Embed Size (px)
Citation preview
Кафедра математики
УЧЕБНО – МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика»
________________________________________________________________________________
РАЗДЕЛ 9 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ»
Теоретические основы
Методические указания для студентов Материалы для самостоятельной работы студентов
Уфа • 2008
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
"УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" (УГНТУ)
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
УДК 517.91(07) ББК 22.161.6я7
У90 Ответственный редактор д. ф.-м. наук, проф. Р.Н. Бахтизин
Редколлегия: АкмадиеваТ.Р., Аносова Е.П., Байрамгулова Р.С., Галиуллин М.М., Галиева
Л.М., Галиакбарова Э.В., Гимаев Р.Г., Гудкова Е.В., Егорова Р.А., Жданова Т.Г., Зарипов Э.М., Зарипов Р.М., Исламгулова Г.Ф., Ковалева Э.А., Майский Р.А., Мухаметзянов И.З., Нагаева З.М., Савлучинская Н.М., Сахарова Л.А., Степанова М.Ф., Сокова И.А., Сулейманов И.Н., Умергалина Т.В., Фаткуллин Н.Ю., Хайбуллин Р.Я., Хакимов Д.К., Хакимова З.Р., Чернятьева М.Р., Юлдыбаев Л.Х., Шамшович В.Ф., Якубова Д.Ф., Якупов В.М., Янчушка А.П., Яфаров Ш.А.
Рецензенты: Кафедра программирования и вычислительной математики Башкирского
государственного педагогического университета. Заведующий кафедрой д. ф.-м. наук, профессор Р.М. Асадуллин. Кафедра вычислительной математики Башкирского государственного университета. Заведующий кафедрой д. ф.-м. наук, профессор Н.Д. Морозкин.
Учебно-методический комплекс дисциплины «Математика». Раздел 9 «Дифференциальные уравнения». Теоретические основы. Методические указания для студентов. Материалы для самостоятельной работы студентов. – Уфа: Издательство УГНТУ, 2008. – 288 с.
Содержит теоретические материалы, способы и методы решения практических задач, задания для самостоятельной работы студентов, контрольные вопросы для самопроверки, список рекомендуемой литературы.
Разработан для студентов, обучающихся по всем формам обучения по направлениям подготовки и специальностям, реализуемым в УГНТУ.
УДК 517.91(07) ББК 22.161.6я7
© Уфимский государственный нефтяной технический университет, 2008
СОДЕРЖАНИЕ
1. Теоретические основы 1.1. Предварительные сведения 7 1.2. Основные понятия 7 1.3. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
10
1.4 Однородные дифференциальные уравнения и приводящиеся к ним
11
1.5 Линейные уравнения 15 1.6. Уравнения Бернулли 18 1.7. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель
20
1.8. Дифференциальные уравнения высших порядков. Основные понятия
23
1.9. Уравнения, допускающие понижение порядка 25 1.10. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков. Определения и общие свойства.
27
1.11. Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами.
32
1.12. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения n - го порядка с постоянными коэффициентами
37
1.13. Метод вариации произвольных постоянных 38 1.14. Метод неопределенных коэффициентов 41 1.15. Системы дифференциальных уравнений 46 1.16. Задачи, приводящие к дифференциальному уравнению 55 1.17. Введение в теорию уравнений математической физики 56 1.18. Дифференциальные уравнения в частных производных. Основные определения и понятия
57
1.19. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка и свойства их решений
59
1.20. Классификация линейных уравнений и приведение их к каноническому виду
61
1.21. Основные уравнения математической физики 67 1.22. О постановке задачи математической физики и ее корректности
70
1.23. Уравнения гиперболического типа. Вывод уравнения колебания струны
71
1.24. Формулировка краевых задач. Граничные и начальные условия
76
1.25. Колебания однородной бесконечной струны. Формула Даламбера
78
1.26. Физическая интерпретация формулы Даламбера 80 1.27. Задача Коши для полубесконечной струны 83 1.28. Метод Фурье для уравнения свободных колебаний струны 84
1.29. Решение смешанной краевой задачи для неоднородного гиперболического уравнения при нулевых граничных условиях
90
1.30. Решение неоднородного гиперболического уравнения при неоднородных граничных условиях. (Общая первая краевая задача)
94
1.31. Уравнения параболического типа. Вывод уравнения теплопроводности (одномерный случай)
96
1.32. Начальное и граничные условия, их физическое толкование. Постановка задач
100
1.33. Распространение тепла в стержне конечной длины. Решение некоторых краевых задач линейной теплопроводности методом Фурье
104
1.34. Распространение тепла в бесконечном стержне. Решение задачи Коши для однородного уравнения теплопроводности методом интеграла Фурье
113
1.35. Пространственная задача теплопроводности. Распространение тепла в шаре
120
1.36. Уравнения эллиптического. Задачи, приводящие к уравнениям Пуассона и Лапласа
122
1.37. Постановка основных краевых задач для уравнений Лапласа и Пуассона
125
1.38. Решение краевых (граничных) задач для простейших областей методом разделения переменных
126
1.39. Заключение 136 2. Методические указания для студентов
2.1. Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. Основные понятия
138
2.2. Дифференциальные уравнения с разделенными и разделяющимися переменными
139
2.3. Однородные дифференциальные уравнения 144 2.4. Дифференциальные уравнения, приводящиеся к однородным
147
2.5. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка 149 2.6. Уравнения Бернулли 152 2.7. Уравнения в полных дифференциалах 153 2.8. Дифференциальные уравнения высших порядков 157 2.9. Уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка
158
2.10. Линейные уравнения высших порядков 161 2.11. Линейные однородные дифференциальные уравнения n – го порядка с постоянными коэффициентами
163
2.12. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения n – го порядка с постоянными коэффициентами. Метод вариации произвольных постоянных
167
2.13. Нахождение частного решения линейного неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами со специальной правой частью. Метод неопределенных коэффициентов
169
2.14. Системы дифференциальных уравнений 173 2.15. Решение прикладных задач 178 2.16. Дифференциальные уравнения в частных производных. Вводные понятия
184
2.17. Классификация и приведения к каноническому виду уравнений в частных производных второго порядка
188
2.18. Основные уравнения и постановка задач математической статистики
191
2.19. Колебания струны. Граничные и начальные условия. Постановка краевых задач
195
2.20. Решение уравнения колебаний струны методом характеристик (методом Даламбера)
199
2.21. Решение уравнений колебаний методом Фурье 202 2.22. Уравнение теплопроводности. Постановка краевых задач 208 2.23. Решение уравнений теплопроводности методом Фурье 212
3. Материалы для самостоятельной работы студентов 3.1. Контрольные вопросы 222 3.2. Задачи и упражнения для самостоятельной работы 224 3.3. Расчетные задания 250 3.4. Лабораторные работы 277 3.5. Литература 288
УЧЕБНО - МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС
РАЗДЕЛ 9 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ»
1. Теоретические основы
7
1.1 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
Дифференциальные уравнения занимают особое место в математике и имеют многочисленные приложения во многих науках. Исследования природных процессов и изучение закономерностей общественных процессов приводят к построению математических моделей, основой которых являются дифференциальные уравнения (ДУ). Теория обыкновенных ДУ исследует случай, когда неизвестная функция и её производные, входящие в ДУ, зависят от одной переменной.
Пусть тело, имеющее температуру 0θ в момент времени t=0, помещено в
среду температуры )( 0 α>θα . Если температура тела )t(θ , то требуется найти закон изменения температуры этого тела в зависимости от времени. Из физики известно, что скорость охлаждения тела пропорциональна разности температур тела и окружающей среды. Учитывая, что функция )t(θ убывающая, в силу механического смысла производной получаем
[ ]α−θ−=θ)t(k
td
)t(d, (1.1)
где k - коэффициент пропорциональности.
Соотношение (1.1) является математической моделью данного физического процесса. Оно называется дифференциальным уравнением, т.к. в него входит неизвестная функция )t(θ и её производная. Решением ДУ (1.1) является функция
α+=θ −ktCe)t( , где С - произвольная постоянная. Её значение можно найти из
условия 0)0( θ=θ , из которого следует, что α+=θ C0 . Таким образом, искомое решение имеет вид
α+α−θ=θ −kt0 e)()t( .
1.2 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.1 Уравнение связывающее независимую переменную x,
функцию y(x) и её производные ,y.,…,y, y (n)′′′ называется обыкновенным дифференциальным уравнением.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.2 Наивысший порядок производной, входящей в ДУ, называется порядком дифференциального уравнения.
8
ПРИМЕР 1.1
ysinxy 2 ⋅=′ - обыкновенное ДУ 1-го порядка; xeyxy =′+′′ - обыкновенное ДУ 2-го порядка.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.3 Уравнение вида 0)yy,F(x, =′ или y)f(x,y =′
называется ДУ первого порядка. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.4 Решение ДУ 1-го порядка 0)yy,F(x, =′ называется
определенная и дифференцируемая на некотором интервале (a,b) функция )x(y ϕ= , которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.
ПРИМЕР 1.2 Функция y=x2 , представляет собой решение ДУ
02x-yx 2 =′ , т.к. при подстановке y=x2 и её производной 2x y =′ в уравнение получается тождество.
Процесс отыскания решения ДУ называется интегрированием ДУ. График решения ДУ называется интегральной кривой.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.5 Условие, что при x=x0 функция y(x) должна быть равна заданному числу y0 , называется начальным условием. Начальное условие
записывается в виде y(x0)=y0 или 0xx yy0
== .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.6 Общим решением ДУ 1-го порядка y)f(x,y =′ в области Д называется функция )c,x(y ϕ= , удовлетворяющая условиям:
1. Функция )с,x(y ϕ= является решением ДУ при любом значении с из некоторого множества.
2. Каково бы ни было начальное условие y(x0)=y0 , где (x0,y0)∈Д , существует единственное значение 0сс = , что решение )с,x(y 0ϕ=
удовлетворяет данному начальному условию. Геометрически общее решение )c,x(y ϕ= представляет на плоскости XOY
семейство интегральных кривых. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.7 Всякое решение )c,x(y 0ϕ= , полученное из общего
решения )c,x(y ϕ= при конкретном значении 0сс = , называется частным решением.
Геометрически частному решению )c,x(y 0ϕ= на плоскости XOY соответствует одна кривая из семейства интегральных кривых, проходящая через точку (x0,y0).
Если общее решение ДУ найдено в неявном виде, т.е. в виде уравнения 0),c,y,x( =Φ , то такое решение называется общим интегралом ДУ. Уравнение 0),c,y,x( 0 =Φ в этом случае называется частным интегралом ДУ.
9
Задача отыскания частного решения ДУ y)f(x,y =′ , удовлетворяющего начальному условию y(x0)=y0, называется задачей Коши.
Теорема 1.1 (существования и единственности решения задачи Коши). Если
в уравнении y)f(x,y =′ и функция f(x,y) её частная производная ( )y,xf y′
непрерывны в некоторой области Д, содержащей точку (x0,y0), то существует единственное решение )x(y ϕ= этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию y(x0)=y0 (без доказательства). Геометрический смысл теоремы состоит в том, что при выполнении её условий существует единственная интегральная кривая ДУ, проходящая через точку (x0,y0).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.8 Особым решением ДУ y)f(x,y =′ называется такое решение, что в окрестности каждой его точки (x,y) существуют более чем одна интегральная кривая, проходящая через эту точку. Геометрически особое решение есть огибающая семейства интегральных кривых (если она существует), т.е. линия, которая в каждой своей точке касается не менее одной интегральной кривой. ДУ 1-го порядка y)f(x,y =′ устанавливают связь между координатами точки (x,y) и угловым коэффициентом y′ касательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку. Таким образом, y)f(x,y =′ дает совокупность направлений (поле направлений) на плоскости XOY. В этом состоит геометрическая интерпретация ДУ 1-го порядка.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.9 Изоклиной называется кривая f(x,y,)=c, во всех точках которой направление поля одинаково.
ПРИМЕР 1.3 С помощью изоклин начертить вид интегральных кривых уравнения
2x y =′ Уравнение изоклин данного
ДУ имеет вид 2x=c, т.е. изоклинами будут прямые, параллельные оси
OY
=2
cx . В точках прямых
проведем отрезки, образующие с осью OX один и тот же угол α , тангенс которого равен c. Так, при с=0 имеем x=0, 0tg =α , поэтому 0=α . При с=1 уравнение
X
Y
0
2
1
2
1− 1
Рис.1.1
10
изоклины 2
1x = , поэтому o45и1tg =α=α . При 1c −= уравнение изоклины
2
1x −= , поэтому o45и1tg −=α−=α и т.д.
Построив четыре изоклины ( 1x,2
1x,0x,
2
1x ===−= ) и отметив на
каждой из них ряд стрелок, наклоненных к оси OX под определенным углом (рис. 1.1), по их направлениям строим линии. Они представляют семейство парабол y=x2+С. Это и будут интегральные кривые. Рассмотрим теперь методы интегрирования ДУ первого порядка.
1.3 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.10 Дифференциальное уравнение первого порядка
называется уравнением с разделяющимися переменными, если оно может быть представлено в виде
)y(g)x(fdxdy ⋅⋅⋅⋅==== (1.2)
или в виде
0dy)y(N)x(Mdx)y(N)x(M 2211 ====++++ , (1.3)
где f(x), g(у), M1(x), N1(y), M2(x), N2(y) - непрерывные функции, отличные от нуля. Для нахождения решения уравнения (1.3) надо разделить обе его части на произведение ( ) ( )xMyN 21 ⋅
( )( )( ) 0dyyN
yNdx
xM
)x(M
1
2
2
1 =+ ,
полученное уравнение с разделенными переменными проинтегрировать
( )( )∫ ∫ =+ cdyyN
yNdx
)x(M
)x(M
1
2
2
1 . (1.4)
Полученное соотношение (1.4) является общим интегралом для уравнения (1.3).
11
ПРИМЕР 1.4 Найти частное решение уравнения ,0xcosylnyxsiny =⋅⋅−⋅′
удовлетворяющее начальному условию e6
y =
π.
Решение. Разделяем переменные в данном уравнении
xcosylnyxsindx
dy ⋅=⋅ , xsin
dxxcos
ylny
dy ⋅= , затем интегрируем ∫ ∫=xsin
dxcos
ylny
dy,
( ) ( )∫ ∫=
xsin
xsind
yln
ylnd, clnxsinlnylnln += . После упрощения получим
.уравненияинтегралобщийxsincyln −⋅= Подставим в него начальное
условие e6
y =
π;
6sinceln
π= , 2
c1= . Найденное с=2 подставим в общий
интеграл, получим xsin2yln = или xsin2ey = – частное решение ДУ с разделяющимися переменными с заданным начальным условием.
1.4 ОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ПРИВОДЯЩИЕСЯ К НИМ.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.11 Функция f(x,y) называется однородной функцией
n-го порядка (измерения) относительно x и y, если для любого значения λ
выполняется равенство )y,x(f)y,x(f n ⋅⋅⋅⋅λλλλ====λλλλλλλλ .
ПРИМЕР 1.5 Функция xy5x)y,x(f 2 += является однородной второго
порядка, т.к. )y,x(f)xy5x(yx5)x()y,x(f 2222 ⋅λ=+λ=λ⋅λ⋅+λ=λλ ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.12 Функция f(x,y) называется однородной нулевого
порядка (измерения) относительно x и y, если для любого значения λ
выполняется равенство )y,x(f)y,x(f ⋅λ=λλ 0 или )y,x(f)y,x(f =λλ .
ПРИМЕР 1.6 Функция 3
3
y
x
x
ytg)y,x(f += является однородной нулевого
прядка, т.к. )y,x(fy
x
x
ytg
)y(
)x(
x
ytg)y,x(f
3
3
3
3
=+=λλ+
λλ=λλ .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.13 Дифференциальное уравнение вида )y,x(fy =′ называется однородным относительно x и y, если f(x,y) является
однородной функцией нулевого порядка.
12
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.14 Дифференциальное уравнение 0dy)y,x(Qdx)y,x(P =+ называется однородным, если функции P(x,y), Q(x,y)-
однородные одного порядка. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.15 Дифференциальное уравнение )y,x(fy =′
называется однородным, если f(x,y)можно представить как функцию только
одного отношения переменных x
y, т.е.
=′xy
fy .
Однородное уравнение с помощью подстановки tx
y = , где ( )xtt = - новая
неизвестная функция сводится к уравнению с разделяющимися переменными. Для
этого xty = и txty ′+=′ ( )1x =′ подставляем в уравнение
=′x
yfy , получаем
( )tftxt =′+ или ( ) ttftx −=′ , где dx
dtt =′ . Разделяя переменные ( ) x
dx
ttf
dt =−
,
интегрируя ( ) Cxlnttf
dt +=−∫ , получаем общий интеграл. В окончательном
решении необходимо t заменить на выражение x
y.
ПРИМЕР 1.7 Решить дифференциальное уравнение
( ) 0dxxy2dxyx 22 =−+ . Решение. Разрешая уравнение относительно производной
=
+=+=′=
x
yf
x
y2
x
y1
xy2
yxy
dx
dy
2
22
, устанавливаем, что y′ является функцией
только отношения переменных x
y. Т.е. данное уравнение является однородным.
Далее вводим новую функцию x
yt = , тогда xty = , а txty ′+=′ ( )1x =′ . После
подстановки y и y′ в уравнение
x
y2
x
y1
y
2
+=′ , оно преобразуется в уравнение с
разделяющимися переменными t2
t1txt
2+=′+ или t2
t1tx
2−=′ , где dx
dtt =′ .
13
Разделяем переменные x
dx
t1
dtt22
=−
, интегрируем
Clnxlnt1ln 2 −=−− или Clnt1lnxln 2 =−+ , тогда ( ) Ct1x 2 ±=− .
Обозначим CC1 ±= . Исключая вспомогательную функцию
=x
ytt ,
окончательно получим общий интеграл x cxy 122 −= .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.16 Уравнение вида 222
111
cybxacybxa
y++++=′ называется
уравнением, приводящимся к однородному, если определитель, составленный
из коэффициентов при x и y не равен нулю, 0ba
ba
22
11 ≠≠≠≠====∆∆∆∆ , т.е.
0baba 1221 ≠⋅−⋅ .
Если же 0ba
ba
22
11 ==∆ , т.е. 0baba 1221 =⋅−⋅ , то уравнение приводится
к уравнению с разделяющимися переменными с помощью подстановки ( ) ybxaxz 22 += или ( ) 222 cybxaxz ++= или ( ) 111 cybxaxz ++= .
Рассмотрим эти два случая более подробно.
1) Пусть в уравнении 222
111
cybxa
cybxay
++++=′ 0
ba
ba
22
11 ≠=∆ . Сделаем подстановку
α+= 1xx , β+= 1yy , где 1x и 1y - новые переменные вместо x и y , α и β - неизвестные числа, подбираемые так, чтобы уравнение стало однородным. Так как
1dxdx = , 1dydy = , а dx
dyy =′ , то
1
1
dx
dyy =′ и уравнение примет вид:
( ) ( )( ) ( ) 21212
11111
1
1
cybxa
cybxa
dx
dy
+β++α++β++α+= или
( )( )2221212
1111111
1
1
cbaybxa
cbaybxa
dx
dy
+β+α+++β+α++= .
Это уравнение будет однородным, если числа α и β подобрать так, чтобы
выражения в скобках были равны нулю, т.е.
=+β+α=+β+α
.0cba
,0cba
222
111 Получаем
однородное уравнение 1212
1111
1
1
ybxa
ybxa
dx
dy
++= , которое в дальнейшем с помощью
14
подстановки 1
1
x
yt = сводится к уравнению с разделяющимися переменными.
Решив его, следует заменить 1x на α−x и 1y на β−y .
2) Пусть в уравнении
++++=′
222
111
cybxa
cybxafy 0
ba
ba
22
11 ==∆ , т.е.
0baba 1221 =⋅−⋅ или 2
1
2
1
b
b
a
a = . Обозначим последнее через k , тогда ka
a
2
1 = ,
kb
b
2
1 = или 21 kaa = , 21 kbb = . Введем замену ( ) ybxaxz 22 += , тогда
( ) 1122122111 ckzcybxakcykbxkacybxa +=++=++=++ ,
2222 czcybxa +=++ .
( ) ybaybxaz 2222 ′+=′+=′ , отсюда ( )22
azb
1y −′⋅=′ и уравнение
++++=′
222
111
cybxa
cybxafy примет вид ( )
++=−′⋅
2
12
2 cz
ckzfaz
b
1. После несложных
преобразований получим 22
12
1
2 acz
czb
b
fbdx
dz +
+
+⋅= . Решив это уравнение с
разделяющимися переменными, следует заменить z на ybxa 22 + . ПРИМЕР 1.8 Найти общий интеграл уравнения
( ) ( ) 0dy1yx2dx1y2x =⋅−+−⋅++ .
Решение. Запишем уравнение в виде 1yx2
1y2xy
−+++=′ . Вычислим
определитель, составленный из коэффициентов при x и y 0312
21≠−==∆ .
Следовательно, уравнение сводится к однородному. Введем замену α+= 1xx ,
β+= 1yy , где 1x и 1y - новые переменные вместо x и y , α и β - неизвестные
числа. Так как 1dxdx = , 1dydy = , а dx
dyy =′ , то
1
1
dx
dyy =′ и уравнение примет вид:
( ) ( )( ) ( ) 1yx2
1y2x
dx
dy
11
11
1
1
−β++α++β++α+= или
( )( )12yx2
12y2x
dx
dy
11
11
1
1
−β+α+++β+α++= . Оно станет
15
однородным, если числа α и β подобрать так, чтобы выражения в скобках были
равны нулю. Решая систему
=−β+α=+β+α
,012
,012 находим 1=α , 1−=β . Уравнение
примет вид 11
11
1
1
yx2
y2x
dx
dy
++
= . Оно является однородным. Сделав подстановку
=′+′=′⋅=
11111 dx
dttгде,txtyxty , приведем его к уравнению с
разделяющимися переменными и решим: ,txx2
tx2xtxt
11
111 +
+=+⋅′
,tt2
t21xt 1 −
++=⋅′ ,
t2
t1x
dx
dt 2
11 +
−=⋅ ,x
dxdt
t1
t2
1
12
=⋅−+
∫ ∫=
−+
−,
x
dxdt
t1
t
t1
2
1
122
,clnxlnt1ln2
1
t1
t1ln 1
2 +=−−−+
( )cx
t1t1
t112
=−−
+. Заменяем t на
1
1
x
y, имеем cx
x
y1
x
y1
x
y1
12
1
1
1
1
1
1
⋅=
−
−
+,
( )( )
cxyxyx
xyx12
12
111
111 ⋅=−−
⋅+, ( ) 111111 yxyxcyx −−=+ ,
( ) ( )112
112
11 yxyxcyx −−⋅=+ , ( )3112
11 yxcyx −=+ . Пусть 12 cc = .
Заменяем 1x на 1xx −=α− , 1y на 1yy +=β− , тогда ( )31 2yxcyx −−=+ -
общий интеграл данного уравнения.
1.5 ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.17 Дифференциальное уравнение называется линейным, если оно линейно (т. е. первой степени) относительно искомой функции у и ее производной y′′′′ . Общий вид линейного уравнения
(((( )))) (((( ))))xQyxPy ====++++′′′′ . (1.4)
Если ( ) 0xQ ≠ , уравнение называется линейным неоднородным, если Q(x)=0 – линейное однородное.
16
Рассмотрим два метода решения линейного неоднородного уравнения. I метод. Метод подстановки или метод И.Бернулли.
Линейное уравнение сводится к двум уравнениям с разделяющимися переменными. Искомую функцию у заменяем произведением двух вспомогательных функций u=u(x) и v=v(x), т.е. y=uv. Тогда vuvuy ′+′=′ и
данное уравнение (1.4) примет вид ( ) ( )xQuvxPvuvu =+′+′ или
( )( ) ( )xQvxPvuvu =+′+′ . (1.5) Пользуясь тем, что одну из вспомогательных функций, например ( )xv ,
можно выбрать произвольно, подберем её так, чтобы выражение в скобках обратилось в нуль, т.е.
( ) 0vxPv =+′ , где dx
dvv =′ .
В качестве v возьмем одно из частных решений v=v(x) этого уравнения с разделяющимися переменными. Подставляя найденное ( )xvv = в уравнение (1.5), и, учитывая, что ( ) 0vxPv =+′ , получим уравнение относительно второй вспомогательной функции u:
( )xQvu =′ , где dx
duu =′ , (1.6)
которое также является уравнением с разделяющимися переменными. Находим общее решение уравнения (1.6) в виде u=u(x,C). Затем, перемножив найденные u и v , запишем общее решение линейного уравнения (1.4):
( ) ( )xvC,xuy ⋅= .
ПРИМЕР 1.9 Найти общее решение уравнения xsin
1xctgyy =−′ .
Решение. Это уравнение линейно относительно y и y′ . Здесь
( ) ctgxxP −= , ( )xsin
1xQ = . Полагаем y=uv; тогда vuvuy ′+′=′ и данное
уравнение примет вид xsin
1xctguvvuvu =−′+′ или
xsin
1)xctgvv(uvu =−′+′ . (1.7)
17
Решая уравнение 0 xctg v-v =′ , найдем его простейшее частное решение
( )xvv = : ,xsinlnvln;dxxctgv
dv;xctgv
dx
dv === откуда v=sin x. Подставляя
v в уравнение (1.7), получим уравнение xsin
1xsinu =′ , из которого находим
( )c,xuu = : xsin
dxdu;
xsin
1xsin
dx
du2
==⋅ , .Cxctgu +−= Итак, искомое общее
решение uvy = , ( ) xsinCxctgy +−= или xsinCxcosy +−= . II метод. Метод вариации произвольной постоянной или метод Лагранжа. Сформулируем этапы решения линейного неоднородного уравнения
( ) ( )xQyxPy =+′ . 1) Составляется соответствующее однородное уравнение
( ) 0yxPy =+′ .
Это уравнение с разделяющимися переменными. Так как dx
dyy =′ , то
( )yxPdx
dy −= . Разделяя переменные и интегрируя ( )dxxPy
dy∫∫ −= , получим
( )dxxPecy ∫−⋅=
- это общее решение однородного уравнения. 2) Произвольную постоянную с заменяем функцией ( )xс и ищем общее
решение неоднородного уравнения (1.4) в виде
( ) ( )dxxPexcy ∫−⋅= .
Функцию ( )xc находим, подставляя y и y′ в неоднородное уравнение (1.4).
Рассмотрим более подробно. Находим производную: ( ) ( ) ′
⋅=′ ∫− dxxP
excy ,
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ).xpexcexcy dxxpdxxP −⋅⋅+⋅′=′ ∫∫ −− Подставим y и y′ в неоднородное
уравнение (1.4): ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),xQexpxcexpxcexcdxxpdxxpdxxp =+⋅⋅−⋅′ ∫∫∫ −−−
откуда ( ) ( ) ( )xQexc dxxp =′ ∫− или
( ) ( ) ( )∫= dxxpexQdx
xdc. Разделяя переменные и
интегрируя ( ) ( ) ( )dxexQxdc
dxxp∫ ∫
∫= , находим искомую функцию
( ) ( ) ( )1
dxxp cexQxc ∫ +⋅= ∫ .
18
Подставляя найденное ( )xc в равенство ( ) ( )∫−⋅= dxxPexcy , получаем общее решение линейного неоднородного уравнения
( ) ( ) ( )∫∫ −⋅+⋅= ∫dxxp
1dxxP e)cdxexQ(y .
ПРИМЕР 1.10 Решить уравнение 2x2xyy =+′ . Решение. 1. Запишем соответствующее линейное однородное уравнение 02xyy =+′ .
Это уравнение с разделяющимися переменными. Тогда
,ecy
,clnxyln,xdx2ydy
,xdx2y
dy,xy2
dxdy 2x2
∫ ∫−=+−=−=−=−=
2xecy −⋅= - общее решение однородного линейного уравнения. 2. Полагаем с=с(x) и ищем решение неоднородного уравнения
2x 2xyy =+′ в виде ( ) 2xexcy −⋅= . Найдем функцию ( )хс . Для этого y и y′ :
( ) ( ) ( )x2excexcy22 xx −⋅⋅+⋅′=′ −− подставим в неоднородное уравнение
( ) ( ) ( ) ,x2excx2excx2exc222 xxx =⋅+⋅−′ −−− отсюда ( ) ,x2exc
2x =′ − или
( ) .ex2xc2x⋅=′ Интегрируя, получим функцию ( )xc : ( ) xdx2exc
2x ⋅= ∫ ,
( ) ( )2xxdexс
2
⋅= ∫ . Подставляя найденное ( ) 1x cexc
2
+= в равенство
( ) 2xexcy −⋅= , запишем общее решение линейного неоднородного уравнения
( ) 22 x1
x ecey −⋅+= или 2x
1 ec1y −⋅+= . Замечание Дифференциальное уравнение (((( )))) (((( ))))yQxyPx ====⋅⋅⋅⋅++++′′′′ линейно
относительно x,x ′′′′ . Замена vux ⋅= , где ( )yuu = , ( )yvv = .
1.6 УРАВНЕНИЯ БЕРНУЛЛИ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.18 Уравнение вида
(((( )))) (((( )))) ,yxQyxPy αααα⋅⋅⋅⋅====++++′′′′ ( )1,0R ≠α≠α∈α (1.8)
называется уравнением Бернулли. При 0=α уравнение является линейным, при 1=α - с разделяющимися переменными. Рассмотрим 2 способа решения:
19
I способ. Разделив обе части уравнения на 0y ≠α , получаем:
( ) ( )xQyxPyy 1 =⋅+′⋅ +α−α− .
Обозначим zy 1 =+α− . Найдем z′ как производную сложной функции
( ) ,yy1z ′⋅α−=′ α− откуда α−′
=′⋅α−
1z
yy . Тогда уравнение (1.8) примет вид
( ) ( )xQzxPz1
1 =+′⋅α−
.
Оно является линейным относительно z и z′ и решается одним из приведенных в параграфе 1.5 способов.
ПРИМЕР 1.11 Решить уравнение y2
xy
x2
1y
2
=−′ .
Решение. Это уравнение Бернулли. Здесь ( ) ( ) 1,2
xxQ,
x2
1xP
2
−=α=−= .
Разделим обе части на -1y : 2
xy
x2
1yy
22 =−′ . Сделаем замену 2yz = , тогда
y2yz ′=′ , откуда 2
zyy
′=′ и уравнение примет вид
2
xz
x2
1
2
z 2
=−′
или
2xzx
1z =−′ . Оно является линейным относительно z и z′ . Сделаем замену
vuz ⋅= , где ( )c,xuu = , ( )xvv = . Подставим z и vuvuz ′+′=′ в уравнение
2xzx
1z =−′ : 22 xv
x
1vuvu,xuv
x
1vuvu =
−′+′=−′+′ . Оно распадается на
два уравнения с разделяющимися переменными 0vx
1v =−′ (1) 2xvu =′ (2). Из
уравнения (1) найдем частное решение ( )xvv = : .xv,xlnvln,x
dx
v
dv === Из
уравнения (2) найдем общее решение ( )c,xuu = : c2
xu,xu,xxu
22 +==′=⋅′ .
Так как uvz = , то ,cx2
xz
3
+= но z = y2 , тогда zy ±= . Окончательно, общее
решение уравнения Бернулли: cx2
xy
3
+±= .
20
II способ. Уравнение Бернулли, не приводя его предварительно к линейному, можно сразу решать методами Бернулли или Лагранжа, описанными в предыдущем параграфе 1.5.
ПРИМЕР 1.12 Решить уравнение 1xyyyx 322 =+′ . Решение. Разделив обе части уравнения на x2y2:
,y
1
x
1
x
yy
22⋅=+′
убеждаемся, что это уравнение Бернулли, где ( )x
1xP = , ( )
2x
1xQ = , 2−=α .
Применив замену y=uv, uvvuy ′+′=′ , имеем 222 vux
1
x
uvuvvu =+′+′ или
222 vux
1
x
vvuvu =
+′+′ . Получаем два уравнения с разделяющимися
переменными: 1) 0xv
v =+′ и 2) 222 vux
1vu =′ . Из первого уравнения, находим
( )xv – частное решение: ;0xdx
vdv =+ ;0xlnvln =+
x1
v;1vx == . Найденное
v подставляем во второе уравнение, находим ( )c,xu - общее решение. 2u
1
x
u =′
,
где dxdu
u =′ . Разделяя переменные ,xdxduu2 = интегрируя 3
C
2
x
3
u 23
+= получим
3 2 Cx23
u += . Так как vuy ⋅= , то x1
Cx23
y 3 2 ⋅+= или 33x
C
x2
3y += -
общее решение заданного уравнения Бернулли.
1.7 УРАВНЕНИЯ В ПОЛНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ.
ИНТЕГРИРУЮЩИЙ МНОЖИТЕЛЬ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.19 Если левая часть уравнения
P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 (1.9)
представляет собой полный дифференциал некоторой функции U(x,y), то уравнение (1.9) называется уравнением в полных дифференциалах. В этом случае его можно переписать в виде dU(x,y)=0. Отсюда
21
U(x,y)=C. (1.10)
Это общий интеграл данного уравнения. Для того, чтобы уравнение (1.9) было уравнением в полных
дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы во всех точках области D, в которой функции ( )y,xP и ( )y,xQ определены, непрерывны и имеют
непрерывные частные производные ( ) ( )
x
y,xQи
y
y,xP
∂∂
∂∂
, было выполнено
условие
.xQ
yP
∂∂∂∂∂∂∂∂====
∂∂∂∂∂∂∂∂
(1.11)
В том случае, когда условие (1.11) выполнено, общий интеграл уравнения
(1.9) можно записать в виде
( )∫ ∫+x
x
y
y0 0
Qdxy,xP ( ) Cdyy,x =0 (1.12)
или
∫x
x
P0
( )dxy,x 0 ( )∫ =+y
y0
Cdyy,xQ (1.13)
где (x0;y0) - фиксированная точка области D, в которой функции ( )y,xP , ( )y,xQ непрерывны. Если же условие (1.11) не выполнено, то уравнение (1.9) не является уравнением в полных дифференциалах. Однако в некоторых случаях его можно привести к уравнению в полных дифференциалах умножением на функцию
( )y,xµ , которая называется интегрирующим множителем. Интегрирующий множитель легко находится в следующих двух случаях: 1) когда он зависит только от x , т.е. ( )xµ=µ ; 2) когда он зависит только от y , т.е.
( )yµ=µ . Первый из этих случаев имеет место, если отношение
( )xQ
x
Q
y
P
ϕ=∂∂−
∂∂
22
является функцией только от x; тогда интегрирующий множитель находится по формуле
( ) ( )∫ ϕ=µ dxxex или ( ) ∫
∂∂−
∂∂
=µdx
Q
x
Q
y
P
ex (1.14)
Второй случай имеет место, если отношение
( )yP
x
Q
y
P
Ψ=∂∂−
∂∂
является функцией только от y; тогда интегрирующий множитель определяется по формуле
( ) ( )∫Ψ−=µ dyyey или ( ) ∫
∂∂−
∂∂
−=µ
dyP
x
Q
y
P
ey . (1.15)
ПРИМЕР 1.13 Найти общий интеграл уравнения
( ) 0dyy2sinxy8ydxcosx2 232 =−+
Решение. Здесь ( ) ( ) y2sinxy8y,xQ,ycosx2y,xP 232 −== ; находим
( ) ( ) ( ).y2sinx2
x
y,xQ,y2sinx2ycosysin2x2
y
y,xP −=∂
∂−=−=∂
∂ Следовательно,
это уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Его общий
интеграл находим по формуле (1.12) ( ) cdyy2sinxy8dxycosx2y
y0
3x
x
2
00
=−+ ∫∫ .
Возьмем в качестве точки ( 00 y;x ) начало координат ( )0;0 :
∫ ∫ =+x
0
y
0
32 ,Cdyy8ydxcosx2 или Cyy6ycosx 322 =+ .
ПРИМЕР 1.14 Найти общий интеграл уравнения
( ) 0dyyxlnxydx 3 =−+ .
Решение. Здесь P(x,y)=y, )yx(lnxy)Q(x, 3−= . Так как ,1yP =
∂∂
3yxln1xQ −+=
∂∂
, то условие полного дифференциала не выполняется. Проверим,
не допускает ли это уравнение интегрирующего множителя. Поскольку
23
( ) ( ),xx
1
yxlnx
yxln11
Qx
Q
y
P
3
3
ϕ=−=−
+−−=∂∂−
∂∂
приходим к выводу, что данное
уравнение имеет интегрирующий множитель, зависящий только от x. Найдем его:
( ) ( ).
x
1eeeex x
1lnxlnx
dxdxx =====µ −−ϕ ∫∫ Умножая обе части исходного
уравнения на найденный интегрирующий множитель x/1=µ , получаем
уравнение ( ) ,0dyyxlndxx
y 3 =−+ которое, как нетрудно проверить, уже будет
уравнением в полных дифференциалах. Решим это уравнение по формуле (1.12):
( ) Cdyyxlndxx
y y
y
30
x
x 00
=−+ ∫∫ . Взяв в качестве точки (x0;y0) точку (1;0), имеем
( ) ( )01ln,Cdyydxx
y y
0
3x
1
==−+ ∫∫ ,C4
yxlny
y
0
4x
1=− следовательно,
.C4
yxlny
4
=− Это и есть общий интеграл данного уравнения.
1.8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.20 Дифференциальное уравнение вида
( ) 0)y,,y,yy,F(x, n =…′′′ (1.16)
называется дифференциальным уравнением n-го порядка. Уравнение, разрешенное относительно старшей производной, имеет вид
( ) ( )( )1nn y,...,y,y,y,xfy −′′′= . (1.17)
Все ДУ порядка выше первого называются ДУ высших порядков.
24
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.21 Решением ДУ (1.16) называется любая n - раз дифференцируемая функция ( )xy ϕ= , которая обращает это уравнение в тождество.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.22 Общим решением ДУ (1.16) называется функция ( )n21 C,...,C,c,xy ϕ= , где C1, C2,…,Cn - произвольные, не зависящие от x
постоянные, удовлетворяющая условиям: 1. ( )n21 C,...,C,C,xy ϕ= является решением ДУ для каждого
фиксированного значения C1, C2,…,Cn. 3. Каковы бы ни были начальные условия
( ) ( )n0xx
n0xx0xx yy,...,yy,yy
000=′=′= === (1.18)
существуют единственные значения постоянных ,...,CC,CC 022
011 ==
0nn CC = такие, что функция ( )0
n0
20
1 C,...,C,C,xy ϕ= является решением уравнения (1.16) и удовлетворяет начальным условиям (1.18).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.23 Всякое решение ( )0n
02
01 C,...,C,C,xy ϕ= уравнения
(1.16), получающееся из общего решения ( )n21 C,...,C,C,xy ϕ= при конкретных
значениях постоянных 0nn
022
011 CC,...,CC,CC === , называется частным
решением. Задача нахождения частного решения ДУ (1.16), удовлетворяющего начальным условиям (1.18), называется задачей Коши.
Теорема 1.2 (существования и единственности задачи Коши).
Если в уравнении (1.17) функция ( )( )1ny,...,y,y,y,xf −′′′ и её частные
производные ( )′′′′
−′′′ 1nyyyy f,...,f,f,f непрерывны в некоторой области D изменения
переменных ( ),y,...,y,y,x 1n−′ то для всякой точки ( )( ) Dy,...,,y,y,x 1n0000 ∈′ −
существует единственное решение ( )xy ϕ= уравнения (1.17), удовлетворяющее начальным условиям (1.18). Без доказательства.
Проинтегрировать (решить) ДУ n-го порядка означает следующее: найти его общее или частное решение (интеграл) в зависимости от того, заданы начальные условия или нет.
Рассмотрим геометрическую интерпретацию решения ДУ на примере ДУ 2-го порядка ( ) 0y,y,y,xF =′′′ . График всякого решения такого ДУ называется интегральной кривой. Общее решение есть множество интегральных кривых; частное решение - одна интегральная кривая этого множества, проходящая через
25
точку (x0,y0) и имеющая в ней касательную с заданным угловым коэффициентом
00 y)(xy ′=′ и кривизной ( )00 xyy ′′=′′ . Рассмотрим некоторые типы дифференциальных уравнений n -го порядка.
1.9 УРАВНЕНИЯ, ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА Суть метода решения состоит в том, что с помощью замены переменной
(подстановки) данное ДУ сводится к уравнению, порядок которого меньше. Рассмотри три типа уравнений, допускающих понижение порядка.
1. Уравнение вида ( ) ( )xfy n =
решается последовательным n - кратным интегрированием. При каждом интегрировании получается одна произвольная постоянная, а в окончательном результате - n произвольных постоянных. Уравнение второго порядка ( )xfy =′′ решается последовательным интегрированием 2 раза.
( ) ( )( )( ) ( ) .cxcdxxFyилиcdxcxFy
,cxFyилиcdxxfy
211211
111
∫∫
∫++=++=
+=′+=′
ПРИМЕР 1.15 Решить уравнение 3x
1y =′′′ .
Решение. Последовательно интегрируя данное уравнение, имеем
∫∫ ++=′
+−=′+−=′′=′′ ,CxCx2
1yилиdxC
x2
1y,C
x2
1yили
x
dxy 2112123
.CxCx2
Cxln
2
1dxCxC
x2
1y 32
2121 +++=
++= ∫ Обозначим 2
CC 1
1 = , тогда
322
1 CxCxCxln2
1y +++= - общее решение.
2. Дифференциальные уравнения n-го порядка
( ) ( ) ( )( ) ,y,...,y,y,xF nkk 01 =+ (1.19)
не содержащее явно искомой функции y и ее младших производных до ( )1−k порядка включительно, допускает понижение порядка на k единиц с
помощью подстановки ( ) ( )xpy k = . Тогда ( ) ( ),yxp 1k+=′
26
( ) ( ) ( )( ) ( )nkn2k yxp,...,yxp ==′′ −+ и уравнение (1.19) приводится к ( )( ) 0p,...,p,p,p,xF kn =′′′ − .
Например, ДУ второго порядка 0=′′′ )y,y,x(F , не содержащее явно искомой функции y , при помощи подстановки ( )xpy =′ , откуда py ′=′′ или
dx
dpy =′′ преобразуется в уравнение первого порядка ( )p,p,xF ′ или
0dx
dp,p,xF =
. Здесь x - независимая переменная, p - новая искомая функция.
ПРИМЕР 1.16 Решить уравнение
+′
⋅′=′′ 1x
ylnyyx .
Решение. Данное уравнение не содержит искомой функции y . Положим
p(x),y =′ тогда py ′=′′ , где dx
dpp =′ и уравнение примет вид ,1
x
plnppx
+=′
или
+=′ 1x
pln
x
pp . Таким образом, мы получили однородное уравнение
первого порядка. Введем вспомогательную функцию ( )xt : x
pt = , откуда ,txp =
txtp +′=′ ( )1x =′ и, следовательно, приходим к уравнению ( )1tlnttxt +=+′
или tlntxt =′ , где dx
dtt =′ . Интегрируя, имеем ,tlnlnxCln 1 = откуда tlnxC1 =
или xC1et = . Возвращаясь к переменной p, т.е. заменяя t на x
p, получим
xC1ex
p = . Так как yp ′= , то .xey xC1=′ Проинтегрировав это уравнение
первого порядка ,dxxey xC1∫= найдем общее решение исходного уравнения
2xC
21
xC
1
CeC
1xe
C
1y 11 +−= .
3. Дифференциальные уравнения n-го порядка
( )( ) ,y,...,y,y,yF n 0=′′′ (1.20)
не содержащее явно независимой переменной x.
27
Здесь порядок уравнения понижается на единицу путем замены двух переменных: в качестве новой искомой функции мы выбираем yp ′= , где ( )ypp = , а за новую
независимую переменную - y. Тогда ppy ′′′′⋅⋅⋅⋅====′′′′′′′′ или dydp
py ⋅⋅⋅⋅====′′′′′′′′ .
Если ДУ не содержит явно независимой переменной x, искомой функции y и
её первых (k-1) производных, то есть, если ДУ имеет вид ( ) ( ) ( )( ) ,0y,...,y,yF n1kk =+ то порядок уравнения можно понизить на (k+1) единиц, применяя сначала
подстановку ( ) ( ),xzy k = а затем (y).pz =′ Например, ДУ второго порядка, не содержащее независимой переменной
x , т.е. (((( )))) 0y,y,yF ====′′′′′′′′′′′′ при помощи подстановки ,yp ′= где ( )ypp =
dydp
pppy ⋅=′⋅=′′ сводится к уравнению первого порядка ( ) 0pp,p,yF =′⋅ .
ПРИМЕР 1.17 Найти частное решение уравнения 0yyy2 3 =′′+′ ,
удовлетворяющее начальным условиям ( ) ( ) 30y,00y −=′= .
Решение. Полагая ( )dy
dppyоткуда,ypy =′′=′ , преобразуем данное
уравнение к виду .dyy2p
dpили,0
dy
dppyp2
23 −==+ Интегрируя, имеем
,Cyp
11
2 += ,Cy
1p
12 +
= так как dx
dyyp =′= , то .
Cy
1
dx
dy
12 +
= Используя
начальные условия: 0=y , 3y −=′ , получим ,C/13 1=− т.е. 3/1C1 −= .
Следовательно, ( ) .dxdy3/1yили,3/1y
1
dx
dy 22
=−−
= Интегрированием находим
( ) .Cx3/yy 23 +=− Используя теперь начальное условие ( ) 00y = , найдем
0C2 = . Таким образом, искомое частное решение имеет вид x3yy3 =− .
1.10. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ. ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ОБЩИЕ СВОЙСТВА
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.24 ДУ n-го порядка называется линейным, если оно первой степени относительно совокупности искомой функции y и ее производных
( ),y,...,y,y n′′ т.е. имеет вид
28
( ) ( ) ( ),xfya...yaya n
1n1
n0 =+++ − (1.21)
где a0,a1,…,an,f(x) заданные функции от x или постоянные, причем 0a0 ≠ для всех значений x из области, в которой рассматривается уравнение (1.21). Функция f(x), стоящая в правой части уравнения, называется правой частью уравнения.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.25 Если 0 f(x) ≠ , уравнение (1.21) называется неоднородным линейным уравнением или уравнением с правой частью.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.26 Если f(x)=0, уравнение называется однородным линейным или без первой части и имеет вид
( ) ( ) .0ya...yaya n1n
1n
0 =⋅+++ − (1.22)
Установим некоторые основные свойства линейных однородных уравнений,
ограничиваясь в доказательствах уравнениями второго порядка
0yayay 21 =+′+′′ . (1.23) ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.27 Два решения уравнения (1.23) y1(x) и y2(x)
называются линейно независимыми на отрезке [ ]b;a , если их отношение не
является постоянным на этом отрезке, т.е. constyy
2
1 ≠≠≠≠ .
В противном случае решения называются линейно зависимыми. ПРИМЕР 1.18 Рассмотрим линейное однородное уравнение 2-го порядка
0y-y =′′ . Функции ,3ee,e x-xxявляются решениями данного уравнения, это
легко проверяется подстановкой их в уравнение. При этом функции
e и e -xxлинейно независимы, т.к. отношение consteee
e
e x2xxx
x
≠=⋅=− при
изменении x. Функции же ex и 3ex линейно зависимы, т.к. .const3
1
e3
ex
x
==
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.28 Если y1,y2,…,yn-функции от x, то определитель
( )( ) ( )1n
n1n
2)1n(
1
n21
n21
n21
y...yy
............................
y........yy
y........yy
y,...,y,yW
−−−
′′′=
называется определителем Вронского или вронскианом.
29
Для функций y1 и y2 вронскиан имеет вид ( ) 122121
2121 yyyy
yy
yyy,yW ′⋅−′⋅=
′′= .
Теорема 1.3 Если функции y1 и y2 линейно зависимы на отрезки [ ]b;a , то определитель Вронского на этом отрезке равен нулю.
Доказательство. Т.к. y1 и y2 - линейно зависимы на [ ]b;a , то y2= 1y⋅λ , где
const=λ , и 12 yy ′λ=′ , тогда
( ) .0yy
yy
yy
yy
yy
yyy,yW
11
11
11
11
21
2121 =
′′λ=
′λ′λ
=′′
=
Теорема 1.4 Если решения y1 и y2 уравнения (1.23) линейно независимы на отрезке [ ]b;a , то определить Вронского W(y1,y2), составлений для этих решений, не обращается в ноль ни в одной точке указанного отрезка.
Доказательство. Предварительно заметим следующее. Функция y=0 есть решение (его называют нулевым или тривиальным) уравнения (1.23) на отрезке
[ ]b;a , удовлетворяющее начальным условиям 0y,0y00 xxxx =′= == , где x0 -
любая точка отрезка [ ]b;a . Из теоремы существования и единственности (1.2), которая применима к уравнению (1.23), следует, что не существует другого решения уравнения (1.23), удовлетворяющего начальным условиям
0y,0y00 xxxx =′= == .
Из этой теоремы также следует, что если решение уравнения (1.23) тождественно равно нулю на некотором отрезке или интервале ( )βα, , принадлежащем отрезку [ ]b;a , то это решение тождественно равно нулю на всем отрезке [ ]b;a . Действительно, в точке β=x (и в точке α=x ) решение
удовлетворяет начальным условиям 0y,0y xx =′= β=β= .
Следовательно, по теореме единственности оно равно нулю в некотором интервале dxd +β<<−β , где d определяется величиной коэффициентов уравнения (1.23). Таким образом, расширяя интервал каждый раз на величину d, где y≡ 0, мы докажем, что y=0 на всем отрезке [ ]b;a .
Теперь приступим к доказательству самой теоремы (1.4). Допустим, что W(y1,y2)=0 в некоторой точке отрезка [ ]b;a . Тогда по теореме (1.3) W(y1,y2) будет равен нулю во всех точках отрезка [ ]b;a : W=0 или .0yyyy 1221 =′⋅−′⋅
Допустим, что 0y1 ≠ на отрезке [ ]b;a . Тогда на основании последнего
равенства можно написать 0y
yyyy21
1221 =′⋅−′⋅
или 0y
y
1
2 =′
, откуда следует
30
;consty
y
1
2 =α= т.е. решения y1 и y2 линейно зависимы, что противоречит
предположению об их линейной независимости. Допустим далее, что y1=0 в точках x1,x2,…,xk, принадлежащих отрезку [ ]b;a .
Рассмотрим интервал (а,x1). На этом интервале 0y1 ≠ . Следовательно, на основании только что доказанного следует, что на интервале (а,x1)
.yyили,consty
y12
1
2 ⋅λ==λ=
Рассмотрим функцию .yyy 12 λ−= Так как 12 yиy есть решения уравнения
(1.23), то 12 yyy λ−= - решение уравнения (1.23) и 0y ≡ на интервале (a;x1). Следовательно, на основании замечания в начале доказательства следует, что
0yyy 12 ≡λ−= на отрезке [ ]b;a , или λ=1
2
y
y на [ ]b;a , т.е. y2 и y1 - линейно
зависимы. Но это противоречит предположению о линейной независимости решений y2 и y1. Мы доказали, что определитель Вронского не обращается в ноль ни в одной из точек отрезка [ ]b;a .
Теорема 1.5 (о структуре общего решения линейного однородного уравнения). Если y1,y2,…yn - линейно независимые частные решения однородного
линейного уравнения ( ) ( ) 0ya...yaya n1n
1n
0 =+++ − , то
nn2211 yC...yCyCy +++= - общее решение этого уравнения (С1,C2,…,Cn - произвольные постоянные).
Доказательство. Докажем теорему на примере линейного однородного уравнения 2-го порядка (n=2). Сначала покажем, что y=C1y1+C2y2 - решение уравнения (1.23), т.е. 0yayay 21 =+′+′′ . Подставим функцию y=C1y1+C2y2 и её
производные 2211 yCyCy ′+′=′ , 2211 yCyCy ′′+′′=′′ в уравнение (1.23):
( ) ( ) ( ) ,0ycyCaycyCaycyC 22112221112211 =++′++″+
,0yCayCayCayCayCyC 2221122211112211 =++′+′+′′+′′
( ) ( ) .0yayayCyayayC 222122121111 =+′+″++′+″ Т.к. y1 и y2 - частные решения (1.23), тогда
и0yayay 12111 =+′+′′ 0yayay 22212 =+′+′′ . Имеем 00C0C 21 =⋅+⋅ - верное
равенство, таким образом 2211 yCyCy += - решение уравнения (1.23) для любых С1 и С2. Теперь докажем, что каковы бы ни были начальные условия
0xx0xx yy,yy00
′=′= == , можно так подобрать значение произвольных
31
постоянных C1 и C2, чтобы соответствующее частное решение yCyC 2211 + удовлетворяло заданным начальным условиям.
Подставляя начальные условия в равенство 2211 yCyCy += , имеем
( ) ( )( ) ( )
′⋅+′⋅=′+=
,ycyCy
ycyCy
0220110
0220110 (1.24)
где обозначено ( ) 01xx1 yy0
== , ( ) 02xx2 yy0
== , ( )01xx1 yy0
′=′ = ,
( ) 02xx2 yy0
′=′ = .
Из системы (1.24) можно определить c1 и c2, т.к. определитель этой системы ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )01020201
0201
0201yyyy
yy
yy′⋅−′⋅=
′′ есть определитель Вронского при x=x0 и,
следовательно, не равен нулю (в силу линейной независимости решений y1 и y2). Частное решение, которое получится из семейства yCyCy 2211 += при
найденных значениях 21 CиC , удовлетворяет начальным условиям. Теорема доказана.
Теорема 1.6 Если известно одно частное решение y1 линейного однородного уравнения (1.23), то второе его решение y2, линейно независимое с первым, можно найти интегрированием первого по формуле
dxy
eyy
21
dxa
12
1
∫∫−
⋅= (1.25)
(без доказательства).
Формула (1.25) дает возможность интегрировать линейные однородные уравнения 2-го порядка сразу, не прибегая к понижению порядка.
ПРИМЕР 1.19 Записать общее решение уравнения ,0yyx
2y =+′+′′ если
известно его частное решение .x
xsiny1 =
Решение. Найдем второе частное решение y2, линейно независимое с первым
∫ ∫ ∫ =
=
=
⋅=
−− ∫
dx
xxsin
e
x
xsindx
xxsin
e
x
xsindx
xxsin
e
x
xsiny 2
x
1ln
2
xln2
2
dxx
2
2
2
32
( )∫ ∫ −=−⋅=== .x
xcosctgx
x
sin
xsin
dx
x
xsindx
x
xsinx
1
x
xsin2
2
2
2
Запишем общее решение:
x
xcosC
x
xsinCyCyCY 212211 ⋅−⋅=+=
.
1.11 ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ n-ГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.29 Линейным однородным дифференциальным
уравнением (ЛОДУ) n-го порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида
(((( )))) (((( )))) (((( )))) ,0yaya...yayay n1n2n
21n
1n ====⋅⋅⋅⋅++++′′′′⋅⋅⋅⋅++++++++++++++++ −−−−
−−−−−−−− (1.26)
где a1,a2,…,an - постоянные. Общее решение уравнения (1.26) имеет структуру
nn2211 yC...yCyCY ++++++++++++⋅⋅⋅⋅==== , (1.27) где y1,y2,…,yn – линейно независимые частные решения однородного уравнения (1.26) или функции, вронскиан которых не равен нулю.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.30 Совокупность n решений ЛОДУ n - го порядка, определенных и линейно независимых на промежутке (a,b) называется фундаментальной системой решений этого уравнения.
ПРИМЕР 1.20 Дано уравнение 0y-y =′′′′ . Составляют ли функции -xx e,e , xch фундаментальную систему решений? Решение. Для проверки линейной независимости этих решений вычислим
вронскиан:
( ) 0
chxee
shxee
chxee
yyy
yyy
yyy
y,y,yWxx
xx
xx
321
321
321
321 =−=′′′′′′′′′=
−
−
−
. (1.28)
Определитель равен нулю, так как соответствующие элементы первой и третьей
строк равны. Так как W=0, то данные функции -xx e,e , xch - линейно зависимы и не составляют фундаментальную систему решений данного ДУ.
33
Решим задачу о нахождении общего решения ЛОДУ (1.26). Будем искать
частные решения в виде функции
y=ekx, где k=const, (1.29)
тогда ( ) .eky...,,eky,eky kxnnkx2kx ⋅=⋅=′′⋅=′ Подставляя полученные выражения в уравнение (1.26), получим
( ) 0aka...kakake n1n2n
21n
1nkx =+⋅++⋅+⋅+⋅ −
−− .
Так как 0ekx ≠ , то
0aka...kakak n1n2n
21n
1n =+⋅++⋅+⋅+ −
−− . (1.30)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.31 Уравнение вида (1.30) называется
характеристическим уравнением. Если число k удовлетворяет характеристическому уравнению (1.30), то
функция ekx будет решением однородного уравнения (1.26). Для простоты сначала рассмотрим частный случай (n=2): линейное
однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами
.0yayay 21 ====++++′′′′++++′′′′′′′′ (1.31)
Соответствующее характеристическое уравнение имеет вид
.0akak 212 ====++++++++ (1.32)
Возможны следующие случаи.
1. 0D > . Характеристическое уравнение имеет действительные различные
корни 21 kk ≠ . Тогда частные решения уравнения (1.31) xk1
1ey = , xk2
2ey = .
Общее решение 2211 yCyCy += уравнения (1.31) имеет вид
.eCeCY xk2
xk1
21 += (1.33) Убедимся, что функции 1y и 2y образуют фундаментальную систему
решений (линейно независимы). Для этого покажем, что их вроскиан не равен нулю.
34
( ) ( ) ( )xkk12
xkxk1
xkxk2xk
2xk
1
xkxk
21
2121
212121
21
21
ekkeekeekekek
ee
yy
yyy,yW +−=−==
′′=
( ) 0y,yW 21 ≠ , т.к. 21 kk ≠ . 2. 0D = . Характеристическое уравнение имеет действительные кратные
корни k , кратность m=2. Частные решения kx1 ey = , kx
2 exy ⋅= . Общее решение
2211 yCyCy += уравнения (1.31) имеет вид
.exCeCY kx2
kx1 ⋅+= (1.34)
Покажем, что kx2 exy ⋅= является решением уравнения (1.31). Для этого
подставим 2y в уравнение (1.31) ( ) ( ) ( ) 0exaexaex kx2
kx1
kx =⋅+′
⋅+″
⋅ . После
несложных вычислений получим ( ) ( ) 0k2axakak 1212 =++++ .
0akak 212 =++ , т.к. −k корень характеристического уравнения (1.32);
0k2a1 =+ , т.к. по условию 0D = , следовательно, корень характеристического
уравнения вычисляется по формуле 2a
k 1−=
±−=a2
Dbk 2,1 . Убедимся, что
1y и 2y линейно независимы, т.е. consty
y
2
1 ≠ . Действительно,
constx
1
xe
e
y
ykx
kx
2
1 ≠== .
3. D<0. Характеристическое уравнение имеет пару комплексно -
сопряженных корней .ik,ik 21 β−α=β+α= Частные решения xcosey x1 β= α ,
xsiney x2 β= α . Общее решение 2211 yCyCy += уравнения (1.31) имеет вид
.xsineCxcoseCY x2
x1 β⋅+β⋅= αα (1.35)
Убедимся, что 1y и 2y - решения уравнения (1.31).
Так как функции xk1e и xk 2e - частные решения (1.31) (см. формулу (1.29)), то по теореме (1.5) их линейная комбинация так же является решением уравнения
(1.31). Покажем, что 1y и 2y есть линейная комбинация функций xk1e и xk 2e .
Действительно, ( ) ( ) ( )( )=+=+=β= β−αβ+αα xixixkxkx1 ee
2
1ee
2
1xcosey 21
35
( ) ( )( ) ( )xcos2e2
1xsinixcosexsinixcose
2
1 xxx β=β−β+β+β= ααα . Аналогично,
( )xkxkx2
21 eei2
1xsiney −=β= α .
Теперь убедимся, что 1y и 2y линейно независимы, т.е. consty
y
2
1 ≠ .
Действительно, constxctgxsine
xcose
y
yx
x
2
1 ≠β=ββ= α
α.
Вернемся к линейным однородным дифференциальным уравнениям n-го порядка (1.26).
Сформулируем необходимые утверждения (уже без доказательств), а затем рассмотрим примеры.
Для корней характеристического уравнения (1.30) возможны следующие случаи.
1. Уравнение (1.30) имеет n простых (кратности 1) действительных корней.
Каждому корню ( )n,1ik i = соответствует одно частное решение xki
iey = . Общее решение ЛОДУ (1.26) согласно (1.27) имеет вид
.eC...eCeCY xkn
xk2
xk1
n21 ⋅+++= (1.36) 2. Уравнение (1.30) имеет m действительных кратных корней k. Каждому
корню k кратности m соответствует m линейно независимых частных решений kx1mkx2kxkx ex...,,ex,ex,e ⋅⋅⋅ − .
3. Уравнение (1.30) имеет комплексно сопряженные корни. Каждой паре простых комплексно - сопряженных корней ik1 β+α= и ik2 β−α=
соответствуют функции xsineиxcose xx β⋅⋅ αα . 4. Уравнение (1.30) имеет комплексно - сопряженные кратные корни
ikиik 21 β−α=β+α= кратности 1m > . Каждой такой паре соответствует 2m частных решений
xcose x βα , xcosex x β⋅ α , xcosex x2 β⋅ α , … , xcosex x1m β⋅ α− ;
xsine x βα , xsinex x β⋅ α , xsinex x2 β⋅ α , … , xsinex x1m β⋅ α− . (1.37)
ПРИМЕР 1.21 Найти общее решение уравнения
.0y4y4yy =+′−′′−′′′ Решение. Запишем характеристическое уравнение. Для этого заменим формально функцию y и ее производные y и y,y ′′′′′′ соответствующими степенями
36
k . y заменяем на 1k0 = , y′ на 1k , y ′′ на 2k , y ′′′ на 3k . Тогда получим
,04k4kk 23 =+−− откуда, раскладывая левую часть уравнения на множители,
имеем ( ) ( ) ( )( )( ) .02k2k1kили,01k41kk2 =−+−=−−− Следовательно,
.2k,2k,1k 321 =−== Так как корни характеристического уравнения действительные и различные, то общее решение данного дифференциального
уравнения имеет вид x23
x22
x1 eCeCeCY ++= − .
ПРИМЕР 1.22 Найти общее решение уравнения .0y9y3y5y =+′+′′−′′′
Решение. Составим характеристическое уравнение 09k3k5k 23 =++− или
( )( ) ,09k6k1k,09k9k6k6kk 2223 =+−+=++−−+ ( )( ) 03k1k 2 =−+ . Таким
образом, характеристическое уравнение имеет один простой -1k1 = и
двукратный корень 3k 3,2 = . Им соответствует фундаментальная система решений x
1 ey −= , x32 ey = , x3
3 exy ⋅= . Общее решение дифференциального уравнения по формуле (1.27) запишется как их линейная комбинация:
( ) .exCCeCY x332
x1 ++= −
ПРИМЕР 1.23 Найти общее решение уравнения
0y4y4yy IV =′+′′+′′′+ . Решение. Этому уравнению соответствует характеристическое уравнение
0k4k4kk 234 =+++ или ( ) ( ) 04kk4kk 222 =+++ , ( )( ) 04k1kk 2 =++ .
Характеристическое уравнение имеет два действительных 0k1 = , 1k2 −= и два
комплексных корня i2k 4,3 ±= . (все они являются простыми). Таким образом,
общее решение данного дифференциального уравнения запишется в виде
.x2sinCx2cosCeCCY 43x
21 +++= − ПРИМЕР 1.24 Найти общее решение уравнения
.0y81y18y IV =+′′+ Решение. Данному уравнению соответствует характеристическое уравнение
( ) ,09kили081k18k2224 =+=++ имеющее двукратные комплексные корни
i3k 4,3,2,1 ±= . Им соответствуют четыре частных решения x3cosy1 = ,
x3siny2 = , x3cosxy3 ⋅= , x3sinxy4 ⋅= . Тогда общее решение однородного уравнения запишется по формуле (1.27) как их линейная комбинация
( ) ( ) .x3sinxCCx3cosxCCY 4321 +++=
37
1.12 ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ n - ГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ
КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение (ЛНДУ) n-го порядка
( ) ( ) ( ) ( )xfyaya...yayay n1n2n
21n
1n =+′⋅++⋅+⋅+ −
−− . (1.38) Теорема 1.7 (о структуре общего решения ЛНДУ). Общее решение Y ЛНДУ
(1.38) представляет собой сумму какого-нибудь частного решения *Y этого уравнения и общего решения Y соответствующего однородного уравнения
( ) ( ) ( ) ,0yaya...yayay n1n2n
21n
1n =⋅+′++⋅+⋅+ −
−− (1.39)
т.е.
