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STATISIK. LV Nr.: 0028 SS 2005 11.Mai 2005. Streuungsmaße. Varianz Standardabweichung Variationskoeffizient Mittlere absolute Abweichung Spannweite Quartilsabstand Schiefe Wölbung. Varianz. Beobachtungswerte a 1 ,...,a n (metrisch skaliert) - PowerPoint PPT Presentation
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1
STATISIK
LV Nr 0028
SS 2005
11Mai 2005
2
Streuungsmaszlige
bull Varianz
bull Standardabweichung
bull Variationskoeffizient
bull Mittlere absolute Abweichung
bull Spannweite
bull Quartilsabstand
bull Schiefe
bull Woumllbung
3
Varianz
bull Beobachtungswerte a1an (metrisch skaliert)
bull Streuungsmaszlig Arithmetische Mittel der Abweichungsquadrate der Einzelwerte ai von ihrem arithmetischen Mittel
bull Varianz (Mittlere quadratische Abweichung)
n
1i
2i
2 )a(an
1σ
4
Varianz
bull Bsp Koumlrpergroumlszlige von 5 Personen 162 170 155 187 179
bull Arithmetisches Mittel = 1706
bull Varianz (Mittlere quadratische Abweichung) σsup2 = 15 middot [(162-1706)sup2 + hellip + (179-1706)sup2 ] σsup2 = 13144
5
Varianz
bull Streuungsmaszlig quadrierte Summe der Abweichungen - nicht Summe der Abweichungen von ai von ihrem arithm Mittel da gilt
bull Mittlere quadratische Abweichung bezogen auf einen beliebigen Wert M
n
1ii 0)a(a
n
1i
2i M)(a
n
1MQ(M)
6
Varianz
bull Verschiebungssatz (Beziehung zw MQ(M) und Varianz)
bull Das bedeutet ndash MQ(M) Varianzndash MQ(M) = σsup2 wenn M = arithm Mittel ndash Minimumeigenschaft des arithm Mittels
22 M)a(σMQ(M)
)a(MM)(a)a(an
1i
n
1i
2i
2i
7
Varianz
bull Rechenvereinfachung
bull Liegt eine Haumlufigkeitsverteilung vork Merkmalswerte x1xk mit abs Haumlufigkeiten hi bzw rel Haumlufigkeiten fi (i=1k)
bull Varianz
n
1i
22i
n
1i
2i
2 aan
1)a(a
n
1σ
i
n
1i
2i
2 h)x(xn
1σ
i
n
1i
2i
2 f)x(xn
1σ
n
1iii
n
1iii fxhx
n
1xmit
8
Varianz
bull Klassifizierte Daten Haumlufigkeitsverteilung
bull Varianz naumlherungsweise berechnen statt der Merkmalswerte xi werden die Klassenmitten xiacute verwendet
i
n
1i
2i
2 h)xx(n
1σ
i
n
1i
2i
2 f)xx(n
1σ
n
1iii
n
1iii fxhx
n
1xmit
9
Varianz
bull Bei unimodalen Verteilungen ist die Varianz die aus den klassifizierten Daten berechnet wird groumlszliger als die Varianz die aus den Einzelwerten berechnet wird
bull Bei konstanten Klasseneinteilungen (Δx) Sheppardsche Korrektur
σsup2 die aus den klassifizierten Daten naumlherungsweise bestimmte Varianz
12
x)(Δσσ
222
corr
10
Varianz
bull Dimension Quadrat der Dimension der einzelnen Beobachtungen
bull Eigenschaft Varianz immer 0
bull Ist Varianz = 0 liegt keine Streuung vor alle Beobachtungswerte sind gleich und somit auch gleich dem arithmetischen Mittel
11
Standardabweichung
bull Standardabweichung = Quadratwurzel der Varianz
n
1i
2i
2 )a(an
1σσ
12
Varianz amp Standardabweichung
Eigenschaften
bull Lineare Transformation der Einzelwerte ai ai = α + βai (i=1n)
bull Dann Varianz σsup2 = βsup2σsup2 Standardabweichung σ = |β| σ
bull Sonderfall β=1 Transformation ai = α + ai
σsup2 = σsup2 und σ = σ
13
Varianz amp Standardabweichung
bull Eigenschaften
bull Varianz einer Grundgesamtheit die aus 2 Teilgesamtheiten (n1 n2) besteht
mit
21
222
211
21
222
2112
nn
)aa(n)aa(n
nn
σnσnσ
21
2211
nn
anana
14
Standardisierung
bull Standardisierungndash Spezielle lineare Transformationndash Bildet aus Einzelwerten ai standardisierte
Werte zi indem von jedem ai das arithm Mittel μ abgezogen wird und durch die Standardabweichung dividiert wird
bull Arithm Mittel der zi immer 0 bull Varianz der zi immer 1
σ
μaz i
i
15
Variationskoeffizient
bull Streuung zweier oder mehrerer Verteilungen mit sich stark voneinander unterscheidenden Mittelwerten vergleichen
bull Relatives Streuungsmaszlig (fuumlr verhaumlltnis-skalierte Merkmale mit ausschlieszliglich positiven Merkmalswerten) bezieht die Standardabweichung σ (absolutes Streuungsmaszlig) auf das arithm Mittel μ
μ
σVC
16
MAD Mittlere absolute Abw
bull Arithmetisches Mittel der absoluten Abweichungen der einzelnen Merkmalswerte vom Mittelwert (zB arithm Mittel oder Median)
bull Minimumeigenschaft des Medians
M beliebiger Wert
n
1ii |Ma|
n
1MAD
n
1ii
n
1ii |Ma|
n
1|Mea|
n
1
17
MAD
bull Haumlufigkeitsverteilung der Datenbull MAD bezogen auf Mittelwert μ
bull MAD aus Haumlufigkeitsverteilung von klassifizierte Daten ndash Merkmalswerte xi durch Klassenmitten xiacute
ersetzen
i
n
1ii h|μx|
n
1MAD
i
n
1ii f|μx|MAD
18
Spannweite (Range)
bull Abstand zw dem groumlszligten und dem kleinsten Wert
bull Einzelwerte der Groumlszlige nach ordnen a[1]hellipa[n]
R = a[n] - a[1]
bull Haumlufigkeitsverteilung von k Merkmalsauspraumlgungen
R = xk - x1
bull Haumlufigkeitsverteilung von klassifizierten Daten
R = xko - x1
u
bull Spannweite ist instabil gegenuumlber Ausreiszligern
19
Quartilsabstand
bull Quartile Q1 Q2 (=Median) Q3 teilen die Gesamtheit in 4 gleich groszlige Teile
bull α-Quantil
a(k) falls nα keine ganze Zahl (k die auf nα folgende ganze Zahl)
aα= 12 (a(k)+a(k+1)) falls nα ganze Zahl k=nα
bull Quartilsabstand (Interquartile Range) definiert als Spannweite der 50 mittleren Werte
QA = Q3 ndash Q1
bull Eigenschaft stabil gegenuumlber Ausreiszligern
20
Deskriptive Analyse Box-Plot
bull Box-Plot ndash Box beinhaltet 50 der Daten (Grenzen 1
und 3 Quartil) Darstellung des Medians ndash Whiskers maximal 15-mal die Laumlnge der Boxndash Ausreiszliger Werte auszligerhalb der Whiskers
bull Ausreiszliger
bull Krasse Ausreiszliger
21
38N =
GEWICHT
110
100
90
80
70
60
50
40
937
Deskriptive Analyse Box-Plot
bull Box-Plot grafische Darstellung einer Beobachtungsreihe (Verteilung und Struktur)
38N =
GROEszligE
210
200
190
180
170
160
150
140
22
Deskriptive Analyse Box-Plot
bull Box-Plot fuumlr Vergleich von 2 Messreihen
1820N =
SEX
mw
GR
OE
szligE
210
200
190
180
170
160
150
140
28
9
23
Schiefe
bull Gibt Richtung (rechts- oder linksschief) und Groumlszligenordnung der Schiefe einer eingipfligen Haumlufigkeitsverteilung an
lt 0 linksschiefe
g1 = 0 symmetrisch
gt 0 rechtsschiefebull Kein direkter Streuungsparameter
3n
1i
2i
n
1i
3i
1
)a(an1
)a(an1
g
24
Schiefe
bull Schiefe einer Haumlufigkeitsverteilung aus gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten
bull Berechnung mit Klassenmittel und Klassenmitte kann zu unterschiedlichen Ergebnissen fuumlhren
3k
1ii
2i
i
k
1i
3i
1
h)aa(n1
h)aa(n1
g
3k
1ii
2i
i
k
1i
3i
1
h)a(mn1
h)a(mn1
g
25
Schiefe
bull Linksschiefe Verteilung g1 lt 0Linksschiefe Verteilung
Auspraumlgung
Hauml
ufi
gke
it
26
Schiefe
bull Symmetrische Verteilung g1 = 0Symmetrische Verteilung
Auspraumlgung
Hauml
ufi
gke
it
27
Schiefe
bull Rechtschiefe Verteilung g1 gt 0Rechtsschiefe Verteilung
Auspraumlgung
Haumlu
fig
keit
28
Woumllbung
bull Woumllbung od Kurtosis od Exzeszlig Maszligzahl fuumlr eingipflige Haumlufigkeitsvt
bull Gibt an ob (bei gleicher Varianz) das absolute Maximum der Haumlufigkeitsvt groumlszliger als bei der Dichte der Normalvt ist
3
)a(an1
)a(an1
g 2n
1i
2i
n
1i
4i
2
29
Woumllbung
lt 0 abs Max kleiner als bei N-Vt
g2 = 0 Normalverteilung
gt 0 abs Max groumlszliger als bei N-Vt
bull Woumllbung einer Haumlufigkeitsverteilung aus gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten
3
h)aa(n1
h)aa(n1
g 2n
1ii
2i
k
1ii
4i
2
3
h)a(mn1
h)a(mn1
g 2n
1ii
2i
k
1ii
4i
2
30
Konzentrationsmaszlige
bull Metrisch skaliertes Merkmal X mit nur positiven Auspraumlgungen
bull Frage Wie teilt sich die Summe der Merkmalswerte x1hellipxn in der Beobachtungsreihe auf die Untersuchungs-einheiten auf
bull Bsp n landwirtschaftliche Betriebe Groumlszlige der Nutzflaumlchen x1xn Wie teilt sich die gesamte Nutzflaumlche auf die einzelnen Betriebe auf
31
Konzentrationsmaszlige
bull n Merkmalswerte werden durch q Merkmalsauspraumlgungen a1ltltaq mit absoluten- und relativen Haumlufigkeiten hi bzw fi bestimmt
bull Gesamtbetrag der Merkmalswerte in der Beobachtungsreihe
n
1iii
n
1jj hax
32
Konzentrationsmaszlige
bull Lorenzkurve Grafische Darstellung der Konzentration der Merkmalswerte
bull Koordinatenkreuz ndash Abszisse es werden die nach der Groumlszlige der Merkmals-
auspraumlgung geordneten relativen Haumlufigkeiten aufsummiert
ndash Ordinate Auspraumlgungen werden der Groumlszlige nach
aufsummiert und auf Summe aller Auspraumlgungen bezogen
q1ifuumlrfn
hk
i
1jj
i
1j
ji
q1ifuumlr hahalq
1jjj
i
1jjji
33
Konzentrationsmaszlige
bull Verbinden der Punkte (kili) ergibt die Lorenzkurve wobei immer k0=l0=0 und kq=lq=1 gilt
ki
li
0 1
1
34
Konzentrationsmaszlige
bull Interpretation ein Punkt (kili) der Lorenz-kurve gibt an dass auf ki middot 100 der Untersuchungseinheiten li middot 100 des Gesamtbetrages aller Merkmalsaus-praumlgungen entfallen
bull Bsp auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlche
35
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche Betriebendash Abszisse Es wird der Prozentsatz der Betriebe
mit der kleinsten Flaumlche bestimmt dann wird der Prozentsatz der Betriebe mit der zweit-kleinsten Flaumlche bestimmt und zum Prozentsatz der Betriebe mit der kleinsten Flaumlche addiert usw
ndash Ordinate Flaumlchenanteile der Betriebe bzgl der Gesamtflaumlche werden der Flaumlchengroumlszlige nach aufsummiert
36
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeFlaumlchen-groumlszlige
Anzahl der
Betriebe
Flaumlcheng pro
Gruppe
der Betriebe
Flaumlchen-anteile
aufsumm Betriebs-anteile
aufsumm Flaumlchen-anteile
bis 5 ha 21 63 042 0063 042 00635 - 10 ha 9 72 018 0072 060 013510 - 20 ha 9 135 018 0135 078 027020 - 50 ha 8 280 016 028 094 0550gt 50 ha 3 450 006 045 100 1000Gesamt 50 1000 1 1
37
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeLandwirtschaftliche Betriebe
0
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1
aufsummierte Anteile der Betriebe
au
fsu
mm
iert
e F
laumlc
he
na
nte
ile
38
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp Landwirtschaftliche Betriebe
bull Interpretation auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlchendash auf 42 der Betriebe entfallen 63 der Nutzflaumlche
ndash auf 60 der Betriebe entfallen 125 der Nutzflaumlche
ndash auf 78 der Betriebe entfallen 27 der Nutzflaumlche
ndash auf 94 der Betriebe entfallen 55 der Nutzflaumlche
39
Konzentrationsmaszlige
Extremfaumllle
bull Keine Konzentration alle Untersuchungs-einheiten haben den gleichen Anteil am Gesamtbetrag Lorenzkurve ist Diagonale
bull Gesamtbetrag konzentriert sich (fast) vollstaumlndig auf eine Untersuchungseinheit Lorenzkurve liegt (fast) auf Abszisse ist also (fast) senkrecht
40
Konzentrationsmaszlige
Extremfaumllle
0
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
0 02 04 06 08 1
41
Konzentrationsmaszlige
bull Gini-Koeffizient od Lorenzsche Konzentrationsmaszlig (LKM) Maszligzahl fuumlr die Konzentration
bull Definiert als das 2-fache der Flaumlche F zw Diagonale und Lorenzkurve LKM = 2F
bull Es gilt immer 0 LKM (n-1)nbull Standardisierter Gini-Koeffizient
LKMnor = n(n-1) LKM
42
Konzentrationsmaszlige
bull Berechnung von F
ndash k hellip Werte auf Abszisse
ndash l hellip Werte auf Ordinate
ndash q hellip Anzahl der verschiedenen Merkmalsauspraumlgungen
q
1ii 05FF
q
1jjj
iii1-i1ii
i1ii
Ha
Ha
2
kk)l(l
2
kkF
43
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp Landwirtschaftliche Nutzflaumlche
bull LMK = 2F = i2Fi ndash 1 = 16048 ndash 1 = 06408ndash mit i = 1hellip5
bull LKMnor = 5049 middot 06408 = 06539
Flaumlchen-groumlszlige
Flaumlchen-anteile
aufsumm Betriebs-anteile
2 Fi
bis 5 ha 0063 042 0026465 - 10 ha 0072 060 00734410 - 20 ha 0135 078 01863020 - 50 ha 028 094 048630gt 50 ha 045 100 087300Gesamt 1 16455
44
Verhaumlltniszahlen
bull Quotient zweier Maszligzahlen Verhaumlltniszahl
bull Gliederungszahlenndash Man bezieht eine Teilgroumlszlige auf eine ihr
uumlbergeordnete Gesamtgroumlszlige
bull Beziehungszahlenndash Quotient zweier sachlich sinnvoll in
Verbindung stehender Maszligzahlen
bull Index-Zahlenndash Quotient zweier Maszligzahlen gleicher Art
45
Gliederungszahlen
bull Gliederungszahlen
bull Bsp Tagesproduktion 1500 Teile davon 300 fehlerhaft
Dann sind 20 der Tagesproduktion Ausschuss (3001500middot100)
Ausschussanteil ist eine Gliederungszahl
46
Beziehungszahlen
bull Beziehungszahlen
bull Verursachungszahlen
Bezieht Bewegungsmassen auf die zugehoumlrigen Bestandsmassen
bull Entsprechungszahlen
Alle Beziehungszahlen bei denen man Ereignisse nicht auf ihren Bestand beziehen kann
47
Beziehungszahlen
bull Bsp Verursachungszahlen Geburtenziffer
Bestandsmasse Einwohner einer Stadt (E)
Bewegungsmasse Zahl der Lebend-geborenen (L)
G = (LE)1000
Sagt wie viele Geburten auf 1000 Einwohner einer Stadt entfallen
48
Beziehungszahlen
bull Bsp Entsprechungszahlen
Schuumller-Lehrer-Verhaumlltnis
(Zahl der Schuumller) (Zahl der Lehrer)
Sagt wie viele Schuumller (ungefaumlhr) auf eine Lehrer entfallen Dies entspricht aber iA nicht der durchschnittlichen Klassengroumlszlige
49
Indexzahlen
bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt
bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine
realen Sachverhalt
bull (Zusammengesetzte) Indexzahlenndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen
fiktiven Zustand beschreibt
50
Indexzahlen
bull Einfache Indizes
bull Reihe von Maszligzahlen die man in Beziehung zueinander setzen will
x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0
Dann ist
I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2
eine Zeitreihe einfacher Indizes
51
Indexzahlen
bull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziert
bull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0 I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87
Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden
Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor
bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90
Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen
52
Indexzahlen
bull UmbasierenGegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten
bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt
0k
0t
0k
0t
k
tkt I
I
xx
xx
x
xI
53
Indexzahlen
bull Bsp Umsatz fuumlr Jahre 1990 bis 1998
Jahr Umsatz xt x0 xt x4
1990 1240 100 1081991 1210 098 1051992 1180 095 1031993 1190 096 1031994 1150 093 1001995 1080 087 0941996 1120 090 0971997 1130 091 0981998 1200 097 104
54
Indexzahlen
bull Umbasieren Index von 1996 zur Basisperiode 1990 sollen in Index zur Basisperiode 1994 umgerechnet werden ndash I19901996 = 090 (Basisperiode 1990)
ndash I19901994 = 093 (Basisperiode 1990)
ndash I19941996 = 090 093 = 097 (Basisperiode 1994)
bull Verkettung Weiterer Wert fuumlr 1998 ndash I19901998 = I19901994 middot I19941998 = 093 middot 104 = 097
55
Indexzahlen
bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)
bull Betrachte Warenkorb
n Waren zu einem Zeitpunkt t
Mengen qt1qtn
Preise pt1ptn
Wert des Warenkorbes in Periode t
n
1ititiqp
56
Indexzahlen
bull Wertindex
Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0
n
1i0i0i
n
1ititi
0t
qp
qpW
57
Indexzahlen
bull Bsp Durchschnittlicher Verbrauch an Fleisch aller privaten Haushalte in einer Gemeinde Basismonat 1 Berichtsmonat 12 ndash (Mengen in g Preise in DMkg) Fleisch p0i q0i p12i q12i
F1 575 1450 62 1410F2 1225 1260 1355 1200F3 241 50 248 50F4 178 210 181 215F5 455 2450 46 2470F6 1025 1310 104 1230F7 89 980 91 930
gesamt 7710 7505
58
Indexzahlen
bull Bsp Wertindex n 7
ti ti 12i 12ii 1 i 1
0t n 7
0i 0i 0i 0ii 1 i 1
p q p q627505
W 10119620125p q p q
Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i
F1 575 1450 62 1410 83375 8742F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260F3 241 50 248 50 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915F5 455 2450 46 2470 111475 11362F6 1025 1310 104 1230 134275 12792F7 89 980 91 930 8722 8463
gesamt 7710 7505 620125 627505
59
Indexzahlen
bull Bsp Wertindex ndash 100 middot W012 = 100 middot 10119 = 10119
ndash Dh der tatsaumlchliche Aufwand fuumlr Fleisch fuumlr die privaten Haushalte ist vom Basismonat bis zum Berichtsmonat um 119 gestiegen
ndash Es ist hier nicht beruumlcksichtigt dass der durchschnittliche Verbrauch im Berichtsmonat um 205g geringer ist
60
Indexzahlen
bull Preisindizes
bull Aussagen uumlber die Preisentwicklung
bull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche Mengenschema verwenden
61
Indexzahlen
bull Preisindex nach Paasche
bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
62
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Paasche
Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i p0iq12i p12iq0i
F1 575 1450 62 1410 83375 8742 81075 8990F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260 14700 17073F3 241 50 248 50 1205 1240 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915 3827 3801F5 455 2450 46 2470 111475 11362 112385 11270F6 1025 1310 104 1230 134275 12792 126075 13624F7 89 980 91 930 8722 8463 8277 8918
gesamt 7710 7505 620125 627505 599625 64916
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
63
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Paasche
bull Dh nimmt man fuumlr beide Monaten den durchschnittlichen Verbrauch an Fleisch im Berichtsmonat als Mengenschema (Warenkorb) an so sind die Preise in diesem Zeitraum um 465 gestiegen
65104559962
562750100
qp
qp100
qp
qpP100 7
1i12i0i
7
1i12i12i
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
64
Indexzahlen
bull Preisindex nach Laspeyres
bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
qp
qpP
65
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Laspeyres
bull Dh Fuumlr die im Basismonat verbrauchten Mengen an Fleisch muss man in der Berichtsperiode 468 mehr Geld ausgeben
68104562012
64916100
qp
qp100
qp
qpP100 7
1i0i0i
7
1i0i12i
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
66
Indexzahlen
bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres
bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)
bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)
bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden
bull Fishersche Idealindex LPF III
67
Indexzahlen
bull Mengenindizes
bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung (unabhaumlngig von der Preisentwicklung)
68
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Paasche
bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
qp
qpQ
69
Indexzahlen
bull Bsp Mengenindex nach Paasche
bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen im Berichtsmonat ist um 334 gesunken
669664916
562750100
qp
qp100
qp
qpQ100 7
1i0i12i
7
1i12i12i
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
70
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Laspeyres
bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
qp
qpQ
71
Indexzahlen
bull Bsp Mengenindex nach Laspeyres
bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen zum Basismonat ist um 331 gesunken
6996562012
559962100
qp
qp100
qp
qpQ100 7
1i0i0i
7
1i12i0i
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
2
Streuungsmaszlige
bull Varianz
bull Standardabweichung
bull Variationskoeffizient
bull Mittlere absolute Abweichung
bull Spannweite
bull Quartilsabstand
bull Schiefe
bull Woumllbung
3
Varianz
bull Beobachtungswerte a1an (metrisch skaliert)
bull Streuungsmaszlig Arithmetische Mittel der Abweichungsquadrate der Einzelwerte ai von ihrem arithmetischen Mittel
bull Varianz (Mittlere quadratische Abweichung)
n
1i
2i
2 )a(an
1σ
4
Varianz
bull Bsp Koumlrpergroumlszlige von 5 Personen 162 170 155 187 179
bull Arithmetisches Mittel = 1706
bull Varianz (Mittlere quadratische Abweichung) σsup2 = 15 middot [(162-1706)sup2 + hellip + (179-1706)sup2 ] σsup2 = 13144
5
Varianz
bull Streuungsmaszlig quadrierte Summe der Abweichungen - nicht Summe der Abweichungen von ai von ihrem arithm Mittel da gilt
bull Mittlere quadratische Abweichung bezogen auf einen beliebigen Wert M
n
1ii 0)a(a
n
1i
2i M)(a
n
1MQ(M)
6
Varianz
bull Verschiebungssatz (Beziehung zw MQ(M) und Varianz)
bull Das bedeutet ndash MQ(M) Varianzndash MQ(M) = σsup2 wenn M = arithm Mittel ndash Minimumeigenschaft des arithm Mittels
22 M)a(σMQ(M)
)a(MM)(a)a(an
1i
n
1i
2i
2i
7
Varianz
bull Rechenvereinfachung
bull Liegt eine Haumlufigkeitsverteilung vork Merkmalswerte x1xk mit abs Haumlufigkeiten hi bzw rel Haumlufigkeiten fi (i=1k)
bull Varianz
n
1i
22i
n
1i
2i
2 aan
1)a(a
n
1σ
i
n
1i
2i
2 h)x(xn
1σ
i
n
1i
2i
2 f)x(xn
1σ
n
1iii
n
1iii fxhx
n
1xmit
8
Varianz
bull Klassifizierte Daten Haumlufigkeitsverteilung
bull Varianz naumlherungsweise berechnen statt der Merkmalswerte xi werden die Klassenmitten xiacute verwendet
i
n
1i
2i
2 h)xx(n
1σ
i
n
1i
2i
2 f)xx(n
1σ
n
1iii
n
1iii fxhx
n
1xmit
9
Varianz
bull Bei unimodalen Verteilungen ist die Varianz die aus den klassifizierten Daten berechnet wird groumlszliger als die Varianz die aus den Einzelwerten berechnet wird
bull Bei konstanten Klasseneinteilungen (Δx) Sheppardsche Korrektur
σsup2 die aus den klassifizierten Daten naumlherungsweise bestimmte Varianz
12
x)(Δσσ
222
corr
10
Varianz
bull Dimension Quadrat der Dimension der einzelnen Beobachtungen
bull Eigenschaft Varianz immer 0
bull Ist Varianz = 0 liegt keine Streuung vor alle Beobachtungswerte sind gleich und somit auch gleich dem arithmetischen Mittel
11
Standardabweichung
bull Standardabweichung = Quadratwurzel der Varianz
n
1i
2i
2 )a(an
1σσ
12
Varianz amp Standardabweichung
Eigenschaften
bull Lineare Transformation der Einzelwerte ai ai = α + βai (i=1n)
bull Dann Varianz σsup2 = βsup2σsup2 Standardabweichung σ = |β| σ
bull Sonderfall β=1 Transformation ai = α + ai
σsup2 = σsup2 und σ = σ
13
Varianz amp Standardabweichung
bull Eigenschaften
bull Varianz einer Grundgesamtheit die aus 2 Teilgesamtheiten (n1 n2) besteht
mit
21
222
211
21
222
2112
nn
)aa(n)aa(n
nn
σnσnσ
21
2211
nn
anana
14
Standardisierung
bull Standardisierungndash Spezielle lineare Transformationndash Bildet aus Einzelwerten ai standardisierte
Werte zi indem von jedem ai das arithm Mittel μ abgezogen wird und durch die Standardabweichung dividiert wird
bull Arithm Mittel der zi immer 0 bull Varianz der zi immer 1
σ
μaz i
i
15
Variationskoeffizient
bull Streuung zweier oder mehrerer Verteilungen mit sich stark voneinander unterscheidenden Mittelwerten vergleichen
bull Relatives Streuungsmaszlig (fuumlr verhaumlltnis-skalierte Merkmale mit ausschlieszliglich positiven Merkmalswerten) bezieht die Standardabweichung σ (absolutes Streuungsmaszlig) auf das arithm Mittel μ
μ
σVC
16
MAD Mittlere absolute Abw
bull Arithmetisches Mittel der absoluten Abweichungen der einzelnen Merkmalswerte vom Mittelwert (zB arithm Mittel oder Median)
bull Minimumeigenschaft des Medians
M beliebiger Wert
n
1ii |Ma|
n
1MAD
n
1ii
n
1ii |Ma|
n
1|Mea|
n
1
17
MAD
bull Haumlufigkeitsverteilung der Datenbull MAD bezogen auf Mittelwert μ
bull MAD aus Haumlufigkeitsverteilung von klassifizierte Daten ndash Merkmalswerte xi durch Klassenmitten xiacute
ersetzen
i
n
1ii h|μx|
n
1MAD
i
n
1ii f|μx|MAD
18
Spannweite (Range)
bull Abstand zw dem groumlszligten und dem kleinsten Wert
bull Einzelwerte der Groumlszlige nach ordnen a[1]hellipa[n]
R = a[n] - a[1]
bull Haumlufigkeitsverteilung von k Merkmalsauspraumlgungen
R = xk - x1
bull Haumlufigkeitsverteilung von klassifizierten Daten
R = xko - x1
u
bull Spannweite ist instabil gegenuumlber Ausreiszligern
19
Quartilsabstand
bull Quartile Q1 Q2 (=Median) Q3 teilen die Gesamtheit in 4 gleich groszlige Teile
bull α-Quantil
a(k) falls nα keine ganze Zahl (k die auf nα folgende ganze Zahl)
aα= 12 (a(k)+a(k+1)) falls nα ganze Zahl k=nα
bull Quartilsabstand (Interquartile Range) definiert als Spannweite der 50 mittleren Werte
QA = Q3 ndash Q1
bull Eigenschaft stabil gegenuumlber Ausreiszligern
20
Deskriptive Analyse Box-Plot
bull Box-Plot ndash Box beinhaltet 50 der Daten (Grenzen 1
und 3 Quartil) Darstellung des Medians ndash Whiskers maximal 15-mal die Laumlnge der Boxndash Ausreiszliger Werte auszligerhalb der Whiskers
bull Ausreiszliger
bull Krasse Ausreiszliger
21
38N =
GEWICHT
110
100
90
80
70
60
50
40
937
Deskriptive Analyse Box-Plot
bull Box-Plot grafische Darstellung einer Beobachtungsreihe (Verteilung und Struktur)
38N =
GROEszligE
210
200
190
180
170
160
150
140
22
Deskriptive Analyse Box-Plot
bull Box-Plot fuumlr Vergleich von 2 Messreihen
1820N =
SEX
mw
GR
OE
szligE
210
200
190
180
170
160
150
140
28
9
23
Schiefe
bull Gibt Richtung (rechts- oder linksschief) und Groumlszligenordnung der Schiefe einer eingipfligen Haumlufigkeitsverteilung an
lt 0 linksschiefe
g1 = 0 symmetrisch
gt 0 rechtsschiefebull Kein direkter Streuungsparameter
3n
1i
2i
n
1i
3i
1
)a(an1
)a(an1
g
24
Schiefe
bull Schiefe einer Haumlufigkeitsverteilung aus gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten
bull Berechnung mit Klassenmittel und Klassenmitte kann zu unterschiedlichen Ergebnissen fuumlhren
3k
1ii
2i
i
k
1i
3i
1
h)aa(n1
h)aa(n1
g
3k
1ii
2i
i
k
1i
3i
1
h)a(mn1
h)a(mn1
g
25
Schiefe
bull Linksschiefe Verteilung g1 lt 0Linksschiefe Verteilung
Auspraumlgung
Hauml
ufi
gke
it
26
Schiefe
bull Symmetrische Verteilung g1 = 0Symmetrische Verteilung
Auspraumlgung
Hauml
ufi
gke
it
27
Schiefe
bull Rechtschiefe Verteilung g1 gt 0Rechtsschiefe Verteilung
Auspraumlgung
Haumlu
fig
keit
28
Woumllbung
bull Woumllbung od Kurtosis od Exzeszlig Maszligzahl fuumlr eingipflige Haumlufigkeitsvt
bull Gibt an ob (bei gleicher Varianz) das absolute Maximum der Haumlufigkeitsvt groumlszliger als bei der Dichte der Normalvt ist
3
)a(an1
)a(an1
g 2n
1i
2i
n
1i
4i
2
29
Woumllbung
lt 0 abs Max kleiner als bei N-Vt
g2 = 0 Normalverteilung
gt 0 abs Max groumlszliger als bei N-Vt
bull Woumllbung einer Haumlufigkeitsverteilung aus gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten
3
h)aa(n1
h)aa(n1
g 2n
1ii
2i
k
1ii
4i
2
3
h)a(mn1
h)a(mn1
g 2n
1ii
2i
k
1ii
4i
2
30
Konzentrationsmaszlige
bull Metrisch skaliertes Merkmal X mit nur positiven Auspraumlgungen
bull Frage Wie teilt sich die Summe der Merkmalswerte x1hellipxn in der Beobachtungsreihe auf die Untersuchungs-einheiten auf
bull Bsp n landwirtschaftliche Betriebe Groumlszlige der Nutzflaumlchen x1xn Wie teilt sich die gesamte Nutzflaumlche auf die einzelnen Betriebe auf
31
Konzentrationsmaszlige
bull n Merkmalswerte werden durch q Merkmalsauspraumlgungen a1ltltaq mit absoluten- und relativen Haumlufigkeiten hi bzw fi bestimmt
bull Gesamtbetrag der Merkmalswerte in der Beobachtungsreihe
n
1iii
n
1jj hax
32
Konzentrationsmaszlige
bull Lorenzkurve Grafische Darstellung der Konzentration der Merkmalswerte
bull Koordinatenkreuz ndash Abszisse es werden die nach der Groumlszlige der Merkmals-
auspraumlgung geordneten relativen Haumlufigkeiten aufsummiert
ndash Ordinate Auspraumlgungen werden der Groumlszlige nach
aufsummiert und auf Summe aller Auspraumlgungen bezogen
q1ifuumlrfn
hk
i
1jj
i
1j
ji
q1ifuumlr hahalq
1jjj
i
1jjji
33
Konzentrationsmaszlige
bull Verbinden der Punkte (kili) ergibt die Lorenzkurve wobei immer k0=l0=0 und kq=lq=1 gilt
ki
li
0 1
1
34
Konzentrationsmaszlige
bull Interpretation ein Punkt (kili) der Lorenz-kurve gibt an dass auf ki middot 100 der Untersuchungseinheiten li middot 100 des Gesamtbetrages aller Merkmalsaus-praumlgungen entfallen
bull Bsp auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlche
35
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche Betriebendash Abszisse Es wird der Prozentsatz der Betriebe
mit der kleinsten Flaumlche bestimmt dann wird der Prozentsatz der Betriebe mit der zweit-kleinsten Flaumlche bestimmt und zum Prozentsatz der Betriebe mit der kleinsten Flaumlche addiert usw
ndash Ordinate Flaumlchenanteile der Betriebe bzgl der Gesamtflaumlche werden der Flaumlchengroumlszlige nach aufsummiert
36
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeFlaumlchen-groumlszlige
Anzahl der
Betriebe
Flaumlcheng pro
Gruppe
der Betriebe
Flaumlchen-anteile
aufsumm Betriebs-anteile
aufsumm Flaumlchen-anteile
bis 5 ha 21 63 042 0063 042 00635 - 10 ha 9 72 018 0072 060 013510 - 20 ha 9 135 018 0135 078 027020 - 50 ha 8 280 016 028 094 0550gt 50 ha 3 450 006 045 100 1000Gesamt 50 1000 1 1
37
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeLandwirtschaftliche Betriebe
0
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1
aufsummierte Anteile der Betriebe
au
fsu
mm
iert
e F
laumlc
he
na
nte
ile
38
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp Landwirtschaftliche Betriebe
bull Interpretation auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlchendash auf 42 der Betriebe entfallen 63 der Nutzflaumlche
ndash auf 60 der Betriebe entfallen 125 der Nutzflaumlche
ndash auf 78 der Betriebe entfallen 27 der Nutzflaumlche
ndash auf 94 der Betriebe entfallen 55 der Nutzflaumlche
39
Konzentrationsmaszlige
Extremfaumllle
bull Keine Konzentration alle Untersuchungs-einheiten haben den gleichen Anteil am Gesamtbetrag Lorenzkurve ist Diagonale
bull Gesamtbetrag konzentriert sich (fast) vollstaumlndig auf eine Untersuchungseinheit Lorenzkurve liegt (fast) auf Abszisse ist also (fast) senkrecht
40
Konzentrationsmaszlige
Extremfaumllle
0
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
0 02 04 06 08 1
41
Konzentrationsmaszlige
bull Gini-Koeffizient od Lorenzsche Konzentrationsmaszlig (LKM) Maszligzahl fuumlr die Konzentration
bull Definiert als das 2-fache der Flaumlche F zw Diagonale und Lorenzkurve LKM = 2F
bull Es gilt immer 0 LKM (n-1)nbull Standardisierter Gini-Koeffizient
LKMnor = n(n-1) LKM
42
Konzentrationsmaszlige
bull Berechnung von F
ndash k hellip Werte auf Abszisse
ndash l hellip Werte auf Ordinate
ndash q hellip Anzahl der verschiedenen Merkmalsauspraumlgungen
q
1ii 05FF
q
1jjj
iii1-i1ii
i1ii
Ha
Ha
2
kk)l(l
2
kkF
43
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp Landwirtschaftliche Nutzflaumlche
bull LMK = 2F = i2Fi ndash 1 = 16048 ndash 1 = 06408ndash mit i = 1hellip5
bull LKMnor = 5049 middot 06408 = 06539
Flaumlchen-groumlszlige
Flaumlchen-anteile
aufsumm Betriebs-anteile
2 Fi
bis 5 ha 0063 042 0026465 - 10 ha 0072 060 00734410 - 20 ha 0135 078 01863020 - 50 ha 028 094 048630gt 50 ha 045 100 087300Gesamt 1 16455
44
Verhaumlltniszahlen
bull Quotient zweier Maszligzahlen Verhaumlltniszahl
bull Gliederungszahlenndash Man bezieht eine Teilgroumlszlige auf eine ihr
uumlbergeordnete Gesamtgroumlszlige
bull Beziehungszahlenndash Quotient zweier sachlich sinnvoll in
Verbindung stehender Maszligzahlen
bull Index-Zahlenndash Quotient zweier Maszligzahlen gleicher Art
45
Gliederungszahlen
bull Gliederungszahlen
bull Bsp Tagesproduktion 1500 Teile davon 300 fehlerhaft
Dann sind 20 der Tagesproduktion Ausschuss (3001500middot100)
Ausschussanteil ist eine Gliederungszahl
46
Beziehungszahlen
bull Beziehungszahlen
bull Verursachungszahlen
Bezieht Bewegungsmassen auf die zugehoumlrigen Bestandsmassen
bull Entsprechungszahlen
Alle Beziehungszahlen bei denen man Ereignisse nicht auf ihren Bestand beziehen kann
47
Beziehungszahlen
bull Bsp Verursachungszahlen Geburtenziffer
Bestandsmasse Einwohner einer Stadt (E)
Bewegungsmasse Zahl der Lebend-geborenen (L)
G = (LE)1000
Sagt wie viele Geburten auf 1000 Einwohner einer Stadt entfallen
48
Beziehungszahlen
bull Bsp Entsprechungszahlen
Schuumller-Lehrer-Verhaumlltnis
(Zahl der Schuumller) (Zahl der Lehrer)
Sagt wie viele Schuumller (ungefaumlhr) auf eine Lehrer entfallen Dies entspricht aber iA nicht der durchschnittlichen Klassengroumlszlige
49
Indexzahlen
bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt
bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine
realen Sachverhalt
bull (Zusammengesetzte) Indexzahlenndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen
fiktiven Zustand beschreibt
50
Indexzahlen
bull Einfache Indizes
bull Reihe von Maszligzahlen die man in Beziehung zueinander setzen will
x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0
Dann ist
I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2
eine Zeitreihe einfacher Indizes
51
Indexzahlen
bull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziert
bull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0 I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87
Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden
Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor
bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90
Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen
52
Indexzahlen
bull UmbasierenGegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten
bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt
0k
0t
0k
0t
k
tkt I
I
xx
xx
x
xI
53
Indexzahlen
bull Bsp Umsatz fuumlr Jahre 1990 bis 1998
Jahr Umsatz xt x0 xt x4
1990 1240 100 1081991 1210 098 1051992 1180 095 1031993 1190 096 1031994 1150 093 1001995 1080 087 0941996 1120 090 0971997 1130 091 0981998 1200 097 104
54
Indexzahlen
bull Umbasieren Index von 1996 zur Basisperiode 1990 sollen in Index zur Basisperiode 1994 umgerechnet werden ndash I19901996 = 090 (Basisperiode 1990)
ndash I19901994 = 093 (Basisperiode 1990)
ndash I19941996 = 090 093 = 097 (Basisperiode 1994)
bull Verkettung Weiterer Wert fuumlr 1998 ndash I19901998 = I19901994 middot I19941998 = 093 middot 104 = 097
55
Indexzahlen
bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)
bull Betrachte Warenkorb
n Waren zu einem Zeitpunkt t
Mengen qt1qtn
Preise pt1ptn
Wert des Warenkorbes in Periode t
n
1ititiqp
56
Indexzahlen
bull Wertindex
Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0
n
1i0i0i
n
1ititi
0t
qp
qpW
57
Indexzahlen
bull Bsp Durchschnittlicher Verbrauch an Fleisch aller privaten Haushalte in einer Gemeinde Basismonat 1 Berichtsmonat 12 ndash (Mengen in g Preise in DMkg) Fleisch p0i q0i p12i q12i
F1 575 1450 62 1410F2 1225 1260 1355 1200F3 241 50 248 50F4 178 210 181 215F5 455 2450 46 2470F6 1025 1310 104 1230F7 89 980 91 930
gesamt 7710 7505
58
Indexzahlen
bull Bsp Wertindex n 7
ti ti 12i 12ii 1 i 1
0t n 7
0i 0i 0i 0ii 1 i 1
p q p q627505
W 10119620125p q p q
Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i
F1 575 1450 62 1410 83375 8742F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260F3 241 50 248 50 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915F5 455 2450 46 2470 111475 11362F6 1025 1310 104 1230 134275 12792F7 89 980 91 930 8722 8463
gesamt 7710 7505 620125 627505
59
Indexzahlen
bull Bsp Wertindex ndash 100 middot W012 = 100 middot 10119 = 10119
ndash Dh der tatsaumlchliche Aufwand fuumlr Fleisch fuumlr die privaten Haushalte ist vom Basismonat bis zum Berichtsmonat um 119 gestiegen
ndash Es ist hier nicht beruumlcksichtigt dass der durchschnittliche Verbrauch im Berichtsmonat um 205g geringer ist
60
Indexzahlen
bull Preisindizes
bull Aussagen uumlber die Preisentwicklung
bull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche Mengenschema verwenden
61
Indexzahlen
bull Preisindex nach Paasche
bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
62
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Paasche
Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i p0iq12i p12iq0i
F1 575 1450 62 1410 83375 8742 81075 8990F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260 14700 17073F3 241 50 248 50 1205 1240 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915 3827 3801F5 455 2450 46 2470 111475 11362 112385 11270F6 1025 1310 104 1230 134275 12792 126075 13624F7 89 980 91 930 8722 8463 8277 8918
gesamt 7710 7505 620125 627505 599625 64916
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
63
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Paasche
bull Dh nimmt man fuumlr beide Monaten den durchschnittlichen Verbrauch an Fleisch im Berichtsmonat als Mengenschema (Warenkorb) an so sind die Preise in diesem Zeitraum um 465 gestiegen
65104559962
562750100
qp
qp100
qp
qpP100 7
1i12i0i
7
1i12i12i
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
64
Indexzahlen
bull Preisindex nach Laspeyres
bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
qp
qpP
65
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Laspeyres
bull Dh Fuumlr die im Basismonat verbrauchten Mengen an Fleisch muss man in der Berichtsperiode 468 mehr Geld ausgeben
68104562012
64916100
qp
qp100
qp
qpP100 7
1i0i0i
7
1i0i12i
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
66
Indexzahlen
bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres
bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)
bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)
bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden
bull Fishersche Idealindex LPF III
67
Indexzahlen
bull Mengenindizes
bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung (unabhaumlngig von der Preisentwicklung)
68
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Paasche
bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
qp
qpQ
69
Indexzahlen
bull Bsp Mengenindex nach Paasche
bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen im Berichtsmonat ist um 334 gesunken
669664916
562750100
qp
qp100
qp
qpQ100 7
1i0i12i
7
1i12i12i
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
70
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Laspeyres
bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
qp
qpQ
71
Indexzahlen
bull Bsp Mengenindex nach Laspeyres
bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen zum Basismonat ist um 331 gesunken
6996562012
559962100
qp
qp100
qp
qpQ100 7
1i0i0i
7
1i12i0i
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
3
Varianz
bull Beobachtungswerte a1an (metrisch skaliert)
bull Streuungsmaszlig Arithmetische Mittel der Abweichungsquadrate der Einzelwerte ai von ihrem arithmetischen Mittel
bull Varianz (Mittlere quadratische Abweichung)
n
1i
2i
2 )a(an
1σ
4
Varianz
bull Bsp Koumlrpergroumlszlige von 5 Personen 162 170 155 187 179
bull Arithmetisches Mittel = 1706
bull Varianz (Mittlere quadratische Abweichung) σsup2 = 15 middot [(162-1706)sup2 + hellip + (179-1706)sup2 ] σsup2 = 13144
5
Varianz
bull Streuungsmaszlig quadrierte Summe der Abweichungen - nicht Summe der Abweichungen von ai von ihrem arithm Mittel da gilt
bull Mittlere quadratische Abweichung bezogen auf einen beliebigen Wert M
n
1ii 0)a(a
n
1i
2i M)(a
n
1MQ(M)
6
Varianz
bull Verschiebungssatz (Beziehung zw MQ(M) und Varianz)
bull Das bedeutet ndash MQ(M) Varianzndash MQ(M) = σsup2 wenn M = arithm Mittel ndash Minimumeigenschaft des arithm Mittels
22 M)a(σMQ(M)
)a(MM)(a)a(an
1i
n
1i
2i
2i
7
Varianz
bull Rechenvereinfachung
bull Liegt eine Haumlufigkeitsverteilung vork Merkmalswerte x1xk mit abs Haumlufigkeiten hi bzw rel Haumlufigkeiten fi (i=1k)
bull Varianz
n
1i
22i
n
1i
2i
2 aan
1)a(a
n
1σ
i
n
1i
2i
2 h)x(xn
1σ
i
n
1i
2i
2 f)x(xn
1σ
n
1iii
n
1iii fxhx
n
1xmit
8
Varianz
bull Klassifizierte Daten Haumlufigkeitsverteilung
bull Varianz naumlherungsweise berechnen statt der Merkmalswerte xi werden die Klassenmitten xiacute verwendet
i
n
1i
2i
2 h)xx(n
1σ
i
n
1i
2i
2 f)xx(n
1σ
n
1iii
n
1iii fxhx
n
1xmit
9
Varianz
bull Bei unimodalen Verteilungen ist die Varianz die aus den klassifizierten Daten berechnet wird groumlszliger als die Varianz die aus den Einzelwerten berechnet wird
bull Bei konstanten Klasseneinteilungen (Δx) Sheppardsche Korrektur
σsup2 die aus den klassifizierten Daten naumlherungsweise bestimmte Varianz
12
x)(Δσσ
222
corr
10
Varianz
bull Dimension Quadrat der Dimension der einzelnen Beobachtungen
bull Eigenschaft Varianz immer 0
bull Ist Varianz = 0 liegt keine Streuung vor alle Beobachtungswerte sind gleich und somit auch gleich dem arithmetischen Mittel
11
Standardabweichung
bull Standardabweichung = Quadratwurzel der Varianz
n
1i
2i
2 )a(an
1σσ
12
Varianz amp Standardabweichung
Eigenschaften
bull Lineare Transformation der Einzelwerte ai ai = α + βai (i=1n)
bull Dann Varianz σsup2 = βsup2σsup2 Standardabweichung σ = |β| σ
bull Sonderfall β=1 Transformation ai = α + ai
σsup2 = σsup2 und σ = σ
13
Varianz amp Standardabweichung
bull Eigenschaften
bull Varianz einer Grundgesamtheit die aus 2 Teilgesamtheiten (n1 n2) besteht
mit
21
222
211
21
222
2112
nn
)aa(n)aa(n
nn
σnσnσ
21
2211
nn
anana
14
Standardisierung
bull Standardisierungndash Spezielle lineare Transformationndash Bildet aus Einzelwerten ai standardisierte
Werte zi indem von jedem ai das arithm Mittel μ abgezogen wird und durch die Standardabweichung dividiert wird
bull Arithm Mittel der zi immer 0 bull Varianz der zi immer 1
σ
μaz i
i
15
Variationskoeffizient
bull Streuung zweier oder mehrerer Verteilungen mit sich stark voneinander unterscheidenden Mittelwerten vergleichen
bull Relatives Streuungsmaszlig (fuumlr verhaumlltnis-skalierte Merkmale mit ausschlieszliglich positiven Merkmalswerten) bezieht die Standardabweichung σ (absolutes Streuungsmaszlig) auf das arithm Mittel μ
μ
σVC
16
MAD Mittlere absolute Abw
bull Arithmetisches Mittel der absoluten Abweichungen der einzelnen Merkmalswerte vom Mittelwert (zB arithm Mittel oder Median)
bull Minimumeigenschaft des Medians
M beliebiger Wert
n
1ii |Ma|
n
1MAD
n
1ii
n
1ii |Ma|
n
1|Mea|
n
1
17
MAD
bull Haumlufigkeitsverteilung der Datenbull MAD bezogen auf Mittelwert μ
bull MAD aus Haumlufigkeitsverteilung von klassifizierte Daten ndash Merkmalswerte xi durch Klassenmitten xiacute
ersetzen
i
n
1ii h|μx|
n
1MAD
i
n
1ii f|μx|MAD
18
Spannweite (Range)
bull Abstand zw dem groumlszligten und dem kleinsten Wert
bull Einzelwerte der Groumlszlige nach ordnen a[1]hellipa[n]
R = a[n] - a[1]
bull Haumlufigkeitsverteilung von k Merkmalsauspraumlgungen
R = xk - x1
bull Haumlufigkeitsverteilung von klassifizierten Daten
R = xko - x1
u
bull Spannweite ist instabil gegenuumlber Ausreiszligern
19
Quartilsabstand
bull Quartile Q1 Q2 (=Median) Q3 teilen die Gesamtheit in 4 gleich groszlige Teile
bull α-Quantil
a(k) falls nα keine ganze Zahl (k die auf nα folgende ganze Zahl)
aα= 12 (a(k)+a(k+1)) falls nα ganze Zahl k=nα
bull Quartilsabstand (Interquartile Range) definiert als Spannweite der 50 mittleren Werte
QA = Q3 ndash Q1
bull Eigenschaft stabil gegenuumlber Ausreiszligern
20
Deskriptive Analyse Box-Plot
bull Box-Plot ndash Box beinhaltet 50 der Daten (Grenzen 1
und 3 Quartil) Darstellung des Medians ndash Whiskers maximal 15-mal die Laumlnge der Boxndash Ausreiszliger Werte auszligerhalb der Whiskers
bull Ausreiszliger
bull Krasse Ausreiszliger
21
38N =
GEWICHT
110
100
90
80
70
60
50
40
937
Deskriptive Analyse Box-Plot
bull Box-Plot grafische Darstellung einer Beobachtungsreihe (Verteilung und Struktur)
38N =
GROEszligE
210
200
190
180
170
160
150
140
22
Deskriptive Analyse Box-Plot
bull Box-Plot fuumlr Vergleich von 2 Messreihen
1820N =
SEX
mw
GR
OE
szligE
210
200
190
180
170
160
150
140
28
9
23
Schiefe
bull Gibt Richtung (rechts- oder linksschief) und Groumlszligenordnung der Schiefe einer eingipfligen Haumlufigkeitsverteilung an
lt 0 linksschiefe
g1 = 0 symmetrisch
gt 0 rechtsschiefebull Kein direkter Streuungsparameter
3n
1i
2i
n
1i
3i
1
)a(an1
)a(an1
g
24
Schiefe
bull Schiefe einer Haumlufigkeitsverteilung aus gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten
bull Berechnung mit Klassenmittel und Klassenmitte kann zu unterschiedlichen Ergebnissen fuumlhren
3k
1ii
2i
i
k
1i
3i
1
h)aa(n1
h)aa(n1
g
3k
1ii
2i
i
k
1i
3i
1
h)a(mn1
h)a(mn1
g
25
Schiefe
bull Linksschiefe Verteilung g1 lt 0Linksschiefe Verteilung
Auspraumlgung
Hauml
ufi
gke
it
26
Schiefe
bull Symmetrische Verteilung g1 = 0Symmetrische Verteilung
Auspraumlgung
Hauml
ufi
gke
it
27
Schiefe
bull Rechtschiefe Verteilung g1 gt 0Rechtsschiefe Verteilung
Auspraumlgung
Haumlu
fig
keit
28
Woumllbung
bull Woumllbung od Kurtosis od Exzeszlig Maszligzahl fuumlr eingipflige Haumlufigkeitsvt
bull Gibt an ob (bei gleicher Varianz) das absolute Maximum der Haumlufigkeitsvt groumlszliger als bei der Dichte der Normalvt ist
3
)a(an1
)a(an1
g 2n
1i
2i
n
1i
4i
2
29
Woumllbung
lt 0 abs Max kleiner als bei N-Vt
g2 = 0 Normalverteilung
gt 0 abs Max groumlszliger als bei N-Vt
bull Woumllbung einer Haumlufigkeitsverteilung aus gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten
3
h)aa(n1
h)aa(n1
g 2n
1ii
2i
k
1ii
4i
2
3
h)a(mn1
h)a(mn1
g 2n
1ii
2i
k
1ii
4i
2
30
Konzentrationsmaszlige
bull Metrisch skaliertes Merkmal X mit nur positiven Auspraumlgungen
bull Frage Wie teilt sich die Summe der Merkmalswerte x1hellipxn in der Beobachtungsreihe auf die Untersuchungs-einheiten auf
bull Bsp n landwirtschaftliche Betriebe Groumlszlige der Nutzflaumlchen x1xn Wie teilt sich die gesamte Nutzflaumlche auf die einzelnen Betriebe auf
31
Konzentrationsmaszlige
bull n Merkmalswerte werden durch q Merkmalsauspraumlgungen a1ltltaq mit absoluten- und relativen Haumlufigkeiten hi bzw fi bestimmt
bull Gesamtbetrag der Merkmalswerte in der Beobachtungsreihe
n
1iii
n
1jj hax
32
Konzentrationsmaszlige
bull Lorenzkurve Grafische Darstellung der Konzentration der Merkmalswerte
bull Koordinatenkreuz ndash Abszisse es werden die nach der Groumlszlige der Merkmals-
auspraumlgung geordneten relativen Haumlufigkeiten aufsummiert
ndash Ordinate Auspraumlgungen werden der Groumlszlige nach
aufsummiert und auf Summe aller Auspraumlgungen bezogen
q1ifuumlrfn
hk
i
1jj
i
1j
ji
q1ifuumlr hahalq
1jjj
i
1jjji
33
Konzentrationsmaszlige
bull Verbinden der Punkte (kili) ergibt die Lorenzkurve wobei immer k0=l0=0 und kq=lq=1 gilt
ki
li
0 1
1
34
Konzentrationsmaszlige
bull Interpretation ein Punkt (kili) der Lorenz-kurve gibt an dass auf ki middot 100 der Untersuchungseinheiten li middot 100 des Gesamtbetrages aller Merkmalsaus-praumlgungen entfallen
bull Bsp auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlche
35
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche Betriebendash Abszisse Es wird der Prozentsatz der Betriebe
mit der kleinsten Flaumlche bestimmt dann wird der Prozentsatz der Betriebe mit der zweit-kleinsten Flaumlche bestimmt und zum Prozentsatz der Betriebe mit der kleinsten Flaumlche addiert usw
ndash Ordinate Flaumlchenanteile der Betriebe bzgl der Gesamtflaumlche werden der Flaumlchengroumlszlige nach aufsummiert
36
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeFlaumlchen-groumlszlige
Anzahl der
Betriebe
Flaumlcheng pro
Gruppe
der Betriebe
Flaumlchen-anteile
aufsumm Betriebs-anteile
aufsumm Flaumlchen-anteile
bis 5 ha 21 63 042 0063 042 00635 - 10 ha 9 72 018 0072 060 013510 - 20 ha 9 135 018 0135 078 027020 - 50 ha 8 280 016 028 094 0550gt 50 ha 3 450 006 045 100 1000Gesamt 50 1000 1 1
37
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeLandwirtschaftliche Betriebe
0
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1
aufsummierte Anteile der Betriebe
au
fsu
mm
iert
e F
laumlc
he
na
nte
ile
38
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp Landwirtschaftliche Betriebe
bull Interpretation auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlchendash auf 42 der Betriebe entfallen 63 der Nutzflaumlche
ndash auf 60 der Betriebe entfallen 125 der Nutzflaumlche
ndash auf 78 der Betriebe entfallen 27 der Nutzflaumlche
ndash auf 94 der Betriebe entfallen 55 der Nutzflaumlche
39
Konzentrationsmaszlige
Extremfaumllle
bull Keine Konzentration alle Untersuchungs-einheiten haben den gleichen Anteil am Gesamtbetrag Lorenzkurve ist Diagonale
bull Gesamtbetrag konzentriert sich (fast) vollstaumlndig auf eine Untersuchungseinheit Lorenzkurve liegt (fast) auf Abszisse ist also (fast) senkrecht
40
Konzentrationsmaszlige
Extremfaumllle
0
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
0 02 04 06 08 1
41
Konzentrationsmaszlige
bull Gini-Koeffizient od Lorenzsche Konzentrationsmaszlig (LKM) Maszligzahl fuumlr die Konzentration
bull Definiert als das 2-fache der Flaumlche F zw Diagonale und Lorenzkurve LKM = 2F
bull Es gilt immer 0 LKM (n-1)nbull Standardisierter Gini-Koeffizient
LKMnor = n(n-1) LKM
42
Konzentrationsmaszlige
bull Berechnung von F
ndash k hellip Werte auf Abszisse
ndash l hellip Werte auf Ordinate
ndash q hellip Anzahl der verschiedenen Merkmalsauspraumlgungen
q
1ii 05FF
q
1jjj
iii1-i1ii
i1ii
Ha
Ha
2
kk)l(l
2
kkF
43
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp Landwirtschaftliche Nutzflaumlche
bull LMK = 2F = i2Fi ndash 1 = 16048 ndash 1 = 06408ndash mit i = 1hellip5
bull LKMnor = 5049 middot 06408 = 06539
Flaumlchen-groumlszlige
Flaumlchen-anteile
aufsumm Betriebs-anteile
2 Fi
bis 5 ha 0063 042 0026465 - 10 ha 0072 060 00734410 - 20 ha 0135 078 01863020 - 50 ha 028 094 048630gt 50 ha 045 100 087300Gesamt 1 16455
44
Verhaumlltniszahlen
bull Quotient zweier Maszligzahlen Verhaumlltniszahl
bull Gliederungszahlenndash Man bezieht eine Teilgroumlszlige auf eine ihr
uumlbergeordnete Gesamtgroumlszlige
bull Beziehungszahlenndash Quotient zweier sachlich sinnvoll in
Verbindung stehender Maszligzahlen
bull Index-Zahlenndash Quotient zweier Maszligzahlen gleicher Art
45
Gliederungszahlen
bull Gliederungszahlen
bull Bsp Tagesproduktion 1500 Teile davon 300 fehlerhaft
Dann sind 20 der Tagesproduktion Ausschuss (3001500middot100)
Ausschussanteil ist eine Gliederungszahl
46
Beziehungszahlen
bull Beziehungszahlen
bull Verursachungszahlen
Bezieht Bewegungsmassen auf die zugehoumlrigen Bestandsmassen
bull Entsprechungszahlen
Alle Beziehungszahlen bei denen man Ereignisse nicht auf ihren Bestand beziehen kann
47
Beziehungszahlen
bull Bsp Verursachungszahlen Geburtenziffer
Bestandsmasse Einwohner einer Stadt (E)
Bewegungsmasse Zahl der Lebend-geborenen (L)
G = (LE)1000
Sagt wie viele Geburten auf 1000 Einwohner einer Stadt entfallen
48
Beziehungszahlen
bull Bsp Entsprechungszahlen
Schuumller-Lehrer-Verhaumlltnis
(Zahl der Schuumller) (Zahl der Lehrer)
Sagt wie viele Schuumller (ungefaumlhr) auf eine Lehrer entfallen Dies entspricht aber iA nicht der durchschnittlichen Klassengroumlszlige
49
Indexzahlen
bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt
bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine
realen Sachverhalt
bull (Zusammengesetzte) Indexzahlenndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen
fiktiven Zustand beschreibt
50
Indexzahlen
bull Einfache Indizes
bull Reihe von Maszligzahlen die man in Beziehung zueinander setzen will
x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0
Dann ist
I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2
eine Zeitreihe einfacher Indizes
51
Indexzahlen
bull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziert
bull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0 I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87
Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden
Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor
bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90
Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen
52
Indexzahlen
bull UmbasierenGegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten
bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt
0k
0t
0k
0t
k
tkt I
I
xx
xx
x
xI
53
Indexzahlen
bull Bsp Umsatz fuumlr Jahre 1990 bis 1998
Jahr Umsatz xt x0 xt x4
1990 1240 100 1081991 1210 098 1051992 1180 095 1031993 1190 096 1031994 1150 093 1001995 1080 087 0941996 1120 090 0971997 1130 091 0981998 1200 097 104
54
Indexzahlen
bull Umbasieren Index von 1996 zur Basisperiode 1990 sollen in Index zur Basisperiode 1994 umgerechnet werden ndash I19901996 = 090 (Basisperiode 1990)
ndash I19901994 = 093 (Basisperiode 1990)
ndash I19941996 = 090 093 = 097 (Basisperiode 1994)
bull Verkettung Weiterer Wert fuumlr 1998 ndash I19901998 = I19901994 middot I19941998 = 093 middot 104 = 097
55
Indexzahlen
bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)
bull Betrachte Warenkorb
n Waren zu einem Zeitpunkt t
Mengen qt1qtn
Preise pt1ptn
Wert des Warenkorbes in Periode t
n
1ititiqp
56
Indexzahlen
bull Wertindex
Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0
n
1i0i0i
n
1ititi
0t
qp
qpW
57
Indexzahlen
bull Bsp Durchschnittlicher Verbrauch an Fleisch aller privaten Haushalte in einer Gemeinde Basismonat 1 Berichtsmonat 12 ndash (Mengen in g Preise in DMkg) Fleisch p0i q0i p12i q12i
F1 575 1450 62 1410F2 1225 1260 1355 1200F3 241 50 248 50F4 178 210 181 215F5 455 2450 46 2470F6 1025 1310 104 1230F7 89 980 91 930
gesamt 7710 7505
58
Indexzahlen
bull Bsp Wertindex n 7
ti ti 12i 12ii 1 i 1
0t n 7
0i 0i 0i 0ii 1 i 1
p q p q627505
W 10119620125p q p q
Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i
F1 575 1450 62 1410 83375 8742F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260F3 241 50 248 50 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915F5 455 2450 46 2470 111475 11362F6 1025 1310 104 1230 134275 12792F7 89 980 91 930 8722 8463
gesamt 7710 7505 620125 627505
59
Indexzahlen
bull Bsp Wertindex ndash 100 middot W012 = 100 middot 10119 = 10119
ndash Dh der tatsaumlchliche Aufwand fuumlr Fleisch fuumlr die privaten Haushalte ist vom Basismonat bis zum Berichtsmonat um 119 gestiegen
ndash Es ist hier nicht beruumlcksichtigt dass der durchschnittliche Verbrauch im Berichtsmonat um 205g geringer ist
60
Indexzahlen
bull Preisindizes
bull Aussagen uumlber die Preisentwicklung
bull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche Mengenschema verwenden
61
Indexzahlen
bull Preisindex nach Paasche
bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
62
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Paasche
Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i p0iq12i p12iq0i
F1 575 1450 62 1410 83375 8742 81075 8990F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260 14700 17073F3 241 50 248 50 1205 1240 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915 3827 3801F5 455 2450 46 2470 111475 11362 112385 11270F6 1025 1310 104 1230 134275 12792 126075 13624F7 89 980 91 930 8722 8463 8277 8918
gesamt 7710 7505 620125 627505 599625 64916
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
63
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Paasche
bull Dh nimmt man fuumlr beide Monaten den durchschnittlichen Verbrauch an Fleisch im Berichtsmonat als Mengenschema (Warenkorb) an so sind die Preise in diesem Zeitraum um 465 gestiegen
65104559962
562750100
qp
qp100
qp
qpP100 7
1i12i0i
7
1i12i12i
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
64
Indexzahlen
bull Preisindex nach Laspeyres
bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
qp
qpP
65
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Laspeyres
bull Dh Fuumlr die im Basismonat verbrauchten Mengen an Fleisch muss man in der Berichtsperiode 468 mehr Geld ausgeben
68104562012
64916100
qp
qp100
qp
qpP100 7
1i0i0i
7
1i0i12i
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
66
Indexzahlen
bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres
bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)
bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)
bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden
bull Fishersche Idealindex LPF III
67
Indexzahlen
bull Mengenindizes
bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung (unabhaumlngig von der Preisentwicklung)
68
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Paasche
bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
qp
qpQ
69
Indexzahlen
bull Bsp Mengenindex nach Paasche
bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen im Berichtsmonat ist um 334 gesunken
669664916
562750100
qp
qp100
qp
qpQ100 7
1i0i12i
7
1i12i12i
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
70
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Laspeyres
bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
qp
qpQ
71
Indexzahlen
bull Bsp Mengenindex nach Laspeyres
bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen zum Basismonat ist um 331 gesunken
6996562012
559962100
qp
qp100
qp
qpQ100 7
1i0i0i
7
1i12i0i
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
4
Varianz
bull Bsp Koumlrpergroumlszlige von 5 Personen 162 170 155 187 179
bull Arithmetisches Mittel = 1706
bull Varianz (Mittlere quadratische Abweichung) σsup2 = 15 middot [(162-1706)sup2 + hellip + (179-1706)sup2 ] σsup2 = 13144
5
Varianz
bull Streuungsmaszlig quadrierte Summe der Abweichungen - nicht Summe der Abweichungen von ai von ihrem arithm Mittel da gilt
bull Mittlere quadratische Abweichung bezogen auf einen beliebigen Wert M
n
1ii 0)a(a
n
1i
2i M)(a
n
1MQ(M)
6
Varianz
bull Verschiebungssatz (Beziehung zw MQ(M) und Varianz)
bull Das bedeutet ndash MQ(M) Varianzndash MQ(M) = σsup2 wenn M = arithm Mittel ndash Minimumeigenschaft des arithm Mittels
22 M)a(σMQ(M)
)a(MM)(a)a(an
1i
n
1i
2i
2i
7
Varianz
bull Rechenvereinfachung
bull Liegt eine Haumlufigkeitsverteilung vork Merkmalswerte x1xk mit abs Haumlufigkeiten hi bzw rel Haumlufigkeiten fi (i=1k)
bull Varianz
n
1i
22i
n
1i
2i
2 aan
1)a(a
n
1σ
i
n
1i
2i
2 h)x(xn
1σ
i
n
1i
2i
2 f)x(xn
1σ
n
1iii
n
1iii fxhx
n
1xmit
8
Varianz
bull Klassifizierte Daten Haumlufigkeitsverteilung
bull Varianz naumlherungsweise berechnen statt der Merkmalswerte xi werden die Klassenmitten xiacute verwendet
i
n
1i
2i
2 h)xx(n
1σ
i
n
1i
2i
2 f)xx(n
1σ
n
1iii
n
1iii fxhx
n
1xmit
9
Varianz
bull Bei unimodalen Verteilungen ist die Varianz die aus den klassifizierten Daten berechnet wird groumlszliger als die Varianz die aus den Einzelwerten berechnet wird
bull Bei konstanten Klasseneinteilungen (Δx) Sheppardsche Korrektur
σsup2 die aus den klassifizierten Daten naumlherungsweise bestimmte Varianz
12
x)(Δσσ
222
corr
10
Varianz
bull Dimension Quadrat der Dimension der einzelnen Beobachtungen
bull Eigenschaft Varianz immer 0
bull Ist Varianz = 0 liegt keine Streuung vor alle Beobachtungswerte sind gleich und somit auch gleich dem arithmetischen Mittel
11
Standardabweichung
bull Standardabweichung = Quadratwurzel der Varianz
n
1i
2i
2 )a(an
1σσ
12
Varianz amp Standardabweichung
Eigenschaften
bull Lineare Transformation der Einzelwerte ai ai = α + βai (i=1n)
bull Dann Varianz σsup2 = βsup2σsup2 Standardabweichung σ = |β| σ
bull Sonderfall β=1 Transformation ai = α + ai
σsup2 = σsup2 und σ = σ
13
Varianz amp Standardabweichung
bull Eigenschaften
bull Varianz einer Grundgesamtheit die aus 2 Teilgesamtheiten (n1 n2) besteht
mit
21
222
211
21
222
2112
nn
)aa(n)aa(n
nn
σnσnσ
21
2211
nn
anana
14
Standardisierung
bull Standardisierungndash Spezielle lineare Transformationndash Bildet aus Einzelwerten ai standardisierte
Werte zi indem von jedem ai das arithm Mittel μ abgezogen wird und durch die Standardabweichung dividiert wird
bull Arithm Mittel der zi immer 0 bull Varianz der zi immer 1
σ
μaz i
i
15
Variationskoeffizient
bull Streuung zweier oder mehrerer Verteilungen mit sich stark voneinander unterscheidenden Mittelwerten vergleichen
bull Relatives Streuungsmaszlig (fuumlr verhaumlltnis-skalierte Merkmale mit ausschlieszliglich positiven Merkmalswerten) bezieht die Standardabweichung σ (absolutes Streuungsmaszlig) auf das arithm Mittel μ
μ
σVC
16
MAD Mittlere absolute Abw
bull Arithmetisches Mittel der absoluten Abweichungen der einzelnen Merkmalswerte vom Mittelwert (zB arithm Mittel oder Median)
bull Minimumeigenschaft des Medians
M beliebiger Wert
n
1ii |Ma|
n
1MAD
n
1ii
n
1ii |Ma|
n
1|Mea|
n
1
17
MAD
bull Haumlufigkeitsverteilung der Datenbull MAD bezogen auf Mittelwert μ
bull MAD aus Haumlufigkeitsverteilung von klassifizierte Daten ndash Merkmalswerte xi durch Klassenmitten xiacute
ersetzen
i
n
1ii h|μx|
n
1MAD
i
n
1ii f|μx|MAD
18
Spannweite (Range)
bull Abstand zw dem groumlszligten und dem kleinsten Wert
bull Einzelwerte der Groumlszlige nach ordnen a[1]hellipa[n]
R = a[n] - a[1]
bull Haumlufigkeitsverteilung von k Merkmalsauspraumlgungen
R = xk - x1
bull Haumlufigkeitsverteilung von klassifizierten Daten
R = xko - x1
u
bull Spannweite ist instabil gegenuumlber Ausreiszligern
19
Quartilsabstand
bull Quartile Q1 Q2 (=Median) Q3 teilen die Gesamtheit in 4 gleich groszlige Teile
bull α-Quantil
a(k) falls nα keine ganze Zahl (k die auf nα folgende ganze Zahl)
aα= 12 (a(k)+a(k+1)) falls nα ganze Zahl k=nα
bull Quartilsabstand (Interquartile Range) definiert als Spannweite der 50 mittleren Werte
QA = Q3 ndash Q1
bull Eigenschaft stabil gegenuumlber Ausreiszligern
20
Deskriptive Analyse Box-Plot
bull Box-Plot ndash Box beinhaltet 50 der Daten (Grenzen 1
und 3 Quartil) Darstellung des Medians ndash Whiskers maximal 15-mal die Laumlnge der Boxndash Ausreiszliger Werte auszligerhalb der Whiskers
bull Ausreiszliger
bull Krasse Ausreiszliger
21
38N =
GEWICHT
110
100
90
80
70
60
50
40
937
Deskriptive Analyse Box-Plot
bull Box-Plot grafische Darstellung einer Beobachtungsreihe (Verteilung und Struktur)
38N =
GROEszligE
210
200
190
180
170
160
150
140
22
Deskriptive Analyse Box-Plot
bull Box-Plot fuumlr Vergleich von 2 Messreihen
1820N =
SEX
mw
GR
OE
szligE
210
200
190
180
170
160
150
140
28
9
23
Schiefe
bull Gibt Richtung (rechts- oder linksschief) und Groumlszligenordnung der Schiefe einer eingipfligen Haumlufigkeitsverteilung an
lt 0 linksschiefe
g1 = 0 symmetrisch
gt 0 rechtsschiefebull Kein direkter Streuungsparameter
3n
1i
2i
n
1i
3i
1
)a(an1
)a(an1
g
24
Schiefe
bull Schiefe einer Haumlufigkeitsverteilung aus gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten
bull Berechnung mit Klassenmittel und Klassenmitte kann zu unterschiedlichen Ergebnissen fuumlhren
3k
1ii
2i
i
k
1i
3i
1
h)aa(n1
h)aa(n1
g
3k
1ii
2i
i
k
1i
3i
1
h)a(mn1
h)a(mn1
g
25
Schiefe
bull Linksschiefe Verteilung g1 lt 0Linksschiefe Verteilung
Auspraumlgung
Hauml
ufi
gke
it
26
Schiefe
bull Symmetrische Verteilung g1 = 0Symmetrische Verteilung
Auspraumlgung
Hauml
ufi
gke
it
27
Schiefe
bull Rechtschiefe Verteilung g1 gt 0Rechtsschiefe Verteilung
Auspraumlgung
Haumlu
fig
keit
28
Woumllbung
bull Woumllbung od Kurtosis od Exzeszlig Maszligzahl fuumlr eingipflige Haumlufigkeitsvt
bull Gibt an ob (bei gleicher Varianz) das absolute Maximum der Haumlufigkeitsvt groumlszliger als bei der Dichte der Normalvt ist
3
)a(an1
)a(an1
g 2n
1i
2i
n
1i
4i
2
29
Woumllbung
lt 0 abs Max kleiner als bei N-Vt
g2 = 0 Normalverteilung
gt 0 abs Max groumlszliger als bei N-Vt
bull Woumllbung einer Haumlufigkeitsverteilung aus gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten
3
h)aa(n1
h)aa(n1
g 2n
1ii
2i
k
1ii
4i
2
3
h)a(mn1
h)a(mn1
g 2n
1ii
2i
k
1ii
4i
2
30
Konzentrationsmaszlige
bull Metrisch skaliertes Merkmal X mit nur positiven Auspraumlgungen
bull Frage Wie teilt sich die Summe der Merkmalswerte x1hellipxn in der Beobachtungsreihe auf die Untersuchungs-einheiten auf
bull Bsp n landwirtschaftliche Betriebe Groumlszlige der Nutzflaumlchen x1xn Wie teilt sich die gesamte Nutzflaumlche auf die einzelnen Betriebe auf
31
Konzentrationsmaszlige
bull n Merkmalswerte werden durch q Merkmalsauspraumlgungen a1ltltaq mit absoluten- und relativen Haumlufigkeiten hi bzw fi bestimmt
bull Gesamtbetrag der Merkmalswerte in der Beobachtungsreihe
n
1iii
n
1jj hax
32
Konzentrationsmaszlige
bull Lorenzkurve Grafische Darstellung der Konzentration der Merkmalswerte
bull Koordinatenkreuz ndash Abszisse es werden die nach der Groumlszlige der Merkmals-
auspraumlgung geordneten relativen Haumlufigkeiten aufsummiert
ndash Ordinate Auspraumlgungen werden der Groumlszlige nach
aufsummiert und auf Summe aller Auspraumlgungen bezogen
q1ifuumlrfn
hk
i
1jj
i
1j
ji
q1ifuumlr hahalq
1jjj
i
1jjji
33
Konzentrationsmaszlige
bull Verbinden der Punkte (kili) ergibt die Lorenzkurve wobei immer k0=l0=0 und kq=lq=1 gilt
ki
li
0 1
1
34
Konzentrationsmaszlige
bull Interpretation ein Punkt (kili) der Lorenz-kurve gibt an dass auf ki middot 100 der Untersuchungseinheiten li middot 100 des Gesamtbetrages aller Merkmalsaus-praumlgungen entfallen
bull Bsp auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlche
35
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche Betriebendash Abszisse Es wird der Prozentsatz der Betriebe
mit der kleinsten Flaumlche bestimmt dann wird der Prozentsatz der Betriebe mit der zweit-kleinsten Flaumlche bestimmt und zum Prozentsatz der Betriebe mit der kleinsten Flaumlche addiert usw
ndash Ordinate Flaumlchenanteile der Betriebe bzgl der Gesamtflaumlche werden der Flaumlchengroumlszlige nach aufsummiert
36
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeFlaumlchen-groumlszlige
Anzahl der
Betriebe
Flaumlcheng pro
Gruppe
der Betriebe
Flaumlchen-anteile
aufsumm Betriebs-anteile
aufsumm Flaumlchen-anteile
bis 5 ha 21 63 042 0063 042 00635 - 10 ha 9 72 018 0072 060 013510 - 20 ha 9 135 018 0135 078 027020 - 50 ha 8 280 016 028 094 0550gt 50 ha 3 450 006 045 100 1000Gesamt 50 1000 1 1
37
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeLandwirtschaftliche Betriebe
0
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1
aufsummierte Anteile der Betriebe
au
fsu
mm
iert
e F
laumlc
he
na
nte
ile
38
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp Landwirtschaftliche Betriebe
bull Interpretation auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlchendash auf 42 der Betriebe entfallen 63 der Nutzflaumlche
ndash auf 60 der Betriebe entfallen 125 der Nutzflaumlche
ndash auf 78 der Betriebe entfallen 27 der Nutzflaumlche
ndash auf 94 der Betriebe entfallen 55 der Nutzflaumlche
39
Konzentrationsmaszlige
Extremfaumllle
bull Keine Konzentration alle Untersuchungs-einheiten haben den gleichen Anteil am Gesamtbetrag Lorenzkurve ist Diagonale
bull Gesamtbetrag konzentriert sich (fast) vollstaumlndig auf eine Untersuchungseinheit Lorenzkurve liegt (fast) auf Abszisse ist also (fast) senkrecht
40
Konzentrationsmaszlige
Extremfaumllle
0
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
0 02 04 06 08 1
41
Konzentrationsmaszlige
bull Gini-Koeffizient od Lorenzsche Konzentrationsmaszlig (LKM) Maszligzahl fuumlr die Konzentration
bull Definiert als das 2-fache der Flaumlche F zw Diagonale und Lorenzkurve LKM = 2F
bull Es gilt immer 0 LKM (n-1)nbull Standardisierter Gini-Koeffizient
LKMnor = n(n-1) LKM
42
Konzentrationsmaszlige
bull Berechnung von F
ndash k hellip Werte auf Abszisse
ndash l hellip Werte auf Ordinate
ndash q hellip Anzahl der verschiedenen Merkmalsauspraumlgungen
q
1ii 05FF
q
1jjj
iii1-i1ii
i1ii
Ha
Ha
2
kk)l(l
2
kkF
43
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp Landwirtschaftliche Nutzflaumlche
bull LMK = 2F = i2Fi ndash 1 = 16048 ndash 1 = 06408ndash mit i = 1hellip5
bull LKMnor = 5049 middot 06408 = 06539
Flaumlchen-groumlszlige
Flaumlchen-anteile
aufsumm Betriebs-anteile
2 Fi
bis 5 ha 0063 042 0026465 - 10 ha 0072 060 00734410 - 20 ha 0135 078 01863020 - 50 ha 028 094 048630gt 50 ha 045 100 087300Gesamt 1 16455
44
Verhaumlltniszahlen
bull Quotient zweier Maszligzahlen Verhaumlltniszahl
bull Gliederungszahlenndash Man bezieht eine Teilgroumlszlige auf eine ihr
uumlbergeordnete Gesamtgroumlszlige
bull Beziehungszahlenndash Quotient zweier sachlich sinnvoll in
Verbindung stehender Maszligzahlen
bull Index-Zahlenndash Quotient zweier Maszligzahlen gleicher Art
45
Gliederungszahlen
bull Gliederungszahlen
bull Bsp Tagesproduktion 1500 Teile davon 300 fehlerhaft
Dann sind 20 der Tagesproduktion Ausschuss (3001500middot100)
Ausschussanteil ist eine Gliederungszahl
46
Beziehungszahlen
bull Beziehungszahlen
bull Verursachungszahlen
Bezieht Bewegungsmassen auf die zugehoumlrigen Bestandsmassen
bull Entsprechungszahlen
Alle Beziehungszahlen bei denen man Ereignisse nicht auf ihren Bestand beziehen kann
47
Beziehungszahlen
bull Bsp Verursachungszahlen Geburtenziffer
Bestandsmasse Einwohner einer Stadt (E)
Bewegungsmasse Zahl der Lebend-geborenen (L)
G = (LE)1000
Sagt wie viele Geburten auf 1000 Einwohner einer Stadt entfallen
48
Beziehungszahlen
bull Bsp Entsprechungszahlen
Schuumller-Lehrer-Verhaumlltnis
(Zahl der Schuumller) (Zahl der Lehrer)
Sagt wie viele Schuumller (ungefaumlhr) auf eine Lehrer entfallen Dies entspricht aber iA nicht der durchschnittlichen Klassengroumlszlige
49
Indexzahlen
bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt
bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine
realen Sachverhalt
bull (Zusammengesetzte) Indexzahlenndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen
fiktiven Zustand beschreibt
50
Indexzahlen
bull Einfache Indizes
bull Reihe von Maszligzahlen die man in Beziehung zueinander setzen will
x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0
Dann ist
I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2
eine Zeitreihe einfacher Indizes
51
Indexzahlen
bull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziert
bull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0 I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87
Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden
Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor
bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90
Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen
52
Indexzahlen
bull UmbasierenGegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten
bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt
0k
0t
0k
0t
k
tkt I
I
xx
xx
x
xI
53
Indexzahlen
bull Bsp Umsatz fuumlr Jahre 1990 bis 1998
Jahr Umsatz xt x0 xt x4
1990 1240 100 1081991 1210 098 1051992 1180 095 1031993 1190 096 1031994 1150 093 1001995 1080 087 0941996 1120 090 0971997 1130 091 0981998 1200 097 104
54
Indexzahlen
bull Umbasieren Index von 1996 zur Basisperiode 1990 sollen in Index zur Basisperiode 1994 umgerechnet werden ndash I19901996 = 090 (Basisperiode 1990)
ndash I19901994 = 093 (Basisperiode 1990)
ndash I19941996 = 090 093 = 097 (Basisperiode 1994)
bull Verkettung Weiterer Wert fuumlr 1998 ndash I19901998 = I19901994 middot I19941998 = 093 middot 104 = 097
55
Indexzahlen
bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)
bull Betrachte Warenkorb
n Waren zu einem Zeitpunkt t
Mengen qt1qtn
Preise pt1ptn
Wert des Warenkorbes in Periode t
n
1ititiqp
56
Indexzahlen
bull Wertindex
Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0
n
1i0i0i
n
1ititi
0t
qp
qpW
57
Indexzahlen
bull Bsp Durchschnittlicher Verbrauch an Fleisch aller privaten Haushalte in einer Gemeinde Basismonat 1 Berichtsmonat 12 ndash (Mengen in g Preise in DMkg) Fleisch p0i q0i p12i q12i
F1 575 1450 62 1410F2 1225 1260 1355 1200F3 241 50 248 50F4 178 210 181 215F5 455 2450 46 2470F6 1025 1310 104 1230F7 89 980 91 930
gesamt 7710 7505
58
Indexzahlen
bull Bsp Wertindex n 7
ti ti 12i 12ii 1 i 1
0t n 7
0i 0i 0i 0ii 1 i 1
p q p q627505
W 10119620125p q p q
Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i
F1 575 1450 62 1410 83375 8742F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260F3 241 50 248 50 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915F5 455 2450 46 2470 111475 11362F6 1025 1310 104 1230 134275 12792F7 89 980 91 930 8722 8463
gesamt 7710 7505 620125 627505
59
Indexzahlen
bull Bsp Wertindex ndash 100 middot W012 = 100 middot 10119 = 10119
ndash Dh der tatsaumlchliche Aufwand fuumlr Fleisch fuumlr die privaten Haushalte ist vom Basismonat bis zum Berichtsmonat um 119 gestiegen
ndash Es ist hier nicht beruumlcksichtigt dass der durchschnittliche Verbrauch im Berichtsmonat um 205g geringer ist
60
Indexzahlen
bull Preisindizes
bull Aussagen uumlber die Preisentwicklung
bull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche Mengenschema verwenden
61
Indexzahlen
bull Preisindex nach Paasche
bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
62
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Paasche
Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i p0iq12i p12iq0i
F1 575 1450 62 1410 83375 8742 81075 8990F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260 14700 17073F3 241 50 248 50 1205 1240 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915 3827 3801F5 455 2450 46 2470 111475 11362 112385 11270F6 1025 1310 104 1230 134275 12792 126075 13624F7 89 980 91 930 8722 8463 8277 8918
gesamt 7710 7505 620125 627505 599625 64916
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
63
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Paasche
bull Dh nimmt man fuumlr beide Monaten den durchschnittlichen Verbrauch an Fleisch im Berichtsmonat als Mengenschema (Warenkorb) an so sind die Preise in diesem Zeitraum um 465 gestiegen
65104559962
562750100
qp
qp100
qp
qpP100 7
1i12i0i
7
1i12i12i
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
64
Indexzahlen
bull Preisindex nach Laspeyres
bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
qp
qpP
65
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Laspeyres
bull Dh Fuumlr die im Basismonat verbrauchten Mengen an Fleisch muss man in der Berichtsperiode 468 mehr Geld ausgeben
68104562012
64916100
qp
qp100
qp
qpP100 7
1i0i0i
7
1i0i12i
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
66
Indexzahlen
bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres
bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)
bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)
bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden
bull Fishersche Idealindex LPF III
67
Indexzahlen
bull Mengenindizes
bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung (unabhaumlngig von der Preisentwicklung)
68
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Paasche
bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
qp
qpQ
69
Indexzahlen
bull Bsp Mengenindex nach Paasche
bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen im Berichtsmonat ist um 334 gesunken
669664916
562750100
qp
qp100
qp
qpQ100 7
1i0i12i
7
1i12i12i
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
70
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Laspeyres
bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
qp
qpQ
71
Indexzahlen
bull Bsp Mengenindex nach Laspeyres
bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen zum Basismonat ist um 331 gesunken
6996562012
559962100
qp
qp100
qp
qpQ100 7
1i0i0i
7
1i12i0i
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
5
Varianz
bull Streuungsmaszlig quadrierte Summe der Abweichungen - nicht Summe der Abweichungen von ai von ihrem arithm Mittel da gilt
bull Mittlere quadratische Abweichung bezogen auf einen beliebigen Wert M
n
1ii 0)a(a
n
1i
2i M)(a
n
1MQ(M)
6
Varianz
bull Verschiebungssatz (Beziehung zw MQ(M) und Varianz)
bull Das bedeutet ndash MQ(M) Varianzndash MQ(M) = σsup2 wenn M = arithm Mittel ndash Minimumeigenschaft des arithm Mittels
22 M)a(σMQ(M)
)a(MM)(a)a(an
1i
n
1i
2i
2i
7
Varianz
bull Rechenvereinfachung
bull Liegt eine Haumlufigkeitsverteilung vork Merkmalswerte x1xk mit abs Haumlufigkeiten hi bzw rel Haumlufigkeiten fi (i=1k)
bull Varianz
n
1i
22i
n
1i
2i
2 aan
1)a(a
n
1σ
i
n
1i
2i
2 h)x(xn
1σ
i
n
1i
2i
2 f)x(xn
1σ
n
1iii
n
1iii fxhx
n
1xmit
8
Varianz
bull Klassifizierte Daten Haumlufigkeitsverteilung
bull Varianz naumlherungsweise berechnen statt der Merkmalswerte xi werden die Klassenmitten xiacute verwendet
i
n
1i
2i
2 h)xx(n
1σ
i
n
1i
2i
2 f)xx(n
1σ
n
1iii
n
1iii fxhx
n
1xmit
9
Varianz
bull Bei unimodalen Verteilungen ist die Varianz die aus den klassifizierten Daten berechnet wird groumlszliger als die Varianz die aus den Einzelwerten berechnet wird
bull Bei konstanten Klasseneinteilungen (Δx) Sheppardsche Korrektur
σsup2 die aus den klassifizierten Daten naumlherungsweise bestimmte Varianz
12
x)(Δσσ
222
corr
10
Varianz
bull Dimension Quadrat der Dimension der einzelnen Beobachtungen
bull Eigenschaft Varianz immer 0
bull Ist Varianz = 0 liegt keine Streuung vor alle Beobachtungswerte sind gleich und somit auch gleich dem arithmetischen Mittel
11
Standardabweichung
bull Standardabweichung = Quadratwurzel der Varianz
n
1i
2i
2 )a(an
1σσ
12
Varianz amp Standardabweichung
Eigenschaften
bull Lineare Transformation der Einzelwerte ai ai = α + βai (i=1n)
bull Dann Varianz σsup2 = βsup2σsup2 Standardabweichung σ = |β| σ
bull Sonderfall β=1 Transformation ai = α + ai
σsup2 = σsup2 und σ = σ
13
Varianz amp Standardabweichung
bull Eigenschaften
bull Varianz einer Grundgesamtheit die aus 2 Teilgesamtheiten (n1 n2) besteht
mit
21
222
211
21
222
2112
nn
)aa(n)aa(n
nn
σnσnσ
21
2211
nn
anana
14
Standardisierung
bull Standardisierungndash Spezielle lineare Transformationndash Bildet aus Einzelwerten ai standardisierte
Werte zi indem von jedem ai das arithm Mittel μ abgezogen wird und durch die Standardabweichung dividiert wird
bull Arithm Mittel der zi immer 0 bull Varianz der zi immer 1
σ
μaz i
i
15
Variationskoeffizient
bull Streuung zweier oder mehrerer Verteilungen mit sich stark voneinander unterscheidenden Mittelwerten vergleichen
bull Relatives Streuungsmaszlig (fuumlr verhaumlltnis-skalierte Merkmale mit ausschlieszliglich positiven Merkmalswerten) bezieht die Standardabweichung σ (absolutes Streuungsmaszlig) auf das arithm Mittel μ
μ
σVC
16
MAD Mittlere absolute Abw
bull Arithmetisches Mittel der absoluten Abweichungen der einzelnen Merkmalswerte vom Mittelwert (zB arithm Mittel oder Median)
bull Minimumeigenschaft des Medians
M beliebiger Wert
n
1ii |Ma|
n
1MAD
n
1ii
n
1ii |Ma|
n
1|Mea|
n
1
17
MAD
bull Haumlufigkeitsverteilung der Datenbull MAD bezogen auf Mittelwert μ
bull MAD aus Haumlufigkeitsverteilung von klassifizierte Daten ndash Merkmalswerte xi durch Klassenmitten xiacute
ersetzen
i
n
1ii h|μx|
n
1MAD
i
n
1ii f|μx|MAD
18
Spannweite (Range)
bull Abstand zw dem groumlszligten und dem kleinsten Wert
bull Einzelwerte der Groumlszlige nach ordnen a[1]hellipa[n]
R = a[n] - a[1]
bull Haumlufigkeitsverteilung von k Merkmalsauspraumlgungen
R = xk - x1
bull Haumlufigkeitsverteilung von klassifizierten Daten
R = xko - x1
u
bull Spannweite ist instabil gegenuumlber Ausreiszligern
19
Quartilsabstand
bull Quartile Q1 Q2 (=Median) Q3 teilen die Gesamtheit in 4 gleich groszlige Teile
bull α-Quantil
a(k) falls nα keine ganze Zahl (k die auf nα folgende ganze Zahl)
aα= 12 (a(k)+a(k+1)) falls nα ganze Zahl k=nα
bull Quartilsabstand (Interquartile Range) definiert als Spannweite der 50 mittleren Werte
QA = Q3 ndash Q1
bull Eigenschaft stabil gegenuumlber Ausreiszligern
20
Deskriptive Analyse Box-Plot
bull Box-Plot ndash Box beinhaltet 50 der Daten (Grenzen 1
und 3 Quartil) Darstellung des Medians ndash Whiskers maximal 15-mal die Laumlnge der Boxndash Ausreiszliger Werte auszligerhalb der Whiskers
bull Ausreiszliger
bull Krasse Ausreiszliger
21
38N =
GEWICHT
110
100
90
80
70
60
50
40
937
Deskriptive Analyse Box-Plot
bull Box-Plot grafische Darstellung einer Beobachtungsreihe (Verteilung und Struktur)
38N =
GROEszligE
210
200
190
180
170
160
150
140
22
Deskriptive Analyse Box-Plot
bull Box-Plot fuumlr Vergleich von 2 Messreihen
1820N =
SEX
mw
GR
OE
szligE
210
200
190
180
170
160
150
140
28
9
23
Schiefe
bull Gibt Richtung (rechts- oder linksschief) und Groumlszligenordnung der Schiefe einer eingipfligen Haumlufigkeitsverteilung an
lt 0 linksschiefe
g1 = 0 symmetrisch
gt 0 rechtsschiefebull Kein direkter Streuungsparameter
3n
1i
2i
n
1i
3i
1
)a(an1
)a(an1
g
24
Schiefe
bull Schiefe einer Haumlufigkeitsverteilung aus gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten
bull Berechnung mit Klassenmittel und Klassenmitte kann zu unterschiedlichen Ergebnissen fuumlhren
3k
1ii
2i
i
k
1i
3i
1
h)aa(n1
h)aa(n1
g
3k
1ii
2i
i
k
1i
3i
1
h)a(mn1
h)a(mn1
g
25
Schiefe
bull Linksschiefe Verteilung g1 lt 0Linksschiefe Verteilung
Auspraumlgung
Hauml
ufi
gke
it
26
Schiefe
bull Symmetrische Verteilung g1 = 0Symmetrische Verteilung
Auspraumlgung
Hauml
ufi
gke
it
27
Schiefe
bull Rechtschiefe Verteilung g1 gt 0Rechtsschiefe Verteilung
Auspraumlgung
Haumlu
fig
keit
28
Woumllbung
bull Woumllbung od Kurtosis od Exzeszlig Maszligzahl fuumlr eingipflige Haumlufigkeitsvt
bull Gibt an ob (bei gleicher Varianz) das absolute Maximum der Haumlufigkeitsvt groumlszliger als bei der Dichte der Normalvt ist
3
)a(an1
)a(an1
g 2n
1i
2i
n
1i
4i
2
29
Woumllbung
lt 0 abs Max kleiner als bei N-Vt
g2 = 0 Normalverteilung
gt 0 abs Max groumlszliger als bei N-Vt
bull Woumllbung einer Haumlufigkeitsverteilung aus gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten
3
h)aa(n1
h)aa(n1
g 2n
1ii
2i
k
1ii
4i
2
3
h)a(mn1
h)a(mn1
g 2n
1ii
2i
k
1ii
4i
2
30
Konzentrationsmaszlige
bull Metrisch skaliertes Merkmal X mit nur positiven Auspraumlgungen
bull Frage Wie teilt sich die Summe der Merkmalswerte x1hellipxn in der Beobachtungsreihe auf die Untersuchungs-einheiten auf
bull Bsp n landwirtschaftliche Betriebe Groumlszlige der Nutzflaumlchen x1xn Wie teilt sich die gesamte Nutzflaumlche auf die einzelnen Betriebe auf
31
Konzentrationsmaszlige
bull n Merkmalswerte werden durch q Merkmalsauspraumlgungen a1ltltaq mit absoluten- und relativen Haumlufigkeiten hi bzw fi bestimmt
bull Gesamtbetrag der Merkmalswerte in der Beobachtungsreihe
n
1iii
n
1jj hax
32
Konzentrationsmaszlige
bull Lorenzkurve Grafische Darstellung der Konzentration der Merkmalswerte
bull Koordinatenkreuz ndash Abszisse es werden die nach der Groumlszlige der Merkmals-
auspraumlgung geordneten relativen Haumlufigkeiten aufsummiert
ndash Ordinate Auspraumlgungen werden der Groumlszlige nach
aufsummiert und auf Summe aller Auspraumlgungen bezogen
q1ifuumlrfn
hk
i
1jj
i
1j
ji
q1ifuumlr hahalq
1jjj
i
1jjji
33
Konzentrationsmaszlige
bull Verbinden der Punkte (kili) ergibt die Lorenzkurve wobei immer k0=l0=0 und kq=lq=1 gilt
ki
li
0 1
1
34
Konzentrationsmaszlige
bull Interpretation ein Punkt (kili) der Lorenz-kurve gibt an dass auf ki middot 100 der Untersuchungseinheiten li middot 100 des Gesamtbetrages aller Merkmalsaus-praumlgungen entfallen
bull Bsp auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlche
35
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche Betriebendash Abszisse Es wird der Prozentsatz der Betriebe
mit der kleinsten Flaumlche bestimmt dann wird der Prozentsatz der Betriebe mit der zweit-kleinsten Flaumlche bestimmt und zum Prozentsatz der Betriebe mit der kleinsten Flaumlche addiert usw
ndash Ordinate Flaumlchenanteile der Betriebe bzgl der Gesamtflaumlche werden der Flaumlchengroumlszlige nach aufsummiert
36
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeFlaumlchen-groumlszlige
Anzahl der
Betriebe
Flaumlcheng pro
Gruppe
der Betriebe
Flaumlchen-anteile
aufsumm Betriebs-anteile
aufsumm Flaumlchen-anteile
bis 5 ha 21 63 042 0063 042 00635 - 10 ha 9 72 018 0072 060 013510 - 20 ha 9 135 018 0135 078 027020 - 50 ha 8 280 016 028 094 0550gt 50 ha 3 450 006 045 100 1000Gesamt 50 1000 1 1
37
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeLandwirtschaftliche Betriebe
0
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1
aufsummierte Anteile der Betriebe
au
fsu
mm
iert
e F
laumlc
he
na
nte
ile
38
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp Landwirtschaftliche Betriebe
bull Interpretation auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlchendash auf 42 der Betriebe entfallen 63 der Nutzflaumlche
ndash auf 60 der Betriebe entfallen 125 der Nutzflaumlche
ndash auf 78 der Betriebe entfallen 27 der Nutzflaumlche
ndash auf 94 der Betriebe entfallen 55 der Nutzflaumlche
39
Konzentrationsmaszlige
Extremfaumllle
bull Keine Konzentration alle Untersuchungs-einheiten haben den gleichen Anteil am Gesamtbetrag Lorenzkurve ist Diagonale
bull Gesamtbetrag konzentriert sich (fast) vollstaumlndig auf eine Untersuchungseinheit Lorenzkurve liegt (fast) auf Abszisse ist also (fast) senkrecht
