Studia Ekonomiczne. Zeszyty Naukowe Uniwersytetu Ekonomicznego w Katowicach ISSN 2083-8611 Nr 221 · 2015

Współczesne Finanse 1 Tadeusz Czernik

Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach Wydział Finansów i Ubezpieczeń Katedra Matematyki Stosowanej tadeusz.czernik@ue.katowice.pl

STRATEGIA STOP-LOSS & PROFIT − OPTYMALIZACJA PORTFELA INWESTYCYJNEGO

Streszczenie: Jednym z celów działań człowieka jest pomnażanie posiadanego majątku. Inwestorzy, podejmując działania na rynku kapitałowym, stosują bardzo zróżnicowane strategie. Poniższe opracowanie przedstawia strategię stop-loss & profit. Ponadto zapre-zentowano tu optymalizację powyższej strategii z punktu widzenia wybranych miar atrakcyjności/ryzyka. Słowa kluczowe: strategia inwestycyjna, ryzyko, procesy losowe. Wprowadzenie

Wszelkim działaniom, a w szczególności aktywności inwestycyjnej, towa-rzyszy ryzyko. Stąd potrzeba jego identyfikacji, kwantyfikacji oraz optymaliza-cji. Klasyczne miary atrakcyjności i ryzyka rozważane w analizie portfelowej to między innymi: oczekiwana stopa zwrotu, wariancja stopy zwrotu, semiodchy-lenie standardowe, wartość zagrożona oraz maksymalna strata [Szegö, 2004; Czernik, Iskra, 2012]. Spośród strategii inwestycyjnych do najczęściej stosowa-nych należą: strategia stałej struktury ilościowej (niezmienna w horyzoncie in-westycji liczba akcji, strategia kup i trzymaj) oraz stała struktura wartościowa (niezmienny w horyzoncie inwestycji odsetek kapitału zainwestowany w odpo-wiednie akcje) [Meucci, 2005]. Ponadto w analizie portfelowej uwzględnia się pewne zdarzenia determinujące specyfikę portfela. W strategii stop-loss spadek wartości inwestycji poniżej określonego poziomu jest bodźcem do rozwiązania portfela (sprzedaż aktywów). W niniejszym opracowaniu zaproponowano strategię stop-loss & profit. W strategii tej zamykamy pozycje na rynku kapitałowym

Tadeusz Czernik

8

w dwóch sytuacjach: jeżeli wartość portfela spadnie poniżej określonego pozio-mu (ograniczenie strat) lub gdy wartość portfela wzrośnie powyżej ustalonego z góry poziomu (konsumpcja zysku). Powyższa strategia została poddana opty-malizacji ze względu na wybrane miary atrakcyjności/ryzyka.

Celem opracowania jest porównanie optymalnych strategii inwestycyjnych w przypadku strategii stop-loss & profit oraz klasycznej strategii bez barier. 1. Strategia stop-loss & profit

Jak wspomniano wyżej, strategia stop-loss & profit jest pewną modyfikacją strategii stop-loss. Polega ona na tym, że poza poziomem ograniczającym stratę wprowadzono poziom determinujący rozwiązanie portfela akcji w sytuacji, gdy wartość portfela będzie większa lub równa wartości pożądanego zysku z inwe-stycji w instrumenty rynku akcji. Ponadto w momencie rozwiązania portfela ak-cji następuje konwersja wartości portfela na środki pieniężne ulokowane w in-strumencie wolnym od ryzyka oprocentowanym według stopy wolnej od ryzyka. W celu oceny atrakcyjności i optymalizacji wartość końcowa (wartość końcowa portfela akcji lub wartość końcowa ulokowana w instrumencie wolnym od ryzy-ka) będzie dyskontowana na początek okresu inwestycji. Stopa dyskonta jest równa tej samej stopie wolnej od ryzyka.

Warto także nadmienić, iż w pracy Czernika [2007] zaproponowano pewną miarę ryzyka opartą na strategii podobnej do strategii stop-loss & profit.

