tailieuplk.webnode.vn tap toan kinh te.pdf · 1 TOÁN CAO CẤP CHƯƠNG I. MÔ HÌNH TUYẾN TÍNH và ĐẠI SỐ MA TRẬN I.1. MA TRẬN 1.KHÁI NIỆM a)Ma trận cấp m n:

1

TOÁN CAO CẤP

CHƯƠNG I. MÔ HÌNH TUYẾN TÍNH và ĐẠI SỐ MA TRẬN

I.1. MA TRẬN 1. KHÁI NIỆM

a) Ma trận cấp m n : là một bảng gồm mn số ija được sắp xếp thành m dòng

và n cột dưới dạng

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...

... ... ... ...

...

n

n

m m mn

a a a

a a aA

a a a

ija là phần tử ở dòng i và cột j của ma trận A ; i là chỉ số dòng, j là chỉ số cột

của phần tử ija đó.

Ví dụ 1. 1 2 3

4 5 6A

là ma trận cấp 2 3 , trong ma trận này ta có phần tử

13 213, 4a a .

Người ta thường viết tắt ma trận ở dạng ij m nA a

.

b) Ma trận vuông: là ma trận có số dòng m bằng số cột n, khi đó thay vì nói ma

trận cấp n n ta chỉ nói đó là ma trận vuông cấp n.

Ví dụ 2. 1 3

5 7B

là ma trận vuông cấp hai.

Trong ma trận vuông cấp n, người ta gọi các phần tử 11 22, ,..., nna a a là các phần

tử thuộc đường chéo chính của ma trận. c) Ma trận đơn vị: là ma trận vuông có tất cả các phần tử thuộc đường chéo chính

đều bằng 1, các phần tử còn lại đều bằng 0,kí hiệu là nI .

Ví dụ 3. 2 3

1 0 01 0

, 0 1 00 1

0 0 1

I I

là các ma trận đơn vị cấp 2, cấp 3

d) Ma trận tam giác: là ma trận vuông có tất cả các phần tử nằm phía dưới, hoặc phíatrên đường chéo chính đều bằng 0.

Ví dụ 4.

1 0 0 01 2 3

2 3 0 00 4 5 ,

4 5 6 00 0 6

7 8 9 10

C D

là các ma trận tam giác.

2

e) Ma trận chéo: là ma trận vuông có tất cả các phần tử nằm ngoài đường chéo chínhđều bằng 0.

Ví dụ 5.

1 0 0

0 2 0

0 0 3

E

là ma trận chéo.

f) Ma trận cột: là ma trận chỉ có một cột.g) Ma trận dòng: là ma trận chỉ có một dòng.

Ví dụ 6. 1

2 , 1 2 3 4

3

F G

lần lượt là ma trận cột, ma trận dòng.

h) Ma trận không: là ma trận có tất cả các phần tử đều bằng 0, kí hiệu là m nO .

Ví dụ 7. 2 30 0 0

0 0 0O

.

i) Ma trận bậc thang: là ma trận thoả mãn hai điều kiện sau đây- dòng có tất cả các phần tử bằng 0 (nếu có) nằm phía dưới dòng có phần tử khác 0; - phần tử khác 0 đầu tiên (tính từ trái sang phải) của mỗi dòng dưới nằm bên phải so với phần tử khác 0 đầu tiên của dòng trên.

Ví dụ 8.

1 2 3 4 51 0 0 0 0

0 6 7 8 9, 0 0 2 3 0

0 0 10 11 120 0 0 0 4

0 0 0 0 0

M N

là các ma trận bậc thang.

2. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN

a) Tổng hai ma trận cùng cấp ,ij ijm n m nA a B b

là một ma trận C cùng

cấp sao cho ,ij ij ij ijm nC c c a b

.

Khi đó ta kí hiệu C A B .

Ví dụ 9. Cho hai ma trận 1 2 3 3 2 0

,4 0 2 5 6 7

A B

.

Thế thì 2 0 3

1 6 9C A B

.

Chú ý: Hai ma trận chỉ cộng được với nhau khi chúng có cùng cấp.

b) Tích của một số với một ma trận bất kì

Cho số và ma trận ij m nA a

. Tích của với ma trận A là một ma trận

B cùng cấp với A sao cho ,ij ij ijB b b a .

Khi đó ta kí hiệu B A .

3

Ví dụ 10. Cho ma trận 1 2 3

, 24 0 2

A

.

Thế thì 2 4 6

28 0 4

B A

.

c) Tích của hai ma trận

Cho hai ma trận ,ip pjm k k nA a B b

. Tích của ma trận A với ma trận B là

ma trận C sao cho 1

,k

ij ij ip pjm np

C c c a b

.

Khi đó ta kí hiệu C AB .

Ví dụ 11. Cho hai ma trận

2 31 2 3

, 1 14 0 2

4 2

A B

.

Thế thì 11 12

21 22

c cC AB

c c

là ma trận vuông cấp hai. Ta tính các phần tử của C .

Ta có

11 12

21 22

1.2 ( 2).( 1) 3.4 16, 1.3 ( 2).1 3.2 7,

4.2 0.( 1) 2.4 16, 4.3 0.1 2.2 16

c c

c c

Vậy 16 7

16 16C

.

Chú ý: - Hai ma trận chỉ nhân được với nhau khi số cột của ma trận thứ nhất bằng số dòng của ma trận thứ hai.

- Muốn tìm phần tử ở dòng i , cột j của ma trận tích C AB , ta nhân các phần tử ở

dòng i của ma trận A lần lượt với các phần tử ở cột j của ma trận B rồi cộng các

tích đó lại. d) Phép chuyển vị

Cho ma trận ij m nA a

. Ma trận thu được từ A bằng cách viết các dòng

của A lần lượt thành các cột được gọi là ma trận chuyển vị của A và kí hiệu là

tA . Khi đó tA là ma trận cấp n m .

Ví dụ 12. Cho ma trận 1 2 3

4 0 2A

. Thế thì

1 4

2 0

3 2

tA

.

Hiển nhiên ta có ( )t tA A .

e) Luỹ thừa một ma trận vuông

Khi A là một ma trận vuông, ta có thêm phép toán luỹ thừa:

4

Luỹ thừa bậc n của ma trận A là tích của n ma trận A , nghĩa là

...nA AA A (n lần).

Ví dụ 13. Cho ma trận 1 2

0 3A

. Thế thì

2 31 8 1 26 1 3 1, ,...,

0 9 0 27 0 3

nn

nA A A

Chú ý: Thứ tự thực hiện các phép toán trên ma trận tương tự như đối với các số: nhân trước, cộng sau. Phép trừ A B được xem là hệ quả của phép cộng và phép nhân với một số: ( 1)A B A B .

Ví dụ 14. Hãy thực hiện các phép toán sau đây

a)

1 2 1 3 2 5

5 1 0 3 0 3 2 6 7

2 1 4 2 3 2

; b)

2 13 2 1 0

1 34 3 2 3

3 4

c)

23 1 2 1 1 3

2 1 2 1 3; ) 0 2 3 ; ) 2 4

1 3 3 2 22 1 1 0 5

tt

d e

.

3. CÁC TÍNH CHẤTGiả sử các phép toán dưới đây đều thực hiện được. Khi đó ta có các tính chất sau đây đối với phép toán trên ma trận.

, , ( ) ,

( ) ( ) , ( ) ( ) ,

1 , ,( ) ( ),

( ) , ( ) .

A B B A A O A A A O

A B C A B C A BC AB C

A A AI IA A A A

A A A A B A B

I.2. ĐỊNH THỨC 1. KHÁI NIỆM

a) Định thức cấp một: là định thức của ma trận vuông cấp một 11A a .

Khi đó ta có 11 11det A a a .

Ví dụ 1. 4 , 4; 3 ,det 3A detA B B .

b) Định thức cấp hai: là định thức của ma trận vuông cấp hai 11 12

21 22

a aA

a a

.

Khi đó 11 12

11 22 21 1221 22

deta a

A a a a aa a

.

Ví dụ 2. 2 3 3 4

,det 2.7 4.3 2; ( 3).2 5.4 264 7 5 2

A A

5

c) Định thức cấp ba: là định thức của ma trận vuông cấp ba

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a a

A a a a

a a a

.

Khi đó

11 12 1311 22 33 12 23 31 13 21 32

21 22 2331 22 13 32 23 11 33 21 12

31 32 33

det

a a aa a a a a a a a a

A a a aa a a a a a a a a

a a a

Ví dụ 3. 2 1 3

2.1.1 ( 1).2.( 3) 3.0.20 1 2

( 3).1.3 2.2.2 1.0.( 1) 93 2 1

Ví dụ 4. Tính các định thức sau

a)

2 1 2 3 2 15 3

; ) 1 2 3 ; ) 4 1 04 2

0 3 4 2 4 1

b c

d) Định thức con bù - phần bù đại số

Cho ij n nA a

là ma trận vuông cấp n bất kì. Khi đó, định thức thu được từ

Abằng cách xoá đi dòng i và cột j được gọi là định thức con bù của phần tử ija , kí

hiệu là ijD . Số ( 1)i jij ijA D được gọi là phần bù đại số của phần tử ija .

Ví dụ 5. Cho ma trận

1 2 3

4 5 6

7 8 9

A

. Ta có

1 111 11 11 11

1 212 12 12 12

5 61, 3, ( 1) 3

8 9

4 62, 6, ( 1) 6

7 9

a D A D

a D A D

Ví dụ 6. a) Xét ma trận

11 11 11

12 12 12

11 11 12 12

2, 7, 72 3, ;

3, 4, 44 7

2 det

a D AA

a D A

a A a A A

b) Tương tự, xét ma trận

11 11 11

12 12 12

13 13 13

11 11 12 12 13 13

2, 3, 3;2 1 3

1, 6, 6;0 1 2 ;

3, 3, 3;3 2 1

9 det

a D A

a D AA

a D A

a A a A a A A

6

e) Định thức cấp n

Cho ij n nA a

là ma trận vuông cấp n bất kì. Khi đó định thức của A được

gọi là định thức cấp n và được tính bởi công thức

11 11 12 12 1 1det ... n nA a A a A a A

Ví dụ 7. Cho ma trận vuông cấp bốn

2 0 3 1

1 2 0 3

2 1 2 1

0 3 1 2

A

.

Thế thì 11 12 13 14det 2 0 3A A A A A .

Mà 11 13 14

2 0 3 1 2 3 1 2 0

1 2 1 31; 2 1 1 25; 2 1 2 11

3 1 2 0 3 2 0 3 1

A A A

Vậy det 2.A

Ví dụ 8. Tính định thức cấp bốn

0 2 3 0

2 0 1 1

0 1 1 0

3 2 0 2

.

2. CÁC TÍNH CHẤTĐịnh thức cấp bất kì có các tính chất sau đây.

1. det det tA A (Hai ma trận chuyển vị có định thức bằng nhau).2. Định thức có một dòng bằng 0 thì bằng 0.3. Định thức có hai dòng giống nhau hoặc tỉ lệ với nhau thì bằng 0.4. Nhân tử chung của một dòng có thể đem ra ngoài định thức.5. Định thức của ma trận tam giác bằng tích các phần tử thuộc đường chéo chính.6. Nếu đổi chỗ hai dòng bất kì thì định thức đổi dấu.7. Định thức không hay đổi, nếu cộng vào một dòng các phần tử tương ứng của dòngkhác đã được nhân với cùng một số. 8. Các tính chất trên vẫn đúng khi thay chữ “dòng” bởi chữ “cột”.9. Công thức định nghĩa định thức cấp n vẫn đúng khi thay dòng 1 bởi dòng bất kìkhác, nghĩa là

i1 i1 i2 i2det ... in inA a A a A a A , 1,2,..., .i n

10. Tương tự ta có công thức khai triển định thức theo cột bất kì:

1 1 2 2det ... , 1,2,..., .j j j j nj njA a A a A a A j n

Ví dụ 9.

1 2 3 1 2 31 2 1 3

det det ; 0 0 0 0; 2 4 6 03 4 2 4

4 5 6 1 2 4

7

Ví dụ 10.

2 4 10 1 2 5 1 2 3 2 0 0

1 3 2 2 1 3 2 ; 0 4 5 1.4.6; 3 4 0 2.4.7

2 0 1 2 0 1 0 0 6 6 0 7

Ví dụ 11.

1 2 3 1 2 3 1 2 31 2 3 4

; 2 0 1 0 4 7 0 4 7 83 4 1 2

3 2 3 0 8 12 0 0 2

Ví dụ 12. 31 32 33 12 22 32

2 3 4

2 1 1 3 4 2 3 4

3 4 2

A A A A A A

Sử dụng các tính chất trên, ta dễ dàng tính được các định thức cấp cao.

Ví dụ 13.

1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4

2 3 4 1 0 1 2 7 0 1 2 7 0 1 2 7160

3 4 1 2 0 2 8 10 0 0 4 4 0 0 4 4

4 1 2 3 0 7 10 13 0 0 4 36 0 0 0 40

Ví dụ 14. Hãy tính các định thức sau 2 1 3 1 1 1 1 1

2 1 24 5 1 0 2 0 1 1 1 1

) ; ) 3 2 1 ; ) ; )3 6 3 1 0 2 1 1 1 1

2 3 12 1 0 3 1 1 1 1

a b c d

I.3. MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO 1. KHÁI NIỆM

Định nghĩa: Cho ij n nA a

là ma trận vuông cấp n . Ma trận B thỏa mãn điều

kiện nAB BA I được gọi là ma trận nghịch đảo của A và kí hiệu là 1B A .

Ví dụ 1. 1 2 3 2

;1 3 1 1

A B

.

Khi đó ta có 2AB BA I nên 1B A .

Chú ý: Nếu 1B A thì

1A B . Do đó ta còn nói A và B là các ma trận nghịchđảo của nhau.

Định nghĩa: Nếu ma trận A có ma trận nghịch đảo 1A thì ta nói A là ma trận khả nghịch, hay khả đảo.

2. ĐIỀU KIỆN KHẢ NGHỊCH

Định lý: Để ma trận vuông A khả nghịch, cần và đủ là det 0.A

Ví dụ 2. Ma trận 1 2

1 3A

khả nghịch (theo ví dụ 1) và ta thấy det 1 0A .

Ví dụ 3. Các ma trận sau đây có khả nghịch không?

8

2 3 1 1 2 33 2

) ; ) 4 1 2 ; ) 2 1 01 4

2 4 1 3 2 4

a b c

.

Ví dụ 4. Tìm a để ma trận

1 1 0

1 1

0 2 1

A a

khả nghịch.

3. PHƯƠNG PHÁP TÌM MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO

Có hai phương pháp tìm ma trận nghịch đảo của một ma trận vuông.

a) Phương pháp định thức: (sử dụng phần bù đại số)

Để tìm ma trận nghịch đảo của ma trận vuông ij n nA a

, ta cần:

1. Tính det .A- Nếu det 0A thì kết luận ma trận A không có ma trận nghịch đảo.

- Nếu det 0A thì A có ma trận nghịch đảo 1A .

2. Tính phần bù đại số của tất cả các phần tử ija A .

3. Lập ma trận phụ hợp từ các phần bù đại số thu được A ij n nP A

.

4. Tính ma trận nghịch đảo1 1

dettAA

A P .

Ví dụ 5. Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận 1 2

1 3A

.

Ta có

11 12 21 22

1 11

det 1; 3, 1, 2, 1

3 1 3 1 3 2;

2 1 2 1 1 1

t

A

A A A A A

P A

.

Ví dụ 6. Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận

1 2 1

2 3 2

3 1 3

A

.

Ta có

11 12 13 21

22 23 31 32 33

11 7 16 6 6

1 16

7 5 16 6 6

det 6; 11, 12, 7, 7,

6, 5, 1, 0, 1;

11 12 7 11 12 7

7 6 5 ; 7 6 5 2 1 0

1 0 1 1 0 1

t

A

A A A A A

A A A A A

P A

9

Ví dụ 7. Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận sau đây bằng phương pháp định thức 1 1 0

4 2) ; ) 1 1 1

3 50 2 1

a A b B

b) Các phép biến đổi sơ cấp đối với ma trận bất kì:

Ta gọi các phép biến đổi sau đây là phép biến đổi sơ cấp dòng đối với một ma trận bất kì: 1. Đổi chỗ hai dòng tuỳ ý của ma trận.2. Nhân tất cả các phần tử của một dòng với một số khác 0.3. Cộng vào một dòng các phần tử tương ứng của dòng khác đã được nhân với

cùng một số.Tương tự ta có các phép biến đổi sơ cấp cột đối với một ma trận bất kì. Ví dụ 8.

1 2 2 3 1 1 2 2 3 1

2 3 4 1 2 0 1 8 7 0

3 2 1 2 3 0 4 7 7 6

1 1 3 3 5 0 3 1 0 6

1 2 2 3 1 1 2 2 3 1

0 1 8 7 0 0 1 8 7 0

0 0 25 21 6 0 0 25 21 6

0 0 25 21 6 0 0 0 0 0

A

c)Tìm ma trận nghịch đảo bằng phương pháp biến đổi sơ cấp:

Để tìm ma trận nghịch đảo của ma trận vuông ij n nA a

, ta lập ma trận mở rộng

có dạng nA I . Sau đó biến đổi sơ cấp dòng ma trận này thành ma trận mới có dạng

nI B . Nếu phép biến đổi thực hiện được thì 1B A .

Ví dụ 9. Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận1 2

1 3A

bằng phép biến đổi sơ cấp dòng.

