MATEMATIKUS MESTERSZAK: ZÁRÓVIZSGAKÉRDÉSEK DIFFERENCIÁLT

MATEMATIKUS MESTERSZAK: ZÁRÓVIZSGAKÉRDÉSEK

DIFFERENCIÁLT SZAKMAI ANYAG

A differenciált szakmai anyagból a záróvizsgára legalább 3 tárgyból legalább 20 kre-ditnyi, a teljes záróvizsgára legalább 40 kreditnyi anyagot kell kiválasztani.

ALGEBRA

C1. Fejezetek a csoportelméletből (kredit: 3 + 3) – Pálfy Péter PálTémakör: ALGEBRA

1/1. Permutációcsoportok: Primitív permutációcsoportok, osztályozásuk (O’Nan–Scott-tétel). Kétszeresen tranzitív permutációcsoportok, maximális permutációcsoportok.

1/2. A reprezentációelmélet alkalmazásai: Involúciócentralizátorok. A szimmetrikus cso-portok és SU(2) ábrázolásai.

1/3. Végtelen torziócsoportok: Burnside-problémák. Végesség kis exponensekre. Tarski-monster.

C2. Fejezetek a gyűrűelméletből (kredit: 3 + 3) – Ágoston IstvánTémakör: ALGEBRA

2/1. Homologikus algebra. (Derivált funktorok konstrukciója, az Ext és a Tor funktor.Modulusok bővítései és a Yoneda-szorzat.)

2/2. Homologikus dimenziók. (Projektív, injektív és globális dimenzió. Nevezetes sejté-sek. Hilbert tétele; Auslander tétele.)

2/3. A reprezentációelmélet elemei. (Gráfalgebrák és algebrák Gabriel-gráfja. Majdnemfölhasadó sorozatok és irreducibilis morfizmusok. Algebrák Auslander–Reiten-gráfja.Az első Brauer–Thrall-sejtés.)

C3. Kommutatív algebra (kredit: 3 + 3) – Károlyi GyulaTémakör: ALGEBRA

3/1. Lokalizáció. Ideálok primér felbontásának egyértelműsége.

3/2. Egész függőség és értékelések. Cohen–Seidenberg-tételek.

3/3. Noether- és Artin-gyűrűk. Hilbert bázistétele, Hilbert nullhelytétele. Primér fel-bontás Noether-gyűrűkben.

1

Matematikus mesterszak Záróvizsgakérdések Differenciált szakmai anyag

C4. Lie-algebrák (kredit: 3 + 3) – Pálfy Péter PálTémakör: ALGEBRA

4/1. Nilpotens és feloldható Lie-algebrák. Engel és Lie tételei. Killing-forma, Cartan-kritérium.

4/2. Féligegyszerű Lie-algebrák. Cartan-részalgebra. Felbontás gyökterek direkt ösz-szegére. Gyökrendszerek, Dynkin-diagramok. Klasszikus egyszerű Lie-algebrák akomplex test fölött.

4/3. Lie-algebra univerzális burkolóalgebrája. Poincaré–Birkhoff–Witt-tétel. Szabad Lie-algebra. Specht–Wever-tétel, Baker–Campbell–Hausdorff-formula.

C5. Univerzális algebra és hálóelmélet (kredit: 3 + 3) – Kiss EmilTémakör: ALGEBRA

Nincsenek még vizsgakérdések.

SZÁMELMÉLET

C6. Algebrai számelmélet (kredit: 3 + 3) – Zábrádi GergelyTémakör: SZÁMELMÉLET

6/1. Egész elemek gyűrűbővítésben, egész bázis létezése. Dedekind-gyűrűk, egyértelműprímfaktorizáció. Törtideálok, osztálycsoport.

6/2. Hilbert-féle elágazáselmélet, körosztási testek. p-adikus számok teste. Ostrowski-tétel.

6/3. Hensel-lemma, értékelések kiterjesztése. Lokális testek karakterizációja. Elágazásirészcsoportok, Kronecker–Weber-tétel.

C7. Exponenciális összegek a számelméletben (kredit: 3 + 0) – Sárközy AndrásTémakör: SZÁMELMÉLET

7/1. A Jensen–Ramanujan-formula. Additív karakterek, explicit alakjuk. Magasabbfokúkongruencia megoldásszáma, alkalmazások. Gauss-összegek, kiszamításuk előjeltőleltekintve.

7/2. Az (additív karaktereket tartalmazó) Vinogradov-lemma. a + b = cd megoldható-sága Zp nagy részhalmazaiban. Weil tétele additív karakterekre (bizonyítás nélkül).Kloostermann-összegek (részben bizonyítás nélkül).

7/3. Multiplikatív karakterek. Explicit alakjuk. Primitív karakterek. Gauss-összegekmultiplikatív karakterekkel, abszolút értékük primitív karakterekre. Formula addi-tív és multiplikatív karakterek kapcsolatára. A Pólya–Vinogradov-egyenlőtlenség, alegkisebb kvadratikus nemmaradék.

7/4. A nagy szita aritmetikai alakja, egy alkalmazás. A nagy szita analitikus alakja,Gallagher nagyobb szitája.

2


C8. Kombinatorikus számelmélet (kredit: 3 + 0) – Sárközy AndrásTémakör: SZÁMELMÉLET

8/1. A logikai szitaformula, számelméleti alkalmazásai. Az „egyszerű” Brun-szita kétalapelve. Az általános Brun-szita-tétel (bizonyítás nélkül), alkalmazásai. A számokpozitív százaléka p+ q alakú.

8/2. A Schnirelmann-sűrűség. Schnirelmann két tétele összegsorozat sűrűségére vonatko-zóan. Pozitív Schnirelmann-sűrűségű sorozat bázist alkot. Mann tetele (bizonyításnélkül).

8/3. {1, 2, . . . , 2N}-ből választható maximális primitív sorozat. Behrend tétele, Erdősprimitív sorozatokra vonatkozó tétele. Multiplikatív Sidon-sorozatok.

8/4. Van der Waerden és Szemerédi tételei (bizonyítások nélkül). Szemerédi tételének egyalkalmazása. Hilbert-kocka létezése sűrű sorozatokban, alkalmazás. Schur tétele, aFermat-kongruencia megoldhatósága.

C9. Multiplikatív számelmélet (kredit: 3 + 0) – Szalay MihályTémakör: SZÁMELMÉLET

9/1. Nagy szita, alkalmazások a prímszámeloszlásban. (Nagy szita: A ⊆ [M + 1, ...,

M +N ] esetén∑

q≤Q

∑

1≤a≤q

(a,q)=1

∣

∣

∣

∣

∑

n∈A

an · e2πina/q

∣

∣

∣

∣

2

felső és alsó becslése, |A| felső becslése,

ikerprímek, Brun–Titchmarsh-egyenlőtlenség.)

9/2. Partíciók, generátorfüggvény. (p(n) generátorfüggvénye, integrálformula. p(n)aszimptotikus becslése: Hardy–Ramanujan-tétel.)

9/3. Dirichlet tétele számtani sorozatok prímjeiről. (∑

p≤x

log pp ,

∑

p≤x

χ(p) log pp ,

∑

n≤x

χ(n)Λ(n)n ,

∑

d≤x

χ(d)d µ(d);

∞∑

n=1

χ(n)n 6= 0 (χ 6= χ0).)

9/4. Bevezetés az analitikus számelméletbe. (π(x), ϑ(x), ψ(x), Selberg-egyenlőtlenség, aprímszámtétel. ζ(s) és L(s, χ) Re s > 1-re, ζ(s) kiterjesztése Re s > 0-ra. 1/ζ(s),ζ ′(s)/ζ(s) Re s > 1-re. t 6= 0-ra ζ(1 + it) 6= 0.)

ANALÍZIS

C10. Analitikus fejezetek a komplex függvénytanból (kredit: 3+0) – Szőke RóbertTémakör: ANALÍZIS

3


10/1. Maximum-elv általánosításai, Phragmén–Lidelöf-tétel, Jensen-formula, Fatou-tétela radiális limeszről, előjeles mértékek Poisson-integrálja, hp-beli függvények jellem-zései.

