Tehnoloski - Matematika II - Predavanja

Obicne diferencijalne jednacine

2008/2009

(ODJ) 2008/2009 1 / 20

ODJ n-tog reda (prvi dvocas)

Implicitni oblik ODJ n-tog reda je

F (x , y , y , y , . . . , y (n1), y (n)) = 0

Eksplicitni oblik ODJ n-tog reda je

y (n) = f (x , y , y , y , . . . , y (n1))

x nezavisna promenljiva, y , y , . . . , y (n) zavise od x

(ODJ) 2008/2009 2 / 20

ODJ prvog reda

Implicitni oblik ODJ prvog reda je

F (x , y , y ) = 0

Eksplicitni oblik ODJ prvog reda je

y = f (x , y)

Pocetni problem

y = f (x , y), y(x0) = y0

(ODJ) 2008/2009 3 / 20

Jednacine u kojima se promenljive mogu razdvojiti

y = f (x) g(y)

y = f (x) g(y) dydx

= f (x) g(y) dyg(y)

= f (x) dx

dy

g(y)=

f (x) dx

(ODJ) 2008/2009 4 / 20

Jednacine u kojima se promenljive mogu razdvojiti - zadaci

Resiti sledece diferencijalne jednacine:

Zadatak 1. y = 2x

Zadatak 2. y = 2x , y(0) = 0

Zadatak 3. y = 2x , y(1) = 3Zadatak 4. xy + 5x = yy

Zadatak 5. ets2 s

ts = 0, s(0) = 0

(ODJ) 2008/2009 5 / 20

Homogene ODJ prvog reda

y = f(yx

)Smena:

u(x) =y(x)

xodnosno u =

y

x

y = u x y = ux + ux

y = ux + u

(ODJ) 2008/2009 6 / 20

Homogene ODJ prvog reda - zadaci


Zadatak 1. eyx +

y

x= y

Zadatak 2. y =x + y

x y

Zadatak 3. x =ln xy + 1

yx

, x(1) = e

Zadatak 4. (3y2 + 3xy + x2) dx = (x2 + 2xy) dy

Zadatak 5. xy y =

x2 + y2

(ODJ) 2008/2009 7 / 20

Zadaci za vezbu


Zadatak 1. (xy2 + x)dx + (y x2y)dy = 0Zadatak 2. y2 + x2y = xyy

Zadatak 3. xy + y = y2

Zadatak 4. y =1 + y2

1 + x2, y(0) =

pi

4

Zadatak 5. Naci krivu koja prolazi kroz tacku (2, 3) i cija svaka tackapolovi odsecak odgovarajuce tangente koji lezi izmedu koordinatnih osa.

(ODJ) 2008/2009 8 / 20

Jednacine koje se svode na homogene (drugi dvocas)

y = f(a1x + b1y + c1a2x + b2y + c2

)

Prvi slucaj

a1 b1a2 b2

= 0

Navedenom smenom dobijamo ODJ koja razdvaja promenlljive

u = a1 x + b1 y , 6= 0 .

(ODJ) 2008/2009 9 / 20

Jednacine koje se svode na homogene (prvi slucaj) - zadaci


Zadatak 1. y =x + y

x + y 6Zadatak 2. y =

x 3y + 22x + 6y 4

Zadatak 3. y =x 3y + 22x + 6y + 8

Zadatak 4. (x + y + 1)dx = (2x + 2y 1)dy

(ODJ) 2008/2009 10 / 20

Jednacine koje se svode na homogene

y = f(a1x + b1y + c1a2x + b2y + c2

)

Drugi slucaj

a1 b1a2 b2

6= 0

Smena:

x = X + x0, y = Y + y0

(ODJ) 2008/2009 11 / 20

Jednacine koje se svode na homogene

Smena:

(x0, y0) je resenje sistema

a1x0 + b1y0 + c1 = 0a2x0 + b2y0 + c2 = 0

Nakon smene dobija se homogena ODJ oblika

Y =a1X + b1Y

a2X + b2Y

(ODJ) 2008/2009 12 / 20

Jednacine koje se svode na homogene (drugi slucaj) -zadaci


Zadatak 1. y =x y

x + 2y 6Zadatak 2. y =

x 3y + 22x + 6y 4 , y(4) = 1

Zadatak 3. y =2y x 52x y + 4

Zadatak 4. (2x y + 1)dx = (x 2y + 1)dy

(ODJ) 2008/2009 13 / 20

Zadaci za vezbu


Zadatak 1. 2x+y + 3x2y y = 0Zadatak 2. (x + y)dy (x y)dx = 0

Zadatak 3. y =2x + y + 1

4x + 2y 3Zadatak 4. y = x + y 2

x y + 4Zadatak 5. Naci sve krive kod kojih se odsecak tangente od tacke dodirado apcisne ose polovi tackom preseka sa ordinatnom osom.

(ODJ) 2008/2009 14 / 20

Linearna DJ prvog reda (treci dvocas)

y + f (x) y = g(x)

Smena

y(x) = u(x) v(x)

y (x) = u(x) v(x) + u(x) v (x)

Jednacina glasi

u v + u v + u v f (x) = g(x)

u v + u ( v + v f (x) 0

) = g(x)

(ODJ) 2008/2009 15 / 20

Linearna DJ prvog reda - zadaci


Zadatak 1. y + 2 x y = 2 x2 ex2

Zadatak 2. y dx (3 x + 1 + ln y)dy = 0Zadatak 3. 4 x + 2 x y = cos y

Zadatak 4. y =y

2 y ln y + y x

(ODJ) 2008/2009 16 / 20

Zadaci za vezbu


Zadatak 1. y + 2y = 4x

Zadatak 2. 2ydx + (y2 6x)dy = 0

Zadatak 3.dy

dx=

1

x cos y + sin 2y

Zadatak 4. ydx = (y3 x)dy

(ODJ) 2008/2009 17 / 20

Bernulijeva DJ

y + f (x) y = g(x) y 6= 0 (za = 0 linearna DJ)

6= 1 (za = 1 razdvaja promenljive)

Smenom

z(x) = y(x)1 ili jednostavnije z = y1

svodi se na linearnu DJ prvog reda.

Podeliti Bernulijevu jednacinu sa y

yy + f (x) y1 = g(x)z = (1 ) y y z

1 = y y

(ODJ) 2008/2009 18 / 20

Bernulijeva DJ - zadaci


Zadatak 1. y +2y

x=

2y

cos2 x

Zadatak 2. xy + y = y2 ln x

Zadatak 3. xdy = (x3y4 y)dx

Zadatak 4. 3y cos x + y sin x 1y2

= 0

Zadatak 5. xy + y = y2 ln x

(ODJ) 2008/2009 19 / 20

Zadaci za vezbu


Zadatak 1. y 2xy = 2x3y3

Zadatak 2. xdx =

(x2

y y3

)dy

Zadatak 3. y y tg x + y2 cos x = 0Zadatak 4. xy 4y x2y = 0

(ODJ) 2008/2009 20 / 20

ODJ viseg reda (cetvrti dvocas)

Jednacine kod kojih se ne pojavljuje x

F (y , y , y , . . . , y (n1), y (n)) = 0

Smena:

y (x) = p ili y = p gde je p = p(y)

y (x) =dp

dx=

dp

dy dydx

=dp

dy p

(ODJ) 2008/2009 2 / 22

Jednacine kod kojih se ne pojavljuje x - zadaci


Zadatak 1. y + 2 y (y )3 = 0

Zadatak 2. y sin y = 2 (y )2 cos y

Zadatak 3. y + (y )2 = 2 ey

Zadatak 4. y y = (y )2

(ODJ) 2008/2009 3 / 22

Zadaci za vezbu


Zadatak 1. y y + (y )2 = 0

Zadatak 2. 2 y y + (y )2 + (y )4 = 0

Zadatak 3. y y = y2 y + (y )2

(ODJ) 2008/2009 4 / 22

ODJ viseg reda

Jednacine kod kojih je moguce sniziti red - nema y

F (x , y , y , . . . , y (n1), y (n)) = 0

Smena: ako je y (k) najmanji izvod koji se pojavljuje u jednacini

y (k)(x) = p(x) ili y (k) = p

y (k+1)(x) = p(x), y (k+2)(x) = p(x), y (k+3)(x) = p(x), . . .

