Upload
others
View
90
Download
4
Embed Size (px)
Citation preview
Wybrane wzory matematyczne na egzamin maturalny z matematyki
ZespΓ³Ε redakcyjny:
Hubert Rauch (CKE) Mariusz Mroczek (CKE) Marian Pacholak (OKE Warszawa) dr Wioletta Kozak (CKE) dr Marcin Smolik (CKE) dr Roman Wosiek Ewa Ludwikowska (OKE GdaΕsk) Joanna Berner (OKE Warszawa) Piotr Ludwikowski (OKE KrakΓ³w)
Recenzenci:
dr hab. Jan JakΓ³bowski (UWM) Agata GΓ³rniak (recenzja nauczycielska)
Spis treΕci
1. WartoΕΔ bezwzglΔdna liczby .......................................................................................... 4
2. PotΔgi i pierwiastki .......................................................................................................... 4
3. Logarytmy ...................................................................................................................... 5
4. Silnia. WspΓ³Εczynnik dwumianowy ................................................................................. 6
5. WzΓ³r dwumianowy Newtona .......................................................................................... 7
6. Wzory skrΓ³conego mnoΕΌenia ......................................................................................... 7
7. Funkcja kwadratowa ....................................................................................................... 7
8. CiΔ gi ............................................................................................................................... 9
9. Trygonometria ...............................................................................................................10
10. Planimetria ....................................................................................................................14
11. Geometria analityczna na pΕaszczyΕΊnie kartezjaΕskiej ..................................................21
12. Stereometria ..................................................................................................................24
13. Kombinatoryka ..............................................................................................................26
14. Rachunek prawdopodobieΕstwa ....................................................................................27
15. Parametry danych statystycznych .................................................................................29
16. Pochodna funkcji ...........................................................................................................30
17. Tablica wartoΕci funkcji trygonometrycznych .................................................................32
4
1. WARTOΕΔ BEZWZGLΔDNA LICZBY
WartoΕΔ bezwzglΔdnΔ liczby rzeczywistej π₯ definiujemy wzorem:
Liczba |π₯| jest to odlegΕoΕΔ na osi liczbowej punktu π₯ od punktu 0.
Dla dowolnej liczby π₯ mamy:
Dla dowolnych liczb rzeczywistych π₯, π¦ mamy:
Ponadto, jeΕli π¦ β 0, to:
Dla dowolnych liczb rzeczywistych π oraz π β₯ 0 mamy:
2. POTΔGI I PIERWIASTKI
Niech π bΔdzie liczbΔ caΕkowitΔ dodatniΔ . Dla dowolnej liczby rzeczywistej π definiujemy
jej π-tΔ potΔgΔ:
Pierwiastkiem arytmetycznym βππ
stopnia π z liczby π β₯ 0 nazywamy liczbΔ π β₯ 0
takΔ , ΕΌe ππ = π.
W szczegΓ³lnoΕci, dla kaΕΌdej liczby rzeczywistej π prawdziwa jest rΓ³wnoΕΔ:
|π₯| = { π₯ dla π₯ β₯ 0βπ₯ dla π₯ < 0
|π₯| β₯ 0 |π₯| = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy π₯ = 0 | β π₯| = |π₯|
|π₯ + π¦| β€ |π₯| + |π¦| |π₯ β π¦| β€ |π₯| + |π¦| |π₯ β π¦| = |π₯| β |π¦|
| π₯
π¦ | =
|π₯|
|π¦|
|π₯ β π| β€ π wtedy i tylko wtedy, gdy π β π β€ π₯ β€ π + π
|π₯ β π| β₯ π wtedy i tylko wtedy, gdy π₯ β€ π β π lub π₯ β₯ π + π
ππ = π β π β β¦ β πβ π razy
βπ2 = |π|
5
JeΕΌeli π < 0 oraz liczba π jest nieparzysta, to βππ
oznacza liczbΔ π < 0 takΔ , ΕΌe
ππ = π.
W zbiorze liczb rzeczywistych pierwiastki stopni parzystych z liczb ujemnych nie istniejΔ .
Niech π, π bΔdΔ liczbami caΕkowitymi dodatnimi. Definiujemy:
dla π β 0: πβπ =1ππ
oraz π0 = 1
dla π β₯ 0: ππ
π = βπππ
dla π > 0: πβ ππ =
1βπππ
Niech π, π bΔdΔ dowolnymi liczbami rzeczywistymi. JeΕli π > 0 i π > 0, to:
JeΕΌeli wykΕadniki π, π sΔ liczbami caΕkowitymi, to powyΕΌsze wzory obowiΔ zujΔ dla
wszystkich liczb π β 0 i π β 0.
3. LOGARYTMY
Niech π > 0 i π β 1. Logarytmem logπ π liczby π > 0 przy podstawie π nazywamy
wykΕadnik π potΔgi, do ktΓ³rej naleΕΌy podnieΕΔ π, aby otrzymaΔ π:
RΓ³wnowaΕΌnie:
Dla dowolnych liczb rzeczywistych π₯ > 0, π¦ > 0 oraz π prawdziwe sΔ rΓ³wnoΕci:
ππ β ππ = ππ+π (ππ)π = ππβ π ππ
ππ = ππβπ
(π β π)π = ππ β ππ (π
π)π
=ππ
ππ
logπ π = π wtedy i tylko wtedy, gdy ππ = π
πlogπ π = π
logπ(π₯ β π¦) = logπ π₯ + logπ π¦ logπ π₯π = π β logπ π₯
logπ (π₯
π¦) = logπ π₯ β logπ π¦
6
WzΓ³r na zamianΔ podstawy logarytmu:
jeΕΌeli π > 0, π β 1, π > 0, π β 1 oraz π > 0, to
W szczegΓ³lnoΕci:
Zapisy log π₯ oraz lg π₯ oznaczajΔ log10 π₯.
4. SILNIA. WSPΓΕCZYNNIK DWUMIANOWY
SilniΔ liczby caΕkowitej dodatniej π nazywamy iloczyn kolejnych liczb caΕkowitych od 1
do π wΕΔ cznie:
Ponadto przyjmujemy umowΔ, ΕΌe 0! = 1.
Dla dowolnej liczby caΕkowitej π β₯ 0 prawdziwa jest rΓ³wnoΕΔ:
Dla liczb caΕkowitych π, π speΕniajΔ cych warunki 0 β€ π β€ π definiujemy wspΓ³Εczynnik
dwumianowy (ππ) (symbol Newtona):
Prawdziwe sΔ rΓ³wnoΕci:
logπ π =logπ π
logπ π
logπ π =1
logπ π
π! = 1 β 2 β β¦ β π
(π + 1)! = π! β (π + 1)
(ππ) =
π!
π! (π β π)!
(ππ) =
π(π β 1)(π β 2) β β¦ β (π β π + 1)
π!
(π0) = 1 (
π1) = π (
ππ β 1
) = π (ππ) = 1
(ππ) = (
ππ β π
) (ππ) + (
ππ + 1
) = (π + 1π + 1
)
7
5. WZΓR DWUMIANOWY NEWTONA
Dla dowolnej liczby caΕkowitej dodatniej π oraz dla dowolnych liczb rzeczywistych π, π mamy:
Dla dowolnej liczby caΕkowitej dodatniej π oraz dla dowolnych liczb rzeczywistych π, π:
6. WZORY SKRΓCONEGO MNOΕ»ENIA
Dla dowolnych liczb rzeczywistych π, π:
Dla dowolnej liczby caΕkowitej dodatniej π oraz dowolnych liczb rzeczywistych π, π mamy:
W szczegΓ³lnoΕci:
7. FUNKCJA KWADRATOWA
WyrΓ³ΕΌnikiem Ξ trΓ³jmianu kwadratowego ππ₯2 + ππ₯ + π (π β 0, π, π β β) zmiennej
rzeczywistej π₯ nazywamy liczbΔ
PostaΔ ogΓ³lna funkcji kwadratowej: π(π₯) = ππ₯2 + ππ₯ + π, π β 0, π, π β β, π₯ β β .
