Eötvös Loránd TudományegyetemTermészettudományi Kar

Többes integrálok matematikaiés fizikai alkalmazásai

Témavezető:Fehér LászlóEgyetemi docensAnalízis Tanszék

Készítette:Boda Lívia

Matematika BScElemző szakirány

Budapest2017

Tartalomjegyzék

Köszönetnyilvánítás 4

Bevezetés 5

1. Többváltozós integrál téglán 6

1.1. Többváltozós integrál értelmezése téglán . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2. Kettős integrál kiszámítása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3. Példafeladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2. Többváltozós integrál Jordan-mérhető halmazon 12

2.1. Jordan-mérték . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2. Többesintegrál Jordan-mérhető halmazon . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3. Az integrál kiszámítása normáltartományon . . . . . . . . . . . . . . 14

2.4. Példafeladat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3. Integráltranszformáció 16

3.1. Az integráltranszformáció fogalma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.2. Az integráltranszformáció alkalmazása . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.2.1. Polárkoordináták . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.2.2. Hengerkoordináták . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.2.3. Gömbi koordináták . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4. Alkalmazások 26

4.1. Területszámítás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.2. Térfogatszámítás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.3. Átlagérték . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.4. Tömeg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.5. Tömegközéppont . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.6. Tehetetlenségi nyomaték . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Hivatkozások 43

1

Köszönetnyilvánítás

Ezúton szeretnék köszönetet mondani témavezetőmnek, Fehér Lászlónak, aki preci-zitásával, szakértelmével és ötleteivel hozzájárult a szakdolgozatom elkészítéséhez.

Emellett szeretném megköszönni szüleimnek és testvéremnek, hogy tanulmányaimsorán mindvégig mellettem álltak, támogattak és biztattak.

2

Bevezetés

Mindig is sejtettem, hogy a matematika milyen lenyűgöző és sokrétű tudományág.Ez a feltételezés az egyetemi tanulmányaim alatt egyértelműen be is bizonyosodott,hiszen betekintést nyertem a matematika különböző területeibe. Az évek folyamán ameglévő tudásomat sikerült egyre jobban elmélyítenem, emellett pedig napról napraújabb és újabb ismereteket szereztem. A kedvenc területemmé az analízis vált,így nem is volt kérdés számomra, hogy a szakdolgozatomban valamilyen analízisselkapcsolatos témával foglalkozzak. Így esett a választásom a többváltozós függvényekintegrálására és a többes integrálok alkalmazásaira.

Szakdolgozatomban tehát a többváltozós függvények integrálásával és a többes in-tegrálok alkalmazásaival foglalkozok.Munkámat négy részre bontottam:Az első részben értelmezem a többes integrálok fogalmát egyszerű tégla tartomá-nyon.Ezután, a második részben kiterjesztem ezt a fogalmat általánosabb tartományokra.Az integráltranszformáció segítségével egyszerűbb tartományokra, könnyebben meg-oldható integrálási feladatokra vezetem vissza a bonyolult problémákat a harmadikrészben.És végül felsorolok néhány matematikai illetve fizikai felhasználást az utolsó rész-ben.Minden fejezetben találhatóak példafeladatok, melyek az éppen tárgyalt elméletmegértését és elsajátítását segítik elő.

3

1. Többváltozós integrál téglán

1.1. Többváltozós integrál értelmezése téglán

Probléma: Egy lapos tetős ház tetején vastag hóréteg van, egy szélvihar hatásáraa felülete hullámos lett. Szeretnénk meghatározni a hóréteg súlyát.

Jelölje R = [a, b] × [c, d] téglalap a ház alapterületét. Valamint legyenek a = x0 <x1 < · · · < xn−1 < xn = b és c = y0 < y1 < · · · < yk−1 < yk = d tetszőlegesfelosztásai az R téglalapnak.Jelölje Rij az R téglalap tetszőleges felbontásából származó kis téglalapot, aholRij = [xi−1, xi]× [yj−1, yj], 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ k.Továbbá jelölje z = f(x, y) kétváltozós függvény a hó magasságát az (x, y) ∈ Rpontban.Ekkor mij = inff(x, y) : (x, y) ∈ Rij jelöli az Rij kis téglalapra eső hóréteg vas-tagságának minimumát, és Mij = supf(x, y) : (x, y) ∈ Rij jelöli az ugyanezen Rij

kis téglalapon lévő hóréteg vastagságának maximumát.Ekkor az Rij alapterületű test térfogatának közelítése, (Vij) felírható a következő-képpen: t(Rij) ·mij ≤ Vij ≤ t(Rij) ·Mij, ahol t(Rij) az Rij téglalap területét jelöli.Nyilván, ha az egész hóréteg térfogatát szeretnénk megkapni, akkor összegeznünkkell a kapott Vij közelítéseket. Tehát az R alapterületű test térfogatának, (V ) köze-lítése felírható

V ≈n∑i=1

k∑j=1

Vij

alakban.Tehát

n∑i=1

k∑j=1

t(Rij) ·mij ≤ V ≤n∑i=1

k∑j=1

t(Rij) ·Mij

A célunk az, hogy ezt az egyenlőtlenséget egyetlen szám elégítse ki, mégpedig azáltalunk keresett hóréteg térfogata.

1.1.1. Definíció. Az R = [a, b]×[c, d] tégla felosztásán az Rij = [xi−1, xi]×[yj−1, yj]téglák rendszerét értjük, ahol a = x0 < x1 < · · · < xn−1 < xn = b és c = y0 < y1 <· · · < yk−1 < yk = d.Az xi és yi pontokat a felosztás osztópontjainak, az Rij téglákat pedig a felosztásosztótégláinak nevezzük.

1.1.2. Definíció. Legyen f : R → R korlátos függvény, valamint legyen mij =inff(x, y) : (x, y) ∈ Rij és Mij = supf(x, y) : (x, y) ∈ Rij ∀1 ≤ i ≤ n-re és1 ≤ j ≤ k-ra.Az

sF (f) =n∑i=1

k∑j=1

t(Rij) ·mij

és

SF (f) =n∑i=1

k∑j=1

t(Rij) ·Mij

4

összegeket az f függvénynek az F = Rij felosztásához tartozó alsó illetve felső össze-gének nevezzük.

Azokat a függvényeket fogjuk integrálhatónak nevezni, amelyekre teljesül, hogy csakegyetlen szám esik a függvény összes alsó és felső összege közé.Ez a tulajdonság teljesül minden korlátos függvény esetén. A következőkben eztfogjuk belátni.

1.1.1. Lemma. Legyen f : R→ R korlátos, és legyen az F’ felosztás az F felosztásfinomítása. Ekkor sF (f) ≤ sF ′(f) és SF (f) ≥ SF ′(f).

Bizonyítás:Először is belátjuk, hogy ha az F’ felosztás egyetlen új osztópont hozzávételével ke-letkezik F -ből, akkor sF (f) ≤ sF ′(f) .Ha az F felosztás valamelyik Rij osztótégláját az új felosztás kettévágja, akkor az ffüggvény infimuma mindkét részben legalább mij = inff(x) : x ∈ Rij, és így e kétrész együttes adaléka az sF ′ alsó összeghez legalább mij · t(Rij).Ebből már egynél több osztópont hozzávételére is következik az állítás, hiszen eze-ket egyenként hozzávéve F-hez, az alsó összeg minden lépésben nő vagy változatlanmarad.Ezután hasonlóképpen belátjuk, hogy ha az F’ felosztás egyetlen új osztópont hoz-závételével keletkezik F -ből, akkor SF (f) ≥ SF ′(f).Ha az F felosztás valamelyik Rij osztótégláját az új felosztás kettévágja, akkor az ffüggvény szuprémuma mindkét részben legalább Mij = supf(x) : x ∈ Rij, és ígye két rész együttes adaléka az SF ′ felső összeghez legfeljebb Mij · t(Rij).

Hasonlóan, mint az előbb, egynél több osztópont hozzávételére is következik az állí-tás, hiszen ezeket egyenként hozzávéve F -hez, a felső összeg minden lépésben csökkenvagy változatlan marad.

1.1.2. Lemma. Legyen f : R → R korlátos. Ha F1 és F2 két tetszőleges felosztása[a, b]-nek, akkor sF1(f) ≤ SF2(f).

Bizonyítás:Legyen F az F1 és F2 felosztások egyesítése, azaz legyenek F osztópontjai mindazoka pontok, amelyek F1-nek vagy F2-nek osztópontjai. Ekkor F finomítása F1-nek ésF2-nek is.Figyelembe véve, hogy sF (f) ≤ SF (f) (mert mij ≤Mij ∀i, j-re), az előző lemmábólazt kapjuk, hogy sF1(f) ≤ sF (f) ≤ SF (f) ≤ SF2(f).

Jelöljük F -fel az R tégla összes felosztásainak halmazát. Az előző lemma szerintbármely F2(f) ∈ F felosztásra az SF2(f) felső összeg felső korlátja az sF (f) :F ∈ F halmaznak. Így e halmaz legkisebb felső korlátja, vagyis a supF∈F sF (f)mennyiség nem nagyobb SF2(f)-nél bármely F2 ∈ F -re. Más szóval supF∈F sF (f)alsó korlátja az SF : F ∈ F halmaznak, amiből azt kapjuk, hogy

supF∈F

sF (f) ≤ infF∈F

SF (f)

5

Nyilvánvaló, hogy egy I valós számra akkor és csak akkor teljesül sF (f) ≤ I ≤ SF (f)minden F felosztásra, ha

supF∈F

sF (f) ≤ I ≤ infF∈F

SF (f)

Ezzel beláttuk, hogy bármely korlátos f függvényre van olyan szám, amely az összesalsó és felső összeg közé esik.

1.1.3. Definíció. Legyen f : R → R korlátos függvény. Az f függvényt az R tég-lán integrálhatónak nevezzük, ha supF∈F sF (f) = infF∈F SF (f). A supF∈F sF (f) =infF∈F SF (f) számot az f függvény R téglán vett integráljának nevezzük és

∫Rf(x, y) dx dy -

nal jelöljük.

1.1.4. Definíció. Legyen f : R→ R korlátos függvény. A supF∈F sF (f) mennyisé-get f alsó integráljának nevezzük és

∫Rf(x, y) dx dy -nal jelöljük.

Az infF∈F SF (f) számot pedig f felső integráljának nevezzük és∫Rf(x, y) dx dy -nal

jelöljük.

