Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 4 - tu-freiberg.de · I Zufallsgr oˇe X ist gleich der Anzahl der durchgefuhrten Teilversuche (bis das Ereignis A genau r-mal eingetreten

Statistik I fur BetriebswirteVorlesung 4

Dr. Andreas Wunsche

TU Bergakademie FreibergInstitut fur Stochastik

29. April 2019

Dr. Andreas Wunsche Statistik I fur Betriebswirte Vorlesung 4 Version: 3. April 2019 1

1.6 Wichtige diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen

1.6.1 Binomialverteilung

I Parameter: n ∈ N , 0 ≤ p ≤ 1 .

I Zufallsgroße X mit moglichen Werten x0 = 0, x1 = 1, . . . , xn = n .

I Wahrscheinlichkeitsfunktion:

pk = P(X = k) =

(n

k

)pk(1− p)n−k , k = 0, 1, . . . , n .

I Anwendung in folgender Situation:I zufalliges Experiment mit 2 Versuchsausgangen (A, und A) wird

n-mal wiederholt ;I Eintreten des Ereignisses A in den einzelnen Versuchen sei

unabhangig ;I in jedem Versuch sei die Erfolgswahrscheinlichkeit gleich p , d.h.

p = P(A) ;I Zufallsgroße X ist gleich der Anzahl des Eintretens des Ereignisses A .


Binomialverteilung II

I Typische Anwendungen:I Stichprobennahme mit Zurucklegen z.B. bei Qualitatskontrolle;

I Schadenzahlverteilung in der Versicherungsmathematik.

I Bezeichnung: X ∼ Bin(n, p) .

I Kenngroßen: EX = np und VarX = np(1− p) .

I Spezialfall: Bernoulli-Verteilung: n = 1X ∼ B(p) = Bin(1, p) =⇒ EX = p und VarX = p(1− p) .

I Eigenschaft: X1 ∼ Bin(n1, p) , X2 ∼ Bin(n2, p) unabhangig

⇒ X1 + X2 ∼ Bin(n1 + n2, p) .


Binomialverteilung III


Ubungsbeispiel 1.7: Binomialverteilung

I Ein idealer Wurfel wird 20-mal geworfen. Wie groß ist dieWahrscheinlichkeit dafur, dass mindestens zweimal eine Sechsgeworfen wird ?

I Zufallsgroße X . . .”Anzahl der geworfenen Sechsen bei 20 Wurfen

dieses Wurfels“ ⇒ X ist binomialverteilt.

I 20-malige Wiederholung des Einzelversuchs”Werfen eines Wurfels“

⇒ n = 20 .

I Erfolg E . . .”Im Einzelwurf fallt eine Sechs“.

I Wahrscheinlichkeit fur das Werfen einer Sechs bei einem Wurfelwurfbetragt 1/6 ⇒ p = P(E ) = 1/6 .

I Gesucht ist P(X ≥ 2) .


1.6.2 Negative Binomialverteilung

I Parameter: r ∈ N , 0 ≤ p ≤ 1 .

I Mogliche Werte der Zufallsgroße X : k = r , r + 1, r + 2, . . . .


pk = P(X = k) =

(k − 1

r − 1

)pr (1− p)k−r , k = r , r + 1, . . . .

I Anwendung in folgender Situation:I zufalliges Experiment mit 2 Versuchsausgangen (A, und A) wird

solange wiederholt bis das Ereignis A genau r -mal eingetreten ist ;I Eintreten des Ereignisses A in den einzelnen Versuchen sei

unabhangig ;I in jedem Versuch sei die Erfolgswahrscheinlichkeit gleich p , d.h.

p = P(A) ;I Zufallsgroße X ist gleich der Anzahl der durchgefuhrten Teilversuche

(bis das Ereignis A genau r -mal eingetreten ist) .


Negative Binomialverteilung II

I Bezeichnung: X ∼ NegBin(r , p) .

I Kenngroßen: EX = rp und VarX = r(1−p)

p2.

I Spezialfall: Geometrische Verteilung: r = 1X ∼ Geo(p) = NegBin(1, p) .

