WAHADŁO MATEMATYCZN

E

Spis treści

Czym jest wahadło matematyczne i jak w prosty sposób je wykonać?Co potrzebujemy do wykonania wahadła?

Rozkład sił w wahadle matematycznym

Drgania harmoniczne ciężarka zawieszonego na nieważkiej nitceWahadło sekundowe

Analiza wzoru na okres drgań

Dalsze rozważanie nad możliwością i dokładnością obliczenia siły grawitacyjnej g

Czym jest wahadło matematyczne i jak w prosty sposób je zbudować?

Otóż odpowiedź jest bardzo prosta:

Wahadło matematyczne to ciało zawieszone na nierozciągliwej i nieważkiej lince, sznurku w punkcie przyłożenia znajdującym się nad środkiem ciężkości tego ciała. Tak aby po odchyleniu ciała można było zaobserwować ruch po półkolu, w którym ciało wychyla się o kąt α .

Co potrzebujemy do wykonania wahadła?

Deska Odważnik 200g Gumka recepturka

Mocna nitka z której robimy ,,koszyczek’’, aby wyeliminować niestabilność zawieszenia odważnika.

W całości wygląda to tak:

Q – ciężar ciałaN – siła naprężenia niciF’ – siła reakcji do siły NF – siła powodująca powrót ciała do pozycji początkowejX - maksymalne wychylenieα - kąt wychylenia wahadła

Rozkład sił w wahadle matematycznym po wychyleniu go z położenia równowagi

Huśtawka

Wahadło matematyczne to bardzo miły wynalazek.Towarzyszy nam od najmłodszych lat. Nawet teraz lubimy z bratem (gdy nikt nie widzi ) wykorzystać jego zalety…

Drgania ciężarka polegają na ciągłej zamianie energii potencjalnej w energię kinetyczną i na odwrót.

Odległość ciężarka od położenia równowagi nazywamy wychyleniem x.Wychylenie przyjmuje wartości dodatnie i ujemne, największe wychylenie

nazywamy amplitudą. Xmax = A

Okres drgań jest to czas, w którym ciało wykonuje jedno pełne drganie.

tjednego pełnego drgania = T

Częstotliwość to ilość pełnych drgań w jednostce czasu.

f – częstotliwość n – liczba drgań t – czas, w którym te drgania zostały wykonane

Drgania harmoniczne ciężarka zawieszonego na nieważkiej nitce

f = nt

Ruch drgający harmoniczny to taki, w którym siła powodująca ten ruch jest wprost proporcjonalna do wychylenia.

F ~ x F = -kx Minus występuje dlatego, że gdy wychylenie jest dodatnie to siła

skierowana jest w kierunku ujemnym. ma = -kx

s

Wahadło sekundowe

Wahadło sekundowe to wahadło którego okres drgań (T) równy jest 2s, a długość nici utrzymującej ciało (l) jest równa 1 metr!!

Ruch drgający harmoniczny

Wyprowadzenie wzoru na okres drgańSiła powodująca ruch wahadła jest wprost proporcjonalna wychylenia,

a więc wahadło podlega ruchowi drgającemu harmonicznie.

sin1 mgF Ale dla małych kątów:l

xsin

xl

mg

l

xmgF 1

kxF 1

Więc: l

mgk Wiadomo jednak, że dla ruchu harmonicznego:

k

mT 2 Więc:

g

l

lmgm

T 22

Z wyprowadzonego wzoru wyznaczamy przyspieszenie ziemskie.

22

2

2

4

4

2

2

T

lg

g

lT

g

lT

g

lT

Jak widać w celu wyznaczenia przyspieszenia ziemskiego wystarczy zbudować wahadło matematyczne i dla danej długości wahadła zmierzyć okres drgań.

Brzmi to prosto. Jednak takie całkiem proste nie jest, gdyż trzeba jak najdokładniej wyznaczyć długość wahadła i okres jego drgań.

Liczba πNa dokładność obliczenia przyspieszenia ziemskiego ma także wpływ dokładność wyznaczenia liczby , a jak wiadomo jest to liczba niewymierna, której dokładnie podać nie można. Jednak uwzględniając przybliżenia pomiarów, które trzeba będzie przyjąć, jest zupełnie wystarczające.

14,3

„Podziwu godna liczba Pitrzy koma jeden cztery jeden.Wszystkie jej dalsze cyfry też są początkowe, pięć dziewięć dwa ponieważ nigdy się nie kończy…”

Dokładne określenie długości L, środka ciężkości i punktowego przymocowania nici do deski

Nawiercenie cienkim wiertłem deski i przełożenie nici

Dla możliwości regulacji długości

montaż zapałki

Poprawa budowy koszyczka pozwala na dokładniejsze określenie środka

ciężkości

Kłopot ze środkiem ciężkościOdważnik 0,5 kg, który wykorzystałem

w moim doświadczeniu ma typowy kształt odważnika sklepowego.

Jego „główka” bardzo utrudnia precyzyjne wyznaczenie środka ciężkości. Dodatkowo powoduje nieprzewidywalne chybotania ciężarka zawieszonego bezpośrednio na nici.

Ten drugi problem pomogła rozwiązać mi mama (ja niestety nie dziergam na szydełku) i zrobiła dla odważnika ciasny „koszyczek”.Problem „główki” rozwiązałem przyjmując środek ciężkości odważnika 1 milimetr nad jego połową wysokości.

