TÁC GIẢ: TERRY CHEWDỊCH GIẢ: NGUYỄN THÀNH KHANGTÁC GIẢ: TERRY CHEW

NGƯỜI DỊCH: NGUYỄN THÀNH KHANG

NHÀ XUẤT BẢN THẾ GIỚI

LỜI TỰA

Bộ sáchĐánh thức Tài năng Toán học nhằmgiúpnhữnghọc

sinhsaymêtoánhọccóthểtraudồikỹnănggiảinhữngbàitoánhócbúa.

Cácbàitoántrongsáchđãđượcphânloạirõràngnhằmgiúpcácemcó

thểhiểuvàápdụngmộtcáchdễdàng.Ngoàira,trongmỗichươnglạicó

rấtnhiềuvídụhướngdẫncácemcáchgiảitoán.Nhữngphântíchvàdiễn

giảidễhiểutrongcácvídụchắcchắnsẽgiúpcácemhiểurõvấnđềhơn.

Saukhihiểubài,cácemcóthểápdụngnhữngkiếnthứcđóvàoviệcgiải

cácbàitoánđượcđưaratrongtừngchương.

Chúngtôihyvọngrằngcuốnsáchsẽcungcấpchocácemhọc

sinhnhữngkiếnthứchữuíchvàgiúpcácemcảmthấytựtinhơntrong

việcgiảitoán.

Terry Chew

ĐÁNH THỨC TÀI NĂNG TOÁN HỌC - 5MATHS OLYMPIAD - UNLEASH THE MATHS OLYMPIAN IN YOU

Advanced

ALL RIGHTS RESERVEDVietnam edition copyright © Online Education Game JSC, Lantabra, 2015

All rights reserved. No part of this publication may be reproduced, stored in a retrieval system or transmitted

in any form or by any means, electronic, mechanical, photocopying, recording or otherwise, without the prior

permission of the publishers.

ISBN:978-604-77-1492-6

Printed in Viet Nam

BảnquyềntiếngViệtthuộcvềCôngtyCổphầnTròchơiGiáodụcTrựctuyến,xuấtbảntheohợpđồngchuyển

nhượngbảnquyềngiữaSingaporeAsiaPublishersPteLtdvàCôngtyCổphầnTròchơiGiáodụcTrựctuyến,

nhãnhiệuLantabra2015.

Bảnquyềntácphẩmđãđượcbảohộ,mọihìnhthứcxuấtbản,saochụp,phânphốidướidạnginấn,vănbản

điệntử,đặcbiệtlàpháttántrênmạnginternetmàkhôngđượcsựchophépcủađơnvịnắmgiữbảnquyềnlà

hànhviviphạmbảnquyềnvàlàmtổnhạitớilợiíchcủatácgiảvàđơnvịđangnắmgiữbảnquyền.Khôngủng

hộnhữnghànhviviphạmbảnquyền.Chỉmuabánbảninhợppháp.

XUẤT BẢN VÀ PHÁT HÀNH:Công ty Cổ phần Trò chơi Giáo dục Trực tuyến

Tầng10-TòanhàCenterBuilding

Số01-NguyễnHuyTưởng-P.ThanhXuânTrung-Q.ThanhXuân-TP.HàNội

Điệnthoại:(04)37824288

Website:http://egame.vn/

LANTABRA

149TrungKính-P.YênHòa-Q.CầuGiấy-TP.HàNội

Điệnthoại:(04)37823782

Hotline:0979919926

Email:danhthuctainangtoanhoc@egame.vn

Website:http://www.hocgioitoan.vn

LỜI NÓI ĐẦU“Những bản nhạc khó chơi thường rất tuyệt vời, nhưng nếu chia

bản nhạc thành từng phần đơn giản thì dù là những người mới học đàn cũng có thể chơi được.

