DIFFERENCIÁLEGYENLETEK ALKALMAZÁSA

ERŐMŰVEZÉRLŐ MODELLEZÉSBEN

SZAKDOLGOZAT

Írta: Magyar Róbert

Alkalmazott Matematikus Szak

Témavezető:

Simon L. Péter

egyetemi docens

Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék

Eötvös Loránd Tudományegyetem

Természettudományi Kar

2013

2

I. Tartalom

I. Tartalom .......................................................................................................................................... 2

II. Köszönetnyilvánítás ......................................................................................................................... 3

III. Bevezetés ......................................................................................................................................... 4

IV. A Laplace - transzformáció .............................................................................................................. 5

Fontosabb alkalmazási szabályok (műveletek)........................................................................... 6

V. Késleltetett differenciáegyenletek ................................................................................................ 11

Példák késleltetett differenciálegyenlet típusokra ................................................................... 11

A késleltetett differenciálegyenletek megoldása ..................................................................... 12

VI. Erőművektől a Gőzkazánokig ......................................................................................................... 13

VII. PID - Szabályzó ............................................................................................................................... 14

Matematikai leírás .................................................................................................................... 14

A D csatorna szűrése ................................................................................................................ 15

VIII. Gyűjtősínes fűtőerőmű-típus modellje .......................................................................................... 16

A kazánok teljesítményének szabályozása ............................................................................... 17

PID szabályzó csatornái és jelölések ......................................................................................... 17

Jelfeldolgozó (Process) ............................................................................................................. 19

IX. A differenciálegyenlet-rendszer kezelése ...................................................................................... 21

Az egyenletek összevonása ...................................................................................................... 21

Az egyenlet megoldása ............................................................................................................. 22

Megoldás Laplace Transzformációval ....................................................................................... 23

A megoldás hiányosságai .......................................................................................................... 27

Megoldás a lépések módszerével ............................................................................................. 28

A megoldások összehasonlítása ............................................................................................... 31

X. Megoldások vizsgálata ................................................................................................................... 33

A fejezet összegzése ................................................................................................................. 40

XI. Melléklet ........................................................................................................................................ 41

A Differenciálegyenlet kezelésére írt MAPLE program. ........................................................... 41

XII. Ábra- és Forrásjegyzékek ............................................................................................................... 43

Ábrajegyzék .............................................................................................................................. 43

Forrásjegyzék ............................................................................................................................ 43

3

II. Köszönetnyilvánítás

Ezúton szeretném megragadni az alkalmat, hogy köszönetemet nyilvánítsam

minden kedves barátomnak és ismerősömnek, akik támogattak munkám során.

Elsősorban konzulensemnek, Simon L. Péternek szeretném megköszönni a

lehetőséget az együttműködésre, illetve a türelmet és támogatást, mely átsegített a

holtpontokon.

Ugyancsak kiemelt köszönet illeti Dr. Nagy Dezső villamosmérnök professzort, aki

időt nem sajnálva mutatta be, a dolgozatom fő témájául szolgáló gyűjtősínes fűtőerőmű

modelljét.

Köszönettel tartozom továbbá mindenkinek, aki bármilyen segítséggel hozzájárult

szakdolgozatomhoz, függetlenül attól, hogy a konzultációk, levélváltások során kapott

eredmények bekerültek-e a dolgozatba vagy sem, kiemelve: Dobos István, Nagy-Kalmár

Tamás, Garay Barnabás, Tóth János, Magyar Béla, Valkó Éva, Lestyán Szilvia.

4

III. Bevezetés

Szakdolgozatomban differenciálegyenletek egy ipari alkalmazását kívánom

bemutatni. A modell ismertetése közben igyekszem magyarázatot adni a benne található

differenciálegyenletek mérnöki jelentéseire és kísérletet teszek azok megoldására, majd

vizsgálom a kapott eredményeket.

Lineáris rendszerek szabályozásánál gyakran alkalmazott, párhuzamos

kompenzáción alapuló szabályzótípus az úgynevezett PID - szabályzó. A PID rövidítés a

szabályzó elvére utal, a szabályzó által kiadott végrehajtójel a hibajellel (P), annak

integráljával (I), valamint a hibajel változási sebességével, deriváltjával (D) arányos

tagokból adódik össze. Egy magyarországi energetikai cégnél mutatták be a

fűtőerőművek egy osztályának modelljét, melynek vezérlő rendszerében fontos szerepet

kap az említett szabályzó. Szakdolgozatom egyik fő témája, e modell leírása. A fűtőerőmű

kazánjának vezérlőegységében, a porlasztott olaj begyulladásának holtideje miatt,

úgynevezett késleltetett differenciálegyenlettel (Delay Differential Equation) találjuk

szembe magunkat.

Az egyenletet a lépések módszerével (method of steps), valamint Laplace

transzformációval oldom meg. Utóbbival az egyenlet kezelhetetlen lenne, ezért

geometriai sorfejtést alkalmaztam, a inverz transzformációt pedig az összegben

tagonként hajtottam végre. A megoldás során arra az érdekességre lettem figyelmes,

hogy az n. időszakaszig a megoldást kizárólag a sorösszeg első n tagja határozza meg, a

későbbiek nem játszanak szerepet és, hogy a szakaszonkénti rekurzió mennyire

egybecseng a Lépések módszerével történő megoldási sémával.

Mivel a bemutatott rendszer legjellemezőbb bemeneti függvénye, az úgynevezett

ugrás függvény, ezért azt a PID szabályzó deriváló része nehezen tudja kezelni,

amennyiben Laplace transzformáltat alkalmazunk, így megoldások között vizsgálom az

úgynevezett Szűrt Differenciáló Csatorna által módosított megoldásokat is. Ezen

vizsgálatot a MAPLE általi, saját kezűleg írt program segítségével teszem. Érdekes

észrevétel volt, hogy a Laplace transzformációból adódó rekurziót mennyivel

könnyebben tudta kezelni a program. Dolgozatom végén az egyenlethez tartozó

paraméterek változtatásával mutatok be példákat a rendszer elméleti viselkedésére.

5

IV. A Laplace - transzformáció

LAPLACE (francia matematikus, 1749-1827) javaslata alapján a függvények

konvergenciára kényszeríthetők, ha azokat a t esetén erősen nullához tartó te

függvénnyel szorozzuk ( > 0), és vizsgálatunkat csupán t 0 időtartományra

terjesztjük ki, vagy feltételezzük, hogy idő függvényünk:

0tf , a t< 0 tartományban.