Lập ma trận mở rộng và biến đổi sơ cấp dòng, ta được

21 2 1 0 1 2 1 0 1 0 3 2

1 3 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1A I

Vậy 1 3 2

1 1A

.


1 2 2

3 1 0

1 1 1

A

bằng phép biến đổi sơ

cấp dòng.

10

Lập ma trận mở rộng và biến đổi sơ cấp dòng, ta được

3

1 2 2 1 0 0 1 2 2 1 0 0

3 1 0 0 1 0 0 5 6 3 1 0

1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1

1 2 2 1 0 0 1 0 0 1 0 2

0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1

0 5 6 3 1 0 0 0 1 2 1 5

1 0 0 1 0 2

0 1 0 3 1 6

0 0 1 2 1 5

A I


1 1 0

1 1 1

1 0 0

A

bằng phép biến đổi sơ

cấp dòng.

I.4. HẠNG CỦA MA TRẬN 1. KHÁI NIỆM

a) Định thức con: Cho ma trận bất kì ij m nA a

.

Định thức gồm các phần tử thuộc giao của kdòng và k cột tuỳ ý của A được gọi là

định thức con cấp k của A .


1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 12

A

.

Ta xét vài định thức con của A .

- Định thức con cấp một: 7 7 (giao của dòng 2 với cột 3);

- Định thức con cấp hai: 2 4

86 8

(giao của dòng 1,2 với cột 2,4);

- Định thức con cấp ba:

1 2 3

5 6 7 0

9 10 11

(giao của cả ba dòng với các cột 1, 2, 3).

Ngoài ra ma trận A còn có 3 định thức con cấp ba khác, tất cả các định thức con cấp

ba của A đều bằng 0. Các định thức con cấp cao hơn không tồn tại.

b) Hạng của ma trận: Ta nói hạng của ma trận A là p nếu trong A có ít nhất một

định thức con cấp p khác 0, các định thức con cấp cao hơn đều bằng 0 hoặc không

tồn tại.

11

Khi đó ta viết ( )rank A p hoặc ( )r A p .


1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 12

A

.

Ta đã có 1 định thức con cấp hai của A khác 0, các định thức con cấp cao hơn đều

bằng 0 hoặc không tồn tại. Do đó hạng của A là 2.

Để ý rằng A cũng có định thức con cấp một khác 0, tuy nhiên hạng của nó là 2. Nhưvậy, hạng của ma trận là cấp cao nhất của định thức con khác 0 của nó.

Ví dụ 3. Cho ma trận bậc thang

1 2 3 4 5

0 6 7 8 9

0 0 10 11 12

0 0 0 0 0

B

.

Ta thấy ngay rằng B có một định thức con cấp ba là

1 2 3

0 6 7 60

0 0 10

khác 0, mọi định thức con cấp bốn đều bằng 0 vì chứa một dòng bằng 0.

Vậy hạng của B là 3, đúng bằng số dòng có phần tử khác không của nó.

Ta có các tính chất sau đây đối với hạng của ma trận.

2. TÍNH CHẤT1. Hạng của ma trận bậc thang bằng số dòng có phần tử khác 0 của nó.2. Mọi phép biến đổi sơ cấp không làm thay đổi hạng của ma trận.

Từ hai tính chất trên, ta có phương pháp tìm hạng của ma trận: Để tìm hạng của một ma trận, ta biến đổi nó thành ma trận bậc thang và áp dụng các tính chất để kết luận.

Ví dụ 4. Tìm hạng của ma trận

1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 12

A

.

Ta biến đổi ma trận đã cho thành ma trận bậc thang: 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4

5 6 7 8 0 4 8 12 0 4 8 12 '

9 10 11 12 0 8 16 24 0 0 0 0

A A

là ma trận bậc thang. Theo tính chất 2, ta có ( ) ( ')rank A rank A ;

Theo tính chất 1 ta lại có ( ') 2rank A .

Vậy ( ) 2rank A .

12

Ví dụ 5. Tìm hạng của ma trận sau theo tham số m1 1 3 3

3 2 8 8

3 2 8 3

2 1 5

Cm

m

Ta biến đổi C thành ma trận bậc thang: 1 1 3 3 1 1 3 3

0 1 1 1 0 1 1 1'

0 1 1 6 0 0 0 5

0 1 1 6 0 0 0 0

C Cm m

m

Ta có 2 5

( ) ( ')3 5

khi mr C r C

khi m

Ví dụ 6. Tìm hạng của các ma trận sau đây:

1 3 2 1 1 2 3 3 0 1

2 5 2 1 3 4 0 6 2 2) ; ) ; )1 1 6 13 2 1 1 9 3 0 2

2 6 8 10 3 1 2 15 5 0 7

m

m ma b c

m m

m

I.5. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1. KHÁI NIỆM

a) Hệ phương trình tuyến tính: là hệ phương trình có dạng

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

...

...

..........

...

n n

n n

m m mn n m

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

(1)

trong đó ija , ib là các số cho trước, jx là các ẩn số ( 1,2,..., ; 1,2,..., )i m j n .

Trong (1) ta thấy có m phương trình và n ẩn số.

Đặt ij m nA a

là ma trận các hệ số của ẩn,

1i mB b

là ma trận các hệ số tự do,

1j nX x

là ma trận các ẩn số.

Khi đó hệ phương trình (1) được viết ở dạng ma trận AX B (2)

b) Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính: là một bộ gồm n số được sắp thứ tự

1 2( , ,..., )n sao cho khi thay ( 1,2,..., )j jx j n vào tất cả các phương trình trong hệ,

ta được các đẳng thức đúng.

Ví dụ 1: Cho hệ phương trình tuyến tính 1 2 3

1 2 3

2 3 1

2 3 11

x x x

x x x

13

Ta có 1

2

3

1 2 3 1, ,

2 3 1 11

x

A B X x

x

Thay 1 2 33, 1, 2x x x vào hai phương trình trên, ta được các đẳng thức đúng.

Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là (3,1,2) . Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính còn được viết ở dạng ma trận. Chẳng hạn, hệ

phương trình trên có nghiệm là

3

1

2

.

Ta có thể thử lại bằng cách xét tích các ma trận tương ứng: 3

1 2 3 1. 1

2 3 1 112

AX B

2. ĐIỀU KIỆN CÓ NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Để hệ phương trình (1) có nghiệm, cần và đủ là ( ) ( )rank A B rank A , trong đó

A B là ma trận mở rộng, thu được bằng cách viết thêm ma trận B vào bên phải

ma trận A . Ví dụ 2. Xét hệ phương trình ở ví dụ trên, ta có ma trận mở rộng:

1 2 3 1 1 2 3 1' '

2 3 1 11 0 1 7 13A B A B

Suy ra ( ) ( ') 2; ( ) ( ' ') 2rank A rank A rank A B rank A B .

Vậy ( ) ( )rank A B rank A .

Ví dụ 3. Hệ phương trình sau đây có nghiệm hay không?

1 2 31 2 3 4

1 2 31 2 3 4

1 2 31 2 3 4

1 2 3

2 2 12 3 1

2 3 4 1) 3 2 ; )

2 12 2 3 4 3

2 0

x x xx x x x

x x xa x x x x b

x x xx x x x

x x x

Ta tìm hạng của các ma trận tương ứng. a)

1 1 2 3 1

3 1 1 1 2

2 2 3 4 3

1 1 2 3 1 1 1 2 3 1

0 4 7 10 1 0 4 7 10 1 ' '

0 4 7 10 1 0 0 0 0 2

A B

A B

Ta có ( ) ( ') 2; ( ) ( ' ') 3rank A rank A rank A B rank A B

Suy ra ( ) ( )rank A B rank A . Vậy hệ phương trình đã cho không có nghiệm.

14

b) 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1

2 3 4 1 0 1 0 1 0 1 0 1' '

1 2 1 1 0 4 1 2 0 0 1 2

1 1 2 0 0 1 0 1 0 0 0 0

A B A B

Ta có ( ) ( ') 3; ( ) ( ' ') 3rank A rank A rank A B rank A B .

Suy ra ( ) ( )rank A B rank A . Vậy hệ phương trình có nghiệm.

Ví dụ 4. Hệ phương trình sau đây có nghiệm hay không?

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

3 5 2 3

2 7 3 5

5 9 8 1

x x x x

x x x x

x x x x

3. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH

a) Phương pháp biến đổi sơ cấp (còn gọi là phương pháp Gauss)Giả sử hệ phương trình (1) có nghiệm, nghĩa là ( ) ( )rank A B rank A .

Xét hai trường hợp có thể xảy ra sau đây.

1) ( ) ( )a rank A B rank A n . Khi đó, từ ma trận bậc thang ' 'A B thu được khi

tìm hạng của ma trận, ta lập hệ phương trình mới và giải ngược từ dưới lên để tìm các ẩn số. Ví dụ 5. Giải hệ phương trình ở ví dụ 3b)

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 2 1

2 3 4 1

2 1

2 0

x x x

x x x

x x x

x x x

Theo ví dụ 3b) ta đã có ( ) ( ) 3rank A B rank A . Từ ma trận bậc thang ' 'A B , ta

lập được hệ phương trình

1 2 3 1

2 2

3 3

2 2 1 3

1 1

2 2

x x x x

x x

x x

Ví dụ 6. Giải hệ phương trình sau

1 2 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

2 4 3

2 3 5 3

3 2 5 3

4 9 22

x x x

x x x x

x x x x

x x x x

2) ( ) ( )a rank A B rank A k n . Khi đó trong ma trận 'A sẽ tồn tại ít nhất một

định thức con cấp k khác 0, k ẩn số tương ứng với định thức này được gọi là các ẩn

chính của hệ phương trình, còn lại n k ẩn được gọi là ẩn tự do. Từ ma trận bậc

15

thang ' 'A B ta cũng lập hệ phương trình mới và chuyển ẩn tự do sang vế phải. Sau

đó giải ngược từ dưới lên để tìm các ẩn chính. Cho ẩn tự do các giá trị tuỳ ý ta thu được tập hợp tất cả các nghiệm của hệ phương trình. Ví dụ 7. Giải hệ phương trình sau

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

3 5 2 3

2 7 3 5

5 9 8 1

x x x x

x x x x

x x x x

Lập ma trận mở rộng A B , sau một vài phép biến đổi sơ cấp (xem lại ví dụ 4), ta

thu được ma trận bậc thang có dạng

1 3 5 2 3

' ' 0 1 7 5 1

0 0 0 0 0

A B

Ta có ( ) ( ) 2 4rank A B rank A .

Trong ma trận 'A ta chọn định thức con 1 3

1 00 1

, thế thì hai ẩn số 1 2,x x sẽ

là các ẩn chính, còn lại hai ẩn số 3 4,x x là các ẩn tự do. Từ ma trận bậc thang ta có

hệ phương trình

1 3 4

1 2 3 4 2 3 4

2 3 4 3

4

6 26 17

3 3 5 2 1 7 5

1 7 5

x x x

x x x x x x x

x x x x

x

Chú ý: 1. Trường hợp 1)a hệ phương trình có duy nhất nghiệm;

Trường hợp 2)a hệ có vô số nghiệm.

2. Có nhều cách chọn định thức con khác không, từ đó cũng có nhiều cáchchọn ẩn chính, ẩn tự do. Tuy nhiên nên chọn ẩn chính sao cho việc tìm chúng sau đó được thuận lợi.

Chẳng hạn, ở ví dụ 7, nếu ta chọn định thức con khác 0 là 1 5

0 7 thì ẩn chính sẽ

là 1 3,x x , suy ra ẩn tự do là 2 4,x x . Khi đó việc tìm ẩn chính theo ẩn tự do sẽ khó

khăn hơn. Ví dụ 8. Giải hệ phương trình sau

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

2 5 7 1

4 2 7 5 1

2 5 3

x x x x

x x x x

x x x x

16

Ví dụ 9. Giải các hệ phương trình sau đây 3 5 2 3 4 3 2 8

2 7 3 5 3 2 3 7) ; )

5 9 8 1 2 5 6

5 18 4 5 3 5 3 8 13

x y z t x y z t

x y z t x y z ta b

x y z t x y t

x y z t x y z t

Ví dụ 10. Giải và biện luận hệ phương trình sau theo tham số m 2 2

2 1

7 5

x y z t m

x y z t m

x y z t m

Xét ma trận mở rộng

1 2 1 2 1 2 1 2

1 1 1 1 2 1 0 3 2 1 1

1 7 5 1 0 9 6 3 0

1 2 1 2

0 3 2 1 1 ' '

0 0 0 0 3 3

m m

A B m m

m

m

m A B

m

- Nếu 1m thì ( ) 3 ( ) 2rank A B rank A nên hệ phương trình vô nghiệm.

- Nếu 1m thì ( ) ( ) 2 4rank A B rank A nên hệ phương trình có vô số nghiệm.

Trong ma trận 'A ta chọn định thức con 1 2

1 00 1

, thế thì hai ẩn số ,x t sẽ là

các ẩn chính, còn lại hai ẩn số ,y z là các ẩn tự do. Thay 1m vào ma trận bậc

thang, ta có hệ phương trình 1 4 3

2 1 2

3 2

3 2

x y z

x t y z y

t y z z

t y z

Ví dụ 11. Giải và biện luận hệ phương trình sau theo tham số m

2

2 5 2 2 2 1

3 7 3 3 1

x y z t m

x y z t m

x y z t

b) Phương pháp Cramer. Xét hệ phương trình (1), trong đó số phương trình bằng số

ẩn số. Khi đó A là ma trận vuông cấp n. Ta có định lý Cramer sau đây.

Định lý. Nếu A là ma trận vuông có định thức khác 0 thì hệ phương trình (1) có duy nhất nghiệm được tính bởi công thức

det( 1,2,..., )jD

j Ax j n

trong đó jD là định thức thu được từ A bằng cách thay cột j bởi ma trận B .

17

Ví dụ 12. Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp Cramer

1 2 3

1 2 3

1 2 3

6

2 3 4 21

7 3 6

x x x

x x x

x x x

Ta có

1 1 1 6

2 3 4 ; 21 ;det 12

7 1 3 6

A B A

;

1 2 3

6 1 1 1 6 1 1 1 6

21 3 4 0; 2 21 4 36; 2 3 21 36

6 1 3 7 6 3 7 1 6

D D D

Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là 1

2

3

0

3

3

x

x

x

.

Ví dụ 13. Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp Cramer

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 9

2 2 6

3 2 4 5

x x x

x x x

x x x

c) Phương pháp ma trận nghịch đảo. Ta cũng xét hệ phương trình (1) khi A là ma

trận vuông có định thức khác 0. Khi đó, như đã biết, A có ma trận nghịch đảo 1A

.

Nhân hai vế của phương trình ma trận AX B với 1A

từ bên trái ta được

nghiệm của hệ phương trình là 1X A B . Ví dụ 14. Giải hệ phương trình sau bằng ma trận nghịch đảo

1 2 3

1 2

1 2 3

2 2 3

3 2

1

x x x

x x

x x x

Ta có 1

12

3

1 2 2 3 1 0 2

3 1 0 ; 2 ; ; 3 1 6

1 1 1 1 2 1 5

x

A B X x A

x

Vậy nghiệm của hệ phương trình là

1

1 0 2 3 1

3 1 6 2 5

2 1 5 1 3

X A B

.

18

Ví dụ 15. Giải hệ phương trình sau bằng ma trận nghịch đảo

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 5 7

3 3 7

2 14

x x x

x x x

x x x

4. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT a) Định nghĩa: Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất là hệ phương trình có tất cả

các vế phải bằng 0:

11 1 12 2 1

21 1 22 2 2

1 1 2 2

... 0

... 0

..........

... 0

n n

n n

m m mn n

a x a x a x

a x a x a x

a x a x a x

(3)

Khi đó ma trận hệ số tự do B O nên ta luôn có

( ) ( ) ( )rank A B rank A O rank A . Suy ra hệ phương trình luôn có nghiệm.

b) Phân loại nghiệm của hệ thuần nhất: - Trường hợp ( ) ( )rank A B rank A n , hệ phương trình (3) có duy nhất nghiệm:

1 2 ... 0nx x x . Ta gọi đây là nghiệm tầm thường của hệ phương trình (3).

- Trường hợp ( ) ( )rank A B rank A k n , hệ phương trình (3) có vô số nghiệm,

trong đó ẩn chính phụ thuộc ẩn tự do. Ta gọi đó là nghiệm tổng quát của hệ phương trình (3). - Cho các ẩn tự do những giá trị đặc biệt, lập nên một ma trận chéo, ta được nghiệm cơ bản của hệ phương trình (3). Ví dụ 16. Tìm nghiệm tổng quát và hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất sau đây

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

2 5 7 0

4 2 7 5 0

2 5 0

x x x x

x x x x

x x x x

Ta chỉ cần xét ma trận A và biến đổi nó thành ma trận bậc thang: 2 1 5 7 2 1 5 7 2 1 5 7

4 2 7 5 0 0 3 9 0 0 3 9 '

2 1 1 5 0 0 4 12 0 0 0 0

A A

Ta có ( ) 2 4rank A . Trong ma trận 'A ta chọn định thức con 1 5

3 00 3

,

thế thì hai ẩn số 2 3,x x sẽ là các ẩn chính, còn lại hai ẩn số 1 4,x x là các ẩn tự do. Từ

ma trận bậc thang ta có hệ phương trình

19

1

2 3 1 4 2 1 4

3 4 3 4

4

5 2 7 2 8

3 9 3

x

x x x x x x x

x x x x

x

Đây là nghiệm tổng quát của hệ phương trình đã cho. Cho 1 41; 0x x , ta tìm được một nghiệm cơ bản là (1,2,0,0) .

