (udtbcnik U okviru zajednithh osnova struke), Sarajevo

20. Najdanm}il, N.: Mehanika tla, JL:, Subotica 21. Spasic; Zidani mostovi, Beograd 22. Aiicil: te!icnc komtrukcije, Beogr::l.d

23. Tehnicar I, prirucnik, Gradevinska knjiga, Beograd 24. Gradevinski ka!endari, Beograd

25. Zbirka tehnickih propisa u gradcvinarstvu (Tehnicki uslovi, mere, normativ:), C K, Beograd

26. Kompleti strucnih Casopisa "Gradcvinar" i "Tehnika" do 1975. godine

27. S&evan Kebeljic: Neki aspckti pnmjene Medunarodnog sistema mjernih jedinica (S1) U obllUti gradevinske mehanike. "Separat" Gradevinski fakultet Sarajevo.

250 25J

l. 2. 2,1. 2.2. 2.3. 3. 3.l. 3.1, l. 3.1.2. 3.2. 3.3. 3.3.!' 3.3.2. 4. 4.1. 4.2. 4.3.

i 4.3.1.

j 4,4. 4.5, 4.5.1. ,

1 4.5.2.

4.6.

4.6.'1.

4.6.2.

4.7.

4.8.

4.S.!.

4.'.2. 5.

5.0.

5.1.

5.2.

5.3.

Uvodni dio SUe .•••••. , .

SADRZAJ

Pojam i definicija sile Na~in predstavljanja sile J edinice mjcra .,. Statika materijaine ta(';ke

D~lovanje sila na materijalnu taCku •.•.•• , .......•••••...... Sile istog pravca djel(wanj.a ..... " .. ' .•...•.............. Djdavanje sila raznih pravaca na materiialnu ta~ku Razlaganje sila ....... , ..........•......•... ' .•......... ,. Ravnotefa sila raznih GtafiCki posrupak Analititki postupak

pravaca dje10vanja

Statika krutog tijda ......... , .....••.•. , ..........•.•.. Djelovanje sila istog pravca na kruto tijelo .•..•...•. ,., .... Djelovanje dvaju iii vise sila razlititih pravaca na kruto tijelo StatiCki momenat sile .. ,'.".',., .. , .. , ....... , .•......... Redukcija sile nn zadllnU taCku. , ... ' ............. ' .. , Spreg sila .... ,. . ... , .. , .............. , . , , ... , ..... , .. . Veritni poligon . , . , .......... , , .. , ....•. , , , , , .. , ......... , . Iznalafen;e .... rijednosti starickih momenata sistema sila za datu tacku (Veritni poligan) .. . , " ' ..... ' ............• ' •...... Analiti~ postupak iz!lalaienja statickog momenta sistema sila Zll

zadanu tacku., .... , ..... , .... , ............. , ..... , ... , ... ,

Iznala!enje rezultunte sistema sila - analiticki postupak , .• , ..

Paralelne' sile ..•.•.......•••... , .•....•••.• , •............•..

SHe razlicilih .pravaca djelovanja ....•...•... " .. , ..•...... , ...

Raz.Jagnnje sile nn rri komponente ........ " •.......•... ,' .•...... '

Uslovi ravnoteic ............... " ... , .............. , ...... .

Grafi&i uslovi ravnotde sila

Strana

5 1 1 8

10 12 12 12

. 17 19 21 21 23 2. 29 29 31 34 35 31

40

43 43

43 45

46 49

49

Analiticki uslovi ravnotde sila .................. ' .. , ....... '.' , , 52

Teli!ra ................•••... , ................ , ........ ,..... S5

TdiSta Jinija. povr.~ina i tije1a ......................... ; ..... ,.. 55

Te!i§ta linija ....•.. ' . '" ••••.....••••..•...• , •• , . •• . . •• .• . . . . . 56

Tdiita povrilina .................. ,........................ 57

Tdilte tije!a (hloks-volumena) ........ , . . . .. . • . . . . . . . . . . . . . . 61

253

,

• •

6.

6.1.

6.2.

6.3.

£.4.

7. 7.1. 7.2.

1.3. 7.3.1.

7.3.2. 7.4. 1.5. 7.6. E. LI.

'.2. 9.

9.1.

9.2.

9.3. 9.4. 9.5. 9.6. 9.6.1.

'.6.2. 9.7. 9.8.

I 9.'. 9.9.1.

9.9.2.

9.10. 9.11. 9.12.

9.13. , 9.14.

10. II. 12.

12.1.

12.2.

12.3.

13. 13.1.

n.2-14.

14.1.

254

$tr::lnn

N os:lti i optcrcecnja. NosaO ....•.... , ..... . Lefista~ oslond nosl!Ica Stati&e sheme nosaca Optcrecenja ..•.. " .... Statitke veli6ne .•.. Transvenalna "i11l Normalna sila •.... Momen:lt uvijanja .. Maksimalna vrijedpost lllOlTI<:nta savijanj:l

Dijagl1lmi statj~kih vclil:ina Neravnomje'rno podijeijc:na i pnsrcdna opterc(cnja Posredno opterecenjc Pokremo opterecenie sik Izlomijeni i kosi nosa\;!

Izlomljeni nouN Kosi noslici .... Otpornost materijala. Pojam i podjda naprezanja

Dozvolieno naprezanje i koeficijent sigurnosti ..... . ........ . Hukov won .................. . Dijagram naprez.anja i diiat3cija

Naprezanje na zatezanje*vlak , Naprezanje nil pritisak·t!ak, Deformacija aksijamo opterecenog ~tapa .................•. , .....• pefonnacija usljed temperaturnih promjena" •..... , ..... , .• , •... Tangencijaina, smieuCa naprezanja ., .......................... ,. Naprezanj~ na savijanje .•...... :." ... ,." ... " •.....•...•..••. Momenat introit i momenat otpora povr~ina _,., .... , .•.•.•...••. Radijus inercije presjeka .. , ........... , ....... , ........... , .... . EJipaa inercije ................ , ..... " ....... , ........... , ... . Propisi za opterecenja .................................. , ' ..... . Tangencijalna naprez2aja pri savijanju .......•.•• , ....••.... , .•. ,. Defonnacija po savijanju ..... ,....... , •...••......•..... " .. . Naprezanie na izvij:mje ........ , ...... " .................... . Napreunje na torziju .............. "., .. , .. ,' , .•..... , ....... . Sioiena naprezanja ..................... ' -..... , , . , .... , , .... . Trenje ••.••••••...................................•.. _ ..... . Pritisak vodc: i pritisak zcmlje ... , . _ ..........•...•.

Pritisak, vodc: .••..............•.•.•.........•.•.•••..•..•......

Pritisak zeJIllje .•...•..............••.....•.•....•. , ... , ...... ,

bpitivan;e .tabiHteta pMnornih zidova i slicnih obitkata ...... , .. .

Nosaa sa zglobovima

Gerberovi nos8ci ........... , .. , ..•.....•.•.•......•.••.•..•.•. LuCnl i nsvedeni nosati., ...... , .•...........•...•...•••.•.....

Statiai neodredeni. nosaCi

Jednostrano ukljdtena greda .. , .. , ..... , .....•........... '

63 63

64

66 66 70

70 72 73

74

74 80 84 84 88 88 91 95 96

97

97 99

101 103 105 106 106 115 121 130 130 132 138

144 151 158 161

171

175

175 li9

187

192

193

198

210

til

14.2. 14.2.1. 14.3.

15. 15.1.

15.2. J 5.3.

15.4.

Obostrano 'uk1iidtc n.1 srcda

EJasrieno+djdomitno uklidttn:~ nOSJeJ

KOntinUf:lni nOs"Ci Rdcrk::isri nos;'lti

OJre,1i\'lnk sib u ~(j;-"\'I:l1J H"~~';b<;j'I.i: ;)(\SJ~',l

.".ic-tod:l Cvofo':a Ritcro'/ pnsrupak }'_':Ir.l~)~()V l")';:\;r~!.;:

: i (j

137

25 J

'-"j

255

DODATAK

PROPISII TABLlCE

!7 St .. tika gradcvlnsk!h konstn,kdJ"

:

J

DODATAK

PROP[SI r TAIlLlCE

!) OPTERECEN]A: P. TEHNICKI PROPISI za op!erecenje zgrada (PTP-2) _ u izvodu;

2) STATICKE TABLICE

2.1. Za drv<!ne pravougaone i okrugle presjeke.

2.2. Za ~e!itne profile - odabrani valjan! profili (izYod).

2.3. Za okruglo gvotde (betonski celik)

3) KOEFICIJENTI IZVIJANJA ZA:

a) drvo; b) celik.

4) VINKLEROVE TABLICE za 2, J, i 4 po!ja iednakih raspona.

5) DOPUSTE!'lI NA~O.Nl ZA NOSIVE GRf.DEVINSKE MATPOTTA,LE (izvod IZ odgovaraJuCih tehmtklh propisa - lablie:!}

a) za drvo

b) za cdik

c) za beton

6) ODABRANE MATEMATICKE TABLICE I DRUG I PRIl.OZI (neophodni za rjdl!.vanje odredenih statickih zadataka)

NAPOMENA! Jedinke mjera iz odgovarajutcg priloga pri korBtenju treba. preraeunati U vueti "SI" sistem jer su, ~to je razumljivo, bili dati u ranijem sistemu. (Koristite st: pri!ofenom posebnom tablicom za prcrabmavanje mjernih iedinica _ kada je to neophodno.)

'I I !

]

OPTERECENJA

1. PRIVRES1El'-;t TEHNICKI PROPISI ZA OPTERECENjE ZGIC\DA

(PTP, svezilk 2 br. 117)~1 ,IJ 12, VII 1948.)

0i-)Cl propisi

Projekat zgrade morZl S,H.lrZrl\';,ri st:ltid:i rroracun nosivih konstrub'::

a podaci 0 optereecnju uzimJju sc iz Pri\',er:,c:lih tehniCkih propisa. Swt:ck: proracun ne treha izradi\'8ti za h)il~rt uj.;~:iw /8 koje se Jimenzije uzirr:,)l'

prema lltvrdenim tipovim;L

Opterecenja koja djeluju na zgrade mogu bili: glavna (05nov11a), c!i1-

punska j naroCita aptereeenja.

Optereccnja*) zgrada s pokretnim dizaiiuma (kranovima) racunaju sc prema ,.UputstVU 1',:1 izrac:ulla\'~lIljc 1'1'1. rC(Cnj,1 krano\·ima", kojc jt s::\st<\n~i

dio ovih Privremenih rehnickih prori:w

Kod projckatu zgrada, za Kojc je, p,ema odredbama ovih .'-)ro;)ls;1,

obavezno proracunavanje konsrrukcija na opterecenje od vjerra, mora se u osnovi, pored glavnogll orijentacionog smjera, oznaCiti i smjer glavnog:)

(prevladavajuceg) vjem,l. Ovaj smjcr treba uzimati prema podacinHl merco­rolof-kih stan!.;,), a ukoliko ()nl: riC 1:I"l',ll.IJ.ll UY:lkvim porJacima, prema dl'ugin;

pouzdanim lokalnim izvorima.

Prostornc rdine i podaci 0 kutovima unutarnjega trenja (prirodn('!~

klizanja) uzimace se prema daJje navcdcnoj tabJici 1. Od toga se maze oJ stupiti kada sc) iz opravdanih razloga, uzimaju U obzir efektivno utvfOtnC

tezine iIi kutovi trenja koji se birno rnlikuju ad propisanih podataka.

Prostornc tc:l.inc i KUIOVC UnU[;lr:lJ~ P lrc;]ja ko;i nisu sadrZani u tabill:i

treba uzimati premu strucnoj litcr,Huri iii prcma stvarno izmjerenoj leiini.

Lid U 0:: 'l;uiu propi~J.

Tablit:a 1.

'Racund::e prostorne tdine i kutovi unutarnjega trenja .-~~~------~-~---

4

Morl (maiter) Vapneni -mort

---Raeunska prostorna

tdina ke/m'

1700 Produiru Ccmentni mort 1900 Cel1lentni mort Sadreni mort ........... .

Prirodrti kamen

Bazal[, diorit, gabro, gnajs Dijabu, gnmit, porfir, sije:nit ....... .

Vapi,enae - vrJo tvrst, ukljutujuCi !koljkasti vap­nenae i mramor

Vapnenac - srednje ~vr.~~ toee, vapnenasti konglo-merat ....... .

Vapnenac - mckan, vrlo porozan ..• , ,,' ...... .

Pjescenjak - veec evrstoce Pjes~cnjak --, male evrstoce Serpentin .••....•.. Skriljevac za pokrivaCke ra·

dove .•. : •••... Glincnasti ~kriljevac Travertin ..... .

Zidot'i od opeke

Puna o~ u vapnenom mortu '" ._ ...•.. , ...

Puna opeka u' ptodufnom cemeninom mortu

Puna opeka' u cementnom manu , ........... , .... .

Suplja :opeb. u vapnenom manu 0« ................ .

Klinker u 'cementnom mer-tu •.•. , ••••..•..•..

Opeka ad kamora .....

Beton

BetQn cd krunenog agregata Annirani heron ad kamenog agregata ..... .

2100

1200

3000

2800

2800

2200

1800

2600 2200 2600

2800 2600

.2400

1600

1650

1750

1350

1900 1900

2400

2500

Vrsta -materijala

Beton od drozge iz visokih red (topionieke zgurc)

BetOn ad obiene drozge (~ljake) S, najvise Ij3 dodat-ka pijeska .........

Beton od drobljene opeke i sitnoga pijeska ...

Zidovi od supljih betonskih blokava

Zidovi od ~upljjh betonskih blokova s drozgom iz viso-kih peCi

Zidov! od 5upljih bet{Jnskih blokova s obicnom droz-gom, s najvge ! /3 dodalka pijeska

Melab'

Alurninij Legure od aluminij:1 Dakar vaijani Bronza ....... Celik i kovano zeljezo Ljevena ieljezo Cink lleveni Cink valjani Kositer (kalaj) valjani Magnezij Mjed (mesing) Olovo

Droena grada

Bjelogorica (listari): bukovi­na, hrastovina i dr., sulla i za3ticena od nevremena ..

Bjelogoricno drvo, vlaino, tek posjecena ... > ••••••

Crnagorica (cctinari): bar, ida, omorika, sinreka, suha i za~ticena od nevremena

Smolasti bor, 'suh i za~ticeri Crnogoricno dr\'o, vlatno, tek posjeceno ......... .

Asla/t

Lieveni asralt .. . Nabijeni asfalt ..... _ ....

I Rafunska I prostorna 1_ telina I kgfm'

I I

I I I I

I I

I

2200

1600

1800

2200

2000

1450

2700 2800 8900 8500 7850 7250 6900 7200 7400 1820 '8500

11400

800

1000

600 700

900

1800 2000

I , I

I

Vt;na_ materijala R"Cum'" I prostl)rna

teiina kg/m t -

---------------Matmj'aJ u skladi!lima iii ar/u.·w·ma

Brdno u vrecama 500 Cement, u vreearna (pojedi-natne Yrece) .. 1600

Cement u vre6Una (sloiene vrece s meduprostorima)

Duhan, povezan iii u sno-povima ..••..... , .•..•.

Papir. slozen Hmelj, u vreeama Knjige i spisi; slaieni Vap~a, u Yrecama Krzna i sirava kaze Lan, presan Ormari, ispunjeni arhivskim

1200

350 1000

170

850 1000 900 300

Vrsta materijala

Pot:cuIan. preradevine od kamen~tine, sloteni (raru· najuti !uplje prostore) ,

Sijeno, naslagano

Sijeno! presana ....... .

Slama, naslag,ana

Slama, presana

Sol. u vreeama

Staklo, u r:loeama

Stocna hrana, u pogae-ama

Trava i djetdina, nas\agane

I Raeuoska II

I prostorna -

tetina I

kgfm' I , '

I t

1100 70

Vuna i pamuk) presani ., 1

lito u snopovima, nas\agano; do visine ad 4,0 m '

predmetima i knjigama lira -u snopovima, nas!aga~ _.~,i~u~i~,5J~~~~!Un:L,,~O __ -,,-_ .. _.~~U visi~-.£~~~_,:;? l,n __

V rsta materijala

1---------- -- --~ ----i Racunska . prosterna

I tdina kglm)

,

Racunski ktH

unutarniega tr<.:nja (I!tirodnog priklona)

----------~--- -~-~~--I--

Zemlja·

I Glina, Glina, Glina,

suha prirodno vJaina vrlo vlaina.