(ODJ) 2008/2009 5 / 22

Jednacine kod kojih je moguce sniziti red - zadaci


Zadatak 1. y =1

x+ 5

Zadatak 2. y = sin(2x + 1) + x2

Zadatak 3. 2 x y y = (y )2 1Zadatak 4. x y + y + x = 0, y (0) = 0, y(0) = 0

Zadatak 5. y (n) = e2x

(ODJ) 2008/2009 6 / 22

Zadaci za vezbu


Zadatak 1. x y + y = 0

Zadatak 2. x2 y + x y = 1

Zadatak 3. y y (1 + y ) = 0Zadatak 4. y + y + x = 0

(ODJ) 2008/2009 7 / 22

Linearne DJ viseg reda sa konstantim koefic. (peti dvocas)

Opsti oblik

an y(n)+ an1 y (n1)+ an2 y (n2)+ + a2 y + a1 y + a0 y = f (x) (1)

Jednacina (??) je homogena ako je

f (x) = 0 .

Jednacina (??) je nehomogena ako je

f (x) 6= 0 .

(ODJ) 2008/2009 8 / 22

Homogene DJ viseg reda sa konstantim koeficijentima

Formiranje karakterisitcne jednacine

Homogena DJ

an y(n) + an1 y (n1) + an2 y (n2) + + a2 y + a1 y + a0 y = 0

y 1, y r , y r2, . . . , y (n) rn

Karakteristicna jednacina

an rn + an1 rn1 + an2 rn2 + + a2 r2 + a1 r + a0 = 0

cija su resenja r1, r2, . . . , rn

(ODJ) 2008/2009 9 / 22

Homogene DJ viseg reda sa konstantim koeficijentima

Posmatramo homogenu jednacinu drugog reda

Neka su r1 i r2 resenja karakteristicne jednacine.

r1, r2 R, r1 6= r2 yh = C1 er1 x + C2 er2 x

r1, r2 R, r1 = r2 yh = C1 er1 x + C2 x er1 x

r1, r2 C, r1 = a+ b ir2 = a b i yh = eax (C1 cos(bx) + C2 sin(bx))

(ODJ) 2008/2009 10 / 22

Homogene sa konstantim koeficijentima - zadaci


Zadatak 1. y y 6y = 0, y (0) = 1, y(0) = 3Zadatak 2. y + 2y + y = 0

Zadatak 3. y + 2y + 5y = 0

Zadatak 4. y (5) 3y (4) + 2y = 0Zadatak 5. y (4) + 2y + y = 0

Zadatak 6. y (4) + y = 0

(ODJ) 2008/2009 11 / 22

Zadaci za vezbu


Zadatak 1. y 5y 6y = 0Zadatak 2. y 2y + y = 0Zadatak 3. y + 6y + 13y = 0

Zadatak 4. y (4) 2y + y = 0Zadatak 5. y + 3y = 0

(ODJ) 2008/2009 12 / 22

Nehomogene linearne DJ viseg reda sa konstantim koefic.(sesti dvocas)

Opsti oblik

an y(n)+an1 y (n1)+an2 y (n2)+ +a2 y +a1 y +a0 y = f (x), f (x) 6= 0

Metode resavanja su:

metod neodredenih koeficijenata i

metod varijacije konsanti .

(ODJ) 2008/2009 13 / 22

Metod neodredenih koeficijenata

Funkcija f (x) je oblika:

f (x) = e x Pn(x)

Ako su r1, r2, . . . , rn resenja karakteristicne jednacine, tada

partikularno resenje trazimo u obliku

yp = e x Qn(x) x

s

gde je

Qn opsti polinom n-tog stepena i

s broj tacnih jednakosti = ri , i = 1, 2, . . . , n .

(ODJ) 2008/2009 14 / 22

Nehomogene sa konstantim koeficijentima - zadaci


Zadatak 1. y + 2y 3y = 3x2 2x 3Zadatak 2. y (4) 2y 8y = 4x2 6xZadatak 3. y + 9y = (13x2 + 5x + 15)e2x

Zadatak 4. y + 4y + 3y = (2x + 5)e3x + x

(ODJ) 2008/2009 15 / 22

Zadaci za vezbu


Zadatak 1. y 5y + 6y = xZadatak 2. y y = x2 + 1Zadatak 3. y + y 2y = (x2 1) e2x

Zadatak 4. y + y = x2 + 1 + 3ex

(ODJ) 2008/2009 16 / 22

Metod neodredenih koeficijenata

Funkcija f (x) je oblika:

f (x) = e x (Pn(x) cos x + Qm(x) sin x)

Ako su r1, r2, . . . , rn resenja karakteristicne jednacine, tada

partikularno resenje trazimo u obliku

yp = e x (Rk(x) cos x + Sk(x) sin x) x

s

gde su

Rk i Sk opsti polinomi k-tog stepena, k = max{n,m} is broj tacnih jednakosti + i = rj , j = 1, 2, . . . , n .

(ODJ) 2008/2009 17 / 22

Nehomogene sa konstantim koeficijentima - zadaci


Zadatak 1. y + 2y + 5y = 4 cos 2x + sin 2x

Zadatak 2. y 4y + 4y = 2 sin (x)Zadatak 3. y + y = x ex cos x

Zadatak 4. y 4y + 4y = x2 2x + 1 + 3ex + 2 sin (x)

(ODJ) 2008/2009 18 / 22

Zadaci za vezbu


Zadatak 1. y + y = sin 2x

Zadatak 2. y + y = sin x

Zadatak 3. y + 2y + y = x sin x + 3x2 cos 2x

(ODJ) 2008/2009 19 / 22

Metod varijacije konstanti (sesti dvocas)

Neka je data DJ treceg reda

a3 y + a2 y + a1 y + a0 y = f (x), f (x) 6= 0

Neka je y = C1 y1(x) + C2 y2(x) + C3 y3(x) resenje homogene DJ.Resenje nehomogene DJ zapisujemo u obliku

y = C1(x)y1(x) + C2(x)y2(x) + C3(x)y3(x)

C1(x), C2(x) i C3(x) se dobijaju resavanjem sistema

C 1(x) y1(x) + C2(x) y2(x) + C

3(x) y3(x) = 0

C 1(x) (y1(x)) + C 2(x) (y2(x))

+ C 3(x) (y3(x)) = 0

C 1(x) (y1(x)) + C 2(x) (y2(x))

+ C 3(x) (y3(x)) = f (x)/a3

(ODJ) 2008/2009 20 / 22

Metod varijacije konstanti - zadaci


Zadatak 1. y + 4y =1

sin 2x

Zadatak 2. y 3y + 3y y = ex

x3

Zadatak 3. y + y =x

sin x

(ODJ) 2008/2009 21 / 22

Zadaci za vezbu


Zadatak 1. y + 4y =1

sin x

Zadatak 2. y + y =1

cos x

(ODJ) 2008/2009 22 / 22

Povrsi drugog reda

2008/2009

(Povrsi) 2008/2009 1 / 38

Povrsi drugog reda - opsta jednacina

Opsta jednacina povrsi drugog reda je

A1x2+A2y

2+A3z2+2B1yz+2B2zx+2B3xy+2C1x+2C2y+2C3z+D = 0

gde je bar jedan od brojeva A1,A2,A3,B1,B2,B3,C1,C2 i C3 razlicit odnule.

(Povrsi) 2008/2009 2 / 38

Obrtne povrsi

Ako se povrs rotira oko z ose, jednacina povrsi je

z = f (x2 + y2)

Ako se povrs rotira oko y ose, jednacina povrsi je

y = f (x2 + z2)

Ako se povrs rotira oko x ose, jednacina povrsi je

x = f (y2 + z2)

(Povrsi) 2008/2009 3 / 38

Obrtne povrsi - obrtni paraboloid

z = x2 + y 2

(Povrsi) 2008/2009 4 / 38


z = x2 + (y a)2, a > 0

(Povrsi) 2008/2009 5 / 38


y = x2 + z2

(Povrsi) 2008/2009 6 / 38


x = y 2 + z2

(Povrsi) 2008/2009 7 / 38


z = (x2 + y 2)

(Povrsi) 2008/2009 8 / 38


z = x2 + y 2 + a, a > 0

(Povrsi) 2008/2009 9 / 38

Obrtne povrsi - centralni konus

z2 = x2 + y 2

(Povrsi) 2008/2009 10 / 38


z =

x2 + y 2

(Povrsi) 2008/2009 11 / 38


y =x2 + z2

(Povrsi) 2008/2009 12 / 38


x =

y 2 + z2

(Povrsi) 2008/2009 13 / 38

Obrtne povrsi - sfera sa centrom u C (x1, y1, z1) pol. R

(x x1)2 + (y y1)2 + (z z1)2 = R2

(Povrsi) 2008/2009 14 / 38

Obrtne povrsi - centralna sfera poluprecnika R

x2 + y 2 + z2 = R2

(Povrsi) 2008/2009 15 / 38

Obrtne povrsi - centralni elipsoid

x2/a2 + y 2/b2 + z2/c2 = 1

(Povrsi) 2008/2009 16 / 38

Cilindricne povrsi

Ako je povrs paralelna sa z osom, jednacina povrsi je

f (x , y) = 0

Ako je povrs paralelna sa y osom, jednacina povrsi je

f (x , z) = 0

Ako je povrs paralelna sa x osom, jednacina povrsi je

f (y , z) = 0

(Povrsi) 2008/2009 17 / 38

Cilindricne povrsi

z = y 2

(Povrsi) 2008/2009 18 / 38

Cilindricne povrsi

y = x2

(Povrsi) 2008/2009 19 / 38

Cilindricne povrsi

z = x2

(Povrsi) 2008/2009 20 / 38

Cilindricne povrsi

x = y 2

(Povrsi) 2008/2009 21 / 38

Cilindricne povrsi

x2 + y 2 = R2

(Povrsi) 2008/2009 22 / 38

Cilindricne povrsi

x2 + z2 = R2

(Povrsi) 2008/2009 23 / 38

Cilindricne povrsi

y 2 + z2 = R2

(Povrsi) 2008/2009 24 / 38

Ravni

Skalarni oblik jednacina ravni je

Ax + By + Cz + D = 0 , A,B,C ,D R.

