Tautologije i valjane formule kao principi zakljuˇ · PDF fileii ELEMENTI MATEMATICKE LOGIKEˇ Predgovor Logika je nauka o logosu, pri cˇemu se pod logosom podrazumijeva govor, rijecˇ,

UNIVERZITET U TUZLI

PRIRODNO-MATEMATICKI FAKULTET

Nermin Okicic

Tautologije i valjane formule kao principizakljucivanja

- Radni materijal -

Lukavac, 2015.

i

ELEMENTI MATEMATICKE LOGIKE

Sadrzaj

1 Logicki veznici 1

2 Logicke operacije 4

3 Tautologije 5

4 Kvantifikatori 8

5 Predikatska logika 10

6 Odnosi medu predikatskim recenicama 13

6.1 Logicki kvadrat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Literatura 21

ii


Predgovor

Logika je nauka o logosu, pri cemu se pod logosom podrazumijeva

govor, rijec, smisao izrazen rijecima, pojam duha ili misao. Naju-

obicajenije shvatanje logike je da je to nauka o misljenju, o poretku

misli ili o poretku razuma. Pri tome se pretpostavlja ili podrazumi-

jeva da se razum ponasa po nekim pravilima, a ta pravila su upravo

logicka pravila. Za logiku kazu da je filozofska disciplina koja se

bavi oblicima valjane misli (G. Petrovic) ili da je to disciplina koja

se bavi nacelima dosljednog zakljucivanja. Pri tome dosljednost u

zakljucivanju ne treba da zavisi samo o znacenju recenica i rijeci,

koje mogu cak biti i nepoznate. Logicka dosljednost je nesto sasvim

apstraktno i treba da se tice same forme i oblika. Zbog toga je logika

formalna nauka.

Sta je matematicka logika? Da li je matematicka logika primjena

matematike prilikom logickih zakljucivanja, ili je neka ”strozija” pri-

mjena logike prilikom matematickih dokaza? Da li je matematika

dio logike, ili obratno, ne slazu se ni svi logicari u odgovoru. Intuici-

onisti smatraju da su matematicke konstrukcije osnova, a logicko

rasudivanje je sekundarno, dok logicisti smatraju da se matema-

tika zasniva na logici tojest, matematika je grana logike. Jedno je

sigurno: matematicka logika je jedna od matematickih teorija. Neki

njeni veliki dijelovi su: teorija skupova, teorija modela, teorija do-

kaza, teorija rekurzije itd.

Ono sto matematiku izdvaja od drugih disciplina jeste koristenje

dokaza kao glavnog alata za odredivanje istine. Pri tome se naravno

postavlja pitanje ”Sta je dokaz?”. Prakticno govoreci, dokaz je bilo

koji rezonski argument koga prihvataju i drugi matematicari. Na-

ravno da je preciznija definicija dokaza neophodna kako bi smo neki

matematicki rezon htjeli ili nehtjeli prihvatiti. Ovo predstavlja jedan

od osnovnih razloga izucavanja matematicke logike.

Matematicka logika se bavi formalizacijom i analizom vrsta rezo-

novanja koje koristimo u ostalim dijelovima matematike. Zadatak

matematicke logike nije pokusaj bavljenja matematikom per se pot-

puno formalno, nego izucavanje formalnih logickih sistema kao ma-

tematickih objekata u njihovoj sopstvenoj zakonitosti, radi dokazi-

vanja cinjenica o njima.

Jedan dio problema formalizacije matematickog rezonovanja je nuzno

vezan za preciznu specifikaciju jezika u kojem radimo. Govorni je-

zici su i odvise kompleksni i ”zivuci”, podlozni stalnim promjenama,

te su kao takvi tesko upotrebljivi u matematici. Za razliku od njih,

jezici formalne logike su kao i programski jezici, strogo odredeni,

jednostavni i fleksibilni, te ce jedan od zadataka matematicke logike

iii


upravo biti utvrdivanje jezika, kao i nase opismenjavanje u okviru

istog.

Formalni logicki sistemi zahtjevaju pazljivu specifikaciju dozvolje-

nih pravila rezonovanja, kao i neke ideje o interpretaciji tvrdenja

iskazanih u datom jeziku i utvrdivanju njihovih istinitosti. Upravo

veze izmedu interpretacije tvrdenja, istinitosti i rezonovanja su kvan-

titativno i kvalitativno stvarna vrijednost ove discipline.

1


1 Logicki veznici

Definicija 1

Negacija je unarni veznik. Negacija iskaza p, je iskaz ”nije p”,

koga oznacavamo sa ”¬p”.Negacija tacnog iskaza je netacan iskaz i obrnuto, negacija

netacnog iskaza je tacan iskaz.

Primjer 1. Ako je iskaz p tacan, tada je prema definiciji negacije

iskaz ¬p netacan i obrnuto, ako je iskaz p netacan, tada je iskaz ¬ptacan. Negacija iskaza

q : 2 + 2 = 3 ,

je iskaz ”¬q : ¬ ( 2 + 2 = 3 )”, odnosno u matematickoj terminologiji

iskazano

¬q : 2 + 2 6= 3 .

Iskaz q je netacan, pa je iskaz ¬q tacan. ♦

Definicija 2

Konjukcija je binarni veznik. Konjukcija iskaza p i q je iskaz ”p

i q”, u oznaci ”p ∧ q”.

Iskaz p ∧ q je tacan ako i samo ako su istovremeno i p i q tacni

iskazi.

Primjer 2. Neka su dati iskazi:

p : ”Kiseonik cini vodu.”,

q : ”Sumpor cini vodu.”

r : ”Vodonik cini vodu.”.

Iskazi p i r su tacni, a iskaz q je netacan. Tada je iskaz p∧q, ”Kiseonik

cini vodu i sumpor cini vodu.” ili krace, ”Kiseonik i sumpor cine

vodu.”, netacan iskaz jer je iskaz q netacan. Iskaz p ∧ r, ”Kiseonik i

vodonik cine vodu.”, je tacan iskaz jer su oba iskaza koji u njemu

ucestvuju tacni iskazi. ♦

Definicija 3

Disjunkcija je binarni veznik. Disjunkcija iskaza p i q je iskaz

”p ili q”, u oznaci ”p ∨ q”.

