Upload
others
View
9
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
1
1
KESİKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİNİN
OLASILIK DAĞILIMLARI
• Kesikli Üniform Dağılımı
• Bernoulli Dağılımı
• Binom Dağılımı
• Negatif Binom Dağılımı
• Geometrik Dağılım
• Hipergeometrik Dağılım
• Poisson Dağılımı 2
Kesikli Üniform Dağılımı • Kesikli bir şans değişkeni tanımlı olduğu tüm noktalarda eşit olasılık değerine sahip ise bir başka ifadeyle tanımlı olduğu değerlerin hepsinde olasılık fonksiyonun aldığı değer sabit ise bu kesikli şans değişkeni üniform dağılımına uygundur.
• Üniform dağılımı gösteren bir şans değişkeni k farklı noktada tanımlı ise olasılık dağılımı;
şeklinde ifade edilir.
d.d0
k....,3,2,1xk
1
)xX(P
3
Kesikli Üniform Dağılımının
Beklenen Değer ve Varyansı
2
1
2
)1(11)()(
11
kkk
kx
kxPxxE
k
xi
k
xii
12
)1)(1()(
kkxVar
• =
22 xExE)x(Var
2n
1x
2
2
1k
k
1x
4
)1k(
6
)1k2)(1k(k
k
1 2
4
Örnek: Hilesiz bir zar atıldığında X şans değişkeni
ortaya çıkabilecek farklı durum sayısını ifade ettiğine
göre X’in olasılık dağılımını oluşturarak beklenen
değerini ve varyansını bulunuz.
S = { x / 1,2,3,4,5,6 }
Ortaya çıkan olaylar eşit olasılıklı olaylar x şans
değişkeninin dağılımı k = 6 olan kesikli üniform
dağılımına uygundur.
12
35
12
)16)(16()(
xVar5,3
2
16)(
xE
dd
xxXP
.0
6,5,4,3,2,16
1
)(
2
6
Bernoulli Dağılımı
• Bir şans değişkeninin bernoulli dağılımı göstermesi için
ilgilenilen süreçte bernoulli deneyinin varsayımlarının
sağlanması gereklidir.
Bernoulli Deneyinin Varsayımları:
1. Deneyler aynı koşullarda tekrarlanabilirlik özelliğine sahip
olmalıdır.
2. Deneylerin yalnız iki mümkün sonucu olması gereklidir.
3. Başarı olasılığı (p), deneyden deneye değişmemektedir
(Başarısızlık olasılığı q = 1-p ile gösterilir)
4. Denemeler birbirinden bağımsız olmalıdır.
7
Örnekler:
• Bir fabrikada üretilen bir ürünün hatalı veya sağlam olması,
• Bir madeni para atıldığında üst yüze yazı veya tura gelmesi,
• Hilesiz bir zar atıldığında zarın tek veya çift gelmesi,
• Bernoulli deneyinde ortaya çıkan sonuçlardan
biri tanesi başarı durumu, diğeri ise
başarısızlık olarak ifade edilir. Bernoulli şans
değişkeninin dağılımı ifade edilirken deneyin
sadece 1 kez tekrarlanması gereklidir.
8
Bernoulli dağılışında X şans değişkeni başarı
durumu için 1, başarısızlık durumu için ise 0 değerini
alır.
• S = { x / 0,1 }
Bernoulli Dağılımının Olasılık Fonksiyonu;
m = E ( x ) = p s2= Var ( x ) = p (1-p) = pq
dd
xppxXP
xx
.0
1,0)1()(
1
3
9
Örnek: Bir deste iskambilden çekilen bir kağıdın as
olup olmaması ile ilgileniyor. As gelmesi başarı
olarak ifade edildiği durum için olasılık fonksiyonunu
oluşturunuz.
x = 0 (as gelmemesi) x = 1 ( as gelmesi)
S = { x / 0,1 }
P( X = 0 ) = 48 / 52 P( X = 1 ) = 4 / 52
dd
xxXP
xx
.0
1,052
48
52
4
)(
1
10
Binom Dağılımı • Birbirinden bağımsız n adet bernoulli deneyinin bir
araya gelmesi sonucunda binom deneyi gerçekleşir.
