STOHASTICKOMODELIRANJESADRZAJ1 Principiaktuarskogmodeliranja 8str.2 Stohastickiprocesi 13str.3 Markovljevilanci 12str.4 Markovljeviprocesiskokova 18str.5 Analizamodelavremenskihnizova 49str.6 Brownovogibanjeidifuzije 23str.7 MonteCarlosimulacijastohastickihprocesa 16str.FacultyandInstituteofActuarieszahvaljujesljedecimosobamakojesupo-mogleusastavljanjuovogmaterijala:EmmanuelBuetJohnCaslinAnatolyPatrickPhelimBoyleBrucePorteousJimTindaleHowardWatersDavidWilkie2000 Principiaktuarskogmodeliranja Predmet103POGLAVLJE1-PRINCIPIAKTUARSKOGMODELIRANJANastavniciljevi: (i)Opisatiprincipeaktuarskogmodeliranja.1. Opisatizastoikakosekoristemodeli.2. Objasnitiprednostiiogranicenjamodeliranja.3. Objasniti relativnu prikladnost deterministickih i stohastickih modela.4. Opcenitoopisati kakoodluciti dali jemodel prikladanzaodredenuprimjenu.5. Objasnitirazlikuizmedukratkorocnihidugorocnihsvojstavamodela,tekakotomozebiti relevantnouodluci dali jemodel prikladanzaodredenuprimjenu.6. Opcenito opisati kako analizirati moguce rezultate modela, te objasnitizastojetorelevantnouizborumodela.7. Opisatiprocestestiranjaosjetljivostinapretpostavkeiobjasnitizastojetovazandioprocesamodeliranja.8. Objasniti cimbenikekojetrebauzeti urazmatranjepri priopcavanjurezultatakojislijedeprimjenommodela.1 Modeli1.1 ZastosekoristemodeliModel je imitacija sustava ili procesa stvarnog svijeta. Mogu se razviti mod-eli mnogihaktivnosti, kaonaprimjer, ekonomijazemlje, radljudskogsrca,buduci toknovcabrokerskogdistributivnogkanaladrustvazazivotnoosig-uranje. Pretpostavimodazelimopredvidjetiposljedicekojebi promjeneustvarnomsvijetuimalenaovatrimodela. Unekimslucajevimamoglobibiti previserizicno, ili preskupoili presporoispitati predlozenepromjeneustvarnom svijetu, cak i na osnovu uzorka. Ispitivanje promjena bez prednostimodela moglo bi imati ozbiljnih posljedica. Ekonomija bi mogla dospjeti u re-cesiju stajuci vladu sljedecih izbora, pacijent bi mogao umrijeti, a osigurateljc FacultyandInstituteofActuaries Poglavlje1,stranica1Predmet103 Principiaktuarskogmodeliranja 2000za zivotna osiguranja bi mogao snositi porast posla ali uz izuzetno nepovoljnepremije. Modelomogucavaispitivanjemogucihposljedica. Rezultatiprom-jenenekihulaznihparametaramoguseproucavatiprijedonosenjaodlukeoizvrsenjuplanovaustvarnomsvijetu.Da bi se izgradio model sustava ili procesa, potrebno je razviti skup matematickihi logickih pretpostavki o tome kako sustav radi. Kompleksnost modela odredenaje kompleksnoscu odnosa medu raznimparametrima modela. Na prim-jer, umodeliranjuosigurateljazazivotnaosiguranja, morajuserazmatratitockekao stosuzakonskapravila,oporezivanjeiuvjetiotkazivanja. Buducidogadaji koji utjecu na povrate od ulaganja, inaciju, nove poslove, nistavnaosiguranja,smrtnostitroskovetakoderutjecunateodnose.Dabi sestvoriomodel i odredili prikladni parametri, potrebnojerazma-trati podatkei donijeti sudorelevantnosti opazenihpodatakanabuduceokruzenje. Takvi podaci mogupotjecati odproslihopazanja, odtrenutnihopazanja(kao stojestopainacije)iliodocekivanjaodbuducihpromjena.Kadase smatradasuopazeni podaci prikladni zatvorbuparametarazaodabrani model, moguse upotrebljavati statisticke metode zaprilagodbupodataka.Prije okoncanja izbora modela i parametara, vazno je razmotriti ciljeve stvaranjai upotrebe modela. Na primjer, u mnogim slucajevima necemo htjeti kreiratinajtocniji model, nego umjesto toga kreirati model koji nece umanjiti troskoveilidrugerizikekojimogubitiukljuceni.1.2 KakoseupotrebljavajumodeliDok u stvarnosti proces modeliranja ne prati krutu shemu propisanih koraka,kod uvodenja predmeta korisno je zamisliti skup kljucnih koraka. U praksi seaktuari koji grade i koriste modele krecu naprijed natrag medu tim koracimaneprekidnopoboljsavajucimodel.Kljucnikoraciuprocesumodeliranjamoguseopisatikakoslijedi:1. Razviti dobro deniran skup ciljeva koje treba ispuniti procesom mod-eliranja.2. Planiratiprocesmodeliranja,tekako cemodelbitipotvrden.3. Prikupitiianaliziratipodatkepotrebnezamodel.4. Prvo denirati model uhvativsi bit sustava stvarnog svijeta. Pronjenjerazinedetaljnostimodelamozedociukasnijojfazi.Poglavlje1,stranica2 c FacultyandInstituteofActuaries2000 Principiaktuarskogmodeliranja Predmet1035. Ukljucitistrucnjakezasustavstvarnogsvijetakojegpokusavateimiti-rati, tako da dobijete povratnu informaciju o vrijednosti konceptualnogmodela.6. Odluciti oprikladnosti simulacijskogpaketaili opcegjezikazaimple-mentacijumodela. Odabrati statisticki pouzdangenerator slucajnihbrojevakoji cebitiadekvatanukontekstukompleksnostimodela.7. Napisatiracunalniprogramzamodel.8. Otkloniti greskeuprogramutakodajesigurnodaizvodi zamisljeneoperacijeizdenicijemodela.9. Testiratidalisurezultatimodelarazumni.10. Pregledati i pazljivorazmotriti dali jemodel odgovarajuci usvijetlumalihpromjenauulaznimparametrima.11. Analiziratirezultatemodela.12. Priopcitiidokumentiratirezultatemodela.2 Modeliranje-prednostiiogranicenjaJednaodnajvaznijihprednosti modeliranjauaktuarskomposluje dasesustavi s dugim vremenskim okvirima - kao na primjer djelovanje mirovinskogfonda-moguproucavatiukomprimiranomvremenu.Drugeprednostiukljucuju:kompleksni sustavi sastohastickimelementima, kaostojedjelatnostdrustva za zivotna osiguranja, ne mogu se dovoljno dobro opisati matematickimililogickimmodelomkojijesposobanproizvestirezultatekojiselakointerpretiraju; modeliranjesimulacijejejedannacinproucavanjadje-latnostidrustvaza zivotnoosiguranje;moguseusporediti razlicitebuducepolitikeili moguceakcijetakodasevidikojanajboljepristajepotrebamailiogranicenjimakorisnika;u modelu kompleksnog sustava obicno mozemo bolje kontrolirati eksper-imentalneuvjetei nataj nacinsmanjiti varijancuizlaznihrezultatamodelabezkvarenjanjihovihsrednjihvrijednosti.c FacultyandInstituteofActuaries Poglavlje1,stranica3Predmet103 Principiaktuarskogmodeliranja 2000Medutim, modelinisujednostavnorjesenjezasveaktuarskeprobleme-oniimajunedostatkekojejepotrebnorazumjeti prilikominterpretiranjaizlazaizmodelaipriopcavanjarezultataklijentima.Nedostaciukljucuju:Razvoj modelazahtijevaznacajnoulaganjevremenai strucnosti. Fi-nancijski troskovi razvoja mogu biti prilicno veliki uzevsi u obzir potrebuda se provjeri valjanost pretpostavki modela, racunalni kod, razumnostrezultatainacinkakoobicnimjezikominterpretiratirezultateciljanojpublici.Ustohastickommodelu, zadani skupulazasvakaobradadajesamoprocjene izlaznih rezultata modela. Stoga je nekoliko nezavisnih obradapotrebno za proucavanje izlaza za svaki dani skup ulaza. Opce je prav-ilo da su modeli korisniji za usporedbu rezultata ulaznih varijacija negozaoptimiziranjeizlaza.Modeli moguizgledati impresivnokadaseobradujunaracunalu, testogapostoji opasnost uspavljivanjauprevelikopovjerenjeumodel.Ako model nije prosao testove valjanosti i provjere, njegovi impre-sivni izlazi suslabazamjenazasposobnostimitiranjaodgovarajucegstvarnogsvijeta.Modeli se jako oslanjanju na ulazne podatke. Ako je kvaliteta podatakaslaba ili nevjerodostojna, tada je vjerojatno da ce i izlaz iz modela imatigresku.Vaznojedakorisnici modelarazumijumodel, tezakojepotrebesemoze sa sigurnoscu koristiti. Postoji opasnost od upotrebe modela kaocrnekutijezakojusepretpostavljadadajesamovaljanerezultate,bezrazmatranjadali jeupotrebamodelaodgovarajucazaodredeneulaznepodatkeiocekivaneizlaze.Nemoguce je u model ukljuciti sve buduce dogadaje. Na primjer, prom-jenauzakonodavstvumozerezultatemodelaucinitinevaljalim, alijujenemogucepredvidjetikadasemodelkonstruira.Interpretacijanekihizlaznihrezultatamodelamoze biti teska. Onimogubiti valjani samo relativno, a ne apsolutno. Na primjer, us-poredbarazinarizikaizlazapovezanihsrazlicitimulazima.Poglavlje1,stranica4 c FacultyandInstituteofActuaries2000 Principiaktuarskogmodeliranja Predmet1033 StohastickiideterministickimodeliAkosezeli predstaviti stvarnostcimmogucetocnije, model trebaimitiratislucajnu prirodu varijabli. Stohasticki model je onaj koji prepoznaje slucajnupriroduulaznihkomponenti. Model koji nesadrzi slucajnukomponentujepoprirodideterministicki.Izlazjeudeterministickommodeluodredencimsudeniraniulaziiodnosimedunjima. Suprotnotome, ustohastickommodeluizlaz je poprirodislucajan- istokaoi ulazi koji suslucajnevarijable. Izlazjesamosnimkaili procjenakarakteristikamodelazadani skupulaza. Dabi semoglako-ristitistatistickateorijakaopomocpriproucavanjuimplikacijaskupaulaza,potrebnojenekolikonezavisnihobradazasvakiskupulaza.Deterministicki model jestvarnosamospecijalan(pojednostavljen) slucajstohastickogmodela.Dalizelimokoristitideterministickiilistohastickimodelovisiotomedalismozainteresiranizarezultatejednogjedinogscenarija,ilizadistribucijurezultatamogucihscenarija. Deterministicki model dajerezultate rele-vantnihizracunazajedanscenarij; stohasticki model dajedistribucijerele-vantnih rezultata za distribuciju scenarija. Ako se stohasticki model ispitujekoristenjemMonteCarlosimulacije,totadadajezbirkuodgovarajuceve-likogbrojarazlicitihdeterministickihmodela, svakiodkojihsesmatrajed-nakovjerojatnim.Rezultati zadeterministicki model secestodobijudirektnimracunom, alijeponekadnuznokoristiti numerickeaproksimacije, ili dabi seintegriralefunkcije, ili dabi serijesilediferencijalnejednadzbe; primjeri modelagdjejeposljednjepotrebnodiskutiratceseupoglavlju4(Markovljevi procesiskokova).Ako je stohasticki model dovoljno prilagodljiv, moguce je izvesti zeljene rezul-tateanalitickimmetodama. Akojetomoguce,tomese cestodajeprednost,atakoder jecestoi brzenegoMonteCarlosimulacija; dobijusepreciznirezultatiilakosemoguanaliziratiposljedicepromjenaupretpostavkama.Mnogi prakticni problemi sumedutimprekomplicirani za lako koristenjeanalitickihmetoda, i Monte Carlosimulacijaje izuzetnojakametodazarjesavanjekompliciranihproblema. Ali akosei samodiomodelamozetre-tiratianaliticki,tomozeosiguratiprovjerusimulacijskemetode. Koristenjedeterministickog modela kod kompliciranog problema moguce je za racunanjeocekivane vrijednosti,ili medijana,gdje je distribucija oko tih sredisnjih vri-jednostiprocjenjenasimulacijom.c FacultyandInstituteofActuaries Poglavlje1,stranica5Predmet103 Principiaktuarskogmodeliranja 2000Takoderjepotrebnouzeti naznanjedasimulacijskemetodeopcenitodajustoako? odgovore;stosurezultati uzdanepretpostavke. Mnogojetezekoristiti simulaciju za dobivanje optimalnih rezultata; koji skup pretpostavkimaksimizirailiminimiziraneki zeljenirezultat.Daljnje ogranicenje je da preciznost rezultata ovisi o broju provedenih simu-lacija(vidisekciju6poglavlja7).3.1 DiskretnaineprekidnastanjaivrijemeStanjemodelajeskupvarijablikojeopisujusustavuodredenojtockiuvre-menu uzimajuci u obzir ciljeve naseg proucavanja. Moguce je predstaviti svebuducescenarijekaostanja, sto cebitirazvijenousljedecimpoglavljima.Diskretnastanjaimamokadavarijablepokazujudiskretnepromjeneuvre-menu. Na primjer,iz stanja ziv u mrtav,ili porast broja polica nekog osigu-ratelja.Neprekidnastanjaimamokadasevarijablemijenjajuneprekidnouodnosuna vrijeme. Na primjer, promjena vrijednosti investicija u realnom vremenu.Odluka da li koristiti diskretanili neprekidanmodel za odredeni sustavvisejevodenaciljevimaproucavanja, negodali jeprirodasamogsustavadiskretnailineprekidna. Modeltakodermozepromatrativrijemenadiskre-tan ili neprekidan nacin. To moze odrazavati cinjenicu da su izlazi iz modelapotrebni samo u diskretnim tockama u vremenu, ili moze biti da se zadovoljeciljevimodeliranja.UpraksisenemozekoristitiMonteCarlosimulacijazaproblemsneprekid-nimvremenom; potrebno je diskretizirati vremenski korak. To se mozenapraviti sa zeljenom preciznoscu, ali cim je veca preciznost, tim je dulje vri-jemeprocesiranjaodredenogmodela; tomoze, ali nemorabiti ogranicenjeupraksi. Takoder jepotrebnozapamtiti daseneki rezultati zamodelesneprekidnimvremenomi neprekidnimstanjima(diskutirani uPoglavlju6)nemoguuopcedobiti diskretnimsimulacijama. JedanprimjerjederivacijaBrownovoggibanjakojanijenigdjedenirana; moguseizracunati aproksi-macije konacnim diferencijama koje izgledaju kao derivacije, ali ne konvergi-rajukakosesmanjujevremenskikorak.Poglavlje1,stranica6 c FacultyandInstituteofActuaries2000 Principiaktuarskogmodeliranja Predmet1034 PrikladnostmodelaUustanovljavanjuprikladnostimodelazaodredenizadatakvaznojerazma-tratisljedece:Ciljevezadatkakojisemodelira.Valjanostmodelauodnosunasvrhuzakoju cesekoristiti.Valjanostpodatakakoji ceseupotrijebiti.Mogucegreskepovezanescinjenicomdamodelilikoristeniparametrinepredstavljajusavrsenostvarnusituacijukojasemodelira.Utjecajkorelacijameduslucajnimvarijablamakojetjerajumodel.Stupanjkorelacijameduraznimrezultatimaproizaslimizmodela.Sadasnjiznacajmodelanapisanihikoristenihuproslosti.Vjerodostojnostulaznihpodataka.Vjerodostojnostizlaznihrezultata.Opasnostilaznetocnosti.Lakocukojomsemozeobjasnitimodelipriopcitinjegovirezultati.5 KratkorocnaidugorocnasvojstvamodelaStabilnost odnosaukljucenihumodel nemoradugorocnobiti realisticna.Naprimjer, eksponencijalanrastmozeseciniti linearnimakosepromatrakroz kratak vremenski period. Ukoliko se promjene mogu predvidjeti tada ihsemozeukljucitiumodel,alicestotrebaprihvatitidasudugorocnimodelisumnjivi.Modeli supodeniciji pojednostavljeneverzijestvarnogsvijeta. Oni stogamoguzanemarivatiodnosevisegredakojikratkorocnoimajumaliznacaj,alisedugorocnomoguakumulirati.c FacultyandInstituteofActuaries Poglavlje1,stranica7Predmet103 Principiaktuarskogmodeliranja 20006 AnaliziranjeizlazaizmodelaBuduci dajesimulacijasamoprojekt statistickogskupljanjauzorakapot-pomognut racunalom, zaanalizuizlazaiz modelapotrebne sustatisticketehnike. Uovoj fazi procesamodeliranjaaktuar morabiti vrlopazljividobroprosudivati,buducidasuopazanjamedusobnokorelirana,adistribu-cijeuzastopnihopazanjasemijenjajukrozvrijeme. Potrebnojeizbjegavatibeskorisnoifatalnoprivlacnoiskusenjepretpostavkeonezavisnimijednakodistribuiranimopazanjima. Akopostoji sustavstvarnogsvijetauodnosunakoji semoguraditi usporedbe, potrebnojekoristiti Turingovtest. UTuringovomtestupitasestrucnjakezasustavrealnogsvijetadausporedenekoliko skupova podataka realnog svijeta i modela, bez da im se kaze koji sukoji. Ako ti strucnjaci vide razliku medu podacima realnog svijeta i modela,tehnikekojimatovidemoguseiskoristitizapoboljsanjemodela.7 TestiranjeosjetljivostiUkolikojetomoguce, vaznojetestirati razumnostizlaznihrezultatamod-elauodnosunastvarni svijet. Potrebnojeprovesti ispitivanjeosjetljivostiizlazasobziromnamalepromjeneuulazimaili njihovimstatistickimdis-tribucijama. Tada je potrebno ponovno ispitati prikladnost modela, posebnoako male promjene u ulazima ili njihovim statistickim distribucijama dovodedovelikihpromjenauizlazima. Nataj nacinmogucejeodrediti kljucneulazeiodnosenakojejepotrebnoobratitiposebnupaznjuudizajniranjuikoristenjumodela.Model trebatestirati dizajnirajuci odgovarajucesimulacijskeeksperimente.Modelsekroztajprocesmozeproniti.8 PriopcavanjerezultataZavrsni korak u procesu modeliranja je priopcavanje i dokumentiranje rezul-tatai samogmodeladrugima. Priopcavanje morauzeti uobzir znanje ipogledeciljanepublike. Ovdjejekljucnouvjeritiklijentadaprihvatimodelkao valjan i korisan alat u donosenju odluka. Vazno je da klijent u potpunostiuvidibilokojaogranicenjanaupotebuivaljanostmodela.Poglavlje1,stranica8 c FacultyandInstituteofActuaries2000 Stohastickiprocesi Predmet103POGLAVLJE2-STOHASTICKIPROCESINastavni ciljevi: (ii) Opisati opce principe stohastickihprocesai njihovuklasikacijunarazlicitetipove.1. Opcenitodeniratistohastickiproces.2. Klasiciratistohastickiprocesprematomedali:(a) imadiskretnoilineprekidnovrijeme(b) imaneprekidanilidiskretanprostorstanja(c) jemjesovitogtipaidatiprimjeresvakogtipaprocesa.3. Opisatimoguceprimjenemjesovitihprocesa.4. Objasniti sto znaci Markovljevo svojstvo u kontekstu stohastickog procesa.5. Opisati konceptemartingala, ltracijei vremenazaustavljanjaprim-jenjenihnastohastickeprocese.1 UvodStohasticki proces je model slucajne pojave ovisne o vremenu. Kaostoslucajna varijabla opisuje staticku slucajnu pojavu, tako je stohasticki procesfamilijaslucajnihvarijabli Xt, jednazasvakovrijemetunekomskupuJ.SkupSukojemslucajnevarijableXtpoprimajuvrijednostizoveseprostorstanjaprocesa.Prvi izborskojimsesuocavamouodabirustohastickogprocesakoji mod-elirastvarnizivotjepriroda(diskretnailineprekidna)vremenskogskupaJiprostorastanjaS.Primjer 1.1: Diskretanprostor stanjas diskretnimpromjenamavremenaDrustvozaosiguranjemotornihvozilagodisnjeispitujestatussvojihosig-uranika. Mogucesutri razinepopusta(0, 25%, 40%)ovisnoonesrecamavozaca. Uovomslucajuodgovarajuci prostor stanjajeS= {0, 25, 40}, avremenski skupje J = {0, 1, 2, . . . }gdje svaki interval predstavljajednugodinu. Ovajproblemproucavaseupoglavlju3.c FacultyandInstituteofActuaries Poglavlje2,stranica1Predmet103 Stohastickiprocesi 2000Primjer1.2: DiskretanprostorstanjasneprekidnimvremenskimpromjenamaDrustvo za zivotno osiguranje klasicira svoje osiguranike na Zdrave, Bolesneili Mrtve. Stogaje prostor stanjaS = {Z, B, M}. Kaovremenski skupprirodno je odabrati J= [0, ) buduci da se bolest ili smrt mogu pojaviti ubilo kojem trenutku. S druge strane, moglo bi biti dovoljno brojati vrijeme udanima, te stoga koristiti J= {0, 1, 2, . . . }. Taj problem se detaljno proucavaupoglavlju4.Primjer1.3: NeprekidanprostorstanjaOdstetni zahtjevi nepredvidivih iznosa stizu do osigurateljnog drustva u nepred-vidivavremena. Drustvotrebapredvidjeti kumulativnustetukroz[0, t] zaprocjenurizikadanecemoci ispuniti svojeobaveze. Zaovajproblemstan-dardni jeobicaj koristiti [0, )i zaSi zaJ(vidi 3.8uovompoglavljuipoglavlje6). Medutim,idrugiizborisumoguci: stetenastajuujedinicamaodjednelipei ustvari necinekontinuum. Slicno, vrijemenastankasteteunutarjednogdanajebeznacajno,takodaje {0, 1, 2, . . . }mogucizborzaJi/iliS.Primjer1.4: ProcesimjesovitogtipaCinjenicadasestohastickiprocesdogadauneprekidnomvremenuneznacidanemozepromijeniti vrijednost uunaprijedodredenimdiskretnimvre-menskimtrenucima. Takviprocesizovuseprocesimamjesovitogtipa. Kaoprimjer razmotrimo mirovinsku shemu u kojoj clanovi imaju opciju umirovl-jenjanasvaki rodendanizmedudobi 60i 65. Broj ljudi koji ceodabratiprijevremenoumirovljenjenemozesetocnopredvidjeti, kaoniti vrijemeibroj smrti aktivnihclanova. Stogase broj prinosnikamirovinskoj shemimozemodelirati kaostohasticki procesmjesovitogtipasprostoromstanjaS= {1, 2, 3, . . . }ivremenskimintervalomJ=[0, ). Smanjenjaslucajnihiznosadogoditceseuksnimtrenucimazbogprijevremenogumirovljenja,kaoiuslucajnimtrenucimazbogsmrti.Upravilu,mozeserecidasustohastickiprocesisneprekidnimvremenomineprekidnim prostorom stanja, iako konceptualno tezi nego diskretni procesi,u krajnjoj mjeri eksibilniji (na isti nacin kao sto je jednostavnije izracunatiintegralnegosumiratibeskonacnired).Poglavlje2,stranica2 c FacultyandInstituteofActuaries2000 Stohastickiprocesi Predmet1032 Deniranjestohastickogprocesa2.1 PutoviNakonodabiravremenskogskupai skupastanja, preostajedenirati i samproces {Xt, t J}. To znaci specicirati zajednicku distribuciju od Xt1, Xt2,. . . , Xtnzasvet1, t2, . . . , tnuJisveprirodnebrojeven. Tose ciniuzasnimzadatkom. U praksi, to se skoro uvijek radi indirektno, pomocu jednostavnogprijelaznogpostupka(vidi2.3isekciju3).Zajednickarealizacijaslucajnihvarijabli Xtzasve t uJ zove se put (ilitrajektorija, engl. samplepath)procesa. TojefunkcijaizJuS. Svojstvaputova procesa moraju odgovarati onima uocenim u stvarnom zivotu (baremustatistickomsmislu). Utomslucajumodelsesmatrauspjesnimimozesekoristiti za predvidanje. Bitno je da model reproducira baremsiroka obiljezjaproblemaiz realnogzivota. Najvaznijaodtihrazmatrajuse usljedecimpodsekcijama.2.2 StacionarnostStohasticki proces je stacionaran ako Xt1, Xt2, . . . , Xtn i Xt+t1, Xt+t2, . . . , Xt+tnimaju jednake distribucije za sve t, t1, t2, . . . , tnu Ji za sve prirodne brojeven. Toznaci dastatistickasvojstvaprocesaostajunepromijenjenakakovri-jemeprolazi. Uprimjeru1.2sigurnonebismokoristili stacionaranproces,buducidavjerojatnostbitizivuvremenuod10godinatrebaovisitiodobiosobe.Stacionarnost je strogi zahtjevkoji moze biti teskoprovjeriti ustvarnomzivotu. Zbogtogasetakoder upotrebljavai drugi uvjet poznat kaoslabastacionarnost. Tuse zahtijevadaocekivanje procesam(t) =E[Xt] budekonstantno,tedakovarijancaprocesaC(s, t)= E[XsXt] E[Xs]E[Xt]ovisisamoovremenskojrazlicit s.2.3 PrirastiPrirasti procesa, denirani kao Xt+uXt(u > 0), cesto imaju jednostavnijasvojstvanegosamproces.Primjer2.1:Neka Stoznacava cijenu neke dionice. Razumno je pretpostaviti da distribu-cijapovratakrozperiodtrajanjau, St+u/Stovisi ou, ali neot. Premac FacultyandInstituteofActuaries Poglavlje2,stranica3Predmet103 Stohastickiprocesi 2000tome ce proces logaritama cijena Xt=log Stimati stacionarne prirasteXt+u Xt=log(St+u/St), iakojemalovjerojatnodacesamXtbiti sta-cionaran.KazesedaprocesXtimanezavisneprirasteakosuzasvaki u>0prirastiXt+uXtnezavisniodproslostiprocesa {Xs, 0 s t}.Uprimjeru2.1pretpostavkadaXt=log Stimanezavisneprirasteoblikjehipotezeoekasnomtrzistu. Primjer1.3takodersemozemodeliratiproce-somsastacionarnimprirastima. Mnogiprocesisedenirajupomocusvojihprirasta,vidisekciju3.2.4 MarkovljevosvojstvoVelikojepojednostavljanjeakosebuduci razvoj procesamozepredvidjetisamo pomocu trenutnog stanja, bez pozivanja na proslost. To se zove Markovl-jevosvojstvoipreciznoznacisljedece:P[Xt A| Xs1= x1, Xs2= x2, . . . , Xsn= xn, Xs= x] = P[Xt A| Xs= x]za sva vremena s1< s2< . . . sn< s < t, i sva stanja x1, x2, . . . , xn, x u S i svepodskupove A od S. Primjer 1.2 moze se modelirati Markovljevim svojstvom:akododedopotpunogoporavkaizbolesnogstanjauzdravostanje,povijestbolestinebitrebalaimatiutjecajanabuducezdravstvenostanje.Rezultat1ProcessnezavisnimprirastimaimaMarkovljevosvojstvo.DokazP[Xt A|Xs1= x1, Xs2= x2, . . . , Xsn= xn, Xs= x]= P[XtXs +x A|Xs1= x1, Xs2= x2, . . . , Xsn= xn, Xs= x]= P[XtXs +x A|Xs= x] = P[Xt A|Xs= x]Markovljevproces s diskretnimprostoromstanja i diskretnimvremenomnazivase Markovljevimlancem. Njihcemoproucavati upoglavlju3. Uslucaju diskretnog prostora stanja, ali neprekidnog vremenskog skupa upotre-bljava se pojam Markovljev proces skokova. Njih cemo proucavati u poglavlju4. Konacno, neki Markovljevi procesi s neprekidnim vremenom i neprekidnimskupomstanjarazmatrajuseupoglavlju6.Koristeci pripreme iz ove sekcije nizom primjera mozemo pokazati kako deni-ratistohastickiproces.Poglavlje2,stranica4 c FacultyandInstituteofActuaries2000 Stohastickiprocesi Predmet1033 Primjeri3.1 BijelisumPromotrimo niz nezavisnih slucajnih varijabli X0, X1, . . . , Xn, . . . (sve deni-ranenaistoj vjerojatnosnoj trojci). Tojediskretno-vremenski stohastickiproces. Markovljevo svojstvo je trivijalno zadovoljeno. Proces je stacionaranako sve slucajne varijable Xn imaju istu distribuciju. Takvi nizovi nezavisnihjednakodistribuiranih(ukratkonjd)slucajnihvarijabli seponekadopisujukao diskretno-vremenski bijeli sum(engl. white noise). Uglavnom se upotre-bljavajukaopocetnatockazakonstrukcijuzamrsenijihprocesa.3.2 OpcaslucajnasetnjaZapocnimosnizomnjdslucajnihvarijabli Y1, . . . , Yj, . . . kaogorei deni-rajmoprocesXn=