(π + π)π = (π0) ππ + (
π1) ππβ1π + β¦+ (
ππ) ππβπππ + β¦+ (
ππ β 1
) πππβ1 + (ππ) ππ
(π β π)π = (π0) ππ β (
π1)ππβ1π + β¦+ (β1)π (
ππ) ππβπππ + β¦+ (β1)π (
ππ) ππ
(π + π)2 = π2 + 2ππ + π2 (π + π)3 = π3 + 3π2π + 3ππ2 + π3
(π β π)2 = π2 β 2ππ + π2 (π β π)3 = π3 β 3π2π + 3ππ2 β π3
ππ β ππ = (π β π)(ππβ1 + ππβ2π + β¦+ ππβπππβ1 + β¦+ πππβ2 + ππβ1)
π2 β π2 = (π β π)(π + π) π2 β 1 = (π β 1)(π + 1)
π3 β π3 = (π β π)(π2 + ππ + π2) π3 β 1 = (π β 1)(π2 + π + 1)
π3 + π3 = (π + π)(π2 β ππ + π2) π3 + 1 = (π + 1)(π2 β π + 1)
ππ β 1 = (π β 1)(ππβ1 + ππβ2 + β¦+ π + 1)
Ξ = π2 β 4ππ
8
Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola o wierzchoΕku w punkcie
Gdy π > 0, to ramiona paraboli skierowane sΔ ku gΓ³rze. Gdy π < 0 ramiona paraboli
skierowane sΔ ku doΕowi.
Liczba miejsc zerowych funkcji kwadratowej π(π₯) = ππ₯2 + ππ₯ + π
(liczba pierwiastkΓ³w trΓ³jmianu kwadratowego, liczba rzeczywistych rozwiΔ zaΕ rΓ³wnania
kwadratowego ππ₯2 + ππ₯ + π = 0) zaleΕΌy od wyrΓ³ΕΌnika Ξ:
1. jeΕΌeli π« > π, to funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowe (trΓ³jmian kwadratowy ma
dwa rΓ³ΕΌne pierwiastki rzeczywiste, rΓ³wnanie kwadratowe ma dwa rozwiΔ zania
rzeczywiste):
2. jeΕΌeli π« = π, to funkcja kwadratowa ma dokΕadnie jedno miejsce zerowe (trΓ³jmian
kwadratowy ma jeden pierwiastek, rΓ³wnanie kwadratowe ma dokΕadnie jedno
rozwiΔ zanie rzeczywiste):
3. jeΕΌeli π« < π, to funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych (trΓ³jmian kwadratowy nie
ma pierwiastkΓ³w rzeczywistych, rΓ³wnanie kwadratowe nie ma rozwiΔ zaΕ rzeczywistych).
PostaΔ kanoniczna funkcji kwadratowej:
JeΕΌeli Ξ β₯ 0, to funkcjΔ kwadratowΔ moΕΌna przestawiΔ w postaci iloczynowej
Wzory ViΓ¨teβa
JeΕΌeli Ξ β₯ 0, to
π = (π, π) gdzie π = βπ
2π, π = β
π₯
4π
π₯1 =βπ β βπ₯
2π π₯2 =
βπ + βπ₯
2π
π₯1 = π₯2 = βπ
2π
π(π₯) = π(π₯ β π)2 + π
π(π₯) = π(π₯ β π₯1)(π₯ β π₯2)
π₯1 + π₯2 = βπ
π π₯1 β π₯2 =
π
π
9
8. CIΔGI
WzΓ³r na π-ty wyraz ciΔ gu arytmetycznego (ππ), okreΕlonego dla π β₯ 1, o pierwszym
wyrazie π1 i rΓ³ΕΌnicy π:
Wzory na sumΔ ππ poczΔ tkowych π wyrazΓ³w ciΔ gu arytmetycznego:
Dla sΔ siednich wyrazΓ³w ciΔ gu arytmetycznego (ππ) prawdziwa jest rΓ³wnoΕΔ:
WzΓ³r na π-ty wyraz ciΔ gu geometrycznego (ππ), okreΕlonego dla π β₯ 1, o pierwszym
wyrazie π1 i ilorazie π:
Wzory na sumΔ ππ poczΔ tkowych π wyrazΓ³w ciΔ gu geometrycznego:
Dla sΔ siednich wyrazΓ³w ciΔ gu geometrycznego (ππ) prawdziwa jest rΓ³wnoΕΔ:
Suma wyrazΓ³w nieskoΕczonego ciΔ gu geometrycznego
Dany jest nieskoΕczony ciΔ g geometryczny (ππ), okreΕlony dla π β₯ 1, o ilorazie π.
Niech (ππ) oznacza ciΔ g sum poczΔ tkowych wyrazΓ³w ciΔ gu (ππ), to znaczy ciΔ g
okreΕlony wzorem ππ = π1 + π2 + β¦+ ππ dla π β₯ 1.
JeΕΌeli |π| < 1, to ciΔ g (ππ) ma granicΔ rΓ³wnΔ
GranicΔ tΔ nazywamy sumΔ wszystkich wyrazΓ³w ciΔ gu (ππ).
ππ = π1 + (π β 1)π
ππ =π1 + ππ2
β π ππ =2π1 + (π β 1)π
2β π
ππ =ππβ1 + ππ+1
2 dla π β₯ 2
ππ = π1 β ππβ1 dla π β₯ 2
ππ = π1 β 1 β ππ
1 β π dla π β 1 ππ = π β π1 dla π = 1
(ππ)2 = ππβ1 β ππ+1 dla π β₯ 2
π = limπββ
ππ =π11 β π
10
Twierdzenie o granicy sumy, rΓ³ΕΌnicy, iloczynu i ilorazu ciΔ gΓ³w zbieΕΌnych
JeΕΌeli ciΔ gi (ππ) i (ππ), okreΕlone dla kaΕΌdej liczby naturalnej π β₯ 1, sΔ zbieΕΌne
i limπββ
ππ = π oraz limπββ
ππ = π, to ciΔ gi (ππ + ππ), (ππ β ππ), (ππ β ππ) sΔ zbieΕΌne,
a ponadto
JeΕΌeli ponadto ππ β 0 dla π β₯ 1 oraz π β 0, to ciΔ g (ππππ) jest zbieΕΌny i
Twierdzenie o trzech ciΔ gach
JeΕΌeli wyrazy ciΔ gΓ³w (ππ), (ππ) i (ππ), okreΕlonych dla π β₯ 1, speΕniajΔ nierΓ³wnoΕΔ
ππ β€ ππ β€ ππ dla π β₯ 1, a ciΔ gi (ππ) i (ππ) sΔ zbieΕΌne do wspΓ³lnej granicy
limπββ
ππ = limπββ
ππ = π, to ciΔ g (ππ) jest zbieΕΌny, a ponadto limπββ
ππ = π.
