TARTALOMJEGYZÉK 1./Bevezetés

Géptervezés I. Márialigeti J. :Élettartam szám.(1994) 3/49

TARTALOMJEGYZÉK

1./Bevezetés ----------------------------------------------------------------- 5

2./Méretezési stratégiák -------------------------------------------------- 6

2.1/Méretezés L élettartamra ------------------------------------------8

2.2/Méretezés véges, L< élettartamra -----------------------------------8

2.2.1./Fail-Safe stratégia------------------------------------------------------- 8

2.2.2./Damage Tolerant stratégia-------------------------------------------- 9

2.2.3./Méretezés biztonságos élettartamra (Safe-Life stratégia) ------ 9

2.2.3.1./Méretezés kísérleti élettartam görbe alapján -----------10

2.2.3.2./Méretezés a Wöhler görbe alapján------------------------10

2.2.3.2.1./Méretezés a helyi feszültségek alapján --------10

2.2.3.2.2./A Palmgren-Miner elven alapuló módszerek 10

3./Az élettartam görbe ---------------------------------------------------11

4./Méretezés kísérletileg meghatározott élettartam görbe alapján---------------------------------------------14

4.1./Kiinduló adatok -------------------------------------------------------- 14

4.1.1./Terhelések megadása--------------------------------------------------14

4.1.2./A teherbíráseloszlás ---------------------------------------------------15

4.2./A méretezés általános modellje-------------------------------------- 16

4.2.1./A törési valószínuség meghatározása adott L élettartamra----16

4.2.2./Megengedett terhelés meghatározása adott L élettartam és tönkremeneteli valószínuség esetén ------------19

4.3./Méretezés lognormális típusú valószínuségi változók esetén ---------------------------------------------------------- 20

4.3.1./Törési valószínuség meghatározása adott alkatrész és adott élettartam esetén ---------------------------------------------20

4.3.2./Megengedett terhelés meghatározása adott L élettartam és elôírt törési valószínuség esetén --------------------21

4/49 Márialigeti J. :Élettartam szám.(1994) Géptervezés I.

4.4./Gyakorló feladatok-------------------------------------------------------- 26

4.4.1./Törési valószínuség meghatározása --------------------------------26

4.4.2./A terhelésegyüttes megengedett ma értékének meghatározása...-------------------------------------------34

5./A várható élettartam elôrebecslése a halmozódó károsodás elve alapján --------------------------------36

5.1./Bevezetés ----------------------------------------------------------------- 36

5.2./A Palmgren-Miner elv ------------------------------------------------ 37

5.3./A várható élettartam meghatározása...---------------------------- 40

5.4./Gyakorló feladatok ---------------------------------------------------- 44

5.4.1./Várható élettartam számítása... -------------------------------------44

5.4.2./Megengedett legnagyobb feszültségamplitúdó számítás... --------------------------------------48


MÉRETEZÉS RENDSZERTELEN

TERHELÉSVÁLTAKOZÁS ESETÉN

1./Bevezetés.

A rendszertelen terhelésváltakozás esetén alkalmazható méretezési eljárások napjainkban is a muszaki kutatás és fejlesztés fontos területét képezik.

Jelentôsége elsôsorban a repülés, (urhajózás) jármu-, építôgép stb. ipar területén nagy, mivel ilyen gépek esetén lépnek fel egyrészt erôteljesen váltakozó -általunk nem befolyásolható- üzemi terhelések, másrészt ezen a területen a biztonság -fôleg a létfontosságú alkatrészek, berendezések tekintetében- elsôrendu fontosságú.

Ehhez kapcsolódik a lehetô minimális súlyra, a gazdaságos anyagfelhasználásra való törekvés. Elsô rendu fontosságú tehát kellô biztonság mellet a maximális gazdaságosság elérése, ezért törekedni kell az indokolatlan túlméretezések elkerülésére.

Váltakozó igénybevétel esetén elterjedten alkalmazott az állandó amplitúdójú terhelésmodellre való méretezés, elméletileg végtelen, L

élettartamra. (Esetenként végesre is.) Sok területen ez ma is megfelelô eszköz. Erôteljesen váltakozó terhelések esetén, különösen ha az "átlagos" terhelést jelentôsen meghaladó terheléscsúcsok is fellépnek, az állandó amplitúdójú terhelésmodell esetenként jelentôs túlméretezéshez vezethet.

A másik oldalról viszont az L élettartamra sincs mindíg szükség, hanem csak egy jól meghatározott véges L élettartam biztosítása a cél. (pl. L=2.108)

Tekintettel arra, hogy mind az anyagjellemzôk (határállapoti jellemzôk) mind a terhelési jellemzôk csak valószínuségi változókként kezelhetôk, egy adott alkatrész üzemi élettartama is csak valószínuségi változóként értelmezhetô egzaktan. Ha például egy alkatrész vagy berendezés megbízhatóságáról beszélunk, az annak a valószínuségét jelenti, hogy az alkatrész egy bizonyos élettartamot elér. Például, ha egy alkatrészünk törési valószínüségére P(L<N)=p, a megbízhatóság a komplementer esemény valószínusége, vagyis a p' megbízhatóság ekkor p'=1-p.

A továbbiakban ezen kérdéskörrel foglalkozunk, nem túllépve néhány, a gyakorlatban elsôdleges fontosságú területen, az alapelvek és alpvetô eljárások tárgyalásán.

Ennek során támaszkodunk a gépelemek, mechanika, technológia stb. tárgyakban tanultakon túlmenôen a törésmechanika, a terhelésanalízis, a matematikai statisztika és a valószínuségszámítás eszközeire is.

2./Méretezési stratégiák.


Ismeretes, hogy a kifáradás folyamata elsô közelítésben, mérnöki szempontból három fô fázisra tagolható.

1./Lappangási periódus. Ezt a mikro repedések kialakulása jellemzi és a makró repedés (mérnöki eszközökkel érzékelhetô, ~0,01...0,1mm) megjelenéséig tart. Ebben a fázisban az alkatrészünk mérnöki értelemben nem károsodik, mivel a makró értelemben definiált teherbírása még nem csökkent. A kifáradási határ alatti igénybevételeknél ez az állapot marad fenn, nem keletkezik mérnöki repedés.

2./Repedés terjedési periódus. Ebben a fázisban a már létrejött repedés növekedik, (l. törésmechanika) egészen a kritikus repedéshossz értékéig. Ebben a fázisban az alkatrész már mérnöki értelemben is károsodott és a repedés észlelhetô.

3./Végsô törés fázisa. Ez, mint ismeretes, hirtelen bekövetkezô, nem megállítható végsô tönkremenetel.

A fentiek értelmében a kifáradási görbék is kétféle módon értelmezhetôk, nevezetesen a repedés megjelenéséig elviselt Nr és a végsô törést okozó Nt ciklusszám függvényében, l. 1.ábra.

1.ábra. Kifáradási görbék az Nr repedési és az Nt törési ciklusszám függvényében.

Nyilvánvaló, hogy Nr<Nt. Az Nr/Nt arány a szerkezet, igénybevétel, anyag, kialakítás stb. függvényében rendkívül nagy szórást mutat.

A repedés esetleges jelenlétének megítélése rendkívül eltérô az egyes muszaki területeken.

Statikailag túlhatározott szerkezetekben (párhuzamos kapcsolású, redundáns elemek ) a repedés "veszélyessége" nyilván más elbírálás alá eshet, mint soros rendszerben, ennek megfelelôen megítélése is más lehet. Sok esetben elkerülhetetlen a repedt elem további -legalább is korlátozott- üzemben tartása.


2.ábra. A méretezési stratégiák osztályozása.

Más a repedés megítélése annak függvényében is, hogy van-e mód illetve ésszeru-e rendszeres repedésvizsgálatokat végezni. Bizonyos területeken és egyes alkatrészek vagy szerkezeti egységek tekintetében -pl. repülés,


atomerômuvek stb.- a súlyos balesetek elkerüléséhez vagy kockázatának csökkentéséhez nélkülözhetetlen a rendszeres kontroll.

A szempontok felsorolását nem folytatva, a különbözô méretezési stratégiák alapvetôen ezen eltérô szempontokhoz és lehetôségekhez igazodnak.

A méretezési stratégiák (filozófiák) osztályozása teljesen tisztán nyilván nem lehetséges, mivel átmeneti lehetôségek mindíg vannak. A 2.ábrán látható osztályozás inkább csak a fô jellemvonásokra épít, tendencia-szeruen.

2.1.Méretezés L élettartamra.

Ebben az esetben a rendszertelen terhelésváltakozást állandó amplitúdójú terhelésmodellel helyettesítjük és kifáradási görbe, High vagy Smith diagram formában megadott határállapoti jellemzôket alkalmazunk. Az élettartam ekkor egzaktan nem definiált, hallgatólagosan elfogadjuk hogy az korlátlan, azaz LEz az eljárás igen nagy szükséges élettartam és/vagy viszonylag kevéssé változó terhelés esetén követendô eljárás. Ilyen esetekben is szükséges azonban a megbízhatóság lehetô egzakt meghatározása. (pl. motor alkatrészek, egyes hajtómu elemek, stabil gépek stb.)

2.2.Méretezés véges, L< élettartamra.