nj=1YjspocetnimuvjetomX0=0. Tojeprocessastacionarnin nezavisnim prirastima, te stoga Markovljev proces s diskretnimvremenom. Procesnijestacionaran, cakniti slabo. Uspecijalnomslucajukada koraci Yj setnje primaju samo vrijednosti +1 i 1, proces je poznat kaojednostavnaslucajna setnja.3.3 PokretnesredineZapocnimosnizomnjdslucajnihvarijabli Yj, j = p, p + 1, . . . , i p + 1realnihbrojeva0, 1, 2, . . . , p. Pokretnasredinaredap(engl. movingaverageoforderp)sedenirakaoXn=p

j=0jYnj, n 0 .Tojestacionaranproces. OpcenitonijeMarkovljevproces(caknitikadajep = 1).3.4 PoissonovprocesPoissonov proces s parametrom(engl. Poissonprocess withrate ) jeneprekidno-vremenskiprocesNt,t 0,sasljedecimsvojstvima:(i) N0= 0c FacultyandInstituteofActuaries Poglavlje2,stranica5Predmet103 Stohastickiprocesi 2000(ii) Ntimanezavisnepriraste(iii) NtimaPoissonovskidistribuiranestacionarneprirasteP[NtNs= n] =[(t s)]ne(ts)n!, s < t .To je Markovljev proces skokova sa skupom stanja N0= {0, 1, 2, . . . }. Procesnije stacionaran, cak niti slabo. Taj proces ima fundamentalno znacenje kodbrojanjaukupnogbrojapojavljivanjanekogdogadajakroz[0, t],bezobziranaprirodudogadaja(automobilskanesreca,stetazaosigurateljnodrustvo,dolazak musterija na servis, ...). Detaljno proucavanje tog procesa i njegovihprosirenjapredmetjepoglavlja4.3.5 SlozeniPoissonovprocesZapocnimosPoissonovimprocesomNt, t 0, i nizomnjdslucajnihvari-jabli Yj, j 1(svedeniranonaistomvjerojatnosnomprostoru). SlozeniPoissonovproces(engl. compundPoissonprocess)jedenirankaoXt=Nt

