İstatistik ve Olasılıkmuhserv.atauni.edu.tr/makine/ikaymaz/istatistik/lecture...Atatürk Üniversitesi Poisson Dağılımı Anakütle Dağılımları Örnek 2: ir sınıftaki öğrenciler

Atatürk Üniversitesi

Anakütle Dağılımları

Prof. Dr. İrfan KAYMAZ

İstatistik ve OlasılıkDers 5: Rastgele Değişkenlerin

Dağılımları II


Anakütle DağılımlarıSık Kullanılan Dağılımlar

Kesikli Anakütle Dağılımları Sürekli Anakütle Dağılımları

Kesikli düzgün dağılım

Bernoulli dağılımı

Binom dağılımı

Poisson dağılımı

Hipergeometrik dağılım

Negatif binom dağılımı

....................

....................

Sürekli düzgün dağılım

Normal dağılım

Üstel dağılım

Lognormal dağılım

Gamma dağılımı

Ki-kare dağılımı

....................

....................

Frekans tablolarına dayalı histogram ve frekans poligonları, verilerindağılımı hakkında genel bilgiler vermektedir.Yapılan araştırmalardan elde edilen verilere ait dağılımın şeklinin vedağılım fonksiyonunun ampirik olarak belirlenmesi kolay değildir.Bu nedenle, verilerin özelliklerine göre uygunluk gösterecekleri bazıanakütle dağılımları teorik olarak geliştirilmiştir.

Bazı önemli anakütle dağılımları:


Anakütle DağılımlarıBinom Dağılımı

Kesikli dağılımların en yaygın kullanılanıdır.

Atılan bir paranın yazı veya tura gelmesi,

Montajdaki parçanın toleransa uygunluğu ve uygunsuzluğu

öğrencinin bir dersten başarılı veya başarısız olması

gibi iki sonuçlu olayların olasılığının hesaplanmasında kullanılır.

Binom dağılımına uyması için aşağıdaki şartları sağlaması gerekir:

Deneme belirli sayıda (n) tekrarlanır.

Her deneyin başarılı ve başarısız olmak üzere iki sonucu vardır.

Deneyler birbirinden bağımsızdır.

Başarı olasılığı (p) ve başarısızlık olasılığı q=1-p dir.

n deneyde elde edilen başarılı sonuçlar x değişkenine atanır.


Anakütle DağılımlarıBinom Dağılımı

Binom dağılımın olasılık fonksiyonu:

Binom dağılımının ortalaması ve varyansı ise aşağıdaki formüllerle hesaplanır.



Örnek 1:a)10 yazı/tura atmada 4 yazı gelme olasılığını hesaplayınızb)Bir zarın 20 kez atılması durumunda tam 12 kez altı gelme olasılığını hesaplayınız.

Örnek 1 ÇÖZÜM:

Binom Dağılımı

a) Binom dağılımın uygun olduğu rastgele olaylarda başarılı ve başarısız olarak iki durumun olduğu olaylarla ilgilenildiğinden:başarılı: yazı gelmesi (p=0.5)başarısız: yazı gelmemesi (q=0.5)Olarak tanımlama yapılabilir. n=10;X=4 olduğundan istenilen olasılık:



Örnek 1 ÇÖZÜM:

Binom Dağılımı

b) başarılı: 6 gelmesi (p=1/6)başarısız: yazı gelmemesi (q=5/6)Olarak tanımlama yapılabilir. n=20;X=12 olduğundan istenilen olasılık:


Anakütle DağılımlarıPoisson Dağılımı

İlgilenilen zaman aralığı, uzunluk veya hacimde sık sık karşılaşılmayan olayların özel durumları için geliştirilen dağılımdır.

Örneğin:belirli bir trafik noktasında meydana gelen trafik kazası sayısı, 1 m2 kumaştaki kusur sayısı, 1 cm3 kandaki anormal hücre sayısı,......vb sayılabilir.

2np olarak ifade edildiğinden dağılımın tek parametresi olduğu

söylenebilir.

Poisson dağılımının olasılık fonksiyonu aşağıda verilmiştir.


Anakütle DağılımlarıPoisson Dağılımı

Örnek 2:Bir sınıftaki öğrenciler üzerine yapılan bir araştırmada dersi dinlemeyen öğrenci sayısının ortalama olarak 3 kişi olduğu belirlenmiştir. Herhangi bir derste;a) En az bir kişinin dersi dinlememesi olasılığını hesaplayınız.b) En fazla iki kişinin dersi dinlememesi olasılığını hesaplayınız

Örnek 2 Çözüm:Dersi dinlememek nadiren karşılaşılan bir olay! olduğu için poisson dağılımı kullanılmalıdır. olup bu olaya ait poisson olasılık fonksiyonu : np 3

P Xe

X

X

( )!