Az előzőekben bevezetett jelölésekkel a következőképp írható fel az 1.1.1. Definícióés az 1.1.1.Lemma:

1.1.1. Tétel. 1. Tetszőleges korlátos f : R→ R függvényre fennáll∫Rf(x, y) dx dy ≤

∫Rf(x, y) dx dy.

2. Egy I valós számra akkor és csak akkor teljesül sF (f) ≤ I ≤ SF (f) minden Ffelosztásra, ha

∫Rf(x, y) dx dy ≤ I ≤

∫Rf(x, y) dx dy.

3. Az f akkor és csak akkor integrálható R-en, ha∫Rf(x, y) dx dy =

∫Rf(x, y) dx dy, és ekkor∫

R

f(x, y) dx dy =

∫R

f(x, y) dx dy =

∫R

f(x, y) dx dy

1.2. Kettős integrál kiszámítása

1.2.1. Tétel. Legyen T = [a, b]× [c, d] zárt téglalaptartomány. Ha az f(x, y) függ-vény folytonos T -n, akkor

x

T

f(x, y) dx dy =

d∫c

b∫a

f(x, y) dx dy =

b∫a

d∫c

f(x, y) dy dx

1.2.1. Definíció. Az F (x, y) függvény kétszer differenciálható, ha egyszer differen-ciálható és parciális deriváltjai is differenciálhatóak.

6

1.2.2. Tétel (Young-tétel). Ha a kétváltozós f(x, y) függvény ∂xf(x, y) és ∂yf(x, y)parciális deriváltjai léteznek az (a, b) ∈ R2 pont egy környezetében és differenciálha-tóak az (a, b) pontban, akkor ∂xyf(a, b) = ∂yxf(a, b).

1.2.3. Tétel. Ha F (x, y) kétszer differenciálható és F ′′xy = f , akkor

b∫a

d∫c

f(x, y) dy

dx =

b∫a

(F ′x(x, d)− F ′x(x, c) dx

)=

= F (b, d)− F (b, c)−(F (a, d)− F (a, c)

)1.3. Példafeladatok

1.3.1. FeladatLegyen R = [0, 1]× [0, 1] és f(x, y) =

1 ha x, y ∈ Q0 egyébként

Kérdés: integrálható-e az f(x, y) függvény az R tartományon?

Megoldás:

Az előző tételt felhasználva, meg kell néznünk, hogy a függvény alsó integrálja illetvefelső integrálja megegyezik-e az R tartományon.Első lépésként osszuk fel tetszőlegesen az R tartományt kis téglalapokra.Az alsó összeg a következőképpen írható fel:

sF (f) =n∑i=1

k∑j=1

t(Rij) · inff(x, y)

Az f függvény infimuma az F felosztás minden kis téglalapján 0 lesz, mivel mindenkis téglalapban létezik olyan x, y, amelyre x, y /∈ Q, tehát

sF (f) =n∑i=1

k∑j=1

t(Rij) · 0 = 0

Definíció szerint ∫R

f(x, y) dx dy = supF∈F

sF (f) = supF∈F

0 = 0

Ezután írjuk fel a felső összeget is:

SF (f) =n∑i=1

k∑j=1

t(Rij) · supf(x, y)

Az f függvény szuprémuma az F felosztás minden kis téglalapján 1 lesz, mivel mindenkis téglalapban létezik olyan x, y, amelyre x, y ∈ Q, azaz

SF (f) =n∑i=1

k∑j=1

t(Rij) · 1 =n∑i=1

k∑j=1

t(Rij) = 1

7

Definíció szerint ∫R

f(x, y) dx dy = infF∈F

SF (f) = supF∈F

1 = 1

Az alsó integrál értéke tehát 0, a felső integrálé pedig 1, ezért f nem integrálhatóR-en.

Egy példa olyan függvényre, amely alsó és felső integrálja megegyezik, azaz integ-rálható R-en:

1.3.2. FeladatSzámítsuk ki az f(x, y) = xy függvény integrálját a közelítő összegek segítségévelaz R = [0, 1]× [0, 1] tartományon, úgy hogy a tartományt négyzetekre osztjuk fel akövetkezőképpen: x = i/n és y = j/n (i, j = 1, 2, . . . , n).

Megoldás:

Az alsó összeg a következőképpen írható fel:

sF (f) =n∑i=1

n∑j=1

(i

n− i− 1

n

)·(j

n− j − 1

n

)· inf(x,y)∈Rij

f(x, y)

=

=n∑i=1

n∑j=1

1

n2· i− 1

n· j − 1

n=

1

n4·

n∑i=1

(i− 1) ·n∑j=1

(j − 1) =

=1

n4·

(n− 1)((n− 1) + 1

)2

·(n− 1)

((n− 1) + 1

)2

=

=1

4n4·(n2 − n

)2=n4 − 2n3 + n2

4n4

A felosztást finomítva, azaz n-nel a végtelenbe tartva kapjuk a következőt:

limn→∞

n4 − 2n3 + n2

4n4= lim

n→∞

n4

n4 − 2n3

n4 + n2

n4

4n4

n4

= limn→∞

1− 2 1n

+ 1n2

4=

1

4

A felső közelítő összeg pedig nem más, mint:

SF (f) =n∑i=1

n∑j=1

(i

n− i− 1

n

)·(j

n− j − 1

n

)· sup(x,y)∈Rij

f(x, y)

=

=n∑i=1

n∑j=1

1

n2· in· jn

=1

n4·

n∑i=1

i ·n∑j=1

j =1

n4· n(n+ 1)

2· n(n+ 1)

2=

=1

4n4·(n2 + n

)2=n4 + 2n3 + n2

4n4

Hasonlóképpen, mint az alsó összeg esetében, a felosztás finomításával kapjuk akövetkező eredményt:

limn→∞

n4 + 2n3 + n2

4n4= lim

n→∞

n4

n4 + 2n3

n4 + n2

n4

4n4

n4

= limn→∞

1 + 2 1n

+ 1n2

4=

1

4

Tehát ∫R

xy dx dy =

∫R

xy dx dy =

∫R

xy dx dy =1

4

8

azaz az alsó és a felső integrál értéke megegyezik, tehát az f függvény integrálhatóR-en.Megjegyzés: A feladat megoldásában felhasználtuk, az első n db pozitív egész számösszegére vonatkozó összefüggést:

∑ni=1 i = n(n+1)

2

1.3.3. FeladatLegyen T az alábbi tartomány: T = [0, π] × [0, π]. Határozzuk meg az f(x, y) =sin2(x) · sin2(y) függvény integrálját a T négyzeten!

Megoldás:

Felhasználva a sin2(x) = 1−cos(2x)2

trigonometrikus azonosságot, kapjuk a következőt:

π∫0

π∫0

sin2(x) · sin2(y) dx dy =

π∫0

π∫0

1− cos(2x)

2· 1− cos(2y)

2dx d y =

=1

4·

π∫0

π∫0

1− cos(2y)− cos(2x)− cos(2x) cos(2y) dx dy =

=1

4·

π∫0

[x− x cos(2y)− 1

2· sin(2x) + cos(2y)

1

2· sin(2x)

]π0

dy =

=1

4·

π∫0

π − π · cos(2y)dy =1

4·[πy − 1

2· π · sin(2y)

]π0

=1

4π2 ≈ 2, 4649

9

2. Többváltozós integrál Jordan-mérhető halmazon

Eddig csak téglán értelmezett függvények integráljával foglalkoztunk, de érdemes ki-terjeszteni az integrál fogalmát általános tartományokra is, hiszen legtöbbször ilyentartományokon kell integrálnunk.

2.1. Jordan-mérték

Első lépésként definiáljuk a Jordan-mértéket:

2.1.1. Definíció. Tetszőleges R = [a1, b1]×· · ·×[ap, bp] ⊂ Rp téglára t(R)-rel jelöljüka (b1 − a1) · · · (bp − ap) szorzatot.

2.1.2. Definíció. Az A ⊂ Rp halmazt korlátosak nevezzük, ha van olyan [a1, b1] ×· · · × [ap, bp] tégla, amely lefedi.

Könnyen látható, hogy egy halmaz akkor és csak akkor korlátos, ha lefedhető egygömbbel.

2.1.3. Definíció. Két halmazt egymásba nem nyúlónak nevezünk, ha nincs közösbelső pontjuk.

2.1.4. Definíció. Ha A ⊂ Rp korlátos, akkor A külső mértéke a∑n

i=1 t(Ri) számokhalmazának alsó határa, ahol R1, . . . , Rn tetszőleges olyan téglák, melyek egyesítéselefedi A-t. Az A halmaz külső mértékét k(A)-val vagy kp(A)-val jelöljük.

2.1.5. Definíció. Az A halmaz belső mértéke a∑n

i=1 t(Ri) számok halmazának felsőhatára, ahol R1, . . . , Rn tetszőleges A-ban fekvő és páronként nem egymásba nyúlótéglák.Ha A nem tartalmaz téglát, akkor a belső mértéke nulla.Az A halmaz belső mértékét b(A)-val vagy bp(A)-val jelöljük.

2.1.6. Definíció. A korlátos A ⊂ Rp halmazt Jordan-mérhetőnek nevezzük, hab(A) = k(A). Ekkor A Jordan-mértéke tp(A) = t(A) = b(A) = k(A). Ha p ≥ 3,akkor a Jordan-mérték helyett térfogatot, a p = 2 esetben területet, illetve a p = 1esetben hosszúságot is mondhatunk.

2.2. Többesintegrál Jordan-mérhető halmazon

2.2.1. Definíció. Legyen A ∈ Rp Jordan-mérhető. Az A halmaz felosztásain azokataz F = A1, . . . , An halmazrendszereket értjük, amelyekre A1, . . . An egymásba nemnyúló, nemüres és mérhető halmazok, amelyek uniója A.

10

Ha f : A→ R korlátos, akkor az f függvénynek az F felosztáshoz tartozó alsó össze-ge az sF (f) =

∑ni=1mi · t(Ai) összeg, ahol mi = inf

f(x) : x ∈ Ai

(i = 1, . . . , n).

Az f függvénynek az F felosztáshoz tartozó felső összege pedig az SF (f) =∑n

i=1Mi ·t(Ai) összeg, ahol Mi = sup

f(x) : x ∈ Ai

(i = 1, . . . , n).

2.2.2. Definíció. Legyen A ∈ Rp Jordan-mérhető, és jelöljük F-fel A felosztásainakhalmazát. Ha f : A→ R korlátos, akkor a supF∈F sF mennyiséget f alsó integráljá-nak nevezzük és

∫Af dx -szel jelöljük. Az infF∈F SF számot pedig f felső integráljának

nevezzük és∫Af dx -szel jelöljük.