• Binom deneyinin gerçekleşmesi için bernoulli
deneyinin bütün varsayımlarının sağlanması gereklidir.
• Binom şans değişkeni X, n adet denemedeki başarı
sayısını ifade etmektedir.
• n denemede en az 0, en fazla n adet başarı
gözlenebileceğinden
S = { x / 0,1,2,……,n }
olur.
11
Binom Olasılık Fonksiyonunun
Elde Edilmesi
Gerçekleştirilen her bir Bernoulli deneyi birbirinden
bağımsızdır ve olasılık fonksiyonu
olarak ifade edilmiş idi. Bernoulli deneyi n defa
tekrarlandığı durumda toplam x adet başarı
olmasının olasılığı, x adet başarı olasılığı (p) ile
n - x adet başarısızlık olasılığının (q=1-p) çarpımını
içermelidir.
0,11 xq.pP(x) xx
12
Başarı ve başarısızlıkların oluşum sırası yani
sıralama önemsiz ise faklı şekilde ortaya
çıktığı için ;
xnCx
n
dd
nxp..px
n
xXP
xnx
.0
,....,2,1,0)1()(
olarak elde edilir.
4
13
Örnekler:
• Bir fabrikanın deposundan seçilen 10 üründen
2’sinin hatalı olması ,
• Bir madeni para 5 kez atıldığında hiç tura
gelmemesi, üst yüze yazı veya tura gelmesi,
• Hilesiz bir zar 4 kez atıldığında zarın en çok 1
kez çift gelmesi,
14
Binom Dağılımının
Karakteristikleri
Aritmetik Ortalama
Varyans
m
s2
E X np
( )
npqpnp )1(
15
Örnek: Bir işletmede üretilen ürünlerin % 6’sının hatalı
olduğu bilinmektedir. Rasgele ve iadeli olarak seçilen 5
üründen,
a)1 tanesinin hatalı olmasının olasılığını,
b) En az 4 tanesinin hatalı olmasının olasılığını
hesaplayınız.
p = 0,06 1- p = 0,94 n = 5
a)P ( X = 1 ) = ?
b)P ( X ≥ 4 ) = ?
P ( X ≥ 4 ) = P ( X = 4) + P ( X = 5 )
23,0)94,0()06,0(1
5)1( 41
..XP
0514 )94,0()06,0(5
5)94,0()06,0(
4
5....
Örnek: Metal hilesiz bir para 10 kez fırlatılıyor
(n=10 p=q=1/2=0.5)
a)bir kez yazı gelmesi olasılığı
1 9 10 1010 10! 10.9!
1 . 0,5 . 0,5 (0.5) (0.5)1 1!9! 9!
p x
b) hiç yazı gelmemesi olasılığı
0 10 1010
0 . 0,5 . 0,5 0,50
p x
c) en az 2 kez yazı gelmesi olasılığı
10...22 xpxpxp
5
1 9 0 10
10 10 10 10
1 2
1 1
1 1 0
10 101 . 0,5 . 0,5 . 0,5 . 0,5
1 0
1 10.(0.5) (0.5) 1 (0.5) (10 1) 1 11(0.5)
p x
p x
p x p x
18
Negatif Binom (Pascal)Dağılımı
• Bernoulli deneyinin tüm varsayımları negatif binom
dağılımı içinde geçerlidir.
• Binom dağılımında n denemede x adet başarı
olasılığı ile ilgilenilirken, negatif binom dağılımında ise
şans değişkeni (X), k ncı başarıyı elde edinceye
kadar yapılan deney sayısına karşılık gelir.