.YYY *+= (1.40)
Доказательство. Для простоты, доказательство теоремы проведем для ЛНДУ 2 - го порядка
f(x).yayay 11 =+′+′′ (1.41)
Докажем сначала, что функция (1.40) есть решение уравнения (1.41).
Подставляя сумму *YY + в уравнение (1.41) вместо y, имеем
( ) ( ) ( ) ( )xfYYaYYaYY *2
*1
* =++′
++″
+ или
( ).xfYaYaYYaYaY *2
*1
*21 =
+′
+″
+
+
′⋅+
″ (1.42)
Так как Y есть решение однородного уравнения
0yayay 21 =+′+′′ , (1.43)
то выражение, стоящее в первых скобках, тождественно равно нулю. Так как Y* есть решение уравнения (1.41), то выражение, стоящее во вторых скобках, равно
f(x). Следовательно, равенство (1.42) является тождеством, функция *YY + является решением уравнения (1.41). Первая часть теоремы доказана.
38
Докажем теперь, что (1.40) есть общее решение уравнения (1.41), т.е.
докажем, что входящие в решение *2211
* YyCyCYYY ++=+= произвольные постоянные можно подобрать так, чтобы удовлетворялись начальные условия
( )( )
′=′=
.yxy
yxy
00
00 (1.44)
Продифференцировав функцию
*2211 YyCyCY ++= (1.45)
и подставив начальные условия (1.44) в функцию (1.45) и её производную, получаем систему уравнений
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
′−′=′⋅+′⋅
−=⋅+⋅
,xYyxyCxyC
,xYyxyCxyC
00022011
00022011 (1.46)
где ( ) ( )0000 xyy,xyy ′=′= , с неизвестными С1 и С2. Определителем этой системы является определитель Вронского W(x0) для функций y1(x) и y2(x) в точке x=x0. Так как эти функции по условию линейно независимы (образуют фундаментальную систему решений), то W(x0)≠0.
Следовательно система (1.46) имеет единственное решение: 022
011 CCиCC == .
Решение ( ) ( )xyCxyCYY 2021
01
* ⋅+⋅+= является частным решением уравнения (1.41). Теорема доказана.
1.13 МЕТОД ВАРИАЦИИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ПОСТОЯННЫХ
Рассмотрим универсальный метод нахождения частного решения Y*
неоднородного уравнения (1.38) на примере уравнения 2-го порядка (1.41). Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа) состоит в
следующем: пусть ( ) ( )xyCxyCY 2211 +⋅= - общее решение однородного уравнения (1.43).
Будем искать частное решение Y* неоднородного уравнения (1.41) в виде
( ) ( ) ( ) ( )xyxCxyxCY 2211* ⋅+⋅= . (1.47)
Найдем производную
39
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xyxCxyxCxyxCxyxCY 22221111 ′⋅+⋅′+′⋅+⋅′=′∗ .
Подберем функции C1(x) и C2(x) так, чтобы выполнялось равенство
( ) ( ) ( ) ( ) 0xyxCxyxC 2211 =⋅′+⋅′ . (1.48)
Тогда ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xyxCxyxCY 2211* ′⋅+′⋅=
′,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xyxCxyxCxyxCxyxCY 22221111* ″⋅+′⋅′+″⋅+′⋅′=
″.
Подставляя выражения для ( ) ( )″′ *** Y,Y,Y в уравнение (1.41), получим:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )+″⋅+′⋅′+″+′⋅′ xyxcxyxCxyxCxyxC 22221111
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )xfxyxCxyxCaxyxCxyxCa 2211222111 =++′⋅+′⋅+
или ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ]+⋅+′⋅+′′⋅+⋅+′⋅+′′⋅ xyaxyaxyxCxyaxyaxyxC 222122121111
( ) ( ) ( ) ( ) ( )xfxyxCxyxC 2211 =′⋅′+′⋅′+ .
Так как y1(x) и y2(x) - решения уравнения (1.43), то выражения в квадратных скобках равны нулю, а потому
( ) ( ) ( ) ( ) ( ).xfxyxCxyxC 2211 =′⋅′+′⋅′ (1.49)
Таким образом, функция Y* (1.47) будет частным решением уравнения
(1.41), если функции C1(x) и C2(x) удовлетворяют системе уравнений, составленной из уравнений (1.48) и (1.49):
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
=′⋅′+′⋅′=⋅′+⋅′
.xfxyxCxyxC
,0xyxCxyxC
2211
2211 (1.50)
Определитель системы ( ) ( )( ) ( ) 0
xyxy
xyxy
21
21 ≠′′
, так как это определитель
Вронского для фундаментальной системы частных решений y1(x) и y2(x) уравнения (1.43). Поэтому система (1.50) имеет единственное решение:
( ) ( ) ( ) ( ).xxCиxxC 2211 α=′α=′ Проинтегрировав функции ( ) ( ).xиx 21 αα , находим С1(x) и С2(x), и по формуле (1.47) записываем частное решение неоднородного уравнения (1.41).
40
ПРИМЕР 1.25 Найти общее решение уравнения x2tgy4y =+′′ . Решение. Для нахождения общего решения уравнения воспользуемся
методом вариации произвольных постоянных. Соответствующее однородное уравнение 0y4y =+′′ ; характеристическое
уравнение k2+4=0 имеет корни i2k 2,1 ±= . Следовательно, y1=cos2x и y2=sin2x -
два линейно независимых частных решения однородного уравнения, общее решение ЛОДУ есть x2sinCx2cosCY 21 ⋅+⋅= и частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде
( ) ( ) ,x2sinxCx2cosxCY 21* += (1.51)
где функции С1(x) и С2(x) определяются из системы уравнений вида
( ) ( )( ) ( )
=′+′−=′+′
.x2tgx2cosxC2x2sinxC2
,0x2sinxCx2cosxC
21
21
Решая эту систему, находим
( ) ( ) .x2sin2
1xC,
x2cos
x2sin
2
1xC 2
2
1 =′−=′
Интегрируя полученные равенства, имеем
( ) ∫ ∫ =+
−=+−= 11
2
1 Cdxx2cos
1x2cos
2
1Cdx
x2cos
x2sin
2
1xC
;C4
xtgln4
1x2sin
4
11+
π+−=
( ) ∫ +−=+= .Cx2cos4
1Cxdx2sin
2
1xC 222
Подставляя С1(x) и С2(x) в соотношение (1.51), находим общее решение данного уравнения:
=
+−+
+
π+−= x2sinCx2cos4
1x2cosC
4xtgln
4
1x2sin
4
1Y 21
.4
xtglnx2cos4
1x2sinCx2cosC 21
π+−+=
Замечание 1.1. Метод вариации произвольных постоянных имеет место и для линейных неоднородных уравнений с переменными коэффициентами, т.е. для уравнений вида
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).xfyxayxa...yxayxay n1n2n
21n
1n =⋅+′⋅++++ −
−−
41
1.14 МЕТОД НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ Для ЛНДУ (1.38) с постоянными коэффициентами существует более
простой способ нахождения частного решения Y*, не требующий интегрирования. Если правая часть f(x) уравнения (1.38) имеет так называемый “специальный вид” (иногда в таком случае f(x) называют “специальной правой частью”):
( ) ( ) ( )( ),xsinxQxcosxPexf mnx β+β= α (1.52)
где α и β - действительные числа, а Pn(x) и Qm(x) - многочлены соответственно n-ой и m-й степени с действительными коэффициентами, то частное решение Y* уравнения (1.38) ищется в виде
( ) ( )( )xsinxNxcosxMexY ssxr* β+β⋅= α . (1.53)
Здесь Ms(x) и Ns(x) - многочлены s-й степени (s -наибольшая из степеней n и m) с неопределенными буквенными коэффициентами, а r - кратность, с которой комплексное число iβ+α входит в число корней характеристического уравнения, соответствующего однородному дифференциальному уравнению (1.39).
ПРИМЕР 1.26 Найти общее решение уравнения
( ).9x2x3ey2y 2x ++=′+′′ (1.54) Решение. 1. Найдем общее решение Y соответствующего однородного
уравнения 0y2y =′+′′ . Решая отвечающее ему характеристическое уравнение k2+2k=0, получаем корни k1=0, k2=-2. Следовательно,
.eCCY x221
−+= 2. Перейдем к отысканию частного решения Y* данного уравнения (1.54).
Здесь правая часть ( ) ( )9x2x3exf 2x ++= имеет вид (1.52): n=2, P2(x)=3x2+2x+9, 0,1 =β=α . Так как 1i =β+α не является корнем характеристического урав-
нения, то r = 0. Следовательно, частное решение ∗Y нужно искать в виде
( ) ,eCBxAxY x2* ++= где A, В и С -некоторые коэффициенты, подлежащие определению. Для их оты-скания воспользуемся тем, что Y* должно быть решением данного уравнения.
Найдем :Y и Y ** ″′
42
( ) ( ) ( ) ;eCBBxAx2AxeBAx2eCBxAxY x2xx2* ++++=++++=′
( ) ( ) ,eBA2Ax2eCBBxAx2AxY xx2* +++++++=″
( ) .eCB2A2BxAx4AxY x2 +++++=″∗
Теперь подставим выражения для ″′ ** YиY в исходное уравнение (1.54):
( ) ( ) =++++++++++ x2x2 eCBBxAx2Ax2eCB2A2BxAx4Ax ( )9x2x3e 2x ++= .
Сокращая обе части полученного равенства на ex и группируя члены при одинаковых степенях x, имеем
( ) .9x2x3C3B4A2xB3A8Ax3 22 ++=+++++ Это равенство выполняется тождественно только тогда, когда коэффициенты при одинаковых степенях x в обеих его частях равны между собой. Итак, для отыскания коэффициентов А, В и С запишем следующую систему уравнений:
.9C3B4A2:x
,2B3A8:x
,3A3:x
0
1
2
=++
=+
=
Решив эту систему, найдем 1A = , 2B −= , 5C = . Таким образом, получаем
искомое частное решение ( ) x2* eCBxAxY ++= :
( ) .e5x2xY x2* +−=
Теперь можно записать общее решение данного уравнения *YYy += :
( ) .e5x2xeCCy x2x221 +−++= −
ПРИМЕР 1.27 Найти общее решение уравнения .e10y16y8y x4−−=+′+′′
Решение. 1. Находим Y . Характеристическое уравнение k2+8k+16=0 имеет корни k1=k2= – 4. Следовательно,
( ) .exCCY x421
−+=
2. Найдем теперь Y*. Здесь правая часть имеет вид (1.52): n=0, P0= –10,
0,4 =β−=α . Так как 4i −=β+α служит двукратным корнем характеристического уравнения, то r=2 и частное решение Y* надо искать в виде
,eAxY x42* −= где A - коэффициент, подлежащий определению. Вычислим производные
″′ ** YиY :
43
( )( ) .eA2Ax16Ax16Y
,eAx2Ax4Y
x42*
x42*
−
−
+−=″
+−=′
Подставляя выражения для ″′ *** Y и Y ,Y в данное уравнение, сокращая обе его
части на 4x-e и приводя подобные члены, в итоге получим 2A= –10, откуда A= – 5. Следовательно, искомое частное решение имеет вид
,ex5Y x42* −−=
a общее решение данного уравнения *YYy +=
( ) .ex5exCCy x42x421
−− −+= Замечание 1.2. Форма записи для частного решения ЛНДУ с постоянными
коэффициентами сохраняется в виде (1.53) и в тех случаях, когда «специальная» правая часть ( )xf уравнения (1.38) имеет вид:
( ) ( ) xcosxPexf nx β⋅⋅= α (т.е. ( ) 0xQm ≡ ) или
( ) ( ) xsinxQexf mx β⋅⋅= α (т.е. ( ) 0xPn ≡ ).
ПРИМЕР 1.28 Найти общее решение уравнения .xcosx3y4y =+′′
Решение. 1. Находим .Y Характеристическое уравнение k2+4=0 имеет Корни k1,2=± 2i. Следовательно,
.x2sinCx2cosCY 21 +=
2. Переходим к отысканию Y*. Здесь правая часть имеет вид: 0=α , 1=β ,
( ) xxP1 = , ( ) 0xQ = . Число ii =β+α не является корнем характеристического уравнения; поэтому r = 0 и частное решение Y* следует искать в виде
( ) ( ) ,xsinDCxxcosBAxY * +++= где A, В, С и D - неопределенные коэффициенты. Дифференцируя, находим
( ) ( )
( ) ( ) .xsinDA2CxxcosBC2AxY
,xsinBCAxxcosADCxY
*
*
−−−+−+−=″
−+−+++=′
Подставим теперь выражения для ** YиY″
в данное уравнение и сгруппируем члены при cos x и sin x; тогда получим
( ) ( ) .xcosx3xsinA2D3Cx3xcosC2B3Ax3 =−++++ Сравнивая коэффициенты при x cos x, cos x, x sin x и sin x, имеем
44
,0A2D3:xsin
,0C3:xsinx
,0C2B3:xcos
,3A3:xcosx
=−=⋅=+=⋅
откуда A=1, B=0, C=0, D=2/3. Таким образом,
.xsin3
2xcosxY * +=
Итак, общее решение данного уравнения имеет вид
.xsin3
2xcosxx2sinCx2cosCYYy 21
* +++=+=
ПРИМЕР 1.29 Найти общее решение уравнения .x3sin16x3cos9y9y +=+′′
Решение. 1. Сначала находим Y . Характеристическое уравнение k2+9=0 имеет корни k1,2=±3i. Следовательно,
.x3sinCx3cosCY 21 += (1.52) 2. Найдем теперь Y*. В данном случае правая часть имеет вид: 0=α , 3=β ,
( ) 9xP0 = , ( ) 16xQ0 = . Так как число i3i =β+α служит однократным корнем характеристического уравнения, то 1r = и частное решение надо искать и виде
( ),x3sinBx3cosAxY * += где А и В-неопределенные коэффициенты. Находим
( ) ( )
( ) ( ) .x3sinA6Bx9x3cosB6Ax9Y
,x3sinBAx3x3cosABx3Y
*
*
−−++−=″
+−++=′
Подставляя ** YиY″
в данное уравнение и приводя подобные члены, получим ,x3sin16x3cos9x3sinA6x3cosB6 +=−
откуда 6B=9, – 6A=16, т.е. B=3/2, A= –8/3. Следовательно,
.x3sin2
3x3cos
3
8xY *
+−=
Итак, общее решение данного уравнения имеет вид
.x3sinx2
3x3cosx
3
8x3sinCx3cosCYYy 21
* +−+=+=
45
Замечание 1.3. Если правая часть уравнения (1.38) есть сумма функций вида (1.52), т.е.
( ) ( ) ( ) ( ),xf...xfxfxf m21 +++= (1.55)
нужно предварительно найти частные решения ,Y ,,Y ,Y *m
*2
*1 … соответствующие
функциям f1(x), f2(x),…, fm(x). Тогда частное решение запишется в виде
,Y...YYY *m
*2
*1
* +++= (1.56) а общее решение уравнения (1.38) примет вид
.Y...YYYY *m
*2
*1 ++++= (1.57)
ПРИМЕР 1.30 Найти общее решение уравнения
.xcose105x4y4y x+−=′−′′ Решение. 1. Находим сначала Y . Характеристическое уравнение k2–4k=0
имеет корни k1=0 и k2=4 . Следовательно
.eCCY x421 +=
2. Переходим к нахождению Y*. Здесь правая часть f(x) данного уравнения представляет собой сумму функции f1(x)=4x-5 и f2(x)=10excosx. Будем искать
частные решения *2
*1 YиY для каждой из этих функций в отдельности.
Функция f1(x)=4x-5 имеет вид (1.52): n=1, P1(x)=4x-5, 0,0 =β=α , причем 0i =β+α является однократным корнем характеристического уравнения (т.е.
r =1). Следовательно,
( ) .BxAxBAxxY 2*1 +=+=
Дифференцируя, находим
BAx2Y *1 +=′
, A2Y *1 =″
.
Подставляя ″′ *
1*1 YиY в левую часть данного уравнения и приравнивая
полученное выражение к ( ) 5x4xf1 −= , имеем
( ) ,5x4BAx24A2 −=+− откуда .1B,2/1Aили,5B4A2,4A8 =−=−=−=− Таким образом,
.x2
xY
2*1 +−=
46
Функция ( ) xcose10xf x2 = также имеет вид (1.52): 1=α , 1=β , ( ) 1xP0 = ,
( ) 0xQ0 = . Так как число i1i +=β+α не является корнем характеристического
уравнения, то r=0 и частное решение *2Y ищем в форме
( ).xsinDxcosCeY x*2 +=
Дифференцируя, находим
( ) ( )( )
( ).xsinC2xcosD2eY
,xsinCDxcosDCeY
x*2
x*2
−=″
−++=′
Подставляя ″′ *
2*2 YиY в левую часть данного уравнения и приравнивая получен-
ное выражение к ( ) x2 e10xf = , имеем
( ) ( )( ) ,xcose10xsinD4C2xcosD2C4e xx =−+−− откуда
=−=−−
,0D4C2
,10D2C4
т. е. С= –2, D= –1. Следовательно,
.xsinexcose2Y xx*2 −−=
Итак, общее решение данного уравнения запишется следующим образом:
.xsinexcose2x2
xeCCYYYy xx
2x4
21*2
*1 −−+−+=++=
1.15 СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Для решения многих технических и экономических задач требуется
определить несколько функций. Нахождение этих функций может привести к нескольким ДУ, образующим систему.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.32 Системой ДУ называется совокупность ДУ, каждое из которых содержит независимую переменную x, искомые функции y1, y2,…,yn и их производные.
Общий вид системы ДУ первого порядка, содержащей n искомых функций y1, y2,…,yn
47
( )( )
( )
=′′′
=′′′=′′′
.0y,...,y,y,y,...,y,y,xF
.......................................................
.......................................................
,0y,...,y,y,y,...,y,y,xF
,0y,...,y,y,y,...,y,y,xF
n21n21n
n21n212
n21n211
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.33 Нормальной системой ДУ называется система ДУ
первого порядка, разрешенных относительно производной
( )
( )
( )
=
=
=
.y,...,y,y,xfdx
dy
......................................
......................................
,y,...,y,y,xfdx
dy
,y,...,y,y,xfdx
dy
n21nn
n2122
n2111
(1.58)
Число уравнений системы равно числу искомых функций. Системы ДУ и ДУ высших порядков во многих случаях можно привести к нормальной системе ДУ (1.58). Например, система трех ДУ второго порядка
( )
( )
( )
′′′=
′′′=
′′′=
,z,y,x,t,z,y,xFdt
zd
,z,y,x,t,z,y,xFdt
yd
,z,y,x,t,z,y,xFdt
xd
32
2
22
2
12
2
путем введения новых переменных udt
dx = , vdt
dy = , wdt
dz = приводится к
нормальной системе ДУ:
48
( )
( )
( )
=
=
=
===
.w,v,u,t,z,y,xFdt
dw
,w,v,u,t,z,y,xFdt
dv
,w,v,u,t,z,y,xFdt
du
,wdt
dz,v
dt
dy,u
dt
dx
3
2
1
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.34 Решением системы (1.58) называется совокупность
из n функций ( ) ( ) ( ) ( ),xy,...,xy,xy,xy n321 которые после подстановки в систему обращают каждое её уравнение в верное равенство.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.35 Начальными условиями для системы (1.58) называется условия вида
( ) 0101 yxy = , ( ) ( ) .yxy...,,yxy 0
n0n0202 == (1.59)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.36 Решением задачи Коши для системы (1.58)
называется такое решение, которое удовлетворяет начальным условиям (1.59). ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.37 Общим решением системы (1.58) в области D
называется набор функций ( ) ( ),.....,C,...,C,C,xy,C,...,C,C,xy n212n211
( )n21n C,...,C,C,xy , которые для любых RDC,...,C,C n21 ⊂∈ являются решением (1.58) и для любых начальных условий (1.59) из области определения
системы существует набор ,C,...,C,C *n
*2
*1 при котором функции
( ),C,...,C,C,xy *n
*2
*11 ( ) ( )*
n*2
*1n
*n
*2
*12 C,...,C,C,xy,.....,C,...,C,C,xy удовлетворяют
начальным условиям (1.59). ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.38 Всякое решение
( ) ( ) ( ),C,...,C,C,xy,.....,C,...,C,C,xy,C,...,C,C,xy *n
*2
*1n
*n
*2
*12
*n
*2
*11 (1.60)
полученное из общего решения
( ) ( ) ( )n21nn212n211 C,...,C,C,xy,.....,C,...,C,C,xy,C,...,C,C,xy (1.61)
при начальных условиях (1.59), называется частным решением. Одним из методов решения нормальной системы ДУ является метод
сведения системы к одному ДУ высшего порядка. Пусть задана система (1.58). Продифференцируем по x любое, например
49
первое, уравнение:
.dx
dy
y
f...
dx
dy
y
f
dx
dy
y
f
x
f
dx
yd n
n
12
2
11
1
1121
2
⋅∂∂++⋅
∂∂+⋅
∂∂+
∂∂= (1.62)
Подставив в это равенство производные dx
dy,...,
dx
dy,
dx
dy n21 из системы (1.58),
получим nn
12
2
11
1
1121
2
fy
f...f
y
ff
y
f
x
f
dx
yd ⋅∂∂++⋅
∂∂+⋅
∂∂+
∂∂= , или
( )n21221
2
y,...,y,y,xFdx
yd = . (1.63)
Продифференцировав равенство (1.63) ещё раз и заменив dx
dy,...,
dx
dy,
dx
dy n21 из
(1.58), получим
( )n21331
3
y,...,y,y,xFdx
yd = (1.64)
и так далее. Продифференцировав (1.63) в последний раз, получаем
( ).y,...,y,y,xFdx
ydn21nn
1n
= (1.65)
Система из полученных уравнений имеет вид:
( )
( )
( )
( )
=
=
=
=
.y,...,y,y,xFdx
yd
........................................
........................................
,y,...,y,y,xFdx
yd
,y,...,y,y,xFdx
yd
,y,...,y,y,xfdx
dy
n21nn1
n
n21331
3
n21221
2
n2111
(1.66)
50
Из первых (n-1) уравнений системы (1.66) выразим функции y2,y3,…,yn через x,
функцию y1 и её производные ( ).y,...,y,y 1n111
−″′ Получим:
( )( )( )( )
( )( )
′Ψ=
′Ψ=
′Ψ=
−
−
−
.y,...,y,y,xy
.........................................
.........................................
,y,...,y,y,xy
,y,...,y,y,xy
1n111nn
1n11133
1n11122
(1.67)
Найденные значения y2,y3,…,yn подставим в последнее уравнение системы (1.67). Получим одно ДУ n-го порядка относительно искомой функции y1:
( )( ).y,...,y,y,xdx
yd 1n111n
1n
−′Φ= (1.68)
Пусть его общее решение есть функция
( ).c,...,c,c,xy n2111 ϕ= (1.69) Продифференцировав его (n-1) раз и подставив значения производных
( )1n111 y,...,y,y −′′′ в уравнения системы (1.67), найдем функции n32 y,...,y,y :
( )( )
( )
ϕ=
ϕ=ϕ=
,c,...,c,c,xy
....................................
....................................
,c,...,c,c,xy
,c,...,c,c,xy
n21nn
n2133
n2122
(1.70)
51
ПРИМЕР 1.31 Решить систему дифференциальных уравнений
+=
+=
.y5y4dx
dy
,y4y5dx
dy
212
211
Решение. Дифференцируем первое уравнение по x:
.dx
dy4
dx
dy5
dx
yd 2121
2
+= (1.71)
Из первого уравнения системы определяем .y5dx
dy
4
1y 1
12
−= Тогда из второго
уравнения системы имеем
−⋅+= 11
12 y5
dx
dy
4
15y4
dx
dy, т.е. 1
12 y4
9
dx
dy
4
5
dx
dy −=
Подставляя полученное для dx
dy2 выражение в соотношение (1.71), имеем
−⋅+⋅= 111
21
2
y4
9
dx
dy
4
54
dx
dy5
dx
yd.
Таким образом, приходим к уравнению второго порядка с одной неизвестной функцией 1y :
0y9dx
dy10
dx
yd1
121
2
=+− .
Решая его, находим
.eCeCy x92
x11 +=
Тогда
( ) x92
x1
x92
x1
x92
x11
12 eCeCeC5eC5eC9eC
4
1y5
dx
dy
4
1y +−=−−+=
−=
Итак, общее решение системы имеет вид
+−=
+=
.eCeCy
,eCeCyx9
2x
12
x92
x11
Рассмотрим еще один метод решения нормальной системы ДУ (1.58), когда она представляет собой систему линейных однородных ДУ с постоянными коэффициентами, т.е. систему вида
52
+++=
+++=
+++=
.ya...yayadx
dy
...................................................
...................................................
,ya...yayadx
dy
,ya...yayadx
dy
nnn22n11nn
nn22221212
nn12121111
(1.72)
Для простоты рассмотрим систему трех уравнений с тремя неизвестными
функциями y1,y2,y3:
++=
++=
++=
,yayayadx
dy
,yayayadx
dy
,yayayadx
dy
3332321313
3232221212
3132121111
(1.73)
где ( )3,2,1j,iaij = - постоянные коэффициенты.
Будем искать частное решение системы (1.73) в виде
,ey,ey,ey kx3
kx2
kx1 ⋅γ=⋅β=⋅α= (1.74)
где k,,, γβα - постоянные, которые надо подобрать так, чтобы функции (1.74) удовлетворяли системе (1.73).
Подставив эти функции в систему (1.73) и сократив на множитель 0ekx ≠ , получаем:
γ⋅+β⋅+α⋅=⋅γγ⋅+β⋅+α⋅=⋅βγ⋅+β⋅+α⋅=⋅α
333231
232221
131211
aaak
,aaak
,aaak
или
53
( )( )
( )
=γ−+β⋅⋅+α⋅=γ⋅+β⋅−+α⋅
=γ⋅+β⋅+α−
.0kaaaa
,0akaa
,0aaka
33323231
232221
131211
(1.75)
Система (1.75) – однородная система линейных алгебраических уравнений с
тремя неизвестными γβα ,, имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда определитель системы равен нулю:
.0
kaaa
akaa
aaka
333231
232221
131211
=−
−−
(1.76)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.39 Уравнение (1.76) называется характеристическим
уравнением системы (1.73). Уравнение (1.76) является уравнением третьей степени относительно k.
Рассмотрим возможные случаи. СЛУЧАЙ 1. Корни (1.76) действительные и различные 321 kkk ≠≠ . Для
каждого корня ( )3,2,1ik i = напишем систему (1.75) и определим коэффициенты
iii ,, γβα (один из коэффициентов можно считать равным единице). Получаем частные решения системы (1.73):
для корня 1k : ( ) xk1
11
1ey ⋅α= , ( ) xk1
12
1ey ⋅β= , ( ) xk1
13
1ey ⋅γ= ;
для корня 2k : ( ) xk2
21
2ey ⋅α= , ( ) xk2
22
2ey ⋅β= , ( ) xk2
23
2ey ⋅γ= ;
для корня 3k : ( ) xk3
31
3ey ⋅α= , ( ) xk3
32
3ey ⋅β= , ( ) xk3
33
3ey ⋅γ= . Эти функции образуют фундаментальную систему решений и общее
решение системы (1.73) записываются в виде:
.eCeCeCy
,eCeCeCy
,eCeCeCy
xk33
xk22
xk113
xk33
xk22
xk112
xk33
xk22
xk111
321
321
321
⋅γ⋅+⋅γ⋅+γ=
⋅β⋅+⋅β⋅+β=
⋅α⋅+⋅α⋅+α=
(1.77)
СЛУЧАЙ 2. Характеристическое уравнение (1.76) имеет корень k кратности
m (m=2;3). Решение системы, соответствующее кратному корню, ищем в виде:
а) если m=2, то ( ) ( ) ( ) ;eFxEy,eDxCy,eBxAy kx3
kx2
kx1 +=+=+=
54
б) если m=3, то ( ) kx21 eCxBxAy ++= , ( ) kx2
2 eFxExDy ++= ,
( ) kx23 eNxHxGy ++= .
Это решение зависит от m произвольных постоянных A, B, C,…, N, которые определяются методом неопределенных коэффициентов. Выразив все коэффициенты через m из них, полагаем поочередно один из них равным единице, а остальные равными нулю. Получим m линейно независимых частных решений системы (1.73).
СЛУЧАЙ 3. Корни характеристического уравнения различные, но среди них есть комплексные: .k,bak,bak 3i2i1 −=+= Вид частных решений:
для k1: ( ) ( ) ( ) ;bxcosey,bxcosey,bxcosey ax
113
ax1
12
ax1
11 ⋅⋅γ=⋅⋅β=⋅⋅α=
для k2: ( ) ( ) ( ) ;bxsiney,bxsiney,bxsiney ax
22
3ax
22
2ax
22
1 ⋅⋅γ=⋅⋅β=⋅⋅α=
для k3: ( ) ( ) ( ) .ey,ey,ey xk
33
3xk
33
2xk
33
1333 ⋅γ=⋅β=⋅α=
Общее решение имеет вид:
.eCbxsineCbxcoseCy
,eCbxsineCbxcoseCy
,eCbxsineCbxcoseCy
xk33
ax22
ax113
xk33
ax22
ax112
xk33
ax22
ax111
3
3
3
⋅γ⋅+⋅⋅γ⋅+⋅⋅γ⋅=
⋅β⋅+⋅⋅β⋅+⋅⋅β⋅=
⋅α⋅+⋅⋅α⋅+⋅⋅α⋅=
(1.78)
ПРИМЕР 1.32 Решить систему уравнений:
+−=
−=
.yy4dx
dy
,yydx
dy
212
211
Решение. Характеристическое уравнение имеет вид 0k14
1k1=
−−−−
, его корни
k1= –1, k2=3.
Частные решения ищем в виде ( ) xk1
11
1ey ⋅α= , ( ) xk1
12
1ey ⋅β= и ( ) xk
22
12ey ⋅α= , ( ) xk
22
22ey ⋅β= . Найдем ).2,1i(и ii =βα
При k1= –1 система (1.75) имеет вид ( )( )
( )( )
=β−−+α−=β−α−−
,0114
,011
11
11 или
=β+α−=β−α
.024
,02
11
11
Эта система имеет бесчисленное множество решений. Пусть 11 =α , тогда 21 =β .
Получаем частные решения ( ) x11 ey −= , ( ) x1
2 e2y −= .
55
При k2=3 система (1.75) имеет вид
=β−α−=β−α−
.024
02
22
22
Пусть .2тогда,1 22 −=β=α Тогда корню k2=3 соответствуют частные решения: ( ) x321 ey = и ( ) x32
2 e2y −= .
Общее решение исходной системы ( ) ( )
( ) ( )222
1212
212
1111
yCyCy
yCyCy
⋅−⋅=
⋅+⋅= имеет вид:
.eC2eC2y
eCeCyx3
2x
12
x32
x11
−⋅⋅=
⋅+⋅=−
−
1.16 ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ
Составить ДУ – значит найти математическую зависимость между переменными величинами и их приращениями.
При решении геометрических задач на составление ДУ прежде всего строят чертеж, обозначают искомую кривую через y=y(x) и выражают все входящие в задачу величины через x,y, и y′ . При этом обычно используется геометрический
смысл производной ( )(xy 0′ есть угловой коэффициент касательной к кривой y=y(x) в точке x0). Затем, используя указанную в условии зависимость между этими величинами, получают ДУ 0)yy,f(x, =′ , из которого находят искомую функцию y(x).
Опыт решения физических, механических и инженерно – технических задач показывает, что процесс их решения включает общие моменты, что позволяет привести общую схему составления ДУ по условиям прикладных задач:
1. По возможности составить чертеж, поясняющий суть поставленной задачи.
2. Установить, какая из переменных является функцией, какая – её аргументом. Например, y=y(x).
3. Для определения приращения функции y∆ задать аргументу приращение .x∆
4. Исследовать конкретный смысл производной искомой функции. 5. Установить, каким законам (механики, физики и др.) подчиняется
течение изучаемого процесса. 6. Найти соотношение между дифференциалом dy искомой функции,
дифференциалом dx и самим аргументом x. При этом можно делать упрощающие допущения, например, заменить криволинейный элемент прямолинейным, неравномерное движение точки за малый промежуток времени – равномерным.
56
Следует помнить при этом, что замена одних бесконечно малых другими требует обязательного соблюдения эквивалентности заменяющего и заменяемого бесконечно малых элементов. 7. Выделить в постановке задачи те условия, согласно которым нужно решить полученное ДУ (например, начальные и граничные условия). 8. Определить, по мере необходимости, вспомогательные параметры (например, коэффициент пропорциональности) на основании дополнительных данных в условии задачи.
Приведенная схема может быть сокращена или расширена в процессе решения конкретных задач физики, механики, химии, теплотехники, теории упругости, экономики.
Решение таких задач подробно рассмотрено в следующем разделе.
1.17 ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ УРАВНЕНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Многие задачи механики и физики могут быть сведены к
дифференциальным уравнениям в частных производных. Математическими моделями реальных процессов являются краевые задачи для дифференциальных уравнений при определенных граничных и начальных условиях. При этом оказывается, что одно и то же уравнение может описывать совершенно различные по своей природе явления и процессы. Поэтому при исследовании довольно широкого круга задач механики и физики требуется сравнительно небольшое число различных видов дифференциальных уравнений. Изучением таких уравнений, методами их решения занимается раздел математики «Уравнения математической физики».
В нашем курсе мы будем заниматься уравнениями второго порядка. С помощью этих уравнений можно исследовать в первом приближении основные физические процессы: колебания, теплопроводность, диффузию, течение жидкостей и газа, электростатические явления.
Для решения своих проблем теория «Уравнений математической физики» использует различный математический аппарат: ряды Фурье, интегралы Фурье, интегральные преобразования (Лапласа, Фурье), функции комплексного переменного и др.
Специфическим для уравнений математической физики является то, что здесь постановка задач для уравнений в частных производных делается исходя из физических соображений. Процесс получения решения этих задач основывается на математических методах, но в каждом конкретном случае само решение той или иной задачи должно иметь определенную физическую интерпретацию.
57
1.18 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ.
ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПОНЯТИЯ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.40 Уравнение, связывающее неизвестную функцию нескольких переменных и ее частные производные, называется дифференциальным уравнением в частных производных.
Порядок высшей частной производной, входящей в уравнение, определяет порядок уравнения.
Для функции ( )n21 x,...,x,xuu = n независимых переменных
n21 x,...,x,x уравнение k -го порядка имеет вид
0x...x
u,...,
x
u,...,
x
u,u,x,...,xF
n1 kn
k1
k
n1n1 =
∂∂∂
∂∂
∂∂
. (1.79)
kk...kk n21 =+++ .
Обычно приходится иметь дело с уравнениями для функций двух, трех, четырех переменных.
Общий вид уравнений первого и второго порядков для функции ( )y,xuu = двух переменных соответственно таков:
( ) 0u,u,u,y,xF yx = , (1.80)
( ) 0u,u,u,u,u,u,y,xF yyxyxxyx = , (1.81)
где
xu
ux ∂∂= ,
yu
uy ∂∂= ,
2
2
xxx
uu
∂∂= ,
yx
uu
2
xy ∂∂∂= ,
2
2
yyy
uu
∂∂= .
Решением уравнения в частных производных (1.79) называется всякая функция ( )n21 x,...,x,xuu = ( ( )y,xuu = для уравнений (1.80), (1.81)), которая, будучи подставлена в уравнение вместо неизвестной функции и ее частных производных, обращает это уравнение в тождество по независимым переменным. Познакомимся (без доказательства) с простейшими свойствами уравнений в частных производных на примерах некоторых их видов для функции двух переменных. Рассмотрим для функции ( )y,xu уравнение первого порядка вида
0xu =
∂∂
. (1.82)
58
Ясно, что искомая функция ( )y,xu не зависит от переменной x , но может быть любой функцией от y :
( ) ( )yy,xuu ϕ== , (1.83)
поскольку, дифференцируя ( )yϕ по x , мы получим нуль, а это значит, что равенство (1.82) выполняется. Следовательно, решение (1.83) содержит одну произвольную функцию ( )yϕ . В этом и заключается коренное отличие решения уравнения в частных производных первого порядка от общего решения обыкновенного дифференциального уравнения того же порядка, которое содержит лишь произвольную постоянную. По аналогии решение (1.83), содержащее одну произвольную функцию, будем называть общим решением уравнения (1.82). Рассмотрим уравнение
( )yfyu =
∂∂
, (1.84)
где ( )yf - заданная функция. Все функции ( )y,xu , удовлетворяющие уравнению (1.84), имеют вид
( ) ( ) ( )xdyyfy,xu ψ+= ∫ , (1.85) где ( )xψ - произвольная функция от x . Это можно проверить, дифференцируя обе части равенства (1.85) по y . Найденное решение данного уравнения
зависит от одной произвольной функции ( )( )xψ , т.е. является общим. Рассмотрим теперь уравнение второго порядка
0yxu2
=∂∂
∂. (1.86)
Положим, vy
u =∂∂
, после чего уравнение (1.86) примет вид
0xv
yu
x=
∂∂=
∂∂
∂∂
. Однако, как установлено, общее решение уравнения 0x
v =∂∂
имеет вид (1.83), т.е. ( )yfv = , где ( )yf - произвольная функция. Исходное уравнение (1.86) перепишем так:
( )yfyu =
∂∂
.
59
Согласно (1.85) его общим решением будет функция ( ) ( ) ( )xdyyfy,xu ψ+= ∫ .
Так как ( )yf - произвольная функция, то интеграл от нее будет также
произвольной функцией y , которую обозначим через ( )yϕ . В результате решение принимает вид
( ) ( ) ( )yxy,xu ϕ+ψ= , (1.87) где ( )xψ , ( )yϕ - произвольные дифференцируемые функции. Легко проверить, что функция вида (1.87) удовлетворяет уравнению (1.86). Итак, решение (1.87) уравнения (1.86) второго порядка содержит уже две произвольные функции. Такое решение называется общим.
Приведенные уравнения дают основание сделать заключение: общее решение уравнения первого порядка в частных производных содержит одну произвольную функцию, а общее решение уравнения второго порядка – две произвольные функции. Позже будет выяснено, какие дополнительные условия надо задать, чтобы с их помощью можно было выделить частное решение, т.е. функцию, удовлетворяющую как уравнению, так и дополнительным условиям.
1.19 ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА И СВОЙСТВА ИХ РЕШЕНИЙ
Многие задачи физики, механики и техники приводят к дифференциальным уравнениям в частных производных второго порядка, причем линейных относительно искомой функции и ее частных производных. Общий вид линейного дифференциального уравнения второго порядка при условии, что функция u зависит от двух переменных x и y , таков:
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ),y,xfuy,xFuy,xE
uy,xDuy,xCuy,xB2uy,xA
y
xyyxyxx
=⋅++
++++ (1.88)
где f,F,E,D,C,B,A - данные непрерывные функции, определяемые в некоторой области G переменных x и y , причем C,B,A имеют непрерывные частные производные до 2-го порядка включительно. Чаще всего коэффициенты перед искомой функцией ( )y,xu и ее производными – числа. Если в уравнении (1.88) ( ) 0y,xf ≡ , то уравнение называется
однородным; если ( ) 0y,xf ≠ , то уравнение называется неоднородным. Обсудим особенность решений однородного уравнения
60
0uFEuDuCuBu2Au yxyyxyxx =⋅+++++ . (1.89)
Решения линейных однородных уравнений вида (1.89) обладают
следующим свойством. Если каждая из функций ( ) ( ) ( )y,xu,...,y,xu,y,xu k21 является решением уравнения (1.89), то и их линейная комбинация
( ) ( ) ( )y,xuC...y,xuCy,xuC kk2211 +++ , (1.90) где k21 C,...,C,C - произвольные постоянные, также является решением этого уравнения. Это утверждение легко проверить, подставив в уравнение (1.89) вместо
( )y,xu выражение (1.90) и производные yyxxxyyx u,u,u,u,u указанной
линейной комбинации. Такое же свойство, как известно, имеет место для обыкновенных дифференциальных уравнений, но −n го порядка. Уравнение же в частных производных может иметь бесконечное множество линейно независимых частных решений, т.е. такое множество решений, любое конечное число которых является функциями линейно независимыми. (Напомним, система функций ( ) ( )y,xu,...,y,xu n1 называется линейно независимой, если ни одна из этих функций не является линейной комбинацией остальных). В соответствии с этим имеют дело с рядами, членами которых служат произведения произвольных постоянных на частные решения:
( ) ( ) ( ) ( )y,xuC...y,xuC...y,xuCy,xuC1n
nnnn2211 ∑∞
==++++ . (1.91)
Будем рассматривать только такие ряды, суммы которых есть непрерывные функции
( ) ( )y,xuCy,xu1n
nn∑∞
== .
Кроме того, будем предполагать, что эти ряды можно дважды почленно дифференцировать. При таких предположениях функция ( )y,xu , которая есть сумма ряда (1.91), так же как и члены ряда, является решением уравнения (1.89).
61
1.20 КЛАССИФИКАЦИЯ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И ПРИВЕДЕНИЕ ИХ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ
Линейные уравнения второго порядка в частных производных делят на три класса, в каждом из которых есть простейшие уравнения, называемые каноническими. Решения уравнений одного и того же класса имеют много общих свойств. Для изучения этих свойств достаточно рассмотреть канонические уравнения, так как другие уравнения данного типа могут быть приведены к каноническому виду. Запишем линейное относительно производных второго порядка уравнение (1.88) в более краткой форме:
( ) 0u,u,u,y,xFCuBu2Au yx1yyxyxx =+++ . (1.92) Классификация уравнений вида (1.92) проводится в соответствии со
знаком дискриминанта ACB2 −=∆ .
Если в некоторой области GG1 ⊂ выражение ACB2 − сохраняет знак, то уравнение (1.92) в этой области принадлежит:
а) к гиперболическому типу, если 0ACB2 >− ;
б) параболическому типу, если 0ACB2 =− ;
в) эллиптическому типу, если 0ACB2 <− . ПРИМЕР. Определить тип уравнения
0uxxyuuy yy2
xyxx2 =++ .
Решение. Здесь 2yA = , xyB = , 2xC = и 0yxyxACB 22222 =−=− для любых x и y . Значит, на всей плоскости, а следовательно и в некоторой области задания, данное уравнение является уравнением параболического типа. Если уравнение рассматривается в области задания G , то указанные три типа не всегда дают исчерпывающую классификацию, так как выражение
ACB2 − может не сохранять знак во всей области. Тогда должна существовать
кривая L , вдоль которой выражение 0ACB2 =− ; эта кривая называется линией параболического вырождения. При этом возможны два случая:
1) во всех точках G , кроме L , ACB2 − сохраняет знак, тогда уравнение (1.92) называется уравнением гиперболического или эллиптического типа с линией вырождения L ;
2) выражение ACB2 − меняет знак в области G , тогда уравнение (1.92) называется уравнением смешанного типа. ПРИМЕР. Определить тип уравнения
( ) ( ) 0yu2xu2uy1xyu2ux1 yxyy2
xyxx2 =−−+−−− .
62
Решение. Здесь 2x1A −= , xyB −= , ( )2y1C +−= и, следовательно,
( )( ) 2222222 yx1y1x1yxACB +−=+−+=−=∆ . Дискриминант ∆ равен
нулю, когда 0yx1 22 =+− . Значит, гипербола 1yx 22 =− является линией параболического вырождения, а данное уравнение относится к смешанному
типу, причем области 1G , где 0>∆ ( )1yx 22 <− , и 2G , где 0<∆
( )1yx 22 >− , являются областями гиперболичности и эллиптичности. Уравнение вида
∂∂
∂∂=
∂∂∂
y
u,
x
u,u,y,xF
yx
u2
(1.93)
называется каноническим уравнением гиперболического типа.
Второй канонический вид уравнения гиперболического типа таков:
∂∂
∂∂=
∂∂−
∂∂
y
u,
x
u,u,y,xF
y
u
x
u2
2
2
2
. (1.94)
Уравнение вида
∂∂
∂∂=
∂∂
y
u,
x
u,u,y,xF
y
u2
2
(1.95)
называется каноническим уравнением параболического типа. Уравнение вида
∂∂
∂∂=
∂∂+
∂∂
y
u,
x
u,u,y,xF
y
u
x
u2
2
2
2
(1.96)
называется каноническим уравнением эллиптического типа. Уравнение (1.92) в каждой из областей, где сохраняется знак дискриминанта ∆ , может быть приведено к уравнению, эквивалентному данному, а именно к каноническому, путем введения вместо x и y новых переменных ξ и η с помощью зависимостей
( )y,xξ=ξ , ( )y,xη=η . (1.97)
При этом от функций ( )y,xξ , ( )y,xη требуется, чтобы они были дважды непрерывно дифференцируемыми и чтобы якобиан D , т.е. функциональный определитель
63
0Dyx
yx ≠ηηξξ
=
в рассматриваемой области G . Выражая производные, входящие в уравнение (1.92), по старым переменным через производные по новым переменным, приходят к уравнению
( ) ( ) ( )
,0u
,u
,u,,F
u,C
u,B2
u,A
1
2
22
2
2
=
η∂∂
ξ∂∂ηξ+
+η∂
∂ηξ+η∂ξ∂
∂ηξ+ξ∂
∂ηξ (1.98)
где
( )22
yC
yxB2
xA,A
∂ξ∂+
∂ξ∂⋅
∂ξ∂+
∂ξ∂=ηξ ,
( )yy
Cxyyx
Bxx
A,B∂η∂⋅
∂ξ∂+
∂η∂⋅
∂ξ∂+
∂η∂⋅
∂ξ∂+
∂η∂⋅
∂ξ∂=ηξ ,
( )22
yC
yxB2
xA,C
∂η∂+
∂η∂⋅
∂η∂+
∂η∂=ηξ .
Непосредственной подстановкой нетрудно проверить, что
( )2
22
xyyxACBCAB
∂η∂⋅
∂ξ∂−
∂η∂⋅
∂ξ∂−=⋅− .
Из последнего соотношения следует инвариантность типа уравнения при преобразовании переменных, если только якобиан xyyxD ηξ−ηξ= отличен от
нуля. В преобразовании (1.97) две функции ( )y,xξ и ( )y,xη можно выбрать
так, чтобы выполнялось только одно из условий: 1) 0C,0A == ,
2) 0B,0A == , 3) 0B,CA == . Другими словами, функции ( )y,xξ и ( )y,xη подбираются такими, чтобы в уравнении гиперболического типа исчезли члены с производными xxu , yyu , в уравнении параболического типа исчезли члены с
производными xxu , xyu , в уравнении эллиптического типа - xyu . Тогда,
очевидно, преобразованное уравнение (1.98) примет наиболее простой вид – канонический. Обоснование процедуры канонизации уравнения вида (1.92) мы не приводим; читатель может познакомиться с ним в книгах /1,3/. Здесь же излагается формальная сторона этой процедуры. Для приведения уравнения (1.92) к каноническому виду надо составить вспомогательное обыкновенное дифференциальное уравнение
64
( ) ( ) 0dxCBdxdy2dyA 22 =+− , (1.99)
которое называется характеристическим для данного уравнения (1.92). Характеристическое уравнение (1.99) распадается на два уравнения:
( ) 0dxACBBAdy 2 =−+− (или A
ACBBdxdy 2 −+= ), (1.100)
( ) 0dxACBBAdy 2 =−−− (или A
ACBB
dx
dy 2 −−= ). (1.101)
Общие интегралы уравнений (1.100) и (1.101)
( ) 1Cy,x =ϕ и ( ) 2Cy,x =ψ называют характеристиками данного уравнения (1.92) или характеристическими кривыми. (В связи с этим рассматриваемый метод упрощения уравнения (1.92) называют методом характеристик).
Через каждую точку области G , где уравнение имеет один и тот же тип, проходят две характеристики, причем для уравнений гиперболического типа характеристики действительны и различны, для уравнений эллиптического типа – комплексны и различны, а для уравнений параболического типа обе характеристики действительны и совпадают. Разберем каждый из этих случаев в отдельности.
СЛУЧАЙ 1. Для уравнений гиперболического типа 0ACB2 >− и правые части уравнений (1.100) и (1.101) действительны и различны. Общие интегралы их ( ) 1Cy,x =ϕ и ( ) 2Cy,x =ψ определяют два различных семейства действительных кривых – характеристик уравнения (1.92). В этом случае, как установлено, для приведения уравнения (1.92) к каноническому виду следует сделать замену переменных, положив
( )y,xϕ=ξ , ( )y,xϕ=η , в результате чего исходное уравнение преобразуется в уравнение вида
( )ηξηξΦ=η∂ξ∂
∂u,u,u,,
u1
2
.
Таким образом, получается каноническая форма уравнения гиперболического типа.
Отметим, что с помощью дополнительной замены (2
η+ξ=α , 2
η−ξ=β ,
где α и β - новые переменные) уравнение (1.92) может быть приведено к другой канонической форме:
65
( )βαβαΦ=β∂
∂−α∂
∂u,u,u,,
uu12
2
2
2
.
СЛУЧАЙ 2. Для уравнений параболического типа 0ACB2 =− , поэтому уравнения (1.100), (1.101) совпадают и результатом их решения является один действительный интеграл ( ) Cy,x =ϕ .
В этом случае для приведения уравнения (1.92) к каноническому виду в качестве одной из переменной, например, ξ , берут
( )y,xϕ=ξ , другая же переменная выбирается произвольно:
( )y,xη=η (например, x=η ), лишь бы только якобиан
0Dyx
yx ≠ηηξξ
= .
При таком выборе новых переменных ξ и η уравнение (1.92) принимает канонический вид:
( )ηξηξΦ=η∂
∂u,u,u,,
u22
2
.
СЛУЧАЙ 3. Для уравнений эллиптического типа 0ACB2 <− . В этом случае правые части уравнений (1.100) и (1.101) комплексны, а интегралы их будут комплексно-сопряженные. Они определяют два семейства мнимых характеристик. Пусть общий интеграл уравнения (1.100) имеет вид
( ) ( ) ( ) 121 Cy,xiy,xy,x =ϕ+ϕ≡ϕ ,
где ( )y,xϕ - функция, принимающая комплексные значения, а функции
( )y,x1ϕ и ( )y,x2ϕ - действительные функции действительных переменных. Другой общий интеграл (уравнения (1.101) будет комплексно - сопряженным с указанным. Если положить
( )y,x1ϕ=ξ , ( )y,x2ϕ=η , то уравнение (1.92) принимает канонический вид:
( )ηξηξΦ=η∂
∂+ξ∂
∂u,u,u,,
uu32
2
2
2
.
Примечание. После выбора новых переменных ξ и η требуется преобразовать производные, входящие в данное уравнение, к новым переменным. Напомним, что первые производные по старым переменным x и y выражаются через производные по новым переменным ξ и η по известным формулам дифференцирования сложной функции:
xxx uuu η⋅+ξ⋅= ηξ , yyy uuu η⋅+ξ⋅= ηξ .
66
Вторые производные находятся путем дифференцирования выражений для xu
и yu , так как
( )xxxx uu = , ( ) ( ) yxxyyxxy uuuu === , ( )yyyy uu = ;
при этом при отыскании ( )xxu , ( )yxu , ( )yyu опять применяется правило
дифференцирования сложной функции. ПРИМЕР. Привести к каноническому виду уравнение
0y
uy
yx
uxy2
x
ux
2
22
2
2
22 =
∂∂+
∂∂∂+
∂∂
.
Решение. Здесь 2xA = , xyB = , 2yC = и 0yxyxACB 22222 =−=− . Значит данное уравнение является уравнением параболического типа всюду. Составим характеристическое уравнение
( ) ( ) 0dxyxydxdy2dyx 2222 =+− , которое можно записать в виде
( ) 0ydxxdy 2 =− , откуда получаем
0ydxxdy =− .
Разделяя переменные в этом уравнении x
dx
y
dy = , после интегрирования его
найдем
Clnxlnyln =− или 1Cx
y = .
В соответствии с рассмотренным СЛУЧАЕМ 2 делаем замену переменных следующим образом:
x
y=ξ , y=η .
Так как функция y=η выбиралась произвольно, то надо проверить выполнимость условия
0Dyx
yx ≠ηηξξ
= .
Найдем 2x
y
x−=
∂ξ∂
, x
1
y=
∂ξ∂
, 0x
=∂η∂
, 1y
=∂η∂
.
Тогда
0x
y
10x1
x
yD
22 ≠−=−= .
Выразим xxu , xyu , yyu через новые переменные ξ и η .
67
ξ∂∂⋅−=
η∂∂⋅+
ξ∂∂⋅−=
∂η∂⋅
η∂∂+
∂ξ∂⋅
ξ∂∂=
∂∂ u
x
yu0
u
x
yx
ux
uxu
22;
;u
x
yu
x
y2
xu
x
yx
u
x
yu
x
y2u
x
yxx
u
2
2
4
2
3
2
22
2
2322
2
ξ∂∂⋅+
ξ∂∂⋅=
=∂η∂⋅
η∂ξ∂∂⋅−
∂ξ∂⋅
ξ∂∂⋅−
ξ∂∂⋅=
ξ∂∂−
∂∂=
∂∂
η∂∂⋅+
ξ∂∂⋅=
∂η∂⋅
η∂∂+
∂ξ∂⋅
ξ∂∂=
∂∂ u
1u
x1
yu
yu
yu
;
;uu
x
2u
x
1
u
x
11
u1
u
x
1u
x
1
y
u
yu
yu
yu
x1uu
x1
yy
u
2
22
2
2
2
2
2
22
2
22
2
22
2
2
2
2
η∂∂+
η∂ξ∂∂⋅+
ξ∂∂⋅=
=ξ∂η∂
∂⋅+⋅η∂
∂+
⋅
η∂ξ∂∂+⋅
ξ∂∂=
∂ξ∂⋅
ξ∂η∂∂+
+∂η∂⋅
η∂∂+
∂η∂⋅
η∂ξ∂∂+
∂ξ∂⋅
ξ∂∂=
η∂∂+
ξ∂∂⋅
∂∂=
∂∂
.u
x
yu
x
yu
x
1
yu
x
yy
u
x
yu
x
1u
x
yyyx
u
2
22
2
32
2
22
2
222
2
η∂ξ∂∂⋅−
ξ∂∂⋅−
ξ∂∂⋅−=
=∂η∂⋅
η∂ξ∂∂⋅−
∂ξ∂⋅
ξ∂∂⋅−
ξ∂∂⋅−=
ξ∂∂−
∂∂=
∂∂∂
Значения 2
2
x
u
∂∂
, 2
2
y
u
∂∂
, yx
u2
∂∂∂
подставим в данное уравнение:
,0u
yu
x
y2
u
x
yuxy2u
x
y2uxy
2u
x
yuxy2
2
22
22
2
2
2
222
2
2
2
2
2
2
2
2
=η∂
∂+η∂ξ∂
∂⋅+
+ξ∂
∂⋅+η∂ξ∂
∂⋅−ξ∂
∂⋅−ξ∂
∂⋅−ξ∂
∂⋅+ξ∂
∂⋅
откуда получаем
0u
y2
22 =
η∂∂
или 0u2
2
=η∂
∂.
1.21 ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
К основным уравнениям математической физики относятся следующие уравнения в частных производных второго порядка, которые являются частными случаями уравнения (1.88).
68
1. Волновое и телеграфное уравнения Уравнение
( )t,z,y,xfz
u
y
u
x
uc
t
u2
2
2
2
2
22
2
2
+
∂∂+
∂∂+
∂∂=
∂∂
, (1.102)
где c - скорость распространения волны в данной среде, называется волновым уравнением. В приведенном уравнении z,y,x обозначают декартовы координаты точки, t - время. Для двумерного пространства (плоский случай) волновое уравнение имеет вид
( )t,y,xfy
u
x
uc
t
u2
2
2
22
2
2
+
∂∂+
∂∂=
∂∂
. (1.103)
В одномерной области уравнение (1.102) принимает вид
( )t,xfx
uc
t
u2
22
2
2
+∂∂=
∂∂
. (1.104)
Волновое уравнение описывает процессы распространения упругих,
звуковых, световых, электромагнитных волн, а также другие колебательные явления. Например, волновое уравнение может описать:
а) малые поперечные колебания струны (при этом под ( )t,xuu = понимают поперечное отклонение точки x струны от положения равновесия в момент времени t ; при каждом фиксированном значении t график струны
( )t,xuu = на плоскости xOu дает форму струны в этот момент времени); б) продольные колебания упругого стержня (u - продольное отклонение
частицы от ее положения при отсутствии деформации); в) малые упругие колебания плоской пластины, мембраны; г) течение жидкости или газа в коротких трубах, когда трением о стенки
трубы можно пренебречь (u - давление или расход). Уравнение вида
uCt
uB
t
uA
x
u2
2
2
2
⋅+∂∂+
∂∂=
∂∂
(1.105)
называется телеграфным уравнением. Оно описывает электрические колебания в проводах (u - сила тока или напряжение), неустановившееся течение жидкости или газа в трубах (u - давление или скорость).
69
Волновое и телеграфное уравнения входят в группу уравнений гиперболического типа.
2. Уравнение теплопроводности Уравнение вида
∂∂+
∂∂+
∂∂=
∂∂
2
2
2
2
2
22
z
u
y
u
x
ua
t
u, (1.106)
где a - параметр, учитывающий физические свойства изучаемой среды, называется уравнением теплопроводности. Оно имеет вид для плоского случая
∂∂+
∂∂=
∂∂
2
2
2
22
y
u
x
ua
t
u, (1.107)
для одномерного
2
22
x
ua
t
u
∂∂=
∂∂
. (1.108)
Уравнением теплопроводности описываются процессы нестационарного массо- и теплообмена. В частности, к этим уравнениям приводят задачи о
неустановившемся режиме распространения тепла (при этом 2a означает коэффициент температуропроводности, а u - температуру в любой точке исследуемой области в любой момент времени t ); о фильтрации упругой жидкости в упругой пористой среде, например, фильтрация нефти и газа в
подземных песчаниках ( χ=2a - коэффициент пьезопроводности, u - давление
в любой точке среды); о неустановившейся диффузии ( Da2 = - коэффициент диффузии, u - концентрация); о течении жидкости в магистральных трубопроводах (u - давление или скорость жидкости).
Если при рассмотрении этих задач окажется, что в исследуемой области функционируют внутренние источники и стоки массы или тепла, то процесс описывается неоднородным уравнением
( )
∂∂+
∂∂+
∂∂=+
∂∂
2
2
2
2
2
22
z
u
y
u
x
uat,z,y,xf
t
u, (1.109)
где функция ( )t,z,y,xf характеризует интенсивность функционирующих источников. Уравнения (1.106)…(1.109) являются простейшими уравнениями параболического типа.
70
3. Уравнения Лапласа и Пуассона Уравнение
( )z,y,xfz
u
y
u
x
u2
2
2
2
2
2
=∂∂+
∂∂+
∂∂
(1.110)
называется уравнением Пуассона в трехмерном пространстве. Если в этом уравнении ( ) 0z,y,xf ≡ , то оно называется уравнением Лапласа:
0z
u
y
u
x
u2
2
2
2
2
2
=∂∂+
∂∂+
∂∂
. (1.111)
Если ввести оператор 2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
uu
∂∂+
∂∂+
∂∂=∆ , называемый оператором
Лапласа, то уравнения (1.110) и (1.111) запишутся соответственно ( )z,y,xfu =∆ и 0u =∆ .
К исследованию уравнений Лапласа и Пуассона приводит рассмотрение задач о стационарном процессе: это задачи гидродинамики, диффузии, фильтрации, распределения температуры, электростатики и др. Эти уравнения относятся к уравнениям эллиптического типа. Те задачи, которые приводят к уравнениям, содержащим время, называются динамическими или нестационарными задачами математической физики; задачи, приводящие к уравнениям, не содержащим время, называются стационарными или статическими.
1.22 О ПОСТАНОВКЕ ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ И ЕЕ КОРРЕКТНОСТИ
Как было показано, уравнения математической физики имеют бесчисленное множество решений, зависящее от двух произвольных функций (речь идет об уравнениях второго порядка для функции двух переменных). Для того, чтобы из множества решений выделить определенное, характеризующее процесс, необходимо на искомую функцию наложить дополнительные условия, которые диктуются физическими соображениями. Тут можно провести аналогию с обыкновенными дифференциальными уравнениями, когда для выделения из общего решения частного, удовлетворяющего некоторым дополнительным условиям, отыскивались по этим условиям произвольные постоянные. Таковыми условиями для уравнений в частных производных являются, чаще всего, начальные и граничные условия. Граничные условия – это условия, заданные на границе рассматриваемой среды; начальные условия – условия, относящиеся к какому-нибудь моменту времени, с которого начинается изучение данного физического явления. Дополнительные условия,
71
так же как и само дифференциальное уравнение, должны вводиться на основе физических соображений, связанных с самим процессом. Вместе с тем дополнительные условия должны быть такими, чтобы обеспечить выделение из всего множества решений единственного решения. Число граничных и начальных условий определяется типом уравнения, а их вид – заданным исходным состоянием на границе объекта и внешней среды. Для рассматриваемых нами уравнений число начальных условий равно порядку старшей производной по времени, входящей в уравнение, а число граничных условий – порядку старшей производной по координате. Совокупность дифференциального уравнения и дополнительных условий представляет собой математическую формулировку физической задачи и называется задачей математической физики.
Физическая задача решается по схеме: 1) реальный физический процесс (явление, объект) заменяется некоторым идеальным процессом (явлением, объектом) так, что последний значительно проще первого и вместе с тем сохраняет его основные черты (идеализация процесса);
2) выбирается величина (функция), характеризующая процесс, и используются законы, по которым он происходит;
3) на основании выбранных законов выводится дифференциальное уравнение для величины, характеризующей процесс;
4) выводятся дополнительные условия – начальные и граничные – также в соответствии с выбранными законами.
Итак, задача математической физики состоит в отыскании решений уравнений в частных производных, удовлетворяющих некоторым дополнительным условиям, скажем, граничным и начальным. Задача математической физики считается поставленной корректно, если решение задачи, удовлетворяющее всем ее условиям, существует, единственно и устойчиво; последнее означает, что малые изменения любого из данных задачи вызывают малое изменение решения. Требование устойчивости необходимо по следующей причине. В данных любой конкретной задачи, особенно если они получены из опыта, всегда содержится некоторая погрешность, и нужно, чтобы малая погрешность в исходных данных приводила к малой неточности в решении. Это требование выражает физическую определенность поставленной задачи.
1.23 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА ВЫВОД УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЯ СТРУНЫ
Рассмотрим натянутую струну, закрепленную на концах. Если струну вывести из положения равновесия (например, оттянуть ее или ударить по ней), то струна начнет колебаться. Будем рассматривать только поперечные колебания, т.е. такие, когда движение всех точек струны происходит в одной плоскости и в направлении,
72
перпендикулярном положению равновесия. Если положение равновесия принять за ось Ox , то процесс будет характеризоваться одной скалярной величиной ( )t,xuu = - отклонением от положения равновесия точки струны x в момент времени t . Поэтому, чтобы знать положение любой точки x струны в произвольный момент времени t , нужно найти зависимость u от x и t , т.е. найти функцию ( )t,xu .
