TAM SAYILARLA İŞLEMLER

TAM SAYILAR

Pozitif tam sayılar, negatif tam sayılar ve “0” sayısının birleşiminden oluşankümeye tam sayılar kümesi denir. Pozitif tam sayılar Z+, negatif tam sayılar Z–, tam sayılar Z ile gösterilir.

Z+ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}Z– = {..., –4, –3, –2, –1}Z = Z– {0} Z+

Z = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}

0 1 2 3 4 5-1-2-3-4-5

pozitif tam sayılarNegatif tam sayılar Sıfır

(referans noktası)

(-5) + (+3) işlemi modelleyerek sonucu bulalım.

+ +

+

+++

Düz bir zemin üzerine önce 5 kırmızı(-) pul koyalım.

Daha sonra bu kırmızı pullara 3 tane sarı(+) pul daha ekleyelim.

Pullar sayılarak işlemin sonucu yazarak sonucu açıklayınız.

Bir “+″ bir “-″ yi götürürse

(-5) + (+3) = (-2)+(-3)+(+3) -2=

TAM SAYILARLA TOPLAMA İŞLEMİ

ÖRNEK

KURAL

Tam sayılarda toplama işlemi yaparken sayıların işaretlerine bakılır.

ÖRNEK

1. (+3) + (+1) + (+8) =

2. (–5) + (–4) + (–2) =

+ (3 + 1 + 8 ) = +12

– (5 + 4 + 2) = –11

Mutlak değeri büyük olan sayıdan küçük olan çıkarılır,sonuca büyük olan sayını işareti yazılır.

2) İşaretler ters ise; ;(-,+) (+,-)

1) İşaretler aynı ise;(-,-) (+,+)sayıların mutlak değerleri toplanır sonuca ortak işaret yazılır.

3. (+7) + (–3) =

4.(+5) + (–12)

+ (7 –3) = +4 |+7| > |-3|

|-12| >|+5|= – (12 – 5) = –7

TAM SAYILARLA ÇIKARMA İŞLEMİ

(-4) - (-3) işlemi modelleyerek sonucu bulalım.

Düz bir zemin üzerine 4 tane – pul kayalım,

- -

- -

Bu pulların içinden 3 tane – pulu çıkaralım

-

(-4)-(-3) = -1

(+2) - (-1) işlemi modelleyerek sonucu bulalım.

Öncelikle düz bir zemin üzerine 2 tane + pul kayalım

+

+

Bu +2 pulun içinde – pul olmadığı için zemine – pul koymalıyız;ama nasıl

- Pul koyabilmek için yanında bunu sıfırlayan +pul koyarsak bu işlem çöz.

- + +

+

+

-

Şimdi çıkarma işleminin yapabiliriz.

+ +

+

Şimdi işlemlere bakalım.

(+2) - (-1) = (+2) + (+1) = (+3)

TAM SAYILARLA ÇIKARMA İŞLEMİ

SAYI DOĞRUSUNDA TOPLAMA İŞLEMİ

Yukarıdaki örnekte; +6 dan +4 çıkarmak yerine toplama işlemide yapılabilir.

Bu işleminde sonucu eşittir.

(+6) – (+4) = +2

(+6) + (-4) = +2

Buna göre sayı doğrusunda verilen bir toplama işlemi çıkarma işlemi olarak yazılabileceği gibi;verilen bir çıkarma işlemi toplam işlemi olarakta yazılabilir.

ÖRNEK

(+2) - (-1) işlemi modelleyerek sonucu bulalım.

Öncelikle düz bir zemin üzerine 2 tane + pul kayalım

Bu +2 pulun içinde – pul olmadığı için zemine – pul koymalıyız;

Hatırlatma;

TAM SAYILARLA ÇARPMA İŞLEMİ

Aynı işaretli iki tam sayının sayının pozitif, zıt işaretli iki tam sayının sayının negatiftir.

İki pozitif tam sayının çarpımı pozitiftir.(+2) . (+3) = +6

İki negatif tam sayının çarpımı pozitiftir.(–3) . (–4) = +12

Zıt işaretli tam sayının çarpımı negatiftir.(–2) . (+5) = –10(+3) . (–7) = –21

(+) . (+) = (+)(+) . (–) = (–)(–) . (+) = (–)(–) . (–) = (+)

ÖRNEK

(-3) . (+9)=?(+4) . (-5)=?(-2) . (+3)=?

(-4) . (-2)=?

(-7) . (-1)=?

(-8) . (0).(-3)=?

(-13) .(-1)=?

(-21) .(+2)=?

(+3) .(-5).(-4)=?

(-2) .(-1)=?

TAM SAYILARLA ÇARPMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ

“1” sayısı, tam sayılar kümesinde çarpma işleminin etkisiz elamanıdır.a Z için a . 1 = 1 . a = a’dır.

ÖRNEK

(–35) Z(–35) . 1 = 1 . (–35)–35 = –35

“0” sayısı, tam sayýlar kümesinde çarpma işleminin yutan elamanıdır.a Z için a . 0 = 0 . a = 0 dır.

ÖRNEK

(–7) Z için (–7) . 0 = 0 . (–7) = 0 dır.

4. Etkisiz (Birim) Eleman

5. Yutan Elaman

TAM SAYILARLA BÖLME İŞLEMİ

Tam sayılarla yapılan bölme işleminde bölünen, bölen ve bölümün işaretleri aşağıdaki gibi gösterilebilir.

(+) ÷ (+) = (+) (+) ÷ (–) = (–)(–) ÷ (+) = (–) (–) ÷ (–) = (+)

ÖRNEK

(+ 14) ÷ (+2) =

(- 108) ÷ (+18) =

+ 7

- 6

GENEL DEĞERLENDİRME SORULARI

(–27) – (+10) – (–9) işleminin sonucu kaçtır?

A) –28 B) –19 C) 10 D) 17

ÖRNEK

ÖRNEK

“İKi tam sayının çarpımı yine bir tam sayıdır.”ifadesi çarpma işleminin hangi özelliğini açıklar?

A) Değişme B) KapalılıkC) Birleşme D) Etkisiz eleman

İŞLEM ÖNCELİĞİ

Dört işlemin birlikte kullanıldığı işlem gruplarında işlemler aşağıdaki sıraya göre yapılır.

1.Üslü ifadeler 2.Parantez içi 3. Çarpma – Bölme 4. Toplama – Çıkarma

ÖRNEK

5 + 16 ÷ 8 – 3 + 2 . 4 işleminin sonucunu bulalım.

TAM SAYILARLA İLGİLİ PROBLEMLER

ÖRNEK

Ali bir tamsayıyı 2 ile çarpıp bu sayıya 4 ekleyince -14 sayısının 2 fazlasını elde ediyor.Alinin işlem yaptığı sayıyı bulunuz.

ÖRNEK

Ardışık üç tamsayının toplamı – 96 ise ise bu sayıların en küçüğü kaçtır?

Ali bir tamsayıyı 2 ile çarpıp bu sayıya 4 ekleyince -14 sayısının 2 fazlasını elde ediyor.Alinin işlem yaptığı sayıyı bulunuz.

ÖRNEK

Bir balık deniz seviyesinin 4 m altından 2 metre üzerine sıçramıştır.balığın kaç metre yükseldiğini bulunuz.

ÖRNEK

SBS 2011