Humus, erniea, prirodno vlatna '" Okrugli ~Ijunak (oblucje), izmijdan s pi. . jeskorn .... . .... Pijesak -i sljunak, prirodno vlaian Pijesak i liliuna!<, mokar Tueenac (tucanik) ohrobridan

Rasrruiri gradevni maten),al

Cement, razastrt ,. Cementni klinker . Sadra, obicna ........... . Sadra ..... . ......... . Vapno, odmah nakon pecenja ." Pepea ad koksa ............ . Pepeo Qd ugljcna .. , ......... . Drozga (zgura) ix visokih peci, obiena

1600 1700 2100

1700

1900 1800 2000 1800

1200 1200 12:50 1000

-1000 700 900

1600

I 40" JO"

26" xa \-isine d0 4 m I

20" za visine od 4-6 III )

1 T za visine prd:o 6 m i 2:5 0

"

30" 30" )0"

40"

25" 30"

25" 25"

"45 0

25" 45" 25"

5

I

------.-- -----, Raeunska Raeunski kut-l

I I

I

prostorna unutarnJ'ega trenJ'a I teiina kgfm' (naravnoga priklolla)

Vrna matcrijala

------~--~~------I D;~;O izm::'~~~, ,1'(',~: ,V.'~i,c:~~, ~~~,:: I 1500 40' I Drozga jz. ~'isokih peci, usi,cnjena. kao pi- :

jesak .•....••••••••.•....•......... 1100 Pjenuhva drozga b: visokih peCi 700 Drozga cd sagorijevanja ugljena 800

J.!<Jlcrijal za goritto

Ogrevno drvo, cijeplJno Drvni otpaci •........ Drveni ugljen. slofen Koks ... , ..•...... , ............ . Kameni ugljen, S\'jei iz ugljenokopa Kameni ugljen. pra~inast ......... . Kameni ugljen, u komadima ....•. , .. Mrki ugljen •. , ...•...... ${rugotina (pilovina) Strugorina, u zbijenom stanju

400 200 200 500

1000 700 850 700 150 250

25' 35' 45'

45' 45' 35' 45' 45' 25' 30' W 25' 45'

I I Ru![re~ti poljoprivredlli prOiz.hdi , I

6

B!Jsf\!J i mekinje ..... . ~ra~a1 •. grah i 51. . .. Krumplt .....••..... K ukuruz, u zrnu .... , ......... . Kuk:unu:. u k1ipu ... . PkniOll krupica (griz) Rt:pa •.••..•..••................... Suhi rez.anci ad jetern~ repe ..... , .... Seter .........•.. ', .. ' .......•.... ". SJad, grubo mljeven' ••. ' .•............. Stajski gnoj (dubre) nabacun Stajski gnoj (dubre), nasJagan Ukisdjena zelcna' mana ... Voce .......•. , ...•.

lito, sieme od djeteline i 51.

Ra:::ni matcrfjali

Led, ...... . Karbid .• ; ....• , ..... Kuhinjska sol ..••.. , Pirir .......................... Soda. kristala.sta •............... 2eljezna rudata) mrka ZeJjezna rudaca, avena ., ....... . Zdjezna rudaea, magnetska Umjerno gnojivo "., ....

~oo 45' SOO 35' 700 30' 800 35~

250 40' 550 30' 750 3D' 300 40' 750 35" 400 45'

1200 45' J800 45" JOOO 0' 350 W 750 30'

900 3D' 900 30' 800 40'

2700 45' 1450 40'

; 2100 4<)'

2500 40' 3500 4<)'

1200 40'

..1

I

A. OSNOVNA ((,uWNA) OPTERECENJA

Glavna iii osnovna oplCrCCC!1j:1 dijcle se, prema smjeru djelovanj3, na vcrtikalna i horizontalna.

I. Verrikaina optereCenja

VertikJana optereccnj~ dijck ;,c na st~\na i pokrctna (S~UC-"Jjfla) Opt crc­tenja i na opterecenje snijcgom,

a. Stalna vcrtiKalnw opterccenja

Krovni pokrovi U kpJm2 kosc plohe, zajedno s kr\'ama i rodroznicarna (rogo­virna), odnosno s oplatom:

Jednostruki pokrov ohicnim c:rij(:p0m (hiber) Dvosnuki pokrov obitnim uijcj,om (bibC'r) Utoreni crijep (falc-crijcp) Zljebnjaci (ceramida) prcko kc;l\·2.

Jednostruki pokri\' priman: ,:;~(rljjc\"Ccn~, KOso pokri\'anjc Dvostruki p6krov (gusti) pri't..Jni sKriljc\'cem Umjctni skriljevac (eternit), 11:1 podlozi od Jetava Umjetni skriljc\'ac (ctCrnil), ii~l d~lSCan()j aplati Pokrov krovnom ljepcnknn:, n~! d"sC:arwj aplati Dvostruki pokrtw krO''-;1'0:','. ~:ci'cllk0r""i, na dascanoj oplati (dva slajw hovnc Jjcpenke i ,:q rrcm:va) lsti pokrov, sarno s U' :di;(r,i~~ sitnim ~ljunkom Valovite ploce od azlLs~-C:C:~J;IU (s;Jlonita) na !en'3ma Pokrov drvo-cementom, S~l 7 nn dcbciim s!ojem s!junka Pokrov cincanim limom (br. J 3) Pokrov obicnim !imam, do i mm debljinc Pokrov valovitim limom Cr,<i::c2ni c\:licni lim), na kutnirn

. celicima ., .... Pokro\' stakJom 6 mm, sa cdicnim sprljc:ima (precagama) Pokrnv armiranim staklom 6 min, sa ceiicnim sprljcima Dodatak za svaki mm \'ece dchljinc stakla

Zidovi

Tezina m 2 zida (mjerena u \'crtik;-ilrwj projckciji zida) zajedno S obostranonl ibukom od \'apmno.~ ili procluznog marta, ukupnc debljine eka 3,5 em:

Zidovi ad pune opckc: 1/2 o!,ckc Zidovi od pune opckc: I o)"'cka' ZiJlWi od pune opd::e: lll~ (ll'ckc Zidovi ad pune opeke; 20rckc Zidovi oJ pune opekc: 21/~ (lj'l.:kc Zidovi oJ pune opekc: 3 opC'kc Zidnvi od surlie opcke: 1/2 orckc. Zidovi od suplje opckc: I Or('\-:-' Zidn'li od supJje opcke: I I!.' '-'fw",c: L:.lki pregradni ziLlO'l1 (od dnu<l, s,l(jrc, Jrozge itd.) uzimaju se prcma s'lojnj stvarnoj tc!:ni.

0S kgim2 90 kg/m z

65 kglmZ 110 kg/r;1 2

70 kg/m 2

140 kgJm 2

35 kg/m2

45 kgirn2 35 kg-1m 2

40 kg/n1 2

50 Kg-!m 2

25krirn 1

18\ kgim2 36 kg-Jm 2

38 kg/m 2

25kgfm 2

30 kg!m Z

35 kg!rn2

3 kg-Jm2

260 kg/m2 460 kg/rn' 670 kg!mf 88e kg,m'

1090 kg/m' 1300 kg!m2

230 kg/rnz 400 kg/m% 570 kgjmZ

Izolaciolle plde (za I em debljine)

Ploce od impregilirane srrugotinc iIi drvenih otp_adaka (hernkliti s1.) ..•......... , .. : .' .. .' ..... '. : , ., .......... . Place od" prclauih drvenih vlakanaca ................... .

4 kg/ro' 3 kg/m'

Zbuke(za I em debljine)·

Vapenerii mort ................. -., .- ................. . Produfni cernentni mort ... ' ............. , .. : .. > •• : , ••••

Cementni moft_ ................ ~ ... " .................. . Sadreni mort- : .......... , ... , ................ , ... , __ . Cementni mort" sa ±lcnom mreZom ..... , ............. ,. Zbuka plafona1 sa dva sIoja trstike, ukupne debl~ine aka 2,5 em

17 kg/m' 19 kg/m' 21 kg/m' 12kg/m' . 24kg/m' 25 kg/m'

Podovi (za 1 em debljine)

Podovi od mekanoga drveta Podovi od tvrdoga drveta Ksilolit ..... , , .. Teraco ........... . Tarac od cementnih ploCica Tarae od keramickih plocica . Ljeveni asfalt ..... . Nabijeni asfalt

6 kg/m' 8 kg/m'

18 kg/m' 20kg/m' 22kg/m2 20 kg/m' 18 kg/m' 20kg/m'

Srropovi

Teiinu'stropova treba rae-unati prema teZini konsLruktivnih e1emenata, za svaki pojedini slucaj.

Nasipi ispod podova (za I em debljine)

I.

2. 3.

4.

S.

6. 7.

8

. Pijesak GEna

",." .. '. ,', .. ,' ... ,

Drozga (zgura', slaka) ad sagorijevanja ugljena .. Zidna gruha (suta, zidni otpaci) ., ............. .

b. Slucajna (pokretna korisna) verrikalna opterecenja

16 kg/rn' 16 kg/m' 10 kg!m2

14 kg/m'

Staze za poslugu strojeva, uopce revizione st~e, gdje sarno po­vremeno hodaju pojedine asobe, treba racunati najrnanje sa 80 kp/m' iii uopce ......... _ . . . . . . . . .. . . .. . . . . . . .. . . .. i 00 kg/m' Prostorije na tavanu za domacu upotrebu . . ....... ,..... 125 kg/r.n2

Stambene prostorije i sporedne prostorije, ,s duiinom otvora do 4,5 m (u smjeru nosivih greda) .............. 125 kg/m' Stambene 'prostorije i sporcdne prostorije, s duzinom otvora preko 4)5 m do 5)50m (u smjeru nosivih greda) ' .......... 150 kg/ms Velike stambene, trgovacke i sluzbene prostorije, bolnicke prostorije, prohodne terase ............................ 200 kg/rot StubiSta u stambenim zgradama) balkoni; skoiske prostoriie 300 kg/ms

L:ekaonice, prodavaonice, hodnici i stubiSt3 u ·iavnim i trgovacKim zgradama ................. , .......... " 400 kg/mt

8.- Pro.,'torije za.;;kupstine i l,lop'ce prostorije za izva~~eqna sakup­",ljanja ljudi (ka~ista, kinematografi, p1c::sne dyorane, gimna- .

.'~:·~sticke dvorane, itd.), tribine sa stalnim sjedalima, kao i ua,je .... . ,~,::,;;za ·krupnu stoku .......... ,.: .................. '.' .: "" 45<rkg/m' . ,"9:}:Tribine bex stalnih sjedala ••. : . , c ..•.... , . , ...... , .. :. 650 1<gfm' -IO,':,l'rostorije za ostavljanje prtljage ., .•...• , ......... :." ..•.•. 500 kglm' 11" Biblioteke, arhivi, knjizare i sl" treba uzeti premastvarnom ',-,

sWlju, ali to opterecenje ne smije bid manje od .. _. . . . . . .. 500 kg[m' 12~ Opterecenje kod tvornica i radionica treba reaIno' anaHzirati

oc'. s,luCaja,do ,slucaja).no tako, da to .opterecenje rie bude : man)e od ............................................. 300 kg/m'

13. Horizontalni pritisak. na fUcicu stubiSne ograde i ograde balkona{iz.uzev onihu taco [4) ........................ 40kg/rr'

14. Horizontalni'pritisak na ruCicu ograde u kazaliStima) skoiama, kinematografima, u dvoranama za skUpstine,' sportskim grade-vinama i tribinama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 100 kg/m!

15. Kod svih konstrukcija krovnih ekmenata na koje moze stati jedan covjek, treba ispitati da 11 optere6enje pojedinacnom (konceniriranom) sHorn ad 100 kg, pored vlastite tdine, nije opaSnije od inacc predvidenog optereceilja (vhistita tetina, snijeg i vietar).

16. Za garaze i strapove na koje magu doCi matorna vozila (stropovi ispod prolaza, i!i iznad podzemnih prostorija u dvoristima itd.), treba uzimati o'pterecenje motornim kojima, od slucaja do slucaja, II prema shemi nll slid 1 i prema rahliri ?

'f ~tJ--1-~~ - -;;-- - --r- --. '" d

, I i , ! '" I a

I Slika I. She-rna motornih kola

Tahlica 2.

Izmje-rc i opte-re-ce-nja motornih kola

UkuJ Da Pritisak kota¢a Mje-re kola u om. tdina Po jednom Po ;e-dnom I kola predn;em zadnjem , I tocku tocku

a b d • , ., ! t ,

2,5 0,5 I 0,75 5,0 '20 3,0 1,0 j

1,4 6 0,75 2,25 6,0 2,5 ' 3,0 1,5 1,6 9 1,5

j 3,0 6,0 2,5 3,0 1,5 1,6 !

12 2,0 4,0 I 6,0 ;",5 3,0 1,5 1,6 I !

'A') 1 t ~ 10 kN. 1 kg = 0,01 kN.

I I

I 1

I I

f g

I

0,08 0,18

0,08 0,18 0)12 0,24

0,12 0,24

9

:

J

Dinamilki uCincJ

Stropove ispod prolaza i iznad podzemnih prostorija U dvoristima, preko kojih se krecu vozila, treba racunati prema tip(\'il.1a jz tacke 16. i tablice 2. To opterecenje treba, zbog din;:-.mickih ucinaka, povecati II pra­centima za 17'%. Ov~ poveeanje opterecenja izracunavii's.e- prema jednai::ni:

, rO~= ~~I:~ifc,_S5_~ _ :::" (l) . , gdjc se I uvrstava u mcttima.

Prilikom proracun~vanja progiba ne uzimati U obzir povecanje zbog dinarnickog uCinka vt.;zil~. ,

Dinamicki uci~Ci ,(udari), izazvaili od pokretnih iii stalnih masinskih postrojcnja, treba ra,cunati prema tipu i velitini strojcva, a prvenstveno prcma uputama tvornice, koja ih jc-izradHa. U ovim :::~i.':<:::;j:,vima trph" ~<l_

cunati s.dinamickirn kocficiiemom I do 2 Crt =- O':,~ do iOtJ/{,}, premu t-' :.i":', Ja Ii stroj radi sasvim mirno iii s jakim trzajima. Kod pokretnih dizalica (kran~\'a) wijede odgOYllrajub uputstva.

Kad ost ... lih pokrcmih optcrecenja ne treba racunati' s ~ ::>ami(;t.;.ir:~ koeficijcntima.

Kad gradc~jna. koje su izlozene oprcrecenjima, stO djeluju ritrnicki, treba poja\'u rezonancije izmcdu vias rite frckvencije njihanja (klacenja) konstrukcije i freb'encije rada strojeva sprijeCiti odgovarajuCim konstrukti\-'­nim mierama.

Sma1lji'Vanje oprereienja

Aka konstrukcija i tcm'!ijenjc gradcvine zadovoJja\'aju i najstro-zim zahtjevima, dopuh3 se sma n j i van j e slucajnog (korisnog, pokretnog) opte-recenja u O\'jm slucajevima~ ,

1. ,\1omenri savijanj~ nosaea, s poljem 0 Jterecenja ad 20 m 2 povrSine, smijll se smanjiti na O~9 punih vrijednosti, a od 40 m 2 p~)Vrsine na 0,8 punth \'fijednosti, izazvanih slucajnim opterecenjem: mcduvrijednosti treba line­arno inrerpolirati.

2. Pri vise~atnim zgradama dopusra se za donje dijeJove gradevine (stupove, podvlake, temelje, dijelove zidova), na koje se prenosi teiina gor­njih katova, postepeno· smanjivanje slucajnog opterecenja -za niie katove, prema rablici 3.

Upotrijebljeni tavani vrijede kao katov:.

Pri skladistima ,(slagali.stima, sto\'uristirna) ovo smanjivanjc .slucajnog optcreccnja nije dopustcno.

Swlno optcrc~cnjc svuJa sc unosi u ;;unoi vrijcdn()sti.

c. Optcrccenje suj:tgom

Pri ravnim krovovima iii pri krovovima koji su prerna lwri;::nntali nag­nuri d0 20°. mora se opicrecenje snijegom uzeti sa 75 kg/mz tiucrta.

Aka je kut priklona krova a yeti od 20°, trcha na 1 mIL tlocrtdl: povrsill" uzeti vrijednosti za opterecenjc snijegom iz tablic~ .;.

10

\

I .r

I

\ I

TabHca. J.

Tabdarni preg\cd PO,;tPCl)vO;<l ,m:ln)lvanja slutajl10g (pokreu10g) optCrCc,,:Ilja pri \·ikbtnim zgradarna

~I---:t·:) katova sa Ir~~-~=~~~OSi II ---;~~:=---I' I , od uk ,PIlOt: smanjivanja

, 5 U liJD!rn I . ,- ~ il'·

It C SiU~.1)n[lg I S u\..&.jnog 1

op ere en)cm Opltrcccni2 I Opterecenja i

II_· __ ~ ~::, -:- :~~~ !-~--II 3 kata I 95';;, 5%

i 4 bra ,.-~." 10'}~ I

5katova 6)", 15% 6 katova tiU';-~ 20% 7 kataYa 7 5~~ 25% 8 bnovu 70';-'~ 30''!,

prcko 8 karova 70% 3,010

·Kod meduvrijednosti uzeti najblize (vece iii manie) optcrecenje lZ

tablice 4, Pri kravnim povrsmama, s prj},:".;orL la civile strane, ima se meti u

obzrr- sluca; da je s jedne strane puna opterect..njc snijegom, a s druge str::lI1e sarno polovina punog opterccenja.

Mjestimicna nagomilavanje snijega na krovovima (kod sed-krovov3, krovova 5 uvalama itd,) treba uzeti u obzir.

U planinskim precijelima, koji obUl.:.;'..l snijegom, treba uzeti u ohm po­ve6mo aptereCenje snijegam u zavisnosti od odgovarajutih mjesnih prilika, ali tako da maksimalno opterecenjc, pri k.·;wovima, nagnutim do 20° prema horizomaliJ ne smije preCi vrijcdnost prerna jednacini

gdje je:

A - 500 p,,, = 75 + ------.-- .

.;

p,,, = opterecenje snijegom na m 2 tlocrtne povrsine,

A = nadmorska visina u metrima.

(2)

Pri priklonima vecUn od 20°, treba na 1 rna tIo'rt', uzeti optereecnjc u razmjeru prema vrijednostima u tabJid 4.