Procent skΕadany
JeΕΌeli kapitaΕ poczΔ tkowy πΎ0 zΕoΕΌymy na okres π lat na lokacie bankowej, ktΓ³rej
oprocentowanie wynosi π% w skali rocznej, a kapitalizacja odsetek nastΔpuje po upΕywie
kaΕΌdego roku trwania lokaty, to kapitaΕ koΕcowy πΎπ jest okreΕlony wzorem:
9. TRYGONOMETRIA
Definicje funkcji trygonometrycznych kΔ ta ostrego w trΓ³jkΔ cie prostokΔ tnym
limπββ
(ππ + ππ) = π + π limπββ
(ππ β ππ) = π β π limπββ
(ππ β ππ) = π β π
limπββ
( ππππ ) =
π
π
πΎπ = πΎ0 β (1 +π
100)π
sin πΌ =π
π
cos πΌ =π
π
tg πΌ =π
π πΌ
π΄
π΅
πΆ
π
π
π
11
Definicje funkcji trygonometrycznych dowolnego kΔ ta
Wykresy funkcji trygonometrycznych
πΆ
π(π₯, π¦)
π₯ π₯
π¦
π¦
π
π
π¦
1
β1
βπ β1
2π 0
1
2π π
3
2π 2π π₯
π¦ = sin π₯
π¦
1
β1
βπ β1
2π 0
1
2π π
3
2π 2π π₯
π¦ = cos π₯
sin πΌ =π¦
π
cos πΌ =π₯
π
tg πΌ =π¦
π₯, o ile π₯ β 0
gdzie
π = |ππ| = βπ₯2 + π¦2 > 0
π¦ π¦ = tg π₯
βπ β1
2π 0
1
2π π
3
2π 2π π₯
12
ZwiΔ zki miΔdzy funkcjami trygonometrycznymi tego samego kΔ ta
WartoΕci funkcji trygonometrycznych dla wybranych kΔ tΓ³w
πΌ
0Β° 30Β° 45Β° 60Β° 90Β°
0 1
6π
1
4π
1
3π
1
2π
sin πΌ 0 1
2
β2
2
β3
2 1
cos πΌ 1 β3
2
β2
2
1
2 0
tg πΌ 0 β3
3 1 β3 nie istnieje
Funkcje trygonometryczne sumy i rΓ³ΕΌnicy kΔ tΓ³w
Dla dowolnych kΔ tΓ³w πΌ oraz π½ prawdziwe sΔ rΓ³wnoΕci:
Ponadto
sin2 πΌ + cos2 πΌ = 1
tg πΌ =sin πΌ
cos πΌ dla πΌ β
1
2π + ππ, π β β€
sin(πΌ + π½) = sin πΌ cos π½ + cosπΌ sin π½
sin(πΌ β π½) = sin πΌ cos π½ β cosπΌ sin π½
cos(πΌ + π½) = cos πΌ cos π½ β sin πΌ sin π½
cos(πΌ β π½) = cos πΌ cos π½ + sin πΌ sin π½
tg(πΌ + π½) =tg πΌ + tg π½
1 β tg πΌ β tg π½ gdy πΌ, π½, πΌ + π½ β
π
2+ ππ, π β β€
tg(πΌ β π½) =tg πΌ β tg π½
1 + tg πΌ β tg π½ gdy πΌ, π½, πΌ + π½ β
π
2+ ππ, π β β€
13
Funkcje trygonometryczne podwojonego kΔ ta
Wybrane wzory redukcyjne
Sumy, rΓ³ΕΌnice i iloczyny funkcji trygonometrycznych
OkresowoΕΔ funkcji trygonometrycznych
Dla kaΕΌdego kΔ ta πΌ i liczby caΕkowitej π prawdziwe sΔ zwiΔ zki:
sin 2πΌ = 2 sin πΌ cos πΌ
cos 2πΌ = cos2 πΌ β sin2 πΌ
cos 2πΌ = 2 cos2 πΌ β 1
cos 2πΌ = 1 β 2 sin2 πΌ
tg 2πΌ =2 tg πΌ
1 β tg2 πΌ o ile tg πΌ istnieje i tg2 πΌ β 1
sin(90Β° β πΌ) = cos πΌ cos(90Β° β πΌ) = sin πΌ
sin(90Β° + πΌ) = cos πΌ cos(90Β° + πΌ) = βsin πΌ
sin(180Β° β πΌ) = sin πΌ cos(180Β° β πΌ) = β cos πΌ tg(180Β° β πΌ) = β tgπΌ
sin(180Β° + πΌ) = βsin πΌ cos(180Β° + πΌ) = β cos πΌ tg(180Β° + πΌ) = tg πΌ
sin πΌ + sin π½ = 2 sinπΌ + π½
2cos
πΌ β π½
2 cos πΌ + cos π½ = 2 cos
πΌ + π½
2cos
πΌ β π½
2
sin πΌ β sin π½ = 2 cosπΌ + π½
2sinπΌ β π½
2 cos πΌ β cos π½ = β2 sin
πΌ + π½
2sinπΌ β π½
2
sin πΌ β sin π½ = β1
2[cos(πΌ + π½) β cos(πΌ β π½)]
cos πΌ β cos π½ =1
2[cos(πΌ + π½) + cos(πΌ β π½)]
sin πΌ β cos π½ =1
2[sin(πΌ + π½) + sin(πΌ β π½)]
sin(πΌ + π β 360Β°) = sin πΌ cos(πΌ + π β 360Β°) = cos πΌ
14
Ponadto, jeΕΌeli πΌ β 12π +ππ, π β β€ to:
10. PLANIMETRIA
Przyjmujemy nastΔpujΔ ce oznaczenia w trΓ³jkΔ cie π΄π΅πΆ:
π, π, π β dΕugoΕci bokΓ³w w trΓ³jkΔ cie π΄π΅πΆ
πΌ, π½, πΎ β miary kΔ tΓ³w wewnΔtrznych trΓ³jkΔ ta leΕΌΔ cych
β odpowiednio β przy wierzchoΕkach π΄, π΅
oraz πΆ
π , π β dΕugoΕci promieni okrΔgΓ³w opisanego
i wpisanego w trΓ³jkΔ t π΄π΅πΆ
βπ, βπ, βπ β wysokoΕci trΓ³jkΔ ta opuszczone β odpowiednio β z wierzchoΕkΓ³w π΄, π΅ i πΆ.
π β poΕowa obwodu trΓ³jkΔ ta π΄π΅πΆ, tj.
Twierdzenie Pitagorasa (wraz z twierdzeniem odwrotnym do niego)
JeΕΌeli w trΓ³jkΔ cie π΄π΅πΆ kΔ t πΎ jest kΔ tem prostym, to
JeΕΌeli w trΓ³jkΔ cie π΄π΅πΆ dΕugoΕci bokΓ³w speΕniajΔ rΓ³wnoΕΔ π2 + π2 = π2, to kΔ t πΎ jest
kΔ tem prostym.
Twierdzenie sinusΓ³w
Twierdzenie cosinusΓ³w
tg(πΌ + π β 180Β°) = tg πΌ
π =π + π + π
2
π2 + π2 = π2
π
sin πΌ= 2π
π
sin π½= 2π
π
sin πΎ= 2π
π2 = π2 + π2 β 2ππ β cos πΌ
π2 = π2 + π2 β 2ππ β cos π½
π2 = π2 + π2 β 2ππ β cos πΎ
πΌ π½
πΎ
π
π π
π΅ π΄
πΆ
15
Wzory na pole trΓ³jkΔ ta π΄π΅πΆ:
ZwiΔ zki miarowe w trΓ³jkΔ cie prostokΔ tnym
Przyjmijmy, ΕΌe w trΓ³jkΔ cie π΄π΅πΆ kΔ t przy wierzchoΕku πΆ jest kΔ tem prostym. Niech π·
bΔdzie spodkiem wysokoΕci opuszczonej z wierzchoΕka πΆ na podstawΔ π΄π΅ trΓ³jkΔ ta.
