Suelo Homogeneo

MÉTODO PARA DETERMINAR EL MODELO DEL SUELO NO HOMOGÉNEO Y SUS PARÁMETROS, POR

MEDIO DE ALGORITMOS GENÉTICOS, PARA EL DISEÑO DE SISTEMAS DE PUESTA A TIERRA

FREDDY AYALA ESPINEL

Tesis de Grado presentada como requisito parcial para optar al Título de “Magíster en Ingeniería – Ingeniería de Sistemas”

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MEDELLÍN

FACULTAD DE MINAS ESCUELA DE SISTEMAS

MEDELLÍN 2009

MÉTODO PARA DETERMINAR EL MODELO DEL SUELO NO HOMOGÉNEO Y SUS PARÁMETROS, POR

MEDIO DE ALGORITMOS GENÉTICOS, PARA EL DISEÑO DE SISTEMAS DE PUESTA A TIERRA

FREDDY AYALA ESPINEL

Tesis de Grado presentada como requisito parcial para optar al Título de “Magíster en Ingeniería – Ingeniería de Sistemas”

Director: Prof. JOHN WILLIAM BRANCH BEDOYA. Ph.D

Escuela de Sistemas

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MEDELLÍN

FACULTAD DE MINAS ESCUELA DE SISTEMAS

MEDELLÍN 2009

RESUMEN Se plantea un método para determinar el modelo del suelo no homogéneo y sus

parámetros, por medio de algoritmos genéticos, para el diseño de sistemas de puesta a

tierra; integrando herramientas de validación sobre las mediciones realizadas en pasos

previos a la ejecución del algoritmo genético. El método permite obtener modelos de

suelo no homogéneo 1-D por capas y modelos de suelo 2-D que incluye un volumen finito

de resistividad a partir de las mediciones de resistividad aparente del terreno bajo estudio;

que de forma estructurada y sistemática permiten al diseñador obtener un modelo de

suelo no homogéneo con buena precisión y correspondencia entre los resultados de los

pasos del método.

Adicionalmente, este trabajo representa un aporte en la búsqueda de la modelización

estocástica del suelo, presentando una formulación del problema indirecto para la

obtención de un modelo de suelo con volúmenes finitos a ser determinados con la

utilización de algoritmos genéticos considerados como una técnica evolutiva estocástica.

Palabras Clave — Sistemas de puesta a tierra, modelos de suelo, algoritmos genéticos,

mediciones de resistividad, Formulación con elementos de frontera

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AGRADECIMIENTOS Un especial agradecimiento a mi director, el profesor Jhon Willian Branch Bedoya,

por la dedicación, ayuda y apoyo en la realización de este trabajo de grado.

Un especial agradecimiento al profesor Guillermo Mesa Betancur, por su apoyo y

directrices para la finalización de este trabajo de grado.

Finalmente, quiero agradecer a mi esposa Lucinia por su apoyo durante esta

etapa y a todos aquellos que de una u otra forma pusieron un granito de arena

para hacerme madurar intelectualmente.

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TABLA DE CONTENIDO

1 INTRODUCCIÓN .................................................................................................... 10

1.1 DEFINICIÓN DEL PROBLEMA .............................................................................. 12

1.2 OBJETIVOS ............................................................................................................ 13

1.2.1 OBJETIVO GENERAL ............................................................................................ 13

1.2.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS ................................................................................... 13

1.3 ALCANCE Y CONTRIBUCIÓN ............................................................................... 13

1.4 ORGANIZACIÓN .................................................................................................... 14

2 MARCO TEÓRICO REFERENCIAL ....................................................................... 15

2.1 ALGORITMOS GENÉTICOS .................................................................................. 15

2.1.1 LA REPRESENTACIÓN ......................................................................................... 18

2.1.2 TÉCNICAS DE SELECCIÓN .................................................................................. 21

2.1.3 TÉCNICAS DE CRUCE .......................................................................................... 25

2.1.4 LA MUTACIÓN ........................................................................................................ 28

2.2 SISTEMAS DE PUESTA A TIERRA – SPT ............................................................ 28

3 REVISIÓN DE LA LITERATURA ............................................................................ 32

4 CARACTERIZACIÓN DE LOS MÉTODOS DE MEDICIÓN DE RESISTIVIDAD ... 37

4.1 MEDIDA DE LA RESISTIVIDAD ............................................................................. 38

4.2 DISPOSICIONES ELECTRÓDICAS DE MEDIDA .................................................. 39

4.3 PROSPECCIONES GEOELÉCTRICAS ................................................................. 41

5 CARACTERIZACIÓN DE LOS MODELOS DE SUELO ......................................... 45

6 MÉTODO PARA LA DETERMINACIÓN DEL MODELO DE SUELO NO HOMOGÉNEO ........................................................................................................ 49

6.1 PASO 1: MEDICIONES DE RESISTIVIDAD .......................................................... 49

6.2 PASO 2: ANÁLISIS DE HOMOGENEIDAD DE LA RESISTIVIDAD MEDIDA ........ 50

6.3 PASO 3: ANÁLISIS DE GRÁFICA LOG - LOG ....................................................... 52

6.4 PASO 4: ELABORACIÓN DE UN MODELO DE SUELO NO HOMOGÉNEO 1-D . 52

6.5 PASO 5: ELABORACIÓN DE UN MODELO DE SUELO NO HOMOGÉNEO 2-D (OPCIONAL) ........................................................................................................... 55

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6.5.1 FORMULACIÓN MATEMÁTICA DE ELEMENTOS DE FRONTERA CON VOLÚMENES FINITOS DE RESISTIVIDAD .......................................................... 56

6.5.2 FORMULACIÓN MATEMÁTICA PARA EL CÁLCULO POTENCIAL ELÉCTRICO: SOLUCIÓN APROXIMADA .................................................................................... 65

7 EXPERIMENTOS Y RESULTADOS ....................................................................... 68

7.1 DESCRIPCIÓN DE LOS CASOS DE ESTUDIO .................................................... 68

7.2 APLICACIÓN DEL MÉTODO PROPUESTO .......................................................... 68

7.2.1 PASO 1: MEDICIONES DE RESISTIVIDAD .......................................................... 68

7.2.2 PASO 2: ANÁLISIS DE HOMOGENEIDAD DE LA RESISTIVIDAD MEDIDA ........ 69

7.2.3 PASO 3: ANÁLISIS DE GRÁFICA LOG - LOG ....................................................... 71

7.2.4 PASO 4: ELABORACIÓN DE UN MODELO DE SUELO NO HOMOGÉNEO 1-D . 75

7.2.5 PASO 5: ELABORACIÓN DE UN MODELO DE SUELO NO HOMOGÉNEO 2-D (OPCIONAL) ........................................................................................................... 78

7.3 DISCUSIÓN ............................................................................................................ 83

8 CONCLUSIONES Y TRABAJOS FUTUROS .......................................................... 85

9 REFERENCIAS ....................................................................................................... 87

10 ANEXOS ................................................................................................................. 90

10.1 PROGRAMAS EN MATLAB ................................................................................... 90

10.2 PUBLICACIONES EN EVENTOS ........................................................................... 96

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LISTA DE TABLAS

Tabla 1. Resultados experimentales por Del Alamo [GONOS, 2005] ................................ 69

Tabla 2. Resultados experimentales por Seedher and Arora [GONOS, 2005] .................. 69

Tabla 3. Comparación de resultados para los Casos Del Alamo ...................................... 77

Tabla 4. Comparación de resultados para los Casos de Seedher y Arora ........................ 77

Tabla 5. Resultados obtenidos para el modelo con un volumen de resistividad ............... 80

Tabla 6. Resultados obtenidos para el modelo con dos volúmenes de resistividades ...... 83

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LISTA DE FIGURAS Figura 1. Ejemplo de cruce de un punto ............................................................................. 25

Figura 2. Ejemplo de cruce de dos puntos ......................................................................... 26

Figura 3. Ejemplo de cruce uniforme .................................................................................. 27

Figura 4. Convenciones de Cruce Acentuado .................................................................... 27

Figura 5. Componentes principales de un Sistema de Puesta a Tierra ............................. 29

Figura 6. Diagrama General de diseño de un SPT [IEEE STD 80, 2000] .......................... 30

Figura 7. Malla optimizada utilizando Algoritmos Genéticos [OTERO, 1998] .................... 34

Figura 8. Iteraciones para lograr la minimización de la Función objetivo [OTERO, 1998] . 34

Figura 9. Comparación de la solución con AG y el mejor método de Del Alamo, 1993. [GONOS, 2005] .................................................................................................. 35

Figura 10. Modelo del suelo con volúmenes finitos de diferentes resistividades. .............. 36

Figura 11. Valores de resistividad para rocas y suelos [GASULLA, 1999] ......................... 38

Figura 12. Disposición electródica para la medida de resistividad del suelo ...................... 39

Figura 13. Disposición de Wenner ...................................................................................... 39

Figura 14. Disposición de Schlumberger ............................................................................ 40

Figura 15. Disposición polo - dipolo .................................................................................... 40

Figura 16. Disposición doble dipolo .................................................................................... 40

Figura 17. Principio del SEV ............................................................................................... 41

Figura 18. Sondeo Wenner ................................................................................................. 42

Figura 19. Sondeo Schlumberger ....................................................................................... 42

Figura 20. Sondeo Dipolar .................................................................................................. 42

Figura 21. Calicata Wenner ................................................................................................ 43

Figura 22. Calicata Schlumberger Tipo 2 ........................................................................... 43

Figura 23. Calicata Dipolar ................................................................................................. 44

Figura 24. Efecto del aumento de la distancia MN [GASULLA, 1999] ............................... 44

Figura 25. Modelos usados en la interpretación de resistividad [LOKE, 2004] .................. 45

Figura 26. Modelo de Suelo 1-D de dos capas .................................................................. 46

Figura 27. Modelo de suelo 1-D de N capas ...................................................................... 46

Figura 28. Modelo dos capas horizontales ......................................................................... 47

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Figura 29. Modelo de capas verticales ............................................................................... 47

Figura 30. Modelo de suelo 2-D [LAGACE, 1990] .............................................................. 47

Figura 31. Modelo del suelo 3-D con volúmenes finitos de resistividades [MA, 2002] ....... 47

Figura 32. Diagrama general del método propuesto .......................................................... 50

Figura 34. Grado de homogeneidad de una propiedad. ..................................................... 51

Figura 35. Perfiles de resistividad ....................................................................................... 53

Figura 36. Diagrama de Flujo del A.G. ............................................................................... 54

Figura 37. Modelo de suelo con un volumen finito de resistividad ..................................... 56

Figura 38. Integración de volumen de resistividad al método de medida ........................... 57

Figura 39. Superficie con elementos de frontera ................................................................ 57

Figura 40. Volumen de resistividad en un plano de tierra .................................................. 60

Figura 41. Múltiples volúmenes de resistividad en un plano de tierra ................................ 63

Figura 42. Modelo de suelo con volumen circular .............................................................. 66

Figura 43. Representación del cálculo de potenciales integrado al método de medición .. 67

Figura 44. Análisis de homogeneidad para casos experimentales de Del Alamo .............. 70

Figura 45. Análisis de homogeneidad para casos experimentales de Seedher y Arora .... 71

Figura 46. Gráficas Log - Log resultados experimentales de Del Alamo ........................... 72

Figura 47. Gráficas Log - Log resultados experimentales de Seedher y Arora .................. 74

Figura 48. Modelo de Suelo 1-D de dos capas .................................................................. 75

Figura 49. Modelo de suelo de un volumen circular ........................................................... 79

Figura 50. Modelo de suelo 2-D obtenido con elementos de frontera ................................ 80

Figura 51. Modelo de suelo 2-D obtenido con solución aproximada .................................. 81

Figura 52. Modelo de suelo con dos volúmenes circulares ................................................ 82

Figura 53. Modelo de suelo 2-D con dos volúmenes ......................................................... 83

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1 INTRODUCCIÓN Muchos problemas de la industria encuentran solución luego del planteamiento teórico de los mismos y la búsqueda de solución a través de algún método analítico, heurísticos y/o combinación de éstos. En el campo de la optimización de problemas utilizando técnicas numéricas, como gradiente, y/o heurísticas, como la búsqueda tabú, se establece una función objetivo o de interés para maximizar o minimizar su valor a partir de la selección de las variables que la conforman, y el uso de estas técnicas buscan encontrar los valores de dichas variables que acerquen el valor de la función a una solución aceptable considerando parámetros como el error, tiempo de ejecución, requerimientos de computo, entre otros dependiendo del problema en particular. Uno de éstos problemas de la industria, y cuyo interés de encontrar una solución luego de un planteamiento en este trabajo, ocurre en procesos industriales y/o comerciales cuando se presentan fallas debidas a fluctuaciones de las señales eléctricas de alimentación, fallas eléctricas, descargas, interferencia electromagnética, entre otros; que afectan el funcionamiento de equipos y/o maquinarias, tales como maquinaria de procesos, equipos industriales, salas de cómputo y/o equipos de telecomunicaciones; dichas perturbaciones son ocasionadas en muchos casos por un mal desempeño del sistema de puesta a tierra (SPT) o también conocido como malla de puesta a tierra. Lo anterior, por la falta de un adecuado diseño, en muchos casos por el desconocimiento de los valores de los parámetros más adecuados al momento de diseñar, analizar y/o medir los valores eléctricos del SPT. [BLANDÓN, 1993; BALCELLS, 1992; IEEE STD 80, 2000]. El diseño tradicional de un SPT se calcula a partir de las mediciones de resistividad del terreno y el supuesto de un modelo del suelo, la cantidad de conductor y varillas a instalar para garantizar el cumplimiento de los parámetros exigidos por la norma [IEEE STD 80, 2000], tales como tensiones de paso, tensiones de toque y resistencia de puesta a tierra, principalmente. Estos diseños consideran generalmente un modelo del suelo homogéneo ó uniforme, y en algunas ocasiones de dos o más capas, que aunque dan una aproximación al comportamiento de los SPT en una instalación eléctrica puede conllevar a errores de sobre-diseños o diseños que no cumplen con las condiciones técnicas y de seguridad exigidas por la normatividad [BLANDÓN, 1993; IEEE STD 80, 2000]. El modelo del suelo es un factor decisivo en el diseño de SPT y conocido esto por diseñadores e instaladores es común encontrar dentro de sus cálculos factores de seguridad que, además de generar mayores costos en su construcción, no siempre garantizan que al momento de realizar pruebas de funcionamiento del SPT los parámetros eléctricos exigidos por la norma se cumplan, recurriendo entonces, a una solución mediante contrapesos, que consiste en la expansión horizontal del SPT hasta encontrar una respuesta aceptable del sistema de acuerdo a los parámetros exigidos [BLANDON, 1993].

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De otro lado, los métodos convencionales no consideran el desempeño de un SPT instalado a una mayor profundidad por encontrarse posiblemente allí mejores condiciones de conductividad del suelo, sobre todo en aquellas instalaciones con limitaciones para expandirse horizontalmente, dado que los estudios sobre los modelos de suelo en muchos casos son limitados a una decisión del diseñador en cuanto a si utiliza un modelo de suelo uniforme, si utiliza un modelo de suelo de dos o más capas ó si se hace necesario considerar un modelo de suelo que incluya volúmenes de resistividad, por lo que la falta de un método estructurado que guie la selección de modelo de suelo más adecuado para los datos tomados de campo representa una necesidad a nivel de la industria que busca ser solucionado con los resultados de este trabajo. Siendo el modelo de suelo uniforme el que representa mayor sencillez para el diseño de un SPT, dados los avances tecnológicos y nuevas técnicas de solución de problemas de minimización, la utilización de modelos de suelo no homogéneos en el diseño de SPTs ha sido objeto de estudio por parte de varios investigadores, ya sea un modelo multicapa o un modelo de suelo con volúmenes de resistividad buscando optimizar la distribución de conductores y varillas del SPT [MA, 2002; COLOMINAS, 2002], pero no profundizan sobre la determinación de los parámetros del modelo de suelo no homogéneo. Adicionalmente a la mayor cantidad de conductores y/o varillas que se instalan para corregir los errores de diseño del SPT, por el modelo de suelo utilizado, se tiene un total desconocimiento del comportamiento real del SPT, y la disposición de los conductores en la malla pueden no distribuir adecuadamente los potenciales, generando áreas peligrosas para las personas y/o equipos durante un falla a tierra [GONOS, 2005; COVITTI, 2004; OTERO, 1998]. Lo anterior, ha motivado el estudio de los diseños de los SPT en el campo de la determinación del modelo de suelo no homogéneo, dada la naturaleza heterogénea del suelo a la profundidad requerida para los estudios SPT [DE LA VEGA, 1998] que permita realizar mejoras en los diseños y en el desempeño de los SPT una vez instalados. El uso de teorías y herramientas de otras áreas del conocimiento, como es el caso de la computación evolutiva y técnicas de la inteligencia artificial, sustentados en la aplicación del método científico para resolver problemas de la práctica, ha tenido un alto grado de aceptación en el campo investigativo moderno [RUSSELL, 2004]. En el campo de la computación evolutiva, los algoritmos genéticos son una técnica de búsqueda basada en la teoría de la evolución de Darwin, que ha cobrado una alta aceptación alrededor del mundo durante los últimos años en problemas optimización [COELLO, 2008]. La aplicación más común de los algoritmos genéticos ha sido la solución de problemas de optimización, en donde han mostrado ser muy eficientes y confiables. Dentro de las características básicas que determinan que los problemas pueden ser abordados por la técnica, y las cuales se cumplen en el problema planteado, se encuentran las siguientes [COELLO, 2008]: • El espacio de búsqueda; es decir, sus posibles soluciones, delimitado en un rango. • Una función de evaluación clasificando las soluciones en términos de su “aptitud”. • Una representación de las soluciones potenciales del problema.

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El desarrollo del presente trabajo se enfoca en proponer un método para determinar el modelo de suelo no homogéneo y sus parámetros mediante la aplicación de la técnica de algoritmos genéticos para realizar mejoras en el diseño de un SPT para una subestación y/o edificación en comparación con los métodos convencionales, cuyo desarrollo podrá integrarse con los desarrollos presentados en el diseño de mallas de puesta a tierra que se basan en un modelo de suelo homogéneo de una o varias capas, para mejorar el cálculo de la distribución de conductores [OTERO, 1998], y/o considerando el análisis de sistemas de puesta a tierra con volúmenes finitos de diferentes resistividades [MA, 2002]. 1.1 DEFINICIÓN DEL PROBLEMA El modelo del suelo como factor decisivo para el dimensionamiento y estudio del comportamiento de un SPT, a través del cual van a circular las corriente de falla y/o descarga de una instalación eléctrica, motivo iniciar este estudio dadas las limitaciones encontradas en cuanto a la determinación del modelo a ser utilizado. En la mayoría de los casos, los terrenos son de naturaleza no homogénea aún para pequeñas profundidades (±10m), ya sea por formaciones naturales y/o artificiales, estas últimas muy comunes por los rellenos de materiales lo que adhiere complejidad en la interpretación de las medidas de campo de resistividad del terreno. La prospección del suelo para el diseño de SPT debe ser al menos de 40 metros de profundidad y considerarlo como homogéneo introduce errores en el modelamiento del suelo y a su vez en el diseño de los SPT [IEEE STD 81, 1983; DE LA VEGA, 1998], reflejados en el desempeño del SPT y el mal funcionamiento de los equipos conectados. Dentro de la problemática del diseño de SPT los principales desarrollos encontrados realizan mejoras en la determinación de la cantidad de conductores y la estimación de parámetros del suelo modelado por capas utilizando algoritmos genéticos, y aunque han mostrado mejoras en relación con los métodos convencionales en ningún caso se ha planteado un método para determinar el modelo del suelo no homogéneo. [GONOS, 2005; OTERO, 1998; COLOMINAS, 1995; COLOMINAS, 2002]. El problema de investigación se enfoca en la formulación de un método para determinar el modelo de suelo no homogéneo y sus parámetros. Esto, consistirá en hallar los valores de resistividades del modelo adoptado a partir de las mediciones de resistividad aparente, utilizando algoritmos genéticos lo que permite generar un aporte en el diseño de SPT y área de la computación evolutiva al buscar la precisión en los resultados en comparación con trabajos anteriores en el tema, al igual que la integración de estas áreas del conocimiento. La pregunta de investigación que resuelve el presente trabajo es: ¿Cómo determinar el modelo de suelo no homogéneo y sus parámetros, que permita realizar mejoras al diseño de las mallas de puesta a tierra en relación con los métodos convencionales, aplicando un método basado en algoritmos genéticos?

