Upload
doankhue
View
241
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Bidang Studi Teknik Sistem PengaturanJurusan Teknik Elektro - FTIInstitut Teknologi Sepuluh Nopember
TE 091467 Teknik Numerik Sistem Linear
Trihastuti Agustinah
OBJEKTIF Contoh Simpulan Latihan
Tujuan Pembelajaran
Mahasiswa mampu:
1. Mengubah bentuk kuadratik kedalam bentukperkalian matriks
2. Mereduksi perkalian silang antar variabel dalambentuk kuadratik umum ke dalam bentuk kuadratikbaru tanpa suku perkalian silang
Teori
TEORI Contoh Simpulan Latihan
Pendahuluan
Salah satu kegunaan dari bentuk kuadratik adalah untuk
menentukan kejelasan tipe dari matriks apakah
termasuk matriks definit positif (negatif) atau indefinit.
Kejelasan tipe matriks juga dapat menentukan tipe
eigenvalue dari matriks tersebut.
Objektif
Bentuk Kuadratik (simetris)
TEORIObjektif
Contoh: 22 643 yxyx −+
Bentuk kuadratik dengan dua variabel
22 2 cybxyax ++
22 52 yx −
xy2
yx
cbba
yx ][
cross-product
− y
xyx
6223
][
− y
xyx
5002
][
yx
yx0110
][
Contoh Simpulan Latihan
Bentuk Kuadratik (non-simetris)
TEORIObjektif
Contoh: 22 643 yxyx −+
Bentuk kuadratik dengan dua variabel
22 2 cybxyax ++
22 562 yxyx −−
xy5
yx
ceda
yx ][
− y
xyx
6313
][
−−−
yx
yx5422
][
yx
yx0320
][
d+e
Contoh Simpulan Latihan
Matriks Definit Positif
TEORIObjektif
Definisi:
Bentuk kuadratik xTAx disebut definit positifjika xTAx untuk semua x≠0
Matriks simetris A disebut matriks definit positifjika xTAx adalah bentuk kuadratik definit positif
Teorema:Matriks simetris A adalah definit positif jika dan hanya jika
• seluruh eigenvalue dari A adalah positif
• determinan dari submatriks prinsipal adalah positif
Contoh Simpulan Latihan
Bentuk Kuadratik
TEORIObjektif
Matriks simetris A dan bentuk kuadratik xTAx:
definit positif xT Ax > 0 untuk semua x ≠ 0
semidefinit positif xT Ax ≥ 0 untuk semua x
definit negatif xT Ax < 0 untuk semua x ≠ 0
semidefinit negatif xT Ax ≤ 0 untuk semua x
indefinit xT Ax memiliki nilai positif dannegatif
Contoh Simpulan Latihan
Diagonalisasi Bentuk Kuadratik
TEORIObjektif
=
nnnnn
n
n
nT
x
xx
aaa
aaaaaa
xxxAxx
2
1
21
22221
11211
21 ][
Bentuk kuadratik: simetris
Misal:
==
n
T DAPP
λ
λλ
00
0000
2
1
=
ny
yy
y2
1
variabelbaru
Contoh Simpulan Latihan
Diagonalisasi Bentuk Kuadratik
TEORIObjektif
DyyAPyPyAPyPyAxx TTTTT === )(
Substitusi x = Py
Maka:
=
nn
nT
y
yy
yyyDyy
2
1
2
1
21
00
0000
][
λ
λλ
2222
211 nn yyy λλλ +++=
APPD T=
jumlah kuadrat
Contoh Simpulan Latihan
Contoh 1
CONTOHObjektif Simpulan LatihanTeori
Jelaskan tipe definit dari matriks berikut
−=
100020003
A
=
300000005
B
=
121297176
C
Contoh 1
CONTOHObjektif Simpulan LatihanTeori
−=
100020003
A
−−−
−=
310121013
B
=
121297176
C
33 = 620
03−=
− 6100020003
−=−
33 = 52113=
−−
12310121013=
−−−
−
66 = 59776= 0
121297176=
Jawaban Contoh 4: ekspansi kofaktor
CONTOHObjektif Simpulan LatihanTeori
Dapatkan bentuk kuadratik baru dari bentuk kuadratikberikut:
Bentuk kuadratik:
−−
−
3
2
1
321
120202021
][xxx
xxx
322123
21 44 xxxxxx +−−
Contoh 2
Jawaban Contoh 4: ekspansi kofaktor
CONTOHObjektif Simpulan LatihanTeori
Contoh 2
Persamaan karakteristik:
Eigenvalue: λ = 0, -3, 3
0)3)(3(9120
22021
3 =−+=−=+−−
−λλλλλ
λλ
λ
Bentuk kuadratik:
−−
−
3
2
1
321
120202021
][xxx
xxx
Jawaban Contoh 4: ekspansi kofaktor
CONTOHObjektif Simpulan LatihanTeori
Contoh 2
Sistem homogen: 0
12022
021
3
2
1
=
+−−
−
xxx
λλ
λ
=
−−
−
000
120202
021
3
2
1
xxx
=
323132
1x
=
−−
000
0002/110101
3
2
1
xxx
=
1
1
21
1x
λ=0
normalisasi
Jawaban Contoh 4: ekspansi kofaktor
CONTOHObjektif Simpulan LatihanTeori
Contoh 2
λ = -3
=
−−−−
−
000
220232
024
3
2
1
xxx
−−
=
323231
2x
00001102/101
3
2
1
=
xxx
normalisasi
−−
=221
2x
Jawaban Contoh 4: ekspansi kofaktor
CONTOHObjektif Simpulan LatihanTeori
Contoh 2
λ = 3
0000210201
3
2
1
=
−
xxx
normalisasi
−=
122
3x
=
−−
000
420232
022
3
2
1
xxx
−=
313232
3x
Jawaban Contoh 4: ekspansi kofaktor
CONTOHObjektif Simpulan LatihanTeori
Contoh 2
−−−
=
31
32
32
32
32
31
32
31
32
P
−−−
−−
−
−−−==
31
32
32
32
32
31
32
31
32
31
32
32
32
32
31
32
31
32
120202021
APPD T
−=
300030000
Matriks P:
Matriks diagonal D:
Jawaban Contoh 4: ekspansi kofaktor
CONTOHObjektif Simpulan LatihanTeori
Contoh 2
Eliminasi suku perkalian silang:
Bentuk kuadratik baru:
−
3
2
1
321
300030000
][yyy
yyy
−−−
=
3
2
1
31
32
32
32
32
31
32
31
32
3
2
1
yyy
xxx
23
22 33 yy +−
SIMPULAN
Bentuk Kuadratik
1) Diagonalisasi bentuk kuadratik digunakan untukmendapatkan bentuk kuadratik baru yang tidakmemuat perkalian silang antar variabel-nya
2) Matriks A adalah definit positif jika xTAxmerupakan bentuk kuadratik definit positif
Objektif Contoh LatihanTeori
Objektif LATIHANContoh Simpulan
Soal
Teori
Dapatkan bentuk kuadratik baru untuk persamaan berikut:
322123
22
21 44543 xxxxxxx −+++