I Eigenschaft:X1 ∼ NegBin(r1, p) , X2 ∼ NegBin(r2, p) unabhangig

⇒ X1 + X2 ∼ NegBin(r1 + r2, p) .

I Alternative Definition: (vgl. Anwendung in folgender Situation)Die Zufallsgroße Y ist gleich der Anzahl der Versuchsausgange A.Also ist Y = X − r und damit

P(Y = k) = P(X = k + r), k = 0, 1, . . . .


1.6.3. Geometrische Verteilung

I Parameter: 0 < p < 1.

I Zufallsgroße X mit moglichen Werten k = 1, 2, 3, . . . .


pk = P(X = k) = p(1− p)k−1, k = 1, 2, 3, . . . .

I Bezeichnung: X ∼ Geo(p) .

I Kenngroßen: EX = 1p und VarX = 1−p

p2.

I Anwendung in folgender Situation:I Gleichartige unabhangige Teilversuche, bei denen jeweils

”Erfolg“ mit

Wahrscheinlichkeit p oder”Misserfolg“ mit Wahrscheinlichkeit 1− p

eintreten kann, werden so lange durchgefuhrt, bis zum ersten Mal

”Erfolg“ eingetreten ist.

I Die Zufallsgroße X ist gleich der Anzahl der durchgefuhrtenTeilversuche.


Geometrische Verteilung II

I Bemerkung: Manchmal wird nur die Anzahl Y der”Misserfolge“

vor dem ersten”Erfolg“ gezahlt. Diese Zufallsgroße hat als mogliche

Werte 0, 1, . . . , es gilt Y = X − 1 .


Ubungsbeispiel 1.8: Geometrische Verteilung

Die taglichen Kursanderungen einer Aktie seien unabhangig und dieWahrscheinlichkeit dafur, dass der Kurs an einem Tag wachst oderhochstens um 5% fallt, betrage 0.8 . Wie groß ist die Wahrscheinlichkeitdafur, dass dies erstmalig am zweiten oder dritten Tag passiert ?


1.6.4 Hypergeometrische Verteilung

I Parameter: N,M, n ∈ N , M ≤ N, n ≤ N .

I Zufallsgroße X mit moglichen Werten x0 = 0, x1 = 1, . . . , xn = n .


pk = P(X = k) =

(Mk

)·(N−Mn−k

)(Nn

) , falls n − (N −M) ≤ k ≤ M ,

pk = P(X = k) = 0 , sonst.

I Anwendung in folgender Situation:I unter N Dingen befinden sich M ausgezeichnete ;

I von den N Dingen werden n zufallig ausgewahlt (ohne Zurucklegen) ;

I Zufallsgroße X reprasentiert die Anzahl der ausgezeichneten Dingeunter den n ausgewahlten.


Hypergeometrische Verteilung II


Hypergeometrische Verteilung III

I Typische Anwendung: Stichprobennahme ohne Zurucklegen, z.B.bei der Qualitatskontrolle.

I Bezeichnung: X ∼ Hyp(N,M, n) .

I Kenngroßen:EX = n · M

N,

VarX = n · MN· N −M

N· N − n

N − 1.

I Fur großes N (N ≥ 60) und M und im Vergleich dazu kleines n(n/N < 0.1) kann die hypergeometrische Verteilung durch dieBinomialverteilung (p = M/N) approximiert werden:

P(X = k) =

(Mk

)·(N−Mn−k

)(Nn

) ≈(n

k

)pk(1− p)n−k .


Beispiel fur Binomial-Approximation

X ∼ Hyp(100, 70, 5) wird approximiert durch Y ∼ Bin(5, 0.7).


Ubungsbeispiel 1.9: Hypergeometrische Verteilung

I Ein Kunde ubernimmt alle 50 gelieferten Schaltkreise, wenn in einerStichprobe von 10 Schaltkreisen hochstens ein nicht vollfunktionsfahiger Schaltkreis enthalten ist. Ansonsten wird diegesamte Lieferung verworfen.

I Man berechne die Wahrscheinlichkeit dafur, dass die 50 Schaltkreise

a) abgenommen werden, obwohl diese 12 nicht voll funktionsfahigeSchaltkreise enthalten;

b) zuruckgewiesen werden, obwohl nur 3 nicht voll funktionsfahigeSchaltkreise enthalten sind !

