Upload
others
View
2
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
1
HASSAS (ANALİTİK) OLMAYAN ORTALAMALAR
1. Mod: Bir seride en çok tekrarlanan değere mod denir. Serinin tümdeğerlerini almayan bir başka ölçü de moddur. Mod seride en çoktekrarlanan değişkenin değeri olarak tarif edilebilir (frekans yoğunluğununen yüksek olduğu değer). Bir seride birden çok mod veya maksimumolabilir.
İstatistik 3.hafta Yrd.Doç.Dr.Nil TOPLAN
2
Modun özellikleri:
1. Aritmetik ortalama ve medyandan daha az bilinir.
2. Bazı veriler için olmayabilir veya çift tepeli dağılımlarda yeniden gruplama yapılmadan hesaplanamaz.
3. Açık uçlu dağılımlar için de hesaplanabilir.
4. Aykırı ve uç değerlerden etkilenmez.
Örnek:Xi : 2 3 3 3 4 4 5 5 5 6 6 6 6
Xi: 2 3 3 3 4 4 6 6 6 7 7 7 7 7 7 8 8 9 9 9
Verilen basit serinin modunu bulunuz ?
En çok tekrarlanan değer 7 olduğundan serinin modu Mod = 7
mod = 6
3
Frekans Seride Mod Hesabı:
Örnek:
Xi fi
2 15
3 3
4 36
6 27
Verilen frekans Serisinin modunu bulunuz?
Mo = 4
Xi fi
10 5
14 8
17 8
22 2
Sınıflar fi
5 – 11 den az 5
11 - 17 den az 8
17 – 23 den az 10
Bu durumda (8,8) seri Gruplanmışseriye çevrilir.
4
Gruplanmış Seride Mod Hesabı:
l : mod sınıfının alt sınırı, s: Seride sabit sınıf aralığı
1:Mod sınıfının frekansı ile bir önceki sınıfın frekansı arasındaki fark
2:Mod sınıfının frekansı ile bir sonraki sınıfın frekansı arasındaki fark
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
ΔΔΔ
+=+ 21
1.slMo
5
Örnek :
Sınıflar fi
0 – 2’den az 3
2 – 4’den az 2
4 – 6’ dan az 4
6 – 8’den az 1
8,432
224.21
1=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
++=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
ΔΔΔ
+=+
slMo
Su Tüketimi(t) Konut Sayısı
10 – 20 den az 20
20 – 30 dan az 40
30 – 40 dan az 35
40 – 50 den az 15
28520
201020.21
1=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
++=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
ΔΔΔ
+=+
slMo
6
Örnek :
Su Tüketimi(t) Konut Sayısı
10 – 15’den az 5
15 – 20’den az 10
20 – 25’den az 15
25 – 30’dan az 12
30 – 40’dan az 20
40 – 50’den az 18
Serinin düzenlenmişhali
Su Tüketimi Konut Sayısı
10 – 20’den az 15
20 – 30’dan az 27
30 – 40’dan az 20
40 – 50’den az 18
316,26712
121020.21
1=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
++=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
ΔΔΔ
+=+
slMo
7
2. Medyan
Küçükten büyüğe doğru sıralanan verileri iki eşit parçaya bölen ortanca değere medyan denir. Seriyi 2 eşit parçaya böldüğü için medyan aynızamanda kantil (bölen) dir. Serideki terim sayısı çift sayı olursa ortadaki iki değerin aritmetik ortalaması alınır.
•Anlaşılmaları kolaydır.
•Gözlemlerin değerlerinden değil, sayısından etkilenir.
•Asimetrisi yüksek dağılımlar içinde uygundur.
•Açık uçlu dağılımlar için de hesaplanabilir.
•İstatistiksel çıkarmalar için aritmetik ortalamadan daha az güvenilirdir.
8
Basit Seride Medyan:
Serideki terim sayısı tek ise medyan (n+1)/2 ’ inci sıradaki değerdir.Serideki terim sayısı çift ise n/2 ve (n+2)/ 2’inci değerlerin ortalamasıdır.
