Statistika i (02)

STATISTIKA I

Disusun : Ir. Tri Mulyanto, MT

KELAS 2EA21

HHasil Pembelajaranasil Pembelajaran2

Pokok Bahasan Penyajian Data.

Sub Pokok Bahasan :o Pembentukan Tabel Frekuensi.o Frekuensi relatif dan kumulatif.o Pembuatan Histogram, Diagram Batang, Polygon, Kurva Ogive, Diagram

Pie. TIU:

Mahasiswa mampu menyajikan data dalam bentuk tabel dan gambar. Sasaran belajar

Mahasiswa dapat mengolah data mentah menjadi bentuk tabel, dapat menentukan interval kelas dan batas kelas sesuai kebutuhan dan menyajikan data secara menarik.

Mahasiswa dapat menghitung frek. relatif dan kumulatif serta memahami saat pemakaiannya.

Mahasiswa mampu mengolah data menjadi bentuk gambar.

PengertianPengertian3

Data yang telah diperoleh dari suatu penelitian yang masih berupa data acak atau data mentah dapat dibuat menjadi data yang berkelompok, yaitu data yang telah disusun ke dalam kelas-kelas tertentu.

Daftar yang memuat data berkelompok disebut distribusi frekuensi atau tabel frekuensi. Jadi, distribusi frekuensi adalah susunan data menurut kelas-kelas interval tertentu atau menurut kategori tertentu dalam sebuah daftar.

Dari distribusi frekuensi, dapat diperoleh keterangan atau gambaran sederhana dan sistematis dari data yang diperoleh.

Bagian Distribusi Frekuensi (1)Bagian Distribusi Frekuensi (1)4

1) Kelas-kelas (class) Kelas adalah kelompok nilai data atau variabel.

2) Batas kelas (class limits) Batas kelas adalah nilai-nilai yang membatasi kelas yang satu dengan

kelas yang lain. Terdapat dua batas kelas, yaitu:

a batas kelas bawah (lower class limits), terdapat di deretan sebelah kiri setiap kelas;

t batas kelas atas (upper class limits), terdapat di deretan sebelah kanan setiap kelas.

Batas kelas merupakan batas semu dari setiap kelas, karena di antara kelas yang satu dengan kelas yang lain masih terdapat lubang tempat angka-angka tertentu.


3) Tepi kelas (class boundary/real limits/true class limits) Tepi kelas disebut juga batas nyata kelas, yaitu batas kelas yang

tidak memiliki lubang untuk angka tertentu antara kelas yang satu dengan kelas yang lain.

Terdapat dua tepi kelas, yaitu:a) tepi bawah kelas atau batas kelas bawah sebenarnya;b) tepi atas kelas atau batas kelas atas sebenarnya.

Penentuan tepi bawah kelas dan tepi atas kelas bergantung pada keakuratan pencatatan data. Misalnya, data dicatat dengan ketelitian sampai satu desimal, maka rumus tepi bawah kelas dan tepi atas kelas ialah sebagai berikut.

a) tepi bawah kelas = batas bawah kelas - 0,5;b) tepi atas kelas = batas atas kelas + 0,5.


4) Titik tengah kelas/tanda kelas (class mid point, class marks) Titik tengah kelas adalah angka atau nilai data yang tepat terletak

di tengah suatu kelas. Titik tengah kelas merupakan nilai yang mewakili kelasnya. Titik tengah kelas = ½ (batas atas + batas bawah) kelas.

5) Interval kelas (class interval) Interval kelas adalah selang yang memisahkan kelas yang satu

dengan kelas yang lain.

6) Panjang interval kelas atau luas kelas (interval size) Panjang interval kelas adalah jarak antara tepi atas kelas dan tepi

bawah kelas.

7) Frekuensi kelas (class frequency) Frekuensi kelas adalah banyaknya data yang termasuk ke dalam

kelas tertentu.