I Zufallsgroße X . . .”Anzahl der nicht voll funktionsfahigen

Schaltkreise in der Stichprobe“.

I Die Zufallsgroße X ist hypergeometrisch verteilt.

I N = 50 , n = 10 , M = 12 bzw. M = 3 .

I Gesucht: a) P(X ≤ 1) ; b) P(X > 1) .


1.6.5 Poissonverteilung

I Parameter: λ > 0 (die”Intensitat“ der Poissonverteilung).

I Zufallsgroße X mit moglichen Werten k = 0, 1, 2, . . . .


pk = P(X = k) =λk

k!e−λ, k = 0, 1, 2, . . . .

I Bezeichnung: X ∼ Poi(λ) .

I Kenngroßen: EX = λ und VarX = λ .

I Eigenschaft: X1 ∼ Poi(λ1) , X2 ∼ Poi(λ2) unabhangig

⇒ X1 + X2 ∼ Poi(λ1 + λ2) .


Poissonverteilung II

I Typische Anwendungen: Poissonverteilung ist typische Verteilungfur Anzahl von Ereignissen in gewissem Zeitraum, wenn fur beliebigehinreichend kleine Teilintervalle der Lange h gilt:

I In jedem Teilintervall der Lange h tritt hochstens ein Ereignis ein.

I Die Wahrscheinlichkeit, ein Ereignis im Teilintervall der Lange h zufinden, hangt nur von der Lange des betrachteten Zeitintervalls abund ist proportional zu dieser.

I Das Eintreten eines Ereignisses im Teilintervall wird nicht beeinflusstvon Ereignissen, die in der Vorgeschichte stattgefunden haben(Nachwirkungsfreiheit).

I Parameter λ entspricht dann der durchschnittlichen Anzahl derEreignisse im betrachteten Zeitraum.

I Beispiele: Anzahl von Telefonanrufen, Anzahl von emittiertenTeilchen in Physik (radioaktiver Zerfall), Anzahl von Unfallen,Anzahl von Schadensfallen.


Poissonverteilung und Binomialverteilung

I Es gilt Bin(n, λ/n) −−−→n→∞

Poi(λ) .

I Fur großes n (n ≥ 30) und kleines p (p ≤ 0.05, sogenannte”seltene

Ereignisse“) lassen sich Wahrscheinlichkeiten einerBinomialverteilung naherungsweise mit Hilfe einer Poissonverteilungmit Parameter λ = np berechnen, d.h.

P(X = k) =

(n

k

)pk(1− p)n−k ≈ λk

k!e−λ .


Beispiel fur Poisson-Approximation

X ∼ Bin(100, 0.04) wird approximiert durch Y ∼ Poi(4).


Ubungsbeispiel 1.10: Poissonverteilung

I Die zufallige Anzahl X der Schadensfalle bei einerVersicherungsagentur sei fur Zeitintervalle einer bestimmten Langepoissonverteilt mit Parameter λ = 3 . Wie groß ist dieWahrscheinlichkeit dafur, dass in einem Zeitintervall dieser Langemindestens zwei Schadensfalle eintreten ?

I Es werden 50 Erzeugnisse aus einer Lieferung mit einerAusschusswahrscheinlichkeit von 0.01 untersucht. Wie groß ist dieWahrscheinlichkeit dafur, dass sich hochstens ein fehlerhaftesErzeugnis unter den 50 Erzeugnissen befindet ?


1.6.6 Diskrete Gleichverteilung

I Situation: Eine Menge M besteht aus n Elementen, die bei einerAuswahl aus dieser Menge alle gleichwahrscheinlich ausgewahltwerden.


pk = P(X = k) =1

nfur alle k ∈M.

I Bezeichnung: X ∼ U(M) .

I Kenngroßen: fur diskrete Gleichverteilung auf 1, 2, . . . , n.X ∼ U({1, 2, . . . , n}) : EX = n+1

2 und VarX = n2−112 .

I Typische Anwendungen:I Laplace-Experiment,I Wurfeln mit einem gerechten Wurfel.


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