STATISZTIKA.1.KÉPLETGYÜJTEMENY.BCE_

STATISZTIKA 1.

KÉPLETGYŰJTEMÉNY BCE alapfogalmak egy ismérv szerinti elemzés két ismérv szerinti elemzés standardizálás indexszámítás idősorok

© www.mateking.hu STATISZTIKA 1. KÉPLETGYŰJTEMÉNY

[email protected]

2

1. ALAPFOGALMAK 1.1.Ismérvek típusai TERÜLETI, IDŐBELI, MINŐSÉGI, MENNYISÉGI.

1.2.Viszonyszámok

B

AV =

MINŐSÉGI Nominális (névleges) A sokaság elemeit valamilyen tulajdonságok szerinti csoportokba soroljuk, de a csoportok közt nincs semmiféle rangsor példák: az áldozatok halálának oka a terroristák nemzetisége

Ordinális (sorrendi) A csoportok között már felállítható sorrendiség példák: a hotelek besorolása (** *** **** *****) a vizsgázók jegyei (1, 2, 3, 4, 5 ) MENNYISÉGI Intervallum A sokaság elemeit itt már valamilyen mértékegység szerint osztályozzuk, de csak a „mennyivel több?” kérdésre tudunk válaszolni, a „hányszoros?”-ra nem példák: hőmérséklet (tegnap -5 fok volt, ma 0 fok, hányszor melegebb van?)

Arány Itt is mértékegység szerinti az osztályozás, de a „hányszoros?” kérdésre is tudunk válaszolni (mindig 0-tól kezdünk mérni) példák: életkor testmagasság

SÚLYOZOTT SZÁMTANI ÁTLAG: A súlyok B1 B2 stb.

21

2211

BB

BVBVV

+⋅+⋅= több tagra

∑∑ ⋅

=i

ii

B

BVV

SÚLYOZOTT HARMONIKUS ÁTLAG: A súlyok A1 A2 stb.

2

2

1

1

21

V

A

V

AAA

V+

+= több tagra

∑

∑=

i

i

i

V

A

AV

MÉRTANI ÁTLAG:

21 VVV ⋅= több tagra n

n

iVV ∏=1


[email protected]

3

2. EGY ISMÉRV SZERINTI ELEMZÉS 2.1. Adatok

20 23 alsó kvartilis=23,5 24 24 24 medián=24,5 25 27 30 felső kvartilis=31,5 31 32 módusz=24

átlag: 26=Y

Szórás a teljes populációra

( )∑

−=

N

YY i

2

σ

A teljes populációból vett n elemű minta szórása

( )∑ −

−=

1

2

n

YYs i

( ) ( ) ( ) ( )10

...2426242623262026 2222 +−+−+−+−=σ

( ) ( ) ( ) ( )9

...2426242623262026 2222 +−+−+−+−=S

2.2. Adatsorok

OSZTÁLYKÖZÖK

Osztályközép: iY

GYAKORISÁG

if

KUMULÁLT GYAKORISÁG

if ′

RELATÍV GYAKORISÁG

ig

KUMULÁLT RELATÍV GYAKORISÁG

ig ′

ÉRTÉKÖSSZEG

iS

RELATÍV ÉRT.ÖSSZ.

iZ

0-9 51 =Y 200 200 200/2000 200/2000 5·200 5·200/S

10-19 152 =Y 400 600 400/2000 600/2000 15·400 15·400/S

20-29 253 =Y 500 Me 1100 500/2000 1100/2000 25·500 25·500/S

30-39 354 =Y 600 Mo 1700 600/2000 1700/2000 35·600 35·600/S

40-49 455 =Y 300 2000 300/2000 2000/2000 45·300 45·300/S

2000==∑ Nf i SS i =∑

Becsült átlag

∑∑ == iiii gY

N

fYY

272000

...400152005 =+⋅+⋅=Y

Becsült medián

meme

me

hf

fN

meMe12 −′−

+=

=me a mediánt tartalmazó osztályköz alsó határa,

=meh a mediánt tartalmazó osztályköz hossza

20500

6002

2000

20−

+=Me

Becsült módusz

mohkk

kmoMo

21

1

++=

=mo a móduszt tartalmazó osztályköz alsó határa

11 −−= momo ffk 12 +−= momo ffk

20300100

10030

++=Mo

Becsült szórás a teljes populációra: Relatív szórás:

( ) ( )∑∑ −=−

= iiii gYY

N

fYY 22

σ Y

Vσ= ( ) ( )

2000

...4001527200527 22 +⋅−+⋅−=σ


[email protected]

4

2.3. A Lorenz-görbe Azt fejezi ki, hogy a gyakoriság egy adott százalékához az összérték hány százaléka tartozik. Az x tengelyen tehát a kumulált relatív gyakoriságot, míg az y tengelyen a kumulált relatív értékösszeget mérjük.

