Sumatoria - Propiedades

SUMATORIA Y PROPIEDADES

Corresponde a una de las muchas operaciones que se utilizan en estadística, porque siempre se tendránque sumar numerosos términos, los cuales muchas veces deben ser expresados por símbolos ofórmulas, con el fin de simplificar su presentación.

El signo de la sumatoria es Σ (sigma), letra griega que indica suma de, o sumatoria de.Por definición se tendrá que:

∑i=1

n

x i = x1+x2+x3+ ...+ xn

En términos generales, una operación de sumatoria se expresa así:

∑i=1

n

i

Se observa que a sigma le acompaña i = 1, que representa al límite inferior, donde i no necesariamentedebe ser igual a uno; n corresponde al límite superior y finalmente i es el elemento generador de lasuma. Algunos modelos de calculadoras tienen teclas relacionadas con las siguientes expresiones

∑ x ;∑ x2 ;∑ y;∑ y2;∑ xy y n corresponde al número de observaciones o datos registrados.

La expresión ∑i=1

5

i se lee: “sumatoria de i igual a uno, hasta 5 de i”, esto significa que i toma valores

desde uno hasta cinco y el resultado final será la suma de esos valores.

APLICACIONESCaso No. 1

∑i=1

5

i = 1+2+3+4+5 = 15

∑i=1

10

i = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55

En ejercicios similares a los anteriores, si n es demasiado grande, se podrá simplificar mediante lapropiedad:

∑i=1

n

i =n(n+1)

2

∑i=1

50

i =n(n+1)

2=

50 (50+1)

2=

50(51)

2=

2,5502

= 1,275

Caso No. 2

∑i=1

6

i2 = 12+22+32+42+52+62

Este caso se resuelve mediante la aplicación de la siguiente propiedad:

∑i=1

n

i2=

n(n+1)(2n+1)6

∑i=1

6

i2 =6(6+1)(2∗6+1)

6=

6 (7)(13)6

=5466

= 91

Documento de apoyo al estudiante – Estadística Comercial Página 1 de 4 William Orlando de León Zúñiga - Catedrático

= 1+4+9+16+25+36 = 91

Caso No. 3

∑i=1

5

i3 = 13+23+33+43+53 = 1+8+27+64+125 = 225

con el procedimiento abreviado:

Caso No. 4Sumatoria de una constante (k)

∑i=1

5

10 = 10+10+10+10+10 = 50

Con el procedimiento abreviado así:La sumatoria de una constante, es igual al producto del límite superior n por la constante k.

∑i=1

n

k = nk ∑i=1

5

10 = 5(10) = 50

Caso No. 5Sumatoria de una constante por una variable.

∑i=1

5

5i = 5 (1)+5(2)+5(3)+5(4)+5(5) = 5+10+15+20+25 = 75

Es menos laborioso aplicar la propiedad: “la sumatoria de una constante por una variable es igual alproducto de la constante por la sumatoria de la variable”.

∑i=1

n

ki = k ∑i=1

n

i = k [ n(n+1)

2 ]

∑i=1

5

5i = 5 ∑i=1

5

i = 5 [1+2+3+4+5] = 5[15] = 75

Caso No. 6Si la sumatoria incluye varios términos, dado que están dentro de paréntesis, o que uno de ellosmultiplique al paréntesis, se tendrán tantas sumatorias como términos tenga el paréntesis, resolviendocada uno de ellos en forma independiente, para luego obtener un solo total.

a) ∑i=1

5

(i2+3i+8) = ∑i=1

5

i2 + 3∑i=1

5

i + ∑i=1

5

8

a.1) ∑i=1

5

i2 = 12+22+32+42+52 = 55

a.2) 3∑i=1

5

i = 3(1+2+3+4+5) = 3(15) = 45

a.3) ∑i=1

5

8 = nk = 5 (8) = 40

Resultado final: 55 + 45 + 40 = 140


∑i=1

n

i3= [ n(n+1)