Contoh: Tabel Modal perusahaan PT. "X"

Modal (jutaan Rp) Frekuensi (f)50-59 1660-69 3270-79 2080- 89 1790-99 15

Jumlah 100

Dari distribusi frekuensi di atas: 1. Banyaknya kelas adalah 5. 2. Batas kelas-kelas adalah 50, 59, 60, 69, .... 3. Batas bawah kelas-kelas adalah 50, 60, 70, 80, 90. 4. Batas atas kelas-kelas adalah 59, 69, 79, 89, 99. 5. Batas nyata kelas-kelas adalah 49,5; 59,5; 69,5; 79,5 .... 6. Tepi bawah kelas-kelas adalah 49,5; 59,5; 69,5; 79,5; 89,5. 7. Tepi atas kelas-kelas adalah 59,5; 69,5; 79,5; 89,5; 99,5. 8. Titik tengah kelas-kelas adalah 54,5; 64,5; 74,5; 84,5; .... 9. Interval kelas-kelas adalah 50 - 59, 60 - 69, ..., 90 - 99.10. Panjang interval kelas-kelas masing-masing 10.11. Frekuensi kelas-kelas adalah 16, 32, 20, 17, dan 15.


Beberapa catatan mengenai distribusi frekuensi1. Kadang-kadang suatu distribusi memiliki panjang interval kelas yang

tidak sama, bergantung kepada tujuannya.

2. Kadang-kadang distribusi frekuensi memiliki batas kelas yang berulang, suatu nilai (batas kelas) dipakai sebagai dua batas kelas.

3. Kadang-kadang distribusi frekuensi memiliki kelas terbuka, artinya batas kelas atas pada kelas terakhir dan batas kelas bawah pada kelas pertama tidak ada.

Penyusunan Distribusi Frekuensi (1)Penyusunan Distribusi Frekuensi (1)

Distribusi frekuensi dapat dibuat dgn mengikuti pedoman berikut.e Mengurutkan data dari yang terkecil ke yang terbesar.

Menentukan jangkauan (range) dari data.

Jangkauan = data terbesar - data terkecil.

t Menentukan banyaknya kelas (k).

Banyaknya kelas ditentukan dengan rumus sturgess

Keterangan:k = banyaknya kelas n = banyaknya dataHasilnya dibulatkan, biasanya ke atas.

9

nk log 3,31+= k ∈ bulat


1) Menentukan panjang interval kelas.

Panjang interval kelas (i) =

2)Menentukan batas bawah kelas pertama.

Batas bawah kelas pertama biasanya dipilih dari data terkecil atau data terkecil yang berasal dari pelebaran jangkauan (data yang lebih kecil dari data terkecil) dan selisihnya harus kurang dari panjang interval kelasnya.

3)Menuliskan frekuensi kelas secara melidi dalam kolom turns atau tally (sistem turns) sesuai banyaknya data.

10

)( kelas banyaknya

)( jangkauan

k

R


Beberapa catatan tentang penyusunan distribusi frekuensi Pada pembuatan distribusi frekuensi, perlu dijaga jangan sampai ada

data yang tidak dimasukkan ke dalam kelas atau ada data yang masuk ke dalam dua kelas yang berbeda.

u Titik tengah kelas diusahakan bilangan bulat/tidak pecahan.

a Nilai frekuensi diusahakan tidak ada yang nol.

d Dalam menentukan banyaknya kelas (k), diusahakan :

a. tidak terlalu sedikit, sehingga pola kelompok kabur;

b. banyaknya kelas berkisar 5 sampai 15 buah;

c. jika jangkauan terlalu besar maka banyaknya kelas antara 10 sampai 20.

11


1. Cara lain dalam menetapkan banyaknya kelas ialah:

a. memilih atau menetapkannya sesuai dengan kebutuhan yang diinginkan;

b. menggunakan rumus :

Keterangan:

R = jangkauan

i = panjang interval kelas

Cara tersebut dipakai dengan mencoba menetapkan terlebih dahulu panjang interval kelasnya (i).

12

1+=i

Rk


Contoh soal:

Dari hasil pengukuran diameter pipa-pipa yang dibuat oleh sebuah mesin (dalam mm terdekat), diperoleh data sebagai berikut.

Buatlah distribusi frekuensi dari data tersebut!

13

78 72 74 79 74 71 75 74 72 6872 73 72 74 75 74 73 74 65 7266 75 80 69 82 73 74 72 79 7170 75 71 70 70 70 75 76 77 67


Penyelesaian: b. Urutan data:

b Jangkauan (R) = 82 – 65 = 17

b Banyaknya kelas (k) adalah

K = 1 + 3,3 log 40

= 1 + 5,3 = 6,3

k. Panjang interval kelas (i) adalah :

Batas kelas pertama adalah 65 (data terkecil)

14

65 66 67 68 69 70 70 70 70 7171 71 72 72 72 72 72 72 73 7373 74 74 74 74 74 74 74 75 7575 75 75 76 77 78 79 79 80 82

