Matematika 2 - Predavanja (integralni račun i redovi)

Matematika 2

Teorija za prvi dio usmenog ispita

Momir V. Ćelić

2015/16. god.

Aleksandar Ritan

Elektrotehnički fakultet Banja Luka

Sadržaj INTEGRALNI RAČUN FUNKCIJA JEDNE REALNE PROMJENLJIVE ..................................................................................... 1

1.1 Neodređeni integral ........................................................................................................................................ 1

1.1.0 Uvod .................................................................................................................................................... 1

1.1.1 Pojam primitivne funkcije .................................................................................................................... 1

1.1.2 Definicija neodređenog integrala ........................................................................................................ 3

1.1.3 Svojstva neodređenog integrala .......................................................................................................... 4

1.1.4 Tablica integrala .................................................................................................................................. 5

1.1.5 Metodi za računanje neodređenih integrala ....................................................................................... 6

1.1.6 Integracija racionalnih funkcija ......................................................................................................... 11

1.1.7 Integracija iracionalnih i transcendentnih funkcija ........................................................................... 20

1.2 Određeni integral .......................................................................................................................................... 26

1.2.1 Definicija određenog integrala .......................................................................................................... 26

1.2.2 Glavna svojstva određenog integrala ................................................................................................ 33

1.2.3 Određeni integral sa promjenljivom gornjom granicom ................................................................... 38

1.2.4 Njutn-Lajbnicova formula .................................................................................................................. 41

1.2.5 Smjena promjenljive u određenom integralu ................................................................................... 44

1.2.6 Formula za parcijalnu integraciju za određene integrale .................................................................. 46

1.2.7 Primjene određenog integrala .......................................................................................................... 48

1.3 Nesvojstveni integrali .................................................................................................................................... 60

1.3.0 Uvod .................................................................................................................................................. 60

1.3.1 Nesvojstveni integrali ograničenih funkcija na neograničenom intervalu ........................................ 60

1.3.2 Nesvojstveni integrali neograničenih funkcija na ograničenom intervalu ........................................ 64

REDOVI......................................................................................................................................................................... 68

2.0 Uvod ....................................................................................................................................................... 68

2.1 Brojevni redovi ....................................................................................................................................... 68

2.2 Svojstva konvergentnih redova ............................................................................................................. 73

2.3 Neophodan uslov konvergencije reda ................................................................................................... 75

2.4 Redovi sa nenegativnim članovima ....................................................................................................... 79

2.5 Redovi čiji članovi naizmjenično mijenjaju znak .................................................................................... 91

2.6 Apsolutna i uslovna konvergencija redova ............................................................................................ 94

2.7 Stepeni redovi ........................................................................................................................................ 96

2.8 Svojstva funkcija predstavljenih pomoću stepenih redova ................................................................. 107

2.9 Osobine Tejlorovih redova ................................................................................................................... 112

2.10 Razvoj nekih elementarnih funkcija u Maklorenov red ....................................................................... 114

1

INTEGRALNI RAČUN FUNKCIJA JEDNE REALNE PROMJENLJIVE

1.1 Neodređeni integral

1.1.0 Uvod

Neka je 𝑓𝑓:𝐷𝐷 ⊆ ℝ → ℝ proizvoljna realna funkcija jednog realnog argumenta.

- Na kursu Matematika 1 učili smo i primjenjivali difrerencijalni račun da bismo našli izvod funkcije: 𝑓𝑓(𝑥𝑥) → 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) =?

- Na kursu Matematika 2 učimo i primjenjujemo integralni račun da bismo našli skup primitivnih funkcija funkcije nad kojom se vrši operacija integracije:

𝑓𝑓(𝑥𝑥) → 𝐹𝐹(𝑥𝑥) =? tako da je 𝐹𝐹′(𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥)

1.1.1 Pojam primitivne funkcije

Za funkciju 𝐹𝐹(𝑥𝑥) kažemo da je primitivna funkcija funkcije 𝑓𝑓(𝑥𝑥) na nekom intervalu 𝐼𝐼 ako je: 𝐹𝐹′(𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) za sve 𝑥𝑥 ∈ 𝐼𝐼.

Primjeri primitivnih funkcija:

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥 𝐹𝐹(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥2 je njena primitivna funkcija jer je (𝑥𝑥2)′ = 2𝑥𝑥 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑥𝑥 𝐹𝐹(𝑥𝑥) = 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝑥𝑥 (𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝑥𝑥)′ = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑥𝑥 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑒𝑒𝑥𝑥 𝐹𝐹(𝑥𝑥) = 𝑒𝑒𝑥𝑥 (𝑒𝑒𝑥𝑥)′ = 𝑒𝑒𝑥𝑥 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 1

𝑥𝑥 𝐹𝐹(𝑥𝑥) = 𝑙𝑙𝑠𝑠𝑥𝑥 (𝑙𝑙𝑠𝑠𝑥𝑥)′ = 1

𝑥𝑥

Međutim, ovo nisu jedine primitivne funkcije navedenih funkcija. Npr. funkcija 𝐹𝐹(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥2 + 1 je takođe primitivna funkcija funkcije 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥 jer je (𝑥𝑥2 + 1)′ = 2𝑥𝑥.

Štaviše, ako je 𝐹𝐹(𝑥𝑥) primitivna funkcija funkcije 𝑓𝑓(𝑥𝑥), onda je i svaka funkcija oblika 𝐹𝐹(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥2 + 𝐶𝐶, 𝐶𝐶 ∈ ℝ takođe primitivna funkcija funkcije 𝑓𝑓(𝑥𝑥).

Zaključujemo da je skup primitivnih funkcija proizvoljne funkcije skup beskonačnog reda, odnosno, svaka funkcija ima beskonačno mnogo primitivnih funkcija.

2

Teorema 1: Ako je 𝐹𝐹(𝑥𝑥) jedna primitivna funkcija funkcije 𝑓𝑓(𝑥𝑥), onda se svaka njena druga primitivna funkcija može zapisati kao 𝐹𝐹(𝑥𝑥) + 𝐶𝐶, 𝐶𝐶 ∈ ℝ.

Dokaz: Za dokaz ove teoreme potrebno nam je jedno pomoćno tvrđenje (lema).

Lema: Ako je 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) ≡ 0,∀𝑥𝑥 ∈ 𝐼𝐼 onda 𝑓𝑓(𝑥𝑥) ≡ 𝐶𝐶 ∈ ℝ,∀𝑥𝑥 ∈ 𝐼𝐼.

Za dokaz leme koristimo Lagranžovu teoremu o srednjoj vrijednosti.

Za funkciju 𝑓𝑓(𝑥𝑥) koja je definisana na zatvorenom intervalu [𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2] ⊆ 𝐼𝐼 (𝑥𝑥1 < 𝑥𝑥2), koja je neprekidna na tom intervalu i diferencijabilna na otvorenom intervalu (𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2) Lagranžova teorema kaže da postoji 𝑐𝑐 ∈ (𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2) tako da je:

𝑓𝑓(𝑥𝑥2) − 𝑓𝑓(𝑥𝑥1) = 𝑓𝑓′(𝑐𝑐)(𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥1)

Pošto važi da je 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) ≡ 0 za svako 𝑥𝑥 ∈ 𝐼𝐼, onda je i 𝑓𝑓′(𝑐𝑐) = 0, jer 𝑐𝑐 ∈ (𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2) ⊆ 𝐼𝐼, pa je 𝑓𝑓(𝑥𝑥2) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥1).

Ako za svake dvije tačke 𝑥𝑥1 i 𝑥𝑥2 važi 𝑓𝑓(𝑥𝑥1) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥2), onda funkcija 𝑓𝑓(𝑥𝑥) za svaku tačku 𝑥𝑥 ∈ 𝐼𝐼 ima istu vrijednost, što je i trebalo pokazati.

Sada ćemo koristiti ovu lemu pri dokazu teoreme.

Pošto je 𝐹𝐹(𝑥𝑥) jedna primitivna funkcija funkcije 𝑓𝑓(𝑥𝑥) važi 𝐹𝐹′(𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥). - pretpostavimo da je Φ(𝑥𝑥) neka druga primitivna funkcija funkcije 𝑓𝑓(𝑥𝑥), odnosno da važi Φ′(𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥).

Tada je �Φ(x) − F(x)�′

= Φ′(x) − F′(x) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) − 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 0 na čitavom intervalu I. Odnosno, iz leme slijedi Φ(𝑥𝑥) − 𝐹𝐹(𝑥𝑥) = 𝐶𝐶, 𝐶𝐶 ∈ ℝ, pa je Φ(𝑥𝑥) = 𝐹𝐹(𝑥𝑥) + 𝐶𝐶.

Zaključak: Ako znamo jednu primitivnu funkciju 𝐹𝐹(𝑥𝑥) funkcije 𝑓𝑓(𝑥𝑥), onda je skup svih njenih primitivnih funkcija: {𝐹𝐹(𝑥𝑥) + 𝐶𝐶, 𝐶𝐶 ∈ ℝ}, čime je teorema dokazana.

primjer: 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥 𝐹𝐹(𝑥𝑥) = {𝑥𝑥2 + 𝐶𝐶, 𝐶𝐶 ∈ ℝ}

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥 + 1 𝐹𝐹(𝑥𝑥) = {𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥 + 𝐶𝐶, 𝐶𝐶 ∈ ℝ}

- ovo nas dovodi do definicije neodređenog integrala.

interval

𝑥𝑥1 𝑥𝑥2

3

1.1.2 Definicija neodređenog integrala

Ako je 𝑓𝑓(𝑥𝑥) funkcija definisana na 𝐼𝐼 i ako je 𝐹𝐹(𝑥𝑥) jedna njena primitivna funkcija na 𝐼𝐼, onda se skup svih njenih primitivnih funkcija {𝐹𝐹(𝑥𝑥) + 𝐶𝐶, 𝐶𝐶 ∈ ℝ} naziva neodređeni integral funkcije 𝑓𝑓(𝑥𝑥) i označava se:

�𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥

odnosno, važi:

�𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥 ≝ {𝐹𝐹(𝑥𝑥) + 𝐶𝐶,𝐶𝐶 ∈ ℝ} �𝐹𝐹′(𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥)�

- prema toj definiciji: ∫2𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥 = {𝑥𝑥2 + 𝐶𝐶,𝐶𝐶 ∈ ℝ}

Iako je neodređeni integral skup svih primitivnih funkcija, nije uobičajeno da ga označavamo kao skup, već:

�𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝐹𝐹(𝑥𝑥) + 𝐶𝐶, 𝐶𝐶 ∈ ℝ

- prema tome:

∫ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝑥𝑥 + 𝐶𝐶 ∫ 𝑒𝑒𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑒𝑒𝑥𝑥 + 𝐶𝐶 ∫ �𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑥𝑥� = 𝑙𝑙𝑠𝑠𝑥𝑥 + 𝐶𝐶

Funkcija pod znakom integrala se naziva podintegralna funkcija, a 𝑥𝑥 promjenljiva integracije.

Na različitim intervalima, primitivne funkcije se razlikuju. - Ako imamo funkciju 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 1

𝑥𝑥 definisanu na intervalu:

1) 𝐼𝐼 = (−∞, 0) onda je 𝐹𝐹(𝑥𝑥) = ln(−𝑥𝑥) + 𝐶𝐶 2) 𝐼𝐼 = (0, +∞) onda je 𝐹𝐹(𝑥𝑥) = ln(𝑥𝑥) + 𝐶𝐶

Da bismo to zapisali jednom formulom, uobičajeno se piše ovako:

��1𝑥𝑥� 𝑑𝑑𝑥𝑥 = ln|𝑥𝑥| + 𝐶𝐶, 𝑥𝑥 ≠ 0

4

1.1.3 Svojstva neodređenog integrala

1) �∫ 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥�′

= 𝑓𝑓(𝑥𝑥)

- diferencijal 𝑑𝑑𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑓𝑓′(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥, pa je 𝑑𝑑∫ 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥, odnosno, diferencijal i integral su inverzne operacije, pa je

��𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥�′

=𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

�𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥 =𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥


2) ∫ 𝑑𝑑𝐹𝐹(𝑥𝑥) = 𝐹𝐹(𝑥𝑥) + 𝐶𝐶

𝑑𝑑𝐹𝐹(𝑥𝑥) = 𝐹𝐹′(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥, pa je

�𝑑𝑑𝐹𝐹(𝑥𝑥) = �𝐹𝐹′(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥 = �𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝐹𝐹(𝑥𝑥) + 𝐶𝐶

3) ∫ 𝑘𝑘𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑘𝑘∫ 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥, 𝑘𝑘 ∈ 𝑅𝑅\{0}

- ako je F(x) primitivna funkcija funkcije f(x), znači da je 𝐹𝐹′(𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥). - ako imamo funkciju 𝑘𝑘𝑓𝑓(𝑥𝑥), njena primitivna funkcija je 𝑘𝑘𝐹𝐹(𝑥𝑥) + �̂�𝐶. iz toga slijedi:

�𝑘𝑘𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑘𝑘𝐹𝐹(𝑥𝑥) + �̂�𝐶 = 𝑘𝑘𝐹𝐹(𝑥𝑥) +𝐶𝐶𝑘𝑘

= 𝑘𝑘[𝐹𝐹(𝑥𝑥) + 𝐶𝐶] = 𝑘𝑘�𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥

4) ∫ [𝑓𝑓(𝑥𝑥) ± 𝑔𝑔(𝑥𝑥)]𝑑𝑑𝑥𝑥 = ∫ 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥 ± ∫ 𝑔𝑔(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥

- neka je 𝐹𝐹(𝑥𝑥) primitivna funkcija funkcije 𝑓𝑓(𝑥𝑥), 𝐹𝐹′(𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥); - neka je 𝐺𝐺(𝑥𝑥) primitivna funkcija funkcije 𝑔𝑔(𝑥𝑥), 𝐺𝐺′(𝑥𝑥) = 𝑔𝑔(𝑥𝑥); onda je i 𝐹𝐹(𝑥𝑥) ± 𝐺𝐺(𝑥𝑥) primitivna funkcija funkcije 𝑓𝑓(𝑥𝑥) ± 𝑔𝑔(𝑥𝑥), odnosno:

[𝐹𝐹(𝑥𝑥) ± 𝐺𝐺(𝑥𝑥)]′ = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) ± 𝑔𝑔(𝑥𝑥)

- odavde je:

�[𝑓𝑓(𝑥𝑥) ± 𝑔𝑔(𝑥𝑥)]𝑑𝑑𝑥𝑥 =𝐹𝐹(𝑥𝑥) ± 𝐺𝐺(𝑥𝑥) + �̂�𝐶 = [𝐹𝐹(𝑥𝑥) + 𝐶𝐶1] ± [𝐺𝐺(𝑥𝑥) + 𝐶𝐶2] =

�𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥 ± �𝑔𝑔(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥

Osobine 3 i 4 se mogu ukombinovati u osobinu linearnosti integrala:

�[αf(x) ± βg(x)]dx = 𝛼𝛼�𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥 ± 𝛽𝛽�𝑔𝑔(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥

5

1.1.4 Tablica integrala

1. ∫ 𝑥𝑥𝑎𝑎 = 𝑥𝑥𝑎𝑎+1

𝑎𝑎+1+ 𝐶𝐶, 𝑎𝑎 ≠ −1

2. ∫ 𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑥𝑥= ln|𝑥𝑥| + 𝐶𝐶


1+𝑥𝑥2= 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑐𝑐𝑎𝑎𝑔𝑔(𝑥𝑥) + 𝐶𝐶


√1−𝑥𝑥2= arcsin(𝑥𝑥) + 𝐶𝐶

5. ∫ 𝑎𝑎𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑎𝑎𝑥𝑥

𝑙𝑙𝑙𝑙𝑎𝑎+ 𝐶𝐶, (0 < 𝑎𝑎 ≠ 1)

6. ∫ 𝑒𝑒𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑒𝑒𝑥𝑥 + 𝐶𝐶

7. ∫ 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥 = −𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑥𝑥 + 𝐶𝐶

8. ∫ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝑥𝑥 + 𝐶𝐶


cos2 𝑥𝑥= 𝑎𝑎𝑔𝑔(𝑥𝑥) + 𝐶𝐶


sin2 𝑥𝑥= −𝑐𝑐𝑎𝑎𝑔𝑔(𝑥𝑥) + 𝐶𝐶


𝑥𝑥2−𝑎𝑎2= 1

2𝑎𝑎⋅ ln �𝑎𝑎−𝑥𝑥

𝑎𝑎+𝑥𝑥� + 𝐶𝐶, (𝑎𝑎 > 0)


𝑥𝑥2+𝑎𝑎2= 1

𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑐𝑐𝑎𝑎𝑔𝑔 𝑥𝑥

𝑎𝑎+ 𝐶𝐶


�𝑥𝑥2±𝑎𝑎2= ln �𝑥𝑥 + �𝑥𝑥2 ± 𝑎𝑎2� + 𝐶𝐶, (𝑎𝑎 ≠ 0)


√𝑎𝑎2−𝑥𝑥2= arcsin 𝑥𝑥

𝑎𝑎+ 𝐶𝐶, (𝑎𝑎 > 0)

za 𝑎𝑎 = −1

6

1.1.5 Metodi za računanje neodređenih integrala

1) Direktna integracija

- metod direktne integracije podrazumijeva korišćenje osobina 3 i 4 (linearnosti integrala) i tablice integrala.

Npr:

��2𝑒𝑒𝑥𝑥 − 𝑥𝑥3 + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑥𝑥 − 2𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝑥𝑥 +3

1 + 𝑥𝑥2� 𝑑𝑑𝑥𝑥 =

2�𝑒𝑒𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥 − �𝑥𝑥3𝑑𝑑𝑥𝑥 + �𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥 − 2�𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥 + 3�𝑑𝑑𝑥𝑥

1 + 𝑥𝑥2=

2𝑒𝑒𝑥𝑥 + 𝐶𝐶1 −𝑥𝑥4

4+ 𝐶𝐶2 + 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝑥𝑥 + 𝐶𝐶3 + 2𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑥𝑥 + 𝐶𝐶4 + 3𝑎𝑎𝑎𝑎𝑐𝑐𝑎𝑎𝑔𝑔(𝑥𝑥) + 𝐶𝐶5 =

2𝑒𝑒𝑥𝑥 −𝑥𝑥4

4+ 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝑥𝑥 + 2𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑥𝑥 + 3𝑎𝑎𝑎𝑎𝑐𝑐𝑎𝑎𝑔𝑔(𝑥𝑥) + 𝐶𝐶

2) Metod smjene

- metod smjene podrazumijeva postupak kojim ∫𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥 → ∫𝑔𝑔(𝑢𝑢)𝑑𝑑𝑢𝑢

Teorema 2: Neka je 𝑥𝑥 = ϕ(u) funkcija definisana i diferencijabilna na intervalu 𝑈𝑈 i neka je 𝑋𝑋 skup svih vrijednosti ove funkcije na kojem je definisana funkcija 𝑓𝑓(𝑥𝑥). Ako funkcija 𝑓𝑓(𝑥𝑥) ima primitivnu funkciju na 𝑋𝑋, tada i funkcija 𝑓𝑓(𝜙𝜙(𝑢𝑢)) ima primitivnu funkciju na 𝑈𝑈 i važi:

�𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥 = �𝑓𝑓�𝜙𝜙(𝑢𝑢)� ⋅ 𝜙𝜙′(𝑢𝑢)𝑑𝑑𝑢𝑢

Postupak uvođenja smjene:

1) 𝑥𝑥 = 𝜙𝜙(𝑢𝑢) – promjenljivu 𝑥𝑥 izrazimo kao funkciju neke druge promjenljive; 2) 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝜙𝜙′(𝑢𝑢)𝑑𝑑𝑢𝑢 – nađemo diferencijal prethodne jednakosti i dobijamo novi integral:

�𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥 = �𝑓𝑓�𝜙𝜙(𝑢𝑢)� ⋅ 𝜙𝜙′(𝑢𝑢)𝑑𝑑𝑢𝑢

3) nakon rješavanja integrala, vratimo smjenu i dobijamo konačni rezultat.

7

primjer: 𝐼𝐼 = ∫ 𝑑𝑑𝑥𝑥√𝑎𝑎2−𝑥𝑥2

, 𝑎𝑎 ≠ 0

- uvodimo smjenu: 𝑥𝑥 = a ⋅ sin𝑢𝑢, 𝑑𝑑𝑥𝑥 = (𝑎𝑎 ⋅ 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝑢𝑢)′𝑑𝑑𝑢𝑢 = 𝑎𝑎 ⋅ cos(𝑢𝑢)𝑑𝑑𝑢𝑢

sada imamo:

�𝑑𝑑𝑥𝑥

√𝑎𝑎2 − 𝑥𝑥2= �

𝑎𝑎 ⋅ cos(𝑢𝑢)𝑑𝑑𝑢𝑢√𝑎𝑎2 − 𝑎𝑎2 sin2 𝑢𝑢

= �cos(𝑢𝑢)𝑑𝑑𝑢𝑢√1 − sin2 𝑢𝑢

= �cos(𝑢𝑢)𝑑𝑑𝑢𝑢√cos2 𝑢𝑢

=

= �cos(𝑢𝑢)𝑑𝑑𝑢𝑢𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑢𝑢

= �𝑑𝑑𝑢𝑢 = 𝑢𝑢 + 𝐶𝐶

vraćamo smjenu: 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎 ⋅ 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝑢𝑢, 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝑢𝑢 = 𝑥𝑥𝑎𝑎 , 𝑢𝑢 = arcsin 𝑥𝑥

𝑎𝑎

pa je konačni rezultat: 𝐼𝐼 = arcsin 𝑥𝑥𝑎𝑎

+ 𝐶𝐶

primjer: 𝐼𝐼 = ∫ 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑎𝑎2+𝑥𝑥2

, 𝑎𝑎 ≠ 0

- ako je 𝑎𝑎 = 1, onda je 𝐼𝐼 = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑐𝑐𝑎𝑎𝑔𝑔(𝑥𝑥) + 𝐶𝐶 - ako je 𝑎𝑎 ≠ 1, uvodimo smjenu: 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎 ⋅ 𝑎𝑎𝑔𝑔(𝑢𝑢), 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑎𝑎

cos2 𝑢𝑢𝑑𝑑𝑢𝑢

sada imamo:

�𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑎𝑎2 + 𝑥𝑥2= �

𝑎𝑎cos2 𝑢𝑢 𝑑𝑑𝑢𝑢

𝑎𝑎2 + 𝑎𝑎2𝑎𝑎𝑔𝑔2𝑢𝑢= �

𝑎𝑎cos2 𝑢𝑢 𝑑𝑑𝑢𝑢

𝑎𝑎2 �1 + sin2 𝑢𝑢cos2 𝑢𝑢�

= �𝑑𝑑𝑢𝑢

𝑎𝑎 ⋅ cos2 𝑢𝑢1

cos2 𝑢𝑢

= �𝑑𝑑𝑢𝑢𝑎𝑎

=1𝑎𝑎𝑢𝑢 + 𝐶𝐶

vraćamo smjenu: 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎 ⋅ 𝑎𝑎𝑔𝑔(𝑢𝑢) → 𝑢𝑢 = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑐𝑐𝑎𝑎𝑔𝑔 𝑥𝑥𝑎𝑎

pa je konačni rezultat: 𝐼𝐼 = 1𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑐𝑐𝑎𝑎𝑔𝑔 𝑥𝑥

𝑎𝑎+ 𝐶𝐶

8

Ova funkcija ima primitivnu funkciju iz

uslova teoreme.

3) Metod parcijalne integracije

Teorema 3: Neka su funkcije 𝑢𝑢(𝑥𝑥) i 𝑣𝑣(𝑥𝑥) diferencijabilne na intervalu 𝐼𝐼 i neka funkcija 𝑢𝑢′(𝑥𝑥)𝑣𝑣(𝑥𝑥) ima primitivnu funkciju na tom intervalu. Tada i funkcija 𝑢𝑢(𝑥𝑥)𝑣𝑣′(𝑥𝑥) ima primitivnu funkciju na intevalu 𝐼𝐼 i pri tome je:

�𝑢𝑢(𝑥𝑥)𝑣𝑣′(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑢𝑢(𝑥𝑥)𝑣𝑣(𝑥𝑥) −�𝑣𝑣(𝑥𝑥)𝑢𝑢′(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥

Dokaz: Iz osobine o izvodu proizvoda: �𝑢𝑢(𝑥𝑥) ⋅ 𝑣𝑣(𝑥𝑥)�′

= 𝑢𝑢′(𝑥𝑥)𝑣𝑣(𝑥𝑥) + 𝑢𝑢(𝑥𝑥)𝑣𝑣′(𝑥𝑥)

imamo: 𝑢𝑢(𝑥𝑥) ⋅ 𝑣𝑣′(𝑥𝑥) = �𝑢𝑢(𝑥𝑥) ⋅ 𝑣𝑣(𝑥𝑥)�′− 𝑢𝑢′(𝑥𝑥)𝑣𝑣(𝑥𝑥)

Pošto sve one imaju primitivne funkcije, slijedi:

�𝑢𝑢(𝑥𝑥) ⋅ 𝑣𝑣′(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑢𝑢(𝑥𝑥) ⋅ 𝑣𝑣(𝑥𝑥) −�𝑣𝑣(𝑥𝑥) ⋅ 𝑢𝑢′(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥

čime je tvrđenje dokazano.

- da bismo lakše zapamtili formulu za parcijalnu integraciju, primijetimo da važi:

𝑢𝑢′(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑑𝑑𝑢𝑢

𝑣𝑣′(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑑𝑑𝑣𝑣

Ova funkcija ima primitivnu funkciju jer iz definicije

primitivne funkcije znamo za jednu njenu primitivnu funkciju:

𝑢𝑢(𝑥𝑥) ⋅ 𝑣𝑣(𝑥𝑥)

Iz gornje dvije konstatacije zaključujemo da i ova funkcija ima primitivnu funkciju

kao razliku funkcija koje imaju primitivnu funkciju.

9

pa je:

�𝑢𝑢𝑑𝑑𝑣𝑣 = 𝑢𝑢 ⋅ 𝑣𝑣 − �𝑣𝑣𝑑𝑑𝑢𝑢

primjer: ∫ ln(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥

- vidimo da uvođenjem smjene ne možemo da riješimo integral, pa ćemo pokušati metodom parcijalne integracije:

𝑢𝑢 = 𝑙𝑙𝑠𝑠𝑥𝑥 𝑑𝑑→ 𝑑𝑑𝑢𝑢 =

1𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑑𝑑𝑣𝑣 = 𝑑𝑑𝑥𝑥 ∫→ 𝑣𝑣 = 𝑥𝑥

pa je:

� ln(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 ⋅ 𝑙𝑙𝑠𝑠𝑥𝑥 − �𝑥𝑥 ⋅1𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 ⋅ 𝑙𝑙𝑠𝑠𝑥𝑥 − �𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 ⋅ 𝑙𝑙𝑠𝑠𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 + 𝐶𝐶

primjer: ∫𝑥𝑥𝑒𝑒𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑢𝑢 = 𝑥𝑥 𝑑𝑑→ 𝑑𝑑𝑢𝑢 = 𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑑𝑑𝑣𝑣 = 𝑒𝑒𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥 ∫→ 𝑣𝑣 = 𝑒𝑒𝑥𝑥

pa je:

�𝑥𝑥𝑒𝑒𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑥𝑥𝑒𝑒𝑥𝑥 − �𝑒𝑒𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑥𝑥𝑒𝑒𝑥𝑥 − 𝑒𝑒𝑥𝑥 + 𝐶𝐶

primjer: ∫𝑥𝑥𝑙𝑙𝑠𝑠(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑢𝑢 = 𝑙𝑙𝑠𝑠𝑥𝑥 𝑑𝑑→ 𝑑𝑑𝑢𝑢 =

1𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑑𝑑𝑣𝑣 = 𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥 ∫→ 𝑣𝑣 =

𝑥𝑥2

2

pa je:

�𝑥𝑥𝑙𝑙𝑠𝑠(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥 =𝑥𝑥2

2𝑙𝑙𝑠𝑠𝑥𝑥 −�

𝑥𝑥2

2⋅

1𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥 =

12𝑥𝑥2𝑙𝑙𝑠𝑠𝑥𝑥 −

12�𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥 =

12𝑥𝑥2𝑙𝑙𝑠𝑠𝑥𝑥 −

14𝑥𝑥2 + 𝐶𝐶

10

primjer: ∫𝑥𝑥2 cos(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑢𝑢 = 𝑥𝑥2 𝑑𝑑→ 𝑑𝑑𝑢𝑢 = 2𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑑𝑑𝑣𝑣 = cos(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥 ∫→ 𝑣𝑣 = 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝑥𝑥

pa je:

�𝑥𝑥2 cos(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑥𝑥2𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝑥𝑥 − �𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝑥𝑥 ⋅ 2𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥

nova smjena:

𝑝𝑝 = 𝑥𝑥 𝑑𝑑→ 𝑑𝑑𝑝𝑝 = 𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑑𝑑𝑑𝑑 = sin(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥 ∫→ 𝑑𝑑 = −𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑥𝑥

sada imamo:

�𝑥𝑥2 cos(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑥𝑥2𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 ⋅ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑥𝑥 + � cos(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑥𝑥2𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 ⋅ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑥𝑥 + 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝑥𝑥 + 𝐶𝐶

primjer (integral koji se rješava rekurentnom relacijom):

𝐼𝐼𝑙𝑙 = �𝑑𝑑𝑥𝑥

(𝑥𝑥2 + 𝑎𝑎2)𝑙𝑙 ,𝑠𝑠 ∈ ℕ

- za 𝑠𝑠 = 1 imamo tablični integral, pa je:

𝐼𝐼1 =1𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑐𝑐𝑎𝑎𝑔𝑔

𝑥𝑥𝑎𝑎

+ 𝐶𝐶

- za 𝑠𝑠 > 1 koristimo metod parcijalne integracije:

𝑢𝑢 =1

(𝑥𝑥2 + 𝑎𝑎2)𝑙𝑙 𝑑𝑑→ 𝑑𝑑𝑢𝑢 = −𝑠𝑠

2𝑥𝑥(𝑥𝑥2 + 𝑎𝑎2)𝑙𝑙+1 𝑑𝑑𝑥𝑥


pa imamo:

𝐼𝐼𝑙𝑙 = �𝑑𝑑𝑥𝑥

(𝑥𝑥2 + 𝑎𝑎2)𝑙𝑙 =𝑥𝑥

(𝑥𝑥2 + 𝑎𝑎2)𝑙𝑙 + �2𝑠𝑠𝑥𝑥2

(𝑥𝑥2 + 𝑎𝑎2)𝑙𝑙+1 𝑑𝑑𝑥𝑥 =

=𝑥𝑥

(𝑥𝑥2 + 𝑎𝑎2)𝑙𝑙 + 2𝑠𝑠�𝑥𝑥2 + 𝑎𝑎2 − 𝑎𝑎2

(𝑥𝑥2 + 𝑎𝑎2)𝑙𝑙+1 𝑑𝑑𝑥𝑥 =

=𝑥𝑥

(𝑥𝑥2 + 𝑎𝑎2)𝑙𝑙 + 2𝑠𝑠�𝑑𝑑𝑥𝑥

(𝑥𝑥2 + 𝑎𝑎2)𝑙𝑙 − 2𝑠𝑠𝑎𝑎2 �𝑑𝑑𝑥𝑥

(𝑥𝑥2 + 𝑎𝑎2)𝑙𝑙+1 =

11

=𝑥𝑥

(𝑥𝑥2 + 𝑎𝑎2)𝑙𝑙 + 2𝑠𝑠𝐼𝐼𝑙𝑙 − 2𝑠𝑠𝑎𝑎2𝐼𝐼𝑙𝑙+1

pa je:

𝐼𝐼𝑙𝑙+1 =2𝑠𝑠 − 12𝑠𝑠𝑎𝑎2

𝐼𝐼𝑙𝑙 +1

2𝑠𝑠𝑎𝑎2⋅

𝑥𝑥(𝑥𝑥2 + 𝑎𝑎2)𝑙𝑙 , 𝑠𝑠 = 1,2,3, …

- na ovaj način smo dobili rekurentnu formulu preko koje za neko 𝑠𝑠 ∈ ℕ dobijamo vrijednost integrala. Npr. za 𝑠𝑠 = 1 imamo:

𝐼𝐼2 =1

2𝑎𝑎2⋅

1𝑎𝑎

arctg𝑥𝑥𝑎𝑎

+1

2𝑎𝑎2⋅

𝑥𝑥𝑥𝑥2 + 𝑎𝑎2

=1

2𝑎𝑎3arctg

𝑥𝑥𝑎𝑎

+𝑥𝑥

2𝑎𝑎2 (𝑥𝑥2 + 𝑎𝑎2)

1.1.6 Integracija racionalnih funkcija

Funkcija oblika 𝑃𝑃(𝑥𝑥)𝑄𝑄(𝑥𝑥)

, gdje su 𝑃𝑃(𝑥𝑥) i 𝑄𝑄(𝑥𝑥) polinomi, naziva se racionalna

funkcija.

- ako je: deg𝑃𝑃(𝑥𝑥) ≥ deg𝑄𝑄(𝑥𝑥) , onda dijeljenjem ova dva polinoma dobijamo:

𝑃𝑃(𝑥𝑥)𝑄𝑄(𝑥𝑥)

= 𝑈𝑈(𝑥𝑥) +𝑅𝑅(𝑥𝑥)𝑄𝑄(𝑥𝑥)

gdje je deg𝑅𝑅(𝑥𝑥) < deg𝑄𝑄(𝑥𝑥) i funkcija 𝑅𝑅(𝑥𝑥)𝑄𝑄(𝑥𝑥) se naziva prava racionalna funkcija.

- npr. prava racionalna funkcija je: 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥2−15𝑥𝑥5+7𝑥𝑥3+2𝑥𝑥−5

Sada se integracija racionalne funkcije 𝑃𝑃(𝑥𝑥)𝑄𝑄(𝑥𝑥) razlaže na dva jednostavnija

problema:

�𝑃𝑃(𝑥𝑥)𝑄𝑄(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥 = �𝑈𝑈(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥 + �

𝑅𝑅(𝑥𝑥)𝑄𝑄(𝑥𝑥)

𝑑𝑑𝑥𝑥

- polinom 𝑈𝑈(𝑥𝑥) se integrali metodom direktne integracije, a funkcija 𝑅𝑅(𝑥𝑥)𝑄𝑄(𝑥𝑥)

metodom integracije pravih racionalnih funkcija koja se sastoji iz dva koraka:

12

1) Prvi korak je faktorisanje polinoma 𝑄𝑄(𝑥𝑥).

