TEHNICKA MEHANIKA 2 - grf.rs · PDF fileKinematika krutog tela Posebni oblici kretanja krutog tela TEHNI KA MEHANIKA 2 Osnovne akademske studije, III semestar Prof. dr Stanko Br£i¢

Kinematika krutog telaPosebni oblici kretanja krutog tela
TEHNIKA MEHANIKA 2
Osnovne akademske studije, III semestar
Prof. dr Stanko BriProf. dr Rastislav MandiDoc. dr Stanko ori
email: [email protected]
Graevinski fakultetUniverzitet u Beogradu
k. god. 2017/18
S.Bri, S.ori Tehnika mehanika 2

Sadraj
1 Kinematika krutog tela
Poloaj krutog tela u prostoru
Ojlerovi uglovi
Konane jednaine kretanja krutog tela
2 Posebni oblici kretanja krutog tela
Translatorno kretanje krutog tela
Rotacija krutog tela oko nepokretne ose
Rotacija krutog tela oko nepokretne take

Poloaj krutog tela u prostoruOjlerovi ugloviKonane jednaine kretanja krutog tela
Sadraj
Ojlerovi uglovi

Kinematika krutog tela
Poloaj krutog tela
Poloaj slobodnog krutog tela u prostoru je odreen ako se
poznaje poloaj tri nekolinearne take tela (A, B, C)
Svaka od taaka je odreena sa svojim vektorom poloaja (po
3 koordinate), ukupno 9 koordinata
Kruto telo rastojanje izmeu bilo koje 2 take je konstantnoIzmeu 9 koordinata taaka A, B, C postoje tri veze
AB = `1 = const, AC = `2 = const, BC = `3 = const
Broj stepeni slobode kretanja slobodnog krutog tela je
n = 9 3 = 6

Poloaj krutog tela
Prostorni (inercijalni) sistem Oxyz bazni vektori (~,~,~k)
Materijalni (pokretni) sistem A bazni vektori (~, ~, ~)
Referentna taka tela A
Poloaj take tela: ~r = ~rA + ~
- vektori ~r i ~rA su u sistemu Oxyz:
~r = {x, y, z} ~rA = {xA, yA, zA}
- vektor ~ je u sistemu A:
~ = {, , }

Poloaj krutog tela
Za datu taku tela, materijalne koordinate , , sukonstantne veliine
Kretanje tela je promena poloaja tela tokom vremena
Prilikom kretanja tela menjaju se
- koordinate referentne take A,- pravci baznih vektora ~, ~, ~ materijalnog koord. sistema
Zakljuak: poloaj krutog tela (u odnosu na prostorni
sistem) u potpunosti je odreen sa poloajem referentne
take tela A i poloajem materijalnog sistema u odnosu na
prostorni sistem

Sadraj
Ojlerovi uglovi

Odnos prostornog i materijalnog sistema
Oba sistema se posmatraju sa istim koordinatnim poetkom
Odnos baznih vektora materijalnog i prostornog sistema~~~
= a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
~~~k
Matrica [aij ] (i, j = 1, 2, 3) je matrica rotacije
Elementi matrice aij su kosinusi uglova izmeu pravaca ~, ~, ~
u odnosu na pravce ~,~,~k
Matrica rotacije je ortogonalna matrica: [aij ]1 = [aij ]
T

Odnos prostornog i materijalnog sistema

Ojlerovi (Euler-ovi) uglovi , ,
Izmeu 9 elemenata matrice [aij ] postoji 6 veza (relacija)1 Bazni vektori materijalnog sistema su meusobno ortogonalni:
~ ~ = 0, ~ ~ = 0, ~ ~ = 0
2 Bazni vektori materijalnog sistema su jedinini:
~ ~ = 1, ~ ~ = 1, ~ ~ = 1

Izmeu 9 kosinusa pravaca aij postoje sledee relacije
a11a21 + a12a22 + a13a23 = 0
a21a31 + a22a32 + a23a33 = 0
a31a11 + a32a12 + a33a13 = 0
a211 + a212 + a
213 = 1
a221 + a222 + a
223 = 1
a231 + a232 + a
233 = 1

Odnos materijalnog prema prostornom sistemu odreen je sa 9
kosinusa pravaca, odn. sa matricom rotacije
Izmeu 9 elemenata matrice [aij ] postoji 6 veza, odn.izraavaju se preko 3 nezavisne veliine
Umesto komplikovane eliminacije, poloaj sistema A premasistemu Oxyz moe da se direktno odredi preko 3 meusobnonezavisna ugla
Ta 3 ugla su Ojlerovi uglovi , , :
- Ugao precesije - Ugao nutacije - Ugao sopstvene rotacije

Prostorni i materijalni sistem i Ojlerovi uglovi
- Prostorni (nepokretan) sistem xyz
- Materijalni (pokretan) sistem XY Z - Linija vorova N (presek ravni xy i )
- Ugao precesije - Ugao nutacije - Ugao sopstvene rotacije

Trijedri Oxyz i A se poklapaju (poetni poloaj)
Pomou tri uzastopne rotacije za tri nezavisna konana ugla,
pokretan trijedar A se dovodi u proizvoljan poloaj uodnosu na nepokretan trijedar Oxyz
Tri uzastopne konane rotacije su:1 rotacija oko z ose za ugao PRECESIJE 2 rotacija oko linije vorova n za ugao NUTACIJE 3 rotacija oko ose za ugao SOPSTVENE ROTACIJE
Odreuju se relacije izmeu baznih vektora ~, ~, ~ i ~,~,~k

Posle rotacije oko z ose za ugao ose i su u ravni Oxy,ali rotirane za ugao
Osa pretstavlja, u tom poloaju, liniju vorova (presek ravniOxy i A
Posle rotacije oko linije vorova (odn. oko ose u tompoloaju), za ugao , osa se odvaja od ose z, a osa seizdie iz ravni Oxy
Posle rotacije oko ose za ugao sopstvene rotacije i osa seizdie iz ravni Oxy i dospeva u svoj konaan poloaj
Time je sistem A dospeo u proizvoljan poloaj u odnosu nanepokretan sistem Oxyz

Ispisivanjem relacija rotacije izmeu jedininih vektora, posle
svake konane

Documents

TEHNICKA MEHANIKA 2 - grf.rs · PDF fileKinematika krutog tela Posebni oblici kretanja krutog tela TEHNI KA MEHANIKA 2 Osnovne akademske studije, III semestar Prof. dr Stanko Br£i¢