2.2.1. Lemma. Legyen A ⊂ Rp Jordan-mérhető és f : A → R korlátos. Ha F1 ésF2 két tetszőleges felosztása A-nak, akkor sF1(f) ≤ SF2(f).

Az előző lemmából következik, hogy∫Af dx ≤

∫Af dx minden korlátos f : A → R

függvényre.

2.2.3. Definíció. Az f függvényt integrálhatónak nevezzük az A halmazon, ha∫Af dx =∫

Af dx. Az

∫Af dx =

∫Af dx számot az f függvény A halmazon vett integráljának

nevezzük és∫Af dx -szel vagy

∫Af dx1 . . . xp-vel jelöljük.

Normáltartomány

2.2.4. Definíció. Az A ⊂ R2 halmazt normáltartománynak nevezzük, haA =

(x, y) : x ∈ [a, b], f(x) ≤ y ≤ g(x)

, ahol f és g Riemann-integrálhatóak

[a, b]-n, és f(x) ≤ g(x) minden x ∈ [a, b]-re.

2.2.1. Tétel. Ha f és g integrálhatóak [a, b]-n és f(x) ≤ g(x) minden x ∈ [a, b]-re,akkor az A =

(x, y) : x ∈ [a, b], f(x) ≤ y ≤ g(x)

által leírt normáltartomány

mérhető és a területe:

t2(A) =

b∫a

g(x)− f(x) dx

.

Bizonyítás:Adott ε > 0-hoz válasszunk olyan F1 és F2 felosztásokat, melyekre ΩF1(f) < ε ésΩF2(g) < ε. Ha F = (x0, . . . xn) az F1 és F2 felosztások egyesítése, akkor ΩF (f) < εés ΩF (g) < ε.Legyen mi(f), mi(g), Mi(f), Mi(g) az f , illetve a g függvény értékeinek infimuma,illetve szuprémuma az [xi−1, xi] intervallumban.Ekkor az [xi−1, xi]×[mi(f),Mi(g)] (i = 1, . . . , n) intervallumok lefedik az A halmazt,ezért:

k2(A) ≤n∑i=1

(Mi(g)−mi(f)

)· (xi − xi−1) = SF (g)− sf (f) <

11

<

b∫a

g(x) dx + ε−

b∫a

f(x) dx − ε

=

b∫a

g(x)− f(x) dx + 2ε

Jelöljük I-vel azon i indexek halmazát, melyekre Mi(f) ≤ mi(g).Ň Ekkor az [xi−1, xi]×[Mi(f),mi(g)] (i ∈ I) intervallumok részei A-nak és egymásbanem nyúlóak, tehát

b2(a) ≥∑i∈I

(mi(g)−Mi(f)

)· (xi − xi−1) ≥

≥n∑i=1

(mi(g)−Mi(f)

)· (xi − xi−1) = sF (g)− SF (f) >

>

b∫a

g(x) dx − ε−b∫

a

f(x) dx − ε =

b∫a

g(x)− f(x) dx − 2ε

Mivel ε tetszőleges volt, így a k2(A) =∫ bag(x) − f(x) dx + 2ε-ből és a b2(A) =∫ b

ag(x)−f(x) dx −2ε-ből következik, hogy A Jordan-mérhető és a területe

∫ bag(x)−

f(x) dx.

2.3. Az integrál kiszámítása normáltartományon

2.3.1. Tétel. Legyen f függvény folytonos a T tartományon.

1. Ha T az a ≤ x ≤ b, g1(x) ≤ y ≤ g2(x) egyenlőtlenségekkel van megadva, aholg1(x) és g2(x) folytonos függvények, akkor

x

T

f(x, y) dx dy =

b∫a

g2(x)∫g1(x)

f(x, y) dy dx

2. Ha T a c ≤ y ≤ d, h1(y) ≤ x ≤ h2(y) egyenlőtlenségekkel van megadva, aholh1(x) és h2(x) folytonos függvények, akkor

x

T

f(x, y) dx dy =

d∫c

h2(x)∫h1(x)

f(x, y) dx dy

Ezeket az eredményeket most általánosítjuk többváltozós esetre is:

2.3.1. Definíció. Ha f és g integrálhatóak a B ⊂ R2 mérhető halmazon és f(x, y) ≤g(x, y) minden (x, y) ∈ B-re, akkor azA =

(x, y, z) ∈ R3 : (x, y) ∈ B, f(x, y) ≤ z ≤ g(x, y)

halmazt az f és g által

meghatározott normáltartománynak nevezzük.

2.3.2. Tétel. Ha f és g integrálhatóak B-n és f(x, y) ≤ g(x, y) minden (x, y) ∈ B-re, akkor az A =

(x, y, z) ∈ R3 : (x, y) ∈ B, f(x, y) ≤ z ≤ g(x, y)

által leírt

normáltartomány mérhető, és térfogata∫B

(g(x, y)− f(x, y)

)dx dy.

12

2.4. Példafeladat

2.4.1. FeladatLegyen T az | x | + | y |= 1 egyenletű görbe által határolt tartomány. Számítsuk kia∫Tx2 + y2 dx dy integrál értékét!

Megoldás:

Első lépésként bontsuk fel a T tartományt:

| x | + | y |=

x+ y ha x ≥ 0 és y ≥ 0−x− y ha x < 0 és y < 0−x+ y ha x < 0 és y ≥ 0x− y ha x ≥ 0 és y < 0

∫T

x2 + y2 dx dy =

0∫−1

x+1∫−x−1

x2 + y2 dy dx +

1∫0

1−x∫x−1

x2 + y2 dy dx =

=

0∫−1

[x2y +

y3

3

]x+1

−x−1dx+

1∫0

[x2y +

y3

3

]1−xx−1

dx =

=

0∫−1

x2(x+ 1) +1

3· (x+ 1)3 −

(x2(−x− 1) +

1

3· (−x− 1)3

)dx+

+

1∫0

x2(1− x) +1

3· (1− x)3 −

(x2(x− 1) +

1

3· (x− 1)3

)dx =

=

0∫−1

8

3x3 + 4x2 + 2x+

2

3dx+

1∫0

−8

3x3 + 4x2 − 2x+

2

3dx =

=

[2

3x4 +

4

3x3 + x2 +

2

3x

]0−1

+

[−2

3x4 +

4

3x3 − x2 +

2

3x

]10

=

= −(

2

3− 4

3+ 1− 2

3

)+

(−2

3+

4

3− 1 +

2

3

)=

2

3

13

3. Integráltranszformáció

3.1. Az integráltranszformáció fogalma

Gyakran előfordulnak olyan problémák, amikor nem tudunk meghatározni egy adottintegrált. Az ilyen esetekben hasznos integráltranszformációt alkalmaznunk. Az in-tegráltranszformáció az egyváltozós függvények integrálásánál megismert helyettesí-téses integrálás analógiája. Lényege, hogy egy alkalmas helyettesítéssel az integráltegyszerűbb alakra hozzuk, és így könnyebben tudjuk megoldani a problémát.

Egyváltozós függvények helyettesítéses integrálására vonatkozó tételek:

3.1.1. Tétel. Tegyük fel, hogy a g függvény differenciálható az I intervallumban, fértelmezve van a J = g(I) intervallumon, és f -nek primitív függvénye J-n.Ekkor az (f g) · g′ függvénynek is van primitív függvénye I-n, és∫

f(g(t)

)· g′(t) dt = F

(g(t)

)+ c

ahol∫f dx = F (x) + c.

3.1.2. Tétel. Tegyük fel, hogy g differenciálható és g′ integrálható az [a, b] interval-lumban. Ha f folytonos g értékkészletén, azaz a g

([a, b]

)intervallumon, akkor

b∫a

f(g(t)

)· g′(t) dt =

g(b)∫g(a)

f(x) dx

Most általánosítjuk többváltozós esetre is:

3.1.1. Definíció. Legyenek A és B tetszőleges halmazok és f : A→ B egy leképezés.Akkor mondjuk, hogy f injekció, ha tetszőleges a, b ∈ A és f(a) = f(b) esetén a=b.

3.1.3. Tétel. Legyen G ⊂ Rp nyílt, és legyen g : G → Rp folytonosan differenci-álható. Ha H mérhető, clH ⊂ G és g injektív intH-ban, akkor g(H) is mérhető,és

t(g(H)

)=

∫H

∣∣det(g′(x)

)∣∣ dx.

Továbbá, ha f : g(H)→ R korlátos, akkor∫g(H)

f dt =

∫H

f(g(x)

)·∣∣det

(g′(x)

)∣∣ dx

abban az értelemben, hogy ha az egyik oldal létezik, akkor a másik is, és egyenlőek.

14

Megjegyzés:Szembetűnő, hogy a többváltozós esetre vonatkozó integráltranszformációs formulá-ban a Jacobi-determináns abszolút értéke, vagyis

∣∣det(g′(x)

)∣∣ szerepel, míg egyvál-tozós esetben nem |g′(x)|, hanem g′(x) van.Nézzük meg, hogy miért is szükséges az abszolút érték a többváltozós esetben:Alkalmazzuk az előzőleg kimondott tételünket a p = 1 és a H = [a, b] esetre. Legyeng : [a, b] → R folytonosan differenciálható egy [a, b]-t tartalmazó nyílt interval-lumban, és legyen g injektív (a, b)-ben. Könnyen látható, hogy ekkor g szigorúanmonoton [a, b]-ben, és így g′ állandó előjelű.Két eset lehetséges:

1. Ha g′ nemnegatív [a, b]-ben, akkor g monoton növő, és g(H) =[g(a), g(b)

].

Ekkor a tételünkben szereplő formula a következőt adja:

g(b)∫g(a)

f dt =

b∫a

f(g(x)

)· g′(x) dx

.

2. Ha g′ nempozitív [a, b]-ben, akkor g monoton csökkenő, és g(H) =[g(b), g(a)

].

Ekkor a formula a következőképpen néz ki:

g(a)∫g(b)

f dt =

b∫a

f(g(x)

)·(− g′(x)

)dx

Mindkét oldal negatívját véve kapjuk, hogy:

g(b)∫g(a)

f dt =

b∫a

f(g(x)

)· g′(x) dx

Tehát a 2. eset miatt szükséges a Jacobi-determináns abszolút értékét venni, mertha nem tennénk, akkor a tételben szereplő összefüggés rossz eredményt adna.