35,26

15 ===i


Tabelnya

Tabel : Pengukuran Diameter pipa-pipa (satuan mm)

15

Diameter Tarus/Tally Frekuensi65 -67 III 368-70 IIII I 671 -73 IIII IIII II 1274-76 IIII IIII III 1377-79 IIII 480- 82 II 2Jumlah 40


Latihan Soal :

Berikut ini data mengenai jumlah modal (dalam jutaan Rp) dari 50 orang pada perusahaan "X"

16

80 18 69 51 71 92 35 28 60 4563 59 64 98 47 49 48 64 58 7485 56 72 38 89 55 28 67 84 7837 73 65 66 86 96 57 76 57 1954 76 49 53 83 55 83 47 64 39

Buatlah distribusi frekuensi dari data tersebut!

Histogram, Poligon Frekuensi dan KurvaHistogram, Poligon Frekuensi dan Kurva

1.Histogram dan Poligon Frekuensi Histogram dan poligon frekuensi adalah dua grafik yang sering

digunakan untuk menggambarkan distribusi frekuensi. Histogram merupakan grafik batang dari distribusi frekuensi dan

poligon frekuensi merupakan grafik garisnya. Pada histogram, batang-batangnya saling melekat atau berimpitan,

sedang poligon frekuensi dibuat dengan cara menarik garis dari satu titik tengah batang histogram ke titik tengah batang histogram yang lain.

Agar diperoleh poligon tertutup, harus dibuat dua kelas baru dengan panjang kelas sama dengan frekuensi nol pada kedua ujungnya.

Pembuatan dua kelas baru itu diperbolehkan karena luas histogram dan poligon yang tertutup sama.

17


Pada pembuatan histogram digunakan sistem salib sumbu. Sumbu mendatar (sumbu X) menyatakan interval kelas (tepi bawah dan tepi atas masing-masing kelas) dan sumbu tegak (sumbu Y) menyatakan frekuensi.

Contoh :Tabel Distribusi Frekuensi hasil pengukuran tinggi badan 50 siswa.

18

Interval Kelas Turus / Frekuensi Tepi Interval Titik Tengah(Tinggi (cm)) Tally (Banyak Murid) Kelas

140 - 144 II 2 139,5 - 144,5 142145 - 149 IIII 4 144,5 - 149,5 147150 - 154 IIII IIII 10 149,5 - 154,5 152155 - 159 IIII IIII IIII 14 154,5 - 159,5 157160 - 164 IIII IIII II 12 159,5 - 164,5 162165 - 169 IIII 5 164,5 - 169,5 167170 - 174 III 3 169,5 - 174,5 172

Σf = 50


a. Histogram.

19

Gambar Histogram tinggi badan 50 siswa


a. Poligon frekuensi.

20

Gambar Poligon tinggi badan 50 siswa


2.Kurva Frekuensi Kurva distribusi frekuensi, disingkat kurva frekuensi yang telah

dihaluskan mempunyai berbagai bentuk dengan ciri-ciri tertentu. Bentuk-bentuk kurva frekuensi adalah sebagai berikut.

r Simetris atau berbentuk lonceng, ciri-cirinya ialah nilai variabel di samping kiri dan kanan yang berjarak sama terhadap titik tengah (yang frekuensinya terbesar) mempunyai frekuensi yang sama. Bentuk kurva simetris sering dijumpai dalam distribusi bermacam-macam variabel, karena itu dinamakan distribusi normal.

21


o Tidak simetris atau condong, ciri-cirinya ialah ekor kurva yang satu lebih panjang daripada ekor kurva lainnya. Jika ekor kurva lebih panjang berada di sebelah kanan kurva disebut kurva condong ke kanan (mempunyai kecondongan positif), sebaliknya disebut condong ke kiri (mempunyai kecondongan negatif).

22


o Bentuk J atau J terbalik, ciri-cirinya ialah salah satu nilai ujung kurva memiliki frekuensi maksimum.

r Bentuk U, dengan ciri kedua ujung kurva memiliki frekuensi maksimum.

23


o Bimodal, dengan ciri mempunyai dua maksimal.u Multimodal, dengan ciri mempunyai lebih dari dua maksimal.u Uniform, terjadi bila nilai-nilai variabel dalam suatu interval

mempunyai frekuensi sama

24

Jenis-jenis Distribusi FrekuensiJenis-jenis Distribusi Frekuensi

1. Distribusi Frekuensi Biasa Distribusi frekuensi biasa adalah distribusi frekuensi yang hanya

berisikan jumlah frekuensi dari setiap kelompok data atau kelas. Ada dua jenis distribusi frekuensi biasa, yaitu distribusi frekuensi

numerik dan distribusi frekuensi peristiwa atau kategori.

a. Distribusi frekuensi numerik Distribusi frekuensi numerik adalah distribusi frekuensi yang

pembagian kelasnya dinyatakan dalam angka.