Ekkor f(t) függvény Laplace-transzformáltján a következő összefüggést értjük:

tfdtetfsF st £

0

Ha valamely F(s) transzformált függvény adott, a hozzá tartozó időfüggvény a

következő inverz transzformációs összefüggéssel határozható meg:

0,0

0,£2

1 1-

t

tsFdsesFjtf

j

j

st

ahol 1£ - az inverz Laplace-transzformáció.

Az egységugrás Laplace transzformáltja

f(t)=1(t)

sss

edtetsF

stst 11

01t1£

00

miután feltétel volt, hogy Re{s}= > 0.

1

t

6

Az exponenciális függvény Laplace transzformáltja

Az Tt

etf

időfüggvény Laplace transzformáltja:

00

1

0

1

11

1

1 sT

T

Ts

Ts

edtedteesF

tT

st

TsstT

t

,

tehát az exponenciális függvénynek is algebrai függvény felel meg!

Hasonlóképpen járunk el bonyolultabb függvények esetében is, ami gyakran

jelentős munkát igényelhet.

Fontosabb alkalmazási szabályok (műveletek)

A Laplace transzformáció tehát az f(t) valós változójú függvényhez a

transzformációs összefüggés szerint az s komplex változójú függvényt rendeli.

LINEARITÁSI szabály

Adott f(t), amelynek Laplace transzformáltja £{f(t)}=F(s)

akkor £{K·f(t)}=K·£{f(t)}=K·F(s).

Adott f1(t), f2(t), amelyeknek Laplace transzformáltjai F1(s), F2(s)

akkor £{f1(t)+f2(t)}= £{f1(t)}+ £ {f2(t)}=F1(s)+F2(s).

Mindkét törvényszerűség azzal igazolható, hogy a Laplace transzformáció tulaj-

donképpen határozott integrál.

ELTOLÁSI szabály

Adott f(t), amelynek Laplace transzformáltja £{f(t)}=F(s), ekkor f(t-) esetén a

Laplace-transzformáció eredménye:

7

t

f(t) f(t-)

Legyen t-=z, ekkor t=z+, amiből dt=dz következik.

sFedzezfe

dzeezfdzezfdtetftf

szss

szsszst

0

000

£

HASONLÓSÁGI szabály

Adott f(t), amelynek Laplace transzformáltja £{f(t)}=F(s), ekkor f(a·t) esetén a

Laplace-transzformáció eredménye:

Legyen at=z, ekkor dza

dta

zt

1, és .

a

sF

adzezf

adz

aezfdtetaftaf

zsst as

az 111

£

000

DIFFERENCIÁLÁS időtartományban

Adott f(t), amelynek deriváltja tftfdt

d , és £{f(t)}=F(s). Ennek

Laplace-transzformáltja:

sFsfdtestfetfdtetftf ststst

00£

0

0

0

Első lépésként, a már bemutatott, parciális integrálás került alkalmazásra a

következő helyettesítéssel: stst esutfveutfv ,,és, . Mivel

létezik f(t) Laplace-transzformáltja, ezért 0 sef . Az integrálból -s kiemelhető,

ami marad az pedig f(t) Laplace-transzformáltja.

8

Általánosan: 0...00£ 121

nnnn

n

n

ffsfssFstfdt

d.

Általában a kezdeti feltételeket 0-nak választjuk, így csak snF(s) marad.

Késleltetett függvény differenciálása

Adott f(t), amelynek deriváltja tftfdt

d , és £{f(t)}=F(s). Ekkor tf

Laplace-transzformáltja:

sFesf

dtestfetfdtetftf

s

ststst

0

£0

0

0

Itt is a parciális integrálás került alkalmazásra a következő helyettesítéssel:

stst esutfveutfv ,,, és . Mivel létezik f(t) Laplace-transz-

formáltja, és ismerjük az eltolt függvény Laplace-transzformáltját is ezért 0 sef

Az integrálból -s kiemelhető, ami marad az pedig f t Laplace-transzformáltja.

INTEGRÁLÁS időtartományban

Adott f(t), amelynek létezik a primitív függvénye, és £ {f(t)}=F(s).

Az időtartománybeli integrál Laplace-transzformáltja:

sFs

dtetfs

es

ddtedd ststt

stt

100

11£

0000 0

fff

t

0

(1)

A feladatot parciális integrálással oldottuk meg, a következő helyettesítéseket

alkalmazva:

t

dfu

0

, stev . A kapott eredmény általánosítható, akkor sFsn

1

lesz az eredmény.

9

Késleltetett függvény integrálása

Adott f(t), amelynek létezik a primitív függvénye, és £ {f(t)}=F(s). Ekkor T-t

0

f d

Laplace transzformáltja:

0

0

0000 0

11110

11£

T

sT

T

stst

Tt

st

Tt

ds

sFs

esFs

ds

dteTtfs

es

ddtedd

ff

fffT-t

0

Felhasználtuk az előző részben látott parciális integrálás módszerét, tovább egy

lineáris helyettesítést alkalmaztunk az integrál függvény esetén.

10

Néhány függvény Laplace-transzformáltja 1. sz.táblázat

Sorszám Időfüggvény Laplace-transzformált

1 F(t) t > 0 F(s)

2 (t) 1

3 (t-) se

4 1(t)

s

1

5 1(t-)

ses

1

6 t 2

1

s

7 tae

sa

1

8 Tt

eT

1

Ts1

1

9 Tt

e

1 Tss 1

1

10 Tt

teT

2

1

21

1

Ts

11

21

21

1 Tt

Tt

eeTT

sTsT 21 11

1

12 !n

t n

1

1ns

13 tsin

22

s

14 tcos

22 s

s

15

T

t

Tsh

1

221

1

sT

16 Tt

etTT

3

1

21 Ts

s

17

1T

teT T

t

Tss 1

12

18 Tt

et

tT 1

21

1

Tss

11

V. Késleltetett differenciáegyenletek

A differenciálegyenletek osztályába tartoznak az úgynevezett késleltetett

differenciálegyenletek (Delay Differential Equations), amelyekben az ismeretlen

függvény és annak deriváltjai mellett, szerepel annak egy múltbeli időszakban már

ismert megoldása.