Cho 1 40; 1x x , ta tìm được một nghiệm cơ bản là (0, 8, 3,1) .

Ví dụ 17. Tìm nghiệm tổng quát và hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất sau đây

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

9 3 5 14 0

4 4 8 5 4 0

2 7 4 5 8 0

x x x x x

x x x x x

x x x x x

I.6. MỘT SỐ MÔ HÌNH TUYẾN TÍNH TRONG KINH TẾ

1. MÔ HÌNH CÂN BẰNG THỊ TRƯỜNGMột mô hình kinh tế gồm các đại lượng kinh tế và các mối quan hệ giữa chúng. Theo ngôn ngữ toán học, các đại lượng kinh tế là các biến số, mối quan hệ giữa các đại lượng kinh tế được biểu diễn bởi các phương trình. a) Mô hình cân bằng thị trường đơn giảnTrong mô hình này ta chỉ xét một loại hàng hóa và chỉ quan tâm đến ba biến số:

- Lượng hàng hóa cung sQ

- Lượng hàng hóa yêu cầu dQ

- Giá của loại hàng hóa p .

Khối lượng hàng hóa cung và cầu được tính trong một đơn vị thời gian nào đó. Ta có mô hình ( ) ( )s dQ p Q p , được gọi là mô hình cân bằng thị trường đơn giản.

Trong mô hình này ta giả thiết: (i) sQ là hàm tăng theo giá p và khi p lớn hơn một giá trị 0op nào đó thì sQ

mới dương. (ii) dQ là hàm giảm theo giá p .

(iii) Thị trường ở trạng thái cân bằng khi s dQ Q .

Bây giờ ta giả sử sQ và dQ có dạng tuyến tính

; ( , , , 0)s dQ a bp Q c dp a b c d

trong đó , , ,a b c d là các số cho trước, p là biến số.

Mô hình cân bằng thị trường là

(1)s s

d d

s d

Q a bp Q a bp

Q c dp Q c dp

Q Q a bp c dp

Giải phương trình cuối của hệ (1) với ẩn là p , ta có giá cân bằng: a c

pb d

.

20

Từ đó ta tìm được lượng cân bằng: s dbc ad

Q Qb d

.

Ví dụ 1. Cho hàm cung và hàm cầu theo giá của một loại hàng hóa là 5 , 55 3s dQ p Q p .

a) Tìm giá cân bằng thị trường. b) Tìm lượng cung và lượng cầu cân bằng. Giải. Giá cân bằng thị trường là nghiệm của phương trình

5 55 3 15.s dQ Q p p p

Vậy giá cân bằng là 15p .

Khi đó lượng cung và lượng cầu cân bằng là: 5 10.s dQ Q p

Ví dụ 2. Cho hàm cung và hàm cầu theo giá của một loại hàng hóa là 10 2 , 62 7s dQ p Q p .

a) Tìm giá cân bằng thị trường. b) Tìm lượng cung và lượng cầu cân bằng. Ví dụ 3. Cho hàm cung và hàm cầu theo giá của một loại hàng hóa là

1 , 5s dQ p Q p .

a) Tìm giá cân bằng thị trường. b) Tìm lượng cung và lượng cầu cân bằng.

b) Mô hình cân bằng thị trường tổng quát Xét mô hình với n loại hàng hóa, trong đó hàm cung và hàm cầu phụ thuộc tuyến tính vào giá. Khi đó ta có các phương trình tuyến tính sau đây

1 1 2 2

1 1 2 2

...

...

si io i i in n

di io i i in n

Q a a p a p a p

Q b b p b p b p

trong đó , ,si di iQ Q p lần lượt là lượng cung, lượng cầu và giá của hàng hóa thứ

, 1,2,...,i i n .

Mô hình cân bằng thị trường đối với n loại hàng hóa được biểu diễn bởi các đẳng thức: , 1,2,...si diQ Q i n .

Thay phương trình biểu diễn hàm cung và hàm cầu vào các đẳng thức trên, sau đó chuyển vế và đặt ik ik ikc a b , ta được hệ phương trình tuyến tính

11 1 12 2 1 10

21 1 22 2 2 20

1 1 2 2 0

...

...(2)

............

...

n n

n n

n n nn n n

c p c p c p c

c p c p c p c

c p c p c p c

Giải hệ phương trình (2), ta tìm được giá cân bằng của từng loại hàng hóa, từ đó sẽ tìm được lượng cung và cầu cân bằng của n loại hàng hóa đã cho. Ví dụ 4. Cho một thị trường gồm ba loại hàng hóa. Hàm cung, hàm cầu và giá của chúng thỏa mãn các điều kiện sau

21

1 1 2 3

2 1 2 3

3 1 2 3

1 1 2 3

2 1 2 3

3 1 2 3

2 4

1 4

2 4

10 2

1 2

3 2 2

s

s

s

d

d

d

Q p p p

Q p p p

Q p p p

Q p p p

Q p p p

Q p p p

a) Hãy tìm điểm cân bằng thị trường. b) Xác định lượng cung và cầu cân bằng của mỗi loại hàng hóa. Giải. Ta có hệ phương trình xác định giá cân bằng là

1 1 1 2 3 1 2 3

2 2 1 2 3 1 2 3

3 3 1 2 3 1 2 3

2 4 10 2

1 4 1 2

2 4 3 2 2

s d

s d

s d

Q Q p p p p p p

Q Q p p p p p p

Q Q p p p p p p

1 2 3 1

2 3 2

1 2 3 3

6 2 2 12 3

6 2 2 1

2 6 5 2

p p p p

p p p

p p p p

Vậy, điểm cân bằng là 1 2 13 , 1 , 2.p p p

Tại điểm cân bằng ta có

1 1 2 2 3 37 , 4 , 4.s d s d s dQ Q Q Q Q Q

Ví dụ 5. Cho một thị trường gồm hai loại hàng hóa. Hàm cung, hàm cầu và giá của chúng thỏa mãn các điều kiện sau

1 1 2 2

1 1 2 2 1 2

1 3 , 3 5

10 2 2 , 15 3 .

s s

d d

Q p Q p

Q p p Q p p

a) Hãy tìm điểm cân bằng thị trường. b) Xác định lượng cung và cầu cân bằng của mỗi loại hàng hóa. Ví dụ 6. Cho một thị trường gồm hai loại hàng hóa. Hàm cung, hàm cầu và giá của chúng thỏa mãn các điều kiện sau

1 1 2 2

1 1 2 2 1 2

2 3 , 1 2

10 2 , 15 .

s s

d d

Q p Q p

Q p p Q p p

a) Hãy tìm điểm cân bằng thị trường. b) Xác định lượng cung và cầu cân bằng của mỗi loại hàng hóa. Ví dụ 7. Cho một thị trường gồm ba loại hàng hóa. Biết hàm cung và hàm cầu là

1 1 2 3

2 1 2 3

3 1 2 3

1 1 2

2 1 2 3

3 2 3

15 8

10 12

6 10

20 4 3

40 2 6

30 2 6

s

s

s

d

d

d

Q p p p

Q p p p

Q p p p

Q p p

Q p p p

Q p p

a) Hãy tìm điểm cân bằng thị trường. b) Xác định lượng cung và cầu cân bằng của mỗi loại hàng hóa. Ví dụ 8. Cho một thị trường gồm ba loại hàng hóa. Biết hàm cung và hàm cầu là

22

1 1 2 3

2 1 2 3

3 1 2 3

1 1 2 3

2 1 2 3

3 1 2 3

5 4

2 4

1 4

8 2

10 2

14 2

s

s

s

d

d

d

Q p p p

Q p p p

Q p p p

Q p p p

Q p p p

Q p p p

a) Hãy tìm điểm cân bằng thị trường.b) Xác định lượng cung và cầu cân bằng của mỗi loại hàng hóa.

2. MÔ HÌNH CÂN BẰNG THU NHẬP QUỐC DÂNXét mô hình cho dưới dạng

( ) ( 0 , 0 1) (3)

( 0 , 0 1)

o oY C I G

C a b Y T a b

T d tY d t

trong đó - Y là tổng thu nhập quốc dân, - C là tiêu dùng của dân cư, - T là thuế, - oI là mức đầu tư cố định theo kế hoạch,

- oG là mức chi tiêu cố định của chính phủ.

Xem Y, C, T là các biến số, a, b, d, t và oI , oG là các số cho trước, biến đổi (3) ta có

hệ phương trình ba ẩn

(4)o oY C I G

bY C bT a

tY T d

Giải hệ (4), ta tìm được mức thu nhập quốc dân, mức tiêu dùng và mức thuế cân bằng là

1 (1 )

( )(1 )

1 (1 )

(1 ) ( )

1 (1 )

o o

o o

o o

a bd I GY

b t

a bd b I G tC

b t

d b t a I GT

b t

Ví dụ 9. Cho tổng thu nhập quốc dân Y, mức tiêu dùng C và mức thuế T xác định bởi

15 0,4( )

36 0,1

o oY C I G

C Y T

T Y

,

trong đó 500oI là mức đầu tư cố định; 20oG là mức chi tiêu cố định.

Hãy xác định mức thu nhập quốc dân, mức tiêu dùng và mức thuế cân bằng. Giải. Ta có

23

500 20 520

15 0,4( ) 0,1 36

36 0,1 520 15 0,4( 0,1 36)

Y C C Y

C Y T T Y

T Y Y Y Y

520 293,4375

0,1 36 117,34375

0,64 520,6 813,4375

C Y C

T Y T

Y Y

.

Vậy 813,4375 ; 293,4375 ; 117,34375.Y C T

Ví dụ 10. Tương tự ví dụ 9 với

50 0,6( )

12 0,3

o oY C I G

C Y T

T Y

,

800oI ; 55oG .

Hãy xác định mức thu nhập quốc dân, mức tiêu dùng và mức thuế cân bằng. Ví dụ 11. Tương tự ví dụ 9 với

25 0,5( )

32 0,2

o oY C I G

C Y T

T Y

,

600oI ; 45oG .

Hãy xác định mức thu nhập quốc dân, mức tiêu dùng và mức thuế cân bằng.

3. MÔ HÌNH IS – LMMô hình IS – LM được dùng để phân tích trạng thái cân bằng của nền kinh tế trong cả hai thị trường: thị trường hàng hóa và thị trường tiền tệ. Mô hình này được mô tả như sau. Khi có mặt thị trường tiền tệ, mức đầu tư I phụ thuộc vào lãi suất r. Giả sử

1 1 1 1( , 0)I a b r a b .

Xét mô hình cân bằng thu nhập và tiêu dùng dạng

1 1 1 1

(5)

( 0) (6)

( 0 , 0 1) (7)

oY C I G

I a b r a b

C a bY a b

Thay (6), (7) vào (5), ta được

1 1

1 1 (1 ) (8)

o

o

Y a bY a b r G

b r a a G b Y

Phương trình (8) biểu diễn mối quan hệ giữa lãi suất và thu nhập khi thị trường hàng hóa cân bằng và được gọi là phương trình IS. Trong thị trường tiền tệ, lượng cầu tiền L phụ thuộc vào thu nhập Y và lãi suất r. Giả sử lượng cung tiền cố định là oM và

2 2 2 2( , 0)L a Y b r a b

Điều kiện cân bằng tiền tệ là

2 2 2 2 (9)o o oL M a Y b r M b r a Y M

24

Phương trình (9) biểu diễn điều kiện cân bằng của thị trường tiền tệ và được gọi là phương trình LM.

Mô hình IS – LM là mô hình gộp IS và LM thành một hệ IS

LM

.

Từ mô hình này ta xác định được mức thu nhập Y và lãi suất r đảm bảo cân bằng trong cả hai thị trường: hàng hóa và tiền tệ. Chẳng hạn, giải hệ gồm phương trình (8) và (9):

1 1

2 2

(1 )o

o

b r a a G b Y

b r a Y M

,

ta tìm được

1 2 1

1 2 2

1 2

1 2 2

( )

(1 )

( ) (1 )

(1 )

o o

o o

a a G b b MY

b a b b

a a G a b Mr

b a b b

Ví dụ 12. Cho

0 0250 ; 4500 ; 34 15

10 0,3 ; 22 200 .

G M I r

C Y L Y r

a) Lập phương trình IS.b) Lập phương trình LM.c) Tìm mức thu nhập và lãi suất cân bằng của hai thị trường hàng hóa và tiền tệ.Giải. a) Ta có

0 (10 0,3 ) (34 15 ) 250Y C I G Y Y r .

Vậy phương trình IS là 15 294 0,7r Y .

b) Phương trình LM có dạng

0 22 200 4500 200 22 4500L M Y r r Y .

c) Mức thu nhập Y và lãi suất r cân bằng là nghiệm của hệ phương trình15 294 0,7 15(0,11 22,5) 294 0,7

200 22 4500 0,11 22,5

r Y Y Y

r Y r Y

2,35 631,5 268,72

0,11 22,5 7,06

Y Y

r Y r

.

Vậy 268,72 ; 7,06.Y r


0 075 ; 8160 ; 50 25

40 0,5 ; 28 400 .

G M I r

C Y L Y r


0 0400 ; 2000 ; 40 25

100 0,5 ; 32 250 .

G M I r

C Y L Y r

4. MÔ HÌNH CÂN ĐỐI LIÊN NGÀNH INPUT – OUTPUT LEONTIEFGiả định chung: Nền kinh tế của một khu vực hay một quốc gia có nhiều ngành sản xuất. Vậy thế nào là một ngành sản xuất? Ngành sản xuất được nhìn nhận dựa vào hai yếu tố sau đây:

25

(i) Mỗi ngành kinh tế chỉ sản xuất một loại hàng hóa; (ii) Mỗi ngành đều sử dụng một tỉ lệ cố định các yếu tố đầu vào cho sản suất

đầu ra với giả thiết khi đầu vào thay đổi k lần thì đầu ra cũng thay đổi k lần.

Ta có các khái niệm sau đây: - Tổng cầu ngành: được chia thành hai yếu tố

+ Cầu trung gian: sản phẩm hàng hoá dịch vụ của ngành này là yếu tố đầu vào phục vụ sản xuất cho ngành khác.

+ Cầu cuối cùng: là cầu tiêu dùng và xuất khẩu mà đối tượng phục vụ là hộ gia đình, chính phủ hay các công ty xuất khẩu. Bây giờ ta nghiên cứu mô hình sau đây. Giả sử nền kinh tế mà ta xét có n ngành được kí hiệu là: 1 2, , ..., nN N N ; giá trị sản

phẩm hàng hoá dịch vụ được tính bằng tiền (tỷ USD). Gọi: ix là tổng cầu của ngành i;

ijx là giá trị sản phẩm hàng hoá, dịch vụ của ngành i mà ngành j sử dụng làm

yếu tố đầu vào để phục vụ cho sản xuất của mình (tức là cầu trung gian); ib là giá trị sản phẩm hàng hoá, dịch vụ ngành i dùng cho tiêu dùng và xuất

khẩu (tức là cầu cuối cùng). Khi đó ta có tổng cầu của ngành i là:

i1 i2 in i

i1 i2 in1 2 i

1 2

... ; 1, 2,...,

... ; 1, 2,...,

i

i nn

x x x x b i n

x x xx x x x b i n

x x x

Đặt , , 1,2,...,ij

ijj

xa i j n

x , ta có hệ phương trình sau:

1 11 1 12 2 1 1

2 21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

...

...(1)

............................

...

n n

n n

n n n nn n n

x a x a x a x b

x a x a x a x b

x a x a x a x b

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

(1 ) ...

(1 ) ...(2)

............................

... (1 )

n n

n n

n n nn n n

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

trong đó ija là giá trị hàng hóa của ngành i (đầu vào) để sản xuất một đơn vị hàng hóa

của ngành j (đầu ra). Nếu hàng hóa của ngành i không cần để sản xuất cho ngành j

thì 0ija . Trong nền kinh tế bình thường thì 1

1 ( 1,2,..., )n

iji

a j n

.

Đặt 1 1; ;ij i in nn n

A a B b X x

, trong đó A là ma trận hệ số kĩ thuật hay ma

trận chi phí trực tiếp; X là ma trận tổng cầu của nền kinh tế; B là ma trận cầu cuối

26

cùng hay ma trận cầu tiêu dùng và xuất khẩu. Khi đó hệ phương trình (1) được viết dưới dạng ma trận là: X AX B . Gọi I là ma trận đơn vị cấp n thì

11 12 1

21 22 2

1 2

1 ...

1 ...

... ... ... ...

... 1

n

n

n n nn

a a a

a a aI A

a a a

nên hệ phương trình (2) có dạng ma trận là: ( )I A X B (3)

Nếu det( ) 0I A thì tồn tại ma trận nghịch đảo của I – A. Do đó 1( )X I A B . (4)

Như vậy phương trình ma trận (3) xác định cho ta mức tổng cầu đối với hàng hoá, dịch vụ của tất cả các ngành sản xuất trong nền kinh tế, từ đó lập kế hoạch sản xuất cho phù hợp, giúp nền kinh tế hoạt động tốt. Ma trận I A mang tên Leontief, do nhà toán học, đồng thời là nhà kinh tế học Leontief tìm ra. Cần lưu ý rằng: jx là tổng cầu sản phẩm hàng hoá, dịch vụ của ngành j, ija là chi phí

mà ngành j trả cho việc mua sản phẩm hàng hoá dịch vụ của ngành thứ i tính bình quân trên 1 đơn vị tiền ngành j làm được.

a) Mô hình mởNếu trong mô hình kinh tế, ngoài n ngành làm đầu vào cho một ngành nào đó còn có một đầu vào đặc biệt (chẳng hạn lao động dịch vụ), thì ta có mô hình được gọi là mô hình Input – Output mở. Khi việc sản xuất ngành j có sử dụng đầu vào đặc biệt thì

1

1n

iji

a

. Do đó ta đặt 01

1n

j iji

a a

với 0oja là đầu vào đặc biệt của ngành thứ j.