40
Konzentrationsmaszlige
Extremfaumllle
0
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
0 02 04 06 08 1
41
Konzentrationsmaszlige
bull Gini-Koeffizient od Lorenzsche Konzentrationsmaszlig (LKM) Maszligzahl fuumlr die Konzentration
bull Definiert als das 2-fache der Flaumlche F zw Diagonale und Lorenzkurve LKM = 2F
bull Es gilt immer 0 LKM (n-1)nbull Standardisierter Gini-Koeffizient
LKMnor = n(n-1) LKM
42
Konzentrationsmaszlige
bull Berechnung von F
ndash k hellip Werte auf Abszisse
ndash l hellip Werte auf Ordinate
ndash q hellip Anzahl der verschiedenen Merkmalsauspraumlgungen
q
1ii 05FF
q
1jjj
iii1-i1ii
i1ii
Ha
Ha
2
kk)l(l
2
kkF
43
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp Landwirtschaftliche Nutzflaumlche
bull LMK = 2F = i2Fi ndash 1 = 16048 ndash 1 = 06408ndash mit i = 1hellip5
bull LKMnor = 5049 middot 06408 = 06539
Flaumlchen-groumlszlige
Flaumlchen-anteile
aufsumm Betriebs-anteile
2 Fi
bis 5 ha 0063 042 0026465 - 10 ha 0072 060 00734410 - 20 ha 0135 078 01863020 - 50 ha 028 094 048630gt 50 ha 045 100 087300Gesamt 1 16455
44
Verhaumlltniszahlen
bull Quotient zweier Maszligzahlen Verhaumlltniszahl
bull Gliederungszahlenndash Man bezieht eine Teilgroumlszlige auf eine ihr
uumlbergeordnete Gesamtgroumlszlige
bull Beziehungszahlenndash Quotient zweier sachlich sinnvoll in
Verbindung stehender Maszligzahlen
bull Index-Zahlenndash Quotient zweier Maszligzahlen gleicher Art
45
Gliederungszahlen
bull Gliederungszahlen
bull Bsp Tagesproduktion 1500 Teile davon 300 fehlerhaft
Dann sind 20 der Tagesproduktion Ausschuss (3001500middot100)
Ausschussanteil ist eine Gliederungszahl
46
Beziehungszahlen
bull Beziehungszahlen
bull Verursachungszahlen
Bezieht Bewegungsmassen auf die zugehoumlrigen Bestandsmassen
bull Entsprechungszahlen
Alle Beziehungszahlen bei denen man Ereignisse nicht auf ihren Bestand beziehen kann
47
Beziehungszahlen
bull Bsp Verursachungszahlen Geburtenziffer
Bestandsmasse Einwohner einer Stadt (E)
Bewegungsmasse Zahl der Lebend-geborenen (L)
G = (LE)1000
Sagt wie viele Geburten auf 1000 Einwohner einer Stadt entfallen
48
Beziehungszahlen
bull Bsp Entsprechungszahlen
Schuumller-Lehrer-Verhaumlltnis
(Zahl der Schuumller) (Zahl der Lehrer)
Sagt wie viele Schuumller (ungefaumlhr) auf eine Lehrer entfallen Dies entspricht aber iA nicht der durchschnittlichen Klassengroumlszlige
49
Indexzahlen
bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt
bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine
realen Sachverhalt
bull (Zusammengesetzte) Indexzahlenndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen
fiktiven Zustand beschreibt
50
Indexzahlen
bull Einfache Indizes
bull Reihe von Maszligzahlen die man in Beziehung zueinander setzen will
x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0
Dann ist
I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2
eine Zeitreihe einfacher Indizes
51
Indexzahlen
bull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziert
bull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0 I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87
Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden
Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor
bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90
Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen
52
Indexzahlen
bull UmbasierenGegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten
bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt
0k
0t
0k
0t
k
tkt I
I
xx
xx
x
xI
53
Indexzahlen
bull Bsp Umsatz fuumlr Jahre 1990 bis 1998
Jahr Umsatz xt x0 xt x4
1990 1240 100 1081991 1210 098 1051992 1180 095 1031993 1190 096 1031994 1150 093 1001995 1080 087 0941996 1120 090 0971997 1130 091 0981998 1200 097 104
54
Indexzahlen
bull Umbasieren Index von 1996 zur Basisperiode 1990 sollen in Index zur Basisperiode 1994 umgerechnet werden ndash I19901996 = 090 (Basisperiode 1990)
ndash I19901994 = 093 (Basisperiode 1990)
ndash I19941996 = 090 093 = 097 (Basisperiode 1994)
bull Verkettung Weiterer Wert fuumlr 1998 ndash I19901998 = I19901994 middot I19941998 = 093 middot 104 = 097
55
Indexzahlen
bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)
bull Betrachte Warenkorb
n Waren zu einem Zeitpunkt t
Mengen qt1qtn
Preise pt1ptn
Wert des Warenkorbes in Periode t
n
1ititiqp
56
Indexzahlen
bull Wertindex
Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0
n
1i0i0i
n
1ititi
0t
qp
qpW
57
Indexzahlen
bull Bsp Durchschnittlicher Verbrauch an Fleisch aller privaten Haushalte in einer Gemeinde Basismonat 1 Berichtsmonat 12 ndash (Mengen in g Preise in DMkg) Fleisch p0i q0i p12i q12i
F1 575 1450 62 1410F2 1225 1260 1355 1200F3 241 50 248 50F4 178 210 181 215F5 455 2450 46 2470F6 1025 1310 104 1230F7 89 980 91 930
gesamt 7710 7505
58
Indexzahlen
bull Bsp Wertindex n 7
ti ti 12i 12ii 1 i 1
0t n 7
0i 0i 0i 0ii 1 i 1
p q p q627505
W 10119620125p q p q
Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i
F1 575 1450 62 1410 83375 8742F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260F3 241 50 248 50 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915F5 455 2450 46 2470 111475 11362F6 1025 1310 104 1230 134275 12792F7 89 980 91 930 8722 8463
gesamt 7710 7505 620125 627505
59
Indexzahlen
bull Bsp Wertindex ndash 100 middot W012 = 100 middot 10119 = 10119
ndash Dh der tatsaumlchliche Aufwand fuumlr Fleisch fuumlr die privaten Haushalte ist vom Basismonat bis zum Berichtsmonat um 119 gestiegen
ndash Es ist hier nicht beruumlcksichtigt dass der durchschnittliche Verbrauch im Berichtsmonat um 205g geringer ist
60
Indexzahlen
bull Preisindizes
bull Aussagen uumlber die Preisentwicklung
bull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche Mengenschema verwenden
61
Indexzahlen
bull Preisindex nach Paasche
bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
62
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Paasche
Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i p0iq12i p12iq0i
F1 575 1450 62 1410 83375 8742 81075 8990F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260 14700 17073F3 241 50 248 50 1205 1240 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915 3827 3801F5 455 2450 46 2470 111475 11362 112385 11270F6 1025 1310 104 1230 134275 12792 126075 13624F7 89 980 91 930 8722 8463 8277 8918
gesamt 7710 7505 620125 627505 599625 64916
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
63
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Paasche
bull Dh nimmt man fuumlr beide Monaten den durchschnittlichen Verbrauch an Fleisch im Berichtsmonat als Mengenschema (Warenkorb) an so sind die Preise in diesem Zeitraum um 465 gestiegen
65104559962
562750100
qp
qp100
qp
qpP100 7
1i12i0i
7
1i12i12i
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
64
Indexzahlen
bull Preisindex nach Laspeyres
bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
qp
qpP
65
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Laspeyres
bull Dh Fuumlr die im Basismonat verbrauchten Mengen an Fleisch muss man in der Berichtsperiode 468 mehr Geld ausgeben
68104562012
64916100
qp
qp100
qp
qpP100 7
1i0i0i
7
1i0i12i
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
66
Indexzahlen
bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres
bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)
bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)
bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden
bull Fishersche Idealindex LPF III
67
Indexzahlen
bull Mengenindizes
bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung (unabhaumlngig von der Preisentwicklung)
68
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Paasche
bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
qp
qpQ
69
Indexzahlen
bull Bsp Mengenindex nach Paasche
bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen im Berichtsmonat ist um 334 gesunken
669664916
562750100
qp
qp100
qp
qpQ100 7
1i0i12i
7
1i12i12i
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
70
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Laspeyres
bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
qp
qpQ
71
Indexzahlen
bull Bsp Mengenindex nach Laspeyres
bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen zum Basismonat ist um 331 gesunken
6996562012
559962100
qp
qp100
qp
qpQ100 7
1i0i0i
7
1i12i0i
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
6
Varianz
bull Verschiebungssatz (Beziehung zw MQ(M) und Varianz)
bull Das bedeutet ndash MQ(M) Varianzndash MQ(M) = σsup2 wenn M = arithm Mittel ndash Minimumeigenschaft des arithm Mittels
22 M)a(σMQ(M)
)a(MM)(a)a(an
1i
n
1i
2i
2i
7
Varianz
bull Rechenvereinfachung
bull Liegt eine Haumlufigkeitsverteilung vork Merkmalswerte x1xk mit abs Haumlufigkeiten hi bzw rel Haumlufigkeiten fi (i=1k)
bull Varianz
n
1i
22i
n
1i
2i
2 aan
1)a(a
n
1σ
i
n
1i
2i
2 h)x(xn
1σ
i
n
1i
2i
2 f)x(xn
1σ
n
1iii
n
1iii fxhx
n
1xmit
8
Varianz
bull Klassifizierte Daten Haumlufigkeitsverteilung
bull Varianz naumlherungsweise berechnen statt der Merkmalswerte xi werden die Klassenmitten xiacute verwendet
i
n
1i
2i
2 h)xx(n
1σ
i
n
1i
2i
2 f)xx(n
1σ
n
1iii
n
1iii fxhx
n
1xmit
9
Varianz
bull Bei unimodalen Verteilungen ist die Varianz die aus den klassifizierten Daten berechnet wird groumlszliger als die Varianz die aus den Einzelwerten berechnet wird
bull Bei konstanten Klasseneinteilungen (Δx) Sheppardsche Korrektur
σsup2 die aus den klassifizierten Daten naumlherungsweise bestimmte Varianz
12
x)(Δσσ
222
corr
10
Varianz
bull Dimension Quadrat der Dimension der einzelnen Beobachtungen
bull Eigenschaft Varianz immer 0
bull Ist Varianz = 0 liegt keine Streuung vor alle Beobachtungswerte sind gleich und somit auch gleich dem arithmetischen Mittel
11
Standardabweichung
bull Standardabweichung = Quadratwurzel der Varianz
n
1i
2i
2 )a(an
1σσ
12
Varianz amp Standardabweichung
Eigenschaften
bull Lineare Transformation der Einzelwerte ai ai = α + βai (i=1n)
bull Dann Varianz σsup2 = βsup2σsup2 Standardabweichung σ = |β| σ
bull Sonderfall β=1 Transformation ai = α + ai
σsup2 = σsup2 und σ = σ
13
Varianz amp Standardabweichung
bull Eigenschaften
bull Varianz einer Grundgesamtheit die aus 2 Teilgesamtheiten (n1 n2) besteht
mit
21
222
211
21
222
2112
nn
)aa(n)aa(n
nn
σnσnσ
21
2211
nn
anana
14
Standardisierung
bull Standardisierungndash Spezielle lineare Transformationndash Bildet aus Einzelwerten ai standardisierte
Werte zi indem von jedem ai das arithm Mittel μ abgezogen wird und durch die Standardabweichung dividiert wird
bull Arithm Mittel der zi immer 0 bull Varianz der zi immer 1
σ
μaz i
i
15
Variationskoeffizient
bull Streuung zweier oder mehrerer Verteilungen mit sich stark voneinander unterscheidenden Mittelwerten vergleichen
bull Relatives Streuungsmaszlig (fuumlr verhaumlltnis-skalierte Merkmale mit ausschlieszliglich positiven Merkmalswerten) bezieht die Standardabweichung σ (absolutes Streuungsmaszlig) auf das arithm Mittel μ
μ
σVC
16
MAD Mittlere absolute Abw
bull Arithmetisches Mittel der absoluten Abweichungen der einzelnen Merkmalswerte vom Mittelwert (zB arithm Mittel oder Median)
bull Minimumeigenschaft des Medians
M beliebiger Wert
n
1ii |Ma|
n
1MAD
n
1ii
n
1ii |Ma|
n
1|Mea|
n
1
17
MAD
bull Haumlufigkeitsverteilung der Datenbull MAD bezogen auf Mittelwert μ
bull MAD aus Haumlufigkeitsverteilung von klassifizierte Daten ndash Merkmalswerte xi durch Klassenmitten xiacute
ersetzen
i
n
1ii h|μx|
n
1MAD
i
n
1ii f|μx|MAD
18
Spannweite (Range)
bull Abstand zw dem groumlszligten und dem kleinsten Wert
bull Einzelwerte der Groumlszlige nach ordnen a[1]hellipa[n]
R = a[n] - a[1]
bull Haumlufigkeitsverteilung von k Merkmalsauspraumlgungen
R = xk - x1
bull Haumlufigkeitsverteilung von klassifizierten Daten
R = xko - x1
u
bull Spannweite ist instabil gegenuumlber Ausreiszligern
19
Quartilsabstand
bull Quartile Q1 Q2 (=Median) Q3 teilen die Gesamtheit in 4 gleich groszlige Teile
bull α-Quantil
a(k) falls nα keine ganze Zahl (k die auf nα folgende ganze Zahl)
aα= 12 (a(k)+a(k+1)) falls nα ganze Zahl k=nα
bull Quartilsabstand (Interquartile Range) definiert als Spannweite der 50 mittleren Werte
QA = Q3 ndash Q1
bull Eigenschaft stabil gegenuumlber Ausreiszligern
20
Deskriptive Analyse Box-Plot
bull Box-Plot ndash Box beinhaltet 50 der Daten (Grenzen 1
und 3 Quartil) Darstellung des Medians ndash Whiskers maximal 15-mal die Laumlnge der Boxndash Ausreiszliger Werte auszligerhalb der Whiskers
bull Ausreiszliger
bull Krasse Ausreiszliger
21
38N =
GEWICHT
110
100
90
80
70
60
50
40
937
Deskriptive Analyse Box-Plot
bull Box-Plot grafische Darstellung einer Beobachtungsreihe (Verteilung und Struktur)
38N =
GROEszligE
210
200
190
180
170
160
150
140
22
Deskriptive Analyse Box-Plot
bull Box-Plot fuumlr Vergleich von 2 Messreihen
1820N =
SEX
mw
GR
OE
szligE
210
200
190
180
170
160
150
140
28
9
23
Schiefe
bull Gibt Richtung (rechts- oder linksschief) und Groumlszligenordnung der Schiefe einer eingipfligen Haumlufigkeitsverteilung an
lt 0 linksschiefe
g1 = 0 symmetrisch
gt 0 rechtsschiefebull Kein direkter Streuungsparameter
3n
1i
2i
n
1i
3i
1
)a(an1
)a(an1
g
24
Schiefe
bull Schiefe einer Haumlufigkeitsverteilung aus gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten
bull Berechnung mit Klassenmittel und Klassenmitte kann zu unterschiedlichen Ergebnissen fuumlhren
3k
1ii
2i
i
k
1i
3i
1
h)aa(n1
h)aa(n1
g
3k
1ii
2i
i
k
1i
3i
1
h)a(mn1
h)a(mn1
g
25
Schiefe
bull Linksschiefe Verteilung g1 lt 0Linksschiefe Verteilung
Auspraumlgung
Hauml
ufi
gke
it
26
Schiefe
bull Symmetrische Verteilung g1 = 0Symmetrische Verteilung
Auspraumlgung
Hauml
ufi
gke
it
27
Schiefe
bull Rechtschiefe Verteilung g1 gt 0Rechtsschiefe Verteilung
Auspraumlgung
Haumlu
fig
keit
28
Woumllbung
bull Woumllbung od Kurtosis od Exzeszlig Maszligzahl fuumlr eingipflige Haumlufigkeitsvt
bull Gibt an ob (bei gleicher Varianz) das absolute Maximum der Haumlufigkeitsvt groumlszliger als bei der Dichte der Normalvt ist
3
)a(an1
)a(an1
g 2n
1i
2i
n
1i
4i
2
29
Woumllbung
lt 0 abs Max kleiner als bei N-Vt
g2 = 0 Normalverteilung
gt 0 abs Max groumlszliger als bei N-Vt
bull Woumllbung einer Haumlufigkeitsverteilung aus gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten
3
h)aa(n1
h)aa(n1
g 2n
1ii
2i
k
1ii
4i
2
3
h)a(mn1
h)a(mn1
g 2n
1ii
2i
k
1ii
4i
2
30
Konzentrationsmaszlige
bull Metrisch skaliertes Merkmal X mit nur positiven Auspraumlgungen
bull Frage Wie teilt sich die Summe der Merkmalswerte x1hellipxn in der Beobachtungsreihe auf die Untersuchungs-einheiten auf
bull Bsp n landwirtschaftliche Betriebe Groumlszlige der Nutzflaumlchen x1xn Wie teilt sich die gesamte Nutzflaumlche auf die einzelnen Betriebe auf
31
Konzentrationsmaszlige
bull n Merkmalswerte werden durch q Merkmalsauspraumlgungen a1ltltaq mit absoluten- und relativen Haumlufigkeiten hi bzw fi bestimmt
bull Gesamtbetrag der Merkmalswerte in der Beobachtungsreihe
n
1iii
n
1jj hax
32
Konzentrationsmaszlige
bull Lorenzkurve Grafische Darstellung der Konzentration der Merkmalswerte
bull Koordinatenkreuz ndash Abszisse es werden die nach der Groumlszlige der Merkmals-
auspraumlgung geordneten relativen Haumlufigkeiten aufsummiert
ndash Ordinate Auspraumlgungen werden der Groumlszlige nach
aufsummiert und auf Summe aller Auspraumlgungen bezogen
q1ifuumlrfn
hk
i
1jj
i
1j
ji
q1ifuumlr hahalq
1jjj
i
1jjji
33
Konzentrationsmaszlige
bull Verbinden der Punkte (kili) ergibt die Lorenzkurve wobei immer k0=l0=0 und kq=lq=1 gilt
ki
li
0 1
1
34
Konzentrationsmaszlige
bull Interpretation ein Punkt (kili) der Lorenz-kurve gibt an dass auf ki middot 100 der Untersuchungseinheiten li middot 100 des Gesamtbetrages aller Merkmalsaus-praumlgungen entfallen
bull Bsp auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlche
35
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche Betriebendash Abszisse Es wird der Prozentsatz der Betriebe
mit der kleinsten Flaumlche bestimmt dann wird der Prozentsatz der Betriebe mit der zweit-kleinsten Flaumlche bestimmt und zum Prozentsatz der Betriebe mit der kleinsten Flaumlche addiert usw
ndash Ordinate Flaumlchenanteile der Betriebe bzgl der Gesamtflaumlche werden der Flaumlchengroumlszlige nach aufsummiert
36
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeFlaumlchen-groumlszlige
Anzahl der
Betriebe
Flaumlcheng pro
Gruppe
der Betriebe
Flaumlchen-anteile
aufsumm Betriebs-anteile
aufsumm Flaumlchen-anteile
bis 5 ha 21 63 042 0063 042 00635 - 10 ha 9 72 018 0072 060 013510 - 20 ha 9 135 018 0135 078 027020 - 50 ha 8 280 016 028 094 0550gt 50 ha 3 450 006 045 100 1000Gesamt 50 1000 1 1
37
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeLandwirtschaftliche Betriebe
0
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1
aufsummierte Anteile der Betriebe
au
fsu
mm
iert
e F
laumlc
he
na
nte
ile
38
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp Landwirtschaftliche Betriebe
bull Interpretation auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlchendash auf 42 der Betriebe entfallen 63 der Nutzflaumlche
ndash auf 60 der Betriebe entfallen 125 der Nutzflaumlche
ndash auf 78 der Betriebe entfallen 27 der Nutzflaumlche
ndash auf 94 der Betriebe entfallen 55 der Nutzflaumlche
39
Konzentrationsmaszlige
Extremfaumllle
bull Keine Konzentration alle Untersuchungs-einheiten haben den gleichen Anteil am Gesamtbetrag Lorenzkurve ist Diagonale
bull Gesamtbetrag konzentriert sich (fast) vollstaumlndig auf eine Untersuchungseinheit Lorenzkurve liegt (fast) auf Abszisse ist also (fast) senkrecht
40
Konzentrationsmaszlige
Extremfaumllle
0
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
0 02 04 06 08 1
41
Konzentrationsmaszlige
bull Gini-Koeffizient od Lorenzsche Konzentrationsmaszlig (LKM) Maszligzahl fuumlr die Konzentration
bull Definiert als das 2-fache der Flaumlche F zw Diagonale und Lorenzkurve LKM = 2F
bull Es gilt immer 0 LKM (n-1)nbull Standardisierter Gini-Koeffizient
LKMnor = n(n-1) LKM
42
Konzentrationsmaszlige
bull Berechnung von F
ndash k hellip Werte auf Abszisse
ndash l hellip Werte auf Ordinate
ndash q hellip Anzahl der verschiedenen Merkmalsauspraumlgungen
q
1ii 05FF
q
1jjj
iii1-i1ii
i1ii
Ha
Ha
2
kk)l(l
2
kkF
43
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp Landwirtschaftliche Nutzflaumlche
bull LMK = 2F = i2Fi ndash 1 = 16048 ndash 1 = 06408ndash mit i = 1hellip5
bull LKMnor = 5049 middot 06408 = 06539
Flaumlchen-groumlszlige
Flaumlchen-anteile
aufsumm Betriebs-anteile
2 Fi
bis 5 ha 0063 042 0026465 - 10 ha 0072 060 00734410 - 20 ha 0135 078 01863020 - 50 ha 028 094 048630gt 50 ha 045 100 087300Gesamt 1 16455
44
Verhaumlltniszahlen
bull Quotient zweier Maszligzahlen Verhaumlltniszahl
bull Gliederungszahlenndash Man bezieht eine Teilgroumlszlige auf eine ihr
uumlbergeordnete Gesamtgroumlszlige
bull Beziehungszahlenndash Quotient zweier sachlich sinnvoll in
Verbindung stehender Maszligzahlen
bull Index-Zahlenndash Quotient zweier Maszligzahlen gleicher Art
45
Gliederungszahlen
bull Gliederungszahlen
bull Bsp Tagesproduktion 1500 Teile davon 300 fehlerhaft
Dann sind 20 der Tagesproduktion Ausschuss (3001500middot100)
Ausschussanteil ist eine Gliederungszahl
46
Beziehungszahlen
bull Beziehungszahlen
bull Verursachungszahlen
Bezieht Bewegungsmassen auf die zugehoumlrigen Bestandsmassen
bull Entsprechungszahlen
Alle Beziehungszahlen bei denen man Ereignisse nicht auf ihren Bestand beziehen kann
47
Beziehungszahlen
bull Bsp Verursachungszahlen Geburtenziffer
Bestandsmasse Einwohner einer Stadt (E)
Bewegungsmasse Zahl der Lebend-geborenen (L)
G = (LE)1000
Sagt wie viele Geburten auf 1000 Einwohner einer Stadt entfallen
48
Beziehungszahlen
bull Bsp Entsprechungszahlen
Schuumller-Lehrer-Verhaumlltnis
(Zahl der Schuumller) (Zahl der Lehrer)
Sagt wie viele Schuumller (ungefaumlhr) auf eine Lehrer entfallen Dies entspricht aber iA nicht der durchschnittlichen Klassengroumlszlige
49
Indexzahlen
bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt
bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine
realen Sachverhalt
bull (Zusammengesetzte) Indexzahlenndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen
fiktiven Zustand beschreibt
50
Indexzahlen
bull Einfache Indizes
bull Reihe von Maszligzahlen die man in Beziehung zueinander setzen will
x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0
Dann ist
I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2
eine Zeitreihe einfacher Indizes
51
Indexzahlen
bull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziert
bull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0 I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87
Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden
Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor
bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90
Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen
52
Indexzahlen
bull UmbasierenGegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten
bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt
0k
0t
0k
0t
k
tkt I
I
xx
xx
x
xI
53
Indexzahlen
bull Bsp Umsatz fuumlr Jahre 1990 bis 1998
Jahr Umsatz xt x0 xt x4
1990 1240 100 1081991 1210 098 1051992 1180 095 1031993 1190 096 1031994 1150 093 1001995 1080 087 0941996 1120 090 0971997 1130 091 0981998 1200 097 104
54
Indexzahlen
bull Umbasieren Index von 1996 zur Basisperiode 1990 sollen in Index zur Basisperiode 1994 umgerechnet werden ndash I19901996 = 090 (Basisperiode 1990)
ndash I19901994 = 093 (Basisperiode 1990)
ndash I19941996 = 090 093 = 097 (Basisperiode 1994)
bull Verkettung Weiterer Wert fuumlr 1998 ndash I19901998 = I19901994 middot I19941998 = 093 middot 104 = 097
55
Indexzahlen
bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)
bull Betrachte Warenkorb
n Waren zu einem Zeitpunkt t
Mengen qt1qtn
Preise pt1ptn
Wert des Warenkorbes in Periode t
n
1ititiqp
56
Indexzahlen
bull Wertindex
Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0
n
1i0i0i
n
1ititi
0t
qp
qpW
57
Indexzahlen
bull Bsp Durchschnittlicher Verbrauch an Fleisch aller privaten Haushalte in einer Gemeinde Basismonat 1 Berichtsmonat 12 ndash (Mengen in g Preise in DMkg) Fleisch p0i q0i p12i q12i
F1 575 1450 62 1410F2 1225 1260 1355 1200F3 241 50 248 50F4 178 210 181 215F5 455 2450 46 2470F6 1025 1310 104 1230F7 89 980 91 930
gesamt 7710 7505
58
Indexzahlen
bull Bsp Wertindex n 7
ti ti 12i 12ii 1 i 1
0t n 7
0i 0i 0i 0ii 1 i 1
p q p q627505
W 10119620125p q p q
Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i
F1 575 1450 62 1410 83375 8742F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260F3 241 50 248 50 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915F5 455 2450 46 2470 111475 11362F6 1025 1310 104 1230 134275 12792F7 89 980 91 930 8722 8463
gesamt 7710 7505 620125 627505
59
Indexzahlen
bull Bsp Wertindex ndash 100 middot W012 = 100 middot 10119 = 10119
ndash Dh der tatsaumlchliche Aufwand fuumlr Fleisch fuumlr die privaten Haushalte ist vom Basismonat bis zum Berichtsmonat um 119 gestiegen
ndash Es ist hier nicht beruumlcksichtigt dass der durchschnittliche Verbrauch im Berichtsmonat um 205g geringer ist
60
Indexzahlen
bull Preisindizes
bull Aussagen uumlber die Preisentwicklung
bull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche Mengenschema verwenden
61
Indexzahlen
bull Preisindex nach Paasche
bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
62
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Paasche
Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i p0iq12i p12iq0i
F1 575 1450 62 1410 83375 8742 81075 8990F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260 14700 17073F3 241 50 248 50 1205 1240 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915 3827 3801F5 455 2450 46 2470 111475 11362 112385 11270F6 1025 1310 104 1230 134275 12792 126075 13624F7 89 980 91 930 8722 8463 8277 8918
gesamt 7710 7505 620125 627505 599625 64916
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
63
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Paasche
bull Dh nimmt man fuumlr beide Monaten den durchschnittlichen Verbrauch an Fleisch im Berichtsmonat als Mengenschema (Warenkorb) an so sind die Preise in diesem Zeitraum um 465 gestiegen
65104559962
562750100
qp
qp100
qp
qpP100 7
1i12i0i
7
1i12i12i
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
64
Indexzahlen
bull Preisindex nach Laspeyres
bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
qp
qpP
65
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Laspeyres
bull Dh Fuumlr die im Basismonat verbrauchten Mengen an Fleisch muss man in der Berichtsperiode 468 mehr Geld ausgeben
68104562012
64916100
qp
qp100
qp
qpP100 7
1i0i0i
7
1i0i12i
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
66
Indexzahlen
bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres
bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)
bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)
bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden
bull Fishersche Idealindex LPF III
67
Indexzahlen
bull Mengenindizes
bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung (unabhaumlngig von der Preisentwicklung)
68
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Paasche
bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
qp
qpQ
69
Indexzahlen
bull Bsp Mengenindex nach Paasche
bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen im Berichtsmonat ist um 334 gesunken
669664916
562750100
qp
qp100
qp
qpQ100 7
1i0i12i
7
1i12i12i
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
70
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Laspeyres
bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
qp
qpQ
71
Indexzahlen
bull Bsp Mengenindex nach Laspeyres
bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen zum Basismonat ist um 331 gesunken
6996562012
559962100
qp
qp100
qp
qpQ100 7
1i0i0i
7
1i12i0i
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
7
Varianz
bull Rechenvereinfachung
bull Liegt eine Haumlufigkeitsverteilung vork Merkmalswerte x1xk mit abs Haumlufigkeiten hi bzw rel Haumlufigkeiten fi (i=1k)
bull Varianz
n
1i
22i
n
1i
2i
2 aan
1)a(a
n
1σ
i
n
1i
2i
2 h)x(xn
1σ
i
n
1i
2i
2 f)x(xn
1σ
n
1iii
n
1iii fxhx
n
1xmit
8
Varianz
bull Klassifizierte Daten Haumlufigkeitsverteilung
bull Varianz naumlherungsweise berechnen statt der Merkmalswerte xi werden die Klassenmitten xiacute verwendet
i
n
1i
2i
2 h)xx(n
1σ
i
n
1i
2i
2 f)xx(n
1σ
n
1iii
n
1iii fxhx
n
1xmit
9
Varianz
bull Bei unimodalen Verteilungen ist die Varianz die aus den klassifizierten Daten berechnet wird groumlszliger als die Varianz die aus den Einzelwerten berechnet wird
bull Bei konstanten Klasseneinteilungen (Δx) Sheppardsche Korrektur
σsup2 die aus den klassifizierten Daten naumlherungsweise bestimmte Varianz
12
x)(Δσσ
222
corr
10
Varianz
bull Dimension Quadrat der Dimension der einzelnen Beobachtungen
bull Eigenschaft Varianz immer 0
bull Ist Varianz = 0 liegt keine Streuung vor alle Beobachtungswerte sind gleich und somit auch gleich dem arithmetischen Mittel
11
Standardabweichung
bull Standardabweichung = Quadratwurzel der Varianz
n
1i
2i
2 )a(an
1σσ
12
Varianz amp Standardabweichung
Eigenschaften
bull Lineare Transformation der Einzelwerte ai ai = α + βai (i=1n)
bull Dann Varianz σsup2 = βsup2σsup2 Standardabweichung σ = |β| σ
bull Sonderfall β=1 Transformation ai = α + ai
σsup2 = σsup2 und σ = σ
13
Varianz amp Standardabweichung
bull Eigenschaften
bull Varianz einer Grundgesamtheit die aus 2 Teilgesamtheiten (n1 n2) besteht
mit
21
222
211
21
222
2112
nn
)aa(n)aa(n
nn
σnσnσ
21
2211
nn
anana
14
Standardisierung
bull Standardisierungndash Spezielle lineare Transformationndash Bildet aus Einzelwerten ai standardisierte
Werte zi indem von jedem ai das arithm Mittel μ abgezogen wird und durch die Standardabweichung dividiert wird
bull Arithm Mittel der zi immer 0 bull Varianz der zi immer 1
σ
μaz i
i
15
Variationskoeffizient
bull Streuung zweier oder mehrerer Verteilungen mit sich stark voneinander unterscheidenden Mittelwerten vergleichen
bull Relatives Streuungsmaszlig (fuumlr verhaumlltnis-skalierte Merkmale mit ausschlieszliglich positiven Merkmalswerten) bezieht die Standardabweichung σ (absolutes Streuungsmaszlig) auf das arithm Mittel μ
μ
σVC
16
MAD Mittlere absolute Abw
bull Arithmetisches Mittel der absoluten Abweichungen der einzelnen Merkmalswerte vom Mittelwert (zB arithm Mittel oder Median)
bull Minimumeigenschaft des Medians
M beliebiger Wert
n
1ii |Ma|
n
1MAD
n
1ii
n
1ii |Ma|
n
1|Mea|
n
1
17
MAD
bull Haumlufigkeitsverteilung der Datenbull MAD bezogen auf Mittelwert μ
bull MAD aus Haumlufigkeitsverteilung von klassifizierte Daten ndash Merkmalswerte xi durch Klassenmitten xiacute
ersetzen
i
n
1ii h|μx|
n
1MAD
i
n
1ii f|μx|MAD
18
Spannweite (Range)
bull Abstand zw dem groumlszligten und dem kleinsten Wert
bull Einzelwerte der Groumlszlige nach ordnen a[1]hellipa[n]
R = a[n] - a[1]
bull Haumlufigkeitsverteilung von k Merkmalsauspraumlgungen
R = xk - x1
bull Haumlufigkeitsverteilung von klassifizierten Daten
R = xko - x1
u
bull Spannweite ist instabil gegenuumlber Ausreiszligern
19
Quartilsabstand
bull Quartile Q1 Q2 (=Median) Q3 teilen die Gesamtheit in 4 gleich groszlige Teile
bull α-Quantil
a(k) falls nα keine ganze Zahl (k die auf nα folgende ganze Zahl)
aα= 12 (a(k)+a(k+1)) falls nα ganze Zahl k=nα
bull Quartilsabstand (Interquartile Range) definiert als Spannweite der 50 mittleren Werte
QA = Q3 ndash Q1
bull Eigenschaft stabil gegenuumlber Ausreiszligern
20
Deskriptive Analyse Box-Plot
bull Box-Plot ndash Box beinhaltet 50 der Daten (Grenzen 1
und 3 Quartil) Darstellung des Medians ndash Whiskers maximal 15-mal die Laumlnge der Boxndash Ausreiszliger Werte auszligerhalb der Whiskers
bull Ausreiszliger
bull Krasse Ausreiszliger
21
38N =
GEWICHT
110
100
90
80
70
60
50
40
937
Deskriptive Analyse Box-Plot
bull Box-Plot grafische Darstellung einer Beobachtungsreihe (Verteilung und Struktur)
38N =
GROEszligE
210
200
190
180
170
160
150
140
22
Deskriptive Analyse Box-Plot
bull Box-Plot fuumlr Vergleich von 2 Messreihen
1820N =
SEX
mw
GR
OE
szligE
210
200
190
180
170
160
150
140
28
9
23
Schiefe
bull Gibt Richtung (rechts- oder linksschief) und Groumlszligenordnung der Schiefe einer eingipfligen Haumlufigkeitsverteilung an
lt 0 linksschiefe
g1 = 0 symmetrisch
gt 0 rechtsschiefebull Kein direkter Streuungsparameter
3n
1i
2i
n
1i
3i
1
)a(an1
)a(an1
g
24
Schiefe
bull Schiefe einer Haumlufigkeitsverteilung aus gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten
bull Berechnung mit Klassenmittel und Klassenmitte kann zu unterschiedlichen Ergebnissen fuumlhren
3k
1ii
2i
i
k
1i
3i
1
h)aa(n1
h)aa(n1
g
3k
1ii
2i
i
k
1i
3i
1
h)a(mn1
h)a(mn1
g
25
Schiefe
bull Linksschiefe Verteilung g1 lt 0Linksschiefe Verteilung
Auspraumlgung
Hauml
ufi
gke
it
26
Schiefe
bull Symmetrische Verteilung g1 = 0Symmetrische Verteilung
Auspraumlgung
Hauml
ufi
gke
it
27
Schiefe
bull Rechtschiefe Verteilung g1 gt 0Rechtsschiefe Verteilung
Auspraumlgung
Haumlu
fig
keit
28
Woumllbung
bull Woumllbung od Kurtosis od Exzeszlig Maszligzahl fuumlr eingipflige Haumlufigkeitsvt
bull Gibt an ob (bei gleicher Varianz) das absolute Maximum der Haumlufigkeitsvt groumlszliger als bei der Dichte der Normalvt ist
3
)a(an1
)a(an1
g 2n
1i
2i
n
1i
4i
2
29
Woumllbung
lt 0 abs Max kleiner als bei N-Vt
g2 = 0 Normalverteilung
gt 0 abs Max groumlszliger als bei N-Vt
bull Woumllbung einer Haumlufigkeitsverteilung aus gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten
3
h)aa(n1
h)aa(n1
g 2n
1ii
2i
k
1ii
4i
2
3
h)a(mn1
h)a(mn1
g 2n
1ii
2i
k
1ii
4i
2
30
Konzentrationsmaszlige
bull Metrisch skaliertes Merkmal X mit nur positiven Auspraumlgungen
bull Frage Wie teilt sich die Summe der Merkmalswerte x1hellipxn in der Beobachtungsreihe auf die Untersuchungs-einheiten auf
bull Bsp n landwirtschaftliche Betriebe Groumlszlige der Nutzflaumlchen x1xn Wie teilt sich die gesamte Nutzflaumlche auf die einzelnen Betriebe auf
31
Konzentrationsmaszlige
bull n Merkmalswerte werden durch q Merkmalsauspraumlgungen a1ltltaq mit absoluten- und relativen Haumlufigkeiten hi bzw fi bestimmt
bull Gesamtbetrag der Merkmalswerte in der Beobachtungsreihe
n
1iii
n
1jj hax
32
Konzentrationsmaszlige
bull Lorenzkurve Grafische Darstellung der Konzentration der Merkmalswerte
bull Koordinatenkreuz ndash Abszisse es werden die nach der Groumlszlige der Merkmals-
auspraumlgung geordneten relativen Haumlufigkeiten aufsummiert
ndash Ordinate Auspraumlgungen werden der Groumlszlige nach
aufsummiert und auf Summe aller Auspraumlgungen bezogen
q1ifuumlrfn
hk
i
1jj
i
1j
ji
q1ifuumlr hahalq
1jjj
i
1jjji
33
Konzentrationsmaszlige
bull Verbinden der Punkte (kili) ergibt die Lorenzkurve wobei immer k0=l0=0 und kq=lq=1 gilt
ki
li
0 1
1
34
Konzentrationsmaszlige
bull Interpretation ein Punkt (kili) der Lorenz-kurve gibt an dass auf ki middot 100 der Untersuchungseinheiten li middot 100 des Gesamtbetrages aller Merkmalsaus-praumlgungen entfallen
bull Bsp auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlche
35
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche Betriebendash Abszisse Es wird der Prozentsatz der Betriebe
mit der kleinsten Flaumlche bestimmt dann wird der Prozentsatz der Betriebe mit der zweit-kleinsten Flaumlche bestimmt und zum Prozentsatz der Betriebe mit der kleinsten Flaumlche addiert usw
ndash Ordinate Flaumlchenanteile der Betriebe bzgl der Gesamtflaumlche werden der Flaumlchengroumlszlige nach aufsummiert
36
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeFlaumlchen-groumlszlige
Anzahl der
Betriebe
Flaumlcheng pro
Gruppe
der Betriebe
Flaumlchen-anteile
aufsumm Betriebs-anteile
aufsumm Flaumlchen-anteile
bis 5 ha 21 63 042 0063 042 00635 - 10 ha 9 72 018 0072 060 013510 - 20 ha 9 135 018 0135 078 027020 - 50 ha 8 280 016 028 094 0550gt 50 ha 3 450 006 045 100 1000Gesamt 50 1000 1 1
37
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeLandwirtschaftliche Betriebe
0
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1
aufsummierte Anteile der Betriebe
au
fsu
mm
iert
e F
laumlc
he
na
nte
ile
38
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp Landwirtschaftliche Betriebe
bull Interpretation auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlchendash auf 42 der Betriebe entfallen 63 der Nutzflaumlche
ndash auf 60 der Betriebe entfallen 125 der Nutzflaumlche
ndash auf 78 der Betriebe entfallen 27 der Nutzflaumlche
ndash auf 94 der Betriebe entfallen 55 der Nutzflaumlche
39
Konzentrationsmaszlige
Extremfaumllle
bull Keine Konzentration alle Untersuchungs-einheiten haben den gleichen Anteil am Gesamtbetrag Lorenzkurve ist Diagonale
bull Gesamtbetrag konzentriert sich (fast) vollstaumlndig auf eine Untersuchungseinheit Lorenzkurve liegt (fast) auf Abszisse ist also (fast) senkrecht
40
Konzentrationsmaszlige
Extremfaumllle
0
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
0 02 04 06 08 1
41
Konzentrationsmaszlige
bull Gini-Koeffizient od Lorenzsche Konzentrationsmaszlig (LKM) Maszligzahl fuumlr die Konzentration
bull Definiert als das 2-fache der Flaumlche F zw Diagonale und Lorenzkurve LKM = 2F
bull Es gilt immer 0 LKM (n-1)nbull Standardisierter Gini-Koeffizient
LKMnor = n(n-1) LKM
42
Konzentrationsmaszlige
bull Berechnung von F
ndash k hellip Werte auf Abszisse
ndash l hellip Werte auf Ordinate
ndash q hellip Anzahl der verschiedenen Merkmalsauspraumlgungen
q
1ii 05FF
q
1jjj
iii1-i1ii
i1ii
Ha
Ha
2
kk)l(l
2
kkF
43
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp Landwirtschaftliche Nutzflaumlche
bull LMK = 2F = i2Fi ndash 1 = 16048 ndash 1 = 06408ndash mit i = 1hellip5
bull LKMnor = 5049 middot 06408 = 06539
Flaumlchen-groumlszlige
Flaumlchen-anteile
aufsumm Betriebs-anteile
2 Fi
bis 5 ha 0063 042 0026465 - 10 ha 0072 060 00734410 - 20 ha 0135 078 01863020 - 50 ha 028 094 048630gt 50 ha 045 100 087300Gesamt 1 16455
44
Verhaumlltniszahlen
bull Quotient zweier Maszligzahlen Verhaumlltniszahl
bull Gliederungszahlenndash Man bezieht eine Teilgroumlszlige auf eine ihr
uumlbergeordnete Gesamtgroumlszlige
bull Beziehungszahlenndash Quotient zweier sachlich sinnvoll in
Verbindung stehender Maszligzahlen
bull Index-Zahlenndash Quotient zweier Maszligzahlen gleicher Art
45
Gliederungszahlen
bull Gliederungszahlen
bull Bsp Tagesproduktion 1500 Teile davon 300 fehlerhaft
Dann sind 20 der Tagesproduktion Ausschuss (3001500middot100)
Ausschussanteil ist eine Gliederungszahl
46
Beziehungszahlen
bull Beziehungszahlen
bull Verursachungszahlen
Bezieht Bewegungsmassen auf die zugehoumlrigen Bestandsmassen
bull Entsprechungszahlen
Alle Beziehungszahlen bei denen man Ereignisse nicht auf ihren Bestand beziehen kann
47
Beziehungszahlen
bull Bsp Verursachungszahlen Geburtenziffer
Bestandsmasse Einwohner einer Stadt (E)
Bewegungsmasse Zahl der Lebend-geborenen (L)
G = (LE)1000
Sagt wie viele Geburten auf 1000 Einwohner einer Stadt entfallen
48
Beziehungszahlen
bull Bsp Entsprechungszahlen
Schuumller-Lehrer-Verhaumlltnis
(Zahl der Schuumller) (Zahl der Lehrer)
Sagt wie viele Schuumller (ungefaumlhr) auf eine Lehrer entfallen Dies entspricht aber iA nicht der durchschnittlichen Klassengroumlszlige
49
Indexzahlen
bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt
bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine
realen Sachverhalt
bull (Zusammengesetzte) Indexzahlenndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen
fiktiven Zustand beschreibt
50
Indexzahlen
bull Einfache Indizes
bull Reihe von Maszligzahlen die man in Beziehung zueinander setzen will
x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0
Dann ist
I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2
eine Zeitreihe einfacher Indizes
51
Indexzahlen
bull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziert
bull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0 I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87
Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden
Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor
bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90
Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen
52
Indexzahlen
bull UmbasierenGegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten
bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt
0k
0t
0k
0t
k
tkt I
I
xx
xx
x
xI
53
Indexzahlen
bull Bsp Umsatz fuumlr Jahre 1990 bis 1998
Jahr Umsatz xt x0 xt x4
1990 1240 100 1081991 1210 098 1051992 1180 095 1031993 1190 096 1031994 1150 093 1001995 1080 087 0941996 1120 090 0971997 1130 091 0981998 1200 097 104
54
Indexzahlen
bull Umbasieren Index von 1996 zur Basisperiode 1990 sollen in Index zur Basisperiode 1994 umgerechnet werden ndash I19901996 = 090 (Basisperiode 1990)
ndash I19901994 = 093 (Basisperiode 1990)
ndash I19941996 = 090 093 = 097 (Basisperiode 1994)
bull Verkettung Weiterer Wert fuumlr 1998 ndash I19901998 = I19901994 middot I19941998 = 093 middot 104 = 097
55
Indexzahlen
bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)
bull Betrachte Warenkorb
n Waren zu einem Zeitpunkt t
Mengen qt1qtn
Preise pt1ptn
Wert des Warenkorbes in Periode t
n
1ititiqp
56
Indexzahlen
bull Wertindex
Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0
n
1i0i0i
n
1ititi
0t
qp
qpW
57
Indexzahlen
bull Bsp Durchschnittlicher Verbrauch an Fleisch aller privaten Haushalte in einer Gemeinde Basismonat 1 Berichtsmonat 12 ndash (Mengen in g Preise in DMkg) Fleisch p0i q0i p12i q12i
F1 575 1450 62 1410F2 1225 1260 1355 1200F3 241 50 248 50F4 178 210 181 215F5 455 2450 46 2470F6 1025 1310 104 1230F7 89 980 91 930
gesamt 7710 7505
58
Indexzahlen
bull Bsp Wertindex n 7
ti ti 12i 12ii 1 i 1
0t n 7
0i 0i 0i 0ii 1 i 1
p q p q627505
W 10119620125p q p q
Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i
F1 575 1450 62 1410 83375 8742F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260F3 241 50 248 50 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915F5 455 2450 46 2470 111475 11362F6 1025 1310 104 1230 134275 12792F7 89 980 91 930 8722 8463
gesamt 7710 7505 620125 627505
59
Indexzahlen
bull Bsp Wertindex ndash 100 middot W012 = 100 middot 10119 = 10119
ndash Dh der tatsaumlchliche Aufwand fuumlr Fleisch fuumlr die privaten Haushalte ist vom Basismonat bis zum Berichtsmonat um 119 gestiegen
ndash Es ist hier nicht beruumlcksichtigt dass der durchschnittliche Verbrauch im Berichtsmonat um 205g geringer ist
60
Indexzahlen
bull Preisindizes
bull Aussagen uumlber die Preisentwicklung
bull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche Mengenschema verwenden
61
Indexzahlen
bull Preisindex nach Paasche
bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
62
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Paasche
Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i p0iq12i p12iq0i
F1 575 1450 62 1410 83375 8742 81075 8990F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260 14700 17073F3 241 50 248 50 1205 1240 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915 3827 3801F5 455 2450 46 2470 111475 11362 112385 11270F6 1025 1310 104 1230 134275 12792 126075 13624F7 89 980 91 930 8722 8463 8277 8918
gesamt 7710 7505 620125 627505 599625 64916
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
63
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Paasche
bull Dh nimmt man fuumlr beide Monaten den durchschnittlichen Verbrauch an Fleisch im Berichtsmonat als Mengenschema (Warenkorb) an so sind die Preise in diesem Zeitraum um 465 gestiegen
65104559962
562750100
qp
qp100
qp
qpP100 7
1i12i0i
7
1i12i12i
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
64
Indexzahlen
bull Preisindex nach Laspeyres
bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
qp
qpP
65
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Laspeyres
bull Dh Fuumlr die im Basismonat verbrauchten Mengen an Fleisch muss man in der Berichtsperiode 468 mehr Geld ausgeben
68104562012
64916100
qp
qp100
qp
qpP100 7
1i0i0i
7
1i0i12i
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
66
Indexzahlen
bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres
bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)
bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)
bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden
bull Fishersche Idealindex LPF III
67
Indexzahlen
bull Mengenindizes
bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung (unabhaumlngig von der Preisentwicklung)
68
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Paasche
bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
qp
qpQ
69
Indexzahlen
bull Bsp Mengenindex nach Paasche
bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen im Berichtsmonat ist um 334 gesunken
669664916
562750100
qp
qp100
qp
qpQ100 7
1i0i12i
7
1i12i12i
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
70
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Laspeyres
bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
qp
qpQ
71
Indexzahlen
bull Bsp Mengenindex nach Laspeyres
bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen zum Basismonat ist um 331 gesunken
6996562012
559962100
qp
qp100
qp
qpQ100 7
1i0i0i
7
1i12i0i
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
8
Varianz
bull Klassifizierte Daten Haumlufigkeitsverteilung
bull Varianz naumlherungsweise berechnen statt der Merkmalswerte xi werden die Klassenmitten xiacute verwendet
i
n
1i
2i
2 h)xx(n
1σ
i
n
1i
2i
2 f)xx(n
1σ
n
1iii
n
1iii fxhx
n
1xmit
9
Varianz
bull Bei unimodalen Verteilungen ist die Varianz die aus den klassifizierten Daten berechnet wird groumlszliger als die Varianz die aus den Einzelwerten berechnet wird
bull Bei konstanten Klasseneinteilungen (Δx) Sheppardsche Korrektur
σsup2 die aus den klassifizierten Daten naumlherungsweise bestimmte Varianz
12
x)(Δσσ
222
corr
10
Varianz
bull Dimension Quadrat der Dimension der einzelnen Beobachtungen
bull Eigenschaft Varianz immer 0
bull Ist Varianz = 0 liegt keine Streuung vor alle Beobachtungswerte sind gleich und somit auch gleich dem arithmetischen Mittel
11
Standardabweichung
bull Standardabweichung = Quadratwurzel der Varianz
n
1i
2i
2 )a(an
1σσ
12
Varianz amp Standardabweichung
Eigenschaften
bull Lineare Transformation der Einzelwerte ai ai = α + βai (i=1n)
bull Dann Varianz σsup2 = βsup2σsup2 Standardabweichung σ = |β| σ
bull Sonderfall β=1 Transformation ai = α + ai
σsup2 = σsup2 und σ = σ
13
Varianz amp Standardabweichung
bull Eigenschaften
bull Varianz einer Grundgesamtheit die aus 2 Teilgesamtheiten (n1 n2) besteht
mit
21
222
211
21
222
2112
nn
)aa(n)aa(n
nn
σnσnσ
21
2211
nn
anana
14
Standardisierung
bull Standardisierungndash Spezielle lineare Transformationndash Bildet aus Einzelwerten ai standardisierte
Werte zi indem von jedem ai das arithm Mittel μ abgezogen wird und durch die Standardabweichung dividiert wird
bull Arithm Mittel der zi immer 0 bull Varianz der zi immer 1
σ
μaz i
i
15
Variationskoeffizient
bull Streuung zweier oder mehrerer Verteilungen mit sich stark voneinander unterscheidenden Mittelwerten vergleichen
bull Relatives Streuungsmaszlig (fuumlr verhaumlltnis-skalierte Merkmale mit ausschlieszliglich positiven Merkmalswerten) bezieht die Standardabweichung σ (absolutes Streuungsmaszlig) auf das arithm Mittel μ
μ
σVC
16
MAD Mittlere absolute Abw
bull Arithmetisches Mittel der absoluten Abweichungen der einzelnen Merkmalswerte vom Mittelwert (zB arithm Mittel oder Median)
bull Minimumeigenschaft des Medians
M beliebiger Wert
n
1ii |Ma|
n
1MAD
n
1ii
n
1ii |Ma|
n
1|Mea|
n
1
17
MAD
bull Haumlufigkeitsverteilung der Datenbull MAD bezogen auf Mittelwert μ
bull MAD aus Haumlufigkeitsverteilung von klassifizierte Daten ndash Merkmalswerte xi durch Klassenmitten xiacute
ersetzen
i
n
1ii h|μx|
n
1MAD
i
n
1ii f|μx|MAD
18
Spannweite (Range)
bull Abstand zw dem groumlszligten und dem kleinsten Wert
bull Einzelwerte der Groumlszlige nach ordnen a[1]hellipa[n]
R = a[n] - a[1]
bull Haumlufigkeitsverteilung von k Merkmalsauspraumlgungen
R = xk - x1
bull Haumlufigkeitsverteilung von klassifizierten Daten
R = xko - x1
u
bull Spannweite ist instabil gegenuumlber Ausreiszligern
19
Quartilsabstand
bull Quartile Q1 Q2 (=Median) Q3 teilen die Gesamtheit in 4 gleich groszlige Teile
bull α-Quantil
a(k) falls nα keine ganze Zahl (k die auf nα folgende ganze Zahl)
aα= 12 (a(k)+a(k+1)) falls nα ganze Zahl k=nα
bull Quartilsabstand (Interquartile Range) definiert als Spannweite der 50 mittleren Werte
QA = Q3 ndash Q1
bull Eigenschaft stabil gegenuumlber Ausreiszligern
20
Deskriptive Analyse Box-Plot
bull Box-Plot ndash Box beinhaltet 50 der Daten (Grenzen 1
und 3 Quartil) Darstellung des Medians ndash Whiskers maximal 15-mal die Laumlnge der Boxndash Ausreiszliger Werte auszligerhalb der Whiskers
bull Ausreiszliger
bull Krasse Ausreiszliger
21
38N =
GEWICHT
110
100
90
80
70
60
50
40
937
Deskriptive Analyse Box-Plot
bull Box-Plot grafische Darstellung einer Beobachtungsreihe (Verteilung und Struktur)
38N =
GROEszligE
210
200
190
180
170
160
150
140
22
Deskriptive Analyse Box-Plot
bull Box-Plot fuumlr Vergleich von 2 Messreihen
1820N =
SEX
mw
GR
OE
szligE
210
200
190
180
170
160
150
140
28
9
23
Schiefe
bull Gibt Richtung (rechts- oder linksschief) und Groumlszligenordnung der Schiefe einer eingipfligen Haumlufigkeitsverteilung an
lt 0 linksschiefe
g1 = 0 symmetrisch
gt 0 rechtsschiefebull Kein direkter Streuungsparameter
3n
1i
2i
n
1i
3i
1
)a(an1
)a(an1
g
24
Schiefe
bull Schiefe einer Haumlufigkeitsverteilung aus gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten
bull Berechnung mit Klassenmittel und Klassenmitte kann zu unterschiedlichen Ergebnissen fuumlhren
3k
1ii
2i
i
k
1i
3i
1
h)aa(n1
h)aa(n1
g
3k
1ii
2i
i
k
1i
3i
1
h)a(mn1
h)a(mn1
g
25
Schiefe
bull Linksschiefe Verteilung g1 lt 0Linksschiefe Verteilung
Auspraumlgung
Hauml
ufi
gke
it
26
Schiefe
bull Symmetrische Verteilung g1 = 0Symmetrische Verteilung
Auspraumlgung
Hauml
ufi
gke
it
27
Schiefe
bull Rechtschiefe Verteilung g1 gt 0Rechtsschiefe Verteilung
Auspraumlgung
Haumlu
fig
keit
28
Woumllbung
bull Woumllbung od Kurtosis od Exzeszlig Maszligzahl fuumlr eingipflige Haumlufigkeitsvt
bull Gibt an ob (bei gleicher Varianz) das absolute Maximum der Haumlufigkeitsvt groumlszliger als bei der Dichte der Normalvt ist
3
)a(an1
)a(an1
g 2n
1i
2i
n
1i
4i
2
29
Woumllbung
lt 0 abs Max kleiner als bei N-Vt
g2 = 0 Normalverteilung
gt 0 abs Max groumlszliger als bei N-Vt
bull Woumllbung einer Haumlufigkeitsverteilung aus gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten
3
h)aa(n1
h)aa(n1
g 2n
1ii
2i
k
1ii
4i
2
3
h)a(mn1
h)a(mn1
g 2n
1ii
2i
k
1ii
4i
2
30
Konzentrationsmaszlige
bull Metrisch skaliertes Merkmal X mit nur positiven Auspraumlgungen
bull Frage Wie teilt sich die Summe der Merkmalswerte x1hellipxn in der Beobachtungsreihe auf die Untersuchungs-einheiten auf
bull Bsp n landwirtschaftliche Betriebe Groumlszlige der Nutzflaumlchen x1xn Wie teilt sich die gesamte Nutzflaumlche auf die einzelnen Betriebe auf
31
Konzentrationsmaszlige
bull n Merkmalswerte werden durch q Merkmalsauspraumlgungen a1ltltaq mit absoluten- und relativen Haumlufigkeiten hi bzw fi bestimmt
bull Gesamtbetrag der Merkmalswerte in der Beobachtungsreihe
n
1iii
n
1jj hax
32
Konzentrationsmaszlige
bull Lorenzkurve Grafische Darstellung der Konzentration der Merkmalswerte
bull Koordinatenkreuz ndash Abszisse es werden die nach der Groumlszlige der Merkmals-
auspraumlgung geordneten relativen Haumlufigkeiten aufsummiert
ndash Ordinate Auspraumlgungen werden der Groumlszlige nach
aufsummiert und auf Summe aller Auspraumlgungen bezogen
q1ifuumlrfn
hk
i
1jj
i
1j
ji
q1ifuumlr hahalq
1jjj
i
1jjji
33
Konzentrationsmaszlige
bull Verbinden der Punkte (kili) ergibt die Lorenzkurve wobei immer k0=l0=0 und kq=lq=1 gilt
ki
li
0 1
1
34
Konzentrationsmaszlige
bull Interpretation ein Punkt (kili) der Lorenz-kurve gibt an dass auf ki middot 100 der Untersuchungseinheiten li middot 100 des Gesamtbetrages aller Merkmalsaus-praumlgungen entfallen
bull Bsp auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlche
35
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche Betriebendash Abszisse Es wird der Prozentsatz der Betriebe
mit der kleinsten Flaumlche bestimmt dann wird der Prozentsatz der Betriebe mit der zweit-kleinsten Flaumlche bestimmt und zum Prozentsatz der Betriebe mit der kleinsten Flaumlche addiert usw
ndash Ordinate Flaumlchenanteile der Betriebe bzgl der Gesamtflaumlche werden der Flaumlchengroumlszlige nach aufsummiert
36
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeFlaumlchen-groumlszlige
Anzahl der
Betriebe
Flaumlcheng pro
Gruppe
der Betriebe
Flaumlchen-anteile
aufsumm Betriebs-anteile
aufsumm Flaumlchen-anteile
bis 5 ha 21 63 042 0063 042 00635 - 10 ha 9 72 018 0072 060 013510 - 20 ha 9 135 018 0135 078 027020 - 50 ha 8 280 016 028 094 0550gt 50 ha 3 450 006 045 100 1000Gesamt 50 1000 1 1
37
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeLandwirtschaftliche Betriebe
0
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1
aufsummierte Anteile der Betriebe
au
fsu
mm
iert
e F
laumlc
he
na
nte
ile
38
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp Landwirtschaftliche Betriebe
bull Interpretation auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlchendash auf 42 der Betriebe entfallen 63 der Nutzflaumlche
ndash auf 60 der Betriebe entfallen 125 der Nutzflaumlche
ndash auf 78 der Betriebe entfallen 27 der Nutzflaumlche
ndash auf 94 der Betriebe entfallen 55 der Nutzflaumlche
39
Konzentrationsmaszlige
Extremfaumllle
bull Keine Konzentration alle Untersuchungs-einheiten haben den gleichen Anteil am Gesamtbetrag Lorenzkurve ist Diagonale
bull Gesamtbetrag konzentriert sich (fast) vollstaumlndig auf eine Untersuchungseinheit Lorenzkurve liegt (fast) auf Abszisse ist also (fast) senkrecht
40
Konzentrationsmaszlige
Extremfaumllle
0
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
0 02 04 06 08 1
41
Konzentrationsmaszlige
bull Gini-Koeffizient od Lorenzsche Konzentrationsmaszlig (LKM) Maszligzahl fuumlr die Konzentration
bull Definiert als das 2-fache der Flaumlche F zw Diagonale und Lorenzkurve LKM = 2F
bull Es gilt immer 0 LKM (n-1)nbull Standardisierter Gini-Koeffizient
LKMnor = n(n-1) LKM
42
Konzentrationsmaszlige
bull Berechnung von F
ndash k hellip Werte auf Abszisse
ndash l hellip Werte auf Ordinate
ndash q hellip Anzahl der verschiedenen Merkmalsauspraumlgungen
q
1ii 05FF
q
1jjj
iii1-i1ii
i1ii
Ha
Ha
2
kk)l(l
2
kkF
43
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp Landwirtschaftliche Nutzflaumlche
bull LMK = 2F = i2Fi ndash 1 = 16048 ndash 1 = 06408ndash mit i = 1hellip5
bull LKMnor = 5049 middot 06408 = 06539
Flaumlchen-groumlszlige
Flaumlchen-anteile
aufsumm Betriebs-anteile
2 Fi
bis 5 ha 0063 042 0026465 - 10 ha 0072 060 00734410 - 20 ha 0135 078 01863020 - 50 ha 028 094 048630gt 50 ha 045 100 087300Gesamt 1 16455
44
Verhaumlltniszahlen
bull Quotient zweier Maszligzahlen Verhaumlltniszahl
bull Gliederungszahlenndash Man bezieht eine Teilgroumlszlige auf eine ihr
uumlbergeordnete Gesamtgroumlszlige
bull Beziehungszahlenndash Quotient zweier sachlich sinnvoll in
Verbindung stehender Maszligzahlen
bull Index-Zahlenndash Quotient zweier Maszligzahlen gleicher Art
45
Gliederungszahlen
bull Gliederungszahlen
bull Bsp Tagesproduktion 1500 Teile davon 300 fehlerhaft
Dann sind 20 der Tagesproduktion Ausschuss (3001500middot100)
Ausschussanteil ist eine Gliederungszahl
46
Beziehungszahlen
bull Beziehungszahlen
bull Verursachungszahlen
Bezieht Bewegungsmassen auf die zugehoumlrigen Bestandsmassen
bull Entsprechungszahlen
Alle Beziehungszahlen bei denen man Ereignisse nicht auf ihren Bestand beziehen kann
47
Beziehungszahlen
bull Bsp Verursachungszahlen Geburtenziffer
Bestandsmasse Einwohner einer Stadt (E)
Bewegungsmasse Zahl der Lebend-geborenen (L)
G = (LE)1000
Sagt wie viele Geburten auf 1000 Einwohner einer Stadt entfallen
48
Beziehungszahlen
bull Bsp Entsprechungszahlen
Schuumller-Lehrer-Verhaumlltnis
(Zahl der Schuumller) (Zahl der Lehrer)
Sagt wie viele Schuumller (ungefaumlhr) auf eine Lehrer entfallen Dies entspricht aber iA nicht der durchschnittlichen Klassengroumlszlige
49
Indexzahlen
bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt
bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine
realen Sachverhalt
bull (Zusammengesetzte) Indexzahlenndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen
fiktiven Zustand beschreibt
50
Indexzahlen
bull Einfache Indizes
bull Reihe von Maszligzahlen die man in Beziehung zueinander setzen will
x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0
Dann ist
I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2
eine Zeitreihe einfacher Indizes
51
Indexzahlen
bull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziert
bull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0 I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87
Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden
Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor
bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90
Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen
52
Indexzahlen
bull UmbasierenGegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten
bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt
0k
0t
0k
0t
k
tkt I
I
xx
xx
x
xI
53
Indexzahlen
bull Bsp Umsatz fuumlr Jahre 1990 bis 1998
Jahr Umsatz xt x0 xt x4
1990 1240 100 1081991 1210 098 1051992 1180 095 1031993 1190 096 1031994 1150 093 1001995 1080 087 0941996 1120 090 0971997 1130 091 0981998 1200 097 104
54
Indexzahlen
bull Umbasieren Index von 1996 zur Basisperiode 1990 sollen in Index zur Basisperiode 1994 umgerechnet werden ndash I19901996 = 090 (Basisperiode 1990)
ndash I19901994 = 093 (Basisperiode 1990)
ndash I19941996 = 090 093 = 097 (Basisperiode 1994)
bull Verkettung Weiterer Wert fuumlr 1998 ndash I19901998 = I19901994 middot I19941998 = 093 middot 104 = 097
55
Indexzahlen
bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)
bull Betrachte Warenkorb
n Waren zu einem Zeitpunkt t
Mengen qt1qtn
Preise pt1ptn
Wert des Warenkorbes in Periode t
n
1ititiqp
56
Indexzahlen
bull Wertindex
Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0
n
1i0i0i
n
1ititi
0t
qp
qpW
57
Indexzahlen
bull Bsp Durchschnittlicher Verbrauch an Fleisch aller privaten Haushalte in einer Gemeinde Basismonat 1 Berichtsmonat 12 ndash (Mengen in g Preise in DMkg) Fleisch p0i q0i p12i q12i
F1 575 1450 62 1410F2 1225 1260 1355 1200F3 241 50 248 50F4 178 210 181 215F5 455 2450 46 2470F6 1025 1310 104 1230F7 89 980 91 930
gesamt 7710 7505
58
Indexzahlen
bull Bsp Wertindex n 7
ti ti 12i 12ii 1 i 1
0t n 7
0i 0i 0i 0ii 1 i 1
p q p q627505
W 10119620125p q p q
Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i
F1 575 1450 62 1410 83375 8742F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260F3 241 50 248 50 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915F5 455 2450 46 2470 111475 11362F6 1025 1310 104 1230 134275 12792F7 89 980 91 930 8722 8463
gesamt 7710 7505 620125 627505
59
Indexzahlen
bull Bsp Wertindex ndash 100 middot W012 = 100 middot 10119 = 10119
ndash Dh der tatsaumlchliche Aufwand fuumlr Fleisch fuumlr die privaten Haushalte ist vom Basismonat bis zum Berichtsmonat um 119 gestiegen
ndash Es ist hier nicht beruumlcksichtigt dass der durchschnittliche Verbrauch im Berichtsmonat um 205g geringer ist
60
Indexzahlen
bull Preisindizes
bull Aussagen uumlber die Preisentwicklung
bull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche Mengenschema verwenden
61
Indexzahlen
bull Preisindex nach Paasche
bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
62
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Paasche
Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i p0iq12i p12iq0i
F1 575 1450 62 1410 83375 8742 81075 8990F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260 14700 17073F3 241 50 248 50 1205 1240 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915 3827 3801F5 455 2450 46 2470 111475 11362 112385 11270F6 1025 1310 104 1230 134275 12792 126075 13624F7 89 980 91 930 8722 8463 8277 8918
gesamt 7710 7505 620125 627505 599625 64916
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
63
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Paasche
bull Dh nimmt man fuumlr beide Monaten den durchschnittlichen Verbrauch an Fleisch im Berichtsmonat als Mengenschema (Warenkorb) an so sind die Preise in diesem Zeitraum um 465 gestiegen
65104559962
562750100
qp
qp100
qp
qpP100 7
1i12i0i
7
1i12i12i
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
64
Indexzahlen
bull Preisindex nach Laspeyres
bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
qp
qpP
65
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Laspeyres
bull Dh Fuumlr die im Basismonat verbrauchten Mengen an Fleisch muss man in der Berichtsperiode 468 mehr Geld ausgeben
68104562012
64916100
qp
qp100
qp
qpP100 7
1i0i0i
7
1i0i12i
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
66
Indexzahlen
bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres
bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)
bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)
bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden
bull Fishersche Idealindex LPF III
67
Indexzahlen
bull Mengenindizes
bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung (unabhaumlngig von der Preisentwicklung)
68
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Paasche
bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
qp
qpQ
69
Indexzahlen
bull Bsp Mengenindex nach Paasche
bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen im Berichtsmonat ist um 334 gesunken
669664916
562750100
qp
qp100
qp
qpQ100 7
1i0i12i
7
1i12i12i
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
70
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Laspeyres
bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
qp
qpQ
71
Indexzahlen
bull Bsp Mengenindex nach Laspeyres
bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen zum Basismonat ist um 331 gesunken
6996562012
559962100
qp
qp100
qp
qpQ100 7
1i0i0i
7
1i12i0i
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
9
Varianz
bull Bei unimodalen Verteilungen ist die Varianz die aus den klassifizierten Daten berechnet wird groumlszliger als die Varianz die aus den Einzelwerten berechnet wird
bull Bei konstanten Klasseneinteilungen (Δx) Sheppardsche Korrektur
σsup2 die aus den klassifizierten Daten naumlherungsweise bestimmte Varianz
12
x)(Δσσ
222
corr
10
Varianz
bull Dimension Quadrat der Dimension der einzelnen Beobachtungen
bull Eigenschaft Varianz immer 0
bull Ist Varianz = 0 liegt keine Streuung vor alle Beobachtungswerte sind gleich und somit auch gleich dem arithmetischen Mittel
11
Standardabweichung
bull Standardabweichung = Quadratwurzel der Varianz
n
1i
2i
2 )a(an
1σσ
12
Varianz amp Standardabweichung
Eigenschaften
bull Lineare Transformation der Einzelwerte ai ai = α + βai (i=1n)
bull Dann Varianz σsup2 = βsup2σsup2 Standardabweichung σ = |β| σ
bull Sonderfall β=1 Transformation ai = α + ai
σsup2 = σsup2 und σ = σ
13
Varianz amp Standardabweichung
bull Eigenschaften
bull Varianz einer Grundgesamtheit die aus 2 Teilgesamtheiten (n1 n2) besteht
mit
21
222
211
21
222
2112
nn
)aa(n)aa(n
nn
σnσnσ
21
2211
nn
anana
14
Standardisierung
bull Standardisierungndash Spezielle lineare Transformationndash Bildet aus Einzelwerten ai standardisierte
Werte zi indem von jedem ai das arithm Mittel μ abgezogen wird und durch die Standardabweichung dividiert wird
bull Arithm Mittel der zi immer 0 bull Varianz der zi immer 1
σ
μaz i
i
15
Variationskoeffizient
bull Streuung zweier oder mehrerer Verteilungen mit sich stark voneinander unterscheidenden Mittelwerten vergleichen
bull Relatives Streuungsmaszlig (fuumlr verhaumlltnis-skalierte Merkmale mit ausschlieszliglich positiven Merkmalswerten) bezieht die Standardabweichung σ (absolutes Streuungsmaszlig) auf das arithm Mittel μ
μ
σVC
16
MAD Mittlere absolute Abw
bull Arithmetisches Mittel der absoluten Abweichungen der einzelnen Merkmalswerte vom Mittelwert (zB arithm Mittel oder Median)
bull Minimumeigenschaft des Medians
M beliebiger Wert
n
1ii |Ma|
n
1MAD
n
1ii
n
1ii |Ma|
n
1|Mea|
n
1
17
MAD
bull Haumlufigkeitsverteilung der Datenbull MAD bezogen auf Mittelwert μ
bull MAD aus Haumlufigkeitsverteilung von klassifizierte Daten ndash Merkmalswerte xi durch Klassenmitten xiacute
ersetzen
i
n
1ii h|μx|
n
1MAD
i
n
1ii f|μx|MAD
18
Spannweite (Range)
bull Abstand zw dem groumlszligten und dem kleinsten Wert
bull Einzelwerte der Groumlszlige nach ordnen a[1]hellipa[n]
R = a[n] - a[1]
bull Haumlufigkeitsverteilung von k Merkmalsauspraumlgungen
R = xk - x1
bull Haumlufigkeitsverteilung von klassifizierten Daten
R = xko - x1
u
bull Spannweite ist instabil gegenuumlber Ausreiszligern
19
Quartilsabstand
bull Quartile Q1 Q2 (=Median) Q3 teilen die Gesamtheit in 4 gleich groszlige Teile
bull α-Quantil
a(k) falls nα keine ganze Zahl (k die auf nα folgende ganze Zahl)
aα= 12 (a(k)+a(k+1)) falls nα ganze Zahl k=nα
bull Quartilsabstand (Interquartile Range) definiert als Spannweite der 50 mittleren Werte
QA = Q3 ndash Q1
bull Eigenschaft stabil gegenuumlber Ausreiszligern
20
Deskriptive Analyse Box-Plot
bull Box-Plot ndash Box beinhaltet 50 der Daten (Grenzen 1
und 3 Quartil) Darstellung des Medians ndash Whiskers maximal 15-mal die Laumlnge der Boxndash Ausreiszliger Werte auszligerhalb der Whiskers
bull Ausreiszliger
bull Krasse Ausreiszliger
21
38N =
GEWICHT
110
100
90
80
70
60
50
40
937
Deskriptive Analyse Box-Plot
bull Box-Plot grafische Darstellung einer Beobachtungsreihe (Verteilung und Struktur)
38N =
GROEszligE
210
200
190
180
170
160
150
140
22
Deskriptive Analyse Box-Plot
bull Box-Plot fuumlr Vergleich von 2 Messreihen
1820N =
SEX
mw
GR
OE
szligE
210
200
190
180
170
160
150
140
28
9
23
Schiefe
bull Gibt Richtung (rechts- oder linksschief) und Groumlszligenordnung der Schiefe einer eingipfligen Haumlufigkeitsverteilung an
lt 0 linksschiefe
g1 = 0 symmetrisch
gt 0 rechtsschiefebull Kein direkter Streuungsparameter
3n
1i
2i
n
1i
3i
1
)a(an1
)a(an1
g
24
Schiefe
bull Schiefe einer Haumlufigkeitsverteilung aus gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten
bull Berechnung mit Klassenmittel und Klassenmitte kann zu unterschiedlichen Ergebnissen fuumlhren
3k
1ii
2i
i
k
1i
3i
1
h)aa(n1
h)aa(n1
g
3k
1ii
2i
i
k
1i
3i
1
h)a(mn1
h)a(mn1
g
25
Schiefe
bull Linksschiefe Verteilung g1 lt 0Linksschiefe Verteilung
Auspraumlgung
Hauml
ufi
gke
it
26
Schiefe
bull Symmetrische Verteilung g1 = 0Symmetrische Verteilung
Auspraumlgung
Hauml
ufi
gke
it
27
Schiefe
bull Rechtschiefe Verteilung g1 gt 0Rechtsschiefe Verteilung
Auspraumlgung
Haumlu
fig
keit
28
Woumllbung
bull Woumllbung od Kurtosis od Exzeszlig Maszligzahl fuumlr eingipflige Haumlufigkeitsvt
bull Gibt an ob (bei gleicher Varianz) das absolute Maximum der Haumlufigkeitsvt groumlszliger als bei der Dichte der Normalvt ist
3
)a(an1
)a(an1
g 2n
1i
2i
n
1i
4i
2
29
Woumllbung
lt 0 abs Max kleiner als bei N-Vt
g2 = 0 Normalverteilung
gt 0 abs Max groumlszliger als bei N-Vt
bull Woumllbung einer Haumlufigkeitsverteilung aus gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten
3
h)aa(n1
h)aa(n1
g 2n
1ii
2i
k
1ii
4i
2
3
h)a(mn1
h)a(mn1
g 2n
1ii
2i
k
1ii
4i
2
30
Konzentrationsmaszlige
bull Metrisch skaliertes Merkmal X mit nur positiven Auspraumlgungen
bull Frage Wie teilt sich die Summe der Merkmalswerte x1hellipxn in der Beobachtungsreihe auf die Untersuchungs-einheiten auf
bull Bsp n landwirtschaftliche Betriebe Groumlszlige der Nutzflaumlchen x1xn Wie teilt sich die gesamte Nutzflaumlche auf die einzelnen Betriebe auf
31
Konzentrationsmaszlige
bull n Merkmalswerte werden durch q Merkmalsauspraumlgungen a1ltltaq mit absoluten- und relativen Haumlufigkeiten hi bzw fi bestimmt
bull Gesamtbetrag der Merkmalswerte in der Beobachtungsreihe
n
1iii
n
1jj hax
32
Konzentrationsmaszlige
bull Lorenzkurve Grafische Darstellung der Konzentration der Merkmalswerte
bull Koordinatenkreuz ndash Abszisse es werden die nach der Groumlszlige der Merkmals-
auspraumlgung geordneten relativen Haumlufigkeiten aufsummiert
ndash Ordinate Auspraumlgungen werden der Groumlszlige nach
aufsummiert und auf Summe aller Auspraumlgungen bezogen
q1ifuumlrfn
hk
i
1jj
i
1j
ji
q1ifuumlr hahalq
1jjj
i
1jjji
33
Konzentrationsmaszlige
bull Verbinden der Punkte (kili) ergibt die Lorenzkurve wobei immer k0=l0=0 und kq=lq=1 gilt
ki
li
0 1
1
34
Konzentrationsmaszlige
bull Interpretation ein Punkt (kili) der Lorenz-kurve gibt an dass auf ki middot 100 der Untersuchungseinheiten li middot 100 des Gesamtbetrages aller Merkmalsaus-praumlgungen entfallen
bull Bsp auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlche
35
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche Betriebendash Abszisse Es wird der Prozentsatz der Betriebe
mit der kleinsten Flaumlche bestimmt dann wird der Prozentsatz der Betriebe mit der zweit-kleinsten Flaumlche bestimmt und zum Prozentsatz der Betriebe mit der kleinsten Flaumlche addiert usw
ndash Ordinate Flaumlchenanteile der Betriebe bzgl der Gesamtflaumlche werden der Flaumlchengroumlszlige nach aufsummiert
36
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeFlaumlchen-groumlszlige
Anzahl der
Betriebe
Flaumlcheng pro
Gruppe
der Betriebe
Flaumlchen-anteile
aufsumm Betriebs-anteile
aufsumm Flaumlchen-anteile
bis 5 ha 21 63 042 0063 042 00635 - 10 ha 9 72 018 0072 060 013510 - 20 ha 9 135 018 0135 078 027020 - 50 ha 8 280 016 028 094 0550gt 50 ha 3 450 006 045 100 1000Gesamt 50 1000 1 1
37
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeLandwirtschaftliche Betriebe
0
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1
aufsummierte Anteile der Betriebe
au
fsu
mm
iert
e F
laumlc
he
na
nte
ile
38
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp Landwirtschaftliche Betriebe
bull Interpretation auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlchendash auf 42 der Betriebe entfallen 63 der Nutzflaumlche
ndash auf 60 der Betriebe entfallen 125 der Nutzflaumlche
ndash auf 78 der Betriebe entfallen 27 der Nutzflaumlche
ndash auf 94 der Betriebe entfallen 55 der Nutzflaumlche
39
Konzentrationsmaszlige
Extremfaumllle
bull Keine Konzentration alle Untersuchungs-einheiten haben den gleichen Anteil am Gesamtbetrag Lorenzkurve ist Diagonale
bull Gesamtbetrag konzentriert sich (fast) vollstaumlndig auf eine Untersuchungseinheit Lorenzkurve liegt (fast) auf Abszisse ist also (fast) senkrecht
40
Konzentrationsmaszlige
Extremfaumllle
0
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
0 02 04 06 08 1
41
Konzentrationsmaszlige
bull Gini-Koeffizient od Lorenzsche Konzentrationsmaszlig (LKM) Maszligzahl fuumlr die Konzentration
bull Definiert als das 2-fache der Flaumlche F zw Diagonale und Lorenzkurve LKM = 2F
bull Es gilt immer 0 LKM (n-1)nbull Standardisierter Gini-Koeffizient
LKMnor = n(n-1) LKM
42
Konzentrationsmaszlige
bull Berechnung von F
ndash k hellip Werte auf Abszisse
ndash l hellip Werte auf Ordinate
ndash q hellip Anzahl der verschiedenen Merkmalsauspraumlgungen
q
1ii 05FF
q
1jjj
iii1-i1ii
i1ii
Ha
Ha
2
kk)l(l
2
kkF
43
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp Landwirtschaftliche Nutzflaumlche
bull LMK = 2F = i2Fi ndash 1 = 16048 ndash 1 = 06408ndash mit i = 1hellip5
bull LKMnor = 5049 middot 06408 = 06539
Flaumlchen-groumlszlige
Flaumlchen-anteile
aufsumm Betriebs-anteile
2 Fi
bis 5 ha 0063 042 0026465 - 10 ha 0072 060 00734410 - 20 ha 0135 078 01863020 - 50 ha 028 094 048630gt 50 ha 045 100 087300Gesamt 1 16455
44
Verhaumlltniszahlen
bull Quotient zweier Maszligzahlen Verhaumlltniszahl
bull Gliederungszahlenndash Man bezieht eine Teilgroumlszlige auf eine ihr
uumlbergeordnete Gesamtgroumlszlige
bull Beziehungszahlenndash Quotient zweier sachlich sinnvoll in
Verbindung stehender Maszligzahlen
bull Index-Zahlenndash Quotient zweier Maszligzahlen gleicher Art
45
Gliederungszahlen
bull Gliederungszahlen
bull Bsp Tagesproduktion 1500 Teile davon 300 fehlerhaft
Dann sind 20 der Tagesproduktion Ausschuss (3001500middot100)
Ausschussanteil ist eine Gliederungszahl
46
Beziehungszahlen
bull Beziehungszahlen
bull Verursachungszahlen
Bezieht Bewegungsmassen auf die zugehoumlrigen Bestandsmassen
bull Entsprechungszahlen
Alle Beziehungszahlen bei denen man Ereignisse nicht auf ihren Bestand beziehen kann
47
Beziehungszahlen
bull Bsp Verursachungszahlen Geburtenziffer
Bestandsmasse Einwohner einer Stadt (E)
Bewegungsmasse Zahl der Lebend-geborenen (L)
G = (LE)1000
Sagt wie viele Geburten auf 1000 Einwohner einer Stadt entfallen
48
Beziehungszahlen
bull Bsp Entsprechungszahlen
Schuumller-Lehrer-Verhaumlltnis
(Zahl der Schuumller) (Zahl der Lehrer)
Sagt wie viele Schuumller (ungefaumlhr) auf eine Lehrer entfallen Dies entspricht aber iA nicht der durchschnittlichen Klassengroumlszlige
49
Indexzahlen
bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt
bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine
realen Sachverhalt
bull (Zusammengesetzte) Indexzahlenndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen
fiktiven Zustand beschreibt
50
Indexzahlen
bull Einfache Indizes
bull Reihe von Maszligzahlen die man in Beziehung zueinander setzen will
x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0
Dann ist
I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2
eine Zeitreihe einfacher Indizes
51
Indexzahlen
bull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziert
bull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0 I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87
Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden
Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor
bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90
Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen
52
Indexzahlen
bull UmbasierenGegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten
bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt
0k
0t
0k
0t
k
tkt I
I
xx
xx
x
xI
53
Indexzahlen
bull Bsp Umsatz fuumlr Jahre 1990 bis 1998
Jahr Umsatz xt x0 xt x4
1990 1240 100 1081991 1210 098 1051992 1180 095 1031993 1190 096 1031994 1150 093 1001995 1080 087 0941996 1120 090 0971997 1130 091 0981998 1200 097 104
54
Indexzahlen
bull Umbasieren Index von 1996 zur Basisperiode 1990 sollen in Index zur Basisperiode 1994 umgerechnet werden ndash I19901996 = 090 (Basisperiode 1990)
ndash I19901994 = 093 (Basisperiode 1990)
ndash I19941996 = 090 093 = 097 (Basisperiode 1994)
bull Verkettung Weiterer Wert fuumlr 1998 ndash I19901998 = I19901994 middot I19941998 = 093 middot 104 = 097
55
Indexzahlen
bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)
bull Betrachte Warenkorb
n Waren zu einem Zeitpunkt t
Mengen qt1qtn
Preise pt1ptn
Wert des Warenkorbes in Periode t
n
1ititiqp
56
Indexzahlen
bull Wertindex
Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0
n
1i0i0i
n
1ititi
0t
qp
qpW
57
Indexzahlen
bull Bsp Durchschnittlicher Verbrauch an Fleisch aller privaten Haushalte in einer Gemeinde Basismonat 1 Berichtsmonat 12 ndash (Mengen in g Preise in DMkg) Fleisch p0i q0i p12i q12i
F1 575 1450 62 1410F2 1225 1260 1355 1200F3 241 50 248 50F4 178 210 181 215F5 455 2450 46 2470F6 1025 1310 104 1230F7 89 980 91 930
gesamt 7710 7505
58
Indexzahlen
bull Bsp Wertindex n 7
ti ti 12i 12ii 1 i 1
0t n 7
0i 0i 0i 0ii 1 i 1
p q p q627505
W 10119620125p q p q
Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i
F1 575 1450 62 1410 83375 8742F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260F3 241 50 248 50 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915F5 455 2450 46 2470 111475 11362F6 1025 1310 104 1230 134275 12792F7 89 980 91 930 8722 8463
gesamt 7710 7505 620125 627505
59
Indexzahlen
bull Bsp Wertindex ndash 100 middot W012 = 100 middot 10119 = 10119
ndash Dh der tatsaumlchliche Aufwand fuumlr Fleisch fuumlr die privaten Haushalte ist vom Basismonat bis zum Berichtsmonat um 119 gestiegen
ndash Es ist hier nicht beruumlcksichtigt dass der durchschnittliche Verbrauch im Berichtsmonat um 205g geringer ist
60
Indexzahlen
bull Preisindizes
bull Aussagen uumlber die Preisentwicklung
bull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche Mengenschema verwenden
61
Indexzahlen
bull Preisindex nach Paasche
bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
62
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Paasche
Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i p0iq12i p12iq0i
F1 575 1450 62 1410 83375 8742 81075 8990F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260 14700 17073F3 241 50 248 50 1205 1240 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915 3827 3801F5 455 2450 46 2470 111475 11362 112385 11270F6 1025 1310 104 1230 134275 12792 126075 13624F7 89 980 91 930 8722 8463 8277 8918
gesamt 7710 7505 620125 627505 599625 64916
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
63
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Paasche
bull Dh nimmt man fuumlr beide Monaten den durchschnittlichen Verbrauch an Fleisch im Berichtsmonat als Mengenschema (Warenkorb) an so sind die Preise in diesem Zeitraum um 465 gestiegen
65104559962
562750100
qp
qp100
qp
qpP100 7
1i12i0i
7
1i12i12i
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
64
Indexzahlen
bull Preisindex nach Laspeyres
bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
qp
qpP
65
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Laspeyres
bull Dh Fuumlr die im Basismonat verbrauchten Mengen an Fleisch muss man in der Berichtsperiode 468 mehr Geld ausgeben
68104562012
64916100
qp
qp100
qp
qpP100 7
1i0i0i
7
1i0i12i
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
66
Indexzahlen
bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres
bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)
bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)
bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden
bull Fishersche Idealindex LPF III
67
Indexzahlen
bull Mengenindizes
bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung (unabhaumlngig von der Preisentwicklung)
68
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Paasche
bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
qp
qpQ
69
Indexzahlen
bull Bsp Mengenindex nach Paasche
bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen im Berichtsmonat ist um 334 gesunken
669664916
562750100
qp
qp100
qp
qpQ100 7
1i0i12i
7
1i12i12i
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
70
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Laspeyres
bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
qp
qpQ
71
Indexzahlen
bull Bsp Mengenindex nach Laspeyres
bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen zum Basismonat ist um 331 gesunken
6996562012
559962100
qp
qp100
qp
qpQ100 7
1i0i0i
7
1i12i0i
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
10
Varianz
bull Dimension Quadrat der Dimension der einzelnen Beobachtungen
bull Eigenschaft Varianz immer 0
bull Ist Varianz = 0 liegt keine Streuung vor alle Beobachtungswerte sind gleich und somit auch gleich dem arithmetischen Mittel
11
Standardabweichung
bull Standardabweichung = Quadratwurzel der Varianz
n
1i
2i
2 )a(an
1σσ
12
Varianz amp Standardabweichung
Eigenschaften
bull Lineare Transformation der Einzelwerte ai ai = α + βai (i=1n)
bull Dann Varianz σsup2 = βsup2σsup2 Standardabweichung σ = |β| σ
bull Sonderfall β=1 Transformation ai = α + ai
σsup2 = σsup2 und σ = σ
13
Varianz amp Standardabweichung
bull Eigenschaften
bull Varianz einer Grundgesamtheit die aus 2 Teilgesamtheiten (n1 n2) besteht
mit
21
222
211
21
222
2112
nn
)aa(n)aa(n
nn
σnσnσ
21
2211
nn
anana
14
Standardisierung
bull Standardisierungndash Spezielle lineare Transformationndash Bildet aus Einzelwerten ai standardisierte
Werte zi indem von jedem ai das arithm Mittel μ abgezogen wird und durch die Standardabweichung dividiert wird
bull Arithm Mittel der zi immer 0 bull Varianz der zi immer 1
σ
μaz i
i
15
Variationskoeffizient
bull Streuung zweier oder mehrerer Verteilungen mit sich stark voneinander unterscheidenden Mittelwerten vergleichen
bull Relatives Streuungsmaszlig (fuumlr verhaumlltnis-skalierte Merkmale mit ausschlieszliglich positiven Merkmalswerten) bezieht die Standardabweichung σ (absolutes Streuungsmaszlig) auf das arithm Mittel μ
μ
σVC
16
MAD Mittlere absolute Abw
bull Arithmetisches Mittel der absoluten Abweichungen der einzelnen Merkmalswerte vom Mittelwert (zB arithm Mittel oder Median)
bull Minimumeigenschaft des Medians
M beliebiger Wert
n
1ii |Ma|
n
1MAD
n
1ii
n
1ii |Ma|
n
1|Mea|
n
1
17
MAD
bull Haumlufigkeitsverteilung der Datenbull MAD bezogen auf Mittelwert μ
bull MAD aus Haumlufigkeitsverteilung von klassifizierte Daten ndash Merkmalswerte xi durch Klassenmitten xiacute
ersetzen
i
n
1ii h|μx|
n
1MAD
i
n
1ii f|μx|MAD
18
Spannweite (Range)
bull Abstand zw dem groumlszligten und dem kleinsten Wert
bull Einzelwerte der Groumlszlige nach ordnen a[1]hellipa[n]
R = a[n] - a[1]
bull Haumlufigkeitsverteilung von k Merkmalsauspraumlgungen
R = xk - x1
bull Haumlufigkeitsverteilung von klassifizierten Daten
R = xko - x1
u
bull Spannweite ist instabil gegenuumlber Ausreiszligern
19
Quartilsabstand
bull Quartile Q1 Q2 (=Median) Q3 teilen die Gesamtheit in 4 gleich groszlige Teile
bull α-Quantil
a(k) falls nα keine ganze Zahl (k die auf nα folgende ganze Zahl)
aα= 12 (a(k)+a(k+1)) falls nα ganze Zahl k=nα
bull Quartilsabstand (Interquartile Range) definiert als Spannweite der 50 mittleren Werte
QA = Q3 ndash Q1
bull Eigenschaft stabil gegenuumlber Ausreiszligern
20
Deskriptive Analyse Box-Plot
bull Box-Plot ndash Box beinhaltet 50 der Daten (Grenzen 1
und 3 Quartil) Darstellung des Medians ndash Whiskers maximal 15-mal die Laumlnge der Boxndash Ausreiszliger Werte auszligerhalb der Whiskers
bull Ausreiszliger
bull Krasse Ausreiszliger
21
38N =
GEWICHT
110
100
90
80
70
60
50
40
937
Deskriptive Analyse Box-Plot
bull Box-Plot grafische Darstellung einer Beobachtungsreihe (Verteilung und Struktur)
38N =
GROEszligE
210
200
190
180
170
160
150
140
22
Deskriptive Analyse Box-Plot
bull Box-Plot fuumlr Vergleich von 2 Messreihen
1820N =
SEX
mw
GR
OE
szligE
210
200
190
180
170
160
150
140
28
9
23
Schiefe
bull Gibt Richtung (rechts- oder linksschief) und Groumlszligenordnung der Schiefe einer eingipfligen Haumlufigkeitsverteilung an
lt 0 linksschiefe
g1 = 0 symmetrisch
gt 0 rechtsschiefebull Kein direkter Streuungsparameter
3n
1i
2i
n
1i
3i
1
)a(an1
)a(an1
g
24
Schiefe
bull Schiefe einer Haumlufigkeitsverteilung aus gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten
bull Berechnung mit Klassenmittel und Klassenmitte kann zu unterschiedlichen Ergebnissen fuumlhren
3k
1ii
2i
i
k
1i
3i
1
h)aa(n1
h)aa(n1
g
3k
1ii
2i
i
k
1i
3i
1
h)a(mn1
h)a(mn1
g
25
Schiefe
bull Linksschiefe Verteilung g1 lt 0Linksschiefe Verteilung
Auspraumlgung
Hauml
ufi
gke
it
26
Schiefe
bull Symmetrische Verteilung g1 = 0Symmetrische Verteilung
Auspraumlgung
Hauml
ufi
gke
it
27
Schiefe
bull Rechtschiefe Verteilung g1 gt 0Rechtsschiefe Verteilung
Auspraumlgung
Haumlu
fig
keit
28
Woumllbung
bull Woumllbung od Kurtosis od Exzeszlig Maszligzahl fuumlr eingipflige Haumlufigkeitsvt
bull Gibt an ob (bei gleicher Varianz) das absolute Maximum der Haumlufigkeitsvt groumlszliger als bei der Dichte der Normalvt ist
3
)a(an1
)a(an1
g 2n
1i
2i
n
1i
4i
2
29
Woumllbung
lt 0 abs Max kleiner als bei N-Vt
g2 = 0 Normalverteilung
gt 0 abs Max groumlszliger als bei N-Vt
bull Woumllbung einer Haumlufigkeitsverteilung aus gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten
3
h)aa(n1
h)aa(n1
g 2n
1ii
2i
k
1ii
4i
2
3
h)a(mn1
h)a(mn1
g 2n
1ii
2i
k
1ii
4i
2
30
Konzentrationsmaszlige
bull Metrisch skaliertes Merkmal X mit nur positiven Auspraumlgungen
bull Frage Wie teilt sich die Summe der Merkmalswerte x1hellipxn in der Beobachtungsreihe auf die Untersuchungs-einheiten auf
bull Bsp n landwirtschaftliche Betriebe Groumlszlige der Nutzflaumlchen x1xn Wie teilt sich die gesamte Nutzflaumlche auf die einzelnen Betriebe auf
31
Konzentrationsmaszlige
bull n Merkmalswerte werden durch q Merkmalsauspraumlgungen a1ltltaq mit absoluten- und relativen Haumlufigkeiten hi bzw fi bestimmt
bull Gesamtbetrag der Merkmalswerte in der Beobachtungsreihe
n
1iii
n
1jj hax
32
Konzentrationsmaszlige
bull Lorenzkurve Grafische Darstellung der Konzentration der Merkmalswerte
bull Koordinatenkreuz ndash Abszisse es werden die nach der Groumlszlige der Merkmals-
auspraumlgung geordneten relativen Haumlufigkeiten aufsummiert
ndash Ordinate Auspraumlgungen werden der Groumlszlige nach
aufsummiert und auf Summe aller Auspraumlgungen bezogen
q1ifuumlrfn
hk
i
1jj
i
1j
ji
q1ifuumlr hahalq
1jjj
i
1jjji
33