Iskaz p∨q je tacan iskaz ako i samo ako je bar jedan od iskaza p

i q tacan, odnosno on je netacan ako i samo ako su oba iskaza

2


netacna.

Primjer 3. Za iskaze iz prethodnog primjera, iskaz p ∨ q,

”Kiseonik ili sumpor cini vodu”,

je tacan zbog tacnosti iskaza p. Ako uvedemo i iskaz s : ”Fosfor cini

vodu”, tada ce disjunkcija q ∨ s,

”Sumpor ili fosfor cini vodu”,

zbog netacnosti oba iskaza, biti netacan iskaz. ♦

Definicija 4

Iskljucna disjunkcija ili ekskluzivna disjunkcija je binarni vez-

nik. Iskljucna disjunkcija iskaza p i q je iskaz ”ili p ili q” i

oznacavamo je sa p ⊻ q.

Iskaz p⊻q je tacan iskaz ako i samo ako je tacno jedan od iskaza

p i q tacan.

Primjer 4. Neka su dati iskazi p i q sa:

p : ”π je racionalan broj”

q : ”π je broj veci od 1”

Iskaz p ⊻ q, ”Ili je broj π racionalan broj ili je on veci od 1”, je tacan

iskaz jer je iskaz p netacan, a iskaz q tacan.

Iskaz ¬p dat je sa ”π nije racionalan broj” i on je tacan iskaz (jer je

p netacan iskaz). Tada je iskaz ¬p ⊻ q, ”ili π nije racionalan ili je on

veci od 1”, je netacan iskaz jer su oba iskaza tacna. ♦

Definicija 5

Implikacija je binarni veznik. Implikacija iskaza p i q je iskaz

”ako p onda q”, koga oznacavamo sa p ⇒ q.

Iskaz p ⇒ q je netacan ako i samo ako je iskaz p tacan, a iskaz

q netacan.

Iskaz p u implikaciji p ⇒ q nazivamo pretpostavka, premisa ili ante-

cedent, a iskaz q nazivamo zakljucak, konkluzija ili konsekvent.

Primjer 5.

Ako je danas utorak︸︷︷︸

premisa

onda je sutra srijeda.︸︷︷︸

konkluzija

3


Soba je osvijetljena︸︷︷︸

konsekvent

ako upalimo fenjer.︸︷︷︸

antecedent

♦

Iskaz p ⇒ q citamo jos kao: ”iz p slijedi q”, ”p povlaci q”, ”p samo ako

q”, ”q ako p”, ”p je dovoljan za q”, ”q je potreban za p” i sl.

Primjer 6. Primjeri iskazivanja recenice oblika p ⇒ q:

Iz uslova da su katete trougla iste︸︷︷︸

p

slijedi da je trougao jednakokrak︸︷︷︸

q

.

Rast cijena︸︷︷︸

p

povlaci smanjenje standarda.︸︷︷︸

q

Jedrenjak plovi︸︷︷︸

p

samo ako ima vjetra.︸︷︷︸

q

V jetar duva︸︷︷︸

q

ako jedrenjak plovi.︸︷︷︸

p

Za odlazak na more︸︷︷︸

q

, dovoljno je imati 1000 KM︸︷︷︸

p

.

Za odlazak na more︸︷︷︸

p

potrebno je imati 1000 KM.︸︷︷︸

q

♦

Primjer 7. Neka osoba svakog jutra kada se probudi izgovori recenicu:

”Ako je danas subota, onda je sutra petak.”

Za koje dane u sedmici je iskaz ove osobe tacan?

Ako doticna osoba ovu recenicu izgovori naprimjer u utorak, jasno

je da ima pravo, tj. ”Ako je danas subota”, sto nije, ”onda je sutra

petak”, sto takode nije. Dakle, ako je danas ”netacno”, onda i sutra

moze biti ”netacno”. Spomenuta osoba je u pravu za svaki dan

osim u subotu jer kada izgovara svoju tvrdnju u subotu, ”ako je

danas subota”, sto je tacno, ”onda je sutra petak”, sto je netacno jer

sutra mora biti nedjelja, citava recenica ima oblik ”iz tacnog slijedi

netacno” pa je ona netacna. ♦

Definicija 6

Ekvivalencija je binarni veznik. Ekvivalencija iskaza p i q je

iskaz ”p ako i samo ako q”, u oznaci p ⇔ q.

Iskaz p ⇔ q je tacan ako i samo ako su iskazi p i q iste istinitosti,

tj. ako i samo ako su istovremeno oba tacni ili oba netacni.

Primjer 8. Recenice

p: ”Dva trougla su podudarna.”

4


q: ”Dva trougla imaju podudarnu stranicu i uglove koji nalijezu

na tu stranicu.”

su ekvivalentni iskazi i tu cinjenicu nalazimo kao jedan od vaznih

stavova geometrije, iskazanu kao pravilo podudarnosti USU. ♦

2 Logicke operacije

Logicke operacije oznacavamo isto kao i odgovarajuce logicke vez-

nike jer su njima i motivisane. Medutim, to ipak nisu isti pojmovi;

znak ∧ u iskaznoj formuli p ∧ q je zamjena za veznik ”i” dok znak ∧u donjoj tablici oznacava operaciju na skupu {⊤,⊥}.

¬

⊤ ⊥⊥ ⊤

∧ ⊤ ⊥

⊤ ⊤ ⊥⊥ ⊥ ⊥

∨ ⊤ ⊥

⊤ ⊤ ⊤⊥ ⊤ ⊥

⇒ ⊤ ⊥

⊤ ⊤ ⊥⊥ ⊤ ⊤

⇔ ⊤ ⊥

⊤ ⊤ ⊥⊥ ⊥ ⊤

Slika 1: Logicke operacije

Definicija 7

Dodijeljivanje istinitosnih vrijednosti iskaznim slovima koja uces-

tvuju u formuli A nazivamo interpretacija formule A.