Nézzünk egy feladatot az integráltranszformáció alkalmazására:

3.1.1. Feladat

Legyen T az a tartomány az xy-sík első síknegyedében, melyet az xy = 1, xy = 9hiperbolák és az y = x, y = 4x egyenesek határolnak.Határozzuk meg az alábbi integrált a T tartományon:

∫T

(√yx

+√xy)

dx dy !

Megoldás:

Legyen x = uvés y = uv (ahol u, v > 0)

g(u, v) =(uv, uv)

Jacobi-mátrix:g′(u, v) =

(1v− uv2

v u

)

15

Jacobi-mátrix determinánsa:

det

(1v− uv2

v u

)=u

v+uv

v2=

2u

v

Az integrálási határok felírása:

xy =u

v· uv = u2

±√xy = u

Az elején feltettük, hogy u > 0 ezért √xy = u

y = uv

y =√xy · v

y2 = xy · v2y

x= v2

Oszthatunk xy-nal, hiszen xy > 0, mert az első síknegyedben vagyunk.Ezután négyzetgyököt vonunk mindkét oldalból. Mivel az elején feltettük, hogyv > 0, ezért csak a pozitív gyököt vesszük figyelembe:√

y

x= v

A határok:

1 ≤ xy ≤ 9

1 ≤ √xy ≤ 3

1 ≤ u ≤ 3

1 ≤ y

x≤ 4

1 ≤√y

x≤ 2

1 ≤ v ≤ 2

∫T

(√y

x+√xy

)dx dy =

2∫1

3∫1

(u+ v) ·∣∣∣∣2uv∣∣∣∣ du dv

A Jacobi-mátrix determinánsánál az abszolút érték elhanyagolható, mert u, v > 0.

2∫1

3∫1

(2u2

v+

2uv

v

)du dv = 2 ·

2∫1

3∫1

(1

vu2 + u

)du dv =

= 2 ·2∫

1

[1

v· u

3

3+u2

2

]31

dv = 2 ·2∫

1

(26

3· 1

v+ 4

)dv = 2 ·

[26

3ln | v |+ 4v

]21

=

= 2 · (6, 007 + 4) = 20, 014

16

3.2. Az integráltranszformáció alkalmazása

Polárkoordináták

A sík origótól különböző P pontjának polárkoordinátáin az (r, ϕ) számpárt értjük,ahol r a P pont origótól vett távolságát, míg ϕ az

−→OP félegyenesnek az x-tengely

pozitív felével bezárt szögét jelöli. Mivel ϕ mértéke 2π bármely egész többszörö-sével megváltoztatható, ezért minden ponthoz többféle koordinátapár adható meg.Az origó polárkoordinátákkal felírva: (0, ϕ), ahol ϕ tetszőleges lehet.

Összefüggések:x = r · cosϕy = r · sinϕr =

√x2 + y2

tgϕ = yx, ha x 6= 0

ha x = 0, akkor ϕ = π2vagy −π

2

Integrálás polárkoordinátákkal:

Jacobi-determináns:

det

(∂r cosϕ∂r

∂r cosϕ∂ϕ

∂r sinϕ∂r

∂r sinϕ∂ϕ

)= det

(cosϕ −r sinϕsinϕ r cosϕ

)=

= r · cos2 ϕ+ r · sin2 ϕ = r · (cos2 ϕ+ sin2 ϕ) = r

3.2.1. Tétel. Legyen P (r, ϕ) = (r cosϕ, r sinϕ) minden r, ϕ ∈ R esetén. Haaz A ⊂ [0,∞) × [0, 2π] halmaz mérhető, akkor P (A) is mérhető, és t

(P (A)

)=∫

Ar dr dϕ. Továbbá, ha f : P (A)→ R korlátos, akkor∫

P (A)

f(x, y) dx dy =

∫A

(f(r cosϕ, r sinϕ) · r

)dr dϕ

abban az értelemben, hogy ha az egyik oldal létezik, akkor a másik is, és egyenlőek.

Példafeladatok

3.2.1. Feladat

Legyen az A a következő tartomány: A = 1 ≤ x2 + y2 ≤ 3.Számítsuk ki az

∫A

ln(x2 + y2) dx dy integrál értékét!

Megoldás:

Térjünk át polárkoordinátákra, hogy könnyebb feladatot kapjunk.Az integrálási határok felírása:

17

1 ≤ r ≤√

3 0 ≤ ϕ ≤ 2π

∫A

ln(x2 + y2) dx dy =

√3∫

1

2π∫0

r · ln(r2 cos2 ϕ+ r2 sin2 ϕ) dϕ dr =

=

√3∫

1

2π∫0

r · ln(r2) dϕ dr = 2

√3∫

1

[r · ln(r) · ϕ

]2π0

dr = 4π

√3∫

1

r · ln(r) dr =

= 4π

[ln(r) · r2

2

]√31

−

√3∫

1

1

r· r

2

2dr

= 4π

(ln(√

3)· 3

2− ln(1) · 1

2− 1

2

[r2

2

]√31

)=

= 4π

(ln(√

3)· 3

2− 3

4+

1

4

)= 2π

(3 ln(√

3)− 1)≈ 4, 0689

A feladat megoldása során felhasználtuk a parciális integrálás szabályának határo-zott integrálokra vonatkozó formuláját:

∫ baf ′g dx = [fg]ba −

∫ bafg′ dx

3.2.2.Feladat

Legyen A az (x − 1)2 + y2 = 1 és az (x − 2)2 + y2 = 4 egyenletű körök közé esőtartomány az első síknegyedben.Integráljuk az f(x, y) = y függvényt ezen a tartományon!

Megoldás:

Térjünk át polárkoordinátákra, ezzel sokkal egyszerűbbé tesszük a feladat megoldá-sát.Az integrálási határok felírása:0 ≤ ϕ ≤ π

2

Általánosan az r: Az ábrán jelölje r a húrt.Állítsunk merőlegest a kör középpontjá-ból a húrra. Jelölje a merőleges egyenesés a húr metszéspontját P . Ekkor az OPszakasz r

2hosszúságú lesz, mivel a közép-

pontból a húrra húzott merőleges egyenesfelezi a húrt.Az így keletkezett derékszögű három-szögben felírhatjuk a ϕ szög koszinuszát:cosϕ =

r2

a−→ r = 2a cosϕ

A kis kör sugara a = 1, tehát r = 2 cosϕ, a nagy kör sugara pedig a = 2, tehátr = 4 cosϕ.Tehát: 2 cosϕ ≤ r ≤ 4 cosϕ

Az f(x, y) = y függvény polárkoordinátákkal: f(r cosϕ, r sinϕ) = r sinϕ

18

Ezek után felírhatjuk az integrált:π2∫

0

4 cosϕ∫2 cosϕ

(r · sinϕ · r) dr dϕ =

π2∫

0

4 cosϕ∫2 cosϕ

r2 · sinϕ dr dϕ =

π2∫

0

sinϕ

[r3

3

]4 cosϕ2 cosϕ

dϕ =

=

π2∫

0

56

3· sinϕ · cos3 ϕ dϕ =

π2∫

0

−56

3· (− sinϕ) · cos3 ϕ dϕ = −56

3

[cos4 ϕ

4

]π2

0

=

= −56

3

((cos4 π

2

4

)−(

cos4 0

4

))=

(−56

3

)·(−1

4

)=

14

3

Megjegyzés: Az integrálás során felhasználtuk a következő összefüggést:∫fα · f ′ =

fα+1

α+1

Hengerkoordináták

A hengerkoordináta-rendszer a polárkoordináta-rendszer térbeli általánosítása a z-tengely irányában bevezetett magassággal.Legyen P egy térbeli pont és legyen P ′ a P pont xy-síkbeli vetülete. Ekkor a Ppont hengerkoordinátáin az (r, ϕ, z) számhármast értjük, ahol r és ϕ a P ′ pontpolárkoordinátái az xy-síkon, z pedig a PP ′ szakasz előjeles hosszát jelöli.

Összefüggések:x = r · cosϕy = r · sinϕz = zr =

√x2 + y2

tgϕ = yx, ha x 6= 0

ha x = 0, akkor ϕ = π2vagy −π

2

r ≥ 00 ≤ ϕ ≤ 2πz ∈ R

Integrálás hengerkoordinátákkal:

Jacobi-determináns:

det

∂r cosϕ∂r

∂r cosϕ∂ϕ

∂r cosϕ∂z

∂r sinϕ∂r

∂r sinϕ∂ϕ

∂r sinϕ∂z

∂z∂r

∂z∂ϕ

∂z∂z

= det

cosϕ −r sinϕ 0sinϕ r cosϕ 0

0 0 1

=

= 0 · det

(−r sinϕ 0r cosϕ 0

)− 0 · det

(cosϕ 0sinϕ 0

)+ 1 · det

(cosϕ −r sinϕsinϕ r cosϕ

)=

= r · cos2 ϕ+ r · sin2 ϕ = r · (cos2 ϕ+ sin2 ϕ) = r

19

3.2.2. Tétel. Legyen P (r, ϕ, z) = (r cosϕ, r sinϕ, z) minden r, ϕ, z ∈ R esetén.Ha az A ⊂ [0,∞) × [0, 2π] × (−∞,∞) halmaz mérhető, akkor P (A) is mérhető,ést(P (A)

)=∫Ar dr dϕ dz. Továbbá, ha f : P (A)→ R korlátos, akkor∫

P (A)

f(x, y, z) dx dy dz =

∫A

(f(r cosϕ, r sinϕ, z) · r

)dr dϕ dz

abban az értelemben, hogy ha az egyik oldal létezik, akkor a másik is, és egyenlőek.

Példafeladat

3.2.3. Feladat

Legyen A a következő tartomány: A =

(x, y, z) : x2 + y2 ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1.

Számítsuk ki az∫A

z(1+x2+y2)3

dx dy dz integrál értékét!

Megoldás:

Mivel az A tartomány egy henger, ezért térjünk át hengerkoordinátákra!Integrálási határok:

0 ≤ r ≤ 1 0 ≤ ϕ ≤ 2π 0 ≤ z ≤ 1

∫A

z

(1 + x2 + y2)3dx dy dz =

1∫0

2π∫0

1∫0

r · z

(1 + r2 cos2 ϕ+ r2 sin2 ϕ)3dz dϕ dr =

=

1∫0

2π∫0

1∫0

r · z

(1 + r2)3dz dϕ dr =

1∫0

2π∫0

r · 1

(1 + r2)3·[z2

2

]10

dϕ dr =

=1

2

1∫0

r · (1 + r2)−3 ·[ϕ]2π0

dr = π

1∫0

r · (1 + r2)−3 dr = π

[−1

4· (1 + r2)−2

]10

=

= π

(−1

4· 1

4+

1

4

)=

3

16π ≈ 0, 5887

Gömbi koordináták

Egy térbeli P pont gömbi koordinátáin a (ρ, ϑ, ϕ) rendezett számhármast értjük,ahol ρ a P pont távolsága az origótól, ϑ az

−→OP szakasz és a z-tengely pozitív fele

által bezárt szög, a ϕ pedig megegyezik a polár-, és hengerkoordinátáknál megismertϕ szöggel. Azaz, ha P ′ a P pont xy-síkbeli vetülete, akkor ϕ az

−−→OP ′ szakasz x-tengely

pozitív felével bezárt szögét jelöli.

