1

701 Matematik som konst eller konst som matematik

Javisst, säger en del människor och andra - vadå? Hur många människor har upplevt behov av matematik eller kan se matematik som konst eller konst som matematik? Finns det matematik i musik, är det som låter matematik eller kan matematik låta? I föreläsningen vill Anita Sandahl belysa matematikens och konstarternas beröringsområden och diskutera hur dessa områden kan berika varandra i strävan att utveckla lärandet. Anita Sandahl är lektor i pedagogik med inriktning mot matematik vid Högskolan för lärande och kommunikation i Jönköping. Hon har lång erfarenhet av grundskolans skolmatematik som lärare, lärarutbildare och forskare. Anita har skrivit böcker för lärare. Föreläsning Alla

Dokumentation Kan matematik vara konst? Kan konst vara matematik? ”Javisst”, säger en del människor, medan andra säger ”vadå?”. Finns det matematik i musik? Eller uttryckt på ett annat sätt - kan matematik låta? Att matematiken kan finnas i bildkonsten är nog möjligt för många människor att både se och förstå. Att ”matematiken finns omkring oss” är ett vanligt uttalande som ofta följs av exempel på vad som är synligt för ögat och som syftar på form och föremål, det vill säga antal. Exempel är när pythagoréerna i Kroton betraktade matematiken som tal eller uppfattningar av form, men även som att musikaliska harmonier kan beskrivas som matematiska proportioner. Att matematiken alltid finns i vår närhet, synlig och osynlig, är naturligtvis sant. Den är då oftast hanterad och uttryckt på något sätt. Konstarterna har till sin form möjlighet att göra våra liv i vardagen mer begripliga för oss och kan öppna våra sinnen för känsla och förståelse, vilket leder till nya erfarenheter av kunskaper. Både matematiken och konstarterna har sitt ursprung i ett mänskligt behov och i nyfikenhet. Att försöka beskriva matematikens och konstarternas beröringsområden och hur de kan berika varandra är ett sätt att försöka förstå deras användningsområden för att utveckla lärandet i matematik. Att lära sig se för att kunna tillämpa Matematik och olika konstarter är att tänka om något – innan man tänker händer inget. Konstarterna och matematiken har mycket gemensamt då de båda uttrycker något specifikt, söker samband och relationer, symmetri och mönster, strukturer och rörelser, är problemlösande samt kräver tolkningar och reflektioner. Allt detta kan förmedlas i en interaktion mellan människor där kommunikation ofta leder till en handling.

Hur människor tolkar och uttrycker uppfattningar och föreställningar är en del av människors sätt att kommunicera i en handling. För att handlingen skall bli begriplig måste den ske i ett meningsfullt sammanhang för de människor som är involverade. Både då människor använder sig av matematik och konst upptäcker, utvecklar och använder individen sig av olika sinnen för att uttrycka något. För ett matematiskt kunnande är nog synen det viktigaste sinnet. Seende som observation eller träning av ”det tredje ögat” är en färdighet som medborgaren idag måste behärska. Men beroende på de erfarenheter vi har är vår uppmärksamhet olika. Strindberg (1900) skrev att vi borde lägga märke till att den ena människan kan se det, som andra inte ser och att vi därför inte ska vara så säkra på våra ögon.

2

Undervisning i matematik har varit precis som en gång i tiden då den blivande konstnären tränades i att avbilda mästarens verk. Eleverna tränades i hantverket för att senare kunna tillämpa det. Det fanns bara ett rätt sätt. Detta har i olika utbildningssammanhang levt kvar och metoden var mycket stringent, först kommer detta sedan detta etc. Oftast fick eleven inte gå vidare i sina studier utan att behärska kunskaperna i en särskild ordning. På ett likartat sätt fanns detta uttryckt i Läroplan för grundskolan 1980. Referens Strindberg, A. (1900). Påsk. I: Samlade skrifter. Stockholm: Bonniers förlag, 1916.

3

702 Undervisning av elever med matematikkvansker (dyskalkuli) Problemstilling: Hvordan kan vi gi elever med matematikkvansker en tilpasset opplæring innen klassens rammer?

”Vi har i dag en undervisning som bare treffer 80% av elevene!” Denne påstanden vil bli drøftet for å se om den samsvarer med nyere forskning. En vil se på 4 forhold som kan bidra til å utvikle ”En matematikk for alle i en skole for alle.” Dette vil bli illustrert ved bruk av ”Möbius-båndet” og en vil også beskrive den kompensatoriske spesialpedagogikken (som ikke synes å gi hjelp til elever med matematikkvansker). Til slutt vil en skissere alternative måter som lærerne kan bruke til å gi elever med matematikkvansker en tilpasset undervisning. Olav Lunde, seniorrådgiver (magister i pedagogikk) ved Forum for matematikkvansker, Sørlandet kompetansesenter, Kristiansand. Forumet er del av det statlige spesialpedagogiske støttesystemet i Norge. Har utgitt artikler og bøker om matematikkvansker og andre pedagogiske emner. Se www.statped.no/sorlandet/matematikk Föreläsning Alla Dokumentation Skolematematikken

Selv om vi er opptatt av ”matematikk i dagliglivet”, synes jeg mye av innholdet er rettet mot videre bruk innen skolen, i stedet for å være fokusert på den ”den matematikken vi alle trenger” for å mestre vår egen situasjon i fritid og jobb og kunne forstå informasjonen i aviser, radio og TV. (Bradal, 1999)

En ny undersøkelse fra Sverige (Engström & Magne, 2003) viser at 15% av avgangselevene i grunnskolen har en matematisk ferdighet som tilsvarer gjennomsnittet for 4. klasse. Ut fra forskning i Norge, er det rimelig å anta at situasjonen er slik her også (Ostad, 1999; Knudsen, 1999).

Det er disse eleven som begynner på grunnkurs i videregående skole. Om lag 20 % stryker i matematikkfaget. På enkelte yrkesfaglige linjer stryker 40-50 % av elevene.

Det er de enkle, dagligdagse ferdighetene som beherskes best i den svenske undersøkelsen. Samtidig er dette stoffet lite profilert i den tradisjonelle ”skole-matematikken”.

Matematikkvansker Det er uklart hva som menes med matematikkvansker, men følgende definisjon setter

søkelyset på et vesentlig kjennetegn: ”En elev har matematikkvansker når han/hun har stagnert eller gått tilbake i relasjon til

en normal faglig utvikling i matematikk, og slik at vanskene representerer et brudd på

den jevne og kontinuerlige utviklingen som de fleste elevene følger.” (Ostad, 1999)

4

Noe av det vi ser som typiske kjennetegn, er følgende: (Se også Geary, 1993) • Vansker med tall og operasjoner. - Spesielt telling! • Usikker bruk av penger, ”veksling” • Uklare abstrakte begreper som tid og avstand • Usikker retningsoppfatning (høyre/venstre), orientere seg i ”rom” • Svake til å ”se”, oppfatte og huske mønstre • Vansker med å følge regler og sekvenser i f. eks. sport, leker, spill (”Rekkefølge”…) • Svak sekvensiering, problem med å organisere detaljert informasjon, huske og bruke ”tallfakta”

”En matematikk for alle i en skole for alle” Slike festtaleord trenger ofte litt refleksjon. Mener vi en matematikk som har blitt lært av

alle? Eller mener vi kan bli lært av alle? Eller tenker vi at den bør bli lært av alle? - Eller menes det at den skal bli lært av alle?

Og hva betyr ”alle”? Kan vi angi det i prosent av den totale elevmengden? Og ikke minst: Skal matematikken være den samme for alle? Mener vi ”en matematikk”

eller mener vi ”èn matematikk”? Har alle bruk for den samme mate-matikken? Jeg tror det har noe med sosial kompetanse å gjøre: mestre sin egen hverdag. (Se Dalvang & Rohde, 1998) I gamle dager hadde vi praktisk regning. Jeg tror mange elever i dag opplever matematikken som upraktisk regning – noe de ikke har bruk for.

Dagens skolematematikk: Den segregerende matematikken Slik beskriver Peder Haug dagens situasjon i norsk skole: (Haug, 1999)

• Enten får eleven en individrettet hjelp (enkeltelever, små grupper) med samme innhold som i spesialskolen, eller eleven er i klassen med kollektiv undervisning, utformet slik det var før det ble lovpålagt å gi hjelpeopplæring i norsk skole (- preget av oppbevaring og ”tidtrøyte”). • Fremdeles dominerer undervisnings-mønstrene som ble etablert ved de store spesialskolene og i den gamle folkeskolen.

Den segregerende tenkingen innen matematikken, kan vi illustrere slik:

Fra potensiale til forståelse og ferdighet

Jeg oppfatter det slik at spesialpedagogikken skal hjelpe elever med spesielle behov til å kunne utnytte sitt læringspotensiale. Målet er en matematisk forståelse og ferdighet som kan brukes i daglige situasjoner både i yrke og fritid.

Umiddelbart synes problemstillingen ”En matematikk for alle i en skole for alle” å være umulig å løse. La oss la det ligge litt.

• Matematikk er noe ferdig som reproduseres • Det finns alltid bare ett rett svar • Alt er fast og bestemt • Vanskelig – kan ikke… • Ser ikke sammenhengen mellom de fire regningsartene

OOOOO OOO 5 + 3 6 + 2 = 10 – 2 =

5

Jeg vil utfordre dere på et annet problem: Klipp en papirremse, 30-40 cm lang og 2-3 cm bred. Øverst på stripen skriver du en A. Og nederts, men på andre siden, skriver du en B. Utfordringen er å trekke en linje (ikke nødvendigvis rett) fra A til B uten å gå over kanten, uten å brette papiret og uten å løfte blyanten fra papiret.

Det er umiddelbart ikke enkelt! Men hvis vi ”gjør en vri” – tenker litt annerledes, går det meget lett: Du vrir bare den ene

enden av papirremsen rundt (1800) og hefter dem sammen med en stiftemaskin. Nå er A og B på samme siden!1

Problemet med at A og B er på hver sin side (elev A og elev B?), er nå opphevet ved at vi har gjort en ”vri” som omdefinerer hele problemstillingen. Nå kan vi trekke en slik linje fra

A til B. – Men linjen blir lang – bare prøv! - Dette er ingen ”snarvei” til målet….

En annen erfaring med Möbius-båndet er at hvis jeg klipper langs linjen jeg laget, har jeg fortsatt bare ett bånd. Men det er blitt mye videre! Det omfatter,

inkluderer mer. I Danmark bruker de betegnelsen ”en rummelig skole” i stedet for inkluderende skole.2

Den spesialpedagogiske vrien i matematikkdidaktikken Jeg festet vrien med en stiftemaskin. Jeg ser i dag for meg at denne vrien holdes fast av

fire slike stifter. Det er: 1. Lærevanskebegrepet må skiftes ut med mestrings-begrepet. En defektologisk tenking

må erstattes av en konstruktiv tenking. 2. Vi må ha multifunksjonelle læremidler som kan tilpasses og brukes av ulike elever alt

etter det læringspotensialet de har. 3. Vi må ha en differentiell didaktikk, dvs. en didaktikk som utformes for elever med

spesielle behov i matematikk, f. eks. ADHD, Downs syndrome, døve, blinde, lese- og skrivevansker, CP, språkvansker, to-språklighet osv. Kanskje vi også må vurdere ”de begavede” og gutt/jente her.

4. Vi må ha en mulighetsplan, ikke en læreplan. I Forum for matematikkvansker ser vi for oss ”Kunnskapens tre.3 Dette er en mulighetenes plan for matematikkmestring! Den enkelte eleven har sin egen klatrerute i treet, sin egen plan for hvordan han vil klatre – eller lære. Hver elev får sin egen, individuelle plan innen den felles mulighetsplanen – med en felles arena og en felles stamme! Dette er kanskje noen av kjennetegnene på den romslige, inkluderende skolen. (Lunde, 2004)

Om fremtidens spesialpedagogikk: Den inkluderende matematikken Tenkingen bak den inkluderende matematikken, kan vi illustrere slik:

1 Dette kalles et ”Möbius-bånd” etter den tyske matematikeren August Ferdinand Möbius (1790-1886). 2 Se Lunde, O.: ”Rummelighed i matematik.” Bok A, B og C. Forlag Malling Beck, København 1997. 3 Basert på en ide av Tone Dalvang, Forum for matematikkvansker.

6

Et mulig startsted for en inkluderende matematik…

En annerledes didaktisk tenking!

Før var problemstillingen: - Hva skal vi gjøre med Per for at han skal få til matematikken?

Nå blir problemstillingen: - Hva skal vi gjøre med matematikken for at Per skal få den til?

Referanser: Bradal, R. (1999): ”Synspunkter på matematikk i utdanningen sett i lys av matematikkens rolle på to utvalgte

arbeidsplasser.” Nordic Studies in Mathematics Education, vol. 7, no. 2 Dalvang, T. & Rohde, (red.) (1998): ”Matematikk for alle.” - Rapport etter LAMIS’s 1. sommerkurs.

Caspar Forlag, Bergen, Engström, A. & Magne, O. (2003): ”Medelstad-matematik. Hur väl behärskar grundskolans elever lärostoffet

enligt Lgr 69, Lgr 80 och Lpo 94?” Rapporter från Pedagogiska Institutionen, Ôrebro Universitet, No. 4 Geary, D.C. (1993): “Mathematical Disabilities: Cognitive, Neuropsychological, and Genetic Components.”

Psychological Bulletin, 1993, vol 114, no. 2, p. 345ff Haug, P. (1999): ”Spesialundervisning i grunnskulen. Grunnlag, utvikling og innhald.” abstract forlag as,

Oslo, 1999 Knudsen, G. (1999): ”Kartlegging av grunnkurselevers manglende matematikkferdighet og holdninger til

matematikk.” Hovedfagsoppgave i spesialpedagogikk, Inst. for spesialpedagpgikk, Universitetet i Oslo, Lunde, O.(2004): ”Spesialpedagogisk kompetanse i det fagdidaktiske området.”

Spesialpedagogikk, nr. 5/2004 (Temanummer om den inkluderende skolen.) Ostad, S. (1999): ”Elever med matematikkvansker. Studier av kunnskapsutviklingen i strategisk perspektiv.”

UNIPUB Forlag, Oslo

O O O O O O O O

- Hva kan du gjøre?

- Lag tallet 8 på ulike åt !

• Matematikk er en spennende verden å utforske • Det kan finnes mange rette svar • Man kan leke med tall! • Alle kan gjøre noe! • Oppdager selv matematiske sammenhenger

Matematisk forståelse og ferdighet =

Lærings-situasjonen(spesielt hvordan læreren spør)

Elevens språk-ferdighet(”matte-ord”)

Elevens tanke-strategier(generelle strategier)

++

Elevaktivt multifunksjonelt materiell

Samtale –oppdage sammen!

