Upload
phungkien
View
546
Download
79
Embed Size (px)
Citation preview
A. Struktur Statis Tertentu dan Struktur Statis Tak Tentu
Struktur statis tertentu : Suatu struktur yang mempunyai kondisi di mana jumlah reaksi
perletakannya sama dengan jumlah syarat kesetimbangan statika.
Struktur statis tak tentu : suatu struktur yang mempunyai kondisi di mana jumlah reaksi
perletakannya melebihi jumlah syarat kesetimbangan statika.
Jenis perletakan dan reaksi yang timbul :
Mampu menahan gaya vetikal dan horisontal
tetapi mengalami rotasi (putaran sudut)
Mampu menahan gaya vetikal dan
mengalami rotasi
Mampu menahan gaya vetikal, horisontal
dan momen serta tidak mengalami
rotasi tumpuan
Jumlah syarat kesetimbangan statika :
1. Struktur 2 dimensi : 3 syarat kesetimbangan ----> Fx = 0 ; Fy = 0 ; M = 0
2. Struktur 3 dimensi : 6 syarat kesetimbangan ----> Fx = 0 ; Fy = 0 ; Fz = 0
Mx = 0 ; My = 0 ; Mz = 0
Pada suatu struktur balok atau portal, apabila jumlah joint (titik kumpul atau titik simpul) termasuk
perletakan dinyatakan sebagai j, jumlah batang yang dibatasi 2 joint dinyatakan sebagai m, dan
jumlah reaksi perletakan dinyatakan sebagai r maka dalam bentuk formula,
3
Jenis peletakan
Perletakan Sendi
Perletakan Rol
Perletakan Jepit
2
STRUKTUR STATIS TAK TENTU
Simbol/notasi Reaksi dan rotasi yang timbulNo.
1
y
x
z
x
y
Struktur statis tertentu : 3j = 3m + r
Struktur statis tak tentu : 3j < 3m + r
B. Contoh Struktur StatisTertentu dan Struktur Statis Tak Tentu
1.
Reaksi perletakan, r = 3 3j = 3m + r
Jumlah batang, m = 1 (3 * 2) = (3 * 1) + 3
Jumlah joint, j = 2 6 = 6 -------> Struktur statis tertentu
2.
Reaksi perletakan, r = 3 3j = 3m + r
Jumlah batang, m = 0 (3 * 1) = (3 * 0) + 3
Jumlah joint, j = 1 3 = 3 -------> Struktur statis tertentu
3.
Reaksi perletakan, r = 3 3j = 3m + r
Jumlah batang, m = 1 (3 * 2) = (3 * 1) + 3
Jumlah joint, j = 2 6 = 6 -------> Struktur statis tertentu
4.
Reaksi perletakan, r = 4 3j = 3m + r
Jumlah batang, m = 1 (3 * 2) = (3 * 1) + 4
Jumlah joint, j = 2 6 < 7 -------> Struktur statis tak tentu
A BRAy
RAx
RBy
A
RAy
RAx
MA
A BRAy
RAx
RBy
A B
RAy
RAx
RBy
RBx
y
x
y
x
y
x
y
x
5.
Reaksi perletakan, r = 4 3j = 3m + r
Jumlah batang, m = 2 (3 * 3) = (3 * 2) + 4
Jumlah joint, j = 3 9 < -------> Struktur statis tak tentu
6.
Reaksi perletakan, r = 8 3j = 3m + r
Jumlah batang, m = 2 (3 * 3) = (3 * 2) + 8
Jumlah joint, j = 3 9 < -------> Struktur statis tak tentu
7.
Reaksi perletakan, r = 3j = 3m + r
Jumlah batang, m = 3 (3 * 4) = (3 * 3) + 9
Jumlah joint, j = 4 < -------> Struktur statis tak tentu12
10
18
9
13
14
y
x
B C
RBx
RBy
RCx
RCy
A
RAy
RAx
MA MC
A
RAy
RAx
B
RBy
C
RCy
y
x
z
x
y
B
RBzRBy
RBx
RCz
RCxRCy
Tumpuan sendi
A
RAz
RAxRAy
C
C. Metode Analisis Pendekatan
dengan nol.
