Differenciálegyenletek És Dinamikai Rendszerek 1

7/25/2019 Differencilegyenletek s Dinamikai Rendszerek 1

1/142

Created by XMLmind XSL-FO Converter.

Differencilegyenletek s dinamikairendszerek

Simon, Pter


2/142


Differencilegyenletek s dinamikai rendszerekrta Simon, Pter

Publication date 2013Szerzi jog 2013 Simon Pter

TMOP-4.1.2.A/1-11/1 MSc Tananyagfejleszts

Interdiszciplinris s komplex megkzelts digitlis tananyagfejleszts a termszettudomnyi kpzsi terlet mesterszakjaihoz


3/142

iii


Tartalom

Elsz ................................................................................................................................................. vDifferencilegyenletek s dinamikai rendszerek ................................................................................ 1

1. 1 Bevezets ........................................................................................................................... 1

1.1. Elsz ....................................................................................................................... 11.2. Ksznetnyilvnts.................................................................................................. 11.3. 1.1 Differencilegyenletek kvalitatv elmlete s a dinamikai rendszerek ............... 11.4. 1.2 A jegyzetben trgyalt tmakrk ........................................................................ 2

2. 2 Dinamikai rendszerek topologikus osztlyozsa ................................................................ 42.1. 2.1 Dinamikai rendszerek ekvivalencii ................................................................... 5

2.1.1. 2.1.1 Diszkrt idej dinamikai rendszerek ................................................... 62.1.2. 2.1.2 Folytonos idej dinamikai rendszerek................................................. 7

2.2. 2.2 Lineris rendszerek -osztlyozsa ................................................................ 92.3. 2.3 Lineris rendszerek -osztlyozsa ............................................................... 10

2.3.1. 2.3.1 Folytonos idej eset dimenziban ......................................... 102.3.2. 2.3.2 Diszkrt idej eset dimenziban ........................................... 11

2.3.3. 2.3.3 Folytonos idej eset -dimenziban ................................................ 112.3.4. 2.3.4 Diszkrt idej eset -dimenziban................................................... 17

2.4. 2.4 Feladatok .......................................................................................................... 19

3. 3 Loklis osztlyozs, normlformaelmlet s a HartmanGrobman-ttel ........................... 213.1. 3.1 HartmanGrobman-ttel ..................................................................................... 23

3.1.1. 3.1.1 A bizonyts 1. lpse ....................................................................... 243.1.2. 3.1.2 A bizonyts 2. lpse ....................................................................... 253.1.3. 3.1.3 A bizonyts 3. lpse ....................................................................... 253.1.4. 3.1.4 A bizonyts 4. lpse ....................................................................... 26

3.2. 3.2 Normlformk .................................................................................................. 303.3. 3.3 Feladatok .......................................................................................................... 34

4. 4 Stabil, instabil s centrlis sokasg ttel .......................................................................... 354.1. 4.1 Stabil s instabil sokasg ttel .......................................................................... 35

4.1.1. 4.1.1 ltalnos eset .................................................................................... 364.1.2. 4.1.2 Globlis sokasgok............................................................................ 40

4.2. 4.2 Centrlis sokasg ttel ...................................................................................... 404.2.1. 4.2.1 ltalnos megkzelts ..................................................................... 414.2.2. 4.2.2 A centrlis sokasg approximcija .................................................. 42

4.3. 4.3 Feladatok .......................................................................................................... 44

5. 5 Globlis vizsglat, periodikus megoldsok, vektormez indexe...................................... 475.1. 5.1 A globlis fziskp vizsglata a loklis fziskpek segtsgvel ...................... 47

5.1.1. 5.1.1 Globlis fziskp dimenziban...................................................... 485.1.2. 5.1.2 Globlis fziskp dimenziban...................................................... 49

5.2. 5.2 Periodikus megoldsok ..................................................................................... 595.2.1. 5.2.1 Periodikus megoldsok ltezse ........................................................ 605.2.2. 5.2.2 Loklis vizsglat periodikus megoldsok krl ................................ 63

5.3. 5.3 Indexelmlet alkalmazsa ktdimenzis rendszerekre...................................... 665.4. 5.4 Vgtelenbeli viselkeds .................................................................................... 70

5.5. 5.5 Feladatok .......................................................................................................... 74

6. 6 A bifurkcielmlet alapjai s strukturlis stabilits ........................................................ 756.1. 6.1 Elemi bifurkcik normlformja..................................................................... 756.2. 6.2 Bifurkci megjelensnek szksges felttelei ............................................... 896.3. 6.3 Strukturlis stabilits ........................................................................................ 91

6.3.1. 6.3.1 Egydimenzis rendszerek strukturlis stabilitsa .............................. 926.3.2. 6.3.2 Strukturlis stabilits tbb dimenzis rendszerekben ........................ 94

7. 7 Egy kodimenzis bifurkcik, a nyereg-csom s az AndronovHopf-bifurkci............ 957.1. 7.1 Nyereg-csom bifurkci ................................................................................. 967.2. 7.2 AndronovHopf-bifurkci ................................................................................ 98

7.2.1. 7.2.1 A Ljapunov-fggvny ellltsa ...................................................... 997.2.2. 7.2.2 AndronovHopf-bifurkci lineris paramterfggs esetn............ 102


4/142


iv


7.2.3. 7.2.3 AndronovHopf-bifurkci ltalnos paramterfggs esetn Jordan-normlalak lineris rsszel ............................................................................... 1047.2.4. 7.2.4 AndronovHopf-bifurkcitetszleges paramterfggs esetn ...... 1067.2.5. 7.2.5 Plda az AndronovHopf-bifurkci meghatrozsra..................... 107

7.3. 7.3 Egy kodimenzis bifurkcis grbk meghatrozsa ktparamteres rendszerekben aparametrikus reprezentci mdszervel..................................................................... 110

7.3.1. 7.3.1 A parametrikus reprezentci mdszere ......................................... 1107.3.2. 7.3.2 Bifurkcis grbk ktparamteres rendszerekben ......................... 114

8. 8 Diszkrt dinamikai rendszerek, szimbolikus dinamika, kaotikus viselkeds ................. 1168.1. 8.1 Diszkrt dinamikai rendszerek........................................................................ 116

8.1.1. 8.1.1 A logisztikus lekpezs ................................................................... 1188.1.2. 8.1.2 Kaotikus sorozatok .......................................................................... 119

8.1.3. 8.1.3 Szimbolikus dinamika ..................................................................... 121

9. 9 Reakci-diffzi egyenletek .......................................................................................... 1239.1. 9.1 Reakci-diffzi egyenletek stacionarius megoldsai .................................... 1249.2. 9.2 Reakci-diffzi egyenletek utaz hullm megoldsai .................................. 126

9.2.1. 9.2.1 Utaz hullmok ltezse.................................................................. 1269.2.2. 9.2.2 Utaz hullmok stabilitsa .............................................................. 127

10. Hivatkozsok................................................................................................................... 135


5/142

v


ElszA jelen digitlis tananyag a TMOP-4.1.2.A/1-11/1-2011-0025 szm, "Interdiszciplinris s komplexmegkzelts digitlis tananyagfejleszts a termszettudomnyi kpzsi terlet mesterszakjaihoz" cm projektrszeknt kszlt el.

A projekt ltalnos clja a XXI. szzad ignyeinek megfelel termszettudomnyos felsoktats alapjainak amegteremtse. A projekt konkrt clja a termszettudomnyi mesterkpzs kompetenciaalap s mdszertanimegjtsa, mely folyamatosan kpes kezelni a trsadalmi -gazdasgi vltozsokat, a legjabb tudomnyoseredmnyeket, s az info-kommunikcis technolgia (IKT) eszkztrt hasznlja.


6/142


7/142

1



1. 1 Bevezets

1.1. Elsz

A jelen jegyzet nagyrszt azokon az eladsokon alapul, amelyeket a szerz az Etvs LorndTudomnyegyetemen tartott felsbb ves matematikus s alkalmazott matematikus hallgatk szmra a

bevezet differencilegyenlet eladst kveten, differencilegyenletek kvalitatv elmletrl s dinamikai(dinamikus) rendszerekrl. Ennek megfelelen elssorban ezen alkalmazott matematikus s matematikushallgatkat cloztuk meg vele, de nagyon remljk, hogy ms egyetemek matematikus sdifferencilegyenleteket alkalmaz nem matematikus hallgati is haszonnal olvassk majd.

A jegyzet olvasshoz teht elfelttel a differencilegyenletek alapvet ismerete, elssorban nhny egyszeregyenlet megoldsnak mdszere, a lineris rendszerek elmletnek alapjai s egyszer ktdimenzisfziskpek meghatrozsa. Nem trgyaljuk a jegyzetben az alapvet egzisztencia s unicits tteleket sem,(hiszen ezek az ELTE-n az alapkurzusban sorra kerlnek), de ezek ismerete nlkl is rthetk a jegyzetbentrgyalt tmk. A bevezetsben albb tmren sszefoglaljuk a bevezet differencilegyenlet kurzusban trgyaltfontosabb fogalmakat s tteleket, az rdekld olvasnak ajnljuk a [22] knyvet, ahttp://www.cs.elte.hu/~simonp/kozdiff.pdf oldalon elrhet elektronikus jegyzetet, vagy ms bevezet jellegdifferencilegyenlet jegyzetet.

1.2. Ksznetnyilvnts

A szerz ksznetet mond az Etvs Lornd Tudomnyegyetem Matematikai Intzetben az AlkalmazottAnalzis s Szmtsmatematikai Tanszken dolgoz kollginak, akik tmogattk a dinamikai rendszerek sdifferencilegyenletek kurzus megindtst s a jegyzet megrst.

Ksznet illeti a jegyzet lektort Nagy Blint tanszkvezet fiskolai docenst, aki mindenre kiterjedfigyelemmel igyekezett javtani a hibkat, s elsegteni az rthetsget, s a konzisztencit.

A jegyzet a TAMOP-4.1.2.A/1-11/1 plyzat, Interdiszciplinris s komplex megkzelts digitlistananyagfejleszts a termszettudomnyi kpzsi terlet mesterszakjaihoz cm projektjnek keretben kszlt.

1.3. 1.1 Differencilegyenletek kvalitatv elmlete s a dinamikairendszerek

A differencilegyenletek elmlete a matematiknak tbb mint 300 ves terlete, melyet mindig az alkalmazsokfell rkez kihvsok termkenytettek meg, s amely ezt tovbbadva a matematika tbb terletnek ltrejtttmotivlta. Nem clunk errl a hatalmas terletrl tfog kpet adni, azonban a dinamikai rendszerek elmletvelval kapcsolatra szeretnnk rvilgtani. A szerz felfogsban a differencilegyenletek vizsglatvalkapcsolatos matematikai eredmnyek az albbi hrom szempont szerint csoportosthatk.

A megoldsok ellltsa kplettel, vagy numerikus kzeltssel.

A megolds ltezsnek s egyrtelmsgnek bizonytsa.

A megolds tulajdonsgainak jellemzse a megolds kpletnek ismerete nlkl.

Az els terlet irnyban nyilvnval igny jelentkezik az alkalmazsok fell. rdemes megjegyezni, hogy azutbbi 50 vben a hangsly a numerikus kzeltsen van, ebbl kln tudomnyterlet ntt ki, a
http://www.cs.elte.hu/~simonp/kozdiff.pdfhttp://www.cs.elte.hu/~simonp/kozdiff.pdf


8/142


2


differencilegyenletek numerikus mdszereinek vizsglata. A msodik krds a kznsgesdifferencilegyenletekre vonatkoz kezdeti rtk feladatokra vonatkozan nagyon szpen megvlaszolhat(motivlva normlt trbeli lekpezsek fixpont tteleinek kifejlesztst), ezrt a mai kutatsok ezzel kapcsolatosegyik nagy terlete a nemlineris egyenletekre vonatkoz peremrtk-feladatok megoldsai pontos szmnakvizsglata. Megjegyezzk, hogy parcilis differencilegyenletekre vonatkozan az egzisztencia s unicitskrdse messze nem tisztzhat ilyen egyszeren, ezrt ez ma is nagyon aktv kutatsi terlet. A fenti harmadik

tmakr vizsglatnak kezdetei a XIX. szzad vgig nylnak vissza, amikor igny mutatkozott nemlineriskznsges differencilegyenletek vizsglatra, s vilgoss vlt, hogy ezek kplettel val megoldsa, csaknagyon specilis esetben vrhat. Taln Poincar nevhez kthetk az gynevezett kvalitatv elmlet kezdetei,amikor azt kezdtk vizsglni, hogy a megolds kpletnek ismerete nlkl, hogyan hatrozhatk meg mgis amegolds bizonyos tulajdonsgai. A paradigmavltst egyszeren szemlltethetjk az ,rendszer pldjn. A rendszer megoldsa termszetesen egyszeren elllthat kplettel, a hagyomnyos

megkzelts szerint ezen rendszert ltva a matematikus vlasza: , . Ehhez kpest akvalitatv vizsglat ehhez a rendszerhez az 1. brn lthat fziskpet adja vlaszknt, amely ugyan amegoldsok idfggst nem adja meg, viszont szmos fontos tulajdonsga leolvashat rla.

A rendszerre teht elssorban mint dinamikai rendszere gondolunk, melynek a plyit szeretnnk jellemezni,fleg geometriai szempontbl. Ezzel a differencilegyenletek kvalitatv elmlete s a dinamikai, vagy msszval dinamikus rendszerek elmlete szoros kapcsolatba kerlt, melyet az is jelez, hogy a modern tanknyvekcmben a differencilegyenletek sz mellett legtbbszra dinamikai rendszer kifejezs is szerepel. A kvalitatvvizsglat fejldshez jelents mrtkben hozzjrult az 1960-as vektl kezdden a kaotikus viselkedst

mutat rendszerek felfedezse s a fziskpek szmtgppel trtn numerikus ellltsnaklehetsge. Mraa kvalitatv vizsglat alapvet eszkzeinek hasznlata rutinn vlt, nemcsak a fizikus s mrnk, hanem avegysz, biolgus s kzgazdsz hallgatk is mr egyetemi tanulmnyaik sorn megismerkednek ezekkel. Ez ismagyarzza, hogy az elmlt kt vtizedben tbb bevezet jelleg monogrfia szletett, amely nemcsak amatematikus kpzettsg, hanem a kell matematikai httrrel rendelkez nem matematikus olvaskat is

bevezeti a kvalitatv vizsglat rejtelmeibe. Pldaknt emlthetjk a koszelmletbe bevezet [1] monogrfit,Guckenheimer s Holmes klasszikusnak mondhat knyvt [9], Hale s Kocak nagyon szemlletesen megrtmunkjt [10], Hubbard s West pedagogikusan megszerkesztett [13], valamint Perko [16] szles spektrumottlel knyvt, illetve Seydel bifurkcikrl rott munkjt [19]. A kicsivel tbb matematikai bizonytstignyl olvask is szmos angol nyelv monogrfibl tjkozdhatnak, Arnold [2 s ], Chow s Hale [6],Chicone [5], Hirsch, Smale s Devaney [12], valamint Robinson [17] s Wiggins [23] knyvei csak nhny aszles palettrl. Lthat, hogy a kvalitatv elmletet rszletesen trgyal, egyetemi hallgatknak szl, magyarnyelv tanknyv nem szerepel ezek kztt, ami nagyban motivlta ezen jegyzet megrst.

1.4. 1.2 Ajegyzetben trgyalt tmakrk

Az albbiakban bemutatjuk azt a matematikai struktrt, amelyben vizsgldsainkat folytatjuk, illetve rvidenismertetjk a fbb tmkat, amelyeket rszletesen trgyalni fogunk. Vizsglatunk f objektuma az

autonm, kznsges differencilegyenlet-rendszer, melyben az ismeretlen fggvny s

adott folytonosan differencilhat fggvny, melyet jobboldalnak neveznk. Ebbe a kategribaa legtbb fontos kznsges differencilegyenlet-rendszer belefr, s lehetetlen lenne felsorolni mindazokat amrnki, fizikai, kmiai, biolgiai, kzgazdasgi alkalmazsokat, amelyekben ilyen rendszerek vizsglatamegjelenik. Az egyenlet kezdeti felttelbl indul megoldst -vel jellve igazolhat, hogy a


9/142


3


fggvny teljesti a (folytonos idej) dinamikai (vagy dinamikus) rendszer albbi defincijban szereplfeltteleket.

1.1. Definci A folytonosan differencilhat fggvnyt folytonos idej dinamikairendszernek nevezzk, ha teljesti az albbi kt felttelt.

Minden esetn ,

Minden s esetn .

A dinamikai rendszer egy determinisztikus folyamat modelljnek foghat fel, melyben azt az llapototjelli, ahov a rendszer a llapotbl indulva id alatt jut. Egyszeren igazolhat, hogy a fenti kznsgesdifferencilegyenlet-rendszer megoldsa lnyegben egy dinamikai rendszert hatroz meg. (Elfordulhat, hogya megoldsok nem rtelmezettek az egsz szmegyenesen, amit viszont a dinamikai rendszertl elvrunk,azonban ez a plykon nem lthat.) Illetve egy dinamikai rendszerhez mindig megadhat egydifferencilegyenlet, aminek ez a megoldsa. Ezrt az autonm kznsges differencilegyenlet -rendszert s adinamikai rendszert egytt szoktk vizsglni, mi is prhuzamosan hasznljuk a jegyzetben a kt fogalmat.

A dinamikai rendszer fenti defincija tbb irnyban kiterjeszthet. Egyik fontos alternatva az, amelyben az idszerept az helyett a halmaz veszi t, ekkor jutunk a diszkrt idej dinamikai rendszer fogalmhoz.

1.2. Definci A folytonos fggvnyt diszkrt idej dinamikai rendszernek nevezzk, hateljesti az albbi kt felttelt.

Minden esetn ,

Minden s esetn .

Ahogyan a folytonos idej dinamikai rendszert az autonm differencilegyenletbl szrmaztattuk, gy a diszkrt

idej dinamikai rendszert egy lekpezsbl lehet szrmaztatni. Legyen ugyanis adott folytonosfggvny, s tekintsk az

rekurzival definilt sorozatot (nevezhetjk differenciaegyenletnek is). A kpletteldefinilt fggvny teljesti a diszkrt idej dinamikai rendszer defincijban szerepl feltteleket. Teht egydifferenciaegyenlet meghatroz egy diszkrt idej dinamikai rendszert. Fordtva pedig, ha egy diszkrt idej

dinamikai rendszer, akkor legyen . Egyszeren ellenrizhet, hogy ezzel a fenti

rekurzi megoldsa, melyet rviden a kplettel fejeznek ki, ahol nem kitevt, hanem afggvny -szori alkalmazst jelenti (negatv esetn az inverz fggvny alkalmazst).

A ktfle dinamikai rendszer sok esetben egytt trgyalhat, ekkor az id vltozt a halmazbl vesszk,amely az vagy szmhalmazt jelli. Folytonos idej esetben gyakran hasznljk a folyam (flow) kifejezst,

diszkrt esetben pedig a lekpezs (map) kifejezst.

A dinamikai rendszerek vizsglatnak f trgya a plyk geometriai jellemzse. Egy pont plyja a

halmaz, amely folytonos esetben egy grbe, diszkrt esetben pedig egy pontsorozat a fzistrben.

Az alapvet matematikai struktra ismertetse utn trjnk r most a jegyzetben trgyalt tmakrkttekintsre.

A kvetkez fejezetben azt vizsgljuk, hogy amennyiben a plyk pontos meghatrozsa nlkl szeretnnk aplyk sszessge ltal meghatrozott fziskpet vizsglni, akkor milyen geometriai definci segtsgvel lehet

klnbz rendszerek fziskpeinek hasonlsgt egzakt mdon megfogni. Ehhez bevezetjk a topologikusekvivalencia fogalmt, amely egy ekvivalencia relci a dinamikai rendszerek halmazn. Az ekvivalencia


10/142


4


bevezetse utn azt vizsgljuk, hogy milyen osztlyokat hoz ez ltre, illetve, prblunk az osztlyokbl egy-egyknnyen vizsglhat reprezentnst kivlasztani. Ezenkvl foglalkozunk azzal az alapvet krdssel, hogy ha adinamikai rendszert differencilegyenlettel adjuk meg, akkor a jobboldalak alapjn hogyan dnthet el ktrendszer ekvivalencija. Ezt a programot csak a lineris rendszerek osztlyozsa esetben lehet teljessggelvghezvinni.

A nemlineris rendszereket a 3. Fejezetben osztlyozzuk, azonban ekkor csak az egyenslyi pontok krliloklis fziskpek osztlyozsa hajthat vgre. Ennek egyik eszkze a linearizls, amelynek lehetsgt aHartmanGrobman-ttel teremti meg. Amennyiben a lineris rendszer nem hatrozza meg a fziskpet, akkor afziskp szempontjbl meghatroz tagok a normlformk elmletnek segtsgvel vlaszthatk ki.

Az egyenslyi pontok krli loklis fziskpek vizsglatban segt a stabil, instabil s centrlis sokasg ttel,melyeket a 4. Fejezetben trgyalunk. Ezek a sokasgok a lineris rendszerek esetben bevezetett a stabil, instabils centrlis alterek ltalnostsai. Ezen sokasgok invarinsak, azaz a trajektrik nem hagyjk el azokat. Astabil sokasg azon trajektrikat tartalmazza, amelyek esetn az egyenslyi ponthoz tartanak, azinstabil sokasg pedig azokat, amelyek esetn tartanak az egyenslyi ponthoz. A centrlis sokasg afzistr dimenzijnak reduklst teszi lehetv, azaz magasabb dimenzis rendszerekben el lehet klnteni afzistrnek azt az alacsonyabb dimenzis rszt, amelyben a nehezen vizsglhat trajektrik futnak.

A fziskp globlis vizsglatnak eszkzeire az 5. Fejezetben kerl sor. Ebben elszr ttekintjk aktdimenzis fziskpek meghatrozsnak elemi mdszereit. Ezutn rszletesen vizsgljuk a periodikusmegoldsokat. Ezek ltezsre s nem-ltezsre vonatkoz ktdimenzis fzistrben alkalmazhat tteleketfoglaljuk ssze elszr, majd rtrnk a periodikus megoldsok stabilitsvizsglatra tetszleges dimenzisfzistrben. A fejezet vgn visszatrnk a ktdimenzis esetre, s kt fontos globlis eszkzt, a vektormezindext s a Poincar-gmbre val vettssel trtn kompaktifikcit ismertetjk.

Azt ezt kvet kt fejezetben a paramterektl is fgg rendszerek fziskpnek alakulst vizsgljuk aparamterek rtktl fggen. Mdszereket mutatunk azon rendszerek vizsglatra, melyeknl a paramterekvltoztatsakor minsgi vltozs kvetkezik be a fziskpben, ezeket a minsgi vltozsokat nevezzk

bifurkcinak. Rszletesen trgyaljuk a kt legfontosabb, gynevezett egy-kodimenzis bifurkcit, a nyereg-csom s az AndronovHopf-bifurkcit.

Dinamikai rendszerek vizsglatnak egyik fontos fejezete a kosz definilsa s a kaotikus rendszerekvizsglata. Ennek eszkzeit elssorban diszkrt idej rendszerekre fejlesztettk ki, ezrt a 8. Fejezetben ezeketkln vizsgljuk. Bemutatjuk a fixpont s periodikus plya loklis vizsglatnak alapvet eszkzeit. Bevezetnkegy kosz defincit, majd megmutatjuk, hogy bizonyos lekpezseknek vannak kaotikus plyik. Ehhezismertetjk a szimbolikus dinamika fogalmt s alkalmazsnak mdszert.

Az utols fejezet a dinamikai rendszer elmlet egy olyan irny kiterjesztsrl szl, amikor a fzistr nemvges dimenzis. Ez pldul parcilis differencilegyenletek esetben fordul el. Ebben a fejezetbenszemilineris parabolikus parcilis differencilegyenleteket vizsglunk, melyeket a gyakorlatban sokszorreakci-diffzi egyenletnek hvnak. Foglalkozunk a stacionrius megoldsok (melyek az egyenslyi pontnakfelelnek meg) ltezsnek s stabilitsnak vizsglatval, illetve egy msik, gyakorlat szempontjbl fontosmegolds tpussal az utaz hullmokkal. Ezek esetben is a ltezsket s a stabilitsukat vizsgljuk.

2. 2 Dinamikai rendszerek topologikus osztlyozsa

A differencilegyenletek elmletnek fejldse sorn elszr a differencilegyenletek megoldsvalfoglalkoztak, igen sokfle mdszert kifejlesztettek, amelyekkel specilis tpus differencilegyenletekmegoldsa kplettel elllthat. Azonban kiderlt, hogy differencilegyenlet-rendszerek megoldsa ltalbankplettel nem adhat meg (szinte kizrlag csak a lineris esetben), vagy ha megadhat, akkor is nehzsgekbetkzhet, hogy a megolds bizonyos fontos tulajdonsgait a kplet alapjn meghatrozzuk. Ktdimenzisnemlineris rendszerek megoldsait pldul clszer gy vizsglni, hogy a trajektrikat (plykat) brzoljuk afzisskon. Ez nem azt jelenti, hogy a megoldsgrbket pontosan felrajzoljuk, hanem az analzisbelifggvnyvizsglathoz hasonlan jrunk el, amikor csak a fggvnygrafikon legfontosabb alaki tulajdonsgait(monotonits, konvexits) vesszk figyelembe. A ktdimenzis rendszerek megoldsainak brzolsa sornteht lnyegben egy a vizsglt rendszerrel valamilyen rtelemben ekvivalens rendszer plyit brzoltuk

(mgpedig annak, amelynek plyi gy nznek ki, mint a vizsgland rendszer plyi). Most szeretnnk ezen


11/142


5


ekvivalencia fogalmt pontosan meghatrozni, azaz definilni azt, hogy mit rtnk azon, hogy kt rendszerfziskpe ugyangy nz ki.

A tovbbiakban teht a dinamikai rendszerek halmazn meg fogunk adni egyekvivalenciarelcit. Azutn az a cl, hogy meghatrozzuk a lehetsges osztlyokat, keressnk mindenosztlybl egy knnyen vizsglhat reprezentnst, s egyszer mdszert adjunk annak eldntsre, hogy egy

adott rendszer melyik osztlyba tartozik.

2.1. 2.1 Dinamikai rendszerek ekvivalencii

Kt dinamikai rendszert ekvivalensnek fogunk nevezni, ha plyik egy megfelel lekpezssel egymsbavihetk. Elszr ezen lekpezs tpusokat definiljuk. A diszkrt s folytonos idej dinamikai rendszerekreegyszerre fogalmazzuk meg ezeket a defincikat, ezrt a tovbbiakban jellje az vagy szmhalmazt.

2.1. Definci Legyenek halmazok. Egy lekpezst homeomorfizmusnak(esetenknt -diffeomorfizmusnak) neveznk, ha folytonos, bijekci s az inverze is folytonos. A lekpezst

-diffeomorfizmusnak nevezzk, ha -szor folytonosan differencilhat, bijekci s inverze is -szor

folytonosan differencilhat.

2.2. Definci Legyenek tartomnyok, azaz sszefgg, nylt halmazok. Azt mondjuk, hogy a

s dinamikai rendszerek -ekvivalensek, ( esetntopologikusan ekvivalensek), ha van olyan -diffeomorfizmus ( esetnhomeomorfizmus), mely a plykat egymsba viszi az id irnytsnak megtartsval. Ezt a 2. bra szemllteti.

Rszletesebben megfogalmazva, ha ltezik olyan folytonos fggvny, melyreszigoran nv bijekci, s minden , valamint esetn

A fenti definciban az , illetve fggvny specilis vlasztsval klnfle ekvivalencia fogalmakatkaphatunk. A fenti ltalnos ekvivalencit fogjuk a tovbbiakban 1. tpusnak nevezni, az albbi fontos speciliseseteket pedig 2, 3 s 4. tpusnak.

2.3. Definci Azt mondjuk, hogy a s dinamikai rendszerek folyam ekvivalensek (2. tpusekvivalencia), ha a fenti definciban nem fgg vlasztstl, azaz ltezik olyan szigoran nv

bijekci, melyre minden esetn. Ekkor teht az idtparamterezs mindenplyn ugyanaz.

2.4. Definci Azt mondjuk, hogy a s dinamikai rendszerek konjugltak (3. tpus ekvivalencia), ha

a fenti definciban minden s esetn. Ekkor teht a plykon nincsidtparamterezs. Ez esetben a felttel gy rhat


12/142


6


2.5. Definci Azt mondjuk, hogy a s dinamikai rendszerek orbitlisan ekvivalensek (4. tpusekvivalencia), ha a fenti definciban s , azaz a plyk ugyanazok, csak az id ms a ktrendszerben a plykon.

A defincikbl nyilvnval, hogy az ekvivalencia fogalmak kztt az albbi kapcsolat ll fenn.

2.1. llts

1. Ha a s dinamikai rendszerek konjugltak, akkor folyam ekvivalensek.

2. Ha a s dinamikai rendszerek folyam ekvivalensek, akkor -ekvivalensek.

3. Ha a s dinamikai rendszerek orbitlisan ekvivalensek, akkor -ekvivalensek.

sszefoglalva, az ekvivalencia tpusok kztt a kvetkez sszefggs ll fenn

2.1.1. 2.1.1 Diszkrt idej dinamikai rendszerek

Diszkrt idej dinamikai rendszerek esetben valjban csak egyfle ekvivalencia van, ezt fogalmazzuk meg a

kvetkez lltsban. Legyenek s diszkrt idej dinamikai rendszerek.

Legyen s . Ekkor a dinamikai rendszer csoporttulajdonsga alapjn

egyszeren igazolhat, hogy s , ahol s a fggvnyek -szerialkalmazst jelli.

2.2. lltsAz albbi lltsok ekvivalensek.

1. A s dinamikai rendszerek -konjugltak.

2. A s dinamikai rendszerek folyam ekvivalensek.

3. A s dinamikai rendszerek -ekvivalensek.

4. Ltezik olyan -diffeomorfizmus, melyre .

Bizonyts. Az elz llts szerint az els hrom llts fentrl lefel kvetkezik egymsbl. Elszr igazoljuk,hogy a negyedik lltsbl kvetkezik az els, majd azt, hogy a harmadikbl kvetkezik a negyedik. A

egyenlsget felhasznlva

Ehhez hasonlan az felttelbl kvetkezik , azaz

minden s esetn, amely ppen a s dinamikai rendszerek -konjugltsgt jelenti.

Tegyk fel most, hogy a s dinamikai rendszerek -ekvivalensek. Vegyk szre elszr, hogy, ha

szigoran nv bijekci, akkor van olyan , mellyel minden esetn.

Ugyanis a szigor monotonits miatt , viszont mivel bijekci, azrt s

kztt nem lehet egsz szm, teht . gy bevezetve a szmot, indukcival azsszefggshez jutunk. Teht a -ekvivalencia defincijban szerepl fggvnyre fennll,


13/142


7


hogy minden ponthoz van olyan egsz szm, mellyel . Teht s -ekvivalencija azt jelenti, hogy minden s minden esetn

azaz

Alkalmazzuk ezt az sszefggst elszr esetn. Ekkor . Ezutn esetn

ami ppen a kvnt lltst adja. [QED]

2.3. llts A s dinamikai rendszerek pontosan akkor orbitlisan ekvivalensek, ha egyenlk.

Bizonyts. Ha a kt dinamikai rendszer egyenl, akkor nyilvn orbitlisan ekvivalensek. Fordtva, amennyibenorbitlisan ekvivalensek, akkor -ekvivalensek is, gy az elbbi llts szerint , viszont

miatt , teht brmely esetn, azaz a kt dinamikai rendszer azonos.[QED]

2.6. Definci Diszkrt idej esetben, azaz esetn, az s lekpezst, illetve a megfelel diszkrtdinamikai rendszereket -konjugltaknak nevezzk, ha van olyan - diffeomorfizmus, melyre

.

2.1. Megjegyzs Ebben az esetben az s fggvny csak koordinta-transzformciban klnbzikegymstl.

2.4. llts Ha esetn s -konjugltak, valamint fixpontja az lekpezsnek (ekkornyilvn fixpontja -nek), akkor az s mtrixok hasonlak.

Bizonyts. Derivljuk a egyenlsget a pontban, s hasznljuk fel, hogy ,

valamint g(h(p))=h(p). Ekkor , melyet megszorozhatunk a mtrix inverzvel

(amely azrt ltezik, mert - diffeomorfizmus). gy az s mtrixok valban hasonlak.[QED]

2.2. Megjegyzs A fenti llts miatt a -konjugltsg tl finom osztlyozst ad -re, hiszen pldul az

s fggvnyek az llts szerint nem -konjugltak (az egyik mtrix sajtrtke , amsik ), viszont az ltaluk meghatrozott s dinamikai rendszerek plyinak

viselkedse kztt nem szeretnnk klnbsget tenni. Ltni fogjuk, azonban, hogy a kt fggvny -konjuglt, azaz -ra nem igaz az llts.

2.1.2. 2.1.2 Folytonos idej dinamikai rendszerek

Trjnk r most a folytonos idej dinamikai rendszerek ekvivalenciinak vizsglatra, legyen teht most

, s legyenek valamint folytonos idej dinamikai rendszerek.

Ekkor megadhatk olyan s fggvnyek, melyekre megoldsa a , s

megoldsa a dinamikai rendszer.

2.5. llts

1. Legyen . Ekkor a s dinamikai rendszerek pontosan akkor -konjugltak, ha ltezik olyan

-diffeomorfizmus, mellyel .


14/142


8


2. Tegyk fel, hogy a fggvny differencilhat. Ekkor a s dinamikai rendszerek pontosan

akkor orbitlisan ekvivalensek, ha ltezik olyan , mellyel .

3. A 2.1. lltsban a kvetkeztetsek nem fordthatk meg.

Bizonyts. 1. Tegyk fel elszr, hogy a s dinamikai rendszerek -konjugltak. Ekkor ltezik olyan

-diffeomorfizmus, mellyel . Derivljuk ezt az egyenletet szerint,

ekkor . Mivel megoldsa a , s megoldsa a ,azrt

Alkalmazzuk ezt esetn, ekkor

azaz . Ezzel az llts egyik irnyt igazoltuk. Tegyk fel most, hogy ltezik olyan

-diffeomorfizmus, mellyel . Legyen , igazoljuk,

hogy ez megoldsa differencilegyenletnek, gy az egyrtelmsg miatt , melybl a kvnt

llts kvetkezik, hiszen defincijban a helyettestst elvgezve s -konjugltgt

kapjuk. Egyrszt , msrszt

mellyel a kvnt lltstigazoltuk.

2. Tegyk fel elszr, hogy a s dinamikai rendszerek orbitlisan ekvivalensek. Ekkor, melyet szerint derivlva a egyenlethez jutunk.

Mivel megoldsa a , s megoldsa a , azrt .

Alkalmazzuk ezt esetn, ekkor , melybl a bizonytand lltst kapjuk a

fggvny bevezetsvel. Tegyk fel most, hogy ltezik olyan , mellyel

. Legyen , s rvidsg kedvrt vezessk be az jellst. Legyen

ekkor , gy a fggvnynek van inverze, legyen ez . (Ez fgg a

vlasztstl is,ezrt hasznlhatjuk az jellst is.) Legyen , ekkor

gy megoldsa az differencilegyenletnek, s teljesti az kezdeti felttelt, ezrt

. Ezzel az definil egyenlsg alapjn a kvntsszefggshez jutunk.

3. Ezen llts bizonytshoz ellenpldkat adunk meg.


15/142


9


1. Legyen s . Ekkor az s differencilegyenletekfziskpe azonos, mindkett centrum, azonban a megoldsok peridusa a kt rendszerben klnbz. gyamennyiben a plykat egymsba kpezzk, akkor az idtparamterezse szksges, azaz a kt rendszernem konjuglt, viszont folyam-ekvivalens.

2. Ha a s dinamikai rendszerben van kt-kt periodikus plya, melyeken a peridusok arnyaklnbz, akkor a kt rendszer nem -folyam-ekvivalens, viszont lehetnek -ekvivalensek.

3. Legyen s . Ekkor az s differencilegyenletekfziskpe nyeregpont, azaz -ekvivalensek, viszont a plyk nem azonosak, ezrt nem orbitlisanekvivalensek.

[QED]

2.2. 2.2 Lineris rendszerek -osztlyozsa

Ebben a szakaszban az alak lineris egyenleteket, illetve az lineris diszkrt idejrendszereket fogjuk osztlyozni az elbbi szakaszban ismertetett ekvivalencik szerint. Vezessk be az

s a

tereket. Ha , akkor az mtrixot az lineris differencilegyenlet jobboldalnak

tekintjk, ha pedig , akkor az mtrixot az diszkrt rendszert meghatrozlekpezsknt kezeljk. gy a folytonos, pedig a diszkrt idej lineris rendszereketreprezentlja. A lineris rendszerek esetben a mtrix ltal meghatrozott dinamikai rendszer explicit mdon

megadhat. Ha , akkor az ltala meghatrozott dinamikai rendszer, (azaz az

differencilegyenlet megoldsa) . Ha , akkor az ltala meghatrozott dinamikai

rendszer, (azaz az rekurzi explicit megoldsa) . A tovbbiakban kt mtrixvalamely tpus ekvivalencijn az ltaluk meghatrozott dinamikai rendszerek ekvivalencijt rtjk.Hasznlni fogjuk mg a kvetkez ekvivalencia fogalmat.

2.7. Definci Az s mtrixok linerisan ekvivalensek, ha ltezik olyan s invertlhat mtrix,mellyel

2.6. llts Legyen s .

1. Az mtrixok pontosan akkor -konjugltak, ha hasonlk.

2. Az mtrixok pontosan akkor -ekvivalensek, ha linerisan ekvivalensek.

Bizonyts. 1. Tegyk fel, hogy az s mtrixok -konjugltak, azaz ltezik olyan -

diffeomorfizmus, mellyel , azaz . Derivljuk ezt szerint, ekkor

, majd helyettestsnk helyre nullt . Derivljunk most

szerint, ekkor a egyenlethez jutunk, melybl a helyettestssel a

sszefggst kapjuk. Mivel diffeomorfizmus, azrt a mtrixnak van inverze,

ezzel megszorozva az egyenletet , azaz az s mtrixok hasonlk. Tegyk fel most,hogy az s mtrixok hasonlk, azaz van olyan invertlhat mtrix, mellyel . Ekkor a


16/142


10


lineris fggvny olyan -diffeomorfizmus, amely a plykat egymsba kpezi az irnyts

megtartsval, ugyanis .

2. Tegyk fel, hogy az s mtrixok -ekvivalensek, azaz ltezik olyan -

diffeomorfizmus, s differencilhat fggvny, melyekkel ,

azaz . Derivljuk ezt szerint, majd helyettestsnk helyre nullt, ekkor. Derivljunk most szerint, ekkor a

egyenlethez jutunk, melybl a helyettestssel a sszefggst kapjuk. Mivel

diffeomorfizmus, azrt a mtrixnak van inverze, ezzel megszorozva az egyenletet, s bevezetve az

jellst, , azaz az s mtrixok linerisan ekvivalensek. Tegyk felmost, hogy az s mtrixok linerisan ekvivalensek, azaz van olyan invertlhat mtrix s ,

melyekkel . Ekkor a lineris fggvny olyan -diffeomorfizmus, amely a

plykat egymsba kpezi az idtparamterezssel, ugyanis. [QED]

2.3. Megjegyzs A fenti llts miatt a -konjugltsg s ekvivalencia tl finom osztlyozst ad -re.

Hiszen pldul az s mtrixok az llts szerint nem -konjugltak, snem is -ekvivalensek, viszont mindkett stabil csomt hatroz meg, gy a dinamikai rendszerek plyinakviselkedse kztt nem szeretnnk klnbsget tenni. Ltni fogjuk azonban, hogy a kt mtrix -konjuglt,azaz -ra nem igaz az llts.

2.7. llts Legyen s . Az mtrixok pontosan akkor -konjugltak, hahasonlk.

Bizonyts: Tegyk fel, hogy az s mtrixok -konjugltak, azaz a 4. llts szerint ltezik olyan

-diffeomorfizmus, mellyel . Derivljuk ezt szerint, ekkor

, majd helyettestsnk helyre nullt, gy . Miveldiffeomorfizmus, azrt a mtrixnak van inverze, ezzel megszorozva az egyenletet ,azaz az s mtrixok hasonlk. Tegyk fel most, hogy az s mtrixok hasonlk, azaz van olyan

invertlhat mtrix, mellyel . Ekkor a lineris fggvny olyan -diffeomorfizmus,amely a plykat egymsba kpezi az irnyts megtartsval, ugyanis .

2.3. 2.3 Lineris rendszerek -osztlyozsa

Ebben a szakaszban a kvetkez krdseket vizsgljuk.

1. Adott mtrixokrl hogy lehet eldnteni, hogy ekvivalensek, vagy konjugltak?

2. Adott mtrixokrl hogy lehet eldnteni, hogy konjugltak?

Vizsgljuk a krdst elszr az dimenzis esetben.

2.3.1. 2.3.1 Folytonos idej eset dimenziban

Tekintsk az differencilegyenletet. Ha , akkor az orig globlisan aszimptotikusan stabilis,azaz minden megolds az orighoz tart. Ha , akkor az orig instabilis, a megoldsok vgtelenheztartanak. Ha , akkor minden pont egyenslyi pont. A 3. brn lthat a hromfle fziskp pozitv,

negatv s nulla rtkek esetn. Teht az s rendszerek, melyekben pontosan

akkor -ekvivalensek, ha . (A homeomorfizmus ez esetben lehet az identits.)


17/142


11


2.3.2. 2.3.2 Diszkrt idej eset dimenziban

Tekintsk az rekurzival definilt diszkrt idej dinamikai rendszert klnbzrtkek esetn. Megjegyezzk, hogy a halmaz azonosthat az halmazzal. Mivel a rekurzimrtani sorozatot definil, azrt a plyk viselkedse egyszeren megllapthat. Az albbi hat osztlyt kapjuk a

-ekvivalencia szerint.

1. Ha , akkor pozitv esetn szigoran nv a sorozat, a 0 instabil fixpont.

2. Ha , akkor minden pont fixpont.

3. Ha , akkor a stabil fixpont, minden megolds 0-hoz tart monoton cskkenen.

4. Ha , akkor a stabil fixpont, minden megolds 0-hoz tart, azonban eljelvlt mdon, ezrt eznem ekvivalens az elzvel, mert a homeomorfizmus szakaszt szakaszba visz.

5. Ha , akkor a megolds oszcilll.

6. Ha , akkor instabil fixpont, azonban a sorozat eljelvlt, gy ez nem ekvivalens az esettel.

Az osztlyozs formlis igazolshoz megadjuk a homeomorfizmust, amely a -ekvivalencit adja. Adott

esetn keresnk olyan homeomorfizmust, melyre teljeslminden esetn. Keressk a homeomorfizmust a kvetkez alakban:

Ha s , akkor a egyenletbl , gy , azaz . Afggvny homeomorfizmus, ha , ez pedig akkor teljesl, ha s az 1 ugyanazon oldalon helyezkedik

el. Teht, ha , akkor a kt rendszer -konjuglt, illetve, ha , akkor is -konjugltak.

(Egyszeren lthat, hogy negatv rtkek esetn is fennll a egyenlsg.) Hasonl mdon

lthat, hogy ha , akkor a kt rendszer -konjuglt, illetve, ha , akkor is -

konjugltak. A fenti homeomorfizmus segtsgvel teht igazolhatjuk, hogy a -

konjugltsg szerint a halmaz legfeljebb hat osztlyra bonthat. Egyszeren igazolhat, hogy valbanhat osztly van, teht a fenti klnbz osztlyok elemei egymssal valban nem -konjugltak, azaz nemadhat meg ms homeomorfizmus, amely egymsba vinn a plyikat.

2.3.3. 2.3.3 Folytonos idej eset -dimenziban


18/142


12


Tekintsk az lineris differencilegyenlet-rendszert, ahol mret mtrix. A -osztlyozsta stabil, instabil s centrlis alterek segtsgvel lehet jellemezni, ezek defincijt s legfontosabb

tulajdonsgait foglaljuk ssze elszr. Jellje a mtrix sajtrtkeit multiplicitssal . Jelljeazt a bzist -ben, amely a mtrix vals Jordan-normlformjt adja. Ezen bzis ltalnos

meghatrozsa hosszabb elksztst ignyel, azonban a leggyakoribb s a tovbbiakban elfordul esetekben abzis az albbi mdon egyszeren meghatrozhat. Ha a sajtrtkek valsak s klnbzk, akkor a

bziselemek ppen a megfelel sajtvektorok. Ha vannak komplex konjuglt sajtrtk prok, akkor az ezeknekmegfelel komplex sajtvektor vals s kpzetes rsze van a bzisban. Tbbszrs sajtrtkek esetn azltalnostott sajtvektorok kerlnek a bzisba, ha a sajtaltr dimenzija kisebb, mint a sajtrtk algebraimultiplicitsa. Ha pldul ktszeres sajtrtk, de csak egydimenzis sajtaltr tartozik hozz, akkor azltalnostott sajtvektort az egyenlet hatrozza meg, ahol az egydimenzis sajtalteret

kifeszt sajtvektor. Megjegyezzk, hogy ekkor olyan -tl fggetlen vektor, melyre ,

ugyanis . Ezen bzis segtsgvel az albbi mdon definilhat linerisrendszerek stabil, instabil s centrlis altere.

2.8. Definci Legyen egy az vals normlalakjt meghatroz bzis . Jellje azt asajtrtket, amelyhez az bzisvektor tartozik ( nem felttlenl sajtvektor). Az

altereket rendre az lineris differencilegyenlet-rendszer stabilis, instabilis, centrlis alternek

nevezzk. ( a zrjelben lev vektorok ltal kifesztett alteret jelli.)

Ezek legfontosabb tulajdonsgai az albbi ttelben foglalhatk ssze.

2.9. Ttel Az , , alterek rendelkeznek az albbi tulajdonsgokkal:

1.

2. Invarinsak -ra (azaz , ), s -re.

3. Minden esetn , ha , st van olyan , hogy ,ha .

4. Minden esetn , ha , st van olyan , hogy , ha.

Az invarins altereket egyszeren szemlltethetjk az mtrix ltal meghatrozott nyeregpont

esetben. Ekkor a mtrix sajtrtkei s , az ezekhez tartoz sajtvektorok pedig s . gy astabilis altr a fggleges, az instabilis altr pedig a vzszintes koordinta tengely, amint a 4. bra mutatja.


19/142


13


A -osztlyozsban az invarins alterek dimenzija fog alapvet szerepet jtszani, erre vezetnk bejellseket az albbi definciban.

2.10. Definci Az mtrix stabil alternek dimenzijt jellje , instabil alternek

dimenzijt , illetve centrlis alternek dimenzijt .

Egy mtrix spektrumt, azaz sajtrtkeinek halmazt fogja jellni. Fontos szerepet fognak jtszani azalbbi rendszerek.

melynek elemeit hiperbolikus mtrixoknak fogjuk nevezni a folytonos idej esetben.

Elszr a hiperbolikus rendszerek -osztlyozst fogjuk elvgezni, ehhez szksgnk lesz az albbilemmra.

2.11. Lemma

1. Ha , akkor az s mtrixok -konjugltak.

2. Ha , akkor az s mtrixok -konjugltak.

Bizonyts. Csak az els lltst igazoljuk, a msodik kvetkezik ebbl, ha azt a mtrixra alkalmazzuk.Ngy lpsben bizonytunk.

a. Az differencilegyenlet pontbl indul megoldsa , az megoldsa

. A kvadratikus Ljapunov-fggvnyekrl szl ttel szerint ltezik olyan pozitv

definit szimmetrikus mtrix, hogy a kvadratikus alakra negatv definit. Jellje

, az ezen kvadratikus alak ltal meghatrozott ellipszoidot.

b. Az differencilegyenlet brmely nem nulla megoldsa pontosan egyszer metszi az halmazt, azazminden ponthoz ltezik egyetlen , hogy . Ugyanis a

fggvny minden esetn szigoran monoton fogy, s ,

. Nyilvn folytonos fggvny, valamint .

c. A kt rendszer plyit egymsba kpez homeomorfizmus legyen

Ennek hatsa a kvetkezkppen szemlltethet. A lekpezs a pontot elviszi az halmazra az

plyjn, majd ezt a pontot ugyanannyi ideig ( ideig) visszaviszi az plyjn, lsd az 5. brn.

d. Igazoljuk, hogy homeomorfizmus, s a plykat egymsba kpezi. Az utbbi azt jelenti, hogy

. Ez esetn nyilvnval, esetn pedig

Mivel negatv definit, azaz plyi az halmazt csak egyszer metszik, azrtbijekci (az inverze is hasonlan felrhat). A fggvny folytonossga miatt s is folytonos aponton kvl. Teht mr csak a -beli folytonossgot kell igazolni. Ehhez megmutatjuk, hogy


20/142


14


Mivel s korltos, azrt elg igazolni, hogy , azaz brmely pozitv

szmhoz ltezik olyan , hogy legalbb id kell amg egy megolds az halmazrl a gmbbe

eljut. Ehhez megmutatjuk, hogy ltezik olyan , hogy minden pontra , azaz a

megoldsok nullhoz tartsa alulrl is korltozott. (Nyilvn ekkor is alulrl becslhet.) Legyen az anegatv definit mtrix melyre . A mtrix negatv, s a mtrix pozitv definitsa miatt

ltezik olyan s , hogy s minden esetn. Vezessk

be a ( tetszleges) fggvnyt. Ekkor , teht

, melybl . Legyen . Ekkor a Gronwall-lemma

legegyszerbb vltozata szerint , amit igazolni akartunk. [QED]

Ezen lemma felhasznlsval egyszeren igazolhat a hiperbolikus rendszerek osztlyozsrl szl albbittel.

2.12. Ttel Az hiperbolikus mtrixok pontosan akkor -konjugltak s egyben -

ekvivalensek, ha . (Ekkor termszetesen is igaz, mivel a centrlis alterek nulladimenzisak.)

A nem hiperbolikus rendszerek -osztlyozsa az albbi mly ttelen alapszik, ezt bizonyts nlkl kzljk,a bizonyts meghaladja ezen jegyzet kereteit.

2.13. Ttel (Kuiper) Legyenek olyan mtrixok, melyekre . Ezek pontosanakkor -ekvivalensek, ha linerisan ekvivalensek.

A fenti kt ttelbl kvetkezik az albbi teljes osztlyozs.

2.14. Ttel Az mtrixok pontosan akkor -ekvivalensek, ha , sa centrlis alterkre megszortva linerisan ekvivalensek (azaz s linerisan ekvivalensek).

2.1. Plda Megmutatjuk, hogy a ktvltozs lineris differencilegyenlet -rendszerek tere, azaz nyolcosztlyra bonthat -ekvivalencia szerint. Az osztlyokat a centrlis altr dimenzija szerint soroljuk fel.

1. Ha , akkor a stabil altr dimenzija 0, 1 vagy 2 lehet gy hrom osztly van. Ezek egy -egyegyszer reprezentnsa


21/142


15


melyek rendre megfelelnek az instabil csomnak, vagy fkusznak, a nyeregnek, illetve a stabil csomnak,vagy fkusznak. (A fkusz s a csom egymssal -konjugltak.) A fziskpeket a 6., 7., 8. brkonlthatjuk.

2. Ha , akkor a stabil altr dimenzija 0 vagy 1 lehet, gy kt osztly van. Ezek egy -egy egyszer

reprezentnsa

A fziskpeket a 9. s 10. brkon lthatjuk.


22/142


16


3. Ha , akkor a lineris ekvivalencia szerinti osztlyokat kell meghatrozni. Ha a nulla ktszeressajtrtk, akkor kt osztlyt kapunk, a tiszta kpzetes sajtrtkekkel rendelkez mtrixok pedig linerisanekvivalensek egymssal. gy hrom osztlyt kapunk, ezek egy-egy egyszer reprezentnsa

A legutols megfelel a centrum pontnak, a msik kett nem kapott kln elnevezst. A fziskpeket a 11.,12., 13. brkon lthatjuk.


23/142


17


A fentihez hasonlan igazolhat, hogy a hromvltozs lineris differencilegyenlet-rendszerek tere, azaz

17 osztlyra bonthat -ekvivalencia szerint. Az halmazt vgtelen sok osztlyra bontja a -ekvivalencia, azaz vgtelen sok klnbz ngy dimenzis lineris fziskp van.

2.3.4. 2.3.4 Diszkrt idej eset -dimenziban

Tekintsk az rekurzival definilt diszkrt idej lineris rendszert, ahol mret mtrix.A -osztlyozst most is a stabil, instabil s centrlis alterek segtsgvel lehet jellemezni, ezek defincijt s

legfontosabb tulajdonsgait foglaljuk ssze elszr. Jellje a mtrix sajtrtkeit multiplicitssal. Jellje azt a bzist -ben, amely a mtrix vals Jordan-normlformjt adja. Ezen bzissegtsgvel az albbi mdon definilhat lineris rendszerek stabil, instabil s centrlis altere.

2.15. Definci Legyen egy az vals normlalakjt meghatroz bzis . Jellje azt asajtrtket, amelyhez az bzisvektor tartozik ( nem felttlenl sajtvektor). Az

altereket rendre az lekpezs stabilis, instabilis s centrlis alternek nevezzk. ( a zrjelbenlev vektorok ltal kifesztett alteret jelli.)

Ezek legfontosabb tulajdonsgai az albbi ttelben foglalhatk ssze.

2.16. Ttel Az , , alterek rendelkeznek az albbi tulajdonsgokkal:

1.

2. Invarinsak -ra (azaz , ).


24/142


18


3. Minden esetn , ha .

4. Minden esetn , ha .

A -osztlyozsban az invarins alterek dimenzija fog alapvet szerepet jtszani, erre vezetnk bejellseket az albbi definciban.

2.17. Definci Az mtrix stabil alternek dimenzijt jellje , instabil alternek

dimenzijt , illetve centrlis alternek dimenzijt .

Fontos szerepet fognak jtszani az albbi rendszerek.

melynek elemeit szintn hiperbolikus mtrixoknak fogjuknevezni, de a diszkrt idej esetben.

A hiperbolikus rendszerek -osztlyozshoz fel fogjuk hasznlni az albbi lemmt.

2.18. Lemma Legyenek az mtrixok -konjugltak, azaz ltezik olyanhomeomorfizmus, melyre minden esetn. Ekkor

1. ,

2. , azaz a stabil alteret stabil altrbe visz; , azaz instabilalteret instabil altrbe visz,

3. , .

Bizonyts. 1. A egyenletbl az helyettestssel a sszefggst

kapjuk, melybl , ugyanis a mtrix hiperbolikus, teht az 1 nem sajtrtke.

2. Legyen , ekkor , amint , gy miatt is nullhoz

tart. Ebbl az kvetkezik, hogy a stabil alterben van, teht azt kaptuk, hogy .

Hasonl rvelst alkalmazva a fggvnyre, azt kapjuk, hogy , melybl

. Mivel mindkt irny tartalmazs fennll, azrt a kt halmaz azonos:

.

3. Mivel homeomorfizmussal tvihet az altrbe, azrt dimenzijuk egyenl, azaz

, melybl is kvetkezik, hiszen a centrlis alterek nulla dimenzisak. [QED]

Folytonos idej dinamikai rendszerek esetben azt lttuk, hogy nemcsak szksges, hanemelgsges felttele is kt hiperbolikus rendszer -konjugltsgnak. Vizsgljuk meg egy egydimenzis s egyktdimenzis pldn, hogy diszkrt idej esetben is elgsges-e ez a felttel.

2.2. Plda Tekintsk az s szmok ( -es mtrixok) ltal meghatrozott lineris

rendszereket. Mindkettnek egydimenzis a stabil altere, azaz , hiszen mindkettneknullhoz tart mrtani sorozatok adjk a plyit. Azonban, amint a 2.3.2. szakasz elejn lttuk, a kt rendszer

egymssal nem -konjuglt. Ott megmutattuk, hogy a halmazt -konjugltsg szerint hat osztlyralehet bontani.

Ez a plda teht azt mutatja, hogy nem elgsges felttele a -konjugltsgnak. Ennekellenre rdemes megvizsglni a ktdimenzis esetet is, mert ebbl intucit nyerhetnk a hiperbolikus

rendszerek osztlyozshoz.


25/142


19


2.3. Plda Tekintsk az s mtrixokat, ahol a -es egysgmtrix. Mindkettnek

ktdimenzis a stabil altere, azaz , hiszen mindkettnek nullhoz tart sorozatok adjk aplyit. Megmutatjuk, hogy ezek a rendszerek -konjugltak. Olyan homeomorfizmust kell

megadni, melyre fennll minden esetn. A homeomorfizmust gy adjuk meg, hogyaz orig kzep krket nmagukba vigye, s a sugaruktl fgg mrtkben forgassa el. Induljunk ki az egysg

sugar krbl, s definiljuk ezen -t nknyes mdon, mgpedig ezen kr pontjait hagyja helyben alekpezs. Ekkor a egyenlet miatt az sugar krn hatsa mr meghatrozott,nevezetesen ezt a krt -kal kell elforgatnia. A kt kr kztti gyrben ismt nknyesen lehet definilni a

fggvnyt. Ezutn az s sugar krk kztti gyrben a fggvnyt mr a

egyenlet definilja. Ezt kveten az s sugar krk kztti gyrben felvett rtkek a

egyenlet segtsgvel meghatrozzk rtkt az s sugar krk kztti

gyrben. Hasonlkppen az s sugar krk kztti gyrben felvett rtkek aegyenlet segtsgvel meghatrozzk rtkt az s sugar krk kztti gyrben. Knnyen lthatjuk,

hogy a sugar krn a forgats szge . Legyen teht az sugar krn a forgats szge ,ezzel a forgats szge a sugr folytonos fggvnye lesz, s esetn a szg forgatst kapjuk. Ezzel

teht a lekpezst a teljes skon definilhatjuk a fenti eljrssal. A fggvnyt kplettel is meg lehet adni akvetkezkppen

A lekpezs nyilvnvalan bijekci, folytonossga csak az origban szorul bizonytsra, ezt az Olvasra bzzuk.

Megjegyezzk, hogy 3 dimenziban az s mtrixok, ahol a -as egysgmtrix, nem

-konjugltak. Azt lttuk teht, hogy nem elgsges felttele a -konjugltsgnak. Azelgsges felttelt a kvetkez lemmban fogalmazzuk meg.

2.19. Lemma Tegyk fel, hogy (vagy ). Ebben az esetben spontosan akkor -konjugltak, ha .

Ennek segtsgvel megadhat a pontos felttel hiperbolikus rendszerek -konjugltsgra.

2.20. Ttel Az hiperbolikus lekpezsek pontosan akkor -konjugltak, ha

2.4. Plda A ttel szerint az s mtrixok, ahol az -es egysgmtrix, pontosanakkor -konjugltak, ha pros. Ugyanis ekkor a mtrixnak is pozitv a determinnsa, mg pratlanesetn negatv. Amint teht fent mr megmutattuk az

mtrixok -konjugltak.

2.5. Plda A ttel alapjn egyszeren megmutathat, hogy a hiperbolikus mtrixok tert a -konjugltsg nyolc osztlyra bontja. Ennek igazolst, valamint az egyes osztlyokbl egy-egy reprezentnsmegkeresst az Olvasra bzzuk.

2.4. 2.4 Feladatok


26/142


20


1. Az albbi mtrixok kzl melyik -konjuglt a mtrixszal?

Vlasz: egyik sem.


Vlasz: C.

3. Az albbi mtrixok kzl melyik -ekvivalens a mtrixszal?

Vlasz: C.

4. Az albbi mtrixok kzl melyik -ekvivalens a mtrixszal?

Vlasz: B.


Vlasz: egyik sem.


Vlasz: C.

7. Az albbi mtrixok kzl melyik hiperbolikus, azaz melyik van benne az halmazban?


27/142


21


Vlasz:B.

8. Az albbi mtrixok kzl melyik hiperbolikus, azaz melyik van benne a halmazban?

Vlasz: A.

9. Az albbi rendszerek kzl melyik orbitlisan ekvivalens az mtrix ltal meghatrozott linerisdifferencilegyenlettel?

Vlasz: Az els.

3. 3 Loklisosztlyozs, normlformaelmlet s aHartmanGrobman-ttel

Tekintsk az

-dimenzis autonm rendszert. Ez ltalban kplettel nem oldhat meg, gy a legtbb informcit amegoldsokrl a fziskp szolgltatja. Az konstans megoldsokat az algebraiegyenletrendszer megoldsval nyerhetjk. Ezen pontokat nevezzk egyenslyi, vagy stacionrius

pontoknak. A trajektrik viselkedse az egyenslyi pontok kis krnyezetben linearizlssal hatrozhat meg.

Ez szemlletesen a kvetkezkppen magyarzhat. Az fggvnyre a differencilegyenlet

ahol a maradktagot jelli. Mivel kis esetn ez kisebb nagysgrend, mint a lineris tag (ha az nem tlkicsi, pl. nem zrus), azrt vrhat, hogy a egyenslyi pont egy krnyezetben a fziskpet az

n. linearizlt egyenlet, melynek mtrixt Jacobi-mtrixnak nevezzk, meghatrozza. Itt kt dolgot kellpontostani, egyrszt, hogy mi a nem tl kicsi lineris tag, msrszt, hogy milyen rtelemben hatrozza meg afziskpet.

Erre vonatkozan a bevezet Differencilegyenlet kurzusban az egyenslyi pont stabilitst vizsgltuk. Rviden

sszefoglaljuk az ezzel kapcsolatos eredmnyeket. Jellje az (1) rendszer kezdeti felttelt kielgt

megoldst , ennek rtelmezsi tartomnyt .

3.1. Definci Az (1) rendszer egyenslyi pontjt stabilisnak nevezzk, ha minden szmhozltezik olyan szm, hogy


28/142


29/142


23


3.1. 3.1 HartmanGrobman-ttel

Legyen egy sszefgg nylt halmaz, egy (folytonosan differencilhat ) fggvny,olyan pont melyre . Jellje az

differencilegyenlet kezdeti felttelt kielgt megoldst . Hasznlni fogjuk a

jellst, ezzel . A differencilegyenletnek egyenslyi pontja. AHartmanGrobman-ttel lnyege, hogy az egyenslyi pontban a (3) rendszer fziskpe loklisan topologikusan

konjuglt a linearizlt rendszer fziskpvel. Legyen a pontban a Jacobi-mtrix, ekkor alinearizlt rendszer

3.5. Ttel (Hartman-Grobman) Legyenek , , olyanok, mint fent, valamint tegyk fel, hogy azmtrix hiperbolikus, azaz semelyik sajtrtke nem nulla valsrsz. Ekkor a (3) rendszer a pontban s a (4)rendszer az origban loklisan topologikusan konjugltak. Azaz ltezik a pontnak olyankrnyezete, az orignak olyan krnyezete s olyan homeomorfizmus, melyre

minden s minden olyan esetn, melyre . Rviden .

A ttel bizonytsa a kvetkez lpsekbl ll.

1. Megmutatjuk, hogy feltehet .

2. Kiterjesztjk az fggvnyt az egsz trre gy, hogy egy adott gmbn kvl megegyezzen a sajtlineris rszvel. Megmutatjuk, hogy elg a kiterjesztett rendszer s a linearizlt rendszer globlistopologikus konjugltsgt igazolni. Ezt nevezik a HartmanGrobman-ttel globlis vltozatnak.

3. A globlis vltozatot visszavezetjk a lekpezsekre vonatkoz (globlis) HartmanGrobman-ttelre.

4. Bebizonytjuk a lekpezsekre vonatkoz (globlis) HartmanGrobman-ttelt.

Hasznlni fogjuk az albbi jellseket:


30/142


24


, illetve esetn

Mieltt a bizonyts lpseire rtrnnk, megfogalmazzuk az HartmanGrobman-ttel fent emltett vltozatait.

3.6. Ttel (globlis Hartman-Grobman-ttel) Legyen hiperbolikus, , valamint

. Jellje most is a (3) rendszer megoldst . A rendszernek az orig az egyenslyi pontja.

Ekkor ltezik olyan szm, hogy ha az kompakt tartj s teljesl r , akkor ltezik olyanhomeomorfizmus, melyre

minden s minden esetn.

3.7. Ttel (Hartman--Grobman-ttel lekpezsekre) Legyen hiperbolikus, azaz olyan mtrix,melynek nincs 0 s 1 abszoltrtk sajtrtke. Ekkor ltezik olyan szm, hogy minden olyan

fggvnyhez, melyre , ltezik egyetlen , melyrehomeomorfizmus, s

3.1.1. 3.1.1 A bizonyts 1. lpse

3.1. llts Tegyk fel, hogy esetn igaz a HartmanGrobman-ttel. Ekkor tetszleges esetn igaz.

Bizonyts. Legyen a kvetkez eltols . Legyen ,

. Ekkor , azaz megoldsa az

differencilegyenletnek, ahol . Ennek az egyenletnek az orig egyenslyi pontja. Jellje a

differencilegyenlet kezdeti felttelt kielgt megoldst . Egyszeren lthat, hogy

, azaz

Mivel a (8) egyenletre a feltevs szerint igaz a HartmanGrobman-ttel, azrt van olyan homeomorfizmus,melyre

ahol . Komponljuk a (10) egyenletet jobbrl -lel, ekkor .

Alkalmazva a (9) sszefggst . Bevezetve a jellst a kvnt lltstkapjuk, mivel , kt homeomorfizmus kompozcijaknt, maga is homeomorfizmus. [QED]


31/142


25



Az albbi kiterjesztsi lemma segtsgvel bebizonytjuk, hogy a HartmanGrobman-ttel globlis vltozatbl(6. Ttel) kvetkezik a loklis (5. Ttel). A lemmt nem bizonytjuk.

3.8. Lemma Legyen , s legyen . Minden szmhoz ltezik olyan s, melyekre

1. minden esetn ,

2. minden esetn ,

3. .

Bizonyts.[5 Ttel bizonytsa] A 3.1. llts szerint elegend a ttelt esetn igazolni. Legyen a6. Ttelben adott rtk (ez csak az mtrixtl fgg). Ehhez a kiterjesztsi lemma szerint vlasszuk meg az

szmot s az fggvnyt. Legyen , s jellje az

differencilegyenlet megoldst . Ekkor a gmbn az s fggvnyek megegyeznek, gy

s esetn . Mivel az fggvnyre teljeslnek a 6. Ttel felttelei,

azrt e ttel szerint ltezik olyan homeomorfizmus, melyre . Ekkor ,

s vlasztssal teljesl a bizonytand llts. [QED]


Ebben a szakaszban megmutatjuk, hogy a lekpezsekre vonatkoz HartmanGrobman-ttelbl (7. Ttel)kvetkezik a globlis HartmanGrobman-ttel (6. Ttel).

Bizonyts.[6 Ttel bizonytsa] A konstans varicis formula szerint azdifferencilegyenlet kezdeti felttelt kielgt megoldsra fennll

Ezt a esetre alkalmazva

Legyen

Vlasszuk meg a szmot az mtrixhoz a 7 Ttel szerint. Egyszeren megmutathat, hogy van olyan

szm, melyre esetn .

Mivel az mtrix sajtrtkei nem nulla valsrszek, azrt az mtrix sajtrtkei nem egy

abszoltrtkek. gy teljeslnek a 7 Ttel felttelei, teht ltezik egyetlen olyan , melyrefennll


32/142


26


Megmutatjuk, hogy a vlasztssal teljesl a bizonytand llts, azaz . Ehhezelegend megmutatni, hogy az

kplettel definilt fggvny megegyezik a fggvnnyel. Ez viszont fennll, ha megmutatjuk, hogy az

fggvny is teljesti (12)-t, s igaz , ugyanis a fggvny egyrtelm volt. Ezt a ktlltst fogjuk most igazolni.

A (12) egyenlet szerint

minden esetn. gy

teht az fggvny is teljesti (12)-t. Msrszt

A jobboldal els tagja azrt korltos ( -ben), mert korltos -en, a msodik tag pedig azrt korltos,

mert nagy esetn , gy az egyenlet lineris, teht . Ezzel teht belttuk, hogy

, amibl a ttel kvetkezik. [QED]


Bizonyts.[7 Ttel bizonytsa]

A bizonytst t lpsben vgezzk el.

1. Legyen az mtrix vals Jordan normlformjt elllt bzis , az ezekhez tartoz

sajtrtkek legyenek , . Legyenek

az mtrixhoz tartoz stabil s instabil alterek. Ezek nyilvn invarinsak -re (azaz s

), valamint . Legyenek

Megmutathat (most ennek igazolst mellzzk), hogy az bzis megfelel vlasztsval

fennll s . Legyen

2. Ebben a pontban megmutatjuk, hogy ltezik olyan szm, melyre esetn azfggvny invertlhat. A globlis inverzfggvny ttel albbi alakjt alkalmazzuk.


33/142


27


Globlis inverzfggvny ttel Legyen , melyre minden esetn ltezik , s

ltezik olyan , hogy . Ekkor homeomorfizmus.

Legyen most , ekkor . Ezrt van olyan , melyre esetn teljeslneka globlis inverzfggvny ttel felttelei (ezeket itt rszletesen nem ellenrizzk), gy homeomorfizmus.

3. Most a (7) egyenletet olyan alakra hozzuk, hogy meghatrozsra a Banach-fle fixpontttel alkalmazhatlegyen.

Egyszeren lthat, hogy a (7) egyenlet ekvivalens az albbival

Komponljuk ezt az egyenletet elszr jobbrl az fggvnnyel, majd balrl az fggvnnyel.Ekkor a kvetkez egyenleteket kapjuk

Mivel , azrt mind az , mind a fggvny esetben bevezethetjk az ,

s az fggvnyeket olyan mdon, hogy fennlljon

Nyilvnvalan esetn igaz is. Definiljuk a opertort

esetn a kvetkezkppen.

Megmutatjuk, hogy ha fixpontja a opertornak, akkor megoldsa a (7) egyenletnek. Ugyanis

tetszleges esetn

gy miatt a egyenlet csak gy llhat fenn, ha az albbi kt egyenlet teljesl

Ezekbl

sszeadva a kt egyenletet s felhasznlva linearitst, a (13) egyenletet kapjuk, amely ekvivalens a (7)egyenlettel.

4. Ebben a pontban megmutatjuk, hogy megfele l normt vlasztva a tren a opertor a teretnmagba kpez kontrakci, gy a fggvny ltezse s egyrtelmsge a Banach-fle fixpontttelblkvetkezik.


34/142


28


Nyilvnval, hogy rtelmezve van az egsz tren, s brmely esetn a

fggvny az egsz halmazon rtelmezett folytonos fggvny. Elszr megmutatjuk, hogy korltos is,

azaz a opertor a teret nmagba kpezi. Ugyanis a (16) jobboldaln ll minden tag egykorltos fggvnyt definil. Pldul az utols tag esetben

fennll minden pontra. Hasonlan a tbbi tagra is.

Vgl beltjuk, hogy kontrakci. Legyen esetn

Knnyen igazolhat, hogy a tr ezzel a normval Banach tr. Megmutatjuk, hogy ekkorkontrakci. Ehhez felhasznljuk, hogy

valamint, hogy esetn , s . Tetszleges

esetn

Teht miatt kontrakci, gy ltezik egyetlen fixpontja.

5. Ebben a pontban megmutatjuk, hogy a fggvny homeomorfizmus. Ehhez azt hasznljuk fel,hogy a fggvny inverzre a (7) egyenlethez hasonl egyenlet rhat fel, melynek szintn egyrtelm a

megoldsa. Ugyanis a 3. s 4. pontbelihez hasonlan igazolhat, hogy ltezik egyetlen olyanfggvny, melyre

Msrszt a (7) egyenletet az esetre alkalmazva azt kapjuk, hogy az

egyenletnek csak a fggvny a megoldsa.


35/142


29


Megmutatjuk, hogy ha a (7) egyenlet megoldsa, akkor a fggvny inverze a

fggvny. Az (7) s (17) egyenletbl

Legyen . Ezzel teht a (18) egyenlet megoldsa. Ha megmutatjuk, hogy, akkor , azaz . Ez pedig kvetkezik azalbbibl:

mivel a jobboldalon ll fggvny nyilvn folytonos s korltos. Hasonlan igazolhat, hogy ,gy folytonos bijekci, amibl kvetkezik, hogy homeomorfizmus. [QED]

Az albbi pldkkal azt mutatjuk meg, hogy, ha a lineris rsz nem hiperbolikus, akkor elfordulhat, hogy alinearizlt rendszer loklis fziskpe klnbzik a nemlineris rendszer loklis fziskptl.

3.1. Plda Tekintsk az albbi ktvltozs rendszert.

Ennek lineris rsze az origban, mint egyenslyi pontban az mtrix, amely centrum pontothatroz meg, azaz a lineris rsz nem hiperbolikus. Az orig ebben a rendszerben stabilis fkusz, amit

polrkoordintkra val transzformlssal egyszeren igazolhatunk. Vezessk be az s fggvnyeket az

, transzformcis kpletekkel. Ezekbl

Az els egyenletet -vel, a msodikat -vel szorozva, majd a kt egyenletet sszeadva sfelhasznlva a differencilegyenleteket, az differencilegyenletet kapjuk. Hasonlkppen az els

egyenletet -vel, a msodikat -vel szorozva, majd a kt egyenletet kivonva s felhasznlva a

differencilegyenleteket, a egyenlethez jutunk. gy az fggvny szigoran monoton fogy mdon

nullhoz, a fggvny pedig szigoran nvekeden vgtelenhez tart, ezrt az orig stabil fkusz, amint a 16.brn lthat.

A (19)-(20) rendszer fziskpe.

3.2. Plda Tekintsk az albbi ktvltozs rendszert.


36/142


30


Ennek lineris rsze az origban, mint egyenslyi pontban az mtrix, amely centrum pontothatroz meg, azaz a lineris rsz nem hiperbolikus. Az orig ebben a rendszerben instabil fkusz, amit

polrkoordintkra val transzformlssal egyszeren igazolhatunk. Vezessk be ismt az s

fggvnyeket az , transzformcis kpletekkel. Ezekbl

Az els egyenletet -vel, a msodikat -vel szorozva, majd a kt egyenletet sszeadva s

felhasznlva a differencilegyenleteket . Hasonlkppen az els egyenletet -vel, a msodikat

-vel szorozva, majd a kt egyenletet kivonva s felhasznlva a differencilegyenleteket . gy az

s fggvny is szigoran monoton nvekeden vgtelenhez tart, ezrt az orig instabil fkusz, amint a 17.brn lthat.

A (21)-(22) rendszer fziskpe.

3.2. 3.2 Normlformk

Legyen -szor folytonosan differencilhat fggvny, melyet rviden fog jellni.

Sokszor feltesszk, hogy akrhnyszor differencilhat, ezt fogja jellni, ha pedig analitikus is,

azaz sorba fejthet, teht sorfejtsnek van sszege, s az ellltja -et, akkor az jellst hasznljuk.

A normlformk levezetsnek alapgondolata a kvetkez. Az differencilegyenlet

egyszerstse cljbl vezessk be az fggvnyt az sszefggssel, ahol diffeomorfizmus.

Ekkor az fggvnyre a differencilegyenlet az albbi mdon kaphat meg. Az sszefggst

derivlva , msrszt miatt azaz az fggvnyre

az differencilegyenletet kapjuk, ahol az s kztt fennll

Ez teht a 2.5. llts szerint azt jelenti, hogy az s dinamikai rendszerek-konjugltak, amennyiben . A cl olyan fggvny vlasztsa, hogy a sorfejtsben minlkevesebb tag legyen (ekkor vrhatan egyszerbb meghatrozni az -ra vonatkoz fziskpet). Atranszformci segtsgvel teht lnyegben eltntetjk a jobboldal sorfejtsnek azon tagjait, amelyek nem

jtszanak szerepet a fziskp meghatrozsban.

A loklis fziskpet egy egyenslyi pont krl fogjuk vizsglni. Elkszt lpsknt toljuk el az egyenslyipontot az origba, s hozzuk a lineris rszt Jordan-normlalakra. Azaz vezessk be az j

fggvnyt, erre a differencilegyenlet , ahol . A lineris rsz Jordan-normlalakrahozshoz legyen invertlhat mtrix, s vezessk be az j fggvnyt az lineris

transzformcival. Ekkor , azaz , ahol . Ekkor az

rendszer origbeli Jacobi-mtrixa az eredeti Jacobi-mtrix Jordan-normlalakjnak vlaszthat, ha a mtrixot alkalmasan vlasztjuk. A tovbbiakban teht feltesszk, hogy az


37/142


31


rendszer egyenslyi pontja az orig, s a linearizlssal kapott Jacobi-mtrix Jordan-normlalak.

A tovbbiakban clunk a magasabb fok tagok kitranszformlsa, melyet elszr az egydimenzis esetben

mutatunk be. Legyen teht , ahol s egy olyan fggvnyt jell,amely csak -nl magasabb fok tagokat tartalmaz, azaz -nel osztva nullhoz tart, amint . Keressk a

fggvnyt polinom alakban. Nzzk meg, hogy a (23) sszefggs alapjn elrhet-e,

hogy a fggvny alak legyen. Mivel , azrt felttelezve,

hogy , a (23) bal oldala

msrszt a (23) jobb oldala

gy a kt oldalon szerepl -ed fok tagok egytthatit egyenlv tve az sszefggst

kapjuk, melybl a fggvny ismeretlen egytthatja meghatrozhat, ha

Ezzel azt kaptuk, hogy az egydimenzis esetben, ha a lineris rsz nem nulla, akkor minden magasabb fok tagkitranszformlhat. Pontosabban megfogalmazva a tagok eltntetse a kvetkezkppen trtnik. Elszr egy

fggvnyt vlasztunk, melyben . Ekkor a fggvny

alak s teljesti a (23) egyenletet, azaz . Ezutn a

fggvnyhez keresnk egy fggvnyt. Ebben

, ekkor alak s teljesti a (23) egyenletet, azaz .

Legyen most , ekkor , gy

Teht , ami azt jelenti, hogy a s lekpezsek egyms utni alkalmazsval kapott

transzformci mind a msodfok s a harmadfok tagokat kitranszformlja az sorfejtsbl. Az eljrst

folytatva, ha a fggvnyt, melyben csak -ed s magasabb fok tagok vannak, mr meghatroztuk,akkor a fggvny egytthatjnak megfelel vlasztsval elrhet, hogy a

egyenlet ltal meghatrozott fggvny sorfejtsben ne legyenek -nl kisebb fok tagok. gy vgl avgtelen kompozci segtsgvel az sszes nemlineris tag kitranszformlhat, azaz

fennll a (23) egyenlet a lineris fggvnnyel. Itt termszetesen krds a vgtelen kompozcikonvergencija, melyrl a szakasz vgn megfogalmazunk egy ttelt. A tovbbiakban a fenti eljrstkiterjesztjk az -dimenzis esetre.

Tekintsk teht az rendszert, melynek egyenslyi pontja az orig, s a linearizlssal kapott

Jacobi-mtrixrl tegyk fel, hogy diagonlis. Legyen teht

ahol


38/142


32


diagonlis s csak -ed fok tagokat tartalmaz, azaz

alak tagok lineris kombincija, ahol az -edik egysgvektor ( -edik koordintja 1, a tbbi

koordintja 0). Pldul , esetn az albbi trnek eleme:

Teht az rendszer az albbi alakba rhat

Tetszleges s esetn a hasonlan definilt

trnek eleme. Keressk a homeomorfizmust alakban, ahol is -ed foktagok lineris kombincija. Clunk a olyan vlasztsa, hogy a (23) egyenlet ltal meghatrozott

fggvnyre teljesljn. rjuk fel a (23) egyenlet bal s jobb oldalt.

mivel , az sorfejtsnek felhasznlsval. Msrszt

A jobb s bal oldal -ed fok tagjainak egytthatit egyenlv tve kapjuk a fggvnyre vonatkoz,gynevezett homologikus egyenletet

Vezessk be az lineris lekpezst, amely egy fggvnyhez a homologikus egyenlet baloldalt rendeli hozz, azaz

A homologikus egyenletnek teht pontosan akkor van minden esetn egyrtelm megoldsa, habijekci, azaz fennll a kvetkez llts.

3.2. llts Ha nem sajtrtke az lekpezsnek, akkor az -ed fok tagok kitranszformlhatk.

Nzzk meg, hogy hogyan hat az lekpezs a fenti megadsban szerepl bziselemekre. Ehhez

vezessk be az jellst.


39/142


33


3.9. Lemma

ahol az szmok az koordinti, az mtrix diagonlisban ll sajtrtkek.

Bizonyts. Most teht

gy

Msrszt

s

melyekbl


40/142


34


A fentiekbl

amit bizonytani akartunk. [QED]

A lemma szerint teht az lekpezs sajtrtkei a szmok, a sajtvektorai pedig az

alak fggvnyek. Mivel ezek a fggvnyek fesztik ki a teret, azrt pontosan annyi sajtrtkettalltunk meg, amennyi a tr dimenzija. gy az sszes sajtrtk alakban elllthat,ami azt jelenti, hogy amennyiben ezek nem nullk, akkor az lekpezs bijekci. Vezessk be ezensajtrtkek alapjn a kvetkez fogalmat.

3.10. Definci Az mtrix sajtrtkeit rezonnsaknak nevezzk, ha van olyan , s vannak

olyan nem negatv egszek, melyekre s .Amennyiben ez fennll, akkor az tagot rezonns tagnak hvjk.

Ha teht az mtrix sajtrtkeit nem rezonnsak, akkor az lekpezs bijekci. Ez pedig azt jelenti, hogymegadhat diffeomorfizmusok olyan sorozata, melyek kompozcijval az eredeti rendszer a sajt linerisrszvel -konjuglt, st -konjuglt. A vgtelen kompozci konvergencija megfelel felttelek mellett igazolhat, ezt fogalmazzuk meg az albbi ttelben.

3.11. Ttel (Poincar\`e ttele)

1. Ha sajtrtkei nem rezonnsak, akkor az egyenletbl minden tag kitranszformlhat, azazformlisan megadhat olyan transzformci, mellyel a rendszer ekvivalens az lineris rendszerrel,

ahol .

2. Ha sajtrtkei nem rezonnsak s a sajtrtkek halmaznak konvex burka nem tartalmazza -t -ben,

akkor s az origban loklisan -konjuglt.

3.3. Plda Ha a rendszer dimenzis, akkor msodfok rezonns tagok a kvetkezkppen fordulhatnak

el.

Ha pldul vagy , akkor az vlasztssal rezonancit kapunk, azaz az tagotnem lehet kitranszformlni.

3.3. 3.3 Feladatok


41/142


35


1. Ha a rendszer dimenzis, s az mtrix sajtrtkei , akkor az albbi tagok kzl melyekrezonnsak?

Vlasz: (C).

2. Ha a rendszer dimenzis, s az mtrix sajtrtkei , akkor az albbi tagok kzl melyekrezonnsak?

Vlasz: (C).

4. 4 Stabil, instabil s centrlis sokasg ttel

Lineris rendszerek esetben bevezettk a stabil, instabil s centrlis altereket a 2.8. Definciban. Ezen alterek

invarinsak, azaz a trajektrik nem hagyjk el azokat. Ebben a szakaszban megmutatjuk, hogy nemlinerisrendszerek esetben ezen alterek szerept a stabil, instabil s centrlis sokasg veszi t. A stabil s instabilsokasg ttel bizonytsa technikailag egyszerbb, az els szakaszban ezekkel fogunk foglakozni, a centrlissokasg ttelt kln szakaszban trgyaljuk.

4.1. 4.1 Stabil s instabil sokasg ttel

A ttel szemlletes megrtshez elszr vizsgljuk meg az albbi kt egyszer rendszert.

4.1. Plda Tekintsk a nyeregpontot meghatroz

lineris rendszert. Ebben a stabil altr, , a vzszintes koordinta tengely, az instabil altr, , pedig afggleges tengely, amint a 18. brn lthatjuk. Vegyk szre, hogy az s altereken kvl nincs msolyan egydimenzis altr, azaz orign thalad egyenes, amelyet a plyk nem hagynak el, azaz invarins lenne.

A stabil s instabil alterek a 4.1 pldban.

Az albbi plda azt mutatja, hogy a fenti lineris rendszer kis nemlineris perturbcija hogyan vltoztatja megaz invarins altereket.

4.2. Plda Tekintsk az


42/142


36


nemlineris rendszert. Az els egyenlet fggetlen a msodiktl, megoldsa . Ezt behelyettestve amsodik egyenletbe, inhomogn lineris egyenletet kapunk, melyet meg lehet oldani:

. Ezek a megoldsok teljestik az , kezdeti felttelt.

Vegyk szre, hogy amennyiben a kezdeti felttelre fennll, akkor minden idpontban igaz

. Azaz a

halmaz invarins, a plyk nem hagyjk el. Az ezen halmazbl indul trajektrik az orighoz tartanak, eztfogjuk stabil sokasgnak hvni, hiszen ez vette t a stabil altr szerept. Az instabil sokasgot egyszerbbmeghatrozni, hiszen a fggleges koordintatengely invarins, s ezen a trajektrik vgtelenhez tartanak, teht

az invarins sokasg ez esetben a altr. Az invarins sokasgokat a 19. bramutatja.

