Szimulacios Modszerek4 ev Mernoki InformatikaBBTE Matematika es Informatika

Szimulacio

Tudomanyos kutatasban ket terulet letezett kb az 1600as evektol (Galilei kiserletei): ez a ket terulet a kiserlet es az elmelet

Az elmelet matematikai leirast ad a jelensegekre – kepleteket ir fel amelyek osszefuggeseket allapitanak meg – ennek prediktiv erteke van

Szimulacio

A kiserlet mereseket vegez, ugy, hogy kozben egy vagy tobb parametert ellenorzott modon megvaltoztat – es ugy hogy egy vagy tobb kulso tenyezo hatasat kikuszoboli vagy minimizalja

Az elmelet es a kiserlet szoros kapcsolatban allnak egymassal: az elmelet altal elore kiszamolt hatasokat ellenorizni lehet

Szimulacio

A kiserlet soran eszlelt uj jelensegekre magyarazatot kell keresni elmeletileg

Az elmelet igy egyre jobb matematikai modelleket gyart amelyek egyre jobban leirjak azt ami a “valosagban” azaz a kiserletekben tortennek

Szimulacio

Az elso kiserletet Galileo Galilei vegezte a pisai ferde toronybol (1589): kihajitott egy fem es egy fa golyot amelyek azonos meretuek voltak

Arisztotelesz szerint a nehezebb targy hamarabb kellene leessen (tehat a vasgolyo hamarabb kellene leessen mint a fagolyo), viszont egyszerre erkeztek meg

Szimulacio

Arisztotelesz a surlodas miatt gondolta azt amit gondolt: mindenhol jelen van a surlodas korulottunk. Viszont az egyszeru eset az hogyha nincs surlodas, ebben az esetben egy test mozogni fog amig egy ero nem hat ra hogy megallitsa. Ehhez kell hozzaadni a surlodast hogy leirjuk azt az esetet amikor van surlodas.

Kiserlet > atirta az elmeletet

Szimulacio

A Galilei kiserletet el lehet vegezni egy vakumcsoben is – ez az amikor kiiktatjuk az egyik tenyezot a kiserletbol (a levegovel valo surlodast).

A matematikai leiras a leheto legegyszerubb kell legyen (Occam borotvaja) es csak akkor teszunk hozza ha szukseges hozzatenni ahhoz hogy leirjunk valamit

Szimulacio

Szuperpozicio elve: kulon-kulon le lehet irni a hatasokat es ezek egyuttes hatasa a hatasok osszege

f(x1+x2) = f(x1) + f(x2)

Vagyis a rendszerunk linearis es felbonthato komponensekre es megertheto a komponensek megertese alapjan

Szimulacio

Pl. egy test eseten ahhoz hogy megertsuk a viselkedeset, felbontjuk egyszeru komponensekre, megertjuk ezen egyszeru komponensek viselkedeset es osszegezzuk ezt a viselkedest hogy megertsuk a nagymeretu (makroszkopikus) test viselkedeset

Mikroszkopikus leiras > Makroszkopikus viselkedes

Szimulacio

Mikroszkopikus leiras > Makroszkopikus viselkedes

Termodinamika: leirunk egy atomot vagy molekulat, ebbol a leirasbol kiszamolhatjuk azt hogy nagyon sok (10^26) atom vagy molekula hogyan viselkedik

Szimulacio

Mikor tudjuk ezt megcsinalni matmatikailag?

Ha az atomok fuggetlenek egymastol es eleg egyetlen atomra megoldani a problemat (peldaul idealis gaz modellje eseten)

Ha fuggetlenek, es nem viselkedik minden atom ugyanugy, de ismerjuk az eloszlast> Statisztikus Fizika

Szimulacio

Pelda: idealis gaz modellje

Szukseg van arra hogy leirjam egyetlen molekula mozgasat: egy tomeggel rendelkezo kis pontnak veszem aminek a mozgasegyenletet a Newton torvenye adja meg f=ma. Idealis gaz eseten eltekintek a gravitaciotol es a molekulak kozotti kolcsonhatastol: csak az utkozesek szamitanak

Szimulacio

Idealis gaz modellje

Az utkozesek kozul is csak a falakkal valo utkozeseket tekintem. Ebben az esetben a reszecskek impulzusa megvaltozik

p=mv az impulzusΔp=2mvx az impulzusvaltozas a falnalΔt = 2L/vx idonkent erkezik meg ujbol ide

