MODELO MATEMATICO

La siguiente ecuación describe la degradación fotocatalitica de ácido dicloroacetico en un reactor heterogéneo:

CDCA+√CDCA(CDCA+β )+ β2 ln {(CDCA+β )+√CDCA (CDCA+ β)}−f (CDCA 0 )=−2( v RvT )ϕg EgtCon:

β=2kCC cat2 ϕg

EgCO2

Además, tenemos:

∂ β∂ϕg

=2

kCC cat2 ∗Eg

CO 2

∂ β∂ Eg

=2

kCC cat2 ∗ϕg

CO 2

Para hallar la función objetivo primero debemos plantear que:

e i= y iexp− y iCALCULADO

e i=[C DCA+2( vRvT )ϕ gEg t+√CDCA (CDCA+β)+ β2 ln {(C DCA+β )+√CDCA (CDCA+β)}−f (CDCA 0 )]Armamos entonces nuestra función objetivo:

F .O=∑i=1

n [CDCA+2( vRvT )ϕg Eg t+√C DCA(C DCA+β )+β2ln {(CDCA+ β )+√C DCA(C DCA+β )}−f (CDCA 0 )]

2

≈0

Con:

f (CDCA 0)=106.5+√106.5(106.5+ β)+ β2l n {(106.5+β )+√106.5(106.5+β )}

La derivada de la función objetivo respecto a kC se define como:

∂(F .O (ϕg , kC , Eg ))∂kC

=2∗∑i=1

n ei∗∂i(e i)∂kC

≈0

∂i(e i)∂kC

=C DCA

√CDCA(CDCA+β )+ ln {(CDCA+β )+√CDCA(CDCA+β )}+( β

(CDCA+β )+√CDCA (CDCA+β) )(1+CDCA

2√CDCA (CDCA+ β))−∂ f (CDCA 0 )∂kC

Dónde:

∂ f (CDCA 0 )∂kC

=106.5

√(106.5)2+106.5 β+[ ln {(106.5+β )+√ (106.5 )2+106.5 β ¿¿}+ β ( 1

(106.5+ β )+√(106.5 )2+106.5 β¿¿)(1+ 106.5

2√106.5(106.5+β))]De la derivada de la función objetivo con respecto a kC despejamos el parámetro Eg:

Eg=

f (CDCA 0 )∑i=1

n ∂i(e i)∂kC

−∑i=1

n (C DCA∗∂i (ei )∂kC )−∑

i=1

n (√CDCA (CDCA+ β )∗∂i (e i )∂kC )

2( v RvT )ϕg∑i=1n ( t∗∂i (ei )∂kC )+ kC

C cat2 ∗CO2

∑i=1

n ( ln {(CDCA+ β )+√CDCA (CDCA+ β )}∗∂i (ei )∂kC )

La derivada de la función objetivo respecto a ∅ g se define como:

∂(F .O (ϕg , kC , Eg ))∂ϕ

=2∗∑i=1

n ei∗∂i(e i)∂ϕ g

≈0

∂i(e i)∂ϕg

=2( vRvT )Eg t+CDCA

∂ β∂ ϕg

√C DCA (CDCA+β )+ 12∂ β∂ϕg

ln {(CDCA+β )+√CDCA (CDCA+ β)}+ β2 ( 1

(C DCA+β )+√CDCA (CDCA+β))( ∂ β∂ ϕg+ CDCA∂ β∂ϕg

2√C DCA (CDCA+β ) )−∂ f (C DCA0 )∂ϕ g

Dónde:

∂ f (CDCA 0 )∂ϕg

=(12 )( ∂ β∂ϕg ) [ 106.5

√ (106.5 )2+106.5 β+ln {(106.5+ β )+√(106.5 )2+106.5 β¿¿}+β ( 1

(106.5+β )+√ (106.5 )2+106.5β ¿¿)(1+ 106.5

2√106.5 (106.5+β ) )]De la derivada de la función objetivo con respecto a ϕ g despejamos el parámetro kC:

kC=¿¿

La derivada de la función objetivo respecto a Eg se define como:

∂(F .O (ϕg , kC , Eg ))∂ Eg

=2∗∑i=1

n ei∗∂i(e i)∂ Eg

≈0

∂i(e i)∂Eg

=2( vRvT )ϕ gt+CDCA

∂β∂ Eg

√CDCA (CDCA+ β )+ 12∂ β∂ Eg

ln {(CDCA+β )+√CDCA (CDCA+ β)}+ β2 ( 1

(C DCA+β )+√CDCA (CDCA+β))( ∂ β∂ Eg+ C DCA∂ β∂Eg

2√CDCA (CDCA+β ) )−∂ f (CDCA 0 )∂ Eg

Dónde:

∂ f (CDCA 0 )∂ Eg

=(12 )( ∂ β∂Eg ) [ 106.5

√ (106.5 )2+106.5 β+ln { (106.5+ β )+√(106.5 )2+106.5 β ¿¿}+β ( 1

(106.5+β )+√ (106.5 )2+106.5 β¿¿)(1+ 106.5

2√106.5 (106.5+β ) )]De la derivada de la función objetivo con respecto a Eg despejamos el parámetro ϕ g:

ϕ g=f (CDCA0 )∑i=1

n ∂i(e i)∂Eg

−¿∑i=1

n (C DCA∗∂i (e i )∂ Eg )−∑

i=1

n (√C DCA (CDCA+β )∗∂i (ei )∂Eg )

Eg¿¿¿

METODOLOGIA

Para el presente trabajo se siguieron una serie de pasos metodológicos para lograr resolver el problema planteado previamente acerca de una ecuación que describe la degradación fotocatalitica de ácido dicloroacetico en un reactor heterogéneo, para ello se usaron los métodos numéricos de mínimos cuadrados no lineales y solución de ecuaciones no lineales mediante sustitución sucesiva.

En primera instancia se planteó la función objetivo mediante los conceptos de mínimos cuadrados, luego se procedió a derivar analíticamente la función con respecto a cada parámetro de ajuste, al tener esas derivadas se seleccionó de forma lógica la manera más correcta de despejar los parámetros de ajuste, todo este procedimiento se hizo de manera manual.

A partir de cada derivada y teniendo los parámetros a calcular, se procede a realizar el programa que permita obtener los parámetros de ajuste requeridos para predecir los datos experimentales, para este caso usaremos como previamente se ha dicho una sustitución sucesiva para resolver el sistema de ecuaciones no lineales que tenemos, la programación se hizo en el programa MATLAB, se introdujeron las funciones, los despejes y datos experimentales, el programa pide los valores de los parámetros iniciales para hallar los calculados mediante iteraciones haciendo en el proceso las sumatorias respectivas de cada función, las iteraciones se basan en ciclos anidados que permiten compara el valor calculado con el supuesto y hallar el error, un error local para cada

parámetro y uno global, mientras que el Error global no sea menor o igual a τ (10−7) el

valor de los parámetros no serán correctos, cabe mencionar que al principio el primer

parámetro se ajustara con sus supuestos, pero el segundo y el tercero se ajustan con los valores calculados de su parámetro inmediatamente anterior, habrá un momento en el ciclo global en el que se ajusten todos de acuerdo a valores correctos.