Ezekben az esetekben a rendszertelen terhelésváltakozást a méretezésnél figyelembe vesszük, általában statisztikus jellemzôkkel, terhelésegyüttes formában megadott terhelési modellel helyettesítve a tényleges véletlen terhelési folyamatot.

2.2.1.Fail-Safe stratégia.

Az alapgondolat -összhangban a törésmechanika megállapításaival- az, hogy a tönkremenetel lehetô biztos elkerülésének leghatásosabb módja, a repedés idôben való felfedezése. A törést ugyanis mindig megelôzi a repedés. A párhuzamosan kapcsolt elemek alkalmazása további biztonságot ad, mivel ekkor az egyik párhuzamosan kapcsolt elem -ellenôrzések ellenére bekövetkezô véletlen- törése még mindig nem okoz teljes tönkremenetelt a szerkezet vonatkozásában.

Normális esetben mindenik elemben a repedés idôben felfedezésre kerül, így a javítás, csere, vagy a további üzemelés lehetôsége mérlegelhetô.

Ennél a stratégiánál alapvetôen a törésmechanikai eszközök alkalmazása kerül elôtérbe. (Pl. repülés, jármuipar stb.)

2.2.2.Damage Tolerant stratégia.


Ez, mint a neve is mutatja, a repedést "elturi", még soros elemek esetén is, viszont szigorú követelményeket támaszt a repedés ellenôrzésével és a repedés detektálásakor szükséges intézkedések meghatározásával szemben. Tulajdon képpen ez a Fail-Safe filózófia egy kockázatosabb de esetenként gazdaságosabb változata. Fôleg olyan területeken alkalmazható, ahol a gondos és biztonságos repedés detektálás megvalósítható egyrészt, másrészt a repedés terjedés idôbeni alkulása biztonságosan elôre becsülhetô.

2.2.3.Méretezés biztonságos élettartamra méretezés. (Safe-Life stratégia.)

Ennél a stratégiánál repedés ellenôrzéssel nem számolunk, mivel az esetleg nem gazdaságos, vagy nem is megvalósítható. Az általános gépépítés, így a jármuvek területének nagy részén is nyilvánvaló ennek ésszerutlen volta.

Úgy kell tehát tervezni, hogy a kívánt élettartamot "biztonsággal", elérjük -legalább is katasztrofális- meghibásodás nélkül. Pontosabban -a dolog statisztikus természetébôl adódóan- kicsi legyen annak a valószínusége, hogy az elôírt élettartam elérése elôtt a tönkremenetel bekövetkezzen. Ez más szóval a megbízhatóság elôírt szintjének a teljesítését jelenti.

A tönkremeneteli valószínuség vagy megbízhatóság elôírt értéke nyilván nagyban függ a szóban forgó alkatrész fontosságától.(Minôség biztosítás!)

Gépkocsik esetén pl. a keréktárcsa, a futómuelemek, kormányszerkezet, fék stb. egyes elemei igen kis tönkremeneteli valószínuségre méretezendôk, míg más, nem létfontosságú elemeknél nagyobb tönkremeneteli valószínuséget engedhetünk meg.

Mivel mind a terhelésanalízis, mind az alkatrészek teherbírása tekintetében -különösen a relatíve nagy élettartamok tartományára- a statisztikailag kellôen alátámasztott kísérleti adathalmaz létrehozása rendkívül költség és idôigényes, a méretezés egzakt módon csak a muszaki élet néhány területén valósítható meg, a gadaságosság maximális érvényesítése mellett.(pl. repülés, urhajózás, jármuipar egyes területei, atomenergia ipar stb.)

Ismeretes az is, hogy a kifáradási folyamat elméleti leírása nincs még napjainkban azon a szinten, hogy azt a mérnöki gyakorlat extrapolációs jelleggel közvetlenül, általánosan felhasználhatná.

A felhalmozódott elméleti és kísérleti eredményekre támaszkodva azonban kielégítô eredményekre juthatunk a muszaki gyakorlat számos területén, közelítô eljárások alkalmazásával.

2.2.3.1.Méretezés kísérleti élettartam görbe alapján.


Ez az eljárás a határállapoti jellemzôk tekintetében kísérletileg meghatározott, vagy kísérleti adatok alapján közelített élettartam görbékre támaszkodik.(l. 3. fejezet.) A méretezés ekkor nagymértékben leegyszerusödik és gyakorlatilag a kívánt törési valószínuség (megbízhatóság) ellenôrzésére illetve biztosítására terjed ki. Elméletileg egzaktnak tekinthetô, amennyiben statisztikailag kellôen alátámasztott kísérleti adathalmaz áll rendelkezésünkre mind a várható üzemi terhelések, mind az alkatrész várható élettertama tekintetében.

A módszer maga természetesen más területeken is alkalmazható, ahol statisztikusan lebiztosított kiinduló adathalmaz áll rendelkezésre. Mind idôben állandó, mind állandó amplitúdójú vagy idôben állandó terhelésmodell esetén a statisztikai eljárás ugyan az, így jelentôsége a méretezés minden területén igen nagy.

2.2.3.2.Méretezés a Wöhler görbe alapján.

Ezek az eljárások "határállapoti jellemzô" tekintetében a szokásos, állandó amplitúdójú terhelésmodellel felvett kifáradási görbékbôl indulnak ki és számítás útján extrapolálnak

a várható élettartamra, rendszertelen terhelés esetén. A határállapoti jellemzôk tehát nem az alkalmazott terhelési modellre vonatkoznak. Extrapolálásról pedig azért beszélünk, mert a kifáradási görbék törési ciklusszámai kisebbek, mint a szükséges.

2.2.3.2.1.Méretezés a helyi feszültségek alapján.

Ez a koncepció abból indul ki, hogy a tönkremenetel, vagyis a repedés kialakulása, mindíg valamilyen feszültséggyujtô helyen indul meg, (bemetszés) ezért a lokális, valódi feszültség csúcsok idôbeli viselkedését vizsgálja. Külön kerül számításra az Nr repedési ciklusszám és az Nt-Nr repedés terjedési élettartam. Ez utóbbi a törésmechanika eszközeit alkalmazza, míg az Nr meghatározása a ciklikus anyagviselkedés szimulációs elemzésén alapul. Ezzel a továbbiakban nem foglalkozunk.

2.2.3.2.2.A Palmgren-Miner elven alapuló módszerek.

Ezek az ismert P-M. féle lineáris halmozódó károsodás elve alapján közvetlenül az Nt törési élettartam becslését adják. A számítás alapja a kritikus keresztmetszetben ébredô névleges feszültség, határállapoti jellemzôként a Wöhler görbékre támaszkodik.

A továbbiakban a 2.2.3.1. és a 2.2.3.2.2. fejezet szerinti eljárásokkal foglalkozunk. Ha külön nem hangsúlyozzuk, a Wöhler görbét, élettartamgörbét mindig a törési ciklusszám függvényében értelmezzük.

3.Az élettartam görbe.


A próbatestek vagy alkatrészek rendszertelen terhelésváltakozás alatti élettartamát nyilván olyan élettartam vizsgálatokkal tudjuk kísérletileg meghatározni, amelyekben a tényleges rendszertelen folyamatot hozzuk létre az alkatrészen és azt a törés bekövetkezéséig muködtetjük. A kapott törési ciklusszám az alkatrész élettartamát jelenti az adott rendszertelen folyamat esetén.

Legyen adva a terhelési folyamat Fa/Famax, terhelô erôre vonatkozó, normált amplitúdóegyüttes formájában megadva, l. 3.ábra.

3.ábra Élettartam vizsgálat rendszertelen terheléssel.

Felvéve az alkatrész d vizsgálandó átmérôjét, egy Fm középterhelést, Famax maximális erôamplitúdót valamint egy véletlen szimulációs szabály segítségével Fa/Famax értékek sorozatát "kisorsolva" a terhelésegyüttesbôl, a vizsgált keresztmetszetben a rendszertelen terhelési folyamat egy realizációját tudjuk létrehozni.

Ez a feszültségfolyamat -generálása következtében- a kiinduló terhelés-együttesnek megfelelô és a felhasznált véletlen generálási eljárás által meghatározott sorrendiségu véletlen folyamat lesz. Amennyiben a létrehozott sorrendiség statisztikai értelemben megegyezik a valóságos üzemi folyamat sorrendiségével, az alkatrészben a valóságos üzemi folyamattal nem csak nagyság szerint, hanem sorrend szerint is azonos folyamatot hoztunk létre, statisztikai értelemben. Ilyen módon tetszés szerinti terhelésegyüttesbôl kiindulva reprodukálni tudunk a valóságossal statisztikailag egyenértéku üzemi folyamatokat.

Ha most Famax változtatásával különbözô maximális feszültségamplitúdójú folyamatokat generálunk és az összetartozó N~ amax értékeket lg Amax~lgN koordinátarendszerben ábrázoljuk, az élettartam görbéhez jutunk, l. 4.ábra. A

Amax A indexe arra utal, hogy ez a lg Amax~lgN rendszerben határállapoti


jellemzô, míg a terhelésegyüttes amax amplitúdója ébredô feszültség. Természetesen ebben az esetben Amax= amax és m= M.