U krajevima bez snijega treba, i1--2:'., uzeti rninimalno zamjenjujuce opterccenJe od 35 kp/m2 tlocnne pov/"sine krova.

[ [

2. Horizomallla oprereeenia

Horizoritalnim opterecenjeI1]. smatra se, u pravilu, djelovanje vjetra~: .. '.a; po potrebi, i dje1avanje patresa. U statiC-kim proracunima mora se svaka zgrada~' bo cjelina; ispitati na staticka djelovanja u horizontalnom ~mjeru. , ObiCne manje zgrade od opeke, kamena iIi betoria1 koje !ill n~, uobiCaj~ni

Ua.?1n ukrueene 'popreCnim zidovima i stropovima, ne moraju se racunati na ' horizontalna djetovanja. U ovim slucajevirna trt!ba provjeravati jedjno. 'sta­bilitet pojedinih odsjeka zgrad. (izmedu susiednih poprecnih zidovaLpri lokalriom djelovanju vjerra, -ukoliko bi pojediriacne duzine tih odsjeka -.bile vece' od uob!cajenih. . -

a. DjeloYanje vjetra

VeliCina djelovanja vjerra na zgradu i pojedine njezine dijelove zavlSl uglavnom ad: geog-rafske zone brzine vjerra; lokalnoga polozaja zgnide i srupnja njcgove zasticenosti od djd<)qnja vjl.:tra: vi:;ine zgraJc: kuta, sto ga izlolene povdine grade\line rvore sa smjerom vjetra; ad tipa konstrukcije i oblika povrsine, na koji vjetar djeluje.

Teritori{ SFR JugosJavije dijdi sc, S obzirom na brzinu vjetrova, koji vJadaju u pojedinim krajevima, na tri zone, oznae-ene l1a slid 2, i to: I zona umjereno jakih vjerrova, II zona jake kosavc i vardarca, II I zona jake' bure. U II J zonu ulaze iz J i II zone :,v3. O[yorena planinska mjest3 nadmorske visine iznad 800 ffi.

12

Stika 2. Po'djda teritorija SFR Jugoslavije na geografske zone brtine vjetrova prema privremenim podadma Savezne hidrometeorolo~ke uprave: I - zona umjereno jakih vjetrovaj II - lona jake kosave i vardarca; III - zona jake bure. U III zonll ulaze iz Ii 11 zone

"sva otvorena planinsb. mjesta nadmorskc visine iznad 800 m

Prema stupnju zasticenosti gradcYine" od' vj~i:fa, doJaze do izrazaja ova, 3 slutaja: -

Zahice"nim. ad vjetra smatra se· objekar visin.e' do.1O tn, koji se po­dife u nase1jima" izinedu visokih zgrada iIi zidova):u gustim visokim sumama ili. na drugom ,poloZaju l kpji je potpuno.i stalIio', za.sticen od jakoga vjetra.

Pol~za'stic~nim od vjetra smatia se objekat visine do 30 rn u na­seljima, 8umama iIi uvalama (kotlinarna), kojl je zasticen od najjacega dje­lovanja vjerra.

Izlozenim vjetru smatra se. objekat koji ~e nalazi na osamijcnorn, nczaSticenom mjestu (na brijegu Hi u ravniCi), do kojeg je moguc prilaz punoga vjetra s rna koje strane.

Os~ovno djclovanje vjcrra (p,J odreduje se u zavisnosri od geografskc. zone, visine objekta i 'stupnja zaSricenosti prema tablici 5.

Tub/i,;,J 5.

Djelovanje vjelra

Djelovanje vjetra Visina objekta Stupanj Pv u kg/m' iznad (crena I ,,!(;C,no,,; obj,k(a I za geografske ZOne

-I I II I III

zdticen ., ...... 30 40 55 -

do 10 m poluzasticcn .... 40 55 80 ----. izloien .. , ..... 45 70 110 .. poluza§ticen .. ~ . 50 75 llO

preko 10--:30 m izlozen 60 ......... -'- 90 130

preko 30--60 m izlozen .... .. 70 105 ISO

preko 60--100 ~ izlozen ....... 80 120 170

Na zgradarna pri kojima cKonomicnost gradenja birno zavisi od veJitine predvidenog djelovanja vjerra, moze se djelovanje vjetra izracunati na temelju lokalnih podataka 0 stvarno izmjerenoj brzini vjetra, prema ;edna,cinama·:

Pri tome 1 znaci:

gdie ie:

iIi ... , (3)

V mill: .bl = maksirnalna brzimi vjerra u m/sec, konstatirana u raz­dobJiu od naimanie 10 godina (apsolutni maksimum),

V max md = ~rzina srednjega maksiinalnog gocmnjeg vjetra (m/sec), konstat~rana u razdobl;u od najmanje 10 godina.

U ratun se uzima ono djeiovanje vjetra iz prve iIi .druge jednacine koje ;e nepovoUnije.

13

f

J

Na gradcvinama pri Kojima sc djclm·a.nje vjerra nlcuna po.ovim jedna­(-inama, rn0l!:u sc :I.a izra":unuv;mjc pnjl!uinih njihnvih konstruktivnih dijeJova uz.cti U obzir f'Jzlicitc jUk(lSli vjctfOva u razlicitim smjerovima, na temelju srvarno usiannvljcnih brzina. Muksimalno djdo\'anje vjerra uzece se) prcmu tome, U ohzir sarno u smjeru glavnog (karakteristienog) vjetra.

vjf.'tnr

Osnovno djelovanje vjetra nacelno se pretpo­'slav]ja u horizomalnom pravcu.

Osnovno dje10vanje vjetra na ejelokupnu zgradu nlcunu $C .on. verrikalnu projekciju gradevine. Djelo­vonie vieIra na vertikalne povrsine racllna se u punam iznosu (s fnhorom 1,0). Djelovanje na povrSinu. koja ie priklonjena pod kutom a prema smjeru vjerra, smanjuje se .u odnosu s faktorom sill a.

Slika 3. U slue-aju da se kose povrsine zgrade nalaze u polozajima u kojima ne moze nastupiti nikakvo

smanjenje djelO\'anja vjerra, ne uzima se u obzir olaksica s faktorom sin fl, Primjer za taj slucaj predocen je na slid 3.

Kod 'objekata ciJin8ricrie povrsine (rezervoari, tornjevi is!.) ublaiava se ejelokupno djelovanfe vjerra na 2/3 = 0,67.

Kod rdetkastih nosaca, skeleta i drugih sistema stapova treba cjelo­kupno djelovanje vjernl pomnoiiti s odm faktorima:

pri akruglim presjedma sa 1,00,

pri ostrobridnim pr"esje:::ima sa 1,50.

Kod paraJelnih rdetkastih i sJicnih sistema stapova racuna se djelo­vanje vjetra na drugi nasac s 1/2 vrijednosti za prvi nosae; za treci nosac stavlja se u racun 1/3 itd. Ukupna pavrsina, koja se stavlja u racun ni u korn sIucaju ne smije biti veta od pune ·povrsine.

~od paralelnih punih nosaca iii vjetru izlozenih krovnih povdina isre gradevine (npr. kod sed-krovova) treba uzeti it 'obzir pri 'prvoj pavi-Sini punt iznos vjerra, a pri ostalima polavicni iznos, Svaki pojedini nosae (krovnu povrsinu) treba, medutim, posebno racunati s punim iznosom vjetra.

Kod tica i slicnih okn:gIih tankih elemenata (promjera do 5 em), kod kajih je moguce zaledivan;r., djelovanje v;etra treba pomnoziri s faktorom 1,2 ukoliko nije drukCije odredeno specijalnim propisima (za elekrricne vodove, zracne kabele i sl.).

Pored proracunavanja na djelovanje osnovnoga vjerra, mora se svaka gradevina, kao cjeJina, staticki kontrolirati na stabilnost, uzimajuci u ob7jr, pored osnovnog, jos i dopunsko djelovanje vjetra. koje se povre­meno javlja U obliku ostdh udara. Zajednicko osnovno i dopunsko djelovanje vjerra treha U7.eti u ukupnoj jakosri od

·1,0 Pv + 0,5 Pv = 1,5 Pv' . i

Pritom proratunavanju rreba uzeii u obzir odredbe 0 rninimalnom horizontalnom opterccenju,

Prilikom kontrolc stubilnosti premo. prcdn;em zahtjevu, treba prekon~ trOlir3ri i napone, koji u tom shicaju ne smiju preCi 50'Yo od dopu~tcnih

14

osnovnih n:1rona m:nCrij:li;l (r'i'~'n::l lchl1:~'k;m rmpi-.;in1a 7.~1 od.!~(l\·Jr:1jli,:·i

mnrcrijal). Pojct.lini Sflstavni clementi t.:1·:ld .... vinc (krnnwi, zidovi irJ.) mor:lju -'t..'

nlcunati na djeJovanjc Vjttr3, knje mu/.e bili theno pririsnt) iii Si.'"}djU(L'

iii komhinoyano od jednoga i drug\)g uCirlb. Navcdcnn rlacna, odnosnu siqju(,j djcip\":ll1j,l im,'iu ral.iiCi[c smin\'.\

djelovllnjrl u prrl\,cu okomitom na rl)\T~inu. Tbk sc OI.nacujc lao ;"'0%1:1\ ,:) (~.), a SiS:lOjc koo negarivan (-) smicr

Pri!iknrn pror;lCUnaV:1nja 1:(JIL~lrLlk;,.-ija r0jcJinih s:lQa\'nih clemen 1:.: gmdcvine (krovova, ziJo\"a itd.) 11.1 djc!()\,;\njc vjerr:.1, Ulima sC j'.;\ rl()\'I-::'; ','2

koje su okomite na smjer vjetra; kao {lUellO djtlov3nic 0,8 Pc> :1 kao Si,):l­

juce djelovanje 0,4 {l". Kod pO\Tsin::t, u priklor.u n perna smj~'l u vjetra, uzim:Jju se koeficijelltl

smanjivanja djtlovanj::l vjerra l--.,rerm !,';hlici 6.

TabJica 6. J\:oeficijenri smanji"-:11lj3 cjch1vanja vjetra

Na slici 4 shematski je f1rik: Z:il1l1 rJaeno i. sisajuce djelovanje vjNra nl1 gnh.lc­vini i koeficijenti pojedinih djelO\',lnj~l k()d priklona knwa od 30°.

Pri somostalnim zidovima (ogrrldan,Q i s1.) treba racunati sa zajednickim tloc­nim i sisajucim djelovanjem, Sto d<lje f~k­tor 1,2,

Pri otvorenirn gradevinama treba rro­vesti racunsku kontrolu s unutrasnjim dje­lovanjem vjetra 0,8 Pv, koje djeluju iZrHHJ:l,

oko.mito na krovnc, odnosno ;,'idnc rn­vrsine.

Siika 4. S!:~malski pribz t!o(:nog:, i sjsajul'~g djeio\'aTljJ vjetrJ

b. ,1viinimalno h(1r\:t.0nt~'.\no oprerccenjc

Priiikom statickog ispitivnnj:J zgr:j(Je nn hori7.0ntalno djelannjc, mar:] sc racun;1ti s izvjesnom minim:dnuJn horiwntalnom silom H min , kojc sc odreduje u pn)ccntima od zbira stalnog;:] i· rnlovine slul'ajnoga verrika!n(,):: OptcreL'enja .

Ve1il:ina minimfllnogfl horizonr:linn,Q: Optcrcc-cnj<l z<tvisi od tira zgr';:]dc. Postojc ovi slucajcvi:

Zgrada s masivnirn zidovima i srrojl(\yim:l (krovovim:l) .. Hmi" = I IY,. Zgrnoa s ma"i\'nim zidovim:l i Ld:inl "[I'll)), \'101:1 (krovovimn) H m;" = 1,2%.

IS

Zgrada s Jakim zidovima i stropovima Hmin = 1,5.%.

Navedeni pracenti adnose se na zbir cjelokupnag ,stalnog i polovine slueajnog- vertikaInog oprerecenja odnosnog kara.

H vatiSte minimalne horizontalne - sile, odnosno osnovnog dje1ovan;a vjetra, uzima se kod svakog kata' u visirii :tropne' konstrukcije.

1/2J.1f'1)"

Slika S. Rasporcd rninimaine horizontulnc sile pri okvinlim konsttukcijama

Pri okvirnim k~nstrukcijama se maze dielovanje minimalne horizontalne silc, prema staticJ...om, nnhoocnju, rasporcditi na poicdine koncetrirane sile, kaje simetricki (odnosno antimetricki) djeluju u uglovima, npr., prema slici 5.

B. DOPUNSKA OPTERECENJA

Kao dopunska opterecenja kad zgrada, treba smatrati: dopunsko opterecenje od vjetra, koje se javlja povremeno U obliku ostrih -udara; J

trenje na pomicnim leiajima; sHe kocenja pri motornim vozilima; uticaj p.romjene temperature j utica; skupljanja (stezanja) betona. Pri statickom proracunu ne srnije se uzeti u abzir kombinacija' djeIovanja

stalnog, slueajnog i svih dopunskih apterecenja, aka je vjerovatnost' jedno­vremenog pojuvljivanja svih navedenih opterecenju neznatna. U takvom je sluCaju dovoljno, aka se, pored stalnog i vjetojatnog slucajnog opterecenja, uzmu U obzir sarno najizrazitija dopupska optcrecenja. -

Kada se uzimaju U obzir dopunska opterecenj'a, mogu se u poJe:dinim sluea;evima prekoraciti normaIno dopusteni naponi, prcma odrcd~ama teh-niCkih propisa za poiedine materiiale. . .

Za· izracunavanje djelovania dopunskog opterecenju vjetrom davoljna 'je statil:ka kontrola stabilnosti.

16

Trenje na pomie-nim leZaji~a od celika racuna se prema jednaCini:

T, ~ 6000 . ~Q,--, gdje je Br·d

Tr = sHa trenja pri pomicnom le-z&ju - osloncu.

(4)

.

, .•.•. 1

I .~

.-.'

\-,,'

Q\i = pritisak nu lezaj (tlnk 1.1 potpori), neuvecan, dinamickiril koefici-jen,tom Cu- Mpfcm');

d ,;-..! promjer lciaja, valjka iii klatna (pendel) u- Cm;,

Br = Bri~ello.va -tvrdoca ldaja u kp/rrm'.

Za prlbliine proracune mote - se uzeti Brinel1ova, tvrdoca prema , jednacinL

.. ",- (5)

-; ,------,--:~ .. ~-.,--- "idj"c je fix cvrstoCil na zatezanje, kidanje celienoga ~materij~a u kNfcm'.

Pri kliznim leZajima neba racunati trcnje Tr"s harem 20% od ne­uvecanoga pritiska ria lezaj.

SUa koc'en;a morornih vozila dobiva se mnozenjem zbira svih veni­kalnih pritisaka V(lzila koja djeluiu na konstrukciiu, s koeficijentom

I kk =--

140 '-' .,

gdje jc I raspon konstrukl'ijc u metrimJ..

Maksimalna vrijednost tog koeficijema moze iznositi 1/7.

(6)

Qvu dopunsku silu treba uzeti u obzir pri proracunavanju prolaza iii drugih konstrukcija1 preko kojih se vozila normalno krecu vecom brzinorn.

Pri proracunavanju nosi\'ih konstrukcija, koje su izlozene u punoj mjeri promjenama temperature, treba, u pravilu, uzed u obzir ove oscilacije tem­perature, iznad i ispod srednje rnjesne (lokaln!!) temperature:

pri celicnim konstnlkcijama .. • , • • • • • • • • • • • • I • • • • • • • • == 30' C,

pri bctonskim i.armiranoberonskim konstfukcijama ... ,.... ± IS" C

Ako se radovi .iz\'ode pri temperaturi koja se znatno razlikuje od srednje mjesne tempera.ture, treba tu rnliku uzeti u obzir, ukoliko su u piranju konstrukdje koje se ne mogu slobodno siriti.

Ako nosive konstrukcije, koje se nalaze u unutraSnjosti objekta, nisu tfajno zasticene od uticaja vanjske temperature (otvorene hale i sJ.), trebaJ

pri prorac~navanju utica;a temperature, tizeti u obzir polovinu navedenih vrijednosti oscilacija temperature.. "

Kada se U ~tatickim prol'acunima, pri zgradama, ,,",zima U obzir utica; nejednolicnog slegania iii pomicunia potpor., treba luj uticai sm.trad naro­citim optcrccenjem.

Djelovanje potresa (zemljotresa) treba u statiCkim_ proracunima uzi­mati U obzir na taj nacin sto ce se povecati rriinimalno horizontalno optere­cenje za izv;estan proctnat, a u zavisnosti od seiZmolo!ke zone; u kojoj se objekat naJazi. .

U seizmoloskom pogledu dijeli se teritorij SFR Jugoslavije na 3 zone, prcma stupnju dosad konstatiranih tehnickih ostecenja prilikom potresa. To

IS Stlltikll gradevlnskth konstr-ukclja 17

,

t

I

su: zona manjih osteccnja, zona \"C!ikih (lstcccnja, 7.ona katastrofalnoga ra­zaranja (slika 6).

Slika 6. Podjda teritorija SFR Jugoslavije iz seizmolo~ke zane; -- granice Zone k:ltas{rOfalnih pOlresa (imenziteta IX, X),

~ ~ ~ - granke zone r:lZornih potresa (intenzitcta VIII), ..••. granice zone 5lcrnih potrcsa (intcnzitera VII),

(prcma dokumentima Seizmolo;ko~ zavoda 11 Beogradu.)