1. Struktur balok yang kedua ujungnya terjepit dengan beban merata
1) Balok statis tak tentu
kedua ujung terjepit
dengan beban merata
2) Sketsa deformasi balok
Terdapat dua titik belok
yaitu titik M dan N
Pada titik M dan N
momen lenturnya
sama dengan nol
3) Struktur diuraikan menjadi
segmen-segmen statis
stertentu yg terpisahkan
pada titik belok
Reaksi tumpuan dan
momen untuk masing-
masing segmen dapat
dihitung.
Segmen I :
RM = RN
= (w x 0,58L)/2
= 0,29 wL
ML = (wL2)/8
= (w x (0,58L)2)/8
= wL2/24
Metode analisis pendekatan didasarkan pada deformasi balok (struktur) dengan mencermati lokasi
titik-titik belok, di mana pada titik-titik belok deformasi balok (struktur) momen lenturnya sama
A B
MAMB
RA RB
L
A B
M N
0,21L 0,21L0,58L
w
A B
MAMB
RARB
M N
RM RN
0,21L 0,21L0,58L
w
ww
ML
(I)
(II) (II)
(+)
Segmen II :
RM atau RN menjadi
beban pada segmen II
RA = RB
= (w x 0,21L)+RM
= 0,21 wL + 0,29 wL
= 0,5 wL
MT = - (RM x 0,21L) -
(w x 0,21L) x (0,21L/2)
= - (0,29 wL x 0,21 L) -
0,022 wL2
= - wL2/12
Diagram momen untuk seluruh
struktur adalah gabungan dari
diagram momen masing-masing
segmen.
Diagram gaya lintang
2. Struktur balok yang kedua ujungnya terjepit dengan beban terpusat
1) Balok statis tak tentu
kedua ujung terjepit
dengan beban terpusat
2) Sketsa deformasi balok
Terdapat dua titik belok
yaitu titik M dan N
Pada titik M dan N
momen lenturnya
sama dengan nol
ML=wL2/24
(-)
MT=- wL2/12
(-)
(+)
A B
MAMB
RARB
L
L/2
P
A B
M N
0,25L 0,25L0,5L
MT
(-)
(+)
(-) D=1/2wL
D=1/2wL
3) Struktur diuraikan menjadi
segmen-segmen statis
tertentu yang terpisahkan
pada titik belok
Reaksi tumpuan dan
momen untuk masing-
masing segmen dapat
dihitung.
Segmen I :
RM = RN
= 1/2 P
ML = 1/4 PL
= 1/4 x P x 0,5L
= 1/8 PL
Segmen II :
RM atau RN menjadi
beban pada segmen II
RA = RB
= RM
= 1/2 P
MT = - (RM x 0,25L)
- (1/2 P x 0,25L)
= -1/8 PL
Diagram momen untuk seluruh
struktur adalah gabungan dari
diagram momen masing-masing
segmen.
Diagram gaya lintang
A B
MAMB
RARB
M N
0,25L 0,25L0,5L
(II) (II)
RM RN
P
(I)
ML
MT
ML = 1/8PL
MT=-1/8PL
(+)
(-)(-)
(+)
(-) D=-1/2P
D=1/2P
3. Struktur balok terjepit dan tumpuan sendi dengan beban merata
1) Balok statis tak tentu
ujung terjepit dan
tumpuan sendi dengan
beban merata
2) Sketsa deformasi balok
Terdapat satu titik belok
yaitu titik M
Pada titik M momen
lenturnya adalah nol
3) Struktur diuraikan menjadi
segmen-segmen statis
stertentu yg terpisahkan
pada titik belok
Reaksi tumpuan dan
momen untuk masing-
masing segmen dapat
dihitung.
Segmen I :
RM = RA
= (w x 0,75L)/2
= 0,375 wL
ML = (wL2)/8
= (w x (0,75L)2)/8
= 9/128 wL2
Segmen II :
RM menjadi beban pada
segmen II
RB = (w x 0,25L)+RM
= 0,25 wL + 0,375 wL
= 0,625 wL
A B
MB
RARB
L
w
A
M
0,25L0,75L
A
B
MB
RA
RB
M
RM
0,25L0,75L
w
w
(I)
(II)
ML
(+)
MT
(-)
MT = - (RM x 0,25L) -
(w x 0,25L) x (0,25L/2)
= - (0,375 wL x 0,25 L) -
0,03125 wL2
= - wL2/8
Diagram momen untuk seluruh
struktur adalah gabungan dari
diagram momen masing-masing
segmen.