При каждом фиксированном значении t график функции ( )t,xu представляет форму струны в этот момент времени. Частная
производная ( )t,xux
ux=
∂∂
дает при
этом угловой коэффициент касательной в точке с абсциссой x (рис. 1.2). При постоянном значении x функция ( )t,xu дает закон движения точки с абсциссой x вдоль
прямой, параллельной оси Ou, производная ( )t,xut
ux′=
∂∂
- скорость этого
движения, а вторая производная 2
2
t
u
∂∂
- ускорение. Задача состоит в том, чтобы
составить уравнение, которому должна удовлетворять функция ( )t,xu . Для решения данной задачи сделаем несколько предположений. А. Будем считать струну абсолютно гибкой, т.е. не сопротивляющейся изгибу; это означает, что если удалить часть струны, лежащую по одну сторону от какой-либо ее точки, то сила натяжения Т , заменяющая действие удаленной части, всегда будет направлена по касательной к струне (рис. 1.2). Б. Струна упругая, вследствие чего возникают лишь силы натяжения, которые подчинены закону Гука: натяжение струны пропорционально ее удлинению. В. Пренебрегаем толщиной струны, т.е. считаем ее нитью. Г. На струну в плоскости колебания действуют силы, параллельные оси Ou, которые могут меняться вдоль струны со временем. Будем считать, что эти силы непрерывно распределены вдоль струны. Величину силы, направленной вверх, условимся считать положительной, а вниз – отрицательной. Плотность распределения этих сил обозначим через ( )t,xg . Если единственной внешней
силой является вес струны, то ( ) gt,xg ρ−= , где ρ - плотность струны, а g - ускорение силы тяжести. Силами сопротивления среды, в которой колеблется струна, пренебрегаем. Д. Будем рассматривать только малые колебания струны. Математически это означает, что отклонения ( )t,xu малы и, следовательно, угловой коэффициент струны ( ) α=′ tgt,xux (угол ( )t,xα=α ) в любой момент времени t столь мал,
x
u
T
x 0
α
Рис. 1.2
73
что квадратом углового коэффициента 2
x
u
∂∂
можно пренебречь в сравнении с
единицей). Е. Величину силы натяжения Т можно считать постоянной, не зависящей ни от точки x ее приложения, ни от времени t .
Дадим обоснование этому допущению. Выделим произвольный участок ( )21 x,x струны, который при колебании струны деформируется в участок
∪
21MM (рис. 1.3). Длина S′ дуги ∪
21MM в момент времени t равна:
Sxxdxdxx
u1S 12
x
x
x
x
22
1
2
1
=−=≈
∂∂+=′ ∫∫ .
Следовательно, при предположении п. Д в процессе колебания удлинения участков струны не происходит. Отсюда, в силу закона Гука, следует, что величина натяжения
Т в каждой точке остается неизменной во времени. Покажем также, что натяжение не зависит и от x , т.е. ( ) constTxT 0 == . Действительно, на участок струны
21MM действуют силы натяжения
( )1xT и ( )2xT , направленные по
касательным к струне в точках 1M
и 2M , внешние силы и силы инерции. Воспользуемся принципом кинетостатики, на основании которого все силы должны уравновешиваться (принцип Даламбера). Согласно принципу Даламбера сумма проекций на ось Ox всех сил равна нулю. Так как рассматриваются только поперечные колебания, то внешние силы и силы инерции направлены по оси Ou и потому сумма проекций сил запишется так:
( ) ( ) 0xTПрxTПр 2Ox1Ox =+ .
Но ( ) ( ) ( )111Ox xcosxTxTПр α−= , ( ) ( ) ( )222Ox xcosxTxTПр α= , где ( )xα - угол между касательной в точке с абсциссой x к струне в момент t с положительным направлением оси Ox . Итак, имеем
( ) ( ) ( ) ( ) 0xcosxTxcosxT 1122 =α−α .
Учитывая малость колебаний, ( )xαcos можно заменить:
( )( )
1
x
u1
1
xtg1
1xcos
22≈
∂∂+
=α+
=α .
x 1x 2x
u
1T 2T
1M 2M
Рис. 1.3
74
Тогда получим, что ( ) ( )21 xTxT ≈ . Отсюда, ввиду произвольности 1x и 2x , следует, что величина натяжения не зависит от x . Таким образом, можно считать, что 0TT ≈ при всех значениях x и t . Перейдем теперь к выводу уравнения колебания струны при сделанных допущениях (см. пп. А – Е). Составим сумму проекций всех сил на ось Ou: сил натяжения, внешних сил и сил инерции. Сумма проекций на ось Ou сил натяжения, действующих в точках 1M и
2M , запишется в виде
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )1201122 xsinxsinTxsinxTxsinxTY α−α≈α−α= . Вследствие предположения п. Д
( ) ( )( ) x
u
x
u1
x
u
xtg1
xtgxsin
22 ∂∂≈
∂∂+
∂∂
=α+
α=α .
Следовательно,
∂∂−
∂∂=
== 12 xxxx0 x
u
x
uTY .
Замечая, что dxx
u
x
u
x
u 2
112
x
x2
2
xxxx∫
∂∂=
∂∂−
∂∂
==,
окончательно получаем
dxx
uTY
2
1
x
x2
2
0 ∫ ∂∂= . (1.112)
Обозначим через ( )t,xg внешнюю силу, действующую на струну параллельно оси Ou и рассчитанную на единицу длины. Тогда проекция на ось Ou внешней силы, действующей на участок 21MM , будет равна
( )dxt,xg2
1
x
x∫ . (1.113)
Обозначим через ( )xρ линейную плотность струны; тогда на участок
21MM будет действовать сила инерции, равная
( ) dxt
ux
2
1
x
x2
2
∫ ∂∂ρ− . (1.114)
75
Приравнивая к нулю сумму проекций всех сил (1.112), (1.113), (.114), получим
( ) ( ) 0dxt,xgt
ux
x
uT
2
1
x
x2
2
2
2
0 =
+
∂∂ρ−
∂∂
∫ . (1.115)
Если подынтегральная функция непрерывна, то из равенства нулю интеграла следует, что функция тождественно равна нулю в этой области. Предполагая существование и непрерывность вторых производных функции
( )t,xu , а также непрерывность функций ( )xρ и ( )t,xg , заключаем, что в силу
произвольности 1x и 2x , подынтегральная функция должна равняться нулю для всех x и t :
( ) ( ) 0t,xgt
ux
x
uT
2
2
2
2
0 =+∂∂ρ−
∂∂
или
( ) ( )t,xgx
uT
t
ux
2
2
02
2
+∂∂=
∂∂ρ . (1.116)
Это и есть искомое уравнение колебаний струны. Если струна однородная, т.е. const=ρ , то уравнение (1.116) обычно записывается в виде
( )t,xfx
ua
t
u2
22
2
2
+∂∂=
∂∂
, (1.117)
где ρ
= 0Ta , ( ) ( )t,xg
1t,xf
ρ= .
Неоднородное уравнение (1.117) называется уравнением вынужденных колебаний струны; если ( ) 0t,xf ≡ , т.е. внешняя сила отсутствует, то уравнение (1.117) становится однородным:
2
22
2
2
x
ua
t
u
∂∂=
∂∂
. (1.118)
Уравнение (1.118) описывает свободные колебания струны без
воздействия внешних усилий. Уравнение (1.117) – одно из простейших уравнений гиперболического типа и в то же время одно из важнейших дифференциальных уравнений
76
математической физики. К нему сводится не только рассмотренная задача, но и многие другие.
1.24 ФОРМУЛИРОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ. ГРАНИЧНЫЕ И НАЧАЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ
Одного уравнения движения (1.116) при математическом описании физического процесса недостаточно. Надо сформулировать условия, достаточные для однозначного определения процесса. При рассмотрении задачи о колебании струны дополнительные условия могут быть двух видов: начальные и граничные (краевые). Сформулируем дополнительные условия для струны с закрепленными концами. Так как концы струны длины l закреплены, то их отклонения ( )t,xu в точках 0x = и lx = должны быть равны нулю при любых t : ( ) 0t;0u = , ( ) 0t,lu = или
0u0x
== , 0ulx
== . (1.119)
Условия (1.119) называются граничными условиями; они показывают,
что происходит на концах струны на протяжении процесса колебания. Очевидно, процесс колебаний будет зависеть от того, каким способом струна выводится из состояния равновесия. Удобнее считать, что струна начала колебаться в момент времени 0=t . В начальный момент времени ( )0=t всем точкам струны сообщаются некоторые смещения и скорости:
( ) ( )xf0,xu = , ( ) ( )xFt
0,xu =∂
∂
или
( )xfu0t
== , ( )xFt
u
0t
=∂∂
=, (1.120)
где ( )xf и ( )xF - заданные функции. Условия (1.120) называются начальными условиями. Итак, физическая задача о колебаниях струны свелась к следующей математической задаче: найти такое решение уравнения (1.116) (или (1.117) или (1.118)), которое удовлетворяло бы граничным условиям (1.119) и начальным условиям (1.120). Эта задача называется смешанной краевой задачей, так как включает в себя и граничные и начальные условия. Доказано, что при некоторых ограничениях, наложенных на функции ( )xf и ( )xF , смешанная задача имеет единственное решение.
77
Оказывается, что к задаче (1.116), (1.119), (1.120), помимо задачи о колебаниях струны, сводятся многие другие физические задачи: продольные колебания упругого стержня, крутильные колебания вала, колебания жидкостей и газа в трубе и др.
Помимо граничных условий (1.119) возможны граничные условия других типов. Наиболее распространенными являются следующие:
I. ( )tu 10x
µ== , ( )tu 2lxµ== ;
II. ( )tx
u1
0x
ν=∂∂
=, ( )t
x
u2
lx
ν=∂∂
=;
III. ( )tuhx
u1
0x1 ω=
+∂∂
=, ( )tuh
x
u2
lx2 ω=
+∂∂
=,
где ( )t1ω , ( )t2ω - известные функции, а 1h , 2h - известные постоянные. Приведенные граничные условия называют соответственно граничными условиями первого, второго, третьего рода. Условия I имеют место в том случае, если концы объекта (струна, стержень и т.д.) перемещаются по заданному закону; условия II – в случае, если к концам приложены заданные силы; условия III – в случае упругого закрепления концов. Если функции, заданные в правой части равенств, равны нулю, то граничные условия называются однородными. Так, граничные условия (1.119) – однородные. Комбинируя различные перечисленные типы граничных условий, получим шесть типов простейших краевых задач. Для уравнения (1.116) может быть поставлена и другая задача. Пусть струна достаточно длинная и нас интересует колебание ее точек, достаточно удаленных от концов, причем в течение малого промежутка времени. В этом случае режим на концах не будет оказывать существенного влияния и поэтому его не учитывают; струну же при этом считают бесконечной. Вместо полной задачи ставят предельную задачу с начальными условиями для неограниченной области: найти решение уравнения (1.116) для ∞<<∞− x при 0t > , удовлетворяющее начальным условиям:
( )xfu0t
== , ( )xFt
u
0t
=∂∂
=.
Эту задачу называют задачей Коши. Если изучается процесс вблизи одной границы и влияние граничного режима на второй границе не имеет существенного значения на протяжении интересующего нас промежутка времени, то мы приходим к постановке задачи на полуограниченной прямой ∞<≤ x0 . В этом случае задаются начальные условия и одно из граничных условий I-III при 0x = .
78
1.25 КОЛЕБАНИЯ ОДНОРОДНОЙ БЕСКОНЕЧНОЙ СТРУНЫ. ФОРМУЛА ДАЛАМБЕРА
Изучение методов построения решений краевых задач для уравнений гиперболического типа начнем с более простой задачи – задачи о свободных колебаниях однородной бесконечной струны. Это задача, как было показано в п. 1.24, сводится к решению уравнения
2
22
2
2
x
ua
t
u
∂∂=
∂∂
(1.121)
при начальных условиях
( ) ( )xft,xu0t
== , ( ) ( )xFt
t,xu
0t
=∂
∂
=, (1.122)
где функции ( )xf и ( )xF заданы на всей числовой оси. Никакие граничные условия на искомую функцию ( )t,xu не накладываются. Такая задача называется задачей с начальными условиями или задачей Коши. Для решения поставленной задачи преобразуем уравнение (1.121) к каноническому виду, содержащему смешанную производную (см. (1.93)). Для чего составим уравнение характеристик
( ) ( ) 0dtadx 222 =− , которое распадается на два уравнения:
0adtdx =− и 0adtdx =+ . Интегрируя эти уравнения, получим
1Catx =− и 2Catx =+ . Согласно общей теории о замене переменных полагаем
atx −=ξ , atx +=η . Тогда уравнение (1.121) преобразуется к виду
0u2
=η∂ξ∂
∂.
Как было показано в п.1.18 (см. формулу (1.87)), общее решение такого уравнения имеет вид
( ) ( ) ( )ηψ+ξϕ=ηξ,u ,
где ( )ξϕ и ( )ηψ - произвольные функции. Возвращаясь к старым переменным x и t , получим общее решение волнового уравнения (1.121)
( ) ( ) ( )atxatxt,xu +ψ+−ϕ= . (1.123)
79
Определим функции ϕ и ψ таким образом, чтобы удовлетворялись начальные условия (1.122)
( ) ( ) ( ) ( )xfxx0,xu =ψ+ϕ= , ( ) ( ) ( ) ( )xFxaxat
0,xu =ψ′+ϕ′−=∂
∂.
Интегрируя последнее равенство по x , получим
( ) ( ) ( ) CdzzFa
1xx
x
x0
+=ψ+ϕ− ∫ , где constC = .
Из равенств ( ) ( ) ( )xfxx =ψ+ϕ ,
( ) ( ) ( ) CdzzFa
1xx
x
x0
+=ψ+ϕ− ∫
находим
( ) ( ) ( )2
CdzzF
a2
1xf
2
1x
x
x0
−−=ϕ ∫ , (1.124)
( ) ( ) ( )2
CdzzF
a2
1xf
2
1x
x
x0
++=ψ ∫ . (1.125)
Таким образом, мы определили функции ϕ и ψ через заданные функции
( )xf и ( )xF , причем равенства (1.124) и (1.125) имеют место для любого значения ( )∞<<∞− xx . Заменяя аргумент x в (1.124) на atx − , а в (1.125) на
atx + и подставляя найденные функции ( )atx −ϕ и ( )atx +ψ в (1.123), получим
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
−+++−= ∫∫
−+dzzFdzzF
a2
1
2
atxfatxft,xu
atx
x
atx
x 00
и окончательно
( ) ( ) ( ) ( )dzzFa2
1
2
atxfatxft,xu
atx
atx∫+
−+++−= . (1.126)
Формулу (1.126) называют формулой Даламбера.
Нетрудно проверить непосредственным дифференцированием, что полученное выражение для ( )t,xu есть решение для волнового уравнения (1.121), удовлетворяющее начальным условиям (1.122). Для этого достаточно предположить, что функция ( )xF дифференцируема, а функция ( )xf - дважды дифференцируема. Способ вывода формулы (1.126) доказывает как
80
единственность, так и существование решения задачи Коши. Из формулы (1.126) непосредственно видно также, что задача поставлена корректно – при любом конечном значении t малому изменению функций ( )xf и ( )xF соответствует малое изменение решения.
1.26 ФИЗИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ФОРМУЛЫ ДАЛАМБЕРА Для того, чтобы выяснить физический смысл решения (1.126), запишем функцию ( )t,xu в виде суммы двух слагаемых
( ) ( )atxt,xu1 −ϕ= ∗ и ( ) ( )atxt,xu2 +ψ= ∗ ,
где ( ) ( ) ( )dzzFa2
1xf
2
1x
x
x0
∫−=ϕ∗ ,
( ) ( ) ( )dzzFa2
1xf
2
1x
x
x0
∫+=ψ∗ .
И выясним смысл ( )t,xu1 и ( )t,xu2 в отдельности.
Начнем с функции ( ) ( )atxt,xu1 −ϕ= ∗ . Независимые переменные x и t изменяются так, что разность остается постоянной, т.е. Catx =− . В таком
случае 0adtdx =− и adt
dx = . Отсюда можно
заключить следующее. Если точка x движется с постоянной скоростью a в положительном направлении оси Ox , то смещение 1u струны в этой точке во все время движения будет равно
( )C∗ϕ , оставаясь, таким образом, постоянным. Другими словами, значение смещения
( )atxu1 −ϕ= ∗ в точке 1x в момент 1t такое
же, какое было в момент 0tt = в точке 0x . Построим графики этой функции для возрастающих значений t : 0tt 0 == , 1tt = ,
2tt = (рис. 1.4). Второй график ( 1tt = ) будет
сдвинут относительно первого ( 0tt = ) на
величину 1at , третий ( 2tt = ) – на величину 2at и т.д. Если по очереди проектировать эти рисунки на неподвижный экран, то зритель увидит, что график, изображенный на верхнем
рисунке, «побежит» вправо. (Этот способ изображения движения положен, между прочим, в основу съемки мультипликационных фильмов).
0 00 atx =
0tt =
1u
1u
x
x
x
a
0
0
1tt =
2tt =
11 atx =
22 atx =
1u
Рис. 1.4
81
Смещение, распространяющееся в фиксированном направлении с некоторой скоростью, называется бегущей волной. Бегущую волну, распространяющуюся в направлении, выбранном за положительное, слева направо будем называть прямой волной.
Итак, прямая бегущая волна характеризуется решением ( )atxu1 −ϕ= ∗ .
Решению ( )atxu2 +ψ= ∗ будет соответствовать движение смещения
( )С∗ψ , аналогичное указанному, но совершаемое влево. Это движение называют обратной бегущей волной.
Если взять длинную натянутую веревку и слегка качнуть ее в середине, то по веревке влево и вправо побегут волны.
Постоянное число ρ
= 0Ta является скоростью распространения волн
по струне. Таким образом, решение (1.126) задачи Коши для бесконечной струны
есть сумма (суперпозиция) двух волн ( ) ( )atxatx +ψ+−ϕ ∗∗ , одна из которых распространяется направо со скоростью a, а вторая – налево с той же скоростью. Это приводит к следующему графическому методу решения задачи
о колебаниях бесконечной струны. Вычерчиваем кривые ( )xu1∗ϕ= и
( )xu2∗ψ= , изображающие прямую и обратную волны в начальный момент
времени 0t = , и затем, не изменяя их формы, передвигаем их одновременно со
скоростью a в разные стороны: ( )xu1∗ϕ= - вправо, ( )xu2
∗ψ= - влево. Чтобы получить график струны, достаточно построить алгебраические суммы ординат передвинутых кривых.
Формула (1.126) дает полное решение задачи. Исследуем эту формулу в одном простом случае, когда отсутствуют начальные скорости, т.е. когда
( ) 0xF = . Из формулы (1.126) получаем
( ) ( ) ( )atxf2
1atxf
2
1t,xu ++−= . (1.127)
Так как функция ( )xf известна, то мы
можем вычислить ( )t,xu для любых x и t . Пусть, например, струна в начальный
момент времени имеет форму равнобедренного треугольника на интервале ( )ll;− , вне этого интервала ( ) 0xf ≡ , а
( ) ( )∞∞−∈∀≡ ;x0xF (рис. 1.5). Эти условия означают, что струна оттянута на участке ( )ll;− и в момент 0t = без толчка
0u
u
x 0 l− l
Рис. 1.5
82
отпущена. Покажем последовательные положения струны через промежутки
времени a
lt
2=∆ . Согласно сказанному, колебания ( )t,xu складываются из
двух волн: прямой ( )atxf2
1u1 += и обратной ( )atxf
2
1u2 += . Сначала
вычертим графики прямой и обратной волны, а затем проследим за геометрией профиля струны через указанные промежутки времени. В начальный момент
0t = профили прямой и обратной волны совпадают (рис. 1.6), что следует из
формулы (1.127): ( ) 00t20t1 u2
1xf
2
1uu === == , где
0t0 uu == .
Передвинем теперь графики 1u и 2u вправо и влево на расстояние 2
l.
Тогда в результате сложения ординат этих графиков будем иметь форму u
струны в момент времени a
lt
2= (рис. 1.7)
Передвинем графики 1u и 2u еще раз на расстояние 2
l, в результате
будем иметь форму струны в момент времени a
lt = (рис. 1.8).
Рис. 1.6
обратная волна
a
0=t 20u
2u
x 0
l− l
a
1u
0=t 20u
x 0
l− l
прямая волна
A B
00 == tt
0u u
x 0
l− l
форма струны
Рис. 1.7
2l
l23−
a
lt
2=
20u
2u
x l− l x 2l− l
23
20u
1u
l− l 2l
l23−
a
ltt
21 == 20u
u
x l
23
2l−
=21l
x
83
При дальнейшем перемещении графиков 1u и 2u струна будет иметь форму, показанную на рис. 1.9, причем смещение u струны вдвое меньше, чем соответствующее смещение на участке AB .
До тех пор, пока a
lt < , имеется участок струны, где волны
накладываются друг на друга, начиная с a
lt = , волны начинают расходиться. В
каждой точке струны после прохождения обеих волн (а для точек, лежащих вне области начального возмущения, после прохождения только одной волны) наступает покой. Такой процесс может наблюдаться в очень длинной струне до тех пор, пока волны, бегущие по струне, не дойдут до ее концов.
1.27 ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ПОЛУБЕСКОНЕЧНОЙ СТРУНЫ
Метод решения задачи Коши для бесконечной струны легко применить к случаю полубесконечной струны. Пусть струна находится в состоянии покоя на положительной оси Ox и ее конец, совпадающий с началом координат, неподвижно закреплен. Тогда к уравнению колебаний струны
2
22
2
2
x
ua
t
u
∂∂=
∂∂
(1.128)
Рис. 1.8
l2−
a
lt =
20u
2u
x l− l l2
20u
1u
x l− l l l2−
a
ltt == 2
20u
u
x l2 l−
( )lx =2
Рис. 1.9
l25− l
23−
20u
2u
x
2l−
l25
l23
20u
1u
x 2
l
l25− l
23−
20u
u
2l−
l25
l2
3 x 2
l
a
lt >
84
и начальным условиям
( )xfu0t
== , ( )xFt
u
0t
=∂∂
=, (1.129)
заданным при 0x ≥ , необходимо добавить еще одно граничное условие
0u0x
== . (1.130)
Из условий (1.129), (1.130) следует, что ( ) 00f = .
Решение уравнения (1.128) при условиях (1.129), (1.130) может быть получено из формулы Даламбера (1.126) следующим образом. Допустим, что функции ( )xf и ( )xF , определенные сначала только для 0x ≥ , доопределены нами произвольным образом и для 0x < . Напишем выражение ( )t,0u :
( ) ( ) ( ) ( )dzzFa2
1
2
atfatft,0u
at
at∫
−++−= . (1.131)
Чтобы ( )t,0u было равно нулю при всех значениях t , нужно функции
( )xf и ( )xF при 0x < определить так: ( ) ( )xfxf −=− , ( ) ( )xFxF −=− ,
т.е. функции продолжить в область отрицательных значений нечетным образом. Тогда, очевидно, первое слагаемое формулы (1.131) равно нулю; второе слагаемое также обращается в нуль, потому что берется интеграл от нечетной функции в интервале, симметричном относительно начала координат. Продолжив таким образом функции ( )xf и ( )xF на всю числовую ось, напишем формулу Даламбера:
( ) ( ) ( ) ( )dzzFa2
1
2
atxfatxft,xu
atx
atx∫+
−+++−= . (1.132)
Теперь это выражение определено для всех точек x и t и при 0x ≥ дает
решение поставленной задачи. Действительно, функция (1.132) удовлетворяет уравнению (1.128), условиям (1.129) и, в силу доказанного, граничному условию (1.130).
1.28 МЕТОД ФУРЬЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ
Метод Фурье или метод разделения переменных является одним из наиболее распространенных методов решения уравнений в частных
85
производных. Изложение этого метода мы проведем для задачи о свободных колебаниях струны, закрепленной на концах. Эта задача, как было показано в п. 1.24, сводится к решению однородного уравнения
2
22
2
2
x
ua
t
u
∂∂=
∂∂
(1.132)
при однородных граничных условиях
0u0x
== , 0ulx
== (1.133)
и начальных условиях
( )xfu0t
== , ( )xFt
u
0t
=∂∂
=, ( )lx0 ≤≤ . (1.134)
Выделим две части метода Фурье. Первая часть заключается в отыскании частных решений уравнения (1.132), удовлетворяющих граничным условиям (1.133). Вторая часть - нахождение общего решения и удовлетворение начальным условиям (1.134). Будем искать частные решения (1.132), не равные тождественно нулю, в виде произведения двух функций
( ) ( ) ( )tTtXt,xu = , (1.135) удовлетворяющие граничным условиям (1.133). Дифференцируя дважды выражение (1.135) по x и по t , получим
( ) ( )xXtTu tt ′′= , ( ) ( )tTxXuxx ′′= . Подставляя найденные производные в уравнение (1.132), получим
( ) ( ) ( ) ( )xXtTaxXtT 2 ′′=′′
или, деля обе части равенства на XTa2 , ( )( )
( )( )xX
xX
tT
tT
a
12
′′=
′′⋅ .
Последнее равенство, левая часть которого зависит от t , а правая - только от x , возможно лишь в том случае, когда обе части его не зависят ни от x ни от t , т.е. представляют собой одну и ту же постоянную. Обозначим эту постоянную через λ− (Знак числа λ будет обоснован ниже). Итак, имеем
( )( )
( )( ) λ−=′′
=′′
⋅tX
tX
tT
tT
a
12
. (1.136)
86
Из равенства (1.136) получим два обыкновенных дифференциальных уравнения
( ) ( ) 0tTatT 2 =λ+′′ , (1.137)
( ) ( ) 0xXxX =λ+′′ . (1.138)
Таким образом, уравнение (1.132) распалось на два уравнения, из которых одно содержит функцию только от t , а другое - функцию только от x или, как говорят, в уравнении (1.132) переменные разделились. Поскольку мы ищем решения вида (1.135), удовлетворяющие граничным условиям (1.133), то при любом значении t должны соблюдаться равенства
( ) ( ) 0tT0Xu0x
=== , ( ) ( ) 0tTlXulx
=== .
Если бы обращался в нуль второй сомножитель ( ( ) 0tT ≡ ), то функция ( )t,xu равнялась бы нулю при всех значениях x и t . Такой случай интереса не представляет. Поскольку мы ищем нетривиальные решения, т.е. не равные тождественно нулю, то мы должны считать, что
( ) 00X = и ( ) 0x =l . (1.139) Для определения функции ( )xX мы пришли к следующей краевой задаче для обыкновенного дифференциального уравнения: найти такие значения параметра λ , при которых существуют нетривиальные решения уравнения (1.138), удовлетворяющие граничным условиям (1.139). Эту задачу называют задачей Штурма-Лиувилля. Те значения параметра λ , при которых задача (1.138) - (1.139) имеет нетривиальные решения, называются собственными значениями, а сами эти решения - собственными функциями. Найдем теперь собственные значения и собственные функции задачи (1.138) - (1.139). Нужно рассмотреть три случая, когда 0<λ , 0=λ и 0>λ . Уравнение (1.138) есть линейное однородное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Для его решения надо составить характеристическое уравнение
0k 2 =λ+ ; отсюда λ−±=2,1k , следовательно, вид решения зависит от знака λ .
А. Пусть 0<λ . Тогда корни характеристического уравнения действительны и различны и общее решение уравнения (1.138) имеет вид
( ) x2
x1 eCeCxX λ−−λ− += .
Удовлетворяя граничным условиям (1.139), получим
87
=+
=+λ−−λ− .0eCeC
0CCl
2l
1
21
Так как определитель этой однородной системы
0eeee
11 llll ≠−==∆ λ−λ−−
λ−−λ− ,
то, как известно, система имеет единственное решение 0C1 = и 0C2 = .
Следовательно, ( ) 0xX ≡ . Таким образом, в этом случае решений, отличных от нуля, не существует. Б. Пусть 0=λ . Тогда оба корня характеристического уравнения равны нулю и
( ) xCCxX 21 += . Граничные условия (1.139) дают:
=⋅+=⋅+
.0lCC
00CC
21
21
Отсюда 0C1 = , 0C2 = и, следовательно, ( ) 0xX ≡ . В. Пусть 0>λ . Корни характеристического уравнения мнимые ( ik 2,1 λ±= ) и решение уравнения (1.138) имеет вид
( ) λ+λ= sinCxcosCxX 21 . Удовлетворяя условиям (1.139), получим
=λ+λ
=⋅+⋅
.0lsinClcosC
00C1C
21
21
Из первого уравнения следует, что 0C1 = , а из второго следует, что
0lsinC2 =λ . Последнее равенство возможно, когда 0C2 ≠ , ибо в противном
случае ( ) 0xX ≡ . Поэтому
0lsin =λ ,
откуда определяем l
nπ=λ , где n - любое целое число ( ),...2,1,0n ±±= .
Следовательно, нетривиальные решения задачи (1.138) - (1.139) возможны лишь при значениях
2
n l
n
π=λ=λ . (1.140)
88
Решение, отвечающее фиксированному значению n , обозначим через ( )xX n . Оно имеет вид
( )l
xnsinCxX 2n
π= .
Для дальнейшего можем положить 1C2 = .
Итак, собственным значениям 2
n l
n
π=λ соответствуют собственные
функции
( )l
xnsinxX n
π= , ...,2,1n = . (1.141)
Заметим, что в соотношениях (1.140), (1.141) мы ограничились только положительными значениями для n , так как отрицательные значения n не дают новых решений. Обратимся теперь к отысканию функций ( )tT . Каждому собственному числу nλ будет соответствовать свое решение уравнения (1.137), которое
обозначим через ( )tTn . Для функции ( )tTn имеем уравнение
( ) ( ) 0tTan
tT n
2
n =
π+′′l
.
Общее решение этого уравнения имеет вид
( )ll
atnsinb
atncosatT nnn
π+π= ,
где nn b,a - произвольные постоянные. Таким образом, функция
( ) ( ) ( )lll
xnsin
atnsinb
atncosatTxXt,xu nnnnn
π
π+π== , (1.142)
...,2,1n = , удовлетворяет уравнению (1.132) и граничным условиям (1.133) при
любых na и nb . Перейдем ко второй части метода Фурье. При помощи собственных функций построим решения, удовлетворяющие начальным условиям (1.134). Возьмем общее решение уравнения (1.142) в виде ряда
89
( ) ( )l
xnsin
l
atnsinb
l
atncosat,xut,xu
1nnn
1nn
π
π+π== ∑∑∞
=
∞
=. (1.144)
Если ряд (1.144) сходится равномерно в области lx0 ≤≤ , Tt0 ≤≤ , то
сумма его является непрерывной функцией в этой области. В силу однородности и линейности уравнения (1.132) ряд (1.144) будет также решением, если его можно почленно дифференцировать по X и по t . Действительно, при указанных условиях получим
( ) 0uauuau1n
n2
nxx2
tt xxtt=−=− ∑
∞
=,
так как функции ( )t,xun удовлетворяют уравнению (1.132). Далее, поскольку каждое слагаемое в (1.144) удовлетворяет граничным условиям (1.133), то этим условиям будет удовлетворять и сумма ряда, т.е. функция ( )t,xu . Остается определить постоянные na и nb так, чтобы функция (1.144) удовлетворяла начальным условиям. Продифференцируем ряд (1.144) по t :
llll
xnsin
atncosb
atnsina
an
t
u
1nnn
π
π+π−π=∂∂
∑∞
=. (1.145)
Подставляя 0t = в (1.144) и (1.145), получим в силу начальных условий
(1.134):
( )
( )
≤≤
=ππ
=π
∑
∑
∞
=
∞
=
lx0
,xFxn
sinban
xfxn
sina
1nn
1nn
ll
l
(1.146)
Формулы (1.146) представляют собой разложение заданных функций ( )xf и
( )xF в ряд Фурье по синусам на интервале [ ]l;0 .
Из теории рядов Фурье известно, что всякая функция ( )xΦ , непрерывная на отрезке [ ]l;0 вместе со своей производной первого порядка и удовлетворяющая
условию ( ) ( ) 00 =Φ=Φ l , разлагается в абсолютно и равномерно сходящийся ряд Фурье по синусам:
90
( )l
xnsinax
1nn
π=Φ ∑∞
=,
где
( ) dxxn
sinx2
a0
nll
l πΦ= ∫ .
Предполагая, что функции ( )xf и ( )xF удовлетворяют указанным условиям, мы можем утверждать, что na и nb - коэффициенты Фурье, которые вычисляются по известным формулам:
( ) dxxn
sinxf2
a0
nll
l π= ∫ , (1.147)
( ) dxxn
sinxF2
ban
0n
lll
l π=π∫ ,
откуда
( ) dxxn
sinxFan
2b
0n
l
l ππ
= ∫ . (1.148)
Таким образом, ряд (1.144), в котором na и nb вычисляются по формулам (1.147), (1.148), дает решение смешанной краевой задачи (1.132)…(1.134).
1.29 РЕШЕНИЕ СМЕШАННОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ НЕОДНОРОДНОГО ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
ПРИ НУЛЕВЫХ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ Рассмотрим вынужденные колебания однородной струны, закрепленной на концах, под действием внешней силы ( )t,xP . Математически задача заключается в решении неоднородного уравнения гиперболического типа
( )t,xgx
ua
t
u2
22
2
2
+∂∂=
∂∂
ρ= P
g (1.149)
при однородных граничных условиях
0u0x
== , 0ulx
== (1.150)
91
и начальных условиях
( )xfu0t
== , ( )xFt
u
0t
=∂∂
=. (1.151)
Будем искать решение смешанной задачи (1.149)… (1.151) в виде суммы
( ) ( ) ( )t,xt,xvt,xu ω+= , (1.152) где функция ( )t,xv есть решение неоднородного уравнения
( )t,xgx
va
t
v2
22
2
2
+∂∂=
∂∂
, (1.153)
удовлетворяющее граничным условиям
0v0x
== , 0vlx
== (1.154)
и начальным условиям
0v0t
== , 0t
v
0t
=∂∂
=, (1.155)
а функция ( )t,xω есть решение однородного уравнения
2
22
2
2
xa
t ∂ω∂=
∂ω∂
, (1.156)
удовлетворяющее граничным условиям
00x
=ω = , 0lx
=ω = (1.157)
и начальным условиям
( )xf0t
=ω = , ( )xFt 0t
=∂ω∂
=. (1.158)
92
Решение ( )t,xv представляет вынужденные колебания струны, т.е. такие, которые совершаются под действием внешней силы, когда начальные возмущения отсутствуют. Решение ( )t,xω представляет свободные колебания, т.е. такие колебания, которые происходят только вследствие начального возмущения. Непосредственной проверкой можно убедиться в том, что вследствие линейности уравнения, граничных и начальных условий сумма ω+v является решением исходной задачи. Метод нахождения функции ( )t,xω , т.е. решения задачи (1.156)… (1.158), рассмотрен в п. 1.28. Поэтому необходимо найти лишь функцию ( )t,xv . Будем искать решение ( )t,xv в виде ряда
( ) ( )l
xnsintTt,xv
1nn
π= ∑∞
=. (1.159)
Для этой функции граничные условия (1.154) выполняются автоматически.
Определим теперь функцию ( )tTn так, чтобы ряд (1.159) удовлетворял уравнению (1.153) и начальным условиям (1.155). Подставляя ряд (1.159) в уравнение (1.153), получим
( ) ( ) ( )t,xgxn
sinn
tTaxn
sintT2
1nn
2
1nn +π
π−=π′′ ∑∑∞
=
∞
= lll.
Для удобства введем обозначение l
π= anK n , тогда последнее уравнение можно
переписать в виде
( ) ( )[ ] ( )t,xgxn
sintTKtT1n
n2nn =π+′′∑
∞
= l. (1.160)
Функция ( )t,xg , рассматриваемая как функция от x при фиксированном t ,
может быть разложена в ряд Фурье по синусам:
( ) ( )l
xnsintgt,xg
1nn
π= ∑∞
=, (1.161)
причем
( ) ( ) dxxn
sint,xg2
tg0
nll
l π= ∫ . (1.162)
93
Сравнивая разложения (1.160) и (1.161), получим
( ) ( ) ( )tgtTKtT nn2nn =+′′ ( )...,2,1n = (1.163)
Далее, из первого начального условия (1.155) следует, что
( ) 0xn
sin0T1n
n =π∑∞
= l,
откуда
( ) 00Tn = ( )...,2,1n = . (1.164)
Точно так же из второго начального условия (1.155) вытекает, что
( ) 00Tn =′ ( )...,2,1n = . (1.165) Таким образом, для определения ( )tTn нужно решить обыкновенное дифференциальное уравнение (1.163) с условиями (1.164) и (1.165). Применяя к уравнению (1.163) метод вариации произвольных постоянных, найдем
( ) ( ) ( ) ττ−τ= ∫ dtKsingK
1tT n
t
0n
nn .
Или подставляя вместо ( )τng его выражение (1.162), получим
( ) ( ) ( ) ξπξ⋅τ−τξτ= ∫∫ dn
sintKsin,gdK
2tT n
0
t
0nn
ll
l
. (1.166)
Подставляя найденное выражение для ( )tTn в ряд (1.159), получим искомое
решение ( )t,xv . Итак, решение задачи (1.149)…(1.151) выражается в виде ряда
( ) ( )llll
xnsin
atnsinb
atncosa
xnsintTt,xu
1nnn
1nn
π
π+π+π= ∑∑∞
=
∞
=, (1.167)
где коэффициенты ( )tTn определяются по формулам (1.166), а na и nb - по формулам (1.147) и (1.148).
94
1.30 РЕШЕНИЕ НЕОДНОРОДНОГО ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
ПРИ НЕОДНОРОДНЫХ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ. (ОБЩАЯ ПЕРВАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА)
Рассмотрим вынужденные колебания ограниченной струны под действием внешней силы, причем концы ее не закреплены, а двигаются по заданному закону. Эта задача сводится к решению уравнения
( )t,xgx
ua
t
u2
22
2
2
+∂∂=
∂∂
(1.168)
с граничными условиями
( )tu 10xµ== , ( )tu 2lx
µ== (1.169)
и начальными условиями
( )xfu0t
== , ( )xFt
u
0t
=∂∂
= ( )lx0 ≤≤ . (1.170)
Сформулированная задача (1.168)…(1.170) называется общей краевой задачей для уравнения колебаний. К решению этой задачи нельзя применить метод Фурье, так как граничные условия (1.169) неоднородны. Но эта задача может быть сведена к задаче с нулевыми граничными условиями. Будем искать решение задачи (1.168)…(1.170) при помощи некоторой вспомогательной функции ( )t,xv в виде
( ) ( ) ( )t,xt,xvt,xu ω+= , (1.171) где ( )t,xω подберем таким образом, чтобы задача нахождения функции ( )t,xv была с однородными граничными условиями. Дифференцируя (1.171) по x и t дважды и подставляя в (1.168), получим
( )t,xgxx
va
tt
v2
2
2
22
2
2
2
2
+
∂ω∂+
∂∂=
∂ω∂+
∂∂
.
Отсюда получаем, что функция ( )t,xv будет определяться как решение уравнения
( )t,xgx
va
t
v12
22
2
2
+∂∂=
∂∂
, (1.172)
95
где
( ) ( )
∂ω∂−
∂ω∂−=
2
22
2
2
1x
at
t,xgt,xg ,
удовлетворяющее граничным условиям
( ) ( ) ( )t,0tt,0v 1 ω−µ= , ( ) ( ) ( )t,tt,v 2 ll ω−µ= (1.173) и начальным условиям
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
∂ω∂−=
∂∂
ω−=
t
0,xxF
t
0,xv
,0,xxf0,xv (1.174)
Подберем функцию ( )t,xω так, чтобы
( ) 0t,0v = , ( ) 0t,v =l , откуда находим, что
( ) ( )tt,0 1µ=ω , ( ) ( )tt, 2µ=ω l . (1.175)
В качестве ( )t,xω можно взять любую непрерывную дважды дифференцируемую функцию, удовлетворяющую условиям (1.175). Например,
( )t,xω может быть линейной относительно x функцией вида
( ) ( ) ( ) ( )[ ]ttx
tt,x 121 µ−µ+µ=ωl
. (1.176)
Таким образом, общая первая краевая задача для функции ( )t,xu сведена к краевой задаче для функции ( )t,xv при нулевых граничных условиях. Для нахождения функции ( )t,xv имеем уравнение
( )t,xgx
va
t
v12
22
2
2
+∂∂=
∂∂
, (1.177)
где
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]l
xtttt,xgt,xg 1211 µ ′′−µ ′′−µ ′′−= ,
с граничными условиями
0v0x
== , 0vlx
== (1.178)
96
и начальными условиями
( ) ( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( ) ( )[ ]
µ′−µ′+µ′−=∂∂
µ−µ+µ−=
=
=
.00x
0xFt
v
,00x
0xfv
1210t
1210t
l
l (1.179)
Метод решения задачи (1.177)…(1.179) изложен в п. 1.29.
1.31 УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА. ВЫВОД УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
(ОДНОМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ) Уравнения параболического типа наиболее часто встречаются при изучении процессов теплопроводности и диффузии. К этим уравнениям приводятся также задачи о движении вязкой жидкости, например, нефти. Обсудим процесс распространения тепла в неравномерно нагретом твердом теле. Если тело нагрето неравномерно, то в нем происходит передача тепла из мест с более высокой температурой в места с более низкой температурой. Процесс может быть описан функцией ( )t,z,y,xuu = , дающей
температуру u в каждой точке ( )z,y,xM тела и в любой момент времени t . Примем следующую модель процесса: происходит механический перенос тепла от более нагретых частей тела к менее нагретым; все тепло идет на изменение температуры тела; свойства тела от температуры не зависят. Идеализация явления состоит в том, что мы будем изучать процесс, не касаясь его молекулярной природы, а также иных проявлений. Опишем процесс математически для одномерного тела. Рассмотрим однородный стержень длины l , теплоизолированный с боков (через поверхность не происходит теплообмена с окружающей средой) и достаточно тонкий, чтобы в любой момент времени температуру во всех точках поперечного сечения можно было считать одинаковой. Расположим ось Ox так, чтобы один конец стержня совпадал с точкой 0x = , а другой - с точкой
l=x (рис. 1.10).
Чтобы найти функцию ( )t,xuu = , надо составить дифференциальное уравнение, которому она удовлетворяет.
Рис. 1.10
97
При выводе дифференциального уравнения теплопроводности воспользуемся следующими физическими закономерностями, связанными с распространением тепла. 1. Количество тепла Q∆ , которое необходимо сообщить однородному телу, чтобы повысить его температуру на u∆ , равно
ucmQ ∆=∆ , где c - удельная теплоемкость, m - масса тела.
Для стержня имеем
uxScQ ∆∆ρ=∆ , (1.180) где ρ - плотность материала стержня; S - площадь его поперечного сечения. 2. Перенос тепла в теле подчиняется эмпирическому закону Фурье: количество тепла Q∆ , протекающее за время t∆ через площадку S∆ в направлении нормали n к этой площадке, равно
tSn
ukQ ∆∆
∂∂−=∆ ,
где k - коэффициент внутренней теплопроводности (зависит от точки и не зависит от направления, если тело изотропно).
Для стержня имеем
tx
ukSQ ∆
∂∂−=∆ , (1.181)
где коэффициент k будем считать постоянным в силу предположения о его однородности. Если стержень неоднороден, то ( )xkk = . 3. Если внутри тела есть источники тепла, то выделение тепла можно характеризовать плотностью тепловых источников, т.е. количеством выделяемого (или поглощаемого) тепла в единицу времени в единице объема. Обозначим через ( )t,xF плотность источников в точке x рассматриваемого стержня в момент t . Тогда в результате действия этих источников на участке ( )xx,x ∆+ за промежуток t∆ будет выделено количество тепла
( ) txSt,xFQ ∆∆=∆ . (1.182) И, наконец, воспользуемся законом сохранения энергии. Итак, приступим к выводу уравнения. Выделим элементарный участок стержня, заключенный между сечениями 1xx = и 2xx = ( )xxx 12 ∆=− , и
составим уравнение теплового баланса на отрезке [ ]21 x,x . Так как боковая поверхность стержня теплоизолирована, то элемент стержня может получать тепло только через поперечные сечения. Согласно (1.181) количество тепла, прошедшее через сечение 1xx = , равно
98
tSx
ukQ
1xx1 ∆
∂∂−=∆
=;
через сечение 2xx = :
tSx
ukQ
2xx2 ∆
∂∂−=∆
=.
Найдем приток тепла 21 QQ ∆−∆ в элемент стержня:
.txSx
uktS
x
u
x
uk
tSx
uktS
x
ukQQ
2
2
xxxx
xxxx21
12
21
∆∆∂∂≈∆
∂∂−
∂∂=
=∆∂∂+∆
∂∂−=∆−∆
==
==
(К разности частных производных применена теорема Лагранжа). Кроме того, в результате действия внутренних источников тепла на этом участке в течение времени t∆ выделится количество тепла согласно (1.182)
( ) txSt,xFQ3 ∆∆=∆ .
Все тепло 321 QQQQ ∆+∆−∆=∆ за время t∆ пойдет на изменение температуры выделенного элемента стержня на величину u∆ . И поэтому сообщенное количество тепла Q∆ , с другой стороны, может быть найдено согласно формуле (1.180):
( ) ( )( ) tt
uxSct,xut,xuxScQ 12 ∆
∂∂∆ρ≈−∆ρ=∆ .
В силу закона сохранения энергии имеем равенство
( ) tt
uxSctxSt,xF.txS
x
uk
2
2
∆∂∂∆ρ=∆∆+∆∆
∂∂
.
Сокращая на общий множитель txS ∆∆ , получим уравнение
( )t
uct,xF
x
uk
2
2
∂∂ρ=+
∂∂
.
Введя обозначения 2ac
k =ρ
, ( ) ( )t,xfc
t,xF =ρ
, придем к уравнению
( )t,xfx
ua
t
u2
22 +
∂∂=
∂∂
. (1.183)
Это и есть искомое дифференциальное уравнение распространения тепла
в однородном стержне. Уравнение (1.183) называют уравнением
теплопроводности, в котором постоянную 2a называют коэффициентом
температуропроводности. Коэффициент 2a имеет размерность м2 /с.
99
Уравнение (1.183) является линейным неоднородным уравнением параболического типа. Вывод дифференциального уравнения распространения тепла внутри тела, отнесенного к пространственной системе координат, основан на тех же физических законах. Поэтому, ограничившись выводом уравнения для простейшего случая – одномерного, лишь приведем уравнение для трехмерного пространства. Процесс распределения температуры ( )t,z,y,xuu = в изотропном теле описывается уравнением
( )t,z,y,xfz
u
y
u
x
ua
t
u2
2
2
2
2
22 +
∂∂+
∂∂+
∂∂=
∂∂
, (1.184)
которое кратко записывается так:
( )t,z,y,xfuat
u 2 +∆=∂∂
, (1.185)
где 2
2
2
2
2
2
zyx ∂∂+
∂∂+
∂∂=∆ - оператор Лапласа.
Уравнение (1.185) описывает также процессы диффузии, где u - концентрация диффундирующего вещества, и другие (п.1.21).
Частные случаи уравнения теплопроводности 1. Распространение тепла без тепловыделения. Если внутри рассматриваемой области нет источников тепла, т.е. 0f = , то уравнение (1.185) принимает более простой вид:
uat
u 2∆=∂∂
. (1.186)
Уравнение (1.186) называется уравнением свободного теплообмена.
2. Установившийся поток тепла. Для стационарного процесса теплообмена, т.е. когда температура в каждой точке тела не меняется со
временем
=∂∂
0t
u, уравнение приобретает форму уравнения Пуассона:
ρ−=∆u , (1.187)
100
где 2a
f=ρ .
3. Установившийся поток тепла без тепловыделения. В этом случае
0t
u =∂∂
и 0f = , поэтому распределение температуры подчиняется уравнению
Лапласа:
0u =∆ . (1.188) С помощью уравнения (1.188) можно ответить на вопрос: каково должно быть распределение температуры ( )z,y,xuu = внутри тела, чтобы дальнейшего теплообмена не происходило. Поясним: последнее возможно, если на границе области поддерживать постоянную температуру (различную в различных точках границы). Но это уже связано с вопросом о граничных и начальных условиях, к которому мы и переходим.
1.32 НАЧАЛЬНОЕ И ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ, ИХ ФИЗИЧЕСКОЕ ТОЛКОВАНИЕ. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ
Чтобы определить температуру внутри тела в любой момент времени, недостаточно одного уравнения (1.185). Необходимо, как следует из физических соображений, знать еще распределение температуры внутри тела в начальный момент времени (начальное условие) и тепловой режим на границе тела (граничное условие). Начальное условие в отличие от уравнения гиперболического типа задается только одно, т.к. исходное уравнение содержит лишь первую производную по времени. Граничные или краевые условия могут быть различны в зависимости от температурного режима на границе тела. Основными видами тепловых режимов являются следующие: I – на границе поддерживается определенная температура; II – на границу подается определенный тепловой поток; III – происходит теплообмен с внешней средой, температура которой известна. Им соответствуют граничные условия первого, второго, третьего рода. Сформулируем прежде условия для одномерного уравнения теплопроводности. Начальное условие состоит в задании функции ( )t,xuu = в начальный момент времени ( )0t = :
( ) ( )xu0,xu0t
ϕ== = . (1.189)
Выведем граничные условия в случаях I – III. 1. На концах стержня (или на одном конце) задается температура
101
( )tu 10xµ== , ( )tu 2x
µ==l , (1.190)
где ( )t1µ , ( )t2µ - функции, заданные в некотором промежутке Ttt0 ≤≤ , причем T есть промежуток времени, в течении которого изучается процесс. В частности, ( ) constut 11 ==µ , ( ) constut 22 ==µ , т.е. на концах
поддерживается постоянная температура 1u и 2u . 2. На одном из концов (или на обоих) задано значение производной искомой функции. Например, для сечения 0x =
( )tx
u1
0x
ν=∂∂
=. (1.191)
Дадим физическое толкование этому условию. Пусть ( )tq1 - величина
теплового потока, т.е. количество тепла, протекающего через торцевое сечение 0x = в единицу времени. Тогда уравнение теплового баланса для элемента
стержня ( )x;0 ∆ в период времени ttt 12 ∆=− , как и при выводе уравнения (1.183) запишется в виде
( ) ( )t
t
uxSctS
x
t,xukttq1 ∆
∂∂∆ρ=∆
∂∆∂+∆ .
Сократив на t∆ и перейдя к пределу при 0x →∆ , получим ( ) ( )Sk
tqt,0u 1
x ⋅−=′ .
Таким образом, имеем условие (1.192), в котором ( )t1ν - известная функция,
выражающаяся через заданный поток тепла ( )tq1 по формуле ( ) ( )Sk
tqt 1
1 ⋅−=ν .
Аналогично для сечения lx = , через которое протекает количество тепла ( )tq2 , найдем
( )Sk
tq
x
u 2
lx ⋅=
∂∂
=.
Следовательно, условие ( )tx
u1
0x
ν=∂∂
= или ( )t
x
u2
x
ν=∂∂
=l имеет место в
случае, когда на соответствующем конце стержня задан тепловой поток, втекающий или вытекающий. В частности, если концевое сечение теплоизолировано, то ( ) 0tq1 = или ( ) 0tq2 = , и следовательно,
0x
u
0x
=∂∂
= или 0
x
u
x
=∂∂
=l.
3. На одном из концов (или на обоих) задается линейное соотношение между функцией и ее производной. Например, для сечения l=x
102
( )tx
uhu 3
x
ν=
∂∂+
=l
. (1.192)
Условие типа (1.192) используется в случае процесса теплоотдачи, т.е.
переноса тепла от тела к окружающей среде. Закон теплообмена сложен; но для упрощения задачи он может быть принят в виде закона Ньютона. Согласно эмпирическому закону Ньютона количество тепла, отдаваемого в единицу времени с единицы площади поверхности тела в окружающую среду, температура θ которой известна, пропорционально разности температур поверхности тела и окружающей среды:
( )θ−α= uq , где α - коэффициент теплообмена (или внешней теплопроводности). Можно определить тепловой поток через сечение стержня, воспользовавшись двумя выражениями в силу закона сохранения энергии. Согласно закону Ньютона тепловой поток ( )tq , вытекающий через сечение
lx = , равен ( ) ( ) ( )( )tt,utq θ−α= l .
С другой стороны, такой же тепловой поток должен подводиться изнутри путем теплопроводности. Поэтому согласно закону Фурье
( )l=∂
∂−=xx
uktq .
Приравнивая правые части этих выражений, найдем ( ) ( ) ( )( )tt,u
kx
t,u θ−α−=∂
∂l
l.
Отсюда получаем математическую формулировку условия в виде ( ) ( ) ( )tt,hux
t,u3ν=+
∂∂
ll
,
в котором положено k
hα= , ( ) ( )tht3 θ=ν .
Заметим, что граничные условия, наложенные на значения функции ( )t,xu , называют условиями первого рода. Граничные условия, наложенные на
значение производной ( )t,xux′ , называют условиями второго рода. А условия,
наложенные как на значение функции ( )t,xu , так и на значение производной ( )t,xux′ , называют условиями третьего рода.
В случае граничных условий вида (1.190), (1.191), (1.192) говорят соответственно о первой, второй, третьей краевых задачах для уравнения теплопроводности. Начальное условие для всех указанных краевых задач остается тем же самым и дается равенством (1.189). Так, первая краевая задача состоит в отыскании решения ( )t,xuu = уравнения
103
( )t,xfuau xx2
t +′′=′ при l<< x0 , Tt0 ≤< , удовлетворяющего условиям
( ) ( )x0,xu ϕ= , l≤≤ x0 ,
( ) ( )tt,0u 1µ= , ( ) ( )tt,u 2µ=l , Tt0 ≤≤ . Аналогично ставятся другие краевые задачи с различными комбинациями граничных условий при 0x = и l=x . Кроме названных задач довольно часто встречаются предельные случаи – вырождения основных краевых задач. Одним из таких случаев является задача Коши, которая состоит в отыскании решения ( )t,xu в неограниченной области, удовлетворяющего только начальному условию. Если процесс теплопроводности изучается в очень длинном стержне, таком что влияние температурного режима, заданного на границе, в центральной части стержня оказывается весьма слабым в течение небольшого промежутка времени и определяется в основном лишь начальным распределением температуры, то тогда считают, что стержень имеет бесконечную длину и ставят задачу Коши. ЗАДАЧА КОШИ для «бесконечного» стержня (идеализация достаточно длинного стержня) математически формулируется так: найти решение ( )t,xuu = уравнения теплопроводности в области ∞<<∞− x ,
0t ≥ , удовлетворяющее начальному условию ( )xu
0tϕ== ( )∞<<∞− x ,
где ( )xϕ - заданная функция. Если участок стержня, температура которого нас интересует, находится вблизи одного конца и далеко от другого, то в этом случае температура практически определяется температурным режимом близкого конца и начальным условием. При этом стержень считают полубесконечным. Приведем в качестве примера формулировку первой краевой задачи для «полубесконечного» стержня: найти решение ( )t,xuu = уравнения теплопроводности в области ∞<< x0 , 0t ≥ , удовлетворяющее условиям
( )xu0t
ϕ== , ( )∞<< x0 ,
( )tu0x
µ== , 0t ≥ ,
где ( )xϕ и ( )tµ - заданные функции. Для уравнения (1.185) теплопроводности в пространстве V , ограниченном поверхностьюS, начальное условие записывают в виде
( ) ( )z,y,x0,z,y,xu ϕ= ,
а на границе S области V функция ( )t,z,y,xuu = должна удовлетворять одному из условий: 1) ( ) ( )t,Mft,z,y,xu 1S
= (граничное условие 1-го рода);
2) ( )t,Mfn
u2
S
=∂∂
(граничное условие 2-го рода);
104
где n - внешняя нормаль к поверхности S; в частности, если поверхность S
теплоизолирована, то 0n
u
S
=∂∂
;
3) ( )t,Mfhun
u3
S
=
+∂∂
(граничное условие 3-го рода).
Здесь ( )z,y,xM - текущая точка поверхности S. Если распределение температуры внутри тела стационарно, то для однозначного определения функции ( )z,y,xu не надо задавать начальное условие, т.к. в начальный и во все последующие моменты времени распределение температуры одно и то же, а достаточно знать лишь тепловой ражим на границе S тела. Разыскание закона стационарного распределения температуры сводится к решению уравнения Пуассона (1.187) или уравнения Лапласа (1.188) по одному из граничных условий, в которых функции 21 f,f и
3f не зависят от t . Задача для уравнений Пуассона и Лапласа с граничным
условием ( ) ( )z,y,xfz,y,xu 1S= называется задачей Дирихле, а с условием
( ) ( )z,y,xfn
z,y,xu2
S
=∂
∂ - задачей Неймана.
Доказано, что решение каждой из одномерных краевых задач первой, второй и третьей единственно в классе функций, непрерывно дифференцируемых в области 21 xxx ≤≤ , 0t ≥ . Для трехмерных и двумерных краевых задач решение единственно в классе функций, удовлетворяющих условиям применимости соответственно формулы Остроградского и формулы Грина. Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности в классе функций, ограниченных во всем пространстве, единственно и устойчиво.
1.33 РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТЕПЛА В СТЕРЖНЕ КОНЕЧНОЙ ДЛИНЫ. РЕШЕНИЕ НЕКОТОРЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОЙ
ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ МЕТОДОМ ФУРЬЕ Проведем решение общей первой краевой задачи методом Фурье. Этот метод был рассмотрен достаточно подробно при решении краевых задач для гиперболических уравнений. Схема применения его к уравнениям параболического типа остается прежней. Интересующее нас решение будет получено на основе решений вспомогательных задач – частных случаев указанной задачи.
105
1.33.1. Однородное уравнение теплопроводности Пусть однородный стержень длины l теплоизолирован по всей длине, причем в нем нет источников тепла. На концах этого стержня поддерживается постоянная или меняющаяся с течением времени температура. Начальное распределение температуры в стержне известно.
1.33.1А. Распространение тепла в стержне, концы которого поддерживаются при нулевой температуре
Задача состоит в отыскании решения однородного уравнения теплопроводности
2
22
x
ua
t
u
∂∂=
∂∂
(1.193)
при граничных условиях
0u0x
== , 0ux
==l (1.194)
и начальном условии
( )xu0t
ϕ== . (1.195)
Для непрерывности ( )t,xu в точках ( )0;0 и ( )0,l необходимо
потребовать, чтобы
( ) ( ) 00 =ϕ=ϕ l . (1.196) Согласно методу Фурье ищем частные решения уравнения (1.193), удовлетворяющие граничным условиям (1.194), в виде
( ) ( ) ( )tTxXt,xu = . (1.197)
Подставляя (1.197) в (1.193), имеем
( ) ( ) ( ) ( )xXtTatTxX 2 ′′=′ . Разделение переменных дает
( )( )
( )( ) λ−=′′
=′
xX
xX
tTa
tT2
, const=λ ,
откуда получаем два уравнения:
106
( ) ( ) 0tTatT 2 =λ+′ , (1.198)
( ) ( ) 0xXxX =λ+′′ . (1.199)
Из граничных условий (1.194) имеем
( ) 00X = , ( ) 0X =l . (1.200)
Чтобы получить нетривиальное решение уравнения (1.193) вида (1.197), необходимо найти нетривиальное решение уравнения (1.199), удовлетворяющее условиям (1.200). Таким образом, для определения функций
( )xX мы пришли к задаче Штурма – Лиувилля (задаче о собственных значениях), которая исследовалась в задаче о свободных колебаниях ограниченной струны (п.1.28). Там было установлено, что для значений параметра λ , равных
2
nn
π=λl
( )...,3,2,1n = ,
существуют нетривиальные решения задачи (1.199) – (1.200):
( )l
xnsinxX n
π= . (1.201)
Подставляя значения nλ=λ в (1.198), получим уравнение
( ) ( ) 0tTan
tT2
=
π+′l
,
общее решение которого есть
( )t
an
nn
2
eatT
π−= l ,
где na - произвольные постоянные. Таким образом, уравнению (1.196) и граничным условиям (1.197) удовлетворяют функции
( )l
l xnsineat,xu
tan
nn
2
π=
π−, ...,2,1n =
при любых na . Мы получили множество решений, сумма которых также будет решением уравнения (1.193) (в силу его линейности), удовлетворяющим условию (3.15). Составим формально ряд
107
( ) ( )l
l xnsineat,xut,xu
tan
1nn
1nn
2
π==
π−∞
=
∞
=∑∑ . (1.202)
Функция ( )t,xu в виде (1.202) удовлетворяет граничным условиям, т.к.
им удовлетворяют все члены ряда. Требуя выполнения начального условия (1.195), получаем
( ) ( )l
xnsinax0,xu
1nn
π=ϕ= ∑∞
=.
Написанный ряд представляет собой разложение заданной функции ( )xϕ в ряд
Фурье по синусам в промежутке ( )l;0 . Коэффициенты na определяются по известной формуле
( ) dxxn
sinx2
a0
nll
l πϕ= ∫ . (1.203)
Итак, решением задачи (1.193) – (1.195) является функция ( )t,xu , представленная рядом (1.202), коэффициенты которого определяются по формулам (1.203).
1.33.1Б. Распространение тепла в стержне, на концах которого поддерживается меняющаяся с течением времени температура
Задача сводится к решению уравнения (1.193) при граничных условиях
( )tu 10xµ== , ( )tu 2x
µ==l , (1.204)
и начальном условии
( )xu0t
ϕ== , (1.205)
где ( )t1µ , ( )t2µ , ( )xϕ - заданные функции. Будем искать решение этой задачи в виде ряда Фурье по собственным функциям (1.201)
( ) ( )l
xnsintTt,xu
1nn
π= ∑∞
=, (1.206)
где
108
( ) ( ) dxxn
sint,xu2
tT0
nll
l π= ∫ , (1.207)
считая при этом t параметром. Возьмем этот интеграл по частям дважды:
( )( )
( )
( )( ) ( )( ) .dxxn
cosx
u
nt,0u1t,u
n
2
dxxn
cosx
u
n
xncost,xu
n
2
xncos
nvdx
x
uud
dxxn
sinvdt,xuutT
L
0
n
L
00
n
π∂∂
π+−−
π−=
=
π∂∂
π+π
π−=
=ππ
−=∂∂=
π===
∫
∫
l
ll
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
Последний интеграл берем по частям, положив x
uu1 ∂
∂= , dxxn
cosvd 1l
π= .
Тогда dxx
uud
2
2
1 ∂∂= ,
l
l xnsin
nv1
ππ
= .
Поэтому имеем
( ) ( ) ( ) ( )[ ]( )
dxxn
sinx
u
n
2t,0ut,u1
n
2tT
02
2
2n
nl
ll
l π∂∂
π−−−
π−= ∫ .
Так как ( )t,xu удовлетворяет уравнению (1.193) и граничным условиям (1.204), то
( ) ( ) ( ) ( )[ ]( )
dxxn
sint
u
n
2t1t
n
2tT
022
n1n
l
l l π∂∂
π−µ−−µ
π= ∫ . (1.208)
Дифференцируя теперь выражение (1.207) по t , найдем
( )
dxxn
sint
u2
dt
tdT
0
n
ll
l π∂∂= ∫ . (1.209)
Исключая интеграл из равенства (1.208) и (1.209), получим следующее
уравнение для определения коэффициентов ( )tTn разложения (1.206):
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]t1tan2
tTan
dt
tdT2
n12
2
n
2n µ−−µπ=
π+ll
. (1.210)
Решим это уравнение методом вариации произвольной постоянной
109
( ) ( )
( ) ( ) )211.1(.etCtT
an
C
Tlndt
an
Т
dT0tT
an
dt
tdT
tan
nn
2
n
n2
n
nn
2n
2
π−=⇒
⇒
π−=⇒
π−=⇒=
π+
l
llll
Тогда
( ) ( ) ( )t
an
n
2tan
nn
22
etCan
etCtT
π−
π−
π−′=′ ll
l.
Подставляя найденные выражения ( )tTn и ( )tTn′ в линейное неоднородное
уравнение (1.210), получим дифференциальное уравнение относительно ( )tCn :
( ) ( ) ( ) ( )[ ]t1tan2
etC 2n
12
2tan
n
2
µ−−µπ=′
π−
l
l ,
откуда
( ) ( ) ( ) ( )[ ]t1tean2
tC 2n
1
tan
2
2
n
2
µ−−µπ=′
πl
l
.
Интегрируя, находим
( ) ( ) ( ) ( )[ ] n2n
1
t
0
an
2
2
n Cd1ean2
tC
2
+ττµ−−τµπ= ∫τ
πl
l
.