N

VZHI i

122 +==∑

2.4. Alakmutatók

Pearson-féle mérőszámok

σMeY

P−= 3 σ

MoXA

−=

F-mutatók

( ) ( )( ) ( )19

191,0 DMeMeD

DMeMeDF

−+−−−−=

( ) ( )( ) ( )13

1325,0 QMeMeQ

QMeMeQF

−+−−−−=

′iZ

ig′


[email protected]

5

3. KÉT ISMÉRV SZERINTI ELEMZÉS 3.1. Mindkét ismérv minőségi: ASSZOCIÁCIÓS KAPCSOLAT

1C 2C …

jC … Total

1R 11f 12f … jf1 … •1f

2R 21f 22f … jf2 … •2f

… … … … … …

iR 1if 2if … ijf … •if

… … … … … … Total

1•f 2•f jf• N

N

fff ji

ij••∗ ⋅

=

( )∑ ∗

∗−=

ij

ijij

f

ff2

2χ

Cramer-féle asszociációs együttható

{ })1();1(min

2

−−⋅=

crNC

χ

Csuprov-féle asszociációs együttható

11

2

−⋅−⋅=Γ

crN

χ

Yule-féle asszociációs együttható

21122211

21122211

ffff

ffffY

⋅+⋅⋅−⋅

=

1C 2C …

jC … Total

1R 11f 12f … jf1 … •1f

2R 21f 22f … jf2 … •2f

… … … … … …

iR 1if 2if … ijf … •if

… … … … … … Total

1•f 2•f jf• N

1C 2C Total

1R 11f 12f •1f

2R 21f 22f •2f Total

1•f 2•f N


[email protected]

6

3.2. Az egyik ismérv minőségi, a másik mennyiségi: VEGYES KAPCSOLAT

MENNYI- SÉGI

MINŐSÉGI ÖSSZ.

1C 2C …

1R 1Y 11f 12f …

2R 2Y 21f 22f …

… … … … …

iR iY 1if 2if …

ÖSSZ. 1N 2N jN N

OSZTÁLYKÖZEPEK MENNYI- SÉGI

MINŐSÉGI ÖSSZ.

1C 2C …

1R 1Y 11f 12f …

2R 2Y 21f 22f …

… … … … …

iR iY 1if 2if …

ÖSSZ. 1N 2N jN N

MENNYI- SÉGI

MINŐSÉGI ÖSSZ.

1C 2C …

1R 1Y 11f 12f …

2R 2Y 21f 22f …

… … … … …

iR iY 1if 2if …

ÖSSZ. 1N 2N jN N

Részátlag

∑∑==

==jj N

i j

iijN

i j

ijj N

Yf

N

YY

11

Rész-szórás

( ) ( )∑∑==

−⋅=−⋅=jj N

ijiij

j

N

ijij

jj YYf

NYY

N 1

2

1

2 11σ

Belső szórás azt adja meg, hogy az egyes elemek át-lagosan mennyivel térnek el a saját részátlaguktól:

( ) ∑∑∑== =

⋅=−⋅=M

jjj

M

j

N

ijijB N

NYY

N

j

1

2

1 1

2 11 σσ

Belső eltérés-négyzetösszeg SSB (sum of squares belső)

( )∑∑= =

−=M

j

N

ijij

j

YYSSB1 1

2

Főátlag

∑∑∑∑= == =

==jj N

ii

M

jij

M

j

N

iij Yf

NY

NY

1 11 1

11


[email protected]

7

222KB σσσ += SSKSSBSST +=

A relatív hibacsökkenés, vagyis a PRE kiszámolására a következő képlet van forgalomban:

22

2

2

2

2

22

1 HSST

SSK

SST

SSBSSTPRE KBB ==−=−==−=

σσ

σσ

σσσ

Ha PRE=0 akkor a két ismérv független Ha PRE=1 akkor a két ismérv közt függvényszerű kapcsolat van. Ha pedig PRE értéke valahol nulla és egy között van, akkor a kapcsolat nem független és nem is függvényszerű, tehát sztochasztikus. Amikor a két ismérv független

0=PRE 0=SSK 02 =Kσ 22Bσσ =

Amikor a két ismérv kapcsolata függvényszerű 1=PRE 0=SSB 02 =Bσ 22 σσ =K

MENNYI- SÉGI

MINŐSÉGI ÖSSZ.