Segmentni oblik jednacina ravni jex

a+

y

b+

z

c= 1 , a, b i c odsecci na x , y i z osi, redom.

(Povrsi) 2008/2009 25 / 38

Ravan - segmentni oblik jednacine

x/a + y/b + z/c = 1

(Povrsi) 2008/2009 26 / 38

Ravan

x + y = a

(Povrsi) 2008/2009 27 / 38

Ravan

x + z = a

(Povrsi) 2008/2009 28 / 38

Ravan

y + z = a

(Povrsi) 2008/2009 29 / 38

Ravan

x = a

(Povrsi) 2008/2009 30 / 38

Ravan

y = a

(Povrsi) 2008/2009 31 / 38

Ravan

z = a

(Povrsi) 2008/2009 32 / 38

Hiperbolicki paraboloid

Ako je p > 0 i q > 0, jednacina je

z =x2

p y

2

q.

(Povrsi) 2008/2009 33 / 38

Sedlasta povrs

z = x2 y 2

(Povrsi) 2008/2009 34 / 38

Sedlasta povrs

z = x2 y 2

(Povrsi) 2008/2009 35 / 38

Sedlasta povrs

z = x2 y 2

(Povrsi) 2008/2009 36 / 38

Sedlasta povrs

z = x2 y 2

(Povrsi) 2008/2009 37 / 38

Sedlasta povrs

z = x2 y 2

(Povrsi) 2008/2009 38 / 38

Parcijalni izvodi i ekstremi funkcija vise promenljivih

2008/2009

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 1 / 29

Prvi parcijalni izvod funkcije

Neka je f : D R2 R funkcija dve realne promenljive i (x0, y0) D,gde je (x0, y0) unutrasnja tacka skupa D.

Prvi parcijalni izvod funkcije f po promenljivi x u tacki (x0, y0)

fx(x0, y0) =f (x0, y0)

x= lim

h0f (x0 + h, y0) f (x0, y0)

h

Prvi parcijalni izvod funkcije f po promenljivi y u tacki (x0, y0)

fy (x0, y0) =f (x0, y0)

y= lim

h0f (x0, y0 + h) f (x0, y0)

h


Parcijalni izvodi viseg reda

Neka f : D R2 R ima parcijalne izvode na otvorenom skupu D. Tadasu i f /x i f /y takode funkcije dve promenljive definisane na D. Akosada i te funkcije imaju svoje parcijalne izvode na D, dolazimo do drugihparcijalnih izvoda funkcije f i oznacavamo ih redom sa

fxx = (fx)x =

x

(f

x

)=

2f

x2fxy = (fx)y =

y

(f

x

)=

2f

yx

fyx = (fy )x =

x

(f

y

)=

2f

xyfyy = (fy )y =

y

(f

y

)=

2f

y2


Odredivanje prvog parcijalnog izvoda po definiciji

Zadatak 1?. Po definiciji naci prve parcijalne izvode funkcijef (x , y) = x2 y .

fx(x , y) =f (x , y)

x= lim

h0f (x + h, y) f (x , y)

h

limh0

f (x + h, y) f (x , y)h

= limh0

(x + h)2y x2yh

= limh0

x2y + 2xyh + h2y x2yh

= limh0

2xyh + h2y

h

= limh0

h(2x + h)y

h= lim

h0(2x + h)y

1= 2xy .


Odredivanje prvog parcijalnog izvoda po definiciji

Zadatak 1?. Po definiciji naci prve parcijalne izvode funkcijef (x , y) = x2 y .

fy (x , y) =f (x , y)

y= lim

h0f (x , y + h) f (x , y)

h

limh0

f (x , y + h) f (x , y)h

= limh0

x2(y + h) x2yh

= limh0

x2y + x2h x2yh

= limh0

x2h

h= lim

h0x2 = x2.


Parcijalni izvodi - zadaci

Odrediti parcijalne izvode prvog reda:

Zadatak 1. z = x3 + y3 3 a x yZadatak 2. z =

x yx + y

Zadatak 3. z =x2 y2

Zadatak 4. z = ln(x +x2 + y2)

Zadatak 5. z = arctgy

x

Zadatak 6. z = xy

Zadatak 7. z = esinyx

Zadatak 8. z = arcsin

x2 y2x2 + y2



Odrediti parcijalne izvode prvog reda:

Zadatak 9. u = (x y)z

Zadatak 10. u = zx y



Pokazati da su tacne jednakosti:

Zadatak 1. xz

x+ y

z

y= x y + z ako je z = x y + x e

yx

Zadatak 2. xz

x+ y

z

y= 2 ako je z = ln(x2 + x y + y2)

Zadatak 3.u

x+

u

y+

u

z= 0 ako je u = (x y)(y z)(z x)

Zadatak 4.u

x+

u

y+

u

z= 1 ako je u = x +

x yy z



Odrediti parcijalne izvode drugog reda:

Zadatak 1. z = x3 + y3 3 a x yZadatak 2. z =

x yx + y

Pokazati da je tacna jednakost:

Zadatak 3.2u

x2+

2u

y2+

2u

z2= 0 ako je u =

1x2 + y2 + z2


Zadaci za vezbu

Odrediti parcijalne izvode prvog i drugog reda sledecih funkcija:

Zadatak 1. f (x , y) = x4 + 2y3 + x2y + 2xy2 + 3

Zadatak 2. f (x , y) = x cos y + y3 tg x + x2ey + y ln x

Zadatak 3. f (x , y) =x2 + y2

x yZadatak 4. f (x , y) = arctg

xy

x + y

Zadatak 5. f (x , y , z) = z arcsin y + z3 ctg(xy) + x2ey + ln(zx)


Totalni diferencijal funkcije

Totalni diferencijal prvog reda

Neka je f : D R2 R funkcija dve realne promenljive. Tada je totalnidiferencijal prvog reda funkcije f (x , y):

df (x , y) =f (x , y)

xdx +

f (x , y)

ydy

Totalni diferencijal drugog reda

d2f (x , y) =2f (x , y)

x2(dx)2 + 2

2f (x , y)

xydxdy +

2f (x , y)

y2(dy)2



Totalni diferencijal prvog reda

Neka je u : D R3 R funkcija tri realne promenljive. Tada je totalnidiferencijal prvog reda funkcije u(x , y , z):

du(x , y , z) =u(x , y , z)

xdx +

u(x , y , z)

ydy +

u(x , y , z)

zdz

Totalni diferencijal drugog reda

d2u =2u

x2(dx)2 +

2u

y2(dy)2 +

2u

z2(dz)2

+ 22u

yzdydz + 2

2u

xzdxdz + 2

2u

xydxdy .



Odrediti totalne diferencije prvog i drugog reda sledecih funkcija:

Zadatak 1. z(x , y) = 4x2 + 2xy + 3y2 + 5x 3y + 2Zadatak 2. u(x , y , z) = 2x23y2+4z2 xy +5yz 7xz +2x + y +6z +1


Ekstremi funkcije dve promenljive

Stacionarna tacka

Neka je f : D R2 R funkcija dve realne promenljive i (x0, y0) D,gde je (x0, y0) unutrasnja tacka skupa D. Tacka (x0, y0) je stacionarnatacka funkcije f ako je ispunjen uslov:

f

x(x0, y0) = 0 i

f

y(x0, y0) = 0 .



Neka je (x0, y0) stacionarna tacka funkcije f (x , y). Oznacimo sa g(x , y)

g(x , y) =2f

x2(x , y)

2f

y2(x , y)

(2f

xy(x , y)

)2, (x , y) D .

