Tabela de Identidades Hiperbolicas

Disciplina de Clculo II, Prof. Jaime E. Muoz Rivera IM-UFRJ

Funes Hiperblicas:Estas funes so parecidas as funes trigonomtricas e possuem muitas aplicaes como veremos ao longo da disciplina. Definiremos primeiro as funes seno hiperblico e cosseno hiperblico:


Propriedades das Funes Hiperblicas:

Usando a definio, verifique cada uma das propriedades anteriores.


Aplicao: Posio de EqulibrioUma das aplicaes importantes das equaes diferenciais ordinrias para encontrar posio de equilibrio dos corpos. No seguinte exemplo consideraremos o caso de uma corda que se encontra entre dois postes.

Problema 1.- Encontrar a posio de equilbrio de um cabo preso no seus extremos que pasa pelos pontos (0,0) e (0,2). Assuma que a componente horizontal da tenso do cabo igual a h=1 Newton e o peso especfico de =1 N/m.

Suporemos que o extremo inicial do cabo est configurado no origen de coordenadas e que o eixo das abscissas coincide com a posio inicial do cabo


Fazendo um diagrama de foras e lembrando que a tenso horizontal constante e igual a h, temos as seguintes equaes

A primeira equao corresponde ao equilbrio das componentes horizontais e a segunda o equilbrio das foras verticais. Note que T segue a direo da reta tangente, portanto teremos que

Onde s o cumprimento de arco da corda. Note que si derivamos uma vez mais obtemos


Lembrando que o comprimento de arco verifica

De onde finalmente obtemos y verifica a equao.

Que uma equao diferencial de segunda ordem no linear. Para resolver esta equao fazemos y'=p. Assim obtemos


Integrando e fazendo a substituio

Encontramos

Assim temos que


Para voltar a variavel original, construmos nosso tringulo retngulo

Assim temos

Resolvendo esta equao segue


Lembrando que y'=p

Encontramos que

Lembrando as condies de contorno do problema y(0)=y(2)=0 obtemos que a soluo y do problema dada por:


Problema de Valor Inicial e de Contorno.Quando resolvemos uma equao diferencial de primeira ordem obtemos como

soluo uma funo com uma constante arbitraria que aparece pelo processo de integrao que elaboramos ao calcular a soluo.

De forma anloga quando resolvemos uma equao deferencial de segunda ordem, aparecem duas constantes de integrao. Isto significa que teremos infinitas solues. Pois as constantes so arbitrrias. Assim podemos resolver uma equao diferencial de primeira ordem inserindo uma condio extra. Por exemplo que a soluo no ponto t=0, tenha um determinado valor.

Na primeira equao estamos exigindo que a soluo no ponto zero seja igual a trs. As equaes acima so exemplos de problemas de valor inicial.


Exerccio: Encontrar a soluo dos seguintes problemas de valor inicial

Na primeira equao temos que a soluo geral dada por

Aplicando a condio inicial temos

Logo a soluo dada por


Para o segundo problema, consideramos o polinmio caraterstico:

Portanto a soluo geral dada por

Aplicando as condies iniciais obtemos

De onde a soluo dada por


Exerccio: Encontrar a soluo do seguinte problema de contorno

Como vimos no exerccio anterior a soluo geral dada por

Nosso prximo passo encontrar A e B que verifique a condio de contorno.

Portanto a soluo dada por

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