Ha ( ) é : , akkor a Késleltetett (avagy Időben Eltolt)

Differenciálegyenletek általános alakja:

d

dx ( ) ( , ( ), ),

ahol

( ), 0

Példák késleltetett differenciálegyenlet típusokra

Kontinuitási Egyenlet

d

dx ( ) ( , ( ), ∫ ( )

( )),

Diszkrét eltolás

d

dx ( ) ( , ( ), ( ), , ( ))

Lineáris Diszkrét Eltolás

d

dx ( ) ( ( ) ( ) ( )),

12

A késleltetett differenciálegyenletek megoldása

A megoldási módszerek közül a leggyakrabban alkalmazott eljárás az úgynevezett

Lépések Módszere (Method of Steps). Tegyük fel, hogy az egyenlet csak időbeni eltolást

tartalmaz

d

dx ( ) ( ( ), ( ))

Kezdeti feltételként adott továbbá ( ): [ , 0] , azaz ( ) ( ), ha

[ , 0]. Ekkor az egyenlet megoldását a [0, ] intervallumon jelölje ( ). Ekkor ( )

teljesíti a következőt:

d

dx ( ) ( ( ), ( )), (0) (0).

Az eljárást rekurzívan folytathatjuk a [ , 2 ], [2 , ], szakaszokon, hiszen előtte

ismerjük a megoldást.

5.1 Megjegyzés: A fenti eljárással a késleltetett differenciálegyenletek megoldása

rekurzív úton kapható, a kezdeti értékek helyes megválasztásával folytonossá tehető!

Erre mutatok be példát a IX. fejezetben, a Megoldás a Lépések Módszerével résznél.

13

VI. Erőművektől a Gőzkazánokig

A villamos energiát előállító erőművek családjába tartozik a hőerőmű. Nevét, mint

bármelytípusú erőmű az alapján kapta, hogy mely típusú energiából állít elő

elektromosságot. Hőerőművekben jellemzően szén, vagy olaj tüzelőanyaggal fűtött

gőzkazánok által termelt gőz egy turbinát, rajta keresztül pedig villamos generátort hajt

meg, és így szolgáltat villamos energiát. Az ilyen erőműveket általában nagy

teljesítményekre építik és többnyire állandó üzem tartására tervezik.

A fűtőerőművek azon speciális hőerőművek osztályába tartoznak, melyek a

villamos energiatermelés mellett biztosítják a hőenergia egyéb célú felhasználását is, pl.

távfűtő rendszerek működtetését. A hazai fűtőerőművek több, kisebb teljesítményű

fűtőblokkokkal (gőzkazánokkal) üzemelnek, ezeket blokkokra osztják. Egy blokk

minden fontos berendezésből egyet tartalmaz, úgy, hogy egy blokk önállóan is képes

energiatermelésre.

A hőkiadás üzembiztonsága és gazdaságossága érdekében a blokk kapcsolások

módosulnak a rendszer adta előnyök kihasználásával, az ún. gyűjtősínes kapcsolás

eredményeként. A gyűjtősínes rendszerekben a kazánok a friss gőzvezeték segítségével

vannak összekötve, melyek feladata, hogy nagytisztaságú, magasnyomású és hőmérsékletű

gőzt szolgáltassanak. A kiáramló hőmennyiség mérési értékei a bemeneti olaj mennyiséget

kell, hogy vezéreljék.

Többek között egy ilyen rendszerhez tartozó modell, és a hozzá tartozó vezérlőrendszer

leírása lesz tárgya a következő fejezeteknek.

1. ábra Hőerőmű

14

VII. PID - Szabályzó

A PID (Proporcionális Integráló Deriváló) a napjainkban legelterjedtebb irányítási

algoritmusipari szabályozókörökben. Képes reagálni az aktuális szabályozási hibára, a

múltbeli hibára illetve a jövőbeli hibára. A múltbeli hibát a hiba integráljával, a jövőbeli

hibát a hiba deriváltjával jellemzi. Ennek megfelelően a hibát három csatornán keresztül

módosítja: proporcionális, integráló és deriváló csatornán. A PID népszerűségét annak

köszönheti, hogy viszonylag egyszerű struktúrája ellenére is az ipari alkalmazások

zömében az előírt szabályozási követelményeket nagy megbízhatósággal képes

teljesíteni. Az algoritmus a folyamat kimenete és az alapjel különbségének függvényében

számítja ki a beavatkozó jelet.

PID szabályzót minden olyan hőmennyiség szabályozási követelmény esetén

alkalmaznak, amely mérhető és melynek értékét a rendszer valamely bemeneti

mennyiséggel befolyásolni lehet.

2. ábra PID – szabályozó

Matematikai leírás

A PID szabályozó bemenetét ( )-vel, kimenetét e( )-vel jelölve azt várjuk el a

szabályozótól, hogy

( ) ( ( ) 1

∫

( ) ( )

)

15

alakú kimenetet állítson elő, ahol az arányos tag súlyát, az integráló tag és a

differenciáló tag súlyát adja meg. Mint lineáris rendszer, a PID szabályozó viselkedése is

jól kezelhető Laplace transzformálttal. Ha ( ) Laplace transzformáltja ( ), akkor a PID

szabályozót a következő alakban tudjuk kezelni:

( ) ( ( ) 1

1

( ) ( ))

Ebben a formában a differenciáló tag valóban a hibajel deriváltjával arányos jelet

állítja elő, azonban ebben a tagban a számláló fokszáma nagyobb, mint a nevezőé. A hiba

ugrásszerű változása a deriváló csatornán végtelen nagy, nem megvalósítható beavatkozó jelhez

vezet. Ezért az ideális differenciáló tag helyett egy közelítő D-tagot szokás megvalósítani:

1

A D csatorna szűrése

A szűrt PID algoritmus akkor is jó eredményekkel alkalmazható, ha a folyamat

kimenete mérési zajokkal terhelt. A deriváló csatorna kimenetét még egy alul áteresztő

szűrővel is módosítjuk. Erre tipikusan elsőfokú, egységnyi erősítésű szűrőt

alkalmazhatunk. A deriváló csatorna módosítása:

1

A gyakorlat azt mutatja, hogy a szabályozó helyes működéséhez az értékét N=10

körül kell megválasztani.

A szakdolgozatomban bemutatott modellhez tartozó differenciálegyenleteket

vizsgálom Laplace Transzformációval és az említett szűrt D csatornának megfelelő

módosítással is.