Toán học cũng như vậy.”GiáosưShermanK.Stein

BộsáchĐánh thức Tài năng Toán họcđãđượcphổbiếnrộngrãiởnhiềuquốcgiabởinhữngđặctrưngsau:

• Chủđềđadạng,liênhệtoánhọcvớicácsựkiệnhàngngày;• Sựdídỏmvàphứctạpcủacácbàitoángiúpkhơidậykỹnăng

tưduyvàtrítưởngtượngđầysángtạo;• Khuyếnkhích sửdụngnhiềuphươngphápgiải toánkhác

nhau,kíchthíchlốitưduyđộtphá.• Cungcấpkiếnthứcgiảitoándựatrênnhữnghướngdẫnvà

trìnhbàybaoquát. Cuốnsáchbaogồmnhữngtàiliệuđãđượctôisửdụngtrongnhiềunămgiảngdạy.DùcácbàitoánđềuthuộcdạngbàithiOlympicToánhọc,songtôinhậnthấytấtcảcáchọcsinhđềuthuđượcnhiềulợiíchkhiluyệntậpchúng.Trongviệchọctoándạngnày,việcbổsungvàlàmnhữngbàitậpnângcaocùngvớitinhthầnvàniềmsaymêcònquantrọnghơnnănglựcbẩmsinh. Rấtnhiềuhọcsinhmàtôihướngdẫn,thậmchícảchamẹcácemcũngđềubịthuhútbởinhữngkiếnthứcđượcgiớithiệutrongbộsáchnày.Hyvọngrằngbạnvàconbạncũngsẽcóniềmsaymênhưvậy!

Terry Chew

MỤC LỤC

ĐÁNH THỨC TÀI NĂNG TOÁN HỌC - 5

Chương1:......................................................................................................... 2

Chapter 1: .......................................................................................................... 3

Chương2:........................................................................................................ 20

Chapter 2: ........................................................................................................ 21

Chương3:........................................................................................................ 40

Chapter 3: ........................................................................................................ 41

Chương4:........................................................................................................ 52

Chapter 4: ........................................................................................................ 53

Chương5:........................................................................................................ 68

Chapter 5: ........................................................................................................ 69

Chương6:........................................................................................................ 86

Chapter 6: ........................................................................................................ 87

Chương7:...................................................................................................... 108

Chapter 7: ...................................................................................................... 109

Chương8:...................................................................................................... 126

Chapter 8: ...................................................................................................... 127

Chương9:...................................................................................................... 142

Chapter 9: ...................................................................................................... 143

Chương10:.................................................................................................... 158

Chapter 10: .................................................................................................... 159

Chương11:..................................................................................................... 174

Chapter 11: .................................................................................................... 175

Chương12:.................................................................................................... 192

Chapter 12: .................................................................................................... 193

Chương13:.................................................................................................... 208

Chapter 13: .................................................................................................... 209

Chương14:.................................................................................................... 232

Chapter 14: .................................................................................................... 233

Chương15:.................................................................................................... 246

Chapter 15: .................................................................................................... 247

Chương16:.................................................................................................... 262

Chapter 16: .................................................................................................... 263

Chương17:.................................................................................................... 280

Chapter 17: .................................................................................................... 281

Chương18:.................................................................................................... 294

Chapter 18: .................................................................................................... 295

Chương19:.................................................................................................... 306

Chapter 19: .................................................................................................... 307

Chương20:.................................................................................................... 320

Chapter 20: .................................................................................................... 321

ĐÁP ÁN ......................................................................................................... 335

2Chương 1

3Chapter 1

Đánh thức tài năng Toán học - 5 Terry Chew

Whole Numbers1SOÁ TÖÏ NHIEÂN1The most important and sophisticated technique that we will learn from this chapter is to be able to express, say, abcd, which denotes a 4-digit number, in the form of

1000a + 100b + 10c + d.

The usefulness of this simple expression is to help us solve and appreciate a unique set of mathematical problems such as Example 3, Example 4 and Question 10 in this chapter.