Таким образом, общее решение уравнения (1.210) имеет вид
( ) ( ) ( ) ( )[ ] τ
τµ−−τµπ+= ∫
τ
π
π−d1e
an2CetT 2
n1
t
0
an
2
2
n
tan
n
22
ll
l
. (1.212)
Определим постоянные nC . Очевидно, ( )0TC nn = . Чтобы удовлетворить начальному условию (1.205), потребуем
выполнения равенства
( ) ( ) ( )xxn
sin0T0,xu1n
n ϕ=π= ∑∞
= l
и, следовательно,
( ) ( ) dxxn
sinx2
C0T0
nnll
l πϕ== ∫ . (1.213)
Итак, решением задачи (1.193), (1.204) – (1.205) является ряд (1.206), в котором функции ( )tTn определяется равенствами (1.212) и (1.213).
110
1.33.2 Неоднородное уравнение теплопроводности Пусть внутри стержня имеются источники или поглотители тепла с известной плотностью распределения их. В этом случае процесс распространения тепла описывается неоднородным уравнением (1.183). Определим закон изменения температуры в стержне для граничных условий первого рода.
1.33.2А Однородная краевая задача
Рассмотрим неоднородное уравнение
( )t,xfx
ua
t
u2
22 +
∂∂=
∂∂
с нулевыми (однородными) граничными условиями
0u0x
== , 0ulx
== , (1.214)
и начальным условием
0u0t
== . (1.215)
Будем искать решение этой задачи в виде
( ) ( )l
xnsintTt,xu
1nn
π= ∑∞
=. (1.216)
Тогда граничные условия удовлетворяются автоматически.
Предположим, что функция ( )t,xf , рассматриваемая как функция от x при фиксированном t , может быть разложена в ряд Фурье
( ) ( )l
xnsintft,xf
1nn
π= ∑∞
=, (1.217)
где
( ) ( ) dxxn
sint,xf2
tf0
nll
l π= ∫ . (1.218)
Подставляя в уравнение (1.183) ряд (1.216) (предполагаемое решение) и
принимая во внимание (1.217), будем иметь
111
( ) ( ) ( ) 0xn
sintftTl
antT
1nnn
2
n =π
−
π+′∑∞
= l,
откуда получим
( ) ( ) ( )tftTtT nn2nn =ω+′ , где
l
ann
π=ω . (1.219)
Пользуясь начальным условием (1.214)
( ) ( ) 0xn
sin0T0,xu1n
n =π= ∑∞
= l,
получаем начальное условие для ( )tTn :
( ) 00Tn = . (1.220)
Найдем решение обыкновенного дифференциального уравнения (1.219), удовлетворяющее условию (1.220), воспользовавшись методом вариации. Решение соответствующего однородного уравнения имеет вид (1.211)
( ) ( ) tnn
2netCtT ω−= .
Подставив в (1.219) выражения ( )tTn и ( )tTn′ , получим дифференциальное
уравнение относительно ( )tCn :
( ) ( )tfetC nt
n
2n =′ ω− ,
откуда находим
( ) ( ) n
t
0nn CdeftC
2n +ττ= τω
∫ .
Следовательно, ( ) ( ) tt
0nnn
2n
2n edefCtT ω−τω
ττ+= ∫
и в силу (1.220) ( ) 0C0T nn == .
Итак,
( ) ( ) ( ) ττ= ∫ τ−ω− dfetT n
t
0
tn
2n . (1.221)
Подставляя в ряд (1.216) выражение (1.221), получим решение
однородной краевой задачи (1.183), (1.214) – (1.215) в виде
112
( )( )
( )l
l xnsindfet,xu
1n
t
0n
tan 2
π
ττ= ∑ ∫
∞
=
τ−
π−. (1.222)
Если начальное условие неоднородно ( )( )xu
0tϕ== , то к решению
(1.222) нужно прибавить решение однородного уравнения теплопроводности с заданным начальным условием ( )xu
0tϕ== и граничными условиями (1.214),
которое получено в п.1.33.1А.
1.33.2Б Общая первая краевая задача Наконец рассмотрим общую первую краевую задачу для неоднородного уравнения теплопроводности, т.е. тот случай, когда начальное и граничные условия неоднородные: найти решение уравнения (1.183)
( )t,xfx
ua
t
u2
22 +
∂∂=
∂∂
при граничных условиях
( )tu 10xµ== , ( )tu 2lx
µ== , (1.223)
и начальном условии
( )xu0t
ϕ== . (1.224)
Задача сводится к задачам, рассмотренным в пп. 1.33.1Б, 1.33.2А. А
именно, вводится функция вида
( ) ( ) ( )y,xy,xvy,xu ω+= , (1.225) где функция ( )y,xv удовлетворяет однородному уравнению
2
22
x
va
t
v
∂∂=
∂∂
, (1.226)
граничным условиям
( )tv 10xµ== , ( )tv 2lx
µ== (1.227)
113
и начальному условию
( )xv0t
ϕ== , (1.228)
а функция ( )t,xω удовлетворяет неоднородному уравнению
( )t,xfx
at 2
22 +
∂ω∂=
∂ω∂
, (1.229)
граничным условиям
00x
=ω = , 0lx
=ω = (1.230)
и начальному условию
0t=ω . (1.231)
Легко доказать, что сумма (1.225) является решением общей краевой задачи.
1.34 РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТЕПЛА В БЕСКОНЕЧНОМ СТЕРЖНЕ. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ
ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ МЕТОДОМ ИНТЕГРАЛА ФУРЬЕ Рассмотрим задачу о распределении температуры в однородном неограниченном стержне, теплоизолированном по всей длине, при известном начальном (при 0t = ) распределении температуры. Математическая постановка задачи: найти функцию ( )t,xu , ограниченную в области ∞<<∞− x , 0t ≥ , удовлетворяющую уравнению
2
22
x
ua
t
u
∂∂=
∂∂
∞<<−∞ x( , )0t > (1.232)
и начальному условию
( )xu0t
ϕ== , ∞<<∞− x . (1.233)
Сформулированная задача есть задача Коши.
Применим метод разделения переменных и суперпозиции частных решений.
114
Ищем частные решения уравнения (1.232) в виде произведения двух функций одной переменной
( ) ( ) ( )xXtTt,xu = . (1.234)
Подставляя (1.234) в (1.232) и разделяя переменные, получим ( )( )
( )( ) µ−=′′
=′
xX
xX
tTa
tT2
, const=µ .
Откуда следует
( ) ( ) 0tTatT 2 =µ+′ , (1.235)
( ) ( ) 0xXxX =µ+′′ . (1.236)
Из уравнения (1.235) находим
( ) ta2
CetT µ−= . (1.237)
Функции ( )tT и ( )xX должны быть ограниченными, т.к. температура ( ) ( )tTxXu = не может неограниченно возрастать в результате свободного
теплообмена. Из (1.236) видно, что параметр разделения µ не может быть
отрицательным; если 0<µ , то ∞→µ− ta2
e при ∞→t , а это не имеет физического смысла. Следовательно, 0≥µ . Обозначим для удобства
последующих выкладок 2λ=µ . В выражении (1.237) положим 1C = . Тогда
( ) ta22etT λ−= .
Как известно, для линейного уравнения (1.236) общее решение имеет вид ( ) xsinBxcosAxX λ+λ= .
Так как граничные условия отсутствуют, то параметр λ остается совершенно произвольным. Произвольные постоянные A и B для каждого λ имеют определенные значения. Поэтому A и B можно считать функциями от λ . Согласно (1.234) каждому значению λ соответствует частное решение
( ) ( ) ( )[ ]xsinBxcosAet,xu ta22
λλ+λλ= λ−λ . (1.238)
В случае стержня конечной длины l мы определили из граничных
условий дискретное множество возможных значений параметра λ : l
π=λ nn ,
где каждому n соответствуют некоторые коэффициенты nA и nB . Чем
115
длиннее стержень, тем гуще множество значений nλ (расстояние между nλ и
1n+λ равно l
π и стремится к нулю, когда ∞→l ). Поэтому для бесконечного
стержня λ может иметь любое значение от 0 до ∞ . Таким образом, первая часть метода – построение частных решений – завершена. Вторая часть метода Фурье – суперпозиция частных решений ( )t,xuλ ,
∞<λ<0 . Уравнение (1.232) линейное и однородное; оно имеет, как мы только что установили, бесчисленное множество частных решений, зависящих от непрерывно меняющегося параметра λ . Поэтому общее решение получается из частных (1.238) не суммированием по счетному множеству значений nλ , а интегрированием по параметру λ :
( ) ( ) ( ) ( )[ ] λλλ+λλ=λ= ∫∫∞
λ−∞
λ dxsinBxcosAedt,xut,xu0
ta
0
22
. (1.239)
Для того чтобы убедиться, что функция (1.239) действительно является
решением уравнения (1.232), надо продифференцировать (1.239) по x и по t и результаты дифференцирования подставить в уравнение. Не проводя эту операцию, которая требует определенных знаний об интегралах по параметру, будем исходить из доказанного в литературе утверждения: интеграл (1.239) является решением уравнения (1.232) при любых абсолютно интегрируемых функциях ( )λА и ( )λB . Подберем функции ( )λА и ( )λB так, чтобы решение (1.239) удовлетворяло начальному условию (1.233). Полагая в (1.239) 0t = , получим в силу (1.233)
( ) ( ) ( ) ( )[ ] λλλ+λλ=ϕ= ∫∞
dxsinBxcosAx0,xu0
. (1.240)
Интеграл, стоящий справа, есть интеграл Фурье (одна из его форм),
который является обобщением понятия ряда Фурье. В теории интеграла Фурье доказывается, что любая непрерывная функция
( )xf , абсолютно интегрируемая, т.е. удовлетворяющая условию
( ) ∞<∫∞
∞−dxxf ,
может быть представлена в виде интеграла от гармонических функций xcosλ и xsinλ , частоты которых λ приобретают непрерывную совокупность значений:
( ) ( ) ( )[ ] λλλ+λλ= ∫∞
dxsinbxcosaxf0
, (1.241)
где
116
( ) ( )∫∞
∞−λ
π=λ xdxcosxf
1a , ( ) ( )∫
∞
∞−λ
π=λ xdxsinxf
1b . (1.242)
В равенстве (1.241) нетрудно усмотреть сходство с рядом Фурье для
функции ( )xf , а в выражениях (1.242) – сходство с коэффициентами Фурье. Сравнивая равенства (1.240) и (1.241), получаем выражения
( ) ( )∫∞
∞−λϕ
π=λ xdxcosx
1А , ( ) ( )∫
∞
∞−λϕ
π=λ xdxsinx
1B (1.243)
в предположении, что заданная функция ( )xϕ непрерывна и абсолютно интегрируема. Найдя таким образом коэффициенты ( )λА и ( )λB по формулам (1.243) и подставив их в интеграл (1.240), получим
( ) ( ) ( ) .ddsin1
xsindcos1
xcoset,xu0
ta22
λ
ξλξξϕπ
⋅λ+ξλξξϕπ
⋅λ= ∫∫∫∞
∞−
∞
∞−
∞λ−
Внесе
м xλcos и xλsin под знак внутренних интегралов, тогда
( ) ( )( ) .ddxsinsinxcoscose1
t,xu0
ta22
λ
ξλ⋅λξ+λ⋅λξξϕπ
= ∫∫∞
∞−
∞λ−
Учитывая, что выражение в круглых скобках есть косинус разности, приходим к следующему представлению:
( ) ( ) ( ) ξ−ξλξϕλπ
= ∫∫∞
∞−
∞λ− dxcosde
1t,xu
0
ta22.
Последний интеграл можно еще преобразовать, изменив порядок интегрирования:
( ) ( ) ( ) λ−ξλξξϕπ
= ∫∫∞
λ−∞
∞−dxcosed
1t,xu
0
ta22. (1.244)
По существу задача решена. Построенная функция ( )t,xu есть решение
данного уравнения, удовлетворяющее заданному начальному условию. Можно только преобразовать полученное выражение к более удобному виду, который позволит придать физический смысл решению задачи теплопроводности в бесконечном стержне. Займемся вычислением внутреннего интеграла; положим в нем zta =λ ,
( ) zx β=−ξλ , откуда найдем ta
dzd =λ ,
ta
x−ξ=β . В результате имеем
117
( ) zdzcoseta
1dxcose
0
z
0
ta 222
β=λ−ξλ ∫∫∞
−∞
λ− .
Последний интеграл может быть вычислен следующим специальным приемом. Обозначим
( ) zdzcoseK0
z2
β=β ∫∞
− . (1.245)
Дифференцируя интеграл ( )βK по параметру β , найдем, что
( ) zdzsinzeK0
z2
β−=β′ ∫∞
− .
Преобразуем ( )β′K , проинтегрировав по частям:
( )
( ).K2
zdzcose2
zsine2
1
e2
1v,zdzcosud
zdzevd,zsinuK
0
z
0
z
z
z
22
2
2
ββ−=ββ−β=
==ββ=
−=β==β′
∫∞
−∞
−
−
−
Таким образом, имеем дифференциальное уравнение
( ) ( ).K2
K ββ−=β′
Интегрируя его, получим
( )( )
( )4C
Kln
2K
K 2β−=β⇒
β−=ββ′
.
Откуда находим
( ) 4
2
CeKβ
−=β .
Определим C. Из (1.245) имеем ( ) dze0K0
z2
∫∞
−= - интеграл Пуассона. Как
известно, 2
dze0
z2 π=∫∞
− . В силу этого
( ) 4
0
z
2
2
e2
zdzcoseKβ−∞
− π=β=β ∫
и
( )( )
ta4
x
0
ta 2
2
22
e2ta
1dxcose
−ξ−∞λ− π=λ−ξλ∫ .
Подставляя это выражение интеграла в решение (1.244), найдем
118
( ) ( )( )
ξπξϕπ
=−ξ−∞
∞−∫ de
2ta
11t,xu ta4
x2
2
и окончательно
( ) ( )( )
ξξϕπ
=−ξ−∞
∞−∫ de
ta2
1t,xu ta4
x2
2
. (1.246)
Заметим, что полученный интеграл (1.246), называемый интегралом
Пуассона, довольно труден для вычисления: он не берется в элементарных функциях. Однако задача считается решенной, если удается выразить этот интеграл через табулированную функцию Erf , известную в теории вероятностей под названием интеграла ошибок.
Функцию
( )( )
ta4
x2
2
eta2
1t,,xG
−ξ−
π=ξ , (1.247)
зависящую от t,x и произвольного параметра ξ , часто называют фундаментальным решением уравнения теплопроводности. Функция
( )t,,xG ξ удовлетворяет уравнению теплопроводности и начальному условию, в чем нетрудно убедиться. Она имеет определенный физический смысл. Пусть начальное распределение температуры в стержне задано функцией
( )xϕ , равной нулю всюду, кроме окрестности точки 0xx = , где
constuu 0 == , т.е.
( ) ( )
=ϕ=ϕ δ ,0
,uxx 0
если
если
δ>−δ+<<δ−
0
00
xx
xxx
(см. рис. 1.11). Это так называемый физический тепловой импульс. Такое начальное распределение можно истолковать следующим образом: до момента
0t = весь стержень находился при нулевой температуре и в момент 0t = малому интервалу ( )δ+δ− 00 x;x , т.е. элементу длины δ2 стержня, сообщили
некоторое количество тепла cu2Q0 δρ= (здесь ρ - плотность материала стержня, c - его теплоемкость, δρ2 - масса выделенного участка), которое
вызвало мгновенное повышение температуры на этом участке на величину 0u .
Практически температура, конечно, не может представляться разрывной функцией ( )xδϕ , но график температуры (он будет иметь примерно вид
пунктирной линии) тем меньше отличается от графика ( )xδϕ , чем резче и кратковременнее будет подогрев.
119
При таком тепловом импульсе решение (1.247) задачи теплопроводности будет иметь вид
( )( ) ( )
ξπρδ
=ξπ
= ∫∫δ+
δ−
−ξ−−ξ−δ+
δ−de
tca4
Qdeu
ta2
1t,xu
0
0
2
2
2
2
0
0
x
x
ta4
x
ta4
xx
x0 . (1.248)
Будем теперь уменьшать длину
интервала, на которой было подано тепло
0Q . Устремляя δ к нулю, т.е. переходя к мгновенному точечному источнику тепла, находящемуся в момент 0t = в точке 0x , получим из интеграла (1.248), используя теорему о среднем,
( ) ( )( ) ( )
ta4
xx
0ta4
xx
0
2
20
2
20
eta2
1u2e
2
1lim
ta2c
Qt,xu
−−
−−
→δ π=δ⋅
δπρ= . (1.249)
В частности, если количество тепла ρ= cQ0 , то решение (1.249)
превратится в функцию
( )( )
( )t,x,xGeta2
1t,xu 0
ta4
xx2
20
=π
=−
−,
т.е. в фундаментальное решение (1.247) при значении параметра 0x=ξ .
Следовательно, точечный источник тепла с количеством тепла ρ= cQ0 ,
действовавший в точке 0x в момент 0t = , передаст в точку x к моменту t такое количество тепла, что температура в этой точке становится равной фундаментальному решению ( )t,x,xG 0 уравнения теплопроводности. Применим теперь физический смысл фундаментального решения к физическому толкованию решения (1.246). Для того чтобы придать сечению
ξ=x стержня температуру ( )ξϕ в начальный момент, надо распределить на
малом элементе ξd около этой точки количество тепла ( ) ξξρϕ= dcdQ или, что то же самое, поместить в точке ξ мгновенный точечный источник тепла мощности dQ. Тогда, согласно (1.249), распределение температуры, вызываемое этим тепловым импульсом, будет таково:
( )( )
ta4
x2
2
eta2
1d
−ξ−
πξξϕ .
δ+0x
δ−0x 0x
0u
x
u
Рис. 1.11
120
Общее же воздействие, обусловленное начальной температурой ( )ξϕ во всех точках стержня, может быть получено суммированием тех воздействий, которые произошли от отдельных элементов, т.е. от каждого импульса в отдельности, что и даст полученное выше решение
( ) ( )( )
ξπ
ξϕ=−ξ−∞
∞−∫ de
ta2
1t,xu ta4
x2
2
.
Другими словами, решение (1.246) есть результат суперпозиции (наложения) температур, возникающих в точке x в момент времени t вследствие воздействия непрерывно распределенных по стержню тепловых импульсов «интенсивности» ( )ξϕ в точке ξ , приложенных в момент 0t = . Формула Пуассона (1.246) обобщается в задачу Коши для уравнения теплопроводности с двумя и тремя пространственными координатами. Так, в случае распространения тепла в неограниченном пространстве уравнение теплопроводности
∂∂+
∂∂+
∂∂=
∂∂
2
2
2
2
2
22
z
u
y
u
x
ua
t
u
при начальном условии ( )z,y,xu
0tϕ==
имеет решение
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )ςηξ
πςηξϕ=
−ς+−η+−ξ−∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−∫ ∫ ∫ ddde
ta2
1,,t,z,y,xu ta4
zyx
3
2
222
.
1.35 ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ.
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТЕПЛА В ШАРЕ Решение задачи теплопроводности в пространстве двух и трех измерений связано с большими трудностями математического характера. Возможности использования математического аппарата в настоящем курсе сильно ограничены. Поэтому рассмотрим краевую задачу для трехмерного пространства, решение которой можно привести к одномерному случаю. Пусть имеем однородный шар радиуса R , центр которого находится в начале координат. Предположим, что как в начальный, так и в последующие моменты времени температура одна и та же во всех точках, находящихся на одинаковой расстоянии r от центра шара. Во все время наблюдения внешняя поверхность шара поддерживается при нулевой температуре. Определим температуру любой точки внутри сферы в момент времени 0t > . Преобразуем уравнение теплопроводности в пространстве трех координат
( )zzyyxx2
t uuuau ++= (1.250)
121
к уравнению с одной пространственной координатой, т.к. температура u в точке ( )z,y,xM для 0t > по условию зависит от ее расстояния r до начала координат.
Значит,
( )t,ruu = , где 222 zyxr ++= . (1.251)
Из (1.250) найдем
r
xuruu rxrx ⋅=⋅= ,
( )3
22
r
2
rrxxr2xrrxxrxxrxx
r
xru
r
xururururuu
−+
=⋅+⋅=⋅+⋅′= .
Аналогично определяются yyu , zzu . После подстановки в (1.250) найденных
выражений для частных производных xxu , yyu , zzu уравнение примет вид
+= rrr2
t ur
2uau . (1.252)
Тогда начальное условие запишется в виде
( )ru
0tϕ== , (1.253)
где ( )rϕ - заданная функция в интервале Rr0 ≤≤ , а граничное условие
0uRr
== . (1.254) Если ввести новую неизвестную функцию
( ) ( )t,rrut,rV = , (1.255) то задача легко сводится к решенной ранее одномерной краевой задаче с однородными граничными условиями. В самом деле, из (1.255) найдем
tt ruV = , rr ruuV += , rrrrr ruu2V += .
Выразим отсюда tu , ru , rru и подставим их значения в (1.252). Уравнение (1.252) преобразуется к виду
rr2
t VaV = ,
а условия для новой функции ( )t,rV таковы:
( )rrV0t
ϕ== ,
122
0V0r
== , 0VRr
== .
В результате мы пришли к задаче о теплопроводности в конечном стержне длины R , на концах которого поддерживается температура, равная нулю, а начальное распределение температуры задается функцией ( )rrϕ . Эта задача решена в п. 1.33.1А. Согласно формулам (1.202) и (3.203) имеем
( )R
rnsineat,rV
tR
an
1in
2
π=
π−∞
=∑ ,
где
( ) drR
rnsinrr
R
2a
R
0n
πϕ= ∫ .
Искомая же температура ( ) ( )r
t,rVt,ru = .
1.36 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К УРАВНЕНИЯМ ПУАССОНА И ЛАПЛАСА
Исследование стационарных процессов различной физической природы приводит к уравнениям эллиптического типа. Простейшими и наиболее распространенными уравнениями этого типа являются уравнения Пуассона и Лапласа.
К уравнениям Пуассона и Лапласа, помимо задачи о распределении температуры в стационарном тепловом поле, что было установлено в п. 1.31, приводятся многие задачи из электростатики, магнитостатики, гидродинамики и других разделов естествознания. Остановимся на некоторых из них.
Основное уравнение электростатики Пусть в некоторой однородной среде имеется стационарное, т.е. не
зависящее от времени, электрическое поле, образованное электрическими зарядами. E - напряженность электрического поля; ρ - плотность зарядов; диэлектрическую постоянную среды примем равной единице.
Основным законом электростатического поля является теорема Гаусса: поток напряженности E через произвольную замкнутую поверхность S равен (в абсолютной системе единиц) алгебраической сумме зарядов, находящихся внутри этой поверхности, умноженной на π4 :
∑∫∫ π=i
iS
n e4dSE .
В общем случае электрические заряды распределены по объему V с некоторой плотностью ( )z,y,xρ=ρ . Заряд dVρ , помещенный в элементе объема dV , можно рассматривать как точечный заряд, а данное электрическое поле напряженности E - как поле, образованное наложением точечных
123
зарядов. Поэтому сумма ∑i
ie должна быть заменена на dVV∫∫∫ρ . Итак, в силу
основного закона
dV4dSEVS
n ∫∫∫∫∫ ρπ= . (1.256)
Применив к поверхностному интегралу формулу Остроградского-Гаусса
dVEdiv4dSEVS
n ∫∫∫∫∫ π= ,
из (1.256) получаем dV4dVEdiv
VV∫∫∫∫∫∫ ρπ=
или ( ) 0dV4Ediv
V
=πρ−∫∫∫ .
Отсюда, ввиду произвольности объема V , следует, что равно нулю подынтегральное выражение. Таким образом, перешли к дифференциальной форме теоремы Гаусса
πρ= 4Ediv . (1.257)
Из электродинамики известно, что электростатическое поле является безвихревым, или потенциальным, т.е. существует такая скалярная функция
( )z,y,xϕ , для которой
ϕ−= gradE , где ϕ - электрический потенциал. В векторном анализе было установлено, что
( ) ϕ∆≡ϕgraddiv . С учетом этого уравнение (1.257) примет вид
πρ−=ϕ∆ 4 . (1.258)
В системе единиц СИ уравнение (1.258) записывается проще:
ρ−=ϕ∆ . Отсюда заключаем, что потенциал ϕ электрического поля удовлетворяет
уравнению Пуассона. Если объемных зарядов нет ( )0=ρ , то потенциал ϕ удовлетворяет уравнению Лапласа:
0=ϕ∆ .
Основное уравнение гидродинамики Пусть внутри некоторой области T с границей S имеет место течение несжимаемой жидкости (плотность const=ρ ), характеризуемое вектором
124
скорости v . Будем предполагать, что координаты xv , yv , zv вектора v не
зависят от времени t . Такое движение называют стационарным или установившимся. Как известно из векторного анализа, стационарное поле скоростей движущейся несжимаемой жидкости является соленоидальным, т.е.
0vdiv = . (1.259) (Напомним: в силу условия несжимаемости, количество жидкости, поступающей внутрь поверхности S за единицу времени, равно количеству жидкости, удаляющейся за это время из области, ограниченной этой поверхностью. Следовательно, поток через произвольную замкнутую поверхность в этом поле равен нулю, а это означает, что дивергенция поля равна нулю во всех точках (формула Остроградского-Гаусса)). Уравнение (1.259) называется уравнением движения несжимаемой жидкости. Оно еще не дает возможности определить скорость v , поскольку надо знать три скалярные функции xv , yv , zv , а уравнение для их определения
только одно. В гидродинамике выводятся из физических соображений еще несколько уравнений и из полученной системы уравнений находятся координаты вектора v . Мы не будем составлять этих уравнений; вместо этого наложим на движение дополнительное требование и тогда, в этом частном случае, нам удастся обойтись одним уравнением (1.259). Ограничимся рассмотрением потенциального движения жидкости. Если течение невихревое ( 0vrot = ), то скорость v есть градиент некоторой скалярной функции u , называемой потенциалом скорости:
ugradv −= . Подставляя это выражение в (1.259), получим
( ) 0ugraddiv = или
0u =∆ . Как видим, потенциал ( )z,y,xu скорости течения жидкости удовлетворяет уравнению Лапласа. В задачах фильтрации можно принять
Pgradkv −= , где P - давление; constk − . Тогда установившийся режим фильтрации описывается уравнением Лапласа относительно давления ( )z,y,xP пласта:
0z
P
y
P
x
P2
2
2
2
2
2
=∂∂+
∂∂+
∂∂
.
125
1.37 ПОСТАНОВКА ОСНОВНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ЛАПЛАСА И ПУАССОНА
Для решения уравнения Лапласа или Пуассона, как и вообще для решений стационарных задач, естественно, не задается начальный режим. Задаются лишь условия на границе области. Математически задача для уравнений Лапласа (Пуассона) ставится так: найти функцию ( )z,y,xu , удовлетворяющую внутри области V , ограниченной замкнутой поверхностью S, уравнению
0u =∆ ( ( )z,y,xfu −=∆ ) и граничному условию, которое может быть взято в одном из следующих видов: I. ( )Pfu 1S
= (граничное условие 1-го рода);
II. ( )Pfn
u2
S
=∂∂
(граничное условие 2-го рода);
III. ( )Pfhun
u3
S
=
+∂∂
(граничное условие 3-го рода),
где 1f , 2f , 3f - заданные непрерывные функции; n
u
∂∂
- производная по внешней
нормали n к поверхности S; ( )z,y,xP - текущая точка поверхности. Как отмечалось в п. 1.32, задача интегрирования уравнения Лапласа с граничным условием первого рода называется первой граничной задачей или задачей Дирихле, а с условием второго рода – второй граничной задачей или задачей Неймана. Если задана линейная комбинация неизвестной функции и ее нормальной производной, то задачу интегрирования называют третьей граничной задачей. В некоторых задачах на разных участках границы задаются условия разных типов, тогда говорят о смешанной граничной задаче. В частности, если уравнение Лапласа описывает установившийся режим фильтрации, а функция u определяет давление в каждой точке пласта, то граничное условие первого рода означает, что в точках поверхности S задается давление (например, давление на забое скважины или на контуре питания при плоско-параллельном течении); задание граничного условия второго рода равносильно заданию потока фильтрующейся жидкости, т.е. дебита в каждой точке границы S. Граничное условие третьего рода задается, когда имеет место переток жидкости в выше – или нижележащие пласты. Если решение ищется в области V , внутренней (или внешней) по отношению к поверхности S, то соответствующую задачу называют внутренней (или внешней) граничной задачей.
126
1.38 РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ (ГРАНИЧНЫХ) ЗАДАЧ ДЛЯ ПРОСТЕЙШИХ ОБЛАСТЕЙ МЕТОДОМ РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ
Для областей произвольной формы метод Фурье для решения уравнения Лапласа (или Пуассона) неприменим. Этот метод для уравнения Лапласа проходит лишь в случае некоторых простейших областей, где возможно разделение переменных в граничных условиях (прямоугольник, круг, кольцо, сектор, шар, цилиндр и др.) Получающиеся при этом задачи на собственные значения (задачи Штурма-Лиувилля) приводят к различным специальным функциям. Мы рассмотрим задачи Дирихле в плоской области, при решении которых используются только тригонометрические функции (круговые и гиперболические).
1.38.1. Решение задачи Дирихле (внутренней и внешней) для круга. Интеграл Пуассона
Прежде напомним определение: функция u называется гармонической в некоторой области T , если она непрерывна в этой области вместе со своими частными производными до второго порядка включительно и удовлетворяет уравнению Лапласа в этой области. Решим первую граничную задачу (внутреннюю и внешнюю) для круга. Имея в виду, что различные физические процессы с математической точки зрения могут быть совершенно подобными, мы не будем интерпретировать рассматриваемую задачу в терминах того или иного физического явления, а ограничимся математической постановкой и разберем метод решения, единый для аналогичных проблем. Внутренняя задача Дирихле: найти функцию u , удовлетворяющую уравнению
0u =∆ (1.260)
внутри круга 222 ayx <+ , непрерывную в замкнутой области 222 ayx ≤+ и принимающую заданные значения на границе круга:
( )y,xfuC
= . (1.261)
Внешняя задача Дирихле: найти функцию, гармоническую в области
222 ayx >+ (внешность круга), ограниченную в области 222 ayx ≥+ и удовлетворяющую граничному условию (1.261). Обе задачи будем решать одновременно. Задачу проще решать в полярной системе координат ( )ϕρ, , где
ϕρ= cosx , ϕρ= siny . (1.262)
127
После замены переменных (1.262) уравнение Лапласа
0y
u
x
u2
2
2
2
=∂∂+
∂∂
в полярных координатах принимает вид
0u1u1u2
2
22
2
=ϕ∂
∂ρ
+ρ∂
∂ρ
+ρ∂
∂. (1.263)
(Читателю предоставляется выполнить это самостоятельно). Соответственно граничное условие (1.262) запишется так:
( ) ( ) ( )ϕ=ϕ=ϕρ f,au,uC
, π≤ϕ≤ 20 . (1.264)
Причем ( ) ( )ϕ=π+ϕ f2f , т.к. увеличение ϕ на π2 возвращает точку
( )ϕρ, в исходное положение. Согласно методу Фурье ищем решение уравнения (1.263) при условии (1.264) в виде
( ) ( ) ( )ϕΦρ=ϕρ R,u . (1.265)
Подставляя (1.265) в (1.263), получим
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0R1
R1
R2
=ϕΦ ′′ρρ
+ϕΦρ′ρ
+ϕΦρ′′ .
Разделяем переменные
( )( )
( ) ( )( ) λ−=ρ
ρ′ρ+ρ′′ρ−=ϕΦϕΦ ′′
R
RR2
.
Поскольку по обе стороны знака равенства стоят функции от различных независимых переменных, то такое равенство возможно только тогда, когда обе части равны одной и той же постоянной, которую обозначим через λ . Тогда приходим к двум обыкновенным дифференциальным уравнениям:
( ) ( ) ( ) 0RRR2 =ρλ−ρ′ρ+ρ′′ρ , (1.266)
( ) ( ) 0=ϕΦλ+ϕΦ ′′ . (1.267)
Общее решение линейного уравнения (1.267) есть
( ) ϕλ+ϕλ=ϕΦ sinBcosА . (1.268)
128
При изменении угла ϕ на величину π2 однозначная функция ( )ϕρ,u , как
и ограниченная функция ( )ϕf , должна вернуться к исходному значению, т.е. должно быть выполнено условие периодичности:
( ) ( )ϕρ=π+ϕρ ,u2,u .
Отсюда следует, что функция ( )ϕΦ является периодической с периодом π2 :
( ) ( )ϕΦ=π+ϕΦ 2 . (1.269)
Решение (1.268) будет удовлетворять условию периодичности лишь тогда, когда n=λ , где ...,2,1,0n = Отрицательные n можно отбросить, т.к. знак n влияет только на знак произвольной постоянной B . Значит, отрицательные n не дают новых решений. Таким образом, собственные числа и собственные функции задачи (1.268), (1.269) есть
2n n=λ , ( ) ϕ+ϕ=ϕΦ nsinBncosA nnn , ,...2,1,0n = (1.270)
Подставим теперь 2n n=λ в уравнение (1.266):
( ) ( ) ( ) 0RnRR 22 =ρ−ρ′ρ+ρ′′ρ . (1.271)
В литературе уравнение (1.271) известно под названием уравнения
Эйлера. Его решение ищут в виде
( ) µρ=ρR . (1.272)
Подставляя (1.272) в (1.271), найдем
( ) 0n1 2122 =ρ−ρµρ+ρρ−µµ µ−µ−µ
или, сокращая на µρ ,
0n22 =−µ , откуда n±=µ ( )0n > .
Таким образом, для каждого значения ( )0>nn имеется два линейно
независимых решения nρ и n−ρ , которые определяют свое общее решение
( )ρnR уравнения (1.271):
( ) nn
nn DCR −ρ+ρ=ρ , (1.273)
где nn D,C - постоянные. Перемножая теперь ( )ρnR и ( )ϕΦ n , согласно (1.265), получим дискретную совокупность функций
129
( ) ( )( )nn
nnnnn DCnsinBncosA,u −ρ+ρϕ+ϕ=ϕρ . (1.274)
Для внутренней задачи Дирихле надо положить ( ) nnn CR ρ=ρ , т.к. если
0Dn ≠ , то функция (1.274) обращается в бесконечность при 0=ρ и не является гармонической внутри круга a<ρ . Для решения внешней задачи,
наоборот, надо взять ( ) nnn DR −ρ=ρ , иначе, положить 0Cn = , т.к. решение
(1.274) должно быть ограниченным в области a≥ρ . Тогда частными решениями уравнения (1.263) являются функции
( ) ( )ϕ+ϕρ=ϕρ nsinBncosA,u nnn
n для a≤ρ ,
( ) ( )ϕ+ϕρ
=ϕρ nsinBncosA1
,u nnnn для a≥ρ ,
,...2,1,0n = .
(Постоянные nC и nD включены в nA и nB ). В силу линейности и однородности уравнения Лапласа суммы частных решений
( ) ( )ϕ+ϕρ=ϕρ ∑∞
=nsinBncosA,u nn
0n
n , a≤ρ , (1.275)
( ) ( )ϕ+ϕρ
=ϕρ ∑∞
=nsinBncosA
1,u nn
0nn
, a≥ρ (1.276)
также будут решением уравнения Лапласа (при условии сходимости рядов). Подберем произвольные постоянные nA и nB так, чтобы удовлетворялось условие (1.264)
( ) ( ) ( )ϕ+ϕ=ϕ=ϕ ∑∞
=nsinBncosAaf,au nn
0n
n , π≤ϕ≤ 20 . (1.277)
Напишем ряд Фурье для периодической функции ( )ϕf на отрезке [ ]π2;0 :
( ) ( )∑∞
=ϕβ+ϕα+
α=ϕ
1nnn
0 nsinncos2
f , (1.278)
где
( ) ψψπ
=α ∫π
df1 2
00 ,
130
( ) ψψψπ
=α ∫π
dncosf1 2
0n , (1.279)
( ) ψψψπ
=β ∫π
dnsinf1 2
0n .
Сопоставляя (1.277) и (1.278), заключаем, что для выполнения граничного
условия (1.277) нужно положить 0A , nnAa , n
nBa равными коэффициентам Фурье:
2A 0
0α
= , nnnAa α= , nn
nBa β= .
Следовательно, для внутренней задачи
2A 0
0α
= , nn
na
Aα
= , nn
na
Bβ
= ,
для внешней задачи
2A 0
0α
= , nnn aA α= , n
nn aB β= .
Таким образом, решение внутренней задачи Дирихле для круга представим в виде ряда
( ) ( )∑∞
=ϕβ+ϕα
ρ+α
=ϕρ1n
nn
n0 nsinncos
a2,u , (1.280)
а решение внешней задачи Дирихле в виде ряда
( ) ( )∑∞
=ϕβ+ϕα
ρ+
α=ϕρ
1nnn
n0 nsinncos
a
2,u , (1.281)
где 0α , nα , nβ определяются как коэффициенты ряда Фурье для функции
( )ϕf по формулам (1.279). Установлено, что так построенные функции (1.280) и (1.281) удовлетворяют всем условиям задачи. Преобразуем формулы (1.280), (1.281) к более простому виду. Рассмотрим подробно внутреннюю задачу, а для внешней задачи получим результат по аналогии. Преобразуем ряд (1.280), подставив выражения для коэффициентов Фурье (1.279) и произведя затем перестановку порядка суммирования и интегрирования
131
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) )282.1(.dncosa2
1f
1
dnsinnsinncosncosa2
1f
1
nsindnsinf1
ncosdncosf1
a
df2
1,u
1n
n2
0
1n
n2
0
2
0
2
0
n
1n
2
0
ψ
ψ−ϕ
ρ+ψπ
=
=ψ
ϕψ+ϕψ
ρ+ψπ
=
=
ϕ
ψψψπ
+ϕ
ψψψπ
ρ+
+ψψπ
=ϕρ
∑∫
∑∫
∫∫∑
∫
∞
=
π
∞
=
π
ππ∞
=
π
Произведем тождественные преобразования в фигурных скобках, обозначив
для краткости ta
=ρ, ω=ψ−ϕ ; при этом воспользуемся формулой
( )θ−θ +=θ ii ee2
1cos ,
( ) ( )
( ) ( ) .tete12
1
eet2
1
2
1ncost
2
1ncos
a2
1
n
1n
i
1n
ni
inin
1n
n
1n
nn
1n
++=
=++=ω+=ψ−ϕ
ρ+
∑∑
∑∑∑
∞
=
ω−∞
=
ω
ω−ω∞
=
∞
=
∞
=
Ряд ( )q1
qqte
1n
nn
1n
i
−== ∑∑
∞
=
∞
=
ω является бесконечной геометрической
прогрессией со знаменателем ( )ψ−ϕρ= iea
q , модуль которого 1a
q <ρ= . В силу
этого имеем следующее представление:
( )
( ).
cosa2a
a
2
1
acos
a21
a1
2
1
tcost21
t1
2
1
ttete1
t1
2
1
te1
te
te1
te1
2
1ncost
2
1
22
22
2
2
2
2
2ii
2
i
i
i
i
1n
n
ρ+ψ−ϕρ−ρ−⋅=
=
ρ+ψ−ϕρ−
ρ−⋅=
+ω−−⋅=
=+−−
−⋅=
−+
−+=ω+ ω−ωω−
ω−
ω
ω∞
=∑
Подставляя полученный результат в (1.282), получаем
132
( ) ( )( )
ψρ+ψ−ϕρ−
ρ−ψπ
=ϕρ ∫π
dcosa2a
af
2
1,u
22
222
0
. (1.283)
Эта формула называется формулой Пуассона, а интеграл справа – интегралом Пуассона. Формула (1.283) позволяет записать искомое решение внутренней задачи Дирихле в форме интеграла, зависящего от параметров ϕ и ρ . Он существует для всех значений ϕ и ρ , a0 <ρ≤ и удовлетворяет уравнению (1.263), а также граничному условию (1.264). Заметим, однако, что интеграл (1.283) теряет смысл при a=ρ . Когда говорят, что функция (1.283) удовлетворяет граничному условию, то под этим подразумевают, что
( ) ( )ϕ=ϕρ−→ρ
f,ulim0a
. Поэтому решение внутренней задачи записывается так:
( ) ( )( )
( )
ϕ
ψ+ψ−ϕρ−ρ
ρ−ψπ=ϕρ ∫
π
f
dacosa2
af
2
1,u 22
222
0 при
при
.a
,a
=ρ<ρ
(1.284)
По аналогии решение внешней задачи имеет вид
( ) ( )( )
( )
ϕ
ψ+ψ−ϕρ−ρ
−ρψπ=ϕρ ∫
π
f
dacosa2
af
2
1,u 22
222
0 при
при
.a
,a
=ρ>ρ
(1.285)
Замечание. Интеграл Пуассона дает решение плоской задачи Дирихле для круга. Но он может служить решением и пространственной задачи Дирихле в случае цилиндрической симметрии области, т.е. когда область есть бесконечный цилиндр, а искомая функция ( )z,y,xuu = , например, температура или электрический потенциал, не зависит от z . Тогда температура или потенциал в любом сечении, перпендикулярном к оси Oz, зависит только от ρ и ϕ . Следовательно, здесь имеет место плоская задача Дирихле.
1.38.2. Решение задачи Дирихле для прямоугольника Поставим задачу Дирихле для прямоугольника ax0 ≤≤ , by0 ≤≤ (рис. 1.12) при произвольных граничных условиях: найти функцию
( )y,xuu = , удовлетворяющую уравнению Лапласа
x
y
0 ( )xf
( )xϕ
( )yF ( )yψ
b
a
Рис. 1.12
133
0y
u
x
u2
2
2
2
=∂∂+
∂∂
, (1.286)
ax0 << , by0 <<
и двум парам граничных условий
( ) ( )yy,0u ψ= , ( ) ( )yFy,au = , by0 ≤≤ , (1.287)
( ) ( )xf0,xu = , ( ) ( )yb,xu ϕ= , ax0 ≤≤ , (1.288) причем
( ) ( )0fb =ψ , ( ) ( )0b ϕ=ψ ,
( ) ( )af0F = , ( ) ( )abF ϕ= . (1.289)
Последние условия (1.289) обеспечивают непрерывность граничной функции в вершинах прямоугольника. Не нарушая общности, можно предположить, что все ее значения в (1.289) равны нулю, т.к. к этому случаю можно привести любую задачу. Для этого надо представить решение в виде
( ) ( ) ( )y,xy,xvy,xu ω+= ,
где ( ) DxyCyBxAy,x +++=ω
при ( )0fA = , ( ) ( )[ ]0fafa
1B −= , ( ) ( )[ ]0b
b
1C ψ−ψ= ,
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]{ }0faf0aab
1D −−ϕ−ϕ= .
Для функции ( )y,xv получим задачу Дирихле при нулевых значениях в вершинах прямоугольника. Итак, будем решать задачу (1.286) – (1.289), предполагая, что все значения в (1.289) есть нули.
Представим решение в виде
( ) ( ) ( )y,xuy,xuy,xu 21 += , (1.290) где ( )y,xu1 и ( )y,xu2 удовлетворяют уравнению Лапласа и следующим граничным условиям:
( ) ( )yy,0u1 ψ= , ( ) ( )yFy,au1 = , (1.291)
( ) 00,xu1 = , ( ) 0b,xu1 = , (1.292)
134
( ) 0y,0u2 = , ( ) 0y,au2 = , (1.293)
( ) ( )xf0,xu2 = , ( ) ( )xb,xu2 ϕ= . (1.294) (При сделанном предположении непрерывность граничных значений сохранена). Функции ( )y,xu1 и ( )y,xu2 можно найти методом разделения
переменных. Проведем решение для функции ( )y,xu2 . Ищем частные решения уравнения (1.286), удовлетворяющие условиям (1.293), в виде
( ) ( ) ( )yYxXy,xu2 = . (1.295)
Подстановка (1.295) в (1.286) дает ( )( )
( )( ) λ−=′′
−=′′
yY
yY
xX
xX, const=λ ,
откуда имеем
0YY =λ−′′ , (1.296)
0XX =λ+′′ . (1.297)
Подстановка граничных условий (1.293) по переменной x в (1.295) приводит к соотношениям
( ) 00X = , ( ) 0aX = . (1.298)
Для определения функции ( )xX имеем задачу (1.297), (1.298) – задачу Штурма-Лиувилля, которая, как нам известно (см. п. 1.33.1А), имеет решение вида
2
n a
n
π=λ , ( ) xa
nsinxX n
π= , ...,2,1n =
Общее решение уравнения (1.296) при nλ=λ можно записать в виде
( ) ya
nshBy
a
nchAyY nnn
π+π= .
Перемножив теперь ( )xX n и ( )yYn , находим совокупность функций
( )y,xu n2 , удовлетворяющих уравнению (1.286) и граничным условиям (1.293):
( )a
xnsiny
a
nshBy
a
nchAy,xu nnn2
π
π+π= , ,...2,1n =
Общее решение задачи ищем, как обычно, в виде ряда
135
( )a
xnsiny
a
nshBy
a
nchAy,xu
1nnn2
π
π+π= ∑∞
=. (1.299)
Удовлетворим теперь граничным условиям (1.294), которые содержат
заданные произвольные функции
( ) ( )xfxa
nsinA0,xu
1nn2 =π= ∑
∞
=,
( ) ( )xa
xnsinb
a
nshBb
a
nchAb,xu
1nnn2 ϕ=π
π+π= ∑∞
=.
Отсюда видно, что постоянные множители nA и ba
nshBb
a
nchA nn
π+π
должны являться коэффициентами разложения функций соответственно ( )xf и ( )xϕ в ряд Фурье по синусам:
( ) n
a
0n fxdx
a
nsinxf
a
2A =π= ∫ ,
( ) n
a
0nn xdx
a
nsinx
a
2b
a
nshBb
a
nchA ϕ=πϕ=π+π
∫ .
Откуда определяем
nn fA = ,
π−ϕπ
=a
bnchf
a
bnsh
1B nnn .
Подстановка этих значений постоянных nA и nB в (1.299) приводит функцию
( )y,xu2 после несложных преобразований к виду
( ) ( )
a
bnsh
a
xnsin
a
ynsh
a
ybnshfy,xu
1nnn2 π
π
πϕ+−π= ∑∞
=. (1.300)
Совершенно аналогично найдем
( ) ( )
b
ansh
b
ynsin
b
xnshF
b
xanshy,xu
1nnn1 π
π
π+−πψ= ∑∞
=, (1.301)
где
136
( ) dyb
ynsiny
b
2 b
0n
πψ=ψ ∫ ,
( ) dyb
ynsinyF
b
2F
b
0n
π= ∫ .
Окончательное решение задачи: ( ) ( ) ( )y,xuy,xuy,xu 21 += .
1.39 ЗАКЛЮЧЕНИЕ Сделаем некоторые общие замечания относительно области применения метода разделения переменных. В основе применимости метода лежит линейность как самих дифференциальных уравнений, так и краевых условий. Коэффициенты исходных дифференциальных уравнений должны быть постоянными либо представляться в виде функций, каждая из которых содержит лишь одну из переменных (такие уравнения нами были исключены из рассмотрения). Краевые условия должны быть однородными. Если в исходной задаче они неоднородны, то надо привести их к однородным. Метод Фурье использует технику разложения искомого решения по собственным функциям. Метод приводит к цели, если только удастся найти подходящую для заданных границ систему координат, допускающую разделение переменных в рассматриваемом уравнении. В случае двумерных задач граница рассматриваемой области должна состоять из координатных линий (в трехмерных задачах – из координатных плоскостей). Если используется декартова система координат, то границы области – отрезки прямых, параллельных осям координат (куски плоскостей, параллельных координатным плоскостям); при использовании полярной системы координат границы области – дуги окружностей с центрами в полюсе и отрезки лучей, выходящих из полюса, и.т.д. Эти обстоятельства сильно ограничивают применимость метода Фурье. Есть множество задач, где разделение переменных не удается либо потому что граница тела достаточно сложна, либо потому что коэффициенты в исходном дифференциальном уравнении не являются постоянными, либо потому что уравнение не является линейным. Поэтому разработаны и другие методы решения задач математической физики, такие, например, как метод конечных разностей, метод интегральных уравнений, метод Ритца-Галеркина, метод физического моделирования, рассмотрение которых выходит за рамки настоящего курса.
УЧЕБНО - МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС
РАЗДЕЛ 9 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ»
2. Методические указания для студентов
138
2.1 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Уравнение, связывающее независимую переменную, функцию и ее про-
изводные называется обыкновенным дифференциальным уравнением. ( )( )F x y y y n, , ,′ =K 0
Наивысший порядок производной, входящей в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения.
Например: 1) ′ + − = −y xy x 2 0 обыкновенное дифференциальное уравнение пер-вого порядка;
2) ′′ − ′ = −y y 1 обыкновенное дифференциальное уравнение 2-го по-рядка;
3) y y x2 5 0− ′ ′ ′+ = − обыкновенное дифференциальное уравнение третьего порядка.
Рассмотрим обыкновенные дифференциальные уравнения первого поряд-ка, то есть уравнения ( )F x y y, , ′ = 0 или в разрешенном относительно ′y ви-
де, ( )′ =y f x y, .
Решением дифференциального уравнения ( )F x y y, , ′ = 0 называется та-
кая дифференцируемая функция ( )y x= ϕ , которая при подстановке в уравне-
ние вместо неизвестной функции обращает его в тождество. Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется
интегрированием дифференциального уравнения. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка ( )′ =y f x y, в области D называется функция ( )y x C= ϕ , , обладающая сле-
дующими свойствами: 1) она является решением данного уравнения при любых значениях произвольной постоянной, принадлежащих некоторому множеству; 2) для любого начального условия ( )y x y0 0= , такого, что ( )x y D0 0; ∈ , суще-
ствует единственное значение C C= 0 , при котором решение ( )y x C= ϕ ; 0
удовлетворяет заданному начальному условию. С геометрической точки зрения общему решению ( )y x C= ϕ , на плос-
кости XOY соответствует семейство интегральных кривых, зависящее от од-ного параметра - произвольной постоянной C .
Равенство ( )Φ x y C, , = 0 , неявно задающее общее решение называется
общим интегралом уравнения ( )y,xfy =′ .
Всякое решение ( )y x C= ϕ ; 0 , полученное из общего решения
( )y x C= ϕ ; при конкретном значении C C= 0 , называется частным реше-нием.
139
Частному решению удовлетворяющему начальному условию
0xx y|y0== , на плоскости Y0X соответствует линия ( )000 xyy = , проходя-
щая через точку ( )M x y0 0 0; Аналогично определяются частные интегралы.
Задача, в которой требуется найти частное решение уравнения
( )′ =y f x y, , удовлетворяющее начальному условию ( )y x y0 0= называется
задачей Коши. Теорема Коши. Если функция ( )f x y, непрерывна в некоторой области
D плоскости Y0Х и имеет в этой области непрерывную частную производ-ную по y , ( )y,xf y′ , то, какова бы ни была точка ( )00 y,x области D , сущест-
вует, и притом единственное, решение ( )xy ϕ= уравнения ( )y,xfy =′ , опре-
деленное в некотором интервале, содержащем точку 0x .
Особым решением называется такое решение, во всех точках которого условие единственности не выполняется, т.е. в любой окрестности каждой точ-ки ( )x y; особого решения существует по крайней мере две интегральные кри-
вые, проходящие через эту точку. Особые решения не получаются из общего решения дифференциального
уравнения ни при каких значениях произвольной постоянной C ( в том числе и при C = ±∞ ).
С геометрической точки зрения особое решение есть огибающая семейст-ва интегральных кривых (если она существует), т.е. линия, которая в каждой своей точке касается, по меньшей мере, одной интегральной кривой.
Например, общее решение уравнения ′ = ± −y y1 2 записывается в ви-
де ( )y x C C= + − ∞ < < ∞sin , . Это семейство имеет две огибающие: y = 1
и y = −1, которые будут особыми решениями данного уравнения. 2.2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С РАЗДЕЛЕННЫМИ И
РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
Дифференциальное уравнение ( )′ =y f x y, называется уравнением с разделяющимися переменными, если его правая часть есть произведение двух функций, одна из которых зависит от y , а другая от x . ( ) ( )ygxfy ⋅=′ .
Предположим, что функции ( )xf и ( )yg непрерывны на интервале
a x b c y d< < < <, и что ( ) 0yg ≠ .
Умножая обе части уравнения ( ) ( )ygxfy ⋅=′ на dx и деля на ( )yg , за-
пишем его в виде: ( ) ( )dxxfyg
dy = .
140
Почленное интегрирование последнего уравнения приводит к соотноше-
нию ( ) ( )∫ ∫ += Cdxxfyg
dy, которое представляет собой общий интеграл дан-
ного уравнения в указанной области. Дифференциальное уравнение ( ) ( ) ( ) ( ) 0dyyNxMdxyNxM 2211 =⋅+⋅
называется дифференциальным уравнением с разделяющимися перемен-ными в симметричной относительно x и y дифференциальной форме.
Функции ( ) ( ) ( ) ( )yN,xM,yN,xM 2211 непрерывны соответственно в ин-тервалах a x b c y d< < < <, и не равны тождественно нулю.
Для нахождения всех решений такого уравнения достаточно разделить обе части уравнения на произведение ( ) ( )yNxM 12 ⋅ и проинтегрировать полу-
ченное соотношение: ( )( )
( )( ) CdyyN
yNdx
xM
xM
1
2
2
1 =+ ∫∫ . Полученное соотношение
является общим интегралом данного уравнения, где C − произвольная посто-янная.
Уравнение вида ( ) ( )M x dx N y dy+ = 0 называется дифференциальным
уравнением с разделенными переменными. Почленное интегрирование данного уравнения приводит к соотношению
( ) ( )M x dx N y dy C∫ ∫+ = , которое определяет (в неявной форме) решение ис-
ходного уравнения. Уравнение вида ( )cbyaxfy ++=′ ( c,b,a - числа) приводится к урав-
нению с разделяющимися переменными подстановкой ( ) byaxxz += или
( ) cbyaxxz ++= . Тогда ( ) ybaxz ′+=′ , а ( )azb
1y −′=′ и уравнение
( )cbyaxfy ++=′ примет вид ( ) ( )zfazb
1 =−′ или ( )zfbaz ⋅+=′ , где
dx
dzz =′ . Разделяя переменные и интегрируя, получим ( ) cx
zfba
dz +=⋅+∫ .
Уравнения вида 222
111
cybxa
cybxay
++++=′ ;
++++=′
222
111
cybxa
cybxafy , где
0ba
ba
22
11 = или 2
1
2
1
b
b
a
a = приводятся к уравнению с разделяющимися пере-
менными подстановкой ( ) ( ) ybxaxz 22 += или ( ) 222 cybxaxz ++= или
( ) 111 cybxaxz ++=
141
Примеры решения задач
ПРИМЕР 2.1. Найти общее решение уравнения ( )′ = +y x y2 1 .
Решение. Данное уравнение есть уравнение с разделяющимися пере-
менными ( ) ( ) 2y1yg,xxf +== , функции ( )xf и ( )yg непрерывны всюду и
1 02+ ≠y . Разделяя переменными и интегрируя , получим
( ) ( ) dxxy1
dy;dx1yxdy;1yx
dx
dy2
22 =+
+=+=
;dxxy1
dy2 ∫∫ =
+arctgy
xC= + −
2
2 общий интеграл данного уравне-
ния.
Разрешая относительно y , находим общее решение y tgx
C= +
2
2,
− < + <π π2 2 2
2xC .
ПРИМЕР 2.2. Найти общий интеграл уравнения
( ) ( ) 0dyxyydxyxx 2222 =++− . Решение. Преобразуем данное уравнение
( ) ( ) 0dyx1ydxy1x 22 =++− . Это уравнение с разделяющимися переменны-ми в дифференциальной форме, симметричное относительно x и y .
Разделим обе части уравнения на ( ) ( ) 0x1y1 ≠+⋅− , получим
( )( )( )
( )( )( )
x y
y xdx
y x
y xdy
2 21
1 1
1
1 10
−− +
++
− += . Интегрируем
x
xdx
y
ydy C
2 2
1 1++
−=∫ ∫
( ) ( )Cdy
y1
1y1dx
x1
11x;
22
=−
−−−+
+−∫∫ ;
( ) ( )x dxdx
xy dy
dy
yC− +
+− + −
−=∫∫∫∫ 1
11
1;
xx x y
yy C
2 2
21
21− + + − − − − =ln ln ;
( ) ( )1
2
1
12 2x y x y
x
yC− − + + +
−=ln . Пусть С2С1 = .
142
Получили общий интеграл ( )( ) 0C1y
x1ln22yxyx 1 =−
−++−−+ .
ПРИМЕР 2.3. Проинтегрировать уравнение dx
x
dy
y+ = 0 .
Решение. Данное уравнение - есть уравнение с разделенными перемен-
ными. Проинтегрируем данное уравнение ;Cy
dy
x
dx∫ ∫ =+
Clnylnxln =+ (так как левая часть выражается через натуральный лога-
рифм, то постоянную C удобнее в данном случае записать как ln C ).
Clnyxln = ; Cyx = ; −=x
Cy общее решение, которое с геометриче-
ской точки зрения определяет семейство гипербол. ПРИМЕР 2.4. Найти кривую, обладающую тем свойством, что отрезок
любой ее касательной, заключенный между осями координат, делится пополам в точке касания.
Решение. Пусть ( )y f x= − уравнение искомой кривой, ( )M x y; − про-
извольная точка кривой.
ВМАМ = , т.е. xРАОР == . Из
РАМ∆
( )x
y
РА
МРtg ==α−π , так как
ytg ′=α , то ( ) ytg ′−=α−π ,
тогда x
yy −=′ . Получили
дифференциальное уравнение с разделяющими переменными,
интегрируя его ∫ ∫−=x
dx
y
dy,
имеем Clnxlnyln =+ ;
;Cxy = −=x
Cy семейство интегральных кривых, удовлетворяющих условию
задачи. ПРИМЕР 2.5. Материальная точка с массой m = 0 75, г погружается в
жидкость без начальной скорости. Сила сопротивления жидкости пропорцио-нальна скорости погружения V . Коэффициент пропорциональности k = 3. Найти зависимость погружения от времени.
( )f x
B ( )M x y,
y ( )y f x=
0 x P A x
Рис. 2.1
143
Решение. В момент времени t точка находится под действием силы тя-жести P mg= и силы сопротивления жидкости kVQ = . Сила P направлена в сторону движения, а Q − в сторону противоположную движению, поэтому их равнодействующая kVmgF −= .
Так как материальная точка погружается в жидкость под действием си-
лы F , то по второму закону Ньютона эта же сила равна dt
dVmamF =⋅= .
Приравнивая оба выражения для F , получим kVmgdt
dVm −= , но по усло-
вию m = 0 75, г, а k = 3. V3q75,0dt
dV75,0 −= сократим на 0 75, ,
V4qdt
dV −= .
Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделив переменные и проинтегрировав, получим
∫ ∫=−
dtV4q
dV, CtV4qln
4
1 +=−− .
( )Ct4V4qln +−=− ; ( )Ct4eV4q +−=− ; ( )Ct4eqV4 +−−= ; ( )
4
eqV
Ct4 +−−= или ( ) ( )t41
Ct4 eCq4
1eeq
4
1V −−− −=⋅−= , где C e C
1 = − .
Для нахождения C1 воспользуемся начальным условием ( ) 00V = :
( )1Cq4
10 −= , отсюда qC1 = . Тогда частное решение будет иметь вид
( )t4e14
qV −−= .
ПРИМЕР. Решить дифференциальное уравнение
( )5
24y5x2ctgy ++−=′ .
Решение. Это уравнение вида ( )cbyaxfy ++=′ . Сведем его к уравне-
нию с разделяющимися переменными подстановкой ( ) 4y5x2xz +−= . Тогда
y52z ′−=′ , а ( )z25
1y ′−=′ и уравнение ( )
5
24y5x2ctgy ++−=′ примет
вид
( )5
2ctgzz2
5
1 +=′− или zctg5z −=′ , где dx
dzz =′ .
Разделяя переменные и интегрируя, получим dx5zctg
dz −=
144
∫∫ −= dx5zcos
dzzsin, cx5zcosln +−=− . Заменяем z на 4y5x2 +− .
Окончательно имеем ( ) cx54y5x2cosln +=+−
ПРИМЕР. Решить дифференциальное уравнение 3y6x8
2y3x4
3
4y
−−+−−=′ .
Решение. Это уравнение вида
++++=′
222
111
cybxa
cybxafy . Запишем опреде-
литель, составленный из коэффициентов при x и y : 068
34=
−−
=∆ . Т.к. оп-
ределитель равен нулю, то это уравнение приводится к уравнению с разделяю-щимися переменными. Сделаем подстановку ( ) 2y3x4xz +−= , тогда
y34z ′−=′ , а ( )z43
1y ′−=′ . Исходное уравнение
3y6x8
2y3x4
3
4y
−−+−−=′ при-
мет вид ( ) ( ) 32z2
z
3
4z4
3
1
−−−=′− или
7z2
zz
3
1
−=′ , где
dx
dzz =′ . Разделяя
переменные и интегрируя, получим dx3dzz
7z2 =−, ∫∫ =
− dx3dzz
72
cx3zln7z2 +=− . Заменяем z на 2y3x4 +− . Окончательно имеем
( ) cx32y3x4ln72y3x42 =−+−−+− .
2.3 ОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Функция ( )f x y; называется однородной n − го измерения относительно
своих аргументов x и y , если для любого значения λ имеет место тождество
( ) ( )y,xfy,xf nλ=λλ .
Функция ( )f x y; называется однородной нулевого измерения относи-
тельно x и y , если для любого λ имеет место равенство ( ) ( )y;xfy,xf 0λ=λλ .
Дифференциальное уравнение вида ( )′ =y f x y; называется однородным
относительно x и y , если ( )f x y; является однородной функцией нулевого из-
мерения. Дифференциальное уравнение ( ) ( )P x y dx Q x y dy, ,+ = 0 называется од-
нородным, если ( )P x y, и ( )Q x y, − однородные функции одного измерения.
145
Однородное уравнение может быть приведено к виду ′ = y f
y
x. С по-
мощью подстановки ( )txty,xtytx
y ′+=′== оно приводится к уравнению
с разделяющимися переменными по отношению к новой неизвестной функции ( )xt .
Примеры решения задач
ПРИМЕР 2.6. Найти общее решение уравнения ′ = −y
y x
x y
2 2 2
.
Решение. Функция ( )f x y; = 2 2 2y x
x y
− является однородной функцией
нулевого измерения, так как ( ) ( ) ( ) =λ−=
λ−λ=
λ⋅λλ−λ 0
22
2
22222
yx
xy2
yx
xy2
yx
xy2
= −2 2 2y x
x y. Значит данное уравнение однородное. Сделаем замену t
x
y = .
Подставим в уравнение xty = и txty ′+=′ , получим
=⋅
−=′+xtx
xtx2txt
222
( )
t
1t2
tx
1t2x 2
2
22 −=−.
t
1t
t
t1t2t
t
1t2tx
2222 −=−−=−−=′ или t
1t
dx
dtx
2 −= .
Разделяя переменные и интегрируя, получим ∫ ∫=− x
dx
1t
dtt2
.
12 Сlnxln1tln
2
1 +=− , или 22 xСln1tln =− , где СС21 = .
1xСt,Сx1t 2222 +==− .
Возвращаясь к прежней неизвестной функции y , заменив t на x
y, получим
1xСx
y 22
2
+= . Общий интеграл данного уравнения 242 xxСy += .
ПРИМЕР 2.7. Найти частное решение уравнения
( ) ( )x x y y dx x y x y dy4 2 2 4 2 26 4 0+ + + + = , ( )y 1 0= .
146
Решение. В данном случае ( )P x y x x y y, = + +4 2 2 46 , а
( ) ( )Q x y x y x y, = +4 2 2 . Обе функции - однородные четвертого измерения.
