T_1-3_ Principios de Hidraulica - Ecuacion de Bernoulli

T – 1.3: PRINCIPIOS DE HIDRÁULICA.

PRINCIPIO DE BERNOULLI.

PRINCIPIO DE BERNOULLI

La ecuación de Bernoulli, se puede considerar como una apropiadadeclaración del principio de la conservación de la energía, para el flujo defluidos.

El Principio de conservación de laenergía (Primera Ley de laTermodinámica) indica que laenergía no se crea ni se destruye;sólo se transforma de unasformas en otras. En estastransformaciones, la energía totalpermanece constante; es decir, laenergía total es la misma antes ydespués de cada transformación.Ejemplo: Cuando la energíaeléctrica se transforma enenergía calorífica en uncalefactor.

Sistema mecánico en el cual se conserva laenergía, para choque perfectamente elástico yen ausencia de rozamiento.

La primera ley de la termodinámica establece que el incremento de la energíainterna del sistema ( ΔU ), es igual a la deferencia de la cantidad suministradade calor ( Q ) menos el trabajo ( W ) efectuado por el sistema sobre susalrededores:

∆𝑼 = 𝑸 −𝑾

𝒅𝒖 + 𝒑 · 𝒅ʋ + ʋ · 𝒅𝒑 + 𝒅𝒆𝒄 + 𝒅𝒆𝒛 = 𝒅𝑸 − 𝒅𝑾

En forma diferencial puede enunciarse así:

Donde: u energía interna específica;p presión;ʋ volumen específico;

ec energía cinética específica, 𝒗𝟐𝟐 (v: velocidad del fluido);

ez energía potencial específica, 𝒛 · 𝒈 (z: altura. g: gravedad);dQ calor absorbido (+) o cedido por el fluido (-) por kg;dW trabajo realizado por el fluido (+) o absorbido (-) por kg.

Todos los términos vienen expresados en 𝑱

𝒌𝒈=

𝒎𝟐

𝒔𝟐o en el múltiplo

𝒌𝑱

𝒌𝒈.

PRINCIPIO DE BERNOULLI

ECUACIÓN DE BERNOULLI EN UN FLUIDO IDEAL

Si aplicamos la ecuación de la conservaciónde la energía al análisis de un flujo de unfluido ideal en una tubería, se tiene lassiguientes consideraciones:

dW = 0 (el fluido no realiza niabsorbe trabajo).dQ = 0 (aislamiento térmico).

Según la termodinámica, cuando se trata delcaso en el que no existe rozamiento (fluidoideal) y que se considere un procesoreversible, se dice que:

𝒅𝒖 + 𝒑 · 𝒅ʋ= 𝒅𝑸Pero como se tiene que dQ = 0, se determina que:

𝒅𝒖 + 𝒑 · 𝒅ʋ = 𝟎

𝒅𝒖 + 𝒑 · 𝒅ʋ + ʋ · 𝒅𝒑 + 𝒅𝒆𝒗 + 𝒅𝒆𝒛 = 𝒅𝑸 − 𝒅𝑾

Se sabe que ʋ =𝟏

𝝆, sustituyendo este término en la ecuación, y teniendo en cuenta la

definición de energía cinética y energía potencial, queda la ecuación de la conservaciónde la energía:

𝒅𝒑

𝝆+ 𝒅

𝒗𝟐

𝟐+ 𝒅 𝒛 · 𝒈 = 𝟎

ʋ · 𝒅𝒑 + 𝒅𝒆𝒄 + 𝒅𝒆𝒛 = 0

Por tanto la ecuación de la conservación de la energía es:

Integrando entre dos puntos (secciones) cualesquiera del tubo 1 y 2 tenemos:

𝒑𝟏𝝆+𝒗𝟏𝟐

𝟐+ 𝒛𝟏 · 𝒈 =

𝒑𝟐𝝆+𝒗𝟐𝟐

𝟐+ 𝒛𝟐 · 𝒈

𝑲𝑱𝑲𝒈

Considerando la definición de peso específico: 𝜸 = 𝝆 · 𝒈 la ecuación de conservación de laenergía se puede representar de la siguiente forma:

𝒑𝟏 +𝟏

𝟐· ρ · 𝒗𝟏

𝟐 + 𝒛𝟏 · 𝜸 = 𝒑𝟐 +𝟏

𝟐· ρ · 𝒗𝟐

𝟐 + 𝒛𝟐 · 𝜸 𝑷𝒂

ECUACIÓN DE CONTINUIDAD

Aplicando la Ley de la conservación de la Masa a la tubería se tiene que el flujo másicoque entra debe ser igual al flujo másico que sale:

ṁ𝟏 = ṁ𝟐 = ṁ → 𝝆𝟏 · 𝑨𝟏 · 𝒗𝟏 = 𝝆𝟐 · 𝑨𝟐 · 𝒗𝟐 𝒌𝒈/𝒔

Para el caso en que la densidad permanezca constante 𝝆𝟏 = 𝝆𝟐, entonces la expresiónanterior se convierte en la ecuación de continuidad para flujo incompresible:

𝑨𝟏 · 𝒗𝟏 = 𝑨𝟐 · 𝒗𝟐 → ⩒𝟏 = ⩒𝟐= ⩒ 𝒎𝟑/𝒔

ECUACIÓN DE BERNOULLI EN UN FLUIDO IDEAL

APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE BERNOULLI.

TuberíaLa ecuación de Bernoulli y la ecuación de continuidadnos dicen que si reducimos el área transversal de unatubería para que aumente la velocidad del fluido quepasa por ella, se reducirá la presión.


ChimeneaLas chimeneas son altas para aprovechar que la velocidad del viento es más constante yelevada a mayores alturas. Cuanto más rápidamente sopla el viento sobre la boca de unachimenea, más baja es la presión y mayor es la diferencia de presión entre la base y laboca de la chimenea, en consecuencia, los gases de combustión se extraen mejor.


NataciónLa aplicación dentro de este deporte se ve reflejadadirectamente cuando las manos del nadador cortan el aguagenerando una menor presión y mayor propulsión.


Carburador de automóvilEn un carburador de automóvil, la presión del aire quepasa a través del cuerpo del carburador, disminuye cuandopasa por un estrangulamiento. Al disminuir la presión, lagasolina fluye, se vaporiza y se mezcla con la corriente deaire (Efecto Venturi). .


Dispositivos de VenturiEn oxigenoterapia, la mayor parte de sistemas de suministro de débitoalto utilizan dispositivos de tipo Venturi, el cual está basado en elprincipio de Bernoulli.


El AerógrafoLas pistolas pulverizadoras de pintura funcionan con aire comprimido. Sedispara aire a gran velocidad por un tubo fino, justo por encima de otrotubo sumergido en un depósito de pintura. De acuerdo con el teorema deBernoulli, se crea una zona de baja presión sobre el tubo de suministro depintura y, en consecuencia, sube un chorro que se fragmenta en pequeñasgotas en forma de fina niebla.

EJERCICIO 1 DE BERNOULLI

Una corriente de agua de diámetrod=0,1m fluye de manera estable por undepósito de diámetro D=1,0 m como semuestra en la figura. Determinar el caudal

o flujo, ⩒, necesario en el tubo de entradasi la profundidad del agua permanececonstante, h=2,0 m.


Una corriente de agua de diámetro d=0,1m fluye de maneraestable por un depósito de diámetro D=1,0 m como se muestra

en la figura. Determinar el caudal o flujo, ⩒, necesario en el tubode entrada si la profundidad del agua permanece constante,h=2,0 m.

𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒅𝒆 𝑪𝒐𝒏𝒕𝒊𝒏𝒖𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒆𝒏𝒕𝒓𝒆 𝒆𝒍 𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐①𝒚②:

⩒𝟏=⩒𝟐 → 𝑨𝟏 · 𝒗𝟏 = 𝑨𝟐 · 𝒗𝟐 → 𝒗𝟏=𝑨𝟐

𝑨𝟏· 𝒗𝟐 𝟏

𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒅𝒆 𝑩𝒆𝒓𝒏𝒐𝒖𝒍𝒍𝒊 𝒆𝒏𝒕𝒓𝒆 𝒆𝒍 𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐①𝒚②:


𝟐+ 𝒛𝟏 · 𝒈 =


𝟐+ 𝒛𝟐 · 𝒈 ; 𝒑𝟏 = 𝒑𝟐 = 𝒑𝒂𝒕𝒎

𝒗𝟏𝟐

𝟐+ 𝒛𝟏 · 𝒈 =

𝒗𝟐𝟐

𝟐+ 𝒛𝟐 · 𝒈 → (𝒛𝟏−𝒛𝟐) · 𝒈 =

𝒗𝟐𝟐

𝟐−𝒗𝟏𝟐

𝟐→ 𝟐 · 𝒉 · 𝒈 = 𝒗𝟐

𝟐 − 𝒗𝟏𝟐 (𝟐)

𝑺𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒊𝒎𝒐𝒔 𝟏 𝒆𝒏 𝟐 𝒚 𝒅𝒆𝒔𝒑𝒆𝒋𝒂𝒎𝒐𝒔 𝒗𝟐: 𝒗𝟐=𝟐 · 𝒈 · 𝒉

𝟏 −𝑨𝟐𝑨𝟏

𝟐 = 𝟔, 𝟐𝟔 𝒎𝒔

𝑨𝟏 = 𝝅𝑫𝟐

𝟒= 𝟎, 𝟕𝟖𝟓𝒎𝟐; 𝑨𝟐 = 𝝅

𝒅𝟐

𝟒= 𝟎, 𝟎𝟎𝟕𝟖𝟓𝒎𝟐


En la figura, el fluido es aguay se descarga libremente a laatmósfera. Para un flujomásico de 15 kg/s, determinela presión en el manómetro.


En la figura, el fluido es agua y se descargalibremente a la atmósfera. Para un flujo

másico ṁ de 15 kg/s, determine la presiónen el manómetro.

𝑬𝒄. 𝒅𝒆 𝑪𝒐𝒏𝒕𝒊𝒏𝒖𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒆𝒏𝒕𝒓𝒆 𝒆𝒍 𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐①𝒚②:ṁ𝟏 = ṁ𝟐 = ṁ

𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒅𝒆 𝑩𝒆𝒓𝒏𝒐𝒖𝒍𝒍𝒊 𝒆𝒏𝒕𝒓𝒆 𝒆𝒍 𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐①𝒚②:


𝟐+ 𝒛𝟏 · 𝒈 =


𝟐+ 𝒛𝟐 · 𝒈 ;

𝒑𝟐 = 𝒑𝒂𝒕𝒎 = 𝟎; 𝐘𝐚 𝐪𝐮𝐞 𝐬𝐞 𝐭𝐫𝐚𝐛𝐚𝐣𝐚 𝐜𝐨𝐧 𝐩𝐫𝐞𝐬𝐢𝐨𝐧𝐞𝐬 𝐦𝐚𝐧𝐨𝐦é𝐭𝐫𝐢𝐜𝐚𝐬 𝐫𝐞𝐥𝐚𝐭𝐢𝐯𝐚𝐬 .

𝒑𝟏 =𝒗𝟐𝟐

𝟐−𝒗𝟏𝟐

𝟐+ (𝒛𝟐−𝒛𝟏) · 𝒈 · 𝝆 = 𝟏𝟒𝟐𝟒𝟖𝟏, 𝟐𝟓 𝑷𝒂

𝑨𝟏 = 𝝅𝑫𝟏𝟐

𝟒= 𝟎, 𝟎𝟎𝟓𝒎𝟐; 𝑨𝟐 = 𝝅

𝑫𝟐𝟐

𝟒= 𝟎, 𝟎𝟎𝟏𝟗𝟔𝒎𝟐

ṁ𝟏 = 𝛒 ·⩒𝟏= 𝛒 · 𝑨𝟏 · 𝒗𝟏 → 𝒗𝟏 =ṁ𝟏

𝛒 · 𝑨𝟏= 𝟑, 𝟎

𝒎

𝒔; 𝒗𝟐 =

ṁ𝟐

𝛒 · 𝑨𝟐= 𝟕, 𝟔𝟓

𝒎

𝒔


El tanque de u retrete tiene unasección rectangular de dimensiones20cm x 40cm y el nivel del agua estáa una altura h = 20 cm por encimade la válvula de desagüe, la cual tieneun diámetro d2 = 5 cm. Si al bajar lapalanca, se abre la válvula:a) ¿Cuál será la velocidad inicial dedesagüe en función de la altura deagua remanente en el tanque?b) ¿Cuál es la velocidad inicial dedesagüe? No desprecie la velocidaden la superficie del tanque.


El tanque de u retrete tiene una sección rectangular de dimensiones 20cmx 40cm y el nivel del agua está a una altura h = 20 cm por encima de laválvula de desagüe, la cual tiene un diámetro d2 = 5 cm. Si al bajar lapalanca, se abre la válvula:a) ¿Cuál será la velocidad inicial de desagüe en función de la altura deagua remanente en el tanque?b) ¿Cuál es la velocidad inicial de desagüe? No desprecie la velocidad en lasuperficie del tanque.

𝑬𝒄. 𝒅𝒆 𝑪𝒐𝒏𝒕𝒊𝒏𝒖𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒆𝒏𝒕𝒓𝒆 𝒆𝒍 𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐① 𝒚②:

⩒𝟏=⩒𝟐 → 𝑨𝟏 · 𝒗𝟏 = 𝑨𝟐 · 𝒗𝟐 → 𝒗𝟏=𝑨𝟐

𝑨𝟏· 𝒗𝟐 𝟏

𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒅𝒆 𝑩𝒆𝒓𝒏𝒐𝒖𝒍𝒍𝒊 𝒆𝒏𝒕𝒓𝒆 𝒆𝒍 𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐① 𝒚②:


𝟐+ 𝒛𝟏 · 𝒈 =


𝟐+ 𝒛𝟐 · 𝒈 ; 𝒑𝟏 = 𝒑𝟐 = 𝒑𝒂𝒕𝒎

𝒗𝟏𝟐

𝟐+ 𝒛𝟏 · 𝒈 =

𝒗𝟐𝟐

𝟐+ 𝒛𝟐 · 𝒈 → (𝒛𝟏−𝒛𝟐) · 𝒈 =

𝒗𝟐𝟐

𝟐−𝒗𝟏𝟐

𝟐→ 𝟐 · 𝒉 · 𝒈 = 𝒗𝟐

𝟐 − 𝒗𝟏𝟐 (𝟐)

𝑺𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒊𝒎𝒐𝒔 𝟏 𝒆𝒏 𝟐 𝒚 𝒅𝒆𝒔𝒑𝒆𝒋𝒂𝒎𝒐𝒔 𝒗𝟐: 𝒗𝟐=𝟐 · 𝒈 · 𝒉

𝟏 −𝑨𝟐𝑨𝟏

𝟐= 𝟏, 𝟗𝟖 𝒎

𝒔

𝑨𝟏 = 𝟎, 𝟐 · 𝟎, 𝟒 = 𝟎, 𝟎𝟖 𝒎𝟐; 𝑨𝟐 = 𝝅𝒅𝟐𝟐

𝟒= 𝟎, 𝟎𝟎𝟏𝟗𝟔 𝒎𝟐


Calcular el caudal quedesagua la tubería dela figura, y laspresiones en lospuntos 1, 2, 3 y 4. Laspérdidas por fricciónson despreciables.


Calcular el caudal que desagua la tuberíade la figura, y las presiones en los puntos1, 2, 3 y 4. Las pérdidas por fricción sondespreciables.

Sugerencias:• Aplicar ecuación de Bernoulli entre Punto 0 y 5 para calcular v5 (8,404 m/s). • Tener en cuenta que P0=P5=Patm=0 ya que se trabaja con presiones relativas.• La velocidad en la superficie libre del depósito es muy pequeña por lo que se

desprecia, v0=0.• Aplicar Ecuación de Continuidad entre punto 1 y 5 para calcular v1.• Aplicar ecuación de Bernoulli entre Punto 0 y 1 para calcular p1.• Aplicar Ecuación de Continuidad entre punto 1 y 2 para calcular v2.• Aplicar ecuación de Bernoulli entre Punto 0 y 2 para calcular p2.• Aplicar Ecuación de Continuidad entre punto 2 y 3 para calcular v3.• Aplicar ecuación de Bernoulli entre Punto 0 y 3 para calcular p3.• Aplicar Ecuación de Continuidad entre punto 3 y 4 para calcular v4.• Aplicar ecuación de Bernoulli entre Punto 0 y 4 para calcular p4.