Tada vazi:

Tacka (x0, y0) je lokalni minimum funkcije f ako je

2f

x2(x0, y0) > 0 g(x0, y0) > 0 .

Tacka (x0, y0) je lokalni maksimum funkcije f ako je

2f

x2(x0, y0) < 0 g(x0, y0) > 0 .



Tacka (x0, y0) nije ekstremna vrednost funkcije f ako je

g(x0, y0) < 0 .

Ako je g(x0, y0) = 0 potrebna su dalja ispitivanja.


Zadatak 1.

Data je funkcija

z(x , y) = x2 + 6y2 6x + 12y + 10 .

(i) Naci sve parcijalne izvode prvog i drugog reda.

(ii) Odrediti tacku u kojoj se dostize lokalni ekstrem, zaokruziti o kom jeekstremu rec i naci vrednost funkcije z(x , y) u toj tacki.

(i) zx = 2x 6 zy = 12y + 12zxx = 2 zxy = 0

zyx = 0 zyy = 12

(ii) A ( 3 , 1 ) je MINIMUM/MAKSIMUMz(A) = 5


Zadatak 2.

Data je funkcija

z(x , y) = 2x2 4y2 + 4x + 2y 4xy 12 .

(i) Naci sve parcijalne izvode prvog i drugog reda.

(ii) Odrediti tacku u kojoj se dostize lokalni ekstrem, zaokruziti o kom jeekstremu rec i naci vrednost funkcije z(x , y) u toj tacki.

(i) zx = 4x 4y +4 zy = 8y 4x +2zxx = 4 zxy = 4zyx = 4 zyy = 8

(ii) A ( 1/2 , 1/2 ) je MINIMUM/MAKSIMUMz(A) = 35/2


Ekstremi funkcije tri promenljive

Neka je (x0, y0, z0) stacionarna tacka funkcije u(x , y , z). Formiramosledecu matricu

2u

x2(x0, y0, z0)

2u

xy(x0, y0, z0)

2u

xz(x0, y0, z0)

2u

yx(x0, y0, z0)

2u

y2(x0, y0, z0)

2u

yz(x0, y0, z0)

2u

zx(x0, y0, z0)

2u

zy(x0, y0, z0)

2u

z2(x0, y0, z0)

=

A B CB D EC E F


Ekstremi funkcije tri promenljive

Tada vazi:

Tacka (x0, y0, z0) je lokalni minimum funkcije u ako je d2u > 0 ili

A > 0,

A BB D > 0,

A B CB D EC E F

> 0Tacka (x0, y0, z0) je lokalni maksimum funkcije u ako je d

2u < 0 ili

A < 0,

A BB D > 0,

A B CB D EC E F

< 0


U slucaju funkcije dve promenljive z = z(x , y)

Stacionarna tacka (x0, y0) je lokalni minimum funkcije z ako jed2z > 0 ili

A > 0,

A BB D > 0

Stacionarna tacka (x0, y0) je lokalni maksimum funkcije z ako jed2z < 0 ili

A < 0,

A BB D > 0


Ekstremi funkcije vise promenljivih - zadaci

Odrediti ekstremne vrednosti funkcija:

Zadatak 3. u = x2 32y2 4z2 + xy 3xz yz 3x + 4y 3z

Zadatak 4. z =8

x+

x

y+ y x , y > 0

Zadatak 5. u = x +y2

4x+

z2

y+

2

zx , y , z > 0

Zadatak 6. u = e(2x2y+z)2+(xy)2+(x1)2

Zadatak 7. u = ln((x + y z)2 + (x y)2 + (y 1)2 + 1)

Zadatak 8. z = x4 + y4 2x2 + 4xy 2y2, x , y 6= 0Zadatak 9. z =

1 + x y1 + x2 + y2


Zadaci za vezbu

Odrediti ekstremne vrednosti funkcija:

Zadatak 1. z = 2x3 + xy2 + 5x2 + y2

Zadatak 2. z = y1 + x + x

1 + y

Zadatak 3. u = 2x2 + y2 + 2z xy xzZadatak 4. u = 3 ln x + 2 ln y + 5 ln z + ln(22 x y z)


Uslovni ekstremi funkcije tri promenljive

Uslovni ekstremi funkcije u uz uslov g(x , y , z) = 0 se odreduju iz sistemajednacina Fx = 0, Fy = 0, Fz = 0 i F = 0, po nepoznatima x0, y0, z0 i .Treba resiti sistem

u

x(x0, y0, z0) +

g

x(x0, y0, z0) = 0

u

y(x0, y0, z0) +

g

y(x0, y0, z0) = 0

u

z(x0, y0, z0) +

g

z(x0, y0, z0) = 0

g(x0, y0, z0) = 0



Svako resenja prethodnog sistema (x0, y0, z0) se naziva stacionarna tackaza dobijeno takode iz sistema. Sada se formira d2F forma koja ce, nakonodredenih transformacija, biti oblika

d2F =2F

x2(dx)2 +

2F

y2(dy)2 +

2F

z2(dz)2

+ 22F

yzdydz + 2

2F

xzdxdz + 2

2F

xydxdy

uz uslov dg = 0 ili

g

xdx +

g

ydy +

g

zdz = 0, (dx)2 + (dy)2 + (dz)2 6= 0 .



Ako je

d2F (x0, y0, z0, 0) < 0, tada u tacki (x0, y0, z0) funkcija u imauslovni maksimum za = 0,

d2F (x0, y0, z0, 0) > 0, tada u tacki (x0, y0, z0) funkcija u imauslovni minimum za = 0.


Uslovni ekstremi - zadaci

Odrediti uslovne ekstremne sledecih funkcija:

Zadatak 1. z = x + 2y uz uslov x2 + y2 = 5

Zadatak 2. u = x 2y + 3z uz uslov x2 + y2 + z2 = 9Zadatak 3. u = xy2z3 uz uslov x + y + z = 6, x , y , z 6= 0Zadatak 4. z = xy + xy2 uz uslov x + y = 2, x , y 6= 0


Zadaci za vezbu

Odrediti uslovne ekstremne sledecih funkcija:

Zadatak 1. z = xy uz uslov x + y = 1

Zadatak 2. z = x2 + y2 uz uslov x/2 + y/3 = 1

Zadatak 3. z = x2 + y2 + xy uz uslov x + y + xy = 0, x2 + y2 6= 0Zadatak 4. Naci paralelopiped maksimalne zapremine ako je povrsinaparalelopipeda jednaka 12. Formula za zapreminu je V = xyz , a zapovrsinu P = 2yz + 2xz + 2xy .


Dvostruki integrali

2008/2009

(Dvostruki integrali) 2008/2009 1 / 4

Dvostruki integrali - zadaci

Promeniti redosled integracije u dvostrukim integralima:

Zadatak 1.

10

dx

xx2

f (x , y) dy

Zadatak 2.

21

dx

2xx

f (x , y) dy

Zadatak 3.

10

dy

3y2y2

2

f (x , y) dx

Zadatak 4.

21

dy

yln y

f (x , y) dx


Dvostruki integrali - zadaci

Izracunati integrale (i pri promeni redosleda integracije):

Zadatak 1.

20

dx

ex1

dy

Zadatak 2.

12

( 3x+2x2+4x

dy

)dx

Zadatak 3.

42

2xx

dy dx


Zadaci za vezbu

Promeniti redosled integracije u dvostrukim integralima:

Zadatak 1.

r0

dx

2rxx2x

f (x , y) dy

Zadatak 2.

22

dy

4y2

4y2f (x , y) dx

Zadatak 3.

2a0

dx

4ax2axx2

f (x , y) dy

Zadatak 4.

a0

dx

a2x2a2x2

2a

f (x , y) dy


Dvostruki integrali, polarne koordinate - zadaci

Odrediti granice pri integraciji dvodimenzionalne oblasti D date sa:

Zadatak 1. x2 + y2 = 3

Zadatak 2. x2 + y2 = 4, y =

3

3x , x = 0, I kvadrant

Zadatak 3. x2 + y2 = 2, x2 + y2 = 5, y = 0, y = x , III kvadrant

Zadatak 4. (x 2)2 + (y + 3)2 = 9

Zadatak 5.x2

4+

y2

3= 1, II kvadrant


Dvostruki integrali - zapremina

Zapremina V tela ogranicenog odozgo sa neprekidnom funkcijomf (x , y) 0, (x , y) D, odozdo sa ravni z = 0, a sa strane sa cilindricnompovrsi koja je u ravni z = 0 odredena sa D je

V =

D

f (x , y) dx dy .