4.ábra. Az élettartam görbe.

Az állandó amplitúdójú feszültségfolyamattal felvett Wöhler vagy kifáradási görbétôl való megkülönböztetés céljából az igy kapott görbét élettartam görbének nevezzük.

Természetesen a statisztikus jelleg itt is megmarad, így minden egyes élettartam görbéhez rögzített p valószínüség tartozik, mint paraméter.

A tapasztalatok szerint erre is igaz a Wöhler görbénél érvényes:

A N constmax . .

(1)

típusú egyenlet, vagyis lg-lg koordinátarendszerben egyenesre jutunk.

Megjegyzések:

1./Emlékeztetünk arra, hogy állandó amplitúdójú terhelésmodellnél már a terhelések (és a határállapoti jellemzôk) megadására egy { a; m;N} három dimenziós vektort alkalmaztunk, míg a határállapoti felület { a; m;N;p} paraméteru, ahol p a valószínuség.

2./Rendszertelen terhelésváltakozás esetén a terhelést leíró vektor komponenseinek száma megnô:

- amax; m;N, -terhelésegyüttes alak, -véletlen sorrendiség generálási szabály.

Hasonló igaz az élettartam görbékre is.


A kétdimenziós ábrázolásban { Amax ;N}változó amit vezérváltozónak megtar-tunk, a többi szükségképpen rögzített.

Az élettartam görbe ilyen felépítése jó lehetôséget ad az állandó amplitúdójú terhelés eredményeként kapott Nw és a különbözô rendszertelen terhelésegyüttesu rendszertelen folyamatok által eredményezett N élettartamok összehasonlítására, l.5.ábra. A görbékhez tartozó vízszintes szakaszok a szórásra utalnak.

5.ábra. Élettartamok összehasonlítása.

Az 5.ábra alapján jól látható, hogy azonos Amax esetén -rögzített M-nél- az élettartamok a Wöhler görbéhez képest rendkívül erôsen növekednek. Jól szemlélteti ez a kérdéskör fontosságát.

Az élettartam arányok a sorrendiségtôl, az anyagtól, a kialakítástól stb. függenek. Az NG Gauss, az NE egyenesvonalú és az Nw élettartamok arányára az alábbi tájékoztató arányszámok érvényesek:

NN

NN

G

w

E

G

200 250

10

...

(2)


4.Méretezés kísérletileg meghatározott élettartam görbe alapján.(l.2.2.3.1.)

4.1.Kiinduló adatok.

4.1.1.Terhelések megadása.

Ilyen méretezési esetekben abból indulunk ki, hogy ismert a kérdéses alkatrészt terhelô üzemi terhelési folyamat, reprezentatív terhelésegyüttes formájában megadva.

Ismeretes, hogy a terhelésegyüttes egy véges hosszúságú realizációs függvény feldolgozása alapján keletkezik és ez ergodikus Gauss folyamatok esetén kielégítô mennyiségu információt tartalmaz a folyamatról.

Valójában azonban az elméleti feltételek általában csak közelítôen teljesülnek és a realizáció is korlátozott hosszúságú. Más oldalról közelítve, egy-egy valóságos termék rendkívül eltérô üzemelési körülmények közé kerülhet.

Az ebbôl adódó statisztikai bizonytalanságok figyelmbe vételének a gyakorlatban alkalmazott módja az, hogy a terehelésegyütteshez további valószínuségi para-métereket rendelünk oly módon, hogy a terhelésegyüttes legnagyobb amplitúdóját valószínuségi változóként kezeljük és ehhez illesztjük a terhelésegyüttest.

Legyen a

valószínuségi változó az abszolút feszültséggel megadott terhelésegyüttes legnagyobb feszültségamplitúdója G( amax) eloszlásfüggvénnyel.

Ekkor:

maxamaxaa GP

(3)

és a terhelésegyüttes típusa legyen minden amax érték esetén azonos, l.6.ábra, pl Gauss, egyenesvonalú, stb. eloszlású.

Ezzel tehát egy azonos típuson belül, a terhelésegyüttest is mint valószínuségi változót kezeljük. A G( amax) eloszlásfüggvény alapján meg tudjuk mondani pl. azt, hogy mi a valószínusége annak, hogy egy konkrét realizáció esetén az üzemben ténylegesen létre jövô realizáció legnagyobb feszültségamplitúdója pl. a amax értéket meghaladja. Ez akkor azt is jelenti, hogy a megvalósuló terhelési folyamat az ezen amax értékhez tartozó terhelésegyüttes szerinti lesz. Ez a terhelésegyüttes legáltalánosabb, valószínuségi megadási módja.

Megjegyzések:

1./A terhelésegyüttes ilyen megadása természetesen kiterjedt kísérleti adatbázist és alkalmasan feldolgozott üzemi tapasztalatot igényel.


2./A determinisztikusan, rögzített amax értékkel megadott terhelésegyüttes ennek speciális esete.

6.ábra. Valószínuségi paraméterekkel megadott terhelésegyüttes.

4.1.2.A teherbíráseloszlás.

A határállapoti jellemzô ebben a méretezési esetben az adott, 4.1.1. szerinti terhelésegyütteshez tartozó élettartam görbe, illetve görbe sereg, a törési valószínuségekkel együtt, l.7.ábra.

7.ábra. A teherbíráseloszlás értelmezése.


Ez az élettartam görbe sereg megadja az adott terhelésegyüttes típus esetén, a terhelésegyüttest annak legnagyobb amplitúdójával megadva, az alkatrész élettartam eloszlását, vagyis bármely Amax-ra annak a valószínuségét, hogy az alkatrész L élettartamára:

pNLP

(4)

Feltételezzük itt azt, hogy az élettartam görbe már tartalmaz minden, az alkatrész élettartamát befolyásoló tényezôt, pl. méret, megmunkálás, bemetszés stb. A továbbiakban is mindíg ezzel a feltételezéssel élünk.

Az élettartam mezôben értelmezhetjük az adott feszültséghez tartozó élettartameloszlás

mellett a rögzített ciklusszámhoz tartozó teherbírás eloszlást is, l.7.ábra.

Egy alkatrész teherbírásán általában azt a -esetünkben feszültségben kifejezett- terhelést értjük, amelyet az meghibásodás mentesen elbír. Esetünkben, mivel a teherbírás ciklusszám függô is, rögzített ciklusszámhoz tudjuk a teherbírás értelmezését rendelni. A teherbírást itt a terhelésegyüttes legnagyobb feszültségamplitúdójával kifejezve adjuk meg. (A többi paraméter rögzített.)

Legyen A

a teherbírás mint valószínuségi változó, rögzített N ciklusszám esetén. Ekkor a teherbírás valószínuségi értelmezésben:

maxAmaxAA FP

(5)

vagyis annak a valószínusége, hogy a A

teherbírásra a A < Amax, az F( Amax) érték.

Az élettartam görbe sereg ismeretében, bármely N ciklusszámhoz megadható az F( Amax) teherbíráseloszlás, amint az a 7.ábra alapján szemlélettel is belátható.

4.2.A méretezés általános modellje.

4.2.1.A törési valószínuség meghatározása adott L élettartamra.

Induljunk ki a 4.1.1. szerinti formában megadott G( amax) eloszlásfüggvényu terhelésegyüttesbôl, valamint az ezen terhelésegyütteshez tartozó élettartam görbékbôl. Legyen L=N az elôírt (tervezett) szükséges élettartam és legyen F( Amax) az alkatrész teherbírás eloszlás-függvénye az N ciklusszámnál.

Keresett annak a valószínusége, hogy a kérdéses alkatrész az N élettartamot nem éri el, vagyis


NHNLP

(6)

l. 8.ábra.

8.ábra. Az élettartameloszlás értelmezése.

Megjegyzés:

Nyilvánvaló, hogy a terhelésegyüttes egy adott amax rögzített értéke esetén a "méretezés" rendkívül egyszeru, hiszen az élettartam görbe épp ezt a törési valószínuséget adja meg. A nehézséget itt az okozza, hogy a terhelésegyüttes önmaga is valószínuségi változó, így további valószínuségszámítási meggondolásokra van szükség.

Az adott N ciklusszám elôtt törés akkor következik be, ha a véletlenül kiválasztott alkatrészre az aktuális A

teherbírás kisebb, mint az erre az alkatrészre realizálódó a

legnagyobb amplitúdójú véletlen folyamat, vagyis ha

A < a . Tehát a törés valószínuségére írható,

NHPNLP aA

(7)

Vezessük be a


A a (8)

valószínuségi változót a rögzített N ciklusszámnál.

, mint két valószínuségi változó különbsége szintén valószínuségi változó, HN(z) eloszlásfüggvénnyel. A törés feltétele tehát

00 NHPNLP

(9)

A 9.ábrán a surüségfüggvényeket ábrázoltuk sematikusan valamint a keresett törési valószínuségeket.

9.ábra. A surüségfüggvények elhelyezkedése.

A fenti gondolatmenettel bármely N értékhez a HN(z) eloszlásfüggvény megadható, így a H(N) eloszlásfüggvény megadható.

Adott élettartamgörbék esetén, a terhelésegyüttest megváltoztatva, pl. kisebb abszolút feszültségut véve, adott N értéknél a törés valószínusége csökkenthetô vagy fordítva.