16

VIII. Gyűjtősínes fűtőerőmű-típus modellje

A budapesti székhelyű GEA EGI Energiagazdálkodási Zártkörűen Működő

Részvénytársaság az ország egyik meghatározó energetikai vállalata fél évszázadot

meghaladó mérnök-fővállalkozói tapasztalattal. A cég a több mint ötven országban működő

GEA-csoport Hőcserélő Szegmenséhez tartozó Energetikai Üzletág egyik jelentős tagja.

GEA EGI két fő üzleti vállalkozási profilja az Erőművi és Ipari Hűtőrendszerek és az

Erőművi és Ipari Technológiák (Erőművi Segédrendszerek - Balance of Plant) megvalósítása.

Dr. Nagy Dezső a BME Villamos Mérnöki Karának oktatója (egyben a cég munkatársa),

mutatta be az alábbi gyűjtősínes fűtőerőmű egy igen erősen leegyszerűsített modelljét (1.

ábra).

3. ábra: Fűtőerőmű Csősémája

A fűtőműben két kazán dolgozik egy gyűjtősínre, melyek vízgőzt állítanak elő. A hő

teljesítményt tonna/órában: [

ó] mérik. Az előállított gőz egy gyűjtősínre kerül, melyről

hőelvétel történik. A modellben egy távfűtő felé dolgozó hőcserélő található. A fűtőgőz

áram átadja hőjét a csőfalakon keresztül a csövekben áramló visszamelegítendő fűtő

víznek, amely a távfűtő rendszer felé továbbítódik. Másrészről a Távfűtő hőcserélőben a

vízgőz lecsapódik és kondenzvízként távozik, melyet a megfelelő kezelés után a kazánok

számára visszajuttatásra kerül.

17

A kazánok teljesítményének szabályozása

A csősémában pirossal bekeretezett KAZÁN I., szabályzó rendszere látható a

következő, 4. sz. ábrán. A kettes kazán teljesítményének szabályozása ugyanígy történik.

4. ábra: Az első kazán hőteljesítmény-módosító rendszere

A két kazánhoz külön-külön egy-egy alapjel érkezik, melyek az adott kazán

szükséges gőzmennyiség (hő) teljesítményének nagyságát írják elő. Az alapjelet vagy

egy fölé rendelt gyűjtősín-nyomásszabályzó állítja elő automatikusan, vagy az adat

manuálisan is bevihető.

A hő teljesítményt szabályzó rendszer végén gőzmennyiség mérés történik. Az

alapjel és ennek a mért eredménynek a különbsége adja meg, hogy mennyivel kell a

kazán teljesítményét növelni, vagy csökkenteni.

A kazán energia termelése egy fűtőegység által van biztosítva. A fűtőegységben

porlasztott olajat égetnek, ez forralja a kazánban lévő vizet. A tüzelőolaj egy szelepen

keresztül jut be az olajégőbe, és a szelepállás módosításával lehet növelni, vagy

csökkenteni az olajmennyiséget és ezzel a gőztermelés mértékét.

PID szabályzó csatornái és jelölések

( ) A jelenlegi ( ( )), mint mért és a kívánt teljesítmény (C - mint alapjel)

különbsége, a szabályozási eltérés, [

ó]-ban megadva.

18

(1) ( ) ( )

( ) Tüzelőanyag teljesítmény (olaj szelepállás), %-ban megadva

Az jelet először az úgynevezett PID (Proporcionális Integráló Deriváló)

szabályzó dolgozza fel, előállítva y jelet:

(2) ( ) ( ( )

∫

( )

( )

)

A szabályzó beállítási paraméterei:

Szabályozáserősítési (arányossági) tényező.

Terhelés függő változó (pl.: koszosodik a kazán). 60% és 100% közötti kazán

teljesítmény esetén lehet rögzítettnek venni. Ha például K , akkor x (t) 1

ó

% kal kell növelni a szelepállást.

K értékére a teljes szakasz ismerete alapján adható javaslat a szabályzó üzembe

helyezésének idején. A paraméter egyenesen arányos a szakasz felfutási idejével és

fordítottan arányos a látszólagos holtidejével.

(A szabályozás hurokerősítése

)

Az integráló csatorna biztosítja, hogy amíg eltérés van (azaz x 0), addig mozgatja az

előbb említett szelepet. Annak érdekében, hogy ne rángassa örökké, ezért megadnak egy

holt sávot, amikor is a szelep nyugalmi állapotban marad.

T Integrálási idő

Ha egységnyi jel kerül megadásra az integráló csatorna bemenetnek, T másodperc

múlva jelenik meg a kimeneten egységnyi kimenőjel változás.

A deriváló csatorna szintén a szelepet mozgatja, de az csak a változásra reagál.

19

dt Mintavételezési idő

T Deriválási idő

A bemutatott rendszer fél másodpercenként mér értéket.

K, T , T , T , T paraméterek mindegyikét az üzembe helyezéskor mérik ki.

Jelfeldolgozó (Process)

A PID szabályzóból érkező jel a szelep állásért felel, mely a porlasztott olaj kazánba

jutásának mennyiségét hivatott szabályozni. Miután begyulladt az olaj, a szelepállásból

egy arányossági tényező segítségével számítjuk vissza a kazánunk energia

teljesítményét. A Process-ből kikerülő jelet vetjük össze majd ismét az alapjellel.

Holt idő és Felfutási idő

T A szakasz látszólagos holtideje

T A szakasz felfutási ideje

A PID csatornából kijövő jel adja az olaj begyújtása előtti jelet:

(3) ( ) ( )

:Meg kell gyulladni az elporlasztott olajnak, ennyivel később indul csak a

folyamat:

(4) ( ) ( )

A megfelelő üzemi hőfok elérését is meg kell várni. A gyakorlatban ezt egy

elsőrendű lineáris differenciálegyenlettel írják le.

(5) ( ) ( )

(6) ( ) ( ) ( )

20

( )az olaj szelep állása a t időpillanatban. ( ) a szelep állásának változása a t

időpillanatban, pedig a változás nagysága. Az (5) differenciálegyenlet jelentése: a

bejövő jel meghatározza a szelep jelenlegi állásának és a szükséges változás

nagyságának összegét.