Svaki polinom 𝑄𝑄(𝑥𝑥) stepena 𝑠𝑠 ≥ 1 može se na jedinstven način zapisati u obliku:

𝑄𝑄(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎𝑙𝑙(𝑥𝑥 − 𝛼𝛼1)𝑘𝑘1 ⋅⋅⋅ (𝑥𝑥 − 𝑎𝑎𝑟𝑟)𝑘𝑘𝑟𝑟 ⋅ (𝑥𝑥2 + 𝑝𝑝1𝑥𝑥 + 𝑑𝑑1)𝑧𝑧1 ⋅⋅⋅ (𝑥𝑥2 + 𝑝𝑝𝑐𝑐𝑥𝑥 + 𝑑𝑑𝑐𝑐)𝑧𝑧𝑐𝑐

gdje je 𝑎𝑎𝑙𝑙 vodeći koeficijent polinoma 𝑄𝑄(𝑥𝑥), (𝑥𝑥 − 𝛼𝛼)𝑘𝑘 linearna funkcija koja odgovara realnoj nuli 𝛼𝛼 višestrukosti 𝑘𝑘 ∈ ℕ i (𝑥𝑥2 + 𝑝𝑝𝑥𝑥 + 𝑑𝑑)𝑧𝑧 kvadratna funkcija čije su nule konjugovano kompleksni par višestrukosti 𝑧𝑧 ∈ ℕ, odnosno važi da je 𝑝𝑝2 − 4𝑑𝑑 < 0. Ukupan broj realnih nula polinoma 𝑄𝑄(𝑥𝑥) je 𝑎𝑎, pa je ukupan broj faktora (𝑥𝑥 − 𝛼𝛼)𝑘𝑘 polinoma 𝑄𝑄(𝑥𝑥) jednak broju realnih nula, odnosno 𝑎𝑎. Ukupan broj kompleksnih nula polinoma 𝑄𝑄(𝑥𝑥) je 2𝑐𝑐, ali ukupan broj faktora (𝑥𝑥2 + 𝑝𝑝𝑥𝑥 + 𝑑𝑑)𝑧𝑧 je 𝑐𝑐, jer nule ovog polinoma dolaze u konjugovano kompleksnim parovima. Ukupan broj svih nula polinoma 𝑄𝑄(𝑥𝑥) je 𝑠𝑠 = 𝑎𝑎 + 2𝑐𝑐, gdje je 𝑠𝑠 ujedno i stepen tog polinoma.

2) Drugi korak je razlaganje funkcije 𝑅𝑅(𝑥𝑥)𝑄𝑄(𝑥𝑥) na 𝑠𝑠 (broj nula) elementarnih

razlomaka.

U odnosu na faktorisani polinom 𝑄𝑄(𝑥𝑥), funkcija 𝑅𝑅(𝑥𝑥)𝑄𝑄(𝑥𝑥) se na jedinstven način

može predstaviti u obliku:

𝑅𝑅(𝑥𝑥)𝑄𝑄(𝑥𝑥) = �

𝐴𝐴1𝑖𝑖(𝑥𝑥 − 𝛼𝛼1)𝑖𝑖

𝑘𝑘1

𝑖𝑖=1

+⋅⋅⋅ +�𝐴𝐴𝑟𝑟𝑖𝑖

(𝑥𝑥 − 𝛼𝛼𝑟𝑟)𝑖𝑖

𝑘𝑘𝑟𝑟

𝑖𝑖=1

+

+�𝐵𝐵1𝑖𝑖 ⋅ 𝑥𝑥 + 𝐷𝐷1𝑖𝑖

(𝑥𝑥2 + 𝑝𝑝1𝑥𝑥 + 𝑑𝑑1)

𝑧𝑧1

𝑖𝑖=1

+⋅⋅⋅ +�𝐵𝐵𝑐𝑐𝑖𝑖 ⋅ 𝑥𝑥 + 𝐷𝐷𝑐𝑐𝑖𝑖

(𝑥𝑥2 + 𝑝𝑝𝑐𝑐𝑥𝑥 + 𝑑𝑑𝑐𝑐)

𝑧𝑧𝑐𝑐

𝑖𝑖=1

gdje su 𝐴𝐴1𝑖𝑖 ,𝐴𝐴2𝑖𝑖 , … ,𝐴𝐴𝑟𝑟𝑖𝑖 polinomi nultog stepena koji odgovaraju linearnim funkcijama u imeniocu čije su nule {𝛼𝛼1,𝛼𝛼2, … ,𝛼𝛼𝑟𝑟} ∈ ℝ višestrukosti 𝑘𝑘1, 𝑘𝑘2, … 𝑘𝑘𝑟𝑟, a 𝐵𝐵1𝑖𝑖𝑥𝑥 + 𝐷𝐷1𝑖𝑖,𝐵𝐵2𝑖𝑖𝑥𝑥 + 𝐷𝐷2𝑖𝑖 , … ,𝐵𝐵𝑐𝑐𝑖𝑖𝑥𝑥 + 𝐷𝐷𝑐𝑐𝑖𝑖 linearne funkcije koje odgovaraju kvadratnim funkcijama u imeniocu čije su nule konjugovano kompleksni par višestrukosti 𝑧𝑧1, 𝑧𝑧2, … , 𝑧𝑧𝑐𝑐.

- na ovaj način smo funkciju 𝑅𝑅(𝑥𝑥)𝑄𝑄(𝑥𝑥) razvili na elementarne razlomke i jedino što

ostaje je integracija elementarnih razlomaka.

13

primjer: Neka je data racionalna funkcija 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥5+2𝑥𝑥4+𝑥𝑥3−4𝑥𝑥2+𝑥𝑥+1𝑥𝑥3−𝑥𝑥2+𝑥𝑥+3

- vidimo da ovo nije prava racionalna funkcija, te je moramo podijeliti čime dobijamo:

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = [𝑥𝑥2 + 3𝑥𝑥 + 3] +−7𝑥𝑥2 − 11𝑥𝑥 − 9𝑥𝑥3 − 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥 + 3

- sada smo dobili zbir kvadradnog trinoma i prave racionalne funkcije 𝑔𝑔(𝑥𝑥). Integracija kvadratnog trinoma vrši se direktnim pristupom, a pravu racionalnu funkciju integralimo na sljedeći način:

1) Prvi korak, faktorisanje polinoma u nazivniku.

𝑄𝑄(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥3 − 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥 + 3 = (𝑥𝑥 + 1)(𝑥𝑥2 − 2𝑥𝑥 + 3)

2) Drugi korak, rastavljanje funkcije 𝑔𝑔(𝑥𝑥) na elementarne razlomke.

−7𝑥𝑥2 − 11𝑥𝑥 − 9𝑥𝑥3 − 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥 + 3

=𝐴𝐴

𝑥𝑥 + 1+

𝐵𝐵𝑥𝑥 + 𝐶𝐶𝑥𝑥2 − 2𝑥𝑥 + 3

=(𝐴𝐴 + 𝐵𝐵)𝑥𝑥2 + (𝐵𝐵 + 𝐶𝐶 − 2𝐴𝐴)𝑥𝑥 + (3𝐴𝐴 + 𝐶𝐶)

𝑥𝑥3 − 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥 + 3

- pa imamo:

𝐴𝐴 + 𝐵𝐵 = −7

𝐵𝐵 + 𝐶𝐶 − 2𝐴𝐴 = −11

3𝐴𝐴 + 𝐶𝐶 = −9

odnosno: 𝐴𝐴 = −56 , 𝐵𝐵 = −37

6 , 𝐶𝐶 = −13

2

i tako dobijamo funkciju:

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥2 + 3𝑥𝑥 + 3 −5

6𝑥𝑥 + 6−

37𝑥𝑥 + 396𝑥𝑥2 − 12𝑥𝑥 + 18

čiji je integral:

�𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥 =𝑥𝑥3

3+

3𝑥𝑥2

2+ 3𝑥𝑥 −

56

ln|𝑥𝑥 + 1| + 𝐶𝐶1 − �37𝑥𝑥 + 39

6𝑥𝑥2 − 12𝑥𝑥 + 18

Nećemo se upuštati u rješavanje integrala koji nam je ostao, jer je cilj bio demonstracija metoda integracije racionalne funkcije.

- ovdje završava prvo predavanje (25.02.2016).

prava racionalna funkcija 𝑔𝑔(𝑥𝑥)

14

primjer: ∫ 𝑥𝑥+1𝑥𝑥2−4𝑥𝑥+3

𝑑𝑑𝑥𝑥

- vidimo da je ovo već prava racionalna funkcija jer je stepen polinoma u brojniku manji od stepena polinoma u nazivniku

1) Faktorišemo polinom u nazivniku:

𝑥𝑥2 − 4𝑥𝑥 + 3 = (𝑥𝑥 − 1)(𝑥𝑥 − 3)

2) Razlažemo našu funkciju na dva elementarna razlomka i metodom neodređenih koeficijenata nalazimo koeficijente A i B:

𝑥𝑥 + 1𝑥𝑥2 − 4𝑥𝑥 + 3

=𝐴𝐴

𝑥𝑥 − 1+

𝐵𝐵𝑥𝑥 − 3

=(𝐴𝐴 + 𝐵𝐵)𝑥𝑥 − 3𝐴𝐴 − 𝐵𝐵

𝑥𝑥2 − 4𝑥𝑥 + 3

- pomnožimo i lijevu i desnu stranu sa 𝑥𝑥2 − 4𝑥𝑥 + 3 i dobijamo:

𝑥𝑥 + 1 = (𝐴𝐴 + 𝐵𝐵)𝑥𝑥 − 3𝐴𝐴 − 𝐵𝐵

odakle je: 𝐴𝐴 = −1, 𝐵𝐵 = 2.

Sada se naš integral razlaže na integraciju elementarnih razlomaka:

�𝑥𝑥 + 1

𝑥𝑥2 − 4𝑥𝑥 + 3𝑑𝑑𝑥𝑥 = −�

𝑑𝑑𝑥𝑥𝑥𝑥 − 1

+ 2�𝑑𝑑𝑥𝑥𝑥𝑥 − 3

- smjenom 𝑥𝑥 − 1 = 𝑢𝑢, 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑑𝑑𝑢𝑢 i 𝑥𝑥 − 3 = 𝑎𝑎, 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑑𝑑𝑎𝑎 ove integrale svodimo na tablične, pa je konačni rezultat:

�𝑥𝑥 + 1

𝑥𝑥2 − 4𝑥𝑥 + 3𝑑𝑑𝑥𝑥 = − ln|𝑥𝑥 − 1| + 2 ln|𝑥𝑥 − 3| + 𝐶𝐶 = ln �

𝑥𝑥2 − 6𝑥𝑥 + 9𝑥𝑥 − 1

� + 𝐶𝐶

primjer: Na ovom primjeru demonstriraćemo sve slučajeve koji se mogu javiti nakon što smo pravu racionalnu funkciju rastavili na elementarne razlomke.

- potrebno je izračunati integral racionalne funkcije 𝑥𝑥2+1(𝑥𝑥2+1)2⋅𝑥𝑥2

- vidimo da je ovo prava racionalna funkcija - polinom u imeniocu je već faktorisan, on ima 6 nula, realnu nulu 𝑥𝑥 = 0 višestrukosti 2 i konjugovano kompleksni par nula 𝑠𝑠 i −𝑠𝑠 višestrukosti 2 pa ovu racionalnu funkciju odmah razlažemo na elementarne razlomke:

𝑥𝑥2 + 1(𝑥𝑥2 + 1)2 ⋅ 𝑥𝑥2

=𝐴𝐴1𝑥𝑥

+𝐴𝐴2𝑥𝑥2

+𝑀𝑀1𝑥𝑥 + 𝑁𝑁1𝑥𝑥2 + 1

+𝑀𝑀2𝑥𝑥 + 𝑁𝑁2(𝑥𝑥2 + 1)2

15

- lijevu i desnu stranu pomnožimo polinomom u imeniocu i dobijamo:

𝑥𝑥2 + 1 = 𝐴𝐴1 ⋅ 𝑥𝑥 ⋅ (𝑥𝑥2 + 1)2 + 𝐴𝐴2 ⋅ (𝑥𝑥2 + 1)2 + (𝑀𝑀1𝑥𝑥 + 𝑁𝑁1)(𝑥𝑥2 + 1) ⋅ 𝑥𝑥2 + (𝑀𝑀2𝑥𝑥 + 𝑁𝑁2) ⋅ 𝑥𝑥2

- ova dva polinoma moraju biti identički jednaka, pa dobijamo sistem od 6 jednačina sa 6 nepoznatih koeficijenata. Kada riješimo taj sistem dobićemo elementarne razlomke:

𝐴𝐴1𝑥𝑥

,𝐴𝐴2𝑥𝑥2

,𝑀𝑀1𝑥𝑥 + 𝑁𝑁1𝑥𝑥2 + 1

,𝑀𝑀2𝑥𝑥 + 𝑁𝑁2(𝑥𝑥2 + 1)2

i posljednji korak je računanje integrala ovih elementarnih razlomaka.

U opštem slučaju, to su 4 tipa integrala:

I

II

III

IV

koji se rješavaju na sljedeći način:

- I tip se rješava uvođenjem smjene 𝑥𝑥 − 𝛼𝛼 = 𝑢𝑢, 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑑𝑑𝑢𝑢 čime dobijamo tablični integral ∫ 𝑑𝑑𝑢𝑢

𝑢𝑢= ln|𝑢𝑢| + 𝐶𝐶, odnosno, kada vratimo smjenu, ln|𝑥𝑥 − 𝛼𝛼| + 𝐶𝐶.

- II tip se rješava na isti način, uvođenjem smjene 𝑥𝑥 − 𝛼𝛼 = 𝑢𝑢, 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑑𝑑𝑢𝑢 čime

dobijamo tablični integral ∫ 𝑑𝑑𝑢𝑢𝑢𝑢𝑟𝑟

= ∫𝑢𝑢−𝑟𝑟𝑑𝑑𝑢𝑢 = 𝑢𝑢−𝑟𝑟+1

−𝑟𝑟+1+ 𝐶𝐶, odnosno, kada vratimo

smjenu, (𝑥𝑥−𝛼𝛼)−𝑟𝑟+1

−𝑟𝑟+1+ 𝐶𝐶.

- III tip: kod integrala III tipa znamo da je diskriminanta kvadratnog trinoma u nazivniku 𝐷𝐷 = 𝑝𝑝2 − 4𝑑𝑑 < 0.

Zato upotpunjujemo kvadrat u imeniocu i imamo:

�𝐴𝐴

𝑥𝑥 − 𝛼𝛼𝑑𝑑𝑥𝑥

�𝐴𝐴

(𝑥𝑥 − 𝛼𝛼)𝑟𝑟 𝑑𝑑𝑥𝑥 , 𝑎𝑎 > 1

�𝐴𝐴𝑥𝑥 + 𝐵𝐵

𝑥𝑥2 + 𝑝𝑝𝑥𝑥 + 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥


(𝑥𝑥2 + 𝑝𝑝𝑥𝑥 + 𝑑𝑑)𝑟𝑟 𝑑𝑑𝑥𝑥 , 𝑎𝑎 > 1

16


𝑥𝑥2 + 𝑝𝑝𝑥𝑥 + 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥 = �

𝐴𝐴𝑥𝑥 + 𝐵𝐵

�𝑥𝑥 + 𝑝𝑝2�

2+ 𝑑𝑑 − 𝑝𝑝2

4

𝑑𝑑𝑥𝑥

sada, uvodimo smjenu 𝑥𝑥 + 𝑝𝑝2

= 𝑢𝑢, 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑑𝑑𝑢𝑢, 𝑥𝑥 = 𝑢𝑢 − 𝑝𝑝2, te dobijamo integral:

�𝐴𝐴�𝑢𝑢 − 𝑝𝑝

2� + 𝐵𝐵

𝑢𝑢2 + 𝑑𝑑 − 𝑝𝑝24

𝑑𝑑𝑢𝑢

Sada imamo da je integral III tipa dalje jednak:


2� + 𝐵𝐵𝑢𝑢2 + ℎ2

𝑑𝑑𝑢𝑢 = �𝐴𝐴𝑢𝑢 ⋅ 2 ⋅ 1

2𝑢𝑢2 + ℎ2

𝑑𝑑𝑢𝑢 + � 𝐵𝐵 − 𝐴𝐴𝑝𝑝

2𝑢𝑢2 + ℎ2

𝑑𝑑𝑢𝑢 =

=𝐴𝐴2�

2𝑢𝑢𝑢𝑢2 + ℎ2

𝑑𝑑𝑢𝑢 + �𝐵𝐵 −𝐴𝐴𝑝𝑝2� ⋅ �

𝑑𝑑𝑢𝑢𝑢𝑢2 + ℎ2

=

=𝐴𝐴2

ln(𝑢𝑢2 + ℎ2) + �𝐵𝐵 −𝐴𝐴𝑝𝑝2� ⋅

1ℎ𝑎𝑎𝑎𝑎𝑐𝑐𝑎𝑎𝑔𝑔

𝑢𝑢ℎ

+ 𝐶𝐶 =

- kada vratimo smjenu, integral III tipa na kraju ima rješenje:

𝐴𝐴2

ln(𝑥𝑥2 + 𝑝𝑝𝑥𝑥 + 𝑑𝑑) + �𝐵𝐵 −𝐴𝐴𝑝𝑝2� ⋅

1

�𝑑𝑑 − 𝑝𝑝24

𝑎𝑎𝑎𝑎𝑐𝑐𝑎𝑎𝑔𝑔𝑥𝑥 + 𝑝𝑝

2

�𝑑𝑑 − 𝑝𝑝24

+ 𝐶𝐶

- IV tip: Kao i kod integrala III tipa, upotpunjujemo kvadrat u imeniocu i imamo:


��𝑥𝑥 + 𝑝𝑝2�

2+ 𝑑𝑑 − 𝑝𝑝2

4 �𝑟𝑟 𝑑𝑑𝑥𝑥

Pošto smo prethodno zaključili da je diskriminanta 𝐷𝐷 = 𝑝𝑝2 − 4𝑑𝑑 < 0, odatle slijedi

da je 4𝑑𝑑 − 𝑝𝑝2 > 0, odnosno, 𝑑𝑑 − 𝑝𝑝2

4> 0. Taj

broj sada možemo označavati kao kvadrat

nekog broja, 𝑑𝑑 − 𝑝𝑝2

4= ℎ2, ℎ = �𝑑𝑑 − 𝑝𝑝2

4, jer je

kvadrat nekog broja uvijek pozitivan broj.

pomnožimo i podijelimo sa 2

17

pa uvodimo smjenu 𝑥𝑥 + 𝑝𝑝2

= 𝑢𝑢, 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑑𝑑𝑢𝑢, 𝑥𝑥 = 𝑢𝑢 − 𝑝𝑝2 i imamo:


2� + 𝐵𝐵(𝑢𝑢2 + ℎ2)𝑟𝑟 𝑑𝑑𝑢𝑢 =

𝐴𝐴2�

2𝑢𝑢 𝑑𝑑𝑢𝑢(𝑢𝑢2 + ℎ2)𝑟𝑟 + �𝐵𝐵 −

𝐴𝐴𝑝𝑝2� ⋅ �

𝑑𝑑𝑢𝑢(𝑢𝑢2 + ℎ2)𝑟𝑟 =

na kraju, integral IV tipa ima rješenje:

𝐴𝐴2⋅

(𝑢𝑢2 + ℎ2)−𝑟𝑟+1

−𝑎𝑎 + 1+ �𝐵𝐵 −

𝐴𝐴𝑝𝑝2� ⋅

2𝑎𝑎 − 12𝑎𝑎ℎ2

𝐼𝐼𝑟𝑟−1 +1

2𝑎𝑎ℎ2⋅

𝑢𝑢(𝑢𝑢2 + ℎ2)𝑟𝑟 =

=𝐴𝐴2⋅

(𝑥𝑥2 + 𝑝𝑝𝑥𝑥 + 𝑑𝑑)−𝑟𝑟+1

−𝑎𝑎 + 1+ �𝐵𝐵 −

𝐴𝐴𝑝𝑝2� ⋅

2𝑎𝑎 − 1

2𝑎𝑎 �𝑑𝑑 − 𝑝𝑝24 �


2𝑎𝑎 �𝑑𝑑 − 𝑝𝑝24 �

⋅𝑥𝑥 + 𝑝𝑝

2(𝑥𝑥2 + 𝑝𝑝𝑥𝑥 + 𝑑𝑑)𝑟𝑟

gdje se integral 𝐼𝐼𝑟𝑟−1 dobija kao:

𝐼𝐼𝑟𝑟−1 =2𝑎𝑎 − 1

2𝑎𝑎 �𝑑𝑑 − 𝑝𝑝24 �


2𝑎𝑎 �𝑑𝑑 − 𝑝𝑝24 �

⋅𝑥𝑥 + 𝑝𝑝

2(𝑥𝑥2 + 𝑝𝑝𝑥𝑥 + 𝑑𝑑)𝑟𝑟

primjer: ∫ 2𝑥𝑥+1𝑥𝑥2+2𝑥𝑥+5

𝑑𝑑𝑥𝑥

- vidimo da je ovo integral III tipa, jer je diskriminanta 𝐷𝐷 = 𝑝𝑝2 − 4𝑑𝑑 = 4 − 20 =−16 < 0, pa je prvi korak da upotpunimo kvadrat u imeniocu:

𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥 + 5 = (𝑥𝑥 + 1)2 + 4

pa uvodimo smjenu: 𝑥𝑥 + 1 = 𝑢𝑢, 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑑𝑑𝑢𝑢, 𝑥𝑥 = 𝑢𝑢 − 1 i imamo:

�2𝑥𝑥 + 1

𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥 + 5𝑑𝑑𝑥𝑥 = �

2𝑥𝑥 + 1(𝑥𝑥 + 1)2 + 4

𝑑𝑑𝑥𝑥 = �2(𝑢𝑢 − 1) + 1

𝑢𝑢2 + 4𝑑𝑑𝑢𝑢 =

Uvodimo smjenu 𝑢𝑢2 + ℎ2 = 𝑎𝑎, 2𝑢𝑢 𝑑𝑑𝑢𝑢 = 𝑑𝑑𝑎𝑎

i dobijamo tablični integral ∫ 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑟𝑟

= 𝑑𝑑−𝑟𝑟+1

−𝑟𝑟+1 Ovo je rekurentni integral koji smo

riješili na 10. strani, te za određenu vrijednost 𝑎𝑎 izračunamo integral.

18

= �2𝑢𝑢

𝑢𝑢2 + 22𝑑𝑑𝑢𝑢 − �

𝑑𝑑𝑢𝑢𝑢𝑢2 + 22

= ln(𝑢𝑢2 + 4) −12𝑎𝑎𝑎𝑎𝑐𝑐𝑎𝑎𝑔𝑔

𝑢𝑢2

+ 𝐶𝐶

- konačno, vraćanjem iz smjene, dobijamo:

ln(𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥 + 5) −12𝑎𝑎𝑎𝑎𝑐𝑐𝑎𝑎𝑔𝑔

𝑥𝑥 + 12

+ 𝐶𝐶

primjer: ∫ 4𝑥𝑥+3(𝑥𝑥2+4𝑥𝑥+5)2 𝑑𝑑𝑥𝑥

- vidimo da je ovo integral IV tipa, pa upotpunjujemo kvadrat u imeniocu:

𝑥𝑥2 + 4𝑥𝑥 + 5 = (𝑥𝑥 + 2)2 + 1

pa uvodimo smjenu: 𝑥𝑥 + 2 = 𝑢𝑢, 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑑𝑑𝑢𝑢, 𝑥𝑥 = 𝑢𝑢 − 2 i imamo:

�4𝑥𝑥 + 3

(𝑥𝑥2 + 4𝑥𝑥 + 5)2 𝑑𝑑𝑥𝑥 = �4𝑥𝑥 + 3

((𝑥𝑥 + 2)2 + 1)2 𝑑𝑑𝑥𝑥 = �4(𝑢𝑢 − 2) + 3

(𝑢𝑢2 + 1)2 𝑑𝑑𝑢𝑢 =

�4𝑢𝑢 𝑑𝑑𝑢𝑢

(𝑢𝑢2 + 1)2 − 5�𝑑𝑑𝑢𝑢

(𝑢𝑢2 + 1)2 = 𝐽𝐽 − 5𝐾𝐾2

- sada rješavamo integrale 𝐽𝐽 i 𝐾𝐾2 zasebno:

𝐽𝐽 = �4𝑢𝑢 𝑑𝑑𝑢𝑢

(𝑢𝑢2 + 1)2 = 2�2𝑢𝑢 𝑑𝑑𝑢𝑢

(𝑢𝑢2 + 1)2

- uvodimo smjenu 𝑢𝑢2 + 1 = 𝑎𝑎, 2𝑢𝑢 𝑑𝑑𝑢𝑢 = 𝑑𝑑𝑎𝑎, te dobijamo tablični integral:

2�𝑑𝑑𝑎𝑎𝑎𝑎2

= −2𝑎𝑎

+ 𝐶𝐶

pa kad vratimo iz smjene dobijamo konačni rezultat:

𝐽𝐽 = −2

𝑢𝑢2 + 1+ 𝐶𝐶 = −

2𝑥𝑥2 + 4𝑥𝑥 + 5

+ 𝐶𝐶

Sada, za integral 𝐾𝐾2:

𝐾𝐾2 = �𝑑𝑑𝑢𝑢

(𝑢𝑢2 + 1)2

J K

bez apsolutne vrijednosti jer je 𝑢𝑢2 + 4 > 0, ∀𝑢𝑢 ∈ ℝ

ovaj integral je rekurzivni integral i već smo ga rješavali na 10. strani, pa

ćemo ga za 𝑠𝑠 = 2 označiti sa 𝐾𝐾2

19

iz rekurentne relacije koju smo dobili na 11. strani:

𝐾𝐾𝑙𝑙+1 =2𝑠𝑠 − 12𝑠𝑠𝑎𝑎2

𝐾𝐾𝑙𝑙 +1

2𝑠𝑠𝑎𝑎2⋅

𝑥𝑥(𝑥𝑥2 + 𝑎𝑎2)𝑙𝑙 , 𝑠𝑠 = 1,2,3, …

imamo za 𝑠𝑠 = 1 i 𝑎𝑎 = 1:

𝐾𝐾2 =12𝐾𝐾1 +

12⋅

𝑢𝑢𝑢𝑢2 + 1

- 𝐾𝐾1 je tablični integral ∫ 𝑑𝑑𝑢𝑢𝑢𝑢2+1

= 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑐𝑐𝑎𝑎𝑔𝑔(𝑢𝑢) + 𝐶𝐶, pa za 𝐾𝐾2 vrijedi:

𝐾𝐾2 =12𝑎𝑎𝑎𝑎𝑐𝑐𝑎𝑎𝑔𝑔(𝑢𝑢) +

12⋅

𝑢𝑢𝑢𝑢2 + 1

pa kada se vratimo iz smjene: 𝑢𝑢 = 𝑥𝑥 + 2 dobijamo:

𝐾𝐾2 =12𝑎𝑎𝑎𝑎𝑐𝑐𝑎𝑎𝑔𝑔(𝑥𝑥 + 2) +

12⋅

𝑥𝑥 + 2𝑥𝑥2 + 4𝑥𝑥 + 5

pa je na kraju naš početni integral jednak:

�4𝑥𝑥 + 3

(𝑥𝑥2 + 4𝑥𝑥 + 5)2 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝐽𝐽 − 5𝐾𝐾2 =

= −2

𝑥𝑥2 + 4𝑥𝑥 + 5−

52𝑎𝑎𝑎𝑎𝑐𝑐𝑎𝑎𝑔𝑔(𝑥𝑥 + 2) −

52⋅

𝑥𝑥 + 2𝑥𝑥2 + 4𝑥𝑥 + 5

+ 𝐶𝐶 =

=−4 − 5𝑥𝑥 − 10

2 ⋅ (𝑥𝑥2 + 4𝑥𝑥 + 5) −52𝑎𝑎𝑎𝑎𝑐𝑐𝑎𝑎𝑔𝑔(𝑥𝑥 + 2) + 𝐶𝐶 =

= −12�

5𝑥𝑥 + 14𝑥𝑥2 + 4𝑥𝑥 + 5

−52𝑎𝑎𝑎𝑎𝑐𝑐𝑎𝑎𝑔𝑔(𝑥𝑥 + 2)� + 𝐶𝐶

20

1.1.7 Integracija iracionalnih i transcendentnih funkcija

- iracionalne funkcije: funkcije kod kojih je promjenljiva pod korijenom - transcedentne funkcije: funkcije koje nisu algebarske, ne mogu se predstaviti preko konačnog broja algebarskih operacija (+,−, ⋅ , ∶), niti operacija stepenovanja i korjenovanja (npr. eksponencijalne, logaritamske, trigonometrijske funkcije).

Kod integracije iracionalnih i transcendentnih funkcija postoje već unaprijed određene smjene, te više nije potrebno da mi smišljamo smjenu za određeni problem. Jedini problem je prepoznavanje tipa dobijenog integrala.

Pod racionalnom funkcijom posmatrali smo funkciju oblika 𝑝𝑝(𝑥𝑥)𝑞𝑞(𝑥𝑥)

- na isti način, mogu se posmatrati i racionalne funkcije dva argumenta, koje i u brojniku i u nazivniku imaju polinom koji zavisi od dvije promjenljive, npr:

𝑅𝑅(𝑢𝑢, 𝑣𝑣) =5𝑢𝑢3𝑣𝑣2 − 4𝑢𝑢2𝑣𝑣3 + 𝑢𝑢𝑣𝑣

𝑢𝑢3 + 𝑣𝑣3

navedena funkcija je racionalna funkcija promjenljivih 𝑢𝑢 i 𝑣𝑣.

Često se dešava da su ti argumenti, u stvari, neke funkcije promjenljive 𝑥𝑥, npr:

𝑢𝑢 = 𝜙𝜙(𝑥𝑥), 𝑣𝑣 = 𝜓𝜓(𝑥𝑥)

Ako je npr. 𝑅𝑅(𝑢𝑢, 𝑣𝑣) = 𝑢𝑢2+2𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢+2𝑢𝑢𝑢𝑢2

i 𝑢𝑢 = 𝑥𝑥 − 1, 𝑣𝑣 = √1 + 𝑥𝑥2 tada je:

𝑅𝑅 �𝑥𝑥 − 1,�1 + 𝑥𝑥2� =(𝑥𝑥 − 1)2 + 2 ⋅ (𝑥𝑥 − 1)√1 + 𝑥𝑥2

𝑥𝑥 − 1 + 2 ⋅ (𝑥𝑥 − 1)(1 + 𝑥𝑥2)

Funkcija 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑒𝑒2𝑥𝑥−𝑒𝑒𝑥𝑥 sin𝑥𝑥sin2 𝑥𝑥+2𝑒𝑒^𝑥𝑥

je racionalna funkcija dvije promjenljive: 𝑢𝑢 = 𝑒𝑒𝑥𝑥 i

𝑣𝑣 = sin 𝑥𝑥.

Tako da funkciju 𝑓𝑓(𝑥𝑥) možemo posmatrati kao:

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑅𝑅(𝑢𝑢, 𝑣𝑣) =𝑢𝑢2 − 𝑢𝑢𝑣𝑣𝑣𝑣2 + 2𝑢𝑢

= 𝑅𝑅(𝑒𝑒𝑥𝑥, sin 𝑥𝑥) =𝑒𝑒2𝑥𝑥 − 𝑒𝑒𝑥𝑥 sin 𝑥𝑥sin2 𝑥𝑥 + 2𝑒𝑒^𝑥𝑥

21

Razmotrićemo sada kako se integrali nekih iracionalnih i transcendentnih funkcija svode na integrale racionalnih funkcija.

1) Integral oblika ∫𝑅𝑅 �𝑥𝑥, �𝑎𝑎𝑥𝑥+𝑏𝑏𝑐𝑐𝑥𝑥+𝑑𝑑

𝑚𝑚�𝑑𝑑𝑥𝑥, 𝑚𝑚 ∈ ℕ, 𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑐𝑐,𝑑𝑑 ∈ ℝ, 𝑎𝑎

𝑐𝑐≠ 𝑏𝑏

𝑑𝑑

- svodi se na integral racionalne funkcije smjenom:

𝑢𝑢𝑚𝑚 =𝑎𝑎𝑥𝑥 + 𝑏𝑏𝑐𝑐𝑥𝑥 + 𝑑𝑑

, 𝑥𝑥 =𝑏𝑏 − 𝑑𝑑𝑢𝑢𝑚𝑚

𝑐𝑐𝑢𝑢𝑚𝑚 − 𝑎𝑎 , 𝑑𝑑𝑥𝑥 =

𝑚𝑚𝑢𝑢𝑚𝑚−1(𝑎𝑎𝑑𝑑 − 𝑏𝑏𝑐𝑐)(𝑐𝑐𝑢𝑢𝑚𝑚 − 𝑎𝑎)2 𝑑𝑑𝑢𝑢

pa je:

�𝑅𝑅�𝑥𝑥, �𝑎𝑎𝑥𝑥 + 𝑏𝑏𝑐𝑐𝑥𝑥 + 𝑑𝑑

𝑚𝑚�𝑑𝑑𝑥𝑥 = �𝑅𝑅 �

𝑏𝑏 − 𝑑𝑑𝑢𝑢𝑚𝑚

𝑐𝑐𝑢𝑢𝑚𝑚 − 𝑎𝑎,𝑢𝑢� ⋅

𝑚𝑚𝑢𝑢𝑚𝑚−1(𝑎𝑎𝑑𝑑 − 𝑏𝑏𝑐𝑐)(𝑐𝑐𝑢𝑢𝑚𝑚 − 𝑎𝑎)2 𝑑𝑑𝑢𝑢

što je, u stvari, integral racionalne funkcije.

primjer: ∫ �𝑥𝑥+1𝑥𝑥−1

3 ⋅ 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑥𝑥+1

- uvodimo smjenu: 𝑢𝑢3 = 𝑥𝑥+1𝑥𝑥−1

, 𝑥𝑥 = 𝑢𝑢3+1𝑢𝑢3−1

, 𝑑𝑑𝑥𝑥 = −6𝑢𝑢2 𝑑𝑑𝑢𝑢(𝑢𝑢3−1)2

pa imamo:

� �𝑥𝑥 + 1𝑥𝑥 − 1

3⋅𝑑𝑑𝑥𝑥𝑥𝑥 + 1

= �𝑢𝑢 ⋅

−6𝑢𝑢2(𝑢𝑢3 − 1)2𝑢𝑢3 + 1𝑢𝑢3 − 1 + 1

𝑑𝑑𝑢𝑢 =�𝑢𝑢 ⋅−6𝑢𝑢2

2𝑢𝑢3(𝑢𝑢3 − 1)𝑑𝑑𝑢𝑢 = −3�𝑑𝑑𝑢𝑢

𝑢𝑢3 − 1=

= ��−1𝑢𝑢 − 1

+𝑢𝑢 + 2

𝑢𝑢2 + 𝑢𝑢 + 1� 𝑑𝑑𝑢𝑢 =

12

ln�𝑢𝑢2 + 𝑢𝑢 + 1

(𝑢𝑢 − 1)2 � + √3 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑐𝑐𝑎𝑎𝑔𝑔2𝑢𝑢 − 1√3

+ 𝐶𝐶

pa vraćanjem iz smjene dobijamo konačno rješenje.