Значит данное уравнение однородное. Введем подстановку xty ⋅= , тогда
txty ′+=′ , где dx
dtt = . Уравнение примет вид
x x y y4 2 2 46+ + = ( ) yyxyx4 22 ′⋅+− , ( )22
4224
yxxy4
yyx6xy
+−++=′ ;
( ) ;txxtx4
txtxx6xtxt
2222
442224
++⋅+−=′+
( )( )34
424
t4t4x
tt61xtxt
+++−=′+ ;
( ) 3
24
2
4242
3
42
t4t4
1t10t5
t1t4
t4t4tt61t
t4t4
tt61tx
+−−−=
+−−−−−=−
+++−=′ . Разделяем
переменные x
dxdt
1t10t5
t4t424
3
=++
+− , интегрируем
xСlndt1t10t5
t20t20
5
124
3
=++
+− ∫ ; xСln1t10t5ln5
1 24 =++− . После упроще-
ния получим ( )1t10t5
1xС
245
++= . Возвращаясь к прежней неизвестной y ,
заменив t на x
y, получим ( ) 1
x
y10
x
y5xС
2
2
4
45 ++=− или
4224
45
xxy10y5
xxС
++= . Используя начальные условия 1x = , 0y = , най-
дем 1С = . Сокращая на 4x , имеем xy y x x
=+ +
1
5 104 2 2 4 или окончательно
x y x y x5 2 3 410 5 1+ + = . ПРИМЕР 2.8. Составить уравнение кривой, проходящей через точку
( )11; , если известно, что произведение абсциссы любой точки кривой на угло-
вой коэффициент касательной к кривой в этой точке равно удвоенной сумме координат точки.
Решение. Пусть ( )M x y, − точка касания, тогда угловой коэффициент
касательной, проведенной в точке ( )M x y, равен ′y . По условию задачи
( ) ( )
+=+=′+=′x
y12
x
yx2y;yx2yx . Получили однородное уравнение.
Сделаем подстановку txy = ( )txty ′+=′
147
( );t12txt +=′+ ;tt22tx −+=′ ;x
t2t
+=′ x
t2
dx
dt +=
x
dx
t2
dt =+
. Интегрируя, получим xclnt2ln =+ , ,xСt2 =+
2Сxt −= , ,2xСx
y −= но ( )y 1 1= . 3С;2С1 =−= .
Итак, y x x= −3 22 . Это уравнение параболы с вершиной в точке
1
3
1
3;−
и пересекающая ось 0X в точках x = 0 и x = 2
3.
2.4 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, ПРИВОДЯЩИЕСЯ К
ОДНОРОДНЫМ
Уравнение вида 222
111
сybxa
сybxay
++++
=′ при a b a b1 2 2 1 0− ≠ приводится к
однородному подстановкой β+=α+= 11 yy,xx , где ( )α β, − точки пере-
сечения прямых 0сybxa 111 =++ и 0сybxa 222 =++ .
Если же a b a b1 2 2 1 0− = , то подстановкой ( )xzybxa 22 =+ уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными.
Примеры решения задач
ПРИМЕР 2.9. Найти общее решение уравнения 4xy
2yxy
−−−+=′ .
Решение. Вычислим определитель, составленный из коэффициентов при x и y
0211
11≠=
−=∆ , следовательно, данное уравнение, приводится к
однородному. Сделаем подстановку ,yy,xx 11 β+=α+= тогда 1
1
dx
dyy =′ ,
т.к. ( )( ) 0dx
0dy
ddx
ddy
xd
yd
dx
dyy
1
1
1
1
1
1
++=
α+β+=
α+β+==′ . y,y,x ′ подставим в исходное
уравнение 4xy
2yxy
−−−+=′ , имеем
4yx
2yx
dx
dy
11
11
1
1
−β+α−+−−β+α++
= . (2.1)
148
Неизвестные α и β находим из системы
=+β−α=−β+α
.04
,02 (2.2)
Решая систему, получим 3,1 =β−=α . При условии (2.2) уравнение (2.1) при-мет вид
11
11
1
1
yx
yx
dx
dy
+−+
= . (2.3)
Уравнение (2.3) является однородным. Сделаем подстановку 11 xty ⋅= , где
( )xtt = , txty 11 +′=′ подставим в уравнение (2.3)
1t
t1txt 1 −
+=+′ ; 1t
tt21t
1t
t1xt
2
1 −−+=−
−+=′ .
Разделяя переменные и интегрируя, получим
∫∫ =−+
−
1
12 x
dxdt
tt21
1t или
( );xCln
tt21
tt21d
2
112
2
=−+−+− ∫
;xCtt21
1;xClntt21ln
2
1 21
2211
2 =−+
=−+−21
22
xC
1tt21 =−+ .
Так как 1
1
x
yt = , то последнее уравнение примет вид
21
221
21
1
1
xC
1
x
y
x
y21 =−+
или 21
221
2111
21
xC
1
x
yyx2x =−. Обозначим
21C
1C = , тогда
12111
21 Cyxy2x =−+ . (2.4)
ПРИМЕР 2.10. Решить дифференциальное уравнение
−−
+−−=′
1x
x4yln
1
1x
4yy .
Решение. Заметим, что 41x
4y
1x
x4y −−−=
−−
. Перейдем к новым перемен-
ным 1xx1 −= и 4yy1 −= . Так как ( )( ) 1
1
1
1
1
1
1 ydx
dy
0dx
0dy
1xd
4yd
dx
dyy ′==
++=
++==′ ,
149
то исходное уравнение примет вид
−
+=′4
x
yln
1
x
yy
1
11
11 . Это однородное
уравнение. Воспользуемся подстановкой tx
y
1
1 = , где ( )1xtt = . Тогда
txy 11 = , txty 11 ′+=′ , где 1dx
dtt =′ и уравнение примет вид
( )4tln
1ttxt 1 −
+=′+ или ( )4tln
1tx1 −
=′ . Разделяя переменные и интегрируя,
получим ( ) ∫∫ =−1
1
x
dxdt4tln . Интегрируем по частям.
( ) clnxlndt4t
1t4tlnt 1 +=
−⋅−−⋅ ∫
( ) 1cxlndt4t
414tlnt =
−+−−⋅ ∫
( ) 1cxln4tln4t4tlnt =−−−−⋅ .
Т.к. 1x
4y
x
yt
1
1
−−== , а
1x
x4y4t
−−=− , то окончательно имеем
( )1xcln1x
x4yln4
1x
4y
1x
x4yln
1x
4y −⋅=−
−−−−−
−−⋅
−−
.
В уравнение (2.4) подставим 1xx1 += и 3yy1 −= , получим
( ) ( )( ) ( ) 122 C3y3y1x21x =−−−+++ или 1
22 Cy8x4yxy2x =+−−+ .
2.5 ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Уравнение вида (((( )))) (((( ))))xQyxPy ====++++′′′′ линейное относительно искомой
функции y и ее производной y′ ( yиy ′ входят в уравнение в первых степе-нях, не перемножаясь между собой) называется линейным.
Если ( ) 0xQ = , то уравнение называется линейным однородным, если
( ) −≠ 0xQ линейное неоднородное.
Общее решение однородного уравнения ( ) 0yxPy =+′ легко получает-ся разделением переменных:
( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫ =−=−=−= 0dxxPyCln;dxxPy
dy;xPy
dx
dy
( )∫−= dxxPeyC ;
150
( )∫−= dxxP1 eCy , где
C
1C1 = . (2.5)
Рассмотрим два способа решения линейного неоднородного дифферен-
циального уравнения
( ) ( )xQyxPy =+′ . (2.6)
1 способ. Метод подстановки (метод Бернулли). Полагая ( ) ( )xvxuy ⋅= и vuvuy ′+′=′ уравнение (2.6) преобразуется
в уравнение ( ) ( )xQvuxPvuvu =+′+′ или ( )( ) ( )xQvxPvuvu =⋅+′+′ .
Подберем v таким образом, чтобы уравнение ( ) ;0vxPv =+′ ( )∫−= dxxP
ev , тогда ( )xQuv =′ или ( ) ( ) ;xQeu
dxxP =′ ∫−
( ) ( )∫
∫+= dxexQCudxxP
. Так как vuy ⋅= , то
( ) ( ) ( )( )∫ += ∫∫−
CdxexQeydxxPdxxP
. (2.7)
Замечание. Если дифференциальное уравнение линейно относительно x
и x′′′′ , т.е. имеет вид ( ) ( )yQxyPx =+′ , то общее решение его находится под-
становкой ( ) ( )yvyux ⋅= ( )( )vuvux,yxx ′+′=′= .
Примеры решения задач
ПРИМЕР 2.11. Решить уравнение 4xxy4x
x2
dx
dy 22
+=+
− . Линейное
неоднородное уравнение.
Решение. Функции ( )4x
x2xP
2 +−= и ( ) 4xxxQ 2 += непрерывны
повсюду. Делаем замену ( ) ( ) vuvuy,xvxuy ′+′=′⋅=
4xxvu4x
x2vuvu 2
2+=
+−′+′ или 4xxvuv
4x
x2vu 2
2+=′+
+−′ .
Подбираем v таким образом, чтобы dx4x
x2
v
dv;0v
4x
x2v
22 +==
+−′ или
( ) 4xv;4xlnvln 22 +=+= . Найденное v подставляем в уравнение
151
4xxvu 2 +=′ получим: ( ) 4xx4xu 22 +=+′ или 4x
xu
2 +=′ . Разде-
ляя переменные и интегрируя, имеем
( ) ( )∫ ∫ =++=+
=−
uxd4x2
1dx
4x
xu 2212
2 C4x 2 ++ .
Таким образом, ( )( )Cuxuxvuy 22 +++=⋅= ,
( )( ) −+++= C4x4xy 22 общее решение. 2 способ. Метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа). По методу вариации произвольной постоянной решение уравнения (2.6)
будем искать, как решение соответствующего однородного уравнения
( ) 0yxPy =+′ в виде ( )∫−= dxxP
eCy , только C будем считать функцией от
x , ( )xСC = . Эта функция должна быть такова, чтобы при подстановке
( ) ( )∫−= dxxPexCy и ( ) ( ) ′
=′ ∫− dxxP
exCy в уравнение (2.6) оно обращалось в
тождество.
ПРИМЕР 2.12. Найти общее решение уравнения 2x3yyx2 =−′ .
Решение. Приведем уравнение к виду −=−′ x2
3y
x2
1y линейное не-
однородное уравнение первого порядка. Решим его по методу вариации произ-вольной постоянной. Первоначально, решаем однородное уравнение
0yx2
1y =−′ . Разделяя переменные, получим ;
x
dx
2
1
y
dy ⋅=
Cxln2
1yln += ; xCy = - общее решение однородного уравнения.
По методу вариации общее решение неоднородного уравнения будем искать в
виде ( ) xxCy = , ( ) ( )xCx2
1xxCy +′=′ . Подставим y и y′ в исходное
уравнение.
( ) ( ) ( ) x2
3xxC
x2
1xC
x2
1xxC =−+′ ; ( ) x
2
3xxC =′ ; ( ) x
2
3xC =′ .
Интегрируя, получим: ( ) 123
123 CxC
3
2x
2
3xC +=+⋅= . Таким образом,
( ) ( ) xCxCxxxxCy 12
123 +=+== , −+= xCxy 1
2 общее реше-ние.
152
2.6 УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ
Уравнение вида (((( )))) (((( )))) αααα====++++′′′′ yxQyxPy , где R∈α , 0≠α , 1≠α на-зывается уравнением Бернулли.
Уравнение Бернулли
( ) ( )xQyyxPy α=+′ (2.8)
путем деления его на αy сводится к линейному: ( ) ( )xQyxPyy 1 =+′ α−α− .
Полагая ( ) yy1zа,yz 1 ′⋅α−=′= α−α− получим ( ) ( )xQzxP1
z =+α−
или
( ) ( ) ( ) ( )xQx1zxP1z −=α−+′ . Решая полученное уравнение, находим
( )C;xz ϕ= , а затем и y , из замены ( )1n1n C;x
1
z
1y
−− ϕ== .
Замечание. Уравнение Бернулли можно сразу решать как линейное под-становкой ( ) ( )xvxuy ⋅= не сводя его предварительно к линейному.
Примеры решения задач
ПРИМЕР 2.12. Найти общее решение уравнения x
xlnyy
x
1y 2=+′ .
Решение. Данное уравнение является уравнением Бернулли. Разделим
обе части уравнения на 2y : x
xlny
x
1yy 12 =+′ −− и сделаем замену 1yz −=
yyz 2 ′⋅−=′ − , −−=−′=+′−x
xln
x
zz;
x
xlnz
x
1z это уравнение линейно
относительно z,z ′ . По формуле (2.7) найдем общее решение ( ) ( )xvxuz ⋅= :
+⋅−= ∫∫ −−−
∫ Cdxex
xlnez x
dx
x
dx
,
+−= ∫− Cdxe
x
xlnez xlnxln ,
+−⋅= ∫ Cdxe
x
xlnxz x
1ln
,
+⋅−⋅= ∫ Cdxx
1
x
xlnxz .
Т.к. ∫∫ −−=+−=−==
===
x
1
x
xln
x
dx
x
xln
x
1vvd
x
dx
dxx
1duxlnu
dxx
xln2
2
2, то
153
++= Cx
1
x
xlnxz или 1Cxxlnz ++= . Учитывая замену 1yz −= , возвраща-
емся к y : z
1y = . Общее решение уравнения Бернулли
1Cxxln
1y
++= .
ПРИМЕР 2.13. Найти общее решение уравнения
0xcosyxtgyy 2 =+−′ Решение. Данное уравнение является уравнением Бернулли
xcosyxtgyy 2−=−′ . Будем решать его сразу как линейное заменой
( ) ( ) ;xcosvuxtgvuvuvu;vuvuy,xvxuy 22−=⋅⋅−′+′′+′=′⋅=
( ) xcosvuxtgvvuvu 22−=−′+′ .
( )( )
−=′
=−′
бxcosvuvu
а0xtgvv22
или
−=′
=−′
xcosvuu
0xtgvv2
Решаем уравнение (а).
xcos
1vxcoslnvlndxxtg
x
vdxtgv
xd
vd =−==∫ ∫ . Найденное
частное решение v подставим в уравнение (б) xcosxcos
1uu 2 ⋅−=′ . Найдем
его общее решение ∫∫ −= dxu
du2
, Cxu
1 +−=− , CCгде,Cx
1u 1
1
−=+
= .
=⋅
+=⋅=
xcos
1xsec;xsec
Cx
1vuy
1
, −+
=1Cx
xsecy общее решение.
2.7 УРАВНЕНИЯ В ПОЛНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ. ИНТЕГРИРУЮЩИЙ МНОЖИТЕЛЬ
Уравнение вида
( ) ( ) 0dyy;xQdxy;xP =+ (2.9)
называется уравнением в полных дифференциалах, если выражение
( ) ( )dyy;xQdxy;xP + представляет собой полный дифференциал некоторой
функции ( )y;xu , т.е. ( ) ( ) ( )y;xuddyy;xQdxy;xP =+ .
Согласно определения уравнение (2.9) примет вид 0ud = . Отсюда
( ) −= Cy;xu общий интеграл данного уравнения.
154
Не всякое уравнение (2.9) будет уравнением в полных дифференциалах. Для того, чтобы уравнение (2.9) было уравнением в полных дифференциалах достаточно выполнения условия
y
P
x
Q
∂∂=
∂∂
. (2.10)
Если уравнение (2.9) – уравнение в полных дифференциалах, то
( ) ( ) ( ) ( )бy;xQy
u,ay;xP
x
u =∂∂=
∂∂
. Решая уравнение (а) получим,
что ( ) ( ) ( )∫ += yCdxy;xPy;xu . Требуется найти ( )yC , которое получим,
подставив ( )∫ ′+∂∂=
∂∂
yCxdy
P
y
u в уравнение (б): ( ) ( )y,xQyCdx
y
P =′+∂∂∫ . Из
последнего уравнения находим ( )yC′ , а затем и ( )yC .
Функция ( )y,xu может быть найдена сразу по формуле
( ) ( )∫∫ +=y
y0
x
x 00
ydy,xQdxy,xPu , (2.11)
где 0x и 0y произвольны; их выбор ограничен единственным условием – инте-
гралы в правой части должны иметь смысл. Замечание. Если дифференциальное уравнение первого порядка является
одновременно однородным и в полных дифференциалах, то общий интеграл находится по формуле
( ) ( ) Cyy,xQxy,xP =+ . (2.12)
Если в уравнении (2.9) условие (2.10) не выполняется, т.е. y
P
x
Q
∂∂≠
∂∂
, то
уравнение (2.8) не является уравнением в полных дифференциалах. Иногда удается подобрать такой множитель ( )y,xµ , который называется интегрирую-щим множителем, при умножении на который уравнение получается уравнени-ем в полных дифференциалах.
Если у данного уравнения существует интегрирующий множитель, зави-сящий только от x , то он находится по формуле
( ) ∫∂∂−
∂∂
=µdx
Q
x
Q
y
P
ex , (2.13)
155
зависящий только от y по формуле
( ) ∫∂∂−
∂∂
−=µ
dyP
x
Q
y
P
ey . (2.14)
Примеры решения задач
ПРИМЕР 2.14. Решить уравнение
( ) ( ) 0dyycosxxedxysinye yx =+++++ . Решение. Проверим, является ли данное уравнение в полных дифферен-
циалах. ( ) ( ) ycosxxey;xQ,ysinyey;xP yx ++=++= .
ycos1y
P +=∂∂
, ycos1x
Q +=∂∂
. Т.к. x
Q
y
P
∂∂=
∂∂
, то это уравнение в пол-
ных дифференциалах. Следовательно, левая часть уравнения есть полный диф-ференциал некоторой функции ( )y,xu , т.е.
( ) ( ) ;dyy
udx
x
udyycosxxedxysinye yx
∂∂+
∂∂=+++++
( ) ( )бycosxxey
uaysinye
x
u yx ++=∂∂++=
∂∂
.
Проинтегрируем уравнение (а) по x : ( ) ;dxysinyedxx
u x∫∫ ++=
∂∂
( )yCysinxyxeu x +++= . От найденного u берем частную производную
по y : ( )yCycosxxy
u ′++=∂∂
, которую подставляем в уравнение (б).
( ) ycosxxeyCycosxx y ++=′++ , отсюда ( ) yeyC =′ . Интегрируя, находим
( ) yeyС = . Подставляем его в ( ) ( )yCysinxxyey,xu x +++= , имеем
( ) yx eysinxyxey,xu +++= . Общий интеграл ( ) Cy,xu = запишется
0Ceysinxyxe yx =−+++ .
ПРИМЕР 2.15. Решить уравнение по формуле (2.11)
( ) ( ) 0dyxedx1yx y =++−+ .
Решение. ( ) ( ) xey,xQ,1yxy,xP y +=−+= .
1x
Q,1
y
P =∂∂=
∂∂
. Следовательно, это уравнение в полных дифференциалах.
156
Найдем общий интеграл по формуле (2.11)
( ) ( ) Cdyxedx1yxy
y0
yx
x 00
=++−+ ∫∫ . Пусть 0x0 = , 0y0 = , тогда
( ) Cexyx2
x y
0
y
x
0
2
=+
−+ , Ceexyx
2x 0y
2
=−+−+ ,
C1exyx2
x y2
=−+−+ . Обозначим 1C1C =+ , запишем общий интеграл
1y
2
Cexyx2
x =+−+ .
ПРИМЕР 2.16. Решить уравнение ( ) 0dyyxdxyx2 22 =++ .
Решение. Данное уравнение однородное, так как функции ( ) yx2y,xP =
и ( ) 22 yxy,xQ += однородные функции второй степени. Одновременно дан-ное уравнение является уравнением в полных дифференциалах, так как
x2y
P =∂∂
и x2x
Q =∂∂
. Общий интеграл будет иметь вид
( ) ( ) Cyyx3;Cyyxyx2;Cyyxxyx2 3232222 =+=++=++ .
ПРИМЕР 2.17. Решить уравнение ( ) ( ) 0dxycosyysinxdyysinyycosx =++− .
Решение. ( ) ( ) ycosyysinxy,xP,ysinyycosxy,xQ +=−=
x
Q
y
P,ycos
x
Q,ycosysinyycosx
y
P
∂∂≠
∂∂=
∂∂+−=
∂∂
, следовательно, уравне-
ние не в полных дифференциалах.
Исследуем выражение 1ysinyycosx
ycosycosysinyycosx
Q
x
Q
y
P
=−
−+−=∂∂−
∂∂
. Дан-
ное уравнение имеет интегрирующий множитель, зависящий только от x . Най-дем этот интегрирующий множитель.
xdxdxQ
x
Q
y
P
eee ===µ ∫∫∂∂−
∂∂
. Умножив исходное уравнение на xe , получим:
( ) ( ) 0dxycosyysinxedyysinyycosxe xx =++− .
( ) ( ) ( ) ( )ysinyycosxey,xQ,ycosyysinxey,xP x1
x1 −=+= .
( ) ( )ycosysinyycosxex
Q;ycosysinyycosxe
y
P x1x1 +−=∂
∂+−=
∂∂
.
157
Так как x
Q
y
P 11
∂∂=
∂∂
, то полученное уравнение в полных дифференциалах. Таким
образом, имеем
( ) ( ),aysinyycosxey
u x −=∂∂
( ) ( )бycosyysinxex
u x +=∂∂
.
Интегрируя уравнение (а) по y , получим:
( ) ( )xCysineycosyeysinexdyysinyycosxeu xxxx +−+=−= ∫
( ) =′+−++=∂∂
xCysineycosyeysinexysinex
u xxxx
( ) ( ) CxC,0xC;ycosyeysinex xx ==′+= .
( ) Cysineycosyeysinexy,xu xxx =−+= .
( ) −=−+ Cysinycosyysinxex общий интеграл.
2.8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Уравнение вида
(((( ))))(((( )))) 0y,,y,y,xF n ====′′′′ K (2.15) называется дифференциальным уравнением −−−−n го порядка.
Всякая n раз дифференцируемая функция ( )xy ϕ= , которая обращает уравнение (2.15) в тождество называется решением уравнения (2.15).
Задача Коши для уравнения (2.15) состоит в том, чтобы найти решение
уравнения, удовлетворяющее условиям ( ) ( )1n0
1n00 yy,yy,yy −− =′=′= K при
0xx = , где ( ) −′ −1n0000 y,,y,y,x K начальные условия.
Функция ( )n1 C,,C,xy Kϕ= называется общим решением уравнения (2.15), если при соответствующем выборе произвольных постоянных
n21 C,,C,C K эта функция является решением любой задачи Коши, поставлен-ной для данного уравнения.
Одним из основных методов, применяемых при интегрировании диффе-ренциальных уравнений высших порядков, является понижение порядка урав-нения, т.е. сведение уравнения путем замены к уравнению, порядок которого ниже данного.
Понижение порядка возможно не для всякого уравнения, в связи, с чем представляют интерес некоторые типы неполных дифференциальных уравне-ний, допускающих понижение порядка.
158
2.9 УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ, ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА
1. Уравнение вида (((( )))) (((( ))))xfy n ==== . Решение этого уравнения находится −n кратным интегрированием, а именно:
( ) ( ) ( ) 1111n CxfCdxxfy +=+= ∫
− ( ) ( )( ) ( )
.........................................................................
CxCxfCdxCxfy 2122112n ++=++= ∫
−
( ) ( ) ( ) n1n2n21n1
n CxCx!2n
Cx
!1nC
xfy ++−
+−
+= −−−
K , где
( ) ( )44 344 21
K
разn
nn dxxfxf ∫∫∫ ∫= .
Общее решение окончательно может быть записано
( ) n1n1n
1n CxCxCxfy ++++= −−
K , где ( ) ( ) K,!2n
CC,
!1nC
C 22
11 −
=−
=
ПРИМЕР 2.18. Найти частное решение уравнения ( ) ,10y,ey x2 ==′′′
( ) ( ) 00y;10y =′′−=′ . Решение. Последовательно интегрируем три раза,
1x2
1x2 Ce
21
Cdxey +=+=′′ ∫ , 21x2
21x2 CxCe
4
1CdxCe
2
1y ++=+
+=′ ∫ ,
3221x2
321х2 CxCx
2
Ce
8
1CdxCxCe
4
1y +++=+
++= ∫ .
Определим постоянные 321 C,C,C , для чего подставим начальные условия в полученные уравнения
( )
( )
( )8
7CC
8
11:10y
4
5CC
4
11:10y
2
1CC
2
10:00y
33
22
11
=⇒+==
−=⇒+=−−=′
−=⇒+==′′
Искомое частное решение: 87
x45
x41
e81
y 2x2 +−−= .
159
2. Дифференциальные уравнения вида (((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( )))) 01 ====++++ nkk y,,y,y,xF K , не содержащие искомой функции y
Порядок данного уравнения понижается путем замены ( ) ( )xzy k = , ( ) ( ) ( ) ( )knn2k1k zy,zy,zy −++ =′′=′= K и уравнение примет вид
( )( ) 0z,,z,z,xF kn =′ −K , порядок которого понижен на k единиц.
ПРИМЕР 2.19. Найти общее решение уравнения
′⋅′=′′
x
ylnyyx .
Решение. Делаем замену ( )xzy =′ , тогда zy ′=′′ , подставляем в данное
уравнение, имеем:
=′x
zlnzzx или
=′x
zln
x
zz .
Полученное уравнение является однородным уравнением первого поряд-ка, так как справа стоит однородная функция нулевого измерения. Полагая
( )xtx
z = , то xtz = и txtz +′=′ , получим уравнение tlnttxt =+′ или
( )1tlntdx
dtx −= . Разделяем переменные ( ) x
dx
1tlnt
dt =−
. Интегрируя
( )∫∫ =
−−
x
dx
1tln
1tlnd, находим ( ) 1Clnxln1tlnln +=− или xC1tln 1=− ;
1xC1et += . Возвращаясь к переменной xtz = , получим 1xC1exz +⋅= . Так как
yz ′= , то 1xC1xey +=′ или dxxedy 1xC1 += . Интегрируем последнее уравне-
ние, используя формулу ∫∫ −= vduuvdvu .
1xC
1
1xC1xC
111
eC
1vdvdxe
dxduxudxexy +++
====
== ∫ .
Получаем общее решение 21xC
21
1xC
1
CeC
1e
C
xy 11 +−= ++ .
3. Дифференциальные уравнения вида (((( ))))(((( )))) 0y,y,y,yF n ====′′′′′′′′′′′′ K , не со-держащие независимой переменной x
Порядок данного уравнения понижается путем замены (((( ))))ypy ====′′′′ , тогда
ppy ⋅⋅⋅⋅′′′′====′′′′′′′′ , где dydp
pp ====′′′′ и так далее. После замены порядок уравнения пони-
зится на единицу.
160
Замечание. Если дифференциальное уравнение не содержит явно независимой переменной x , искомой функции y и ее первых ( )1k − производных,
т.е. уравнение имеет вид ( ) ( ) ( )( ) 0y,,y,yF n1kk =+K , то его порядок можно
понизить на ( )1k + единиц, применяя сначала подстановку ( ) ( )xzy k = , а затем
( )ypz =′ .
Примеры решения задач
ПРИМЕР 2.20. Решить уравнение y
yy
′=′′ .
Решение. Это уравнение второго порядка, не содержащее явно x . Делаем
замену ( )dy
dppy,ypy =′′=′ и подставляем в уравнение. Получим
y
p
dy
dpp = ,
dyydp 2
1−= или 1
2
1
Cy2dyyp +== ∫−
. Найденное p заменим на y′ , тогда
1Cy2y +=′ . Разделяем переменные dxCy2
dy
1
=+
. Интегрируем
∫∫∫∫∫ +−=
+−+=
+=
===
+=
1
1
1
11
1
2
1 Ct2
dt2
2
Cdtdt
Ct2
CCt2
Ct2
dtt2
dtt2dy
ty
Cy2
dyx .
211 CCt2ln
2C
tx ++−= . Т.к. yt = , то 211 CCy2lnC5,0yx ++−= –
общий интеграл. ПРИМЕР 2.21. Найти решение задачи Коши для дифференциального
уравнения 1yy3 −=′′ с начальными условиями ,1)0(y = 1)0(y =′ . Решение. Данное уравнение является уравнением, не содержащим явно независимую переменную. Сделаем замену )y(py =′ . Тогда, учитывая, что
ppp ⋅′=′′ , получим уравнение первого порядка 1ppy3 −=′ .
Принимая во внимание, что dy
dpp =′ , получим уравнение первого порядка с
разделяющимися переменными
1pdydp
y3 −= , 3y
dypdp −= , ∫ ∫ −=
3y
dypdp , ∫
−−= dyy2
p 32
, 2
C
13
y
2
p 1132
++−
−=+−
,
2
C
y2
1
2
p 12
2
+= , 122 C
y
1p += .
161
Необходимо найти частное решение данного дифференциального уравнения при заданных начальных условиях. Определим произвольную постоянную 1С учитывая, что 1)0(y =′ и 1)0(y = , то в силу замены )y(py =′ получим 1)1(p = . Подставим 1y = и 1p = в полученное
промежуточное решение 122 C
y
1p += : 1C
1
11 += , 0C1 = .
Таким образом, 2
2
y
1p = или
y
1p ±= . Так как )y(py =′ , то
y
1y ±=′ .
Получили уравнение первой степени с разделяющимися переменными.
y
1
dx
dy ±= , dxydy ±= , ∫ ∫±= dxydy , 2
Cx
2
y 22
+±= , 22 Сx2y +±= .
Таким образом, решение примет вид: x2Cy 2 ±±= .
Найдем произвольную постоянную 2C , подставив 0x = и 1y =
0С1 2 ±±= , 1C2 = .
Окончательно получаем 1x2y2 +±=
или x21y ±±= – частное решение
2.10 ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ Линейным дифференциальным уравнением с переменными
коэффициентами называется уравнение вида
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xfyxayxayxay n2n
21n
1n =++++ −−
K . (2.16)
В уравнении (2.16) ( ) ( ) ( )xa,,xa,xa n21 K и ( )xf заданы и непрерывны в
некотором интервале ( )b,a . Если ( ) 0xf ≠ , то уравнение (2.16) называется неоднородным или с правой
частью. Если ( ) 0xf ≡ , то уравнение называется однородным. Зная одно частное решение −1y линейного однородного уравнения, можно
с помощью замены ∫= dxzyy 1 понизить порядок уравнения на единицу.
Если −n21 y,,y,y K линейно независимые частные решения однородного уравнения
( ) ( ) ( ) ( ) 0yxa,yxay n1n
1n =+++ −
K , (2.17)
162
то
−+++= nn2211 CyCyyCy K (2.18)
общее решение этого уравнения ( )constC,,C,C n21 −K . В частности, для однородного уравнения 2-го порядка
( ) ( ) 0yxayxay 21 =+′+′′ (2.19)
общее решение имеет вид
2211 yCyCy += , (2.20)
где 1y и −2y два частных линейно независимых решения.
Две функции ( )xy1 и ( )xy2 называются линейно независимыми, если их
отношение не является постоянной величиной, т.е. consty
y
2
1 ≠ .
Необходимым и достаточным условием линейной независимости двух функций непрерывных вместе со своими производными до первого порядка в интервале ( )b,a является то, что определитель Вронского (вронскиан)
( ) 0y,yW 21 ≠ ни в одной точке этого интервала, т.е.
(((( )))) 0yy
yyy,yW
21
2121 ≠≠≠≠
′′′′′′′′==== .
Если для уравнения (2.19) известно только одно частное решение ( )xy1 , то второе его решение, линейно независимое с первым, можно найти по формуле
( ) ( )( )
∫
∫−
= dxy
exyxy
21
dxxa
12
x
0x1
, где ( )b,ax0 ∈ (2.21)
Формула (2.21) дает возможность интегрировать линейные однородные
уравнения 2-го порядка, сразу, не прибегая к понижению их порядка.
Примеры решения задач
ПРИМЕР 2.22. Решить уравнение 0yyx
2y =+′+′′ двумя способами:
1) путем понижения порядка; 2) по формуле (2.21).
163
Решение. 1) Пусть известно одно частное решение данного уравнения
x
xsiny1 = . Произведем замену ∫= dxz
x
xsiny ; тогда
∫−+=′ dxz
x
xsinxcosxz
x
xsiny
2,
( ) ( )∫
+−−−+′=′′ dxzx
xcosx2xsin2x
x
xsinxcosxz2
x
xsinzy
3
2
2.
Подставляя в уравнение, получим: ⇒=+′ 0xcosz2xsinz
zxsin
xcos2dxdz ⋅−=⇒ . Разделим переменные и интегрируем
( )∫ =⇒+−=−=
xsin
CzClnxsinln2
xsin
xsind2zln
21
1 . Следовательно,
.xctgx
xsinC
xxsin
CCxsin
dxCx
xsiny 1222
1 ⋅−=
+= ∫ Окончательно
xxcos
Cx
xsinCy 12 −= .
2) Решим данное уравнение, применяя формулу (2.21)
( ) ==
=
= ∫∫∫
∫−
xsin
dxx
xsindx
xxsin
x
1
xxsin
dx
xxsin
ex
xsinxy
22
2
2
x
dx2
2
( )x
xcosctgx
xxsin −=−⋅= .
Общее решение 2211 yCyCy += , тогда окончательно x
xcosC
x
xsinCy 21 −= .
2.11 ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
−n ГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Линейным обыкновенным дифференциальным уравнением n-го
порядка с постоянными коэффициентами называют уравнения вида
( ) ( ) 0yayayay n1n1n
1n =+′+++ −
−K , (2.22)
где коэффициенты n1 a,,a K - некоторые известные константы.
164
Уравнение (2.22) является частным случаем уравнения вида (2.17) и его общее решение также имеет структуру (2.18)
,yCyCyCy nn2211 ++= K где −)x(y,),x(y n1 K частные решения уравнения (2.22), вронскиан которых не равен нулю; n21 C,,C,C K -произвольные константы. Такой набор функций называется фундаментальной системой решений. Для линейных однородных (с нулевой правой частью ) уравнений известно как построить фундаментальную систему решений, через которую можно записать общее решение уравнения (2.22). Для этого выписываем так называемое характеристическое уравнение, соответствующее дифференциальному уравнению (2.22):
0akakak n1n1n
1n =++++ −
−K . (2.23)
Характеристическое уравнение получается из уравнения (2.22) формальной
заменой производных неизвестной функции и самой функции y на соответствующие степени параметра k :
.1y,k'y,,ky,ky 1n)1n(n)n( →→→→ −−K
Характеристическое уравнение (2.23) имеет ровно n корней (действительных или комплексных) среди которых могут быть совпадающие (кратные). Напомним, что кратностью корня jk называется степень двучлена
( )jkk − в разложении многочлена на множители.
Фундаментальная система решений строится в соответствии с корнями характеристического уравнения (2.23) согласно следующей схеме:
1. каждому простому (кратности 1) действительному корню k ставится в
соответствие функция kxe ; 2. каждому действительному корню k кратности m ставится в соответствие
m линейно независимых функций ;ex,,xe,e kx1mkxkx −K
3. каждой паре комплексно сопряженных корней β+α= ik1 и β−α= ik2
ставится в соответствие пара функций );xsin(e),xcos(e xx ββ αα
4. каждой паре комплексно сопряженных корней β+α= ik1 и β−α= ik2
кратности m ставится в соответствие m2 функций ),xcos(e x βα ),xsin(e x βα
,),xsin(xe),xcos(xe xxKββ αα ),xcos(ex x1m βα− )xsin(ex x1m βα−
Таким образом, по n корням (с учетом кратности) мы построили n линейно независимых решений уравнения (2.22). Согласно (2.18), общее решение уравнения (2.22) выписывается как линейная комбинация этих всех функций.
165
Для выделения частного решения необходимо на функцию y и ее производные наложить n дополнительных условий, например
,y)x('y,y)x(y 100000 == 0,1n0)1n( y)x(y, −
− =K (задача Коши).
Примеры решения задач ПРИМЕР 2.23. Найти общее решение уравнения .0y3'y2''y =−+ Решение. Заменяя в данном дифференциальном уравнении неизвестную
функцию на единицу, ее производные на соответствующие степени параметра k ,
получаем характеристическое уравнение 03k2k2 =−+ . Корни этого
уравнения 1k,3k 21 =−= действительны и различны. Фундаментальная система
решений состоит из функций .ey,ey x2
x31 == − Общее решение,
следовательно, .eCeC)x(y x2
x31 += −
ПРИМЕР 2.24. Найти общее решение уравнения ( ) .0y5y2y 4 =′′+′′′+
Решение. Выписываем характеристическое уравнение 0k5k2k 234 =++ ,
его корни: 0k1 = кратности 2, и пара простых комплексно сопряженных корней
.i21k,i21k 43 −−=+−= В соответствии со схемой, фундаментальная система
решений состоит из четырех функций ,xxey,1ey 02
01 ====
);x2(siney),x2(cosey x4
x3
−− == общее решение есть их линейная
комбинация ).x2sin(eC)x2cos(eCxCC)x(y x4
x321
−− +++=
ПРИМЕР 2.25. Найти частное решение уравнения ,0y4y4yy =−′+′′−′′′ удовлетворяющее начальным условиям .10)0(y,2)0(y,0)0(y =′′=′= .
Решение. Найдем сначала общее решение. Выписываем характеристическое
уравнение 04k4kk 23 =−+− или ( ) ( ) 01k41kk 2 =−+− , тогда
( )( ) 04k1k 2 =+− . Корни характеристического уравнения: 1k1 = , ,i2k2 =
.i2k3 −= Общее решение ).x2(sinC)x2(cosCeC)x(y 32x
1 ++= Найдем
производные ),x2cos(C2)x2sin(C2eC)x('y 32x
1 +−=
)x2sin(C4)x2cos(C4eC)x(''y 32x
1 −−= . Частное решение находится в соответствии с начальными условиями 0x = , 0y = , 2y =′ , 10y =′′ :
,CC0 21 += ,C2C2 31 += 21 C4C10 −= . Решая, получаем
0C,2C,2C 321 =−== , тогда частное решение )x2cos(2e2)x(y x −= .
166
ПРИМЕР 2.26. Рассмотрим колебание груза массой m под действием пружины жесткости k . Пусть ( ) −tx отклонение тела от положения равновесия
( ) −′= tx,0x скорость тела, ( ) −′′ tx ускорение.
Решение. Запишем для этой системы закон Ньютона Fxm =′′ . Если силами, действующими на тело, являются только возвращающая сила пружины
( ) 0k,txkFgh >−= , сила сопротивления ( ) 0,txFсопр >γ′γ−= , то получим
уравнение линейного осциллятора при наличие сопротивления вида
0xkxxm =+′γ+′′ . Его характеристическое уравнение 0kkkm 2 =+γ+ имеет
корни m2
km4k
2
2,1−γ±γ−
= .
Рассмотрим три случая:
1) Если 0mk42 >−γ (сила сопротивления движению велика, возрастающая сила пружины мала), то корни действительны, различны и оба отрицательны.
Общее решение запишется в виде ( ) tk2
tk1
21 eCeCtx += . Это случай так называемого апериодического решения. Точка асимптотически, без колебаний стремится к положению равновесия 0x = при ∞→t . Напомним 0k,k 21 < .
2) Если 0mk42 =−γ , то корни характеристического уравнения
действительны и равны 0rm2
kk 21 <−=γ−== .
Общее решение имеет вид ( ) ( ) tr21 etCCtx −+= .
3) Наконец 0mk42 <−γ . Корни в этом случае комплексны и сопряжены
β−α−=β+α−= ik,ik 21 , m2
mk4,
m2
2 −γ=βγ=α .
Общее решение имеет вид ( ) ( )tcosCtsinCetx 21t β+β= α− . Движение точки
представляет собой колебания около положения равновесия с затухающей амплитудой. Отметим, что при отсутствии трения 0k = движение будет
периодическим ( )
+
= t
m
kCt
m
ksinCtx 21 .
167
2.12 ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ −n ГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ
КОЭФФИЦИЕНТАМИ. МЕТОД ВАРИАЦИИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ПОСТОЯННЫХ
В данном параграфе речь пойдет об уравнениях вида
( ) ( ) ( )xfyayayay n1n1n
1n =+′+++ −
−K . (2.24)
Если функция правой части ( )xf не тождественный нуль, такие уравнения
называют неоднородными или уравнениями с правой частью. Коэффициенты −n21 a,,a,a K известные константы (в данном параграфе
это замечание не принципиально – все выкладки имеют место и в случае зависящих от x коэффициентов).
Общее решение уравнения (2.24) представляет собой сумму
)x(Y)x(Y)x(y * += , (2.25)
где )x(Y * - какое-либо частное решение неоднородного уравнения, )x(Y - общее
решение однородного уравнения ( ) ( ) 0yayayay n1n1n
1n =+′+++ −
−K .
Пусть фундаментальная система решений однородного уравнения известна: )x(y,),x(y),x(y n21 K . Тогда общее решение однородного уравнения
можно выписать ).x(yC)x(yC)x(yC)x(Y nn2211 +++= K Таким образом, для построения общего линейное однородного уравнения решения необходимо найти
какое-либо частное решение ( )xY * . Для нахождения частного решения неоднородного уравнения можно
пользоваться методом вариации произвольных постоянных. Он заключается в следующем. Решение уравнения (2.24) находится в виде линейной комбинации функций )x(y,),x(y),x(y n21 K с коэффициентами, уже зависящими от x :
).x(y)x(C)x(y)x(C)x(y)x(C)x(Y nn2211* +++= K
Производные от функций )x(C,),x(C),x(C n21 K определяются из линейной алгебраической системы вида
=′++′+′
=′′++′′+′′=′++′+′
−−− ),x(fy)x(Cy)x(Cy)x(C
,0y)x(Cy)x(Cy)x(C
,0y)x(Cy)x(Cy)x(C
)1n(nn
)1n(22
)1n(11
nn2211
nn2211
K
M
K
K
(2.26)
168
где f(x) – правая часть уравнения (2.24).
Определитель системы равен вронскиану )y,,y,y(W n21 K и в нуль не обращается. Это обеспечивает однозначную разрешимость системы. Тем или иным методом линейной алгебры можно получить выражения для
)x(C,),x(C),x(C n22 ′′′ K ; сами функции восстанавливаются интегрированием. В частности, для дифференциального уравнения второго порядка система имеет вид
=′′+′′=′+′
).x(fy)x(Cy)x(C
,0y)x(Cy)x(C
2212
2211 (2.27)
Неизвестные ( )хС1′ и ( )хС2′ определяются по формулам Крамера
,)y,y(W
)x(fy
)y,y(W
y)x(f
y0
C21
2
21
2
2
1 −=′
=′)y,y(W
)x(fy
)y,y(W
)x(fy
0y
C21
1
21
1
1
2 =′
=′ ,
.yyyyyy
yy)y,y(W 2221
21
2121 ′−′=
′′= . (2.28)
Решения выписываются через интегралы
∫−=
x
0x21
21 dx
)y,y(W
)x(fy)x(C , ∫=
x
0x21
12 .dx
)y,y(W
)x(fy)x(C (2.29)
Примеры решения задач
ПРИМЕР 2.27. Найти общее решение уравнения x3sin
9y9y =+′′ .
Решение. Общее решение по теореме о структуре решений, имеет вид
YYy * += . Y находим при решении однородного уравнения 0y9y =+′′ .
Составим характеристическое уравнение i3k09k 2,12 ±=⇒=+ , общее
решение однородного уравнения будет иметь вид x3sinCx3cosCY 21 += , где
169
x3cosy1 = и x3siny2 = . Частное решение данного уравнения по методу
вариации будет иметь вид ( ) ( ) x3sinxCx3cosxCY 21* += .
Составим систему
( )
( )
=′+−
=′+′
x3sin
9x3cosC3x3sinxC3
0x3sinCx3cosxC
21
21
.
Вычислим главный определитель системы
⇒≠=−
==∆ 03x3cos3xsin3
x3sinx3cosW система имеет единственное
решение, по формулам Крамера имеем
9x3cos3x3sin
9x3sin0
C1 −==′∆ ; x3ctg9x3sin
9x3sin3
0x3cosC2 −=−=′∆ .
x3ctg3C
C,3C
C 22
11 =
∆′∆
=′−=∆
′∆=′ . Интегрируя последние равенства,
найдем ( )xC1 и ( ).xC2 x3sinlnC,x3C 21 =−= .
Запишем частное решение неоднородного уравнения
( )x3sinx3sinlnx3cosx3Y * +−= , тогда общее решение будет иметь вид
( )x3sinx3sinlnx3cosx3x3sinCx3cosCy 21 +−+= .
2.13 НАХОЖДЕНИЕ ЧАСТНОГО РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО НЕОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ
КОЭФФИЦИЕНТАМИ СО СПИЦИАЛЬНОЙ ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ. МЕТОД НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ КОЭФИЦИЕНТОВ
Частное решение уравнения −n го порядка
( ) ( ) ( ) ( )xfyayayay n
2n2
1n1
n =++++ −−K , (2.30)
где
( ) ( ) ( )( )xsinxQxcosxPexf mnx β+β= α , (2.31)
а Ra,,a,a n21 ∈K следует искать в виде
( ) ( ) ( )( )xsinxQxcosxPexxY SSxr* β+β⋅= α . (2.32)
170
Здесь −r кратность корня β+α i в характеристическом уравнении
0akak n1n
1n =+++ −
K . (2.33)
Если (2.33) такого корня не имеет, то ( )xP;0r S= и ( ) −xQS полные многочлены от x степени S, с неопределенными коэффициентами, причем S равно наибольшему из чисел n и m
( ).m;nmaxS= (2.34) Неизвестные коэффициенты многочленов )x(Qи)x(P ss находятся из сис-
темы линейных алгебраических уравнений, получаемых отождествлением ко-эффициентов подобных членов в правой и левой частях исходного уравнения
после подстановки в него *Y вместо y . Если правая часть уравнения (2.30) есть сумма конечного числа функций
вида (2.31), то частное решение есть сумма частных решений, соответствующих правых частей, т.е. если
( ) ( ) ( ) ( ) ( )xfxfxfyayay n21n1n
1n +++=+++ −
KK , (2.35)
то *n
*2
*1
* YYYY +++= K , где −*iY частное решение уравнения
( ) ( ) ( )xfyayay in1nn =+++ −
K .
Примеры решения задач
ПРИМЕР 2.28. Найти общее решение уравнения x4exy3y2y =−′−′′ . Решение. По теореме о структуре общего решения неоднородного урав-
нения *YYy += . Найдем −Y общее решение соответствующего однородно-
го уравнения 0y3y2y =−′−′′ . Его характеристическое уравнение имеет вид
03k2k2 =−− , 3k,1k 21 =−= , тогда x32
x1 eCeCY += − .
Найдем частное решение ∗y по виду правой части ( ) x4exxf ⋅= . В дан-
ном случае 4=α , 0=β , ( ) xxPn = , ( ) 0xQm = , 1n = . Число
4i04i =+=β+α корнем характеристического уравнения не является, зна-чит 0r = . Согласно (2.32) частное решение будет иметь вид
( )baxeY x4* += . Найдем a и b. Для этого ″′ *** Y,Y,Y подставляем в ис-
ходное уравнение.
Так как ( ) ( ) ( )ab4ax4eeabaxe4Y x4x4`x4* ++=++=′
( ) ( ) ( )a8b16ax16eea4ab4ax4e4Y x4x4`x4* ++=+++=″
, то уравнение
171
x4exy3y2y =−′−′′ примет вид:
( ) ( ) ( ) x4x4x4x4 exbaxe3ab4ax4e2a8b16ax16e =+−++−++ .
Сокращаем на x4e и после упрощения имеем xb5a6ax5 =++ . Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x в обеих частях равенства.
.0b5a6:x
,1a5:x0 =+
=
Отсюда 25
6b,
5
1a −== , тогда
−=25
6x
5
1eY x4* .
Общее решение уравнения ∗+= yyy , поэтому окончательно имеем
( ) x2
x31
x4 eCeC25
6x5exy −++−= .
ПРИМЕР 2.29. Найти общее решение уравнения линейного осциллятора без трения с периодической внешней силой :)tsin(ω
).tsin(xx 2 ω=ω+′′
−ω2 частота собственных колебаний, .m/k2 =ω
Решение. Общее решение однородного уравнения )tsin(xx 2 ω=ω+′′
выписывается с учетом корней характеристического уравнения :ik 2,1 ω±=
)tsin(C)tcos(C)t(x 21 ω+ω= .
Число ω=β+α ii , соответствующее правой части уравнения, является корнем характеристического уравнения, поэтому частное решение ищем в виде
t))tsin(B)tcos(A()t(u ω+ω= , ),tsin(B)tcos(At))tcos(B)tsin(A()t('u ω+ω+ωω+ωω−=
))tcos(B)tsin(A(2))tsin(B)tcos(A(t)t(''u 22 ωω+ωω−+ωω+ωω−= . После подстановки в уравнение получаем )tsin()tcos(B2)tsin(A2 ω=ωω+ωω− .
Отсюда .0B,2
1A =
ω−= Окончательно, общее решение неоднородного
уравнения ).tcos(2
t)tsin(C)tcos(C)t(x 21 ω
ω−ω+ω=
Наличие в общем решении членов пропорциональных t свидетельствует о росте со временем амплитуды колебаний. Этот эффект называется резонансом. Это происходит при совпадении частоты внешнего воздействия с собственной частотой.
Если правая часть уравнения представляет собой сумму различных функ-ций вида (функций с разными βαи ), то решение выписывается с использова-нием теоремы о суперпозиции решений: надо найти частные решения, соответ-ствующие различным частям и затем взять их сумму, которая и является реше-нием исходного уравнения.
172
ПРИМЕР 2.30. Найти общее решение уравнения x)4( e6x12''yy +=+
с начальными данными .4(0)y,6(0)y' ,3(0)''y,11(0)''y' ==== Решение. Сначала находится общее решение, затем определяются содер-
жащиеся в нем произвольные константы. Правая часть представляет собой сумму двух функций x)x(f1 = и .e)x(f x
2 = Для каждой из функций найдем
соответствующее частное решение. Общее решение Y однородного уравнения найдем согласно корням характеристического уравнения: ,0kk 21 ==
:ik,ik 43 −== .xsinCxcosCxCCY 4321 +++= Частное решение неодно-
родного уравнения будем искать в виде суммы двух функций *2
*1
* YYY += .
Правой части )x(f1 соответствует 0=α , 0=β , x)x(Pn = , 1n = . Так
как 0i =β+α - корень характеристического уравнения кратности 2, то реше-
ние ищем в виде многочлена первой степени ( )1n = с произвольными коэффи-
циентами, умноженного на :)2r(x 2 =
.xaxax)axa(Y 22
31
221
*1 +=+=
Правой части x2 e6)x(f = соответствует .0n,6)x(P,0,1 n ===β=α
Число 1i =β+α корнем характеристического уравнения не является, следова-
тельно, решение ищем в виде .be)x(Y x*2 = Таким образом,
.bexaxaY x22
31
* ++= Найдем b,a,a 21 . Для этого ( )″∗Y и ( )( )4Y ∗ подста-
вим в исходное уравнение.
Так как ( ) x2
21
* bexa2xa3Y ++=′
, ( ) x21
* bea2xa6Y ++=″
,
( ) x1
///* bea6Y += , ( )( ) x4* beY = ,
то уравнение x)4( e6x12''yy +=+ примет вид:
.e6x12bea2xa6be xx21
x +=+++
Отсюда .3b,0a,2a 21 === Общее решение неоднородного уравнения *YY)x(y += , x3
4321 e3x2xsinCxcosCxCC)x(y +++++= . Найдем частное решение, соответствующее начальным данным. Для это-
го находим значение функции y и ее производных при 0x = и приравниваем их к соответствующим начальным данным
43CCe3x2xsinCxcosCxCC)0(y 310x
x34321 =++=+++++=
=,
63CCe3x6xcosCxsinCC)0(y 420x
x2432 =++=+++−=′
=,
33Ce3x12xsinCxcosC)0(y 30x
x43 =+−=++−−=′′
=, т.к. 3(0)y =′′ ,
1115Ce312xcosCxsinC)0(y 40x
x43 =+−=++−=′′′
=, т.к. 11(0)y =′′′ .
173
Отсюда следует 1C1 = , 1C2 −= , 0C3 = , 4C4 = .
Окончательно .e3xsin4x2x1y x3 +++−=
2.14 СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Системой называется совокупность дифференциальных уравнений, со-
держащих функции n1 y,,y K и их производные. Максимальный порядок про-изводной называется порядком системы.
Система дифференциальных уравнений, разрешенных относительно старших производных, называется нормальной. Например, нормальная систе-ма первого порядка имеет вид:
=
=
=
).y,y,x(fdx
dy
),y,y,x(fdx
dy
),y,y,x(fdx
dy
n1nn
n122
n111
K
M
K
K
(2.36)
Решением системы дифференциальных уравнений называется набор
функций ),x(y,),x(y n1 K которые после подстановки в систему обращают каждое ее уравнение в верное равенство.
Задача Коши для системы (2.36) заключается в нахождении такого ре-шения, которое удовлетворяет начальным данным в виде
.y)x(y,,y)x(y,y)x(y 0n0n20021001 === K (2.37)
Общим решением системы (2.36) называется набор функций ),C,,C,C,x(y,),C,,C,C,x(y n21nn211 KKK которые
RD)C,,C,C( n21 ⊂∈∀ K являются решением (2.36); кроме того, для любых на-чальных данных вида (2.37), принадлежащих области определения системы, существуют ,C
~,,C
~,C
~n21 K при которых функции ( )KK ,C
~,,C
~,C
~,xy n211
),C~
,,C~
,C~
,x(y n21n KK удовлетворяют начальным данным (2.37). Решение, со-ответствующее какому-либо конкретному набору констант, называется част-ным решением.
Разберем решение систем на примере линейной системы
174
++=
++=
++=
,yayadx
dy
,yayadx
dy
,yayadx
dy
nnn11nn
nn21212
nn11111
K
M
K
K
(2.38)
где коэффициенты ija -известные константы.
Один из методов заключается в сведении системы к дифференциальному уравнению на одну из неизвестных функций. Продифференцируем, например, первое уравнение
nn11111 yayay ′++′=′′ K .
В полученное уравнение вместо n2 y,,y ′′ K подставляем взятые из системы вы-ражения для них. Получаем уравнение, которое запишем в виде:
nn22221211111 yyyyay α++α=α+′−′′ K (2.39)
Коэффициенты ijα легко вычисляются через коэффициенты исходной систе-
мы. Проделывая эту процедуру далее, имеем
,yyyyyay nn32321311211111 α++α=α+′α+′′−′′′′ K (2.40)
M
nn,1n22,1n11,1n)2n(
111)1n(
1 yyyyay −−−−− α++α=α++− KK , (2.41)
nnn22n11n)1n(
111)n(
1 yyyyay α++α=α++− −KK . (2.42)
Рассматривая первое уравнение системы (2.38) и уравнения (2.39)-(2.42)
как линейную алгебраическую систему функций n2 y,,y K , можно получить
для них выражения через функцию )x(y1 и ее производные '1
)1n(1
)n(1 y,,y,y K
− .
Подставляя эти выражения в последнее уравнение (2.42), получаем линейное дифференциальное уравнение n-го порядка для .y1 Решая полученное уравне-ние тем или иным способом находим ,y1 затем по полученным формулам на-
ходим .y,,y n2 K
175
ПРИМЕР 2.31. Найти общее решение системы дифференциальных урав-
нений
++=
+−=
++−=
.yyydx
dy
,yyydx
dy
,yyydx
dy
3213
3212
3211
Решение. Продифференцируем первое уравнение =++++−+′−=′+′+′−=′′ )yyy()yyy(yyyyy 32132113211
311 y2y2y ++′−= или
.y2y2yy 3111 =−′+′′ (2.43)
Дифференцируем далее и получаем .y2y2y2y2y2yy 3213111 ++=′=′−′′+′′′ Или .y2y2y2y2yy 321111 +=−′−′′+′′′
Чтобы получить уравнение для )x(y1 , необходимо выразить 32 y,y че-
рез 1y и ее производные. Рассмотрим первое уравнение исходной системы и уравнение (2.43), записанные в виде
−′+′′=
+′=+
.2
y2yyy
,yyyy
1113
1132
Эта линейная алгебраическая система для 32 y,y решается тривиально
−′−′′−=
−′+′′=
.2
y4yyy
,2
y2yyy
1112
1113
(2.44)
Подставляем эти выражения в правую часть (2.43)
.0y4y4yy 1111 =−′−′′+′′′ (2.45)
Для уравнения (2.45) составим характеристическое уравнение и решим
его: 04423 =−λ−λ+λ , 0)1(4)1(2 =+λ−+λλ , ( ) 04)1( 2 =−λ+λ , 11 −=λ ,
22 =λ , 23 −=λ . Они равны .2,2 32 −=λ=λ Следовательно, общее решение уравнения (2.45) имеет вид
176
.eCeCeC)x(y x23
x22
x11
−− ++=
Из (2.44) находим ( ) ( )xyиxy 32
−+−+++−= −−−− x23
x22
x1
x23
x22
x12 eC2eC2eCeC4eC4eC(
2
1)x(y
.eC2eCeCeC4eC4eC4 x23
x22
x1
x23
x22
x1
−−−− −+=−−−
−−+−++= −−−− x23
x22
x1
x23
x22
x13 eC2eC2eCeC4eC4eC(
21
)x(y
.eC2eC)eC2eC2eC2 x22
x1
x23
x22
x1 +−=−−− −−−
Окончательно, общее решение исходной системы
( )( )
+−=
−+=
++=
−
−−
−−
.eC2eCxy
,eC2eCeCxy
,eCeCeC)x(y
x22
x13
x23
x22
x12
x23
x22
x11
Рассмотрим метод решения систем дифференциальных уравнений с по-
мощью матриц на примере систем второго порядка
+=′+=′
.yaxay
,yaxax
2221
1211 (2.46)
Будем искать решение в виде t2
t1 epy,epx λλ == . Определим при ка-
ких λ такое решение существует. Подставим выражения для y,x в систему, и
после сокращения на teλ , получаем
=λ−+=+λ−
.0p)a(pa
,0pap)a(
222121
212111 (2.47)
Эта линейная алгебраическая система имеет ненулевые решения только тогда, когда определитель соответствующей матрицы равен 0:
.0aa
aa
2221
1211 =λ−
λ− (2.48)
Уравнение (2.48) называется характеристическим уравнением системы (2.46), его решения – характеристическими числами. Это уравнение имеет два корня
1λ и 2λ (вообще говоря, комплексные). Рассмотрим три различных случая.
1) 1λ , R2 ∈λ , 1λ .2λ≠
177
В этом случае система имеет два частных решения, соответствующие
различным собственным числам: первое- ,epy,epx t12
)1(t11
)1( 11 λλ == второе -
.epy,epx t22
)2(t21
)2( 22 λλ == В качестве 12
11 p,p и 2
221 p,p берутся какие-либо
решения системы (2.47) с соответствующими .2,1λ=λ Общее решение системы
выписывается как линейная комбинация частных решений с произвольными коэффициентами:
,epCepCxCxCx t212
t111
)2(2
)1(1
21 λλ +=+=
.epCepCyCyCy t222
t121
)2(2
)1(1
21 λλ +=+=
2) ,i,i 21 β−α=λβ+α=λ .0≠β
Пусть 1p и 2p - решения системы (2.47), соответствующее 1λ=λ .Частным решением является пара комплексных функций
.ep*y,ep*x t)i(2
t)i(1
β+αβ+α == Частными вещественными решениями являют-ся следующие пары функции, определенные как вещественная и мнимая части
*y*,x :
),epRe(y),epRe(x t)i(2
)1(t)i(1
)1( β+αβ+α ==
).epIm(y),epIm(x t)i(2
)2(t)i(1
)2( β+αβ+α == Их линейная комбинация и дает выражения для общего решения
),epIm(C)epRe(Cx t)i(12
t)i(11
β+αβ+α +=
).epIm(C)epRe(Cy t)i(22
t)i(21
β+αβ+α += 3) λ - вещественный корень кратности 2. Общее решение в этом случае имеет вид
).ata(ey),ata(ex 43t
21t +=+= λλ (2.49)
Здесь −4321 a,a,a,a неизвестные константы, но только две из них могут
быть произвольными. Чтобы определить их, подставим выражения (2.49) в сис-тему (2.46). Отдельно приравнивая свободные члены и члены с множителями t , получим два различных уравнения. Полагая, например, ,Ca,Ca 2211 == на-
ходим .a,a 43
ПРИМЕР 2.32. Найти общее решение системы уравнений.
+=′−=′
.y4x3y
,y3x4x
Решение. Решение ищем в виде t2
t1 epy,epx λλ == . На 21 p,p и λ по-
лучаем систему
178
=λ−+=+λ−
.0p)a(pa
,0pap)a(
222121
212111
Эта алгебраическая система имеет ненулевые решения только при λ , равном корню характеристического многочлена
.09)4(43
34 2 =+λ−=λ−
−λ−
Корни .i342,1 ±=λ Найдем 21 p,p ,соответствующие значения :i341 +=λ
=+=−
.0ip3p3
,0p3ip3
21
21
Система имеет бесконечно много решений (ее строки пропорциональны, определитель равен 0). Положим 1p1 = , тогда .ip2 = Пару частных решений
выпишем как вещественную и мнимую часть функций t1epx λ= и t
2epy λ= :
),t3sin(e)ieRe(y),t3cos(e)eRe(x tt)i34()1(t4t)i34()1( 1λ++ −====
),t3cos(e)ieIm(y),t3sin(e)eIm(x tt)i34()2(t4t)i34()2( 1λ++ ==== Общее решение
)),t3sin(C)t3cos(C(exCxCx 21t4)2(
2)1(
1 +=+=
)).t3cos(C)t3sin(C(eyCyCy 21t4)2(
2)1(
1 +−=+=
2.15 РЕШЕНИЕ ПРИКЛАДНЫХ ЗАДАЧ
Изучение динамических процессов в различных областях физики, биоло-гии, химии, экономики и т.п. приводит к математическим моделям в виде диф-ференциальных уравнений. Рассмотрим лишь некоторые задачи, постановка которых дает дифференциальное уравнение (ДУ).
Простейший пример: задача о нахождении первообразной некоторой не-прерывной функции ( )xf сводится к ДУ I порядка вида: ( )xfy =′ .
Известно, что график решения ДУ изображается на плоскости Y0X инте-гральной кривой. Общее решение ДУ есть семейство интегральных кривых, за-данных в явном ( )n21 c,,c,c,xy Kϕ= или неявном виде
( ) 0c,,c,c,y,x n21 =Φ K ( −y функция независимой переменной −n21 c,,c,c;x K произвольные постоянные). Продифференцируем уравнение
( )n21 c,,c,c,xy Kϕ= n раз. Составим систему из ( )1n + уравнений:
179
( )( )( )
( ) ( ) ( )
ϕ=
ϕ ′′=′′ϕ′=′
ϕ=
.c,,c,xy
,
,c,,c,xy
,c,,c,xy
,c,,c,xy
n1nn
n1
n1
n1
K
KKKKKKKK
K
K
K
Из полученной системы исключаем n21 c,,c,c K . Таким образом, получим ДУ −n го порядка для интегральных кривых ( )n1 c,,c,xy Kϕ= .
В случае, когда кривые заданы в неявном виде ( ) 0c,,c,x n1 =Φ K , при дифференцировании учитываем, что −y функция независимой переменной x
и yy,1x ′=′=′ . Например, ( ) 34 x4x =′
, но ( ) yy4y 34 ′=′
. ПРИМЕР. Составить дифференциальное уравнение I порядка семейства
интегральных кривых: 32 ycxx += .
Решение. Продифференцируем данное равенство 32 ycxx += один раз.
Заметим, что ( ) x2x 2 =′
и ( ) yyc31ycx 23 ′⋅+=′
+ . Запишем систему:
′−+=
−=⇔
′+=
+=
.yyy
xx31x2
,y
xxc
,yyc31x2
,ycxx
23
2
3
2
2
32
После упрощения второй строки системы, получим искомое ДУ: ( ) ( )1x2yy1xx3 −=′− .
ПРИМЕР. Составить дифференциальное уравнение II порядка семейства
интегральных кривых: 22
1y
ccx += .
Решение. Продифференцируем равенство 22
1y
ccx += два раза
1) ( )′
+′=′
22
1y
ccx , ( ) yy2c01 3
2 ′−+= − .
2) ( ) ( )′′−=′ − yyc21 32 , ( )yyyyy3c20 34
2 ′′+′′−−= −− .