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1.2 OBJETIVOS 1.2.1 OBJETIVO GENERAL Proponer un método para determinar el modelo de suelo no homogéneo y sus parámetros que permita realizar mejoras al diseño de las mallas de puesta a tierra, en relación con los métodos convencionales, empleando algoritmos genéticos. 1.2.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS • Caracterizar los modelos de suelo no homogéneo y los métodos de medición de

resistividad. • Diseñar un método para determinar el modelo de suelo no homogéneo y sus

parámetros, empleando algoritmos genéticos. • Desarrollar un prototipo computacional del método propuesto para determinar el

modelo del suelo no homogéneo y sus parámetros. • Comparar los resultados del método propuesto con otros métodos convencionales de

caracterización del suelo utilizados en el diseño de mallas de puesta a tierra. 1.3 ALCANCE Y CONTRIBUCIÓN A partir de la interpretación dada por la norma IEEE Guide for Safety in AC Substation Grounding [IEEE STD 80, 2000] y la IEEE Guide for Measuring Earth Resistivity, Ground Impedance, and Earth Surface Potencials of a Ground System Std 81 – 1983 [IEEE STD 81, 1983]; donde los modelos de suelo de dos o más capas están clasificados como modelos de suelo no homogéneos o no uniformes, se define el alcance del método hasta el nivel de determinar un modelo de suelo de este tipo y sus parámetros, utilizando algoritmos genéticos en cumplimiento de los objetivos planteados; sin embargo, se logro extender el desarrollo del trabajo hasta la implementación de toda la formulación teórica y algunas aplicaciones considerando también modelos de suelo que incluyen volúmenes de resistividad finita. El método presentado representa una contribución en la determinación de un modelo de suelo no homogéneo y sus parámetros, donde los resultados de un paso conlleva la confirmación de los resultados del paso previo, ofreciendo al diseñador una forma de corroborar los diferentes análisis y tener un grado de confiabilidad en la adecuada selección de un determinado modelo que represente los datos de las mediciones de resistividad aparente del terreno, a ser utilizado en los diseños de sistemas de puestas a tierra. Adicionalmente, este trabajo representa un aporte en la búsqueda de la modelización estocástica del suelo, como se planteo en [COLOMINAS, 1995], mediante la formulación teórica y algunos ejemplos del modelo de suelo con volúmenes finitos a ser determinados con la utilización de algoritmos genéticos considerados como una técnica evolutiva estocástica.

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Con el desarrollo del trabajo de investigación se logra un método estructurado para determinar el modelo del suelo no homogéneo y sus parámetros, que realiza mejoras a los métodos de diseño de SPT convencionales, en relación a los modelos de suelo homogéneo, aplicando algoritmos genéticos en las etapas de búsqueda y determinación de los parámetros. 1.4 ORGANIZACIÓN En el capítulo 2 se presentan un marco teórico referencial para familiarizar al lector con los principales conceptos y términos de los dos principales temas, a saber: algoritmos genéticos y del diseño de sistemas de puesta a tierra y su conexión con el presente trabajo. El capítulo 3 trata de la revisión de la literatura, donde se presentan los principales trabajos publicados relacionados con la temática, donde se plantea la solución a problemas de sistemas de puestas a tierra, analizando sus alcances y limitaciones. Una vez determinadas las limitaciones, se analiza el aporte que se logra con este trabajo a dichos trabajos. El capítulo 4 trata de la caracterización de los métodos de medición de resistividad utilizada en los diseños de sistemas de puestas a tierra, se presentan las diferentes disposiciones electródicas para realizar prospecciones del suelo y se analiza su aplicación dentro del método propuesto. Adicionalmente, en el capítulo 5 se presenta la caracterización de los modelos de suelo, se analizan los posibles modelos generales de suelo que pueden interpretarse de las mediciones de resistividad aparente tomadas en campo, y se indica de acuerdo a los alcances el tipo de modelo que se aborda para el establecimiento del método propuesto y los posibles modelos a trabajar opcionalmente a partir de la formulación teórica alcanzada a presentar. En el capítulo 6 se presenta el método general propuesto para determinar el modelo del suelo no homogéneo y sus parámetros, por medio de algoritmos genéticos, para el diseño de sistemas de puesta a tierra, se identifican cuatro (4) pasos principales para lograr identificar un modelo de suelo no homogéneo y un quinto (5) paso optativo para profundizar en modelos de suelo no homogéneo de volúmenes finitos de resistividad. El capítulo 7, es la aplicación del método a los casos de estudios de las mediciones de resistividad del terreno, analizando los resultados y pasos seguidos en el método de acuerdo a la información obtenida para cada caso en particular. Adicionalmente, se analizan los resultados comparativos con otras soluciones dadas por otros autores. Finalmente, en el capítulo 8 se presentan las conclusiones y trabajos futuros que pueden formularse a partir de los resultados obtenidos, tanto como en el campo de los algoritmos genéticos y la computación evolutiva como de los diseños de sistemas de puesta a tierra.

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2 MARCO TEÓRICO REFERENCIAL En este capítulo se presentan brevemente algunos conceptos generales que permiten al lector familiarizarse con las temáticas abordadas y que está enfocada principalmente a dos temas presentado en dos secciones. En la primera sección, se hace la revisión conceptual de algoritmos genéticos básica en trabajos que se adelanten acerca del tema siendo tomado de las referencias de un autor de gran reconocimiento en la comunidad científica del tema [COELLO, 2008]. En la segunda sección, igualmente, se presentan conceptos básicos en el diseño de sistemas de puesta a tierra y su conexión con el presente trabajo. Estas dos secciones presentan separadamente los conceptos que luego se enlazan en el método propuesto, buscando un complemento entre estas dos áreas del conocimiento para la solución del problema propuesto. 2.1 ALGORITMOS GENÉTICOS Un algoritmo genético (o AG) es una técnica de programación basada en la evolución biológica, los individuos más aptos de una población son los que sobreviven al adaptarse más fácilmente a los cambios que se producen en su entorno, como estrategia para resolver problemas de optimización. Dado un problema específico a resolver, la entrada del AG es un conjunto de posibles soluciones al problema y evaluadas cuantitativamente mediante una función de aptitud con el fin de determinar las mejores soluciones, las cuales son generadas de forma aleatoria aunque es posible acotar los espacios y/o sugerir soluciones al algoritmo [COELLO, 2008]. El algoritmo genético enfatiza la importancia de la cruza sexual (operador principal) sobre el de la mutación (operador secundario), y usa selección probabilística. El algoritmo básico es el siguiente: • Generar una población inicial (aleatoria). • Calcular la aptitud de cada individuo. • Seleccionar (probabilísticamente) en base a su aptitud. • Aplicar operadores genéticos (cruza y mutación) para generar la siguiente población. • Ciclar hasta que cierta condición se cumple. Para la aplicación de un AG se requiere de 5 componentes básicos, incluyendo los tres ya mencionados [COELLO, 2008]: • Una representación de las soluciones potenciales del problema. • Una forma de crear una población inicial de posibles soluciones (normalmente un

proceso aleatorio).

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• Una función de evaluación que juegue el papel del ambiente, clasificando las soluciones en términos de su “aptitud”.

• Operadores genéticos que alteren la composición de los hijos que se producirán para las siguientes generaciones.

• Valores para los diferentes parámetros que utiliza el algoritmo genético (tamaño de la población, probabilidad de cruza, probabilidad de mutación, número máximo de generaciones, etc.)

Los AGs hacen parte, junto con las estrategias y la programación evolutiva, de las denominadas técnicas evolutivas, existen varias diferencias a destacar entre los algoritmos evolutivos y las técnicas tradicionales de búsqueda y optimización, a saber [COELLO, 2008]: • Las técnicas evolutivas usan una población de soluciones potenciales en vez de un

solo individuo, lo cual las hace menos sensibles a quedar atrapadas en mínimos/máximos locales.

• Las técnicas evolutivas no necesitan conocimiento específico sobre el problema que intentan resolver.

• Las técnicas evolutivas usan operadores probabilísticos, mientras las técnicas tradicionales utilizan operadores determinísticos.

• Aunque las técnicas evolutivas son estocásticas, el hecho de que usen operadores probabilísticos no significa que operen de manera análoga a una simple búsqueda aleatoria.

Igualmente, es importante destacar las diversas ventajas que presenta el uso de técnicas evolutivas para resolver problemas de búsqueda y optimización: • Simplicidad conceptual. • Amplia aplicabilidad. • Superiores a las técnicas tradicionales en muchos problemas del mundo real. • Tienen el potencial para incorporar conocimiento sobre el dominio y para mezclarse

con otras técnicas de búsqueda/optimización. • Pueden explotar fácilmente las arquitecturas en paralelo. • Son robustas a los cambios dinámicos. • Generalmente pueden auto-adaptar sus parámetros. • Capaces de resolver problemas para los cuales no se conoce solución alguna. En el campo de la computación evolutiva, y en algoritmos genéticos, se denomina cromosoma a una estructura de datos que contiene una cadena de parámetros de diseño o genes. Esta estructura de datos puede almacenarse, por ejemplo, como una cadena de bits o un arreglo de enteros. Se llama gene a una sub-sección de un cromosoma que codifica el valor de un solo parámetro. Se denomina genotipo a la codificación de los parámetros que representan una solución del problema a resolverse. Se denomina fenotipo a la decodificación del cromosoma; es decir, a los valores obtenidos al pasar de la representación (binaria o elegida) a la usada por la función objetivo (función de aptitud). Se denomina individuo a un solo miembro de la población de soluciones potenciales a un problema. Cada individuo contiene un cromosoma que representa una solución posible del problema.

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Se denomina aptitud al valor que se asigna a cada individuo y que indica que tan bueno es éste con respecto a los demás de la población para la solución de un problema, determinado a partir de la función aptitud u objetivo. Se llama paisaje de aptitud a la hipersuperficie que se obtiene al aplicar la función de aptitud (objetivo) a cada punto del espacio de búsqueda. Se denomina alelo a cada valor posible que puede adquirir una cierta posición genética, si se utiliza una representación binaria, un alelo puede valer 0 ó 1. Se denomina generación a una iteración donde se calcula la función de aptitud y se crea una nueva población por medio de operadores de reproducción. Una población puede subdividirse en grupos a los que se denomina sub-poblaciones. Normalmente, sólo pueden cruzarse entre sí los individuos que pertenezcan a una misma sub-población. En los esquemas con sub-poblaciones, se utiliza la migración de una sub-población a otra (sobre todo en el contexto de algoritmos evolutivos paralelos). Permitir la cruza sólo entre individuos de la misma sub-población se le llama especiación en una emulación del fenómeno natural del mismo nombre. Se llama migración a la transferencia de (los genes de) un individuo de una sub-población a otra. Hay un tipo de población usada en computación evolutiva en la que cualquier individuo puede reproducirse con otro con una probabilidad que depende sólo de su aptitud. Se le llama población panmítica. Lo opuesto de la población panmítica es permitir la reproducción sólo entre individuos de la misma sub-población. La mayor parte de los algoritmos evolutivos (AEs) convencionales usan poblaciones panmíticas. Debido a ruidos estocásticos, los AEs tienden a converger a una sola solución. Para evitar eso, y mantener la diversidad, existen técnicas que permiten crear distintos nichos para los individuos. Se llama epístasis a la interacción entre los diferentes genes de un cromosoma. Se refiere a la medida en que la contribución de aptitud de un gene depende de los valores de los otros genes. Cuando un problema tiene poca epístasis (o ninguna), su solución es sencilla; cuando un problema tiene una epístasis elevada, el problema será deceptivo, por lo que será muy difícil de resolver por un AE. Se llama bloque constructor a un grupo pequeño y compacto de genes que han co-evolucionado de tal forma que su introducción en cualquier cromosoma tiene una alta probabilidad de incrementar la aptitud de dicho cromosoma. Se llama decepción a la condición donde la combinación de buenos bloques constructores lleva a una reducción de aptitud, en vez de un incremento. Se llama operador de reproducción a todo aquel mecanismo que influencia la forma en que se pasa la información genética de padres a hijos. Los operadores de reproducción caen en tres amplias categorías, a saber: Cruza, Mutación y Reordenamiento. La cruza es un operador que forma un nuevo cromosoma combinando partes de cada uno de sus cromosomas padres.

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La mutación es un operador que forma un nuevo cromosoma a través de alteraciones (usualmente pequeñas) de los valores de los genes de un solo cromosoma padre. Un operador de reordenamiento es aquel que cambia el orden de los genes de un cromosoma, con la esperanza de juntar los genes que se encuentren relacionados, facilitando así la producción de bloques constructores. La inversión es un ejemplo de un operador de reordenamiento en el que se invierte el orden de todos los genes comprendidos entre 2 puntos seleccionados al azar en el cromosoma. En un algoritmo genético (AG), cuando una población no tiene variedad, la cruza no es un operador útil de búsqueda, porque tendrá propensión a simplemente regenerar a los padres. Es importante aclarar que en los AGs los operadores de reproducción actúan sobre los genotipos y no sobre los fenotipos de los individuos. Se denomina elitismo al mecanismo utilizado en algunos AEs para asegurar que los cromosomas de los miembros más aptos de una población se pasen a la siguiente generación sin ser alterados por ningún operador genético. Usar elitismo asegura que la aptitud máxima de la población nunca se reducirá de una generación a la siguiente. Sin embargo, no necesariamente mejora la posibilidad de localizar el óptimo global de una función. No obstante, es importante hacer notar que se ha demostrado que el uso de elitismo es vital para poder demostrar convergencia de un algoritmo genético. Cuando se atraviesa un espacio de búsqueda, se denomina explotación al proceso de usar la información obtenida de los puntos visitados previamente para determinar qué lugares resulta más conveniente visitar a continuación. Se denomina exploración al proceso de visitar completamente nuevas regiones del espacio de búsqueda, para ver si puede encontrarse algo prometedor. La exploración involucra grandes saltos hacia lo desconocido. La explotación normalmente involucra movimientos finos. La explotación es buena para encontrar óptimos locales. La exploración evita quedar atrapado en óptimos locales [COELLO, 2008]. 2.1.1 LA REPRESENTACIÓN La representación tradicionalmente usada por el algoritmo genético para codificar un conjunto de soluciones es el esquema binario en la cual un cromosoma es una cadena de la forma [ b1, b2, . . . , bm] donde b1, b2, . . . , bm se denominan alelos (ya sea ceros o unos). Hay varias razones por las cuales suele usarse la codificación binaria en los AGs, aunque la mayoría de ellas se remontan al trabajo pionero de Holland en el área [COELLO, 2008]. El numero de esquemas de una cadena se calcula usando (c + 1)l, donde c es la cardinalidad del alfabeto ó cantidad posible de valores de una posición y l es la longitud de la cadena. Un “esquema” es una plantilla que describe un subconjunto de cadenas que comparten ciertas similitudes en algunas posiciones a lo largo de su longitud. La razón por

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la que se suma uno a la cardinalidad es porque en los esquemas se usa un símbolo adicional (normalmente el asterisco o el símbolo de numero) para indicar que “no nos importa” el valor de esa posición [COELLO, 2008]. Contar con más esquemas favorece la diversidad e incrementa la probabilidad de que se formen buenos “bloques constructores” (es decir, la porción de un cromosoma que le produce una aptitud elevada a la cadena en la cual está presente) en cada generación, lo que en consecuencia mejora el desempeño del AG con el paso del tiempo. El ‘paralelismo implícito’ de los AGs, se refiere a que mientras el AG calcula las aptitudes de los individuos en una población, estima de forma implícita las aptitudes promedio de un numero mucho más alto de cadenas cromosómicas a través del cálculo de las aptitudes promedio observadas en los “bloques constructores” que se detectan en la población [COELLO, 2008]. Por lo tanto, es preferible tener muchos genes con pocos alelos posibles que contar con pocos genes con muchos alelos posibles. El uso de la representación binaria tiene algunas desventajas cuando el AG se usa para resolver ciertos problemas del mundo real; por ejemplo, si tratamos de optimizar una función con alta dimensionalidad (digamos 50 variables), y se requiere trabajar con una buena precisión (por ejemplo, cinco decimales), entonces el mapeo de números reales a binarios generara cadenas extremadamente largas (del orden de 1000 bits en este caso), y el AG tendrá muchos problemas para producir resultados aceptables en la mayor parte de los casos, a menos que usemos procedimientos y operadores especialmente diseñados para el problema en cuestión [COELLO, 2008]. Las principales razones por las que una codificación binaria puede no resultar adecuada en un problema dado: • Epístasis: el valor de un bit puede suprimir las contribuciones de aptitud de otros bits

en el genotipo. • Representación natural: algunos problemas se prestan de manera natural para la

utilización de representaciones de mayor cardinalidad que la binaria. • Soluciones ilegales: los operadores genéticos utilizados pueden producir con

frecuencia (e incluso todo el tiempo) soluciones ilegales si se usa una representación binaria.

Un problema notado en los AGs es que el uso de la representación binaria no mapea adecuadamente el espacio de búsqueda con el espacio de representación. Por ejemplo, si codificamos en binario los enteros 5 y 6, los cuales están adyacentes en el espacio de búsqueda, sus equivalentes en binario son el 101 y el 110, los cuales difieren en 2 en el espacio de representación. A este fenómeno se le conoce como el risco de Hamming. Los códigos de Gray, hace parte de las familias de representaciones donde la propiedad de adyacencia que existe en el espacio de búsqueda se preserva en el espacio de representación, eliminando los riscos de Hamming [COELLO, 2008]. Se ha mostrado, particularmente, en problemas de optimización numérica que el uso directo de números reales en un cromosoma funciona mejor en la práctica que la representación binaria tradicional. Sin embargo, los teóricos de los AGs han criticado fuertemente el uso de valores reales en los genes de un cromosoma, principalmente porque esta representación de cardinalidad mas alta tiende a hacer que el comportamiento del AG sea más errático y difícil de predecir [COELLO, 2008].

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Entre otras representaciones de los números reales, se tiene el uso de enteros para representar cada digito y se supone una posición fija para el punto decimal en cada variable aunque la precisión está limitada por la longitud de la cadena. También, se tiene el usar enteros largos para representar números reales, pero los operadores tendrían que redefinirse de la misma manera que al usar números reales [COELLO, 2008]. En algunos problemas el uso de alfabetos de alta cardinalidad puede no ser suficiente, pues puede requerirse el empleo de cromosomas de longitud variable para lidiar con cambios que ocurran en el ambiente con respecto al tiempo (por ejemplo, el decremento/incremento de la precisión de una variable o la adición/remoción de variables). Algunas veces, puede ser posible introducir símbolos en el alfabeto que sean considerados como posiciones “vacías” a lo largo de la cadena, con lo que se permite la definición de cadenas de longitud variable aunque los cromosomas tengan una longitud fija [COELLO, 2008]. En problemas que tienen decepción parcial o total (es decir, en aquellos problemas en los que los bloques constructores de bajo orden no guían al AG hacia el optimo y no se combinan para formar bloques constructores de orden mayor), un AG no tendrá un buen desempeño sin importar cual sea el valor de sus parámetros (tamaño de población, porcentajes de cruza y mutación, etc.). Para lidiar con este tipo de problemas en [COELLO, 2008], se indica que Goldberg propone el uso de un tipo especial de AG de longitud variable que usa poblaciones de tamaño variable. A este AG especial se le denominó "desordenado" (messy GA o mGA) en contraposición con el AG estándar (u ordenado), que tiene longitud y tamaño de población fijos. La idea básica de los AGs desordenados es empezar con cromosomas cortos, identificar un conjunto de buenos bloques constructores y después incrementar la longitud del cromosoma para propagar estos buenos bloques constructores a lo largo del resto de la cadena. El problema es cómo decidir qué tan largos deben ser estos esquemas “cortos”. Si son demasiado cortos, pueden no contener suficiente material genético como para resolver el problema deseado; si son demasiado largos, la técnica puede volverse impráctica debido a la dimensionalidad (generar y evaluar demasiados cromosomas). Aunque es, sin duda, muy prometedor, los inconvenientes prácticos del AG desordenado han impedido su uso extendido, y actualmente se reportan relativamente pocas aplicaciones [COELLO, 2008]. Algunas recomendaciones para el diseño de una buena representación presentadas en [COELLO, 2008], como una recopilación de varios investigadores son: • Una codificación debe ser capaz de representar todos los fenotipos posibles. • Una codificación debe ser carente de sesgos en el sentido de que todos los

individuos deben estar igualmente representados en el conjunto de todos los genotipos posibles.

• Una codificación no debiera codificar soluciones infactibles (esto no es normalmente posible en la mayoría de los dominios).

• La decodificación debiera ser fácil. • Una codificación debe poseer localidad (o sea, cambios pequeños en el genotipo

debieran producir cambios pequeños en el fenotipo).

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• Las codificaciones deben ajustarse a un conjunto de operadores genéticos de tal forma que los buenos bloques constructores se preserven de padres a hijos.