j=1Yj, t 0 .Taj proces ima nezavisne priraste, te stoga vrijedi Markovljevo svojstvo. Sluzikaomodelukupnogiznosa stetazaosigurateljnodrustvozavrijemeperioda[0, t]. Ntjeukupanbroj odstetnihzahtjevakrozperiod, aYjjeiznos j-testete. Osnovni problemklasicneteorijerizika jeprocjenavjerojatnostinesolventnosti(u) = P[u +ct Xt< 0 zanekot > 0]zadani pocetni kapital u, stopupremijeci nekuksnudistribucijusteta.Tajproblemseproucavaupoglavlju6.3.6 BrownovogibanjeBrownovogibanje(poznatotakoderi kaoWienerovproces)jeneprekidno-vremenskiprocesBt,t 0,snezavisnimstacionarnimGaussovskimpriras-tima.Poglavlje2,stranica6 c FacultyandInstituteofActuaries2000 Stohastickiprocesi Predmet103Uocite kakoje strukturadenicije povezanas onomzaPoissonovproces.Brownovogibanjeimaspecijalanstatusuteoriji vjerojatnosti. Natemeljucentralnog granicnog teorema, Btje neprekidno-vremenski limes siroke klasediskretno-vremenskihprocesa,vidipoglavlje6.4 MartingaliivremenazaustavljanjaUzMarkovljeveprocese, postoji jos jednaopcaklasapodloznadetaljnomistrazivanju. To su martingali. Njihova uloga u modernoj nancijskoj teorijinemozesepreuvelicati. Ustvari, cijelateorijaodredivanjacijenei zastite(engl. hedging) nancijskihizvedenica(engl. derivative) jeformuliranauterminimamartingala.Jednostavnim rijecima, martingal je stohasticki proces kod kojeg je trenutnavrijednostoptimalniprocjeniteljsvojebuducevrijednosti.Svojstvamartingalaoslanjajusenaprimjenuuvjetnogocekivanja.4.1 UvjetnoocekivanjeUvjetnoocekivanje E[X|Y ] deniranouPredmetu101mozeseprosiriti douvjetovanjapomocunekolikoslucajnihvarijabli dajuci E[X|Y1, Y2, . . . , Yn].ZadrzanojevaznosvojstvoE{E[X|Y1, Y2, . . . , Yn]} = E[X] .Vaznostuvjetnogocekivanjadolaziizsjedecegsvojstva:Rezultat2E[X|Y1, Y2, . . . , Yn] je optimalan procjenitelj od Xzasnovan na Y1, Y2, . . . , YnusmisludazasvakufunkcijuhvrijediE{(X E[X|Y1, Y2, . . . , Yn])2} E{(X h(Y1, Y2, . . . , Yn))2} .KriticankorakudokazutogrezultatajeRezultat3Zasvakufunkcijufvrijedisljedece:E{(X E[X|Y1, Y2, . . . , Yn])f(Y1, Y2, . . . , Yn)} = 0 .Ovadvarezultataimajujednostavnugeometrijskuinterpretaciju: mjerimovelicinuslucajnevarijableZracunajuci E[Z2]. Odgovarajuci skalarni pro-duktodXi Zje E[XZ]. Kadaskalarni produktiscezava, Xi Zmozemoc FacultyandInstituteofActuaries Poglavlje2,stranica7Predmet103 Stohastickiprocesi 2000smatrati ortogonalnima. TimjezikomRezultat3kazedaprocjenitelj imaminimalnugreskutocnokadajegreskaprocjeneX E[X|Y1, Y2, . . . , Yn]or-togonalnanasvaki dopustivi procjenitelj. Taj tiprezultataje poznat izelementarnegeometrije:prostorprocjeniteljadds$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$Xgggggggggggggggygg$$#X X E[X|Y1, . . . , Yn]E[X|Y1, . . . , Yn]Dokazrezultata3: UvjetovanjemnaY1, . . . , YndobivamoE{(X E[X|Y1, Y2, . . . , Yn])f(Y1, Y2, . . . , Yn)}= E{E[(X E[X|Y1, Y2, . . . , Yn])f(Y1, Y2, . . . , Yn) | Y1, Y2, . . . , Yn]}= E{f(Y1, Y2, . . . , Yn)(E[X|Y1, . . . , Yn] E[X|Y1, . . . , Yn])} = 0Dokazrezultata2:E[(X h(Y1, Y2, . . . , Yn))2]= E[(X E[X|Y1, . . . , Yn] +E[X|Y1, . . . , Yn] h(Y1, . . . , Yn))2]= E[(X E[X|Y1, . . . , Yn])2] + 2E[(X E[X|Y1, . . . , Yn])(E[X|Y1, . . . , Yn]) h(Y1, . . . , Yn)] +E[(E[X|Y1, . . . , Yn] h(Y1, . . . , Yn))2]Poglavlje2,stranica8 c FacultyandInstituteofActuaries2000 Stohastickiprocesi Predmet103Zakljucakslijediiz cinjenicedadrugi claniscezavapoRezultatu3,azadnjiclanjepozitivan.4.2 MartingalisdiskretnimvremenomDiskretno-vremenski stohasticki proces X0, X1, X2, . . . zove se martingal(engl.martingale),akojeE[|Xn|] < zasvenE[Xn|X0, X1, . . . , Xm] = Xmzasvem < n.Rijecima,sadasnjavrijednostXmmartingalajeoptimalniprocjeniteljsvojebuducevrijednostiXn.Ako je diskontirana cijena nacijske imovine martingal, investicija u tu imov-inuseopisujekaoneutralnapremariziku(engl. riskneutral).Opca slucajna setnja Xn=

nj=1Yjdenirana u 3.2 je martingal ako i samoakoje E[Yj] = 0.Odsvihsvojstavamartingala,najkorisnijejetakoderinajjednostavnije.Rezultat4: Martingal ima konstantno ocekivanje, tj.E[Xn] = E[X0] za sven.Dokaz: E[Xm] =E{E[Xn|X0, X1, . . . , Xm]}=E[Xn] zasvem 1/2 akojep = 1/2Dakle, kada je p 1/2 svako pozitivno stanje l biti ce dohvaceno u konacnomvremenu. Medutim, kada je p = 1/2 potrebno prosjecno vrijeme za bilo kojestanjebiti cebeskonacno.4.4 MartingalisneprekidnimvremenomDenicija martingala dana u 4.2 je preuska za mnoge primjene. Posebno, nijeprikladna za prosirenje na neprekidno vrijeme zbog poteskoca pri uvjetovanjunakontinuumslucajnihvarijabli. Slijediopisopcenitijegpristupauvjetnomocekivanjui martingalima. Sljedecestrukturesuutemeljimasvakogsto-hastickogprocesaXt:prostor elementarnihdogadaja: svaki elementarni dogadaj odredujeputXt().skupdogadaja F: toje familijapodskupovaodkojimase mozepridruzitivjerojatnost.zasvakovrijemet, manjafamilijadogadaja Ft F: tojeskuponihdogadajakojisupoznatiutrenutkut. Drugimrijecima, dogadajAjeu FtakoovisisamooXs,0 s t.c FacultyandInstituteofActuaries Poglavlje2,stranica11Predmet103 Stohastickiprocesi 2000Kakot raste, takorastei Ft: Ft Fu, t u. Uzevsi zajedno, familija(Ft)t0sezoveltracijapridruzenastohastickomprocesuXt, t 0. Onaopisujeinformacijudobivenupromatranjemprocesa.Nekeslucajnevarijablebiticepoznatedotrenutkat: KazemodajeYFt-izmjerivaakodogadaj {Y y}pripada Ftzasvakuvrijednosty.Stohasticki proces Yt, t 0, sezoveadaptiranltraciji Ft, akojeYt Ft-izmjeriva za sve t. Ako je Ftltracija generirana s Xt, tada je svaka funkcijaodXtadaptiranana Ft.Dabismoformulirali nasunovudenicijuuvjetnogocekivanja, jednostavnoinzistiramonakljucnimsvojstvimarezultata2i3:uvjetnoocekivanje E[X|Ft] je po deniciji optimalni procjenitelj od Xmedusvim Ft-izmjerivimslucajnimvarijablamaskonacnimocekivanjem. Ekviva-lentno,E{(X E[X|Ft])Y } = 0zasve Ft-izmjeriveograniceneslucajnevarijableY .Sljedeca kljucna svojstva uvjetnog ocekivanja su relativno jednostavne posljedicegornjegeometrijskedenicije:Rezultat6(i) E{E[X|Ft]} = E[X](ii) AkojeX Ft-izmjeriva,tadaje E[X|Ft] = X(iii) AkojeYFt-izmjerivaiogranicena,tadajeE[XY |Ft] = Y E[X|Ft](iv) AkojeXnezavisnas Ft,tadaje E[X|Ft] = E[X].Uovomokruzju,martingaljestohastickiprocestakavdavrijedi:E[|Xt|] < E[Xt|Fs] = Xszasves < t.Koristeci nezavisnost prirasta, moze se dokazati da je Brownovo gibanje mar-tingal. Takoder, ako je NtPoissonov proces s parametrom , tada je Nttmartingal. Uocite da proces moze biti martingal u odnosu na ltraciju gener-iranudrugimprocesom: naprimjer, akojeBtBrownovogibanje, B2t tjemartingaluodnosunaltracijugeneriranusBt,t 0.Poglavlje2,stranica12 c FacultyandInstituteofActuaries2000 Stohastickiprocesi Predmet103Uovomkontekstu, vrijemezaustavljanjauodnosunaltraciju(Ft)t0jepozitivna slucajna varijabla Ttakva da dogadaj (T t) pripada Ftza svakit 0.c FacultyandInstituteofActuaries Poglavlje2,stranica132000 Markovljevilanci Predmet103POGLAVLJE3-MARKOVLJEVILANCINastavniciljevi: (iii)DeniratiiprimjenitiMarkovljevlanac.1. NavestiosnovnaobiljezjamodelaMarkovljevoglanca.2. NavestirelacijekojepredstavljajuMarkovljevlanac.3. Izracunati stacionarnudistribucijuMarkovljevog lanca unajjednos-tavnijimslucajevima.4. Opisati sustav iskustvenog utvrdivanja premija zasnovanog na frekven-cijamauterminimaMarkovljevoglanca, i opisati drugejednostavneprimjene.1 Chapman-KolmogorovljevejednadzbePrisjetimo se iz poglavlja 2 da je terminMarkovljev lanac rezerviranzadiskretno-vremenski Markovljevprocesskonacnimili prebrojivimskupomstanja S. Prema tome, Markovljev lanac je niz slucajnih varijabli X0, X1, . . . ,Xn, . . . sasljedecimsvojstvom:P[Xn= j|X0= i0, X1= i1, . . . , Xm1= im1, Xm= i] = P[Xn= j|Xm= i](1)zasvacjelobrojnavremenan > misvastanjai0, i1, . . . , im1, i, juS.Markovljevo svojstvo(1) ima sljedecu interpretaciju: uz dano sadasnje stanjeprocesaXm= i,dodatnoznanjeproslostiirelevantnojezaizracunvjerojat-nosnedistribucijebuducihvrijednostiprocesa.Uvjetne vjerojatnosti na desnoj strani od (1) kljucni su objekti za opisMarkovljevoglanca. Zovemoihprijelaznevjerojatnosti ioznacavamoihsP[Xn= j|Xm= i] = p(m,n)ij.Onezadovoljavajusustavjednazbi:Rezultat1:Prijelazne vjerojatnosti Markovljevog lanca s diskretnim vremenom zadovol-javajuChapman-Kolmogorovljevejednadzbe:p(m,n)ij=

kSp(m,l)ikp(l,n)kjc FacultyandInstituteofActuaries Poglavlje3,stranica1Predmet103 Markovljevilanci 2000zasvastanjai, juSisvacjelobrojnavremenam < l < n.Dokaz:ZasnivasenaMarkovljevomsvojstvu(1)i zakonupotpunevjerojatnosti uuvjetnomobliku:akoA1, A2, . . . , Ak, . . . tvorepotpunsustav(disjunktnih)dogadaja,tj.k=1Ak= , Ak Aj= , k = j ,tadazasvakadvadogadajaB,C:P[B|C] =

k=1P[B|C, Ak] P[Ak|C] .StogaP[Xn= j|Xm= i] =

kSP[Xn= j|Xm= i, Xl= k] P[Xl= k|Xm= i]=

kSP[Xn= j|Xl= k] P[Xl= k|Xm= i]koristeciMarkovljevosvojstvo(uocitel > m).Tojetrazenirezultat.Chapman-Kolmogorovljevejednadzbeomogucujunamdaizracunamoopceprijelazne vjerojatnosti pomocu jednokoracnih prijelaznih vjerojatnostip(n,n+1)ij.Zato je distribucija Markovljevog lanca potpuno odrdena cim je speciciranosljedece:Jednokoracneprijelaznevjerojatnostip(n,n+1)ijPocetnavjerojatnosnadistribucijaqj= P[X0= j].Zaista,iztogamozemoizvestidistribucijusvakogputa:P[X0= i0, X1= i1, . . . , Xn= in] = qi0p(0,1)i0i1p(1,2)i1i2 p(n1,n)in1in.Stoga je pogodno, kadgodje moguce, odrediti stanja na nacinda tvoreMarkovljevlanac. Toilustriraprimjer3.2.Poglavlje3,stranica2 c FacultyandInstituteofActuaries2000 Markovljevilanci Predmet1032 VremenskihomogeniMarkovljevilanciDo pojednostavljenja dolazi ako su jednokoracne prijelazne vjerojatnosti neo-visneovremenu:p(n,n+1)ij= pij(2)U tom slucaju kazemo da je Markovljev lanac vremenski homogen. To ce bitistalnapretpostavkaupreostalomdijelupoglavlja.Iz(2)laganoslijedidaopceprijelaznevjerojatnostiovidesamoorazlikamavremena:P[Xl+m= j|Xm= i] = p(l)ij. (3)O(3)govorimokaool-koracnimprijelaznimvjerojatnostima. ZavremenskihomogenMarkovljevlanacChapman-Kolmogorovljevejednadzbeglasep(nm)ij=

kSp(lm)ikp(nl)kjzam < l < nstoimavrlojednostavnuinterpretaciju: denirajmoprijelaznumatricuPpomocuPij= pij .Tadase l-koracne prijelazne vjerojatnosti p(n,n+l)ijmogudobiti racunajuci(i, j)-tomjestol-tepotencijematriceP:p(l)ij= Plij .Prijelazna matrica Pje kvadratna N Nmatrica gdje je Nbroj stanja u S(mogucebeskonacan).Uvjet normalizacije

jS pij=1vrijedi zasvaki i, tj. zbroj elemenatasvakogredaodPmoradatijedan. Opcenitije,