20

Összefüggések:x = ρ · sinϑ · cosϕy = ρ · sinϑ · sinϕz = ρ · cosϑρ =

√x2 + y2 + z2

tgϕ = yx, ha x 6= 0

ha x = 0, akkor ϕ = π2vagy −π

2

cosϑ = z√x2+y2+z2

ρ ≥ 00 ≤ ϕ ≤ 2π0 ≤ ϑ ≤ π

Integrálás gömbi koordinátákkal:

Jacobi-determináns:

det

∂ρ sinϑ cosϕ

∂ρ∂ρ sinϑ cosϕ

∂ϑ∂ρ sinϑ cosϕ

∂ϕ∂ρ sinϑ sinϕ

∂ρ∂ρ sinϑ sinϕ

∂ϑ∂ρ sinϑ sinϕ

∂ϕ∂ρ cosϑ∂ρ

∂ρ cosϑ∂ϑ

∂ρ cosϑ∂ϕ

=

det

sinϑ cosϕ ρ cosϑ cosϕ −ρ sinϑ sinϕsinϑ sinϕ ρ cosϑ sinϕ ρ sinϑ cosϕ

cosϑ −ρ sinϑ 0

=

= cosϑ · det

(ρ cosϑ cosϕ −ρ sinϑ sinϕρ cosϑ sinϕ ρ sinϑ cosϕ

)−

−(−ρ sinϑ) · det

(sinϑ cosϕ −ρ sinϑ sinϕsinϑ sinϕ ρ sinϑ cosϕ

)+

+0 · det

(sinϑ cosϕ ρ cosϑ cosϕsinϑ sinϕ ρ cosϑ sinϕ

)=

= cosϑ · (ρ2 cosϑ sinϑ) + ρ sinϑ · (ρ sin2 ϑ) + 0 =

= ρ2 cos2 ϑ sinϑ+ ρ2 sin3 ϑ = ρ2 sinϑ · (cos2 ϑ+ sin2 ϑ) =

= ρ2 sinϑ

3.2.3. Tétel. Legyen P (ρ, ϑ, ϕ) = (ρ sinϑ cosϕ, ρ sinϑ sinϕ, ρ cosϑ) minden ρ, ϑ,ϕ ∈ R esetén. Ha az A ⊂ [0,∞) × [0, π] × [0, 2π] halmaz mérhető, akkor P (A) ismérhető, és t

(P (A)

)=∫Aρ2 sinϑ dρ dϑ dϕ. Továbbá, ha f : P (A) → R korlátos,

akkor∫P (A)

f(x, y, z)dx dy dz =

∫A

(f(ρ sinϑ cosϕ, ρ sinϑ sinϕ, ρ cosϑ) · ρ2 sinϑ

)dρ dϑ dϕ

abban az értelemben, hogy ha az egyik oldal létezik, akkor a másik is, és egyenlőek.

21

Példafeladat

3.2.4. Feladat Legyen A a következő térbeli tartomány: A =

(x, y, z) : 1 ≤x2 + y2 + z2 ≤ 9, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0

.

Integráljuk az f(x, y, z) = xy + z függvényt az A tartományon!

Megoldás:Térjünk át gömbi koordinátákra!Ekkor az integrálási határok a következők:

1 ≤ ρ ≤ 3 0 ≤ ϑ ≤ π2

0 ≤ ϕ ≤ π2

Az integrál: ∫A

(xy + z) dx dy dz =

=

π2∫

0

π2∫

0

3∫1

(ρ sinϑ cosϕ · ρ sinϑ sinϕ+ ρ cosϑ) · ρ2 sinϑ dρ dϕ dϑ =

=

π2∫

0

π2∫

0

3∫1

ρ4 sin3 ϑ sinϕ cosϕ+ ρ3 cosϑ sinϑ dρ dϕ dϑ =

=

π2∫

0

π2∫

0

[ρ5

5· sin3 ϑ sinϕ cosϕ+

ρ4

4· cosϑ sinϑ

]31

dϕ dϑ =

=

π2∫

0

π2∫

0

242

5· sin3 ϑ sinϕ cosϕ+

80

4· cosϑ sinϑ dϕ dϑ =

=

π2∫

0

π2∫

0

121

5sin3 ϑ sin 2ϕ+ 20 cosϑ sinϑ dϕ dϑ =

=

π2∫

0

[121

5sin3 ϑ · − cos 2ϕ

2+ ϕ · 20 cosϑ sinϑ

]π2

0

dϑ =

π2∫

0

121

5sin3 ϑ+ 5π sin 2ϑ dϑ

Az átláthatóság kedvéért számoljuk ki külön az∫

1215

sin3 ϑ dϑ értékét:

121

5

π2∫

0

sinϑ · sin2 ϑ dϑ =121

5

π2∫

0

sinϑ · 1− cos 2ϑ

2dϑ =

=121

10

π2∫

0

sinϑ− sinϑ cos 2ϑ dϑ =121

10

[− cosϑ

]π2

0− 121

10

π2∫

0

sinϑ cos 2ϑ dϑ

22

Integráljuk parciálisan az∫

sinϑ cos 2ϑ dϑ-t:

π2∫

0

sinϑ cos 2ϑ dϑ =[− cosϑ cos 2ϑ

]π2

0− 2

π2∫

0

cosϑ sin 2ϑ dϑ

π2∫

0

sinϑ cos 2ϑ dϑ = 1− 2

[ sinϑ sin 2ϑ]π

2

0− 2

π2∫

0

sinϑ cos 2ϑ dϑ

π2∫

0

sinϑ cos 2ϑ dϑ = 1 + 4

π2∫

0

sinϑ cos 2ϑ dϑ

Mindkét oldalból kivonva 4∫ π

2

0sinϑ cos 2ϑ dϑ -t:

−3

π2∫

0

sinϑ cos 2ϑ dϑ = 1

π2∫

0

sinϑ cos 2ϑ dϑ = −1

3

Ebből megkaptuk, hogy:

121

5

π2∫

−0

sin3 ϑ dϑ =121

10+

121

30=

484

30=

242

15

Tehát ezt az eredményt felhasználva, az előző számolást folytatva kapjuk meg avégeredményt:

121

5

π2∫

0

sin3 ϑ dϑ+ 5π

π2∫

0

sin 2ϑ dϑ =242

15+ 5π

[− cos 2ϑ

2

]π2

0

=242

15+ 5π =

317

15π

23

4. Alkalmazások

4.1. Területszámítás

4.1.1. Definíció. Egy R korlátos zárt síktartomány területe:

t(R) =x

R

1 dx dy

ha ez az integrál létezik.

Számoljuk ki néhány speciális síkidom területét integrálás segítségével!

1. Téglalap területe:

Integráljuk az f(x, y) = 1 függvényt az A = [0, a]× [0, b] tartományon!

TTeglalap =x

A

1 dx dy =

a∫0

b∫0

1 dy dx =

a∫0

[y]b0dx = b

a∫0

1 dx = b[x]a0

= ab

2. Kör területe:

Integráljuk az f(x, y) = 1 függvényt az A =

(x, y) : 0 ≤ x2 + y2 ≤ R2tartomá-

nyon!

Térjünk át polárkoordinátákra!Integrálási határok:0 ≤ r ≤ R, 0 ≤ ϕ ≤ 2π

TKor =x

A

1 dx dy =

2π∫0

R∫0

r dr dϕ =

2π∫0

[r2

2

]R0

dϕ =R2

2

2π∫0

1 dϕ =R2

2

[ϕ]2π0

= R2π

3. Ellipszis területe:

Az ellipszis egyenlete:x2

a2+y2

b2= 1,

ahol a, b pozitív valós számok.Alkalmazzuk az integráltranszformációt:Legyen x = au és y = bvg(u, v) = (au, bv)Ekkor

a2u2

a2+b2v2

b2= 1 −→ u2 + v2 = 1

Az integráltranszformáció után kapott H tartományunk tehát az 1 sugarú origó kö-zéppontú kör.Számoljuk ki a Jacobi-determinánst:

det(g′(u, v)

)= det

(a 00 b

)= ab

24

TEllipszis =x

g(H)

1 dx dy =x

H

1· | ab | du dv

A Jacobi-determinánsnál elhagyható az abszolút érték, mivel a és b pozitív számok.Térjünk át polárkoordinátákra, ekkor az integrál felírható a következőképpen:

TEllipszis =

2π∫0

1∫0

abr dr dϕ = ab

2π∫0

[r2

2

]10

dϕ =1

2ab

2π∫0

1 dϕ =ab

2

[ϕ]2π0

= abπ

4. Kardioid területe:

4.1.2. Definíció. A kardioid olyan sík-görbe, amit egy rögzített körön kívül csú-szás nélkül legördülő, vele azonos sugarúkör egy rögzített pontja ír le.

Egyenlete polárkoordinátákkal:r = a(1 + cosϕ), ahol a a kör sugarátjelöli.

Integráljuk az f(r, ϕ) = 1 függvényt az A =

(r, ϕ) : 0 ≤ ϕ ≤ 2π, 0 ≤ r ≤a(1 + cosϕ)

tartományon!

TKardioid =

2π∫0

a(1+cosϕ)∫0

r dr dϕ =

2π∫0

[r2

2

]a(1+cosϕ)

0

dϕ =

=a2

2

2π∫0

1 + 2 cosϕ+1 + cos 2ϕ

2dϕ =

a2

2

[ϕ+ 2 sinϕ+

1

2

(ϕ+

sin 2ϕ

2

)]2π0

=a23π

2

4.2. Térfogatszámítás

4.2.1. Definíció. A tér egy korlátos zárt R tartományának térfogata:

V (R) =y

R

1 dx dy dz

ha ez az integrál létezik.

Számoljuk ki néhány speciális térbeli test térfogatát integrálás segítségével!