10/2. Hardy-osztályok, Blaschke-szorzat, Riesz F. tétele Hp-függvények előállításáról, Ri-esz F. és M. tétel, Hp osztályok radiális limeszéről, Riesz F. és M. tétel, Riesz M.tétele: holomorf függvény valós része mikor hp-beli.

10/3. Bergman-terek: területi átlag, A2-tér, Bergman-mag, körlap Bergman-magja,Bergman-mag és konform leképezések, Dirichlet-feladat, Green-függvény, Suita-sejtés, Wiegerinck tétele.

C11. Banach*-algebrák ábrázolásai és absztrakt harmonikus analízis (kredit: 3+2) – Tarcsay ZsigmondTémakör: ANALÍZIS

11/1. Unitér ábrázolások Hilbert-összege. Unitér ábrázolás felbontása ciklikusak Hilbert-összegére. Csoport algebrai duálisa. Topologikus csoportok és egyenletesen folytonosfüggvények. Unitér ábrázolás folytonosságának jellemzése.

11/2. Lokálisan kompakt tér feletti folytonos függvények speciális tulajdonságai. KomplexRadon-mértékek lokálisan kompakt tereken. Pozitív Radon-mértékek. A paraméte-res integrálok folytonosságának tétele. Elemi Lebesgue–Fubini-tétel.

11/3. Invariáns Radon-mértékek és azok ábrázoláselméleti jelentősége. Egyoldali Haar-mérték létezése és egyértelműsége lokálisan kompakt csoporton. Lokálisan kompaktcsoport moduláris függvénye.

11/4. Konvolúció és lokálisan kompakt csoport mértékalgebrája. Delta-rendszerek. A mér-tékalgebra kommutativitásának és egységelemességének jellemzése. A harmonikusanalízis alaptétele.

11/5. A mértékalgebra hű ábrázolásának létezése. A harmonikus analízis Gelfand–Rajkov-tétele. Lokálisan kompakt csoport topologikus duálisa.

C12. Dinamikai rendszerek és differenciálegyenletek 1 (kredit: 3 + 3) – SimonPéterTémakör: ANALÍZIS

12/1. Dinamikai rendszerek ekvivalenciái. Lineáris rendszerek topologikus osztályozása.

12/2. Lokális vizsgálat egyensúlyi pontban. Hartman–Grobman-tétel. Stabil és instabilsokaság tétel. Centrális sokaság és redukciós tétel.

12/3. Periodikus megoldások. Feltételek periodikus pálya létezésére és nem létezésére kétdimenzióban. Periodikus pálya stabilitása. Az index alkalmazása a fáziskép vizsgá-latára.

12/4. Diszkrét dinamikai rendszer periodikus megoldásai. Periódus kettőződés. A kaoti-kus pálya fogalma. Szimbolikus dinamika alkalmazása kaotikus pálya létezésénekbizonyítására. A logisztikus és a sátor leképezés.

4


C13. Dinamikai rendszerek és differenciálegyenletek 2 (kredit: 3 + 0) – SimonPéterTémakör: ANALÍZIS

13/1. Bifurkáció fogalma, egyszerű bifurkációk. Lokális bifurkáció szükséges feltételei. Anyereg-csomó bifurkáció elégséges feltétele. Az Andronov–Hopf-bifurkáció normál-formája és elégséges feltétele.

13/2. Strukturális stabilitás fogalma, bifurkáció kodimenziója. Strukturális stabilitásszükséges és elégséges feltétele egy dimenzióban. Strukturálisan stabil rendszerekkét dimenzióban.

13/3. Reakciódiffúzió egyenletek. Stacionárius megoldás fogalma. A stacionárius megoldásmeghatározása és stabilitásának vizsgálata egydimenziós térbeli tartomány esetén.

C14. Dinamikus rendszerek (kredit: 3 + 0) – Buczolich ZoltánTémakör: ANALÍZIS

14/1. Példák dinamikai rendszerekre. A logisztikus függvénycsalád tulajdonságai. Bifur-kációtípusok. γ > 2 +

√5 esetén káosz az invariáns taszító hiperbolikus halmazon.

14/2. Szimbolikus dinamika. Topologikus tranzitivitás. Shift terek. Alkalmazás adattáro-lásra.

14/3. Topologikusan konjugált rendszerek. Kezdeti feltételektől való érzékeny függés. Ka-otikusság. Strukturális stabilitás.

14/4. Dinamikus rendszerek és fraktálok. A Mandelbrot halmaz. A Hausdorff mérték ésdimenzió definíciója. Iterált függvény rendszerek. Kapcsolat dinamikus rendszerek-kel. Önhasonló halmazok.

C15. Diszkrét dinamikus rendszerek (kredit: 3 + 0) – Buczolich ZoltánTémakör: ANALÍZIS

15/1. Példák és azok tulajdonságai: Em, a topologikus Bernoulli-shift, irracionális forga-tások. A kör homeomorfizmusai, forgatási szám, ω-limesz halmazok.

15/2. Invariáns mértékek. Krylov-Bogolubov tétel. Minimális homeomorfizmusok és in-variáns mértékek. Kompakt Abel-csoportok forgatásai, egyféleképpen ergodikustranszformációk és minimalitás.

15/3. Unimodális leképezések. Gyúró sorozat (kneading sequence). Szimbolikus pályákelőjeles lexikografikus rendezése. A megengedett szimbolikus pályák halmazánakkarakterizációja.

15/4. A topologikus entrópia definíciói és tulajdonságai. Intervallumleképezések cikk-cakkszáma. Markov-gráfok, Sharkovszkij-tétel. Az ergodelmélet alapjai.

C16. Elliptikus parciális differenciálegyenletek numerikus módszerei és alkal-mazásai 1 (kredit: 3 + 2) – Karátson JánosTémakör: ANALÍZIS

5


16/1. A véges differenciák módszere. (A módszer konstrukciója téglalapon, a lineárisrendszer tulajdonságai. Stabilitás és konvergencia. Általánosabb feladatok.)

16/2. A végeselem-módszer. (A módszer elméleti alapjai, konstrukció 1 és magasabb di-menzióban. Nevezetes bázisfüggvények. A konvergencia és becslései, rendje.)

16/3. A többrácsos (multigrid-)módszer. (A módszer alapelve. Simító iterációk, V- ésW-ciklusok. A módszer konvergenciája.)

C17. Elliptikus parciális differenciálegyenletek numerikus módszerei és alkal-mazásai 2 (kredit: 3 + 0) – Karátson JánosTémakör: ANALÍZIS

17/1. Nem szimmetrikus elliptikus feladatok végeselemes megoldása, konvekció-diffúziósegyenletek, áramvonal-menti végeselem-módszer.

17/2. Nyeregpont-feladatok, az áramlástani Stokes-feladat és végeselemes megoldása,Uzawa-iteráció.

17/3. Nemlineáris elliptikus feladatok végeselemes megoldása: konstrukció, konvergencia,Newton-iteráció.

C18. Ergodelmélet (kredit: 3 + 0) – Buczolich ZoltánTémakör: ANALÍZIS

18/1. Ergodikusság, von Neumann L2-ergodtétel, Birkhoff–Hincsin pontonkénti ergodté-tel, ergodikussággal ekvivalens tulajdonságok. Példák ergodikus transzformációkra.

18/2. Poincaré visszatérési tétel. Hincsin tétele halmazok visszatéréséről. Halmos tételea visszatéréssel ekvivalens tulajdonságokról. Indukált transzformáció mértéktartásaés ergodikussága. Kac lemma. Kakutani–Rohlin-lemma.

18/3. Keverés. Rényi tétele erősen keverő transzformációkról. Koopman–von Neumann-lemma. Gyenge keveréssel ekvivalens tulajdonságok. Példák erősen és gyengénkeverő transzformációkra.

18/4. Banach-elv. Integrálok differenciálása. Wiener lokális ergodtétele. Lebesgue terek.A feltételes várható érték tulajdonságai. Felosztás és egy transzformáció metrikusentrópiájának definíciója. Bernoulli shift entrópiája.

