14.9.2013.

1

ANALIZA U VREMENSKOM PODRUČJU

Sustav djeluje na ulazni signal kako bi proizveo izlazni signal koji se razlikuje od ulaznog u aspektu amplitude, frekvencije, faze...). Sustav znamo opisati, predstaviti ili karakterizirati ulazno izlaznom jednadžbom diferencija. Sustav se može opisati i impulsnim odzivom.

Izlaz je onda konvolucija

ulaznog signala i impulsnog odziva.

SPIE09 Obrada zvučnih signala 01_02.a) Analiza u vremenskom području str.02-59

01_02.b) Analiza u frekvencijskom području str.60-103

Ozren Bilan, viši predavač

Ozren Bilan 1

Vremenski prikaz

signala

Spektar signala

Spektrogram signala

Fundamental

Harmonici

Har

mo

nic

i

Fundamental ili osnovni harmonik

Vrijeme – trajanje

signala

1. UVOD 1.1. Kontinuirani i diskretni signali i DSP 1.2. Analiza u vremenskom i frekvencijskom području 1.3. DSP transformacije 1.4. Projektiranje digitalnih filtera 2. Zvučni signali visoke razlučivosti HD Audio 3. Digitalna obrada govora 4. Sažimanje zvučnih datoteka 5. Uvod u obradu zvučnih signala umjetnim neuralnim mrežama 6. Uvod u obradu i analizu zvučnih signala va lidem Wavelet

7. Razlike DSP i procesora 30 sati predavanja + 30 sati laboratorijskih vježbi Svi MATLAB kodovi nalaze se u skripti LAB VJEŽBE DOZS

Kako signal prikazuje informaciju ? Najvažniji dio svake DSP zadade je razumijevanje kako je pohranjena informacija u signalu s kojim radimo. Postoje samo dva uobičajena načina kojim predstavljamo informaciju u signalima koji se javljaju u prirodi:

• informacija prikazana u vremenskom području i • informacija prikazana u frekvencijskom području.

Informacija prikazana u vremenskom području opisuje kada se nešto dogodilo i kolika je amplituda pojave. Čak i kada posjedujemo samo jedan uzorak ovog signala, još uvijek znamo nešto o onome što mjerimo. To je najjednostavniji način pohrane informacije u signalu. Za razliku od toga, informacije u frekvencijskom području prikazuju se indirektno. Mnoge pojave imaju periodičnost. Mjerenjem frekvencije, faze i amplitude ovih periodičnih promjena, najčešde dobivamo informacije o sustavu. Jedinstveni uzorak, sam po sebi, ne sadržava informacije o periodičnosti. Informacija je pohranjena u odnosima mnogih točaka signala. To nas dovodi do značaja frekvencijskog odziva i odziva na koračnu pobudu. Odziv na step opisuje kako sustav modificira informaciju predstavljenu u vremenskom području. Za razliku od toga, frekvencijski odziv pokazuje kako se mijenja informacija predstavljena u frekvencijskom području.

Ozren Bilan 2

Opdi model sustava obrade vremenski diskretnog signala (Discrete-time signal processing - DTSP) ili sustava obrade digitalnog signala (Digital signal processing - DSP) : Sustav djeluje na ulazni signal kako bi proizveo izlazni signal koji se razlikuje od ulaznog u aspektu amplitude, frekvencije, faze...). Izlaz nazivamo odziv sustava. Može imati više od jednog ulaza i više od jednog izlaza. Tipični sustavi su digitalni filteri. Sustav znamo opisati, predstaviti ili karakterizirati ulazno izlaznom jednadžbom diferencija. Sustav se također može opisati impulsnim odzivom. Izlaz je onda

konvolucija ulaznog signala i impulsnog odziva.

Ulazni signal Izlazni signal SUSTAV

Ozren Bilan 3

IMPULSNI ODZIV

Uobičajeno se pretpostavlja da je signal (ili sustav) uključen u trenutku n=0, što odgovara vremenu t=0 sempliranog analognog signala. Slijededi uzorak nastaje u slijededem trenutku sempliranja, a označavamo ga n = 1. Ovakvim načinom označavanja vrijednosti negativnog indeksa označavaju hipotetske vrijednosti prije početka ili prije uključivanja signala ili sustava. Dakle, vrijeme na dijagramu sukcesivnih vrijednosti uzoraka teče na desno. Ako signal kasnimo, sve vrijednosti signala pomiču se na desno. Ako signal prethodimo sve vrijednosti signala pomiču se na lijevo. Dakle, pomak na lijevo je ranije (prethođenje), a pomak na desno kasnije (kašnjenje). Ako sustav obrađuje vrijednosti signala uzorak po uzorak, što nazivamo uzročno posljedični ili kauzalni sustav onda vrijednosti signala s negativnim indeksom nisu dostupni sustavu. Dakle da bi sustav pribavio vrijednosti s negativnim indeksom, a to su one koje su bile prije uključivanja sustava, potreban mu je vremeplov koji anticipira vrijednosti signala prije uključenja

Ozren Bilan 4

IMPULSNI ODZIV Prisjetimo se signala jediničnog uzorka δ (n): δ (n) = 1 , n = 0 0 , n ≠0 Pomak na lijevo je ranije (prethođenje), a pomak na desno kasnije (kašnjenje). Translatiramo li uzorak u na vremenski indeks k (k > 0), signal je δ (n-k) = 1 , n = k

0 , n ≠ k Translatiramo li uzorak na vremenski indeks –k (k < 0), signal je: δ (n + k) = 1 , n = -k

0 , n ≠ -k Izrazimo signal pomodu jediničnih uzoraka. Na slici je vrijednost x(n) u n = 1 jednaka 3, pa pišemo:

x(n = 1) = x(1) δ(n - 1) = 3 x 1 = 3 Slično tome, u n = 2

x(n = 2) = x(2) δ(n – 2) = 2 x 1 = 2 Dakle, najopdenitije signal x(n) izražavamo

k

knkxnx

Impuls

Impuls i

ranije (prethođenje) kasnije (kašnjenje)

Ozren Bilan 5

vrijeme teče na desno

Impulsni odziv digitalnog sustava definiran je kao izlaz (odziv), sustava, kojeg označavamo h(n), ako je na ulazu jedinični uzorak δ(n). Impulsni odziv može biti realan ili kompleksan, a uobičajeno podrazumijevamo da je realan.

Primjer je na slici:

Ulazni signal Izlazni signal SUSTAV

Primjedujemo odziv sustava prije pobude ?!

Ozren Bilan 6

14.9.2013.

2

FIR i IIR sustavi Pobudimo li sustav jediničnim uzorkom δ(n), impulsni odziv h(n) sustava može trajati konačno a) ili beskonačno b). U prvom slučaju riječ je o sustavu s konačnim trajanjem impulsnog odziva (FIR), a u drugom govorimo o sustavu s beskonačnim trajanjem impulsnog odziva (IIR). Neki autori ne spominju riječ trajanje. Alternativno, sustav možemo klasificirati kao rekurzivni ili nerekurzivni umjesto IIR ili FIR. Razlikama demo se naknadno pozabaviti. Kauzalnost sustava očituje se kroz njihov impulsni odziv: kauzalni sustavi imaju vrijednost h(n) = 0 u n < 0 (ili n ≤-1), inače su nekauzalni.

Oba prikazana sustava na slikama su - nekauzalna.

Ozren Bilan 7

Izvod impulsnog odziva iz jednadžbe diferencija

Prema definiciji impulsnog odziva možemo na sustav primijeniti jedinični uzorak pa eksperimentalnim putem dobiti izlaz sustava. To što demo dobiti je impulsni odziv. U drugom slučaju odziv sustava možemo dobiti jednadžbom diferencija, a postoje još neki načini.

Ozren Bilan 8

Primjer 1 Odredi impulsni odziv sustava čija je ulazno izlazna jednadžba diferencija y(n) = 0.8y(n – 1) + x(n) Rješenje Ako supstituiramo x(n) sa δ(n) onda de y(n) biti upravo h(n):

h(n) = 0.8h(n – 1) + δ(n) Prisjetimo se δ(n)= 1 u n = 0, inače je jednak nuli. U kauzalnom sustavu h(n) = 0 za n < 0, pa imamo: h(0) = 0.8h(-1) + δ(0) = 1

h(1) = 0.8h( 0) + δ(1) = 0.8 h(2) = 0.8h(1) + δ(2) = 0.82 h(3) = 0.8h(2) + δ(3) = 0.8 3

. . . h(n) = 0.8nu(n)

Sustav je IIR i stabilan je jer h(n) konvergira. Najčešde ne dobivamo ovakav rezultat.

Ozren Bilan 9

Primjer 2 Impulsni odziv sustava je periodičan s periodom od 3 indeksa

h(n) = [ 1, 2, 3; 1, 2, 3; 1, 2, 3; 1, 2 ... ] Odredi ulazno-izlaznu signalnu jednadžbu diferencija. Rješenje Kasnimo zadani impulsni odziv 3 uzorka

h(n - 3) = [ 0, 0, 0; 1, 2, 3; 1, 2, 3; 1, 2 … ] Izračunamo razliku

h(n) - h(n - 3) = [ 1, 2, 3; 0, 0, 0; 0, 0 … + = δ(n)+2 δ(n-1)+3 δ(n-2)

Zatim h(n) = h(n-3)+ δ(n)+2 δ(n-1)+3 δ(n-2)

Jednadžba diferencija onda je: y(n) = y(n - 3) + x(n) + 2x(n - 1) + 3x(n - 2)

Ozren Bilan 10

DIGITALNA KONVOLUCIJA

Glavne tehnike digitalne obrade signala su konvolucija i Fourierova analiza. Obje tehnike temeljene su na strategiji prikazanoj u poglavlju o linearnim sustavima: • signal rastavimo na jednostavne aditivne komponente • obradimo komponente na koristan način. To je DSP • sintetiziramo komponente u konačni rezultat

Konvolucija je matematički način kombiniranja dva signala u tredi, a predstavlja najvažniju tehniku digitalne

obrade signala.

Konvolucija povezuje tri signala: ulazni signal, izlazni signal i impulsni odziv.

x[n]*h[n]=y[n] Ozren Bilan 11

x[n]*h[n]=y[n] ulazni signal konvoluiran s impulsnim odzivom jednak je izlazu

Kako sustav mijenja ulazni signal u izlazni signal?

• ulazni signal može se rastaviti u niz impulsa, od kojih se svaki

može promatrati kao skalirana i vremenski pomaknuta delta funkcije.

• izlaz (koji je poslijedica svakog impulsa) je skalirani i pomaknuti oblik impulsnog odziva.