Treba uzim'ati u obzir utiCaje vanredno visokih iIi niskih temperatura u rojedi~im prostorijama objekta (kotlovnice, hladionice. i1:d.).

S{~zanje (s~upljanje) pri armiranom betonu treba racunati u obliku smanjenja temperature: za IS° C. Pri nearmiranom betonu treba velicinu srezanja betona racunati sa smanjenjem temperature za '250 C.

Pri armiranobetonskim skeletnim konstrukcijama duiine do 70 m moze se smanjiti uticaj stezanja time, Sto se objekat gradi u kraCim odsjecima) duzine nnjvise 20 mJ koji se medusobno rnonolitno povezuju najrnanje mje­sec dana nakon sto je :,izvrSen veti dio procesa stezanja (sakupJjanja).

Kod bro)nih objekkta mogu se uticaji promjena temperature i stezanja racunati s vrijednostima: manjima od predvidenih, ukoliko se opravdanost takvoga smanjivanja; -dokaze- 'narocitim proracunima iii drugirn tehnickim postupcima na priznat,,; nauc'ncij osnovi.

Na veH6nu _~teZa~j.a pH,_ armiranom betonu maze se planski uticati i uvodenjem '_sistemntiziranih':'deformacija mehanickim putem: npr., hidra­ulickim presama (upor~di tat.--'20. Uputstva za primjenu privremenih teh­nickih propisa za beto~ j- armirani beton, od 17 juIa 1948).

18

C. NARO(:1Tr\ OPTERE(~ENJA

Kao n:Jro[;ir:1 oprereccnja pri zgrad:101a treba smurrati:

uricaj nejednolitnoga s!eganja il! pomicanja potpora (oslonaca),

uticai rotrcsu, uticuj indirckrnih otrcsa (pnrrcsa)1

druga (lptCrCl'cnja koja r,cm:lju sLlIn; b"lktcr, a izuzvana su spe..:-ij .. dnim oKo!nosti01a, knjt nisu rrcd\'idcne p\·im propisim:1.

U zon! man)ih OS[Cl'cnja nc,'.-" sc povcCati minimalno horiznntalnn op­rcreecnje, U zoni \'clikih r\.~tcccl1ja )lovebC'c se mir;irnalno horizontalno opterclcnjc za 50'~~, U 7,oni kJrastro!\llnih r:17.aranja povecace se minimalno horizontalno optcrcL'cnjc: %:1 10{)','".

Gradcvinske Konstrukcijc, Kl'ic su indirektno i2107.ene jaCim otresinn (potrcsima), nrr. zgrDde pored zc:jcwickih kolosijeka otvorenih pruga, 'LC~) 1

dimenzionirati uzimJjuci U o\lzi, ,""l:-c-ci:i dirumitki f:1KrOf, Koji iwosi:

rri \'cnikalnim "plcreC't;njir.1'1

pri hori7.0ntalnim oprct-denjin "

vertiknlnih optcreccnjil.

I )US 1,J,

Vriitdnosti trcb;:. uzim:Jti u 7.J':isn0sri OL~ ):lcinc i trajani~l potresa i od VfS(c temeljnoga rl<1.

D. LJPCTSTVO Z,~ IZRN'I:'i .. \ V.'\~JE OPTERECE'iJc\ OD POKRET>ilH DIZ.\Lrc.·\ (KR;\;-..;rOVA)

Pri sti"nic\;:om proraCtlO'.l\'anju KLtnskih stJ.za bo i dijelova zgrad::t i gradevnih konstrukcija, koje su optcrcb:nc p".kretnim dizalicama, treba uzcti U obzir uticaj pokretnih dizalica u najncpovoljn.ijem poloiaju.

Tamo gdje je ncznatna vjerovJ.f1y.st cia c;: uticaji svih pokretnih dizalica jednovremeno doC; do izrazaja u l1;]jncpO\·otjnijem polozaju, mora se uzeri U obzir kombinacija tih uticaja prema nahodenju staticara, pri cemu treb3 prvenstvcno uzcti U obzir nepo\'oJjne uticaje narocito izrazitih optcrecenja. U takvom slucaju treba komrolnim f;lcunom rrovjerit, da prilikom optere­cenja svib pokretnih dizalica, u najncpovoljnijcm poloiaju, maksimal.l1i n:..lpon

celika ne preJazi granicu vclikih izdul.cnj:1 (razvlacenja) materijala.

Pokretne dizujice, prem<1 ovom uputStVU, dijele se oa tri vrste:

Vrsta I: pokrcmc dizalice S fucni..rn pOgoouffi i dizaJice, koje slul.c sarro 'l) montazu i odrzavanjc strojcva i uredaja u zgr3~i.

Vrsta II: pokreme dizalice s normalnim uvjetima rada, koje ne spadaju u vrstu I iii Ill.

Vrsta Ill: pokretne di7.alice S ':flo nemirnim iii vrl0 ccstim pogOJ,orn, kao) npr., sariirne dizalice u celic<lnanw, dizalice za dovl::Jcenje blokova n:l valjucke pruge, dizalice za lomljcnje lj\"a itd.

Da bi se u raclin djelovanja osnovnih oprcrecenja uveo uricaj teste rn)mjcnc oprereccnja i udara prilikon, r:...d::l r~'krctnih dizalica, treba pritisKe

to&ova dizaIica mnofiti s koeficijentima udara koji znvise ad vrste pokret- " . nih dizalicit. ,Koeficijenti udara l\od pokretilih-dizalica sastavljeni su u tablicL

__ 7, :odvojeno za kranske- staze i 'Z8 konstrUktivne 'e1emente koji nose kranike'.,:· staze. Gomji 'brojevi svake rubrike 'u tabell odnose se na .sIutajeve kS.da,je u pogonu 'sarno jedna Pokretna dizalica iIi kada ima vge kranovB, -koji redovno zajedno rade -jedan uz drugi. Donji se brojevi odnose na slueajeve "kada-.je u 'pogonu viSe pokretnih dizalica, _ kqje sarno izuzetno ,rade jedqB UZ .drugu, bez obzira'_da Ii su na jednoj kranskaj stazi Hi na viSe", njih. .

Tablica 7. Tablica udarnih koeficijenata pokretnih. dizalica

I 1 V rna pokretnih dizalica '

1 _________ . ________ __ I-i I II I 1lI

I Knm.ke .we

nske r-~onatruktivni dementi koji 'nose krn I staze (stupovi, nosati, okvitne kom!ru kcije lisl.) I

1,20 1,40 1,60 1,20 1,40 1,60

1,10 1,20 1,40 1,00 1,10 1,30

Pri proracunavanju napona is pod temelja primj'enjuje se udarni koefi­djem 1,00.

Za proraC:un uticaja bocnih udara uzima se u abzir sarno jedna pakrctna dizalica na svakoj stazi, i to ana kaja ima najnepavoljni;e dje1ovanje. Horizon~ talne sile bOO1ih udara djeluju u visini gornjeg ruba traenice (sine) okomito na smjer vofaje, a velieina im je 1{1O maksimalnog pritiska tocka dizaIice. 1.J obzir se uzimaju svi tockavi pokretne dizalice.

Za proracunavanje uticaja kocenja pakretne dizalice uzimaju se U obzir sve pokretne dizalice. Horizontalne sile kbcenja dje1uju u vismi gorhjega ruba traenice u smjeru vafn;e, a veliCina im je 1/7 pritiska kotaea dizalice. U obzir dalaze svi rockovi ko;i se koce, a aka nema tacnih podataka 0 kon­strukciji pokretne dizaHce, treba uzeti da se koN najmanje svaki drugi toM.

PoveCano djelavanje osnovnih kranskih opterecenja (vertikalnih), usIjed mnoienja s koeficijentom udara, smatra se osnovnim opterecen;em zgrade.

Bocne udare i sile kocenja treba smatrati kao dopunska, optereeenj-i.

20 , I

I

Iy

I h . i; 0<1",,.00 odnOInO

b iy em em - ..

S 1,73

7 2,02

8 2,31

• 2,60

10 2.89

11 3,18

12 3,46

13 3,75

14. 4,04

a:1!'1 F

em'

I I 1 -- - ---

1 2 2

2 4

-- - --1 3

3 2 6

3 9 -- - ---

I 4

2 8 4

3 12

4 16 -I 5

II 10 2

STATlCKB VRIJEDNOSTI ZA NOSACa. PRAVOUGAONI PRESjEC1.

(Drvo) .

Oznake: '

Polumj~ tromosd i$ "'" II· J! ... 0,289' h. . 12 .

(pOluprefuik inercije)

. Ful Po. lum.jer tromOiti iy "'" b· _- .. 0,1S9 . h,

. 12· (polu'pretnik inerdje~

-/;1"" ISOi najveea dopulten_a dufina iuijanja u). - 150 u em,

Iii =- 200i najvc:ea dopuJt~n. dutina izviianja u 1 - 200 u em.

I" l~,-~ h-;;-----I odnomo ooinotno

IiI lit b iy I em

259

303

346

390

433

417

519

562

606

em

346

404

462

520

578

636

692

750

808

em

1.

1.

17

18

1.

20

21

22

I J. I W'I Jy

an.' em' em'

0.08 0.17 0,08 --- --- ---. 0.67 .0,67 0,17

1,33 ~J33 1,33 --f--- --

2,25 I 1,50 0,25

4,50 3,00 2,00

~,7S 4,50 6,75

---f--- ---5.33 2.67. 0,33

19.7 5,33 2,67

16,0 8,00 9,00

21,3 . 10,7 21,3

em em em , 4,33 649 866

4-,62 693 924

4.91 736 982

5.20 780 1040

5,48 822 1096

, 5,77 865 1154

6,06 909 1212

6,35 952 1270

I Wy ~I:ul F

em' em'

0,17 3 15

--- II 4 20 0,33 5 25 1,33 I- - ---

I- 1 6 0.$0 2 12 2,00

3 18 4,50 8

4 24 I-

0,67 5 30

2,67 6 36 -- -:-,----

6~OO I I 7

10,7 I-~ 7 2 14

10,4 4,17 0,42 0,83 3 21

2018 '8,33 3,33 3,33.~ 4 28

i.

00 """""'" lil Iii

I

I

em

23

24

2S

26

21 28

20

30

J. an'

31,2

41.7

52,1

18,0

36,0

54.0

72,0

90,0 108 -.--

28,6

57.2

85,7

114

i, em em em

6,64 996 1328

6,93 1039 1386

7,22 1083 1444

7,51 1126 1502

7.79 1168 1558

8,08 1212 1616

-S,37 12ll 1674

18,66 -1299 1732

I

I w., Jy I Wy em' on' em'

;---12.5 11,2 7,67

16.7 26.7 13,3

20,8 52,1 20.8

6,00 0,50 1,00

12,0 4,00 4,00

18,0 13,5 9,00

24.0 . 32,0 16,0

30,0 61,S 25,0

36,0 lOB 36 .. 0 1- ---r---

8,17 0,58 1,17

16.3 4,67 4,67

24.5 15,7 10,5

32.1 37,] 18.7

21

,

:

J

,: !~I ~, I~· :: I :~·I :~ I!~ !,~I ,:·1 ;;, I ::' I ~~~~, ! 5) 3S r 143 I 40,8 -172'9 129.2 7 77 . 776 141 314 89,8

117 7 I 6: 42 I,: 171 I 49,0 126 142,0 j 8 88 887 J61 69 ! 7: 49 : 200 57,2,200 57,2 11 ~ 9 99 998 tal 668 148