18/5. Feltételes információ és entrópia. Tulajdonságok. Nulla feltételes entrópiával ekvi-valens állítás. Véges mérhető felosztások függetlenségével ekvivalens tulajdonságok.Entrópia metrika. h(α, T ) ekvivalens megadásai. Kolmogorov–Szináj tétele generá-torokról.

C19. Geometriai fejezetek a komplex függvénytanból (kredit: 3+0) – Sigray IstvánTémakör: ANALÍZIS

6


19/1. Kapacitás. Csebisev-konstans. Transzfinit átmérő. Green-függvény. Konform sugár.

19/2. Koebe torzítási tételei. Területi elv. Egyrétű függvények együtthatóinak a becslése.Bieberbach-sejtés.

19/3. Terület-ívhossz elv. Extremális hossz. Négyszögek és gyűrűk modulusa. Kvázikon-form leképezések. Kvázikonform leképezés kiterjesztése a határra. Kváziszimmetri-kus függvények. Kvázikonform görbék.

C20. Geometriai mértékelmélet (kredit: 4 + 3) – Keleti TamásTémakör: ANALÍZIS

20/1. Determinisztikus és véletlen fraktálok. (Önhasonlóság. Hasonlósági-, Hausdorff-,box- és pakolási dimenzió. Szorzatok dimenziói. Mandelbrot-halmaz. Julia-halmaz.Brown-mozgás. Mandelbrot-féle fraktál perkoláció, fázisátmenet.)

20/2. Kakeya halmazok. (Körner konstrukciója. A Kakeya–Besicovitch–Nikodym–Cunningham–Davies-tételkör. Falconer napóra tétele. A síkbeli Besicovitch-halmazok Hausdorff-dimenziója.)

20/3. Vetítési tételek. (Frostman-lemma. Az s-dimenziós energia. Mértékek Fourier-transzformáltja. Alkalmazás a vetület Hausdorff-dimenziójának kiszámítására. Rek-tifikálhatóság ekvivalens definíciói.)

20/4. Lefedési tételek, maximáloperátorok és integrálok differenciálása. (Az 5r lefedésitétel. Maximálegyenlőtlenség. Integrálok differenciálása és sűrűségi tételek a re-guláris, az erős és a téglalap bázis szerint. A Vitali- és a Besicovitch-féle lefedésitétel.)

C21. Időfüggő parciális differenciálegyenletek numerikus módszerei és alkal-mazásai 1 (kredit: 3 + 2) – Izsák FerencTémakör: ANALÍZIS

21/1. Teljes diszkretizáció és szemidiszkretizáció. Az ezekkel kapott egylépéses sémáknorma-konzisztenciájának és (feltételes) stabilitásának fogalma. A Lax-féle ekviva-lenciatétel.

21/2. Stabilitásvizsgálati módszerek: elégséges feltétel stabilitásra, vizsgálat Fourier-transzformációval és Gersgorin-tétellel. Nevezetes eredmények az diffúziós egyen-letre vonatkozó explicit sémákra, explicit upwind és downwind sémák stabilitásaállandó együtthatós áramlási feladatokra. A Crank-Nicolson-séma és tulajdonságai.

21/3. ADI típusú sémák és stabilitásuk. A Lax-Wendroff-séma. Probléma a peremfelté-telekkel az advekciós feladat esetében. A periodikus peremfeltételhez tartozó lépés-mátrixok szerkezete.

C22. Időfüggő parciális differenciálegyenletek numerikus módszerei és alkal-mazásai 2 (kredit: 3 + 2) – Izsák FerencTémakör: ANALÍZIS

7


22/1. Rendszerek és többlépéses sémák kapcsolata. Alkalmazás a hullámegyenlet numeri-kus megoldására, inicializáció, módosított Lax-tétel.

22/2. Megmaradási egyenletek megoldása. Fluxus, konzervatív séma fogalma. A Lax–Wendroff-tétel. Godunov-séma levezetése. Monoton, TVD sémák fogalma és kap-csolata.

C23. Komplex dinamika (kredit: 3 + 0) – Sigray IstvánTémakör: ANALÍZIS

23/1. Julia- és Fatou-halmazok. Sima Julia-halmazok. Vonzó fixpontok. Koenigs line-arizációs tétele. Szupervonzó fixpontok. Böttcher tétele. Parabolikus fixpontok.Leau–Fatou-tétel. Cremer-pontok és Siegel körök.

23/2. Holomorf fixpontformula. Nevezetes sűrű részhalmazok a Julia-halmazban. Her-man-gyűrűk. Polinomok iterációja. A Mandelbrot-halmaz. A Newton-iteráció.

C24. Komplex sokaságok (kredit: 4 + 3) – Szőke RóbertTémakör: ANALíZIS

24/1. Komplex sokaság, részsokaság (inverz és implicit függvény tétele, komplex részso-kaság, sokaság, nemelfajuló leképezések, Clements–Osgood-tétel, projektív algebraisokaságok, fokszám-nem formula).

24/2. Analitikus halmazok (sima és szinguláris pontok, Riemann kiterjeszési tételei, ana-litikus halmazok a komplex projektív térben, analitikus hiperfelület foka, Cartan–Remmert–Stein-lemma, Remmert–Stein tétele, Chow-tétel).

24/3. Holomorf függvények lokális viselkedése (függvénycsírák, Weierstrass előkészítési té-tele, az nO0 gyűrű tulajdonságai, lokális paraméterezés tétele, gyenge nullstellensatz,analitikus hiperfelület minimális definiáló függvénye).

24/4. Holomorf vektornyalábok (holomorf vektornyalábok, H0(M,E) dimenziója, O(k)nyalábok és holomorf szeléseik, analitikus hiperfelülethez asszociált holomorf nyaláb,Lévi kiterjesztési tétele, holomorf vonalnyalábon definiálható komplex struktúrák,sima vonalnyalábon mikor létezik holomorf struktúra).

C25. Leíró halmazelmélet (kredit: 4 + 3) – Elekes MártonTémakör: ANALíZIS

25/1. Lengyel terek és kompakt metrikus terek, Baire kategóriatétele. (Ekvivalens definí-ciók, példák, alterek, szorzatok, két értelemben maximális terek. Cantor-halmazok,perfekt sémák, Cantor–Bendixson tétel. Baire kategória tétele, tipikus objektumok,Baire-tulajdonság, Kuratowski–Ulam-tétel és alkalmazásai.)

25/2. Borel-halmazok és Baire-függvények. (Borel-hierarchia, univerzális halmazok, re-dukció és szeparáció, Borel- és Baire-függvényosztályok, Baire-1 függvények, Gra-fikon tétel, Borel-izomorfizmusok, sztenderd Borel-terek. Borel-halmaz számosságaés Borel-halmazok rendszerének számossága. Borel-halmazok injektív Borel-képe.)

8


25/3. Analitikus halmazok (Ekvivalens definíciók, szeparáció-tétel, univerzális halmazok,finomabb topológiák módszere és alkalmazásai, játékok módszere és alkalmazásai.)

25/4. További fejezetek. (Determináltság, Martin tételei, teljes analitikus és koanalitikushalmazok, példák, uniformizációs tételek, koanalitikus rangok, Silver tétele.)

C26. Lineárs parciális differenciálegyenletek (kredit: 3 + 3) – Simon LászlóTémakör: ANALÍZIS

26/1. Szoboljev-terek: Fourier-transzformáció, kiterjesztési operátor, nyom operátor.

26/2. Lineáris elliptikus peremérték-feladatok gyenge megoldása, sajátérték-feladat. Aperemérték-feladatok és sajátérték-feladatok variációs értelmezése.

26/3. Kezdeti-peremérték-feladatok lineáris hiperbolikus és parabolikus egyenletekre: agyenge megoldás egyértelműsége, létezése: Fourier-módszer, Galjorkin-módszer.

C27. Nemkorlátos operátorok Hilbert-térben (kredit: 3 + 0) – Sebestyén ZoltánTémakör: ANALÍZIS

27/1. Adjungált operátor (Neumann) értékkészlete, zártsága.

27/2. Második adjungált és a lezárhatóság.

27/3. Önadjungált operátor jellemzése. TT ∗ és T ∗T mint önadjungált operátorok. Tzártsága.