Konzentrationsmaszlige
bull Verbinden der Punkte (kili) ergibt die Lorenzkurve wobei immer k0=l0=0 und kq=lq=1 gilt
ki
li
0 1
1
34
Konzentrationsmaszlige
bull Interpretation ein Punkt (kili) der Lorenz-kurve gibt an dass auf ki middot 100 der Untersuchungseinheiten li middot 100 des Gesamtbetrages aller Merkmalsaus-praumlgungen entfallen
bull Bsp auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlche
35
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche Betriebendash Abszisse Es wird der Prozentsatz der Betriebe
mit der kleinsten Flaumlche bestimmt dann wird der Prozentsatz der Betriebe mit der zweit-kleinsten Flaumlche bestimmt und zum Prozentsatz der Betriebe mit der kleinsten Flaumlche addiert usw
ndash Ordinate Flaumlchenanteile der Betriebe bzgl der Gesamtflaumlche werden der Flaumlchengroumlszlige nach aufsummiert
36
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeFlaumlchen-groumlszlige
Anzahl der
Betriebe
Flaumlcheng pro
Gruppe
der Betriebe
Flaumlchen-anteile
aufsumm Betriebs-anteile
aufsumm Flaumlchen-anteile
bis 5 ha 21 63 042 0063 042 00635 - 10 ha 9 72 018 0072 060 013510 - 20 ha 9 135 018 0135 078 027020 - 50 ha 8 280 016 028 094 0550gt 50 ha 3 450 006 045 100 1000Gesamt 50 1000 1 1
37
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeLandwirtschaftliche Betriebe
0
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1
aufsummierte Anteile der Betriebe
au
fsu
mm
iert
e F
laumlc
he
na
nte
ile
38
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp Landwirtschaftliche Betriebe
bull Interpretation auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlchendash auf 42 der Betriebe entfallen 63 der Nutzflaumlche
ndash auf 60 der Betriebe entfallen 125 der Nutzflaumlche
ndash auf 78 der Betriebe entfallen 27 der Nutzflaumlche
ndash auf 94 der Betriebe entfallen 55 der Nutzflaumlche
39
Konzentrationsmaszlige
Extremfaumllle
bull Keine Konzentration alle Untersuchungs-einheiten haben den gleichen Anteil am Gesamtbetrag Lorenzkurve ist Diagonale
bull Gesamtbetrag konzentriert sich (fast) vollstaumlndig auf eine Untersuchungseinheit Lorenzkurve liegt (fast) auf Abszisse ist also (fast) senkrecht
40
Konzentrationsmaszlige
Extremfaumllle
0
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
0 02 04 06 08 1
41
Konzentrationsmaszlige
bull Gini-Koeffizient od Lorenzsche Konzentrationsmaszlig (LKM) Maszligzahl fuumlr die Konzentration
bull Definiert als das 2-fache der Flaumlche F zw Diagonale und Lorenzkurve LKM = 2F
bull Es gilt immer 0 LKM (n-1)nbull Standardisierter Gini-Koeffizient
LKMnor = n(n-1) LKM
42
Konzentrationsmaszlige
bull Berechnung von F
ndash k hellip Werte auf Abszisse
ndash l hellip Werte auf Ordinate
ndash q hellip Anzahl der verschiedenen Merkmalsauspraumlgungen
q
1ii 05FF
q
1jjj
iii1-i1ii
i1ii
Ha
Ha
2
kk)l(l
2
kkF
43
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp Landwirtschaftliche Nutzflaumlche
bull LMK = 2F = i2Fi ndash 1 = 16048 ndash 1 = 06408ndash mit i = 1hellip5
bull LKMnor = 5049 middot 06408 = 06539
Flaumlchen-groumlszlige
Flaumlchen-anteile
aufsumm Betriebs-anteile
2 Fi
bis 5 ha 0063 042 0026465 - 10 ha 0072 060 00734410 - 20 ha 0135 078 01863020 - 50 ha 028 094 048630gt 50 ha 045 100 087300Gesamt 1 16455
44
Verhaumlltniszahlen
bull Quotient zweier Maszligzahlen Verhaumlltniszahl
bull Gliederungszahlenndash Man bezieht eine Teilgroumlszlige auf eine ihr
uumlbergeordnete Gesamtgroumlszlige
bull Beziehungszahlenndash Quotient zweier sachlich sinnvoll in
Verbindung stehender Maszligzahlen
bull Index-Zahlenndash Quotient zweier Maszligzahlen gleicher Art
45
Gliederungszahlen
bull Gliederungszahlen
bull Bsp Tagesproduktion 1500 Teile davon 300 fehlerhaft
Dann sind 20 der Tagesproduktion Ausschuss (3001500middot100)
Ausschussanteil ist eine Gliederungszahl
46
Beziehungszahlen
bull Beziehungszahlen
bull Verursachungszahlen
Bezieht Bewegungsmassen auf die zugehoumlrigen Bestandsmassen
bull Entsprechungszahlen
Alle Beziehungszahlen bei denen man Ereignisse nicht auf ihren Bestand beziehen kann
47
Beziehungszahlen
bull Bsp Verursachungszahlen Geburtenziffer
Bestandsmasse Einwohner einer Stadt (E)
Bewegungsmasse Zahl der Lebend-geborenen (L)
G = (LE)1000
Sagt wie viele Geburten auf 1000 Einwohner einer Stadt entfallen
48
Beziehungszahlen
bull Bsp Entsprechungszahlen
Schuumller-Lehrer-Verhaumlltnis
(Zahl der Schuumller) (Zahl der Lehrer)
Sagt wie viele Schuumller (ungefaumlhr) auf eine Lehrer entfallen Dies entspricht aber iA nicht der durchschnittlichen Klassengroumlszlige
49
Indexzahlen
bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt
bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine
realen Sachverhalt
bull (Zusammengesetzte) Indexzahlenndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen
fiktiven Zustand beschreibt
50
Indexzahlen
bull Einfache Indizes
bull Reihe von Maszligzahlen die man in Beziehung zueinander setzen will
x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0
Dann ist
I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2
eine Zeitreihe einfacher Indizes
51
Indexzahlen
bull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziert
bull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0 I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87
Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden
Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor
bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90
Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen
52
Indexzahlen
bull UmbasierenGegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten
bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt
0k
0t
0k
0t
k
tkt I
I
xx
xx
x
xI
53
Indexzahlen
bull Bsp Umsatz fuumlr Jahre 1990 bis 1998
Jahr Umsatz xt x0 xt x4
1990 1240 100 1081991 1210 098 1051992 1180 095 1031993 1190 096 1031994 1150 093 1001995 1080 087 0941996 1120 090 0971997 1130 091 0981998 1200 097 104
54
Indexzahlen
bull Umbasieren Index von 1996 zur Basisperiode 1990 sollen in Index zur Basisperiode 1994 umgerechnet werden ndash I19901996 = 090 (Basisperiode 1990)
ndash I19901994 = 093 (Basisperiode 1990)
ndash I19941996 = 090 093 = 097 (Basisperiode 1994)
bull Verkettung Weiterer Wert fuumlr 1998 ndash I19901998 = I19901994 middot I19941998 = 093 middot 104 = 097
55
Indexzahlen
bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)
bull Betrachte Warenkorb
n Waren zu einem Zeitpunkt t
Mengen qt1qtn
Preise pt1ptn
Wert des Warenkorbes in Periode t
n
1ititiqp
56
Indexzahlen
bull Wertindex
Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0
n
1i0i0i
n
1ititi
0t
qp
qpW
57
Indexzahlen
bull Bsp Durchschnittlicher Verbrauch an Fleisch aller privaten Haushalte in einer Gemeinde Basismonat 1 Berichtsmonat 12 ndash (Mengen in g Preise in DMkg) Fleisch p0i q0i p12i q12i
F1 575 1450 62 1410F2 1225 1260 1355 1200F3 241 50 248 50F4 178 210 181 215F5 455 2450 46 2470F6 1025 1310 104 1230F7 89 980 91 930
gesamt 7710 7505
58
Indexzahlen
bull Bsp Wertindex n 7
ti ti 12i 12ii 1 i 1
0t n 7
0i 0i 0i 0ii 1 i 1
p q p q627505
W 10119620125p q p q
Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i
F1 575 1450 62 1410 83375 8742F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260F3 241 50 248 50 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915F5 455 2450 46 2470 111475 11362F6 1025 1310 104 1230 134275 12792F7 89 980 91 930 8722 8463
gesamt 7710 7505 620125 627505
59
Indexzahlen
bull Bsp Wertindex ndash 100 middot W012 = 100 middot 10119 = 10119
ndash Dh der tatsaumlchliche Aufwand fuumlr Fleisch fuumlr die privaten Haushalte ist vom Basismonat bis zum Berichtsmonat um 119 gestiegen
ndash Es ist hier nicht beruumlcksichtigt dass der durchschnittliche Verbrauch im Berichtsmonat um 205g geringer ist
60
Indexzahlen
bull Preisindizes
bull Aussagen uumlber die Preisentwicklung
bull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche Mengenschema verwenden
61
Indexzahlen
bull Preisindex nach Paasche
bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
62
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Paasche
Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i p0iq12i p12iq0i
F1 575 1450 62 1410 83375 8742 81075 8990F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260 14700 17073F3 241 50 248 50 1205 1240 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915 3827 3801F5 455 2450 46 2470 111475 11362 112385 11270F6 1025 1310 104 1230 134275 12792 126075 13624F7 89 980 91 930 8722 8463 8277 8918
gesamt 7710 7505 620125 627505 599625 64916
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
63
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Paasche
bull Dh nimmt man fuumlr beide Monaten den durchschnittlichen Verbrauch an Fleisch im Berichtsmonat als Mengenschema (Warenkorb) an so sind die Preise in diesem Zeitraum um 465 gestiegen
65104559962
562750100
qp
qp100
qp
qpP100 7
1i12i0i
7
1i12i12i
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
64
Indexzahlen
bull Preisindex nach Laspeyres
bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
qp
qpP
65
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Laspeyres
bull Dh Fuumlr die im Basismonat verbrauchten Mengen an Fleisch muss man in der Berichtsperiode 468 mehr Geld ausgeben
68104562012
64916100
qp
qp100
qp
qpP100 7
1i0i0i
7
1i0i12i
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
66
Indexzahlen
bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres
bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)
bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)
bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden
bull Fishersche Idealindex LPF III
67
Indexzahlen
bull Mengenindizes
bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung (unabhaumlngig von der Preisentwicklung)
68
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Paasche
bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
qp
qpQ
69
Indexzahlen
bull Bsp Mengenindex nach Paasche
bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen im Berichtsmonat ist um 334 gesunken
669664916
562750100
qp
qp100
qp
qpQ100 7
1i0i12i
7
1i12i12i
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
70
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Laspeyres
bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
qp
qpQ
71
Indexzahlen
bull Bsp Mengenindex nach Laspeyres
bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen zum Basismonat ist um 331 gesunken
6996562012
559962100
qp
qp100
qp
qpQ100 7
1i0i0i
7
1i12i0i
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
11
Standardabweichung
bull Standardabweichung = Quadratwurzel der Varianz
n
1i
2i
2 )a(an
1σσ
12
Varianz amp Standardabweichung
Eigenschaften
bull Lineare Transformation der Einzelwerte ai ai = α + βai (i=1n)
bull Dann Varianz σsup2 = βsup2σsup2 Standardabweichung σ = |β| σ
bull Sonderfall β=1 Transformation ai = α + ai
σsup2 = σsup2 und σ = σ
13
Varianz amp Standardabweichung
bull Eigenschaften
bull Varianz einer Grundgesamtheit die aus 2 Teilgesamtheiten (n1 n2) besteht
mit
21
222
211
21
222
2112
nn
)aa(n)aa(n
nn
σnσnσ
21
2211
nn
anana
14
Standardisierung
bull Standardisierungndash Spezielle lineare Transformationndash Bildet aus Einzelwerten ai standardisierte
Werte zi indem von jedem ai das arithm Mittel μ abgezogen wird und durch die Standardabweichung dividiert wird
bull Arithm Mittel der zi immer 0 bull Varianz der zi immer 1
σ
μaz i
i
15
Variationskoeffizient
bull Streuung zweier oder mehrerer Verteilungen mit sich stark voneinander unterscheidenden Mittelwerten vergleichen
bull Relatives Streuungsmaszlig (fuumlr verhaumlltnis-skalierte Merkmale mit ausschlieszliglich positiven Merkmalswerten) bezieht die Standardabweichung σ (absolutes Streuungsmaszlig) auf das arithm Mittel μ
μ
σVC
16
MAD Mittlere absolute Abw
bull Arithmetisches Mittel der absoluten Abweichungen der einzelnen Merkmalswerte vom Mittelwert (zB arithm Mittel oder Median)
bull Minimumeigenschaft des Medians
M beliebiger Wert
n
1ii |Ma|
n
1MAD
n
1ii
n
1ii |Ma|
n
1|Mea|
n
1
17
MAD
bull Haumlufigkeitsverteilung der Datenbull MAD bezogen auf Mittelwert μ
bull MAD aus Haumlufigkeitsverteilung von klassifizierte Daten ndash Merkmalswerte xi durch Klassenmitten xiacute
ersetzen
i
n
1ii h|μx|
n
1MAD
i
n
1ii f|μx|MAD
18
Spannweite (Range)
bull Abstand zw dem groumlszligten und dem kleinsten Wert
bull Einzelwerte der Groumlszlige nach ordnen a[1]hellipa[n]
R = a[n] - a[1]
bull Haumlufigkeitsverteilung von k Merkmalsauspraumlgungen
R = xk - x1
bull Haumlufigkeitsverteilung von klassifizierten Daten
R = xko - x1
u
bull Spannweite ist instabil gegenuumlber Ausreiszligern
19
Quartilsabstand
bull Quartile Q1 Q2 (=Median) Q3 teilen die Gesamtheit in 4 gleich groszlige Teile
bull α-Quantil
a(k) falls nα keine ganze Zahl (k die auf nα folgende ganze Zahl)
aα= 12 (a(k)+a(k+1)) falls nα ganze Zahl k=nα
bull Quartilsabstand (Interquartile Range) definiert als Spannweite der 50 mittleren Werte
QA = Q3 ndash Q1
bull Eigenschaft stabil gegenuumlber Ausreiszligern
20
Deskriptive Analyse Box-Plot
bull Box-Plot ndash Box beinhaltet 50 der Daten (Grenzen 1
und 3 Quartil) Darstellung des Medians ndash Whiskers maximal 15-mal die Laumlnge der Boxndash Ausreiszliger Werte auszligerhalb der Whiskers
bull Ausreiszliger
bull Krasse Ausreiszliger
21
38N =
GEWICHT
110
100
90
80
70
60
50
40
937
Deskriptive Analyse Box-Plot
bull Box-Plot grafische Darstellung einer Beobachtungsreihe (Verteilung und Struktur)
38N =
GROEszligE
210
200
190
180
170
160
150
140
22
Deskriptive Analyse Box-Plot
bull Box-Plot fuumlr Vergleich von 2 Messreihen
1820N =
SEX
mw
GR
OE
szligE
210
200
190
180
170
160
150
140
28
9
23
Schiefe
bull Gibt Richtung (rechts- oder linksschief) und Groumlszligenordnung der Schiefe einer eingipfligen Haumlufigkeitsverteilung an
lt 0 linksschiefe
g1 = 0 symmetrisch
gt 0 rechtsschiefebull Kein direkter Streuungsparameter
3n
1i
2i
n
1i
3i
1
)a(an1
)a(an1
g
24
Schiefe
bull Schiefe einer Haumlufigkeitsverteilung aus gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten
bull Berechnung mit Klassenmittel und Klassenmitte kann zu unterschiedlichen Ergebnissen fuumlhren
3k
1ii
2i
i
k
1i
3i
1
h)aa(n1
h)aa(n1
g
3k
1ii
2i
i
k
1i
3i
1
h)a(mn1
h)a(mn1
g
25
Schiefe
bull Linksschiefe Verteilung g1 lt 0Linksschiefe Verteilung
Auspraumlgung
Hauml
ufi
gke
it
26
Schiefe
bull Symmetrische Verteilung g1 = 0Symmetrische Verteilung
Auspraumlgung
Hauml
ufi
gke
it
27
Schiefe
bull Rechtschiefe Verteilung g1 gt 0Rechtsschiefe Verteilung
Auspraumlgung
Haumlu
fig
keit
28
Woumllbung
bull Woumllbung od Kurtosis od Exzeszlig Maszligzahl fuumlr eingipflige Haumlufigkeitsvt
bull Gibt an ob (bei gleicher Varianz) das absolute Maximum der Haumlufigkeitsvt groumlszliger als bei der Dichte der Normalvt ist
3
)a(an1
)a(an1
g 2n
1i
2i
n
1i
4i
2
29
Woumllbung
lt 0 abs Max kleiner als bei N-Vt
g2 = 0 Normalverteilung
gt 0 abs Max groumlszliger als bei N-Vt
bull Woumllbung einer Haumlufigkeitsverteilung aus gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten
3
h)aa(n1
h)aa(n1
g 2n
1ii
2i
k
1ii
4i
2
3
h)a(mn1
h)a(mn1
g 2n
1ii
2i
k
1ii
4i
2
30
Konzentrationsmaszlige
bull Metrisch skaliertes Merkmal X mit nur positiven Auspraumlgungen
bull Frage Wie teilt sich die Summe der Merkmalswerte x1hellipxn in der Beobachtungsreihe auf die Untersuchungs-einheiten auf
bull Bsp n landwirtschaftliche Betriebe Groumlszlige der Nutzflaumlchen x1xn Wie teilt sich die gesamte Nutzflaumlche auf die einzelnen Betriebe auf
31
Konzentrationsmaszlige
bull n Merkmalswerte werden durch q Merkmalsauspraumlgungen a1ltltaq mit absoluten- und relativen Haumlufigkeiten hi bzw fi bestimmt
bull Gesamtbetrag der Merkmalswerte in der Beobachtungsreihe
n
1iii
n
1jj hax
32
Konzentrationsmaszlige
bull Lorenzkurve Grafische Darstellung der Konzentration der Merkmalswerte
bull Koordinatenkreuz ndash Abszisse es werden die nach der Groumlszlige der Merkmals-
auspraumlgung geordneten relativen Haumlufigkeiten aufsummiert
ndash Ordinate Auspraumlgungen werden der Groumlszlige nach
aufsummiert und auf Summe aller Auspraumlgungen bezogen
q1ifuumlrfn
hk
i
1jj
i
1j
ji
q1ifuumlr hahalq
1jjj
i
1jjji
33
Konzentrationsmaszlige
bull Verbinden der Punkte (kili) ergibt die Lorenzkurve wobei immer k0=l0=0 und kq=lq=1 gilt
ki
li
0 1
1
34
Konzentrationsmaszlige
bull Interpretation ein Punkt (kili) der Lorenz-kurve gibt an dass auf ki middot 100 der Untersuchungseinheiten li middot 100 des Gesamtbetrages aller Merkmalsaus-praumlgungen entfallen
bull Bsp auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlche
35
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche Betriebendash Abszisse Es wird der Prozentsatz der Betriebe
mit der kleinsten Flaumlche bestimmt dann wird der Prozentsatz der Betriebe mit der zweit-kleinsten Flaumlche bestimmt und zum Prozentsatz der Betriebe mit der kleinsten Flaumlche addiert usw
ndash Ordinate Flaumlchenanteile der Betriebe bzgl der Gesamtflaumlche werden der Flaumlchengroumlszlige nach aufsummiert
36
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeFlaumlchen-groumlszlige
Anzahl der
Betriebe
Flaumlcheng pro
Gruppe
der Betriebe
Flaumlchen-anteile
aufsumm Betriebs-anteile
aufsumm Flaumlchen-anteile
bis 5 ha 21 63 042 0063 042 00635 - 10 ha 9 72 018 0072 060 013510 - 20 ha 9 135 018 0135 078 027020 - 50 ha 8 280 016 028 094 0550gt 50 ha 3 450 006 045 100 1000Gesamt 50 1000 1 1
37
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeLandwirtschaftliche Betriebe
0
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1
aufsummierte Anteile der Betriebe
au
fsu
mm
iert
e F
laumlc
he
na
nte
ile
38
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp Landwirtschaftliche Betriebe
bull Interpretation auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlchendash auf 42 der Betriebe entfallen 63 der Nutzflaumlche
ndash auf 60 der Betriebe entfallen 125 der Nutzflaumlche
ndash auf 78 der Betriebe entfallen 27 der Nutzflaumlche
ndash auf 94 der Betriebe entfallen 55 der Nutzflaumlche
39
Konzentrationsmaszlige
Extremfaumllle
bull Keine Konzentration alle Untersuchungs-einheiten haben den gleichen Anteil am Gesamtbetrag Lorenzkurve ist Diagonale
bull Gesamtbetrag konzentriert sich (fast) vollstaumlndig auf eine Untersuchungseinheit Lorenzkurve liegt (fast) auf Abszisse ist also (fast) senkrecht
40
Konzentrationsmaszlige
Extremfaumllle
0
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
0 02 04 06 08 1
41
Konzentrationsmaszlige
bull Gini-Koeffizient od Lorenzsche Konzentrationsmaszlig (LKM) Maszligzahl fuumlr die Konzentration
bull Definiert als das 2-fache der Flaumlche F zw Diagonale und Lorenzkurve LKM = 2F
bull Es gilt immer 0 LKM (n-1)nbull Standardisierter Gini-Koeffizient
LKMnor = n(n-1) LKM
42
Konzentrationsmaszlige
bull Berechnung von F
ndash k hellip Werte auf Abszisse
ndash l hellip Werte auf Ordinate
ndash q hellip Anzahl der verschiedenen Merkmalsauspraumlgungen
q
1ii 05FF
q
1jjj
iii1-i1ii
i1ii
Ha
Ha
2
kk)l(l
2
kkF
43
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp Landwirtschaftliche Nutzflaumlche
bull LMK = 2F = i2Fi ndash 1 = 16048 ndash 1 = 06408ndash mit i = 1hellip5
bull LKMnor = 5049 middot 06408 = 06539
Flaumlchen-groumlszlige
Flaumlchen-anteile
aufsumm Betriebs-anteile
2 Fi
bis 5 ha 0063 042 0026465 - 10 ha 0072 060 00734410 - 20 ha 0135 078 01863020 - 50 ha 028 094 048630gt 50 ha 045 100 087300Gesamt 1 16455
44
Verhaumlltniszahlen
bull Quotient zweier Maszligzahlen Verhaumlltniszahl
bull Gliederungszahlenndash Man bezieht eine Teilgroumlszlige auf eine ihr
uumlbergeordnete Gesamtgroumlszlige
bull Beziehungszahlenndash Quotient zweier sachlich sinnvoll in
Verbindung stehender Maszligzahlen
bull Index-Zahlenndash Quotient zweier Maszligzahlen gleicher Art
45
Gliederungszahlen
bull Gliederungszahlen
bull Bsp Tagesproduktion 1500 Teile davon 300 fehlerhaft
Dann sind 20 der Tagesproduktion Ausschuss (3001500middot100)
Ausschussanteil ist eine Gliederungszahl
46
Beziehungszahlen
bull Beziehungszahlen
bull Verursachungszahlen
Bezieht Bewegungsmassen auf die zugehoumlrigen Bestandsmassen
bull Entsprechungszahlen
Alle Beziehungszahlen bei denen man Ereignisse nicht auf ihren Bestand beziehen kann
47
Beziehungszahlen
bull Bsp Verursachungszahlen Geburtenziffer
Bestandsmasse Einwohner einer Stadt (E)
Bewegungsmasse Zahl der Lebend-geborenen (L)
G = (LE)1000
Sagt wie viele Geburten auf 1000 Einwohner einer Stadt entfallen
48
Beziehungszahlen
bull Bsp Entsprechungszahlen
Schuumller-Lehrer-Verhaumlltnis
(Zahl der Schuumller) (Zahl der Lehrer)
Sagt wie viele Schuumller (ungefaumlhr) auf eine Lehrer entfallen Dies entspricht aber iA nicht der durchschnittlichen Klassengroumlszlige
49
Indexzahlen
bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt
bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine
realen Sachverhalt
bull (Zusammengesetzte) Indexzahlenndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen
fiktiven Zustand beschreibt
50
Indexzahlen
bull Einfache Indizes
bull Reihe von Maszligzahlen die man in Beziehung zueinander setzen will
x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0
Dann ist
I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2
eine Zeitreihe einfacher Indizes
51
Indexzahlen
bull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziert
bull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0 I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87
Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden
Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor
bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90
Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen
52
Indexzahlen
bull UmbasierenGegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten
bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt
0k
0t
0k
0t
k
tkt I
I
xx
xx
x
xI
53
Indexzahlen
bull Bsp Umsatz fuumlr Jahre 1990 bis 1998
Jahr Umsatz xt x0 xt x4
1990 1240 100 1081991 1210 098 1051992 1180 095 1031993 1190 096 1031994 1150 093 1001995 1080 087 0941996 1120 090 0971997 1130 091 0981998 1200 097 104
54
Indexzahlen
bull Umbasieren Index von 1996 zur Basisperiode 1990 sollen in Index zur Basisperiode 1994 umgerechnet werden ndash I19901996 = 090 (Basisperiode 1990)
ndash I19901994 = 093 (Basisperiode 1990)
ndash I19941996 = 090 093 = 097 (Basisperiode 1994)
bull Verkettung Weiterer Wert fuumlr 1998 ndash I19901998 = I19901994 middot I19941998 = 093 middot 104 = 097
55
Indexzahlen
bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)
bull Betrachte Warenkorb
n Waren zu einem Zeitpunkt t
Mengen qt1qtn
Preise pt1ptn
Wert des Warenkorbes in Periode t
n
1ititiqp
56
Indexzahlen
bull Wertindex
Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0
n
1i0i0i
n
1ititi
0t
qp
qpW
57
Indexzahlen
bull Bsp Durchschnittlicher Verbrauch an Fleisch aller privaten Haushalte in einer Gemeinde Basismonat 1 Berichtsmonat 12 ndash (Mengen in g Preise in DMkg) Fleisch p0i q0i p12i q12i
F1 575 1450 62 1410F2 1225 1260 1355 1200F3 241 50 248 50F4 178 210 181 215F5 455 2450 46 2470F6 1025 1310 104 1230F7 89 980 91 930
gesamt 7710 7505
58
Indexzahlen
bull Bsp Wertindex n 7
ti ti 12i 12ii 1 i 1
0t n 7
0i 0i 0i 0ii 1 i 1
p q p q627505
W 10119620125p q p q
Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i
F1 575 1450 62 1410 83375 8742F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260F3 241 50 248 50 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915F5 455 2450 46 2470 111475 11362F6 1025 1310 104 1230 134275 12792F7 89 980 91 930 8722 8463
gesamt 7710 7505 620125 627505
59
Indexzahlen
bull Bsp Wertindex ndash 100 middot W012 = 100 middot 10119 = 10119
ndash Dh der tatsaumlchliche Aufwand fuumlr Fleisch fuumlr die privaten Haushalte ist vom Basismonat bis zum Berichtsmonat um 119 gestiegen
ndash Es ist hier nicht beruumlcksichtigt dass der durchschnittliche Verbrauch im Berichtsmonat um 205g geringer ist
60
Indexzahlen
bull Preisindizes
bull Aussagen uumlber die Preisentwicklung
bull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche Mengenschema verwenden
61
Indexzahlen
bull Preisindex nach Paasche
bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
62
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Paasche
Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i p0iq12i p12iq0i
F1 575 1450 62 1410 83375 8742 81075 8990F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260 14700 17073F3 241 50 248 50 1205 1240 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915 3827 3801F5 455 2450 46 2470 111475 11362 112385 11270F6 1025 1310 104 1230 134275 12792 126075 13624F7 89 980 91 930 8722 8463 8277 8918
gesamt 7710 7505 620125 627505 599625 64916
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
63
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Paasche
bull Dh nimmt man fuumlr beide Monaten den durchschnittlichen Verbrauch an Fleisch im Berichtsmonat als Mengenschema (Warenkorb) an so sind die Preise in diesem Zeitraum um 465 gestiegen
65104559962
562750100
qp
qp100
qp
qpP100 7
1i12i0i
7
1i12i12i
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
64
Indexzahlen
bull Preisindex nach Laspeyres
bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
qp
qpP
65
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Laspeyres
bull Dh Fuumlr die im Basismonat verbrauchten Mengen an Fleisch muss man in der Berichtsperiode 468 mehr Geld ausgeben
68104562012
64916100
qp
qp100
qp
qpP100 7
1i0i0i
7
1i0i12i
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
66
Indexzahlen
bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres
bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)
bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)
bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden
bull Fishersche Idealindex LPF III
67
Indexzahlen
bull Mengenindizes
bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung (unabhaumlngig von der Preisentwicklung)
68
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Paasche
bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
qp
qpQ
69
Indexzahlen
bull Bsp Mengenindex nach Paasche
bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen im Berichtsmonat ist um 334 gesunken
669664916
562750100
qp
qp100
qp
qpQ100 7
1i0i12i
7
1i12i12i
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
70
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Laspeyres
bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
qp
qpQ
71
Indexzahlen
bull Bsp Mengenindex nach Laspeyres
bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen zum Basismonat ist um 331 gesunken
6996562012
559962100
qp
qp100
qp
qpQ100 7
1i0i0i
7
1i12i0i
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
12
Varianz amp Standardabweichung
Eigenschaften
bull Lineare Transformation der Einzelwerte ai ai = α + βai (i=1n)
bull Dann Varianz σsup2 = βsup2σsup2 Standardabweichung σ = |β| σ
bull Sonderfall β=1 Transformation ai = α + ai
σsup2 = σsup2 und σ = σ
13
Varianz amp Standardabweichung
bull Eigenschaften
bull Varianz einer Grundgesamtheit die aus 2 Teilgesamtheiten (n1 n2) besteht
mit
21
222
211
21
222
2112
nn
)aa(n)aa(n
nn
σnσnσ
21
2211
nn
anana
14
Standardisierung
bull Standardisierungndash Spezielle lineare Transformationndash Bildet aus Einzelwerten ai standardisierte
Werte zi indem von jedem ai das arithm Mittel μ abgezogen wird und durch die Standardabweichung dividiert wird
bull Arithm Mittel der zi immer 0 bull Varianz der zi immer 1
σ
μaz i
i
15
Variationskoeffizient
bull Streuung zweier oder mehrerer Verteilungen mit sich stark voneinander unterscheidenden Mittelwerten vergleichen
bull Relatives Streuungsmaszlig (fuumlr verhaumlltnis-skalierte Merkmale mit ausschlieszliglich positiven Merkmalswerten) bezieht die Standardabweichung σ (absolutes Streuungsmaszlig) auf das arithm Mittel μ
μ
σVC
16
MAD Mittlere absolute Abw
bull Arithmetisches Mittel der absoluten Abweichungen der einzelnen Merkmalswerte vom Mittelwert (zB arithm Mittel oder Median)
bull Minimumeigenschaft des Medians
M beliebiger Wert
n
1ii |Ma|
n
1MAD
n
1ii
n
1ii |Ma|
n
1|Mea|
n
1
17
MAD
bull Haumlufigkeitsverteilung der Datenbull MAD bezogen auf Mittelwert μ
bull MAD aus Haumlufigkeitsverteilung von klassifizierte Daten ndash Merkmalswerte xi durch Klassenmitten xiacute
ersetzen
i
n
1ii h|μx|
n
1MAD
i
n
1ii f|μx|MAD
18
Spannweite (Range)
bull Abstand zw dem groumlszligten und dem kleinsten Wert
bull Einzelwerte der Groumlszlige nach ordnen a[1]hellipa[n]
R = a[n] - a[1]
bull Haumlufigkeitsverteilung von k Merkmalsauspraumlgungen
R = xk - x1
bull Haumlufigkeitsverteilung von klassifizierten Daten
R = xko - x1
u
bull Spannweite ist instabil gegenuumlber Ausreiszligern
19
Quartilsabstand
bull Quartile Q1 Q2 (=Median) Q3 teilen die Gesamtheit in 4 gleich groszlige Teile
bull α-Quantil
a(k) falls nα keine ganze Zahl (k die auf nα folgende ganze Zahl)
aα= 12 (a(k)+a(k+1)) falls nα ganze Zahl k=nα
bull Quartilsabstand (Interquartile Range) definiert als Spannweite der 50 mittleren Werte
QA = Q3 ndash Q1
bull Eigenschaft stabil gegenuumlber Ausreiszligern
20
Deskriptive Analyse Box-Plot
bull Box-Plot ndash Box beinhaltet 50 der Daten (Grenzen 1
und 3 Quartil) Darstellung des Medians ndash Whiskers maximal 15-mal die Laumlnge der Boxndash Ausreiszliger Werte auszligerhalb der Whiskers
bull Ausreiszliger
bull Krasse Ausreiszliger
21
38N =
GEWICHT
110
100
90
80
70
60
50
40
937
Deskriptive Analyse Box-Plot
bull Box-Plot grafische Darstellung einer Beobachtungsreihe (Verteilung und Struktur)
38N =
GROEszligE
210
200
190
180
170
160
150
140
22
Deskriptive Analyse Box-Plot
bull Box-Plot fuumlr Vergleich von 2 Messreihen
1820N =
SEX
mw
GR
OE
szligE
210
200
190
180
170
160
150
140
28
9
23
Schiefe
bull Gibt Richtung (rechts- oder linksschief) und Groumlszligenordnung der Schiefe einer eingipfligen Haumlufigkeitsverteilung an
lt 0 linksschiefe
g1 = 0 symmetrisch
gt 0 rechtsschiefebull Kein direkter Streuungsparameter
3n
1i
2i
n
1i
3i
1
)a(an1
)a(an1
g
24
Schiefe
bull Schiefe einer Haumlufigkeitsverteilung aus gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten
bull Berechnung mit Klassenmittel und Klassenmitte kann zu unterschiedlichen Ergebnissen fuumlhren
3k
1ii
2i
i
k
1i
3i
1
h)aa(n1
h)aa(n1
g
3k
1ii
2i
i
k
1i
3i
1
h)a(mn1
h)a(mn1
g
25
Schiefe
bull Linksschiefe Verteilung g1 lt 0Linksschiefe Verteilung
Auspraumlgung
Hauml
ufi
gke
it
26
Schiefe
bull Symmetrische Verteilung g1 = 0Symmetrische Verteilung
Auspraumlgung
Hauml
ufi
gke
it
27
Schiefe
bull Rechtschiefe Verteilung g1 gt 0Rechtsschiefe Verteilung
Auspraumlgung
Haumlu
fig
keit
28
Woumllbung
bull Woumllbung od Kurtosis od Exzeszlig Maszligzahl fuumlr eingipflige Haumlufigkeitsvt
bull Gibt an ob (bei gleicher Varianz) das absolute Maximum der Haumlufigkeitsvt groumlszliger als bei der Dichte der Normalvt ist
3
)a(an1
)a(an1
g 2n
1i
2i
n
1i
4i
2
29
Woumllbung
lt 0 abs Max kleiner als bei N-Vt
g2 = 0 Normalverteilung
gt 0 abs Max groumlszliger als bei N-Vt
bull Woumllbung einer Haumlufigkeitsverteilung aus gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten
3
h)aa(n1
h)aa(n1
g 2n
1ii
2i
k
1ii
4i
2
3
h)a(mn1
h)a(mn1
g 2n
1ii
2i
k
1ii
4i
2
30
Konzentrationsmaszlige
bull Metrisch skaliertes Merkmal X mit nur positiven Auspraumlgungen
bull Frage Wie teilt sich die Summe der Merkmalswerte x1hellipxn in der Beobachtungsreihe auf die Untersuchungs-einheiten auf
bull Bsp n landwirtschaftliche Betriebe Groumlszlige der Nutzflaumlchen x1xn Wie teilt sich die gesamte Nutzflaumlche auf die einzelnen Betriebe auf
31
Konzentrationsmaszlige
bull n Merkmalswerte werden durch q Merkmalsauspraumlgungen a1ltltaq mit absoluten- und relativen Haumlufigkeiten hi bzw fi bestimmt
bull Gesamtbetrag der Merkmalswerte in der Beobachtungsreihe
n
1iii
n
1jj hax
32
Konzentrationsmaszlige
bull Lorenzkurve Grafische Darstellung der Konzentration der Merkmalswerte
bull Koordinatenkreuz ndash Abszisse es werden die nach der Groumlszlige der Merkmals-
auspraumlgung geordneten relativen Haumlufigkeiten aufsummiert
ndash Ordinate Auspraumlgungen werden der Groumlszlige nach
aufsummiert und auf Summe aller Auspraumlgungen bezogen
q1ifuumlrfn
hk
i
1jj
i
1j
ji
q1ifuumlr hahalq
1jjj
i
1jjji
33
Konzentrationsmaszlige
bull Verbinden der Punkte (kili) ergibt die Lorenzkurve wobei immer k0=l0=0 und kq=lq=1 gilt
ki
li
0 1
1
34
Konzentrationsmaszlige
bull Interpretation ein Punkt (kili) der Lorenz-kurve gibt an dass auf ki middot 100 der Untersuchungseinheiten li middot 100 des Gesamtbetrages aller Merkmalsaus-praumlgungen entfallen
bull Bsp auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlche
35
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche Betriebendash Abszisse Es wird der Prozentsatz der Betriebe
mit der kleinsten Flaumlche bestimmt dann wird der Prozentsatz der Betriebe mit der zweit-kleinsten Flaumlche bestimmt und zum Prozentsatz der Betriebe mit der kleinsten Flaumlche addiert usw
ndash Ordinate Flaumlchenanteile der Betriebe bzgl der Gesamtflaumlche werden der Flaumlchengroumlszlige nach aufsummiert
36
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeFlaumlchen-groumlszlige
Anzahl der
Betriebe
Flaumlcheng pro
Gruppe
der Betriebe
Flaumlchen-anteile
aufsumm Betriebs-anteile
aufsumm Flaumlchen-anteile
bis 5 ha 21 63 042 0063 042 00635 - 10 ha 9 72 018 0072 060 013510 - 20 ha 9 135 018 0135 078 027020 - 50 ha 8 280 016 028 094 0550gt 50 ha 3 450 006 045 100 1000Gesamt 50 1000 1 1
37
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeLandwirtschaftliche Betriebe
0
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1
aufsummierte Anteile der Betriebe
au
fsu
mm
iert
e F
laumlc
he
na
nte
ile
38
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp Landwirtschaftliche Betriebe
bull Interpretation auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlchendash auf 42 der Betriebe entfallen 63 der Nutzflaumlche
ndash auf 60 der Betriebe entfallen 125 der Nutzflaumlche
ndash auf 78 der Betriebe entfallen 27 der Nutzflaumlche
ndash auf 94 der Betriebe entfallen 55 der Nutzflaumlche
39
Konzentrationsmaszlige
Extremfaumllle
bull Keine Konzentration alle Untersuchungs-einheiten haben den gleichen Anteil am Gesamtbetrag Lorenzkurve ist Diagonale
bull Gesamtbetrag konzentriert sich (fast) vollstaumlndig auf eine Untersuchungseinheit Lorenzkurve liegt (fast) auf Abszisse ist also (fast) senkrecht
40
Konzentrationsmaszlige
Extremfaumllle
0
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
0 02 04 06 08 1
41
Konzentrationsmaszlige
bull Gini-Koeffizient od Lorenzsche Konzentrationsmaszlig (LKM) Maszligzahl fuumlr die Konzentration
bull Definiert als das 2-fache der Flaumlche F zw Diagonale und Lorenzkurve LKM = 2F
bull Es gilt immer 0 LKM (n-1)nbull Standardisierter Gini-Koeffizient
LKMnor = n(n-1) LKM
42
Konzentrationsmaszlige
bull Berechnung von F
ndash k hellip Werte auf Abszisse
ndash l hellip Werte auf Ordinate
ndash q hellip Anzahl der verschiedenen Merkmalsauspraumlgungen
q
1ii 05FF
q
1jjj
iii1-i1ii
i1ii
Ha
Ha
2
kk)l(l
2
kkF
43
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp Landwirtschaftliche Nutzflaumlche
bull LMK = 2F = i2Fi ndash 1 = 16048 ndash 1 = 06408ndash mit i = 1hellip5
bull LKMnor = 5049 middot 06408 = 06539
Flaumlchen-groumlszlige
Flaumlchen-anteile
aufsumm Betriebs-anteile
2 Fi
bis 5 ha 0063 042 0026465 - 10 ha 0072 060 00734410 - 20 ha 0135 078 01863020 - 50 ha 028 094 048630gt 50 ha 045 100 087300Gesamt 1 16455
44
Verhaumlltniszahlen
bull Quotient zweier Maszligzahlen Verhaumlltniszahl
bull Gliederungszahlenndash Man bezieht eine Teilgroumlszlige auf eine ihr
uumlbergeordnete Gesamtgroumlszlige
bull Beziehungszahlenndash Quotient zweier sachlich sinnvoll in
Verbindung stehender Maszligzahlen
bull Index-Zahlenndash Quotient zweier Maszligzahlen gleicher Art
45
Gliederungszahlen
bull Gliederungszahlen
bull Bsp Tagesproduktion 1500 Teile davon 300 fehlerhaft
Dann sind 20 der Tagesproduktion Ausschuss (3001500middot100)
Ausschussanteil ist eine Gliederungszahl
46
Beziehungszahlen
bull Beziehungszahlen
bull Verursachungszahlen
Bezieht Bewegungsmassen auf die zugehoumlrigen Bestandsmassen
bull Entsprechungszahlen
Alle Beziehungszahlen bei denen man Ereignisse nicht auf ihren Bestand beziehen kann
47
Beziehungszahlen
bull Bsp Verursachungszahlen Geburtenziffer
Bestandsmasse Einwohner einer Stadt (E)
Bewegungsmasse Zahl der Lebend-geborenen (L)
G = (LE)1000
Sagt wie viele Geburten auf 1000 Einwohner einer Stadt entfallen
48
Beziehungszahlen
bull Bsp Entsprechungszahlen
Schuumller-Lehrer-Verhaumlltnis
(Zahl der Schuumller) (Zahl der Lehrer)
Sagt wie viele Schuumller (ungefaumlhr) auf eine Lehrer entfallen Dies entspricht aber iA nicht der durchschnittlichen Klassengroumlszlige
49
Indexzahlen
bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt
bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine
realen Sachverhalt
bull (Zusammengesetzte) Indexzahlenndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen
fiktiven Zustand beschreibt
50
Indexzahlen
bull Einfache Indizes
bull Reihe von Maszligzahlen die man in Beziehung zueinander setzen will
x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0
Dann ist
I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2
eine Zeitreihe einfacher Indizes
51
Indexzahlen
bull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziert
bull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0 I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87
Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden
Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor
bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90
Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen
52
Indexzahlen
bull UmbasierenGegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten
bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt
0k
0t
0k
0t
k
tkt I
I
xx
xx
x
xI
53
Indexzahlen
bull Bsp Umsatz fuumlr Jahre 1990 bis 1998
Jahr Umsatz xt x0 xt x4
1990 1240 100 1081991 1210 098 1051992 1180 095 1031993 1190 096 1031994 1150 093 1001995 1080 087 0941996 1120 090 0971997 1130 091 0981998 1200 097 104
54
Indexzahlen
bull Umbasieren Index von 1996 zur Basisperiode 1990 sollen in Index zur Basisperiode 1994 umgerechnet werden ndash I19901996 = 090 (Basisperiode 1990)
ndash I19901994 = 093 (Basisperiode 1990)
ndash I19941996 = 090 093 = 097 (Basisperiode 1994)
bull Verkettung Weiterer Wert fuumlr 1998 ndash I19901998 = I19901994 middot I19941998 = 093 middot 104 = 097
55
Indexzahlen
bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)
bull Betrachte Warenkorb
n Waren zu einem Zeitpunkt t
Mengen qt1qtn
Preise pt1ptn
Wert des Warenkorbes in Periode t
n
1ititiqp
56
Indexzahlen
bull Wertindex
Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0
n
1i0i0i
n
1ititi
0t
qp
qpW
57
Indexzahlen
bull Bsp Durchschnittlicher Verbrauch an Fleisch aller privaten Haushalte in einer Gemeinde Basismonat 1 Berichtsmonat 12 ndash (Mengen in g Preise in DMkg) Fleisch p0i q0i p12i q12i
F1 575 1450 62 1410F2 1225 1260 1355 1200F3 241 50 248 50F4 178 210 181 215F5 455 2450 46 2470F6 1025 1310 104 1230F7 89 980 91 930
gesamt 7710 7505
58
Indexzahlen
bull Bsp Wertindex n 7
ti ti 12i 12ii 1 i 1
0t n 7
0i 0i 0i 0ii 1 i 1
p q p q627505
W 10119620125p q p q
Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i
F1 575 1450 62 1410 83375 8742F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260F3 241 50 248 50 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915F5 455 2450 46 2470 111475 11362F6 1025 1310 104 1230 134275 12792F7 89 980 91 930 8722 8463
gesamt 7710 7505 620125 627505
59
Indexzahlen
bull Bsp Wertindex ndash 100 middot W012 = 100 middot 10119 = 10119
ndash Dh der tatsaumlchliche Aufwand fuumlr Fleisch fuumlr die privaten Haushalte ist vom Basismonat bis zum Berichtsmonat um 119 gestiegen
ndash Es ist hier nicht beruumlcksichtigt dass der durchschnittliche Verbrauch im Berichtsmonat um 205g geringer ist
60
Indexzahlen
bull Preisindizes
bull Aussagen uumlber die Preisentwicklung
bull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche Mengenschema verwenden
61
Indexzahlen
bull Preisindex nach Paasche
bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
62
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Paasche
Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i p0iq12i p12iq0i
F1 575 1450 62 1410 83375 8742 81075 8990F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260 14700 17073F3 241 50 248 50 1205 1240 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915 3827 3801F5 455 2450 46 2470 111475 11362 112385 11270F6 1025 1310 104 1230 134275 12792 126075 13624F7 89 980 91 930 8722 8463 8277 8918
gesamt 7710 7505 620125 627505 599625 64916
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
63
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Paasche
bull Dh nimmt man fuumlr beide Monaten den durchschnittlichen Verbrauch an Fleisch im Berichtsmonat als Mengenschema (Warenkorb) an so sind die Preise in diesem Zeitraum um 465 gestiegen
65104559962
562750100
qp
qp100
qp
qpP100 7
1i12i0i
7
1i12i12i
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
64
Indexzahlen
bull Preisindex nach Laspeyres
bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
qp
qpP
65
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Laspeyres
bull Dh Fuumlr die im Basismonat verbrauchten Mengen an Fleisch muss man in der Berichtsperiode 468 mehr Geld ausgeben
68104562012
64916100
qp
qp100
qp
qpP100 7
1i0i0i
7
1i0i12i
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
66
Indexzahlen
bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres
bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)
bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)
bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden
bull Fishersche Idealindex LPF III
67
Indexzahlen
bull Mengenindizes
bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung (unabhaumlngig von der Preisentwicklung)
68
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Paasche
bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
qp
qpQ
69
Indexzahlen
bull Bsp Mengenindex nach Paasche
bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen im Berichtsmonat ist um 334 gesunken
669664916
562750100
qp
qp100
qp
qpQ100 7
1i0i12i
7
1i12i12i
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
70
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Laspeyres
bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
qp
qpQ
71
Indexzahlen
bull Bsp Mengenindex nach Laspeyres
bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen zum Basismonat ist um 331 gesunken
6996562012
559962100
qp
qp100
qp
qpQ100 7
1i0i0i
7
1i12i0i
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
13
Varianz amp Standardabweichung
bull Eigenschaften
bull Varianz einer Grundgesamtheit die aus 2 Teilgesamtheiten (n1 n2) besteht
mit
21
222
211
21
222
2112
nn
)aa(n)aa(n
nn
σnσnσ
21
2211
nn
anana
14
Standardisierung
bull Standardisierungndash Spezielle lineare Transformationndash Bildet aus Einzelwerten ai standardisierte
Werte zi indem von jedem ai das arithm Mittel μ abgezogen wird und durch die Standardabweichung dividiert wird
bull Arithm Mittel der zi immer 0 bull Varianz der zi immer 1
σ
μaz i
i
15
Variationskoeffizient
bull Streuung zweier oder mehrerer Verteilungen mit sich stark voneinander unterscheidenden Mittelwerten vergleichen
bull Relatives Streuungsmaszlig (fuumlr verhaumlltnis-skalierte Merkmale mit ausschlieszliglich positiven Merkmalswerten) bezieht die Standardabweichung σ (absolutes Streuungsmaszlig) auf das arithm Mittel μ
μ
σVC
16
MAD Mittlere absolute Abw
bull Arithmetisches Mittel der absoluten Abweichungen der einzelnen Merkmalswerte vom Mittelwert (zB arithm Mittel oder Median)
bull Minimumeigenschaft des Medians
M beliebiger Wert
n
1ii |Ma|
n
1MAD
n
1ii
n
1ii |Ma|
n
1|Mea|
n
1
17
MAD
bull Haumlufigkeitsverteilung der Datenbull MAD bezogen auf Mittelwert μ
bull MAD aus Haumlufigkeitsverteilung von klassifizierte Daten ndash Merkmalswerte xi durch Klassenmitten xiacute
ersetzen
i
n
1ii h|μx|
n
1MAD
i
n
1ii f|μx|MAD
18
Spannweite (Range)
bull Abstand zw dem groumlszligten und dem kleinsten Wert
bull Einzelwerte der Groumlszlige nach ordnen a[1]hellipa[n]
R = a[n] - a[1]
bull Haumlufigkeitsverteilung von k Merkmalsauspraumlgungen
R = xk - x1
bull Haumlufigkeitsverteilung von klassifizierten Daten
R = xko - x1
u
bull Spannweite ist instabil gegenuumlber Ausreiszligern
19
Quartilsabstand
bull Quartile Q1 Q2 (=Median) Q3 teilen die Gesamtheit in 4 gleich groszlige Teile
bull α-Quantil
a(k) falls nα keine ganze Zahl (k die auf nα folgende ganze Zahl)
aα= 12 (a(k)+a(k+1)) falls nα ganze Zahl k=nα
bull Quartilsabstand (Interquartile Range) definiert als Spannweite der 50 mittleren Werte
QA = Q3 ndash Q1
bull Eigenschaft stabil gegenuumlber Ausreiszligern
20
Deskriptive Analyse Box-Plot
bull Box-Plot ndash Box beinhaltet 50 der Daten (Grenzen 1
und 3 Quartil) Darstellung des Medians ndash Whiskers maximal 15-mal die Laumlnge der Boxndash Ausreiszliger Werte auszligerhalb der Whiskers
bull Ausreiszliger
bull Krasse Ausreiszliger
21
38N =
GEWICHT
110
100
90
80
70
60
50
40
937
Deskriptive Analyse Box-Plot
bull Box-Plot grafische Darstellung einer Beobachtungsreihe (Verteilung und Struktur)
38N =
GROEszligE
210
200
190
180
170
160
150
140
22
Deskriptive Analyse Box-Plot
bull Box-Plot fuumlr Vergleich von 2 Messreihen
1820N =
SEX
mw
GR
OE
szligE
210
200
190
180
170
160
150
140
28
9
23
Schiefe
bull Gibt Richtung (rechts- oder linksschief) und Groumlszligenordnung der Schiefe einer eingipfligen Haumlufigkeitsverteilung an
lt 0 linksschiefe
g1 = 0 symmetrisch
gt 0 rechtsschiefebull Kein direkter Streuungsparameter
3n
1i
2i
n
1i
3i
1
)a(an1
)a(an1
g
24
Schiefe
bull Schiefe einer Haumlufigkeitsverteilung aus gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten
bull Berechnung mit Klassenmittel und Klassenmitte kann zu unterschiedlichen Ergebnissen fuumlhren
3k
1ii
2i
i
k
1i
3i
1
h)aa(n1
h)aa(n1
g
3k
1ii
2i
i
k
1i
3i
1
h)a(mn1
h)a(mn1
g
25
Schiefe
bull Linksschiefe Verteilung g1 lt 0Linksschiefe Verteilung
Auspraumlgung
Hauml
ufi
gke
it
26
Schiefe
bull Symmetrische Verteilung g1 = 0Symmetrische Verteilung
Auspraumlgung
Hauml
ufi
gke
it
27
Schiefe
bull Rechtschiefe Verteilung g1 gt 0Rechtsschiefe Verteilung
Auspraumlgung
Haumlu
fig
keit
28
Woumllbung
bull Woumllbung od Kurtosis od Exzeszlig Maszligzahl fuumlr eingipflige Haumlufigkeitsvt
bull Gibt an ob (bei gleicher Varianz) das absolute Maximum der Haumlufigkeitsvt groumlszliger als bei der Dichte der Normalvt ist
3
)a(an1
)a(an1
g 2n
1i
2i
n
1i
4i
2
29
Woumllbung
lt 0 abs Max kleiner als bei N-Vt
g2 = 0 Normalverteilung
gt 0 abs Max groumlszliger als bei N-Vt
bull Woumllbung einer Haumlufigkeitsverteilung aus gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten
3
h)aa(n1
h)aa(n1
g 2n
1ii
2i
k
1ii
4i
2
3
h)a(mn1
h)a(mn1
g 2n
1ii
2i
k
1ii
4i
2
30
Konzentrationsmaszlige
bull Metrisch skaliertes Merkmal X mit nur positiven Auspraumlgungen
bull Frage Wie teilt sich die Summe der Merkmalswerte x1hellipxn in der Beobachtungsreihe auf die Untersuchungs-einheiten auf
bull Bsp n landwirtschaftliche Betriebe Groumlszlige der Nutzflaumlchen x1xn Wie teilt sich die gesamte Nutzflaumlche auf die einzelnen Betriebe auf
31
Konzentrationsmaszlige
bull n Merkmalswerte werden durch q Merkmalsauspraumlgungen a1ltltaq mit absoluten- und relativen Haumlufigkeiten hi bzw fi bestimmt
bull Gesamtbetrag der Merkmalswerte in der Beobachtungsreihe
n
1iii
n
1jj hax
32
Konzentrationsmaszlige
bull Lorenzkurve Grafische Darstellung der Konzentration der Merkmalswerte
bull Koordinatenkreuz ndash Abszisse es werden die nach der Groumlszlige der Merkmals-
auspraumlgung geordneten relativen Haumlufigkeiten aufsummiert
ndash Ordinate Auspraumlgungen werden der Groumlszlige nach
aufsummiert und auf Summe aller Auspraumlgungen bezogen
q1ifuumlrfn
hk
i
1jj
i
1j
ji
q1ifuumlr hahalq
1jjj
i
1jjji
33
Konzentrationsmaszlige
bull Verbinden der Punkte (kili) ergibt die Lorenzkurve wobei immer k0=l0=0 und kq=lq=1 gilt
ki
li
0 1
1
34
Konzentrationsmaszlige
bull Interpretation ein Punkt (kili) der Lorenz-kurve gibt an dass auf ki middot 100 der Untersuchungseinheiten li middot 100 des Gesamtbetrages aller Merkmalsaus-praumlgungen entfallen
bull Bsp auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlche
35
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche Betriebendash Abszisse Es wird der Prozentsatz der Betriebe
mit der kleinsten Flaumlche bestimmt dann wird der Prozentsatz der Betriebe mit der zweit-kleinsten Flaumlche bestimmt und zum Prozentsatz der Betriebe mit der kleinsten Flaumlche addiert usw
ndash Ordinate Flaumlchenanteile der Betriebe bzgl der Gesamtflaumlche werden der Flaumlchengroumlszlige nach aufsummiert
36
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeFlaumlchen-groumlszlige
Anzahl der
Betriebe
Flaumlcheng pro
Gruppe
der Betriebe
Flaumlchen-anteile
aufsumm Betriebs-anteile
aufsumm Flaumlchen-anteile
bis 5 ha 21 63 042 0063 042 00635 - 10 ha 9 72 018 0072 060 013510 - 20 ha 9 135 018 0135 078 027020 - 50 ha 8 280 016 028 094 0550gt 50 ha 3 450 006 045 100 1000Gesamt 50 1000 1 1
37
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeLandwirtschaftliche Betriebe
0
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1
aufsummierte Anteile der Betriebe
au
fsu
mm
iert
e F
laumlc
he
na
nte
ile
38
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp Landwirtschaftliche Betriebe
bull Interpretation auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlchendash auf 42 der Betriebe entfallen 63 der Nutzflaumlche
ndash auf 60 der Betriebe entfallen 125 der Nutzflaumlche
ndash auf 78 der Betriebe entfallen 27 der Nutzflaumlche
ndash auf 94 der Betriebe entfallen 55 der Nutzflaumlche
39
Konzentrationsmaszlige
Extremfaumllle
bull Keine Konzentration alle Untersuchungs-einheiten haben den gleichen Anteil am Gesamtbetrag Lorenzkurve ist Diagonale
bull Gesamtbetrag konzentriert sich (fast) vollstaumlndig auf eine Untersuchungseinheit Lorenzkurve liegt (fast) auf Abszisse ist also (fast) senkrecht
40
Konzentrationsmaszlige
Extremfaumllle
0
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
0 02 04 06 08 1
41
Konzentrationsmaszlige
bull Gini-Koeffizient od Lorenzsche Konzentrationsmaszlig (LKM) Maszligzahl fuumlr die Konzentration
bull Definiert als das 2-fache der Flaumlche F zw Diagonale und Lorenzkurve LKM = 2F
bull Es gilt immer 0 LKM (n-1)nbull Standardisierter Gini-Koeffizient
LKMnor = n(n-1) LKM
42
Konzentrationsmaszlige
bull Berechnung von F
ndash k hellip Werte auf Abszisse
ndash l hellip Werte auf Ordinate
ndash q hellip Anzahl der verschiedenen Merkmalsauspraumlgungen
q
1ii 05FF
q
1jjj
iii1-i1ii
i1ii
Ha
Ha
2
kk)l(l
2
kkF
43
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp Landwirtschaftliche Nutzflaumlche
bull LMK = 2F = i2Fi ndash 1 = 16048 ndash 1 = 06408ndash mit i = 1hellip5
bull LKMnor = 5049 middot 06408 = 06539
Flaumlchen-groumlszlige
Flaumlchen-anteile
aufsumm Betriebs-anteile
2 Fi
bis 5 ha 0063 042 0026465 - 10 ha 0072 060 00734410 - 20 ha 0135 078 01863020 - 50 ha 028 094 048630gt 50 ha 045 100 087300Gesamt 1 16455
44
Verhaumlltniszahlen
bull Quotient zweier Maszligzahlen Verhaumlltniszahl
bull Gliederungszahlenndash Man bezieht eine Teilgroumlszlige auf eine ihr
uumlbergeordnete Gesamtgroumlszlige
bull Beziehungszahlenndash Quotient zweier sachlich sinnvoll in
Verbindung stehender Maszligzahlen
bull Index-Zahlenndash Quotient zweier Maszligzahlen gleicher Art
45
Gliederungszahlen
bull Gliederungszahlen
bull Bsp Tagesproduktion 1500 Teile davon 300 fehlerhaft
Dann sind 20 der Tagesproduktion Ausschuss (3001500middot100)
Ausschussanteil ist eine Gliederungszahl
46
Beziehungszahlen
bull Beziehungszahlen
bull Verursachungszahlen
Bezieht Bewegungsmassen auf die zugehoumlrigen Bestandsmassen
bull Entsprechungszahlen
Alle Beziehungszahlen bei denen man Ereignisse nicht auf ihren Bestand beziehen kann
47
Beziehungszahlen
bull Bsp Verursachungszahlen Geburtenziffer
Bestandsmasse Einwohner einer Stadt (E)
Bewegungsmasse Zahl der Lebend-geborenen (L)
G = (LE)1000
Sagt wie viele Geburten auf 1000 Einwohner einer Stadt entfallen
48
Beziehungszahlen
bull Bsp Entsprechungszahlen
Schuumller-Lehrer-Verhaumlltnis
(Zahl der Schuumller) (Zahl der Lehrer)
Sagt wie viele Schuumller (ungefaumlhr) auf eine Lehrer entfallen Dies entspricht aber iA nicht der durchschnittlichen Klassengroumlszlige
49
Indexzahlen
bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt
bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine
realen Sachverhalt
bull (Zusammengesetzte) Indexzahlenndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen
fiktiven Zustand beschreibt
50
Indexzahlen
bull Einfache Indizes
bull Reihe von Maszligzahlen die man in Beziehung zueinander setzen will
x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0
Dann ist
I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2
eine Zeitreihe einfacher Indizes
51
Indexzahlen
bull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziert
bull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0 I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87
Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden
Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor
bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90
Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen
52
Indexzahlen
bull UmbasierenGegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten
bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt
0k
0t
0k
0t
k
tkt I
I
xx
xx
x
xI
53
Indexzahlen
bull Bsp Umsatz fuumlr Jahre 1990 bis 1998
Jahr Umsatz xt x0 xt x4
1990 1240 100 1081991 1210 098 1051992 1180 095 1031993 1190 096 1031994 1150 093 1001995 1080 087 0941996 1120 090 0971997 1130 091 0981998 1200 097 104
54
Indexzahlen
bull Umbasieren Index von 1996 zur Basisperiode 1990 sollen in Index zur Basisperiode 1994 umgerechnet werden ndash I19901996 = 090 (Basisperiode 1990)
ndash I19901994 = 093 (Basisperiode 1990)
ndash I19941996 = 090 093 = 097 (Basisperiode 1994)
bull Verkettung Weiterer Wert fuumlr 1998 ndash I19901998 = I19901994 middot I19941998 = 093 middot 104 = 097
55
Indexzahlen
bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)
bull Betrachte Warenkorb
n Waren zu einem Zeitpunkt t
Mengen qt1qtn
Preise pt1ptn
Wert des Warenkorbes in Periode t
n
1ititiqp
56
Indexzahlen
bull Wertindex
Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0
n
1i0i0i
n
1ititi
0t
qp
qpW
57
Indexzahlen
bull Bsp Durchschnittlicher Verbrauch an Fleisch aller privaten Haushalte in einer Gemeinde Basismonat 1 Berichtsmonat 12 ndash (Mengen in g Preise in DMkg) Fleisch p0i q0i p12i q12i
F1 575 1450 62 1410F2 1225 1260 1355 1200F3 241 50 248 50F4 178 210 181 215F5 455 2450 46 2470F6 1025 1310 104 1230F7 89 980 91 930
gesamt 7710 7505
58
Indexzahlen
bull Bsp Wertindex n 7
ti ti 12i 12ii 1 i 1
0t n 7
0i 0i 0i 0ii 1 i 1
p q p q627505
W 10119620125p q p q
Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i
F1 575 1450 62 1410 83375 8742F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260F3 241 50 248 50 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915F5 455 2450 46 2470 111475 11362F6 1025 1310 104 1230 134275 12792F7 89 980 91 930 8722 8463
gesamt 7710 7505 620125 627505
59
Indexzahlen
bull Bsp Wertindex ndash 100 middot W012 = 100 middot 10119 = 10119
ndash Dh der tatsaumlchliche Aufwand fuumlr Fleisch fuumlr die privaten Haushalte ist vom Basismonat bis zum Berichtsmonat um 119 gestiegen
ndash Es ist hier nicht beruumlcksichtigt dass der durchschnittliche Verbrauch im Berichtsmonat um 205g geringer ist
60
Indexzahlen
bull Preisindizes
bull Aussagen uumlber die Preisentwicklung
bull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche Mengenschema verwenden
61
Indexzahlen
bull Preisindex nach Paasche
bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
62
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Paasche
Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i p0iq12i p12iq0i
F1 575 1450 62 1410 83375 8742 81075 8990F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260 14700 17073F3 241 50 248 50 1205 1240 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915 3827 3801F5 455 2450 46 2470 111475 11362 112385 11270F6 1025 1310 104 1230 134275 12792 126075 13624F7 89 980 91 930 8722 8463 8277 8918
gesamt 7710 7505 620125 627505 599625 64916
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
63
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Paasche
bull Dh nimmt man fuumlr beide Monaten den durchschnittlichen Verbrauch an Fleisch im Berichtsmonat als Mengenschema (Warenkorb) an so sind die Preise in diesem Zeitraum um 465 gestiegen
65104559962
562750100
qp
qp100
qp
qpP100 7
1i12i0i
7
1i12i12i
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
64
Indexzahlen
bull Preisindex nach Laspeyres
bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
qp
qpP
65
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Laspeyres
bull Dh Fuumlr die im Basismonat verbrauchten Mengen an Fleisch muss man in der Berichtsperiode 468 mehr Geld ausgeben
68104562012
64916100
qp
qp100
qp
qpP100 7
1i0i0i
7
1i0i12i
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
66
Indexzahlen
bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres
bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)
bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)
bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden
bull Fishersche Idealindex LPF III
67
Indexzahlen
bull Mengenindizes
bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung (unabhaumlngig von der Preisentwicklung)
68
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Paasche
bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
qp
qpQ
69
Indexzahlen
bull Bsp Mengenindex nach Paasche
bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen im Berichtsmonat ist um 334 gesunken
669664916
562750100
qp
qp100
qp
qpQ100 7
1i0i12i
7
1i12i12i
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
70
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Laspeyres
bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
qp
qpQ
71
Indexzahlen
bull Bsp Mengenindex nach Laspeyres
bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen zum Basismonat ist um 331 gesunken
6996562012
559962100
qp
qp100
qp
qpQ100 7
1i0i0i
7
1i12i0i
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
14
Standardisierung
bull Standardisierungndash Spezielle lineare Transformationndash Bildet aus Einzelwerten ai standardisierte
Werte zi indem von jedem ai das arithm Mittel μ abgezogen wird und durch die Standardabweichung dividiert wird
bull Arithm Mittel der zi immer 0 bull Varianz der zi immer 1
σ
μaz i
i
15
Variationskoeffizient
bull Streuung zweier oder mehrerer Verteilungen mit sich stark voneinander unterscheidenden Mittelwerten vergleichen
bull Relatives Streuungsmaszlig (fuumlr verhaumlltnis-skalierte Merkmale mit ausschlieszliglich positiven Merkmalswerten) bezieht die Standardabweichung σ (absolutes Streuungsmaszlig) auf das arithm Mittel μ
μ
σVC
16
MAD Mittlere absolute Abw
bull Arithmetisches Mittel der absoluten Abweichungen der einzelnen Merkmalswerte vom Mittelwert (zB arithm Mittel oder Median)
bull Minimumeigenschaft des Medians
M beliebiger Wert
n
1ii |Ma|
n
1MAD
n
1ii
n
1ii |Ma|
n
1|Mea|
n
1
17
MAD
bull Haumlufigkeitsverteilung der Datenbull MAD bezogen auf Mittelwert μ
bull MAD aus Haumlufigkeitsverteilung von klassifizierte Daten ndash Merkmalswerte xi durch Klassenmitten xiacute
ersetzen
i
n
1ii h|μx|
n
1MAD
i
n
1ii f|μx|MAD
18
Spannweite (Range)
bull Abstand zw dem groumlszligten und dem kleinsten Wert
bull Einzelwerte der Groumlszlige nach ordnen a[1]hellipa[n]
R = a[n] - a[1]
bull Haumlufigkeitsverteilung von k Merkmalsauspraumlgungen
R = xk - x1
bull Haumlufigkeitsverteilung von klassifizierten Daten
R = xko - x1
u
bull Spannweite ist instabil gegenuumlber Ausreiszligern
19
Quartilsabstand
bull Quartile Q1 Q2 (=Median) Q3 teilen die Gesamtheit in 4 gleich groszlige Teile
bull α-Quantil
a(k) falls nα keine ganze Zahl (k die auf nα folgende ganze Zahl)
aα= 12 (a(k)+a(k+1)) falls nα ganze Zahl k=nα
bull Quartilsabstand (Interquartile Range) definiert als Spannweite der 50 mittleren Werte
QA = Q3 ndash Q1
bull Eigenschaft stabil gegenuumlber Ausreiszligern
20
Deskriptive Analyse Box-Plot
bull Box-Plot ndash Box beinhaltet 50 der Daten (Grenzen 1
und 3 Quartil) Darstellung des Medians ndash Whiskers maximal 15-mal die Laumlnge der Boxndash Ausreiszliger Werte auszligerhalb der Whiskers
bull Ausreiszliger
bull Krasse Ausreiszliger
21
38N =
GEWICHT
110
100
90
80
70
60
50
40
937
Deskriptive Analyse Box-Plot
bull Box-Plot grafische Darstellung einer Beobachtungsreihe (Verteilung und Struktur)
38N =
GROEszligE
210
200
190
180
170
160
150
140
22
Deskriptive Analyse Box-Plot
bull Box-Plot fuumlr Vergleich von 2 Messreihen
1820N =
SEX
mw
GR
OE
szligE
210
200
190
180
170
160
150
140
28
9
23
Schiefe
bull Gibt Richtung (rechts- oder linksschief) und Groumlszligenordnung der Schiefe einer eingipfligen Haumlufigkeitsverteilung an
lt 0 linksschiefe
g1 = 0 symmetrisch
gt 0 rechtsschiefebull Kein direkter Streuungsparameter
3n
1i
2i
n
1i
3i
1
)a(an1
)a(an1
g
24
Schiefe
bull Schiefe einer Haumlufigkeitsverteilung aus gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten
bull Berechnung mit Klassenmittel und Klassenmitte kann zu unterschiedlichen Ergebnissen fuumlhren
3k
1ii
2i
i
k
1i
3i
1
h)aa(n1
h)aa(n1
g
3k
1ii
2i
i
k
1i
3i
1
h)a(mn1
h)a(mn1
g
25
Schiefe
bull Linksschiefe Verteilung g1 lt 0Linksschiefe Verteilung
Auspraumlgung
Hauml
ufi
gke
it
26
Schiefe
bull Symmetrische Verteilung g1 = 0Symmetrische Verteilung
Auspraumlgung
Hauml
ufi
gke
it
27
Schiefe
bull Rechtschiefe Verteilung g1 gt 0Rechtsschiefe Verteilung
Auspraumlgung
Haumlu
fig
keit
28
Woumllbung
bull Woumllbung od Kurtosis od Exzeszlig Maszligzahl fuumlr eingipflige Haumlufigkeitsvt
bull Gibt an ob (bei gleicher Varianz) das absolute Maximum der Haumlufigkeitsvt groumlszliger als bei der Dichte der Normalvt ist
3
)a(an1
)a(an1
g 2n
1i
2i
n
1i
4i
2
29
Woumllbung
lt 0 abs Max kleiner als bei N-Vt
g2 = 0 Normalverteilung
gt 0 abs Max groumlszliger als bei N-Vt
bull Woumllbung einer Haumlufigkeitsverteilung aus gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten
3
h)aa(n1
h)aa(n1
g 2n
1ii
2i
k
1ii
4i
2
3
h)a(mn1
h)a(mn1
g 2n
1ii
2i
k
1ii
4i
2
30
Konzentrationsmaszlige
bull Metrisch skaliertes Merkmal X mit nur positiven Auspraumlgungen
bull Frage Wie teilt sich die Summe der Merkmalswerte x1hellipxn in der Beobachtungsreihe auf die Untersuchungs-einheiten auf
bull Bsp n landwirtschaftliche Betriebe Groumlszlige der Nutzflaumlchen x1xn Wie teilt sich die gesamte Nutzflaumlche auf die einzelnen Betriebe auf
31
Konzentrationsmaszlige
bull n Merkmalswerte werden durch q Merkmalsauspraumlgungen a1ltltaq mit absoluten- und relativen Haumlufigkeiten hi bzw fi bestimmt
bull Gesamtbetrag der Merkmalswerte in der Beobachtungsreihe
n
1iii
n
1jj hax
32
Konzentrationsmaszlige
bull Lorenzkurve Grafische Darstellung der Konzentration der Merkmalswerte
bull Koordinatenkreuz ndash Abszisse es werden die nach der Groumlszlige der Merkmals-
auspraumlgung geordneten relativen Haumlufigkeiten aufsummiert
ndash Ordinate Auspraumlgungen werden der Groumlszlige nach
aufsummiert und auf Summe aller Auspraumlgungen bezogen
q1ifuumlrfn
hk
i
1jj
i
1j
ji
q1ifuumlr hahalq
1jjj
i
1jjji
33
Konzentrationsmaszlige
bull Verbinden der Punkte (kili) ergibt die Lorenzkurve wobei immer k0=l0=0 und kq=lq=1 gilt
ki
li
0 1
1
34
Konzentrationsmaszlige
bull Interpretation ein Punkt (kili) der Lorenz-kurve gibt an dass auf ki middot 100 der Untersuchungseinheiten li middot 100 des Gesamtbetrages aller Merkmalsaus-praumlgungen entfallen
bull Bsp auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlche
35
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche Betriebendash Abszisse Es wird der Prozentsatz der Betriebe
mit der kleinsten Flaumlche bestimmt dann wird der Prozentsatz der Betriebe mit der zweit-kleinsten Flaumlche bestimmt und zum Prozentsatz der Betriebe mit der kleinsten Flaumlche addiert usw
ndash Ordinate Flaumlchenanteile der Betriebe bzgl der Gesamtflaumlche werden der Flaumlchengroumlszlige nach aufsummiert
36
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeFlaumlchen-groumlszlige
Anzahl der
Betriebe
Flaumlcheng pro
Gruppe
der Betriebe
Flaumlchen-anteile
aufsumm Betriebs-anteile
aufsumm Flaumlchen-anteile
bis 5 ha 21 63 042 0063 042 00635 - 10 ha 9 72 018 0072 060 013510 - 20 ha 9 135 018 0135 078 027020 - 50 ha 8 280 016 028 094 0550gt 50 ha 3 450 006 045 100 1000Gesamt 50 1000 1 1
37
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeLandwirtschaftliche Betriebe
0
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1
aufsummierte Anteile der Betriebe
au
fsu
mm
iert
e F
laumlc
he
na
nte
ile
38
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp Landwirtschaftliche Betriebe
bull Interpretation auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlchendash auf 42 der Betriebe entfallen 63 der Nutzflaumlche
ndash auf 60 der Betriebe entfallen 125 der Nutzflaumlche
ndash auf 78 der Betriebe entfallen 27 der Nutzflaumlche
ndash auf 94 der Betriebe entfallen 55 der Nutzflaumlche
39
Konzentrationsmaszlige
Extremfaumllle
bull Keine Konzentration alle Untersuchungs-einheiten haben den gleichen Anteil am Gesamtbetrag Lorenzkurve ist Diagonale
bull Gesamtbetrag konzentriert sich (fast) vollstaumlndig auf eine Untersuchungseinheit Lorenzkurve liegt (fast) auf Abszisse ist also (fast) senkrecht
40
Konzentrationsmaszlige
Extremfaumllle
0
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
0 02 04 06 08 1
41
Konzentrationsmaszlige
bull Gini-Koeffizient od Lorenzsche Konzentrationsmaszlig (LKM) Maszligzahl fuumlr die Konzentration
bull Definiert als das 2-fache der Flaumlche F zw Diagonale und Lorenzkurve LKM = 2F
bull Es gilt immer 0 LKM (n-1)nbull Standardisierter Gini-Koeffizient
LKMnor = n(n-1) LKM
42
Konzentrationsmaszlige
bull Berechnung von F
ndash k hellip Werte auf Abszisse
ndash l hellip Werte auf Ordinate
ndash q hellip Anzahl der verschiedenen Merkmalsauspraumlgungen
q
1ii 05FF
q
1jjj
iii1-i1ii
i1ii
Ha
Ha
2
kk)l(l
2
kkF
43
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp Landwirtschaftliche Nutzflaumlche
bull LMK = 2F = i2Fi ndash 1 = 16048 ndash 1 = 06408ndash mit i = 1hellip5
bull LKMnor = 5049 middot 06408 = 06539
Flaumlchen-groumlszlige
Flaumlchen-anteile
aufsumm Betriebs-anteile
2 Fi
bis 5 ha 0063 042 0026465 - 10 ha 0072 060 00734410 - 20 ha 0135 078 01863020 - 50 ha 028 094 048630gt 50 ha 045 100 087300Gesamt 1 16455
44
Verhaumlltniszahlen
bull Quotient zweier Maszligzahlen Verhaumlltniszahl
bull Gliederungszahlenndash Man bezieht eine Teilgroumlszlige auf eine ihr
uumlbergeordnete Gesamtgroumlszlige
bull Beziehungszahlenndash Quotient zweier sachlich sinnvoll in
Verbindung stehender Maszligzahlen
bull Index-Zahlenndash Quotient zweier Maszligzahlen gleicher Art
45
Gliederungszahlen
bull Gliederungszahlen
bull Bsp Tagesproduktion 1500 Teile davon 300 fehlerhaft
Dann sind 20 der Tagesproduktion Ausschuss (3001500middot100)
Ausschussanteil ist eine Gliederungszahl
46
Beziehungszahlen
bull Beziehungszahlen
bull Verursachungszahlen
Bezieht Bewegungsmassen auf die zugehoumlrigen Bestandsmassen
bull Entsprechungszahlen
Alle Beziehungszahlen bei denen man Ereignisse nicht auf ihren Bestand beziehen kann
47
Beziehungszahlen
bull Bsp Verursachungszahlen Geburtenziffer
Bestandsmasse Einwohner einer Stadt (E)
Bewegungsmasse Zahl der Lebend-geborenen (L)
G = (LE)1000
Sagt wie viele Geburten auf 1000 Einwohner einer Stadt entfallen
48
Beziehungszahlen
bull Bsp Entsprechungszahlen
Schuumller-Lehrer-Verhaumlltnis
(Zahl der Schuumller) (Zahl der Lehrer)
Sagt wie viele Schuumller (ungefaumlhr) auf eine Lehrer entfallen Dies entspricht aber iA nicht der durchschnittlichen Klassengroumlszlige
49
Indexzahlen
bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt
bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine
realen Sachverhalt
bull (Zusammengesetzte) Indexzahlenndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen
fiktiven Zustand beschreibt
50
Indexzahlen
bull Einfache Indizes
bull Reihe von Maszligzahlen die man in Beziehung zueinander setzen will
x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0
Dann ist
I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2
eine Zeitreihe einfacher Indizes
51
Indexzahlen
bull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziert
bull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0 I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87
Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden
Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor
bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90
Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen
52
Indexzahlen
bull UmbasierenGegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten
bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt
0k
0t
0k
0t
k
tkt I
I
xx
xx
x
xI
53
Indexzahlen
bull Bsp Umsatz fuumlr Jahre 1990 bis 1998
Jahr Umsatz xt x0 xt x4
1990 1240 100 1081991 1210 098 1051992 1180 095 1031993 1190 096 1031994 1150 093 1001995 1080 087 0941996 1120 090 0971997 1130 091 0981998 1200 097 104
54
Indexzahlen
bull Umbasieren Index von 1996 zur Basisperiode 1990 sollen in Index zur Basisperiode 1994 umgerechnet werden ndash I19901996 = 090 (Basisperiode 1990)
ndash I19901994 = 093 (Basisperiode 1990)
ndash I19941996 = 090 093 = 097 (Basisperiode 1994)
bull Verkettung Weiterer Wert fuumlr 1998 ndash I19901998 = I19901994 middot I19941998 = 093 middot 104 = 097
55
Indexzahlen
bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)
bull Betrachte Warenkorb
n Waren zu einem Zeitpunkt t
Mengen qt1qtn
Preise pt1ptn
Wert des Warenkorbes in Periode t
n
1ititiqp
56
Indexzahlen
bull Wertindex
Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0
n
1i0i0i
n
1ititi
0t
qp
qpW
57
Indexzahlen
bull Bsp Durchschnittlicher Verbrauch an Fleisch aller privaten Haushalte in einer Gemeinde Basismonat 1 Berichtsmonat 12 ndash (Mengen in g Preise in DMkg) Fleisch p0i q0i p12i q12i
F1 575 1450 62 1410F2 1225 1260 1355 1200F3 241 50 248 50F4 178 210 181 215F5 455 2450 46 2470F6 1025 1310 104 1230F7 89 980 91 930
gesamt 7710 7505
58
Indexzahlen
bull Bsp Wertindex n 7
ti ti 12i 12ii 1 i 1
0t n 7
0i 0i 0i 0ii 1 i 1
p q p q627505
W 10119620125p q p q
Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i
F1 575 1450 62 1410 83375 8742F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260F3 241 50 248 50 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915F5 455 2450 46 2470 111475 11362F6 1025 1310 104 1230 134275 12792F7 89 980 91 930 8722 8463
gesamt 7710 7505 620125 627505
59
Indexzahlen
bull Bsp Wertindex ndash 100 middot W012 = 100 middot 10119 = 10119
ndash Dh der tatsaumlchliche Aufwand fuumlr Fleisch fuumlr die privaten Haushalte ist vom Basismonat bis zum Berichtsmonat um 119 gestiegen
ndash Es ist hier nicht beruumlcksichtigt dass der durchschnittliche Verbrauch im Berichtsmonat um 205g geringer ist
60
Indexzahlen
bull Preisindizes
bull Aussagen uumlber die Preisentwicklung
bull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche Mengenschema verwenden
61
Indexzahlen
bull Preisindex nach Paasche
bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
62
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Paasche
Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i p0iq12i p12iq0i
F1 575 1450 62 1410 83375 8742 81075 8990F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260 14700 17073F3 241 50 248 50 1205 1240 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915 3827 3801F5 455 2450 46 2470 111475 11362 112385 11270F6 1025 1310 104 1230 134275 12792 126075 13624F7 89 980 91 930 8722 8463 8277 8918
gesamt 7710 7505 620125 627505 599625 64916
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
63
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Paasche
bull Dh nimmt man fuumlr beide Monaten den durchschnittlichen Verbrauch an Fleisch im Berichtsmonat als Mengenschema (Warenkorb) an so sind die Preise in diesem Zeitraum um 465 gestiegen
65104559962
562750100
qp
qp100
qp
qpP100 7
1i12i0i
7
1i12i12i
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
64
Indexzahlen
bull Preisindex nach Laspeyres
bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
qp
qpP
65
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Laspeyres
bull Dh Fuumlr die im Basismonat verbrauchten Mengen an Fleisch muss man in der Berichtsperiode 468 mehr Geld ausgeben
68104562012
64916100
qp
qp100
qp
qpP100 7
1i0i0i
7
1i0i12i
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
66
Indexzahlen
bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres
bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)
bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)
bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden
bull Fishersche Idealindex LPF III
67
Indexzahlen
bull Mengenindizes
bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung (unabhaumlngig von der Preisentwicklung)
68
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Paasche
bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
qp
qpQ
69
Indexzahlen
bull Bsp Mengenindex nach Paasche
bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen im Berichtsmonat ist um 334 gesunken
669664916
562750100
qp
qp100
qp
qpQ100 7
1i0i12i
7
1i12i12i
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
70
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Laspeyres
bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
qp
qpQ
71
Indexzahlen
bull Bsp Mengenindex nach Laspeyres
bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen zum Basismonat ist um 331 gesunken
6996562012
559962100
qp
qp100
qp
qpQ100 7
1i0i0i
7
1i12i0i
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
15
Variationskoeffizient
bull Streuung zweier oder mehrerer Verteilungen mit sich stark voneinander unterscheidenden Mittelwerten vergleichen
bull Relatives Streuungsmaszlig (fuumlr verhaumlltnis-skalierte Merkmale mit ausschlieszliglich positiven Merkmalswerten) bezieht die Standardabweichung σ (absolutes Streuungsmaszlig) auf das arithm Mittel μ
μ
σVC
16
MAD Mittlere absolute Abw
bull Arithmetisches Mittel der absoluten Abweichungen der einzelnen Merkmalswerte vom Mittelwert (zB arithm Mittel oder Median)
bull Minimumeigenschaft des Medians
M beliebiger Wert
n
1ii |Ma|
n
1MAD
n
1ii
n
1ii |Ma|
n
1|Mea|
n
1
17
MAD
bull Haumlufigkeitsverteilung der Datenbull MAD bezogen auf Mittelwert μ
bull MAD aus Haumlufigkeitsverteilung von klassifizierte Daten ndash Merkmalswerte xi durch Klassenmitten xiacute
ersetzen
i
n
1ii h|μx|
n
1MAD
i
n
1ii f|μx|MAD
18
Spannweite (Range)
bull Abstand zw dem groumlszligten und dem kleinsten Wert
bull Einzelwerte der Groumlszlige nach ordnen a[1]hellipa[n]
R = a[n] - a[1]
bull Haumlufigkeitsverteilung von k Merkmalsauspraumlgungen
R = xk - x1
bull Haumlufigkeitsverteilung von klassifizierten Daten
R = xko - x1
u
bull Spannweite ist instabil gegenuumlber Ausreiszligern
19
Quartilsabstand
bull Quartile Q1 Q2 (=Median) Q3 teilen die Gesamtheit in 4 gleich groszlige Teile
bull α-Quantil
a(k) falls nα keine ganze Zahl (k die auf nα folgende ganze Zahl)
aα= 12 (a(k)+a(k+1)) falls nα ganze Zahl k=nα
bull Quartilsabstand (Interquartile Range) definiert als Spannweite der 50 mittleren Werte
QA = Q3 ndash Q1
bull Eigenschaft stabil gegenuumlber Ausreiszligern
20
Deskriptive Analyse Box-Plot
bull Box-Plot ndash Box beinhaltet 50 der Daten (Grenzen 1
und 3 Quartil) Darstellung des Medians ndash Whiskers maximal 15-mal die Laumlnge der Boxndash Ausreiszliger Werte auszligerhalb der Whiskers
bull Ausreiszliger
bull Krasse Ausreiszliger
21
38N =
GEWICHT
110
100
90
80
70
60
50
40
937
Deskriptive Analyse Box-Plot
bull Box-Plot grafische Darstellung einer Beobachtungsreihe (Verteilung und Struktur)
38N =
GROEszligE
210
200
190
180
170
160
150
140
22
Deskriptive Analyse Box-Plot
bull Box-Plot fuumlr Vergleich von 2 Messreihen
1820N =
SEX
mw
GR
OE
szligE
210
200
190
180
170
160
150
140
28
9
23
Schiefe
bull Gibt Richtung (rechts- oder linksschief) und Groumlszligenordnung der Schiefe einer eingipfligen Haumlufigkeitsverteilung an
lt 0 linksschiefe
g1 = 0 symmetrisch
gt 0 rechtsschiefebull Kein direkter Streuungsparameter
3n
1i
2i
n
1i
3i
1
)a(an1
)a(an1
g
24
Schiefe
bull Schiefe einer Haumlufigkeitsverteilung aus gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten
bull Berechnung mit Klassenmittel und Klassenmitte kann zu unterschiedlichen Ergebnissen fuumlhren
3k
1ii
2i
i
k
1i
3i
1
h)aa(n1
h)aa(n1
g
3k
1ii
2i
i
k
1i
3i
1
h)a(mn1
h)a(mn1
g
25
Schiefe
bull Linksschiefe Verteilung g1 lt 0Linksschiefe Verteilung
Auspraumlgung
Hauml
ufi
gke
it
26
Schiefe
bull Symmetrische Verteilung g1 = 0Symmetrische Verteilung
Auspraumlgung
Hauml
ufi
gke
it
27
Schiefe
bull Rechtschiefe Verteilung g1 gt 0Rechtsschiefe Verteilung
Auspraumlgung
Haumlu
fig
keit
28
Woumllbung
bull Woumllbung od Kurtosis od Exzeszlig Maszligzahl fuumlr eingipflige Haumlufigkeitsvt
bull Gibt an ob (bei gleicher Varianz) das absolute Maximum der Haumlufigkeitsvt groumlszliger als bei der Dichte der Normalvt ist
3
)a(an1
)a(an1
g 2n
1i
2i
n
1i
4i
2
29
Woumllbung
lt 0 abs Max kleiner als bei N-Vt
g2 = 0 Normalverteilung
gt 0 abs Max groumlszliger als bei N-Vt
bull Woumllbung einer Haumlufigkeitsverteilung aus gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten
3
h)aa(n1
h)aa(n1
g 2n
1ii
2i
k
1ii
4i
2
3
h)a(mn1
h)a(mn1
g 2n
1ii
2i
k
1ii
4i
2
30
Konzentrationsmaszlige
bull Metrisch skaliertes Merkmal X mit nur positiven Auspraumlgungen
bull Frage Wie teilt sich die Summe der Merkmalswerte x1hellipxn in der Beobachtungsreihe auf die Untersuchungs-einheiten auf
bull Bsp n landwirtschaftliche Betriebe Groumlszlige der Nutzflaumlchen x1xn Wie teilt sich die gesamte Nutzflaumlche auf die einzelnen Betriebe auf
31
Konzentrationsmaszlige
bull n Merkmalswerte werden durch q Merkmalsauspraumlgungen a1ltltaq mit absoluten- und relativen Haumlufigkeiten hi bzw fi bestimmt
bull Gesamtbetrag der Merkmalswerte in der Beobachtungsreihe
n
1iii
n
1jj hax
32
Konzentrationsmaszlige
bull Lorenzkurve Grafische Darstellung der Konzentration der Merkmalswerte
bull Koordinatenkreuz ndash Abszisse es werden die nach der Groumlszlige der Merkmals-
auspraumlgung geordneten relativen Haumlufigkeiten aufsummiert
ndash Ordinate Auspraumlgungen werden der Groumlszlige nach
aufsummiert und auf Summe aller Auspraumlgungen bezogen
q1ifuumlrfn
hk
i
1jj
i
1j
ji
q1ifuumlr hahalq
1jjj
i
1jjji
33
Konzentrationsmaszlige
bull Verbinden der Punkte (kili) ergibt die Lorenzkurve wobei immer k0=l0=0 und kq=lq=1 gilt
ki
li
0 1
1
34
Konzentrationsmaszlige
bull Interpretation ein Punkt (kili) der Lorenz-kurve gibt an dass auf ki middot 100 der Untersuchungseinheiten li middot 100 des Gesamtbetrages aller Merkmalsaus-praumlgungen entfallen
bull Bsp auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlche
35
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche Betriebendash Abszisse Es wird der Prozentsatz der Betriebe
mit der kleinsten Flaumlche bestimmt dann wird der Prozentsatz der Betriebe mit der zweit-kleinsten Flaumlche bestimmt und zum Prozentsatz der Betriebe mit der kleinsten Flaumlche addiert usw
ndash Ordinate Flaumlchenanteile der Betriebe bzgl der Gesamtflaumlche werden der Flaumlchengroumlszlige nach aufsummiert
36
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeFlaumlchen-groumlszlige
Anzahl der
Betriebe
Flaumlcheng pro
Gruppe
der Betriebe
Flaumlchen-anteile
aufsumm Betriebs-anteile
aufsumm Flaumlchen-anteile
bis 5 ha 21 63 042 0063 042 00635 - 10 ha 9 72 018 0072 060 013510 - 20 ha 9 135 018 0135 078 027020 - 50 ha 8 280 016 028 094 0550gt 50 ha 3 450 006 045 100 1000Gesamt 50 1000 1 1
37
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeLandwirtschaftliche Betriebe
0
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1
aufsummierte Anteile der Betriebe
au
fsu
mm
iert
e F
laumlc
he
na
nte
ile
38
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp Landwirtschaftliche Betriebe
bull Interpretation auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlchendash auf 42 der Betriebe entfallen 63 der Nutzflaumlche
ndash auf 60 der Betriebe entfallen 125 der Nutzflaumlche
ndash auf 78 der Betriebe entfallen 27 der Nutzflaumlche
ndash auf 94 der Betriebe entfallen 55 der Nutzflaumlche
39
Konzentrationsmaszlige
Extremfaumllle
bull Keine Konzentration alle Untersuchungs-einheiten haben den gleichen Anteil am Gesamtbetrag Lorenzkurve ist Diagonale
bull Gesamtbetrag konzentriert sich (fast) vollstaumlndig auf eine Untersuchungseinheit Lorenzkurve liegt (fast) auf Abszisse ist also (fast) senkrecht
40
Konzentrationsmaszlige
Extremfaumllle
0
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
0 02 04 06 08 1
41
Konzentrationsmaszlige
bull Gini-Koeffizient od Lorenzsche Konzentrationsmaszlig (LKM) Maszligzahl fuumlr die Konzentration
bull Definiert als das 2-fache der Flaumlche F zw Diagonale und Lorenzkurve LKM = 2F
bull Es gilt immer 0 LKM (n-1)nbull Standardisierter Gini-Koeffizient
LKMnor = n(n-1) LKM
42
Konzentrationsmaszlige
bull Berechnung von F
ndash k hellip Werte auf Abszisse
ndash l hellip Werte auf Ordinate
ndash q hellip Anzahl der verschiedenen Merkmalsauspraumlgungen
q
1ii 05FF
q
1jjj
iii1-i1ii
i1ii
Ha
Ha
2
kk)l(l
2
kkF
43
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp Landwirtschaftliche Nutzflaumlche
bull LMK = 2F = i2Fi ndash 1 = 16048 ndash 1 = 06408ndash mit i = 1hellip5
bull LKMnor = 5049 middot 06408 = 06539
Flaumlchen-groumlszlige
Flaumlchen-anteile
aufsumm Betriebs-anteile
2 Fi
bis 5 ha 0063 042 0026465 - 10 ha 0072 060 00734410 - 20 ha 0135 078 01863020 - 50 ha 028 094 048630gt 50 ha 045 100 087300Gesamt 1 16455
44
Verhaumlltniszahlen
bull Quotient zweier Maszligzahlen Verhaumlltniszahl
bull Gliederungszahlenndash Man bezieht eine Teilgroumlszlige auf eine ihr
uumlbergeordnete Gesamtgroumlszlige
bull Beziehungszahlenndash Quotient zweier sachlich sinnvoll in
Verbindung stehender Maszligzahlen
bull Index-Zahlenndash Quotient zweier Maszligzahlen gleicher Art
45
Gliederungszahlen
bull Gliederungszahlen
bull Bsp Tagesproduktion 1500 Teile davon 300 fehlerhaft
Dann sind 20 der Tagesproduktion Ausschuss (3001500middot100)
Ausschussanteil ist eine Gliederungszahl
46
Beziehungszahlen
bull Beziehungszahlen