2) Integral oblika ∫𝑅𝑅�𝑥𝑥,√𝑎𝑎𝑥𝑥2 + 𝑏𝑏𝑥𝑥 + 𝑐𝑐�𝑑𝑑𝑥𝑥, 𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑐𝑐 ∈ ℝ, 𝑎𝑎 ≠ 0

- kod ovog tipa integrala razlikujemo tri slučaja:

22

1° Ako 𝑎𝑎𝑥𝑥2 + 𝑏𝑏𝑥𝑥 + 𝑐𝑐 ima realne nule 𝑥𝑥1 i 𝑥𝑥2, (𝑥𝑥1 ≠ 𝑥𝑥2) i ako je 𝑎𝑎 > 0 tada je:

�𝑎𝑎𝑥𝑥2 + 𝑏𝑏𝑥𝑥 + 𝑐𝑐 = (𝑥𝑥 − 𝑥𝑥1)�𝑎𝑎(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥2)𝑥𝑥 − 𝑥𝑥1

ili za drugu nulu (sasvim je svejedno koji oblik uzimamo):

�𝑎𝑎𝑥𝑥2 + 𝑏𝑏𝑥𝑥 + 𝑐𝑐 = (𝑥𝑥 − 𝑥𝑥2)�𝑎𝑎(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥1)𝑥𝑥 − 𝑥𝑥2

i uvodimo smjenu 𝑢𝑢 = �𝑎𝑎(𝑥𝑥−𝑥𝑥2)𝑥𝑥−𝑥𝑥1

, ili smjenu 𝑎𝑎 = �𝑎𝑎(𝑥𝑥−𝑥𝑥1)𝑥𝑥−𝑥𝑥2

, pa imamo:

�𝑎𝑎𝑥𝑥2 + 𝑏𝑏𝑥𝑥 + 𝑐𝑐 = (𝑥𝑥 − 𝑥𝑥1) ⋅ 𝑢𝑢

odnosno, �𝑎𝑎𝑥𝑥2 + 𝑏𝑏𝑥𝑥 + 𝑐𝑐 = (𝑥𝑥 − 𝑥𝑥2) ⋅ 𝑎𝑎

Sada, kvadriranjem ovih jednakosti i rješavanjem po 𝑥𝑥 dobijamo:

𝑥𝑥 =𝑎𝑎𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥1𝑢𝑢2

𝑎𝑎 − 𝑢𝑢2, 𝑑𝑑𝑥𝑥 =

2𝑎𝑎𝑢𝑢(𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥1)(𝑎𝑎 − 𝑢𝑢2)2 𝑑𝑑𝑢𝑢

odnosno:

𝑥𝑥 =𝑎𝑎𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥2𝑎𝑎2

𝑎𝑎 − 𝑎𝑎2, 𝑑𝑑𝑥𝑥 =

2𝑎𝑎𝑎𝑎(𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥2)(𝑎𝑎 − 𝑎𝑎2)2 𝑑𝑑𝑎𝑎

te se integracija svodi na integraciju racionalne funkcije:

�𝑅𝑅�𝑎𝑎𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥1𝑢𝑢2

𝑎𝑎 − 𝑢𝑢2, (𝑥𝑥 − 𝑥𝑥1)𝑢𝑢� ⋅

2𝑎𝑎𝑢𝑢(𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥1)(𝑎𝑎 − 𝑢𝑢2)2 𝑑𝑑𝑢𝑢 = �𝑅𝑅1(𝑢𝑢)𝑑𝑑𝑢𝑢

odnosno, integraciju racionalne funkcije:

�𝑅𝑅�𝑎𝑎𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥2𝑎𝑎2

𝑎𝑎 − 𝑎𝑎2, (𝑥𝑥 − 𝑥𝑥2)𝑢𝑢� ⋅

2𝑎𝑎𝑎𝑎(𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥2)(𝑎𝑎 − 𝑎𝑎2)2 𝑑𝑑𝑎𝑎 = �𝑅𝑅2(𝑢𝑢)𝑑𝑑𝑢𝑢

23

2° Ako 𝑎𝑎𝑥𝑥2 + 𝑏𝑏𝑥𝑥 + 𝑐𝑐 nema realne nule i 𝑎𝑎 > 0, koristi se prva Ojlerova smjena:

�𝑎𝑎𝑥𝑥2 + 𝑏𝑏𝑥𝑥 + 𝑐𝑐 = ±√𝑎𝑎 ⋅ 𝑥𝑥 + 𝑢𝑢

- znak + ili – zavisi od konkretnog zadatka i uzimamo onaj koji je pogodniji za dalju integraciju. Npr. za znak +:

�𝑎𝑎𝑥𝑥2 + 𝑏𝑏𝑥𝑥 + 𝑐𝑐 = √𝑎𝑎 ⋅ 𝑥𝑥 + 𝑢𝑢

𝑥𝑥 =𝑢𝑢2 − 𝑐𝑐

𝑏𝑏 − 2√𝑎𝑎𝑢𝑢, 𝑑𝑑𝑥𝑥 =

2 ⋅ (𝑏𝑏𝑢𝑢 − √𝑎𝑎(𝑐𝑐 + 𝑢𝑢2))

�𝑏𝑏 − 2√𝑎𝑎 𝑢𝑢�2 𝑑𝑑𝑢𝑢


�𝑅𝑅 �𝑢𝑢2 − 𝑐𝑐

𝑏𝑏 − 2√𝑎𝑎𝑢𝑢,√𝑎𝑎 ⋅ 𝑥𝑥 + 𝑢𝑢� ⋅

2 ⋅ (𝑏𝑏𝑢𝑢 − √𝑎𝑎(𝑐𝑐 + 𝑢𝑢2))

�𝑏𝑏 − 2√𝑎𝑎 𝑢𝑢�2 𝑑𝑑𝑢𝑢 = �𝑅𝑅1(𝑢𝑢)𝑑𝑑𝑢𝑢

3° Ako 𝑎𝑎𝑥𝑥2 + 𝑏𝑏𝑥𝑥 + 𝑐𝑐 nema realne nule i 𝑐𝑐 > 0 tada na sličan način

uvodimo, za razliku od 2, drugu Ojlerovu smjenu:

�𝑎𝑎𝑥𝑥2 + 𝑏𝑏𝑥𝑥 + 𝑐𝑐 = 𝑥𝑥 ⋅ 𝑢𝑢 ± √𝑐𝑐


primjer: ∫ 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑥𝑥+√𝑥𝑥2−𝑥𝑥+1

- kako znamo da 𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥 + 1 nema realne korijene i kako je 𝑎𝑎 = 1 > 0 koristimo

prvu Ojlerovu smjenu: 𝑢𝑢 = √𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥 + 1 + 𝑥𝑥

Ako tu relaciju zapišemo u obliku:

�𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥 + 1 = 𝑢𝑢 − 𝑥𝑥

i kvadriramo, dobijamo:

𝑥𝑥 =𝑢𝑢2 − 12𝑢𝑢 − 1

, 𝑑𝑑𝑥𝑥 =2 ⋅ (𝑢𝑢2 − 𝑢𝑢 + 1)

(2𝑢𝑢 − 1)2 𝑑𝑑𝑢𝑢

pa imamo:

�𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑥𝑥 + √𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥 + 1= �

2 ⋅ (𝑢𝑢2 − 𝑢𝑢 + 1)𝑢𝑢(2𝑢𝑢 − 1)2 𝑑𝑑𝑢𝑢 = ��

2𝑢𝑢−

32𝑢𝑢 − 1

+3

(2𝑢𝑢 − 1)2� 𝑑𝑑𝑢𝑢 =

koeficijenti dobijeni metodom neodređenih koeficijenata

24

= 2 ln|𝑢𝑢| −32

ln|2𝑢𝑢 − 1| + +32⋅

12𝑢𝑢 − 1

+ 𝐶𝐶

pa vraćanjem iz smjene dobijamo konačni rezultat.

3) Integral oblika ∫𝑅𝑅(sin𝑥𝑥 , cos 𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥

- rješava se uvođenjem smjene: 𝑢𝑢 = tg 𝑥𝑥2

, − 𝜋𝜋 < 𝑥𝑥 < 𝜋𝜋

Iz trigonometrijskih identiteta znamo da je:

sin 𝑥𝑥 =2 ⋅ 𝑎𝑎𝑔𝑔 𝑥𝑥2

1 + 𝑎𝑎𝑔𝑔2 𝑥𝑥2=

2𝑢𝑢1 + 𝑢𝑢2

cos 𝑥𝑥 =1 − 𝑎𝑎𝑔𝑔2 𝑥𝑥21 + 𝑎𝑎𝑔𝑔2 𝑥𝑥2

=1 − 𝑢𝑢2

1 + 𝑢𝑢2

𝑥𝑥 = 2𝑎𝑎𝑎𝑎𝑐𝑐𝑎𝑎𝑔𝑔(𝑢𝑢), 𝑑𝑑𝑥𝑥 =2 𝑑𝑑𝑢𝑢

1 + 𝑢𝑢2

Ovom smjenom početni integral svodimo na integral racionalne funkcije:

�𝑅𝑅(sin𝑥𝑥 , cos 𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥 = �𝑅𝑅�2𝑢𝑢

1 + 𝑢𝑢2,1 − 𝑢𝑢2

1 + 𝑢𝑢2� ⋅

2 𝑑𝑑𝑢𝑢1 + 𝑢𝑢2

= �𝑅𝑅1(𝑢𝑢)𝑑𝑑𝑢𝑢

gdje je 𝑅𝑅1(𝑢𝑢) racionalna funkcija promjenljive 𝑢𝑢.

primjer: ∫ 𝑑𝑑𝑥𝑥1−𝑠𝑠𝑖𝑖𝑙𝑙𝑥𝑥

= �1

1 − 2𝑢𝑢1 + 𝑢𝑢2

⋅2 𝑑𝑑𝑢𝑢

1 + 𝑢𝑢2= 2�

11 − 2𝑢𝑢 + 𝑢𝑢2

𝑑𝑑𝑢𝑢 = 2�𝑑𝑑𝑢𝑢

(1 − 𝑢𝑢)2 = −2

1 − 𝑢𝑢+ 𝐶𝐶

4) Integral oblika ∫𝑅𝑅(𝑒𝑒𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥

- rješava se smjenom 𝑒𝑒𝑥𝑥 = 𝑢𝑢, 𝑥𝑥 = ln𝑢𝑢, 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑑𝑑𝑢𝑢𝑢𝑢

pa imamo:

�𝑅𝑅(𝑒𝑒𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥 = �𝑅𝑅(𝑢𝑢) ⋅𝑑𝑑𝑢𝑢𝑢𝑢

= �𝑅𝑅1(𝑢𝑢)𝑑𝑑𝑢𝑢

25

primjer: ∫ 𝑒𝑒𝑥𝑥+1𝑒𝑒𝑥𝑥−1

𝑑𝑑𝑥𝑥

= �𝑢𝑢 + 1𝑢𝑢 − 1

⋅𝑑𝑑𝑢𝑢𝑢𝑢

= �𝑢𝑢 + 1

𝑢𝑢(𝑢𝑢 − 1)𝑑𝑑𝑢𝑢 = �2𝑢𝑢 − (𝑢𝑢 − 1)𝑢𝑢(𝑢𝑢 − 1) 𝑑𝑑𝑢𝑢 = 2�

𝑑𝑑𝑢𝑢𝑢𝑢 − 1

−�𝑑𝑑𝑢𝑢𝑢𝑢

=

= 2 ln|𝑢𝑢 − 1| − ln|𝑢𝑢| + 𝐶𝐶

*primijetimo:

- Ako je 𝑓𝑓 elementarna funkcija, tada je i 𝑓𝑓′ elementarna funkcija.

- Ako je 𝑓𝑓 elementarna funkcija, tada ∫𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥 ne mora da bude elementarna funkcija.

Odnosno, za svaku elementarnu funkciju možemo da odredimo izvod, ali svaka elementarna funkcija nema neodređeni integral u klasi elementarnih funkcija.

Drugim riječima, ako primitivna funkcija neke elementarne funkcije nije elementarna funkcija, tada kažemo da se neodređeni integral elementarne funkcije ne može izraziti preko elementarne funkcije.

- Takve funkcije su npr:

𝑒𝑒−𝑥𝑥2 , 1

ln 𝑥𝑥 ,

sin 𝑥𝑥𝑥𝑥

, cos 𝑥𝑥𝑥𝑥

, sin 𝑥𝑥2 , cos 𝑥𝑥2

itd.

26

1.2 Određeni integral

1.2.1 Definicija određenog integrala

Za definiciju određenog integrala, uvešćemo nekoliko pojmova.

Neka je funkcija 𝑓𝑓(𝑥𝑥) definisana na intervalu [𝑎𝑎, 𝑏𝑏], (𝑎𝑎 < 𝑏𝑏).

Podijelimo taj interval na 𝑠𝑠 dijelova proizvoljnim tačkama.

• Skup 𝜋𝜋 = {𝑥𝑥𝑖𝑖}𝑖𝑖=0𝑙𝑙 zvaćemo podjela intervala [𝑎𝑎, 𝑏𝑏], tako da je:

𝑎𝑎 = 𝑥𝑥0 < 𝑥𝑥1 < 𝑥𝑥2 < 𝑥𝑥3 < ⋅⋅⋅ < 𝑥𝑥𝑖𝑖−1 < 𝑥𝑥𝑖𝑖 < ⋅⋅⋅ < 𝑥𝑥𝑙𝑙−1 < 𝑥𝑥𝑙𝑙 = 𝑏𝑏

S obzirom na to, interval [𝑎𝑎, 𝑏𝑏] možemo predstaviti na sljedeći način:

[𝑎𝑎, 𝑏𝑏] = [𝑥𝑥0, 𝑥𝑥1) ∪ [𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2) ∪ [𝑥𝑥2, 𝑥𝑥3) ∪ ⋅⋅⋅ ∪ [𝑥𝑥𝑖𝑖−1,𝑥𝑥𝑖𝑖) ∪ ⋅⋅⋅ ∪ [𝑥𝑥𝑙𝑙−1, 𝑥𝑥𝑙𝑙]

• Neka je 𝜉𝜉𝑖𝑖 ∈ [𝑥𝑥𝑖𝑖−1, 𝑥𝑥𝑖𝑖], 𝑠𝑠 = 1:𝑠𝑠, proizvoljna tačka na intervalu [𝑥𝑥𝑖𝑖−1, 𝑥𝑥𝑖𝑖]. • Neka je Δ𝑥𝑥𝑖𝑖 = 𝑥𝑥𝑖𝑖 − 𝑥𝑥𝑖𝑖−1, 𝑠𝑠 = 1:𝑠𝑠, razlika između vrijednosti desne i lijeve

granice intervala [𝑥𝑥𝑖𝑖−1, 𝑥𝑥𝑖𝑖], odnosno, dužina tog intervala.

Uvodimo važan pojam koji objedinjuje prethodno uvedene pojmove i koji ćemo koristiti za definiciju određenog integrala:

𝜎𝜎𝑖𝑖 = 𝑓𝑓(𝜉𝜉1)Δ𝑥𝑥1 + 𝑓𝑓(𝜉𝜉2)Δ𝑥𝑥2 +⋅⋅⋅ +𝑓𝑓(𝜉𝜉𝑙𝑙)Δ𝑥𝑥𝑙𝑙 = �𝑓𝑓(𝜉𝜉𝑖𝑖)Δ𝑥𝑥𝑖𝑖

𝑙𝑙

𝑖𝑖=1

- ova suma 𝜎𝜎𝑖𝑖 naziva se integralna suma funkcije 𝑓𝑓 na intervalu [𝑎𝑎, 𝑏𝑏] koja

zavisi od podjele intervala 𝜋𝜋 i od izbora tačaka 𝜉𝜉𝑖𝑖.

27

- ako bismo umjesto podjele 𝜋𝜋 uzeli neku drugu podjelu intervala [𝑎𝑎, 𝑏𝑏], tj.

drugačiji skup 𝜋𝜋 i drugačiju podjelu tačaka 𝜉𝜉𝑖𝑖, dobijamo novu integralnu sumu koja se razlikuje od prethodne.

- kada bismo npr. prepolovili ovu podjelu intervala, dobili bi smo novu stepenastu figuru sa duplo više pravougaonika i novu integralnu sumu.

• Uvodimo novu oznaku: 𝑑𝑑 = max1≤i≤n

Δ𝑥𝑥𝑖𝑖 – kao najveći elemenat skupa

{Δ𝑥𝑥𝑖𝑖, 1 ≤ 𝑠𝑠 ≤ 𝑠𝑠}, odnosno, najveća dužina podintervala [𝑥𝑥𝑖𝑖−1, 𝑥𝑥𝑖𝑖].

Pojam određenog integrala:

Kažemo da je broj 𝐼𝐼 određeni integral funkcije 𝑓𝑓: [𝑎𝑎, 𝑏𝑏] → ℝ ako je:

𝐼𝐼 = lim𝑑𝑑→0

𝜎𝜎𝑖𝑖

Odnosno, ako postoji konačna granična vrijednost integralne sume kada 𝑑𝑑 → 0

nezavisno od podjele 𝜋𝜋 i izbora tačaka 𝜉𝜉𝑖𝑖, tada se ta granična vrijednost naziva određeni integral funkcije 𝑓𝑓 i označava:

𝐼𝐼 = �𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥𝑏𝑏

𝑎𝑎

odnosno, određeni integral se definiše na sljedeći način:

- ovo je definicija određenog integrala u Rimanovom smislu.

Pored ovoga, određeni integral možemo definisati na još nekoliko načina.

�𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥𝑏𝑏

𝑎𝑎

≝ lim𝑑𝑑→0

�𝑓𝑓(𝜉𝜉𝑖𝑖)Δ𝑥𝑥𝑖𝑖

𝑙𝑙

𝑖𝑖=1

28

• U terminima graničnih vrijednosti nizova, određeni integral možemo definisati na sljedeći način:

Iz prethodne definicije određenog integrala:


𝑎𝑎

≝ lim𝑑𝑑→0


𝑙𝑙

𝑖𝑖=1

kada 𝑑𝑑 → 0, tada se povećava i broj podintervala na intervalu [𝑎𝑎, 𝑏𝑏], odnosno, broj podintervala teži ka beskonačnosti. Tako, na sličan način, možemo definisati određeni integral kada 𝑠𝑠 → ∞:


𝑎𝑎

≝ lim𝑙𝑙→∞


𝑙𝑙

𝑖𝑖=1

• Još jedan način definisanja određenog integrala je preko (𝜖𝜖, 𝛿𝛿) jezika:

- Posmatrajmo skup podjela intervala {πi} koji sadrži proizvoljne podjele intervala 𝜋𝜋1,𝜋𝜋2, … ,𝜋𝜋𝑘𝑘 kojima redom odgovaraju integralne sume 𝜎𝜎1,𝜎𝜎2, … ,𝜎𝜎𝑘𝑘.

Tada je vrijednost integralne sume 𝜎𝜎𝑖𝑖 jednaka vrijednosti određenog integrala 𝐼𝐼 ako važi:

(∀𝜖𝜖 > 0)(∃𝛿𝛿 > 0) tako da (∀𝜋𝜋𝑖𝑖 ∈ {𝜋𝜋𝑖𝑖}) 𝑑𝑑 < 𝛿𝛿 ⇒ |𝜎𝜎𝑖𝑖 − 𝐼𝐼| < 𝜖𝜖

gdje su, već prethodno definisani, 𝑑𝑑 = max1≤i≤n

Δ𝑥𝑥𝑖𝑖 i 𝜎𝜎𝑖𝑖 = ∑ 𝑓𝑓(𝜉𝜉𝑖𝑖)Δ𝑥𝑥𝑖𝑖𝑙𝑙𝑖𝑖=1 .

Određeni integral takođe možemo posmatrati kao funkciju tri argumenta:

𝐼𝐼 = (𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑓𝑓)

gdje su 𝑎𝑎 i 𝑏𝑏 granice integracije i 𝑓𝑓 podintegralna funkcija

29

Da bi funkcija bila integrabilna na intervalu [𝑎𝑎, 𝑏𝑏], mora postojati konačan limes integralne sume te funkcije, odnosno, ako taj limes ne postoji ili je beskonačan, kaže se da ne postoji određeni integral funkcije 𝑓𝑓 na [𝑎𝑎, 𝑏𝑏].

Za razliku od neodređenog integrala, koji je skup primitivnih funkcija, određeni integral je broj i zato u uznaci određenog integrala ne moramo voditi računa o oznaci za promjenljivu integracije, jer ćemo na kraju dobiti isti broj bez obzira koju oznaku prethodno koristili. Odnosno, važi:


𝑎𝑎

= �𝑓𝑓(𝑎𝑎)𝑑𝑑𝑎𝑎𝑏𝑏

𝑎𝑎

= �𝑓𝑓(𝑢𝑢)𝑑𝑑𝑢𝑢𝑏𝑏

𝑎𝑎

= ⋅⋅⋅

Teorema 4: Ako je funkcija 𝑓𝑓 integrabilna na intervalu [𝑎𝑎, 𝑏𝑏], onda je ona i ograničena na tom intervalu, odnosno:

integrabilnost ⇒ ograničenost

Ograničenost je neophodan, ali nedovoljan uslov za integrabilnost funkcije, zato obrnuto ne važi:

ograničenost ⇏ integrabilnost

primjer: Dirihleova funkcija na intervalu [0,1]

- Dirihleova funkcija se definiše na sljedeći način:

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = �1, 𝑥𝑥 ∈ ℚ ∩ [0,1]0, 𝑥𝑥 ∉ ℚ

Grafik ove funkcije nemoguće je nacrtati. Vjerovatnoća da ćemo na intervalu [0,1] izabrati racionalnu tačku je 0, a iracionalnu 1 iz razloga što je skup racionalnih brojeva prebrojiv, a iracionalnih nije. Odnosno, racionalnih brojeva ima prebrojivo mnogo, a iracionalnih neprebrojivo mnogo, tj. skup iracionalnih brojeva ima moć continuum-a.

30

Dirihleova funkcija je ograničena, |𝑓𝑓(𝑥𝑥)| ≤ 1, ali ona nije integrabilna, što pokazuje da ograničenost ne povlači integrabilnost. To ćemo i dokazati:

- Neka je 𝜋𝜋 = {𝑥𝑥𝑖𝑖}𝑖𝑖=0𝑙𝑙 proizvoljna podjela intervala [0,1]. Ako za 𝜉𝜉𝑖𝑖 ∈ [𝑥𝑥𝑖𝑖−1, 𝑥𝑥𝑖𝑖] izaberemo tačke iz skupa 𝑄𝑄 ∩ [0,1] imamo:

𝜎𝜎𝜋𝜋 = �𝑓𝑓(𝜉𝜉𝑖𝑖)Δ𝑥𝑥𝑖𝑖

𝑙𝑙

𝑖𝑖=1

= � 1 ⋅ Δ𝑥𝑥𝑖𝑖

𝑙𝑙

𝑖𝑖=1

= 1, 𝑑𝑑 → 0

Ako za 𝜉𝜉𝑖𝑖 ∈ [𝑥𝑥𝑖𝑖−1, 𝑥𝑥𝑖𝑖] izaberemo tačke iz skupa [0,1]\𝑄𝑄 imamo:

𝜎𝜎𝜋𝜋 = �𝑓𝑓(𝜉𝜉𝑖𝑖)Δ𝑥𝑥𝑖𝑖

𝑙𝑙

𝑖𝑖=1

= � 0 ⋅ Δ𝑥𝑥𝑖𝑖

𝑙𝑙

𝑖𝑖=1

= 0, 𝑑𝑑 → 0

Ako sada povežemo graničnu vrijednost niza i funkcije i posmatramo konvergenciju prethodna dva podniza, vidimo da oni imaju različite granične vrijednosti kada 𝑑𝑑 → 0, a pošto znamo da svaki podniz konvergirajućeg niza konvergira ka istoj graničnoj vrijednosti, dokazali smo da ne postoji konačan:

lim𝑑𝑑→0


𝑙𝑙

𝑖𝑖=1

odnosno, Dirihleova funkcija nije integrabilna iako je ograničena.

Pretpostavimo da je funkcija 𝑓𝑓(𝑥𝑥) ograničena, tj. 𝑚𝑚 ≤ 𝑓𝑓(𝑥𝑥) ≤ 𝑀𝑀, ∀𝑥𝑥 ∈ [𝑎𝑎, 𝑏𝑏].

Interval [𝑎𝑎, 𝑏𝑏] dijelimo na 𝑠𝑠 intervala [𝑥𝑥𝑖𝑖−1, 𝑥𝑥𝑖𝑖] tačkama 𝑥𝑥𝑖𝑖.

Definišemo dvije nove sume:

1) Biramo tačku 𝜉𝜉𝑖𝑖 ∈ [𝑥𝑥𝑖𝑖−1,𝑥𝑥𝑖𝑖] tako da je 𝜉𝜉𝑖𝑖 = 𝑥𝑥𝑖𝑖−1.

- U tom slučaju je 𝑓𝑓(𝜉𝜉𝑖𝑖) = inf 𝑓𝑓(𝑥𝑥) na intervalu [𝑥𝑥𝑖𝑖−1, 𝑥𝑥𝑖𝑖], odnosno, 𝑓𝑓(𝜉𝜉𝑖𝑖) =min𝑓𝑓(𝑥𝑥) na tom intervalu. Tu minimalnu vrijednost još označavamo sa 𝑚𝑚𝑖𝑖.

Formiramo sumu:

𝑐𝑐𝜋𝜋 = 𝑚𝑚1Δ𝑥𝑥1 + 𝑚𝑚2Δ𝑥𝑥2 +⋅⋅⋅ +𝑚𝑚𝑙𝑙Δ𝑥𝑥𝑙𝑙 = �𝑚𝑚𝑖𝑖Δ𝑥𝑥𝑖𝑖

𝑙𝑙

𝑖𝑖=1

31

- ova suma naziva se donja Darbuova suma koja odgovara podjeli intervala 𝜋𝜋.

Grafički, donja Darbuova suma izgleda ovako:

2) Biramo tačku 𝜉𝜉𝑖𝑖 ∈ [𝑥𝑥𝑖𝑖−1, 𝑥𝑥𝑖𝑖] tako da je 𝜉𝜉𝑖𝑖 = 𝑥𝑥𝑖𝑖.

- U tom slučaju je 𝑓𝑓(𝜉𝜉𝑖𝑖) = sup 𝑓𝑓(𝑥𝑥) na intervalu [𝑥𝑥𝑖𝑖−1, 𝑥𝑥𝑖𝑖], odnosno, 𝑓𝑓(𝜉𝜉𝑖𝑖) =max 𝑓𝑓(𝑥𝑥) na tom intervalu. Tu maksimalnu vrijednost još označavamo sa 𝑀𝑀𝑖𝑖.

Formiramo sumu:

𝑆𝑆𝜋𝜋 = 𝑀𝑀1Δ𝑥𝑥1 + 𝑀𝑀2Δ𝑥𝑥2 +⋅⋅⋅ +𝑀𝑀𝑙𝑙Δ𝑥𝑥𝑙𝑙 = �𝑀𝑀𝑖𝑖Δ𝑥𝑥𝑖𝑖

𝑙𝑙

𝑖𝑖=1

- ova suma naziva se gornja Darbuova suma koja odgovara podjeli intervala 𝜋𝜋.

Grafički, gornja Darbuova suma izgleda ovako:

Odnos donje i gornje Darbuove sume i neke druge integralne sume je:

𝑐𝑐𝜋𝜋 ≤ 𝜎𝜎𝜋𝜋 ≤ 𝑆𝑆𝜋𝜋

Ove sume su nam potrebne da bismo definisali potreban i dovoljan uslov integrabilnosti neke funkcije.

32

Teorema 5: Ograničena funkcija 𝑓𝑓: [𝑎𝑎, 𝑏𝑏] → ℝ je integrabilna na intervalu [𝑎𝑎, 𝑏𝑏] ako i samo ako je:

lim𝑑𝑑→0

(𝑆𝑆𝜋𝜋 − 𝑐𝑐𝜋𝜋) = 0

Na sličan način preko (𝜖𝜖, 𝛿𝛿) jezika teorema glasi:

(∀𝜖𝜖 > 0)(∃𝛿𝛿 > 0) tako da 𝑑𝑑 < 𝛿𝛿 ⇒ |𝑆𝑆𝜋𝜋 − 𝑐𝑐𝜋𝜋| < 𝜖𝜖

- Ako lim𝑑𝑑→0

(𝑆𝑆𝜋𝜋 − 𝑐𝑐𝜋𝜋) = 0 onda je lim𝑑𝑑→0

𝑐𝑐𝜋𝜋 = lim𝑑𝑑→0

𝑆𝑆𝜋𝜋 = 𝐼𝐼, pa iz nejednakosti

𝑐𝑐𝜋𝜋 ≤ 𝜎𝜎𝜋𝜋 ≤ 𝑆𝑆𝜋𝜋 i teoreme o dva žandara slijedi:

lim𝑑𝑑→0

𝑐𝑐𝜋𝜋 = lim𝑑𝑑→0

𝜎𝜎𝜋𝜋 = lim𝑑𝑑→0

𝑐𝑐𝜋𝜋 = 𝐼𝐼

Odnosno, kada su podjele intervala toliko sitne da maksimalna širina intervala teži nuli, ove sume dobijaju vrijednost određenog integrala.

Pokazuje se da ako je funkcija 𝑓𝑓 neprekidna na intervalu [𝑎𝑎, 𝑏𝑏], odnosno, ako pripada prostoru neprekidnih funkcija 𝑓𝑓 ∈ 𝐶𝐶[𝑎𝑎, 𝑏𝑏], onda je i integrabilna.

- Neprekidnost funkcije je dovoljan uslov integrabilnosti, što znači da su sve neprekidne funkcije na intervalu [𝑎𝑎, 𝑏𝑏] i integrabilne, ali to nije i potreban uslov integrabilnosti. Postoje i funkcije sa prekidima koje su integrabilne na [𝑎𝑎, 𝑏𝑏].

Pokazuje se da su integrabilne i one funkcije koje na intervalu [𝑎𝑎, 𝑏𝑏] imaju konačno mnogo tačaka prekida.

slika funkcije sa prekidom

funkcije sa prekidom>neogranicena > ogranicena > integrabilna > neprekidna

33

1.2.2 Glavna svojstva određenog integrala

Navešćemo sada glavna svojstva određenog integrala. Za njihov dokaz dovoljno je iskoristiti definiciju određenog integrala. Pri tome se pretpostavlja da navedeni integrali postoje.

1) Određeni integral ∫ 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥𝑏𝑏𝑎𝑎 definisan je uz pretpostavku da je 𝑎𝑎 < 𝑏𝑏.

Ako je 𝑏𝑏 = 𝑎𝑎, po definiciji važi da je:

�𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥𝑎𝑎

𝑎𝑎

= 0

- po definiciji takođe važi da zamjena granica integracije dovodi do promjene znaka integracije:

�𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥𝑎𝑎

𝑏𝑏

= −�𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥𝑏𝑏

𝑎𝑎

2)

�𝑑𝑑𝑥𝑥𝑏𝑏

𝑎𝑎

= 𝑏𝑏 − 𝑎𝑎

dokaz: 𝑓𝑓(𝑥𝑥) ≡ 1, ∀𝑥𝑥 ∈ [𝑎𝑎, 𝑏𝑏]

𝜎𝜎𝜋𝜋 = 1 + 1 +⋅⋅⋅ +1 = 𝑏𝑏 − 𝑎𝑎 dužina čitavog intervala

3) ∀ 𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑐𝑐 ∈ ℝ


𝑎𝑎

= �𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥𝑐𝑐

𝑎𝑎

+ �𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥𝑏𝑏

𝑐𝑐

dokaz: Zbir integralnih suma na intervalu [𝑎𝑎, 𝑐𝑐] i [𝑐𝑐, 𝑏𝑏] kada 𝑑𝑑 → 0 je, u stvari, integralna suma na intervalu [𝑎𝑎, 𝑏𝑏] kada 𝑑𝑑 → 0, a to je određeni integral funkcije 𝑓𝑓(𝑥𝑥) na intervalu [𝑎𝑎, 𝑏𝑏].

34

4)

�𝑘𝑘𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥𝑏𝑏

𝑎𝑎

= 𝑘𝑘 �𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥𝑏𝑏

𝑎𝑎

, 𝑘𝑘 ∈ ℝ

dokaz: Koeficijent 𝑘𝑘 može izaći ispred integralne sume:

𝜎𝜎𝑘𝑘𝜋𝜋 = 𝑘𝑘𝑓𝑓(𝜉𝜉1)Δ𝑥𝑥1 + 𝑘𝑘𝑓𝑓(𝜉𝜉2)Δ𝑥𝑥2 +⋅⋅⋅ +𝑘𝑘𝑓𝑓(𝜉𝜉𝑙𝑙)Δ𝑥𝑥𝑙𝑙=

= 𝑘𝑘[𝑓𝑓(𝜉𝜉1)Δ𝑥𝑥1 + 𝑓𝑓(𝜉𝜉2)Δ𝑥𝑥2 +⋅⋅⋅ +𝑓𝑓(𝜉𝜉𝑙𝑙)Δ𝑥𝑥𝑙𝑙] = 𝑘𝑘𝜎𝜎𝜋𝜋

5)

�[𝑓𝑓(𝑥𝑥) ± 𝑔𝑔(𝑥𝑥)]𝑑𝑑𝑥𝑥𝑏𝑏

𝑎𝑎

= �𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥𝑏𝑏

𝑎𝑎

± �𝑔𝑔(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥𝑏𝑏

𝑎𝑎

dokaz: Integralnu sumu funkcije 𝑓𝑓(𝑥𝑥) ± 𝑔𝑔(𝑥𝑥) razbijamo na dvije integralne sume.

6) Ako je 𝑓𝑓(𝑥𝑥) ≥ 0 na [𝑎𝑎, 𝑏𝑏], onda je:


𝑎𝑎

≥ 0

dokaz: Svi članovi integralne sume će biti pozitivni, pa će i čitava suma biti pozitivna.

7) Ako je 𝑓𝑓(𝑥𝑥) ≤ 𝑔𝑔(𝑥𝑥) na intervalu [𝑎𝑎, 𝑏𝑏], tada je:


𝑎𝑎

≤ �𝑔𝑔(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥𝑏𝑏

𝑎𝑎

dokaz: Ako funkcija 𝑓𝑓(𝑥𝑥) za svako 𝑥𝑥 ∈ [𝑎𝑎, 𝑏𝑏] ima manju vrijednost od funkcije 𝑔𝑔(𝑥𝑥) na tom istom intervalu, onda će i svaki član integralne sume imati manju vrijednost, pa će i integralna suma biti manja.

35

8) Neka je 𝑎𝑎 < 𝑏𝑏.

�� 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥𝑏𝑏

𝑎𝑎

� ≤ �|𝑓𝑓(𝑥𝑥)|𝑑𝑑𝑥𝑥𝑏𝑏

𝑎𝑎

dokaz: Iz nejednakosti trougla:

|𝑓𝑓(𝜉𝜉1)Δ𝑥𝑥1 + 𝑓𝑓(𝜉𝜉2)Δ𝑥𝑥2 +⋅⋅⋅ +𝑓𝑓(𝜉𝜉𝑙𝑙)Δ𝑥𝑥𝑙𝑙| ≤ |𝑓𝑓(𝜉𝜉1)Δ𝑥𝑥1| + |𝑓𝑓(𝜉𝜉2)Δ𝑥𝑥2| +⋅⋅⋅ +|𝑓𝑓(𝜉𝜉𝑙𝑙)Δ𝑥𝑥𝑙𝑙|

9) Ako je |𝑓𝑓(𝑥𝑥)| ≤ 𝑘𝑘 na intervalu [𝑎𝑎, 𝑏𝑏], 𝑎𝑎 < 𝑏𝑏, tada:

�� 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥𝑏𝑏

𝑎𝑎

� ≤ 𝑘𝑘(𝑏𝑏 − 𝑎𝑎)

dokaz: Površina pravougaonika stranica 𝑘𝑘 i 𝑏𝑏 − 𝑎𝑎 je veća od integralne sume kada 𝑑𝑑 → 0 gdje vrijednost 𝑓𝑓(𝜉𝜉𝑖𝑖) nikad neće biti veća od 𝑘𝑘.