WΓ³wczas:
ZwiΔ zki miarowe w trΓ³jkΔ cie rΓ³wnobocznym
π β dΕugoΕΔ boku trΓ³jkΔ ta rΓ³wnobocznego
β β wysokoΕΔ trΓ³jkΔ ta rΓ³wnobocznego
πΞπ΄π΅πΆ =1
2π β βπ =
1
2π β βπ =
1
2π β βπ
πΞABC =1
2ππ β sin πΎ =
1
2ππ β sin πΌ =
1
2ππ β sin π½
πΞπ΄π΅πΆ =πππ
4π πΞπ΄π΅πΆ = π β π
πΞπ΄π΅πΆ = βπ(π β π)(π β π)(π β π)
πΞπ΄π΅πΆ =1
2π2 β
sin π½ β sin πΎ
sin πΌ =1
2π2 β
sin πΎ β sin πΌ
sin π½ =1
2π2 β
sin πΌ β sin π½
sin πΎ
πΞπ΄π΅πΆ = 2π 2 β sin πΌ β sin π½ β sin πΎ
βπ = β|π΄π·| β |π·π΅| βπ =ππ
π
π =π + π β π
2 π =
1
2π
π = π β sin πΌ = π β cos π½ = π β tg πΌ = π β 1
tg π½
β =πβ3
2 πΞ =
π2β3
4
π =1
3β π =
2
3β
πΌ π½
90Β°πΎ
π
π π
π΅ π΄
πΆ
π·
π΅ π
π π
π΄
πΆ
β
16
Cechy przystawania trΓ³jkΔ tΓ³w
a) cecha przystawania βbokβbokβbokβ dla trΓ³jkΔ tΓ³w π΄π΅πΆ i πΎπΏπ:
dΕugoΕci bokΓ³w trΓ³jkΔ ta π΄π΅πΆ sΔ rΓ³wne odpowiednim dΕugoΕciom bokΓ³w trΓ³jkΔ ta
πΎπΏπ, np.: |π΄π΅| = |πΎπΏ|, |π΅πΆ| = |πΎπ|, |πΆπ΄| = |ππΏ|.
b) cecha przystawania βbokβkΔ tβbokβ dla trΓ³jkΔ tΓ³w π΄π΅πΆ i πΎπΏπ:
dΕugoΕci dwΓ³ch bokΓ³w trΓ³jkΔ ta π΄π΅πΆ sΔ rΓ³wne odpowiednim dΕugoΕciom dwΓ³ch bokΓ³w
trΓ³jkΔ ta πΎπΏπ i kΔ ty miΔdzy tymi parami bokΓ³w sΔ przystajΔ ce, np.: |π΄π΅| = |πΎπΏ|,
|π΅πΆ| = |πΎπ| i |β‘π΄π΅πΆ| = |β‘πΏπΎπ|.
c) cecha przystawania βkΔ tβbokβkΔ tβ dla trΓ³jkΔ tΓ³w π΄π΅πΆ i πΎπΏπ:
dΕugoΕΔ jednego boku trΓ³jkΔ ta π΄π΅πΆ jest rΓ³wna dΕugoΕci jednego boku trΓ³jkΔ ta πΎπΏπ
i kΔ ty przylegΕe do tego boku trΓ³jkΔ ta π΄π΅πΆ sΔ przystajΔ ce do odpowiednich kΔ tΓ³w
przylegΕych do odpowiedniego boku trΓ³jkΔ ta πΎπΏπ, np.:
|β‘π΅π΄πΆ| = |β‘πΎπΏπ| i |β‘π΄π΅πΆ| = |β‘πΏπΎπ| i |π΄π΅| = |πΎπΏ|.
Cechy podobieΕstwa trΓ³jkΔ tΓ³w
a) cecha podobieΕstwa βbokβbokβbokβ dla trΓ³jkΔ tΓ³w π΄π΅πΆ i πΎπΏπ:
dΕugoΕci bokΓ³w trΓ³jkΔ ta π΄π΅πΆ sΔ proporcjonalne do odpowiednich dΕugoΕci bokΓ³w
trΓ³jkΔ ta πΎπΏπ, np.: |π΄π΅||πΎπΏ|
=|π΅πΆ||πΏπ|
=|πΆπ΄||ππΎ|
.
b) cecha podobieΕstwa βbokβkΔ tβbokβ dla trΓ³jkΔ tΓ³w π΄π΅πΆ i πΎπΏπ:
dΕugoΕci dwΓ³ch bokΓ³w trΓ³jkΔ ta π΄π΅πΆ sΔ proporcjonalne do odpowiednich dΕugoΕci
dwΓ³ch bokΓ³w trΓ³jkΔ ta πΎπΏπ i kΔ ty miΔdzy tymi parami bokΓ³w sΔ przystajΔ ce, np.:
|π΄π΅||πΎπΏ|
=|π΄πΆ||πΎπ|
i |β‘π΅π΄πΆ| = |β‘πΏπΎπ|.
c) cecha podobieΕstwa βkΔ tβkΔ tβkΔ tβ dla trΓ³jkΔ tΓ³w π΄π΅πΆ i πΎπΏπ:
kΔ ty trΓ³jkΔ ta π΄π΅πΆ sΔ przystajΔ ce do odpowiednich kΔ tΓ³w trΓ³jkΔ ta πΎπΏπ, np.:
|β‘π΅π΄πΆ| = |β‘πΏπΎπ| i |β‘π΄π΅πΆ| = |β‘πΎπΏπ| i |β‘π΄πΆπ΅| = |β‘πΎππΏ|.
π΄
πΆ
π΅
π
πΏ πΎ
π΄
πΆ
π΅
π
πΏ πΎ
17
Twierdzenie Talesa (wraz z twierdzeniem odwrotnym do niego)
RΓ³ΕΌne proste π΄π΅ i πΆπ· przecinajΔ siΔ w punkcie π, przy czym speΕniony jest jeden
z warunkΓ³w:
β punkt π΄ leΕΌy wewnΔ trz odcinka ππ΅ oraz punkt πΆ leΕΌy wewnΔ trz odcinka ππ·
LUB
β punkt π΄ leΕΌy na zewnΔ trz odcinka ππ΅ oraz punkt πΆ leΕΌy na zewnΔ trz odcinka ππ·.
JeΕΌeli |π΄π΅||ππ΄|
=|πΆπ·||ππΆ|
, to proste π΄πΆ i π΅π· sΔ rΓ³wnolegΕe.
JeΕΌeli proste π΄πΆ i π΅π· sΔ rΓ³wnolegΕe, to |π΄π΅||ππ΄|
=|πΆπ·||ππΆ|
.
KoΕo
Pole π koΕa o promieniu π jest rΓ³wne:
ObwΓ³d πΏ koΕa o promieniu π jest rΓ³wny:
Wycinek koΕa
Pole π wycinka koΕa o promieniu π i kΔ cie Εrodkowym πΌ
wyraΕΌonym w stopniach jest rΓ³wne:
DΕugoΕΔ πΏ Εuku π΄π΅ wycinka koΕa o promieniu π i kΔ cie Εrodkowym
πΌ wyraΕΌonym w stopniach jest rΓ³wna:
π = ππ2
πΏ = 2ππ
π =πΌ
360Β°β ππ2
πΏ =πΌ
360Β°β 2ππ
π π· πΆ
π΅
π΄
π
π·
πΆ
π΅ π΄
π
πΌ
π΄
π΅
π
18
KΔ ty w okrΔgu
Miara kΔ ta wpisanego w okrΔ g o Εrodku π jest rΓ³wna poΕowie
miary kΔ ta Εrodkowego, opartego na tym samym Εuku.
Miary kΔ tΓ³w wpisanych w okrΔ g o Εrodku π, opartych na tym
samym Εuku, sΔ rΓ³wne.
Twierdzenie o kΔ cie miΔdzy stycznΔ i ciΔciwΔ
Dany jest okrΔ g o Εrodku w punkcie π i ciΔciwa π΄π΅ tego okrΔgu. Prosta π΄πΆ jest styczna
do tego okrΔgu w punkcie π΄, natomiast punkt π leΕΌy na tym okrΔgu i nie naleΕΌy do
kΔ ta πΆπ΄π΅. Wtedy
przy czym wybieramy ten z kΔ tΓ³w Εrodkowych π΄ππ΅, ktΓ³ry jest oparty na Εuku znajdujΔ cym
siΔ wewnΔ trz kΔ ta πΆπ΄π΅.