(Dvostruki integrali - zapremina) 2008/2009 2 / 4

Dvostruki integrali - zapremina - zadaci

Odrediti zapreminu trodimenzionalne oblasti V ogranicene sa:

Zadatak 1. z = 0, z 2 = x2 + y2, x2 + y2 = 1, y = x , x = 0, II kvadrantZadatak 2. z = 0, y + z = 6, y = x2 x , y = x ,A(1

2, 0, 0)

Zadatak 3. x2 + 2y2 + 4z2 = 8, z 0Zadatak 4. y = 0, z = 0, 3x + y = 6, 3x + 2y = 12, x + y + z = 6

Zadatak 5. y =x , y = 2

x , z = 0, z = 6 x


Dvostruki integrali - zapremina - zadaci za vezbu

Odrediti zapreminu tela koje je ograniceno sledecim povrsima:

Zadatak 1. x2 + y2 = 4, y + z = 4, z = 0

Zadatak 2. x2 + 4y2 = z , x = y2, y = x2, z = 0

Zadatak 3. x = 4, y = 4, z = x2 + y2 + 1

Zadatak 4. x2 + y2 = R2, x2 + z2 = R2

Zadatak 5. z = x2 y2, z = 0, y = 0, x = 3


Trostruki integrali - zapremina

Zapremina V tela ogranicenog odozgo sa neprekidnom funkcijom f (x , y),(x , y) D, odozdo sa neprekidnom funkcijom g(x , y), (x , y) D, a sastrane sa cilindricnom povrsi koja je u ravni z = 0 odredena sa D je

V =

Q

dV .

gde je Q = {(x , y , z)|(x , y) D, f (x , y) z g(x , y)}

(Trostruki integrali - zapremina) 2008/2009 2 / 4

Trostruki integrali - zapremina - zadaci

Odrediti zapreminu trodimenzionalne oblasti V ogranicene sa:

Zadatak 1.x = 0, x = y , x2+y2 = 9, x2+y2+z2 = 16, z = 0, A(1, 2, 2)Zadatak 2. y = x , y = x2, z + 2 = x2 y2, y + z = 3Zadatak 3. z 1 = x2 + y2, z = 4x + 2yZadatak 4. z = x2 + x + 2, z = 0, y = 1, x + y = 5Zadatak 5.z2 = x2 + y2, x2 + y2 + z2 = 2, z + 6 = x2 + y2, A(0, 0, 3)Zadatak 6. x + y + z = 1, 6x + 3y + 4z = 12 , I oktant

Zadatak 7. x2 + y2 + z2 = 1, x2 + y2 + z2 = 16, x2 + y2 = z2

Zadatak 8. x2 + y2 = 2x , z = 0, x2 + y2 = z


Trostruki integrali integrali - zapremina - zadaci za vezbu

Odrediti zapreminu tela koje je ograniceno sledecim povrsima:

Zadatak 1. z + x2 + y2 2 = 0, z = 0, y = 0, z = 1Zadatak 2. x2 + y2 + z = 3, 2x + 2y + z = 1

Zadatak 3.x2 + y2 = x , x2 + y2 = 2x , z = x2 + y2, y = x , y = x


Krivolinijski integral

2008/2009

(Krivolinijski integral) 2008/2009 1 / 16

Krivolinijski integral

Neka je dato vektorsko polje

~F (x , y , z) = P(x , y , z)~i + Q(x , y , z)~j + R(x , y , z)~k = (P,Q,R)

gde su P,Q i R neprekidne funkcije na domenu D, koje predstavljaju silukoja dejstvuje u tacki (x , y , z). Krivolinijski integral (druge vrste) pokrivoj C , C D,

W =

C

P(x , y , z) dx + Q(x , y , z) dy + R(x , y , z) dz

je rad koji cini sila ~F po krivoj C .


Krivolinijski integral - parametrizacija krivih

Parametrizovati date prave i krive:

Zadatak 1. 2x + y = 4, I oktant.

Zadatak 2. Deo prave od A(2, 3) do B(1, 4).Zadatak 3. Deo prave od A(3, 2, 1) do B(4, 0, 1).

Zadatak 4. Deo prave od A(3, 2, 4) do B(3, 5, 4).

Zadatak 5. y = ax2 + bx + c , 1 x 1.Zadatak 6. x2 + y2 = r2.

Zadatak 7. (x a)2 + (y b)2 = r2.

Zadatak 8.x2

a2+

y2

b2= 1.


Krivolinijski integral - zadaci

Zadatak 1.

Odrediti rad sile ~A = x~i + xy~j po krivoj C od tacke A(1, 0) do tackeB(0, 1) ako je C :

a) deo prave,

b) deo parabole y = x2 + 1,c) deo kruznice x2 + y2 = 1,

d) izlomljena linija AOB.



Zadatak 2.

Date su povrsi [1] : 4x2+36y2+9z2 = 36 i [2] : x2+9y2+9z2 = 9 i tackeA(3, 0, 0), B(0, 1, 0) i C (0, 0, 1). Odrediti rad sile ~A = x ~i + y2 ~j + z ~kpo krivoj ABCA, ako se putanja AB nalazi u preseku povrsi [1] i xyravni, BC u preseku povrsi [2] i yz ravni i CA je deo prave.



Zadatak 3.

Data je povrs x2 + y2 = z 4 i tacke A(0, 0, 4), B(0, 1, 5) i C (1, 0, 5).Naci rad sile ~F = x2~i + (y + z)~j z ~k po putanji ABCOA, ako se putanjaAB nalazi na povrsi i yz ravni, BC na povrsi i ravni koja je paralelnaxy ravni, a CO i OA su delovi pravih.


Krivolinijski integral - zadaci za vezbu

Zadatak 1.

Odrediti rad sile ~A = y~i + x~j po krivoj C ako je C :

a) deo prave od tacke O(0, 0) do A(1, 2),

b) deo parabole y = 2x2 + 1 od O do A,

c) izlomljena linija OBA, B(1, 0),

d) izlomljena linija OCA, C (0, 2),.



Zadatak 2.

Data je povrs [1] : x2 + y2 = 3z i tacke O(0, 0, 0), A(0, 3, 3), B(3, 0, 3)i C (2, 0, 34). Naci rad sile

~A = xy ~i + z ~j + (x + y + z) ~k po putanjiOABCO gde se OA nalazi na povrsi [1] i yz ravni, AB se nalazi na [1] iravni paralelnoj sa xy ravni, BC je deo prave i CO se nalazi na povrsi [1]i xz ravni.



Zadatak 3.

Date su povrsi [1] : x2 + y2 + z2 = 12, [2] : y = x , [3] : y =3x i tacke

A(6,6, 0), B(

3, 3, 0) i C (0, 0, 2

3). Luk AB je u preseku [1] i xy

ravni, luk BC je u preseku [1] i [3] i luk CA je u preseku [1] i [2].Upotrebljavajuci krivolinijski integral naci rad sile ~F = x ~i y ~j + z ~k pozatvorenoj putanji ABCA.


Krivolinijski integral - nezavisnost od putanje integracije

Krivolinijski integral (druge vrste)P(x , y , z) dx + Q(x , y , z) dy + R(x , y , z) dz

ne zavisi od putanje integracije nad oblasti D ako vazi

Q

z=

R

y,

R

x=

P

z,

P

y=

Q

x,

gde su P,Q,R,P

y,P

z,Q

x,Q

z,R

x,R

yneprekidne funkcije nad

jednostruko povezanom oblascu D R3.



Zadatak 1.

Data je sila ~F = x2yz ~i + 13x3z ~j + 13x

3y ~k i tacke A(3, 1, 2) iB(4,2,5).a) Pokazati da je sila ~F konzervativna.

b) Izracunati rad sile ~F po putanji C , gde je C deo prave koji spaja tackeA i B.

c) Izracunati rad sile ~F od tacke A do tacke B preko diferencijalaodredjene funkcije U.

d) Izracunati rad sile ~F od tacke A do tacke B preko izlomljene linije.



Zadatak 2.

Data je sila

~F = (x ln x + 2xy + 2xz)~i + (x2 + 2yz)~j + (x2 + y2 + ez sin z) ~k

i tacke A(1, 0, 0) i B(e, 2, 1).

a) Pokazati da je sila ~F konzervativna.

b) Izracunati rad sile ~F od tacke A do tacke B preko diferencijalaodredjene funkcije U.

c) Izracunati rad sile ~F od tacke A do tacke B preko izlomljene linije.



Zadatak 3.

Data je sila

~F =(x2 sin y +

xy2z

2

)~i +

(x3 cos y3

+x2yz

2

)~j +

x2y2

4~k

i tacke A(1, pi2 , 3) i B(2, 0, 2).


b) Izracunati rad sile ~F od tacke A do tacke B preko diferencijala.




Zadatak 1.

Izracunati preko diferencijala funkcije U i preko izlomljene linije integral

(2,3,4)(1,1,1)

yz dx + zx dy + xy dz .