1. Téglatest térfogata:

Integráljuk az f(x, y, z) = 1 függvényt az R = [0, a]× [0, b]× [0, c] tartományon!

25

VTeglatest =

a∫0

b∫0

c∫0

1 dz dy dx =

a∫0

b∫0

[z]c0dy dx = c

a∫0

b∫0

1 dy dx =

= c

a∫0

[y]b0dx = bc

a∫0

1 dx = bc[x]a0

= abc

2. Henger térfogata:

Integráljuk az f(x, y, z) = 1 függvényt az A =

(x, y, z) : 0 ≤ x2 + y2 ≤ R2, 0 ≤ z ≤htartományon!

Térjünk át hengerkoordinátákra!Integrálási határok:

0 ≤ r ≤ R 0 ≤ ϕ ≤ 2π 0 ≤ z ≤ h

VHenger =y

A

1 dx dy dz =

2π∫0

h∫0

R∫0

r dr dz dϕ =

2π∫0

h∫0

[r2

2

]R0

dz dϕ =

=R2

2

2π∫0

h∫0

1 dz dϕ =R2

2

2π∫0

[z]h0dϕ =

R2h

2

2π∫0

1 dϕ =R2h

2

[ϕ]2π0

= R2πh

3. Kúp térfogata:

Integráljuk az f(x, y, z) = 1 függvényt azA =

(x, y, z) : 0 ≤ x2+y2 ≤( (h−z)R

h

)2, 0 ≤

z ≤ htartományon!

Térjünk át hengerkoordinátákra!Integrálási határok:

0 ≤ r ≤ (h−z)Rh

0 ≤ ϕ ≤ 2π 0 ≤ z ≤ h

VKup =y

A

1 dx dy dz =

2π∫0

h∫0

(h−z)Rh∫

0

r dr dz dϕ =

2π∫0

h∫0

[r2

2

] (h−z)Rh

0

dz dϕ =

=R2

2h2

2π∫0

h∫0

h2 − 2zh+ z2 dz dϕ =R2

2h2

2π∫0

[h2z − hz2 +

z3

3

]h0

dϕ =

=R2

2h2

2π∫0

h3

3dϕ =

R2h

6

[ϕ]2π0

=R2πh

3

4. Gömb térfogata:

Integráljuk az f(x, y, z) = 1 függvényt az A =

(x, y, z) : 0 ≤ x2 + y2 + z2 ≤ R2

tartományon!Mivel az A tartomány egy gömb, térjünk ár gömbi koordinátákra!Integrálási határok:

26

0 ≤ ρ ≤ R 0 ≤ ϑ ≤ π 0 ≤ ϕ ≤ 2π

VGomb =y

A

1 dx dy dz =

2π∫0

π∫0

R∫0

ρ2 sinϑ dρ dϑ dϕ =

=

2π∫0

π∫0

sinϑ

[ρ3

3

]R0

dϑ dϕ =R3

3

2π∫0

π∫0

sinϑ dϑ dϕ =

=R3

3

2π∫0

[− cosϑ

]π0dϕ =

2R3

3

2π∫0

1 dϕ =2R3

3

[ϕ]2π0

=4R3π

3

Megjegyzés: A gömb térfogatát egyszerűbben is, egy egyváltozós integrál segítségé-vel is megkaphatjuk: π

∫ R−R

(√R2 − x2

)dx

5. Ellipszoid térfogata:

Az ellipszoid egyenlete:x2

a2+y2

b2+z2

c2= 1,

ahol a, b, c pozitív valós számok.Alkalmazzunk integráltranszformációt:Legyen x = au, y = bv, z = cwg(u, v, w) = (au, bv, cw)Ekkor:

a2u2

a2+b2v2

b2+c2w2

c2= 1 −→ u2 + v2 + w2 = 1

Az integráltranszformáció után kapott H tartományunk tehát az 1 sugarú origó kö-zéppontú gömb.Számoljuk ki a Jacobi-determinánst:

det(g′(u, v, w)

)= det

a 0 00 b 00 0 c

= abc

Ekkor az integrál felírható a következőképpen:

VEllipszoid =y

g(H)

1 dx dy dz =y

H

1· | abc | du dv dw

Az abszolút érték jel elhagyható, hiszen a, b, c > 0.Mivel az új tartományunk egy gömb, térjünk át gömbi koordinátákra:

VEllipszoid =

2π∫0

π∫0

1∫0

abcρ2 sinϑ dρ dϑ dϕ = abc

2π∫0

π∫0

sinϑ

[ρ3

3

]10

dϑ dϕ =

=1

3abc

2π∫0

π∫0

sinϑ dϑ dϕ =1

3abc

2π∫0

[− cosϑ

]π0dϕ =

2

3abc

2π∫0

1 dϕ =

=2

3abc[ϕ]2π0

=4

3πabc

27

4.3. Átlagérték

4.3.1. Definíció. Legyen A ⊂ R2 és f : A → R. Ekkor az f függvény átlagértékeaz A tartományon: s

Af(x, y) dx dy

T (A)=

sAf(x, y) dx dysA

1 dx dy

4.3.2. Definíció. Legyen A ⊂ R3 és f : A → R. Ekkor az f függvény átlagértékeaz A tartományon:

tAf(x, y, z) dx dy dz

V (A)=

tAf(x, y, z) dx dy dzt

A1 dx dy dz

Példafeladatok:

4.3.1. Feladat

A [0, 10]×[0, 20] téglalap alakú kert (x, y) pontjában a termőföld vastagsága f(x, y) =30 + 10 cos(x+ y) cm.Határozzuk meg a termőföld átlagos vastagságát a kertben!

TKert = 10 · 20 = 200

Ekkor a föld átlagos vastagsága:

1

200

20∫0

10∫0

30 + 10 cos(x+ y) dx dy =1

200

20∫0

[30x+ 10 sin(x+ y)

]100

dy =

=1

200

20∫0

300 + 10 sin(10 + y)− 10 sin y dy =

=1

200

[300y − 10 cos(10 + y) + 10 cos y

]200

=6000, 585

200= 30, 002925cm

4.3.2. Feladat

A [0, 2]× [0, 2]× [0, 2] kocka (x, y, z) pontjában a hőmérsékletét az f(x, y, z) = x2 +9függvény írja le.Határozzuk meg a kocka átlaghőmérsékletét!

VKocka = 23 = 8

Ekkor az átlaghőmérséklet:

1

8

2∫0

2∫0

2∫0

x2 + 9 dx dy dz =1

8

2∫0

2∫0

[x3

3+ 9x

]20

dy dz =

=31

12

2∫0

[y]20dz =

31

6

[z]20

=31

3≈ 10, 33

28

4.3.3. Feladat

A z = 1 sík az x2 + y2 + z2 = 4 egyenletű gömböt két részre osztja. Legyen az Atartomány a z = 1 sík feletti rész.Határozzuk meg az f(x, y, z) = x2 + y2 függvény átlagértékét az A tartományon!

Térjünk át hengerkoordinátákra!A határok ekkor:

1 ≤ z ≤√

4 = 2 0 ≤ ϕ ≤ 2π 0 ≤ r ≤√

4− z2

Az A tartomány térfogata:

VA =y

A

1 dx dy dz =

2π∫0

2∫1

√4−z2∫0

r dr dz dϕ =

2π∫0

2∫1

[r2

2

]√4−z20

dz dϕ =

=1

2

2π∫0

2∫1

4− z2 dz dϕ =1

2

2π∫0

[4z − z3

3

]21

dϕ =1

2· 5

3

2π∫0

1 dϕ =

=5

6

[ϕ]2π0

=10

6π =

5

3π

Az átlagérték:

15π3

2π∫0

2∫1

√4−z2∫0

r(r2 cos2 ϕ+ r2 sin2 ϕ) dr dz dϕ =3

5π

2π∫0

2∫1

√4−z2∫0

r3 dr dz dϕ =

=3

5π

2π∫0

2∫1

[r4

4

]√4−z20

dz dϕ =3

5π· 1

4

2π∫0

2∫1

16− 8z2 + z4 dz dϕ =

=3

20π

2π∫0

[16z − 8

z3

3+z5

5

]21

dϕ =3

20π· 53

15

2π∫0

1 dϕ =53

100π

[ϕ]2π0

=53

50≈ 1, 06

4.4. Tömeg

Ha egy T vékony lemez sűrűségét a δ : (x, y) 7→ δ(x, y), (x, y) ∈ T függvény írja le,akkor a tömege a következőképp számítható ki:

MT =x

T

δ(x, y) dx dy

Ha egy térbeli T test sűrűségét a δ : (x, y, z) 7→ δ(x, y, z), (x, y, z) ∈ T függvény írjale, akkor T tömegét a következőképp tudjuk kiszámítani:

MT =y

T

δ(x, y, z) dx dy dz

29

Példafeladat:

4.4.1. Feladat

Legyen T az a vékony lemez, amelyet az y = x2 parabola és az y = 1 egyenes határol.Az (x, y) pontban a lemez sűrűségét a δ(x, y) = x2 + y2 függvény írja le. Adjuk mega lemez tömegét!

Megoldás:

MT =x

T

δ(x, y) dx dy =

1∫−1

1∫x2

x2 + y2 dy dx =

1∫−1

[x2y +

y3

3

]1x2

dx =

=

1∫−1

x2 +1

3− x4 − x6

3dx =

[x3

3+x

3− x5

5− 1

3· x

7

7

]1−1

=88

105≈ 0, 8381

4.5. Tömegközéppont

Egy vékony lemez tömegközéppontja: S(Sx, Sy), ahol

Sx =

sAx · δ(x, y) dx dy

sAδ(x, y) dx dy

Sy =

sAy · δ(x, y) dx dy

sAδ(x, y) dx dy

Egy térbeli test tömegközéppontja: S(Sx, Sy, Sz), ahol

Sx =

tAx · δ(x, y, z) dx dy dz

tAδ(x, y, z) dx dy dz

Sy =

tAy · δ(x, y, z) dx dy dz

tAδ(x, y, z) dx dy dz

Sz =

tAz · δ(x, y, z) dx dy dz

tAδ(x, y, z) dx dy dz

Ha a vékony lemez vagy térbeli test homogén, azaz sűrűsége állandó(δ(x, y) =

konstans /δ(x, y, z) = konstans), akkor a tömegközéppont egybeesik a geometriai

súlyponttal.

Papposz-Guldin tételek:

A tömegközéppont ismeretében meg tudjuk határozni forgástestek felszínét és tér-fogatát.A forgástest felszíne illetve térfogata és a tömegközéppont által leírt kör kerületeközötti összefüggést adják meg a Papposz-Guldin tételek.