2 ]2

∑i=1

5

i3= [ n(n+1)

2 ]2

= [ 5(5+1)2 ]

2

= [ 5(6)

2 ]2

= [ 302 ]

2

= 152= 225

b) ∑i=1

5

(i2+3i)4 = ∑i=1

5

(4i2+12i)

b.1) 4∑i=1

5

i2 = 4(12+22

+32+42

+52) = 4 (55) = 220

b.2) 12∑i=1

5

i = 12(1+2+3+4+5) = 12(15) = 180

Resultado final: 220 + 180 = 400

Caso No. 7La sumatoria de n elementos se podrá expresar de diferentes formas.

7.1) ∑i=4

8

i = 4+5+6+7+8 = 30 ∑i=m

n

i =n (n+1)−m(m−1)

2observa que no siempre el límite inferior de la sumatoria será igual a uno. En este caso se tendrácuidado con el uso de la propiedad de la sumatoria de una constante. Ejemplos.

∑i=3

8

10 = 10+10+10+10+10+10 = 60

en este caso el valor del límite superior se modifica (n) se obtiene a través del procedimiento:[(n−i)+1] ; luego aplicamos nk.

[(8−3)+1] = 6

7.2) ∑i=1

4

x i = x1+ x2+x3+x4

Así quedará la solución, salvo que se indique valoración en cada término. Ejemplo:x1=2; x2=−5 ; x3=8 ; x4 = 10 en este caso la sumatoria se dará reemplazando cada término por

su respectivo valor.

∑i=1

4

x i = x1+ x2+x3+x4 = 2−5+8+10 = 15

7.3) ∑i=1

4

5 x i = 5(x1+x2+x3+x4) = 5(2−5+8+10) = 5(15) = 75

Caso No. 8Sumatoria de los n primeros números cuartos perfectos

Caso No. 9Sumatoria de las n primeras potencias


nk = 6 (10) = 60

∑i=1

n

i4 = 14+24+34+44+...+n4 =n(n+1) (2n+1) (3n2

+3n−1)

30

∑i=1

n

ai = a1+a2+a3+a4+...+an =an+1−a

a−1

PRODUCTORIA Y PROPIEDADES

También conocida como Multiplicatoria o Pitatoria, este es un operador matemático el cualconsiste en la multiplicación finita o infinita de factores mediante un símbolo matemático quesimplifica la operación, llamado Símbolo Productorio.

El producto se simboliza por la letra griega π, que se lee “producto de”, y tiene una aplicaciónparecida a la sumatoria, con la diferencia que en vez de ser sumados, los términos se multiplican entresí; por lo tanto, la productoria tendrá un límite inferior y superior, además del elemento generador delproducto.

∏i=1

n

i se lee "productoria de i igual a uno hasta n de i"

Veamos algunas operaciones:

∏i=1

5

i = 1∗2∗3∗4∗5 = 120 Para esta operación es posible utilizar calculadora que tenga el signo !

que se lee factorial y se expresa así: 5! = 5*4*3*2*1 = 120.

∏i=1

4

i2 = 12∗22∗32∗42 = 1∗4∗9∗16 = 576

Propiedades

Caso No. 1 La productoria de una constante es igual a una potencia, en la que la base es la constante y el exponenteel límite superior de la productoria.

∏i=1

5

2 = 25= 2∗2∗2∗2∗2 = 32

Caso No. 2El producto de una constante por una variable es igual a la constante elevada al valor que toma el límitesuperior por la productoria de la variable i, desde el límite inferior hasta el límite superior.

∏i=1

5

2i = 25 ∏i=1

5

i = 25(1∗2∗3∗4∗5)= 32(120)= 3,840

Caso No. 3

∏i=2

4

i(2i+3)= [2(2)+3][2(3)+3][2(4 )+3 ]= 7∗9∗11 = 693

FUENTE: Martínez Bencardino, Ciro, .Estadística Comercial, Grupo Editorial Norma. Bogotá Colombia.


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