• ako formula ima samo jedan iskaz (jedno iskazno slovo), moguce

vrijednosti tog iskaza su ⊤ i ⊥, te interpretacija te formule ima

ukupno dvije.

• ako formula sadrzi dva iskaza, moguce vrijednosti tih iskaza

u paru su (⊤,⊤), (⊤,⊥) , (⊥,⊤) i (⊥,⊥), te interpretacija ima

ukupno cetiri.

• ako formula sadrzi tri iskaza, moguce vrijednosti tih iskaza su

sljedece uredene trojke: (⊤,⊤,⊤), (⊤,⊤,⊥), (⊤,⊥,⊤), (⊥,⊤,⊤),(⊤,⊥,⊥), (⊥,⊤,⊥), (⊥,⊥,⊤) i (⊥,⊥,⊥), te interpretacija ima

ukupno osam.

Generalno, u slucaju da formula sdrzi n iskaznih slova, broj od-

govarajucih razlicitih n-torki je 2n, tojest razlicitih interpretacija te

formule moze biti 2n.

Primjer 9. Neka je data iskazna formula A : (p ⇒ q) ∧ ¬p ⇔ ¬q.Uzmemo li da je τ (p) = ⊤ i τ (q) = ⊥, dobijamo jednu (od mogucih

cetiri) inerpretaciju formule A, (⊤ ⇒ ⊥) ∧ ¬⊤ ⇔ ¬⊥.

5


Za drugi izbor istinitosnih vrijednosti iskaznih slova, τ (p) = ⊤ i

τ (q) = ⊤ dobijamo drugu interpretaciju (⊤ ⇒ ⊤) ∧ ¬⊤ ⇔ ¬⊤. ♦

3 Tautologije

Medu svim iskaznim formulama iskazne algebre, jedne imaju po-

sebnu vaznost.

Definicija 8

Formula F je tautologija ako u svakoj svojoj interpretaciji ima

tacnu vrijednost.

Sada cemo dati spisak poznatijih tautologija sa njihovim imenima.

1. Zakon iskljucenja treceg - Tertium non datur

p ∨ ¬p .

Ovaj zakon je fundamentalan jer na njemu pociva klasicna lo-

gika, tj. logika u kojoj su jedine moguce istinitosne vrijednosti

tacno i netacno.

2. Zakon neprotivurijecnosti

¬(p ∧ ¬p) .

Tautoloske implikacije

3. Zakon odvajanja - Modus ponendo ponens ili krace Modus po-

nens (koji tvrdi)

p ∧ (p ⇒ q) ⇒ q .

Prepricano, on tvrdi da ako vazi p i ako iz p slijedi q (p ⇒ q) onda

zakljucujemo da vazi i q, sto je osnovni princip deduktivnog

zakljucivanja.

4. Modus tollendo tollens (koji negira)

¬q ∧ (p ⇒ q) ⇒ ¬p .

Ovim zakonom se temelji princip opovrgavanja. On u sustini

ima sljedece znacenje: ako smo iz neke pretpostavke (ovdje p)

zakljucili pogresan zakljucak (ovdje q), onda nam je pretpos-

tavka pogresna. Ovaj metod je izuzetno primjenljiv u raznim

empirijsko-deduktivnim naukama.

6


5. Modus ponendo tollens (koji tvrdi i negira)

¬(p ∧ q) ∧ p ⇒ ¬q .

6. Modus tollendo ponens (koji negira i tvrdi)

¬p ∧ (p ∨ q) ⇒ q .

7. Zakon pojednostavljivanja

p ∧ q ⇒ p .

8. Zakon dodavanja

p ⇒ p ∨ q .

9. Zakon hipotetickog silogizma (tranzitivnost implikacije)

(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r) ⇒ (p ⇒ r) .

10. Zakon nabrajanja

((p ⇒ r) ∧ (q ⇒ r)) ⇒ ((p ∨ q) ⇒ r)

11. Zakon svodenja na apsurd - Reductio ad absurdum

(p ⇒ (q ∧ ¬q)) ⇒ ¬p .

Ovaj zakon cesto koristimo u matematickim dokazima. Naime,

ako iz neke pretpostavke slijedi kontradiktornost (q ∧ ¬q) onda

nije dobra pretpostavka, tj. vazi suprotno od pretpostavke.

12. Istina iz proizvoljnog - Verum ex quolibet

p ⇒ (q ⇒ p) .

13. Iz laznog proizvoljno - Ex falso quolibet

¬p ⇒ (p ⇒ q) .

Ovaj zakon pokazuje da ako bi neka teorija bila protivrijecna,

tj. ako bi u njoj mogli naci kontradikciju, onda ona ne bi

bila besmislena samo zbog te cinjenice, nego i zbog toga sto

bi svako tvrdenje u toj teoriji bilo teorema.

14. Pirsov zakon

((p ⇒ q) ⇒ p) ⇒ p .

7


15. Zakon zakljucivanja iz suprotnog - Ex contrario

(¬p ⇒ p) ⇒ p .

I ovaj zakon cesto koristimo u matematickim dokazima. Na-

ime, ako pretpostavimo da neki iskaz ne vazi i iz toga za-

kljucimo da on ipak mora da vazi, onda iz svega toga zakljucujemo

da taj iskaz mora biti tacan. U sustini on se svodi na Zakon

svodenja na apsurd jer iskazi ¬p i ¬p ⇒ p zajedno daju kontra-

dikciju.

Tautoloske ekvivalencije

16. Zakon dvojne negacije

¬¬p ⇔ p

17. Zakon kontrapozicije

(p ⇒ q) ⇔ (¬q ⇒ ¬p) .

18. De Morganovi zakoni

¬(p ∧ q) ⇔ ¬p ∨ ¬q ; ¬(p ∨ q) ⇔ ¬p ∧ ¬q .

19. Zakoni ekvivalencije za implikaciju, disjunkciju i konjukciju

(p ⇒ q) ⇔ ¬p ∨ q ,

p ∨ q ⇔ ((p ⇒ q) ⇒ q) ,

p ∧ q ⇔ ¬(p ⇒ ¬q) .