Ví dụ 15. Cho ba ngành kinh tế với ma trận hệ số đầu vào là 0,2 0,3 0,2

0,4 0,1 0,2

0,1 0,3 0,2

A

Biết nhu cầu cuối cùng của các ngành lần lượt là 10, 5, 6. a) Hãy giải thích ý nghĩa con số 0,4 trong ma trận A.b) Tìm hệ số đầu vào đặc biệt của từng ngành.c) Tìm đầu ra cho mỗi ngành.Giải. a) Ta có 120,4 a nên con số này có nghĩa là: nếu ngành thứ nhất muốn sản xuất

1 đơn vị (tiền) sản phẩm hàng hoá dịch vụ của ngành mình thì sẽ phải trả cho ngành thứ hai 0,4 đơn vị (tiền) để mua các yếu tố đầu vào. Tương tự, nếu ta xét cột 1 thì có thể thấy rằng: ngành thứ nhất còn phải trả 0,1 đơn vị (tiền) cho ngành thứ ba và 0,2 đơn vị (tiền) cho chính nó. Phần còn lại để trả cho “đầu vào đặc biệt”. b) Tổng các phần tử trên mỗi cột của ma trận A đều nhỏ hơn 1. Ta có đầu vào đặc biệtcủa ba ngành đó lần lượt là

27

3

01 i1 11 21 311

3

02 i2 12 22 321

3

03 i3 13 23 331

1 1 ( ) 1 (0,2 0,4 0,1) 0,3

1 a 1 ( ) 1 (0,3 0,1 0,3) 0,3

1 1 ( ) 1 (0,2 0,2 0,2) 0,4

i

i

i

a a a a a

a a a a

a a a a a

b) Ta có

1 0,2 0,3 0,2 0,8 0,3 0,2

0,4 1 0,1 0,2 0,4 0,9 0,2

0,1 0,3 1 0,2 0,1 0,3 0,8

I A

Hệ Input –Output (2) có dạng ma trận là

1 1

2 2

3 3

0,8 0,3 0,2

( ) 0,4 0,9 0,2

0,1 0,3 0,8

x b

I A X B x b

x b

,

trong đó X là ma trận đầu ra, B là ma trận nhu cầu cuối cùng. Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận I – A, ta được

1

0,66 0,3 0,241

( ) 0,34 0,62 0,240,384

0,21 0,27 0,6

I A

.

Do đó 1 1

12 2

3 3

0,66 0,3 0,241

( ) 0,34 0,62 0,240,384

0,21 0,27 0,6

x b

X I A B x b

x b

.

Hay 1

2

3

0,66 0,3 0,24 10 24,841

0,34 0,62 0,24 5 20,680,384

0,21 0,27 0,6 6 18,36

x

X x

x

Vậy, đầu ra của các ngành là 1 2 324,84 ; 20,68 ; 18,36.x x x

Ví dụ 16. Cho ba ngành kinh tế với ma trận hệ số đầu vào là 0,4 0,2 0,2

0,2 0,3 0,4

0,3 0 0,1

A

a) Hãy xác định hệ số đầu vào đặc biệt của các ngành.b) Biết nhu cầu cuối cùng của các ngành tương ứng là 40, 60 và 80. Hãy xác định

đầu ra của mỗi ngành.b) Mô hình đóng

Nếu đầu vào đặc biệt cũng xét như một ngành kinh tế, nhu cầu cuối cùng 1 2, ,..., nb b b

xác định thông qua đầu ra của các ngành kinh tế và của hệ số 01 02 0, , ..., na a a thì

mô hình lúc này gọi là Input – Output đóng. Như vậy mô hình Input – Output đóng là mô hình Input – Output mở với nhu cầu

cuối cùng bằng 0. Trường hợp này ma trận hệ số đầu vào là:

28

0 0 0 1 0

1 0 1 1 1

0 1

. . .

. . .

. . . . . . . . . . . .

. . .

n

n

n n n n

a a a

a a aA

a a a

Theo mô hình kinh tế mở (1) cho 1n ngành kinh tế với các 0ib ta có mô hình

Input – Output đóng là:

0 0 0 1 0 0

1 0 1 1 1 1

0 1

1 . . . 0

1 . . . 0(5 )

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . 1 0

n

n

n n n n n

a a a x

a a a x

a a a x

Mặt khác, ta lại có

00 01 0

10 11 1

0 1

1 ...

1 ...0

... ... ... ...

... 1

n

n

n n nn

a a a

a a a

a a a

(vì 0 01 1

1 1 0n n

ij i i ijj j

a a hay a a

nên cộng tất cả các cột vào cột đầu

ta được một cột bằng 0). Do đó hệ phương trình tuyến tính thuần nhất (5) có nghiệm không tầm thường.

Như vậy, đầu ra của mô hình (5) xác định nhưng không duy nhất. Muốn đầu ra duy nhất thì cần có thêm những điều kiện khác.

BÀI TẬP CHƯƠNG I 1.1. Tính

a)

3 4 2 2 4 7

5 5 0 7 4 3 8 6

6 3 3 1 5 2

b)

2 1 7 3 0 1

4 4 3 3 3 5 1 4

1 0 4 1 4 3

t t

1.2. Thực hiện phép toán sau đây đối với các ma trận

a) 4 2 3 5 6 1

. 23 4 2 4 2 5

t

b)

4 2 2 54 3

3 5 6 1 3 .2 6

1 7 4 0

1.3. Tính: a) 3

3 2

1 4

b)

22 1 2

3 1 0

3 2 4

1.4. Tính các định thức cấp ba sau đây

a)

2 3 4 2 1 2

4 2 5 ) 1 2 3

2 4 3 0 3 4

b

29

1.5. Tính định thức cấp bốn sau đây

a)

1 2 3 2

2 1 0 3

2 3 4 1

4 3 0 4

b)

1 3 4 2

3 0 2 0

5 5 0 4

2 3 1 2

1.6. Tính định thức sau bằng phép biến đổi sơ cấp

1 2 3 4

2 3 0 1

3 0 1 3

0 1 3 2

1.7. Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận sau đây bằng phương pháp định thức 1 2 0 1 3 2

) 2 3 1 ; ) 1 2 4

0 4 3 3 1 3

a A b B

1.8. Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận sau đây bằng phép biến đổi sơ cấp dòng 1 1 1

1 0 3

2 1 2

A

1.9. Sử dụng ma trận nghịch đảo tìm ma trận X sao cho 1 1 1 1 6

1 0 3 1 11

2 1 2 4 3

X

1.10. Tìm hạng của các ma trận sau đây: 1 2 3 1 1 1 4

2 3 4 2 2 3 5) ; )0 1 3 5 1 4

3 2 4 8 2 8

a bm

a

1.11. Tìm m để ma trận sau đây có hạng lớn nhất

1 4 3 3

2 7 4 1

3 3 2 1

1 4 6 m

1.12. Giải hệ phương trình sau

a) 1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

2 3 4 3

2 3 4 5 5

7 2

x x x x

x x x x

x x x x

b) 1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

4 3 4 1

2 7 6 3 2

2 3 4 5 3

x x x x

x x x x

x x x x

30

1.13. Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp Cramer

a) 1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 3 2 2

3 4 3 1

4 3 4 5

x x x

x x x

x x x

b) 1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 3 2

2 3 4 1

3 2 7

x x x

x x x

x x x

1.14. Giải hệ phương trình sau bằng ma trận nghịch đảo

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2

0

4

x x x

x x x

x x x

1.15. Tìm nghiệm tổng quát và hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất sau đây

a)

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

2 4 3 0

2 3 2 4 0

2 4 3 0

x x x x

x x x x

x x x x

b)

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

2 2 0

2 2 3 3 5 0

3 2 3 0

x x x x x

x x x x x

x x x x x

1.16. Giả sử thị trường có hai loại sản phẩm, cung, cầu, giá của chúng được cho như sau:

1 1 2

2 1 2

1 1 2

2 1 2

15 4 2

32 3 6

54 4

61 2 3

s

s

d

d

Q p p

Q p p

Q p p

Q p p

a) Hãy tìm điểm cân bằng thị trường.b) Xác định lượng cung và cầu cân bằng của mỗi loại hàng hóa.

1.17. Giả sử thị trường có ba loại sản phẩm, cung, cầu, giá của chúng được cho như sau:

1 1 2

2 2 3

3 1 3

1 1 2 3

2 1 2

3 2 3

30 10

13 12

20 9

143 9

80 10

79 2 8

s

s

s

d

d

d

Q p p

Q p p

Q p p

Q p p p

Q p p

Q p p

a) Hãy tìm điểm cân bằng thị trường. Xác định lượng cung và cầu cân bằng củamỗi loại hàng hóa.

b) Trong một đơn vị thời gian xuất 37 đơn vị sản phẩm 1, 15 đơn vị sản phẩm 3 vànhập vể 3 đơn vị sản phẩm 2. Tìm điểm cân bằng mới trên thị trường. 1.18. Cho tổng thu nhập quốc dân Y, mức tiêu dùng C và mức thuế T xác định bởi

42 0,3( )

120 0,4

o oY C I G

C Y T

T Y

,

trong đó 350oI là mức đầu tư cố định; 187oG là mức chi tiêu cố định.

Hãy xác định mức thu nhập quốc dân, mức tiêu dùng và mức thuế cân bằng. 1.19. Cho

0 0360 ; 35400 ; 416 18

150 0,2 ; 45 100 .

G M I r

C Y L Y r

31

a) Lập phương trình IS.b) Lập phương trình LM.c) Tìm mức thu nhập và lãi suất cân bằng của hai thị trường hàng hóa và tiền tệ.

1.20. Trong mô hình Input – Output biết ma trận hệ số đầu vào của ba ngành là 0,2 0,2 0

0,3 0,1 0,3

0,1 0 0,2

A

và nhu cầu cuối cùng của các ngành tương ứng là 40, 60 và 80. Hãy xác định đầu ra của mỗi ngành. 1.21. Giả sử một nền kinh tế có ba ngành: nông nghiệp, công nghiệp và dịch vụ. Biết rằng để sản xuất một đơn vị đầu ra

- ngành nông nghiệp cần sử dụng 10% giá trị của ngành, 30% giá trị của công nghiệp, 30% giá trị của dịch vụ;

- ngành công nghiệp cần sử dụng 20% giá trị của ngành, 60% giá trị của nông nghiệp, 10% giá trị của dịch vụ;

- ngành dịch vụ cần 10% giá trị của ngành, 60% giá trị của công nghiệp, không sử dụng giá trị của nông nghiệp.

a) Lập ma trận hệ số đầu vào cho nền kinh tế này.b) Xác định mức sản xuất đầu ra của mỗi ngành để thỏa mãn nhu cầu cuối cùng là

10, 8, 4.1.22. Trong một nền kinh tế có ba ngành, thông tin về quan hệ trao đổi như sau

1 2 3

1

2

3

/

30 50 20 60

40 20 90 20

50 40 40 50

I O N N N CCC

N

N

N

trong đó mỗi dòng đứng tên một ngành sản xuất (O = output); mỗi cột đứng tên một ngành với danh nghĩa người mua (I = input); iN là ngành kinh tế thứ i; CCC là cầu cuối

cùng. Hãy xác lập ma trận hệ số kĩ thuật của nền kinh tế đã cho. 1.23. Công ty điện máy Thiên Hoà có 3 cửa hàng bán các đồ gia dụng. Đến 31 / 12/ 2010 báo cáo hàng tồn kho như sau:

1

2

3

21 32

50 40 100 150 100 100

70 40 80 70 50 80

80 50 70 100 140 100

TH TV TV MG TL ML MA

CH

CH

CH

trong đó: TH là công ty Thiên Hoà; iCH là cửa hàng thứ i; I = 1, 2, 3; TV21 là tivi 21’

với giá bán là 2 triệu (VNĐ); TV32 là tivi 32’ giá bán 7 triệu; MG là máy giặt giá bán 4 triệu; TL là tủ lạnh giá bán 5 triệu; ML là máy lạnh giá bán 6 triệu; MA là máy ảnh kỹ thuật số giá bán 3 triệu. Báo cáo kết quả kinh doanh 2 tháng đầu năm 2011 như sau:

32

1

2

3

21 32

20 10 25 40 8 381 / 2011

10 12 30 32 12 32

15 20 18 38 14 40


CHT

CH

CH

1

2

3

21 32

15 20 10 30 12 282 / 2011

12 24 20 38 14 42

10 30 12 18 10 50


CHT

CH

CH

Bằng cách đưa thêm ma trận P gồm giá của từng mặt hàng và sử dụng phép toán ma trận hãy tính a) doanh thu của công ty Thiên Hoà trong tháng 1, tháng 2 và trong cả hai thángb) số lượng hàng tồn kho ở thời điểm cuối tháng 2 / 2011.

1

CHƯƠNG II. ĐẠO HÀM và VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN II.1. HÀM SỐ

1. KHÁI NIỆMCho tập hợp các số thực và D . Hàm số xác định trên D là một quy luật f đặt tương ứng mỗi điểm x D với một giá trị duy nhất ( ) .y f x

Nếu f là hàm số xác định trên D thì ta kí hiệu :

( )

f D

x y f x

hoặc ( ), .y f x x D Tập hợp D được gọi là tập xác định của hàm số f.

Ví dụ 1. Cho hàm số 2 1, [0 , 4).y x x x

Khi đó tập xác định của hàm số là [0,4).D

Ví dụ 2. Cho hàm số 3 2 , Õu -1 x 1

( )1 , Õu x>1

x nf x

x n

.

Tập xác định của hàm số là tập hợp nào? Lưu ý. Khi cho hàm số, người ta phải cho trước tập xác định. Trường hợp hàm số đuợc cho bởi công thức mà không nói gì thêm thì ta quy ước tập xác định là tập hợp tất cả các giá trị của biến số x để ( )f x .

Ví dụ 3. Cho hàm số ln( 2)y x . Khi đó tập xác định của hàm số là tập hợp các giá

trị x sao cho 2 0x hay x > 2. Vậy (0, ).D

Ví dụ 4. Tìm tập xác định của hàm số 24y x .

2. CÁC HÀM SỐ SƠ CẤPa) Hàm sơ cấp cơ bản

1. Hàm hằng y = c, với c là hằng số.Ví dụ 5. y = 3, y = -2 là hai hàm hằng.

2. Hàm số lũy thừa , .y x

Ví dụ 6. Hàm số 2 3,y x y x là các hàm số lũy thừa.

3. Hàm số mũ , 0, 1xy a a a .

Ví dụ 7. Hàm số 1

2 , ,3

xx xy y e y

là ba hàm số mũ.

4. Hàm số lôgarit log , 0 , 1.ay x a a

Ví dụ 8. Hàm số 1

2

ln , log , logy x y x y x là các hàm số lôgarit.

5. Hàm số lượng giác sin , cos , , coty x y x y tgx y gx .

6. Hàm số lượng giác ngược

a) arcsiny x , tập xác định [ 1 , 1]D , tập giá trị ,2 2

T

.

arcsin siny x x y .

b) arccosy x , tập xác định [ 1 , 1]D , tập giá trị 0,T .

2

arccos cosy x x y .

c) arcy tgx , tập xác định ( , )D , tập giá trị ,2 2

T

.

arcy tgx x tgy .

b) Hàm sơ cấp Hàm số f được gọi là hàm sơ cấp nếu nó được cho bởi một công thức, trong đó có hữu hạn các phép toán cộng, trừ, nhân, chia, lấy hàm hợp của các hàm sơ cấp cơ bản.

Ví dụ 9. a) Hàm số 3 2( 2sin ) xy x x e là hàm sơ cấp.

b) Hàm số cos , Õu x > 0

( )2x+3 , nÕu x 0

x x nf x

không là hàm sơ cấp.

c) Một số hàm trong phân tích kinh tế 1. Hàm sản suất : Q = Q(L), trong đó Q là lượng sản phẩm, L là lao động. 2. Hàm doanh thu : R = R(Q) 3. Hàm chi phí: C = C(Q) 4. Hàm lợi nhuận: ( )Q . Ta có ( ) ( ) ( ).Q R Q C Q

5. Hàm cung: ( )sQ f p , p là giá. Hàm cung là hàm tăng theo p.

6. Hàm cầu ( )dQ D p . Hàm cầu là hàm giảm theo p.

II.2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

1. KHÁI NIỆM

Dưới đây ta kí hiệu fD là tập xác định của hàm số ( ).f x

- Ta nói số b là giới hạn của hàm số ( )f x khi x a nếu với mọi dãy số

\ ,n f nx D a x a ta đều có ( )nf x b . Khi đó ta viết lim ( )x a

b f x

.

Trong định nghĩa trên, ,a b có thể là các số hữu hạn hoặc .

- Giới hạn của hàm số còn được định nghĩa bằng ngôn ngữ , .

lim ( ) 0, 0, : 0 ( )fx a

f x b x D x a f x b

.

Ví dụ 1. Tìm giới hạn sau đây bằng định nghĩa 1

5 1lim

2x

x

x

.

Ví dụ 2. Chứng minh hàm số sau đây không có giới hạn khi 0x

1( ) sinf x

x .