Rysunek 1 przedstawia przykładowe realizacje wartości inwestycji. Jak wy-nika z rysunku 1, wartość końcowa inwestycji jest ograniczona od góry przez wartość 1,2 (liczba przykładowa, dobrana w celu prezentacji strategii) oprocen-towaną na cały okres trwania inwestycji. Górne ograniczenie mogłoby być osią-gnięte jedynie w sytuacji, gdy górny poziom konwersji (profit) zostałby osią-gnięty na początku inwestycji. Dolne ograniczenie wartości końcowej wynosi 0,8 (wartość przykładowa dobrana w celu prezentacji). Sytuacja taka miałaby miej-sce jedynie wtedy, gdy dolny poziom konwersji (loss) byłby osiągnięty na ko-niec okresu. Wartość obecna inwestycji (zdyskontowana wartość końcowa) jest ograniczona od góry przez poziom 1,2 oraz od dołu przez zdyskontowaną war-tość 0,8.

R

Ź

g„Prdlp

jc 1

n

Rys.

Źród

dP

gdz„losPt –r – dt –lossprof

jest ciąg

1.1

nym

. 1.

dło: O

Fo

tP =

zie: sow– wastop

– infs – dfit –

Wop

głej

. D

Wm ru

Przynos

Opra

orm

"⎧⎪= ⎨⎪⎩

wa eartopa wfinidol– gó

Wyraproc r.

Dyn

W opuch

ykłasi 0,

cowa

maln

"los

ewoość wolitezny órnyażencent

am

pracem

adow8, gó

anie

ny z

t

sowP

olucinwlna

zympozy pnie tow

mika

cowBr

we reórny

wła

zapi

wa erdt

cja”west

od malnziomozidP

wana

a p

wanrow

ealizy 1,2

sne.

is d

ewot

” – ktycjryz

ny pm kom

Pt =a w

port

niu zna

zacj2

dyna

olucjeż

kapji wzykprzykonw

m ko= Pwedł

tfel

zało[M

S

e wa

ami

cjażeli

pitałw chka, yroswer

onwtdt ług

la a

ożoerto

Stra

arto

iki

"∃

ł ulohwi

st czrsji

wersjjes sto

akc

ono,on,

dSi

tegi

ści i

war

(jeżs∃

okoili t,

zaswaji wt róopy

cji

, że197

i = μ

ia st

inwe

rtoś

żelit≤

owa,

u, artowartówny (in

e dy73;

μiSi

top-

esty

ści

) (:it

∀

any

ści toścnownten

ynamØk

idt +

-los

ycji.

inw

(( s

sP∀

w p

porci pważnsy

mikksen

+ σ

s &

Dol

west

slo≤≤

por

rtfeportne

ywn

ka cnda

σiSid

& pro

lny p

tycj

) :toss

rtfel

ela afelastw

nośc

cenl, 2

dWi

ofit…

pozi

ji m

( sPs ∨

lu a

akcja akwierci o

n ak2010

,

…

iom

ma p

s

s

PP>≥

akcj

ji,kcjirdzeopro

kcji 0]:

roz

post

losp≥

ji,

. eniuocen

jes

związ

tać:

ssprof∧

u, żntow

st op

ązani

:

)sP

fit∧

że wwan

pisa

ia po

p<

warnia)

ana

ortfe

pro

rtoś) ka

a ge

ela a

ofit

ść kapit

eom

akcj

)

(

kaptaliz

metr

(

i wy

1.1)

itałzacj

rycz

(1.2

9

y-

)

łu ji

z-

2)

Tadeusz Czernik

10

gdzie: Si – cena i-tej akcji, μi – dryf i-tej akcji, σi – zmienność i-tej akcji, Wi – proces Wienera.

Wartość akcji w dowolnym momencie jest dana wzorem:

1

n

t i ii

P n S=

= ∑ , (1.3)

gdzie: ni – liczba akcji i-tego podmiotu, n – liczba podmiotów, których akcje znajdują się w portfelu.

Infinitezymalna zmiana wartości portfela akcji może być zapisana następująco:

1

n

t i ii

dP n dS=

= ∑ . (1.4)

W zapisie tym skorzystano z warunku samofinansowania, tzn. zmiana wartości portfela może się jedynie dokonać na skutek zmiany ceny instrumentów wcho-dzących w skład portfela. Zmiana liczby akcji nie wpływa na wartość portfela. Ponadto założono brak kosztów transakcyjnych.