10) Ako je 𝑚𝑚 ≤ 𝑓𝑓(𝑥𝑥) ≤ 𝑀𝑀 na intervalu [𝑎𝑎, 𝑏𝑏], tada:

𝑚𝑚(𝑏𝑏 − 𝑎𝑎) ≤ �𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥𝑏𝑏

𝑎𝑎

≤ 𝑀𝑀(𝑏𝑏 − 𝑎𝑎)

dokaz: Površina pravougaonika stranica 𝑚𝑚 i 𝑏𝑏 − 𝑎𝑎 manja je od integralne sume kada 𝑑𝑑 → 0 gdje vrijednost 𝑓𝑓(𝜉𝜉𝑖𝑖) nikad neće biti manja od 𝑚𝑚, odnosno veća od 𝑀𝑀, a vrijednost te integralne sume je manja od površine pravougaonika stranica 𝑀𝑀 i 𝑏𝑏 − 𝑎𝑎.

36

: (𝑏𝑏 − 𝑎𝑎)

Teorema 6 (o srednjoj vrijednosti): Ako je funkcija 𝑓𝑓(𝑥𝑥) integrabilna na intervalu [𝑎𝑎, 𝑏𝑏] i ako je 𝑚𝑚 ≤ 𝑓𝑓(𝑥𝑥) ≤ 𝑀𝑀 na tom intervalu, tada postoji 𝜇𝜇 ∈ [𝑚𝑚,𝑀𝑀] takav da je:


𝑎𝑎

= 𝜇𝜇(𝑏𝑏 − 𝑎𝑎)

Ako je funkcija 𝑓𝑓(𝑥𝑥) uz sve ove pretpostavke još i neprekidna na intervalu [𝑎𝑎, 𝑏𝑏], tada postoji tačka 𝑐𝑐 ∈ [𝑎𝑎, 𝑏𝑏] takva da je:


𝑎𝑎

= 𝑓𝑓(𝑐𝑐)(𝑏𝑏 − 𝑎𝑎)

Dokaz: Iz činjenice 𝑚𝑚 ≤ 𝑓𝑓(𝑥𝑥) ≤ 𝑀𝑀, znamo da je funkcija 𝑓𝑓(𝑥𝑥) ograničena na

intervalu [𝑎𝑎, 𝑏𝑏] i koristeći osobinu 10 imamo:

𝑚𝑚(𝑏𝑏 − 𝑎𝑎) ≤ �𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥𝑏𝑏

𝑎𝑎

≤ 𝑀𝑀(𝑏𝑏 − 𝑎𝑎)

𝑚𝑚 ≤ 1

𝑏𝑏 − 𝑎𝑎�𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥𝑏𝑏

𝑎𝑎

≤ 𝑀𝑀

odnosno:

∃𝜇𝜇 ∈ [𝑚𝑚,𝑀𝑀] takav da 1

𝑏𝑏 − 𝑎𝑎�𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥𝑏𝑏

𝑎𝑎

= 𝜇𝜇

pa je:


𝑎𝑎

= 𝜇𝜇(𝑏𝑏 − 𝑎𝑎)

drugi dio: Sada znamo da je funkcija još i neprekidna. Pošto je funkcija ograničena i neprekidna, ona na intervalu [𝑎𝑎, 𝑏𝑏] dostiže svoj min i svoj max, a takođe i za neko 𝑥𝑥 ∈ [𝑎𝑎, 𝑏𝑏] uzima sve vrijednosti 𝑚𝑚 ≤ 𝑓𝑓(𝑥𝑥) ≤ 𝑀𝑀.

= 𝜇𝜇

37

Pošto je 𝜇𝜇 ∈ [𝑚𝑚,𝑀𝑀], za neko 𝑥𝑥 funkcija će imati vrijednost 𝜇𝜇, odnosno:

∃𝑐𝑐 ∈ [𝑎𝑎, 𝑏𝑏] na kojoj je 𝑓𝑓(𝑐𝑐) = 𝜇𝜇

pa iz prvog dijela slijedi:


𝑎𝑎

= 𝑓𝑓(𝑐𝑐)(𝑏𝑏 − 𝑎𝑎)

- geometrijski smisao:

- ovdje završava drugo predavanje (03.03.2016).

Teorema 7 (Uopštena teorema o srednjoj vrijednosti): Ako su ispunjena sljedeća tri uslova:

1) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) i 𝑔𝑔(𝑥𝑥) su integrabilne na intervalu [𝑎𝑎, 𝑏𝑏];

2) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) je ograničena na intervalu [𝑎𝑎, 𝑏𝑏], odnosno (∃𝑚𝑚,𝑀𝑀) t.d. 𝑚𝑚 ≤ 𝑓𝑓(𝑥𝑥) ≤ 𝑀𝑀;

3) 𝑔𝑔(𝑥𝑥) ne mijenja znak na intervalu [𝑎𝑎, 𝑏𝑏], odnosno:

𝑔𝑔(𝑥𝑥) ≥ 0, ∀𝑥𝑥 ∈ [𝑎𝑎, 𝑏𝑏]

𝑔𝑔(𝑥𝑥) ≤ 0, ∀𝑥𝑥 ∈ [𝑎𝑎, 𝑏𝑏]

38

Tada ∃𝜇𝜇 ∈ [𝑚𝑚,𝑀𝑀] tako da je:

�𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑔𝑔(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥𝑏𝑏

𝑎𝑎

= 𝜇𝜇�𝑔𝑔(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥𝑏𝑏

𝑎𝑎

* ako je pored ova tri uslova još ispunjen i uslov neprekidnosti funkcije 𝑓𝑓, odnosno, 𝑓𝑓 ∈ 𝐶𝐶[𝑎𝑎, 𝑏𝑏], onda ∃𝑐𝑐 ∈ [𝑎𝑎, 𝑏𝑏] tako da važi:

�𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑔𝑔(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥𝑏𝑏

𝑎𝑎

= 𝑓𝑓(𝑐𝑐)�𝑔𝑔(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥𝑏𝑏

𝑎𝑎

Dokaz ove teoreme analogan je dokazu teoreme o srednjoj vrijednosti koju smo prvu formulisali.

Teorema o srednjoj vrijednosti je specijalan slučaj uopštene teoreme o srednjoj vrijednosti za 𝑔𝑔(𝑥𝑥) ≡ 1, ∀𝑥𝑥 ∈ [𝑎𝑎, 𝑏𝑏].

1.2.3 Određeni integral sa promjenljivom gornjom granicom

Određeni integral funkcije 𝑓𝑓(𝑥𝑥) na intervalu [𝑎𝑎, 𝑏𝑏] smo označavali kao:


𝑎𝑎

- pri tome smo pretpostavili da je 𝑓𝑓: [𝑎𝑎, 𝑏𝑏] → ℝ definisana.

Uzmimo sada tačku 𝑥𝑥 ∈ [𝑎𝑎, 𝑏𝑏], tada:

Odnosno, ako postoji određeni integral funkcije 𝑓𝑓(𝑥𝑥) na intervalu [𝑎𝑎, 𝑏𝑏], onda sigurno postoji i određeni integral te iste funkcije na intervalu [𝑎𝑎, 𝑥𝑥] ∈ [𝑎𝑎, 𝑏𝑏].

Taj integral naziva se integral sa promjenljivom gornjom granicom.

uzeli smo drugačije slovo za promjenljivu integracije radi lakšeg prepoznavanja integrala, što ne utiče na određeni integral

∃�𝑓𝑓(𝑎𝑎)𝑑𝑑𝑎𝑎𝑥𝑥

𝑎𝑎

39

Geometrijski, to izgleda ovako:

Integral sa promjenljivom gornjom granicom zavisi od gornje granice integracije, odnosno, taj integral možemo posmatrati kao funkciju gornje granice:

�𝑓𝑓(𝑎𝑎)𝑑𝑑𝑎𝑎𝑥𝑥

𝑎𝑎

= Φ(𝑥𝑥)

Φ: [𝑎𝑎, 𝑏𝑏] → ℝ

Φ(𝑎𝑎) = 0, Φ(𝑏𝑏) = 𝑃𝑃, Φ(𝑥𝑥) = 𝑃𝑃𝑥𝑥

Sada navodimo teoremu koja navodi jednu važnu osobinu funkcije Φ(𝑥𝑥).

Teorema 8: Ako je funkcija 𝑓𝑓 neprekidna na intervalu [𝑎𝑎, 𝑏𝑏], tj. 𝑓𝑓 ∈ 𝐶𝐶[𝑎𝑎, 𝑏𝑏], onda je funkcija Φ diferencijabilna na tom intervalu, odnosno, ∃𝜙𝜙′(𝑥𝑥) na [𝑎𝑎, 𝑏𝑏], tako da je:

Φ′(𝑥𝑥) = ��𝑓𝑓(𝑎𝑎)𝑑𝑑𝑎𝑎𝑥𝑥

𝑎𝑎

�

′

= �𝐹𝐹(𝑥𝑥) − 𝐹𝐹(𝑎𝑎)�′

= 𝐹𝐹′(𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥)

Ovom teoremom dokazujemo implikaciju:

𝑓𝑓 neprekidna ⇒ Φ diferencijabilna

40

Dokaz: Da bi uopšte funkcija Φ(𝑥𝑥) bila diferencijabilna, iz definicije izvoda

znamo:

Φ′(𝑥𝑥) = limΔ𝑥𝑥→0

ΔΦ(x)Δ𝑥𝑥

odnosno, taj limes mora da postoji.

ΔΦ(𝑥𝑥) = Φ(𝑥𝑥 + Δ𝑥𝑥) −Φ(𝑥𝑥) = � 𝑓𝑓(𝑎𝑎)𝑑𝑑𝑎𝑎𝑥𝑥+Δ𝑥𝑥

𝑎𝑎

− �𝑓𝑓(𝑎𝑎)𝑑𝑑𝑎𝑎𝑥𝑥

𝑎𝑎

=

= �𝑓𝑓(𝑎𝑎)𝑑𝑑𝑎𝑎𝑥𝑥

𝑎𝑎

+ � 𝑓𝑓(𝑎𝑎)𝑑𝑑𝑎𝑎𝑥𝑥+Δ𝑥𝑥

𝑥𝑥

− �𝑓𝑓(𝑎𝑎)𝑑𝑑𝑎𝑎𝑥𝑥

𝑎𝑎

= � 𝑓𝑓(𝑎𝑎)𝑑𝑑𝑎𝑎𝑥𝑥+Δ𝑥𝑥

𝑥𝑥

pa je:

ΔΦ(𝑥𝑥)Δ𝑥𝑥

=1Δ𝑥𝑥

� 𝑓𝑓(𝑎𝑎)𝑑𝑑𝑎𝑎𝑥𝑥+Δ𝑥𝑥

𝑥𝑥

- pozivamo se na teoremu o srednjoj vrijednosti. Pošto je podintegralna funkcija neprekidna, taj integral se može zapisati kao:

� 𝑓𝑓(𝑎𝑎)𝑑𝑑𝑎𝑎𝑥𝑥+Δ𝑥𝑥

𝑥𝑥

= 𝑓𝑓(𝑐𝑐) ⋅ (𝑥𝑥 + Δ𝑥𝑥 − 𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(𝑐𝑐) ⋅ Δ𝑥𝑥, 𝑐𝑐 ∈ [𝑥𝑥, 𝑥𝑥 + Δ𝑥𝑥]

pa je:


=1Δ𝑥𝑥

⋅ 𝑓𝑓(𝑐𝑐) ⋅ Δ𝑥𝑥 = 𝑓𝑓(𝑐𝑐)

Odnosno, kada ovaj rezultat vratimo u polazni uslov diferencijabilnosti funkcije Φ(𝑥𝑥) dobijamo:

Odnosno, kada pustimo da Δ𝑥𝑥 → 0, dužina intervala [𝑥𝑥, 𝑥𝑥 + Δ𝑥𝑥] će takođe težiti nuli, a pošto je tačka 𝑐𝑐 iz tog intervala, ona će težiti tački 𝑥𝑥, pa će vrijednosti funkcije u tački 𝑐𝑐 biti, u stvari, vrijednost funkcije u tački 𝑥𝑥.

Ovim smo dokazali da je Φ primitivna funkcija funkcije 𝑓𝑓.

Φ′(𝑥𝑥) = limΔ𝑥𝑥→0


= limΔ𝑥𝑥→0

𝑓𝑓(𝑐𝑐) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥)

41

S obzirom na ovo tvrđenje možemo da kažemo: Ako je 𝑓𝑓 ∈ 𝐶𝐶[𝑎𝑎, 𝑏𝑏], onda 𝑓𝑓 ima primitivnu funkciju, a jedna njena primitivna funkcija je Φ(𝑥𝑥) = ∫ 𝑓𝑓(𝑎𝑎)𝑑𝑑𝑎𝑎𝑥𝑥

𝑎𝑎 .

Ova teorema nam pomaže da izvedemo najvažniju formulu integralnog računa: Njutn-Lajbnicovu formulu.

1.2.4 Njutn-Lajbnicova formula

Ono što smo dokazali u prethodnoj teoremi je:

𝑓𝑓 neprekidna ⇒ njena primitivna funkcija

odnosno, Φ′(𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥)

Neka je 𝐹𝐹(𝑥𝑥) proizvoljna druga primitivna funkcija funkcije 𝑓𝑓(𝑥𝑥), odnosno, važi:

𝐹𝐹′(𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥)

Pošto je i Φ(𝑥𝑥) primitivna funkcija funkcije 𝑓𝑓(𝑥𝑥), onda se ona može zapisati kao:

Φ(𝑥𝑥) = 𝐹𝐹(𝑥𝑥) + 𝐶𝐶

jer se sve primitivne funkcije neke funkcije razlikuju samo sa konstantu.

Tada je:


𝑎𝑎

= 𝐹𝐹(𝑥𝑥) + 𝐶𝐶

Ako je 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎, tada je:

0 = 𝐹𝐹(𝑎𝑎) + 𝐶𝐶

Φ(𝑥𝑥) = �𝑓𝑓(𝑎𝑎)𝑑𝑑𝑎𝑎𝑥𝑥

𝑎𝑎

42

odnosno, slijedi da je 𝐶𝐶 = −𝐹𝐹(𝑎𝑎).

Sada je:


𝑎𝑎

= 𝐹𝐹(𝑥𝑥) − 𝐹𝐹(𝑎𝑎)

odnosno, kada je 𝑥𝑥 = 𝑏𝑏, dobijamo:

- ova formula naziva se Njutn-Lajbnicova formula i češće se zapisuje u obliku:

Njutn-Lajbnicova formula nam daje vezu između neodređenog i određenog integrala. Do sada smo određeni integral posmatrali kao limes integralne sume, a sada, da bismo izračunali određeni integral neke funkcije 𝑓𝑓(𝑥𝑥) na intervalu [𝑎𝑎, 𝑏𝑏], izračunamo jednu njenu primitivnu funkciju i oduzmemo vrijednost te primitivne funkcije u tačkama 𝑏𝑏 i 𝑎𝑎.

Ukoliko Njutn-Lajbnicova formula ne bi postojala, određeni integral bismo morali računati preko definicije, kao limes integralne sume kada 𝑑𝑑 → 0.

primjer: Izračunati određeni integral:


𝑎𝑎

= 𝐹𝐹(𝑏𝑏) − 𝐹𝐹(𝑎𝑎)


𝑎𝑎

= 𝐹𝐹(𝑥𝑥) 𝑏𝑏𝑎𝑎


�𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥1

0

- Interval [0,1] dijelimo na 𝑠𝑠 podintervala [𝑥𝑥𝑖𝑖−1, 𝑥𝑥𝑖𝑖] iste

dužine, 𝑥𝑥𝑖𝑖 − 𝑥𝑥𝑖𝑖−1 = 1ℎ.

43

Neka su tačke 𝜉𝜉𝑖𝑖 na intervalu [𝑥𝑥𝑖𝑖−1, 𝑥𝑥𝑖𝑖] jednake gornjoj granici tog intervala, odnosno 𝜉𝜉𝑖𝑖 = 𝑥𝑥𝑖𝑖.

Sve tačke na intervalu [0,1] su fiksne tačke funkcije 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥, pa će funkcija imati vrijednost tačke 𝑥𝑥 za svako 𝑥𝑥 ∈ [0,1].

Tada će integralna suma biti:

𝜎𝜎𝜋𝜋 = 1𝑙𝑙⋅ 1𝑙𝑙

+ 1𝑙𝑙⋅ 2𝑙𝑙

+⋅⋅⋅ + 1𝑙𝑙⋅ 𝑖𝑖𝑙𝑙

+⋅⋅⋅ + 1𝑙𝑙⋅ 𝑙𝑙𝑙𝑙

= 1𝑙𝑙�1𝑙𝑙

+ 2𝑙𝑙

+⋅⋅⋅ 𝑙𝑙𝑙𝑙� = 1

𝑙𝑙2(1 + 2 +⋅⋅⋅ +𝑠𝑠) =

=1𝑠𝑠2

⋅𝑠𝑠(𝑠𝑠 + 1)

2=𝑠𝑠 + 1

2𝑠𝑠

pa je vrijednost integrala, odnosno površine ispod krive 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 na intervalu [0,1] jednaka:


0

= lim𝑙𝑙→∞

𝑠𝑠 + 12𝑠𝑠

=12

Čitav ovaj proces za računanje određenog integrala preko definicije pojednostavljuje Njutn-Lajbnicova formula, pa je:


0

=𝑥𝑥2

2

10

=12−

02

=12

primjer:

� cos 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥

𝜋𝜋2

0

- za 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = cos 𝑥𝑥, jedna njena primitivna funkcija je 𝐹𝐹(𝑥𝑥) = sin 𝑥𝑥, pa je:

� cos 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥

𝜋𝜋2

0

= sin 𝑥𝑥 𝜋𝜋20

= sin𝜋𝜋2− sin 0 = 1

44

1.2.5 Smjena promjenljive u određenom integralu

Kao i u slučaju neodređenih integrala, u procesu računanja određenih integrala može da se koristi metod smjene.

Teorema 9: Ako je 𝑓𝑓(𝑥𝑥) neprekidna funkcija na intervalu [𝑎𝑎, 𝑏𝑏] i ako su ispunjeni sljedeći uslovi:

1) funkcija 𝑥𝑥 = 𝜙𝜙(𝑢𝑢) je neprekidno-diferencijabilna na [𝛼𝛼,𝛽𝛽];

2) interval [𝑎𝑎, 𝑏𝑏] je skup vrijednosti funkcije 𝑥𝑥 = 𝜙𝜙(𝑢𝑢);

3) 𝜙𝜙(𝛼𝛼) = 𝑎𝑎 i 𝜙𝜙(𝛽𝛽) = 𝑏𝑏

tada je:


𝑎𝑎

= �𝑓𝑓�𝜙𝜙(𝑢𝑢)� ⋅ 𝜙𝜙′(𝑢𝑢)𝑑𝑑𝑢𝑢

𝛽𝛽

𝛼𝛼

Dokaz: Pretpostavimo da je:


𝑎𝑎


gdje je 𝐹𝐹(𝑥𝑥) jedna primitivna funkcija funkcije 𝑓𝑓(𝑥𝑥), 𝐹𝐹′(𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥).

Neka je Φ(𝑢𝑢) = 𝐹𝐹�𝜙𝜙(𝑢𝑢)�. Tada je:

Φ′(𝑢𝑢) = 𝐹𝐹′�𝜙𝜙(𝑢𝑢)� ⋅ 𝜙𝜙′(𝑢𝑢) = 𝑓𝑓�𝜙𝜙(𝑢𝑢)� ⋅ 𝜙𝜙′(𝑢𝑢)

odnosno, Φ(𝑢𝑢) je primitivna funkcija funkcije 𝑓𝑓�𝜙𝜙(𝑢𝑢)� ⋅ 𝜙𝜙′(𝑢𝑢). Sada imamo:

� 𝑓𝑓�𝜙𝜙(𝑢𝑢)� ⋅ 𝜙𝜙′(𝑢𝑢)𝑑𝑑𝑢𝑢

𝛽𝛽

𝛼𝛼

= Φ(𝑢𝑢) 𝛽𝛽𝛼𝛼

= Φ(𝛽𝛽) −Φ(𝛼𝛼) = 𝐹𝐹�𝜙𝜙(𝛽𝛽)� − 𝐹𝐹�𝜙𝜙(𝛼𝛼)� =

= 𝐹𝐹(𝑏𝑏) − 𝐹𝐹(𝑎𝑎) = �𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥𝑏𝑏

𝑎𝑎

odnosno:


𝑎𝑎

= � 𝑓𝑓�𝜙𝜙(𝑢𝑢)� ⋅ 𝜙𝜙′(𝑢𝑢)𝑑𝑑𝑢𝑢

𝛽𝛽

𝛼𝛼

45

Geometrijski, ova tri uslova iz teoreme su ispunjena za funkciju na sljedećoj slici:

Kada uvedemo smjenu, na kraju procesa računanja integrala nije potrebno vraćati smjenu, jer je rezultat određenog integrala broj i on će biti isti bez obzira vratili mi smjenu ili ne.

Drugi način za računanje određenih integrala bez uvođenja smjene u određeni integral je uvođenje te smjene u neodređeni integral, računanje neodređenog integrala i na kraju, preko Njutn-Lajbnicove formule, za dobijenu primitivnu funkciju dobijamo vrijednost određenog integrala.

Ako neki od uslova 1,2, ili 3 iz teoreme nisu ispunjeni, rezultat ove teoreme ne mora da važi, odnosno jednakost:


𝑎𝑎

= �𝑓𝑓�𝜙𝜙(𝑢𝑢)� ⋅ 𝜙𝜙′(𝑢𝑢)𝑑𝑑𝑢𝑢

𝛽𝛽

𝛼𝛼

ne mora da bude ispunjena, što ne znači da za neke slučajeve neće biti ispunjena. Međutim, ako su ispunjena sva tri uslova iz teoreme, ova jednakost mora da važi.

primjer: - uvodimo smjenu:

∫ √𝑎𝑎2 − 𝑥𝑥2𝑑𝑑𝑥𝑥𝑎𝑎0

𝑥𝑥 = asin𝑢𝑢 , 𝑑𝑑𝑥𝑥 = acos𝑢𝑢 𝑑𝑑𝑢𝑢

granice integracije:

0 → 0, 𝑎𝑎 →𝜋𝜋2

46

dalje je:

��𝑎𝑎2 − 𝑥𝑥2𝑑𝑑𝑥𝑥𝑎𝑎

0

= � a2cos2 𝑢𝑢 𝑑𝑑𝑢𝑢

𝜋𝜋2

0

=𝑎𝑎2

2�𝑢𝑢 +

12

sin 2𝑢𝑢� 𝜋𝜋20

=𝜋𝜋𝑎𝑎2

4

1.2.6 Formula za parcijalnu integraciju za određene integrale

Ranije smo izveli formulu za parcijalnu integraciju kod neodređenog integrala:

�𝑢𝑢𝑑𝑑𝑣𝑣 = 𝑢𝑢𝑣𝑣 − �𝑣𝑣𝑑𝑑𝑢𝑢

Kod određenog integrala, formula je jako slična.

Teorema 10: Ako su funkcije 𝑢𝑢(𝑥𝑥) i 𝑣𝑣(𝑥𝑥) neprekidno-diferencijabilne na intervalu [𝑎𝑎, 𝑏𝑏], tada je:

�𝑢𝑢𝑑𝑑𝑣𝑣𝑏𝑏

𝑎𝑎

= 𝑢𝑢𝑣𝑣 𝑏𝑏𝑎𝑎− �𝑣𝑣𝑑𝑑𝑢𝑢

𝑏𝑏

𝑎𝑎

Dokaz:

[𝑢𝑢(𝑥𝑥) ⋅ 𝑣𝑣(𝑥𝑥)]′ = 𝑢𝑢′(𝑥𝑥)𝑣𝑣(𝑥𝑥) + 𝑢𝑢(𝑥𝑥)𝑣𝑣′(𝑥𝑥)

odnosno, 𝑢𝑢(𝑥𝑥)𝑣𝑣(𝑥𝑥) je primitivna funkcija funkcije 𝑢𝑢′(𝑥𝑥)𝑣𝑣(𝑥𝑥) + 𝑢𝑢(𝑥𝑥)𝑣𝑣′(𝑥𝑥), pa iz Njutn-Lajbnicove formule slijedi:

�[𝑢𝑢′(𝑥𝑥)𝑣𝑣(𝑥𝑥) + 𝑢𝑢(𝑥𝑥)𝑣𝑣′(𝑥𝑥)]𝑑𝑑𝑥𝑥𝑏𝑏

𝑎𝑎

= 𝑢𝑢(𝑥𝑥)𝑣𝑣(𝑥𝑥) 𝑏𝑏𝑎𝑎

pa je: 𝑑𝑑𝑣𝑣

�𝑢𝑢(𝑥𝑥)𝑣𝑣′(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥𝑏𝑏

𝑎𝑎

= 𝑢𝑢(𝑥𝑥)𝑣𝑣(𝑥𝑥) 𝑏𝑏𝑎𝑎− �𝑢𝑢′(𝑥𝑥)𝑣𝑣(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑏𝑏

𝑎𝑎

odnosno: 𝑑𝑑𝑢𝑢

�𝑢𝑢𝑑𝑑𝑣𝑣𝑏𝑏

𝑎𝑎

= 𝑢𝑢𝑣𝑣 𝑏𝑏𝑎𝑎− �𝑣𝑣𝑑𝑑𝑢𝑢

𝑏𝑏

𝑎𝑎

47

primjer:

- parcijalnom integracijom imamo:

𝑢𝑢(𝑥𝑥) = ln 𝑥𝑥 𝑑𝑑→ 𝑑𝑑𝑢𝑢 =

𝑑𝑑𝑥𝑥𝑥𝑥


pa je:

� ln 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑒𝑒

1

= 𝑥𝑥 ln 𝑥𝑥 𝑒𝑒1−�𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑒𝑒

1

= 𝑒𝑒 − (𝑒𝑒 − 1) = 1

primjer:

- parcijalnom integracijom imamo:

𝑢𝑢(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 𝑑𝑑→ 𝑑𝑑𝑢𝑢 = 𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑑𝑑𝑣𝑣 = 𝑒𝑒𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥 ∫→ 𝑣𝑣 = 𝑒𝑒𝑥𝑥

pa je:

�𝑥𝑥𝑒𝑒𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥3

1

= 𝑥𝑥𝑒𝑒𝑥𝑥 31−�𝑒𝑒𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥

3

1

= 3𝑒𝑒3 − 𝑒𝑒 − (𝑒𝑒3 − 𝑒𝑒) = 2𝑒𝑒3

� ln 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑒𝑒

1

�𝑥𝑥𝑒𝑒𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥3

1

48

1.2.7 Primjene određenog integrala

Određeni integral ima raznovrsne primjene:

1. Računanje površine krivolinijskog trapeza

Ako je 𝑓𝑓: [𝑎𝑎, 𝑏𝑏] → ℝ nenegativna na čitavom intervalu, onda je:

primjer: Izračunati površinu figure čiju granicu čine dijelovi grafika funkcije 𝑦𝑦 = 𝑒𝑒𝑥𝑥, 𝑥𝑥-ose i pravih 𝑥𝑥 = 1 i 𝑥𝑥 = 2.

𝑃𝑃 = �𝑒𝑒𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥2

1

= 𝑒𝑒𝑥𝑥 21

= 𝑒𝑒2 − 𝑒𝑒 = 𝑒𝑒(𝑒𝑒 − 1)

𝑃𝑃 = �𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥𝑏𝑏

𝑎𝑎

49

Ako imamo dvije funkcije 𝑓𝑓1(𝑥𝑥) i 𝑓𝑓2(𝑥𝑥), obje nenegativne na intervalu [𝑎𝑎, 𝑏𝑏], kao što je prikazano na slici, površina P je:

Nekad će kriva 𝑐𝑐 biti zadana parametarski:

𝑥𝑥 = 𝜙𝜙(𝑢𝑢), 𝑦𝑦 = 𝜓𝜓(𝑢𝑢), 𝛼𝛼 ≤ 𝑢𝑢 ≤ 𝛽𝛽

Tada ∫ 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥𝑏𝑏𝑎𝑎 možemo zapisati kao:

𝑃𝑃 = �𝑦𝑦𝑑𝑑𝑥𝑥𝑏𝑏

𝑎𝑎

pa radimo isti postupak kao da u integral uvodimo smjenu:

𝑥𝑥 = 𝜙𝜙(𝑢𝑢), 𝑦𝑦 = 𝜓𝜓(𝑢𝑢), 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝜙𝜙′(𝑢𝑢)𝑑𝑑𝑢𝑢

pa imamo:

𝑃𝑃 = �𝜓𝜓(𝑢𝑢) 𝜙𝜙′(𝑢𝑢)𝑑𝑑𝑢𝑢

𝛽𝛽

𝛼𝛼

𝑃𝑃 = �[𝑓𝑓1(𝑥𝑥)− 𝑓𝑓2(𝑥𝑥)]𝑑𝑑𝑥𝑥𝑏𝑏

𝑎𝑎

50

primjer: Izračunati površinu figure ograničene elipsom:

𝑥𝑥 = 𝑎𝑎 cos𝑢𝑢 , 𝑦𝑦 = 𝑏𝑏 sin𝑢𝑢 , 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑎𝑎(− sin𝑢𝑢), 0 ≤ 𝑢𝑢 ≤ 2𝜋𝜋

𝑃𝑃1 = �𝑏𝑏0

𝜋𝜋2

sin𝑢𝑢 𝑎𝑎 ⋅ (− sin𝑢𝑢)𝑑𝑑𝑢𝑢 = 𝑎𝑎𝑏𝑏� sin2 𝑢𝑢 𝑑𝑑𝑢𝑢

𝜋𝜋2

0

= 𝑎𝑎𝑏𝑏�1 − cos 2𝑢𝑢

2𝑑𝑑𝑢𝑢

𝜋𝜋2

0

=𝑎𝑎𝑏𝑏𝜋𝜋

4

pa je ukupna površina:

𝑃𝑃 = 4𝑃𝑃1 = 𝑎𝑎𝑏𝑏𝜋𝜋

2. Računanje površine krivolinijskog sektora

Polarni koordinatni sistem je dvodimenzionalni koordinatni sistem u kojem su tačke određene sa dvije koordinate: rastojanjem 𝑎𝑎 od referentne tačke 𝑂𝑂 i uglom 𝜃𝜃 između usmjerene duži 𝑎𝑎 i pozitivnog smjera polarne ose.

Neka je kriva 𝑐𝑐 zadata u polarnom koordinatnom na sljedeći način:

𝑎𝑎 = 𝑎𝑎(𝜃𝜃), 𝛼𝛼 ≤ 𝜃𝜃 ≤ 𝛽𝛽

𝑃𝑃 = 4𝑃𝑃1

𝑢𝑢 ∈ �𝜋𝜋2

, 0�, u pozitivnom smjeru ugla

51

Interval [𝛼𝛼,𝛽𝛽] dijelimo na 𝑠𝑠 dijelova uglovima 𝜃𝜃1, 𝜃𝜃2, … , 𝜃𝜃𝑙𝑙 na sljedeći način:

α = θ0 < 𝜃𝜃1 < 𝜃𝜃2 < ⋅⋅⋅ < 𝜃𝜃𝑖𝑖−1 < 𝜃𝜃𝑖𝑖 < ⋅⋅⋅ < 𝜃𝜃𝑙𝑙−1 < 𝜃𝜃𝑙𝑙 = 𝛽𝛽

čime dobijamo 𝑠𝑠 podintervala [𝜃𝜃𝑖𝑖−1,𝜃𝜃𝑖𝑖] širine Δ𝜃𝜃𝑖𝑖 = 𝜃𝜃𝑖𝑖 − 𝜃𝜃𝑖𝑖−1.

Sredinom dobijenih podintervala izaberemo proizvoljnu tačku određenu uglom 𝜉𝜉𝑖𝑖 ∈ [𝜃𝜃𝑖𝑖−1,𝜃𝜃𝑖𝑖].

Sada svaki podinterval možemo apriksimirati kružnim sektorom poluprečnika 𝑎𝑎(𝜉𝜉𝑖𝑖) i širine Δ𝜃𝜃𝑖𝑖, a površina jednog takvog kružnog sektora, kao na slici, je:

Zbir površina svih kružnih sektora duž cijele krive 𝑐𝑐 je:

12�𝑎𝑎2(𝜉𝜉𝑖𝑖) ⋅ Δ𝜃𝜃𝑖𝑖

𝑙𝑙

𝑖𝑖=0

Neka je 𝑑𝑑 = max(Δ𝜃𝜃𝑖𝑖). Kada pustimo da 𝑑𝑑 → 0, prethodna suma postaje stvarna površina krivolinijskog segmenta određenog krivom 𝑐𝑐 i jednaka je:

𝑃𝑃𝑐𝑐 =12

lim𝑑𝑑→0

�𝑎𝑎2(𝜉𝜉𝑖𝑖) ⋅ Δ𝜃𝜃𝑖𝑖

𝑙𝑙

𝑖𝑖=0

=12� 𝑎𝑎2(𝜃𝜃) 𝑑𝑑𝜃𝜃

𝛽𝛽

𝛼𝛼

primjer: Izračunati površinu figure čiju granicu, u polarnom koordinatnom sistemu, čini kriva:

𝑎𝑎 = 𝑎𝑎 (1 − cos 𝜃𝜃), 0 ≤ 𝜃𝜃 ≤ 2𝜋𝜋, 𝑎𝑎 > 0

Ova kriva još se naziva kardioida.

𝑃𝑃 = 𝑎𝑎2(𝜉𝜉𝑖𝑖) ⋅Δθi2

𝑃𝑃 =12� 𝑎𝑎2 (1 − cos 𝜃𝜃)2 𝑑𝑑𝜃𝜃2𝜋𝜋

0

=3𝜋𝜋2𝑎𝑎2

52

primjer: Arhimedova spirala

Izračunati površinu figure ograničene dijelom polarne ose i prvim zavojem Arhimedove spirale:

𝑎𝑎 = 𝑎𝑎 𝜃𝜃, 𝑎𝑎 > 0

3. Računanje dužine krive

Neka je kriva 𝑐𝑐 grafik neprekidno-diferencijabilne funkcije zadane:

1) u pravouglom koordinatnom sistemu:

𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥), 𝑎𝑎 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 𝑏𝑏

Tada je dužina te krive na segmentu [𝑎𝑎, 𝑏𝑏] jednaka:

𝑙𝑙 = ��1 + [𝑓𝑓′(𝑥𝑥)]2 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑏𝑏

𝑎𝑎

primjer: Izračunati dužinu krive zadate jednačinom 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥32 između tačaka

𝐴𝐴(0,0) i 𝐵𝐵(4,8) koje leže na krivoj.