Diagram gaya lintang
4. Struktur balok terjepit dan tumpuan sendi dengan beban terpusat
1) Balok statis tak tentu
ujung terjepit dan
tumpuan sendi dengan
beban terpusat
2) Sketsa deformasi balok
Terdapat satu titik belok
yaitu titik M
Pada titik M momen
lenturnya sama dengan
nol
MT=-wL2/8
(-)
ML=9/128wL2
(+)
A B
MB
RARB
L
A
B
M
0,2725L0,7275L
P
L/2
P
(+)
(-)
D=-0,625wL
D=0,375wL
3) Struktur diuraikan menjadi
segmen-segmen statis
stertentu yg terpisahkan
pada titik belok
Reaksi tumpuan dan
momen untuk masing-
masing segmen dapat
dihitung.
Segmen I :
RM = (0,5/0,7275) x P
= 0,687 P
RA = (0,2275/0,7275) x P
= 0,313 P
ML = RA x 0,5L
= 0,313P x 0,5L
= 5/32 PL atau
ML = RM x 0,2275L
= 0,687P x 0,2275L
= 5/32 PL
Segmen II :
RM menjadi beban pada
segmen II
RB = RM
= 0,687 P
MT = - (RM x 0,2725L) -
= - (0,687 P x 0,2725 L) -
= -3/16 PL
Diagram momen untuk seluruh
struktur adalah gabungan dari
diagram momen masing-masing
segmen.
A
RA
RM
(I)
B
MB
RB
M(II)
P
0,2725L0,7275L
0,5L 0,2275L
ML
(+)
MT
(-)
ML=5/32 PL
(+)
MT=-3/16 PL
(-)
Diagram gaya lintang
D. Metode Clapeyron
1. Pengertian metode Clapeyron
persyaratan yaitu :
1) Keseimbangan
kaku sama dengan nol.
2) Kestabilan
sama besarnya dan arahnya
Perhatikan konstruksi di bawah ini !
Batang T1, T2, T3 bertemu di titik simpul T dengan sambungan kaku maka,
MT1 + MT2 + MT3 = 0 dan qT1 = qT2 = qT3
diasumsikan sebagai sambungan kaku, dimana dalam sambungan kaku harus dipenuhi dua
Jumlah momen batang-batang yang bertemu pada sebuah titik simpul yang disambung secara
Rotasi batang-batang yang bertemu pada sebuah titik simpul yang disambung secara kaku
Metoda Clapeyron atau yang dikenal juga dengan Metode Persamaan Tiga Momen adalah salah cara
menyelesaikan suatu struktur statis tak tentu di mana meliputi perhitungan semua gaya-gaya luar
(reaksi perletakan) dan gaya-gaya dalam (gaya normal, gaya lintang, momen) pada struktur tersebut.
Pada suatu struktur balok dan portal, sambungan antara batang-batang pada struktur tersebut
D=-0,687P
D=0,313P
1 2
3
T
MT1
MT2
MT3
P
qT3
qT2
qT1
(+)
(-)
Deformasi (rotasi) balok disebabkan oleh beberapa faktor yaitu :
1) Akibat beban luar yang bekerja
a) Beban terpusat di tengah bentang
q12 = q21 =
b) Beban terpusat jarak a dari tumpuan 1
q12 =
q21 =
c) Beban merata
q12 = q21 =
d) Beban merata setengah bentag
q12 =
q21 =
2) Akibat momen pada salah satu ujung balok
a) Momen di ujung balok 1
q12 =
q21 =
3 EI
PL2
Pb (L2 - b
2)
6 EI L
24 EI
16 EI
M1 L
Pa (L2 - a
2)
6 EI L
wL3
384 EI
7 wL3
9 wL3
384 EI
M1 L
6 EI
1 2q12 q21
P
EI
L/2 L/2
1 2q12 q21
P
EI
a b
L
1 2q12 q21
EI
L
w
1 2q12 q21
EI
w
L/2 L/2
M1
1 2q12 q21
EI
L
b) Momen di ujung balok 2
q12 =
q21 =
3) Akibat perpindahan (translasi) relatif ujung balok terhadap ujung balok yang lain
q12 = q21 =
bergoyang.
sebagai berikut :
1)
2)
3) Batang dibatasi oleh dua titik simpul, sehingga pergerakan titik simpul searah batang sama.