The other category of mathematical problems, namely multiplication of two extremely long string of numbers, uses a simple concept (10 – 1 = 9) for problem-solving. This concept is demonstrated in Example 2.

Last but not least, we will learn to simplify the computation of the sum or difference of two sets of products through skilful factorisation. Example 1 and Question 7 illustrate this technique.

1 999 999 × 222 222 + 333 333 × 333 334 = ?

Solution: 999 999 × 222 222 + 333 333 × 333 334 = 333 333 × 3 × 222 222 + 333 333 × 333 334 = 333 333 × 666 666 + 333 333 × 333 334 = 333 333 × (666 666 + 333 334) = 333 333 × 1 000 000 = 333 333 000 000

Kỹ thuật quan trọng nhất và phức tạp nhất mà chúng ta sẽ được học trong chương này là khả năng biểu diễn số, ta viết số tự nhiên có 4 chữ số dưới dạng sau:

1000a + 100b + 10c + d.

Tính hữu dụng của phép biểu diễn số đơn giản này có thể giúp chúng ta đánh giá và giải quyết một tập hợp các bài toán đặc biệt như Ví dụ 3, Ví dụ 4 và Bài tập 10 trong chương này.

Một loại bài tập khác là nhân hai số có rất nhiều chữ số, thường sử dụng một nhận thức đơn giản ( ) để giải quyết bài toán. Khái niệm trên được thể hiện trong Ví dụ 2.

Cuối cùng, chúng ta sẽ học cách đơn giản hóa cách tính tổng hoặc hiệu của hai biểu thức tích qua việc tìm các thừa số. Kỹ thuật này được minh họa trong Ví dụ 1 và Bài tập 7.

1 999 999 × 222 222 + 333 333 × 333 334 = ?

Cách giải: 999 999 × 222 222 + 333 333 × 333 334 = 333 333 × 3 × 222 222 + 333 333 × 333 334 = 333 333 × 666 666 + 333 333 × 333 334 = 333 333 × (666 666 + 333 334) = 333 333 × 1 000 000 = 333 333 000 000

EXAMPLESVÍ DỤ

4Chương 1

5Chapter 1

Đánh thức tài năng Toán học - 5 Terry Chew

2 Find the sum of all the digits of 333 … 333 × 666 … 666.

Analysis: It is not possible to multiply two numbers of such magnitude. The whole trick to this question lies in a simple relationship:

10 – 1 = 9. Solution: 333 … 333 × 666 … 666

= 333 … 333 × 3 × 222 … 222

= 999 … 999 × 222 … 222

= (1000 … 000 – 1) × 222 … 222

= 222 … 222 000 … 000 – 222 … 222

= 222 … 222 1 777 … 778

2 + 7 = 9 (there are 2007 pairs of 9) 1 + 8 = 9 (there is one more pair of 9) 2008 × 9 = 18 072 The sum of all the digits of 333 … 333 × 666 … 666 is 18 072.

3 The sum of all the digits of a three-digit number is 21. The digit in the ones place is greater than the digit in the tens place. A new number, which is 198 more than the original one, is formed by interchanging the digit in the ones place with the digit in the hundreds place. What is the original number?

Analysis: It will not take us long to figure out that 876 – 678 = 198. Hence, the answer is 678. The question lies with whether this is the only answer.

Solution: 100a + 10b + c = abc ––– (1) Interchange the digits in the ones and hundreds places, it will become 100c + 10b + a ––– (2) (2) – (1)

2008 3s 2008 6s

2008 3s 2008 6s

2008 3s 2008 2s

2008 9s 2008 2s

2008 0s 2008 2s

2008 2s 2008 0s 2008 2s

2007 2s 2007 7s

2008 3s 2008 6s

2 Tìm tổng tất cả các chữ số của phép nhân 333 … 333 × 666 … 666.

Phân tích: Chúng ta không thể tiến hành nhân trực tiếp 2 số lớn như vậy. Toàn bộ thủ thuật để giải quyết bài toán này nằm ở mối quan hệ đơn giản sau: 10 – 1 = 9.