Fűtőmennyiség és Gőzmennyiség átváltása

A fentiekben a tüzelési teljesítményt vizsgáltuk (az olaj általi fűtőrendszerét):

(7) ( ) ( )

(8) ( ) ( )

A: arányossági tényező, melyet ismételten mérésből lehet megkapni. A fűtő

teljesítmény, és az abból kapott gőzmennyiség arányát mondja meg, azaz az olajégést

szabályzó szelep nyílásához rendeli a kazán kibocsátott energia mennyiségét.

( ) megegyezik az első kazán által kibocsátott gőzmennyiség nagyságával.

Vegyük az ( ) és a C alapjel különbségét és megkapjuk ( )-et, vagyis visszakaptuk

(1) egyenletet.

21

IX. A differenciálegyenlet-rendszer kezelése

A rendszer nehézségét a holtidő miatt az időbeni elcsúszás jelenti. Az energetikai cégnél

a számításokat segédprogramokkal végzik. Az előbb bemutatott rendszer modellezéséhez és a

kapott eredmények kiértékeléséhez használják például a Simulink nevű programcsomagot,

mely a MATLAB egy alprogramja.

Az egyenletek összevonása

Az előző fejezetben bemutatásra került egy gyűjtősínes fűtőerőmű egyszerűsített

modellje egy differenciálegyenlet rendszerrel, ahol a megfelelő ( )és ( ) függvények

egy t időpillanatban a szelepállásokat illetve a rendszerhez tartozó szegmensek energia

mennyiséget írják le.

(1) ( ) ( )

(2) ( ) ( ( )

∫

( )

( )

)

(3) ( ) ( )

(4) ( ) ( )

(5) ( ) ( )

(6) ( ) ( ) ( )

(7) ( ) ( )

(8) ( ) ( )

Minden más, előre adott kimért, vagy rögzített együttható (C, K, TI, TD, TH, A).

22

2. számú táblázat

Együtthatók megengedett értékei

Az egyenletek összevonása után:

( )

( )

( )

( ( ) 1

∫

( )

( )

)

(9) ( )

( )

( ( )

∫

( )

( ))

Az egyenlet megoldása

A 9) feladatot egy konkrét példán keresztül oldom meg, ahol a paramétereket a

megengedett tartományból vettük:

K 1

T 1 100

T 1 100

T 1,1 100

T 0,4 100

A= 0,3

Együttható Jelentése Megengedett értéktartomány Métékegység

Szabályozáserősítési (arányossági) tényező. 0,1 - 100

Látszólagos holtidő 5 - 300 másodperc

Felfutási idő 5 - 300 másodperc

Deriválási idő 1 - 600 másodperc

Integrálási idő 1 - 600 másodperc

Arányossági tényező 0,1 - 20

Alapjel 50 - 1000 tonna / óra

23

C= 60

ó 10

Időegység: 100 s

(10) ( ) 10 ( ) ,

, ∫

( ) 0, ( 1) 0,12 ( 1)

Az 1) egyenletben a y4 az erőmű által a t időpillanatban termelt hőmennyiség nagyságát

fejezi ki, C pedig az alapjel, a kívánt mennyiség nagysága, x1 pedig a kettő különbsége a t

időpillanatban. Feltehető, hogy a kívánt mennyiség jóval hosszabb időszakaszon állandó, mint

a (4)-ben szereplő, látszólagos holtidő.

9.1 Megjegyzés: Ebből következik, hogy x1 a 0 szakaszon tekinthető az azonosan 0

függvénynek.

Megoldás Laplace Transzformációval

A IV. fejezetben bemutatott eredmények alapján készítsük el (9) Laplace

transzformáltját (az egyszerűség kedvéért T most TH –t jelöli!):

( )

( )

(

( ) ( ) ( ))

( )

1

1

( )

( ) (

1

1 )

( )

1

( )

( ) (

1

)

( ) 1

( )

( ) (

1

)

(11) ( )

(

)

9.2 Megjegyzés:

{∫

( ) }

( )

∫

( )

( ) (9.1) miatt

{ ( )} ( ) (0 ) ( ) (9.1) miatt

24

J (0) (0): A kívánt és a jelenlegi hőmennyiség különbsége.

Sajnos (11)-ből nem tudjuk inverz Laplace-transzformációval meghatározni az egyenlet

megoldását, ugyanis a nevezőben található exponenciális kifejezés nehézkessé teszi a

kifejezést. Vessük be az alábbi trükköt: emeljünk ki (11)-ből (

)

–t:

( ) (

)

1

1

(1

)

(

)

1

1

1

(1

)

1

A kapott szorzat bal oldali tényezőjének könnyű meghatározni az inverz Laplace-

transzformáltját, hiszen egy első és egy másodfokú polinom hányadosáról van szó. IV.

fejezetben található táblázat segítségével könnyen kikereshető a megoldás. A szorzat jobb

oldali tényezőjében szereplő tört nevezőjét alakítsuk át kicsit:

1

1

(1

1

)

1

1

1

(1

)

1

A kapott kifejezést vegyük, mint egy mértani sor összegfüggvénye, és írjuk fel a hozzá

tartozó végtelen sort:

1

1

(1

)

1

∑ (

(1

)

1

)

∑ (

(1

)

1

)

25

9.3 Megjegyzés: A summában lévő szorzat egyik tényezője két másodfokú polinom

hányadosának hatványai, a másik pedig egy alakú kifejezés. Az eltolási szabályt

figyelembe véve látható, hogy az inverz Laplace transzformáció során a summában lévő

tagokból adódó megoldás az n+1. lépésben nem más, mint a tört kifejezés n. hatványának

inverz Laplace transzformáltja eltolva -vel. Ez azt is jelenti, hogy ha megoldás függvény

értelmezési tartományát felosztjuk 0-tól kezdve hosszú intervallumokra, akkor az n+1.

szakaszon lévő megoldás csak a summa első n tagjától függ. Az eltolás miatt a későbbi tagok

nem játszanak szerepet, hiszen a Laplace transzformált definíciójából következik, hogy a csak

az n+1. szakasztól szerepet játszó függvények a korábbi szakaszokon 0 értéket vesznek fel.

Ez alapján próbáljuk kiszámolni (10) egyenlet megoldását a (- , 2) intervallumon.

1

9.4 Megjegyzés: Fontos megemlítenem, hogy az alábbi megoldás bármilyen paraméter

választás esetén ugyanígy működik, azaz nincs jelentősége az együttható értékválasztásnak!