bull Verursachungszahlen
Bezieht Bewegungsmassen auf die zugehoumlrigen Bestandsmassen
bull Entsprechungszahlen
Alle Beziehungszahlen bei denen man Ereignisse nicht auf ihren Bestand beziehen kann
47
Beziehungszahlen
bull Bsp Verursachungszahlen Geburtenziffer
Bestandsmasse Einwohner einer Stadt (E)
Bewegungsmasse Zahl der Lebend-geborenen (L)
G = (LE)1000
Sagt wie viele Geburten auf 1000 Einwohner einer Stadt entfallen
48
Beziehungszahlen
bull Bsp Entsprechungszahlen
Schuumller-Lehrer-Verhaumlltnis
(Zahl der Schuumller) (Zahl der Lehrer)
Sagt wie viele Schuumller (ungefaumlhr) auf eine Lehrer entfallen Dies entspricht aber iA nicht der durchschnittlichen Klassengroumlszlige
49
Indexzahlen
bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt
bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine
realen Sachverhalt
bull (Zusammengesetzte) Indexzahlenndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen
fiktiven Zustand beschreibt
50
Indexzahlen
bull Einfache Indizes
bull Reihe von Maszligzahlen die man in Beziehung zueinander setzen will
x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0
Dann ist
I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2
eine Zeitreihe einfacher Indizes
51
Indexzahlen
bull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziert
bull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0 I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87
Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden
Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor
bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90
Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen
52
Indexzahlen
bull UmbasierenGegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten
bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt
0k
0t
0k
0t
k
tkt I
I
xx
xx
x
xI
53
Indexzahlen
bull Bsp Umsatz fuumlr Jahre 1990 bis 1998
Jahr Umsatz xt x0 xt x4
1990 1240 100 1081991 1210 098 1051992 1180 095 1031993 1190 096 1031994 1150 093 1001995 1080 087 0941996 1120 090 0971997 1130 091 0981998 1200 097 104
54
Indexzahlen
bull Umbasieren Index von 1996 zur Basisperiode 1990 sollen in Index zur Basisperiode 1994 umgerechnet werden ndash I19901996 = 090 (Basisperiode 1990)
ndash I19901994 = 093 (Basisperiode 1990)
ndash I19941996 = 090 093 = 097 (Basisperiode 1994)
bull Verkettung Weiterer Wert fuumlr 1998 ndash I19901998 = I19901994 middot I19941998 = 093 middot 104 = 097
55
Indexzahlen
bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)
bull Betrachte Warenkorb
n Waren zu einem Zeitpunkt t
Mengen qt1qtn
Preise pt1ptn
Wert des Warenkorbes in Periode t
n
1ititiqp
56
Indexzahlen
bull Wertindex
Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0
n
1i0i0i
n
1ititi
0t
qp
qpW
57
Indexzahlen
bull Bsp Durchschnittlicher Verbrauch an Fleisch aller privaten Haushalte in einer Gemeinde Basismonat 1 Berichtsmonat 12 ndash (Mengen in g Preise in DMkg) Fleisch p0i q0i p12i q12i
F1 575 1450 62 1410F2 1225 1260 1355 1200F3 241 50 248 50F4 178 210 181 215F5 455 2450 46 2470F6 1025 1310 104 1230F7 89 980 91 930
gesamt 7710 7505
58
Indexzahlen
bull Bsp Wertindex n 7
ti ti 12i 12ii 1 i 1
0t n 7
0i 0i 0i 0ii 1 i 1
p q p q627505
W 10119620125p q p q
Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i
F1 575 1450 62 1410 83375 8742F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260F3 241 50 248 50 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915F5 455 2450 46 2470 111475 11362F6 1025 1310 104 1230 134275 12792F7 89 980 91 930 8722 8463
gesamt 7710 7505 620125 627505
59
Indexzahlen
bull Bsp Wertindex ndash 100 middot W012 = 100 middot 10119 = 10119
ndash Dh der tatsaumlchliche Aufwand fuumlr Fleisch fuumlr die privaten Haushalte ist vom Basismonat bis zum Berichtsmonat um 119 gestiegen
ndash Es ist hier nicht beruumlcksichtigt dass der durchschnittliche Verbrauch im Berichtsmonat um 205g geringer ist
60
Indexzahlen
bull Preisindizes
bull Aussagen uumlber die Preisentwicklung
bull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche Mengenschema verwenden
61
Indexzahlen
bull Preisindex nach Paasche
bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
62
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Paasche
Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i p0iq12i p12iq0i
F1 575 1450 62 1410 83375 8742 81075 8990F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260 14700 17073F3 241 50 248 50 1205 1240 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915 3827 3801F5 455 2450 46 2470 111475 11362 112385 11270F6 1025 1310 104 1230 134275 12792 126075 13624F7 89 980 91 930 8722 8463 8277 8918
gesamt 7710 7505 620125 627505 599625 64916
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
63
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Paasche
bull Dh nimmt man fuumlr beide Monaten den durchschnittlichen Verbrauch an Fleisch im Berichtsmonat als Mengenschema (Warenkorb) an so sind die Preise in diesem Zeitraum um 465 gestiegen
65104559962
562750100
qp
qp100
qp
qpP100 7
1i12i0i
7
1i12i12i
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
64
Indexzahlen
bull Preisindex nach Laspeyres
bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
qp
qpP
65
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Laspeyres
bull Dh Fuumlr die im Basismonat verbrauchten Mengen an Fleisch muss man in der Berichtsperiode 468 mehr Geld ausgeben
68104562012
64916100
qp
qp100
qp
qpP100 7
1i0i0i
7
1i0i12i
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
66
Indexzahlen
bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres
bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)
bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)
bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden
bull Fishersche Idealindex LPF III
67
Indexzahlen
bull Mengenindizes
bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung (unabhaumlngig von der Preisentwicklung)
68
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Paasche
bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
qp
qpQ
69
Indexzahlen
bull Bsp Mengenindex nach Paasche
bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen im Berichtsmonat ist um 334 gesunken
669664916
562750100
qp
qp100
qp
qpQ100 7
1i0i12i
7
1i12i12i
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
70
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Laspeyres
bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
qp
qpQ
71
Indexzahlen
bull Bsp Mengenindex nach Laspeyres
bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen zum Basismonat ist um 331 gesunken
6996562012
559962100
qp
qp100
qp
qpQ100 7
1i0i0i
7
1i12i0i
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
16
MAD Mittlere absolute Abw
bull Arithmetisches Mittel der absoluten Abweichungen der einzelnen Merkmalswerte vom Mittelwert (zB arithm Mittel oder Median)
bull Minimumeigenschaft des Medians
M beliebiger Wert
n
1ii |Ma|
n
1MAD
n
1ii
n
1ii |Ma|
n
1|Mea|
n
1
17
MAD
bull Haumlufigkeitsverteilung der Datenbull MAD bezogen auf Mittelwert μ
bull MAD aus Haumlufigkeitsverteilung von klassifizierte Daten ndash Merkmalswerte xi durch Klassenmitten xiacute
ersetzen
i
n
1ii h|μx|
n
1MAD
i
n
1ii f|μx|MAD
18
Spannweite (Range)
bull Abstand zw dem groumlszligten und dem kleinsten Wert
bull Einzelwerte der Groumlszlige nach ordnen a[1]hellipa[n]
R = a[n] - a[1]
bull Haumlufigkeitsverteilung von k Merkmalsauspraumlgungen
R = xk - x1
bull Haumlufigkeitsverteilung von klassifizierten Daten
R = xko - x1
u
bull Spannweite ist instabil gegenuumlber Ausreiszligern
19
Quartilsabstand
bull Quartile Q1 Q2 (=Median) Q3 teilen die Gesamtheit in 4 gleich groszlige Teile
bull α-Quantil
a(k) falls nα keine ganze Zahl (k die auf nα folgende ganze Zahl)
aα= 12 (a(k)+a(k+1)) falls nα ganze Zahl k=nα
bull Quartilsabstand (Interquartile Range) definiert als Spannweite der 50 mittleren Werte
QA = Q3 ndash Q1
bull Eigenschaft stabil gegenuumlber Ausreiszligern
20
Deskriptive Analyse Box-Plot
bull Box-Plot ndash Box beinhaltet 50 der Daten (Grenzen 1
und 3 Quartil) Darstellung des Medians ndash Whiskers maximal 15-mal die Laumlnge der Boxndash Ausreiszliger Werte auszligerhalb der Whiskers
bull Ausreiszliger
bull Krasse Ausreiszliger
21
38N =
GEWICHT
110
100
90
80
70
60
50
40
937
Deskriptive Analyse Box-Plot
bull Box-Plot grafische Darstellung einer Beobachtungsreihe (Verteilung und Struktur)
38N =
GROEszligE
210
200
190
180
170
160
150
140
22
Deskriptive Analyse Box-Plot
bull Box-Plot fuumlr Vergleich von 2 Messreihen
1820N =
SEX
mw
GR
OE
szligE
210
200
190
180
170
160
150
140
28
9
23
Schiefe
bull Gibt Richtung (rechts- oder linksschief) und Groumlszligenordnung der Schiefe einer eingipfligen Haumlufigkeitsverteilung an
lt 0 linksschiefe
g1 = 0 symmetrisch
gt 0 rechtsschiefebull Kein direkter Streuungsparameter
3n
1i
2i
n
1i
3i
1
)a(an1
)a(an1
g
24
Schiefe
bull Schiefe einer Haumlufigkeitsverteilung aus gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten
bull Berechnung mit Klassenmittel und Klassenmitte kann zu unterschiedlichen Ergebnissen fuumlhren
3k
1ii
2i
i
k
1i
3i
1
h)aa(n1
h)aa(n1
g
3k
1ii
2i
i
k
1i
3i
1
h)a(mn1
h)a(mn1
g
25
Schiefe
bull Linksschiefe Verteilung g1 lt 0Linksschiefe Verteilung
Auspraumlgung
Hauml
ufi
gke
it
26
Schiefe
bull Symmetrische Verteilung g1 = 0Symmetrische Verteilung
Auspraumlgung
Hauml
ufi
gke
it
27
Schiefe
bull Rechtschiefe Verteilung g1 gt 0Rechtsschiefe Verteilung
Auspraumlgung
Haumlu
fig
keit
28
Woumllbung
bull Woumllbung od Kurtosis od Exzeszlig Maszligzahl fuumlr eingipflige Haumlufigkeitsvt
bull Gibt an ob (bei gleicher Varianz) das absolute Maximum der Haumlufigkeitsvt groumlszliger als bei der Dichte der Normalvt ist
3
)a(an1
)a(an1
g 2n
1i
2i
n
1i
4i
2
29
Woumllbung
lt 0 abs Max kleiner als bei N-Vt
g2 = 0 Normalverteilung
gt 0 abs Max groumlszliger als bei N-Vt
bull Woumllbung einer Haumlufigkeitsverteilung aus gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten
3
h)aa(n1
h)aa(n1
g 2n
1ii
2i
k
1ii
4i
2
3
h)a(mn1
h)a(mn1
g 2n
1ii
2i
k
1ii
4i
2
30
Konzentrationsmaszlige
bull Metrisch skaliertes Merkmal X mit nur positiven Auspraumlgungen
bull Frage Wie teilt sich die Summe der Merkmalswerte x1hellipxn in der Beobachtungsreihe auf die Untersuchungs-einheiten auf
bull Bsp n landwirtschaftliche Betriebe Groumlszlige der Nutzflaumlchen x1xn Wie teilt sich die gesamte Nutzflaumlche auf die einzelnen Betriebe auf
31
Konzentrationsmaszlige
bull n Merkmalswerte werden durch q Merkmalsauspraumlgungen a1ltltaq mit absoluten- und relativen Haumlufigkeiten hi bzw fi bestimmt
bull Gesamtbetrag der Merkmalswerte in der Beobachtungsreihe
n
1iii
n
1jj hax
32
Konzentrationsmaszlige
bull Lorenzkurve Grafische Darstellung der Konzentration der Merkmalswerte
bull Koordinatenkreuz ndash Abszisse es werden die nach der Groumlszlige der Merkmals-
auspraumlgung geordneten relativen Haumlufigkeiten aufsummiert
ndash Ordinate Auspraumlgungen werden der Groumlszlige nach
aufsummiert und auf Summe aller Auspraumlgungen bezogen
q1ifuumlrfn
hk
i
1jj
i
1j
ji
q1ifuumlr hahalq
1jjj
i
1jjji
33
Konzentrationsmaszlige
bull Verbinden der Punkte (kili) ergibt die Lorenzkurve wobei immer k0=l0=0 und kq=lq=1 gilt
ki
li
0 1
1
34
Konzentrationsmaszlige
bull Interpretation ein Punkt (kili) der Lorenz-kurve gibt an dass auf ki middot 100 der Untersuchungseinheiten li middot 100 des Gesamtbetrages aller Merkmalsaus-praumlgungen entfallen
bull Bsp auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlche
35
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche Betriebendash Abszisse Es wird der Prozentsatz der Betriebe
mit der kleinsten Flaumlche bestimmt dann wird der Prozentsatz der Betriebe mit der zweit-kleinsten Flaumlche bestimmt und zum Prozentsatz der Betriebe mit der kleinsten Flaumlche addiert usw
ndash Ordinate Flaumlchenanteile der Betriebe bzgl der Gesamtflaumlche werden der Flaumlchengroumlszlige nach aufsummiert
36
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeFlaumlchen-groumlszlige
Anzahl der
Betriebe
Flaumlcheng pro
Gruppe
der Betriebe
Flaumlchen-anteile
aufsumm Betriebs-anteile
aufsumm Flaumlchen-anteile
bis 5 ha 21 63 042 0063 042 00635 - 10 ha 9 72 018 0072 060 013510 - 20 ha 9 135 018 0135 078 027020 - 50 ha 8 280 016 028 094 0550gt 50 ha 3 450 006 045 100 1000Gesamt 50 1000 1 1
37
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeLandwirtschaftliche Betriebe
0
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1
aufsummierte Anteile der Betriebe
au
fsu
mm
iert
e F
laumlc
he
na
nte
ile
38
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp Landwirtschaftliche Betriebe
bull Interpretation auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlchendash auf 42 der Betriebe entfallen 63 der Nutzflaumlche
ndash auf 60 der Betriebe entfallen 125 der Nutzflaumlche
ndash auf 78 der Betriebe entfallen 27 der Nutzflaumlche
ndash auf 94 der Betriebe entfallen 55 der Nutzflaumlche
39
Konzentrationsmaszlige
Extremfaumllle
bull Keine Konzentration alle Untersuchungs-einheiten haben den gleichen Anteil am Gesamtbetrag Lorenzkurve ist Diagonale
bull Gesamtbetrag konzentriert sich (fast) vollstaumlndig auf eine Untersuchungseinheit Lorenzkurve liegt (fast) auf Abszisse ist also (fast) senkrecht
40
Konzentrationsmaszlige
Extremfaumllle
0
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
0 02 04 06 08 1
41
Konzentrationsmaszlige
bull Gini-Koeffizient od Lorenzsche Konzentrationsmaszlig (LKM) Maszligzahl fuumlr die Konzentration
bull Definiert als das 2-fache der Flaumlche F zw Diagonale und Lorenzkurve LKM = 2F
bull Es gilt immer 0 LKM (n-1)nbull Standardisierter Gini-Koeffizient
LKMnor = n(n-1) LKM
42
Konzentrationsmaszlige
bull Berechnung von F
ndash k hellip Werte auf Abszisse
ndash l hellip Werte auf Ordinate
ndash q hellip Anzahl der verschiedenen Merkmalsauspraumlgungen
q
1ii 05FF
q
1jjj
iii1-i1ii
i1ii
Ha
Ha
2
kk)l(l
2
kkF
43
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp Landwirtschaftliche Nutzflaumlche
bull LMK = 2F = i2Fi ndash 1 = 16048 ndash 1 = 06408ndash mit i = 1hellip5
bull LKMnor = 5049 middot 06408 = 06539
Flaumlchen-groumlszlige
Flaumlchen-anteile
aufsumm Betriebs-anteile
2 Fi
bis 5 ha 0063 042 0026465 - 10 ha 0072 060 00734410 - 20 ha 0135 078 01863020 - 50 ha 028 094 048630gt 50 ha 045 100 087300Gesamt 1 16455
44
Verhaumlltniszahlen
bull Quotient zweier Maszligzahlen Verhaumlltniszahl
bull Gliederungszahlenndash Man bezieht eine Teilgroumlszlige auf eine ihr
uumlbergeordnete Gesamtgroumlszlige
bull Beziehungszahlenndash Quotient zweier sachlich sinnvoll in
Verbindung stehender Maszligzahlen
bull Index-Zahlenndash Quotient zweier Maszligzahlen gleicher Art
45
Gliederungszahlen
bull Gliederungszahlen
bull Bsp Tagesproduktion 1500 Teile davon 300 fehlerhaft
Dann sind 20 der Tagesproduktion Ausschuss (3001500middot100)
Ausschussanteil ist eine Gliederungszahl
46
Beziehungszahlen
bull Beziehungszahlen
bull Verursachungszahlen
Bezieht Bewegungsmassen auf die zugehoumlrigen Bestandsmassen
bull Entsprechungszahlen
Alle Beziehungszahlen bei denen man Ereignisse nicht auf ihren Bestand beziehen kann
47
Beziehungszahlen
bull Bsp Verursachungszahlen Geburtenziffer
Bestandsmasse Einwohner einer Stadt (E)
Bewegungsmasse Zahl der Lebend-geborenen (L)
G = (LE)1000
Sagt wie viele Geburten auf 1000 Einwohner einer Stadt entfallen
48
Beziehungszahlen
bull Bsp Entsprechungszahlen
Schuumller-Lehrer-Verhaumlltnis
(Zahl der Schuumller) (Zahl der Lehrer)
Sagt wie viele Schuumller (ungefaumlhr) auf eine Lehrer entfallen Dies entspricht aber iA nicht der durchschnittlichen Klassengroumlszlige
49
Indexzahlen
bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt
bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine
realen Sachverhalt
bull (Zusammengesetzte) Indexzahlenndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen
fiktiven Zustand beschreibt
50
Indexzahlen
bull Einfache Indizes
bull Reihe von Maszligzahlen die man in Beziehung zueinander setzen will
x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0
Dann ist
I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2
eine Zeitreihe einfacher Indizes
51
Indexzahlen
bull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziert
bull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0 I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87
Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden
Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor
bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90
Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen
52
Indexzahlen
bull UmbasierenGegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten
bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt
0k
0t
0k
0t
k
tkt I
I
xx
xx
x
xI
53
Indexzahlen
bull Bsp Umsatz fuumlr Jahre 1990 bis 1998
Jahr Umsatz xt x0 xt x4
1990 1240 100 1081991 1210 098 1051992 1180 095 1031993 1190 096 1031994 1150 093 1001995 1080 087 0941996 1120 090 0971997 1130 091 0981998 1200 097 104
54
Indexzahlen
bull Umbasieren Index von 1996 zur Basisperiode 1990 sollen in Index zur Basisperiode 1994 umgerechnet werden ndash I19901996 = 090 (Basisperiode 1990)
ndash I19901994 = 093 (Basisperiode 1990)
ndash I19941996 = 090 093 = 097 (Basisperiode 1994)
bull Verkettung Weiterer Wert fuumlr 1998 ndash I19901998 = I19901994 middot I19941998 = 093 middot 104 = 097
55
Indexzahlen
bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)
bull Betrachte Warenkorb
n Waren zu einem Zeitpunkt t
Mengen qt1qtn
Preise pt1ptn
Wert des Warenkorbes in Periode t
n
1ititiqp
56
Indexzahlen
bull Wertindex
Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0
n
1i0i0i
n
1ititi
0t
qp
qpW
57
Indexzahlen
bull Bsp Durchschnittlicher Verbrauch an Fleisch aller privaten Haushalte in einer Gemeinde Basismonat 1 Berichtsmonat 12 ndash (Mengen in g Preise in DMkg) Fleisch p0i q0i p12i q12i
F1 575 1450 62 1410F2 1225 1260 1355 1200F3 241 50 248 50F4 178 210 181 215F5 455 2450 46 2470F6 1025 1310 104 1230F7 89 980 91 930
gesamt 7710 7505
58
Indexzahlen
bull Bsp Wertindex n 7
ti ti 12i 12ii 1 i 1
0t n 7
0i 0i 0i 0ii 1 i 1
p q p q627505
W 10119620125p q p q
Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i
F1 575 1450 62 1410 83375 8742F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260F3 241 50 248 50 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915F5 455 2450 46 2470 111475 11362F6 1025 1310 104 1230 134275 12792F7 89 980 91 930 8722 8463
gesamt 7710 7505 620125 627505
59
Indexzahlen
bull Bsp Wertindex ndash 100 middot W012 = 100 middot 10119 = 10119
ndash Dh der tatsaumlchliche Aufwand fuumlr Fleisch fuumlr die privaten Haushalte ist vom Basismonat bis zum Berichtsmonat um 119 gestiegen
ndash Es ist hier nicht beruumlcksichtigt dass der durchschnittliche Verbrauch im Berichtsmonat um 205g geringer ist
60
Indexzahlen
bull Preisindizes
bull Aussagen uumlber die Preisentwicklung
bull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche Mengenschema verwenden
61
Indexzahlen
bull Preisindex nach Paasche
bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
62
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Paasche
Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i p0iq12i p12iq0i
F1 575 1450 62 1410 83375 8742 81075 8990F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260 14700 17073F3 241 50 248 50 1205 1240 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915 3827 3801F5 455 2450 46 2470 111475 11362 112385 11270F6 1025 1310 104 1230 134275 12792 126075 13624F7 89 980 91 930 8722 8463 8277 8918
gesamt 7710 7505 620125 627505 599625 64916
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
63
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Paasche
bull Dh nimmt man fuumlr beide Monaten den durchschnittlichen Verbrauch an Fleisch im Berichtsmonat als Mengenschema (Warenkorb) an so sind die Preise in diesem Zeitraum um 465 gestiegen
65104559962
562750100
qp
qp100
qp
qpP100 7
1i12i0i
7
1i12i12i
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
64
Indexzahlen
bull Preisindex nach Laspeyres
bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
qp
qpP
65
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Laspeyres
bull Dh Fuumlr die im Basismonat verbrauchten Mengen an Fleisch muss man in der Berichtsperiode 468 mehr Geld ausgeben
68104562012
64916100
qp
qp100
qp
qpP100 7
1i0i0i
7
1i0i12i
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
66
Indexzahlen
bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres
bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)
bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)
bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden
bull Fishersche Idealindex LPF III
67
Indexzahlen
bull Mengenindizes
bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung (unabhaumlngig von der Preisentwicklung)
68
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Paasche
bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
qp
qpQ
69
Indexzahlen
bull Bsp Mengenindex nach Paasche
bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen im Berichtsmonat ist um 334 gesunken
669664916
562750100
qp
qp100
qp
qpQ100 7
1i0i12i
7
1i12i12i
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
70
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Laspeyres
bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
qp
qpQ
71
Indexzahlen
bull Bsp Mengenindex nach Laspeyres
bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen zum Basismonat ist um 331 gesunken
6996562012
559962100
qp
qp100
qp
qpQ100 7
1i0i0i
7
1i12i0i
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
17
MAD
bull Haumlufigkeitsverteilung der Datenbull MAD bezogen auf Mittelwert μ
bull MAD aus Haumlufigkeitsverteilung von klassifizierte Daten ndash Merkmalswerte xi durch Klassenmitten xiacute
ersetzen
i
n
1ii h|μx|
n
1MAD
i
n
1ii f|μx|MAD
18
Spannweite (Range)
bull Abstand zw dem groumlszligten und dem kleinsten Wert
bull Einzelwerte der Groumlszlige nach ordnen a[1]hellipa[n]
R = a[n] - a[1]
bull Haumlufigkeitsverteilung von k Merkmalsauspraumlgungen
R = xk - x1
bull Haumlufigkeitsverteilung von klassifizierten Daten
R = xko - x1
u
bull Spannweite ist instabil gegenuumlber Ausreiszligern
19
Quartilsabstand
bull Quartile Q1 Q2 (=Median) Q3 teilen die Gesamtheit in 4 gleich groszlige Teile
bull α-Quantil
a(k) falls nα keine ganze Zahl (k die auf nα folgende ganze Zahl)
aα= 12 (a(k)+a(k+1)) falls nα ganze Zahl k=nα
bull Quartilsabstand (Interquartile Range) definiert als Spannweite der 50 mittleren Werte
QA = Q3 ndash Q1
bull Eigenschaft stabil gegenuumlber Ausreiszligern
20
Deskriptive Analyse Box-Plot
bull Box-Plot ndash Box beinhaltet 50 der Daten (Grenzen 1
und 3 Quartil) Darstellung des Medians ndash Whiskers maximal 15-mal die Laumlnge der Boxndash Ausreiszliger Werte auszligerhalb der Whiskers
bull Ausreiszliger
bull Krasse Ausreiszliger
21
38N =
GEWICHT
110
100
90
80
70
60
50
40
937
Deskriptive Analyse Box-Plot
bull Box-Plot grafische Darstellung einer Beobachtungsreihe (Verteilung und Struktur)
38N =
GROEszligE
210
200
190
180
170
160
150
140
22
Deskriptive Analyse Box-Plot
bull Box-Plot fuumlr Vergleich von 2 Messreihen
1820N =
SEX
mw
GR
OE
szligE
210
200
190
180
170
160
150
140
28
9
23
Schiefe
bull Gibt Richtung (rechts- oder linksschief) und Groumlszligenordnung der Schiefe einer eingipfligen Haumlufigkeitsverteilung an
lt 0 linksschiefe
g1 = 0 symmetrisch
gt 0 rechtsschiefebull Kein direkter Streuungsparameter
3n
1i
2i
n
1i
3i
1
)a(an1
)a(an1
g
24
Schiefe
bull Schiefe einer Haumlufigkeitsverteilung aus gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten
bull Berechnung mit Klassenmittel und Klassenmitte kann zu unterschiedlichen Ergebnissen fuumlhren
3k
1ii
2i
i
k
1i
3i
1
h)aa(n1
h)aa(n1
g
3k
1ii
2i
i
k
1i
3i
1
h)a(mn1
h)a(mn1
g
25
Schiefe
bull Linksschiefe Verteilung g1 lt 0Linksschiefe Verteilung
Auspraumlgung
Hauml
ufi
gke
it
26
Schiefe
bull Symmetrische Verteilung g1 = 0Symmetrische Verteilung
Auspraumlgung
Hauml
ufi
gke
it
27
Schiefe
bull Rechtschiefe Verteilung g1 gt 0Rechtsschiefe Verteilung
Auspraumlgung
Haumlu
fig
keit
28
Woumllbung
bull Woumllbung od Kurtosis od Exzeszlig Maszligzahl fuumlr eingipflige Haumlufigkeitsvt
bull Gibt an ob (bei gleicher Varianz) das absolute Maximum der Haumlufigkeitsvt groumlszliger als bei der Dichte der Normalvt ist
3
)a(an1
)a(an1
g 2n
1i
2i
n
1i
4i
2
29
Woumllbung
lt 0 abs Max kleiner als bei N-Vt
g2 = 0 Normalverteilung
gt 0 abs Max groumlszliger als bei N-Vt
bull Woumllbung einer Haumlufigkeitsverteilung aus gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten
3
h)aa(n1
h)aa(n1
g 2n
1ii
2i
k
1ii
4i
2
3
h)a(mn1
h)a(mn1
g 2n
1ii
2i
k
1ii
4i
2
30
Konzentrationsmaszlige
bull Metrisch skaliertes Merkmal X mit nur positiven Auspraumlgungen
bull Frage Wie teilt sich die Summe der Merkmalswerte x1hellipxn in der Beobachtungsreihe auf die Untersuchungs-einheiten auf
bull Bsp n landwirtschaftliche Betriebe Groumlszlige der Nutzflaumlchen x1xn Wie teilt sich die gesamte Nutzflaumlche auf die einzelnen Betriebe auf
31
Konzentrationsmaszlige
bull n Merkmalswerte werden durch q Merkmalsauspraumlgungen a1ltltaq mit absoluten- und relativen Haumlufigkeiten hi bzw fi bestimmt
bull Gesamtbetrag der Merkmalswerte in der Beobachtungsreihe
n
1iii
n
1jj hax
32
Konzentrationsmaszlige
bull Lorenzkurve Grafische Darstellung der Konzentration der Merkmalswerte
bull Koordinatenkreuz ndash Abszisse es werden die nach der Groumlszlige der Merkmals-
auspraumlgung geordneten relativen Haumlufigkeiten aufsummiert
ndash Ordinate Auspraumlgungen werden der Groumlszlige nach
aufsummiert und auf Summe aller Auspraumlgungen bezogen
q1ifuumlrfn
hk
i
1jj
i
1j
ji
q1ifuumlr hahalq
1jjj
i
1jjji
33
Konzentrationsmaszlige
bull Verbinden der Punkte (kili) ergibt die Lorenzkurve wobei immer k0=l0=0 und kq=lq=1 gilt
ki
li
0 1
1
34
Konzentrationsmaszlige
bull Interpretation ein Punkt (kili) der Lorenz-kurve gibt an dass auf ki middot 100 der Untersuchungseinheiten li middot 100 des Gesamtbetrages aller Merkmalsaus-praumlgungen entfallen
bull Bsp auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlche
35
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche Betriebendash Abszisse Es wird der Prozentsatz der Betriebe
mit der kleinsten Flaumlche bestimmt dann wird der Prozentsatz der Betriebe mit der zweit-kleinsten Flaumlche bestimmt und zum Prozentsatz der Betriebe mit der kleinsten Flaumlche addiert usw
ndash Ordinate Flaumlchenanteile der Betriebe bzgl der Gesamtflaumlche werden der Flaumlchengroumlszlige nach aufsummiert
36
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeFlaumlchen-groumlszlige
Anzahl der
Betriebe
Flaumlcheng pro
Gruppe
der Betriebe
Flaumlchen-anteile
aufsumm Betriebs-anteile
aufsumm Flaumlchen-anteile
bis 5 ha 21 63 042 0063 042 00635 - 10 ha 9 72 018 0072 060 013510 - 20 ha 9 135 018 0135 078 027020 - 50 ha 8 280 016 028 094 0550gt 50 ha 3 450 006 045 100 1000Gesamt 50 1000 1 1
37
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeLandwirtschaftliche Betriebe
0
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1
aufsummierte Anteile der Betriebe
au
fsu
mm
iert
e F
laumlc
he
na
nte
ile
38
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp Landwirtschaftliche Betriebe
bull Interpretation auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlchendash auf 42 der Betriebe entfallen 63 der Nutzflaumlche
ndash auf 60 der Betriebe entfallen 125 der Nutzflaumlche
ndash auf 78 der Betriebe entfallen 27 der Nutzflaumlche
ndash auf 94 der Betriebe entfallen 55 der Nutzflaumlche
39
Konzentrationsmaszlige
Extremfaumllle
bull Keine Konzentration alle Untersuchungs-einheiten haben den gleichen Anteil am Gesamtbetrag Lorenzkurve ist Diagonale
bull Gesamtbetrag konzentriert sich (fast) vollstaumlndig auf eine Untersuchungseinheit Lorenzkurve liegt (fast) auf Abszisse ist also (fast) senkrecht
40
Konzentrationsmaszlige
Extremfaumllle
0
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
0 02 04 06 08 1
41
Konzentrationsmaszlige
bull Gini-Koeffizient od Lorenzsche Konzentrationsmaszlig (LKM) Maszligzahl fuumlr die Konzentration
bull Definiert als das 2-fache der Flaumlche F zw Diagonale und Lorenzkurve LKM = 2F
bull Es gilt immer 0 LKM (n-1)nbull Standardisierter Gini-Koeffizient
LKMnor = n(n-1) LKM
42
Konzentrationsmaszlige
bull Berechnung von F
ndash k hellip Werte auf Abszisse
ndash l hellip Werte auf Ordinate
ndash q hellip Anzahl der verschiedenen Merkmalsauspraumlgungen
q
1ii 05FF
q
1jjj
iii1-i1ii
i1ii
Ha
Ha
2
kk)l(l
2
kkF
43
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp Landwirtschaftliche Nutzflaumlche
bull LMK = 2F = i2Fi ndash 1 = 16048 ndash 1 = 06408ndash mit i = 1hellip5
bull LKMnor = 5049 middot 06408 = 06539
Flaumlchen-groumlszlige
Flaumlchen-anteile
aufsumm Betriebs-anteile
2 Fi
bis 5 ha 0063 042 0026465 - 10 ha 0072 060 00734410 - 20 ha 0135 078 01863020 - 50 ha 028 094 048630gt 50 ha 045 100 087300Gesamt 1 16455
44
Verhaumlltniszahlen
bull Quotient zweier Maszligzahlen Verhaumlltniszahl
bull Gliederungszahlenndash Man bezieht eine Teilgroumlszlige auf eine ihr
uumlbergeordnete Gesamtgroumlszlige
bull Beziehungszahlenndash Quotient zweier sachlich sinnvoll in
Verbindung stehender Maszligzahlen
bull Index-Zahlenndash Quotient zweier Maszligzahlen gleicher Art
45
Gliederungszahlen
bull Gliederungszahlen
bull Bsp Tagesproduktion 1500 Teile davon 300 fehlerhaft
Dann sind 20 der Tagesproduktion Ausschuss (3001500middot100)
Ausschussanteil ist eine Gliederungszahl
46
Beziehungszahlen
bull Beziehungszahlen
bull Verursachungszahlen
Bezieht Bewegungsmassen auf die zugehoumlrigen Bestandsmassen
bull Entsprechungszahlen
Alle Beziehungszahlen bei denen man Ereignisse nicht auf ihren Bestand beziehen kann
47
Beziehungszahlen
bull Bsp Verursachungszahlen Geburtenziffer
Bestandsmasse Einwohner einer Stadt (E)
Bewegungsmasse Zahl der Lebend-geborenen (L)
G = (LE)1000
Sagt wie viele Geburten auf 1000 Einwohner einer Stadt entfallen
48
Beziehungszahlen
bull Bsp Entsprechungszahlen
Schuumller-Lehrer-Verhaumlltnis
(Zahl der Schuumller) (Zahl der Lehrer)
Sagt wie viele Schuumller (ungefaumlhr) auf eine Lehrer entfallen Dies entspricht aber iA nicht der durchschnittlichen Klassengroumlszlige
49
Indexzahlen
bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt
bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine
realen Sachverhalt
bull (Zusammengesetzte) Indexzahlenndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen
fiktiven Zustand beschreibt
50
Indexzahlen
bull Einfache Indizes
bull Reihe von Maszligzahlen die man in Beziehung zueinander setzen will
x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0
Dann ist
I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2
eine Zeitreihe einfacher Indizes
51
Indexzahlen
bull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziert
bull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0 I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87
Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden
Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor
bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90
Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen
52
Indexzahlen
bull UmbasierenGegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten
bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt
0k
0t
0k
0t
k
tkt I
I
xx
xx
x
xI
53
Indexzahlen
bull Bsp Umsatz fuumlr Jahre 1990 bis 1998
Jahr Umsatz xt x0 xt x4
1990 1240 100 1081991 1210 098 1051992 1180 095 1031993 1190 096 1031994 1150 093 1001995 1080 087 0941996 1120 090 0971997 1130 091 0981998 1200 097 104
54
Indexzahlen
bull Umbasieren Index von 1996 zur Basisperiode 1990 sollen in Index zur Basisperiode 1994 umgerechnet werden ndash I19901996 = 090 (Basisperiode 1990)
ndash I19901994 = 093 (Basisperiode 1990)
ndash I19941996 = 090 093 = 097 (Basisperiode 1994)
bull Verkettung Weiterer Wert fuumlr 1998 ndash I19901998 = I19901994 middot I19941998 = 093 middot 104 = 097
55
Indexzahlen
bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)
bull Betrachte Warenkorb
n Waren zu einem Zeitpunkt t
Mengen qt1qtn
Preise pt1ptn
Wert des Warenkorbes in Periode t
n
1ititiqp
56
Indexzahlen
bull Wertindex
Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0
n
1i0i0i
n
1ititi
0t
qp
qpW
57
Indexzahlen
bull Bsp Durchschnittlicher Verbrauch an Fleisch aller privaten Haushalte in einer Gemeinde Basismonat 1 Berichtsmonat 12 ndash (Mengen in g Preise in DMkg) Fleisch p0i q0i p12i q12i
F1 575 1450 62 1410F2 1225 1260 1355 1200F3 241 50 248 50F4 178 210 181 215F5 455 2450 46 2470F6 1025 1310 104 1230F7 89 980 91 930
gesamt 7710 7505
58
Indexzahlen
bull Bsp Wertindex n 7
ti ti 12i 12ii 1 i 1
0t n 7
0i 0i 0i 0ii 1 i 1
p q p q627505
W 10119620125p q p q
Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i
F1 575 1450 62 1410 83375 8742F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260F3 241 50 248 50 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915F5 455 2450 46 2470 111475 11362F6 1025 1310 104 1230 134275 12792F7 89 980 91 930 8722 8463
gesamt 7710 7505 620125 627505
59
Indexzahlen
bull Bsp Wertindex ndash 100 middot W012 = 100 middot 10119 = 10119
ndash Dh der tatsaumlchliche Aufwand fuumlr Fleisch fuumlr die privaten Haushalte ist vom Basismonat bis zum Berichtsmonat um 119 gestiegen
ndash Es ist hier nicht beruumlcksichtigt dass der durchschnittliche Verbrauch im Berichtsmonat um 205g geringer ist
60
Indexzahlen
bull Preisindizes
bull Aussagen uumlber die Preisentwicklung
bull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche Mengenschema verwenden
61
Indexzahlen
bull Preisindex nach Paasche
bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
62
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Paasche
Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i p0iq12i p12iq0i
F1 575 1450 62 1410 83375 8742 81075 8990F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260 14700 17073F3 241 50 248 50 1205 1240 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915 3827 3801F5 455 2450 46 2470 111475 11362 112385 11270F6 1025 1310 104 1230 134275 12792 126075 13624F7 89 980 91 930 8722 8463 8277 8918
gesamt 7710 7505 620125 627505 599625 64916
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
63
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Paasche
bull Dh nimmt man fuumlr beide Monaten den durchschnittlichen Verbrauch an Fleisch im Berichtsmonat als Mengenschema (Warenkorb) an so sind die Preise in diesem Zeitraum um 465 gestiegen
65104559962
562750100
qp
qp100
qp
qpP100 7
1i12i0i
7
1i12i12i
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
64
Indexzahlen
bull Preisindex nach Laspeyres
bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
qp
qpP
65
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Laspeyres
bull Dh Fuumlr die im Basismonat verbrauchten Mengen an Fleisch muss man in der Berichtsperiode 468 mehr Geld ausgeben
68104562012
64916100
qp
qp100
qp
qpP100 7
1i0i0i
7
1i0i12i
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
66
Indexzahlen
bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres
bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)
bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)
bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden
bull Fishersche Idealindex LPF III
67
Indexzahlen
bull Mengenindizes
bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung (unabhaumlngig von der Preisentwicklung)
68
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Paasche
bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
qp
qpQ
69
Indexzahlen
bull Bsp Mengenindex nach Paasche
bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen im Berichtsmonat ist um 334 gesunken
669664916
562750100
qp
qp100
qp
qpQ100 7
1i0i12i
7
1i12i12i
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
70
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Laspeyres
bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
qp
qpQ
71
Indexzahlen
bull Bsp Mengenindex nach Laspeyres
bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen zum Basismonat ist um 331 gesunken
6996562012
559962100
qp
qp100
qp
qpQ100 7
1i0i0i
7
1i12i0i
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
18
Spannweite (Range)
bull Abstand zw dem groumlszligten und dem kleinsten Wert
bull Einzelwerte der Groumlszlige nach ordnen a[1]hellipa[n]
R = a[n] - a[1]
bull Haumlufigkeitsverteilung von k Merkmalsauspraumlgungen
R = xk - x1
bull Haumlufigkeitsverteilung von klassifizierten Daten
R = xko - x1
u
bull Spannweite ist instabil gegenuumlber Ausreiszligern
19
Quartilsabstand
bull Quartile Q1 Q2 (=Median) Q3 teilen die Gesamtheit in 4 gleich groszlige Teile
bull α-Quantil
a(k) falls nα keine ganze Zahl (k die auf nα folgende ganze Zahl)
aα= 12 (a(k)+a(k+1)) falls nα ganze Zahl k=nα
bull Quartilsabstand (Interquartile Range) definiert als Spannweite der 50 mittleren Werte
QA = Q3 ndash Q1
bull Eigenschaft stabil gegenuumlber Ausreiszligern
20
Deskriptive Analyse Box-Plot
bull Box-Plot ndash Box beinhaltet 50 der Daten (Grenzen 1
und 3 Quartil) Darstellung des Medians ndash Whiskers maximal 15-mal die Laumlnge der Boxndash Ausreiszliger Werte auszligerhalb der Whiskers
bull Ausreiszliger
bull Krasse Ausreiszliger
21
38N =
GEWICHT
110
100
90
80
70
60
50
40
937
Deskriptive Analyse Box-Plot
bull Box-Plot grafische Darstellung einer Beobachtungsreihe (Verteilung und Struktur)
38N =
GROEszligE
210
200
190
180
170
160
150
140
22
Deskriptive Analyse Box-Plot
bull Box-Plot fuumlr Vergleich von 2 Messreihen
1820N =
SEX
mw
GR
OE
szligE
210
200
190
180
170
160
150
140
28
9
23
Schiefe
bull Gibt Richtung (rechts- oder linksschief) und Groumlszligenordnung der Schiefe einer eingipfligen Haumlufigkeitsverteilung an
lt 0 linksschiefe
g1 = 0 symmetrisch
gt 0 rechtsschiefebull Kein direkter Streuungsparameter
3n
1i
2i
n
1i
3i
1
)a(an1
)a(an1
g
24
Schiefe
bull Schiefe einer Haumlufigkeitsverteilung aus gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten
bull Berechnung mit Klassenmittel und Klassenmitte kann zu unterschiedlichen Ergebnissen fuumlhren
3k
1ii
2i
i
k
1i
3i
1
h)aa(n1
h)aa(n1
g
3k
1ii
2i
i
k
1i
3i
1
h)a(mn1
h)a(mn1
g
25
Schiefe
bull Linksschiefe Verteilung g1 lt 0Linksschiefe Verteilung
Auspraumlgung
Hauml
ufi
gke
it
26
Schiefe
bull Symmetrische Verteilung g1 = 0Symmetrische Verteilung
Auspraumlgung
Hauml
ufi
gke
it
27
Schiefe
bull Rechtschiefe Verteilung g1 gt 0Rechtsschiefe Verteilung
Auspraumlgung
Haumlu
fig
keit
28
Woumllbung
bull Woumllbung od Kurtosis od Exzeszlig Maszligzahl fuumlr eingipflige Haumlufigkeitsvt
bull Gibt an ob (bei gleicher Varianz) das absolute Maximum der Haumlufigkeitsvt groumlszliger als bei der Dichte der Normalvt ist
3
)a(an1
)a(an1
g 2n
1i
2i
n
1i
4i
2
29
Woumllbung
lt 0 abs Max kleiner als bei N-Vt
g2 = 0 Normalverteilung
gt 0 abs Max groumlszliger als bei N-Vt
bull Woumllbung einer Haumlufigkeitsverteilung aus gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten
3
h)aa(n1
h)aa(n1
g 2n
1ii
2i
k
1ii
4i
2
3
h)a(mn1
h)a(mn1
g 2n
1ii
2i
k
1ii
4i
2
30
Konzentrationsmaszlige
bull Metrisch skaliertes Merkmal X mit nur positiven Auspraumlgungen
bull Frage Wie teilt sich die Summe der Merkmalswerte x1hellipxn in der Beobachtungsreihe auf die Untersuchungs-einheiten auf
bull Bsp n landwirtschaftliche Betriebe Groumlszlige der Nutzflaumlchen x1xn Wie teilt sich die gesamte Nutzflaumlche auf die einzelnen Betriebe auf
31
Konzentrationsmaszlige
bull n Merkmalswerte werden durch q Merkmalsauspraumlgungen a1ltltaq mit absoluten- und relativen Haumlufigkeiten hi bzw fi bestimmt
bull Gesamtbetrag der Merkmalswerte in der Beobachtungsreihe
n
1iii
n
1jj hax
32
Konzentrationsmaszlige
bull Lorenzkurve Grafische Darstellung der Konzentration der Merkmalswerte
bull Koordinatenkreuz ndash Abszisse es werden die nach der Groumlszlige der Merkmals-
auspraumlgung geordneten relativen Haumlufigkeiten aufsummiert
ndash Ordinate Auspraumlgungen werden der Groumlszlige nach
aufsummiert und auf Summe aller Auspraumlgungen bezogen
q1ifuumlrfn
hk
i
1jj
i
1j
ji
q1ifuumlr hahalq
1jjj
i
1jjji
33
Konzentrationsmaszlige
bull Verbinden der Punkte (kili) ergibt die Lorenzkurve wobei immer k0=l0=0 und kq=lq=1 gilt
ki
li
0 1
1
34
Konzentrationsmaszlige
bull Interpretation ein Punkt (kili) der Lorenz-kurve gibt an dass auf ki middot 100 der Untersuchungseinheiten li middot 100 des Gesamtbetrages aller Merkmalsaus-praumlgungen entfallen
bull Bsp auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlche
35
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche Betriebendash Abszisse Es wird der Prozentsatz der Betriebe
mit der kleinsten Flaumlche bestimmt dann wird der Prozentsatz der Betriebe mit der zweit-kleinsten Flaumlche bestimmt und zum Prozentsatz der Betriebe mit der kleinsten Flaumlche addiert usw
ndash Ordinate Flaumlchenanteile der Betriebe bzgl der Gesamtflaumlche werden der Flaumlchengroumlszlige nach aufsummiert
36
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeFlaumlchen-groumlszlige
Anzahl der
Betriebe
Flaumlcheng pro
Gruppe
der Betriebe
Flaumlchen-anteile
aufsumm Betriebs-anteile
aufsumm Flaumlchen-anteile
bis 5 ha 21 63 042 0063 042 00635 - 10 ha 9 72 018 0072 060 013510 - 20 ha 9 135 018 0135 078 027020 - 50 ha 8 280 016 028 094 0550gt 50 ha 3 450 006 045 100 1000Gesamt 50 1000 1 1
37
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeLandwirtschaftliche Betriebe
0
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1
aufsummierte Anteile der Betriebe
au
fsu
mm
iert
e F
laumlc
he
na
nte
ile
38
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp Landwirtschaftliche Betriebe
bull Interpretation auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlchendash auf 42 der Betriebe entfallen 63 der Nutzflaumlche
ndash auf 60 der Betriebe entfallen 125 der Nutzflaumlche
ndash auf 78 der Betriebe entfallen 27 der Nutzflaumlche
ndash auf 94 der Betriebe entfallen 55 der Nutzflaumlche
39
Konzentrationsmaszlige
Extremfaumllle
bull Keine Konzentration alle Untersuchungs-einheiten haben den gleichen Anteil am Gesamtbetrag Lorenzkurve ist Diagonale
bull Gesamtbetrag konzentriert sich (fast) vollstaumlndig auf eine Untersuchungseinheit Lorenzkurve liegt (fast) auf Abszisse ist also (fast) senkrecht
40
Konzentrationsmaszlige
Extremfaumllle
0
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
0 02 04 06 08 1
41
Konzentrationsmaszlige
bull Gini-Koeffizient od Lorenzsche Konzentrationsmaszlig (LKM) Maszligzahl fuumlr die Konzentration
bull Definiert als das 2-fache der Flaumlche F zw Diagonale und Lorenzkurve LKM = 2F
bull Es gilt immer 0 LKM (n-1)nbull Standardisierter Gini-Koeffizient
LKMnor = n(n-1) LKM
42
Konzentrationsmaszlige
bull Berechnung von F
ndash k hellip Werte auf Abszisse
ndash l hellip Werte auf Ordinate
ndash q hellip Anzahl der verschiedenen Merkmalsauspraumlgungen
q
1ii 05FF
q
1jjj
iii1-i1ii
i1ii
Ha
Ha
2
kk)l(l
2
kkF
43
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp Landwirtschaftliche Nutzflaumlche
bull LMK = 2F = i2Fi ndash 1 = 16048 ndash 1 = 06408ndash mit i = 1hellip5
bull LKMnor = 5049 middot 06408 = 06539
Flaumlchen-groumlszlige
Flaumlchen-anteile
aufsumm Betriebs-anteile
2 Fi
bis 5 ha 0063 042 0026465 - 10 ha 0072 060 00734410 - 20 ha 0135 078 01863020 - 50 ha 028 094 048630gt 50 ha 045 100 087300Gesamt 1 16455
44
Verhaumlltniszahlen
bull Quotient zweier Maszligzahlen Verhaumlltniszahl
bull Gliederungszahlenndash Man bezieht eine Teilgroumlszlige auf eine ihr
uumlbergeordnete Gesamtgroumlszlige
bull Beziehungszahlenndash Quotient zweier sachlich sinnvoll in
Verbindung stehender Maszligzahlen
bull Index-Zahlenndash Quotient zweier Maszligzahlen gleicher Art
45
Gliederungszahlen
bull Gliederungszahlen
bull Bsp Tagesproduktion 1500 Teile davon 300 fehlerhaft
Dann sind 20 der Tagesproduktion Ausschuss (3001500middot100)
Ausschussanteil ist eine Gliederungszahl
46
Beziehungszahlen
bull Beziehungszahlen
bull Verursachungszahlen
Bezieht Bewegungsmassen auf die zugehoumlrigen Bestandsmassen
bull Entsprechungszahlen
Alle Beziehungszahlen bei denen man Ereignisse nicht auf ihren Bestand beziehen kann
47
Beziehungszahlen
bull Bsp Verursachungszahlen Geburtenziffer
Bestandsmasse Einwohner einer Stadt (E)
Bewegungsmasse Zahl der Lebend-geborenen (L)
G = (LE)1000
Sagt wie viele Geburten auf 1000 Einwohner einer Stadt entfallen
48
Beziehungszahlen
bull Bsp Entsprechungszahlen
Schuumller-Lehrer-Verhaumlltnis
(Zahl der Schuumller) (Zahl der Lehrer)
Sagt wie viele Schuumller (ungefaumlhr) auf eine Lehrer entfallen Dies entspricht aber iA nicht der durchschnittlichen Klassengroumlszlige
49
Indexzahlen
bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt
bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine
realen Sachverhalt
bull (Zusammengesetzte) Indexzahlenndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen
fiktiven Zustand beschreibt
50
Indexzahlen
bull Einfache Indizes
bull Reihe von Maszligzahlen die man in Beziehung zueinander setzen will
x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0
Dann ist
I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2
eine Zeitreihe einfacher Indizes
51
Indexzahlen
bull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziert
bull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0 I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87
Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden
Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor
bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90
Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen
52
Indexzahlen
bull UmbasierenGegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten
bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt
0k
0t
0k
0t
k
tkt I
I
xx
xx
x
xI
53
Indexzahlen
bull Bsp Umsatz fuumlr Jahre 1990 bis 1998
Jahr Umsatz xt x0 xt x4
1990 1240 100 1081991 1210 098 1051992 1180 095 1031993 1190 096 1031994 1150 093 1001995 1080 087 0941996 1120 090 0971997 1130 091 0981998 1200 097 104
54
Indexzahlen
bull Umbasieren Index von 1996 zur Basisperiode 1990 sollen in Index zur Basisperiode 1994 umgerechnet werden ndash I19901996 = 090 (Basisperiode 1990)
ndash I19901994 = 093 (Basisperiode 1990)
ndash I19941996 = 090 093 = 097 (Basisperiode 1994)
bull Verkettung Weiterer Wert fuumlr 1998 ndash I19901998 = I19901994 middot I19941998 = 093 middot 104 = 097
55
Indexzahlen
bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)
bull Betrachte Warenkorb
n Waren zu einem Zeitpunkt t
Mengen qt1qtn
Preise pt1ptn
Wert des Warenkorbes in Periode t
n
1ititiqp
56
Indexzahlen
bull Wertindex
Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0
n
1i0i0i
n
1ititi
0t
qp
qpW
57
Indexzahlen
bull Bsp Durchschnittlicher Verbrauch an Fleisch aller privaten Haushalte in einer Gemeinde Basismonat 1 Berichtsmonat 12 ndash (Mengen in g Preise in DMkg) Fleisch p0i q0i p12i q12i
F1 575 1450 62 1410F2 1225 1260 1355 1200F3 241 50 248 50F4 178 210 181 215F5 455 2450 46 2470F6 1025 1310 104 1230F7 89 980 91 930
gesamt 7710 7505
58
Indexzahlen
bull Bsp Wertindex n 7
ti ti 12i 12ii 1 i 1
0t n 7
0i 0i 0i 0ii 1 i 1
p q p q627505
W 10119620125p q p q
Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i
F1 575 1450 62 1410 83375 8742F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260F3 241 50 248 50 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915F5 455 2450 46 2470 111475 11362F6 1025 1310 104 1230 134275 12792F7 89 980 91 930 8722 8463
gesamt 7710 7505 620125 627505
59
Indexzahlen
bull Bsp Wertindex ndash 100 middot W012 = 100 middot 10119 = 10119
ndash Dh der tatsaumlchliche Aufwand fuumlr Fleisch fuumlr die privaten Haushalte ist vom Basismonat bis zum Berichtsmonat um 119 gestiegen
ndash Es ist hier nicht beruumlcksichtigt dass der durchschnittliche Verbrauch im Berichtsmonat um 205g geringer ist
60
Indexzahlen
bull Preisindizes
bull Aussagen uumlber die Preisentwicklung
bull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche Mengenschema verwenden
61
Indexzahlen
bull Preisindex nach Paasche
bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
62
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Paasche
Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i p0iq12i p12iq0i
F1 575 1450 62 1410 83375 8742 81075 8990F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260 14700 17073F3 241 50 248 50 1205 1240 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915 3827 3801F5 455 2450 46 2470 111475 11362 112385 11270F6 1025 1310 104 1230 134275 12792 126075 13624F7 89 980 91 930 8722 8463 8277 8918
gesamt 7710 7505 620125 627505 599625 64916
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
63
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Paasche
bull Dh nimmt man fuumlr beide Monaten den durchschnittlichen Verbrauch an Fleisch im Berichtsmonat als Mengenschema (Warenkorb) an so sind die Preise in diesem Zeitraum um 465 gestiegen
65104559962
562750100
qp
qp100
qp
qpP100 7
1i12i0i
7
1i12i12i
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
64
Indexzahlen
bull Preisindex nach Laspeyres
bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
qp
qpP
65
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Laspeyres
bull Dh Fuumlr die im Basismonat verbrauchten Mengen an Fleisch muss man in der Berichtsperiode 468 mehr Geld ausgeben
68104562012
64916100
qp
qp100
qp
qpP100 7
1i0i0i
7
1i0i12i
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
66
Indexzahlen
bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres
bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)
bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)
bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden
bull Fishersche Idealindex LPF III
67
Indexzahlen
bull Mengenindizes
bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung (unabhaumlngig von der Preisentwicklung)
68
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Paasche
bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
qp
qpQ
69
Indexzahlen
bull Bsp Mengenindex nach Paasche
bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen im Berichtsmonat ist um 334 gesunken
669664916
562750100
qp
qp100
qp
qpQ100 7
1i0i12i
7
1i12i12i
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
70
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Laspeyres
bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
qp
qpQ
71
Indexzahlen
bull Bsp Mengenindex nach Laspeyres
bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen zum Basismonat ist um 331 gesunken
6996562012
559962100
qp
qp100
qp
qpQ100 7
1i0i0i
7
1i12i0i
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
19
Quartilsabstand
bull Quartile Q1 Q2 (=Median) Q3 teilen die Gesamtheit in 4 gleich groszlige Teile
bull α-Quantil
a(k) falls nα keine ganze Zahl (k die auf nα folgende ganze Zahl)
aα= 12 (a(k)+a(k+1)) falls nα ganze Zahl k=nα
bull Quartilsabstand (Interquartile Range) definiert als Spannweite der 50 mittleren Werte
QA = Q3 ndash Q1
bull Eigenschaft stabil gegenuumlber Ausreiszligern
20
Deskriptive Analyse Box-Plot
bull Box-Plot ndash Box beinhaltet 50 der Daten (Grenzen 1
und 3 Quartil) Darstellung des Medians ndash Whiskers maximal 15-mal die Laumlnge der Boxndash Ausreiszliger Werte auszligerhalb der Whiskers
bull Ausreiszliger
bull Krasse Ausreiszliger
21
38N =
GEWICHT
110
100
90
80
70
60
50
40
937
Deskriptive Analyse Box-Plot
bull Box-Plot grafische Darstellung einer Beobachtungsreihe (Verteilung und Struktur)
38N =
GROEszligE
210
200
190
180
170
160
150
140
22
Deskriptive Analyse Box-Plot
bull Box-Plot fuumlr Vergleich von 2 Messreihen
1820N =
SEX
mw
GR
OE
szligE
210
200
190
180
170
160
150
140
28
9
23
Schiefe
bull Gibt Richtung (rechts- oder linksschief) und Groumlszligenordnung der Schiefe einer eingipfligen Haumlufigkeitsverteilung an
lt 0 linksschiefe
g1 = 0 symmetrisch
gt 0 rechtsschiefebull Kein direkter Streuungsparameter
3n
1i
2i
n
1i
3i
1
)a(an1
)a(an1
g
24
Schiefe
bull Schiefe einer Haumlufigkeitsverteilung aus gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten
bull Berechnung mit Klassenmittel und Klassenmitte kann zu unterschiedlichen Ergebnissen fuumlhren
3k
1ii
2i
i
k
1i
3i
1
h)aa(n1
h)aa(n1
g
3k
1ii
2i
i
k
1i
3i
1
h)a(mn1
h)a(mn1
g
25
Schiefe
bull Linksschiefe Verteilung g1 lt 0Linksschiefe Verteilung
Auspraumlgung
Hauml
ufi
gke
it
26
Schiefe
bull Symmetrische Verteilung g1 = 0Symmetrische Verteilung
Auspraumlgung
Hauml
ufi
gke
it
27
Schiefe
bull Rechtschiefe Verteilung g1 gt 0Rechtsschiefe Verteilung
Auspraumlgung
Haumlu
fig
keit
28
Woumllbung
bull Woumllbung od Kurtosis od Exzeszlig Maszligzahl fuumlr eingipflige Haumlufigkeitsvt
bull Gibt an ob (bei gleicher Varianz) das absolute Maximum der Haumlufigkeitsvt groumlszliger als bei der Dichte der Normalvt ist
3
)a(an1
)a(an1
g 2n
1i
2i
n
1i
4i
2
29
Woumllbung
lt 0 abs Max kleiner als bei N-Vt
g2 = 0 Normalverteilung
gt 0 abs Max groumlszliger als bei N-Vt
bull Woumllbung einer Haumlufigkeitsverteilung aus gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten
3
h)aa(n1
h)aa(n1
g 2n
1ii
2i
k
1ii
4i
2
3
h)a(mn1
h)a(mn1
g 2n
1ii
2i
k
1ii
4i
2
30
Konzentrationsmaszlige
bull Metrisch skaliertes Merkmal X mit nur positiven Auspraumlgungen
bull Frage Wie teilt sich die Summe der Merkmalswerte x1hellipxn in der Beobachtungsreihe auf die Untersuchungs-einheiten auf
bull Bsp n landwirtschaftliche Betriebe Groumlszlige der Nutzflaumlchen x1xn Wie teilt sich die gesamte Nutzflaumlche auf die einzelnen Betriebe auf
31
Konzentrationsmaszlige
bull n Merkmalswerte werden durch q Merkmalsauspraumlgungen a1ltltaq mit absoluten- und relativen Haumlufigkeiten hi bzw fi bestimmt
bull Gesamtbetrag der Merkmalswerte in der Beobachtungsreihe
n
1iii
n
1jj hax
32
Konzentrationsmaszlige
bull Lorenzkurve Grafische Darstellung der Konzentration der Merkmalswerte
bull Koordinatenkreuz ndash Abszisse es werden die nach der Groumlszlige der Merkmals-
auspraumlgung geordneten relativen Haumlufigkeiten aufsummiert
ndash Ordinate Auspraumlgungen werden der Groumlszlige nach
aufsummiert und auf Summe aller Auspraumlgungen bezogen
q1ifuumlrfn
hk
i
1jj
i
1j
ji
q1ifuumlr hahalq
1jjj
i
1jjji
33
Konzentrationsmaszlige
bull Verbinden der Punkte (kili) ergibt die Lorenzkurve wobei immer k0=l0=0 und kq=lq=1 gilt
ki
li
0 1
1
34
Konzentrationsmaszlige
bull Interpretation ein Punkt (kili) der Lorenz-kurve gibt an dass auf ki middot 100 der Untersuchungseinheiten li middot 100 des Gesamtbetrages aller Merkmalsaus-praumlgungen entfallen
bull Bsp auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlche
35
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche Betriebendash Abszisse Es wird der Prozentsatz der Betriebe
mit der kleinsten Flaumlche bestimmt dann wird der Prozentsatz der Betriebe mit der zweit-kleinsten Flaumlche bestimmt und zum Prozentsatz der Betriebe mit der kleinsten Flaumlche addiert usw
ndash Ordinate Flaumlchenanteile der Betriebe bzgl der Gesamtflaumlche werden der Flaumlchengroumlszlige nach aufsummiert
36
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeFlaumlchen-groumlszlige
Anzahl der
Betriebe
Flaumlcheng pro
Gruppe
der Betriebe
Flaumlchen-anteile
aufsumm Betriebs-anteile
aufsumm Flaumlchen-anteile
bis 5 ha 21 63 042 0063 042 00635 - 10 ha 9 72 018 0072 060 013510 - 20 ha 9 135 018 0135 078 027020 - 50 ha 8 280 016 028 094 0550gt 50 ha 3 450 006 045 100 1000Gesamt 50 1000 1 1
37
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeLandwirtschaftliche Betriebe
0
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1
aufsummierte Anteile der Betriebe
au
fsu
mm
iert
e F
laumlc
he
na
nte
ile
38
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp Landwirtschaftliche Betriebe
bull Interpretation auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlchendash auf 42 der Betriebe entfallen 63 der Nutzflaumlche
ndash auf 60 der Betriebe entfallen 125 der Nutzflaumlche
ndash auf 78 der Betriebe entfallen 27 der Nutzflaumlche
ndash auf 94 der Betriebe entfallen 55 der Nutzflaumlche
39
Konzentrationsmaszlige
Extremfaumllle
bull Keine Konzentration alle Untersuchungs-einheiten haben den gleichen Anteil am Gesamtbetrag Lorenzkurve ist Diagonale
bull Gesamtbetrag konzentriert sich (fast) vollstaumlndig auf eine Untersuchungseinheit Lorenzkurve liegt (fast) auf Abszisse ist also (fast) senkrecht
40
Konzentrationsmaszlige
Extremfaumllle
0
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
0 02 04 06 08 1
41
Konzentrationsmaszlige
bull Gini-Koeffizient od Lorenzsche Konzentrationsmaszlig (LKM) Maszligzahl fuumlr die Konzentration
bull Definiert als das 2-fache der Flaumlche F zw Diagonale und Lorenzkurve LKM = 2F
bull Es gilt immer 0 LKM (n-1)nbull Standardisierter Gini-Koeffizient
LKMnor = n(n-1) LKM
42
Konzentrationsmaszlige
bull Berechnung von F
ndash k hellip Werte auf Abszisse
ndash l hellip Werte auf Ordinate
ndash q hellip Anzahl der verschiedenen Merkmalsauspraumlgungen
q
1ii 05FF
q
1jjj
iii1-i1ii
i1ii
Ha
Ha
2
kk)l(l
2
kkF
43
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp Landwirtschaftliche Nutzflaumlche
bull LMK = 2F = i2Fi ndash 1 = 16048 ndash 1 = 06408ndash mit i = 1hellip5
bull LKMnor = 5049 middot 06408 = 06539
Flaumlchen-groumlszlige
Flaumlchen-anteile
aufsumm Betriebs-anteile
2 Fi
bis 5 ha 0063 042 0026465 - 10 ha 0072 060 00734410 - 20 ha 0135 078 01863020 - 50 ha 028 094 048630gt 50 ha 045 100 087300Gesamt 1 16455
44
Verhaumlltniszahlen
bull Quotient zweier Maszligzahlen Verhaumlltniszahl
bull Gliederungszahlenndash Man bezieht eine Teilgroumlszlige auf eine ihr
uumlbergeordnete Gesamtgroumlszlige
bull Beziehungszahlenndash Quotient zweier sachlich sinnvoll in
Verbindung stehender Maszligzahlen
bull Index-Zahlenndash Quotient zweier Maszligzahlen gleicher Art
45
Gliederungszahlen
bull Gliederungszahlen
bull Bsp Tagesproduktion 1500 Teile davon 300 fehlerhaft
Dann sind 20 der Tagesproduktion Ausschuss (3001500middot100)
Ausschussanteil ist eine Gliederungszahl
46
Beziehungszahlen
bull Beziehungszahlen
bull Verursachungszahlen
Bezieht Bewegungsmassen auf die zugehoumlrigen Bestandsmassen
bull Entsprechungszahlen
Alle Beziehungszahlen bei denen man Ereignisse nicht auf ihren Bestand beziehen kann
47
Beziehungszahlen
bull Bsp Verursachungszahlen Geburtenziffer
Bestandsmasse Einwohner einer Stadt (E)
Bewegungsmasse Zahl der Lebend-geborenen (L)
G = (LE)1000
Sagt wie viele Geburten auf 1000 Einwohner einer Stadt entfallen
48
Beziehungszahlen
bull Bsp Entsprechungszahlen
Schuumller-Lehrer-Verhaumlltnis
(Zahl der Schuumller) (Zahl der Lehrer)
Sagt wie viele Schuumller (ungefaumlhr) auf eine Lehrer entfallen Dies entspricht aber iA nicht der durchschnittlichen Klassengroumlszlige
49
Indexzahlen
bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt
bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine
realen Sachverhalt
bull (Zusammengesetzte) Indexzahlenndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen
fiktiven Zustand beschreibt
50
Indexzahlen
bull Einfache Indizes
bull Reihe von Maszligzahlen die man in Beziehung zueinander setzen will
x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0
Dann ist
I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2
eine Zeitreihe einfacher Indizes
51
Indexzahlen
bull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziert
bull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0 I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87
Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden
Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor
bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90
Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen
52
Indexzahlen
bull UmbasierenGegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten
bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt
0k
0t
0k
0t
k
tkt I
I
xx
xx
x
xI
53
Indexzahlen
bull Bsp Umsatz fuumlr Jahre 1990 bis 1998
Jahr Umsatz xt x0 xt x4
1990 1240 100 1081991 1210 098 1051992 1180 095 1031993 1190 096 1031994 1150 093 1001995 1080 087 0941996 1120 090 0971997 1130 091 0981998 1200 097 104
54
Indexzahlen
bull Umbasieren Index von 1996 zur Basisperiode 1990 sollen in Index zur Basisperiode 1994 umgerechnet werden ndash I19901996 = 090 (Basisperiode 1990)
ndash I19901994 = 093 (Basisperiode 1990)
ndash I19941996 = 090 093 = 097 (Basisperiode 1994)
bull Verkettung Weiterer Wert fuumlr 1998 ndash I19901998 = I19901994 middot I19941998 = 093 middot 104 = 097
55
Indexzahlen
bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)
bull Betrachte Warenkorb
n Waren zu einem Zeitpunkt t
Mengen qt1qtn
Preise pt1ptn
Wert des Warenkorbes in Periode t
n
1ititiqp
56
Indexzahlen
bull Wertindex
Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0
n
1i0i0i
n
1ititi
0t
qp
qpW
57
Indexzahlen
bull Bsp Durchschnittlicher Verbrauch an Fleisch aller privaten Haushalte in einer Gemeinde Basismonat 1 Berichtsmonat 12 ndash (Mengen in g Preise in DMkg) Fleisch p0i q0i p12i q12i
F1 575 1450 62 1410F2 1225 1260 1355 1200F3 241 50 248 50F4 178 210 181 215F5 455 2450 46 2470F6 1025 1310 104 1230F7 89 980 91 930
gesamt 7710 7505
58
Indexzahlen
bull Bsp Wertindex n 7
ti ti 12i 12ii 1 i 1
0t n 7
0i 0i 0i 0ii 1 i 1
p q p q627505
W 10119620125p q p q
Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i
F1 575 1450 62 1410 83375 8742F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260F3 241 50 248 50 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915F5 455 2450 46 2470 111475 11362F6 1025 1310 104 1230 134275 12792F7 89 980 91 930 8722 8463
gesamt 7710 7505 620125 627505
59
Indexzahlen
bull Bsp Wertindex ndash 100 middot W012 = 100 middot 10119 = 10119
ndash Dh der tatsaumlchliche Aufwand fuumlr Fleisch fuumlr die privaten Haushalte ist vom Basismonat bis zum Berichtsmonat um 119 gestiegen
ndash Es ist hier nicht beruumlcksichtigt dass der durchschnittliche Verbrauch im Berichtsmonat um 205g geringer ist
60
Indexzahlen
bull Preisindizes
bull Aussagen uumlber die Preisentwicklung
bull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche Mengenschema verwenden
61
Indexzahlen
bull Preisindex nach Paasche
bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
62
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Paasche
Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i p0iq12i p12iq0i
F1 575 1450 62 1410 83375 8742 81075 8990F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260 14700 17073F3 241 50 248 50 1205 1240 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915 3827 3801F5 455 2450 46 2470 111475 11362 112385 11270F6 1025 1310 104 1230 134275 12792 126075 13624F7 89 980 91 930 8722 8463 8277 8918
gesamt 7710 7505 620125 627505 599625 64916
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
63
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Paasche
bull Dh nimmt man fuumlr beide Monaten den durchschnittlichen Verbrauch an Fleisch im Berichtsmonat als Mengenschema (Warenkorb) an so sind die Preise in diesem Zeitraum um 465 gestiegen
65104559962
562750100
qp
qp100
qp
qpP100 7
1i12i0i
7
1i12i12i
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
64
Indexzahlen
bull Preisindex nach Laspeyres
bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
qp
qpP
65
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Laspeyres
bull Dh Fuumlr die im Basismonat verbrauchten Mengen an Fleisch muss man in der Berichtsperiode 468 mehr Geld ausgeben
68104562012
64916100
qp
qp100
qp
qpP100 7
1i0i0i
7
1i0i12i
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
66
Indexzahlen
bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres
bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)
bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)
bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden
bull Fishersche Idealindex LPF III
67
Indexzahlen
bull Mengenindizes
bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung (unabhaumlngig von der Preisentwicklung)
68
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Paasche
bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
qp
qpQ
69
Indexzahlen
bull Bsp Mengenindex nach Paasche
bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen im Berichtsmonat ist um 334 gesunken
669664916
562750100
qp
qp100
qp
qpQ100 7
1i0i12i
7
1i12i12i
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
70
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Laspeyres
bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
qp
qpQ
71
Indexzahlen
bull Bsp Mengenindex nach Laspeyres
bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen zum Basismonat ist um 331 gesunken
6996562012
559962100
qp
qp100
qp
qpQ100 7
1i0i0i
7
1i12i0i
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
20
Deskriptive Analyse Box-Plot
bull Box-Plot ndash Box beinhaltet 50 der Daten (Grenzen 1
und 3 Quartil) Darstellung des Medians ndash Whiskers maximal 15-mal die Laumlnge der Boxndash Ausreiszliger Werte auszligerhalb der Whiskers
bull Ausreiszliger
bull Krasse Ausreiszliger
21
38N =
GEWICHT
110
100
90
80
70
60
50
40
937
Deskriptive Analyse Box-Plot
bull Box-Plot grafische Darstellung einer Beobachtungsreihe (Verteilung und Struktur)
38N =
GROEszligE
210
200
190
180
170
160
150
140
22
Deskriptive Analyse Box-Plot
bull Box-Plot fuumlr Vergleich von 2 Messreihen
1820N =
SEX
mw
GR
OE
szligE
210
200
190
180
170
160
150
140
28
9
23
Schiefe
bull Gibt Richtung (rechts- oder linksschief) und Groumlszligenordnung der Schiefe einer eingipfligen Haumlufigkeitsverteilung an
lt 0 linksschiefe
g1 = 0 symmetrisch
gt 0 rechtsschiefebull Kein direkter Streuungsparameter
3n
1i
2i
n
1i
3i
1
)a(an1
)a(an1
g
24
Schiefe
bull Schiefe einer Haumlufigkeitsverteilung aus gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten
bull Berechnung mit Klassenmittel und Klassenmitte kann zu unterschiedlichen Ergebnissen fuumlhren
3k
1ii
2i
i
k
1i
3i
1
h)aa(n1
h)aa(n1
g
3k
1ii
2i
i
k
1i
3i
1
h)a(mn1
h)a(mn1
g
25
Schiefe
bull Linksschiefe Verteilung g1 lt 0Linksschiefe Verteilung
Auspraumlgung
Hauml
ufi
gke
it
26
Schiefe
bull Symmetrische Verteilung g1 = 0Symmetrische Verteilung
Auspraumlgung
Hauml
ufi
gke
it
27
Schiefe
bull Rechtschiefe Verteilung g1 gt 0Rechtsschiefe Verteilung
Auspraumlgung
Haumlu
fig
keit
28
Woumllbung
bull Woumllbung od Kurtosis od Exzeszlig Maszligzahl fuumlr eingipflige Haumlufigkeitsvt
bull Gibt an ob (bei gleicher Varianz) das absolute Maximum der Haumlufigkeitsvt groumlszliger als bei der Dichte der Normalvt ist
3
)a(an1
)a(an1
g 2n
1i
2i
n
1i
4i
2
29
Woumllbung
lt 0 abs Max kleiner als bei N-Vt
g2 = 0 Normalverteilung
gt 0 abs Max groumlszliger als bei N-Vt
bull Woumllbung einer Haumlufigkeitsverteilung aus gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten
3
h)aa(n1
h)aa(n1
g 2n
1ii
2i
k
1ii
4i
2
3
h)a(mn1
h)a(mn1
g 2n
1ii
2i
k
1ii
4i
2
30
Konzentrationsmaszlige
bull Metrisch skaliertes Merkmal X mit nur positiven Auspraumlgungen
bull Frage Wie teilt sich die Summe der Merkmalswerte x1hellipxn in der Beobachtungsreihe auf die Untersuchungs-einheiten auf
bull Bsp n landwirtschaftliche Betriebe Groumlszlige der Nutzflaumlchen x1xn Wie teilt sich die gesamte Nutzflaumlche auf die einzelnen Betriebe auf
31
Konzentrationsmaszlige
bull n Merkmalswerte werden durch q Merkmalsauspraumlgungen a1ltltaq mit absoluten- und relativen Haumlufigkeiten hi bzw fi bestimmt
bull Gesamtbetrag der Merkmalswerte in der Beobachtungsreihe
n
1iii
n
1jj hax
32
Konzentrationsmaszlige
bull Lorenzkurve Grafische Darstellung der Konzentration der Merkmalswerte
bull Koordinatenkreuz ndash Abszisse es werden die nach der Groumlszlige der Merkmals-
auspraumlgung geordneten relativen Haumlufigkeiten aufsummiert
ndash Ordinate Auspraumlgungen werden der Groumlszlige nach
aufsummiert und auf Summe aller Auspraumlgungen bezogen
q1ifuumlrfn
hk
i
1jj
i
1j
ji
q1ifuumlr hahalq
1jjj
i
1jjji
33
Konzentrationsmaszlige
bull Verbinden der Punkte (kili) ergibt die Lorenzkurve wobei immer k0=l0=0 und kq=lq=1 gilt
ki
li
0 1
1
34
Konzentrationsmaszlige
bull Interpretation ein Punkt (kili) der Lorenz-kurve gibt an dass auf ki middot 100 der Untersuchungseinheiten li middot 100 des Gesamtbetrages aller Merkmalsaus-praumlgungen entfallen
bull Bsp auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlche
35
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche Betriebendash Abszisse Es wird der Prozentsatz der Betriebe
mit der kleinsten Flaumlche bestimmt dann wird der Prozentsatz der Betriebe mit der zweit-kleinsten Flaumlche bestimmt und zum Prozentsatz der Betriebe mit der kleinsten Flaumlche addiert usw
ndash Ordinate Flaumlchenanteile der Betriebe bzgl der Gesamtflaumlche werden der Flaumlchengroumlszlige nach aufsummiert
36
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeFlaumlchen-groumlszlige
Anzahl der
Betriebe
Flaumlcheng pro
Gruppe
der Betriebe
Flaumlchen-anteile
aufsumm Betriebs-anteile
aufsumm Flaumlchen-anteile
bis 5 ha 21 63 042 0063 042 00635 - 10 ha 9 72 018 0072 060 013510 - 20 ha 9 135 018 0135 078 027020 - 50 ha 8 280 016 028 094 0550gt 50 ha 3 450 006 045 100 1000Gesamt 50 1000 1 1
37
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeLandwirtschaftliche Betriebe
0
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1
aufsummierte Anteile der Betriebe
au
fsu
mm
iert
e F
laumlc
he
na
nte
ile
38
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp Landwirtschaftliche Betriebe
bull Interpretation auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlchendash auf 42 der Betriebe entfallen 63 der Nutzflaumlche
ndash auf 60 der Betriebe entfallen 125 der Nutzflaumlche
ndash auf 78 der Betriebe entfallen 27 der Nutzflaumlche
ndash auf 94 der Betriebe entfallen 55 der Nutzflaumlche
39
Konzentrationsmaszlige
Extremfaumllle
bull Keine Konzentration alle Untersuchungs-einheiten haben den gleichen Anteil am Gesamtbetrag Lorenzkurve ist Diagonale
bull Gesamtbetrag konzentriert sich (fast) vollstaumlndig auf eine Untersuchungseinheit Lorenzkurve liegt (fast) auf Abszisse ist also (fast) senkrecht
40
Konzentrationsmaszlige
Extremfaumllle
0
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
0 02 04 06 08 1
41
Konzentrationsmaszlige
bull Gini-Koeffizient od Lorenzsche Konzentrationsmaszlig (LKM) Maszligzahl fuumlr die Konzentration
bull Definiert als das 2-fache der Flaumlche F zw Diagonale und Lorenzkurve LKM = 2F
bull Es gilt immer 0 LKM (n-1)nbull Standardisierter Gini-Koeffizient
LKMnor = n(n-1) LKM
42
Konzentrationsmaszlige
bull Berechnung von F
ndash k hellip Werte auf Abszisse
ndash l hellip Werte auf Ordinate
ndash q hellip Anzahl der verschiedenen Merkmalsauspraumlgungen
q
1ii 05FF
q
1jjj
iii1-i1ii
i1ii
Ha
Ha
2
kk)l(l
2
kkF
43
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp Landwirtschaftliche Nutzflaumlche
bull LMK = 2F = i2Fi ndash 1 = 16048 ndash 1 = 06408ndash mit i = 1hellip5
bull LKMnor = 5049 middot 06408 = 06539
Flaumlchen-groumlszlige
Flaumlchen-anteile
aufsumm Betriebs-anteile
2 Fi
bis 5 ha 0063 042 0026465 - 10 ha 0072 060 00734410 - 20 ha 0135 078 01863020 - 50 ha 028 094 048630gt 50 ha 045 100 087300Gesamt 1 16455
44
Verhaumlltniszahlen
bull Quotient zweier Maszligzahlen Verhaumlltniszahl
bull Gliederungszahlenndash Man bezieht eine Teilgroumlszlige auf eine ihr
uumlbergeordnete Gesamtgroumlszlige
bull Beziehungszahlenndash Quotient zweier sachlich sinnvoll in
Verbindung stehender Maszligzahlen
bull Index-Zahlenndash Quotient zweier Maszligzahlen gleicher Art
45
Gliederungszahlen
bull Gliederungszahlen
bull Bsp Tagesproduktion 1500 Teile davon 300 fehlerhaft
Dann sind 20 der Tagesproduktion Ausschuss (3001500middot100)
Ausschussanteil ist eine Gliederungszahl
46
Beziehungszahlen
bull Beziehungszahlen
bull Verursachungszahlen
Bezieht Bewegungsmassen auf die zugehoumlrigen Bestandsmassen
bull Entsprechungszahlen
Alle Beziehungszahlen bei denen man Ereignisse nicht auf ihren Bestand beziehen kann
47
Beziehungszahlen
bull Bsp Verursachungszahlen Geburtenziffer
Bestandsmasse Einwohner einer Stadt (E)
Bewegungsmasse Zahl der Lebend-geborenen (L)
G = (LE)1000
Sagt wie viele Geburten auf 1000 Einwohner einer Stadt entfallen
48
Beziehungszahlen
bull Bsp Entsprechungszahlen
Schuumller-Lehrer-Verhaumlltnis
(Zahl der Schuumller) (Zahl der Lehrer)
Sagt wie viele Schuumller (ungefaumlhr) auf eine Lehrer entfallen Dies entspricht aber iA nicht der durchschnittlichen Klassengroumlszlige
49
Indexzahlen
bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt
bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine
realen Sachverhalt
bull (Zusammengesetzte) Indexzahlenndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen
fiktiven Zustand beschreibt
50
Indexzahlen
bull Einfache Indizes
bull Reihe von Maszligzahlen die man in Beziehung zueinander setzen will
x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0
Dann ist
I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2
eine Zeitreihe einfacher Indizes
51
Indexzahlen
bull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziert
bull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0 I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87
Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden
Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor
bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90
Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen
52
Indexzahlen
bull UmbasierenGegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten
bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt
0k
0t
0k
0t
k
tkt I
I
xx
xx
x
xI
53
Indexzahlen
bull Bsp Umsatz fuumlr Jahre 1990 bis 1998
Jahr Umsatz xt x0 xt x4
1990 1240 100 1081991 1210 098 1051992 1180 095 1031993 1190 096 1031994 1150 093 1001995 1080 087 0941996 1120 090 0971997 1130 091 0981998 1200 097 104
54
Indexzahlen
bull Umbasieren Index von 1996 zur Basisperiode 1990 sollen in Index zur Basisperiode 1994 umgerechnet werden ndash I19901996 = 090 (Basisperiode 1990)
ndash I19901994 = 093 (Basisperiode 1990)
ndash I19941996 = 090 093 = 097 (Basisperiode 1994)
bull Verkettung Weiterer Wert fuumlr 1998 ndash I19901998 = I19901994 middot I19941998 = 093 middot 104 = 097
55
Indexzahlen
bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)
bull Betrachte Warenkorb
n Waren zu einem Zeitpunkt t
Mengen qt1qtn
Preise pt1ptn
Wert des Warenkorbes in Periode t
n
1ititiqp
56
Indexzahlen
bull Wertindex
Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0
n
1i0i0i
n
1ititi
0t
qp
qpW
57
Indexzahlen
bull Bsp Durchschnittlicher Verbrauch an Fleisch aller privaten Haushalte in einer Gemeinde Basismonat 1 Berichtsmonat 12 ndash (Mengen in g Preise in DMkg) Fleisch p0i q0i p12i q12i
F1 575 1450 62 1410F2 1225 1260 1355 1200F3 241 50 248 50F4 178 210 181 215F5 455 2450 46 2470F6 1025 1310 104 1230F7 89 980 91 930
gesamt 7710 7505
58
Indexzahlen
bull Bsp Wertindex n 7
ti ti 12i 12ii 1 i 1
0t n 7
0i 0i 0i 0ii 1 i 1
p q p q627505
W 10119620125p q p q
Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i
F1 575 1450 62 1410 83375 8742F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260F3 241 50 248 50 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915F5 455 2450 46 2470 111475 11362F6 1025 1310 104 1230 134275 12792F7 89 980 91 930 8722 8463
gesamt 7710 7505 620125 627505
59
Indexzahlen
bull Bsp Wertindex ndash 100 middot W012 = 100 middot 10119 = 10119
ndash Dh der tatsaumlchliche Aufwand fuumlr Fleisch fuumlr die privaten Haushalte ist vom Basismonat bis zum Berichtsmonat um 119 gestiegen
ndash Es ist hier nicht beruumlcksichtigt dass der durchschnittliche Verbrauch im Berichtsmonat um 205g geringer ist
60
Indexzahlen
bull Preisindizes
bull Aussagen uumlber die Preisentwicklung
bull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche Mengenschema verwenden
61
Indexzahlen
bull Preisindex nach Paasche
bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
62
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Paasche
Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i p0iq12i p12iq0i
F1 575 1450 62 1410 83375 8742 81075 8990F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260 14700 17073F3 241 50 248 50 1205 1240 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915 3827 3801F5 455 2450 46 2470 111475 11362 112385 11270F6 1025 1310 104 1230 134275 12792 126075 13624F7 89 980 91 930 8722 8463 8277 8918
gesamt 7710 7505 620125 627505 599625 64916
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
63
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Paasche
bull Dh nimmt man fuumlr beide Monaten den durchschnittlichen Verbrauch an Fleisch im Berichtsmonat als Mengenschema (Warenkorb) an so sind die Preise in diesem Zeitraum um 465 gestiegen
65104559962
562750100
qp
qp100
qp
qpP100 7
1i12i0i
7
1i12i12i
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
64
Indexzahlen
bull Preisindex nach Laspeyres
bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
qp
qpP
65
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Laspeyres
bull Dh Fuumlr die im Basismonat verbrauchten Mengen an Fleisch muss man in der Berichtsperiode 468 mehr Geld ausgeben
68104562012
64916100
qp
qp100
qp
qpP100 7
1i0i0i
7
1i0i12i
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
66
Indexzahlen
bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres
bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)
bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)
bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden
bull Fishersche Idealindex LPF III
67
Indexzahlen
bull Mengenindizes
bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung (unabhaumlngig von der Preisentwicklung)
68
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Paasche
bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
qp
qpQ
69
Indexzahlen
bull Bsp Mengenindex nach Paasche
bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen im Berichtsmonat ist um 334 gesunken
669664916
562750100
qp
qp100
qp
qpQ100 7
1i0i12i
7
1i12i12i
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
70
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Laspeyres
bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
qp
qpQ
71
Indexzahlen
bull Bsp Mengenindex nach Laspeyres
bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen zum Basismonat ist um 331 gesunken
6996562012
559962100
qp
qp100
qp
qpQ100 7
1i0i0i
7
1i12i0i
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
21
38N =
GEWICHT
110
100
90
80
70
60
50
40
937
Deskriptive Analyse Box-Plot
bull Box-Plot grafische Darstellung einer Beobachtungsreihe (Verteilung und Struktur)
38N =
GROEszligE
210
200
190
180
170
160
150
140
22
Deskriptive Analyse Box-Plot
bull Box-Plot fuumlr Vergleich von 2 Messreihen
1820N =
SEX
mw
GR
OE
szligE
210
200
190
180
170
160
150
140
28
9
23
Schiefe
bull Gibt Richtung (rechts- oder linksschief) und Groumlszligenordnung der Schiefe einer eingipfligen Haumlufigkeitsverteilung an
lt 0 linksschiefe
g1 = 0 symmetrisch
gt 0 rechtsschiefebull Kein direkter Streuungsparameter
3n
1i
2i
n
1i
3i
1
)a(an1
)a(an1
g
24
Schiefe
bull Schiefe einer Haumlufigkeitsverteilung aus gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten
bull Berechnung mit Klassenmittel und Klassenmitte kann zu unterschiedlichen Ergebnissen fuumlhren
3k
1ii
2i
i
k
1i
3i
1
h)aa(n1
h)aa(n1
g
3k
1ii
2i
i
k
1i
3i
1
h)a(mn1
h)a(mn1
g
25
Schiefe
bull Linksschiefe Verteilung g1 lt 0Linksschiefe Verteilung
Auspraumlgung
Hauml
ufi
gke
it
26
Schiefe
bull Symmetrische Verteilung g1 = 0Symmetrische Verteilung
Auspraumlgung
Hauml
ufi
gke
it
27
Schiefe
bull Rechtschiefe Verteilung g1 gt 0Rechtsschiefe Verteilung
Auspraumlgung
Haumlu
fig
keit
28
Woumllbung
bull Woumllbung od Kurtosis od Exzeszlig Maszligzahl fuumlr eingipflige Haumlufigkeitsvt
bull Gibt an ob (bei gleicher Varianz) das absolute Maximum der Haumlufigkeitsvt groumlszliger als bei der Dichte der Normalvt ist
3
)a(an1
)a(an1
g 2n
1i
2i
n
1i
4i
2
29
Woumllbung
lt 0 abs Max kleiner als bei N-Vt
g2 = 0 Normalverteilung
gt 0 abs Max groumlszliger als bei N-Vt
bull Woumllbung einer Haumlufigkeitsverteilung aus gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten
3
h)aa(n1
h)aa(n1
g 2n
1ii
2i
k
1ii
4i
2
3
h)a(mn1
h)a(mn1
g 2n
1ii
2i
k
1ii
4i
2
30
Konzentrationsmaszlige
bull Metrisch skaliertes Merkmal X mit nur positiven Auspraumlgungen
bull Frage Wie teilt sich die Summe der Merkmalswerte x1hellipxn in der Beobachtungsreihe auf die Untersuchungs-einheiten auf
bull Bsp n landwirtschaftliche Betriebe Groumlszlige der Nutzflaumlchen x1xn Wie teilt sich die gesamte Nutzflaumlche auf die einzelnen Betriebe auf
31
Konzentrationsmaszlige
bull n Merkmalswerte werden durch q Merkmalsauspraumlgungen a1ltltaq mit absoluten- und relativen Haumlufigkeiten hi bzw fi bestimmt
bull Gesamtbetrag der Merkmalswerte in der Beobachtungsreihe
n
1iii
n
1jj hax
32
Konzentrationsmaszlige
bull Lorenzkurve Grafische Darstellung der Konzentration der Merkmalswerte
bull Koordinatenkreuz ndash Abszisse es werden die nach der Groumlszlige der Merkmals-
auspraumlgung geordneten relativen Haumlufigkeiten aufsummiert
ndash Ordinate Auspraumlgungen werden der Groumlszlige nach
aufsummiert und auf Summe aller Auspraumlgungen bezogen
q1ifuumlrfn
hk
i
1jj
i
1j
ji
q1ifuumlr hahalq
1jjj
i
1jjji
33
Konzentrationsmaszlige
bull Verbinden der Punkte (kili) ergibt die Lorenzkurve wobei immer k0=l0=0 und kq=lq=1 gilt
ki
li
0 1
1
34
Konzentrationsmaszlige
bull Interpretation ein Punkt (kili) der Lorenz-kurve gibt an dass auf ki middot 100 der Untersuchungseinheiten li middot 100 des Gesamtbetrages aller Merkmalsaus-praumlgungen entfallen
bull Bsp auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlche
35
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche Betriebendash Abszisse Es wird der Prozentsatz der Betriebe
mit der kleinsten Flaumlche bestimmt dann wird der Prozentsatz der Betriebe mit der zweit-kleinsten Flaumlche bestimmt und zum Prozentsatz der Betriebe mit der kleinsten Flaumlche addiert usw
ndash Ordinate Flaumlchenanteile der Betriebe bzgl der Gesamtflaumlche werden der Flaumlchengroumlszlige nach aufsummiert
36
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeFlaumlchen-groumlszlige
Anzahl der
Betriebe
Flaumlcheng pro
Gruppe
der Betriebe
Flaumlchen-anteile
aufsumm Betriebs-anteile
aufsumm Flaumlchen-anteile
bis 5 ha 21 63 042 0063 042 00635 - 10 ha 9 72 018 0072 060 013510 - 20 ha 9 135 018 0135 078 027020 - 50 ha 8 280 016 028 094 0550gt 50 ha 3 450 006 045 100 1000Gesamt 50 1000 1 1
37
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeLandwirtschaftliche Betriebe
0
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1