--(;-;--8- i~2.7 f-;o.;-; 0,67 '~',3~ :10 110 IJ09 202 \917 183

i 21 16 : 85,31 21,3 5,3) 5,331,_,'.'.~~_2_22,~,_12_2_0-.j2_2_2_

1

1 ~ ~; :~~ I :~:~ ~~:~ ~~:~ 1 ~ ~~ ~;: ::',°0 1,00 2,00 8 i 8,00 8,00

1

5 40 I 213 , 53,31 83,3 33,3 ; 3 36 432 72,0 27,0 18,0

6 48 j 256 ! 64,01144 148,0 1/ : 4 48 576 96,0 64,0 ]20

! 7 56 _) 299 I 74"I!219 I 65,3 Ii i 5 60 720 120 1125 50:0

~~~'I~J __ .I_~t~~185,3Ji1216 72 864144216 72,0

I 9! 60,7! 13,51' 0,75 1,50;l i 7 84 1008 168 343 98,0

128 21 18 121 27,0 6,00 6,00ii i 8 96 1152 192 512

3 27 182 40,5 20,2 13,5 II : 9 108 1296 216 729 162

436243 54080 III ' 4, 24,0 j. ',10 120 1440 240 1000 7.00

9 5 45 304 67,5 93,7 137,5:! !11 132 1584\264 J331 1242

6 54 ! 364 , 81,0162 i 54,0 _~h2 144 1728 288 11728 ~~8_1 7 I 63 I 425 I 94,5 257 I 73,5" 1---- ---~ ----- -

8 72 1 486 1 108' 384 196 ,0 ~ I I 13 183 28,2 J,08 I 2,17 9 81 1 547 I 121 547 III :1 ,2 26 336 56,3 8,67 8,67

- - ~ ----1---- ---I ,3 39 549 84,5 29,2 19,5

I, :' 10 : 83,3! 16,7 0,83 },67:11 4 52 732 113 69,3 34,7

, 20 ; 167- 33,3 6,67 6,67; 5 65 9]5 141 135

1

3 30 I 250 50,0 22;5 J 5,0 ;' 54,2 4 40 1 333 667 5 3 ',I. 6 78 1098 J69 234 78,0 , 3, 26,7 I 5 50 417 83,3 104 4J,7: 13; 7 91 1282 197 372 106

10 ! : 8 104 1465 225 5 ! 6 60 I 500 100 180 60,0 ;11 : 9 117 1648 253 7~~ 139

7 70 583 117 286 81,7 I 10 1175

, 130 1831 282 J83 217 8 80 667 133 427 107 ii 9 90 750 150 607 135 ~ II 143 2014 310 1442 262

10 100 833 I I 12 156 2197 338 1872 312 _ _ __ ,_6_7 8,33_1,67 11 _ _ ____ _ ___ . __ 11 13 169 2380 366 ,2380 13_~6 __

I II II J 2,2 0,92 1,83 It-- ---2 22 222 40,3 7,33 7,33 I 14 229 32)7 1,17 2,33

11 3 33 333 60,5 24,7 16,5 2 28 457 65,3 9,3'3 9,33 4 44 444 80,7 58,7 29,3 14 3 42 686 0 98, 31,S 21,0 5 55 $SS' 10J 115 45,8 4 56 915 131 74,7 37,3

6 66 665 121 198 66,0 5) 70 1143 146 146 158,3

22

1-;-1-;171'~-1 B~ I ~,~T!~~i[7,C~I-~-I- J:-~J ~:-r;J \

C01 em em 1 em~ em' ~ em' 1 em" lem Ie-TIll eml I em' I em' I em4

\ QT"_ +--+--. - . ---. -1,- - -.---.----~--. 6 \ 84 \13721196 ',., ,",II, ill i 208 ; "" I 515 ~'2929 I,'l 71 98 I 1601 1229 '·100 ,II·; ',' I," 1 2::>1 ,'P-:-()' 597 3659 Isn

\

I' " 16 I I

8 112 1829 II 261 i 597 ,I·;') , ilS i 2-10 ! 5120 i 640 ~500 1600

9 126 2058 I 294 I 850 ),<.;1) 1161 256 j 5461 i 683 5461 16;jJ

14:~ ::: ~::; Ii :::1::;; :;;~'1J;:-il;~9-1-;S'2 :,4~2~"1 12 168 2744 392 ,2016 '!j}6 I -I 34 ,HiS! 96,31 II,] Ill») I

\'- ;~l UJ~5' -II ::°8

7

:" . ::: i:~;\~:; iii \: \:: :~~: ::: ~~;:' ::': , _ ,.17,5 II 1,25 ~ 2)0(! 1 b I 102 ~ 7AS(i 280 306 102

I 2\ JO ! 562 75,0 t(J_O 10,0 ~l jl9 i ::;,%(1 ])7 ,1,116 139

3] 45 I wl']2'", ",' is iJ6 )"75 3" m 1181

\

:61[ ~~ 'II ~,~~~ ~ :~~ ~I~f~l ~~~:~:i Ii 9 :~~ ':~;)!~~ ~~: I:~~~ :~~~ 90 ISS}! 225 .:"0 \lll,() !,.;] -151)-1 530 181'6 !'.p

I 71 105 1,96, 20' "9 "'" 4" i! min" 190;

I J5 : I :~~ i ::;~ : ;:~ ::: "',) :,; i ::;:: \ ~~: I'~~~~ I~:~ I 10 150 2812 I 275 !I.:'~n 'i5 i 255 6i·11 I 722 4;/), :,.,37

II 165 3094 I 412 111

(,6.1 j02 :I(~ ~ 272 6551 1771 580] 725

I I "I I 12 180 3375 450 i2160 jV,1l 17 209 i 0%() I 819 \6:160 ISIY \

lJ 195 3656 487 12746 1422 J 8 4s~'I-~~~~r-~~-;;r";~~;11 14 210 3937 525 13 430 \..190! :2 36 972 108 I 12,0 112,0

_ ~ ---==~ ~~ _~,~=-i42i9 \=_~ ___ !i 54 1458 1\, 162 j40,5 27,0 (

1 16 341 42,711,331 2,67 ii, 4 72 1944 216 96,04x,!:

2 32 683 ",3i 10,7 '1Io,7:i i, 90 2410 270 \ 187 75,0

: :: :~~: ::: i :::: i :::~ \[ I ~ ::: ::~: I ::: ::: i::: 5' 80 1707 113 1,1 167 i 667 !i IS ! J·:4 3888 1.432 768 1192

, I 'I: 1 61 96 2044 256 288 i %,D Iii 19 162 4374 i 486 1093 1'243

16 7112 2335299 4S7 ;UI 1\ : 180 48605401500300

8 J28 2731 341 683 1'71 I: ~ 198 5396 594 1996 iJ6J

9 144 3072 384 1972 i216 :12 216 5832 648 2592 1'32 10 160 3413 427 il313 1267 ]13 234 6318 702 3295 507

JJ 1176 3755 469 11775 2J 14 252 680·1 756 4116 )588

112. 192 4086 512 :2304 384 15 270 7290 810 5062 )675

23

•

16 288 7776 864 6144 76S 16 320 10667 1067 6827 853

18 17 300 8262 918 7369 687 17 340 11333 11333 8188 963

_ 18 324 8748 972 8748 972 ,120 18 360 1200 1200 9720 1080

1 19 572 602 J S8 ~~I 19 380 12667 1167 11432 1203

38 1 43 ' ;7 'III 20 400 13333 1333 13333 1333 2 I 120 I, 12,71___ __ _ __ _

3 $1 17JS 180 42,7 28,5 1 21 772 73,5 1,751 3,50

4 76 228-6 241 101 50,7 I 2 42 1543 147 14,0 14,0

.5 95 2858 301 198 79,2 3 63 2315 220 47,2 31,5

6 114 3429 361 342 114 I 4 84 3OS7 294 112 56,0 7 133 4001 421 543 155 .5 105 3859 367 219 .87,5

8 152 4573

9 171 5144

481

541

Bll

1154

6 126

7 ! 47

4630

5402

441

ll4

378 126

600 171 ~~~ II,

19 10 190 5716 602 1583 317

11 209 6287 662 2107 383 II 8 '68 6174 588

6946 661

896 224

9 189 1276 283

12 228

13 247

14 266

15 285

6850

7431

722 2736 456 II ]0 210 7717 735 1750 350

"

8002

8574

782 3479 535 ii 21 11 2Jl

842 4345

902 5344

621 Ii 12 252

712 [I 13 273

16 304 9145 963 6485 811 II 14 294

8489

9261

808

882

2329 423

2024 504

10033 955 3845 591

10804 1029 4802 868

17 323 9717 1023 7779 915 'I 15 315 11576 1102 5906 787

18 342 10288 1083 9234 1026 "I 16 336 12348 1176 7168 896

1

_ 19 361 10860 1143 10860 ~ii 17 357 13120 1249 8599 1011

, I 20 667 66,7 1,67 3,33il 18 378 13891 1323 1020611134

I 2 40 1313 133 13,3 13,3 I,' 19 399 14663 1396 1200] 1263

3 60 2000 2 II 20 420 15435 1470 1400011400 00 45,0 30,0" 26 21 441 16207 1543 16207 1543 I 4 80 61 267 107 53,3 1

1

1 ___________ , ____ ,

.5 100 3333 333 208 83,3 1 22 887 80,7 1,83 3,67

6 120 4000 400 360 120 I 2 44 1775 161 14,7 14,7

I 7 140 4667

8 160 5333

9 180 6000

20 10 200 6067 II 220 7333

12 240 8000

13 260 8667

14 280 9333

476

333

600

667

572

853

1215

1667

733 2218

800

867

933

15 300 10000 1000

2880

3662

4573

5625

24

163 I, 3 66 2662 242 49,5 33,7

231 4 88 3549 323 I 117 58,7

270 5 llO 443j 403 P9 91,7

333

403

480 I ~:: :~. 750 I

22 6 132

7 154

8 176

9 198

to 220

II 242

5324 484 396 132

6211 565 629 180

7099 645 939 235

7986 726 1336 297

8873 807 1833 367

9761 887 ,2440 444

h 61 F·I J. I w. \' Jy I Wy h I b I F I f. I W'I fy I Wy em an em' em. I em' _ em' em' F jcml em!.! em' em' em' em'

12 264

J3 286

14 308

15 330

106481968 11.535 1049

12422 Il29

13310 1210

3168 528

4028 620

5031 719 I 6187 825

I

2

3

4

24

48

72

96

1152 96,0 2~0

2304 192 16,0

3456 288 54,0

4608 384 128

4,00

16,0

36,0

64,0

! .5 120 5760 480 250 100 16 352 14197 1291

22 17 374

18 396

. 19 418

20 440

15085 1371

15972 1452

16859 1533

17747 1613

7509 939

9007 1060 i!

10692 1188 ! 12575 1324 Ii 14667 1467 11

2J 462 18634 1694 16979 1617 Ii

6 144

7 168

8 192

9 216

10 240

6912 576

8064 672

9216 768

10368 864

11510 960

432 144

686 196

1024 156

1458 324

2000 400

2662 484 _ 22 484 19521 1775 '9'21 1775 ~ --- 24

11 264

12 288

13 312

14 336

15 360

12672 1056

13824 1':+12

14976 1248

16128 1344

17280 1440

I ~~~ ::: J 23 1014 88,2 1,92 3,83!)

5488 784

6750 90 2. 46

3 6~

4 92

5 115

6 138

7 161

8 184

9 207

10 230

11 253

2028 ! 76

3042 ~64

4056 353

5070 441

6083 529

7097 617

BIll 705

9125 793

10139 882

15,3

5!,~

123

240

.15,3

34,5

61,3

95,8

414 138

657 187

981 245

1397 310

1917 383

464

552

648

Iii Ii

16 384 18432 1536 8J92'j1024

117 408 19584 1632 9826 1156

J8 432 2073611728 !11664 12%

19 456 21888 1824 13715 1444

20 480 23040 1920 16000 1600

I ~~ ~~: ~:;: ~~~~ ~:~:~ 11:~ 23 552 26496 2208 /24334 2116

I 24 576 27648 2304 27648 304 23 12 276

13 299

14 322

15 345

t ll53 9/0

12167 J058

13181 ]146

14195 12]4

15209 J 322

2551

BI2

4211

5259

6469 I\'~ ~ -2-5 - ::'1"':3"':02::"1"':1"':04~+1~2'''':08''':IC4:':'-'7

75·1 I 2 50 2604 208 16,7 16,7

862 3 75 3906 312 56,2 37,5

J6 368

17 391

18 414

16223 141 t

17237 1499

18250 1587

7851

9417

11178

981

1107

1262

19 437 19264 1675 13146 1384

20 460 20278 1763 16333 1533

21 483 21292 1851 17750 1690

1

22 506 22306 1940 20409 1855

23 529 23320 2028 23320 2028

4 100 5208 417 133 66,7

.5 125 6510 521 260 104

25 6 150 7812 625

7 175 9115 729

410 IlO

715 204

8 200 10411 833 1067 261

9 225 11719 931 1519 337

10 250 13021 1041 2083 417

11 27.5 14323 1146 2773 504

12 300 15625 1250 3600 600 I

25

,

t

h ,b

cmlcm

Il

14

15

16

17

18

25 19

20

21

221

2J

24

25

-~ ---

~I I i 4! I

5!

6

7

J 8

9 , 10 I

1

26

II

12

13

1 14

III I

16

17

18

19

20

21

22

23

26

P J.

em' em' +1 p

icm;

ClT.~

325 16927 I 354 4577 704 24 624

350 18229 I 4S8 5717 817 2 6 25 650

375 19531 I

400 20833 I

425 22135 I

450 23437 I

475 24740 I 500 26042 2

525 27344 2

550 lK646 2

575 29948 2

600 31250 2

615 32552 2

562 7031 937

667

m 875

979

083

187

292 396

500

8533 1067

10235

12150

1

14290

16667

19294

22183

1204

1350

1104 II 1667 11

:1 1837 II

" Ii 201'1

i! "

21'800 2400

__ ,

-----16 I 52

I 78

1G-I

PO

156

182

208

234

2:60

286

312

338

364

390

416

442

468

494

520

54~

572

598

1405

2929

·fl94 , 5:'>,59

-,'J2J I 8788

10523

11717

1]182

i4647

iblll

17576

I I I

I

451

563

676

789

901

014

127

239

IJ9 (,'I,:'

:71 1,0,' 468 156 i 743 212

1109 277

1579 351

2167 43)

2884 524

19041 II :'0505 I

352 3744 624

465 1 4760 732

577 ~9-15 849

2[970

23435

24899

26364

27829

19293

30758

32223

33687

I 690 7J12 975

I S03 8875 1109 !

I 915 10645 1153

2028 12636 1404

2141 14861 1564

2253 17333 1733

2366 20066 1911 2479 2307J 2097

3591 26362 2292

26 676 -- .----

I 27

2 54

3 81

4 108

5 135

(, 162

7 IB9

i ::; 216

I " 2J ~

lin :::0 I ill 2')7

II' I - 324

P·l, .151

"71::i -'.;::; - , II ~ 40;

'6 432

17 459

18 486

19 513

q 5JO

567

122 594

i23 021

I~: 648

675

26 702

27 729

-- ---, 28

2 56

3 84 2. 4 112

5 140

6 '68

I J. em'

I W~ I Jy I Wy I em' '[ em' em'

35152 2704 129952 2496

36617 2817 33854 2708

38081 2929 38081 2929 ------~--1640 121 2,25 4,50

3280 243 18,0 18,0

4921 364 60,7 40,5

6561 486 144 42,0

8201 607 i 281 112 i

9841 729 ! 486 162 1

11482 850 1 772 220

II "'11 972

I 1152 288 ) -'I __

li·1762 )1093 1640 J64

iI6..l02jJ:!15 i 2250 450

11>"43 ! 13'36 ! 2995 544 I

196tU )1458 ! 3888 648

,~1J2.\ i:S:'9 i 49·1j 7t:;C i '

I 61(~ i 811? 122%3 : 1701 , I I ! I 12460411822 j 7594 il012

12G2~4 1944 : 92161"52 .

1 127884 12065 P 1054 :1300

129524 12187 113122 :1458 131165 !230S J5433 11624

!32H05 b430 ISOOO IIROO

134445i2551 20837 1984

136085 2673 23958 2178

!37i46 12794 27376 2.380

39386 2916 31004 2592

!41026 3037 35156 2812 I

1 42666 3159 39546 )042

44281 3280 44287 3280

---- --- ---1-1829 Ill- 2,33 4,67

3659 261 18,7 18,7

5488 392 63,0 42,0

:'317 523 149 74,7

9147 653 292 117

10976 784 504 168

"'Ii -,'I-p----;-;-,-II-'l'-' .--;---'----,-,,-, ~"-'I--,-----;- -~-~ '"' A ~ /" 11"',. II II I f, j F J:c I lFx ly Wy

~~~ll~l~~I~:_L em' I cmJ

em' el1,'1 ian iCIll! cmt I em' i cm·1 em l ern'

7 ::: 1:::~:,~o9:5;~ 0,'0,::., 'cc I, :J: 11625911 "' 1237 I ,")9 i 9 261 110292 1~61 1'(,2

9 252 ,16464 1176 )70111 )7,' 1:(, 29J 120J24 1402

1

1 2,,)17

10 280 i18293 D07 '''J i I I -" i'( II!

J09

}91

sss 6%

517

:; /1 ;~: 1:°'9',2,' 11,'5'6387

I 3106 1 %~ )12 ~~~ I~~~:: :~;~' ~~~:

1- 1 40J2 1 (ll::' /13 377 26421 1822 5309

J3 364 12J7~1 !699 I ~1"'6 ""<I! .[.,' '-()s '845 6 I I - - I '" '.. .j 1962 63! I 14 392 )25611 11.s::91'".,I.,~J !""~"""i iiS 435 J04H6 2102 8156

947

15 420 :27."140 119fiO I

I ! !I() --1(14 32519 22·U 19S99 16 4·1S ~'::9269 !::O')I I 'F""< ill ,"\ il'. ·193 J4551 2383 !IIB7J

17 476 :::1(),)9 !22~1 ," i'.; ill:') iiK 5:"~ iJfJ~f(.' "5~' i).1()L)-l

28);81 504 1.12928 )':':.152 ii::;(0~ iI.S L' '~U;il) 55! 138016 ;6:_~ il6576

/19 ) 532 i'4757 )24:13 iHiue·..; IjIG;.~ 1::0 5S0 1'40648 2SOJ !19}J]

20 560 136587 126\3 1),,(,,; ,!SC~ I I 2.1 588 L'..JJ6 27.J4 II:l{;(~.' [1

2(:)" ;21! (,0'1 )42G81 29.J3 1:;23: 1

I i::2 (,3S ,1.1.:7IJ .l(1S~ 125 7}J

22 616 '"W245 12875 1::.)3":5 li ns '·' I I ~ liLl 667 46746 32241.29404

I " 23 64·~ ·!2075 1:'005 22390 12..\(",." ,

24' 672

251700

I ~ i24 696 1·;:~")78 3364 1133408

',,!43904

IbJ36 322561268,~ !~~ I

i..\57JJ 3267 36458 ,2917 !-~ 725 150810 3504 i37760

I 1 I I ,

I I !26 754 52843 3644/1424 76

,-17

563 3397 rlOll )3155 27 783 54875 378447567

27 756 1-l9392 3528 459:7 3402 _'8 8[2 569 08 ?)25 53051

26 728

28 784 )5122J 3659 51:2J 3659 29 S-Il 58940 4065 !58940 -_. ~I--_- -.~.

29 2032 140 2,42 4,ln

2 58 4065 280 19,3 j 9,3

87 6097 420 65,2 43,5

29 4" 116 8130 561 155 77,3

5 145 )10162 701

6 174

7 203 12194184)

142.2.7 981

302 J 2:

5n 176

829 237

JO

:: 60

90

30 ..\ J 20

150

6 180

7 2]0

-----1--2250 l"o I 2,50

4500 I JOO I 20,0

6750 I 450 67,5

9000 I 600 ! 60

r 1250 I 750 312

IlJ500 I 900 540

115750 1'°50 857 I

123'

I7hS

2557

302[

1.2fi7

3523

3789

4065

5,00

20,0

45,0

80,0

125

)80

245

hi b a:. \ },

\

W,

\ em(m em' em'

, 240, 18000 1200

9 270 20250 1350

to 300 22500 1500

II 33, 24150 1650

J2 360 21000 1800

JO 13 390 291.50 1950

14 420 31500 2100

" 450 33750 2250

16 480 36000 2.00

17 510 38250 2550

18 540 40500 2700

19 570 42750 I 1850

d

\

i 1"1 Ii.

om em em em

6 1,50 225 300

7 1,75 262 350

8 2,00 .300 400

9 2,25 337 450

10 2,50 375 500

\1 2,75 412 550

12 3,00 450 600

13 3,25 487 650

14 3.50 525 700

28

}y

\

Wy l~\~\~· \ J, \ w, \ }y \ Wy

em' em' on' em' em' an'

" -r--1280 320

II 20 600 45000

1822 405

3150 2315J\2205' 2500 500 i

I 21 630 47250

22 660 49500 3300 6620 iz420 3327 605

645 23 690 51150 3450 30418 4320 720

880 24 720 54000 3600 34560 5492 84l JO 25 750 56250 3150 39063 3125 6860 980 ,

8437 1125

26 780 58500 3900 3940 3380

10240 1280 27 BlO 60750 4050 92.08 3645

12283 1445 28 8'0 6JOOO 4200 54830 3920

! 4580 ! 1620 29 :;;70 (·5150 4350 60973 A20S

17148 !lSOS )0 900 67500 4500 67500 14500

Ol;(RUGLl PRESJECI

Drveni okrugli prc:sjeci

ndl ltd' :td l d O=7I.d,F~""~- J~~- W~--}i=-.

4' 64' 32 4

lit = J 50 i najveea dopuHena dUlina izvijanja

za ..1. = 150 U em,

IiI = 200 i najveca dopustella dulina izvijanja

zaJ.=200ucm.

, \

ii2 I!~-l~-Z-em Icm em em em !:,:-r::~

I--+-~l---+---!--+-+-+-~I 3, " 4, 00

4, 25

4, 50

4, 75

5, 00

5, 25

5 ,50

750 23 5,75 862 1150

800 I 24 6,00 900 1200

850 . Z5 6,25 937 mQ 900 26 6,:50 975 Hoo

950 27 6.75 IOU mo

1000 1 28 7,00 1050 1400

1050 I 29 7.25 1087 1450

1100 ~ JO 7~:50 112S 1~00

l :~ I :~~ I, 18 I 675

119 1712

1\ 20 I 750 21 I 787

I. 22 \ 82.5 i

I . J

i .~

J I

I

i , I

d

I em

6

7

8

9.