30

4.5.1. Tétel. Legyen s egy síkgörbe, melynek ívhossza Is, forgassuk meg a görbétegy a síkjában fekvő, de a görbét nem metsző t egyenes körül α szöggel.Legyen d a görbe súlypontjának és a t-tengelynek a távolsága.Ekkor az így kapott forgásfelület A felszíne egyenlő a görbe Is ívhossza és a görbesúlypontjának forgatás közben leírt útjának szorzatával, azaz:

A = Is · d · α

4.5.2. Tétel. Legyen A egy T területű síkidom, és legyen t egy egyenes A-val egysíkban, úgy, hogy nem metszi A-t.Ha az A síkidomot a t egyenes, mint tengely körül α szöggel elforgatjuk, egy Vtérfogatú forgástestet kapunk.Legyen az A síkidom súlypontja SA, és jelölje d a súlypont távolságát a t-tengelytől.Ekkor a kapott forgástest térfogata egyenlő a síkidom területének és a súlypont általleírt pálya ívhosszának a szorzatával, azaz

V = TA · d · α

A Papposz-Guldin tételek segítségével könnyedén meghatározhatjuk egy tórusz fel-színét és térfogatát:

4.5.1. Definíció. Egy körlemezt a vele egy síkban lévő (de őt nem metsző) egyeneskörüli elforgatásával kapott forgástestet tórusznak nevezzük.

Legyen a körlemez sugara r, valamint jelölje a forgástengely és a kör középpontjánaktávolságát R.Ekkor a tórusz felszíne:

ATorusz = (2πr)(2πR) = 4π2Rr

Térfogata:VTorusz = (r2π)(2πR) = 2π2r2R

Példafeladatok:

4.5.1. Feladat

Határozzuk meg az egységnyi sugarú félgömb tömegközéppontjának koordinátáit,ha a félgömb (x, y, z) pontjában a sűrűségét a δ(x, y, z) = x2 + y2 függvény írja le.Térjünk át hengerkoordinátákra!Az integrálási határok:

31

0 ≤ r ≤√

1− z2 0 ≤ ϕ ≤ 2π 0 ≤ z ≤ 1

Először számítsuk ki a test tömegét:

M =

2π∫0

1∫0

√1−z2∫0

r2r dr dz dϕ =

2π∫0

1∫0

[r4

4

]√1−z20

dz dϕ =

=1

4

2π∫0

1∫0

1− 2z2 + z4 dz dϕ =1

4

2π∫0

[z − 2

z3

3+z5

5

]10

dϕ =

=2

15

2π∫0

1 dϕ =2

15

[ϕ]2π0

=4π

15

Ekkor a tömegközéppont koordinátái:

Sx =14π15

1∫0

2π∫0

√1−z2∫0

r cosϕ · r2 · r dr dϕ dz =15

4π

1∫0

2π∫0

√1−z2∫0

r4 cosϕ dr dϕ dz =

=15

4π

1∫0

2π∫0

cosϕ

[r5

5

]√1−z20

dϕ dz =15

4π

1∫0

2π∫0

1

5

√1− z2

(1− z2

)2cosϕ dϕ dz =

=3

4π

1∫0

√1− z2

(1− z2

)2[sinϕ

]2π0

dz =3

4π

1∫0

√1− z2

(1− z2

)2(sin 2π − sin 0) dz =

=3

4π

1∫0

√1− z2

(1− z2

)2 · 0 dz =3

4π

1∫0

0 dz = 0

Sy =14π15

1∫0

2π∫0

√1−z2∫0

r sinϕ · r2 · r dr dϕ dz =15

4π

1∫0

2π∫0

√1−z2∫0

r4 sinϕ dr dϕ dz =

=15

4π

1∫0

2π∫0

sinϕ

[r5

5

]√1−z20

dϕ dz =15

4π

1∫0

2π∫0

1

5

√1− z2

(1− z2

)2sinϕ dϕ dz =

=3

4π

1∫0

√1− z2

(1− z2

)2[− cosϕ]2π0

dz =

=3

4π

1∫0

√1− z2

(1− z2

)2(− cos 2π + cos 0) dz =

3

4π

1∫0

√1− z2

(1− z2

)2 · 0 dz =

=3

4π

1∫0

0 dz = 0

32

Sz =14π15

2π∫0

1∫0

√1−z2∫0

z · r2 · r dr dz dϕ =15

4π

2π∫0

1∫0

√1−z2∫0

z · r3 dr dz dϕ =

=15

4π

2π∫0

1∫0

z

[r4

4

]√1−z20

dz dϕ =15

16π

2π∫0

1∫0

z(1− 2z2 + z4

)dz dϕ =

=15

16π

2π∫0

[z2

2− z4

2+z6

6

]10

dϕ =15

16π

2π∫0

1

6dϕ =

15

96π

[ϕ]2π0

=30π

96π=

15

48

Tehát az egység sugarú δ sűrűségű félgömb tömegközéppontja:

S(0, 0,15

48)

Megjegyzés:Nem meglepő, hogy a tömegközéppont x és y koordinátája is 0 lett, hiszen ez aszimmetriából adódó tulajdonság.

4.5.2. Feladat

Határozzuk meg a kardioid súlypontját!A =

(r, ϕ) : 0 ≤ ϕ ≤ 2π, 0 ≤ r ≤ a(1 + cosϕ)

, δ(x, y) = 1 −→ δ(r, ϕ) = 1

Ekkor:

Sx =sA xδ(x,y) dxdy

TKardioidSy =

sA yδ(x,y) dxdy

TKardioid

A kardioid területét az előzőekben már kiszámítottuk: TKardioid = a23π2

Ekkor:

Sx =1

a23π2

2π∫0

a(1+cosϕ)∫0

r2 cosϕ dr dϕ =2

a23π

2π∫0

cosϕ

[r3

3

]a(1+cosϕ)

0

dϕ =

=2a3

3a23π

2π∫0

cosϕ(1 + cosϕ)3 dϕ =2a

9π

2π∫0

cosϕ+ 3 cos2 ϕ+ 3 cos3 ϕ+ cos4 ϕdϕ =

=2a

9π

2π∫0

cosϕ+ 31 + cos 2ϕ

2+ 3

3 cosϕ+ cos 3ϕ

4+

(1 + cos 2ϕ

2

)2

dϕ =

=2a

9π

2π∫0

cosϕ+ 31 + cos 2ϕ

2+ 3

3 cosϕ+ cos 3ϕ

4+

1 + 2 cos 2ϕ+ 1+cos 4ϕ2

4dϕ =

=2a

9π

([sinϕ

]2π0

+3

2

[ϕ+

sin 2ϕ

2

]2π0

+3

4

[3 sinϕ+

sin 3ϕ

3

]2π0

)+

+2a

9π

(1

4

[ϕ+ 2

sin 2ϕ

2+

1

2ϕ+

sin 4ϕ

8

]2π0

)=

33

=2a

9π

(3π +

3

4π

)=

2a

9π· 15π

4=

5

6a

Sy =1

a23π2

2π∫0

a(1+cosϕ)∫0

r2 sinϕ dr dϕ =2

a23π

2π∫0

sinϕ

[r3

3

]a(1+cosϕ)

0

dϕ =

=2a

9π

2π∫0

sinϕ+ 3 cosϕ sinϕ+ 3 cos2 ϕ sinϕ+ cos3 ϕ sinϕ dϕ =

=2a

9π

2π∫0

sinϕ+3

2sin 2ϕ+ 3

1 + cos 2ϕ

2sinϕ+

1

2sin 2ϕ

1 + cos 2ϕ

2dϕ

Az∫ 2π

01+cos 2ϕ

2sinϕ dϕ és

∫ 2π

0sin 2ϕ1+cos 2ϕ

2dϕ integrálokat külön, parciális integrá-

lással számítjuk ki:

2π∫0

1 + cos 2ϕ

2sinϕ dϕ =

[− cosϕ · 1 + cos 2ϕ

2

]2π0

−2π∫0

− sin 2ϕ · (− cosϕ) dϕ

2π∫0

1 + cos 2ϕ

2sinϕ dϕ = 0− 2

2π∫0

1 + cos 2ϕ

2sinϕ dϕ

Hozzáadva mindkét oldalhoz 2∫ 2π

01+cos 2ϕ

2sinϕ dϕ-t, majd mindkét oldalt elosztva

3-mal, kapjuk a következőt:

2π∫0

1 + cos 2ϕ

2sinϕ dϕ = 0

2π∫0

sin 2ϕ1 + cos 2ϕ

2dϕ =

[1 + cos 2ϕ

2·(−cos 2ϕ

2

)]2π0

−2π∫0

− sin 2ϕ·(−cos 2ϕ

2

)dϕ

2π∫0

sin 2ϕ1 + cos 2ϕ

2dϕ = 0− 1

2

2π∫0

4 cos3 ϕ sinϕ− 2 cosϕ sinϕ dϕ

2π∫0

sin 2ϕ1 + cos 2ϕ

2dϕ = −4

2· 1

2

2π∫0

sin 2ϕ1 + cos 2ϕ

2− sin 2ϕ dϕ

2π∫0

sin 2ϕ1 + cos 2ϕ

2dϕ = −

2π∫0

sin 2ϕ1 + cos 2ϕ

2dϕ+

1

2

[−cos 2ϕ

2

]2π0

34

Mindkét oldalhoz hozzáadva∫ 2π

0sin 2ϕ1+cos 2ϕ

2dϕ-t, majd mindkét oldalt elosztva

2-vel, kapjuk a következőt:

2π∫0

sin 2ϕ1 + cos 2ϕ

2dϕ = 0

Folytatva az Sy kiszámítását:

Sy =2a

9π

([− cosϕ

]2π0

+3

2

[−cos 2ϕ

2

]2π0

+ 3 · 0 +1

2· 0

)= 0

Tehát a kardioid súlypontja:

S

(5

6a, 0

)Megjegyzés: Hasonlóan az 4.5.1. feladathoz, itt is a szimmetriából adódóan a súly-pont y koordinátája 0 lett.

4.5.3. Feladat

Legyen az A tartomány az y = 3, y = x és y = 12− x egyenesekkel határolt egyenlőszárú háromszög.Forgassuk meg ezt a háromszöget az y-tengely körül α = 2π szöggel! Majd számol-juk ki az így kapott forgástest térfogatát!