aufsummierte Anteile der Betriebe
au
fsu
mm
iert
e F
laumlc
he
na
nte
ile
38
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp Landwirtschaftliche Betriebe
bull Interpretation auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlchendash auf 42 der Betriebe entfallen 63 der Nutzflaumlche
ndash auf 60 der Betriebe entfallen 125 der Nutzflaumlche
ndash auf 78 der Betriebe entfallen 27 der Nutzflaumlche
ndash auf 94 der Betriebe entfallen 55 der Nutzflaumlche
39
Konzentrationsmaszlige
Extremfaumllle
bull Keine Konzentration alle Untersuchungs-einheiten haben den gleichen Anteil am Gesamtbetrag Lorenzkurve ist Diagonale
bull Gesamtbetrag konzentriert sich (fast) vollstaumlndig auf eine Untersuchungseinheit Lorenzkurve liegt (fast) auf Abszisse ist also (fast) senkrecht
40
Konzentrationsmaszlige
Extremfaumllle
0
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
0 02 04 06 08 1
41
Konzentrationsmaszlige
bull Gini-Koeffizient od Lorenzsche Konzentrationsmaszlig (LKM) Maszligzahl fuumlr die Konzentration
bull Definiert als das 2-fache der Flaumlche F zw Diagonale und Lorenzkurve LKM = 2F
bull Es gilt immer 0 LKM (n-1)nbull Standardisierter Gini-Koeffizient
LKMnor = n(n-1) LKM
42
Konzentrationsmaszlige
bull Berechnung von F
ndash k hellip Werte auf Abszisse
ndash l hellip Werte auf Ordinate
ndash q hellip Anzahl der verschiedenen Merkmalsauspraumlgungen
q
1ii 05FF
q
1jjj
iii1-i1ii
i1ii
Ha
Ha
2
kk)l(l
2
kkF
43
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp Landwirtschaftliche Nutzflaumlche
bull LMK = 2F = i2Fi ndash 1 = 16048 ndash 1 = 06408ndash mit i = 1hellip5
bull LKMnor = 5049 middot 06408 = 06539
Flaumlchen-groumlszlige
Flaumlchen-anteile
aufsumm Betriebs-anteile
2 Fi
bis 5 ha 0063 042 0026465 - 10 ha 0072 060 00734410 - 20 ha 0135 078 01863020 - 50 ha 028 094 048630gt 50 ha 045 100 087300Gesamt 1 16455
44
Verhaumlltniszahlen
bull Quotient zweier Maszligzahlen Verhaumlltniszahl
bull Gliederungszahlenndash Man bezieht eine Teilgroumlszlige auf eine ihr
uumlbergeordnete Gesamtgroumlszlige
bull Beziehungszahlenndash Quotient zweier sachlich sinnvoll in
Verbindung stehender Maszligzahlen
bull Index-Zahlenndash Quotient zweier Maszligzahlen gleicher Art
45
Gliederungszahlen
bull Gliederungszahlen
bull Bsp Tagesproduktion 1500 Teile davon 300 fehlerhaft
Dann sind 20 der Tagesproduktion Ausschuss (3001500middot100)
Ausschussanteil ist eine Gliederungszahl
46
Beziehungszahlen
bull Beziehungszahlen
bull Verursachungszahlen
Bezieht Bewegungsmassen auf die zugehoumlrigen Bestandsmassen
bull Entsprechungszahlen
Alle Beziehungszahlen bei denen man Ereignisse nicht auf ihren Bestand beziehen kann
47
Beziehungszahlen
bull Bsp Verursachungszahlen Geburtenziffer
Bestandsmasse Einwohner einer Stadt (E)
Bewegungsmasse Zahl der Lebend-geborenen (L)
G = (LE)1000
Sagt wie viele Geburten auf 1000 Einwohner einer Stadt entfallen
48
Beziehungszahlen
bull Bsp Entsprechungszahlen
Schuumller-Lehrer-Verhaumlltnis
(Zahl der Schuumller) (Zahl der Lehrer)
Sagt wie viele Schuumller (ungefaumlhr) auf eine Lehrer entfallen Dies entspricht aber iA nicht der durchschnittlichen Klassengroumlszlige
49
Indexzahlen
bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt
bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine
realen Sachverhalt
bull (Zusammengesetzte) Indexzahlenndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen
fiktiven Zustand beschreibt
50
Indexzahlen
bull Einfache Indizes
bull Reihe von Maszligzahlen die man in Beziehung zueinander setzen will
x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0
Dann ist
I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2
eine Zeitreihe einfacher Indizes
51
Indexzahlen
bull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziert
bull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0 I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87
Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden
Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor
bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90
Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen
52
Indexzahlen
bull UmbasierenGegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten
bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt
0k
0t
0k
0t
k
tkt I
I
xx
xx
x
xI
53
Indexzahlen
bull Bsp Umsatz fuumlr Jahre 1990 bis 1998
Jahr Umsatz xt x0 xt x4
1990 1240 100 1081991 1210 098 1051992 1180 095 1031993 1190 096 1031994 1150 093 1001995 1080 087 0941996 1120 090 0971997 1130 091 0981998 1200 097 104
54
Indexzahlen
bull Umbasieren Index von 1996 zur Basisperiode 1990 sollen in Index zur Basisperiode 1994 umgerechnet werden ndash I19901996 = 090 (Basisperiode 1990)
ndash I19901994 = 093 (Basisperiode 1990)
ndash I19941996 = 090 093 = 097 (Basisperiode 1994)
bull Verkettung Weiterer Wert fuumlr 1998 ndash I19901998 = I19901994 middot I19941998 = 093 middot 104 = 097
55
Indexzahlen
bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)
bull Betrachte Warenkorb
n Waren zu einem Zeitpunkt t
Mengen qt1qtn
Preise pt1ptn
Wert des Warenkorbes in Periode t
n
1ititiqp
56
Indexzahlen
bull Wertindex
Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0
n
1i0i0i
n
1ititi
0t
qp
qpW
57
Indexzahlen
bull Bsp Durchschnittlicher Verbrauch an Fleisch aller privaten Haushalte in einer Gemeinde Basismonat 1 Berichtsmonat 12 ndash (Mengen in g Preise in DMkg) Fleisch p0i q0i p12i q12i
F1 575 1450 62 1410F2 1225 1260 1355 1200F3 241 50 248 50F4 178 210 181 215F5 455 2450 46 2470F6 1025 1310 104 1230F7 89 980 91 930
gesamt 7710 7505
58
Indexzahlen
bull Bsp Wertindex n 7
ti ti 12i 12ii 1 i 1
0t n 7
0i 0i 0i 0ii 1 i 1
p q p q627505
W 10119620125p q p q
Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i
F1 575 1450 62 1410 83375 8742F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260F3 241 50 248 50 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915F5 455 2450 46 2470 111475 11362F6 1025 1310 104 1230 134275 12792F7 89 980 91 930 8722 8463
gesamt 7710 7505 620125 627505
59
Indexzahlen
bull Bsp Wertindex ndash 100 middot W012 = 100 middot 10119 = 10119
ndash Dh der tatsaumlchliche Aufwand fuumlr Fleisch fuumlr die privaten Haushalte ist vom Basismonat bis zum Berichtsmonat um 119 gestiegen
ndash Es ist hier nicht beruumlcksichtigt dass der durchschnittliche Verbrauch im Berichtsmonat um 205g geringer ist
60
Indexzahlen
bull Preisindizes
bull Aussagen uumlber die Preisentwicklung
bull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche Mengenschema verwenden
61
Indexzahlen
bull Preisindex nach Paasche
bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
62
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Paasche
Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i p0iq12i p12iq0i
F1 575 1450 62 1410 83375 8742 81075 8990F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260 14700 17073F3 241 50 248 50 1205 1240 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915 3827 3801F5 455 2450 46 2470 111475 11362 112385 11270F6 1025 1310 104 1230 134275 12792 126075 13624F7 89 980 91 930 8722 8463 8277 8918
gesamt 7710 7505 620125 627505 599625 64916
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
63
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Paasche
bull Dh nimmt man fuumlr beide Monaten den durchschnittlichen Verbrauch an Fleisch im Berichtsmonat als Mengenschema (Warenkorb) an so sind die Preise in diesem Zeitraum um 465 gestiegen
65104559962
562750100
qp
qp100
qp
qpP100 7
1i12i0i
7
1i12i12i
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
64
Indexzahlen
bull Preisindex nach Laspeyres
bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
qp
qpP
65
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Laspeyres
bull Dh Fuumlr die im Basismonat verbrauchten Mengen an Fleisch muss man in der Berichtsperiode 468 mehr Geld ausgeben
68104562012
64916100
qp
qp100
qp
qpP100 7
1i0i0i
7
1i0i12i
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
66
Indexzahlen
bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres
bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)
bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)
bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden
bull Fishersche Idealindex LPF III
67
Indexzahlen
bull Mengenindizes
bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung (unabhaumlngig von der Preisentwicklung)
68
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Paasche
bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
qp
qpQ
69
Indexzahlen
bull Bsp Mengenindex nach Paasche
bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen im Berichtsmonat ist um 334 gesunken
669664916
562750100
qp
qp100
qp
qpQ100 7
1i0i12i
7
1i12i12i
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
70
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Laspeyres
bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
qp
qpQ
71
Indexzahlen
bull Bsp Mengenindex nach Laspeyres
bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen zum Basismonat ist um 331 gesunken
6996562012
559962100
qp
qp100
qp
qpQ100 7
1i0i0i
7
1i12i0i
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
22
Deskriptive Analyse Box-Plot
bull Box-Plot fuumlr Vergleich von 2 Messreihen
1820N =
SEX
mw
GR
OE
szligE
210
200
190
180
170
160
150
140
28
9
23
Schiefe
bull Gibt Richtung (rechts- oder linksschief) und Groumlszligenordnung der Schiefe einer eingipfligen Haumlufigkeitsverteilung an
lt 0 linksschiefe
g1 = 0 symmetrisch
gt 0 rechtsschiefebull Kein direkter Streuungsparameter
3n
1i
2i
n
1i
3i
1
)a(an1
)a(an1
g
24
Schiefe
bull Schiefe einer Haumlufigkeitsverteilung aus gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten
bull Berechnung mit Klassenmittel und Klassenmitte kann zu unterschiedlichen Ergebnissen fuumlhren
3k
1ii
2i
i
k
1i
3i
1
h)aa(n1
h)aa(n1
g
3k
1ii
2i
i
k
1i
3i
1
h)a(mn1
h)a(mn1
g
25
Schiefe
bull Linksschiefe Verteilung g1 lt 0Linksschiefe Verteilung
Auspraumlgung
Hauml
ufi
gke
it
26
Schiefe
bull Symmetrische Verteilung g1 = 0Symmetrische Verteilung
Auspraumlgung
Hauml
ufi
gke
it
27
Schiefe
bull Rechtschiefe Verteilung g1 gt 0Rechtsschiefe Verteilung
Auspraumlgung
Haumlu
fig
keit
28
Woumllbung
bull Woumllbung od Kurtosis od Exzeszlig Maszligzahl fuumlr eingipflige Haumlufigkeitsvt
bull Gibt an ob (bei gleicher Varianz) das absolute Maximum der Haumlufigkeitsvt groumlszliger als bei der Dichte der Normalvt ist
3
)a(an1
)a(an1
g 2n
1i
2i
n
1i
4i
2
29
Woumllbung
lt 0 abs Max kleiner als bei N-Vt
g2 = 0 Normalverteilung
gt 0 abs Max groumlszliger als bei N-Vt
bull Woumllbung einer Haumlufigkeitsverteilung aus gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten
3
h)aa(n1
h)aa(n1
g 2n
1ii
2i
k
1ii
4i
2
3
h)a(mn1
h)a(mn1
g 2n
1ii
2i
k
1ii
4i
2
30
Konzentrationsmaszlige
bull Metrisch skaliertes Merkmal X mit nur positiven Auspraumlgungen
bull Frage Wie teilt sich die Summe der Merkmalswerte x1hellipxn in der Beobachtungsreihe auf die Untersuchungs-einheiten auf
bull Bsp n landwirtschaftliche Betriebe Groumlszlige der Nutzflaumlchen x1xn Wie teilt sich die gesamte Nutzflaumlche auf die einzelnen Betriebe auf
31
Konzentrationsmaszlige
bull n Merkmalswerte werden durch q Merkmalsauspraumlgungen a1ltltaq mit absoluten- und relativen Haumlufigkeiten hi bzw fi bestimmt
bull Gesamtbetrag der Merkmalswerte in der Beobachtungsreihe
n
1iii
n
1jj hax
32
Konzentrationsmaszlige
bull Lorenzkurve Grafische Darstellung der Konzentration der Merkmalswerte
bull Koordinatenkreuz ndash Abszisse es werden die nach der Groumlszlige der Merkmals-
auspraumlgung geordneten relativen Haumlufigkeiten aufsummiert
ndash Ordinate Auspraumlgungen werden der Groumlszlige nach
aufsummiert und auf Summe aller Auspraumlgungen bezogen
q1ifuumlrfn
hk
i
1jj
i
1j
ji
q1ifuumlr hahalq
1jjj
i
1jjji
33
Konzentrationsmaszlige
bull Verbinden der Punkte (kili) ergibt die Lorenzkurve wobei immer k0=l0=0 und kq=lq=1 gilt
ki
li
0 1
1
34
Konzentrationsmaszlige
bull Interpretation ein Punkt (kili) der Lorenz-kurve gibt an dass auf ki middot 100 der Untersuchungseinheiten li middot 100 des Gesamtbetrages aller Merkmalsaus-praumlgungen entfallen
bull Bsp auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlche
35
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche Betriebendash Abszisse Es wird der Prozentsatz der Betriebe
mit der kleinsten Flaumlche bestimmt dann wird der Prozentsatz der Betriebe mit der zweit-kleinsten Flaumlche bestimmt und zum Prozentsatz der Betriebe mit der kleinsten Flaumlche addiert usw
ndash Ordinate Flaumlchenanteile der Betriebe bzgl der Gesamtflaumlche werden der Flaumlchengroumlszlige nach aufsummiert
36
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeFlaumlchen-groumlszlige
Anzahl der
Betriebe
Flaumlcheng pro
Gruppe
der Betriebe
Flaumlchen-anteile
aufsumm Betriebs-anteile
aufsumm Flaumlchen-anteile
bis 5 ha 21 63 042 0063 042 00635 - 10 ha 9 72 018 0072 060 013510 - 20 ha 9 135 018 0135 078 027020 - 50 ha 8 280 016 028 094 0550gt 50 ha 3 450 006 045 100 1000Gesamt 50 1000 1 1
37
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeLandwirtschaftliche Betriebe
0
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1
aufsummierte Anteile der Betriebe
au
fsu
mm
iert
e F
laumlc
he
na
nte
ile
38
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp Landwirtschaftliche Betriebe
bull Interpretation auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlchendash auf 42 der Betriebe entfallen 63 der Nutzflaumlche
ndash auf 60 der Betriebe entfallen 125 der Nutzflaumlche
ndash auf 78 der Betriebe entfallen 27 der Nutzflaumlche
ndash auf 94 der Betriebe entfallen 55 der Nutzflaumlche
39
Konzentrationsmaszlige
Extremfaumllle
bull Keine Konzentration alle Untersuchungs-einheiten haben den gleichen Anteil am Gesamtbetrag Lorenzkurve ist Diagonale
bull Gesamtbetrag konzentriert sich (fast) vollstaumlndig auf eine Untersuchungseinheit Lorenzkurve liegt (fast) auf Abszisse ist also (fast) senkrecht
40
Konzentrationsmaszlige
Extremfaumllle
0
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
0 02 04 06 08 1
41
Konzentrationsmaszlige
bull Gini-Koeffizient od Lorenzsche Konzentrationsmaszlig (LKM) Maszligzahl fuumlr die Konzentration
bull Definiert als das 2-fache der Flaumlche F zw Diagonale und Lorenzkurve LKM = 2F
bull Es gilt immer 0 LKM (n-1)nbull Standardisierter Gini-Koeffizient
LKMnor = n(n-1) LKM
42
Konzentrationsmaszlige
bull Berechnung von F
ndash k hellip Werte auf Abszisse
ndash l hellip Werte auf Ordinate
ndash q hellip Anzahl der verschiedenen Merkmalsauspraumlgungen
q
1ii 05FF
q
1jjj
iii1-i1ii
i1ii
Ha
Ha
2
kk)l(l
2
kkF
43
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp Landwirtschaftliche Nutzflaumlche
bull LMK = 2F = i2Fi ndash 1 = 16048 ndash 1 = 06408ndash mit i = 1hellip5
bull LKMnor = 5049 middot 06408 = 06539
Flaumlchen-groumlszlige
Flaumlchen-anteile
aufsumm Betriebs-anteile
2 Fi
bis 5 ha 0063 042 0026465 - 10 ha 0072 060 00734410 - 20 ha 0135 078 01863020 - 50 ha 028 094 048630gt 50 ha 045 100 087300Gesamt 1 16455
44
Verhaumlltniszahlen
bull Quotient zweier Maszligzahlen Verhaumlltniszahl
bull Gliederungszahlenndash Man bezieht eine Teilgroumlszlige auf eine ihr
uumlbergeordnete Gesamtgroumlszlige
bull Beziehungszahlenndash Quotient zweier sachlich sinnvoll in
Verbindung stehender Maszligzahlen
bull Index-Zahlenndash Quotient zweier Maszligzahlen gleicher Art
45
Gliederungszahlen
bull Gliederungszahlen
bull Bsp Tagesproduktion 1500 Teile davon 300 fehlerhaft
Dann sind 20 der Tagesproduktion Ausschuss (3001500middot100)
Ausschussanteil ist eine Gliederungszahl
46
Beziehungszahlen
bull Beziehungszahlen
bull Verursachungszahlen
Bezieht Bewegungsmassen auf die zugehoumlrigen Bestandsmassen
bull Entsprechungszahlen
Alle Beziehungszahlen bei denen man Ereignisse nicht auf ihren Bestand beziehen kann
47
Beziehungszahlen
bull Bsp Verursachungszahlen Geburtenziffer
Bestandsmasse Einwohner einer Stadt (E)
Bewegungsmasse Zahl der Lebend-geborenen (L)
G = (LE)1000
Sagt wie viele Geburten auf 1000 Einwohner einer Stadt entfallen
48
Beziehungszahlen
bull Bsp Entsprechungszahlen
Schuumller-Lehrer-Verhaumlltnis
(Zahl der Schuumller) (Zahl der Lehrer)
Sagt wie viele Schuumller (ungefaumlhr) auf eine Lehrer entfallen Dies entspricht aber iA nicht der durchschnittlichen Klassengroumlszlige
49
Indexzahlen
bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt
bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine
realen Sachverhalt
bull (Zusammengesetzte) Indexzahlenndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen
fiktiven Zustand beschreibt
50
Indexzahlen
bull Einfache Indizes
bull Reihe von Maszligzahlen die man in Beziehung zueinander setzen will
x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0
Dann ist
I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2
eine Zeitreihe einfacher Indizes
51
Indexzahlen
bull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziert
bull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0 I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87
Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden
Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor
bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90
Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen
52
Indexzahlen
bull UmbasierenGegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten
bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt
0k
0t
0k
0t
k
tkt I
I
xx
xx
x
xI
53
Indexzahlen
bull Bsp Umsatz fuumlr Jahre 1990 bis 1998
Jahr Umsatz xt x0 xt x4
1990 1240 100 1081991 1210 098 1051992 1180 095 1031993 1190 096 1031994 1150 093 1001995 1080 087 0941996 1120 090 0971997 1130 091 0981998 1200 097 104
54
Indexzahlen
bull Umbasieren Index von 1996 zur Basisperiode 1990 sollen in Index zur Basisperiode 1994 umgerechnet werden ndash I19901996 = 090 (Basisperiode 1990)
ndash I19901994 = 093 (Basisperiode 1990)
ndash I19941996 = 090 093 = 097 (Basisperiode 1994)
bull Verkettung Weiterer Wert fuumlr 1998 ndash I19901998 = I19901994 middot I19941998 = 093 middot 104 = 097
55
Indexzahlen
bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)
bull Betrachte Warenkorb
n Waren zu einem Zeitpunkt t
Mengen qt1qtn
Preise pt1ptn
Wert des Warenkorbes in Periode t
n
1ititiqp
56
Indexzahlen
bull Wertindex
Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0
n
1i0i0i
n
1ititi
0t
qp
qpW
57
Indexzahlen
bull Bsp Durchschnittlicher Verbrauch an Fleisch aller privaten Haushalte in einer Gemeinde Basismonat 1 Berichtsmonat 12 ndash (Mengen in g Preise in DMkg) Fleisch p0i q0i p12i q12i
F1 575 1450 62 1410F2 1225 1260 1355 1200F3 241 50 248 50F4 178 210 181 215F5 455 2450 46 2470F6 1025 1310 104 1230F7 89 980 91 930
gesamt 7710 7505
58
Indexzahlen
bull Bsp Wertindex n 7
ti ti 12i 12ii 1 i 1
0t n 7
0i 0i 0i 0ii 1 i 1
p q p q627505
W 10119620125p q p q
Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i
F1 575 1450 62 1410 83375 8742F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260F3 241 50 248 50 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915F5 455 2450 46 2470 111475 11362F6 1025 1310 104 1230 134275 12792F7 89 980 91 930 8722 8463
gesamt 7710 7505 620125 627505
59
Indexzahlen
bull Bsp Wertindex ndash 100 middot W012 = 100 middot 10119 = 10119
ndash Dh der tatsaumlchliche Aufwand fuumlr Fleisch fuumlr die privaten Haushalte ist vom Basismonat bis zum Berichtsmonat um 119 gestiegen
ndash Es ist hier nicht beruumlcksichtigt dass der durchschnittliche Verbrauch im Berichtsmonat um 205g geringer ist
60
Indexzahlen
bull Preisindizes
bull Aussagen uumlber die Preisentwicklung
bull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche Mengenschema verwenden
61
Indexzahlen
bull Preisindex nach Paasche
bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
62
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Paasche
Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i p0iq12i p12iq0i
F1 575 1450 62 1410 83375 8742 81075 8990F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260 14700 17073F3 241 50 248 50 1205 1240 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915 3827 3801F5 455 2450 46 2470 111475 11362 112385 11270F6 1025 1310 104 1230 134275 12792 126075 13624F7 89 980 91 930 8722 8463 8277 8918
gesamt 7710 7505 620125 627505 599625 64916
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
63
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Paasche
bull Dh nimmt man fuumlr beide Monaten den durchschnittlichen Verbrauch an Fleisch im Berichtsmonat als Mengenschema (Warenkorb) an so sind die Preise in diesem Zeitraum um 465 gestiegen
65104559962
562750100
qp
qp100
qp
qpP100 7
1i12i0i
7
1i12i12i
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
64
Indexzahlen
bull Preisindex nach Laspeyres
bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
qp
qpP
65
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Laspeyres
bull Dh Fuumlr die im Basismonat verbrauchten Mengen an Fleisch muss man in der Berichtsperiode 468 mehr Geld ausgeben
68104562012
64916100
qp
qp100
qp
qpP100 7
1i0i0i
7
1i0i12i
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
66
Indexzahlen
bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres
bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)
bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)
bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden
bull Fishersche Idealindex LPF III
67
Indexzahlen
bull Mengenindizes
bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung (unabhaumlngig von der Preisentwicklung)
68
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Paasche
bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
qp
qpQ
69
Indexzahlen
bull Bsp Mengenindex nach Paasche
bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen im Berichtsmonat ist um 334 gesunken
669664916
562750100
qp
qp100
qp
qpQ100 7
1i0i12i
7
1i12i12i
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
70
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Laspeyres
bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
qp
qpQ
71
Indexzahlen
bull Bsp Mengenindex nach Laspeyres
bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen zum Basismonat ist um 331 gesunken
6996562012
559962100
qp
qp100
qp
qpQ100 7
1i0i0i
7
1i12i0i
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
23
Schiefe
bull Gibt Richtung (rechts- oder linksschief) und Groumlszligenordnung der Schiefe einer eingipfligen Haumlufigkeitsverteilung an
lt 0 linksschiefe
g1 = 0 symmetrisch
gt 0 rechtsschiefebull Kein direkter Streuungsparameter
3n
1i
2i
n
1i
3i
1
)a(an1
)a(an1
g
24
Schiefe
bull Schiefe einer Haumlufigkeitsverteilung aus gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten
bull Berechnung mit Klassenmittel und Klassenmitte kann zu unterschiedlichen Ergebnissen fuumlhren
3k
1ii
2i
i
k
1i
3i
1
h)aa(n1
h)aa(n1
g
3k
1ii
2i
i
k
1i
3i
1
h)a(mn1
h)a(mn1
g
25
Schiefe
bull Linksschiefe Verteilung g1 lt 0Linksschiefe Verteilung
Auspraumlgung
Hauml
ufi
gke
it
26
Schiefe
bull Symmetrische Verteilung g1 = 0Symmetrische Verteilung
Auspraumlgung
Hauml
ufi
gke
it
27
Schiefe
bull Rechtschiefe Verteilung g1 gt 0Rechtsschiefe Verteilung
Auspraumlgung
Haumlu
fig
keit
28
Woumllbung
bull Woumllbung od Kurtosis od Exzeszlig Maszligzahl fuumlr eingipflige Haumlufigkeitsvt
bull Gibt an ob (bei gleicher Varianz) das absolute Maximum der Haumlufigkeitsvt groumlszliger als bei der Dichte der Normalvt ist
3
)a(an1
)a(an1
g 2n
1i
2i
n
1i
4i
2
29
Woumllbung
lt 0 abs Max kleiner als bei N-Vt
g2 = 0 Normalverteilung
gt 0 abs Max groumlszliger als bei N-Vt
bull Woumllbung einer Haumlufigkeitsverteilung aus gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten
3
h)aa(n1
h)aa(n1
g 2n
1ii
2i
k
1ii
4i
2
3
h)a(mn1
h)a(mn1
g 2n
1ii
2i
k
1ii
4i
2
30
Konzentrationsmaszlige
bull Metrisch skaliertes Merkmal X mit nur positiven Auspraumlgungen
bull Frage Wie teilt sich die Summe der Merkmalswerte x1hellipxn in der Beobachtungsreihe auf die Untersuchungs-einheiten auf
bull Bsp n landwirtschaftliche Betriebe Groumlszlige der Nutzflaumlchen x1xn Wie teilt sich die gesamte Nutzflaumlche auf die einzelnen Betriebe auf
31
Konzentrationsmaszlige
bull n Merkmalswerte werden durch q Merkmalsauspraumlgungen a1ltltaq mit absoluten- und relativen Haumlufigkeiten hi bzw fi bestimmt
bull Gesamtbetrag der Merkmalswerte in der Beobachtungsreihe
n
1iii
n
1jj hax
32
Konzentrationsmaszlige
bull Lorenzkurve Grafische Darstellung der Konzentration der Merkmalswerte
bull Koordinatenkreuz ndash Abszisse es werden die nach der Groumlszlige der Merkmals-
auspraumlgung geordneten relativen Haumlufigkeiten aufsummiert
ndash Ordinate Auspraumlgungen werden der Groumlszlige nach
aufsummiert und auf Summe aller Auspraumlgungen bezogen
q1ifuumlrfn
hk
i
1jj
i
1j
ji
q1ifuumlr hahalq
1jjj
i
1jjji
33
Konzentrationsmaszlige
bull Verbinden der Punkte (kili) ergibt die Lorenzkurve wobei immer k0=l0=0 und kq=lq=1 gilt
ki
li
0 1
1
34
Konzentrationsmaszlige
bull Interpretation ein Punkt (kili) der Lorenz-kurve gibt an dass auf ki middot 100 der Untersuchungseinheiten li middot 100 des Gesamtbetrages aller Merkmalsaus-praumlgungen entfallen
bull Bsp auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlche
35
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche Betriebendash Abszisse Es wird der Prozentsatz der Betriebe
mit der kleinsten Flaumlche bestimmt dann wird der Prozentsatz der Betriebe mit der zweit-kleinsten Flaumlche bestimmt und zum Prozentsatz der Betriebe mit der kleinsten Flaumlche addiert usw
ndash Ordinate Flaumlchenanteile der Betriebe bzgl der Gesamtflaumlche werden der Flaumlchengroumlszlige nach aufsummiert
36
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeFlaumlchen-groumlszlige
Anzahl der
Betriebe
Flaumlcheng pro
Gruppe
der Betriebe
Flaumlchen-anteile
aufsumm Betriebs-anteile
aufsumm Flaumlchen-anteile
bis 5 ha 21 63 042 0063 042 00635 - 10 ha 9 72 018 0072 060 013510 - 20 ha 9 135 018 0135 078 027020 - 50 ha 8 280 016 028 094 0550gt 50 ha 3 450 006 045 100 1000Gesamt 50 1000 1 1
37
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeLandwirtschaftliche Betriebe
0
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1
aufsummierte Anteile der Betriebe
au
fsu
mm
iert
e F
laumlc
he
na
nte
ile
38
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp Landwirtschaftliche Betriebe
bull Interpretation auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlchendash auf 42 der Betriebe entfallen 63 der Nutzflaumlche
ndash auf 60 der Betriebe entfallen 125 der Nutzflaumlche
ndash auf 78 der Betriebe entfallen 27 der Nutzflaumlche
ndash auf 94 der Betriebe entfallen 55 der Nutzflaumlche
39
Konzentrationsmaszlige
Extremfaumllle
bull Keine Konzentration alle Untersuchungs-einheiten haben den gleichen Anteil am Gesamtbetrag Lorenzkurve ist Diagonale
bull Gesamtbetrag konzentriert sich (fast) vollstaumlndig auf eine Untersuchungseinheit Lorenzkurve liegt (fast) auf Abszisse ist also (fast) senkrecht
40
Konzentrationsmaszlige
Extremfaumllle
0
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
0 02 04 06 08 1
41
Konzentrationsmaszlige
bull Gini-Koeffizient od Lorenzsche Konzentrationsmaszlig (LKM) Maszligzahl fuumlr die Konzentration
bull Definiert als das 2-fache der Flaumlche F zw Diagonale und Lorenzkurve LKM = 2F
bull Es gilt immer 0 LKM (n-1)nbull Standardisierter Gini-Koeffizient
LKMnor = n(n-1) LKM
42
Konzentrationsmaszlige
bull Berechnung von F
ndash k hellip Werte auf Abszisse
ndash l hellip Werte auf Ordinate
ndash q hellip Anzahl der verschiedenen Merkmalsauspraumlgungen
q
1ii 05FF
q
1jjj
iii1-i1ii
i1ii
Ha
Ha
2
kk)l(l
2
kkF
43
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp Landwirtschaftliche Nutzflaumlche
bull LMK = 2F = i2Fi ndash 1 = 16048 ndash 1 = 06408ndash mit i = 1hellip5
bull LKMnor = 5049 middot 06408 = 06539
Flaumlchen-groumlszlige
Flaumlchen-anteile
aufsumm Betriebs-anteile
2 Fi
bis 5 ha 0063 042 0026465 - 10 ha 0072 060 00734410 - 20 ha 0135 078 01863020 - 50 ha 028 094 048630gt 50 ha 045 100 087300Gesamt 1 16455
44
Verhaumlltniszahlen
bull Quotient zweier Maszligzahlen Verhaumlltniszahl
bull Gliederungszahlenndash Man bezieht eine Teilgroumlszlige auf eine ihr
uumlbergeordnete Gesamtgroumlszlige
bull Beziehungszahlenndash Quotient zweier sachlich sinnvoll in
Verbindung stehender Maszligzahlen
bull Index-Zahlenndash Quotient zweier Maszligzahlen gleicher Art
45
Gliederungszahlen
bull Gliederungszahlen
bull Bsp Tagesproduktion 1500 Teile davon 300 fehlerhaft
Dann sind 20 der Tagesproduktion Ausschuss (3001500middot100)
Ausschussanteil ist eine Gliederungszahl
46
Beziehungszahlen
bull Beziehungszahlen
bull Verursachungszahlen
Bezieht Bewegungsmassen auf die zugehoumlrigen Bestandsmassen
bull Entsprechungszahlen
Alle Beziehungszahlen bei denen man Ereignisse nicht auf ihren Bestand beziehen kann
47
Beziehungszahlen
bull Bsp Verursachungszahlen Geburtenziffer
Bestandsmasse Einwohner einer Stadt (E)
Bewegungsmasse Zahl der Lebend-geborenen (L)
G = (LE)1000
Sagt wie viele Geburten auf 1000 Einwohner einer Stadt entfallen
48
Beziehungszahlen
bull Bsp Entsprechungszahlen
Schuumller-Lehrer-Verhaumlltnis
(Zahl der Schuumller) (Zahl der Lehrer)
Sagt wie viele Schuumller (ungefaumlhr) auf eine Lehrer entfallen Dies entspricht aber iA nicht der durchschnittlichen Klassengroumlszlige
49
Indexzahlen
bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt
bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine
realen Sachverhalt
bull (Zusammengesetzte) Indexzahlenndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen
fiktiven Zustand beschreibt
50
Indexzahlen
bull Einfache Indizes
bull Reihe von Maszligzahlen die man in Beziehung zueinander setzen will
x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0
Dann ist
I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2
eine Zeitreihe einfacher Indizes
51
Indexzahlen
bull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziert
bull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0 I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87
Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden
Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor
bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90
Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen
52
Indexzahlen
bull UmbasierenGegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten
bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt
0k
0t
0k
0t
k
tkt I
I
xx
xx
x
xI
53
Indexzahlen
bull Bsp Umsatz fuumlr Jahre 1990 bis 1998
Jahr Umsatz xt x0 xt x4
1990 1240 100 1081991 1210 098 1051992 1180 095 1031993 1190 096 1031994 1150 093 1001995 1080 087 0941996 1120 090 0971997 1130 091 0981998 1200 097 104
54
Indexzahlen
bull Umbasieren Index von 1996 zur Basisperiode 1990 sollen in Index zur Basisperiode 1994 umgerechnet werden ndash I19901996 = 090 (Basisperiode 1990)
ndash I19901994 = 093 (Basisperiode 1990)
ndash I19941996 = 090 093 = 097 (Basisperiode 1994)
bull Verkettung Weiterer Wert fuumlr 1998 ndash I19901998 = I19901994 middot I19941998 = 093 middot 104 = 097
55
Indexzahlen
bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)
bull Betrachte Warenkorb
n Waren zu einem Zeitpunkt t
Mengen qt1qtn
Preise pt1ptn
Wert des Warenkorbes in Periode t
n
1ititiqp
56
Indexzahlen
bull Wertindex
Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0
n
1i0i0i
n
1ititi
0t
qp
qpW
57
Indexzahlen
bull Bsp Durchschnittlicher Verbrauch an Fleisch aller privaten Haushalte in einer Gemeinde Basismonat 1 Berichtsmonat 12 ndash (Mengen in g Preise in DMkg) Fleisch p0i q0i p12i q12i
F1 575 1450 62 1410F2 1225 1260 1355 1200F3 241 50 248 50F4 178 210 181 215F5 455 2450 46 2470F6 1025 1310 104 1230F7 89 980 91 930
gesamt 7710 7505
58
Indexzahlen
bull Bsp Wertindex n 7
ti ti 12i 12ii 1 i 1
0t n 7
0i 0i 0i 0ii 1 i 1
p q p q627505
W 10119620125p q p q
Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i
F1 575 1450 62 1410 83375 8742F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260F3 241 50 248 50 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915F5 455 2450 46 2470 111475 11362F6 1025 1310 104 1230 134275 12792F7 89 980 91 930 8722 8463
gesamt 7710 7505 620125 627505
59
Indexzahlen
bull Bsp Wertindex ndash 100 middot W012 = 100 middot 10119 = 10119
ndash Dh der tatsaumlchliche Aufwand fuumlr Fleisch fuumlr die privaten Haushalte ist vom Basismonat bis zum Berichtsmonat um 119 gestiegen
ndash Es ist hier nicht beruumlcksichtigt dass der durchschnittliche Verbrauch im Berichtsmonat um 205g geringer ist
60
Indexzahlen
bull Preisindizes
bull Aussagen uumlber die Preisentwicklung
bull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche Mengenschema verwenden
61
Indexzahlen
bull Preisindex nach Paasche
bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
62
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Paasche
Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i p0iq12i p12iq0i
F1 575 1450 62 1410 83375 8742 81075 8990F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260 14700 17073F3 241 50 248 50 1205 1240 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915 3827 3801F5 455 2450 46 2470 111475 11362 112385 11270F6 1025 1310 104 1230 134275 12792 126075 13624F7 89 980 91 930 8722 8463 8277 8918
gesamt 7710 7505 620125 627505 599625 64916
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
63
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Paasche
bull Dh nimmt man fuumlr beide Monaten den durchschnittlichen Verbrauch an Fleisch im Berichtsmonat als Mengenschema (Warenkorb) an so sind die Preise in diesem Zeitraum um 465 gestiegen
65104559962
562750100
qp
qp100
qp
qpP100 7
1i12i0i
7
1i12i12i
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
64
Indexzahlen
bull Preisindex nach Laspeyres
bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
qp
qpP
65
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Laspeyres
bull Dh Fuumlr die im Basismonat verbrauchten Mengen an Fleisch muss man in der Berichtsperiode 468 mehr Geld ausgeben
68104562012
64916100
qp
qp100
qp
qpP100 7
1i0i0i
7
1i0i12i
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
66
Indexzahlen
bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres
bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)
bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)
bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden
bull Fishersche Idealindex LPF III
67
Indexzahlen
bull Mengenindizes
bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung (unabhaumlngig von der Preisentwicklung)
68
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Paasche
bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
qp
qpQ
69
Indexzahlen
bull Bsp Mengenindex nach Paasche
bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen im Berichtsmonat ist um 334 gesunken
669664916
562750100
qp
qp100
qp
qpQ100 7
1i0i12i
7
1i12i12i
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
70
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Laspeyres
bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
qp
qpQ
71
Indexzahlen
bull Bsp Mengenindex nach Laspeyres
bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen zum Basismonat ist um 331 gesunken
6996562012
559962100
qp
qp100
qp
qpQ100 7
1i0i0i
7
1i12i0i
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
24
Schiefe
bull Schiefe einer Haumlufigkeitsverteilung aus gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten
bull Berechnung mit Klassenmittel und Klassenmitte kann zu unterschiedlichen Ergebnissen fuumlhren
3k
1ii
2i
i
k
1i
3i
1
h)aa(n1
h)aa(n1
g
3k
1ii
2i
i
k
1i
3i
1
h)a(mn1
h)a(mn1
g
25
Schiefe
bull Linksschiefe Verteilung g1 lt 0Linksschiefe Verteilung
Auspraumlgung
Hauml
ufi
gke
it
26
Schiefe
bull Symmetrische Verteilung g1 = 0Symmetrische Verteilung
Auspraumlgung
Hauml
ufi
gke
it
27
Schiefe
bull Rechtschiefe Verteilung g1 gt 0Rechtsschiefe Verteilung
Auspraumlgung
Haumlu
fig
keit
28
Woumllbung
bull Woumllbung od Kurtosis od Exzeszlig Maszligzahl fuumlr eingipflige Haumlufigkeitsvt
bull Gibt an ob (bei gleicher Varianz) das absolute Maximum der Haumlufigkeitsvt groumlszliger als bei der Dichte der Normalvt ist
3
)a(an1
)a(an1
g 2n
1i
2i
n
1i
4i
2
29
Woumllbung
lt 0 abs Max kleiner als bei N-Vt
g2 = 0 Normalverteilung
gt 0 abs Max groumlszliger als bei N-Vt
bull Woumllbung einer Haumlufigkeitsverteilung aus gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten
3
h)aa(n1
h)aa(n1
g 2n
1ii
2i
k
1ii
4i
2
3
h)a(mn1
h)a(mn1
g 2n
1ii
2i
k
1ii
4i
2
30
Konzentrationsmaszlige
bull Metrisch skaliertes Merkmal X mit nur positiven Auspraumlgungen
bull Frage Wie teilt sich die Summe der Merkmalswerte x1hellipxn in der Beobachtungsreihe auf die Untersuchungs-einheiten auf
bull Bsp n landwirtschaftliche Betriebe Groumlszlige der Nutzflaumlchen x1xn Wie teilt sich die gesamte Nutzflaumlche auf die einzelnen Betriebe auf
31
Konzentrationsmaszlige
bull n Merkmalswerte werden durch q Merkmalsauspraumlgungen a1ltltaq mit absoluten- und relativen Haumlufigkeiten hi bzw fi bestimmt
bull Gesamtbetrag der Merkmalswerte in der Beobachtungsreihe
n
1iii
n
1jj hax
32
Konzentrationsmaszlige
bull Lorenzkurve Grafische Darstellung der Konzentration der Merkmalswerte
bull Koordinatenkreuz ndash Abszisse es werden die nach der Groumlszlige der Merkmals-
auspraumlgung geordneten relativen Haumlufigkeiten aufsummiert
ndash Ordinate Auspraumlgungen werden der Groumlszlige nach
aufsummiert und auf Summe aller Auspraumlgungen bezogen
q1ifuumlrfn
hk
i
1jj
i
1j
ji
q1ifuumlr hahalq
1jjj
i
1jjji
33
Konzentrationsmaszlige
bull Verbinden der Punkte (kili) ergibt die Lorenzkurve wobei immer k0=l0=0 und kq=lq=1 gilt
ki
li
0 1
1
34
Konzentrationsmaszlige
bull Interpretation ein Punkt (kili) der Lorenz-kurve gibt an dass auf ki middot 100 der Untersuchungseinheiten li middot 100 des Gesamtbetrages aller Merkmalsaus-praumlgungen entfallen
bull Bsp auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlche
35
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche Betriebendash Abszisse Es wird der Prozentsatz der Betriebe
mit der kleinsten Flaumlche bestimmt dann wird der Prozentsatz der Betriebe mit der zweit-kleinsten Flaumlche bestimmt und zum Prozentsatz der Betriebe mit der kleinsten Flaumlche addiert usw
ndash Ordinate Flaumlchenanteile der Betriebe bzgl der Gesamtflaumlche werden der Flaumlchengroumlszlige nach aufsummiert
36
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeFlaumlchen-groumlszlige
Anzahl der
Betriebe
Flaumlcheng pro
Gruppe
der Betriebe
Flaumlchen-anteile
aufsumm Betriebs-anteile
aufsumm Flaumlchen-anteile
bis 5 ha 21 63 042 0063 042 00635 - 10 ha 9 72 018 0072 060 013510 - 20 ha 9 135 018 0135 078 027020 - 50 ha 8 280 016 028 094 0550gt 50 ha 3 450 006 045 100 1000Gesamt 50 1000 1 1
37
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeLandwirtschaftliche Betriebe
0
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1
aufsummierte Anteile der Betriebe
au
fsu
mm
iert
e F
laumlc
he
na
nte
ile
38
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp Landwirtschaftliche Betriebe
bull Interpretation auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlchendash auf 42 der Betriebe entfallen 63 der Nutzflaumlche
ndash auf 60 der Betriebe entfallen 125 der Nutzflaumlche
ndash auf 78 der Betriebe entfallen 27 der Nutzflaumlche
ndash auf 94 der Betriebe entfallen 55 der Nutzflaumlche
39
Konzentrationsmaszlige
Extremfaumllle
bull Keine Konzentration alle Untersuchungs-einheiten haben den gleichen Anteil am Gesamtbetrag Lorenzkurve ist Diagonale
bull Gesamtbetrag konzentriert sich (fast) vollstaumlndig auf eine Untersuchungseinheit Lorenzkurve liegt (fast) auf Abszisse ist also (fast) senkrecht
40
Konzentrationsmaszlige
Extremfaumllle
0
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
0 02 04 06 08 1
41
Konzentrationsmaszlige
bull Gini-Koeffizient od Lorenzsche Konzentrationsmaszlig (LKM) Maszligzahl fuumlr die Konzentration
bull Definiert als das 2-fache der Flaumlche F zw Diagonale und Lorenzkurve LKM = 2F
bull Es gilt immer 0 LKM (n-1)nbull Standardisierter Gini-Koeffizient
LKMnor = n(n-1) LKM
42
Konzentrationsmaszlige
bull Berechnung von F
ndash k hellip Werte auf Abszisse
ndash l hellip Werte auf Ordinate
ndash q hellip Anzahl der verschiedenen Merkmalsauspraumlgungen
q
1ii 05FF
q
1jjj
iii1-i1ii
i1ii
Ha
Ha
2
kk)l(l
2
kkF
43
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp Landwirtschaftliche Nutzflaumlche
bull LMK = 2F = i2Fi ndash 1 = 16048 ndash 1 = 06408ndash mit i = 1hellip5
bull LKMnor = 5049 middot 06408 = 06539
Flaumlchen-groumlszlige
Flaumlchen-anteile
aufsumm Betriebs-anteile
2 Fi
bis 5 ha 0063 042 0026465 - 10 ha 0072 060 00734410 - 20 ha 0135 078 01863020 - 50 ha 028 094 048630gt 50 ha 045 100 087300Gesamt 1 16455
44
Verhaumlltniszahlen
bull Quotient zweier Maszligzahlen Verhaumlltniszahl
bull Gliederungszahlenndash Man bezieht eine Teilgroumlszlige auf eine ihr
uumlbergeordnete Gesamtgroumlszlige
bull Beziehungszahlenndash Quotient zweier sachlich sinnvoll in
Verbindung stehender Maszligzahlen
bull Index-Zahlenndash Quotient zweier Maszligzahlen gleicher Art
45
Gliederungszahlen
bull Gliederungszahlen
bull Bsp Tagesproduktion 1500 Teile davon 300 fehlerhaft
Dann sind 20 der Tagesproduktion Ausschuss (3001500middot100)
Ausschussanteil ist eine Gliederungszahl
46
Beziehungszahlen
bull Beziehungszahlen
bull Verursachungszahlen
Bezieht Bewegungsmassen auf die zugehoumlrigen Bestandsmassen
bull Entsprechungszahlen
Alle Beziehungszahlen bei denen man Ereignisse nicht auf ihren Bestand beziehen kann
47
Beziehungszahlen
bull Bsp Verursachungszahlen Geburtenziffer
Bestandsmasse Einwohner einer Stadt (E)
Bewegungsmasse Zahl der Lebend-geborenen (L)
G = (LE)1000
Sagt wie viele Geburten auf 1000 Einwohner einer Stadt entfallen
48
Beziehungszahlen
bull Bsp Entsprechungszahlen
Schuumller-Lehrer-Verhaumlltnis
(Zahl der Schuumller) (Zahl der Lehrer)
Sagt wie viele Schuumller (ungefaumlhr) auf eine Lehrer entfallen Dies entspricht aber iA nicht der durchschnittlichen Klassengroumlszlige
49
Indexzahlen
bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt
bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine
realen Sachverhalt
bull (Zusammengesetzte) Indexzahlenndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen
fiktiven Zustand beschreibt
50
Indexzahlen
bull Einfache Indizes
bull Reihe von Maszligzahlen die man in Beziehung zueinander setzen will
x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0
Dann ist
I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2
eine Zeitreihe einfacher Indizes
51
Indexzahlen
bull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziert
bull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0 I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87
Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden
Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor
bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90
Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen
52
Indexzahlen
bull UmbasierenGegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten
bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt
0k
0t
0k
0t
k
tkt I
I
xx
xx
x
xI
53
Indexzahlen
bull Bsp Umsatz fuumlr Jahre 1990 bis 1998
Jahr Umsatz xt x0 xt x4
1990 1240 100 1081991 1210 098 1051992 1180 095 1031993 1190 096 1031994 1150 093 1001995 1080 087 0941996 1120 090 0971997 1130 091 0981998 1200 097 104
54
Indexzahlen
bull Umbasieren Index von 1996 zur Basisperiode 1990 sollen in Index zur Basisperiode 1994 umgerechnet werden ndash I19901996 = 090 (Basisperiode 1990)
ndash I19901994 = 093 (Basisperiode 1990)
ndash I19941996 = 090 093 = 097 (Basisperiode 1994)
bull Verkettung Weiterer Wert fuumlr 1998 ndash I19901998 = I19901994 middot I19941998 = 093 middot 104 = 097
55
Indexzahlen
bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)
bull Betrachte Warenkorb
n Waren zu einem Zeitpunkt t
Mengen qt1qtn
Preise pt1ptn
Wert des Warenkorbes in Periode t
n
1ititiqp
56
Indexzahlen
bull Wertindex
Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0
n
1i0i0i
n
1ititi
0t
qp
qpW
57
Indexzahlen
bull Bsp Durchschnittlicher Verbrauch an Fleisch aller privaten Haushalte in einer Gemeinde Basismonat 1 Berichtsmonat 12 ndash (Mengen in g Preise in DMkg) Fleisch p0i q0i p12i q12i
F1 575 1450 62 1410F2 1225 1260 1355 1200F3 241 50 248 50F4 178 210 181 215F5 455 2450 46 2470F6 1025 1310 104 1230F7 89 980 91 930
gesamt 7710 7505
58
Indexzahlen
bull Bsp Wertindex n 7
ti ti 12i 12ii 1 i 1
0t n 7
0i 0i 0i 0ii 1 i 1
p q p q627505
W 10119620125p q p q
Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i
F1 575 1450 62 1410 83375 8742F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260F3 241 50 248 50 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915F5 455 2450 46 2470 111475 11362F6 1025 1310 104 1230 134275 12792F7 89 980 91 930 8722 8463
gesamt 7710 7505 620125 627505
59
Indexzahlen
bull Bsp Wertindex ndash 100 middot W012 = 100 middot 10119 = 10119
ndash Dh der tatsaumlchliche Aufwand fuumlr Fleisch fuumlr die privaten Haushalte ist vom Basismonat bis zum Berichtsmonat um 119 gestiegen
ndash Es ist hier nicht beruumlcksichtigt dass der durchschnittliche Verbrauch im Berichtsmonat um 205g geringer ist
60
Indexzahlen
bull Preisindizes
bull Aussagen uumlber die Preisentwicklung
bull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche Mengenschema verwenden
61
Indexzahlen
bull Preisindex nach Paasche
bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
62
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Paasche
Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i p0iq12i p12iq0i
F1 575 1450 62 1410 83375 8742 81075 8990F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260 14700 17073F3 241 50 248 50 1205 1240 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915 3827 3801F5 455 2450 46 2470 111475 11362 112385 11270F6 1025 1310 104 1230 134275 12792 126075 13624F7 89 980 91 930 8722 8463 8277 8918
gesamt 7710 7505 620125 627505 599625 64916
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
63
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Paasche
bull Dh nimmt man fuumlr beide Monaten den durchschnittlichen Verbrauch an Fleisch im Berichtsmonat als Mengenschema (Warenkorb) an so sind die Preise in diesem Zeitraum um 465 gestiegen
65104559962
562750100
qp
qp100
qp
qpP100 7
1i12i0i
7
1i12i12i
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
64
Indexzahlen
bull Preisindex nach Laspeyres
bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
qp
qpP
65
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Laspeyres
bull Dh Fuumlr die im Basismonat verbrauchten Mengen an Fleisch muss man in der Berichtsperiode 468 mehr Geld ausgeben
68104562012
64916100
qp
qp100
qp
qpP100 7
1i0i0i
7
1i0i12i
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
66
Indexzahlen
bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres
bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)
bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)
bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden
bull Fishersche Idealindex LPF III
67
Indexzahlen
bull Mengenindizes
bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung (unabhaumlngig von der Preisentwicklung)
68
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Paasche
bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
qp
qpQ
69
Indexzahlen
bull Bsp Mengenindex nach Paasche
bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen im Berichtsmonat ist um 334 gesunken
669664916
562750100
qp
qp100
qp
qpQ100 7
1i0i12i
7
1i12i12i
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
70
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Laspeyres
bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
qp
qpQ
71
Indexzahlen
bull Bsp Mengenindex nach Laspeyres
bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen zum Basismonat ist um 331 gesunken
6996562012
559962100
qp
qp100
qp
qpQ100 7
1i0i0i
7
1i12i0i
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
25
Schiefe
bull Linksschiefe Verteilung g1 lt 0Linksschiefe Verteilung
Auspraumlgung
Hauml
ufi
gke
it
26
Schiefe
bull Symmetrische Verteilung g1 = 0Symmetrische Verteilung
Auspraumlgung
Hauml
ufi
gke
it
27
Schiefe
bull Rechtschiefe Verteilung g1 gt 0Rechtsschiefe Verteilung
Auspraumlgung
Haumlu
fig
keit
28
Woumllbung
bull Woumllbung od Kurtosis od Exzeszlig Maszligzahl fuumlr eingipflige Haumlufigkeitsvt
bull Gibt an ob (bei gleicher Varianz) das absolute Maximum der Haumlufigkeitsvt groumlszliger als bei der Dichte der Normalvt ist
3
)a(an1
)a(an1
g 2n
1i
2i
n
1i
4i
2
29
Woumllbung
lt 0 abs Max kleiner als bei N-Vt
g2 = 0 Normalverteilung
gt 0 abs Max groumlszliger als bei N-Vt
bull Woumllbung einer Haumlufigkeitsverteilung aus gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten
3
h)aa(n1
h)aa(n1
g 2n
1ii
2i
k
1ii
4i
2
3
h)a(mn1
h)a(mn1
g 2n
1ii
2i
k
1ii
4i
2
30
Konzentrationsmaszlige
bull Metrisch skaliertes Merkmal X mit nur positiven Auspraumlgungen
bull Frage Wie teilt sich die Summe der Merkmalswerte x1hellipxn in der Beobachtungsreihe auf die Untersuchungs-einheiten auf
bull Bsp n landwirtschaftliche Betriebe Groumlszlige der Nutzflaumlchen x1xn Wie teilt sich die gesamte Nutzflaumlche auf die einzelnen Betriebe auf
31
Konzentrationsmaszlige
bull n Merkmalswerte werden durch q Merkmalsauspraumlgungen a1ltltaq mit absoluten- und relativen Haumlufigkeiten hi bzw fi bestimmt
bull Gesamtbetrag der Merkmalswerte in der Beobachtungsreihe
n
1iii
n
1jj hax
32
Konzentrationsmaszlige
bull Lorenzkurve Grafische Darstellung der Konzentration der Merkmalswerte
bull Koordinatenkreuz ndash Abszisse es werden die nach der Groumlszlige der Merkmals-
auspraumlgung geordneten relativen Haumlufigkeiten aufsummiert
ndash Ordinate Auspraumlgungen werden der Groumlszlige nach
aufsummiert und auf Summe aller Auspraumlgungen bezogen
q1ifuumlrfn
hk
i
1jj
i
1j
ji
q1ifuumlr hahalq
1jjj
i
1jjji
33
Konzentrationsmaszlige
bull Verbinden der Punkte (kili) ergibt die Lorenzkurve wobei immer k0=l0=0 und kq=lq=1 gilt
ki
li
0 1
1
34
Konzentrationsmaszlige
bull Interpretation ein Punkt (kili) der Lorenz-kurve gibt an dass auf ki middot 100 der Untersuchungseinheiten li middot 100 des Gesamtbetrages aller Merkmalsaus-praumlgungen entfallen
bull Bsp auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlche
35
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche Betriebendash Abszisse Es wird der Prozentsatz der Betriebe
mit der kleinsten Flaumlche bestimmt dann wird der Prozentsatz der Betriebe mit der zweit-kleinsten Flaumlche bestimmt und zum Prozentsatz der Betriebe mit der kleinsten Flaumlche addiert usw
ndash Ordinate Flaumlchenanteile der Betriebe bzgl der Gesamtflaumlche werden der Flaumlchengroumlszlige nach aufsummiert
36
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeFlaumlchen-groumlszlige
Anzahl der
Betriebe
Flaumlcheng pro
Gruppe
der Betriebe
Flaumlchen-anteile
aufsumm Betriebs-anteile
aufsumm Flaumlchen-anteile
bis 5 ha 21 63 042 0063 042 00635 - 10 ha 9 72 018 0072 060 013510 - 20 ha 9 135 018 0135 078 027020 - 50 ha 8 280 016 028 094 0550gt 50 ha 3 450 006 045 100 1000Gesamt 50 1000 1 1
37
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeLandwirtschaftliche Betriebe
0
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1
aufsummierte Anteile der Betriebe
au
fsu
mm
iert
e F
laumlc
he
na
nte
ile
38
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp Landwirtschaftliche Betriebe
bull Interpretation auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlchendash auf 42 der Betriebe entfallen 63 der Nutzflaumlche
ndash auf 60 der Betriebe entfallen 125 der Nutzflaumlche
ndash auf 78 der Betriebe entfallen 27 der Nutzflaumlche
ndash auf 94 der Betriebe entfallen 55 der Nutzflaumlche
39
Konzentrationsmaszlige
Extremfaumllle
bull Keine Konzentration alle Untersuchungs-einheiten haben den gleichen Anteil am Gesamtbetrag Lorenzkurve ist Diagonale
bull Gesamtbetrag konzentriert sich (fast) vollstaumlndig auf eine Untersuchungseinheit Lorenzkurve liegt (fast) auf Abszisse ist also (fast) senkrecht
40
Konzentrationsmaszlige
Extremfaumllle
0
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
0 02 04 06 08 1
41
Konzentrationsmaszlige
bull Gini-Koeffizient od Lorenzsche Konzentrationsmaszlig (LKM) Maszligzahl fuumlr die Konzentration
bull Definiert als das 2-fache der Flaumlche F zw Diagonale und Lorenzkurve LKM = 2F
bull Es gilt immer 0 LKM (n-1)nbull Standardisierter Gini-Koeffizient
LKMnor = n(n-1) LKM
42
Konzentrationsmaszlige
bull Berechnung von F
ndash k hellip Werte auf Abszisse
ndash l hellip Werte auf Ordinate
ndash q hellip Anzahl der verschiedenen Merkmalsauspraumlgungen
q
1ii 05FF
q
1jjj
iii1-i1ii
i1ii
Ha
Ha
2
kk)l(l
2
kkF
43
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp Landwirtschaftliche Nutzflaumlche
bull LMK = 2F = i2Fi ndash 1 = 16048 ndash 1 = 06408ndash mit i = 1hellip5
bull LKMnor = 5049 middot 06408 = 06539
Flaumlchen-groumlszlige
Flaumlchen-anteile
aufsumm Betriebs-anteile
2 Fi
bis 5 ha 0063 042 0026465 - 10 ha 0072 060 00734410 - 20 ha 0135 078 01863020 - 50 ha 028 094 048630gt 50 ha 045 100 087300Gesamt 1 16455
44
Verhaumlltniszahlen
bull Quotient zweier Maszligzahlen Verhaumlltniszahl
bull Gliederungszahlenndash Man bezieht eine Teilgroumlszlige auf eine ihr
uumlbergeordnete Gesamtgroumlszlige
bull Beziehungszahlenndash Quotient zweier sachlich sinnvoll in
Verbindung stehender Maszligzahlen
bull Index-Zahlenndash Quotient zweier Maszligzahlen gleicher Art
45
Gliederungszahlen
bull Gliederungszahlen
bull Bsp Tagesproduktion 1500 Teile davon 300 fehlerhaft
Dann sind 20 der Tagesproduktion Ausschuss (3001500middot100)
Ausschussanteil ist eine Gliederungszahl
46
Beziehungszahlen
bull Beziehungszahlen
bull Verursachungszahlen
Bezieht Bewegungsmassen auf die zugehoumlrigen Bestandsmassen
bull Entsprechungszahlen
Alle Beziehungszahlen bei denen man Ereignisse nicht auf ihren Bestand beziehen kann
47
Beziehungszahlen
bull Bsp Verursachungszahlen Geburtenziffer
Bestandsmasse Einwohner einer Stadt (E)
Bewegungsmasse Zahl der Lebend-geborenen (L)
G = (LE)1000
Sagt wie viele Geburten auf 1000 Einwohner einer Stadt entfallen
48
Beziehungszahlen
bull Bsp Entsprechungszahlen
Schuumller-Lehrer-Verhaumlltnis
(Zahl der Schuumller) (Zahl der Lehrer)
Sagt wie viele Schuumller (ungefaumlhr) auf eine Lehrer entfallen Dies entspricht aber iA nicht der durchschnittlichen Klassengroumlszlige
49
Indexzahlen
bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt
bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine
realen Sachverhalt
bull (Zusammengesetzte) Indexzahlenndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen
fiktiven Zustand beschreibt
50
Indexzahlen
bull Einfache Indizes
bull Reihe von Maszligzahlen die man in Beziehung zueinander setzen will
x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0
Dann ist
I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2
eine Zeitreihe einfacher Indizes
51
Indexzahlen
bull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziert
bull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0 I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87
Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden
Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor
bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90
Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen
52
Indexzahlen
bull UmbasierenGegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten
bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt
0k
0t
0k
0t
k
tkt I
I
xx
xx
x
xI
53
Indexzahlen
bull Bsp Umsatz fuumlr Jahre 1990 bis 1998
Jahr Umsatz xt x0 xt x4
1990 1240 100 1081991 1210 098 1051992 1180 095 1031993 1190 096 1031994 1150 093 1001995 1080 087 0941996 1120 090 0971997 1130 091 0981998 1200 097 104
54
Indexzahlen
bull Umbasieren Index von 1996 zur Basisperiode 1990 sollen in Index zur Basisperiode 1994 umgerechnet werden ndash I19901996 = 090 (Basisperiode 1990)
ndash I19901994 = 093 (Basisperiode 1990)
ndash I19941996 = 090 093 = 097 (Basisperiode 1994)
bull Verkettung Weiterer Wert fuumlr 1998 ndash I19901998 = I19901994 middot I19941998 = 093 middot 104 = 097
55
Indexzahlen
bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)
bull Betrachte Warenkorb
n Waren zu einem Zeitpunkt t
Mengen qt1qtn
Preise pt1ptn
Wert des Warenkorbes in Periode t
n
1ititiqp
56
Indexzahlen
bull Wertindex
Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0
n
1i0i0i
n
1ititi
0t
qp
qpW
57
Indexzahlen
bull Bsp Durchschnittlicher Verbrauch an Fleisch aller privaten Haushalte in einer Gemeinde Basismonat 1 Berichtsmonat 12 ndash (Mengen in g Preise in DMkg) Fleisch p0i q0i p12i q12i
F1 575 1450 62 1410F2 1225 1260 1355 1200F3 241 50 248 50F4 178 210 181 215F5 455 2450 46 2470F6 1025 1310 104 1230F7 89 980 91 930
gesamt 7710 7505
58
Indexzahlen
bull Bsp Wertindex n 7
ti ti 12i 12ii 1 i 1
0t n 7
0i 0i 0i 0ii 1 i 1
p q p q627505
W 10119620125p q p q
Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i
F1 575 1450 62 1410 83375 8742F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260F3 241 50 248 50 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915F5 455 2450 46 2470 111475 11362F6 1025 1310 104 1230 134275 12792F7 89 980 91 930 8722 8463
gesamt 7710 7505 620125 627505
59
Indexzahlen
bull Bsp Wertindex ndash 100 middot W012 = 100 middot 10119 = 10119
ndash Dh der tatsaumlchliche Aufwand fuumlr Fleisch fuumlr die privaten Haushalte ist vom Basismonat bis zum Berichtsmonat um 119 gestiegen
ndash Es ist hier nicht beruumlcksichtigt dass der durchschnittliche Verbrauch im Berichtsmonat um 205g geringer ist
60
Indexzahlen
bull Preisindizes
bull Aussagen uumlber die Preisentwicklung
bull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche Mengenschema verwenden
61
Indexzahlen
bull Preisindex nach Paasche
bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
62
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Paasche
Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i p0iq12i p12iq0i
F1 575 1450 62 1410 83375 8742 81075 8990F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260 14700 17073F3 241 50 248 50 1205 1240 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915 3827 3801F5 455 2450 46 2470 111475 11362 112385 11270F6 1025 1310 104 1230 134275 12792 126075 13624F7 89 980 91 930 8722 8463 8277 8918
gesamt 7710 7505 620125 627505 599625 64916
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
63
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Paasche
bull Dh nimmt man fuumlr beide Monaten den durchschnittlichen Verbrauch an Fleisch im Berichtsmonat als Mengenschema (Warenkorb) an so sind die Preise in diesem Zeitraum um 465 gestiegen
65104559962
562750100
qp
qp100
qp
qpP100 7
1i12i0i
7
1i12i12i
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
64
Indexzahlen
bull Preisindex nach Laspeyres
bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
qp
qpP
65
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Laspeyres
bull Dh Fuumlr die im Basismonat verbrauchten Mengen an Fleisch muss man in der Berichtsperiode 468 mehr Geld ausgeben
68104562012
64916100
qp
qp100
qp
qpP100 7
1i0i0i
7
1i0i12i
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
66
Indexzahlen
bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres
bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)
bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)
bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden
bull Fishersche Idealindex LPF III
67
Indexzahlen
bull Mengenindizes
bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung (unabhaumlngig von der Preisentwicklung)
68
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Paasche
bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
qp
qpQ
69
Indexzahlen
bull Bsp Mengenindex nach Paasche
bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen im Berichtsmonat ist um 334 gesunken
669664916
562750100
qp
qp100
qp
qpQ100 7
1i0i12i
7
1i12i12i
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
70
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Laspeyres
bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
qp
qpQ
71
Indexzahlen
bull Bsp Mengenindex nach Laspeyres
bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen zum Basismonat ist um 331 gesunken
6996562012
559962100
qp
qp100
qp
qpQ100 7
1i0i0i
7
1i12i0i
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
26
Schiefe
bull Symmetrische Verteilung g1 = 0Symmetrische Verteilung
Auspraumlgung
Hauml
ufi
gke
it
27
Schiefe
bull Rechtschiefe Verteilung g1 gt 0Rechtsschiefe Verteilung
Auspraumlgung
Haumlu
fig
keit
28
Woumllbung
bull Woumllbung od Kurtosis od Exzeszlig Maszligzahl fuumlr eingipflige Haumlufigkeitsvt
bull Gibt an ob (bei gleicher Varianz) das absolute Maximum der Haumlufigkeitsvt groumlszliger als bei der Dichte der Normalvt ist
3
)a(an1
)a(an1
g 2n
1i
2i
n
1i
4i
2
29
Woumllbung
lt 0 abs Max kleiner als bei N-Vt
g2 = 0 Normalverteilung
gt 0 abs Max groumlszliger als bei N-Vt
bull Woumllbung einer Haumlufigkeitsverteilung aus gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten
3
h)aa(n1
h)aa(n1
g 2n
1ii
2i
k
1ii
4i
2
3
h)a(mn1
h)a(mn1
g 2n
1ii
2i
k
1ii
4i
2
30
Konzentrationsmaszlige
bull Metrisch skaliertes Merkmal X mit nur positiven Auspraumlgungen
bull Frage Wie teilt sich die Summe der Merkmalswerte x1hellipxn in der Beobachtungsreihe auf die Untersuchungs-einheiten auf
bull Bsp n landwirtschaftliche Betriebe Groumlszlige der Nutzflaumlchen x1xn Wie teilt sich die gesamte Nutzflaumlche auf die einzelnen Betriebe auf
31
Konzentrationsmaszlige
bull n Merkmalswerte werden durch q Merkmalsauspraumlgungen a1ltltaq mit absoluten- und relativen Haumlufigkeiten hi bzw fi bestimmt
bull Gesamtbetrag der Merkmalswerte in der Beobachtungsreihe
n
1iii
n
1jj hax
32
Konzentrationsmaszlige
bull Lorenzkurve Grafische Darstellung der Konzentration der Merkmalswerte
bull Koordinatenkreuz ndash Abszisse es werden die nach der Groumlszlige der Merkmals-
auspraumlgung geordneten relativen Haumlufigkeiten aufsummiert
ndash Ordinate Auspraumlgungen werden der Groumlszlige nach
aufsummiert und auf Summe aller Auspraumlgungen bezogen
q1ifuumlrfn
hk
i
1jj
i
1j
ji
q1ifuumlr hahalq
1jjj
i
1jjji
33
Konzentrationsmaszlige
bull Verbinden der Punkte (kili) ergibt die Lorenzkurve wobei immer k0=l0=0 und kq=lq=1 gilt
ki
li
0 1
1
34
Konzentrationsmaszlige
bull Interpretation ein Punkt (kili) der Lorenz-kurve gibt an dass auf ki middot 100 der Untersuchungseinheiten li middot 100 des Gesamtbetrages aller Merkmalsaus-praumlgungen entfallen
bull Bsp auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlche
35
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche Betriebendash Abszisse Es wird der Prozentsatz der Betriebe
mit der kleinsten Flaumlche bestimmt dann wird der Prozentsatz der Betriebe mit der zweit-kleinsten Flaumlche bestimmt und zum Prozentsatz der Betriebe mit der kleinsten Flaumlche addiert usw
ndash Ordinate Flaumlchenanteile der Betriebe bzgl der Gesamtflaumlche werden der Flaumlchengroumlszlige nach aufsummiert
36
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeFlaumlchen-groumlszlige
Anzahl der
Betriebe
Flaumlcheng pro
Gruppe
der Betriebe
Flaumlchen-anteile
aufsumm Betriebs-anteile
aufsumm Flaumlchen-anteile
bis 5 ha 21 63 042 0063 042 00635 - 10 ha 9 72 018 0072 060 013510 - 20 ha 9 135 018 0135 078 027020 - 50 ha 8 280 016 028 094 0550gt 50 ha 3 450 006 045 100 1000Gesamt 50 1000 1 1
37
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeLandwirtschaftliche Betriebe
0
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1
aufsummierte Anteile der Betriebe
au
fsu
mm
iert
e F
laumlc
he
na
nte
ile
38
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp Landwirtschaftliche Betriebe
bull Interpretation auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlchendash auf 42 der Betriebe entfallen 63 der Nutzflaumlche
ndash auf 60 der Betriebe entfallen 125 der Nutzflaumlche
ndash auf 78 der Betriebe entfallen 27 der Nutzflaumlche
ndash auf 94 der Betriebe entfallen 55 der Nutzflaumlche
39
Konzentrationsmaszlige
Extremfaumllle
bull Keine Konzentration alle Untersuchungs-einheiten haben den gleichen Anteil am Gesamtbetrag Lorenzkurve ist Diagonale
bull Gesamtbetrag konzentriert sich (fast) vollstaumlndig auf eine Untersuchungseinheit Lorenzkurve liegt (fast) auf Abszisse ist also (fast) senkrecht
40
Konzentrationsmaszlige
Extremfaumllle
0
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
0 02 04 06 08 1
41
Konzentrationsmaszlige
bull Gini-Koeffizient od Lorenzsche Konzentrationsmaszlig (LKM) Maszligzahl fuumlr die Konzentration
bull Definiert als das 2-fache der Flaumlche F zw Diagonale und Lorenzkurve LKM = 2F
bull Es gilt immer 0 LKM (n-1)nbull Standardisierter Gini-Koeffizient
LKMnor = n(n-1) LKM
42
Konzentrationsmaszlige
bull Berechnung von F
ndash k hellip Werte auf Abszisse
ndash l hellip Werte auf Ordinate
ndash q hellip Anzahl der verschiedenen Merkmalsauspraumlgungen
q
1ii 05FF
q
1jjj
iii1-i1ii
i1ii
Ha
Ha
2
kk)l(l
2
kkF
43
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp Landwirtschaftliche Nutzflaumlche
bull LMK = 2F = i2Fi ndash 1 = 16048 ndash 1 = 06408ndash mit i = 1hellip5
bull LKMnor = 5049 middot 06408 = 06539
Flaumlchen-groumlszlige
Flaumlchen-anteile
aufsumm Betriebs-anteile
2 Fi
bis 5 ha 0063 042 0026465 - 10 ha 0072 060 00734410 - 20 ha 0135 078 01863020 - 50 ha 028 094 048630gt 50 ha 045 100 087300Gesamt 1 16455
44
Verhaumlltniszahlen
bull Quotient zweier Maszligzahlen Verhaumlltniszahl
bull Gliederungszahlenndash Man bezieht eine Teilgroumlszlige auf eine ihr
uumlbergeordnete Gesamtgroumlszlige
bull Beziehungszahlenndash Quotient zweier sachlich sinnvoll in
Verbindung stehender Maszligzahlen
bull Index-Zahlenndash Quotient zweier Maszligzahlen gleicher Art
45
Gliederungszahlen
bull Gliederungszahlen
bull Bsp Tagesproduktion 1500 Teile davon 300 fehlerhaft
Dann sind 20 der Tagesproduktion Ausschuss (3001500middot100)
Ausschussanteil ist eine Gliederungszahl
46
Beziehungszahlen
bull Beziehungszahlen
bull Verursachungszahlen
Bezieht Bewegungsmassen auf die zugehoumlrigen Bestandsmassen
bull Entsprechungszahlen
Alle Beziehungszahlen bei denen man Ereignisse nicht auf ihren Bestand beziehen kann
47
Beziehungszahlen
bull Bsp Verursachungszahlen Geburtenziffer
Bestandsmasse Einwohner einer Stadt (E)
Bewegungsmasse Zahl der Lebend-geborenen (L)
G = (LE)1000
Sagt wie viele Geburten auf 1000 Einwohner einer Stadt entfallen
48
Beziehungszahlen
bull Bsp Entsprechungszahlen
Schuumller-Lehrer-Verhaumlltnis
(Zahl der Schuumller) (Zahl der Lehrer)
Sagt wie viele Schuumller (ungefaumlhr) auf eine Lehrer entfallen Dies entspricht aber iA nicht der durchschnittlichen Klassengroumlszlige
49
Indexzahlen
bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt
bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine
realen Sachverhalt
bull (Zusammengesetzte) Indexzahlenndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen
fiktiven Zustand beschreibt
50
Indexzahlen
bull Einfache Indizes
bull Reihe von Maszligzahlen die man in Beziehung zueinander setzen will
x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0
Dann ist
I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2
eine Zeitreihe einfacher Indizes
51
Indexzahlen
bull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziert
bull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0 I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87
Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden
Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor
bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90
Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen
52
Indexzahlen
bull UmbasierenGegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten
bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt
0k
0t
0k
0t
k
tkt I
I
xx
xx
x
xI
53
Indexzahlen
bull Bsp Umsatz fuumlr Jahre 1990 bis 1998
Jahr Umsatz xt x0 xt x4
1990 1240 100 1081991 1210 098 1051992 1180 095 1031993 1190 096 1031994 1150 093 1001995 1080 087 0941996 1120 090 0971997 1130 091 0981998 1200 097 104
54
Indexzahlen
bull Umbasieren Index von 1996 zur Basisperiode 1990 sollen in Index zur Basisperiode 1994 umgerechnet werden ndash I19901996 = 090 (Basisperiode 1990)
ndash I19901994 = 093 (Basisperiode 1990)
ndash I19941996 = 090 093 = 097 (Basisperiode 1994)
bull Verkettung Weiterer Wert fuumlr 1998 ndash I19901998 = I19901994 middot I19941998 = 093 middot 104 = 097
55
Indexzahlen
bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)
bull Betrachte Warenkorb
n Waren zu einem Zeitpunkt t
Mengen qt1qtn
Preise pt1ptn
Wert des Warenkorbes in Periode t
n
1ititiqp
56
Indexzahlen
bull Wertindex
Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0
n
1i0i0i
n
1ititi
0t
qp
qpW
57
Indexzahlen
bull Bsp Durchschnittlicher Verbrauch an Fleisch aller privaten Haushalte in einer Gemeinde Basismonat 1 Berichtsmonat 12 ndash (Mengen in g Preise in DMkg) Fleisch p0i q0i p12i q12i
F1 575 1450 62 1410F2 1225 1260 1355 1200F3 241 50 248 50F4 178 210 181 215F5 455 2450 46 2470F6 1025 1310 104 1230F7 89 980 91 930
gesamt 7710 7505
58
Indexzahlen
bull Bsp Wertindex n 7
ti ti 12i 12ii 1 i 1
0t n 7
0i 0i 0i 0ii 1 i 1
p q p q627505
W 10119620125p q p q
Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i
F1 575 1450 62 1410 83375 8742F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260F3 241 50 248 50 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915F5 455 2450 46 2470 111475 11362F6 1025 1310 104 1230 134275 12792F7 89 980 91 930 8722 8463
gesamt 7710 7505 620125 627505
59
Indexzahlen
bull Bsp Wertindex ndash 100 middot W012 = 100 middot 10119 = 10119
ndash Dh der tatsaumlchliche Aufwand fuumlr Fleisch fuumlr die privaten Haushalte ist vom Basismonat bis zum Berichtsmonat um 119 gestiegen
ndash Es ist hier nicht beruumlcksichtigt dass der durchschnittliche Verbrauch im Berichtsmonat um 205g geringer ist
60
Indexzahlen
bull Preisindizes
bull Aussagen uumlber die Preisentwicklung
bull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche Mengenschema verwenden
61
Indexzahlen
bull Preisindex nach Paasche
bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
62
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Paasche
Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i p0iq12i p12iq0i
F1 575 1450 62 1410 83375 8742 81075 8990F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260 14700 17073F3 241 50 248 50 1205 1240 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915 3827 3801F5 455 2450 46 2470 111475 11362 112385 11270F6 1025 1310 104 1230 134275 12792 126075 13624F7 89 980 91 930 8722 8463 8277 8918
gesamt 7710 7505 620125 627505 599625 64916
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
63
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Paasche
bull Dh nimmt man fuumlr beide Monaten den durchschnittlichen Verbrauch an Fleisch im Berichtsmonat als Mengenschema (Warenkorb) an so sind die Preise in diesem Zeitraum um 465 gestiegen
65104559962
562750100
qp
qp100
qp
qpP100 7
1i12i0i
7
1i12i12i
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
64
Indexzahlen
bull Preisindex nach Laspeyres
bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
qp
qpP
65
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Laspeyres
bull Dh Fuumlr die im Basismonat verbrauchten Mengen an Fleisch muss man in der Berichtsperiode 468 mehr Geld ausgeben
68104562012
64916100
qp
qp100
qp
qpP100 7
1i0i0i
7
1i0i12i
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
66
Indexzahlen
bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres
bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)
bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)
bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden
bull Fishersche Idealindex LPF III
67
Indexzahlen
bull Mengenindizes
bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung (unabhaumlngig von der Preisentwicklung)
68
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Paasche
bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
qp
qpQ
69
Indexzahlen
bull Bsp Mengenindex nach Paasche
bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen im Berichtsmonat ist um 334 gesunken
669664916
562750100
qp
qp100
qp
qpQ100 7
1i0i12i
7
1i12i12i
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
70
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Laspeyres
bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
qp
qpQ
71
Indexzahlen
bull Bsp Mengenindex nach Laspeyres
bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen zum Basismonat ist um 331 gesunken
6996562012
559962100
qp
qp100
qp
qpQ100 7
1i0i0i
7
1i12i0i
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
27
Schiefe
bull Rechtschiefe Verteilung g1 gt 0Rechtsschiefe Verteilung
Auspraumlgung
Haumlu
fig
keit
28
Woumllbung
bull Woumllbung od Kurtosis od Exzeszlig Maszligzahl fuumlr eingipflige Haumlufigkeitsvt
bull Gibt an ob (bei gleicher Varianz) das absolute Maximum der Haumlufigkeitsvt groumlszliger als bei der Dichte der Normalvt ist
3
)a(an1
)a(an1
g 2n
1i
2i
n
1i
4i
2
29
Woumllbung
lt 0 abs Max kleiner als bei N-Vt
g2 = 0 Normalverteilung
gt 0 abs Max groumlszliger als bei N-Vt
bull Woumllbung einer Haumlufigkeitsverteilung aus gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten
3
h)aa(n1
h)aa(n1
g 2n
1ii
2i
k
1ii
4i
2
3
h)a(mn1
h)a(mn1
g 2n
1ii
2i
k
1ii
4i
2
30
Konzentrationsmaszlige
bull Metrisch skaliertes Merkmal X mit nur positiven Auspraumlgungen
bull Frage Wie teilt sich die Summe der Merkmalswerte x1hellipxn in der Beobachtungsreihe auf die Untersuchungs-einheiten auf
bull Bsp n landwirtschaftliche Betriebe Groumlszlige der Nutzflaumlchen x1xn Wie teilt sich die gesamte Nutzflaumlche auf die einzelnen Betriebe auf
31
Konzentrationsmaszlige
bull n Merkmalswerte werden durch q Merkmalsauspraumlgungen a1ltltaq mit absoluten- und relativen Haumlufigkeiten hi bzw fi bestimmt
bull Gesamtbetrag der Merkmalswerte in der Beobachtungsreihe
n
1iii
n
1jj hax
32
Konzentrationsmaszlige
bull Lorenzkurve Grafische Darstellung der Konzentration der Merkmalswerte
bull Koordinatenkreuz ndash Abszisse es werden die nach der Groumlszlige der Merkmals-
auspraumlgung geordneten relativen Haumlufigkeiten aufsummiert
ndash Ordinate Auspraumlgungen werden der Groumlszlige nach
aufsummiert und auf Summe aller Auspraumlgungen bezogen
q1ifuumlrfn
hk
i
1jj
i
1j
ji
q1ifuumlr hahalq
1jjj
i
1jjji
33
Konzentrationsmaszlige
bull Verbinden der Punkte (kili) ergibt die Lorenzkurve wobei immer k0=l0=0 und kq=lq=1 gilt
ki
li
0 1
1
34
Konzentrationsmaszlige
bull Interpretation ein Punkt (kili) der Lorenz-kurve gibt an dass auf ki middot 100 der Untersuchungseinheiten li middot 100 des Gesamtbetrages aller Merkmalsaus-praumlgungen entfallen
bull Bsp auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlche
35
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche Betriebendash Abszisse Es wird der Prozentsatz der Betriebe
mit der kleinsten Flaumlche bestimmt dann wird der Prozentsatz der Betriebe mit der zweit-kleinsten Flaumlche bestimmt und zum Prozentsatz der Betriebe mit der kleinsten Flaumlche addiert usw
ndash Ordinate Flaumlchenanteile der Betriebe bzgl der Gesamtflaumlche werden der Flaumlchengroumlszlige nach aufsummiert
36
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeFlaumlchen-groumlszlige
Anzahl der
Betriebe
Flaumlcheng pro
Gruppe
der Betriebe
Flaumlchen-anteile
aufsumm Betriebs-anteile
aufsumm Flaumlchen-anteile
bis 5 ha 21 63 042 0063 042 00635 - 10 ha 9 72 018 0072 060 013510 - 20 ha 9 135 018 0135 078 027020 - 50 ha 8 280 016 028 094 0550gt 50 ha 3 450 006 045 100 1000Gesamt 50 1000 1 1
37
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeLandwirtschaftliche Betriebe
0
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1
aufsummierte Anteile der Betriebe
au
fsu
mm
iert
e F
laumlc
he
na
nte
ile
38
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp Landwirtschaftliche Betriebe
bull Interpretation auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlchendash auf 42 der Betriebe entfallen 63 der Nutzflaumlche
ndash auf 60 der Betriebe entfallen 125 der Nutzflaumlche
ndash auf 78 der Betriebe entfallen 27 der Nutzflaumlche
ndash auf 94 der Betriebe entfallen 55 der Nutzflaumlche
39
Konzentrationsmaszlige
Extremfaumllle
bull Keine Konzentration alle Untersuchungs-einheiten haben den gleichen Anteil am Gesamtbetrag Lorenzkurve ist Diagonale
bull Gesamtbetrag konzentriert sich (fast) vollstaumlndig auf eine Untersuchungseinheit Lorenzkurve liegt (fast) auf Abszisse ist also (fast) senkrecht
40
Konzentrationsmaszlige
Extremfaumllle
0
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
0 02 04 06 08 1
41
Konzentrationsmaszlige
bull Gini-Koeffizient od Lorenzsche Konzentrationsmaszlig (LKM) Maszligzahl fuumlr die Konzentration
bull Definiert als das 2-fache der Flaumlche F zw Diagonale und Lorenzkurve LKM = 2F
bull Es gilt immer 0 LKM (n-1)nbull Standardisierter Gini-Koeffizient
LKMnor = n(n-1) LKM
42
Konzentrationsmaszlige
bull Berechnung von F
ndash k hellip Werte auf Abszisse
ndash l hellip Werte auf Ordinate
ndash q hellip Anzahl der verschiedenen Merkmalsauspraumlgungen
q
1ii 05FF
q
1jjj
iii1-i1ii
i1ii
Ha
Ha
2
kk)l(l
2
kkF
43
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp Landwirtschaftliche Nutzflaumlche
bull LMK = 2F = i2Fi ndash 1 = 16048 ndash 1 = 06408ndash mit i = 1hellip5
bull LKMnor = 5049 middot 06408 = 06539
Flaumlchen-groumlszlige
Flaumlchen-anteile
aufsumm Betriebs-anteile
2 Fi
bis 5 ha 0063 042 0026465 - 10 ha 0072 060 00734410 - 20 ha 0135 078 01863020 - 50 ha 028 094 048630gt 50 ha 045 100 087300Gesamt 1 16455
44
Verhaumlltniszahlen
bull Quotient zweier Maszligzahlen Verhaumlltniszahl
bull Gliederungszahlenndash Man bezieht eine Teilgroumlszlige auf eine ihr
uumlbergeordnete Gesamtgroumlszlige
bull Beziehungszahlenndash Quotient zweier sachlich sinnvoll in
Verbindung stehender Maszligzahlen
bull Index-Zahlenndash Quotient zweier Maszligzahlen gleicher Art
45
Gliederungszahlen
bull Gliederungszahlen
bull Bsp Tagesproduktion 1500 Teile davon 300 fehlerhaft
Dann sind 20 der Tagesproduktion Ausschuss (3001500middot100)
Ausschussanteil ist eine Gliederungszahl
46
Beziehungszahlen
bull Beziehungszahlen
bull Verursachungszahlen
Bezieht Bewegungsmassen auf die zugehoumlrigen Bestandsmassen
bull Entsprechungszahlen
Alle Beziehungszahlen bei denen man Ereignisse nicht auf ihren Bestand beziehen kann
47
Beziehungszahlen
bull Bsp Verursachungszahlen Geburtenziffer
Bestandsmasse Einwohner einer Stadt (E)
Bewegungsmasse Zahl der Lebend-geborenen (L)
G = (LE)1000
Sagt wie viele Geburten auf 1000 Einwohner einer Stadt entfallen
48
Beziehungszahlen
bull Bsp Entsprechungszahlen
Schuumller-Lehrer-Verhaumlltnis
(Zahl der Schuumller) (Zahl der Lehrer)
Sagt wie viele Schuumller (ungefaumlhr) auf eine Lehrer entfallen Dies entspricht aber iA nicht der durchschnittlichen Klassengroumlszlige
49
Indexzahlen
bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt
bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine
realen Sachverhalt
bull (Zusammengesetzte) Indexzahlenndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen
fiktiven Zustand beschreibt
50
Indexzahlen
bull Einfache Indizes
bull Reihe von Maszligzahlen die man in Beziehung zueinander setzen will
x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0
Dann ist
I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2
eine Zeitreihe einfacher Indizes
51
Indexzahlen
bull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziert
bull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0 I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87
Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden
Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor
bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90
Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen
52
Indexzahlen
bull UmbasierenGegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten
bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt
0k
0t
0k
0t
k
tkt I
I
xx
xx
x
xI
53
Indexzahlen
bull Bsp Umsatz fuumlr Jahre 1990 bis 1998
Jahr Umsatz xt x0 xt x4
1990 1240 100 1081991 1210 098 1051992 1180 095 1031993 1190 096 1031994 1150 093 1001995 1080 087 0941996 1120 090 0971997 1130 091 0981998 1200 097 104
54
Indexzahlen
bull Umbasieren Index von 1996 zur Basisperiode 1990 sollen in Index zur Basisperiode 1994 umgerechnet werden ndash I19901996 = 090 (Basisperiode 1990)
ndash I19901994 = 093 (Basisperiode 1990)
ndash I19941996 = 090 093 = 097 (Basisperiode 1994)
bull Verkettung Weiterer Wert fuumlr 1998 ndash I19901998 = I19901994 middot I19941998 = 093 middot 104 = 097
55
Indexzahlen
bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)
bull Betrachte Warenkorb
n Waren zu einem Zeitpunkt t
Mengen qt1qtn
Preise pt1ptn
Wert des Warenkorbes in Periode t
n
1ititiqp
56
Indexzahlen
bull Wertindex
Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0
n
1i0i0i
n
1ititi
0t
qp
qpW
57
Indexzahlen
bull Bsp Durchschnittlicher Verbrauch an Fleisch aller privaten Haushalte in einer Gemeinde Basismonat 1 Berichtsmonat 12 ndash (Mengen in g Preise in DMkg) Fleisch p0i q0i p12i q12i
F1 575 1450 62 1410F2 1225 1260 1355 1200F3 241 50 248 50F4 178 210 181 215F5 455 2450 46 2470F6 1025 1310 104 1230F7 89 980 91 930
gesamt 7710 7505
58
Indexzahlen
bull Bsp Wertindex n 7
ti ti 12i 12ii 1 i 1
0t n 7
0i 0i 0i 0ii 1 i 1
p q p q627505
W 10119620125p q p q
Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i
F1 575 1450 62 1410 83375 8742F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260F3 241 50 248 50 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915F5 455 2450 46 2470 111475 11362F6 1025 1310 104 1230 134275 12792F7 89 980 91 930 8722 8463
gesamt 7710 7505 620125 627505
59
Indexzahlen
bull Bsp Wertindex ndash 100 middot W012 = 100 middot 10119 = 10119
ndash Dh der tatsaumlchliche Aufwand fuumlr Fleisch fuumlr die privaten Haushalte ist vom Basismonat bis zum Berichtsmonat um 119 gestiegen
ndash Es ist hier nicht beruumlcksichtigt dass der durchschnittliche Verbrauch im Berichtsmonat um 205g geringer ist
60
Indexzahlen
bull Preisindizes
bull Aussagen uumlber die Preisentwicklung
bull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche Mengenschema verwenden
61
Indexzahlen
bull Preisindex nach Paasche
bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
62