• Örnekler:
Bir parayı 5 kez tura gelinceye kadar attığımızda 5 nci turayı elde ettiğimiz deneme sayısı,
Bir basketbolcunun 3 sayılık atışlarda 10 ncu isabeti sağlaması için gerekli olan atış sayısı.
19
• x : deney sayısı k : başarı sayısı
• p : başarı olasılığı S = { x / k, k+1, k+2, k+3… }
1 2 3 ………………. x-1 x
1 2 3 ...……………. k-1 k
dd
kkkxppk
x
xXP
kxk
.0
,.....2,1,11
1
)(
Binom dağılımını kullanarak x-1 denemede k-1 adet başarı
olasılığı hesaplanır ve x nci denemedeki k ncı başarıyı
elde etme olasılığı p ile bağımsız olaylar olduğundan
çarpılarak aşağıdaki olasılık fonksiyonu elde edilir.
20
Negatif Binom Dağılımının
Beklenen Değer ve Varyansı
p
kxE m)( 2
)1()(
p
pkxVar
6
21
Örnek: Bir kişinin hilesiz bir zarı 10 kez atması sonucunda,
10 ncu atışında 5 nci kez 6 gelmesi olasılığını hesaplayınız.
p = 1 / 6 1- p = 5 / 6 x = 10 (deney sayısı) k = 5
(başarı sayısı)
5 5
10 1 1 5( 10; 5) ( ) ( )
5 1 6 6P X k . .
• Zarın kaçıncı kez atılması sonucu 5 nci kez 6 gelmesini
beklersiniz?
3061
5)(
p
kxE
dd
kkkxppk
x
xXP
kxk
.0
,.....2,1,11
1
)(
22
Geometrik Dağılım • Bernoulli deneyinin tüm varsayımları geometrik dağılım içinde geçerlidir.
• Negatif Binom dağılımının özel bir durumudur.
• k = 1 olduğunda negatif binom dağılımı geometrik dağılımı olarak ifade edilir.
• Geometrik dağılım gösteren şans değişkeni X, ilk
başarıyı elde edinceye kadar yapılan deney sayısını
ifade eder.
Örnekler:
• Bir parayı tura gelinceye kadar attığımızda tura gelmesi için yapılan atış sayısı,
• Bir işletmenin deposundan ilk hatalı ürünü bulana kadar alınan örnek sayısı.
23
• x: deney sayısı p: başarı olasılığı
• S = { x / 1, 2, 3, 4….. }
dd
kkkxppk
x
xXP
kxk
.0
,.....2,1,11
1
)(
11 111
1)(
xpp
xxXP
Negatif Binom dağılımında k = 1 alındığında;
dd
xppxXP
x
.0
,.....3,2,11)(
1
24
Geometrik Dağılımının
Beklenen Değer ve Varyansı
pxE
1)( m
2
1)(
p
pxVar
7
25
Örnek: Bir avcı hedefe isabet sağlayana kadar ateş etmektedir. Avcının hedefi vurma olasılığı 0,75 olduğuna göre avcının hedefi ilk kez 8 nci kez atış yaptığında isabet ettirmesinin olasılığını hesaplayınız.
x = 8 P ( X = 8) = ?
dd
xxXP
x
.0
....3,2,175,0175,0)(
1
718 25,075,075,0175,0)8( XP
26
Hipergeometrik Dağılım
Varsayımları,
• n deneme benzer koşullarda tekrarlanabilir.
• Her denemenin 2 mümkün sonucu vardır.
• Sonlu populasyondan iadesiz örnekleme yapılır.
• Örnekleme iadesiz olduğundan başarı olasılığı
( p ) deneyden deneye değişir.
