ALGEBRA LINEAL

TALLER II DETERMINANTES

Universidad Nacional de ColombiaDepartamento de Matematicas

Agosto de 2011

1. Considere las siguientes matrices:

A =

0@ 3 0 02 5 11 9 4

1A B =0@ 2 7 65 1 2

3 8 4

1A C = 5 61 2

D =

2 11 3

E =

0BB@1 2 3 15 9 6 31 2 6 22 8 6

1CCA F =0BBBB@

1 3 1 5 32 7 0 4 20 0 1 0 10 0 2 1 10 0 0 1 1

1CCCCACalcular:a. det(AtB2) b. det(C + 2D) c. det(E) d. det(F1)e. det(C I)

2. Encontrar x en las siguientes ecuaciones:

a.

x 13 1 x =

1 0 32 x 61 3 x 5

b. det(xI A) = 0 , con A =

0@ 1 0 12 0 10 0 1

1A3. Determinar si la proposicon es verdadera o falsa (JUSTIFICAR), suponga

del a. al i. que A;B 2Mnn.a. det(AAt) = det(A2)

b. Si A es antisimetrica, entonces det(A) = 0

c. Si A es ortogonal, entonces det(A) = 1

d. Si det(A) = 0 ,entonces A = 0

e. Si Ak = Onn para algun k entero positivo, entonces A es singular.

f. Si det(A) = 2 ,entonces el sistema AX = 0 tiene solamente la soluciontrivial.

1

g. Si A es idempotente, entonces det(A) = 0

h. Si B = PAP1 y P es no singular, entonces det(A) = det(B)

i. Si A y B son matrices no singulares, entonces A+B es no singular.

j. A y B son matrices 3 3 tales que det(2A1B) = 12 y det(B) = 3,entonces det(A) = 12

4. Completar:

a.

3 2 15 6 21 0 3

=b. Si A =

1 23 4

entonces det[(A2)1] =

c. A=

242 c cc c c8 7 6

35 es singular si c=d.

1 1 1a b ca2 b2 c2

=e. Si Ak = O (nilpotente) entonces

A =f. A55 es antisimetrica entonces

A =g. si A y B son matrices 3 3 tal que 2A1 = 6 y At(2B)1 = 18,

entoncesA2Bt =

h. SiA 2Mnn es no singular entonces j(adjA)j =5. sea A 2Mnn(R) y suponga que det(A) 6= 0

a. Muestre que det(adj(A)) = det(A)n1.

b. Calcule adj(adj(A)) en terminos de A.

c. Encuentre una matriz A tal que adj(A) =

24 4 1 04 1 62 1 0

35.> A es unica ?

6. Usando la adjunta encontrar la inversa de la matriz:

0@ 2 5 51 1 02 4 3

1A

7. Usando la regla de cramer resolver el sistema:

8