\0

11

12

13

14

.3

16

17

18

19

20

21

22

23

24

28

26

27

28

29

30

31

32

33

0" I :. em

18,850 28,274

21,991 38,48

25Jt~3 50,27

28,274 63,62

31,416 78,54

34,558 95,03

37,699 113.1

4O,84J 132,7

43,982 153,9

47,124 J76,7

50,265 201,1

53,407 227,0

56,549 2.54,5

59,690 283,5

62,832 314,2

65,973 346,3

69,US 380,1

72,257 415,5

75,398 452,4

78,540 '4~,9

81,681 .s30,9

84,823 572,6

87,965 615,8

91,106 660,$

49,248 706,9

97,389 754,8

100,531 804,2

103,673 855,3

I J

I w

em' ",,'

' 63,62 21.21

111.9 33,67

201,1 ~0,27

321,1 71,57

490,9 98,17

718,7 130,7

1018 1069,6

1402 215,7

J886 269.4

2485 331.3

3217 402,1

4100 482,3

5153 572,6

6397 I 673,4

7854 785,4

9547 909,2

11499 1045

13737 1194 -,

16286 13~7

19175 1534

22432 1726

26087 1932

30172 2155

34719 2394

39161 26Sl

45333 2925

51472 3217

58214 3528

•

:.1 0

I F I J

I w

an ",,- em' em' .

34 106,814 907,9 65597 3859

35 109.956 962,1 73662 4209

36 113.097 1018 82448 4580

37 116,239 1075 91998 4973

38 Jl9,381 1134 102354 5j81

39 122,522 1\95 113561 5824 .

40 125,66 12S7 125664 6283

41 128,81 1320 138709 6766

42 131,95 1385 152745 7274 : 43 13.5,09 1452 167820 7806

I 44 138,23 152l 183984- 8363

I Ii 45 141,37 1590 201289 8946 , 46 144,51 1662 219781 9556

47 147,65 1735 239531 10193

48 150,80 ISIO 16{)576 I 10851

49 153,94 1886 282979 11550

60 157,08 1963 006796 12272

51 160,22 2043 332086 13023

52 163,36 2124 358908 13804

53 166,50 2206 387323 J4616

54 169,65 2290 417393 154'9

55 172,79 2376 449180 16334

'6 175,93 2463 482750 17241

57 179,07 2551 518166 18181

58 182,21 2642 555497 19)55

59 J85,35 2134 594810 20163

60 188,50 2827 636172 21206

29

J

(:ELI(:~f PROFILI

1- Prori]

Dimel17;ije : stalitkc HijcJnd<;li

~'------"---:'--;--.~~~--'--------

I h· ·;iinn 7.:1 os s:n'ij,wja I <1 ihn)(:-nziic IDm /' 'I "'(; I---:c--:c:---:---:c-'-C:----;; I " I x-x 1.,- F~-Y 8 I_,~_~~-- ! /, I ' I d I, cm' k"'m J, I ;;;; I " ':-J,-, -11t~~

1 __ ' ___ 1 _L ___ :' __ 'I __ c,m"_L_ em en'll I C!Tll

I em

Is! ~o ~2 j -),'9"I',-Q-1 7,," 5,95 77,8 19,,1 ),20 6.29 1.nO I 0.91

1

10 1100 50 4,5) (l.~ 10.1> 8,32 \71 34''::1-1,01 1::.2 4,Bll 1,07

12 1120 53 5.11 '.7 14,2 I"" ,128 54"14.81 21.5 7,41 1.2:31 114 1140, <,Ii i :",7\ ~u, IS.3! I..J.A 53; \)1,9 ~Jll 3S'.::1 IlU 1,</0

! 16 11(;0! ':"-1 i (".11 0.5 :;.~.~! 17.9 935 II? I ('Ad 5-1,7 I-LX ],55

l~: il';~~ i :~ I ~:~i :~:; ~;; i ~::: :~~~ ;:'; I :~:: il '::~ ;::~ I ::: 22 220! 98 B.l :1,2 J9,0 31,1 3060 278 8,80 lj 162 33,1 2,02

~: ~:~ ::~ I~:~ :::~ :::: :::: ~::~ ::: :r~ II ::: ~::~ ~::: 30 . 300 1:!5 JO,B! 16,2 69,1 54,2 9800 653 11,9 II 45\ 72,2 2,56

I ' :,

32 3'::0 131 11.5 17,3 7'.8 61,1 12510 782 12,7 ill i5S

34 36

38

40

3-W 137 12,2

360 J 43 13,0

IS,) 86.8 68,1 15700 92) 1 1),5 Ii 674

19,5 97,1 76,2 19610 1090 ].t,2! 818

}W 149 [3,7 20,5

400 )55 14,4 21,0

42.!. 425 1'6J. 15,3 23,0 2

45 450 170 16,2 24,3 1

47-i 475 178 17,1 2$,6

50 SOO IllS 18,0 27;0

55

60

30

550 1200 19,0 )0,0 600 215 21.6 32,4

118

IH

161

1:'<0

213

254

84,0 24010 }260 15,0 I 975

92,6 29210 1460 15,7 I J 160

104

115

128

141 167

199

36970

458$0

56480

68740

99180

139000

1740 16,7

2040 17,7

2380 18,6

2750 19,6

,

11

1440

1730

2090

2480

3610

46)0 21,6

23,41 3490

4670

84,7

98,4

114

/31

149

2,67

2,80

2,90

3,02

3,13

li6 I J,)O

203 3,43

235 3,60

268 3,72

349

414

4,02

4,30

II' ~ I'l'oCili (peine)

sa sirokim i p<lfaicinim pojasnicarna (IzI-",l)

. ;:; C N

o

Za )~ savij~nj:l

mm F:- r-" X-X y_y D,m"""!,, T -~ I-~T--

, IP I~~-II-b'-~ 1,1 c un' ,glOmI -;-I-I~I'-'-,'- J"-I-II~1 I I ";[11' I em" em" em l em", Cl'

I t I ';.-1 I ~--- ---T ,--'-'---;-- ------- -'-I-'~-I----'- .-.... ,------.-

10 I' 100 1,001"'111011'1 26,1 I ", I 89,JI'," 1671 )],4 12 12°112°171111111,1 '1 l "+i 144 3175:!,9

16 160 1160 Y 14 I: 'IS,\ I -':,~ 'i 329 958 120 -~J'5 14 i lIO, 140 1

8 I'" I" I ::,1 '!·'eI' 2171'

550 1 78/'

18 J IBO I ISO 19 14 14 «;~ )1 ") :;;:,\! I 426) 1360 151

20 ::0 ! ~)) II() II() il C ! ,1,- '-"":i )95 Il,-t~';, 2140 21,] 22 122() ::::n 11(\ II)ll '/i,1 .'! :.(,;:'1 732 9,37 ::'x40 25,<: 24 2A{) ::~O hl'\ ,1';.11\ S···\ 0)'\ i 974 10,S :,4150 346 :'.1, 26 260 260 II IS /17 12! 9--:,s, L5C-.':1 lJ60 11,2 [15280 406 28 280 280 12 20 liS 1·1<1 113 j 20720 i 1480 12,0 Ii 7320 523

i 30 300 300 12 20 18 154 121 257(\0 11720 12,9 I: 90JO 600 7,65 32 320 300 13 22120 171 1]5 3225°1' 2020 13,7 ii" 9910 661 34 340 300 13 22::'0 174 1.17 li,l),j(l. 2J70 J4,5 i: 9910 66! 361360 300 14124121 192 150 45)2012510 15,3 i'1081O 721 3S 380 300 14 24 21 194 153 50950 2680 16,2 :!108JO 721

I / Ii 4011400 300142621 209 lC-!! 606·10 3030 ]7,0 r:11710 42 425 JOO 14 26 21 212 1('S I 1/)·130 3270 18,1 ;,11710 4511450 300 il5 128 23 232 is:: 84220 3740 19,0 ',']2620 47-- 475 300/15 28 23 235 IF5 95120 4010 20,1 1'12620 50

2) 500 3{)0 163°124 255 ~nn!IIJ20i) 45)0 2},0 I

j

13530

55 Ii 550 3001 16 30 II" 2G] "I)- / 1111)1)0 I 5100 2J,1 il135JO 60 600 )00 17 32 26 289 ;27 180:)i!0 I 6030 25.0 1'14440 65 650 300 17112/26 297 2.'':; ':1(;~;;o' 6670 2-,,0 1)4440 70 700 300 18 34 27 324 25,1 27lnoo 17720 28,9 ]:J53'50 75 750 500 18 34 27 )33 261 <1r;~OO 8430 30,8 !'l5350

80 85 90 05

190

800 850 900

; 950 /1000

JOO 300 JOO ,100 100

18 34 27 19 36 30 J 9 36 }O 19 36 )0 19 36 /30

I [i 342 ::t>S 36(,,100/1 9160 32,7 II,iI5350 372 192 443900 10440 34,6 IJ6270 381 ~99 506000 11250/30,4 16270 391 307 571000 12060 38,3 /116270 400 Jj.; 5·j.l'i(}O )12900 40,1 !;16280

781 781 841 841 902

902 962 962

J020 1020

1020 1080 1080 1080 1080

7,6U 7,55 7,51 7,.1 G

7,49 7,43 7,J8 7,32 7':'S

7,1'7 7,07 6,97 6,88 6,79

6,70 6,6i 6,53 6,45 6,3 7 ,

_ i

[- Profil

N'o'rmaloi profit (prernu DIN 1026

Dimcnzije stati.:<kc \;rijcdnostl

y

i ~ \ Dimenzije .s

~ I :r:-h-~ --1-:- Za os savijanja 1

'N

F ~ ~ __ r-_x ___ : ___ ,Y~Y I " I IF. 1 '. ' J, I w, I 'f I '

etn' 'i kg/m un' ern' I e!1' lin' i em' ! em Clll

3

4

5 1

6-2

8

10

12

14

16

18

20

22

24

26

28

30

32

35

38

140

32

-------

30! J) 1 7 5,4411

4,27 6,39 14,26 1 ,OS;: 5.33! 2,68 :0,99! 1,31

40 i 35 7 6,2l 4,87 14,\ 7,05 \,50: 6,68 3,08 \1,04 1,33

50

65 I

80 i

100

120

140 I

160 I 180

200 220

240

260

280

300 320

350

381

400

7,1215)5926,4 110,6 ),92-: 9,12 3,75)1,13 1,37

9,03 7,09 57,5 j17,7 :1,52 14,1 5,07 h,25 1,42

, 7 38

42 5,5 7,5

11,0 R,M 106 26,5 ),lQ"!9,4 6,361,33 1,45

II 4'1' 1

8 50 I G 8,5 \3,5 10,6.' 205 41,2 3,91j I29,3 8)49 1,47 1,55

I " 55 7 9 \7,0 13,4 304 60,7 4,62i:43,2! 1,1 .1.59 1,60

6017 I 10 20,4 16,0 605186,4;.5,451'62,7 14,8 1,75 1,75

65

1

' 7,5 ' 10,5 24,0 18,H 925 i 116 I 6,11 :85,3 ,18,3 p,89 1,84

70 8 I! 18,0 22,0 1350 I 150 16>95j] 114il22,4 2,02 1,92

75 I 8,5 11,5 32,2 25,3 1910 191 I 7,70!! 148 27,0 2,14 2,01

8019 12,537,4 29,4 2690 245 i 8,48 1: 197 33,6 12,30 2.14

85 i 9,5 13 42,3 3.1,2 3600 300 I 9,2::'!: 248 39,6 2,42 2.23

90 pO 14 8,3 37,9 4820 371 19,99:; ]17 47,7 2,56 2,36

95 10 15 53,3 4!,8 6280 448110,9:i 399157,2 2,74 2.53

100 10 16 58,8 46,2 8030 535 11,7 I: 495 167,8 290 270

100 14 17,5 75,8 59,5 J0870 679112,1 Ii 597 L!iO,6 !2:81 2:6fr

100 14 16 77,] 60,6 12840 734 112,9 Ii 570 75,0 2,72 2,40

102113,34 16 79,7 62,6 1573°

1

826

1

'14,1 ii 613 78,4 2,78 2,35

II i I II

1\0]14 18 91,S 71,8 20)50 1020 !14,9 :1846 1102 3,04 2,65

, '

00 M a

z p

E o Z

:g. N C

E is

19 Statik'1 gr;ldev{nsklh konstrukc!Ju

I

.J

33

w ...

'~o

~

Oznaka h·b·d

L • 35-3&'6

4 40'40-$

• 5

45-45-7

5 6

SO·50·7 9

6 55'55·8

10

6 60'60-8

10

b

35

4<l

45

so

5'

60

Dimenrije mm

I d I ' 4 6 I 5

; ,4 5 ! 6 6

5 I 7 7

5 6 7 17 9

6 8 I 8

10

6 8

10 8

--

I . Tdma

F G

cml I kg/m

2,6712.10 3,87 3,04

J.081 2•42 3,79 2,97 4,48 3,52

4,30 13,38 5,86 4,60

4,8°1 3,77 _5,69 4,47

6,56 5,15 8,24 6,47

6,31 14.95 8,23 6,46

10,1 7,90

6,91 9,03

II,!

5,42 7,09 8,69

Vdaijenosti od osi Za os uvijanja

1

:---1 -, - ~,-r;'T: J/T~< ~ "1';;·'/ i. I cm4 em 3 em em etn~ Cf!l I em' an

em

-1,00 12.47-1 1,41 2,96 1,,18 I 1,05 J..oS 1,53 4,14 1,71 J,04

',12/ I 1,58 14,48 1,,56 1 1,21 1,16 2,83. 1,64 5,43 J,91 J,20 1,20 I 1,70 6,33 2,16 ~ 1,19

1,28 13,18 I 1,81 1,36 1,92

1,40 I 1"98 1,45 2,04 1,49 3.54 2,11 1,56 I 2,21

1,561 12,21 1,64 3,89 2,32 1,72 2,43

1,69 1,77 1,85

2,39 4,24 I 2,50

2,62

7,83 12,43 11,35 10,4 3,31 1,33

.

1),0 13'0511'51 J 2,8 3,61 1,50 14,6 4,15 1,49 17,9 5,20 1,47

17,314.40 1 1,66 22,J 5,72 1,64 26,3 6,97 1,62

22.8 29,1 34,9

5,29 6,88 8,41

1,82 1,80 1,78

4,68 1,33" 1,24 6,50 1,30 ~ 1,77

1 ~ 117,09 I,52!~ 1,36 ; 8,64 1,51 2,22

9,98 1,49. 2,67

!/ i 12,4 1,70 IJ 3~25 16,4 1,67 ij 4,39

, 17,4 Ii 20,4

1 ~~;i , 27,4

34,8 41,4

1,90 1,89 1.88 1,85

2,08 2,06 1,02

if 36,1 12,29 ~ 46,1 2,26 '1 55,1 2,23

Ii 4,59 5,24 6,02 7,67

7,24 9,35 11,3

9,43 12,1

'14,6

0,.8 I 0,68 1,16 0,68

1.18-1 0,78 1,35 0,77 1,57 .0,77

1,80 1 0,87 2,29 0,87

2,31 I 0,98 2,57 0,96 2,85 0,96 3,47 0,97

3,28 11,07 4,03 1,07 4,65 1,06

3,95 4,84 5,57

1,17 1,16 J,15

7 7 8,70 6,83 1,85 2,62 33,4 7,18 J,96 , 53,0 2,47 13,8 5,27 1,26 . I ~' I 6';·65'9 1651 919111,0118,6211,9314,601.2,73/4,,3119,04 1,941165.412,44117,2/6,3°/1,25

U 11 13,2 10,3 2,00 _! 2,83 48,8 10,8 1,91 ij 76,8 .2,42 ~ 20,7 7,31 1,25 I

Oznaka b,b·d

Illmenzije I Udaljenosti od OS! Za os savijanja

mm F I'T'~i", em X--": '1-1' I: '~'.- ,: 1"-"'1' b d ", J:< \! :< I" II J!; . I~ ',JI] WI] IIJ L em' kg/m I I em' em) em :i em' I em i: em' em· em

7 7 I 9,4017,38 1,97 12.79 42,4 IS,4) 12,,, il 67" 1',67 1'17,6\6,3' \")7 11 11 114,3 JI,2 2,13 3,01 61,8 I 1-,7 1 .. ,08 ii 97,6 2,61 I: 26,0 8,64 1,35

70,70·9 70 9 9 11,9 19,34 2,05 4,95 II' 2,90 52,6 I H~,6 ~,Jo!1 83,1 2,64 1 ...•. 22,0 7,59 1,36

I 1 I ,: I I 7 7 10,1 ! 7,94 2,09 i 2,95 52,4 1

19,67

1

2)28 ,83,6 2,88!! 21,1 7,15 1,45 8 8 11,5 9,03 2,13 . 3,0: 58,9 lJ,O 2,26 i 93,3 2,85:: 24,4 8,11 1,46

75'75.10 75 10 1014,111,1 2,2J 5,}OI},12 7I,4,]J,5,2,25 '113 !2,8J\129,8 9,55 1,45 12 12 J6,7 13,1 2,29 I)," S1;4' 15,R ! 2,22 130! 2,79 ,'34,7 10,7 1,44

! i I 8 12,3 !I <;),66 2,2(, I \,'~{) 12,(, ! 2,42 liS 13,06 29,6 9,25 ],55

Ie 80 10 10 15,1 il,9 2,3.1 .\,.1i 110 7: 15,5' 2,4] 139 3,03:: 35,9 10,9 1,54 80 80,12 12 ]7,9114,1 2AI '.M, \.·:1 1(12 11',: 12,39 161 3,00' 43,0 12,6 1,53

14 20,6 )i6,1 2);, .1.51 115 ~n.~, :,36 181 12,9{, 18,G 13,9 1,54

9 9 15,5 '112" ',54 !.59 116 18,0 12,74 18413,45 I: 47,8 13,3 ),76 00.90-11 90 II 11 lB,7 14,7 1,62 6,36 3,70 131<: 21,612,72 2J8 3,41 "1\ 57,1 15,4 1,75

13 J3 21,8 17,1 2,70 3,81 158 2",1 2,69 2~'"1 13,39 . 65,9 17,3 1,74 1

I'

10 100 . 100 . 12

'4

10 110·110 12

14

'0 100 12

14

'0 110 12

14

J 9,2 115,1 12 (22,7 17,8

26,2 20,6

21,2 116,6 12 25,1 19,7.