180
Запишем систему: ( )( )
+′′−−=
′−=
+=
−−
−
.yyyyy3c20
yy2c1
y
ccx
4342
32
22
1
Из последнего равенства после упрощения получаем искомое дифферен-циальное уравнение II порядка ( )2y3yy ′=′′ .
В следующих задачах для составления ДУ I порядка используем геомет-рический смысл первой производной функции. Пусть к кривой ( )xfy = прове-дена касательная; ( )( ) −00 xf,x точка касания. ( ) −=′ kxf 0 угловой коэффици-ент касательной или ( ) α=′ tgxf 0 , где −α угол наклона касательной к положи-тельному направлению оси X0 . Уравнение касательной к кривой ( )xfy = в точке с абсциссой 0x имеет вид:
( ) ( ) ( )000 xxxfxfy −⋅′+= или ( )000 xxyyy −⋅′+= , где ( ) −00 y,x коор-динаты точки касания. Точка ( )00 y,x лежит на кривой ( )xfy = и на касатель-ной. ( ) −y,x координаты текущей точки касательной, то есть координаты лю-бой точки, лежащей на касательной (не на кривой!). Напомним, что нормаль – прямая, перпендикулярная касательной и ее уравнение имеет вид:
( )00
0 xxy
1yy −⋅
′−= .
ПРИМЕР. Составить дифферен-циальное уравнение семейства инте-гральных кривых, зная, что середину отрезка нормали от произвольной точ-ки этой кривой до оси абсцисс пересе-кает парабола xy2 2 = .
Решение. Возьмем произвольную точку А на кривой L, зафиксируем ее координаты ( )00 y,x и проведем в ней нормаль АС.
Нормаль пересекает ось абсцисс в точке С, поэтому ее вторая координата
«y» равна нулю. Точка С – точка нормали, следовательно, ее первую координа-
ту «х» найдем из уравнения нормали: ( )00
0 xxy
1yy −
′−=
( ) ⇒′⋅+=⇒−′
−= 00000
0 yyxxxxy
1y0 ( )0;yyxC.т 000 ′+ . Пусть точка В
ось абсцисс
нормаль
y
x 0
( )00 y,xA
• • ( )0,xC
−B середина АС
L
касательная
•
181
– середина отрезка АС, тогда ее координаты будут: ( )
+′++2
0y;
2
yyxx 00000 .
По условию задачи координаты т.В должны удовлетворять уравнению xy2 2 = .
Получаем равенство ( )
2
yyxx
2
y2 0000
20 ′++
=
, после упрощения которого
имеем 00020 yyx2y ′⋅+= . Поскольку точка ( )00 y,xA на кривой −L произ-
вольная точка, то индекс у ее координат можно опустить. Окончательно, ДУ I порядка примет вид 0x2yyy 2 =+−′ .
ПРИМЕР. Составить дифференциальное уравнение семейства интеграль-ных кривых, обладающих свойством: длина перпендикулярна, опущенного из точки (0; 1) на касательную к кривой равна абсциссе точки касания.
Решение. Обозначим ( ) −00 y,xC точку на кривой L ,
в которой проведена касатель-ная АВ. −β угол наклона каса-тельной к положительному на-правлению оси 0Х, тогда
( )0xytg ′=β или 0ytg ′=β .
Так как β−=α 0180 , то
0ytg ′−=α . Пусть касательная пере-
секает ось ординат в т.А, тогда ее первая координата «х» равна 0. Но т.А – точ-ка на касательной, поэтому ее вторая координата «у» удовлетворяет уравнению касательной:
( )000 xxyyy −⋅′+= ( ) ( ) 000000000 yxyA0yxy;0A.тx0yyy ′−=⇒′−⇒−⋅′+= . Так как
D00AAD −= , где 1D0 = , то ( ) 000 yx1yAD ′−−= . −DE длина перпендикуляра из т.D на касательную, тогда по условию
задачи 0xDE = .
( )20
2 y1
1
tg1
1cos
′−+=
α+=α .
Подставляем выражения для αcos,DE,AD в равенство: α⋅= cosADDE (из прямоугольного треугольника ADE ).
Имеем: ( )( )( )2
0
0000y1
1yx1yx
′+⋅′−−= . Возводим в квадрат
( )( ) ( ) ( ) ( )20
20000
20
20
20 yxyx1y21yy1x ′⋅+′−−−=′+⋅ и после упрощения
получим ( ) ( ) 20
20000 x1yy1yx2 −−=′⋅− .
•
y
( )y,0A
Ε
( )00 y,xC
касательная
D
0x α
1
( )0,xB
β
L
0 x
α
182
Точка ( ) −00 y,xC произвольная точка кривой, поэтому индекс у ее коор-динат можно опустить. Окончательно ДУ I порядка будет иметь вид
( ) ( ) 22 x1yy1yx2 −−=′− . Напомним физический смысл первой производной функции ( )xf . Если
функция ( )xfy = описывает динамический процесс, то есть проходящий во времени, то ( )xfy ′=′ есть скорость протекания этого процесса в момент вре-мени х.
ПРИМЕР. Пусть тело находится в окружающей среде с более низкой температурой, равной С100 . Известно, что с течением времени охлаждение те-ла пропорционально разности температур самого тела и среды с коэффициен-том пропорциональности 0,02. Составить дифференциальное уравнение про-цесса изменения температуры тела во времени.
Решение. Обозначим Т – температуру тела в некоторый момент времени
t. Введем функцию ( )tT , тогда ( )tT′ или −td
Td скорость изменения тела в
момент времени t. По условию ( )tT′ пропорционально разности температур
тела T и окружающей среды 010 , то есть ( )10T − с коэффициентом пропорцио-
нальности 0,02. Получаем равенство ( )10T02,0dt
dT −−= . Минус в правой части
означает процесс охлаждения. Это же уравнение может иметь вид ( )10T02,0T −−=′ .
Отметим, что полученное дифференциальное уравнение I порядка, можно записать и таким образом ( )10x02,0y −−=′ или x10y50 −=′ .
ПРИМЕР 2.33. Цилиндрический резервуар с высотой 6 м и диаметром ос-нования 4 м поставлен вертикально и наполнен водой. За какое время вода, за-полняющая резервуар, вытечет из него через круглое отверстие радиуса 1/12 м, сделанного в дне резервуара?
Решение. Для решения поставленной задачи надо воспользоваться фор-мулой Бернулли, определяющей скорость V (в м/с) истечения жидкости из от-верстия в резервуаре, находящегося на h м ниже свободного уровня жидкости:
gh2V σ=
Здесь g = 9,8 м/с2 - ускорение силы тяжести, а σ - постоянный (безраз-мерный) коэффициент, зависящий от свойств жидкости (для воды 6,0≈σ ).
Пусть через t с после начала истечения воды уровень оставшейся в ре-зервуаре воды был равен h м, и за время dt с понизился еще на dh м (dh<0). Подсчитаем объем воды, вытекшей за этот бесконечно малый промежуток вре-мени dt, двумя способами.
С одной стороны, этот объем ωd равен объему цилиндрического слоя с высотой |dh| и радиусом, равным радиусу r основания резервуара (r=2 м). Таким
образом, dhrdhrd 22 π−=π=ω .
183
С другой стороны, этот объем равен объему цилиндра, основанием кото-рого служит отверстие в дне резервуара, а высота равна V dt (гдеV - скорость истечения). Если радиус отверстия равен ρ ( 12/1=ρ м), то
dtgh2dtd 22 πρ=νπρ=ω .
Приравнивая эти два выражения для одного и того же объема, приходим к уравнению
.dtgh2dhr 22 σρ=−
Разделяя переменные и интегрируя, получаем
.hg2
r2Ct;
h
dh
g2
rdt
2
2
2
2
σρ−=⋅
σρ−=
При t = 0 имеем h = h0 = 6 м. Отсюда находим
.hg2
r2C 02
2
σρ=
Таким образом, связь между t и h определяется уравнением
( ),hhg2
r2t 02
2
−σρ
=
а полное время истечения Т найдем, полагая в этой формуле h = 0:
.g2
hr2T
20
2
σρ=
Используя данные задачи (r = 2 м, hо = 6 м, σ = 0,6, ρ= 1/12 м, g = 9,8 м/с2), на-ходим Т ≈ 1062 с ≈ 17,7 мин.
ПРИМЕР 2.34. В комнате, где температура 20°С, некоторое тело остыло за 20 мин от 100 до 60°С. Найти закон охлаждения тела; через сколько минут оно остынет до 30° С? Повышением температуры в комнате пренебречь.
Решение. В силу закона Ньютона (скорость охлаждения пропорциональна разности температур) можем записать:
( ) ( ) Clnkt20Tln.е.т,dtk20T
dTили,20Tk
dtdT +=−=
−−=
Если t = 0, то T=100°; отсюда С = 80. Если t = 20, то T = 60°; значит, ln 40= =20k+ln 80, откуда k = -(1/20) In 2. Итак, закон охлаждения тела имеет вид
( ) ( )( ) ( )( )20/t200/t2lnt20/1 2/18020Tили,2/180e8020T +==⋅=− ⋅−.
При T=300 имеем 10=80(1/2)t/20, или (1/2)t/20=1/8. Таким образом, t/20=3, откуда t=60 мин.
ПРИМЕР 2.35. Материальная точка массы т движется по оси Ох под действием восстанавливающей силы, направленной к началу координат и про-порциональной расстоянию движущейся точки от начала; среда, в которой
184
происходит движение, оказывает движению точки сопротивление, пропорцио-нальное скорости движения. Найти закон движения.
Решение. Пусть x& -скорость точки; x&& -ее ускорение; на точку действуют две силы: восстанавливающая axf1 −= и сила сопротивления среды bxf1 −= . Согласно второму закону Ньютона, имеем
0axxbxmили,axbxxm =++−−= &&&&& Мы получили линейное однородное дифференциальное уравнение второго
порядка. Его характеристическое уравнение 0abkmk2 =++ имеет корни
( ) ( )m2/ma4bbk 22,1 −±−=
1). Если 0ma4b2 >− , то корни-действительные, различные и оба отри-цательные; вводя для них обозначения
( ) ( ) ( ) ( ) 22
212
1 rm2/ma4bbk,rm2/ma4bbk −=−+−=−=−+−= ,
находим общее решение уравнения движения в виде tr2
tr1
21 eCeCx −− += (это-случай так называемого апериодического движения).
2). Если 0ma4b2 =− , то корни характеристического уравнения –действительные равные:
( ) rm2/bkk 21 −=−== . В этом случае общее решение уравнения движения имеет вид
.teCeCx rt2
rt1
−− +=
3). Наконец, если 0ma4b2 <− , то характеристическое уравнение имеет комплексные сопряженные корни:
i2i1 k,k β−α−=β+α−= , где ( ) ( ) ( )m2/bam4,m2/b 2−=β=α . Общее решение уравнения движения имеет вид
( ) ( )0t
21t tsinexили,tsinCtcosCex ϕ+βΑ=β+β= α−α− ,
где Α=ϕΑ=ϕ+=Α /Ccos,/Csin,CC 201022
21
2.16 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ И ЕГО РЕШЕНИЯ. ВВОДНЫЕ ПОНЯТИЯ
Дифференциальным уравнением в частных производных называют
уравнение, связывающее неизвестную функцию нескольких переменных и ее частные производные.
Порядок высшей частной производной, входящий в уравнение, определя-ет порядок уравнения. Ограничимся рассмотрением уравнений с функциями двух и трех перемен-
ных. Общий вид уравнения первого и второго порядков для функции двух пере-
менных соответственно такой
185
( ) 0U,U,U,y,xF yx = , (2.50)
( ) 0U,U,U,U,U,U,y,xF yyxyxxyx = , (2.51)
где −F заданная функция своих аргументов.
Уравнение называется линейным, если F линейно зависит от функции U и ее частных производных.
Уравнение (2.51) называется линейным относительно старших производ-ных, если оно имеет вид
( ) ( ) ( ) ( ) 0U,U,U,y,xFUy,xCUy,xB2Uy,xA yxyyxyxx =+++ .(2.52)
Частным случаем уравнения (2.52) является линейное уравнение
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ),y,xfUy,xFUy,xE
Uy,xDUy,xCUy,xB2Uy,xA
y
xyyxyxx
=++++++
(2.53)
где −f,F,E,D,C,B,A данные непрерывные функции, определяемые в неко-торой области G переменных x и y , причем C,B,A имеют непрерывные ча-стные производные до второго порядка включительно. Чаще всего коэффици-енты перед искомой функцией и ее производными – числа. Если в уравнении (2.53) ( ) 0y,xf = , то уравнение называется однородным; если ( ) 0y,xf ≠ , то – неоднородным.
Решением уравнения в частных производных называется всякая функция, которая, будучи подставленная в уравнение вместо неизвестной функции U и ее частных производных, обращает это уравнение в тождество по независимым переменным.
Как известно, для обыкновенного дифференциального уравнения ( ) ( )( )1nn y,,y,y,xfy −′= K
решение ( )n1 C,,C,xy Kϕ= , содержащее n произвольных постоянных, на-зывается общим (при условии, что при соответствующем выборе констант, воз-можно, решить задачу Коши).
Для уравнений в частных производных дело сложнее. Так называемое общее решение содержит произвольные функции в количестве, вообще говоря, равном порядку дифференциального уравнения. В приводимых ниже задачах будет отмечена особенность общего решения уравнения в частных производ-ных.
Примеры решения задач
ПРИМЕР 2.36. Выяснить, являются ли приведенные ниже равенства дифференциальными уравнениями в частных производных:
а) ( ) 0UUUU 2yyxx
2yy
2xx =−−+ ,
186
б) ( ) 0U2UcosUsinUcosUsinUUsin xyxxxyyyxy =+⋅−⋅−− .
Решение. Преобразуем уравнение а)
0UU2UUU2UUU yyxx2yyyyxx
2xx
2yy
2xx =⋅=−⋅+−+ .
Данное уравнение является уравнением в частных производных, так как в него входят частные производные второго порядка
2
2
xxx
UU
∂∂= и
2
2
yyy
UU
∂∂= .
Уравнение б) не является уравнением в частных производных, так как в него входит только функция )y,x(UU = . Действительно, раскрывая
)UU(sin yyxy − , получим
.0)y,x(U0U20U2UcosUsin
UcosUsinUcosUsinUcosUsin
xyx
xxyxyxxxy
=⇒=⇒=+⋅−−⋅−⋅+⋅
ПРИМЕР 2.37. Выяснить, какие из следующих уравнений являются ли-
нейными (однородными или неоднородными) и какие нелинейными: а) 0x8UU7U6U3 xyxxxy =+−+− ,
б) 0UUxy3UUx2UU yxy2xyx =−−⋅+ ,
в) ( ) 0U2U1yxUye2Uyx xx22
xy2x
xxy2 =−+−+⋅ .
Решение. Сравнивая данные уравнения с формой (1.4), заключаем, что - уравнение а) есть неоднородное линейное уравнение второго порядка,
для которого x8f,0F,7E,1D,0C,3B2,6A −===−===−= ; - уравнение б) нелинейное, так как оно не является линейным относи-
тельно старших частных производных; - уравнение в) является однородным линейным уравнением третьего по-
рядка.
ПРИМЕР 2.38. Решить уравнение 0x
U =∂∂
.
Решение. Ясно, что искомая функция ( )y,xU не зависит от переменной
x , но может быть любой функцией от y : ( ) ( )yy,xU ϕ= , поскольку, диффе-
ренцируя ( )yϕ по x , получим ноль, а это значит, что данное равенство выпол-няется. Таким образом, решение уравнения содержит одну произвольную функцию ( )yϕ .
ПРИМЕР 2.39. Решить уравнение ( )yfy
U =∂∂
, где ( ) −yf заданная функ-
ция. Решение. Интегрируя по y , восстановим искомую функцию
187
( ) ( ) ( ) ( )xdyyfxdyy
Uy,xU ψ+=ψ+
∂∂= ∫∫ ,
где ( )−ψ x произвольная функция. Итак, решение уравнений в примерах 2.38 и 2.39 содержат одну произ-
вольную функцию ( ) ( )( )xиy ψϕ . Такое решение называется общим. В отли-чие от общего решения обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка, которое содержит одну произвольную постоянную, решение уравне-ния в частных производных первого порядка содержит одну произвольную функцию.
ПРИМЕР 2.40. Решить уравнение 0yx
U2
=∂∂
∂.
Решение. Перепишем уравнение так: 0y
U
x=
∂∂
∂∂
. Положим Vy
U =∂∂
,
после чего данное уравнение принимает вид 0x
V =∂∂
. Как было установлено в
примере 2.38, общее решение последнего уравнения имеет вид: ( )yfV = , где
( ) −yf произвольная функция. Исходное уравнение примет вид: ( )yfy
U =∂∂
.
Проинтегрировав полученный результат по y , получим
( ) ( ) ( )xdyyfy,xU ϕ+= ∫ , иначе
( ) ( ) ( )xyy,xU ψ+ϕ= ,
где ( )xϕ и ( )−ψ x произвольные дважды дифференцируемые функции.
Легко проверить, что найденная функция ( )y,xU удовлетворяет данному уравнению.
Итак, решение уравнения в частных производных второго порядка со-держит уже две произвольные функции. Такое решение называют общим.
Приведенные в качестве примеров уравнения дают основание сделать заключение: общее решение уравнения в частных производных первого поряд-ка содержит одну произвольную функцию, а общее решение уравнения второго порядка – две произвольные функции. В этом заключается коренное отличие общего решения уравнения в частных производных от общего решения обык-новенного дифференциального уравнения, которое содержит одну и две произ-вольные постоянные.
В дальнейшем будет выяснено, какие дополнительные условия надо за-дать, чтобы с их помощью можно было выделить частное решение, т. е. функ-цию, удовлетворяющую как уравнению, так и дополнительным условиям.
188
2.17 КЛАССИФИКАЦИЯ И ПРИВЕДЕНИЕ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
ВТОРОГО ПОРЯДКА
Все многообразие линейных относительно старших производных (или просто линейных) уравнений может быть разделено на три класса (типа). В ка-ждом классе есть простейшие уравнения, которые называются каноническими. Решения уравнения одного и того же типа (класса) имеют много общих свойств. Для изучения этих свойств достаточно рассмотреть канонические уравнения, так как другие уравнения данного класса могут быть приведены к каноническому виду.
Классификация уравнений вида (2.52) проводится в соответствии со зна-
ком дискриминанта ACB2 −=∆ . Говорят, что уравнение (1.3) в области G принадлежит
а) гиперболическому типу, если 0ACB2 >− ,
б) параболическому типу, если 0ACB2 =− ,
в) эллиптическому типу, если 0ACB2 <− . Уравнение вида
∂∂
∂∂=
∂∂∂
y
U,
x
U,U,y,xF
yx
U2
(2.54)
называется каноническим уравнением гиперболического типа.
Второй канонический вид уравнения гиперболического типа таков:
∂∂
∂∂=
∂∂−
∂∂
y
U,
x
U,U,y,xF
y
U
x
U22
2
(2.55)
Уравнение вида
∂∂
∂∂=
∂∂
y
U,
x
U,U,y,xF
y
U2
2
(2.56)
называется каноническим уравнением параболического типа.
Уравнение вида
∂∂
∂∂=
∂∂+
∂∂
y
U,
x
U,U,y,xF
y
U
x
U2
2
2
2
(2.57)
называется каноническим уравнением эллиптического типа.
189
Дифференциальное уравнение
( ) ( ) 0dxCdxdyB2dyA 22 =+− (2.58)
называется характеристическим уравнением для уравнения (2.52), а его об-щие интегралы ( ) 1Cy,x =ϕ и ( ) −=ψ 2Cy,x характеристиками.
Характеристики линейного уравнения (2.52) используются для приведе-ния его к каноническому виду. Уравнение (2.52) в каждой из областей, где со-храняется знак дискриминанта ∆ , приводится к эквивалентному уравнению, а именно к каноническому, путем введения вместо переменных x и y новых пе-ременных ξ и η с помощью зависимостей
( ) ( )y,x,y,x η=ηξ=ξ . Для уравнения гиперболического типа характеристическое уравнение
имеет два интеграла, т.е. существуют два семейства действительных характери-стик
( ) 1Cy,x =ϕ и ( ) 2Cy,x =ψ , и потому следует сделать замену переменных, положив ( ) ( )y,x,y,x ψ=ηϕ=ξ , в результате чего исходное уравнение преобразуется к уравнению (2.54) (или к
уравнению (2.55) после дополнительной замены 2
,2
η−ξ=βη+ξ=α , где α
и −β новые переменные). Для уравнения параболического типа характеристическое уравнение име-
ет один действительный интеграл, т.е. одну характеристику ( ) Cy,x =ϕ , и по-тому полагают
( ) ( )y,xа,y,x ψ=ηϕ=ξ ,
где ( )−ψ y,x произвольная функция, например, x=η . После такой замены уравнение приводится к виду (2.56).
Для уравнения эллиптического типа общие интегралы характеристиче-ского уравнения имеют вид
( ) ( ) ( ) 2,121 Cy,xiy,xy,x =ϕ±ϕ≡ϕ ,
где ( )−ϕ y,x функция, принимающая комплексные значения, а ( )y,x1ϕ и
( )−ϕ y,x2 действительные функции действительных переменных. С помощью подстановок
( ) ( )y,x,y,x 21 ϕ=ηϕ=ξ уравнение (2.52) приводится к каноническому виду (2.57).
После выбора новых переменных ξ и η требуется преобразовать произ-водные, входящие в данное уравнение, к новым переменным. Напомним, что первые производные по старым переменным x и yвыражаются через произ-
190
водные по новым переменным ξ и ηпо известным формулам дифференциро-вания сложной функции двух переменных:
yyyxxx UUU,UUU η⋅+ξ⋅=η⋅+ξ⋅= ηξξξ .
Вторые производные находятся путем дифференцирования выражений для xU
и yU по правилу дифференцирования сложной функции.
Так как для каждого типа канонических уравнений разработаны опреде-ленные методы как аналитического, так и численного решения, то задача при-ведения уравнений (2.52) к каноническому виду представляет практический ин-терес.
Заметим, что в различных областях тип одного и того же уравнения (2.52) может быть различным.
Примеры решения задач
ПРИМЕР 2.41. Определить тип уравнения
0y
Ux
x
Uy
2
22
2
22 =
∂∂−
∂∂
и привести его к каноническому виду.
Решение. Составим выражение ACB2 − . В данном случае 2yA = ,
0B,xC 2 =−= , тогда 0yxACB 222 ≥=− . Отсюда следует, что данное уравнение – уравнение гиперболического типа во всех точках плоскости, кроме лежащих на осях 0x = и 0y = . Оси координат являются линиями парабо-личности. Следовательно, уравнение можно привести к каноническому виду (2.54) в каждом из координатных углов. Составим характеристическое уравне-ние:
( ) ( )( )( ) ,0dxxdyydxxdyy
0dxxdyy 2222
=+−⇒=−
откуда получаем 0dxxdyy,0dxxdyy =+=− . Интегрируя последние уравнения, получаем
122 Cxy =− и 2
22 Cxy =+ .
Сделаем замену: 2222 yx,xy +=η−=ξ . Выразим частные производные по старым переменным через частные
производные по новым переменным:
( ) x2U
x2U
x
U
x
U
x
U ⋅η∂
∂+−⋅ξ∂
∂=∂η∂⋅
η∂∂+
∂ξ∂⋅
ξ∂∂=
∂∂
,
y2U
y2U
y
U
y
U
y
U ⋅η∂
∂+⋅ξ∂
∂=∂η∂⋅
η∂∂+
∂ξ∂⋅
ξ∂∂=
∂∂
191
+
∂η∂
ξ∂∂
η∂∂+
∂ξ∂
ξ∂∂
ξ∂∂−
ξ∂∂−=
η∂∂+
ξ∂∂−
∂∂=
∂∂
x
U
x
Ux2
U2
Ux2
Ux2
xx
U2
2
( ) ( ) =
⋅
η∂∂+−
η∂ξ∂∂+
η∂∂+
⋅
η∂ξ∂∂+−
ξ∂∂−
ξ∂∂−
=
∂η∂
η∂∂
η∂∂+
∂ξ∂
η∂∂
ξ∂∂+
η∂∂+
x2U
x2U
x2U
2x2U
x2U
x2U
2
x
U
x
Ux2
U2
2
222
2
2
η∂∂+
η∂∂−
η∂∂+
η∂ξ∂∂−
ξ∂∂−= U
2U
2U
x4U
x8U
x422
22
22
2
22 .
Аналогично найдем
η∂∂+
ξ∂∂+
η∂∂+
η∂ξ∂∂+
ξ∂∂=
∂∂ U
2U
2U
y4U
y8U
y4y
U2
22
22
2
22
2
2
.
Подставим найденные xxU и yyU в исходное уравнение, и после приве-
дения подобных получим
( ) ( )
( ) ( ) 0U
xy2U
yx2
Uyx4yx4
Uyx16
Uyx4yx4
2222
2
22222
222
2
22222
=η∂
∂−+ξ∂
∂+−
−η∂
∂−+η∂ξ∂
∂−ξ∂
∂−
или 0U
yx8
xyU
yx8
yxU22
22
22
222
=η∂
∂−+ξ∂
∂++η∂ξ∂
∂.
Запишем теперь коэффициенты полученного уравнения в новых переменных.
Из равенств η=+ 22 yx и ξ=− 22 xy выразим ξ+η=2y2 , ξ−η=2x2 . И окончательно получаем канонический вид исходного уравнения
( ) ( ) 0U
2
U
2
U2222
2
=η∂
∂ξ−η
ξ+ξ∂
∂ξ−η
η+η∂ξ∂
∂.
2.18 ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
К основным уравнениям математической физики относятся следующие
уравнения в частных производных второго порядка. 1. Волновое и телеграфное уравнения Уравнение
192
( ),t,z,y,xfz
U
y
U
x
Uс
t
U2
2
2
2
2
22
2
2
+
∂∂+
∂∂+
∂∂=
∂∂
(2.59)
где −с скорость распространения волны в данной среде, называется волно-вым уравнением. В приведенном уравнении z,y,x обозначают декартовы ко-ординаты точки, −t время.
Для двумерного пространства (плоский случай) волновое уравнение име-ет вид
( )t,y,xfy
U
x
Uс
t
U2
2
2
22
2
2
+
∂∂+
∂∂=
∂∂
. (2.60)
В одномерной области уравнение (2.60) принимает вид
( )t,xfx
Uс
t
U2
22
2
2
+∂∂=
∂∂
. (2.61)
Волновое уравнение описывает процессы распространения упругих, зву-
ковых, световых, электромагнитных волн, а также другие колебательные явле-ния. Например, волновое уравнение может описать:
а) малые поперечные колебания струны (при этом под ( )t,xUU = по-нимают поперечное отклонение точки x струны от положения равновесия в момент времени t );
б) продольные колебания упругого стержня ( −U продольное отклонение частицы от ее положения при отсутствии деформации);
в) малые упругие колебания плоской пластины, мембраны; г) течение жидкости или газа в коротких трубах, когда трением о стенки
трубы можно пренебречь ( −U давление или расход). Уравнение вида
UCt
UB
t
UA
x
U2
2
2
2
⋅+∂∂+
∂∂=
∂∂
(2.62)
называется телеграфным уравнением. Оно описывает электрические колеба-ния в проводах ( −U сила тока или напряжение), неустановившееся течение жидкости или газа в трубах ( −U давление или скорость).
Волновое и телеграфное уравнения входят в группу уравнений гипербо-лического типа.
2. Уравнение теплопроводности Уравнение
193
,z
U
y
U
x
Ua
t
U2
2
2
2
2
22
∂∂+
∂∂+
∂∂=
∂∂
(2.63)
где −a параметр, учитывающий физические свойства изучаемой среды, назы-вается уравнением теплопроводности.
Оно имеет вид для плоского случая
,y
U
x
Ua
t
U2
2
2
22
∂∂+
∂∂=
∂∂
(2.64)
для одномерного
2
22
x
Uа
t
U
∂∂=
∂∂
. (2.65)
Уравнением теплопроводности описываются процессы нестационарного
массо- и теплообмена. В частности, к этим уравнениям приводят задачи о неус-
тановившемся режиме распределения тепла (при этом 2а означает коэффици-ент температуропроводности, а −U температуру в любой точек исследуемой области в любой момент времени t ), о фильтрации упругой жидкости в упру-
гой пористой среде, например, нефти и газа в подземных песчаниках ( −χ=2a коэффициент пьезопроводности, −U давление в любой точке среды), о неус-
тановившейся диффузии ( −= Da2 коэффициент диффузии, −U концентра-ция), о течении жидкости в магистральных трубопроводах ( −U давление или скорость жидкости).
Если при рассмотрении этих задач окажется, что в исследуемой области функционируют внутренние источники и стоки массы или тепла, то процесс описывается неоднородным уравнением
( )
∂∂+
∂∂+
∂∂=+
∂∂
2
2
2
2
2
22
z
U
y
U
x
Uat,z,y,xf
t
U, (2.66)
где функция ( )t,z,y,xf характеризует интенсивность функционирующих ис-точников.
Уравнения (2.63) – (2.66) являются простейшими уравнениями параболи-ческого типа.
3. Уравнения Лапласа и Пуассона Уравнение
194
( )z,y,xfz
U
y
U
x
U2
2
2
2
2
2
=∂∂+
∂∂+
∂∂
(2.67)
называется уравнением Пуассона в трехмерном пространстве. Если в этом уравнении ( ) 0z,y,xf = , то оно называется уравнением Лапласа:
0z
U
y
U
x
U2
2
2
2
2
2
=∂∂+
∂∂+
∂∂
. (2.68)
К исследованию уравнений Лапласа и Пуассона приводит рассмотрение
задач о стационарном процессе: это задачи гидродинамики, диффузии, распре-деления температуры, электростатики и др.
Эти уравнения относятся к уравнениям эллиптического типа. Те задачи, которые приводят к уравнениям, содержащим время, называ-
ются нестационарными или динамическими задачами математической фи-зики; задачи, приводящие к уравнениям, не содержащим время, называются стационарными или статическими.
Как было показано, уравнения математической физики имеют бесчислен-ное множество решений, зависящие от двух произвольных функций (речь идет об уравнениях второго порядка для функции двух переменных). Для того, что-бы из множества решений выделить определенное, характеризующее процесс, необходимо на искомую функцию наложить дополнительные условия, которые диктуются физическими соображениями. Таковыми условиями для уравнений в частных производных являются, чаще всего, начальные и граничные условия. Граничные условия – это условия заданные на границе рассматриваемой среды; начальные условия – это условия, относящиеся к какому-нибудь моменту вре-мени, с которого начинается изучение данного физического явления. Дополни-тельные условия, так же как и само дифференциальное уравнение, выводятся на основе физических соображений, связанных с самим процессом. Вместе с тем дополнительные условия должны быть такими, чтобы обеспечить выделение единственного решения из всего множества решений. Число граничных и на-чальных условий определяются типом уравнения, а их вид – заданным исход-ным состоянием на границе объекта и внешней среды. Для рассматриваемых нами уравнений число начальных условий равно порядку старшей производной по времени, входящей в уравнение, а число граничных условий – порядку старшей производной по координате.
Совокупность дифференциального уравнения и дополнительных условий представляют собой математическую формулировку физической задачи, и на-зывается задачей математической физики.
Итак, задача математической физики состоит в отыскании решений урав-нений в частных производных, удовлетворяющих некоторым дополнительным условиям, скажем, граничным и начальным.
195
Задача математической физики считается поставленной корректно, если решение задачи, удовлетворяющее всем ее условиям, существует, единственно и устойчиво.
2.19 КОЛЕБАНИЯ СТРУНЫ. ГРАНИЧНЫЕ И НАЧАЛЬНЫЕ
УСЛОВИЯ. ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
Пусть струна находится под дей-ствием сильного начального натяжения
0Т . Если вывести струну из положения
равновесия и подвергнуть действию ка-кой-либо силы, то струна начнет коле-баться. Процесс колебания можно опи-сать одной функцией ( )t,xU , характе-ризующей вертикальное перемещение струны (отклонение от положения рав-новесия (рис. 2.2)). При каждом фикси-рованном значении t график функции
( )0t,xUU = на плоскости U0X дает
форму струны в момент времени 0t .
Функция ( )t,xUU = удовлетворяет уравнению
( )t,xfx
Ua
t
U2
22
2
2
+∂∂=
∂∂
, (2.69)
где ( ) −ρ=ρρ
=ρ
= x,F
f,T
a 02 масса единицы длины (линейная плотность
струны), −F сила, действующая на струну перпендикулярно оси Х0 и рассчи-танная на единицу длины.
Если внешняя сила отсутствует, т.е. 0f = , то уравнение
2
22
2
2
x
Ua
t
U
∂∂=
∂∂
(2.70)
описывает свободные колебания струны без воздействия внешних усилий.
Уравнение (2.69) является простейшим уравнением гиперболического ти-па и в то же время одним из важнейших уравнений матфизики.
Одного уравнения движения (2.69) или (2.70) при математическом описа-нии физического процесса недостаточно. При рассмотрении задачи о колебании
х
UFdx
0T0T
1x 2x
dx
Рис. 2.2
196
струны дополнительные условия могут быть двух видов: начальные и гранич-ные (краевые).
Так как процесс колебаний струны зависит от ее начальной формы и рас-пределения скоростей, то следует задать начальные условия:
( ) ( ) ( ) ( )xt
0,xU,x0,xU ψ=
∂∂ϕ= . (2.71)
Граничные условия определяются поддерживаемым на концах струны
режимом на протяжении процесса колебания. Так, если концы струны длины l закреплены, то отклонения ( )t,xU в точках 0x = и l=x равны нулю:
( ) ( ) 0t,U,0t,0U == l . (2.72)
Будем говорить о трех типах граничных условий: I ( ) ( )tU,tU 2x10x
µ=µ= == l
II ( ) ( )tx
U,t
x
U2
x1
0x
ν=∂∂ν=
∂∂
== l
III ( ) ( )tUhx
U,tUh
x
U2
x21
0x1 ω=
+∂∂ω=
+∂∂
== l
,
где ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) −ωωννµµ t,t,t,t,t,t 212121 известные функции,
1h и −2h известные постоянные. Приведенные условия называют соответственно граничными условиями
первого, второго, третьего рода. Условия I имеют место в том случае, когда концы объекта (струна, стержень и т.д.) перемещаются по заданному закону; условия II – в случае, когда к концам приложены заданные силы; условия III – в случае упругого закрепления концов.
Если функции, заданные в правой части равенства, равны нулю, то гра-ничные условия называются однородными. Так, граничные условия (2.72) – однородные. Комбинируя различные перечисленные типы граничных условий, получим шесть типов простейших краевых задач.
В том случае, когда режим на концах не будет оказывать существенного влияния на ту часть струны, которая достаточно удалена от них, струну счита-ют бесконечной. В силу этого вместо полной краевой задачи ставят предельную задачу – з а д а ч у К о ш и: найти решение уравнения (2.69) для ∞<<∞− x при 0t > , удовлетворяющее начальным условиям
( ) ( )xt
U,xU
0t0t
ψ=∂∂ϕ=
== .
Если изучается процесс вблизи одной границы и влияние граничного ре-жима на второй границе не имеет существенного значения на протяжении ин-
197
тересующего нас промежутка времени, то приходим к постановке задачи на по-луограниченной прямой ∞<≤ x0 . В этом случае задаются начальные усло-вия и одно из граничных условий I - III при 0x = .
Примеры решения задач
ПРИМЕР 2.42. Однородная струна длины l совершает малые попереч-ные колебания. Поставить задача об определении отклонений ( )t,xU точек струны от прямолинейного положения покоя, если в момент 0t = струна име-ла форму ( )xϕ ( l≤≤ x0 ) и скорость каждой ее точки задается функцией
( )xψ . Рассмотреть случаи: а) концы струны закреплены; б) концы струны свободны; в) к концам струны 0x = и l=x , начиная с момента 0t = , приложены
поперечные силы ( )tF и ( )tΦ соответственно; г) концы струны закреплены упруго, т.е. каждый из концов испытывает
сопротивление, пропорциональное отклонению конца. Решение. Как известно, отклонения ( )t,xU точек струны от положения
равновесия удовлетворяют в отсутствии действующей внешней силы уравне-нию свободных колебаний (2.70)
2
22
2
2
x
Ua
t
U
∂∂=
∂∂
.
Здесь 002 Ta ρ= , −0T натяжение, линейная плотность const0 =ρ=ρ ,
т.к. струна однородная. Начальные условия имеют вид:
( )xU0t
ϕ==
, ( )xtU
0t
ψ=∂∂
=
, l≤≤ x0 .
Займемся выводом граничных условий. СЛУЧАЙ а). Так как концы струны закреплены, то их отклонения
( )t,xU в точках 0x = и l=x должны быть равными нулю при любом t , т.е.
0U0x
==
, 0Ux
==l
, 0t > .
Итак, физическая задача о колебаниях закрепленной на концах струны свелась к следующей математической задаче: найти функцию ( )t,xU , опреде-ленную при l<< x0 и 0t > , являющуюся решением уравнения
2
22
2
2
x
Ua
t
U
∂∂=
∂∂
и удовлетворяющую граничным условиям
198
0U0x
==
, 0Ux
==l
и начальным условиям
( )xU0t
ϕ==
, ( )xtU
0t
ψ=∂∂
=
.
СЛУЧАЙ б). Если концы струны свободны, то внешние силы, приложен-ные к ним, равны нулю. И, следовательно, равна нулю сила натяжения T , кото-
рая согласно закону Гука, пропорциональна удлинению: x
UKT
∂∂⋅= , где ко-
эффициент K включает модуль упругости материала. Поэтому
0xU
0x
=∂∂
=
, 0xU
x
=∂∂
=l
, 0t > ,
Задача формулируется следующим образом: найти решение уравнения
2
22
2
2
x
Ua
t
U
∂∂=
∂∂
, l<< x0 , 0t > ,
удовлетворяющее граничным условиям
0xU
0x
=∂∂
=
, 0xU
x
=∂∂
=l
и начальным условиям
( )xU0t
ϕ==
, ( )xtU
0t
ψ=∂∂
=
.
СЛУЧАЙ в). Рассмотрим граничные элементы ( )x;0 ∆ и ( )ll x;-∆ . За-
пишем второй закон Ньютона для правого элемента ( )ll x;-∆ , на который
действует сила ( )tΦ и сила натяжения 2T
∂∂⋅=θ⋅≈θ⋅=
x
UTtgTsinTT2 :
( ) ( )ll ,xUTtUx xtt ∆−⋅−Φ=⋅∆⋅ρ
Переходя к пределу при 0x →∆ , получим
( ) ( ) 0t;UTt x =⋅−Φ l , откуда ( ) ( ) ( )t
T
t
x
t;U2ν=Φ=
∂∂ l
.
Аналогично получим условия для левого конца: ( ) ( ) ( )t
T
tF
x
t;0U1ν=−=
∂∂
.
Таким образом, задача ставится так: найти в области l<< x0 , 0t > , решение уравнения
199
2
22
2
2
x
Ua
t
U
∂∂=
∂∂
,
удовлетворяющее граничным условиям II рода
( )txU
1
0x
ν=∂∂
=
, ( )txU
2
x
ν=∂∂
=l
и начальным условиям
( )xU0t
ϕ==
, ( )xtU
0t
ψ=∂∂
=
.
СЛУЧАЙ г). При упругом закреплении концов каждый конец испытывает сопротивление, пропорциональное отклонению конца, т.е.
( ) ( )t,0UktF ⋅−= , ( ) ( )t,Ukt l⋅−=Φ ,
где k - коэффициент жесткости упругого крепления концов струны. Тогда из граничных условий в случае в) получим
( ) ( ) 0t,0Ukt,0UT x =⋅−⋅ , ( ) ( ) 0t,Ukt,UT x =⋅+⋅ ll ,
иначе ( ) ( ) 0t,0Uhx
t,0U1 =⋅+
∂∂
, ( ) ( ) 0t,Uhx
t,U2 =⋅+
∂∂
ll
.
Математическая формулировка задачи: найти решение уравнения
2
22
2
2
x
Ua
t
U
∂∂=
∂∂
,
удовлетворяющее граничным условиям III рода
( ) ( ) 0t,0Uhx
t,0U1 =⋅+
∂∂
, ( ) ( ) 0t,Uhx
t,U2 =⋅+
∂∂
ll
, 0t >
и начальным условиям
( ) ( )x0,xU ϕ= , ( ) ( )xt
0,xU ψ=∂
∂, l≤≤ x0 .
2.20 РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ МЕТОДОМ ХАРАКТЕРИСТИК (МЕТОДОМ ДАЛАМБЕРА)
Одним из широко используемых способов решения уравнений колебаний струны является метод характеристик, называемый методом Даламбера. В ос-нове его лежит тот факт, что с помощью замены tax +=ξ , ta-x=η уравне-ние
2
22
2
2
x
Ua
t
U
∂∂=
∂∂
(2.73)
200
преобразуется в уравнение 0U2
=η∂ξ∂
∂, которое имеет общее решение
( ) ( ) ( )η+ξΦ=ηξ F,U , где Φ и F - произвольные дважды дифференцируемые функции (см. пример 2.40). Для определения функций Φ и F, т.е. для определения закона колебаний струны, требуется использовать начальные условия, а для некоторых задач и граничные. Если вернуться к старым переменным x и t , то общее решение примет вид
( ) ( ) ( )taxFtaxt,xU −++Φ= .
Здесь ( )taxF − характеризует прямую волну (кривая ( )xF смещается
вправо со скоростью a), а ( )tax +Φ - обратную волну (кривая ( )xΦ смещает-ся влево со скоростью a).
Если рассматривается задача Коши для бесконечной струны ∞<<∞− x , то по заданным начальным условиям
)x()0,x(U ϕ= , )x()0,x(U t ψ= (2.74)
определяются функции Φ и F, и искомое решение имеет вид
∫+
−ψ⋅++ϕ+−ϕ=tax
tax
zd)z(a2
1
2
)tax()tax()t,x(U . (2.75)
Формула (2.75) называется формулой Даламбера. Эта формула доказыва-
ет единственность решения задачи Коши. В частности, когда начальная скорость равна нулю ( 0)x( =ψ ), то
2
)tax()tax()t,x(U
+ϕ+−ϕ= ,
откуда легко вычислить отклонение струны от положения равновесия для лю-бой из ее точек; оно равно сумме левой и правой бегущих волн, причем началь-ная форма каждой волны определяется функцией 2)x(ϕ , равной половине на-чального отклонения.
В случае полубесконечной струны, кроме начальных условий (2.74), за-данных при ∞<≤ x0 , необходимо добавить еще граничное условие (конец предполагается в точке 0x = )
0)t,0(U = (2.76) для закрепленной в точке 0x = струны,
201
0x
)t,0(U =∂
∂ (2.77)
для свободного конца в точке 0x = ,
0)t,0(Uhx
)t,0(U =⋅−∂
∂.
для упругого закрепления в точке 0x = . В случае однородных граничных условий (2.76) или (2.77) решение зада-
чи о колебании полубесконечной струны сводится к решению задачи о колеба-нии бесконечной струны путем продолжения начальных условий на всю ось нечетным образом для условия (2.76), т.е. полагают )x()x( ϕ−=−ϕ ,
)x()x( ψ−=−ψ , и четным образом для условия (2.77), т.е. )x()x( ϕ=−ϕ ,
)x()x( ψ=−ψ .
Примеры решения задач
ПРИМЕР 2.43. Найти форму достаточно длинной струны, определяемой
уравнением 2
22
2
2
xU
atU
∂∂=
∂∂
, в момент времени 2t π= , π=t , если заданы
начальные смещения и скорости:
а) xcos)0,x(U,xsin)0,x(U t == ;
б) xcos)0,x(U,0)0,x(U t == ;
в) 0)0,x(U,xsin)0,x(U t == .
Решение. По постановке вопроса надо найти решение )t,x(U задачи Коши (2.73), (2.74) в области: ∞<<∞− x , 0t > . Оно определяется формулой Даламбера (2.75).
СЛУЧАЙ а). Полагая в формуле Даламбера xsin)x( =ϕ , ( ) xcosx =ψ ,
найдем смещение )t,x(U в любой точке и любой момент t :
( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ).txsintxsintxsin2
1txsintxsin
2
1
zdzcos2
1txsintxsin
2
1)t,x(U
tx
tx
+=−−++++−=
=+++−= ∫+
−
Откуда определяем форму кривой в указанные моменты времени:
xcos)2,x(U =π , xsin),x(U −=π . Кривые изображены на рис. 2.3.
202
СЛУЧАЙ б) Начальные смещения струны равны нулю, т.к. 0)0,x(U = .
При 0)x( =ϕ колебательный процесс будет описан по формуле
( ) ( )[ ]
.tsinxcos2
txtxsin
2
txtxcos2
2
1
txsintxsin2
1zsin
2
1zdzcos
2
1)t,x(U
tx
tx
tx
tx
⋅=+−+⋅−++⋅⋅=
=−−+⋅=⋅=⋅= +−
+
−∫
В момент времени 2t π= струна имеет форму косинусоиды: xcosU2t
=π=
,
а в момент π=t она совпадает с осью абсцисс: 0Ut
=π=
.
СЛУЧАЙ в). По условию, начальные скорости равны нулю, значит, ( ) 0x =ψ . Тогда имеем
.tcosxsin2
txtxcos
2
txtxsin2
2
1
2
)tx(sin)tx(sin)t,x(U
⋅=
=−−−++−⋅=++−=
Форма струны в указанные моменты времени определяется уравнениями:
0)2,x(U =π , xsin),x(U −=π .
2.21 РЕШЕНИЕ НЕКОТОРЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ МЕТОДОМ ФУРЬЕ. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ КОЛЕБАНИЙ МЕТОДОМ ФУРЬЕ
Метод Фурье или метод разделения переменных, широко используемый
при решении ряда задач математической физики, состоит в следующем. Иско-мая функция, зависящая от нескольких переменных, ищется в виде произведе-ния функций, каждая из которых зависит лишь от одной переменной. После подстановки этого произведения в исходное уравнение получается несколько обыкновенных дифференциальных уравнений, часть из которых вместе с крае-
0 ππππ ππππ−−−−
2ππππ−−−− 2ππππ 23ππππ ππππ20
y)(x,U
x
ππππ====t
2t ππππ==== 0t ====
Рис. 2.3
203
выми условиями исходной задачи являются краевыми задачами, называемыми задачами Штурма- Лиувилля. Искомое решение представляется рядом по про-изведениям собственных функций задач Штурма- Лиувилля. Приведем с х е м у э т о г о м е т о д а для простейших уравнений гиперболического и параболического типов – волнового уравнения и уравнения теплопроводности.
Рассмотрим однородные уравнения
2
2
2
2
2 x
U
t
U
a
1
∂∂=
∂∂
(2.78)
2
22
2 x
U
t
U
a
1
∂∂=
∂∂
, (2.79)
для которых граничные условия имеют вид
( ) ( ) 0t,U,0t,0U == l . (2.80) а начальные условия таковы
( ) ( ) ( ) ( )x0,xU,x0,xU t ψ=ϕ= (2.81) для (2.78)
( ) ( )x0,xU ϕ= (2.82) для (2.79).
Процесс решения разбивается на два этапа: I – нахождение частных ре-шений; II – нахождение общего решения и удовлетворение начальным услови-ям.
I. Ищутся всевозможные частные решения (2.78) в виде
( ) ( ) ( )tTxXt,xU ⋅= . (2.83) В результате подстановки функции такого вида в уравнение (2.78) полу-
чаем
( ) ( ) ( ) ( )tTxXtTxXa
12
′′=′′ или ( )( )
( )( ) ( )constxX
xX
tTa
tT2
λ−=′′
=′′
.
204
Последнее уравнение распадается на два обыкновенных дифференциальных уравнения относительно функций ( )tX и ( )tT :
( ) ( ) 0tTatT 2 =λ+′′ . (2.84)
( ) ( ) 0xXxX =λ+′′ . (2.85)
Как говорят, в уравнении (2.78) переменные разделены. Подставляя (2.83) в граничные условия (2.80), получим ( ) ( ) ( ) ( ) 0tTX,0tT0X == l , откуда
( ) ( ) 0X,00X == l (2.86)
(т.к. случай ( ) 0tT = не представляет интереса, поскольку тогда 0U ≡ ).
Для определения функции ( )xX получена з а д а ч а Ш т у р м а - Л и у в и л л я: найти такие значения параметра λ , при которых существуют нетривиальные решения уравнения (2.85), удовлетворяющие граничным усло-виям (2.86). Те значения параметра λ , для которых задача (2.85) – (2.86) имеет нетривиальные решения, называются собственными значениями, а сами ре-шения – собственными функциями. Нетривиальные решения задачи (2.85) – (2.86) возможны лишь при значениях
Kl
,3,2,1k,k
2
k =
π=λ
Этим значениям kλ соответствуют собственные функции
( )l
xksintX k
π= .
При kλ=λ общее решение уравнения (2.84) имеет вид
( )ll
taksinb
takcosatT kkk
π+π= ,
где ka и −kb произвольные постоянные.
Таким образом, произведения функций ( )tX k и ( )tTk образуют частные решения уравнения (2.78), удовлетворяющие краевым условиям (2.80)
( ) Klll
,2,1k,xk
sintak
sinbtak
cosat,xU kkk =π
π+π= .
II. При помощи собственных функций строится общее решение уравне-ния в частных производных, которое в силу свойства линейного однородного уравнения можно взять в виде комбинации полученных частных решений - ря-да
205
( ) ( )∑∞
==
1kk t,xUt,xU . (2.87)
Для уравнения (2.78) общее решение имеет вид
( ) ∑∞
=
π
π+π=1k
kk xk
sintak
sinbtak
cosat,xUlll
. (2.88)
Подставляя решение (2.88) в начальные условия (2.81), определяют зна-
чения коэффициентов ka и kb , пользуясь разложением функций ( )xϕ и ( )xψ
в ряд Фурье (в ряд по системе собственных функций ( ){ }tX n ). В результате имеем
( )∫π
ϕ=l
ll 0k dx
xksinx
2a , ( )∫
πψπ
=l
l0k dx
xksinx
ak
2b . (2.89)
Решение уравнения теплопроводности (2.79) получается применением этой же схемы с той лишь разницей, что вместо уравнения (2.84) надо решать уравнение
( )( ) λ−=′tT
tT
a
12
или 0TaT 2 =λ+′ ,
общее решение которого есть
( ) Kl ,1,0k,eatT
tak
kk
2
==
π−
где −ka произвольные постоянные.
Следовательно, ( ) ( )l
xksintTt,xU kk
π= и общее решение (2.87) принимает
вид
( ) ∑∞
=
π⋅
π−=1k
2
k
xksint
akexpat,xU
ll. (2.90)
Потребовав выполнения начального условия (2.82), коэффициенты ka
будут найдены как коэффициенты разложения функции ( )xϕ в ряд Фурье:
( )∫πϕ=
l
ll 0k dx
xksinx
2a . (2.91)
206
Приведенные здесь решения для линейных однородных уравнений с од-нородными граничными условиями будут использованы также при рассмотре-нии неоднородных и однородных уравнений с однородными и неоднородными граничными условиями как составные части решений краевых задач.
Примеры решения задач
ПРИМЕР 2.44. Найти закон колебания однородной струны, закрепленной на концах 0x = и l=x . В начальный момент струна оттянута в точке 0x на
высоту h (рис. 2.4) и затем отпущена без начальной скорости.
Решение. Задача сводится к решению уравнения
xx2
tt UaU ⋅=
при граничных условиях 0x)U(0,t)U(0, == и начальных условиях
≤<−
−
≤<=
ll
lxx,
x
)x(h
xx0,x
h
x)U(0,
00
00 l≤<= x0,0(x,0)U t ,
где Uxx
h
0
=⋅ - уравнение прямой ОА, Ux
)x(h
0
=−
−l
l – уравнение прямой
АВ (оба записываются как уравнение прямой с угловым коэффициентом). Решение поставленной задачи определяется рядом (2.88)
xk
Sinta
Sinbta
Cosat)U(x,1k
kklll
π⋅
π⋅+π⋅= ∑∞
=,
U
A
h
0x 0
B
l
x
Рис. 2.4
207
где kk b,a - коэффициенты Фурье для функций, которые вычисляются по формулам (2.89).
( ) dxxk
Sinx2
a0
kll
l π⋅ϕ= ∫ , где U(x,0)(x) =ϕ .
В нашем случае
( )
π⋅−+π⋅⋅= ∫∫ dxxk
Sinx-
xhdxx
kSinx
x
h2a
o
o
x o
x
0 ok
ll
l
ll
l
.
Вычислим первый интеграл
=π⋅π
−==
=π==π⋅∫
xk
Cosk
v,dudx
dvdxxk
Sin,uxdxx
kSinx
x
h ox
0o
l
l
l
l
=
ππ
+π⋅π
−= ∫ dxxk
Cosk
xk
Cosk
x
x
h o
o
o x
x
x
0o l
l
l
l
=π⋅π
⋅π
+π⋅π
−=ox
00
o0 x
kSin
kkx
hx
kCos
k
h
l
ll
l
l
.xk
Sin)k(x
hx
kCos
k
h02
o
2
0l
l
l
l π⋅π
+π⋅π
−=
Вычислим второй интеграл
( ) ( ) =π⋅−=π⋅−∫∫ dx
xkSinx
x-
hdx
xkSin
x-
xh
oo xox o ll
lll
l ll
=π⋅π
−=−=
=π=−=
l
l
ll
xkCos
kv,dxud
dvdxxk
Sin,ux
( ) =
ππ
−π⋅π−⋅= ∫ dx
xkCos
k
xkCos
k
x
x-
h
oo xxo
ll
l
l
l
ll
l
=π⋅π
⋅−π
−π
⋅π
=l
l
l
l
l
l
l
oxo
0 xkSin
k)x(k
hxkCos
k
h
208
( )
.xk
Sin)x(k
hxkCos
k
h 0
o2
20
ll
l
l
l π⋅−π
+π⋅π
=
Тогда
+
π⋅
π+
π⋅
π−=
l
l
l
l
l
o2
o
2o
kxk
Sin)k(x
hxkCos
k
h2a
( )
=
π⋅
−π+
π⋅
π+
ll
l
l
l o
o2
2o xk
Sin)x(k
hxkCos
k
h
=π
⋅
−+⋅
π⋅=
ll
l
l
o
oo2
2 xkSin
x
1
x
1
)k(
h2.
xkSin
)k()x(x
h2 o2
oo
2
ll
l π⋅
π−
Определим kb .
dxxk
Sin)x(ka
2b
0k
l
l π⋅ψπ
= ∫ , где t
)0,x(U)x(
∂∂=ψ .
В нашем случае 0)x( =ψ , тогда 0bk = и решение )t,x(U имеет вид
xk
Sinta
Cosxk
Sink
1
)x(x
h2)t,x(U
1k
o2
oo2
2
llll
l π⋅π⋅π
⋅⋅−π
= ∑∞
=.
Полученный ряд описывает колебательный процесс: смещение ( )t,xU точки x струны в любой момент времени t . Чтобы определить форму струны в момент 0t , надо протабулировать функцию ( )0t,xU , ограничившись несколь-
кими.
2.22 УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ. ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
В п. 2.18 отмечалось, что нестационарные процессы теплопроводности,
диффузии и другие описываются уравнениями параболического типа (2.63) – (2.66). Ограничимся рассмотрением процесса распространения тепла в одно-мерном теле – стержне, достаточно тонком, чтобы в любой момент времени температуру U во всех точках поперечного сечения можно считать одинако-вой.
( )t,xfx
Ua
t
U2
22 +
∂∂=
∂∂
. (2.92)
209
Примеры решения задач
ПРИМЕР 2.45. Поставить задачу о распределении температуры в тонком однородном стержне l≤≤ x0 с теплоизолированной боковой поверхностью. Внутри стрежня происходит свободный теплообмен, т.е. отсутствуют источни-ки и поглотители тепла. Начальная температура есть некоторая функция от x , а на концах поддерживается следующий температурный режим:
а) на концах задается температура −′a постоянная, −′′a переменная;
б) на концы стержня подаются извне заданные тепловые потоки; в) концы стрежня теплоизолированы; г) на концах стержня происходит конвективный теплообмен по закону
Ньютона со средой, температура которой задана. Решение. Задача о распределении температуры в однородном стержне без
тепловых источников сводится к решению уравнения (2.92), в котором ( ) 0t,xf ≡ , т.е.
0t,xo,x
Ua
t
U2
22
2
><<∂∂=
∂∂
l ,
где −ρ
=c
ka коэффициент температуропроводности ( −k коэффициент теп-
лопроводности материала стержня, −c удельная теплоемкость, −ρ плотность стержня). Начальное условие запишется в виде
( ) ( ) l≤≤ϕ= x0,x0,xU ,
где ( ) −ϕ x произвольная функция, определяющая начальную температуру то-чек стержня в момент времени 0t = . Сформулируем граничные условия.
СЛУЧАЙ а) поскольку концы стержня ( l== x,0x ) поддерживаются
при заданных постоянных температурах, задача a′ формулируется математически следующим образом: найти решение уравнения
0t,x0,x
Ua
t
U2
22 ><<
∂∂=
∂∂
l
при начальном условии
x)(U(x,0) ϕ= , l≤≤ x0 ,
и граничных условиях
,0t,ut),U(,ut)U(0, 21 >== l где constuu 21 == .
В случае a ′′ , когда концы стержня находятся при заданных переменных температурах, формулировка задачи следующая: найти решение уравнения
210
0t,x0,t
Ua
t
U2
22 ><<
∂∂=
∂∂
l
при начальном условии
x)(U(x,0) ϕ= , l≤≤ x0 ,
и граничных условиях
0t,t)(t),U(,t)(t)U(0, 21 >ψ=ψ= l ;
СЛУЧАЙ б) тепловой поток q (количество тепла, протекающее через поперечное сечение стержня площадью σ в момент времени t ) определяется законом Фурье
x
Ukq
∂∂σ−= .
По условию, в стержень через его левый и правый концы подаются тепловые потоки; пусть они заданы функциями )t(Q1 и )t(Q2 соответственно.
Тогда условия на концах стержня запишутся так:
)t(Qx
)t,0(Uk 1=
∂∂σ− или ( )t
k
)t(Q
x
)t,0(U1
1 ν=σ
−=∂
∂,
)t(Qx
)t,(Uk 2=
∂∂σ l
или ( )tk
)t(Q
x
)t,(U2
2 ν=σ
=∂
∂ l.
Эти условия отличаются знаком, так как тепловой поток, поступающий в стержень через правый конец l=x , имеет направление, противоположное на-правлению оси X0 . На концах имеем граничные условия второго рода.
Итак, математически задача формулируется следующим образом: решить уравнение
0t,x0,x
Ua
t
U2
22 ><<
∂∂=
∂∂
l ,
при начальном условии
x)(U(x,0) ϕ= , l≤≤ x0 ,
и граничных условиях
σ−=
∂∂
k
)t(Q
x
)t,0(U 1 , σ
=∂
∂k
)t(Q
x
)t,0(U 2 ; при 0t > ;
СЛУЧАЙ в) Если концы стержня теплоизолированы, то количество те-
пла ( ) ( )tQt,0q 1= и ( ) ( )tQt,q 2=l , поступающее через сечение 0x = и
211
l=x , равно нулю. Следовательно, согласно закону Фурье, на концах выпол-няются условия
( )
0x
t,0U =∂
∂ и
( )0
x
t,U =∂
∂ l
СЛУЧАЙ г) согласно закону конвективного теплообмена Ньютона, по-
ток тепла в окружающую среду пропорционален разности температур на конце стержня и окружающей среды. Поэтому
для правого конца )]t(-t),(U[t),q( 2ψα= ll ,
для левого конца )]t(-t),0(U[t),0q( 1ψα= ,
где ( )t,0U и ( ) −t,U l значения температуры концов стержня,
)t(1ψ и −ψ )t(2 значения температуры окружающей среды соот-ветственно у левого конца ( 0x = ) и правого конца ( l=x ) стержня;
−α коэффициент теплообмена.
С другой стороны, по закону Фурье, x
Ukq
∂∂−= . Тогда
для правого конца стержня l=x
)]t(-t),(U[x
)t,(Uk 2ψα=
∂∂− l
l или
)]t(-t),(U[hx
)t,(U2ψ−=
∂∂
ll
, где k
hα= ,
для левого конца стержня 0x =
)]t(-t),0(U[hx
)t,0(U1ψ=
∂∂
.
Здесь на правом конце стержня направление потока, идущего во внеш-нюю среду, совпадает с направлением оси Х0 , поэтому в соответствии с зако-ном Фурье xUkq ∂∂⋅−= . На левом же конце эти направления противопо-
ложны и поэтому поток xUkq ∂∂⋅= . Таким образом, математическая формулировка задачи имеет вид: найти
решение уравнения
0t,x0,x
Ua
t
U2
22 ><<
∂∂=
∂∂
l ,
при начальном условии
x)(U(x,0) ϕ= , l≤≤ x0 , и граничных условиях
212
)]t(-t),0(U[hx
)t,0(U1ψ=
∂∂
,
)]t(-t),(U[hx
)t,(U2ψ−=
∂∂
ll
, 0t > .
На концах стержня имеем граничные условия третьего рода. Если коэффициент теплообмена α значительно больше коэффициента
внутренней теплопроводности k ( k>>α ), то граничные условия задачи г) переходят в граничные условия а). Если же, наоборот, α пренебрежимо мало ( 0→α ), то граничные условия задачи г) превращаются в граничные условия задачи б), где 0)t(Q)t(Q 21 == , то есть мы приходим к случаю тепловой изо-ляции концов стержня.
2.23 РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ МЕТОДОМ ФУРЬЕ
Здесь будет показано применение метода Фурье к решению задач о рас-
пространении тепла в ограниченном стержне в случае однородного и неодно-родного уравнения теплопроводности при различных граничных условиях.
Примеры решения задач
ПРИМЕР 2.46. Дана тонкая однородная проволока длиной 3=l , тепло-изолированная от окружающей среды. Начальная температура определена по
закону ( ) 2xx3xf −= . На концах проволоки поддерживается нулевая темпера-
тура. Найти распределение температуры ( )t,xU в проволоке. (Принять коэф-фициент температуропроводности a равным 4).
Решение. Искомая функция ( )t,xU удовлетворяет уравнению
0t,3x0,x
U16
t
U2
2
><<∂∂=
∂∂
,
граничным условиям ( ) ( ) 0t,0t,3U,0t,0U >== и начальному условию
( ) 3x0,xx30,xU 2 ≤≤−= . Решение сформулированной задачи – однородного уравнения теплопро-
водности с однородными граничными условиями, как установлено в п.6, опре-деляется рядом (2.90)
213
( ) ∑∞
=
π
π−=1k
2
k
xksint
akexpat,xU
ll,
в котором коэффициенты Фурье ka вычисляются по формуле (2.91)
( ) ,dxxk
sinx2
a0
k ∫πϕ=
l
ll где ( ) ( )0,xUx =ϕ .
По условию, ( ) 2xx3x,4a,3 −=ϕ==l . Вычислим коэффициенты Фурье, интегрируя по частям:
=π⋅π
−=−=
π=−==π⋅−= ∫
3
xkCos
k
3v,dx)x23(du
dx3
xkSindv,xx3u
dx3
xkSin)xx3(
3
2a
23
0
2k
=
π−π
+π⋅π
⋅−⋅−= ∫ dx
3
xkCos)x23(
k
3
3
xkCos
k
3)x3(x
3
2 3
0
3
0
=π⋅π
=−=
π=−==π−
π+= ∫
3
xkSin
k
3v,dx2du
dx3
xkCosdv,x23u
dx3
xkCos)x23(
k
30
3
0
( ) =
ππ
+ππ
⋅−π
= ∫ dx3
xkSin
k
6
3
xkSin
k
3x23
k
2 3
0
3
0
=
ππ
−π
=
ππ
+π
= ∫
3
022
3
0 3
xkCos
k
18
k
2dx
3
xkSin
k
60
k
2
[ ] ( )[ ] ( )[ ]k33
k3333
11k
3611
k
360CosCosk
k
36 −−π
=−−π
−=−ππ
−= .
Тогда решение будет иметь вид
( )3
xkSin
k
1136t)U(x,
1k
t3
k4
3
k
3 e2 π⋅−−
π= ∑
∞
=
π− .
