MBA – USM

INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

PROFESOR: ENRIQUE NORERO

Integrantes

Rubén Abarca

Sergio Campos

Pablo Palma

Carol Saavedra

Felipe Quiroz*

Loreto Munita*

David Gómez*

Trabajo N°1: Ejercicios

de programación lineal y

modelo de dos variables

de decisión.

1.- PLANIFICACIÓN DE PRODUCCION EN VARIOS PERIODOS, USANDO SOBRETIEMPO Y MINIMIZANDO COSTOS. Una fábrica puede elaborar en horario normal 100 unidades de un producto durante cada

uno de cuatro períodos de tiempo consecutivos, con costos que varían de un período a

otro. Adicionalmente puede trabajarse en sobretiempo; en la siguiente tabla se muestran

los datos de demanda, costo de producción en horario normal, capacidad de producción

en sobretiempo y costo de producción en sobretiempo:

Período Demanda (unidades)

Costo de Producción en Horario

Normal

Capacidad en

Sobretiempo

Costo de Producción

en Sobretiempo

1 130 6 60 8

2 80 4 65 6

3 125 8 70 10

4 195 9 60 11

Es posible almacenar hasta 70 unidades en stock de un período a otro, a un costo de $1,5 por unidad por período. Se desea determinar la cantidad de unidades a elaborar en cada período en horario

normal y en sobretiempo y los niveles de stock, de modo de satisfacer las demandas a un

costo mínimo. Al inicio del período 1 existen 15 unidades en stock.

Desarrollo:

Para enfrentar el ejercicio, lo primero será definir las variables de decisión:

Variables de decisión:

P1’ : Cantidad a producir en el período 1 en horario normal.

P1’’: Cantidad a producir en el período 1 en sobretiempo.

P2’ : Cantidad a producir en el período 2 en horario normal.

P2’’: Cantidad a producir en el período 2 en sobretiempo.

P3’ : Cantidad a producir en el período 3 en horario normal.

P3’’: Cantidad a producir en el período 3 en sobretiempo.

P4’ : Cantidad a producir en el período 4 en horario normal.

S1 : Unidades en stock período 1.

S2 : Unidades en stock período 2.

S3 : Unidades en stock período 3.

S4 : Unidades en stock período 4.

Una vez definidas las variables de decisión, el paso siguiente será definir la función objetivo

Función Objetivo:

𝑍 = 6𝑃1′ + 8𝑃1′′ + 4𝑃2′ + 6𝑃2′′ + 8𝑃3′ + 10𝑃3′′ + 9𝑃4′ + 11𝑃4′′ + 1,5𝑆1 + 1,5𝑆2 + 1,5𝑆3 + 1,5𝑆4

Posteriormente, debemos definir las restricciones del problema:

Restricciones:

𝑃1′ + 𝑃1′′ − 𝑆1 = 115

𝑃2′ + 𝑃2′′ + 𝑆1 − 𝑆2 = 80

𝑃3′ + 𝑃3′′ + 𝑆2 − 𝑆3 = 125

𝑃4′ + 𝑃4′′ + 𝑆3 − 𝑆4 = 195

𝑃1′ ≤ 100

𝑃2′ ≤ 100

𝑃3′ ≤ 100

𝑃4′ ≤ 100

𝑃1′′ ≤ 60

𝑃2′′ ≤ 65

𝑃3′′ ≤ 70

𝑃4′′ ≤ 60

𝑆1 ≤ 70

𝑆2 ≤ 70

𝑆3 ≤ 70

𝑆4 ≤ 70

Con:

𝑃1′, 𝑃1′′, 𝑃2′, 𝑃2′′, 𝑃3′, 𝑃3′′, 𝑃4′, 𝑃4′′, 𝑆1, 𝑆2, 𝑆3, 𝑆4 ≥ 0 (Condición de NO negatividad)

El problema en cuestión consiste en minimizar la función objetivo (Min Z). Para encontrar

la solución óptima, se utilizó el complemento Solver de Excel, del cual se obtuvieron los

siguientes resultados:

Variable P1' P1'' P2' P2'' P3' P3'' P4' P4'' S1 S2 S3 S4

Coeficiente óptimo 100 15 100 50 100 0 100 50 0 70 45 0

Evaluando estos coeficientes en la función objetivo, el resultado que minimiza los costos

es 3.843.