𝑙𝑙 = ��1 + (𝑦𝑦′)2 𝑑𝑑𝑥𝑥4

0

= ��1 +94𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥

4

0

=8

27�10

32 − 1�

𝑃𝑃 = � 𝑎𝑎2𝜃𝜃2 𝑑𝑑𝜃𝜃2𝜋𝜋

0

=43𝜋𝜋3𝑎𝑎2

53

2) parametarski:


tada je:

𝑙𝑙 = ��1 + [𝑦𝑦′]2 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑏𝑏

𝑎𝑎

odnosno:

𝑦𝑦𝑥𝑥′ =𝑑𝑑𝑦𝑦𝑑𝑑𝑥𝑥

=𝑑𝑑𝑦𝑦𝑑𝑑𝑢𝑢𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑢𝑢

=𝑦𝑦𝑢𝑢′

𝑥𝑥𝑢𝑢′=𝜓𝜓′(𝑢𝑢)𝜙𝜙′(𝑢𝑢)

[𝑦𝑦′]2 = �𝜓𝜓′(𝑢𝑢)𝜙𝜙′(𝑢𝑢)�

2

pa je:

𝑙𝑙 = ��1 + �𝜓𝜓′(𝑢𝑢)𝜙𝜙′(𝑢𝑢)�

2

𝜙𝜙′(𝑢𝑢)𝑑𝑑𝑢𝑢

𝛽𝛽

𝛼𝛼

= ��1 +[𝜓𝜓′]2

[𝜙𝜙′]2 𝜙𝜙′(𝑢𝑢)𝑑𝑑𝑢𝑢

𝛽𝛽

𝛼𝛼

= ��[𝜙𝜙′]2 + [𝜓𝜓′]2

[𝜙𝜙′]2 𝜙𝜙′(𝑢𝑢)𝑑𝑑𝑢𝑢

𝛽𝛽

𝛼𝛼

konačno:

𝑙𝑙 = ��[𝜙𝜙′(𝑢𝑢)]2 + [𝜓𝜓′(𝑢𝑢)]2 𝑑𝑑𝑢𝑢

𝛽𝛽

𝛼𝛼

primjer: Izračunati dužinu jednog luka cikloide zadane parametarskim jednačinama:

𝑥𝑥 = 𝑎𝑎 (𝑢𝑢 − sin𝑢𝑢), 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎 (1 − cos𝑢𝑢), 0 ≤ 𝑢𝑢 ≤ 2𝜋𝜋

54

Cikloida je kriva koju iscrtava tačka na kružnici kada se ona okreće po pravoj liniji, kao što je prikazano na sljedećoj slici:

- kako je 𝜙𝜙(𝑢𝑢) = 𝑎𝑎 (𝑢𝑢 − sin𝑢𝑢) i 𝜓𝜓(𝑢𝑢) = 𝑎𝑎 (1 − cos𝑢𝑢)

imamo da je 𝜙𝜙′(𝑢𝑢) = 𝑎𝑎 (1 − cos𝑢𝑢) i 𝜓𝜓′(𝑢𝑢) = 𝑎𝑎 sin𝑢𝑢

te je dužina jednog luka cikloide:

𝑙𝑙 = � 𝑎𝑎�(1 − cos𝑢𝑢)2 + sin2 𝑢𝑢 𝑑𝑑𝑢𝑢2𝜋𝜋

0

= 𝑎𝑎� �2 (1 − cos𝑢𝑢) 𝑑𝑑𝑢𝑢2𝜋𝜋

0

=

= 𝑎𝑎� �2 �2 sin2𝑢𝑢2� 𝑑𝑑𝑢𝑢

2𝜋𝜋

0

= 2𝑎𝑎� sin𝑢𝑢2

𝑑𝑑𝑢𝑢2𝜋𝜋

0

= 4𝑎𝑎 ⋅ cos𝑢𝑢2

0

2𝜋𝜋= 8𝑎𝑎

3) u polarnom koordinatnom sistemu:


- u ovom slučaju, ukoliko nam je kriva data u polarnom koordinatnom sistemu, moramo preći na pravougli koordinatni sistem:

𝑥𝑥 = 𝑎𝑎(𝜃𝜃) cos𝜃𝜃

𝑦𝑦 = 𝑎𝑎(𝜃𝜃) sin𝜃𝜃

𝛼𝛼 ≤ 𝜃𝜃 ≤ 𝛽𝛽

55

Pa je dužina te krive:

𝑙𝑙 = ��[𝑥𝑥′(𝜃𝜃)]2 + [𝑦𝑦′(𝜃𝜃)]2 𝑑𝑑𝜃𝜃

𝛽𝛽

𝛼𝛼

gdje je:

𝑥𝑥′(𝜃𝜃) = 𝑎𝑎′(𝜃𝜃) cos 𝜃𝜃 − 𝑎𝑎(𝜃𝜃) sin𝜃𝜃

𝑦𝑦′(𝜃𝜃) = 𝑎𝑎′(𝜃𝜃) sin𝜃𝜃 + 𝑎𝑎(𝜃𝜃) cos 𝜃𝜃

odnosno:

+

⎩⎪⎨

⎪⎧ [𝑥𝑥′]2 = [𝑎𝑎′(𝜃𝜃]2 cos2 𝜃𝜃 − 2 𝑎𝑎′(𝜃𝜃) 𝑎𝑎(𝜃𝜃) sin𝜃𝜃 cos 𝜃𝜃 + 𝑎𝑎2(𝜃𝜃) sin2 𝜃𝜃

[𝑦𝑦′]2 = [𝑎𝑎′(𝜃𝜃)]2 sin2 𝜃𝜃 + 2 𝑎𝑎′(𝜃𝜃) 𝑎𝑎(𝜃𝜃) sin𝜃𝜃 cos 𝜃𝜃 + 𝑎𝑎2(𝜃𝜃) cos2 𝜃𝜃

[𝑥𝑥′(𝜃𝜃)]2 + [𝑦𝑦′(𝜃𝜃)]2 = [𝑎𝑎′(𝜃𝜃)]2 + [𝑎𝑎(𝜃𝜃)]2

konačno, kada vratimo u formulu, dobijamo dužinu krive zadane u polarnom koordinatnom sistemu:

𝑙𝑙 = ��[𝑎𝑎′(𝜃𝜃)]2 + [𝑎𝑎(𝜃𝜃)]2 𝑑𝑑𝜃𝜃

𝛽𝛽

𝛼𝛼

primjer: Izračunati dužinu prvog zavoja Arhimedove spirale.

𝑙𝑙 = � �𝑎𝑎2𝜃𝜃2 + 𝑎𝑎2 𝑑𝑑𝜃𝜃2𝜋𝜋

0

= 𝑎𝑎� �1 + 𝜃𝜃2 𝑑𝑑𝜃𝜃2𝜋𝜋

0

=

= 𝑎𝑎 �𝜃𝜃 √1 + 𝜃𝜃2

2+

12

ln �𝜃𝜃 + �1 + 𝜃𝜃2�� 2𝜋𝜋0

=

= 𝑎𝑎 �𝜋𝜋 �1 + 4𝜋𝜋2 +12

ln �2𝜋𝜋 + �1 + 4𝜋𝜋2��

56

4. Računanje zapremine rotacionog tijela

Primjer rotacionog tijela:

Zamislimo da imamo krivi trapez:

Interval [𝑎𝑎, 𝑏𝑏] dijelimo na 𝑠𝑠 dijelova, pa na svakom dobijenom podintervalu [𝑥𝑥𝑖𝑖−1,𝑥𝑥𝑖𝑖] biramo proizvoljnu tačku 𝜉𝜉𝑖𝑖. Tako dobijene pravougaonike širine Δ𝑥𝑥 i visine 𝑓𝑓(𝜉𝜉𝑖𝑖) zarotiramo oko 𝑥𝑥 ose i dobijamo kružni cilindar zapremine:

𝑉𝑉 = 𝐵𝐵 ⋅ ℎ = 𝑓𝑓2(𝜉𝜉𝑖𝑖) 𝜋𝜋 ⋅ Δ𝑥𝑥𝑖𝑖

Kada sumiramo sve zapremine pravougaonika, dobijamo:

�𝑓𝑓2(𝜉𝜉𝑖𝑖) 𝜋𝜋 ⋅ Δ𝑥𝑥𝑖𝑖

𝑙𝑙

𝑖𝑖=0

Kada pustimo da 𝑑𝑑 = max(Δ𝑥𝑥𝑖𝑖) → 0, dobijamo zapreminu rotacionog tijela:

lim𝑑𝑑→0

�𝑓𝑓2(𝜉𝜉𝑖𝑖) 𝜋𝜋 ⋅ Δ𝑥𝑥𝑖𝑖

𝑙𝑙

𝑖𝑖=0

= 𝜋𝜋�𝑓𝑓2(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥𝑏𝑏

𝑎𝑎

= 𝑉𝑉𝑇𝑇

57

Odnosno, zapremina rotacionog tijela je:

𝑉𝑉𝑇𝑇 = 𝜋𝜋�[𝑓𝑓(𝑥𝑥)]2 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑏𝑏

𝑎𝑎

= 𝜋𝜋�𝑦𝑦2 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑏𝑏

𝑎𝑎

primjer: Izračunati zapreminu torusa.

- Zapreminu torusa dobijamo kada krug zarotiramo oko 𝑥𝑥 ose, odnosno, kada zarotiramo prvo jedan polukrug, pa onda drugi, jer su to dvije odvojene funkcije.

Neka je data kružnica: 𝑥𝑥2 + (𝑦𝑦 − 𝑏𝑏)2 = 𝑎𝑎2, odnosno, dvije polukružnice:

𝑦𝑦1/2 = 𝑏𝑏 ± �𝑎𝑎2 − 𝑥𝑥2

kao na slici ispod:

Zapremina kada se zarotira površina ispod gornje polukružnice je:

𝑉𝑉1 = 𝜋𝜋 �[𝑦𝑦1]2 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑎𝑎

−𝑎𝑎

= 𝜋𝜋 � �𝑏𝑏 + �𝑎𝑎2 − 𝑥𝑥2�2

𝑎𝑎

−𝑎𝑎

𝑑𝑑𝑥𝑥

a zapremina kada se zarotira površina ispod donje polukružnice je:

𝑉𝑉2 = 𝜋𝜋 �[𝑦𝑦2]2 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑎𝑎

−𝑎𝑎

= 𝜋𝜋 � �𝑏𝑏 − �𝑎𝑎2 − 𝑥𝑥2�2

𝑎𝑎

−𝑎𝑎

𝑑𝑑𝑥𝑥

pa je zapremina torusa, u stvari, razlika te dvije zapremine, odnosno:

𝑉𝑉 = 𝜋𝜋 �[𝑦𝑦1]2 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑎𝑎

−𝑎𝑎

− 𝜋𝜋 �[𝑦𝑦2]2 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑎𝑎

−𝑎𝑎

= 𝜋𝜋 � � �𝑏𝑏 + �𝑎𝑎2 − 𝑥𝑥2�2

𝑎𝑎

−𝑎𝑎

𝑑𝑑𝑥𝑥 − � �𝑏𝑏 − �𝑎𝑎2 − 𝑥𝑥2�2

𝑎𝑎

−𝑎𝑎

𝑑𝑑𝑥𝑥�

58

5. Računanje površine rotacionog tijela

Neka je 𝑐𝑐 kriva zadata jednačinom 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥), 𝑎𝑎 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 𝑏𝑏, gdje je 𝑓𝑓 neprekidno-diferencijabilna funkcija na intervalu [𝑎𝑎, 𝑏𝑏]. Ako tu krivu zarotiramo oko 𝑥𝑥 ose, dobijamo površ 𝑆𝑆 čija je površina data formulom:

𝑃𝑃𝑆𝑆 = 2𝜋𝜋�𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑏𝑏

𝑎𝑎

�1 + [𝑓𝑓′(𝑥𝑥)]2 𝑑𝑑𝑥𝑥

Ako je kriva 𝑐𝑐 zadana parametarski:


tada je površina rotacionog tijela kada tu krivu zarotiramo oko 𝑥𝑥 ose jednaka:

𝑃𝑃𝑆𝑆 = 2𝜋𝜋� 𝜓𝜓(𝑢𝑢) �1 + [𝜓𝜓′(𝑢𝑢)]2 𝜙𝜙′(𝑢𝑢) 𝑑𝑑𝑢𝑢

𝛽𝛽

𝛼𝛼

Ako je kriva 𝑐𝑐 zadana u polarnom koordinatnom sistemu:


prvo je izrazimo u pravouglom koordinatnom sistemu, čime dobijamo:

𝑥𝑥 = 𝑎𝑎(𝜃𝜃) cos 𝜃𝜃 , 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎(𝜃𝜃) sin𝜃𝜃 , 𝛼𝛼 ≤ 𝜃𝜃 ≤ 𝛽𝛽

tada je površina rotacionog tijela kada tu krivu rotiramo oko polarne ose jednaka:

𝑃𝑃𝑆𝑆 = 2𝜋𝜋 � 𝑎𝑎(𝜃𝜃)

𝛽𝛽

𝛼𝛼

sin𝜃𝜃 �[𝑎𝑎(𝜃𝜃)]2 + [𝑎𝑎′(𝜃𝜃)]2 𝑑𝑑𝜃𝜃

primjer: Izračunati površinu sftere 𝑆𝑆 zadate jednačinom:

𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 + 𝑧𝑧2 = 𝑎𝑎2

59

Ako uzmemo jednu od polukružnica:

𝑦𝑦 = ±�𝑎𝑎2 − 𝑥𝑥2, −𝑎𝑎 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 𝑎𝑎

i zarotiramo je oko 𝑥𝑥 ose, dobićemo upravo površinu zadate sfere:

𝑃𝑃𝑆𝑆 = 2𝜋𝜋 ��𝑎𝑎2 − 𝑥𝑥2 ⋅ �1 +𝑥𝑥2

𝑎𝑎2 − 𝑥𝑥2 𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑟𝑟

−𝑟𝑟

= 2𝜋𝜋 ��𝑎𝑎2 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑟𝑟

−𝑟𝑟

=

= 2𝜋𝜋𝑎𝑎 �𝑑𝑑𝑥𝑥𝑟𝑟

−𝑟𝑟

= 4𝜋𝜋𝑎𝑎2

- ovdje završava treće predavanje (10.03.2016).

60

1.3 Nesvojstveni integrali

1.3.0 Uvod

Nesvojstveni integrali predstavljaju uopštenje određenog integrala.

Definišući određeni integral kao limes integralne sume kada 𝑑𝑑 → 0, mi smo pretpostavljali da je interval [𝑎𝑎, 𝑏𝑏] na kome je funkcija definisana konačan i da je podintegralna funkcija 𝑓𝑓 ograničena na tom intervalu.

Ako bar jedan od ova dva uslova nije ispunjen, oređeni integral gubi smisao.

Naime, ako je interval integracije neograničen, on se ne može podijeliti na 𝑠𝑠 podintervala konačne dužine, a ako je podintegralna funkcija neograničena, integralna suma neće biti konačna, pa samim tim neće imati ni konačnu graničnu vrijednost.

Međutim, moguće je uopštiti pojam određenog integrala i u navedena dva slučaja. To uopštavanje dovodi do pojmova nesvojstvenih integrala prve i druge vrste.

1.3.1 Nesvojstveni integrali ograničenih funkcija na neograničenom intervalu

Neka je funkcija 𝑓𝑓: [𝑎𝑎, +∞) → ℝ integrabilna na intervalu [𝑎𝑎,𝑅𝑅], (∀ 𝑅𝑅 > 𝑎𝑎).

Tada se integral:

� 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥+∞

𝑎𝑎

naziva nesvojstveni integral prve vrste i definiše na sljedeći način.


𝑎𝑎

≝ lim𝑅𝑅→+∞

� 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥𝑅𝑅

𝑎𝑎

Nesvojstveni integral prve vrste je, u stvari, uopštenje određenog integrala kada uslov ograničenosti intervala nije ispunjen.

61

Ako granična vrijednost iz definicije nesvojstvenog integrala prve vrste postoji i konačna je, tada kažemo da taj nesvojstveni integral postoji, odnosno da je konvergentan.

Ako ta granična vrijednost ne postoji ili je beskonačna, tada kažemo da taj nesvojstveni integral ne postoji, odnosno da je divergentan.

Na sličan način se definiše i drugi slučaj nesvojstvenog integrala prve vrste.

Neka je funkcija 𝑓𝑓: (−∞, 𝑏𝑏] → ℝ integrabilna na intervalu [𝑅𝑅, 𝑏𝑏], (∀ 𝑅𝑅 < 𝑏𝑏).

Tada se nesvojstveni integral prve vrste definiše na sljedeći način:


−∞

≝ lim𝑅𝑅→−∞


𝑅𝑅

Treći slučaj nesvojstvenog integrala prve vrste definišemo za funkciju 𝑓𝑓: (−∞, +∞) → ℝ koja je integrabilna na svakom konačnom intervalu, na sljedeći način:


−∞

≝ �𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥𝑐𝑐

−∞

+ � 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥+∞

𝑐𝑐

gdje je 𝑐𝑐 proizvoljna tačka iz ℝ, a integrali ∫ 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥𝑐𝑐

−∞ i ∫ 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥+∞𝑐𝑐

nesvojstveni integrali prve vrste koje smo prethodno definisali. Ukoliko su ti integrali konvergentni, onda je i ∫ 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥+∞

−∞ konvergentan. Odnosno, ukoliko su

oni divergentni, i ∫ 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥+∞−∞ je divergentan.

Geometrijski, za funkciju na slici:

62

Ukoliko je površina ispod funkcije na intervalu [𝑅𝑅, +∞) konačna, onda je nesvojstveni integral te funkcije na intervalu [𝑎𝑎, +∞) konvergentan. Odnosno, ukoliko je ta površina beskonačna, onda je nesvojstveni integral divergentan.

primjer:

Kao što primjećujemo, ovo je nesvojstveni integral prve vrste trećeg tipa. Za tačku 𝑐𝑐 možemo uzeti proizvoljan broj, uzećemo npr. 0. Sada imamo:

�𝑑𝑑𝑥𝑥

1 + 𝑥𝑥2

+∞

−∞

= �𝑑𝑑𝑥𝑥

1 + 𝑥𝑥2

0

−∞

+ �𝑑𝑑𝑥𝑥

1 + 𝑥𝑥2

+∞

0

= lim𝑅𝑅→−∞

�𝑑𝑑𝑥𝑥

1 + 𝑥𝑥2

0

𝑅𝑅

+ lim𝑅𝑅→+∞

�𝑑𝑑𝑥𝑥

1 + 𝑥𝑥2

𝑅𝑅

0

=

= lim𝑅𝑅→−∞

arctg 𝑥𝑥 0𝑅𝑅

+ lim𝑅𝑅→+∞

arctg 𝑥𝑥 𝑅𝑅0

=

= arctg 0 − arctg(−∞) + arctg(+∞) − arctg 0 = −�−𝜋𝜋2� +

𝜋𝜋2

= 𝜋𝜋

Pošto vidimo da je ovaj nesvojstveni integral konvergentan i iznosi 𝜋𝜋, to geometrijski znači da je površina ispod neograničene figure označene na slici:

konačna i iznosi 𝜋𝜋.

�𝑑𝑑𝑥𝑥

1 + 𝑥𝑥2

+∞

−∞

kraća oznaka za lim𝑥𝑥→−∞

arctg𝑥𝑥, odnosno, lim𝑥𝑥→+∞

arctg𝑥𝑥

63

primjer:

� 𝑒𝑒𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥+∞

0

= lim𝑅𝑅→+∞

� 𝑒𝑒𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥𝑅𝑅

0


𝑒𝑒𝑥𝑥 𝑅𝑅0


(𝑒𝑒𝑅𝑅 − 1) = +∞

Ovaj nesvojstveni integral divergira, što geometrijski, kao na slici ispod:

znači da je površina označene neograničene figure beskonačna.

primjer:

� sin 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥+∞

0


� sin 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑅𝑅

0


(− cos 𝑥𝑥) 𝑅𝑅0

=


(1 − cos𝑅𝑅) = 1 − lim𝑅𝑅→+∞

cos𝑅𝑅

pa je dati nesvojstveni integral divergentan, jer lim𝑅𝑅→+∞

cos𝑅𝑅 ne postoji.

64

primjer:

Razlikujemo dva slučaja:

1) ako je 𝛼𝛼 = 1, tada je:

�𝑑𝑑𝑥𝑥𝑥𝑥

+∞

1



𝑅𝑅

1


ln 𝑥𝑥 𝑅𝑅1


ln𝑅𝑅 = +∞

što znači da dati integral divergira za 𝛼𝛼 = 1.

2) ako je 𝛼𝛼 ≠ 1, tada je:

�𝑑𝑑𝑥𝑥𝑥𝑥𝛼𝛼

+∞

1



𝑅𝑅

1


𝑥𝑥−𝛼𝛼+1

−𝛼𝛼 + 1 𝑅𝑅1


𝑅𝑅1−𝛼𝛼 + 11 − 𝛼𝛼

= �1

1 − 𝛼𝛼, 𝛼𝛼 > 1

+∞ , 𝛼𝛼 < 1

Dakle, ako je eksponent 𝛼𝛼 veći od 1, dati nesvojstveni integral konvergira, dok za 𝛼𝛼 ≤ 1 on divergira.

1.3.2 Nesvojstveni integrali neograničenih funkcija na ograničenom intervalu

Neka je 𝑓𝑓(𝑥𝑥) definisana na poluotvorenom intervalu [𝑎𝑎, 𝑏𝑏).

Za tačku 𝑥𝑥 = 𝑏𝑏 kažemo da je singularna tačka funkcije 𝑓𝑓(𝑥𝑥) ako je ta funkcija neograničena u svakoj 𝜖𝜖-okolini te tačke, ali je ograničena na svakom zatvorenom intervalu [𝑎𝑎, 𝑏𝑏 − 𝜖𝜖].

Ukoliko funkcija zadovoljava te uslove, onda određeni integral:


𝑎𝑎

ne postoji, jer integralna suma, u tom slučaju, teži u beskonačnost. Iz tog razloga je ograničenost bio neophodan uslov za integrabilnost funkcije u Rimanovom smislu.


+∞

1

, 𝛼𝛼 ∈ ℝ

65

Taj integral naziva se nesvojstveni integral druge vrste i definiše na sljedeći način:


𝑎𝑎

≝ lim𝜖𝜖→0+0

� 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥𝑏𝑏−𝜖𝜖

𝑎𝑎

Mi pretpostavljamo da je funkcija 𝑓𝑓 integrabilna, a samim tim i ograničena na svakom od intervala [𝑎𝑎, 𝑏𝑏 − 𝜖𝜖]. Ukoliko je 𝑓𝑓 ograničena na čitavom zatvorenom intervalu [𝑎𝑎, 𝑏𝑏], onda ∫ 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥𝑏𝑏

𝑎𝑎 postaje određeni integral. Zato nesvojstveni

integral druge vrste predstavlja uopštenje određenog integrala za funkcije koje nisu ograničene na ograničenom intervalu.

Na slici ispod vidimo i geometrijski prikaz funkcije koja zadovoljava prethodnu definiciju:

Na sličan način se definiše i drugi slučaj nesvojstvenog integrala druge vrste.

Neka je 𝑓𝑓: (𝑎𝑎, 𝑏𝑏] → ℝ integrabilna na svakom zatvorenom intervalu [𝑎𝑎 + 𝜖𝜖, 𝑏𝑏].

Odnosno, sada je 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎 singularna tačka funkcije 𝑓𝑓(𝑥𝑥). Nesvojstveni integral druge vrste funkcije 𝑓𝑓(𝑥𝑥) se sada definiše na sljedeći način:


𝑎𝑎

≝ lim𝜖𝜖→0+0

� 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥𝑏𝑏

𝑎𝑎+𝜖𝜖

Geometrijski, to izgleda ovako:

66

Treći slučaj nesvojstvenog integrala druge vrste, za funkciju 𝑓𝑓: [𝑎𝑎, 𝑐𝑐) ∪ (𝑐𝑐, 𝑏𝑏] → ℝ, gdje je 𝑥𝑥 = 𝑐𝑐 singularna tačka te funkcije, definiše se na sljedeći način:


𝑎𝑎

= lim𝜖𝜖→0+0

� 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥𝑐𝑐−𝜖𝜖

𝑎𝑎

+ lim𝜖𝜖→0+0

� 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥𝑏𝑏

𝑐𝑐+𝜖𝜖

Da bi ovaj nesvojstveni integral bio konvergentan, oba limesa iz definicije moraju da postoje i da budu konačni.

primjer:

Kada 𝑥𝑥 → 0, vrijednost ove funkcije teži u beskonačnost, pa je 𝑥𝑥 = 0 singularna tačka ove funkcije, odnosno ovo nije određeni integral, već nesvojstveni integral druge vrste.

Razlikujemo dva slučaja:

1) Ako je 𝛼𝛼 = 1, tada je:


1

0

= lim𝜖𝜖→0+0


1

𝜖𝜖

= lim𝜖𝜖→0+0

ln 𝑥𝑥 1𝜖𝜖

= lim𝜖𝜖→0+0

(− ln 𝜖𝜖) = +∞

odnosno, za 𝛼𝛼 = 1, ovaj nesvojstveni integral je divergentan.

2) Ako je 𝛼𝛼 ≠ 1, odnosno 𝛼𝛼 ∈ (0,1) ∪ (1, +∞), tada je:


1

0

= lim𝜖𝜖→0+0


1

𝜖𝜖

= lim𝜖𝜖→0+0

𝑥𝑥−𝛼𝛼+1

−𝛼𝛼 + 1

1𝜖𝜖

= �+∞ , 𝛼𝛼 > 11

1 − 𝛼𝛼, 𝛼𝛼 ∈ (0,1)

U vezi sa ispitivanjem konvergencije nesvojstvenih integrala prve vrste, definišemo teoremu (test poređenja) pomoću koje možemo da utvrdimo da li neki nesvojstveni integral prve vrste konvergira ili divergira.


1

0

, 𝛼𝛼 > 0

67

Teorema 11: Ako su funkcije 𝑓𝑓(𝑥𝑥) i 𝑔𝑔(𝑥𝑥) neprekidne na intervalu [𝑎𝑎, +∞) i ako je 0 ≤ 𝑓𝑓(𝑥𝑥) ≤ 𝑔𝑔(𝑥𝑥) na tom intervalu, tada iz konvergencije integrala:

� 𝑔𝑔(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥+∞

0

slijedi konvergencija integrala:

� 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥∞

0

dok divergencija drugog integrala povlači divergenciju prvog.

primjer: Ispitati konvergenciju integrala

- Ako uporedimo podintegralnu funkciju sa funkcijom 1

𝑥𝑥2 , primjećujemo da je:

1𝑥𝑥2(1 + 𝑥𝑥2) <

1𝑥𝑥2

, ∀𝑥𝑥 ∈ [1, +∞)

Kako je integral ∫ 1𝑥𝑥2

+∞1 konvergentan, na osnovu testa poređenja zaključujemo

da je i integral ∫ 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑥𝑥2(1+𝑥𝑥2)

+∞1 takođe konvergentan.

primjer: Ispitati konvergenciju integrala

- Ako uporedimo podintegralnu funkciju sa funkcijom 1

2√𝑥𝑥 , primjećujemo da je:

12√𝑥𝑥

=√𝑥𝑥2𝑥𝑥

=√𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑥𝑥

≤√𝑥𝑥

1 + 𝑥𝑥 , ∀𝑥𝑥 ∈ [1, +∞)

Kako je integral ∫ 𝑑𝑑𝑥𝑥2√𝑥𝑥

+∞1 divergentan (to smo utvrdili na jednom od

prethodnih primjera za 𝛼𝛼 = 12

< 1), na osnovu testa poređenja zaključujemo da

je i integral ∫ √𝑥𝑥1+𝑥𝑥

𝑑𝑑𝑥𝑥+∞1 takođe divergentan.

�𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑥𝑥2(1 + 𝑥𝑥2)

+∞

1

�√𝑥𝑥

1 + 𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥

+∞

1

68

REDOVI

2.0 Uvod

Neka je data suma:

12

+14

+12

+1

16+

132

+⋅⋅⋅ +1

2𝑙𝑙+⋅⋅⋅= �

12𝑙𝑙

+∞

𝑙𝑙=1

Geometrijski, tu sumu možemo zamisliti na sljedeći način:

Ako bismo uzeli površinu kvadrata stranica dužine 1, kao na slici, vidimo da zbir svih segmenata na koje je površina podijeljena:

12

+14

+18

+1

16⋅⋅⋅

teži ukupnoj površini kvadrata, a ona je jednaka 1.

Kako je površina ovog kvadrata jednaka 1, možemo zaključiti i da je:

�1

2𝑙𝑙

+∞

𝑙𝑙=1

= 1

2.1 Brojevni redovi

Posmatrajmo brojevni niz 𝑎𝑎1,𝑎𝑎2,𝑎𝑎3, … ,𝑎𝑎𝑙𝑙, …

Izraz oblika:

𝑎𝑎1 + 𝑎𝑎2 + 𝑎𝑎3 +⋅⋅⋅ +𝑎𝑎𝑙𝑙 +⋅⋅⋅= �𝑎𝑎𝑙𝑙

∞

𝑙𝑙=1

naziva se brojevni red ili samo red. Brojevi 𝑎𝑎1,𝑎𝑎2,𝑎𝑎3, … , 𝑎𝑎𝑙𝑙, … su članovi tog reda. Broj 𝑎𝑎𝑙𝑙 naziva se opšti član tog reda.

69

Definišimo sume:

𝑆𝑆1 = 𝑎𝑎1

𝑆𝑆2 = 𝑎𝑎1 + 𝑎𝑎2

𝑆𝑆3 = 𝑎𝑎1 + 𝑎𝑎2 + 𝑎𝑎3

⋮

𝑆𝑆𝑙𝑙 = 𝑎𝑎1 + 𝑎𝑎2 + 𝑎𝑎3 +⋅⋅⋅ +𝑎𝑎𝑙𝑙

Ove sume nazivaju se parcijalne sume brojevnog reda čiji je opšti član 𝑎𝑎𝑙𝑙.

Formirajmo novi brojevni niz:

{𝑆𝑆𝑙𝑙} = 𝑐𝑐1, 𝑐𝑐2, 𝑐𝑐3, … , 𝑐𝑐𝑙𝑙

Taj niz naziva se niz parcijalnih suma. Suma 𝑆𝑆𝑙𝑙 naziva se 𝑠𝑠-ta parcijalna suma.

Prvo pitanje koje sebi postavljamo je da li taj niz parcijalnih suma konvergira ili divergira.

Ako je 𝑆𝑆𝑙𝑙 konvergentan niz i ako je:

lim𝑙𝑙→∞

𝑆𝑆𝑙𝑙 = 𝑆𝑆

tada kažemo da je red:

�𝑎𝑎𝑙𝑙

∞

𝑙𝑙=1

konvergentan i da je njegova suma 𝑆𝑆, tj.

�𝑎𝑎𝑙𝑙

∞

𝑙𝑙=1

= 𝑆𝑆

Ako brojevni red nije konvergentan, onda on nema sumu, odnosno, on divergira.

70

primjer: Neka je dat brojevni red:

1 + 2 + 3 +⋅⋅⋅ +𝑠𝑠 +⋅⋅⋅= �𝑠𝑠∞

𝑙𝑙=1

𝑠𝑠-ta parcijalna suma tog reda je 𝑆𝑆𝑙𝑙 = 1 + 2 + 3 +⋅⋅⋅ +𝑠𝑠 = 𝑙𝑙 (𝑙𝑙+1)2

.

Ako pustimo da 𝑠𝑠 → ∞, tj:

lim𝑙𝑙→∞

𝑆𝑆𝑙𝑙 = lim𝑙𝑙→∞

𝑠𝑠 (𝑠𝑠 + 1)2

= +∞

vidimo da ovaj red nema sumu, odnosno, on divergira.

primjer: Vratimo se na primjer koji smo dali u uvodu. Neka je dat red:

12

+1

22+

123

+⋅⋅⋅ +1

2𝑙𝑙+⋅⋅⋅= �

12𝑙𝑙

∞

𝑙𝑙=1

Njegova 𝑠𝑠-ta parcijalna suma je:

𝑆𝑆𝑙𝑙 =12

+1

22+

123

+⋅⋅⋅ +1

2𝑙𝑙

Ova suma je suma geometrijske progresije.

Geometrijska progresija je niz oblika 𝑎𝑎, 𝑎𝑎𝑎𝑎,𝑎𝑎𝑎𝑎2,𝑎𝑎𝑎𝑎3,𝑎𝑎𝑎𝑎4, … (𝑎𝑎 ≠ 0). Ukoliko definišemo geometrijski red kao:

𝑎𝑎 + 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑎𝑎𝑎𝑎2 + 𝑎𝑎𝑎𝑎3 + 𝑎𝑎𝑎𝑎4 + ⋅⋅⋅ = �𝑎𝑎𝑎𝑎𝑙𝑙−1∞

𝑙𝑙=1

njegova 𝑠𝑠-ta parcijalna suma (označićemo je sa 𝐺𝐺𝑙𝑙) je tada:

𝐺𝐺𝑙𝑙 = 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑎𝑎𝑎𝑎2 + 𝑎𝑎𝑎𝑎3 +⋅⋅⋅ +𝑎𝑎𝑎𝑎𝑙𝑙−1

i pokazuje se da je ona jednaka:

𝐺𝐺𝑙𝑙 = 𝑎𝑎 ⋅1 − 𝑎𝑎𝑙𝑙

1 − 𝑎𝑎= �

𝑎𝑎1 − 𝑎𝑎

, |𝑎𝑎| < 1

+∞ , |𝑎𝑎| ≥ 1

71

Slijedi da je 𝑠𝑠-ta parcijalna suma iz našeg primjera jednaka:

𝑆𝑆𝑙𝑙 =12⋅

1 − 12𝑙𝑙

1 − 12

= 1 −1

2𝑙𝑙

Pa kada pustimo da 𝑠𝑠 → ∞ slijedi:

lim𝑙𝑙→∞


�1 −1

2𝑙𝑙� = 1

što smo i prethodno bili logički zaključili, ovaj red je konvergentan i njegova suma je 1.

primjer: Neka je dat niz 𝑎𝑎𝑙𝑙 = 1,−1,1,−1,1,−1,1,−1, … Formirajmo red:

�(−1)𝑙𝑙∞

𝑙𝑙=1

= 1 + (−1) + 1 + (−1) +⋅⋅⋅

Njegove parcijalne sume su:

𝑐𝑐1 = 1

𝑐𝑐2 = 0

𝑐𝑐3 = 1

𝑐𝑐4 = 0

⋮

Odnosno, niz parcijalnih suma je tada:

𝑆𝑆𝑙𝑙 = 1,0,1,0,1,0, …

Ukoliko definišemo dva podniza ovog niza, jedan sa neparnim, a drugi sa parnim indeksima, dobijamo:

𝑆𝑆𝑙𝑙1 = 1,1,1,1, …

𝑆𝑆𝑙𝑙2 = 0,0,0,0, …

Granične vrijednosti ova dva niza su redom 1 i 0. Odnosno, skup svih graničnih vrijednosti niza 𝑆𝑆𝑙𝑙 je 𝐺𝐺 = {0,1}.

72

Najmanji element skupa 𝐺𝐺 naziva se limes inferior niza 𝑆𝑆𝑙𝑙 i on je jednak:

lim 𝑆𝑆𝑙𝑙 = lim inf𝑆𝑆𝑙𝑙 = 0

Najveći element skupa 𝐺𝐺 naziva se limes superior niza 𝑆𝑆𝑙𝑙 i on je jednak:

lim 𝑆𝑆𝑙𝑙 = lim sup 𝑆𝑆𝑙𝑙 = 1

Vidimo da oni nisu jednaki, pa ovaj red divergira.

primjer: Posmatrajmo red:

11 ⋅ 2

+1

2 ⋅ 3+

13 ⋅ 4

+⋅⋅⋅ +1

𝑠𝑠 (𝑠𝑠 + 1) +⋅⋅⋅= �1

𝑠𝑠 (𝑠𝑠 + 1)

∞

𝑙𝑙=1

- njegova 𝑠𝑠-ta parcijalna suma je:

𝑆𝑆𝑙𝑙 =1

1 ⋅ 2+

12 ⋅ 3

+1

3 ⋅ 4+⋅⋅⋅ +

1𝑠𝑠 (𝑠𝑠 + 1)

Kako za svako 𝑠𝑠 važi:

1𝑠𝑠 (𝑠𝑠 + 1) =

1𝑠𝑠−

1𝑠𝑠 + 1

imamo:

𝑆𝑆𝑙𝑙 = �1 −12� + �

12−

13� + �

13−

14� +⋅⋅⋅ + �

1𝑠𝑠−

1𝑠𝑠 + 1

�

- svi članovi osim prvog i posljednjeg će se poništiti i dobijamo:

𝑆𝑆𝑙𝑙 = 1 −1

𝑠𝑠 + 1

Sada je:

lim𝑙𝑙→∞


�1 −1

𝑠𝑠 + 1� = 1

Dati red je konvergentan i njegova suma je 1.