• Las codificaciones deben minimizar la epístasis. • Deben preferirse las soluciones factibles en una codificación. • El problema debiera representarse a un nivel correcto de abstracción. • Las codificaciones deben explotar un mapeo apropiado del genotipo al fenotipo en

caso de que no sea posible realizar un mapeo simple. 2.1.2 TÉCNICAS DE SELECCIÓN Una componente del funcionamiento de un algoritmo genético es el proceso de selección de individuos de una población para ser candidatos a reproducirse, este proceso generalmente se realiza de forma probabilística en los algoritmos genéticos, donde aún los individuos menos aptos tienen una cierta oportunidad de sobrevivir [COELLO, 2008]. Las técnicas de selección usadas en algoritmos genéticos pueden clasificarse en tres grandes grupos, así: • Selección proporcional • Selección mediante torneo • Selección de estado uniforme Entre otras técnicas de selección de uso menos común, se encuentra la técnica disruptiva, las jerarquías no lineales y la competitiva, ampliadas en [COELLO, 2008]. SELECCIÓN PROPORCIONAL La selección proporcional se eligen los individuos de acuerdo a su contribución de aptitud con respecto al total de la población. Aquí se pueden agrupar las siguientes técnicas: a. La Ruleta: Este es considerado el método más usado desde los orígenes de los algoritmos genéticos, siendo un algoritmo simple pero ineficiente. Se puede asimilar a una ruleta donde a los individuos de la población se asigna una porción (entera y/o fraccionaria) de la ruleta en función de su aptitud de tal forma que la suma de todas las porciones sean la unidad o la suma de todos los valores esperados, así los mejores individuos recibirán una porción de la ruleta mayor que la recibida por los peores. La población puede estar ordenada en base a su aptitud por lo que las porciones más grandes se encuentran al inicio de la ruleta. Para seleccionar un individuo basta con generar un número aleatorio entre el intervalo definido (la unidad o suma total del valores esperados) y devolver el individuo situado en la posición de la ruleta cuyo valor sea igual o supere el valor generado. Esta técnica presenta diferencias entre valor esperado (Ve) y el valor real de copias obtenidas de los individuos siendo un problema de la técnica; así, el peor individuo puede seleccionarse varias veces.

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b. Sobrante Estocástico: De acuerdo a [COELLO, 2008], fue propuesta por Booker y Brindle como una alternativa para aproximar más a los valores esperados y los valores reales de las copias obtenidas de los individuos, la idea principal es asignar determinísticamente las partes enteras de los valores esperados para cada individuo y luego usar otro esquema (proporcional) para la parte fraccionaria. El sobrante estocástico reduce los problemas de la ruleta, pero puede causar convergencia prematura al introducir una mayor presión de selección. El algoritmo es el siguiente: 1. Asignar de manera determinística el conteo de valores esperados a cada individuo

(valores enteros). 2. Los valores restantes (sobrantes del redondeo) se usan probabilísticamente para

rellenar la población. Hay 2 variantes principales: Sin reemplazo: Cada sobrante se usa para sesgar el tiro de una moneda que determina si una cadena se selecciona de nuevo o no. Con reemplazo: Los sobrantes se usan para dimensionar los segmentos de una ruleta y se usa esta técnica de manera tradicional. c. Universal Estocástica De acuerdo a [COELLO, 2008], fue propuesta por Baker con el objetivo de minimizar la mala distribución de los individuos en la población en función de sus valores esperados. Se selecciona un número aleatorio entre 0 y 1 que se va acumulando en la medida que se compara con el valor esperado de los individuos. Se inicia con el valor esperado del primer individuo que es comparado con el acumulado de números aleatorios generados, siendo seleccionado el individuo si el valor esperado es mayor, en caso contrario se inicia nuevamente el ciclo para el siguiente individuo sumando su valor esperado al anterior, y comparándolo con el acumulado de número aleatorio hasta obtener el número de padres deseados. Esta técnica se dice puede ocasionar convergencia prematura, hacer que los individuos más aptos se multipliquen muy rápidamente y no resuelve el problema de imprecisión entre los valores esperados y número de copias reales de cada individuo seleccionado. [COELLO, 2008]. d. Muestreo Determinístico Es una variante de la selección proporcional “La Ruleta”, similar al sobrante estocástico pero con un algoritmo de ordenación, y presenta los mismos problemas de éste. El algoritmo es: 1. Calcular probabilidad de selección, igual a la aptitud del individuo sobre la sumatoria

de las aptitudes de la población. 2. Calcular el valor esperado de cada individuo como la probabilidad de selección por el

tamaño de la población. 3. Asignar determinísticamente la parte entera del valor esperado. 4. Ordenar la población de acuerdo a las partes decimales (de mayor a menor). 5. Obtener los padres faltantes de la parte superior de la lista.

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e. Escalamiento Sigma Es una técnica ideada para mapear la aptitud original de un individuo con su valor esperado de manera que el AG sea menos susceptible a la convergencia prematura. La idea principal de esta técnica es mantener más o menos constante la presión de selección a lo largo del proceso evolutivo. Usando esta técnica, el valor esperado de un individuo está en función de su aptitud, la media de la ción y la desviación estándar de la población.

pobla

, 12 si 0

t 0

1.0 si σ

∑ ∑

El escalamiento sigma produce que al inicio de la corrida, el valor alto de la desviación estándar impedirá que los mejores individuos obtengan los segmentos más grandes de la ruleta y hacia el final, la desviación estándar será más baja y los individuos más aptos podrán multiplicarse más fácilmente. f. Selección por Jerarquías De acuerdo a [COELLO, 2008], fue propuesta por Baker para evitar la convergencia prematura en las técnicas de selección proporcional, el objetivo es disminuir la presión de selección. Se puede hacer uso de jerarquías lineales o no lineales, donde la presión de selección sufre cambios más abruptos al usarse esta última. Los individuos se clasifican con base en su aptitud, y se les selecciona con base en su rango (o jerarquía) y no con base en su aptitud. El uso de jerarquías hace que no se requiera escalar la aptitud, puesto que las diferencias entre las aptitudes absolutas se diluyen. Asimismo, las jerarquías previenen la convergencia prematura. El algoritmo de las jerarquías lineales es el siguiente: • Ordenar (o jerarquizar) la población con base en su aptitud, de 1 a N (donde 1

representa al menos apto). • Elegir Max(1 ≤ Max ≤ 2) • Calcular Min = 2 −Max • Calcular el valor esperado de cada individuo:

,í , 11

Baker recomienda Max = 1.1 • Usar selección proporcional aplicando los valores esperados obtenidos de la

expresión anterior.

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g. Selección de Boltzmann De acuerdo a [COELLO, 2008], esta técnica fue propuesta por Goldberg y está basada en el recocido simulado, donde la idea es usar una función de variación de “temperatura” que controle la presión de selección. Se usa un valor alto de temperatura al principio, lo cual hace que la presión de selección sea baja, con el paso de las generaciones, la temperatura disminuye, lo que aumenta la presión de selección. De esta manera se incita a un comportamiento exploratorio en las primeras generaciones y se acota a uno más explotatorio hacia el final del proceso evolutivo. Se requiere de la definición de una función de variación de la temperatura. SELECCIÓN MEDIANTE TORNEO La selección mediante torneo es similar a la de jerarquías en términos de la presión de selección, pero es computacionalmente más adecuada para implementarse en paralelo. La idea básica del método es seleccionar con base en comparaciones directas de las aptitudes individuos, típicamente de a dos. Hay 2 versiones de la selección mediante torneo: a. Determinística El algoritmo es el siguiente:

1. Barajar los individuos de la población. 2. Escoger un número p de individuos (típicamente 2). 3. Compararlos con base en su aptitud. 4. El ganador del “torneo” es el individuo más apto. 5. Debe barajarse la población un total de p veces para seleccionar N padres (donde

N es el tamaño de la población). b. Probabilística El algoritmo de la versión probabilística es idéntico al anterior, excepto en el paso de selección del ganador. En vez de seleccionar siempre al individuo con aptitud más alta, se aplica una probabilidad de escogencia y si el resultado es cierto, se selecciona al más apto, de lo contrario, se selecciona al menos apto. El valor de la probabilidad de escogencia (p) permanece fijo a lo largo de todo el proceso evolutivo y se escoge en el siguiente rango de 0.5 a 1. Si es igual a 1, se reduce a la versión determinística. SELECCIÓN DE ESTADO UNIFORME De acuerdo a [COELLO, 2008], esta técnica fue propuesta por Whitley y se usa en AGs no generacionales, en los cuales sólo unos cuantos individuos son reemplazados en cada generación (los menos aptos), utilizado generalmente cuando se evolucionan sistemas basados en reglas (p.ej., sistemas clasificadores) en los que el aprendizaje es incremental. En general, la técnica resulta útil cuando los miembros de la población resuelven colectivamente (y no de manera individual) un problema. Asimismo, los AGs generacionales se usan cuando es importante “recordar” lo que se ha aprendido antes.

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Ligado a la selección de estado uniforme se encuentra el concepto de “brecha generacional”, donde intervienen los conceptos de poblaciones “no traslapables” o “traslapables”. Una población “no traslapable” es aquella en que los padres no compiten contra sus hijos, en caso contrario, en una población traslapable los padres compiten contra sus hijos. Se define “brecha generacional” a la cantidad de traslape existente entre padres e hijos. Una brecha generacional grande implica poco (o ningún) traslape poblacional y viceversa. Los algoritmos evolutivos de estado uniforme son aquellos en los que la población es traslapable. Normalmente, sólo uno o dos hijos se producen en cada iteración de un AE de estado uniforme. Los AGs tradicionales usan poblaciones no traslapables. 2.1.3 TÉCNICAS DE CRUCE En computación evolutiva el cruce es un proceso de intercambio de segmentos entre los cromosomas (cadenas lineales de longitud fija). Aunque las técnicas de cruce básicas suelen aplicarse a la representación binaria, estas son generalizables a alfabetos de cardinalidad mayor, si bien en algunos casos requieren de ciertas modificaciones [COELLO, 2008]. Se revisan las técnicas básicas de cruce. a. Cruce de un punto De acuerdo a [COELLO, 2008], ésta técnica fue propuesta por Holland, y muy popular durante muchos años. Como se muestra en la Figura 1 se selección en cada uno de las cadenas de cromosomas (padres) un punto de cruce a partir del cual se intercambian las cadenas para generar los descendientes o hijos. Esta técnica no suele usarse mucho en la práctica debido a los inconvenientes presentes, siendo el problema fundamental del cruce de un punto que presupone que los bloques constructores son esquemas cortos y pocas posiciones fijas, y cuando esto no sucede (p.ej., con cadenas largas), suele no dar resultados apropiados [COELLO, 2008]. Igualmente, trata preferentemente algunas posiciones del cromosoma como por ejemplo los extremos de una cadena.

Figura 1. Ejemplo de cruce de un punto

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b. Cruce de dos puntos De acuerdo a [COELLO, 2008], DeJong fue el primero en implementar una cruza de n puntos, como una generalización de la cruza de un punto. El valor n = 2 es el que minimiza los efectos disruptivos (o destructivos) del cruce y de ahí que sea usado con gran frecuencia. En general, es aceptado que el cruce de dos puntos es mejor que la cruza de un punto y que incrementar al incrementar n se asocie un mayor efecto disruptivo del cruce. En la Figura 2 se muestra un ejemplo de cruce de dos puntos, en donde se selecciona en cada una de las cadenas de cromosomas (padres) dos puntos de cruce a partir del cual se intercambian las cadenas para generar los descendientes o hijos.

Figura 2. Ejemplo de cruce de dos puntos

c. Cruce Uniforme De acuerdo a [COELLO, 2008], esta técnica fue propuesta originalmente por Ackley, aunque se suele atribuir a Syswerda. Se trata de un cruce de n puntos, pero en la cual el número de puntos de cruce no se fija previamente. El cruce uniforme tiene un mayor efecto disruptivo que cualquiera de los dos cruces anteriores, a fin de evitar un efecto excesivamente disruptivo, suele usarse con una probabilidad de cruce Pc = 0.5. En la Figura 3 se muestra un ejemplo de cruce uniforme, donde cada gen hijo se crea copiando el correspondiente gen de uno de los dos padres, seleccionado de acuerdo a una "máscara de cruce" generada aleatoriamente; así, cuando existe un 1 en la máscara, el gen es copiado del primer padre, mientras que cuando existe un 0 el gen se copia del segundo padre. d. Cruce Acentuado De acuerdo a [COELLO, 2008], esta técnica fue propuesta por Schaffer y Morishima en un intento por implementar un mecanismo de auto-adaptación para la generación de los patrones favorables (o sea, los bloques constructores) del cruce. En lugar de calcular directamente la máscara (o patrón) de cruce, se utiliza la cadena binaria con “marcas” para indicar la localización de los puntos de cruce. La información extra que genera el cruce acentuado se agrega al cromosoma de manera que el número y localizaciones de los puntos de cruza pueda ser objeto de manipulación por el AG; así, las cadenas tendrán una longitud del doble de su tamaño original. La convención que suele adoptarse es la de marcar con ‘1’ las posiciones donde hay cruza y con ‘0’ las posiciones donde no la hay.

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Asimismo, se suelen usar signos de admiración para facilitar la escritura de las cadenas. En la Figura 4 se muestran ejemplos de representación de cruce acentuado.

Figura 3. Ejemplo de cruce uniforme

El algoritmo de cruce acentuado es el siguiente: • Copiar los bits de cada padre hacia sus hijos, de uno en uno. • En el momento en que se encuentra un signo de admiración en cualquiera de los

padres, se efectúa la cruza (es decir, se invierte la procedencia de los bits en los hijos).

• Cuando esto ocurre, los signos de admiración se copian también a los hijos, justo antes de que la cruza se efectúe.

Esta técnica usa la primera parte de la cadena para calcular la aptitud, pero la selección, cruza y mutación actúa sobre toda la cadena esperando tener un efecto positivo sobre los puntos de cruce. Además, esta técnica tiene una buena inspiración biológica, porque estas marcas de cruce efectivamente existen en la naturaleza y se co-evolucionan junto con los cromosomas.

Figura 4. Convenciones de Cruce Acentuado

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2.1.4 LA MUTACIÓN La mutación es considerado un operador secundario en los A.G. canónicos; es decir, su uso es menos frecuente al operador cruce. La mutación, realiza un cambio a uno(s) de los genes de un cromosoma elegido(s) aleatoriamente. Cuando se usa una representación binaria, el gene seleccionado se sustituye por su complemento (un cero cambia en uno y viceversa). Este operador permite la introducción de nuevo material cromosómico en la población, tal y como sucede con sus equivalentes biológicos [COELLO, 2008]. La mutación se maneja como un porcentaje que indica con qué frecuencia se efectuará, aunque ocurre esporádicamente. En la práctica, se recomiendan porcentajes de mutación entre 0.1% y 1% para la representación binaria. Algunos investigadores, sin embargo, sugieren usar porcentajes altos de mutación al inicio de la búsqueda y luego disminuir exponencialmente dicho porcentaje lo que favorecería el desempeño de un AG, [COELLO, 2008]. Otros autores sugieren que 1 / L (donde L es la longitud de la cadena cromosómica) es un límite inferior para el porcentaje óptimo de mutación [COELLO, 2008]. 2.2 SISTEMAS DE PUESTA A TIERRA – SPT Un sistema de puesta a tierra (SPT), o malla de puesta a tierra, es una instalación eléctrica que tiene como misión conducir hacia tierra las corrientes de falla, de fuga, de descarga atmosféricas; brindando condiciones de seguridad eléctrica a las personas y equipos. Está conformada por un conjunto de conductores, varillas verticales enclavadas en el terreno, contrapesos horizontales y tratamientos químicos bajo las instalaciones eléctricas de una edificación o subestación eléctrica [IEEE STD 80; BLANDON, 1993]. En la Figura 5 se muestran los principales componentes de un sistema de puesta a tierra. El principal objetivo de los sistemas de puestas a tierra es proporcionar seguridad al personal contra descargas o fallas eléctricas a tierra, para ello se debe garantizar en todo punto de la subestación, o instalación eléctrica, un camino de descarga de baja impedancia a tierra, siendo considerado de esta forma un sistema sólidamente puesto a tierra, que no debe tener variaciones significativas ante cambios en la humedad, composición y/o ambientales del suelo, para evitar que la corriente de falla a tierra produzca el disparo inadecuado de las protecciones, daños a las personas y/o equipos. Adicionalmente, el sistema de puesta a tierra debe tener la capacidad de conducir la corriente de falla sin que se provoquen calentamientos excesivos o gradientes de potencial peligrosos durante el tiempo de falla [IEEE STD 80; 2000]. En el estudio de los sistemas eléctricos industriales los sistemas de puesta a tierra son un componente de gran importancia para el funcionamiento de equipos eléctricos y electrónicos actuales; usualmente localizadas en la subestación eléctrica de un edificio, a nivel industrial, y en los patios de una subestación eléctrica propiamente dicha a nivel de generación, transformación y transporte de energía eléctrica.

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Figura 5. Componentes principales de un Sistema de Puesta a Tierra

En el diseño de sistemas de puesta a tierra es necesario determinar inicialmente las características del suelo, mediante la inspección y/o medición de algunos parámetros como la resistividad del suelo, homogeneidad del suelo, espacio de construcción y expansión, humedad, nivel freático, presencia de objetos metálicos cercanos enterrados, entre otros; permiten realizar el diseño de las mismas. Además, se deben calcular las tensiones de toque, tensiones de paso y la resistencia de la malla de puestas a tierra teóricas, para garantizar que el diseño cumple con las exigencias de la normatividad vigente, específicamente la Norma IEEE Guide for Safety in AC Substation Grounding [IEEE STD 80,2000], esto antes de realizar las mediciones de los parámetros eléctricos reales – tensiones de toque, tensiones de paso y la resistencia del SPT – una vez la malla está instalada. En la Figura 6 se muestra el diagrama genera para el diseño de un sistema de puesta a tierra bajo las consideraciones de la norma [IEEE STD 80, 2000]. Se tiene que el primer paso para el diseño consiste en la determinación del área disponible (A) para la construcción del SPT y la resistividad del suelo (ρ). En el paso dos se dimensiona el tamaño de los conductores del SPT; es decir, el diámetro del conductor (d) de la malla, a partir de las corrientes de falla (I0) y tiempo de duración de la falla (tc). En el paso tres se determinan las tensiones de paso (Estep) y de toque (Etouch) tolerables según los requerimientos de la norma.

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Figura 6. Diagrama General de diseño de un SPT [IEEE STD 80, 2000]

En el paso cuatro, se realiza una selección inicial del espaciamiento entre conductores (D), localización de varillas, cantidad total de conductor (LC) y la profundidad de enterramiento de los conductores del sistema de puesta a tierra. Los otros parámetros indicados (n, LT) son calculados con formulaciones definidas en la norma. En el paso cinco, se realiza una estimación inicial de la resistencia del SPT (Rg); aunque la norma solo considera un modelo de suelo uniforme permite utilizar análisis computacionales para aumentar la precisión de los resultados. En el paso seis, se determina la corriente de malla (Ig) que circularía por el conjunto conductores del SPT en la duración (tf) de la falla. En el paso siete, se determina el máximo potencial eléctrico que puede aparecer en el SPT (GPR - Ground Potencial Rise) del diseño preliminar, siendo la máxima corriente de la malla (Ig) por la resistencia de la malla (Rg); si es menor a la tensión de toque (Etouch) no son requeridos análisis adicionales, en caso contrario, se continua con el siguiente paso. En el paso 8, se calculan los voltajes de malla (Em) y de paso (Estep) utilizando las formulaciones de la norma para suelo uniforme, e igualmente si se requiere mayor precisión es necesario hacer uso de técnicas computacionales. En los pasos 9 y 10, se analiza si los voltajes de malla y de paso, si éstos son mayores a los voltajes tolerables se redefine el diseño preliminar en el paso 11, realizando modificaciones en la configuración

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de los conductores, los espaciamientos, la cantidad de varillas, entre otros; y se vuelve a recorrer procedimiento a partir del paso 5. En caso contrario, donde se tenga un diseño que cumpla con los voltajes de malla (Em) y de paso (Estep) por debajo de los valores tolerables se tiene un diseño de un sistema de puesta a tierra que satisface los requerimientos de la norma, siguiendo un análisis adicional concerniente a áreas especiales [IEEE STD 80,2000]. El diagrama general de diseño de un SPT presentado por la norma [IEEE STD 80, 2000] considera para todos los cálculos un modelo de suelo uniforme; aunque, también se indica que, las variaciones de la resistividad del suelo tienen una considerable influencia en el desempeño de la mayoría de los sistemas de puesta a tierra, afectando los valores de resistencia del SPT y el GPR, las tensiones de paso y de toque; igualmente, el espesor de la capa superior de un modelo de suelo de dos capas afecta el desempeño de los electrodos de tierra [IEEE STD 80, 2000]. La norma para mantener la simplicidad, opto por hacer muchos supuestos en el desarrollo de las formulaciones de diseño de la malla de tierra, siendo uno de ellos, el que las formulaciones sólo son validas para un modelo de suelo de resistividad uniforme, por lo que provee una guía para representar un suelo independientemente del modelo por uno equivalente por un modelo uniforme y, así, quitar la limitación para el uso de las formulaciones de diseño [IEEE STD 80, 2000]. Como se indico anteriormente, la selección del modelo del suelo es un factor decisivo en el diseño, y considerar un modelo de suelo uniforme introduce errores que conllevan a mayores costos por sobre dimensionamiento, rediseños a posteriori y/o problemas en operación de equipos. Sin embargo, los modelos de suelo no homogéneos de dos capas han sido reconocidos por acercarse más a las condiciones reales del suelo comparado con su equivalente uniforme [IEEE STD 80, 2000]. En el siguiente capítulo, se revisaran los trabajos acerca del estudio de los diseños de sistemas de puesta a tierra y donde se han realizado acercamientos para mejorar la precisión de los resultados y desempeño de los mismos.