• ukupni izlazni signal dobije se sumiranjem svih skaliranih i pomaknutih impulsnih odziva.

Dakle, ako poznajemo impulsni odziv sustava, možemo izračunati izlaz sustava za bilo koji mogudi ulazni signal. To znači da znamo sve o sustavu i da ne možemo ništa više saznati o karakteristikama sustava.

Ozren Bilan 12

14.9.2013.

3

Konvolucijska suma

Kada je ulazni signal izražen jediničnim uzorcima, izlaz sustava S je: y(n) = S[x(n)] = S

Za svaki linearni sustav vrijedi: Nadalje, ako je sustav i vremenski ili posmačno invarijantan (nepromjenjiv), S[(n - k)] = h(n - k) Izlaz de biti: To je konvolucijska suma u DSP koji odgovara konvolucijskom integralu analognih sustava. U jednadžbi zvjezdica označava konvoluciju: Riječima: ako je impulsni odziv sustava h(n) poznat, možemo odrediti izlazni signal y(n) za bilo koji ulazni signal x(n). Zbog toga se impulsni odziv naziva i vremenska karakteristika sustava. Sumiranje se izvodi od -∞ do +∞, a u stvarnosti su relevantni signal ili impulsni odziv (ili oboje) konačni pa je i sumiranje (u računalu ili DSP procesoru) konačno.

k

knkx

kk

knSkxknkxSny

k

knhkxny

k

knhkxnhnxny

Ozren Bilan 13

Prikaz konvolucije u MATLAB-u

Ponovimo: Konvolucija je temeljni i najvažniji koncept obrade i analize signala. Primjenom konvolucije možemo dobiti izlaz sustava za bilo koji po volji odabrani signal poznajemo li impulsni odziv sustava. Pokazali smo da je matematička definicija konvolucije u diskretnom vremenskom području:

Gdje je x[n] ulazni signal, h[n] impulsni odziv, a y[n] izlazni signal. Operator * označava konvoluciju. Množimo izraze x[k] izrazima pomaknutog h[n], potom ih sumiramo. Ključni pojmovi za razumijevanja konvolucije su impulsni odziv i impulsna dekompozicija.

14 Ozren Bilan

Dekompozicija impulsne funkcije

Ponovimo koncept dekompozicije signala: ulazni signal rastavlja se na jednostavne aditivne komponente, a odziv sustava na ulazni signal dobije se sumiranjem izlaza komponenata signala koje su propuštene kroz sustav. Opdenito vrijedi da se dekompozicija signala može napraviti u obliku otežane (ili ponderirane) sume osnovnih signala. Tako pri Furierovoj transformaciji svaki periodični signal, pa čak i kvadratni impuls, možemo predstaviti sumom sinusnih i kosinusnih funkcija. Međutim, pri konvoluciji, kao temeljni signali koristi se jedinični uzorak impulsna delta funkcija.

Primjer de prikazati dekompoziciju signala na slici u slijed impulsnih delta funkcija. Kako znamo impulsna funkcija δ*n+ ima vrijednost 1 u n=0, a nulu u n ≠ 0. Tada vrijednost signala x[0] možemo zapisati kao 2·δ [n]. Slično tome, x[1] bit de 3·δ*n-1], zato jer je δ*n-1] jednak 1 u n=1, a nula u svim ostalima. Na isti način zapisujemo x[2] pomakom δ*n+ za 2, x[2]=1·δ*n-2]. Dakle, signal x[n] predstavljamo sumom 3 pomaknute i skalirane impulsne funkcije:

Opdenito signal možemo zapisati kao sumu skaliranih i pomaknutih delta funkcija

15 Ozren Bilan

Impulsni odziv Prisjetimo se: impulsni odziv izlaza sustava h[n], dobije se kao odziv sustava sa jediničnim uzorkom - impulsnom delta funkcijom na ulazu: LTI sustavu odziv vremenski pomaknute impulsne funkcije je pomaknut za isto iznos. Tako je impulsni odziv δ*n-1] je h[n-1]. Znamo li impulsni odziv h[n], možemo odmah odrediti impulsni odziv h[n-1] pomakom h[n] za +1. Sukladno tome, h[n-2] rezultira pomakom h[n] za +2. Kako smo pokazali, linearnom sustavu, skalirani ulazni signal rezultirat de identičnim skaliranjem izlaznog signala: Tako de impulsni odziv signala na ulazu 3·δ*n+ rezultirati impulsnim odzivom h[n] pomnoženim s 3. Nadalje, ako je ulazni signal sastavljen od tri komponente a·δ*n++b·δ*n-1++c·δ*n-2], tada de impulsni odziv biti a·h*n++b·h*n-1++c·h*n-2]. Ovo svojstvo nazvali smo aditivnost linearnog sustava: Kombinacijom svojstava impulsnog odziva i impulsne dekompozicije možemo postaviti jednadžbu konvolucije. U linearnim i vremenski nepromjenjivim sustavima odziv, koji je posljedica nekoliko ulaznih pobuda, može se izračunati kao suma odziva ako svaki signal djeluje samostalno. Ako je ulazni signal x[n]=2·δ*n++3·δ*n-1]+1·δ*n-2], izlazni signal bit de y[n]=2·h*n++3·h*n-1]+1·h*n-2]. Dakle, očito je da de za ulazni signal: izlaz sustava biti: Uvjet: konvolucija vrijedi samo za linearne i vremenski nepromjenjive LTI sustave.

Možemo zaključiti: izvršimo li dekompoziciju ulaznog signala u niz impulsa, izlazni signal možemo izračunati sumiranjem skaliranih i pomaknutih impulsnih odziva sustava. Najvažnije: od svih karakteristika sustava jedino trebamo poznavati impulsni odziv h[n]. Poznavanjem impulsnog odziva možemo lako doznati kako se sustav odziva na bilo koju ulaznu pobudu.

SUSTAV

SUSTAV

SUSTAV

16 Ozren Bilan

Primjer konvolucije Neka su zadani signal i impulsni odziv sustava: x[n] = 3, 4, 5 i h[n] = 2, 1 Signal x[n] ima vrijednosti uzoraka različite od nule u točkama n=0,1,2. Impulsni odziv h[n] ima uzorke različite od nule u točkama n=0,1. Sve ostale vrijednosti jednake su nuli. Promatramo impulsni odziva h[n] pokušavajudi shvatiti kako se sustav ponaša. Ulazni signal i impulsni odziv se množe i sumiraju. Kad impulsni signal uđe u sustav, prvi uzorak de se pomnožiti s 2 (dvostruko pojačati), a u slijededem trenutku de se pomnožiti s 1 (postepeno oslabiti). Dakle, sustav pojačava i dodaje jeku. Primjenom jednadžbe konvolucije izlazni signal y[n+ bit de:

Izračunat demo vrijednosti y[0], y[1], y[2], y[3], ...

ulazni signal x[n] x[n] = 3, 4, 5

impulsni odziv h[n] h[n] = 2, 1

17 Ozren Bilan

Proračun konvolucije

Uočavamo: y[0+ se sastoji od jedne komponente x*0+h*0+, a sve ostale su jednake nuli u k ≠ 0. Drugim riječima

x[1]h[-1]=x[2]h[-2]=0.

Ako je n jednak ili vedi od 4, sve komponente y*n+ bit de jednake nuli. Dakle nakon n=4 nije potrebno računati y*n+ i sumiranje 4 signala y*0+, y*1+, y*2+, y*3+ proizvodi izlazni signal konvolucije:

y[n]=6, 11, 14, 5.

Proračun u MATLAB-u funkcijom conv >> a = [3 4 5]; b = [2 1]; c = conv(a,b) c = 6 11 14 5

18 Ozren Bilan

14.9.2013.

4

Kako bi obrazac proračuna jasno uočili redosljed sumiranja je obrnut što je ekvivalentno savijanju (obrtanju) ulaznog signala ili impulsnog odziva. Posljednji član napisat demo prvi, a prvi član demo napisati posljednji i zanemarit demo sve članove jednake nuli.

y*0+ = x*0+·h*0+ y*1+ = x*1+·h*0+ + x*0+·h*1+ y*2+ = x*2+·h*0+ + x*1+·h*1+ y*3+ = x*3+·h*0+ + x*2+·h*1+

Obrazac se ved uočava. y[2] računa se od 2 ulazna uzorka: x[2] i x[1], te 2 uzorka impulsnog odziva: h[0] i h[1]. Ulazni uzorci počinju od 2, što je isto kao i uzorci izlaza, a nakon toga idu oni s manjim rednim brojem. Uzorci impulsnog odziva kredu od 0 i povedavaju. Temeljem uočenog obrasca pišemo jednadžbu za sve uzorke izlaznog signala: Gdje je i bilo koja točka uzorka, a k je broj uzorka impulsnog odziva. Npr.:ako se impulsni odziv sastoji od 4 uzorka, uzorak izlaznog signala u točki 9 bit de:

y*9+ = x*9+·h*0+ + x*8+·h*1+ + x*7+·h*2+ + x*6+·h*3+

Prvi uzorak izlaznog signala y*0+ sastoji se od samo jednog člana, a po obrascu se računa kao: y*0+ = x*0+·h*0+ + x[-1]·h[1].

Bududi da x[-1] nije određen, popunjavamo ga nulom. Prikazat demo cijeli proračun animacijom u Matlabu kako bi uočili postupak:

19 Ozren Bilan

MATLAB Konvolucija

nakon n=4, ne treba računati y*n+ i sumiranje 4 signala y*0+, y*1+, y*2+, y*3+ daje konvoluciju izlazni signal y[n]=6, 11, 14, 5.

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 60

2

4

6

m

System response h(-1-m) in black X, Signal x(m) in red O

-2 -1 0 1 2 3 4 5

0

5

10

15

y(n) =

4X

m= ! 1

x(m)h(n ! m)

Convolution output up to n = -1

n

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 60

2

4

6

m

System response h(0-m) in black X, Signal x(m) in red O

-2 -1 0 1 2 3 4 5

0

5

10

15

y(n) =

4X

m= ! 1

x(m)h(n ! m)

Convolution output up to n = 0

n

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 60

2

4

6

m

System response h(1-m) in black X, Signal x(m) in red O

-2 -1 0 1 2 3 4 5

0

5

10

15

y(n) =

4X

m= ! 1

x(m)h(n ! m)

Convolution output up to n = 1

n

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 60

2

4

6

m

System response h(3-m) in black X, Signal x(m) in red O

-2 -1 0 1 2 3 4 5

0

5

10

15

y(n) =

4X

m= ! 1

x(m)h(n ! m)

Convolution output up to n = 3

n

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 60

2

4

6

m

System response h(4-m) in black X, Signal x(m) in red O

-2 -1 0 1 2 3 4 5

0

5

10

15

y(n) =

4X

m= ! 1

x(m)h(n ! m)

Convolution output up to n = 4

n

KONVOLUCIJA u n=-1 KONVOLUCIJA u n= 0

KONVOLUCIJA u n= 3 KONVOLUCIJA u n= 4 KONVOLUCIJA u n= 5

KONVOLUCIJA u n= 1 KONVOLUCIJA u n= 2

signal x(n) x[n] = 3, 4, 5

impulsni odziv h(n) h[n] = 2, 1

konvolucija y[n]=6, 11, 14, 5

Vidi vježbe

MATLAB conv >> a = [3 4 5]; b = [2 1]; c = conv(a,b)

c = 6 11 14 5

20 Ozren Bilan

Primjena konvolucije na zvuk

• U linearnoj akustici jeka je konvolucija izvornog zvuka s funkcijom koja predstavlja različite objekte koje ga reflektiraju.