Bruke i nye situasjoner

Målet for alle,

--- men i varierende grad

7

703 Nasjonale pröver i matematikk i Norge. Fra skriftlige til nettbaserete pröver

I Norge ble skriftlige nasjonale prøver i matematikk gjennomført for første gang i 2004, og nettbaserte for første gang på et trinn i 2005. Forelesningen omhandler bakgrunn for prøvene, kompetanser vektlagt ved utforming av oppgavene, erfaringer ved praktisk gjennomføring, og resultater av analyser gjort internt og eksternt. Et viktig område er hvordan læreren kan bruke resultatene i egen undervisning. Det vil bli vist eksempler på oppgaver fra den nettbaserte prøven. Grethe Ravlo og Guri A. Nortvedt arbeider begge ved Nasjonalt senter for matematikk i opplæringen (NSMO) ved Norges teknisk - naturvitenskapelige universitet i Trondheim (NTNU). Grethe Ravlo er prosjektleder for nasjonale prøver i matematikk, og Guri A. Nortvedt er prosjektmedarbeider og analyseansvarlig. Föreläsning Gr

Dokumentation Om nasjonale prøver i matematikk i Norge: Fra skriftlige til nettbaserte prøver, og hva vi har lært av gjennomføringene i 2004 og 2005.

Historikk 16.12.02 fikk Nasjonalt senter for matematikk i opplæringen (NSMO), Telemarksforskning på Notodden (TFN), og Institutt for lærerutdanning - og skoleutvikling (ILS) ved Universitetet i Oslo, i oppdrag fra Utdannings- og forskningsdepartementet (UDF) å starte utviklingen av nasjonale prøver i matematikk. Koordineringsansvaret ligger hos NSMO i Trondheim.

Prøvene har mange formål. De skal si noe om tilstanden i utdanningssektoren og slik være grunnlag for iverksetting av nødvendige tiltak. De skal si noe om kvaliteten i opplæringa på det enkelte lærested som grunnlag for å få til forbedringer ved å sette i gang utviklingsarbeid, og de skal kunne brukes til å tilrettelegge undervisninga for den enkelte elev. I formålet ligger også at prøvene skal kunne registrere utvikling over tid. Å utvikle prøver som har tidsramme på to timer og tilfredsstiller alle disse kravene, er et mangesidig oppdrag som har vist seg vanskelig å oppfylle.

Oppdraget til faggruppen var å lage etappemål for 4., 7., 10. og 11.trinn, - basert på læreplanens kompetansekrav. Det skulle lages prøver for de samme trinnene med rette- og vurderingsveiledning, og det skulle utarbeides rutiner for tilbakemelding og rapportering. De første prøvene skulle avholdes våren – 2004. På sikt er kravet at materiellet skal være elektronisk basert.

I oppdraget ligger kursing av eksterne vurderere og i ettertid er bestillingen utvidet til også å omfatte veiledning i pedagogisk etterbruk av prøvene. Prosjektet skal på sikt resultere i et kompetanseløft for matematikklærere i Norge.

8

Status Våren – 2004 ble det gjennomført obligatorisk skriftlig prøve på 4. og 10.trinn for første gang. I konseptet ligger at læreren selv retter prøvene til egne elever. Derfor ble alle lærere som gjennomførte prøven i egne grupper, kurset i vurdering av prøvene. I 2005 var omfanget av de skriftlige prøvene utvidet til også å omfatte 7. og 11. trinn, dvs gjennomføring for fire trinn totalt, og det ble i tillegg tilbudt en frivillig elektronisk prøve på 7. trinn. 9365 elever gjennomførte den elektroniske prøven som var beregnet å ta 45 minutter. For de skriftlige prøvene har prøvetiden vært 90 minutter på 4. og 7., og 120 minutter på 10. og 11. trinn. 10. og 11. trinn har hatt lommeregner som mulig hjelpemiddel på deler av prøvene.

Prøvene trykkes på bokmål og nynorsk, nordsamisk (4. og 7. trinn), tegnspråk og døveskrift. I 2005 som i 2004, ble alle lærere som skulle vurdere besvarelsene, kurset i vurdering. I 2005 var det i tillegg kursing i pedagogisk etterbruk.

Både i 2004 og i 2005 har prøvene vært evaluert av ulike eksterne grupper. Disse evalueringene konkluderer med at man tilrår å gjøre endringer på prøvegjennomføring og videre utvikling av prøveformatene. 2006 ser derfor ut til å bli et ”pauseår” uten obligatorisk gjennomføring, men med høy intensitet på videreutvikling av prøvene. Vi avventer beslutning som skal tas på politisk nivå. Faggruppas fokus Vi har lagt vekt på å utvikle reliable og valide prøver som måler elevenes helhetlige matematiske kompetanse på en god måte, og som er basert på gjeldende læreplans kompetansekrav. Som definisjon på helhetlig matematiske kompetanse har vi brukt Mogens Niss` (2002) definisjon. ( http://pub.uvm.dk/2002/kom/ ). Denne måten å dele opp matematisk kompetanse på, ligger også til grunn for PISA – prosjektet. Prøvene består av et bredt spekter av oppgaver. Her er flervalgsoppgaver, oppgaver der elevene skal skrive et kort svar, og åpne oppgaver der det kan være flere korrekte svar eller løsningsmetoder. Det er viktig at elevene får vist ikke bare kunnskaper og ferdigheter, men også forståelse og evne til å utføre.

Ved utvikling av oppgavene har vi fokusert på elevens rett, uansett funksjonsnivå til å delta på de nasjonale prøvene. Skolene skal tilrettelegge for gjennomføring for elever med spesielle behov, men enkelte elever kan etter gitte retningslinjer, fritas fra prøvene. Kompetanseområder Matematisk kompetanse kan deles inn i to hovedgrupper som igjen kan deles inn i flere komponenter. De to hovedgruppene er ”å spørre og svare i, med og om matematikk” og ”å omgås språk og redskaper i matematikk ”.

Elever som tar en nasjonal prøve, skal få en kompetanseprofil. Denne profilen består av tre kompetanseområder, som er konstruert på bakgrunn av innholdet i de to hovedgruppene over. Innenfor det ene området måles kompetanse i representasjoner, symbolbruk og formalisme. Det andre måler resonnement, tankegang- og kommunikasjonskompetanse, og det tredje måler evne til anvendelse, problembehandling og modellering. Hjelpemateriell og vurdering Til vurderingen har vi utviklet en ”kodebok” med elevsvar fra pilotering. Her listes de vanligste elevsvarene opp, både korrekte og gale svar. Hvert svar vurderes med kode og poeng. Poengene relateres til et tall på en femdelt skala, og slik fremkommer en elevs kompetanseprofil.

9

I et regneark er det lagt inn analyse på en del av oppgavene slik at læreren kan få oversikt over hvilke feilsvar som er mest vanlig. Kodene gir læreren opplysning om slike feilsvar. Da kan læreren lettere gå inn og ved undervisning korrigere misoppfatninger.

Nettbasert prøve Den nettbaserte prøven inneholder en blanding av flervalgsoppgaver, tall som skal dras til riktige posisjoner, pusleoppgaver og opplysninger som skal rangeres. Vi har fått tilbakemeldinger om at dette er en form som både elever og lærere ser positivt på, og de ser fram til videreutvikling av konseptet.

Hva forteller interne og eksterne analyser av prøvenes kvalitet? Prøvene skal verken ha bunn- eller takeffekt. Det betyr at alle elever skal oppleve mestring samtidig som de skal møte utfordringer. Prøvene for 4. trinn har lavere vanskegrad enn prøvene på de øvrige trinnene. På 10. og 11. trinn har det til dels vært boikott av prøvene både i 2004 og 2005, så for disse trinnene må man være varsom med tolkning av prøveresultatene. De eksterne evalueringene anbefaler at det ikke publiseres resultater for 11. trinn. De nettbaserte prøvene er kun evaluert internt. Både i 2004 og i 2005 ble det trukket ut et utvalg elevbesvarelser på alle trinn for ekstern evaluering. I 2005 ble utvalget også tillatt brukt til utvalgsundersøkelse for faggruppene som konstruerer prøvene. Disse elevbesvarelsene er vurdert både av elevenes lærer og av ekstern vurderer.

De ulike eksterne og interne evalueringene viser at prøvene har høy validitet i forhold til læreplanverket for grunnskole og videregående skole. Analysene av prøvene viser at prøvene har høy reliabilitet, både når det gjelder at prøvene måler det de er ment å måle4 og når det gjelder samsvar mellom sensorer5 (Lie et all, 2005). I utgangspunktet ønsket myndighetene publisering av skoleprofil for hver skole. Det har ikke vært mulig verken for 2004 eller for 2005. Dels skyldes dette at enkelte kompetanseområder samvarierer for mye, dels at det er for få oppgaver innenfor det enkelte området til at man kan måle det bredt nok. Her drøfter faggruppen for tiden ulike tiltak som kan hjelpe oss i arbeidet med å konstruere prøver som kan gi reliable elevprofiler. Nettbaserte prøver Problemene vi har støtt på når det gjelder de skriftlige prøvene, ser også ut til å gjelde for de nettbaserte. Fordelen med nettbasert prøve er at man enkelt kan prøve ut enkeltoppgaver, deler av prøvesett og hele prøver. Våren 2005 ble flere slike utprøvinger gjennomført i tillegg til en lukket pilotprøve med utvalg i overkant av 600 elever og en åpen pilotering. Den åpne piloteringen ble gjennomført som en frivillig prøve der skoler som ønsket å delta, meldte seg. 9365 elever fordelt på 491 skoler deltok. Dette er i underkant av 10 % av elevkullet.

Den frivillige prøven var ikke en fullskala pilot i den forståelse at den var en hel prøve. Prøven bestod av 23 oppgaver fordelt på de tre kompetanseområdene. Elevene kunne selv velge i hvilken rekkefølge de ville besvare oppgavene, og de kunne gå tilbake til en oppgave og løse den på nytt. I snitt brukte elevene omtrent 35 minutter, og de fikk 19,5 poeng

4 Chronbachs alpha for hel prøve varierer mellom 0,89 og 0,9. 5 Samsvar mellom vurderere ligger for de fleste oppgavene opp mot 100 %. Der det er forskjell har lærer en tendens til å vurdere besvarelsen som litt bedre enn hva ekstern vurderer gjør.

10

av 36 mulige. Verken på skriftlige eller nettbaserte prøver viser prøveresultatet signifikante forskjeller mellom hva jenter og gutter presterer. Elevenes holdninger til nettbaserte prøver Vi har intervjuet et utvalg av elevene som har deltatt i utprøvinger og pilotering av de nettbaserte prøvene. Elevene er godt motiverte for nettbaserte prøver og sier gjennomgående at de synes det er spennende med disse oppgaveformatene. Verken prøvene eller det rent tekniske med å besvare oppgavene, oppleves som vanskelig av elevene. Observasjon av elever i arbeid bekrefter at de ikke har tekniske vansker. Imidlertid begynner elevene ofte å manipulere flyttbare objekter før de leser oppgaveinstruksjoner og tekst. Dette er en utfordring for faggruppen.

Lærernes holdninger til nettbaserte prøver Også et utvalg lærere er intervjuet. Som elevene er lærerne positive til nettbaserte prøver. Lærerne ser fordeler som at prøvene oppleves motiverende for elevene, og at prøvene rettes automatisk. Det dynamiske i matematikken kommer frem ved at elevene kan manipulere objekter på skjermen, noe som er svært positivt i følge lærerne.

I 2004 fikk lærerne kun ut profilen til hver enkelt elev. Dette oppleves som frustrerende. Lærerne ønsker å ha tilgang til den enkelte elevens besvarelse også etter at prøven er avsluttet, for å kunne bruke den i etterarbeid med eleven. Faggruppen arbeider derfor nå med ulike modeller for hvordan dette kan løses, og ønsker å få til en modell der læreren kan hente ut opplysninger om enkeltelever på tilsvarende måte som på de skriftlige prøvene.

Avslutning I Norge er vi fortsatt på begynnerstadiet når det gjelder utvikling av nasjonale prøver i matematikk. To gjennomføringer med etterfølgende evalueringer har resultert i mye informasjon som vi trenger tid til å analysere grundig. Rådgivere for politisk nivå er i ferd med å utarbeide et nytt rammeverk for nasjonale prøver. Faggruppene med ansvar for prøvene må vurdere egen prøveutvikling. 2006 blir derfor et pauseår for gjennomføring av prøver. Det er et mål både for faggruppen og for myndighetene å videreutvikle de nasjonale prøvene i matematikk slik at de tilfredsstiller høye faglige krav. Det er også et mål å gå fra skriftlige til nettbaserte prøver i løpet av den neste utviklingsperioden. Årsaken til dette er at nettbaserte prøver kanskje gir elevene noen muligheter som skriftlige prøver ikke kan oppfylle. Samtidig vil innføring av nettbaserte prøver flytte lærerens tidsbruk fra retting til vurdering. Læreren vil i fremtiden måtte bruke sin tid på å tolke elevenes resultater og til å vurdere hva disse forteller om elevenes kompetanse. Innføring av nettbaserte prøver vil gå raskest for de eldste elevene. For de yngste elevene vil vi arbeide parallelt med skriftlige prøver og frivillige nettbaserte prøver. Referanser:

Morgens Niss og Thomas Højgaard Jensen, 2002:

Kompetencer og matematiklæring – ideer og inspirasjon til udvikling af matematikundervisning i Danmark Svein Lie, Therese N. Hopfenbeck, Elisabeth Ibsen og Are Turmo, ILS, UIO, 2005: Nasjonale prøver på ny prøve

11

704 Små barn skapar rum, former och mönster

Det beskrivs hur förståelse för rum, form och mönster kan utvecklas genom bygg- och konstruktionslek ute och inne och med olika material. Hur lärare kan skapa förutsättningar som lockar och utmanar flickors och pojkars deltagande i bygglek exemplifieras: - Lek, sand och vatten - Bygglek och genusperspektiv - Muminhuset - Olika material - olika möjligheter Föreläsningen ingår i serien om SMÅ BARNS MATEMATIK, NCM:s redovisning av Pilotprojektet för förskolan. Annika Persson, förskollärare i Brunnsängsskolan i Södertälje och handledare i Pilotprojektet i matematik vid Nationellt Centrum för Matematikutbildning, NCM.