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3 REVISIÓN DE LA LITERATURA Los trabajos entorno a sistemas de puesta a tierra han tenido como el base el estudio de las formulaciones presentadas en la norma [IEEE STD 80, 2000], que como se indicó considera un modelo de suelo uniforme. Dichos estudios buscan proponer mejoras en la determinación de los parámetros eléctricos de desempeño del sistema de puesta a tierra como son las tensiones de toque, de paso y la resistencia de puesta a tierra a partir del planteamiento de formulaciones, procedimientos y/o metodologías que incluyen análisis utilizando herramientas computacionales actuales y/o aportes de otras áreas del conocimiento. Los diseños convencionales se han planteado con formulaciones simples, obtenidos empíricamente de ensayos de laboratorio y la experiencia profesional acumulada por los expertos reconocidos en el área; otros, han utilizado métodos de cálculo matricial, donde los conductores horizontales y verticales se subdividen en segmentos, con el fin de obtener resultados de calidad y precisos es necesario segmentar los conductores en un número considerable, lo que sugiere un costo computacional mayor a medida que aumentamos la segmentación [NAVARRINA, 2004; COLOMINAS, 2003; COLOMINAS, 2002]. La caracterización del suelo es la primera etapa en el diseño de los sistemas de puesta a tierra, siendo de gran importancia obtener a partir de las mediciones de resistividad aparente un modelo adecuado. Una mala selección del modelo y sus parámetros significa errores en el diseño posterior, que podría incurrir en mayores costos del diseño e implementación del sistema de puesta a tierra, al requerirse, por ejemplo, mayor cantidad de conductores derivado de sobre diseños y/o factores multiplicadores, y esto debido a la falta de un modelo adecuado que considere la no homogeneidad característica de la mayoría de los suelos. [DE LA VEGA, 1998; IEEE STD 80, 2000; IEEE STD 81, 1983]. En ocasiones, por ejemplo para sistemas de puesta a tierra de grandes subestaciones, la configuración de conductores y varillas instaladas, resultado del diseño, no cumplen con alguno de los parámetros eléctricos exigidos por norma, debido generalmente al modelo del suelo homogéneo supuesto. En este caso, una solución planteada al problema es simplemente instalar mayor cantidad de conductor y/o varillas mediante una expansión lateral (contrapesos) hasta obtener los parámetros eléctricos en los rangos requeridos [BLANDON, 1993], generando mayores costos en la construcción de la misma y un total desconocimiento del comportamiento real del sistema de puesta a tierra instalado. La caracterización del suelo se inicia realizando mediciones de los valores de resistividad por los métodos convencionales y suponiendo un modelo del suelo. La práctica más común, recomendada por la norma, es considerar el suelo homogéneo de una sola capa con espesor (profundidad) infinito, y los métodos más elaborados consideran el suelo como un modelo de dos capas, con dos resistividades diferentes, la primera capa de un

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espesor z y el espesor de la segunda capa infinita [GONOS, 2005]; sin embargo, el establecimiento del modelo carece de un método que guie al diseñador en la selección del modelo al comparar los datos con resultados de análisis sobre los datos de medidas de resistividad aparente. La resistividad eléctrica del suelo proporciona en alguna medida la dificultad que encuentra la corriente a su paso, y se tienen diferentes valores dependiendo de la presencia de rocas y/o minerales de diferentes composiciones en el mismo. [GASULLA, 1999]. La medida de la resistividad eléctrica se realiza mediante la relación entre una corriente I inyectada entre un par de eléctrodos, los más externos generalmente, y el voltaje entre otro par de electrodos, internos a los de corriente, para suelos homogéneos e isótropos. Cuando el suelo no es homogéneo se dice que se mide la resistividad aparente y su valor depende de las resistividades de los diferentes materiales encontrados en el terreno bajo estudio. A partir de la interpretación de las resistividades aparentes se han desarrollado los modelos de una, dos o más capas del suelo con sus respectivos espaciamientos y valores de resistividades mediante la aplicación de métodos numéricos y algoritmos genéticos [DEL ALAMO, 1993; GONOS, 2005]. Los métodos, más conocidos, para la medición de la resistividad en campo para el diseño de mallas de puesta a tierra, utilizan disposiciones de cuatro eléctrodos con diferentes espaciamientos entre ellos. Así el método de Wenner, dispone de los electrodos sobre una línea recta, de forma equidistante, que se pueden realizar en varias direcciones de acuerdo a las características superficiales del terreno como curvaturas, disponibilidad de espacio, presencia de objetos, entre otros. Además, se tienen las configuraciones de Schulumberger, polo-dipolo, doble-dipolo y Wenner α, β que varían las distancias entre los electrodos y la selección de electrodos de inyección de corriente y medida de voltaje [GASULLA, 1999]. Los métodos de medida de resistividad enunciados, realizan una prospección vertical de las resistividades aparentes bajo una línea recta de medida, de acuerdo a la relación proporcional entre la profundidad y la distancia entre electrodos de inyección de corriente, es decir a mayor distancia mayor es la profundidad de penetración de la corriente y por lo tanto el valor de la resistividad a esa profundidad [GASULLA, 1999]. El método numérico de cálculo de mallas de puestas a tierra propuesto por la norma IEEE Estándar 80 [IEEE STD 80, 2000; BLANDON, 1993] se fundamenta en terrenos de resistividad homogénea, realizando simplificaciones al modelo del suelo, por lo que escogencia de un valor adecuado de la resistividad aparente significa un buen diseño de la malla de puesta a tierra, o por el contrario un sistema demasiado costoso, que incluso una vez instalado requieren de conductores adicionales, llamados contrapesos, porque no cumple con la norma. El diseño de mallas de puesta a tierra para sistemas eléctricos debe tener en cuenta: el modelo del suelo, el método de cálculo (para evaluar el comportamiento de la puesta a tierra, específicamente su resistencia y los gradientes de potencial en la superficie del suelo) y los criterios de seguridad del personal y los equipos, para establecer los límites admisibles de los gradientes de potencial, [IEEE, 2000; BLANDON, 1993]. La selección correcta de estos componentes es considerado, dentro de la literatura de ingeniería eléctrica, un campo en continúo estudio, en busca de mejoras a los métodos

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convencionales explorando herramientas de otros campos de la ciencia, en este caso la computación e informática desde el enfoque de las nuevas metodologías y/o métodos que implementan el conocimiento en algoritmos genéticos. A continuación, se presentan los principales desarrollos encontrados en el campo de los diseño de mallas de puesta a tierra y, entre otros trabajos, que están relacionados con desarrollos que utilizan algoritmos genéricos, entre otras aplicaciones. En [OTERO, 1998] se presenta un método para el diseño de la cuadricula de la malla de puesta a tierra por medio de una algoritmo genético propuesto. El objetivo propuesto y logrado fue minimizar el costo de sistema de puesta a tierra, considerando la cantidad de conductor como la función a minimizar, mientras las restricciones de seguridad exigidas por la norma son cumplidas. La utilización del algoritmo genético permitió la construcción de una cuadricula de espaciamiento no uniforme que produce una distribución más uniforme de tensiones de paso que una malla de cuadricula con espaciamiento uniforme. En la Figura 7 se muestra una configuración de cuadricula de la malla de puesta tierra obtenida mediante la aplicación del algoritmo para las condiciones dadas. En la Figura 8 se presentan el valor de la función objetivo contra múltiples iteraciones, la evolución de la función objetivo en todos los casos logra una solución antes de 200 iteraciones con una diferencia menor al 7% de la mejor solución. En este trabajo, se considera un modelo de suelo homogéneo; es decir, de una sola capa con un único valor de resistividad y espesor infinito.

Figura 7. Malla optimizada utilizando Algoritmos Genéticos [OTERO, 1998]

Figura 8. Iteraciones para lograr la minimización de la Función objetivo [OTERO, 1998]

En [DEL ALAMO, 1993], se realiza una comparación del desempeño de ocho (8) técnicas, basadas en cinco (5) diferentes métodos, para encontrar los parámetros del suelo con un modelo de dos capas (resistividades y espesor). La estimación de parámetros es llevada a cabo mediante el ajuste óptimo entre el conjunto de valores de resistividad medidos en campo, por el método de Wenner, y los calculados mediante el modelo matemático utilizando tales parámetros. Los algoritmos son aplicados a seis casos de prueba y se comparan los resultados, en base al error obtenido y el tiempo de convergencia. En este trabajo, el modelo de suelo utilizado es de dos capas, cada una de ellas homogénea

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horizontalmente con su respectivo valor de resistividad y espesor. Los métodos de minimización estudiados en Del Alamo, 1993 son: Steepest descent method, Levenberg-Marquardt method, Newton method y Quasi-Newton Method. En [GONOS, 2005], se realiza una estimación de los parámetros del suelo multicapa usando algoritmos genéticos, acorde con las mediciones de resistividad del terreno. Esta metodología es presentada de forma genérica para n capas del suelo; realizando una comparación entre los resultados obtenidos en [DEL ALAMO, 1993] para las diferentes técnicas aplicadas a un suelo de dos (2) capas y los obtenidos utilizando el método propuesto con un algoritmo genético en cada de los seis casos de prueba. En la Figura 9 se muestra el porcentaje de error calculado entre la mejor técnica de cálculo presentada en [DEL ALAMO, 1993] y la solución obtenida utilizando algoritmos genéticos, siendo la metodología de GA considerablemente mejor; es decir, se obtiene una mayor precisión. El desarrollo permite que el suelo sea modelado en n capas, pero no se establecen criterios metodológicos para indicar el número de capas adecuado de acuerdo a los datos obtenidos de las medidas de terreno.

Figura 9. Comparación de la solución con AG y el mejor método de Del Alamo, 1993.

[GONOS, 2005] En la formulación presentada en [GONOS, 2005] se define la función de aptitud u objetivo la sumatoria de los errores entre las medidas de resistividad aparente y los valores de la resistividad aparente calculada según la formulaciones multicapa presentada. Los parámetros a estimar, en el caso del modelo de suelo no homogéneo de dos capas corresponde a los valores de resistividad (ρ1 y ρ2) y el espeso de la primera capa (h), son convertidos a un número binario de 16 bits, que se agrupa en un número binario de 48 bits. El cruce se realiza dividiendo cada padre en seis partes para intercambiar el material genético. La probabilidad de mutación es del 5% y se tiene un máximo de 50 generaciones. En [COVITTI, 2004], se presenta un algoritmo denominado “quasi-genético” para localizar áreas peligrosas en una malla de puesta a tierra con una rejilla de conductores distribuidos uniformemente y otra no uniforme. Se determinan las áreas peligrosas a partir del cálculo de las tensiones de paso sobre la superficie de la malla de puesta a tierra, basados en un algoritmo genético. Se denomina “quasi-genético” porque no busca el mejor individuo (uno sólo) sino un conjunto de los mejores individuos, que son clasificados como “buenos” o “malos” de acuerdo a unas requerimientos establecidos para

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la supervivencia. Este trabajo, parte de una malla de puesta a tierra diseñada y considera un modelo de suelo homogéneo para la aplicación del algoritmo propuesto. En [MA, 2002], se plantea un análisis de los sistemas de puesta a tierra en suelos con volúmenes finitos de diferentes resistividades, utilizando el método de cálculo de elementos de frontera. En la Figura 10, se muestra el modelamiento del suelo considerando un volumen de suelo de una resistividad conocida rodeado de suelo de resistividad diferente, igualmente conocida. Se desarrolla el diseño de las mallas de puesta a tierra utilizando el modelo del suelo planteado para una disposición sencilla. En este trabajo, los valores de resistividades se consideran conocidos, algo que no ocurre en la práctica durante la fase de diseño previo a la instalación de cualquier sistema de puesta a tierra.

Figura 10. Modelo del suelo con volúmenes finitos de diferentes resistividades.

Tomado de [MA, 2002] LIMITACIONES ENCONTRADAS De los trabajos de la revisión presentada se pueden clasificar en dos áreas de estudio; aquellos que se enfocan en el estudio de las propiedades del suelo a fin de determinar el modelo de suelo más adecuado de acuerdo a las mediciones de resistividad aparente y aquellos enfocados en la determinación de la malla de puesta a tierra a partir de un modelo de suelo dado. Entre las principales limitaciones, a nivel de la determinación de los modelos de suelo, se destacan la falta de un método estructurado que permita determinar un modelo adecuado para el diseño, por cuanto lo que se tiene son formulaciones de cómo obtener modelos de dos o más capas. Igualmente, en aquellos trabajos enfocados en el diseño de la malla, propiamente dicho, y que presentan una modelamiento matemático que incluye volúmenes finitos de resistividad [MA, 2002], considera conocidos dichos valores de resistividad, algo que en la práctica generalmente no se presenta sino que primeramente se deben determinar estos valores antes de iniciar el diseño. El proceso inverso, consistente en determinar los volúmenes de resistividad a partir de las medidas de resistividad en el terreno se presenta como una limitación, y se incluye como en el presente trabajo como una formulación matemática opcional dentro del método.

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4 CARACTERIZACIÓN DE LOS MÉTODOS DE MEDICIÓN DE RESISTIVIDAD

Previo al establecimiento del método se realiza una caracterización de los métodos de medición de resistividad más utilizados en el campo de los diseños de sistemas de puestas a tierra, con el fin de conocer los principios de funcionamiento y cálculo de la resistividad aparente del terreno que entrega como resultado en cada una de las medidas. Se inicia con la conceptualización de la propiedad eléctrica del suelo que es el interés en estos métodos de medición, continuando con las disposiciones electródicas de medidas más utilizadas y, también, se analiza un tipo de prospecciones utilizadas principalmente de geoeléctrica. La resistividad eléctrica describe la dificultad que encuentra la corriente para su paso por el suelo y se simboliza ρ. De igual manera, se define la conductividad eléctrica como la facilidad que encuentra la corriente para su paso por el suelo, se simboliza σ y es el inverso de la resistividad eléctrica.

ρσ 1=

La resistividad eléctrica del suelo depende de: • Tipo de suelo • El porcentaje de humedad • La Composición química del suelo • La Compactación del suelo • La Temperatura • Estratificación del Suelo • Mezclas de diferentes tipos materiales • La composición química y concentración de las sales disueltas en el suelo. De la ecuación para la resistencia eléctrica de un conductor rectilíneo y homogéneo de sección s y longitud l, se puede despejar la resistividad eléctrica, que posteriormente se comparará con su factor geométrico con los diferentes métodos de medición de resistividades propuestos.

lsR ⋅

=ρ

La unidad de resistividad eléctrica en el Sistema Internacional es el ohm por metro (Ω m). La unidad de conductividad en el SI es el siemens (S).

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En la naturaleza se pueden encontrar valores de la resistividad para rocas y suelos desde los 10-6 Ω m para aquellos cuya composición son principalmente metales y hasta 1016 Ω m en casos como suelos congelados, [IEEE STD 81, 1983; IAKUBOVSKII, 1980; DE LA VEGA, 1998]. En la Figura 11 se resumen algunos valores de resistividad de rocas y suelos, tomado de [GASULLA, 1999].

Figura 11. Valores de resistividad para rocas y suelos [GASULLA, 1999]

4.1 MEDIDA DE LA RESISTIVIDAD Las técnicas de medidas de resistividad del suelo son esencialmente las mismas cualquiera sea el propósito de la medida; sin embargo, la interpretación de los datos varían considerablemente en presencia de resistividades no uniformes agregando complejidad al problema inverso de determinar los valores de resistividad del suelo a partir de las medidas obtenidas [IEEE STD 81, 1983]. El principio de medida de la resistividad en un suelo consiste en inyectar una corriente I entre el par de electrodos AB y se mide la diferencia de potencial entre el par de electrodos MN, como se muestra en la Figura 12.

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Figura 12. Disposición electródica para la medida de resistividad del suelo

La diferencia de potencial, para un medio homogéneo, está dada por la siguiente ecuación [GASULLA, 1999; IAKUBOVSKII, 1980; DE LA VEGA, 1998]:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−−=Δ

BNBMANAMIV 11112πρ

Donde AM, AN, BM y BN son las distancia entre electrodos. La resistividad se obtiene mediante la siguiente expresión:

IVg Δ

=ρ

donde:

111112−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−−=

BNBMANAMg π

“g” se denomina el factor geométrico que depende de la disposición de los electrodos [GASULLA, 1999]. 4.2 DISPOSICIONES ELECTRÓDICAS DE MEDIDA Disposición de Wenner: Los electrodos se disponen equidistantes sobre una línea en el orden AMNB

Figura 13. Disposición de Wenner

El factor geométrico para esta disposición es:

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ag π2=

Disposición de Schlumberger: Los electrodos AMNB están dispuestos en línea recta, donde la distancia entre los electrodos MN es mucho menor que de los electrodos inyectores AB. En la práctica AB > 5MN.

Figura 14. Disposición de Schlumberger


( )a

abbg += π

Disposición polo – dipolo: En esta disposición el electrodo B se lleva a una gran distancia (teóricamente en el infinito) de los otros tres.

Figura 15. Disposición polo - dipolo


( )a

abbg += π2

Disposición doble dipolo: En esta disposición los electrodos se disponen sobre una línea recta en el orden ABMN, formando un doble dipolo donde los electrodos inyectores AB están a un lado y los electrodos de potencial al otro.

Figura 16. Disposición doble dipolo

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( ) ( ) annng ⋅+⋅+⋅= 21π 4.3 PROSPECCIONES GEOELÉCTRICAS La finalidad de las prospecciones geoeléctricas es conocer la forma, composición y dimensiones de estructuras o cuerpos inmersos en el subsuelo a partir de medidas en la superficie. Se consigue trazar una cartografía de resistividades aparentes. Se dividen generalmente en dos tipos [GASULLA, 1999; IAKUBOVSKII, 1980]: • Sondeo Eléctrico Vertical (S.E.V.) • Calicatas Eléctricas (C.E.)

Sondeo Eléctrico Vertical - SEV La finalidad del SEV es conocer la distribución vertical en profundidad de las resistividades aparentes bajo el punto de sondeo a partir de las medidas de la diferencia de potencial en la superficie.

Figura 17. Principio del SEV

El principio del SEV consiste que a medida que A y B se separan la corriente va penetrando en capas más profundas. Se ha definido la profundidad de investigación efectiva para cada una de las disposiciones mostradas anteriormente, como sigue:

0.17L Wenner 0.19L Schlumberger 0.25L Doble dipolo

Donde L es la distancia AB A partir de las disposiciones electródicas vistas, el SEV consiste en aumentar progresivamente la distancia entre los electrodos manteniendo un punto central fijo (punto de sondeo P).

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Sondeo Wenner Dada la disposición electródica de Wenner, la separación entre electrodos a se aumenta progresivamente manteniendo un punto central P.

Figura 18. Sondeo Wenner

Sondeo Schlumberger Dada la disposición electródica de Schlumberger, el sondeo consiste en separar progresivamente los electrodos inyectores A y B, dejando los electrodos M y N fijos alrededor del punto central P.

Figura 19. Sondeo Schlumberger

Sondeo Dipolar Dada la disposición electródica dipolar, el sondeo consiste en separar progresivamente los centros de los dipolos respecto al punto fijo P.

Figura 20. Sondeo Dipolar

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Finalmente, de la aplicación de este método se tiene que para distancias AB grandes se tiene la incertidumbre de si la resistividad aparente medida es debida a cambios de estructuras en la profundidad o a las heterogeneidades laterales por contraste de resistividades.

Calicatas Eléctricas La finalidad de las calicatas eléctricas es obtener un perfil de las variaciones laterales de la resistividad del suelo fijada un profundidad de investigación, esto lo hace adecuado para detección de heterogeneidades laterales de resistividad [GASULLA, 1999]. Las calicatas eléctricas consisten en trasladar lateralmente los cuatro electrodos de una disposición seleccionada, en un recorrido fijado, manteniendo la separación entre los electrodos. Calicata Wenner Partiendo de la disposición de Wenner, se desplazan los cuatro electrodos AMNB a la vez, manteniendo la separación entre electrodos a lo largo de un recorrido. Se fija un origen O y se mide la resistividad aparente al centro de los electrodos MN.

Figura 21. Calicata Wenner

Calicata Schlumberger En este tipo existen dos tipos. El primer tipo consiste en desplazar lateralmente los cuatro electrodos a la vez, de forma similar a la calicata Wenner. El segundo tipo consiste en desplazar los electrodos M y N entre los electrodos inyectores A y B, los cuales está fijos y a una gran distancia. La profundidad de investigación medida no es constante, siendo máxima cuando los electrodos MN se localizan a la mitad de la distancia AB.

Figura 22. Calicata Schlumberger Tipo 2

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Calicata Dipolar Esta calicata consiste en desplazar los cuatro electrodos ABMN a la vez, manteniendo las separaciones entre electrodos, a lo largo de un recorrido. Se fija un origen O, y la resistividad se mide al punto medio entre los dipolos.