• U umjetnoj reverberaciji, konvolucija se koristi pri mapiranju impulsnog odziva realne prostorije na digitalni audio signal.

• Pri filtriranju izvodi se konvolucija

Ozren Bilan 21

SVOJSTVA DIGITALNE KONVOLUCIJE

Digitalna konvolucija ima nekoliko važnih karakteristika, što nam pri radu omogudava spajanje sustava u različite konfiguracije:

Komutativnost

Asocijativnost [x(n) h1(n)] h2(n) = x(n) [ h1(n) h2(n)]

Distributivnost

nkxkhknxkhkhknxnykk

Ozren Bilan 22

Usporedba konvolucije i filtriranja

Ozren Bilan 23

Dekonvolucija Dekonvolucija je inverzna operacija

konvolucije. Koristi se za proračun ulaza u poznati filter ako je poznat filtrirani izlaz. Postupak je osjetljiv na šum koeficijenata.

Sintaksa za deconv je: [q,r] = deconv(b,a) gdje je b polinom dividenda, a je divizor, q je kvocijent, a r je ostatak. Prvo demo konvoluirati dva jednostavna vektora a i b a = [1 2 3]; b = [4 5 6]; c = conv(a,b) c = 4 13 28 27 18 Sada demo izvršiti dekonvoluciju b iz c [q,r] = deconv(c,a) q = 4 5 6 r = 0 0 0 0 0 U Matlabu se opisane napredne tehnike dekonvolucije nalaze u: System Identification Toolbox User’s Guide.

Ozren Bilan 24

14.9.2013.

5

STABILNOST SUSTAVA

Stabilnost je jedno od najvažnijih svojstava realnih sustava. Nestabilnim sustavima izlaz se može po volji mijenjati ili izlaziti iz određenih granica, a računalni programi mogu davati netočne rezultate. Definicija stabilnosti DSP sustava podrazumjeva: sustav je stabilan kada u odnosu na ograničeni ulazni signal, na izlazu daje ograničeni izlazni signal. Ovaj kriterij stabilnosti izrazimo matematički: Dakle, impulsni odziv je apsolutno sumabilan.

FIR sustavi su najčešde stabilni. IIR sustavi za stabilnost moraju imati impulsni odziv koji dovoljno brzo

slabi.

n

h n∞

=-∞

< ∞

Ozren Bilan 25

TRANZIJENTNI I STEP ODZIV

Na sustave se često naglo primijeni neki signal koji se zatim naglo isključi. U takvim slučajevima često možemo primjetiti kako se sustav ponaša različito od stanja kada je na njega primijenjen neki ustaljeni signal.

Reakcija sustava u situaciji kada je na njega naglo primijenjen signal i naglo isključen naziva se tranzijentni odziv. Normalna reakcija na pobudu naziva se stabilni odziv, a češde ustaljeni odziv.

Tranzijentni odziv je važna karakteristika sustava iako se ne koristi tako često kao impulsni odziv. Tranzijentni odziv otkriva karakteristike i brzinu reakcije sustava (poput živih bida). U najvedem broju slučajeva

cilj nam je da sustav poprimi ustaljeni odziv što brže i što je glađe mogude (bez istitravanja).

Ozren Bilan 26

Odziv na step

Impulsni odziv sustava ne pokazuje direktno njegov tranzijentni odziv. Za tu svrhu umjesto jediničnog uzorka koristimo jednični step u(n). Odziv na step, kojeg označavamo s(n), predstavlja reakciju sustava kada je na ulazu primijenjen jedinični step u(n). Jedinični step je tekuda suma jediničnih uzoraka:

Pa je odziv na step tekuda suma impulsnih odziva:

Zbog toga se impulsni odziv može odrediti iz odziva na step: 𝒉 𝒏 = 𝒔 𝒏 − 𝒔(𝒏 − 𝟏)

0k

knnu

0k

khns

Ozren Bilan 27

Karakteristike sustava iz odziva na step

Zamijenimo li u jednadžbi konvolucije impulsni odziv pomodu odziva na step možemo izraziti odziv na step sustava: 𝒚𝒔(𝒏) za bilo koji ulazni signal x(n) kao konvoluciju:

𝒚𝒔 𝒏 = 𝒙 𝒌 𝒔 𝒏 − 𝒌 = 𝒙 𝒌 ∗ 𝒔(𝒌)

∞

𝒌=−∞

Izlazni signal bit de 𝑦 𝑛 = 𝑦𝑠 𝑛 − 𝑦𝑠(𝑛 − 1) To pokazuje kako možemo karakterizirati svaki linearni vremenski nepromjenjivi sustav odzivom na step umjesto impulsnim odzivom. Međutim, karakteriziranje sustava impulsnim odzivom je opdenitije. z-transformacija je vrlo učinkovita pri rješavanju tranzijentnih problema o čemu demo govoriti.

Ozren Bilan 28

DIGITALNI FILTERI Digitalni filteri su tipični i najčešdi DSP sustavi, a predstavljaju sami temelj

digitalne obrade signala.

Obradu signala nazivamo filtriranje. Obrađujemo li signale u diskretnom vremenu obradu nazivamo digitalno filtriranje. Digitalni filtri određeni su svojim impulsnim odzivom h[n], koji opisuje izlaz filtera kada je na ulazu jedinični impuls. Za sada demo upoznati tipične filtre i njihove jednadžbe diferencija. Digitalni filtri djeluju na ulazni signal kako bi proizveli izlazni signal koji se razlikuje po amplitudi, frekvenciji i fazi s obzirom na ulazni signal. Digitalni filtri kao i analogni postoje u 4 osnovna frekvencijski selektivna tipa. To su: • nisko propusni, • visoko propusni, • pojasno propusni i • pojasno nepropusni (ili pojasna brana). Frekvencijske aspekte filtra obradit demo nakon što upoznamo osnovne transformacije.

Sada demo klasificirati filtere samo temeljem impulsnih odziva i strukture.

Ozren Bilan 29 Ozren Bilan 30

14.9.2013.

6

Nerekurzivni i FIR filteri Nerekurzivnim filterima trenutni izlazni signal ovisi samo o ulaznom signal cijelo vrijeme trajanja. Matematički, nerekurzivni filteri opisuju se jednadžbom diferencija

bk su koeficijenti filtera koji mogu biti realni ili kompleksni (uobičajeno podrazumijevamo da su realni). Granice intervala sumiranja su -M do M, mogu biti od -∞ do ∞ . Kauzalnim filterima, donja granica intervala je nula. Strukturno, nerekurzivni filteri sastoje se od tri tipa operatora: kašnjenja, množenja i sumatora. Slijededa slika predstavlja direktnu implementaciju kauzalnog nerekurzivnog filtera s 4 koeficijenta što pokazuju 4 izvoda na slici.

Na slici, z-1 predstavlja jedinično kašnjenje tj. kašnjenje za jedan vremenski indeks. Impulsni odziv h(n) dobivamo supstitucijom x(n – k) s

M

Mk

k knxbny

)3()2()1()()()( 3210

3

0

nxbnxbnxbnxbknxbnyk

k

)kn(

M

M

h n b n k bk nk

Ozren Bilan 31

Rezultati analize dovode do dva važna zaključka: • Koeficijenti filtera su impulsni odziv h(n) u istom indeksu n, • Nerekurzivni filter određen jednadžbom 𝒚𝒔 𝒏 = 𝒙 𝒌 𝒔 𝒏 − 𝒌 = 𝒙 𝒌 ∗ 𝒔(𝒌)∞

𝒌=−∞ također je FIR filter.

Kada su jedna ili obje granice sumiranja jednake ∞ , više nije riječ o FIR nego o IIR filteru. Međutim, u najvedem broju slučajeva granice su konačne pa su nerekurzivni i rekurzivni filtri jedno te isto. Zamijenimo li bk sa h(k) možemo napisati nerekurzivni (FIR) filter: A kauzalni filter: Nerekurzivni filteri neposredno implementiraju konvolucijsku sumu.

M

k=-M

y n = h k x n - k

M

k=0

y n = h k x n - k

Ozren Bilan 32

Rekurzivni i IIR filteri Rekurzivnim filterima izlazni signal ovisi o ulaznom signalu cijelo vrijeme trajanja signali ali i o prethodnom izlaznom signalu. Jednadžba diferencija kauzalnog rekurzivnog filtera: Gdje su ak koeficijenti za rekurzivni dio (povratna petlja). bk su koeficijenti za nerekurzivni dio (unaprijedna petlja). U teoriji, granice M, N mogu biti ∞ , a u stvarnosti su konačne. N je red filtera. Ako su svi koeficijenti jednaki nuli riječ je o nerekurzivnom filteru. Neki autori pišu jednadžbu diferencija u obliku: Rekli smo da su granice M, N konačne; da li de impulsni odziv filtera biti konačan? U stvarnosti impulsni odziv je opdenito beskonačan pa su rekurzivni filteri uglavnom IIR tipa (analizirat demo neke primjere).

M

k

k

N

1k

k knxbknyay(n)0

N

k

M

k

kk knxbknya0 0

)()(

Ozren Bilan 33

Pogledajmo strukturu ili implementaciju filtera prikazanu jednadžbom diferencija: y(n) = 0.9y(n – 1) – 0.4y(n – 2) + 2 x(n) – 3 x(n – 1) – 4 x(n - 2) Slika prikazuje direktnu implementaciju. Naknadno demo analizirati problem strukture filtera jer postoje razne strukture različitih karakteristika za različite primjene. Nerekurzivnim filterima koeficijenti bk predstavljaju impulsni odziv. Rekurzivnim filterima koeficijenti bk ne predstavljaju impulsni odziv. Impulsni odziv određuje im se iz definicije impulsnog odziva, dakle supstituiramo x(n – k) jediničnim impulsom (n – k), a y(n – k) sa h(n – k).