2'),0 21,8

2,82 2,90 2,98

3,07 J, I S J,21

'I I: 3,99 177 24,7 13:04 1/ 280 3,82 I, 73,3

7,07 4,10 207 29,2 I 3,021'i 328 3,80 Ii 86,2 4,11 235 33,5 I' 3,00 I 372 3,77 11 98 ,3

, I' ~ , I 4,J~ ~~9 30,1 I 3,3? II ]79 4,~3 d ~8,6 ,,71, , <1"j _.SO 35,7 13,J., 444 4,.:.1 ,16

\ :, 'i.\ 119 41,CJ, 3,)2 50S 4,11) 133

I i

18,4 21,0 23,4

22,7 2{),1 29,3

1,95 1,95 1,94

2,16 2,15 2,14

w

'"

# ..,

~E .B r.:: " -0:"

: I ; I :: I 14

16

lB

20 22

25

28

32

36

....

.>.

" • .S ~" ."~ ,.. 0,154

0,222

0,302

0,395

0,617

0,888

1,208

1,578

1,MB

2,466

2,984

3,853

4,834

6,313

7,goo

9,865

c~~ '"

:::::.c. il, ~ f'!l.

g o E

:0

° 1.57

1,89

2,20

2,51

3,14

3,77

4,40

5,03

5,65

6,28

6,91

7,85

8,80

10,05

11,31

12,57

.,., . " 0 c Cl > 0

0' 0,1 II

" ~ wl_

81 ~ 0

~ " '0 <l

~I .!:';. I n

"" I " II .

~I n

\

0-2. 0'

" I ~; 0

2;

TABLICA l'ROFiLA OKH.UGLOG ,CELIKH (Tor-1jcni cclik I m·l = 7llS0 kp)

P 0 V R SIN:\ PRE S J E K A U cm~ Z A K 0 MAD A

~_I 2_~1 3 -' 4 5_1 6-=-! 7 _~J~91_'-+-0 I" I 12 I 13 I 14 I IS 0,201 0,J91 0,591 0,791 0,9SI"18I,,.17I,,571 ',771',96 2,'612,3612,55 2,75 2,95

0,28 0)571 0, 85 1 1,1311 1,41 1,70 ,}9K! 2,26: 1,551

2,83 3,11! 3,391 3,68 3,96 4,24

IJ,JS! 0,171 ",01 i,54 ',0' 2,J!! ',(>"j .1,0" ]'''1 J,85 4,231 4,621 5,00 5,J9 5,77

D,5oi J,OJI :,SlI ,,011 2,51 J,02! ],\2!I.!:'. 4,5', ~,03 5,531 6,G], 6,50 7,04 7,54

0,79) 1)571 _,J6, 3,]4: 3,9' 4,71 1 5,501 6"", 7,01 /,85 8)641 9,43110,21 11;00 11,78

'illJli 2)261 },J9) 4)52

1

' 5,(,') 6,79 7,,)2! 9.,(I~ JO,18 11,)1 12,44 U,57114,70 15,83 16,97

1',54 3,08. 4,621

6,16 7,7~) 9,24 10,78112,32 13,86 15,93 16,931 18,47! 10,01 21,55 23,09

2,01, 4)021 6,03 8,04 10,05 12,06 1,1,07' j(J,09 18,10 20,11 22,12 24,13 26,14 28,15 30,16

2,541 5,09 7,63 10,! 8 J 2,"72. 15,27 17,81 20,36 22,90 25,45 27,99 30,54 33,08 35,63 38,17

3,14 6,281 9,43 12,57115;/! 18,85 21,99 25,13 28,27 31,42 34,56 37,70 40,84 43,98 ·47,12

3,80

4,91

6,16

7,60

9,82

! 1,40 J5,21 19,01 22,8l 2(,,64 30,41 34,21 38,21 38,01 I 41,81 45,62· 49,42 57~02 14,73 19,64 24,5·\ 29,45 3..),36 39,?/ 44,18 49,09 54,00 53,90 63,81 68,71 73,63

12,32118,47 24,63 30,79 36,95 43,10 49,26 55,42161,58 67,73 73,89 80,05 86,21 92,36

8,04116,09 24,13 32,17 40,2J 48,26 56,30 64,34 72,38 1 80,42 88,47 96,51104,55112,60 120)64

10,18120,3613.°,54140,71150,89

12,57 25,13 37,70 50,27 62,83

I

61,07 71'25

1

81'43 91,611101,79 11 [,79 122,15 132,32 142,50 132,68

75,40 87,97 100,53 13,10 125,66 138,23 150,80 163,36 175,93 188,50

71'" ~" ~" " "0 I 0 '" ,,"' ,,:'] ,,0 " >OJ OJ

~ C~ c:r-< c: ~- ~ c:< ;:

&1· "'- "'" ",0 x ~ N

zz Z,., z< 2i OJ ;l 0> 0- t: 0_ Cl~ r-<

Cl ClZ r 0 0 Z r-< r-<"" r , c: Cl C t::: c: c: c: ~ .s: Cl

"" 0 ?1 ~ ~ /1 ¢ I-, i

r-< C'

"" ., ;: "" ~ '" ""

'" I ~7

I i I

01 0' 21 Z;N ,., .. ~ v,' "'! 'g en f.O "

II II II ~ q N' ~; + i 0 ' ~ ~.~ '. " 0 ~

~ \ ';-'

"l~ ~ I tr Col II c:

'" ;;; + Co II II - .t>.= 0c

II ~ ""'0:; ~. :; ;;-

'" ~

'" , I

'" ~ o -.;.; < ," I,<

II ~

" i'" 0 0 .0 w

"'I'" c.. t: 2 . e. e. i ~ "- II II ... so ~ ~ 8 q':-': ~ 1 ~. .• ~. ~ '" o.

w ~ ,

o I ~ I I...JI":'" ~

~Io .. , 8 -. " NI~OlI"' " .-w 0,0 n' ~ '0 ~ + . ~ N II 0 ~ i ~ ~, :l , ~ 0'

" 0 e, c II ~ I , +I~ NI~:t< ,;, '" w §~ Ii ~ ~+ e. ~ q " ;!:.i~ + ... [ ~ " f:

"

fr: 0 , , ~ . " ,:; n' ;;- C :c 0 SO .

'" '" 0 I ". r;' •

1

§ .-! ~

-, ,

E E '0

" ~5 J: 5

6

7

8

10

12 14

16

18

20 22

25

28

32

3.

40

.., '" til '" ~ t:: z t:: ?

'" 0 <

" ~ "" -::l ~

'" f;

;.;

'" ti' V><

~ 1

~ t: ~

/

TEZISTA LIN!)A, POVRSINA I TIJELA (nos,av.k)

Oblik

CETVOROUGAO

l;;-x ~ g C

C

"'--:+--+.,---=::~ 8 A 1--';--!--i6r--..;

POLUKRUG

38

PoJotaj tefiha S

I naan: Podi;eIiti letvorougao, dijagonaiama AC i BD na trouglove i nati njihova tei.BtaJ i to prvO za trouglove ABD i BCD) zatim za' trouglove ABC i ACD.

Tako se dobiju tdBta Sh S" S;, St. Pres­jek izmedu SIS. i SsS, daje teii~te s.

II nalin: Dijagonala ED dijeli cetvorougao na 2 trougJa cija teiiSta SI i S~ nalazimo i dobi­jaino da je FSI = 1/2FA i FS1 = 1/3FC. Tada je SIS. tciBna linija. Kad na n;u nancsemo SlE od 8 1 prema S .. dobijamo S.

iII nacin: S leii u pres;eku pravih FH i GE. E i F su sredine dijagonala AC i ED. PD = Blf; AP = CG.

I nali!): Spoje se sredine paralelnih_ stranica. Nenese se CF = a i AE = b. Presjek EP i AiN daje te2ihe S trapeza.

h'o+2b Y a = -'---;

3 M- b

h h + 20 Yb = _._--.

3 0 + b

11 nali,,: Spoje se sredine paralelnih ma~ niea. PodijeJi se krak AD na tei jednaka dijela, spoje [acke C i-E, kao i tatke B iF. Aka se iz tacke GJ presjek prava CE i 'BF, povuee par2~ lela sa AS dobija se na liniji MN teiihc S.

~ .. ,_ 4r as = - = 0,4244r

3~

TE2ISTA LlNIJA, FO\'i\~INl\ 1 TIJELA (naSl2vak)

ObJik

KRUZNI ODSjECAK

KRU2NI ISJECAK

b

W-~~~' -""-

<'q , o

POVRSINA OGRANICENA PARABOLOM

Polotaj tciiha S

_.__ s. '} rl sin I a as = ---= _., ----~

12 F 3 F

a" ~ ---sin2il. 90"

F jc povdina odsjceka.

2r sin a 180

:; a" 7t

F je p(l\-~;ina i~jccka.

~r\;i>. (,

2rs

36

= 0,6366 r;

IF

= 0,6002 r

2

3

R' - r-1 sin u

RJ _ r' 180 0

. -o-sin fl. Rl_ r' a J(

3 hI = - b,

8

3 b~ = "4 b.

-- ----------------ELIPSA

PRAYA PRIZMA r OBLICA

S :,C !led:!!.! 1I presjcku OS<I c1ipsc.

S Sc~ nalaz! It:J. sredru tcii$ne linije koja spaid teii!;[;'! osnnv;

jy

TEZISTA LINIJA, POVRSINAI TIJELA (n"tmk)

Oblik I Poloiaj tdi~ta S

PlRAMIDA I KUPA Obelisk

~' .' 'I" ". s-/

o

S se nalazi u tdHnoj osi udaljeno za ¢etvrtinu vil':ine od donje amove •.

I~------~~~-~-----

h • ab + abl + alb + 3a1bl x~

2 2ab + abl +a1b + 2?l h1 '

h a + at Z2 klin x = _0 ___ ; (b

1 = 0)

2 2a + a 1

~~--~~i------------~ --------~~~-ZARUI3LJENA PIRAMIDA I KUPA

LOPTI1'-' ODS]ECAK

<VSr

." -

o

LOPTIN IS}ECAK

~..!:'"8 s

-. <t!q

o

F = )lUV: ;ina osnove; f =~ povr~ina zarubijenog

dij..:b. h = \'isin3 j x = ocistoj:l.njc telis!" oJ OSIlOVt':.

h x ~"" -'

4

as

F+2/Fj+3j

F + ..,/F] + f

4

C2R _.- h?

3R-h

3 Z3 poluloplU: as = - R.

8

2u = llgao [sjecka;

~-- 3 OS = -8- r (1 + cos u)';' 8 (2r ~ II)

JEZGRr\ PRES}EKA - TABLICE JEZGRA RAZNIH POPgECNIH PRESjEKA

Poprecni presjek

KVADRAT

40

Obraz;c za odstojanje konture jezg-ra

a r= 6,,/2" 0,!179a.

Dijagona!e jezgra = .::. ,

JEZGRA RAZ~ IH POPRE;CNIH PRESJEKA (nastavak)

PopreO!ni presjek Obrazac za odstojanje -konture jezgra

KVADRATNI PRSTEN

1- ,~ 6 ff[ 1 + (;)} 0,1179. [1+ (;

OSMOUGAONIK

~ r = 0,2256 a

,

--,--------jEDNOKRAKI TROUGAO :

-IIfJ Jezgro sli':no troug!u,

" h b

TI = 6' r~ = 12' osnovica = ~ . .\

--KRUG

m~ D

1-" -

8

KRU2NI PRSTEN

~ D d)'J '~8[1+(D .

-._.-PRAVOUGAONIK

~., \; / bh

rmi.n = ---~----J.-tjV 21"",,~ 6/iJLfill ~b

J.- b " -<.., I \ Duzine dijagollala iezgra 3"' odnosno -

3

_0 016 J 0 -J

41

I

42

MOMENTl JNERCIjE 1 OTPORNJ MOMENTJ RAZNlH PRES]EKA

Tab/ice

<13 bh' I = . ,_ = 0,08333 bh'

bh' 12 1 W= - = _ =O,1667bh l •

h , 6 e= '2' F = hh,

<~ a'

1",- - = 0,08333 ai, 12 a' h

W .... '6 .... 0,1667 a~.

c= 2'; F -= a'. ---

a'

~"\ J = - = (i,08333 a'. a' a~ /i 12 W= ___ = __ ~,,", (%I • 6 ji- 12 "I a <: = -~=O,707a; F=a l •

= 0,117903 • • -; t::,...._ /f

bh J

{~ I '-' 36 = 0,2777 bh~;

bh' W = - = 0,04J66 b1l 2• , bl< 24 I-L1 , ~ :: hi F= -.

3 2

(6bt + 6bb1 -+ b:> III

* 1=-----__

36 (26 + bl)

(3b +- 261) h 117 =

(6b l +- 6bb1 + b:) b~ c= --~--;

12 (3b +- 2b\). ) (2b +- hi) 2 __

_ " (2b + 61) F ~ --" ----.

2

I' 5/3

1 = --. a' = O,54I3a'; 5 J6

W= 8a~ = 0,625a1 •

e=-=:"ff; F = 2,5981a t • 2

• 5/3

5/3, 04' I ~ --a' = 0,5413a'j

J6 W---a = ,513a. 16

e = Q; F = 2,5981at,

t "" J +2Vz 1= r'=

6

"'" 0,6381 r'; W = 0,6906 rl.

e ... 0,9239 r;

F = 2,8284r l = 4,8384a1 ,

MOMENTI INERCJ]E I OTPORNI MOl>tENTl RAZNIH PRESjEK.t\

(nJstavak)

7!r' ::tD' l=~-~-

4 64

= O,705·1r( 0,04\))!"-,

lJ

nha" J = -4- -= O,7;)'5<16a".

O,O-i91ll:·P.

2

~,r' ::rD' !V=~:;;;_~

4 }2

= O,0982Dl = 0,7854 '-'.

;tba" IV = --.- = 0,7854 60".

4

nEA' LV = - .,~ 0,On2 [],F.

)2

w) = 0,25871-",

W1 -. O,190{ir,l.

--------1---------------- _______ _

if e= 2; F=!J(/{-Ir).

----~~ --------------" A'-a'

A e = _;

2 F·,--, A'-a'.

W=---. 6A

------- ---------------- ---------

a c = - ~,O,707<1;

\12" F = A2_. Q '.

" '-- _ (D'_dt )

64

D c,.~ -=- r; T·", i.(l('-r").

2

AI-a' W~ ---~

6AVT

A'-u l

= 0,1179 A -·

4' ---1-'-'

-----32 D

43

TABLICE DOZVOLJENIH l!APGNA <1dOl:. (izvod i2 Tehn. propisa)

1. Dopusteni naponi drveta

Dopusteni naponi pod normalnim uslovima (osnovni dopusteni naponi) sastavljeni su u sljedecoj tablici:

Tablica Osnovni dopusteni naponi u kpjcm l

I~\ Cetinari

\

H r a s t, bu k v a

drvne K! a s a K 1 as a Vrste. grade

III I II I I III \ II I I naprezan)a

! I I I Osovin. zatezanje u:;ciop 30 80 95 40 95 115 Gsov. pritisak up dop 65 I 90 100 80 100 120 Osov. savija.nje as dop 75 , 100 115 90 120 140 Tang. posmik. Til dop 8

I

10 12 10 12 15 Presie;canje vlakana r.1. dop 25 JO 35

I 30 J5 40

Radijalni pritisak u.1dop 20 20 20 JO 30 I

30 !

2. Dopusteni naponi u zidu od opeke

Dopusteni naponi na pri[isak za ziJo\'e od opeke sasta\'ljeni su u tablici. Pri ekscentricnom opterecenju se puduci odnose na nujveCi dopusten ivicni napon.

Kao zid od opeke smatra se opekom Gzidano tijcl() "Za knje je odnos

\·isine i debljine (~) manji ("Ie; ,:;. i!i lC :O:1mo U jcJnom pra\·L~; wt'i ad 4.

Zido\'i treba 'da su dovoljno ukruceni: poprecnim zidovima debljine bar J 2 em, stubovima iIi na drugi naCin.

Tablica

I Marka (srednia cvrstota) I D9Pusre"~ ~)apo.~li na pritisak zida od opeke (kp/cm2)

opeke kpfcml , u cementnom I n pmduinom / u "e'nnm / u ,,,,1,,,,, I multeru malteru malteru od gline

200 22 18 - , -150 16 14 10 -110 - 11 8 -

70 - 8 6 5

(Po izuzetnom odobreniu) 4{) - - 4 4

~-----

(Porozna) 30 - - 3 3

*l 1 kp/cmt = O,Ql kN/cm'.

44

I-

I

,.