Prvi navedeni zakon koristimo za zamjenu implikacije negaci-

jom i disjunkcijom, drugi koristimo za eliminaciju disjunkcije

njenom zamjenom pomocu implikacije i treci koristimo za za-

mjenu konjukcije pomocu negacije i implikacije.

20. Zakon negacije implikacije

¬(p ⇒ q) ⇔ p ∧ ¬q .

21. Zakon ekvivalencije

(p ⇔ q) ⇔ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) .

22. Zakon unosenja i iznosenja

(p ∧ q ⇒ r) ⇔ (p ⇒ (q ⇒ r)) .

8


23. Zakon apsorpcije

p ∧ (p ∨ q) ⇔ p ; p ∨ (p ∧ q) ⇔ p .

24. Zakon idempotentnosti

p ∧ p ⇔ p ; p ∨ p ⇔ p .

25. Zakoni komutativnosti konjukcije i disjunkcije

p ∧ q ⇔ q ∧ p ; p ∨ q ⇔ q ∨ p .

26. Zakoni asocijativnosti konjukcije i disjunkcije

p ∧ (q ∧ r) ⇔ (p ∧ q) ∧ r ; p ∨ (q ∨ r) ⇔ (p ∨ q) ∨ r .

27. Zakoni distributivnosti

p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) ,

p ∨ (q ∧ r) ⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) .

Koristimo li i simbole ⊤ i ⊥, bilo kao logicke konstante, bilo kao

zamjenu za iskaze p∨¬p (uvijek tacan iskaz) i p∧¬p (uvijek netacan

iskaz), tada su tautologije i formule

(p ∧ ⊤) ⇔ p ; (p ∧ ⊥) ⇔ ⊥ ; (p ∨ ⊤) ⇔ ⊤ ; (p ∨⊥) ⇔ p ,

(p ⇒ ⊤) ⇔ ⊤ ; (p ⇒ ⊥) ⇔ ¬p ; (⊤ ⇒ p) ⇔ p ; (⊥ ⇒ p) ⇔ ⊤ ,

(p ⇔ ⊤) ⇔ p ; (p ⇔ ⊥) ⇔ ¬p ,

(p ⇒ p) ⇔ ⊤ ; (p ⇔ p) ⇔ ⊤ .

4 Kvantifikatori

Izraz x < 3, interpretiran kao formula koja se odnosi na prirodne

brojeve, ne moze biti ni tacan ni netacan jer njegova tacnost ovisi

o tome koju vrijednost iz skupa N uzima promjenljiva x. Ali, ako

datu formulu dopunimo prefiksom za svaki prirodan broj x ili

postoji prirodan broj x, tada vec ima smisla govoriti o tacnosti

takve formule. Ove prefikse nazivamo kvantifikatori ili kvantori i

obiljezavamo ih posebnim simbolima.

Ako sa P (x) oznacimo recenicu koju citamo ”x ima osobinu P ”, onda

recenicu

Za svaki x, x ima osobinu P

9


zapisujemo simbolicki

(∀x) P (x) .

Simbol ”∀” citamo ”za svaki”, ”za svaku”, ”za svako”, ”za sve”, ”bilo

koji”, ”ma koji” i naziva se univerzalni kvantifikator. Znak ”∀” pred-

stavlja obrnuto slovo ”A”, kao prvo slovo engleske rijeci ”All” (sve).

Njime naglasavamo da je neka tvrdnja (P (x)) ”uvijek” tacna, tj. za

svako a iz nekog skupa A je τ (P (a)) = ⊤. Naprimjer, u recenici

”Svaki covjek ima pet cula.” sa kvantifikatorom ”svaki” naglasavamo

da je recenica ”Covjek ima pet cula.” univerzalno tacna.

Recenicu ”postoji x tako da x ima osobinu P ” zapisujemo sa

(∃x) P (x) .

Simbol ”∃” citamo ”postoji” i naziva se egzistencijalni kvantifikator.

Znak ”∃” predstavlja obrnuto slovo ”E”, prvo slovo engleske rijeci

”Exist” (postoji). U obicnom govoru rijeci ”neki”, ”za neko”, ”bar

jedan” ukazuju na koriscenje egzistencijalnog kvantifikatora. Njime

naznacavamo da je neka tvrdnja (P (x)) ”ponekad” tacna, tj. postoji

a iz nekog skupa A, za koga je τ (P (a)) = ⊤. U recenici ”Neki ljudi

imaju sesto culo.” kvanifikatorom ”neki” naglasavamo da je recenica

”Covjek ima sesto culo.” ponekad tacna.

Tako bi sada na pocetku spomenuta formula izgledala

(∀x) x < 3 ; (∃x) x < 3 .

Kada zelimo da istaknemo skup na koga se odnosi dati kvantifika-

tor, sto u gornjem primjeru nismo uradili, a sto bi obicnim rijecima

receno bilo: ”svi prirodni brojevi su manji od 3” i ”postoji prirodan

broj manji od 3”, to onda mozemo uciniti na vise nacina, kao npr.

(∀x ∈ N) x < 3 ; (∃x ∈ N) x < 3 ,

ili

(∀x) (x ∈ N ⇒ x < 3) ; (∃x) (x ∈ N ⇒ x < 3) .

Koristenje kvantifikatora u zapisima, bilo jezickim bilo formalno-

logickim, nazivamo kvantifikacija. Kada iskazemo recenicu ”Svaki

covjek je dobar”, njenu kvatifikaciju iskazujemo na sljedeci nacin,

( svaki covjek ) covjek je dobar .

Ako ”covjeka” zamjenimo varijablom x, tada ovo iskazujemo sa

(∀x) x je dobar .

Dakle, varijablu x stavljamo tamo gdje je i bila u recenici, a kvanti-

fikator prefiksiramo otvorenoj recenici (x je dobar) i ”dodijelimo” mu

10


tu varijablu. Time ustvari naglasimo da je kvantificirana varijabla

x, tj. da smo varijablu vezali kvantifikatorom.