Ozren Bilan 34

y(n)

RJEŠENJA JEDNADŽBE DIFERENCIJA

Ulazno-izlazna jednadžba diferencija

kauzalnog rekurzivnog ili IIR filtera (ili opdenito sustava)

Gdje su koeficijenti ak i bk konstante, a N je red filtera.

M

k

k

N

1k

k knxbknyay(n)0

𝑎𝑘𝑦 𝑛 − 𝑘 =

𝑁

𝑘=0

𝑏𝑘𝑥 𝑛 − 𝑘

𝑁

𝑘=0

Ozren Bilan 35

Rješenja i odzivi Ulazno izlazna jednadžba diferencija signala ili sustava opdenito opisuje odnos izlaznog i ulaznog signala, a ne govori nam ništa o unutrašnjoj strukturi filtera. Kako bi odredili odziv, dakle, izlaz filtera na određeni ulazni signal moramo poznavati stanje filtera prije nego primijenimo signal na ulaz. To stanje nazivamo početni uvjeti. Relaksiranom sustavu na izlazni signal ne djeluju učinci prethodnog (prošlog) signala, pa je y(n) = 0 za n < 0. Ako to nije slučaj stav nazivamo nerelaksiran. Pogledajmo jednadžbu: 𝑦 𝑛 = 0.8𝑦 𝑛 − 1 + 𝑥(𝑛) Ako je ulazni signal x(n) primijenjen u trenutku n = 0 onda de izlazni signal u trenutku n = 0 biti: 𝑦 0 = 0.8𝑦 −1 + 𝑥(0) U nerelaksiranom sustavu postoji y(-1), a također i y(-1), y(-2),…, koji djeluju na sukcesivne vrijednosti y(n). Dakle, izlazni signal y(n) de se sastojati od dvije komponente: • Prva zbog ulaznog signala x(n), primijenjenog u n = 0, bez uzimanja u obzir

početnih uvjeta. Nazivamo ga odziv nultog stanja, a označavamo yzs(n). • Druga, zbog samih početnih uvjeta, bez uzimanja u obzir ulaznog signala.

Nazivamo ga odziv nultog ulaza yzi(n). Ozren Bilan 36

14.9.2013.

7

Svaki odziv određujemo rješavanje pripadne jednadžbe diferencija. Odziv nultog stanja zovemo i prisilni odziv, a odziv nultog ulaza zovemo prirodni odziv i ovisi o strukturi sustava.

Suma ova dva odziva je ukupni odziv sustava.

Kada su početni uvjeti sustava jednaki nuli (relaksirani sustav) primjena ulaznog signala rezultira s dva odziva: tranzijentnim odziv i ustaljenim odzivom. Tranzijentni odziv, kratko vrijeme nakon pobude, preklopi se sa ustaljenim odzivom i nastavlja se svek dok postoji ulazni signal. Ako naglo isključimo ulazni signal ponovno nastaje tranzijentni odziv. Nazivamo ih tranzijent pri uključivanju i tranzijent pri isključivanju.

Matematičkim žargonom tranzijentni odziv je homogeno rješenje jednadžbe diferencija, a ustaljeni odziv je partikularno rješenje. Superpozicija ova dva rješenja je ukupno rješenje.

Konvolucija ulaznog signala i impulsnog odziva sustava također daje odziv sustava – ukupno rješenje. Pri tome ne možemo odijeliti homogeno i partikularno rješenje.

z-transformacija je učinkovita pri rješavanju jednadžbi diferencija isto tako kako je Laplaceva transformacija pogodna za diferencijalne jednadžbe.

Ozren Bilan 37 Ozren Bilan 38

DIGITALNA KORELACIJA Korelacija dva signala mjeri stupanj njihove sličnosti. Korelacija signala sa samim sobom također ima smisao i primjenu. Dok se konvolucija može primijeniti na signale i sustave, korelacija se primijenjuje samo na signale. Kao i konvolucija i korelacija se definira za analogne i digitalne signale. Korelacija se koristi na područjima radara, geofizike, komunikacija, a posebno kod svih slučajnih procesa. U DSP konvolucija je mnogo češda, ali korelacija ima vrlo veliku primjenu kod zvučnih signala. Korelacija daje odgovor na pitanje:

kolika je sličnost signala A i signala B? Intuitivni odgovor dobivamo usporedbom determinističkih signala sa stohastičkim signalom.

Deterministički signali su predvidivi ekvivalenti signala koji se dobiju matematičkim funkcijama

Stohastički signali su nepredvidivi i ekvivalentni onima dobivenima slučajnim

procesima.

Ozren Bilan 39

Korelacija signala

n=0:23; A=[ones(1,4),zeros(1,8),ones(1,4),zeros(1,8)]; subplot (3,1,1),stem(n,A); grid axis([0 25 0 1.5]); title('Signal A') xlabel('uzorak') B=randn(size(A)); % signal B je Gaussov šum iste dužine kao A subplot(3,1,2),stem(n,B); axis([0 25 -3 3]); title('Signal B') xlabel('uzorak') C=A; subplot(3,1,3),stem(n,C); axis([0 25 0 1.5]); title('Signal C'); xlabel('uzorak')

Uvidom u dijagrame vidimo da je signal A koreliran sa signalom C dok je B

nekoreliran i sa A i sa C.

To je intuitivna i vizuelna definicija korelacije.

intuitivna i vizuelna definicija korelacije.

Pojam korelacija podrazumijeva mjerljivo određivanje sličnosti i razlike dva signala.

Križna korelacija R je operator korelacije. Križna korelacija dva realna vremenski diskretna signala x(n) i v(n), određena je

m = 0, 1, 2, ... što je ekvivalentno

m = 0, 1, 2, ... Uočavamo da je korelacija na indeksu n jednaka sumi umnožaka prvog i drugog pomaknutog signala. Zamijenimo li signale x(n) i v(n) dobivamo:

m = 0, 1, 2, ... što je ekvivalentno

m = 0, 1, 2, ... Dakle Rxv(m) = Rvx(-m) Što znači da je prva korelacija obrnuta verzija ili zrcalna slika drugog izraza, ali sadržava istu informaciju. Procjena korelacije slična je konvoluciji, s razlikom što nije potrebno obrtanje pa su koraci proračuna

pomakni – pomnoži – sumiraj.

xv

n=-

R m x(n)v(n-m)=

n

xv mvmnxmR

n

vx mnxnvmR

n

vx nxmnvmR

Ozren Bilan 40

Autokorelacija

Auto-korelacija signala x(n) jednaka je križnoj korelaciji sa samim sobom: Što je ekvivalentno U trenutku m=0 (pomak još nije započeo) auto-korelacija je maksimalna jer je signal najsličniji samom sebi. Autokorelacija (samosličnost) se smanjuje kako m raste u oba smjera. Auto-korelacija je parna simetrična funkcija varijable m:

Rxx(m) = Rxx(-m)

n

xx mnxnxmR

n

xx nxmnxmR

Ozren Bilan 41

Korelacija i komunikacije Neka se digitalni signal x(n) prijenosi na drugi kraj komunikacijskog kanala. Nakon prijenosa dolazi do prijemnika gdje postaje x(n–n0), a dodaje mu se i slučajni šum z(n). Onda je ukupni signal na prijemniku:

y(n) = x(n – n0) + z(n) Napravimo li križnu korelaciju y(n) i x(n) :

= Rxx(m – n0) + Rzx(m)

Križna korelacija sastoji se od dvije komponente: auto-korelacije transmitiranog signala s vremenskim pomakom i križne-korelacije transmitiranog signala x(n) i šuma z(n). Značaj je u tome što je Rxx(m – n0) uobičajeno vedi od Rzx(m) , a vršna vrijednost je u m = n. Istovremeno Rzx(m), je manji jer šum ima slučajnu prirodu, a signal ne ovisi o šumu. Dakle, analizom Rzx(m) određujemo kašnjenje primljenog signala.

nn

yx mnxnznnxmnxnymR 0

nn

mnxnzmnxnnx 0

Ozren Bilan 42

14.9.2013.

8

Korelacija periodičnih signala Za dva periodična signala x(n) i v(n) koja imaju isti period N uzoraka, križna korelacija i autokorelacija određene su izrazima: Obje korelacije imaju period od N uzoraka. Pogledajmo primjenu: Signal y(n) dolazi na prijemnik i sastoji se od transmitiranog signal x(n) i dodanog šuma smetnje z(n) :

y(n) = x(n) + z(n)

Auto-korelacija primljenog signala u trajanju od M uzoraka, gdje je M mnogo vedi od perioda N, je: Supstitucijom izraza y(n) u funkciju autokorelacije, slijedi:

1

0

1 M

nyy mnyny

MmR

1

0

1 N

nxv mnvnx

NmR

1

0

1 N

kxx mnxnx

NmR

Ozren Bilan 43

= Rxx(m) + Rxz(m) + Rzx(m) + Rzz(m)

Zato jer je signal x(n) periodičan s periodom N i funkcija auto-korelacije Rxx je periodična s vršnim vrijednosti u m = 0, N, 2N ... Križna korelacija Rxz(m) i Rzx(m) signala i šuma imaju malu vrijednost jer su signal i šum nekorelirani. Poslijednji izraz Rzz(m) je autokorelacija šuma koja ima vršnu vrijednost u m = 0, a brzo slabi na nulu jer je slučajne prirode. Dakle, ostaje najveda. Opisana osobina omogudava nam da detektiramo periodični signal x(n) čak i tada kada je amplituda šuma usporediva sa signalom ili veda. Opisana metoda korelacije koristi se za

određivanje fundamentalne frekvencije govora i glazbe u okolnostima vrlo visoke razine šuma.

1

0

1 M

nyy mnzmnx nznx

MmR

1

0

1

0

1

0

1

11

M

n

M

n

M

n

mnxnzM

mnxnzmnznx M

mnxnxM

Ozren Bilan 44

Kvantitativno iskazivanje korelacije

Problem: kako odrediti kvalitativni algoritamski način procjene korelacije? Mogudnost: množimo signale uzorak po uzorak i usrednjavamo rezultat. Postupak daje pozitivne brojeve ako su signali identični, a vrijednosti vrlo bliske nuli za dva slučajna signala.

1

12 1 2

0

1[ ] [ ]

N

n

r x n x nN

Koristimo prethodno pokazane signale (program str. 34.):

• Signal A, • Signal B (slučajni šum) i • Signal C (identičan signalu A). Računamo:

>> A*B'/length(A) ans = 0.0839 >> A*C'/length(A) ans = 0.3333

Mala vrijednost za signale A i B govori da su signali nekorelirani.