3.- PROGRAMACION DE TURNOS. Una empresa ha determinado sus requerimientos mínimos de trabajadores por período

horario de su departamento de producción en la siguiente tabla; se requiere determinar el

número de trabajadores por turno de 8 horas que minimiza el costo total diario; los

trabajadores de cada turno se desempañan en varios períodos consecutivos de acuerdo a

lo indicado en la tabla. Como alternativa se plantea minimizar el número total de

trabajadores por día (la suma de los trabajadores de los cinco turnos). ¿Es lo mismo?

Periodo Horario Turno 1 Turno 2 Turno 3 Turno 4 Turno 5 Trabajadores

06:00 - 08:00 48

08:00 - 10:00 79

10:00 - 12:00 65

12:00 - 14:00 87

14:00 - 16:00 64

16:00 - 18:00 73

18:00 - 20:00 82

20:00 - 22:00 43

22:00 - 24:00 52

00:00 - 06:00 15

Costo Diario por Trabajador

170 160 175 180 195

Desarrollo:

Para enfrentar el ejercicio, lo primero será definir las variables de decisión:

Variables de decisión:

X1: N° de trabajadores del turno 1

X2: N° de trabajadores del turno 2

X3: N° de trabajadores del turno 3

X4: N° de trabajadores del turno 4

X5: N° de trabajadores del turno 5

Una vez definidas las variables de decisión, el paso siguiente será definir la función objetivo

Función Objetivo:

𝑍 = 170𝑋1 + 160𝑋2 + 175𝑋3 + 180𝑋4 + 195𝑋5

Posteriormente, debemos definir las restricciones del problema:

Restricciones:

𝑋1 ≥ 48

𝑋1 + 𝑋2 ≥ 79

𝑋1 + 𝑋2 ≥ 65

𝑋1 + 𝑋2 + 𝑋3 ≥ 87

𝑋2 + 𝑋3 ≥ 64

𝑋3 + 𝑋4 ≥ 73

𝑋3 + 𝑋4 ≥ 82

𝑋4 ≥ 43

𝑋4 + 𝑋5 ≥ 52

𝑋5 ≥ 15

Con:

𝑋1, 𝑋2, 𝑋3, 𝑋4, 𝑋5 ≥ 0 (Condición de NO negatividad)

El problema en cuestión consiste en minimizar la función objetivo (Min Z). Para encontrar

la solución óptima, se utilizó el complemento Solver de Excel, del cual se obtuvieron los

siguientes resultados:

Variable X1 X2 X3 X4 X5

Coeficiente óptimo 48 31 39 43 15

Evaluando estos coeficientes en la función objetivo, el resultado que minimiza el costo

diario de trabajadores es 30.610 unidades monetarias. El resultado anterior está asociado

al total óptimo de 176 trabajadores por día.

Si en lugar de minimizar el costo diario, se minimiza el N° de trabajadores por día, se

mantendrán las variables de decisión y restricciones definidas en la primera parte del

problema, pero la función objetivo quedará definida por:

Función Objetivo:

𝑍 = 𝑋1 + 𝑋2 + 𝑋3 + 𝑋4 + 𝑋5

Utilizando el complemento Solver de Excel, se obtienen los siguientes resultados:

Variable X1 X2 X3 X4 X5

Coeficiente óptimo 54 25 39 43 15

Evaluando estos coeficientes en la nueva función objetivo, el resultado óptimo es 176

trabajadores.

Finalmente, cualquiera de los 2 planteamientos que se realicen, da como resultado

(directa o indirectamente) que el número de trabajadores que minimiza los costos diarios

es 176, por tanto es lo mismo.