.

33


Anakütle DağılımlarıSürekli Rastgele Değişken Dağılım

Sürekli Anakütle Dağılımları

Sürekli düzgün dağılım

Normal dağılım

Üstel dağılım

Lognormal dağılım

Gamma dağılımı

Ki-kare dağılımı

....................

....................

En sık kullanılan sürekli rastgele değişkenlere ait Anakütle Dağılımları


Anakütle DağılımlarıDüzgün (Üniform) Dağılım

X sürekli rastgele değişken belirli bir aralıktaki her değerinin meydana gelme olasılığı eşit ise bu rastgele değişkenin dağılım düzgün (Ünifrom) dağılımdır.

Ünifrom dağılıma ait olasılık fonksiyonu:



Örnek 3 :Süper marketteki kasaya 30 dakikalık periyotta bir müşteri gelmiştir. Bu müşterinin son 5 dakikada gelmiş olma ihtimalini hesaplayınız.

Örnek 3 ÇÖZÜM :

Olasılık yoğunluk fonksiyonu:



ÜNİFORM DAĞILIM İLE İLGİLİ MATLAB KOMUTLARI

[a, b] aralığında üniform dağılmış rasgele değişkenin bu aralık içerindeki herhangi bir x değerini alma ihtimali unifcdf komutu ile hesaplanır.

Örneğin bir önceki örnek aşağıda verilen MATLAB komutu yardımıyla kolaylıkla hesaplanabilir:

prob=unifcdf(5,0,30)


Anakütle DağılımlarıNormal Dağılım

Sürekli olasılık dağılımlarının en önemlisi ve en çok kullanılanı normal dağılımdır. Normal dağılıma, bu dağılımı geliştiren kişilerin isimlerine atfen

Gauss-Laplace dağılımı,

Eğrinin biçimine izafeten de çan eğrisi de denilmektedir.

Evrendeki birçok olay normal dağılıma uygunluk gösterdiğinden yapılan araştırmalarda elde edilen verilerin değerlendirilmesinde çok yaygın olarak kullanılmaktadır.



Normal dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonu

Normal yoğunluk fonksiyonu iki parametreye sahiptir:ortalama

standart sapma Normal dağılım fonksiyonu ve kümülatif dağılım fonksiyonu grafiksel olarak aşağıda verilmiştir.



Ortalama ve Standart sapma değerlerine bağlı olarak Normal dağılımın yeri ve biçimi değişmektedir.

Örneğin:Aşağıda şekilleri verilen A, B ve C normal dağılmış rastgele değişkenler arasında:



Normal dağılımın süreklilik özelliğinden dolayı X rastgele değişkeninin sadece belirli bir aralıkta değer alması söz konusudur. İlgilenilen aralıkta değer alma olasılığı, olasılık yoğunluk fonksiyonunun entegrali ile elde edilir.

Normal Dağılım

P a X b( )

işlemi yapılmalıdır.

Görüleceği üzere oldukça fazla işlem yükü gelmektedir.

İşlem yükünü azaltmak için bu dağılım yerine geliştirilen standart normal

dağılım kullanılmaktadır.

X N~ ( ; ). 2

Örneğin:olasılığını hesaplamak için

X rastgele değişkeni normal dağılıyorsa aşağıdaki şeklinde gösterilir:


Anakütle DağılımlarıStandart Normal Dağılım

belirli entegraline eşit olur.

X normal değişkeni sonsuz değer alabileceğinden nümerik olarak çözüm elde edilebilmesi için normal dağılmış rastgele fonksiyon standart normal dağılmış rastgele değişkene dönüştürülür:

Bu ifade normal rastgele değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonun yazılırsa standart normal değişkene ait olasılık yoğunluk fonksiyonu elde edilir:

Standart normal dağılım: ortalaması 0 ve varyansı 1 olacak şekilde dönüşüm yapılır:



integralleri hesaplanarak standart normal dağılımla ilgili tablolar hazırlanmıştır.

Dağılımın genel özellikleri dikkate alınarak standart normal değişken (Z) için



Z tablosu olarak adlandırılan bu tablolar farklı şekillerde düzenlenmektedir.