27
Hipergeometrik Dağılımın Olasılık Fonksiyonu
n : örnek hacmi
N : anakütle eleman sayısı
B : populasyondaki başarı sayısı
x : örnekteki başarı sayısı
S = { x / 0,1, 2, 3, …..,n }
dd
nx
n
N
xn
BN
x
B
xXP
.0
......,3,2,1,0)(
28
Hipergeometrik Dağılımın Karakteristikleri
p = B/N için
1)1()(
N
nNpnpxVar
pnxE )(
8
29
Örnek: Yeni açılan bir bankanın ilk 100 müşterisi içinde
60 tanesi mevduat hesabına sahiptir. İadesiz olarak
rasgele seçilen 8 müşteriden 5 tanesinin mevduat
hesabına sahip olmasının olasılığı nedir?
N= 100 B = 60 n = 8 x = 5
n : örnek hacmi
N : anakütle eleman sayısı
B : populasyondaki başarı sayısı
x : örnekteki başarı sayısı
30
dd
nx
n
N
xn
BN
x
B
xXP
.0
......,3,2,1,0)(
•N= 100 B = 60 n = 8 x = 5
60 100 60
5 8 5( 5)
100
8
P X
31
Poisson Dağılımı
• Kesikli Şans değişkenlerinin olasılık
dağılımlarından en önemlilerinden biri Poisson
Dağılımıdır.
• Günlük hayatta ve uygulamada çok sayıda
kullanım alanı bulunmaktadır.
• Ünlü Fransız matematikçisi Poisson tarafından
bulunmuştur.
• Belirli bir alan içerisinde rasgele dağılan veya
zaman içerisinde rasgele gözlenen olayların
olasılıklarının hesaplanabilmesi için çok kullanışlı bir
modeldir. 32
Poisson Sürecinin Varsayımları
1. Belirlenen periyotta meydana gelen ortalama
olay sayısı sabittir.
2. Herhangi bir zaman diliminde bir olayın meydana
gelmesi bir önceki zaman diliminde meydana
gelen olay sayısından bağımsızdır.(periyotların
kesişimi olmadığı varsayımı ile)
3. Mümkün olabilecek en küçük zaman aralığında
en fazla bir olay gerçekleşebilir.
4. Ortaya çıkan olay sayısı ile periyodun uzunluğu
doğru orantılıdır.
9
33
Örnekler
• Bir şehirde bir aylık süre içerisinde meydana
gelen hırsızlık olayların sayısı,
• Bir telefon santraline 1 dk. içerisinde gelen
telefon çağrılarının sayısı,
• Bir kitap içindeki baskı hatalarının sayısı,
• İstanbul’da 100 m2’ye düşen kişi sayısı,
• Ege Bölgesinde 3 aylık sürede 4,0 şiddetinden
büyük olarak gerçekleşen deprem sayısı.
34
Poisson Dağılımının Olasılık Fonksiyonu
l : belirlenen periyotta ortaya çıkan olay sayısı
x : ortaya çıkma olasılığı araştırılan olay sayısı
S = { x / 0,1, 2, 3, ….., }
durumlardadiger
xx
e
xXP
x
0
,...2,1,0!)(
ll
35
Poisson Dağılımının Beklenen Değer ve Varyansı
Beklenen Değer
Varyans
lm )(xE
l)(xVar
• Beklenen değeri ve varyansı birbirine eşit
olan tek dağılıştır. 36
Örnek: Bir mağazaya Cumartesi günleri 5 dakikada ortalama olarak 4 müşteri gelmektedir. Bir Cumartesi günü bu mağazaya,
a) 5 dakika içinde 1 müşteri gelmesi olasılığını,
b)Yarım saate 2’den fazla müşteri gelmesi olasılığını,
ÖDEV: 1 saatte en çok 1 müşteri gelmesinin olasılığını hesaplayınız.
a) l 4 P ( x = 1 ) = ? 4
14
4!1
4)1(
ee
XP
24224124024
3131!2
24
!1
24
!0
241
e
eee
b) 5 dk’da 4 müşteri gelirse, 30 dk’da 24 müşteri gelir.
l 24 P ( x > 2 ) = ?