jS p(l)ij= 1zasvei.Cestojekorisnonacrtatiprijelaznigraf Markovljevoglanca: nacrtasestre-licaiziujkadgodjepij> 0, stooznacavadajemogucdirektanprijelazizstanjaiustanjej. Vrijednostodpijmozeseoznacitiiznadstrelice.3 Primjeri3.1 JednostavanmodelsustavabonusaSustavbonusa(engl. NoClaimDiscount system) uosiguranjumotornihvozila, po kojem premija ovisi o vozacevim proslim odstetnim zahtjevima, os-c FacultyandInstituteofActuaries Poglavlje3,stranica3Predmet103 Markovljevilanci 2000novna je primjena Markovljevih lanaca. Izlozit cemo dva jednostavna modelaipredlozitimogucapoboljsanja.Drustvozaosiguranjemotornihvozilasvojimosiguranicimaili nedajepo-pust(stanje0), ilidaje25%popusta(stanje1), ili50%popusta(stanje2).Godina bez odstetnog zahtjeva rezultira prijelazom u vise stanje sljedece go-dine (ili zadrzavanjem maksimalnog bonusa). Slicno, godina s jednim ili viseodstetnih zahtjeva prouzrokuje prijelaz u sljedece nize stanje (ili zadrzavanjestatusabezpopusta).Uztapravila,statuspopustaosiguranikatvoriMarkovljevlanacsaskupomstanja {0, 1, 2}. Akojevjerojatnostgodinebezodstetnihzahtjevajednaka3/4,prijelaznigrafiprijelaznamatricasu&%'$Brrrr1/4E3/40&%'$'1/41&%'$ %rrr r3/4E3/4'1/42P=1/4 3/4 01/4 0 3/40 1/4 3/4.Vjerojatnostmaksimalnogpopustaugodini n + 3akojepoznatodanemanikakvogpopustaugodininjep(3)02= P302= 9/16 .3.2 DrugimodelzasustavbonusaModicirajmoprethodni model nasljedeci nacin: Sadaimamocetiri nivoapopusta;0: bezpopusta1: 25%popusta2: 40%popusta3: 60%popustaPoglavlje3,stranica4 c FacultyandInstituteofActuaries2000 Markovljevilanci Predmet103Pravila za kretanje po ljestvici popusta su kao i prije, ali u slucaju odstetnogzahtjevautekucojgodini, statuspopustakrecesenadoljejedanili dvako-raka,ovisnootomedalije prethodnagodinabilabezodstetnogzahtjevailine.Uztapravila, statuspopustaXnosiguranikanecini MarkovljevlanacnaS= {0, 1, 2, 3},jerP[Xn+1= 0|Xn= 2, Xn1= 1] = 0 ,dokjeP[Xn+1= 0|Xn= 2, Xn1= 3] > 0 .ZakonstrukcijuMarkovljevoglancaYn,n = 0, 1, 2, . . . ,potrebnojeugraditiinformacijuoproteklojgodiniuskupstanja. Ustvari,tojepotrebnosamozastanje2,kojedijelimona:2+: 40%popustaibezodstetnogzahtjevaprethodnegodine2-: 40%popustaiodstetnizahtjevprethodnegodine.Pretpostavljajuci kao i prije da je vjerojatnost godine bez odstetnog zahtjevajednaka 3/4, imamo Markovljev lanac na prostoru stanja S

= {0, 1, 2+, 2, 3}sprijelaznimgrafomiprijelaznommatricom&%'$Brrrr1/4E3/40&%'$'1/41&%'$E3/4 %rrr r3/4E3/4'1/42+&%'$

1/43&%'$21/4T3/4Tc FacultyandInstituteofActuaries Poglavlje3,stranica5Predmet103 Markovljevilanci 2000P=1/4 3/4 0 0 01/4 0 3/4 0 00 1/4 0 0 3/41/4 0 0 0 3/40 0 0 1/4 3/4.Vjerojatnost60%popustaugodinin + 3uzdanpopustod25%ugodininjep(3)13= P313= 27/64 .Ovajosnovnimodeljepodlozanbrojnimpoboljsanjima. Naprimjer,vjero-jatnost nesrecemozeovisiti ostatusupopusta, nataj nacinodrazavajuciutjecajstatusanavjerojatnostnesrece. Takoder,vjerojatnostnesrecemozeovisitiovremenuodrazavajucipromjeneuprometnimuvjetima. Tovodidovremenskinehomogenihlanaca.3.3 JednostavnaslucajnasetnjanaZ = {. . . , 2, 1, 0, 1, 2, . . . }TojedeniranokaoXn=Y1 + Y2 + + YngdjesuslucajnevarijableYj(koraci setnje)nezavisnesazajednickomvjerojatnosnomdistribucijom:P[Yj= 1] = p, P[Yj= 1] = 1 p .VrijediMarkovljevosvojstvo:P[Xn= j|X1= i1, . . . , Xm1= im1, Xm= i]= P[Xm + Ym+1 + + Yn= j|X1= i1, . . . , Xm1= im1, Xm= i]= P[Ym+1 + + Yn= j i] = P[Xn= j|Xm= i]Prijelaznigrafiprijelaznamatricasubeskonacni:. . .&%'$Ep'1 pEp'1 pEp'1 pEp'1 p2&%'$1&%'$0&%'$1&%'$2. . .Poglavlje3,stranica6 c FacultyandInstituteofActuaries2000 Markovljevilanci Predmet103P=......... 0 p1 p 0 p.........1 p 0 p1 p 0.........Prijelaznevjerojatnostizankorakamoguseizracunatikaop(n)ij=

nn+ji2

pn+ji2(1 p)n+ij2akoje0 n + j i 2nin + j iparan0 inaceZa izvod te formule bolje je zakljucivati vjerojatnosno nego racunati Pn: pri-jelaz iz i u j u n koraka ekvivalentan je m+pozitivnih koraka i m negativnihkorakauzm+m= j i, m++ m= n.Uocitedajejednostavnaslucajna setnja,uzto stojevremenskihomogena,takoderiprostornohomogena:p(n)ij= p(n)i+r j+r .3.4 Jednostavnaslucajnasetnjana {0, 1, 2, . . . , b}To je slicno prethodnom primjeru, uz razliku da moramo specicirati granicneuvjete u0i b. Oni ceovisiti ointerpretaciji danoj lancu.Cestokoristenigranicniuvjetiukljucuju:Reektirajucagranica: P[Xn+1= 1|Xn= 0] = 1Apsorbirajucagranica: P[Xn+1= 0|Xn= 0] = 1Mjesovitagranica: P[Xn+1=0|Xn=0]=, P[Xn+1=1|Xn=0]=1 Slucajna setnjasapsorbirajucomgranicomu0i bmozesekoristiti zaopiskockarevog bogatstva: b je njegovo zeljeno bogatstvo, a 0 predstavlja propast.Uobaslucaja,dostizanjegraniceznaciostajanjetamozauvijek.Smjesovitimgranicnimuvjetimaprijelaznigrafjec FacultyandInstituteofActuaries Poglavlje3,stranica7Predmet103 Markovljevilanci 2000

E1 '1 p0Brrr

Ep'1 p1

2. . .

Ep'1 pj 1

Ep'1 pj

j + 1. . .

Ep'1 pb 2

Ep'1 b 1

brrr%aprijelaznamatricaP= 1 1 p 0 p1 p 0 p.........1 p 0 p1 Uvjeti sreektirajucom, odnosnoapsorbirajucom, granicomdobijusekaospecijalni slucajevi uzimajuci i jednakim 0, odnosno 1. Jednostavni mod-elasustavabonusaizprimjera3.1jejosjedanprakticanprimjerograniceneslucajne setnje.3.5 ModelsklonostinesrecamaZa danog vozaca, u svakom periodu jili nema nesrece (Yj= 0), ili se dogodinesreca(Yj=1). Vjerojatnostnesreceusljedecemperioduprocjenjujesekoristeci vozaceve dosadasnje podatke kako slijedi (sve varijable yjsu ili 0 ili1):P[Yn+1= 1|Y1= y1, Y2= y2, . . . , Yn= yn] =f(y1 + y2 + + yn)g(n)gdje su f, gdvije dane rastuce funkcije koje zadovoljavaju 0 f(m) g(m).Naravno,P[Yn+1= 0|Y1= y1, Y2= y2, . . . , Yn= yn] = 1 f(y1 + y2 + + yn)g(n).Ovisnost o dosadasnjim podacima znaci da Y1, Y2, . . . , Yn, . . . nemaMarkovl-jevosvojstvo. Medutim,ukupanbrojvozacevihnesreca,Xn=n

j=1YjPoglavlje3,stranica8 c FacultyandInstituteofActuaries2000 Markovljevilanci Predmet103jeMarkovljevlanacsprostoromstanjaS= {0, 1, 2, . . . }. Tojezato,jerP[Xn+1= 1 + xn|X1= x1, X2= x2, . . . , Xn= xn]= P[Yn+1= 1|Y1= x1, Y2= x2x1, . . . , Yn= xnxn1]=f(xn)g(n)Uocitedajelanacvremenskihomogensamoakojeg(n)konstantno.4 AsimptotskavjerojatnosnadistribucijaMarkovljevoglanca4.1 StacionarnavjerojatnosnadistribucijaKazemo da je j, j S, stacionarna vjerojatnosna distribucijaza MarkovljevlanacsprijelaznommatricomP,akovrijedesljedeciuvjetizasvej S:j=

iSipij(4)j 0

jSj= 1Uocitedase(4)mozezapisati ukompaktnomobliku=Pgdjesenagledakaonavektorredak.Interpretacijaod(4)jedaakouzmemokaonasupocetnuvjerojatnosnudistribuciju, to jest P[X0= i] = i, tada je distribucija u trenutku 1 ponovnodanas:P[X1= j] =

iSP[X1= j|X0= i] P[X0= i] =

iSpiji= j .Istovrijedi zasvavremenan 1, takodajeinvarijantnavjerojatnosnadistribucija. Ustvari,lanacjetadastacionaranprocesusmislupoglavlja2.Opcenito, Markovljevlanacnemoraimati stacionarnudistribuciju, teakoonapostoji nemorabiti jedinstvena. Naprimjer, nepostoji stacionarnadistribucijazaprimjer3.3, dokuprimjeru3.4jedinstvenostovisi ovrijed-nostimai. Kadajeprostorstanjakonacan,situacijajejednostavna.c FacultyandInstituteofActuaries Poglavlje3,stranica9Predmet103 Markovljevilanci 2000Rezultat2:Markovljev lanac s konacnim prostorom stanja ima barem jednu stacionarnudistribuciju.Dokazovogrezultataizlazivanokvirapredavanja.Kao primjer, izracunajmo stacionarnu distribuciju za model bonusa iz prim-jera3.2. Jednadzbe(4)glase:0=140 +141 +1421=340 +142+2+=341(5)2=1433=342+ +342 +343Ovajlinearnisustavnijelinearnonezavisan,buducidazbrajanjemsvihjed-nadzbi dolazimodoidentiteta(tojeopceobiljezjejednadzbi =Pzbogsvojstva

jS pij= 1).Zbogtogamozemoodbacitibilokojuodjednadzbi,recimoposljednju.Uocite takoder daje zboglinearnost svaki umnozakrjesenjaod(5) opetrjesenje. Jedinstvenostproizlaziiznormalizacije

jS j= 1. Zbogtogajedobrapraksanaci rjesenjezakomponenteoduterminimajedneodnjih(recimo1ovdje), okojojcemogovoriti kaooradnoj varijabli. Vrijednostradnevarijableodredujeseuzadnjemkorakuiznormalizacije.Sazmimosadametoduiiskoristimojenagornjemprimjeru.Korak1: Odbacimojednuodjednadzbi. Ovdje su prva ili zadnjaocigledanizbor. Izabiremozadnju.Korak2: Odaberimojedanodj-tova kaoradnuvarijablu.Ovdjesu1, 2+, 2ili3razumniizbori. Izabiremo1.Korak3: Prepisemopreostalejednadzbepomocuradnevari-jable.30 2= 130+ 2+= 412+=34142 3= 0Poglavlje3,stranica10 c FacultyandInstituteofActuaries2000 Markovljevilanci Predmet103Korak4: Rijesimojednadzbepomocuradnevarijable.Opcenito to mozemo uciniti pomocu Gaussovskih eliminacija, ali ovdjesujednadzbetakojednostavnedaserjesenjamoguprocitati akoihgledamoupravomredoslijedu:2+=341, 0=14(4 34) =131212= 1(1 +134) =941, 3= 91.Korak5: Izracunamoradnuvarijablu. = 1(13/12, 1, 3/4, 9/4, 9)

jj=112(13 + 12 + 9 + 27 + 108) =169121= 11=12169Korak 6: Spojimo rezultate zadnja dva koraka i dobijemorjesenje.= (13169,12169,9169,27169, 108169) (6)Korak7: Ukolikozelimo, iskoristimoodbacenujednadzbuzaprovjerurezultata.108 = 3/4 9 + 3/4 27 + 3/4 108ili432 = 27 + 81 + 324(kaosto je prije objasnjeno, normalizacija ne igra nikakvuuloguusustavu(5)).Pitanjejedinstvenosti stacionarnedistribucijejedelikatnije. Mi cemoraz-matrati samoireducibilne lancedeniranesvojstvomdajesvakostanjejdostiznoiznekogdrugogstanjai. Drugimrijecima, lanacjeireducibilan,akozadani parstanjai, jpostojcijeli brojntakavdajep(n)ij>0. Otomsvojstvuseuobicajenomozedati sudvecizprijelaznoggrafa. Markovljevilanci izprimjera3.1, 3.2, 3.3suireducibilni. Takavjei 3.4osimuslucajuc FacultyandInstituteofActuaries Poglavlje3,stranica11Predmet103 Markovljevilanci 2000dajebilokojagranicaapsorbirajuca( = 1ili= 1). Takvaapsorbirajucastanjapojavljujuseumnogimsituacijama(npr. propast).Rezultat3:IreducibilanMarkovljevlanacs konacnimskupomstanjaimajedinstvenustacionarnudistribuciju.Dokazovogrezultataizlazivanokvirapredavanja.UobicajenojedaMarkovljevlanacsbeskonacnimskupomstanjanemasta-cionarnu distribuciju, cak i kada je ireducibilan. To je slucaj kod jednostavneslucajne setnjeuprimjeru3.3.4.2 AsimptotskoponasanjeMarkovljevoglancaPrirodnojeocekivati dadistribucijaMarkovljevoglancatezi premainvari-jantnoj distribuciji zavelikavremena. Tojerazlogzastojestacionarnadistribucijatolikovazna. Akonavedenakonvergencijavrijedi, p(n)ijcebitiblizujzaasimptotskivelikidiovremena.Izvjesni fenomeni doneklekomplicirajugornjusliku. Stanjeijeperiodicnosperiodomd>1akojepovratakui mogucsamoubrojukorakakoji jeumnozakodd(tj. p(n)ij= 0osimzan = mdzanekicijelibrojm). Samozaaperiodicnastanjapostojilimnp(n)ij.Koristeci prijelazni grafmozeseprovjeriti dasuuprimjerima3.1i 3.2svastanjaaperiodicna,dokuprimjeru3.3svastanjaimajuperiod2. Konacno,uprimjeru3.4svasustanjaaperiodicnaosimkadasuiiili0ili1.Vaznoje uociti dazaireducibilanMarkovljevlanac svastanjaimajuistiperiod(ilisusvaaperiodicna).Sadamozemoiznijeti rezultatokonvergenciji premastacionarnoj vjerojat-nosnojdistribuciji.Rezultat4:Neka je p(n)ijn-koracna prijelazna vjerojatnost ireducibilnog aperiodicnogMarkovljevog lanca na konacnom prostoru stanja. Tada je za sve i, j, limnp(n)ij=j,gdjejestacionarnavjerojatnosnadistribucija.Uocite da je gornji limes neovisan od pocetnog stanja i. Dokaz ovog rezultataizlazivanokvirapredavanja.Poglavlje3,stranica12 c FacultyandInstituteofActuaries2000 Markovljeviprocesiskokova Predmet103POGLAVLJE4-MARKOVLJEVIPROCESISKOKOVANastavniciljevi: (iv)DeniratiiprimjenitiMarkovljevproces.1. NavestiosnovnaobiljezjamodelaMarkovljevogprocesa.2. Denirati Poissonov proces, izvesti distribuciju broja dogadaja u danomvremenskom intervalu, izvesti distribuciju vremena izmedu dogadaja, iprimjenititerezultate.3. Izvesti KolmogorovljevejednadzbezaMarkovljevprocessvremenskineovisnim,tevremenskiidobnoovisnimprijelaznimintenzitetima.4. RijesitiKolmogorovljevejednadzbeujednostavnimslucajevima.5. Navesti diferencijske jednazbe koje se mogu koristiti za numericko rjesavanjeKolmogorovljevihjednadzbi.6. Navesti jednostavan numericki algoritam koji se moze koristiti za rjesavanjejednadzbiuslozenijimslucajevima.7. Opisati jednostavanmodel dozivljenja, model bolesti i model brakapomocuMarkovljevihprocesaiopisatidrugejednostavneprimjene.8. Navesti Kolmogorovljeve jednadzbe za model u kojem prijelazni inten-ziteti neovisesamoodobi i vremenu, vectakoderi oduljini boravkaujednomilivisestanja.9. OpisatimodelebolestiibrakapomocuMarkovljevihprocesaovisnihoduljiniboravkaiopisatijednostavneprimjene.1 KolmogorovljevejednadzbeMarkovljevproces Xt, t 0, s neprekidnimvremenomi diskretnim(tj.konacnim ili prebrojivim) skupom stanja S naziva se Markovljev proces skokova.NjegoveprijelaznevjerojatnostiPij(s, t) = P[Xt= j|Xs= i] (s t)c FacultyandInstituteofActuaries Poglavlje4,stranica1Predmet103 Markovljeviprocesiskokova 2000zadovoljavajuChapman-KolmogorovljevejednadzbePij(s, t) =