25

Umur (tahun) Frekuensi20-24 1525-29 2030- 34 935-39 440-44 2Jumlah 50

Tabel Pelamar Perusahaan "XYZ", 1990


b. Distribusi frekuensi peristiwa atau kategori Distribusi frekuensi peristiwa atau kategori adalah distribusi

frekuensi yang pembagian kelasnya dinyatakan berdasarkan data atau golongan data yang ada.

26

Tabel Hasil pelemparan dadu sebanyak 30 kali

Angka Dadu (X) Banyaknya Peristiwa (f)

1 42 63 54 35 86 4

Jumlah 30


2. Distribusi Frekuensi Relatif Distribusi frekuensi relatif adalah distribusi frekuensi yang berisikan

nilai-nilai hasil bagi antara frekuensi kelas dan jumlah pengamatan yang terkandung dalam kumpulan data yang berdistribusi tertentu.

Pada distribusi frekuensi relatif ini, frekuensi relatifnya dirumuskan

Misalkan distribusi frekuensi memiliki k buah interval kelas dengan frekuensi masing-masing: f1, f2, . . ., fk maka distribusi yang terbentuk

adalah :

27

,...3,2,1,1001 =Σ

= ixf

ffrelatif

Interval kelas Frekuensi Frekuensi relatifInterval kelas ke-1 f1

Interval kelas ke-2 f2

•••

•••

•••

Interval kelas ke-k fk

Jumlah Σf=n

n

f1

n

f2

n

fk

1=Σn

f


2. Distribusi Frekuensi Relatif Frekuensi relatif kadang-kadang dinyatakan dalam bentuk

perbandingan desimal, ataupun persen. Contoh :

Tabel Distribusi frekuensi relatif.

28

Interval Kelas (Tinggi (cm))

Frekuensi (Banyak Murid)

Frekuensi RelatifPerbandingan Desimal Persen

140 - 144 2 2 /50 0,04 4

145 - 149 4 4 /50 0,08 8150 - 154 10 10 /50 0,20 20155 - 159 14 14 /50 0,28 28160 - 164 12 12 /50 0,24 24165 - 169 5 5/50 0,10 10170 - 174 3 3 /50 0,06 6Jumlah 50 1 1 100


3. Distribusi Frekuensi Kumulatif Distribusi frekuensi kumulatif adalah distribusi frekuensi yang berisikan

frekuensi kumulatif. Frekuensi kumulatif adalah frekuensi yang dijumlahkan.

Distribusi frekuensi kumulatif memiliki grafik atau kurva yang disebut ogif. Pada ogif dicantumkan frekuensi kumulatifnya dan digunakan nilai batas kelas.

Ada dua macam distribusi frekuensi kumulatif, yaitu distribusi frekuensi kumulatif kurang dari dan lebih dari.

a. Distribusi frekuensi kumulatif kurang dari

Distribusi frekuensi kumulatif kurang dari adalah distribusi frekuensi yang memuat jurnlah frekuensi yang memiliki nilai kurang dari nilai batas kelas suatu interval tertentu.

29


b. Distribusi frekuensi kumulatif lebih dariDistribusi frekuensi kumuiatif lebih dari adalah distribusi frekuensi

yang memuat jurnlah frekuensi yang memiliki nilai lebih dari nilai batas kelas suatu interval tertentu

Contoh : Tabel Distribusi Frekuensi kumulatif kurang dari

30

Distribusi Frekuensi Biasa Distribusi Frekuensi Kumulatif Kurang DariTinggi (cm) Frekuensi Tinggi (cm) Frekuensi Kumulatif

kurang dari 140 = 0140 - 144 2 kurang dari 145 0 + 2

= 2

145 - 149 4 kurang dari 150 0+2+4 = 6150 - 154 10 kurang dari 155 0 + 2 + 4+10 = 16155 - 159 14 kurang dari 160 0 + 2 + 4 + 10+14 = 30160 - 164 12 kurang dari 165 0 + 2 + 4 + 10+14+12 = 42165 - 169 5 kurang dari 170 0 + 2 + 4+10+14 + 12 + 5 = 47170 - 174 3 kurang dari 175 0 + 2 + 4+10+14+12 + 5 + 3 = 50


Contoh :

Grafik distribusi frekuensi kumulatif kurang dari disebut ogif kurang dari atau ogif positif.