Kvantifikacija moze biti i visestruka. Naprimjer recenicu ”Za svaki

lonac postoji poklopac.” kvantificiramo tako sto otvorenoj recenici

”poklopac od lonca” prefiksiramo prvo kvantifikator ”Postoji”, a onda

takvoj recenici prefiksiramo kvantifikator ”Za svaki”. Tako dobijamo

recenicu

Za svaki lonac, postoji poklopac, tako da je poklopac od lonca.

Ako varijablu ”lonac” zamjenimo sa x, a varijablu ”poklopac” sa y,

to onda izgleda

(∀x)(∃y) y je poklopac od x .

5 Predikatska logika

Od terma (izraz koji nema istinitosnu vrijednost) se do recenica (for-

mula) dolazi kada terme povezemo relacijskim simbolima i logickim

simbolima. Gramaticki gledano, relacije igraju ulogu glagola koji

u recenici odreduju predikat, pa otuda odgovarajuce formule zo-

vemo predikatske, a dio logike koji se takvim recenicama bavi na-

zivamo predikatska logika. Kada se termi povezu odgovarajucim

relacijskim znakom dobijamo najjednostavnije formule koje nazi-

vamo atomarne formule. Ovaj pojam formalno uvodimo sljedecom

definicijom.

Definicija 9

Neka je Rni n-arni relacijski znak i t1, t2, ..., tn termi. Tada se

izraz

Rni (t1, t2, ..., tn)

naziva atomarna formula.

Primjer 10. Recenica ”Jery je mis” primjer je atomarne recenice. U

ovoj recenici Jery je term, a na njega djeluje relacija ”biti mis”. Ako

datu relaciju oznacimo sa M , onda datu recenicu citamo M(Jery).Recenica ”Zlata je Semirova majka”, je takode atomarna recenica

u kojoj su Zlata i Semir termi, a relacija je ”biti majka”. Ako ovu

relaciju oznacimo sa ”Majka”, onda data recenica se moze zapisati

sa Majka(Zlata, Semir). Uocavamo da je bitan poredak terma u

datoj relaciji jer nije isto reci Majka(Semir, Zlata) (”Semir je Zlatina

majka.”) ♦

11


Kombinujuci atomarne formule sa logickim operacijama i kvanti-

fikatorima dobijamo slozenije formule, koje nazivamo predikatske

formule.

Primjer 11. Primjer pravljenja slozenijih formula od atomarnih u

kontekstu skracenijeg zapisa moze biti:

Jery je mis. Svaki mis ima rep. Dakle, Jery ima rep.

Atomarnu recenicu ”Jery je mis.” zapisimo sa Mis(Jery) ili krace

M(Jery). Recenicu ”Svaki mis ima rep.” sa (∀ mis)Rep(mis) ili krace

(∀ mis)R(mis). Tada recenica ”Jery ima rep.” glasi Rep(Jery) ili

R(Jery).Sada gornja argumentacija izgleda ovako

(M(Jery) ∧ (∀ mis)R(mis)) ⇒ R(Jery) .

Pri tome, broj argumenata (objekata, individua) u predikatu odre-

duje njegovu duzinu, a koju cemo zvati mjesnost predikata. Ako se

lista argumenata predikatske recenice sastoji od samo jednog argu-

menta, kazemo da je predikat jednomjesan, ako se sastoji od dva

argumenta, govorimo o dvomjesnom predikatu. U opstem slucaju,

ako se lista argumenata sastoji od n argumenata, govorimo o n-

mjesnom predikatu.

Bilo koji n-mjesni predikat predstavlja atomarnu recenicu. Pri tome

jednomjesni predikat nazivamo osobina ili svojstvo. Kako cemo mi

najcesce koristiti jednomjesne i dvomjesne predikate, razmotrimo

nekoliko situacija u vezi njih.

Ako kvantifikatorima djelujemo na jednomjesni predikat P (x), dobi-

jamo iskaze (∀x)P (x) i (∃x)P (x).Ako kvantifikatorima djelujemo na dvomjesni predikat P (x, y), dobi-

jamo ponovo predikatske recenice:

P1(x) := (∀y)P (x, y)

P2(x) := (∃y)P (x, y)

P3(y) := (∀x)P (x, y)

P4(y) := (∃x)P (x, y) .

U predikatima P1 i P2 varijabla y je vezana, a varijabla x je slobodna,

dok je u predikatima P3 i P4 varijabla x je vezana, a varijabla y je

slobodna.

Vezivanjem slobodnih varijabli u gornjim predikatima dobijamo no-

12


vih osam formula koje predstavljaju iskaze:

Q1 := (∀x)P1(x) := (∀x)(∀y)P (x, y)

Q2 := (∃x)P1(x) := (∃x)(∀y)P (x, y)

Q3 := (∀x)P2(x) := (∀x)(∃y)P (x, y)

Q4 := (∃x)P2(x) := (∃x)(∃y)P (x, y)

Q5 := (∀y)P3(x) := (∀y)(∀x)P (x, y)

Q6 := (∃y)P3(x) := (∃y)(∀x)P (x, y)

Q7 := (∀y)P4(x) := (∀y)(∃x)P (x, y)

Q8 := (∃y)P4(x) := (∃y)(∃x)P (x, y) .

Predikatske formule koje su opstevazece nazivamo valjane formule.

Neke od najvaznijih valjanih formula dat cemo u obliku teorema.

Teorem 1: O zamjeni mjesta kvantifikatorima

Neka je F proizvoljna predikatska formula. Sljedece formule su

valjane:

1. (∀x)(∀y)F ⇔ (∀y)(∀x)F .

2. (∃x)(∃y)F ⇔ (∃y)(∃x)F .

3. (∃x)(∀y)F ⇒ (∀y)(∃x)F .

Teorem 2: De Morganovi zakoni za kvantifikatore

Neka je F proizvoljna predikatska formula. Sljedece formule su

valjane:

1. ¬(∀x)F ⇔ (∃x)¬F .

2. ¬(∃x)F ⇔ (∀x)¬F .