Föreläsning Fö

Dokumentation För att lärare ska kunna synliggöra ett matematiskt innehåll i barnens aktiviteter, lek och utforskande, behöver de ha egna matematiska upplevelser och erfarenheter. Ett av projektets syften var att lärarna skulle göra egna upptäckter och reflektera kring dessa. Vi får ta del av hur lärare utforskar rum, form och mönster i utemiljön, utmanas att se med nya ögon på fenomen i omvärlden. De kan direkt omsätta sina erfarenheter i arbetet med barnen. En grupp 2-3 åringar utforskar begreppet ”runt”, gör upptäckter inne och ute. Vad finns det som är runt inne? Och ute? De bearbetar på olika sätt, jämför former och sorterar, uppfattar likheter och skillnader. I rörelseleken ges upplevelser av innanför och utanför, stora och små cirklar, många barn och några barn. Byggleken är en omfattande del av vardagen där barn kan få grundläggande erfarenheter av form och geometri och problemlösning som hör konstruktionsarbetet till. Här utforskar barnen formers egenskaper, storleksförhållande, de mäter och gör jämförelser. Utifrån sin inre bild av det de vill bygga väljer de klossar som passar, kombinerar delar till en helhet. De skaffar sig erfarenheter och grundläggande kunskap om hur former kan delas och sättas ihop. De experimenterar kring jämvikt och tyngd, symmetrin spelar ofta en självklar och viktig roll. Allteftersom deras erfarenheter av omvärlden blir rikare, letar barnen förebilder till sina konstruktioner på olika håll, ute och inne, i verkligheten eller andra ställen. I två olika arbeten får vi ta del av hur barn bygger med olika material och efter olika förebilder. De har båda sitt ursprung i sagan, men det ena finns i verkligheten, det andra är ett samarbete utifrån två barns inre föreställningar av en sagomiljö. Kring byggleken uppstår många tillfällen att fundera på flickors och pojkars delaktighet. Dominerar pojkarna i byggrummet? Hur får vi flickorna att uppleva byggandet som en

12

meningsfull aktivitet, med tanke på de möjligheter till matematiskt tänkande som kan utvecklas där? Barn fascineras av och skapar gärna mönster. Det tycks finnas en intuitiv känsla för att skapa ordning och strukturer, både för funktionens och för skönhetens skull. I barns byggen, i teckningar och målningar finns ofta symmetriska mönster. På en syskonavdelning har man samlat mönster, på kläder, djur och från olika miljöer. För att utveckla förståelsen kring hur mönster kan var uppbyggda genom upprepningar och symmetrier, har barnen lagt egna mönster, fortsatt på varandras. De har beskrivit och skapat mönster med olika material. Att lägga pärlplattor är en ofta förbisedd möjlighet att utveckla känslan och för- ståelsen för form och mönster. Från de slumpmässigt utlagda pärlorna utan ordning uppstår en lust sortera utifrån färg. Sedan kan de ordnas så att former och relationer mellan former uppstår inom ramen för plattans form. Om vi är delaktiga i deras konstruerande, kan vi ge dem utmaningar, få dem att reflektera kring upptäckterna.

Referenser Doverborg, Elisabet & Emanuelsson, Göran (red.).(2006) Små barns matematik. Under tryckning. Göteborg: NCM Emanuelsson, Göran & Doverborg, Elisabet (red.). (2006) Matematik i förskolan (Nämnaren TEMA) Under tryckning. Göteborg: NCM

13

706 Hur får vi fler elever med god taluppfattning och goda räknefärdigheter?

Om arbetet med en ny Handbok för lärare med ansvar för elever i behov av särskilda undervisningsinsatser kring taluppfattning, räknesättens innebörd och räknefärdigheter. Om diagnostisering och uppföljning av styrka och svagheter i elevernas kunnande. Föreläsningen kommer delvis att hållas på engelska. Alistair McIntosh, NCM och Nasjonalt senter for matematikk i uppläringen Göran Emanuelsson, NCM, Bengt Johansson, NCM Ingvill Stedøy, Scientific Director of the Nasjonalt Senter for Matematikk i Opplæringen, NTNU. Workshop Fö Gr

14

707 Matematik på modersmål

I Stockholms stad pågår, i Kompetensfondens regi, ett utvecklingsprojekt med syfte att skolor ska finna former för att ge elever med annat modersmål än svenska, undervisning i matematik på både svenska och modersmålet för att utnyttja den potential som flerspråklighet innebär. Projektet bedrivs ht 05 på sex skolor och omfattar elever med arabiska, somaliska och turkiska som modersmål. Olika skolor prövar olika organisationsmodeller, vilket innebär att tvåspråkiga och svenskspråkiga matematiklärare involveras i undervisningen i olika omfattning. Irene Rönnberg och Lennart Rönnberg är projektledare i Stockholm stad och grundskollärare i Botkyrka kommun. De har skrivit skolverksrapporten ”Minoritetselever och matematikutbildning – en litteraturöversikt”. Föreläsning Alla

Dokumentation Språket har stor betydelse som verktyg för tänkandet i lärandeprocessen (Vygotsky,1986). För att elever ska utveckla begrepp är det nödvändigt att de får tillfälle att bearbeta dem språkligt, vilket sker genom reflektion och kommunikation (Barnes, 1978). Detta gäller även begreppsutveckling i matematik (Pimm, 1989; Ernest, 1994; Bratt & Wyndhamn, 1996; Hiebert m fl, 1997; Alrö & Skovsmose, 1999). Språket är inte bara nödvändigt för att utveckla och kommunicera kunskap. Det vi lär oss är dessutom nästan oupplösligt sammankopplat med vår förmåga att kommunicera motsvarande kunnande (Barnes, a.a.). Om undervisningen sker på ett annat språk än modersmålet, ett andraspråk som eleven inte helt behärskar, kommer detta att utgöra ett hinder för eleven, inte bara för att eleven har svårt att språkligt förstå undervisningens innehåll, utan också för att möjligheterna till kommunikation blir sämre. Enligt Thomas och Collier (1997) går såväl elevernas kognitiva utveckling, som utvecklingen i skolämnena, långsammare om de bara undervisas på ett andraspråk. Eleverna har mycket svårt att komma ikapp jämnåriga elever som har undervisningsspråket som förstaspråk. Om nya begrepp introduceras på ett språk eleven inte behärskar, måste eleven kämpa med två okända storheter samtidigt, både språket och begreppet. Denna dubbla uppgift gör lärandet mycket svårt (Kilborn, 1991; Garrison & Kerper Mora, 1999). Thomas & Collier har i sin undersökning konstaterat att elever som gått i tvåspråkiga program med ämnesundervisning på ålderadekvat nivå i båda språken däremot inte bara kommer ikapp enspråkiga engelsktalande kamrater i alla skolämnen utan också når ett genomsnittligt bättre resultat än dessa. Ramirez har genomfört en åttaårig longitudinell studie som jämför effektiviteten i tre olika sätt att organisera ämnesundervisningen för andraspråkselever. Studien refereras i en sydafrikansk forskningsöversikt (JET, 1997). Eleverna delades in i tre grupper. En grupp undervisades enbart på engelska redan från början. Den andra gruppen hade, förutom att undervisningen var organiserad som för den första gruppen, också 40 min undervisning per dag på sitt modersmål spanska under de första tre åren. Den tredje gruppen hade 40 procent av undervisningen på spanska och en gradvis introduktion till engelskspråkig undervisning fram till och med slutet av det sjätte skolåret. Resultaten av studien visar att de första två grupperna höll jämna steg med engelskspråkiga kamrater under de första tre åren men att de sedan mer och mer kom efter i kunskapsutvecklingen, särskilt i matematik. Vid studiens slut, hade den

15

tredje gruppen däremot passerat de båda andra i andraspråket engelska och deras färdigheter i engelska låg över genomsnittet för deras engelskspråkiga kamrater. Projektet Matematik på modersmål startade läsåret 04 -05. Tre olika organisationsmodeller prövas:

- all undervisning bedrivs av den tvåspråkige läraren (en av skolorna) - eleverna har hälften av lektionerna på svenska och hälften på sitt modersmål - undervisningen på modersmålet sker på tid utöver den ordinarie undervisningen som

enbart sker på svenska. Ett villkor för deltagande i projektet är att de lärare som undervisar i matematik på modersmålet, och de lärare som undervisar berörda elever i matematik på svenska, träffas regelbundet i nätverk för handledning och erfarenhetsutbyte.

Projektet matematik på modersmål – flexibelt lärande För att ge de elever som har modersmål som talas av enstaka elever på en skola möjlighet till undervisning på modersmålet, finansierar Kompetensfonden i Stockholms stad också ett projekt i syfte att utveckla material och metoder för tvåspråkig distansundervisning i matematik. De språk som berörs i första skedet är spanska, arabiska och persiska.

I föredraget presenteras några av erfarenheterna från projekten. Vi är intresserade av kontakter med skolor som prövar/bedriver undervisning i matematik på modersmålet

Referenser Alrø, H. & Skovsmose, O. (1999). Samtalen som et støttende stillads. Køpenhamn:

Danmarks Lærarhøjskole. Barnes, D. (1978). Kommunikation och inlärning. Stockholm: Wahlström & Widstrand. Bratt, B. & Wyndhamn, J. (1996). Språket – Vår mentala tumme Nämnaren 18(3/4), 78-82. Ernest, P. (1994). The Philosophy of Matehematics and the Didactics of Mathematics. In R.

Biehler, R, W. Scholz, R. Strässer & B. Winkelmann (Eds.), Didactics of Mathematics as a Scientific Discipline (pp. 335-349). Dordrecht: Kluwer Academic Publishers.

Garrison, L. & Kerper Mora, J. (1999). Adapting mathematics Instruction for English-Language Learners. The Language-Concept Connection. In L. Ortiz-Franco, N.G. Hernandez & Y. De La Cruz (Eds.), Changing the Faces of Mathematics:Perspectives on Latinos (pp. 35-47). Reston ,VA: NCTM

Hiebert, J., Carpenter, T., Fennema, E., Fuson, K., Wearne, D., Murray, H., Olivier, A. & Human, P. (1997). Making Sense, Teaching and Learning Mathematics with Understanding. Portsmouth, NH: Heinemann.

JET. (1997). Teaching in Multilingual Classes: A Report of a Literature Survey Commissioned by the Joint Education Trust. Johannesburg: JET/DANDA.

Kilborn, W. (1991). Matematikundervisning och hemspråk. Nämnaren 18(3/4), 54-62. Pimm, D. (1989). Speaking Mathematically Communications in Mathematics Classrooms.

London: Routledge. Rönnberg, I. & Rönnberg, L. (2001). Minoritetselever och matematikundervisning. En

litteraturöversikt. Stockholm: Skolverket.

16

Thomas, W. & Collier, E. (1997). School Effectiveness for Language Minority Students. NCBE Resource Collection Series, No. 9. George Washington University. Downloaded from NCBE web adress: www.ncbe.gwu.edu/ncbepubs/resource/effectiveness/.

Thomas, W. & Collier, E. (2001). A National Study of School Effectiviness for Language Minority Students´Long-Term Academic Achievemen. CREDE

Vygotsky, L. S. (1986). Thought and Language. Cambridge: The MIT Press.

17

708 Lässvårigheter och lärande i matematik

Många elever saknar tillfredsställande skriftspråklig och matematisk kompetens när de lämnar skolan. Forskning om sambanden mellan lässvårigheter och matematiksvårigheter är intensiv. Ger lässvårigheter upphov till matematiksvårigheter? Kan det finnas bakomliggande faktorer som påverkar båda områdena, var för sig? Föreläsningen redovisar aktuella forskningsbaserade rön om sambanden mellan lässvårigheter och lärande i och om matematik. Under föreläsningen ges många förslag på undervisningsupplägg och aktiviteter som kan bidra till att förebygga svårigheter och underlätta lärandet. Likheter mellan att lära sig läsa och att lära grundläggande aritmetik. Finns det samband mellan arbetsminne, lässvårigheter och matematiksvårigheter? Läsförståelse och problemlösning i matematik - hur hänger det ihop? Görel Sterner arbetar som projektledare vid Nationellt Centrum för matematikutbildning (NCM) och är specialpedagog, verksam vid Käpplundaskolan i Skövde. Föreläsning Gs Dokumentation Elever som har svårt med läsning kämpar ibland också med matematiken. I själva verket har en stor del av de elever som är i behov av särskilda utbildningsinsatser i skolan svårigheter både med läsning och med matematik. Men en del elever som har lässvårigheter har inte några som helst problem med matematik, eller tvärtom; elever med matematiksvårigheter kan vara alldeles utmärkta och hängivna läsare. Bakgrunden till lässvårigheter och matematiksvårigheter kan vara många. Ibland kan orsaker finnas i miljön. En kaotisk uppväxt, hög frånvara eller bristfällig undervisning är exempel på sådana faktorer. Minoritetselever som nyss har kommit till Sverige kan kanske inte tillgodogöra sig undervisningen på grund av att de inte förstår språket. Men det finns också andra bakgrundsfaktorer kopplat till läsningens och matematikens områden, som vi behöver ha kunskap om för att kunna skapa en god undervisning för alla elever. Forskning om sambanden mellan lässvårigheter och matematiksvårigheter är mer begränsad är forskning om enbart lässvårigheter, men det finns en del rön som ur pedagogiskt perspektiv är betydelsefullt för lärare att ta del av. En viktig aspekt av människans kognitiva system är arbetsminnet. Ett väl fungerande arbetsminne är av kritisk betydelse när det gäller att hålla information aktuell i medvetandet under tiden som man t ex utför en multiplikation eller en räkneoperation i huvudet. Ett gott arbetsminne krävs också när man ska läsa långa ord, eller långa meningar och stycken. Då måste man minnas vad som stod i början när man kommer till slutet. En person som har ett begränsat arbetsminne kan få problem både med matematiken och med läsningen. En annan faktor har med fonologi att göra. När man ska lära sig nya ord och termer krävs det att man kan bygga upp varaktiga och precisa inre ljudmässiga eller fonologiska föreställningar om orden. Fonologiska svårigheter är karakteristiskt för dyslexi. Det innebär att en elev med dyslexi kan få problem med matematiken därför att det är svårt att komma ihåg och hålla isär

18

alla matematiska ord och termer. Förmågan att tänka kvantitativt och att lösa problem behöver egentligen inte vara nedsatt. För att bli en god läsare krävs att ordavkodningen automatiseras så att läsaren kan ägna sin mentala kraft åt att tolka och förstå texters innehåll och budskap. På matematikens område kan det handla om att automatisera multiplikationstabellen, att snabbt känna igen en enkel uppgift som en fråga om addition eller att lösa en textuppgift utan att behöva tänka på varje litet steg som ska tas. En elev som har problem med automatiseringsprocesser kan få svårigheter både med läsning och med matematik. Det finns också andra faktorer som rör motivation, koncentration, uppmärksamhet och uppgiftsorientering som är betydelsefulla både i fråga om läsning och matematik. Vi fann i en studie bland 60 elever i åk.3 starka samband mellan förmågan till uppgiftsorientering och läsning och matematik. En positiv uppgiftsorientering innebär en inre vilja att lära sig, att klara ut något som man inte kunde tidigare, en nyfikenhet och ett eget intresse som inte styrs av annat än uppgiftens eller problemets utmaningar. Bristfällig uppgiftsorientering kan visa sig i att eleven hela tiden söker stöd hos den vuxne och bekräftelse på allt de gör. Tilliten till den egna förmågan är bräcklig. Sådana faktorer får naturligtvis betydelse vid läsning och i samband med problemlösning i matematik. Trots allt är det undervisningen som är avgörande för elevens kunskapsutveckling i läsning och matematik och för tron på den egna förmågan att lära. En varm och omsorgsfull pedagogik som bygger på lärares professionella kunnande i fråga om läsning och matematik samt en förmåga att skapa goda relationer med sina elever kan räcka långt.