P( x > 2 ) = 1 – [P(x=0)+P(x=1)+P(x=2)]
10
37
SÜREKLİ ŞANS
DEĞİŞKENLERİNİN OLASILIK
YOĞUNLUK FONKSİYONLARI
• Üstel Dağılım
• Sürekli Üniform Dağılım
• Normal Dağılım
38
• Meydana gelen iki olay arasındaki geçen süre veya bir başka ifadeyle ilgilenilen olayın ilk defa ortaya çıkması için geçen sürenin dağılışıdır.
Örnek:
• Bir bankada veznede yapılan işlemler arasındaki geçen süre,
• Bir taksi durağına gelen müşteriler arasındaki süre,
• Bir hastanenin acil servisine gelen hastaların arasındaki geçen süre,
• Bir kumaşta iki adet dokuma hatası arasındaki uzunluk (metre).
Üstel Dağılım
39
• Belirli bir zaman aralığında mağazaya gelen
müşteri sayılarının dağılışı Poisson Dağılımına
uygundur.
• Bu müşterilerin mağazaya varış zamanları
arasındaki geçen sürenin dağılımı da
Üstel Dağılıma uyacaktır.
• Üstel Dağılımın parametresi b olmak üzere Üstel
ve Poisson Dağılımlarının parametreleri arasında
şu şekilde bir ilişki vardır.
bl
1
40
Üstel Dağılımın Olasılık
Yoğunluk Fonksiyonu b : iki durumun gözlenmesi için gereken
ortalama süre yada ölçülebilir uzaklık.
x : iki durum arasında veya ilk durumun ortaya
çıkması gereken süre yada uzaklık.
S = { x / 0 < x < ∞ }
durumlardadiger
xexf
x
0
0,1 b
b
11
41
Üstel Dağılımının Beklenen Değer ve Varyansı
Beklenen Değer
Varyans
bxE
2bxVar
80706050403020100
200
100
0
X
Fre
kans
b = 10 parametreli bir
populasyondan alınan
n = 1000 hacimlik bir
örnek için oluşturulan
histogram.
42
Örnek: Bir taksi durağına bir saatlik zaman dilimi içerisinde gelen
taksilerin geliş sayısı Poisson Dağılışına uygun bir şekilde
gerçekleşmektedir. Durağa saatte ortalama 24 adet taksinin geldiği
bilindiğine göre durağa gelen bir yolcunun en çok 5 dakika
beklemesi olasılığı nedir?
Saatte ( 60 dakikada ) 24 adet taksi geliyorsa,
1 dakikada 24/60 adet taksi gelir. 1 adet taksi gelmesi için gereken
süre b = 2,5 dk olur. P ( x ≤ 5 ) = ?
durumlardadiger
xexf
x
0
0,5,2
1 5,2
25,2
5
5
5,2
15
0
5,2
1
115,2
11
5,2
1)5(
eedxedxexPxx
bb
b
a
a
x
edxeaxP
1
)(
HESAPLAMA KOLAYLIĞI!!
43
Sürekli Üniform Dağılımı • a ve b gibi iki nokta arasından bir sayı seçmek istediğimizde herhangi bir değeri alabilecek x şans değişkeni uniform dağılışı göstermektedir.
• Sürekli üniform dağılımı ilgilenilen şans değişkeninin olasılık fonksiyonu hakkında bir bilgiye sahip olunmadığında ve verilen aralık içerisinde tanımlanan olayın eşit olasılıklarla ortaya çıkacağı varsayımı yapıldığında kullanışlıdır.
44
Sürekli Uniform Dağılımının
Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu
dd
bxaabxf
0
1
Beklenen Değer ve Varyans
2
baxE
12
2ab
xVar
ab
cddxcP
)(
HESAPLAMA KOLAYLIĞI!!