1C 2C …

1R 1Y 11f 12f …

2R 2Y 21f 22f …

… … … … …

iR iY 1if 2if …

ÖSSZ. 1N 2N jN N

MENNYI- SÉGI

MINŐSÉGI ÖSSZ.

1C 2C …

1R 1Y 11f 12f …

2R 2Y 21f 22f …

… … … … …

iR iY 1if 2if …

ÖSSZ. 1N 2N jN N

Külső szórás azt adja meg, hogy a részátlagok átlagosan mennyivel térnek el a főátlagtól:

( )∑=

−⋅=M

jjjK YYN

N 1

21σ

Külső eltérés-négyzetösszeg SSK (sum of squares külső)

( )∑=

−⋅=M

jjj YYNSSK

1

2

Teljes szórás azt adja meg, hogy az egyes elemek átlago-san mennyivel térnek el a főátlagtól:

( )∑∑= =

−⋅=M

j

N

iij

j

YYN 1 1

21σ

Teljes eltérés-négyzetösszeg SST (sum of squares teljes)

( )∑∑= =

−=M

j

N

iij

j

YYSST1 1

2


[email protected]

8

3.3. Mindkét ismérv mennyiségi: KORRELÁCIÓS KAPCSOLAT

( )∑ ∑ −= 22 XXXd

( )∑ ∑ −= 22 YYYd

( )( )∑∑ −−=⋅ YYXXdYdX

Lineáris korrelációs együttható

∑∑∑

⋅

⋅=

YdXd

dYdXr

22

Kovariancia

N

dYdXYXC ∑ ⋅

==),(

A regressziós egyenes egyenlete:

XY ⋅+= 10ˆˆˆ ββ ahol

∑∑ ⋅

=Xd

dYdX21̂β és XY ⋅−= 10

ˆˆ ββ

X-nek az Y-ra vonatkozó determinációs hányadosa

)(

)(2

22

X

XKYX σ

ση =

Y-nak az X-re vonatkozó determinációs hányadosa

)(

)(2

22

Y

YKXY σ

ση =


[email protected]

9

4. STANDARDIZÁLÁS

4.1.A különbségfelbontás EGYIK IZÉ MÁSIK IZÉ

0A

0B

0

00 B

AV =

1A

1B

1

11 B

AV =

01 VVk −=

ÖSSZ:

∑ 0A

∑ 0B ∑∑=

0

00 B

AV

∑ 1A

∑ 1B ∑∑=

1

11 B

AV

01 VVK −=

FŐÁTLAGOK KÜLÖNBSÉGE

01 VVK −=

RÉSZHATÁS KÜLÖNBSÉG (részhatás=V ilyenkor az összetételhatás=B a standard)

∑∑

∑∑

∑∑

∑∑ ⋅

=−⋅

=⋅

−⋅

=′−′=′STD

STD

STD

STD

STD

STD

STD

STD

B

kB

B

VVB

B

VB

B

VBVVK

)( 010101

ÖSSZETÉTELHATÁS KÜLÖNBSÉG (összetételhatás=B ilyenkor a részhatás=V a standard, de mindig a másik, ha az előbb

1B volt akkor most 0V ha pedig 0B volt, most 1V )

∑∑

∑∑ ⋅

−⋅

=′′−′′=′′0

0

1

101 B

VB

B

VBVVK STDSTD

4.2. A hányadosfelbontás EGYIK IZÉ MÁSIK IZÉ

0A

0B

0

00 B

AV =

1A

1B

1

11 B

AV =

0

1

V

Vi =

ÖSSZ:

∑ 0A

∑ 0B ∑∑=

0

00 B

AV

∑ 1A

∑ 1B ∑∑=

1

11 B

AV

0

1

V

VI =

FŐÁTLAG INDEX

0

1

V

VI =

RÉSZHATÁS INDEX (részhatás=V ilyenkor az összetételhatás=B a standard és általában 1B )

∑

∑∑∑

∑∑

∑∑ =

⋅⋅

=⋅⋅

=′′

=′

i

AA

VB

VB

B

VB

B

VB

V

VI

1

1

01

11

1

01

1

11

0

1 :

ÖSSZETÉTELHATÁS INDEX (összetételhatás=B ilyenkor a részhatás=V a standard, de mindig a másik, ezért 0V )