31


Contoh :

Tabel Distribusi frekuensi kumulatif lebih dari

32

Distribusi Frekuensi Biasa Distribusi Frekuensi Kumulatif Lebih DariTinggi (cm) Frekuensi Tinggi (cm) Frekuensi Kumulatif140 - 144 2 lebih dari 140 =

50145 - 149 4 lebih dari 145 50-2 =

48150- 154 10 lebih dari 150 50-2-4 = 44

155 - 159 14 lebih dari 155 50-2-4-10 = 34

160 - 164 12 lebih dari 160 50-2-4-10-14 = 20165 - 169 5 lebih dari 165 50-2-4-10-14-12 = 8170- 174 3 lebih dari 170 50-2-4-10-14-12-5 = 3

lebih dari 175 50-2-4-10-14-12-5-3 = 0


Contoh :

Grafik distribusi frekuensi kumulatif lebih dari disebut ogif lebih dari atau ogif negatif.

33


Contoh soal:

Berikut adalah data 50 mahasiswa dalam perolehan nilai statistika pada FE U”X” semester II tahun 2007.

f. Berapa orang yang mendapat nilai antara 44-52 dan 80-88

g. Berapa % orang yang mendapat nilai antara 53-61 ndan 89-97.

h. Berapa banyak orang yang nilainya kurang dari 44.

i. Berapa banyak orang yang nilainya kurang dari 71.

34

70 91 93 82 78 70 71 92 38 5679 49 48 74 81 95 87 80 80 8435 83 73 74 43 86 68 92 93 7681 70 74 97 95 80 53 71 77 6374 73 68 72 85 57 65 93 83 86


Penyelesaian : Untuk menjawab pertanyaan a diperlukan distribusi frekuensi, untuk

menjawab pertanyaan b diperlukan distribusi frekuensi relatif dan untuk menjawab pertanyaan c diperlukan distribusi frekuensi kumulatif.

a. Tabel distribusi frekuensi untuk data tersebut ialah sebagai berikut. Tabel Nilai Statistik 50 mhs Mahasiswa FE U”X” Smt II, 1997

35

Nilai Frekuensi (f)35 -43 344-52 253 -61 362 -70 771 -79 1380- 88 1389 -97 9Jumlah 50

Banyaknya mahasiswa yang mendapat nilai antara 44-52 adalah 2 orang dan antara 80 - 88 adalah 13 orang.


b. Tabel distribusi frekuensi relatif untuk data tersebut ialah

Tabel Distribusi Frekuensi Relatif Nilai Statistik 50 mhs FEU”X” semester II, 1997

36

Nilai Frekuensi Frekuensi Relatif (%)35 -43 3 644-52 2 453-61 3 662-70 7 1471 -79 13 2680-88 13 2689 -97 9 18Jumlah 50 100

Jadi, mahasiswa yang mendapat nilai antara 53-61 adalah 6% dan yang mendapat nilai antara 89 - 97 adalah 18%.


c. Tabel distribusi frekuensi kumulatif untuk data tersebut ialah

Tabel Distribusi Frekuensi kumulatif Nilai Statistik 50 mhs FEU”X” semester II, 1997

37

Jadi, banyaknya mahasiswa yang nilainya kurang dari 44 adalah 3 orang dan yang kurang dari 71 adalah 15 orang.

Nilai f Frekuensi Kumulatif (fkumulatif)Nilai ft Kurang Dari< 35 0

35 -43 3 < 44 344-52 2 < 53 553-61 3 < 62 862-70 7 < 71 1571 -79 13 < 80 2880-88 13 < 89 4189-97 9 < 98 50


Latihan soal:

Berikut ini adalah mid point dari pengukuran 40 diameter pipa-pipa beserta frekuensinya.

f. Susunlah mid point tersebut ke dalam distribusi frekuensi biasa dan gambarkan histogram dan poligonnya!

g. Buatlah distribusi frekuensi relatif! h. Buatlah distribusi frekuensi kumulatif kurang dari dan lebih dari serta

gambarkan ogifnya masing-masing!

38

Mid Point Frekuensi66 369 672 1275 1378 481 2

SelesaiSelesai

Terimakasih

Documents

Statistika i (02)