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Paasche
Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i p0iq12i p12iq0i
F1 575 1450 62 1410 83375 8742 81075 8990F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260 14700 17073F3 241 50 248 50 1205 1240 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915 3827 3801F5 455 2450 46 2470 111475 11362 112385 11270F6 1025 1310 104 1230 134275 12792 126075 13624F7 89 980 91 930 8722 8463 8277 8918
gesamt 7710 7505 620125 627505 599625 64916
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
63
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Paasche
bull Dh nimmt man fuumlr beide Monaten den durchschnittlichen Verbrauch an Fleisch im Berichtsmonat als Mengenschema (Warenkorb) an so sind die Preise in diesem Zeitraum um 465 gestiegen
65104559962
562750100
qp
qp100
qp
qpP100 7
1i12i0i
7
1i12i12i
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
64
Indexzahlen
bull Preisindex nach Laspeyres
bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
qp
qpP
65
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Laspeyres
bull Dh Fuumlr die im Basismonat verbrauchten Mengen an Fleisch muss man in der Berichtsperiode 468 mehr Geld ausgeben
68104562012
64916100
qp
qp100
qp
qpP100 7
1i0i0i
7
1i0i12i
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
66
Indexzahlen
bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres
bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)
bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)
bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden
bull Fishersche Idealindex LPF III
67
Indexzahlen
bull Mengenindizes
bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung (unabhaumlngig von der Preisentwicklung)
68
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Paasche
bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
qp
qpQ
69
Indexzahlen
bull Bsp Mengenindex nach Paasche
bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen im Berichtsmonat ist um 334 gesunken
669664916
562750100
qp
qp100
qp
qpQ100 7
1i0i12i
7
1i12i12i
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
70
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Laspeyres
bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
qp
qpQ
71
Indexzahlen
bull Bsp Mengenindex nach Laspeyres
bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen zum Basismonat ist um 331 gesunken
6996562012
559962100
qp
qp100
qp
qpQ100 7
1i0i0i
7
1i12i0i
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
28
Woumllbung
bull Woumllbung od Kurtosis od Exzeszlig Maszligzahl fuumlr eingipflige Haumlufigkeitsvt
bull Gibt an ob (bei gleicher Varianz) das absolute Maximum der Haumlufigkeitsvt groumlszliger als bei der Dichte der Normalvt ist
3
)a(an1
)a(an1
g 2n
1i
2i
n
1i
4i
2
29
Woumllbung
lt 0 abs Max kleiner als bei N-Vt
g2 = 0 Normalverteilung
gt 0 abs Max groumlszliger als bei N-Vt
bull Woumllbung einer Haumlufigkeitsverteilung aus gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten
3
h)aa(n1
h)aa(n1
g 2n
1ii
2i
k
1ii
4i
2
3
h)a(mn1
h)a(mn1
g 2n
1ii
2i
k
1ii
4i
2
30
Konzentrationsmaszlige
bull Metrisch skaliertes Merkmal X mit nur positiven Auspraumlgungen
bull Frage Wie teilt sich die Summe der Merkmalswerte x1hellipxn in der Beobachtungsreihe auf die Untersuchungs-einheiten auf
bull Bsp n landwirtschaftliche Betriebe Groumlszlige der Nutzflaumlchen x1xn Wie teilt sich die gesamte Nutzflaumlche auf die einzelnen Betriebe auf
31
Konzentrationsmaszlige
bull n Merkmalswerte werden durch q Merkmalsauspraumlgungen a1ltltaq mit absoluten- und relativen Haumlufigkeiten hi bzw fi bestimmt
bull Gesamtbetrag der Merkmalswerte in der Beobachtungsreihe
n
1iii
n
1jj hax
32
Konzentrationsmaszlige
bull Lorenzkurve Grafische Darstellung der Konzentration der Merkmalswerte
bull Koordinatenkreuz ndash Abszisse es werden die nach der Groumlszlige der Merkmals-
auspraumlgung geordneten relativen Haumlufigkeiten aufsummiert
ndash Ordinate Auspraumlgungen werden der Groumlszlige nach
aufsummiert und auf Summe aller Auspraumlgungen bezogen
q1ifuumlrfn
hk
i
1jj
i
1j
ji
q1ifuumlr hahalq
1jjj
i
1jjji
33
Konzentrationsmaszlige
bull Verbinden der Punkte (kili) ergibt die Lorenzkurve wobei immer k0=l0=0 und kq=lq=1 gilt
ki
li
0 1
1
34
Konzentrationsmaszlige
bull Interpretation ein Punkt (kili) der Lorenz-kurve gibt an dass auf ki middot 100 der Untersuchungseinheiten li middot 100 des Gesamtbetrages aller Merkmalsaus-praumlgungen entfallen
bull Bsp auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlche
35
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche Betriebendash Abszisse Es wird der Prozentsatz der Betriebe
mit der kleinsten Flaumlche bestimmt dann wird der Prozentsatz der Betriebe mit der zweit-kleinsten Flaumlche bestimmt und zum Prozentsatz der Betriebe mit der kleinsten Flaumlche addiert usw
ndash Ordinate Flaumlchenanteile der Betriebe bzgl der Gesamtflaumlche werden der Flaumlchengroumlszlige nach aufsummiert
36
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeFlaumlchen-groumlszlige
Anzahl der
Betriebe
Flaumlcheng pro
Gruppe
der Betriebe
Flaumlchen-anteile
aufsumm Betriebs-anteile
aufsumm Flaumlchen-anteile
bis 5 ha 21 63 042 0063 042 00635 - 10 ha 9 72 018 0072 060 013510 - 20 ha 9 135 018 0135 078 027020 - 50 ha 8 280 016 028 094 0550gt 50 ha 3 450 006 045 100 1000Gesamt 50 1000 1 1
37
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeLandwirtschaftliche Betriebe
0
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1
aufsummierte Anteile der Betriebe
au
fsu
mm
iert
e F
laumlc
he
na
nte
ile
38
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp Landwirtschaftliche Betriebe
bull Interpretation auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlchendash auf 42 der Betriebe entfallen 63 der Nutzflaumlche
ndash auf 60 der Betriebe entfallen 125 der Nutzflaumlche
ndash auf 78 der Betriebe entfallen 27 der Nutzflaumlche
ndash auf 94 der Betriebe entfallen 55 der Nutzflaumlche
39
Konzentrationsmaszlige
Extremfaumllle
bull Keine Konzentration alle Untersuchungs-einheiten haben den gleichen Anteil am Gesamtbetrag Lorenzkurve ist Diagonale
bull Gesamtbetrag konzentriert sich (fast) vollstaumlndig auf eine Untersuchungseinheit Lorenzkurve liegt (fast) auf Abszisse ist also (fast) senkrecht
40
Konzentrationsmaszlige
Extremfaumllle
0
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
0 02 04 06 08 1
41
Konzentrationsmaszlige
bull Gini-Koeffizient od Lorenzsche Konzentrationsmaszlig (LKM) Maszligzahl fuumlr die Konzentration
bull Definiert als das 2-fache der Flaumlche F zw Diagonale und Lorenzkurve LKM = 2F
bull Es gilt immer 0 LKM (n-1)nbull Standardisierter Gini-Koeffizient
LKMnor = n(n-1) LKM
42
Konzentrationsmaszlige
bull Berechnung von F
ndash k hellip Werte auf Abszisse
ndash l hellip Werte auf Ordinate
ndash q hellip Anzahl der verschiedenen Merkmalsauspraumlgungen
q
1ii 05FF
q
1jjj
iii1-i1ii
i1ii
Ha
Ha
2
kk)l(l
2
kkF
43
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp Landwirtschaftliche Nutzflaumlche
bull LMK = 2F = i2Fi ndash 1 = 16048 ndash 1 = 06408ndash mit i = 1hellip5
bull LKMnor = 5049 middot 06408 = 06539
Flaumlchen-groumlszlige
Flaumlchen-anteile
aufsumm Betriebs-anteile
2 Fi
bis 5 ha 0063 042 0026465 - 10 ha 0072 060 00734410 - 20 ha 0135 078 01863020 - 50 ha 028 094 048630gt 50 ha 045 100 087300Gesamt 1 16455
44
Verhaumlltniszahlen
bull Quotient zweier Maszligzahlen Verhaumlltniszahl
bull Gliederungszahlenndash Man bezieht eine Teilgroumlszlige auf eine ihr
uumlbergeordnete Gesamtgroumlszlige
bull Beziehungszahlenndash Quotient zweier sachlich sinnvoll in
Verbindung stehender Maszligzahlen
bull Index-Zahlenndash Quotient zweier Maszligzahlen gleicher Art
45
Gliederungszahlen
bull Gliederungszahlen
bull Bsp Tagesproduktion 1500 Teile davon 300 fehlerhaft
Dann sind 20 der Tagesproduktion Ausschuss (3001500middot100)
Ausschussanteil ist eine Gliederungszahl
46
Beziehungszahlen
bull Beziehungszahlen
bull Verursachungszahlen
Bezieht Bewegungsmassen auf die zugehoumlrigen Bestandsmassen
bull Entsprechungszahlen
Alle Beziehungszahlen bei denen man Ereignisse nicht auf ihren Bestand beziehen kann
47
Beziehungszahlen
bull Bsp Verursachungszahlen Geburtenziffer
Bestandsmasse Einwohner einer Stadt (E)
Bewegungsmasse Zahl der Lebend-geborenen (L)
G = (LE)1000
Sagt wie viele Geburten auf 1000 Einwohner einer Stadt entfallen
48
Beziehungszahlen
bull Bsp Entsprechungszahlen
Schuumller-Lehrer-Verhaumlltnis
(Zahl der Schuumller) (Zahl der Lehrer)
Sagt wie viele Schuumller (ungefaumlhr) auf eine Lehrer entfallen Dies entspricht aber iA nicht der durchschnittlichen Klassengroumlszlige
49
Indexzahlen
bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt
bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine
realen Sachverhalt
bull (Zusammengesetzte) Indexzahlenndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen
fiktiven Zustand beschreibt
50
Indexzahlen
bull Einfache Indizes
bull Reihe von Maszligzahlen die man in Beziehung zueinander setzen will
x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0
Dann ist
I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2
eine Zeitreihe einfacher Indizes
51
Indexzahlen
bull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziert
bull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0 I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87
Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden
Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor
bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90
Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen
52
Indexzahlen
bull UmbasierenGegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten
bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt
0k
0t
0k
0t
k
tkt I
I
xx
xx
x
xI
53
Indexzahlen
bull Bsp Umsatz fuumlr Jahre 1990 bis 1998
Jahr Umsatz xt x0 xt x4
1990 1240 100 1081991 1210 098 1051992 1180 095 1031993 1190 096 1031994 1150 093 1001995 1080 087 0941996 1120 090 0971997 1130 091 0981998 1200 097 104
54
Indexzahlen
bull Umbasieren Index von 1996 zur Basisperiode 1990 sollen in Index zur Basisperiode 1994 umgerechnet werden ndash I19901996 = 090 (Basisperiode 1990)
ndash I19901994 = 093 (Basisperiode 1990)
ndash I19941996 = 090 093 = 097 (Basisperiode 1994)
bull Verkettung Weiterer Wert fuumlr 1998 ndash I19901998 = I19901994 middot I19941998 = 093 middot 104 = 097
55
Indexzahlen
bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)
bull Betrachte Warenkorb
n Waren zu einem Zeitpunkt t
Mengen qt1qtn
Preise pt1ptn
Wert des Warenkorbes in Periode t
n
1ititiqp
56
Indexzahlen
bull Wertindex
Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0
n
1i0i0i
n
1ititi
0t
qp
qpW
57
Indexzahlen
bull Bsp Durchschnittlicher Verbrauch an Fleisch aller privaten Haushalte in einer Gemeinde Basismonat 1 Berichtsmonat 12 ndash (Mengen in g Preise in DMkg) Fleisch p0i q0i p12i q12i
F1 575 1450 62 1410F2 1225 1260 1355 1200F3 241 50 248 50F4 178 210 181 215F5 455 2450 46 2470F6 1025 1310 104 1230F7 89 980 91 930
gesamt 7710 7505
58
Indexzahlen
bull Bsp Wertindex n 7
ti ti 12i 12ii 1 i 1
0t n 7
0i 0i 0i 0ii 1 i 1
p q p q627505
W 10119620125p q p q
Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i
F1 575 1450 62 1410 83375 8742F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260F3 241 50 248 50 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915F5 455 2450 46 2470 111475 11362F6 1025 1310 104 1230 134275 12792F7 89 980 91 930 8722 8463
gesamt 7710 7505 620125 627505
59
Indexzahlen
bull Bsp Wertindex ndash 100 middot W012 = 100 middot 10119 = 10119
ndash Dh der tatsaumlchliche Aufwand fuumlr Fleisch fuumlr die privaten Haushalte ist vom Basismonat bis zum Berichtsmonat um 119 gestiegen
ndash Es ist hier nicht beruumlcksichtigt dass der durchschnittliche Verbrauch im Berichtsmonat um 205g geringer ist
60
Indexzahlen
bull Preisindizes
bull Aussagen uumlber die Preisentwicklung
bull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche Mengenschema verwenden
61
Indexzahlen
bull Preisindex nach Paasche
bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
62
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Paasche
Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i p0iq12i p12iq0i
F1 575 1450 62 1410 83375 8742 81075 8990F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260 14700 17073F3 241 50 248 50 1205 1240 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915 3827 3801F5 455 2450 46 2470 111475 11362 112385 11270F6 1025 1310 104 1230 134275 12792 126075 13624F7 89 980 91 930 8722 8463 8277 8918
gesamt 7710 7505 620125 627505 599625 64916
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
63
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Paasche
bull Dh nimmt man fuumlr beide Monaten den durchschnittlichen Verbrauch an Fleisch im Berichtsmonat als Mengenschema (Warenkorb) an so sind die Preise in diesem Zeitraum um 465 gestiegen
65104559962
562750100
qp
qp100
qp
qpP100 7
1i12i0i
7
1i12i12i
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
64
Indexzahlen
bull Preisindex nach Laspeyres
bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
qp
qpP
65
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Laspeyres
bull Dh Fuumlr die im Basismonat verbrauchten Mengen an Fleisch muss man in der Berichtsperiode 468 mehr Geld ausgeben
68104562012
64916100
qp
qp100
qp
qpP100 7
1i0i0i
7
1i0i12i
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
66
Indexzahlen
bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres
bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)
bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)
bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden
bull Fishersche Idealindex LPF III
67
Indexzahlen
bull Mengenindizes
bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung (unabhaumlngig von der Preisentwicklung)
68
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Paasche
bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
qp
qpQ
69
Indexzahlen
bull Bsp Mengenindex nach Paasche
bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen im Berichtsmonat ist um 334 gesunken
669664916
562750100
qp
qp100
qp
qpQ100 7
1i0i12i
7
1i12i12i
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
70
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Laspeyres
bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
qp
qpQ
71
Indexzahlen
bull Bsp Mengenindex nach Laspeyres
bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen zum Basismonat ist um 331 gesunken
6996562012
559962100
qp
qp100
qp
qpQ100 7
1i0i0i
7
1i12i0i
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
29
Woumllbung
lt 0 abs Max kleiner als bei N-Vt
g2 = 0 Normalverteilung
gt 0 abs Max groumlszliger als bei N-Vt
bull Woumllbung einer Haumlufigkeitsverteilung aus gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten
3
h)aa(n1
h)aa(n1
g 2n
1ii
2i
k
1ii
4i
2
3
h)a(mn1
h)a(mn1
g 2n
1ii
2i
k
1ii
4i
2
30
Konzentrationsmaszlige
bull Metrisch skaliertes Merkmal X mit nur positiven Auspraumlgungen
bull Frage Wie teilt sich die Summe der Merkmalswerte x1hellipxn in der Beobachtungsreihe auf die Untersuchungs-einheiten auf
bull Bsp n landwirtschaftliche Betriebe Groumlszlige der Nutzflaumlchen x1xn Wie teilt sich die gesamte Nutzflaumlche auf die einzelnen Betriebe auf
31
Konzentrationsmaszlige
bull n Merkmalswerte werden durch q Merkmalsauspraumlgungen a1ltltaq mit absoluten- und relativen Haumlufigkeiten hi bzw fi bestimmt
bull Gesamtbetrag der Merkmalswerte in der Beobachtungsreihe
n
1iii
n
1jj hax
32
Konzentrationsmaszlige
bull Lorenzkurve Grafische Darstellung der Konzentration der Merkmalswerte
bull Koordinatenkreuz ndash Abszisse es werden die nach der Groumlszlige der Merkmals-
auspraumlgung geordneten relativen Haumlufigkeiten aufsummiert
ndash Ordinate Auspraumlgungen werden der Groumlszlige nach
aufsummiert und auf Summe aller Auspraumlgungen bezogen
q1ifuumlrfn
hk
i
1jj
i
1j
ji
q1ifuumlr hahalq
1jjj
i
1jjji
33
Konzentrationsmaszlige
bull Verbinden der Punkte (kili) ergibt die Lorenzkurve wobei immer k0=l0=0 und kq=lq=1 gilt
ki
li
0 1
1
34
Konzentrationsmaszlige
bull Interpretation ein Punkt (kili) der Lorenz-kurve gibt an dass auf ki middot 100 der Untersuchungseinheiten li middot 100 des Gesamtbetrages aller Merkmalsaus-praumlgungen entfallen
bull Bsp auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlche
35
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche Betriebendash Abszisse Es wird der Prozentsatz der Betriebe
mit der kleinsten Flaumlche bestimmt dann wird der Prozentsatz der Betriebe mit der zweit-kleinsten Flaumlche bestimmt und zum Prozentsatz der Betriebe mit der kleinsten Flaumlche addiert usw
ndash Ordinate Flaumlchenanteile der Betriebe bzgl der Gesamtflaumlche werden der Flaumlchengroumlszlige nach aufsummiert
36
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeFlaumlchen-groumlszlige
Anzahl der
Betriebe
Flaumlcheng pro
Gruppe
der Betriebe
Flaumlchen-anteile
aufsumm Betriebs-anteile
aufsumm Flaumlchen-anteile
bis 5 ha 21 63 042 0063 042 00635 - 10 ha 9 72 018 0072 060 013510 - 20 ha 9 135 018 0135 078 027020 - 50 ha 8 280 016 028 094 0550gt 50 ha 3 450 006 045 100 1000Gesamt 50 1000 1 1
37
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeLandwirtschaftliche Betriebe
0
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1
aufsummierte Anteile der Betriebe
au
fsu
mm
iert
e F
laumlc
he
na
nte
ile
38
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp Landwirtschaftliche Betriebe
bull Interpretation auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlchendash auf 42 der Betriebe entfallen 63 der Nutzflaumlche
ndash auf 60 der Betriebe entfallen 125 der Nutzflaumlche
ndash auf 78 der Betriebe entfallen 27 der Nutzflaumlche
ndash auf 94 der Betriebe entfallen 55 der Nutzflaumlche
39
Konzentrationsmaszlige
Extremfaumllle
bull Keine Konzentration alle Untersuchungs-einheiten haben den gleichen Anteil am Gesamtbetrag Lorenzkurve ist Diagonale
bull Gesamtbetrag konzentriert sich (fast) vollstaumlndig auf eine Untersuchungseinheit Lorenzkurve liegt (fast) auf Abszisse ist also (fast) senkrecht
40
Konzentrationsmaszlige
Extremfaumllle
0
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
0 02 04 06 08 1
41
Konzentrationsmaszlige
bull Gini-Koeffizient od Lorenzsche Konzentrationsmaszlig (LKM) Maszligzahl fuumlr die Konzentration
bull Definiert als das 2-fache der Flaumlche F zw Diagonale und Lorenzkurve LKM = 2F
bull Es gilt immer 0 LKM (n-1)nbull Standardisierter Gini-Koeffizient
LKMnor = n(n-1) LKM
42
Konzentrationsmaszlige
bull Berechnung von F
ndash k hellip Werte auf Abszisse
ndash l hellip Werte auf Ordinate
ndash q hellip Anzahl der verschiedenen Merkmalsauspraumlgungen
q
1ii 05FF
q
1jjj
iii1-i1ii
i1ii
Ha
Ha
2
kk)l(l
2
kkF
43
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp Landwirtschaftliche Nutzflaumlche
bull LMK = 2F = i2Fi ndash 1 = 16048 ndash 1 = 06408ndash mit i = 1hellip5
bull LKMnor = 5049 middot 06408 = 06539
Flaumlchen-groumlszlige
Flaumlchen-anteile
aufsumm Betriebs-anteile
2 Fi
bis 5 ha 0063 042 0026465 - 10 ha 0072 060 00734410 - 20 ha 0135 078 01863020 - 50 ha 028 094 048630gt 50 ha 045 100 087300Gesamt 1 16455
44
Verhaumlltniszahlen
bull Quotient zweier Maszligzahlen Verhaumlltniszahl
bull Gliederungszahlenndash Man bezieht eine Teilgroumlszlige auf eine ihr
uumlbergeordnete Gesamtgroumlszlige
bull Beziehungszahlenndash Quotient zweier sachlich sinnvoll in
Verbindung stehender Maszligzahlen
bull Index-Zahlenndash Quotient zweier Maszligzahlen gleicher Art
45
Gliederungszahlen
bull Gliederungszahlen
bull Bsp Tagesproduktion 1500 Teile davon 300 fehlerhaft
Dann sind 20 der Tagesproduktion Ausschuss (3001500middot100)
Ausschussanteil ist eine Gliederungszahl
46
Beziehungszahlen
bull Beziehungszahlen
bull Verursachungszahlen
Bezieht Bewegungsmassen auf die zugehoumlrigen Bestandsmassen
bull Entsprechungszahlen
Alle Beziehungszahlen bei denen man Ereignisse nicht auf ihren Bestand beziehen kann
47
Beziehungszahlen
bull Bsp Verursachungszahlen Geburtenziffer
Bestandsmasse Einwohner einer Stadt (E)
Bewegungsmasse Zahl der Lebend-geborenen (L)
G = (LE)1000
Sagt wie viele Geburten auf 1000 Einwohner einer Stadt entfallen
48
Beziehungszahlen
bull Bsp Entsprechungszahlen
Schuumller-Lehrer-Verhaumlltnis
(Zahl der Schuumller) (Zahl der Lehrer)
Sagt wie viele Schuumller (ungefaumlhr) auf eine Lehrer entfallen Dies entspricht aber iA nicht der durchschnittlichen Klassengroumlszlige
49
Indexzahlen
bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt
bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine
realen Sachverhalt
bull (Zusammengesetzte) Indexzahlenndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen
fiktiven Zustand beschreibt
50
Indexzahlen
bull Einfache Indizes
bull Reihe von Maszligzahlen die man in Beziehung zueinander setzen will
x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0
Dann ist
I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2
eine Zeitreihe einfacher Indizes
51
Indexzahlen
bull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziert
bull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0 I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87
Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden
Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor
bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90
Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen
52
Indexzahlen
bull UmbasierenGegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten
bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt
0k
0t
0k
0t
k
tkt I
I
xx
xx
x
xI
53
Indexzahlen
bull Bsp Umsatz fuumlr Jahre 1990 bis 1998
Jahr Umsatz xt x0 xt x4
1990 1240 100 1081991 1210 098 1051992 1180 095 1031993 1190 096 1031994 1150 093 1001995 1080 087 0941996 1120 090 0971997 1130 091 0981998 1200 097 104
54
Indexzahlen
bull Umbasieren Index von 1996 zur Basisperiode 1990 sollen in Index zur Basisperiode 1994 umgerechnet werden ndash I19901996 = 090 (Basisperiode 1990)
ndash I19901994 = 093 (Basisperiode 1990)
ndash I19941996 = 090 093 = 097 (Basisperiode 1994)
bull Verkettung Weiterer Wert fuumlr 1998 ndash I19901998 = I19901994 middot I19941998 = 093 middot 104 = 097
55
Indexzahlen
bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)
bull Betrachte Warenkorb
n Waren zu einem Zeitpunkt t
Mengen qt1qtn
Preise pt1ptn
Wert des Warenkorbes in Periode t
n
1ititiqp
56
Indexzahlen
bull Wertindex
Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0
n
1i0i0i
n
1ititi
0t
qp
qpW
57
Indexzahlen
bull Bsp Durchschnittlicher Verbrauch an Fleisch aller privaten Haushalte in einer Gemeinde Basismonat 1 Berichtsmonat 12 ndash (Mengen in g Preise in DMkg) Fleisch p0i q0i p12i q12i
F1 575 1450 62 1410F2 1225 1260 1355 1200F3 241 50 248 50F4 178 210 181 215F5 455 2450 46 2470F6 1025 1310 104 1230F7 89 980 91 930
gesamt 7710 7505
58
Indexzahlen
bull Bsp Wertindex n 7
ti ti 12i 12ii 1 i 1
0t n 7
0i 0i 0i 0ii 1 i 1
p q p q627505
W 10119620125p q p q
Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i
F1 575 1450 62 1410 83375 8742F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260F3 241 50 248 50 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915F5 455 2450 46 2470 111475 11362F6 1025 1310 104 1230 134275 12792F7 89 980 91 930 8722 8463
gesamt 7710 7505 620125 627505
59
Indexzahlen
bull Bsp Wertindex ndash 100 middot W012 = 100 middot 10119 = 10119
ndash Dh der tatsaumlchliche Aufwand fuumlr Fleisch fuumlr die privaten Haushalte ist vom Basismonat bis zum Berichtsmonat um 119 gestiegen
ndash Es ist hier nicht beruumlcksichtigt dass der durchschnittliche Verbrauch im Berichtsmonat um 205g geringer ist
60
Indexzahlen
bull Preisindizes
bull Aussagen uumlber die Preisentwicklung
bull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche Mengenschema verwenden
61
Indexzahlen
bull Preisindex nach Paasche
bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
62
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Paasche
Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i p0iq12i p12iq0i
F1 575 1450 62 1410 83375 8742 81075 8990F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260 14700 17073F3 241 50 248 50 1205 1240 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915 3827 3801F5 455 2450 46 2470 111475 11362 112385 11270F6 1025 1310 104 1230 134275 12792 126075 13624F7 89 980 91 930 8722 8463 8277 8918
gesamt 7710 7505 620125 627505 599625 64916
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
63
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Paasche
bull Dh nimmt man fuumlr beide Monaten den durchschnittlichen Verbrauch an Fleisch im Berichtsmonat als Mengenschema (Warenkorb) an so sind die Preise in diesem Zeitraum um 465 gestiegen
65104559962
562750100
qp
qp100
qp
qpP100 7
1i12i0i
7
1i12i12i
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
64
Indexzahlen
bull Preisindex nach Laspeyres
bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
qp
qpP
65
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Laspeyres
bull Dh Fuumlr die im Basismonat verbrauchten Mengen an Fleisch muss man in der Berichtsperiode 468 mehr Geld ausgeben
68104562012
64916100
qp
qp100
qp
qpP100 7
1i0i0i
7
1i0i12i
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
66
Indexzahlen
bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres
bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)
bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)
bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden
bull Fishersche Idealindex LPF III
67
Indexzahlen
bull Mengenindizes
bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung (unabhaumlngig von der Preisentwicklung)
68
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Paasche
bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
qp
qpQ
69
Indexzahlen
bull Bsp Mengenindex nach Paasche
bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen im Berichtsmonat ist um 334 gesunken
669664916
562750100
qp
qp100
qp
qpQ100 7
1i0i12i
7
1i12i12i
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
70
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Laspeyres
bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
qp
qpQ
71
Indexzahlen
bull Bsp Mengenindex nach Laspeyres
bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen zum Basismonat ist um 331 gesunken
6996562012
559962100
qp
qp100
qp
qpQ100 7
1i0i0i
7
1i12i0i
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
30
Konzentrationsmaszlige
bull Metrisch skaliertes Merkmal X mit nur positiven Auspraumlgungen
bull Frage Wie teilt sich die Summe der Merkmalswerte x1hellipxn in der Beobachtungsreihe auf die Untersuchungs-einheiten auf
bull Bsp n landwirtschaftliche Betriebe Groumlszlige der Nutzflaumlchen x1xn Wie teilt sich die gesamte Nutzflaumlche auf die einzelnen Betriebe auf
31
Konzentrationsmaszlige
bull n Merkmalswerte werden durch q Merkmalsauspraumlgungen a1ltltaq mit absoluten- und relativen Haumlufigkeiten hi bzw fi bestimmt
bull Gesamtbetrag der Merkmalswerte in der Beobachtungsreihe
n
1iii
n
1jj hax
32
Konzentrationsmaszlige
bull Lorenzkurve Grafische Darstellung der Konzentration der Merkmalswerte
bull Koordinatenkreuz ndash Abszisse es werden die nach der Groumlszlige der Merkmals-
auspraumlgung geordneten relativen Haumlufigkeiten aufsummiert
ndash Ordinate Auspraumlgungen werden der Groumlszlige nach
aufsummiert und auf Summe aller Auspraumlgungen bezogen
q1ifuumlrfn
hk
i
1jj
i
1j
ji
q1ifuumlr hahalq
1jjj
i
1jjji
33
Konzentrationsmaszlige
bull Verbinden der Punkte (kili) ergibt die Lorenzkurve wobei immer k0=l0=0 und kq=lq=1 gilt
ki
li
0 1
1
34
Konzentrationsmaszlige
bull Interpretation ein Punkt (kili) der Lorenz-kurve gibt an dass auf ki middot 100 der Untersuchungseinheiten li middot 100 des Gesamtbetrages aller Merkmalsaus-praumlgungen entfallen
bull Bsp auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlche
35
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche Betriebendash Abszisse Es wird der Prozentsatz der Betriebe
mit der kleinsten Flaumlche bestimmt dann wird der Prozentsatz der Betriebe mit der zweit-kleinsten Flaumlche bestimmt und zum Prozentsatz der Betriebe mit der kleinsten Flaumlche addiert usw
ndash Ordinate Flaumlchenanteile der Betriebe bzgl der Gesamtflaumlche werden der Flaumlchengroumlszlige nach aufsummiert
36
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeFlaumlchen-groumlszlige
Anzahl der
Betriebe
Flaumlcheng pro
Gruppe
der Betriebe
Flaumlchen-anteile
aufsumm Betriebs-anteile
aufsumm Flaumlchen-anteile
bis 5 ha 21 63 042 0063 042 00635 - 10 ha 9 72 018 0072 060 013510 - 20 ha 9 135 018 0135 078 027020 - 50 ha 8 280 016 028 094 0550gt 50 ha 3 450 006 045 100 1000Gesamt 50 1000 1 1
37
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeLandwirtschaftliche Betriebe
0
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1
aufsummierte Anteile der Betriebe
au
fsu
mm
iert
e F
laumlc
he
na
nte
ile
38
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp Landwirtschaftliche Betriebe
bull Interpretation auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlchendash auf 42 der Betriebe entfallen 63 der Nutzflaumlche
ndash auf 60 der Betriebe entfallen 125 der Nutzflaumlche
ndash auf 78 der Betriebe entfallen 27 der Nutzflaumlche
ndash auf 94 der Betriebe entfallen 55 der Nutzflaumlche
39
Konzentrationsmaszlige
Extremfaumllle
bull Keine Konzentration alle Untersuchungs-einheiten haben den gleichen Anteil am Gesamtbetrag Lorenzkurve ist Diagonale
bull Gesamtbetrag konzentriert sich (fast) vollstaumlndig auf eine Untersuchungseinheit Lorenzkurve liegt (fast) auf Abszisse ist also (fast) senkrecht
40
Konzentrationsmaszlige
Extremfaumllle
0
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
0 02 04 06 08 1
41
Konzentrationsmaszlige
bull Gini-Koeffizient od Lorenzsche Konzentrationsmaszlig (LKM) Maszligzahl fuumlr die Konzentration
bull Definiert als das 2-fache der Flaumlche F zw Diagonale und Lorenzkurve LKM = 2F
bull Es gilt immer 0 LKM (n-1)nbull Standardisierter Gini-Koeffizient
LKMnor = n(n-1) LKM
42
Konzentrationsmaszlige
bull Berechnung von F
ndash k hellip Werte auf Abszisse
ndash l hellip Werte auf Ordinate
ndash q hellip Anzahl der verschiedenen Merkmalsauspraumlgungen
q
1ii 05FF
q
1jjj
iii1-i1ii
i1ii
Ha
Ha
2
kk)l(l
2
kkF
43
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp Landwirtschaftliche Nutzflaumlche
bull LMK = 2F = i2Fi ndash 1 = 16048 ndash 1 = 06408ndash mit i = 1hellip5
bull LKMnor = 5049 middot 06408 = 06539
Flaumlchen-groumlszlige
Flaumlchen-anteile
aufsumm Betriebs-anteile
2 Fi
bis 5 ha 0063 042 0026465 - 10 ha 0072 060 00734410 - 20 ha 0135 078 01863020 - 50 ha 028 094 048630gt 50 ha 045 100 087300Gesamt 1 16455
44
Verhaumlltniszahlen
bull Quotient zweier Maszligzahlen Verhaumlltniszahl
bull Gliederungszahlenndash Man bezieht eine Teilgroumlszlige auf eine ihr
uumlbergeordnete Gesamtgroumlszlige
bull Beziehungszahlenndash Quotient zweier sachlich sinnvoll in
Verbindung stehender Maszligzahlen
bull Index-Zahlenndash Quotient zweier Maszligzahlen gleicher Art
45
Gliederungszahlen
bull Gliederungszahlen
bull Bsp Tagesproduktion 1500 Teile davon 300 fehlerhaft
Dann sind 20 der Tagesproduktion Ausschuss (3001500middot100)
Ausschussanteil ist eine Gliederungszahl
46
Beziehungszahlen
bull Beziehungszahlen
bull Verursachungszahlen
Bezieht Bewegungsmassen auf die zugehoumlrigen Bestandsmassen
bull Entsprechungszahlen
Alle Beziehungszahlen bei denen man Ereignisse nicht auf ihren Bestand beziehen kann
47
Beziehungszahlen
bull Bsp Verursachungszahlen Geburtenziffer
Bestandsmasse Einwohner einer Stadt (E)
Bewegungsmasse Zahl der Lebend-geborenen (L)
G = (LE)1000
Sagt wie viele Geburten auf 1000 Einwohner einer Stadt entfallen
48
Beziehungszahlen
bull Bsp Entsprechungszahlen
Schuumller-Lehrer-Verhaumlltnis
(Zahl der Schuumller) (Zahl der Lehrer)
Sagt wie viele Schuumller (ungefaumlhr) auf eine Lehrer entfallen Dies entspricht aber iA nicht der durchschnittlichen Klassengroumlszlige
49
Indexzahlen
bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt
bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine
realen Sachverhalt
bull (Zusammengesetzte) Indexzahlenndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen
fiktiven Zustand beschreibt
50
Indexzahlen
bull Einfache Indizes
bull Reihe von Maszligzahlen die man in Beziehung zueinander setzen will
x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0
Dann ist
I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2
eine Zeitreihe einfacher Indizes
51
Indexzahlen
bull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziert
bull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0 I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87
Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden
Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor
bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90
Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen
52
Indexzahlen
bull UmbasierenGegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten
bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt
0k
0t
0k
0t
k
tkt I
I
xx
xx
x
xI
53
Indexzahlen
bull Bsp Umsatz fuumlr Jahre 1990 bis 1998
Jahr Umsatz xt x0 xt x4
1990 1240 100 1081991 1210 098 1051992 1180 095 1031993 1190 096 1031994 1150 093 1001995 1080 087 0941996 1120 090 0971997 1130 091 0981998 1200 097 104
54
Indexzahlen
bull Umbasieren Index von 1996 zur Basisperiode 1990 sollen in Index zur Basisperiode 1994 umgerechnet werden ndash I19901996 = 090 (Basisperiode 1990)
ndash I19901994 = 093 (Basisperiode 1990)
ndash I19941996 = 090 093 = 097 (Basisperiode 1994)
bull Verkettung Weiterer Wert fuumlr 1998 ndash I19901998 = I19901994 middot I19941998 = 093 middot 104 = 097
55
Indexzahlen
bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)
bull Betrachte Warenkorb
n Waren zu einem Zeitpunkt t
Mengen qt1qtn
Preise pt1ptn
Wert des Warenkorbes in Periode t
n
1ititiqp
56
Indexzahlen
bull Wertindex
Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0
n
1i0i0i
n
1ititi
0t
qp
qpW
57
Indexzahlen
bull Bsp Durchschnittlicher Verbrauch an Fleisch aller privaten Haushalte in einer Gemeinde Basismonat 1 Berichtsmonat 12 ndash (Mengen in g Preise in DMkg) Fleisch p0i q0i p12i q12i
F1 575 1450 62 1410F2 1225 1260 1355 1200F3 241 50 248 50F4 178 210 181 215F5 455 2450 46 2470F6 1025 1310 104 1230F7 89 980 91 930
gesamt 7710 7505
58
Indexzahlen
bull Bsp Wertindex n 7
ti ti 12i 12ii 1 i 1
0t n 7
0i 0i 0i 0ii 1 i 1
p q p q627505
W 10119620125p q p q
Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i
F1 575 1450 62 1410 83375 8742F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260F3 241 50 248 50 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915F5 455 2450 46 2470 111475 11362F6 1025 1310 104 1230 134275 12792F7 89 980 91 930 8722 8463
gesamt 7710 7505 620125 627505
59
Indexzahlen
bull Bsp Wertindex ndash 100 middot W012 = 100 middot 10119 = 10119
ndash Dh der tatsaumlchliche Aufwand fuumlr Fleisch fuumlr die privaten Haushalte ist vom Basismonat bis zum Berichtsmonat um 119 gestiegen
ndash Es ist hier nicht beruumlcksichtigt dass der durchschnittliche Verbrauch im Berichtsmonat um 205g geringer ist
60
Indexzahlen
bull Preisindizes
bull Aussagen uumlber die Preisentwicklung
bull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche Mengenschema verwenden
61
Indexzahlen
bull Preisindex nach Paasche
bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
62
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Paasche
Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i p0iq12i p12iq0i
F1 575 1450 62 1410 83375 8742 81075 8990F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260 14700 17073F3 241 50 248 50 1205 1240 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915 3827 3801F5 455 2450 46 2470 111475 11362 112385 11270F6 1025 1310 104 1230 134275 12792 126075 13624F7 89 980 91 930 8722 8463 8277 8918
gesamt 7710 7505 620125 627505 599625 64916
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
63
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Paasche
bull Dh nimmt man fuumlr beide Monaten den durchschnittlichen Verbrauch an Fleisch im Berichtsmonat als Mengenschema (Warenkorb) an so sind die Preise in diesem Zeitraum um 465 gestiegen
65104559962
562750100
qp
qp100
qp
qpP100 7
1i12i0i
7
1i12i12i
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
64
Indexzahlen
bull Preisindex nach Laspeyres
bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
qp
qpP
65
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Laspeyres
bull Dh Fuumlr die im Basismonat verbrauchten Mengen an Fleisch muss man in der Berichtsperiode 468 mehr Geld ausgeben
68104562012
64916100
qp
qp100
qp
qpP100 7
1i0i0i
7
1i0i12i
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
66
Indexzahlen
bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres
bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)
bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)
bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden
bull Fishersche Idealindex LPF III
67
Indexzahlen
bull Mengenindizes
bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung (unabhaumlngig von der Preisentwicklung)
68
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Paasche
bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
qp
qpQ
69
Indexzahlen
bull Bsp Mengenindex nach Paasche
bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen im Berichtsmonat ist um 334 gesunken
669664916
562750100
qp
qp100
qp
qpQ100 7
1i0i12i
7
1i12i12i
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
70
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Laspeyres
bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
qp
qpQ
71
Indexzahlen
bull Bsp Mengenindex nach Laspeyres
bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen zum Basismonat ist um 331 gesunken
6996562012
559962100
qp
qp100
qp
qpQ100 7
1i0i0i
7
1i12i0i
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
31
Konzentrationsmaszlige
bull n Merkmalswerte werden durch q Merkmalsauspraumlgungen a1ltltaq mit absoluten- und relativen Haumlufigkeiten hi bzw fi bestimmt
bull Gesamtbetrag der Merkmalswerte in der Beobachtungsreihe
n
1iii
n
1jj hax
32
Konzentrationsmaszlige
bull Lorenzkurve Grafische Darstellung der Konzentration der Merkmalswerte
bull Koordinatenkreuz ndash Abszisse es werden die nach der Groumlszlige der Merkmals-
auspraumlgung geordneten relativen Haumlufigkeiten aufsummiert
ndash Ordinate Auspraumlgungen werden der Groumlszlige nach
aufsummiert und auf Summe aller Auspraumlgungen bezogen
q1ifuumlrfn
hk
i
1jj
i
1j
ji
q1ifuumlr hahalq
1jjj
i
1jjji
33
Konzentrationsmaszlige
bull Verbinden der Punkte (kili) ergibt die Lorenzkurve wobei immer k0=l0=0 und kq=lq=1 gilt
ki
li
0 1
1
34
Konzentrationsmaszlige
bull Interpretation ein Punkt (kili) der Lorenz-kurve gibt an dass auf ki middot 100 der Untersuchungseinheiten li middot 100 des Gesamtbetrages aller Merkmalsaus-praumlgungen entfallen
bull Bsp auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlche
35
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche Betriebendash Abszisse Es wird der Prozentsatz der Betriebe
mit der kleinsten Flaumlche bestimmt dann wird der Prozentsatz der Betriebe mit der zweit-kleinsten Flaumlche bestimmt und zum Prozentsatz der Betriebe mit der kleinsten Flaumlche addiert usw
ndash Ordinate Flaumlchenanteile der Betriebe bzgl der Gesamtflaumlche werden der Flaumlchengroumlszlige nach aufsummiert
36
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeFlaumlchen-groumlszlige
Anzahl der
Betriebe
Flaumlcheng pro
Gruppe
der Betriebe
Flaumlchen-anteile
aufsumm Betriebs-anteile
aufsumm Flaumlchen-anteile
bis 5 ha 21 63 042 0063 042 00635 - 10 ha 9 72 018 0072 060 013510 - 20 ha 9 135 018 0135 078 027020 - 50 ha 8 280 016 028 094 0550gt 50 ha 3 450 006 045 100 1000Gesamt 50 1000 1 1
37
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeLandwirtschaftliche Betriebe
0
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1
aufsummierte Anteile der Betriebe
au
fsu
mm
iert
e F
laumlc
he
na
nte
ile
38
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp Landwirtschaftliche Betriebe
bull Interpretation auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlchendash auf 42 der Betriebe entfallen 63 der Nutzflaumlche
ndash auf 60 der Betriebe entfallen 125 der Nutzflaumlche
ndash auf 78 der Betriebe entfallen 27 der Nutzflaumlche
ndash auf 94 der Betriebe entfallen 55 der Nutzflaumlche
39
Konzentrationsmaszlige
Extremfaumllle
bull Keine Konzentration alle Untersuchungs-einheiten haben den gleichen Anteil am Gesamtbetrag Lorenzkurve ist Diagonale
bull Gesamtbetrag konzentriert sich (fast) vollstaumlndig auf eine Untersuchungseinheit Lorenzkurve liegt (fast) auf Abszisse ist also (fast) senkrecht
40
Konzentrationsmaszlige
Extremfaumllle
0
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
0 02 04 06 08 1
41
Konzentrationsmaszlige
bull Gini-Koeffizient od Lorenzsche Konzentrationsmaszlig (LKM) Maszligzahl fuumlr die Konzentration
bull Definiert als das 2-fache der Flaumlche F zw Diagonale und Lorenzkurve LKM = 2F
bull Es gilt immer 0 LKM (n-1)nbull Standardisierter Gini-Koeffizient
LKMnor = n(n-1) LKM
42
Konzentrationsmaszlige
bull Berechnung von F
ndash k hellip Werte auf Abszisse
ndash l hellip Werte auf Ordinate
ndash q hellip Anzahl der verschiedenen Merkmalsauspraumlgungen
q
1ii 05FF
q
1jjj
iii1-i1ii
i1ii
Ha
Ha
2
kk)l(l
2
kkF
43
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp Landwirtschaftliche Nutzflaumlche
bull LMK = 2F = i2Fi ndash 1 = 16048 ndash 1 = 06408ndash mit i = 1hellip5
bull LKMnor = 5049 middot 06408 = 06539
Flaumlchen-groumlszlige
Flaumlchen-anteile
aufsumm Betriebs-anteile
2 Fi
bis 5 ha 0063 042 0026465 - 10 ha 0072 060 00734410 - 20 ha 0135 078 01863020 - 50 ha 028 094 048630gt 50 ha 045 100 087300Gesamt 1 16455
44
Verhaumlltniszahlen
bull Quotient zweier Maszligzahlen Verhaumlltniszahl
bull Gliederungszahlenndash Man bezieht eine Teilgroumlszlige auf eine ihr
uumlbergeordnete Gesamtgroumlszlige
bull Beziehungszahlenndash Quotient zweier sachlich sinnvoll in
Verbindung stehender Maszligzahlen
bull Index-Zahlenndash Quotient zweier Maszligzahlen gleicher Art
45
Gliederungszahlen
bull Gliederungszahlen
bull Bsp Tagesproduktion 1500 Teile davon 300 fehlerhaft
Dann sind 20 der Tagesproduktion Ausschuss (3001500middot100)
Ausschussanteil ist eine Gliederungszahl
46
Beziehungszahlen
bull Beziehungszahlen
bull Verursachungszahlen
Bezieht Bewegungsmassen auf die zugehoumlrigen Bestandsmassen
bull Entsprechungszahlen
Alle Beziehungszahlen bei denen man Ereignisse nicht auf ihren Bestand beziehen kann
47
Beziehungszahlen
bull Bsp Verursachungszahlen Geburtenziffer
Bestandsmasse Einwohner einer Stadt (E)
Bewegungsmasse Zahl der Lebend-geborenen (L)
G = (LE)1000
Sagt wie viele Geburten auf 1000 Einwohner einer Stadt entfallen
48
Beziehungszahlen
bull Bsp Entsprechungszahlen
Schuumller-Lehrer-Verhaumlltnis
(Zahl der Schuumller) (Zahl der Lehrer)
Sagt wie viele Schuumller (ungefaumlhr) auf eine Lehrer entfallen Dies entspricht aber iA nicht der durchschnittlichen Klassengroumlszlige
49
Indexzahlen
bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt
bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine
realen Sachverhalt
bull (Zusammengesetzte) Indexzahlenndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen
fiktiven Zustand beschreibt
50
Indexzahlen
bull Einfache Indizes
bull Reihe von Maszligzahlen die man in Beziehung zueinander setzen will
x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0
Dann ist
I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2
eine Zeitreihe einfacher Indizes
51
Indexzahlen
bull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziert
bull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0 I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87
Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden
Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor
bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90
Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen
52
Indexzahlen
bull UmbasierenGegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten
bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt
0k
0t
0k
0t
k
tkt I
I
xx
xx
x
xI
53
Indexzahlen
bull Bsp Umsatz fuumlr Jahre 1990 bis 1998
Jahr Umsatz xt x0 xt x4
1990 1240 100 1081991 1210 098 1051992 1180 095 1031993 1190 096 1031994 1150 093 1001995 1080 087 0941996 1120 090 0971997 1130 091 0981998 1200 097 104
54
Indexzahlen
bull Umbasieren Index von 1996 zur Basisperiode 1990 sollen in Index zur Basisperiode 1994 umgerechnet werden ndash I19901996 = 090 (Basisperiode 1990)
ndash I19901994 = 093 (Basisperiode 1990)
ndash I19941996 = 090 093 = 097 (Basisperiode 1994)
bull Verkettung Weiterer Wert fuumlr 1998 ndash I19901998 = I19901994 middot I19941998 = 093 middot 104 = 097
55
Indexzahlen
bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)
bull Betrachte Warenkorb
n Waren zu einem Zeitpunkt t
Mengen qt1qtn
Preise pt1ptn
Wert des Warenkorbes in Periode t
n
1ititiqp
56
Indexzahlen
bull Wertindex
Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0
n
1i0i0i
n
1ititi
0t
qp
qpW
57
Indexzahlen
bull Bsp Durchschnittlicher Verbrauch an Fleisch aller privaten Haushalte in einer Gemeinde Basismonat 1 Berichtsmonat 12 ndash (Mengen in g Preise in DMkg) Fleisch p0i q0i p12i q12i
F1 575 1450 62 1410F2 1225 1260 1355 1200F3 241 50 248 50F4 178 210 181 215F5 455 2450 46 2470F6 1025 1310 104 1230F7 89 980 91 930
gesamt 7710 7505
58
Indexzahlen
bull Bsp Wertindex n 7
ti ti 12i 12ii 1 i 1
0t n 7
0i 0i 0i 0ii 1 i 1
p q p q627505
W 10119620125p q p q
Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i
F1 575 1450 62 1410 83375 8742F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260F3 241 50 248 50 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915F5 455 2450 46 2470 111475 11362F6 1025 1310 104 1230 134275 12792F7 89 980 91 930 8722 8463
gesamt 7710 7505 620125 627505
59
Indexzahlen
bull Bsp Wertindex ndash 100 middot W012 = 100 middot 10119 = 10119
ndash Dh der tatsaumlchliche Aufwand fuumlr Fleisch fuumlr die privaten Haushalte ist vom Basismonat bis zum Berichtsmonat um 119 gestiegen
ndash Es ist hier nicht beruumlcksichtigt dass der durchschnittliche Verbrauch im Berichtsmonat um 205g geringer ist
60
Indexzahlen
bull Preisindizes
bull Aussagen uumlber die Preisentwicklung
bull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche Mengenschema verwenden
61
Indexzahlen
bull Preisindex nach Paasche
bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
62
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Paasche
Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i p0iq12i p12iq0i
F1 575 1450 62 1410 83375 8742 81075 8990F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260 14700 17073F3 241 50 248 50 1205 1240 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915 3827 3801F5 455 2450 46 2470 111475 11362 112385 11270F6 1025 1310 104 1230 134275 12792 126075 13624F7 89 980 91 930 8722 8463 8277 8918
gesamt 7710 7505 620125 627505 599625 64916
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
63
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Paasche
bull Dh nimmt man fuumlr beide Monaten den durchschnittlichen Verbrauch an Fleisch im Berichtsmonat als Mengenschema (Warenkorb) an so sind die Preise in diesem Zeitraum um 465 gestiegen
65104559962
562750100
qp
qp100
qp
qpP100 7
1i12i0i
7
1i12i12i
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
64
Indexzahlen
bull Preisindex nach Laspeyres
bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
qp
qpP
65
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Laspeyres
bull Dh Fuumlr die im Basismonat verbrauchten Mengen an Fleisch muss man in der Berichtsperiode 468 mehr Geld ausgeben
68104562012
64916100
qp
qp100
qp
qpP100 7
1i0i0i
7
1i0i12i
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
66
Indexzahlen
bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres
bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)
bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)
bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden
bull Fishersche Idealindex LPF III
67
Indexzahlen
bull Mengenindizes
bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung (unabhaumlngig von der Preisentwicklung)
68
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Paasche
bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
qp
qpQ
69
Indexzahlen
bull Bsp Mengenindex nach Paasche
bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen im Berichtsmonat ist um 334 gesunken
669664916
562750100
qp
qp100
qp
qpQ100 7
1i0i12i
7
1i12i12i
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
70
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Laspeyres
bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
qp
qpQ
71
Indexzahlen
bull Bsp Mengenindex nach Laspeyres
bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen zum Basismonat ist um 331 gesunken
6996562012
559962100
qp
qp100
qp
qpQ100 7
1i0i0i
7
1i12i0i
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
32
Konzentrationsmaszlige
bull Lorenzkurve Grafische Darstellung der Konzentration der Merkmalswerte
bull Koordinatenkreuz ndash Abszisse es werden die nach der Groumlszlige der Merkmals-
auspraumlgung geordneten relativen Haumlufigkeiten aufsummiert
ndash Ordinate Auspraumlgungen werden der Groumlszlige nach
aufsummiert und auf Summe aller Auspraumlgungen bezogen
q1ifuumlrfn
hk
i
1jj
i
1j
ji
q1ifuumlr hahalq
1jjj
i
1jjji
33
Konzentrationsmaszlige
bull Verbinden der Punkte (kili) ergibt die Lorenzkurve wobei immer k0=l0=0 und kq=lq=1 gilt
ki
li
0 1
1
34
Konzentrationsmaszlige
bull Interpretation ein Punkt (kili) der Lorenz-kurve gibt an dass auf ki middot 100 der Untersuchungseinheiten li middot 100 des Gesamtbetrages aller Merkmalsaus-praumlgungen entfallen
bull Bsp auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlche
35
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche Betriebendash Abszisse Es wird der Prozentsatz der Betriebe
mit der kleinsten Flaumlche bestimmt dann wird der Prozentsatz der Betriebe mit der zweit-kleinsten Flaumlche bestimmt und zum Prozentsatz der Betriebe mit der kleinsten Flaumlche addiert usw
ndash Ordinate Flaumlchenanteile der Betriebe bzgl der Gesamtflaumlche werden der Flaumlchengroumlszlige nach aufsummiert
36
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeFlaumlchen-groumlszlige
Anzahl der
Betriebe
Flaumlcheng pro
Gruppe
der Betriebe
Flaumlchen-anteile
aufsumm Betriebs-anteile
aufsumm Flaumlchen-anteile
bis 5 ha 21 63 042 0063 042 00635 - 10 ha 9 72 018 0072 060 013510 - 20 ha 9 135 018 0135 078 027020 - 50 ha 8 280 016 028 094 0550gt 50 ha 3 450 006 045 100 1000Gesamt 50 1000 1 1
37
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeLandwirtschaftliche Betriebe
0
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1
aufsummierte Anteile der Betriebe
au
fsu
mm
iert
e F
laumlc
he
na
nte
ile
38
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp Landwirtschaftliche Betriebe
bull Interpretation auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlchendash auf 42 der Betriebe entfallen 63 der Nutzflaumlche
ndash auf 60 der Betriebe entfallen 125 der Nutzflaumlche
ndash auf 78 der Betriebe entfallen 27 der Nutzflaumlche
ndash auf 94 der Betriebe entfallen 55 der Nutzflaumlche
39
Konzentrationsmaszlige
Extremfaumllle
bull Keine Konzentration alle Untersuchungs-einheiten haben den gleichen Anteil am Gesamtbetrag Lorenzkurve ist Diagonale
bull Gesamtbetrag konzentriert sich (fast) vollstaumlndig auf eine Untersuchungseinheit Lorenzkurve liegt (fast) auf Abszisse ist also (fast) senkrecht
40
Konzentrationsmaszlige
Extremfaumllle
0
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
0 02 04 06 08 1
41
Konzentrationsmaszlige
bull Gini-Koeffizient od Lorenzsche Konzentrationsmaszlig (LKM) Maszligzahl fuumlr die Konzentration
bull Definiert als das 2-fache der Flaumlche F zw Diagonale und Lorenzkurve LKM = 2F
bull Es gilt immer 0 LKM (n-1)nbull Standardisierter Gini-Koeffizient
LKMnor = n(n-1) LKM
42
Konzentrationsmaszlige
bull Berechnung von F
ndash k hellip Werte auf Abszisse
ndash l hellip Werte auf Ordinate
ndash q hellip Anzahl der verschiedenen Merkmalsauspraumlgungen
q
1ii 05FF
q
1jjj
iii1-i1ii
i1ii
Ha
Ha
2
kk)l(l
2
kkF
43
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp Landwirtschaftliche Nutzflaumlche
bull LMK = 2F = i2Fi ndash 1 = 16048 ndash 1 = 06408ndash mit i = 1hellip5
bull LKMnor = 5049 middot 06408 = 06539
Flaumlchen-groumlszlige
Flaumlchen-anteile
aufsumm Betriebs-anteile
2 Fi
bis 5 ha 0063 042 0026465 - 10 ha 0072 060 00734410 - 20 ha 0135 078 01863020 - 50 ha 028 094 048630gt 50 ha 045 100 087300Gesamt 1 16455
44
Verhaumlltniszahlen
bull Quotient zweier Maszligzahlen Verhaumlltniszahl
bull Gliederungszahlenndash Man bezieht eine Teilgroumlszlige auf eine ihr
uumlbergeordnete Gesamtgroumlszlige
bull Beziehungszahlenndash Quotient zweier sachlich sinnvoll in
Verbindung stehender Maszligzahlen
bull Index-Zahlenndash Quotient zweier Maszligzahlen gleicher Art
45
Gliederungszahlen
bull Gliederungszahlen
bull Bsp Tagesproduktion 1500 Teile davon 300 fehlerhaft
Dann sind 20 der Tagesproduktion Ausschuss (3001500middot100)
Ausschussanteil ist eine Gliederungszahl
46
Beziehungszahlen
bull Beziehungszahlen
bull Verursachungszahlen
Bezieht Bewegungsmassen auf die zugehoumlrigen Bestandsmassen
bull Entsprechungszahlen
Alle Beziehungszahlen bei denen man Ereignisse nicht auf ihren Bestand beziehen kann
47
Beziehungszahlen
bull Bsp Verursachungszahlen Geburtenziffer
Bestandsmasse Einwohner einer Stadt (E)
Bewegungsmasse Zahl der Lebend-geborenen (L)
G = (LE)1000
Sagt wie viele Geburten auf 1000 Einwohner einer Stadt entfallen
48
Beziehungszahlen
bull Bsp Entsprechungszahlen
Schuumller-Lehrer-Verhaumlltnis
(Zahl der Schuumller) (Zahl der Lehrer)
Sagt wie viele Schuumller (ungefaumlhr) auf eine Lehrer entfallen Dies entspricht aber iA nicht der durchschnittlichen Klassengroumlszlige
49
Indexzahlen
bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt
bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine
realen Sachverhalt
bull (Zusammengesetzte) Indexzahlenndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen
fiktiven Zustand beschreibt
50
Indexzahlen
bull Einfache Indizes
bull Reihe von Maszligzahlen die man in Beziehung zueinander setzen will
x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0
Dann ist
I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2
eine Zeitreihe einfacher Indizes
51
Indexzahlen
bull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziert
bull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0 I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87
Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden
Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor
bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90
Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen
52
Indexzahlen
bull UmbasierenGegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten
bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt
0k
0t
0k
0t
k
tkt I
I
xx
xx
x
xI
53
Indexzahlen
bull Bsp Umsatz fuumlr Jahre 1990 bis 1998
Jahr Umsatz xt x0 xt x4
1990 1240 100 1081991 1210 098 1051992 1180 095 1031993 1190 096 1031994 1150 093 1001995 1080 087 0941996 1120 090 0971997 1130 091 0981998 1200 097 104
54
Indexzahlen
bull Umbasieren Index von 1996 zur Basisperiode 1990 sollen in Index zur Basisperiode 1994 umgerechnet werden ndash I19901996 = 090 (Basisperiode 1990)
ndash I19901994 = 093 (Basisperiode 1990)
ndash I19941996 = 090 093 = 097 (Basisperiode 1994)
bull Verkettung Weiterer Wert fuumlr 1998 ndash I19901998 = I19901994 middot I19941998 = 093 middot 104 = 097
55
Indexzahlen
bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)
bull Betrachte Warenkorb
n Waren zu einem Zeitpunkt t
Mengen qt1qtn
Preise pt1ptn
Wert des Warenkorbes in Periode t
n
1ititiqp
56
Indexzahlen
bull Wertindex
Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0
n
1i0i0i
n
1ititi
0t
qp
qpW
57
Indexzahlen
bull Bsp Durchschnittlicher Verbrauch an Fleisch aller privaten Haushalte in einer Gemeinde Basismonat 1 Berichtsmonat 12 ndash (Mengen in g Preise in DMkg) Fleisch p0i q0i p12i q12i
F1 575 1450 62 1410F2 1225 1260 1355 1200F3 241 50 248 50F4 178 210 181 215F5 455 2450 46 2470F6 1025 1310 104 1230F7 89 980 91 930
gesamt 7710 7505
58
Indexzahlen
bull Bsp Wertindex n 7
ti ti 12i 12ii 1 i 1
0t n 7
0i 0i 0i 0ii 1 i 1
p q p q627505
W 10119620125p q p q
Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i
F1 575 1450 62 1410 83375 8742F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260F3 241 50 248 50 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915F5 455 2450 46 2470 111475 11362F6 1025 1310 104 1230 134275 12792F7 89 980 91 930 8722 8463
gesamt 7710 7505 620125 627505
59
Indexzahlen
bull Bsp Wertindex ndash 100 middot W012 = 100 middot 10119 = 10119
ndash Dh der tatsaumlchliche Aufwand fuumlr Fleisch fuumlr die privaten Haushalte ist vom Basismonat bis zum Berichtsmonat um 119 gestiegen
ndash Es ist hier nicht beruumlcksichtigt dass der durchschnittliche Verbrauch im Berichtsmonat um 205g geringer ist
60
Indexzahlen
bull Preisindizes
bull Aussagen uumlber die Preisentwicklung
bull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche Mengenschema verwenden
61
Indexzahlen
bull Preisindex nach Paasche
bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
62
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Paasche
Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i p0iq12i p12iq0i
F1 575 1450 62 1410 83375 8742 81075 8990F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260 14700 17073F3 241 50 248 50 1205 1240 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915 3827 3801F5 455 2450 46 2470 111475 11362 112385 11270F6 1025 1310 104 1230 134275 12792 126075 13624F7 89 980 91 930 8722 8463 8277 8918
gesamt 7710 7505 620125 627505 599625 64916
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
63
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Paasche
bull Dh nimmt man fuumlr beide Monaten den durchschnittlichen Verbrauch an Fleisch im Berichtsmonat als Mengenschema (Warenkorb) an so sind die Preise in diesem Zeitraum um 465 gestiegen
65104559962
562750100
qp
qp100
qp
qpP100 7
1i12i0i
7
1i12i12i
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
64
Indexzahlen
bull Preisindex nach Laspeyres
bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
qp
qpP
65
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Laspeyres
bull Dh Fuumlr die im Basismonat verbrauchten Mengen an Fleisch muss man in der Berichtsperiode 468 mehr Geld ausgeben
68104562012
64916100
qp
qp100
qp
qpP100 7
1i0i0i
7
1i0i12i
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
66
Indexzahlen
bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres
bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)
bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)
bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden
bull Fishersche Idealindex LPF III
67
Indexzahlen
bull Mengenindizes
bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung (unabhaumlngig von der Preisentwicklung)
68
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Paasche
bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
qp
qpQ
69
Indexzahlen
bull Bsp Mengenindex nach Paasche
bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen im Berichtsmonat ist um 334 gesunken
669664916
562750100
qp
qp100
qp
qpQ100 7
1i0i12i
7
1i12i12i
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
70
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Laspeyres
bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
qp
qpQ
71
Indexzahlen
bull Bsp Mengenindex nach Laspeyres
bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen zum Basismonat ist um 331 gesunken
6996562012
559962100
qp
qp100
qp
qpQ100 7
1i0i0i
7
1i12i0i
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
33
Konzentrationsmaszlige
bull Verbinden der Punkte (kili) ergibt die Lorenzkurve wobei immer k0=l0=0 und kq=lq=1 gilt
ki
li
0 1
1
34
Konzentrationsmaszlige
bull Interpretation ein Punkt (kili) der Lorenz-kurve gibt an dass auf ki middot 100 der Untersuchungseinheiten li middot 100 des Gesamtbetrages aller Merkmalsaus-praumlgungen entfallen
bull Bsp auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlche
35
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche Betriebendash Abszisse Es wird der Prozentsatz der Betriebe
mit der kleinsten Flaumlche bestimmt dann wird der Prozentsatz der Betriebe mit der zweit-kleinsten Flaumlche bestimmt und zum Prozentsatz der Betriebe mit der kleinsten Flaumlche addiert usw
ndash Ordinate Flaumlchenanteile der Betriebe bzgl der Gesamtflaumlche werden der Flaumlchengroumlszlige nach aufsummiert
36
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeFlaumlchen-groumlszlige
Anzahl der
Betriebe
Flaumlcheng pro
Gruppe
der Betriebe
Flaumlchen-anteile
aufsumm Betriebs-anteile
aufsumm Flaumlchen-anteile
bis 5 ha 21 63 042 0063 042 00635 - 10 ha 9 72 018 0072 060 013510 - 20 ha 9 135 018 0135 078 027020 - 50 ha 8 280 016 028 094 0550gt 50 ha 3 450 006 045 100 1000Gesamt 50 1000 1 1
37
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeLandwirtschaftliche Betriebe
0
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1
aufsummierte Anteile der Betriebe
au
fsu
mm
iert
e F
laumlc
he
na
nte
ile
38
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp Landwirtschaftliche Betriebe
bull Interpretation auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlchendash auf 42 der Betriebe entfallen 63 der Nutzflaumlche
ndash auf 60 der Betriebe entfallen 125 der Nutzflaumlche
ndash auf 78 der Betriebe entfallen 27 der Nutzflaumlche
ndash auf 94 der Betriebe entfallen 55 der Nutzflaumlche
39
Konzentrationsmaszlige
Extremfaumllle
bull Keine Konzentration alle Untersuchungs-einheiten haben den gleichen Anteil am Gesamtbetrag Lorenzkurve ist Diagonale
bull Gesamtbetrag konzentriert sich (fast) vollstaumlndig auf eine Untersuchungseinheit Lorenzkurve liegt (fast) auf Abszisse ist also (fast) senkrecht
40
Konzentrationsmaszlige
Extremfaumllle
0
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
0 02 04 06 08 1
41
Konzentrationsmaszlige
bull Gini-Koeffizient od Lorenzsche Konzentrationsmaszlig (LKM) Maszligzahl fuumlr die Konzentration
bull Definiert als das 2-fache der Flaumlche F zw Diagonale und Lorenzkurve LKM = 2F
bull Es gilt immer 0 LKM (n-1)nbull Standardisierter Gini-Koeffizient
LKMnor = n(n-1) LKM
42
Konzentrationsmaszlige
bull Berechnung von F
ndash k hellip Werte auf Abszisse
ndash l hellip Werte auf Ordinate
ndash q hellip Anzahl der verschiedenen Merkmalsauspraumlgungen
q
1ii 05FF
q
1jjj
iii1-i1ii
i1ii
Ha
Ha
2
kk)l(l
2
kkF
43
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp Landwirtschaftliche Nutzflaumlche
bull LMK = 2F = i2Fi ndash 1 = 16048 ndash 1 = 06408ndash mit i = 1hellip5
bull LKMnor = 5049 middot 06408 = 06539
Flaumlchen-groumlszlige
Flaumlchen-anteile
aufsumm Betriebs-anteile
2 Fi
bis 5 ha 0063 042 0026465 - 10 ha 0072 060 00734410 - 20 ha 0135 078 01863020 - 50 ha 028 094 048630gt 50 ha 045 100 087300Gesamt 1 16455
44
Verhaumlltniszahlen
bull Quotient zweier Maszligzahlen Verhaumlltniszahl
bull Gliederungszahlenndash Man bezieht eine Teilgroumlszlige auf eine ihr
uumlbergeordnete Gesamtgroumlszlige
bull Beziehungszahlenndash Quotient zweier sachlich sinnvoll in
Verbindung stehender Maszligzahlen
bull Index-Zahlenndash Quotient zweier Maszligzahlen gleicher Art
45
Gliederungszahlen
bull Gliederungszahlen
bull Bsp Tagesproduktion 1500 Teile davon 300 fehlerhaft
Dann sind 20 der Tagesproduktion Ausschuss (3001500middot100)
Ausschussanteil ist eine Gliederungszahl
46
Beziehungszahlen
bull Beziehungszahlen
bull Verursachungszahlen
Bezieht Bewegungsmassen auf die zugehoumlrigen Bestandsmassen
bull Entsprechungszahlen
Alle Beziehungszahlen bei denen man Ereignisse nicht auf ihren Bestand beziehen kann
47
Beziehungszahlen
bull Bsp Verursachungszahlen Geburtenziffer
Bestandsmasse Einwohner einer Stadt (E)
Bewegungsmasse Zahl der Lebend-geborenen (L)
G = (LE)1000
Sagt wie viele Geburten auf 1000 Einwohner einer Stadt entfallen
48
Beziehungszahlen
bull Bsp Entsprechungszahlen
Schuumller-Lehrer-Verhaumlltnis
(Zahl der Schuumller) (Zahl der Lehrer)
Sagt wie viele Schuumller (ungefaumlhr) auf eine Lehrer entfallen Dies entspricht aber iA nicht der durchschnittlichen Klassengroumlszlige
49
Indexzahlen
bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt
bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine
realen Sachverhalt
bull (Zusammengesetzte) Indexzahlenndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen
fiktiven Zustand beschreibt
50
Indexzahlen
bull Einfache Indizes
bull Reihe von Maszligzahlen die man in Beziehung zueinander setzen will
x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0
Dann ist
I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2
eine Zeitreihe einfacher Indizes
51
Indexzahlen
bull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziert
bull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0 I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87
Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden
Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor
bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90
Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen
52
Indexzahlen
bull UmbasierenGegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten
bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt
0k
0t
0k
0t
k
tkt I
I
xx
xx
x
xI
53
Indexzahlen
bull Bsp Umsatz fuumlr Jahre 1990 bis 1998
Jahr Umsatz xt x0 xt x4
1990 1240 100 1081991 1210 098 1051992 1180 095 1031993 1190 096 1031994 1150 093 1001995 1080 087 0941996 1120 090 0971997 1130 091 0981998 1200 097 104
54
Indexzahlen
bull Umbasieren Index von 1996 zur Basisperiode 1990 sollen in Index zur Basisperiode 1994 umgerechnet werden ndash I19901996 = 090 (Basisperiode 1990)
ndash I19901994 = 093 (Basisperiode 1990)
ndash I19941996 = 090 093 = 097 (Basisperiode 1994)
bull Verkettung Weiterer Wert fuumlr 1998 ndash I19901998 = I19901994 middot I19941998 = 093 middot 104 = 097
55
Indexzahlen
bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)
bull Betrachte Warenkorb
n Waren zu einem Zeitpunkt t
Mengen qt1qtn
Preise pt1ptn
Wert des Warenkorbes in Periode t
n
1ititiqp
56
Indexzahlen
bull Wertindex
Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0
n
1i0i0i
n
1ititi
0t
qp
qpW
57
Indexzahlen
bull Bsp Durchschnittlicher Verbrauch an Fleisch aller privaten Haushalte in einer Gemeinde Basismonat 1 Berichtsmonat 12 ndash (Mengen in g Preise in DMkg) Fleisch p0i q0i p12i q12i
F1 575 1450 62 1410F2 1225 1260 1355 1200F3 241 50 248 50F4 178 210 181 215F5 455 2450 46 2470F6 1025 1310 104 1230F7 89 980 91 930
gesamt 7710 7505
58
Indexzahlen
bull Bsp Wertindex n 7
ti ti 12i 12ii 1 i 1
0t n 7
0i 0i 0i 0ii 1 i 1
p q p q627505
W 10119620125p q p q
Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i
F1 575 1450 62 1410 83375 8742F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260F3 241 50 248 50 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915F5 455 2450 46 2470 111475 11362F6 1025 1310 104 1230 134275 12792F7 89 980 91 930 8722 8463
gesamt 7710 7505 620125 627505
59
Indexzahlen
bull Bsp Wertindex ndash 100 middot W012 = 100 middot 10119 = 10119
ndash Dh der tatsaumlchliche Aufwand fuumlr Fleisch fuumlr die privaten Haushalte ist vom Basismonat bis zum Berichtsmonat um 119 gestiegen
ndash Es ist hier nicht beruumlcksichtigt dass der durchschnittliche Verbrauch im Berichtsmonat um 205g geringer ist
60
Indexzahlen
bull Preisindizes
bull Aussagen uumlber die Preisentwicklung
bull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche Mengenschema verwenden
61
Indexzahlen
bull Preisindex nach Paasche
bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
62
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Paasche
Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i p0iq12i p12iq0i
F1 575 1450 62 1410 83375 8742 81075 8990F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260 14700 17073F3 241 50 248 50 1205 1240 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915 3827 3801F5 455 2450 46 2470 111475 11362 112385 11270F6 1025 1310 104 1230 134275 12792 126075 13624F7 89 980 91 930 8722 8463 8277 8918
gesamt 7710 7505 620125 627505 599625 64916
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
63
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Paasche
bull Dh nimmt man fuumlr beide Monaten den durchschnittlichen Verbrauch an Fleisch im Berichtsmonat als Mengenschema (Warenkorb) an so sind die Preise in diesem Zeitraum um 465 gestiegen
65104559962
562750100
qp
qp100
qp
qpP100 7
1i12i0i
7
1i12i12i
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
64
Indexzahlen
bull Preisindex nach Laspeyres
bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
qp
qpP
65
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Laspeyres
bull Dh Fuumlr die im Basismonat verbrauchten Mengen an Fleisch muss man in der Berichtsperiode 468 mehr Geld ausgeben
68104562012
64916100
qp
qp100
qp
qpP100 7
1i0i0i
7
1i0i12i
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
66
Indexzahlen
bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres
bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)
bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)
bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden
bull Fishersche Idealindex LPF III
67
Indexzahlen
bull Mengenindizes
bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung (unabhaumlngig von der Preisentwicklung)
68
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Paasche
bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
qp
qpQ
69
Indexzahlen
bull Bsp Mengenindex nach Paasche
bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen im Berichtsmonat ist um 334 gesunken
669664916
562750100
qp
qp100
qp
qpQ100 7
1i0i12i
7
1i12i12i
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
70
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Laspeyres
bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
qp
qpQ
71
Indexzahlen
bull Bsp Mengenindex nach Laspeyres
bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen zum Basismonat ist um 331 gesunken
6996562012
559962100
qp
qp100
qp
qpQ100 7
1i0i0i
7
1i12i0i
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
34
Konzentrationsmaszlige
bull Interpretation ein Punkt (kili) der Lorenz-kurve gibt an dass auf ki middot 100 der Untersuchungseinheiten li middot 100 des Gesamtbetrages aller Merkmalsaus-praumlgungen entfallen
bull Bsp auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlche
35
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche Betriebendash Abszisse Es wird der Prozentsatz der Betriebe
mit der kleinsten Flaumlche bestimmt dann wird der Prozentsatz der Betriebe mit der zweit-kleinsten Flaumlche bestimmt und zum Prozentsatz der Betriebe mit der kleinsten Flaumlche addiert usw
ndash Ordinate Flaumlchenanteile der Betriebe bzgl der Gesamtflaumlche werden der Flaumlchengroumlszlige nach aufsummiert
36
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeFlaumlchen-groumlszlige
Anzahl der
Betriebe
Flaumlcheng pro
Gruppe
der Betriebe
Flaumlchen-anteile
aufsumm Betriebs-anteile
aufsumm Flaumlchen-anteile
bis 5 ha 21 63 042 0063 042 00635 - 10 ha 9 72 018 0072 060 013510 - 20 ha 9 135 018 0135 078 027020 - 50 ha 8 280 016 028 094 0550gt 50 ha 3 450 006 045 100 1000Gesamt 50 1000 1 1
37
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeLandwirtschaftliche Betriebe
0
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1
aufsummierte Anteile der Betriebe
au
fsu
mm
iert
e F
laumlc
he
na
nte
ile
38
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp Landwirtschaftliche Betriebe
bull Interpretation auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlchendash auf 42 der Betriebe entfallen 63 der Nutzflaumlche
ndash auf 60 der Betriebe entfallen 125 der Nutzflaumlche
ndash auf 78 der Betriebe entfallen 27 der Nutzflaumlche
ndash auf 94 der Betriebe entfallen 55 der Nutzflaumlche
39
Konzentrationsmaszlige
Extremfaumllle
bull Keine Konzentration alle Untersuchungs-einheiten haben den gleichen Anteil am Gesamtbetrag Lorenzkurve ist Diagonale
bull Gesamtbetrag konzentriert sich (fast) vollstaumlndig auf eine Untersuchungseinheit Lorenzkurve liegt (fast) auf Abszisse ist also (fast) senkrecht
40
Konzentrationsmaszlige
Extremfaumllle
0
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
0 02 04 06 08 1
41
Konzentrationsmaszlige
bull Gini-Koeffizient od Lorenzsche Konzentrationsmaszlig (LKM) Maszligzahl fuumlr die Konzentration
bull Definiert als das 2-fache der Flaumlche F zw Diagonale und Lorenzkurve LKM = 2F
bull Es gilt immer 0 LKM (n-1)nbull Standardisierter Gini-Koeffizient
LKMnor = n(n-1) LKM
42
Konzentrationsmaszlige
bull Berechnung von F
ndash k hellip Werte auf Abszisse
ndash l hellip Werte auf Ordinate
ndash q hellip Anzahl der verschiedenen Merkmalsauspraumlgungen
q
1ii 05FF
q
1jjj
iii1-i1ii
i1ii
Ha
Ha
2
kk)l(l
2
kkF
43
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp Landwirtschaftliche Nutzflaumlche
bull LMK = 2F = i2Fi ndash 1 = 16048 ndash 1 = 06408ndash mit i = 1hellip5
bull LKMnor = 5049 middot 06408 = 06539
Flaumlchen-groumlszlige
Flaumlchen-anteile
aufsumm Betriebs-anteile
2 Fi
bis 5 ha 0063 042 0026465 - 10 ha 0072 060 00734410 - 20 ha 0135 078 01863020 - 50 ha 028 094 048630gt 50 ha 045 100 087300Gesamt 1 16455
44
Verhaumlltniszahlen
bull Quotient zweier Maszligzahlen Verhaumlltniszahl
bull Gliederungszahlenndash Man bezieht eine Teilgroumlszlige auf eine ihr
uumlbergeordnete Gesamtgroumlszlige
bull Beziehungszahlenndash Quotient zweier sachlich sinnvoll in
Verbindung stehender Maszligzahlen
bull Index-Zahlenndash Quotient zweier Maszligzahlen gleicher Art
45
Gliederungszahlen
bull Gliederungszahlen
bull Bsp Tagesproduktion 1500 Teile davon 300 fehlerhaft
Dann sind 20 der Tagesproduktion Ausschuss (3001500middot100)
Ausschussanteil ist eine Gliederungszahl
46
Beziehungszahlen
bull Beziehungszahlen
bull Verursachungszahlen
Bezieht Bewegungsmassen auf die zugehoumlrigen Bestandsmassen
bull Entsprechungszahlen
Alle Beziehungszahlen bei denen man Ereignisse nicht auf ihren Bestand beziehen kann
47
Beziehungszahlen
bull Bsp Verursachungszahlen Geburtenziffer
Bestandsmasse Einwohner einer Stadt (E)
Bewegungsmasse Zahl der Lebend-geborenen (L)
G = (LE)1000
Sagt wie viele Geburten auf 1000 Einwohner einer Stadt entfallen
48
Beziehungszahlen
bull Bsp Entsprechungszahlen
Schuumller-Lehrer-Verhaumlltnis
(Zahl der Schuumller) (Zahl der Lehrer)
Sagt wie viele Schuumller (ungefaumlhr) auf eine Lehrer entfallen Dies entspricht aber iA nicht der durchschnittlichen Klassengroumlszlige
49
Indexzahlen
bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt
bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine
realen Sachverhalt
bull (Zusammengesetzte) Indexzahlenndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen
fiktiven Zustand beschreibt
50
Indexzahlen
bull Einfache Indizes
bull Reihe von Maszligzahlen die man in Beziehung zueinander setzen will
x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0
Dann ist
I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2
eine Zeitreihe einfacher Indizes
51
Indexzahlen
bull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziert
bull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0 I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87
Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden
Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor
bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90
Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen
52
Indexzahlen
bull UmbasierenGegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten
bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt
0k
0t
0k
0t
k
tkt I
I
xx
xx
x
xI
53
Indexzahlen
bull Bsp Umsatz fuumlr Jahre 1990 bis 1998
Jahr Umsatz xt x0 xt x4
1990 1240 100 1081991 1210 098 1051992 1180 095 1031993 1190 096 1031994 1150 093 1001995 1080 087 0941996 1120 090 0971997 1130 091 0981998 1200 097 104
54
Indexzahlen
bull Umbasieren Index von 1996 zur Basisperiode 1990 sollen in Index zur Basisperiode 1994 umgerechnet werden ndash I19901996 = 090 (Basisperiode 1990)
ndash I19901994 = 093 (Basisperiode 1990)
ndash I19941996 = 090 093 = 097 (Basisperiode 1994)
bull Verkettung Weiterer Wert fuumlr 1998 ndash I19901998 = I19901994 middot I19941998 = 093 middot 104 = 097
55
Indexzahlen
bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)
bull Betrachte Warenkorb
n Waren zu einem Zeitpunkt t
Mengen qt1qtn
Preise pt1ptn
Wert des Warenkorbes in Periode t
n
1ititiqp
56
Indexzahlen
bull Wertindex
Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0
n
1i0i0i
n
1ititi
0t
qp
qpW
57
Indexzahlen
bull Bsp Durchschnittlicher Verbrauch an Fleisch aller privaten Haushalte in einer Gemeinde Basismonat 1 Berichtsmonat 12 ndash (Mengen in g Preise in DMkg) Fleisch p0i q0i p12i q12i
F1 575 1450 62 1410F2 1225 1260 1355 1200F3 241 50 248 50F4 178 210 181 215F5 455 2450 46 2470F6 1025 1310 104 1230F7 89 980 91 930
gesamt 7710 7505
58
Indexzahlen
bull Bsp Wertindex n 7
ti ti 12i 12ii 1 i 1
0t n 7
0i 0i 0i 0ii 1 i 1
p q p q627505
W 10119620125p q p q
Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i
F1 575 1450 62 1410 83375 8742F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260F3 241 50 248 50 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915F5 455 2450 46 2470 111475 11362F6 1025 1310 104 1230 134275 12792F7 89 980 91 930 8722 8463
gesamt 7710 7505 620125 627505
59
Indexzahlen
bull Bsp Wertindex ndash 100 middot W012 = 100 middot 10119 = 10119
ndash Dh der tatsaumlchliche Aufwand fuumlr Fleisch fuumlr die privaten Haushalte ist vom Basismonat bis zum Berichtsmonat um 119 gestiegen
ndash Es ist hier nicht beruumlcksichtigt dass der durchschnittliche Verbrauch im Berichtsmonat um 205g geringer ist
60
Indexzahlen
bull Preisindizes
bull Aussagen uumlber die Preisentwicklung
bull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche Mengenschema verwenden
61
Indexzahlen
bull Preisindex nach Paasche
bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
62
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Paasche
Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i p0iq12i p12iq0i
F1 575 1450 62 1410 83375 8742 81075 8990F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260 14700 17073F3 241 50 248 50 1205 1240 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915 3827 3801F5 455 2450 46 2470 111475 11362 112385 11270F6 1025 1310 104 1230 134275 12792 126075 13624F7 89 980 91 930 8722 8463 8277 8918
gesamt 7710 7505 620125 627505 599625 64916
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
63
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Paasche
bull Dh nimmt man fuumlr beide Monaten den durchschnittlichen Verbrauch an Fleisch im Berichtsmonat als Mengenschema (Warenkorb) an so sind die Preise in diesem Zeitraum um 465 gestiegen
65104559962
562750100
qp
qp100
qp
qpP100 7
1i12i0i
7
1i12i12i
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
64
Indexzahlen
bull Preisindex nach Laspeyres
bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
qp
qpP
65
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Laspeyres
bull Dh Fuumlr die im Basismonat verbrauchten Mengen an Fleisch muss man in der Berichtsperiode 468 mehr Geld ausgeben
68104562012
64916100
qp
qp100
qp
qpP100 7
1i0i0i
7
1i0i12i
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
66
Indexzahlen
bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres
bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)
bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)
bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden
bull Fishersche Idealindex LPF III
67
Indexzahlen
bull Mengenindizes
bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung (unabhaumlngig von der Preisentwicklung)
68
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Paasche
bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
qp
qpQ
69
Indexzahlen
bull Bsp Mengenindex nach Paasche
bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen im Berichtsmonat ist um 334 gesunken
669664916
562750100
qp
qp100
qp
qpQ100 7
1i0i12i
7
1i12i12i
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
70
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Laspeyres
bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
qp
qpQ
71
Indexzahlen
bull Bsp Mengenindex nach Laspeyres
bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen zum Basismonat ist um 331 gesunken
6996562012
559962100
qp
qp100
qp
qpQ100 7
1i0i0i
7
1i12i0i
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
35
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche Betriebendash Abszisse Es wird der Prozentsatz der Betriebe
mit der kleinsten Flaumlche bestimmt dann wird der Prozentsatz der Betriebe mit der zweit-kleinsten Flaumlche bestimmt und zum Prozentsatz der Betriebe mit der kleinsten Flaumlche addiert usw
ndash Ordinate Flaumlchenanteile der Betriebe bzgl der Gesamtflaumlche werden der Flaumlchengroumlszlige nach aufsummiert
36
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeFlaumlchen-groumlszlige
Anzahl der
Betriebe
Flaumlcheng pro
Gruppe
der Betriebe
Flaumlchen-anteile
aufsumm Betriebs-anteile
aufsumm Flaumlchen-anteile
bis 5 ha 21 63 042 0063 042 00635 - 10 ha 9 72 018 0072 060 013510 - 20 ha 9 135 018 0135 078 027020 - 50 ha 8 280 016 028 094 0550gt 50 ha 3 450 006 045 100 1000Gesamt 50 1000 1 1
37
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeLandwirtschaftliche Betriebe
0
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1
aufsummierte Anteile der Betriebe
au
fsu
mm
iert
e F
laumlc
he
na
nte
ile
38
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp Landwirtschaftliche Betriebe
bull Interpretation auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlchendash auf 42 der Betriebe entfallen 63 der Nutzflaumlche
ndash auf 60 der Betriebe entfallen 125 der Nutzflaumlche
ndash auf 78 der Betriebe entfallen 27 der Nutzflaumlche