Zadatak 2.

Data je sila

~F = (yz sin x + xy2 + xez)~i + (x2y z cos x)~j + (x2

2ez y cos x) ~k

i tacke A(0, 2, 1) i B(pi3 , 3, 0).






Zadatak 3.

Data je sila

~F = (ex+y2sin z+2xyez)~i+(2yex+y

2sin z+x2ez)~j+(ex+y

2cos z+x2yez) ~k

i tacke A(2,1, 0) i B(1, 2, pi2 ).a) Pokazati da je sila ~F konzervativna.




Grinova formula

2008/2009

(Grinova formula) 2008/2009 1 / 7

Grinova formula

Neka je data zatvorena po delovima glatka griva C , koja je rub Dogranicenog i jednostruko povezanog zatvorenog skupa D R2. Ako suP i Q realne funkcije definisane nad skupom D i imaju nad D neprekidneprve parcijalne izvode, tada je

D

P(x , y , z) dx + Q(x , y , z) dy =

D

(Q

x P

y

)dx dy

pri cemu je orijentacija D pozitivna, odnosno suprotna kretanjukazaljke na satu.


Grinova formula - zadaci

Zadatak 1.

Izracunati integral(2x3 xy2) dx + (2y3 x2y + x2) dy

po kunturi trougla ABC , A(2, 0), B(5, 0) i C (0, 4):a) primenom krivolinijskog integrala,

b) primenom Grinove formule.



Zadatak 2.

Pomocu Grinove teoreme odrediti rad sile~A = (x ln y + x2 ln2 x)~i +

(x2

2y + 3x)~j po zatvorenoj putanji ABCDA, ako

je A(0, 2), B(4, 1), C (2, 1), D(0, 1) i putanje: [AB], [CD] delovi pravih,[BC ] deo krive (x 3)2 + (y 1)2 = 1 i [DA] deo krive x = y2 + y 2.



Zadatak 3.

Data je sila ~F = (xy + ex)~i + (xy + sin y)~j , kriva [1] : x2 2x + y2 = 0 itacke A(2, 0) i B(1, 1). Zatvorena kriva OABO je data sa duzi OA po xosi i lukom ABO po krivoj [1]. Naci rad sile ~F po pomenutoj krivoj.


Grinova formula - zadaci za vezbu

Zadatak 1.

Naci rad sile ~F = (yx + y cos x)~i + (y3x2 + sin x)~j po zatvorenoj krivojABCA, gde je A(0, 1), B(1, 0), C (2, 1), luk AB je na krivoj x2 + y = 1,luk BC na krivoj x y = 1 i CA na krivoj y = 1.


Grinova formula - zadaci za vezbu

Zadatak 2.

Pomocu Grinove teoreme odrediti rad sile ~A = (yex + 2x)~i + (ex + 3x)~jpo putanji ABCD, ako je A(0, 0), B(2, 0), C (3, 5), D(0, 8) i putanja[AB] deo krive y = x2 + 2x , [CD] deo krive y = x2 + 2x + 8, dok je[BC ] deo prave.


Izvod u pravcu

2008/2009

(Izvod u pravcu) 2008/2009 1 / 8

Izvod u pravcu

Definicija 1

Neka je f realna funkcija tri realne promenljive i neka je ~u = (u1, u2, u3)jedinicni vektor. Izvod funkcije f u pravcu vektora ~u u tacki P(x0, y0, z0) je

D~uf (x0, y0, z0) = lims0

f (x0 + su1, y0 + su2, z0 + su3) f (x0, y0, z0)s

.

Izvod u zadatom smeru karakterise brzinu menjanja funkcije u tom smeru.

(Izvod u pravcu) 2008/2009 2 / 8

Izvod u pravcu

Definicija 2

Gradijent realne funkcije f tri realne promenljive u tacki P(x0, y0, z0) jevektor

f (x0, y0, z0) =(f

x(x0, y0, z0),

f

y(x0, y0, z0),

f

z(x0, y0, z0)

).

Pravac najbrze promene funkcije f je njen gradijent f .

Najveca promena funkcije f iznosi |f |.

(Izvod u pravcu) 2008/2009 3 / 8

Izvod u pravcu

Teorema 1

Neka je f realna diferencijabilna funkcija tri realne promenljive i neka je~u = (u1, u2, u3) jedinicni vektor. Izvod funkcije f u pravcu vektora ~u utacki P(x0, y0, z0) je

D~uf (x0, y0, z0) =f

x(x0, y0, z0) cos+

f

y(x0, y0, z0) cos

+f

z(x0, y0, z0) cos

gde su , i uglovi izmedu vektora ~u i odgovarajucih koordinatnih osa.

(Izvod u pravcu) 2008/2009 4 / 8

Izvod u pravcu

Teorema 2

Neka je f realna diferencijabilna funkcija tri realne promenljive i neka je~u = (u1, u2, u3) jedinicni vektor. Izvod funkcije f u pravcu vektora ~u utacki P(x0, y0, z0) je

D~uf (x0, y0, z0) = f (x0, y0, z0) ~u .

(Izvod u pravcu) 2008/2009 5 / 8

Izvod u pravcu - zadaci

Zadatak 1. Naci izvod funkcije U = x2 + y2 + z2 xy + x 2z u tackiA(2, 1, 3) u smeru koji sa svim koordinatnim osama zaklapa jednakeuglove.

Zadatak 2. Naci izvod po pravcu ~l = 2~i +~j 2~k funkcijeF (x , y , z) = xy + z3 xy2z2 u tacki Q(1, 1, 1).Zadatak 3. Odrediti izvod funkcije u = x2 + 2zy2 3x2y u tackiA(2, 1, 1) u pravcu ka tacki B(3, 1, 0).Zadatak 4. Naci izvod funkcije z = x2 xy 2y2 u tacki P(1, 2) u smerukoji sa x-osom zatvara ugao pi/3.

(Izvod u pravcu) 2008/2009 6 / 8

Izvod u pravcu - zadaci

Zadatak 5. Neka su obronci Fruske gore aproksimirani funkcijom6 z = x2 + 2y2. Planinar se nalazi na koti P(2, 1, 2). Odrediti kotu Qprema kojoj planinar treba da se krece, a da uspon bude najveci. Kolikostepeni iznosi uspon?

Zadatak 6. Naci izvod funkcije z = lnx2 + y2 u tacki P(1, 1): a) u

smeru vektora ~i , b) u smeru vektora ~j .

(Izvod u pravcu) 2008/2009 7 / 8

Izvod u pravcu - zadaci za vezbu

Zadatak 1. Odrediti izvod funkcije u = 2xy yz2 + 5x3z u tackiA(1, 3, 4) u pravcu vektora ~l koji sa svim koordinatnim osama zahvataiste uglove.

Zadatak 2. Naci izvod funkcije u = lnx2 + y2 + z2 u tacki A(4, 1, 1) u

smeru od te tacke prema tacki B(7, 5, 13).

Zadatak 3. Data je funkcija U = x3 + xy2 + ln z . Naci izvod funkcije U utacki M(1, 2, 1) u pravcu od te tacke prema tacki N(2, 5, 3).

(Izvod u pravcu) 2008/2009 8 / 8

Povrsinski integrali

2008/2009

(Povrsinski integrali) 2008/2009 1 / 12

Povrsinski integral prve vrste

Definicija

Neka jeS = {(x , y , z)|z = h(x , y), (x , y) D R2}

po delovima glatka povrs i neka je nad S definisana ogranicena realnafunkcija f (x , y , z). Povrsinski integral funkcije f nad povrsi S ilipovrsinski integral prve vrste obelezavamo sa

S

f (x , y , z) dS .


Povrsinski integral prve vrste

Ako je f neprekidna nad S , a p = h/x i q = h/y neprekidne funkcijenad D, tada vazi relacija

S

f (x , y , z) dS =

D

f (x , y , h(x , y))

1 + p2 + q2 dx dy .

Povrsina povrsi S se racuna po formuli S

dS .


Povrsinski integral prve vrste - zadaci

Zadatak 1. Naci povrsinu gornjeg dela sfere x2 + y2 + z2 = 1.

Zadatak 2. Naci

S

(2x +

4

3y + z

)dS gde je S deo ravni

x/2 + y/3 + z/4 = 1 koji lezi u prvom oktantu.


Povrsinski integral druge vrste

Definicija

Neka je dato vektorsko polje

~F (x , y , z) = (P(x , y , z),Q(x , y , z),R(x , y , z))

na povrsi S , gde je S glatka dvostrana povrs

S = {(x , y , z)|z = h(x , y), (x , y) D R2} .