3 Dopusteni naponi za celik zakovice . i I s!ucaj. optcrecenja II sJucaj optcrcenL~

Vrsta napona za spajanje dijelava ad telika1) ,,<1" kp/cm~

CN 22-AICN 25-AICN 35-A/CN 22-A/CN 25-AICN 35-A

savijanjc, zate7.un;c, pritisak 145U 1650 2300 1650 1850 2300

rd,,!, r-..< 0,8(1 dop \I) """0,8<7dop(ll) smicnnjc

.. 1150 ,

\l00 ! 1850 \l00 I '1500 ,

2ioo I i

<7bdop I 2,0<1 dop (l) 2,O<1dop(lJ} pritisak un omotnc

/ 2900_ rup,

I I 4600 3300 I 3700 ! 5200 3300 , --

O.::d(lpl) -- 0,30 dop (I) "'"' 0,]0 dop(l J}

zatczanje -----400 i 500 ; 700 450 I 550 ! 750

1) OJgovarajuCi kvulitet ll1:ucrijab zukovica za spajanje pnjedinih vnta celika vidjeti u [ablici L ~) Zuko\'ice opterecene Z3tcZ:ltljt:;:: Hcba izbjeg:wati. *) T. Osnovna oprerecenja

II. Omovna" i uopullsb.

1)

KOEf!CljENTI IZ\·OA:--.rJA TABLtCE KOEr~IClJE~ATI"\ ",,," ZA CELTK

Vrijednosti koefidjeot:a izvijaoja ,., za eN 2<' -(j) za CN 22

;. 0 1 - , - '-I ,--,-,. ~ ...... .,7

20 1,03 1,03 IN , 1,04 1,04 i I,U4 1'\;'1 ::~~ I J,05 30 1,06 1,06 1,07 1,07 1,07 1,08 1,08 1,09 40 1,10 I,ll 1,11 1,12 1,13 I 1,13 1,14 1,14 1,15

50 U6 1,17 1,18 1,19 1,19 1,20 1,21 1,22 1,23 60 1,24 1,25 J,26 1,27 1,28 1,29 J,30 1,31 1,32 70 1,34 1,35 J ,36 1,38 1,39 1,40 IA! 1,43 J ,44 80 1,47 1,48 1,50 1,51 1,53 1,54 1,56 15,8 J,60 90 1,63 1,65 1,67 1,69 1,71 1,73 1,76 1,78 1,30

100 1,86 1,88 1,91 1,94 1,98 2,01 2,05 2,09 2,14 110 "2,23 2,27 -2;31 2,llTU9 2,43 2.48 2,52 2,56 120 2,65. 2,69 2,74 2,78 2,83 2,87 2,92 2,97 3,01 130 3,1 t 3,16 3,21 3)5 3,30 3,35 3,40 3,45 3,50 140 3,61 3,66 3,71 3,76 3,82 3,87 3,92 3,98 4,03

ISO 4,14 4,20 4,25 4,31 4,36 4,42 4,48 4,54 4,59 160 4,71 4,77 4,83 4,89 4,95 5,01 5,07 5,13 5,19 170 5,32 $,38 5,44 5,51 5,57 5,63 5,70 5~76 5,83 180 5,96 6,03 6,09 6,16 6,23 6,30 6,37 6,43 6.150 190 6,64 6,71 6,78

6,85 [ 6,92 7,00 7,07 7,14 7,21

200 7,16 7,43 7,51 7,58 7,66 7,73 7,81 7,88 7,96 210 8,11 8,19 8,27 8,35 8,43 8,50 8,58, 8,66 .8,74 220 8,90 8,99 9,07 9,15 9,23 9,31 9,40 9,48 9,56 230 9,73 9,82 9,90 9,99110,07 110,16 10,25 10,33 10,42 240 [ 10,60 10,69 10,77 10,86 10,951",04 11,13 ! 1,22 11,32

250 11,50 ---

,

i:~h ! 2u 30

1,16 40

1,23 50 1,33 60 1,45 70 1,61 80 1,83_ 90 --2,19 100 2,61 110 3,06 120 3,55 IJO 4,08 140

4,65 150 5,25 160 5,90 170 6,57 130 7,29 190

~,04 200 8,82 210 9,65 220

10,51 230 1 J,41 240

j 250

,

f

I I

2)

KoeficlJenat W %B CN 25 -

l I I

0 I 1 , 2 I 3 I 4 , 5 , 6 I 20 1.03 1,03 to) 1,04 1,04 1,04 1.05 30 1,06 1,07 1.07 1.08 1,08 1,09 1,09 40 J,12 1,12 1,13 1,14 1,14 1.15 1,16 50 1,19 1,20 1,20 1121 1,22 1)23 1,:24 60 1.28 1.29 1,30 1,31 _ 1,32 1,33 1,35 70 1,40 1,41 1,42 1.44 1,45 1,47 1,48 80 1,55 1.57 1.59 1,60 1,62 1,64 1,66 90 1,75 1,78 1.81 1,83 1,86 1,89 1,92

100 2,07 2.12 2.17 1 2.22 2,26 2,31 2,)6 110 2,53 2.58 2.62 2,67 2,72 2,77 2,81 120 3,01 3,06 3,11 ),16 3,21. 3,27 3,32 130 3,53 3,59 3,64 3.70 3,75< 3,81 3,87 140 4,10 4,16 4.22 4,28 4,34 4,40 4,46 150 4,70 4,77 4,83 4,89 4,96 5,02 5,09 160 5,35 5,42 5,49 5,56 5,63 5,69 5,76 170 6,04 6,11 6,19 6,2~ 6,33 6,40 6,48 180 6.17 6,85 6.93 7,00 7,08 7, J 6 7,23 190 7,55 7,63 7,71 7,79 7,87 7,95 8,03 200 8,36 8,45 8,53 8,62 R,70 8,79 8,87 210 9,22 9.31 9,40 9,49 9,57 9,66 9,75 220 !0,12 10,21 10,30 10,40 10,49 10,58 10,68 230 11,06 11,J6 11,25 11,35 11,45 11,55 11.,64 240 12,04 12,14 12,24 J2,35 12,45 J2,55 12,65 250 13,01 I

).p = 101,8

3) Koeficljenat w za t:::N 35

, I 0 I I I 2 I 3 I 4 I 5 I 6 , I

! 20 ],04 1,04 1,05 1,05 1,06 1,06 1,07 , 30 1,09 1.10 1,10 I,ll 1,12 J,13 ),14

40 j,17 1,18 1,19 1.19 1,20 1,21 1,23 50 1,27 1,28 1,30 1,31 1,32 J ,34 1,35 60 1,41 1,43 1,44 1,46 1,48 1,50 1,52 70 1,60 J,62 1,65 1,67 1,70 1,72 1,75 80 1,88 1,92 1,96 2,00 2,05 2,10 2,16 I -90 2,37 2,42 2,48 2.53 2,59 2,64 2,70

100 2,93 2,99 3,05 3,11 3,17 3,23 3,29 110 3,54 3,61 3,67 3,74 3_,80 3,87 3,94 120 4,21 4,29 4,36 4,43 4,50 4,57 4,65 130 4,95 5,02 5J I0 5,18 5,26 5,33 5,4J 140 5,74 5,82 ',90 5,99 6,07 6,15 6,24 150 6,58 6,67 6,76 6,85 6,94 7,03 7,12 160 7,49 7,59 7,68 7,78 7,8t 7,97 8,07 170 8A6 8,56 8,66 8,76 8,86 8,96 9,07 180 9,48 9,59 9,70 9,80 9,91 10,02 10,13 190 10,57 10,68 10,79. 10,90 11,02 11,13 II,24 200 11,71 11.83 1l,94 12,06 12,18 12,30 12,42 210 12~91 13,03 13,16 13,28 13,40 13,53 13,66 210 14,17 14,30 14,43 14,56 14,69 14,82 14.95 230 tsAs 15,62 IS,75 15,89 16,03 16,16 16,30 240 16.86 J7,OO 17.14 17,28 17,43 17,57 17,71 250 18,29 I Ap = 86

46

7 I 8 I 9

1;05 1,06 1,06 1.10 1,11 I,ll 1.16 1,17 1,18 1,25 1,26 1,27 1,36 ' 1,37 1,38 1,50 1,52 1.53 1.69 1.71 1,73 1,96 1,99 2,0) 2,40 2,44 2,48 2,86 2.91 2.96 3,37 3,43 3,48

.3,92 3.98 4,04 4,52 4,58 4,64 5,15 5,22 5,29 5,83 5,90 5,97 6,55 6,62 6,70 7,31 7,39 7,47 8,11 8,20 8,28 8,96 9,05 9,13 9,85 9,94 10,03

lO,77 10,87 10,96 11,74 11,84 11,94 12,16 12,86 12,96

7 I 8 I 9

1,07 1,08 1,09 1,14 1,15 1,16 1,24 1..25 1,26 1,36 1,38 1,39 1,;54 1,56 1,58 1,78 1,81 1,85 2,22 2,27 2,32 2,75 2,81 2,87 3,35 3,41 3,48 4,01 4,08 4,15

.4,72 4,80 4,87 5,49 5,57 5,66 6,33 4,41 6,50 7,2J 7,31 7,40 8,16 8,26 8,36 9,77 9,27 9,38

10.24 10,35 10,46 11,36 11,48 11.59 12,54 12,66 12,79 13,78 13,91 14,04 15,08 15,22 15,35 16,44 16,58 16,72 17,86 18~lS 18,15

. I

1 I,

20 30 40 50 60 70 80 90

100 110 120 130 140 150 '160 170 180 190 200 210 220 230 240

I , I 20 30 40 50 60 70

80 90

100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240

Tahlica koeficijenata izvij:lnl:'; ,,(,)" zn drvo (drvcne konstrukciic'

- VRI]EDNOSTI KOEFICIlLN!\.TA IZVlJANJA ZA DRVO ]edn0,t(uki presjeci

KOEFICIJENT (tl

), O! J I 2 ~--~--. ·1 j 5 r 6---7'-]--8-'--9--

o 100 i 1,00 1,00; 1,00 1 I ,Oil ! 1,00 11,0{) 1,0{) 1,0{) I' 1,00 1 0 10 1,01 1,01 1,01 II,OJ I IJ11 I ]'02, 1,02 1,02 1,02 1,02 'I !O 20 I m 1,03 1,04 I ,O~ I : /)5 I 1.0511,06 1,06 1,07 1 1,07, 2; JO I.Og 1,08 1,09 I :,09 1.10 1,10 1,11 I,ll I !'!2, l,lJ i Ji)

40 1,14 LIS 1,16 I' I 11 I I i;\ j 1,19 1,20 1.21 j !'::211'~., ·;u 50 I 1,24 r 1,25 1,26 1"21',, 1 __ i",(J I 1,32 I I,J4 I Iii \ I,JX 1,40 I 50

-(,Q-~:42 ~~;r--;~,~-: ;" ~~)"II~~;~II·~-;-~~~~~-~~).- (,() 70 IJ>4 1,(,7: 1,70: 1,7-1 I.:\! I .• ': 1.:';7 1:)2 1,971 ::,02, I(l '<:0 ! 2,07 ~,12 i 2.17' 2,22 ~.::>:' I ::>,3_) ,,2,39 2A5 2,50 2,5(,) ,,0 90 2,r.::: 2.M~' 2.74 ::>,S() :::.c-,(, I ::>,')2 I 2,n .1,0,1 ],10 ~.H;! ')1)

_~~~_.L_~.22 ~~,,~ __ L-\,J('~_.:~2 '',-;S i _1.55 I .1,('2 -,,('<) I ],;6 ) .1,;'13 ! IOU

]10 J,\)O J,97 1 4,04 I "l,J]"'f ;,'~~"'r-:~'Z-'li~~I' 4,41-1 4,~T~~~'I!~~;-t.,:O -1,C,4 4,72 ":,XO I' 4':-:-7 i ;,<) ,; ~,()3 5,11 5,20 5,28' 5,37 120

+3-0 5,45 5,53 5 (,') ~"in I 5,79 _~,S7' 5,96 [ 6,05\6>[3 6,22 I JU 140 6,31 6,40 6:50 I (,',59 I ~,69 .. I ~'.7K l 6,88 6,97 7,06. 7,151170

11150 7,25 7,35 7,45 7,55 j :,(151 1,75 i 7,85 7,1J5 8,05 S,15 150

160 8,25 I 8,35 II 8,47 I ~~;J-:'~:J-II~-,:;S-1s-;-19-:;~19"':-I'--;'" 1-;-("; 170 9,32 j 9,43 9,55 I 9,66 1 9,73 9,&3) - - - _ 170

J. ,;;;:;: 75 : {,' = ~-.. -, ----

1-0,8 (-,~r ,.'

J. < 75 : 0) = 3JOOi

J

VINKLEROVE TABLlCE Z!. RAVNOMJERNO OPTERECENE KONTINUALNE

NOSA(;E SA jEDNAKIM POLIIMA

TABLICA 1.

'n Momenti savijanja M Tran~\'~n:aitl.e sik Q x

Utkaj od cl Utica; ad cl ~ - Uticaj od p Uticaj ad p

~ I I I I I Q P -ft

" +b -,

NOSA(;1 SA 2 POLIA (NA 3 OSLONCA) .

~ 0,0 0,0 0,0 0,0 +0,375 I o.,~::n: O,OE:~ 0,1 +0,0325 0,03875 0,00625 +0,215 0,3437 0,062' 0,2 +0,0550 0,06750 0,01250 +0,175 0,2624 0,0874 0,3 +0,0675 0,08625 0,01875 +0,075 0,1932 (,,1182 0,375 +0,0103 0,09375 0,02344 0,0 0,1491 0,1491 0,4 +0,0700 0,09500 0,02500 -O,Q25 0,1)59 0,1609

.2- 0,5 +O,O~2S 0,09375 0,03125 -0,125 0,0898 0,2148 '0

I 0,6 +0,0450 ' 0,08250 0,03750 -{),225 0,0544 0,2794 "-

~ 0,7 +0,0175 ; 0,06125 0,04375 -0,325 0,0287 0,3537 0,75 ° 0,04688 0,04688 .-0,375 0,019) 0,3943 "- 0,8 -0,0200 0,03000 0,05000 -0,425 0,0119 0,4369 0,85 -0,0425 0,01523 0,05773 -0,475 0,0064 0,4814 0,9 -{),0675 0,006Jl 0,0736 ' ---0,525 0,0027 0,5277 0,91 -0,0950 0.00138 0,09638 -0,575 0,0007 0,5757

-.1-,- 1,0 -0,1250 0,0 0,12500 -0,625 0,0 0,6250 . glt • pIt . pl: . gl . pI _ . pi

Pritisak na oslonac AI = + 1,250 I 1,2500 0

, NOSACI SA 3 POLIA (NA 40SLONCA) ;

A. 0,0 0,0 0,0 .0,0 +0,4 0,4500 0,0500 0,1 +0,035 0.040 0,005 +0,3 . 0,3560 0,0563 0,2 +0,060 0,070 0,010 +0,2 0,2752 0,0752 0,3 +0,075 0,090 0,015 +0,1 0,2065 0,1065 0,' +0,080 0,100 0,020 0.0 0,1496 0,1496

.~ 0,5 +0,075 0,100 0,025 -0,1 0,1024 0,2042 8. 0,6 -+0,060 0,090 0,030 -0,2 0,0694 0,2694 0 0,7 +0,035 0,070 0,035 -{),3 0,0443 0,3443 > 0,7895 +0,0041 0 .. 04362 0,039-1-3 - - -!l. 0,8 0,0 0,04022 0,04022 I -0,4 0,0280 0,4280

0,85 -0,02125 0,02773 0,04898 - - -0,9 -0,04500 O~O2042 0,06542 -0.5 0,0193 0,5191 0,95 -...0,07111 0.01706 0,03831 - - -A;-

I 1,0 -0,10000 0·,01667 0,11(.37 -0,6 0,0167 0,6167

Pritiaak na oslonac A I = +1,1 i 1,200 I 0,1000

~ 1,0 -1,0000 0,01661 0,11667 +0,5 i u~C33 O,[~;;'J1 1,OS -0,7625 0,01408 0,09033 - - -1,10 ...:.0,5500 0,00748 0,06248 +0,4 0,4870 0,0870

0 l,lS -<J,3625 0,02053 0,05678 - - -g: .),20 -0',020' 0,030 0,050 +0,3 0,3991 0,0991 1,2764 0,0 0,050 0,050 - - -II 1,3 +0,005 0,055 •.... 0,050 +0,2 0,3210 0,1210 e

~ 1,4 +0,020 0,070 0,050 +0,1 0,2537 0,1537 1,5 +0,025 0,075 0,050 0,0 0,1979 0,1979

·gl ·pll . pi' • gl . pI . pi

50

1:1 -, f

48

TABLICE ZA KONTINUIRANE NOSACE. .TROMOMENTNA, KLAPEJfZONOVA JEPNA(:INA.,

Vrijednosti apso!utnog Clana KlapejronfJve jednacine.

Opierecenje £

'- ,

'GiRo);r6/i>t:/J) + (4/i)./ 'bSl

n ... / -I 4

I

.1 I

I

'i I

TAHLICA: OTrORl OSLO>-:ACA I MOMENTl SAVIJANJA KONTINUALNIH NOSACA. DBRAse!.

Vrsta optcrecenja I ,\iorne,uti savi,anja

I • Me = -- '8. pl·.

3 ;\-Is = - 16 Pl.

p(l~+tn

8(11+1:)

I Orpori oslonaca

5 22 A = C = i6 P; B = i6 P.

------1-,-,---,---1------, A D = ~ pI

5

" B '=> C '" I()P(,

---------'---------1-----,---

1~(4pl - Pi) + 3p~!~ 60 {I

Mt

= '-(4Pt-PI) + 3Ptl; 601,

Afo=MD=O~

---------11---------1,-----------

/' M, = - - (2pt + 1',);

60

M. = M,';;';' a' M, / +

M1-Mt ; D ... Pal + MI. I I I

49

I