Figura 23. Calicata Dipolar

De las prospecciones mediante calicatas eléctricas se obtiene una curva de resistividad aparente, donde una discontinuidad representa un cambio de resistividad lateral. La diferencia de potencial VMN representa una integral de potencial entre los electrodos M y N, por tanto cuanto más separados estén los electrodos M y N más suavizada será la curva de la resistividad aparente, generando errores de interpretación. En la Figura 24 se muestra el efecto del aumento de la distancia MN en la resistividad de dos cuerpos, se deduce que la calicata Schlumberger tiene mayor resolución que la Wenner [GASULLA, 1999].

Figura 24. Efecto del aumento de la distancia MN [GASULLA, 1999]

Dada la recomendación de la norma IEEE Std 81-1983, acerca de que el método más preciso en la práctica de medición de la resistividad utilizado en los diseños de sistemas de puesta a tierra es el método de los cuatro puntos o Wenner, los datos obtenidos de mediciones del método de Wenner o de igual espaciamiento entre electrodos será el utilizado para validar el método propuesto.

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5 CARACTERIZACIÓN DE LOS MODELOS DE SUELO Inicialmente, los posibles modelos para un suelo en particular se obtienen a partir de la interpretación de las mediciones de resistividad aparente obtenidas por cualquiera de los métodos de medición anteriormente explicados. Se realiza una caracterización de los modelos que se pueden plantear y que en los trabajos entorno al diseño de sistemas de puestas a tierras han utilizado de alguna forma para la solución de los problemas particulares. En [LOKE, 2004] se definen los posibles modelos generales de suelo que pueden interpretarse de las mediciones de resistividad aparente, a saber: Modelo 1-D: modelo de suelo de estratos horizontales de resistividad homogénea; Modelo 2-D: modelo de suelo de estratos horizontales combinado con estratos verticales y Modelo 3-D: modelo de suelo en representación tridimensional de estratos horizontales y verticales. Estos son mostrados en la Figura 25.

Figura 25. Modelos usados en la interpretación de resistividad [LOKE, 2004]

A partir de la definición de un modelo de suelo, en los trabajos revisados en la literatura se proponen métodos para la estimación de parámetros, como los valores de resistividad de elementos finitos, número capas y espesor de las mismas. [DEL ALAMO, 1993; GONOS, 2005]. El modelo de suelo utilizado en los estudios de diseño de puesta a tierra, van agregando complejidad a la matemática involucrada en la medida que se trabaja con modelos de suelo 1-D, 2-D ó 3-D; y de manera general cualquier estudio a partir de las resistividades aparentes del terreno donde se busque proponer un modelo de suelo puede clasificarse en alguna de las categorías indicadas. A continuación se revisan los modelos utilizados en los trabajos revisados en capítulo anterior. En [DEL ALAMO, 1993], se describe la formulación matemática para obtener modelos de suelo 1-D compuesto de dos capas, siendo la primera de un espesor h y la segunda de espesor semi-infinita. Para estos se tiene dos valores de resistividades ρ1 y ρ2,

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correspondiente al estrato 1 y 2, respectivamente. En la Figura 26 se presenta una representación gráfica de este modelo.

Figura 26. Modelo de Suelo 1-D de dos capas

En [GONOS, 2005], se trabaja con una formulación similar a la anterior; pero a diferencia la formulación matemática presentada es para obtener modelos de suelo 1-D compuesto de N capas, y se presentan resultados hasta 5 capas o estratos. En la Figura 27 se presenta una representación gráfica de este modelo.

Figura 27. Modelo de suelo 1-D de N capas

En [GÓMEZ-CALVIÑO, 2002], se presenta una formulación matemática basada en elementos de contorno para modelos de suelo estratificados en 2 capas ya sea vertical u horizontalmente, donde la superficie del terreno es horizontal. A diferencia de los trabajos anteriores, este trabajo no se enfoca en determinar el modelo de suelo planteado, sino que a partir del modelo propuesto se genera un diseño del sistema de puesta a tierra. Estos modelos son mostrados en la Figura 28 y Figura 29; siendo el primero un modelo de suelo 1-D y el segundo una aproximación a un modelo 2-D; pero también podría interpretarse como un modelo 1-D en sentido trasversal a la definición dada anteriormente.

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Figura 28. Modelo dos capas horizontales

Figura 29. Modelo de capas verticales

Tomado de [GÓMEZ-CALVIÑO, 2002] Tomado de [GÓMEZ-CALVIÑO, 2002] En [LAGACE, 1990], se considera en uno de los dos casos de estudio un modelo de suelo que es la combinación de fallas horizontales y verticales para la determinación del campo eléctrico y la distribución de voltaje por el flujo de corriente hacia tierra de un electrodo circular. Aunque, tampoco se centra en la determinación del modelo de suelo, es un caso de aplicación donde se tiene un modelo de suelo 2-D propiamente dicho. En la Figura 30 se presenta una representación gráfica de este modelo.

Figura 30. Modelo de suelo 2-D [LAGACE, 1990]

En [MA, 2002], se utiliza un modelo de suelo que tiene volúmenes finitos de resistividad para realizar el diseño de un sistema de puesta a tierra bajo dichas condiciones del suelo mediante elementos de frontera, siendo este un modelo de suelo 3-D este trabajo no se centra en la determinación del modelo sino en el diseño, partiendo de valores dados a los volúmenes de resistividad finita. En la Figura 31 se muestra una representación gráfica del modelo.

Figura 31. Modelo del suelo 3-D con volúmenes finitos de resistividades [MA, 2002]

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A partir de la caracterización de modelos de suelo realizada, y la revisión de los modelos utilizados en algunos trabajos relacionados con el diseño de sistemas de puestas a tierra y/o la determinación de modelos se observa que los modelos de suelo utilizados en el campo son principalmente del modelo de suelo 1-D donde dos o más capas; aunque en la práctica y dada la recomendación de la norma [IEEE STD 80, 2000] se hace uso de un modelo de suelo uniforme. En este contexto, el modelo de suelo no homogéneo que se busca determinar con el método propuesto se enfoca principalmente a los modelos de suelo 1-D de n capas, según la correspondencia con los datos de las medidas, y adicionalmente generando un aporte adicional buscar un modelo de suelo 2-D con volúmenes finitos de resistividad inmerso en un medio homogéneo de resistividad.

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6 MÉTODO PARA LA DETERMINACIÓN DEL MODELO

DE SUELO NO HOMOGÉNEO A partir de la caracterización realizada de las medidas de resistividad y de los modelos de suelo, considerando el nivel de complejidad y precisión requerido según el campo de aplicación y que para este trabajo son los diseños de sistemas de puestas a tierra, se plantea un método para la determinación de un modelo de suelo no homogéneo cuyo enfoque principal es a un modelo de suelo 1-D de n capas que como datos de entradas tendrá las mediciones de resistividad aparente del método de medición de Wenner obtenidas en campo. En este capítulo se presentan todos los pasos y las formulaciones matemáticas a seguir en el método; los cuales son aplicados a casos de estudio en el siguiente capítulo y se presentan los resultados. En la Figura 32, se presenta el diagrama general del método propuesto para determinar un modelo de suelo no homogéneo, que en relación con los modelos convencionales busca de forma sistemática a partir de un conjunto de mediciones de resistividad aparente del terreno el modelo de suelo más adecuado para representar dichas medidas. En el diagrama general del método, presentado en la Figura 32, se indican cinco (5) pasos conformados por tres (3) pasos que se han denominado de análisis de los datos de entrada por el trabajo que se realiza principalmente sobre los mismos y la obtención de resultados preliminares, antes de continuar con los siguientes pasos que se han denominado de determinación del modelo de suelo no homogéneo, en donde cada uno de estos pasos finales involucra la aplicación de los algoritmos genéticos con el fin de obtener el modelo de suelo buscado de acuerdo a las formulaciones matemáticas planteadas con dicho objetivo. A continuación se detallan los pasos del método general, indicando su alcance frente a la determinación del modelo de suelo no homogéneo y su contribución hacia el siguiente paso del método y los resultados obtenidos. 6.1 PASO 1: MEDICIONES DE RESISTIVIDAD Se inicia con las mediciones de la resistividad aparente (ρa) utilizando el método de Wenner o Schlumberger [IEEE STD 81, 1983; GASULLA, 1999]. Éstos utilizan disposiciones de cuatro electrodos con diferente espaciamiento entre ellos; así, el método de Wenner, dispone de los electrodos sobre una línea recta, de forma equidistante. El método de Schlumberger utiliza, también, cuatro electrodos pero con espaciamientos no equidistantes entre ellos. En la sección 4 se mostraron representaciones gráficas, entre otras, de las disposiciones electródicas de cada uno de los métodos, donde los electrodos A y B se conocen como los inyectores de corriente y los electrodos N y M se conocen como los electrodos de medida de potencial.

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Figura 32. Diagrama general del método propuesto

En los estudios eléctricos de sistemas de puesta a tierra los dos métodos más utilizados son los métodos de Wenner y/o Schlumberger, y considerando la orientación del trabajo hacia mejorar los métodos convencionales en la determinación del modelo de suelo cuyas medidas son a partir de alguno de estos métodos de medida, igualmente se toma con punto de inicio las medidas de resistividad de alguno de estos métodos; sin embargo, es preferente la utilización del método de Wenner dado su mayor aplicación y trabajos relacionados con este método de medida para realizar las comparaciones posteriormente. Ambos métodos utilizan una distribución de electrodos en línea recta sobre la superficie del terreno donde se obtienen caídas de potencial en cada electrodo, considerados en las formulaciones matemáticas a resolver mediante la optimización usando algoritmos genéticos. 6.2 PASO 2: ANÁLISIS DE HOMOGENEIDAD DE LA RESISTIVIDAD MEDIDA A partir de las mediciones, en el siguiente paso, es realizar un análisis de homogeneidad de los valores de resistividad medida, que caracteriza la desviación de la uniformidad de la resistividad frente a la distancia de los electrodos de medida. Una propiedad es homogénea en el rango medido si tiene un coeficiente (pendiente de la gráfica) de uniformidad de la unidad y completamente heterogénea si tiene un coeficiente de uniformidad de cero, aunque pueden obtenerse valores intermedios graficando los valores medidos en un plano cartesiano, como se observa en la Figura 34. [PIRSON, 1965]

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Para el estudio la propiedad (x) será la resistividad y la profundidad (h) la distancia entre electrodos; así, las abscisas corresponden a la separación entre electrodos acumulada adimensional y las ordenadas a la resistividad acumulada adimensional.

Figura 33. Grado de homogeneidad de una propiedad.

Donde:

: Es el promedio ponderado de la propiedad x que varia a lo largo de una profundidad total h

: Es la suma de todas las profundidades de medida de la propiedad x

: Propiedad acumulativa adimensional

: Profundidad acumulativa adimensional

Adicionalmente, cuando se requiera realizar comparaciones entre el grado de homogeneidad de una propiedad se define el Coeficiente de Heterogeneidad o Coeficiente de Lorenz como la relación entre las áreas OCAO sobre OBAO, [PIRSON, 1965]. El análisis de la pendiente de la gráfica obtenida de las medidas de resistividad, siendo esta mayor, menor o igual a uno, permite inferir acerca de la existencia de heterogeneidades en el terreno bajo estudio. Así, si la pendiente de la curva se encuentra cercana a la unidad la resistividad tiene un comportamiento homogéneo y un modelo de suelo uniforme podría ser adecuado. De forma contraria, si la pendiente de la curva se aleja de la unidad la resistividad tiene un comportamiento no homogéneo y un modelo de suelo de varias capas y/o que incluya volúmenes de resistividades puede ajustarse mejor a los valores medidos [MA, 2002; GONOS, 2005].

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A continuación se presenta el pseudo-código para calcular los valores a graficar dado un conjunto de datos de entrada.

Inicio

Paso 1: Para los da g esados se calcula tos in r

Paso 2: Se calcula h ∑h

Paso 3: Se calcula ∑

Paso 4: Para cada dato ingresado se calcula acumulativamente los nuevos (x, y) a graficar

Paso 5: Graficar los nuevos (x,y)

Fin

6.3 PASO 3: ANÁLISIS DE GRÁFICA LOG - LOG El siguiente paso considera el análisis de gráficas LOG – LOG a partir de la resistividad aparente medida y la distancia entre electrodos del método de medida utilizado. En [MOLINA, 2006] se presenta un análisis para varios casos de medidas de resistividad, determinando comportamientos típicos de las mediciones en presencia de modelos de suelo de dos y tres capas, con diferentes valores de resistividad para cada una de ellas, como se observa en la Figura 35, igualmente se presenta un resumen del análisis de las gráficas. 6.4 PASO 4: ELABORACIÓN DE UN MODELO DE SUELO NO HOMOGÉNEO 1-D Se plantea la elaboración un modelo de suelo no homogéneo 1-D aplicando la metodología de estimación de parámetros multicapa propuesta en [GONOS, 2005], mediante la utilización de un algoritmo genético (A.G.) para estimar los valores de resistividad y espesores de cada una de las capas (Modelo de suelo 1-D). En la Figura 36, se presenta el diagrama general del algoritmo genético que se implementa en los pasos 4 y 5, y que de acuerdo a los resultados de los pasos anteriores inicia con una población inicial para la búsqueda de una solución sugerida por el usuario o de forma aleatoria; continua con la evaluación inicial, la selección, cruce y mutación de los parámetros del modelo de suelo no homogéneo, que en caso del paso 4 son los valores de las resistividades y espesores de cada capa y en el caso del paso 5 son los tamaños, resistividades y localización de los volúmenes finitos del modelo, además del valor de resistividad del suelo en la cual se encuentran inmersos. Dentro de los criterios de parada del algoritmo se ha colocado al cumplimiento del número máximo de generaciones, principalmente.

52 de 96

Figura 34. Perfiles de resistividad

(a) Modelo de Suelo de dos capas con ρ1 > ρ2, (b) Modelo de Suelo de dos capas con ρ1 < ρ2, (c) Modelo de Suelo de tres capas con ρ1 > ρ2 < ρ3, (d) Modelo de Suelo de tres capas con ρ1 < ρ2 > ρ3, (e) Modelo de Suelo de tres capas con ρ1 < ρ2 < ρ3, (f) Modelo de Suelo de tres capas con ρ1 > ρ2 > ρ3 [MOLINA, 2006].

53 de 96

Figura 35. Diagrama de Flujo del A.G.

El problema de optimización planteado consiste en determinar el modelo de suelo 1-D cuyos valores de resistividad aparente calculados sean cercanos a los valores de resistividad aparente medidos, seleccionando el modelo de suelo que de cómo resultado el menor error acumulado para todo el conjunto de datos de valores de medida. Las formulaciones para el cálculo de la función objetivo, considerando un modelo de suelo multicapa y a partir de mediciones utilizando el método de Wenner, siendo un problema de optimización con 2N – 1 parámetros para solucionar, es presentado en [GONOS, 2005]. Así, si se requiere un modelo de suelo de dos capas (N=2) los parámetros a solucionar son tres, a saber: el espesor de la primera capa y las resistividades de la primera y segunda capa. A continuación, se resumen las ecuaciones generales de cálculo, donde F(X) representa Fg. en el diagrama.

mjXF

j m

am K1)(2

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=∑ ρ

ρρ

54 de 96

[ ]

11

21

21

1

1

002

2

1

21;2;1

11;

)(1

2)(

:)2()(21(

1

1

−−

⋅⋅−+

⋅⋅−+

+

+

∞

⋅⋅−

⋅⋅−

=

−<<>⋅⋅+⋅+

=

−<<+−

=

∂⋅⋅⋅−

⋅⋅⋅=

⋅−⋅+⋅=

+

+

∫

NNN

hNSs

hNSs

NS

ii

iii

hNS

hNS

N

NNa

kK

NSNeKk

eKkK

Nik

xJeK

eKxxF

donderFrF

s

s

s

s

λ

λ

λ

λ

ρρρρ

λλ

ρρ

D n

o de: : Resistividad Aparente Calculada: Resistividad Aparente Medida

6.5 PASO 5: ELABORACIÓN DE UN MODELO DE SUELO NO HOMOGÉNEO 2-D (OPCIONAL) De forma similar a la metodología de estimación de parámetros multicapa propuesta en [GONOS, 2005], se plantea la utilización de un algoritmo genético (A.G.) para estimar volúmenes finitos de resistividad que hacen parte de un modelo de suelo no homogéneo en lugar de resistividades y espesores de de capas (Modelo de suelo 2-D). Igualmente, el problema de optimización planteado consiste en determinar el modelo de suelo 2-D cuyos valores de resistividad aparente calculados sean cercanos a los valores de resistividad aparente medidos, seleccionando el modelo de suelo que de cómo resultado el menor error acumulado para todo el conjunto de datos de valores de medida. Las formulaciones para el cálculo de la función objetivo, en comparación con la metodología presentada en [GONOS, 2005], cambia al no estar considerando un modelo de suelo multicapa (1-D) sino un modelo de suelo no homogéneo (2-D), aunque parte también de las mediciones utilizando el método de Wenner, siendo éste un problema de optimización cuyos parámetros a determinar depende de la cantidad de elementos finitos de resistividad que se quieran considerar en el modelo. Las formulaciones para la medida de la resistividad aparente (dada por los equipos de medición) es un valor de la diferencia de potencial en la superficie del terreno entre dos puntos a un determinado valor de corriente, como se indico anteriormente, y basado en ello se presentan las formulaciones para la resistividad aparente calculada y así realizar la comparación con las resistividades aparentes medidas, de forma general la función de aptitud del problema de optimización.

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A continuación, se presentan dos formulaciones matemáticas para el cálculo de la resistividad aparente para un modelo de suelo no homogéneo 2-D estudiadas, que utilizan volúmenes finitos de resistividad como parte del modelo de suelo, utilizada en la función objetivo del problema de optimización bajo estudio mediante A.G. Estas formulaciones, se plantean considerando para ambos casos volúmenes finitos de resistividad circulares. 6.5.1 FORMULACIÓN MATEMÁTICA DE ELEMENTOS DE FRONTERA CON VOLÚMENES

FINITOS DE RESISTIVIDAD La formulación de de cálculo de potenciales en el terreno a partir de volúmenes finitos de resistividad en el suelo que considera el método de elementos de frontera es presentada en [MA, 2002]. En base a esta formulación y metodología de cálculo se plantean las ecuaciones del problema inverso para obtener un modelo de suelo no homogéneo con volúmenes finitos de resistividades a partir de las mediciones de resistividad obtenidas con el método de Wenner. En la Figura 37 se muestra el caso general de un volumen de resistividad ρ1

(conductividad σ1) inmerso en un medio de resistividad ρ2 (conductividad σ2).

Figura 36. Modelo de suelo con un volumen finito de resistividad

Adicionalmente en [MA, 2002] se considera la presencia de segmentos conductores en dicho volumen finito de resistividad que harán la veces de fuentes externas, y que serán los electrodos de inyección de corriente del método de medición de Wenner. Al considerar la profundidad de enterramiento de estos electrodos, en comparación con los volúmenes buscados, se utiliza un solo segmento para representar dichas fuentes externas.

56 de 96

En la Figura 38 se muestra un caso general de un volumen de resistividad bajo la superficie del terreno donde se han dispuesto los electrodos de inyección de corriente y medida de potencial. A partir de este modelo general se plantean las ecuaciones de solución descritas más adelante. El método de elementos de frontera es una técnica computacional en la cual dadas unas ecuaciones integrales de frontera se plantea solucionarlas numéricamente dividiendo el dominio de integración en elementos de frontera, en la Figura 39 se muestra una superficie Sik con el q-ésimo elemento de frontera ΔSq. En comparación con el método de los elementos finitos que requiere conocer elementos en toda la región, éste solo requiere conocer los elementos de la frontera demandando por lo tanto un menor tiempo de cómputo. En la Figura 39, se considera una interfaz Sik que separa dos regiones de suelo i y k, siendo Sik una superficie cerrada con un valor de conductividad σi inmersa en un suelo de extensión infinita con conductividad σk.

Figura 37. Integración de volumen de resistividad al método de medida

Figura 38. Superficie con elementos de frontera

Las variables usadas en el análisis son listadas a continuación:

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Las condiciones de frontera para la densidad de corriente y densidad de flujo eléctrico en la superficie pueden ser escritas como:

La primera condición indica que la densidad de corriente a la entrada del elemento es igual a la densidad de corriente a la salida. La segunda condición indica que densidad de flujo eléctrico a la entrada del elemento menos la densidad de flujo eléctrico a la salida es igual a la densidad superficial de carga de elemento de análisis (Ley de Gauss). Usando las relaciones entre la densidad de corriente y la densidad de flujo eléctrico con el campo eléctrico, mostradas a continuación:

se puede deducir que:

Definiendo:

Donde nq / 2ε0 es la contribución de las cargas del elemento superficial ΔSq y E(r) es la contribución debida a otras fuentes al campo Ek(k). Se deduce que:

58 de 96

De igual forma, E(r) se puede expresar como la sumatoria del campo E(s)(r) debido a las cargas de la superficie Sik excepto aquellas de ΔSq y el campo E(o)(r) debido a las fuentes externas. Así:

Donde para m elementos de la superficie Sik con su respectiva densidad superficial de carga se tiene:

Igualmente, al considerar las fuentes externas como aquellas conformadas por segmentos de conductor con una densidad lineal de carga tenemos que:

De las ecuaciones de condiciones de frontera y las anteriores se deduce una expresión para la densidad superficial de carga en el elemento de frontera ΔSq:

En [MA, 2002] se presentan las formulaciones para el cálculo del potencial en un segmento de conductor p debido al potencial propio, a las cargas de los elementos de la superficie ΔSq y las cargas en todos los segmentos del conductor, así:

Donde Lp y ap son la longitud y radio de p-ésimo segmento de conductor, respectivamente.