Megoldás: vegyük az alábbi összeg elsőn tagját az . időegység intervallumon.

10

1 ∑ (

0, (1

1,1 0, )

)

,

ahol

(

)

1

10 10

10

1

( ) 0, ( , 0)

9.5 Megjegyzés: logikus, hiszen a 0 időpillanat előtt nyugalmi állapotban van a

rendszerünk, azaz az alapjel megegyezik a jelenlegi energia teljesítménnyel.

( ) {10

∑ (

0, (1

1,1 0, )

)

} {10

} , (0,1)

A IV. fejezetben látható táblázat segítségével tehát:

26

( ) {10

} 10, (0,1)

( ) {10

∑ (

0, (1

1,1 0, )

)

}

{10

(1

0, (1

1,1 0, )

)} , (1,2)

Megoldáshoz úgy juthatunk, ha alkalmazzuk a racionális törtekre bontás szabályát:

10

(1

1,1 0, )

10

(

1)

10

( ) ( )

Könnyen leolvasható, hogy

, , amiből következik, hogy 1 1

,

,

,

1,2 1, 2 ,

1,1

5,62

1,1

Tehát:

( ) {10

(

5,621,1

1,1

, 1,1

1)}

10 5,62

1,1

1,1 ( 1)

,

1,1 ( ), (1,2)

9.6 Megjegyzés: Az előző inverz transzformált kiszámításakor felhasználtuk azt a

Laplace transzformációra vonatkozó szabályt, hogy amennyiben £ {f(t)}=F(s), úgy

{ ( ) } { ( ), ( , )

0,

ami következménye a IV fejezetben található, Eltolás című résznek.

27

A feladatmegoldás rekurzív módon folytatódik:

( ) {10

∑ (

0, (1

1,1 0, )

)

} , ( 1, )

A megoldás is analóg módon történik, a látott módszerrel.

A megoldás hiányosságai

A PID szabályzó részben utaltunk már rá, hogy sajnos a Laplace transzformáció

nem tudja kezelni a Deriváló csatornát, ha a bemenő jel nem differenciálható. A

vizsgáltunk tárgyát képező ( ) márpedig nem differenciálható a t 0 időpontban,

hiszen a C alapjel egy ugrás függvénynek tekinthető így a ( ) –nek szakadása van a

t = 0-ban, vagyis a derivált az adott pontban . Látható az előző megoldásban, hogy

csak nyílt intervallumokra ad megoldást a Laplace transzformált. Ahogy azt a X.

fejezetben látni fogjuk, minél hangsúlyosabb szerepet kap a Deriváló csatorna, annál

nagyobb ugrások lesznek a megoldásban a szakadási helyeken.

A megoldás javítása

A PID szabályzó (VII. fejezet) részben már utaltam rá, hogy ha a PID csatornába

bemenő jel az úgynevezett ugrás függvény, akkor jellemzően a Szűrt-deriváló csatornát

használják. A fejezet végén igyekszem összehasonlítani a különböző módszerekkel

kapott megoldásokat. A szűrt deriváló csatorna annyit tesz, hogy a Laplace

transzformáció során ne ( ) tag kerül elő, hanem helyette a

( )

kifejezést használjuk. Lényegében a differenciáló csatornában előkerülő derivált Laplace

transzformáltja helyett az utóbbi kifejezést használjuk. A szimbolikus megoldás ezek

után az előző részhez hasonlóan történik, rekurzívan, a racionális törtekre bontás

módszerével.

A következőben egy olyan megoldási módszert alkalmazunk a

differenciálegyenletre, mely garantáltan folytonos megoldást ad.

28

Megoldás a lépések módszerével

Az V. fejezetben vizsgáltuk a késleltetett differenciálegyenletek témakörét, és

láttuk az adott típusú egyenletek kezelésének egy módszerét, az úgynevezett Lépések

Módszerét (Method of Stpes). A módszer lényege abban állt, hogy időegységenként

oldjuk meg rekzívan a differenciálegyenletet.

Min az előbb, oldjuk meg a (10) egyenletet, a (- , 2) intervallumon

(12) ( ) 10 ( ) ,

, ∫

( ) 0, ( 1) 0,12 ( 1)

A megoldáshoz elengedhetetlen kezdeti feltételek:

(0) 10

( ) 0, [ 1,0)

A megoldást először a [0, 1) intervallumon keressük. Ha [ 1,0), akkor

( ) 0, vagyis a megoldandó differenciálegyenlet:

( ) 10 ( )

Egyenletünk így egy egyszerű első rendű lineáris differenciálegyenlet, ráadásul a

célfüggvény egy konstans. Megoldható, akár az együttható variálásának-, akár a

szeparábilisre visszavezetés módszerével. Oldjuk meg utóbbival:

( ) 10 ( )

( ) ( )

Az egyenlet tehát:

( ) ( )

Ennek pedig ismert megoldása van:

( )

Azaz:

( ) 10

29

A kezdeti értékből:

( ) 10 , [0, 1)

Ismét nem meglepő, hiszen még be se gyulladt a fűtő olaj, nem változik az alapjel és

a jelenlegi termelés különbsége.

A második lépésben tegyük folytonossá a függvényt! Ez egy olyan lehetőség, ami a

Laplace-transzformáció esetén nem állt rendelkezésünkre.

Kezdeti feltételek:

(1) 10

( ) 10, [0,1)

Az egyenlet:

(13) ( ) 10 ( ) ,

, ∫

( ) 0, ( 1) 0,12 ( 1)

A [0,1) intervallumon ismerjük az egyenlet megoldását, helyettesítsünk be:

( ) 10 ( ) 0,

1,1∫ 10

0, 10 0,12 0

9.7 Megjegyzés: ismételten szembe kerültünk azzal a problémával, hogy a t 0-ban

nem létezik a derivált. A lépések módszerénél ebben az esetben a jobb oldali deriváltat

tekintjük a szakadási pontban.

I. ( ) ( ) 10

, ( 1)

,

,

,

A kapott egyenlet ismételten lineáris elsőrendű, melyet most az együttható

variálásának módszerével oldok meg:

Keressük az egyenlet homogén megoldását, azaz:

( ) ( ) 0

Ennek megoldását már láttuk az előbb:

( )

30

Az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldásának keresése a következő

alakban:

( ) ( )

ekkor:

( ) ( ) ( )

Helyettesítsük be a kapott eredményt (i)-be és azt kapjuk, hogy:

( )

1,1

10,71,1

(

1,1

10,7

1,1)

Parciális integrálással könnyen megkapjuk az eredményt:

( ) 1

1,1( (1 .7 )

k-t 0-nak válasszuk és megkapjuk az inhomogén egy partikuláris megoldását, abból

pedig (i) általános megoldását:

( )

1,1

1 ,7

1,1

Á( )

1,1

1 ,7

1,1

Adott volt a kezdeti érték:

10

1,1 1

1 ,7

1,1

0,

1,1

Vagyis:

( ) 0,

1,1 ( )

1,1

1 ,7

1,1

31

Vegyük az (2) értéket és meg is kaptuk a kezdeti értékünket a következő

lépéshez.

A megoldások összehasonlítása

Szembe ötlő, hogy a két típusú megoldás, nem ugyanazt az eredményt adja már 2.

lépésben sem. Ez nem meglepő. Mint arra korábban tettem megjegyzést Laplace

transzformációval nem tudjuk kikerülni a szakadás, és ebből fakadóan a végtelen

derivált problémáját. A Laplace transzformáció saját tulajdonsága, hogy az ugrások

mértékét a deriváló csatorna súlyához igazítja. A Lépések módszerénél mesterségesen

tettük minden lépésben folytonossá a függvényt.

A megoldások kezelésére a MAPLE nevű szoftverrel írtam programot, melynek

kódját a dolgozat mellékleteként lehet megtekinteni.

(10) egyenlet megoldásainak ábrázolása

32

A programból leszűrt tanulságok

Bár elméleti szinten jobbnak tűnik a lépések módszere, a gyakorlatban

kezelhetetlen, legalábbis nem kifejezetten erre íródott programcsomag nélkül nagyon

nehéz akár 10 lépést is számoltatni. Az általam írt program gyakorlatilag a 7. lépésnél

hibát jelzett ki, vagy több mint 20 perces kalkulálási idővel futott. Ezzel szemben a

Laplace-transzformációra írt program sor gond nélkül számolt akár 20-25 lépésig is.

Az ábrázolás során látszik, hogy a megoldások, gyakorlatilag illeszkedve

egymáshoz tartanak a 0-hoz. Amennyiben csak a Laplace transzformációkból eredő

megoldásokat vizsgálom, hosszabb időtávon, a konvergencia akkor is nagyon szépen

kirajzolódik (Lásd következő fejezet!). Sajnos a következő fejezet mutat rá arra, hogy

nagyon nem mindegy a feladat kitűzés elején a paraméterválasztás, és nem is

törvényszerű a konvergencia, sőt a megoldások illeszkedése!

33

X. Megoldások vizsgálata

Az előző fejezetben megvizsgált egyenlet paraméter választása nem a véletlen

műve. Korábban már láthattuk, hogy az egyenletet jellemző együtthatók mely

megengedett tartományokból kerülhetnek ki. A MAPLE segítségével lehetőségem volt

vizsgálni több más differenciálegyenletet és nyilvánvalóvá vált, hogy a paraméterek

között igen szoros kapcsolat van, és még ha a megengedési tartományból választjuk is

őket, közel sem biztos, hogy konvergáló, egyáltalán fizikailag magyarázható megoldást

kapunk. A Laplace transzformációkból adódó, hosszabb időtávon vizsgálható

megoldásokból látszik, hogy vizsgált egyenlet hosszú távon szépen tart a 0-hoz.

Az alábbiakban pár érdekesnek talált megoldást mutatok be, igyekezve

magyarázatot adni a függvények viselkedésére a paraméterek megváltozásának

tükrében. Természetesen ezek csak megfigyelések lesznek, a mérnöki gyakorlatban

használt paraméterek megválasztásának matematikai megalapozása további

kutatásokat igényel. A C (alapjel) és M (a szűrt D-csatorna paramétere) együtthatókat

minden példa esetén ugyanannak veszem (10-10), így azokat a későbbiekben külön nem

tűntetem fel.

A megoldandó differenciálegyenlet:

( )

( )

( ( )

1

∫

( )

( ))

Induljunk ki az előző fejezet egyenletének paramétereiből és az azokhoz tartozó

megoldásokból:

34

Vizsgáljuk meg mi történik, ha a PID szabályzó Differenciáló csatornájához tartozó

deriválási időt (Td) változtatom. Megnövelve 2-re az értéket, látható, hogy a Laplace

transzformálttal készült megoldás, az egységidőhöz tartozó szakaszok határain

ugrásokat hajt végre. Korábban is utaltunk rá, hogy az ugrás függvényhez tartozó, D-

csatornából származó derivált tagot a Laplace-transzformált nehezen tudja kezelni. A

szűrt D-csatornán átjövő jel viszont folytonossá teszi nekünk a függvényt.

10.1 Megjegyzés: bármilyen paraméterezésből is indultam ki, a TD paraméter

növelése mindig a szakasz határokon bekövetkező ugrások nagyságát növelte.

35

Szintén korábban került említésre, hogy a MAPLE a Method of Steps-szel készült

megoldásokat csak 6-7 lépésig tudja számítani, utána vagy nem, vagy csak nagyon

hosszú idő után ad eredményt. Induljunk ki megint az alapegyenletünkből, és vizsgáljuk

meg, hogy nagyobb időtávon mi történik, ha csak a két Laplace transzformációs

megoldást hasonlítjuk össze.

Látható, hogy a Szűrt D-csatornán keresztül jövő jelhez tartozó megoldásnak is lesz

szakadása, sőt az idő előre haladtával egyre nagyobb és nagyobb. Vagyis ez a megoldás

sem lesz folytonos! Ezt a megfigyelést más példák is alátámasztják, ám a jelenség precíz

matematikai magyarázata szintén további kutatásokat igényel.

Az előző egyenlethez képest növeljük meg ismételten a TD értéket, ezúttal -ra.

Ekkor a sima Laplace transzformálthoz tartozó megoldás nem folytonos, lényeges

ugrásokat hajt végre, ráadásul szakaszonként váltakozik a monotonitás is. A Szűrt D-

csatornához tartozó megoldás hullámzó, de folytonosan indul. Látszólag követi a sima

Laplace-hoz tartozó megoldást. A t 9 időpillanatban ugyanazt az értéket veszik fel, ám

innen kezdve egyik függvény sem folytonos, ráadásul más irányba ugranak.