Általában igaz, hogy:

maxamaxAN G;F;NHHPNLP 00 (10)

vagyis a törési valószínuség függ az N ciklusszámtól, a terhelésegyüttes valamint az élettartamgörbe statisztikai paramétereitôl.

Megjegyzések:

1./Konkrét méretezési esetre gondolva, az alkatrészben fellépô tényleges feszültség folyamat és így az azt modellezô terhelésegyüttes


feszültségértékei az adott alkatrész méretének növelésével csökkenthetôk, vagy fordítva.(Névleges feszültség csökkentése vagy növelése.) Az élettartam görbe paramétereit az anyag vagy a technológia változtatásával illetve minden olyan beavatkozással tudjuk befolyásolni, ami a kifáradási tulajdonságokra hatással van.

2./A (6..10) egyenletekben szereplô eloszlásfüggvények nem mindíg állíthatók elô analitikus formában. Bizonyos esetekben, pl. ha a lognormális eloszlás elfogadható modell a valószínuségi tulajdonságok leírására, a számítás jelentôsen egyszerüsödik.

3./A fenti általános modell nem csak az adott esetben alkalmazható, hanem idôben állandó terhelésamplitúdójú, vagy idôben állandó terhelésmodell esetén is, ha a terhelésparaméterek ill. a határállapoti jellemzôk csak valószínuségi változóként kezelhetôk. Valójában ez mindig így van, csak bizonyos esetekben a szórás olyan kicsi, hogy az elhanyagolása elfogadható közelítés, (pl. ReH megbízható technológia esetén) más esetekben pedig nem áll mindig rendelkezésre kellô statisztikai információ. Ezekben az esetekben közelítésekre vagyunk utalva.

4.2.2.Megengedett terhelés meghatározása adott L élettartam és tönkremeneteli valószínuség esetén.

A 4.2.1. pontban tárgyalt méretezési esetben abszolút feszültségértékeivel adott terhelésegyüttesbôl kiindulva (adott méretu alkatrész) határoztuk meg a törés valószínuségét.

Gyakori a fordított kérdésfeltevés, vagyis ha rögzített L=N élettartamhoz és elôírt tönkremeneteli valószínuséghez kell a megengedett terhelésegyüttest (azaz az alkatrész névleges méretét) meghatározni.

A feladat a (10) egyenlet alapján oldható meg.

Legyen H-1 a H eloszlásfüggvény G( amax) változóra vonatkozó inverz függvénye. Ekkor a (10)-bôl G-t kifejezve:

maxAmaxa F;N;PHG 01

(11)

a keresett eloszlásfüggvény, azaz a terhelésegyüttes (alkatrész keresztmetszet) adódik.

A továbbiakban lognormális eloszlások esetére alkalmazzuk a fenti általános eredményeket.


4.3.Méretezés lognormális (normális) típusú valószínuségi változók esetén.

4.3.1.Törési valószínuség meghatározása adott alkatrész és adott élettartam esetén.

Legyen a terhelésegyüttes a

maximális feszültségamplitúdója lognormális eloszlású, G(lg amax) eloszlásfüggvénnyel, azaz N(lgma;va) paraméteru normális eloszlás. Ismeretes, hogy ma ekkor a a

változó lognormális eloszlásfüggvényének az 50%-os medián értéke, l.10.ábra.

10.ábra. Törési valószínuség számítás lognormális eloszlás esetén.

Hasonlóan, legyen rögzített N esetén A

F(lg Amax) eloszlásfüggvényu normális eloszlás, N(lgmA;vA) paraméterekkel.

Rögzített N esetén ekkor a

NaA H;lglg

(12)

valószínuségi változó HN(z) eloszlásfüggvénye szintén normális eloszlásfüggvényu, NHHPNLP N 00

változókkal. (A

bizonyításra itt nem térünk ki; utalunk a valószínuségszámítási szakirodalomra.)


Így a

NHHPNLP N 00

(12*)

törési valószínuség az ismert paraméteru normális eloszlás alapján egyszeruen megadható.

Megjegyzések:

1./Mivel az adott alakú lognormális eloszlások értelmezési tartománya a a

>0, A

>0, ez a felvétel nyilván közelítés, a nagyobb biztonság irányába.

2./Mivel mind G mind F lognormális, HN(z) és H(N) is lognormális, azaz az élettartameloszlásra N>0 az értelmezési tartomány, ami szintén csak közelítés, azaz a biztosan törésmentes élettartam 0 ciklus. Kellô kísérleti adathalmaz birtokában mind a G mind a F eloszlásfüggvények három paraméteres Weibull vagy pozitív helyparaméteru lognormális eloszlásokkal is leírhatók, így elméletileg biztos, törésmentes élettartam is definiálható egy bizonyos konfidencia szinten.

4.3.2.Megengedett terhelés meghatározása adott L élettartam és elôírt törési valószínuség esetén.

A számítás tárgyalása elôtt foglaljuk össze mégegyszer, hogy milyen peremfeltételek esetén keressük a megoldást.

Adott:

1./Az alkatrészt érô rendszertelen terhelési folyamatot leíró terhelésegyüttes típus statisztikusan megadott formában úgy, hogy a amax, a terhelésegyüttesben elôforduló legnagyobb feszültségamplitúdóra G(lg amax) normális, vagyis N(lgma;va) eloszlású.

A terhelésegyüttesre a következô további feltételeket rögzítjük:

-a amax különbözô értékeihez azonos típusú terhelésegyüttesek tartoznak,

-a terhelésegyüttes szimmetrikus, rögzített m=áll. középfeszültséghez tartozik,

-az N(lgma;va) eloszlás va szórása a vizsgált tartományon állandó,

2./Az 1./ pontban leírt terhelésegyütteshez tartozó élettartamgörbe sereg és erre bármely L=N élettartam esetén az F(lg Amax) normális eloszlású, N(lgmA;vA) paraméterekkel.

Ez azt is jelenti továbbá, hogy :


-az élettartam görbe ugyan azon m= M középfeszültséghez tartozik, mint a terhelésegyüttes,

-az élettartam görbe minden olyan paraméter hatását tartalmazza, amely az élettartamra hatással van.

Megjegyzések:

1./Megengedett terhelésen itt nyilvánvalóan a terhelésegyüttes legnagyobb

amax amplitúdóját értjük, mivel a többi paraméter ennek függvényében már determinisztikusan változik és az élettartam görbe ennek az élettartamra való hatását már "tudja".

2./A terhelésegyüttes amax értékének változtatása a szóban forgó alkatrész általunk vizsgált keresztmetszetének változtatását jelenti, ilyen értelemben ez a szokásos méretezési problémával azonos.

3./Mivel a vizsgált keresztmetszet változtatása a m középfeszültség megváltozását is maga után vonja, ez a modell szigorúan véve csak m=0 esetén érvényes, vagy olyan esetekben, ha a m érték -az adott határok közötti- megváltozása az élettartamra, vagyis az élettartam görbére csak elhanyagolható befolyással van. Egyéb esetekben a m megváltozását is figyelembe kell venni. Ez elvi nehézséget nem okoz, csak a számítás válik bonyolultabbá. Ennek részletezésére itt nem térünk ki.

A fenti feltételek esetén a számítás a (10) egyenletbôl kiindulva végezhetô el, felhasználva a 4.3.1. pontban mondottakat.

Legyen H(N) az elôírt törési valószínuség értéke a rögzített N ciklusszámnál. Ekkor a (12) egyenlet felhasználásával, figyelembe véve azt hogy a

változó normális,

02

10

02 22

Nvv.

mlgmlgz

Hdze.

PNLPNH aA

aA

(13)

A fenti egyenletben lgma a keresett ismeretlen, minden más paraméter egyértelmuen adott. A (13) egyenlet H-1 függvénye ekkor a normális eloszlás inverzét jelenti.

A (13) egyenlet invertálása explicit formában nem lehetséges, ezért a megoldást a jobb áttekinthetôség érdekében a Gauss valószínuségi koordinátarendszer felhasználásával adjuk meg.

Az egyszerubb írásmód kedvéért vezessük be az alábbi jelöléseket.

Legyen

m m m

v v v

H A a

H A a

lg lg

2 2 (14)


a (13) szerinti normális eloszlású HN(z) eloszlásfüggvényu

valószínuségi

változó várható értéke és szórása, tehát HN(z) N( mH;vH) normális, és mH az ismeretlen.

mH értékét úgy kell megállapítani, hogy HN(0)=H(N) teljesüljön, ahol H(N) az elôírt törési valószínuség az N=L élettartamnál.

Legyen

mv

H

H

(15)

a

(14) paraméteru, N( mH;vH) valószínuségi változó standardizáltja,

bbP

(15*)

eloszlásfüggvénnyel. (b) ekkor N(0;1) ismert normális eloszlás és

bz m

vH

H

(16)

lineáris.

Ismeretes, (l. Mat.Stat. Alapok (27) egyenlet, 7.ábra), hogy ekkor a {HN(z);z}Gauss valószínuségi rendszerben a HN(z) egyenessel ábrázolható és ez az egyenes egyben a (16) szerinti függvény is a {b;z}tengelyu koordinátarendszerben, ahol b a redukált változó tehgely.