2. CÁC TÍNH CHẤT CỦA GIỚI HẠN HÀM SỐ

(1) Nếu hàm số ( )f x có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất.

(2) Nếu ( ) ( ) ( ) µ lim ( ) lim ( )x a x a

f x g x h x v f x h x b

thì lim ( ) .x a

g x b

(3) Nếu lim ( ) , lim ( )x a x a

f x b g x c

và ,b c hữu hạn thì

3

( )

lim ( ( ) ( )) ;

lim ( ( ) ( )) ;

lim ( ( ). ( )) . ;

( )lim 0 ;

( )

lim ( ( ) ) 0 .

x a

x a

x a

x a

g x c

x a

f x g x b c

f x g x b c

f x g x b c

f x bkhi c

g x c

f x b khi b

(4) Nếu lim ( )x a

f x b

thì lim ( )x a

f x b

.

(5) Nếu lim ( ) 0x a

f x

thì lim ( ) 0x a

f x

.

3. MỘT VÀI GIỚI HẠN ĐẶC BIỆT

0

1

0

1lim 0 ( 0)

sinlim 1

lnlim 0 ( 0, )

lim 0 ( )

1 1 1lim 1 , lim 1

lim 1

x

x

p

x

p

xx

x x

x x

xx

x

x

x

xp

x

xp

e

ex x e

x e

4. CÁC DẠNG VÔ ĐỊNH và PHƯƠNG PHÁP KHỬ

Ta có 7 dạng vô định: 0 00

; ; ; 0. ; 0 ; 1 ;0

.

Các phương pháp khử dạng vô định: - Nhân, chia cho biểu thức liên hợp. - Chia tử, mẫu cho cùng một biểu thức khác không. - Biến đổi làm xuất hiện các giới hạn đặc biệt. - Áp dụng các tính chất của giới hạn của hàm số. - Sử dụng các vô cùng bé tương đương. - Sử dụng quy tắc L’ Hospital.

4

Ví dụ 3. Tính các giới hạn sau đây

a) 4

1 2 3lim

2x

x

x

b)

3

2cos cos

sin0lim x x

xx

c) 3 4

23

limx

xxx

d) cos

limx

x

x

e) lim sin 1 sin 1x

x x

f) 2 2lim 8 3 4 10x

x x x x

5. GIỚI HẠN MỘT PHÍA

Trong định nghĩa giới hạn của hàm số ( )f x khi x a , nếu bổ sung thêm điều kiện

x a , ta có giới hạn bên phải của ( )f x , kí hiệu là lim ( )x a

f x

. Tương tự ta có khái niệm

giới hạn bên trái của hàm số đó, kí hiệu là lim ( )x a

f x

.

Rõ ràng, điều kiện cần và đủ để lim ( )x a

f x b

là lim ( ) lim ( )x a x a

f x f x b

.

Ví dụ 4. Cho hàm số

2

2

( 3)ln(4 1), 0

( ) 1

2 , 0

x

x xkhi x

f x e

x x khi x

.

Tìm các giới hạn một phía 0 0

lim ( ), lim ( )x x

f x f x

Ví dụ 5. Tính các giới hạn một phía 1 1

lim ( ), lim ( )x x

f x f x

biết

1 1( )

1

x xf x

x

.

Ví dụ 6. Tính 0 0

sin sinlim ; limx x

x x

x x , suy ra sự tồn tại của

0

sinlimx

x

x.

Ví dụ 7. Tìm giới hạn một phía

0 0

2 2lim , lim

sin sinx x

x x x x

x x

.

6. VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNGa) Khái niệm

- Hàm số ( )f x được gọi là đại lượng vô cùng bé khi 0x x nếu 0

lim ( ) 0x x

f x

.

- Hàm số ( )f x được gọi là đại lượng vô cùng lớn khi 0x x nếu 0

lim ( ) .x x

f x

(Trong các khái niệm trên 0x có thể là số hữu hạn hoặc vô cùng).

5

- Nếu ( ), ( )f x g x đều là vô cùng bé khi 0x x và 0

( )lim 1

( )x x

f x

g x thì ta nói

( ), ( )f x g x là các vô cùng bé tương đương khi 0x x và viết ( ) ( ).f x g x

- Nếu ( ), ( )f x g x đều là vô cùng bé khi 0x x và 0

( )lim 0

( )x x

f x

g x thì ta nói ( )f x là

vô cùng bé bậc cao hơn ( )g x .

Ví dụ 8. Khi 2

x

thì ( ) cos , ( )2

f x x g x x

là các vô cùng bé.

Ví dụ 9. Khi x thì ( ) , ( ) lnxf x e g x x là các vô cùng lớn.

Ví dụ 10. Khi 0x thì ( ) 1 cos , ( ) sinf x x g x x là các vô cùng bé. Mặt khác, ta có

2

0 0 0 0

2sin sin( ) 1 cos 2 2lim lim lim lim 0( ) sin

2sin cos cos2 2 2

x x x x

x xf x x

g x x x x x

nên ( )f x là vô cùng bé bậc cao hơn ( )g x .

b) Các vô cùng bé tương đương

Khi 0x ta có các vô cùng bé tương đương sau đây:

2

sin ; ; ; arcsin ;

1 cos ; ln(1 ) ; 1 ; (1 ) 12

x

x x tgx x arctgx x x x

xx x x e x x x

c) Quy tắc thay vô cùng bé tương đương

Nếu 1 2 1 2, khi 0x x thì 0 0

1 2

1 2lim limx x x x

.

d) Quy tắc ngắt bỏ vô cùng bé bậc cao

Nếu ( ), ( )f x g x đều là tổng của các vô cùng bé khác bậc khi 0x x thì 0

( )lim

( )x x

f x

g x

bằng giới hạn của tỉ số hai vô cùng bé bậc thấp nhất trong ( ), ( )f x g x .

Ví dụ 11. Sử dụng các vô cùng bé tương đương để tìm giới hạn sau

a) 2

ln( )

ln(1 )0lim

cosx

xx ; b) 3 4

(1 )(1 cos )

sin0lim

xe x

x xx

c) 2

(2 ) 2sin( 2)

42lim

arctg x x

xx

; d)

12arcsin ( 1)2 .ln(1 3 )

0lim

xx x etg x x

x

7. QUY TẮC L’HOSPITAL Định lý. Giả sử

(i) Các hàm số ( ), ( )f x g x xác định trên khoảng 0( , ]x b ;

(ii) 0 0 0 0

lim ( ) lim ( ) 0 ( lim ( ) lim ( ) )x x x x x x x x

f x g x hay f x g x

;

6

(iii) Trên 0( , ]x b tồn tại các đạo hàm hữu hạn '( ), '( )f x g x và '( ) 0;g x

(iv) Tồn tại giới hạn 0

'( )lim

'( )x x

f xk

g x .

Khi đó 0

( )lim

( )x x

f xk

g x .

Chú ý:

- Trong định lý trên 0x có thể là số hữu hạn hoặc . Ngoài ra, định lí vẫn đúng cho

trường hợp hai hàm số ( ), ( )f x g x xác định trên khoảng 0[ , )a x và 0x là số hữu hạn hoặc

.

- Quy tắc L’ Hospital chỉ áp dụng được cho hai dạng vô định 0

,0

. Các dạng vô định khác

phải biến đổi, đưa về hai dạng này, sau đó mới áp dụng quy tắc. Ví dụ 12. Sử dụng quy tắc L’ Hospital để tìm giới hạn sau

a) 0

lnlim

lnsinx

x

x b) 20

1 1limx xarctgx x

c) ln

0lim (1 ) x

xx

d)

cos

2

lim ( ) x

x

tgx

e) 0

ln coslim

ln cos3x

x

x f)

2

ln( )2lim

x

x

tgx

II.3. HÀM SỐ LIÊN TỤC

1. KHÁI NIỆM

- Hàm số ( )f x được gọi là liên tục tại 0x nếu 0 fx D và 0

0lim ( ) ( ).x x

f x f x

- Hàm số ( )f x được gọi là liên tục trên E nếu ( )f x liên tục tại mọi .x E

2. CÁC TÍNH CHẤT

(1) Nếu các hàm số ( ), ( )f x g x liên tục tại 0x thì các hàm số

0( )

( ) ( ) , ( ) ( ) , ( ). ( ) , ( íi ( ) 0)( )

f xf x g x f x g x f x g x v g x

g x

cũng liên tục tại 0x .

(2) Nếu :f X Y liên tục tại 0 , :x X g Y liên tục tại 0 0( )y f x Y thì hàm

hợp :g f X liên tục tại 0x .

(3) Hàm sơ cấp liên tục tại mọi điểm thuộc tập xác định.

7

Ví dụ 1. Xét sự liên tục của hàm số sau tại x = 2 2 4

, 2( ) 2

, 2

xkhi xf x x

m khi x

Ví dụ 2. Xét sự liên tục của hàm số sau trên tập xác định ln(2 1)

, 0( ) 1

, 0

x

x xkhi x

f x e

x a khi x

Ví dụ 3. Xét sự liên tục của hàm số sau trên tập xác định 3( 1) , Õu x 0

( ) ax+b , nÕu 0<x<1

, Õu x 1

x n

f x

x n

II.4. ĐẠO HÀM

1. KHÁI NIỆMCho hàm số ( )y f x xác định trên khoảng (a, b) và 0 ( , )x a b . Cho 0x số gia x khá bé

sao cho 0 ( , )x x a b , khi đó hàm số có số gia tương ứng là

0 0 0( ) ( ) ( )f x f x x f x .

Giới hạn của tỉ số 0( )f x

x

khi 0x được gọi là đạo hàm của hàm số f(x) tại 0x và kí

hiệu là 0'( )f x .

Vậy, ta có công thức

00

0

( )'( ) lim

x

f xf x

x

.

Nếu đặt 0 0x x x hay x x x thì 00x x x . Khi đó công thức tính đạo hàm

còn được viết ở dạng

0

00

0

( ) ( )'( ) lim

x x

f x f xf x

x x

Hàm số có đạo hàm còn được gọi là hàm khả vi. Ngoài ra, nếu ( )f x có đạo hàm tại 0x thì

( )f x liên tục tại 0x .

Ví dụ 1. Tính đạo hàm của hàm số ( ) lnf x x tại điểm 0 1x .

Ta có

1 1 1 1

( ) (1) ln ln1 ln(1 1) 1'(1) lim lim lim lim 1

1 1 1 1x x x x

f x f x x xf

x x x x

Ví dụ 2. Tính đạo hàm của hàm số sau tại điểm 0 3x

( ) ( 1)( 2)( 3)( 4)( 5)f x x x x x x x

8

2. BẢNG ĐẠO HÀM CƠ BẢN

1' xx aaa xx ln' xx ee

'

ax

xaln

1log

'

xx

1ln

' xx cossin

'

xx sincos'

x

xtg2

'

cos

1

xxtgco

2

'

sin

1

2

'

1

1arcsin

xx

2

'

1

1

xarctgx

3. CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM

'''vuvu '''

vuvu ''ucuc

'''vuvuuv 2

'''

v

vuvu

v

u

4. ĐẠO HÀM CỦA HÀM HỢP

Nếu uyy , xuu thì xuyy là hàm hợp của x. Khi đó '''xux uyy

5. BẢNG ĐẠO HÀM CỦA HÀM HỢP

'1'uuu ''

ln uaaa uu ''uee uu

au

uua

lnlog

''

u

uu

''

ln uuu cossin ''

uuu sincos ''

u

uutg

2

''

cos

u

uutgco

2

''

sin

2

''

1arcsin

u

uu

'

2

'

1

uarctgu

u

''

2

uu

u

Ví dụ 3. Tính đạo hàm của các hàm số sau đây

a) 2( 3 1) xy x x e ; b) ln(sin 2cos )y x x

c) 32cos x xy e ; d) sin(3 ln 2 )xy x

e) 4( 3 )y tg x x ; f) 2( 1)xy arctg e

Ví dụ 4. Tính đạo hàm của các hàm số sau đây

a) (sin )xy x b) sin(cos ) xy x c) 1

(1 )xy x

9

6. ĐẠO HÀM CẤP CAO

a) Đạo hàm cấp hai '''' yy

b) Đạo hàm cấp n bất kì: '

( ) ( 1)n ny y

Ví dụ 5. Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau đây

a) 2cosy x b) 2lny x a x

c) 2( 3) xy x x e ;

d) ln(cos 2sin )y x x e) arctan( )xy e f) 3 3xy xe x

Ví dụ 6. Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau đây

a) axy e b) siny x c) cosy x

II.5. VI PHÂN 1. KHÁI NIỆM

a) Vi phân cấp một. Nếu xfy là hàm số của x thì vi phân của y được tính bởi

công thức

dxxfdyhaydxydy ''

b) Vi phân cấp hai. Vi phân của vi phân cấp một được gọi là vi phân cấp hai, kí hiệu và

được tính bởi công thức 2 2( ) "d y d dy y dx .

Ví dụ 1. Tính vi phân của các hàm số sau đây

a) 2ln( 1)y x x b) 3xy e x c) sin(ln 2 )xy x

Ví dụ 2. Tính vi phân cấp hai của các hàm số sau đây

a) ln(sin cos )y x x b) cos xy e c) tan( )xy arc e

2. ỨNG DỤNG CỦA VI PHÂN Ta có vi phân của hàm số ( )y f x tại điểm 0x được tính bởi công thức

0 0( ) '( )dy x y x dx hay 0 0( ) '( )df x f x dx .

Mặt khác ta có công thức gần đúng: 0 0 0( ) ( ) '( )f x x f x f x x , trong đó x dx . Từ

đó suy ra 0 0 0 0 0( ) ( ) '( ) ( ) '( )f x x f x f x x f x f x dx

hay 0 0 0( ) ( ) ( )f x x f x df x .

Vậy, nhờ vi phân ta có thể tính gần đúng giá trị của hàm số ( )y f x tại điểm 0x x .

Ví dụ 3. Áp dụng vi phân tính gần đúng

a) arct an 1,01 b) 0s in 29 c) 5 243,45

3. CÔNG THỨC TAYLOR Trong công thức gần đúng 0 0 0( ) ( ) '( )f x x f x f x x , nếu ta đặt 0x x x , hay

0x x x thì ta có 0 0 0( ) ( ) '( )( )f x f x f x x x . Nếu thay dấu gần đúng bởi dấu bằng,

ta có sai số kí hiệu là 0( )O x x . Khi đó 0 0 0 0( ) ( ) '( )( ) ( )f x f x f x x x O x x .

Công thức này được Taylor mở rộng cho hàm số ( )f x có đạo hàm đến cấp n như sau:

10

2 ( )0 0 0 0 0 0 0 0

1 1( ) ( ) '( )( ) ''( )( ) ... ( )( ) ( )

2! !n n nf x f x f x x x f x x x f x x x O x x

n

Công thức này còn được gọi là khai triển Taylor của hàm số ( )f x tại lân cận điểm 0x .

Đặc biệt, tại lân cận của điểm 0 0x , ta có khai triển Maclaurin của hàm số ( )f x như sau

2 ( )1 1( ) (0) '(0) ''(0) ... (0) ( )

2! !n n nf x f f x f x f x O x

n

Ví dụ 4. Viết khai triển của hàm số siny x tại lân cận điểm 0 0x .

Ta có đạo hàm ( ) ( )(sin ) sin , 1,2,...2

n ny x x n n

nên

( )(0) sin , 1,2,...2

ny n n

- Với n chẵn (n = 2k) thì ( ) (2 )(0) (0) sin 2 sin 02

n ky y k k

.

- Với n lẻ ( n = 2k – 1) thì ( ) (2 1) 1(0) (0) sin (2 1) ( 1)2

n k ky y k

.

Vậy 1

3 5 7 2 1 21 1 1 ( 1)sin ... ( )

3! 5! 7! (2 1)!

kk kx x x x x x O x

k

.

Ví dụ 5. Viết khai triển của hàm số xy e tại lân cận của điểm 0 0x .

Tương tự ta có khai triển Maclaurin của một số hàm sau đây 2 4 6 2 2 11 1 1 1

cos 1 ... ( 1) ( )2! 4! 6! (2 )!

k k kx x x x x O xk

2 3 4 11 1 1 1ln(1 ) ... ( 1) ( )

2 3 4n n nx x x x x x O xn

II.6. ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM TRONG PHÂN TÍCH KINH TẾ

1. Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM

Giả sử hai biến x và y có mối quan hệ hàm số y = f(x) (chẳng hạn, x là giá của một loại hàng hóa, còn y là số lượng hàng đó bán ra). Trong thực tế người ta quan tâm đến xu hướng biến thiên của y tại 0x khi x thay đổi một lượng nhỏ là x . Khi đó

lượng thay đổi của y là 0 0( ) ( )y f x x f x . Ta có tốc độ thay đổi của y theo x

tại 0x chính là đạo hàm 0'( )f x . Đây cũng là ý nghĩa của đạo hàm trong toán kinh tế.

Ví dụ 1. Hàm cầu của một loại hàng hóa là 250P Q (P là giá của hàng hóa, Q

là lượng cầu của loại hàng hóa đó). Tìm tốc độ thay đổi giá khi lượng cầu thay đổi. Giá sẽ thay đổi thế nào khi Q = 1? Giải. Tốc độ thay đổi của giá P theo lượng cầu Q chính là đạo hàm của hàm số đã cho, ta có P’ = 2Q. Khi Q = 1 thì P = - 2. Điều này có nghĩa: khi lượng cầu tăng thêm 1 đơn vị sản phẩm thì giá sẽ giảm trên một đơn vị sản phẩm là 2 (đồng tiền). Ví dụ 2. Hàm cầu của một loại sản phẩm là 45 2P Q (P là giá của hàng hóa,

Q là lượng cầu của loại hàng hóa đó). Tìm tốc độ thay đổi giá khi lượng cầu thay đổi. Giá sẽ thay đổi thế nào khi Q = 4?