19

709 Matematik ur barnboken Många barn och elever tror att matematik är det som finns mellan pärmarna i en räknebok! För att möta denna missuppfattning har vi arbetat med att synliggöra och vidga den matematik som finns i olika barnböcker. Samtal, diskussioner och resonemang innebär att elever ställer olika hypoteser och drar slutsatser. Matematik är ett kommunikativt ämne. Liksom konst, drama, litteratur och musik kan matematik bli en betydelsefull del av barns kultur och liv. I lärarens uppdrag ingår att barn får lära genom lek, socialt samspel, utforskande och skapande men också genom att iakttaga, samtala och reflektera. Matematik knyter ihop alla ämnen och blir roligt, logiskt, utmanande och uppmuntrar kreativitet. Vi har gjort upptäckter av relationer mellan tal, talföljder, kombinatorik, mönster, symmetri, geometri och mätningar, perspektiv, proportionalitet, skala och diagram. Berit Bergius och Lillemor Emanuelsson är lågstadielärare och arbetar på Nationellt Centrum för matematikutbildning, NCM. Göteborgs Universitet. Föreläsning Fö Gt

Dokumentation Många barn/elever och lärare verkar tro att matematik framförallt handlar om räkning och att matematik är det som finns mellan pärmarna i en räknebok! Men läroboken omfattar sällan alla kursplanens mål. Vi vill i vårt bidrag beskriva hur vi arbetat med olika barnböcker för att vidga elevers syn på och upplevelser av matematik. Vi ger bakgrund, exempel, visar dokumentationer och analyser från arbetet. Ett läroplansmål är, att utifrån barns egna erfarenheter och kunnande, lära matematik i skiftande sammanhang, med olika innehåll. Viktigt är då, att stimulera språk och uttrycksformer med lust, kreativitet och nyfikenhet. Ibland har barn/elever haft egna frågeställningar, som de arbetat med att lösa tillsammans. I andra situationer har vi vuxna initierat frågor som utvecklats genom elevers engagemang. Samtal, diskussioner och resonemang innebär att elever ställer olika hypoteser, resonerar, argumenterar och drar slutsatser. Yngre barn behöver sällan motiveras för matematik. De möter matematik under sin förskoletid och det första mötet kan vara avgörande för hur synen på matematik utvecklas. Barn har tidigt i förskolan både informellt och formellt kunnande i och om matematik, som bör tas tillvara som utgångspunkt i arbetet. De tycker matematik är roligt och spännande. Någon gång i trean/fyran händer något. Då blir matematik enahanda och tråkigt, enskilt, tyst arbete. Detta framträder i olika undersökningar: Matematikdelegationens arbete, redovisas i Betänkandet (Att lyfta matematiken – intresse, lärande, kompetens 2004) SOU 2004:97 och resultatet av Skolverkets kvalitetsgranskning Lusten att lära - fokus matematik (Skolverkets rapport nr 222, 2003). Dessa dokument visar också, att alla aktörer inom skolans värld tillmäter läraren störst betydelse för att bibehålla och utveckla lusten för lärande. Just därför är lärarens inställning och matematiksyn avgörande. Då lärare är positiva till matematik får det betydelse för hur de stimulerar barn/elever och synliggör matematik. Lärares kunskaper i och om matematik utgör grunden för vad de faktiskt gör. Därför är det viktigt att utmana lärares syn på matematik. Vi vill försöka visa att matematik kan finnas i en helhet, där olika delar av matematiken kan

20

urskiljas i en och samma situation eller i olika situationer. Det handlar för oss om att utmana synen på vad matematik är och kan vara. I olika sammanhang talar vi om språkutveckling och hur viktigt det är att föräldrar läser för barnen och om mötet med barnböcker. På många BVC får barnen i gåva sin ”första bok” för att läsa och uppleva språket – men det finns också massor av matematik i barnböcker. Det talar man däremot inte så mycket om. Föräldrarnas och lärarens frågor hjälper barn att undersöka och gå bakom text och bild för att upptäcka matematik. Matematik knyter ihop alla ämnen och blir roligt, logiskt, utmanande och uppmuntrar kreativitet. Vi menar att vårt arbetssätt kan bidraga till att barns/elevers lärande bli mångsidigt och sammanhängande. Barnböcker vi arbetat med och väljer exempel från:

Kattäventyret, Piot och Jósef Wilkon Oscars pinnar, Jeanette Milde Alla mina blad, Imgard Luckt och Josef Guggenmos Petter och hans 4 getter, Einar Norelius Boken om Bella och Gustav, Eva ErikssonEmil i Lönneberga, Astrid Lindgren Sifferdjävulen, Hans Magnus Enzensberger Els Marie och småpapporna, Pija Lindenbaum Lille prinsen, Antoine de Saint-Exupéry Mirabell, Astrid Lindgren Sagor bl.a Hans och Greta Törnrosa Guldlock Vanten Mollan och mor mor, Lena Andersson Det gula mysteriet, Kersti Björkman Krakel Spektakel, Lennart Hellsing Gusten Grodslukare, Ole Lund Kirkegaard Olika faktaböcker om t.ex cirkus, djur, byggnader - slott, växter Referenser Bergius, Berit & Emanuelsson, Lillemor (1996). Att stimulera barns intresse för och upptäckter i matematik. I K. Wallby, m fl. (Red.) Matematik från början. NCM. Emanuelsson, Lillemor & Bergius, Berit (1997) Glyfen i tiden. Nämnaren 24(2) 22-25. För fler referenser se Små barns matematik, Doverborg, Elisabet & Emanuelsson, Göran. (Red.) (2006) NCM. Göteborgs universitet.

21

710 Att dokumentera elevers självreflektion och lärande i matematik - Analysschemat i användning

Forskning visar att bedömning har stor potential för en förbättring av elevers lärande. Detta pass kommer att innehålla en kort översikt över angelägna bedömningsaspekter. Därefter beskrivs ett arbete där elever i skolår 7 tillsammans med läraren i matematik reflekterar över sin lärprocess och också formulerar detta skriftligt. Lisa Björklund och Stina Hallén arbetar båda i PRIM-gruppen på Lärarhögskolan i Stockholm. Stina arbetar också 50 % av sin tjänst som lärare i matematik på en 7-9-skola och Lisa är doktorand i didaktik. Föreläsning Gs Dokumentation

Inledning I denna dokumentation presenteras ett material som kan vara en hjälp i arbetet med att dokumentera elevens kunskapsprocess, Analysschema i matematik – för skolår 6-9. Materialet är utgivet av Skolverket och ett exemplar skickades ut till berörda skolor 2003. Det kan beställas hos Liber Distribution Publikationstjänst, 08 690 95 76. I Analysschema i matematik – för åren skolår 6-9 är det enbart det som eleven visar att hon/han kan som skrivs ner. I en individuell plan kan nya mål för eleven antecknas. Vi beskriver här tankar kring bedömning och vad det egentligen kan innebära att kunna något. Vi berättar också en del om innehållet i analysschemat. Därefter beskrivs hur det konkreta arbetet på en skola kan gå till.

Bakgrund Forskning visar att elever behöver bli medvetna om sin egen kunskapsprocess, om sitt eget lärande. Ett viktigt inslag i denna process är att lärandet beskrivs i ord. I den processen finns två aktörer – eleven och läraren. I Lpo 94 står:

• ”Skolan skall sträva efter att varje elev • utvecklar nyfikenhet och lust att lära, • utvecklar sitt eget sätt att lära, • utvecklar tillit till sin egen förmåga, • utvecklar ett allt större ansvar för sina studier och • utvecklar förmågan att själv bedöma sina resultat…” (sid 11 och 18)

I ett arbete där vi strävar efter att uppfylla dessa mål kan analysschemat vara ett användbart redskap.

Bedömning Det finns olika sorters bedömning. En bedömning kan kallas summativ. Det är den bedömning som görs som en summering av vad en elev kan vid en viss tidpunkt. De betyg som elever i Sverige får från och med skolår 8 är exempel på summativ bedömning. En annan bedömning är den formativa bedömningen. Det är den bedömning som görs som en del av undervisningen. Ett exempel på formativ bedömning är när läraren gör en fördiagnos innan ett

22

arbete med ett område startar och planerar undervisningen med ledning av elevernas resultat på diagnosen. Olika forskare betonar den formativa bedömningens betydelse. Black och Wiliam (2001) har studerat mer än 20 arbeten som alla har undersökt vilken effekt en förbättrad och stärkt formativ bedömning i klassrummet har på elevernas lärande. Alla undersökningar visar liknande resultat, nämligen att elevernas lärande förbättras när bedömningen får högre kvalitet. Flera av undersökningarna visar dessutom att de (så kallade) lågpresterande eleverna förbättrar sina resultat mer än andra elever. Det som är väsentligt när det gäller den formativa bedömningen är att eleverna får feed-back på sina arbeten. De behöver få veta vilken kunskap de visar och också vilka kvaliteter som deras arbeten präglas av. Vidare är det viktigt att de i samråd med läraren kommer fram till vad de ska inrikta sitt arbete i matematik på under den närmaste tiden.

När kan en person egentligen något? Det är svårt att veta vad en person egentligen kan. Det vi möjligtvis kan säga något om är vilket kunnande en person visar med sina prestationer. Det är alltså prestationer vi bedömer och inte kunskap. När man använder analysschemat som redskap kan frågan, om när det är dags att skriva något i schemat, uppkomma. Ja, här är inte kraven alls lika ”hårda” som när det gäller att bedöma om en elev exempelvis har kunskap som motsvarar ett visst mål att uppnå. Vi kan skriva något ganska tidigt under en elevs process mot att lära sig något specifikt. Om det exempelvis handlar om att ta reda på arean av olika geometriska figurer så kan en första anteckning vara: ”Kan ta reda på arean av geometriska figurer genom att använda centimeter-rutat papper.” Efter ett tag kan en ny anteckning vara: ”Kan bestämma arean av rektanglar och trianglar genom beräkning.” Efter ytterligare en tid kan infogas nya anteckningar som speglar elevens kunskapsprocess.

Materialets innehåll Analysschema i matematik – för åren före skolår 6 innehåller allmän lärarinformation och också beskrivningar av hur eleven och läraren kan ta fram underlag för analys och hur analys och dokumentation kan gå till. Vidare finns det hänvisning till uppgifter ur Diagnostiska uppgifter – för de tidiga skolåren. Dessutom ingår kommentarer och exempel till analysschemat. I det avsnittet kommenteras analysschemats olika delar och vad analysen kan fokuseras på. Underrubrikerna har samma ordningsföljd som rutorna i analysschemat. Själva analysschemat är ett kopieringsunderlag och en digital version finns på PRIM-gruppens hemsida, www.lhs.se/prim. Det är strukturerat under rubrikerna Mätning och rumsuppfattning, Sortering, tabeller och diagram samt Taluppfattning. Längst bak i materialet finns en översikt. Översikten visar hur schemats olika delar är relaterade till såväl mål att uppnå som mål att sträva mot. Syftet med översikten är att ge en helhetsbild över det som kan analyseras med hjälp av materialet.

Hur visas kunnandet? En person visar sin kunskap i matematik med olika uttrycksformer och i olika situationer. I analysschemat är dessa inordnade under följande struktur. Uttrycksformer:

• Handling • Bild • Ord – talade och skrivna • Symboler – informella och formella

Situationer: • Matematiklektioner

23

• Arbete i andra ämnen • Tematiskt arbete • Lek • Rutinsituationer

Att dokumentera en kunskapsprocess När jag (Stina) startade arbetet med analysschemat på Mörbyskolan i Danderyd gjorde jag det i årskurs 7. Vad jag ville uppnå var en bättre dokumentation av elevernas kunskapsutveckling som ett underlag både för betygsättning och inför utvecklingssamtal. Hela höstterminen ägnades åt att arbeta med taluppfattning, det vill säga de fyra räknesätten, decimaltal, bråk och procent. Första gången eleverna mötte analysschemat hade de först gjort uppgifter från "Diagnostiska uppgifter" och fick reflektera över sina resultat på dem. Efter första provet i matematik som handlade om bråk och tal i decimalform fick de skriva i analysschemat i samband med att de fick tillbaka provet. De fick reflektera över det som gått bra och skriva vad de kunde. För att dokumentera elevernas kunskaper om de fyra räknesätten lät jag dem vid ett tillfälle skriva räknehändelser till beräkningar med alla fyra räknesätten. De fick skriva räknesagor till en addition, en subtraktion, två multiplikationer och två divisioner. Denna övning fick de sedan reflektera över och skriva om i analysschemat. De skrev t ex Positionssystemet Förstår siffrors platsvärde. Uppfattar tals storlek. Använder decimal- och grundpotensform.

Förstår att olika platser har olika värde

Del av Förstår, använder del av helhet, del av antal, del av värde. Uttrycker i bild och i bråk-, decimal-, procentform

Jag har blivit mycket säkrare på bråk och decimalform. Jag tycker att det är lättare att skriva i bråk och med bilder än med decimaltal.

Räknesätt och räkneregler Förstår och använder. Tolkar matematiska uttryck. Ser samband.

Jag tycker det är ganska lätt förutom division när nämnare är större än

täljaren t ex 624

Jag tycker det är roligt att göra egena tal. Jag tycker att delat med är svårast, plus enklast, sedan minus och gånger.

En del elever tycker det är svårt att formulera sig när de ska skriva. För att hjälpa dem har jag ibland läst upp avsnitt ur elevversionen av kommentarer och exempel till analysschemat. Där finns formuleringar som eleverna kan förstå men jag har också skrivit förslag på formuleringar på tavlan för att hjälpa dem ytterligare. Jag har också försökt få dem att skriva exempel på det de formulerar i schemat.

24

Litteratur Black P. & Wiliam D. (2001) Inside the Black Box. Raising Standards Through Classroom Assessment, Kings College, London Carlgren I & Marton F. (2000). Lärare av i morgon, Lärarförbundet, Stockholm Gipps C V. (1994) Beyond Testing. Towards a theory of educational assessment, The Falmer Press, London Lenz Taguchi H. (1997). Varför pedagogisk dokumentation?, HLS Förlag. Stockholm. Pettersson A. (2003). Bedömning och betygsättning. I Baskunnande i matematik, Myndigheten för skolutveckling, Stockholm. Shepard Lorrie. (2000). The Role of Assessment in a Learning Culture. I Educational Researcher, Vol. 29, No. 7. Skolverket (2000). Grundskolans kursplaner och betygskriterier 2000, Skolverket och Fritzes, Västerås Skolverket (2003). Analysschema i matematik – för skolår 6-9, Skolverket, Stockholm Skolverket (2003). Diagnostiska uppgifter – för skolår 6-9, Skolverket, Stockholm Skolverket (2003). Nationella kvalitetsgranskningar 2001-2002. Lusten att lära - med fokus på matematik. Skolverkets rapport nr 221, Skolverket, Fritzes, Örebro

25

711 Fysikexperiment, som endast med matematik kan förklaras.

Jag visar ca 25 roliga och intressanta fysikexperiment. Enda sättet att förklara dessa är med hjälp av matematik. Carl-Olof Fägerlind har jobbat på Lärarhögskolan i Stockholm i tio år och på Fysikum, Stockholms universitet i fem år. Föreläsning Gr Gy Vux Högsk Lärutb Dokumentation

- en didaktisk hörnsten.