Szimulacio

F=Δp/Δt az ero amivel hat a falraF=2mvx

2/2L = mvx2/L

p=F/A = F/L2 a nyomas ezen a falonp = mvx

2/L3

Most terek at arra hogy hogyan osszegzem ezt minden molekulara: atlagban mekkora a vx sebesseguk ezt kell figyelembe vegyem

Szimulacio

p = N m<vx2>/L3

(L3=V)

Ahol a <vx>-el az atlagos sebesseget jelolomUgyanolyan a sebesseg x,y,z iranyba <vx

2> = 1/3 <v2> pV = νNA m 1/3 <v2> ahol hasznalom az Avogadro-szamot (molekulak szama/mol)

Szimulacio

pV = νNA m 1/3 <v2>Ossze kell hozni az atlagsebesseget egy makroszkopikus mennyiseggel – ehhez kellene tudjam hogy oszlik el a molekulak mozgasi energiaja (statisztikus fizika)m <v2>/2 = 3/2kT minden szabadsagi fokra ugyanannyi energia jut ami aranyos a homerseklettelpV = νNA k T ami mar csak makroszkopikus

Szimulacio

pV = νNA k T ; NA k=RpV = νRT altalanos gaztorveny, nagyon hasznos mindenfele folyamat leirasara (izochor, izobar, izoterm, politrop stb allapotvaltozasokra), le lehet vele irni jol a hoerogepek mukodeset stb.

Az eredeti modell egyszerusegebol kovetkezik hogy nem mindent tud leirni pl. amikor cseppfolyositjak a gazakat

Szimulacio

Ezt a modellt meg ki lehet boviteni arra hogy leirja a cseppfolyositast, ekkor figyelembe kell venni Azt hogy a molekulaknak van sajat

terfogata Azt hogy van kozottuk egy vonzoero

Szimulacio

Ha az atomok nagyon szorosan fuggnek egymastol (pl egy kristalyracsban vannak) de ez a kolcsonhatas ugyanugy nez ki mindenhol es a szerkezet periodikus (ekkor ugyanis szinten leirhatok egyetlen atomot, illetve az eloszlasokat ismerve ki tudom szamolni a rendszer viselkedeset)

Elmeleti leiras <-> kiserleti meresek

Szimulacio

Mikor lehet gond az hogy kiszamoljam a makroszkopikus viselkedest a mikroszkopikus leiras alapjan?

Ha nem fuggetlenek egymastol az atomok/molekulak: a kolcsonhatas nem elhanyagolhato viszont nem is annyira eros mint egy szilard krisztalyban ahol ismet ugyanolyan (periodikusan)

Szimulacio

Folyadekokra nem tudtak egy tesztelheto modellt kesziteni.

Az elso konyv amit szamitogepes szimulaciorol irtak, az Allen and Tildesley "Computer Simulation of Liquids”

Az egyenleteket nem analitikusan hanem numerikusan oldjuk meg.

Szimulacio

Mit jelent az egyenletek numerikus megoldasa?

Azt jelenti hogy kiszamoljuk a reszecskek palyajat az ido fuggvenyeben, tehat minden reszecskere megkapjuk az x(t) y(t) es z(t) egyenleteket. Mivel numerikus a megoldas, nem magat a fuggvenyt kapjuk meg hanem a fuggveny ertekeit egy sorozatbanx(t0), x(t0+dt), x(t0+2dt), x(t0+3dt), …

Szimulacio

Ahhoz hogy ezt a megoldast megkapjuk, szuksegunk van az egyetlen reszecsket leiro mozgasegyenletre (equation of motion). Esetunkben ez a mozgasegyenlet a klasszikus Newton 2. torvenye lesz:

f = ma ahol a=d2x/dt2

d2x/dt2 = 1/m f ezt a differencialegyenletet kell megoldani minden reszecskere

Szimulacio

d2x1/dt2 = 1/m f1(x1,x2,x3,…)d2x2/dt2 = 1/m f2(x1,x2,x3,…)…ez a csatolt differencialegyenlet-rendszerunk van.Ez azert csatolt mert az erok kiszamolasaban nem eleg tudni csak az illeto reszecske poziciojat, hanem tudni kell minden reszecske poziciojat – tehat az egyenleteket egyszerre kell megoldani

Szimulacio

1. lepes: megadni minden reszecske poziciojat es sebesseget (hatarfeltetelek a differencialegyenlethez)

2. lepes: kiszamolni minden erot ami a reszecskekre hat: ezt megtehetjuk mert ismerjuk az osszes poziciot es sebesseget