12
45
1098765
250
200
150
100
50
0
X
Fre
kans
b = 10 ve a = 5 parametreli sürekli üniform
dağılımı gösteren bir populasyondan
n = 10000 hacimlik örnek için oluşturulan
histogram.
46
Örnek: Bir demir-çelik fabrikasında üretilen çelik
levhaların kalınlıklarının 150 ile 200 mm arasında
değiştiği ve bunların sürekli uniform şans değişkenine
uygun olduğu bilinmektedir. Levha kalınlıkları 155 mm
altında çıktığı zaman tekrar üretime gönderildiğine göre
bu dağılımın beklenen değerini ve varyansını bulunuz
ve üretim sürecinde tekrar üretime gönderilen levhaların
oranını bulunuz.
a) Bu dağılışın ortalama ve varyansı;
E(x)=(150+200)/2 =175 mm
Var(x)=(200-150)2/12 = 208.33 mm2 bulunur.
b) Üretime geri döndürülen ürünlerin oranı ise;
P(150 < x < 155 )= (155-150) / (200-150) = 0,1
Ürünlerin %10’u üretime geri gönderilmektedir.
47
NORMAL DAĞILIM
48
• Sürekli ve kesikli şans değişkenlerinin dağılımları
birlikte ele alındığında istatistikte en önemli dağılım
Normal dağılımdır.
• Normal dağılım ilk olarak 1733’te Moivre tarafından
p başarı olasılığı değişmemek koşulu ile binom
dağılımının limit şekli olarak elde edilmiştir. 1774’te
Laplace hipergeometrik dağılımını limit şekli olarak
elde ettikten sonra 19. yüzyılın ilk yıllarında
Gauss 'un katkılarıyla da normal dağılım istatistikte
yerini almıştır.
13
49
• Normal dağılımın ilk uygulamaları doğada
gerçekleşen olaylara karşı başarılı bir biçimde uyum
göstermiştir. Dağılımın göstermiş olduğu bu uygunluk
adının Normal Dağılım olması sonucunu doğurmuştur.
• İstatistiksel yorumlamanın temelini oluşturan Normal
Dağılım, bir çok rassal süreçlerin dağılımı olarak
karşımıza çıkmaktadır.
• Normal dağılış kullanımının en önemli nedenlerinden
biride bazı varsayımların gerçekleşmesi halinde kesikli
ve sürekli bir çok şans değişkeninin dağılımının
normal dağılışa yaklaşım göstermesidir.
50
Normal Dağılımın Özellikleri
• Çan eğrisi şeklindedir.
• Simetrik bir dağılıştır.
• Normal Dağılımın parametreleri,
m)(xE 2)( sxVar
f(x )
x Ortalama=Mod=Medyan
51
Normal Dağılımın Olasılık
Yoğunluk fonksiyonu
3,14159...
e = 2,71828
s = populasyon standart sapması
m = populasyon ortalaması
yerlerdediger
xexf
x
,0
,2
1
)(
2
2
1
s
m
s
52
Parametre Değişikliklerinin
Dağılımın Şekli Üzerindeki Etkisi
f(x )
x
A
B
C
222
CBA sss CBA mmm
14
53
Normal Dağılımda Olasılık Hesabı
f(x )
x c d
?)()( d
c
dxxfdxcP
Olasılık eğri altında
kalan alana eşittir!!!!
1)()(
dxxfxPÖNEMLİ!!!
54
Normal dağılım ortalama
ve standart sapma
parametrelerinin
değişimi sonucu
birbirinden farklı yapılar
gösterir.
f(x )
x
A
B
C
• Her dağılımın için olasılık
yoğunluk fonksiyonunu kullanarak
olasılık hesaplama güçlüğü
olasılık değerlerini içeren tablolar
kullanma zorunluluğunu ortaya
çıkarmıştır .
• Birbirinden farklı sonsuz sayıda
normal dağılış olabileceği için
olasılık hesaplamasında
kullanmak üzere sonsuz sayıda
tablo gereklidir.