Teorem 3

Neka su F i G proizvoljne predikatske formule. Sljedece for-

mule su valjane:

1. (∀x)(F ∧G) ⇔ (∀x) F ∧ (∀x) G

2. (∃x)(F ∧G) ⇒ (∃x) F ∧ (∃x) G

13


3. (∀x) F ∨ (∀x) G ⇒ (∀x)(F ∨G)

4. (∃x) (F ∨G) ⇔ (∃x) F ∨ (∃x) G

5. (∀x) (F ⇒ G) ⇒ ((∀x) F ⇒ (∀x) G)

6. (∃x) (F ⇒ G) ⇔ ((∀x) F ⇒ (∃x) G)

7. (∀x) (F ⇔ G) ⇒ ((∀x) F ⇔ (∀x) G)

8. (∃x) (F ⇔ G) ⇔ ((∃x) F ⇔ (∃x) G).

6 Odnosi medu predikatskim recenicama

Iskazi koji imaju predikatsku formu (x ima osobinu P ) mogu se di-

jeliti po kvantitetu, po kvalitetu, po modalitetu i po relaciji. U ovom

dijelu mi cemo se bazirati na podjele po kvantitetu i kvalitetu predi-

katskih recenica.

Po kvantitetu iskaze dijelimo u tri klase:

1. univerzalne,

2. partikularne i

3. singularne.

Univerzalni iskazi govore o nekoj osobini koju imaju svi clanovi neke

skupine. Naprimjer, iskaz

”Sve ribe disu na skrge.”.

Partikularnim iskazom tvrdimo da bar jedan (a mozda i svi) clan

skupine ima neku osobinu. Takav je iskaz,

”Postoji vodena zivotinja koja dise plucima.”.

Singularni iskazi nam govore o osobini pojedinog clana skupine na-

primjer,

”Som dise na skrge.”.

Po kvaliteti iskaze dijelimo na:

1. afirmativne,

2. negativne i

3. limitativne.

14


Afirmativnim iskazom tvrdimo da subjekat (entitet) ima neku oso-

binu,

”Djeca su iskrena.”

Negativni iskaz nam govori da subjekat nema neku osobinu,

”Postoje ljudi koji nisu iskreni.”

Limitativnim iskazom govorimo da subjekat ima neku osobinu opi-

sanu negacijom,

”Politicari su neiskreni.”.

Kombinujuci gornje podjele dolazimo do raznih oblika iskaza. Tako

jedan univerzalan iskaz moze biti afirmativan, negativan ili limitati-

van i u tom slucaju ga nazivamo univerzalno-afirmativan , univerzalno-

negativan ili univerzalno-limitativan iskaz. Takode je moguce pra-

viti partikularno-afirmativne, partikaularno-negativne i partikularno-

limitativne iskaze.

Primjer 12. Iskaz oblika (∀x) P (x) je univerzalno-afirmativan. Kon-

kretan primjer bi bio, ”Svi ljudi su dobri.”

Iskaz oblika (∀x) ¬P (x) je univerzalno-negativan. Naprimjer, ”Svi

ljudi nisu dobri.”

Iskaz oblika (∃x) P (x) je partikularno-afirmativan. Takav je iskaz,

”Postoje dobri ljudi.”

Iskaz oblika (∃x) ¬P (x) je partikularno-negativan iskaz. Naprimjer,

”Postoji osoba koja nije dobra.” ♦

U ovom dijelu zelimo posmatrati predikatske recenice izrazene jed-

nomjesnim predikatom P (x), gdje je varijabla x iz neke skupine (do-

mena) subjekata i njihovim medusobnim odnosima. Pri tome cemo

podrazumijevati da subjekti o kojima pricamo postoje. Naime, u

recenici ”Svi ljudi su dobri.”, eksplicitno se ne zahtjeva postojanje

niti jednog ”covjeka” tojest, datu recenicu shvatamo na nacin da

ako postoji covjek, onda su svi ljudi dobri. Koristeci kvantifikaciju i

negaciju, moguce je napraviti sljedece iskaze:

(∀x) P (x) , ¬(∀x) P (x) , (∀x) ¬P (x) , (∃x) P (x) , ¬(∃x) P (x) , (∃x) ¬P (x) .

Nas ce zanimati odnosi izmedu ovako konstruisanih iskaza koje na-

zivamo jednostavni iskazi i to odnos koji izrazava opoziciju (suprot-

nost). To je odnos u kome jednim iskazom negiramo (nijecemo) ono

sto tvrdimo drugim iskazom. To negiranje moze biti:

• kontrarno, potpuno ili suprotno,

• kontradiktorno ili protuslovno,

15


• subalternirano ili podredeno i

• subkontrarno ili podsuprotno.

Kod para iskaza koji se nalaze u jednom od gore navedenih odnosa

subjekti i predikati su isti, a ono sto cini dati odnos je koristenje

kvantifikatora (kvantitet) i negacija (kvalitet).

Kontrarni iskazi Kontrarni iskazi su jednaki po kvantitetu (uni-

verzalni), a razliciti su po kvalitetu (jedan je afirmativan, a drugi

je negativan). Kod kontrarnih sudova, prvi sud je univerzalno-

afirmativan, a drugi je univerzalno-negativan. Dakle, govorimo o

paru iskaza oblika:

I1 : (∀x) P (x) i I2 : (∀x) ¬P (x) .

Primjer 13. Iskazi

”Svi kicmenjaci su uspravni.”

”Svi kicmenjaci nisu uspravni.” ,

su medusobno kontrarni iskazi. Ili,

”Svi parni brojevi su prirodni brojevi.”

”Svi parni brojevi nisu prirodni brojevi.” ♦

Dati odnos nazivamo suprotnom opozicijom ili kontrarnost. Kod kon-

trarnih iskaza ne mogu oba iskaza biti istiniti ili drugacije receno

bar jedan mora biti neistinit. Naprimjer, iskaz

”Svi ljudi su smrtni.”

je tacan iskaz, ali njemu kontraran iskaz

”Svi ljudi nisu smrtni.”

je netacan iskaz. Naravno da ovdje moze doci do nejasnoce jer kod

kontrarnih iskaza oba iskaza mogu biti netacna. Naime, iskazi

”Svi lavovi su macke.”