Pozitivna i mnogo veda vrijednost izračuna signala A i C govori da su signali korelirani.

45 Ozren Bilan

Križna korelacija slučajnih signala

n=0:100;

sum1=randn(size(n));

sum2=randn(size(n));

sum1*sum2'/length(sum1)

ans =

-0.0284

Pitamo se:

jesu li dva slučajna signala (šum1 i šum2) korelirana?

S vrlo velikom vjerojatnošdu, za dva slučajna nekorelirana signala, možemo očekivati rezultat između:

≤ ±2/√N = ±0.1990

Zaključujemo: ova dva signala su nekorelirana.

46 Ozren Bilan

Nedostatak jednostavne križne korelacije

Iako su dva signala ista i donji je pomaknut za 5 uzoraka u desno ili gornji 5 uzoraka u lijevo, jednostavna križna korelacija dat de nam rezultat blizak nuli. Signali su potpuno isti samo postoji relativni pomak k=5.

Pomaknuta križna-korelacija rješava problem

• Vrši se pomak signala za k uzoraka u odnosu na drugi signal i računa se r12(k).

• Svi mogudi k pomaci daju vektor vrijednosti koji nazivamo potpuna križna korelacija.

• Postupak izvodi MATLAB naredbom xcorr

• xcorr je ekvivalentna s conv (convolution) s jednim signalom koji se uzima u

proračun obrnutim redoslijedom. 1

12 1 2

0

1( ) [ ] [ ]

N

n

r k x n x n kN

47 Ozren Bilan

Potpuna križna korelacija

A=[ones(1,4),zeros(1,8),ones(1,4),zeros(1,8)];

B=filter([0,0,0,0,0,1],1,A);

[acor,lags]=xcorr(A,A2);

subplot(3,1,1),stem(A);

xlabel('uzorak')

grid

title('Izvorni signal A')

subplot(3,1,2),stem(A2);

xlabel('uzorak')

grid

title('pomaknuti signal B')

subplot(3,1,3), stem(lags,acor/length(A)),

grid

title('Potpuna križna korelacija A i B')

xlabel('uzorak') Ako signal B pomaknemo u lijevo za 5 uzoraka oba signala bit de identična i potpuna križna korelacija bit de jednaka r12 = 0.333

48 Ozren Bilan

14.9.2013.

9

Potpuna križna-korelacija slučajnih signala

N=1:100;

n1=randn(size(N));

n2=randn(size(N));

[acor,lags]=xcorr(n1,n2);

stem(lags,acor/length(n1));

Križna-korelacija slučajnih signala je slučajna i nema vrha. To nam govori

da nema nikakve sličnosti signala

49 Ozren Bilan

Auto-korelacija Križna korelacija signala sa samim sobom naziva se auto-korelacija.

Auto-korelacija s nultim pomakom identična je efektivnoj vrijednosti snage signala.

1

0

1111 ][][1

)(N

n

knxnxN

kr

1 12

11 1 1

0 0

1 1(0) [ ] [ ] [ ]

N N

n n

r x n x n x nN N

n=0:50; N=randn(size(n));

[rNN,k]=xcorr(N,N); stem(k,rNN/length(N)); grid; title('Auto-korelacija

slučajnih signala')

Matematički, auto-korelacija slučajnih signala

slična je impulsnoj funkciji

Auto-korelacija slučajnih signala

50 Ozren Bilan

Auto-korelacija sinusnog signala

n=0:99;

omega=2*pi*100/1000;

sinusni_signal=sin(omega*n);

[acor_sinusni_signal,k]=xcorr(sinusni_signal,sinusni_signal);

plot(k,acor_sinusni_signal/length(sinusni_signal));

grid;

title('Auto-korelacija signala - sinusni_signal')

xlabel('uzorak')

Vektor auto-korelacije ima istu frekvencijsku komponentu kao

izvorni signal

51 Ozren Bilan

Identifikacija sinusnog signala maskiranog šumom

n=0:1999;

omega=2*pi*100/1000;

d=sin(omega*n);

d3n=d+3*randn(size(d));

% sinusni signal je maskiran trostrukim sumom

d5n=d+5*randn(size(d));

% sinusni signal je maskiran peterostrukim sumom

subplot(3,1,1),plot(d(1:100)),title('Signal')

subplot(3,1,2),plot(d3n(1:100)),

title(‘signal s trostrukim sumom'), axis([0,100,-15,15])

subplot(3,1,3), plot(d5n(1:100)),

title(‘signal s peterostrukim sumom'), axis([0,100,-15,15])

U signalu maskiranom šumom ne možemo vidjeti sinusni valni oblik

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-1

0

1Signal

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

-10

0

10

signal s trostrukim sumom

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

-10

0

10

signal s peterostrukim sumom

52 Ozren Bilan

Identificiranje šumom maskirane sinusoide Normalni spektar

n=0:1999; omega=2*pi*100/1000; d=sin(omega*n);

d3n=d+3*randn(size(d)); % sinusni signal je maskiran trostrukim šumom

d5n=d+5*randn(size(d)); % sinusni signal je maskiran peterostrukim šumom subplot(2,1,1),fft_plot(d3n,1000);grid; title('100 Hz 3x šum') subplot(2,1,2),fft_plot(d5n,1000);grid; title('100 Hz 5x šum')

Normalni spektar sinusoide maskirane šumom: velika snaga

šuma onemogudava sigurnu detekciju

53 Ozren Bilan

Identificiranje šumom maskirane sinusoide Auto-korelacijski spektar

acor3n=xcorr(d3n,d3n); acor5n=xcorr(d5n,d5n); subplot(2,1,1),fft_plot(d3n,1000);grid; title('100 Hz, 3x šum spektar signala') subplot(2,1,2),fft_plot(acor3n,1000);grid; title('100 Hz, 3x šum autokorelacijski spektar') pause figure, subplot(2,1,1),fft_plot(d5n,1000);grid; title('100 Hz, 5x šum autokorelacijski spektar') subplot(2,1,2),fft_plot(acor5n,1000);grid; title('100 Hz, 5x šum autokorelacijski spektar')

Auto-korelacija signala sa šumom daje vedi odnos signal/šum pri detekciji

dominantne frekvencijske komponente usporedimo li je s FFT

54 Ozren Bilan

FFT

Autokorelacija

FFT

Autokorelacija

14.9.2013.

10

Određivanje udaljenosti sonarom i radarom

x=[ones(1,100),zeros(1,924)]; n=0:1023; plot(n,x, 'r'); axis([0 1023 -.2, 1.2]) grid; title('Transmitirani impuls');xlabel('uzorak,n') h=[zeros(1,399),1]; % Impulsni odziv kasni 400 uzoraka x_return=filter(h,1,x); % Propuštamo signal kroz filter za kašnjenje figure,plot(n,x_return, 'r'); axis([0 1023 -.2, 1.2]) grid; title('Povratni signal impulsa');xlabel('uzorak, n')

Simulacija emitiranog i primljenog impulsa

sa kašnjenjem od 400 uzoraka (jeka).

55 Ozren Bilan

Sonar i radar su uređaji koji emitiraju, a potom primaju reflektirani signal temeljem kojeg

izvlače informacije o položaju objekata pod morem, u zraku, na moru ili na kopnu. Ekstrakciju informacije iz reflektiranog signala otežava superponirani šum pa se koristi

korelacija.

Određivanje udaljenosti sonarom i radarom

[xcor_pure,lags]=xcorr(x_return,x);

plot(lags,xcor_pure/length(x))

grid;

title('križna-korelacija, transmitiranog i primljenog signala')

xlabel('kašnjenje, uzoraka')

Križna korelacija emitiranog i primljenog signala pokazuje da su korelirani s kašnjenjem

od 400 uzoraka.

56 Ozren Bilan

x_ret_n=x_return+1.5*randn(size(x_return));

plot(n,x_ret_n); axis([0 1023 -6, 6])

% Vidimo promjenu na osi podrucja

grid;

title('Povratni signal i superponirani šum')

xlabel('uzorak,n')

U prisustvu šuma povratni signal je nemogude vidjeti

Znamo da se nalazi se na 400. uzorku, ali se ne vidi

Određivanje udaljenosti sonarom i radarom

[xcor,lags]=xcorr(x_ret_n,x);

plot(lags,xcor/length(x))

grid;

Križna-korelacija emitiranog signala sa jekom šuma vrlo jasno pokazuje korelaciju pri kašnjenju

od 400 uzoraka

57 Ozren Bilan

Zaključak

• Križna-korelacija omogudava procjenu stupnja sličnosti dva signala.

– Primjena je identificiranje povratne jeke sonara i radara pri izraženom šumu.

• Auto-korelacija (korelacija signala sa samim sobom) pomaže identificiranju karakteristika signala u izraženom šumu.

58 Ozren Bilan

ANALIZA U FREKVENCIJSKOM

PODRUČJU

Digitalni (vremenski diskretni) signali i sustavi mogu se analizirati u frekvencijskom području Fourierovom analizom.

Važna karakteristika sustava je frekvencijski odziv.

SPIE09 Obrada zvučnih signala 01_02.b) Analiza u frekvencijskom području Ozren Bilan, viši predavač

Nastanak kvadratnog vala: Gibbsov učinak

-1

-0.5

0

0.5

1

59 Ozren Bilan

Signali i sustavi u frekvencijskom području

Ciljevi

• Definicija Fourierove transformacije i objašnjenje važnijih svojstava. • Objasniti Gibbsov učinak • Objasniti funkciju sinc i prikazati FT osnovnih signala

• Definicija Fourierove transformacije u diskretnom vremenu (DTFT) dokaz da daje maksimalni odziv na digitalnim frekvencijama sadržanim u diskretnom signalu vremenskog područja.

• Dokaz tri ključna svojstva DTFT: linearnost, periodičnost i kašnjenje.

• Pokazati nastanak replika frekvencijskog sadržaja signala na cjelobrojnim višekratnicima frekvencije sempliranja.

• Pokazati koncept primjene filtra vremenskog otvora u analizi spektra i pokazati utjecaj različitih prozora na rezoluciju DTFT.

• Objasniti ograničenja DTFT i princip neodređenosti spektralne analize.

• Odrediti snagu i energiju signala u vremenskom i frekvencijskom području. • Pokazati simulaciju signala slučajnog šuma i svojstva Gaussove snage spektra diskretnih

signala. • Izvesti frekvencijski odziv opdeg LTI DSP sustava i pokazati da je frekvencijski odziv vrijednost

prijenosne funkcije u z-području na jediničnoj kružnici u kompleksnoj ravnini.