59 de 96

En la Figura 40, se hace una ampliación a la formulación presentada donde se tiene un plano de tierra que divide dos medios y además existe un volumen de resistividad en el suelo (modelo de suelo no homogéneo) y para solucionarlo se hace uso de la teoría de las imágenes [MA, 2002]. Aquí, se establece el plano de tierra como el elemento reflector del volumen de resistividad, generando una imagen en el medio aire.

Figura 39. Volumen de resistividad en un plano de tierra

Las ecuaciones para el cálculo de la densidad superficial de carga del elemento ΔSq

considerando la nueva contribución de la imagen (denotada como ΔSq’ ) se presenta a

continuación:

El cálculo de potencial en el segmento p, considerando su imagen se presenta a continuación:

60 de 96

En [MA, 2002] se plantea un sistema de ecuaciones para el caso para la solución de las incógnitas:

Donde:

61 de 96

Ahora, se plantea la formulación para el caso de múltiples (m) volúmenes de resistividad como se muestra en la Figura 41.

62 de 96

Figura 40. Múltiples volúmenes de resistividad en un plano de tierra

En este caso el sistema de ecuaciones se plantea en [MA, 2002] como:

Donde se tienen m volúmenes de resistividad con k elementos de superficie (mk), n electrodos con k segmentos de conductor (nk). Las formulaciones para A, B, C y D son similares a las presentadas anteriormente en caso utilizando el método de las imágenes. Una vez presentada la formulación anterior, se continúa con el estudio del problema inverso a determinar los volúmenes y valores de conductividad (resistividad) a partir de los valores de potencial medidos mediante el método de Wenner presentado anteriormente. En este punto, para el caso de interés se tienen son los potenciales generados en los electrodos de inyección de corriente y medidos en los electrodos de potencial del método de wenner. Podemos re-escribir las ecuaciones de densidad superficial de carga y potencial de los electrodos como un sistema de ecuaciones, así:

63 de 96

np

VDCC

VDCC

mqBAA

l

m

l

pl

n

jj

pj

n

jj

pj

l

m

l

pl

n

jj

pj

n

jj

pj

m

ll

ql

n

j

qj

n

jj

qj j

,,2,1

''

'

,,2,10'

211

2

1

1

111

2

1

1

11

2

1

1

K

K

=

=++

=++

==++

∑∑∑

∑∑∑

∑∑∑

===

===

===

ηξξ

ηξξ

ηξξ

Donde:

2 Electrodo elen Voltaje : 1 Electrodo elen Voltaje :

carga de lsuperficia Elemento :

2 Electrodo Corriente de Lineal Densidad :

1 Electrodo Corriente de Lineal Densidad :

2

1

2

1

VV

lηl

j

jξ

ξ

Además, de las siguientes consideraciones:

1212

12

21

;'

: tomandoecuaciones de sistema el normaliza Seproblema del incognita como define e :

calculos) afecta no un valor, supone (Se 1

Vη'

V

SVI

ξ ξjj

Δ=

Δ=

Δ=

−=

ηξξ

Re-escribiendo el sistema de ecuaciones se tiene:

npDC''C''

mqBAA

l

m

l

pl

n

jj

pj

n

jj

pj

m

ll

ql

n

j

qj

n

jj

qj j

,,2,1 1''

,,2,10''''

11

2

1

1

11

2

1

1

K

K

==++

==++

∑∑∑

∑∑∑

===

===

ηξξ

ηξξ

Se observa que se tiene un sistema de m + n incógnitas con igual número de ecuaciones. Después de obtener los valores de densidad de corriente para cada segmento ξj y las densidades superficiales de carga ηl se calcula el potencial en cualquier punto, así:

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∫∑∑∑ ∫Δ== = −

+−

=

⋅=

=

=

l

k

p S

m

ll

n

j

n

p L

pje

ll

j

j

jj

rrds

rrdLV

ΔV

ξ'ξ

ΔV

LIερξ

''

''

41

'

11 10

12

12

01

rrrr ηξπε

ηη

Así, la resistividad calculada se define como:

( )43

34

2

2

VVπaρIVπaρ

cα

cα

i

i

−=

Δ=

6.5.2 FORMULACIÓN MATEMÁTICA PARA EL CÁLCULO POTENCIAL ELÉCTRICO:

SOLUCIÓN APROXIMADA La segunda formulación utilizada en el desarrollo que incorpora volúmenes finitos de resistividad del suelo, que a diferencia del método anterior está basada en la solución de potenciales y campos eléctricos en presencia de una esfera, que es presentada en [GASULLA, 1999]. Aunque se presenta la solución exacta del potencial eléctrico para una inyección puntual de corriente, se recomienda la aplicación de la solución aproximada por los menores costes computacionales y que dicha solución es válida para relaciones profundidad-esfera / radio-esfera mayor a 1.3 (h/a > 1.3). En base a esta formulación y metodología de cálculo se plantean las ecuaciones del problema inverso para obtener un modelo de suelo no homogéneo 2-D con volúmenes finitos de resistividades de forma circular a partir de las mediciones de resistividad obtenidas con el método de Wenner. En la Figura 42 se muestra el modelo de suelo 2-D con un volumen circular de resistividad ρ2 (conductividad σ2) inmerso en un medio de resistividad ρ1 (conductividad σ1), donde se indican también los dos electrodos de inyección de corriente del método de medición de resistividad. Las variables R, R’, r, h, D, D’, θ y θ’ depende de la ubicación del volumen circular en el modelo de suelo propuesto.

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Figura 41. Modelo de suelo con volumen circular

La solución aproximada para del potencial en cualquier punto P en la superficie del terreno dado que se tiene una inyección de corriente mediante dos electrodos de corriente, presentada en [GASULLA, 1999] es:

donde Pn son los polinomios de grado n de Legendre. Además:

Al igual que en la formulación anterior, el cálculo de la resistividad aparente se realiza calculando los potenciales en los puntos donde se localizan los electrodos de medición del método de medición de resistividad aparente, considerando las distancias entre electrodos en cada caso de medida, en la Figura 43 se presenta una representación del cálculo de potenciales integrado con el método de medición, donde se deben calcular las potenciales V3 y V4 para la siguiente ecuación de cálculo de la resistividad aparente.

( )43

34

2

2

VVπaρIVπaρ

cα

cα

i

i

−=

Δ=

66 de 96

Figura 42. Representación del cálculo de potenciales integrado al método de medición

Las dos formulaciones presentadas se enfocan en determinar finalmente el valor de la resistividad aparente calculada considerando un volumen finito de resistividad, que en ambos casos se seleccionó un volumen circular. Ambas formulaciones permiten determinar el potencial en algún punto de la superficie del terreno, y en este caso se requiere conocer en los electrodos de medida, y a partir de éstos calcular la resistividad aparente.

A partir de las dos formulaciones matemáticas presentadas se desarrollaron los programas en MATLAB que implementan la función de objetivo a minimizar mediante algoritmos genéticos. Independiente de la formulación utilizada para el cálculo de la resistividad aparente, el pseudocódigo para la obtención de modelo de suelo no homogéneo se presenta a continuación:

Inicio Paso 1: Programar la función objetivo en un archivo .m Paso 2: Definir el problema a minimizar:

- Función de aptitud - Numero de variables - Rangos iniciales de las variables - Restricciones - Parámetros del A.G. (Selección, Cruce, Mutación)

Paso 3: Ejecutar subrutina de solución utilizando A.G. Paso 4: Obtención de los parámetros del modelo Paso 5: Representación gráfica del modelo Fin

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7 EXPERIMENTOS Y RESULTADOS 7.1 DESCRIPCIÓN DE LOS CASOS DE ESTUDIO Para la aplicación del método se han seleccionado los resultados presentados en [GONOS, 2005] y que hacen referencia a trabajos de los investigadores Del Alamo, Seedher y Arora. En [GONOS, 2005], también, se presenta los comparativos de los métodos utilizados para obtener modelos de suelos 1-D de estos investigadores y servirán de base para realizar las posteriores comparaciones con el método propuesto. A nivel de herramienta computacional para la ejecución de los programas de optimización utilizando algoritmos genéticos se utiliza MATLAB mediante el Toolbox GATOOL y línea de comandos. Los programas en MATLAB de los casos bajo estudio hacen parte de los anexos. En las siguientes secciones se presenta la aplicación del método en los pasos descritos en el capítulo anterior, y realizando las comparaciones respectivas con los trabajos afines. 7.2 APLICACIÓN DEL MÉTODO PROPUESTO 7.2.1 PASO 1: MEDICIONES DE RESISTIVIDAD Las mediciones de resistividad aparente en campo presentados en [GONOS, 2005] y que hacen referencia a trabajos experimentales de los investigadores Del Alamo, Seedher y Arora, utilizadas para la validación del método propuesto fueron obtenidas de la aplicación del método de medida de Wenner, referenciando el valor de la resistividad aparente y el espaciamiento entre electrodos. También, en [GONOS, 2005], se presenta los resultados comparativos de la metodología propuesta en Gonos y los resultados obtenidos por Del Alamo, Seedher y Arora, respectivamente. Estás servirán de base para realizar las posteriores comparaciones con el método propuesto. Los casos de estudios para la aplicación del método son presentados en la Tabla 1 y Tabla 2.

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Tabla 1. Resultados experimentales por Del Alamo [GONOS, 2005]

Tabla 2. Resultados experimentales por Seedher and Arora [GONOS, 2005]

Aunque se toman mediciones de resistividad aparente del terreno utilizando el método de Wenner, el método propuesto también es aplicable a los resultados de otros métodos de medición de resistividad del terreno. 7.2.2 PASO 2: ANÁLISIS DE HOMOGENEIDAD DE LA RESISTIVIDAD MEDIDA En este paso se generan las gráficas de homogeneidad de las mediciones de resistividad descritas en el Paso 1, de los resultados experimentales de Del Alamo, Seedher y Arora. En la Figura 44, se presentan los resultados obtenidos del análisis de homogeneidad para los 6 casos de medidas experimentales de Del Alamo. De lo presentado, en la sección 6.2 en la medida que se aleje la curva de la línea pendiente de 45º se presenta mayor grado de heterogeneidad y en este sentido modelos de suelo homogéneo no representan adecuadamente el conjunto de mediciones tomadas del terreno. Así, las curvas para todos los casos mostrados no corresponden exactamente a un modelo de suelo completamente homogéneo, lo que conlleva a pensar en modelos heterogéneos, de capas o conformados por volúmenes de resistividades. Se observa que, los casos 2 y 4

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son los que más se alejan de la pendiente de 45º; se acercan más los casos 5 y 6 seguidos de los casos 3 y 1.

Figura 43. Análisis de homogeneidad para casos experimentales de Del Alamo

Res

istiv

idad

acu

mul

ativ

a ad

imen

sion

al:

Distancia acumulativa adimensional:

También, es importante observa que los casos 1, 4 y 5 se encuentran sobre la línea pendiente de 45º y los casos 2, 3 y 6 se encuentran por debajo de la misma. Estos primeros análisis permiten inferir el grado de heterogeneidad presente en el conjunto de medidas de resistividad del suelo bajo estudio, al estar lejos o cerca la curva graficada de la pendiente de 45º. También, al encontrarse la curva por debajo o por encima de la pendiente permitiría inferir sobre los valores de resistividades a encontrar en asocio con el paso siguiente, respecto a un mayor o menor valor de resistividad en la cercanía de la superficie del terreno. En la Figura 45, se presentan los resultados obtenidos del análisis de homogeneidad para los 4 casos de medidas experimentales de Seedher y Arora. En éstos, igualmente, las curvas para todos los casos mostrados no corresponden exactamente a un modelo de suelo completamente homogéneo, lo que conlleva a suponer modelos no homogéneos como una forma más adecuada para representar las medidas obtenidas. Se observa, que los casos 2, 3 y 4 se alejan levemente de la pendiente de 45º, siendo el caso 1 el que presenta un mayor comportamiento heterogéneo de la propiedad medida. Igualmente, se observan dos casos por debajo y dos casos por encima de la línea pendiente de 45º.

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Figura 44. Análisis de homogeneidad para casos experimentales de Seedher y Arora

Res

istiv

idad

acu

mul

ativ

a ad

imen

sion

al:

Distancia acumulativa adimensional:

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Homogeneidad de la Resistividad para 4 casos de medidas

Caso 1

Caso 2

Caso 3

Caso 4

Base

De los resultados en este paso, se determina que en todos los casos se presentan un grado de heterogeneidad en mayor o menor medida, por lo que un modelo de suelo homogéneo o uniforme no es la selección adecuada en estos casos. Así, en el siguiente paso se podrá a partir de la comparación con los patrones dados seleccionar al menos un modelo de suelo de dos o más capas, siendo esto una forma básica de un modelo de suelo no uniforme. Igualmente, del análisis de estas curvas en asocio con la siguiente sección nos permitirá inferir sobre el valor de la primera capa sobre la segunda en un modelo por capas del suelo, en el sentido de que si el valor de resistividad de la primera capa es mayor o menor de la siguiente dependiendo de si se encuentra por encima o por debajo de la línea pendiente de 45º; pero este análisis lo abordaremos en la siguiente sección. 7.2.3 PASO 3: ANÁLISIS DE GRÁFICA LOG - LOG En este paso se analizan las gráficas Log – Log generadas a partir del conjunto de datos de medidas de resistividad aparente, también denominada perfil de resistividad. En la Figura 46 se presentan las gráficas log – log de los datos de medidas de resistividad aparente contra la distancia entre electrodos de los resultados presentados en Del Alamo.

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(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

1

10

100

1000

1 10 100

Resistividad

Apa

rente (Ohm

.m))

Distancia entre electrodos (m)

Perfil de Resistividad ‐ Caso 1

1

10

100

1000

1 1

Resistividad

Apa

rente (Ohm

.m))



0

1

10

100

0.1 1 10

Resistividad

Apa

rente (Ohm

.m))



1

10

100

1000

1 10 100

Resistividad

Apa

rente (Ohm

.m))



1

10

100

1000

1 10

Resistividad

Apa

rente (Ohm

.m))



1

10

100

1000

1 10 100

Resistividad

Apa

rente (Ohm

.m))



Figura 45. Gráficas Log - Log resultados experimentales de Del Alamo

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En los literales (a), (d) y (e) de la Figura 46 que corresponden a las gráficas log-log de los Casos 1, 4 y 5 respectivamente de Del Alamo, que al compararlas con los patrones de perfiles de resistividades dados para diferentes modelos de suelo por capas en la sección 6.3, se asimilan a perfiles de resistividad para un modelo de suelo de dos capas, donde la resistividad de la primera capa es mayor a la resistividad de la segunda (ρ1 > ρ2). Igualmente, al retomar la Figura 44 del análisis de homogeneidad se observa que las curvas para estos casos se encuentran por encima de la pendiente de 45º; por lo que desde el paso anterior se puede tener un primer indicio del modelo de suelo por capas que podría ajustarse y que es ratificado en este paso con las gráficas log – log comparadas con los patrones dados. Un análisis similar se hace de los literales (b), (c) y (f) de la Figura 46 que corresponden a las gráficas log – log de los casos 2, 3 y 6 respectivamente de Del Alamo, que al compararlas con los patrones de los perfiles de resistividades de la sección 6.3, se asimilan a perfiles de resistividad de un modelo de suelo de dos capas, pero en estos casos la resistividad de la primera capa es menor a la resistividad de la segunda (ρ1 < ρ2). Igualmente, al retomar la Figura 44 del análisis de homogeneidad se observa que las curvas para estos casos se encuentran por debajo de la pendiente de 45º; por lo que igualmente se puede tener un primer indicio del modelo de suelo por capas que podría ajustarse y que es ratificado en este paso con las gráficas log – log comparadas con los patrones dados. Continuando los análisis con los otros casos de medida, en la Figura 47 se presentan las gráficas log – log de los datos de medidas de resistividad aparente contra la distancia entre electrodos de los resultados presentados en Seedher y Arora. En los literales (a) y (d) de la Figura 47 que corresponden a las gráficas log-log de los Casos 1y 4, respectivamente, de Seedher y Arora, al compararlas con los patrones de perfiles de resistividades de la sección 6.3, se asimilan a perfiles de resistividad para un modelo de suelo de dos capas, donde la resistividad de la primera capa es mayor a la resistividad de la segunda (ρ1 > ρ2). Igualmente, al retomar la Figura 45 del análisis de homogeneidad se observa que las curvas para estos casos se encuentran por encima de la pendiente de 45º; por lo que se tiene un primer indicio del modelo de suelo por capas que podría ajustarse y que es ratificado en este paso con las gráficas log – log comparadas con los patrones dados. Un análisis similar se hace de los literales (b) y (c) de la Figura 47 que corresponden a las gráficas log – log de los casos 2 y 3, respectivamente de Seedher y Arora, que al compararlas con los patrones de los perfiles de resistividades de la sección 6.3, se asimilan a perfiles de resistividad de un modelo de suelo de dos capas, pero en estos casos la resistividad de la primera capa es menor a la resistividad de la segunda (ρ1 < ρ2). Igualmente, al retomar la Figura 45 del análisis de homogeneidad se observa que las curvas para estos casos se encuentran por debajo de la pendiente de 45º; por lo que, igualmente, se tiene un primer indicio del modelo de suelo por capas que podría ajustarse y que es ratificado en este paso con las gráficas log – log comparadas con los patrones dados.

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(a)

(b)

(c)

(d)

1

10

100

1000

1 10

Resistividad

Apa

rente (Ohm

.m))



1

10

100

1000

1 1

Resistividad

Apa

rente (Ohm

.m))



0

1

10

100

1000

1 10

Resistividad

Apa

rente (Ohm

.m))



1

10

100

1000

1 10 100

Resistividad

Apa

rente (Ohm

.m))



Figura 46. Gráficas Log - Log resultados experimentales de Seedher y Arora De la aplicación de los pasos 2 y 3 sobre el conjunto de datos de resistividad aparente, se extraen resultados cualitativos de los modelos de suelo por capas que mejor se ajustan, corroborándose el resultado obtenido en un paso con el otro, al concluirse de forma cualitativa el comportamiento de los datos en una gráfica log – log con su correspondiente gráfica de homogeneidad. Sin embargo, hasta este punto no se han determinado valores para las resistividades presentes en el suelo (según el modelo seleccionado) que se ajusten al conjunto de medidas experimentales bajo estudio; lo cual, se aborda en el siguiente paso del método donde utilizando una formulación matemática de modelo de suelo por capas en conjunto con algoritmos genéticos como herramienta de optimización del problema de minimización formulado se encuentran valores de ajuste al modelo. De los casos analizados en los pasos 2 y 3, se tiene resultados preliminares en cuanto a que considerando un modelo de suelo por capas, uno de dos capas para todos los casos es el que mejor puede ajustarse, y en comparación con los análisis convencionales de modelos de suelo por capas, de éstos resultados dan al analista un punto de partida para la selección de número de capas del modelo evitando el desgaste probando diferentes

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modelos de suelo variando el número de capas para encontrar aquel que produzca un mejor ajuste en cuanto al error obtenido entre los valores medidos y los valores calculados. Así que, para los casos se buscará en el paso siguiente un modelo de suelo de dos capas, donde para los casos 1, 4, 5 de Del Alamo y los casos 1,4 de Seedher y Arora, el valor de la resistividad de la primera capa es mayor que la segunda, e inversamente para los otros casos. 7.2.4 PASO 4: ELABORACIÓN DE UN MODELO DE SUELO NO HOMOGÉNEO 1-D Para este paso, se implementó la metodología propuesta en [GONOS, 2005] mediante un algoritmo en MATLAB utilizando el toolbox de algoritmos genéticos integrado al programa, para la minimización de la función objetivo, que corresponde al error entre el valor medido de resistividad aparente y el valor de resistividad aparente calculada. A partir de los resultados de los pasos anteriores para los casos bajo estudio de Del Alamo, Seedher y Arora, se conoce de forma cualitativa que un modelo de suelo 1-D de dos capas resulta apropiado para representar el conjunto de medidas de resistividad aparente, donde en este paso queda por determinar los valores de resistividad y espesor de la primera capa. Una representación gráfica del problema de optimización para el caso del modelo de suelo 1-D de dos capas es mostrado en la Figura 48.