ndash auf 94 der Betriebe entfallen 55 der Nutzflaumlche
39
Konzentrationsmaszlige
Extremfaumllle
bull Keine Konzentration alle Untersuchungs-einheiten haben den gleichen Anteil am Gesamtbetrag Lorenzkurve ist Diagonale
bull Gesamtbetrag konzentriert sich (fast) vollstaumlndig auf eine Untersuchungseinheit Lorenzkurve liegt (fast) auf Abszisse ist also (fast) senkrecht
40
Konzentrationsmaszlige
Extremfaumllle
0
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
0 02 04 06 08 1
41
Konzentrationsmaszlige
bull Gini-Koeffizient od Lorenzsche Konzentrationsmaszlig (LKM) Maszligzahl fuumlr die Konzentration
bull Definiert als das 2-fache der Flaumlche F zw Diagonale und Lorenzkurve LKM = 2F
bull Es gilt immer 0 LKM (n-1)nbull Standardisierter Gini-Koeffizient
LKMnor = n(n-1) LKM
42
Konzentrationsmaszlige
bull Berechnung von F
ndash k hellip Werte auf Abszisse
ndash l hellip Werte auf Ordinate
ndash q hellip Anzahl der verschiedenen Merkmalsauspraumlgungen
q
1ii 05FF
q
1jjj
iii1-i1ii
i1ii
Ha
Ha
2
kk)l(l
2
kkF
43
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp Landwirtschaftliche Nutzflaumlche
bull LMK = 2F = i2Fi ndash 1 = 16048 ndash 1 = 06408ndash mit i = 1hellip5
bull LKMnor = 5049 middot 06408 = 06539
Flaumlchen-groumlszlige
Flaumlchen-anteile
aufsumm Betriebs-anteile
2 Fi
bis 5 ha 0063 042 0026465 - 10 ha 0072 060 00734410 - 20 ha 0135 078 01863020 - 50 ha 028 094 048630gt 50 ha 045 100 087300Gesamt 1 16455
44
Verhaumlltniszahlen
bull Quotient zweier Maszligzahlen Verhaumlltniszahl
bull Gliederungszahlenndash Man bezieht eine Teilgroumlszlige auf eine ihr
uumlbergeordnete Gesamtgroumlszlige
bull Beziehungszahlenndash Quotient zweier sachlich sinnvoll in
Verbindung stehender Maszligzahlen
bull Index-Zahlenndash Quotient zweier Maszligzahlen gleicher Art
45
Gliederungszahlen
bull Gliederungszahlen
bull Bsp Tagesproduktion 1500 Teile davon 300 fehlerhaft
Dann sind 20 der Tagesproduktion Ausschuss (3001500middot100)
Ausschussanteil ist eine Gliederungszahl
46
Beziehungszahlen
bull Beziehungszahlen
bull Verursachungszahlen
Bezieht Bewegungsmassen auf die zugehoumlrigen Bestandsmassen
bull Entsprechungszahlen
Alle Beziehungszahlen bei denen man Ereignisse nicht auf ihren Bestand beziehen kann
47
Beziehungszahlen
bull Bsp Verursachungszahlen Geburtenziffer
Bestandsmasse Einwohner einer Stadt (E)
Bewegungsmasse Zahl der Lebend-geborenen (L)
G = (LE)1000
Sagt wie viele Geburten auf 1000 Einwohner einer Stadt entfallen
48
Beziehungszahlen
bull Bsp Entsprechungszahlen
Schuumller-Lehrer-Verhaumlltnis
(Zahl der Schuumller) (Zahl der Lehrer)
Sagt wie viele Schuumller (ungefaumlhr) auf eine Lehrer entfallen Dies entspricht aber iA nicht der durchschnittlichen Klassengroumlszlige
49
Indexzahlen
bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt
bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine
realen Sachverhalt
bull (Zusammengesetzte) Indexzahlenndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen
fiktiven Zustand beschreibt
50
Indexzahlen
bull Einfache Indizes
bull Reihe von Maszligzahlen die man in Beziehung zueinander setzen will
x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0
Dann ist
I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2
eine Zeitreihe einfacher Indizes
51
Indexzahlen
bull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziert
bull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0 I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87
Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden
Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor
bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90
Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen
52
Indexzahlen
bull UmbasierenGegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten
bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt
0k
0t
0k
0t
k
tkt I
I
xx
xx
x
xI
53
Indexzahlen
bull Bsp Umsatz fuumlr Jahre 1990 bis 1998
Jahr Umsatz xt x0 xt x4
1990 1240 100 1081991 1210 098 1051992 1180 095 1031993 1190 096 1031994 1150 093 1001995 1080 087 0941996 1120 090 0971997 1130 091 0981998 1200 097 104
54
Indexzahlen
bull Umbasieren Index von 1996 zur Basisperiode 1990 sollen in Index zur Basisperiode 1994 umgerechnet werden ndash I19901996 = 090 (Basisperiode 1990)
ndash I19901994 = 093 (Basisperiode 1990)
ndash I19941996 = 090 093 = 097 (Basisperiode 1994)
bull Verkettung Weiterer Wert fuumlr 1998 ndash I19901998 = I19901994 middot I19941998 = 093 middot 104 = 097
55
Indexzahlen
bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)
bull Betrachte Warenkorb
n Waren zu einem Zeitpunkt t
Mengen qt1qtn
Preise pt1ptn
Wert des Warenkorbes in Periode t
n
1ititiqp
56
Indexzahlen
bull Wertindex
Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0
n
1i0i0i
n
1ititi
0t
qp
qpW
57
Indexzahlen
bull Bsp Durchschnittlicher Verbrauch an Fleisch aller privaten Haushalte in einer Gemeinde Basismonat 1 Berichtsmonat 12 ndash (Mengen in g Preise in DMkg) Fleisch p0i q0i p12i q12i
F1 575 1450 62 1410F2 1225 1260 1355 1200F3 241 50 248 50F4 178 210 181 215F5 455 2450 46 2470F6 1025 1310 104 1230F7 89 980 91 930
gesamt 7710 7505
58
Indexzahlen
bull Bsp Wertindex n 7
ti ti 12i 12ii 1 i 1
0t n 7
0i 0i 0i 0ii 1 i 1
p q p q627505
W 10119620125p q p q
Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i
F1 575 1450 62 1410 83375 8742F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260F3 241 50 248 50 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915F5 455 2450 46 2470 111475 11362F6 1025 1310 104 1230 134275 12792F7 89 980 91 930 8722 8463
gesamt 7710 7505 620125 627505
59
Indexzahlen
bull Bsp Wertindex ndash 100 middot W012 = 100 middot 10119 = 10119
ndash Dh der tatsaumlchliche Aufwand fuumlr Fleisch fuumlr die privaten Haushalte ist vom Basismonat bis zum Berichtsmonat um 119 gestiegen
ndash Es ist hier nicht beruumlcksichtigt dass der durchschnittliche Verbrauch im Berichtsmonat um 205g geringer ist
60
Indexzahlen
bull Preisindizes
bull Aussagen uumlber die Preisentwicklung
bull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche Mengenschema verwenden
61
Indexzahlen
bull Preisindex nach Paasche
bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
62
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Paasche
Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i p0iq12i p12iq0i
F1 575 1450 62 1410 83375 8742 81075 8990F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260 14700 17073F3 241 50 248 50 1205 1240 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915 3827 3801F5 455 2450 46 2470 111475 11362 112385 11270F6 1025 1310 104 1230 134275 12792 126075 13624F7 89 980 91 930 8722 8463 8277 8918
gesamt 7710 7505 620125 627505 599625 64916
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
63
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Paasche
bull Dh nimmt man fuumlr beide Monaten den durchschnittlichen Verbrauch an Fleisch im Berichtsmonat als Mengenschema (Warenkorb) an so sind die Preise in diesem Zeitraum um 465 gestiegen
65104559962
562750100
qp
qp100
qp
qpP100 7
1i12i0i
7
1i12i12i
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
64
Indexzahlen
bull Preisindex nach Laspeyres
bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
qp
qpP
65
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Laspeyres
bull Dh Fuumlr die im Basismonat verbrauchten Mengen an Fleisch muss man in der Berichtsperiode 468 mehr Geld ausgeben
68104562012
64916100
qp
qp100
qp
qpP100 7
1i0i0i
7
1i0i12i
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
66
Indexzahlen
bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres
bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)
bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)
bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden
bull Fishersche Idealindex LPF III
67
Indexzahlen
bull Mengenindizes
bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung (unabhaumlngig von der Preisentwicklung)
68
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Paasche
bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
qp
qpQ
69
Indexzahlen
bull Bsp Mengenindex nach Paasche
bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen im Berichtsmonat ist um 334 gesunken
669664916
562750100
qp
qp100
qp
qpQ100 7
1i0i12i
7
1i12i12i
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
70
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Laspeyres
bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
qp
qpQ
71
Indexzahlen
bull Bsp Mengenindex nach Laspeyres
bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen zum Basismonat ist um 331 gesunken
6996562012
559962100
qp
qp100
qp
qpQ100 7
1i0i0i
7
1i12i0i
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
36
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeFlaumlchen-groumlszlige
Anzahl der
Betriebe
Flaumlcheng pro
Gruppe
der Betriebe
Flaumlchen-anteile
aufsumm Betriebs-anteile
aufsumm Flaumlchen-anteile
bis 5 ha 21 63 042 0063 042 00635 - 10 ha 9 72 018 0072 060 013510 - 20 ha 9 135 018 0135 078 027020 - 50 ha 8 280 016 028 094 0550gt 50 ha 3 450 006 045 100 1000Gesamt 50 1000 1 1
37
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeLandwirtschaftliche Betriebe
0
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1
aufsummierte Anteile der Betriebe
au
fsu
mm
iert
e F
laumlc
he
na
nte
ile
38
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp Landwirtschaftliche Betriebe
bull Interpretation auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlchendash auf 42 der Betriebe entfallen 63 der Nutzflaumlche
ndash auf 60 der Betriebe entfallen 125 der Nutzflaumlche
ndash auf 78 der Betriebe entfallen 27 der Nutzflaumlche
ndash auf 94 der Betriebe entfallen 55 der Nutzflaumlche
39
Konzentrationsmaszlige
Extremfaumllle
bull Keine Konzentration alle Untersuchungs-einheiten haben den gleichen Anteil am Gesamtbetrag Lorenzkurve ist Diagonale
bull Gesamtbetrag konzentriert sich (fast) vollstaumlndig auf eine Untersuchungseinheit Lorenzkurve liegt (fast) auf Abszisse ist also (fast) senkrecht
40
Konzentrationsmaszlige
Extremfaumllle
0
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
0 02 04 06 08 1
41
Konzentrationsmaszlige
bull Gini-Koeffizient od Lorenzsche Konzentrationsmaszlig (LKM) Maszligzahl fuumlr die Konzentration
bull Definiert als das 2-fache der Flaumlche F zw Diagonale und Lorenzkurve LKM = 2F
bull Es gilt immer 0 LKM (n-1)nbull Standardisierter Gini-Koeffizient
LKMnor = n(n-1) LKM
42
Konzentrationsmaszlige
bull Berechnung von F
ndash k hellip Werte auf Abszisse
ndash l hellip Werte auf Ordinate
ndash q hellip Anzahl der verschiedenen Merkmalsauspraumlgungen
q
1ii 05FF
q
1jjj
iii1-i1ii
i1ii
Ha
Ha
2
kk)l(l
2
kkF
43
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp Landwirtschaftliche Nutzflaumlche
bull LMK = 2F = i2Fi ndash 1 = 16048 ndash 1 = 06408ndash mit i = 1hellip5
bull LKMnor = 5049 middot 06408 = 06539
Flaumlchen-groumlszlige
Flaumlchen-anteile
aufsumm Betriebs-anteile
2 Fi
bis 5 ha 0063 042 0026465 - 10 ha 0072 060 00734410 - 20 ha 0135 078 01863020 - 50 ha 028 094 048630gt 50 ha 045 100 087300Gesamt 1 16455
44
Verhaumlltniszahlen
bull Quotient zweier Maszligzahlen Verhaumlltniszahl
bull Gliederungszahlenndash Man bezieht eine Teilgroumlszlige auf eine ihr
uumlbergeordnete Gesamtgroumlszlige
bull Beziehungszahlenndash Quotient zweier sachlich sinnvoll in
Verbindung stehender Maszligzahlen
bull Index-Zahlenndash Quotient zweier Maszligzahlen gleicher Art
45
Gliederungszahlen
bull Gliederungszahlen
bull Bsp Tagesproduktion 1500 Teile davon 300 fehlerhaft
Dann sind 20 der Tagesproduktion Ausschuss (3001500middot100)
Ausschussanteil ist eine Gliederungszahl
46
Beziehungszahlen
bull Beziehungszahlen
bull Verursachungszahlen
Bezieht Bewegungsmassen auf die zugehoumlrigen Bestandsmassen
bull Entsprechungszahlen
Alle Beziehungszahlen bei denen man Ereignisse nicht auf ihren Bestand beziehen kann
47
Beziehungszahlen
bull Bsp Verursachungszahlen Geburtenziffer
Bestandsmasse Einwohner einer Stadt (E)
Bewegungsmasse Zahl der Lebend-geborenen (L)
G = (LE)1000
Sagt wie viele Geburten auf 1000 Einwohner einer Stadt entfallen
48
Beziehungszahlen
bull Bsp Entsprechungszahlen
Schuumller-Lehrer-Verhaumlltnis
(Zahl der Schuumller) (Zahl der Lehrer)
Sagt wie viele Schuumller (ungefaumlhr) auf eine Lehrer entfallen Dies entspricht aber iA nicht der durchschnittlichen Klassengroumlszlige
49
Indexzahlen
bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt
bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine
realen Sachverhalt
bull (Zusammengesetzte) Indexzahlenndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen
fiktiven Zustand beschreibt
50
Indexzahlen
bull Einfache Indizes
bull Reihe von Maszligzahlen die man in Beziehung zueinander setzen will
x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0
Dann ist
I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2
eine Zeitreihe einfacher Indizes
51
Indexzahlen
bull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziert
bull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0 I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87
Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden
Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor
bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90
Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen
52
Indexzahlen
bull UmbasierenGegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten
bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt
0k
0t
0k
0t
k
tkt I
I
xx
xx
x
xI
53
Indexzahlen
bull Bsp Umsatz fuumlr Jahre 1990 bis 1998
Jahr Umsatz xt x0 xt x4
1990 1240 100 1081991 1210 098 1051992 1180 095 1031993 1190 096 1031994 1150 093 1001995 1080 087 0941996 1120 090 0971997 1130 091 0981998 1200 097 104
54
Indexzahlen
bull Umbasieren Index von 1996 zur Basisperiode 1990 sollen in Index zur Basisperiode 1994 umgerechnet werden ndash I19901996 = 090 (Basisperiode 1990)
ndash I19901994 = 093 (Basisperiode 1990)
ndash I19941996 = 090 093 = 097 (Basisperiode 1994)
bull Verkettung Weiterer Wert fuumlr 1998 ndash I19901998 = I19901994 middot I19941998 = 093 middot 104 = 097
55
Indexzahlen
bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)
bull Betrachte Warenkorb
n Waren zu einem Zeitpunkt t
Mengen qt1qtn
Preise pt1ptn
Wert des Warenkorbes in Periode t
n
1ititiqp
56
Indexzahlen
bull Wertindex
Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0
n
1i0i0i
n
1ititi
0t
qp
qpW
57
Indexzahlen
bull Bsp Durchschnittlicher Verbrauch an Fleisch aller privaten Haushalte in einer Gemeinde Basismonat 1 Berichtsmonat 12 ndash (Mengen in g Preise in DMkg) Fleisch p0i q0i p12i q12i
F1 575 1450 62 1410F2 1225 1260 1355 1200F3 241 50 248 50F4 178 210 181 215F5 455 2450 46 2470F6 1025 1310 104 1230F7 89 980 91 930
gesamt 7710 7505
58
Indexzahlen
bull Bsp Wertindex n 7
ti ti 12i 12ii 1 i 1
0t n 7
0i 0i 0i 0ii 1 i 1
p q p q627505
W 10119620125p q p q
Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i
F1 575 1450 62 1410 83375 8742F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260F3 241 50 248 50 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915F5 455 2450 46 2470 111475 11362F6 1025 1310 104 1230 134275 12792F7 89 980 91 930 8722 8463
gesamt 7710 7505 620125 627505
59
Indexzahlen
bull Bsp Wertindex ndash 100 middot W012 = 100 middot 10119 = 10119
ndash Dh der tatsaumlchliche Aufwand fuumlr Fleisch fuumlr die privaten Haushalte ist vom Basismonat bis zum Berichtsmonat um 119 gestiegen
ndash Es ist hier nicht beruumlcksichtigt dass der durchschnittliche Verbrauch im Berichtsmonat um 205g geringer ist
60
Indexzahlen
bull Preisindizes
bull Aussagen uumlber die Preisentwicklung
bull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche Mengenschema verwenden
61
Indexzahlen
bull Preisindex nach Paasche
bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
62
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Paasche
Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i p0iq12i p12iq0i
F1 575 1450 62 1410 83375 8742 81075 8990F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260 14700 17073F3 241 50 248 50 1205 1240 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915 3827 3801F5 455 2450 46 2470 111475 11362 112385 11270F6 1025 1310 104 1230 134275 12792 126075 13624F7 89 980 91 930 8722 8463 8277 8918
gesamt 7710 7505 620125 627505 599625 64916
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
63
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Paasche
bull Dh nimmt man fuumlr beide Monaten den durchschnittlichen Verbrauch an Fleisch im Berichtsmonat als Mengenschema (Warenkorb) an so sind die Preise in diesem Zeitraum um 465 gestiegen
65104559962
562750100
qp
qp100
qp
qpP100 7
1i12i0i
7
1i12i12i
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
64
Indexzahlen
bull Preisindex nach Laspeyres
bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
qp
qpP
65
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Laspeyres
bull Dh Fuumlr die im Basismonat verbrauchten Mengen an Fleisch muss man in der Berichtsperiode 468 mehr Geld ausgeben
68104562012
64916100
qp
qp100
qp
qpP100 7
1i0i0i
7
1i0i12i
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
66
Indexzahlen
bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres
bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)
bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)
bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden
bull Fishersche Idealindex LPF III
67
Indexzahlen
bull Mengenindizes
bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung (unabhaumlngig von der Preisentwicklung)
68
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Paasche
bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
qp
qpQ
69
Indexzahlen
bull Bsp Mengenindex nach Paasche
bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen im Berichtsmonat ist um 334 gesunken
669664916
562750100
qp
qp100
qp
qpQ100 7
1i0i12i
7
1i12i12i
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
70
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Laspeyres
bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
qp
qpQ
71
Indexzahlen
bull Bsp Mengenindex nach Laspeyres
bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen zum Basismonat ist um 331 gesunken
6996562012
559962100
qp
qp100
qp
qpQ100 7
1i0i0i
7
1i12i0i
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
37
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche BetriebeLandwirtschaftliche Betriebe
0
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1
aufsummierte Anteile der Betriebe
au
fsu
mm
iert
e F
laumlc
he
na
nte
ile
38
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp Landwirtschaftliche Betriebe
bull Interpretation auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlchendash auf 42 der Betriebe entfallen 63 der Nutzflaumlche
ndash auf 60 der Betriebe entfallen 125 der Nutzflaumlche
ndash auf 78 der Betriebe entfallen 27 der Nutzflaumlche
ndash auf 94 der Betriebe entfallen 55 der Nutzflaumlche
39
Konzentrationsmaszlige
Extremfaumllle
bull Keine Konzentration alle Untersuchungs-einheiten haben den gleichen Anteil am Gesamtbetrag Lorenzkurve ist Diagonale
bull Gesamtbetrag konzentriert sich (fast) vollstaumlndig auf eine Untersuchungseinheit Lorenzkurve liegt (fast) auf Abszisse ist also (fast) senkrecht
40
Konzentrationsmaszlige
Extremfaumllle
0
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
0 02 04 06 08 1
41
Konzentrationsmaszlige
bull Gini-Koeffizient od Lorenzsche Konzentrationsmaszlig (LKM) Maszligzahl fuumlr die Konzentration
bull Definiert als das 2-fache der Flaumlche F zw Diagonale und Lorenzkurve LKM = 2F
bull Es gilt immer 0 LKM (n-1)nbull Standardisierter Gini-Koeffizient
LKMnor = n(n-1) LKM
42
Konzentrationsmaszlige
bull Berechnung von F
ndash k hellip Werte auf Abszisse
ndash l hellip Werte auf Ordinate
ndash q hellip Anzahl der verschiedenen Merkmalsauspraumlgungen
q
1ii 05FF
q
1jjj
iii1-i1ii
i1ii
Ha
Ha
2
kk)l(l
2
kkF
43
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp Landwirtschaftliche Nutzflaumlche
bull LMK = 2F = i2Fi ndash 1 = 16048 ndash 1 = 06408ndash mit i = 1hellip5
bull LKMnor = 5049 middot 06408 = 06539
Flaumlchen-groumlszlige
Flaumlchen-anteile
aufsumm Betriebs-anteile
2 Fi
bis 5 ha 0063 042 0026465 - 10 ha 0072 060 00734410 - 20 ha 0135 078 01863020 - 50 ha 028 094 048630gt 50 ha 045 100 087300Gesamt 1 16455
44
Verhaumlltniszahlen
bull Quotient zweier Maszligzahlen Verhaumlltniszahl
bull Gliederungszahlenndash Man bezieht eine Teilgroumlszlige auf eine ihr
uumlbergeordnete Gesamtgroumlszlige
bull Beziehungszahlenndash Quotient zweier sachlich sinnvoll in
Verbindung stehender Maszligzahlen
bull Index-Zahlenndash Quotient zweier Maszligzahlen gleicher Art
45
Gliederungszahlen
bull Gliederungszahlen
bull Bsp Tagesproduktion 1500 Teile davon 300 fehlerhaft
Dann sind 20 der Tagesproduktion Ausschuss (3001500middot100)
Ausschussanteil ist eine Gliederungszahl
46
Beziehungszahlen
bull Beziehungszahlen
bull Verursachungszahlen
Bezieht Bewegungsmassen auf die zugehoumlrigen Bestandsmassen
bull Entsprechungszahlen
Alle Beziehungszahlen bei denen man Ereignisse nicht auf ihren Bestand beziehen kann
47
Beziehungszahlen
bull Bsp Verursachungszahlen Geburtenziffer
Bestandsmasse Einwohner einer Stadt (E)
Bewegungsmasse Zahl der Lebend-geborenen (L)
G = (LE)1000
Sagt wie viele Geburten auf 1000 Einwohner einer Stadt entfallen
48
Beziehungszahlen
bull Bsp Entsprechungszahlen
Schuumller-Lehrer-Verhaumlltnis
(Zahl der Schuumller) (Zahl der Lehrer)
Sagt wie viele Schuumller (ungefaumlhr) auf eine Lehrer entfallen Dies entspricht aber iA nicht der durchschnittlichen Klassengroumlszlige
49
Indexzahlen
bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt
bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine
realen Sachverhalt
bull (Zusammengesetzte) Indexzahlenndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen
fiktiven Zustand beschreibt
50
Indexzahlen
bull Einfache Indizes
bull Reihe von Maszligzahlen die man in Beziehung zueinander setzen will
x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0
Dann ist
I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2
eine Zeitreihe einfacher Indizes
51
Indexzahlen
bull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziert
bull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0 I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87
Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden
Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor
bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90
Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen
52
Indexzahlen
bull UmbasierenGegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten
bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt
0k
0t
0k
0t
k
tkt I
I
xx
xx
x
xI
53
Indexzahlen
bull Bsp Umsatz fuumlr Jahre 1990 bis 1998
Jahr Umsatz xt x0 xt x4
1990 1240 100 1081991 1210 098 1051992 1180 095 1031993 1190 096 1031994 1150 093 1001995 1080 087 0941996 1120 090 0971997 1130 091 0981998 1200 097 104
54
Indexzahlen
bull Umbasieren Index von 1996 zur Basisperiode 1990 sollen in Index zur Basisperiode 1994 umgerechnet werden ndash I19901996 = 090 (Basisperiode 1990)
ndash I19901994 = 093 (Basisperiode 1990)
ndash I19941996 = 090 093 = 097 (Basisperiode 1994)
bull Verkettung Weiterer Wert fuumlr 1998 ndash I19901998 = I19901994 middot I19941998 = 093 middot 104 = 097
55
Indexzahlen
bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)
bull Betrachte Warenkorb
n Waren zu einem Zeitpunkt t
Mengen qt1qtn
Preise pt1ptn
Wert des Warenkorbes in Periode t
n
1ititiqp
56
Indexzahlen
bull Wertindex
Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0
n
1i0i0i
n
1ititi
0t
qp
qpW
57
Indexzahlen
bull Bsp Durchschnittlicher Verbrauch an Fleisch aller privaten Haushalte in einer Gemeinde Basismonat 1 Berichtsmonat 12 ndash (Mengen in g Preise in DMkg) Fleisch p0i q0i p12i q12i
F1 575 1450 62 1410F2 1225 1260 1355 1200F3 241 50 248 50F4 178 210 181 215F5 455 2450 46 2470F6 1025 1310 104 1230F7 89 980 91 930
gesamt 7710 7505
58
Indexzahlen
bull Bsp Wertindex n 7
ti ti 12i 12ii 1 i 1
0t n 7
0i 0i 0i 0ii 1 i 1
p q p q627505
W 10119620125p q p q
Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i
F1 575 1450 62 1410 83375 8742F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260F3 241 50 248 50 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915F5 455 2450 46 2470 111475 11362F6 1025 1310 104 1230 134275 12792F7 89 980 91 930 8722 8463
gesamt 7710 7505 620125 627505
59
Indexzahlen
bull Bsp Wertindex ndash 100 middot W012 = 100 middot 10119 = 10119
ndash Dh der tatsaumlchliche Aufwand fuumlr Fleisch fuumlr die privaten Haushalte ist vom Basismonat bis zum Berichtsmonat um 119 gestiegen
ndash Es ist hier nicht beruumlcksichtigt dass der durchschnittliche Verbrauch im Berichtsmonat um 205g geringer ist
60
Indexzahlen
bull Preisindizes
bull Aussagen uumlber die Preisentwicklung
bull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche Mengenschema verwenden
61
Indexzahlen
bull Preisindex nach Paasche
bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
62
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Paasche
Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i p0iq12i p12iq0i
F1 575 1450 62 1410 83375 8742 81075 8990F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260 14700 17073F3 241 50 248 50 1205 1240 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915 3827 3801F5 455 2450 46 2470 111475 11362 112385 11270F6 1025 1310 104 1230 134275 12792 126075 13624F7 89 980 91 930 8722 8463 8277 8918
gesamt 7710 7505 620125 627505 599625 64916
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
63
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Paasche
bull Dh nimmt man fuumlr beide Monaten den durchschnittlichen Verbrauch an Fleisch im Berichtsmonat als Mengenschema (Warenkorb) an so sind die Preise in diesem Zeitraum um 465 gestiegen
65104559962
562750100
qp
qp100
qp
qpP100 7
1i12i0i
7
1i12i12i
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
64
Indexzahlen
bull Preisindex nach Laspeyres
bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
qp
qpP
65
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Laspeyres
bull Dh Fuumlr die im Basismonat verbrauchten Mengen an Fleisch muss man in der Berichtsperiode 468 mehr Geld ausgeben
68104562012
64916100
qp
qp100
qp
qpP100 7
1i0i0i
7
1i0i12i
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
66
Indexzahlen
bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres
bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)
bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)
bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden
bull Fishersche Idealindex LPF III
67
Indexzahlen
bull Mengenindizes
bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung (unabhaumlngig von der Preisentwicklung)
68
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Paasche
bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
qp
qpQ
69
Indexzahlen
bull Bsp Mengenindex nach Paasche
bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen im Berichtsmonat ist um 334 gesunken
669664916
562750100
qp
qp100
qp
qpQ100 7
1i0i12i
7
1i12i12i
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
70
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Laspeyres
bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
qp
qpQ
71
Indexzahlen
bull Bsp Mengenindex nach Laspeyres
bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen zum Basismonat ist um 331 gesunken
6996562012
559962100
qp
qp100
qp
qpQ100 7
1i0i0i
7
1i12i0i
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
38
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp Landwirtschaftliche Betriebe
bull Interpretation auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlchendash auf 42 der Betriebe entfallen 63 der Nutzflaumlche
ndash auf 60 der Betriebe entfallen 125 der Nutzflaumlche
ndash auf 78 der Betriebe entfallen 27 der Nutzflaumlche
ndash auf 94 der Betriebe entfallen 55 der Nutzflaumlche
39
Konzentrationsmaszlige
Extremfaumllle
bull Keine Konzentration alle Untersuchungs-einheiten haben den gleichen Anteil am Gesamtbetrag Lorenzkurve ist Diagonale
bull Gesamtbetrag konzentriert sich (fast) vollstaumlndig auf eine Untersuchungseinheit Lorenzkurve liegt (fast) auf Abszisse ist also (fast) senkrecht
40
Konzentrationsmaszlige
Extremfaumllle
0
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
0 02 04 06 08 1
41
Konzentrationsmaszlige
bull Gini-Koeffizient od Lorenzsche Konzentrationsmaszlig (LKM) Maszligzahl fuumlr die Konzentration
bull Definiert als das 2-fache der Flaumlche F zw Diagonale und Lorenzkurve LKM = 2F
bull Es gilt immer 0 LKM (n-1)nbull Standardisierter Gini-Koeffizient
LKMnor = n(n-1) LKM
42
Konzentrationsmaszlige
bull Berechnung von F
ndash k hellip Werte auf Abszisse
ndash l hellip Werte auf Ordinate
ndash q hellip Anzahl der verschiedenen Merkmalsauspraumlgungen
q
1ii 05FF
q
1jjj
iii1-i1ii
i1ii
Ha
Ha
2
kk)l(l
2
kkF
43
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp Landwirtschaftliche Nutzflaumlche
bull LMK = 2F = i2Fi ndash 1 = 16048 ndash 1 = 06408ndash mit i = 1hellip5
bull LKMnor = 5049 middot 06408 = 06539
Flaumlchen-groumlszlige
Flaumlchen-anteile
aufsumm Betriebs-anteile
2 Fi
bis 5 ha 0063 042 0026465 - 10 ha 0072 060 00734410 - 20 ha 0135 078 01863020 - 50 ha 028 094 048630gt 50 ha 045 100 087300Gesamt 1 16455
44
Verhaumlltniszahlen
bull Quotient zweier Maszligzahlen Verhaumlltniszahl
bull Gliederungszahlenndash Man bezieht eine Teilgroumlszlige auf eine ihr
uumlbergeordnete Gesamtgroumlszlige
bull Beziehungszahlenndash Quotient zweier sachlich sinnvoll in
Verbindung stehender Maszligzahlen
bull Index-Zahlenndash Quotient zweier Maszligzahlen gleicher Art
45
Gliederungszahlen
bull Gliederungszahlen
bull Bsp Tagesproduktion 1500 Teile davon 300 fehlerhaft
Dann sind 20 der Tagesproduktion Ausschuss (3001500middot100)
Ausschussanteil ist eine Gliederungszahl
46
Beziehungszahlen
bull Beziehungszahlen
bull Verursachungszahlen
Bezieht Bewegungsmassen auf die zugehoumlrigen Bestandsmassen
bull Entsprechungszahlen
Alle Beziehungszahlen bei denen man Ereignisse nicht auf ihren Bestand beziehen kann
47
Beziehungszahlen
bull Bsp Verursachungszahlen Geburtenziffer
Bestandsmasse Einwohner einer Stadt (E)
Bewegungsmasse Zahl der Lebend-geborenen (L)
G = (LE)1000
Sagt wie viele Geburten auf 1000 Einwohner einer Stadt entfallen
48
Beziehungszahlen
bull Bsp Entsprechungszahlen
Schuumller-Lehrer-Verhaumlltnis
(Zahl der Schuumller) (Zahl der Lehrer)
Sagt wie viele Schuumller (ungefaumlhr) auf eine Lehrer entfallen Dies entspricht aber iA nicht der durchschnittlichen Klassengroumlszlige
49
Indexzahlen
bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt
bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine
realen Sachverhalt
bull (Zusammengesetzte) Indexzahlenndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen
fiktiven Zustand beschreibt
50
Indexzahlen
bull Einfache Indizes
bull Reihe von Maszligzahlen die man in Beziehung zueinander setzen will
x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0
Dann ist
I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2
eine Zeitreihe einfacher Indizes
51
Indexzahlen
bull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziert
bull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0 I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87
Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden
Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor
bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90
Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen
52
Indexzahlen
bull UmbasierenGegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten
bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt
0k
0t
0k
0t
k
tkt I
I
xx
xx
x
xI
53
Indexzahlen
bull Bsp Umsatz fuumlr Jahre 1990 bis 1998
Jahr Umsatz xt x0 xt x4
1990 1240 100 1081991 1210 098 1051992 1180 095 1031993 1190 096 1031994 1150 093 1001995 1080 087 0941996 1120 090 0971997 1130 091 0981998 1200 097 104
54
Indexzahlen
bull Umbasieren Index von 1996 zur Basisperiode 1990 sollen in Index zur Basisperiode 1994 umgerechnet werden ndash I19901996 = 090 (Basisperiode 1990)
ndash I19901994 = 093 (Basisperiode 1990)
ndash I19941996 = 090 093 = 097 (Basisperiode 1994)
bull Verkettung Weiterer Wert fuumlr 1998 ndash I19901998 = I19901994 middot I19941998 = 093 middot 104 = 097
55
Indexzahlen
bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)
bull Betrachte Warenkorb
n Waren zu einem Zeitpunkt t
Mengen qt1qtn
Preise pt1ptn
Wert des Warenkorbes in Periode t
n
1ititiqp
56
Indexzahlen
bull Wertindex
Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0
n
1i0i0i
n
1ititi
0t
qp
qpW
57
Indexzahlen
bull Bsp Durchschnittlicher Verbrauch an Fleisch aller privaten Haushalte in einer Gemeinde Basismonat 1 Berichtsmonat 12 ndash (Mengen in g Preise in DMkg) Fleisch p0i q0i p12i q12i
F1 575 1450 62 1410F2 1225 1260 1355 1200F3 241 50 248 50F4 178 210 181 215F5 455 2450 46 2470F6 1025 1310 104 1230F7 89 980 91 930
gesamt 7710 7505
58
Indexzahlen
bull Bsp Wertindex n 7
ti ti 12i 12ii 1 i 1
0t n 7
0i 0i 0i 0ii 1 i 1
p q p q627505
W 10119620125p q p q
Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i
F1 575 1450 62 1410 83375 8742F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260F3 241 50 248 50 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915F5 455 2450 46 2470 111475 11362F6 1025 1310 104 1230 134275 12792F7 89 980 91 930 8722 8463
gesamt 7710 7505 620125 627505
59
Indexzahlen
bull Bsp Wertindex ndash 100 middot W012 = 100 middot 10119 = 10119
ndash Dh der tatsaumlchliche Aufwand fuumlr Fleisch fuumlr die privaten Haushalte ist vom Basismonat bis zum Berichtsmonat um 119 gestiegen
ndash Es ist hier nicht beruumlcksichtigt dass der durchschnittliche Verbrauch im Berichtsmonat um 205g geringer ist
60
Indexzahlen
bull Preisindizes
bull Aussagen uumlber die Preisentwicklung
bull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche Mengenschema verwenden
61
Indexzahlen
bull Preisindex nach Paasche
bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
62
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Paasche
Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i p0iq12i p12iq0i
F1 575 1450 62 1410 83375 8742 81075 8990F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260 14700 17073F3 241 50 248 50 1205 1240 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915 3827 3801F5 455 2450 46 2470 111475 11362 112385 11270F6 1025 1310 104 1230 134275 12792 126075 13624F7 89 980 91 930 8722 8463 8277 8918
gesamt 7710 7505 620125 627505 599625 64916
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
63
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Paasche
bull Dh nimmt man fuumlr beide Monaten den durchschnittlichen Verbrauch an Fleisch im Berichtsmonat als Mengenschema (Warenkorb) an so sind die Preise in diesem Zeitraum um 465 gestiegen
65104559962
562750100
qp
qp100
qp
qpP100 7
1i12i0i
7
1i12i12i
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
64
Indexzahlen
bull Preisindex nach Laspeyres
bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
qp
qpP
65
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Laspeyres
bull Dh Fuumlr die im Basismonat verbrauchten Mengen an Fleisch muss man in der Berichtsperiode 468 mehr Geld ausgeben
68104562012
64916100
qp
qp100
qp
qpP100 7
1i0i0i
7
1i0i12i
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
66
Indexzahlen
bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres
bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)
bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)
bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden
bull Fishersche Idealindex LPF III
67
Indexzahlen
bull Mengenindizes
bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung (unabhaumlngig von der Preisentwicklung)
68
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Paasche
bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
qp
qpQ
69
Indexzahlen
bull Bsp Mengenindex nach Paasche
bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen im Berichtsmonat ist um 334 gesunken
669664916
562750100
qp
qp100
qp
qpQ100 7
1i0i12i
7
1i12i12i
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
70
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Laspeyres
bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
qp
qpQ
71
Indexzahlen
bull Bsp Mengenindex nach Laspeyres
bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen zum Basismonat ist um 331 gesunken
6996562012
559962100
qp
qp100
qp
qpQ100 7
1i0i0i
7
1i12i0i
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
39
Konzentrationsmaszlige
Extremfaumllle
bull Keine Konzentration alle Untersuchungs-einheiten haben den gleichen Anteil am Gesamtbetrag Lorenzkurve ist Diagonale
bull Gesamtbetrag konzentriert sich (fast) vollstaumlndig auf eine Untersuchungseinheit Lorenzkurve liegt (fast) auf Abszisse ist also (fast) senkrecht
40
Konzentrationsmaszlige
Extremfaumllle
0
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
0 02 04 06 08 1
41
Konzentrationsmaszlige
bull Gini-Koeffizient od Lorenzsche Konzentrationsmaszlig (LKM) Maszligzahl fuumlr die Konzentration
bull Definiert als das 2-fache der Flaumlche F zw Diagonale und Lorenzkurve LKM = 2F
bull Es gilt immer 0 LKM (n-1)nbull Standardisierter Gini-Koeffizient
LKMnor = n(n-1) LKM
42
Konzentrationsmaszlige
bull Berechnung von F
ndash k hellip Werte auf Abszisse
ndash l hellip Werte auf Ordinate
ndash q hellip Anzahl der verschiedenen Merkmalsauspraumlgungen
q
1ii 05FF
q
1jjj
iii1-i1ii
i1ii
Ha
Ha
2
kk)l(l
2
kkF
43
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp Landwirtschaftliche Nutzflaumlche
bull LMK = 2F = i2Fi ndash 1 = 16048 ndash 1 = 06408ndash mit i = 1hellip5
bull LKMnor = 5049 middot 06408 = 06539
Flaumlchen-groumlszlige
Flaumlchen-anteile
aufsumm Betriebs-anteile
2 Fi
bis 5 ha 0063 042 0026465 - 10 ha 0072 060 00734410 - 20 ha 0135 078 01863020 - 50 ha 028 094 048630gt 50 ha 045 100 087300Gesamt 1 16455
44
Verhaumlltniszahlen
bull Quotient zweier Maszligzahlen Verhaumlltniszahl
bull Gliederungszahlenndash Man bezieht eine Teilgroumlszlige auf eine ihr
uumlbergeordnete Gesamtgroumlszlige
bull Beziehungszahlenndash Quotient zweier sachlich sinnvoll in
Verbindung stehender Maszligzahlen
bull Index-Zahlenndash Quotient zweier Maszligzahlen gleicher Art
45
Gliederungszahlen
bull Gliederungszahlen
bull Bsp Tagesproduktion 1500 Teile davon 300 fehlerhaft
Dann sind 20 der Tagesproduktion Ausschuss (3001500middot100)
Ausschussanteil ist eine Gliederungszahl
46
Beziehungszahlen
bull Beziehungszahlen
bull Verursachungszahlen
Bezieht Bewegungsmassen auf die zugehoumlrigen Bestandsmassen
bull Entsprechungszahlen
Alle Beziehungszahlen bei denen man Ereignisse nicht auf ihren Bestand beziehen kann
47
Beziehungszahlen
bull Bsp Verursachungszahlen Geburtenziffer
Bestandsmasse Einwohner einer Stadt (E)
Bewegungsmasse Zahl der Lebend-geborenen (L)
G = (LE)1000
Sagt wie viele Geburten auf 1000 Einwohner einer Stadt entfallen
48
Beziehungszahlen
bull Bsp Entsprechungszahlen
Schuumller-Lehrer-Verhaumlltnis
(Zahl der Schuumller) (Zahl der Lehrer)
Sagt wie viele Schuumller (ungefaumlhr) auf eine Lehrer entfallen Dies entspricht aber iA nicht der durchschnittlichen Klassengroumlszlige
49
Indexzahlen
bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt
bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine
realen Sachverhalt
bull (Zusammengesetzte) Indexzahlenndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen
fiktiven Zustand beschreibt
50
Indexzahlen
bull Einfache Indizes
bull Reihe von Maszligzahlen die man in Beziehung zueinander setzen will
x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0
Dann ist
I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2
eine Zeitreihe einfacher Indizes
51
Indexzahlen
bull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziert
bull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0 I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87
Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden
Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor
bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90
Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen
52
Indexzahlen
bull UmbasierenGegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten
bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt
0k
0t
0k
0t
k
tkt I
I
xx
xx
x
xI
53
Indexzahlen
bull Bsp Umsatz fuumlr Jahre 1990 bis 1998
Jahr Umsatz xt x0 xt x4
1990 1240 100 1081991 1210 098 1051992 1180 095 1031993 1190 096 1031994 1150 093 1001995 1080 087 0941996 1120 090 0971997 1130 091 0981998 1200 097 104
54
Indexzahlen
bull Umbasieren Index von 1996 zur Basisperiode 1990 sollen in Index zur Basisperiode 1994 umgerechnet werden ndash I19901996 = 090 (Basisperiode 1990)
ndash I19901994 = 093 (Basisperiode 1990)
ndash I19941996 = 090 093 = 097 (Basisperiode 1994)
bull Verkettung Weiterer Wert fuumlr 1998 ndash I19901998 = I19901994 middot I19941998 = 093 middot 104 = 097
55
Indexzahlen
bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)
bull Betrachte Warenkorb
n Waren zu einem Zeitpunkt t
Mengen qt1qtn
Preise pt1ptn
Wert des Warenkorbes in Periode t
n
1ititiqp
56
Indexzahlen
bull Wertindex
Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0
n
1i0i0i
n
1ititi
0t
qp
qpW
57
Indexzahlen
bull Bsp Durchschnittlicher Verbrauch an Fleisch aller privaten Haushalte in einer Gemeinde Basismonat 1 Berichtsmonat 12 ndash (Mengen in g Preise in DMkg) Fleisch p0i q0i p12i q12i
F1 575 1450 62 1410F2 1225 1260 1355 1200F3 241 50 248 50F4 178 210 181 215F5 455 2450 46 2470F6 1025 1310 104 1230F7 89 980 91 930
gesamt 7710 7505
58
Indexzahlen
bull Bsp Wertindex n 7
ti ti 12i 12ii 1 i 1
0t n 7
0i 0i 0i 0ii 1 i 1
p q p q627505
W 10119620125p q p q
Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i
F1 575 1450 62 1410 83375 8742F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260F3 241 50 248 50 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915F5 455 2450 46 2470 111475 11362F6 1025 1310 104 1230 134275 12792F7 89 980 91 930 8722 8463
gesamt 7710 7505 620125 627505
59
Indexzahlen
bull Bsp Wertindex ndash 100 middot W012 = 100 middot 10119 = 10119
ndash Dh der tatsaumlchliche Aufwand fuumlr Fleisch fuumlr die privaten Haushalte ist vom Basismonat bis zum Berichtsmonat um 119 gestiegen
ndash Es ist hier nicht beruumlcksichtigt dass der durchschnittliche Verbrauch im Berichtsmonat um 205g geringer ist
60
Indexzahlen
bull Preisindizes
bull Aussagen uumlber die Preisentwicklung
bull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche Mengenschema verwenden
61
Indexzahlen
bull Preisindex nach Paasche
bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
62
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Paasche
Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i p0iq12i p12iq0i
F1 575 1450 62 1410 83375 8742 81075 8990F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260 14700 17073F3 241 50 248 50 1205 1240 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915 3827 3801F5 455 2450 46 2470 111475 11362 112385 11270F6 1025 1310 104 1230 134275 12792 126075 13624F7 89 980 91 930 8722 8463 8277 8918
gesamt 7710 7505 620125 627505 599625 64916
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
63
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Paasche
bull Dh nimmt man fuumlr beide Monaten den durchschnittlichen Verbrauch an Fleisch im Berichtsmonat als Mengenschema (Warenkorb) an so sind die Preise in diesem Zeitraum um 465 gestiegen
65104559962
562750100
qp
qp100
qp
qpP100 7
1i12i0i
7
1i12i12i
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
64
Indexzahlen
bull Preisindex nach Laspeyres
bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
qp
qpP
65
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Laspeyres
bull Dh Fuumlr die im Basismonat verbrauchten Mengen an Fleisch muss man in der Berichtsperiode 468 mehr Geld ausgeben
68104562012
64916100
qp
qp100
qp
qpP100 7
1i0i0i
7
1i0i12i
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
66
Indexzahlen
bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres
bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)
bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)
bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden
bull Fishersche Idealindex LPF III
67
Indexzahlen
bull Mengenindizes
bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung (unabhaumlngig von der Preisentwicklung)
68
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Paasche
bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
qp
qpQ
69
Indexzahlen
bull Bsp Mengenindex nach Paasche
bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen im Berichtsmonat ist um 334 gesunken
669664916
562750100
qp
qp100
qp
qpQ100 7
1i0i12i
7
1i12i12i
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
70
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Laspeyres
bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
qp
qpQ
71
Indexzahlen
bull Bsp Mengenindex nach Laspeyres
bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen zum Basismonat ist um 331 gesunken
6996562012
559962100
qp
qp100
qp
qpQ100 7
1i0i0i
7
1i12i0i
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
40
Konzentrationsmaszlige
Extremfaumllle
0
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1
0 02 04 06 08 1
41
Konzentrationsmaszlige
bull Gini-Koeffizient od Lorenzsche Konzentrationsmaszlig (LKM) Maszligzahl fuumlr die Konzentration
bull Definiert als das 2-fache der Flaumlche F zw Diagonale und Lorenzkurve LKM = 2F
bull Es gilt immer 0 LKM (n-1)nbull Standardisierter Gini-Koeffizient
LKMnor = n(n-1) LKM
42
Konzentrationsmaszlige
bull Berechnung von F
ndash k hellip Werte auf Abszisse
ndash l hellip Werte auf Ordinate
ndash q hellip Anzahl der verschiedenen Merkmalsauspraumlgungen
q
1ii 05FF
q
1jjj
iii1-i1ii
i1ii
Ha
Ha
2
kk)l(l
2
kkF
43
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp Landwirtschaftliche Nutzflaumlche
bull LMK = 2F = i2Fi ndash 1 = 16048 ndash 1 = 06408ndash mit i = 1hellip5
bull LKMnor = 5049 middot 06408 = 06539
Flaumlchen-groumlszlige
Flaumlchen-anteile
aufsumm Betriebs-anteile
2 Fi
bis 5 ha 0063 042 0026465 - 10 ha 0072 060 00734410 - 20 ha 0135 078 01863020 - 50 ha 028 094 048630gt 50 ha 045 100 087300Gesamt 1 16455
44
Verhaumlltniszahlen
bull Quotient zweier Maszligzahlen Verhaumlltniszahl
bull Gliederungszahlenndash Man bezieht eine Teilgroumlszlige auf eine ihr
uumlbergeordnete Gesamtgroumlszlige
bull Beziehungszahlenndash Quotient zweier sachlich sinnvoll in
Verbindung stehender Maszligzahlen
bull Index-Zahlenndash Quotient zweier Maszligzahlen gleicher Art
45
Gliederungszahlen
bull Gliederungszahlen
bull Bsp Tagesproduktion 1500 Teile davon 300 fehlerhaft
Dann sind 20 der Tagesproduktion Ausschuss (3001500middot100)
Ausschussanteil ist eine Gliederungszahl
46
Beziehungszahlen
bull Beziehungszahlen
bull Verursachungszahlen
Bezieht Bewegungsmassen auf die zugehoumlrigen Bestandsmassen
bull Entsprechungszahlen
Alle Beziehungszahlen bei denen man Ereignisse nicht auf ihren Bestand beziehen kann
47
Beziehungszahlen
bull Bsp Verursachungszahlen Geburtenziffer
Bestandsmasse Einwohner einer Stadt (E)
Bewegungsmasse Zahl der Lebend-geborenen (L)
G = (LE)1000
Sagt wie viele Geburten auf 1000 Einwohner einer Stadt entfallen
48
Beziehungszahlen
bull Bsp Entsprechungszahlen
Schuumller-Lehrer-Verhaumlltnis
(Zahl der Schuumller) (Zahl der Lehrer)
Sagt wie viele Schuumller (ungefaumlhr) auf eine Lehrer entfallen Dies entspricht aber iA nicht der durchschnittlichen Klassengroumlszlige
49
Indexzahlen
bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt
bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine
realen Sachverhalt
bull (Zusammengesetzte) Indexzahlenndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen
fiktiven Zustand beschreibt
50
Indexzahlen
bull Einfache Indizes
bull Reihe von Maszligzahlen die man in Beziehung zueinander setzen will
x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0
Dann ist
I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2
eine Zeitreihe einfacher Indizes
51
Indexzahlen
bull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziert
bull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0 I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87
Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden
Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor
bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90
Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen
52
Indexzahlen
bull UmbasierenGegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten
bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt
0k
0t
0k
0t
k
tkt I
I
xx
xx
x
xI
53
Indexzahlen
bull Bsp Umsatz fuumlr Jahre 1990 bis 1998
Jahr Umsatz xt x0 xt x4
1990 1240 100 1081991 1210 098 1051992 1180 095 1031993 1190 096 1031994 1150 093 1001995 1080 087 0941996 1120 090 0971997 1130 091 0981998 1200 097 104
54
Indexzahlen
bull Umbasieren Index von 1996 zur Basisperiode 1990 sollen in Index zur Basisperiode 1994 umgerechnet werden ndash I19901996 = 090 (Basisperiode 1990)
ndash I19901994 = 093 (Basisperiode 1990)
ndash I19941996 = 090 093 = 097 (Basisperiode 1994)
bull Verkettung Weiterer Wert fuumlr 1998 ndash I19901998 = I19901994 middot I19941998 = 093 middot 104 = 097
55
Indexzahlen
bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)
bull Betrachte Warenkorb
n Waren zu einem Zeitpunkt t
Mengen qt1qtn
Preise pt1ptn
Wert des Warenkorbes in Periode t
n
1ititiqp
56
Indexzahlen
bull Wertindex
Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0
n
1i0i0i
n
1ititi
0t
qp
qpW
57
Indexzahlen
bull Bsp Durchschnittlicher Verbrauch an Fleisch aller privaten Haushalte in einer Gemeinde Basismonat 1 Berichtsmonat 12 ndash (Mengen in g Preise in DMkg) Fleisch p0i q0i p12i q12i
F1 575 1450 62 1410F2 1225 1260 1355 1200F3 241 50 248 50F4 178 210 181 215F5 455 2450 46 2470F6 1025 1310 104 1230F7 89 980 91 930
gesamt 7710 7505
58
Indexzahlen
bull Bsp Wertindex n 7
ti ti 12i 12ii 1 i 1
0t n 7
0i 0i 0i 0ii 1 i 1
p q p q627505
W 10119620125p q p q
Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i
F1 575 1450 62 1410 83375 8742F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260F3 241 50 248 50 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915F5 455 2450 46 2470 111475 11362F6 1025 1310 104 1230 134275 12792F7 89 980 91 930 8722 8463
gesamt 7710 7505 620125 627505
59
Indexzahlen
bull Bsp Wertindex ndash 100 middot W012 = 100 middot 10119 = 10119
ndash Dh der tatsaumlchliche Aufwand fuumlr Fleisch fuumlr die privaten Haushalte ist vom Basismonat bis zum Berichtsmonat um 119 gestiegen
ndash Es ist hier nicht beruumlcksichtigt dass der durchschnittliche Verbrauch im Berichtsmonat um 205g geringer ist
60
Indexzahlen
bull Preisindizes
bull Aussagen uumlber die Preisentwicklung
bull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche Mengenschema verwenden
61
Indexzahlen
bull Preisindex nach Paasche
bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
62
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Paasche
Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i p0iq12i p12iq0i
F1 575 1450 62 1410 83375 8742 81075 8990F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260 14700 17073F3 241 50 248 50 1205 1240 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915 3827 3801F5 455 2450 46 2470 111475 11362 112385 11270F6 1025 1310 104 1230 134275 12792 126075 13624F7 89 980 91 930 8722 8463 8277 8918
gesamt 7710 7505 620125 627505 599625 64916
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
63
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Paasche
bull Dh nimmt man fuumlr beide Monaten den durchschnittlichen Verbrauch an Fleisch im Berichtsmonat als Mengenschema (Warenkorb) an so sind die Preise in diesem Zeitraum um 465 gestiegen
65104559962
562750100
qp
qp100
qp
qpP100 7
1i12i0i
7
1i12i12i
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
64
Indexzahlen
bull Preisindex nach Laspeyres
bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
qp
qpP
65
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Laspeyres
bull Dh Fuumlr die im Basismonat verbrauchten Mengen an Fleisch muss man in der Berichtsperiode 468 mehr Geld ausgeben
68104562012
64916100
qp
qp100
qp
qpP100 7
1i0i0i
7
1i0i12i
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
66
Indexzahlen
bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres
bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)
bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)
bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden
bull Fishersche Idealindex LPF III
67
Indexzahlen
bull Mengenindizes
bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung (unabhaumlngig von der Preisentwicklung)
68
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Paasche
bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
qp
qpQ
69
Indexzahlen
bull Bsp Mengenindex nach Paasche
bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen im Berichtsmonat ist um 334 gesunken
669664916
562750100
qp
qp100
qp
qpQ100 7
1i0i12i
7
1i12i12i
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
70
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Laspeyres
bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
qp
qpQ
71
Indexzahlen
bull Bsp Mengenindex nach Laspeyres
bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen zum Basismonat ist um 331 gesunken
6996562012
559962100
qp
qp100
qp
qpQ100 7
1i0i0i
7
1i12i0i
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
41
Konzentrationsmaszlige
bull Gini-Koeffizient od Lorenzsche Konzentrationsmaszlig (LKM) Maszligzahl fuumlr die Konzentration
bull Definiert als das 2-fache der Flaumlche F zw Diagonale und Lorenzkurve LKM = 2F
bull Es gilt immer 0 LKM (n-1)nbull Standardisierter Gini-Koeffizient
LKMnor = n(n-1) LKM
42
Konzentrationsmaszlige
bull Berechnung von F
ndash k hellip Werte auf Abszisse
ndash l hellip Werte auf Ordinate
ndash q hellip Anzahl der verschiedenen Merkmalsauspraumlgungen
q
1ii 05FF
q
1jjj
iii1-i1ii
i1ii
Ha
Ha
2
kk)l(l
2
kkF
43
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp Landwirtschaftliche Nutzflaumlche
bull LMK = 2F = i2Fi ndash 1 = 16048 ndash 1 = 06408ndash mit i = 1hellip5
bull LKMnor = 5049 middot 06408 = 06539
Flaumlchen-groumlszlige
Flaumlchen-anteile
aufsumm Betriebs-anteile
2 Fi
bis 5 ha 0063 042 0026465 - 10 ha 0072 060 00734410 - 20 ha 0135 078 01863020 - 50 ha 028 094 048630gt 50 ha 045 100 087300Gesamt 1 16455
44
Verhaumlltniszahlen
bull Quotient zweier Maszligzahlen Verhaumlltniszahl
bull Gliederungszahlenndash Man bezieht eine Teilgroumlszlige auf eine ihr
uumlbergeordnete Gesamtgroumlszlige
bull Beziehungszahlenndash Quotient zweier sachlich sinnvoll in
Verbindung stehender Maszligzahlen
bull Index-Zahlenndash Quotient zweier Maszligzahlen gleicher Art
45
Gliederungszahlen
bull Gliederungszahlen
bull Bsp Tagesproduktion 1500 Teile davon 300 fehlerhaft
Dann sind 20 der Tagesproduktion Ausschuss (3001500middot100)
Ausschussanteil ist eine Gliederungszahl
46
Beziehungszahlen
bull Beziehungszahlen
bull Verursachungszahlen
Bezieht Bewegungsmassen auf die zugehoumlrigen Bestandsmassen
bull Entsprechungszahlen
Alle Beziehungszahlen bei denen man Ereignisse nicht auf ihren Bestand beziehen kann
47
Beziehungszahlen
bull Bsp Verursachungszahlen Geburtenziffer
Bestandsmasse Einwohner einer Stadt (E)
Bewegungsmasse Zahl der Lebend-geborenen (L)
G = (LE)1000
Sagt wie viele Geburten auf 1000 Einwohner einer Stadt entfallen
48
Beziehungszahlen
bull Bsp Entsprechungszahlen
Schuumller-Lehrer-Verhaumlltnis
(Zahl der Schuumller) (Zahl der Lehrer)
Sagt wie viele Schuumller (ungefaumlhr) auf eine Lehrer entfallen Dies entspricht aber iA nicht der durchschnittlichen Klassengroumlszlige
49
Indexzahlen
bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt
bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine
realen Sachverhalt
bull (Zusammengesetzte) Indexzahlenndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen
fiktiven Zustand beschreibt
50
Indexzahlen
bull Einfache Indizes
bull Reihe von Maszligzahlen die man in Beziehung zueinander setzen will
x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0
Dann ist
I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2
eine Zeitreihe einfacher Indizes
51
Indexzahlen
bull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziert
bull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0 I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87
Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden
Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor
bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90
Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen
52
Indexzahlen
bull UmbasierenGegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten
bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt
0k
0t
0k
0t
k
tkt I
I
xx
xx
x
xI
53
Indexzahlen
bull Bsp Umsatz fuumlr Jahre 1990 bis 1998
Jahr Umsatz xt x0 xt x4
1990 1240 100 1081991 1210 098 1051992 1180 095 1031993 1190 096 1031994 1150 093 1001995 1080 087 0941996 1120 090 0971997 1130 091 0981998 1200 097 104
54
Indexzahlen
bull Umbasieren Index von 1996 zur Basisperiode 1990 sollen in Index zur Basisperiode 1994 umgerechnet werden ndash I19901996 = 090 (Basisperiode 1990)
ndash I19901994 = 093 (Basisperiode 1990)
ndash I19941996 = 090 093 = 097 (Basisperiode 1994)
bull Verkettung Weiterer Wert fuumlr 1998 ndash I19901998 = I19901994 middot I19941998 = 093 middot 104 = 097
55
Indexzahlen
bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)
bull Betrachte Warenkorb
n Waren zu einem Zeitpunkt t
Mengen qt1qtn
Preise pt1ptn
Wert des Warenkorbes in Periode t
n
1ititiqp
56
Indexzahlen
bull Wertindex
Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0
n
1i0i0i
n
1ititi
0t
qp
qpW
57
Indexzahlen
bull Bsp Durchschnittlicher Verbrauch an Fleisch aller privaten Haushalte in einer Gemeinde Basismonat 1 Berichtsmonat 12 ndash (Mengen in g Preise in DMkg) Fleisch p0i q0i p12i q12i
F1 575 1450 62 1410F2 1225 1260 1355 1200F3 241 50 248 50F4 178 210 181 215F5 455 2450 46 2470F6 1025 1310 104 1230F7 89 980 91 930
gesamt 7710 7505
58
Indexzahlen
bull Bsp Wertindex n 7
ti ti 12i 12ii 1 i 1
0t n 7
0i 0i 0i 0ii 1 i 1
p q p q627505
W 10119620125p q p q
Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i
F1 575 1450 62 1410 83375 8742F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260F3 241 50 248 50 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915F5 455 2450 46 2470 111475 11362F6 1025 1310 104 1230 134275 12792F7 89 980 91 930 8722 8463
gesamt 7710 7505 620125 627505
59
Indexzahlen
bull Bsp Wertindex ndash 100 middot W012 = 100 middot 10119 = 10119
ndash Dh der tatsaumlchliche Aufwand fuumlr Fleisch fuumlr die privaten Haushalte ist vom Basismonat bis zum Berichtsmonat um 119 gestiegen
ndash Es ist hier nicht beruumlcksichtigt dass der durchschnittliche Verbrauch im Berichtsmonat um 205g geringer ist
60
Indexzahlen
bull Preisindizes
bull Aussagen uumlber die Preisentwicklung
bull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche Mengenschema verwenden
61
Indexzahlen
bull Preisindex nach Paasche
bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
62
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Paasche
Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i p0iq12i p12iq0i
F1 575 1450 62 1410 83375 8742 81075 8990F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260 14700 17073F3 241 50 248 50 1205 1240 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915 3827 3801F5 455 2450 46 2470 111475 11362 112385 11270F6 1025 1310 104 1230 134275 12792 126075 13624F7 89 980 91 930 8722 8463 8277 8918
gesamt 7710 7505 620125 627505 599625 64916
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
63
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Paasche
bull Dh nimmt man fuumlr beide Monaten den durchschnittlichen Verbrauch an Fleisch im Berichtsmonat als Mengenschema (Warenkorb) an so sind die Preise in diesem Zeitraum um 465 gestiegen
65104559962
562750100
qp
qp100
qp
qpP100 7
1i12i0i
7
1i12i12i
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
64
Indexzahlen
bull Preisindex nach Laspeyres
bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
qp
qpP
65
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Laspeyres
bull Dh Fuumlr die im Basismonat verbrauchten Mengen an Fleisch muss man in der Berichtsperiode 468 mehr Geld ausgeben
68104562012
64916100
qp
qp100
qp
qpP100 7
1i0i0i
7
1i0i12i
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
66
Indexzahlen
bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres
bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)
bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)
bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden
bull Fishersche Idealindex LPF III
67
Indexzahlen
bull Mengenindizes
bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung (unabhaumlngig von der Preisentwicklung)
68
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Paasche
bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
qp
qpQ
69
Indexzahlen
bull Bsp Mengenindex nach Paasche
bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen im Berichtsmonat ist um 334 gesunken
669664916
562750100
qp
qp100
qp
qpQ100 7
1i0i12i
7
1i12i12i
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
70
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Laspeyres
bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
qp
qpQ
71
Indexzahlen
bull Bsp Mengenindex nach Laspeyres
bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen zum Basismonat ist um 331 gesunken
6996562012
559962100
qp
qp100
qp
qpQ100 7
1i0i0i
7
1i12i0i
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
42
Konzentrationsmaszlige
bull Berechnung von F
ndash k hellip Werte auf Abszisse
ndash l hellip Werte auf Ordinate
ndash q hellip Anzahl der verschiedenen Merkmalsauspraumlgungen
q
1ii 05FF
q
1jjj
iii1-i1ii
i1ii
Ha
Ha
2
kk)l(l
2
kkF
43
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp Landwirtschaftliche Nutzflaumlche
bull LMK = 2F = i2Fi ndash 1 = 16048 ndash 1 = 06408ndash mit i = 1hellip5
bull LKMnor = 5049 middot 06408 = 06539
Flaumlchen-groumlszlige
Flaumlchen-anteile
aufsumm Betriebs-anteile
2 Fi
bis 5 ha 0063 042 0026465 - 10 ha 0072 060 00734410 - 20 ha 0135 078 01863020 - 50 ha 028 094 048630gt 50 ha 045 100 087300Gesamt 1 16455
44
Verhaumlltniszahlen
bull Quotient zweier Maszligzahlen Verhaumlltniszahl
bull Gliederungszahlenndash Man bezieht eine Teilgroumlszlige auf eine ihr
uumlbergeordnete Gesamtgroumlszlige
bull Beziehungszahlenndash Quotient zweier sachlich sinnvoll in
Verbindung stehender Maszligzahlen
bull Index-Zahlenndash Quotient zweier Maszligzahlen gleicher Art
45
Gliederungszahlen
bull Gliederungszahlen
bull Bsp Tagesproduktion 1500 Teile davon 300 fehlerhaft
Dann sind 20 der Tagesproduktion Ausschuss (3001500middot100)
Ausschussanteil ist eine Gliederungszahl
46
Beziehungszahlen
bull Beziehungszahlen
bull Verursachungszahlen
Bezieht Bewegungsmassen auf die zugehoumlrigen Bestandsmassen
bull Entsprechungszahlen
Alle Beziehungszahlen bei denen man Ereignisse nicht auf ihren Bestand beziehen kann
47
Beziehungszahlen
bull Bsp Verursachungszahlen Geburtenziffer
Bestandsmasse Einwohner einer Stadt (E)
Bewegungsmasse Zahl der Lebend-geborenen (L)
G = (LE)1000
Sagt wie viele Geburten auf 1000 Einwohner einer Stadt entfallen
48
Beziehungszahlen
bull Bsp Entsprechungszahlen
Schuumller-Lehrer-Verhaumlltnis
(Zahl der Schuumller) (Zahl der Lehrer)
Sagt wie viele Schuumller (ungefaumlhr) auf eine Lehrer entfallen Dies entspricht aber iA nicht der durchschnittlichen Klassengroumlszlige
49
Indexzahlen
bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt
bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine
realen Sachverhalt
bull (Zusammengesetzte) Indexzahlenndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen
fiktiven Zustand beschreibt
50
Indexzahlen
bull Einfache Indizes
bull Reihe von Maszligzahlen die man in Beziehung zueinander setzen will
x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0
Dann ist
I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2
eine Zeitreihe einfacher Indizes
51
Indexzahlen
bull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziert
bull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0 I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87
Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden
Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor
bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90
Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen
52
Indexzahlen
bull UmbasierenGegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten
bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt
0k
0t
0k
0t
k
tkt I
I
xx
xx
x
xI
53
Indexzahlen
bull Bsp Umsatz fuumlr Jahre 1990 bis 1998
Jahr Umsatz xt x0 xt x4
1990 1240 100 1081991 1210 098 1051992 1180 095 1031993 1190 096 1031994 1150 093 1001995 1080 087 0941996 1120 090 0971997 1130 091 0981998 1200 097 104
54
Indexzahlen
bull Umbasieren Index von 1996 zur Basisperiode 1990 sollen in Index zur Basisperiode 1994 umgerechnet werden ndash I19901996 = 090 (Basisperiode 1990)
ndash I19901994 = 093 (Basisperiode 1990)
ndash I19941996 = 090 093 = 097 (Basisperiode 1994)
bull Verkettung Weiterer Wert fuumlr 1998 ndash I19901998 = I19901994 middot I19941998 = 093 middot 104 = 097
55
Indexzahlen
bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)
bull Betrachte Warenkorb
n Waren zu einem Zeitpunkt t
Mengen qt1qtn
Preise pt1ptn
Wert des Warenkorbes in Periode t
n
1ititiqp
56
Indexzahlen
bull Wertindex
Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0
n
1i0i0i
n
1ititi
0t
qp
qpW
57
Indexzahlen
bull Bsp Durchschnittlicher Verbrauch an Fleisch aller privaten Haushalte in einer Gemeinde Basismonat 1 Berichtsmonat 12 ndash (Mengen in g Preise in DMkg) Fleisch p0i q0i p12i q12i
F1 575 1450 62 1410F2 1225 1260 1355 1200F3 241 50 248 50F4 178 210 181 215F5 455 2450 46 2470F6 1025 1310 104 1230F7 89 980 91 930
gesamt 7710 7505
58
Indexzahlen
bull Bsp Wertindex n 7
ti ti 12i 12ii 1 i 1
0t n 7
0i 0i 0i 0ii 1 i 1
p q p q627505
W 10119620125p q p q
Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i
F1 575 1450 62 1410 83375 8742F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260F3 241 50 248 50 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915F5 455 2450 46 2470 111475 11362F6 1025 1310 104 1230 134275 12792F7 89 980 91 930 8722 8463
gesamt 7710 7505 620125 627505
59
Indexzahlen
bull Bsp Wertindex ndash 100 middot W012 = 100 middot 10119 = 10119
ndash Dh der tatsaumlchliche Aufwand fuumlr Fleisch fuumlr die privaten Haushalte ist vom Basismonat bis zum Berichtsmonat um 119 gestiegen
ndash Es ist hier nicht beruumlcksichtigt dass der durchschnittliche Verbrauch im Berichtsmonat um 205g geringer ist
60
Indexzahlen
bull Preisindizes
bull Aussagen uumlber die Preisentwicklung
bull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche Mengenschema verwenden
61
Indexzahlen
bull Preisindex nach Paasche
bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
62
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Paasche
Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i p0iq12i p12iq0i
F1 575 1450 62 1410 83375 8742 81075 8990F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260 14700 17073F3 241 50 248 50 1205 1240 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915 3827 3801F5 455 2450 46 2470 111475 11362 112385 11270F6 1025 1310 104 1230 134275 12792 126075 13624F7 89 980 91 930 8722 8463 8277 8918
gesamt 7710 7505 620125 627505 599625 64916
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
63
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Paasche
bull Dh nimmt man fuumlr beide Monaten den durchschnittlichen Verbrauch an Fleisch im Berichtsmonat als Mengenschema (Warenkorb) an so sind die Preise in diesem Zeitraum um 465 gestiegen
65104559962
562750100
qp
qp100
qp
qpP100 7
1i12i0i
7
1i12i12i
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
64
Indexzahlen
bull Preisindex nach Laspeyres
bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
qp
qpP
65
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Laspeyres
bull Dh Fuumlr die im Basismonat verbrauchten Mengen an Fleisch muss man in der Berichtsperiode 468 mehr Geld ausgeben
68104562012
64916100
qp
qp100
qp
qpP100 7
1i0i0i
7
1i0i12i
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
66
Indexzahlen
bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres
bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)
bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)
bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden
bull Fishersche Idealindex LPF III
67
Indexzahlen
bull Mengenindizes
bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung (unabhaumlngig von der Preisentwicklung)
68
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Paasche
bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
qp
qpQ
69
Indexzahlen
bull Bsp Mengenindex nach Paasche
bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen im Berichtsmonat ist um 334 gesunken
669664916
562750100
qp
qp100
qp
qpQ100 7
1i0i12i
7
1i12i12i
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
70
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Laspeyres
bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
qp
qpQ
71
Indexzahlen
bull Bsp Mengenindex nach Laspeyres
bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen zum Basismonat ist um 331 gesunken
6996562012
559962100
qp
qp100
qp
qpQ100 7
1i0i0i
7
1i12i0i
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
43
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp Landwirtschaftliche Nutzflaumlche
bull LMK = 2F = i2Fi ndash 1 = 16048 ndash 1 = 06408ndash mit i = 1hellip5
bull LKMnor = 5049 middot 06408 = 06539
Flaumlchen-groumlszlige
Flaumlchen-anteile
aufsumm Betriebs-anteile
2 Fi
bis 5 ha 0063 042 0026465 - 10 ha 0072 060 00734410 - 20 ha 0135 078 01863020 - 50 ha 028 094 048630gt 50 ha 045 100 087300Gesamt 1 16455
44
Verhaumlltniszahlen
bull Quotient zweier Maszligzahlen Verhaumlltniszahl
bull Gliederungszahlenndash Man bezieht eine Teilgroumlszlige auf eine ihr
uumlbergeordnete Gesamtgroumlszlige
bull Beziehungszahlenndash Quotient zweier sachlich sinnvoll in
Verbindung stehender Maszligzahlen
bull Index-Zahlenndash Quotient zweier Maszligzahlen gleicher Art
45
Gliederungszahlen
bull Gliederungszahlen
bull Bsp Tagesproduktion 1500 Teile davon 300 fehlerhaft
Dann sind 20 der Tagesproduktion Ausschuss (3001500middot100)
Ausschussanteil ist eine Gliederungszahl
46
Beziehungszahlen
bull Beziehungszahlen
bull Verursachungszahlen
Bezieht Bewegungsmassen auf die zugehoumlrigen Bestandsmassen
bull Entsprechungszahlen
Alle Beziehungszahlen bei denen man Ereignisse nicht auf ihren Bestand beziehen kann
47
Beziehungszahlen
bull Bsp Verursachungszahlen Geburtenziffer
Bestandsmasse Einwohner einer Stadt (E)
Bewegungsmasse Zahl der Lebend-geborenen (L)
G = (LE)1000
Sagt wie viele Geburten auf 1000 Einwohner einer Stadt entfallen
48
Beziehungszahlen
bull Bsp Entsprechungszahlen
Schuumller-Lehrer-Verhaumlltnis
(Zahl der Schuumller) (Zahl der Lehrer)
Sagt wie viele Schuumller (ungefaumlhr) auf eine Lehrer entfallen Dies entspricht aber iA nicht der durchschnittlichen Klassengroumlszlige
49
Indexzahlen
bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt
bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine
realen Sachverhalt
bull (Zusammengesetzte) Indexzahlenndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen
fiktiven Zustand beschreibt
50
Indexzahlen
bull Einfache Indizes
bull Reihe von Maszligzahlen die man in Beziehung zueinander setzen will
x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0
Dann ist
I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2
eine Zeitreihe einfacher Indizes
51
Indexzahlen
bull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziert
bull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0 I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87
Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden
Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor
bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90
Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen
52
Indexzahlen
bull UmbasierenGegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten
bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt
0k
0t
0k
0t
k
tkt I
I
xx
xx
x
xI
53
Indexzahlen
bull Bsp Umsatz fuumlr Jahre 1990 bis 1998
Jahr Umsatz xt x0 xt x4
1990 1240 100 1081991 1210 098 1051992 1180 095 1031993 1190 096 1031994 1150 093 1001995 1080 087 0941996 1120 090 0971997 1130 091 0981998 1200 097 104
54
Indexzahlen
bull Umbasieren Index von 1996 zur Basisperiode 1990 sollen in Index zur Basisperiode 1994 umgerechnet werden ndash I19901996 = 090 (Basisperiode 1990)
ndash I19901994 = 093 (Basisperiode 1990)
ndash I19941996 = 090 093 = 097 (Basisperiode 1994)
bull Verkettung Weiterer Wert fuumlr 1998 ndash I19901998 = I19901994 middot I19941998 = 093 middot 104 = 097
55
Indexzahlen
bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)
bull Betrachte Warenkorb
n Waren zu einem Zeitpunkt t
Mengen qt1qtn
Preise pt1ptn
Wert des Warenkorbes in Periode t
n
1ititiqp
56
Indexzahlen
bull Wertindex
Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0
n
1i0i0i
n
1ititi
0t
qp
qpW
57
Indexzahlen
bull Bsp Durchschnittlicher Verbrauch an Fleisch aller privaten Haushalte in einer Gemeinde Basismonat 1 Berichtsmonat 12 ndash (Mengen in g Preise in DMkg) Fleisch p0i q0i p12i q12i
F1 575 1450 62 1410F2 1225 1260 1355 1200F3 241 50 248 50F4 178 210 181 215F5 455 2450 46 2470F6 1025 1310 104 1230F7 89 980 91 930
gesamt 7710 7505
58
Indexzahlen
bull Bsp Wertindex n 7
ti ti 12i 12ii 1 i 1
0t n 7
0i 0i 0i 0ii 1 i 1
p q p q627505
W 10119620125p q p q
Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i
F1 575 1450 62 1410 83375 8742F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260F3 241 50 248 50 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915F5 455 2450 46 2470 111475 11362F6 1025 1310 104 1230 134275 12792F7 89 980 91 930 8722 8463
gesamt 7710 7505 620125 627505
59
Indexzahlen
bull Bsp Wertindex ndash 100 middot W012 = 100 middot 10119 = 10119
ndash Dh der tatsaumlchliche Aufwand fuumlr Fleisch fuumlr die privaten Haushalte ist vom Basismonat bis zum Berichtsmonat um 119 gestiegen
ndash Es ist hier nicht beruumlcksichtigt dass der durchschnittliche Verbrauch im Berichtsmonat um 205g geringer ist
60
Indexzahlen
bull Preisindizes
bull Aussagen uumlber die Preisentwicklung
bull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche Mengenschema verwenden
61
Indexzahlen
bull Preisindex nach Paasche
bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
62
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Paasche
Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i p0iq12i p12iq0i
F1 575 1450 62 1410 83375 8742 81075 8990F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260 14700 17073F3 241 50 248 50 1205 1240 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915 3827 3801F5 455 2450 46 2470 111475 11362 112385 11270F6 1025 1310 104 1230 134275 12792 126075 13624F7 89 980 91 930 8722 8463 8277 8918
gesamt 7710 7505 620125 627505 599625 64916
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
63
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Paasche
bull Dh nimmt man fuumlr beide Monaten den durchschnittlichen Verbrauch an Fleisch im Berichtsmonat als Mengenschema (Warenkorb) an so sind die Preise in diesem Zeitraum um 465 gestiegen
65104559962
562750100
qp
qp100
qp
qpP100 7
1i12i0i
7
1i12i12i
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
64
Indexzahlen
bull Preisindex nach Laspeyres
bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
qp
qpP
65
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Laspeyres
bull Dh Fuumlr die im Basismonat verbrauchten Mengen an Fleisch muss man in der Berichtsperiode 468 mehr Geld ausgeben
68104562012
64916100
qp
qp100
qp
qpP100 7
1i0i0i
7
1i0i12i
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
66
Indexzahlen
bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres
bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)
bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)
bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden
bull Fishersche Idealindex LPF III
67
Indexzahlen
bull Mengenindizes
bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung (unabhaumlngig von der Preisentwicklung)
68
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Paasche
bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
qp
qpQ
69
Indexzahlen
bull Bsp Mengenindex nach Paasche
bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen im Berichtsmonat ist um 334 gesunken
669664916
562750100
qp
qp100
qp
qpQ100 7
1i0i12i
7
1i12i12i
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
70
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Laspeyres
bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
qp
qpQ
71
Indexzahlen
bull Bsp Mengenindex nach Laspeyres
bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen zum Basismonat ist um 331 gesunken
6996562012
559962100
qp
qp100
qp
qpQ100 7
1i0i0i
7
1i12i0i
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
44
Verhaumlltniszahlen
bull Quotient zweier Maszligzahlen Verhaumlltniszahl
bull Gliederungszahlenndash Man bezieht eine Teilgroumlszlige auf eine ihr
uumlbergeordnete Gesamtgroumlszlige
bull Beziehungszahlenndash Quotient zweier sachlich sinnvoll in
Verbindung stehender Maszligzahlen
bull Index-Zahlenndash Quotient zweier Maszligzahlen gleicher Art
45
Gliederungszahlen
bull Gliederungszahlen
bull Bsp Tagesproduktion 1500 Teile davon 300 fehlerhaft
Dann sind 20 der Tagesproduktion Ausschuss (3001500middot100)
Ausschussanteil ist eine Gliederungszahl
46
Beziehungszahlen
bull Beziehungszahlen
bull Verursachungszahlen
Bezieht Bewegungsmassen auf die zugehoumlrigen Bestandsmassen
bull Entsprechungszahlen
Alle Beziehungszahlen bei denen man Ereignisse nicht auf ihren Bestand beziehen kann
47
Beziehungszahlen
bull Bsp Verursachungszahlen Geburtenziffer
Bestandsmasse Einwohner einer Stadt (E)
Bewegungsmasse Zahl der Lebend-geborenen (L)
G = (LE)1000
Sagt wie viele Geburten auf 1000 Einwohner einer Stadt entfallen
48
Beziehungszahlen
bull Bsp Entsprechungszahlen
Schuumller-Lehrer-Verhaumlltnis
(Zahl der Schuumller) (Zahl der Lehrer)
Sagt wie viele Schuumller (ungefaumlhr) auf eine Lehrer entfallen Dies entspricht aber iA nicht der durchschnittlichen Klassengroumlszlige
49
Indexzahlen
bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt
bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine
realen Sachverhalt
bull (Zusammengesetzte) Indexzahlenndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen
fiktiven Zustand beschreibt
50
Indexzahlen
bull Einfache Indizes
bull Reihe von Maszligzahlen die man in Beziehung zueinander setzen will
x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0
Dann ist
I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2
eine Zeitreihe einfacher Indizes
51
Indexzahlen
bull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziert
bull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0 I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87
Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden
Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor
bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90
Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen
52
Indexzahlen
bull UmbasierenGegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten
bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt
0k
0t
0k
0t
k
tkt I
I
xx
xx
x
xI
53
Indexzahlen
bull Bsp Umsatz fuumlr Jahre 1990 bis 1998
Jahr Umsatz xt x0 xt x4
1990 1240 100 1081991 1210 098 1051992 1180 095 1031993 1190 096 1031994 1150 093 1001995 1080 087 0941996 1120 090 0971997 1130 091 0981998 1200 097 104
54
Indexzahlen
bull Umbasieren Index von 1996 zur Basisperiode 1990 sollen in Index zur Basisperiode 1994 umgerechnet werden ndash I19901996 = 090 (Basisperiode 1990)
ndash I19901994 = 093 (Basisperiode 1990)
ndash I19941996 = 090 093 = 097 (Basisperiode 1994)
bull Verkettung Weiterer Wert fuumlr 1998 ndash I19901998 = I19901994 middot I19941998 = 093 middot 104 = 097
55
Indexzahlen
bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)
bull Betrachte Warenkorb
n Waren zu einem Zeitpunkt t
Mengen qt1qtn
Preise pt1ptn
Wert des Warenkorbes in Periode t
n
1ititiqp
56
Indexzahlen
bull Wertindex
Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0
n
1i0i0i
n
1ititi
0t
qp
qpW
57
Indexzahlen
bull Bsp Durchschnittlicher Verbrauch an Fleisch aller privaten Haushalte in einer Gemeinde Basismonat 1 Berichtsmonat 12 ndash (Mengen in g Preise in DMkg) Fleisch p0i q0i p12i q12i
F1 575 1450 62 1410F2 1225 1260 1355 1200F3 241 50 248 50F4 178 210 181 215F5 455 2450 46 2470F6 1025 1310 104 1230F7 89 980 91 930
gesamt 7710 7505
58
Indexzahlen
bull Bsp Wertindex n 7
ti ti 12i 12ii 1 i 1
0t n 7
0i 0i 0i 0ii 1 i 1
p q p q627505
W 10119620125p q p q
Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i
F1 575 1450 62 1410 83375 8742F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260F3 241 50 248 50 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915F5 455 2450 46 2470 111475 11362F6 1025 1310 104 1230 134275 12792F7 89 980 91 930 8722 8463
gesamt 7710 7505 620125 627505
59
Indexzahlen
bull Bsp Wertindex ndash 100 middot W012 = 100 middot 10119 = 10119
ndash Dh der tatsaumlchliche Aufwand fuumlr Fleisch fuumlr die privaten Haushalte ist vom Basismonat bis zum Berichtsmonat um 119 gestiegen
ndash Es ist hier nicht beruumlcksichtigt dass der durchschnittliche Verbrauch im Berichtsmonat um 205g geringer ist
60
Indexzahlen
bull Preisindizes
bull Aussagen uumlber die Preisentwicklung
bull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche Mengenschema verwenden
61
Indexzahlen
bull Preisindex nach Paasche
bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
62
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Paasche
Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i p0iq12i p12iq0i