Cách giải: 333 … 333 × 666 … 666

= 333 … 333 × 3 × 222 … 222

= 999 … 999 × 222 … 222

= (1000 … 000 – 1) × 222 … 222

= 222 … 222 000 … 000 – 222 … 222

= 222 … 222 1 777 … 778

2 + 7 = 9 (có 2007 cặp chữ số có tổng bằng 9 như vậy) 1 + 8 = 9 (có thêm 1 cặp chữ số có tổng bằng 9) 2008 × 9 = 18 072 Tổng tất cả các chữ số của số 333 … 333 × 666 … 666 là 18 072.

3 Tổng tất cả các chữ số của một số tự nhiên có 3 chữ số là 21. Chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục. Nếu đổi chỗ chữ số hàng đơn vị và chữ số hàng trăm ta sẽ nhận được một số tự nhiên mới lớn hơn số ban đầu 198 đơn vị. Tìm số đã cho.

Phân tích: Không quá khó để nhận thấy rằng: 876 – 678 = 198. Suy ra đáp số của bài toán là 876 – 678 = 198. Câu hỏi đặt ra là liệu đây có phải là đáp số duy nhất của bài toán hay không?

Cách giải: 100a + 10b + c = abc ––– (1) Đổi chỗ chữ số hàng đơn vị và chữ số hàng trăm, ta nhận được số mới: 100c + 10b + a ––– (2) (2) – (1)

2008 chữ số 3 2008 chữ số 6

2008 chữ số 3 2008 chữ số 6

2008 chữ số 3 2008 chữ số 2

2008 chữ số 9 2008 chữ số 2

2008 chữ số 0 2008 chữ số 2

2008 chữ số 2 2008 chữ số 0 2008 chữ số 2

2007 chữ số 2 2007 chứ số 7

2008 chữ số 3 2008 chữ số 6

6Chương 1

7Chapter 1

Đánh thức tài năng Toán học - 5 Terry Chew

100c + 10b + a – abc = 198 100c + 10b + a – 100a – 10b – c = 198 99c – 99a = 198 99(c – a) = 198 c – a = 198 ÷ 99 = 2 Since the digit in the ones place is greater than the digit in the

hundreds place by 2, we try 597. However, 9 is greater than 7. Next, we try 759. 957 – 759 = 198 Hence, the original number can be 678 or 957.

4 Miss Cussler was born on the 1st of January many years ago. In 2002, her age was the sum of all the four digits of the year that she was born in. How old was Miss Cussler in 2002?

Analysis: Again, we express the year that she was born in as 1000 + 100a + 10b + c, if we assume it is 1abc.

Solution: 2002 – (1000 + 100a + 10b + c) = 1 + a + b + c 1002 – 100a – 10b – c = 1 + a + b + c 1001 = 101a + 11b + 2c Take a = 9, so that it becomes 19bc. 1001 = 101 × 9 + 11b + 2c 1001 – 909 = 11b + 2c 92 = 11b + 2c

b = 92 – 2c _______ 11

When c = 2,

b = 92 – 2 × 2 _________ 11

= 88 ___ 11 = 8

Miss Cussler was born in 1982. 1 + 9 + 8 + 2 = 20 as 1982 + 20 = 2002. Miss Cussler was 20 years old in 2002.

100c + 10b + a – abc = 198 100c + 10b + a – 100a – 10b – c = 198 99c – 99a = 198 99(c – a) = 198 c – a = 198 ÷ 99 = 2 Vì chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng trăm 2 đơn vị, ta thử

số 597. Tuy nhiên khi đó chữ số hàng chục là 9 lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 7.