Mivel

H

H

H

H

N

v

m

v

mbP

zHPNHNLP 00

(17)

és (b) N(0;1) ismert, a -1 inverz függvénnyel:

01NHH HNH.vm

(18)


tehát -1[H(N)] ismeretében mH számítható, mivel

ismert N(0;1)

eloszlás.(l.11.ábra)

11.ábra. A megengedett terhelésegyüttes meghatározása.

A fenti gondolatmenet a 11.ábrán jól nyomon követhetô.

A HN(z) eloszlásfüggvény Gauss rendszerbeli egyenesérôl tudjuk, hogy átmegy a HN(0)=H(N) ponton, valamint meredeksége 1/vH, mivel HN(z) egyenese azonos a (16) egyenlettel. (A HN(z) egyenes fenti tulajdonsága következik a normalitásból is.)

A z tengelyen kijelölve a 0 kezdôpontot és alkalmas léptéket felvéve, az 1/vH meredekség iránya berajzolható.(e egyenes) HN(z) viszont átmegy a Q{0;HN(0)}ponton. Mivel HN(0)=H(N), ez a pont berajzolható és az e iránnyal Q-n párhuzamost húzva, a keresett mH paraméteru HN(z) eloszlásfüggvény adódik. Mivel mH a HN(z) várható értéke, mH a HN( mH)=0,5 értékhez közvetlenül leolvasható. Ennek alapján lgma, majd ma közvetlenül adódik.


A 11.ábrából kiindulva ma értékét analitikusan is meghatározhatjuk. A redukált változó tengelyén ugyanis közvetlenül leolvasható -1[HN(0)] értéke, így a (18) egyenlet alapján mH számítható.

Felhasználva a (14) jelöléseket,

01NHAa H.vmlgmlg

(19)

így

01

10 NH H.vAa .mm

(20)

amivel a feladatot megoldottuk.

Megjegyzések:

1./A (20) egyenletet átrendezve

Sm

mNH H.v

a

A 01

10 (21)

Mivel ma ébredô feszültség jellegu mennyiség, mA pedig -mint az élettartam görbe pontja- a rögzített N élettartamhoz tartozó határállapoti jellemzô, (megengedett feszültség) a (21) egyenlet szerinti S

alakilag hasonló a szokásos, feszültségekre vonatkoztatott "biztonsági tényezô"-vel, de itt ez egy adott törési valószínuséghez tartozó, elméletileg egzakt érték, rögzített N élettartamhoz.

2./Az S (21) szerinti alakja alapján:

0 S

(22)

elméletileg.

Feltéve, hogy vH >0, azaz van szórás, a jelenség statisztikus,

a./ S =1, ha -1[HN(0)] =0. (23) ekkor mA=ma és a 11.ábra alapján H(N)=HN(0)=0,5, a törési valószínuség ekkor 50%.

b./ S >1, ha -1[HN(0)] <0.


Ekkor mA>ma és a 11.ábra alapján H(N)=HN(0)<0,5, a törési valószínuség ekkor <50%.(A b redukált változóra: b<0.)

c./Az S <1 esetén a törési valószínuség 50%-nál nagyobb, ami a fenti gondolatmenettel könnyen belátható.

3./ S

értékét természetes módon befolyásolja vH értéke.HN(0) rögzített

értéke mellett vH növekedésével S

nô, vagyis ma (az ébredô feszültség

megengedett értékének paramétere) csökken. S

tehát, mint a közepes igénybevételre(medián) és a közepes határállapoti feszültségre (medián) vonatkoztatott biztonsági tényezô a szórás növekedésével szükségszeruen nô, ami teljesen összhangban van a szemlélettel. (A terhelések és az anyagminôség növekvô szórása esetén az "átlag" értékekre logikusan nagyobb "biztonsági tényezô" szükséges, ugyan olyan megbízhatóság eléréséhez.)

4./Vegyük észre, hogy az ma egy összetett terhelési jellemzô, valójában egy ébredô feszültségi vektor, az alábbi komponensekkel:

-N elôírt élettartam, -adott alakú terhelésegyüttes, - m rögzített folyamat középfeszültség, - amax legnagyobb terhelésamplitúdó ma várható értéke, - amax legnagyobb terhelésamplitúdó va szórása, - amax eloszlásfüggvényének típusa, -az elemi lengések sorrendiségére vonatkozó statisztikai információ.

Hasonlóan, az mA is összetett határállapoti jellemzô vektor, a fentiekkel azonos komponensekkel, mivel kiindulásunk szerint az alapul vett élettartam görbe éppen ilyen terhelési jellemzôkkel lett felvéve. A határállapoti jellemzô tere -a felvett lognormális eloszlások esetén -determinisztikus értelemben- nem tartalmaz megengedett (biztosan törésmentes) tartományt, de bármely törési valószínuséghez tartalmaz határállapoti felületet. A megengedett tartomány tehát bármely pozitív törési valószínuséghez értelmezhetô.

5./A biztonsági tényezô (21) szerinti definíciója új megvilágításba helyezi az eddig is már használt biztonsági tényezô fogalmat. Statikus terhelési modell esetén is ez a valószínuségi értelmezés adja meg a nagy vagy éppen kis biztonsági tényezô alkalmazásának egzakt magyarázatát. Nagy biztonsági tényezôt pl. akkor alkalmazunk, ha mind a terhelések nagysága, mind a teherbírás tekintetében bizonytalanságok vannak, vagy ismereteink hiányosak. Ekkor lényegében nagy szórást fogadunk el, ha azt egzaktan nem is számszerüsítjük. A nagy biztonsági tényezô alkalmazása ugyanis ezt jelenti.

4.4.Gyakorló feladatok.

4.4.1.Törési valószínuség meghatározása.


Kiinduló adatok.

1./Alkatrész.

Az ellenôrzendô alkatrész egy földmunkagép futómu felfüggesztésének egy húzásra igénybe vett eleme. A kritikus keresztmetszet és környezetének kialakítása valamint a méretei a 12.ábrán láthatók.

12.ábra. A vizsgált alkatrész kritikus keresztmetszete.

2./Terhelések.

Az alkatrész terhelése terhelésegyüttes formájában adott, l. 13.ábra.

A valóságos terhelési folyamat egy Fm középterhelés körül ingadozó váltakozó terhelés, l.13.ábra.

14.ábra. A terhelési folyamat.

A továbbiakban egy adott valószínôséghez tartozó erô (feszültség) amplitúdót p

ap

aF -vel jelölünk, ahol a p-t %-ban adjuk meg.


A terhelésértékek a terhelésegyüttes legnagyobb erôamplitúdójának adott valószínuségekhez tartozó értékeivel adottak:

F N

F N

F N

m

a

a

49 800

26 300

19 100

50

10

max

max

és a max. erôamplitúdó lognormális eloszlású.

3./Az alkatrész kifáradási jellemzôi.

Az adott alkatrésznek a megadott terhelésegyüttessel és a tényleges terhelési sorrendiséggel statisztikusan azonos sorrendiségu generált realizációjával végzett fárasztóvizsgálata alapján az élettartamgörbe sereg az alábbi módon adott:(l.15.ábra)

-A p=áll. élettartam görbék

A N constmax . .

alakúak, =6,5 kitevôvel.

-A p=50%-os görbe egyenlete:

A Nmax, . , .6 5 201 31 10

(24)

-A p=10%-os törési valószínuségi görbe Amax10 =90MPa értékhez

tartozó pontja:

N 900 1 710,

ahol az alsó index a feszültségre, a felsô a törési valószínuségre utal.

-Az F(lg Amax) feszültségeloszlások rögzített N esetén normális eloszlások.(teherbíráseloszlás)

A megadott élettartam görbét a terhelésegyütteshez meghatározott középfeszültség környezetében állandónak fogadjuk el.

FELADAT

Meghatározandó a törési valószínuség L=Nsz=1,5.108 szükséges élettartam esetén.

MEGOLDÁS.

A megoldást a 4.3.1. fejezet alapján adhatjuk meg.


A keresett P(L<1,5.108)=H(N) törési valószínuséget a (12) egyenlet alapján a P( <0)=H

N 1 5108 0, .

lognormális eloszlás adja meg, amelynek paramétereit a

terhelésegyüttes amax amplitúdóeloszlása és a rögzített N= 1,5.108-hoz tartozó élettartameloszlás paraméterei alapján adhatjuk meg.

Az ébredô feszültségek terhelésegyüttesének statisztikai paraméterei.

A terhelésegyüttes középfeszültsége:(l.1és 2. pont)

mmF

d

N

mmMPa

4 4 49 800

3551 76 51 762 2 2

.

.

.

., ,

A terhelésegyüttes legnagyobb feszültségamplitúdóinak értékei:

-50%-os valószínuségnél:

mF

d

N

mmMPaa a

amax

max.

.

.

., ,50

50

2 2 2

4 4 26 300

3527 33 27 33 (25)

-10%-os valószínuségnél:

aaF

d

N

mmMPamax

max.

.

.

., ,10

10

2 2 2

4 4 19 100

3519 85 19 85


14.ábra. A törési valószínuség meghatározása.