73

2.2 Svojstva konvergentnih redova

Navešćemo sada nekoliko teorema kojima se uspostavljaju neka važna svojstva konvergentnih redova.

Sljedeća teorema tvrdi da odbacivanje nekoliko prvih članova reda ne utiče na njegovu konvergenciju.

Teorema 1: Ako je red:

𝑎𝑎1 + 𝑎𝑎2 + 𝑎𝑎3 +⋅⋅⋅ +𝑎𝑎𝑘𝑘 + 𝑎𝑎𝑘𝑘+1 +⋅⋅⋅ +𝑎𝑎𝑙𝑙−1 + 𝑎𝑎𝑙𝑙 +⋅⋅⋅ = �𝑎𝑎𝑙𝑙

∞

𝑙𝑙=1

konvergentan, tada je i red:

𝑎𝑎𝑘𝑘+1 + 𝑎𝑎𝑘𝑘+2 + 𝑎𝑎𝑘𝑘+3 + 𝑎𝑎𝑙𝑙−1 + 𝑎𝑎𝑙𝑙 +⋅⋅⋅ = � 𝑎𝑎𝑙𝑙

∞

𝑙𝑙=𝑘𝑘+1

konvergentan. Važi i obrnuto, ako je drugi red konvergentan, tada je i prvi red konvergentan.

Dokaz: Potrebno je dokazati ekvivalenciju:

Pretpostavimo da je red ∑ 𝑎𝑎𝑙𝑙∞𝑙𝑙=1 konvergentan i da je:

lim𝑙𝑙→∞


gdje je 𝑆𝑆𝑙𝑙 = 𝑎𝑎1 + 𝑎𝑎2 + 𝑎𝑎3 +⋅⋅⋅ +𝑎𝑎𝑙𝑙.

Primijetimo da je: 𝑆𝑆𝑙𝑙 = 𝑆𝑆𝑘𝑘 + σn−k

gdje je 𝜎𝜎𝑙𝑙−𝑘𝑘 = 𝑎𝑎𝑘𝑘+1 + 𝑎𝑎𝑘𝑘+2 + 𝑎𝑎𝑘𝑘+3 +⋅⋅⋅ +𝑎𝑎𝑙𝑙.

Ako je lim𝑙𝑙→∞

𝑆𝑆𝑙𝑙 = 𝑆𝑆 onda je:

lim𝑙𝑙→∞

𝜎𝜎𝑙𝑙−𝑘𝑘 = lim𝑙𝑙→∞

(𝑆𝑆𝑙𝑙 − 𝑎𝑎1 − 𝑎𝑎2 −⋅⋅⋅ −𝑎𝑎𝑘𝑘) = 𝑆𝑆 − 𝑎𝑎1 − 𝑎𝑎2 −⋅⋅⋅ −𝑎𝑎𝑘𝑘

čime je desna implikacija dokazana.

konvergencija �𝑎𝑎𝑙𝑙

∞

𝑙𝑙=1

� 𝑎𝑎𝑙𝑙

∞

𝑙𝑙=𝑘𝑘+1

⇔ konvergencija

74

Obrnuto, pretpostavimo da je red ∑ 𝑎𝑎𝑙𝑙∞𝑙𝑙=𝑘𝑘+1 konvergentan. Tada na isti način,

pod pretpostavkom da je:

lim𝑙𝑙→∞

𝜎𝜎𝑙𝑙−𝑘𝑘 = 𝑆𝑆

dobijamo da je:

lim𝑙𝑙→∞


(𝜎𝜎𝑙𝑙−𝑘𝑘 + 𝑎𝑎1 + 𝑎𝑎2 +⋅⋅⋅ +𝑎𝑎𝑘𝑘) = 𝑆𝑆 + 𝑎𝑎1 + 𝑎𝑎2 +⋅⋅⋅ +𝑎𝑎𝑘𝑘

pa je tvrđenje dokazano.

Teorema 2: Ako je red konvergentan i ako je njegova suma 𝑆𝑆, tada je i red konvergentan i njegova suma je 𝑐𝑐 ⋅ 𝑆𝑆.

Dokaz: Neka je 𝑆𝑆𝑙𝑙 𝑠𝑠-ta parcijalna suma reda ∑ 𝑎𝑎𝑙𝑙∞

𝑙𝑙=1 i 𝜎𝜎𝑙𝑙 𝑠𝑠-ta parcijalna suma

reda ∑ 𝑐𝑐 ⋅ 𝑎𝑎𝑙𝑙∞𝑙𝑙=1 , tada je 𝜎𝜎𝑙𝑙 = 𝑐𝑐 ⋅ 𝑆𝑆𝑙𝑙.

Ako je lim𝑙𝑙→∞

𝑆𝑆𝑙𝑙 = 𝑆𝑆, tada je lim𝑙𝑙→∞

𝜎𝜎𝑙𝑙 = lim𝑙𝑙→∞

𝑐𝑐 ⋅ 𝑆𝑆𝑙𝑙 = 𝑐𝑐 ⋅ lim𝑙𝑙→∞

𝑆𝑆𝑙𝑙 = 𝑐𝑐 ⋅ 𝑆𝑆, tj. ako je:

�𝑎𝑎𝑙𝑙

∞

𝑙𝑙=1

= 𝑆𝑆

onda je i:

�𝑐𝑐 ⋅ 𝑎𝑎𝑙𝑙

∞

𝑙𝑙=1

= 𝑐𝑐 ⋅ 𝑆𝑆

što je i trebalo dokazati.

Teorema 3: Ako su redovi konvergentni i ako su 𝑆𝑆 i 𝜎𝜎 njihove sume redom, tada je i red konvergentan i njegova suma je 𝑆𝑆 ± 𝜎𝜎.

�𝑎𝑎𝑙𝑙

∞

𝑙𝑙=1

�𝑐𝑐 ⋅ 𝑎𝑎𝑙𝑙

∞

𝑙𝑙=1

, (𝑐𝑐 ∈ ℝ)

�𝑎𝑎𝑙𝑙

∞

𝑙𝑙=1

�𝑏𝑏𝑙𝑙

∞

𝑙𝑙=1

i

�(𝑎𝑎𝑙𝑙 ± 𝑏𝑏𝑙𝑙)∞

𝑙𝑙=1

75

Dokaz: Neka su 𝑆𝑆𝑙𝑙,𝜎𝜎𝑙𝑙, 𝜏𝜏𝑙𝑙 𝑠𝑠-te parcijalne sume redova ∑ 𝑎𝑎𝑙𝑙∞𝑙𝑙=1 , ∑ 𝑏𝑏𝑙𝑙∞

𝑙𝑙=1 i

∑ (𝑎𝑎𝑙𝑙 ± 𝑏𝑏𝑙𝑙)∞𝑙𝑙=1 redom. Kako je:

𝜏𝜏𝑙𝑙 = (𝑎𝑎1 ± 𝑏𝑏1) + (𝑎𝑎2 ± 𝑏𝑏2) +⋅⋅⋅ +(𝑎𝑎𝑙𝑙 ± 𝑏𝑏𝑙𝑙) =

= (𝑎𝑎1 + 𝑎𝑎2 +⋅⋅⋅ +𝑎𝑎𝑙𝑙) ± (𝑏𝑏1 + 𝑏𝑏2 +⋅⋅⋅ +𝑏𝑏𝑙𝑙) = 𝑆𝑆𝑙𝑙 ± 𝜎𝜎𝑙𝑙

imamo:

lim𝑙𝑙→∞

𝜏𝜏𝑙𝑙 = lim𝑙𝑙→∞

(𝑆𝑆𝑙𝑙 ± 𝜎𝜎𝑙𝑙) = lim𝑙𝑙→∞

𝑆𝑆𝑙𝑙 ± lim𝑙𝑙→∞

𝜎𝜎𝑙𝑙 = 𝑆𝑆 ± 𝜎𝜎


2.3 Neophodan uslov konvergencije reda

U vezi sa redovima glavno pitanje koje se postavlja je da li je neki red konvergentan. Mi ćemo se uglavnom baviti tim pitanjem. Ukoliko je neki red konvergentan, tek onda prelazimo na zadatak nalaženja njegove sume. Ukoliko je red divergentan, on nema sumu, pa je besmisleno prelaziti na traženje sume reda bez da smo ustanovili njegovu konvergenciju.

U vezi sa tim, navodimo sljedeće tvrđenje koje daje neophodan uslov konvergencije reda.

Teorema 4: Ako je red konvergentan, tada je:

Ono što ova teorema daje je potreban (neophodan) uslov za konvergenciju reda. Mi ćemo pored toga dokazati da ovo, ipak, nije dovoljan uslov za konvergenciju reda, odnosno, da važi samo implikacija:

ali ne i obrnutno.

�𝑎𝑎𝑙𝑙

∞

𝑙𝑙=1

lim𝑙𝑙→∞

𝑎𝑎𝑙𝑙 = 0

�𝑎𝑎𝑙𝑙

∞

𝑙𝑙=1

konvergentan lim𝑙𝑙→∞

𝑎𝑎𝑙𝑙 = 0 ⇒

76

Dokaz: Pretpostavimo da je red ∑ 𝑎𝑎𝑙𝑙∞𝑙𝑙=1 konvergentan. To znači da:

∃ lim𝑙𝑙→∞


Ukoliko uzmemo dvije parcijalne sume tog reda, npr:

𝑆𝑆𝑙𝑙−1 = 𝑎𝑎1 + 𝑎𝑎2 +⋅⋅⋅ +𝑎𝑎𝑙𝑙−1

𝑆𝑆𝑙𝑙 = 𝑎𝑎1 + 𝑎𝑎2 +⋅⋅⋅ +𝑎𝑎𝑙𝑙−1 + 𝑎𝑎𝑙𝑙

i oduzmemo ih, dobijamo:

𝑆𝑆𝑙𝑙 − 𝑆𝑆𝑙𝑙−1 = 𝑎𝑎𝑙𝑙

Odnosno, opšti član ovog reda možemo predstaviti kao razliku njegovih parcijalnih suma.

Ako znamo da je:

lim𝑙𝑙→∞


tada je:

lim𝑙𝑙→∞

𝑎𝑎𝑙𝑙 = lim𝑙𝑙→∞

(𝑆𝑆𝑙𝑙 − 𝑆𝑆𝑙𝑙−1) = 𝑆𝑆 − 𝑆𝑆 = 0


Sada ćemo vidjeti da implikacija:

ne važi.

Da bi dokazali da nešto ne važi, dovoljno je navesti jedan kontraprimjer.

Neka je dat red:

1 +12

+13

+14

+⋅⋅⋅ +1𝑠𝑠

+⋅⋅⋅ = �1𝑠𝑠

∞

𝑙𝑙=1

Ovaj red je poznat kao harmonijski red.

Pretpostavimo da je harmonijski red konvergentan, odnosno da:



lim𝑙𝑙→∞

𝑎𝑎𝑙𝑙 = 0 ⇒ konvergentan �𝑎𝑎𝑙𝑙

∞

𝑙𝑙=1

77

Onda je takođe i:

lim𝑙𝑙→∞

𝑆𝑆2𝑙𝑙 = 𝑆𝑆

gdje je 𝑆𝑆2𝑙𝑙 = 𝑆𝑆𝑙𝑙 + 𝑎𝑎𝑙𝑙+1 + 𝑎𝑎𝑙𝑙+2 +⋅⋅⋅ +𝑎𝑎2𝑙𝑙.

Iz teoreme slijedi da razlika te dvije parcijalne sume teži 0 kada 𝑠𝑠 → ∞, odnosno:

lim𝑙𝑙→∞

(𝑆𝑆2𝑙𝑙 − 𝑆𝑆𝑙𝑙) = 0

S druge strane, ako posmatramo sada tu razliku:

𝑆𝑆2𝑙𝑙 − 𝑆𝑆𝑙𝑙 =1

𝑠𝑠 + 1+

1𝑠𝑠 + 2

+⋅⋅⋅ +1

2𝑠𝑠

Primijetimo sljedeće:

1𝑠𝑠 + 1

>1

2𝑠𝑠 ,

1𝑠𝑠 + 2

>1

2𝑠𝑠 , …,

12𝑠𝑠 − 1

>1

2𝑠𝑠

To znači da je:

𝑆𝑆2𝑙𝑙 − 𝑆𝑆𝑙𝑙 >1

2𝑠𝑠+

12𝑠𝑠

+⋅⋅⋅ +1

2𝑠𝑠= 𝑠𝑠 ⋅

12𝑠𝑠

=12

* Ako su svi članovi niza 𝑎𝑎𝑙𝑙 ≥ 𝑎𝑎, onda je i lim𝑙𝑙→∞

𝑎𝑎𝑙𝑙 ≥ 𝑎𝑎.

Isto važi i za naš niz 𝑆𝑆2𝑙𝑙 − 𝑆𝑆𝑙𝑙:

Međutim, iz uslova teoreme bi moralo da važi:

lim𝑙𝑙→∞

(𝑆𝑆2𝑙𝑙 − 𝑆𝑆𝑙𝑙) = 0

da bi red bio konvergentan.

Samim tim, došli smo do kontradikcije.

Znači, obrnuta implikacija u tvrđenju ne važi, jer je:

𝑆𝑆2𝑙𝑙 − 𝑆𝑆𝑙𝑙 >12

⇒ lim𝑙𝑙→∞

(𝑆𝑆2𝑙𝑙 − 𝑆𝑆𝑙𝑙) >12

lim𝑙𝑙→∞

1𝑠𝑠

= 0 �1𝑠𝑠

∞

𝑙𝑙=1

, ali je red divergentan (divergira u +∞ jer su mu svi članovi pozitivni)

78

Zaključujemo da je lim𝑙𝑙→∞

𝑎𝑎𝑙𝑙 = 0 samo potreban, ali ne i dovoljan uslov za

konvergenciju reda ∑ 𝑎𝑎𝑙𝑙∞𝑙𝑙=1 .

primjer: Utvrditi da li red konvergira.

Opšti član ovog reda je 𝑎𝑎𝑙𝑙 = 2𝑙𝑙2−3𝑙𝑙+13𝑙𝑙2+4𝑙𝑙−2

i on teži ka 23 kada 𝑠𝑠 → ∞. Odmah

zaključujemo da dati red divergira, jer, da je on bio konvergentan, morao je biti ispunjen neophodan uslov konvergencije reda, a to je:

lim𝑙𝑙→∞

𝑎𝑎𝑙𝑙 = 0


Njegov opšti član je 𝑎𝑎𝑙𝑙 = �1 + 1𝑙𝑙�𝑙𝑙 i kada 𝑠𝑠 → ∞, 𝑎𝑎𝑙𝑙 teži broju 𝑒𝑒. Samim tim,

zaključujemo da ovaj red divergira.


Opšti član ovog reda teži 0 kada 𝑠𝑠 → ∞, što znači da je neophodan uslov konvergencije ispunjen. Međutim, to nije dovoljan uslov da kažemo da ovaj red konvergira, pa sa sigurnošću ne možemo ustanoviti njegovu konvergenciju koristeći se prethodnom teoremom.

�2𝑠𝑠2 − 3𝑠𝑠 + 13𝑠𝑠2 + 4𝑠𝑠 − 2

∞

𝑙𝑙=1

��1 +1𝑠𝑠�𝑙𝑙∞

𝑙𝑙=1

�𝑠𝑠2 − 2𝑠𝑠 + 1𝑠𝑠3 + 4𝑠𝑠2 − 1

∞

𝑙𝑙=1

79

2.4 Redovi sa nenegativnim članovima

Sada ćemo ustanoviti neke dovoljne uslove za konvergenciju redova sa nenegativnim članovima, tj. redove oblika:

�𝑎𝑎𝑙𝑙

∞

𝑙𝑙=1

, 𝑎𝑎𝑙𝑙 ≥ 0

Teorema 5: Red sa nenegativnim članovima (𝑎𝑎𝑙𝑙 ≥ 0) je konvergentan ako i samo ako je niz parcijalnih suma tog reda ograničen.

Dokaz: Ako je red ∑ 𝑎𝑎𝑙𝑙∞𝑙𝑙=1 konvergentan, tada je niz {𝑆𝑆𝑙𝑙} njegovih parcijalnih

suma konvergentan, pa ja taj niz i ograničen.

Obrnuto, neka je niz parcijalnih suma tog reda ograničen. Kako je ∑ 𝑎𝑎𝑙𝑙∞𝑙𝑙=1

red sa nenegativnim članovima, tada je 𝑆𝑆1 ≤ 𝑆𝑆2 ≤ 𝑆𝑆3 ≤ ⋅⋅⋅ ≤ 𝑆𝑆𝑙𝑙 ≤ 𝑆𝑆𝑙𝑙+1 ≤ ⋅⋅⋅ Iz činjenice da je niz {𝑆𝑆𝑙𝑙} monoton (monotono neopadajući) i ograničen, slijedi da je on i konvergentan.

Tako je teorema dokazana.

Teorema 6 (test poređenja): Neka su redovi sa nenegativnim članovima i neka je 𝑎𝑎𝑙𝑙 ≤ 𝑏𝑏𝑙𝑙 za sve 𝑠𝑠. Tada konvergencija reda

povlači konvergenciju reda dok divergencija reda

povlači divergenciju reda

�𝑎𝑎𝑙𝑙

∞

𝑙𝑙=1

�𝑎𝑎𝑙𝑙

∞

𝑙𝑙=1

�𝑏𝑏𝑙𝑙

∞

𝑙𝑙=1

i

�𝑏𝑏𝑙𝑙

∞

𝑙𝑙=1

�𝑎𝑎𝑙𝑙

∞

𝑙𝑙=1

, �𝑎𝑎𝑙𝑙

∞

𝑙𝑙=1

,

�𝑏𝑏𝑙𝑙

∞

𝑙𝑙=1

.

80

Dokaz: Neka su 𝑆𝑆𝑙𝑙 i 𝜎𝜎𝑙𝑙 parcijalne sume redova ∑ 𝑎𝑎𝑙𝑙∞𝑙𝑙=1 i ∑ 𝑏𝑏𝑙𝑙∞

𝑙𝑙=1 redom.

S obzirom na to da je 𝑎𝑎𝑙𝑙 ≤ 𝑏𝑏𝑙𝑙 za sve 𝑠𝑠, imamo da je:

Ako je red ∑ 𝑏𝑏𝑙𝑙∞𝑙𝑙=1 konvergentan, tada je i niz {𝜎𝜎𝑙𝑙} konvergentan, pa je on

i ograničen, tj. 𝜎𝜎𝑙𝑙 ≤ 𝑀𝑀 za neko 𝑀𝑀 i za svako 𝑠𝑠. Tada je i 𝑆𝑆𝑙𝑙 ≤ 𝑀𝑀 za svako 𝑠𝑠, tj. i niz {𝑆𝑆𝑙𝑙} je ograničen. S obzirom na prethodnu teoremu, to znači da je red ∑ 𝑎𝑎𝑙𝑙∞

𝑙𝑙=1 konvergentan, jer je 𝑎𝑎𝑙𝑙 ≥ 0, za svako 𝑠𝑠.

Neka je sada red ∑ 𝑎𝑎𝑙𝑙∞𝑙𝑙=1 divergentan. Ako bismo pretpostavili da je red

∑ 𝑏𝑏𝑙𝑙∞𝑙𝑙=1 konvergentan, tada je prema onome što smo dokazali morao i red

∑ 𝑎𝑎𝑙𝑙∞𝑙𝑙=1 biti konvergentan. Ali, to je u suprotnosti sa pretpostavkom, pa se

ta pretpostavka mora odbaciti. Znači, i red ∑ 𝑏𝑏𝑙𝑙∞𝑙𝑙=1 je divergentan.

primjer: Prema testu poređenja red je konvergentan, jer je

primjer: Prema testu poređenja red je divergentan, jer je

- ovdje završava četvrto predavanje (17.03.2016).

𝑆𝑆𝑙𝑙 ≤ 𝜎𝜎𝑙𝑙, za sve 𝑠𝑠

�1

(𝑠𝑠 + 1)𝑙𝑙+1

∞

𝑙𝑙=1

1(𝑙𝑙+1)𝑛𝑛+1 ≤

12𝑛𝑛+1

za sve 𝑠𝑠, a geometrijski red je konvergentan.

�1𝑠𝑠𝑠𝑠

∞

𝑙𝑙=1

, 𝑐𝑐 ≤ 1

1𝑙𝑙≤ 1

𝑙𝑙𝑠𝑠 za sve 𝑠𝑠, a harmonijski red je divergentan.

81

Teorema 7 (Dalamberov test): Neka je red sa nenegativnim članovima i neka je:

lim𝑙𝑙→∞

𝑎𝑎𝑙𝑙+1𝑎𝑎𝑙𝑙

= 𝐷𝐷

Tada je za 𝐷𝐷 < 1 dati red konvergentan, a za 𝐷𝐷 > 1 divergentan. Ukoliko je 𝐷𝐷 = 1, ne možemo ništa reći o konvergenciji datog reda.

Dokaz: Neka je 𝐷𝐷 < 1. Prema definiciji granične vrijednosti, za graničnu

vrijednost:

lim𝑙𝑙→∞


= 𝐷𝐷

važi da za svako 𝜖𝜖 > 0 postoji prirodan broj 𝑁𝑁, tako da je za svako 𝑠𝑠 ≥ 𝑁𝑁:

�𝑎𝑎𝑙𝑙+1𝑎𝑎𝑙𝑙

− 𝐷𝐷� < 𝜖𝜖

odnosno, za svako 𝑠𝑠 ≥ 𝑁𝑁 važi:

𝐷𝐷 − 𝜖𝜖 <𝑎𝑎𝑙𝑙+1𝑎𝑎𝑙𝑙

< 𝐷𝐷 + 𝜖𝜖

Kako je 𝐷𝐷 < 1, možemo izabrati 𝜖𝜖 tako da je zbir 𝐷𝐷 + 𝜖𝜖 takođe manji od 1. Nazovimo taj zbir novim brojem 𝑑𝑑. Tada je 𝐷𝐷 + 𝜖𝜖 = 𝑑𝑑 < 1.

Sada, iz prethodno definisane nejednakosti:


< 𝐷𝐷 + 𝜖𝜖

važi da je:


< 𝑑𝑑

odnosno:

𝑎𝑎𝑙𝑙+1 < 𝑑𝑑 ⋅ 𝑎𝑎𝑙𝑙 , ∀ 𝑠𝑠 ≥ 𝑁𝑁

�𝑎𝑎𝑙𝑙

∞

𝑙𝑙=1

82

Pošto dobijena nejednakost važi za svako 𝑠𝑠 ≥ 𝑁𝑁, tada je i:

𝑎𝑎𝑙𝑙+2 < 𝑑𝑑 ⋅ 𝑎𝑎𝑙𝑙+1 = 𝑑𝑑 ⋅ 𝑑𝑑 ⋅ 𝑎𝑎𝑙𝑙 = 𝑑𝑑2 ⋅ 𝑎𝑎𝑙𝑙

tj.

𝑎𝑎𝑙𝑙+2 < 𝑑𝑑2 ⋅ 𝑎𝑎𝑙𝑙

Odnosno, u opštem slučaju, za svako 𝑠𝑠 ≥ 𝑁𝑁, važi:

𝑎𝑎𝑙𝑙+𝑘𝑘 < 𝑑𝑑𝑘𝑘 ⋅ 𝑎𝑎𝑙𝑙

Sada možemo posmatrati dva reda:

i

Pošto smo iz prethodnih nejednakosti vidjeli da je svaki član prvog reda manji od svakog člana drugog reda, važi da je, za svako 𝑠𝑠 ≥ 𝑁𝑁:


∞

𝑙𝑙=𝑁𝑁+1

< �𝑑𝑑𝑙𝑙 ⋅ 𝑎𝑎𝑁𝑁

∞

𝑙𝑙=1

, 𝑑𝑑 < 1

Na osnovu testa poređenja (teorema 6), konvergencija tog geometrijskog reda povlači i konvergenciju reda sa lijeve strane nejednakosti, pa je i red ∑ 𝑎𝑎𝑙𝑙∞𝑙𝑙=𝑁𝑁+1 takođe konvergentan. Sada, na osnovu teoreme 1, znamo da

dodavanje konačnog broja članova (u ovom slučaju 𝑁𝑁 članova) na red ∑ 𝑎𝑎𝑙𝑙∞𝑙𝑙=𝑁𝑁+1 ne utiče na njegovu konvergenciju. Tako zaključujemo da je i red:

�𝑎𝑎𝑙𝑙

∞

𝑙𝑙=1

takođe konvergentan za 𝐷𝐷 < 1, čime je prvi dio teoreme dokazan.

𝑎𝑎𝑁𝑁+1 + 𝑎𝑎𝑁𝑁+2 + 𝑎𝑎𝑁𝑁+3 ⋅⋅⋅ = � 𝑎𝑎𝑙𝑙

∞

𝑙𝑙=𝑁𝑁+1

𝑑𝑑 ⋅ 𝑎𝑎𝑁𝑁 + 𝑑𝑑2 ⋅ 𝑎𝑎𝑁𝑁 + 𝑑𝑑3 ⋅ 𝑎𝑎𝑁𝑁 ⋅⋅⋅ = �𝑑𝑑𝑙𝑙 ⋅ 𝑎𝑎𝑁𝑁

∞

𝑙𝑙=1

, 𝑑𝑑 < 1

Ovo je geometrijski red i on je konvergentan jer je 𝑑𝑑 < 1.

83

Neka je sada 𝐷𝐷 > 1. Tada, na sličan način, iz definicije granične vrijednosti, vrijedi:

𝐷𝐷 − 𝜖𝜖 <𝑎𝑎𝑙𝑙+1𝑎𝑎𝑙𝑙

Kako je 𝐷𝐷 > 1, možemo izabrati 𝜖𝜖 > 0 tako da je i razlika 𝐷𝐷 − 𝜖𝜖 takođe veća od 1. Nazovimo tu razliku brojem 𝑑𝑑. Tada je 𝐷𝐷 − 𝜖𝜖 = 𝑑𝑑 > 1.

Sada imamo da za svako 𝑠𝑠 ≥ 𝑁𝑁 važi:


> 𝑑𝑑 > 1

odnosno:

𝑎𝑎𝑙𝑙+1 > 𝑑𝑑 ⋅ 𝑎𝑎𝑙𝑙, ∀ 𝑠𝑠 ≥ 𝑁𝑁

Ako sada uporedimo dva reda:

i

Vidimo da je, za svako 𝑠𝑠 ≥ 𝑁𝑁:


∞

𝑙𝑙=𝑁𝑁+1

> �𝑑𝑑𝑙𝑙 ⋅ 𝑎𝑎𝑁𝑁

∞

𝑙𝑙=1

, 𝑑𝑑 > 1

Pa na osnovu testa poređenja, divergencija tog geometrijskog reda povlači i divergenciju reda ∑ 𝑎𝑎𝑙𝑙∞

𝑙𝑙=𝑁𝑁+1 . Opet, iz teoreme 1, zaključujemo da je i red:

�𝑎𝑎𝑙𝑙

∞

𝑙𝑙=1

takođe divergentan za 𝐷𝐷 > 1, čime je teorema dokazana.

𝑎𝑎𝑁𝑁+1 + 𝑎𝑎𝑁𝑁+2 + 𝑎𝑎𝑁𝑁+3 ⋅⋅⋅ = � 𝑎𝑎𝑙𝑙

∞

𝑙𝑙=𝑁𝑁+1

𝑑𝑑 ⋅ 𝑎𝑎𝑁𝑁 + 𝑑𝑑2 ⋅ 𝑎𝑎𝑁𝑁 + 𝑑𝑑3 ⋅ 𝑎𝑎𝑁𝑁 ⋅⋅⋅ = �𝑑𝑑𝑙𝑙 ⋅ 𝑎𝑎𝑁𝑁

∞

𝑙𝑙=1

, 𝑑𝑑 > 1

Ovo je geometrijski red i on je divergentan jer je 𝑑𝑑 > 1.

84

Za 𝐷𝐷 = 1, na osnovu Dalamberovog testa, ne možemo sa sigurnošću odrediti konvergenciju nekog reda. U nekim slučajevima, za 𝐷𝐷 = 1, red će biti konvergentan, dok će u nekim slučajevima biti divergentan.

primjer: Prema Dalamberovom testu, red:

�1𝑠𝑠!

∞

𝑙𝑙=1

je konvergentan jer je:

𝐷𝐷 = lim𝑙𝑙→∞


= lim𝑙𝑙→∞

1(𝑠𝑠 + 1)!

1𝑠𝑠!

= lim𝑙𝑙→∞

1𝑠𝑠 + 1

= 0 < 1

primjer: Red:

�𝑠𝑠𝑙𝑙

𝑠𝑠!

∞

𝑙𝑙=1

je na osnovu Dalamberovog testa divergentan, jer je:



= lim𝑙𝑙→∞

(𝑠𝑠 + 1)𝑙𝑙+1(𝑠𝑠 + 1)!𝑠𝑠𝑙𝑙𝑠𝑠!

= lim𝑙𝑙→∞

�𝑠𝑠 + 1𝑠𝑠

�𝑙𝑙

= lim𝑙𝑙→∞

�1 +1𝑠𝑠�𝑙𝑙

= 𝑒𝑒 > 1

primjer: Na osnovu Dalamberovog testa, za red:

�1𝑠𝑠2

∞

𝑙𝑙=1

ne možemo reći ništa što se tiče njegove konvergencije, jer je:



= lim𝑙𝑙→∞

1(𝑠𝑠 + 1)2

1𝑠𝑠2

= lim𝑙𝑙→∞

𝑠𝑠2

𝑠𝑠2 + 2𝑠𝑠 + 1= 1

85

Teorema 8 (Košijev test): Neka je red sa nenegativnim članovima i neka je:

lim𝑙𝑙→∞

�𝑎𝑎𝑙𝑙𝑛𝑛 = 𝐶𝐶

Tada je za 𝐶𝐶 < 1 dati red konvergentan, a za 𝐶𝐶 > 1 divergentan. Ukoliko je 𝐶𝐶 = 1, ne možemo ništa reći o konvergenciji datog reda.

Dokaz: Neka je 𝐶𝐶 < 1. Tada za svako 𝜖𝜖 > 0 postoji prirodan broj 𝑁𝑁, tako da

za svako 𝑠𝑠 ≥ 𝑁𝑁 važi:

� �𝑎𝑎𝑙𝑙𝑛𝑛 − 𝐶𝐶� < 𝜖𝜖

odnosno:

𝐶𝐶 − 𝜖𝜖 < �𝑎𝑎𝑙𝑙𝑛𝑛 < 𝐶𝐶 + 𝜖𝜖, ∀ 𝑠𝑠 ≥ 𝑁𝑁

Kako je 𝐶𝐶 < 1, možemo izabrati 𝜖𝜖 tako da je 𝐶𝐶 + 𝜖𝜖 jednako nekom novom broju 𝑑𝑑 koji je takođe manji od 1, tj. 𝐶𝐶 + 𝜖𝜖 = 𝑑𝑑 < 1. Tada je, za sve 𝑠𝑠 ≥ 𝑁𝑁:

�𝑎𝑎𝑙𝑙𝑛𝑛 < 𝑑𝑑

odnosno:

𝑎𝑎𝑙𝑙 < 𝑑𝑑𝑙𝑙, ∀ 𝑠𝑠 ≥ 𝑁𝑁

Sada posmatrajmo redove:

i

�𝑎𝑎𝑙𝑙

∞

𝑙𝑙=1

𝑎𝑎𝑁𝑁 + 𝑎𝑎𝑁𝑁+1 + 𝑎𝑎𝑁𝑁+2 + 𝑎𝑎𝑁𝑁+3 ⋅⋅⋅ = �𝑎𝑎𝑙𝑙

∞

𝑙𝑙=𝑁𝑁

𝑑𝑑𝑁𝑁 + 𝑑𝑑𝑁𝑁+1 + 𝑑𝑑𝑁𝑁+2 +⋅⋅⋅ = � 𝑑𝑑𝑙𝑙∞

𝑙𝑙=𝑁𝑁

, 𝑑𝑑 < 1

86

Vidimo da je:


∞

𝑙𝑙=𝑁𝑁

< � 𝑑𝑑𝑙𝑙∞

𝑙𝑙=𝑁𝑁

, 𝑑𝑑 < 1

Samim tim, konvergencija tog geometrijskog reda povlači i konvergenciju reda sa lijeve strane nejednakosti, prema testu poređenja (teorema 6). Takođe, iz teoreme 1 slijedi da, ako je red ∑ 𝑎𝑎𝑙𝑙∞

𝑙𝑙=𝑁𝑁+1 konvergentan, dodavanje konačnog broja članova neće uticati na njegovu konvergenciju, pa je i red:

�𝑎𝑎𝑙𝑙

∞

𝑙𝑙=1

takođe konvergentan za 𝐶𝐶 < 1, čime je prvi dio tvrđenja dokazan.

Neka je sada 𝐶𝐶 > 1. Na sličan način, možemo izabrati 𝜖𝜖 > 0 tako da je razlika 𝐶𝐶 − 𝜖𝜖 i dalje veća od 1. Nazvaćemo tu razliku 𝑑𝑑. Znači 𝐶𝐶 − 𝜖𝜖 = 𝑑𝑑 > 1.

Tada je, za svako 𝑠𝑠 ≥ 𝑁𝑁:

𝑑𝑑 = 𝐶𝐶 − 𝜖𝜖 < �𝑎𝑎𝑙𝑙𝑛𝑛

odnosno:

𝑎𝑎𝑙𝑙 > 𝑑𝑑𝑙𝑙, ∀ 𝑠𝑠 ≥ 𝑁𝑁

Sada posmatrajmo redove:

i

Ovo je geometrijski red i on je konvergentan jer je 𝑑𝑑 < 1.

𝑎𝑎𝑁𝑁 + 𝑎𝑎𝑁𝑁+1 + 𝑎𝑎𝑁𝑁+2 + 𝑎𝑎𝑁𝑁+3 ⋅⋅⋅ = �𝑎𝑎𝑙𝑙

∞

𝑙𝑙=𝑁𝑁

𝑑𝑑𝑁𝑁 + 𝑑𝑑𝑁𝑁+1 + 𝑑𝑑𝑁𝑁+2 +⋅⋅⋅ = � 𝑑𝑑𝑙𝑙∞

𝑙𝑙=𝑁𝑁

, 𝑑𝑑 > 1

87

Vidimo da važi:


∞

𝑙𝑙=𝑁𝑁

> � 𝑑𝑑𝑙𝑙∞

𝑙𝑙=𝑁𝑁

, 𝑑𝑑 > 1

Na osnovu testa poređenja, divergencija tog geometrijskog reda povlači i divergenciju reda sa lijeve strane nejednakosti, pa je i ∑ 𝑎𝑎𝑙𝑙∞

𝑙𝑙=𝑁𝑁 divergentan. Sada, na osnovu teoreme 1, slijedi da je i red:

�𝑎𝑎𝑙𝑙

∞

𝑙𝑙=1

takođe divergentan za 𝐶𝐶 > 1, čime je teorema dokazana.