Dari konsep tersebut dapat dirumuskan : n = 2 j – (m + 2f + 2 h + r)
dimana,
n = jumlah derajat kebebasan dalam pergoyangan.
j = jumlah titik simpul termasuk perletakan
m = jumlah batang yang dibatasi oleh dua joint.
f = jumlah perletakan jepit.
h = jumlah perletakan sendi.
r = jumlah perletakan rol
Apabila n 0, struktur tidak dapat bergoyang.
dari dua ketentuan syarat sambungan kaku seperti yang disebutkan diatas yaitu :
1) Jumlah momen-momen batang yang bertemu pada satu titik simpul sama dengan nol.
2) Rotasi batang-batang yang bertemu pada satu titik sama, besar dan arahnya.Dan kalau ada variabel D perlu persamaan keseimbangan struktur.
(bilangan yang tidak diketahui) dan pergoyangan (defleksi D ) pada struktur-struktur yang dapat
Untuk menentukan apakah sebuah struktur dapat bergoyang atau tidak, dapat dilihat dari teori
Suatu titik simpul mempunyai dua kemungkinan arah pergerakan, yaitu vertikal dan horizontal.
Perletakan jepit dan perletakan sendi tidak dapat bergerak vertikal maupun horizontal,
sedangkan perletakan rol dapat bergerak hanya pada satu arah yaitu searah bidang perletakan.
Untuk menghitung variabel yang ada, disusun persamaan-persamaan sejumlah variabel yang ada
Metoda Clapeyron (Persamaan Tiga Momen) memakai momen-momen batang sebagai variabel
3 EI
D
L
M2 L
6 EI
M2 L
M2
1 2q12 q21
EI
L
1 2
q12
q21
L
D
2. Langkah-langkah penyelesaian metode Clapeyron
Untuk menyelesaikan perhitungan struktur statis tidak tertentu dengan metode Clapeyron (metode
Persamaan Tiga momen) urutan langkah-langkah yang harus dikerjakan adalah sebagai berikut :
1) Tentukan apakah struktur statis tidak tertentu tersebut mempunyai pergoyangan, dengan
rumus :
n = 2 j – (m + 2f + 2 h + r)
Kalau n 0, berarti stuktur tersebut tidak bergoyang.
a)
Balok diatas tiga tumpuan, A jepit, B dan C rol, dengan beban seperti
tergambar, maka :
j = 3 ; m = 2 ; f = 1 ; h = 0 ; r = 2
n = 2 j – (m + 2f + 2 h + r)
= (2 x 3) - ((2 + (2 x 1) + (2 x 0) + 2))
= 0 --------> Tidak ada pergoyangan
b)
Suatu portal dengan perletakan A dan B sendi, dengan ukuran dan beban
seperti tergambar, maka :
j = 4 ; m = 3 ; f = 0 ; h = 2 ; r = 0
n = 2 j – (m + 2f + 2 h + r)
= (2 x 4) - ((3 + (2 x 0) + (2 x 2) + 0))
= 1 --------> Ada pergoyangan
w=5 kN/m
AB 6 mCD4 m3 m
P=10 kN
EI EI EI
4 m 1,5 mA B
P1=4 kN
P2=6 kN
w=5 kN/m
C D E
4 m EI EI
EI EI
2)
ketentuan yang harus diperhatikan yaitu :
a) Batang tidak berubah panjang, suatu batang ( ij ) kalau joint i bergerak ke kanan sebesar D , maka joint j juga akan berpindah ke kanan sebesar D.
b)
digambarkan dari arah asli sumbu batang ke arah sumbu batang setelah bergoyang.
