SOMMARIO

La risposta delle strutture cilindriche soggette adazioni orizzontali presenta caratteristiche peculiariindividuabili mediante l’analisi in serie di Fourier.Sovrapponendo le forme modali estensionali, flessio-nali ed ovalizzanti che tale analisi evidenzia possonoessere studiate, con algoritmi semplici, configurazionidi carico complesse.

SUMMARY

In the paper the structural behaviour of cylindricalshells under lateral loadings is analysed by means ofthe Fourier series. The characteristic extensional, fle-xural and oval modal shapes are individuated, allowingto explain the response to complex lateral load pat-terns.

1. PREMESSA

Nella presente nota tecnica* si analizza il regime disforzi indotti in strutture cilindriche, quali silos e ser-batoi, dall’azione del vento, del sisma e del materialeinsilato con l’obiettivo di individuare soluzioni di sem-plice impiego, utili nelle fase di dimensionamento e diverifica. La tecnica utilizzata a questo scopo, segnatamente losviluppo in serie di Fourier, è ben nota e ricca di rife-rimenti in letteratura. Nella memoria se ne presentaun’applicazione utilizzando un modello a sottostruttu-

STRUTTURE CILINDRICHESOGGETTE AD AZIONIORIZZONTALI:UN APPROCCIO UNITARIO

MAURIZIO LENZI Direttore Tecnico, ACMAR di Ravenna

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re che permette di individuare i meccanismi resistentimobilitati dalle varie armoniche di carico a carattereestensionale, flessionale ed ovalizzante e di dedurre ivalori delle azioni interne relative a configurazioni dicarico complesse in base a semplici equazioni diequilibrio del regime di membrana. Viene analizzata la risposta delle strutture cilindrichedapprima all’azione del vento, che richiede l’analisi diun più ampio spettro di armoniche. Successivamentevengono esaminati, mediante analisi statiche equiva-lenti, gli effetti dell’azione sismica e delle operazioni disvuotamento nei silos, che si presentano come casiparticolari che possono essere studiati con un nume-ro limitato di armoniche.

2. STRUTTURE CILINDRICHE SOGGETTE ALLE AZIONI DEL VENTO

a) L’azione del vento sulle superfici cilindriche viene ingenere schematizzata, nell’ambito normativo ed insede di progetto, mediante una complessa distribu-

(*) La nota riporta i risultati salienti di uno studio sul tema “Analysisof cylindrical shells under lateral loadings: a unitary approach” con-dotto da M. Lenzi ed A. Gambi nell’ambito dei lavori di costruzionedi alcuni impianti di stoccaggio realizzati nell’area portuale diRavenna.

Fig. 1 - Distribuzione delle pressioni cinetiche su superfici cilin-driche lisce (a) e scabre (b).

zione di pressioni radiali che viene espressa in funzio-ne della scabrosità della superficie e dell’angolo (θ)formato tra la normale alla parete e la direzione diincidenza del vento (Fig. 1). Questa distribuzione di pressioni radiali può essereriprodotta mediante lo sviluppo in serie di Fourier:

nel quale qn = cn q rappresenta l’ampiezza armonicadella componente n-esima della serie, cn è il coeffi-ciente di pressione ad essa correlativo mentre q indi-vidua la pressione cinetica del vento. Considerandoad esempio i primi tre termini della serie, la pressionedel vento può essere descritta mediante l’equazioneseguente:

nella quale si possono assumere per i coefficienti cn ivalori approssimati riportati in Tab. I (Pozzati, [3].).Una descrizione esaustiva della distribuzione dellepressioni cinetiche in funzione del numero di Rey-nolds e della velocità del vento è riportata nell’Euro-codice 1 [09].

La scomposizione della pressione del vento nellecomponenti armoniche è riportata in fig. 2.

b) Si può constatare come alle varie componentiarmoniche del carico esterno corrispondano altrettan-ti meccanismi resistenti (fig. 3). Al primo termine dellaserie è associata infatti una risposta di tipo estensio-nale essendo, per il vento, negativo il primo termine dicarico (coq) corrispondendo questo ad una depressio-ne uniforme. Il secondo termine (c1q) dà invece origine ad una con-figurazione di carico non equilibrata e la risposta delcilindro è riconducibile a quella di una struttura amensola verticale soggetta alle varie quote alla risul-tante diretta secondo il vento incidente delle pressio-ni radiali agenti sulla sezione trasversale. Al terzo ter-mine (c2q) corrisponde a sua volta una componente dicarico autoequilibrata che induce, a causa delle inver-sioni di segno del carico, una ovalizzazione nellaparete cilindrica. Le armoniche superiori (n>2) man-tengono le medesime caratteristiche di carico ovaliz-zante autoequilibrato.S’intuisce pertanto che il regime tensionale indottodal vento risulti alquanto complesso e che la suaesatta individuazione sia possibile solo ricorrendo amodelli agli elementi finiti. Tuttavia gli aspetti salientidella risposta strutturale ed una affidabile valutazionedelle sollecitazioni più gravose può effettuarsi comedi seguito indicato.

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Fig. 2 - Scomposizione in serie di Fourier delle pressioni cinetiche.

Fig. 3 - Modello di strutture cilindriche soggette ad azioni orizzontali.

Tab. I. Coefficienti di pressione per superfici lisce e scabre.

Coefficienti della serie trigonometrica Tipo di Superficie co c1 c2

Liscia -1.037 0.625 1.412 Scabra -0.125 0.750 0.375

c) Il regime di sforzi in una parete cilindrica si compo-ne, come noto, sia di sforzi in regime di membranache agiscono nel piano tangente alla parete, sia disforzi in regime flessionale che agiscono nel piano

ortogonale alla parete. Per le strutture cilindriche ilregime di sforzi principale mediante il quale vengonofronteggiati i carichi esterni è quello di membranamentre, in genere, il regime flessionale interviene sololocalmente nel ripristino di condizioni di congruenzaai bordi, con effetti che si smorzano rapidamenteallontanandosi da questi.Le soluzioni delle equazioni differenziali di equilibrio diun concio infinitesimo di parete cilindrica mostranocome gli sforzi relativi al regime di membrana si pos-sano esprimere mediante un sviluppo in serie diFourier a variabili separate affine a quello della distri-buzione del carico esterno. Si possono quindi assu-mere per tali sforzi le espressioni seguenti:

essendo al solito Nv lo sforzo normale di meridiano, Np

lo sforzo normale di parallelo ed Sm lo sforzo taglian-te. La ricerca degli sforzi è pertanto ricondotta a quel-la delle loro ampiezze armoniche che si possonodeterminare in base a semplici condizioni di equili-brio.

d) La prima armonica di carico (n=0) induce nel cilin-dro, in regime di membrana, per ragioni di simmetriaradiale solo sforzi di parallelo (Np,0 = -qoR; NV,0 = 0; Sm,0 =0; R = raggio del cilindro). Si prendono quindi in esame le componenti armoni-che successive:

di indice>n1. Per le ipotesi assunte, nei punti lungo lacirconferenza in cui il carico qn(q) si annulla, l’unicacomponente di sforzo presente è lo sforzo tagliante.

Fig. 4 - Scomposizione della superficie cilindrica in sottostruttu-re (indice dell’armonica n=2).

Fig. 5 - Sforzi verticali equilibranti. Fig. 6 - Equilibrio alla traslazione di un concio di settore cilindrico.

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Isolando con due sezioni verticali un settore di paretecilindrica di estensione angolare 2α = π/n compresotra due punti di zero consecutivi e di altezza z misu-rata a partire dalla sommità libera del cilindro, gli sfor-zi di membrana in equilibrio con la risultante del cari-co esterno qn(z)cos(nθ) risultano essere gli sforzi nor-mali, Nv,n(zo) cos(nθ), che agiscono alla base del troncodi cilindro e la risultante degli sforzi taglianti, Sm,n(z),che agiscono lungo le due sezioni verticali dove sonostati operati i tagli (fig. 4).Notato che la risultante delle pressioni del ventoagenti su una striscia di settore cilindrico è direttalungo la bisettrice dell’angolo 2α, il momento esternoagente alla quota z vale:

essendo me(z) = � qn(zo)(z-zo)dzo il momento agente allabase di una striscia meridiana di larghezza unitaria edi altezza z, soggetta al carico qn(zo). Il momentoesterno complessivo viene equilibrato dalla coppiaformata dalla risultante, Vn, degli sforzi di meridianoagenti alla base e dalla risultante degli sforzi tagliantiverticali agenti lungo le due generatrici sezionate daitagli verticali (fig. 5). Il momento di questa coppia di forze coincide con ilmomento degli sforzi verticali di meridiano computa-to rispetto alla corda passante per i due punti di zero:

Eguagliando il momento esterno a quello interno si

ricava il valore dell’ampiezza armonica dello sforzo dimeridiano alla quota z ottenendo, a conti fatti:

relazione che mostra come gli sforzi di meridiano vari-no in altezza con legge affine al momento esterno. Larisultante di tali sforzi vale poi a sua volta:

Per determinare l’entità dello sforzo tagliante Sm,n(z) siopera alla Jourasky isolando un concio di settorecilindrico di altezza dz sulle cui sezioni orizzontali agi-scono in direzioni opposte le risultanti degli sforzi dimeridiano Vn e Vn+dVn (Fig. 6). Dall’equazione di equi-librio alla traslazione verticale:

si ricava poi l’ampiezza armonica dello sforzo taglian-te alla quota z, ottenendo la relazione:

che mostra un andamento con l’altezza affine a quel-lo del taglio esterno, te(z)= � qn(zo) dzo, agente alla basedi una striscia meridiana di larghezza unitaria e dialtezza z. Per quanto concerne infine lo sforzo di parallelo, que-sto si ricava dalla equazione di equilibrio in direzionedella normale alla superficie di un concio infinitesimodi cilindro in regime di membrana ottenendo:

Il quadro degli sforzi di membrana valutato alla basedi cilindro di altezza z nel caso di carico costante inaltezza è riepilogato in Tab. II.Per un carico idrostatico, q(z,θ) = qo z/H cos(nθ) siricava invece come indicato in Tab III.La condizione di carico crescente con l’altezza da unvalore nullo alla base ad un valore massimo in som-mità si deduce dalla combinazione dei due casi ele-mentari precedenti.

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Tab. II - Sforzi di membrana - carico uniforme q n(z)=qn cos(n ) Sforzi di membrana Armonica

nr Nv,n(z) p,n(z) m,n(z) n-esima n2qnz2/2R - q nR nq n z

Tab. III - Sforzi di membrana - carico lineare q n(z)=qnz/H cos(n ) Sforzi di membrana Armonica

nr Nv,n(z) Np,n(z) Sm,n(z) n n2qnz3/6R - q nR nq n z/2

N S

Fig. 7 - Modello proposto daGreneir [8].

Esempio nr. 1

Quale esempio illustrativo si riporta il caso, tratto da[8], di un serbatoio metallico di 40 m di diametro(R=20 m) e di 20 m altezza (H=20 m) soggetto ad unapressione cinetica del vento di valore unitario(q=1KPa). La distribuzione radiale delle pressioni viene in questocaso descritta utilizzando 5 armoniche mediante l’e-quazione approssimata:

Il diagramma degli sforzi di meridiano per la sezionedi anomalia θ=0 è riportato in fig. 8 mentre in Tab. IVè riportato il contributo fornito dalle varie armonicheallo sforzo di meridiano, valori che si desumono appli-cando la formula ricorrente:

Come si può notare l’armonica di carico non equili-brata rappresentata dal 2° termine della serie (n=1)corrispondente al comportamento a mensola, forni-sce sollecitazioni secondarie rispetto a quelle ben più

Fig. 8 - Componenti dello sforzo di meridiano: azione del vento (H=20 m; R=20 m; q=1 Kpa).

Fig .9a - Forze inerziali - Distribuzione delle pressioni radiali.

Tab. IV - Sforzi di meridiano (KN/m) - Serbatoio H=20 m H R=20 m (da [8]) Armonica n=0 n=1 n=2 n=3 n=4 Totale Coefficiente cn -0.55 +0.25 +1.0 +0.45 -0.15 1.00 Sforzo di meridiano (θ=0) 0 +2.5 +40.0 +40.5 -24.0 +59.0 Sforzo di meridiano (θ=π) 0 -2.5 +40.0 -40.5 -24.0 -27.0

Fig. 9b - Silo di stoccaggio di clinker (H=32. m-, R =17 m).

gravose indotte dalle condizioni di carico autoequili-brate che producono ovalizzazione (>n2). Ciò risulta conseguenza sia del maggior valore delcoefficiente di pressione ma anche del fatto che per learmoniche ovalizzanti il comportamento della struttu-ra può essere interpretato fisicamente come conse-guente ad una scomposizione della superficie cilindri-ca in 2n settori (sottostrutture) le cui risorse staticherisultano ridotte, essendo minore il braccio della cop-pia resistente di ogni sottostruttura.

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3. SILOS CILINDRICI SOGGETTI AD AZIONI SISMICHE

La risposta alle azioni sismiche di strutture cilindrichecontenenti materiale insilato è alquanto complessa e perpotere effettuare valutazioni sul regime di sforzi indot-

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Fig. 10 - Modello agli elementi finiti - Sforzi di meridiano e di parallelo in condizioni sismiche.

Fig. 11 - Sezione trasversale con scarico al centro (Rev. Acmar).

to è spesso necessario adottare semplificazioni radicali. A questo riguardo gli Eurocodici di settore ed in partico-lare la UNI ENV 1998 – Parte 4 (EC8-4) adottano comemodello di riferimento l’analisi statica equivalente.Indicata pertanto con ag l’accelerazione sismica di pro-getto e con γ il peso specifico del materiale stoccato, laforza d’inerzia agente su un strato di altezza unitaria dimateriale insilato risulta valere:

Le pressioni radiali indotte dal sisma si assumono distri-buite lungo la circonferenza del cilindro con leggeseguente che utilizza la simbologia dell’EC8-4 (fig. 9a):

La pressione massima, p, si ricava imponendo l’equiva-lenza tra la forza d’inerzia P e la risultante, H=pπR, dellecomponenti pcos2(θ) delle pressioni radiali in direzionedel sisma, ottenendo:

In base alle ipotesi assunte dall’EC8 la condizione dicarico sismica coincide con l’armonica di carico diindice n=1. Lo sforzo di meridiano e lo sforzo tagliantesono in questo caso massimi alla base in due sezionedisposte tra loro in quadratura, mentre gli sforzi diparallelo, per un cilindro open top, sono massimi insommità. Il regime di sforzi di membrana risulta esserequindi:

Il regime di sforzi flessionale è in genere trascurabile epresenta valori apprezzabili solo in prossimità dell’inca-stro. Per la stima dei momenti di meridiano e dei

momenti torcenti alla base e dei momenti di parallelo inparete si può far uso delle seguenti equazioni:

La soluzione ricavata presenta il pregio della semplicitàe consente di effettuare rapide verifiche sugli ordini digrandezza delle sollecitazioni.

Esempio nr. 2

Quale esempio illustrativo si considera un silos lo stoc-caggio di clinker (fig. 9b) di 34 m di diametro, di 32 m dialtezza e pareti di 35 cm di spessore (R=17 m ; H=32 m;s=0.35 m). Il peso specifico del materiale insilato é di 16KN/m3. Il sito ricade in zona 3 (ag=0.15 g) mentre la cate-goria stratigrafica del terreno comporta un coefficientedi amplificazione di 1.35 (Cat. D). L’accelerazione di pro-getto risulta pari a circa 0.2g. La pressione radiale associata all’azione sismica valepertanto:

Ne consegue che gli sforzi di meridiano e gli sforzitagliante indotti alla base della parete e gli sforzi diparallelo in sommità assumono i valori:

Le azioni flessionali di meridiano, torcenti e di paralleloassumono a loro volta i valori massimi seguenti:

In fig. 10 si riporta il diagramma degli sforzi di meridia-no e di parallelo dedotti mediante utilizzo di un modelloagli elementi finiti che fornisce risultati in sostanziale

accordo con quelli analitici a conferma, come intuibile,che la risposta strutturale dipende principalmente dalregime di membrana tranne ovviamente che nei pressidella base del cilindro ove si concentrano gli sforzi fles-sionali.

4. SILOS CILINDRICI SOGGETTI A SVUOTAMENTODEL MATERIALE INSILATO

La tecnica indicata di scomposizione del carico in com-ponenti armoniche si presta allo studio delle più svaria-te configurazioni di carico. Tra queste si ritiene di inte-resse analizzare il caso relativo alla configurazione dicarico conseguente ad uno svuotamento del materialeinsilato effettuato da una serie di bocchette allineate alcentro del silos lungo un diametro. La configurazione dicarico è quella indicata in fig. 11 e può essere descrittada una legge di distribuzione del tipo:

nella quale λ è il coefficiente di spinta del materiale insi-lato relativa alla configurazione successiva allo svuota-mento e γ il suo peso specifico.La condizione di carico in esame può essere scom-posta in due configurazione elementari di cui una cor-rispondente ad una pressione radiale uniforme (fig.12):

ed una variabile con legge:

Il primo termine della serie è analogo alla configurazionedi spinta a silo pieno e si studia con le soluzioni a que-sta relativa mentre la presenza della seconda compo-nente induce, come già visto per il caso dell’azione delvento, l’ovalizzazione della sezione. Operando con il

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Fig. 12 - Scomposizione in armoniche della pressione del clin-ker nella configurazione di svuotamento al centro da bocchet-te diametrali.

Fig. 13 - Anello di irrigidimento in sommità.

medesimo criterio adottato per il carico uniforme eposto:

per gli sforzi di membrana si ricavano i seguenti valorialla base del cilindro:

Esempio nr. 3

Si considera lo stesso silos dell’esempio precedentesoggetto allo scarico al centro. Si adotta un peso speci-fico di 16 KN/m3 ed un coefficiente di spinta λ = 0.25relativo alla configurazione di scarico (v. fig. 11).Saggiando la soluzione per via numerica si può consta-tare che la condizioni di carico di esercizio relativa allosvuotamento diametrale induce, nel caso di battentemassimo, sollecitazioni paragonabili a quelle associateall’azione sismica alo SLU, come si evince dal confron-to riportato in Tab. V. Tale circostanza nasce dalla ridot-ta capacità per la componente armonica ovalizzate (n=2)di fronteggiare l’azione ribaltante esterna con braccilimitati della coppia interna.S’intuisce pertanto l’importanza di introdurre, comeavviene di consuetudine, anelli di irrigidimento in som-mità (fig. 13) (e per sili snelli quali quelli in acciaio anchein parete) che contrastando l’ovalizzazione della sezionecilindrica ne riducono marcatamente l’impegno statico.

5. CONCLUSIONI

Nelle strutture cilindriche le azioni ambientali, quali ilvento ed il sisma, e le azioni conseguenti allo stoccaggioed alla movimentazione del materiale insilato sono carat-terizzate da variazioni, anche repentine, di carattere asim-metrico del campo di pressioni. Questa circostanza siriflette marcatamente sul regime di sforzi interni al puntodi rendere non immediatamente comprensibile il compor-tamento strutturale.Una chiave di lettura dei meccanismi resistenti che ven-gono attivati a fronte di tali carichi è fornita i dallo svilup-po in serie di Fourier delle pressioni radiali. La scomposi-zione in armoniche si traduce infatti in configurazioni dicarico elementari caratterizzate da distribuzioni con leggetrigonometrica sia delle pressioni che degli sforzi interni,ad una ognuna delle quali si associa un ben determinatomeccanismo resistente. A questo riguardo si ritiene originale la lettura propostache identifica la risposta della struttura cilindrica in quel-

la di sottostrutture, di ampiezza angolare via via ridotta alcrescere dell’indice dell’armonica, ciascuna delle qualifronteggia con risorse proprie il campo di pressioni su diessa direttamente applicato.In tal modo si fornisce una interpretazione diretta delcomplesso meccanismo che sottende la risposta ai cari-chi ambientali. In particolare risulta chiaro il ruolo delleconfigurazioni di carico autoequilibrate ovalizzanti chepossano indurre un regime di tensione ben più gravoso diquello prodotto dal comportamento d’insieme a mensolaverticale del cilindro, in virtù del fatto che al ridursi delledimensioni della sottostruttura si riducono anche le risor-se statiche disponibili.

Ravenna 8/11/2005.

RINGRAZIAMENTI

Un interessante applicazione del metodo illustrato nelpresente articolo è contenuta nella Tesi di Laureadell’Ing. Federico Caimmi dal titolo “Strutture cilindrichesoggette ad azioni orizzontali”, Relatore il Prof. GiovanniPascale, Correlatrice l’Ing. Barbara Bonfiglioli, che si rin-graziano per la consueta disponibilità e cortesia.Da ultimo, ma non per importanza, un sincero ringrazia-mento all’amico Andrea Gambi per il suo inestimabilecontributo di idee.

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Settembre 2000.[11] Lenzi,M., Gambi, A. Analysis of cylindrical shells

under lateral loadings: a unitary approach, ACMAR,Report, Ravenna, 2005, in corso di stampa.

Tab. V - Sollecitazioni nel silos indotte dal sisma, dallo svuotamento e dal vento[KN/m] Condizione di carico Sforzo alla

base del cilindro

Azione sismica (ag=0.230g)

Svuotamento (γ=16 KN/m3; λ=0.25)

Vento (q=1.5 KPa)

Sforzo di meridiano 1659 2570 72 Sforzo di taglio 1763 2048 166

Sforzo di parallelo 936 2176 26

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