3. egy kis lepest megtenni minden reszecskevel – egy rovid dt ideig ugy tekintjuk hogy az erok allandok

Szimulacio

A 3. lepes utan ujbol megvannak a reszecskek pozicioi es sebessegei, igy a 2. lepest ujra megtehetjuk. A 2. es a 3.as lepest egymas utan nagyon sokszor vegrehajtjuk (millioszor is) es igy fokozatosan megkapjuk a reszecskek palyajat, az x,y,z szamsorozatokat

Szimulaciokban nem ritka eset az hogy a dt pikoszekundum nagysagrendu mig a teljes ido nano vagy mikroszekundum nagysagrendu

Szimulacio

Mi ez a kolcsonhatasi ero amit kiszamolunk a reszecskek kozott? f1(x1,x2,x3,…)-el jeloltuk

ez a rendszerben a reszecske es minden mas reszecske helyzetetol fugg igy altalanosan felirva. Fel szoktak bontani kulonbozo osszegekre ezt az erot, egy reszecske, ket reszecske, harom reszecske stb. kolcsonhatasra

Szimulacio

f1(x1,x2,x3,…) = f1(x1) + Σ f1(x1,xi) + Σ f1(x1,xi,xj) + Σ f1(x1,xi,xj,xk)+ …

az a tag ahol csak a reszecske koordinataja szerepel, az a kulso eroket jelenti, ezek fugghetnek attol hogy a reszecske hol van a rendszerben (pl aramlas egy csoben: azt a reszecsket amely kozepen van nagyobb erovel huzza az aramlas mint ami a fal kozeleben van)

Szimulacio

Σ f1(x1,xi)ez a paronkenti kolcsonhatas (pairwise interaction) – ennek van a legnagyobb szerepe a rendszerben es ennek a szamolasa a legtobb munka a molekularis dinamika szimulacio futasa soran Σ f1(x1,xi,xj) ez a harom-test kolcsonhatas, ezt sokszor elhanyagoljak de vannak esetek amikor fontos (pl elasztikus gombok vagy diszkek eseten ez a tag nagyon fontos)

Szimulacio

Σ f1(x1,xi)hogy hat kolcson ket atom (molekula)?Vegyuk a semleges atomok estetet. Ebben az esetben a kolcsonhatast jol leirja a Van der Waals kolcsonhatas: nagyon tavol egymastol az atomok nem hatnak kolcson, egy adott tavolsagon belul vonzzak egymast, mig hogyha tul kozel kerulnek egymashoz akkor taszitjak egymast

Szimulacio

Ahhoz hogy ezt a kolcsonhatast (illetve barmilyen atomok kozotti kolcsonhatast) pontosan kiszamoljuk, meg kellene oldani az atommagokra es az elektronokra is az ilelto mozgasegyenleteket. Ezek a mozgasegyenletek mar nem a klasszikus egyenletek, hanem a Schrödinger- egyenletet kellene megoldani: Hψ=Eψ. Ezekbol az egyenletekbol megkapjuk a ψ hullamfuggvenyt

Szimulacio

A szamitasokat eleg elvegezni csak az elektronokra, mivel az atommagok tomege sokkal nagyobb az elektronok tomegenel, ezert mozgasuk is sokkal lassubb es igy kulon lehet valasztani a ket mozgast: az elektronok gyors es az atommagok lassu mozgasat (Born-Oppenheimer kozelites). Igy a megoldasban elsosorban az elektronokra kiszamolt hullamfuggvenyek erdekelnek minket.

Szimulacio

A ψ hullamfuggveny magnitudoja (ψψ*) adja meg az elektronok valoszinusegsuruseget a terben. Ezekkel lehet pontosan kiszamolni azt hogy milyen kolcsonhatas van kulonbozo atomok kozott. Ha a szamolasokban ezt mindig elvegezzuk azt az alapoktol indulo rendszernek nevezik vagyis ab initio szamitasnak es ab initio molekularis dinamikanak. Ez nagyon szamitasigenyes, viszont pontos megoldas.

Szimulacio

A gyakorlatban sokszor ezeket a szamitasokat elvegzik egyszer es az igy kapott kolcsonhatast hasznaljak fel a tovabbiakban anelkul hogy ujra kiszamolnak az elektronokra a megoldasokat. Ez a kvazi-klasszikus kozelites.