5.- MEZCLA DE COMPONENTES Una panadería industrial ha recibido una orden urgente de uno de sus distribuidores por galletas altamente proteicas. El costo debe ser minimizado y la mezcla debe cumplir con los requerimientos mínimos de nutrición. La orden requiere 10.000 Kg. de galletas, que son fabricadas en base a la mezcla de 4 ingredientes R, S, T y U, con costos asociados de $8, $2, $3 y $1 por Kg. respectivamente. El lote debe contener un mínimo de 4.000 Kg. de proteínas, 2.500 Kg. de grasa, 3.000 Kg. de carbohidratos y 500 Kg. de azúcar. Los ingredientes contienen los siguientes porcentajes por peso.

Ingrediente Proteínas Grasa Carbohidratos Azúcar Rellenos

R 50% 30% 15% 5% 0%

S 10% 15% 50% 15% 10%

T 30% 5% 30% 30% 5%

U 0% 5% 5% 30% 60%

Formular el modelo de programación lineal asociado.

Desarrollo:

Para enfrentar el ejercicio, lo primero será definir las variables de decisión:

Variables de decisión:

X1: Cantidad del ingrediente R a utilizar

X2: Cantidad del ingrediente S a utilizar

X3: Cantidad del ingrediente T a utilizar

X4: Cantidad del ingrediente U a utilizar

Una vez definidas las variables de decisión, el paso siguiente será definir la función objetivo

Función Objetivo:

𝑍 = 8𝑋1 + 2𝑋2 + 3𝑋3 + 𝑋4

Posteriormente, debemos definir las restricciones del problema:

Restricciones:

𝑋1 + 𝑋2 + 𝑋3 + 𝑋4 = 10.000

0,5𝑋1 + 0,1𝑋2 + 0,3𝑋3 ≥ 4.000

0,3𝑋1 + 0,15𝑋2 + 0,05𝑋3 + 0,05𝑋4 ≥ 2.500

0,15𝑋1 + 0,5𝑋2 + 0,3𝑋3 + 0,05𝑋4 ≥ 3.000

0,05𝑋1 + 0,15𝑋2 + 0,3𝑋3 + 0,3𝑋4 ≥ 500

Con:

𝑋1, 𝑋2, 𝑋3, 𝑋4 ≥ 0 (Condición de NO negatividad)

El problema en cuestión consiste en minimizar la función objetivo (Min Z). Para encontrar

la solución óptima, se utilizó el complemento Solver de Excel. Los resultados obtenidos

arrojan que la solución no es viable.

RESOLUCIÓN GRÁFICA 8.- Utilice el método gráfico para resolver este modelo: Maximizar: 𝑍 = 2𝑋 + 𝑌 Sujeta a: 𝑋 − 𝑌 ≤ 10 𝑋 ≤ 20 𝑋 ≥ 0 ; 𝑌 ≥ 0 Desarrollo: Lo primero será representar gráficamente la función objetivo y las restricciones:

La gráfica anterior muestra en color verde la función objetivo igualada a cero (0) y las restricciones X-Y≤10 y X≤20 (además de las restricciones de no negatividad) lo cual da origen a la región factible (región achurada).Para maximizar la función objetivo (max Z) necesitamos las coordenadas de los puntos A, B y C, para lo cual: El punto A es conocido y corresponde al origen. A(0,0). El punto B es conocido. B(10,0) Para conocer el punto C: Si 𝑋 = 20 Entonces:

𝑋 − 𝑌 = 10 → 𝑌 = 2(0⏞𝑋

)−10 → 𝑌 = 10

Por tanto C ahora también es conocido y corresponde a C(20,10)

Evaluando la función objetivo en los puntos A, B y C, se tiene:

𝑍(𝐴) → 𝑍(0,0) = 2(0⏞𝑋

)+ (0⏞𝑌

)= 0

𝑍(𝐵) → 𝑍(10,0) = 2(10⏞𝑋

)+ (0⏞𝑌

)= 20

𝑍(𝐶) → 𝑍(20,10) = 2(20⏞𝑋

)+ (10⏞𝑌

)= 50

Por lo tanto, Max Z corresponde al punto C(20,10) y tiene valor 50.

La gráfica siguiente muestra la función objetivo en el punto C, en el cual está alcanza su

máximo valor.