A stabil s instabil sokasgok a 4.2 pldban.

4.1.1. 4.1.1 ltalnos eset

A fenti motivl pldk utn trjnk r most az ltalnos eset trgyalsra. A sokasg fogalmnak technikairszleteit szeretnnk elkerlni, ezrt a sokasgokat fggvny grafikonnal fogjuk helyettesteni. Megjegyezzk,hogy a sokasg a grbe s a fellet fogalmt ltalnostja, gy az absztrakt fogalom helyett gondolhatunk ezekre,az rdekld Olvasnak ajnljuk Perko knyvnek [16] 2.7. fejezett.

Legyen folytonosan differencilhat fggvny, melyre . Azdifferencilegyenlet-rendszernek teht az orig egyenslyi pontja, egy pontbl indul megoldst szokott

mdon jelljn . Tegyk fel, hogy az Jacobi-mtrixnak nincs nulla valsrsz sajtrtke, azs stabil s instabil alterei pedig , illetve dimenzisak.

4.1. Ttel (Stabil s instabil sokasg ttel) Megadhat az orignak egy krnyezete, valamint vannak olyans folytonosan differencilhat fggvnyek, melyekkel a

-dimenzis loklis stabil sokasg s dimenzis loklis instabil sokasg rendelkezik az albbi

tulajdonsgokkal. (Megjegyezzk, hogy a fenti s vektornak koordintja, az s vektornakpedig koordintja van.)

1. pozitvan invarins, negatvan invarins.

2. Az origban rinti az alteret, pedig az alteret.

3. Ha , akkor .


43/142


37


4. Ha , akkor .

Bizonyts. Elegend a stabil sokasgra vonatkoz lltsokat igazolni, ugyanis az egyenlet stabil

sokasga megegyezik az egyenlet instabil sokasgval. A ttel stabil sokasgra vonatkoz rszthrom lpsben bizonytjuk.

1. Lps

Elszr a lineris rszt Jordan-normlalakra transzformljuk. Az mtrix Jordan-normlalakja:

ahol minden sajtrtke negatv valsrsz, s minden sajtrtke pozitv

valsrsz. Jellje azt a mtrixot, amely az mtrixot Jordan-normlalakra hozza, azaz

. Vezessk be az j vltozt. Ekkor

azaz

ahol s . A tovbbiakban tekintsk az fggvnyre vonatkoz egyenletet.Erre az egyenletre vonatkozan

Teht a (24) egyenletre vonatkozan az teret felbonthatjuk egy dimenzis altr s egy dimenzisaltr direkt sszegre. A stabil sokasghoz meg fogunk adni olyan vltozs

folytonosan differencilhat fggvnyeket, hogy a

halmaz pozitvan invarins legyen, s a belle indul trajektrik az orighoz tartsanak. A 20. brn az ,

esetben a fggvnyt lthatjuk, melynek grafikonja a kt dimenzis stabil sokasgot adja meg.


44/142


38


Mivel az j s rgi vltozt az sszefggs kti ssze, azrt a (24) egyenlethez tartoz loklis

stabil sokasgbl a lineris transzformcival kapjuk az eredeti egyenlet loklis stabilsokasgt. Teht elegend a Jordan-normlalak lineris rsszel rendelkez (24) egyenlet esetben igazolni a

ttelt. A tovbbiakban ezrt ezt az egyenletet tekintjk, s helyett a jellst hasznljuk.

2. Lps

Mivel a (24) rendszer direkt sszeg alak, azrt clszer az albbi jellsek bevezetse. Tetszlegesvektor esetn legyen , ahol

Legyen tovbb

Ha megoldsa a (24) rendszernek s , akkor az s fggvnyekre fennll

Alkalmazzuk a konstans varicis formult a (24) egyenletre, ekkor

melyben

A konstans varicis formult alkalmazhatjuk a (25) s (26) egyenletre is.


45/142


39


ahol

ezrt , azaz , s hasonl mdon miatt .

A stabil sokasg egy pontjban ,

s ez utbbiakat gy kell megvlasztani a szmokhoz, hogy a pontbl indul megolds az

orighoz tartson esetn, azaz fennlljon . A (28) kplet alapjn ez akkor llhat fenn, ha

, mivel a mtrixban szerepl mtrix sajtrtkei pozitv valsrszek,gy normja vgtelenhez tart. A vektor ilyen vlasztsa mellett

Helyettestsk ezt be az sszefggsbe, ekkor

A 3. Lpsben megmutatjuk, hogy az orig egy alkalmas krnyezett vlasztva, minden pont

esetn a fenti egyenletnek van megoldsa. Ezutn legyen , .

Az ezen fggvnyek segtsgvel definilt stabil altrre pedig teljeslnek a ttelben megfogalmazott

lltsok, ugyanis egy szintn a 3. Lpsben igazoland becsls alapjn, ha , akkor a (29)

megoldsaknt kapott fggvnyre , azaz . Msrszt a (29) fenti levezetsbl

lthat, hogy esetn nem teljeslhet, ezrt pozitvan invarins. Ugyanis, ha

egy pontbl indul megolds elhagyn a halmazt, akkor nem tarthatna nullhozesetn.

3. Lps

Igazoljuk, hogy ha a pont elg kzel van az orighoz, akkor van olyan fggvny, amelyre fennll a

(29) egyenlet, s erre a fggvnyre . Az fggvny ltezst szukcesszv approximcival

bizonytjuk. Vezessk be a folytonos, korltos fggvnyek tert, s azon az

normt. A (29) egyenlet jobb oldaln szerepl kifejezs alapjn vezessk be a

opertort. Nyilvnval, hogy az egsz tren rtelmezve van, s egyszeren igazolhat, hogy az trbekpez. Azt kell igazolnunk, hogy a lekpezsnek van fixpontja, amely teht megoldsa a (29) egyenletnek.


46/142


40


Legyen , , s kpezzk az rekurzival az fggvnysorozatot.Teljes indukcival igazolhat, hogy

ahol s olyan szmok, melyekkel minden esetn fennllnak az

becslsek, melyekben . Ebbl kvetkezik, hogy Cauchy-sorozat, gy mivel teljes

metrikus tr, azrt konvergl egy fggvnyhez. Igazolhat, hogy folytonos, ezrt az

rekurzibl esetn azt kapjuk, hogy , azaz megkaptuk a kvnt fixpontot. Ezenkvl

belthat, hogy minden esetn, gy ugyanez teljesl az fggvnyre is, ami anullhoz tartst igazolja. [QED]

4.1.2. 4.1.2 Globlis sokasgok

A s sokasg segtsgvel definilhatjuk a globlis sokasgokat. Ezek rendszerint mr nem adhatkmeg fggvnygrafikonknt, ezrt a tovbbiakban sokasgknt hivatkozunk rjuk. A stabil sokasgot gydefiniljuk, hogy a belle indul trajektrik az orighoz tartsanak. Mivel az orighoz tart plyk az origkzelben a loklis stabil sokasgban haladnak, azrt a globlis stabil sokasgot clszer a kvetkezkppendefinilni.

Az instabil sokasgot gy hatrozzuk meg, hogy a belle indul plyk esetn tartanak az orighoz.

Mivel az ilyen plyk az orig kzelben a loklis instabil sokasgban haladnak, azrt az instabil sokasgok akvetkezkppen definiljuk.

A globlis stabil s instabil sokasgnak kzs rsze is lehet, egy ilyen pldt mutat a 21 bra. Az ezenbemutatott rendszernek homoklinikus plyja van, amely mind a stabil, mind az instabil sokasgnak rsze.

4.2. 4.2 Centrlis sokasg ttel

A centrlis sokasg ttel megfogalmazsa eltt vizsgljuk meg a kvetkez pldt.

4.3. Plda Tekintsk az


47/142


41


rendszert, s vizsgljuk a loklis fziskpet a pont krnyezetben. A linearizlssal kapott Jacobi-mtrix

, ennek sajtrtkei s . Az orig teht nem hiperbolikus egyenslyi pont, gy a loklisfziskp linearizlssal nem hatrozhat meg. Mivel van egy negatv sajtrtk, azrt a stabil sokasg ttelszerint az origban a rendszernek van egy egydimenzis stabil sokasga, amelyben a plyk az orighoztartanak. A fejezet vgn meg fogjuk mutatni, hogy a sajtrtkhez tartoz sajtalteret rinti egy invarinscentrlis sokasg, amelyben a plyk viselkedse egy egyszer egyvltozs rendszer vizsglatval eldnthet.

4.2.1. 4.2.1 ltalnos megkzelts

Tekintsnk ismt egy alak ltalnos autonm rendszert, melyrl feltesszk, hogy az orig

egyenslyi pontja, azaz , , ahol sajtrtkei valsrszek, sajtrtkei

pedig nem valsrszek. A rendszer teht az jellssel az albbi alakba rhat.

ahol felttelezzk, hogy s derivltja az origban zrus.

4.2. Ttel (Centrlis sokasg ttel) Ltezik az orignak egy olyan krnyezete s ltezik olyan

differencilhat lekpezs, melyre fennllnak az albbiak.

1. , .

2. A loklis centrlis sokasg loklisan invarins, azaz ha s

, akkor .

Bizonyts. A ttel bizonytsa a technikai nehzsgek miatt meglehetsen hossz, itt csak az alapgondolatt

ismertetjk vzlatosan Chow s Hale knyve [6] alapjn. Tekintsnk egy pontbl indulmegoldst. Erre az invariancia miatt fennll

A msodik egyenletre alkalmazzuk a konstans varicis formult a kezdpontot vlasztva.

Legyen s helyettestsnk rtket a kpletbe.


48/142


42


Tekintsk azt az esetet, amikor sajtrtkei negatv valsrszek. (Az ltalnos eset hasonl mdon

trgyalhat.) Mivel a centrlis sokasgban halad megoldsokra idben visszafel haladva rtke nemtarthat vgtelenhez, azrt

gy a (34) egyenletbl

Adott fggvny esetn teht kpezzk a (32) differencilegyenlet megoldst az kezdetifelttellel, majd ennek segtsgvel definiljuk az albbi opertort.

Errl igazolhat, hogy egy megfelelen vlasztott Banach-tren kontrakci, gy a Banach-fle fixpontttelszerint van fixpontja, amely a kvnt fggvnyt adja. [QED]

A centrlis sokasg ttel az albbi kvetkezmnye, a redukcis ttel, segtsgvel alkalmazhat a loklisfziskp meghatrozsra. A ttel bizonytsa Carr [3] knyvben tallhat meg.

4.3. Ttel (Redukcis ttel) Tekintsk a (30)-(31) rendszert, amely teljesti a fent megadott feltteleket. Legyen

az origban a centrlis sokasgot meghatroz fggvny. Vezessk be az n. centrlis sokasg redukcivalaz albbi rendszert.

ahol teht a hiperbolikus rszben a lineris rszt hasznljuk. Ekkor a (30)-(31) rendszer s a (35)-(36) rendszerloklisan topologikusan ekvivalens az origban.

4.1. Megjegyzs Ez a ttel a HartmanGrobman-ttel ltalnostsa olyan esetre, amelynl a lineris rsz nemhiperbolikus. A ttel dimenzicskkentst tesz lehetv, hiszen az fggvnyre vonatkoz, alacsonyabbdimenzis rendszer fziskpnek meghatrozsval a teljes rendszer fziskpe meghatrozhat, mivel afggvnyre vonatkoz hiperbolikus lineris rendszer fziskpe egyszeren vizsglhat.

A tovbbiakban azt mutatjuk meg, hogy a redukcis ttel praktikusan hogyan alkalmazhat a loklis fziskpvizsglatra.

4.2.2. 4.2.2 A centrlis sokasg approximcija

A redukcis ttel alkalmazshoz ismerni kell a centrlis sokasgot megad fggvnyt, amelyet explicitmdon kivteles esetektl eltekintve nem tudunk kiszmtani. Ebben a szakaszban megmutatjuk, hogy acentrlis sokasg kzelt kiszmtsa is elegend a fziskp jellemzshez.

Vlasszunk egy centrlis sokasgon halad megoldst. Erre az invariancia miatt fennll

, melyet differencilva . gy


49/142


43


egy jabb egyenlet a fggvnyre. Br a Banach-fle fixpontttel alkalmazsra ez nem ad lehetsget, arra

alkalmas, hogy a sorfejtsnek ta

Documents

Differenciálegyenletek És Dinamikai Rendszerek 1