Ezek a kolcsonhatasi potencialok ki vannak szamolva nagyon sok esetre elore es csak felhasznaljak oket (AMBER, CHARMM, stb)

Szimulacio

Nezzunk meg egy ilyen potencialt az egyik elso potencialt amit hasznaltak: Lennard-Jones vagy 6-12-es potencial

Ez ket semleges atom kolcsonhatasat irja le. Ezek kozott Van der Waals erok hatnak.

Nagyon tavol levo atomok nem hatnak kolcson.

Szimulacio

Noha az atomok semlegesek, az elektronfelho kozpontja es az atommag kozpontja nem mindig esik egybe, ilyenkor letrejon egy elektromos dipolus. Ez a dipolus fluktual es maga korul egy elektromos teret hoz letre. Ha ezek a fluktualo dipolusok eleg kozel vannak egymashoz akkor befolyasoljak egymast ugy, hogy vonzoero jon letre a ket atom (vagy molekula) kozott.

Szimulacio

Ha az atomok nagyon kozel kerulnek egymashoz akkor az elektronfelhok atfedodnek es olyankor mar taszitas lep fel.

A kolcsonhatasi erot le lehet vezetni a kolcsonhatasi potencialbol f(r)= - dU(r)/drA LJ potencialt azert nevezik 6-12es potencialnak mert egy 1/r6 es egy 1/r12 tag is van benne

Szimulacio

Lennard-Jones (LJ) potencial:

r6 a vonzo r12 a taszito

ero

Szimulacio

A LJ potencialt inkabb mar csak bemutato cellal hasznaljak, az anyagok szimulalasara sokkal jobb potencialok leteznek. Pl az embedded atom potencial, kulonbozo elore kiszamolt potencialok, polarizalhato potencialok, stb.

Bemutatunk meg egy egyszeru potencialt amit az elso laborfeladatban fogunk hasznalni, ez a toltott reszecskekre vonatkozik.

Szimulacio

Coulomb potencial:f = 1/(4πε0) q1q2/r2

amennyiben kolloidokrol beszelunk egy polaros folyadekban, a folyadek arnyekolast vezet be es ez az arnyekolas miatt a kolcsonhatas hamarabb esik le (exponencialis tag):

f = 1/(4πε0) q1q2/r2 e-ar

Szimulacio

Egyes potencialokat levaghatunk, ez azt jelenti hogy egy adott rcutoff tavolsagon tul 0-nak tekintjuk az eroket: igy egy csomo szamolast megsporolunk.

Nem minden potencial vaghato le: 2 dimenzioban a LJ es a screened Coulomb levaghato, a Coulomb nem vaghato le.

Szimuláció

Mekkora rendszert tudunk szimulálni?Egy millió atomot? Száz millió atomot?Ezek mind nagyon kis méretek ahhoz képest hogy mekkora egy makroszkopikus rendszer. A makroszkopikus rendszer ugyanis ~1026 részecsét tartalmaz egyetlen kmolban

Nem vagyunk képesek ennyi részecskét szimulálni: valamit ki kell találjunk

Szimuláció

Ha a rendszer belsejében lezajló folyamatokra vagyunk kíváncsiak (in the bulk), akkor úgy tekinthetjük, hogy a rendszer felosztható sok kis részre amelyek nagy többségben majdnem ugyanúgy viselkednek (a felület nem, de nem az érdekel most). Ezt a majdnem ugyanúgy-ot kicseréljük arra hogy pontosan ugyanúgy. Ezzel azt mondjuk hogy elég egy kis darabot szimulálni amit saját maga másolatai vesznek körül. Ez a periodikus határfeltétel (PBC)

Szimuláció

PBC: Periodic Boundary Conditions

csak egyetlen kis részt szimulálunk

–a teljes rendszert leírjuk ezzel

Szimuláció

PBC: Periodic Boundary Conditions

Két dolgot jelent ez a szimulációnkban: amikor egy részecske mozgása során

kikerül a dobozból, akkor az ellenkező oldalon bejön a dobozba (PBC fold back).

amikor egy részecske szomszédait nézzük, az összes szomszédos dobozzal is számolni kell

Szimuláció

Az összes szomszédos dobozzal levő kölcsönhatás számolása: ha levágható a potenciál, akkor a dobozt

olyan nagynak vesszük hogy csak egyetlen tükörképpel hasson kölcsön a részecske

ha nem vágható le a potenciál akkor egy végtelen sorozatot kell kiszámolni - helyes sorrendberakással, csoportosítással ez konvergál (Ewald summation)