kSPik(s, u)Pkj(u, t) s < u < t . (1)To je neposredna posljedica Markovljevog svojstva, vidi poglavlje 3. OznacimolisaP(s, t)matricuselementimaPij(s, t),jednadzba(1)semozezapisatiP(s, t) = P(s, u)P(u, t) s < u < t . (2)Ukoliko znamo prijelaznumatricuP(s, t) i pocetnu distribuciju qi= P[X0=i], koristeci Markovljevo svojstvo mozemo naci opcenite vjerojatnosti za pro-cesXt. Naprimjer,za0 < t1< t2< < tnP[X0= i, Xt1= j1, Xt2= j2, . . . , Xtn= jn] = qipij1(0, t1)pj1j2(t1, t2) . . . pjn1jn(tn1, tn)iP[Xt1= j1, Xt2= j2, . . . , Xtn= jn] =

iSqipij1(0, t1)pj1j2(t1, t2) . . . pjn1jn(tn1, tn)Mi cemopretpostaviti dasufunkcije Pij(s, t) neprekidnodiferencijabilne.UocimolidajePij(s, s) = ij=_0 akojei = j1 akojei = j(3)topovlacipostojanjesljedecihfunkcijaij(s) =tPij(s, t)|t=s=limh0Pij(s, s + h) ijh. (4)Ekvivalentno,vrijedesljedecerelacijezah 0(h > 0):Pij(s, s + h) =_hij(s) + o(h) zai = j1 + hii(s) + o(h) zai = j(5)gdjetvrdnjadajef(h) = o(h)zah 0znacilimh0f(h)/h = 0.Interpretacija prvog retka u (5) je jednostavno da je vjerojatnost prijelaza iziujzavrijemekratkogvremenskogintervala[s, s + h]proporcionalnash.Stoga naziv prijelazni intenzitetza ij(s). Prijelazni intenziteti imaju funda-mentalno znacenje, buduci da u potpunosti odreduju distribuciju Markovlje-vihprocesaskokova. Dabismotovidjeli,derivirajmo(1)uodnosunat,testavimou = t:tPij(s, t) =

kSPik(s, t)kj(t) . (6)Poglavlje4,stranica2 c FacultyandInstituteofActuaries2000 Markovljeviprocesiskokova Predmet103To su Kolmogorovljeve jednadzbe unaprijed. One se mogu zapisati u kompak-tnomoblikukaotP(s, t) = P(s, t)A(t) (7)gdjejeA(t)matricaselementimaij(t).Uizvodenju(6)implicitnojepretpostavljenodajeprostorstanjakonacan.U tom slucaju, za sve ksne s, i, (6) je konacanlinearan sustav obicnihdifer-encijalnihjednadzbi (ustvari, varijablasi indeks i pojavljujusesamoupocetnomuvjetu(3)). Prematome, zadaneprijelazneintenziteteij(t),jednadzba(6)imajedinstvenorjesenjekompatibilnos(3). ZbogtograzlogaseMarkovljevi modeli redovitoformulirajujednostavnospeciciranjemnji-hovihprijelaznihintenzitetaij(t).Deriviranjem(2)sobziromnas,anet(istavljajuciu = s),mozemodobitiKolmogorovljevejednadzbeunatrag:sP(s, t) = A(s)P(s, t) . (8)U normalnim okolnostima, sustavi unaprijed i unatrag su ekvivalentni. Tojeposebnotakokadasuprijelazniintenzitetiogranicenisupi,j|ij(t)| < t 0 . (9)Medutim,kada (9) ne vrijedi,sustav unatrag ima fundamentalnije znacenje,vidiprimjer4.4.Uocimokonacnodaiz(5)slijedidajeij(s) 0,i = j,alijeii(s) 0. Ustvari, deriviranje identiteta

jS Pij(s, t) = 1 s obzirom na t u t = s povlaciii(s) =

j=iij(s) . (10)StogasvakiredakmatriceA(s)imazbrojnula.2 PoissonovprocesPromotrajmo Markovljev proces skokova sa skupom stanja S= {0, 1, 2, . . . }iprijelaznimintenzitetima:ij=_ zaj= i + 10 inaceReprezentacijapomocudijagramajec FacultyandInstituteofActuaries Poglavlje4,stranica3Predmet103 Markovljeviprocesiskokova 2000&%'$0

&%'$

1&%'$2. . .&%'$

i&%'$i + 1. . .amatricaAuKolmogorovljevimjednadzbamaje:A =______ 0

0 ______(11)NijenimaloocitodaseprocesdenirangorepodudarasPoissonovimpro-cesomkarakteriziranimupoglavlju2kaoprocessnezavisnimstacionarnimPoissonovski distribuiranimprirastima. Medutim, mozesedokazati dasudvijedenicijeekvivalentne.Poissonovprocesseuglavnomprimjenjujekaobrojeci proces: Xtmodelirabroj pojavljivanjanekogdogadaja(kaonaprimjer, automobilskihnesreca)kroz[0, t].Iz(11)dobivamojednadzbeunaprijed_P

i0(t) = Pi0(t)P

ij(t) = Pi j1(t) Pij(t), j> 0 .(12)Uz pocetan uvjet Pi0(0) = i0, prva jednadzba daje Pi0(t) = i0et. NadaljeracunamoP0j(t)zasvej. JednadzbuP

0j(t) = P0 j1(t) P0j(t) (13)rjesavamo metodomvarijacije konstanti. Buduci da je opce rjesenje ho-mogene jednadzbe P

0j(t) =P0j(t) jednako et, trazimo partikularnorjesenjeod(13)uoblikuj(t)et. Uvrstavanjetogau(13)dajejednadzbu

j(t) =j1(t) kojadopustarjesenje j(t) =(t)jj!. Prematome, opcerjesenjeod(13)jeP0j(t) =(t)jj!et+ et,Poglavlje4,stranica4 c FacultyandInstituteofActuaries2000 Markovljeviprocesiskokova Predmet103apocetniuvjetP0j(0) = 0jdaje = 0. NaistinacinmozesenaciPij(t) =_(t)ji(ji)! etzaj i0 zaj< i .(14)Dokaztogrezultataizlazivanokvirapredavanja.Sadamozemorazmatrati svojstvaprirastaprocesa. Prvastvarkojutrebaprimjetiti je da je proces, uz to sto je vremenski homogen, takoder prostornohomogen: Pij(t) = Pi+l j+l(t). KoristecitoiMarkovljevosvojstvo,imamozasves0< s1< < sn< s < t:P[XtXs= j|Xs0= i0, Xs1= i1, . . . , Xsn= in, Xs= i]= P[Xt= i + j|Xs= i] = Pi i+j(t s) = P0j(t s)=((t s))jj!e(ts).To dokazuje da su prirasti XtXsnezavisni od proslosti procesa (Xu, u s)i imajustacionarnuPoissonovudistribuciju. ZbogtogasenasMarkovljevproces skokova podudara s Poissonovim procesom deniranim u poglavlju 2.Buduci da se Poissonov proces Xtmijenja samo skokovima za jedan na gore,njegovi putovi su u potpunosti karakterizirani vremenima u kojima se skokovidogode. OznacimosT0, T1, T2, . . . uzastopnavremenaizmedudogadaja(ilivremenazadrzavanja).c FacultyandInstituteofActuaries Poglavlje4,stranica5Predmet103 Markovljeviprocesiskokova 2000T0T1T2t`Xt123Uocitedaizabiremo(pokonvenciji)dasuputovi odXtzdesnaneprekidnitakodajeXT0= 1, XT0+T1= 2, . . . .Laganojekarakterizirati vjerojatnosnudistribucijuvremenaTjkojePois-sonovprocesprovedeustanjujP[T0> t|X0= 0] = P[Xt= 0|X0= 0] = et.Prematome,T0imaeksponencijalnudistribucijusparametrom.Stovise,P[T1> t|X0= 0, T0= s] = P[Xt+s= 1|X0= 0, T0= s]= P[Xt+sXs= 0|X0= 0, T0= s] = P[Xt+sXs= 0]= P00(t) = et,gdjetrecajednakost odrazavanezavisnost prirastaXt+s Xsodproslostiprocesa(doi ukljucivsi vrijeme s). Gornji racundokazuje dvarezultataodjednom: T1 je nezavisno od T0 i ima jednaku distribuciju. Slicno, T0, T1, . . . , Tj, . . . ,je niz nezavisnih eksponencijalno distribuiranih slucajnih varijabli s parametrom.Poglavlje4,stranica6 c FacultyandInstituteofActuaries2000 Markovljeviprocesiskokova Predmet1033 StrukturaMarkovljevihprocesaskokovaIako mnoge aktuarske primjene ukljucuju prijelazne intenzitete ovisne o dobi,glavne ideje je najbolje uvesti u jednostavnom slucaju vremenskihomogenogprocesakodkojegjePij(s, t)=Pij(0, t s)=Pij(t s), tesukaorezultattogaprijelazniintenzitetiijneovisniovremenu.3.1 VremenskihomogenslucajEksponencijalni karakter vremena zadrzavanja Poissonovog procesa nije slucajan:svojstvozaboravaP[T> t + u|T> t] = P[T> u] (15)kojekarakteriziraeksponencijalnodistribuiraneslucajnevarijablejenuzanzahtjev za vremena zadrzavanja vremenski homogenog Markovljevog procesa.PromotrimoprvovrijemezadrzavanjaT0= inf{t : Xt = X0}.Rezultat1:Prvo vrijeme zadrzavanja vremenski homogenog Markovljevog procesa skokovas prijelaznim intenzitetima ijje eksponenciajlno distribuirano s parametromi= ii=

j=iij. Drugimrijecima,P[T0> t|X0= i] = eit.Dokaz:Dogadajem {T0> t} = {Xs= X0, 0 s t}jeteskorukovati,jerukljucujekontinuumvremena0 s t. Stoga cemogaaproksimiratidiskretizacijomvremena. DenirajmodogadajeBn= {Xlt/2n= X0, l = 1, 2, . . . , 2n} .SadamozemoracunatiP[Bn|X0= i] =_Pii(t2n)_2n=_1 + iit2n+ o(12n)_2n.AliuocitedajeB1 B2 Bn. . . ,te {T0> t} = m=1Bm,tezatoP[T0> t|X0= i] = P[m=1Bm|X0= i]= limnP[nm=1Bm|X0= i] =limnP[Bn|X0= i]= limn_1 + iit2n+ o(12n)_2n= eiit= eit.c FacultyandInstituteofActuaries Poglavlje4,stranica7Predmet103 Markovljeviprocesiskokova 2000Kod Poissonovog procesa vrijeme skokova je sve, ali opcenito moramo takoderkarakterizirati i stanje u koje proces skace. To je izuzetno jednostavno: skoksedogadaizX0= iuXT0= jsvjerojatnoscuproporcionalnomprijelaznomintenzitetuijistovise, XT0jenezavisnoodvremenazadrzavanjaT0. Dabismotovidjeli,promatrajmozaj = i:P[Xt+h= j, t < T0 t + h|X0= i] = P[Xt+h= j, T0> t|X0= i]= P[Xt+h= j|X0= i, T0> t] P[T0> t|X0= i]= P[Xt+h= j|Xs= i, 0 s t]eit= Pij(h)eit.Sadapodijelimosahi pustimoh 0: zajednickavjerojatnosnadistribu-cija/gustocaodXT0iT0jeuvjetnonaX0= ijednakaijeit.Drugim rijecima, ona je produkt gustoce vremena zadrzavanja ieiti ij/i.To dokazuje dva rezultat odjednom: vjerojatnost skoka iz stanja i u stanje jjeP[XT0= j|X0= i] =iji(j = i)i stovise,XT0jenezavisnosT0.Kao rezultat Markovljevog svojstva, slika je ista za uzastopne skokove: nakonsto je usao u neko stanje j, proces tamo ostaje eksponencijalno distribuiranovrijemesparametromj. Tadaskaceustanjeksvjerojatnoscujkj.Uocite daje srednje vrijeme zadrzavanjaustanjuj jednako1/j. Togasejevaznosjetiti kadaseprijelaznimintenzitetimapridruzujunumerickevrijednosti.3.2 NehomogenslucajPromatrajmosljedeci model dozivljenja: prijelaz iz stanjazivZustanjemrtavMdogadasesintenzitetom(t).&%'$&%'$ Z M(t)Poglavlje4,stranica8 c FacultyandInstituteofActuaries2000 Markovljeviprocesiskokova Predmet103Drugimrijecima,(t)jeintenzitetsmrtnosti.BuducidajeA(t) =_ (t) (t)0 0_,jednadzbeunaprijeddajutPZ Z(s, t) = (t)PZ Z(s, t) .RjesenjekojeodgovarapocetnomuvjetuPZ Z(s, s) = 1jePZ Z(s, t) = e

ts(x) dx. (16)Ekvivalentno, vjerojatnost da ce osoba dobi s prezivjeti daljni period duljinebaremwjewps= PZ Z(s, s + w) = e

s+ws(x) dx= e

w0(s+y) dy. (17)Formula(17) ilustrirapotrebuzavremenski ovisnimintenzitetimausm-rtnosti i mnogimdrugimaktuarskimmodelima: konstantabi doveladovjerojatnostidozivljenjawpsneovisneodobi, stojeapsurdanrezultat.U obliku u kojem je napisana, (17) je svojstvena specicnom modelu dozivljenjakoji promatramo. Medutim, ako se pravilno reinterpretira, to je samo primjeropceformule.Zaopceniti Markovljevproces skokovaXt, denirajmorezidualnovrijemezadrzavanjaRskao(slucajni)iznosvremenaizmedusisljedecegskoka:{Rs> w, Xs= i} = {Xu= i, s u s + w} .Formula (17) daje vjerojatnost da je Rs> w ako je dano stanjeZu trenutkus. Slijedeciistekorakekaoudokazurezultata1,opcenitosemozedokazatidajeP[Rs> w|Xs= i] = e

s+wsi(u) du. (18)Stovise,karakterizacijastanjaX(+)s= Xs+Rsukojeprocesskoci,slicnajehomogenomslucaju:P[X(+)s= j|Xs= i, Rs= w] =ij(s + w)i(s + w). (19)c FacultyandInstituteofActuaries Poglavlje4,stranica9Predmet103 Markovljeviprocesiskokova 2000Gornje nije samo zgodna slika ponasanja Markovljevog procesa skokova: to jetakoder jaki racunski alat. Zaista, uvjetovanjem na Rsi X(+)s, te koristenjemzakonapotpunevjerojatnosti,imamoPij(s, t) = P[Xt= j|Xs= i]=

l=i_ts0P[Xt= j|Xs= i, Rs= w, X(+)s= l]il(s + w)e

s+wsi(u) dudw=

l=i_ts0Plj(s + w, t)il(s + w)e

s+wsi(u) du. (20)To je integriranioblikjednadzbeunatrag, sto se moze provjeriti deriviranjempot. Formulamozeizgledatizastrasujuce,aliodgovaraintuiciji: buducidaje j = i, proces mora u nekom trenutku iskociti iz i. Po (18), prvi skok nakonvremenasdogodiseus + wsvjerojatnosnomgustocomi(s + w)e

s+wsi(u) du.Po(19)proces ceskocitiulkrozvremenskiperiod[s, s + w]svjerojatnostiij(s+w)i(s+w) . Preostajeizvesti prijelazizl uj krozpreostali vremenski period[s + w, t]: .. is s + wltjKada je i = j imamo dodatni clan e

tsi(u) du, jer proces moze ostati u stanjuikrozcijeliperiod[s, t].Akose umjestonaprvi skoknakons fokusiramonazadnji skokprije t,mozemodobitiintuitivniizvodintegriranogoblikajednadzbeunaprijed.Zai = jtoizgledaPij(s, t) =

k=j_ts0Pik(s, t w)kj(t w)e

ttw j(u) dudw. (21)si .. jt w tkPoglavlje4,stranica10 c FacultyandInstituteofActuaries2000 Markovljeviprocesiskokova Predmet103ZapotpunizvodtejednadzbetrebasepozvatinasvojstvatekucegvremenazadrzavanjaCt,naimevremenaizmeduzadnjegskokait:{Ct w, Xt= j} = {Xu= j, t w u t} .4 Primjene4.1 BolestismrtOpisimostanjaosobe kaozdrav, bolestanili mrtav. Zadane vre-menskiovisne (tj. dobno ovisne) prijelazne intenzitete,mozemo konstruiratiMarkovljevprocesskokovasaskupomstanja {Z, B, M}:&%'$M&%'$Z&%'$B

(t) (t)(t)(t)MatricaA(t)uKolmogorovljevimjednadzbamajeA(t) =__(t) (t) (t) (t)(t) (t) (t) (t)0 0 0__Specijalno,Z(t) = (t) + (t),B(t) = (t) + (t),M= 0.Najjednostavnije je izracunati vjerojatnosti zaostati neprekidnozdravilineprekidnobolestankroz[s, t]. Koristeci(18)tevjerojatnostisuP[Rs> t s|Xs= Z] = e

ts((u)+(u)) du(22)c FacultyandInstituteofActuaries Poglavlje4,stranica11Predmet103 Markovljeviprocesiskokova 2000iP[Rs> t s|Xs= B] = e

ts((u)+(u)) du.Prijelaznevjerojatnostimogusepovezatijednasdrugomkaou(20)i(21).NaprimjerPZB(s, t) =_ts0PBB(s + w, t)(s + w)e

s+ws((u)+(u)) dudw. .. Zs s + wBtBLakosemozerukovati dodatnimuvjetimanarezidualnoili tekucevrijemezadrzavanja. Promotrimo, naprimjer, vjerojatnost dajeosobabolesnautrenutkuti dajebilabolesnabaremw, akojedanodajeosobazdravautrenutkus. Tavjerojatnostje:P[Xt= B, Ct> w|Xs= Z] =_ts0PZZ(s, t v)(t v)e

ttv((u)+(u)) dudv .sZ .. Bt v t w tZ4.2 BrakOpisimobracni status neke osobe kaojedanodsljedecih: nezenja(nikadozenjen)(N),ozenjen(O),udovac(U),rastavljen(R),mrtav(). MozemodeniratiMarkovljevprocesskokovakaonaslici:Poglavlje4,stranica12 c FacultyandInstituteofActuaries2000 Markovljeviprocesiskokova Predmet103

N

(t)``````````(t)

R

-

.

U

O

(t)````````(t)`r(t)

(t)d(t)(t)Zbogjednostavnosti smouzeli daintenzitetsmrti (t)neovisi obracnomstatusu. Ovaj model se moze proucavati tocno kao i primjer 4.1. Na primjer,vjerojatnost dajeosobaozenjenautrenutkut i dajebilaozenjenakrozperiod trajanja barem w, ako je dano da je osoba nezenja u trenutku s je (uzpretpostavkuw < t s):P[Xt= O, Ct> w|Xs= N] =_tws(PNN(s, t v)(t v) + PNU(s, t v)r(t v)+ PNR(s, t v)(t v)) e

ttv((u)+(u)+(u)) dudv .sN .. Ot v t w tkgdjejekbilokojeodstanjakojevodidoO,naimeN,UiR.4.3 SklonostnesrecamaPromotrimo sljedeci model za ukupan broj nesreca Xt koje ima neki vozac zavrijemeperioda[0, t]: XtjevremenskihomogenMarkovljevprocesskokovac FacultyandInstituteofActuaries Poglavlje4,stranica13Predmet103 Markovljeviprocesiskokova 2000sprijelaznimintenzitetima(i = j):ij=_ + i akojej= i + 10 inace&%'$0

&%'$

+ 1&%'$2&%'$3

+ 2. . .&%'$

+ ii&%'$i + 1. . .Drugim rijecima, intenzitet nesreca raste linearno s vozacevom povijesti nesreca.PrijelaznamatricaprocesajeA =_____ 0 + 2 + 20......_____ajednadzbeunaprijedzaP0j(t)suP

00(t) = P00(t)P

0j(t) = ( + (j 1))P0 j1(t) ( + j)P0j(t), j> 0 .Te jednadzbe se rjesavajuistokaozaPoissonovproces: trazimorjesenjeuoblikuP0j(t) =j(t)e(+j)t. Slijedi danepoznatefunkcijejtrebajuzadovoljavati

j(t) = j1(t)( + (j 1)))et.Torjesavamorekurzivno,uzevsiuobzirpocetniuvjetj(0) = 0j:0(t) = 1, 1(t) =(et1), 2(t) =( + )22(et1)2, . . . ,j(t) =( + )( + 2) . . . ( + (j 1))j!j(et1)j.PrematomerjesenjejeP0j(t) =( + )( + 2) . . . ( + (j 1))j!jet(1 et)j.Poglavlje4,stranica14 c FacultyandInstituteofActuaries2000 Markovljeviprocesiskokova Predmet103Napomena:Buduci daje i=+i, vremenazadrzavanjaTiimajusvojstvodaje

i=0E[Ti] =

i=01+i= . Da smo izabrali ij= +i2 (j= i+1), imalibismo

i=0E[Ti ] =

i=01+i2< , te stoga P[

i=0Ti< ] = 1. Drugimrijecima, beskonacnomnogoprijelazasedogadaukonacnomvremenu. Tovodi na

j=0Pij(t) < 1 i do nejedinstvenosti rjesenja Kolmogorovljevih jed-nadzbi: zaista, denicijaprocesamorasedopuniti dodavanjemgranicnogstanja(kojesedostizenakonbeskonacnomnogoprijelaza)ispeciciranjemprijelaznogpravilaiznjega. Rezultirajuceprijelaznevjerojatnosticezado-voljavatioriginalnejednadzbeunatrag,alinejednadzbeunaprijed.4.4 BolestismrtovisniotrajanjuUprimjer4.1,MarkovljevosvojstvopovlaciP[Xt= Z|Xs= B, Cs= w] = P[Xt= Z|Xs= B] .Drugim rijecima, trajanje tekuce bolesti nema utjecaja na buduce zdravstveneprognoze. Da bismo uklonili to nezeljeno svojstvo, modiciramo model dopustajucida intenziteti prijelaza iz stanja Bovise o tekucem vremenu zadrzavanja Ct.&%'$M&%'$Z&%'$B

(t) (t)(t)(t, St)Mozeseucinitidanastovodivandometaovogpoglavlja,buducidasevri-jednosti od Ct sada moraju ukljuciti u stanja, tako da prostor stanja prestajebitiprebrojivim. Medutim, okvirsekcije3.2sejosuvijekmozekoristiti, uzuvjetpazljivoguvjetovanjanarelevantnotekucevrijemezadrzavanja.c FacultyandInstituteofActuaries Poglavlje4,stranica15Predmet103 Markovljeviprocesiskokova 2000Ustvari, buduci daprijelazni intenziteti i neoviseoCt, vjerojatnostostajanjaneprekidnozdravkroz[s, t] jekaoi prijedanas (22). Sdrugestrane, za izracunati vjerojatnost da se ostane neprekidno bolestan kroz [s, t]uzdantekuciperiodbolesti[s w, s],trebamoobnavljativrijednostiodikakobolestnapreduje:P[Xt= B, Rs> t s|Xs= B, Cs= w] = e

ts((u,ws+u)+(u,ws+u)) du.s w u s t .. w s + uZBZazavrsni primjer, vjerojatnostbiti zdravutrenutkut akojedanodajeosoba bolesna u trenutku s, sa tekucim trajanjem bolesti wmoze se zapisatikao:PBwZ(s, t) = P[Xt= Z|Xs= B, Cs= w]=_t0e

vs((u,ws+u)+(u,ws+u)) du(v, w s + v)PZZ(v, t) dv .s w u s v .. w s + uZBtZ5 NumerickemetodeOpcenito se linearne obicne diferencijalne jednadzbe s vremenski ovisnim ko-ecijentima ne mogu rijesiti eksplicitno pomocu elementarnih funkcija. Stoganemozemoocekivati dacemonaci rjesenjeKolmogorovljevihjednadzbi uanalitickomobliku,osimuslucajudaprijelazniintenzitetiimajuvrlospeci-jalanoblik (na primjer konstante). Ukratko cemo opisati tri numerickemetode.Ovosusamoprimjerimetoda,dok ceodabirmetodeovisitiookolnostima.Poglavlje4,stranica16 c FacultyandInstituteofActuaries2000 Markovljeviprocesiskokova Predmet1035.1 EulerovametodaMetodasesastoji jednostavnouzamjeni derivacijepot ujednadzabi un-aprijed(7)konacnomdiferencijom. Drugimrijecima, izaberemokorakhiracunamoP(s, s + mh),m = 0, 1, 2, . . . ,pomocusljedecerekurzivnesheme:_P(s, s + (m + 1)h) = P(s, s + mh) + hP(s, s + mh)A(s + mh)P(s, s) = IgdjejeIjedinicnamatricaselementimaij.Tametodavodidogresakaredah,drugimrijecima,polovljenjevelicineko-rakaprepolovitcegresku. Utockamakojenisutockemrezet =s + mh,P(s, t)seprocjenjujelinearnominterpolacijom.5.2 Runge-KuttametodacetvrtogredaTo je znacajno poboljsanje uodnosuna Eulerovumetodu, buduci da jepridruzenagreskasadaredah4(tj. polovljenjevelicinekorakcesmanjitigreskuzafaktor16).Slijedishema:___P(s, s + (m + 1)h) = P(s, s + mh) +h6[C1(s, m) + 2C2(s, m) + 2C3(s, m)+C4(s, m)]P(s, s) = IgdjejeC1(s, m) = P(s, s + mh)A(s + mh)C2(s, m) = [P(s, s + mh) +h2C1(s, m)]A(s + (m +12)h)C3(s, m) = [P(s, s + mh) +h2C2(s, m)]A(s + (m +12)h)C4(s, m) = [P(s, s + mh) + hC3(s, m)]A(s + mh) .5.3 IntegralnioblikDrugi pristupjekrenuti odintegralnogoblikaKolmogorovljevihjednadzbiunaprijed(iliunatrag),vidisekciju3.2:Pik(s, t) = ike

tsi(u) du+

j=k_ts0Pij(s, t w)jk(t w)e

ttw k(u) dudw.c FacultyandInstituteofActuaries Poglavlje4,stranica17Predmet103 Markovljeviprocesiskokova 2000NizuzastopnihaproksimacijaP(n)ij(s, t)denirandoljeimakorisnosvojstvorastapremarjesenjukadan (provjeriteindukcijom):_P(0)ik(s, t) = ike

tsi(u) duP(n+1)ik(s, t) = ike

tsi(u) du+

j=k_ts0P(n)ij(s, t w)jk(t w)e

ttw k(u) dudw.Za numericku implementaciju integrale treba aproksimirati, na primjer koristenjemSimpsonovogslozenogpravila: zanumerickoracunanjeintegrala_baf(x) dx,podijelimointerval[a, b]na2mintervalajednakeduljineh =b a2mikoristimoh3(f(a) + f(b)) +2h3m1