A G(lg amax) lognormális eloszlásfüggvény várható értékére lg lg ,maxma a

50 1 436, a szórást legegyszerubben grafikus úton határozhatjuk meg. A Gauss valószínuségi rendszerben a G eloszlásfüggvény két ismert pontja:

1029718519

50436110 ,,,lglgP

,,P

maxaa

a

ami alapján G megrajzolható, l.14.ábra. A va szórásra pedig:

134043615715084130 11 ,,,,G,Gva

(26)

Tehát G(lg amax) N(1,436;0,143) paraméteru. A 14.ábra alapján a G eloszlásfüggvénybôl a p=90%-os valószínuséghez amax=39,8MPa, míg p~99%-hoz amax=52,5MPa feszültségamplitúdó tartozik.

A teherbíráseloszlás (megengedett feszültség) meghatározása az adott N=1,5.108 élettartamnál.

A 3. pont (24) egyenlete alapján az a p=50%-os görbe és a p=10%-os gorbe a lg-lg rendszerben közvetlenül felrajzolható, az alábbi módon:(l.15.ábra)

-50%-os egyenlet két pontja a görbe egyenlete alapján:

A MPa nál Nmax , ,:, .

, .500 590

20

6 5790

1 31 10

902 59 10

A MPa nál Nmax , ,:, .

, .500 560

20

6 5860

1 31 10

603 62 10

-A p=10%-os görbe a { ; }max ,A MPa N100 190 790 10

pontja adott, az

egyenes pedig párhuzamos az 50%-os görbével.

A 90%-os görbe egy pontját, elfogadva az élettartameloszlásokra is a lognormalitást, pl. a Amax=90MPa feszültségen adódó élettartameloszlás alapján meghatározhatjuk, bár erre a számításhoz nincs szükségünk.

Az N=1,5.108 ciklusszámnál adódó F(lg Amax) eloszlásfüggvény paramétereit most is grafikus úton határozhatjuk meg a legegyszerubben.


A 15.ábra alapján, az F(lg Amax) lognormális eloszlásfüggvény két ismert pontja, a p=10%-os és a p=50%-os görbe egyenlete alapján számítható.

A p=10%-os görbe egyenlete:

197565610 100451090 .,.N. ,,

maxA

(27)

15.ábra. Az élettartam görbék.

Így:

- Amax10 értéke N=1,5.108-nál:

MPa,.,

., ,

maxA 3591051

10045 56

1

8

1910

(27*)

- Amax50 értéke N=1,5.108-nál:


MPa,

.,

.,m

,

maxAA 7681051

10311 56

1

8

2050

Az F(lg Amax) eloszlásfüggvény két ismert pontja tehát:

50831768768

10771359359

,,,lglgP,P

,,,lglgP,P

AmaxAA

AmaxAA

így az eloszlásfüggvény Gauss rendszerben megrajzolható, l.14.ábra.

A szórás a (26) egyenlettel analóg meggondolás alapján:

0508318815084130 11 ,,,,F,FvA

(28)

Így az F(lg Amax) eloszlásfüggvény N(1,83;0,05) eloszlású normális eloszlás.

A 14.ábra F eloszlásfüggvénye alapján a P~1%-hoz Amax=53MPa tartozik.

A törési valószínuség meghatározása.

A törési valószínuség a (12) egyenlet szerint a

változó HN(z) eloszlásfüggvényének HN(0) értékénél adódik, ahol HN(z)

22 05013404361831 ,,v;,,N H l.(26) és (28) összefüggéseket.

Az N(0,394;0,143) eloszlásfüggvényt a Gauss rendszerben ábrázolva, a két ismert pont felhasználásával:

84130537014303940503940,,,,P,,P

(29)

A HN(z) eloszlásfüggvényt berajzolva, a HN(0) érték egyszeruen leolvasható, tehát (l.16.ábra)

004001051 8 ,H.,NLP N

(30)

ezzel a feladatot megoldottuk.


Megjegyzések:

1./Eredményünk azt jelenti tehát, hogy az N=1,5.108 ciklusszám elôtt a törés bekövetkezésének valószínusége 0,4%, tehát statisztikusan 1000 alkatrész közül 4-nél lehet törésre számítani, a többi ezt az élettartamot túléli.

2./A 15.ábra alapján egyszeruen meg tudjuk adni más L élettartamokra is a törés valószínuségét. Pl. N=1.108 élettartamra az F'(lg Amax) eloszlásfüggvény N(lg73=1,86;0,05) paraméteru, feltéve hugy a szórás az elôzô esetével azonos. Erre a zH ,N

eloszlásfüggvény N(1,86-

1,436=0,424;0,143) paraméteru, vagyis HN(z)-vel párhuzamos, jobbra eltólt egyenes lesz, l.14.ábra. Erre a törés valószínusége leolvasva: P(L<1.108)~2.10-3. Ennek alapján, két pontja ismeretében a P(L<N) eloszlásfüggvény is megrajzolható, elfogadva erre is a lognormális eloszlást.

16.ábra. A szórás befolyása.


3./A (21) összefüggés szerint S biztonsági tényezô esetünkben:

S68 7

27 332 51

,

,, (31)

Az S

(21) szerinti kifejezését kiszámítva vH=0,143 értékkel, ami a HN(z) szórása, valamint 721040 31 ,.H N , így:

4321010 72143001

,S ,.,H.v NH

(32)

vagyis az egyezés kielégítô, a (31) szerinti értékkel.(Szerkesztési pontatlanság.)

4./A 16.ábra alapján szemléletesen adódik a szórás befolyása. ma és mA

értékét megtartva, a HN(z) eloszlásfüggvény 50%-os pontja nem változik, a vH szórás csökkentésével azonban HN(z) egyenes meredeksége nô, l.16.ábra, vagyis a 0©

NH érték csökken. Például vH' ,0 106 értékével

már 4100©NH =0,0001, vagyis a törés valószínusége ekkor már

p=0,01%-ra csökken.

Az adott feladat esetén ez vagy az ébredô feszültségek va szórásának, vagy az alkatrész teherbírás vA szórásának csökkentésével érhetô el. Az elôbbi kedvezôbb üzemi viszonyok biztosításával, míg az utóbbi az anyagminôség és a gyártási szórások csökkentésével érhetô el.

4.4.2.A terhelésegyüttes megengedett ma értékének meghatározása adott alkatrészre, rögzített L=N élettartamra és elôírt P(L<N) törési valószínuség esetén.

4.4.2.1.

Határozzuk meg a 4.4.1. feladatban szereplô alkatrész kritikus keresztmetszetének d átmérôjét, N=1,5.108 élettartam és P(L<N)=0,01 törési valószínuség esetén.

A megoldást a 4.3.2. fejezet alapján adjuk meg.

Az alkatrész szükséges keresztmetszetét olyan módon fogjuk meghatározni, hogy elsô lépésben meghatározzuk az ébredô feszültségek -adott feltételeknek megfelelô- "megengedett" terhelésegyüttesének statisztikai jellemzôit.Ezt követôen a 4.4.1. feladat 2.pontjában megadott külsô, ébredô Fa max

50 erôamplitúdók alapján a szükséges keresztmetszetet számítjuk.


A terhelésegyüttes maximális amplitúdója eloszlásfüggvényének szórását a 4.4.1. feladat (26) összefüggésében számolt 0,134 értékkel vesszük azonosnak, tehát a keresett eloszlásfüggvény G(lg amax) a következô:

1340,v;mlgNlgG aamaxa

(33)

amelyben lgma az ismeretlen.

Az N=1,5.108 ciklusszámnál a A

határállapoti jellemzô eloszlásfüggvénye a 4.4.1. feladat (27*) és (28) összefüggése alapján:

050831 ,;,NlgF maxA

(34)

paraméteru normális eloszlás, ahol lgmA=lg68,7MPa=1,83.

Így a (12) szerinti

változó HN(z) eloszlásfüggvényének (14) szerinti vH szórása a 4.4.1. feladat alapján vH=0,143.

A keresett ma meghatározásához a (20) összefüggés közvetlenül alkalmas. A 01001 ,H N értéket a 16.ábra redukált változó tengelyérôl leolvasva:

3520101 ,,

(35)

így a (20) egyenlet alapján:

MPa,.,.mm ,.,H.vAa

NH 68311076810 352143001

(36)

és a (21) szerinti S biztonsági tényezô:

Smm

A

a

68 7

31 682 16

,

,, (37)

Az alkatrész szükséges átmérôje tehát, felhasználva a 4.4.1. feladat 2.pont F Na max

50 26 300 értékét:

dF

mmma

a

4 4 26 300

31 6832 5

50.

.

.

, .,max

(38)


4.4.2.2.

Határozzuk meg az ma illetve d értékét arra az esetre, ha a terhelésegyüttes szórása a 4.4.1. feladat Megjegyzések 4./pontjában szereplô vH=0,106 érték, egyéb paraméterek változatlanok.

A (36) (37) egyenletekhez hasonlóan ekkor:

7717138

7168713810768 3521060

,,

,S

MPa,.,m ,.,a

(39)

és a szükséges alkatrész átmérô (38) alapján:

dF

mmma

a

4 4 26 300

38 7129 4

50.

.

.

, .,max

A fenti eredmény jól mutatja a szórás csökkentésének jelentôségét.