55
Standart Normal Dağılım
• Olasılık hesaplamasındaki zorluktan dolayı normal
dağılış gösteren şans değişkeni standart normal
dönüştürülür.
• Böylece tek bir olasılık tablosu kullanarak normal
dağılış ile ilgili olasılık hesaplamaları yapılmış olur.
• Standart normal dağılımda ortalama 0 , varyans
ise 1 değerini alır.
• Standart normal değişken z ile gösterilir.
56
Standart Normal Şans Değişkeni
s
m
xz
f(x )
x
f(z )
z
• X ~ N ( m , s2 )
• Z ~ N ( 0 , 1)
s
m
s 1
m 0
15
57 58
Standart Normal Dağılım
Tablosunu Kullanarak
Olasılık Hesaplama
?)10( zP
f(z )
z0 1
3413,0)10( zP
59
?)1( zP
f(z )
z0 1
1587,03413,01)10(1 zP
60
)0()0( zaPazP
f(z )
z-a a0
SİMETRİKLİK ÖZELLİĞİNDEN DOLAYI 0’DAN
EŞİT UZAKLIKTAKİ Z DEĞERLERİNİN 0 İLE
ARASINDAKİ KALAN ALANLARININ DEĞERLERİ
BİRBİRİNE EŞİTTİR.
16
61
f(z )
z-1 10
?)11( zP
6826,0)3413,0(2)10(*2
)10()01()11(
zP
zPzPzP
62
f(z )
z-0,95 0-1,56
?)95,056,1( zP
1117,03289,04406,0
)056,0()056,1()95,056,1(
zPzPzP
63
Normal Dağılımın Standart Normal
Dağılım Dönüşümü
?)( bXaP X ~ N ( m , s2 ) Z ~ N ( 0 , 1)
)(
)(
ba zzzP
bxaPbXaP
s
m
s
m
s
m
f(x )
x
f(z )
z
m
a b
0 za zb 64
• Örnek: Bir işletmede üretilen vidaların çaplarının uzunluğunun, ortalaması 10 mm ve standart sapması 2 mm olan normal dağılıma uygun olduğu bilinmektedir. Buna göre rasgele seçilen bir vidanın uzunluğunun 8,9mm ‘den az olmasının olasılığını hesaplayınız.
)55,0(2
109,8)9,8(
zP
xPXP
s
m
?)9,8( XP X ~ N ( 10 , 4 )
f(z )
z-0,55 0
2912,0
2088,05,0)55,0(
zP
17
65
Binom Dağılımının Poisson
Dağılımına Yakınsaması
66
• X şans değişkeni n ve p parametreli Binom Dağılımı
göstermek üzere, n deneme sayısının büyük olduğu
ayrıca p başarı olasılığının küçük olduğu durumlarda
( tercihen np ≤ 5 ) , x şans değişkeni ile ilgili olasılık
hesaplamalarında kolaylık sağlaması açısından
Binom Dağılımı yerine Poisson Dağılımı kullanılır.
• Her iki dağılımın beklenen değeri(ortalaması)
birbirine eşitlenir ve buradan λ’nın tahmini elde edilir.
npxE )( l)(xE
•Binom Dağılımı •Poisson Dağılımı
l np
67
• Örnek: Bir sigorta şirketinin müşterilerinin trafik kazası sonucunu hayatını kaybetme olasılığı 0,003’dür. Sigorta şirketinin müşterilerinden 1000 kişilik bir örnek alındığında,
a) 4 müşterinin,
b) En az iki müşterinin trafik kazasında hayatını kaybetme olasılığın hesaplayınız.
343
8
27
!4
3)4(
ee
XP
l np = 1000(0,003)= 3
•n = 1000 p =0,003 np = 3 ≤ 5
•a) P ( X = 4 ) = ?