Rta:⩒= 0,0165 m3/sp1= 58,42 Pap2= -436 Pap3= -15,15 Pa

p4= 34,88 Pa

En un fluido real la viscosidad origina un rozamiento tanto dl fluido con el contorno(tubería, canal etc.) como las partículas entre sí. En la ecuación de la energía, además delas tres clase de energía aparece la energía de fricción. La fricción provoca una variacióndel estado térmico del fluido, por tanto:


𝟐+ 𝒛𝟏 · 𝒈 − 𝒚𝒓𝟏→𝟐 =


𝟐+ 𝒛𝟐 · 𝒈

𝒌𝑱𝒌𝒈

ECUACIÓN DE BERNOULLI EN UN FLUIDO REAL

𝒅𝒖 ≠ 𝟎

Se pretende trabajar con fluidos que se comportan como incompresibles, por lo que:

𝒑 · 𝒅ʋ = 𝟎 𝒅𝑸 ≠ 𝟎

La fricción en la mecánica de fluidos incompresibles no es aprovechable, es por eso quese la considera como energía perdida yr. La ecuación de Bernoulli quedaría:

O bien expresada en alturas equivalentes (dividiendo entre la gravedad):

𝒑𝟏𝝆 · 𝒈

+𝒗𝟏𝟐

𝟐 · 𝒈+ 𝒛𝟏 −𝑯𝒓𝟏→𝟐 =

𝒑𝟐𝝆 · 𝒈

+𝒗𝟐𝟐

𝟐 · 𝒈+ 𝒛𝟐 (𝒎)

Siendo: Hr12 la altura perdida entre el punto 1 y punto 2. yr12 la energía perdida entre las secciones 1 y 2.

Si la corriente atraviesa una o varias máquinas que le suministran energía (bombas)experimenta un incremento de energía que, expresada en forma de altura, la llamaremos

-∑Hb. Asimismo si la corriente atraviesa una o varias máquinas a las que cede energía(turbinas) experimentan un decremento de energía, que, expresada en forma de altura, la

llamaremos ∑Ht.

ECUACIÓN DE BERNOULLI GENERALIZADA

𝒑𝟏𝝆 · 𝒈

+𝒗𝟏𝟐

𝟐 · 𝒈+ 𝒛𝟏 − ∑𝑯𝒓𝟏→𝟐 =

𝒑𝟐𝝆 · 𝒈

+𝒗𝟐𝟐

𝟐 · 𝒈+ 𝒛𝟐 − ∑𝑯𝒃 + ∑𝑯𝒕 (𝒎)

Siendo: p1/ρg , p2/ρg alturas de presión z1, z2 alturas geodésicas

𝒗𝟏𝟐/𝟐𝒈 , 𝒗𝟐

𝟐/𝟐𝒈 alturas de velocidad

∑Hr12 suma de todas las pérdidas hidráulicas entre 1 y 2.

∑Hb suma de los incrementos de altura proporcionados por las bombas instaladas entre 1 y 2.

∑ Ht suma de los incrementos de altura proporcionados por las turbinas instaladas entre 1 y 2.

La ecuación de bernoulli puede representarse de la siguiente forma:

ECUACIÓN DE BERNOULLI GENERALIZADA


𝟐+ 𝒈 · 𝒛𝟏 − 𝒚𝒓𝟏→𝟐 =


𝟐+ 𝒈 · 𝒛𝟐 −𝒘𝒃 +𝒘𝒕 (𝒌𝑱/𝒌𝒈)

𝒘𝒃 = 𝒈 · ∑𝑯𝒃 ; 𝒘𝒕= 𝒈 · ∑𝑯𝒕 ; (𝒌𝑱/𝒌𝒈)

Donde: wb trabajo suministrado al sistema, bombas hidráulicas.

wt trabajo suministrado por el sistema, turbinas hidráulicas.

Ẇ𝒃 = ṁ · 𝒘𝒃 ; Ẇ𝒕 = ṁ · 𝒘𝒕 (𝒌𝑾)

La potencia mecánica de la bomba, Wb y de la turbina, Wt se determina por:


Calcular, despreciandolas pérdidas, lapotencia quedesarrolla la turbinahidráulica TH de lapresa que se muestraen la figura.

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