I skolan visas det för få fysikexperiment. Lärarna pratar i stället. Kursen är så stor att det är svårt att hinna. Läraren försöker förklara allt och ingen står ut med att höra på. Jag har 400 fysikexperiment på min repertoar. Det blir två experiment på varje lektion i A- och B-kursen. Varje avsnitt startas med experiment, som inspirerar eleverna till att tänka. Det är detta jag kallar en didaktisk hörnsten: att eleverna tänker, funderar och använder sin fantasi. De snuddar då vid den teori, som skall behandlas. Till denna föreställning har jag tagit med sådana experiment som endast kan förklaras med matematik. Detta är ett exempel på detta: Seriekoppla tre vanliga glödlampor och koppla dem till 230 V. En lampa är på 25 W, nästa är på 40 W och den sista är på 75 W. En lampa lyser. Den på 25 W lyser och lampan på 40 W glöder svagt medan lampan på 75 W är släckt. Varför blir det så? U = R.I – Ohms lag P = U.I – effektlagen.

PUR

2

=

Med dessa ekvationer förstår man att lampan på 25 W har en resistans på 2 000 ohm medan lampan på 75 W har ett motstånd på 700 ohm. Strömmen blir ca 0,055 A enligt Ohms lag. Således blir spänningen U = R.I = 110 V över 25 W-lampan medan spänningen blir 38 V över 75 W-lampan. Carl-Olof Fägerlind c-o.fagerlind@tele2.se

26

712 The Catwalk problem

Vilken förståelse har vi av hur en katt som ändrar rörelse från långsam gång till attack egentligen rör sig? Går det att beskriva kattens förflyttning med en matematisk modell? Erfarenheter från en modelleringskurs med lärarstudenter redovisas och diskuteras. Mikael Holmquist är universitetslektor i matematikdidaktik vid Göteborgs universitet. Thomas Lingefjärd är docent i matematikdidaktik vid Göteborgs universitet och Jönköpings högskola. Föreläsning Gs Gy Vux Högsk Lärutb

Dokumentation

Introduktion Användbarheten och värdet av matematisk modellering diskuteras ofta, inte minst inom utbildningen av matematiklärare. Trots att matematisk modellering är ett begrepp i styrdokumenten för grund- och gymnasieskola får många blivande matematiklärare ingen träning i de processer som är del av arbetet med matematisk modellering. Naturligtvis handlar det alltid om en diskussion kring varför och på vilket sätt matematisk modellering skall finnas med som innehåll i ungdomsskolans matematikundervisning. I våra kurser har vi använt exempel på fenomen hämtade från verkligheten för att visa på hur modellering kan vara användbar, värdefull, intressant och stödjande för utveckling av matematisk kompetens (de Lange, 1996; Tietze, 1994).

Det s k The Catwalk problem presenterades av Bob Speiser vid ett forskningsseminarium på Göteborgs universitet (våren 2002). Problemet handlar om att bestämma rörelsen hos en katt, en katt som rör sig på ett särskilt sätt genom att ändra sin rörelse från gång till fullt språng.

Problemet presenterades med hjälp av en serie fotografier och för att få bättre förståelse för den enorma förändring som sker när en katt ändrar sin rörelse från gång till fullt språng uppmuntrades studenterna att verkligen genomföra ”the catwalk”. Många av studenterna var blivande idrottslärare och hade därför ett naturligt intresse för kattens sätt att röra sig. För att bättre kunna hantera övergången från verkligheten till modell och tillbaka igen beslutade sig några av studenterna för att utnyttja en lång korridor där de försökte återspegla kattens rörelse med hjälp av markeringar på golvet. Avstånden förstorades med en faktor 10 eftersom en vuxen människa helt enkelt är för stor för att genomföra ”the catwalk” i skala ett-till-ett.

Modelleringsprocessen Arbetet i övergången mellan modell och verklighet är naturligtvis en central del i modelleringsprocessen men kan också ses som en viktig aktivitet när det gäller lärandet kring hur matematiska begrepp och metoder kan tillämpas. En annan viktig del i arbetet är att utveckla kunskap om hur och när ett visst matematiskt verktyg (exempelvis en räknare eller ett datorprogram) är användbart samt hur de resultat som presenteras skall värderas (Lingefjärd & Holmquist, 2001). Detta framstår som särskilt viktigt för de blivande matematiklärarna och deras kommande yrkesutövning.

27

Andra problem behöver lyftas ut från sitt sammanhang, ges en matematisk tolkning och lösas med hjälp av matematiska begrepp och metoder. Resultaten skall sedan tolkas och värderas i förhållande till det ursprungliga sammanhanget. (Skolverket, 2005, s. 17)

Övergången från det verkliga fenomenet till den matematiska modellen och tillbaka igen kommer till uttryck i studenternas skriftliga rapporter från arbetet med The Catwalk problem. Arbetet med de skriftliga rapporterna medför att studenterna involveras i en skrivprocess i matematik (Morgan, 1998), ett arbete där de flesta studenterna saknar erfarenhet.

The Catwalk problem Efter det att Bob Speiser hade presenterat The Catwalk problem vid ett forsknings-seminarium på Göteborg universitet, beslutade vi oss för att använda det i en modelleringskurs som gavs våren 2004. Vi anser att problemet bland annat utmanar studenters förståelse och färdigheter i analys. Speiser och hans kollegor har använt problemet tillsammans med elever från både gymnasie- och grundskola [college students and high school students]. Vi beslutade oss för att problemet också kunde användas i en grupp studenter som läst kurser i analys på universitetsnivå och genomförde motsvarande undersökning som Speiser och hans kollegor rapporterat om (Speiser & Walter 1994a, 1994b, 1996).

Problemet illustreras av en serie fotografier vilka av utrymmesskäl inte redovisas fullt ut i denna text. Fotografierna består av 24 bilder på en enda katt, rubricerade Cat in Walk Changing to a Gallop. Eadweard Muybridge tog dessa bilder år 1880 genom att använda 24 kameror som aktiverades successivt i intervall på 0,031 sekund. Bilderna visar katten mot en bakgrund som består av ett rutnät. Avståndet mellan rutnätets linjer är 5 centimeter och var tionde linje är mörkare. De 24 bilderna visar kattens aktivitet under totalt 0,71 sekund. Våra studenter fick kopior av fotografierna samt ovanstående information och uppmanades att ta fram en eller två matematiska modeller för beskrivning av kattens förflyttning under den aktuella tidsperioden. Mer specifikt uppmanades de att besvara följande två frågor: Hur fort rör sig katten i bild 10? Hur fort rör sig katten i bild 20? Figur 1 visar två, av totalt 24, konsekutiva bilder.

Figur 1. Catwalk

28

Studenternas arbete Vi har arbetat tillsammans med en grupp blivande matematiklärare vid Göteborg universitet. Alla studerade matematik som ett andra skolämne i kombination med idrott eller musik för undervisning i grundskolans årskurs 7-9 eller gymnasiet. Gruppen bestod av 2 kvinnor och 8 män. ”The catwalk problem” presenterades som del av den slutliga examinationen i modelleringskursen som gavs våren 2004. Studenterna hade möjlighet att utnyttja tekniska hjälpmedel, grafritande räknare och datorprogram, i sitt modelleringsarbete. Alla studenter utom en var blivande idrottslärare och visade stort intresse för kattens rörelse i relation till hur en människa rör sig. Student 4: I det här fallet kan vi jämföra med hastigheten hos en människa. Om exempelvis

jag själv springer 100 meter tar det kanske 16 sek och om vi dividerar 100 meter ed 16 får vi en hastighet på 6,25 meter/sek = 625 cm per sek. Jag tror att hela sekvensen med de 24 bilderna visar starten på kattens rörelse framåt…

Några av studenterna genomförde en imitation av kattens rörelse genom att själva utföra kattens förflyttning i relation till storleksförhållandet mellan en katt och en vuxen människa. Student 10: Jag beräknade kattens hastighet i ruta 10 till 1.24397 m/s och hastigheten I ruta

20 till 3.24043 m/s. För att verifiera vårt resultat utförde jag och Lisa motsvarande förflyttning för en människa. Vi antog att en människa är ca 10 gånger större än en katt. Vi förstorade därför x- och y-värden med en faktor 10. Detta resulterade i en förflyttning på 13 meter på 7,1 sekund. Vi markerade alla avstånd med lappar på korridorgolvet och försökte förflytta oss på samma sätt som katten.

Alla studenter i gruppen uttrycket en tydlig ambition i att finna argument för valet av matematisk modell men samtidigt var de mycket olika i sättet att argumentera för kopplingen mellan den valda matematiska modellen och den verklighet som skulle beskrivas. Den sistnämnda typen av argumentation utgör en central del i studenters skrivande och gör det möjligt för läraren att nå insikt i studenternas förmåga att hantera övergången mellan modell och verklighet. I slutskedet av sitt skrivande behandlade studenterna frågan om hur ett resultat kan verifieras. Vi noterade med intresse hur flera av studenterna sökte underlag och fakta kring en katts rörelseschema med avsikten att värdera och säkerställa de resultat som tagits fram med hjälp av en matematisk modell. Student 3: Efter ihärdigt sökande hittade jag en källa som angav att en katt kan springa i upp

till 50 km/h. Det gör att mina beräkningar verkar mer realistiska eftersom man kan tänka sig att katten inte har nått sin högsta hastighet efter de 24 bilderna.

Student 9: En bil som kör mycket sakta (exempelvis vid en “Se upp – lekande barn” skylt)

har en hastighet på ca 30 km/h. En cykel med låg men konstant fart rör sig med ungefär halva den hastigheten dvs ungefär 15 km/h. En katt som accelererar rör sig med ungefär samma hastighet som cykeln.

Vi anser att detta är ett talande exempel på ett arbete som ger möjlighet att lära matematik ur ett alternativt perspektiv, ett sätt att illustrera hur matematik kan användas i praxis. Vår

29

tolkning är att studenterna i den här gruppen gav uttryck för att de i arbetet med The Catwalk problem verkligen fick tillämpa sina matematiska kunskaper i en verklighetsnära situation. Vi anser vidare att vårt arbete med matematisk modellering hjälpte studenterna att utveckla djupare förståelse för den matematik som de använde samt gav dem värdefulla erfarenheter i att skriva matematik. Referenser de Lange, J. (1996). Using and applying mathematics in education. In A. J. Bishop, K.

Clements, C. Keitel, J. Kilpatrick, & C. Laborde (Eds.), International handbook of mathematics education (pp. 49-97). Dordrecht: Kluwer.

Lingefjärd, T., & Holmquist, M. (2001). Mathematical modelling and technology in teacher education – Visions and reality. In J. F. Matos, W. Blum, S. K. Houston, & S. P. Carreira (Eds.), Modelling and mathematics education. ICTMA 9: Applications in science and technology (pp. 205-215). Chichester: Horwood.

Morgan, C. (1998). Writing Mathematically. The discourse of investigation. London: Falmer.

Skolverket. (2005). Compulsory school Syllabuses. Retrieved June 22, 2005, from http://www3.skolverket.se/ki03/front.aspx?sprak=EN&ar=0405&infotyp=23&skolform=11&id=3873&extraId=2087

Speiser, R., & Walter C. (1994a). Constructing the Derivative in First-Semester Calculus, Proceedings, International Group for the Psychology of Mathematics Education, North American Chapter (PME-NA XVI) (pp. 116-122). Baton Rouge, LA.

Speiser, R., & Walter C. (1994b). Catwalk: First-Semester Calculus. Journal of Mathematical Behavior, 13,135-152.

Speiser, R., & Walter C. (1996). Second Catwalk: Narrative, Context, and Embodiment. Journal of Mathematical Behavior, 15, 351-371.

Tietze, U-P. (1994). Curricula and goals. In R. Bielhler, R. W. Scholtz, R. Strässer, & B. Winkelmann (Eds.), Didactics of mathematics as a scientific discipline (pp. 41-53). Dordrecht: Kluwer.

30

713 Matematikbegåvningar i grundskolan

Särskilda satsningar i skolan på musik- och idrottstalanger har länge varit en självklarhet. Däremot har motsvarande satsningar på matematikbegåvningar varit närmast tabubelagda. Matematikbegåvningar kan sägas vara en försummad grupp i skolan. En omsvängning kan nu vara på gång. Under senare år har det blivit allt mer uppenbart att en sådan satsning bör göras i tidig grundskoleålder. I presentationen redogörs för motiv och idéer för att en sådan satsning även bör göras i Sverige. Erfarenheter från andra europeiska länder, framför allt Tyskland, presenteras. Arne Engström, är universitetslektor i pedagogik, forskare och lärarutbildare vid Linköpings universitet. Föreläsning Gr Dokumentation Ett grundläggande dilemma för alla utvecklade länder är hur utbildningssystemet ska hantera elever som avviker från normen, antingen genom sin särskilda begåvning eller genom de svårigheter de uppvisar när de ska lära sig, t ex matematik. Begåvade elever i matematik och elever som av olika skäl inte klarar skolmatematiken är två olika sidor av samma mynt. Dilemmat inte kan lösas, bara hanteras. En vanlig föreställning bland många lärare är att begåvningar alltid klarar sig själva, de behöver ingen extra stimulans. Tyvärr vet vi att detta är fel. På samma sätt som elever i matematiksvårigheter har behov av stöd och stimulans för att utvecklas efter sina förutsättningar, har elever med särskild fallenhet för matematik också det. Det är viktigt att sådan stimulans ges tidigt i barnets utveckling. I föreläsningen kommer forskning om matematikbegåvningar och erfarenheter av särskilda aktiviteter att presenteras. Några av de frågeställningar som berörs i föreläsningen är: Vad är begåvning? Kan man identifiera matematikbegåvade elever? Vad skiljer begåvade från duktiga elever? Underpresterare vad är det? Vad finns det för erfarenheter av praktiskt arbete med matematikbegåvningar i grundskolan? Hur går arbetet med matematikbegåvningar ihop med en skola för alla.

31

714 Laborativa uppslag för gymnasiet

Föreläsningen kommer i huvudsak att handla om hur Uppslagsboken (Nämnaren Tema) kan användas även på gymnasiet. Andra aktiviteter som ej finns i boken samt exempel på egentillverkade material som lätt kan byggas på skolan visas också upp. Ulrica Dahlberg arbetar som gymnasielärare i matematik och fysik på Lerums gymnasium och på Nationellt Centrum för matematikutbildning i Göteborg. Föreläsning Gy Vux Dokumentation I kursplanens strävansmål i matematik på gymnasiet finns bland annat följande att läsa: Skolan skall i sin undervisning i matematik sträva efter att eleverna

− utvecklar sin förmåga att följa och föra matematiska resonemang samt redovisa sina tankegångar muntligt och skriftligt,

− utvecklar sin förmåga att reflektera över sina erfarenheter av begrepp och metoder i matematiken och sina egna matematiska aktiviteter,

− utvecklar sin förmåga att i projekt och gruppdiskussioner arbeta med sin begreppsbildning samt formulera och motivera olika metoder för problemlösning,

Traditionell matematikundervisning, där läraren har genomgång och eleverna räknar själva i boken, har svårt att täcka in de strävansmål som finns ovan. Att arbeta laborativt i undervisningen ser jag som ett sätt att jobba mot strävansmålen. Jag kommer i min föreläsning att utgå från Nämnaren Tema-Uppslagsboken och visa exempel på hur man även på gymnasiet kan använda boken. Aktiviteterna i Uppslagsboken är i första hand kopplade till grundskolans strävansmål. Däremot går det att variera och utveckla aktiviteterna så att de passar för gymnasiets A-, B- och C-kurser. Även andra exempel på aktiviteter och laborationer som passar för gymnasiet kommer att visas. För att vi som lärare ska kunna hjälpa varandra att hitta idéer till vår undervisning behöver vi någonstans att utbyta erfarenheter. Jag kommer visa ett exempel på en sådan plats, Strävorna på NCMs hemsida. Läs mer på ncm.gu.se/stravorna

32

715 De små talens lag

Matematik sägs ibland vara vetenskapen om mönster (en mönstervetenskap?). Vi skall studera några mönster som man kan (tycka sig) observera för små tal och se huruvida de håller i längden. T.ex. Hur fortsätter följden 1, 2, 4, 8, 16, …? Är 31, 331, 3331, … primtal? Är 16 −n eller 16 +n primtal för alla 0>n ? Om p är ett primtal, är 12 −p ett primtal? Om 22 −n är delbart med n, är n ett primtal?