Örnek: Aşağıdaki serinin medyanını bulunuz?Xi 3 5 8 10 12 16 20 21 24 26 29 30 35
Md: (13+1)/2=7. sıradaki değer serinin medyanıdır. Md= 20
Örnek: Xi: 5 8 10 12 16 20 21 25 serisinin medyanınıbulunuz ?
n=8 olduğundan n/2 ile (n+2/2)’inci değerlerin ortalaması alınır.
n/2=8/2=4. değer (n+2)/2=10/2=5.değer
Medyan serinin 4. ve 5. değerlerinin ortalamasıdır. Md=(12+16)/2=14
9
Örnek: Aşağıda verilen serilerin medyanlarını bulunuz?Xi 2 4 7 11 13 13 17
Yi 3 9 13 17 19 19 23 24
Xi serisi 7 birimli olduğundan (n+1) / 2 = 4. sıradaki değer Md = 11
Yi serisi 8 birimli olduğundan; n / 2 = 8 / 2 = 4. değer
(n+2) / 2=5.değer Medyan serinin 4. ve 5. değerlerinin ortalamasıdır.
Md: (17+19) / 2 = 36 / 2 = 18
10
Frekans Serilerinde Medyan: Mevcut seride (n+1) / 2 . terimi tespitetmek zor olduğu için frekanslar kümülatif frekanslar şeklinedönüştürülerek medyana karşı gelen terim bulunur. Artan birikimli frekanslar hesaplandıktan sonra seri birim sayısının yarısı (n/2) bulunarak, bu değerlerin artan birikimli frekanslar sütununda hangi aralıkta yer aldığı belirlenir. Bu şekilde belirlenen aralığın büyük değeri karşısındaki X değeri serinin medyanını verecektir.
Örnek:
Xi fi Artan birikimli f.10 8 811 13 2112 19 4013 15 5514 12 6716 3 70Σ 70
N / 2= 70 / 2 = 35
35 artan birikimli frekanslar sütununda 21- 40 değerleri arasında yer aldığından 40’ın karşısındaki 12 değeri serinin medyanıdır.
Md=12
11
Örnek:
Xi fi Artan birikimli f.5 2 26 4 67 6 128 3 159 1 16Σ 16
n / 2 = 16 / 2 = 8.inci sıradaki değer medyandır.
Md = 7
12
Örnek : Verilen serilerin medyanlarını hesaplayınız ?
Xi fi Artan birikimli f. Xi fi Artan birikimli f.
11 2 2 13 3 3
22 3 5 24 6 9
34 4 9 37 4 13
45 2 11 48 5 18
Σ 11 Σ 18
A serisi B serisi
n / 2 = 11/ 2 = 5.5 .inci sıradaki değer
Md = 34
n/2= 18/2=9.uncu sıradaki değer
Md = (24+37) / 2 = 30.5
13
Gruplanmış Serilerde Medyan Hesabı :
Md = l+ s.[(N/2 – Na) / Nm]
l : medyan sınıfının alt sınırı
S : medyan sınıfının genişliği (aralığı)
N : toplam frekans sayısı (Σfi)
Na: medyan sınıfından bir önceki sınıfın kümülatif frekansını
Nm: medyan sınıfının frekansını göstermektedir.
Not: Medyan değeri medyan sınıfının alt sınırından küçük ve üst sınırından büyük olamaz.
14
Örnek:
Sınıflar fi ∑ fi
0 – 2’den az 4 4
2 –4’ den az 3 7
4 – 6’dan az 1 8
6 – 8’den az 2 10
N 10
( ) 67,23
45.222.
.52
102
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −
+=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
+=
==
m
a
eN
NN
slM
terimN
Medyan sınıfını belirlemek için, önce n/2 değerinin artan birikimli frekanslar sütununda yer aldığı aralık belirlenir. Örnekte 5. terim medyandır ve 2-4’den az sınıfında yer almaktadır. Formül yardımı ile tam değeri bulunur.
15
Örnek:
Sınıflar fi∑ fi
4- 7’den az 8 8
7 – 10’dan az 513
10 – 13’den az 215
N 15
( ) 81,68
05,7.34N
N2N
.slM
5,72
152N
m
a
e =⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −
+=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
+=
==
16
Örnek:
Gelir Fert sayısı ∑ fi
80 – 120 den az 20 20
120 – 160 dan az 50 70
160 – 200 den az 40 110
200 – 240 dan az 15 125
240 – 280 den az 10 135
N 135
( ) 15850
205,67.40120N
N2N
.slM
5,672
1352N
m
a
e =⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −
+=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
+=
==
17
3. Kantiller
Bir seriyi dört eşit parçaya bölen değere kartil denir.