Bu ders kapsamında kullanılacak olan tablo P(Z > z0) olasılığını vermektedir.

Verilen tablo yardımıyla normal dağılıma ait her türlü olasılık

hesaplanabilmektedir.

Ayrıca, dağılım simetrik olup dağılımın tepe noktasının yatay ekseni kestiği

noktanın koordinatı sıfırdır (dağılımın ortalamasıdır) ve eğri altında kalan alanın

değeri 1’e eşittir.

Dağılım simetrik olduğu için P(Z > 0) = P(Z < 0)= 0.5 dir.

Bu nedenle, ortalamanın sağında kalan kısmı tablolarda verilmekte, diğer

yarısının aynı olduğu bilinmektedir.



İstenen X rastgele değişkeninin belirli aralıkta değer alma olasılığını hesaplamak için izlenecek yaklaşımlar şöyle özetlenebilir:

1. Verilen a < X < b aralığı m < Z < n aralığına dönüştürülür. Yani,

ZX

Bu amaçla

dönüşümü kullanılır.

Standart Normal Dağılım

2. Karşı gelen P(m<Z<n) değeri tablo yardımıyla belirlenir. Öyle ise P(A<X>b):

hesaplanır.


Anakütle DağılımlarıOlasılık Tabloların okunuşu

Z tablosundan istenilen olasılık değeri bulunulurken verilen değer;

tamsayı kısmı ile birinci ondalık kısmı

ikinci ondalık kısmı

olmak üzere iki parçaya ayrılır

1. tamsayı kısmı ile birinci ondalık kısmı düşey eksende işaretlenir.2. ikinci ondalık kısmı için yatay eksende eksende işaretlenir.3. Bu değerlere yatay ve düşey eksende karşı gelen değerlerin kesiştiği hücredeki değer aranan olasılık değeridir.

Z tablosundan bir olasılık değeri okumak için aşağıdaki adımlar takip edilir:


Anakütle DağılımlarıNormal Dağılım-MATLAB

NORMAL DAĞILIM İLE İLGİLİ MATLAB KOMUTLARI

Normal dağılmış bir rastgele değişkenin belirli bir X değerine karşılık olasılık yoğunluk fonksiyonu değeri aşağıdaki komut yardımıyla hesaplanır:

P = normpdf(X,MU,SIGMA)

Burada MU ve SIGMA sırasıyla normal dağılmış rastgele değişkenin ortalamasını ve standart sapma değerini göstermektedir.

Normal dağılmış rastgele değişkenin – ile belirli bir x değerini alma olasılığı

P(X<x) = normcdf(X,MU,SIGMA)

P olasılığını veren - dan X’e olasılık hesabında X rastgele değişkeni belirlemek

X = norminv(P,MU,SIGMA)


Anakütle DağılımlarıNormal Dağılım-MATLAB

Standart normal dağılmış bir fonksiyona ait olasılık hesaplamaları için normcdf komutu aşağıdaki şekilde verilmedir.

P = normcdf([Z])

Verilen iki sınır değer arasında normal rastgele değişkene ait olasılık dağılım fonksiyonunu çizmek için:

[p,h] = normspec(specs, mu, sigma)

Burada specs: limit değerleri göstermektedir. p: olasılık değerini göstermektedir. -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4Probability Between Limits is 0.81859

Density

Critical Value


Anakütle DağılımlarıÖrnekler

Örnek 4 :Eğer Z standart normal dağılmış bir rastgele değişken ise aşağıdaki olasılıkları grafiksel olarak gösterip hesaplayınız.

a) P(0<=Z<=2)

b) P(-2<=Z<=2)

c) P(0<=Z<=1.53)

d) P(0.28 < Z < 1.28)



Örnek 4 ÇÖZÜM:

a) P(0<=Z<=2)

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35


Density

Critical Value

MATLAB komutu:

normspec([0,2],0,1)



Örnek 4 ÇÖZÜM:

b) P(-2<=Z<=2)

MATLAB komutu:

normspec([-2,2],0,1)

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35


Density

Critical Value



Örnek 4 ÇÖZÜM:

c) P(0<=Z<=1.53)

MATLAB komutu:

normspec([0,1.53],0,1)

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35


Density

Critical Value



Örnek 4 ÇÖZÜM:

d) P(0.28 < Z < 1.28)

MATLAB komutu:

normspec([0.28,1.28],0,1)

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35


Density

Critical Value



Örnek 5 :P(Z > z1)=0.025 ise z1=?