F1 575 1450 62 1410 83375 8742 81075 8990F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260 14700 17073F3 241 50 248 50 1205 1240 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915 3827 3801F5 455 2450 46 2470 111475 11362 112385 11270F6 1025 1310 104 1230 134275 12792 126075 13624F7 89 980 91 930 8722 8463 8277 8918
gesamt 7710 7505 620125 627505 599625 64916
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
63
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Paasche
bull Dh nimmt man fuumlr beide Monaten den durchschnittlichen Verbrauch an Fleisch im Berichtsmonat als Mengenschema (Warenkorb) an so sind die Preise in diesem Zeitraum um 465 gestiegen
65104559962
562750100
qp
qp100
qp
qpP100 7
1i12i0i
7
1i12i12i
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
64
Indexzahlen
bull Preisindex nach Laspeyres
bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
qp
qpP
65
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Laspeyres
bull Dh Fuumlr die im Basismonat verbrauchten Mengen an Fleisch muss man in der Berichtsperiode 468 mehr Geld ausgeben
68104562012
64916100
qp
qp100
qp
qpP100 7
1i0i0i
7
1i0i12i
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
66
Indexzahlen
bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres
bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)
bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)
bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden
bull Fishersche Idealindex LPF III
67
Indexzahlen
bull Mengenindizes
bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung (unabhaumlngig von der Preisentwicklung)
68
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Paasche
bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
qp
qpQ
69
Indexzahlen
bull Bsp Mengenindex nach Paasche
bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen im Berichtsmonat ist um 334 gesunken
669664916
562750100
qp
qp100
qp
qpQ100 7
1i0i12i
7
1i12i12i
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
70
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Laspeyres
bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
qp
qpQ
71
Indexzahlen
bull Bsp Mengenindex nach Laspeyres
bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen zum Basismonat ist um 331 gesunken
6996562012
559962100
qp
qp100
qp
qpQ100 7
1i0i0i
7
1i12i0i
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
45
Gliederungszahlen
bull Gliederungszahlen
bull Bsp Tagesproduktion 1500 Teile davon 300 fehlerhaft
Dann sind 20 der Tagesproduktion Ausschuss (3001500middot100)
Ausschussanteil ist eine Gliederungszahl
46
Beziehungszahlen
bull Beziehungszahlen
bull Verursachungszahlen
Bezieht Bewegungsmassen auf die zugehoumlrigen Bestandsmassen
bull Entsprechungszahlen
Alle Beziehungszahlen bei denen man Ereignisse nicht auf ihren Bestand beziehen kann
47
Beziehungszahlen
bull Bsp Verursachungszahlen Geburtenziffer
Bestandsmasse Einwohner einer Stadt (E)
Bewegungsmasse Zahl der Lebend-geborenen (L)
G = (LE)1000
Sagt wie viele Geburten auf 1000 Einwohner einer Stadt entfallen
48
Beziehungszahlen
bull Bsp Entsprechungszahlen
Schuumller-Lehrer-Verhaumlltnis
(Zahl der Schuumller) (Zahl der Lehrer)
Sagt wie viele Schuumller (ungefaumlhr) auf eine Lehrer entfallen Dies entspricht aber iA nicht der durchschnittlichen Klassengroumlszlige
49
Indexzahlen
bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt
bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine
realen Sachverhalt
bull (Zusammengesetzte) Indexzahlenndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen
fiktiven Zustand beschreibt
50
Indexzahlen
bull Einfache Indizes
bull Reihe von Maszligzahlen die man in Beziehung zueinander setzen will
x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0
Dann ist
I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2
eine Zeitreihe einfacher Indizes
51
Indexzahlen
bull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziert
bull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0 I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87
Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden
Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor
bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90
Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen
52
Indexzahlen
bull UmbasierenGegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten
bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt
0k
0t
0k
0t
k
tkt I
I
xx
xx
x
xI
53
Indexzahlen
bull Bsp Umsatz fuumlr Jahre 1990 bis 1998
Jahr Umsatz xt x0 xt x4
1990 1240 100 1081991 1210 098 1051992 1180 095 1031993 1190 096 1031994 1150 093 1001995 1080 087 0941996 1120 090 0971997 1130 091 0981998 1200 097 104
54
Indexzahlen
bull Umbasieren Index von 1996 zur Basisperiode 1990 sollen in Index zur Basisperiode 1994 umgerechnet werden ndash I19901996 = 090 (Basisperiode 1990)
ndash I19901994 = 093 (Basisperiode 1990)
ndash I19941996 = 090 093 = 097 (Basisperiode 1994)
bull Verkettung Weiterer Wert fuumlr 1998 ndash I19901998 = I19901994 middot I19941998 = 093 middot 104 = 097
55
Indexzahlen
bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)
bull Betrachte Warenkorb
n Waren zu einem Zeitpunkt t
Mengen qt1qtn
Preise pt1ptn
Wert des Warenkorbes in Periode t
n
1ititiqp
56
Indexzahlen
bull Wertindex
Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0
n
1i0i0i
n
1ititi
0t
qp
qpW
57
Indexzahlen
bull Bsp Durchschnittlicher Verbrauch an Fleisch aller privaten Haushalte in einer Gemeinde Basismonat 1 Berichtsmonat 12 ndash (Mengen in g Preise in DMkg) Fleisch p0i q0i p12i q12i
F1 575 1450 62 1410F2 1225 1260 1355 1200F3 241 50 248 50F4 178 210 181 215F5 455 2450 46 2470F6 1025 1310 104 1230F7 89 980 91 930
gesamt 7710 7505
58
Indexzahlen
bull Bsp Wertindex n 7
ti ti 12i 12ii 1 i 1
0t n 7
0i 0i 0i 0ii 1 i 1
p q p q627505
W 10119620125p q p q
Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i
F1 575 1450 62 1410 83375 8742F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260F3 241 50 248 50 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915F5 455 2450 46 2470 111475 11362F6 1025 1310 104 1230 134275 12792F7 89 980 91 930 8722 8463
gesamt 7710 7505 620125 627505
59
Indexzahlen
bull Bsp Wertindex ndash 100 middot W012 = 100 middot 10119 = 10119
ndash Dh der tatsaumlchliche Aufwand fuumlr Fleisch fuumlr die privaten Haushalte ist vom Basismonat bis zum Berichtsmonat um 119 gestiegen
ndash Es ist hier nicht beruumlcksichtigt dass der durchschnittliche Verbrauch im Berichtsmonat um 205g geringer ist
60
Indexzahlen
bull Preisindizes
bull Aussagen uumlber die Preisentwicklung
bull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche Mengenschema verwenden
61
Indexzahlen
bull Preisindex nach Paasche
bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
62
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Paasche
Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i p0iq12i p12iq0i
F1 575 1450 62 1410 83375 8742 81075 8990F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260 14700 17073F3 241 50 248 50 1205 1240 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915 3827 3801F5 455 2450 46 2470 111475 11362 112385 11270F6 1025 1310 104 1230 134275 12792 126075 13624F7 89 980 91 930 8722 8463 8277 8918
gesamt 7710 7505 620125 627505 599625 64916
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
63
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Paasche
bull Dh nimmt man fuumlr beide Monaten den durchschnittlichen Verbrauch an Fleisch im Berichtsmonat als Mengenschema (Warenkorb) an so sind die Preise in diesem Zeitraum um 465 gestiegen
65104559962
562750100
qp
qp100
qp
qpP100 7
1i12i0i
7
1i12i12i
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
64
Indexzahlen
bull Preisindex nach Laspeyres
bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
qp
qpP
65
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Laspeyres
bull Dh Fuumlr die im Basismonat verbrauchten Mengen an Fleisch muss man in der Berichtsperiode 468 mehr Geld ausgeben
68104562012
64916100
qp
qp100
qp
qpP100 7
1i0i0i
7
1i0i12i
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
66
Indexzahlen
bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres
bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)
bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)
bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden
bull Fishersche Idealindex LPF III
67
Indexzahlen
bull Mengenindizes
bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung (unabhaumlngig von der Preisentwicklung)
68
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Paasche
bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
qp
qpQ
69
Indexzahlen
bull Bsp Mengenindex nach Paasche
bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen im Berichtsmonat ist um 334 gesunken
669664916
562750100
qp
qp100
qp
qpQ100 7
1i0i12i
7
1i12i12i
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
70
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Laspeyres
bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
qp
qpQ
71
Indexzahlen
bull Bsp Mengenindex nach Laspeyres
bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen zum Basismonat ist um 331 gesunken
6996562012
559962100
qp
qp100
qp
qpQ100 7
1i0i0i
7
1i12i0i
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
46
Beziehungszahlen
bull Beziehungszahlen
bull Verursachungszahlen
Bezieht Bewegungsmassen auf die zugehoumlrigen Bestandsmassen
bull Entsprechungszahlen
Alle Beziehungszahlen bei denen man Ereignisse nicht auf ihren Bestand beziehen kann
47
Beziehungszahlen
bull Bsp Verursachungszahlen Geburtenziffer
Bestandsmasse Einwohner einer Stadt (E)
Bewegungsmasse Zahl der Lebend-geborenen (L)
G = (LE)1000
Sagt wie viele Geburten auf 1000 Einwohner einer Stadt entfallen
48
Beziehungszahlen
bull Bsp Entsprechungszahlen
Schuumller-Lehrer-Verhaumlltnis
(Zahl der Schuumller) (Zahl der Lehrer)
Sagt wie viele Schuumller (ungefaumlhr) auf eine Lehrer entfallen Dies entspricht aber iA nicht der durchschnittlichen Klassengroumlszlige
49
Indexzahlen
bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt
bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine
realen Sachverhalt
bull (Zusammengesetzte) Indexzahlenndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen
fiktiven Zustand beschreibt
50
Indexzahlen
bull Einfache Indizes
bull Reihe von Maszligzahlen die man in Beziehung zueinander setzen will
x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0
Dann ist
I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2
eine Zeitreihe einfacher Indizes
51
Indexzahlen
bull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziert
bull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0 I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87
Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden
Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor
bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90
Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen
52
Indexzahlen
bull UmbasierenGegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten
bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt
0k
0t
0k
0t
k
tkt I
I
xx
xx
x
xI
53
Indexzahlen
bull Bsp Umsatz fuumlr Jahre 1990 bis 1998
Jahr Umsatz xt x0 xt x4
1990 1240 100 1081991 1210 098 1051992 1180 095 1031993 1190 096 1031994 1150 093 1001995 1080 087 0941996 1120 090 0971997 1130 091 0981998 1200 097 104
54
Indexzahlen
bull Umbasieren Index von 1996 zur Basisperiode 1990 sollen in Index zur Basisperiode 1994 umgerechnet werden ndash I19901996 = 090 (Basisperiode 1990)
ndash I19901994 = 093 (Basisperiode 1990)
ndash I19941996 = 090 093 = 097 (Basisperiode 1994)
bull Verkettung Weiterer Wert fuumlr 1998 ndash I19901998 = I19901994 middot I19941998 = 093 middot 104 = 097
55
Indexzahlen
bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)
bull Betrachte Warenkorb
n Waren zu einem Zeitpunkt t
Mengen qt1qtn
Preise pt1ptn
Wert des Warenkorbes in Periode t
n
1ititiqp
56
Indexzahlen
bull Wertindex
Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0
n
1i0i0i
n
1ititi
0t
qp
qpW
57
Indexzahlen
bull Bsp Durchschnittlicher Verbrauch an Fleisch aller privaten Haushalte in einer Gemeinde Basismonat 1 Berichtsmonat 12 ndash (Mengen in g Preise in DMkg) Fleisch p0i q0i p12i q12i
F1 575 1450 62 1410F2 1225 1260 1355 1200F3 241 50 248 50F4 178 210 181 215F5 455 2450 46 2470F6 1025 1310 104 1230F7 89 980 91 930
gesamt 7710 7505
58
Indexzahlen
bull Bsp Wertindex n 7
ti ti 12i 12ii 1 i 1
0t n 7
0i 0i 0i 0ii 1 i 1
p q p q627505
W 10119620125p q p q
Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i
F1 575 1450 62 1410 83375 8742F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260F3 241 50 248 50 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915F5 455 2450 46 2470 111475 11362F6 1025 1310 104 1230 134275 12792F7 89 980 91 930 8722 8463
gesamt 7710 7505 620125 627505
59
Indexzahlen
bull Bsp Wertindex ndash 100 middot W012 = 100 middot 10119 = 10119
ndash Dh der tatsaumlchliche Aufwand fuumlr Fleisch fuumlr die privaten Haushalte ist vom Basismonat bis zum Berichtsmonat um 119 gestiegen
ndash Es ist hier nicht beruumlcksichtigt dass der durchschnittliche Verbrauch im Berichtsmonat um 205g geringer ist
60
Indexzahlen
bull Preisindizes
bull Aussagen uumlber die Preisentwicklung
bull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche Mengenschema verwenden
61
Indexzahlen
bull Preisindex nach Paasche
bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
62
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Paasche
Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i p0iq12i p12iq0i
F1 575 1450 62 1410 83375 8742 81075 8990F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260 14700 17073F3 241 50 248 50 1205 1240 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915 3827 3801F5 455 2450 46 2470 111475 11362 112385 11270F6 1025 1310 104 1230 134275 12792 126075 13624F7 89 980 91 930 8722 8463 8277 8918
gesamt 7710 7505 620125 627505 599625 64916
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
63
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Paasche
bull Dh nimmt man fuumlr beide Monaten den durchschnittlichen Verbrauch an Fleisch im Berichtsmonat als Mengenschema (Warenkorb) an so sind die Preise in diesem Zeitraum um 465 gestiegen
65104559962
562750100
qp
qp100
qp
qpP100 7
1i12i0i
7
1i12i12i
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
64
Indexzahlen
bull Preisindex nach Laspeyres
bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
qp
qpP
65
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Laspeyres
bull Dh Fuumlr die im Basismonat verbrauchten Mengen an Fleisch muss man in der Berichtsperiode 468 mehr Geld ausgeben
68104562012
64916100
qp
qp100
qp
qpP100 7
1i0i0i
7
1i0i12i
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
66
Indexzahlen
bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres
bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)
bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)
bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden
bull Fishersche Idealindex LPF III
67
Indexzahlen
bull Mengenindizes
bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung (unabhaumlngig von der Preisentwicklung)
68
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Paasche
bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
qp
qpQ
69
Indexzahlen
bull Bsp Mengenindex nach Paasche
bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen im Berichtsmonat ist um 334 gesunken
669664916
562750100
qp
qp100
qp
qpQ100 7
1i0i12i
7
1i12i12i
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
70
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Laspeyres
bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
qp
qpQ
71
Indexzahlen
bull Bsp Mengenindex nach Laspeyres
bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen zum Basismonat ist um 331 gesunken
6996562012
559962100
qp
qp100
qp
qpQ100 7
1i0i0i
7
1i12i0i
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
47
Beziehungszahlen
bull Bsp Verursachungszahlen Geburtenziffer
Bestandsmasse Einwohner einer Stadt (E)
Bewegungsmasse Zahl der Lebend-geborenen (L)
G = (LE)1000
Sagt wie viele Geburten auf 1000 Einwohner einer Stadt entfallen
48
Beziehungszahlen
bull Bsp Entsprechungszahlen
Schuumller-Lehrer-Verhaumlltnis
(Zahl der Schuumller) (Zahl der Lehrer)
Sagt wie viele Schuumller (ungefaumlhr) auf eine Lehrer entfallen Dies entspricht aber iA nicht der durchschnittlichen Klassengroumlszlige
49
Indexzahlen
bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt
bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine
realen Sachverhalt
bull (Zusammengesetzte) Indexzahlenndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen
fiktiven Zustand beschreibt
50
Indexzahlen
bull Einfache Indizes
bull Reihe von Maszligzahlen die man in Beziehung zueinander setzen will
x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0
Dann ist
I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2
eine Zeitreihe einfacher Indizes
51
Indexzahlen
bull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziert
bull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0 I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87
Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden
Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor
bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90
Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen
52
Indexzahlen
bull UmbasierenGegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten
bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt
0k
0t
0k
0t
k
tkt I
I
xx
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x
xI
53
Indexzahlen
bull Bsp Umsatz fuumlr Jahre 1990 bis 1998
Jahr Umsatz xt x0 xt x4
1990 1240 100 1081991 1210 098 1051992 1180 095 1031993 1190 096 1031994 1150 093 1001995 1080 087 0941996 1120 090 0971997 1130 091 0981998 1200 097 104
54
Indexzahlen
bull Umbasieren Index von 1996 zur Basisperiode 1990 sollen in Index zur Basisperiode 1994 umgerechnet werden ndash I19901996 = 090 (Basisperiode 1990)
ndash I19901994 = 093 (Basisperiode 1990)
ndash I19941996 = 090 093 = 097 (Basisperiode 1994)
bull Verkettung Weiterer Wert fuumlr 1998 ndash I19901998 = I19901994 middot I19941998 = 093 middot 104 = 097
55
Indexzahlen
bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)
bull Betrachte Warenkorb
n Waren zu einem Zeitpunkt t
Mengen qt1qtn
Preise pt1ptn
Wert des Warenkorbes in Periode t
n
1ititiqp
56
Indexzahlen
bull Wertindex
Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0
n
1i0i0i
n
1ititi
0t
qp
qpW
57
Indexzahlen
bull Bsp Durchschnittlicher Verbrauch an Fleisch aller privaten Haushalte in einer Gemeinde Basismonat 1 Berichtsmonat 12 ndash (Mengen in g Preise in DMkg) Fleisch p0i q0i p12i q12i
F1 575 1450 62 1410F2 1225 1260 1355 1200F3 241 50 248 50F4 178 210 181 215F5 455 2450 46 2470F6 1025 1310 104 1230F7 89 980 91 930
gesamt 7710 7505
58
Indexzahlen
bull Bsp Wertindex n 7
ti ti 12i 12ii 1 i 1
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gesamt 7710 7505 620125 627505
59
Indexzahlen
bull Bsp Wertindex ndash 100 middot W012 = 100 middot 10119 = 10119
ndash Dh der tatsaumlchliche Aufwand fuumlr Fleisch fuumlr die privaten Haushalte ist vom Basismonat bis zum Berichtsmonat um 119 gestiegen
ndash Es ist hier nicht beruumlcksichtigt dass der durchschnittliche Verbrauch im Berichtsmonat um 205g geringer ist
60
Indexzahlen
bull Preisindizes
bull Aussagen uumlber die Preisentwicklung
bull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche Mengenschema verwenden
61
Indexzahlen
bull Preisindex nach Paasche
bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte
n
1iti0i
n
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Pt0
qp
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62
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Paasche
Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i p0iq12i p12iq0i
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gesamt 7710 7505 620125 627505 599625 64916
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
63
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Paasche
bull Dh nimmt man fuumlr beide Monaten den durchschnittlichen Verbrauch an Fleisch im Berichtsmonat als Mengenschema (Warenkorb) an so sind die Preise in diesem Zeitraum um 465 gestiegen
65104559962
562750100
qp
qp100
qp
qpP100 7
1i12i0i
7
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n
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Pt0
64
Indexzahlen
bull Preisindex nach Laspeyres
bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen
n
1i0i0i
n
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Lt0
qp
qpP
65
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Laspeyres
bull Dh Fuumlr die im Basismonat verbrauchten Mengen an Fleisch muss man in der Berichtsperiode 468 mehr Geld ausgeben
68104562012
64916100
qp
qp100
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qpP100 7
1i0i0i
7
1i0i12i
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
66
Indexzahlen
bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres
bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)
bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)
bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden
bull Fishersche Idealindex LPF III
67
Indexzahlen
bull Mengenindizes
bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung (unabhaumlngig von der Preisentwicklung)
68
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Paasche
bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
qp
qpQ
69
Indexzahlen
bull Bsp Mengenindex nach Paasche
bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen im Berichtsmonat ist um 334 gesunken
669664916
562750100
qp
qp100
qp
qpQ100 7
1i0i12i
7
1i12i12i
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
70
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Laspeyres
bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
qp
qpQ
71
Indexzahlen
bull Bsp Mengenindex nach Laspeyres
bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen zum Basismonat ist um 331 gesunken
6996562012
559962100
qp
qp100
qp
qpQ100 7
1i0i0i
7
1i12i0i
n
1i0i0i
n
1iti0i
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Beziehungszahlen
bull Bsp Entsprechungszahlen
Schuumller-Lehrer-Verhaumlltnis
(Zahl der Schuumller) (Zahl der Lehrer)
Sagt wie viele Schuumller (ungefaumlhr) auf eine Lehrer entfallen Dies entspricht aber iA nicht der durchschnittlichen Klassengroumlszlige
49
Indexzahlen
bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt
bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine
realen Sachverhalt
bull (Zusammengesetzte) Indexzahlenndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen
fiktiven Zustand beschreibt
50
Indexzahlen
bull Einfache Indizes
bull Reihe von Maszligzahlen die man in Beziehung zueinander setzen will
x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0
Dann ist
I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2
eine Zeitreihe einfacher Indizes
51
Indexzahlen
bull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziert
bull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0 I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87
Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden
Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor
bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90
Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen
52
Indexzahlen
bull UmbasierenGegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten
bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt
0k
0t
0k
0t
k
tkt I
I
xx
xx
x
xI
53
Indexzahlen
bull Bsp Umsatz fuumlr Jahre 1990 bis 1998
Jahr Umsatz xt x0 xt x4
1990 1240 100 1081991 1210 098 1051992 1180 095 1031993 1190 096 1031994 1150 093 1001995 1080 087 0941996 1120 090 0971997 1130 091 0981998 1200 097 104
54
Indexzahlen
bull Umbasieren Index von 1996 zur Basisperiode 1990 sollen in Index zur Basisperiode 1994 umgerechnet werden ndash I19901996 = 090 (Basisperiode 1990)
ndash I19901994 = 093 (Basisperiode 1990)
ndash I19941996 = 090 093 = 097 (Basisperiode 1994)
bull Verkettung Weiterer Wert fuumlr 1998 ndash I19901998 = I19901994 middot I19941998 = 093 middot 104 = 097
55
Indexzahlen
bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)
bull Betrachte Warenkorb
n Waren zu einem Zeitpunkt t
Mengen qt1qtn
Preise pt1ptn
Wert des Warenkorbes in Periode t
n
1ititiqp
56
Indexzahlen
bull Wertindex
Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0
n
1i0i0i
n
1ititi
0t
qp
qpW
57
Indexzahlen
bull Bsp Durchschnittlicher Verbrauch an Fleisch aller privaten Haushalte in einer Gemeinde Basismonat 1 Berichtsmonat 12 ndash (Mengen in g Preise in DMkg) Fleisch p0i q0i p12i q12i
F1 575 1450 62 1410F2 1225 1260 1355 1200F3 241 50 248 50F4 178 210 181 215F5 455 2450 46 2470F6 1025 1310 104 1230F7 89 980 91 930
gesamt 7710 7505
58
Indexzahlen
bull Bsp Wertindex n 7
ti ti 12i 12ii 1 i 1
0t n 7
0i 0i 0i 0ii 1 i 1
p q p q627505
W 10119620125p q p q
Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i
F1 575 1450 62 1410 83375 8742F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260F3 241 50 248 50 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915F5 455 2450 46 2470 111475 11362F6 1025 1310 104 1230 134275 12792F7 89 980 91 930 8722 8463
gesamt 7710 7505 620125 627505
59
Indexzahlen
bull Bsp Wertindex ndash 100 middot W012 = 100 middot 10119 = 10119
ndash Dh der tatsaumlchliche Aufwand fuumlr Fleisch fuumlr die privaten Haushalte ist vom Basismonat bis zum Berichtsmonat um 119 gestiegen
ndash Es ist hier nicht beruumlcksichtigt dass der durchschnittliche Verbrauch im Berichtsmonat um 205g geringer ist
60
Indexzahlen
bull Preisindizes
bull Aussagen uumlber die Preisentwicklung
bull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche Mengenschema verwenden
61
Indexzahlen
bull Preisindex nach Paasche
bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
62
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Paasche
Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i p0iq12i p12iq0i
F1 575 1450 62 1410 83375 8742 81075 8990F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260 14700 17073F3 241 50 248 50 1205 1240 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915 3827 3801F5 455 2450 46 2470 111475 11362 112385 11270F6 1025 1310 104 1230 134275 12792 126075 13624F7 89 980 91 930 8722 8463 8277 8918
gesamt 7710 7505 620125 627505 599625 64916
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
63
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Paasche
bull Dh nimmt man fuumlr beide Monaten den durchschnittlichen Verbrauch an Fleisch im Berichtsmonat als Mengenschema (Warenkorb) an so sind die Preise in diesem Zeitraum um 465 gestiegen
65104559962
562750100
qp
qp100
qp
qpP100 7
1i12i0i
7
1i12i12i
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
64
Indexzahlen
bull Preisindex nach Laspeyres
bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
qp
qpP
65
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Laspeyres
bull Dh Fuumlr die im Basismonat verbrauchten Mengen an Fleisch muss man in der Berichtsperiode 468 mehr Geld ausgeben
68104562012
64916100
qp
qp100
qp
qpP100 7
1i0i0i
7
1i0i12i
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
66
Indexzahlen
bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres
bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)
bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)
bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden
bull Fishersche Idealindex LPF III
67
Indexzahlen
bull Mengenindizes
bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung (unabhaumlngig von der Preisentwicklung)
68
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Paasche
bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
qp
qpQ
69
Indexzahlen
bull Bsp Mengenindex nach Paasche
bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen im Berichtsmonat ist um 334 gesunken
669664916
562750100
qp
qp100
qp
qpQ100 7
1i0i12i
7
1i12i12i
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
70
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Laspeyres
bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
qp
qpQ
71
Indexzahlen
bull Bsp Mengenindex nach Laspeyres
bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen zum Basismonat ist um 331 gesunken
6996562012
559962100
qp
qp100
qp
qpQ100 7
1i0i0i
7
1i12i0i
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
49
Indexzahlen
bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt
bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine
realen Sachverhalt
bull (Zusammengesetzte) Indexzahlenndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen
fiktiven Zustand beschreibt
50
Indexzahlen
bull Einfache Indizes
bull Reihe von Maszligzahlen die man in Beziehung zueinander setzen will
x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0
Dann ist
I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2
eine Zeitreihe einfacher Indizes
51
Indexzahlen
bull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziert
bull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0 I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87
Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden
Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor
bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90
Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen
52
Indexzahlen
bull UmbasierenGegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten
bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt
0k
0t
0k
0t
k
tkt I
I
xx
xx
x
xI
53
Indexzahlen
bull Bsp Umsatz fuumlr Jahre 1990 bis 1998
Jahr Umsatz xt x0 xt x4
1990 1240 100 1081991 1210 098 1051992 1180 095 1031993 1190 096 1031994 1150 093 1001995 1080 087 0941996 1120 090 0971997 1130 091 0981998 1200 097 104
54
Indexzahlen
bull Umbasieren Index von 1996 zur Basisperiode 1990 sollen in Index zur Basisperiode 1994 umgerechnet werden ndash I19901996 = 090 (Basisperiode 1990)
ndash I19901994 = 093 (Basisperiode 1990)
ndash I19941996 = 090 093 = 097 (Basisperiode 1994)
bull Verkettung Weiterer Wert fuumlr 1998 ndash I19901998 = I19901994 middot I19941998 = 093 middot 104 = 097
55
Indexzahlen
bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)
bull Betrachte Warenkorb
n Waren zu einem Zeitpunkt t
Mengen qt1qtn
Preise pt1ptn
Wert des Warenkorbes in Periode t
n
1ititiqp
56
Indexzahlen
bull Wertindex
Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0
n
1i0i0i
n
1ititi
0t
qp
qpW
57
Indexzahlen
bull Bsp Durchschnittlicher Verbrauch an Fleisch aller privaten Haushalte in einer Gemeinde Basismonat 1 Berichtsmonat 12 ndash (Mengen in g Preise in DMkg) Fleisch p0i q0i p12i q12i
F1 575 1450 62 1410F2 1225 1260 1355 1200F3 241 50 248 50F4 178 210 181 215F5 455 2450 46 2470F6 1025 1310 104 1230F7 89 980 91 930
gesamt 7710 7505
58
Indexzahlen
bull Bsp Wertindex n 7
ti ti 12i 12ii 1 i 1
0t n 7
0i 0i 0i 0ii 1 i 1
p q p q627505
W 10119620125p q p q
Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i
F1 575 1450 62 1410 83375 8742F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260F3 241 50 248 50 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915F5 455 2450 46 2470 111475 11362F6 1025 1310 104 1230 134275 12792F7 89 980 91 930 8722 8463
gesamt 7710 7505 620125 627505
59
Indexzahlen
bull Bsp Wertindex ndash 100 middot W012 = 100 middot 10119 = 10119
ndash Dh der tatsaumlchliche Aufwand fuumlr Fleisch fuumlr die privaten Haushalte ist vom Basismonat bis zum Berichtsmonat um 119 gestiegen
ndash Es ist hier nicht beruumlcksichtigt dass der durchschnittliche Verbrauch im Berichtsmonat um 205g geringer ist
60
Indexzahlen
bull Preisindizes
bull Aussagen uumlber die Preisentwicklung
bull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche Mengenschema verwenden
61
Indexzahlen
bull Preisindex nach Paasche
bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
62
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Paasche
Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i p0iq12i p12iq0i
F1 575 1450 62 1410 83375 8742 81075 8990F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260 14700 17073F3 241 50 248 50 1205 1240 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915 3827 3801F5 455 2450 46 2470 111475 11362 112385 11270F6 1025 1310 104 1230 134275 12792 126075 13624F7 89 980 91 930 8722 8463 8277 8918
gesamt 7710 7505 620125 627505 599625 64916
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
63
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Paasche
bull Dh nimmt man fuumlr beide Monaten den durchschnittlichen Verbrauch an Fleisch im Berichtsmonat als Mengenschema (Warenkorb) an so sind die Preise in diesem Zeitraum um 465 gestiegen
65104559962
562750100
qp
qp100
qp
qpP100 7
1i12i0i
7
1i12i12i
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
64
Indexzahlen
bull Preisindex nach Laspeyres
bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
qp
qpP
65
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Laspeyres
bull Dh Fuumlr die im Basismonat verbrauchten Mengen an Fleisch muss man in der Berichtsperiode 468 mehr Geld ausgeben
68104562012
64916100
qp
qp100
qp
qpP100 7
1i0i0i
7
1i0i12i
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
66
Indexzahlen
bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres
bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)
bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)
bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden
bull Fishersche Idealindex LPF III
67
Indexzahlen
bull Mengenindizes
bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung (unabhaumlngig von der Preisentwicklung)
68
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Paasche
bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
qp
qpQ
69
Indexzahlen
bull Bsp Mengenindex nach Paasche
bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen im Berichtsmonat ist um 334 gesunken
669664916
562750100
qp
qp100
qp
qpQ100 7
1i0i12i
7
1i12i12i
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
70
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Laspeyres
bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
qp
qpQ
71
Indexzahlen
bull Bsp Mengenindex nach Laspeyres
bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen zum Basismonat ist um 331 gesunken
6996562012
559962100
qp
qp100
qp
qpQ100 7
1i0i0i
7
1i12i0i
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
50
Indexzahlen
bull Einfache Indizes
bull Reihe von Maszligzahlen die man in Beziehung zueinander setzen will
x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0
Dann ist
I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2
eine Zeitreihe einfacher Indizes
51
Indexzahlen
bull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziert
bull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0 I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87
Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden
Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor
bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90
Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen
52
Indexzahlen
bull UmbasierenGegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten
bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt
0k
0t
0k
0t
k
tkt I
I
xx
xx
x
xI
53
Indexzahlen
bull Bsp Umsatz fuumlr Jahre 1990 bis 1998
Jahr Umsatz xt x0 xt x4
1990 1240 100 1081991 1210 098 1051992 1180 095 1031993 1190 096 1031994 1150 093 1001995 1080 087 0941996 1120 090 0971997 1130 091 0981998 1200 097 104
54
Indexzahlen
bull Umbasieren Index von 1996 zur Basisperiode 1990 sollen in Index zur Basisperiode 1994 umgerechnet werden ndash I19901996 = 090 (Basisperiode 1990)
ndash I19901994 = 093 (Basisperiode 1990)
ndash I19941996 = 090 093 = 097 (Basisperiode 1994)
bull Verkettung Weiterer Wert fuumlr 1998 ndash I19901998 = I19901994 middot I19941998 = 093 middot 104 = 097
55
Indexzahlen
bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)
bull Betrachte Warenkorb
n Waren zu einem Zeitpunkt t
Mengen qt1qtn
Preise pt1ptn
Wert des Warenkorbes in Periode t
n
1ititiqp
56
Indexzahlen
bull Wertindex
Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0
n
1i0i0i
n
1ititi
0t
qp
qpW
57
Indexzahlen
bull Bsp Durchschnittlicher Verbrauch an Fleisch aller privaten Haushalte in einer Gemeinde Basismonat 1 Berichtsmonat 12 ndash (Mengen in g Preise in DMkg) Fleisch p0i q0i p12i q12i
F1 575 1450 62 1410F2 1225 1260 1355 1200F3 241 50 248 50F4 178 210 181 215F5 455 2450 46 2470F6 1025 1310 104 1230F7 89 980 91 930
gesamt 7710 7505
58
Indexzahlen
bull Bsp Wertindex n 7
ti ti 12i 12ii 1 i 1
0t n 7
0i 0i 0i 0ii 1 i 1
p q p q627505
W 10119620125p q p q
Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i
F1 575 1450 62 1410 83375 8742F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260F3 241 50 248 50 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915F5 455 2450 46 2470 111475 11362F6 1025 1310 104 1230 134275 12792F7 89 980 91 930 8722 8463
gesamt 7710 7505 620125 627505
59
Indexzahlen
bull Bsp Wertindex ndash 100 middot W012 = 100 middot 10119 = 10119
ndash Dh der tatsaumlchliche Aufwand fuumlr Fleisch fuumlr die privaten Haushalte ist vom Basismonat bis zum Berichtsmonat um 119 gestiegen
ndash Es ist hier nicht beruumlcksichtigt dass der durchschnittliche Verbrauch im Berichtsmonat um 205g geringer ist
60
Indexzahlen
bull Preisindizes
bull Aussagen uumlber die Preisentwicklung
bull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche Mengenschema verwenden
61
Indexzahlen
bull Preisindex nach Paasche
bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
62
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Paasche
Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i p0iq12i p12iq0i
F1 575 1450 62 1410 83375 8742 81075 8990F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260 14700 17073F3 241 50 248 50 1205 1240 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915 3827 3801F5 455 2450 46 2470 111475 11362 112385 11270F6 1025 1310 104 1230 134275 12792 126075 13624F7 89 980 91 930 8722 8463 8277 8918
gesamt 7710 7505 620125 627505 599625 64916
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
63
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Paasche
bull Dh nimmt man fuumlr beide Monaten den durchschnittlichen Verbrauch an Fleisch im Berichtsmonat als Mengenschema (Warenkorb) an so sind die Preise in diesem Zeitraum um 465 gestiegen
65104559962
562750100
qp
qp100
qp
qpP100 7
1i12i0i
7
1i12i12i
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
64
Indexzahlen
bull Preisindex nach Laspeyres
bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
qp
qpP
65
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Laspeyres
bull Dh Fuumlr die im Basismonat verbrauchten Mengen an Fleisch muss man in der Berichtsperiode 468 mehr Geld ausgeben
68104562012
64916100
qp
qp100
qp
qpP100 7
1i0i0i
7
1i0i12i
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
66
Indexzahlen
bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres
bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)
bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)
bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden
bull Fishersche Idealindex LPF III
67
Indexzahlen
bull Mengenindizes
bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung (unabhaumlngig von der Preisentwicklung)
68
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Paasche
bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
qp
qpQ
69
Indexzahlen
bull Bsp Mengenindex nach Paasche
bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen im Berichtsmonat ist um 334 gesunken
669664916
562750100
qp
qp100
qp
qpQ100 7
1i0i12i
7
1i12i12i
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
70
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Laspeyres
bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
qp
qpQ
71
Indexzahlen
bull Bsp Mengenindex nach Laspeyres
bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen zum Basismonat ist um 331 gesunken
6996562012
559962100
qp
qp100
qp
qpQ100 7
1i0i0i
7
1i12i0i
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
51
Indexzahlen
bull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziert
bull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0 I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87
Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden
Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor
bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90
Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen
52
Indexzahlen
bull UmbasierenGegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten
bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt
0k
0t
0k
0t
k
tkt I
I
xx
xx
x
xI
53
Indexzahlen
bull Bsp Umsatz fuumlr Jahre 1990 bis 1998
Jahr Umsatz xt x0 xt x4
1990 1240 100 1081991 1210 098 1051992 1180 095 1031993 1190 096 1031994 1150 093 1001995 1080 087 0941996 1120 090 0971997 1130 091 0981998 1200 097 104
54
Indexzahlen
bull Umbasieren Index von 1996 zur Basisperiode 1990 sollen in Index zur Basisperiode 1994 umgerechnet werden ndash I19901996 = 090 (Basisperiode 1990)
ndash I19901994 = 093 (Basisperiode 1990)
ndash I19941996 = 090 093 = 097 (Basisperiode 1994)
bull Verkettung Weiterer Wert fuumlr 1998 ndash I19901998 = I19901994 middot I19941998 = 093 middot 104 = 097
55
Indexzahlen
bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)
bull Betrachte Warenkorb
n Waren zu einem Zeitpunkt t
Mengen qt1qtn
Preise pt1ptn
Wert des Warenkorbes in Periode t
n
1ititiqp
56
Indexzahlen
bull Wertindex
Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0
n
1i0i0i
n
1ititi
0t
qp
qpW
57
Indexzahlen
bull Bsp Durchschnittlicher Verbrauch an Fleisch aller privaten Haushalte in einer Gemeinde Basismonat 1 Berichtsmonat 12 ndash (Mengen in g Preise in DMkg) Fleisch p0i q0i p12i q12i
F1 575 1450 62 1410F2 1225 1260 1355 1200F3 241 50 248 50F4 178 210 181 215F5 455 2450 46 2470F6 1025 1310 104 1230F7 89 980 91 930
gesamt 7710 7505
58
Indexzahlen
bull Bsp Wertindex n 7
ti ti 12i 12ii 1 i 1
0t n 7
0i 0i 0i 0ii 1 i 1
p q p q627505
W 10119620125p q p q
Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i
F1 575 1450 62 1410 83375 8742F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260F3 241 50 248 50 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915F5 455 2450 46 2470 111475 11362F6 1025 1310 104 1230 134275 12792F7 89 980 91 930 8722 8463
gesamt 7710 7505 620125 627505
59
Indexzahlen
bull Bsp Wertindex ndash 100 middot W012 = 100 middot 10119 = 10119
ndash Dh der tatsaumlchliche Aufwand fuumlr Fleisch fuumlr die privaten Haushalte ist vom Basismonat bis zum Berichtsmonat um 119 gestiegen
ndash Es ist hier nicht beruumlcksichtigt dass der durchschnittliche Verbrauch im Berichtsmonat um 205g geringer ist
60
Indexzahlen
bull Preisindizes
bull Aussagen uumlber die Preisentwicklung
bull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche Mengenschema verwenden
61
Indexzahlen
bull Preisindex nach Paasche
bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
62
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Paasche
Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i p0iq12i p12iq0i
F1 575 1450 62 1410 83375 8742 81075 8990F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260 14700 17073F3 241 50 248 50 1205 1240 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915 3827 3801F5 455 2450 46 2470 111475 11362 112385 11270F6 1025 1310 104 1230 134275 12792 126075 13624F7 89 980 91 930 8722 8463 8277 8918
gesamt 7710 7505 620125 627505 599625 64916
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
63
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Paasche
bull Dh nimmt man fuumlr beide Monaten den durchschnittlichen Verbrauch an Fleisch im Berichtsmonat als Mengenschema (Warenkorb) an so sind die Preise in diesem Zeitraum um 465 gestiegen
65104559962
562750100
qp
qp100
qp
qpP100 7
1i12i0i
7
1i12i12i
n
1iti0i
n
1ititi
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64
Indexzahlen
bull Preisindex nach Laspeyres
bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
qp
qpP
65
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Laspeyres
bull Dh Fuumlr die im Basismonat verbrauchten Mengen an Fleisch muss man in der Berichtsperiode 468 mehr Geld ausgeben
68104562012
64916100
qp
qp100
qp
qpP100 7
1i0i0i
7
1i0i12i
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
66
Indexzahlen
bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres
bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)
bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)
bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden
bull Fishersche Idealindex LPF III
67
Indexzahlen
bull Mengenindizes
bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung (unabhaumlngig von der Preisentwicklung)
68
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Paasche
bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
qp
qpQ
69
Indexzahlen
bull Bsp Mengenindex nach Paasche
bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen im Berichtsmonat ist um 334 gesunken
669664916
562750100
qp
qp100
qp
qpQ100 7
1i0i12i
7
1i12i12i
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
70
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Laspeyres
bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
qp
qpQ
71
Indexzahlen
bull Bsp Mengenindex nach Laspeyres
bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen zum Basismonat ist um 331 gesunken
6996562012
559962100
qp
qp100
qp
qpQ100 7
1i0i0i
7
1i12i0i
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
52
Indexzahlen
bull UmbasierenGegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten
bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt
0k
0t
0k
0t
k
tkt I
I
xx
xx
x
xI
53
Indexzahlen
bull Bsp Umsatz fuumlr Jahre 1990 bis 1998
Jahr Umsatz xt x0 xt x4
1990 1240 100 1081991 1210 098 1051992 1180 095 1031993 1190 096 1031994 1150 093 1001995 1080 087 0941996 1120 090 0971997 1130 091 0981998 1200 097 104
54
Indexzahlen
bull Umbasieren Index von 1996 zur Basisperiode 1990 sollen in Index zur Basisperiode 1994 umgerechnet werden ndash I19901996 = 090 (Basisperiode 1990)
ndash I19901994 = 093 (Basisperiode 1990)
ndash I19941996 = 090 093 = 097 (Basisperiode 1994)
bull Verkettung Weiterer Wert fuumlr 1998 ndash I19901998 = I19901994 middot I19941998 = 093 middot 104 = 097
55
Indexzahlen
bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)
bull Betrachte Warenkorb
n Waren zu einem Zeitpunkt t
Mengen qt1qtn
Preise pt1ptn
Wert des Warenkorbes in Periode t
n
1ititiqp
56
Indexzahlen
bull Wertindex
Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0
n
1i0i0i
n
1ititi
0t
qp
qpW
57
Indexzahlen
bull Bsp Durchschnittlicher Verbrauch an Fleisch aller privaten Haushalte in einer Gemeinde Basismonat 1 Berichtsmonat 12 ndash (Mengen in g Preise in DMkg) Fleisch p0i q0i p12i q12i
F1 575 1450 62 1410F2 1225 1260 1355 1200F3 241 50 248 50F4 178 210 181 215F5 455 2450 46 2470F6 1025 1310 104 1230F7 89 980 91 930
gesamt 7710 7505
58
Indexzahlen
bull Bsp Wertindex n 7
ti ti 12i 12ii 1 i 1
0t n 7
0i 0i 0i 0ii 1 i 1
p q p q627505
W 10119620125p q p q
Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i
F1 575 1450 62 1410 83375 8742F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260F3 241 50 248 50 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915F5 455 2450 46 2470 111475 11362F6 1025 1310 104 1230 134275 12792F7 89 980 91 930 8722 8463
gesamt 7710 7505 620125 627505
59
Indexzahlen
bull Bsp Wertindex ndash 100 middot W012 = 100 middot 10119 = 10119
ndash Dh der tatsaumlchliche Aufwand fuumlr Fleisch fuumlr die privaten Haushalte ist vom Basismonat bis zum Berichtsmonat um 119 gestiegen
ndash Es ist hier nicht beruumlcksichtigt dass der durchschnittliche Verbrauch im Berichtsmonat um 205g geringer ist
60
Indexzahlen
bull Preisindizes
bull Aussagen uumlber die Preisentwicklung
bull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche Mengenschema verwenden
61
Indexzahlen
bull Preisindex nach Paasche
bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
62
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Paasche
Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i p0iq12i p12iq0i
F1 575 1450 62 1410 83375 8742 81075 8990F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260 14700 17073F3 241 50 248 50 1205 1240 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915 3827 3801F5 455 2450 46 2470 111475 11362 112385 11270F6 1025 1310 104 1230 134275 12792 126075 13624F7 89 980 91 930 8722 8463 8277 8918
gesamt 7710 7505 620125 627505 599625 64916
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
63
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Paasche
bull Dh nimmt man fuumlr beide Monaten den durchschnittlichen Verbrauch an Fleisch im Berichtsmonat als Mengenschema (Warenkorb) an so sind die Preise in diesem Zeitraum um 465 gestiegen
65104559962
562750100
qp
qp100
qp
qpP100 7
1i12i0i
7
1i12i12i
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
64
Indexzahlen
bull Preisindex nach Laspeyres
bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
qp
qpP
65
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Laspeyres
bull Dh Fuumlr die im Basismonat verbrauchten Mengen an Fleisch muss man in der Berichtsperiode 468 mehr Geld ausgeben
68104562012
64916100
qp
qp100
qp
qpP100 7
1i0i0i
7
1i0i12i
n
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n
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66
Indexzahlen
bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres
bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)
bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)
bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden
bull Fishersche Idealindex LPF III
67
Indexzahlen
bull Mengenindizes
bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung (unabhaumlngig von der Preisentwicklung)
68
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Paasche
bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
qp
qpQ
69
Indexzahlen
bull Bsp Mengenindex nach Paasche
bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen im Berichtsmonat ist um 334 gesunken
669664916
562750100
qp
qp100
qp
qpQ100 7
1i0i12i
7
1i12i12i
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
70
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Laspeyres
bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
qp
qpQ
71
Indexzahlen
bull Bsp Mengenindex nach Laspeyres
bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen zum Basismonat ist um 331 gesunken
6996562012
559962100
qp
qp100
qp
qpQ100 7
1i0i0i
7
1i12i0i
n
1i0i0i
n
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Lt0
53
Indexzahlen
bull Bsp Umsatz fuumlr Jahre 1990 bis 1998
Jahr Umsatz xt x0 xt x4
1990 1240 100 1081991 1210 098 1051992 1180 095 1031993 1190 096 1031994 1150 093 1001995 1080 087 0941996 1120 090 0971997 1130 091 0981998 1200 097 104
54
Indexzahlen
bull Umbasieren Index von 1996 zur Basisperiode 1990 sollen in Index zur Basisperiode 1994 umgerechnet werden ndash I19901996 = 090 (Basisperiode 1990)
ndash I19901994 = 093 (Basisperiode 1990)
ndash I19941996 = 090 093 = 097 (Basisperiode 1994)
bull Verkettung Weiterer Wert fuumlr 1998 ndash I19901998 = I19901994 middot I19941998 = 093 middot 104 = 097
55
Indexzahlen
bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)
bull Betrachte Warenkorb
n Waren zu einem Zeitpunkt t
Mengen qt1qtn
Preise pt1ptn
Wert des Warenkorbes in Periode t
n
1ititiqp
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Indexzahlen
bull Wertindex
Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0
n
1i0i0i
n
1ititi
0t
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57
Indexzahlen
bull Bsp Durchschnittlicher Verbrauch an Fleisch aller privaten Haushalte in einer Gemeinde Basismonat 1 Berichtsmonat 12 ndash (Mengen in g Preise in DMkg) Fleisch p0i q0i p12i q12i
F1 575 1450 62 1410F2 1225 1260 1355 1200F3 241 50 248 50F4 178 210 181 215F5 455 2450 46 2470F6 1025 1310 104 1230F7 89 980 91 930
gesamt 7710 7505
58
Indexzahlen
bull Bsp Wertindex n 7
ti ti 12i 12ii 1 i 1
0t n 7
0i 0i 0i 0ii 1 i 1
p q p q627505
W 10119620125p q p q
Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i
F1 575 1450 62 1410 83375 8742F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260F3 241 50 248 50 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915F5 455 2450 46 2470 111475 11362F6 1025 1310 104 1230 134275 12792F7 89 980 91 930 8722 8463
gesamt 7710 7505 620125 627505
59
Indexzahlen
bull Bsp Wertindex ndash 100 middot W012 = 100 middot 10119 = 10119
ndash Dh der tatsaumlchliche Aufwand fuumlr Fleisch fuumlr die privaten Haushalte ist vom Basismonat bis zum Berichtsmonat um 119 gestiegen
ndash Es ist hier nicht beruumlcksichtigt dass der durchschnittliche Verbrauch im Berichtsmonat um 205g geringer ist
60
Indexzahlen
bull Preisindizes
bull Aussagen uumlber die Preisentwicklung
bull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche Mengenschema verwenden
61
Indexzahlen
bull Preisindex nach Paasche
bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
62
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Paasche
Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i p0iq12i p12iq0i
F1 575 1450 62 1410 83375 8742 81075 8990F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260 14700 17073F3 241 50 248 50 1205 1240 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915 3827 3801F5 455 2450 46 2470 111475 11362 112385 11270F6 1025 1310 104 1230 134275 12792 126075 13624F7 89 980 91 930 8722 8463 8277 8918
gesamt 7710 7505 620125 627505 599625 64916
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
63
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Paasche
bull Dh nimmt man fuumlr beide Monaten den durchschnittlichen Verbrauch an Fleisch im Berichtsmonat als Mengenschema (Warenkorb) an so sind die Preise in diesem Zeitraum um 465 gestiegen
65104559962
562750100
qp
qp100
qp
qpP100 7
1i12i0i
7
1i12i12i
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
64
Indexzahlen
bull Preisindex nach Laspeyres
bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
qp
qpP
65
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Laspeyres
bull Dh Fuumlr die im Basismonat verbrauchten Mengen an Fleisch muss man in der Berichtsperiode 468 mehr Geld ausgeben
68104562012
64916100
qp
qp100
qp
qpP100 7
1i0i0i
7
1i0i12i
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
66
Indexzahlen
bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres
bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)
bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)
bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden
bull Fishersche Idealindex LPF III
67
Indexzahlen
bull Mengenindizes
bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung (unabhaumlngig von der Preisentwicklung)
68
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Paasche
bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
qp
qpQ
69
Indexzahlen
bull Bsp Mengenindex nach Paasche
bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen im Berichtsmonat ist um 334 gesunken
669664916
562750100
qp
qp100
qp
qpQ100 7
1i0i12i
7
1i12i12i
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
70
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Laspeyres
bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
qp
qpQ
71
Indexzahlen
bull Bsp Mengenindex nach Laspeyres
bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen zum Basismonat ist um 331 gesunken
6996562012
559962100
qp
qp100
qp
qpQ100 7
1i0i0i
7
1i12i0i
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
54
Indexzahlen
bull Umbasieren Index von 1996 zur Basisperiode 1990 sollen in Index zur Basisperiode 1994 umgerechnet werden ndash I19901996 = 090 (Basisperiode 1990)
ndash I19901994 = 093 (Basisperiode 1990)
ndash I19941996 = 090 093 = 097 (Basisperiode 1994)
bull Verkettung Weiterer Wert fuumlr 1998 ndash I19901998 = I19901994 middot I19941998 = 093 middot 104 = 097
55
Indexzahlen
bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)
bull Betrachte Warenkorb
n Waren zu einem Zeitpunkt t
Mengen qt1qtn
Preise pt1ptn
Wert des Warenkorbes in Periode t
n
1ititiqp
56
Indexzahlen
bull Wertindex
Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0
n
1i0i0i
n
1ititi
0t
qp
qpW
57
Indexzahlen
bull Bsp Durchschnittlicher Verbrauch an Fleisch aller privaten Haushalte in einer Gemeinde Basismonat 1 Berichtsmonat 12 ndash (Mengen in g Preise in DMkg) Fleisch p0i q0i p12i q12i
F1 575 1450 62 1410F2 1225 1260 1355 1200F3 241 50 248 50F4 178 210 181 215F5 455 2450 46 2470F6 1025 1310 104 1230F7 89 980 91 930
gesamt 7710 7505
58
Indexzahlen
bull Bsp Wertindex n 7
ti ti 12i 12ii 1 i 1
0t n 7
0i 0i 0i 0ii 1 i 1
p q p q627505
W 10119620125p q p q
Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i
F1 575 1450 62 1410 83375 8742F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260F3 241 50 248 50 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915F5 455 2450 46 2470 111475 11362F6 1025 1310 104 1230 134275 12792F7 89 980 91 930 8722 8463
gesamt 7710 7505 620125 627505
59
Indexzahlen
bull Bsp Wertindex ndash 100 middot W012 = 100 middot 10119 = 10119
ndash Dh der tatsaumlchliche Aufwand fuumlr Fleisch fuumlr die privaten Haushalte ist vom Basismonat bis zum Berichtsmonat um 119 gestiegen
ndash Es ist hier nicht beruumlcksichtigt dass der durchschnittliche Verbrauch im Berichtsmonat um 205g geringer ist
60
Indexzahlen
bull Preisindizes
bull Aussagen uumlber die Preisentwicklung
bull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche Mengenschema verwenden
61
Indexzahlen
bull Preisindex nach Paasche
bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
62
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Paasche
Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i p0iq12i p12iq0i
F1 575 1450 62 1410 83375 8742 81075 8990F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260 14700 17073F3 241 50 248 50 1205 1240 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915 3827 3801F5 455 2450 46 2470 111475 11362 112385 11270F6 1025 1310 104 1230 134275 12792 126075 13624F7 89 980 91 930 8722 8463 8277 8918
gesamt 7710 7505 620125 627505 599625 64916
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
63
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Paasche
bull Dh nimmt man fuumlr beide Monaten den durchschnittlichen Verbrauch an Fleisch im Berichtsmonat als Mengenschema (Warenkorb) an so sind die Preise in diesem Zeitraum um 465 gestiegen
65104559962
562750100
qp
qp100
qp
qpP100 7
1i12i0i
7
1i12i12i
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
64
Indexzahlen
bull Preisindex nach Laspeyres
bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
qp
qpP
65
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Laspeyres
bull Dh Fuumlr die im Basismonat verbrauchten Mengen an Fleisch muss man in der Berichtsperiode 468 mehr Geld ausgeben
68104562012
64916100
qp
qp100
qp
qpP100 7
1i0i0i
7
1i0i12i
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
66
Indexzahlen
bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres
bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)
bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)
bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden
bull Fishersche Idealindex LPF III
67
Indexzahlen
bull Mengenindizes
bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung (unabhaumlngig von der Preisentwicklung)
68
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Paasche
bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
qp
qpQ
69
Indexzahlen
bull Bsp Mengenindex nach Paasche
bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen im Berichtsmonat ist um 334 gesunken
669664916
562750100
qp
qp100
qp
qpQ100 7
1i0i12i
7
1i12i12i
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
70
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Laspeyres
bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
qp
qpQ
71
Indexzahlen
bull Bsp Mengenindex nach Laspeyres
bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen zum Basismonat ist um 331 gesunken
6996562012
559962100
qp
qp100
qp
qpQ100 7
1i0i0i
7
1i12i0i
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
55
Indexzahlen
bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)
bull Betrachte Warenkorb
n Waren zu einem Zeitpunkt t
Mengen qt1qtn
Preise pt1ptn
Wert des Warenkorbes in Periode t
n
1ititiqp
56
Indexzahlen
bull Wertindex
Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0
n
1i0i0i
n
1ititi
0t
qp
qpW
57
Indexzahlen
bull Bsp Durchschnittlicher Verbrauch an Fleisch aller privaten Haushalte in einer Gemeinde Basismonat 1 Berichtsmonat 12 ndash (Mengen in g Preise in DMkg) Fleisch p0i q0i p12i q12i
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gesamt 7710 7505
58
Indexzahlen
bull Bsp Wertindex n 7
ti ti 12i 12ii 1 i 1
0t n 7
0i 0i 0i 0ii 1 i 1
p q p q627505
W 10119620125p q p q
Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i
F1 575 1450 62 1410 83375 8742F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260F3 241 50 248 50 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915F5 455 2450 46 2470 111475 11362F6 1025 1310 104 1230 134275 12792F7 89 980 91 930 8722 8463
gesamt 7710 7505 620125 627505
59
Indexzahlen
bull Bsp Wertindex ndash 100 middot W012 = 100 middot 10119 = 10119
ndash Dh der tatsaumlchliche Aufwand fuumlr Fleisch fuumlr die privaten Haushalte ist vom Basismonat bis zum Berichtsmonat um 119 gestiegen
ndash Es ist hier nicht beruumlcksichtigt dass der durchschnittliche Verbrauch im Berichtsmonat um 205g geringer ist
60
Indexzahlen
bull Preisindizes
bull Aussagen uumlber die Preisentwicklung
bull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche Mengenschema verwenden
61
Indexzahlen
bull Preisindex nach Paasche
bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
62
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Paasche
Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i p0iq12i p12iq0i
F1 575 1450 62 1410 83375 8742 81075 8990F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260 14700 17073F3 241 50 248 50 1205 1240 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915 3827 3801F5 455 2450 46 2470 111475 11362 112385 11270F6 1025 1310 104 1230 134275 12792 126075 13624F7 89 980 91 930 8722 8463 8277 8918
gesamt 7710 7505 620125 627505 599625 64916
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
63
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Paasche
bull Dh nimmt man fuumlr beide Monaten den durchschnittlichen Verbrauch an Fleisch im Berichtsmonat als Mengenschema (Warenkorb) an so sind die Preise in diesem Zeitraum um 465 gestiegen
65104559962
562750100
qp
qp100
qp
qpP100 7
1i12i0i
7
1i12i12i
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
64
Indexzahlen
bull Preisindex nach Laspeyres
bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
qp
qpP
65
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Laspeyres
bull Dh Fuumlr die im Basismonat verbrauchten Mengen an Fleisch muss man in der Berichtsperiode 468 mehr Geld ausgeben
68104562012
64916100
qp
qp100
qp
qpP100 7
1i0i0i
7
1i0i12i
n
1i0i0i
n
1i0iti
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66
Indexzahlen
bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres
bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)
bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)
bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden
bull Fishersche Idealindex LPF III
67
Indexzahlen
bull Mengenindizes
bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung (unabhaumlngig von der Preisentwicklung)
68
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Paasche
bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
qp
qpQ
69
Indexzahlen
bull Bsp Mengenindex nach Paasche
bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen im Berichtsmonat ist um 334 gesunken
669664916
562750100
qp
qp100
qp
qpQ100 7
1i0i12i
7
1i12i12i
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
70
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Laspeyres
bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
qp
qpQ
71
Indexzahlen
bull Bsp Mengenindex nach Laspeyres
bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen zum Basismonat ist um 331 gesunken
6996562012
559962100
qp
qp100
qp
qpQ100 7
1i0i0i
7
1i12i0i
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
56
Indexzahlen
bull Wertindex
Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0
n
1i0i0i
n
1ititi
0t
qp
qpW
57
Indexzahlen
bull Bsp Durchschnittlicher Verbrauch an Fleisch aller privaten Haushalte in einer Gemeinde Basismonat 1 Berichtsmonat 12 ndash (Mengen in g Preise in DMkg) Fleisch p0i q0i p12i q12i
F1 575 1450 62 1410F2 1225 1260 1355 1200F3 241 50 248 50F4 178 210 181 215F5 455 2450 46 2470F6 1025 1310 104 1230F7 89 980 91 930
gesamt 7710 7505
58
Indexzahlen
bull Bsp Wertindex n 7
ti ti 12i 12ii 1 i 1
0t n 7
0i 0i 0i 0ii 1 i 1
p q p q627505
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Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i
F1 575 1450 62 1410 83375 8742F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260F3 241 50 248 50 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915F5 455 2450 46 2470 111475 11362F6 1025 1310 104 1230 134275 12792F7 89 980 91 930 8722 8463
gesamt 7710 7505 620125 627505
59
Indexzahlen
bull Bsp Wertindex ndash 100 middot W012 = 100 middot 10119 = 10119
ndash Dh der tatsaumlchliche Aufwand fuumlr Fleisch fuumlr die privaten Haushalte ist vom Basismonat bis zum Berichtsmonat um 119 gestiegen
ndash Es ist hier nicht beruumlcksichtigt dass der durchschnittliche Verbrauch im Berichtsmonat um 205g geringer ist
60
Indexzahlen
bull Preisindizes
bull Aussagen uumlber die Preisentwicklung
bull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche Mengenschema verwenden
61
Indexzahlen
bull Preisindex nach Paasche
bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
62
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Paasche
Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i p0iq12i p12iq0i
F1 575 1450 62 1410 83375 8742 81075 8990F2 1225 1260 1355 1200 15435 16260 14700 17073F3 241 50 248 50 1205 1240 1205 1240F4 178 210 181 215 3738 38915 3827 3801F5 455 2450 46 2470 111475 11362 112385 11270F6 1025 1310 104 1230 134275 12792 126075 13624F7 89 980 91 930 8722 8463 8277 8918
gesamt 7710 7505 620125 627505 599625 64916
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
63
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Paasche
bull Dh nimmt man fuumlr beide Monaten den durchschnittlichen Verbrauch an Fleisch im Berichtsmonat als Mengenschema (Warenkorb) an so sind die Preise in diesem Zeitraum um 465 gestiegen
65104559962
562750100
qp
qp100
qp
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1i12i0i
7
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n
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n
1ititi
Pt0
64
Indexzahlen
bull Preisindex nach Laspeyres
bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
qp
qpP
65
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Laspeyres
bull Dh Fuumlr die im Basismonat verbrauchten Mengen an Fleisch muss man in der Berichtsperiode 468 mehr Geld ausgeben
68104562012
64916100
qp
qp100
qp
qpP100 7
1i0i0i
7
1i0i12i
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
66
Indexzahlen
bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres
bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)
bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)
bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden
bull Fishersche Idealindex LPF III
67
Indexzahlen
bull Mengenindizes
bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung (unabhaumlngig von der Preisentwicklung)
68
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Paasche
bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
qp
qpQ
69
Indexzahlen
bull Bsp Mengenindex nach Paasche
bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen im Berichtsmonat ist um 334 gesunken
669664916
562750100
qp
qp100
qp
qpQ100 7
1i0i12i
7
1i12i12i
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
70
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Laspeyres
bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
qp
qpQ
71
Indexzahlen
bull Bsp Mengenindex nach Laspeyres
bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen zum Basismonat ist um 331 gesunken
6996562012
559962100
qp
qp100
qp
qpQ100 7
1i0i0i
7
1i12i0i
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
57
Indexzahlen
bull Bsp Durchschnittlicher Verbrauch an Fleisch aller privaten Haushalte in einer Gemeinde Basismonat 1 Berichtsmonat 12 ndash (Mengen in g Preise in DMkg) Fleisch p0i q0i p12i q12i
F1 575 1450 62 1410F2 1225 1260 1355 1200F3 241 50 248 50F4 178 210 181 215F5 455 2450 46 2470F6 1025 1310 104 1230F7 89 980 91 930
gesamt 7710 7505
58
Indexzahlen
bull Bsp Wertindex n 7
ti ti 12i 12ii 1 i 1
0t n 7
0i 0i 0i 0ii 1 i 1
p q p q627505
W 10119620125p q p q
Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i
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gesamt 7710 7505 620125 627505
59
Indexzahlen
bull Bsp Wertindex ndash 100 middot W012 = 100 middot 10119 = 10119
ndash Dh der tatsaumlchliche Aufwand fuumlr Fleisch fuumlr die privaten Haushalte ist vom Basismonat bis zum Berichtsmonat um 119 gestiegen
ndash Es ist hier nicht beruumlcksichtigt dass der durchschnittliche Verbrauch im Berichtsmonat um 205g geringer ist
60
Indexzahlen
bull Preisindizes
bull Aussagen uumlber die Preisentwicklung
bull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche Mengenschema verwenden
61
Indexzahlen
bull Preisindex nach Paasche
bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
62
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Paasche
Fleisch p0i q0i p12i q12i p0q0i p12iq12i p0iq12i p12iq0i
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gesamt 7710 7505 620125 627505 599625 64916
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
63
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Paasche
bull Dh nimmt man fuumlr beide Monaten den durchschnittlichen Verbrauch an Fleisch im Berichtsmonat als Mengenschema (Warenkorb) an so sind die Preise in diesem Zeitraum um 465 gestiegen
65104559962
562750100
qp
qp100
qp
qpP100 7
1i12i0i
7
1i12i12i
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
64
Indexzahlen
bull Preisindex nach Laspeyres
bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
qp
qpP
65
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Laspeyres
bull Dh Fuumlr die im Basismonat verbrauchten Mengen an Fleisch muss man in der Berichtsperiode 468 mehr Geld ausgeben
68104562012
64916100
qp
qp100
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qpP100 7
1i0i0i
7
1i0i12i
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1i0iti
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66
Indexzahlen
bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres
bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)
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bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden
bull Fishersche Idealindex LPF III
67
Indexzahlen
bull Mengenindizes
bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung (unabhaumlngig von der Preisentwicklung)
68
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Paasche
bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode
n
1i0iti
n
1ititi
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qp
qpQ
69
Indexzahlen
bull Bsp Mengenindex nach Paasche
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669664916
562750100
qp
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7
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1ititi
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70
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Laspeyres
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n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
qp
qpQ
71
Indexzahlen
bull Bsp Mengenindex nach Laspeyres
bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen zum Basismonat ist um 331 gesunken
6996562012
559962100
qp
qp100
qp
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7
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58
Indexzahlen
bull Bsp Wertindex n 7
ti ti 12i 12ii 1 i 1
0t n 7
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gesamt 7710 7505 620125 627505
59
Indexzahlen
bull Bsp Wertindex ndash 100 middot W012 = 100 middot 10119 = 10119
ndash Dh der tatsaumlchliche Aufwand fuumlr Fleisch fuumlr die privaten Haushalte ist vom Basismonat bis zum Berichtsmonat um 119 gestiegen
ndash Es ist hier nicht beruumlcksichtigt dass der durchschnittliche Verbrauch im Berichtsmonat um 205g geringer ist
60
Indexzahlen
bull Preisindizes
bull Aussagen uumlber die Preisentwicklung
bull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche Mengenschema verwenden
61
Indexzahlen
bull Preisindex nach Paasche
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n
1iti0i
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Pt0
qp
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62
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Paasche
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n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
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63
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Paasche
bull Dh nimmt man fuumlr beide Monaten den durchschnittlichen Verbrauch an Fleisch im Berichtsmonat als Mengenschema (Warenkorb) an so sind die Preise in diesem Zeitraum um 465 gestiegen
65104559962
562750100
qp
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qp
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1i12i0i
7
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n
1iti0i
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Indexzahlen
bull Preisindex nach Laspeyres
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n
1i0i0i
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65
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Laspeyres
bull Dh Fuumlr die im Basismonat verbrauchten Mengen an Fleisch muss man in der Berichtsperiode 468 mehr Geld ausgeben
68104562012
64916100
qp
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qpP100 7
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7
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66
Indexzahlen
bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres
bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)
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bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden
bull Fishersche Idealindex LPF III
67
Indexzahlen
bull Mengenindizes
bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung (unabhaumlngig von der Preisentwicklung)
68
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Paasche
bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode
n
1i0iti
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1ititi
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69
Indexzahlen
bull Bsp Mengenindex nach Paasche
bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen im Berichtsmonat ist um 334 gesunken
669664916
562750100
qp
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Indexzahlen
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Indexzahlen
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6996562012
559962100
qp
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Indexzahlen
bull Bsp Wertindex ndash 100 middot W012 = 100 middot 10119 = 10119
ndash Dh der tatsaumlchliche Aufwand fuumlr Fleisch fuumlr die privaten Haushalte ist vom Basismonat bis zum Berichtsmonat um 119 gestiegen
ndash Es ist hier nicht beruumlcksichtigt dass der durchschnittliche Verbrauch im Berichtsmonat um 205g geringer ist
60
Indexzahlen
bull Preisindizes
bull Aussagen uumlber die Preisentwicklung
bull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche Mengenschema verwenden
61
Indexzahlen
bull Preisindex nach Paasche
bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte
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Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Paasche
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1ititi
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qp
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63
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Paasche
bull Dh nimmt man fuumlr beide Monaten den durchschnittlichen Verbrauch an Fleisch im Berichtsmonat als Mengenschema (Warenkorb) an so sind die Preise in diesem Zeitraum um 465 gestiegen
65104559962
562750100
qp
qp100
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1i12i0i
7
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Indexzahlen
bull Preisindex nach Laspeyres
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n
1i0i0i
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65
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Laspeyres
bull Dh Fuumlr die im Basismonat verbrauchten Mengen an Fleisch muss man in der Berichtsperiode 468 mehr Geld ausgeben
68104562012
64916100
qp
qp100
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qpP100 7
1i0i0i
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Indexzahlen
bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres
bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)
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bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden
bull Fishersche Idealindex LPF III
67
Indexzahlen
bull Mengenindizes
bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung (unabhaumlngig von der Preisentwicklung)
68
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Paasche
bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode
n
1i0iti
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69
Indexzahlen
bull Bsp Mengenindex nach Paasche
bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen im Berichtsmonat ist um 334 gesunken
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562750100
qp
qp100
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Indexzahlen
bull Mengenindex nach Laspeyres
bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode
n
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Indexzahlen
bull Bsp Mengenindex nach Laspeyres
bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen zum Basismonat ist um 331 gesunken
6996562012
559962100
qp
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Indexzahlen
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Indexzahlen
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n
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Indexzahlen
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Indexzahlen
bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres
bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)
bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)
bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden
bull Fishersche Idealindex LPF III
67
Indexzahlen
bull Mengenindizes
bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung (unabhaumlngig von der Preisentwicklung)
68
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Paasche
bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode
n
1i0iti
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Indexzahlen
bull Bsp Mengenindex nach Paasche
bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen im Berichtsmonat ist um 334 gesunken
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Indexzahlen
bull Mengenindex nach Laspeyres
bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode
n
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Indexzahlen
bull Bsp Mengenindex nach Laspeyres
bull Dh der Verbrauch an Fleisch gewichtet mit den Preisen zum Basismonat ist um 331 gesunken
6996562012
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Indexzahlen
bull Preisindex nach Paasche
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Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Paasche
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63
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Paasche
bull Dh nimmt man fuumlr beide Monaten den durchschnittlichen Verbrauch an Fleisch im Berichtsmonat als Mengenschema (Warenkorb) an so sind die Preise in diesem Zeitraum um 465 gestiegen
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64
Indexzahlen
bull Preisindex nach Laspeyres
bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen
n
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65
Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Laspeyres
bull Dh Fuumlr die im Basismonat verbrauchten Mengen an Fleisch muss man in der Berichtsperiode 468 mehr Geld ausgeben
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Indexzahlen
bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres
bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)
bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)
bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden
bull Fishersche Idealindex LPF III
67
Indexzahlen
bull Mengenindizes
bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung (unabhaumlngig von der Preisentwicklung)
68
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Paasche
bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode
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69
Indexzahlen
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bull Bsp Preisindex nach Paasche
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Indexzahlen
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Indexzahlen
bull Bsp Preisindex nach Laspeyres
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bull Fishersche Idealindex LPF III
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Indexzahlen
bull Mengenindizes
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bull Mengenindex nach Paasche
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bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres
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Indexzahlen
bull Mengenindizes
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bull Mengenindex nach Paasche
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Indexzahlen
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