Bir seriyi on eşit parçaya bölen değere desil denir.
Bir seriyi yüz eşit parçaya bölen değere persantil denir.
Basit Seride Kartil:
Xi: 11 22 34 46 57 N: terim sayısı = 5
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
45
4N
Q1 = 1,25’inci terim Q1= 1. terim = 11
Q3 = =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
415
4.3 N
3,75’inci terim Q3 = 4. terim = 46
18
Q2 = (n+1) / 2= 6 / 2 = 3.terim Q2=34= medyan
Frekans Seride Kartil:
Xi fi ∑fi
11 2 222 3 534 4 945 2 11N 11
Q1 = =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
411
4N
2.75 yaklaşık 3 --- Q1 = 22
Q3 = =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
433
4.3 N 8,25 yaklaşık 8 --- Q3 = 34
Q2=34= medyan
19
Gruplanmış Serilerde Kartil Hesabı:
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
+=q
a
1N
N4N
.slQ
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
+=q
a
3N
N4N3
.slQ
2. kartil medyana eşittir.
Na: kartil sınıfından bir önceki sınıfın kümülatif frekansıNq : kartil sınıfının frekansı
20
Örnek : Verilen serinin kartillerini hesaplayınız ?
Sınıflar fi ∑fi0-2’den az 4 4
2-4’den az 3 7
4-6’dan az 1 8
6-8’den az 2 10
∑fi=10
Q1 için: N / 4 = 10 / 4=2.5.terim Artan birikimli frekans sütununda 2.5 uncu terim 0-2’den az sınıfında olup; bu sınıf kartil sınıfıdır. Formül yardımı ile kartilin değeri hesaplanır.
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
+=q
a
1N
N4N
.slQ Q1=0+2 [ (2.5 - 0) / 4] = 1.25
21
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
+=q
a
N
NN
slQ 2.2 Q2 için N / 2 = 10 / 2 = 5.ci terim (2-4) sınıfında yer almakta olup;
2. kartil: Q2= 2 + 2 [ (5-4) / 3 ] = 2.67
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
+=q
a
N
NN
slQ 43
.3
Q3 için 3N / 4 = 30 / 4 = 7.5’inci terim (4-6) sınıfındadır
Q3 = 4 + 2 [(7.5 - 7) / 1] = 5
22
Uygulama 1 : Bir bölgedeki 108 ailenin yıllık gelirlerine göre dağılımıtabloda görülmektedir. Aritmetik ortalama , Medyan ve Mod değerlerinihesaplayınız?
Gelir(*10 YTL) Frekans mi mi.fi ∑fi
20 - 60 dan az 17 40 680 17
60 - 100 den az 28 80 2240 45
100-140 dan az 26 120 3120 71
140-180 den az 18 160 2880 89
180-220 den az 7 200 1400 96
220-260 dan az 10 240 2400 106
260-300 den az 2 280 560 108
Toplam 108 13280
23
aritmetik ort = 13280 / 108 = 1229.62 YTL
medyan :108 / 2 = 54, (100 – 140) grubunda ;medyan = 100 + 40 ( 54 - 45 ) / 26 = 1138.46 YTL
mod : mod sınıfı (60 -100)mod = 60 + 40 ( 11 / 11 + 2 ) = 938.46 YTL
24
Uygulama 2 : Verilen serilerin mod, medyan, kartillerini, aritmetik ve kareli ortalamalarını bularak bu iki seriyi kıyaslayınız?
Xi fi yi fi1 1 1 62 3 2 73 4 3 84 5 4 95 6 5 106 8 6 97 10 7 88 7 8 79 2 9 6
25
Uygulama 3 : Mevcut verileri frekans serisi halinde düzenleyerek aritmetik ortalama, mod, medyan, kartilleri ve kareli ortalama değerlerini hesaplayınız?
3 3 1 1 4 7 8 10 1 2
2 2 4 4 4 5 6 7 7 6
2 4 1 5 5 7 9 10 10 10