Tiếp theo, ta thử số 759. 957 – 759 = 198 Suy ra, số đã cho có thể là 678 hoặc 957.

4 Cô Cussler sinh ngày 1 tháng Giêng của nhiều năm về trước. Năm 2002, tuổi của cố ấy bằng tổng của 4 chữ số trong năm sinh của cô ấy. Hỏi năm 2002 cô Cussler bao nhiêu tuổi?

Analysis: Một lần nữa ta sẽ biểu diễn năm sinh của cô Cussler dưới dạng: 1000 + 100a + 10b + c, nếu chúng ta giả sử năm sinh của cô Cussler là: 1abc.

Cách giải: 2002 – (1000 + 100a + 10b + c) = 1 + a + b + c 1002 – 100a – 10b – c = 1 + a + b + c 1001 = 101a + 11b + 2c Lấy a = 9, khi đó số cần tìm có dạng 19bc. 1001 = 101 × 9 + 11b + 2c 1001 – 909 = 11b + 2c 92 = 11b + 2c

b = 92 – 2c _______ 11

Khi c = 2, b = 92 – 2 × 2 _________ 11

= 88 ___ 11 = 8

Cô Cussler sinh năm 1982. 1 + 9 + 8 + 2 = 20 Vì 1982 + 20 = 2002. Vậy năm 2002, cô Cussler 20 tuổi.

8Chương 1

9Chapter 1

Đánh thức tài năng Toán học - 5 Terry Chew

PRACTICELUYEÄN TAÄP

1 For each question below, do only the first three multiplication problems. Write out the next three products based on your conjecture.

(a) 3 × 4 = (b) 6 × 7 = 33 × 34 = 66 × 67 = 333 × 334 = 666 × 667 = 3333 × 3334 = 6666 × 6667 = 33 333 × 33 334 = 66 666 × 66 667 = 333 333 × 333 334 = 666 666 × 666 667 =

(c) 5 × 9 = (d) 8 × 9 = 55 × 99 = 88 × 99 = 555 × 999 = 888 × 999 = 5555 × 9999 = 8888 × 9999 = 55 555 × 99 999 = 88 888 × 99 999 = 555 555 × 999 999 = 888 888 × 999 999 =

2 Find the value of 1 111 111 122 222 222 ÷ 33 333 334.

1 Với mỗi câu hỏi dưới đây, chỉ thực hiện 3 phép tính nhân đầu tiên. Viết kết quả của 3 phép tính tiếp theo dựa trên những phán đoán của mình.

(a) 3 × 4 = (b) 6 × 7 = 33 × 34 = 66 × 67 = 333 × 334 = 666 × 667 = 3333 × 3334 = 6666 × 6667 = 33 333 × 33 334 = 66 666 × 66 667 = 333 333 × 333 334 = 666 666 × 666 667 =

(c) 5 × 9 = (d) 8 × 9 = 55 × 99 = 88 × 99 = 555 × 999 = 888 × 999 = 5555 × 9999 = 8888 × 9999 = 55 555 × 99 999 = 88 888 × 99 999 = 555 555 × 999 999 = 888 888 × 999 999 =