Wyniki I serii pomiarówNumer próby Czas 10 wahnięć Czas 1 wahnięcia

1 13,7 1,37

2 14 1,4

3 14,1 1,41

4 13,5 1,35

5 13 1,3

6 13,2 1,32

7 13,9 1,39

8 13 1,3

9 13,5 1,35

10 13,1 1,31

L długość wahadła, od punktu zawieszenia, do środka ciężkości ciężarkal = 0.43m

Przyjmuję dokładność pomiaru długości wahadła:U góry 1 mm= 0,001mNa dole 3 mm=0.003m, ze względu na nieprecyzyjne określenie środka ciężkości.Łącznie ml 004,0

Obliczenie przyspieszenia ziemskiego na podstawie pierwszej serii pomiarów.

sT

ml

2,0

004,0

ml

sT

)0004,043,0(

)2,035,1(

2

22

22

31,9

)35,1(

43,0*)14,3(*4

4

s

mg

s

mg

T

lg

Pomiar czasu

Pomiaru czasu dziesięciu wahnięć wahadła dokonywałem stoperem, który umożliwia pomiar z dokładnością 0,1 s.Uwzględniając niedokładność pomiaru wynikającą z braku mojej precyzji w naciśnięciu stopera, pomiaru dokonałem dziesięciokrotnie. Do wzoru na przyspieszenie wstawię średnią arytmetyczną tych pomiarów.Próbowałem liczyć dokładność wyznaczenia okresu metodą Studenta Fishera, ale otrzymany błąd, był zaniedbywalny w porównaniu z przyjętą przeze mnie niedokładnością 0,2 s.(0,1s –dokładność stopera, oraz 0,1s – mój czas reakcji na bodziec)

Wyniki II serii pomiarów

Numer próby Czas 10 wahnięć Czas 1 wahnięcia

1 18,2 1,82

2 18,5 1,85

3 18,3 1,83

4 18,6 1,86

5 18,1 1,81

6 18,2 1,82

7 18,7 1,87

8 18,3 1,83

9 18,2 1,82

10 18,3 1,83

sTśr 84,1

202,10s

mg

ml 855,0

Wyniki III serii

Numer próby Czas 10 wahnięć Czas 1 wahnięcia

1 23,5 2,35

2 24 2,4

3 23,5 2,35

4 23 2,3

5 23,5 2,35

6 21 2,1

7 23 2,3

8 22,5 2,25

9 24 2,4

10 24 2,4

ml 25,1

sTśr 32,2

216,9s

mg

Podsumowanie przeprowadzonych seriiObliczam natężenie pola grawitacyjnego (przyspieszenie ziemskie) jako średnią arytmetyczną przeprowadzonych serii pomiarów.

25,9496,9

3

16,902,1031,9

s

mg

Rachunek błędu:Wiem, że to nie jest prosta sprawa…Wiadomości w internecie, które zebrałem na ten temat trochę mnie wystraszyły, bo wiedza matematyczna, którą dysponuję jest delikatnie mówiąc niewystarczająca.

Początkowo myślałem, że metoda Studenta- Fishera będzie dobra, ale wstępne rachunki zaskoczyły mnie i ostatecznie odrzucilem tę metodę.

Inne sposoby obliczania błędów były jednak przerażające:- Metoda różniczki zupełnej- Metoda graficzna

Zdecydowałem się na pierwszą z tych metod.Pani profesor pokazała mi jak policzyć pochodne mojej funkcji wzglądem T i względem l.Poniżej prezentuję efekt moich obliczeń.

Rachunek błędu:ciąg dalszy

64,21

35,1

8596,9*4422

2

Tl

g

78,1335,1

43,0*8596,9*8833

2

T

l

T

g

Ostatecznie dla I serii pomiarów:

84,22,0*78,13004,0*64,21

**

TT

gl

l

gg

Wynik I serii: 2

84,231,9s

mg I

2

25,202,10s

mg II

Wynik II serii(policzony w analogiczny sposób):

Wynik III serii pomiarów: 2

87,116,9s

mg III

Z rachunków wynika, że im dłuższe wahadło, tym mniejszym błędem obarczony jest wynik. Jest to intuicyjnie zrozumiałe, bo dla dłuższego wahadła łatwiej jest zmierzyć okres.

Wnioski końcowe:Celem mojego doświadczenia było wyznaczenie wartości przyspieszenia ziemskiego, przy pomocy modelu wahadła matematycznego.Wartości otrzymane przeze mnie są zbliżone do tablicowych w granicach błędu.Cel osiągnąłem i z tego powodu odczuwam satysfakcję.Zaskoczyło mnie, że tak trudno jest oszacować dokładność dokonanych obliczeń. (Niewątpliwie dostrzegłem potrzebę uczenia się matematyki.)W przeprowadzonym rachunku błędów zdziwiło mnie, że największy udział w niedokładności wyniku ma pomiar czasu. Zdaję sobie sprawę, że założony czas mojej reakcji na bodziec, mógłbym spokojnie podwoić…

Nauka to potęga!

Podziwiam współczesnych fizyków doświadczalnych, którzy potrafią dokonywać niezwykle precyzyjnych pomiarów

Krótko mówiąc nasuwa mi się jeden wniosek:

Chylę głowę przed naukowcami!