Za 𝐶𝐶 = 1, na osnovu Košijevog testa, ne možemo sa sigurnošću odrediti konvergenciju nekog reda. U nekim slučajevima, za 𝐶𝐶 = 1, red će biti konvergentan, dok će u nekim slučajevima biti divergentan.

primjer: Na osnovu Košijevog testa, red:

�1

2𝑙𝑙�1 +

1𝑠𝑠�𝑙𝑙2∞

𝑙𝑙=1

divergira, jer je:

𝐶𝐶 = lim𝑙𝑙→∞

�𝑎𝑎𝑙𝑙𝑛𝑛 = lim𝑙𝑙→∞

� 12𝑙𝑙�1 +

1𝑠𝑠�𝑙𝑙2𝑛𝑛

= lim𝑙𝑙→∞

12�1 +

1𝑠𝑠�𝑙𝑙

=𝑒𝑒2

> 1

Ovo je geometrijski red i on je divergentan jer je 𝑑𝑑 > 1.

88

Teorema 9 (integralni test): Neka je dat red:

𝑓𝑓(1) + 𝑓𝑓(2) + 𝑓𝑓(3) +⋅⋅⋅ +𝑓𝑓(𝑠𝑠) +⋅⋅⋅ = �𝑓𝑓(𝑠𝑠)∞

𝑙𝑙=1

gdje je 𝑓𝑓(𝑥𝑥) pozitivna, neprekidna i opadajuća funkcija definisana na intervalu [1, +∞), odnosno, 𝑓𝑓: [1, +∞) → ℝ. Ako je nesvojstveni integral:


1

konvergentan, tada je i red ∑ 𝑓𝑓(𝑠𝑠)∞𝑙𝑙=1 konvergentan, a ako je taj nesvojstveni

integral divergentan, onda je i red takođe divergentan.

Dokaz: Posmatrajmo krivolinijski trapez ograničen 𝑥𝑥-osom, grafikom funkcije

𝑓𝑓(𝑥𝑥) i pravima 𝑥𝑥 = 1 i 𝑥𝑥 = 𝑠𝑠.

Uočimo stepenaste figure širine 1, od kojih je jedna opisana, dok je druga upisana oko date krivolinijske figure. Imajući u vidu odnos površina stepenastih figura i površine krivolinijskog trapeza imamo:

𝑓𝑓(2) + 𝑓𝑓(3) +⋅⋅⋅ +𝑓𝑓(𝑠𝑠) < �𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

1

< 𝑓𝑓(1) + 𝑓𝑓(2) + 𝑓𝑓(3) +⋅⋅⋅ +𝑓𝑓(𝑠𝑠 − 1)

odnosno:

𝑆𝑆𝑙𝑙 − 𝑓𝑓(1) < �𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

1

< 𝑆𝑆𝑙𝑙 − 𝑓𝑓(𝑠𝑠)

gdje je sa 𝑆𝑆𝑙𝑙 označena 𝑠𝑠-ta parcijalna suma datog reda.

89

Ove nejednakosti možemo zapisati u obliku:

𝑆𝑆𝑙𝑙 < 𝑓𝑓(1) + �𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

1

odnosno:

𝑆𝑆𝑙𝑙 > 𝑓𝑓(𝑠𝑠) + �𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

1

Kako je 𝑓𝑓(𝑥𝑥) > 0 na intervalu [1, +∞), niz površina ispod krivolinijske figure na intervalu [1, 𝑠𝑠]:

�� 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

1

�

je rastući, jer, očigledno, kako se 𝑠𝑠 povećava, odnosno kako se interval širi, veća je i površina ispod krivolinijske figure.

Iz činjenice da je niz konvergentan, slijedi da je i ograničen odozgo, tj.

�𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

1

≤ 𝐼𝐼

za svako 𝑠𝑠. S obzirom na to i na prethodno definisanu nejednakost, imamo:

𝑆𝑆𝑙𝑙 < 𝑓𝑓(1) + 𝐼𝐼

Ovo znači da je niz parcijalnih suma {𝑆𝑆𝑙𝑙} ograničen odozgo, a osim toga, on je i rastući. Slijedi da je on i konvergentan, a to znači da ∃ lim

𝑙𝑙→∞𝑆𝑆𝑙𝑙, odnosno

red:

�𝑓𝑓(𝑠𝑠)∞

𝑙𝑙=1

je konvergentan, čime je prvi dio teoreme dokazan.

90

Neka je sada nesvojstveni integral divergentan. U tom slučaju je:

lim𝑙𝑙→∞

�𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

1

= +∞

jer je niz rastući, a pošto on divergira kada 𝑠𝑠 → ∞, onda je i neograničen.

S obzirom na to i na prethodno definisanu nejednakost:

𝑆𝑆𝑙𝑙 > 𝑓𝑓(𝑠𝑠) + �𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

1

imamo:

𝑆𝑆𝑙𝑙 > 𝑓𝑓(𝑠𝑠) + ∞ = +∞

Znači, niz parcijalnih suma {𝑆𝑆𝑙𝑙} je neograničen, pa je i divergentan. Samim tim, i red:

�𝑓𝑓(𝑠𝑠)∞

𝑙𝑙=1

divergira. Ovim je dokaz teoreme završen.

primjer: Posmatrajmo red:

1 +1

2𝛼𝛼+

13𝛼𝛼

+⋅⋅⋅ +1𝑠𝑠𝛼𝛼

+⋅⋅⋅ = �1𝑠𝑠𝛼𝛼

∞

𝑙𝑙=1

, 𝛼𝛼 > 0

Konvergenciju ovog reda ispitujemo pomoću integralnog testa.

Neka je 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 1𝑥𝑥𝛼𝛼

, 𝑥𝑥 ∈ [1, +∞). Ona je na tom intervalu pozitivna, neprekidna

i opadajuća, odnosno, ispunjava sve uslove za primjenu integralnog testa.


1

�� 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥𝑙𝑙

1

�

91

Tada je:

�1𝑠𝑠𝛼𝛼

∞

𝑙𝑙=1

= �𝑓𝑓(𝑠𝑠)∞

𝑙𝑙=1

Posmatrajmo sada nesvojstveni integral:


+∞

1

On je konvergentan za 𝛼𝛼 > 1 i divergentan za 𝛼𝛼 ≤ 1. S obzirom na to i na integralni test zaključujemo da je i red:

�1𝑠𝑠𝛼𝛼

∞

𝑙𝑙=1

konvergentan za 𝛼𝛼 > 1, odnosno divergentan za 𝛼𝛼 ≤ 1.

2.5 Redovi čiji članovi naizmjenično mijenjaju znak

U prethodnom poglavlju razmatrali smo redove sa nenegativnim članovima i postavili nekoliko testova pomoću kojih utvrđujemo njihovu konvergenciju. Na sličan način utvrđuje se i konvergencija redova sa nepozitivnim članovima.

Sada ćemo razmotriti redove čiji članovi naizmjenično mijenjaju znak. Pretpostavimo da je prvi član tog reda pozitivan, a da se onda znakovi člana naizmjenično mijenjaju. Takav red zapisujemo u obliku:

𝑎𝑎1 − 𝑎𝑎2 + 𝑎𝑎3 − 𝑎𝑎4 +⋅⋅⋅ +(−1)𝑙𝑙−1 ⋅ 𝑎𝑎𝑙𝑙 +⋅⋅⋅ = �(−1)𝑙𝑙−1 ⋅ 𝑎𝑎𝑙𝑙

∞

𝑙𝑙=1

gdje je 𝑎𝑎𝑙𝑙 > 0 za svako 𝑠𝑠. Takav red se još zove i alternativni (alternirajući) red.

Teorema koju ćemo sada postaviti daje dovoljan uslov konvergencije alternativnog reda.

92

Teorema 10 (Lajbnicov test): Ako je niz {𝑎𝑎𝑙𝑙}, sastavljen od članova 𝑎𝑎𝑙𝑙 > 0 prethodno definisanog alternativnog reda, monotono opadajući i ako je lim𝑙𝑙→∞

𝑎𝑎𝑙𝑙 = 0, tada je taj red:

𝑎𝑎1 − 𝑎𝑎2 + 𝑎𝑎3 − 𝑎𝑎4 +⋅⋅⋅ +(−1)𝑙𝑙−1 ⋅ 𝑎𝑎𝑙𝑙 +⋅⋅⋅ = �(−1)𝑙𝑙−1 ⋅ 𝑎𝑎𝑙𝑙

∞

𝑙𝑙=1

konvergentan i njegova suma 𝑆𝑆 nije veća od 𝑎𝑎1.

Dokaz: Neka je, dakle, niz {𝑎𝑎𝑙𝑙} monotono opadajući, odnosno 𝑎𝑎𝑙𝑙 > 𝑎𝑎𝑙𝑙+1 za

svako 𝑠𝑠 i neka 𝑎𝑎𝑙𝑙 → 0 kada 𝑠𝑠 → ∞. Za alternativni red ∑ (−1)𝑙𝑙−1 ⋅ 𝑎𝑎𝑙𝑙∞𝑙𝑙=1

posmatrajmo najprije parcijalne sume parnog indeksa, koje možemo predstaviti u obliku:

𝑆𝑆2𝑙𝑙 = 𝑎𝑎1 − 𝑎𝑎2 + 𝑎𝑎3 − 𝑎𝑎4 +⋅⋅⋅ +𝑎𝑎2𝑙𝑙−1 − 𝑎𝑎2𝑙𝑙 =

= (𝑎𝑎1 − 𝑎𝑎2) + (𝑎𝑎3 − 𝑎𝑎4) +⋅⋅⋅ +(𝑎𝑎2𝑙𝑙−1 − 𝑎𝑎2𝑙𝑙)

Kako su sabirci 𝑎𝑎2𝑖𝑖−1 − 𝑎𝑎2𝑖𝑖, (𝑠𝑠 = 1,2, … ,𝑠𝑠) pozitivni, niz parcijalnih suma parnog indeksa {𝑆𝑆2𝑙𝑙} je rastući. Dokazaćemo da je taj niz i ograničen odozgo.

U tom cilju, zapišimo 𝑆𝑆2𝑙𝑙 u sljedećem obliku:

𝑆𝑆2𝑙𝑙 = 𝑎𝑎1 − [(𝑎𝑎2 − 𝑎𝑎3) + (𝑎𝑎4 − 𝑎𝑎5) +⋅⋅⋅ +(𝑎𝑎2𝑙𝑙−2 − 𝑎𝑎2𝑙𝑙−1) + 𝑎𝑎2𝑙𝑙]

Kako je 𝑎𝑎2 − 𝑎𝑎3 > 0, 𝑎𝑎4 − 𝑎𝑎5 > 0 , … ,𝑎𝑎2𝑙𝑙−2 − 𝑎𝑎2𝑙𝑙−1 > 0, 𝑎𝑎2𝑙𝑙 > 0, jasno je da je 𝑆𝑆2𝑙𝑙 < 𝑎𝑎1 za svako 𝑠𝑠, odnosno, niz {𝑆𝑆2𝑙𝑙} je ograničen. Pošto smo prethodno dokazali da je i rastući, zaključujemo da je niz parcijalnih suma parnog indeksa konvergentan, odnosno:


𝑆𝑆2𝑙𝑙 = 𝑆𝑆

Kako je 𝑆𝑆2𝑙𝑙 < 𝑎𝑎1 za svako 𝑠𝑠 slijedi da je i lim𝑙𝑙→∞

𝑆𝑆2𝑙𝑙 < 𝑎𝑎1, tj. 𝑆𝑆 < 𝑎𝑎1.

S druge strane, posmatrajmo niz parcijalnih suma neparnog indeksa {𝑆𝑆2𝑙𝑙+1}. Pokazaćemo da je on konvergentan i da konvergira ka istoj vrijednosti 𝑆𝑆 kao i niz parcijalnih suma sa parnim indeksom kada 𝑠𝑠 → ∞:

lim𝑙𝑙→∞

𝑆𝑆2𝑙𝑙+1 = 𝑆𝑆

93

Kako je 𝑆𝑆2𝑙𝑙+1 = 𝑆𝑆2𝑙𝑙 + 𝑎𝑎2𝑙𝑙+1, onda je:

lim𝑙𝑙→∞

𝑆𝑆2𝑙𝑙+1 = lim𝑙𝑙→∞

𝑆𝑆2𝑙𝑙 + lim𝑙𝑙→∞

𝑎𝑎2𝑙𝑙+1 = 𝑆𝑆 + 0 = 𝑆𝑆

Zaključujemo da je cijeli niz parcijalnih suma {𝑆𝑆𝑙𝑙} konvergentan i ima graničnu vrijednost 𝑆𝑆 < 𝑎𝑎1. S obzirom na to, i alternativni red:

�(−1)𝑙𝑙−1 ⋅ 𝑎𝑎𝑙𝑙

∞

𝑙𝑙=1

je konvergentan. Time je teorema dokazana.

primjer: Na osnovu Lajbnicovog kriterijuma, red:

�(−1)𝑙𝑙−1

𝑠𝑠

∞

𝑙𝑙=1

je konvergentan, jer je niz {𝑎𝑎𝑙𝑙} = 1𝑙𝑙 monotono opadajući i lim

𝑙𝑙→∞𝑎𝑎𝑙𝑙 = lim

𝑙𝑙→∞

1𝑙𝑙

= 0.

Takođe vidimo i da je njegova 𝑠𝑠-ta parcijalna suma manja od 𝑎𝑎1 = 1. Npr. za 𝑠𝑠 = 5:

𝑆𝑆5 = 1 −12

+13−

14

+15

=4760

< 1

primjer: Na osnovu Lajbnicovog kriterijuma, red:

�(−1)𝑙𝑙−12𝑠𝑠 + 33𝑠𝑠 + 4

∞

𝑙𝑙=1

divergira. Iako je niz {𝑎𝑎𝑙𝑙} = 2𝑙𝑙+33𝑙𝑙+4

monotono opadajući, granična vrijednost

opšteg člana niza kada 𝑠𝑠 → ∞ nije jednaka 0:

lim𝑙𝑙→∞

𝑎𝑎𝑙𝑙 = lim𝑙𝑙→∞

2𝑠𝑠 + 33𝑠𝑠 + 4

=23≠ 0

lim𝑙𝑙→∞

𝑎𝑎2𝑙𝑙+1 = 0 iz

uslova teoreme.

94

2.6 Apsolutna i uslovna konvergencija redova

Neka je:

𝑎𝑎1 + 𝑎𝑎2 + 𝑎𝑎3 +⋅⋅⋅ +𝑎𝑎𝑙𝑙 +⋅⋅⋅ = �𝑎𝑎𝑙𝑙

∞

𝑙𝑙=1

red sa članovima proizvoljnog znaka i:

|𝑎𝑎1| + |𝑎𝑎2| + |𝑎𝑎3| +⋅⋅⋅ +|𝑎𝑎𝑙𝑙| +⋅⋅⋅ = �|𝑎𝑎𝑙𝑙|∞

𝑙𝑙=1

odgovarajući red sa nenegativnim članovima.

Sljedeća teorema daje dovoljan uslov za konvergenciju reda sa članovima proizvoljnog znaka.

Teorema 11: Ako je red konvergentan, onda je i red konvergentan.

Dokaz: Neka je red ∑ |𝑎𝑎𝑙𝑙|∞𝑙𝑙=1 konvergentan. Formirajmo parcijalne sume:

𝑆𝑆𝑙𝑙 = 𝑎𝑎1 + 𝑎𝑎2 + 𝑎𝑎3 +⋅⋅⋅ +𝑎𝑎𝑙𝑙

𝜎𝜎𝑙𝑙 = |𝑎𝑎1| + |𝑎𝑎2| + |𝑎𝑎3| +⋅⋅⋅ +|𝑎𝑎𝑙𝑙|

redova ∑ 𝑎𝑎𝑙𝑙∞𝑙𝑙=1 i ∑ |𝑎𝑎𝑙𝑙|∞

𝑙𝑙=1 redom. Kako je red ∑ |𝑎𝑎𝑙𝑙|∞𝑙𝑙=1 konvergentan, onda

je i niz parcijalnih suma {𝜎𝜎𝑙𝑙} konvergentan, odnosno:


𝜎𝜎𝑙𝑙 = 𝜎𝜎

Niz {𝜎𝜎𝑙𝑙} je neopadajući, jer su njegovi članovi nenegativni, a s obzirom da je i konvergentan, on je i ograničen, pa važi da je za svako 𝑠𝑠:

𝜎𝜎𝑙𝑙 ≤ 𝜎𝜎

Neka je 𝑆𝑆𝑙𝑙′ suma pozitivnih članova, a 𝑆𝑆𝑙𝑙′′ suma apsolutnih vrijednosti negativnih članova parcijalne sume 𝑆𝑆𝑙𝑙, tako da je:

𝑆𝑆𝑙𝑙 = 𝑆𝑆𝑙𝑙′ − 𝑆𝑆𝑙𝑙′′

�|𝑎𝑎𝑙𝑙|∞

𝑙𝑙=1

�𝑎𝑎𝑙𝑙

∞

𝑙𝑙=1

95

Primijetimo da je tada 𝜎𝜎𝑙𝑙 = 𝑆𝑆𝑙𝑙′ + 𝑆𝑆𝑙𝑙′′. Nizovi {𝑆𝑆𝑙𝑙′ } i {𝑆𝑆𝑙𝑙′′} su neopadajući, pa kako je:

𝜎𝜎𝑙𝑙 = 𝑆𝑆𝑙𝑙′ + 𝑆𝑆𝑙𝑙′′ ≤ 𝜎𝜎

slijedi da su nizovi {𝑆𝑆𝑙𝑙′ } i {𝑆𝑆𝑙𝑙′′} ograničeni odozgo, odnosno:

𝑆𝑆𝑙𝑙′ ≤ 𝜎𝜎𝑙𝑙 ≤ 𝜎𝜎

i

𝑆𝑆𝑙𝑙′′ ≤ 𝜎𝜎𝑙𝑙 ≤ 𝜎𝜎

A pošto smo već zaključili da su neopadajući, oni su i konvergentni.

Iz tih relacija i relacije 𝑆𝑆𝑙𝑙 = 𝑆𝑆𝑙𝑙′ − 𝑆𝑆𝑙𝑙′′ slijedi da je niz {𝑆𝑆𝑙𝑙} konvergentan, kao razlika konvergentnih nizova i da je:

lim𝑙𝑙→∞


𝑆𝑆𝑙𝑙′ − 𝑆𝑆𝑙𝑙′′ = 𝑆𝑆′ − 𝑆𝑆′′

gdje su 𝑆𝑆′ i 𝑆𝑆′′ granične vrijednosti nizova 𝑆𝑆𝑙𝑙′ i 𝑆𝑆𝑙𝑙′′ redom, kada 𝑠𝑠 → ∞.

Samim tim, i red ∑ 𝑎𝑎𝑙𝑙∞𝑙𝑙=1 je konvergentan i njegova suma je 𝑆𝑆 = 𝑆𝑆′ − 𝑆𝑆′′, čime

je teorema dokazana.

U odnosu na prethodno tvrđenje imamo sljedeće definicije:

• Za red ∑ 𝑎𝑎𝑙𝑙∞𝑙𝑙=1 kažemo da je apsolutno konvergentan ako je red ∑ |𝑎𝑎𝑙𝑙|∞

𝑙𝑙=1 konvergentan.

• Za red ∑ 𝑎𝑎𝑙𝑙∞𝑙𝑙=1 kažemo da je uslovno konvergentan (semi-konvergentan)

ako je konvergentan, dok je red ∑ |𝑎𝑎𝑙𝑙|∞𝑙𝑙=1 divergentan.

primjer: Red ∑ (−1)𝑙𝑙−1 ⋅ 12𝑛𝑛

∞𝑙𝑙=1 je konvergentan jer je apsolutno konvergentan,

odnosno, red ∑ 12𝑛𝑛

∞𝑙𝑙=1 je konvergentan.

primjer: Red ∑ (−1)𝑙𝑙−1 ⋅ 1𝑙𝑙

∞𝑙𝑙=1 je semi-konvergentan, jer je konvergentan, ali nije

apsolutno konvergentan, odnosno, red ∑ 1𝑙𝑙

∞𝑙𝑙=1 nije konvergentan.

96

2.7 Stepeni redovi

Mi smo do sada posmatrali brojevne redove oblika:

�𝑎𝑎𝑙𝑙

∞

𝑙𝑙=1

, 𝑎𝑎𝑙𝑙 ∈ ℝ

koji su formirani na osnovu brojevnog niza:

{𝑎𝑎𝑙𝑙} = 𝑎𝑎1,𝑎𝑎2,𝑎𝑎3, … , 𝑎𝑎𝑙𝑙, …

Ukoliko sada, umjesto brojevnog niza, posmatramo niz funkcija (funkcionalni niz):

{𝑓𝑓𝑙𝑙(𝑥𝑥)} = 𝑓𝑓1(𝑥𝑥),𝑓𝑓2(𝑥𝑥),𝑓𝑓3(𝑥𝑥), … ,𝑓𝑓𝑙𝑙(𝑥𝑥), …

možemo formirati sumu:

𝑓𝑓1(𝑥𝑥) + 𝑓𝑓2(𝑥𝑥) + 𝑓𝑓3(𝑥𝑥) +⋅⋅⋅ +𝑓𝑓𝑙𝑙(𝑥𝑥) +⋅⋅⋅ = �𝑓𝑓𝑙𝑙(𝑥𝑥)∞

𝑙𝑙=1

koju zovemo funkcionalni red.

Ukoliko fiksiramo jednu tačku 𝑥𝑥0 iz oblasti definisanosti svih funkcija 𝑓𝑓𝑙𝑙(𝑥𝑥), dobijamo brojevni red:

𝑓𝑓1(𝑥𝑥0) + 𝑓𝑓2(𝑥𝑥0) + 𝑓𝑓3(𝑥𝑥0) +⋅⋅⋅ +𝑓𝑓𝑙𝑙(𝑥𝑥0) +⋅⋅⋅

Odnosno, za neku fiksiranu tačku, funkcionalni red postaje brojevni red.

Ako bismo sada fiksirali tačku 𝑥𝑥1 ∈ 𝐷𝐷, dobijamo novi brojevni red:

𝑓𝑓1(𝑥𝑥1) + 𝑓𝑓2(𝑥𝑥1) + 𝑓𝑓3(𝑥𝑥1) +⋅⋅⋅ +𝑓𝑓𝑙𝑙(𝑥𝑥1) +⋅⋅⋅

koji se razlikuje od prethodnog.

Odnosno, funkcionalni red sadrži onoliko brojevnih redova koliko ima tačaka u domenu svih funkcija 𝑓𝑓𝑙𝑙, a to je obično beskonačno mnogo.

Svaki taj brojevni red može biti konvergentan ili divergentan.

Ukoliko formiramo skup tačaka 𝐺𝐺 ⊆ 𝐷𝐷 u kojima funkcionalni red konvergira, takav skup zovemo skup konvergencije datog funkcionalnog reda.

97

U okviru ovoga kursa, mi se nećemo baviti opštim funkcionalnim redovima, već samo stepenim redovima. r

Ako su 𝑓𝑓𝑙𝑙(𝑥𝑥) funkcije oblika:

𝑓𝑓𝑙𝑙(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎𝑙𝑙(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0)𝑙𝑙

onda se odgovarajući funkcionalni red:

�𝑎𝑎𝑙𝑙(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0)𝑙𝑙∞

𝑙𝑙=0

= 𝑎𝑎0 + 𝑎𝑎1(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0) + 𝑎𝑎2(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0)2 +⋅⋅⋅ +𝑎𝑎𝑙𝑙(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0)𝑙𝑙 +⋅⋅⋅

naziva stepeni red.

Brojevi 𝑎𝑎0,𝑎𝑎1,𝑎𝑎2, … ,𝑎𝑎𝑙𝑙, … nazivaju se koeficijentima stepenog reda, a fiksirana tačka 𝑥𝑥0 centar stepenog reda.

Da bismo zadali stepeni red, potrebno je odrediti njegove koeficijente i centar.

Skup tačaka 𝑥𝑥 za koje je stepeni red konvergentan naziva se skup konvergencije stepenog reda.

U slučaju da je centar stepenog reda jednak nuli (𝑥𝑥0 = 0), zapis stepenog reda je nešto jednostavniji:

�𝑎𝑎𝑙𝑙𝑥𝑥𝑙𝑙∞

𝑙𝑙=1

= 𝑎𝑎0 + 𝑎𝑎1𝑥𝑥 + 𝑎𝑎2𝑥𝑥2 +⋅⋅⋅ +𝑎𝑎𝑙𝑙𝑥𝑥𝑙𝑙 +⋅⋅⋅

Primjećujemo da tada stepeni red dobija oblik geometrijskog reda, te je konvergentan za sve 𝑥𝑥 za koje je |𝑥𝑥| < 1, odnosno, njegov skup konvergencije je otvoreni interval (−1,1).

98

primjer: Stepeni red:

�𝑥𝑥𝑙𝑙

𝑠𝑠!

∞

𝑙𝑙=1

= 1 + 𝑥𝑥 +𝑥𝑥2

2!+𝑥𝑥3

3!+⋅⋅⋅

apsolutno konvergira za sve |𝑥𝑥| ≤ 1, jer je prema Dalamberovom testu:

lim𝑙𝑙→∞

�

𝑥𝑥𝑙𝑙+1(𝑠𝑠 + 1)!𝑥𝑥𝑙𝑙𝑠𝑠!

� = lim𝑙𝑙→∞

�𝑥𝑥2𝑙𝑙+1

𝑠𝑠 + 1� = � 0 , |𝑥𝑥| ≤ 1

+∞, |𝑥𝑥| > 1

pa je samim tim red i konvergentan prema teoremi 11.

primjer: Stepeni red:

�𝑠𝑠! 𝑥𝑥𝑙𝑙∞

𝑙𝑙=0

= 1 + 𝑥𝑥 + 2𝑥𝑥2 + 6𝑥𝑥3 +⋅⋅⋅

konvergira samo u tački 𝑥𝑥 = 0 jer je prema Dalamberovom testu:

lim𝑙𝑙→∞

�(𝑠𝑠 + 1)! 𝑥𝑥𝑙𝑙+1

𝑠𝑠! 𝑥𝑥𝑙𝑙� = lim

𝑙𝑙→∞(𝑠𝑠 + 1) ⋅ 𝑥𝑥 = � 0 , 𝑥𝑥 = 0

+∞ , 𝑥𝑥 ≠ 0

Sada ćemo navesti neke osobine skupa konvergencije stepenog reda.

Skup konvergencije stepenog reda sa centrom u tački 𝑥𝑥0 može isključivo da bude simetričan interval sa centrom u tački 𝑥𝑥0, koji može da bude konačan i zatvoren, konačan i otvoren, ili da degeneriše u beskonačnost.

Skup konvergencije stepenog reda ne može da bude prazan skup, a to slijedi iz činjenice da svaki stepeni red konvergira barem u svom centru, odnosno, ako fiksiramo tačku 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥0, dobijamo brojni red:

𝑎𝑎0 + 0 + 0 + 0 +⋅⋅⋅

koji je očigledno konvergentan i suma mu je 𝑎𝑎0.

Sada navodimo važnu teoremu koja u potpunosti opisuje skup konvergencije stepenog reda.

99

Teorema 12 (Abelova teorema): Ako stepeni red konvergira u tački 𝑥𝑥1 ≠ 𝑥𝑥0, onda on apsolutno konvergira za sve 𝑥𝑥 za koje je |𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0| < |𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥0|. Ako taj stepeni red divergira u tački 𝑥𝑥2 ≠ 𝑥𝑥0, onda on divergira u svim tačkama za koje je |𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0| > |𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥0|.

- Geometrijsko značenje teoreme:

Dokaz: Pretpostavimo da brojevni red ∑ 𝑎𝑎𝑙𝑙(𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥0)𝑙𝑙∞𝑙𝑙=0 konvergira. Trebamo

dokazati da taj red konvergira i za svaku tačku 𝑥𝑥 na intervalu:

|𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0| < |𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥0|

Pošto je ∑ 𝑎𝑎𝑙𝑙(𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥0)𝑙𝑙∞𝑙𝑙=0 konvergentan, mi sigurno znamo da je:

lim𝑙𝑙→∞

𝑎𝑎𝑙𝑙(𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥0)𝑙𝑙 = 0

odnosno, znamo da je niz {𝑎𝑎𝑙𝑙(𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥0)𝑙𝑙} konvergentan, a tada sigurno znamo da je on i ograničen, tj. postoji 𝑀𝑀 > 0 tako da je za svako 𝑠𝑠 ∈ ℕ0:

|𝑎𝑎𝑙𝑙(𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥0)𝑙𝑙| ≤ 𝑀𝑀


𝑙𝑙=0

Ako stepeni red konvergira u tački 𝑥𝑥1, on konvergira i na čitavom intervalu

𝐼𝐼1: |𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0| < |𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥0|

Ako stepeni red divergira u tački 𝑥𝑥2, on divergira i na čitavom intervalu

𝐼𝐼2: |𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0| > |𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥0|

100

Sada uzmimo proizvoljnu tačku 𝑥𝑥 na intervalu 𝐼𝐼1. Da bi dokazali da je brojevni red ∑ |𝑎𝑎𝑙𝑙(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0)𝑙𝑙|∞

𝑙𝑙=0 konvergentan za svako 𝑥𝑥 ∈ 𝐼𝐼1, posmatrajmo njegov opšti član:

|𝑎𝑎𝑙𝑙(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0)𝑙𝑙| = �𝑎𝑎𝑙𝑙(𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥0)𝑙𝑙(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0)𝑙𝑙

(𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥0)𝑙𝑙� =

= |𝑎𝑎𝑙𝑙(𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥0)𝑙𝑙| ⋅ �𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥0

�𝑙𝑙≤ 𝑀𝑀 �

𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥0

�𝑙𝑙

S obzirom da je |𝑎𝑎𝑙𝑙(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0)𝑙𝑙| ≤ 𝑀𝑀 � 𝑥𝑥−𝑥𝑥0𝑥𝑥1−𝑥𝑥0

�𝑙𝑙 za svako 𝑠𝑠, pokazali smo da je:

�|𝑎𝑎𝑙𝑙(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0)𝑙𝑙|∞

𝑙𝑙=0

≤ �𝑀𝑀 �𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥0

�𝑙𝑙∞

𝑙𝑙=0

Primijetimo da je količnik � 𝑥𝑥−𝑥𝑥0𝑥𝑥1−𝑥𝑥0

� uvijek manji od 1, jer je

|𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0| < |𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥0| pa ga možemo predstaviti novom promjenljivom 𝑑𝑑 < 1.

Na taj način dobijamo nejednakost:


𝑙𝑙=0

≤ �𝑀𝑀𝑑𝑑𝑙𝑙∞

𝑙𝑙=0

Red ∑ 𝑀𝑀𝑑𝑑𝑙𝑙∞𝑙𝑙=0 je geometrijski red i on je konvergentan jer je 𝑑𝑑 < 1, pa prema

testu poređenja slijedi da je i red:


𝑙𝑙=0

konvergentan, odnosno, red:


𝑙𝑙=0

je apsolutno konvergentan za sve 𝑥𝑥 ∈ 𝐼𝐼1, čime je prvi dio teoreme dokazan.

Neka je sada red ∑ 𝑎𝑎𝑙𝑙(𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥0)𝑙𝑙∞𝑙𝑙=0 divergentan. To znači da on divergira u

svim tačkama skupa (−∞,−|𝑥𝑥2|) ∪ (|𝑥𝑥2|, +∞), tj. u svim tačkama na intervalu 𝐼𝐼2.

101

Pretpostavimo suprotno, odnosno da ∃𝑥𝑥3 ∈ 𝐼𝐼2 tako da je red u toj tački konvergentan.

Iz prvog dijela teoreme bi to onda značilo da taj red konvergira u svim tačkama 𝑥𝑥 za koje je:

|𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0| < |𝑥𝑥3 − 𝑥𝑥0|

odnosno, u svim tačkama koje su bliže centru 𝑥𝑥0 od tačke 𝑥𝑥3.

Kako je tačka 𝑥𝑥2 takođe bliža centru od tačke 𝑥𝑥3, tj. nejednakost

|𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥0| < |𝑥𝑥3 − 𝑥𝑥0|

je zadovoljena, to znači da je red konvergentan u tački 𝑥𝑥2, što je netačno.

Odnosno, ako je red divergentan u tački 𝑥𝑥2, on divergira i na čitavom intervalu 𝐼𝐼2, čime je teorema dokazana.

Zaključujemo da skup konvergencije stepenog reda može biti isključivo simetričan interval sa centrom u tački 𝑥𝑥0, kao na slici:

Odnosno, skup konvergencije ne može biti oblika kao na sljedećoj slici:

102

Ako sada sa 𝑅𝑅 > 0 označimo najmanji realan broj takav da stepeni red divergira na intervalu:

|𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0| ≥ 𝑅𝑅

kao na slici:

onda taj red mora da konvergira van tog intervala, odnosno, skup konvergencije tog stepenog reda je interval (𝑥𝑥0 − 𝑅𝑅, 𝑥𝑥0 + 𝑅𝑅).

Broj 𝑅𝑅 je tada poluprečnik tog intervala i on se naziva radijus konvergencije datog stepenog reda.

* primijetimo da je u kompleksnoj ravni skup konvergencije krug poluprečnika 𝑅𝑅 kao na slici:

i otuda naziv radijus konvergencije.

U odnosu na radijus konvergencije, mogu postojati samo tri oblika skupa konvergencije stepenog reda:

1° Ako je 𝑅𝑅 = +∞, skup konvergencije je tada interval (−∞, +∞); 2° Ako je 𝑅𝑅 = 0, skup konvergencije je samo centar tog reda 𝑥𝑥0; 3° Ako je 𝑅𝑅 > 0 konačan realan broj, onda je skup konvergencije simetričan

interval sa centrom u tački 𝑥𝑥0, tj. skup konvergencije je interval (−𝑅𝑅,𝑅𝑅).

103

Ostaje pitanje šta se dešava u tačkama 𝑥𝑥0 − 𝑅𝑅 i 𝑥𝑥0 + 𝑅𝑅 što se tiče konvergencije reda. Postoje tri slučaja:

1) red konvergira u obje tačke; 2) red konvergira u jednoj, a divergira u drugoj tački; 3) red divergira u obje tačke.

primjer: Redovi:

prema Dalamberovom testu konvergiraju na intervalu |𝑥𝑥| < 1. Ako je |𝑥𝑥| = 1, imamo sljedeće situacije:

1) red ∑ 𝑥𝑥𝑛𝑛

𝑙𝑙2∞𝑙𝑙=0 konvergira i u tačkama |𝑥𝑥| = 1;

2) red ∑ 𝑥𝑥𝑛𝑛

𝑙𝑙∞𝑙𝑙=0 konvergira u tački 𝑥𝑥 = −1, ali divergira u 𝑥𝑥 = 1;

3) red ∑ 𝑥𝑥𝑙𝑙∞𝑙𝑙=0 divergira u obje tačke.

Da bismo odredili skup konvergencije stepenog reda, potrebno je odrediti poluprečnik konvergencije, pa je skup konvergencije tada interval dužine 2𝑅𝑅, simetričan u odnosu na centar reda 𝑥𝑥0.