Figura 47. Modelo de Suelo 1-D de dos capas

Para la determinación de los parámetros (2N-1, donde N = 2 es el número de capas) se aplica la formulación siguiente para obtener una función objetivo a minimizar utilizando algoritmos genéticos para buscar una solución. La Función a minimizar o función objetivo es:

Donde: N: Es el número de medidas del terreno de la resistividad

miα

ρ : Es la i-ésima medida de resistividad del suelo a una distancia entre electrodos αi

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ciα

ρ : Es la i-ésima resistividad calculada del suelo a la misma distancia entre electrodos αi

Donde la resistividad calculada se determina a partir de la estimación, en este caso, de tres parámetros, a saber: ρ1 ρ2 h1, de acuerdo con las ecuaciones mostradas a continuación [GONOS, 2005]:

Los parámetros del algoritmo genético para las simulaciones, en todos los casos bajo estudio se indican a continuación, los cuales fueron seleccionados de acuerdo a algunas recomendaciones dadas en la referencias de la sección del marco teórico referencial y otras que generaron buenos resultados en las simulaciones. • Función objetivo Fg • Tamaño de la Población: 50 Individuos • Intervalo inicial: ρ1 de 0 a 1.200 Ωm; ρ2 de 0 a 1.200 Ωm; y h1 de 0 a 6 m. • Número máximo de Generaciones: 100 • Mutación: 5% Distribución Uniforme • Reproducción: Factor de cruce 0.8 • Elitismo: 2 mejores individuos • Cruce: Dos puntos • Migración: 10 individuos hacia adelante cada 20 generaciones Como datos de entrada se tienen las medidas de resistividad aparente para cada uno de los casos bajo estudio de Del Alamo, Seedher y Arora. En la Tabla 3 se presenta un comparativo de los valores obtenidos para el modelo de suelo de 1-D y el error obtenido de la función objetivo utilizando tres algoritmos de solución, el utilizado por Del Alamo que está basado en métodos numéricos, el utilizado por Gonos que utiliza una metodología basada de algoritmos genéticos similar a la algoritmos de solución implementado, con diferentes parámetros.

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Tabla 3. Comparación de resultados para los Casos Del Alamo No.

Caso ρ1

[Ωm] ρ2

[Ωm] h1

[m] Error Fg

Algoritmo de solución

1 372.729 145.259 2.690 0.1884 8th [DEL ALAMO, 1993] 374.921 144.518 2.559 0.1600 GA [GONOS, 2005] 372.650 143.183 2.578 0.1709 GA Implementado




5 160.776 34.074 1.848 0.1852 8th [DEL ALAMO, 1993] 168.694 39.463 1.625 0.1512 GA [(GONOS, 2005] 163.591 27.126 2.029 0.1796 GA Implementado


Se observa que para todos los casos experimentales de Del Alamo, el algoritmo implementado genera un menor valor de la función de error (objetivo), siendo comparable con los resultados de Gonos. Adicionalmente, estos resultados corroboran, ya con valores de los resistividades de las capas del modelo de suelo, lo que en los dos pasos anteriores se había encontrado cualitativamente; así, para los casos 1, 4 y 5 la resistividad de la primera capa es mayor a la resistividad de la segunda (ρ1 > ρ2). De forma, similar para los casos 2, 3 y 6 la resistividad de la primera capa es menor a la resistividad de la segunda (ρ1 < ρ2), información previa conocida de los pasos anteriores y que da mayor confiabilidad sobre los análisis realizados en el método propuesto. En la Tabla 4 se presenta un comparativo de los valores obtenidos para el modelo de suelo de 1-D y el error obtenido de la función objetivo, igualmente utilizando tres algoritmos de solución mencionados anteriormente, a excepción del utilizado por Seedher y Arora en remplazo el de Del Alamo.

Tabla 4. Comparación de resultados para los Casos de Seedher y Arora No.

Caso ρ1

[Ωm] ρ2

[Ωm] h1

[m] Error

Fg Algoritmo de solución

1 1003.35 21.14 0.99 1.2913 [SEEDHER, 1992] 1000.00 20.53 1.00 1.2750 GA [GONOS, 2005]

994.11 19.47 1.00 0.0446 GA Implementado

2 98.38 1018.80 2.44 0.0354 [SEEDHER, 1992] 98.19 973.61 2.42 0.0139 GA [GONOS, 2005] 97.26 915.68 2.35 0.0251 GA Implementado

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No. Caso

ρ1 [Ωm]

ρ2 [Ωm]

h1 [m]

Error Fg Algoritmo de solución

3 99.99 302.64 5.04 0.0054 [SEEDHER, 1992]

100.76 327.96 5.32 0.0150 GA [GONOS, 2005] 98.52 281.24 4.68 0.0199 GA Implementado

4 383.493 153.00 2.40 0.2417 [SEEDHER, 1992] 367.739 143.57 2.71 0.1651 GA [GONOS, 2005] 370.460 143.41 2.68 0.1677 GA Implementado

Se hace un análisis similar al anterior, donde se observa que para todos los casos experimentales de Seedher y Arora, el algoritmo implementado genera un valor aceptable de la función de error (objetivo), siendo comparable con los resultados de Gonos y en el caso 1 obteniendo mejoras del 284% en relación con éste. Igualmente, estos resultados corroboran, ya con valores de los resistividades de las capas del modelo de suelo, lo que en los dos pasos anteriores se había encontrado cualitativamente; así, para los casos 1 y 4 la resistividad de la primera capa es mayor a la resistividad de la segunda (ρ1 > ρ2). De forma, similar para los casos 2 y 3 la resistividad de la primera capa es menor a la resistividad de la segunda (ρ1 < ρ2), información previa conocida de los pasos anteriores aplicados a estos casos que dan mayor confiabilidad sobre los análisis realizados en el método propuesto. 7.2.5 PASO 5: ELABORACIÓN DE UN MODELO DE SUELO NO HOMOGÉNEO 2-D

(OPCIONAL) Aunque este paso dentro del método se ha identificado como opcional considerando que hasta el paso anterior ya se tiene un modelo de suelo no homogéneo dada la definición de la norma [IEEE STD 80, 2000]; se propone, bajo la misma metodología con la utilización de algoritmos genéticos, un modelo de suelo 2-D que incluye volúmenes de resistividad finita, con el fin de comparar los resultados obtenidos frente a los resultados de los modelos obtenidos de los pasos anteriores, siendo un aporte adicional importante en el desarrollo del trabajo. Para este paso se plantea modelos de suelo que considera volúmenes finitos de resistividad inmersos en un medio homogéneo, determinando los valores de tensiones obtenidos en la superficie del terreno (plano de tierra) en los electrodos de medición (V3,V4) debido a la inyección de corriente por los electrodos (V1, V2). Inicialmente, se plantean las formulaciones de las secciones 6.5.1 y 6.5.2 para el caso mostrado en la Figura 49, donde se tiene un volumen circular de una resistividad (ρi) inmerso en un suelo homogéneo de resistividad (ρk) localizado espacialmente en las coordenadas (x0, y0) y con un radio R; las cuales son las variables de entrada a determinar en el problema de optimización.

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Figura 48. Modelo de suelo de un volumen circular

Se implementó un algoritmo en MATLAB utilizando el toolbox de algoritmos genéticos integrado al programa, para la minimización de la función objetivo, que similarmente a lo presentado en el paso anterior corresponde al error entre el valor medido de resistividad aparente y el valor de resistividad aparente calculada, cambiando la forma en que se calcula la resistividad aparente por cada una de las dos formulaciones que consideran los volúmenes finitos de resistividad. Para las simulaciones se consideran los datos de resistividad aparente del Caso No. 6 de Del Alamo, para las dos formulaciones presentadas. Los parámetros del algoritmo genético fueron seleccionados de acuerdo a algunas recomendaciones dadas en la referencias de la sección del marco teórico referencial y otras que generaron buenos resultados en las simulaciones. Adicionalmente, se incluyeron restricciones al problema siendo todas las variables a determinar mayores a cero (0). • Función objetivo Fg • Individuo: [ x0 y0 R ρi ρk ] • Tamaño de la Población: 50 Individuos • Intervalo inicial: ρi de 0 a 1.200 Ωm; ρk de 0 a 1.200 Ωm; x0 de 0 a 160; y0 de 0 a 160 y

R de 0 a 100 m. • Número máximo de Generaciones: 100 • Mutación: 5% Distribución Uniforme • Reproducción: Factor de cruce 0.8 • Elitismo: 2 mejores individuos • Cruce: Dos puntos • Migración: 10 individuos hacia adelante cada 20 generaciones • Restricciones: Todas las variables mayores a cero.

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En la Tabla 5 se presenta uno los resultados obtenidos para el modelo de suelo de 2-D de las variables y el error obtenido de la función objetivo utilizando las dos formulaciones de solución para calcular la resistividad aparente a partir del modelo.

Tabla 5. Resultados obtenidos para el modelo con un volumen de resistividad No.

Caso x0

[m] y0

[m] R

[m] ρi

[Ωm] ρk

[Ωm] Error

Fg Formulación utilizada

6 105.72 69.42 32.93 72.38 135.88 2.7308 Elementos de Frontera 47.56 32.71 25.16 852.85 355.77 9.9936 Solución Aproximada

En la Figura 50, se grafican los resultados para el modelo de suelo 2-D obtenidos con la formulación de elementos de frontera, indicando la ubicación de los parámetros de resistividad mostrados en la Tabla 5.

Figura 49. Modelo de suelo 2-D obtenido con elementos de frontera

En la Figura 51, se grafican los resultados para el modelo de suelo 2-D obtenidos con la formulación de elementos de frontera, indicando la ubicación de los parámetros de resistividad mostrados en la Tabla 5.

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Figura 50. Modelo de suelo 2-D obtenido con solución aproximada

Igualmente, se plantean las formulaciones de las secciones 6.5.1 y 6.5.2 para el caso mostrado en la Figura 52 , donde se tienen dos volúmenes circulares de resistividades (ρi1 ρi0) inmersas en un suelo homogéneo de resistividad (ρk) localizados espacialmente en las coordenadas (x0, y0) y (x1, y1) y con radios R0 y R1, respectivamente; las cuales son las variables a determinar en el problema de optimización utilizando la formulación propuesta con algoritmos genéticos.

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Figura 51. Modelo de suelo con dos volúmenes circulares

Para este modelo los parámetros del algoritmo genético siguen siendo los mismos anteriores, agregando restricciones al problema, adicionales a que todas las variables a determinar son mayores a cero (0). • Función objetivo Fg • Individuo: [ x0 y0 R0 ρi0 ρk x1 y1 R1 ρi1 ] • Tamaño de la Población: 50 Individuos • Intervalo inicial: ρi0 de 0 a 1.200 Ωm; ρi1 de 0 a 1.200 Ωm; ρk de 0 a 1.200 Ωm; x0 de 0

a 160; y0 de 0 a 160; x1 de 0 a 160; y1 de 0 a 160; R0 de 0 a 100 m y R1 de 0 a 100 m. • Número máximo de Generaciones: 100 • Mutación: 5% Distribución Uniforme • Reproducción: Factor de cruce 0.8 • Elitismo: 2 mejores individuos • Cruce: Dos puntos • Migración: 10 individuos hacia adelante cada 20 generaciones • Restricciones:

- Todas las variables mayores a cero. - ( ) ( ) RRyyxx 10

201

201 +≥++−

En la Tabla 6 se presenta los resultados de las variables obtenidas para el modelo de suelo de 2-D que incluye dos volúmenes de resistividad y el error obtenido de la función objetivo utilizando las dos formulaciones.

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Tabla 6. Resultados obtenidos para el modelo con dos volúmenes de resistividades x0

[m] y0

[m] R0 [m]

ρi0 [Ωm]

ρk [Ωm]

x1 [m]

y1 [m]

R1 [m]

ρi1 [Ωm] Error Formulación

utilizada

0.00 1.06 0.06 0.81 0.50 2.25 1.44 0.00 0.3273 2.9122 Elementos de Frontera

2.64 215.31 1.59 3.50 314.91 708.90 792.18 0.05 2.3601 4.4770 Solución Aproximada

En este caso, aunque se presenta un menor error al utilizar las formulaciones los valores de los parámetros del modelo obtenido no se adecuan a un modelo razonable, por lo que solo se muestran en la Figura 51 los valores obtenidos por la formulación que utiliza una solución aproximada.

Figura 52. Modelo de suelo 2-D con dos volúmenes

Los modelos de suelo 2-D con dos volúmenes de resistividad obtenidos a partir de las formulaciones son resultados no razonables, al encontrarse volúmenes por fuera del rango de penetración de las medidas de resistividad utilizadas, por lo que sería necesario analizar nuevas restricciones al modelo. A continuación se plantea una discusión del método propuesto y de los resultados obtenidos. 7.3 DISCUSIÓN El método propuesto como una herramienta estructurada para determinar un modelo de suelo no homogéneo 1-D presenta resultados satisfactorios y comparables con los resultados de otros investigadores que han aplicado aisladamente alguna formulación de

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cálculo para ello. Se tiene la ventaja, en comparación con éstos, en que los pasos preliminares propuestos permiten conocer de manera previa en forma cualitativa información del modelo de suelo no homogéneo 1-D que se espera obtener en el paso 4 que determina los valores de los parámetros del suelo, permitiendo validar los resultados de manera previa y post- ejecución de cada paso encontrándose correspondencia entre los resultados. Adicionalmente, de forma opcional, se ha incluido el paso para determinar un modelo de suelo no homogéneo pero a diferencia del anterior este es 2-D; y aunque los resultados para el caso donde se ha incluido únicamente un volumen circular de resistencia finita son satisfactorios al comparar estos con los resultados previos, no ocurre en el caso que se intentan encontrar los parámetros del modelo cuando se tienen dos o más volúmenes de resistencia finita. En este punto, es importante mencionar que el problema se ha convertido en un problema deceptivo, desde el punto de vista de los algoritmos genéticos, no logrando obtener bloques constructores que guíen hacia una solución del problema satisfactoria; por lo que sería necesario ampliar la exploración de técnicas como los A.G. desordenado (messyGA), que se encuentran fuera del alcance del presente trabajo, para la buscar una solución al problema encontrado.

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8 CONCLUSIONES Y TRABAJOS FUTUROS La pregunta de investigación planteada al iniciar este trabajo era: ¿Cómo determinar el modelo de suelo no homogéneo y sus parámetros, que permita realizar mejoras al diseño de las mallas de puesta a tierra en relación con los métodos convencionales, aplicando un método basado en algoritmos genéticos? Al finalizar esta investigación, la respuesta es: Se logró proponer un método que permite determinar dicho modelo de suelo no homogéneo. Y aunque el método propuesto parte de la base de resultados de otros trabajos se buscó integrar los conceptos y desarrollos que aisladamente generaban aportes en los campos de los diseños de puesta a tierra y los algoritmos genéticos como técnica de optimización. A continuación se resumen las conclusiones y trabajos futuros: • El método para determinar un modelo de suelo no homogéneo y sus parámetros, por

medio de algoritmos genéticos para el diseño de sistemas de puesta a tierra, fue planteado de forma estructurada y sistemática que permite al diseñador obtener un modelo de suelo no homogéneo del tipo 1-D con buena precisión y correspondencia entre sus pasos con resultados previos. Aunque, se define como alcance obtener un modelo de suelo no homogéneo del tipo 1-D, también se logró obtener con resultados satisfactorios un modelo de suelo 2-D con un volumen finito de resistividad.

• El estudio y utilización de los algoritmos genéticos como parte de la solución del

problema para la obtención del modelo de suelo no homogéneo, se constituye en un aporte a las primeras líneas de investigación planteadas en [COLOMINAS, 1995] por considerar una componente estocástica de los algoritmos genéticos en la búsqueda de la solución. Igualmente, se plantea continuar en esta línea con trabajos futuros dado que los resultados preliminares aportados en este trabajo son satisfactorios, faltando profundizar con la utilización de otras técnicas estocásticas o integración de ellas.

• La solución de un modelo de suelo 2-D con más de un volumen finito de resistividad

presentó dificultades para obtener resultados satisfactorios, dejando la experiencia de ser un problema con características similares a los referenciados en la literatura como problemas deceptivos en algoritmos genéticos, a los cuales se han planteado soluciones mediante la utilización de algoritmos genéticos desordenados (messyGA) que fuera del alcance del presente trabajo, si abren una línea futura de investigación a nivel local y nacional sobre este tipo de algoritmo genético que plantean una solución a este tipo de problemas complejos. Adicionalmente, como trabajo futuro en esta área se debe plantear el desarrollo de un herramienta de simulación que permita la fácil implementación de problemas de este tipo.

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• El trabajo realizado presenta un aporte a nivel del estudio matemático de los elementos de frontera para solucionar el problema inverso para la obtención de un modelo de suelo con volúmenes finitos de resistividad al tomar toda la formulación presentada en [MA, 2002] en el problema directo y transformando el sentido de búsqueda; es decir, no buscar los potenciales obtenidos en la superficie dado unos volúmenes finitos de resistividad y segmentos de conductores que conformaban la malla de puesta a tierra sino, en cambio, buscar los elementos finitos de resistividad dado que se conocen los potenciales en la superficie del terreno por la aplicación de algún método de medida de resistividad. En esta línea, queda como trabajo futuro continuar el estudio de los elementos de frontera como formulación matemática que ha demostrado tener un menor costo computacional que otras formulaciones [COLOMINAS, 2002], para su aplicación a otros problemas del campo de la ingeniería eléctrica.

• La obtención de un modelo de suelo no homogéneo y sus parámetros, por medio de la

aplicación del método propuesto, es un aporte en mejora de los diseños de sistemas de puesta a tierra en relación con los métodos convencionales al considerar que los modelos 1-D de capas y 2-D de un volumen finito de resistividad pueden integrar a los desarrollos de otros trabajos [MA, 2002; OTERO, 1998] que se han realizado sobre el diseño de puesta a tierra pero que sus estudios parten del conocimiento del modelo de suelo y cuyos resultados han mostrado mejoras en relación con los diseños convencionales. En este campo, se plantea como trabajo futuro realizar la integración de estos desarrollos generando una metodología más amplia desde la determinación del modelo de suelo no homogéneo hasta el diseño del sistema de puesta a tierra objeto de estudio.

• Durante el estudio de los trabajos relacionados con el tema de la obtención del modelo

de suelo a partir de las mediciones eléctricas de resistividad en la superficie del terreno, también llamado problema inverso, se han encontrado similitudes en la solución buscada por otros métodos aplicados en otros campos del conocimiento; por ejemplo, geoeléctrica, donde igualmente se tienen un conjunto de valores de resistividad medidas y calculadas, pero a diferencia de las utilizadas en los diseños de sistemas de puestas a tierra éstos métodos requieren de gran cantidad de datos y exploraciones de campo. Es por ello, que la aplicación del método en otros campos donde se plantea la solución a un problema similar de obtención de un modelo de suelo es incluido como un posible trabajo futuro para intentar disminuir la cantidad de datos requeridos en aquellos métodos especializados o incluso mejorar los resultados de los existentes.

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9 REFERENCIAS [BALCELLS, 1992]. BALCELLS, JOSEP AND OTHERS. “Interferencias Electromagnéticas en Sistemas Electrónicos”. Editorial Alfaomegoa Marcombo. España. Pág. 59-69, 109-122, 283-301. 1992 [BLANDON, 1993]. BLANDÓN DÍAZ, JAIME ALBERTO. “Diseño de mallas de tierra y puestas a tierra”. COLOMBIA, 1993. [COELLO, 2008]. COELLO COELLO, CARLOS A. “Introducción a la computación evolutiva (Notas de Curso)”. CINVESTAV-IPN Departamento de Computación. México. 2008 [COLOMINAS, 1995]. Colominas, I. E. “Cálculo y Diseño asistido por ordenador de tomas de tierra de instalaciones eléctricas: Una formulación Numérica basada en el Método Integral de Elementos de Contorno”. Tesis Doctoral. Universidad de la Coruña. E.S.T. de Ingenieros de Comnis, Canales y Puertos. 1995. [COLOMINAS, 2002]. Colominas, I., Navarrina, Fermin., and Casteleiro, M. “A numerical Formulation for Grounding Analysis in Stratified Soils”. En: IEEE Transactions on Power Delivery, Vol 17, No. 2, 2002. [COLOMINAS, 2003]. Colominas, I., Navarrina, Fermin., and Casteleiro, M. “Why Do Computer Methods for Grounding Analysis Produce Anomalous Results”, En: IEEE Transactions on Power Delivery, Vol 18, No. 4, 2003. [COVITTI, 2004]. Covitti, A.,Delvecchio, G., Sylos Labini, M. and Neri Ferrante., “A ‘quasi-genetic’ algorithm for searching the dangerous areas generated by a grounding system”. En: COMPEL: International Journal for Compotation and Mathematics in Electrical Engineering Vol 23, No. 3, 2004. [DE LA VEGA, 1998]. De la Vega, M. O. “Ingeniería de puestas a Tierra”. Editorial Noriega. México. Primera Edición. 1998. [DEL ALAMO, 1993]. Del Alamo, J. L., “A comparison among eight different techniques to achieve an optimum estimation of electrical grounding parameters in two-layered earth”. En: IEEE Transactions On Power Delivery. Vol 8. No. 4, October, 1993. [GASULLA, 1999]. Gasulla, F. Manel. “Obtención de imágenes de la distribución de impedancia eléctrica en el subsuelo. Aplicación a la detección de objetos locales”. Tesis Doctoral. Universidad Politécnica de Cataluña. Departamento de Ingeniería Electrónica. Barcelona, España. 1999.