2 Tìm giá trị của: 1 111 111 122 222 222 ÷ 33 333 334.

10Chương 1

11Chapter 1

Đánh thức tài năng Toán học - 5 Terry Chew

3 Find the value of 666 … 666 × 666 … 667.

4 Compute 11 111 111 × 99 999 999.

2008 6s 2007 6s

3 Tìm giá trị của: 666 … 666 × 666 … 667.

4 Tính: 11 111 111 × 99 999 999.

2008 chữ số 6 2007 chữ số 6

12Chương 1

13Chapter 1

Đánh thức tài năng Toán học - 5 Terry Chew

5 Find the value of 888 … 888 × 333 … 334 + 666 … 666 × 888 … 888.

6 Compute 333 … 333 × 888 … 888 ÷ 666 … 666.

5 Tìm giá trị của: 888 … 888 × 333 … 334 + 666 … 666 × 888 … 888.

6 Tính 333 … 333 × 888 … 888 ÷ 666 … 666.2008 6s2008 8s2008 3s

20 8s20 6s19 3s20 8s

14Chương 1

15Chapter 1

Đánh thức tài năng Toán học - 5 Terry Chew

7 Compute 2007 2008 × 2008 2007 – 2007 2007 × 2008 2008.

8 Find the value of 999 … 999 × 999 … 999 + 1 999 … 999.

7 Tính 2007 2008 × 2008 2007 – 2007 2007 × 2008 2008.

8 Tìm giá trị của: 999 … 999 × 999 … 999 + 1 999 … 999.2008 9s 2008 9s 2008 9s

16Chương 1

17Chapter 1

Đánh thức tài năng Toán học - 5 Terry Chew

9 The sum of the digits of a two-digit number is multiplied by 8. The result is 8 more than the number. Find the two-digit number.

10 James’ age in 2008 was the sum of all the digits of his year of birth. How old was James in 2008?

9 Lấy tổng tất cả các chữ số của một số tự nhiên có 2 chữ số nhân với 8. Kết quả nhận được lớn hơn số đã cho 8 đơn vị. Tìm số tự nhiên có 2 chữ số đó.

10 Năm 2008, tuổi của James bằng tổng tất cả các chữ số trong năm sinh của James. Hỏi năm 2008, James bao nhiêu tuổi?

18Chương 1

19Chapter 1

Đánh thức tài năng Toán học - 5 Terry Chew

Solve by Comparison and Replacement22

The techniques of comparison and replacement, also known as substitution, have been studied in detail in Maths Olympiad – Beginner.

In the first case, we will write two statements about the problems. We then bring the statements to a comparable stage when they cannot be compared directly in the first place.

In the second case, we treat two items or events as if they are the same. In other words, we substitute one item for another. Adjustments need to be made to facilitate the solving of such problems.

1 5 similar tables and 18 similar chairs cost $594. The cost of one such table is the same as the cost of 3 such chairs. How much does each table cost? How much does each chair cost?

Solution: ‘Change’ all items to chairs. 1 table → 3 chairs 5 tables → 15 chairs 15 + 18 = 33 chairs $594 ÷ 33 = $18 Each chair costs $18. 3 × $18 = $54 Each table costs $54.

Kỹ thuật của phương pháp so sánh và thay thế (còn được gọi là phương pháp thế) được đề cập chi tiết trong Tập 3 của bộ sách Đánh thức Tài năng Toán học.

Trường hợp thứ nhất, chúng ta sẽ viết hai mệnh đề về bài toán. Sau đó, chúng ta đem hai mệnh đề này ra so sánh với một mệnh đề khác bởi ban đầu hai mệnh đề này không thể so sánh trực tiếp với nhau.

Trường hợp thứ hai, chúng ta coi hai đối tượng hoặc hiện tượng là một. Nói cách khác, ta thay thế đối tượng này bằng đối tượng kia. Sau đó chúng ta cần điều chỉnh lại để giải bài toán.

1 5 chiếc bàn và 18 chiếc ghế có giá 594 đô-la. Giá của một chiếc bàn bằng giá của 3 chiếc ghế. Hỏi mỗi chiếc bàn giá bao nhiêu? Mỗi chiếc ghế giá bao nhiêu?

Cách giải: “Đổi” tất cả các đối tượng ra ghế. 1 chiếc bàn → 3 chiếc ghế 5 chiếc bàn → 15 chiếc ghế 15 + 18 = 33 chiếc ghế 594 : 33 = 18 đô-la Mỗi chiếc ghế có giá là: 18 đô-la. 3 x 18 = 54 đô-la Mỗi chiếc bàn có giá là: 54 đô-la.

EXAMPLES

EXAMPLES