Za određivanje poluprečnika konvergencije stepenih redova mogu se koristiti Dalamberov i Košijev kriterijum.

�𝑥𝑥𝑙𝑙

𝑠𝑠2

∞

𝑙𝑙=0

�𝑥𝑥𝑙𝑙

𝑠𝑠

∞

𝑙𝑙=0

�𝑥𝑥𝑙𝑙∞

𝑙𝑙=0

1) 2) 3)

104

Dalamberova formula

Dalamberova formula za određivanje radijusa konvergencije stepenog reda:

Neka je dat stepeni red:


𝑙𝑙=0

gdje je 𝑓𝑓𝑙𝑙(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎𝑙𝑙(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0)𝑙𝑙 opšti član tog reda.

Formirajmo graničnu vrijednost količnika:

lim𝑙𝑙→∞

�𝑓𝑓𝑙𝑙+1(𝑥𝑥)𝑓𝑓𝑙𝑙(𝑥𝑥) � = lim

𝑙𝑙→∞�𝑎𝑎𝑙𝑙+1(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0)𝑙𝑙+1

𝑎𝑎𝑙𝑙(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0)𝑙𝑙 � = |𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0| lim𝑙𝑙→∞


�

Na osnovu Dalamberovog kriterijuma, red je konvergentan ako je ta vrijednost manja od 1, tj. ako je:

|𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0| lim𝑙𝑙→∞


� < 1

odnosno:

|𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0| <1

lim𝑙𝑙→∞

�𝑎𝑎𝑙𝑙+1𝑎𝑎𝑙𝑙�

a divergentan ako je:

|𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0| >1

lim𝑙𝑙→∞


Prema tome, ako postoji granična vrijednost lim𝑙𝑙→∞

�𝑎𝑎𝑛𝑛+1𝑎𝑎𝑛𝑛

�, tada je poluprečnik

konvergencije stepenog reda dat sa:

𝑅𝑅 =1

lim𝑙𝑙→∞


odnosno:

𝑅𝑅 = lim𝑙𝑙→∞

�𝑎𝑎𝑙𝑙𝑎𝑎𝑙𝑙+1

�

pri čemu, ako je lim𝑙𝑙→∞

� 𝑎𝑎𝑛𝑛𝑎𝑎𝑛𝑛+1

� = 0, imamo da je 𝑅𝑅 = 0, odnosno, ako je taj limes

jednak +∞, onda je poluprečnik konvergencije 𝑅𝑅 = +∞.

105

Košijeva formula

Koši-Hadamardova formula

Košijeva formula za određivanje radijusa konvergencije stepenog reda:

Na sličan način, korišćenjem Košijevog kriterijuma za konvergenciju stepenog reda:


𝑙𝑙=0

za graničnu vrijednost:

lim𝑙𝑙→∞

�|𝑎𝑎𝑙𝑙(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0)𝑙𝑙|𝑛𝑛 = |𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0| lim𝑙𝑙→∞

�|𝑎𝑎𝑙𝑙|𝑛𝑛

važi da je red konvergentan, ako je:

|𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0| lim𝑙𝑙→∞

�|𝑎𝑎𝑙𝑙|𝑛𝑛 < 1

odnosno:

|𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0| <1

lim𝑙𝑙→∞


Ako je red divergentan, važi:

|𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0| >1

lim𝑙𝑙→∞


Prema tome, ako postoji granična vrijednost lim𝑙𝑙→∞

�|𝑎𝑎𝑙𝑙|𝑛𝑛 , poluprečnik

konvergencije stepenog reda je dat sa:

𝑅𝑅 =1

lim𝑙𝑙→∞


pri čemu, ako je lim𝑙𝑙→∞

�|𝑎𝑎𝑙𝑙|𝑛𝑛 = +∞, imamo da je 𝑅𝑅 = 0, tj. red je konvergentan

samo u svom centru, a ako je taj limes jednak 0, onda je poluprečnik konvergencije 𝑅𝑅 = +∞. Odnosno, u tom slučaju, skup konvergencije stepenog reda je čitav ℝ.

U slučaju da granična vrijednost lim𝑙𝑙→∞

�|𝑎𝑎𝑙𝑙|𝑛𝑛 ne postoji, poluprečnik konvergencije

određuje se po tzv. Koši-Hadamardovoj formuli:

𝑅𝑅 =1

lim𝑙𝑙→∞


106

Gdje je lim𝑙𝑙→∞

�|𝑎𝑎𝑙𝑙|𝑛𝑛 limes superior niza ��|𝑎𝑎𝑙𝑙|𝑛𝑛 �, odnosno najveća tačka u skupu

tačaka nagomilavanja niza ��|𝑎𝑎𝑙𝑙|𝑛𝑛 �. Može se označavati i kao lim sup𝑙𝑙→∞

�|𝑎𝑎𝑙𝑙|𝑛𝑛 .

primjer: Odrediti poluprečnik konvergencije stepenog reda:

�(2𝑠𝑠)!

2𝑙𝑙(𝑠𝑠!)3

∞

𝑙𝑙=0

(𝑥𝑥 + 3)𝑙𝑙

Centar ovog stepenog reda je 𝑥𝑥0 = −3. Na osnovu Dalamberove formule imamo:

𝑅𝑅 = lim𝑙𝑙→∞


� = lim𝑙𝑙→∞ �

�(2𝑠𝑠)!

2𝑙𝑙(𝑠𝑠!)3(2𝑠𝑠 + 2)!

2𝑙𝑙+1�(𝑠𝑠 + 1)!�3

�� =

= lim𝑙𝑙→∞

�2(𝑠𝑠 + 1)3

(2𝑠𝑠 + 2)(2𝑠𝑠 + 1)� = lim𝑙𝑙→∞

�2𝑠𝑠3 + 6𝑠𝑠2 + 6𝑠𝑠 + 2

4𝑠𝑠2 + 6𝑠𝑠 + 2� = +∞

Odnosno, skup konvergencije tog reda je čitav ℝ.

primjer: Odrediti poluprečnik konvergencije stepenog reda:

�[2 + (−1)𝑙𝑙]𝑙𝑙 𝑥𝑥𝑙𝑙∞

𝑙𝑙=1

Centar ovog stepenog reda je 𝑥𝑥0 = 0. Na osnovu Košijeve formule imamo:

𝑅𝑅 =1

lim𝑙𝑙→∞

�|𝑎𝑎𝑙𝑙|𝑛𝑛 =1

lim𝑙𝑙→∞

|2 + (−1)𝑙𝑙|

Kako lim𝑙𝑙→∞

|2 + (−1)𝑙𝑙| ne postoji, jer niz {2 + (−1)𝑙𝑙} ima dvije tačke

nagomilavanja, 1 i 3, koristimo Koši-Hadamardovu formulu:

𝑅𝑅 =1

lim𝑙𝑙→∞

|2 + (−1)𝑙𝑙|=

13

Kako je 3 najveća tačka nagomilavanja niza {2 + (−1)𝑙𝑙}, prema Koši-Hadamardovoj formuli, radijus konvergencije datog reda je 𝑅𝑅 = 1

3.

107

primjer: Odrediti poluprečnik konvergencije reda:

� 5𝑙𝑙 (𝑥𝑥 + 5)𝑙𝑙∞

𝑙𝑙=0

Centar ovog stepenog reda je 𝑥𝑥0 = −5. Na osnovu Košijeve formule, radijus konvergencije ovog reda je:

𝑅𝑅 =1

lim𝑙𝑙→∞

�|𝑎𝑎𝑙𝑙|𝑛𝑛 =1

lim𝑙𝑙→∞

|5| =15

Odnosno, dati red konvergira na intervalu �− 265

,−245

�.

- ovdje završava peto predavanje (24.03.2016).

2.8 Svojstva funkcija predstavljenih pomoću stepenih redova

Razmatramo sada stepeni red sa centrom u tački 𝑥𝑥0 = 0. Zapis takvog reda je nešto jednostavniji:

�𝑎𝑎𝑙𝑙 𝑥𝑥𝑙𝑙∞

𝑙𝑙=0

Primijetimo da svaki stepeni red možemo tako predstaviti, bez obzira da li je njegov centar 0 ili neki drugi broj iz ℝ, uvođenjem smjene 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0.

Imajući to u vidu, svojstva koja budemo navodili za stepene redove sa centrom u tački 𝑥𝑥0 = 0 važiće za sve stepene redove.

Ako je 𝑅𝑅 poluprečnik konvergencije takvog stepenog reda, onda taj red na intervalu |𝑥𝑥| < 𝑅𝑅 možemo posmatrati kao funkciju:

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = �𝑎𝑎𝑙𝑙 𝑥𝑥𝑙𝑙∞

𝑙𝑙=0

= 𝑎𝑎0 + 𝑎𝑎1𝑥𝑥 + 𝑎𝑎2𝑥𝑥2 +⋅⋅⋅ +𝑎𝑎𝑙𝑙𝑥𝑥𝑙𝑙 +⋅⋅⋅

Na ovaj način smo funkciju 𝑓𝑓(𝑥𝑥) predstavili preko stepenog reda, odnosno:

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎0 + 𝑎𝑎1𝑥𝑥 + 𝑎𝑎2𝑥𝑥2 +⋅⋅⋅ +𝑎𝑎𝑙𝑙𝑥𝑥𝑙𝑙 +⋅⋅⋅

108

primjer: Krenimo od funkcije 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 11−𝑥𝑥

na |𝑥𝑥| < 1. Mi znamo da je geometrijski

red ∑ 𝑥𝑥𝑙𝑙∞𝑙𝑙=1 konvergentan za |𝑥𝑥| < 1 i da je njegova suma tada:


𝑙𝑙=1

=1

1 − 𝑥𝑥

Funkcija 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 11−𝑥𝑥

ima istu vrijednost kao i suma reda ∑ 𝑥𝑥𝑙𝑙∞𝑙𝑙=1 za svako

|𝑥𝑥| < 1, odnosno tu funkciju možemo napisati kao:

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = �𝑥𝑥𝑙𝑙∞

𝑙𝑙=1

, |𝑥𝑥| < 1

Primijetimo da u slučaju |𝑥𝑥| ≥ 1 red ∑ 𝑥𝑥𝑙𝑙∞𝑙𝑙=1 divergira, odnosno:


𝑙𝑙=1

= +∞

pa funkciju 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 11−𝑥𝑥

za |𝑥𝑥| ≥ 1 ne možemo predstaviti preko tog stepenog

reda.

Sada ćemo razmotriti neka svojstva takvih funkcija koje možemo predstaviti preko stepenog reda.

Teorema 13: Poluprečnik konvergencije stepenog reda

jednak je poluprečniku konvergencije reda koji dobijamo

diferenciranjem član po član.

�𝑠𝑠 ⋅ 𝑎𝑎𝑙𝑙𝑥𝑥𝑙𝑙−1∞

𝑙𝑙=0


𝑙𝑙=0

109

Dokaz: Neka je 𝑅𝑅 poluprečnik konvergencije reda ∑ 𝑎𝑎𝑙𝑙𝑥𝑥𝑙𝑙∞𝑙𝑙=0 i 𝑅𝑅′ poluprečnik

konvergencije reda ∑ 𝑠𝑠 ⋅ 𝑎𝑎𝑙𝑙𝑥𝑥𝑙𝑙−1∞𝑙𝑙=0 .

Primijetimo da je:

�𝑠𝑠 ⋅ 𝑎𝑎𝑙𝑙𝑥𝑥𝑙𝑙−1∞

𝑙𝑙=0

= �(𝑠𝑠 + 1) 𝑎𝑎𝑙𝑙+1𝑥𝑥𝑙𝑙∞

𝑙𝑙=0

Koristeći Dalamberovu formulu imamo:

𝑅𝑅′ = lim𝑙𝑙→∞

�(𝑠𝑠 + 1) 𝑎𝑎𝑙𝑙+1(𝑠𝑠 + 2) 𝑎𝑎𝑙𝑙+2


�𝑠𝑠 + 1𝑠𝑠 + 2

� �𝑎𝑎𝑙𝑙+1𝑎𝑎𝑙𝑙+2


�𝑎𝑎𝑙𝑙+1𝑎𝑎𝑙𝑙+2



� = 𝑅𝑅

Teorema 14: Ako se funkcija 𝑓𝑓(𝑥𝑥) na intervalu |𝑥𝑥| < 𝑅𝑅 može razviti u stepeni

red , tada je ona integrabilna i diferencijabilna na tom intervalu i

njen integral (izvod) može se izračunati integracijom (diferenciranjem) tog reda

član po član.

* Predstavljanje funkcije pomoću stepenog reda je jedinstveno, što ćemo formulisati sljedećom teoremom.

Teorema 15: Neka stepeni redovi i konvergiraju

na istom intervalu |𝑥𝑥| < 𝑅𝑅, gdje je 𝑅𝑅 > 0 i neka imaju istu sumu u svim tačkama

tog intervala. Tada su ti redovi jednaki, tj:

𝑎𝑎𝑙𝑙 = 𝑏𝑏𝑙𝑙


𝑙𝑙=0


𝑙𝑙=0

�𝑏𝑏𝑙𝑙𝑥𝑥𝑙𝑙∞

𝑙𝑙=0

110

Dokaz: Pretpostavimo da je suma datih stepenih redova jednaka 𝑓𝑓(𝑥𝑥), odnosno:

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = �𝑎𝑎𝑙𝑙𝑥𝑥𝑙𝑙∞

𝑙𝑙=0

, |𝑥𝑥| < 𝑅𝑅

i

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = �𝑏𝑏𝑙𝑙𝑥𝑥𝑙𝑙∞

𝑙𝑙=0

, |𝑥𝑥| < 𝑅𝑅

Ako posmatramo izvode te funkcije, uzimajući u obzir prvu jednakost, imamo:

𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = �𝑠𝑠 ⋅ 𝑎𝑎𝑙𝑙𝑥𝑥𝑙𝑙−1∞

𝑙𝑙=0

= �(𝑠𝑠 + 1) ⋅ 𝑎𝑎𝑙𝑙+1𝑥𝑥𝑙𝑙∞

𝑙𝑙=0

𝑓𝑓′′(𝑥𝑥) = �𝑠𝑠(𝑠𝑠 + 1) ⋅ 𝑎𝑎𝑙𝑙+1𝑥𝑥𝑙𝑙−1∞

𝑙𝑙=0

= �(𝑠𝑠 + 1)(𝑠𝑠 + 2) ⋅ 𝑎𝑎𝑙𝑙+2𝑥𝑥𝑙𝑙∞

𝑙𝑙=0

⋮

𝑓𝑓(𝑚𝑚)(𝑥𝑥) = �(𝑠𝑠 + 𝑚𝑚)!

𝑠𝑠!⋅ 𝑎𝑎𝑙𝑙+𝑚𝑚𝑥𝑥𝑙𝑙

∞

𝑙𝑙=0

Ako sada u ove relacije uvrstimo 𝑥𝑥 = 0, odnosno, posmatramo ove izvode u tački 𝑥𝑥 = 0 dobijamo:

𝑓𝑓(0) = 𝑎𝑎0

𝑓𝑓′(0) = 𝑎𝑎1

𝑓𝑓′′(0) = 2𝑎𝑎2

⋮

𝑓𝑓(𝑙𝑙)(0) = 𝑠𝑠! ⋅ 𝑎𝑎𝑙𝑙

Iz tih relacija vidimo da je:

𝑎𝑎0 = 𝑓𝑓(0) 𝑎𝑎1 = 𝑓𝑓′(0) 𝑎𝑎2 =𝑓𝑓′′(0)

2! 𝑎𝑎3 =

𝑓𝑓′′′(0)3!

⋅⋅⋅ 𝑎𝑎𝑙𝑙 =𝑓𝑓(𝑙𝑙)(0)𝑠𝑠!

Ovdje je red izvoda označen sa 𝑚𝑚, jer 𝑠𝑠 služi kao brojač u oznaci reda.

111

Odnosno, ako je funkcija 𝑓𝑓(𝑥𝑥) predstavljena pomoću stepenog reda ∑ 𝑎𝑎𝑙𝑙𝑥𝑥𝑙𝑙∞𝑙𝑙=0 ,

onda koeficijenti 𝑎𝑎𝑙𝑙 moraju imati upravo dobijene vrijednosti.

Ako sada posmatramo izvode te funkcije u tački 𝑥𝑥 = 0, ali ovaj put uzimajući u obzir drugu jednakost na početku dokaza (razvoj funkcije 𝑓𝑓(𝑥𝑥) preko drugog reda ∑ 𝑏𝑏𝑙𝑙𝑥𝑥𝑙𝑙∞

𝑙𝑙=0 koji se razlikuje od ∑ 𝑎𝑎𝑙𝑙𝑥𝑥𝑙𝑙∞𝑙𝑙=0 ) dobijamo da su koeficijenti 𝑏𝑏𝑙𝑙:

𝑏𝑏0 = 𝑓𝑓(0) 𝑏𝑏1 = 𝑓𝑓′(0) 𝑏𝑏2 =𝑓𝑓′′(0)

2! 𝑏𝑏3 =

𝑓𝑓′′′(0)3!

⋅⋅⋅ 𝑏𝑏𝑙𝑙 =𝑓𝑓(𝑙𝑙)(0)𝑠𝑠!

odnosno, vidimo da je 𝑎𝑎𝑙𝑙 = 𝑏𝑏𝑙𝑙, ∀𝑠𝑠 ∈ 𝑁𝑁0.

Time smo dokazali da je predstavljanje funkcije preko stepenog reda jedinstveno.

S obzirom na ovu teoremu, ako se funkcija 𝑓𝑓(𝑥𝑥) može razviti u stepeni red na intervalu |𝑥𝑥| < 𝑅𝑅, tada imamo sljedeći razvoj:

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(0) + 𝑓𝑓′(0) ⋅ 𝑥𝑥 +𝑓𝑓′′(0)

2!⋅ 𝑥𝑥2 +

𝑓𝑓′′′(0)3!

⋅ 𝑥𝑥3 +⋅⋅⋅ +𝑓𝑓(𝑙𝑙)(0)𝑠𝑠!

⋅ 𝑥𝑥𝑙𝑙 +⋅⋅⋅

koji se naziva Maklorenov red funkcije 𝑓𝑓.

gdje je 𝑎𝑎𝑙𝑙 = 𝑓𝑓(𝑛𝑛)(0)𝑙𝑙!

, 𝑠𝑠 = 0,1,2, … naziva se Maklorenov Svaki red

red.

Ukoliko je centar reda različit od 0, odnosno ako je funkcija 𝑓𝑓(𝑥𝑥) razvijena u red:


𝑙𝑙=0

tada je 𝑎𝑎𝑙𝑙 = 𝑓𝑓(𝑛𝑛)(𝑥𝑥0)𝑙𝑙!

, 𝑠𝑠 = 0,1,2, …

Svaki stepeni red tog oblika, gdje je 𝑎𝑎𝑙𝑙 = 𝑓𝑓(𝑛𝑛)(𝑥𝑥0)𝑙𝑙!

naziva se Tejlorov red funkcije

𝑓𝑓. Dakle, Maklorenov red je specijalan slučaj Tejlorovog reda za 𝑥𝑥0 = 0.


𝑙𝑙=0

112

Dakle, ako imamo funkciju 𝑓𝑓(𝑥𝑥), možemo izračunati koeficijente 𝑎𝑎𝑙𝑙 = 𝑓𝑓(𝑛𝑛)(𝑥𝑥0)𝑙𝑙!

te

funkciji pridružiti red:

𝑓𝑓(𝑥𝑥)~�𝑓𝑓(𝑙𝑙)(𝑥𝑥0)

𝑠𝑠! (𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0)𝑙𝑙

∞

𝑙𝑙=0

2.9 Osobine Tejlorovih redova

Ako posmatramo razvoj funkcije 𝑓𝑓(𝑥𝑥) u Maklorenov red:

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(0) + 𝑓𝑓′(0)𝑥𝑥 +𝑓𝑓′′(0)

2!𝑥𝑥2 +⋅⋅⋅ +

𝑓𝑓(𝑙𝑙)(0)𝑠𝑠!

𝑥𝑥𝑙𝑙 + 𝑅𝑅𝑙𝑙(𝑥𝑥)

Ostatak 𝑅𝑅𝑙𝑙(𝑥𝑥) najčešće pišemo u Lagranžovom obliku:

𝑅𝑅𝑙𝑙(𝑥𝑥) =𝑓𝑓(𝑙𝑙+1)(𝜉𝜉)(𝑠𝑠 + 1)!

𝑥𝑥𝑙𝑙+1

gdje je 𝜉𝜉 = 𝜃𝜃 ⋅ 𝑥𝑥, 0 < 𝜃𝜃 < 1.

Ovaj oblik ostatka izveden je korišćenjem Lagranžove teoreme o srednjoj vrijednosti i u to se nećemo upuštati.

Znak jednakosti možemo staviti samo kada smo sigurni da red konvergira na

određenom intervalu i da je na tom intervalu vrijednost funkcije jednaka

sumi tog reda.

𝑆𝑆𝑙𝑙(𝑥𝑥)

n-ta parcijalna suma Tejlorovog reda, naziva se još i Tejlorov polinom (za 𝑥𝑥0 = 0)

ostatak (greška)

113

𝑠𝑠 → ∞

𝑠𝑠 → ∞

- sljedeća teorema daje potreban i dovoljan uslov za konvergenciju Maklorenovog reda na nekom intervalu.

Teorema 16: Maklorenov red funkcije 𝑓𝑓(𝑥𝑥) je konvergentan na intervalu |𝑥𝑥| < 𝑅𝑅 i njegova suma je jednaka vrijednosti funkcije 𝑓𝑓(𝑥𝑥) ako i samo ako je:

lim𝑙𝑙→∞

𝑅𝑅𝑙𝑙(𝑥𝑥) = 0, ∀𝑥𝑥 ∈ (−𝑅𝑅,𝑅𝑅)

Dokaz: Pretpostavimo prvo da je je funkcija 𝑓𝑓(𝑥𝑥) jednaka sumi Maklorenovog

reda na intervalu |𝑥𝑥| < 𝑅𝑅. Tada je lim𝑙𝑙→∞

𝑆𝑆𝑙𝑙(𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) za sve 𝑥𝑥 ∈ (−𝑅𝑅,𝑅𝑅), pa je

u tom slučaju:

lim𝑙𝑙→∞

𝑅𝑅𝑙𝑙(𝑥𝑥) = lim𝑙𝑙→∞

[𝑓𝑓(𝑥𝑥) − 𝑆𝑆𝑙𝑙(𝑥𝑥)] = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) − lim𝑙𝑙→∞

𝑆𝑆𝑙𝑙(𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) − 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 0

za sve 𝑥𝑥 ∈ (−𝑅𝑅,𝑅𝑅).

Obrnuto, pretpostavimo sada da je lim𝑙𝑙→∞

𝑅𝑅𝑙𝑙(𝑥𝑥) = 0. Tada je:

𝑅𝑅𝑙𝑙(𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) − 𝑆𝑆𝑙𝑙(𝑥𝑥) = 0

tj, kada 𝑠𝑠 → ∞, vrijednost Tejlorovog polinoma 𝑆𝑆𝑙𝑙(𝑥𝑥) teži vrijednosti funkcije, pa je:

𝑆𝑆𝑙𝑙(𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥)

odnosno:

�𝑓𝑓(𝑙𝑙)(0)𝑠𝑠!

𝑥𝑥𝑙𝑙∞

𝑙𝑙=0


114

2.10 Razvoj nekih elementarnih funkcija u Maklorenov red

Sada ćemo vidjeti kako se neke elementarne funkcije razvijaju u Maklorenov red.

• Razvoj funkcije 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = 𝒆𝒆𝒙𝒙

Neka je 𝑓𝑓(𝑙𝑙)(𝑥𝑥) = 𝑒𝑒𝑥𝑥. Za svako 𝑠𝑠 ∈ 𝑁𝑁0 važi:

𝑓𝑓(𝑙𝑙)(0) = 1

pa formula za Maklorenov red funkcije daje:

𝑒𝑒𝑥𝑥 = 1 + 𝑥𝑥 +𝑥𝑥2

2!+𝑥𝑥3

3!+⋅⋅⋅ +

𝑥𝑥𝑙𝑙

𝑠𝑠!+⋅⋅⋅ = �

𝑥𝑥𝑙𝑙

𝑠𝑠!

∞

𝑙𝑙=0

Ranije smo vidjeli da je ovaj stepeni red apsolutno konvergentan za sve 𝑥𝑥 ∈ (−∞, +∞). Pokazaćemo da je suma tog reda upravo 𝑒𝑒𝑥𝑥.

Primijetimo da je ostatak u Lagranžovom obliku jednak:


𝑥𝑥𝑙𝑙+1 =𝑒𝑒𝜉𝜉

(𝑠𝑠 + 1)!𝑥𝑥𝑙𝑙+1, 𝜉𝜉 = 𝜃𝜃 ⋅ 𝑥𝑥, 0 < 𝜃𝜃 < 1

Kako je:

lim𝑙𝑙→∞

𝑅𝑅𝑙𝑙(𝑥𝑥) = lim𝑙𝑙→∞

𝑥𝑥𝑙𝑙

𝑠𝑠!= 0, ∀𝑥𝑥 ∈ ℝ

iz teoreme 16 slijedi da je red konvergentan za svako 𝑥𝑥 ∈ ℝ i da je vrijednost reda jednaka vrijednosti funkcije, tj:

�𝑥𝑥𝑙𝑙

𝑠𝑠!

∞

𝑙𝑙=0

= 𝑒𝑒𝑥𝑥

* napomena: Sve funkcije dijele se na algebarske i transcedentne. Algebarske su one čije vrijednosti možemo dobiti korišćenjem konačnog broja aritmetičkih operacija, kao npr. polinomske funkcije. Transcedentne su one čije vrijednosti ne možemo dobiti korišćenjem konačnog broja aritmetičkih operacija. To smo upravo pokazali na funkciji 𝑒𝑒𝑥𝑥 čija se vrijednost ne može izračunati korišćenjem konačnog broja aritmetičkih operacija.

𝑒𝑒𝑥𝑥 = �𝑥𝑥𝑙𝑙

𝑠𝑠!

∞

𝑙𝑙=0

115

• Razvoj funkcije 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬 𝒙𝒙

Imajući u vidu da je:

𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = cos 𝑥𝑥 = sin �𝑥𝑥 +𝜋𝜋2�

𝑓𝑓′′(𝑥𝑥) = − sin 𝑥𝑥 = sin(𝑥𝑥 + 𝜋𝜋)

𝑓𝑓′′′(𝑥𝑥) = − cos 𝑥𝑥 = sin �𝑥𝑥 +3𝜋𝜋2�

zaključujemo da je:

𝑓𝑓(𝑙𝑙)(𝑥𝑥) = sin �𝑥𝑥 +𝑠𝑠𝜋𝜋2�

pa imamo:

𝑓𝑓(0) = 0

𝑓𝑓′(0) = 1

𝑓𝑓′′(0) = 0

𝑓𝑓′′′(0) = −1

itd. Ako ove koeficijente uvrstimo u Maklorenovu formulu, dobijamo Maklorenov red funkcije sin 𝑥𝑥:

sin 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 −𝑥𝑥3

3!+𝑥𝑥5

5!−𝑥𝑥7

7!+⋅⋅⋅ +(−1)𝑙𝑙

𝑥𝑥2𝑙𝑙+1

(2𝑠𝑠 + 1)!+⋅⋅⋅ = �(−1)𝑙𝑙

𝑥𝑥2𝑙𝑙+1

(2𝑠𝑠 + 1)!

∞

𝑙𝑙=0

Pokazuje se da je ovaj red apsolutno konvergentan za sve 𝑥𝑥 ∈ (−∞, +∞). Razmotrimo ostatak:


𝑥𝑥𝑙𝑙+1 =sin �𝜉𝜉 + (𝑠𝑠 + 1)𝜋𝜋

2 �

(𝑠𝑠 + 1)!𝑥𝑥𝑙𝑙+1, 𝜉𝜉 = 𝜃𝜃 ⋅ 𝑥𝑥, 0 < 𝜃𝜃 < 1

Kako je sin �𝜉𝜉 + (𝑙𝑙+1)𝜋𝜋2

� ≤ 1 ograničena funkcija i:

lim𝑙𝑙→∞

𝑥𝑥𝑙𝑙+1

(𝑠𝑠 + 1)!= 0

tako je 𝑅𝑅𝑙𝑙 = 0, 𝑠𝑠 → ∞. Iz teoreme 16 slijedi da je razvoj tačan:

sin 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 −𝑥𝑥3

3!+𝑥𝑥5

5!−𝑥𝑥7

7!+⋅⋅⋅ +(−1)𝑙𝑙

𝑥𝑥2𝑙𝑙+1

(2𝑠𝑠 + 1)!+⋅⋅⋅ = �(−1)𝑙𝑙

𝑥𝑥2𝑙𝑙+1

(2𝑠𝑠 + 1)!

∞

𝑙𝑙=0

116

• Razvoj funkcije 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐬𝐬 𝒙𝒙

Kako je cos 𝑥𝑥 = (sin𝑥𝑥)′ direktno slijedi da je Maklorenov red funkcije cos 𝑥𝑥 jednak:

cos 𝑥𝑥 = 1 −𝑥𝑥2

2!+𝑥𝑥4

4!−𝑥𝑥6

6!+⋅⋅⋅ = �(−1)𝑙𝑙

𝑥𝑥2𝑙𝑙

(2𝑠𝑠)!

∞

𝑙𝑙=0

• Razvoj funkcije 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝒙𝒙

Na sličan način kao u prethodnim primjerima dobijamo da je:

11 − 𝑥𝑥

= 1 + 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 +⋅⋅⋅ +𝑥𝑥𝑙𝑙 +⋅⋅⋅ = �𝑥𝑥𝑙𝑙∞

𝑙𝑙=0

Ovaj red je apsolutno konvergentan na intervalu |𝑥𝑥| < 1.

• Razvoj funkcije 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = 𝐥𝐥𝐬𝐬 (𝟏𝟏 + 𝒙𝒙)

Koristeći se prethodnim primjerom:

11 − 𝑥𝑥

= 1 + 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 +⋅⋅⋅ +𝑥𝑥𝑙𝑙 +⋅⋅⋅ = �𝑥𝑥𝑙𝑙∞

𝑙𝑙=0

za 𝑥𝑥 = −𝑢𝑢 dobijamo funkciju:

11 + 𝑢𝑢

= 1 − 𝑢𝑢 + 𝑢𝑢2 − 𝑢𝑢3 +⋅⋅⋅ +(−1)𝑙𝑙 𝑢𝑢𝑙𝑙 +⋅⋅⋅ = �(−1)𝑙𝑙 𝑢𝑢𝑙𝑙∞

𝑙𝑙=0

Pa integraljenjem te jednakosti u granicama od 0 do 𝑥𝑥 (određeni integral u tim granicama da bi se vratili na promjenljivu 𝑥𝑥) dobijamo:

�𝑑𝑑𝑢𝑢

1 + 𝑢𝑢

𝑥𝑥

0

= �𝑑𝑑𝑢𝑢𝑥𝑥

0

− �𝑢𝑢 𝑑𝑑𝑢𝑢𝑥𝑥

0

+ �𝑢𝑢2 𝑑𝑑𝑢𝑢𝑥𝑥

0

− �𝑢𝑢3 𝑑𝑑𝑢𝑢𝑥𝑥

0

+⋅⋅⋅

odnosno:

ln(1 + 𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 −𝑥𝑥2

2+𝑥𝑥3

3−𝑥𝑥4

4+⋅⋅⋅ +(−1)𝑙𝑙

𝑥𝑥𝑙𝑙+1

𝑠𝑠 + 1+⋅⋅⋅ = �(−1)𝑙𝑙+1

𝑥𝑥𝑙𝑙

𝑠𝑠

∞

𝑙𝑙=1

117

Na ovaj način smo indirektno došli do razvoja funkcije ln(1 + 𝑥𝑥) u stepeni red na intervalu |𝑥𝑥| < 1. Pokazuje se da dobijeni stepeni red konvergira i za 𝑥𝑥 = 1, pa on, u stvari, konvergira na poluotvorenom intervalu 𝑥𝑥 ∈ (−1,1]. Pri tome je:

ln(1 + 1) = ln 2 = 1 −12

+13−

14

+⋅⋅⋅ +(−1)𝑙𝑙+11𝑠𝑠

+⋅⋅⋅

• Razvoj funkcije 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = 𝐚𝐚𝐚𝐚𝐜𝐜𝐚𝐚𝐚𝐚 𝒙𝒙

Na sličan način kao u prethodnom primjeru, za 𝑥𝑥 = −𝑢𝑢2 dobijamo:

11 + 𝑢𝑢2

= 1 − 𝑢𝑢2 + 𝑢𝑢4 − 𝑢𝑢6 +⋅⋅⋅

pa integraljenjem te jednakosti u granicama od 0 do 𝑥𝑥 dobijamo:

arctg 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 −𝑥𝑥3

3+𝑥𝑥5

5−𝑥𝑥7

7+⋅⋅⋅ +(−1)𝑙𝑙

𝑥𝑥2𝑙𝑙+1

2𝑠𝑠 + 1+⋅⋅⋅ = �(−1)𝑙𝑙

𝑥𝑥2𝑙𝑙+1

2𝑠𝑠 + 1

∞

𝑙𝑙=0

što je razvoj funkcije arctg 𝑥𝑥 u Maklorenov red na intervalu |𝑥𝑥| < 1.

* Primijetimo da je:

arctg 1 = 1 −13

+15−

17

+⋅⋅⋅

odnosno:

𝜋𝜋4

= 1 −13

+15−

17

+⋅⋅⋅

pa je:

𝜋𝜋 = 4 ⋅ �1 −13

+15−

17

+⋅⋅⋅�

te smo na taj način iracionalan broj 𝜋𝜋 izrazili kao beskonačnu sumu racionalnih brojeva.

118

Još jednu važnu primjenu razvoja funkcija u stepeni red razmotrićemo na sljedećem primjeru.

Vidjeli smo da se, npr, integral:

�sin 𝑥𝑥𝑥𝑥

𝑎𝑎

0

ne može izračunati uobičajenim metodama integracije i primjenom Njutn-Lajbnicove formule, jer podintegralna funkcija sin𝑥𝑥

𝑥𝑥 nema nijednu primitivnu

funkciju u klasi elementarnih funkcija. Međutim, ukoliko iskoristimo razvoj funkcije sin 𝑥𝑥 u stepeni red, pa je podijelimo sa 𝑥𝑥, dolazimo do sljedećeg razvoja funkcije sin𝑥𝑥

𝑥𝑥:

sin 𝑥𝑥𝑥𝑥

= 1 −𝑥𝑥2

3!+𝑥𝑥4

5!−𝑥𝑥6

7!+⋅⋅⋅

koji važi za sve 𝑥𝑥 ∈ ℝ. Integracijom član po član odavde dobijamo:

�sin 𝑥𝑥𝑥𝑥

𝑑𝑑𝑥𝑥𝑎𝑎

0

= 1 −𝑎𝑎3

3 ⋅ 3!+

𝑎𝑎5

5 ⋅ 5!−

𝑎𝑎7

7 ⋅ 7!+⋅⋅⋅

i na taj način možemo približno izračunati vrijednost tog određenog integrala.

- ovdje završava šesto predavanje (31.03.2016).

Documents

Matematika 2 - Predavanja (integralni račun i redovi)