27/4. Pozitív önadjungált operátorok mint pozitív szimmetrikus operátorok kiterjesztései:Krein–Neumann- és Friedrichs-kiterjesztések.

C28. Nemlineáris és numerikus funkcionálanalízis (kredit: 3+3) – Karátson JánosTémakör: ANALÍZIS

28/1. Nemlineáris operátorok elméletének alapjai (Gateaux-derivált, konvex funkcionálok,potenciáloperátorok, funkcionálok minimuma, dualitás).

28/2. Megoldhatósági eredmények (nemlineáris operátoregyenletek potenciálos és nem po-tenciálos esetben, nemlineáris parciális direnciálegyenletek, a p-Laplace-egyenlet).

28/3. Közelítő módszerek operátoregyenletek megoldására (Ritz–Galjorkin-módszer, gra-diens-módszer, Newton-típusú módszerek).

C29. Nemlineárs parciális differenciálegyenletek (kredit: 3 + 0) – Simon LászlóTémakör: ANALÍZIS

29/1. Nemlineáris elliptikus egyenletekre vonatkozó peremérték-feladatok vizsgálata a mo-noton típusú operátorok elméletének felhasználásával.

29/2. Nemlineáris elsőrendű; evolúciós (parabolikus) egyenletek vizsgálata a monoton tí-pusú operátorok segítségével.

9


C30. Numerikus modellezés és közönséges differenciálegyenletek numerikusmegoldási módszerei 1 (kredit: 3 + 3) – Faragó IstvánTémakör: ANALÍZIS

30/1. Az egylépéses numerikus módszerek és vizsgálatuk. (Euler típusú módszerek. Kon-zisztencia, stabilitás, konvergencia. Merev feladatok. A-stabilitás)

30/2. Runge–Kutta típusú módszerek és vizsgálatuk. (Explicit és implicit RK módszerek,konzisztencia rend, A-stabilitás.)

C31. Numerikus modellezés és közönséges differenciálegyenletek numerikusmegoldási módszerei 2 (kredit: 3 + 2) – Faragó IstvánTémakör: ANALÍZIS

31/1. Lineáris többlépéses módszerek és vizsgálatuk. (Adams típusú módszerek, rend,stabilitás. BDF típusú módszerek és rendjük, abszolút stabilitási tartomány és A-stabilitás.)

31/2. Peremérték-feladatok numerikus megoldása. (A folytonos feladat megoldhatósága,belövéses módszer, véges differenciás módszer)

C32. Operátorfélcsoportok (kredit: 3 + 3) – Sikolya EszterTémakör: ANALÍZIS

32/1. Motiváló példák (korlátos generátor, eltolás - és szorzásfélcsoport, hővezetési egyen-let, stb.).

32/2. Alapfogalmak (generátor, rezolvens, Cauchy-feladat, megoldásfogalmak). Alaptu-lajdonságok és jóldefiniáltság, Laplace-transzformáció.

32/3. Hille–Yosida- és Lumer–Phillips-tételek.

32/4. Spektrum és aszimtotika (növekedési ráta, spektráltartalmazási tételek, Datko-tétel,stabilitásfogalmak példákkal).

32/5. Perturbációk és approximációk (korlátos perturbáció, Trotter–Kato-tételek, Cher-noff-tétel).

C33. Riemann-felületek (kredit: 3 + 0) – Szőke RóbertTémakör: ANALÍZIS

33/1. Riemann-felületek elemi tulajdonságai. (Példák Riemann-felületekre, holomorf leké-pezések elemi tulajdonságai, Riemann–Hurwitz tétel, holomorf fedések, fedőcsoport.Analitikus folytatás, monodrómia tétel.)

33/2. Dirichlet feladat. (Szubharmonikus függvények, Harnack-tétel, Dirichlet-feladat,Radó-tétel, Green-függény, harmonikus mérték, maximum elvek.)

10


33/3. Uniformizációs tétel. (Hiperbolikus és parabolikus Riemann-felületek, egyszere-sen összefüggő Riemann-felületek osztályozása, holomorf és meromorf 1-formákRiemann-felületen, reziduum tétel, véges sok helyen megadott értékeket felvevő me-romorf függvény konstrukciója.)

33/4. Algebrai görbék és Riemann-felületek. (Irreducibilis polinom Riemann-felülete,kompakt Riemann-felületeken a meromorf függvények teste, mint a racionális függ-vénytest véges bővítése, kompakt Riemann-felület, mint algebrai görbe.)

C34. Speciális függvények (kredit: 3 + 0) – Tóth Árpád (Bíró András)Témakör: ANALÍZIS

34/1. Gammafüggvény: definíció, függvényegyenletek, integrálformulák, aszimptotika anyeregpontmódszer alkalmazásával.

34/2. Zetafüggvény: sor- és szorzatelőállítás, függvényegyenlet, ζ(1 + it) 6= 0 valós t-re, aprímszámtétel egy változata.

34/3. Elliptikus függvények: tórusz reziduumtétele, függvény rendje, speciális elliptikusfüggvények, elliptikus függvények teste.

34/4. Moduláris formák: θ-függvény függvényegyenlete, moduláris forma fogalma, vi-selkedése csúcsokban, alkalmazás a négy négyzetszám tételre.

C35. Topologikus vektorterek és Banach-algebrák (kredit: 3 + 3) – Tarcsay Zsig-mondTémakör: ANALÍZIS

35/1. Topologikus vektorterek, metrizálható topologikus vektorterek és lokálisan konvexterek.

35/2. Lokálisan konvex terek duálisa, konvex halmazok szétválasztása és a Krein-Milmantétel.

35/3. Duális párok, poláláris halmazok, és a Banach-Alaoglu tétel.

35/4. Korlátos halmazok, poláris és kompatibilis topológiák, és a Mackey-Arens tétel.

35/5. Bornologikus és hordós terek, a Banach-Steinhaus tétel topologikus vektorterekre.

GEOMETRIA

C36. Alacsony dimenziós sokaságok (kredit: 3 + 0) – Stipsicz András, Szűcs AndrásTémakör: GEOMETRIA

11


36/1. Sokaságok fogantyúfelbontásai. 3-sokaságok Heegaard-felbontása és Heegaard-diagramok. A Reidemeister–Singer-tétel azon Heegaard-diagramokról, melyek dif-feomorf sokaságot határoznak meg.

36/2. 4-sokaságok metszetformája, szingatúrája. Kirby-diagramok és Kirby-mozgások.Kirby tétele azon Kirby-diagramokról, melyek diffeomorf sokaságot határoznak meg.Példák.

36/3. Egyszeresen összefüggő 4-sokaságok topológiája, Freedman tétele. Indefinit metszet-formák osztályozása, Donaldson nem-diagonalizalhatósági tétele.

36/4. Csomók, vetületeik, Reidemeister-mozgások és Reidemeister tétele. Seifert-felületek,a Seifert-génusz és a Seifert-forma. Az Alexander-polinom. Az Alexander-polinomáltal adott becslés a Seifert-génuszra. Tórusz-csomók.

C37. Algebrai és differenciáltopológia (kredit: 6 + 3) – Szűcs AndrásTémakör: GEOMETRIA

37/1. Immerzióelmélet. (Smale, Hirsch, Gromov tételei.)

37/2. h-kobordizmus-tétel és az általánosított Poincaré-sejtés.

37/3. Vektornyalábok és karakterisztikus osztályok. (Vektornyalábok osztályozása. AWhitney-tétel éles. Karakterisztikus számok és kobordizmusok.)

C38. Algebrai geometria (kredit: 3 + 3) – Némethi AndrásTémakör: GEOMETRIA

38/1. Affin sokaságok, részsokásagok és algebrai leírásuk, Zariski-topológia, Hilbert-féleNullstellensatz.

38/2. Projektív sokaságok, egy sokaság gradált gyürűje.

38/3. Reguláris leképezések, biracionális leképezések, sima es szinguláris pontok projek-tív síkgörbék, lokális metszetmultiplicitás, Bézout tétele, harmadfokú sima görbecsoportstruktúrája, Weil- és Cartier-divizorok, divizor osztálycsoportok, vonalnya-lábok, Picard-csoport.


