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T12. RELATIVIDAD GENERAL (IV): COSMOLOGÍA
1. Introducción
2. Modelos de universo
3. La paradoja de Olbers
Descubre la relatividad T12. Cosmología 1
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Modelos de universo
• Suponer homegeneidad e isotropía a gran escala (principio cosmológico)⇒ métrica de Robertson-Walker:
ds2 = dt2 − R2(t)(
dr2
1− kr2 + r2(dθ2 + sin2 θdϕ2)
)– R(t): factor cosmológico de escala [relacionado con tamaño del universo y con z]
z =λ0 − λ
λ≈ v
c= H
δrc≡ R
Rδt =
δRR
=R0 − R
R
⇒ 1 + z =R0
Rdefiniendo H = R/R
Se suele también definir:
a(t) =R(t)R0
(factor de escala adimensional)
donde R0 = R(t0) es el factor de escala en la época actual.
– k: parámetro de curvatura [tres valores: k = +1 (cerrado) , −1 (abierto) , 0 (plano)]
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• Sustituyéndola en las ecuaciones de Einstein: Rµν − 12R gµν −Λ gµν =
8πGN
c4 Tµν
y asumiendo que Tµν = diag(ρ, p, p, p) (fluido perfecto de densidad ρ y presión p) se obtiene laevolución del universo (ecuaciones de Friedmann-LeMaître):
H2 ≡(
RR
)2
=8πGNρ
3− kc2
R2 +Λc2
3RR
=Λc2
3− 4πGN
3(ρ + 3p/c2)
– Universo estático [Einstein, 1917]ajustar Λ > 0 (abandonado en 1920s)
– Universo en expansión (o recesión)Globo sin centro en 3D
• A partir de estas dos ecuaciones se deduce una tercera:
ρ = −3H(ρ + p/c2)
que nos da ρ en función de R para un universo con una sóla componente con ecuación de estadop = ωρc2, pues entonces ρ = −3(1 + ω)ρR/R cuya solución es
ρ ∝ R−3(1+ω) ∝ a−3(1+ω) si ω 6= −1
lo que nos permite conocer la evolución del universo en distintas eras:
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lana– universo dominado por la radiación (ω = 1/3): (depreciando curvatura y Λ)(
aa
)2
∝ ρ , ρ ∝ a−4 ⇒ a(t) ∝ t1/2 ; H =12t
[así era el universo desde el fin de la etapa inflacionaria (10−35 − 10−33 s tras el Big Bang) hasta que ladensidad de materia y radiación se igualaron, unos 104 años después.]
– universo dominado por la materia (ω = 0): (depreciando curvatura y Λ)(aa
)2
∝ ρ , ρ ∝ a−3 ⇒ a(t) ∝ t2/3 ; H =23t
[así ha sido el universo desde que tenía unos 104 años, es decir casi siempre]
– universo dominado por la energía del vacío (ω = −1): (depreciando curvatura)
aa≈(
aa
)2
> 0 , ρ = const⇒ a(t) ∝ eHt ; H = const .
[así era el universo durante la inflación y así parece ser que empieza a serlo también ahora: ununiverso dominado por la constante cosmológica.]
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[a(t) ∝ t1/2 ; H =
12t
]
[a(t) ∝ t2/3 ; H =
23t
]
[a(t) ∝ eHt ; H = const
]ρ = ρΛ
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Parámetros cosmológicos
Su determinación observacional⇒ geometría de nuestro universo k
• El parámetro de Hubble H mide el ritmo de expansión del universo:
Valor actual (constante de Hubble) H0 =RR
∣∣∣∣0= 100 h km s−1 Mpc−1, h = 0.71+0.04
−0.03
• El parámetro de densidad Ω, normalizado a ρc =3H2
8πGN' 10−29 g/cm3
En la época actual:
Ω ≡ ρ
ρc= ΩM + ΩΛ; ΩM =
ρM
ρc, ΩΛ =
Λc2
3H2 [Ωγ = (4.9± 0.5)× 10−5]
ΩM = ΩB + Ων + ΩCDM
ΩB = 0.044± 0.004 ≈ Ωvis (≈ 0.18 ΩM)
0.003 <∼ ΩHDM ≈ Ων < 0.015
ΩCDM = 0.22± 0.04 (≈ 0.82 ΩM)
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lana– Nótese que la primera ecuación de F-LM relaciona H, k y Ω = ΩM + ΩΛ:
kc2
R2 = H2(Ω− 1)
⇒ Ω > 1: universo cerrado, Ω = 1: universo plano (k = 0) y Ω < 1: universo abierto
• La constante cosmológica Λ influye en la distancia de luminosidad dL Fig
H0dL = c[
z +12(q0 − 1)z2 + . . .
]pues el parámetro de deceleración q0 vale:
q0 ≡ −RRR2
∣∣∣∣0≈ 1
2ΩM −ΩΛ
Exactamente: q0 = 12 Ω0 +
32 ∑i ωiΩi, donde Ω0 = ∑i Ωi y pi = ωiρi (ecuación de estado) es la presión de la especie i, siendo ω = 0 para partículas
no relativistas, ω = + 13 para partículas relativistas y ω = −1 para la constante cosmológica (llamada energía oscura que produce una presión
negativa, de sentido contrario a la gravedad)
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Calan/Tololo (Hamuy et al, A.J. 1996)
Supernova Cosmology Project
effe
ctiv
e m
B
(0.5,0.5) (0, 0)( 1, 0 ) (1, 0)(1.5,–0.5) (2, 0)
(ΩΜ,ΩΛ) = ( 0, 1 )
Fla
t
Λ =
0
redshift z
14
16
18
20
22
24
26
0.02 0.05 0.1 0.2 0.5 1.00.02 0.05 0.1 0.2 0.5 1.0
Perlmutter, et al. (1998)
FA
INT
ER
(F
arth
er)
(Fu
rth
er b
ack
in t
ime)
MORE REDSHIFT (More total expansion of universe since the supernova explosion)
In flat universe: ΩM = 0.28 [± 0.085 statistical] [± 0.05 systematic]
Prob. of fit to Λ = 0 universe: 1%
meffB = mB + 5 log10 dL(Mpc) + 25
H0dL = c[z + 1
2(1− q0)z2 + . . .]
q0 ' 12 ΩM −ΩΛ
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Valores observados ⇒ universo plano dominado por la constante cosmológica
ΩM = 0.27± 0.04
ΩΛ = 0.73± 0.04
• Ω = ΩΛ + ΩM
> 1 : cerrado
= 1 : plano
< 1 : abierto
• q0 = 12 ΩM −ΩΛ
< 0 : acelerando
> 0 : decelerando• destino . . .
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Sobre el destino del universo
• Universo abierto (k = −1)⇒ expansión eterna independiente de Λ
• Universo cerrado (k = +1)⇒recolapso si 0 ≤ Λ < f (ΩM)
expansión eterna si Λ > f (ΩM) > 0
Evolución del universo
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Descubre la relatividad T12. Cosmología 11
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La paradoja de Olbers
[Kepler s. XVII, Halley, Cheseaux s XVIII, Olbers s. XIX]
¿Por qué no es el cielo de noche tan uniformemente brillante como la superficie del Sol?
Explicaciones Discusión
1 Existencia de polvo Mal. Se calentaría; oscurecería el Sol
2 Número finito de estrellas No. Aun así todas brillarían mucho
3 Distribución no uniforme de estrellas Quizás. No, según el principio cosmológico
4 Expansión (oscurecimiento Doppler) Sí. Contribuye pero menos que la siguiente
5 El universo es joven Sí. La luz no ha tenido tiempo de llegar
Soluciones de la paradoja incompatibles con universo estático y eterno
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Estructura a gran escala del universo
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