Но, так как ( )=−−
,нечетном -kпри
четном -kпри
2
011 k
то, положив 12nk += ( 1k = при 0n = ), получим окончательное решение в виде
214
x3
)1n2(Sin
)1n2(
172t)U(x,
0n9
t)1n2(16
33 e22 +π⋅
+π= ∑
∞
=
π+− .
Чтобы найти численные значения искомой функции ( )t,xU необходимо протабулировать полученное решение.
Примеры решения задач
ПРИМЕР 2.47. Начальная температура однородного стержня длины l равна constU0 = , на его концах поддерживается постоянная температура: в
точке ,UU0x 1== в точке 2UUx == l . Найти закон распределения
температуры ( )t,xU , предполагая, что стенки стержня теплоизолированы и что внутри него происходит свободный теплообмен.
Решение. Задача сводится к решению уравнения
0t,x0,x
Ua
t
U2
22 ><<
∂∂=
∂∂
l
при неоднородных граничных и начальном условиях
,0t,ut),U(,ut)U(0, 21 >== l
0UU(x,0) = , l≤≤ x0 ,
Решение первой краевой задачи в случае ненулевых граничных условий будем
искать в виде ряда Фурье по собственным функциям :xn
sinl
π
l
nxSin)t(Tt)(x,U
1nn
π⋅= ∑∞
= (2.93)
где
dxnx
Sin)t,x(U2
)t(T0
nll
l π⋅= ∫ , (2.94)
считая при этом t параметром. Займемся определением функций ( )tTn .
Интегрируя дважды по частям, получим
[ ] dxnx
Sinx
U
n
2)t,(U)1()t,0(U
n
2)t(T
02
2
22n
nl
ll
l π⋅∂∂
π−⋅−−
π= ∫ .
215
Так как )t,x(U удовлетворяет уравнению 2
22
xU
atU
∂∂=
∂∂
, то
[ ]( )
dxnx
Sint
U
an
2)t,(U)1()t,0(U
n
2)t(T
02
nn
l
ll
l π⋅∂∂
π−⋅−−
π= ∫ (2.95)
Дифференцируя выражение (2.94) по t , найдем
dxnx
Sint
U2
td
Td
0
n
ll
l π⋅∂∂= ∫ (2.96)
Исключая интеграл из равенств (2.95), (2.96), получим уравнение для оп-
ределения коэффициентов )t(Tn :
[ ])t,(U)1()t,0(Uan2
)t(Tan
td
)t(Td n2
2
n
2n
lll
⋅−−π=⋅
π+
Общее решение линейного дифференциального уравнения 1-го порядка имеет вид
[ ] ,d),(U)1(),0(Uan
exp
an2Ct
anexp)t(T
nt
0
2
2
2
n
2
n
ττ⋅−−τ⋅
τ
π×
×π+⋅
⋅
π−=
∫ ll
ll
(2.97)
где nC определяется из равенства ( ) nn C0T = , а ( )0Tn вычисляется согласно
(2.94): ( ) dxnx
Sin0,xU2
)0(TC0
nnll
l π⋅== ∫
Так как по условию 0UU(x,0) = , 1Ut)U(0, = , 2Ut),U( =l , то (2.97) при-
нимает вид
[ ] +
⋅
π−−⋅⋅−−π
= tan
exp1U)1(Un
2)t(T
2
2n
1nl
=π⋅⋅
⋅
π−+ ∫ dxnx
SinU2
tan
exp0
0
2
lll
l
216
[ ] −
⋅
π−−⋅⋅−−π
= tan
exp1U)1(Un
22
2n
1l
=π⋅π
⋅⋅
⋅
π−−l
l
l
ll 0
02
nxCos
n
U2t
anexp
[ ] −
⋅
π−−⋅⋅−−π
= tan
exp1U)1(Un
22
2n
1l
( ) =−π⋅
⋅
π−⋅π
− 0CosnCostan
expn
U2 20
l
[ ] −
⋅
π−−⋅⋅−π
= tan
exp1U)1(Un2
2
2n
1l
[ ]1)1(tan
expn
U2 n2
0 −−⋅
⋅
π−⋅π
−l
. (2.98)
Подставляя (2.98) в ряд (2.93), получаем
( )( )
+
π−
π+
π
π= ∑∑
∞
=
−∞
= 1n
1n
2
1n
1
n
xnsin1U2
n
xnsinU2
t,xU ll
( )
+π
π−−−
π+ ∑
∞
= ll
xnsint
anexp
n
UU122
1n
12n
( )
ll
xnsint
anexp
n
11U2 2
1n
n0 π
π−−−π
+ ∑∞
=.
Если воспользоваться известными разложениями
π=ξ
π<ξ<ξπ=ξ
∑∞
= K,2,00
202
-
n
( nsin
1n при
при
( )
ππ−=ξ
π<ξ<π−ξ=ξ−∑
∞
=
−
,,,02n
nsin 1
1n
1n
Kпри
при
то можно найти суммы первых двух рядов полученного решения
217
( )
l
ll
2
x
n
xnsin
1n
−π=
π
∑∞
= при l2x0 << ,
( )
l
l
2
x
n
xnsin1
1n
1n
π=
π−∑∞
=
−
при ll <<− x .
Тогда окончательно имеем
( ) ( ) +−+=l
xUUUt,xU 121
( ) ( )[ ]ll
xnsint
anexp
n
U11UU12
1n
20
n12
n π
π−⋅−−+−−
π+ ∑
∞
=.
Примечание. При решении данной задачи был использован подход к решению общей первой краевой задачи, когда на концах стержня задан произ-вольный температурный режим ( )t,0UU 11 = и ( )t,UU 22 l= . Возможен другой подход, который используется при решении уравнения с неоднородны-ми граничными условиями: искомая функция ( )t,xU складываются из двух функций
( ) ( ) ( )t,xwt,xvt,xU += ,
где ( )t,xw удовлетворяет ненулевым граничным условиям данной задачи, а
( )−t,xv нулевым граничным условиям. В качестве ( )t,xw выбирается какая угодно, но по возможности более простая функция, например, линейная отно-сительно x
( ) ( ) ( ) ( )x
tttt,xw
l
α−β+α= .
Так, функция ( ) ( )l
xUUUt,xw 121 −+= удовлетворяет данным граничным
условиям. В самом деле, ( ) ( ) 21 Ut,w,Ut,0w == l . Метод разделения пере-
менных Фурье состоит в том, чтобы определить функцию ( )t,xv , которая удовлетворяет основному уравнению, нулевым граничным условиям и совме-стно с функцией ( )t,xw начальному условию. Метод Фурье не определяет
функцию ( )t,xw , она подбирается. Покажем такой подход при решении следующей задачи.
Примеры решения задач
ПРИМЕР 2.48. В конечном стержне 1X0 ≤≤ с теплоизолированной по-верхностью действуют источники тепла по закону )1x(tt)(x,f +⋅= . На левом
218
конце стержня задан тепловой поток 2t)t(Q = , температура правого конца из-
меняется по закону 2t)t( =ϕ . Начальная температура стержня нулевая. Найти закон изменения температуры ( 0t > ).
Решение. Имеем смешанную задачу для неоднородного уравнения пара-болического типа
0t,1x0),1x(tx
U
t
U2
2
>≤≤+=∂∂−
∂∂
, (2.99)
при начальном условии 0U(x,0)= и граничных условиях
2tx
t)U(0, =∂
∂ и 2tt)U(1, = . (2.100)
Решение искомой задачи будем искать в виде
t)(x,wt)(x,vt)U(x, += . (2.101)
Подберем сначала функцию w , удовлетворяющую граничным условиям
(2.100). Пусть, например, 2txw = . Очевидно, что эта функция удовлетворяет данным граничным условиям (2.100):
( ) ( ) 22 tt,1w,tx
t,0w ==∂
∂
и начальному условию ( ) 00,xw = .
Тогда функция
2txUv −= (2.102)
удовлетворяет уравнению
)x1(tx
v
t
v2
2
−=∂∂−
∂∂
, (2.103)
однородным граничным условиям
0x
t)v(0, =∂
∂ и 0t)v(1, = (2.104)
219
и нулевому начальному условию
0v(x,0)= . (2.105) Тем самым, решение исходной задачи свелось к решению неоднородного
уравнения с однородными условиями
t)x1(x
v
t
v2
2
−+∂∂=
∂∂
,
0v(x,0)= , 0x
t)v(0, =∂
∂, 0t)v(1, = .
Применяя метод разделения переменных для решения однородного уравнения
0x
v
t
v2
2
=∂∂−
∂∂
при условиях (2.104), (2.105), положим T(t)X(x)v ⋅= . Решая задачу Штурма - Лиувилля
0)x(X)x(X 2 =λ+′′ , 0)0(X =′ , 0)1(X = ,
находим ее собственные значения
n2n π+π=λ n= 0, 1, 2, …
и соответствующие собственные функции
x)Cos((x)X nn λ= . (2.106) Решение задачи (2.103) - (2.105) ищем в виде
x)Cos()t(Tt)v(x, n0n
n λ⋅=∑∞
= (2.107)
Подставляя t)v(x, из (2.107) в уравнение (2.103) получаем
[ ] tx)-(1x)Cos()t(T)t(T n0n
n2nn ⋅=λ⋅λ+′∑
∞
=. (2.108)
Разложим функцию x1− в ряд Фурье по системе функций (2.106) на ин-
тервале (0,1):
220
x)Cos(ax-1 n0n
n λ⋅=∑∞
=.
Так как
2n
1
0nn
2dxx)Cos(x)-(1a
λ=λ⋅= ∫ , (2.109)
то из (2.108) и (2.109) находим
2n
n2nn
t2)t(T)t(T
λ=λ+′ . (2.110)
Решением уравнения (2.110) при условии 0)0(Tn = является функция
( ) ]1tt[exp2)t(T 2n
2n
6nn −λ+λ−⋅λ= −
. (2.111) Из (2.102), (2.107) и (2.111) находим искомое решение задачи (2.99) -
(2.100),
( ) x)Cos(]1tt[exp2tx)t,x(U n2n
2n
6n
0n
2 λ⋅−λ+λ−⋅λ+= −∞
=∑ ,
где n2n π+π=λ , n= 0, 1, 2, … .
УЧЕБНО - МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС
РАЗДЕЛ 9 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ»
3. Материалы для самостоятельной работы студентов
222
3.1 КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Основные понятия теории дифференциальных уравнений. Задача Коши
для дифференциального уравнения первого порядка. Формулировка теоремы
существования и единственности решения задачи Коши.
2. Дифференциальные уравнения первого порядка: с разделяющимися
переменными, однородные и приводящиеся к однородным.
3. Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли.
4. Уравнения в полных дифференциалах.
5. Приближенное интегрирование дифференциальных уравнений первого
порядка методом изоклин.
6. Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши.
Формулировка теоремы существования и единственности решения задачи
Коши. Общее и частное решения. Общий и частный интегралы.
7. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка.
8. Линейный дифференциальный оператор, его свойства. Линейное
однородное дифференциальное уравнение, свойства его решений.
9. Линейное однородное дифференциальное уравнение. Фундаментальная
система решений. Структура общего решения.
10. Линейно-зависимые и линейно-независимые системы функций.
Необходимое условие линейной зависимости системы функций.
11. Условие линейной независимости решений линейного однородного
дифференциального уравнения.
12. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения. Структура
общего решения.
13. Метод Лагранжа вариации произвольных постоянных.
14. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными
коэффициентами (случай простых корней характеристического уравнения).
15. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными
коэффициентами (случай кратных корней характеристического уравнения).
16. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными
коэффициентами. Метод подбора.
17. Система дифференциальных уравнений. Методы их решения.
Характеристическое уравнение. Задача коши для системы
дифференциальных уравнений.
223
18. Дифференциальное уравнение в частных производных. Общее
решение.
19. Линейные дифференциальные уравнения в частных производных
(однородные и неоднородные).
20. Классификация линейных уравнений и приведение их к каноническому
виду.
21. Уравнение гиперболического типа. Постановка краевых задач.
22. Метод Даламбера.
23. Метод Фурье.
24. Уравнение параболического типа. Постановка краевых задач.
224
3.2 ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
3.2.1. Решите уравнения
1). ( )x y dx y x dy⋅ + + + =1 4 02 2 Отв. ( )1 42 2+ + + =y x Cln
2). e
xdy
x
ydx
y−
−+ =
2
2 40 Отв. ( )e x Cy2 1
242 2
= − +
3). ′ = ⋅y tgx tgy Отв. sin cosy x C⋅ =
4). ′ = − ⋅yx
yy
2sec
Отв. x y y y C2 + ⋅ + =sin cos
5). ( )5 1 02e tgydx e ydyx x+ − =sec Отв. ( )y arctgC ex= −15
3.2.2. Найти частные решения уравнений
1). ′ = =y x y y y esin ln
π2
Отв. y etg
x
= 2
2). ( )y y
xe yy′
+ = =0 1 0 Отв. ( )2 1 12e y xy− + = +
3). ( )3 1 02e tgydx e ydyx x⋅ + + =sec
( )y 04
= π
Отв. ( )1 83
+ ⋅ =e tgyx
4). ( ) ( )1 0 02 2+ = =e y dy e dx yx x Отв.
1
3 43y arctgex+ =π
5). SlntcosSS 2 ⋅′= Отв. 0tgt2Sln2 =−
3.2.3. Кривая проходит через точку 21
2;
. В произвольной точке этой
кривой проведена касательная. Точка пересечения касательной с осью OX имеет абсциссу вдвое большую, чем абсцисса точки касания. Найти кривую.
Ответ: yx
= 1
3.2.4. Составить уравнение кривой, проходящей через точку ( )M 0 3; ,
если угловой коэффициент касательной в любой точке кривой равен произведению координат точки касания.
225
Ответ: y ex
= 32
2 . 3.2.5. Найти время, в течение которого вся вода вытекает из конической
воронки, если известно, что половина воды вытекает в 2 мин. Ответ: ≈ 4 6, мин.
3.2.6. В комнате, где температура 200 C, некоторое тело остыло за 20
мин от 1000 до 600 C. Найти закон охлаждения тела; через сколько минут оно остынет до 300 C? Повышением температуры в комнате пренебречь.
Ответ: t = 60 мин.
3.2.7. Решить уравнения
1). x y yx
arctgy
x
′ − = Отв.:
22 yxСlnx
yarctg
x
y +=⋅
2). ′ = +−
yx y
x y Отв.: 22 yxСln
x
yarctg +=
3). ( )x y dx x y dy2 2 0+ − = Отв.: 222 xСlnxy =
4). 0xeyyx x
y
=+−′ Отв.: Cxlnlnxy −= , 0C ≠
5). 9x
y9
x
yy3
2
2
++=′ Отв.: xlnC
x3xy
+−=
3.2.8. Найти частные решения дифференциальных уравнений
1). ( )x y y arctgy
xx; y x′ − = ==| 1 0 Отв.: x y e
y
xarctg
y
x2 2+ =
2). ( ) ( )y x dy xydx y2 23 2 0 0 1− + = =; Отв.: y y x3 2 2= −
3). ′ = − −+ −
= −=yy xy x
y xy xy x
2 2
2 2 1
2
21; |
Отв.: y x= −
4). 222 yxyx2 +=′ ; ( ) 01y = Отв.:
xln1
xxy
+−=
5). 22 yxyyx ++=′ ; ( ) 01y = Отв.: ( )1x2
1y 2 −=
226
3.2.9. Найти линию, у которой квадрат длины отрезка, отсекаемого любой касательной от оси ординат, равен произведению координат точки касания.
Ответ: x
y2
eCx±
= . 3.2.10. Найти линию, у которой начальная ордината любой касательной
равна соответствующей поднормали. Ответ: x y C y= ln .
3.2.11. Решить уравнения
1). ( ) ( )x y dy x y dx− + + + − =2 3 2 1 0 Отв.: Сy3xyxyx 22 =+−−+
2). ( ) ( )x y dx x y dy+ + + + − =2 2 2 1 0Отв.: 3yxln5y2xС −+⋅++=
3). ′ = − −− +
yy x
x y
2 5
2 4 Отв.: ( ) ( )3yxС1yx 3 +−=−+
4). ′ = − +− +
yx y
x y
2 1
2 1
Отв.: Сyxyxyx 22 =−++−
5). Найти интегральную кривую дифференциального уравнения
′ = + −− −
yx y
y x
2
4, проходящую через
точку ( )M 11;
Отв.: x y xy x y2 2 2 4 8 6 0− + − + − = .
3.2.12. Решить уравнения
1). x2xy2y 2 +=+′ Отв. x22 eC
2
1xx
2
1y −+
−+=
2). y2sin2ysinx
1y
+=′ ; Отв. ycos2 eC
2
ysin8x −+=
3). xcosxyyx 2=−′ ; Отв. ( )Cxsinxy +=
4).2xexyx2y −=+′ ; Отв.
+= − Cx2
1ey 2x2
5). ( ) ;xarctgyyx1 2 =+′⋅+ Отв. xarctgeC1xarctgy −+−= Найти частное решение уравнений
6). xarcsinyx1y 2 =+−′ ; Отв. 1xarcsiney xarcsin −+= −
7). xlnxxlnx
yy =−′ ; Отв. xlnx
2
1y 2=
227
8). 0
2y
1xcosyxsiny
=
π=−′
Отв. xcosy −=
9).
1)(y
xcos
1ytgxy
=π
=+′ Отв. xcosxsiny −=
3.2.13. Найти линию, у которой начальная ордината любой касательной
на две единицы масштаба меньше абсциссы точки касания. Отв. xCxlnx2y ++−=
3.2.14. Найти линию, у которой площадь треугольника, построенного на абсциссе любой точки и начальной ординате касательной в этой точке, есть
величина постоянная, равная 2а .
Отв. x2
axCy
2
±=
3.2.15. Точка массой равной m движется прямолинейно, на нее действует сила, пропорциональная времени ( )1k , прошедшему от момента, когда скорость равнялась нулю. Кроме того, на точку действует сила сопротивления среды, пропорциональная скорости ( )k . Найти зависимость скорости от времени.
Отв. t
m
k
11
ek
m
k
mt
k
kv
−+
−=
3.2.16. Найти общее решение уравнений
1). 342yx3x
y2y =+′ ; Отв. 33231 x
7
3xCy −=− .
2). 1x
y
1x
yy
2
−=
−−′ ; Отв.
xC
1xy
−−= .
3). xcos
y2
x
y2y
2=+′ ; Отв.
x
Cxcoslnxtgy 21 +=− .
4). 34x yxey3yx4 −=+′ ; Отв. ( )Cexy x34 +=− .
5). ;xlnxyyyx 2=+′ Отв.
)xlnC(x
2y
2+−=
228
3.2.17. Найти частные решения уравнений
1). ( ) 10y
yeyy 2x
==+′
; Отв.
2xx 1
2
eey
+= − .
2). ( )
( ) 10y
xsin1xy1x
yx3y 32
3
2
−=
+=+
+′;
Отв. 1x
xsecy
3 += .
3.2.18. Найти общий интеграл.
1). ( ) ( ) 0dyysinycosxdxysinx =+++ ;
Отв. Cycosysinxx2
1 2 =−+
2). ( ) ( ) 0dyycosxdxxsinyx3 32 =−++ ;
Отв. Cysinxcosyx3 =−−
3). ( ) ( ) 0dyy4edxx3e 3yx2yx =+++ ++ начальное условие: ( ) 00y =
Отв. 1yxe 43yx =+++
4). ( ) 0dyy
xedxylneyx2
22 xx =
+++ , начальное условие: ( ) 10y =
Отв. 1ylnxey2x =+
5). .0dxxlndyxdxy =+− ( )( )xϕ=µ
Отв. 1xlnxCy −−=
6). ( ) ( )( )x,0dyxdxyxcosx 2 ϕ=µ=+−
Отв. ( )xsinCxy −=
7). ( ) 0dyxdxyx 2 =−+
Отв. Cx
yx =−
3.2.19. Решить уравнения
1). x2sinxsiny 4 =′′′ ; Отв. 322
1 CxCxCxsinlny +++=
2). xsinxcosxsin2y 32 −−=′′ ; Отв. 21
3 CxCxsin3
1y ++=
229
3). xsinxy +=′′ ; Отв. 21
3
CxCxsin6
xy ++−=
4). xlny =′′ ; Отв. 21
2
CxC3
2xln
2
xy ++
−=
5). ( ) 2yxyx1 2 =′−′′− ; Отв. 212 CxarcsinCxarcsiny ++=
6). ( ) 0y1yx1 22 =′++′′+ ; Отв.
( ) ( ) 21
12 Cx
C
1xC1lna1y +−++= −
7). ( ) 2y23y2y ′=+′′ ; Отв. ( ) 21 CxC3y2ln
2
1 +=+
8). ylnyyyy 22 =′−′′ ; Отв. x2
x1 eCeCyln −+=
9). 22 yyy4y3 +′′=′ ; Отв.
−=4
xCcosCy 1
42
3.2.20. Найти частные решения
1). ( ) ( ) ( ) 20y,20y,00y
exy x
=′′=′==′′′ −
Отв. ( ) 3x2
3e3xy 2x +++−= −
2). ( ) ( ) ,00y,
32
10y
xcosy 2v
=′=
=′
( ) ( ) ;00y,8
10y =′′′=′′
Отв. x2cos32
1x
8
1x
48
1 24 ++
3). ( )
( ) ( ) ;30y,10y
yx21xy 2
=′=′=+′′
Отв. 1x3xy 3 ++=
4).
( ) ( ) ;42y,00y
y
x
x
yy
2
=′=′
+′
=′′
Отв. 5
16x2x
5
2y 2 −=
5). ( ) ( ) ;20y,10y
0yyy 2
=′==′−′′
Отв. x2ey =
6). ( ) ( ) ;01y,11y
1yy3
=′=−=′′
Отв. 2xx2y −=
230
3.2.21. Найти линию, для которой проекция радиуса кривизны на ось Y0 есть величина постоянная, равная a.
Отв.
+= 12a
y
Ca
xsecCe
3.2.22. Тело, находившееся в начальный момент в жидкости, погружается в нее под действием собственного веса без начальной скорости. Сопротивление жидкости прямо пропорционально скорости тела. Найти закон движения тела, если его масса m.
Отв. k
tgm1e
k
gmS m
tk
2
2
+
−=
3.2.23. Найти закон прямолинейного движения материальной точки массы m, если известно, что работа силы, действующей в направлении движения и зависящей от пути, пропорциональна времени, протекшему с момента начала движения. Коэффициент пропорциональности равен k .
Отв.
−
+= 33
CCtm
k2
k3
mS
3.2.24. Понизить порядок и проинтегрировать уравнение y2xsiny 2 =′′ , имеющее частное решение xctgy = .
Отв. ( )ctgxxCCCy 212 −+=
3.2.25. Уравнение 0x
y
x
yy
2=+
′−′′ имеет частное решение xy = .
Понизить порядок и проинтегрировать это уравнение.
Отв. xCxlnxCxlnx2
1y 21
2 ++=
3.2.26. Уравнение ( ) 0xctgy2yctgx2tgxy 2 =⋅+′−+′′ имеет частное
решение xsiny = . Понизить порядок и проинтегрировать это уравнение.
Отв. xsinCxsinCy 221 +=
3.2.27. Подобрав одно частное решение уравнения, найти обще решение 0y2tgxyy =+′−′′ .
Отв.
+π−+=2
x
4tglnsin1CxsinCy 21
231
3.2.28. Подобрав одно частное решение уравнения, найти общее решение
0x
yyy =+′−′′ .
Отв. ∫+=2
x
21x
dxexCxCy
3.2.29. Показать, что x32
x31 eCeCy −+= является общим решением
уравнения 0y9y =−′′ .
3.2.30. Уравнению 0yy =−′′ удовлетворяют два частных решения
xchy,xshy 2 == . Составляют ли они фундаментальную систему? 3.2.31. Можно ли составить общее решение уравнения
( )0x0yx4
11y
x
1y
2≠=
−+′+′′ по двум его частным решениям
xcosx
1y,xsin
x
1y 2 ⋅=⋅=′ ?
3.2.32. Найти общее решение
1). .0y2'y''y =−− Отв. ( ) x22
x1 eCeCxy += − ;
2). .0y16''y =+ Отв. ( ) ;x4cosCx4sinCxy 21 += 3). .0'y''y =− Отв. ( ) ;eCCxy x
21 += 4). .0y''y2'''y =+−
Отв. ( ) ;eCeCeCxyx
2
51
3
x2
51
2x
1
−+
++=
5). ( ) 0y16y 4 =− Отв. ( ) x2sinCx2cosCeCeCxy 43x2
2x2
1 +++= −
6). ( ) .0y4''y5y 4 =++ Отв. ( ) x2cosCx2sinCxcosCxsinCxy 4321 +++=
7). ( ) .0y25''y20y 4 =++ Отв. ( ) ++= x3sinCx3cosCxy 21
x9sinCx9cosC 43 ++
8). ( ) .0y''y2y 4 =++ Отв. ( ) ( ) ( ) xsinxCCxcosxCCxy 2121 +++=
9). 0y25y10y =+′+′′ Отв. xeCxCy 5
21)( −+=
10). 0yyy =+′+′′ Отв.
+=
−xCxCey
x
2
3sin
2
3cos
212
232
3.2.33. Два одинаковых груза подвешены к концу пружины и удлиняют ее относительно ненагруженного состояния на a. Найти закон движения одного
груза, если второй сорвется. Отв. ( )
= t
a
gcosatx .
3.2.34. Найти общее решение x2e1
1y6y5y
+=+′+′′ .
Отв. ( ) ( )( )xx3x2x2x2
x32
x21 earctgeee1ln
2
eeCeCy −−
−−− +−+++=
3.2.35. Найти общее решение xctgy4y =+′′ .
Отв. xsin4
1xsinlnxcos
2
1x2sin
4
1
2
xx2sinCx2cosCy 2
21 −−++++=
3.2.36. Найти общее решение
2
xcos
4yy4 =+′′ .
Отв. 2
xcoslnx2cos4
2
xsinC
2
xcosCy 21 ⋅++= .
3.2.37. Найти общее решение 3xx2y9y6y 2 +−=+′−′′ .
Отв. ( )27
11x
27
5x
9
2exCCy 2x2
21 ++++= .
3.2.38. Найти общее решение x2e3y2y3y =+−′′ .
Отв. x2x22
x1 ex3eCeCy ++= .
3.2.39. Найти общее решение xey5y2 =′+′′
Отв. xx
2
5
21 e7
1eCCy ++=
−.
3.2.40. Найти общее решение x
xctgyy
x
2y =+′+′′ .
Отв. 2
xtgln
x
xsin
x
xcosC
x
xsinCy 21 ++= .
3.2.41. Найти решение уравнения xtgyy =+′′ , удовлетворяющее
краевым условиям ( ) 00
y0y =
π= .
Отв.
π+−=42
xtglnxcosxsin3ln
2
3y .
233
3.2.42. Найти частное решение уравнения 0x2sinyy =++′′ , удовлетворяющее начальным условиям 1)(y)(y =π′=π .
Отв. xcosxsin3
1x2sin
3
1y −−= .
3.2.43. Найти общее решение уравнения
1). .e5y4''y x=+ Отв. x2sinCx2cosCey 21x ++=
2). .tex2''x t−=− Отв. .eCeCe)t2(x 2t2
t21
t ++−= −−
3). .x4y2'y''y 2=−+ Отв. .3x2x2eCeCy 2x2
x21 −−−+= −
4). .xey'y2''y x=+− Отв. ).6xxCC(ey 321
x ++=
5). .x2sine5y5'y2''y x=+− Отв. ( −+= x2cosCx2sinCey 21x
( ))x2cos2x2sinxex +− 3.2.44. Решить задачу Коши:
1).
====+
1.x(0)0,(0)x'-2,(0)'x'
,e'x'''x' t-
Отв. .tet1)t(x t+−=
2).
===
=+
.5(0)y0,(0)'y,4
5-(0)'y'
,2
xsin2'y''4y'
Отв. .2
xsinx
2
xcos4)x(y −+=
3). ( ) ( )
=′==−′′
10y,00y
shx2yy
Отв. chxxy =
3.2.45. Определить закон движения материальной точки массы m,
перемещающейся по прямой под влиянием восстанавливающей силы, направленной к началу отсчета перемещений и прямо пропорциональной расстоянию точки от начала отсчета, если сопротивление среды отсутствует, а на точку действует внешняя сила tsinAF ω= .
Отв. tsinma
AtsinCtcosCx
221 ω⋅
ω−+β+β= , если
m
a=β≠ω
3.2.46. Найти общее решение системы уравнений:
−=′−=′
.xy3y
,x2y4x
Отв. .eCeC4
1y,eCeCx t2
2t
1t2
2t
1 +=+= −−
234
3.2.47. Найти решение задачи Коши:
−=′−−=′.yxy
,yx3x .1)0(y,1)0(x −==
Отв. .ey,ex t2t2 −− −==
3.2.48. Найти общее решение системы уравнений
=−+−=−++=+−−
.0zy2x'z3
,0zyx'y2
,05y7x'x
Отв. ),tsin(2
CC)tcos(
2
CCC2y),tsin(C)tcos(CCx 2323
1321+
−−
+=++=
).tsin(2
CC)tcos(
2
CCC3z 3232
1−
++
−=
3.2.49. Найти общее решение системы уравнений
−=′−−=′
yz
z3y2y.
Отв. t2
t31
t2
t31 eCeC
3
1y,eCeCy −=+= −− .
3.2.50. Найти общее решение системы уравнений
−−=′+=′
.v2uv
,v4y2u
Отв. ( ) 2121 CxCy,C2x21Cu +−=−+= .
3.2.51. Выяснить, являются ли приведенные ниже равенства
дифференциальными уравнениями в частных производных:
а) 06U5ULnUULn xyx =−+−⋅ ;
б) 1U)UU(cos)UU(sin xyxx2
xyxx2 =−+++ ;
в) 0xyUUU yxy =−++ .
Ответы: а) нет; б) нет; в) да.
3.2.52. Определить порядок уравнений:
а) ( ) ( ) 0xyU2Uy
UU2U22
xxyx =−−∂∂−⋅− ;
б) ( ) ( ) 02U2UUy
U2UUx x
2
xxyyyy2yy =+−−
∂∂⋅−−
∂∂
.
Ответы: а) первый; б) второй.
235
3.2.53. Выяснить, какие из следующих уравнений являются линейными
(однородными или неоднородными) и какие нелинейными:
а) 0UxyUx6U3UU yyyxyxx =⋅−−− ;
б) ( ) 0U6UUU2UUyy xxyx
2yy =−+−+
∂∂
.
Ответы: а) нелинейное уравнение; б) линейное однородное.
3.2.54. Решить уравнения:
а) xy
U=
∂∂
; б) y2y
U2
2
=∂∂
; в) 1xy
U2
=∂∂
∂.
Ответы: а) ( ) )y(2
xy,xU 2
2
ϕ+= ; б) ( ) )x()x(y3
yy,xU
3
ψ+ϕ⋅+= ;
в) ( ) ( ) xyxdy)y(y,xU +ψ+ϕ= ∫ , где ϕ и −ψ произвольные функции.
3.2.55. Проверить, что функция
а) ( ) ( ) ( )yxyyxxy,xU +ψ++ϕ= , где ϕ и −ψ произвольные дважды
дифференцируемые функции, является общим решением уравнения
0y
U
yx
U2
x
U2
22
2
2
=∂∂+
∂∂∂−
∂∂
;
б) ( ) ( ) ( )ayxayxy,xU −ψ++ϕ= является общим решением уравнения
0x
Ua
y
U2
22
2
2
=∂∂−
∂∂
;
в) ( ) ( ) ( )−+ψ+−ϕ= tx2tx2y,xU общее решение уравнения
0y
U
x
U
x
Ux2
2
2
2
2
=∂∂−
∂∂+
∂∂
.
В задачах 3.2.56 – 3.2.58 определить тип уравнений и привести их к
каноническому виду
3.2.56. 0UyUx yyxx2 =− .
Ответ: y,x
y;0U =η=ξ=ηη .
236
3.2.57. 0U6U2U3U2U yxyyyxxx =++−+ .
Ответ: yx3,yx;0U2
1U −=η+=ξ=+ ξηξ .
3.2.58. 0U2U2U yyxyxx =+− .
Ответ: x;yx;0UU =η+=ξ=+ ξξηη .
3.2.59. Упругий прямолинейный стержень длины l выведен из состояния
покоя тем, что его поперечным сечениям в момент времени 0t = сообщены
малые продольные смещения и скорости. Предполагая, что поперечные сечения
стержня все время остаются плоскими, поставить задачу для определения
продольных колебаний сечений стержня при 0t > . Рассмотреть случаи:
а) концы стержня закреплены жестко;
б) концы движутся в продольном направлении по заданному закону;
в) к концам приложены заданные силы;
г) концы свободны;
д) концы закреплены упруго, т.е. каждый из концов испытывает со
стороны заделки действия продольной силы, пропорциональной смещению и
направленной противоположно смещению. Сделать математическую
подстановку задачи.
Ответы:
а) )t,x(Ua)t,x(U xx2
tt = , l<< x0 , 0t >
ρ= Ea2 , E - модуль упругости, ρ - плотность стержня
)x()0,x(U ϕ= , )x()0,x(U t ψ= , l<< x0
0)t,(U)t,0(U == l , 0t > ;
б) )t,x(Ua)t,x(U xx2
tt = .
)x()0,x(U ϕ= , )x()0,x(U t ψ= , l<< x0
)t()t,0(U 1µ= , )t()t,(U 2µ=l , 0t > ;
где )t(1µ и )t(2µ - заданные функции;
в) )t,x(Ua)t,x(U xx2
tt = .
)x()0,x(U ϕ= , )x()0,x(U t ψ= , l<< x0
237
SE)t(F
)t,0(U 1x ⋅
−= , SE)t(F
)t,(U 2x ⋅
=l , 0t > ;
где )t(F1 и )t(F2 - внешние силы, приложенные к концам стержня,
S - площадь поперечного сечения.
г) xx2
tt UaU = .
)x()0,x(U ϕ= , )x()0,x(U t ψ= , l≤≤ x0
0)t,0(Ux = , 0)t,(Ux =l , 0t > ;
д) xx2
tt UaU = .
)x()0,x(U ϕ= , )x()0,x(U t ψ= , l≤≤ x0
0)t,0(Uh)t,0(Ux =⋅− ,
0)t,(Uh)t,(Ux =⋅+ ll ,
где SE
Kh
⋅= , К – коэффициент упругости заделки.
3.2.60. Поставить задачу о малых поперечных колебаниях струны длины
l с закрепленными концами, которая оттягивается в точке Cx = на небольшое
расстояние h от положения равновесия и в момент 0t = отпускается без
начальной скорости. Сделать математическую подстановку задачи.
Ответ: xx2
tt UaU =
0)t,(U)t,0(U == l , 0)0,x(U t =
≤≤−−
≤≤=
.xc,c
xh
cx0,xc
h
)0,x(Ul
l
l
3.2.61. Однородная струна длины l , закрепленная на обоих концах,
находится в прямолинейном положении равновесия. В момент 0t = она
получает удар от плоского молоточка, имеющего постоянную скорость 0V .
Поставить задачу для определения отклонения )t,x(U струны при 0t > , если
ширина молоточка равна h
π, а его центр ударяет в точке cx = . Сделать
математическую подстановку задачи.
238
Ответ: xx2
tt UaU = , 0)t,(U)t,0(U == l , 0)0,x(U = ,
≤<π+π+<<π−
π−<≤=
.xh2c,0
h2cxh2c,V
h2cx0,0
)0,x(U 0t
l
Используя формулу Даламбера, найти решение )t,x(U следующих задач
Коши ( ∞<<∞− x , 0t > ), в задачах 3.2.61 – 3.2.64.
3.2.62. Неограниченная струна возбуждена локальным начальным
отклонением, изображенным на рис. 3.1. Построить профиль струны в моме1
Рис. 3.1.
Ответ: 2
)atx()atx()t,x(U,0)x(
−ϕ++ϕ==ψ .
3.2.63. Найти решение уравнения ttxx UU = при начальных условиях
xsin)0,x(U,x1
x)0,x(U t2
=+
= .
Ответ: ( )( ) ( )
tsinxsintx1
tx
tx1
tx
2
1t,xU
22⋅+
−+−+
+++= .
3.2.64. Найти форму струны, определяемую уравнением
2
22
2
2
xU
atU
∂∂=
∂∂
,
- с с
h
U
x
0
239
в момент времени ( )2at π= , если
а) 1)0,x(U,xsin)0,x(U t == ;
б) 0)0,x(U,xsin)0,x(U t == ;
в) 1)0,x(U,0)0,x(U t ==
Ответ: а) ( )2aU π= ; б) 0U = ; в) ( )2aU π= .
3.2.65. Полуограниченному упругому стержню ∞<< x0 со свободным
концом 0x = сообщена начальная осевая скорость, равная 0υ на отрезке
[ ]c2,c и нулю вне этого отрезка.
Величину продольного смещения )t,x(U поперечных сечений стержня
можно откладывать для наглядности в направлении, перпендикулярном к оси
OX , т.е. поступать так же, как это делается в случае струны. Пользуясь этим
приемом изображения, начертить график )t,x(UU = для моментов времени
0t = , ac .
Ответ: Решение задачи Коши для полубесконечной области может быть
найдено с помощью формулы Даламбера при четном продолжении начальных
условий.
)atx()atx()t,x(U −ψ−+ψ= ,
где ( ) ( ) ααϕ⋅=ψ ∫−
da21
zz
c2
, ( )
∞<<<<ϑ<<−
−<<−ϑ−<<∞−
=ϕ
.zc2,0
c2zc,
czc,0
czc2,
c2z,0
z
0
0
-с с
U
x
0 -2с
а
с0ϑϑϑϑ
2с
Рис. 3.2.
240
Профиль отклонений в любой момент времени получается вычитанием графика
прямой волны из графика обратной волны. График ( )t,xVV =
3.2.66. Найти отклонение ( )tx,U закрепленной на концах 0x = и l=x
однородной струны от положения равновесия, если в начальный момент струна
имела форму параболы с вершиной в точке 2x l= и отклонением от
положения равновесия h , начальная скорость равна нулю.
Ответ: ∑∞
=π+⋅π+⋅
+⋅
π=
0n33
ta1n2
Cosx1n2
Sin)1n2(
1h32)t,x(U
ll.
3.2.67. Однородная струна с закрепленными концами 0x = и l=x
возбуждается ударом жесткого плоского молоточка в точке 3x l= ,
сообщающего ей начальное распределение скоростей:
π>−
π<−υ=
∂∂
,h23
x0
,h23
x)const(
t
U(x,0)
при
при0
l
l
где hπ - ширина молоточка.
Найти закон свободных колебаний, если начальные отклонения равны нулю.
Ответ:
lll
l xkSin
takSin
h2
kSin
3
kSin
k
1
a
4)t,x(U
2
0k22
0 π⋅π⋅π⋅π⋅⋅πυ= ∑
∞
=,
3.2.68. Однородная струна, закрепленная на концах 0x = и 1x = , в
начальный момент имеет форму ( )xx2xhU 34 +−⋅= . Найти форму струны
для любого момента времени t , если начальные скорости равны нулю.
Ответ: ( ) ( )
∑∞
=⋅
+π⋅+⋅π⋅+⋅
π=
0n55 )1n2(
at1n2Cosx1n2Sinh96)t,x(U
3.2.69. Однородная струна закреплена в точках 0x = и l=x . Начальные
отклонения точек струны равны нулю, а начальная скорость выражается
формулой
241
( ).
2
h
2x0
2
h
2x
h
2-xCos
t
U(x,0)
при
при
<−
<−π
=∂
∂l
ll
Найти форму струны для любого момента времени t .
Ответ:
( ) llll
l takSin
xkSin
hkCos
2
kSin
hkk
1
a
h4)t,x(U
1k22222
2 π⋅π⋅π⋅π⋅−⋅
⋅π
= ∑∞
=
.
3.2.70. Найти продольные колебания однородного стержня, один конец
которого ( 0x = ) закреплен жестко, а другой ( l=x ) свободен, при начальных
условиях
kxU(x,0)= , 0t
U(x,0) =∂
∂ при l≤≤ x0 .
Указание. Найти собственные значения и собственные функции задачи
Штурма - Лиувилля.
Ответ: ∑∞
=π+⋅π+⋅
+−⋅
π=
0n2
n
2at
2
1n2Cosx
2
1n2Sin
)1n2(
)1(k8)t,x(U
ll
l.
3.2.71. Исследовать свободные колебания закрепленной струны,
колеблющейся в среде, сопротивление которой пропорционально скорости.
Указание. Если колебания струны или продольные колебания стержня
происходят в среде с сопротивлением, пропорциональным скорости, то
уравнение колебания имеет вид xx2
ttt UaUh2U =+ , где lah π< , а
граничные условия записываются так же, как и в случае колебаний в среде без
сопротивления. Применить метод Фурье к интегрированию этого уравнения.
Ответ: [ ]∑∞
=
− π⋅+⋅=0k
kkkkth xk
Sin)tq(Sinb)tq(Cosa)t,x(U el
,
где ( ) dxxk
Sinx2
a0
kll
l π⋅ϕ= ∫ ,
( ) dxxk
Sinxq
2
q
hb
0kkk
ll
l π⋅ϕ+= ∫ , 22
k hak
q −
π=l
.
242
3.2.72. Стержень длиной l , конец которого 0x = закреплен, находится в
состоянии покоя. В момент времени 0t = к свободному концу приложена сила
constF0 = (на единицу площади), направленная вдоль стержня. Найти
смещение ( )t,xU стержня (продольные колебания) в любой момент времени
0t > .
Ответ:
∑∞
=π+⋅π+⋅
+−
π−=
0n2
n
200 at
2
1n2Cosx
2
1n2Sin
)1n2(
)1(
E
F8
E
xF)t,x(U
ll
l,
где −E модуль упругости.
3.2.73. (Задача о гидравлическом ударе вязкой жидкости). В конце l=x
трубопровода l≤≤ x0 массовый расход жидкости ω⋅ρ=Q ( −ρ плотность
жидкости, −ω скорость ее движения) изменяется в момент времени 0t =
скачком на величину constA = ; конец 0x = соединен с большим
резервуаром, где давление жидкости остается неизменным. Считая, что до
изменения расхода в конце l=x давление и расход в трубопроводе были
постоянными, найти изменение расхода в трубопроводе при 0t > и изменение
давления в сечении l=x при 0t > .
Указание. Для определения давления и расхода воспользоваться
дифференциальными уравнениями движения сжимаемой жидкости
∂∂=
∂∂−
+∂∂=
∂∂−
.x
Qc
t
P
Qa2t
Q
x
P
2
Найти решение этой системы уравнения, удовлетворяющее
начальным условиям ( ) ( ) l≤≤== x0,00,xQ,00,xP
и граничным условиям ( ) ( ) 0t,At,Q,0t,0P >== l
Исключив давление ( )t,xP из уравнений, решить краевую задачу
относительно расхода ( )t,xQ :
t
Qa2
x
Qc
t
Q2
22
2
2
∂∂−
∂∂=
∂∂
,
243
( )
( ).0t,A)t,(Q,0
x
t,0Q
,x0,0t
0,xQ,0)0,x(Q
>==∂
∂
≤≤=∂
∂=
l
l
Ответ: [ +ξ+
⋅⋅π
ρ−ρ⋅= ∑∞
=
− tCos1n2
1A4A)t,x(Q n
0n
tae
( )( )
,2
x1n2SintSin
an
n l
l −+π⋅
ξ
ξ+
где ( )
,a2
1n2c 22
n −
+π=ξl
а давление P в сечении l=x равно
( )( ) ,
Cos1n2
2tSinAc4Aa2
dxQa2t
Q)t,0(P)t,(P
0n n
nnta
0
e
ϕ+ϕ−ξ
⋅⋅π
ρ+ρ−=
=
+
∂∂−=
∑
∫
∞
=
−l
l
l
где n
n
atg
ξ=ϕ .
3.2.74. Поставить задачу о распределении температуры внутри стержня
l≤≤ x0 , поверхность которого теплоизолирована, если на одном конце
( )0x = поддерживается постоянная температура 0U , а на другой конец
( )l=x подается извне постоянный тепловой поток 0q . Начальная температура
произвольна.
Ответ: 0t,x0,x
Ua
t
U2
22 ><<
∂∂=
∂∂
l ,
( ) ( ) 0t,k
qt,U,Ut,0U 0
x0 >σ
== l ;
( ) ( ) l≤≤= x0,xf0,xU ,
где −k коэффициент теплопроводности материала стержня; −σ
площадь поперечного сечения.
3.2.75. Сформулировать задачу, математическая постановка которой
имеет вид
244
0t,x0,x
Ua
t
U2
22 ><<
∂∂=
∂∂
l
( ) ( ) ;0t,0t,Ut,0U >== l
( ) l≤≤== x0,constU0,xU 0 .
3.2.76. Поставить задачу об отыскании закона изменения температуры
стержня l≤≤ x0 с теплоизолированной поверхностью и
теплоизолированными концами, если его начальная температура является
произвольной функцией x .
Ответ: 0t,x0,x
Ua
t
U2
22 ><<
∂∂=
∂∂
l
( ) ( )
;0t,0x
t,U
x
t,0U >=∂
∂=∂
∂ l
( ) ( ) l≤≤= x0,xf0,xU .
3.2.77. Уравнение диффузии в неподвижной среде (в предположении, что
поверхностями равной плотности в каждый момент времени t являются
плоскости, перпендикулярные к оси ОХ) имеет вид:
2
2
x
UD
t
U
∂∂=
∂∂
, 0t,x0 ><< l (D - коэффициент диффузии).
Написать граничные условия, полагая, что диффузия происходит в
плоском слое l≤≤ x0 , для следующих случаев:
а) на граничных плоскостях концентрация диффундирующего вещества поддерживается нулевая;
б) граничные плоскости непроницаемы;
в) граничные плоскости полупроницаемы, причем диффузия через эти
плоскости происходит по закону, подобному закону Ньютона для
конвективного теплообмена.
Ответ: 0t,x0,x
UD
t
U2
2
><<∂∂=
∂∂
l .
)x(f)0,x(U = , l≤≤ x0 ,
а) 0)t,(U)t,0(U == l , 0t > ,
245
б) 0x
t),U(
x
t)U(0, =∂
∂=∂
∂ l, 0t > ,
в)
( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]
ϕ−−=∂∂
ϕ−=∂∂
=
=
tt,Uhx
U
tt,0Uhx
U
2
x
1
0x
l
l
, 0t > .
где Dh α= , α - коэффициент проницаемости на концах.
3.2.78. В грунт забита однородная свая высотой l для надземного
трубопровода. Начальная температура сваи f(x) . Поставить краевую задачу об
определении температуры сваи, если на нижнем конце 0x = поддерживается
постоянная температура 1U , равная температуре грунта, а на верхнем конце
l=x происходит конвективный теплообмен по закону Ньютона с
окружающей средой нулевой температуры.
Ответ: 0t,x0,sqс
p
x
Ua
t
U2
22 ><<α−
∂∂=
∂∂
l .
)x(f)0,x(U = , l≤≤ x0 ,
1U)t,0(U = , 0Uhx
U
x
=
+
∂∂
=l
, 0t > ,
где −p периметр поперечного сечения; kh α= ; −α коэффициент
теплообмена; −k коэффициент теплопроводности материала стержня.
3.2.79. Дан тонкий однородный стержень длиной l= 4, поверхность
которого теплоизолирована. Начальная температура определяется по закону
≤≤−≤≤
=.4x2,x4
2x0,2x(x)f
2
Концы стержня поддерживаются при нулевой температуре. Найти
распределение температуры в стержне. (Принять коэффициент
температуропроводности a равным 2).
Ответ: ×
−ππ
+ππ
= ∑∞
=4
2
kCos
k
4
2
kSin3
k
18)t,x(U
1k22
246
.4
xkSin
4
tkexp
22 π⋅
π−×
3.2.80. При тех же условиях, что и в задаче 9.4, положить
≤≤≤≤
=.x2,0
2x0U(x)f 0
ll
l
Ответ: ( ) ×
π⋅+⋅+
−π
+= ∑∞
=x
1m2Cos
1m2
1U2
2
U)t,x(U
0m
m00
l
1.
( ).
ta1m2exp
2
222
π+−×l
3.2.81. В стержне l≤≤ x0 с теплоизолированной поверхностью левый
конец ( 0x = ) теплоизолирован, а на правом конце ( l=x ) поддерживается
постоянная температура 1U ; начальная температура 0U постоянна по всей
длине стержня. Найти распределение температуры в стержне ( 0t > ).
Ответ: 0t,x0,x
Ua
t
U2
22 ><<
∂∂=
∂∂
l .
0x
)t,0(U =∂
∂, 1U)t,(U =l , 0U)0,x(U = ;
( ) ( ) ×
π⋅+⋅+
−π−
+= ∑∞
=x
2
1n2Cos
1n2
1UU4U)t,x(U
0n
n10
1l
( ).
4
ta1n2exp
2
222
π+−×l
3.2.82. В стержне l≤≤ x0 с теплоизолированной поверхностью, левый
конец которого теплоизолирован, а правый поддерживается при температуре
1U , начальная температура lxU)x( 0=ϕ . Найти распределение
температуры по длине стержня.
Ответ: ( ) ( ) ×
π⋅+⋅+
−π+
+= ∑∞
=x
2
1n2Cos
1n2
1UU4U)t,x(U
0n
n10
1l
247
2.
( )∑∞
=×
+π−
π+−×0n
20
2
222
1n2
1U8
4
ta1n2exp
l
3.
( ).
4
ta1n2expx
2
1n2Cos
2
222
π+−⋅
π⋅+×ll
3.2.83. Найти распределение температуры в стержне l≤≤ x0 с
теплоизолированной боковой поверхностью, если на его конце 0x =
поддерживается температура, равная нулю, а на конце l=x температура
меняется по закону tA , constA = , 0t > . Начальная температура стержня
равна нулю.
Ответ: решением краевой задачи
0t,x0,x
Ua
t
U2
22 ><<
∂∂=
∂∂
l .
0)t,0(U = , tA)t,(U =l , 0t > ;
0)0,x(U = , l≤≤ x0
является функция:
( ) )t,x(Vxa6
xAtxA)t,x(U 22
2+−⋅+= l
ll, l≤≤ x0 , 0t > ,
xn
inStna
expa)t,x(V0n
2
nll
π⋅
π−⋅= ∑∞
=,
где ( ) dzzn
inSzza3
Aa 22
022n
ll
l
l π⋅−⋅= ∫ .
3.2.84. Дан тонкий однородный стержень длины l , с боковой
поверхности которого происходит лучеиспускание тепла в окружающую среду,
имеющую нулевую температуру; левый конец стрежня поддерживается при
постоянной температуре 1U . Определить температуру )t,x(U стержня, если
а) правый конец стержня l=x поддерживается при температуре
constU2 = , начальная температура равна )x(U0 ;
б) на правом конце происходит теплообмен с окружающей средой,
температура которой равна нулю; начальная температура равна нулю.
248
Указание. Решение задачи с граничными условиями )t()t,0(U 1α= и
)t()t,(U 2α=l можно искать в виде wvU += , где функция
w определяется формулой [ ])t()t(x
)t(w 121 α−α⋅+α=l
.
а) Задача приводится к решению уравнения
Uhx
Ua
t
U 22
22 −
∂∂=
∂∂
0t,x0 ><< l . (*)
при граничных условиях 21 U)t,(U,U)t,0(U == l
и в начальном условии )x(U)0,x(U 0= .
Решение этой задачи искать в виде t)(x,w(x)vt)(x,U += , где v -
решение уравнения 0vhva 22 =−′′ , удовлетворяющее заданным граничным
условиям, а t)(x,w – решение уравнения при нулевых граничных условиях и
при начальном условии (x)v-(x)U(x,0)w 0= .
б) Граничные условия имеют вид
1U)t,0(U = , 0Uhx
U
x
1 =
+
∂∂
=l
,
Решение искать в виде t)(x,w(x)vt)(x,U += , где ( )−xv решение
уравнения 0vhva 22 =−′′ , удовлетворяющее краевым условиям
10x Uv == , 0vhx
v
x
1 =
+
∂∂
=l
,
а t)(x,w - решение уравнения (*) (см. пункт а) при условиях
0w0x
== , 0whx
w
x
1 =
+
∂∂
=l
, (x)v(x,0)w −= .
Ответ: а) ( )
+−⋅−⋅
=l
l
a
hSh
xa
hShUx
a
hShU
t)(x,U12
( ) ( )
lll
xnSintaexpa
UU1n2 2n
2
1nn2
n
12n π⋅λ−⋅
+
λ−−
⋅π+ ∑∞
=,
249
где 22
2n a
hn
+
π=λl
, dxxn
Sin)x(Uao
0n ∫π⋅=
l
l;
б) ( ) ( )
−⋅⋅+⋅
−⋅⋅+−⋅=
ll
ll
a
hShah
a
hChh
xa
hShahx
a
hChh
t)(x,U
1
1
( ) ( )( ) ( )[ ]thaexp
hh
xSin
ha
haU2 22
n2
121
2n
n
1n22
n
21
2nn2
1 +µ−⋅++µ
µ⋅
+µ+µµ
− ∑∞
= l
где ( )...,2,1nn =µ - положительные корни уравнения
1h)(tg µ−=µl .
250
3.3 РАСЧЕТНЫЕ ЗАДАНИЯ
Задание №1 Решить дифференциальные уравнения
1.1. .dxxdye y3x =+
1.2. .ylnyxsiny ⋅=⋅′
1.3. ( ) .yctg1x2y ⋅−=′
1.4. ( ) ;0dxedyye1 yx =⋅−⋅⋅+
1.5. .0dxxtgysecdyytgxsec 22 =⋅⋅+⋅⋅
1.6. ( ) .0dyyedx3yx x2 =⋅⋅−⋅+⋅
1.7. .dxycosxsindyxcosysin ⋅⋅=⋅⋅
1.8. ( ) .xtg1y2y ⋅+=′
1.9. ( ) ( )[ ] .0ycos
dydxyxsinyxsin =+⋅−++
1.10. ( ) .eyye1 xx =′⋅⋅+
1.11. .0xsin
dydxytgxsin =−⋅⋅
1.12. ( ) .0dyycose1dxysine3 xx =⋅⋅−+⋅⋅⋅
1.13. .eylny x2=⋅′
1.14. .0dxxdy3 yx2=⋅+⋅+
1.15. ( ) ( )[ ] .xsecyy2xcosy2xcos =′⋅++−
1.16. ( ).y1xey 2x2+⋅⋅=′
1.17. .0dyytgxsindxxctgycos 22 =⋅⋅+⋅⋅
1.18. .xcos2xcosyyxsin +⋅=′⋅
1.19. ( ) .0ey11 x =⋅′++
1.20. .2yxctgy =+⋅′
1.21. .0ycos
dx
x
dye2
x2
=+−
1.22. .0dyyсtgdxysinex =⋅+⋅⋅
1.23. ( ) .dyedxxe1 y3y3 ⋅=⋅⋅+
1.24. ( ) ( )[ ] .ysin
dydxyx2sinyx2sin =⋅−−+
251
1.25. .dyx1ycosdyx12dxycos 22 ⋅+⋅+⋅+=⋅
1.26. .0ycosx1y 22 =−−⋅′
1.27. ( ) .dyysece1dxytge 2xx ⋅⋅−=⋅⋅
1.28. ( ) ( ).yxsinyxsiny −=++′
1.29. ( ) ( ).yx2cosyx2cosyycos3 −=+−′⋅
1.30. .yy3x22 xy ′⋅=⋅ −
Задание №2
Решить дифференциальные уравнения
2.1. ( ) ;y1yyxyx 23 +=′+ 2.2. ;37
yxy
=′−
2.3. ( );yx12yxy 2 ′+=′− 2.4. ;yx1yxy 2 ′+=′−
2.5. ( ) ;0dxyxdy4x =⋅⋅−+ 2.6. ;0yyy 2 =++′
2.7. ( ) ;0dyx1ydxxlny2 =−− 2.8. ( ) ;0dxydxydyyxx 22 =−++
2.9. ;0yy2y 2 =−+′ 2.10. ( ) ( ) ;0dy1ydxyxx 22 =+++
2.11.( ) ( ) ;0dyyyxdxxyx 23 =−++ 2.12. ( ) ( ) ;0dyxyydxy1 22 =+−+
2.13. ;xyx2y +=′ 2.14. ( );yx13yxy 2 ′+=′−
2.15. ;x1yyx2 2−=′ 2.16. ( ) ;0yxy1x 2 =−′−
2.17. ( ) ;0dxxdyyxy 22 =++ 2.18.( ) ( ) ;0dyx1ydxyx1 3233 =−−+
2.19. ;yyyx 2=−′ 2.20. ;dyyxdx1y2 =+
2.21. ;yx2yxy 2 =−′ 2.22. ;2yyyx2 22 =+′
2.23. ;x1
y1y
2
2
++=′ 2.24. ;
y
xy1y
22 =+′
2.25. ( ) ;yxx1
yy1y
2+
−=′+ 2.26. ( ) ;yxx1yyx1 22 =++′+
2.27. ;y1
x1yyx
2
2
−+=′ 2.28. ( ) ( ) ;0dxx1ydyxyx 2 =⋅−+−
2.29. ( ) ;1xyyxyyyx 2222 −+−=′− 2.30. .0dyx1ydxy1 22 =−+−
252
Задание №3 Решить дифференциальные уравнения
3.1. ;x
ysecxyxy ⋅=′− 3.2. ( ) ;0dxyx2dyx3y 22 =⋅+⋅−
3.3. ( ) ;0dyxdxy2x =⋅−⋅+ 3.4. ( ) ( ) ;0dyyxdxyx =⋅++⋅−
3.5. ( ) ;0dyxdxyx2y 22 =⋅+⋅− 3.6. ;yyxyxy 22 ′=′+
3.7. ;x
ytgxyyx ⋅=−′ 3.8. ;exyyx xy⋅−=′
3.9. ( ) ;x
yxlnyxyyx
+⋅+=−′ 3.10. ;x
ylnyyx ⋅=′
3.11. ( ) ;dyxdxyxy =⋅+ 3.12. ;yyxyx 22 +−=′
3.13. ( );eyxy xy−′= 3.14. ;1y
xy −=′
3.15. ;0yxyx =++′ 3.16. ( ) ;0dyxyx2dxy =−+
3.17. ;dxyxdxydyx 22 ⋅+=− 3.18. ( ) ;dyxdxyyx 2=−
3.19. ( ) ( ) ;dyxyx3y4dxyyx3x4 2222 ++=++
3.20. ( ) ;yyxx2yyx 22 ′⋅+=+ 3.21. ( ) ;yyxyyx2x 22 −=′⋅−
3.22. ( ) ;0dyxdxyyx2 =+− 3.23. ;0x
ylnyyx =⋅+′
3.24. ( ) ;0dyyx2dxyx 22 =++ 3.25. ( ) ;0dyxdxyx2y 22 =−−
3.26. ( ) ;0dyxdxy2x =++ 3.27. ( ) ( ) ;0dyyxdxyx2 =++−
3.28. ( );yx2yyx2 223 −⋅=′⋅ 3.29. ( );yxyyx 2 +=′⋅
3.30. .x
y
y
xy +=′
Задание №4
Решить дифференциальные уравнения
4.1. ( ) ,3yx4y1x 2 =+′+ ( ) ;00y =
4.2. ,xsecxtgyy =⋅+′ ( ) ;00y =
4.3. ( ) ( ) ,eyyx1 x−=+′⋅− ( ) ;00y =
4.4. ,x2y2yx 4=−′ ( ) ;01y =
4.5. ( ),yxx2y 2 +=′ ( ) ;00y =
253
4.6. ,eyy x=−′ ( ) ;10y =
4.7. ,exyyx2x−−=+′ ( ) ;
e2
11y =
4.8. ,01yxyx 2 =++′ ( ) ;01y =
4.9. ,y3y4xxy 23 +=+′ ( ) ;12y =
4.10. ,yx3
yy
2−=′ ( ) ;10y =
4.11. ( ) ( ),1yyyyx21 −=′− ( ) ;20y =
4.12. ( ) ,eyyx x=−′ ( ) ;01y =
4.13. ( ),xcosxyxy −′= ;02
y =
π
4.14. ( ) ,y2xln1yx =⋅−′ ( ) ;0ey =
4.15. ( ) ,1yxe2 y =′− ( ) ;00y =
4.16. ( ) ,dxydyyx 2 =+ ( ) ;10y =
4.17. ( ) ,ex3y1xyx x2 −=++′ ( ) ;01y =
4.18. ,0xy2yx 2 =+−′ ( ) ;01y =
4.19. ( ) ,1yyctgxysin 2 =′+ ( ) ;2
0yπ=
4.20. ( ) ,xxyy1x 23 +=+′+ ( ) ;00y =
4.21. ,xsinyyx =+′ ;2
2y
π=
π
4.22. ( ) ,xxyxy1x 32 −=−′− ( ) ;12y =
4.23. ( ) ,x1yxyx1 22 −=+′− ( ) ;12y =
4.24. ,xctgxcos2yxctgy 2 ⋅=+′ ( ) ;20y =
4.25. ,3yx2yx 2 +=′ ( ) ;11y =
4.26. ,exyx2y2x−=+′ ( ) ;00y =
4.27. ,0exyx3y3x22 =−−′ ( ) ;00y =
4.28. ,1xlnyyx +=+′ ( ) ;01y =
4.29. ( ) ,dyysinycos2xdxycos += ( ) ;4
0yπ=
4.30. ,xlnyyx =+′ ( ) .01y =
254
Задание №5 Решить дифференциальные уравнения
5.1. ;yxyy 2=+′ 5.2. ;dyysecxy2dyx2dxy 2=+
5.3. ;eyy2y x2=+′ 5.4. ;xtgyxcosyy 4 ⋅+=′
5.5. ( ) ;dxxydyyx 2 += 5.6. ;0eyxy2yx x35 =++′
5.7. ;y2yxysinxy 3 −′=′ 5.8. ( ) ;yyxylnyx2 2 =′⋅−
5.9. ;1x
yx
y
x2y
2 −=−′ 5.10. ;y4yx2yx 2 =−′
5.11. ;yxyyx 322 +=′ 5.12. ( ) ( ) ;yyy1x 2 −=+′⋅+
5.13. ;yxyxy 2−=+′ 5.14. ;eyyxy2x23 −−=−′
5.15. ;yyx2yx 3 =−′ 5.16. ;yxyxy 33=+′
5.17. ;yey
xy x2 +=′ 5.18. ;
1x
yxyxy
2 −+=′
5.19. ( ) ;yxyy1xx 3 =+′⋅− 5.20. ;01yx3yyx2 223 =++′
5.21. ;dyx2y
1
x
dx
−= 5.22. ;y2x
y2y =+′
5.23. ;xlnyyyx 2=+′ 5.24. ;y3yxy 3 =+′
5.25. ;yx2yx2y 3=+′ 5.26. ;y
xyy
2=+′
5.27. ;0xcosyxtgyy 2 =+−′ 5.28. ;dyyy
xdxx 2
2
⋅
−=
5.29. ;0xcosyyy 2 =+−′ 5.30. ;xyxxy 2−=+′
Задание №6 Решить дифференциальные уравнения
6.1. ( ) ;0dyyx8dxy4x2 2 =++
6.2. ;0yx
dxydyx22
=+−
6.3. ;0yx
dyxdxydyydxx
22=
+−++
255
6.4. ( ) ;0dyyx8dxy4x3 22 =++
6.5. ;0yx
dyy
yx
dxx2222
=−
−−
6.6. ( )
( );0dy
x1
edx
x1
e1x22
y
22
y
=+
++
−
6.7. ;0dyy
yx3dx
y
x24
22
3=+−
6.8. ( ) ;0dyy
x1edxe1 yxyx =
−++
6.9. ( ) ( ) ;0yy2xyyx2x 2222 =′+++
6.10. ( ) ( ) ;0dyy4yx6dxyx6x3 3222 =+++
6.11. ;0dyy
x
y
1
yx
ydx
y
1
x
1
yx
x22222
=
−+
++
++
+
6.12. ;0dyx
y3y4ysecxdx
x
y2ytgx3
2
2323
3
32 =
−++
+
6.13. ( ) ( ) ;0dyyx2xdxyyx3 322 =+++
6.14. ;0dyy
xsinydxx
y
x2sin2
2
=
−+
+
6.15. ( ) ( ) ;0dyy3xy2dxyx2x3 22 =+−+−−
6.16. ( ) ( ) ;0dyyx3xdxyyx3 2332 =+++
6.17. ;0x
dxydyx
yx
dyydxx222
=−−+
+
6.18. ( ) ( ) ;0dxayxxdyayxy 222222 =−++++
6.19. ;0dyy
1xcosycosxdx
x
1xsinyysin =
+−+
++
6.20. ( )
( ) ( );0dyysin
yxcos
xdx
yxcos
yxcosxsiny22
2
=
−+⋅+
6.21. ( )( ) ( )( ) ;0dyyxcosxxdxyyxcosyx3 2 =−++−
256
6.22. ;0dyy
xey16dx
y
1ex12
2xyxy3 =
⋅++
⋅−
6.23. ( ) ( ) ;0dyyxsinxyx2
xdx4yxsinyx2
yx2
y 222 =
⋅++
+⋅+
6.24. ( ) ( ) ;0dy33ln3xdx3ln3y yxyx =−⋅+⋅
6.25. ;0dyyx
1yx7dxyx3
yx
1 6372 =
−−+
+−
6.26. ;0dyyxcosxx
1dxyxcosy
x
y223
=
⋅−−
⋅+
6.27. ;0yx1
dyxdxx2
yx1
y2222
=−
+
−
−
6.28. ( ) ( ) ;0dyy3yx4dxx28yx5 235644 =−++
6.29. ;0dy3ey2dx2ex22222 yxyx =
−⋅+
+⋅ ++
6.30. ( ) ( ) .0dyy2x3siny2dx7x3cosy3 2 =−++
Задание №7
Записать уравнение кривой, проходящей через точку ( )00 y;xA , если
известно, что угловой коэффициент касательной в любой ее точке равняется ординате этой точки, увеличенной в k раз.