A 17.ábrába berajzoltuk mindkét esetre a H(N) eloszlásfüggvényeket, amelyek a p=0,01 ponton mennek át. A p=0,5-höz tartozó várható értékeik változása jól mutatja a szórás csökkenésének a hatását.

5./A várható élettartam elôrebecslése a halmozódó károsodás elve alapján.

5.1.Bevezetés.

A 4. fejezetben tárgyalt, kísérletileg meghatározott élettartamgörbe alapján végzett méretezési eljárás csak olyan esetekben alkalmazható, ha az élettartam görbék az adott alkatrészre rendelkezésre állnak, vagy egyéb élettartamvizsgálati adatokból ezeket megfelelô megbízhatósággal elô tudjuk állítani.

Tekintettel a kísérleti élettartamvizsgálatok nagy költség- és idôigényére, ez csak olyan esetekben járható út, ha a nagyszériás gyártás (pl. szgk. ipar) és/vagy a biztonsági követelmények (pl. repülôgépipar, urhajózás) ezt egyrészt lehetôvé, másrészt indokolttá teszik.

Egyéb esetekben olyan megoldásokra van szükség, amelyek a határállapoti jellemzôk tekintetében viszonylag egyszeruen meghatározható vagy a szakirodalomban hozzáférhetô adatokra támaszkodnak.


Az ezen fejezet tárgyát képezô, a lineáris halmozódó károsodás elvén alapuló módszerek, határállapoti jellemzôként az állandó amplitúdójú Wöhler görbékbôl indulnak ki, amelyek az esetek nagy részében rendelkezésre állnak vagy közelítô számítással meghatározhatók. Ebben rejlik ezen módszerek nagy gyakorlati jelentôsége.

5.2.A Palmgren-Miner elv.

Tekintsük egy alkatrész kritikus keresztmetszetében ébredô, m=const. középfeszültségu rendszertelen terhelési folyamatot, tehelésegyüttes formájában megadva.

Legyen az adott alkatrész m= M középfeszültséghez tartozó, állandó amplitúdójú Wöhler görbéje ismert, l.17.ábra, és legyen ADK a kifáradási határ, Nö a terhelésegyüttes ciklusszáma.(pl. 106)

17.ábra. Kiinduló adatok a PM. elvhez.

Vezessük be a a feszültségszinten a dD( a) elemi károsodás fogalmát az alábbi definició szerint:

ciklussz m

ciklussz m;

N

dNdD

at

aa

(40)

A dN( a)>0 esetén 0<dD( a)<1, ha dN elegendôen kicsi.

A d a intervallumot minden határon túl csökkentve és integrálva a 0< a< amax intervallumon, a terhelésegyütteshez tartozó D károsodás értékét kapjuk:


D

N

dNdD

maxamaxa

at

aa

00 (41)

A Palmgren-Miner (továbbiakban PM.) elv szerint a törés a károsodás D=1 értékénél következik be. D<1 esetén a terhelésegyüttes Nö ciklusszámával azonos számú rendszertelen folyamat lefutása nem okoz törést, D>1 esetén a törés már az Nö db. ciklus lefutása elôtt bekövetkezik.

Megjegyzések:

1./A (40) összefüggésben dN( a)=1 ciklust felvéve az elemi károsodásra a

ata N

dD1

(42)

adódik, az adott a feszültségszinten. a értékét rögzítve és dN értékét növelve a törés nyilván dN=Nt( a) értéknél következik be, mivel a (42) szerinti 1 ciklusra esô károsodást Nt-vel szorozva Nt/Nt=1.

2./A PM. elv (41) szerinti egyenletének analitikus megoldása a szokásos terhelésegyüttes alakok esetén általában nehézségekkel jár, így rendszerint a terhelésegyüttest lépcsôs függvénnyel közelítjük és a (41) egyenletet véges összeg formájában adjuk meg.

Legyen i=1,2,..,n a terhelésegyüttest közelítô lépcsôs függvény lépcsôinek a száma, l.18.ábra.

Ekkor a D károsodás közelítô értéke:

DNN

i

tii

n

1

(43)

ahol:

- Ni a közelítô terhelésegyüttesben a ai amplitúdójú lengések száma,

- Nti a törési ciklusszám a ai feszültségi szinten.

A (43) összefüggés a (41) integrál közelítô összege, a lépcsôszám finomításával a pontosság korlátlanul fokozható.


18.ábra. A PM. elv számítása.

3./ A PM elv (41) (43) alakja hallgatólagosan az alábbi feltételeket tartalmazza:

-a rendszertelen amplitúdósorozat sorrendisége nincs befolyással az élettartamra,

-a különbözô feszültségszinteken fellépô károsodások lineárisan összegezhetôk,

-a a< ADK feszültségamplitúdók nem okoznak károsodást, (Nt , ha

a< ADK ) -amennyiben az alapul vett Wöhler görbe a tényleges törési ciklusszámokat tartalmazza, az elv érvényességét a repedés terjedési zónában is elfogadjuk

Ezek a feltételek sem fémfizikai alapon sem kísértletekkel nem támaszthatók alá, így a PM. elv tudományosan nem tekinthetô megalapozottnak.

Ezért ez csak közelítésként fogadható el. Esetenként a ténylegesnél nagyobb, máskor kisebb élettartamot is adhat, tehát nem mindig a biztonság felé téved.

A PM. elv hiányosságainak kiküszöbölésére számos javaslat született de ezek eddig nem vezettek általános esetben is elfogadható eredményekre.

Egyetlen, széles körben alkalmazható módosítás a a< ADK feszültségamplitúdók károsító hatásának figyelembe vételére vonatkozik. A tapasztalatok szerint, ha egy terhelési folyamatban már egy a> ADK lengés elôfordult, azt követôen a a< ADK lengések is már károsodást okoznak. Ennek figyelembe vételére több közelítés létezik, l.19.ábra.


19.ábra A CD. és a Haibach közelítés elve.

A legegyszerubb megoldás, ha a Wöhler görbét a kifáradási határon túl is meghoszabbítva, a teljes N tartományon érvényesnek tekintjük, ez a Corten- Dolan (továbbiakban CD) elv. A másik megoldás a Wöhler görbe megváltozott meredekséggel való meghoszabbítása a a< ADK tartományon, szögfelezôként.

Mi a továbbiakban a CD. elv szerinti közelítést alkalmazzuk. Ez a tapasztalatok szerint konzervatív élettartam elôrebecsléshez vezet.

5.3.A várható élettartam meghatározása adott alkatrész rögzített terhelése esetén.

Kinduló adatként az alábbiak ismertek:

1./Terhelések ébredô feszültségben: -a terhelésegyüttes típusával és Nö terjedelmével, -az ébredô legnagyobb amax feszültségamplitúdó értékével, -p=P( a < amax) valószínôséggel, -az ébredô feszültségfolyamat rögzített m=áll. középfeszültségével

megadva.

2./Határállapoti jellemzôk a szóbanforgó alkatrészre: -az 1.pont szerinti m= M állandó középfeszültséghez tartozó P(Nt<N) törési valószínuséghez tartozó Wöhler görbével, ( AK KN C. )

-az adott igénybevételi módhoz és az alkatrészhez tartozó folyáshatárral (húzás:ReH, hajlítás: F

h )

megadva.

Keresett az alkatrész L élettartama.

A számításhoz a (43) egyenlet szerinti PM. elvet használjuk fel, a Wöhler görbe tekintetében pedig a CD. elvet alkalmazzuk.(l. 5.2.fejezet.)

Vegyünk fel i db. osztópontot a terhelésegyüttes vízszintes N tengelyén és legyen a terhelésegyüttest közelítô lépcsôs függvény i-edik szakaszára


ai a/ max

(l.20.ábra) és legyen N N Ni i i 1

az adott feszültségamplitúdójú

lengések abszolút száma, Nö terjedelmu terhelésegyüttesben.

20.ábra. A felosztások értelmezés

Legyen továbbá Nti az i-edik feszültséglépcsôhöz tartozó Nti törési ciklusszám.

Legyen D az adott Nö terjedelmu terhelésegyüttes egyszeri lefutása által létrehozott "károsodás".

A (43) egyenlet szerint ekkor:

DN

Ni

tii

n

1

(44)

A törés feltétele a PM. elv szerint:

k D. 1

(45)

Ez azt jelenti, hogy az Nö terjedelmu terhelésegyüttes okozta D károsodás k-szoros értékével érjük el a törés feltételét jelentô 1-es értéket. Ezt élettartamban azaz ciklusszámban megfogalmazva, k-szor ismételhetô az Nö db. cilusszám a törés bekövetkezéséig, tehát:

k N Lö.

(46)

A (45)-bôl k-et kifejezve és (46)-be helyettesítve:


L

DNö

1. (47)

A (44)-et behelyettesítve:

1

1

n

i ti

i

N

N.NL

(48)

A gyakorlati számításokhoz célszeru a (48) ôsszefüggést tovább alakítani.

Felhasználva a Wöhler görbe egyenletét:

maxamaxa

ai

K

AKi

Kti

.