Twierdzenie o odcinkach stycznych
JeΕΌeli styczne do okrΔgu w punktach π΄ i π΅ przecinajΔ siΔ w punkcie π, to
|β‘π΄ππ΅| = |β‘πΆπ΄π΅| i |β‘π΄ππ΅| = 2 β |β‘πΆπ΄π΅|
|ππ΄| = |ππ΅|
πΌ 2πΌ
πΌ
πΌ π
π
π΄
π΅
π
π΄ πΆ
π΅
π
π΄ πΆ
π΅
π π
π΄ πΆ
π΅
19
Twierdzenie o odcinkach siecznej i stycznej
Dane sΔ : prosta przecinajΔ ca okrΔ g w punktach π΄ i π΅ oraz prosta styczna do tego okrΔgu
w punkcie πΆ. JeΕΌeli proste te przecinajΔ siΔ w punkcie π, to
CzworokΔ ty
Trapez β czworokΔ t, ktΓ³ry ma co najmniej jednΔ parΔ bokΓ³w rΓ³wnolegΕych.
WzΓ³r na pole π trapezu:
RΓ³wnolegΕobok β czworokΔ t, ktΓ³ry ma dwie pary bokΓ³w rΓ³wnolegΕych.
Wzory na pole π rΓ³wnolegΕoboku:
|ππ΄| β |ππ΅| = |ππΆ|2
π =π + π
2β β
π = πβ π = π β π β sin πΌ
π =1
2β |π΄πΆ| β |π΅π·| β sin πΎ
π΄
πΆ
π΅
π
π
β
π
π β
πΆ π·
πΎ
π΅
πΌ
π π΄
20
Romb β czworokΔ t, ktΓ³ry ma wszystkie boki jednakowej dΕugoΕci.
Wzory na pole π rombu:
Deltoid β czworokΔ t wypukΕy, ktΓ³ry ma oΕ symetrii zawierajΔ cΔ jednΔ z przekΔ tnych.
WzΓ³r na pole π deltoidu:
OkrΔ g opisany na czworokΔ cie
Na czworokΔ cie moΕΌna opisaΔ okrΔ g wtedy i tylko wtedy, gdy sumy miar jego
przeciwlegΕych kΔ tΓ³w wewnΔtrznych sΔ rΓ³wne 180Β°.
OkrΔ g wpisany w czworokΔ t
W czworokΔ t wypukΕy moΕΌna wpisaΔ okrΔ g
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy dΕugoΕci jego
przeciwlegΕych bokΓ³w sΔ rΓ³wne.
π = πβ π = π2 β sin πΌ
π =1
2β |π΄πΆ| β |π΅π·|
π =1
2β |π΄πΆ| β |π΅π·|
πΌ + πΎ = π½ + πΏ
πΌ + πΎ = 180Β° Ξ² + Ξ³ = 180Β°
π + π = π + π
π β
π· πΆ
πΌ π΅ π π΄
πΆ π΄
π·
π΅
πΌ
π½ πΎ
πΏ
π π
π π
21
11. GEOMETRIA ANALITYCZNA NA PΕASZCZYΕΉNIE KARTEZJAΕSKIEJ
DΕugoΕΔ odcinka
DΕugoΕΔ odcinka π΄π΅ o koΕcach w punktach π΄ = (π₯π΄, π¦π΄)
oraz π΅ = (π₯π΅, π¦π΅) jest rΓ³wna:
WspΓ³ΕrzΔdne Εrodka odcinka
WspΓ³ΕrzΔdne Εrodka π = (π₯π, π¦π) odcinka π΄π΅ o koΕcach
w punktach π΄ = (π₯π΄, π¦π΄) oraz π΅ = (π₯π΅, π¦π΅) sΔ rΓ³wne:
RΓ³wnanie kierunkowe prostej
JeΕΌeli prosta nie jest rΓ³wnolegΕa do osi ππ¦, to moΕΌna
opisaΔ jΔ rΓ³wnaniem kierunkowym:
Liczba π to wspΓ³Εczynnik kierunkowy prostej.
Prosta o rΓ³wnaniu π¦ = ππ₯ + π przecina oΕ ππ¦ w punkcie (0, π).
RΓ³wnanie kierunkowe prostej o danym wspΓ³Εczynniku kierunkowym πΌ, ktΓ³ra przechodzi
przez punkt π = (π₯0, π¦0):
RΓ³wnanie kierunkowe prostej, ktΓ³ra przechodzi przez dwa dane punkty π΄ = (π₯π΄, π¦π΄) oraz
π΅ = (π₯π΅, π¦π΅):
|π΄π΅| = β(π₯π΅ β π₯π΄)2 + (π¦π΅ β π¦π΄)2
π₯π =π₯π΄ + π₯π΅2
π¦π =π¦π΄ + π¦π΅2
π¦ = ππ₯ + π
π = tg πΌ
π¦ = π(π₯ β π₯0) + π¦0
π¦ β π¦π΄ =π¦π΅ β π¦π΄π₯π΅ β π₯π΄
β (π₯ β π₯π΄) gdy π₯π΅ β π₯π΄
π΄(π₯π΄, π¦π΄)
π΅(π₯π΅, π¦π΅)
π(π₯π, π¦π)
π₯
π¦
π
πΌ
π¦ = ππ₯ + π
π¦
π
π π₯
22
RΓ³wnanie ogΓ³lne prostej
JeΕΌeli π΄ = 0, to prosta jest rΓ³wnolegΕa do osi ππ₯; jeΕΌeli π΅ = 0, to prosta jest rΓ³wnolegΕa
do osi ππ¦; jeΕΌeli πΆ = 0, to prosta przechodzi przez poczΔ tek ukΕadu wspΓ³ΕrzΔdnych.
RΓ³wnanie ogΓ³lne prostej, ktΓ³ra przechodzi przez dwa dane punkty π΄ = (π₯π΄, π¦π΄) oraz
π΅ = (π₯π΅, π¦π΅):
Proste rΓ³wnolegΕe
Dwie proste o rΓ³wnaniach kierunkowych π¦ = π1π₯ + π1 oraz π¦ = π2π₯ + π2 sΔ
rΓ³wnolegΕe wtedy i tylko wtedy, gdy:
Dwie proste o rΓ³wnaniach ogΓ³lnych π΄1π₯ + π΅1π¦ + πΆ1 = 0 oraz π΄2π₯ + π΅2π¦ + πΆ2 = 0 sΔ
rΓ³wnolegΕe wtedy i tylko wtedy, gdy:
Proste prostopadΕe
Dwie proste o rΓ³wnaniach kierunkowych π¦ = π1π₯ + π1 oraz π¦ = π2π₯ + π2 sΔ
prostopadΕe wtedy i tylko wtedy, gdy:
Dwie proste o rΓ³wnaniach ogΓ³lnych π΄1π₯ + π΅1π¦ + πΆ1 = 0 oraz π΄2π₯ + π΅2π¦ + πΆ2 = 0 sΔ
prostopadΕe wtedy i tylko wtedy, gdy:
OdlegΕoΕΔ punktu od prostej
OdlegΕoΕΔ π punktu π(π₯0, π¦0) od prostej o rΓ³wnaniu ogΓ³lnym π΄π₯ + π΅π¦ + πΆ = 0 jest
rΓ³wna:
π΄π₯ + π΅π¦ + πΆ = 0, gdzie π΄, π΅, πΆ β β i π΄2 + π΅2 β 0
(π¦ β π¦π΄)(π₯π΅ β π₯π΄) β (π¦π΅ β π¦π΄)(π₯ β π₯π΄) = 0
π1 = π2
π΄1 β π΅2 β π΄2 β π΅1 = 0
π1 β π2 = β1
π΄1 β π΄2 + π΅1 β π΅2 = 0
π =|π΄ β π₯0 + π΅ β π¦0 + πΆ|
βπ΄2 + π΅2
23
RΓ³wnanie okrΔgu
RΓ³wnanie okrΔgu o Εrodku π = (π, π) i promieniu π > 0 w postaci kanonicznej:
RΓ³wnanie okrΔgu o Εrodku π = (π, π) i promieniu π > 0 w postaci ogΓ³lnej:
gdzie π = π2 + π2 β π2.