•b) P ( X ≥ 2 ) = ? •P ( X ≥ 2 ) = 1 – [ P ( X = 0) + P ( X = 1) ]
31303
41!1
3
!0
31)2(
e
eeXP
68
Binom Dağılımının Normal
Dağılımına Yakınsaması
18
69
• X şans değişkeni n ve p parametreli Binom Dağılımı
göstermek üzere, n deneme sayısının büyük olduğu
ayrıca p başarı olasılığının 0,5 değerine yaklaşması
sonucunda( tercihen np > 5 ) , x şans değişkeni ile ilgili
olasılık hesaplamalarında kolaylık sağlaması açısından
Binom Dağılımı yerine Normal Dağılım kullanılır.
• Normal Dağılımın parametreleri olan m ve s2 tahmin
edilirken Binom Dağılımının beklenen değer ve varyans
formülleri dikkate alınır.
npxE )( m)(xE •Binom Dağılımı
•Normal Dağılım
)1()( pnpxVar 2)( sxVar
)1(2 pnp snpm
70
Süreklilik Düzeltmesi
5,05,0)( bXaPbXaP
5,0)( aXPaXP
• Binom Dağılımı kesikli, normal dağılım ise sürekli bir dağılım
olduğundan dolayı, binom dağılımını normal dağılıma
yakınsadığı durumlar için olasılık hesaplamalarında süreklilik
düzeltmesi kullanılması zorunluluğu vardır.
• Kesikli bir şans değişkeni gösteren dağılım sürekli bir
dağılıma yakınsadığında tamsayı değerleri sürekli bir eksende
tanımlanır.
5,0)( aXPaXP
71
• Örnek: Bir kampüste okuyan öğrencilerin % 20 si sigara içmektedir. Öğrencilerden 225 kişilik bir örnek alındığında,
a) 40’dan fazla kişinin sigara içme olasılığını,
b) 30 kişinin sigara içme olasılığını hesaplayınız.
m np = 225(0,20)= 45 s
•n = 225 p = 0,20 np = 45 > 5
•a) P ( X ≥ 40) =? → P ( X ≥ 39,5) = ?
6)80,0)(20,0(225)1( pnp
8212,03212,05,0)92,0(6
455,39)5,39(
zPzPXP
•b) P ( X = 30) =? → P ( 29,5 < X < 30,5) = ?
0027,04922,04949,0
)42,258,2(6
455,30
6
455,29)5,305,29(
zPzPXP
72
Poisson Dağılımının Normal
Dağılımına Yakınsaması
19
73
• X şans değişkeni λ parametreli Poisson Dağılımı
göstermek üzere, λ parametresinin büyük olduğu
durumlarda ( tercihen λ ≥ 20 ) , x şans değişkeni ile ilgili
olasılık hesaplamalarında kolaylık sağlaması açısından
Poisson Dağılımı yerine Normal Dağılım kullanılır.
• Normal Dağılımın parametreleri olan m ve s2 tahmin
edilirken Poisson Dağılımının beklenen değer ve
varyans formülleri dikkate alınır.
l)(xE m)(xE •Poisson Dağılımı
•Normal Dağılım
l)(xVar 2)( sxVar
ls 2lm
74
• Örnek: Bir havaalanından 1 saatlik süre içerisinde ortalama olarak 49 adet uçak kalkmaktadır.1 saatlik süre içerisinde
a) 60’dan fazla uçak kalkmasının olasılığını,
b) 30 ile 40 adet arasında bir uçak kalkmasının olasılığını hesaplayınız.
m = λ = 49 s
•λ = 49 ≥ 20
•a) P ( X > 60) = ? → P ( X > 59,5) = ?
749 l
0668,04332,05,0)5,1(7
495,59)5,59(
zPzPXP
•b) P ( 30 < X < 40) = ? → P (29,5 < X < 40,5) = ?
1105,03869,04974,0
)21,179,2(7
495,40
7
495,29)5,405,29(
zPzPXP