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10 ANEXOS 10.1 PROGRAMAS EN MATLAB Para la obtención del modelo de suelo 1-D se genero una función en MATLAB que representa la función de aptitud a minimizar mediante la utilización del Toolbox de Algoritmos Genéticos “gatool”. Esta función se programa en un archivo .m y se presenta su codificación a continuación. Función Fgga2.m (Función de Aptitud – Modelo de suelo 1-D dos capas) function z=Fgga2(X) %X es un vector de tres entradas %X(:,1) = Valor resistividad primera capa de suelo %X(:,2) = Valor resistividad segunda capa de suelo %X(:,3) = Profundidad primera capa de suelo %Datos de entrada %M(m1,m2) = Vector de medidas de resistividad - distancia electrodos % m1 = Valor de resistividad para la distancia entre electrodos m2 % m2 = Distancia entre electrodos para la resistividad m1 % Rc = Resistividad calculada (Total) M=zeros(6,2); %Se debe modificar el número de Filas de acuerdo con los datos %Caso 1 Seedher and Arora %M(:,1)=[693.74 251.62 84.56 37.64 25.32]; %M(:,2)=[1 2 3 4 5]; %Caso 6 Del Alamo M(:,1)=[136 140 214 446 685 800]; M(:,2)=[1 2 4 10 20 40]; N = size(M,1); %Número de datos ingresados k = (X(:,2)-X(:,1))/(X(:,2)+X(:,1)); z1=0; for i=1:N z1= z1 + abs(M(i,1)-Rc(i))/M(i,1); end z = z1; function z2=Rc(j) n=[1:1:1000]; A = 1+(2*n*X(:,3)/M(j,2)).^2; B = A + 3; Suma_n = sum((k.^n).*(1./sqrt(A)-1./sqrt(B))); % Suma_n = 0; % for n=1:1000 % A = 1+(2*n*X(:,3)/M(j,2))^2; % B = A + 3; % Suma_n = Suma_n + (k^n)*(1/sqrt(A)-1/sqrt(B)); % end z2=X(:,1)*(1+4*Suma_n); end end

Igualmente, para la obtención del modelo de suelo 2-D se generan funciones en MATLAB para representar la función de aptitud a minimizar mediante la utilización del Toolbox de Algoritmos Genéticos “gatool” para cada una de las formulaciones presentadas, una

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utilizando los elementos de frontera (MECDPv1.m) y la otra función utilizando la solución aproximada (MAv1.m). Se presenta la codificación de estas funciones a continuación. Función MECDPv1.m (Función de Aptitud – Elementos de Frontera) ==================================================================== function z=MECDPv1(X) %X es un vector de los parámetros a determinar con el A.G. %X(:,1) = Posición x0 del elemento circular --> (Restricción > 0) %X(:,2) = Posición y0 del elemento circular --> (Restricción > 0) %X(:,3) = Radio del Elemento circular -----> (Restricción > 0) %X(:,4) = Valor resistividad primera capa de suelo, externa al volumen % circular --> (Restricción > 0) %X(:,5) = Valor resistividad volumen circular, interna al volumen % circular --> (Restricción > 0) % %Datos de entrada %M(m1,m2) = Vector de medidas de resistividad - distancia electrodos % m1 = Valor de resistividad para la distancia entre electrodos m2 % m2 = Distancia entre electrodos para la resistividad m1 % Rcal = Resistividad calculada (Total) M=zeros(6,2); %Se debe modificar el número de Filas de acuerdo con los datos %Caso 6 Del Alamo M(:,1)=[136 140 214 446 685 800]; M(:,2)=[1 2 4 10 20 40]; N = size(M,1); %Número de datos ingresados z1=0; for I=1:N z1= z1 + abs(M(I,1)-Rcal(I))/M(I,1); end z = z1;% function z2=Rcal(JJ) %Modelo para k=1 volumen de resistividad finita de forma circular m=20; %Elementos de superficie del volumen circular T=0:2*pi/m:(2*pi-2*pi/m); t=0:2*pi/m:(2*pi-2*pi/m); x0=X(:,1); %Posición y del centro del volumen circular y0=X(:,2); %Posición x del centro del volumen ciruclar R=X(:,3); %Radio del volumen circular %y=R*sin(t)+y0; %x=R*cos(t)+x0; %Para q=1 --> t=0 y así sucesivamente, para calcular su posición. yq=R*sin(t)+y0; %Coordenada y del elemento q xq=R*cos(t)+x0; %Coordenada x del elemento q %q=[xq' yq']; %Coordenas (x,y) de los elemento q en la superficie DX0q=[(xq-x0)' (yq-y0)']; %Vector fila con la diferencia entre (x0,y0) y q nq=[]; %Inicialización vector normal a cada elemento q del volumen circular for i=1:size(DX0q,1) nq(i,:) = DX0q(i,:)/norm(DX0q(i,:)); %Vector normal del elemento q end %Cálculo del valor de K si=(1/X(:,5)); %Conductividad en la región i (interna al volumen circular) sk=(1/X(:,4)); %Conductividad en la región j (externa al volumen circular) K=(sk-si)/(sk+si); %======================================================================== %Generar Matriz B considerando 1 imagen del volumen circular de %resistividad respecto al plano de tierra. B=zeros(m); for i=1:1:size(xq,2) %i es igual al parámetro q for j=1:1:size(xq,2) %j es igual al parámetro l if (i~=j)

F11 = @(t)((xq(i)-x0-R*cos(t))*nq(i,1)+(yq(i)-y0-R*sin(t))*nq(i,2))./((xq(i)-x0-R*cos(t)).^2+(yq(i)-y0-R*sin(t)).^2).^(3/2);

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F12 = @(t)((xq(i)-x0-R*cos(t))*nq(i,1)+(yq(i)+y0-R*sin(t))*nq(i,2))./((xq(i)-x0-R*cos(t)).^2+(yq(i)+y0-R*sin(t)).^2).^(3/2); B(i,j)=K*R*(quad(F11,T(j)-0.05*pi,T(j)+0.05*pi))/(2*pi)+K*R*(quad(F12,T(j)-0.05*pi,T(j)+0.05*pi))/(2*pi);

else F13 = @(t)((xq(i)-x0-R*cos(t))*nq(i,1)+(yq(i)+y0-R*sin(t))*nq(i,2))./((xq(i)-x0-R*cos(t)).^2+(yq(i)+y0-R*sin(t)).^2).^(3/2);

B(i,j)=1+K*R*(quad(F13,T(j)-0.05*pi,T(j)+0.05*pi))/(2*pi); end end end %========================================================================== %Generación de la Matriz A1 para electrodo en la posición: xrc1=0; yrc1=0; %La matriz A1 indica el efecto de los segmentos del electrodo 1 sobre la %superficie de carga q J=1; %Indica el número de segmentos de conductores A1=zeros(m,J); for j=1:1:J for i=1:1:m

F21 = @(t)((xq(i)-xrc1)*nq(i,1)+(yq(i)-yrc1-t)*nq(i,2))./((xq(i)-xrc1).^2+(yq(i)-yrc1-t).^2).^(3/2); F22 = @(t)((xq(i)-xrc1)*nq(i,1)+(yq(i)-yrc1+t)*nq(i,2))./((xq(i)-xrc1).^2+(yq(i)-yrc1+t).^2).^(3/2);

A1(i,j)=K*(quad(F21,0,0.15)+quad(F22,0,0.15))/(2*pi); end end %========================================================================== %Generación de la Matriz A2 para electrodo en la posición: xrc2=3*M(JJ,2); yrc2=0; %La matriz A2 indica el efecto de los segmentos del electrodo 2 sobre la %superficie de carga q J=1; %Indica el número de segmentos de conductores A2=zeros(m,J); for j=1:1:J for i=1:1:m

F21 = @(t)((xq(i)-xrc2)*nq(i,1)+(yq(i)-yrc2-t)*nq(i,2))./((xq(i)-xrc2).^2+(yq(i)-yrc2-t).^2).^(3/2); F22 = @(t)((xq(i)-xrc2)*nq(i,1)+(yq(i)-yrc2+t)*nq(i,2))./((xq(i)-xrc2).^2+(yq(i)-yrc2+t).^2).^(3/2);

A2(i,j)=K*(quad(F21,0,0.15)+quad(F22,0,0.15))/(2*pi); end end %========================================================================== %Consolidadicón de la Matriz A A=A1-A2; %Se reune en una sóla variable. %========================================================================== %Generación de la Matriz C1 para el electrodo en la posición: %xrc1=0; %yrc1=0; % J=2; %Indica el Número de segmentos de conductores en el sistema para este caso son dos electrodos. C1=zeros(1,J); e0=8.85e-12; %Permitividad aJ= 0.01; %Radio del segmento de conductor (m) LJ= 0.15; %Longitud del Segmento de conductor (m) for j=1:1:J for i=1:1:1 if (i==j) %F31 = @(t)(1./(0.075+t)); C1(i,j)=((4*pi*e0)^(-1))*((2*log((LJ/(2*aJ))+(((LJ)^2/(4*aJ^2))+1)^(1/2))));%+quad(F31,0,0.15)); %C1(i,j)=((8*pi*e0)^(-1))*((2*log((2*LJ/(2*aJ))+(((2*LJ)^2/(4*aJ^2))+1)^(1/2))));%+quad(F31,0,0.15));

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else F32 = @(t)(1./((xrc1-xrc2).^2+(0.075-t).^2).^(1/2)); C1(i,j)=quad(F32,0,0.15); end end end %========================================================================== %Generación de la Matriz C2 para el electrodo en la posición: %xrc2 %yrc2 % % J=2; %Indica el Número de segmentos de conductores en el sistema para este caso son dos electrodos. % C2=zeros(1,J); % e0=8.85e-12; %Permitividad % aJ= 0.01; %Radio del segmento de conductor (m) % LJ= 0.15; %Longitud del Segmento de conductor (m) % for j=1:1:J % for i=1:1:1 % if (i==j) % %F31 = @(t)(1./(0.075+t)); % C2(i,j)=((8*pi*e0)^(-1))*((2*log((2*LJ/(2*aJ))+(((2*LJ)^2/(4*aJ^2))+1)^(1/2))));%+quad(F31,0,0.15)); % else % F33 = @(t)(1./((xrc2-xrc1).^2+(0.075-t).^2).^(1/2)); % C2(i,j)=quad(F33,0,0.15); % end % end % end %========================================================================== % C=2*(C1(1)-C1(2)); %Se consolida en la variable C el efecto de la matriz C1 y C2 % %========================================================================== %Generación de la Matriz D1 que indica el efecto de las cargas en el %voltaje del electrodo 1 en la posición: % xrc1=0; % yrc1=0; J=1; D1=zeros(1,m); for i=1:1:J %i es igual al parámetro q for j=1:1:m %j es igual al parámetro l F41 = @(t)(1./((xrc1-x0-R*cos(t)).^2+(yrc1-y0-R*sin(t)).^2).^(1/2)); F42 = @(t)(1./((xrc1-x0-R*cos(t)).^2+(yrc1+y0-R*sin(t)).^2).^(1/2)); D1(i,j)=((4*pi*e0)^(-1))*R*(quad(F41,T(j)-0.05*pi,T(j)+0.05*pi)+quad(F42,T(j)-0.05*pi,T(j)+0.05*pi));% end end % %Generación de la Matriz D2 que indica el efecto de las cargas en el %voltaje del electrodo 2 en la posición: (xrc2, yrc2) % xrc2; % yrc2; J=1; D2=zeros(1,m); for i=1:1:J %i es igual al parámetro q for j=1:1:m %j es igual al parámetro l F51 = @(t)(1./((xrc2-x0-R*cos(t)).^2+(yrc2-y0-R*sin(t)).^2).^(1/2)); F52 = @(t)(1./((xrc2-x0-R*cos(t)).^2+(yrc2+y0-R*sin(t)).^2).^(1/2));

D2(i,j)=((4*pi*e0)^(-1))*R*(quad(F51,T(j)- 0.05*pi,T(j)+0.05*pi)+quad(F52,T(j)-0.05*pi,T(j)+0.05*pi));%

end end % %Consolidación en una sola matriz D D=D1-D2; % %==========================================================================

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% %Solución del sistemas de ecuaciones G=[zeros(m,1);1]; F=[[A;C] [B;D]]; XS=F\G; %-------------------------------------------------------------------------- %Cálculo de la diferencia de potencial del modelo DV12 E1=e0/(sk*LJ); DV12=XS(1)/E1; %Calculo de las distribuciones de carga en valor real ns=XS(2:m+1)/DV12; %========================================================================== %Para el cálculo del valor de potencial en cualquier punto utilizamos las %función Ve2 cuyos parámetros de entrada son: %x : Posición x del punto %y : Posición y del punto %m : Elementos de superficie del volumen circular, cantidad de valores de % cargas disponible %E1: Valor de la densidad de corriente en el electrodo 1 y 2 %ns: Vector con las distribuciones de carga %T : Parámetro de control para el cálculo de integrales %e0: Constante de permitividad %x0: Posición x del elemento circular de volumen de resistividad %y0: Posición y del elemento circular de volumen de resistividad %xrc1: Posición x del electrodo 1 %yrc1: Posición y del electrodo 1 %xrc2: Posición x del electrodo 2 %yrc2: Posición y del electrodo 2 %R : Radio del volumen de resistividad x1=1*M(JJ,2); y1=0; x2=2*M(JJ,2); y2=0; V1=Ve2(x1,y1,m,E1,ns,T,e0,x0,y0,xrc1,yrc1,xrc2,yrc2,R); V2=Ve2(x2,y2,m,E1,ns,T,e0,x0,y0,xrc1,yrc1,xrc2,yrc2,R); V12=V1-V2; %Rcal=2*(2*pi*6.67*V12);%Verificar z2=2*(2*pi*M(JJ,2)*V12); end end

==================================================================== Función Ve2.m (Sub-función del anterior para cálculo de potenciales) function V=Ve2(x,y,m,E1,ns,T,e0,x0,y0,xrc1,yrc1,xrc2,yrc2,R) sum=0; %Efecto del electrodo 1 sobre el punto a calcular el potencial F61 = @(t)(1./((x-xrc1).^2+(y-yrc1-t).^2).^(1/2)); H1=quad(F61,0,0.15); sum = sum + E1*H1; %Efecto del electrodo 2 sobre el punto a calcular el potencial F62 = @(t)(1./((x-xrc2).^2+(y-yrc2-t).^2).^(1/2)); H2=quad(F62,0,0.15); sum = sum - E1*H2; %Efecto de las cargas sobre el punto a calcular el potencial SUM=0; for j=1:1:m F7 = @(t)(1./((x-x0-R*cos(t)).^2+(y-y0-R*sin(t)).^2).^(1/2)); O = R*quad(F7,T(j)-0.05*pi,T(j)+0.05*pi); SUM=SUM+ns(j)*O; end V=((4*pi*e0)^(-1))*(sum+SUM); end

Función MAv1.m (Función de aptitud para Solución Aproximada) ================================================================= function z=MAv1(X)

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%%PROGRAMA BASADO EN LA FORMULACIÓN PRESENTADA EN ALDRIDGE Y OLDENBURG 1989 %%SOLUCIÓN APROXIMADA DEL POTENCIAL ELECTRICO %%================ %%DATOS DE ENTRADA %%X es un vector de los parámetros a determinar con el A.G. %%X(:,1) = Posición x0 de la esfera --> (Restricción > 0) %%X(:,2) = Posición y0 de la esfera --> (Restricción > 0) %%X(:,3) = Radio R0 de la esfera --> (Restricción > 0) %%X(:,4) = Valor resistividad de la esfera --> (Restricción > 0) %%X(:,5) = Valor resistividad medio circundante a la esfera --> (Restricción > 0) % x0=X(:,1); %Posición x de la esfera y0=X(:,2); %Posición y de la esfera X0=[x0 y0]; %X0 vector posición de la esfera h=X(:,2); %Profundidad de la esfera respecto a la superficie, equivalente a y0 a=X(:,3); %Radio de la esfera rho2=X(:,4);%Valor de resistividad de la esfera rho1=X(:,5);%Valor de resistividad medio circundante %La posición del electrodo 1 de inyección de corriente no cambia y %corresponde a (x,y) --> (0,0) denotado con X1 %La posición del electrodo 2 de inyección de corriente cambia y toma el %valor de acuerdo a la medida evaluada %Datos de valores medidos %M(m1,m2) = Vector de medidas de resistividad - distancia electrodos % m1 = Valor de resistividad para la distancia entre electrodos m2 % m2 = Distancia entre electrodos para la resistividad m1 % Rcal = Resistividad calculada (Total) M=zeros(6,2); %Se debe modificar el número de Filas de acuerdo con los datos %Caso 6 Del Alamo M(:,1)=[136 140 214 446 685 800]; M(:,2)=[1 2 4 10 20 40]; N = size(M,1); %Número de datos ingresados z1=0; %Función de Error (Medidos vs. Calculados) for I=1:N z1= z1 + abs(M(I,1)-Rcal(I))/M(I,1); end z = z1;% function z2=Rcal(JJ) %Se define la posición del electrodo 2 de corriente de acuerdo a los datos de entrada y %de los electrodos de medida de potencial X1=[0 0]; %Posición del electrodo 1 de corriente x2=3*M(JJ,2); y2=0; X2=[x2 y2];%Posición del Electrodo 2 de Corriente x3=1*M(JJ,2); y3=0; X3=[x3 y3];%Posición de P1 (Electrodo de Potencial 1) x4=2*M(JJ,2); y4=0; X4=[x4 y4];%Posición de P2 (Electrodo de Potencial 2) I=1;%Valor de la corriente inyectada D= sum((X0-X1).^2).^0.5;%Distancia del dentro de la esfera (X0) al Electrodo 1 (X1) Dp=sum((X0-X2).^2).^0.5;%Distancia del centro de la esfera (X0)al Electrodo 2 (X2) r1=sum((X0-X3).^2).^0.5;%Distancia del centro de la esfera (X0)al Electrodo P1 (X3) r2=sum((X0-X4).^2).^0.5;%Distancia del centro de la esfera (X0)al Electrodo P2 (X4) R13=sum((X1-X3).^2).^0.5;%Distancia entre X1 y X3 (R) R32=sum((X3-X2).^2).^0.5;%Distancia entre X3 y X2 (R') R14=sum((X1-X4).^2).^0.5;%Distancia entre X1 y X4 (R) R42=sum((X4-X2).^2).^0.5;%Distancia entre X4 y X2 (R') Cos_thetaP1= (D^2+r1^2-R13^2)/(2*r1*D);%Calculo Ley del Coseno para Triang.P1X1X0 Cos_thetaP1p=(Dp^2+r1^2-R32^2)/(2*r1*Dp);%Calculo Ley del Coseno para Triang.P1X2X0 Cos_thetaP2= (D^2+r2^2-R14^2)/(2*r2*D);%Calculo Ley del Coseno para Triang.P2X1X0 Cos_thetaP2p=(Dp^2+r2^2-R42^2)/(2*r2*Dp);%Calculo Ley del Coseno para Triang.P2X1X0

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%Cálculo de los coeficientes An y An' n=1:1:100; %Número de terminos de la sumatoria deseados An=(I*rho1/(2*pi)).*((a.^(2*n+1))./(D.^(n+1))).*2.*((n*(rho2-rho1))./((n+1)*rho2+n*rho1)); %Coeficiente relativo al electrodo 1 (X1) Anp=(I*rho1/(2*pi)).*((a.^(2*n+1))./(Dp.^(n+1))).*2.*((n*(rho2-rho1))./((n+1)*rho2+n*rho1));%Coeficiente relativo al electrodo 2 (X2) Pn1=Pm(n,Cos_thetaP1);%Cálculo del valor del Polinomio de Legendre para P1 Pnp1=Pm(n,Cos_thetaP1p);%Cálculo del valor del Polinomio de Legendre para P1 Pn2=Pm(n,Cos_thetaP2);%Cálculo del valor del Polinomio de Legendre para P2 Pnp2=Pm(n,Cos_thetaP2p);%Cálculo del valor del Polinomio de Legendre para P2 % %%Cálculo del potencial en el electrodo P1 V3=(I*rho1/(2*pi))*(1/R13-1/R32)+sum(An.*Pn1./(r1.^(n+1))-Anp.*Pnp1./(r1.^(n+1))); % %%Cálculo del potencial en el electrodo P2 V4=(I*rho1/(2*pi))*(1/R14-1/R42)+sum(An.*Pn2./(r2.^(n+1))-Anp.*Pnp2./(r2.^(n+1))); z2=2*pi*M(JJ,2)*abs(V3-V4); end end

================================================================ 10.2 PUBLICACIONES EN EVENTOS Como parte de los resultados del trabajo realizado se publicó parte del método en EL artículo: “Método para Determinar un Modelo de Suelo para el Diseño de Sistemas de Puestas a Tierra: Una Aproximación Utilizando Algoritmos Genéticos”; aceptado en modalidad de ponencia para el Encuentro Nacional de Investigación en Postgrados - ENIP 2008. ISBN: 978-958-719-009-0. Realizado el 15 y 16 de Mayo de 2008. Universidad Nacional de Colombia Sede Bogotá

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