WspΓ³ΕrzΔdne wektora, dΕugoΕΔ wektora, dziaΕania na wektorach
Dane sΔ punkty π΄ = (π₯π΄, π¦π΄) oraz π΅ = (π₯π΅, π¦π΅). WspΓ³ΕrzΔdne wektora π΄π΅ββββ β
zaczepionego w punkcie π΄:
JeΕΌeli οΏ½βοΏ½ = [π’1, π’2] oraz π£ = [π£1, π£2] sΔ wektorami oraz π β β, to:
DΕugoΕciΔ |οΏ½βοΏ½ | wektora οΏ½βοΏ½ = [π’1, π’2] nazywamy liczbΔ
PrzeksztaΕcenia geometryczne
PrzesuniΔcie o wektor οΏ½βοΏ½ = [π, π] przeksztaΕca punkt π = (π₯, π¦) na punkt
πβ = (π₯ + π, π¦ + π).
Symetria osiowa πππ₯ wzglΔdem osi ππ₯ przeksztaΕca punkt π = (π₯, π¦) na punkt
πβ = (π₯, βπ¦).
Symetria osiowa πππ¦ wzglΔdem osi ππ¦ przeksztaΕca punkt π = (π₯, π¦) na punkt
πβ = (βπ₯, π¦).
Symetria Εrodkowa ππΎ wzglΔdem punktu πΎ = (π, π) przeksztaΕca punkt π = (π₯, π¦) na
punkt πβ = (2π β π₯, 2π β π¦).
W szczegΓ³lnoΕci symetria Εrodkowa wzglΔdem poczΔ tku ukΕadu wspΓ³ΕrzΔdnych
przeksztaΕca punkt π = (π₯, π¦) na punkt πβ = (βπ₯,βπ¦).
(π₯ β π)2 + (π¦ β π)2 = π2
π₯2 + π¦2 β 2ππ₯ β 2ππ¦ + π = 0
π΄π΅ββββ β = [π₯π΅ β π₯π΄, π¦π΅ β π¦π΄]
οΏ½βοΏ½ + π£ = [π’1 + π£1, π’2 + π£2] π β οΏ½βοΏ½ = [π β π’1, π β π’2]
|οΏ½βοΏ½ | = β(π’1)2 + (π’2)2
24
Pole trΓ³jkΔ ta
Pole trΓ³jkΔ ta π΄π΅πΆ o wierzchoΕkach π΄ = (π₯π΄, π¦π΄), π΅ = (π₯π΅, π¦π΅) oraz πΆ = (π₯πΆ , π¦πΆ) jest
rΓ³wne:
WspΓ³ΕrzΔdne Εrodka masy trΓ³jkΔ ta
WspΓ³ΕrzΔdne Εrodka masy π = (π₯π, π¦π) trΓ³jkΔ ta π΄π΅πΆ o wierzchoΕkach π΄ = (π₯π΄, π¦π΄),
π΅ = (π₯π΅, π¦π΅) oraz πΆ = (π₯πΆ , π¦πΆ), czyli punktu przeciΔcia jego Εrodkowych:
12. STEREOMETRIA
Twierdzenie o trzech prostych prostopadΕych
Prosta π przebija pΕaszczyznΔ w punkcie π pod kΔ tem ostrym. Prosta π jest rzutem
prostokΔ tnym prostej π na tΔ pΕaszczyznΔ. Prosta π leΕΌy na tej pΕaszczyΕΊnie i przechodzi
przez punkt π.
WΓ³wczas prosta π jest prostopadΕa do prostej π wtedy i tylko wtedy, gdy π jest
prostopadΕa do prostej π.
Przyjmujemy oznaczenia:
ππ β pole powierzchni caΕkowitej ππ β pole powierzchni bocznej
ππ β pole podstawy π β objΔtoΕΔ
ππ₯π΄π΅πΆ =1
2β |(π₯π΅ β π₯π΄)(π¦πΆ β π¦π΄) β (π¦π΅ β π¦π΄)(π₯πΆ β π₯π΄)|
π₯π =π₯π΄ + π₯π΅ + π₯πΆ
3 π¦π =
π¦π΄ + π¦π΅ + π¦πΆ3
π
π
π
π
25
ProstopadΕoΕcian
gdzie π, π, π sΔ dΕugoΕciami krawΔdzi prostopadΕoΕcianu
GraniastosΕup prosty
gdzie ππ jest obwodem podstawy graniastosΕupa,
natomiast β β wysokoΕciΔ graniastosΕupa.
OstrosΕup
gdzie β jest wysokoΕciΔ ostrosΕupa.
Walec
gdzie β jest wysokoΕciΔ walca, π β Εrodkiem symetrii
podstawy walca, π β promieniem podstawy walca.
ππ = 2(ππ + ππ + ππ)
π = πππ
ππ = ππ β β
π = ππ β β
π =1
3β ππ β β
ππ = 2ππβ
ππ = 2ππ(π + β)
π = ππ2β
π π
π
π΄ π΅
πΈ
πΊ
πΉ
π»
π· πΆ
β
π΄
πΊ
π»
πΉ
π΅
πΈ π·
πΆ
π½ πΌ
β
π· πΈ
π
π
π΅
πΆ
π΄
β
π π
26
StoΕΌek
gdzie π jest promieniem podstawy stoΕΌka, β β jego wysokoΕciΔ , natomiast π β tworzΔ cΔ
stoΕΌka. Punkt π jest Εrodkiem symetrii podstawy stoΕΌka.
Kula
gdzie π jest promieniem kuli, natomiast π β Εrodkiem symetrii kuli.
13. KOMBINATORYKA
Permutacje
Liczba wszystkich sposobΓ³w, na ktΓ³re π rΓ³ΕΌnych elementΓ³w moΕΌna ustawiΔ w ciΔ g, jest
rΓ³wna π!.
Kombinacje
Liczba wszystkich sposobΓ³w, na ktΓ³re spoΕrΓ³d π rΓ³ΕΌnych elementΓ³w moΕΌna wybraΔ π
elementΓ³w (0 β€ π β€ π), jest rΓ³wna (ππ).
Wariacje z powtΓ³rzeniami
Liczba wszystkich sposobΓ³w, na ktΓ³re z π rΓ³ΕΌnych elementΓ³w moΕΌna utworzyΔ ciΔ g,
skΕadajΔ cy siΔ z π (niekoniecznie rΓ³ΕΌnych) wyrazΓ³w, jest rΓ³wna ππ.
ππ = πππ
ππ = ππ(π + π)
π =1
3ππ2β
ππ = 4ππ2
π =4
3ππ3
β
π π
π
π π
27
Wariacje bez powtΓ³rzeΕ
Liczba wszystkich sposobΓ³w, na ktΓ³re z π rΓ³ΕΌnych elementΓ³w moΕΌna utworzyΔ ciΔ g,
skΕadajΔ cy siΔ z π rΓ³ΕΌnych wyrazΓ³w (1 β€ π β€ π), jest rΓ³wna
π!