36

A következő két példa ismételten az előző fejezet egyenletéből indul ki. Tekintsük a

megoldásokat abban az esetben, ha az eredeti differenciálegyenlet paramétereiből csak

egyet változtatunk meg.

10.2 Megjegyzés: Bármilyen egyenletből indulunk is ki, elvárható lenne, hogy a

megoldások 0-hoz konvergáljanak, azaz az alapjel (a kívánt energia mennyiség) és a

jelenlegi teljesítmény az idő előrehaladtával közelítsen egymáshoz, és az energia

előállítás szintje álljon be állandóra. Ugyanakkor több olyan példával is találkoztam,

mely a 0-szint elérése után fizikai értelemben teljesen irracionálisan viselkedik.

Első esetben az arányossági tényezőt (A) növeltem meg. A Lépések módszerével

készült megoldás divergál, míg a Laplace megoldások konvergálnak. Mindegyik

megoldás átcsap ugyan negatívba, de ez a modellben csak annyit jelent, hogy az adott

időpillanatban előállított energia mennyiség nagyobb, mint a kívánt mennyiség, amivel

nem is lenne baj, ha kiegyenlítődne.

37

A következő példában a felfutási időt (TH) csökkentettem le az eredeti egyenlethez

képest. Az így kapott modell fizikai jelentése szerint egy olyan fűtő anyaggal van

dolgunk, ami lassan gyullad be, de ahhoz képest igen gyorsan éri el az üzemi hőfokot,

nem túl életszerű. Matematikailag vizsgálva az egyenletet, a Method of Stephez tartozó

megoldás szép, lassú, egyenletesnek tekinthető konvergenciát mutat, melyhez a D

csatornából fakadó kezdeti ugrás után, illeszkednek a Laplace-transzformációs

megoldások is.

38

Ismételten a felfutási időt változtatom, ám ezúttal növelem. Jelen esetben a

felfutási idő kétszer olyan hosszú ideig tart, mint a fűtőanyag lángra kapása. A

megoldások követik egymást, ráadásul a két Laplace-transzformációs megoldást alig

lehet megkülönböztetni.

A rendszert hosszabb időtávon csak a Laplace-transzformáltas megoldásokon

keresztül tudjuk vizsgálni, a kapott eredmény ismét meglepő. A termelt hőmennyiség túl

fut a kívánt szinten, ez azt jelenti, hogy az x1 függvény negatívba megy át, de aztán

kompenzál. A t 1 időpillanattól kezdve azonban úgy tűnik, „elszabadul a pokol”. A két

megoldás külön válik, és oszcillálva divergálnak.

39

Az alábbi példa különlegessége, hogy mindhárom megoldás szigorúan monoton

csökkenő tendenciát mutat. Miután elérték a 0 szintet, változatlan intenzitással haladnak

a mínusz végtelen felé, ráadásul igen jól illeszkedve egymásra. Fizikailag ez azt jelentené,

hogy a mindenkorra termelt energia szint folyamatosan nő kontrolálatlanul, azaz előbb-

utóbb felrobban a kazán.

Az utolsó példa érdekessége, hogy a Method of Steps módszer hosszú kalkulálás

után hibát jelzett, a Laplace transzformációkból eredő megoldásokra pedig nehezen

40

találnék magyarázatot. Itt az eredeti egyenlethez képest ismét az arányossági tényezőt

(A) növeltem, ezúttal 2-ig.

A fejezet összegzése

Matematikailag érdekes kérdés, hogy a differenciálegyenlethez tartozó

paraméterek megváltozása miként befolyásolja a megoldások tulajdonságait. Az előbb

bemutatott példák azonban igazolták, hogy a legtöbb esetben a megoldásokhoz nem

lehet reális fizikai magyarázatot találni. A mérnökök természetesen a megengedett

tartományból kapják az együtthatók értékeit, azonban ezek precíz, többször

megismételt mérések eredményeiből adódnak. A paraméterek közötti összefüggések,

valamint azok megválasztásának matematikai magyarázata, mint azt a fejezet elején is

említettem, további kutatás tárgyát kell, hogy képezze.

41

XI. Melléklet

A Differenciálegyenlet kezelésére írt MAPLE program.

// paraméter megadás

> ; ; ; ; ; ; ;

; ; ;

//A Laplace Transzformáció megvalósítása

//egy ciklus segítségével vesszük a hatványsor első 10 tagját,

majd hii ezen összeg inverz Laplace-transzformáltja

//A Szűrt D-csatornán átmenő jel Laplace-transzformáltja

//hi az előzőhöz hasonlóan az inverz Laplace-transzformált

42

// A Method of Steps megvalósítása // fi az i. időegység

szakaszon a megoldás.

Megadjuk a kezdő

értékeket. gi az i.

szakaszon a PID

szabályzó által a

késleltetett jelre adott

válasz.

//1-től n-ig létrehozzuk

az fk –kat.

//Létrehozzuk az

integráló csatorna

tagját

//A PID integráló

csatornájának

jelfeldolgozása

//A megoldandó DE.

//Kezdeti érték

//A DE megoldása

//HE a megoldás

függvény, szakaszonként

az fk –k szerint

definiálva

// A megoldások grafikonjainak kirajzolása

43

XII. Ábra- és Forrásjegyzékek

Ábrajegyzék

1. ábra Hőerőmű ................................................................................................................................... 13

2. ábra PID – szabályozó ........................................................................................................................ 14

3. ábra: Fűtőerőmű Csősémája ............................................................................................................. 16

4. ábra: Az első kazán hőteljesítmény-módosító rendszere ................................................................. 17

Forrásjegyzék

[1] Tóth János – Simon L. Péter:

Differenciálegyenletek Bevezetés az elméletbe és az alkalmazásokba

Typotex (2005)

[2] Dr. Benkő Zsolt István – Dr. Pitrik József:

Energia Menedzsment

Pannon Egyetem – jegyzet (2011)

[3] Gräff József

Laplace Transzformáció

Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományegyetem – kézirat (2006)

[4] Szűcs Zoltán

A digitális PID szabályzó

Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományegyetem – oktatási segédanyag (2008)

[5] Kalmár-Nagy Tamás

Stability analysis of delay-differential equations by the method of steps and

inverse Laplace transform

Differential Equations and Dynamical Systems Vol. 17, Nos. 1 & 2, 2009