Thomas Weibull är universitetslektor i matematik vid Göteborgs universitet och Chalmers tekniska högskola och ansvarig för lärarutbildningen vid sin institution. Föreläsning Gs Gy Vux Högsk Lärutb

Dokumentation Titeln på mitt föredrag är lånad från två artiklar av den kanadensiske matematikern Richard K Guy och många, men inte alla, av mina exempel finns där. Han är, förutom för sina egna arbeten, känd för samarbeten med den ryktbare John Horton Conway. Titeln är förstås ett skämt med De stora talens lag i sannolikhetsteorin, som bl.a. säger att andelen krona vid upprepade slantsinglingar med sannolikhet 1 kommer att gå mot 0,5 då antalet kast går mot oändligheten. Låt mig komplettera listan i sammanfattningen ovan med Är alla tal i listan 41, 43, 47, 53, 61, …(öka med 2, 4, 6, 8, …) primtal? Är 122 +

n

ett primtal?

Är mittersta elementet på rad 2n i Pascals triangel, 2)!()!2(2

nn

nn

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛, delbart med (n + 1)?

6n – 1 eller 6n + 1 behöver inte vara primtal. Ett snabbt sätt att se det är att 7! + 5 och 7! + 7 är av denna typ och givetvis delbara med 5 resp. 7; ett annat är att pröva sig fram nerifrån och få napp vid 20=n :

177119 ⋅= och 211121 = . Följden 1, 2, 4, 8, 16 måste förstås fortsättas 32, 64, 128, …, tror vi, tills vi får reda på att det handlar om antalet områden som en cirkelskiva delas i av alla kordor som kan dras mellan 1, 2, 3, 4, 5, … punkter på periferin och finner 31, 57, 99, … i stället, f.ö. samma antal som vi får om vi anpassar ett polynom av lägsta möjliga gradtal till de 5 första värdena. Att på detta sätt anpassa ett polynom, en egentligen osviklig metod, skulle tyvärr inte ge många poäng på ett ”intelligenstest”. Polynomet är )6231824( 432

241 nnnn +−+− , som mera upplysande kan

skrivas ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛420nnn

eller ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −4

13

12

11

10

1 nnnnn, där den sista direkt

33

förklarar varför vi får 2-potenser i början eftersom vi då har summan av hela rader i Pascals triangel. Exakt samma följd ger förresten antalet områden som det 4-dimensionella rummet delas i av 0, 1, 2, 3, 4, … 3-dimensionella hyperplan; för att tänka sig detta kan man börja med linjer i planet (inga parallella och aldrig tre genom samma punkt), vilket ger 1, 2, 4, 7, 11, … områden, och plan i rummet, som ger 1, 2, 4, 8, 15, … områden. (Ännu ursprungligare är punkter på en linje: n punkter på en linje delar linjen i )1( +n delar, så här är följden 1, 2, 3, 4, 5, …) Fermats lilla sats kommer att vara oss behjälplig nedan. Den säger att om n är ett primtal, så är aa n − delbart med n för alla heltal a. Det enklaste bevis jag vet för detta är genom induktion över a (det räcker att betrakta positiva a) där man i induktionssteget utvecklar na )1( + med

binomialsatsen och utnyttjar att om n är primtal så är alla binomialkoefficienter ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛kn

delbara

med n för nk <<0 . Detta sista påstående är omvändbart, varför man skulle kunna tro att även omvändningen av Fermats lilla sats gäller, dvs. att om aa n − är delbart med n för alla heltal a så är n primtal, kanske t.o.m. att om 22 −n är delbart med n så är n primtal, vilket de gamla kineserna lär ha gjort (hur man nu vet det). Sätter man igång och gör en lista stärks man i sin förmodan, för detta är sant för 340≤n , men för 341=n spricker det: 22341 − är delbart med 341:

)12)2()2)((12(2)1)2((2)12(222 1032103310103410340341 ++++−=−=−=− K och 341331113)132)(132(1)2(12 2510 ⋅=⋅⋅=−+=−=− .(Att 1210 − är delbart med 11 följer av Fermats lilla sats, men att det är delbart med 31 är en ”tillfällighet”.) Dock är

33341 − inte delbart med 341, så vi kan fortsätta att hoppas på en omvändning av Fermats lilla sats. Men även detta grusas: det finns så kallade Carmichaeltal, alltså sammansatta tal n som delar aa n − för alla heltal a. De tre första är 561, 1105 och 1729, där det sistnämnda även är berömt som numret på Hardys taxi, det minsta tal som på två olika sätt är summan av två kuber, och 1992 visades det att det finns oändligt många Carmichaeltal. Karakteristiskt är:

17113561 ⋅⋅= och 1561− är delbart med 13− , 111− och 117 − . (Det finns även Carmichaeltal med fler än tre faktorer.) 31, 331, 3331, … är inte hela tiden primtal, vilket faktiskt enklast följer ur Fermats lilla sats genom att skriva

31300333331333 += KK och använda att 1111300300333 KK ⋅= samt att

11011010101011111 12

−−

=++++= −n

nKK enligt Fermats lilla sats är delbart med 1+n om

1+n är ett primtal större än 5, så för 30=n är det n-siffriga talet 1111K delbart med 31 och därmed även det 32-siffriga talet 331333K (31 st. 3:or). I själva verket gäller att om antalet 3:or är 1928,2022,1118,816 ++++ kkkk resp. 1615 +k )0( ≥k så är 331333K delbart med 17, 19, 23, 29 resp. 31 och man kan också ange ett antal primtal som aldrig delar ett sådant tal, men någon fullständig lista över delare resp. icke-delare finns knappast (och är kanske inte så himla intressant). Mersennetal är tal av typen 12 −n ; dessa är sammansatta om n är sammansatt eftersom

)1)2()2)((12(12 21 +++−=− −− Kbabaaab , men kan vara primtal om n är primtal och är det

34

också för n = 2, 3, 5, 7, nämligen 3, 7, 31, 127, men 892320471211 ⋅==− . För närvarande är 42 primtal p kända för vilka 12 −p är primtal; det största är 25964951 vars Mersennetal har 7816230 siffror men The Great Internet Mersenne Prime Search fortgår med oförminskad kraft. Ingen vet om det finns oändligt många Mersenneprimtal. 41, 43, 47, 53, 61, … är alla av formen 41)1( ++nn och när man nått 40=n har man ett tal delbart med 41, men innan dess är alla primtal, vilket Euler upptäckte; 24=n ger 641, som är relevant för

122 +n

som ingen mindre än Fermat trodde var primtal för 0≥n ; de första är 3, 5, 17, 257, 65537 som alla är primtal, men Euler upptäckte att nästa tal, 4294967297, är 6700417641⋅ och inga ytterligare primtal har hittats bland Fermattalen, som naturligtvis snabbt blir väldigt stora och svårhanterliga. Mittersta binomialkoefficienten

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛nn2

är för 6,5,4,3,2,1,0=n lika med 1, 2, 6, 20, 70, 252, 924 (växer snabbt!) och är

delbar med 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, vilket inte är någon slump, ty heltalet ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +n

n 12 är lika med

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

nn

nn 2

112 , och då 12 +n och 1+n inte har några gemensamma faktorer, måste alltså ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛nn2

vara delbar med 1+n . Talen ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ n

nn

21

1 , 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, … kallas Catalantalen och har

många kombinatoriska tolkningar, t.ex. antalet sätt att parentetisera en produkt av 1+n faktorer eller antalet sätt att ordna n parentespar (så att parets vänsterparentes alltid är till vänster om dess högerparentes) eller antalet sätt att dra diagonaler i en konvex )2( +n -hörning osv. De små talens lag Så vad är den? Guy har flera formuleringar t.ex. De små talen är för få för att uppfylla alla våra krav på dem Men min favorit är den koncisa Det räcker inte att se Moralen är alltså att det är värdefullt att observera mönster och företeelser, men det är först då man kan förklara dem som man verkligen åstadkommit något.

Litteratur De två artiklarna av Guy är

Guy, Richard K., The Strong Law of Small Numbers, Amer. Math. Monthly 95 (1988), 697-712. Guy, Richard K., The Second Strong Law of Small Numbers, Math. Mag. 63 (1990), 3-20.

35

Tillsammans med Conway har han bl.a. skrivit

Conway, John Horton & Guy, Richard K., The Book of Numbers (Springer, 1996); på svenska: Boken om tal (Studentlitteratur, 2000). Guys artiklar citeras i ett kapitel, som heter just De små talens lag, av

Gleick, James, Fortare. Nästan allt accelererar (Brombergs, 2000). Den som vill läsa mer om talteori kan t.ex. vända sig till (den månne alltför innehållsrika)

Rosen, Kenneth H., Elementary Number Theory and Its Applications, 5th ed. (Addison-Wesley, 2005). (International Student Edition)

36

716 GEOMETRI genom MATEMATIK – RYTMIK samarbete mellan grundskola och kulturskola Vi arbetar med kombinationen matematik-rytmik för att stärka elevernas begreppsuppfatttning och för att underlätta inlärning. Arbetsmodellen stimulerar barnen och förtydligar mönster i matematiken. Vår strävan är att skapa en medvetenhet om att matematiken redan finns i deras värld, att alla kan lära matematik oavsett vilket språk man pratar. Vi vill genom glädje och intresse få eleverna att se värdet av matematikkunskaper. Kring ett lustfyllt lärande utvecklas insikt och förståelse. Barnen sjunger, spelar, dansar och leker kring matematikens grunder och begrepp. Ewa Olsson är lärare i åk 1-6 på Pilängskolan i Landskrona och har praktikansvar för studenter från Malmö Högskola. Barbro Rydin är rytmik- och cellopedagog på Kulturskolan i Landskrona. Som rytmik/ /kompanjonlärare besöker Barbro olika årskurser i grundskolan en gång i veckan. Vi har samarbetat med kombinationen matematik – rytmik sedan ht -99 Workshop Gr Dokumentation Mål:

• ge eleverna den kunskap och de färdigheter i geometri som behövs för att beskriva och förstå grundläggande egenskaper hos geometriska figurer och mönster

• kunna jämföra, uppskatta och mäta längder, areor, volymer, vinklar och massor • kunna använda skala för att tolka ritningar och kartor

Grunden till kunskap ligger i egna upplevelser, men utan kunskapsinformation kan ingen utvecklas maximalt. Därför är en blandning av kunskapsinformation och egna erfarenheter viktig. Språket är en förutsättning för förståelse och matematiskt tänkande. Barn behöver ett rikt språk för att kunna reflektera över sitt lärande. Elever med annat modersmål än svenska är i behov av en större variation av upplevelser för att kunna lära sig både matematik och ett nytt språk (svenska) samtidigt. Därför använder vi oss av rytmik som arbetsmetod, en metod som för in musik och rörelse i matematikundervisningen. För de elever som har svårt att ta till sig ord förmedlar musiken ett intellektuellt budskap på ett emotionellt sätt. Musik har en betydande roll vid all slags inlärning, lika mycket som den är ett medel för personlig utveckling (självkänsla). Genom rörelse gör eleven erfarenheter som ligger till grund för upplevelse och förståelse av det stoff som ska läras in.

Vi vill sätta matematiken i ett helhetsperspektiv för att eleverna ska förstå att matematiken redan finns i deras värld. Rytmikens överordnade mål är en helhetsutveckling av kropp, intellekt och känsla.

37

En rytmiklektion innehåller begreppen rum, tid, kraft och form, vilka är kopplade till de visuella, auditiva, taktila och kinestetiska sinnena.

Rum – upplevelser av rummets dimensioner på olika sätt: höjd, bredd, djup, ljud och rörelse m.m. Övningarna kan innebära att röra sig utan att krocka, bedöma avstånd, finna en speciell plats, lokalisera ljud osv.

Tid – både yttre och inre tid. Yttre tid – det oföränderliga, som klockan, årstiderna, dygnsrytmen. Inre tid – det föränderliga, som hjärtslag, andning, puls Musikaliska tidsbegrepp som puls, takt och rytm

Kraft – spänning – avspänning, insikt i kroppens anatomi och rörelsemönster,. koordination, balans, grov- och finmotorik.

Form – En sorts form uppstår då rum, tid och kraft samverkar. En form som kan uttryckas i t.ex. tal, klang, musik, rörelse, bild.

Rytmiklektion med tema Kompass

38

Alla ämnen i skolan förutsätter att eleverna kan uppfatta sinnesintryck. I läsning, skrivning, matematik och geografi är form-, riktnings- och rumsuppfattning nödvändiga förkunskaper. För att ett barn ska förstå geometri behöver de i tur och ordning utveckla:

• kroppsuppfattning • förnimmelse av lateralitet (känsla av att kroppen har två sidor) • dominans (höger/vänster) • riktningsuppfattning (kunna orientera sig i rummet, naturen och trafiken, bedöma

väderstrecken, lära sig geografi.) • rumsuppfattning (förutsättning för att kunna orientera sig, lära sig geografi, geometri

och uppleva världsrymden) • tidsbegrepp

Barn måste först uppnå en viss kroppsuppfattning. Därefter utvecklas lateraliteten, en känsla av att kroppen har två sidor och barnet blir höger eller vänsterhänt. Slutligen kommer förmågan att utveckla uppfattningen av riktning och av rörelser i tid och rum. En triangel t.ex. består av tre streck som har varsin riktning och omfattar ett rum. Vi har arbetat med många olika teman. Inom geometri har vi valt cirkel, linje/sträcka, punkt, vinklar, kvadrat, rektangel, triangel.