Neka je S+ strana povrsi S koja je odredena jedinicnom normalom ~n0.Povrsinski integral druge vrste vektorskog polja ~F nad stranom S+

definisan je relacijom S+

P(x , y , z)dydz +Q(x , y , z)dxdz +R(x , y , z)dxdy =

S

~F ~n0 dS .


Povrsinski integral druge vrste

Povrsinski integral S

~F ~n0 dS

se naziva protok (fluks) vektorskog polja ~F kroz orijentisanu povrs S .


Povrsinski integral druge vrste - zadaci

Zadatak 1.

Ravni x = 0, x = 3 i z = 0 odsecaju od cilindra z = 4 y2 jednu plocicu.Naci fluks sile ~A = (z2 x)~i xy~j + 3z~k kroz nju.



Zadatak 2.

Data je povrs x2 + y2 + z2 = 9 i sila ~A = z~i 2xz~j + 2xy~k. Naci fluks sile~A kroz plocicu date povrsi. Plocica je odredena svojom projekcijom

D : {(, } : 1 2, pi4 pi

3} .



Zadatak 3.

Data je povrs [1] : x2 + y2 = z . Povrsi z = 2 i z = 3 odsecaju od povrsi[1] jednu plocicu. Naci fluks sile ~F = zx ~i + z3 ~j y ~k kroz tu plocicu.



Zadatak 4.

Naci fluks sile ~A = x ~i x ~j + 2xy ~k kroz plocicu koju od povrsiz = x2 y2 odsecaju povrsi x2 + y2 = 9 i x = 3y u I oktantu.



Zadatak 5.

Naci fluks sile ~F = zy ~i + z ~j + z2 ~k kroz plocicu ABCD na sferix2 + y2 + z2 = 4. Plocica je zadata tackamaA(2, 0, 0), B(0, 2, 0), C (0, 1,

3) i D(1, 0,

3) i lukovima koji su dobijeni

na sledeci nacin : luk AB je presek sfere i xy ravni, luk BC presek sfere iyz ravni, luk CD je presek sfere i ravni z = 3 i DA je presek sfere ixz ravni.



Zadatak 6.

Izracunati S

x y z dx dy ,

gde je S spoljna strana sfere x2 + y2 + z2 = 1, koja se nalazi u prvom ipetom oktantu.


Povrsinski integral druge vrste - zadaci za vezbu

Zadatak 1. Naci fluks sile ~F = xy ~i + y2 ~j + z ~k kroz plocicu koju odpovrsi z = x2 y2 odsecaju ravni z = 0 i x = 1.Zadatak 2. Data je povrs x2 + y2 + z2 = 4 i tackeA(2, 0, 0), B(0, 2, 0), C (0, 1,

3) i D(1, 0,

3) na toj povrsi. Luk AB je

presek te povrsi sa xy ravni, luk BC je presek te povrsi sa yz ravni, lukCD je presek povrsi i ravni z =

3 i luk DA presek te povrsi i xz ravni.

Naci fluks sile ~F = zy ~i + z ~j + z2 ~k kroz plocicu koju zatvorena krivaABCDA odredjuje na toj povrsi.

Zadatak 3. Na povrsi z = x2 y2 nalazi se jedna plocica. Ta plocica jeodredjena sa povrsima y = x2, z = 0 i nalazi se u prvom oktantu. Nacifluks sile ~F = x ~i + y ~j + ~k kroz tu plocicu.


Teorema o divergenciji

2008/2009

(Teorema o divergenciji) 2008/2009 1 / 9

Teorema o divergenciji

Neka je V zatvorena oblast u R3 ogranicena sa po delovima glatkompovrsi S , koja sebe ne preseca, ~n je polje spoljnih jedinicnih normala na S ,a ~F je vektorsko polje sa neprekidnim parcijalnim izvodima. Tada je

V

div~F dV =

S

~F ~n dS .


Teorema o divergenciji - analiticki oblik

Neka su P,Q,R,Px ,Qy i Rz neprekidne funkcije nad V i neka je V = S .Tada je

V

(P

x+

Q

y+

R

z

)dx dy dz =

S

Pdydz + Qdxdz + Rdxdz ,

pri cemu se povrsinski integral racuna po spoljnoj strani povrsi.

Prethodni izraz se naziva formula Gausa i Ostrogradskog.


Teorema o divergenciji - zadaci

Zadatak 1.

Odrediti fluks sile ~A = 2xz ~i + 2yx ~j + 2yx ~k kroz rub zatvorene oblastikoju obrazuju povrsi z2 = x2 + y2, z 2 = x2 y2 i z + x2 + y2 = 6 ikojoj pripada tacka A(0, 0, 4).



Zadatak 2.

Data je sila ~F = x3 ~i + (y + 1)~j + (x2 + z + 2y) ~k. Povrsi9x2 + 4y2 = 36, z = x u prvom oktantu ogranicavaju zatvorenutrodimenzionalnu oblast V . Naci fluks sile ~F kroz rub od V .



Zadatak 3.

Naci fluks sile ~A = (x2 + 3z)~i + (y2 + 2xz)~j + (z2 + xy) ~k kroz zatvorenupovrs 4x2 + 9y2 + 25z2 = 1.



Zadatak 4.

Povrsi x + 2y + 3z = 6, x = 0, y = 0, z = 0 i z = 1 ogranicavaju jednutrodimenzionalnu oblast V . Naci fluks sile ~F = x2y ~i + xz ~j + z2 ~k krozkroz rub od V .



Zadatak 5.

Tri povrsi x2 + y2 + z = 2, z = 0 i z = 1 ogranicavaju trodimenzionalnuoblast V . Naci fluks sile ~A = y ~i + x ~j + z ~k kroz rub od V .


Teorema o divergenciji - zadaci za vezbu

Zadatak 1. Date tri povrsi z = y , x2 + y2 = 1 i z = 0 ogranicavaju jednutrodimenzionalnu oblast. Naci fluks sile ~F = y ~i + x ~j + z2 ~k kroz rub odV .

Zadatak 2. Povrsi u prvom oktantuz = y , z = 0, x2 + y2 = 1, x2 + y2 = 2 ogranicavaju zatvorenutrodimenzionalnu oblast V . Naci fluks sile ~F = x2 ~i + y2 ~j + z ~k kroz rubod V .

Zadatak 3. Povrsi x2

4 +y2

9 +z2

16 = 1, z 0 ogranicavaju zatvorenu oblastV . Naci fluks sile ~A = x ~i + 2xy ~j + z ~k kroz rub od V .


Redovi

2008/2009

(Redovi) 2008/2009 1 / 16

Redovi

Izraz oblika

a1 + a2 + + an + =n=1

an , (1)

gde je (an)nN niz realnih brojeva, naziva se red. Tada se an, n N,naziva opsti clan reda (1).

Konvergenciju cemo ispitivati samo za an R+, n N, odnosno za redovesa pozitivnim clanovima.

(Redovi) 2008/2009 2 / 16

Redovi - kriterijumi za konvergenciju

I Ako opsti clan ne tezi nuli, red divergira

limn an 6= 0

n=1

an divergira.

Zadaci

Odrediti opsti clan redova i ispitati konvergenciju:

1.2

3+

4

5+

6

7+ . . .

2. 1 +3

4+

5

9+

7

16+

9

25+ . . .

3.n=1

n3 sin(1

n2)

4. 1 +1

2+

1

4+

1

8+

1

16+ . . . (naci sumu ako konvergira)

(Redovi) 2008/2009 3 / 16


II Uporedni kriterijum

Uporedjujemo redoven=1

an in=1

bn na sledeci nacin:

ako je an bn, n N i redn=1

bn konvergira tada i redn=1

an

konvergira,

ako je an bn, n N i redn=1

bn divergira tada i redn=1

an

divergira.

Najcesce uporedjujemo sa redovima:n=1

1

n(konvergira za > 1, divergira za 1) i

n=1

a1qn (konvergira za |q| < 1, divergira za |q| 1), a1 R.

(Redovi) 2008/2009 4 / 16


Zadaci

Odrediti konvergenciju sledecih redova:

1.1

1 2 +1

3 23 +1

5 25 + . . .

2. 1 +12+

13+

14+ . . .

3.1

2 5 +1

3 6 +1

4 7 + . . .

4.1

1 3 +1

3 5 +1

5 7 + . . . (odrediti sumu niza ako konvergira)

5.1

1 2 3 +1

2 3 4 +1

3 4 5 + . . .

(Redovi) 2008/2009 5 / 16


III Kolicnicki kriterijum

Ako za redove sa pozitivnim clanoviman=1

an in=1

bn vazi da je

limn

anbn

= L, gde je L konacan broj razlicit od nule, tada ovi redovi

zajedno konvergiraju ili divergiraju.