j=1f(a + 2jh) +4h3m

j=1f(a + (2j 1)h)kaoaproksimacijuod_baf(x) dx. Mozeteocekivatigreskuredah4.Tametodamozesekoristitiuprimjeru4.5,teu4.1i4.3.Poglavlje4,stranica18 c FacultyandInstituteofActuaries2000 Analizavremenskihnizova Predmet103POGLAVLJE5-GLAVNIPOJMOVIUOSNOVIANALIZEVREMENSKIHNIZOVANastavni ciljevi: (v) Denirati i primjeniti glavne pojmove nakojimasetemeljianalizamodelavremenskihnizova.1. Objasniti pojam i opca svojstva stacionarnog, I(0), i integriranog, I(1),jednodimenzionalnogvremenskogniza.2. Objasnitipojamstacionarnogslucajnogniza.3. Objasnitipojamlteraprimjenjenognastacionaranslucajanniz.4. Upoznati notaciju za operator pomaka unatrag, operator diferenciranjaunatrag, te pojmove korijena karakteristicne jednadzbe vremenskogniza.5. Objasniti pojmovei osnovnasvojstvaautoregresivnih(AR) vremen-skih nizova, pokretnih sredina (MA), autoregresivnih pokretnih sredina(ARMA)iautoregresivnihintegriranihpokretnihsredina(ARIMA).6. Objasniti pojmove i svojstva diskretnih slucajnihsetnji i slucajnihsetnjisnormalnodistribuiranimprirastima,saibezpomaka.7. Objasniti osnovne pojmove vremenskih nizova u frekvencijskoj domeni.8. Objasnitiosnovnepojmovevisedimenzionalnihvremenskihnizova.9. Objasnitipojamkointegriranogvremenskogniza.10. Pokazati da izvjesni jednodimenzionalni vremenski nizovi imaju Markovl-jevo svojstvo i opisati kako preurediti jednodimenzionalni vremenski nizuvisedimenzionalniMarkovljevmodel.11. Skicirati procesidentikacije, procjenei dijagnozevremenskihnizova,kriterije zaodabir medumodelimai dijagnosticki test koji se mozeprimjenitinaostatkevremenskognizanakonprocjene.12. Objasnitiosnovnepojmovemodelaprijenosnefunkcije.c FacultyandInstituteofActuaries Poglavlje5,stranica1Predmet103 Analizavremenskihnizova 200013. Opisati ukratkodruge nestacionarne, nelinearne modele vremenskihnizova.14. Opisati jednostavneprimjenemodelavremenskihnizova, ukljucujucislucajnusetnju, autoregresivnei kointegriranemodeleprimjenjenenainvesticijskevarijable.1 SvojstvajednodimenzionalnihvremenskihnizovaJednodimenzionalni vremenski niz(engl. univariate time series) je niz opazanja{xn}Nn=1, svako zabiljezeno u pravilnimvremenskimintervalima t0+n,n =1, 2, . . . , N. Na primjer, niz dnevnihzakljucnihcijena dionica, pn,tvori vremenski nizgdjeje jedan(trzisni) dan, at0danprijenegostojezabiljezenoprvoopazanje. Nizmjesecnihiznosainacijetvorivremenskinizgdjeje jedanmjesec. Karakteristicnoobiljezjevremenskognizajetodajeredopazanjavazaninijenebitankaokodslucajnoguzorka. Naprim-jer, listadnevnihpovratanaFTSE100dionicenekogodredenogdananijevremenski niz, i redpodatakaulisti jeirelevantan. Uistovrijeme, listavrijednosti odFTSE100indeksauzetanekogodredenogdanaurazmacinaod jedne minute jeste vremenski niz, i uredaj podataka u listi je od najvecegznacaja.Tocnu vrijednost k-tog opazanja xkje u pravilu tesko predvidjeti u trenutkubiljezenjaprethodnogopazanja. Zbogtograzlogasevremenskinizovimod-elirajuslucajnimprocesimasdiskretnimvremenom{Xn}Nn=1 {X1, X2, . . . , XN}, (1)koji setakodernazivajui nizovimaslucajnihvarijabli. Odredenvremenskiniz(nizopazanja,ilipodataka, {xn}Nn=1)setadainterpretirakaorealizacijaslucajnogprocesa {Xn}Nn=1. Umodernojliteraturi seterminvremenski nizcestokoristiizapodatke,izaproceskojegsutipodacirealizacija.Cesto je pogodno koristiti opcenitije klase slucajnih procesa nego one dane sjednakosti(1). Modeliratcemovremenskiniznizomslucajnihvarijabli. Tomozebitibilokonacannizslucajnihvarijabli{Xn}Tn=S {XS, XS+1, XS+2, . . . , XT} ,Poglavlje5,stranica2 c FacultyandInstituteofActuaries2000 Analizavremenskihnizova Predmet103bilojednostranobeskonacannizslucajnihvarijabli{Xn}n=S {XS, XS+1, XS+2, . . . , } ,bilodvostranobeskonacannizslucajnihvarijabli{Xn}n= {. . . , X2, X1, X0, X1, X2, . . . } .Postoje dva razloga za uvodenje beskonacnih nizova slucajnih varijabli. Prvo,akojedanproizvoljankonacanvremenski niz, mozemokoristiti prikladandiobeskonacnognizakaomodel zataj niz. Nataj nacinmozemokoristitijedanbeskonacannizslucajnihvarijabli zamodeliranjevremenskihnizovabilo koje duljine. Drugi razlog je da se nekim matematickim pojmovima, kaokonvergencijipremaekvilibriju,mozedatipreciznoznacenjesamouslucajubeskonacnognizaslucajnihvarijabli.Stacionarni ili I(0) vremenski nizovi su opisani u sekciji 2. Njihovo dugorocnoponasanjesenemijenja. Akosedrugi nizdobijesumiranjemuzastopnihclanovaI(0) niza, rezultat je integrirani ili I(1) niz. Njegovodugorocnoponasanjeopcenitonijestacionarno, negosemijenjas vremenomkakosedodajevise clanova. Njih cemodiskutiratiusekciji4.2 StacionarnislucajninizoviStacionarni i slabostacionarni slucajni nizovi sudenirani upoglavlju2.Teorijastacionarnihslucajnihprocesaigravaznuuloguuteorijivremenskihnizova, jer sekalibracijamodelavremenskihnizova(tojest, procjenavri-jednosti parametara modela koristenjem povijesnih podataka) moze provestisamo u slucaju stacionarnih vremenskih nizova. Nestacionarni vremenski ni-zovitrebajusetransformiratiustacionarne,prijenego stosemozeprovestikalibracija.Kovarijanca bilo kojeg para elemenata Xri Xsstacionarnog niza {Xn}n=ovisi ori ssamokrozrazlikur s. Zbogtogsvojstvamozemodeniratiautokovarijacijskufunkciju(h)stacionarnogslucajnogprocesa {Xn}n=kakoslijedi(r s) cov(Xs, Xr) = E(XsXr) E(Xs)E(Xr) .Zajednickavarijancaelemenatastacionarnogprocesadanajesa(0) = E(X2r) E(Xr)2.c FacultyandInstituteofActuaries Poglavlje5,stranica3Predmet103 Analizavremenskihnizova 2000Autokorelacijskafunkcijastacionarnogprocesadenirasesan=(n)(0).Primjer. Jednostavna familija slabo stacionarnih procesa su procesi bijelogsuma. Slucajni proces {en}n=je bijeli sum,ako je E(en) = za svaki n,i(h) = cov(en, en+h) =_2akojeh = 00 inaceUslucaju=0, bijeli sum {en}n=sezovecentrirani bijeli sum(engl.zero-mean white noise). Vazan predstavnik procesa bijelog suma je niz neza-visnihjednakodistribuiranihslucajnihvarijablisazajednickimocekivanjemivarijancom2.Pojamnenegativnodenitnefunkcijeigravaznuuloguuteoriji vremenskihnizova. Funkcijaf(k) denirananacjelobrojnimvrijednostimakzovesenenegativno denitna, ako za svaki skup realnih brojeva 1, 2, . . . , n, i bilokojiskupcijelihbrojevak1, k2, . . . , kn,funkcijazadovoljavan

j=1n

l=1jlf(kjkl) 0 .Sljedecasvojstvasuposljedicadenicijeautokovarijacijskefunkcije.Rezultat2.1.Autokovarijacijskafunkcija(n)stacionarnogslucajnogprocesaje:(a) parnafunkcija,tojest,(n) = (n);(b) nenegativnodenitnafunkcija.Dokaz. Buduci da autokovarijacijska funkcija (n) = cov(Xl, Xl+n) ne ovisiol,uocimodaimamo(n) = cov(Xln, Xln+n) = cov(Xln, Xl) = cov(Xl, Xln) = (n) .Stogajeautokovarijacijskafunkcijaparnafunkcija.Zadokazdrugetvrdnjepropozicije, promotrimoproizvoljankonacanskuprealnihbrojeva1, 2, . . . , n, i bilokoji skupcijelihbrojevak1, k2, . . . , kn.Poglavlje5,stranica4 c FacultyandInstituteofActuaries2000 Analizavremenskihnizova Predmet103Oznacimo= E(Xk). Ocekivanavrijednostnenegativneslucajnevarijablejenenegativna. ZatoE____n

l=1l(Xkl)_2___ 0 .SdrugestraneE____n

l=1l(Xkl)_2___= E_n

l=1l(Xkl)n

j=1j(Xkj )_=n

l=1n

j=1ljE[(Xkl)(Xkj )] =n

l=1n

j=1lj(klkj) .Stogajeautokovarijacijskafunkcijazaistanenegativnodenitna.Drugavaznakarakteristikastacionarnogslucajnogprocesajeparcijalnaau-tokorelacijskafunkcija {(k)}k=1deniranasa(k) =detPkdetPk.gdjejePkk kautokorelacijskamatricaPk=_______1 12 k111 1 k2211 k3...............k1k2k3 1_______tojest, Pk= {pi,j}k ki=1,j=1, gdjejepi,j=|ij|, aPkjePkukojoj jezadnjistupaczamijenjensa(1, 2, . . . , k)T. Naprimjer,(1) = 1,i(2) =det_1 112_det_1 111_=2211 21.Analiticko racunanje determinante u deniciji parcijalne autokorelacijske funkcijeje cesto tesko. Unatoc tome, parcijalna autokorelacijska funkcija (k) k,kc FacultyandInstituteofActuaries Poglavlje5,stranica5Predmet103 Analizavremenskihnizova 2000mozeseracunatirekurzivnoizrelacijak,k=_1akojek = 1k

k1n=1 k1,nkn1

k1n=1 k1,nnakojek = 2, 3, . . .,ik,n= k1,nk,kk1,kn,zan = 1, 2, . . . , k 1.Jedan od glavnih problema u teoriji vremenskih nizova je pronaci model kojegje dani vremenski niz {x1, x2, . . . , xn} vjerojatna realizacija. Iako je potpunaspecikacijatakvogmodeladelikatanproblem, nekevaznekarakteristikesemogu procijeniti koristenjemsljedecih standardnih recepata. Zajednickoocekivanje(ilisredina)stacionarnogmodelamozeseprocijenitikoristenjemocekivanjauzorka =1TT

k=1xk .Autokovarijacijskafunkcija(k)mozeseprocijenitikoristenjemautokovari-jacijeuzorka k=1TT

l=k+1(xl )(xlk ) .Autokorelacijskafunkcijakmozeseprocijenitikoristenjemrk= k 0.Parcijalnaautokorelacijskafunkcijamozeseprocijenitikoristenjem(k) =detPkdetPk,gdje suPkiPkiste matrice kao Pki Pkali u kojima su kzamijenjeni svojimprocjeniteljimark.3 FiltriranjevremenskihnizovaOperacije na vremenskom nizu {xn}n=(ulazni vremenski niz) se ponekadzovu ltriranje. Stvaranjenovog vremenskog niza {yn}n= (izlazni vremen-ski niz)koristenjemlinearnihtezinskihsumayn=

k=akxnkjeprim-jenalinearnogltera, gdjesetezine {ak}k=identicirajuslterom. CiljPoglavlje5,stranica6 c FacultyandInstituteofActuaries2000 Analizavremenskihnizova Predmet103ltriranjajemodikacijapodataka(ulaznogniza)dabiseispuniliodredeniciljevi, ili dabi serazotkrilaspecicnaobiljezjapodataka. Vazanpredmetjekonstrukcijalinearnihlterazaspecijalnesvrhekojimoguispunititecil-jeve. Naprimjer,vazanproblemuanaliziekonomskihvremenskihnizovajeotkrivanje,izolacijaiotklanjanjedeterministickogtrenda.Upraksi, ltrirani vremenski nizjekonacanniz {xn}Nn=1, lter {ak}k=sadrzi samokonacan(i relativnomali uusporedbi sN)broj komponenatarazlicitihodnule, ak=0zak>t i k p .ZajednostavneslucajeveodMA(p)mogucejeeksplicitnoizracunati parci-jalnuautokorelacijskufunkciju. Promotrimoslucajni proces MA(1). Au-tokorelacijskafunkcijadanajesk=___1, akojek = 0,11+21, akojek = 1,0, akojek 2 .Prematomesuk kmatricePkiPkdanesPk=__________1 10 0 011 10 00 11...............0 0... 1 10 0 11__________i Pk=_________1 10 0 111 10 00 11............... 10 0 11 00 0 10_________Izracundeterminantedet Pkjedirektandet Pk= (1)k+1k1(1 +21)k.Izracundeterminantedet Pkzahtijevavisetruda. Preskocitcemoracuneisamonapisatirezultat:det Pk=1 2(k+1)1(1 21)(1 + 21)k.StogajeparcijalnaautokorelacijskafunkcijaslucajnogprocesaMA(1)danas(k) = (1)k+1(1 21)k11 2(k+1)1.Poglavlje5,stranica20 c FacultyandInstituteofActuaries2000 Analizavremenskihnizova Predmet103AutoregresivnimodelsostacimapokretnihsredinaDenicija5.4.Centriran autoregresivni proces s ostacima pokretnih sredina je niz slucajnihvarijabli {Xn}n=sdeniranrelacijomXn= 1Xn1 +2Xn2 + +pXnp +en +b1en1 +b2en2 + +bqenq(16)gdje je {en}n=centriran bijeli sum. Notacija ARMA(p, q) se cesto upotre-bljavazatakveslucajneprocese.Koristenjem operatora pomaka unatrag Bgornju deniciju mozemo zapisatiukompaktnomobliku(B)Xn= (B)en,gdjesu(x) = 1 1x 2x2 pxp,i(x) = 1 + b1x + b2x2+ + bqxq,polinomistupnjap,odnosnostupnjaq. ARMA(p, q)modelsocekivanjemdeniranjes(B)(Xn) = (B)en.Analogno kao kod AR(p) modela, za potpunu deniciju ARMA(p, q) modelatrebamospeciciratippocetnihuvjetaXsp, Xsp+1, . . . , Xs1.Najjednostavniji primjer ARMA(p, q) modela je ARMA(1, 1) model denirans_Xn= + (Xn1) + en + ben1Xs1= + x ,(17)gdje je {en}n=s niz nezavisnih normalnih varijabli sa zajednickim ocekivanjemivarijancom2. DokazsljedecepropozicijeanaloganjedokazuRezultata5.1. Dokaztogrezultataizlazivanokvirapredavanja.Rezultat5.4.Nekaje {Xn}n=sARMA(1, 1)procesdeniranjednadzbom(17). TadajeXn= + ns+1x + nsbes1 +_1 +b_ns1

k=0nskes+k + enE(Xn) = + ns+1x + nsbes1,c FacultyandInstituteofActuaries Poglavlje5,stranica21Predmet103 Analizavremenskihnizova 2000iVar(Xn) =21 2_1 + 2b + b2[(b2+ 1) + 2b]2(ns)+1.Zal = 0,cov(Xn, Xn+l) = 2|l|11 2_(1 +b)( + b) [(b2+ 1) + 2b]2(ns+1).ARMA(p, q)modeli nasljedujumnogasvojstvaAR(p)modela. Naprimjer,analognoAR(1) modelu, ARMA(1, 1) model je nestacionaran. Medutim,nestacionarnostjesamoprolaznogtipaakoje || p. To jest, parcijalna autokorelacijska funkcija uzorka(k) trebabitiodrezanaunekojvrijednostik = p.Teorijska autokorelacijska funkcija kMA(q) modela je nula za k > q. Stoga,ako je {zn}Nn=d realizacija MA(q) modela, tada autokorelacijska funkcija uzorkark(izracunata za {zn}Nn=d) treba poprimiti vrijednosti u 95% pouzdanom in-tervalu[1.96r, 1.96r], gdjejer= N1_1 + 2q