60 Ozren Bilan

14.9.2013.

11

Digitalni (vremenski diskretni) signali i sustavi mogu se analizirati u frekvencijskom području Fourierovom analizom. Važna karakteristika sustava je frekvencijski odziv. Za analogne signale Fourierova analiza koristi Fourierove redove (CTFS) i Fourierovu transformaciju (CTFT). Razvoj teorije digitalne obrade signala The posebno diskretne Fourierove transformacije i digitalnih signal procesora te računala omogudila je daljnju uporabu Fourierove analize. Kratko demo se osvrniti na Fourierovu analizu analognih signala pa demo prijedi na Fourierove redove u diskretnom vremenu (DTFS) i Fourierovu Transformaciju u diskretnom vremenu (DTFT). Spomenit demo i Brzu Furierovu transformaciju koja je vrlo važna u primjenama u DSP. Naglasit demo najvažnije aspekte DTFT, a to je frekvencijski odziv sustava. DTFT je povezana s još opdenitijom i univerzalnijom transformacijom digitalnih sustava - z-transformacijom.

61 Ozren Bilan

FOURIEROVI REDOVI (CTFS) USTALJENO VRIJEME (ANALOGNO)

U ustaljenom vremenu (analogno) Fourierova analiza sastoje se od Fourierovih redova ili razvoja i Fourierove transformacije ili integrala. Pokazat demo vrlo kratki pregled Trigonometrijski razvoj u red Francuski matematičar Jean Baptiste Joseph Fourier pokazao je da se periodični valni oblik može rastaviti u beskonačni red sinusoidalnih i kosinusidalnih komponenti čije su frekvencije višekratnici osnovne frekvencije složenog periodičnog valnog oblika.

62 Ozren Bilan

Furierova transformacija čini zvučnom signalu (datoteci) isto ono

što prizma čini zraci bijele svjetlosti;

rastavlja je na sastavne dijelove.

Isto tako kako je zraka bijele svjetlosti sastavljena od mnogo boja, segment zvučne datoteke sastavljen je od mnogo različitih frekvencija.

Sumiranjem harmoničkih sinusnih i kosinusnih funkcija određenih amplituda An i Bn, dobijemo točno izvorni signal. Za periodički signal x(t) s osnovnim periodom T sekundi, Furierov red predstavlja signal sumom sinusnih i kosinusnih komponenti koje su harmonici osnovne frekvencije f0.

Potrebno je izračunati vrijednosti An i Bn.

63 Ozren Bilan

Zadan je vremenski promjenjivi signal x(t), s periodom T0 (sec) ili kružnom frekvencijom (rad/s) ili frekvencijom F0 = 1/T0 (Hz). Trigonometrijski razvoj u red je

Gdje su koeficijenti određeni:

Granice integracije su –T0/2 do T0/2, pri čemu se druga granica može koristiti sve dok je raspon granica jednak periodu T0, npr. 0 do T0.

Komponente imaju slijedede značenje :

a0 : srednja vrijednost signala (ili istosmjerna komponenta)

a1cos 0t + b1sin 0t : osnovni harmonik, fundamentalna komponente, jer je suma dvije sinusoide iste frekvencije je sinusoida na toj frekvenciji ili prvi harmonik.

a2cos0t + b2sin0t : drugi harmonik

a3cos0t + b3sin0t : tredi harmonik

…

10

100 sincos)(

nn

nn tbtnaatx

2/

2/0

00

0

)(1 T

Tdttx

Ta

2/

2/ 0

0

0

0

cos)(2 T

Tn tdtntxT

a

2/

2/ 0

0

0

0

sin)(2 T

Tn tdtntxT

b

00 /2 T

64 Ozren Bilan

Znamo da je suma dvije sinusoide iste frekvencije - sinusoida na toj frekvenciji, u specifičnom slučaju:

To je razlog zbog kojeg jednadžbu Možemo napisati u obliku amplitudnog i faznog razvoja: Gdje je: Pri ovom razvoju u red prepoznajemo co kao srednju vrijednost (istosmjernu komponentu), fundamental i drugi harmonik ...itd. Dijagram koeficijenata u ovisnosti o frekvenciji predstavlja magnitudni spektar, a dijagram faze o ovisnosti o frekvenciji nazivamo fazni spektar. Oba spektra se diskretna ili linijska.

a

btbatbta 122 tancossincos

)Φcos()( 0

1n

00n tncctx

00 ac 22nnn bac

n

nn

a

b arctan

10

100 sincos)(

nn

nn tbtnaatx

65 Ozren Bilan

Razvoj kompleksne eksponencijale Fourierov razvoj u red u obliku kompleksne eksponencijale mnogo je važniji i kompaktniji jer je neposredno povezan s Fourierovom transformacijom. Razvoj je jednadžba sinteze : Dvije simetrične komponente Xn i X-n uvijek se pojavljuju u paru i suma svakog para je realna. Odnos kompleksne eksponencijale i trigonometrijskih koeficijenata je: Koeficijente Xn možemo izračunati iz analitičke jednadžbe: Granice integracije mogu biti od –T0/2 do T0/2 umjesto od 0 do T. Bududi da su koeficijenti Xn opdenito kompleksni pišemo: Varijacija predstavlja spektar magnitude, a varijacija φn spektar faze signala. Realnim signalima, spektar magnitude je parno simetričan, a spektar faze neparno simetričan (asimetričan)

66 Ozren Bilan

14.9.2013.

12

Odnos realnog kosinusa i imaginarnog sinusa u kompleksnoj eksponencijali

Odnos realnog kosinusa i imaginarnog sinusa u kompleksnoj eksponencijali e jΩT. Olakšava shvadanje pojma faze. Svojstvo spiralnog oblika = projekcija na bilo koju ravninu paralelno s vremenskom osi daje sinusoidalni valni oblik.

Ozren Bilan 67

Funkcija sin(x)/x ili sinc

Pri razmatranju Fourierove analize nailazimo na posebnu funkciju sin(x)/x. Dijagram funkcije pokazuje da je to simetrična funkcija jedinične površine s maksimumom jednakim 1 u ishodištu. Prolazi kroz nulu su u jednakim intervalima π. Udaljenost od ishodišta do prvog prolaska kroz nule jednaka je π. Vrijednost funkcije oscilira i progresivno slabi. Prvi minimum ima vrijednost -0.2178, a idudi maksimum 0.1284. Prolasci kroz nulu i ekstremi određeni su prema slijededim relacijama.

68 Ozren Bilan

x=linspace(-10,10);

y=sinc(x);

plot(x,y);grid;

Fourierov teorem Fourierov teorem: svaki kontinuirani periodički signal može se predstaviti beskonačnom sumom

harmonički povezanih sinusoida.

00 0

1

00

00

00 0

( ) cos( ) sin( 2

2( )cos( )

2( )sin( )

2 2= ( )cos(0) ( )

n n

n

T

n

T

n

T T

as t a n t b n t

a s t n t dtT

b s t n t dtT

a s t dt s t dtT T

0( ) jn t

n

n

s t c e

0

0

1( )

Tjn

nc s t e dtT

Koeficijenti (a,b,c) predstavljaju frekvencijski sadržaj signala na diskretnim frekvencijama

0

0 0

0 0

0 0

/ 2ω

/ 2

/ 2/ 2

ω 2

/ 20 / 2

π π

0

π π

0

1( )

1 1 1

ω

1 1

2π

1 1

π 2

1

Tjn t

nT

ww

jn t jn f t

wp p w

jn f w jn f w

p

jn f w jn f w

p

p

c s t e dtT

e dt eT T jn

e eT jn f

e e

T n f j

T

0 0

0 0

0

sin( π ) sin( π )

π π

( π ) for < <

p

p

n f w n f ww

n f T n f w

wsinc n f w n

T

Fourierovi koeficijenti pravokutnog slijeda impulsa

69 Ozren Bilan za

MATLAB analiza slijeda kvadratnih impulsa

w=1; % određujemo širinu impulsa u ms fmax=3500; % određujemo maksimalnu frekvenciju R1=4; % određujemo odnos perioda i širine za

svaki slučaj R2=8; R3=32; [c1,f1]=pulse_train(fmax,w,R1); % funkcijom određujemo Fourierove

koeficijente [c2,f2]=pulse_train(fmax,w,R2); % slučaj 2

[c3,f3]=pulse_train(fmax,w,R3);

% slučaj 3

subplot(3,1,1),stem (f1,c1),

title(‘odnos perioda i širine impulsa = 4');

subplot(3,1,2),stem (f2,c2),

title(odnos perioda i širine impulsa = 8');

subplot(3,1,3),stem (f3,c3),

title('odnos perioda i širine impulsa = 32');

xlabel('Harmonička frekvencija Hz')

Porastom odnosa perioda i širine impulsa frekvencijska gustoda koeficijenata raste. Konačno, u graničnom slučaju,

koeficijenti postaju kontinuirana funkcija frekvencije. 70 Ozren Bilan

Fourierova transformacija Iz analize slijeda impulsa zaključujemo da opdem neperiodičnom signalu kontinuirana funkcija frekvencije predstavlja frekvencijski sadržaj kontinuiranog signala.

Definicija Fourierove transformacije: ω(ω) ( ) j tX x t e dt

ω ( ) ( ) j tx t x t e dt

Ilustrirat demo glavne Fourierove transformacijske parove bez dokaza: Uski impuls t To je impulse jedinične amplitude infinitezimalne širine. Transformacija je tt

71 Ozren Bilan

infinitezimalne širine

b) Jedinični impulse

To je delta Diracova funkcija, a ne prethodno spomenut uski impulse. Transformacija je

c) Konstanta

Transformacija je

72 Ozren Bilan

14.9.2013.

13

(d) Kauzalna eksponencijala

To je funkcija

x(t) = e–at , t 0

0 , t < 0

Transformacija je

X(F) =

Pa je magnitudni spektar = = )(FXFja 2

1

22 2 Fa

1

73 Ozren Bilan

(e) Jedinični step

Transformacija i magnitudni spektar su

74 Ozren Bilan

(f) Kosinus i sinus

cosinus Acos2F0t ima Fourierovu transformaciju

Napišemo li ga u obliku AcosΩ0t transformacija je

Slično, transformacija sinusne funkcije sin2F0t i su

)(2

)(2

)( 00 FFA

jFFA

jfX

0 0x(Ω)=jπδ(Ω-Ω )+jπδ(Ω-Ω )

t0sin

75 Ozren Bilan

Fourierova transformacija u diskretnom vremenu DTFT

• DTFT je Fourierova transformacija za vremenski diskretne signale • DTFT zahtjeva konačni kauzalni signal pri proračunu, pa točnost ovisi o broju

uzoraka N • DTFT je kontinuirana kompleksna funkcija Ω • Proračun DTFT zahtjeva N članova za diskretnu Ω. Dakle, ne ide bez računala. • Učinkoviti proračun DTFT predstavlja vrlo važan problem u DSP (FFT ili brza

Furierova transformacija)

1

0

( ) [ ] [ ] N

j n j n

n n

X x n e x n e

2 s

f

f

76 Ozren Bilan

Primjer x[n] = [1,-1,1,-1]

Zadan je signal x[n] = [1,-1,1,-1]

Izračunaj DTFT signala na digitalnim frekvencijama π i π/2.