CCN

(49)

és ezt (48)-ba helyettesítve és átrendezve:

1

1

n

i maxa

iaimaxaK N..C.NL (50)

Bevezetve a

qia i

a max

(51)

jelölést,

1

1

n

iiimaxaK q.N..C.NL

(52)

Megjegyzések:

1./A (52) egyenlet elônye, hogy a ai feszültségeket nem kell kiszámítani. A dimenziótlan formában megadott terhelésegyüttes közvetlenül felhasználható.


2./A (52) egyenlet átrendezésével adott L élettartamhoz közvetlenül számítható a amax ébredô feszültség legnagyobb megengedett értéke.

3./A (48) egyenletbôl kiindulva a más formában megadott bemenô adatokra is elvégezhetô a számítás. A (52) összefüggés a bemenô adatok általunk választott megadási formája esetén a legcélszerubb, mivel a fordított feladat (adott L-hez amax) megoldásához is közvetlenül felhasználható.

4./A számítás teljesen analóg módon végezhetô minden igénybevételi mód esetén.(húzás, hajlítás, csavarás stb.)

Tekintettel arra, hogy a (48) összefüggés nem tartalmaz semmilyen korlátozást, a folyáshatár átlépése elleni biztonság külön ellenôrizendô, a amax<ReH feltétellel.(Illetve az igénybevételi módnak megfelelô határállapoti jellemzôvel.)

Felmerül a kérdés, hogy ebben az esetben mit állíthatunk a számított élettartamhoz tartozó törési valószínuségrôl.

Nyilvánvaló, hogy egzakt módon semmit, mivel:

-a PM. elv eleve bizonytalanságot rejt magában,

-ha meg is adnánk a amax ébredô max. feszültségamplitúdók és az N-hez tartozó AKi "teherbírás" értékek eloszlásfüggvényeit, az eljárás formálisan sem alkalmas ezek kezelésére.

Ezért mind a terhelésegyüttes mind a Wöhler görbére p kis értéku kell hogy legyen, (1...10%, pl. csapágyaknál az utóbbi érték) és a bizonytalanságok lefedésére biztonsági tényezôt alkalmazunk.

A biztonsági tényezôt itt kétféle képpen is értelmezhetjük.

Legyen Lsz a szükséges élettartam, és legyen L a számított.

Ekkor

SL

LNsz

(53)

az élettartamra vonatkoztatott biztonsági tényezô.

Legyen egy amax legnagyobb ébredô feszültségamplitúdó esetén a számított élettartam L. Ez azt jelenti, hogy az L élettartamhoz a számítás alapján a amax legnagyobb feszültségamplitúdójú terhelésegyüttes engedhetô meg, legyen ezért a továbbiakban ennek jele a

Lmax . Ezt tekinthetjük az adott L élettartamhoz

tartozó számított teherbírásnak.(Határállapoti jellemzô)

Ha most a számítás, a valószínuségek stb. bizonytalanságainak lefedésére biztonságot alkalmazunk a legnagyobb feszültségamplitúdóra vonatkoztatva, az


S a

L

a

max

max

(54)

összefüggéssel, a szokásos, feszültségre vonatkoztatott biztonsági tényezôt definiálhatjuk.

Belátható, hogy (itt nem részletezett bizonyítás alapján)

S SN

(55)

Az S

értékére S =(1,1)1,2...1,4(1,5) érték vehetô fel, ahol is mindig mérlegelni kell a rendelkezésre álló kiinduló adatok megbízhatóságát és az alkatrész esetleges meghibásodásának következményeit.

5.4.Gyakorló feladatok.

5.4.1.Várható élettartam számítása adott alkatrész adott terhelése esetén.

Adott a 21.ábra szerinti álló tengely részlet, amelyet egy állandónak tekinthetô középterhelésre szuperponálódó rendszertelen amplitúdójú hajlító nyomaték terhel. A rendszertelen amplitúdó folyamat terhelésegyüttes formájában adott.

Határozzuk meg a tengely várható élettartamát, a 22.ábra szerinti Gauss és egyenesvonalú terhelésegyüttesre.

21.ábra. A méretezedô alkatrész.

Adatok:

Terhelô nyomatékok:

-Mm=1750Nm a nyomaték középérték,


-Mamax=752Nm a várható legnagyobb nyomatékamplitúdó, p=P(Mamax<752)=0,99.

Tengely méretek:

-d=40mm

-D=48mm

Anyag:

-Minôség:NCMo4 MSZ61

- Fh =990MPa a folyáshatár hajlításra,

-Az adott keresztmetszet kifáradási határamplitúdója

m=280MPa-nál: ADK=93MPa

m=640MPa-nál: ADK=73MPa

m=0 MPa-nál: ADK=103MPa mindhárom esetben 97%-os valószínuséghez.

-a Wöhler görbe kitevôje minden esetben: =5,1.

22.ábra. A terhelésegyüttesek és felosztása.

Megoldás.

1./Az ébredô feszültségek számítása.

A középfeszültség:


MPa

mm

N

.

.

.d

M mm 23

3

3278

32

40

101750

32

Az ébredô legnagyobb névleges feszültségamplitúdó:

MPamm

N

.

.

.d

M maxamaxa 23

3

3120

32

40

10752

32

Ellenôrzés a folyáshatár átlépése ellen:

max maxm a FhMPa MPa278 120 378 990

2./Wöhler görbe meghatározása.

Tekintettel arra, hogy az ébredô m=278MPa~280MPa= M vehetô, esetünkben a kifáradási határamplitúdó ADK=93MPa, így a Wöhler görbe Ck állandója:

AK ADK D KN N C. . . . , .,93 2 10 2 19 105 1 6 16

3./Élettartamszámítás.

Az élettartamszámítás elsô lépéseként meg kell határozni a terhelésegyütteseket közelítô lépcsôs függvényeket.

Ezt a 22.ábra szerint vettük fel, i=1...8 osztópontokkal, ahol i=1-et a lgN=0 azaz N=1 értéknél.

Megjegyezzük, hogy általában is igaz lognormáli skála esetén, hogy N=0-ra lgN , így az nem ábrázolható. Ezért a terhelésegyüttes mindig N=1-nél kezdôdik, vagyis a amax érték elôfordulási gyakorisága N1=1, ami összhangban van a terhelésegyüttes értelmezésével.( N1= N1- N0=1-0=1). Számításainkban is az elsô lépcsô a/ amax=1, és N1=1.

Az osztópontokat, a Ni értékeket és a a/ amax értékeket az 1.táblázatban foglaltuk össze, mindkét terhelésegyüttesre.

Az élettartam számítást a (52) összefüggéssel végeztük, táblázatos formában összefoglalva a részeredményeket.

Az 1.táblázat eredményei alapján tehát a várható élettartamok:

-Gauss terhelésegyüttesre, LGsz a számított élettartam:


ciklus.,,...,.

q.N..C.NL

,

n

iiimaxaK

szG

8115166

1

1

10571534731201019210

(56)

-Egyenesvonalú terhelésegyüttesre az (56) szerinti behelyettesítéseket elvégezve, LE

sz a számított élettartam:

ciklus.,,...,.L ,szE

9115166 1026212411201019210

Ezek a számított élettartamok biztonsági tényezô nélkül.


Felvéve a feszültségre vonatkoztatott biztonsági tényezôt S =1,1-re, az élettartamra vonatkozó biztonsági tényezô (55) szerint:


S SN 1 1 1 635 1, ,,

Igy a megengedett EGL élettartam a két esetre:

L LS

ciklus

L LS

ciklus

G Gsz

N

E Esz

N

., .

,, .

., .

,, .

1 1 57 10

1 639 63 10 10

1 2 26 10

1 631 4 10

87 8

99

5.4.2.Megengedett legnagyobb feszültségamplitúdó számítás adott élettartamra.

Legyen a 5.4.1. számítás szerinti tengelyre a szükséges élettartam az ott megadott esetre Lsz=2.108 ciklus, SN=1,5 biztonsági tényezôvel.

Határozzuk meg a terhelésegyüttes legnagyobb feszültségamplitúdójának megengedett értékét, mindkét terhelésegyüttes esetére.

Megoldás.

A (54) egyenletet átrendezve, adott élettartam esetén, ha L L Ssz N. , mivel a biztonság elérésére a számítással nagyobb élettartamot kell kimutatnunk,

1

1

K

n

iii

maxa C.N

q.N.L (57)

Az (57)-be behelyettesítve és figyelembe véve az SN biztonsági tényezôt:

Gauss terhelésegyüttesre:


MPa,

.,.

,.,.. ,G

maxa 691051019210

5347351102 15

1

166

8

Egyenesvonalú terhelésegyüttesre:

MPa.,.

,.,.. ,E

maxa 1781019210

124151102 15

1

166

8

Megjegyzés:

Mind a kapott feszültségek, mind a számított élettartamok jól mutatják a terhelésegyüttes alak döntô befolyását a várható élettartamra. Ez is kiemeli a terhelésanalízis fontosságát.

Mutatja egyben azt is, hogy ha még nincs is módunk pontos kísérleti terhelésanalízist végezni, célszeru akár elméleti úton mérlegelni a várható terhelésegyüttes alakot és ezt a méretezésnél ill. a biztonsági tényezô mérlegelésénél figyelembe venni.

Documents

TARTALOMJEGYZÉK 1./Bevezetés