C39. Analitikus konvex geometria (kredit: 3 + 2) – Ifj. Böröczky Károly / SzabóLászlóTémakör: GEOMETRIA

39/1. Konvex testek vetületei és alterekkel vett metszetei. Ellipszoid karakterizációs téte-lek.

39/2. Vegyes térfogatok. Minkowski tétel. Alapmértékek. Konvex testek felszíne. Cauchy-formula. Kubota-formula. Átlagos szélesség.

39/3. Geometriai egyenlőtlenségek. Brunn–Minkowski-egyenlőtleség. Minkowski-egyen-lőtlenségek. Az izoperimetrikus és izodiametrikus egyenlőtlenségek. Rogers–Shepard-egyenlőtlenség. Steiner-szimmetrizáció. Blaschke–Santaló-egyenlőtlenség.

12


C40. Differenciáltopológia gyakorlat (kredit: 0 + 3) – Szűcs AndrásTémakör: GEOMETRIA

Csak a szakmai törzsanayag megfelelő tárgyával együtt vehető föl.

C41. Diszkrét geometriai problémák (kredit: 3 + 2) – Naszódi MártonTémakör: GEOMETRIA

41/1. Ekvilaterális halmazok és antipodalitás (Petty, Danzer–Grünbaum tételei, Brassbecslése). Megvilágítás (ekvivalens definíciók), általános eredmények.

41/2. Frakcionális Helly-tétel, színes Carathéodory-tétel, Tverberg tétele. Kiválasztásilemmák.

41/3. VC-dimenzó (pl. algebrai halmazok), epszilonháló-tétel, képtárprobléma.

C42. Geometriai modellezés (kredit: 3 + 0) – Verhóczki LászlóTémakör: GEOMETRIA


C43. Kombinatorikus konvex geometria (kredit: 3 + 2) – Ifj. Böröczky KárolyTémakör: GEOMETRIA


C44. Lie-csoportok (kredit: 3 + 2) – Verhóczki LászlóTémakör: GEOMETRIA

44/1. Lie-csoport Lie-algebrája. Egységkomponens, fedőcsoportok. Exponenciális leké-pezés, adjungált reprezentáció. Univerzális burkoló algebra, a Hausdorff-Campbell-Baker-sor felírása Lie-hatványsorként. Egy Lie-algebrához tartozó összefüggő és egy-szeresen összefüggő Lie-csoport létezése és unicitása. Cartan tétele a zárt részcso-portokról.

44/2. Nilpotens, feloldható és féligegyszerű Lie-algebrák. Radikál, nilradikál. LineárisLie-algebrák, irreducibilis lineáris Lie-algebrák. Reduktív Lie-algebrák. Lie tétele,Jacobson tétele, Engel tétele. Reprezentáció nyomformája, Killing-forma. Cartanfeloldhatósági és féligegyszerűségi kritériumai.

13


C45. Riemann-geometria 1 (kredit: 3 + 2) – Csikós BalázsTémakör: GEOMETRIA

45/1. A Riemann-sokaságon értelmezett Levi-Civita-konnexió, a Koszul-formula. Párhu-zamos eltolás egy görbe mentén. Holonómiacsoport. A Riemann-féle görbületi ten-zor szimmetriái, Bianchi-azonosságok. A síkálláshoz tartozó szekcionális görbület.Ricci-görbület, skalárgörbület, Weyl-tenzor.

45/2. Geodetikus görbék. Exponenciális leképezés. Ívhosszra vonatkozó első variációs for-mula. Gauss-lemma. Geodetikusan konvex környezetek. Az összefüggő Riemann-sokaság teljességével kapcsolatos Hopf–Rinow-tétel. Az ívhosszra vonatkozó máso-dik variációs formula. Jacobi-mezők, konjugált pontok. Morse-féle indexforma ésindextétel.

C46. Riemann-geometria 2 (kredit: 3 + 2) – Csikós BalázsTémakör: GEOMETRIA

46/1. Myers tétele. Hadamard-sokaságok, Cartan–Hadamard-tétel. A Cartan–Ambrose–Hicks-tétel. A teljes, egyszeresen összefüggő, állandó görbületű terek osztályozása.

46/2. Részsokaságon indukált konnexió. Konnexió a részsokaság normális nyalábján.A második alapforma, a Weingarten-egyenlet, a Gauss- és Codazzi–Mainardi-egyenletek. A térfogat első variációja, minimál-részsokaságok.

C47. Sűrűségi problémák a diszkrét geometriában (kredit: 3+2) – Naszódi MártonTémakör: GEOMETRIA

47/1. Rácsszerű elrendezések, fedési és pakolási kérdések a síkon: alsó és felső becslések.Minkowski alaptétele, Fáry, Dowker és Fejes Tóth László tételei.

47/2. Politópokkal közelítés: Sas és Macbeath tételei. Bárány–Füredi és Elekes tételei.Számítástudományi következmények.

47/3. John tétele konvex testben található legnagyobb ellipszoid érintési pontjairól,Brascamp–Lieb-egyenlőtlenség, affin izoperimetrikus probléma. Fedési sűrűség defi-níciója. Rogers fedési tételének különböző megközelítései.

C48. Szimmetrikus terek (kredit: 3 + 2) – Verhóczki LászlóTémakör: GEOMETRIA

48/1. A homogén Riemann-tér fogalma. A Lie-csoport és részcsoportja által meghatáro-zott hányadostér, a differenciálhatósági struktúra értelmezése. A hányadostéren acsoporthatással szemben invariáns Riemann-metrika létezésének a feltétele. A biin-variáns Riemann-metrikával ellátott kompakt Lie-csoport.

48/2. A szimmetrikus Riemann-tér fogalma. A Riemann-féle szimmetrikus hármas, azinvariáns Riemann-metrikával ellátott hányadostér, mint szimmetrikus tér. Az ex-ponenciális leképezés és a görbületi tenzor jellemzése. Kompakt típusú, nemkompakttípusú és euklideszi típusú szimmetrikus terek.

14


C49. Szingularitások topológiája (kredit: 3 + 0) – Némethi András, Szűcs AndrásTémakör: GEOMETRIA

49/1. Lokális szingularitás definíciója, síkgörbe-szingularitások, multiplicitás, delta inva-riáns, metszetmultiplicitás, csomó és beágyazott csomó.

49/2. Milnor-fibrálás, Milnor-fibrum, Milnor-szám, normál felületszingularitások, rezolú-ció, egy rezolúció gráfja, normál felületszingularitások csomóinak osztályozása.

C50. Véges geometria (kredit: 3 + 0) – Kiss GyörgyTémakör: GEOMETRIA

50/1. Projektív síkok koordinátázása. A koordinátastruktúra algebrai tulajdonságainakkapcsolata a nevezetes záródási tételekkkel.

50/2. Ívek, lefogó ponthalmazok, magpontok (Segre lemmája az érintőkről, teljes ívekhezrendelt algebrai görbék, a Rédei-polinom néhány alkalmazása).

50/3. A véges geometriák néhány kombinatorikaialkalmazása.

SZTOCHASZTIKA

C51. Áringadozások (kredit: 6 + 0) – Zempléni AndrásTémakör: SZTOCHASZTIKA


C52. Bevezetés az információelméletbe (kredit: 3 + 0) – Csiszár VillőTémakör: SZTOCHASZTIKA

52/1. Információelméleti mennyiségek (entrópia, kölcsönös információ, divergencia) végesértékkészletű valószínűségi változókra, Fano-egyenlőtlenség. Diszkrét források egyér-telműen megfejthető, illetve prefix kódolása. A differenciális entrópia és a kölcsönösinformáció abszolút folytonos eloszlású valószínűségi változókra.

52/2. Információstabilis források állandó hosszúságú kódolása hibával. A hibaexponensmeghatározása emlékezet nélküli forrásra. A Slepian–Wolf-tétel megosztott forrásokkódolására (véletlen választás módszere).

52/3. Emlékezet nélküli csatorna kapacitása, az Arimoto–Blahut-algoritmus. Csatornakó-dolási tétel. Visszacsatolásos csatorna. A bináris szimmetrikus csatorna hibaexpo-nense. Az additív Gauss-zajú csatorna kapacitása.