3)
sama, tetapi arahnya berlawanan.
batang yang lain besar maupun arahnya dimisalkan dengan mengingat ketentuan bahwa
jumlah momen-momen batang yang bertemu pada satu titik simpul sama dengan nol. Jadi
kalau pada satu titik simpul bertemu dua batang , maka besarnya momen-momen batang tadi
Kalau ada pergoyangan, gambarkan bentuk pergoyangan dan tentukan arah rotasi batang –
batang akibat pergoyangan tersebut. Dalam menggambarkan bentuk pergoyangan ada dua
Batang dapat berotasi akibat perpindahan relatif ujung-ujung batang. Perpindahan relatif
antara ujung-ujung batang dapat digambarkan tegak lurus sumbu batang dan arah rotasi
Gambarkan permisalan arah momen-momen batang. Untuk momen kantilever, dapat dihitung
besarnya dan ditentukan secara pasti arah putarannya, sedangkan untuk momen- momen
w=5 kN/m P=10 kN
ABCD MABMBAMBCMCBMCD
P1=4 kN
4) Gambar pemisalan bentuk garis elastis struktur.
bahwa :
a)
harus digambarkan dengan arah rotasi yang sama yaitu searah jarum jam.
b)
rotasi),
searah jarum jam, maka batang-batang yang lain yang bertemu pada titik simpul tersebut
Ujung batang yang terjepit tetap mengalami rotasi (pada saat pemisalan garis elastis
batang yang ujungnya terjepit diasumsikan sebagai tumpuan sendi, sehingga mengalami
Untuk menggambarkan permisalan bentuk garis elastis struktur, harus mengingat ketentuan
Rotasi batang-batang yang bertemu pada satu titik simpul adalah sama besarnya maupun
arahnya. Jadi kalau salah satu batang yang bertemu pada satu titik dimisalkan rotasinya
A B
P1=4 kN
P2=6 kN
w=5 kN/m
C D EMDE
MDB
MDCMCD
MCA
A B
P1=4 kN
P2=6 kN
w=5 kN/m
C D E
qDBBqCA
qCDB qDC
qDE
w=5 kN/m P=10 kN
ABCD
qBA
qBC
Walaupun terjepit tetap mengalami rotasi
5)
batang (Δ) kalau ada goyangan.
6)
momen dan rotasi batang-batang pada titik simpul atau perletakan.
a)
tanda negatif (-) , atau sebaliknya.
b) Rotasi batang dengan perletakan jepit sama dengan nol.
c)
sebaliknya diberi tanda negatif (-).
d)
menghubungkan antara variable satu dengan yang lainnya.
7)
yang dimisalkan terbalik.
8)
tidak tertentu tersebut dapat digambarkan.
3. Contoh-contoh soal :
(free body diagram), maka bidang momen, gaya lintang dan gaya normal dari struktur statis
Dari persamaan-persamaan yang disusun diatas , maka variable-variable yang berupa momen-
momen batang tadi dapat dihitung besarnya. Kalau nilai variable yang didapat positif (+),
maka arah momen permisalan benar, sedangkan kalau nilainya negatif (-), maka arah momen
Setelah momen-momen diperoleh, dengan perhitungan keseimbangan tiap-tiap batang
(rotasi batang) dengan beban dan momen – momen yang ada pada batang tersebut.
Kalau arah rotasi batang pada permisalan garis elastis sesuai dengan rotasi batang yang
diakibatkan oleh beban dan momen batang yang bekerja diberi tanda positif (+) , kalau
Kalau ada variable pergoyangan (Δ) maka perlu tambahan persamaan keseimbangan
struktur. Disini kita buat perhitungan “ free body diagram” dengan arah momen-momen
batang seperti yang dimisalkan , sehingga kita mendapatkan satu persamaan yang
yang ada. Penyusunan persamaan – persamaan tersebut berdasarkan ketentuan keseimbangan
Momen batang-batang yang bertemu pada satu titik simpul sama dengan nol. Untuk
momen batang yang digambarkan dengan arah sama, diberi tanda sama. Misalnya kalau
searah jarum jam diberi tanda positif (+). Maka yang berlawanan arah jarum jam diberi
Rotasi batang-batang yang bertemu pada satu titik simpul sama besar maupun arahnya .
Untuk menyusun persamaan rotasi harus memperhatikan permisalan garis elastis
Dari langkah 1-4 yang telah dikerjakan diatas dapat ditentukan jumlah variablenya, yaitu
momen-momen batang yang belum diketahui besarnya dan perpidahan relatif ujung
Untuk menghitung variable-variable diatas, susunlah persamaan-persamaan sejumlah variable
RCx