l=1r2l_,Poglavlje5,stranica38 c FacultyandInstituteofActuaries2000 Analizavremenskihnizova Predmet103za svaki k >q. To jest, autokorelacijska funkcija uzorka rktreba bitiodrezanaunekojvrijednostik = q.Prema tome, ako je(k) odrezano u nekoj vrijednosti k = p, tada se AR(p)pokusnoidenticirakaomodel za {zn}Nn=d, aARIMA(p, d, 0) sepokusnoidenticira kao model za {xn}Nn=0. S druge strane, ako je rkodrezano u nekojvrijednosti k = q, tada se MA(q) pokusno identicira kao model za {zn}Nn=d,aARIMA(0, d, q)sepokusnoidenticirakaomodelza {xn}Nn=0.Akoni(k) ni rknisuodrezani, tadatrebamotraziti ARMA(p, q) modelsvrijednostimapi qkojenisunula. Potrebnojenacrtati grafoveautoko-relacijske funkcije uzorka rk i parcijalne autokorelacijske funkcije uzorka(k),i vizualno usporediti sa slicnim grafovima teorijskih autokorelacijskih funkcijaki (k) za razne vrijednosti p i q. Treba identicirati one vrijednosti pi qkojedajunajboljuvizualnuprilagodbuteorijskihi uzorackihgrafova. Akonekolikovrijednosti odpi q dajuvizualnoekvivalentne prilagodbe, tadatrebaodabratiminimalnemogucevrijednostipiq(princip stedljivosti).Procjena.Nakonstosuidenticirane vijednosti zapi q, problempostaje procjenavrijednostiparametara1, 2, . . . , pi1, 2, . . . , qzaARMA(p, q)modelZn= 1Zn1+2Zn2+ +pZnp+en+1en1+2en2+ +qenq . (28)Ukolikovrijednostizapiqnisuprevelike,problemprocjeneseuvijekmozerijesiti numericki. Glavnaidejajeprvoizracunati vrijednosti od {en}Nn=dkoristeci {zn}Nn=di relacije (28). Nakon toga trazimo vrijednosti za i kojeminimizirajuvarijancuuzorka 2(1, 2, . . . , p; 1, 2, . . . , q) =1NN

l=de2l.Sljedeciprimjerilustriraglavnekorakerjesavanjaproblemaprocjene.Pretpostavimo da je dan {zn}Nn=d, te da su preliminarno identicirane vrijed-nostiparametarapiqjednakep=q=1. Realizacija {zn}Nn=dARMA(1, 1)procesazadovoljavazn= zn1 + en + en1,gdjeje {en}Nn=d1realizacijabijelogsuma. Koristenjemsljedecegpostupkamozemo izracunati varijancu uzorka (, ) za sve cvorove mreze = 0.9, 0.8, . . . , 0.8, 0.9i= 0.9, 0.8, . . . , 0.8, 0.9. Uzmimoprvipodatakzdkaopocetniuvjet, istavimoed+1= zd+1zd.c FacultyandInstituteofActuaries Poglavlje5,stranica39Predmet103 Analizavremenskihnizova 2000Preostaleekracunamoiterativnokoristeciek= zkzk1ek1.Nademotocku(0, 0)umrezisnajmanjomvrijednostiod 2(, ) =N

k=d+1e2k .Reduciramo korak mreze na 0.01, napravimo novu mrezu oko (0, 0) ipronademoboljuaproksimacijuzai. Ponavljamosvedokprocijeniteljinisupoznatidonatrazenutocnost.Dijagnostickaispitivanja.Najjednostavniji model vremenskog niza je niz nezavisnihi jednako dis-tribuiranih normalnih slucajnih varijabli {Xn}n=0, ARIMA(0, 0, 0) s ocekivanjemi varijancom procijenjenim iz podataka {xn}Nn=0 koristenjem ocekivanja i vari-jance uzorka. Medutim, taj model cesto ne pruza odgovarajuci opis podataka{xn}Nn=0, jerneprolazi doljeopisanedijagnosticketestove. Idejaizamod-eliranja vremenskih nizova je pronaci skup operacija koje transformiraju po-datke {xn}Nn=0uvjerojatnurealizacijunizanezavisnihnormalnihslucajnihvarijabli. Na primjer, AR(1) model Xn= Xn1+en je odgovarajuci opis po-dataka {xn}Nn=0, ako operacija 1B prevodi podatke u takvu realizaciju. Tojest,akoje {xnxn1}Nn=1vjerojatnarealizacijacentriranogbijelog suma.Nakon pokusne identikacije ARIMA(p, d, q) modela i izracuna procjena , , 1, . . . , p,b1, . . . ,bq,trebamonapravitidijagnostickoispitivanje. Ciljdijag-nostickogispitivanjajeustanovitidalijeskupbrojeva {en}Nn=1izracunatizpodataka {xn}Nn=1koristenjemrelacijaxn= 1xn1 + + pxnp + en +b1en1 + +bqenq ,vjerojatnarealizacijanizanezavisnihi jednakodistribuiranih(normalnih)slucajnihvarijabli. Brojevi{en}Nn=1se uobicajeno nazivajuostaci (engl.residuals).Cestosekoristesljedecaispitivanja.Kontrolagrafaod {en}Nn=1.Vizualnakontrolagrafaostataka {en}Nn=1cestopomaze identicirati jakuovisnost velicine uktuacija po n. Tipicni primjeri su trend,ciklicka kompo-nenta, i nekonstantnost varijance. Nije vjerojatno da ce realizacija niza neza-visnih i jednako distribuiranih slucajnih varijabli imati ista od toga. Takoder,Poglavlje5,stranica40 c FacultyandInstituteofActuaries2000 Analizavremenskihnizova Predmet103oko95%ostataka {en}Nn=1bi trebalolezati izmedu 1.96 i 1.96 , akojeidenticiraniARIMA(p, d, q)modelodgovarajucizaopispodataka.Spektralnitest.Spektralnagustocabijelogsumajekonstantaf()=22, vidi Primjer7.2.Tucinjenicumozemoiskoristitizadizajntestanezavisnostiistacionarnostiostataka {en}Nn=1. Procijeniteljzaf()danjesf() =12 0 +1N/2

n=1 n cos(n) ,gdje je n autokovarijanca uzorka od {en}Nn=1, vidi Sekciju 2. Visoki uski siljciuf()oznacavajuprisutnostciklickihkomponenatau {en}Nn=1,naprimjer,sezonskukomponentu.Sirokivrhkodniskefrekvencijeoznacavaprisutnosttrendau {en}Nn=1.Kontrolaautokorelacijskihfunkcijauzorkaod {en}Nn=1.Autokorelacijske funkcije uzorka niza nezavisnih i jednakodistribuiranih slucajnihvarijabliZ1, Z2, . . . , Zn,danesak=

Nkl=1(Zl)(Zl+k)

Nl=1(Zl)2,imajudistribucijukojaje pribliznonormalnazavelike vrijednosti odN,s ocekivanjemnulai varijancomN1. Dakle, oko95%vrijednosti odktrebalezati izmeduograda 1.96/N. Pretpostavimoli dasmopodacima{x1, x2, . . . , xN}prilagodili odgovarajuci ARIMAmodel, isti rezultattrebavrijeditizaautokorelacijskefunkcijeuzorkaostataka {en}Nn=1.Portmanteautest.Umjesto provjere da li svaki kpada unutar 95% -tnog intervala pouzdanosti[1.96/N, 1.96/N], mogucejepromatrati jednustatistikukojaovisi osvimk,k = 1, 2, . . . , M,gdjejeMrecimo20. Testjezasnovanna cinjenicidaslucajnavarijablaQM= NM

k=12kimapriblizno2distribucijusM (p + q)stupnjevaslobode. AdekvatnostmodelasestogaodbijananivouakojeQM> 21(M p q) ,c FacultyandInstituteofActuaries Poglavlje5,stranica41Predmet103 Analizavremenskihnizova 2000gdjeje21(M p q)1 kvantil2distribucijesM p qstupnjevaslobode.Brojanjetocakaokreta.Zanizbrojevay1, y2, . . . , yNkazemodaimatockuokretauvremenuk,akojeili yk1yk+1, ili yk1>yki yk yk1. Oznacimolitajbroj sa S, tada je E(S) =12(N1) i Var(S) =112(N+1) za niz Y1, Y2, . . . , YNnezavisnihslucajnihvarijablisneprekidnomdistribucijom. Stogabiureal-izacijiodY1, Y2, . . . , YNbrojvrijednostiktakvihdajeyk> yk1trebaobitiunutar95%-tnogintervalapouzdanosti_12(N 1) 1.96_N+ 112,12(N 1) + 1.96_N+ 112_.Provjeranormalnosti.Promotrimoniz {en}Nn=1iuredenestatistikee(1)< e(2)< < e(N).Tojest, {e(n)}Nn=1jeniz {en}Nn=1preuredenporastucemuredaju. Akojeniz ostataka e1, e2, . . . , eNrealizacija niza nezavisnih i jednako distribuiranihnormalnihslucajnihvarijabli,tadabigraftocaka_1__k 12_/N_, e(k)_, k = 1, 2, . . . , N,trebaobitipribliznolinearan. Ovdjeje1(x)inverzstandardnenormalnefunkcijedistribucije.Poglavlje5,stranica42 c FacultyandInstituteofActuaries2000 Analizavremenskihnizova Predmet10312 ModeliprijenosnefunkcijeModeliranjepomocuprijenosnefunkcijejespajanjekonvencionalnogmod-eliranjavremenskihnizovai linearne regresije. Model prijenosne funkcijeukljucujejedanizlazniniz {Yn}Nn=1ijedan(ilivise)ulaznihnizova {Xn}Nn=1.Onpredvidabuducevrijednosti izlaznognizanaosnovi proslihvrijednostitognizai proslihvrijednosti ulaznogniza. Opci oblikmodelaprijenosnefunkcijejeYn= +p

k=1kYnk +q

l=1blXnl + Rn,gdjeje {Rn}n=1centriranstacionaranproces(ostaci),nezavisanodulaznogprocesa {Xn}Nn=1. Pretpostavlja se da se istom transformacijom stacionarnostiizlazni, odnosno ulazni proces, mogu prevesti u stacionarne procese {Un}Nn=1,odnosno {Vn}Nn=1.Za izgradnju modela prijenosne funkcije koristimo povijesne podatke {yn}Nn=1(izlazni vremenski niz)i {xn}Nn=1(ulazni vremenski niz). Izgradnjamodelaukljucujetrikoraka.Identiciranjemodelazaopisulaznogvremenskogniza.Identiciranje preliminarnog modela prijenosne funkcije za opis izlaznogvremenskogniza.Identiciranjemodelazaostatke.Korak1.Koristi setransformacijastacionarnosti zaprevodenjeulaznogvremenskogniza {xn}Nn=1uvremenski niz {vn}Nn=1. Koristi seistatransformacijasta-cionarnosti zaprevodenjeizlaznogniza {yn}Nn=1uvremenski niz {un}Nn=1.Koristi se Box-Jenkinsovpristupza identikacijuARMA(k, l) modela za{vn}Nn=1.Korak2.Identicirani model ARMA(k, l) sugerira transformaciju koja prevodi {vn}Nn=1urealizacijubijelogsuma {n}Nn=1. Izracunasevremenski niz {n}Nn=1, ikoristi istatransformacijazapredizbijeljivanjevremenskogniza {un}Nn=1.Oznacimopredizbijeljenivremenskinizs {bn}Nn=1.c FacultyandInstituteofActuaries Poglavlje5,stranica43Predmet103 Analizavremenskihnizova 2000Izracunasekorelacijskafunkcijauzorkaizmedu {n}Nn=1i {bn}Nn=1rk(, b) =

Nn=1(n )(bnb)_

Nn=1(n )2_1/2_

Nn=1(bnb)2_1/2za, recimo, k = 20, 19, . . . , 19, 20, gdje su ib ocekivanjauzorkaod{n}Nn=1 i {bn}Nn=1. Korelacijska funkcija ne bi smjela imati statisticki znacajnevrijednosti razlicite odnule zanegativne k. Tojest, trebali bismoimatirk(, b) [1.96N1/2, 1.96N1/2], na 95%-tnom nivou pouzdanosti, za svakik < 0. U suprotnom, vremenski niz {xn}Nn=1nije vodeci indikator od {yn}Nn=1i ne moze se koristiti za modeliranje pomocu prijenosne funkcije od {yn}Nn=1.Svipozitivnizaostacikojiodgovaraju(znacajnim)vrijednostimaodrk(, b)razlicitimodnuletrebajuseidenticirati i koristiti zaformulacijuprelimi-narnogmodelaprijenosnefunkcije(B)Un=

+ Cw(B)BlVn + n. (29)UgornjojjednadzbiCjeparametarskaliranja,nsuostaci,l - minimalni zaostatak sa statisticki znacajnimvrijednostima korelacijerl(, b)razlicitimodnule,w(B) = 1 w1B w2B2 wrBr,(B) = 1 1B 2B2 sBs.Redovi ri spolinomaw(x)i (x)trebajuseidenticirati tehnikamaBox-Jenkinsovog pristupa. To znacidasetrebajunacrtatikovarijacijske funkcijeuzorka i vizualno usporediti s teorijskim kovarijacijskim funkcijama za raznevrijednosti od r i s. Nakon toga se trebaju procijeniti parametri w1, w2, . . . , wri1, 2, . . . , snumerickimmetodamaprocjeneBox-Jenkinsovogpristupa.Korak3.Izracunaju se vrijednosti ostataka {n}Nn=1u preliminarnommodelu pri-jenosne funkcije. Koristi se Box-Jenkinsov pristup za identiciranje ARMA(p, q)modela(B)n= (B)enzaopis {n}Nn=1.Model prijenosne funkcije za opis izlaznog vremenskog niza {yn}Nn=1dan je s(B)(B)Un= + C(B)w(B)BlVn + (B)en.Poglavlje5,stranica44 c FacultyandInstituteofActuaries2000 Analizavremenskihnizova Predmet10313 Neki specijalni nestacionarni i nelinearnimodelivremenskihnizovaBilinearnimodeli.Opca klasa bilinearnih modela ukljucuje slucajne procese {Xn}n=sdeniranerelacijomXn +p

k=1k(Xnk) = + en +r

k=1ckenk +m

l=1q

k=1blk(Xnl)enk,gdjeje {en}n=bijeli sum. Najjednostavnijipredstavnikklasebilinearnihmodelajeslucajniproces {Xn}n=sdeniranrelacijomXn + (Xn1) = + en + cen1 + b(Xn1)en1.Glavnakvalitativnarazlikaizmedubilinearnihmodelai modelaizARMAklasejetadamnogibilinearnimodelipokazujueksplozivnoponasanje.Autoregresivnimodelispragom.Jednostavanpredstavnikklaseautoregresivnihmodelaspragomjeslucajniproces {Xn}n=sdeniranrelacijomXn= +_(Xn1) + en, akojeXn1 d,b(Xn1) + en, akojeXn1> d .Granicni ciklusi su specicno obiljezje nekih modela iz autoregresivne klase spragom. To cini autoregresivne modele s pragom prikladnim za opis ciklickihfenomena.Autoregresivnimodelisaslucajnimkoecijentima.DrugamodikacijamodelaARklasesuautoregresivni modeli saslucajnimkoecijentima regresije. Jednostavan predstavnik je slucajni proces {Xn}n=sdeniranrelacijomXn= +___a(Xn1) + en, svjerojatnostip1,b(Xn1) + en, svjerojatnostip2,en, svjerojatnosti1 p1p2.Druginacinzapisadenicijeslucajnogprocesa {Xn}n=sjeXn= + n(Xn1) + en,c FacultyandInstituteofActuaries Poglavlje5,stranica45Predmet103 Analizavremenskihnizova 2000gdjeje {n}n=sniznezavisnihdiskretnihslucajnihvarijablisazajednickomdistribucijomP[ = a] = p1, P[ = b] = p2, P[ =