Övriga teman:

• Begrepp • Rumsuppfattning • Taluppfattning • Addition, (tabeller) talen 0 – 10, 1 – 20 • Subtraktion (tabeller) talen 0 – 10, 1 – 20 • Tiotalsövergångar 9 – 10 - 11 19 – 20 - 21 etc. • Vi räknar 100, vägen till mattelandet • Övergångar hundratal 99 – 100 - 101 199 – 200 - 201 etc. • Vi räknar till 1000, sagan om gäddan G östa och gäddan Gärd • Multiplikation/Division • Räkna med notvärden • Taktarter

39

718 Rosengård kan - Matematik med språket som bas

Matematik med språket som bas, heter den rapport vi skrivit efter att vi fått stipendium ur Gudrun Malmers stiftelse. Vi har arbetat med 2 klasser i årskurs 5. Genom gruppundersökningar ville vi öka elevernas samarbetsförmåga, kreativitet och ansvar. När barnen redovisade sina uppgifter för varandra, märkte vi att deras självförtroende och språkliga förmåga utvecklades. Vi låter er prova sådana aktiviteter som vi utvecklat i våra klasser. Petra Adolfsson och Ysanne Bengtsson arbetar på Rosengårdsskolan 1-5. Vi arbetar båda med matematikutveckling på vår skola. För att barnen lättare ska förstå målen, arbetar vi med matematikutveckling med inriktning mot en mer kommunikativ matematikundervisning. Våra erfarenheter visar på att barn med svenska som andraspråk lättare förstår matematikbegreppen när de får undersöka, lösa och samtala om uppgifterna i grupp. Detta främjar även barnens språkutveckling. Workshop Fö Gt Dokumentation Vi vill visa hur vi har arbetat för att bättre nå målen i årskurs 5. Då arbetade vi med följande område:

• Area/Omkrets • Skala • Geometriska figurer • Bråk, procent, decimaltal • Volym • Vikt

Vår praktiska matematikundervisning bygger på följande arbetsgång:

• Problem/Uppgift • Tillfälle till reflektion • Kommunikation (skriftlig och muntlig) • Hemuppgift (anpassad till varje arbetsområde)

Våra elever har gjort en egen kunskapsbok. I den boken samlade de all fakta som de lärde sig under arbetets gång. Tanken är att eleverna ska kunna använda boken som en uppslagsbok i kommande årskurser och fortsätta att fylla på den med nya kunskaper. En önskan är att man i fortsättningen börjar fylla boken redan i förskoleklassen. Vi har, i vårt projekt, utgått från våra erfarenheter om hur barn, med annat modersmål än svenska, utvecklas i matematik. Vi arbetade med två årskurs 5 klasser med sammanlagt 50 elever. Vid schemaläggningen så prioriterade vi matematiken. Vi delade in barnen i halvklasser. Detta gav grupper med ca 12-13 elever i varje grupp. Genom par- och gruppundersökningar ville vi öka deras samarbetsförmåga, kreativitet och ansvar. För att barn ska kunna tänka och prata matematik så krävs det att de får möjlighet att arbeta tillsammans. Pramling, Samuelsson och Mauritzon (1997) hänvisar till forskning som visar att när barn

40

arbetar i par eller tillsammans i mindre grupper är kognitiva utmaningar vanligare än när de arbetar var för sig. Därför bör man organisera verksamheten så att barnen får tillfälle att arbeta i olika gruppkonstellationer. Det måste även finnas möjlighet till individualisering men verksamheten bör inte primärt bygga på att enskilda barn skall arbeta efter olika scheman i sin egen takt. Detta har vi försökt ta fasta på och låtit barnen arbeta mer tillsammans. Dagens utveckling i samhället leder till att fler måste lära sig mer matematik. Kraven är höga på att man ska kunna tillämpa, kommunicera och lösa problem i samhället. En minskad betoning av mekanisk räkning måste ske till förmån för förståelse och resonemang. Därför har lärarens roll i klassrummet ändrats. (Jmf Myndighet för skolutveckling 2003) Enligt Skolverkets rapport, dnr 75-2001-113, har många elever svårt att förstå matematiken i boken därför är det också svårt att under 95 % av undervisningstiden på egen hand upprätthålla lusten att lära. Undervisning i Sverige är oftast, av tradition, en läroboksstyrd undervisning med enskilt tyst tänkande. Eleverna får då inte möjligheten till den sociala interaktion och reflektion som är nödvändig för att de ska utveckla förståelse i matematik. Det är viktigt med sonderat tal vilket innebär att eleven tänker högt. Flera forskare, bl. a. Ann Ahlberg betonar också betydelsen av ett tryggt klimat i klassrummet för att eleverna ska våga kommunicera matematik. När elever arbetar tillsammans kan eventuella misstag bli roande istället för att upplevas som ett hot. Svårigheterna behöver inte vara avskräckande utan kan upplevas som en utmaning. Eftersom man arbetar med samma problem vid samma tillfälle, granskas lösningsförslag och antagande av kamrater som är väl insatta i varandras problemlösningsprocess, vilket medför att de kan förstå vilka svårigheter kamraterna kan brottas med. (Ahlberg 1995)

I vårt arbete har vi använt mycket konkret och praktiskt material. Vi vill att våra elever ska kunna dra logiska slutsatser och finna lösningar på problem i samband med laborativa övningar. På så vis används språket som ett instrument i arbetet i klassrummet. Det har stor betydelse för inlärningen att man ägnar mycket tid till att tala matematik. I den elementära undervisningen måste man av naturliga skäl ägna stor uppmärksamhet åt de språkliga inslagen. Ändå visar många undersökningar, att man i allmänhet överskattar elevernas förmåga att förstå verbala förklaringar. I gengäld underskattar man deras kreativa förmåga. (Malmer 1990) Eftersom våra elever är 11-12 år så är de i fasen för konkret tänkande, enligt Piagets utvecklingsfaser. Piaget beskriver fasen för konkret tänkande så här: Konkret tänkande (mellan 7-8 år och upp till 11-12 år). Det är egentligen först under denna period som det går att bygga upp fungerande matematiska begrepp, men dessa bör hela tiden vara knutna till handling, till konkreta materiella erfarenheter. Under detta stadium kan barnet utveckla relationsbegrepp och därmed förstå sambandet mellan helheten och delarna. (Malmer 1990)

41

Gudrun Malmer har synliggjort hur matematikinlärningen fungerar med nedanstående skiss. Denna har inspirerat oss mycket och gett oss belägg för våra egna antaganden. (Malmer 1990) Vi presenterar vårt arbetssätt samt låter er prova några av övningarna vi har gjort med barnen. Litteraturförteckning Ahlberg, Ann (1995). Barn och matematik, Studentlitteratur, Lund Malmer, Gudrun (1990). Kreativ matematik, Ekelunds Förlag AB, Falköping Myndighet för skolutveckling (2003). Baskunnande i matematik Pramling, Samuelsson, Mauritzon (1997). Att lära som sexåring, Skolverket, Stockholm Skolverkets rapport dnr 75-2001-113

VERKLIGHET Konkret situation Muntlig form Text

PERCEPTION Undersökande Laborerande Språklig kompetens ”Översätta”

BEARBETNING Begrepp Färdigheter Matematisk modell Symbolspråk

42

719 Samspels-och läroprocesser i matematikklassrummet

Utifrån ett flertal studier, 2003-2005, med både grundskoleelever och basårstudenter, har fokus varit den språkliga interaktionen i matematikundervisningen. Det sociokulturella perspektivet har varit centralt i våra studier. Under detta pass ställer vi frågan om matematikundervisningen står inför ett paradigmskifte. Ia Kling-Sackerud, universitetsadjunkt Annalisa Rådeström,universitetsadjunkt Vi arbetar på institutionen Ma T Nv , lärarutbildningen Umeå universitet. Workshop Alla

43

720 Är läroboken detsamma som kursen? Målstyrd, elevaktiv matematikundervisning och utvärdering

Matematikämnets strävansmål och kursens uppnåendemål styr vår undervisningen och examinationen och inte innehållet i en lärobok. Vi visar hur vi låter kursmålen utgöra innehållsförteckningen i vår egenkonstruerade ”lärobok” som vi satt samman av övningar för att träna flera nödvändiga färdigheter i ämnet och få eleverna att jobba mer aktivt under lektionerna. Eleverna arbetar i mindre grupper och individualiseringen sker inom uppgiften. Övningarnas utseende styr utvärderingen och vi försöker bedöma elevernas kunskaper ur flera olika aspekter med utgångspunkt i de nationella provens bedömningsmall. Carina Svedholm, gymnasielärare i matematik och datakunskap tillsammans med Marianne Forss, lärare i matematik, naturkunskap och biologi. Vi arbetar båda på Palmcrantzskolan i Jämtlands gymnasieförbund. Föreläsning Alla Dokumentation

Inledning För flera år sedan tog matematiklärarna på vår gymnasieskola ett gemensamt beslut att försöka variera undervisningen mer och låta eleverna redovisa sina kunskaper både skriftligt och muntligt. Detta formulerade vi i vår lokala arbetsplan för matematikundervisningen. Vi hade och har därefter ställt i ordning ett stort antal laborationer och övningar som vi tagit ur olika förlags och författares material. Laborationerna och övningarna sågs som ett komplement till läroboken i vår arbetsplan. Ett problem vi lärare upplevde var att eleverna många gånger såg dessa uppgifter och aktiviteter som något ”vid sidan av” som inte hade mer betydelse än att ”ha lite roligt” i början eller slutet av en lektion. Flera upplevde det som att de inte hann med ”det väsentliga”, det vill säga lärobokens uppgifter. Läroboken upplevdes som själva kursen, och när man gjort flertalet av uppgifterna i boken var man ”klar”. Detta kändes otillfredsställande för några av oss lärare, och för något år sedan tog vi beslutet att låta dessa laborationer och uppgifter, som ibland ingår i ämnesövergripande projekt, utgöra basen för undervisningen i matematik A. Läroboken skulle endast finnas som referensmaterial att använda som uppslagsbok eller för färdighetsträning i vissa moment, och vi delade inte ut den förrän en bit in i kursen.

Planering, genomförande och examination Inför varje delavsnitt (numerisk räkning, geometri, statistik, algebra och funktioner) satte vi lärare oss tillsammans och gick igenom målen för området. Vi tog med oss all litteratur, läroböcker och övningar som fanns tillgängliga (se referenslista nedan). Till varje delmål tog vi fram ett par, tre uppgifter som tränade olika färdigheter inom området. Uppgifterna skulle leda till större aktivitet, diskussioner, större förståelse och lättare att se samband, men också en viss del färdighetsträning, ibland förpackad annorlunda än i läroboken. Vi har jobbat med ämnets strävansmål, kursplanerna med betygskriterierna och den generella matrisen för

44

aspektbedömning i de nationella proven i fokus, och vi har kopplat varje uppgift till uppnåendemålen. Eleverna jobbar i mindre grupper om 2-5 personer beroende på hur uppgiften ser ut. Individualiseringen sker inom uppgiften, grupperna är sammansatta av oss eller av slumpen (lottning) så att elever med olika stora förkunskaper och olika individuella mål finns i varje grupp. Uppgifterna ska leda till aktivitet och diskussioner. Det ska finnas flera uppgifter av karaktären att de går att tillämpa i matrisen för aspektbedömning – metodval och genomförande, matematiskt resonemang samt redovisning och matematiskt språk. Våra lektioner är ca 90 minuter långa, och vi inleder och avslutar med att koppla lektionen till målet för avsnittet. Undervisningen och aktiviteterna måste genomsyra examinationsuppgifterna. Det har gjort att vi fått fler variationer i våra ”prov” både vad gäller utformning av uppgifter och redovisningssätt. Eleverna har redovisat individuellt eller i grupp, skriftligt eller muntligt. Vi försöker bedöma elevernas kunskaper ur flera olika aspekter, och har jobbat med de nationella kursprovens bedömningsmall som utgångspunkt. Under vår föreläsning delar vi med oss av konkreta exempel på en planering, övningsuppgifter och examinationsuppgifter som vi använt oss av.

Referenslista Wiklund/Jacobsson/Lilja/Wallin, SP/a, Liber Pyramid Lärarhandledning SP/a, Liber Pyramid Björk/Borg/Brolin/Ekstig/Heikne/Larsson, Matematik 3000 Kurs A, Natur och Kultur Lärarhandledning Matematik 3000 kurs A, Natur och Kultur Björk/Brolin, Kurs A och B övningsbok, Naturvetenskap och teknik, Natur och Kultur Gennow/Gustafsson/Johansson, Exponent A, Gleerups Lärarpärm Exponent A, Gleerups Uppslagsboken, Nämnaren tema, NCM/Närmaren Heikne/Larsson, 111 Laborativa matematikuppgifter

45

721 Fra eventyr til eventyr - eller fra Per, Pål og Espen Askeladd til Pascals talltrekant

De naturlige tall forekommer enkeltvis, i rekker og i flater. En av disse flatene kalles Pascals talltrekant. Barn (og voksne) kan gjenoppdage denne "tokanten" gjennom flere aktiviteter, bl.a. en urettferdig fordeling mellom brødre. Vi ser på antall muligheter, gjenoppdager "tokanten" og ser på sammenhengen mellom den og en annen tall-flate: multiplikasjons-tabellen. Et opplegg som passer å gjennomføre med elever fra 10-12 år og oppover. Dette verksted er en bearbeidet versjon av verksted jeg har hatt på samling i Loen september 2004 og Lamis sitt sommerkurs på Asker august 2005. Kurt M. Klungland er lærer med 25 års erfaring. De siste år har han også virket som ressursperson ved Nasjonalt Senter for Matematikk i Opplæringen, Norge. Underviser i matematikk i hele grunnskolen (5-15 år). kurt.mikal.klungland@samfundet.org Workshop Gr

Dokumentation Vi skal mest arbeide med de naturlige, hele, positive tallene. Arbeidet kan utvides til negative tall og brøker, men det lar vi ligge nå. De naturlige hele tall opptrer i dimensjoner:

• enkeltvis, som punkter på tallinja • endimensjonalt, som tallrekker med definerte sprang mellom enkelt-tallene, og • todimensjonalt, som i Pascals talltrekant og multiplikasjonstabellen

Berthold Volker (DK) og jeg har i sommer også sett på interessante summer og produkter en får ved å betrakte talltrekanten og gangetabellen tredimensjonalt, som kuber eller pyramider, og vi ser at også der er det sammenhenger mellom de to ”tabellene”.

Tall som punkter på tallinja La oss først se på noen enkelte tall, f.eks. tallene mellom 20 og 30. Av de 9 tallene er det to primtall – 23 og 29 – som Eratosthenes silte ut og ga til matematikerne for at de skulle leke seg med dem. Resten er rektangeltall, de opptrer som produkter av andre tall enn tallet sjøl og 1. Restene etter Eratosthenes utsiling har barna fått i oppgave å pugge i skolen. De kalles gangetabellen på norsk. Men også her har vi interessante tall. Alle tall er forresten interessante. Hvis det fantes ikke-interessante tall, ville de utgjøre en egen gruppe tall. Blant disse ville det bl.a. finnes det minste ”ikke-interessante tall”. Det var jo interessant!

• 22 er et produkt som kan lages på to måter av to heltall: 1x22 og 2x11 • 24 er et rikt tall. Summen av alle faktorene er større enn tallet sjøl. Ja, finnes det noen

tall som er rikere (prosentvis i forhold til tallet)? • 25 er et kvadrattall: 5x5 • 27 er et kubikktall: 3x3x3 • 28 er et perfekt tall. 28 er lik summen av sine faktorer. 28=1+2+4+7+14

46

• Men 26 er det mest spesielle tall av alle. Det finnes nemlig uendelig mange kvadrat-, kubikk-, rike og perfekte tall, men ingen som 26. Ifølge Simon Singh er 26 det eneste tallet som ligger klemt inne mellom et kvadrat- og et kubikktall. Det er visstnok bevist at ingen andre tall gjør det.