Örnekler

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4Probability Greater than Lower Bound is 0.024998

Density

Critical Value

Örnek 5 ÇÖZÜM:Önceki problemlerde eksen değerlerinden hareketle olasılık değeri bulunurken bu problemde olasılık değerinden hareketle eksen değerleri bulunmaktadır. Yani tabloya bakış yönteminde değişiklik var.

Tablodan 0.025 olasılık değerine karşı gelen z değeri araştırılırsa bunun 1.96 (yani z1=1.96) olduğu görülür.

z1=norminv(0.975,0,1)

MATLAB komutu



Örnek 6:P(-z1 < Z < z1)=0.90 ise z1=?

Örnekler

Örnek 6 ÇÖZÜM:değer çift taraflı olduğundan (her iki kuyruğu kapsadığından) her parçanın olasılığı (1-0.90)/2=0.05 dir.

Tablodan 0.05 olasılık değerine karşı gelen z değeri araştırılırsa bunun 1.64 (yani z1=1.64) olduğu görülür.



Örnek 7:Bir imalathanede üretilen millerin çaplarının ortalaması 3.0005 inç ve standartsapmalarının ise 0.001 inç olan normal dağılıma uyduğu tespit edilmiştir. Üretilenmiller eğer 3.0000.002 inç aralığının dışında iseler bu miller hatalı üretim kabuledilmektedir.Buna göre toplam üretimdeki hatalı ürün miktarını bulunuz.



Örnek 7 ÇÖZÜM:

İstenilen olasılık ifadesi:

Bu olasılık değerini hesaplamak için X sürekli normal değişkeni standart normal hale dönüştürülür:


Anakütle DağılımlarıDağılım Tipinin Belirlenmesi

Ham olarak elde edilen rasgele değişkene ait dataların dağılım tipini(Normal, exponensiyal, Log-nomal v.b. ) belirlemek rasgele değişkenkullanılarak yapılacak analizler için çok önemlidir.

Bu işlemlerde rasgele değişkenin nasıl bir dağılım davranışı gösterdiği ve budağılımın parametreleri kullanılmaktadır.

Ham olarak elde edilen bu datalara bir dağılım uydurmak (distirbutionfitting) için aşağıda verilen adımlar takip edilir:

Dağılım tipini grafiksel olarak belirlemek Belirlenen bu dağılım tipine ait parametreleri tahmin etmek Belirlenen bu dağılım tipinin uygunluğunu test etmek.



Dağılım tipini grafiksel olarak belirleme:

Ham olarak elde edilmiş rasgele değişkene ait dataların hangi dağılım tipineuygun olduğunu belirlemede genellikle bu dataların grafiksel olarakgösterimi ile birlikte uygunluk testi (goodness-of-fit) uygulanarak elde edilir.



Dağılım parametrelerinin Tahmini:

Belirlenen dağılıma ait parametrelerin (ortalama, standart sapma, çarpıklık,basıklık gibi) için başlıca iki metot kullanılır:

• Momentler metodu (method of moments)• Maksimum olabilirlik metodu (method of maximum likelihood)

Bu metotlar vasıtasıyla edilen parametreler daha sonra gerçekleştirilecekanalizlerde rasgele değişkenlerin kullanılmasını sağlar.



Seçilen dağılım fonksiyonun uygunluk testi:

Son adım olarak, rasgele değişkenlere ait belirlenmiş dağılım tipininuygunluk testi yapılarak istatistiksel olarak ne kadar uygun olduğu tespitedilir. Bu adımda kullanılan belli başlı uygunluk testi yöntemleri:

• Ki-kare uygunluk testi (Chi Square test)• Kolmogorov Smirnov test• Anderson Darling test

Bu testlerden sadece ilk ikisine ait teorik bilgiler verilecektir.



Kİ-KARE UYGUNLUK TESTİ:

Ki-kare istatistik değerini hesaplamak için öncelikle datalar belirli sayıdaaralıklara (intervals) ayrılır ve bu aralıkların beklenen değeri (Expectedvalue) uydurulan dağılımdan hesaplanır. Sonra Chi-square istatistik değeriaşağıdaki bağıntı yardımıyla hesaplanır:


Anakütle DağılımlarıGelecek Dersin Konusu

Örnekleme Planları ve Dağılımları …

Documents

İstatistik ve Olasılıkmuhserv.atauni.edu.tr/makine/ikaymaz/istatistik/lecture...Atatürk Üniversitesi Poisson Dağılımı Anakütle Dağılımları Örnek 2: ir sınıftaki öğrenciler