15


C53. Élettartamadatok elemzése (kredit: 3 + 0) – Móri TamásTémakör: SZTOCHASZTIKA


C54. Független növekményű folyamatok, határeloszlás-tételek (kredit: 3 + 0) –Prokaj VilmosTémakör: SZTOCHASZTIKA

54/1. Korlátlanul osztható eloszlások: Lévy-Hincsin formula, stabilis eloszlások.

54/2. Poisson pontfolyamat, véletlen pontmérték, független növekményű folyamat felbon-tása ugró és Gauss részre.

C55. Idősorok elemzése 1 (kredit: 3 + 0) – Márkus LászlóTémakör: SZTOCHASZTIKA

55/1. Stacionárius folyamatok alapfogalmai. Autokorreláció. Spektrálelőállítás, spekt-rálsűrűségfüggvény. Stacionárius folyamatok modelljei: autoregressziós (AR(p)),mozgóátlag (MA(q)), ARIMA(p,d,q), ARCH(p), GARCH(p,q), bilineáris, véletlenegyütthatós AR, és a SETAR folyamatok, stacionaritása és a stacionárius eloszlástulajdonságai. Sztochasztikus rekurziós egyenletek stacionárius megoldásának léte-zési feltétele Ljapunov-exponenssel, Kesten-Vervaat-Goldie tétel reguláris változásúeloszlással bíró stacionárius megoldás létezéséről, alkalmazás ARCH(1)-re.

55/2. Idősorok becsléselmélete: Az átlag és az autokovariancia függvény becslése, tulaj-donságai és határeloszlása (ARCH eset is). Paraméterbecslés AR és MA folyamatra.Rendszelekció Akaike és Bayes információs kritériumok. A periodogram a diszkrétspektrum becslésére, Fisher-teszt. Spektrálsűrűségfüggvény becslése ablakolással,tulajdonságok. Előfehérítés módszere, CAT kritérium.

C56. Idősorok elemzése 2 (kredit: 3 + 0) – Márkus LászlóTémakör: SZTOCHASZTIKA


C57. Információelméleti módszerek a statisztikában (kredit: 3 + 0) – Szabó IstvánTémakör: SZTOCHASZTIKA


16


C58. Kriptográfia (kredit: 3 + 0) – Szabó IstvánTémakör: SZTOCHASZTIKA

58/1. Véletlenszám-generátorok kriptográfiai felhasználása (pszeudovéletlen generátorokjellemzői, Lineáris Visszacsatolású Shift Regiszterek elmélete; LFSR rendszerek, li-neáris komplexitás fogalma, a lineáris kriptoanalízis alapelemei, LFSR rendszerekkriptográfiai felhasználása, pl. GSM titkosítás); kriptográfiai véletlen generátorokstatisztikai ellenőrzése; valódi véletlen generátorok információelméleti biztonsága.

58/2. Nyilvános kulcsú rendszerek; az RSA algoritmus matematikai alapjai és gyengeségeirossz paraméterválasztások mellett (pl. kis e, kis d, fix pontok, Simmons–Norrisiterációs támadása,. . . ), faktorizáciás támadások (quadratikus szita módszere, B-smooth számok, a számelméleti szita műveletigénye); az elliptikus görbék kripto-gráfiai alkalmazásai; elektronikus aláírási rendszerek (elemei, algoritmusai, hash-függvényekkel szembeni követelmények, kapcsolat a hash függvények birthday attacktámadása és az elektronikus aláírás hamisítása között).

C59. Pénzügyi folyamatok 1 (kredit: 3 + 0) – Márkus LászlóTémakör: SZTOCHASZTIKA

59/1. Európai opció ára, piacok arbitrázsmentessége, teljessége, eszközárazás első és má-sodik alaptétele diszkrét idejű részvény-kötvény piacon. Teljesség, ármérce pár,"market price of risk" folyamat és a martingál mérték kapcsolatai. A Black–Scholespiac teljessége.

59/2. Amerikai opció ára diszkrét idejű kereskedésben. Példa nem teljes piacra, és eszköz-árak nem teljes diszkrét idejű piacon. A Black-Scholes formula mint a Cox-Ross-Rubinstein árazás határértéke. Több részvényes Black–Scholes modell teljessége.

C60. Pénzügyi folyamatok 2 (kredit: 3 + 0) – Márkus LászlóTémakör: SZTOCHASZTIKA

60/1. A Black–Scholes differenciálegyenlet, kapcsolat a Feynman–Kac-formulával. PIDEaz ugró folyamatok esetén, pszeudodifferenciál operátorral. Amerikai opció ára szin-tátlépéses megállítások mellett folytonos idejű kereskedésben. Összetett Poisson-folyamat. A Lévy–Itó felbontás. Exponenciális ugró diffúziós modellek: Merton,Kou, Bates.

60/2. Implikált és realizált volatilitás. Profit and Loss egyenlet. Az implikált volatilitásmosoly. Az implikált eloszlás és a Breeden-Litzenberger formula. Lokális volatili-tás modellek (pl. CEV), Dupire egyenlete. Sztochasztikus volatilitás: Hull-White,Ornstein-Uhlenbeck, CIR, Heston. Ugró eszközármodellek. Szubordinátor, businesstime. Átskálázott Brown mozgás: Variance Gamma, és NIG modellek, tulajdonsá-gaik.

C61. Speciális sztochasztikus folyamatok (kredit: 3 + 0) – Michaletzky GyörgyTémakör: SZTOCHASZTIKA

17


61/1. Felújítási folyamatok. A felújítási függvény, felújítási egyenlet. A megoldás egyér-telműsége. A felújítási folyamat aszimptotikus viselkedése (1 valószínűségű konver-gencia.). A felújítási függvény aszimptotikus viselkedése. A felújítási tétel. Speciálisindítás esetén a pontos megoldás, illetve a hátralévő élettartam.

61/2. Elágazó folyamatok. Diszkrét paraméterű eset. A kihalás valószínűsége. A várhatóértékkel normalizált folyamat aszimptotikus vielkedése, a határérték várható értéke.Folytonos paraméterű eset. A populáció nagyságának időbeli alakulására vonatkozódifferenciálegyenletek. A kihalás valószínűsége.

C62. Stacionárius folyamatok (kredit: 3 + 3) – Prokaj VilmosTémakör: SZTOCHASZTIKA

62/1. Stacionárius folyamatok. Kovariancia függvény. Bochner–Hincsin-tétel. (Herglotz-tétel) Spektrálelőállítás.

62/2. Karhunen–Loeve-sorfejtés, Kotelnyikov–Shannon-tétel – a mintavételezés sűrűsége.

62/3. Wold-felbontás. Teljesen reguláris és szinguláris folyamatok.

62/4. Stacionárius folyamatok várható értékének és kovarianciafüggvényének becslése.

C63. Statisztikai becsléselmélet (kredit: 4 + 0) – Móri TamásTémakör: SZTOCHASZTIKA

63/1. A sűrűségfüggvény becslése. Cramér–Rao-típusú egyenlőtlenségek: Chapman–Robbins, Bhattacharyya-határ. Valódi és általánosított Bayes-becslések, a Jeffrey-féle neminformatív a priori mérték.

63/2. Ekvivariáns becslések. A ML- és a Bayes-becslés ekvivarianciája. Folytonos eloszlás-függvény ekvivariáns becslése. A Pitman-becslés és tulajdonságai. Véges sokaságbólvaló mintavétel. Godambe és Joshi tételei. A Horvitz-Thompson becslés tulajdon-ságai.

63/3. L-statisztikák és határeloszlásuk. Legkisebb négyzetes becslés korrelált hibájú lineá-ris modellben. Optimális L-becslés eltolás- és skálaparaméteres családban. Aszimp-totikusan optimális L-becslés az eltolásparaméterre.M-becslések, aszimptotikus nor-malitásuk. Robusztusság. A Huber-becslés minimax tulajdonsága. Az M- és azL-becslések ekvivalenciája.