La oss arbeide litt med noen tall: Skriv ned noen regnestykker som blir 24. Dere får to minutter på dere. – Se på hverandres regnestykker. Her har alle muligheter til å få til noe. – Det var Viggo Hartz som ga meg ideen med oppgaven: ”Svaret er 10. Hva er spørsmålet?” Og vi kunne ha gått langt videre med oppgaven. Vi kan f.eks. vurdere om en får flest addisjons- eller subtraksjonsoppgaver som blir 24. Det er jo ”til høyre for null” på tallinja. Eller vi kan gi oss sjøl utfordringer som å bruke flere regnearter, brøk, potenser … Eller begrense oss til å lage tallet med ett eller noen få siffer. Klarer dere f.eks. å lage 24 med 9 regnestykker som alle bruker kun ett av sifrene 1 til 9? Finnes det noen tall som ikke kan lages på denne måten? Når vi har skrevet en del regnestykker som alle blir 24, kan vi sette dem lik hverandre og skjule ett av tallene. Da har vi laget likninger. En annen oppgave: Skriv alle de gangestykker dere kan som gir svar mellom 5 og 8, de inklusive. Ett minutt. – Var det noen som brukte brøk eller desimaltall? Enn negative tall? (Tror ikke det, men hadde deltakerne fått lengre tid, så… Men vi må videre.)

En-dimensjonale rekker av tall Tall opptrer også i rekker. Tallrekka, oddetallen, tre-tabellen osv. er eksempler på det. Kvadrattallene også. De er summer av oddetallene. Oblong-tallene – (n+1)n – er summer av partallene. Og hvis nå vi aldri hadde møtt hverandre før, og alle skulle hilse på hverandre, da ville antall håndtrykk ligge i den tallrekka som heter trekant-tallene, nemlig summen av de naturlige tall. Og enda flere tallrekker finnes. Og flere av disse tallrekkene finner vi igjen i Pascals talltrekant. Men er det noe nytte i å kjenne trekant-tallene?

• Nei, det er kun gledelig. Nydelig. Just for fun. Men dessverre … • Ja, for dermed har du alle svar i en stor tabell. Du slipper å telle, for telling er den

”regneart” som gir høyest feilprosent. Når du har funnet noen svar, gjenkjenner du ”talltrekanten” og du vet da svaret på en hel klase med beslektede oppgaver.

Det gjelder bare å gjenkjenne systemet. Bli fortrolig med tallene. Kjennskap gir vennskap!

Pascals tall-flate 6 Så til eventyret: Det var ei gang ei kjerring som bodde i en skog. Hun hadde 3 sønner. (Det har de i norske folkeeventyr.) Sønnene het Per, Pål og Espen. 7 Mor var høyst oppegående og visste hva som var sunt, så hun ga guttene gulrøtter hver dag. Men i tillegg til et sunt levesett var hun også opptatt av moderne oppdragelse, så hun hadde bare én bestemmelse til guttene: De fikk dele som de ville, men de skulle i alle fall ha én hver. (Om de spiste gulrota var en annen sak.)

6 Det kalles vanligvis talltrekant, men siden en trekant har tre sider, og denne tall-flata kun har to sider (rekker med enere) og ”den tredje” er uendelig, og siden ”to-kant” er et vanskelig begrep, kaller jeg det flate. 7 Ideen til eventyret har jeg fått på et kurs med Ingvill Stedøy.

47

Og siden undervisningsministeren hadde sagt at vi må heve matematikk-kompetansen, ga mor sønnene sine den utfordring å finne ut hvor mange måter de kunne dele gulrøttene på. (I stedet for gulrøtter, bruker vi små brikker. Ta 7 brikker –hvilken farge dere vil – og fordel dem slik at de 3 guttene får minst ei gulrot hver.) Finn alle muligheter. (Det lønner seg å notere. Det er noe av det fine som også elevene finner ut, og siden ingen har sagt dem hvordan, bruker de den måten som passer dem. De finner som regel også ut at det lønner seg å arbeide systematisk, og de finner ofte ut sitt eget system, som ikke nødvendigvis er likt naboens.) Vis hverandre hvor mange måter dere har funnet, og fortell hverandre hvordan dere fant dem. (Det viser seg ofte at deltakerne har to hovedstrukturer – alt etter hvilke tall de holdt fast ved underveis – men at begge strukturene gir samme resultat, vel å merke når en får med seg alle muligheter en gang.) Vi undersøker også med 6 og 5 gulrøtter, og med 8. Enn 9? Kan vi gjette? Jasså, var det ”hilse-tallene”, trekant-tallene. Minste antall gulrøtter må være 3. Da har vi bare én måte: én til hver. Med 4 gulrøtter kan en av de få 2, mens de andre får 1. Det gir 3 muligheter, for det er jo ikke hipp som happ for Per om det er han eller Pål eller Espen som får mest. Vi lager en tabell over antall muligheter

Gulrøtter 3 4 5 6 7 8 9 10 11 til 3 barn 1 3 6 10 15 21 28 36 45

Men så skjer det noe i skogen. De får en lillebror. Han heter Jon, og straks han har fått sine melketenner, blir han med og deler gulrøtter. Hvor mange muligheter blir det når de 4 guttene skal dele 7 gulrøtter, eller 6 eller… Forresten. Halve forsamlingen skal få en mer tragisk utgave av eventyret: I og med at Kongen hadde utlovet en belønning til den som kunne målbinde prinsessa, mister Per hodet, og da var det bare Pål og Espen igjen. Hvor mange muligheter blir det da? – Og regn med det samme ut mulighetene Espen har når Pål også mister hodet. Det viser seg at den tragiske versjonen er langt lettere enn den lykkelige, men vi ser visse spor. Og etter å ha sluttet å telle, og gått over til å summere to og to tall, ender vi opp med denne tabellen:

Gulrøtter 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Espen 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 to barn 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 tre barn 1 3 6 10 15 21 28 36 45 fire barn 1 4 10 20 35 56 84 120

48

Og vi kan fortsette med flere søsken. Vi oppdager symmetrier loddrett i tabellen, og vi oppdager at de vannrette linjene også går på skrå nedover. Dette er Pascals talltrekant. I denne kan vi også finne gangetabellen, Fibonacci-tallene, toerpotenser m.m. Flere oppgaver ligger på www.matematikk.org fra 6. klasse til videregående. Vi har gjenoppdaget ”trekanten”. Mitt budskap er at dette bør elevene også få gjøre. Eventyret var bare én av innfallsvinklene. Vi kan også se på kjøremuligheter i Kvadraturen i Kristiansand fra gatekryss til gatekryss,

eller på ”veier” fram til et resultat på en fotballkamp (antall muligheter for rekkefølge av skåringene). Se http://www.matematikk.org/artikkel/uopplegg/vis.html?id=247 Som jeg nevnte er multiplikasjonstabellen den andre tall-flate jeg kjenner. Også den har bare to sider, nemlig de naturlige tallene. Men her er tallene ”inni” som kjent produkter av tallene langs de to kantene.

Bildet over er tatt på Nordfjordeid august 2004. Jeg laget multiplikasjonstabellen av isopor-kuler til ”Mathematical Circus” under ICME i København, juli 2004. Damen på bildet prøver å lage et tetraeder av ei rekke i tabellen, noe som er fullt mulig. Se min artikkel Tetraedere og kuber i gangetabellen, i Tangenten nr 1, 2004. (Jeg har også skrevet om det samme i Matematik (DK) nr 7, 2005.)

49

Mitt budskap er: • La elevene bli kjent i tallenes verden. • Kjennskap gir vennskap!

Egersund, 3. desember 2005 Kurt Klungland

50

722 The Japanese open approach to mathematics teaching

The so-called open approach is a style of teaching mathematics that has been developed in Japan about 30 years ago. Its central idea is to promote pupils’ creativity and problem solving via certain exercises. There is a lot of material on the method in English (e.g. Becker & Shimada: The Open-Ended Approach, NCTM 1997; the research papers of Nohda in the journal ZDM). In the workshop, a brief overview of the theoretical background is given. The main content of the workshop is working on the Japanese problems from the book Becker & Shimada and from other sources. Erkki Pehkonen är professor i matematikdidaktik vid Institutionen för tillämpad pedagogik vid Helsingfors universitet). Workshop Gr Gy

51

724 Låt dina elever rita matematikkartor – 1

Detta är Del 1 av workshopet Matematikkartor 1-2-3 som pågår under tre timmar. Syftet är att deltagarna provar idén med matematikkartor genom att konstruera en matematikkarta i grupp som täcker hela grundskolans matematik. Del 1 (Pass 7, nr 724) Demonstration av matematikkartor av Mia Selander, Anna Svärd och Håkan Lennerstad. Del 2 (Pass 9, nr 924)) Workshopets deltagare delas in i smågrupper för diskussion och skiss om möjliga sätt att gestalta grundskolans matematik som en karta. Del 3 (Pass 10, nr 1024) Workshopets deltagare samlas och en gemensam karta ritas genom att sätta samman idéerna från grupperna i Del 2. En matematikkarta ser vid första anblicken ut som en vanlig karta. Men namn på berg, sjöar, floder, skogar, länder och städer är matematikord eller symboler. Kartans topografi är konst-ruerad för att motsvara matematiska begrepp och deras samband eller släktskap. Konstruktör-erna, vanligen elever, bestämmer på vilket sätt detta sker. Elevgrupperna tycks nästan omedel-bart påbörja dialoger om sambanden mellan matematiska begrepp, för att bestämma hur kar-tan kan byggas upp. De börjar på nya sätt verbalisera många år av matematiklärande.

Mia Selander är adjunkt i matematik vid grundskolan Friskolan Asken, Strängnäs. Anna Svärd är adjunkt vid Ehrensvärdska gymnasiet i Karlskrona. Håkan Lennerstad är docent i tillämpad matematik vid Blekinge Tekniska Högskola. Workshop Gr Gy

Dokumentation Bakgrund Matematikkartor har ritats av grupper av grundskolelever, gymnasielever och lärarutbildare. I reaktionerna har man beskrivit upplevelsen av frihet och utbyte av varandras synpunkter vid konstuerandet. De som deltar får tillgång till en helhetsbild av de matematiska kunskaper man själv besitter, flera elever har blivit förvånade över att det är så mycket matematik som de kan. Kartan ger möjlighet att på samma plats gestalta matematiska förhållanden och känslo-mässiga relationer till dem, som kanske division med liggande stolen i ett träsk. Kartritandet är en träning på matematikens terminologi eftersom dessa ord är vad som förekommer på kar-tan. Man får också ta ställning till vilka begrepp som är viktiga och bör vara med. Om kartan sätts upp i klassrummet är den en ständigt närvarande minneslista över matematisk termi-nologi med en antydan av dess sammanhang eller betydelse, och en trofé över ett gemensamt arbete. Metoden är också en länk mellan matematik och bildämnet. En bild- och en matematiklärare kan samarbeta. Som deltagare i detta workshop provar du idén genom att själv vara med och rita en matema-tikkarta i grupp. Kartan ska beskriva/antyda/illustrera hela grundskolans matematik – dess be-grepp, kalkylmetoder och vanliga exempel, och hur de hänger ihop. Tag gärna med läroplanen för grundskolan eller läroböcker! Referenser: Håkan Lennerstad, Krister Larsson, Matematikkartor, Nämnaren no 3, 2003. Håkan Lennerstad, Mia Selander, Klass 9A:s matematikkarta, Nämnaren, no 2, 2004. Tine Tillqvist, Ingrid Persson, En matematikkarta, Nämnaren, no 4, 2005.

52

725 HÖJA NIVÅN i matematik - ett lyckat projekt och långsiktig kompetensutveckling från förskola - år 9

Viksjö för-och grundskolor startade 2002 ett behovsstyrd kompetensutvecklingsprojekt för pedagoger i matematik. Det omfattar ca 4000 barn och 300 pedagoger. I år arbetar vi under rubriken matematik-språk-skolutveckling. Vi delger våra erfarenheter från vårt gemensamma bygge. Pi Högdahl, projektledare för Höja Nivån i matematik, Viksjö för-och grundskolor, Järfälla kommun. Birgitta Langermo, ingår i projektgruppen Höja Nivån, 4-6-lärare i ålderintegrerad klass Fjällenskolan, Järfälla kommun Martin Gode, ingår i projektgruppen Höja Nivån, 7-9-matematik-nv-lärare, Viksjöskolan, Järfälla kommun Föreläsning Alla Dokumentation Vi tror att engagerade, kunniga pedagoger med lust till utveckling och lärande får elever med bättre resultat. Våra nyckelord för projektet är: Höja hela nivån, delaktighet, långsiktighet, resultat, genomförande av LPO-94s och LPfö-98s mål, ökad matematisk medvetenhet, ökad metakognition, överföra kunskaper och samordningsvinster och organisation för utvecklingsarbete. Viksjö för och grundskolor, Järfälla kommun, startade våren 2002 en behovsstyrd, långsiktig kompetensutveckling för pedagoger i matematik. Projektet omfattar ca 4000 barn och 300 pedagoger. Vi arbetar utifrån senaste forskning om matematik. Årets arbete har fokus på matematik – språk - skolutveckling Kompetensutvecklingen sker dels på enheterna egna hemmaträffar, dels på nätverksträffar, stora gemensamma proffsföreläsningar och ”kurser” Hemmaträffarna är enhetens egna mattemöten som matematikutvecklarna håller. På träffarna har de work-shops ex utematte , djupdykning i PRIM-gruppens analysschema, skapande av arbetsplaner för matematik. Nätverksträffarna bjuder in alla pedagoger inom resp åldergrupp, ec förskolan, fskl-år 3 osv och alla deltagare visar vad de gör hemma hos sig. Proffsföreläsningar- vi köper in erkända duktiga didaktiker, ex Karl-Åke Kronkvist, Ann Åberg, Håkan Lennerstad, Lisa Björklund, Katarina Källstrand, Margareta Forsbäck, mm som alla våra pedagoger inbjudes till. Kurser. För förskolan tom år 3 finns kursen” Forskningscirkel om Matematiska begrepp” För pedagoger från år 4- år 9 finns Dialogseminariet Matematiska

53

Projektet har en projektgrupp som stödjer/coachar alla enheters matematikutvecklare att leda sin skolas egna utvecklingsarbete. Projektet har också en styrgrupp. Hela projektet finns på www.jarfalla.se under Utbildning, Höja Nivån Där finns all dokumentation samt material att använda för eget utvecklingsarbete.

54

726 Science Center + matematik = SANT

På NAVET i Borås har man kommit långt i sitt arbete med matematik. Lotta Johansson, chef för centrat beskriver hur man arbetar:

På ett science center möter barn, elever och lärare, teknik och naturvetenskap. Mötet är ofta konkret och vardagsnära i vackra, interaktiva utställningar. "Hands on" ger upplevelser och vägar till förståelse. Man skräddarsyr även kompetensutveckling för lärare. I Sverige finns ett femtontal centers fördelade i landet. Från Teknikens Hus i Luleå i norr till Kreativum i Karlshamn i söder.

Lotta Johansson är chef för NAVET i Borås Föreläsning Alla