(π β π)!= π β (π β 1) β β¦ β (π β π + 1)
14. RACHUNEK PRAWDOPODOBIEΕSTWA
WΕasnoΕci prawdopodobieΕstwa
0 β€ π(π΄) β€ 1 dla kaΕΌdego zdarzenia π΄ β Ξ©
π(β ) = 0
π(Ξ©) = 1
π(π΄) β€ π(π΅) dla kaΕΌdych zdarzeΕ π΄ oraz π΅ takich, ΕΌe π΄ β π΅ β Ξ©
π(π΄β²) = 1 β π(π΄) gdzie π΄β² oznacza zdarzenie przeciwne do zdarzenia π΄ β Ξ©
π(π΄ βͺ π΅) = π(π΄) + π(π΅) β π(π΄ β© π΅) dla dowolnych zdarzeΕ π΄, π΅ β Ξ©
π(π΄ βͺ π΅) β€ π(π΄) + π(π΅) dla dowolnych zdarzeΕ π΄, π΅ β Ξ©
Twierdzenie (klasyczna definicja prawdopodobieΕstwa)
Niech Ξ© bΔdzie skoΕczonym zbiorem wszystkich zdarzeΕ elementarnych doΕwiadczenia
losowego. JeΕΌeli wszystkie zdarzenia jednoelementowe sΔ jednakowo prawdopodobne, to
prawdopodobieΕstwo zdarzenia losowego π΄ jest rΓ³wne
gdzie |π΄| oznacza liczbΔ zdarzeΕ elementarnych sprzyjajΔ cych zdarzeniu losowemu π΄,
natomiast |Ξ©| β liczbΔ elementΓ³w zbioru Ξ©.
Schemat Bernoullego
PrΓ³bΔ Bernoullego nazywamy doΕwiadczenie losowe, w ktΓ³rym otrzymujemy jeden
z dwΓ³ch moΕΌliwych wynikΓ³w. Jeden z nich nazywamy sukcesem, a drugi β poraΕΌkΔ . JeΕΌeli
prawdopodobieΕstwo sukcesu jest rΓ³wne π, to prawdopodobieΕstwo poraΕΌki jest rΓ³wne
π = 1 β π.
Schematem Bernoullego nazywamy ciΔ g niezaleΕΌnych powtΓ³rzeΕ prΓ³b Bernoullego.
π(π΄) =|π΄|
|πΊ|
28
W schemacie Bernoullego prawdopodobieΕstwo ππ(π) uzyskania w π prΓ³bach dokΕadnie
π sukcesΓ³w (0 β€ π β€ π) jest rΓ³wne
PrawdopodobieΕstwo warunkowe
Niech π΄, π΅ bΔdΔ zdarzeniami losowymi zawartymi w Ξ©, przy czym π(π΅) > 0.
PrawdopodobieΕstwem warunkowym π(π΄|π΅) zdarzenia π΄ pod warunkiem zaistnienia
zdarzenia π΅ nazywamy liczbΔ
Twierdzenie o prawdopodobieΕstwie caΕkowitym
JeΕΌeli zdarzenia losowe π΅1, π΅2, β¦, π΅π zawarte w Ξ© speΕniajΔ warunki:
1. π΅1, π΅2, β¦, π΅π sΔ parami rozΕΔ czne, tzn. π΅π β© π΅π = β dla π β π, 1 β€ π β€ π, 1 β€ π β€ π
2. π΅1 βͺ π΅2 βͺ β¦βͺ π΅π = Ξ©
3. π(π΅π) > 0 dla 1 β€ π β€ π
to dla kaΕΌdego zdarzenia losowego π΄ β Ξ© prawdziwa jest rΓ³wnoΕΔ
Twierdzenie Bayesa
JeΕΌeli zdarzenia losowe π΄, π΅1, π΅2, β¦, π΅π zawarte w Ξ© speΕniajΔ warunki:
1. π΅1, π΅2, β¦, π΅π sΔ parami rozΕΔ czne, tzn. π΅π β© π΅π = β dla π β π, 1 β€ π β€ π, 1 β€ π β€ π
2. π΅1 βͺ π΅2 βͺ β¦βͺ π΅π = Ξ©
3. π(π΅π) > 0 dla 1 β€ π β€ π
4. π(π΄) > 0
to dla kaΕΌdego π (1 β€ π β€ π) prawdziwa jest rΓ³wnoΕΔ
ππ(π) = (π
π) β ππ β ππβπ
π(π΄|π΅) =π(π΄ β© π΅)
π(π΅)
π(π΄) = π(π΄|π΅1) β π(π΅1) + π(π΄|π΅2) β π(π΅2) + β¦+ π(π΄|π΅π) β π(π΅π)
π(π΅π|π΄) =π(π΅π) β π(π΄|π΅π)
π(π΄|π΅1) β π(π΅1) + π(π΄|π΅2) β π(π΅2) + β¦+ π(π΄|π΅π) β π(π΅π)
29
15. PARAMETRY DANYCH STATYSTYCZNYCH
Εrednia arytmetyczna
Εrednia arytmetyczna οΏ½Μ οΏ½ z liczb π1, π2, β¦, ππ jest rΓ³wna:
Εrednia geometryczna
Εrednia geometryczna οΏ½Μ οΏ½ z liczb nieujemnych π1, π2, β¦, ππ jest rΓ³wna:
Εrednia kwadratowa
Εrednia kwadratowa οΏ½Μ οΏ½ z liczb π1, π2, β¦, ππ jest rΓ³wna
NierΓ³wnoΕci miΔdzy Εrednimi liczbowymi
Niech π1, π2, β¦, ππ bΔdΔ liczbami nieujemnymi. Wtedy (przy powyΕΌszych oznaczeniach)
prawdziwe sΔ nierΓ³wnoΕci:
Ponadto rΓ³wnoΕΔ pomiΔdzy tymi Εrednimi liczbowymi zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy
π1 = π2 = β¦ = ππ.
Εrednia waΕΌona
Εrednia waΕΌona οΏ½Μ οΏ½ z liczb π1, π2, β¦, ππ, ktΓ³rym przypisano dodatnie wagi β odpowiednio:
π€1, π€2, β¦, π€π, jest rΓ³wna:
οΏ½Μ οΏ½ =π1 + π2 + β¦+ ππ
π
οΏ½Μ οΏ½ = βπ1 β π2 β β¦ β πππ
οΏ½Μ οΏ½ = β(π1)2 + (π2)2 +β―(ππ)2
π
οΏ½Μ οΏ½ β₯ οΏ½Μ οΏ½ β₯ οΏ½Μ οΏ½
οΏ½Μ οΏ½ =π€1 β π1 + π€2 β π2 + β¦+ π€π β ππ
π€1 + π€2 + β¦+ π€π
30
Mediana
MedianΔ uporzΔ dkowanego w kolejnoΕci niemalejΔ cej zbioru π danych liczbowych
π1, π2, β¦, ππ jest:
β dla π nieparzystych: π π+1
2
(Εrodkowy wyraz ciΔ gu)
β dla π parzystych: 12β (ππ
2 + ππ
2 +1) (Εrednia arytmetyczna dwΓ³ch Εrodkowych
wyrazΓ³w ciΔ gu)
Wariancja i odchylenie standardowe
Wariancja π2 danych liczbowych π1, π2, β¦, ππ o Εredniej arytmetycznej οΏ½Μ οΏ½ jest rΓ³wna:
Prawdziwa jest teΕΌ rΓ³wnoΕΔ:
Odchylenie standardowe π jest pierwiastkiem kwadratowym z wariancji:
16. POCHODNA FUNKCJI
Pochodna sumy, rΓ³ΕΌnicy, iloczynu i ilorazu funkcji. Pochodna funkcji zΕoΕΌonej
π2 =(π1 β οΏ½Μ οΏ½)
2 + (π2 β οΏ½Μ οΏ½)2 + β¦+ (ππ β οΏ½Μ οΏ½)
2
π
π2 =(π1)
2 + (π2)2 + β¦+(ππ)
2
πβ (οΏ½Μ οΏ½)2
π = β(π1 β οΏ½Μ οΏ½)2 + (π2 β οΏ½Μ οΏ½)2 + β¦+ (ππ β οΏ½Μ οΏ½)2
π
[π β π(π₯)]β² = π β πβ²(π₯) dla π β β
[π(π₯) + π(π₯)]β² = πβ²(π₯) + πβ²(π₯)
[π(π₯) β π(π₯)]β² = πβ²(π₯) β πβ²(π₯)
[π(π₯) β π(π₯)]β² = πβ²(π₯) β π(π₯) + π(π₯) β πβ²(π₯)
[π(π₯)
π(π₯)]
β²
=πβ²(π₯) β π(π₯) β π(π₯) β πβ²(π₯)
[π(π₯)]2 gdy π(π₯) β 0
[π(π(π₯))]β²= πβ²(π(π₯)) β πβ²(π₯)
31
Pochodne wybranych funkcji
Niech π, π, π, π bΔdΔ dowolnymi liczbami rzeczywistymi.