C64. Statisztikai hipotézisvizsgálat (kredit: 3 + 0) – Csiszár Villő (Móri Tamás)Témakör: SZTOCHASZTIKA

64/1. Hipotézisvizsgálat exponenciális családban: egy- és kétoldali ellenhipotézis, aNeyman-Pearson lemma általánosítása, zavaró paraméterek, hasonló próbák, Ney-man struktúra. A normális eloszlás paramétereire vonatkozó klasszikus próbák op-timalitása.

64/2. Az általánosított likelihood-hányados próba és kapcsolata a khi-négyzet próbákkal.

64/3. Konfidenciahalmazok, kapcsolat a hipotézisvizsgálattal. Likelihoodon alapulóaszimptotikus konfidenciahalmazok. Konfidenciasáv az eloszlásfüggvényre eltolás-és skálaparaméteres családban. Alsó konfidenciahatár diszkrét statisztikai mezőn.

18


C65. Statisztikai programcsomagok 2 (kredit: 0 + 3) – Zempléni AndrásTémakör: SZTOCHASZTIKA


DISZKRÉT MATEMATIKA

C66. Adatbányászat (kredit: 3 + 3) – Lukács AndrásTémakör: DISZKRÉT MATEMATIKA

66/1. Gyakori mintázatkeresés. (Apriori algoritmus. Hashelve gyorsítás. Toivonen-algoritmus. Asszociációs szabályok kinyerése.)

66/2. Klasszifikáció feladata és megoldási módszerei. (Döntési fák. Bayes-modellek. Hib-rid módszerek, AdaBoost, Random Forest. Lineáris szeparáló módszerek, SVM.Modellek jóságának mérése. Túltanulás jelensége.)

66/3. Klaszterező eljárások. (Particionáló eljárások, k-közép, k-medoid. Hierarchikusklaszterezés. Sűrűségalapú módszerek, DBSCAN.)

C67. Algoritmusok és adatstruktúrák tervezése, elemzése és implementálása 1(kredit: 3 + 3) – Király ZoltánTémakör: DISZKRÉT MATEMATIKA

67/1. Síkgráfokkal síkbarajzolása; favastagság≤ k eldöntése

67/2. On-line és randomizált algoritmusok, min. vágások

67/3. Virtuális magánhálózatok; determináns-számítás gyűrűkben; Megiddo algoritmusai

C68. Algoritmusok és adatstruktúrák tervezése, elemzése és implementálása 2(kredit: 3 + 3) – Király ZoltánTémakör: DISZKRÉT MATEMATIKA

68/1. Unió-holvan adatstruktúrák; kupacok; vEB-struktúra.

68/2. Szótárak, hashelés.

68/3. Geometriai adatstruktúrák; dinamikus fák.

C69. Bioinformatika (kredit: 3 + 3) – Grolmusz VinceTémakör: DISZKRÉT MATEMATIKA

19


69/1. DNS szekvenálási módzserek, Sanger eljárása. Szekvencia illesztések, globális, lokálisés heurisztikus módszerek.

69/2. Fehérjék szerkezete, röntgendiffraktometria, Bragg-elv. Geometriai heselés. Fehérje-ligandum dokkolás energia-minimalizálással.

69/3. Fehérjecélpontok keresése fehérje-fehérje interakciós és metabolikus hálózatokban.

69/4. Az agy gráfja: diffúziós MRI felvételektől a konnektomig. Az agygráf analízise.

C70. Bonyolultságelmélet (kredit: 3 + 3) – Grolmusz VinceTémakör: DISZKRÉT MATEMATIKA

70/1. Randomizált, illetve párhuzamos számítások (választható).

70/2. Algebrai és egyszerű döntési fák, zárkózottság.

70/3. Kolmogorov bonyolultság.

70/4. Boole hálózatok, alsó becslések kismélységű hálózatokra.

70/5. Interaktív bizonyítások.

70/6. Tárkorlátos számítások, polinomiális hierarchia, hierarchia-tételek.

C71. Diszkrét matematika 2. (kredit: 6 + 0) – Csikvári Péter / Katona GyulaTémakör: DISZKRÉT MATEMATIKA

71/1. A valószínűségi módszer egyszerű alkalmazásai: Ramsey-gráfok, kromatikus számés legrövidebb kör, keresztezési szám.

71/2. A második momentummódszer és néhány alkalmazása. Véletlen gráfok küszöbfügg-vényei.

71/3. Lovász lokális lemma és alkalmazásai. Korrelációs egyenlőtlenségek és alkalmazásai.

71/4. A maximális élszámra vonatkozó eredmények kizárt részgráfok esetén.

71/5. A transzformációs módszer az extremális halmazrendszerek elméletében.

71/6. A kettős leszámlálás módszere az extremális halmazrendszerek elméletében.

C72. Geometriai algoritmusok (kredit: 3 + 0) – Pálvölgyi DömötörTémakör: DISZKRÉT MATEMATIKA

72/1. Konvex burok algoritmusok.

72/2. Voronoi-diagram és algoritmus.

72/3. Delaunay-háromszögelés és algoritmus.

C73. Halmazelmélet 1 (kredit: 6 + 0) – Komjáth PéterTémakör: DISZKRÉT MATEMATIKA

20


73/1. Mértékprobléma.

73/2. Kofinális zárt, stacionárius halmazok, Fodor tétele.

73/3. Partíció relációk. Erdős–Rado-, Dushnik–Miller–Erdős-tétel.

73/4. Halmazleképezések. Fodor tétele, Hajnal tétele.

73/5. Mérhető számosság, ekvivalens definíciók.

73/6. Kényszerképzet, sűrű halmazok, generikus filter, generikus bővítés. Alaptétel a for-szolásról.

C74. Halmazelmélet 2 (kredit: 6 + 0) – Komjáth PéterTémakör: DISZKRÉT MATEMATIKA

74/1. A kontinuumhipotézis és tagadása is konzisztens.

74/2. ♦, Martin-axióma, használatuk.

74/3. Szuperkompakt számosságok.

74/4. Prikry-forszolás.

74/5. Iterált forszolás.

C75. Kódok és szimmetrikus struktúrák (kredit: 3 + 0) – Szőnyi TamásTémakör: DISZKRÉT MATEMATIKA

75/1. Perfekt kódok.

75/2. MDS-kódok.

75/3. Négyzetes blokkrendszerek.

C76. Kriptológia (kredit: 3 + 3) – Sziklai PéterTémakör: DISZKRÉT MATEMATIKA

76/1. Titkosítás és pszeudovéletlenség (tökéletes biztonság ekvivalens definíciói, one-timepad, tökéletes biztonság korlátai, számítási biztonság definíciói, pszeudovéletlenség,konstrukciók lehallgatás és nyílt szövegű támadás ellen)

76/2. Üzenet autentikálás és hash-függvények (üzenetek integritása, üzenet autentikáló kó-dok (MAC) definíciója, konstrukciók, hash-függvények biztonsági kritériumai, szü-letésnap támadás, Merkle-Damgard konsrtukció)

76/3. Nyilvános kulcsú titkosítások (biztonság definíciók, RSA módszer, ElGamal tit-kosítás, kvadratikus maradékok és a Goldwasser-Micali titkosítás, Rabin-titkosítás)

C77. Válogatott fejezetek a gráfelméletből (kredit: 3 + 0) – Lovász LászlóTémakör: DISZKRÉT MATEMATIKA

21



C78. WWW és hálózatok matematikája (kredit: 3 + 0) – Benczúr AndrásTémakör: DISZKRÉT MATEMATIKA

78/1. A gráf véletlenbolyongás-mátrixa, PageRank, hatványiteráció, teleportálás, Markov-láncok alaptétele, személyre szabott PageRank, d-reguláris gráfra vontakozó tétel,SimRank.

78/2. Tárhely alsó korlát és kommunikációs bonyolultság, HITS algoritmus, SVD, gráf-particionálás, hálózatmodellek, Cheeger-egyenlőtlenség.

78/3. Chernoff-korlát, consistens hashelés, ajánló rendszerek, legközelebbi szomszéd mód-szer, BRISMF modell.

OPERÁCIÓKUTATÁS

C79. Approximációs algoritmusok (kredit: 3 + 0) – Jordán TiborTémakör: OPERÁCIÓKUTATÁS

79/1. Primál-duál séma az approximációs algoritmusok tervezésében. Approximációs algo-ritmusok a (i) halmazfedés, (ii) „többszörös vágások-, és többtermékes folyam fákon”problémákra.

79/2. Approximációs algoritmusok gráfproblémákra: (i) Steiner-fa, (ii) metrikus K-központ probléma.

%79/3. Véletlent használó approximációs algoritmusok. A Max-SAT probléma: (i) 1/2-

approximáció, (ii) 1 − 1/e approximáció, (iii) derandomizálás.

79/4. Approximációs sémák. (i) Teljesen polinomiális idejű approximációs séma a hátizsákfeladatra, (ii) Polinomiális idejű asszimptotikus approximációs séma a ládapakolásifeladatra.

C80. Az operációkutatás alkalmazásai (kredit: 3 + 0) – Jüttner AlpárTémakör: OPERÁCIÓKUTATÁS


C81. Egészértékű programozás 1. (kredit: 3 + 0) – Király TamásTémakör: OPERÁCIÓKUTATÁS

22


81/1. Gomory vágósíkos algoritmusa, korlátozás és szétválasztás.

81/2. Heurisztikus algoritmusok az utazó ügynök feladatra, approximációs eredmények,Held–Karp-korlát, módszerek a kiszámolására.

81/3. Lagrange-relaxáció, oszlopgenerálás.

C82. Egészértékű programozás 2. (kredit: 3 + 0) – Király TamásTémakör: OPERÁCIÓKUTATÁS

82/1. Hilbert-bázisok, unimodularitás, teljes duális egészértékűség.

82/2. Gomory–Chvátal-vágások, vágások az utazó ügynök feladatra, felemelés és vetítés.

82/3. Rácsok, bázis-redukció, fix-dimenziós egészértékű programozási feladat megoldása.

C83. Gráfelmélet (kredit: 3 + 0) – Frank András, Király ZoltánTémakör: OPERÁCIÓKUTATÁS

83/1. Leemelési tételek és alkalmazásaik.

83/2. A gráfelmélet min-max tételei.

C84. Gráfelmélet gyakorlat (kredit: 0 + 3) – Frank András, Király ZoltánTémakör: OPERÁCIÓKUTATÁS

84/1. A paritás szerepe a gráfelméletben, síkgráfok.

C85. Játékelmélet (kredit: 3 + 0) – Király TamásTémakör: OPERÁCIÓKUTATÁS

85/1. Kombinatorikus játékok: k-nim, Grundy-számozás, sövényvágó játék, Hex.

85/2. Stratégiai játékok: dominálás, Nash-egyensúly, Nash tétele. Kétszemélyes 0-összegűjátékok, Neumann-tétel.

85/3. Kooperatív játékok: mag, Shapley-érték, konvex játékok. Stabil párosítások, felsőkörcsere algoritmus, taktikázás-biztosság.

C86. Kombinatorikus algoritmusok 1. (kredit: 3 + 3) – Jordán TiborTémakör: OPERÁCIÓKUTATÁS

86/1. Gráfok bejárása, algoritmusok az összefüggőség tesztelésére, ritka tanúk, vágásekvi-valens fák.

86/2. Dinamikus programozás, gráfok favastagsága.

86/3. Merev gráfok és szerkezetek.

23


C87. Kombinatorikus algoritmusok 2. (kredit: 3 + 0) – Jordán TiborTémakör: OPERÁCIÓKUTATÁS

87/1. Folyamok, vágások, áramok algoritmusai.

87/2. Algoritmusok a párosításelméletben, T-kötések és alkalmazásaik.

C88. Kombinatorikus optimalizálási struktúrák (kredit: 3 + 0) – Jordán TiborTémakör: OPERÁCIÓKUTATÁS

88/1. T-kötések, a kínai postás feladat, minimális súlyú T-kötések, maximális vágás síkg-ráfban.

88/2. Gráfok összefüggőségének optimális növelése. Leemelesi tételek, lokális és globálisnövelés, irányított és irányítatlan, él- és pontösszefüggőség.

88/3. Fenyőpakolási és fedési tételek. Linking tulajdonság.

C89. LEMON library: optimalizációs feladatok megoldása C++-ban (kredit:0 + 3) – Jüttner AlpárTémakör: OPERÁCIÓKUTATÁS


C90. Lineáris optimalizálás (kredit: 3 + 0) – Bérczi KristófTémakör: OPERÁCIÓKUTATÁS

90/1. Érzékenységvizsgálat (lokális érzékenység, globális függés a korlátozó vektortól, du-ális megoldások halmaza, globális függés a költségfüggvénytől)

90/2. Nagyméretű lineáris programozási feladatok megoldása (oszlopgenerálás, vágósíkoseljárások, Dantzig–Wolfe-dekompozíció, sztochasztikus programozás, Benders-de-kompozíció)

90/3. Affin skálázási algoritmus (belsőpontos módszerek alapötlete, affin skálázási algorit-mus, konvergenica, inicializálás, hatékonyság)

C91. Matroidelmélet (kredit: 3 + 0) – Bérczi KristófTémakör: OPERÁCIÓKUTATÁS

91/1. Matroidelméleti algoritmusok.

91/2. Matroidok gráfelméleti alkalmazásai (fedés és pakolás fákkal, fokszamkorlátos fák,forrás telepítés, merev gráfok, stb.).

24


C92. Nemlineáris optimalizálás (kredit: 4 + 0) – Illés TiborTémakör: OPERÁCIÓKUTATÁS

92/1. Lineáris feltételes konvex kvadratikus célfüggvényes szimmetrikus primál-duál fel-adat. Lineáris komplementaritási feladat, biszimmetrikus mátrix. Criss-cross mód-szer a biszimmetrikus lineáris komplementaritási feladatra.

92/2. Lineáris feltételes konvex kvadratikus célfüggvényes primál feladat. Belsőpontosalgoritmus: büntetőfüggvényes feladat, optimalitási kritérium, centralitás mértéke,dualitás rés csökkenése, konvergenciatétel.

92/3. Feltétel nélküli optimalizálási feladatok, iránymenti optimalizálás módszerei.

92/4. Nemlineáris programozás módszerei (Newton-módszer, gradiens módszer, szubgra-diens módszer, büntetőfüggvényes és barrier módszer, vágósík módszer, megengedettirányok módszere).

C93. Operációkutatás számítógépes módszerei (kredit: 0 + 3) – Jüttner AlpárTémakör: OPERÁCIÓKUTATÁS


C94. Operációkutatási projekt (kredit: 0 + 3) – Kis TamásTémakör: OPERÁCIÓKUTATÁS


C95. Poliéderes kombinatorika (kredit: 3 + 0) – Frank AndrásTémakör: OPERÁCIÓKUTATÁS

95/1. Párosításpoliéderek leírása, tulajdonságai. TDI leírás.

95/2. Polimatroidok és általánosított polimatroidok tulajdonságai, diszkrét szeparációstétel, metszettételek. Mohó algoritmus.

95/3. Szubmoduláris áramok és poliédereik.

95/4. Általánosított polimatroidok és szubmoduláris áramok alkalmazásai.

C96. Sztochasztikus optimalizálás (kredit: 3 + 3) – Mádi-Nagy GergelyTémakör: OPERÁCIÓKUTATÁS

25


96/1. Sztochasztikus modellek áttekintése. A korlátok és célok különböző megfogalmazá-sai. Az adódó sztochasztikus programozási feladatok matematikai jellemzése. Log-konkáv mértékek alaptétele.

96/2. Sztochasztikus programozási feladatok megoldó módszerei. Speciális konvex prog-ramozási eljárások. Diszkrét momentum problémák. Valószínűségi korlátok kiérté-kelése.

C97. Termelésirányítás (kredit: 3 + 0) – Kis TamásTémakör: OPERÁCIÓKUTATÁS


C98. Ütemezésemélet (kredit: 3 + 0) – Jordán TiborTémakör: OPERÁCIÓKUTATÁS

98/1. Egygépes feladatok.

98/2. Többgépes feladatok.

98/3. A shop modellek.

26

Documents

MATEMATIKUS MESTERSZAK: ZÁRÓVIZSGAKÉRDÉSEK DIFFERENCIÁLT