”Svi lavovi nisu macke.”

jesu kontrarni, ali ni jedan od njih nije tacan (postoje i morski la-

vovi).

16


Kontradiktorni iskazi Kontradiktorni iskazi su razliciti i po kvan-

titetu i po kvalitetu. Jedan od njih je univerzalno-afirmativan, a

drugi je partikularno-negativan. Takvi iskazi predstavljaju par is-

kaza oblika:

I1 : (∀x) P (x) i I2 : (∃x) ¬P (x) .

Primjer 14. Iskazi

”Svi studenti vole logiku.”

”Neki studenti ne vole logiku.”,

primjer su kontradiktornih iskaza. Takode, kontradiktorni su i is-

kazi

”U svim trouglovima zbir uglova je 180◦.””Postoji trougao u kome zbir uglova nije 180◦.” ♦

Ovaj odnos nazivamo protivurijecnost ili kontrdiktorna opozicija, a

cesto i kratkoce radi kontradikcija. Dva kontradiktorna iskaza ne

mogu oba istovremeno biti istinita. Iskazu

”Svi prirodni brojevi su pozitivni.”,

koji je tacan iskaz, kontradiktoran je iskaz

”Postoji prirodan broj koji nije pozitivan.” ,

koji je ocigledno netacan iskaz. U kontradikciji se nalaze i sljedeca

dva iskaza:

(∀x ∈ R) x+ 0 = x , (∃x ∈ R) x+ 0 6= x .

Prvi od njih je tacan, a drugi netacan iskaz. Medutim, posmatrajmo

iskaz

”Sve sto sija je zlato.”

i naravno da je to netacan iskaz. Njemu kontradiktoran iskaz je

”Postoji nesto sto sija, a nije zlato.” ,

a on je tacan iskaz. Ovo nam govori da dva iskaza koja su u kon-

tradikciji ne mogu istovremeno biti ni netacni. Dakle, zakljucujemo

da kontradiktorni iskazi ne mogu biti istovremeno oba tacni niti is-

tovremeno oba netacni tojest, ako je jedan od njih tacan, drugi je

netacan.

17


Subalternirani iskazi Za dva iskaza koja su jednaka po kvaliteti,

a razliciti po kvantiteti kazemo da su subalternirani. Jedan od tak-

vih iskaza je univerzalno-afirmativan, a drugi je onda partikularno-

afirmativan ili je jedan univerzalno-negativan, a drugi partikularno-

negativan. Ove dvije varijante u opstem slucaju predstavljaju pa-

rove iskaza:

I1 : (∀x) P (x) i I2 : (∃x) P (x) ,

ili

I1 : (∀x) ¬P (x) i I2 : (∃x) ¬P (x) .

Primjer 15. Iskazi

”Svi ljudi su pametni.”

”Neki ljudi su pametni.”,

su subalternirani iskazi. Druga varijanta subalterniranih iskaza su

iskazi

”Svi kosarkasi nisu visoki.” i

”Neki kosarkasi nisu visoki.” ♦

Za ovaj odnos kazemo da je subalternirajuca opozicija, podredenost

ili subalternacija. Ako su dva iskaza u subalternaciji, za onaj od njih

koji je univerzalnog tipa kazemo da je subalternirajuci ili nadreden,

a onaj koji je partikularnog tipa je subalterniran ili podreden.

Oba iskaza koji su u subalternaciji mogu biti istiniti. Naprimjer,

”Sve sto postoji je sastavljeno od atoma.” i

”Nesto sto postoji je sastavljeno od atoma.” ,

su iskazi u subalternaciji i oba su tacni iskazi.

Iskazi koji su u alternaciji mogu biti oba i neistiniti. Naprimjer,

”Sve ptice su sisari.” (netacno) i

”Postoji ptica koja je sisar.” (netacno).

Kod ove vrste odnosa moguce je da nadredeni iskaz bude neistinit,

a podredeni da bude istinit. Iskazi

”Na svim planetama postoji zivot.” i

”Postoji planeta na kojoj postoji zivot.” ,

jesu u alternaciji, ali prvi od njih (nadredeni) je netacan (na Mer-

kuru nema zivota), a drugi (podredeni) je tacan (Na Zemlji postoji

zivot).

Kod subalterniranih iskaza nije moguca jedino varijanta da nadredeni

18


iskaz bude tacan, a da podredeni bude netacan. Zaista, nadredeni

iskaz je univerzalan, govori da neku osobinu imaju svi subjekti, a

podredeni je partikularan, govori da tu osobinu imaju neki subjekti.

Time ce tacnost prvog iskaza (svi imaju osobinu) uzrokovati tacnost

i drugog iskaza (neki imaju osobinu), drugacije receno, sto vrijedi

za sve, vrijedi i za neke. Ovo mozemo iskoristiti i u kontrapoziciji,

sto ne vrijei za neke nece vrijediti ni za sve. Naprimjer, ako je tacan

iskaz

”Svi politicari su korumpirani.”,

tacan je i njemu subalterniran iskaz

”Neki politicari su korumpirani.”

Subkontrarni iskazi Subkontrarni iskazi su jednaki po kvanti-

tetu (partikularni), a razliciti su po kvalitetu (jedan je afirmativan,

a drugi negativan). Dakle, to su iskazi gdje je jedan partikularno-

afirmativan, a drugi partikularno-negativan. U formalnom zapisu

to je par iskaza oblika:

I1 : (∃x) P (x) i I2 : (∃x) ¬P (x) .

Primjer 16. Iskazi

”Neki politicari su posteni.” i

”Neki politicari nisu posteni.” ,

su subkontrarni iskazi. Subkontrarnost je takode i medu iskazima

”(∃x ∈ R) sinx = 0.” i

”(∃x ∈ R) sinx 6= 0.”. ♦

Za iskaze u ovom odnosu kazemo da su subkontrarni, podsuprotni,

subkontrarno opozicioni, a odnos nazivamo subkontrarnost.