7.1. ( ) .3k,2;0A = 7.2. ( ) .7k,5;0A =
7.3. ( ) .2k,3;1A =− 7.4. ( ) .6k,4;2A =−
7.5. ( ) .5k,1;2A =− 7.6. ( ) .4k,2;3A =−
Записать уравнение кривой, проходящей через точку ( )00 y;xA , если
известно, что угловой коэффициент касательной в любой ее точке в n раз больше углового коэффициента прямой, соединяющей ту же точку с началом координат.
7.7. ( ) .8n,5;2A = 7.8. ( ) .23n,1;3A =−
7.9. ( ) .2n,4;2A = 7.10. ( ) .3n,8;2A =−− Записать уравнение кривой, проходящей через точку ( )00 y;xA , если
известно, что длина отрезка, отсекаемого на оси ординат нормалью, проведенной в любой точке кривой, равна расстоянию от этой точки до начала координат.
257
7.11. ( ).0;4A 7.12. ( ).0;16A
7.13. ( ).0;1A 7.14. ( ).0;9A
Записать уравнение кривой, проходящей через точку ( )00 y;xA и
обладающей следующим свойством: длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на касательную к кривой, равна абсциссе точки касания.
7.15. ( ).4;2A 7.16. ( ).2;4A − 7.17. ( ).2;1A
7.18. ( ).2;2A − 7.19. ( ).4;2A − 7.20. ( ).0;5A
Записать уравнение кривой, проходящей через точку ( )00 y;xA и
обладающей следующим свойством: длина отрезка, отсекаемого касательной от оси Y0 , равна квадрату абсциссы точки касания.
7.21. ( ).1;4A 7.22. ( ).5;2A − 7.23. ( ).2;3A −
7.24. ( ).4;2A −− 7.25. ( ).0;3A 7.26. ( ).8;2A
Записать уравнение кривой, проходящей через точку ( )00 y;xA , если
известно, что длина отрезка, отсекаемого касательной к кривой от оси ординат, равна полусумме координат точки касания.
7.27. ( ).6;9A − 7.28. ( ).10;4A
7.29. ( ).16;4A − 7.30. ( ).7;1A −
Задание №8 Решить дифференциальные уравнения
8.1. ( ) ( ) ( ) ;00y,00y,10y,xsiny =′′=′==′′′
8.2. ( ) ( ) ( ) ;01y,01y,4
11y,
x
1y =′′=′==′′′
8.3. ( ) ( ) ;5
30y,10y,
xcos
1y
2=′==′′
8.4. ( ) ( ) ( ) ;11y,51y,01y,x
6y
3=′′=′==′′′
8.5. ( ) ( ) ;30y,10y,x2cos4y =′==′′
8.6. ( ) ( ) ;00y,00y,x1
1y
2=′=
+=′′
8.7. ( ) ( ) ( ) ;01y1y,2
11y,2yx =′′=′==′′′
8.8. ( ) ( ) ( ) ;2
10y,
4
10y,
8
90y,ey x2 −=′′=′==′′′
8.9. ( ) ( ) ( ) ;00y,8
10y,10y,xcosy =′′−=′==′′′
258
8.10. ( ) ( ) ;30y,20y,x1
1y
2=′=
−=′′
8.11. ;14
y,44
y,x2sin
1y
2=
π′π=
π=′′
8.12. ( ) ( ) ;00y,30y,xsinxy =′−=+=′′
8.13. ( ) ( ) ;00y,00y,xarctgy =′==′′
8.14. ( ) ( ) ;00y,2
10y,
xcos
xtgy
2=′==′′
8.15. ( ) ( ) ( ) ;20y,50y,80y,1ey 2
x
=′′=′=+=′′′
8.16. ( ) ( ) ;4
10y,
4
10y,
e
xy
x2−=′==′′
8.17. ( ) ( ) ;00y,72
10y,x3siny 2 =′==′′
8.18. ( ) ( ) ( ) ;00y,00y,00y,xsinxy =′′=′==′′′
8.19. ;12
y,12
y,22
y,x2sinxsiny 4 −=
π′′=
π′π=
π=′′′
8.20. ( ) ( ) ;10y,20y,excosy x =′=+=′′ −
8.21. ;02
y,9
7
2y,xsiny 3 =
π′−=
π=′′
8.22. ( ) ( ) ( ) ;2
10y,00y,
8
10y,x2sinxy =′′=′−=−=′′′
8.23. ( )
( ) ( ) ;10y,00y,2xcos
1y
2=′==′′
8.24. ( ) ( ) ;3
20y,
9
50y,xcosxsin2y 2 −=′−=⋅=′′
8.25. ( ) ( ) ;10y,9
10y,xcosxsin2y 2 =′=⋅=′′
8.26. ( ) ( ) ;10y,00y,xsinxcosxsin2y 32 =′=−⋅=′′
8.27. ( ) ( ) ;20y,3
20y,xcosxsinxcos2y 32 =′=−⋅=′′
8.28. ( ) ( ) ;2
31y,
12
51y,xlnxy =′−=−=′′
259
8.29. ( ) ( ) ;11y,31y,x
1y
2=′==′′
8.30. ( ) ( ) ( ) .00y,16
150y,20y,x4cosy =′′=′==′′′
Задание №9
Решить дифференциальные уравнения
9.1. ( ) ;2yxyx1 2 =′−′′⋅− 9.2. ( ) ;1yyyx2 2 −′=′′⋅′
9.3. ;1yxyx 23 =′+′′ 9.4. ;x2sinxtgyy =′+′′
9.5. ;yxlnxy ′=⋅′′ 9.6. ;exyyx x2=′−′′
9.7. ;y2xlnyx ′=′′ 9.8. ;1yxyx 2 =′+′′
9.9. ;y
xy
′−=′′ 9.10. ;yyx ′=′′
9.11. ;xyy +′=′′ 9.12. ;xyyx 2+′=′′
9.13. ;x
ylnyyx
′⋅′=′′ 9.14. ;xlnyyx =′+′′
9.15. ;1yxtgy +′=⋅′′ 9.16. ( ) ;0yx2y 2 =′+′′
9.17. ( ) ;1yyyx2 2 +′=′′′ 9.18. ( );1xx1x
yy −⋅=
−′
−′′
9.19. ;xsecxtgyy =⋅′+′′ 9.20. ;xsinxctgy2y 3=′−′′
9.21. ;x2y4y 2=′+′′ 9.22. ;ex2yyx x2=′−′′
9.23. ( ) ;0y1yx =′++′′⋅ 9.24. ;x2cosy4y =′+′′
9.25. ;xsinyy =′+′′ 9.26. ( ) ;yyx 22 ′=′′
9.27. ( ) ;4yyyx2 2 −′=′′′ 9.28. ;y4xlnyx ′=′′
9.29. ;2yxctgy =′+′′ 9.30. ( ) .yx21xy 2 ′=+′′
Задание №10 Решить дифференциальные уравнения
10.1. ( ) ( ) ;10y,00y,yey y =′=′⋅=′′
10.2. ( ) ( ) ( ) ;10y,10y,0yy2y 2 =′==′′+′
10.3. ( ) ( ) ( ) ;10y,10y,0yyy 2 =′==′+′′
260
10.4. ( ) ( ) ( ) ;3
10y,20y,0yy2y 3 =′==′+′′
10.5. ( ) ( ) ( ) ;21y,2
1y,y2ytgy 2 =′π=′⋅=′′
10.6. ( ) ( ) ( ) ;10y,10y,yyy2 2 =′=′=′′
10.7. ( ) ( ) ( ) ;10y,10y,yyyy 42 =′==′−′′
10.8. ( ) ( ) ;20y,2
10y,
y2
1y
3=′=−=′′
10.9. ( ) ( ) ( ) ;00y,00y,y1y 2 =′=′−=′′
10.10. ( ) ( ) ( ) ;10y,3
20y,yy 2 =′=′′=′
10.11. ( ) ( ) ( ) ;10y,20y,01yyy2 2 =′==+′−′′
10.12. ( ) ( ) ;20y,20y,y2y =′=−=′′
10.13. ( ) ( ) ;00y,10y,y
1y
3=′=−=′′
10.14. ( ) ( ) ( ) ;20y,10y,0y2yy 2 =′==′−′′
10.15. ( ) ( ) ( ) ;10y,00y,yyy 2 =′=′+′=′′
10.16. ( ) ( ) ( ) ;10y,00y,0yy1
2y 2 =′==′
−+′′
10.17. ( ) ( ) ( ) ( ) ;10y,00y,yy1y 2 =′=′=+⋅′′
10.18. ( ) ( ) ( ) ( ) ;10y,00y,0y23y2y 2 =′==′⋅−+⋅′′
10.19. ( ) ( ) ( ) ;00y,10y,y1y4 2 =′=′+=′′⋅
10.20. ( ) ( ) ( ) ( ) ;20y,20y,1yyy2 2 =′=−⋅′′=′⋅
10.21. ( ) ( ) ( ) ;00y,10y,yyy1 2 =′=′′=′+
10.22. ( ) ( ) ( ) ;20y,10y,0yyy 3 =′==′+′′
10.23. ( ) ( ) ( ) ;20y,10y,0yyy 2 =′==′+′′
10.24. ( ) ( ) ( ) ;10y,10y,yyyy 22 =′==′−′′
10.25. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ;10y,10y,0yyln1yyln1y 2 =′==′⋅++′′−
10.26. ( ) ( ) ( ) ( ) ;20y,20y,yyy1y 2 =′=′+′=+′′
10.27. ( ) ( ) ;20y,10y,y
yy =′=
′=′′
261
10.28. ( ) ( ) ( ) ;10y,00y,y1y 2 =′=′+=′′
10.29. ( ) ( ) ( ) ;10y,10y,yylnyy2yy 2 =′=′=′−′′
10.30. ( ) ( ) .00y,00y,y
1y =′==′′
Задание №11
Решить дифференциальные уравнения
11.1. а) ,0y6y =+′′ б) ,0y25y10y =+′−′′ в) ;0y2y3y =+′+′′
11.2. а) ,0y2yy =−′−′′ б) ,0y9y =+′′ в) ;0y4y4y =+′+′′
11.3. а) ,0y4y =′−′′ б) ,0y13y4y =+′−′′ в) ;0y2y3y =+′−′′
11.4. а) ,0y6y5y =+′−′′ б) ,0y6y3y =+′+′′ в) ;0y5y2y =+′+′′
11.5. а) ,0y10y2y =+′−′′ б) ,0y2yy =−′+′′ в) ;0y2y =′−′′
11.6. а) ,0y4y =−′′ б) ,0y17y2y =+′+′′ в) ;0y12yy =−′−′′
11.7. а) ,0y6yy =−′′+′′ б) ,0y9y =′+′′ в) ;0y20y4y =+′−′′
11.8. а) ,0y49y =−′′ б) ,0y5y4y =+′−′′ в) ;0y3y2y =−′+′′
11.9. а) ,0y7y =′+′′ б) ,0y4y5y =+′−′′ в) ;0y16y =+′′
11.10. а) ,0y8y6y =+′−′′ б) ,0y5y4y =+′+′′ в) ;0y5y =′+′′
11.11.а) ,0y3y8y4 =+′−′′ б) ,0y3y =′−′′ в) ;0y10y2y =+′−′′
11.12. а) ,0y20y4y =+′+′′ б) ,0y10y3y =−′−′′ в) ;0y16y =−′′
11.13. а) ,0yy6y9 =+′+′′ б) ,0y21y4y =−′−′′ в) ;0yy =′+′′
11.14. а) ,0yy3y2 =+′+′′ б) ,0y8y4y =+′+′′ в) ;0y9y6y =+′−′′
11.15. а) ,0y21y10y =+−′′ б) ,0y2y2y =+′−′′ в) ;0y4y =′+′′
11.16. а) ,0y5y =′+′′ б) ,0y29y10y =+′+′′ в) ;0y7y8y =+′−′′
11.17. а) ,0y25y =+′′ б) ,0y9y6y =+′+′′ в) ;0y2y2y =+′+′′
11.18. а) ,0y3y =′−′′ б) ,0y6y7y =+′−′′ в) ;0y13y4y =+′+′′
11.19. а) ,0y4y3y =−′−′′ б) ,0y13y6y =+′+′′ в) ;0y2y =′+′′
11.20. а) ,0y25y =′+′′ б) ,0y16y10y =+′−′′ в) ;0y16y8y =+′−′′
11.21. а) ,0y18y3y =−′−′′ б) ,0y6y =′−′′ в) ;0y5y2y =+′+′′
11.22. а) ,0y13y6y =+′−′′ б) ,0y15y2y =−′−′′ в) ;0y8y =′−′′
11.23. а) ,0yy2y =+′+′′ б) ,0y25y6y =+′+′′ в) ;0y4y =′−′′
11.24. а) ,0y10y =′+′′ б) ,0y8y6y =+′−′′ в) ;0yy4y4 =+′+′′
11.25. а) ,0y5y =+′′ б) ,0yy6y9 =+′−′′ в) ;0y8y6y =+′+′′
11.26. а) ,010y6y =+′′+′′ б) ,0y4y4y =+′−′′ в) ;0y4y5y =+′−′′
11.27. а) ,0yy =−′′ б) ,0y5y3y4 =−′+′′ в) ;0y10y6y =+′−′′
11.28. а) ,0y25y8y =+′+′′ б) ,0y9y =′+′′ в) ;0y2y3y =−′+′′
262
11.29. а) ,0y3y7y6 =−′+′′ б) ,0y16y =′+′′ в) ;0yy4y4 =+′−′′
11.30. а) ,0yy6y9 =+′−′′ б) ,0y37y12y =+′+′′ в) .0y2y =′−′′
Задание №12 Решить дифференциальные уравнения
12.1. ;1x2yy −=′+′′
12.2. ;x2cose10y5y2y x−=+′−′′
12.3. ;x2cos36x2sin12y8y2y −=−′−′′
12.4. ;e14y36y12y x6=+′−′′
12.5. ( ) ;ex1234y2y3y x−⋅−=+′−′′
12.6. ;e51y10y6y x−⋅=+′−′′
12.7. ( ) ;xsin4x4xcos2yy ⋅+−=+′′
12.8. ;e74y10y6y x3=+′+′′
12.9. ;xcos3xsin19y2y3y +=+′−′′
12.10. ( ) ;e8x48y9y6y x⋅+=+′+′′
12.11. ;e72y6y x2⋅=′+′′
12.12. ;xsin19xcos3y6y5y +=−′−′′
12.13. ;2x16x24x96x36y12y8y 234 −++−=+′−′′
12.14. ;e18y25y8y x5⋅=+′+′′
12.15. ;e126y20y9y x2−=+′−′′
12.16. ;x36x6836y36y 2−+=+′′
12.17. ;xsin2xcos4yy −−=+′′
12.18. ;x3sin33x3cos6y24y2y −=−′+′′
12.19. ;x2sin75y13y6y −=+′+′′
12.20. ;x3sin105x3cos39y5y −=′+′′
12.21. ;e6yy2y x−⋅=+′+′′
12.22. ( ) ;excos8xsin24y5y4y x2−⋅+=+′−′′
12.23. ;x4cos8y16y =+′′
12.24. ;27x12x9y9y 24 −+=+′′
12.25. ;e2y40y12y x6⋅=+′−′′
12.26. ( );x2cos24x2sin2ey4y x +⋅=′+′′
12.27. ;e6yy2y x−⋅=+′+′′
263
12.28. ;74x33x73y37y2y 2 +−=+′+′′
12.29. ;e3yyy6 x2⋅=−′−′′
12.30. .x3sin222y3y7y2 =+′+′′
Задание №13 Решить дифференциальные уравнения
13.1. ;e10y17y8y x2=+′−′′ 13.2. ( ) ;e1x6y6yy x3⋅+=−′+′′
13.3. ;e3y12y7y x4=+′−′′ 13.4. ;x24x126y2y 2−+=′−′′
13.5. ;x5cos18x5sin60y34y6y +=+′−′′ 13.6. ( ) ;e4x4y2y x2⋅+=′−′′
13.7. ;4x22x24x4yyy 23 −++=+′+′′ 13.8. ;x168y4y −=′−′′
13.9. ( );x2cosx2sin16y20y8y −=+′−′′ 13.10. ;e4yy2y x=+′−′′
13.11. ;x2sine34y13y6y x3−⋅=+′−′′ 13.12. ;e6y4y4y x2−=+′+′′
13.13. ;xsin7xcos11yy3y4 −=−′+′′ 13.14. ;x610y3y −=′+′′
13.15. ;x200x240x5240y25y10y 32 −−+=+′+′′
13.16. ;x4sin52x4cos4y20y4y −=+′+′′
13.17. ;e72y9y6y x3=+′+′′ 13.18. ;5x32x5y5y4y 2 +−=+′+′′
13.19. ;e80y16y x2=+′′ 13.20. ( ) ;e10x12yy2y x2⋅−=+′+′′
13.21. ;e15y4y x=′+′′ 13.22. ( ) ;e10x24y4y x2⋅−−=−′′
13.23. ;e10y9y x3=+′′ 13.24. ;xsin7xcos9y2yy −=−′+′′
13.25. ( ) ;e8x18yy2y x2⋅+=+′+′′ 13.26. ;x7sin144y49y14y =+′−′′
13.27. ;xcos25yy4y4 −=+′−′′ 13.28. x2sin36x2cos6y2y5y3 +=−′−′′13.29. ;xsin7xcos11yy3y4 −=−′+′′ 13.30. .e26y29y4y x−⋅=+′+′′
Задание №14
Решить дифференциальные уравнения
14.1. ,x2sin9x2cos12yy2y −−=+′−′′ ( ) ( ) ;00y,20y =′−=
14.2. ,65x39x9y9y6y 2 +−=+′−′′ ( ) ( ) ;10y,10y =′−=
14.3. ,6x8x2y2y2y 2 ++=+′+′′ ( ) ( ) ;40y,10y =′=
14.4. ,x4cos24x4sin9y25y6y −=+′−′′ ( ) ( ) ;20y,20y −=′=
14.5. ,14x59x42x53y53y14y 23 −+−=+′−′′ ( ) ( ) ;70y,00y =′=
14.6. ( ),x4sin8x4cosey16y x −⋅=+′′ ( ) ( ) ;50y,00y =′=
264
14.7. ,ex16y20y4y x2=+′−′′ ( ) ( ) ;20y,10y =′=
14.8. ,x2sin24x2cos32y36y12y +=+′−′′ ( ) ( ) ;40y,20y =′=
14.9. ,10x7x4xyy 23 −+−=+′′ ( ) ( ) ;30y,30y =′=
14.10. ( ) ,ex1612yy x−⋅−=−′′ ( ) ( ) ;10y,00y −=′=
14.11. ,66x16x16y16y8y 2 +−=+′+′′ ( ) ( ) ;00y,30y =′=
14.12. ,e9y34y10y x5−−=+′+′′ ( ) ( ) ;60y,00y =′=
14.13. ( ) ,xcosx36xsin12x32y25y6y −⋅−=+′−′′ ( ) ( ) ;50y,40y =′=
14.14. ( ),x5sin10x5cosey25y x −⋅=+′′ ( ) ( ) ;40y,30y −=′=
14.15. ,x2sine8y5y2y x−⋅−=+′+′′ ( ) ( ) ;60y,20y =′=
14.16. ,ey25y10y x5−=+′+′′ ( ) ( ) ;00y,10y =′=
14.17. ( ) ,e22x16y12yy x4⋅+=−′+′′ ( ) ( ) ;50y,30y =′=
14.18. ,x6cose36y37y2y x4⋅=+′−′′ ( ) ( ) ;60y,00y =′=
14.19. ,8x10x24x16y16y8y 23 +−+=+′+′′ ( ) ( ) ;30y,10y =′=
14.20. ,12x6x5y5y2y 2 −+=+′−′′ ( ) ( ) ;20y,00y =′=
14.21. ,x128x4816y8y 32 −+=′−′′ ( ) ( ) ;00y,10y =′−=
14.22. ,18x72y36y12y 3 −=+′+′′ ( ) ( ) ;00y,10y =′=
14.23. ( ) ,e56x40y3y x2⋅+=′+′′ ( ) ( ) ;20y,00y =′=
14.24. ,xsin8xcos26y18y9y −=+′−′′ ( ) ( ) ;20y,00y =′=
14.25. ,x32x60x18y8y 32 −+=′−′′ ( ) ( ) ;20y,50y =′=
14.26. ,xcos7xsiny2y3y −−=+′−′′ ( ) ( ) ;70y,20y =′=
14.27. ,1x2x6y2y 2 ++=′+′′ ( ) ( ) ;20y,20y =′=
14.28. ,e32y16y x4=+′′ ( ) ( ) ;00y,20y =′=
14.29. ,x2sin52y6y5y =+′+′′ ( ) ( ) ;20y,20y −=′−=
14.30. ,e8y4y x2⋅=−′′ ( ) ( ) .80y,10y −=′=
Задание №15
Решить дифференциальные уравнения 15.1. ( ) ( ) ( ) ;300y,00y,00y,0y6y7y =′′=′==′+′′−′′′
15.2. ( ) ( ) ( ) ( ) ;10y,00y,00y,00y,0y9y IV =′′′=′′=′==′′′−
15.3. ( ) ( ) ( ) ;10y,10y,00y,0yy =′′−=′==′′−′′′
15.4. ( ) ( ) ( ) ;40y,20y,00y,0y4y =′′=′==′−′′′
265
15.5. ( ) ( ) ( ) ;10y,10y,00y,0yy =′′=′==′+′′′
15.6. ( ) ( ) ( ) ;40y,20y,00y,0yy =′′=′==′−′′′
15.7. ( ) ( ) ( ) ( ) ;80y,00y,00y,00y,0y2yy2y IV =′′′=′′=′==−′−′′′+
15.8. ( ) ( ) ( ) ;140y,00y,00y,0y3y5yy =′′=′==+′−′′+′′′
15.9. ( ) ( ) ( ) ;10y,10y,00y,0yy −=′′=′==′′+′′′
15.10. ( ) ( ) ( ) ;00y,10y,00y,0y4y8y5y =′′−=′==−′+′′−′′′
15.11. ( ) ( ) ( ) ;20y,00y,00y,0y2y3y =′′=′==′+′′+′′′
15.12. ( ) ( ) ( ) ;10y,00y,10y,0yy3y3y =′′=′−==+′+′′+′′′
15.13. ( ) ( ) ( ) ;00y,00y,5,20y,0y18y9y2y =′′=′−==−′+′′−′′′
15.14. ( ) ( ) ( ) ;180y,90y,00y,0y9y −=′′=′==′+′′′
15.15. ( ) ( ) ( ) ;1330y,10y,00y,0y12y13y =′′=′==′+′′−′′′
15.16. ( ) ( ) ( ) ( ) ;00y,20y,10y,20y,0y4y5y IV =′′′=′′=′−==+′′−
15.17. ( ) ( ) ( ) ( ) ;10y,00y,00y,00y,0y9y10y IV =′′′=′′=′==+′′−
15.18. ( ) ( ) ( ) ;80y,00y,00y,0yyyy =′′=′==−′+′′−′′′
15.19. ( ) ( ) ( ) ;40y,10y,00y,0yy3y3y =′′=′==−′+′′−′′′
15.20. ( ) ( ) ( ) ;60y,00y,10y,0y4y4yy −=′′=′−==−′+′′−′′′
15.21. ( ) ( ) ( ) ( ) ;20y,10y,00y,00y,0yy2y IV =′′′=′′=′==+′′−
15.22. ( ) ( ) ( ) ( ) ;00y,40y,00y,00y,0yy IV =′′′−=′′=′==−
15.23. ( ) ( ) ( ) ( ) ;80y,00y,00y,00y,0y16y IV −=′′′=′′=′==−
15.24. ( ) ( ) ( ) ;120y,00y,00y,04y4yy =′′=′==−′−′′+′′′
15.25. ( ) ( ) ( ) ;90y,30y,10y,0y12yy2y −=′′−=′==+′+′′+′′′
15.26. ( ) ( ) ( ) ( ) ;20y,00y0y0y,0y9y6y IV =′′′=′′=′==′′+′′′−
15.27. ( ) ( ) ( ) ;30y,20y,00y,0yy2y −=′′=′==′+′′+′′′
15.28. ( ) ( ) ( ) ;10y,00y,10y,0yyyy =′′=′−==+′−′′−′′′
15.29. ( ) ( ) ( ) ( ) ;160y,10y,40y,10y,0y4y5y IV −=′′′−=′′=′==′′+′′′+
15.30. ( ) ( ) ( ) ( ) .270y,90y,30y,10y,0y9y10y IV −=′′′−=′′=′==+′′−
Задание №16 Решить дифференциальные уравнения
16.1.
+=′+=′
;y4x3y
,yx2x 16.2.
+−=′−=′
;yx4y
,yxx
16.3.
+=′−−=′;yxy
,y3x2x 16.4.
−=′−−=′
;xy
,y3x2x
266
16.5.
+−=′−=′
;y4x4y
,yxx 16.6.
+−=′+−=′
;y2x3y
,yx2x
16.7.
+=′−=′
;y2x3y
,yx6x 16.8.
−−=′+=′
;y3xy
,yx2x
16.9.
=′=′
;xy
,yx 16.10.
+=′−−=′
;y4x3y
,y2xx
16.11.
=′−=′;xy
,y2x 16.12.
+=′+=′
;y6x4y
,y2x4x
16.13.
+=′−=′
;yx2y
,y3x8x 16.14.
+=′+=′
;y3xy
,yx3x
16.15.
+=′+=′
;y4x5y
,y3x2x 16.16.
+=′+=′
;y6x3y
,y2xx
16.17.
+=′+=′
;y5x4y
,y4x5x 16.18.
+=′+=′
;y3x4y
,y2xx
16.19.
+=′+=′
;yxy
,y4xx 16.20.
+=′−=′
;y8x2y
,y2x3x
16.21.
+=′+=′
;y3x2y
,y4xx 16.22.
+=′+=′
;y5xy
,y3x7x
16.23.
+−=′−=′
;y4xy
,yx4x 16.24.
+=′+=′
;y4xy
,y8x2x
16.25.
+=′+=′
;y3x3y
,y8x5x 16.26.
+=′+=′
;yx8y
,yx3x
16.27.
−=′−=′
;y6xy
,y5xx 16.28.
−=′+−=′;y6xy
,y2x5x
16.29.
−−=′+=′
;y5x8y
,y3x6x 16.30.
+−=′−=′
.y4x8y
,y8x4x
267
Задание №17 Решить дифференциальные уравнения
17.1. ;1e
eyy
x
x
+=−′′ 17.2. ;
x2cos
1y4y =+′′
17.3. ;xsin
ey5y4y
x2
=+′−′′ 17.4. ;xcos
xsinyy
2=+′′
17.5. ;x3sin
1y9y =+′′ 17.6. ;
ex
1yy2y
x⋅=+′+′′
17.7. ;xcos
eyy2y
x−=+′+′′ 17.8. ;
xsin
eyy2y
2
x
=+′−′′
17.9. ;xctgeyy2y x−=+′+′′ 17.10. ;x
eyy2y
2
x
=+′−′′
17.11. ;x
eyy2y
2
x
=+′−′′ 17.12. ;xtgyy =+′′
17.13. ;x2ctgy4y =+′′ 17.14. ;xctgyy =+′′
17.15. ;x
eyy2y
x
=+′−′′ 17.16. ;x
eyy2y
x−=+′+′′
17.17. ;xcos
1yy =+′′ 17.18. ;
xsin
1yy =+′′
17.19. ;x2sin
1y4y =+′′ 17.20. ;x2tgy4y =+′′
17.21. ;x
ey4y4y
3
x2−=+′+′′ 17.22. ;
x
ey4y4y
3
x2
=+′−′′
17.23. ;1xe3yy2y x +=+′+′′ − 17.24. ;xctgyy 2−=+′′
17.25. ( );ecoseyy xx2 ⋅=−′′ 17.26. ( );esineyy xx2 ⋅=′−′′
17.27. ;xtgyy 2=+′′ 17.28. ;xsin
2yy
2=+′′
17.29. ;x2sin
1y4y =+′′ 17.30. .
x3cos
1y9y =+′′
268
Задание №18
Решить первую смешанную задачу для волнового уравнения на отрезке.
18.1 ( ) ( ) ( )( ) ( ) .0t,1u,0t,0u
,00,xu,1xx0,xu
,t0,1x0,uu
t
xxtt
===−=
∞<<<<=
18.2 ( ) ( ) ( )( ) ( ) .0t,2/3u,0t,0u
,00,xu,2/3xx0,xu
,t0,2/3x0,uu
t
xxtt
===−=
∞<<<<=
18.3 ( ) ( ) ( )( ) ( ) .0t,3u,0t,0u
,00,xu,3xx0,xu
,t0,3x0,u9u
t
xxtt
===−=
∞<<<<=
18.4 ( ) ( ) ( )( ) ( ) .0t,2u,0t,0u
,00,xu,2xx0,xu
,t0,2x0,u4u
t
xxtt
===−=
∞<<<<=
18.5 ( ) ( ) ( )( ) ( ) .0t,2/1u,0t,0u
,00,xu,2/1xx0,xu
,t0,2/1x0,u4/1u
t
xxtt
===−=
∞<<<<=
18.6 ( ) ( ) ( )( ) ( ) .0t,1u,0t,0u
,00,xu,1xx0,xu
,t0,1x0,u4u
t
xxtt
===−=
∞<<<<=
18.7 ( ) ( ) ( )( ) ( ) .0t,3/2u,0t,0u
,00,xu,3/2xx0,xu
,t0,3/2x0,u9/4u
t
xxtt
===−=
∞<<<<=
18.8 ( ) ( ) ( )( ) ( ) .0t,2/1u,0t,0u
,00,xu,2/1xx0,xu
,t0,2/1x0,u4u
t
xxtt
===−=
∞<<<<=
269
18.9 ( ) ( ) ( )( ) ( ) .0t,2u,0t,0u
,00,xu,2xx0,xu
,t0,2x0,uu
t
xxtt
===−=
∞<<<<=
18.10 ( ) ( ) ( )( ) ( ) .0t,3u,0t,0u
,00,xu,3xx0,xu
,t0,3x0,u16u
t
xxtt
===−=
∞<<<<=
18.11 ( ) ( ) ( )( ) ( ) .0t,2u,0t,0u
,00,xu,2xx0,xu
,t0,2x0,u16u
t
xxtt
===−=
∞<<<<=
18.12 ( ) ( ) ( )( ) ( ) .0t,1u,0t,0u
,00,xu,1xx0,xu
,t0,1x0,u9u
t
xxtt
===−=
∞<<<<=
18.13 ( ) ( ) ( )( ) ( ) .0t,2/1u,0t,0u
,00,xu,2/1xx0,xu
,t0,2/1x0,u9/1u
t
xxtt
===−=
∞<<<<=
18.14 ( ) ( ) ( )( ) ( ) .0t,3u,0t,0u
,00,xu,3xx0,xu
,t0,3x0,uu
t
xxtt
===−=
∞<<<<=
18.15 ( ) ( ) ( )( ) ( ) .0t,1u,0t,0u
,00,xu,1xx0,xu
,t0,1x0,u16u
t
xxtt
===−=
∞<<<<=
18.16 ( ) ( ) ( )( ) ( ) .0t,2/3u,0t,0u
,00,xu,2/3xx0,xu
,t0,2/3x0,u9u
t
xxtt
====
∞<<<<=
18.17 ( ) ( ) ( )( ) ( ) .0t,3u,0t,0u
,00,xu,3xx0,xu
,t0,3x0,u4u
t
xxtt
===−=
∞<<<<=
270
18.18 ( ) ( ) ( )( ) ( ) .0t,2u,0t,0u
,00,xu,2xx0,xu
,t0,2x0,u4/1u
t
xxtt
===−=
∞<<<<=
18.19 ( ) ( ) ( )( ) ( ) .0t,1u,0t,0u
,00,xu,1xx0,xu
,t0,1x0,u4/1u
t
xxtt
===−=
∞<<<<=
18.20 ( ) ( ) ( )( ) ( ) .0t,2/1u,0t,0u
,00,xu,2/1xx0,xu
,t0,2/1x0,uu
t
xxtt
===−=
∞<<<<=
18.21 ( ) ( ) ( )( ) ( ) .0t,2u,0t,0u
,00,xu,2xx0,xu
,t0,2x0,u9/1u
t
xxtt
===−=
∞<<<<=
18.22 ( ) ( ) ( )( ) ( ) .0t,2/3u,0t,0u
,00,xu,2/3xx0,xu
,t0,2/3x0,u1/9u
t
xxtt
===−=
∞<<<<=
18.23 ( ) ( ) ( )( ) ( ) .0t,1u,0t,0u
,00,xu,1xx0,xu
,t0,1x0,u9/1u
t
xxtt
===−=
∞<<<<=
18.24 ( ) ( ) ( )( ) ( ) .0t,3u,0t,0u
,00,xu,3xx0,xu
,t0,3x0,u1/9u
t
xxtt
===−=
∞<<<<=
18.25 ( ) ( ) ( )( ) ( ) .0t,2/1u,0t,0u
,00,xu,2/1xx0,xu
,t0,2/1x0,u9u
t
xxtt
===−=
∞<<<<=
18.26 ( ) ( ) ( )( ) ( ) .0t,2u,0t,0u
,00,xu,2xx0,xu
,t0,2x0,u9u
t
xxtt
===−=
∞<<<<=
271
18.27 ( ) ( ) ( )( ) ( ) .0t,3u,0t,0u
,00,xu,3xx0,xu
,t0,3x0,u4/1u
t
xxtt
===−=
∞<<<<=
18.28 ( ) ( ) ( )( ) ( ) .0t,1u,0t,0u
,00,xu,1xx0,xu
,t0,1x0,u9/1u
t
xxtt
===−=
∞<<<<=
18.29 ( ) ( ) ( )( ) ( ) .0t,2/3u,0t,0u
,00,xu,2/3xx0,xu
,t0,2/3x0,u9/4u
t
xxtt
===−=
∞<<<<=
18.30 ( ) ( ) ( )( ) ( ) .0t,2u,0t,0u
,00,xu,2xx0,xu
,t0,2x0,u9/1u
t
xxtt
===−=
∞<<<<=
18.31 ( ) ( ) ( )( ) ( ) .0t,1u,0t,0u
,00,xu,1xx0,xu
,t0,1x0,u4/9u
t
xxtt
===−=
∞<<<<=
Задание №19
Найти решение первой смешанной задачи для уравнения теплопроводности на отрезке:
19.1 ,0t,3x0,u16u xxt ><<′′=′
( )
( ) ( ) 0t,3ut,0u
3x2/3,x3
2/3x0,3/x0,xu
2
==
≤<−≤≤=
19.2 ,0t,2x0,uu xxt ><<′′=′
( )
( ) ( ) 0t,2ut,0u
2x1,x2
1x0,x0,xu
2
==
≤<−≤≤=
19.3 ,0t,5x0,u25u xxt ><<′′=′
272
( )
( ) ( ) 0t,5ut,0u
5x2/5,x5
2/5x0,5/x20,xu
2
==
≤<−≤≤=
19.4 ,0t,4x0,u16u xxt ><<′′=′
( )
( ) ( ) 0t,4ut,0u
4x2,x4
2x0,2/x0,xu
2
==
≤<−≤≤=
19.5 ,0t,5x0,u4u xxt ><<′′=′
( )
( ) ( ) 0t,5ut,0u
5x2/5,x5
2/5x0,3/x20,xu
2
==
≤<−≤≤=
19.6 ,0t,3x0,uu xxt ><<′′=′
( )
( ) ( ) 0t,3ut,0u
3x2/3,x3
2/3x0,3/x20,xu
2
==
≤<−≤≤=
19.7 ,0t,8x0,u25u xxt ><<′′=′
( )
( ) ( ) 0t,8ut,0u
8x4,x8
4x0,4/x0,xu
2
==
≤<−≤≤=
19.8 ,0t,2x0,u9u xxt ><<′′=′
( )
( ) ( ) 0t,2ut,0u
2x1,x2
1x0,x0,xu
2
==
≤<−≤≤=
19.9 ,0t,1x0,u16u xxt ><<′′=′
( )
( ) ( ) 0t,1ut,0u
1x2/1,x1
2/1x0,x20,xu
2
==
≤<−≤≤=
273
19.10 ,0t,4x0,u4u xxt ><<′′=′
( )
( ) ( ) 0t,4ut,0u
4x2,x4
2x0,2/x0,xu
2
==
≤<−≤≤=
19.11 ,0t,10x0,u9u xxt ><<′′=′
( )
( ) ( ) 0t,10ut,0u
10x5,x10
5x0,5/x0,xu
2
==
≤<−≤≤=
19.12 ,0t,9x0,u25u xxt ><<′′=′
( )
( ) ( ) 0t,9ut,0u
9x2/9,x9
2/9x0,9/x0,xu
2
==
≤<−≤≤=
19.13 ,0t,3x0,u9u xxt ><<′′=′
( )
( ) ( ) 0t,3ut,0u
3x2/3,x3
2/3x0,3/x20,xu
2
==
≤<−≤≤=
19.14 ,0t,5x0,uu xxt ><<′′=′
( )
( ) ( ) 0t,5ut,0u
5x2/5,x5
2/5x0,5/x20,xu
2
==
≤<−≤≤=
19.15 ,0t,7x0,u4u xxt ><<′′=′
( )
( ) ( ) 0t,7ut,0u
7x2/7,x7
2/7x0,7/x20,xu
2
==
≤<−≤≤=
19.16 ,0t,1x0,u25u xxt ><<′′=′
( )
( ) ( ) 0t,1ut,0u
1x2/1,x1
2/1x0,x20,xu
2
==
≤<−≤≤=
274
19.17 ,0t,4x0,u9u xxt ><<′′=′
( )
( ) ( ) 0t,4ut,0u
4x2,x4
2x0,2/x0,xu
2
==
≤<−≤≤=
19.18 ,0t,10x0,uu xxt ><<′′=′
( )
( ) ( ) 0t,10ut,0u
10x5,x10
5x0,5/x0,xu
2
==
≤<−≤≤=
19.19 ,0t,2x0,u4u xxt ><<′′=′
( )
( ) ( ) 0t,2ut,0u
2x1,x2
1x0,x0,xu
2
==
≤<−≤≤=
19.20 ,0t,8x0,u16u xxt ><<′′=′
( )
( ) ( ) 0t,8ut,0u
8x4,x8
4x0,4/x0,xu
2
==
≤<−≤≤=
19.21 ,0t,1x0,uu xxt ><<′′=′
( )
( ) ( ) 0t,1ut,0u
3x2/3,x3
2/3x0,x20,xu
2
==
≤<−≤≤=
19.22 ,0t,4x0,u25u xxt ><<′′=′
( )
( ) ( ) 0t,4ut,0u
4x2,x4
2x0,2/x0,xu
2
==
≤<−≤≤=
19.23 ,0t,16x0,u16u xxt ><<′′=′
275
( )
( ) ( ) 0t,6ut,0u
6x3,x6
3x0,3/x0,xu
2
==
≤<−≤≤=
19.24 ,0t,1x0,u4u xxt ><<′′=′
( )
( ) ( ) 0t,1ut,0u
1x2/1,x1
2/1x0,x20,xu
2
==
≤<−≤≤=
19.25 ,0t,5x0,u9u xxt ><<′′=′
( )
( ) ( ) 0t,5ut,0u
5x2/5,x5
2/5x0,5/x20,xu
2
==
≤<−≤≤=
19.26 ,0t,6x0,u25u xxt ><<′′=′
( )
( ) ( ) 0t,6ut,0u
6x3,x6
3x0,3/x0,xu
2
==
≤<−≤≤=
19.27 ,0t,12x0,u16u xxt ><<′′=′
( )
( ) ( ) 0t,12ut,0u
12x6,x12
6x0,6/x0,xu
2
==
≤<−≤≤=
19.28 ,0t,2x0,u16u xxt ><<′′=′
( )
( ) ( ) 0t,2ut,0u
2x1,x2
1x0,x0,xu
2
==
≤<−≤≤=
19.29 ,0t,6x0,u4u xxt ><<′′=′
( )
( ) ( ) 0t,6ut,0u
6x3,x6
3x0,3/x0,xu
2
==
≤<−≤≤=
276
19.30 ,0t,3x0,u36u xxt ><<′′=′
( )
( ) ( ) 0t,3ut,0u
3x2/3,x3
2/3x0,3/x0,xu
2
==
≤<−≤≤=
19.31 ,0t,8x0,u9u xxt ><<′′=′
( )
( ) ( ) 0t,8ut,0u
8x4,x8
4x0,4/x0,xu
2
==
≤<−≤≤=
277
3.4. ЛАБОРАТОРНЫЕ РАБОТЫ
3.4.1. Лабораторная работа №1
«Приближенное решение дифференциального уравнения 1 – го порядка,
удовлетворяющее условию задачи Коши. Метод Эйлера»
Пусть требуется найти приближенное решение дифференциального
уравнения ( )y,xfy =′ , удовлетворяющее начальному условию ( ) 00 yxy = .
Численное решение задачи состоит в построении таблицы приближенных
значений n21 y;...;y;y решения уравнения ( )xy в точках n21 x;...;x;x . Чаще
всего .n...;2,1i,ihxx 0i =+= Точки ix называются узлами сетки, а величина h
– шагом ( )0h > .
В методе Эйлера величины iy вычисляются по формуле
( ) ,...2,1,0i,y;xfhyy iii1i =⋅+=+ (3.4.1)
Этот метод относится к группе одношаговых методов, в которых для
расчета точки ( )1i1i y;x ++ требуется информация о последней вычисленной
точке ( )ii y;x . Для оценки погрешности метода на одном шаге сетки разложим
точное решение в ряд Тейлора в окрестности узла ix :
( ) ( ) ( ) ( ) ( )=+⋅′+=+=+2
iii1i h0hxyxyhxyxy
( ) ( ) ( )2iii h0yxfhxy +⋅+= (3.4.2)
Сравнение формул (3.4.1) с разложением (3.4.2) показывает, что они
согласуются до членов первого порядка по h, а погрешность формулы (3.4.1)
равна ( )2h0 . Если расчетные формулы численного метода согласуются с
разложением в ряд Тейлора до членов порядка hp, то число p называется
порядком метода. Таким образом, метод Эйлера метод первого порядка.
278
Задание к лабораторной работе №1 Найти приближенное решение дифференциального уравнения 1 – го
порядка, удовлетворяющее условию задачи Коши методом Эйлера на отрезке [0;3] с шагом 0,1
( ) ( ) 021 y0y,y,y,xfdx
dy ==
Номер вар.
( )21 y,y,xf 1y 2y 0y
1 0,01 0,5 2 0,02 1/3 3 0,03 0,25 4 0,04 0,2 5 0,05 1/6 6 0,06 1/7 7 0,07 0,125 8 0,08 1/9 9 0,09 0,1 10
1x8,0
2 y2ey +⋅− x2sin
0,10 1/11 11 0,01 0,5 12 0,02 1/3 13 0,03 0,25 14 0,04 0,2 15 0,05 1/6 16 0,06 1/7 17 0,07 0,125 18 0,08 1/9 19 0,09 0,1 20
( ) 1y2 eyxtg +⋅ 1x2 2 −
0,10 1/11 21 0,01 0,5 22
( ) ( )π−⋅− 212 xyyxcos 3xe− 0,02 1/3
23 0,03 0,25 24 0,04 0,2 25 0,05 1/6 26 0,06 1/7 27 0,07 0,125 28 0,08 1/9 29 0,09 0,1 30
( ) ( )π−⋅− 212 xyyxcos
3xe−
0,10 1/11
279
3.4.2. Лабораторная работа №2 «Приближенное решение задачи Коши для нормальной системы
дифференциальных уравнений методом Эйлера» Пусть требуется найти решение системы дифференциальных уравнений
( )
( )
( )
=′
=′
=′
,y;...;y;y;xfy
,y;...;y;y;xfy
1
,y;...;y;y;xfy
n21nn
n2122
n211i
удовлетворяющее начальным условием ( ) ( ) ,yxy,yxy 20021001 ==
( ) 0n0n yxy = .
Приближенные значения kiy точного решения ( )ik xy в точках ix вычисляются по формулам
( ) ( ) ( )( )1in1i21i1i1k1kiki y,y,y,xhfyy −−−−− += , (3.4.3.)
,...2,1i,n,...,2,1k ==
Задание к лабораторной работе №2 Приближенные решения задачи Коши системы дифференциальных
уравнений методом Эйлера на отрезке [ ]3;0 с шагом h=0,3
( )
=
=
;y,y,xfdx
yd
,yxd
yd
212
21
( )( )
==
.y0y
,00y
202
1
Номер вар.
( )21 y,y,xf a 20y
1 0,01 0,5 2 0,02 1/3 3 0,03 0,25 4 0,04 0,2 5 0,05 1/6 6 0,06 1/7 7 0,07 0,125 8 0,08 1/9 9
x8,0ea ⋅⋅−
0,09 0,1 10 0,01 0,5 11 0,02 1/3 12
12 yyxa −⋅⋅− 0,03 0,25
280
13 0,04 0,2 14 0,05 1/6
15 0,01 0,5 16 0,02 1/3 17
x1 eya −⋅⋅−
0,03 0,25 18 x2,1e04,0 −⋅− - 0,2
19 x8,0e04,0 −⋅− - 0,2
20 0,01 0,5 21 0,02 1/3 22 0,03 0,25 23 0,04 0,2 24 0,05 1/6 25 0,06 1/7 26 0,07 0,125 27 0,08 1/9 28 0,09 0,1 29 0,10 1/11 30
12
2 yxyxa −⋅⋅−
0,10 1/12
3.4.3. Лабораторная работа №3 «Решение краевой задачи для линейного дифференциального уравнения
второго порядка методом прогонки»
Пусть на отрезке [ ]b,a требуется найти решение дифференциального уравнения
( ) ( ) ( )xfyxgyxpy =⋅+′+′′ , (3.4.4) удовлетворяющее следующим краевым условиям:
( ) ( ) ( ) ( )
0dd;0cc
dbydbyd;caycayc
2121
2121
≠+≠+=′+=′+
(3.4.5)
Численное решение задачи состоит в нахождении приближенных значений n210 y,...,y,y,y неполного решения ( )xy в точках .x,...,x,x n10
Точки n10 x,...,x,x - узлы сетки. Используем равномерную сетку,
образованную системой равноотстоящих узлов .n,...,2,1,0i,ihxx 0i =+= При
этом ( ) .n/abh,bx,ax n0 −=== Величина h – шаг сетки. Пусть
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .yxu;yxy;yxy;fxf;gxg;pxp iiiiiiiiiiii ′′=′′′=′====
Аппроксимируем ( ) ( )ii xyиxy ′′′ в каждом внутреннем узле центральными разностными производными
( ) ( ) ( ) ( )22
1ii1ii
21i1ii h0
h
yy2yxy,h0
h2
yyxy ++−=′′+−=′ −+−+
281
и на концах отрезка – односторонними производными ( ),h0h
yyy 01
0 +−=′
( ).h0h
yyy 1nn
n +−=′ −
Используя эти формулы, получаем разностную аппроксимацию исходной задачи
.dh
yydyd,c
h
yycyc
1n,...,2,1i;fyqh2
yyp
h
yy2y
1n2n1
21101
iii1i1i
i21ii1i
=−+=−+
−==+−++− −+−+
(3.4.6)
Чтобы найти приближенные значения y0,y1,…,yn искомого решения, необходимо решить систему n+1 линейных уравнений (3.4.5) с n+1 неизвестным. Эту систему можно решить одним из стандартных методов решения систем линейных уравнений. Однако матрица системы (3.4.6) трехдиагональная, поэтому для ее решения применим специальный метод, называемый методом прогонки.
Перепишем систему (3.4.6) следующим образом:
ϕ=β+α−=ϕ=⋅γ+⋅β+α
ϕ=γ+β
−
+−
nnn1nn
i1iiii1i1
01000
yy
1n,...,2,1i;yyy
yy
(3.4.7)
где
.hd;dhq
,d,1n,...,2,1i,hp2
11,2hd
,hp21
1;h,hc;c;chc
n21n
2niiii
ii2
ii020210
=ϕ+=β
−=α−=+=γ−=β
−=αγ=ϕ=ϕ=γ−=β
Будем искать решение системы в виде 1iii yViUy +⋅+= (3.4.8) тогда для Ui и Vi получаем следующее рекуррентные формулы:
.n,...,2,1,0i;V
UU,
VV
iii
1iiii
1iii
ii =
α+βα−ϕ=
α+βγ−= −
−
Чтобы сделать схему счета однородной, положим 0,0 n0 =γ=α . Прямой ход прогонки состоит в последовательном вычислении коэффициентов Vi и Ui, исходя из значений 000000 /U;/V βϕ=βγ−= . При обратном ходе прогонки
по формуле (3.4.8.) последовательно определяются величины n1nn y,...,y,y − .
Так как ,Uyи0Vто,0 nnnn ===γ т.е. в прямом ходе прогонки
вычисляются величины ii V,U и приближенное значение yn на правом конце
отрезка. Остальные величины 02n1n y,...,y,y −− вычисляются в обратном ходе
282
прогонки по рекуррентной формуле (3.4.8). Таким образом, метод прогонки позволяют найти точное решение системы (3.4.6), значит, погрешность решения краевой задачи (3.4.4) – (3.4.5) определяется только погрешностью разностной аппроксимации исходной задачи (3.4.6) и равна 0(h). Так как h=(b-a)/n, то выбирая n достаточно большим, можно добиться уменьшения погрешности ценой увеличения объема вычислений при решении системы (3.4.6). При практической оценке погрешности найденного решения обычно используется двойной пересчет и правило Рунге. Если y(xi) – точное значение решения в узле iyii yиa;x приближением значения решения в том же узле,
полученные соответственно с шагом h и h/2, то оценка погрешности решения yi определяется формулой
( ) .3/yyxyy iiii −≈−
Задание к лабораторной работе №3
На отрезке [а; b] решить методом прогонки линейную краевую задачу ( ) ( ) ( ),xfyxqyxpy =⋅+′⋅+′′
( ) ( ) ,caycayc 21 =′⋅+⋅
( ) ( ) .dbydbyd 21 =′⋅+⋅
Здесь ( ) .0xf,0dc,1dc 2211 =====
Номер вар.
( )xp ( )xq a b c d 1α
2α
β
1 0 0,8 -0,5 0,5 2 0 6 2 0 0,8 0 0,1 2 0 12 3 0 0,8 -0,37 -0,2 2 0 20 4 0 0,8 0 -0,4 2 0 30 5 0 0,8 0 -0,1 1,4 0 27 6 0 0,8 0 -0,3 1,8 0 29 7 0 0,8 0 -0,5 2,2 0 31 8 0 0,8 0 -0,8 2,6 0 33 9 0 0,8 0 -1,3 3 0 35 10 0 0,6 0,2 0,8 1,5 2,5 33 11 0 0,6 0,15 0,2 1,7 2,7 33,5 12 0 0,6 -,05 0,2 1,9 2,9 34,5 13 0 0,6 -0,1 -0,6 2,1 3,1 35,5 14 0 0,6 -0,2 -1,2 2,3 3,3 36,5 15 0 0,6 -0,5 -1,2 2,5 3,5 37,5 16
1x
x2
21
−α+α
2x1−
β
0 0,6 0,4 -0,9 2,3 2,7 33,5 17 0 0,8 0 0,89 0 3 15 18 0 0,8 1 -0,13 0 3 24 19 1x
x2
21
−α+α
2x1−
β
0 0,8 0 -1,1 0 3 35
283
20 0 0,8 0 -0,35 0 1 9 21 0 0,8 0 -0,84 0 1 16 22 0 0,8 0 -0,99 0 1 25 23 0 0,8 0 -0,75 0 1 49 24 0 0,8 0 -0,21 0 1 25 2 0,5 3 1 6 26 4 0,5 3 -1 3,4 27
x2− 6 0,5 3 -5 1,8
28 1 5 -0,5 2 29 1 5 -0,67 3 30 x
x1−
x
β
1 5 -0,63 4
3.4.4. Лабораторная работа №4 «Табулирование решений уравнений математической физики»
Постановка задачи: Наиболее распространенным методом решения
уравнений математической физики является метод Фурье (метод разделения переменных).
Метод Фурье позволяет записать решение уравнения в частных производных в виде бесконечного ряда. Для наглядной интерпретации полученного решения требуется умение получать числовые значения решения и строить его график. Эта задача, в свою очередь, сводится к необходимости нахождения суммы ряда с заданной точностью при различных значениях аргументов. Указанная процедура требует достаточно большого количества вычислений. Поэтому табулирование методом Фурье с высокой точностью возможно только с применением ЭВМ.
Алгоритм решения 1. Уравнения гиперболического типа Рассмотрим одномерное волновое уравнение (уравнение колебаний струны)
2
22
2
2
x
Uc
t
U
∂∂=
∂∂
, l<< x0 , 0t > (3.4.9)
при следующих начальных:
( ) ( )x0,xU ϕ= , ( ) ( )x0,xt
U ψ=∂∂
(3.4.10)
и граничных условиях:
284
( ) 0t,0U = , ( ) 0t,U =l . (3.4.11) Условия (3.4.11) соответствуют закреплению струны на ее концах. Решение задачи (3.4.9) – (3.4.11) получается методом Фурье и имеет вид
( )ll
l
l
nxsin
nctsin
nc
nctcost,xU
1nnn
π
πψπ
+πϕ= ∑∞
=, (3.4.12)
где nϕ и nψ - коэффициенты Фурье ( )xϕ и ( )xψ :
( ) dxnx
sinx2
0n
ll
l πϕ=ϕ ∫ ,
( ) dxnx
sinx2
0n
ll
l πψ=ψ ∫ .
Задачей табулирования является получение решения с точностью ε в
узловых точках ihx i = , τ= jt j , m,...,1i = ; n,...,1j = , где m
hl= - шаг
табулирования по x , τ - шаг табулирования по t . Для этой цели необходимо в каждой точке ( )ji t,x найти конечную сумму
ll
l
l
iN
1n
jnjnij
nxsin
nctsin
nc
nctcosU
~ π
ππψ
+π
ϕ= ∑=
, (3.4.13)
где N выбирается из условия, что остаток ряда по абсолютной величине меньше требуемой точности ε , т.е.
ε<π
ππψ
+π
ϕ∑∞
+=i
1Nn
jnjn x
nsin
nctsin
nc
nctcos
ll
l
l.
Алгоритм нахождения (3.4.13) на ЭВМ достаточно прост. Основная сложность, которая может возникнуть, - это определение числа
N. Для решения этого вопроса необходимо найти некоторую функцию ( )ji t,x,NF несложного для расчета вида, которая удовлетворяет следующим
условиям:
0FlimN
=∞→
, ( ) ( )jijiN t,x,NFt,xr <∗ .
Тогда число N (количество слагаемых в сумме (3.4.13) можно для каждой узловой точки определить как наименьшее число n, для которого выполняется неравенство
( ) ε<ji t,x,nF .
Рассмотрим, как строится такая функция, на конкретном примере.
285
ПРИМЕР 3.4.1. 2
22
2
2
x
Uc
t
U
∂∂=
∂∂
, l<< x0 , 0t > ;
( ) ( )2
xx0,xU
l
l −= , ( ) 00,xt
U =∂∂
;
( ) ( ) 0t,Ut,0U == l .
Решение: Решение этой задачи согласно (3.4.12) имеет вид
( )( )
( ) ( )ll
x1k2sin
ct1k2cos
1k2
18t,xU
0k33
+π+π+π
= ∑∞
=.
Найдем оценку остатка ряда
( )( ) ( ) ( )23
N33
1Nk33jiN
1N2
2
1k2
dx8
1k2
18t,xr
+π=
+π≤
+π≤ ∫∑
∞∞
+=.
2. Уравнения параболического типа Рассмотрим одномерное неоднородное уравнение теплопроводности
( )t,xfx
Ua
t
U2
22 +
∂∂=
∂∂
, l<< x0 , 0t >
с граничными условиями
( )tUx
U1
0x11 ψ=
β+∂∂α
=
,
( )tUx
U2
x22 ψ=
β+∂∂α
=l
и начальным условием ( ) ( )x0,xU ϕ= .
Его решение методом Фурье имеет вид
( ) ( ) ( ) ( )xXtTCt,xUt,xU k1k
kk0 ⋅⋅+= ∑∞
=, (3.4.14)
где ( )t,xU0 , ( )tTk , ( )xX k - известные функции, зависящие от ( )t,xf и
граничных условий; kÑ - коэффициенты, определяемые из начальных условий.
Схема вычислений при табулировании функции ( )t,xU по формуле (3.4.14) аналогична п.1.
ПРИМЕР 3.4.2. ( )t,xfx
Ua
t
U2
22 +
∂∂=
∂∂
, l<< x0 , 0t > ;
( ) 10,xU = , 0t > ; ( ) 0t,0U = , ( ) 1t,U =l , l<< x0 .
Решение. Решая эту задачу методом Фурье, получим
286
( )( )
xn
sinn
e2xt,xU
1n
tna 2
ll
ππ
+= ∑∞
=
π−
.
Найдем оценку остатка ряда
( ) ( ) ∑∑∞
+=
π−⋅
π−∞
+= +π≤π
π≤
1Nk
tka
tka
1NkN
22
e1N
2x
ksine
k
2t,xr ll
l.
Для оценки скорости сходимости оставшегося ряда применим интегральную оценку для знакоположительных рядов
N
N
x
N
tx
1Nk
tka
e1
dxedxee2
22
α−∞
α−∞
−∞
+=
π−
α=≤≤ ∫∫∑ l , где t
a2
π=αl
.
Таким образом,
( ) ( )
π−
π+π≤ tN
aexp
at1N
2t,xr
2
Nl
l.
Задание к лабораторной работе №4 1. Протабулировать решение увеличения колебаний струны с закрепленными концами, имеющей в начальный момент форму
( ) ( ) ( ) ( )
−β+−α==ϕl
l
l
l
l
xxx0,xUx
2
22
,
которая начала колебаться без начальной скорости ( )( )0x ≡ψ . Ниже приведены значения параметров α и β (значения l и с взять равными 1).
Вариант α β 1 0,45 0,1 2 0,4 0,2 3 0,375 0,25 4 0,35 0,3 5 0,325 0,35 6 0,3 0,4 7 0,25 0,5 8 0,2 0,6 9 0,15 0,7 10 0,125 0,75 11 0,1 0,8 12 0,075 0,85 13 0,05 0,9 14 0,025 0,95 15 0 1
287
2. Протабулировать решение уравнения теплопроводности при начальных условиях
( ) ( )011 UUx
U0,xU −−−=l
l
и граничных условиях ( ) 1Ut,U =l ; ( ) 2Ut,0U = .
Значения параметров 0U , 1U , 2U , соответствующих данному варианту, приведены ниже. Значения параметров l и α положим равны 1.
Вариант 0U 1U 2U 16 0,9 0,4 0 17 0,8 0,5 0,1 18 0,7 0,4 0,2 19 0,6 0,1 0,3 20 0,5 0,9 0,9 21 0,9 0,5 0,5 22 0,2 0,1 0,5 23 1,0 0,7 0,5 24 0,8 0,1 0,5 25 0,8 0,5 0,4 26 0,2 0,4 0,7 27 0,1 0,3 0,6 28 0,2 0,2 0,7 29 0,1 0,4 0,8 30 0 1 0,9
Порядок выполнения работы:
1. В соответствии с вариантом составляется краевая задача. 2. Находится решение поставленной краевой задачи методом Фурье. 3. Производится оценка погрешности остатка ряда Фурье. 4. Проводятся расчеты и анализ результатов.
288
ЛИТЕРАТУРА
Основная литература:
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. –т. 2. М. Наука, 2003. – 416 с. 2. Игнатьева А.В. и др. Курс высшей математики. М. Высшая школа, 1964. – 688 с. 3. Краснов М.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М. Высшая школа, 1983. – 126 с. 4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. М. высшая школа. 2004. – 415 с. 5. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1977. – 735 с. 6. Араманович И.Г., Левин В.И. Уравнения математической физики. – М.: Наука 1969. – 286 с. 7. Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Основные дифференциальные уравнения математической физики. – М.: Наука, 1962. – 767 с. 8. Будак Б.М. – М.: Наука, 1980. – 687 с.
Дополнительная литература:
1. Очан Ю.С. Методы математической физики. – М.: Высшая школа, 1965. – 283 с.
Учебные пособия кафедры:
1. Методические указания к разделу «уравнения математической физики» (уравнения гиперболического типа)/Сост. Л.А. Сахарова, М.Ф. Степанова – Уфа: УНИ, 1989. – 41 с. 2. Математические указания к разделу «Уравнения математической физики» (уравнения параболического и эллиптического типов)/Сост. М.Ф. Степанова, Л.А. Сахарова. – Уфа: УНИ, 1991. – 40 с. 3. Методические указания к проведению лабораторной работы «Табулирование решений уравнений математической физики»/Сост. Р.Н. Бахтизин, Р.Я. Хайбуллин, А.Ф. Юкин – Уфа: УНИ, 1987. 4. Практикум по уравнениям математической физики. Сост. М.Ф. Степанова, В.А. Буренин, Л.А. Сахарова. – Уфа: УГНТУ, 2000.
![Pan Cogito i jego sukcesorzy - sbc.org.pl · SŚ – Struna światła, Zbigniew Herbert [1956] HPG – Hermes, pies i gwiazda, Zbigniew Herbert [1957] ... Zbigniew Herbert wobec poległych](https://img.pdfslide.tips/doc/110x75/5c76b9c009d3f2b0618beb3a/pan-cogito-i-jego-sukcesorzy-sbcorgpl-ss-struna-swiatla-zbigniew.jpg)
![iad I oj z KATARZVNA HERBERTgelberg.org/moj zbyszek.pdf · 2010. 7. 18. · - Jak-dlugo Zbigniew Herbert pracowal wblurze? - - ])o'czasu\vydania tomiku,,,Struna swia tla" wpoczatkach](https://img.pdfslide.tips/doc/110x75/610189d21f05282a07268063/iad-i-oj-z-katarzvna-zbyszekpdf-2010-7-18-jak-dlugo-zbigniew-herbert-pracowal.jpg)