11

2. GIÁ TRỊ CẬN BIÊN

Trong kinh tế, đại lượng đo tốc độ thay đổi của y theo x được gọi là giá trị cận biên của y đối với x, kí hiệu là My(x). khi đó ta có

( ) '( )dy

My x y xdx

.

Ta thường chọn xấp xỉ ( )My x y , tức là My(x) gần bằng lượng thay đổi y của y

khi x tăng lên một đơn vị ( 1x ). a) Giá trị cận biên của chi phí Cho hàm chi phí ( )C C Q . Khi đó ta gọi ( ) '( )MC Q C Q là giá trị cận biên của chi

phí. Giá trị này có thể coi là lượng thay đổi của chi phí khi Q tăng lên một đơn vị. Ví dụ 3. Giả sử chi phí trung bình để sản xuất một đơn vị sản phẩm là

2 5000,0001 0,02 5C Q Q

Q .

Tìm giá trị cận biên của chi phí đối với Q. Áp dụng khi Q = 50. Giải. Hàm tổng chi phí để sản xuất ra Q đơn vị sản phẩm là

3 20,0001 0,02 5 500C CQ Q Q Q .

Do đó giá trị cận biên của chi phí là 2( ) '( ) 0,0003 0,04 5MC Q C Q Q Q .

Khi Q = 50 thì 2(50) '(50) 0,0003.50 0,04.50 5 3,75MC C .

Như vậy, nếu Q tăng lên 1 đơn vị, từ 50 lên 51 sản phẩm, thì chi phí tăng lên khoảng 3,75 đơn vị (tiền). Ví dụ 4. Cho chi phí trung bình để sản xuất một đơn vị sản phẩm là

3 2 1000,002 0,4 0,05C Q Q Q

Q .

Tìm giá trị cận biên của chi phí đối với Q. Áp dụng khi Q = 25. b) Giá trị cận biên của doanh thu Cho hàm doanh thu ( )R R Q . Khi đó ta gọi ( ) '( )MR Q R Q là giá trị cận biên của

doanh thu. Ví dụ 5. Số vé bán được Q và giá vé P của một hãng xe buýt được cho bởi công thức

10000 125Q P . Tìm doanh thu cận biên khi P = 30 và khi P = 42.

Giải. Ta có 10000

125

QP

nên doanh thu là

(10000 )

125

Q QR PQ

.

Do đó 10000 2

( ) '( )125

QMR Q R Q

.

- Nếu P = 30 thì Q = 10000 – 125.30 = 6250, suy ra MR(6250) = - 20. - Nếu P = 42 thì Q = 10000 – 125.42 = 4750, suy ra MR(4750) = 4. Ví dụ 6. Giả sử lượng hàng bán được Q và giá tiền P của một cửa hàng được cho bởi công thức 2004 30Q P . Tìm doanh thu cận biên khi P = 20 và khi P = 40.

12

c) Xu hướng tiêu dùng và tiết kiệm cận biên Cho hàm tiêu dùng ( )C C I , trong đó I là tổng thu nhập quốc dân.

Khi đó ta gọi MC(I) = C’(I) là xu hướng tiêu dùng cận biên (đó cũng chính là tốc độ thay đổi của tiêu dùng theo thu nhập). Còn hiệu S I C được gọi là hàm tiết kiệm. Ta cũng có xu hướng tiêu dùng cận biên là MS(I) = S’(I) = 1 – C’(I). Ví dụ 7. Cho hàm tiêu dùng

35 2 3

10

I

CI

.

Hãy xác định xu hướng tiêu dùng cận biên và xu hướng tiết kiệm cận biên khi thu nhập I = 100. Giải. Xu hướng tiêu dùng cận biên MC(I) = C’(I), suy ra MC(100) = C’(100). Từ đó suy ra xu hướng tiết kiệm cận biên MS(100) = S’(100)=1 - C’(100).

Ví dụ 8. Cho hàm tiêu dùng 310 0,7 0,2I I I

CI

. Tìm xu hướng tiết kiệm cận

biên khi thu nhập là 25.

3. HỆ SỐ CO DÃN a) Độ thay đổi tuyệt đối và tương đối Khi đại lượng x tăng thêm một lượng x thì ta gọi x là độ thay đổi tuyệt đối của

x. Tỉ số .(100%)x

x

gọi là độ thay đổi tương đối của x.

Ví dụ 9. Một căn hộ có giá 200 triệu đồng, nếu tăng thêm 1 triệu đồng thì độ thay

đổi tuyệt đối là 1 triệu đồng, còn độ thay đổi tương đối là 1

.100% 0,5%.200

Ví dụ 10. Một kg gạo giá 10 ngàn đồng. Nếu tăng thêm 1 ngàn đồng thì độ thay đổi tuyệt đối và tương đối là bao nhiêu? b) Hệ số co dãn Hệ số co dãn của y theo x là tỉ số giữa độ thay đổi tương đối của y và của x, kí hiệu

là yx . Ta có .yx

yy xy

x x y

x

.

Nếu x khá bé, nghĩa là 0x thì 0

lim . '( ).yxx

y x xy x

x y y

.

Ví dụ 11. Cho hàm cầu 230 4Q P P . Tìm hệ số co dãn tại điểm P = 3.

Giải. Ta có 2 2

2 ( 2)( 4 2 ).

30 4 30 4QP

P P PP

P P P P

.

Tại P = 3 ta có 10

3,33QP . Điều này có nghĩa: ở mức giá P = 3 (đồng) mà

bây giờ nếu P tăng lên 1% thì lượng cầu sẽ giảm 3,3%.

Ví dụ 12. Cho hàm cầu 245 6 3Q P P . Tìm hệ số co dãn tại điểm P = 2.

13

4. LỰA CHỌN TỐI ƯU TRONG KINH TẾ Nhiều bài toán kinh tế được đưa về bài toán tìm cực trị của hàm số y =f(x) nào đó. Gọi P là đơn giá, Q = Q(P) là hàm sản lượng, R = P.Q là hàm doanh thu, C = C(Q) là hàm chi phí, R C là hàm lợi nhuận. Trong kinh tế ta thường giải các bài toán sau: - Tìm P để sản lượng Q đạt tối đa (cực đại). - Tìm P hoặc tìm Q để doanh thu R đạt tối đa. - Tìm Q để chi phí C đạt tối thiểu (cực tiểu).

Ví dụ 13. Cho hàm cầu Q = 300 – P, hàm chi phí 3 219 333 10C Q Q Q .

Tìm Q để lợi nhuận lớn nhất. Giải. Ta có Q = 30 – P, suy ra P = 300 – Q. Do đó doanh thu R = PQ = (300-Q)Q, lợi nhuận là

3 2

3 2

(300 ) ( 19 333 10)

18 33 10

R C Q Q Q Q Q

Q Q Q

2'( ) 3 36 33 ; '( ) 0 1 c 11Q Q Q Q Q hoa Q

Mặt khác "( ) 6 36 ; "(1) 30 0 ; "(11) 30 0Q Q .

Vậy, đạt cực đại khi Q = 11 , max (11) 474.

Ví dụ 14. Cho hàm cầu Q = 100 – P, hàm chi phí 3 225 184 15C Q Q Q .

Tìm Q để lợi nhuận lớn nhất.

BÀI TẬP CHƯƠNG II 2.1. Tìm các giới hạn sau đây

a) 2

20lim

4cos 4x

x

x x b)

2 3

0

1lim

2 1 cos

x

x

x e

x x

c) 2

2 2

sinlimx

x

x d) lim 2 ln

xarctgx x

e) 1

1 1lim

1 lnx x x

f)

3

limxx

x

e

2.2. Tính các giới hạn một phía của hàm số sau đây tại điểm đã chỉ ra

a) 2

( ) , 22

xf x x

x

b)

2 5 1( ) , 1

1 2 1

x x khi xf x x

x khi x

c) 2 4

( ) , 02

xf x x

x

d)

2

2 3 1

( ) 3 1 2 , 1 , 2

4 2

x khi x

f x x x khi x x x

x khi x

14

2.3. Xét sự liên tục của hàm số sau trên tập xác định

a) ln(2 1)

, 0( ) 1

, 0

x

x xkhi x

f x e

x a khi x

b)

3( 1) , Õu x 0

( ) ax+b , nÕu 0<x<1

, Õu x 1

x n

f x

x n

c) , 0

( )

1 , 0

xkhi x

xf x

khi x

d) 2 1 , 1

( )3 2 , 1

x x khi xf x

x khi x

2.4. Tìm a để hàm số sau đây liên tục trên tập xác định 3

2

64, 4

( ) 16

, 4

xkhi x

f x x

a khi x

2.5. Tính đạo hàm của các hàm số sau đây

a) 2cosy x ; b) 2lny x a x

c) 2( 3) xy x x e ; d) ln(cos 2sin )y x x

e) ( )xy arctg e f) 3 3xy xe x

2.6. Tính đạo hàm và vi phân cấp một, cấp hai của các hàm số sau đây

a) 21y x b) 2ln(1 )y x c) 2 (cos sin )xy e x x

d) 2ln( 1)y x x e) 2siny x f) ln(cos2 )y x x

2.7. Tính đạo hàm cấp n của hàm số

a) 1

yx

b) ln( )y ax b c) sin( )y ax b

2.8. Hàm tiêu dùng của một quốc gia cho bởi 310 0,7 0,2I I I

CI

.

Tìm xu hướng tiết kiệm cận biên khi thu nhập là 25. 2.9. Tìm giá trị cận biên của các hàm số sau

a) 20,1 3 2C Q Q tại Q = 3.

b) 3 20,04 0,5 4,4 7500C Q Q Q tại Q = 5.

c) 2 3250 45R Q Q Q tại Q = 5.

2.10. Cho hàm cầu 360ln(65 )Q P

P .

a) Xác định hệ số co dãn khi P = 4. b) Nếu giá giảm 2% (từ 4 giảm còn 3,92) thì lượng bán ra thay đổi bao nhiêu phần trăm?

2.11. Doanh thu của một loại sản phẩm cho bởi công thức 2 3240 57R Q Q Q .

Tìm Q để doanh thu đạt tối đa.

15

2.12. Cho hàm cầu của một loại sản phẩm là P = -5Q + 30. Tìm mức giá để doanh thu đạt tối đa. 2.13. Một loại sản phẩm có hàm cầu là P = 42 – 4Q và hàm chi phí trung bình là

80

2CQ

. Tìm mức giá để có lợi nhuận tối đa.

2.14. Trung bình chi phí 1 đơn vị sản phẩm được cho bởi công thức 2 200

2 36 210C Q QQ

.

a) Tìm mức sản xuất [2;10]Q để có chi phí tối thiểu.

b) Tìm mức sản xuất [5;10]Q để có chi phí tối thiểu.

2.15. Hàm cầu của một loại sản phẩm độc quyền là P = 600 – 2Q và tổng chi phí là 20,2 28 200C Q Q .

a)Tìm mức sản xuất Q để lợi nhuận đạt tối đa. Tìm mức giá P và lợi nhuận lúc đó. b) Chính quyền đặt thuế là 22 đơn vị tiền cho một đơn vị sản phẩm. Tìm mức sản

xuất để lợi nhuận đạt tối đa. Tìm mức giá và lợi nhuận trong trường hợp này.

CHƯƠNG III. HÀM NHIỀU BIẾN III.1. KHÁI NIỆM

1. HÀM HAI BIẾN

Cho không gian 2 ( , ) : ,R x y x y R và tập hợp 2.D R

Ánh xạ

:

( , ) ( , )

f D R

x y z f x y

được gọi là hàm hai biến xác định trên tập hợp D. Như vậy, mỗi cặp số thực ( , )x y D sẽ tương ứng với một số thực ( , )z f x y .

Ta gọi các biến số ,x y là các biến số độc lập, còn biến số z là biến số phụ thuộc vào ,x y ;

( , )f x y là giá trị của hàm hai biến ứng với cặp số thực ( , ) .x y D

Ví dụ 1. Cho 2D R , 3 2( , )f x y x y xy .

Thế thì tập xác định của hàm số là cả không gian 2R ,

ứng với cặp số ( , ) (2, 1)x y D , ta có 3 2(2, 1) 2 ( 1) 2.( 1) 5.z f

Ứng với cặp số ( , ) (3,2)x y D , ta có 3 2(3,2) 3 2 3.2 29.z f

Thông thường khi cho hàm số, người ta phải cho trước tập xác định D và cho ánh xạ f để có thể tính được giá trị tương ứng của hàm số. Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp, người ta chỉ cho ánh xạ f mà không cho tập xác định. Khi

đó, ta quy ước tập xác định D của hàm số là tập hợp các cặp số 2( , )x y R sao cho giá trị

của biểu thức ( , )f x y là số thực.

Ví dụ 2. Cho hàm số bởi biểu thức 2( , )f x y y x .

16

Rõ ràng, muốn ( , )f x y là một số thực, ta phải có 2 0.y x

Như vậy, tập xác định của hàm số đó là tập hợp

2 2 2 2( , ) : 0 ( , ) :D x y R y x x y R y x .

Chẳng hạn, ( , ) (1,2) ,( , ) (2,1)x y D x y D .

Ví dụ 3. Tìm tập xác định của hàm số ( , ) ln(2 1).f x y x y

Giải. Ta có tập xác định của hàm số đã cho là

2 2( , ) : 2 1 0 ( , ) : 2 1D x y R x y x y R y x .

Chẳng hạn, ( , ) (2,4) ,( , ) (2,5) .x y D x y D

Ví dụ 4. Tìm tập xác định của hàm số

a) 2

1

ln( 1)z

y x

b) 2 2 2 24 1z x y x y

c) sin 4z x y d) arcsiny

zx

2. HÀM BA BIẾN Tương tự, ta có khái niệm hàm ba biến.

Cho không gian 3 ( , , ) : , ,R x y z x y z R và tập hợp 3.D R

Ánh xạ

:

( , , ) ( , , )

f D R

x y z u f x y z

được gọi là hàm ba biến xác định trên tập hợp D.

Ví dụ 5. Cho 3 2, ( , , ) 2 .D R f x y z x y yz

Ứng với ( , , ) (1,2,3),x y z ta có 2(1,2,3) 2.1 2 2.3 4.u f

III.2. ĐẠO HÀM RIÊNG và VI PHÂN 1. ĐẠO HÀM RIÊNG

Cho hàm hai biến ( , )z f x y xác định trên tập hợp D.

Nếu xem biến số y như hằng số, ta có hàm một biến theo x. Lấy đạo hàm của hàm số thu

được theo x, ta gọi đó là đạo hàm riêng theo x của hàm hai biến đã cho, kí hiệu là 'xz hoặc

z

x

.

Như vậy 0

0 0 0 0 0

0

( , ) ( , ) ( , )limx x

f x y f x y f x yz

x x x x

.

Ví dụ 1. Cho hàm số 3 2 .z x y xy

Xem y là hằng số, ta có hàm một biến 3 2z x c cx . Lấy đạo hàm của hàm số này theo

x, ta được 2' 3z x c .

Thay c y , ta có đạo hàm riêng theo x của hàm số đã cho là ' 23 .xz x y

17

Tương tự, nếu xem x là hằng số, ta có hàm một biến theo y và ta cũng tính được đạo hàm

riêng theo y của hàm hai biến, kí hiệu là 'yz hoặc

z

y

. Ta cũng có công thức

0

0 0 0 0 0

0

( , ) ( , ) ( , )limy y

f x y f x y f x yz

y y y y

Ở ví dụ 1, ta tính tiếp đạo hàm riêng theo y và được ' 2 .yz y x

Vậy, thực chất đạo hàm riêng theo từng biến số là đạo hàm của hàm một biến khi xem biến số còn lại như hằng số. Ví dụ 2. Tính đạo hàm riêng của hàm số cos sin .z x y y x

Ta có ' 'cos cos ; sin sinx yz y y x z x y x .

Ví dụ 3. Tính đạo hàm riêng của hàm số

a) x

zy

b) 2 3ln( )z x y

c) xyz e d) 2sin( )z xy y

2. VI PHÂN

Cho hàm hai biến ( , )z f x y xác định trên tập hợp D và có các đạo hàm riêng ' ',x yz z . Khi

đó, biểu thức ' 'x ydz z dx z dy được gọi là vi phân (toàn phần) của hàm hai biến đã cho.

Ví dụ 4. Hàm số 3 2z x y xy có vi phân là 2(3 ) ( 2 ) .dz x y dx x y dy

Ví dụ 5. Tính đạo hàm riêng và vi phân của hàm số yz x .

Giải. Ta có hai đạo hàm riêng: ' 1 ', lny yx yz yx z x x .

Vi phân: 1 ln .y ydz yx dx x xdy

Ví dụ 6. Tính đạo hàm riêng và vi phân của hàm số

a) 3 2 4z x y xy b) 2ln( )z xy y x

c) cos( 1)z xy d) ( )z arctg xy

Chú ý: Vi phân được sử dụng để tính gần đúng giá trị của hàm nhiều biến. Ta có công thức gần đúng sau đây:

0 0 0 0 0 0( , ) ( , ) ( , )f x x y y f x y df x y

trong đó ' '0 0 0 0 0 0( , ) ( , ) ( , )x ydf x y f x y x f x y y là vi phân của hàm số ( , )f x y tại điểm

0 0( , )x y .

