Su Dung Vecto de Giai Toan KG_merged

8/3/2019 Su Dung Vecto de Giai Toan KG_merged

http://slidepdf.com/reader/full/su-dung-vecto-de-giai-toan-kgmerged 1/9

Chuyên đề Hình họ c 11 - Thầ y Trầ n Viết Kính Quan hệ vuông góc

Hocmai.vn – Ngôi trườ ng chung của học trò Việt T ổng đài tư vấ n: 1900 58-58-12 - Trang | 1 -

I. Tính độ dài, góc, diện tích:

1. Tính độ dài, góc:

Chọn trong hình vẽ 3 véc tơ a

, b

, c

không cùng nằm trong mặt phẳng, biết:

Độ dài : | |a a

, | |b b

, | |c c

Góc:

,a b

,

,b c

,

,c a

Biểu thị vecto MN

theo 3 vecto a

, b

, c

MN

= m. a

+ n. b

+ p. c

Sử dụng công thức:

MN2

=2

MN

= 2( . . . )m a n b p c

= 2 2 2( . ) ( . ) ( . ) 2 . . . 2 . . . 2 . . .m a n b p c m n a b m p a c n p b c

Chú ý: +2

2

a a

,2

2

b b

,2

2

c c

+ . . .cosa b a b

. . .cosb c b c

. . .cosa c a c

2. Tính số đo góc NMP :

Chọn trong hình vẽ 3 véc tơ a

, b

, c

(giống 1)

Biểu thị , MN MP

theo a

, b

, c

1 1 1. . . MN m a n b p c

2 2 2. . . MP m a n b p c

Sử dụng công thức:

.

MNMPcosNMP

MN MP

Tính độ dài MN, MP (giống 1)

Tính , MN MP

= (1 1 1. . .m a n b p c

)(2 2 2. . .m a n b p c

) (sử dụng chú ý ở 1)

sđ NMP = ?

BÀI GIẢNG 02.

SỬ DỤNG VECTO ĐỂ GIẢI TOÁN HÌNH KHÔNG GIAN

TÀI LIỆU BÀI GIẢ NG

B N QUY N THU C VWWW.EDUCATIONPVA.TK





3. Tính diện tích:

SMNP = 21 1. .sin . . 1

2 2 MN MP NMP MN MP cos NMP

II. Ví dụ: (xem clip)

Giáo viên: Trần Viết Kính

Nguồn : Hocmai.vn www.educationpva.tk

http://hocmai.vn/

http://hocmai.vn/

http://hocmai.vn/





Bài 1:

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh bằng a.Một mặt phẳng đi qua D’ song song vớ i DA’ và

AB’ , cắt đườ ng thẳng BC’ tại M . Tính độ dài đoạn thẳng D’M .

Bài 2.

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a.

1. Chứng minh DB’ BC’ và tính độ dài đường vuông góc chung của DB’ và BC’ .

2. Khối tứ diện đều MNPQ có M, N nằm trên DB’ và P, Q nằm trên BC’ . Tính thể tích khối tứ diện đó.

3. Điểm I thuộc B’C’ và K thuộc BB’ sao cho 3IB’ = 2IC’ và 3KB=2KB’ . Tính góc tạo hai đườ ng thẳng

DK và BI .

4. Điểm T thuộc AA’ , S thuộc A’D’ sao cho TA’=2TA và SD’ = 2SA’ . L và R là hai điểm di động trên cạnh

D’C’ và CC’ sao cho D’L=C’R. Xác định vị trí của L và R để góc tạo bở i TL và SR là 600. Chứng minh TL

và SR chéo nhau.

Bài 3.

Cho tứ diện đều ABCD, gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CB, AD và G là trọng tâm của tam giác

BCD.

a) Tính góc giữa hai đườ ng thẳng MG và NP.

b) Chứng tỏ rằng hai đườ ng thẳng MG và NP chéo nhau.


Nguồn : Hocmai.vn

BÀI GIẢNG 02.


BÀI TẬ P T Ự LUY Ệ N

http://hocmai.vn/

http://hocmai.vn/

http://hocmai.vn/





Bài 1:

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’

có các cạnh bằng a.Một mặt phẳng đi

qua D’ song song vớ i DA’ và AB’ , cắt

đườ ng thẳng BC’ tại M . Tính độ dài

đoạn thẳng D’M .

Giải:

Đặt : ' AA a

; AB b

; AD c

.

Theo giả thiết ta có ba véctơ

', '; ' AB DA D M

đồng phẳng

M

D'

C'

B' A'

B

D

A

C

,m n sao cho ' ' ' D M mAB nDA

(*).

Mà: ' AB b a

(1)

' DA a c

(2).

' ' ' ' D M D C C M

Vì ' M C B k sao cho ' 'C M kC B

' ' ' ' D M D C kC B b k a c k a b k c

(3).

Thay (1), (2), (3) vào (*) ta đượ c:

ka b kc m n a mb nc

BÀI GIẢNG 02.


ĐÁP ÁN BÀI TẬ P T Ự LUY Ệ N





2

1

1 1 1 61 ' ' '

2 2 2 2

1

2

mk m n

am k D M a b c D M D M

k m

n

Bài 2:

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có

cạnh a.

1. Chứng minh DB’ BC’ và tính độ dài

đường vuông góc chung của DB’ và BC’ .

2. Khối tứ diện đều MNPQ có M, N nằm trên DB’ và P, Q nằm trên BC’ . Tính thể tích khối

tứ diện đó.

D' C'

B' A'

B

D

A

C

F

E

I

K T

S

L

R

3. Điểm I thuộc B’C’ và K thuộc BB’ sao cho 3IB’ = 2IC’ và 3KB=2KB’ . Tính góc tạo hai đườ ng

thẳng DK và BI .

4. Điểm T thuộc AA’ , S thuộc A’D’ sao cho TA’=2TA và SD’ = 2SA’ . L và R là hai điểm di động trên

cạnh D’C’ và CC’ sao cho D’L=C’R. Xác định vị trí của L và R để góc tạo bở i TL và SR là 600.

Chứng minh TL và SR chéo nhau.

Giải:

Đặt ' ; ; . AA a AB b AD c

Ta có ; 0a b c a ab bc ac

.

1. ' ' DB DA AB BB a b c

' ' BC BB BC a c

Do đó: 2 2

'. ' . . . . DB BC a b c a c a a c b a b c c a c

=0

' ' DB BC .

Giả sử EF là đường vuông góc chung của DB’ và BC’ '; ' E DB F BC .





' . ' . .

' . ' . .

. .

1 1

E DB DE DB a b c

F BC BF BC a c

EF ED DA AB BF a b c b c a c

a b c

EF là đường vuông góc chung của DB’ và BC’

1 1 0. ' 0

. ' 0 1 1 0

2

3

1

2

a b c a b c EF DB

EF BC a b c a c

Vậy 21 1 1 1 6

26 3 6 6 6

a EF a b c EF a b c

2. Khối tứ diện đều MNPQ nhận E, F là trung

điểm của MN và PQ. Gọi x là độ dài của cạnh

của tứ diện đều. Ta có:

EP2=EF

2+PF

2

2 2 23 3

4 6 4 3

x a x a x

.

Vậy thể tích của khối tứ diện MNPQ là:

36

.36

MNPQ PQE

aV S MN

M

Q

P

N

E

F

3.

2 2' ' ' ' '

5 5

2 2'

5 5

2 2. 0

5 5

BI BB B I BB B C a c

DK DA AB BK AD AB BB a b c

BI DK a c a b c

Vậy góc tạo bở i BI và DK là 900.

4. Ta có:2 2

' ' ' ' ' ' ' ' '3 3

TL TA A D D L AA A D D C a b c

.





Víi ' ' ' ' .

2 2' ' ' ' ' ' ' ' '

3 3

D L b C R a D L C R

SR SD D C C R A D D C C R a b c

Từ đó suy ra:

22 2

2 2 2 2 2

22

2

22 2

2 13 13. ; ;

3 9 9

2

3 23.os .

13 13 9.

9

TL SR a TL a SR a

aTL SR

c TL SRTL SR a

Mà

2

0

2

3 21 1 1

. 60 os . 2 13 9 2 3TL SR c TL SR

Vậy1 1

' ' '; ' '3 3

D L D C C R C C

thì góc tạo bở i TL và SR bằng 600.

Giả sử TL và SR không chéo nhau thì T, L, S, R cùng nằm trên một mặt phẳng , ;ST SR SL

đồng

phẳng tức là , (*) x y sao cho SR xST ySL

Mà: 2 1 1 2 1 2; ;3 3 3 3 3 3

ST a c SR a b c SL b c

.

Thay , ;ST SR SL

vào (*) ta đượ c:

2 11 2 2 1 2 1

33 3 3 3 3 3

2 2

x

a b c xa yb y x c y

y x

Hệ phương trình trên vô nghiệm nên không có x,y thoả mãn (*). Vậy TL và SR chéo nhau.

Bài 3:

Cho tứ diện đều ABCD, gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CB, AD và G là trọng tâm của tam

giác BCD.

a) Tính góc giữa hai đườ ng thẳng MG và NP.

b) Chứng tỏ rằng hai đườ ng thẳng MG và NP chéo nhau.





G

P

N

M

B

C

D

A

Giải:

Giả sử hình chóp có cạnh bằng 1.

Đặt ; ; . AD a AB b AC c

a) Ta có:

1

3 AG a b c

1 1 1 1 1 1

2 2 3 3 6 3 MG MA AG AB AG b a b c a b c

1 1 1

2 2 2 NP NA AP AB AC AD a b c

Ta có .

os os , MG NP

c c MG NP MG NP

Ta có 2 2 21. 2 2 3

12 MG NP a b c ab cb

Mà: 2 2 2 11;

2a b c ab ac bc

1 1 2. ; ;

12 2 2 MG NP MG NP

www.educationpva.tk





Vậy2 2

os acr cos6 6

c

b) Giả sử 3 véc tơ , , MN MG NP

đồng phẳng , (*) x y sao cho MN x MG y NP

Ta có:1 1

2 2 MN AC c

1 1 1 1 1 1 1(*)

2 3 3 6 2 2 2

03 2

06 2

1

3 2 2

c xa xc xb ya yb yc

x y

x y

x y

Hệ phương trình trên vô nghiệm. Vậy ba véc tơ , , MN MG NP

không đồng phẳng MG và NP

chéo nhau.


Nguồn : Hocmai.vn

http://hocmai.vn/

http://hocmai.vn/

http://hocmai.vn/

Documents

Su Dung Vecto de Giai Toan KG_merged