Ω = π:

Ω = π/2

1 3 3 3

0 0 0 0

( ) [ ] [ ] [ ] cos( ) sin( ) [ ]cos( )

(1)(1) ( 1)( 1) (1)(1) ( 1)( 1)

4

Nj n j n

n n n n

X x n e x n e x n n j n x n n

1 3 3/ 2

0 0 0

( ) [ ] [ ] [ ] cos( ) sin( )2 2

3 3(1)[cos(0) sin(0)] ( 1)[cos( ) sin( )] (1)[cos( ) sin( )] ( 1)[cos sin( )]

2 2 2 2

(1)(1) ( 1)( ) (1)( 1) ( 1)( )

0

Nj n j n

n n n

X x n e x n e x n n j n

j j j j

j j

77 Ozren Bilan

Primjer: kratki sinus na 3 frekvencije

n=0:7; omega1=pi/2; x=cos(omega1*n); stem(n,x, 'filled'), title('8 uzoraka sinusoide frekvencije pi/2') xlabel('Index, n') omega=[0,pi/2,pi]; % 3 vrijednosti Ω X=[0,0,0]; % inicijalizacija vektora X for k=1:3 % za svaku vrijednost omega for m=1:8 % za svaku vrijednost signala % računamo DTFT sumiranjem za k-tu vrijednost Ω X(k)=X(k)+x(m)*exp(-j*omega(k)*(m-1)); end end figure,plot(omega/pi,abs(X));grid title('Tri točke DTFT') ylabel('Magnituda DTFT') xlabel('Digitalna frekvencije izražena u pi')

78 Ozren Bilan

14.9.2013.

14

Primjer: DTFT kratki sinus na 512 frekvencija i DTFT dugi sinus na 512 frekvencija

dtft_demo(x,0,pi,512);

% funkcija

grid;

n=0:99; % kreiramo signal od 100 uzoraka

omega1=pi/2;

x=cos(omega1*n);

dtft_demo(x,0,pi,512);

grid;

title('DTFT sinusoide s omega = pi/2, N = 100 uzoraka')

79 Ozren Bilan

Svojstva DTFT: linearnost

Pretpostavimo y[n] = x1[n] + x2[n]

1 2

1 2

1 2

( ) [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]

( ) ( )

j n j n

n n

j n j n

n n

Y y n e x n x n e

x n e x n e

X X

DTFT linearne kombinacije signala je linearna kombinacija DTFT individualnih signala.

80 Ozren Bilan

Svojstva DTFT: periodičnost

( ) [ ] j n

n

X x n e

( 2 )

2

2

( 2 ) [ ]

[ ]

cos(2 ) sin(2 ) 1

( 2 ) [ ] ( )

j k n

n

j n j kn

n

j kn

j n

n

X k x n e

x n e e

but

e kn j kn

so

X k x n e X

DTFT je periodična u Ω frekvencijskom području s periodom 2π

81 Ozren Bilan

Zato jer je

vrijedi

Svojstva DTFT: vremensko kašnjenje

Neka je DTFT signala x[n] jednaka X(Ω), a DTFT signala x[n-k] jednaka Xk(Ω)

( )

( ) [ ]

:

,

( ) [ ]

[ ] ( )

j n

k

n

j m k

k

m k

jm jk jk

m

X x n k e

let

m n k

n m k

then

X x m e

x m e e e X

DTFT signala koji kasni k uzoraka je e -jkΩ puta DTFT signala koji ne kasni

82 Ozren Bilan

Neka je

Onda vrijedi:

Repliciranje sadržaja spektra u frekvencijskom području (periodičnost DTFT)

[asig,tt]=analog([50,200,350,450],[1,0.75,0.4,0.3],500,36000);

d1000=sample(tt,asig,1000);

d2000=sample(tt,asig,2000);

d3000=sample(tt,asig,3000);

dtft_demof(d1000,-500,500,512,1000);

grid;

figure,subplot(3,1,1),

dtft_demof(d1000,0,9000,16*512,1000);

grid;

title('Fs = 1000 Hz')

subplot(3,1,2),

dtft_demof(d2000,0,9000,16*512,2000);

grid;

title('Fs = 2000 Hz')

subplot(3,1,3),

dtft_demof(d3000,0,9000,16*512,3000);

grid;

title('Fs = 3000 Hz')

83 Ozren Bilan

Izvorni spektar i kopije na cjelobrojnim višekratnicima frekvencije sempliranja

spektar signala s četiri komponente 40, 100,

150 i 200 Hz sempliran s 1kHz, 2kHz i 3kHz

Učinak dužine signala i vremenskog otvora na frekvencijsku rezoluciju

N1=0:9; N2=0:19; N3=0:39; omega=pi/2; x1=cos(omega*N1); x2=cos(omega*N2); x3=cos(omega*N3); [X1,f]=dtft_demo(x1,0,pi,512); [X2,f]=dtft_demo(x2,0,pi,512);

[X3,f]=dtft_demo(x3,0,pi,512);

subplot(3,1,1),

plot(f/pi,(abs(X1)/max(abs(X1)))),

title('DTFT - N=10')

subplot(3,1,2),

plot(f/pi,(abs(X2)/max(abs(X2)))),

title('DTFT - N=20')

subplot(3,1,3),

plot(f/pi,(abs(X3)/max(abs(X3)))),

title('DTFT - N=40')

xlabel('X os frekvencija u Pi radijana')

Podvostručenje dužine signala dvostruko smanjuje širinu glavnog loba.

4

N

84 Ozren Bilan

14.9.2013.

15

Gibbsov učinak

Bududi da je razvoj u red beskonačan, u praksi moramo odbaciti više članove reda (više harmonike). Taj postupak ima eng. naziv truncation. Pri rekonstrukciji (sintezi) signala iz oblika bez viših harmonika ne dobivamo izvorni signal.

Mogude je pokazati da je Furierov razvoj u red optimalan. To znači da de srednji kvadrat greške (MSE) između originalnog signala i rekonstruiranog signala biti minimalan u odnosu na druge razvoje u red s istim brojem koeficijenata. Što se uzme više koeficijenata u obzir to de greška biti manja.

Međutim, interesantna je činjenica koja pokazuje da de uvijek postojati prebačaj i podbačaj signala pri naglim promjenama valnog oblika, pa čak i onda kada je broj harmonika vrlo visok. Pojavu nazivamo Gibbsov učinak. Kvadratnom valnom obliku prebačaj i podbačaj iznosi oko 9%.

prebačaj

podbačaj

85 Ozren Bilan

Na slici je usporedba originalnog kvadratnog valnog oblika i rekonstruiranog valnog oblika iz samo jedne po do 70 komponenata. Možemo zaključiti da je valovanje vidljivo čak onda i kada uzmemo u obzir vedi broj komponenata, što je najizraženije pri vrlo brzim promjenama valnog oblika. U stvarnosti Gibbsov učinak podrazumijeva: • valovanje, • prebačaj i • podbačaj.

Izvorni val rekonstruirani val

86 Ozren Bilan

Nastanak kvadratnog vala: Gibbsov učinak

-1

-0.5

0

0.5

1

-2 -1 0 1 2

0

1

2

Time

yN(t

)

N= 1

-2 -1 0 1 2

0

1

2

Time

yN(t

)

N= 3

-2 -1 0 1 2

0

1

2

Time

yN(t

)

N= 7

-2 -1 0 1 2

0

1

2

Time

yN(t

)

N= 19

-2 -1 0 1 2

0

1

2

Time

yN(t

)

N= 49

-2 -1 0 1 2

0

1

2

Time

yN(t

)

N= 70

Gibbsov učinak

Učinak dužine signala i vremenskog otvora Gibbsov učinak

U svim slučajevima primjena pravokutnog prozora koji naglo

odrezuje signal rezultira bočnim lobovima - Gibbsov učinak

87 Ozren Bilan

Učinak dužine signala i oblika prozor filtera u vremenskom području

x=analog(100,1,100,4000);

% sinusoida 100 Hz, trajanje 100 ms, Fs=4kHz

xw=x.*hamming(length(x))';

% Hamming vremenski otvor ili prozor

subplot(3,1,1), plot(x),

title('Sinusoida propuštena kroz pravokutni vremenski otvor, N=401')

subplot(3,1,2),

plot(hamming(length(x))),

title('Hamming vremenski otvor, N=401')

subplot(3,1,3),

plot(xw),

title('Sinusoida propuštena kroz Hamming vremenski otvor, N=401')

xlabel('x os – indeks uzorka')

Filter vremenskog otvora (prozor), u ovom slučaju Hamming, opdenito zaobljava naglo odrezivanje signala pri tome sačuva njegovu frekvencijsku karakteristiku

88 Ozren Bilan

Učinak dužine signala i oblika prozor filtera u frekvencijskom području

N=0:39; omega=pi/2; x=cos(omega*N); xw=x.*hamming(length(x))'; [X,f]=dtft_demo(x,0,pi,512); [XW,f]=dtft_demo(xw,0,pi,512);

subplot(2,1,1),plot(f/pi,abs(X)/max(abs(X))); title('DTFT signala propuštenog kroz pravokutni vremenski otvor, N=40'); subplot(2,1,2),plot(f/pi,abs(XW)/max(abs(XW))); title('DTFT signala propuštenog kroz Hamming vremenski otvor, N=40'); xlabel('x os – frekvencija u pi radijana')

Hammingov prozor potiskuje bočne lobove ali slabi rezoluciju glavnog loba.

4

2

r

N

r

89 Ozren Bilan

Učinak dužine signala i vremenskog otvora Hamming i Blackman

xb=x.*blackman(length(x))'; [XB,f]=dtft_demo(xb,0,pi,512); subplot(2,1,1),plot(f/pi,20*log10(abs(XW)/max(abs(XW)))) title('Hamming')

axis([0,1,-100,0]) subplot(2,1,2),plot(f/pi,20*log10(abs(XB)/max(abs(XB)))) title('Blackman')

1. Blackman prozor još više potiskuje bočne lobove ali…

2. Blackman prozor slabi rezoluciju još više, r = 2.6

90 Ozren Bilan

14.9.2013.