Subkontrarni sudovi mogu biti istovremeno istiniti. Naprimjer, is-

kazi

”Postoji plava ruza.” i

”Postoji ruza koja nije plava.” ,

su istiniti subkontrarni iskazi. Od dva subkontrarna iskaza moze

biti jedan istinit, a drugi neistinit. Iskaz

”Neki ljudi su smrtni.” ,

je tacan, a njemu subkontraran iskaz

19


”Neki ljudi nisu smrtni.” ,

je netacan iskaz. Za subkontrarne iskaze nije moguce da su oba

istovremeno netacni. U sustini, subkontrarni sudovi tvrde da ”nesto

jeste” i ”nesto nije”, pa je jasno da se jedno mora dogoditi. Dakle,

od dva subkontrarna iskaza bar jedan mora biti tacan iskaz.

6.1 Logicki kvadrat

Medu iskazima predikatskog oblika, razlikujuci ih po kvantitetu i

kvalitetu, uocili smo cetiri vrste odnosa. Tradicionalno ti se odnosi

prikazuju dijagramom na slici 2, koga nazivamo logicki kvadrat.

(∃x)P (x) (∃x)¬P (x)

(∀x)¬P (x)(∀x)P (x) KontrarnostSubalt

ern

acij

a

Subalt

ern

acij

a

Subkontrarnost

KontradikcijaK

ontrad

ikcija

I O

EA Kontrarnost

Subalt

ern

acij

a

Subalt

ern

acij

a

Subkontrarnost

KontradikcijaK

ontrad

ikcija

Slika 2: Logicki kvadrat

Uobicajeno se univerzalno-afirmativan iskaz oznacava samoglas-

nikom ”A”, univerzalno-negativan sa ”E”, partikularno-afirmativan

sa ”I” i partikularno-negativan sa ”O”, radi jednostavnijeg crtanja

logickog kvadrata.

Primjer 17. Posmatrajmo iskaz (A) ”Svi ljudi su smrtni.”, koji je

tacan.

I

⊤

O

⊥

E

⊥

A

⊤

Kontrarnost

Subalt

ern

acij

a

Subalt

ern

acij

a

Subkontrarnost

KontradikcijaK

ontrad

ikcija

Njemu kontraran iskaz (E) je ”Svi ljudi nisu

smrtni.” i on je netacan iskaz. Subalter-

nirajuci iskaz (I), ”Neki ljudi su smrtni.”

je tacan iskaz, a kontradiktoran iskaz (O),

”Neki ljudi nisu smrtni.” je netacan iskaz.

To bi u logickom kvadratu predstavili slikom

sa strane. ♦

Znajuci istinitosne odnose izmedu iskaza A,E,I i O, treba primjetiti

sljedece:

20


Ako znamo da je iskaz A tacan, tada je iskaz E netacan, iskaz I

tacan i iskaz O netacan.

Ako znamo da je iskaz E tacan, tada je A netacan, I je netacan i O

je tacan iskaz.

Ako znamo da je iskaz I netacan, tada je A netacan, E je tacan i O

je tacan.

Ako znamo da je O netacan, tada je E netacan, A tacan i I tacan

iskaz.

Ovo mozemo generalizovati tvrdnjom da ako znamo da su univer-

zalni iskazi tacni ili ako znamo da su partikularni iskazi netacni,

onda znamo istinitost svih ostalih iskaza u logickom kvadratu.

Ako znamo da je iskaz A netacan, tada jedino znamo da je iskaz O

tacan, a za iskaze E i I ne mozemo utvrditi sa sigurnoscu njihovu

istinitost.

Ako znamo da je iskaz E netacan, tada jedino znamo da je iskaz I

tacan, a za iskaze A i O ne mozemo utvrditi sa sigurnoscu njihovu

istinitost.

Ako znamo da je iskaz I tacan, tada jedino znamo da je iskaz E

netacan, a za iskaze A i O ne mozemo utvrditi sa sigurnoscu nji-

hovu istinitost.

Ako znamo da je iskaz O tacan, tada jedino znamo da je iskaz A

netacan, a za iskaze E i I ne mozemo utvrditi sa sigurnoscu njihovu

istinitost.

Dakle, ako znamo da su univerzalni iskazi netacni ili partikularni

iskazi da su tacni, tada nemamo pouzdanu informaciju o tacnosti

svih iskaza logickog kvadrata.

Primjer 18. Posmatrajmo univerzalno-afirmativne iskaze (A), ”Svi

ptice lete.” (netacno) i ”Svi neograniceni nizovi su konvergentni.”

(netacno). Formirajuci za njih logicke kvadrate vidimo da pouzdano

znamo jedino istinitost iskaza O (tacan), a da za iskaze E i I su

moguce dvije varijante. ♦

I

⊤

O

⊤

E

⊥

A

⊥

Kontrarnost

Subalt

ern

acij

a

Subalt

ern

acij

a

Subkontrarnost

KontradikcijaK

ontrad

ikcija

(a) ”Sve ptice lete.”

I

⊥

O

⊤

E

⊤

A

⊥

Kontrarnost

Subalt

ern

acij

a

Subalt

ern

acij

a

Subkontrarnost

KontradikcijaK

ontrad

ikcija

(b) ”Svi neograniceni nizovi su konvergentni.”

21


Literatura

[1] S. G. Simpson: Mathematical Logic, The Pensilvania State Uni-

versity, 2005.

[2] S. Bilaniuk: A Problem Course in Mathematical Logic, Trent

University, Peterborough Ontario, Canada, 2003.

[3] Z. Silic: Novija filozofija matematike, Nolit, Beograd 1987.

[4] M. Vukovic: Matematicka logika 1, Sveuciliste u Zagrebu, Za-

greb 2006.

[5] http://www.iq-testovi.com/test-logickog-razmisljanja.php

[6] http://www.321.ba/logike

[7] http://gimnazija-osma-tbrezovackog-zg.skole.hr/

[8] http://marul.ffst.hr/ logika/seminar/doku.php

Documents

Tautologije i valjane formule kao principi zakljuˇ · PDF fileii ELEMENTI MATEMATICKE LOGIKEˇ Predgovor Logika je nauka o logosu, pri cˇemu se pod logosom podrazumijeva govor, rijecˇ,