W przypadku strategii kup i trzymaj (do momentu osiągnięcia poziomu loss lub profit) równanie to można zapisać:

( )

1

n

t i i i i i ii

dP n S dt S dWμ σ=

= +∑

(1.5)

i dalej:

( )

1 1

n n

t i i i i i i ii i

dP n S dt n S dWμ σ= =

= +∑ ∑ . (1.6)

Korzystając z własności procesu Wienera, równanie (1.6) można zapisać w postaci:

t p PdP dt dWμ σ= + , (1.7) gdzie:

1

n

P i i ii

n Sμ μ=

= ∑ – dryf portfela,

1

2 2 2

1 12

n n n

P i i i i j i j i j i ji i j i

n S n n S Sσ σ σ σ ρ−

= = >

= +∑ ∑∑ – zmienność portfela,

Strategia stop-loss & profit…

11

( )dS, ,d

Sji

ij i ji j

dScorr corr dW WS

ρ⎛ ⎞

= =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

– współczynnik korelacji,

dW – proces Wienera.

Jak można zauważyć, przydatność wzoru (1.7) w symulacjach jest wątpliwa – dryf i zmienność portfela zależą od cen akcji i tym samym musiałyby być ge-nerowane osobno. Optymalnym wyborem formuł w ewentualnych symulacjach (strategia kup i trzymaj) są wzory (1.4) oraz (1.2).

W przypadku stałej struktury wartościowej (niezmienny odsetek wartości portfela jest ulokowany w każdej z akcji) wzór (1.4) można zapisać następująco:

1 1

n nt i i i i

ii it t i i

dP n S dS dSwP P S S= =

= =∑ ∑ , (1.8)

gdzie i ii

t

n SwP

= jest odsetkiem wartości kapitału zainwestowanego w i-tą akcję.

Jak łatwo zauważyć, suma wag wynosi jeden:

1 1 1

1 1 1n n n

i ii i i t

i i it t t

n Sw n S PP P P= = =

= = = =∑ ∑ ∑ . (1.9)

Dodatnia wartość wagi wi oznacza długą pozycję, natomiast wartość ujem-na krótką sprzedaż.

Wzór (1.8) można zapisać w postaci:

( )

1 1

n nt i

i i i i ii it i

dP dSw w dt dWP S

μ σ= =

= = +∑ ∑ . (1.10)

Podobnie jak wyżej, wzór (1.10) można przedstawić następująco:

t p t P tdP Pdt PdWμ σ= + , (1.11) gdzie:

1

n

P i ii

wμ μ=

= ∑ – dryf portfela,

12 2

1 12

n n n

P i i i j i j i ji i j i

w w wσ σ σ σ ρ−

= = >

= +∑ ∑∑ – zmienność portfela,

( )dS, ,d

Sji

ij i ji j

dScorr corr dW WS

ρ⎛ ⎞

= =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

– współczynnik korelacji,

dW – proces Wienera.

Tadeusz Czernik

12

Z powyższego wynika, że w przypadku stałej struktury wartościowej (wi = const) wielkości μP oraz σP są stałe, tym samym równanie (1.11) oznacza, że wartość portfela jest geometrycznym ruchem Browna. 2. Miary atrakcyjności/ryzyka

Podstawowymi wielkościami decydującymi o włączeniu akcji do portfela, a ostatecznie także o optymalnej strategii, są miary atrakcyjności i ryzyka. W poniższym opracowaniu nie zostanie omówiony związek miar ryzyka i atrak-cyjności z teorią użyteczności.

Pierwszą z omówionych miar atrakcyjności jest oczekiwana stopa zwrotu:

0

0 0

1 1tt t

P PER E EPP P

⎛ ⎞−= = −⎜ ⎟

⎝ ⎠. (1.12)

W sytuacji gdy oceniamy strategię wyłącznie ze względu na oczekiwaną stopę zwrotu, można równoważnie ocenić strategię, stosując wartość oczekiwa-ną przyszłej wartości portfela lub zdyskontowaną (według ustalonej stopy, np. stopy wolnej od ryzyka) wartość oczekiwaną przyszłej wartości portfela:

( ) ( )rt rtt tE e P e E P− −= . (1.13)

Wariancja stopy zwrotu z portfela jest jedną z klasycznych miar ryzyka:

2 2 202

0 0

1tt t

P PD R D D PP P

⎛ ⎞−= =⎜ ⎟

⎝ ⎠, (1.14)

gdzie D2(X) oznacza wariancję wielkości X. Podobnie jak w przypadku oczeki-wanej stopy zwrotu, równoważnie można rozważyć wariancję zdyskontowanej wartości portfela:

( ) ( )2 2 2rt rtt tD e P e D P− −= . (1.15)

Ponieważ wariancja stopy zwrotu nie odróżnia wzrostów i spadków warto-ści portfela, zaproponowano wiele jej modyfikacji, w tym między innymi se-miodchylenie. W niniejszym opracowaniu nie będzie ono rozważane.

Kolejną miarą ryzyka jest wartość zagrożona VaR (Value at Risk) [Holton, 2003; Artzner, Delbaen, Heath, 1999]:

( )0tP P P VaRα α≤ − = , (1.16)

Strategia stop-loss & profit…

13

gdzie α jest poziomem istotności (w zależności od kontekstu zwykle zawiera się w przedziale od 0,001 do kilku dziesiątych). Podobnie jak wcześniej, można równoważnie rozważyć wartość zagrożoną zdyskontowanej wartości portfela (wartość P0 przesuwa jedynie rozkład zmiennej losowej, jaką jest zdyskonto-wana wartość portfela):

( )0rt rt

tP e P P e VaRα α− −≤ − = .

(1.17)

W dalszej części opracowania będzie stosowana poniższa notacja:

( )0rt

tP e P P VaRα α− ≤ − = , (1.18)

gdzie VaRα jest wartością zagrożoną zdyskontowanej wartości portfela. Notacja ta nie zaburza uporządkowania ryzyka.

W teorii i praktyce decyzji inwestycyjnych są także rozważane inne miary, np. warunkowa wartość zagrożona czy też maksymalna strata, jednak nie będą one rozważane w dalszej części opracowania. 3. Symulacje

Rozważany w opracowaniu portfel akcji będzie się składał z akcji dwóch podmiotów, których ewolucja cen będzie dana równaniem (1.2). W celu prezen-tacji strategii stop-loss & profit przeprowadzono symulacje (rozwiązano nume-rycznie stochastyczne równania różniczkowe opisujące ewolucje cen akcji i portfela, stosując algorytm Eulera-Maruyamy [Kloede, Platen, 2013]) wartości portfela w przypadku strategii stałej struktury wartościowej (niezmienne wagi

i ii

t

n Sw constP

= = ). Wartości parametrów determinujące: stochastyczną ewolucję

cen akcji, stopę wolną od ryzyka (wprowadzenie stopy wolnej od ryzyka pozwa-la otrzymać analogie do wartości bieżącej netto) oraz horyzont inwestycji wy-brano arbitralnie.

Strategia stałej struktury wartościowej ( i ii

t

n Sw constP

= = ) wymaga ciągłej

rekonstrukcji portfela w celu przywrócenia pierwotnej wartości wag wi. Możliwe jest również przeprowadzanie restrukturyzacji w sytuacji, gdy wybrana miara ry-zyka wskazuje na przekroczenie założonych wcześniej limitów (tu rekonstruowa-no portfel w sposób ciągły). Jednak strategia ta nie jest sensu stricto strategią o stałej strukturze wartościowej. W opracowaniu założono brak kosztów transak-cyjnych. Założenie to sprawia, że portfel jest portfelem samofinansującym.

1

nPplr

μgz

R

Ź

14

nastP0 =proflossr =

μ1 =gii zon

Rys.

Źród

Wtępu= 1 fit =s = 0,0PoRy

= −0bez

ntów

. 2.

dło: O

We wując– p

= 1,0,8

05 –onaysu0,1z ogw in

Warech

Opra

wszącycpocz,2 – – p

– stoadtounki, μ2

grannwe

arianh ho

cowa

zystch pzątk– popozopao wyi 2 i2 = nicz

esty

ncja oryz

anie

tkicparakowoziozioma woyklui 3 0,1zeń

ycji

zdyzontó

wła

ch pamewa wom pm loolnauczprz, σń orT.

yskonów i

sne.

przeetrówarprof

oss, a odzonozedsσ1 = raz

ntowinwe

ebiew:

rtośofit,

d ryo krstaw0,1stra

waneestyc

ega

ć p

yzykrótkwiaj1, σateg

ej wcji T

T

ach

ortf

ka.ką sją wσ2 =gii

wartoT. St

Tade

sym

fela

sprzwar= 0,

stop

ości trate

eusz

mul

a,

zedaian1, ρp-lo

poregia

z Cz

lacy

aż (cję ρ12 =oss

rtfelabez

zern

yjny

(wi

zdy= 0&

a w ogr

nik

ych

∈ [ysk, w pro

zaleranic

h za

[0,1kont

przofit

eżnoczeń

ałoż

1]).towzypt dla

ości ń

żon

wanepadka ró

od

no i

ej wku oóżn

war

den

wartodp

nych

rtośc

ntyc

toścpowh d

ci w

czne

ci pwiedług

wagi

e w

portdniogośc

w1

wart

felao strci h

dla

tośc

a dlrate

hory

czte

ci

la e-y-

e-

R

Ź

gdznmtfkmndojs

gbs

Rys.

Źród

gii sdynzroznycmiętoścfaktkówmalną edla osiąje wstop

gdybez styc

. 3.

dło: O

Jastop

nie wzum

ch wędzyci ptu,

w zalejeewowaągniwzrop-lo

Ryy μ1

ogcji T

Warech

Opra

ak wp-low p

miałwary stportiż jainwe nieolucartoięteoste

oss &ysu1 = granT.

arianh ho

cowa

wynoss przyłe, rtośctratetfeljeżewesepecję)ści

e (loem & p

unki0,1

nicz

ncja oryz

anie

nika& p

ypagdyci iegiaa deli zstowewn. Wwa

osowzag

profi 4

1, μzeń

zdyzontó

wła

a z prof

adkuyż sinwamidla zostwanność

Wartoagi wa grożfit w

i 5μ2 =

ora

yskonów i

sne.

powofit ju krstra

westi. Pstratan

nychć (coścw1 natżen

wari5 pr

= 0,3az s

ntowinwe

wyżjestrótk

ategtycj

Ponaategą oh w

częśi pr≈

turania siancrzed3, σstra

S

waneestyc

ższyt mkieg

gia si. Padtogii siąg

w akść trrzyj0,2

a ewstracja wdstaσ1 =ateg

Stra

ej wcji T

ychmnie

go hstopPołoo wsto

gnikcjerajejęty

2 jeswoluatą. warawi= 0,gii s

tegi

wartoT. St

h ryejszhorp-looże

w prop-lęte

e naektoych st bucjiJak

rtośiają,5, stop

ia st

ości trate

suna oryzooss niazyplossgra

a śroorii parbardi zok wści pą wσ2

p-lo

top-

poregia

nkówd wontu&

a oppadks &anicodkwa

ramdzo

ostanwyniportaria= 0

oss

-los

rtfelastop

w, wwariu czpro

ptymku

& prce oki parto

metró prnie ikatfelancj0,1,& p

s &

a w p-los

warianczasofitmaldłurofiobs

pienści ów rawdzacz p

la niję z ρ12

prof

& pro

zaless &

riancji du Tog

lnycugicfit pzar

niężnposprdopchopowie jezdy2 =

ofit

ofit…

eżno& pro

ncjadla

T rógranch wch hposiru, tne prtferawpodowan

wyżest

ysko−0dla

…

ości ofit

a wastr

óżniniczwar

horyiadato npoz

ela wwiają

obnna)szeodp

onto0,9 a ró

od

artorategice

za rortośyzona mnastzbawwyką, żene, , cogo,powowadla

óżny

war

ościgii są ozpści ntó

maktępuwiokaze (dże

o ni w

wiedanejod

ych

rtośc

i pobeznie

proswaw T

ksimuje one zujedla hbarekoprz

dniąj w

dpowh ho

ci w

ortfez ogewieszeng rT w

mumkonryz

e dehorrieryoniezypą m

wartwieoryz

wagi

fela granelkinie różn

warim. Wnwezyketermryzoy n

ecznadk

miarątoścednizon

w1

dlaniczie). pot

nią ancWynersj

ka. Dminontunie nie ku są ryci pio s

ntów

dla

a strzeń Jetensię

cja wnikja śDlanistu T zosskustrayzykportstratw in

1

czte

rateń (jest tcjalę powar

ka tśrodategtycz= 2

stanutkuategka. tfelategnwe

5

e-

e-e-to l-o-r-to d-go z-2) ną u-ii

a, ii e-

1

R

Ź

R

Ź

16

Rys.

Źród

Rys.

Źród

. 4.

dło: O

. 5.

dło: O

Warech

Opra

Warech

Opra

arianh ho

cowa

arianh ho

cowa

ncja oryz

anie

ncja oryz

anie

zdyzontó

wła

zdyzontó

wła

yskonów i

sne.

yskonów i

sne.

ntowinwe

ntowinwe

waneestyc

waneestyc

ej wcji T

ej wcji T

T

wartoT. St

wartoT. St

Tade

ości trate

ości trate

eusz

poregia b

poregia

z Cz

rtfelabez

rtfelastop

zern

a w ogra

a w p-los

nik

zaleanicz

zaless &

eżnozeń

eżno& pro

ości

ości ofit

od

od

war

war

rtośc

rtośc

ci w

ci w

wagi

wagi

w1

w1

dla

dla

czte

czte

e-

e-

wwśwwmłpo

wwnl

R

Ź

w sw1 ≈ści warwczmiała nponod s

warwarnie loss

Rys.

Źród

Potrat≈∼0wa

rianześnarą rna sniżejskła

Ryrtośrtośjak

s &

. 6. W

dło: O

odotegi0,2 arianncji niejryzyskutej zaaduysuści pści pk po

pro

Warczte

Opra

obniii st(w ncjinie

j, wykatek apr

u pounkiporparaoprzofit

rtośćerech

cowa

ie jtop-str

i. Ze je

waria. D

przeze

ortfei 6 rtfelamezedndla

ć zagh ho

anie

jak-losrategZ jeest ianc

Dziezek

entoela. i 7

la wetrónioa ró

grożoryzo

wła

k wss &gii dnewr

cja eje skrocowa

7 prw zów:, od

óżny

żonaontó

sne.

wcze& prstop

ej srażliwa

się czenano

rzedzale μ1 dpoych

a zdyów in

S

eśnrofip-lotroniwa

artotaknia wy

dstaeżno

= −owieh ho

yskonwe

Stra

iej,fit zooss ny a naści

k dlagór

ynik

awiaości−0,edn

oryz

ontowstycj

tegi

ryosta& wya dpo

ategrnejki p

ają i od1, μ

nio dzont

wancji T.

ia st

yzykało pro

ydajdrobortfego, j cz

prze

wyd skμ2 =dla tów

nej w. Poz

top-

ko zna

ofit)e s

bne ela że zy edst

ykrekład= 0,

strw inw

wartoziom

-los

miaczn) wyię twanieniedoltaw

esy du ,1, σratewes

ości m isto

s &

ierznie ystęto bahae je wilnej

wiają

waporσ1 =gii styc

porotno

& pro

zonzreępubyć aniaest wiem grące

artortfe= 0bezcji T

rtfelaości α

ofit…

ne weduuje s

cea ww t

my, crani

za

ości la (

0,1, z ogT. P

a w α =

…

warukowspłachąagitymczy icy ależn

zag(waσ2

granPozi

zale0,05

rianwanaszcą po. Je

m prredobsnoś

groagi = 0nicziom

eżno5. S

ncjąne. czeożądednrzypdukszarść w

ożonw1)

0,1,zeń

m ist

ości trate

ą wW

enieądannak,pad

kcja ru. war

nej ) dl ρ12

ń oratotn

od wegia

wartoko

e wyną, jak

dku ryzZ t

rtośc

zdyla n2 = az snoś

wartbez

toścolicykrgdyk zod

zyktegoci z

ysknast−0

straci α

tościogr

ci pcy wesuyż wzauwdpowka wo wzagr

konttępu,9.

ategα =

i waranic

portwartu wawarważwie

wystwzgroż

towującPod

gii s0,0

agi wczeń

1

tfeltoścartortośżonednitąpi

ględżone

wanecycdobstop05.

w1 dl

7

la ci o-ść no ią i-

du ej

ej ch b-p-

la

1

R

Ź

hwżgzZbm

kswd

żmnwni

18

Rys.

Źród

horywysże wgóryzdyZ ubliskmu

konstępw pdla

żonmalnakw pna oisto

. 7. W

dło: O

Poyzostępw py pr

yskouwagkiejlossN

ntowpująprzyróż

Wnej nlna

k w przyod g

otno

Warczte

Opra

odoontópujeprzyrzez

ontogi nj 1 s (μ

Natowanącycypadżnyc

W prnie wazak

ypadgóry

ości

rtośćerech

cowa

obniów ce redypadz wowana omoμ1 jeomianej wch wdkuch hrzypjes

artokredkuy p(α

ć zagh ho

anie

ie jaczasdukdku

wartoanej osią

ożnaest uast warwar

u odhorypadt ogść zsie

u strrze

α = 0

grożoryzo

wła

ak wsu pkcjau strość waągana wnujemrys

rtośrtoścdpowyzondku granzagwa

ratez P0,15

żonaontów

sne.

w prpraka ryzrategwy

artośną wniomnesunkści pci pwiedntówstr

niczgrożag [egii P0 – 5) n

a zdyw in

rzypktyczykgii

ynosści warskoe, a ki 8por

paradniow inratezonżona[0,1stolos

nie j

yskonwes

padcznika mstopszącporrtośowa

wa8 i rtfelameo: snwe

egii na oa w

1] oop-lss ⋅ jest

ontowstycji

dku ie s

mierp-locą ortfelć V

ać, żartoś9 pla w

etrówstratestybe

od dw tejogralosse−r

t on

T

wani T. P

warsię nrzonoss okola je

VaRże jeści zprzew zw: μtegiycjiz o

dołuj st

anics & T ≈

na o

Tade

nej wPozi

riannie neg& pło 0est m(dl

est zmiedstzależμ1 =ii bei T. ograu –trateczen

pro0,2

osią

eusz

wartoiom

ncji,róż

go wprof0,27mnila dbarienntawżno= 0ez oPoz

anicuje

egiinie ofit,276ągan

z Cz

ości istot

, wyżniąwartofit w7. Wiejs

długrdzonoś

wiająości,1, ograziomczeńemni jeto

t, po. Je

na.

zern

portnoś

ykreą. Dtoścwar

Wynza l

gicho prci są wi odμ2 =anicm isń mna wst onie

odoedna

nik

rtfelaci α

esyDla dcią rtośnikalub

h horawsą idwykd sk= 0czeństotn

miniwarograe jesobniak z

a w α = 0

y wadłużzagść za to rów

oryzwdopdentkresykład0,3, ń ortnośimartośćanicst oie jaz po

zale,05.

artoższygrożzagr

z fwnazontpodtyczy w

du pσ1

raz ści walnać Vaczoosiąak wowo

eżnoStra

ści ych żonąrożofaktua odtów

dobnzne wartport= 0stra

wyna wVaR

na ąganwczodu

ości ategi

zaghoą. Pona u, iż

d P0

w) dne pdla

tośctfel

0,5, ategnosiartooznod ne. ześnu sto

od wa sto

grożryz

Ponajesż w– l

dla wprzea obci za (wσ2

gii si αość nacdołWa

niejosu

wartop-lo

żonezontadtost og

wartoloss warekrobu azagrwag= 0

stop= 0wa

za łu partoj, je

unko

tościoss &

ej dtów o zagraność ⋅ e−

rtośoczeakcjrożogi w0,1, p-lo0,15artozysprzeość est oowo

i wa& pro

dla kinw

auwniczzag−rT ≈ci weniei). onew1) ρ12

oss &5. ościsk. Mez Pzagogro w

agi wrofit

krótwesważazongroż≈ 0,wage po

ej zdla

2 = & p

i zaMaP0. grożrani

wyso

w1 d

tkicstycjamy

na ożon,276gi wozio

zdysa na−0,

prof

agroaksy

Jedżoniczookie

dla

ch ji y,

od na 6. w1 o-

s-a-,9 fit

o-y-d-na o-ej

R

Ź

R

Ź

Rys.

Źród

Rys.

Źród

. 8. W

dło: O

. 9.

dło: O

Warczte

Opra

Warczte

Opra

rtośćerech

cowa

rtośćerech

cowa

ć zagh ho

anie

ć zah ho

anie

grożoryzo

wła

grożoryzo

wła

żonaontó

sne.

żonaontó

sne.

a zdyów in

a zdyów in

S

yskonwes

dyskonwes

Stra

ontowstycj

ontostycj

tegi

wanji T.

owanji T.

ia st

nej wPoz

nej wPoz

top-

wartoziom

wartoziom

-los

ości m isto

ości m isto

s &

porotnoś

porotnoś

& pro

rtfelaści α

rtfelaści α

ofit…

a w α = 0

a w α = 0

…

zale0,15.

zale0,15

eżno. Str

eżno. Str

ości ateg

ości rateg

od wgia be

od wgia st

wartez o

warttop-l

tościgran

tościloss

i wanicze

i wa& p

agi weń

agi wprofit

1

w1 d

w1 dt

9

dla

dla

Tadeusz Czernik

20

Ograniczenie dolne wynoszące: P0 – profit = −0,2 nie jest osiągane między innymi z powodu poziomu istotności znacznie różniącego się od 1. Ponadto ograniczenie to byłoby osiągnięte w sytuacji, w której wartość portfela osiągnę-łaby wartość 1,2 w nieskończenie krótkim czasie – co jest nieprawdopodobne. W przypadku długich horyzontów inwestycji oraz wartości wagi w1 ≈∼0,5 wi-doczna jest duża wrażliwość wartości zagrożonej na zmianę składu portfela. Z rysunku 5 (identyczne wartości parametrów) wynika, że w przypadku średnich i długich horyzontów inwestycji wariancja wartości portfela (strategia stop-loss & profit) jest bardzo mała. Fakt ten w zestawieniu z niską wartością VaR świad-czy o szybkim i stosunkowo wysoce prawdopodobnym osiągnięciu górnej grani-cy (profit). W odróżnieniu od strategii bez ograniczeń, w przypadku strategii stop-loss & profit wariancja oraz poziom ryzyka mierzony wartością zagrożoną stabilizują się na niskim poziomie w szerokim zakresie wag (w1 < 0,5). Podsumowanie

W opracowaniu zaprezentowano strategię stop-loss & profit. Porównano własności wybranych miar ryzyka: wariancję zdyskontowanej wartości portfela oraz wartość zagrożoną zdyskontowanej wartości portfela. Jak wynika z prze-prowadzonych symulacji (dla stałej struktury wartościowej), zależność omówio-nych miar ryzyka w strategii stop-loss & profit, w odróżnieniu od strategii bez ograniczeń, od wartości wagi w1 jest nietrywialna. W przypadku zaproponowa-nych wartości parametrów zależność ta jest niemonotoniczna. Miary ryzyka osiągają nie tylko minimum, ale także maksimum.

Zaproponowana tu strategia stop-loss & profit może być dalej rozszerzana. Na przykład można przyjąć niesymetryczne (względem początkowej wartości portfela) poziomy profit i loss. Ponadto granice te mogą być funkcjami czasu. Za-leżność ta może być zarówno deterministyczna, jak i losowa. W przypadku loso-wej zależności granic można je oprzeć na wybranym benchmarku. Literatura Artzner P., Delbaen F., Eber J.-M., and Heath D. (1999), Coherent Measures of Risk,

“Mathematical Finance”, 9, s. 203-228.

Czernik T. (2007), Zysk przed stratą – miara ryzyka z rodziny FPRM [w:] Metody mate-matyczne i ekonometryczne metody oceny ryzyka finansowego, red. P. Chrzan, Wy-dawnictwo Akademii Ekonomicznej, Katowice, s. 29-39.

Strategia stop-loss & profit…

21

Czernik T., Iskra D. (2012), Maximal Loss and Value at Risk. Portfolio Analysis – A Comparison [w:] Mathematical, Econometrical and Computer Methods in Fi-nance and Insurance 2010, eds. A.S. Barczak, T. Węgrzyn, Publisher of the University of Economics in Katowice, Katowice, s. 16-35.

Holton G.A. (2003), Value at Risk. Theory and Practice, Academic Press.

Kloeden P.E., Platen E. (2013), Numerical Solution of Stochastic Differential Equations, Springer.

Merton R.C. (1973), Theory of Rational Option Pricing, “Bell Journal of Economics and Management Science”, 4 (1), s. 141-183.

Meucci A. (2005), Risk and Asset Allocation, Springer.

Øksendal B. (2010), Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applica-tions, Springer.

Szegö G. (2004) (ed.), Risk Measures for the 21st Century, John Wiley & Sons.

STOP-LOSS & PROFIT STRATEGY − PORTFOLIO OPTIMIZATION Summary: One of the goals of human activity is increasing of wealth. Investors taking action on the capital market use very different strategies. This paper presents a strategy stop-loss & profit. In addition, portfolio optimization were conducted from the point of view of selected measures of attractiveness/risk. Keywords: investment strategy, risk, random processes.