Számoljuk ki az A tartomány területét:

TA =x

A

1 dx dy =

6∫3

12−y∫y

1 dx dy =

6∫3

[x]12−yy

dy =

=

6∫3

12− 2y dy =

[12y − 2

y2

2

]63

= 9

Ezután számítsuk ki A súlypontját: SA(Sx, Sy)

Sx =1

TA

x

A

x dx dy =1

9

6∫3

12−y∫y

x dx dy =1

9

6∫3

[x2

2

]12−yy

dy =

=1

9· 1

2

6∫3

(12− y)2 − y2 dy =1

18

6∫3

144− 24y dy =1

18

[144y − 24

y2

2

]63

= 6

Sy =1

TA

x

A

y dx dy =1

9

6∫3

12−y∫y

y dx dy =1

9

6∫3

[xy]12−yy

dy =

35

=1

9

6∫3

12y − 2y2 dy =1

9

[12y2

2− 2

y3

3

]63

= 4

Tehát a súlypont: SA(6, 4)A súlypont távolsága az y-tengelytől: d = 6

Ekkor a második Papposz-Guldin tétel segítségével ki tudjuk számítani az így kapottforgástest térfogatát:

V = TA · d · α = 9 · 6 · 2π = 108π = 339, 12

4.5.4. Feladat

Határozzuk meg az A =

(x, y) : x2 + y2 ≤ r2, 0 ≤ ytartományt lefedő homogén

síklemez tömegközéppontjának koordinátáit!

Az A tartomány egy félkör, az y-tengelyre szimmetrikus, és a tömegközéppont aszimmetriatengelyen helyezkedik, ezért Sx = 0.

Az Sy koordinátát Papposz-Guldin második tétele segítségével egyszerűen meg tud-juk határozni:Forgassuk meg az A félkört az x-tengely körül. Így egy gömböt kapunk, melynekismerjük a térfogatát: VGomb = 4πr3

3

A tartomány egy félkör, tehát területe:

TA =r2π

2

Ekkor a Papposz-Guldin második tétele szerint:

VGomb = TA · Sy · 2π −→4πr3

3=r2π

2· Sy · 2π

Megoldva az egyenletet kapjuk, hogy:

Sy =4r

3π

Tehát a tömegközéppont:

S(0,4r

3π)

4.6. Tehetetlenségi nyomaték

A tehetetlenségi nyomaték a tömeggel analóg mennyiség forgómozgás esetében.Vagyis a tehetetlenségi nyomaték a forgást végző merev test forgási tehetetlensé-ge.

Egy A vékony lemez tehetetlenségi nyomatékát a következőképpen számolhatjuk ki:Az x-tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomaték:

Θx =x

A

y2δ(x, y) dx dy

36

Az y-tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomaték:

Θy =x

A

x2δ(x, y) dx dy

Egy A kiterjedt test tehetetlenségi nyomatékát pedig az alábbi képletek alapjánhatározhatjuk meg:Az x-tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomaték:

Θx =y

A

(y2 + z2

)δ(x, y, z) dx dy dz

Az y-tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomaték:

Θy =y

A

(x2 + z2

)δ(x, y, z) dx dy dz

Az z-tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomaték:

Θz =y

A

(x2 + y2

)δ(x, y, z) dx dy dz

Tetszőleges t-tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomatékot a Steiner-tétel segítsé-gével tudjuk meghatározni.

4.6.1. Tétel (Steiner-tétel).

Θt = Θs +Md2

Ahol Θs a t-tengellyel párhuzamos, tömegközépponton áthaladó tengelyre vett tehe-tetlenségi nyomaték, M a test tömege, d pedig a két tengely távolsága.

Helyezzük el a T testet úgy, hogy a tömegközéppontja az origóba essen és a forgás-tengelye a z-tengely irányába mutasson.A T test (x, y, z) pontjában a sűrűsége δ(x, y, z).Legyen t az a tengely, ami párhuzamos a z-tengellyel és átmegy a (d, 0, 0) ponton.Ekkor a P (x, y, z) pont távolságát a t tengelytől a következőképp számolhatjuk ki:Legyen a P (x, y, z) pont vetülete az xy-síkra P ′(x, y, 0).

37

A P ′(x, y) és a (d, 0) pont r távolságát Pitagorasz-tétel segítségével tudjuk megha-tározni:

r =√y2 + (x− d)2

Ekkor a t-tengelyre vonatkoztatott tehetetlenségi nyomaték felírható a következőmódon:

Θt =y

T

r2δ(x, y, z) dx dy dz =y

T

(y2 + (x− d)2

)δ(x, y, z) dx dy dz =

=y

T

(x2 + y2

)δ(x, y, z) dx dy dz − 2d

y

T

xδ(x, y, z) dx dy dz+

+d2y

T

δ(x, y, z) dx dy dz

Az első tag a z-tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomaték:y

T

(x2 + y2

)δ(x, y, z) dx dy dz = Θz

A második tag Sx-szel egyenlő, de mivel a T testet úgy helyeztük el a koordináta-rendszerben, hogy a tömegközéppontja az origóba essen, ezért Sx = 0:

2dy

T

xδ(x, y, z) dx dy dz = 0

A harmadik tag pedig a T test tömegét jelöli:

d2y

T

δ(x, y, z) dx dy dz = d2M

Tehát a t-tengelyre vonatkoztatott tehetetlenségi nyomaték:

Θt = Θz +Md2

Példafeladatok:

4.6.1. Feladat

Határozzuk meg egy M tömegű a élhosszúságú homogén kocka, valamelyik élénátmenő tengelyre vonatkoztatott tehetetlenségi nyomatékát!Megoldás:Helyezzük el a kockát a koordináta rendszerben úgy, hogy az egyik csúcsa az origólegyen!Mivel homogén kockáról van szó, ezért a sűrűsége állandó minden pontban. Azazδ(x, y, z) = M

V= M

a3.

Az x-tengelyre vonatkoztatott tehetetlenségi nyomaték:

Θx =y

A

(y2 + z2

)δ(x, y, z) dx dy dz =

a∫0

a∫0

a∫0

(y2 + z2

)Ma3

dx dy dz =

=M

a3

a∫0

a∫0

[y2x+ z2x

]a0

dy dz =Ma

a3

a∫0

a∫0

y2 + z2 dy dz =

38

=M

a2

a∫0

[y3

3+ z2y

]a0

dz =Ma

a2

a∫0

a2

3+ z2 dz =

M

a

[a2

3z +

z3

3

]a0

=2

3Ma2

4.6.2. Feladat

Határozzuk meg az M tömegű, 10 magasságú, 5 és 3 sugarak által meghatározott2 vastagságú homogén H hengerhéj saját tengelyére vonatkoztatott tehetetlenséginyomatékát!

Megoldás:

Mivel homogén hengerhéjról van szó, ezért a sűrűsége állandó:

δ(x, y, z) =MHengerhej

VHengerhej=

M

52 · 10π − 32 · 10π=

M

160π

Ekkor a z-tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomaték:

Θz =y

H

(x2 + y2

)δ(x, y, z) dx dy dz

Mivel a tartomány, amin integrálunk egy henger, ezért térjük át hengerkoordináták-ra!Az integrálási határok:

3 ≤ r ≤ 5 0 ≤ ϕ ≤ 2π 0 ≤ z ≤ 10

2π∫0

10∫0

5∫3

r(r2 cos2 ϕ+ r2 sin2 ϕ

) M

160πdr dz dϕ =

M

160π

2π∫0

10∫0

5∫3

r3 dr dz dϕ =

=M

160π

2π∫0

10∫0

[x4

4

]53

dz dϕ =136M

160π

2π∫0

10∫0

1 dz dϕ =17M

20π

2π∫0

[z]100

dϕ =

=10 · 17M

20π

2π∫0

1 dϕ =17M

2π

[ϕ]2π0

=17M

2π2π = 17M

4.6.3. Feladat

Legyen t a (4, 0, 0) ponton átmenő, z-tengellyel párhuzamos egyenes. Továbbá adottegy H, R sugarú, h magasságú, M tömegű homogén henger. Határozzuk meg a Hhenger t-tengelyre vonatkoztatott tehetetlenségi nyomatékát!

Megoldás:

Mivel szimmetrikus testről van szó, ezért a tömegközéppontja a z-tengelyen he-lyezkedik el. Szükség van a tömegközépponton áthaladó tengelyre vonatkoztatotttehetetlenségi nyomatékra:A henger homogén, azaz sűrűsége állandó. Tehát: δ(x, y, z) = M

V= M

R2πh.

Mivel a H tartomány egy henger, térjünk át hengerkoordinátákra!A határok:

39

0 ≤ r ≤ R 0 ≤ ϕ ≤ 2π 0 ≤ z ≤ h

Ekkor a z-tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomaték a következő:

Θz =y

H

(x2 + y2

)δ(x, y, z) dx dy dz =

=

2π∫0

h∫0

R∫0

(r2 cos2 ϕ+ r2 sin2 ϕ

)rM

R2πhdr dz dϕ =

=M

R2πh

2π∫0

h∫0

R∫0

r3 dr dz dϕ =M

R2πh

2π∫0

h∫0

[r4

4

]R0

dz dϕ =

=MR2

4πh

2π∫0

h∫0

1 dz dϕ =MR2

4πh

2π∫0

[z]h0

dϕ =

=MR2

4π

2π∫0

1 dϕ =MR2

4π

[ϕ]2π0

=1

2MR2

A t-tengely d = 4 távolságra van a z-tengelytől.Ekkor a t-tengelyre vonatkoztatott tehetetlenségi nyomaték:

Θt = Θz +Md2 =1

2MR2 + 16M = M

(R2

2+ 16

)

40

Hivatkozások

[1] LACZKOVICH MIKLÓS - T. SÓS VERA: Valós Analízis I., Typotex Kiadó,Budapest, 2012

[2] LACZKOVICH MIKLÓS - T. SÓS VERA: Valós Analízis II., Typotex Kiadó,Budapest, 2013

[3] FEKETE ZOLTÁN - ZALAY MIKLÓS: Többváltozós függvények analízise,Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1985

[4] GEORGE B. THOMAS: Thomas-féle Kalkulus III., Typotex Kiadó, Budapest,2007

[5] GÉMES MARGIT: Fejezetek az analízisből, Előadás jegyzet 2016

[6] B.P. GYEMIDOVICS: Matematikai Analízis Feladatgyűjtemény, Tankönyvki-adó, Budapest, 1971

[7] https://hu.wikipedia.org/wiki/Papposz-Guldin-tétel

[8] http://aries.ektf.hu/ hz/pdf-tamop/pdf-01/html/ch03.html

[9] https://hu.wikipedia.org/wiki/Kardioid

41