funkcja pochodna funkcji
π(π₯) = π πβ²(π₯) = 0
π(π₯) = ππ₯ + π πβ²(π₯) = π
π(π₯) = ππ₯2 + ππ₯ + π πβ²(π₯) = 2ππ₯ + π
π(π₯) = π₯π πβ²(π₯) = π β π₯πβ1
π(π₯) =π
π₯ πβ²(π₯) = β
π
π₯2
π(π₯) = βπ₯ πβ²(π₯) =1
2βπ₯
π(π₯) = sin π₯ πβ²(π₯) = cos π₯
π(π₯) = cos π₯ πβ²(π₯) = β sin π₯
π(π₯) = tg π₯ πβ²(π₯) =1
(cos π₯)2
π(π₯) = ππ₯ πβ²(π₯) = ππ₯
gdzie π jest liczbΔ Eulera; π β 2,72
RΓ³wnanie stycznej
JeΕΌeli funkcja π ma pochodnΔ w punkcie π₯0, to rΓ³wnanie stycznej do wykresu funkcji π
w punkcie (π₯0, π(π₯0)) dane jest wzorem
π¦ = π(π₯ β π₯0) + π(π₯0)
gdzie
π = πβ²(π₯0)
32
17. TABLICA WARTOΕCI FUNKCJI TRYGONOMETRYCZNYCH
π [Β°] π¬π’π§ π ππ¨π¬ π ππ π
π π, ππππ π, ππππ π, ππππ
1 0,0175 0,9998 0,0175
2 0,0349 0,9994 0,0349
3 0,0523 0,9986 0,0524
4 0,0698 0,9976 0,0699
π π, ππππ π, ππππ π, ππππ
6 0,1045 0,9945 0,1051
7 0,1219 0,9925 0,1228
8 0,1392 0,9903 0,1405
9 0,1564 0,9877 0,1584
ππ π, ππππ π, ππππ π, ππππ
11 0,1908 0,9816 0,1944
12 0,2079 0,9781 0,2126
13 0,2250 0,9744 0,2309
14 0,2419 0,9703 0,2493
ππ π, ππππ π, ππππ π, ππππ
16 0,2756 0,9613 0,2867
17 0,2924 0,9563 0,3057
18 0,3090 0,9511 0,3249
19 0,3256 0,9455 0,3443
ππ π, ππππ π, ππππ π, ππππ
21 0,3584 0,9336 0,3839
22 0,3746 0,9272 0,4040
23 0,3907 0,9205 0,4245
24 0,4067 0,9135 0,4452
ππ π, ππππ π, ππππ π, ππππ
26 0,4384 0,8988 0,4877
27 0,4540 0,8910 0,5095
28 0,4695 0,8829 0,5317
29 0,4848 0,8746 0,5543
ππ π, ππππ π, ππππ π, ππππ
31 0,5150 0,8572 0,6009
32 0,5299 0,8480 0,6249
33 0,5446 0,8387 0,6494
34 0,5592 0,8290 0,6745
ππ π, ππππ π, ππππ π, ππππ
36 0,5878 0,8090 0,7265
37 0,6018 0,7986 0,7536
38 0,6157 0,7880 0,7813
39 0,6293 0,7771 0,8098
ππ π, ππππ π, ππππ π, ππππ
41 0,6561 0,7547 0,8693
42 0,6691 0,7431 0,9004
43 0,6820 0,7314 0,9325
44 0,6947 0,7193 0,9657
ππ π, ππππ π, ππππ π, ππππ
π [Β°] π¬π’π§ π ππ¨π¬ π ππ π
ππ π, ππππ π, ππππ π, ππππ
46 0,7193 0,6947 1,0355
47 0,7314 0,6820 1,0724
48 0,7431 0,6691 1,1106
49 0,7547 0,6561 1,1504
ππ π, ππππ π, ππππ π, ππππ
51 0,7771 0,6293 1,2349
52 0,7880 0,6157 1,2799
53 0,7986 0,6018 1,3270
54 0,8090 0,5878 1,3764
ππ π, ππππ π, ππππ π, ππππ
56 0,8290 0,5592 1,4826
57 0,8387 0,5446 1,5399
58 0,8480 0,5299 1,6003
59 0,8572 0,5150 1,6643
ππ π, ππππ π, ππππ π, ππππ
61 0,8746 0,4848 1,8040
62 0,8829 0,4695 1,8807
63 0,8910 0,4540 1,9626
64 0,8988 0,4384 2,0503
ππ π, ππππ π, ππππ π, ππππ
66 0,9135 0,4067 2,2460
67 0,9205 0,3907 2,3559
68 0,9272 0,3746 2,4751
69 0,9336 0,3584 2,6051
ππ π, ππππ π, ππππ π, ππππ
71 0,9455 0,3256 2,9042
72 0,9511 0,3090 3,0777
73 0,9563 0,2924 3,2709
74 0,9613 0,2756 3,4874
ππ π, ππππ π, ππππ π, ππππ
76 0,9703 0,2419 4,0108
77 0,9744 0,2250 4,3315
78 0,9781 0,2079 4,7046
79 0,9816 0,1908 5,1446
ππ π, ππππ π, ππππ π, ππππ
81 0,9877 0,1564 6,3138
82 0,9903 0,1392 7,1154
83 0,9925 0,1219 8,1443
84 0,9945 0,1045 9,5144
ππ π, ππππ π, ππππ ππ, ππππ
86 0,9976 0,0698 14,3007
87 0,9986 0,0523 19,0811
88 0,9994 0,0349 28,6363
89 0,9998 0,0175 57,2900
ππ π, ππππ π, ππππ β
Centralna Komisja Egzaminacyjnaul. JΓ³zefa Lewartowskiego 6, 00-190 Warszawatel. 22 536 65 [email protected]
OkrΔgowa Komisja Egzaminacyjna w GdaΕsku ul. Na Stoku 49, 80-874 GdaΕsktel. 58 320 55 [email protected]
OkrΔgowa Komisja Egzaminacyjna w Jaworznie ul. Adama Mickiewicza 4, 43-600 Jaworznotel. 32 616 33 [email protected]
OkrΔgowa Komisja Egzaminacyjna w Krakowie os. Szkolne 37, 31-978 KrakΓ³wtel. 12 683 21 [email protected]
OkrΔgowa Komisja Egzaminacyjna w ΕomΕΌyal. LegionΓ³w 9, 18-400 ΕomΕΌatel. 86 473 71 [email protected]
OkrΔgowa Komisja Egzaminacyjna w Εodziul. Ksawerego Praussa 4, 94-203 ΕΓ³dΕΊtel. 42 634 91 [email protected]
OkrΔgowa Komisja Egzaminacyjna w Poznaniu ul. Gronowa 22, 61-655 PoznaΕtel. 61 854 01 [email protected]
OkrΔgowa Komisja Egzaminacyjna w Warszawie pl. Europejski 3, 00-844 Warszawatel. 22 457 03 [email protected]
OkrΔgowa Komisja Egzaminacyjna we WrocΕawiu ul. Tadeusza ZieliΕskiego 57, 53-533 WrocΕawtel. 71 785 18 [email protected]