Ví dụ 7. Tính gần đúng 0,981,05 .

Đặt 0 0( , ) , ( , ) (1,1) , 0,05 , 0,02yf x y x x y x y .

Ta cần tính 0 0( , )f x x y y .

Ta có 1 ' '0 0 0 0 0 0 0 0( , ) 1 1 , ( , ) 1 , ( , ) 0 ( , ) 0,05x yf x y f x y f x y df x y .

18

Vậy 0,981,05 1 0,05 1,05.

Ví dụ 8. a) Tính gần đúng 2,041,03 .

b) Tính gần đúng giá trị của hàm số 2 1

3 2( , ) 6f x y x y tại 0 0( , ) (998 ; 101,5)x y .

3. ĐẠO HÀM RIÊNG CẤP HAI

Cho hàm hai biến ( , )z f x y có các đạo hàm riêng ' ',x yz z . Ta gọi đây là các đạo hàm riêng

cấp một. Rõ ràng chúng đều là hàm hai biến nên lại có đạo hàm riêng của mình. Đạo hàm riêng của đạo hàm riêng cấp một được gọi là đạo hàm riêng cấp hai của hàm số ban đầu. Ta có 4 đạo hàm riêng cấp hai sau đây:

2

' '' " ' ",x x xyxx yz z z z ; 2

' '' " ' ",y yx y yx yz z z z

với các tên gọi lần lượt là : đạo hàm riêng cấp hai theo x hai lần; đạo hàm riêng cấp hai theo x rồi theo y; đạo hàm riêng cấp hai theo y rồi theo x; đạo hàm riêng cấp hai theo y hai lần.

Các đạo hàm riêng cấp hai còn được kí hiệu lần lượt là 2 2 2 2

2 2, , ,z z z z

y x x yx y

.

Ví dụ 9. Hàm số 3 2z x y xy có các đạo hàm riêng cấp một là ' 23 ,xz x y

' 2 .yz y x Ta tính tiếp 4 đạo hàm riêng cấp hai:

2 2" " " "6 , 1; 1, 2.xy yxx yz x z z z

Ta nhận thấy các đạo hàm riêng cấp hai hỗn hợp bằng nhau nên ta có

" "xy yxz z

Do đó, ở các ví dụ sau ta chỉ cần tính 3 đạo hàm riêng cấp hai:

2 2" " ", , .xyx yz z z

Ví dụ 10. Tính các đạo hàm riêng cấp hai của hàm số yz x .

Giải. Ta có hai đạo hàm riêng cấp một: ' 1 ', lny yx yz yx z x x .

Ta tính tiếp các đạo hàm riêng cấp hai:

2 2" 2 " 1 1 " 2( 1) ; ln ; ln .y y y y

xyx yz y y x z x yx x z x x

Ví dụ 11. Tính các đạo hàm riêng cấp hai của hàm số

a) xyz e b) lnx

zy

c) ( )z arctg xy d) 3 3z x y xy

19

4. VI PHÂN CẤP HAI Vi phân cấp hai của hàm hai biến ( , )z f x y là biểu thức có dạng:

2 22 " 2 " " 2( ) 2 xyx yd z d dz z dx z dxdy z dy

Ví dụ 12. Hàm số 3 2z x y xy có các đạo hàm riêng cấp hai:

2 2" " " "6 , 1; 1, 2.xy yxx yz x z z z

Vậy, vi phân cấp hai của hàm số đó là 2 2 26 2 2 .d z xdx dxdy dy

Ví dụ 13. Tính vi phân cấp hai của hàm số

a) x

z arctgy

b) 2 2ln( )z x y

c) 2 3 3z xy x y d) 2 2sin( )z x y

III.3. CỰC TRỊ CỦA HÀM HAI BIẾN 1. KHÁI NIỆM Cho hàm số ( , )f x y xác định trên tập hợp 0 0 0, ( , ) .D M x y D

Ta nói 0M là điểm cực đại của hàm số ( , )f x y nếu tại các điểm M(x,y) nằm xung quanh

0M , 0M M , ta có 0 0 0( ) ( ) ( , ) ( , )f M f M hay f x y f x y .

Tương tự ta có khái niệm điểm cực tiểu khi thay bất đẳng thức 0( ) ( )f M f M bởi bất đẳng

thức 0( ) ( )f M f M .

Điểm cực đại, cực tiểu gọi chung là điểm cực trị.

Ví dụ 1. Xét hàm số 2 2( , ) 2 3f x y x y x , và điểm 20(1,0)M D R .

Giả sử M(x,y) là điểm bất kì thuộc tập xác định, nằm xung quanh điểm 0M , 0M M .

Ta có 2 20( ) ( , ) 2 3; ( ) (1,0) 2f M f x y x y x f M f .

Suy ra 2 2 2 20 0( ) ( ) 2 1 ( 1) 0,f M f M x y x x y do M M .

Vậy, 0( ) ( )f M f M nên 0M là điểm cực tiểu của hàm số đã cho.

2. ĐIỀU KIỆN CÓ CỰC TRỊ a) Điều kiện cần: Nếu ( , )f x y có cực trị tại 0 0 0( , )M x y D thì các đạo hàm riêng tại 0M

phải bằng 0: ' '0 0( ) ( ) 0.x yf M f M

Ví dụ 2. Hàm số cho ở ví dụ 1 có các đạo hàm riêng: ' ' ' '2 2; 2 (1,0) 2.1 2 0; 2.0 0.x y x yz x z y z z

Nhận xét: Điều ngược lại không đúng, nghĩa là nếu hàm hai biến có các đạo hàm riêng bằng 0 tại điểm 0M thì chưa chắc điểm này đã là điểm cực trị của hàm số. Ta đưa ra tên gọi sau.

- Điểm mà tại đó các đạo hàm riêng bằng 0 được gọi là điểm dừng.

20

b) Điều kiện đủ. Giả sử 0 0 0( , )M x y D là điểm dừng của hàm số ( , )f x y và tại 0M hàm số

có các đạo hàm riêng cấp hai

2 2" " "

0 0 0( ), ( ), ( )xyx yA f M B f M C f M .

Khi đó:

- Nếu 0, 0A B

AB C

thì hàm số đạt cực tiểu tại 0M .

- Nếu 0, 0A B

AB C

thì hàm số đạt cực đại tại 0M .

- Nếu 0A B

B C thì hàm số không có cực trị tại 0M .

- Nếu 0A B

B C thì không có kết luận gì.

Ví dụ 3. Tìm cực trị của hàm số 3 3 3z x y xy .

Giải. Ta có tập xác định của hàm số đã cho là 2.D R - Ta tính các đạo hàm riêng cấp 1 để tìm điểm dừng.

' 2 ' 23 3 ; 3 3x yz x y z y x .

Suy ra

' 2 2 2

' 2 2 2 3

0 3 3 0

0 3 3 0 ( ) 0 ( 1) 0

x

y

z x y y x y x

z y x x x x x

Từ đây ta có hai nghiệm 0 1

;0 1

x x

y y

Do đó ta thu được hai điểm dừng là 1 2(0,0), (1,1) .M M D

- Ta tính các đạo hàm riêng cấp hai tại từng điểm dừng và xét xem chúng có thoả mãn điều kiện đủ hay không.

Ta có 2 2" " "6 ; 3; 6xyx yz x z z y .

Tại điểm dừng 1(0,0)M thì 2 2" " "

1 1 1( ) 6.0 0; ( ) 3; ( ) 6.0 0.xyx yA z M B z M C z M

Do đó 0 3

9 03 0

A B

B C

. Vậy điểm 1M không là điểm cực trị của hàm số đã cho.

Tại điểm dừng 2(1,1)M thì 2 2" " "

2 2 2( ) 6.1 6; ( ) 3; ( ) 6.1 6.xyx yA z M B z M C z M

Do đó 6 3

27 0; 6 0.3 6

A BA

B C

Vậy điểm 2M là điểm cực tiểu của hàm số đã cho.

Khi đó ta có 3 3min (1,1) 1 1 1.1 1.z z

21

3. CÁC BƯỚC TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM HAI BIẾN 1. Tìm tập xác định. 2. Tính các đạo hàm riêng cấp 1, cấp 2 của hàm số đã cho.

3. Giải hệ phương trình '

'

0

0

x

y

z

z

để tìm điểm dừng.

4. Tính các đạo hàm riêng cấp hai tại điểm dừng và xét dấu định thức cấp hai tạo bởi chúng.

5. Kết luận về cực trị của hàm số đã cho và tính cực trị đó (nếu có).

Ví dụ 4. Tìm cực trị của hàm số 4 4 2 22z x y x xy y .

Giải. – Tập xác định của hàm số đã cho là 2D . – Tính các đạo hàm riêng cấp 1, cấp 2 của hàm số đã cho

2 2

' 3 ' 3

'' 2 '' '' 2

4 2 2 , 4 2 2

12 2 , 2 , 12 2

x y

xyx y

z x x y z y x y

z x z z y

– Tìm điểm dừng: Giải hệ

'

'

0

0

x

y

z

z

ta tìm được ba điểm dừng là

1 2 3(1,1) , ( 1, 1) , (0,0)M M M .

– Tại điểm 1 2,M M ta đều có A = 10 > 0, B = - 2, C = 10,

10 296 0

2 10

A B

B C

Vậy 1 2,M M là hai điểm cực tiểu với 1 2( ) ( ) 2minz z M z M .

– Tại điểm 3M ta có A = - 2, B = - 2, C = - 2, 0A B

B C nên ta chưa có kết luận

gì. Ta xét điểm 3M bằng định nghĩa. Ta có 3( ) 0z M .

Tại các điểm nằm xung quanh 3M , chẳng hạn điểm ( , )M x y với 1

x yn

thì

2 2

1 1 2 1, 2 0Zn n n n

nếu n > 1.

Tại điểm '( , )M x y với 1 1

,x yn n

thì 4

1 1 2, 0Zn n n

.

Suy ra 3 3( ) ( ) , ( ) ( ')z M z M z M z M .

Vậy điểm 3M không là điểm cực trị của hàm số đã cho.

Ví dụ 5. Tìm cực trị của hàm số

a) 5 55z xy x y b) 8 xz yx y

c) z = x2 + xy + y2 - 3x - 6y ; d) z = x3 + y3 + 6xy

22

III.4. CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN CỦA HÀM HAI BIẾN

1. KHÁI NIỆM Trong mục III.3 ta đã xét bài toán tìm cực trị của hàm hai biến z = z(x,y), trong đó các biến số x, y không có điều kiện ràng buộc. Ta gọi đó là cực trị tự do hay cực trị không điều kiện. Ở mục này ta xét bài toán tìm cực trị của hàm hai biến z khi x, y bị ràng buộc với nhau với một điều kiện nào đó. Ta nói hàm số ( , )z f x y đạt cực đại tại điểm 0 0 0( , )M x y với điều kiện ( , ) 0x y nếu

tồn tại một lân cận D của điểm 0M sao cho 0( ) ( )f M f M với mọi điểm

0, , ( ) 0M D M M M .

Thông thường phương trình ( , ) 0x y cho ta một đường cong C nào đó. Như vậy ta chỉ so

sánh 0( )f M với ( )f M khi điểm M nằm trên C mà thôi.

Tương tự ta có khái niệm cực tiểu với điều kiện.

2. ĐIỀU KIỆN CÓ CỰC TRỊ a) Điều kiện cần: Giả sử 0 0 0( , )M x y là điểm cực trị của hàm số ( , )z f x y với điều kiện

( , ) 0x y , trong đó ( , ) , ( , )f x y x y là các hàm số có đạo hàm riêng liên tục.

Khi đó tồn tại số sao cho ' '

0 0 0 0

' '0 0 0 0

0 0

( , ) ( , ) 0

( , ) ( , ) 0

( , ) 0

x x

y y

f x y x y

f x y x y

x y

(1)

Số được gọi là nhân tử Lagrange. Hàm số ( , ) ( , ) ( , )L x y f x y x y được gọi là hàm số

Lagrange. b) Điều kiện đủ: Giả sử điểm 0 0 0( , )M x y thoả mãn (1). Ta gọi 0M là điểm dừng của bài toán

cực trị có điều kiện. Ta chuyển bài toán tìm cực trị của hàm số ( , )z f x y với điều kiện

( , ) 0x y thành bài toán tìm cực trị không điều kiện của hàm số Lagange.

Xét vi phân cấp hai của hàm số L(x,y) tại điểm 0M :

2 22 " 2 " " 2

0 0 0 0( ) ( ) 2 ( ) ( )xyx yd L M L M dx L M dxdy L M dy

trong đó dx, dy bị ràng buộc bởi điều kiện ' '0 0 0( ) ( ) ( ) 0x yd M M dx M dy .

Khi đó: - Nếu 20( ) 0d L M thì 0M là điểm cực tiểu có điều kiện của hàm số đã cho.

- Nếu 20( ) 0d L M thì 0M là điểm cực đại có điều kiện của hàm số đã cho.

Ví dụ 1. Tìm cực trị của hàm số z = 6 – 4x – 3y với điều kiện 2 2 1x y .

Giải. Ta có hàm số Lagrange 2 2( , ) 6 4 3 ( 1)L x y x y x y . Do đó

2 2

' '

" " "

4 2 , 3 2

2 , 0 , 2

x y

xyx y

L x L y

L L L

Giải hệ ' ' '0 , 0 , 0x yL L L ta tìm được hai điểm dừng

23

1 1 2 24 3 5 4 3 5

; , ; ; ,5 5 2 5 5 2

M M

- Tại 1M ta có vi phân cấp hai 2 2 2 2 21 1 1( ) 2 2 5( ) 0d L M dx dx dx dy .

Vậy 1M là điểm cực tiểu có điều kiện của hàm số đã cho với min 1( ) 1z z M .

- Tại 2M ta có vi phân cấp hai 2 2 2 2 22 2 2( ) 2 2 5( ) 0d L M dx dx dx dy .

Vậy 2M là điểm cực đại có điều kiện của hàm số đã cho với max 2( ) 11z z M .

Ví dụ 2. Tìm cực trị của hàm số z = x + 2y với điều kiện 2 2 5x y .

III.5. ỨNG DỤNG BÀI TOÁN CỰC TRỊ VÀO KINH TẾ

Ví dụ 1. Cho hàm lợi nhuận của một xí nghiệp đối với một loại sản phẩm là R C T

trong đó là lợi nhuận, R là doanh thu, C là tổng chi phí gồm chi phí cố định f ( không phụ thuộc vào số lượng sản phẩm), chi phí biến thiên cQ (c là chi phí trung bình cho một sản phẩm, Q là sản lượng), t là thuế trên một sản phẩm, T là tổng thuế. Giả sử P = a – bQ (a, b > 0).

Khi đó ta có 2 ( )aQ bQ c t Q f .

Bài toán đặt ra là: - Xí nghiệp muốn xác định mức sản lượng Q để lợi nhuận đạt cực đại.

- Nhà nước muốn xác định mức thuế t trên một sản phẩm để tổng thuế đạt cực đại. Ta sẽ giải bài toán cho trường hợp cụ thể: a = 10, b = 1, c = 2, f = 1. Khi đó hàm lợi nhuận là

210 (2 ) 1Q Q t Q

a) Trước tiên ta đứng trên cương vị của xí nghiệp, xem t như tham số thì là hàm một biến theo Q. Khi đó ta có

8' 2 8 , ' 0 (0 8) , ' 2 0

2

tQ t Q t

Vậy hàm lợi nhuận đạt cực đại khi 8

(0 8)2

tQ Q t

.

b) Ta xác định mức thuế: Với Q Q thì 28

2

t tT tQ

. Do đó

8 2' 4 , ' 0 4 , " 1 0

2

tT t T t T

Vậy tổng thuế đạt cực đại khi 4t t (thoả mãn 0 < t < 8). Khi đó ta có

2 , 10 2 8

20 4 6.2 1 3

Q Q P P a bQ

Ví dụ 2. Cho hàm lợi nhuận của một công ty đối với một sản phẩm là R C PQ wL rK

trong đó là lợi nhuận, R là doanh thu, C là chi phí, L là lượng lao động, w là tiền lương cho một lao động, K là tiền vốn, r là lãi suất của tiền vốn, P là đơn giá bán sản phẩm. Giả

sử Q là hàm sản xuất Cobb – Douglas dạng 1 / 3 1 / 3Q L K . Ta tìm L, K để lợi nhuận đạt tối

24

đa cho trường hợp w = 1, r = 0,02, P = 3. Khi đó ta có hàm hai biến với các đạo hàm riêng

2 2

1 / 3 1 / 3

' 2 / 3 1 / 3 ' 1 / 3 2 / 3

'' 5 / 3 1 / 3 '' 2 / 3 2 / 3 '' 1 / 3 5 / 3

3 0,02

1 , 0,02

2 1 2, ,

3 3 3

L K

LKL K

L K L K

L K L K

L K L K L K

Tìm điểm dừng bằng cách giải hệ ' '0, 0L K ta được L = 50, K = 2500. Xét các đạo

hàm riêng cấp hai tại điểm dừng 0 0( , ) (50,2500)L K ta có

1 1 1 10 , , , 0

75 7500 187500 18750000

A BA B C

B C

Vậy lợi nhuận đạt tối đa khi L = 50, K = 2500 với max 50 .

Ví dụ 3. Giả sử một xí nghiệp sản xuất ra một loại sản phẩm và bán tại hai thị trường với đơn giá lần lượt là 7 và 6 trên một sản phẩm. Cho biết chi phí sản xuất của xí nghiệp đó là

2 21 1 2 2 2 3C q q q q q , trong đó 1 2,q q lần lượt là lượng sản phẩm bán được ở hai thị

trường. Tìm 1 2,q q để lợi nhuận của xí nghiệp là R C đạt cực đại.