16

Učinak dužine signala i vremenskog otvora: usporedba različitih prozora

subplot(3,1,1), plot(f/pi,20*log10(abs(X)/max(abs(X)))) axis([0,1,-100,0]) subplot(3,1,2), plot(f/pi,20*log10(abs(XW)/max(abs(XW))

)) axis([0,1,-100,0]) subplot(3,1,3), plot(f/pi,20*log10(abs(XB)/max(abs(XB))))

Pravokutni

Hamming

Blackman

91 Ozren Bilan

Spektralna analiza

( ) sin(2 2000 ) .0032sin(2 2500 ) sin(2 3000 ) s t t t t

2 2 4

2

s s

s

f rf

f f N

or

rff

N

Problem: Koliki je minimalni broj uzoraka za dovoljnu rezoluciju spektralnih komponenti signala s(t)? Podrazumijevamo frekvenciju sempliranja 10 kHz.

Spektralne komponente 2000 i 3000 Hz, podijeljene su s komponentom 2500 Hz koja je 50 dB slabije od preostale dvije komponente.

Željena rezolucija je po izboru 300 Hz.

Odgovor: Za potiskivanje bočnih lobova više od 50 dB potreban je Blackmanov prozor.

2 (2)(2.6)(10000)173

300

srfN

f

92 Ozren Bilan

ili

20 log 0.0032= -49.89 dB

Analiza spektra - značaj primjene točnog vremenskog otvora

x=analog([2000 2500 3000],[1 .0032 1],17.3,10000); xh=x.*hamming(length(x))'; % propuštamo signal kroz Hamming prozor xb=x.*blackman(length(x))'; % propuštamo signal kroz Blackman prozor [Xh,f]=dtft_demof(xh,0,5000,512,10000); % DTFT Hamming signala [Xb,f]=dtft_demof(xb,0,5000,512,10000); % DTFT Blackman signala subplot(2,1,1),plot(f,20*log10(abs(Xh)/max(abs(Xh)))), axis([0 5000 -80 0]) title('DTFT - Hamming prozor') subplot(2,1,2),plot(f,20*log10(abs(Xb)/max(abs(Xb)))), axis([0 5000 -80 0]) title('DTFT - Blackman prozor') xlabel('Hz')

Hamming prozor ne potiskuje bočne lobove dovoljno za potrebnu rezoluciju

slabe komponente signala pri točno potrebnoj relativnoj amplitudi -50 dB. Potrebnu rezoluciju omogudava Blackman prozor

93 Ozren Bilan

20 log 0.0032= -49.89 dB

Diskretna Fourierova transformacija (DFT)

• DFT predstavlja diskretnu transformaciju X[k] digitalnog signala

• Dužina DFT jednaka je dužini signala

• DFT uvijek je određena u intervalu Ω = [0,2π]

• DFT predstavlja uzorak DTFT od signala x[n] u intervalu [0,2π].

1 2

0

[ ] [ ]

0,1,2,... 1

kN j nN

n

X k x n e

k N

94 Ozren Bilan

Diskretna Fourierova transformacija (DFT)

n1=0:10;

n2=0:40;

f=pi/4;

y1=cos(f*n1);

y2=cos(f*n2);

subplot(2,1,1),

stem(n1,y1, 'filled');

title('kratki signal, y1'),

xlabel('uzorak')

subplot(2,1,2),

stem(n2,y2, 'r', 'filled');

title('dugi signal, y2'),

xlabel('uzorak')

[X1,omega1]=dft_demo(y1);

[X2,omega2]=dft_demo(y2);

subplot(2,1,1),

stem(omega1/pi,abs(X1), 'filled');

title('DFT signala y1')

subplot(2,1,2),

stem(omega2/pi,abs(X2), 'r', 'filled');

title('DFT signala y2')

xlabel('digitalna frekvencija izražena u pi')

95 Ozren Bilan

Diskretna Fourierova transformacija (DFT)

[X1_dtft,omega_dtft]=dtft_demo(y1,0,2*pi,512);

plot(omega_dtft/pi,abs(X1_dtft))

grid;

hold

stem(omega1/pi,abs(X1), ‘r')

legend('DTFT x1','DFT x1')

title(‘Usporedba DTFT i DFT signala x1')

hold off

DFT signala je uzorak DTFT u intervalu [0,2π]

96 Ozren Bilan

14.9.2013.

17

Inverzne transformacije DTFT i DFT

2

1[ ] ( )

2

where

( ) [ ]

jn

j n

n

x n X e d

X x n e

1 2

0

1 2

0

1[ ] [ ]

0,1,... 1

where

[ ] [ ]

kN j nN

k

kN j nN

n

x n X k eN

n N

X k x n e

Inverzna DTFT Inverzna DFT

97 Ozren Bilan

gdje je

gdje je

Energija i snaga signala

Analogni signali, npr. pojačala, fizički prenose energiju do zvučnika, kako bi se izvršio koristan rad. Digitalni signali nose samo informaciju, a ne prenose energiju. Digitalni signali predstavljeni su samo brojevima koji predstavljaju analogni signal. Sinusni napon amplitude A, napona Uef, disipira snagu na poznatoj impedanciji prema relaciji: Snaga je proporcionalna kvadratu efektivnog napona, a potrošena energija je umnožak snage i vremena. U analogiji s prethodnim izrazom, možemo odrediti snagu digitalnog signala kao srednji kvadrat vrijednosti signala: Bududi da broj uzoraka N, određuje prozor ili vremenski otvor t=NTs, mogude je odrediti energiju digitalnog signala: Realni signali moraju poštivati zakon sačuvanja energije. Zbog toga signal u vremenskom području mora imati istu energiju kao signal u frekvencijskom području. Digitalni signali moraju imati istu energiju u oba područja. U jednadžbi lijeva strana je u vremenskom području, a desna u frekvencijskom. Rezultat je Parsevalov teorem. Digitalnom signalu energija je ista u vremenskom i frekvencijskom području. Teorem sačuvanja energije implicira da energija digitalnog signala ne smije ovisiti o frekvenciji sempliranja fs.

Ozren Bilan 98

12

0

| [ ] | N

n

E x n

2 2 1

2

rmsV AP

R R

12

0

1| [ ] |

N

n

P x nN

1 12 * 2

0 0

1 1 1| [ ] | [ ] [ ] | ( ) |

2

N N

N

n n

P x n x n x n X dN N N

Proračun snage i energije signala

Izračunaj snagu signala:

Snaga analognog signala:

22/2+12/2 +0.52/2=2.625

Izračunaj snagu digitalnog signala:

• Na dvije različite frekvencije sempliranja 1 kHz i 2kHz

• U vremenskom području (efektivna vrijednost)

• U frekvencijskom području integriranjem DTFT

( ) 2sin(2 100 ) sin(2 200 ) 0.5sin(2 300 )s t t t t

99 Ozren Bilan

Proračun snage i energije signala

% Konstruiramo pseudoanalogni signal od tri komponente % pa sempliramo na dvije različite Fs [s,t]=analog([100,200,300],[2,1,.5],1000,50000); d1000=sample(t,s,1000); d2000=sample(t,s,2000); % snaga u vremenskom području na Fs1 i Fs2 fprintf('snaga u vremenskom području na Fs1 i Fs2'); [mean(d1000.^2),mean(d2000.^2)] % snaga u frekvencijskom području: fprintf('snaga u frekvencijskom području na Fs1 i Fs2'); [sig_power(d1000), sig_power(d2000)] snaga u vremenskom području na Fs1 i Fs2 ans = 2.6224 2.6237 (Ukupna snaga ne ovisi o Fs) snaga u frekvencijskom području na Fs1 i Fs2 Power = 2.6224 Power = 2.6237 (Snaga u frekvencijskom području jednaka je snazi u vremenskom)

100 Ozren Bilan

Frekvencijski odziv

Frekvencijski odziv LTI sustava dobije se računanjem DTFT jednadžbe diferencija primjenom svojstva linearnosti i kašnjenja.

0 0

[ ] [ ]N M

k k

k k

a y n k b x n k

2

0 1 2

2

0 1 2

0

0

( )( )

( )

( )

j j jM

M

j j jN

N

Mjk

k

k

Njk

k

k

b b e b e b eYH

X a a e a e a e

b e

H

a e

H(Ω) je vrijednost prijenosne funkcije H(z) na jediničnoj kružnici z=e jΩ

101 Ozren Bilan

Zaključci za signal u frekvencijskom području 1. Diskretni vremenski promjenjivi signal u frekvencijskom području dobijemo računanjem njegove

diskretne vremenske Fourierove transformacije DTFT – to je FT za vremenski diskretne signale

2. DTFT zahtjeva konačni kauzalni signal pri proračunu, pa točnost ovisi o broju uzoraka N

3. DTFT je kontinuirana kompleksna funkcija Ω 4. Proračun DTFT zahtjeva N članova za diskretnu Ω; ne ide bez računala. 5. Najvažnija svojstva DTFT su linearnost, periodičnost i svojstvo kašnjenja. 6. Primjena DTFT pri analizi spektra zahtjeva procjenu dužine signala (rezolucije) i funkcije prozora za

potiskivanje Gibbsovog učinka.

7. DFT je diskretna transformacija X[k] digitalnog signala, za razliku od kontinuirane transformacije X(Ω). Dužina DFT jednaka se dužini signala, pri čemu je DFT signala uzorak DTFT u intervalu [Ω = 0,2π]:

8. Parsevalov teorem sačuvanja energije pokazuje da je snaga signala ista u vremenskom i frekvencijskom području:

9. Ukupna snaga signala ne ovisi o frekvenciji sempliranja 10. Gustoda snage signala obrnuto je proporcionalna frekvenciji sempliranja

11. Frekvencijski odziv LTI DSP sustava je vrijednost prijenosne funkcije na jediničnoj kružnici u kompleksnoj ravnini, interpretiramo li kut u kompleksnoj ravnini kao digitalnu frekvenciju Ω.

102/102 Ozren Bilan

1

0

( ) [ ] [ ] N

j n j n

n n

X x n e x n e

2 s

f

f

2

0 1 2

2

0 1 2

0

0

( )( )

( )

( )

j j jM

M

j j jN

N

Mjk

k

k

Njk

k

k

b b e b e b eYH

X a a e a e a e

b e

H

a e

dFFXdttxE

22)()(

2| ( ) |( )

s

X fp f

Nf

1 2

0

[ ] [ ]

0,1,2,... 1

kN j nN

n

X k x n e

k N