Redn=1

Pr (n)

Qs(n)uporedjujemo sa redom

n=1

1

nsr.

(Redovi) 2008/2009 6 / 16


Zadaci

Ispitati konvergenciju sledecih redova:

1.n=1

sin(1n

)2.

n=1

2n1n2

3.n=1

n(n+1)3

4.n=1

1n24n+1

5.n=1

(1+n2

1+n3

)26.

n=1

4n3(1+n)2

6n(1+n3)

(Redovi) 2008/2009 7 / 16

Redovi - zadaci za vezbu


1.1

23+

2

33+

3

43+ . . .

2.1

2+

1

5+

1

10+ . . .

3.n=1

n2(1 + n2)2

(1 + n3)2

4. 2 +2

3+

2

9+

2

27+ . . . (naci sumu u slucaju konvergencije)

(Redovi) 2008/2009 8 / 16


IV Dalamberov kriterijum

Za red sa pozitivnim clanoviman=1

an odredimo limn

an+1an

= L. Ako je

L < 1 tada red konvergira, ako je L > 1 red divergira, a u slucaju L = 1ne znamo da li konvergira ili divergira.

Mose se koristiti ako se u redu javlja faktorijel.

(Redovi) 2008/2009 9 / 16


Zadaci


1.n=1

1(2n+1)!

2.n=1

n(n1)2

3.n=1

3nn!nn

4.n=1

n!5n

(Redovi) 2008/2009 10 / 16


V Kosijev kriterijum

Ako je za redn=1

an sa pozitivnim clanovima limn

nan = L, tada za L < 1

ovaj red konvergira, za L > 1 divergira, dok nam za L = 1 ovajkriterijum ne daje odgovor.

Mose se koristiti ako se u redu javlja faktorijel.

(Redovi) 2008/2009 11 / 16


Zadaci


1.n=1

13n

(n

n+1

)n22.

n=1

22n

(n+1n

)n23.

n=1

(2n2+13n21

)n4. 1ln 2 +

1ln2 3

+ 1ln3 4

+ . . .

(Redovi) 2008/2009 12 / 16


VI Integralni kriterijum

Ako je an = f (n) i f (x) pozitivna, monotono opadajuca i neprekidna

funkcija za x a 1, onda redn=1

an i integral

af (x) dx = lim

M

Maf (x) dx istovremeno konvergiraju ili divergiraju.

(Redovi) 2008/2009 13 / 16


Zadaci


1.n=1

1n

2.n=1

a1qn

3.n=2

1n ln n ln(ln n)

4.n=2

n en2

5.n=2

1n ln2 n

(Redovi) 2008/2009 14 / 16



1. 1 +1

22+

1

33+

1

44+ . . .

2.n=1

( ne 1)

3.n=1

1n(n + 1)

4.n=4

1

n3 6n2 + 11n 6

(Redovi) 2008/2009 15 / 16


5.n=1

(n +

3

n + 1

) 13n

6.n=0

en

2n

7.n=2

n2

ln n

8.n=1

13n(2n 1)

(Redovi) 2008/2009 16 / 16

Parcijalne diferencijalne jednacine

2008/2009

(Parcijalne diferencijalne jednacine) 2008/2009 1 / 14

PDJ

PDJ je jednacina oblika

F

(x1, x2, . . . , xn, u,

u

x1, . . . ,

u

xn,2u

x21, . . . ,

um

xmn

)= 0 (1)

gde F data funkcija od n nezavisno promenljivih x1, x2, . . . , xn (n > 1),zatim od nepoznate funkcije u = u(x1, x2, . . . , xn) i konacnog brojaparcijalnih izvoda funcije u.

Red PDJ (1) je red najviseg parcijalnog izvoda koji se u njoj pojavljuje.


PDJ

Funkcija u = u(x1, x2, . . . , xn) je resenje PDJ (1) na oblasti Q Rn akofunkcija u, zajedno sa svojim parcijalnim izvodima, zadovoljava tujednacinu.

Opste resenje PDJ (1) je skup svih resenja te jednacine.


PDJ

Homogena linearna PDJ sa jednom nepoznatom funkcijom

Oblik:

X1z

x1+ X2

z

x2+ + Xn z

xn= 0 .

Formira se sistem ODJ:

dx1X1

=dx2X2

= = dxnXn

Resenje sistema se zapisuje u obliku:

c1 = f1(x1, x2, . . . , xn)c2 = f2(x1, x2, . . . , xn)...cn1 = fn1(x1, x2, . . . , xn) .


PDJ

Resenje homogene PDJ je funkcija:

z = F (f1, f2, . . . , fn1) ,

gde je F prozivoljna funkcija.


Homogene linearne PDJ - zadaci

Resiti sledece jednacine:

1. yz

x+ x

z

y= 0

2.p

q=

y2 + 2y + 6

x3 x

3. yp + (x3y2 + ex4

2 )q = 0

4.3x2 y2

y4u

x+

2x

y3u

y+

1

y2u

z= 0


PDJ

Nehomogena linearna PDJ sa jednom nepoznatom funkcijom

Oblik:

X1z

x1+ X2

z

x2+ + Xn z

xn= R .

Formira se sistem ODJ:

dx1X1

=dx2X2

= = dxnXn

=dz

R

gde je z = z(x1, x2, . . . , xn).


PDJ

Resenje sistema se zapisuje u obliku:

c1 = f1(x1, x2, . . . , xn, z)c2 = f2(x1, x2, . . . , xn, z)...cn = fn(x1, x2, . . . , xn, z) .

Resenje nehomogene PDJ je funkcija:

F (f1, f2, . . . , fn) = 0 ,

gde je F prozivoljna funkcija.


Nehomogene linearne PDJ - zadaci


1. yz

x x z

y= x + y

2. (x + y)p + (x y)q = 3(x + y)(z2 + 2z 3)

3. (2x y)p + (x 2y)q = x 2yz ln z

4. xp + (x + y)q = zx3(z

x+

z ln x

x3)

5. exp + y2q = yex


Linearne PDJ - zadaci za vezbu


1. (x + y)p + (x y)q = 3(x + y)(zx +xe 3x2

2 )

2.xu

x+yu

y+zu

z= 0

3. xp + yq = 0

4.dx

xy2=

dy

x2y=

dz

z(x2 + y2)

5. x ln xp + (y + (x ln x)2)q =1

5(z2 + 3z 4)


PDJ

Nelinearne PDJ - I tip

Oblik nelinearne PDJ:f (z , p, q) = 0,

gde je z = z(x , y), p = zx =zx i q = zy =

zy .

Trazimo funkciju z tako da bude oblika

z = z(x + ay) ili za u = x + 2y , z = z(u) .

Sada je

p =z

x=

dz

du ux

=dz

du 1 = dz

du,

q =z

y=

dz

du uy

=dz

du a = adz

du.


Nelinearne PDJ - I tip - zadaci


1. p2(1 + qz) = q2(1 z2)2. 4(1 + z3) = 9z4pq

3.3q5(z + 2)

z + 1= p2


PDJ

Nelinearne PDJ - II tip

Ako se data nelinearne PDJ se moze napisati u obliku

f1(x , p) = f2(y , q),

tada iz f1(x , p) = f2(y , q) = a sledi

p = F1(x , a) i q = F2(y , a) .

Kako je dz = pdx + qdy = F1(x , a)dx + F2(y , a)dy , tada je

z =

F1(x , a)dx +

F2(y , a)dy + b .


Nelinearne PDJ - II tip - zadaci


1.p 1

x q

2

(y3 y sin y)2 = 0

2. pq(4 + y2)(1 x2) = (y + 3)(x + 5)3. yp (xq)2 = x2y


01 - diferencijalne jednacine.pdf (p.1-41)Homogene ODJ prvog redaLinearna DJ prvog redaBernulijeva DJODJ viseg redaLinearne DJ viseg reda sa konstantim koefic.Nehomogene linearne DJ viseg reda sa konstantim koefic.Metod neodredenih koeficijenataMetod varijacije konstanti

02 - povrsi.pdf (p.42-79)Obrtne povrsiCilindricne povrsiRavniHiperbolicki paraboloidSedlasta povrs

03 - parcijalni izvodi.pdf (p.80-107)Prvi parcijalni izvod funkcijeTotalni diferencijal funkcijeEkstremi funkcije dve promenljiveUslovni ekstremi funkcije tri promenljive

04 - dvostruki integrali.pdf (p.108-171)Dvostruki integrali - zapreminaTrostruki integrali - zapremina

05 - Krivolinijski integral06 - Grinova formula07 - Izvod u pravcu08 - Povrsinski integrali09 - Teorema o divergenciji10 - Redovi11 - Parcijalne diferencijalne jednacine

Documents

Tehnoloski - Matematika II - Predavanja