∑∑

∑∑ ⋅⋅

=′′′′

=′′0

00

1

01

0

1 :B

VB

B

VB

V

VI


[email protected]

10

5. INDEXEK

5.1. Egyedi ár- volumen- és értékindexek

0

1

p

pi p =

0

1

q

qiq = qpv ii

qp

qpi ⋅==

00

11

5.2. Ár- és volumenindexek

Ár

P

Volumen

q

Bázis időszaki

0

Árindex Laspeyres /bázisidőszak szerinti/

∑∑=

0

00

q

qI p

0

1

p

p

Volumenindex Laspeyres /bázisidőszak szerinti/

∑∑=

0

1

q

q

0

00

p

pI q

Tárgy

időszaki

1

Árindex Paasche /tárgyidőszak szerinti/

∑∑=

1

11

q

qI p

0

1

p

p

Volumenindex Paasche /tárgyidőszak szerinti/

∑∑=

0

1

q

q

1

11

p

pI q

5.3. A Fischer-féle árindex és volumenindex:

10pp

Fp III ⋅= 10

qqFq III ⋅=

5.4. Az értékindex:

Fq

Fppqqpv IIIIII

qp

qpI ⋅=⋅=⋅==

∑∑ 0101

00

11 amiből

0

1

0

1

q

q

p

p

I

I

I

I=

5.5. Az indexek átlagformái 5.6. Vásárlóerő-paritás

∑∑=

AB

AAA

qp

qpBAPPP )/(

∑∑=

BB

BAB

qp

qpBAPPP )/(

)/()/()/( BAPPPBAPPPBAPPP BAF ⋅=

∑∑

∑

∑∑∑ ⋅

==⋅

=0

0

01

01

00

000

v

iv

i

qp

qp

qp

iqpI p

p

pp

∑∑

∑

∑∑∑ ⋅

==⋅

=0

0

10

10

00

000

v

iv

i

qp

qp

qp

iqpI q

q

qq

∑

∑

∑

∑∑∑ ==

⋅=

pp

pp

i

v

v

i

qp

qp

qp

iqpI

1

1

11

11

10

101

∑

∑

∑

∑∑∑ ==

⋅=

qq

qq

i

v

v

i

qp

qp

qp

iqpI

1

1

11

11

01

011


[email protected]

11

6. IDŐSOROK 6.1.Állapotidősor és tartamidősor

ÁLLAPOTIDŐSOR

TARTAMIDŐSOR

Változás mértéke

111

−−=

−= ∑

n

yy

n

dd nt

11

1

−−=

−= ∑

n

yy

n

dd nt

Változás üteme 1

1

1

2

−−

=

== ∏ nnn

n

tt y

yll 1

1

1

2

−−

=

== ∏ nnn

n

tt y

yll

Átlag

12

...2 21

−

+++=

n

yy

y

y

n

k n

yyyy n+++= ...21

6.2. Mozgóátlagok Ha a tagok száma páratlan:

12

......ˆ 11

+++++++= ++−−

k

yyyyyy kttttkt

t

Ha pedig a tagok száma páros

k

yyyy

y

y

ktttt

kt

t 22

......2ˆ

11+

+−− ++++++

=

6.3. Lineáris és exponenciális trend

Lineáris trend

ty ⋅+= 10ˆ ββ Lineáris trend normálegyenletei

∑∑==

+⋅=n

t

n

tt tny

110

1

ββ ∑∑∑===

+⋅=⋅n

t

n

t

n

tt ttyt

1

21

10

1

ββ

Exponenciális trend

ty 10ˆ ββ ⋅=

10 lnlnˆln ββ ⋅+= ty


[email protected]

12

6.4. Szezonális eltérés lineáris trend esetén

( )pn

yys

pn

iijij

j /

ˆ/

1∑

=−

=

6.5. Korrigált szezonális eltérés lineáris trend esetén

sss jj −=(

6.6. Szezonindex exponenciális trend esetén

pn

y

y

s

pn

i ij

ij

j /

ˆ

/

1∑

=∗

=

6.7. Korrigált szezonindex exponenciális trend esetén

s

ss j

j

∗∗ =(

ÉVEK=i

SZEZONOK=j (szezonfajták száma p)

j=1 j=2 j=3 …

i=1 11

y 21

y 31

y 41

y

i=2 12

y 22

y 32

y 42

y

i=3 13

y 23

y 33

y 43

y

… 14

y 24

y 34

y 44

y

Documents

STATISZTIKA.1.KÉPLETGYÜJTEMENY.BCE_