Ví dụ 4. Một công ty sản xuất một loại sản phẩm và tiêu thụ trên hai thị trường riêng biệt. Cho biết hàm cầu trên hai thị trường lần lượt là

1 21 280 , 80

3 4d dP P

Q Q ,

hàm tổng chi phí là 2( ) 30 10C Q Q Q ,

trong đó 1 2,P P là đơn giá trên từng thị trường, Q là tổng sản lượng của công ty. Tìm khối

lượng sản phẩm 1 2,Q Q công ty cung cấp cho từng thị trường để lợi nhuận cao nhất.

Ví dụ 5. Cho hàm lợi ích 1 2U C C , trong đó 1 2,C C là số tiền tiêu dùng tại cuối thời kì thứ

nhất, thứ hai. Giả sử lãi suất tại cuối thời kì thứ nhất là r = 0,5%, tổng thu nhập tại cuối

thời kì này là 21 1

CI C

r

. Ta cần tìm 1 2,C C để hàm lợi ích U đạt cực đại.

Giải. Đây là bài toán tìm cực trị của hàm số U với điều kiện ràng buộc 21 0

1

CI C

r

.

Do đó ta xét hàm số Lagrange 21 2 1 2 1( , )

1,005

CL C C C C I C

.

Ta có

1 2

2 21 21 2

' ' ' 22 1 1

" " "

, ,1,005 1,005

0 , 1 , 0

C C

C CC C

CL C L C L I C

L L L

Giải hệ phương trình 1 1

' ' '0 , 0 , 0C CL L L ta tìm được điểm dừng:

1 2 0; 1,005 ; 1,005 ;1,0052 2 2 2 2

I I I I IC C M

25

Vi phân cấp hai tại điểm dừng 2 20 1 2 2

2( ) 2 0

1,005d L M dC dC dC (vì 1 2,dC dC bị ràng

buộc bởi điều kiện 21 1 2

10

1 1

Cd I C dC dC

r r

).

Vậy U đạt cực đại khi 1 1 2 2; 1,0052 2

I IC C C C . Khi đó

2

max 1,0054

IU .

Ví dụ 6. Cho hàm chi phí của một xí nghiệp là ( , )C L K wL rK , trong đó w = 400 là tiền

lương của mỗi lao động, r = 0,01 là lãi suất của vốn vay. Giả sử xí nghiệp phải sản xuất

0 1000Q sản phẩm và hàm sản phẩm là 1 / 2 1 / 2Q L K . Tìm L và K để C đạt cực tiểu.

HD. Cần tìm cực tiểu của hàm chi phí C với điều kiện ràng buộc 0Q Q .

Ví dụ 7. Một người dự kiến dùng 130 đơn vị tiền để mua hai loại hàng hoá có giá lần lượt là 1 24 , 6P P . Biết hàm hữu dụng của hai loại hàng này là 1 2 1 2( , ) ( 2)( 1)U x x x x ,

trong đó 1 2,x x lần lượt là khối lượng hai loại hàng. Hãy xác định 1 2,x x để hàm hữu dụng

đạt giá trị lớn nhất.

BÀI TẬP CHƯƠNG III

3.1. Tính các đạo hàm riêng của các hàm số sau đây

a) x y

zx y

b) xyz xe c) 2 2x yz y e

3.2. Tính các đạo hàm riêng cấp hai của các hàm số sau đây

a) 2 2cos( )z x y b) xz xye

c) xy

zx y

d) 2 2lnz x y

3.3. Tính vi phân cấp một, cấp hai của các hàm số sau đây

a) 2 23 2 3z x xy y b) xy

zx y

c) ln(3 2 )z x y

3.4. Tìm cực trị của các hàm số sau đây

a) 2 24z x y b) 2 2x yz e

c) 1 1

z xyx y

d) 3 3 22 3 3 12 4z x y x y x

3.5. Tìm cực trị với điều kiện của các hàm số sau đây

a) ( , ) , 100f x y xy x y b) 2 2( , ) , 10f x y x y x y

c) ( , ) 3 , 64f x y x y xy d) 2 2( , ) 4 , 1f x y x y x y

3.6. Giả sử một người tiêu dùng mua hai loại hàng hoá. Cho biết hàm hữu dụng của hai

loại hàng này là 2 2( , ) ( 2) ( 3)U x y x y , trong đó x, y lần lượt là khối lượng hai loại

hàng hoá đó. a) Tìm hàm hữu dụng biên theo từng loại hàng hoá. b) Tính giá trị hữu dụng biên theo loại hàng hoá thứ nhất khi người đó mua mỗi loại hàng 3 đơn vị khối lượng. 3.7. Một công ty sản xuất hai loại hàng hoá có hàm cầu lần lượt là

26

1 1 2 2 1 22 1 1 2

280 , 4205 5 5 5

Q P P Q P P .

Giả sử tổng chi phí xác định bởi 2 2

1 2 1 1 2 2( ) 40 180C Q Q Q Q Q Q Q .

Tìm mức sản lượng để công ty thu được lợi nhuận tối đa. 3.8. Một công ty sử dụng hai nguyên liệu đầu vào để sản xuất. Giả sử sản lượng Q tại

các mức nguyên liệu đầu vào 1 2,x x xác định bởi công thức 1 1

3 21 2 1 2( , ) 12Q x x x x .

Cho biết giá của hai loại nguyên liệu đầu vào lần lượt là 1 2,p p , còn giá bán sản phẩm

của công ty là q. a) Hãy xác định hàm lợi nhuận. b) Tìm mức nguyên liệu đầu vào 1 2,x x để lợi nhuận lớn nhất.

CHƯƠNG IV. TÍCH PHÂN

IV.1. TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH

1. KHÁI NIỆM a) Nguyên hàm. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) nếu F’(x) = f(x). Ví dụ 1. Hàm số F(x) = sin x là nguyên hàm của hàm số f(x) = cosx vì

F’(x) = (sinx)’ = cosx = f(x). Tương tự ta có hàm số G(x) = sin x – 7, h(x) = sin x + 10 cũng là các nguyên hàm của hàm số f(x) = cosx. Nhận xét. Hàm số f(x) nếu có một nguyên hàm thì sẽ có vô số nguyên hàm, các nguyên hàm khác nhau bởi hằng số bất kì. b) Tích phân bất định. Tập hợp tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) được gọi là

tích phân bất định của nó và kí hiệu là ( )f x dx .

Như vậy, nếu f(x) có một nguyên hàm là F(x) thì tích phân bất định của nó là

( ) ( )f x dx F x C

Ví dụ 2. a) cos sinxdx x C b) 2 33x dx x C

2. BẢNG TÍCH PHÂN CƠ BẢN

1,1

1

C

xdxx Cx

x

dx ln

Ca

adxa

xx ln

Cedxe xx

Cxxdx cossin Cxxdx sincos

2tan

cos

dxx C

x

2cot

sin

dxx C

x

27

Cxx

dx

arcsin

1 2

2arctan

1

dxx C

x

2 2

1arctan , 0

dx xC a

a aa x

Cxfdxxf

xf ln

'

1sin cos , 0a

axdx ax c a 1cos sin , 0a

axdx ax c a

1 , 0ax axa

e dx e c a


1. ( ) ( ) ( )

2. ( ) ( ) ( ) ( )

af x dx a f x dx a const

f x g x dx f x dx g x dx

'

3. '( ) ( )

4. ( ) ( )

f x dx f x C

f x dx f x

Ví dụ 3. Tính các tích phân sau đây

a) 3 2x x x dx b) 32 4x xe dx

x

c) 2 2sin cos

dx

x x d) 2cos2 8s in4xx dx

Ví dụ 4. Tính các tích phân sau đây

a) tgxdx b) 2

2 1

1

xdx

x

c)

2

4 1

4

xdx

x

d)

1x

dx

e

4. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH

a) Phương pháp tích phân từng phần

duvuvdvu

Cách đặt u, dv: “ U ơi lốc ác quá trời

E rằng sin cos còn mời đê vê ”

Ví dụ 5. Tính các tích phân sau đây bằng phương pháp tích phân từng phần

a) 2 lnx xdx b) 1 cosx xdx

c) 2xxe dx d) 2 1 s in2xdxx

b) Phương pháp đổi biến số

dttxtxfdxxf '

trong đó txx , với t là biến số mới.

Các bước thực hiện: - Chọn biến số mới, tính vi phân của nó.

- Viết tích phân ban đầu theo biến số mới và tính tích phân thu được theo biến số mới.

- Trả kết quả về biến số ban đầu.

28

Ví dụ 6. Tính các tích phân sau đây bằng phương pháp đổi biến số

a) 2ln

dx

x x b) 22x x dx

c) 2

sin

1 cos

xdxx

d) 2008

1x x dx

IV.2. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

1. CÔNG THỨC CƠ BẢN

aFbFxFdxxf ba

b

a

trong đó F(x) là nguyên hàm của f(x). Ví dụ 1. Tính các tích phân xác định sau đây

a) 1

2

0

3 4 2x x dx b) 2 3 2

1

3 4 2 1

2

x x xdx

x

c) 4

2

0

cos xdx

d) 1 3 2

20

3 2 2

1

x x xdx

x


(1) ( ) ( )

b b

a a

cf x dx c f x dx 2) [ ( ) ( )] ( ) ( )

b b b

a a a

f x g x dx f x dx g x dx

(3) ( ) ( ) ( )

b c b

a a c

f x dx f x dx f x dx

(4) Nếu f(x) là hàm số chẵn (nghĩa là ( ) ( )f x f x ) thì 0

( ) 2 ( )

a a

a

f x dx f x dx

.

(5) Nếu f(x) là hàm số lẻ (nghĩa là ( ) ( )f x f x ) thì ( ) 0

a

a

f x dx

.

Ví dụ 2. a) 1 1

2 21 0

12 2arctan

201 1

dx dxx

x x

b) 2 3

22

01

x dx

x

Ví dụ 3. 3 0 3 0 3

1 1 0 1 0

5xdx xdx xdx xdx xdx

3. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

a) Phương pháp tích phân từng phần b

a

ba

b

a

duvuvdvu

Cách đặt u, dv tương tự trường hợp tích phân bất định.

29

Ví dụ 4. Tính các tích phân xác định sau đây bằng phương pháp tích phân từng phần

a) 1

ln

e

x xdx b) 2

0

(2 1)sinx xdx

c) 1

0

xarctgxdx d) 2

3

cosx xdx

b) Phương pháp đổi biến số

dttxtxfdxxfb

a

'

, là các cận mới của tích phân xác định theo biến số t .

Các bước thực hiện: - Chọn biến số mới, tính vi phân của nó - Đổi cận tích phân theo biến số mới - Viết tích phân ban đầu theo biến số mới và tính tích phân mới.

Ví dụ 5. Tính các tích phân xác định sau đây bằng phương pháp đổi biến số

a) 7

2

2

2x x dx b) 2

20

cos

1 sin

xdx

x

c) 3

1

lne

xdx

x d) 2

3

0

sin xdx

4. TÍCH PHÂN SUY RỘNG VỚI CẬN VÔ TẬN

Khi xét tích phân xác định ( )

b

a

f x dx , ta đòi hỏi các cận a, b là các số hữu hạn và hàm

số lấy tích phân f(x,y) liên tục trên [a,b]. Dưới đây ta mở rộng khái niệm tích phân cho trường hợp các cận của nó là vô hạn. Ta có các định nghĩa sau đây

( ) lim ( )

b

ba a

f x dx f x dx

; ( ) lim ( )

b b

aa

f x dx f x dx

( ) ( ) ( ) lim ( ) lim ( )

c c b

a bc a c

f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx

trong đó c là hằng số bất kì, còn f(x) là hàm số liên tục trên khoảng lấy tích phân.

Ví dụ 6. 2 2

1 1

1 1 1 1lim lim lim 1 1

1

b

b b b

bdx dx

x bx x

.

30

Ví dụ 7. 1 1

lim lim ln lim ln 1

b

b b be e

bdx dx x bx x e

Ví dụ 8. 0 0

2 2

01 1lim lim arctan lim ( arctan )

21 1a a aa

dx dx x aax x

Ví dụ 9. 0

2 2 20

1 1 1lim lim

1 1 1

b

a ba

dx dx dxx x x

lim ( arctan ) lim arctan2 2a b

a b

Chú ý. Nếu tích phân suy rộng có giá trị hữu hạn thì ta nói nó hội tụ. Trường hợp ngược lại, ta nói nó phân kì. Ví dụ 10. Tính các tích phân suy rộng sau đây

a) 0

xxe dx

b) 1

dx

x x

c) 0

2 4

dx

x

d)

3 4

dx

x

IV.3. TÍCH PHÂN KÉP 1. KHÁI NIỆM

Cho hàm hai biến ( , )f x y xác định trên tập hợp 2D R . Ta xét tích phân của hàm

số này lấy trên D và gọi đây là tích phân hai lớp, kí hiệu ( , )D

f x y dxdy . Ở đây,

( , )f x y là hàm số lấy tích phân, D là miền lấy tích phân, ,dx dy là vi phân của ,x y

(để chỉ rằng tích phân được lấy theo các biến số ,x y ).


1. ( , ) ( , ) ,

2. ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

3. ( )

D D

D D D

D

cf x y dxdy c f x y dxdy c const

f x y g x y dxdy f x y dxdy g x y dxdy

dxdy S D

4. Nếu miến lấy tích phân D được chia thành hai miền nhỏ 1 2,D D thì

1 2

( , ) ( , ) ( , )D D D

f x y dxdy f x y dxdy f x y dxdy

3. CÁCH TÍNH TÍCH PHÂN KÉPNguyên tắc chung:

- Việc tính tích phân hai lớp được đưa về tính hai tích phân xác định lần lượt theo từng biến số.

- Khi tính tích phân theo biến số này thì xem biến số còn lại như hằng số. - Thứ tự tính các tích phân xác định và cận của chúng phụ thuộc vào cách xác

định miền lấy tích phân.

31

Sau đây ta xét một vài trường hợp đặc biệt đối với miền lấy tích phân.

a) Miền lấy tích phân là hình chữ nhật xác định bởi

( , , , )a x b

a b c d constc y d

Khi đó ta có công thức tính tích phân hai lớp:

( , ) ( , ) ( , ) (1)b d d b

D a c c a

f x y dxdy dx f x y dy dy f x y dx

Ví dụ 1. Tính tích phân hai lớp 2

D

x ydxdy , trong đó D xác định bởi: 0 2

1 3

x

y

Ví dụ 2. Tính tích phân hai lớp (2 )D

x y dxdy , trong đó D là hình chữ nhật giới

hạn bởi các đường thẳng: 1, 3, 0, 4.x x y y

b) Miền lấy tích phân là hình thang cong xác định bởi:

1 2

( , )( ) ( )

a x ba b const

y x y y x

. Khi đó

2

1

( )

( )

( , ) ( , ) (2)y xb

D a y x

f x y dxdy dx f x y dy

c) Miền lấy tích phân là hình thang cong xác định bởi:

1 2( ) ( )( , )

x y x x yc d const

c y d

. Khi đó

2

1

( )

( )

( , ) ( , ) (3)x yd

D c x y

f x y dxdy dy f x y dx

Ví dụ 3. Tính tích phân hai lớp D

xydxdy ,trong đó D xác định bởi: 2

0 1x

x y x

Ví dụ 4. Tính tích phân hai lớp 2

D

y dxdy , trong đó D xác định bởi:2

1 3

y x y

y

Ví dụ 5. Tính tích phân hai lớp ( 1)D

y dxdy , trong đó D giới hạn bởi các đường:

1, 3, .xy x y x

d) Trường hợp D là miền bất kì: Ta chia D thành những miền nhỏ xác định như ởcác trường hợp trên và sử dụng tính chất 4 để tính tích phân.

Ví dụ 6. Tính tích phân hai lớp D

ydxdy , trong đó D là tam giác ABC với các đỉnh

(1,1), (4,4), (2,6).A B C

32

BÀI TẬP CHƯƠNG IV

4.1. Tính các tích phân bất định sau đây

a) 2ln 1x x dx b)

2sin

xdx

x c) xe dx

d) 2

61

xdx

x e)

2

arcsin

1

xdx

x f) 3cos xdx

4.2. Tính các tích phân xác định sau đây

a) 1

sin(ln )e

xdx

x b) 6

11 3 2

dx

x c) 1

0

(2 3) xx e dx

d) 1

0

arctgxdx e) 1

0

sin xdx f) 2

15

1

(2 )x x dx

4.3. Tính các tích phân suy rộng sau đây

a) 3

1

dx

x

b) 2

3

1

x dx

c) 2

3(2 1)

dx

x

d)

2

dx

x x

4.4. Tính các tích phân kép sau đây a)

D

ydxdyx 2 , với D là hình chữ nhật : 1 x 4, 1 y 3.

b) D

dxdyx )24( , với D là miền xác định bởi: 0 x2, x2 y 2x.

c) D

dxdyy )1( , với D là miền xác định bởi: 0 y1, y x y .

d) D

xdxdyy ln , với D là miền giới hạn bởi các đường cong xy = 1, y = x , x = 2.

Documents

tailieuplk.webnode.vn tap toan kinh te.pdf · 1 TOÁN CAO CẤP CHƯƠNG I. MÔ HÌNH TUYẾN TÍNH và ĐẠI SỐ MA TRẬN I.1. MA TRẬN 1.KHÁI NIỆM a)Ma trận cấp m n: