Embed Size (px)
Citation preview
�
�
� ���
� �� � ����
� � �� � ����
Parathënie
Ky libër do të të ndihmojë gjatë mësimit të matematikës në vitin e katërt të drejtimit të arsimit të mesëm. Teksti është i dedikuar për të gjitha drejtimet. Bëhu aktiv dhe i rregullt në punë, e kjo do të të ndihmojë në mënyrë të pavarur të përvetësosh njohuri që do të sjellin kënaqësi dhe sukses në mësime. Libri është ndarë në katër tërësi tematike. Ato fi llojnë me përmbajtjen, ndërsa njësitë mësi-more janë të numëruara. Vëreji shenjat e njësive mësimore dhe shihe porosinë e tyre.
Përkujtohu!Njësitë mësimore fi llojnë me diçka që e ke të njohur.Duhet të përkujtohesh dhe të përgjigjesh në kërkesat e dhënaAjo do ta lehtësojë të mësuarin e përmbajtjeve të tyre.
Me këto shenja njësia mësimore është ndarë në pjesë për sa i përket koncepteve të reja.
Me shenja të këtilla janë shënuar aktivitetet, pyetjet dhe detyrat që do t’i zgjidhësh në orë të mësimit në mënyrë të pavarur ose me ndihmën e arsimtarit tënd, ndërsa ato janë në mësim.
Me shenjën e rrethit të është drejtuar pyetja në të cilën duhet të japësh përgjigje.
Me këtë shenjë është dhënë informata për sqarimin e konceptit të ri.
Mbaj mend!
Vërej!
Kjo të udhëzon në atë që është e rëndësishme për konceptin e ri
Kjo porosi të udhëzon çka duhet t’i kushtosh kujdes më të madh.
Pas çdo njësie mësimore janë dhënë detyra. Me zgjidhjen e rregullt dhe të pavarur të këtyre detyrave më mirë do ta kuptosh atë që e ke mësuar. Përgjigjet tua krahasoji me përgjigjen dhe zgjidhjet që janë dhënë në fund të librit.
Kur do të hasësh në vështirësi gjatë të mësuarit e përmbajtjeve të caktuara, mos u dorëzo, përpiqu përsëri, bëhu këmbëngulës.
Do të na gëzojë nëse ky libër të mundëson të arrish sukses solid.
Nga autorët
A B
3
TEMA 1
1
VARGJE DHE PROGRESIONE
Vargje të numrave realë ..................
Progresioni aritmetik....... ................
Shuma e n-anëtarëvetë parë të........................................
Progresioni gjeometrik ...................
Vlera kufitare e vargut ....... ...........
Në këtë temë do të mësosh për:
2
3
4
5
6
Vargjet konvergjentedhe divergjente...............................
7
Disa vargje karakteristike................8
Operacione mevargje konvergjente.........................9
Shuma anëtarëve të progresionitpafundshëm gjeometrik..................
1047
4
10
13
18
22
28
33
37
43
Shuma e n-anëtarëve të pare tëprogresionit gjeometrik .................
4
1 VARGJE TË NUMRAVE REALË
Kujtohu
Bashkësia 1,2,3,4,5,..., 1, , 1,...n n n quhet bashkësia e numrave natyrorë.Bashkësia e cila i përmban të gjitha thyesat quhet bashkësia e numrave racionalë, përkatësisht
| , 0 .a a b bb
Çdo numër dhjetor joperiodik i pafundshëm quhet numër irracional.Bashkësia numrave irracional së bashku me bashkësinë të numrave racionalë e formojnëbashkësinë e numrave realë; përkatësisht . ∪Bashkësia e numrave natyrorë është e radhitur, d.m.th. 1 2 3 4 ... 1 2 ...n n n
ANë jetën e përditshme shpeshherë imponohet nevoja disa sende ose objekte të radhiten, me çka dotë dihet cili prej tyre është i pari, i dyti, i treti etj. Në këtë rast thuhet se ato objekte janë radhitur nëvarg. Ja disa shembuj:
Shkronjat e alfabetit tonë janë të riradhitura, pasi në vendin e parë gjendet shkronja A, në vendin e dytëshkronja B, në vendin e tretë shkronja C etj., pra në këtë mënyrë disa numrave natyrorë u shoqërohenshkronja të alfabetit. Kështu p.sh., numrit 1 i është shoqëruar shkronja A, dhe shkruajmë 1A, numrit 2– shkronja B, d.m.th. 2 B , etj. numrit 36-shkronja Zh, d.m.th. 31[.
Elementet kimike H, He, Li,... janë radhitur sipas numrit të protoneve, ku H,12 He, 3 Li,....88 Ra, 92 U etj., prandaj ato formojnë varg të elementeve kimike.
Në përgjithësi, nëse çdo numri natyror 1,2,3,...n sipas ndonjë rregulle ose ligji i shoqërohet nga njënumër i caktuar real an, atëherë për numrat
1 2 3, , , ..., ,...na a a athemi se përcaktojnë vargun e numrave realë.
Numrat 1 2 3, , , ...a a a quhen anëtar kufiza të vargut; a1 është anëtari i parë, a2 është anëtari i dytë, an ështën-anëtari ose anëtari i përgjithshëm i vargut.Në këtë mënyrë është përkufizuar pasqyrim (funksion) : ,f ku ,nn a d.m.th. .nf n a
Vargun 1 2 3, , , ..., ,...na a a a shkurtimisht e shënojmë me simbolin .na
Nëse çdo numri natyror i është shoqëruar katrori i tij , d.m.th.
22 2 2 21 1 ,2 2 ,3 3 ,..., , 1 1 ,...n n n n ,
atëherë numrat 22 2 2 21 , 2 , 3 ,..., , 1 ,...n n e formojnë vargun prej katrorëve të numrave natyrorë.
Çdo anëtar i vargut varet prej vendit të tij në varg, i cili është shënuar përkatës me indeksin e tij, që do tëthotë se çdo anëtarë i vargut është i përcaktuar nga indeksi n. Vargu është plotësisht i përcaktuar nëse dihetrregulla sipas së cilës është përcaktuar anëtari n-të i vargut për çfarëdo .n
5
1 Shkruaje vargun për të cilin rregulla për fitimin e an është:a) anëtari an është vlera reciproke e numrit natyrorë n ;b) anëtari an është fuqia e n-të e numrit 2
Përgjigje
a) 1 1 1 1, , , . . . , , . . .1 2 3 n
b) 1 2 31 2 32 , 2 4, 2 8, . . . , 2 ,n
na a a a pravargu është : 2, 4, 8, . . . , 2n, . . .
Sa është a100?Sa është a1001?
Sa është a6?
Ekzistojnë edhe vargje të atilla ku anëtari i përgjithshëm nuk është dhënë me shprehja analitike, por dihetmënyra sipas së cilës mund të njehsohet secili anëtar i vargut. Kështu për shembull, me mënyrën përnjehsimin e 2 fitohet vargu
1; 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142; . . .Anëtarët e këtij vargu janë përkatësisht vlerat e përafërta të numrit 2 me saktësi deri më 1; 0,1; 0,01;0,001; ...
2 Shkruaje vargun, anëtarët e të cilit fitohen gjatë shndërrimit të 13
në numër dhjetor.
3 Shkruaje vargun të dhënë me anëtarin e përgjithshëm: a) 2 1, 1,2,3,4,...,10 ;na n n
b) 2 1, .nb n n Sa anëtarë ka çdonjëri prej këtyre vargjeve?Përgjigje
a) 1, 3, 5, 7, . . . , 19; b) 1, 3, 5, 7, . . . , 19, . . .Vargu na ka 10 anëtarë, d.m.th. numër të fundshëm të anëtarëve.Vargu nb ka pafund shumë anëtarë.
Në matematikë me interes të veçantë janë vargjet e pafundshme. Më tutje, do ta përdorim termin “varg”në vend të “varg i pafundshëm“ i numrave realë.
B Janë dhënë vargjet: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14,...; 2, 4, 6, 8, 0, 0, 0,... dhe 2, 4, 6, 8,1, 1, 1,...
A është një varg njëvlerësisht i përcaktuar nëse i dimë disa anëtarë të parë të tij?Vëreje se përgjigjja e kësaj pyetje është negative.
4 Duke supozuar se rregullin që e vërejmë ndërmjet anëtarëve të dhënë të vargut vlen edhe përanëtarët e tjerë, shkruaj njërin prej shprehjeve të mundshme për anëtarin e përgjithshëm të vargut:
a) 1, 3, 5, 7, 9,...; b) 1, 4, 9, 16, 25,... c) 1 2 3 40, , , , ,. . .;3 4 5 6
d) 1, 1, 1, 1, 1,...
Përgjigje
a) 2 1;na n b) 2 ;na n c) 1;1n
nan
d) 1 .nna
Përkufizim. Çdo pasqyrim f prej në quhet varg i pafundshëm i numrave realë.Çdo pasqyrim f i bashkësisë 1,2,3,...,k në bashkësinë quhet varg i fundshëm i numraverealë ose varg k-anëtarësh.
6
Shpeshherë anëtarët e një vargu mund të jenë dhënë edhe me formulën rekurente të llojit
1 , 1,2,3,...n na f a n
ku a1 është drejtpërdrejt i dhënë, kurse të gjithë anëtarët i caktojmë sipas formulës së dhënë. Për shembull,nëse 1 3n na a dhe 1 1,a atëherë fitohet vargu 1, 4, 7, 10, 13, . . .
5 Shkruaji dhjetë anëtarët e parë të vargut të dhënë me:
a) 1 11, ;n na a a n b) 21 12, ;n na a a n
c) 1 11, ;n na a n a d) 1 11, 2 3.n na a a
Është dhënë vargu: a) 1 2 3 4, , , ,..., ,...;2 3 4 5 1
nn
b) 1 1 1 1 11, , , , ,..., ,...2 3 4 5 n
v) 3, 3, 3,...6V
Cakto shenjën e ndryshimeve: 1 2 2 3 3 4 1, , ,..., n na a a a a a a a për .n
Zgjidhje
a) 1 21 2 3 4 1 0.2 3 6 6
a a Domethënë, 1 2 0,a a respektivisht 1 2 .a a
2 32 3 8 9 1 0.3 4 12 12
a a Domethënë 2 3 0,a a respektivisht 2 3.a a
2 2
11 2 2 1 1 0,
1 2 1 2 1 2n nn n n n n na a
n n n n n n
prej ku përfundojmë se
1n na a për .n
b) 1 21 11 0,2 2
a a d.m.th. 1 2 ;a a 2 31 1 1 0,2 3 6
a a d.m.th. 2 3;a a
11 1 1 0
1 1n na an n n n
për çdo ,n d.m.th. 1n na a për çdo .n
Prej 1 2 2 3 1, ,..., n na a a a a a vijon 1 2 3 1... ...n na a a a a
Prej 1 2 2 3 1, ,..., n na a a a a a për çdo n vijon 1 2 3 1... ...n na a a a a
Përkufizim. Për vargun na themi se është rritës nëse 1n na a për çdo .nPër vargun na themi se është zvogëlues nëse 1n na a për çdo .nPër vargun na themi se është jo zvogëlues nëse 1n na a për çdo .nPër vargun na themi se është jo rritës nëse 1n na a për çdo .n
Vargjet rritëse dhe zvogëluese quhen edhe vargje monotone në kuptimin rigoroz të fjalës, kurse vargjet jozvogëluese dhe jo rritëse – monotone në kuptimin e gjerë të fjalës.
Për këtë varg themi se është zvogëlues.
Për këtë varg themi se është rritës.
c) Për këtë varg themi se është konstantë.
7
Që të konstatohet se vargu i dhënë na është rritës ose zvogëlues në vend të shenjës së ndryshimit
1n na a mund të shqyrtohet vlera e herësit 1
n
n
aa
ku:
nëse 11
1 0 ,nn
n
a aa
atëherë vargu na rritet;
7 Vërteto se vargu me anëtarin e përgjithshëm:
a) 3
3 1nna
n
monotonisht rritet; b)
12 1na
n
monotonisht zvogëlohet.
Shihe vërtetimina) Duhet të vërtetojmë se për çdo n është e saktë jobarazia 1n na a d.m.th. 1 0n na a ose
11
1 0 .nn
n
a aa
Në këtë rast kemi:
1
3 13 3 03 1 3 1 1 3 1 3 4n n
nna an n n n
ose
2
2 21
33 3 4 9 12 3 3 33 1 1 1.
3 1 3 1 3 3 9 12 3 9 12 33 1 1
n
n
nn na n nn
na n n n n n nn
b) Duhet të vërtetojmë se për çdo n vlen 1 0n na a ose 11
1 0 .nn
n
a aa
1 2
1 1 1 1 2 02 1 2 1 1 2 1 2 1 4 1n na an n n n n
ose
8 Shqyrto monotoninë e vargut nëse anëtari i përgjithshëm i tij është: a) 2 1;3nna
n
b) 5 .1na
n
Ekzistojnë vargje të cilët nuk janë monotone, d.m.th. nuk rriten, nuk zvogëlohen. I atillë është vargu me
anëtarin e përgjithshëm 11 ,
n
nan
anëtarët e tij janë; 3 2 5 40, , , , ,...2 3 4 5
ato janë të radhitur ngaana e majtë dhe e djathtë e
10 232
54
23
45
fig.1
numrit 1.
1
12 1 1 1 22 1 1 1.1 2 1 2 1
2 1
n
n
a nna n n
n
nëse 11
1 0 ,nn
n
a aa
atëherë vargu na zvogëlohet.
Themi se anëtarët e vargut oscilojnë rreth numrit(fig. 1).
8
9G Anëtari i përgjithshëm i vargut është 1.
n
nan
a) Shkruaji 8 anëtarët e parë të vargut dhe paraqiti në boshtin numerik.b) A i takojnë të gjithë anëtarët e vargut intervalit 2,2 ?
Shihe zgjidhjen:
a) 1 1 1 1 1 1 11, , , , , , .2 3 4 5 6 7 8
i 02 2
12
14
13
15
1 116
17
18
b) Po, të gjithë anëtarët e vargut gjenden në intervalin 2,2 . Atë e shkruajmë në këtë mënyrë:
2, 2na për çdo ,n t.e. | | 2na d.m.th. .n
Domethënë, çdo anëtar i këtij vargu sipas vlerës absolute është më i vogël se numri 2, pra për vargun themise është i kufizuar.
Përkufizim. Vargu na është i kufizuar, nëse çdo anëtar i tij sipas vlerës absolute është më i vogël sendonjë numër pozitiv k, d.m.th. nëse ekziston ndonjë numër pozitiv k, ashtu që për çdo ,n | | .na k
Vargu i cili nuk është i kufizuar quhet varg i pakufizuar. Për shembull, vargu i numrave natyror është ipakufizuar.
Vërej!
Kuptimi “varg i pakufizuar” ndryshon prej kuptimit “varg i pafundshëm”. Për shembull, vargu 1n
është i pafundshëm,d.m.th. ka numër të pafundshëm të anëtarëve, por është i kufizuar pasi çdo
anëtarë i tij ka vlerën absolute më të vogël se numri 1, d.m.th. i takojnë intervalit (0, 1].
10 Cili prej këtyre vargjeve është i kufizuar : a) 1 ;2na
n b) ;
1nna
n
v) 1 .n
na n
a) Vargu është: 1 1 1 1 1 1 1, , , , , , ,...2 4 6 8 10 12 14
Shihe zgjidhjen:
0 12
14
112
114
16
18
Të paraqesim disa anëtarë të parë në boshtinnumerik.
Është e qartë se të gjithë anëtarët e vargut gjenden
në intervalin 10, ,2
, d.m.th.
102na për çdo
,n që do të thotë se vargu është i kufizuar.
b) 1 2 3 4 5 6 7, , , , , , ,...2 3 4 5 6 7 8
0 12
34
56
78
45
23
1
Të gjithë anëtarët e këtij vargu gjenden nëintervalin (0, 1) , d.m.th. 0 1na për çdo ,nprej ku përfundojmë se vargu është i kufizuar.
110
9
c) 1 2 3 4 5 61, 2, 3, 4, 5, 6,...a a a a a a
7 5 3 1 0 2 4 6
Për këtë varg nuk ekziston numër pozitiv k, ashtu që | |na k për .n Domethënë vargu është ipakufizuar.
Detyra:1 Shkruaji pesë anëtarët e parë të vargut me anëtarin e përgjithshëm:
a) 2
1 ;2n
nan
b) 11
;1
n
nan
c)
1 1;
2
n
na
ç) 1 .!na
n
Duke supozuar se rregulla të cilën e vërejmë ndërmjet anëtarëve të dhënë të vargut vlen edhe për tëtjerët,atëherë shkruaje njërën nga shprehjet e mundshme për anëtarin e përgjithshëm:
a) 2 3 4
1 2 3 4, , , ,...;2 2 2 2
b) 2 4 81, , , ,...;101 201 301
c) 1 1 11, , , ,...;2 2 3 3 4 4
ç) 1, 2, 3, 4,...
Shkruaji dhjetë anëtarët e parë të vargut të dhënë me:
a) 1 2 2 11, 1, ;n n na a a a a b) 1 2 2 11, 2, 2 .n n na a a a a
Shkruaji pesë anëtarët e parë të vargut për numrat e përafërt të numrit: a) 3; b) .
Te katrori me brinjë 4 është brendashkruar katror kulmet e të cilit janë meset e brinjëve të katrorit tëparë, te katrori i dytë në mënyrë të njëjtë është brendashkruar katrorë i tretë etj. Shkruaje vargunanëtarët e të cilit janë:a) gjatësitë e brinjëve të katrorëve; b) syprinat e katrorëve.Shqyrto monotoninë e vargut me anëtarin e përgjithshëm:
a) ;3 2n
nan
b) 21 .na n
Duke supozuar se rregulla të cilën e vërejmë ndërmjet anëtarëve të dhënë të vargut vlen, edhe për tëtjerët, shqyrto monotoninë e vargut: a) 1 1 11, , , ,...;
3 5 7b) 1 3 5 7, , , ....
3 5 7 9
Shqyrto monotoninë e vargut të dhënë me anëtarin e përgjithshëm:
a) ;na n b) 1 ;nan
c) 1 ;nna ç)
1 .2n na
Cili prej këtyre vargjeve është i kufizuar: a) 1 ;nna b) 2 ;
!nan
c) 1 ;2na
n
ç) 31 ;nna n d) 1; 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142;...
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2 PROGRESIONI ARITMETIK
Kujtohu!
Vargu-5, -3, -1, 1, 3, 5, 7,... rritet.
Vargu 10, 6, 2, - 2, -6,... zvogëlohet.
Vargu -1, 2, -3, 4, -5, 6,... as nuk rritet as nukzvogëlohet. Ky varg nuk është monoton.
A Janë dhënë vargjet:
a) 1, 2, 3, 4, 5, 6,...
b) 1 3 5 7, , , ,...2 2 2 2
c) 1, 4, 7, 10, 13,...d) 6, 2, 2, 6, 10,...
Shih se te çdonjëri prej vargjeve të dhëna ndryshimi ndërmjet çdo anëtari (përveç të parit) dhe paraardhësittë tij është konstant dhe është: a) 1; b) 1; c) 3; d) 4.
Përkufizim. Vargu i numrave të atillë që duke filluar prej anëtarit të dytë ndryshimi ndërmjet çdo anëtaridhe paraardhësi të tij është konstant,d.m.th. 1n na a d për çdo n quhet varg aritmetik oseprogresion aritmetik. Ai është plotësisht i përcaktuar nëse janë dhënë anëtari i parë dhe ndryshimi.
Fjala progresion rrjedh prej fjalës latine progressio që do të thotë përparim,kurse simboli dështë,respektivisht,shkronja fillestare e fjalës latine differentia,që do të thotë ndryshim.
Nëse 0,d atëherë prej 1n na a d vijon 1 ,n na a që do të thotë se progresioni rritet.Nëse 0,d atëherë 1 ,n na a d.m.th. progresioni zvogëlohet.
1 Cakto cili prej këtyre vargjeve është progresion aritmetik:
a) 5, 7, 9, 11,... b) 3, 1, 5, 9,...
c) 1 3 4 7, , , ,...2 2 2 2
ç) 4 4 4 4, , , ,...5 7 9 11
d) 2 , 3 2 , 4 5 , 5 8 ,...a b a b a b a b
Nëse 0,d të gjithë anëtarët e progresionit janë të barabartë ndërmjet veti, d.m.th. na është vargkonstant.
B 2 Është dhënë progresioni arimetik 12, 19, 26, 33, 40, 47,...a) Cakto ndryshimin e tij d.b) Shprehe çdo anëtarë prej të dytit deri te i katërti me ndihmën e anëtarit paraprak dhendryshimit d.c) Shprehe çdo anëtarë prej të dytit deri te i katërti me ndihmën e anëtarit të parë dhendryshimit d.
Zgjidhjea) 19 12 7,d por dhe: 26 19 33 26 7. b) 19 12 7; 26 19 7; 33 26 7. c) 19 12 7; 26 19 7 (12 7) 7 12 2 7; 33 26 7 (12 2 7) 7 12 3 7.
11
Cakto anëtarin e 31-të të progresionit aritmetik 1, 3, 5, 7, 9,...
Zgjidhje. Për këtë progresion 1 1a dhe 5 3 2,d pra 31 1 30 ,a a d d.m.th.31 1 30 2 61.a
3
4 Njehso te progresioni aritmetik nëse:
a) 125, 2, 3;na d a b) 11 111, , 3 .2 2na d a
Zgjidhje
a) Vlerat e dhëna i zëvendësojmë në formula 1 1na a n d , d.m.th. 25 3 1 2,n prej ku 12.n
5 Cili anëtar i progresioni aritmetik 3, 9, 15,... është i barabartë me 117?
6 Shkruaji pesë anëtarët e parë të progresionit aritmetik, te i cili ndryshimi ndërmjet anëtarit të tretëdhe të parë është 16, kurse shuma e anëtarit të tretë dhe të pestë është 144.
Zgjidhje
Prej kushtit të detyrës vijon 3 1 1 1
13 5 1 1
16 2 16 848.144 2 4 144
a a a d a daa a a d a d
Pesë anëtarët e parë të vargut janë: 48, 56, 64, 72, 80.
7 Cakto progresionin aritmetik nëse:
a) 3 7 38a a i 2 12 50;a a b) 3 5 8 43a a a i 4 7 30.a a
8 Te progresioni 43, 40, 37, . . . cakto anëtarin e parë me radhë vlera e të cilit është më e vogël se 1.Zgjidhje
Këtu 1 43a dhe 3,d pra indeksi i kërkuar është më i vogli prej të gjithë indekseve n të cilët eplotësojnë
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kjo quhet formula e anëtarit të n të progresionit aritmetik
Vure re se cilido anëtar i progresionit aritmetik (përveç të parit)mund të caktohet sipas formulës
1 1 .na a n d
Në përgjithësi, le të jetë dhënë progresioni aritmetik 1 2 3 4 5 1, , , , ,..., , ,...n na a a a a a a Prej përkufizimittë progresionit aritmetik vijon se:
2 1 3 2 4 3 1... ,n na a a a a a a a d prej ku
2 1 ,a a d
3 2 1 2 ,a a d a d
4 3 1 3 ,a a d a d
12
Jo barazimin 43-3( -1)< 1, prej ku n-1 > 14, d.m.th. n> 15. Domethënë, indeksi i kërkuar i anëtarit është 16,pra duke filluar prej a16 = 2 të gjithë anëtarët e ardhshëm janë më të vegjël se 1.
Te progresioni i njëjtë cakto anëtarët 15a dhe 17 .a
Cakto anëtari 17a të progresionit aritmetik anëtari i tetë i të cilit është 8, kurse ndryshimi është -2.
9
Shuma e tre numrave që formojnë progresion aritmetik është 24. Caktoji ato numra, nëse dihet se,katrori i numrit të tretë është për 96 më i madh se shuma e katrorëve të dy anëtarëve të parë.
10
Zgjidhje
Sipas kushtit të detyrës kemi:
1 1 1 11 2 3
2 2 2 22 22 2 21 1 1 1 1 13 1 2
2 24 824
2 96 9696
a a d a d a da a a
a d a a d a d d a a da a a
1
2 2 21
8 58 5 3.8 8 8 96
a d dad d
Numrat e kërkuara janë: 3, 8, 13.
11V Ndërmjet numrave 7 dhe 61 interpolo (vendos) 8 numra të cilët me anëtarët e dhënë formojnëprogresion aritmetik.
Zgjidhje
Pasi 1 7a dhe 10 61,a prej 1 9 61a d vijon 61 7 6,9
d pra progresioni i kërkuar është
7, 13, 19, 25, 31, 37, 43, 49, 55, 61.
12 Ndërmjet numrave 1 dhe na a vendos numra të rinj të cilët me numrat e dhënë do të formojnëprogresion aritmetik me n anëtarë.
Zgjidhje
Prej 1 1na a n d e shprehim ndryshimin d dhe fitojmë 1 .1
na adn
Ndërmjet 1 dhe na a duhet të
vendosim 2n anëtarë(pse?), pra progresioni aritmetik është
1 1 1 11 1 1 1 1, , 2 , 3 ,..., 2 , .
1 1 1 1n n n n
na a a a a a a aa a a a a n an n n n
13 a) Ndërmjet numrave 2 dhe 10 përcakto 20 numra, të cilët me numrat e dhënë formojnë progresionaritmetik .b) Ndërmjet numrave 0 dhe 1 vendos 99 numra të cilët me numrat e dhënë formojnë varg aritmetik.
Detyra1 Cili prej këtyre vargjeve është progresion aritmetik:
a) 3, 6, 9,..., 3 ,...;n b) 31, 8, 27,..., ,...;n c) 1, 3, 7,..., 2 1,...;n d) 5, 3, 1,..., 7 2 ,...?n
13
Provo numrat:a) 2 0 2 0 2 0sin 30 , sin 45 dhe sin 60 ; b) 2 2 2cos , cos dhe cos ;
3 4 6
Nëse te progresioni aritmetik 2, 1, 4,... i eliminojmë anëtarët të cilët qëndrojnë në vendet çifte,atëherë edhe anëtarët tjerë formojnë progresion aritmetik. Vërteto.Në vargun e numrave natyror cakto:a) numrin çift të njëqind; b) numrin tek të 163-të.
Cakto anëtarin an te progresioni aritmetik nëse:
a) 1 4, 3, 8;a d n
c) 11 1, , 9;2 4
a d n
b) 1 9, 5, 11;a d n
ç) 1 , , 20.a a b d a n
Shkruaji pesë anëtarët e parë të progresionit aritmetik:a) 1 73, 9;a a b) 6 17, 2;a d c) 17 922, 6;a a ç) 3 7 2 1238 50.a a a a i
Ndërmjet numrave 18 dhe -12 vendos 8 numra të cilat së bashku me anëtarët e dhënë formojnëprogresion aritmetik.
Vargu 1 2 3, , ,...a a a le të jetë progresion aritmetik. Vërteto se edhe vargjet që vijojnë janëprogresione aritmetike:
a) 1 2 32, 2, 2,...;a a a b) 1 2 3, , ,... ;a k a k a k k c) 31 2, , ,... 0 .aa a kk k k
2
3
4
5
6
7
8
Kujtohu
Mesatarja aritmetike e numrave real a e b është numri .2
a b
Mesatarja aritmetike e numrave a1, 2, 3,..., an është numri 1 2 3 ... .na a a aan
Cakto mesin aritmetik të numrave: a) 21 dhe 3; b) 3 dhe 5 3; v) 1, 3, 5, 17, 6 dhe 2.
AËshtë dhënë progresioni aritmetik me numërtë fundëm të anëtarëve.
1, 2, 3, 4, 5,..., 50, 51,..., 96, 97, 98, 99, 100.
Për anëtarët 2 dhe 99, 3 dhe 98, 4 dhe 97, . . . , 50dhe 51 themi se janë njëlloj të larguar prejanëtarëve të skajshëm 1 dhe 100 përkatësisht.
Vëre se
2 99 3 98 4 97 ... 50 51 1 100.
a formojnë progresion aritmetik.
Nëse i shqyrtojmë vetëm n anëtarët e parë të progresionit të dhënë aritmetik ,na atëherë për1 2, ,..., na a a do të themi se është progresion aritmetik i fundëm.
SHUMA E n ANËTARËVE TË PARË TË PROGRESIONIT ARITMETIK3
14
1 Le të jetë 1 2 3 2 1, , ,..., , ,n n na a a a a a anëtarët e parë të një progresioni aritmetik me numër tëfundëm të anëtarëve dhe ndryshim d.
Caktoji çiftet e anëtarëve që janë njëlloj të larguara prej anëtarëve të skajshëm a1 dhe an.Caktoji shumat e indekseve te çdonjëri prej çifteve të caktuara.
PërgjigjeAnëtarët 2 1 3 2 1dhe , dhe ,..., dhen n k n ka a a a a a janë njëlloj të larguara prej anëtarëve të skajshëm a1 dhean përkatësisht.Shuma e indekseve të tyre është 2 1 3 2 ... 1 1.n n k n k n
Teorema 1. Nëse progresioni aritmetik ka numër të fundëm të anëtarëve,atëherë shuma e çfarëdo dyanëtarëve që janë njëlloj të larguara prej anëtarëve të skajshëm është e barabartë me shumën eanëtarëve të skajshëm të progresionit, d.m.th.
11 , 2 .k nn ka a a a k n
Vërtetim. Pasi 1 1ka a k d dhe 11 ,n ka a n k d pas mbledhjes së këtyre barazimeve fitojmë
1 1 11 1 .k nn k
na
a a a a n d a a
Progresioni aritmetik 1, 2, 3, 4, 5,..., 50, 51, 52,..., 100, 101 përmban numër tek të anëtarëve, kurse sipasteoremës paraprake kemi
2 100 3 99 4 98 ... 50 52 1 101.
Anëtari 51 është anëtari i mesëm,ai është njëlloj i larguar prej anëtarëve të skajshëm të progresionit dhe përatë vlen barazimi
2 51 1 101 ose 1 10151 .
2
Ky pohim mund të përgjithësohet, d.m.th. anëtari i mesëm i një progresioni aritmetik me numër tek tëanëtarëve është i barabartë me mesin aritmetik të anëtarëve të skajshëm të tij.
Është dhënë progresioni aritmetik :
a) 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14,...,2 ,...n b) 5, 1, 3, 7, 11, 15,...
Shihe vetinë:
a) 2 6 4 8 6 10 8 124 , 6 , 8 , 10
2 2 2 2
etj. b) 5 3 1 7 3 111 , 3 , 72 2 2
etj.
Vërej se çdo anëtar i progresionit (përveç të parit) është mes aritmetik i anëtarëve të tij fqinjë. Kjo veti vlenpër çfarëdo progresioni aritmetik dhe është e shprehur me këtë teoremë:
Teorema 2. Çdo anëtarë i progresioni aritmetik , përveç të parit, është mesatarje aritmetike eparaardhësit të tij dhe pasardhësit të tij.
2
15
Vërtetim. Nëse 1,k ka a dhe 1ka janë tre anëtarë të njëpasnjëshëm të progresionit aritmetik
1 2 3, , ,..., ,...,na a a a atëherë për ato vlen 1 1 ,k k k ka a a a d.m.th. 1 12 ,k k ka a a prej ku
1 1 , 2,3,..., 1.2
k kk
a aa k n
3 Është dhënë progresion aritmetik 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23 . . .a) Teoremën paraprake zbatoje për anëtarin e 11.b) A mund të paraqitet anëtari 11 si mes aritmetik edhe i dy anëtarëve të tjerë të vargut? Cilët janëato anëtarë?
Zgjidhje
a) Sipas teoremës kemi 9 1311 .2
b) Po në këtë mënyrë:7 15 5 17 3 19 1 2111 .
2 2 2 2
4 Vërteto se çdo anëtarë i brendshëm i progresionit aritmetik është mes aritmetik i çdo çifti tëanëtarëve të vargut që janë njëlloj të larguara prej tij, d.m.th.
1 , 1 .2k k r k ra a a r k
Kështu për vargun 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14,... kemi
6 872
ose 5 97
2
ose 4 107
2
ose, a 8 109
2
ose 7 119
2
ose 6 109
2
etj.
Këto progresione aritmetike të fundme kanë numër tek të anëtarëve:
a) 5, 7, 9, 11, 13; b) 3, 1, 5, 9, 13; c) 1 1 3 5 7 9 11, , , , , , .2 2 2 2 2 2 2
e sheh që:
5 7 11 139 ;4
3 1 9 135 ;
4
5 1 1 1 3 7 9 11 .2 6 2 2 2 2 2 2
Teorema 3. Anëtari i mesëm i progresionit aritmetik të fundëm me numër tek të anëtarëve
është i barabartë me mesatarjen aritmetike të anëtarëve tjerë të vargut,d.m.th.
1 2 3 1 2 2 1, , ,..., , , ,...,n n n na a a a a a a
1 1 2 2 2 11 ... ... .2n n n na a a a a a
n
5 Cakto shumën e 100 anëtarëve të parë të progresion aritmetik nëse 1 1, 1.a d
Prej kësaj vetie rrjedh edhe emri progresion aritmetik ose varg aritmetik.
16
Progresioni i dhënë është 1, 2, 3, 4,..., 100, 101,... shumën e kërkuar do ta shënojmë me S100 dhekemi:
100 1 2 3 ... 98 99 100,S d.m.th. 100 100 99 98 ... 3 2 1.S
Duke i mbledhur barazimet fitojmë 1002 1 100 2 99 3 98 ... 98 3 99 2 100 1S
1002 100 101,S d.m.th. 100 5050.S
6 Cakto shumën e anëtarëve të parë të progresionit aritmetik 1 2 3, , ,..., ,...na a a a
ZgjidhjeI marrim n anëtarët e parë të progresionit 1 2 3, , ,..., na a a a dhe formojmë shumën
1 2 3 2 1... ,n n n nS a a a a a a t.e. 1 2 3 2 1... .n n n nS a a a a a a Nëse këto dybarazimet i mbledhim, fitojmë
1 2 1 3 2 2 3 1 2 12 ... .n n n n n n n
n
S a a a a a a a a a a a a
Prej 1 2 1 3 2 2 3 1 2 1...n n n n n na a a a a a a a a a a a , rrjedh se
1 .2n nnS a a
Nëse në këtë formulë e zëvendësojmë 1 1 ,na a n d e fitojmë formulën
12 1 .2nnS a n d
7 Cakto shumën e 10 anëtarëve të parë të progresionit aritmetik 4, 6, 8, 10,...
Zgjidhje
Vërej, 1 4, 2a d dhe 10,n pra 10 2 4 10 1 2 130.2nS
8 Cakto shumën e 30 anëtarëve të parë të progresionit aritmetik 3, 5, 7, 9,...
9 Te një progresion aritmetik me numër tek të anëtarëve anëtari i mesëm është 11, kurse shuma e tëgjithë anëtarëve është 77. Cakto numrin e anëtarëve.
Zgjidhje
11,
77n
aS
sr
ku
1
1
2
.2
n
n n
a aa
nS a a n a
sr
sr
Duke zëvendësuar vlerat për Sn dhe asr fitojmë77 11n prej ku 7.n
Domethënë, te progresioni ka 7 anëtarë.
Pasi 1 100 2 99 3 98 ... 98 3 99 2 100 1 101
Zgjidhje
17
10 Shuma e 20 anëtarëve të parë të një progresioni aritmetik është 150, kurse anëtari i shtatë është 3.Caktoje atë progresion.
Zgjidhje
20 1 1
17 1 11
910 2 19 20 3 6 190 150150 20 190 7
3 6 336 3 6 .7
dS a d d da da da a d a d a
Progresioni është: 33 24 15, , ,...7 7 7
11 Shuma e dhjetë anëtarëve të parë të një progresioni aritmetik është 0, kurse shuma e tetë anëtarëvepasues është 32. Cakto progresionin aritmetik.Zgjidhje
1 1110 10
18 10 18 11
2 9 0 25 2 9 00 032 432 32 2 17 .9 2 17 329 9
a d aa dS SS S S a d da d
Progresioni i kërkuar është 14 10 2 22, , , , ,...9 9 3 9
12 Shuma e shtatë anëtarëve të parë të një progresioni aritmetik është 77, kurse shuma e dhjetëanëtarëve është 65. Cakto progresionin aritmetik.
13 Te progresioni aritmetik me 1 30a dhe 3d njehso anëtarin që është i barabartë me 18
e shumëstë të gjithë anëtarëve paraprakë.Zgjidhje
Sipas kushtit të detyrës kemi: 1 1130, 3, .8n na d a S Vlerat a1 dhe d i zëvendësojmë
30 1 3 33 3 3 11 ,na n n n përkatësisht
1
3 11 2 30 2 3 22 .2 2n
nnS n n
te formulat 1 1na a n d dhe 1 11 2 2
2nnS a n d
dhe fitojmë
Prej kushtit 3 113 11 22
8 2n
n n
vijon barazimi 2 39 198 0,n n zgjidhjet e të cilit janë
33n dhe 6.n Vijimisht, 33 666, 15.a a (Domethënë, detyra ka dy zgjidhje.)
Detyra
1 Njehso n dhe Sn te progresioni aritmetik, nëse:a) 1 4, 5, 49;na d a b) 1 3, 5, 72.na d a
Njehso an dhe d te progresioni aritmetik, nëse:a) 1 88, 148;a S b) 1 3635, 0.a S
2
18
3 Njehso a1 dhe Sn te progresioni aritmetik, nëse:
a) 1319, ;3
a d b) 9 10 8 , .a a b d a b
Caktoje progresionin aritmetik për të cilin vlen:a) 2 5 74, 21;a a S b) 2 4 6 524, 30;a a a S c) 1 3 14 56, 135.a a S S
Te një progresion aritmetik me numër tek të anëtarëve anëtari i parë është 3, anëtari i mesëmështë13, kurse shuma e të gjithë anëtarëve është 143. Cakto n dhe d.
Te progresioni aritmetik 18, 15, 12,... cakto anëtarin që është i barabartë me një të pestën e shumëstë të gjithë anëtarëve të shënuar.
Te një progresion aritmetik shuma e tre anëtarëve të parë është -3,kurse shuma e pesë anëtarëve tëparë me indeksa çift është 15. Cakto anëtarin e parë dhe ndryshimin e progresionit.
Shuma e tre anëtarëve të parë të një progresioni aritmetik rritës është 27, kurse shuma e katrorëve tëtyre është 275. Cili është ai progresioni aritmetik?
Shuma e tre anëtarëve të njëpasnjëshëm të një progresioni aritmetik është 150, kurse anëtari më imadhi prej tyre është katër herë më i madh se anëtari më i vogël. Caktoji ato anëtarë.
Zgjidhe barazimin: a) 1 1 11 2 ... 200;2 2 2
x b) 1 3 5 ... 2 13 81.x 10
9
8
7
6
5
4
4 PROGRESIONI GJEOMETRIK
1A Janë dhënë vargjet: a) 2, 4, 8, 16, 32,...; b) 1 1 1 1 1, , , , ,...;2 6 18 54 162
c) 3, 6, 12, 24, 48, 96,...; ç) 1024, 512, 256, 128, 64, 32,...Për çdonjërin varg të dhënë njehso herësin e çdo anëtari të tij (duke filluar prej të dytit) dheparaardhësit të tij.
Zgjidhje
a) 4 : 2 8: 4 ... 2; b) 1 1 1 1 1: : ... ;6 2 18 6 3
c) 6 : 3 12 : 6 ... 2; ç) 1512 :1024 ... .2
Vëre se për çdo varg ai herës është konstant. Përkatësisht, për vargun e parë herësi është 2, për të dytin1 ,3
për të tretën është 2, kurse për të katërtën është 1 .2
Vargjet për të cilat vlen kjo veti i quajmëvargje gjeometrike ose progresione gjeometrike.
Përkufizim. Për vargun na themi se është progresion gjeometrik nëse herësi i çdo anëtaritë vargut dhe paraardhësit të tij, duke filluar prej të anëtarit të dytë është konstant, d.m.th.
1 : ,n na a q për çdo ,n ku 1 0, 0.a q
Simboli q është, përkatësisht, shkronja e parë e fjalës latine quotiens, që do të thotë “sa herë”.
19
GProgresioni gjeometrik 1 2 3 1, 1, , ,..., , ,...n n na a a a a a është monoton rritës, d.m.th. 1n na a për çdon nëse:
1) 1 0a i 1q ose 2) 1 0a i 0 1.q
Për shembull, 11, 3, 9, 27,... 1, 3a q ose 11 1 12, 1, , ,... 2, .2 4 2
a q
Progresioni gjeometrik 1 2 3 1, 1, , ,..., , ,...n n na a a a a a është monoton zvogëlues, d.m.th. 1n na a për çdon nëse:
1) 1 0a dhe 0 1q ose 2) 1 0a dhe 1.q
Për shembull, 11 1 11, , ,........ 1,5 25 5
a q
ose 11, 2, 4, 8,.... 1, 2 .a q
Vërejte se te çdonjëra prej këtyre vargjeve herësi q është numër pozitiv dhe çdo varg është monoton(rritës ose zvogëlues).
B Nëse për një progresion gjeometrik dihet anëtari i parë dhe herësi, atëherë anëtari i dytë është ibarabartë me prodhimin e anëtarit të parë dhe herësit, anëtari i tretë është i barabartë me prodhimin eanëtarit të dytë dhe herësit etj. Në përgjithësi, çdo anëtar i ardhshëm është i barabartë me prodhimine paraardhësit të tij dhe herësit
2 Shkruaje progresionin gjeometrik nëse dihet anëtari i parë a1 dhe herësi q:
a) 1 3, 3;a q b) 115, ;2
a q c) 11192, .3
a q
Zgjidhje. a) 2 2 3 4 52 1 3 2 4 53 3 3 ; 3 3 3 ; 3 ; 3a a q a a q a a etj. Progresioni i kërkuar është
2 3 4 53, 3 , 3 , 3 , 3 ,..., 3 ,.... .n n
V Nëse a1, a2, a3, a4, . . . janë anëtarë të progresionit gjeometrik, atëherë prej definicionit tëprogresionit gjeometrik vijon
2 1 ;a a q 23 2 1 ;a a q a q 3
4 3 1 ;a a q a q . . . ; 1n na a q , d.m.th.
11 .n
na a q
Me këtë formulë njehsohet n -anëtari i progresionit gjeometrik .
1 .n na a q
Për shembull, nëse është e dhënë progresioni gjeometrik 7, 21, 63, 189, ... dhe kërkohet anëtari igjashtë i tij, 6 ,a atëherë
56 1 ,a a q
ku
1 7, 21:7 3a q dhe 5 53 243,q pra 6 7 243 1701.a
20
3 Janë dhënë progresionet gjeometrike 1, 5, 25, 125,...i dhe 1 1 1 11, , , , ,...2 4 8 16
ii
Për çdo njërën prej tyre cakto: a) herësin q; b) monotonin e vargut;
Përgjigje
a) 15 0, 0;2
i q ii q b) Asnjëri prej vargjeve nuk është monoton;
4 Cakto anëtarin àï te progresioni gjeometrik nëse:
a) 112, , 7;2
a q n b) 121, , 5;3
a q n c) 2 3, , 6.3 2
a q n
Zgjidhje
a)
66
7 11 1 12 2 ;2 64 32
a a q
b) 4
45 1
2 161 .3 81
a a q
5 Njehsoji a1 dhe q te progresioni gjeometrik nëse:
a) 7 5384, 48;a a b) 8 327 3 2, .4 2 3
a a
Zgjidhjea) Prej 6
7 1a a q dhe 7 384a vijon 61 384.a q Prej 4
5 1a a q dhe 5 48a vijon 41 48.a q Nëse
këto dy barazime i pjesëtojmë, fitojmë:6
14
1
384 ,48
a qa q
d.m.th. 2 8,q prej ku 2 2.q
Prej barazimit të dytë kemi 1 44
48 48 48 3 .64 42 2
aq
Pasi 2 2,q detyra ka dy zgjidhje, d.m.th. ekzistojnë dy vargje të tilla,dhe atë:
13 , 2 24
i a q dhe 13 , 2 2.4
ii a q
6 Shkruaj disa anëtarë të progresionit gjeometrik nëse:
a) 7 5 6 4160, 80;a a a a b) 4 2 5 318, 36;a a a a c) 2 5 3 2108, 36.a a a a
Zgjidhje
a) Prej kushtit të detyrës vijon sistemi
4 26 411 1
5 3 3 21 1 1
1 16016080 1 80.
a q qa q a qa q a q a q q
Duke i pjesëtuar barazimet nga sistemi i fundit fitojmë 2.q Vlera përkatëse e anëtarit të parë është
1 4 2
160 2,2 2 1
a
pra progresioni i kërkuar është 2, 4, 8, 16, 32, 64,...
c) varshmërinë e monotonisë të vargut prej shenjës të herësit q ?
c) vargu gjeometrik është monoton për 0,q kurse nuk është monoton për 0.q
21
7 Le të jetë 1 2 3 15, , , . . .,a a a a çfarëdo progresioni gjeometrik. Vërteto se numrat
1 1 2 3 4 5 2 6 7 8 9 10 3 11 12 13 14 15, dheA a a a a a A a a a a a A a a a a a formojnëprogresion gjeometrik të ri.
Shihe vërtetimin
Sipas përkufizimit të progresionit gjeometrik duhet të vërtetojmë se 32
1 2
.AAA A
Për këtë qëllim kemi
5 2 3 45 6 7 8 9
1 56 7 8 9 102 1 1 1 1 12 3 4 2 3 4
1 1 2 3 4 5 1 1 1 1 1 1
1
1
a q q q q qa a a a aA a q a q a q a q a q qA a a a a a a a q a q a q a q a q q q q
dhe
10 2 3 41 53
5 2 3 42 1
1.
1
a q q q q qA qA a q q q q q
Prej saj vijon se është i saktë pohimi 32
1 2
.AAA A
8 Nëse a, b dhe c formojnë progresion gjeometrik, atëherë vlen identiteti 2 2 2 .a b c a b c a b c Vërteto.
9 Ndërmjet numrave 5 dhe 160 vendos katër numra, të cilët së bashku me numrat e dhënë formojnëprogresion gjeometrik.
ZgjidhjeDihen 1 5a dhe 6 160,a pra sipas formulës 1
1n
na a q kemi 56 1a a q ose 5160 5 ,q prej ku
2.q Progresioni i kërkuar është: 5, 10, 20, 40, 80, 160.
10 Ndërmjet numrave 3 dhe 192 vendos pesë numra, të cilët së bashku me numrat e dhënë formojnëprogresion gjeometrik.
Cakto katër numra prej të cilëve tre numrat e parë formojnë progresion gjeometrik, kurse tre tëfundit progresionaritmetik, nëse shuma e anëtarëve të skajshëm është 80, kurse shuma e anëtarëvetë mesëm është 60.
11
Zgjidhje
Numrat e kërkuar i shënojmë me: 2 2 24 4, , , , ku .
d
a a q a q a a a q a q a q Prej kushtit të detyrës kemi:
2
2
2 1 80 ,60
q qq q
prej ku fitohet barazimi 22 7 3 0,q q zgjidhjet e të cilit janë 3q ose 1.2
q
Vlerat përkatëse për anëtarin e parë janë 1 5a ose 1 80.a Domethënë, detyra ka dy zgjidhje,
5, 15, 45, 75i ose 80, 40, 20, 0.ii
12 Është dhënë progresioni gjeometrik me katër anëtarë. Nëse anëtarët e atij progresioni përkatësishtzmadhohen për 2, 4, 5, 4 fitohet progresioni aritmetik. Caktoje progresionin gjeometrik.
2 2
2 2
2 80 2 1 80
60 1 60.
a a q a q a q q
a q a q a q q
ose Me pjesëtimin e barazimeve kemi
22
Detyra1 Provo cili prej këtyre vargjeve është progresion gjeometrik:
a) 2, 4, 8, 16, 32,... b) 3, 6, 12, 24, 48,... c) 8, 4, 1, ...
ç) 1 11, , , ...3 9
d) 1 3 5 7, , , , ...2 2 2 2
dh) 7, 5, 3, 1, 1, ...
Shkruaj disa anëtarë të progresionit gjeometrik nëse 2 4 :
a) 1 3, 2;a q b) 1 2, 3;a q c) 118, .2
a q ç) 1118, .3
a q
a) 1 23, 9;a a b) 1 2105, .3
a a
a) 2 8, 4;a q b) 231, .
2a q
2
3
4
Tre anëtarët e parë të një progresionit gjeometrik janë 16, 8 dhe 4. Cakto anëtarin e pestë.
Cakto herësin, anëtarin e dhjetë dhe anëtarin e n të të progresionit gjeometrik:a) 2, 6, 18,...; b) 192, 96, 48,...; c) 3, 6, 12,...;
ç) 3 33, , ,...;2 4
d) 2, 6, 18,...; dh) 1 11, , ,...2 4
Cakto progresionin gjeometrik te i cili anëtari i parë është 4, kurse anëtari i dhjetë është 512.
Numri i baktereve te qumështi dyfishohet çdo tre orë. Sa herë do të zmadhohet numri i baktereve pas24 orësh?
5
6
7
8
Kujtohu!
Le të jenë 1a dhe 2a numra real pozitiv. Atëherë numri 1 2a a quhet mesatarja gjeometrike inumrave 1a dhe 2a .Cakto mesin gjeometrik të numrave: a) 3 dhe 27; b) 1 2 dhe 2 1.
Për numrat real pozitiv 1 2 3, , ,..., na a a a mesi gjeometrik është numri 1 2 3 ... .nna a a a
n-anëtari i progresionit gjeometrik njehsohet me formulën 11 .n
na a q
22 4 2 2 2 21 1 1 1 .q q q q q q q q
A
Le të jetë 1 2 3 2 1, , ,..., , ,n n na a a a a a progresion gjeometrik me numër të fundëm të anëtarëve. Dhe këtu,për anëtarët: 2 1 3 2 1dhe , dhe ,..., dhen n k n ka a a a a a shuma e indeksave të të cilëve është n +1 themi se janënjëlloj të larguara, përkatësisht, prej anëtarëve të skajshëm 1 dhe .na a
Nëse i shqyrtojmë vetëm n anëtarët e parë të progresionit të dhënë gjeometrik ,na atëherë për
1 2, ,..., na a a do të themi se është progresion gjeometrik i fundëm, ose progresion gjeometrik menumër të fundëm të anëtarëve.
5 SHUMA E n ANËTARËVE TË PARË TË PROGRESIONIT GJEOMETRIK
23
Për shembull, te progresioni gjeometrik 1 1, , 1, 2, 4, 8, 16, 324 2
anëtarët 1 dhe 16,2
1 dhe 8, 2 dhe 4 janë njëlloj të larguara prej anëtarëve të skajshëm 1 dhe 32.4
Vërej se 1 116 1 8 2 4 32.2 4
Kjo veti vlen për çfarëdo progresioni gjeometrik e cila është e shprehur me këtë teoremë
Teorema 1. Te progresioni gjeometrik me numër të fundëm të anëtarëve prodhimi i çfarëdo dyanëtarëve që janë njëlloj të larguara prej anëtarëve të skajshëm është i barabartë me prodhimin eanëtarëve të skajshëm, d.m.th.
11 , 2 .k nn ka a a a k n
Vërtetim. Pasi 11
kka a q i 11 ,n k
n ka a q duke i shumëzuar anët përkatëse të këtyre barazimeve
fitojmë
1 1
1 1 1 1 11 .n
k n k nk nn k
a
a a a a q q a a q a a
Është dhënë progresioni gjeometrik 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512.Vëre se: 2 2 2 24 2 8, 8 4 16, 16 8 32, 32 16 64 etj. Këtë veti të progresionit gjeometrik do tashprehim me këtë teoremë
Teorema 2. Çdo anëtarë i progresionit gjeometrik a1, 2, 3,..., an, përveç të skajshmëve, është mesigjeometrik prej paraardhësit dhe pasardhësit të tij.
Vërtetim. Le të jenë 1 1,k k ka a a i tre anëtarë të njëpasnjëshëm të progresionit
1 2 3, , ,..., .na a a a Atëherë, sipas përkufizimit për progresion gjeometrik kemi:
1
1
,k k
k k
a aa a
prej ku 2
1 1, 2,3,..., 1,k k ka a a k n
që duhej të vërtetohet. Emri progresion gjeometrik rrjedh posaçërisht prej kësaj vetie.
Sipas teoremës paraprake, te progresioni gjeometrik 1 164, 32, 16, 8, 4, 2, ,2 4
numri 4 është
mesi gjeometrik i anëtarëve të tij fqinj 8 dhe 2, d.m.th. 42 = 8 2.
Shkruaje numrin 4 si mes gjeometrik të dy anëtarëve tjerë të vargut të dhënë.
Vëre, 2 2 21 14 16 1, 4 32 , 4 64 ,2 4
ku: 16 dhe 1, 32 dhe 1 ,2
64 dhe 14
janë anëtarë të progresionit
Që janë njëlloj të larguara prej anëtarit 4. Kjo veti vlen për çfarëdo progresion gjeometrik dhe do tashprehim me këtë teoremë.
Teorema 3. Çdo anëtar i brendshëm i progresionit gjeometrik a1, 2, 3,..., an është mesataregjeometrike e dy anëtarëve të vargut që janë njëlloj të larguara prej tij.
24
Vërtetim. Anëtarët k ra i 1 ,k ra r k k n janë njëlloj të larguar prej anëtarit ak. Prej përkufizimit të
progresionit gjeometrik vijon ,rk r ka a q d.m.th. .k r
k r
aaq Nga ana tjetër ,r
k k ra a q pra duke i
shumëzuar anët e barazimit fitojmë 2 ,k k r k ra a a që duhej të vërtetohet.
Në mënyrë të ngjashme vërtetohet edhe kjo teoremë.
Teorema 4. Te progresioni gjeometrik 1 2 1 2 2 1, ,..., , , ,...,k k k ka a a a a a me numër tek të anëtarëve,anëtari i mesëm 1ka është i barabartë me mesataren gjeometrike të anëtarëve tjerë të progresionit,d.m.th.
21 1 2 2 2 1... , ... .k
k k k ka a a a a a
Nëse teoremën e zbatojmë te progresioni gjeometrik 1 1, , 1, 2, 4, 8, 164 2
do të kemi:
6 1 12 4 8 164 2
ose 61 1 4 8 16 2.4 2
1B Cakto shumën Sn të n anëtarëve të parë të progresionit gjeometrik 1 2 3, , ,..., ,...na a a a
Zgjidhje
1 2 3 ... ,n nS a a a a d.m.th. 2 2 11 1 1 1 1... .n n
nS a a q a q a q a q Nëse të dy anët ebarazimit i shumëzojmë me herësin q, kemi 2 3 1
1 1 1 1 1... ,n nnq S a q a q a q a q a q këtij barazimi
e zbresim barazimin paraprak fitojmë 1 1,n
n nq S S a q a d.m.th.
11, 1.1
n
nqS a qq
Me formulën e fituar njehsohet shuma e n anëtarëve të parë të progresionit gjeometrik.
2 Cakto shumën e dhjetë anëtarëve të parë të progresionit gjeometrik 1, 2, 4, 8,...
Zgjidhje
Këtu 1 1, 2 d he 10,a q n pra 10
1010
2 11 2 1 1023.2 1
S
3 Cakto shumën e nëntë anëtarëve të parë të progresionit gjeometrik 3, 6, 12,...
4 Cakto anëtarin e parë dhe të shtatë të progresionit gjeometrik herësi i të cilit është 2, kurse shuma eshtatë anëtarëve të parë është 635.
Përpiqu këtë teoremë ta vërtetosh vetë.
25
Dihen 72, 7 dhe 635.q n S Prej formulës për S7 kemi 7
7 11,1
qS aq
d.m.th. 7
12 1635 ,2 1
a
prej ku 1 5.a
Prej 67 1a a q fitojmë 6
7 5 2 ,a d.m.th. 7 320.a
5 Në një progresion gjeometrik janë dhënë 3q dhe 10 59048.S Cakto 10.a
6 Cakto n dhe Sn te progresioni gjeometrik nëse:
a) 1 3, 2, 1536;na q a b) 11 4 16, , .64 3 243na q a
Zgjidhje
a) Prej 11
nna a q kemi 11536 3 2 ,n d.m.th. 1 92 2 ,n prej ku 10,n pra 10 1023.S
7 Shuma e katër anëtarëve të parë të një progresioni gjeometrik është 15, kurse shuma e katëranëtarëve tjerë pasues është 240. Cili është ai progresion gjeometrik?
ZgjidhjePrej kushtit të detyrës kemi
ose 4 16,q d.m.th. 2.q Vijimisht për 2q , prej 4
4 111
qS aq
kemi 4
12 115 ,2 1
a
d.m.th. 1 1,a pra
8 Në progresionin gjeometrik me numër tek të anëtarëve anëtari i parë është 7, anëtari i mesëm është56, kurse shuma e të gjithë anëtarëve është 889. Cakto herësin e progresionit gjeometrik.
Zgjidhje
Prej 21 na a a sr vijon
2 2
1
56 ,7n
aa
a sr d.m.th. 448.na Nëse të dy anët e barazimit 1
1n
na a q i
shumëzojmë me 0 ,q q fitojmë 1 .nna q a q Këtë rezultat do ta shfrytëzojmë te formula për Sn,
d.m.th. 11 11
1 .1 1 1
nnn
na q aa q aqS a
q q q
Nëse te barazimi 1
1n
na q aS
q
i zëvendësojmë vlerat për
,n nS a dhe a1 fitojmë448 7889 ,
1q
q
prej ku 2.q
Zgjidhje
progresioni i kërkuar është 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128.
Nëse 12, 3,q a pra progresioni është 3, 6, 12, 24,..., 384.
2 34 1 1 1 1
4 5 6 78 4 1 1 1 1
15 15240 240
S a a q a q a qS S a q a q a q a q
2 3
1 1 1 1
4 2 31 1 1 1
15
15
240,
a a q a q a q
q a a q a q a q
ose 4 15 240,q
26
9 Shuma e tre anëtarëve të parë të progresionit gjeometrik është 21, kurse shuma e katrorëve të tyreështë 189. Cakto anëtarin e parë dhe herësin e progresionit.
ZgjidhjeSipas kushtit të detyrës e formojmë sistemin e barazimeve
2211 21 1 1
2 2 2 2 4 2 2 42 2 41 1 1 11
211 2121 1
189 1 189 1 189.
aa q qa a q a q q qa a q a q a q q a q q
Me zëvendësim përkatës te barazimi i dytë fitojmë
22 2
22
21 1 1 189,1
q q q qq q
d.m.th. 2
2
1 3 ,1 7
q qq q
prej ku e fitojmë barazimin
22 5 2 0q q zgjidhjet e të cilëve janë 12
q 2.q Vijimisht, 1 112, 3.a a
10 Shuma e tre anëtarëve të parë të progresionit gjeometrik është 91. Nëse ato anëtarë zmadhohenpërkatësisht për 25, 27 dhe 1, do të fitojmë tre numra të cilët formojnë progresion aritmetik. Caktoanëtarin e shtatë të progresionit gjeometrik.
ZgjidhjeLe të jetë 1 1,a a q dhe 2
1a q tre anëtarë të parë të progresionit gjeometrik . Atëherë 1 125, 27a a q dhe2
1 1a q janë anëtarë të progresionit aritmetik. Sipas kushtit të detyrës kemi:
21 1 1
21 1
1
9125 127
2
a a q a qa a qa q
( Anëtari i dytë i progresionit aritmetik është mesatare aritmetike e
paraardhësit dhe pasardhësit )
2 1 21
221
2
911 91 1
911 2 28 1 2 28.1
aa q q q q
a q q q qq q
Pas rregullimit të barazimit të dytë në këtë sistem e fitojmë barazimin 23 10 3 0,q q zgjidhjet e të cilit
janë 1 3q ose 21 .3
q Domethënë, ekzistojnë dy progresione të atilla, dhe atë:
191 91 7
1 3 9 13a
dhe 1
91 91 9 91 63.1 1 13 1313 9 9
a
Prandaj, 6 67 1 1 7 3 5103a a q ose 6
7 1 2 6 4
1 7 763 .3 3 81
a a q
27
11 Prej një baktere duke u ndarë fitohen dy. Ndarja bëhet çdo orë. Sa baktere fitohen për 10 orë, kursesa për 24 orë, me kusht që ndarja të mos çrregullohet?
Zgjidhje
Zhvillimi i baktereve kryhet sipas ligjit të progresion gjeometrik te i cili anëtari i parë është 1 1a ( në fillimështë vetëm një baktere), kurse herësi është q = 2 ( çdo anëtarë i ri është dy herë më i madh separaardhësi ). Pas 10 orë numri i përgjithshëm i baktereve do të jetë
10
102 11 1024.2 1
S
Në mënyrë të ngjashme fitojmë 24
24 2 1 16 777 216.S
12 Zgjidhe barazimin: a) 3 6 12 ... 189;x b) 1 3 9 27 ... 4921.x
Zgjidhjea) Vëre se mbledhësit në anën e majtë te barazimi janë, respektivisht, anëtarë të progresionit gjeometrik tei cili 1 3, 2, na q a x dhe 189.nS
111
n
nqS aq
2 1189 32 1
n
63 2 1n
2 64n
6.n
11 1
111 1
nn
na q q aqS a
q q
1
1n
na q aS
q
2 3189 , 962 1
x x
ose 5 56 1 3 2 96.x a a q
Vërej!
Prej 111
n
nqS aq
vijon 1 1 1 ,nna q q S d.m.th. 2 11 1 1 ... .n nq q q q q
Nëse shënojmë , 0aq bb
fitojmë
1 2 3 2 2 1... .n n n n n n na b a b a a b a b ab b
Detyra
1 Cakto shumën e shtatë anëtarëve të parë të progresionit gjeometrik 2, 4, 8, 16,...
Njehso q dhe Sn te progresioni gjeometrik nëse:
a) 1 617017, ;
32a a b) 1 11
116, .64
a a
2
28
Njehso n dhe an te progresioni gjeometrik nëse:
a) 1 7, 2, 1785;na q S b) 1 2, 3, 364.na q S
Njehso q dhe n te progresioni gjeometrik nëse:a) 1 2, 2048, 2730;n na a S b) 1 9, 1125, 1404.n na a S Shuma e pesë anëtarëve të parë të progresionit gjeometrik është 93, kurse shuma e pesë anëtarëvepasues është 2976. Cakto progresionin.
Te një progresion gjeometrik me numër tek të anëtarëve anëtari i parë është 3, anëtari i mesëm 48,kurse shumaShuma e tre numrave të cilët formojnë progresion gjeometrik është 26, kurse shuma e katrorëve tëtyre është 364. Cilët janë ato numra?Një njeri e ka shitur kalin në këtë mënyrë: për thumbin e parë të patkoit ka kërkuar një denar, për tëdytin dy denarë, për të tretin 4 denarë etj. Gjithsej ka pasur 32 thumba. Sa ka qenë çmimi i kalit?
Njehso shumën 1 11 111 1111 ... 11....1.n
Anëtari i parë i një progresioni gjeometrik është rrënja e barazimit 3
3 2 3 14 2: .x
x xa a a
Cili është progresioni, nëse shuma e anëtarit të parë dhe anëtarit të katërt është shtatë herë më imadh se shuma e anëtarit të tretë dhe të katërt?
3
4
5
6
7
8
9
10
6 VLERA KUFITARE E VARGUT
Kujtohu!
Nëse ,a b dhe ,a b atëherë bashkësia e të gjithë numrave real ndërmjet a dhe b quhet interval,kurse numrat a dhe b - janë skaje të atij intervali.
Ekzistojnë intervale të hapura, të mbyllura dhe gjysmë të hapura: , , , , , , , .a b a b a b a bNë boshtin numerik paraqite intervalin:a) 2,1 ; b) 2,1 ; b) 2,1 ; c) 2,1 ; ç) ,1 ; d) ,1 ; dh) 1, ; e) 1, .
Shkruaje shkurtimisht intervalin:
a) | , 1 3 ;x x x b) | , 0 10 ;x x x c) | , 1 ;x x x ç) | , 5 .x x x
| | ; | | .x a a x a x a x a x a
A Intervali i hapur ,a b është bashkësi e të gjitha numrave real x për të cilat vlen ,a x b d.m.th.
, | , .a b x x a x b
Numri real 2
a b quhet mesi i intervalit , ,a bfig.1 a b
2a b
fig.1
e të gjithëve është1533. Sa anëtarë ka vargu?
29
1 Intervalin e dhënë paraqite në boshtin numerik dhe caktoje mesin e tij:
a) 0,1 ; b) 4,0 ; c) 2,2 ; ç) 1 ,4 ;2
d) 5, 3 .
Nëse c është numër real i dhënë dhe numër real pozitiv, atëherë intervali ,c c quhet -rrethinë e numrit c, kurse quhet rreze e asaj rrethine, fig. 2.
fig.2
cx1 x2
c c Cilat numra real x i takojnë -rrethinës të numritc?
Është e qartë se ato janë numrat për të cilët vlen ,c x c ose nëse zbritet ñ,d.m.th. ,x c që mund të shkruhet edhe në këtë mënyrë .x c
4B Është dhënë vargu me anëtarin e përgjithshëm 1,
n
nan
d.m.th. vargu:1 1 1 1 11, , , , , ,...2 3 4 5 6
(fig. 3)
12
13
14
15
16
18
1 0 117
fig.3
Anëtarët e këtij vargu duke dhënë vlera për n prej janë në mënyrë alternative herë më të vegjël , herëmë të mëdha prej zero. Vërejmë se ato janë grupuar (grumbulluar) rreth zeros, dhe atë:anëtarët meindeksa tek afrohen nga ana e majtë,kurse ato me indeksa çift nga ana e djathtë.
Për pikën 0 themi se është pika e grumbullimit të vargut të dhënë. Ajo nuk është anëtarë i vargut.
Vërejte se ky varg është i kufizuar, d.m.th. | | 1na për çdo .n
Përkufizim. Numri a quhet pikë e grumbullimit të vargut ,na nëse në çdo -rrethinë të saj kapakufi shumë anëtarë të vargut, d.m.th. nëse vlen
| |na a për vlera të panumërta të n.
Numri 0 është pikë e grumbullimit të vargut 1,
n
n
pasi në çfarëdo -rrethinë të saj ka anëtarë tëpanumërt të
vargut. Kështu për shembull, nëse 210 , atëherë në intervalin 1 10 ,0 ,100 100
i takojnë anëtarët 101 102 1031 1, , ,...
101 102a a a etj. të cilët janë të pafund shumë.
Jashtë intervalit ,a a mund të ketë pafund shumë anëtarë ose shumë anëtarë të fundëm të vargut.
30
Jashtë këtij intervali ka numër të fundëm të anëtarëve të vargut, ndërsa ato janë 1 2 3 100, , ,...,a a a a (fig. 4).
Jashtë intervalit 1 1,
100 100
janë numër të fundëm të anëtarëve
Në intervalin 1 1,
100 100
ka pafund anëtarë, d.m.th.
1 3 5 99, , , . . . ,a a a a 2 4 6 100, , , . . . ,a a a a1100
1100
0
50 anëtarë 50 anëtarë
fig. 4Një varg mund të ketë më shumë pika të grumbullimit. Kështu për shembull,vargu me anëtarin e përgjithshëm:
a) 11 ,nn
nan
dm.th. 1 2 3 4 5 6 70, , , , , , , ,...2 3 4 5 6 7 8
ka dy pika të grumbullimit: 1 dhe 1 (fig. 5).
45
89
23
67
12
34
78
910
56
1 0 1fig.5
Për çfarëdo 0 në intervalin 1 , 1 gjenden pakufi shumë anëtarë të vargut me indeksa çift n,kurse në intervalin 1 , 1 pakufi shumë anëtarë me indeksa tek n. Prandaj +1 dhe 1 janë pika tëgrumbullimit të vargut. Ato nuk janë anëtarë të tij. Ky varg është, gjithashtu, i kufizuar, d.m.th. | | 1na përçdo .n
b) sin ,2n
na d.m.th. 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0,..., ka tre pika të grumbullimit: 1, 0 dhe 1.
Edhe ky varg është i kufizuar, d.m.th. | | 1na për çdo .n
Në pyetjen një varg ka ose nuk ka pikë të grumbullimit përgjigjen e jep teorema e Bolcano - Bajepshtras:
Teorema. Çdo varg i kufizuar ka së paku një pikë të grumbullimit.
Këtë teoremë nuk do ta vërtetojmë.Vargjet anëtarët e të cilëve janë: a) , ;na n n b) , ;na n n c) 2 1, ;na n n ç) 2 ,na n n nuk kanë pika të grumbullimit. Vërejte se çdo njëri prej këtyre vargjeve është i pakufizuar.
Në matematikë, me rëndësi të veçantë janë vargjet na të numrave real me këtë veti ekziston numër real aashtu që në çdo rrethinë të a ka pakufi shumë anëtarë të vargut ,na kurse jashtë asaj rrethine ka vetëmshumë anëtarë të fundëm. Në këtë rast themi se a është vlerë kufitare e vargut na .
V
Përkufizim. Numri a quhet vlera kufitare ose kufi i vargut ,na nëse për çdo numër tëzgjedhur 0 mund të caktohet numër 0 ,n ashtu që për të gjithë anëtarët e vargut na meindeks 0n n të vlen | | .na a Atë e shkruajmë lim nn
a a
ose , .na a n
101 102 103, , ,......a a a
31
Prej përkufizimit rrjedh se nëse vargu ka vlerë kufitare ,atëherë thuajse të gjithë anëtarët e vargut ,d.m.th. tëgjithë ata anëtarë duke filluar prej
0 0 01 2 3, , ,...,n n na a a a gjenden në brendinë e intervalit , ,a a porvetëm numër i fundëm i anëtarëve (të parët n0 në numër)
01 2, ,......, na a a janë jashtë këtij intervali .Numri aështë njëkohësisht edhe pikë e grumbullimit të vargut.
5 Duke shfrytëzuar përkufizimin për kufi të vargut vërteto se vargu 2
1n
ka kufi të barabartë mezero.
Shihe zgjidhjenVargu me anëtarin e përgjithshëm 2
1na
n është: 1 1 1 1 1 11, , , , , , ,...
4 9 16 25 36 49 Le të jetë është
çfarëdo numëri plotë pozitiv. E shqyrtojmë jo barazimin 2 2
1 1| | | 0 |na an n
që vlen për 2 1 ,n
d.m.th. 1 .n
Domethënë, për çfarëdo 0 ekziston numër natyror 1 ,n
ashtu që të vlen jo
barazimi 2
1| 0 | ,n
d.m.th. vargu i dhënë ka kufi të barabartë me zero.
i Nëse 0,1 atëherë kemi 10,n pra numri më i vogël natyror që ë e plotëson jo barazimin e funditështë 4. Kjo do të thotë se duke filluar prej anëtarit të katërt, të gjithë anëtarët tjerë të vargut gjenden në
rrethinën e pikës 0,a përkatësisht në intervalin 1 1, .
10 10
Në këtë rast 0 3,n d.m.th. vetëm tre anëtarët e parë gjenden jashtë atij intervali (fig. 6) .
4 5, ,..........,a a a
110
110
125
14
116
19
0
a 3 a 2 a 1
1fig. 6
ii Nëse zgjedhim 1 ,40
të gjithë anëtarët e vargut ,duke filluar prej të shtatit e plotësojnë jo barazimin
2
1 1| 0 | | | .40n na a
n Në këtë rast 0 6.n
iii Nëse 0,01, atëherë 0 10.n iv Nëse 0,001, atëherë 0 31,n etj.
6 Duke e shfrytëzuar përkufizimin për kufi të vargut, vërteto se vargu me anëtarin e përgjithshëm2 1
1nna
n
e ka kufirin të barabartë me 2.
7 Vërteto se vargu 0,3; 0,33; 0,333;.......; 0,33........3 e ka kufirin 1.3
a
Kurse Lexojmë: “limes i na kur n tenton në pakufi është i barabartë me a” ose “ na tenton nga a kur ntenton në pakufi.
32
Zgjidhje
Ndryshimi | |na a në këtë rast është 1 33.......3 1 99.......9 10 1 10,33.......3 ,3 10 3 3 10 3 10 3 10
n
n n n n
pra për çdo 0 prej 1
3 10n
vijon log3 .n
i Nëse log3 0, atëherë për 0n merret numri më i madh natyror që nuk është më i madh se log3 .
ii Nëse log3 0, atëherë 0 1.n
Domethënë, për çdo 0 ekziston numër natyror 0 ,n ashtu që
010,33..........3 ,3
n n
që duhej të vërtetohet.
Nëse 0,0001, atëherë 0 3,n d.m.th. vetëm tre anëtarët e parë të vargut gjenden jashtë intervalit
1 1, ,3 3
kurse anëtarët tjerë gjenden në atë interval.
Detyra:1 Duke shfrytëzuar përkufizimin për vlerën kufitare të vargut vërteto se: a) 1 1lim ;
2 2n
nn
b) 2 1lim 2.1n
nn
Vërteto se 2 3 2lim ,
3 2 3n
nn
kurse pastaj cakto për cilat vlera të n vlen jo barazimi
23na , nëse: a) 0,01; b) 410 .
Duke e shfrytëzuar përkufizimin për vlerën kufitare të vargut vërteto se është i saktë barazimi:
a) 2
2
1lim ;2 1 2n
nn
b) 2
2
3 2lim 3.2n
nn
Pastaj për çdo varg cakto sa anëtarë të vargut gjenden jashtë -rrethinës të pikës a, ku a është kufirii vargut përkatës nëse është 0,01.
Është dhënë vargu: a) 0,1; 0,11; 0,111;........ b) 0,24; 0,2424; 0,242424;........
Cakto lim nna
dhe vlerën e n për të cilën plotësohet jo barazimi lim 0,01.n nn
a a
2
3
4
5 Është dhënë vargu me anëtarin e përgjithshëm 11 .
n
nan
a) Shkruaji gjashtë anëtarët e parë të vargut; b) Paraqiti ato anëtarë në boshtin numerik.
c) Provo vargu a është monoton. ç) Provo vargu a është i kufizuar.
e) Për cilën vlerë të ï do të jetë e saktë jo barazimi 0,001?na a
d) Me çka është i barabartë kufiri lim ?nna
33
7 VARGJET KONVERGJENTE DHE DIVERGJENTE
Kujtohu!
Për bashkësitë A dhe B themi se janë bashkësi disjunkte, nëse .A B ∩
A Përkufizim. Vargu i cili ka vlerë kufitare quhet varg konvergjent.
Nëse a është vlera kufitare e vargut ,na atëherë themi se vargu konvergjon drejtë vlerës a.
Përkufizim. Vargu i cili nuk ka vlerë kufitare quhet varg divergjent.
Të shqyrtohet natyra e një vargu, domethënë të konstatohet se vargu a është ose nuk është konvergjent, dhenëse është, të caktohet vlera kufitare e tij.
B Do të shqyrtojmë disa veti më të rëndësishme të vargjeve konvergjente.
Teorema 1. Nëse na është varg konvergjent, atëherë vargu ka vetëm një vlerë kufitare.
VërtetimTë supozojmë se vargu konvergjent na ka dy vlera kufitare dhe le të jenë ato numrat
a dhe b, .a b Të zgjedhim -rrethina disjunkte të numrave a dhe b. Për shembull, nëse | | ,
4b a
atëherë
, , .a a b b ∩ Pasi a është kufiri, ekziston numër natyror n0, ashtu që të gjithë anëtarët
0,na n n janë në -rrethinën e zgjedhur të a, pra në -rrethinën e zgjedhur të b ka vetëm shumë anëtarë tëfundëm të vargut. Prandaj, b nuk është kufi. Domethënë, nëse vargu ka kufi, atëherë ai kufi është i vetëm.
Teorema 2. Çdo varg konvergjent është i kufizuar.
VërtetimLe të jetë lim dhe ,nn
a a a a
është një -rrethinë të pikës a. Nëse të gjithë anëtarët e vargutgjenden në intervalin , ,a a atëherë vargu është i kufizuar.
Nëse, tani, ka anëtarë të vargut jashtë atij intervali ,atëherë numri i tyre është i fundëm. Njëri prej atyreanëtarëve është më e larguara prej pikës a. Nëse largësinë e tij prej pikës a e shënojmë me d dhe 1,d atëherë intervali ,a a do t’i përmban të gjithë anëtarët e vargut, kurse kjo do të thotë se varguështë i kufizuar.Për shembull, vargu me anëtarin e përgjithshëm
1nna
n
ka vlerë kufitare 1,që do të thotë se është
konvergjent.
34
3 Vërteto se vargu me anëtarin e përgjithshëm 1na
n është konvergjent dhe vlera kufitare e tij është
zero.Vërtetim
Duhet të vërtetojmë se 1lim 0.n n
nëse e formojmë ndryshimin | |,na a fitojmë 1 10 .n n
Të gjithë anëtarët e këtij vargu i takojnë intervalit 1 , 1 ,2
prandaj është i kufizuar (fig.1).
12
23
34
45
67
56
78
10 fig. 1Pohimi i anasjelltë nuk vlen, d.m.th. ka vargje të kufizuara që nuk janë konvergjente. Kështu, përshembull, vargu
1 2 3 4, , , ,......, 1 ,......2 3 4 5 1
n nn
është i kufizuar pasi që të gjithë anëtarët e tij i takojnë intervalit ( 1 , 1). Ky varg ka dy pika tëgrumbullimit, pra nuk është konvergjent (fig. 2).
12
23
34
45
67
56
11fig.2
0
Teorema 3. Çdo varg monoton dhe i kufizuar është konvergjent.
Këtë veti nuk do ta vërtetojmë, por do ta ilustrojmë me shembuj konkret.Për shembull,anëtarët e vargut 1; 1,4; 1,41; 1,414;..........fitohen duke vazhduar mënyrën e njehsimit tërrënjës katrore të numrit 2 dhe ato gradualisht zmadhohen,por ngelin më të vegjël prej një numri, përshembull 1,5. Ky varg ka vlerë kufitare. Ai është numri 2.
1 Shqyrto vargun me anëtarin e përgjithshëm 1n
nan
a është konvergjent.
Zgjidhje
11 1 11 , 1 .
1n nna a
n n n
1 11 1
1n n
për çdo ,n përfundojmë se vargu
monotonisht rritet. Prej 10 1 1n
për çdo n vijon se vargu është edhe i kufizuar. pra sipas
teoremës 3 paraprake ky varg është konvergjent.
2 Vërteto se vargu me anëtarin e përgjithshëm 11nan
është konvergjent.
35
Ky ndryshim do të jetë më i vogël prej çfarëdo numri të vogël pozitiv , nëse është1 ,n
d.m.th. 1 .n
Prandaj , për çdo 0 ,n n ku n0 është numër natyror më i madh ose i barabartë me 1 ,
vlen
1 0 ,n
d.m.th. 1lim 0.n n
Kështu për shembull, nëse 210 , atëherë për çdo 20
1 1 1100, 0 10 ,n nn n
që do të thotë se anëtarët 101 102 103, , ,.......a a a të vargut gjenden në intervalin 1 1, ,100 100
kurse vetëmnumër i fundëm d.m.th. 100 anëtarët e parë gjenden jashtë atij intervali.
Nëse, tani, 710 , atëherë për çdo n, 7 70
1 1 110 , 0 10 .n nn n
Kjo do të thotë se vetëm numër i fundëm i anëtarëve (10000000 të parët) janë jashtëintervalit 7 710 ,10 , kurse të gjithë anëtarët tjerë janë në atë interval.
4 Vërteto se vargu me anëtarin e përgjithshëm 11 nna
n është konvergjent dhe vlera kufitare e tij
është e barabartë me zero.
5 Vërteto se vargu me anëtarin e përgjithshëm 1n
nan
është konvergjent dhe ka vlerën kufitare 1.
Vërtetim
Pasi 1| | 1 ,1 1n
na an n
ky ndryshim është më i vogël se numri i dhënë pozitiv kur
1 ,
1n
d.m.th. 1 1.n
Prandaj, për çdo
1 1n
vlen
1 ,1
nn
d.m.th. lim 1.1n
nn
Vërej se: nëse a është vlera kufitare e vargut ,na atëherë jashtë intervalit ,a a mund të ketë
01 2, ,......, ,na a a ndërsa kjo qartazi do të thotë se vargu na patjetër duhet të jetë i kufizuar dhe të ketë vetëmnjë pikë të grumbullimit. Edhe anasjelltas: nëse vargu na është i kufizuar dhe nëse a është pikë e vetme egrumbullimit, atëherë a është edhe vlera kufitare e tij.
vetëm një numër të caktuar të anëtarëve të vargut, dhe atë më së shumti 0 ,n d.m.th. vetëm anëtarët
Nëse vargu na është i kufizuar dhe ka vetëm një pikë të grumbullimit,atëherë ai është konvergjent.Nëse vargu na është i kufizuar dhe ka së paku dy pika të grumbullimit,atëherë ai është divergjent.Nëse vargu na nuk është i kufizuar, atëherë ai është divergjent.
Vëre!
36
Teorema 4. Nëse vargjet na dhe nb janë konvergjente me vlerë kufitare të njëjtë a, atëherë edhevargu nc me vetinë n n na c b për çdo n është konvergjent dhe ka të njëjtën vlerë kufitare a,d.m.th. lim .nn
c a
6 Cakto kufirin e vargut 2
1n
duke krahasuar me vargjet 0 dhe 1 .n
Zgjidhje
Vargjet 10 ,n na bn
janë konvergjente me vlerë të njëjtë kufitare 0, kurse 2
1nc
n
është varg
me vetinë 2
1 10n n
për çdo .n Sipas teoremës për varg-sandviç vlen 2
1lim 0.n n
Detyra
1 Vërteto se vargu me anëtarin e përgjithshëm , 2,3,...1n
na nn
është konvergjent.
Shqyrto konvergjencën e vargut me anëtarë të përgjithshëm: a) 2 11 ;1
nn
nan
b) 1 1.
2
n
nan
Vërteto se vargu me anëtarë të përgjithshëm 2 3
1 1 1 11 ...2 2 2 2n na është konvergjent.
Le të jetë 2 1 2 2 2, dhe .1 1 1n n n
n n na b cn n n
Duke e zbatuar teoremën për varg-sandviç vërtetoselim 2.nn
c
2
3
4
Kështu për shembull, vargu anëtari i përgjithshëm i të cilit është:a) 1 ,n
na n d.m.th. vargu 1, 2, 3, 4,...., 1 ,....n n është divergjent, pasi është i pakufizuar.
b) 1 1
,n
n
na
n
d.m.th. vargu 1 2 3 4 50, , , , , ,....2 3 4 5 6
është divergjent, pasi ka dy pika të
grumbullimit, 1 dhe 1.
VërtetimPasi vargjet na dhe nb janë konvergjente, për çfarëdo numër pozitiv të zgjedhur å ekzistojnë numratnatyror 1n dhe 2 ,n ashtu që
| |na a për çdo 1,n n n dhe | |nb a për çdo 2 , .n n n
Nëse 0 1 2max , ,n n n atëherë të gjithë anëtarët e vargut nc indeksi i të cilit 0n n gjendet nëintervalin , ,a a d.m.th. | |nc a për çdo 0 , ,n n n kurse kjo do të thotë se
lim .nnc a
Kjo teoremë quhet teorema e varg-sandviç.
37
Në bashkësinë e numrave racionalë cakto vargun: a) rritës; b) zvogëlues, kufiri i të cilit është 5.5
8 DISA VARGJE KARAKTERISTIKE
ATa shqyrtojmë vargun me anëtarin e përgjithshëm: a) 8 ;na n b) 21 ;na n c) 3 .n
na
Vërej se:
a) Anëtarët e vargut 8, 16, 24, 32, 40,...,800,..., 8000,... pafundësisht rriten.
Nëse zgjedhim sa do që të jetë numër i madh 0,M gjithmonë mund të gjendet anëtarë i vargut që është mëi madh se ai. Kështu për shembull, nëse 4000,M atëherë për 0 500n n fitojmë se 8 4000.na n
Domethënë, duke filluar prej 501 4008a çdo anëtarë pasardhës i vargut është më i madh se 4000.M Për vargun e këtillë 8na n themi se është divergjent dhe tenton në kur .n
Përkufizim. Për vargun na themi se tenton në , nëse për çdo numër real 0M numërnatyrorë n0, takov ashtu që
0 .nn n a M Shkruajmë lim .nn
a
b) Anëtarët e vargut 0, 3, 8, 15, 24,..., 9999,..., 999999,... pafundësisht zvogëlohen.Nëse zgjedhim sa do të që të jetë numër i vogël 0,M gjithmonë mund të gjendet anëtarë i vargut qëështë më i vogël se ai. Kështu për shembull, nëse 10000,M 0 100n n atëherë për
21 10000.na n Domethënë, duke filluar prej 101 10200a çdo anëtarë pasardhës i vargut është më i vogël se numri izgjedhur 10000.M Ky varg është, gjithashtu,divergjent dhe tenton nga kur .n
Përkufizim. Për vargun na themi se tenton nga , nëse për çdo numër real 0M ekzistonnumër natyrorë n0, ashtu që
0 .nn n a M Shkruajmë lim .nn
a
c) Anëtarët e vargut 3, 9, 27, 81, 243,...,6561, 19683, 59049,... ose
2 3 4 5 8 9 103, 3 , 3 , 3 , 3 ,..., 3 , 3 , 3 ,... pafund rriten sipas vlerës absolute.
Cilët prej vargjeve me anëtarin e përgjithshëm na janë konvergjente, kurse cilët divergjente:
a) 2
1 ;1
nn
b) 1 ;nn b) 1,
;1 , n
na
nn
c) 15 ;n
n
ç) 2 1.3 1
n
n
6
për numër çift
për numër tek
38
Nëse zgjedhim sa do që të jetë numër i madh 0,M gjithmonë mund të gjendet anëtarë i vargut që ështëme vlerës absolute më i madh se M. Kështu për shembull, nëse 6000,M atëherë për 0 7n n fitojmëse | 3 | 6000.n
Prandaj, duke filluar prej 8 6561a çdo anëtarë pasardhës i vargut sipas vlerës absolute është më i madhse numri 6000.M Ky varg (sikurse edhe dy paraprakët) është divergjent dhe sipas vlerës absolute tenton nga kur .n
Përkufizim. Për vargun na themi se rritet pafundësisht sipas vlerës absolute, nëse përçfarëdo numër real 0M ekziston numër natyrorë n0 ashtu që
0 | | .nn n a M Shkruajmë lim .nn
a
Vargjet anëtarët e të cilëve rriten pafundësisht janë shembuj për të ashtuquajturit madhësi të mëdha tëpafundme.Poashtu, ekzistojnë vargje ku vlerat kufitare janë të barabarta me 0, kurse ato i quajmëmadhësi të vogla të pafundme ose vargje- zero. Vargje të tilla, për shembull, janë:
2 2 2 2 22, 1, , , , ,...3 4 5 6n
; 1 1 1 11, , , ,...
2 3 4
n
n
;
1 1 1 12 , , , ...2 4 8 16
n Për ato kemi:
12lim 0; lim 0; lim 2 0,n
n
n n nn n
d.m.th. për çdonjërin prej këtyre vargjeve është lim 0.nn
a
Përkufizim. Vargu na është varg-zero nëse lim 0.nna
Në matematikë raporti ndërmjet madhësive pafund të vogla të dhe madhësive pafund të mëdha të janë meinteres të veçantë dhe është dhënë me këtë teoremë.
Teorema. Le të jetë na varg i atillë që 0na për çdo .n
10. Nëse lim 0,nna
atëherë
1lim .n
na 20. Nëse lim ,nn
a
atëherë 1lim 0.
nna
Për shembull, për vargun 1na
n kemi 0na kur .n Nëse e formojmë vargun 1 ,n
n
ba
fitojmë se
nb n kur .n
39
1B Shqyrto konvergjencën e vargut ,nq q varësisht prej numrit q.
Zgjidhje
Të mundshme janë tre raste ,dhe atë: 10. | | 1;q 20. | | 1;q 30. | | 1.q
10. Prej | | 1q vijon 1q ose 1.q
a) Nëse 1,q atëherë prej shembujve konkret mund të përfundohet se nq kur .n Që ta vërtetojmëkëtë pohim duhet të tregojmë se për çdo numër real 0M ekziston numër natyrorë n0, ashtu që
0 .nn n q M
E dimë se 1 21 1 ... 1 .n n nq q q q q Duke zëvendësuar çdonjërën prej n- mbledhësve te kllapa edytë me numrin 1, fitojmë 1 1 1 1 1 ... 1 1 ,n
n
q q q n prej ku 1 1,nq q n kurse
0 ,nn n q M d.m.th. lim , 1.n
nq q
Vargu nq është divergjent për 1.q
b) Nëse 1,q anëtarët e vargut i ndërrojnë në mënyrë alternative shenjat, ndërsa sipas vlerës absolutetentojnë nga , d.m.th. lim , 1.n
nq q
Vargu nq është divergjent për 1.q 20. | | 1,q d.m.th. 1 1.q
a) Le të jetë 0 1.q Nëse vëndojmë 1rq
fitojmë se 1,r pra sipas 10 a) nr kur ,n d.m.th.
lim 0.n
nq
Domethënë, vargu nq është konvergjent për 0 1.q
b) Nëse 1 0,q anëtarët e vargut i ndërrojnë në mënyrë alternative shenjat. Sipas 20 a) dhe teoremëspërfundojmë se
lim 0,n
nq
d.m.th. vargu nq është konvergjent për 1 0.q Domethënë,vargu nq është konvergjent për | | 1.q
30. | | 1,q d.m.th. 1 ose 1.q q
a) Nëse 1,q atëherë 1nq për çdo ,n do të thotë vargu është konstant dhe lim 1,n
nq
d.m.th. vargu
është konvergjent.b) Nëse 1,q atëherë 1 ,nnq pra vargu ka dy pika të grumbullimit, 1 dhe 1. Domethënë, vargu ështëdivergjent.
edhe aq më tepër 1 .nq q n Prej këtu dhe prej implikacionit 0 01 1n n q n q n fitojmë se 0 01 .nn n q q n Mjafton të marrim 01 , 0,q n M M përkatësisht 0 ,
1Mn
q
pra të fitojmë se
njëshe
për
për
40
2 Cakto vlerën kufitare të vargut me anëtarin e përgjithshëm: a) 13 ;2
n
b) 2 2 .2 2
n n
n n
Zgjidhje
a) 1 1lim 3 3 lim 3 0 0;2 2
n
nn n
b)
2
2
11 2 1 4 122 2 4 1 42 2lim lim lim lim lim1 12 12 2 4 12 4 12 42
nnn
n n n nn n
nn n nn n n n nn nn nn
1lim 11 04 1.
1 1 0lim 14
nn
nn
3 Tani do ta shqyrtojmë vargun me anëtarin epërgjithshëm
11 ,n
nan
e cila është interesante dhe shumë e rëndësishme.Shkruaji pesë anëtarët e parë të vargut dhe krahasoji. Çka vëren?
Zgjidhje
1
1
2 2
2
3 3
3
4 4
4
5 5
5
11 2;1
1 3 91 2, 25;2 2 4
1 4 641 2,37;3 3 27
1 5 6251 2, 44;4 4 256
1 6 77761 2, 49.5 5 3125
a
a
a
a
a
Gjithsesi vëren se
1 2 3 4 5.a a a a a Tregohet se vlen e përgjithësuara:
41
Vëre se rritja e vargut është “tepër i ngadalshëm”: çdo anëtarë i tij është më i vogël se numri 3. Kështuështë edhe në përgjithësi:
3,na për çdo ,nd.m.th. vargu është i kufizuar. (Vërtetimin edhe të këtij gjykimi nuk do ta japim.)
Domethënë,vargu me anëtarin e përgjithshëm 11 ,n
nan
monotonisht rritet dhe është i kufizuar.
Sipas teoremës 3 të njësisë paraprake, përfundojmë se ky varg është konvergjent. Vlera kufitare e tijështë numër i cili gjendet ndërmjet numrave 2 dhe 3 dhe shënohet me shkronjën e. Domethënë,
1,n na a për çdo ,nd.m.th. vargu monotonisht rritet. (Vërtetimin e këtij pohimi nuk do ta japim.)
1lim 1 .n
ne
n
Numri e nuk mund të shkruhet në formën , , ,p p qq
prandaj është numër irracional, d.m.th. numër
dhjetor jo periodik i pafundëm. Vlera e tij është ndërmjet 2 dhe 3:2,7182818284...e
Ai ka rëndësi të veçantë në matematikë, pasi shfrytëzohet si bazë logaritmike. Logaritmet me bazë equhen logaritme natyrore dhe shënohen me ln. Simboli ln është shkurtesë e shkronjave fillestare tëfjalëve logaritmus naturalis, që do të thotë logaritëm natyrorë.
Vijojnë disa detyra me zbatimin e vlerës kufitare 1lim 1 .
n
ne
n
4 Cakto: a) 51lim 1 ;
n
n n
b) 5lim 1 .n
n n
Zgjidhje
a) 5 51 1 1 1lim 1 1 lim 1 lim 1 1 ;
n n
n n ne e
n n n n
b)
55
5 5
55 1 1lim 1 lim 1 lim 1 .
5 5
n n
n
n n nen nn
42
b)
55
5 5
55 1 1lim 1 lim 1 lim 1 .
5 5
n n
n
n n nen nn
5 Cakto: a) 21lim 1 ;
n
n n
b) 3lim 1 .
n
n n
6 Cakto: a) 2 12 3lim ;
2 1
n
n
nn
b) 1lim 1 .
3
n
n n
Shihe mënyrën:
a) 2 1 2 12 3 2lim lim 1
2 1 2 1
n n
n n
nn n
Zëvendësojmë 2 1 2 ,n m ku edhe m kur.n22
21 1lim 1 lim 1 .m m
m me
m m
Detyra
1
Cili prej këtyre vargjeve me anëtarin e përgjithshëm a) 2;na n b) 1 ;nna c) 3;na n
ç) 1 nna n tenton në ose nga , dhe cili oscilon?
2
Cakto vlerën kufitare të vargut , nëse: a) 11 3 ;
2 3
n
n na
b) 1
1
2 4 .2
n
n na
3
Cakto kufirin: a) 1 2
1
5 7lim ;5 7
n n
n nn
b) 1 12 3lim .
2 3
n n
n nn
4
Cakto:5
a) 1 1 1lim 1 ... ;2 4 2nn
b) 1
1
11 1 1lim 1 ... ;2 4 8 2
n
nn
c)
1 1 11 ...2 4 2lim .1 1 11 ...3 9 3
n
n
n
Cakto vlerën kufitare të vargu nëse anëtari i përgjithshëm është:
a) 311 ;
n
n
b) 311 ;
n
n
c) 11 .5
n
n
a) 2 511 ;
n
n
b) 13 ;
1
nnn
c) 12 3 .
2 1
nnn
6
7
Trego se vargu me anëtarin e përgjithshëm a) 1 ;n
b) 2
1 ;n
c) 2
1 ;1
nn
d) 2 n është varg zero.
43
9 OPERACIONE ME VARGJE KONVERGJENTE
Kujtohu!
.a b a b
! 1 2 . . .3 2 1.n n n n
Cakto: a) 3!; b) 5!.
3 3 2 2 .a b a b a ab b
1 12 12 2n nn nS a a a n d shuma e n të
parë të progresionit aritmetik.
( 1)! !( 1).n n n
1 Le të jenë dhënë vargjet me anëtarin e përgjithshëm 2 3 3dhe ,
1n nn na b
n n
ku lim 2nna
dhe
a) lim dhe lim lim ;n n n nn n na b a b
b) lim dhe lim lim ;n n n nn n n
a b a b
c) lim dhe lim lim ;n n n nn n na b a b
ç)
limlim dhe , 0.
limnn n
nnn nn
aa bb b
lim lim 2 3 5.n nn na b
Anët e djathta të dy barazimeve të fundit janë të barabarta,prej saj vijon barazia
edhe e anëve të majta të tyre, d.m.th. lim lim lim .n n n nn n na b a b
b) 2
2
3lim lim 1;n nn n
na bn n
lim lim 2 3 1,n nn n
a b
domethënë: lim lim lim .n n n nn n na b a b
c)
16 12 3 3lim lim 6;
11 1n n
n n nn n
n
2 3 3lim lim 2 3 6, pra
1n n
n nn n
lim lim lim .n n n nn n na b a b
ç) 2
2
2 2limlim lim2 2 21 1lim lim lim ; , pra lim .3 3 3 33 3 3 lim 3 limlim
n nnn n n n
n n n nn n n nn n
n
n na aa ann n
n nb n b b bn n
lim 3.nnb
Cakto:
Shihe zgjidhjen
a) 2
2
2 3 3 5 3lim lim lim .1n nn n n
n n na bn n n n
Numëruesin dhe emëruesin e pjesëtojmë me 2 ,n pra fitojmë 2
35lim 5 .11n
n
n
Nga ana tjetër,
44
Natyrisht parashtrohet pyetja: përfundimet nën a), b), c) e d) a vlejnë në përgjithësi?Përgjigjen e kësaj pyetje e jep kjo teoremë
Teorema. Nëse dhen na b janë vargje konvergjente, ku lim dhe lim ,n nn na a b b
atëherë është
konvergjent çdonjëri prej vargjeve , , dhe nn n n n n n
n
aa b a b a bb
ku 0, 0.nb b
Me çrast:
a) lim lim lim ;n n n nn n na b a b
b) lim lim lim ;n n n nn n n
a b a b
c) lim lim lim ;n n n nn n na b a b
ç)
limlim .
limnn n
nn nn
aab b
Vërtetim: a) Prej konvergjencës së vargjeve dhen na b vijon se për çdo numër pozitiv , ekzistojnënumra natyrorë n1 dhe n2 ashtu që:
1 2, kur ; kur .2 2n na a n n b b n n
Nëse 0 1 2 0max , , dhe kur .2 2n nn n n a a b b n n
Duhet të vërtetojmë se: 0kur .n na b a b n n Kemi:
0kur , d.m.th.2 2n n n n n na b a b a a b b a a b b n n .
lim ,n nna b a b
që duhej të vërtetohet.
Nëse ,na c c - konstante atëherë për çdo ,n1 1lim lim lim .
limn
n n nn n n nn
a c cc cb b b b b
Nëse ,na c c - konstante, për çdo ,n atëherë lim lim .n nn ncb c b c b
Nëse ,n na b për çdo ,n atëherë
22 2lim lim lim .n n n nn n n
a b a a a
atëherë
45
2 Le të jenë dhen na b vargje të fituara me “mënyra e njehsimit të rrënjës katrore” përkatësisht tënumrave 2 dhe 5 d.m.th.vargjet:
1,4; 1,41; 1,414; . . .2,2; 2,23; 2,236; . . .
Zgjidhjea) Anëtarët e vargut n na b janë: 3,6; 3,64; 3,650; . . .Sipas teoremës paraprake, vlera kufitare e këtij vargu është numri 2 5.
c) Anëtarët e vargut n na b se: 3,08; 3,1443; 3,161704; . . ., kurse kufiri i tij është numri 2 5 10.
3 Njehso vlerën kufitare të vargu të dhënë me anëtarin e tij të përgjithshëm :
a) 23 ;n
b) 3;
5n
n
c) 2
2
3 4 1 ;5 6 2
n nn n
ç) 3 .
2 3n n
n n
Zgjidhje
a) 2 2lim 3 lim 3 lim 3 0 3.
n n nn n
b) Këtu nuk mundemi drejtpërdrejt ta zbatojmë teoremën për kufirin e herësit, pasi vargjet 3n dhe 5 n janëdivergjente. Prandaj do ta shfrytëzojmë kufirin e vargut -zero, d.m.th. edhe numëruesin
edhe emëruesin do t’i pjesëtojmë me n, pra fitojmë:
33 lim 113lim lim 1,5 55 1 lim 1
n
n n
n
n nnn
n n
pasi
3 5lim 1 1; lim 0; lim 0; lim 1 1.n n n nn n
c) Këtu edhe numëruesin edhe emëruesin do t’i pjesëtojmë me n2, për shkaqe të njëjta sikurse nën b),d.m.th.
2 22
2
2 2
4 14 1 lim 333 4 1 3lim lim .6 2 6 25 6 2 55 lim 5
n
n n
n
n n n nn nn n
n n n n
Cakto: a) lim ;n nna b
b) lim ;n nn
a b
c) lim ;n nna b
ç) lim .n
nn
ab
d)
22
22
723 3 23 2 7 2lim lim lim lim 2.1 62 3 2 3 6 11
n n n n
nn n n nn n n n nn n n n n n n
n n
46
4
Njehso vlerën kufitare të vargu anëtari i përgjithshëm i të cilit është:
a) 7 4 ;3 5nnan
b) 2
2
3 ;2 3 5n
n nan n
c)
2 ;1 3n
n nan n
d)
2
1 2.
5n
n na
n
5 a)
! 1 !
;2 !n
n na
n
b)
2 4 6 . . . 2 ;10 1n
nan n
c)
2 2 5 ;3 2n
n nan
d) 1 .na n n
Shihe mënyrën e të zgjidhurit
a)
! 1 ! ! ! 1 1 1 2 1lim lim lim lim lim 0;
2 ! ! 1 2 1 2 1 2 1n n n n n
n n n n n n nn n n n n n n n n
b) 2, 4, 6, . . ., 2n janë n - anëtarët e parë të progresionit aritmetik, shuma e të cilit 2 2 1 ,2nnS n n n
pra
1 11 lim 11 1lim lim ;1 110 1 1010 lim 10
n
n n
n
n n n nn n
n n
c) 2 2 2
2 5 2 51 lim 12 5 1lim lim ;2 23 2 33 lim 3
n
n n
n
nn n n n n nn n
n n
ç) 1 1 1lim 1 lim 1 lim lim 0.1 1 1n n n n
n n n nn n n nn n n n n n
Detyra
1 Duke i shfrytëzuar teoremat për vargjet konvergjente, njehsoji këto vlera kufitare.
a) lim 3 5 , lim 2, lim 1;n n n nn n na b a b
b) 2 3lim 8 , lim , lim ;
3 2n n n nn n na b a b
c) 2 7lim , lim 1.
2 5n
nn nn
a aa
2
Njehso vlerat kufitare të vargjeve të dhënë me anëtarin e përgjithshëm:
a) ;an bcn d
b) 2
2
3 4 1 ;5 6 2
n nn n
c) 3 .
3 3
n
n
3 a)
2 ! 1 !;
2 ! 1 !n nn n
b) 1 3 5 . . . 2 1.
2 1 2 1n
n n
nëse nëse
nëse
47
4 a) 22 5lim ;
3 8n
n nn
b) 2lim 2 ;n
n n n
c) 2
3 3
3 1lim ;2n
n n nn n
ç)
2 2
2 6lim .2 3n
nn n n
Njehsoji këto vlera kufitare:
5 a)
2 2
2 2
1 1lim .
2 2n
n nn n
b)
3 3
3 3
2 2lim .
1 1n
n nn n
6 a) 1 2 3 . . .lim ;
3 1 6n
n nn
b)
1 3 5 . . . 2 1 5 2lim .2 5 10n
n nn
7 a) 2 2lim 5 4 2 5 2 1 ;n
n n n n
b) 3 3lim 2 2 .n
n n
10 SHUMA E PROGRESIONIT TË PAFUNDËM GJEOMETRIK
Përkufizim. Vlera kufitare s e vargut ns quhet shuma e progresionit të pafund gjeometrik2, , , . . .a aq aq
Domethënë, nëse lim ns s atëherë 1. . . . . . .na aq aq s
Do të shqyrtojmë disa raste varësisht prej herësit q.
10 1 d.m.th. 1 ose 1.q q q
a) Për 1q fitojmë ,ns a n pra lim ;nns
b) Për 1q e fitojmë vargun ,0, , 0. . .a a , 0 ,a i cili ka dy pika të grumbullimit a dhe 0, prasipas kësaj është divergjent.
Domethënë për 1,q shuma e progresionit të pafund gjeometrik nuk ekziston.
Le të jetë dhënë progresioni i pafundëm gjeometrik 2 1, , , . . ., ,. . .na aq aq aq
E formojmë vargun: 11 2, , , ,n
ns a s a aq s a aq aq Të supozojmë se vargu ns është konvergjent, d.m.th. le të jetë lim ,nn
s s
ku s është numër i fundëm (icaktuar).
48
2 Njehso shumën e progresionit gjeometrik:
a) 84lg 2 lg 2 lg 2 lg 2 . . . b) 84lg 3 lg 3 lg 3 lg 3 . . .
Zgjidhje
a) Këtu lg 2,a kurse herësi
12
1 lg 2lg 2 lg 2 12 ,lg 2 lg 2 lg 2 2
q pra
shuma do të jetë: lg 2 lg 2 2lg 2 lg 4.1 112 2
s
3 Cakto vlerën e shprehjes 5 5 5 5. . . .
20 1.q Pasi shuma e n anëtarëve të parë të progresionit gjeometrik është
1 1, d.m.th. .1 1 1
n n
n nq qs a s a aq q q
Vërejtëm se 0nq kur 1,q pra 0 1lim ,1 1 1nn
as a aq q q
d.m.th. vargu ns ështëkonvergjent pra mund të
1 Të caktohet shuma e progresionit 2
1 1 1, , . . ., , . . .2 2 2n
Zgjidhje
Pasi 1 1, 1,2 2
a q progresioni ka shumën dhe ai është 2
11 1 1 2. . . . . . 112 2 2 1
2
n
(fig. 1).
30 Nëse është 1,q atëherë nq kur ,n pra dhe ,nq d.m.th. vargu ns divergjon.
Domethënë për | | 1q shuma e progresionit të pafundëm gjeometrik nuk ekziston.
0 1132
116
18
14
12
fig.1
12
14
18
116
132
1. . . . . . , 1.1
n aa aq aq qq
Shkruajmë
49
12
1 1 1 1 1 11 1 1... 14 8 16 2 4 8 162 4 25 5 5 5... 5 5 5 5... 5 5 5 5... 5 5 5 5 ... 5 5 5
5 Numrin 0,5555... paraqite si shumë të anëtarëve të progresionit të pafund gjeometrik, kurse pastajnjehso atë shumë.
Zgjidhje
2 3
5 5 5 5 1 1 1 10,5555... .... ...10 100 1000 10000 2 20 200 20001 1 1 1 1 1 1 1 51 ... .
1 92 10 10 10 2 2 9110 10
6 Numrin dhjetor periodik 0,3 (2 ) shndërroje në thyesë të zakonshme.
Zgjidhje
2
3 2 2 3 2 1 10,3 2 ... 1 ...10 100 1000 10 100 10 103 2 1 3 2 10 29 .110 100 10 100 9 901
10
7 Në trekëndëshi barabrinjës me brinjë a është brendashkruar qarku. Në atë trekëndësh ështëbrendashkruar trekëndësh i ri barabrinjës, në atë trekëndësh përsëri është brendashkruar qarku ekështu me radhë. Njehso shumën e syprinave të atyre qarqeve.
ZgjidhjeRrezja e qarkut të parë është 1
3 .6
ar Trekëndëshi i dytë është i ngjashëm me të parin (koeficienti ingjashmërisë është
12
), pa 2 1 3 21 3 1 3,2 12 2 24
a ar r r r etj.. Shuma e syprinave të këtyre qarqeve është2 2 22 2 2
2 2 21 2 3 1 1 2 2 3 3
3 3 3..., ku ; ; ;6 12 12 48 24 192
a a a a a aP P P P P r P r P r
2 2 2
...12 48 192a a aP
, d.m.th. 2
21 1 .1 914
rP a
Zgjidhje
4 Cakto vlerën e shprehjes: a) 2 2 2 2... ; b) 3 2 3 2... .
50
Detyra
1 Njehso shumën:
a) 1 1 11 ...2 4 8
b) 7 77 ...4 16
c) 1 1 11 ...
22 2 2 ç)
8 35 16 1754 7 ...3 8 9 64
d) 21 cos cos ...6 6
e) 84lg 3 lg 3 lg 3 lg 3 ...
2 Vërteto barazimin:
a) 3 3 4 8 163 ... ...4 16 3 9 27
b) 15 15 152 1,6 1,28 ... 15 ...2 4 8
3 Njehso vlerën e shprehjes:
a) 33 37 7 7... ; b) 3 5 3 5... .
4 Numrin 1,535353... paraqite si shumë të anëtarëve të progresionit të pafund gjeometrik, kurse pastajnjehso atë shumë.
5 Shndërroje në thyesë të zakonshme numrin: a) 3,25(4); b) 4,7(36).
6 Shuma e anëtarëve të progresionit të pafund gjeometrik është 20,9
kurse anëtari i dytë është 8 .15Cakto anëtarin e tretë.
7 Zgjidhe barazimin:
a) 2 39 9 9log log log ... 1; 9 ;x x x x b) 2 42 2 2 ... 4.x x x
8
Në rreth me rreze r është brendashkruar trekëndësh barabrinjës, në trekëndëshin ështëbrendashkruar rrethi, në rreth trekëndësh barabrinjës e kështu me radhë....Njehso:a) shumën e perimetrave të : i) të gjithë rretheve; ii) të gjithë trekëndëshave;
b) shumën e syprinave të: i) të gjithë qarqeve; ii) të gjithë trekëndëshave
9
Në trekëndëshi barabrinjës me brinjë a është brendashkruar trekëndësh barabrinjës kulmet e të cilitjanë meset e brinjëve të trekëndëshit të parë, te i dyti në mënyrë të ngjashme është brendashkruar itreti etj.Njehso:
a) shumën e lartësive të të gjithë trekëndëshave;b) shumën e perimetrave të të gjithë trekëndëshave;c) shumën e syprinave të të gjithë trekëndëshave.
51
TEMA 2
1
FUNKSIONET DHE VLERAT KUFITARE TË FUNKSIONEVE
Funksioni real me njëndryshore reale ................................
Grafiku i funksionit.Zerot e funksionit.Funksioni çift dhe tek.......................
Periodiciteti i funksionit.Monotonia e funksionit............................
Funksionet e kufizuara.Vlerat ekstreme të funksionit ............Operacionet me funksione.Funksioni i përbërë.Funksioni invers......................................
Funksionet elementare.....................
Në këtë temë do të mësosh për:
2
3
4
5
6
Skicimi i grafikëve të disafunksioneve me ndihmën e grafikëvetë funksioneve elementare...............
7
Vlera kufitare e funksionit.......................8
Vlera kufitare e majtë dhe e djathtë.Zgjerimi i konceptit vlerë kufitare ....
9
Operacionet me vleratkufitare të funksioneve .....................
1095
52
58
63
68
72
78
81
86
89
Disa kufi karakteristikë .........................11 98
Vijueshmëria e funksioneve...............12 101
Asimptotat e grafikut të funksionit....13 104
Për realizimin e temës mund të shfrytëzohen aplikacionet:- Gjeogjebra (Funksioni real, vetitë; Vetitë e funksionit; Funksioni i përbërë; Funksioni invers; Vlera kufitare e funksionit)- Km Plot (Funksioni real, vetitë; Vetitë e funksionit; Funksioni i përbërë; Funksioni invers)- Kig (Funksioni real, vetitë; Vetitë e funksionit)
52
1 Funksioni real me një ndryshore reale
Gjatë shkollimit të deritanishëm keni mësuar për: funksionin linear ,y kx n funksionin katror 2 0 ,y ax bx c a funksionin eksponencial 0 dhe 1 ,xy a a a funksionin logaritmik
log 0, 1 dhe 0 .ay x a a x funksionet trigonometrike sin , cos ,y x y x tg ,y x ctg .y x Përçdonjërin prej funksioneve keni mësuar vetitë dhe grafikun e tij. Koncepti funksion është njëri prej konceptevemë të rëndësishëm në matematikë,prandaj në këtë pjesë do të flasim në përgjithësi për funksionin dhe do tëmësojmë disa veti të funksioneve.
Le të jetë A dhe B dy bashkësi jo të zbrazëta dhe çdo elementi x A i është shoqëruar, sipas ndonjërregulle f, një element ,y B atëherë themi se është përcaktuar pasqyrim f i A në B dhe shkruajmë
: .f A BPër y themi se është pasqyrë e x dhe shkruajmë
y f x ose : ( )f x f x ose .f
x y
1 Le të jetë , , , , 1,2,3,4,5A a b c d B dhe le të jenë f dhe g rregulla të shoqërimit:
: 1, 2, 3, 3;f a b c d : 1, 2, 3, 3.g a b c b
Me cilin shoqërim është përcaktuar pasqyrimi?Shihe zgjidhjen:
Shoqërimin e dhënë do ta paraqesim me këto diagrame:
abcd
12
345
abcd
12
345
f gBA A B
Me f është përcaktuar pasqyrim i A në B, kurse me g nuk është përcaktuar pasqyrim. Pse?
Bashkësia A quhet domen ose fushë e përkufizimit , kurse bashkësia B quhet kodomen i pasqyrimit f .Bashkësia fV f A e cila i përmban të gjithë elementet ,y B për të cilat y f x për çdo x Dquhet fushë e vlerave të pasqyrimit f.
Nëse D është bashkësi jo e zbrazët e numrave realë,d.m.th. D dhe f është pasqyrim i D ne ,atëherë themi se f është funksion real me një ndryshore reale ose vetëm funksion i argumentitreal.
Kujtohu!
53
Bashkësia D quhet bashkësia e përcaktimit, domen ose fushë e përcaktimit e funksionit f. Në vend tëD, më tutje shpeshherë do të shkruajmë Df, Dg...Bashkësia e të gjitha pasqyrave f x të elementeve x D quhet bashkësia e vlerave ose rang i funksionitf dhe shënohet me Vf ose vetëm me V .fV
Më tutje kur flitet për “funksion”, nëse nuk është thënë ndryshe, do të nënkuptohet “funksioni realme një ndryshore reale”.
Për shembull, me pasqyrimin:: 1, ,f x x x është përkufizuar funksioni real me një ndryshore reale, për të cilin shkruajmë:
1f x x ose 1; fy x D dhe ;fV 2: ,f x x x është definuar funksioni 2; ff x x D i [0, ).fV
Mbaj mend!
Funksioni f është plotësisht i përcaktuar nëse dihen: bashkësia e përkufizimi Df dhe rregulla f sipas sëcilës përcaktohen vlerat e funksionit.
Në praktikë, nëse funksioni i dhënë është përcaktuar me ndonjë shprehje analitike pa u theksuardomeni do të llogarisim se domeni përbëhet prej të gjithë numrave real për të cilët ajo shprehjeanalitike ka kuptim.
2 Domeni i funksionit:a) 0, ;f x x b) 1 ,1 ;f x x
c) 1 , 0 0, ;f xx
∪ ç) 22 , ;f x x x
d) lg 2 2,f x x .
3 Cakto bashkësinë e përkufizimit të funksionit:
a) 3 23 4 2;f x x x b) 2
2 ;9xf x
x
c) 23 ;f x x x ç) 2lg .f x x x Zgjidhje
A ka kuptim vetëm nëse 0;A AB vetëm për 0;B lg A vetëm për 0.A
a) , ;fD b) 2 9 0, 3, 3, , 3 3,3 3, \{ 3,3};fx x x D ∪ ∪
c) 2 0 03 0, 3 0, ose
3 0 3 0x x
x x x xx x
, prandaj 0, 3 ;fD
ç) 2 0 00, 1 0, ose
1 0 1 0x x
x x x xx x
, prandaj , 0 1, .fD ∪
Vëre se bashkësia e përkufizimit e funksioneve të dhëna nën a) - ç) është bashkësi e pafundme e cila mund të shkruhetsi interval ose segment (interval i mbyllur) ose union i intervaleve.
për të cilin
për të cilin
është
është
është
është
është
gjegjësisht
gjegjësisht
gjegjësisht
54
4 Cakto bashkësinë e përcaktimit të funksioneve:
a) 3 42 ;f x x x b) 2
2 3 ;3 4
xf xx x
c) 3 1 ;
2 1xf xx
ç) lg 5 .f x x
Por, përcaktimi i bashkësive të vlerave të disa funksioneve nuk është gjithmonë e lehtë.
a) sin 1, 1 ;f x x e b) 2 1 , ;f x x e
c) 2 2 3 4, ;f x x x e ç) 1 00 0 1, 0, 1 .
1 0
xf x x
x
za
za e
za
Te përkufizimit i kuptimit funksion, në të gjithë shembujt e përdorëm shkronjën x si zëvendësim i çfarëdonumri të domenit të funksionit përkatës. Për atë themi se është ndryshore e pavarur ose argument.
Për funksionin e dhënë f shpeshherë shkruajmë ,f x që është e njëjtë me : ,f x f x por e shfrytëzojmëshënimin y= f (x), ku shkronja y është përdorur për shënimin e ndryshores të varur.
Më tutje, ndryshoret (të pavarura ose të varura) i shënojmë edhe me shkronja tjera: t, è, v, g, h etj.
Në temën paraprake, mësove se me pasqyrimin f prej në është definuar vargu i numrave realë ,na d.m.th.
: ose : , .nf f n a n
Për shembull, me: : 2 ,f n n n është definuar funksioni 2 ,f n n d.m.th. çdo numri natyrorë i ështëshoqëruar numri përkatës çift: 1 2, 2 4, 3 6, 4 8 etj.
Me 2: ,1n n
nf n a an
është dhënë funksioni f prej në ku bashkësia e vlerave është vargu
4 6 8 101, , , , , . . .3 4 5 6
Nëse funksioni f është dhënë me formulë ose me fjalë (përshkruese), atëherë themi se funksioni ështëdhënë analitikisht, ose se funksioni është dhënë në formë eksplicite.
Bashkësia e vlerave të funksionit:
janë funksione të njëjta, pasi kanë domen të njëjtë D dhe për çdo x prej D vlen f(x) = g(x) = h(x).
Prandaj, , (10, ).f gD D Nga ana tjetër,Kështu, funksionet 2( )f x x dhe 2( ) , 10g x x x janë funksione të ndryshme, pasi kanë domen të ndryshëm.
Dy funksione f dhe g janë të barabartë nëse kanë domen të njëjtë D dhe f(x) =g(x), për çdo element .x D
2
2
2
( ) ( 1) , 5( ) 2 1, 5( ) ( 1) , 5
f x x xg x x x xh y y y
55
Për shembull, funksionet 22
13, , ,1
xf x x f x x g x yx x
dhe të gjithë funksionet tjera që i
parashtruam deri tani, d.m.th. janë të dhënë në mënyrë eksplicite.
Në dhënien e një funksioni në mënyrë përshkruese ose me formulë nuk ka ndryshim të madh. Për shembull,
1g xx
është e njëjtë sikurse “ g x është vlera reciproke e numrit x”.
Disa funksione mund të jepen me dy ose më shumë shprehje, për shembull:
a) 2 per 0
;per 0
x xf x
x x
b) per 0
0 per 02 per 0.
x xg x x
x x
Shpeshherë do ti hasim dhe funksione të këtillaa) Funksioni sgn x definuar me
1 per 0sgn 0 per 0
1 per 0,
xx x
x
quhet signum i x ose shenja i x.b) Funksioni x i definuar me:
Domethënë: 1 .x x x Për shembull: 13 3, 2,5 3, 0,75 0.2
“ x është numri më i madh i plotë që nuk është më i madh se x” quhet pjesa e plotë e x.
c) Disa funksione që janë dhënë me një shprehje analitike mund ti shkruajmë me dy ose më shumë shprehje,si për shembull:
per 0| | 0 per 0;
per 0
x xf x x x
x x
2
22
6 per 06 | |
6 per 0.x x x
g x x xx x x
ç) Është e mundshme dhe anasjelltas,disa funksione të dhëna me më shumë shprehje të paraqiten me njëshprehje analitike. Për shembull:
2 per 02;
2 per 0x x
f x xx x
2 per 0
2 per 0 2 | | .2 per 0
x xg x x x
x x
56
Nëse domeni i një funksioni është bashkësi e fundme, atëherë funksioni mund të jepet formë tabelare. Përshembull, nëse për :f x f x domeni është 0, 1, 2, 3, 4D dhe
0 1, 1 3, 2 2, 3 1, 4 3,f f f f f
atëherë funksionin mund ta paraqesim me tabelë: x
f x
0 1 2 3 4
1 3 2 1 3
Paraqitjen tabelare të funksioneve do ta shfrytëzojmë shpeshherë edhe në rastet kur domeni është bashkësie pafundme, me atë që tabela do të përbëhet me shumë vlerave të fundme të domenit që të fitohet tablo sa mëe saktë e vijimit të funksionit. Paraqitja tabelare e funksioneve shpeshherë shfrytëzohet edhe në shkencateksperimentale: fizikë,kimi,shkencat teknike etj.
Në vijim do të flasim edhe për një mënyrë shumë të rëndësishme të paraqitjes së funksioneve: paraqitjagjeometrike me ndihmën e grafikut të tij në rrafshin e koordinatave.
Funksionet kanë zbatim edhe në shkencat e tjera, e veçanërisht në shkencat natyrore. Gjatë studimit tëdukurive të ndryshme natyrore zakonisht arrihet deri te disa ligjshmëri që paraqesin varshmëri ndërmjet madhësivetë caktuara. Për shembull:
a) Rruga s gjatë rënies së lirë varet prej kohës t dhe shprehet me funksionin
b) Rruga s gjatë nxitimit të lëvizjes drejtvizore shprehet me formulën 20
1 ,2
s V t at ku
0t t është madhësi e ndryshueshme e pavarur, V0 është shpejtësia fillestare, kurse a është nxitimi.
(0, ).D
c) Syprina S e rrethit varet prej rrezes së tij 2 .r P r r
ç) Intensiteti t i rrymës elektrike me tension konstant U varet nga rezistenca .UR J RR
Gjatë të shprehurit të varshmërisë funksionale në shembujt paraprak duhet pasur parasysh fushën e përcaktimittë vet funksionit. Madhësitë që marrin pjesë në funksionet e shënuara, kanë dimensione të tyre të shprehuranë njësi matëse, megjithatë në raste të tilla do t’i marrim parasysh vetëm numrat matës të atyre dimensioneve.
Detyra
1 Është dhënë funksioni 22 3.f x x x Caktoji vlerat: 2 , 1 , 0 , .f f f f a
Nëse
1 ,0
,2 0,
x xf x
x x
za
za caktoji vlerat: 2 , 1 , 0 , 1 , 2 .f f f f f 2
21 ,2
s t gt ku g nxitimi i tokës 9,81 .g ,D
57
Le të jetë dhënë funksioni
2 , 1,0
2, 0,1
1, 1,3 .
x x
x x
x x
Caktoji vlerat: 1 12 , 0 , , , 3 .2 2
3
Nëse 2 ,f x x cakto: a)
;f b f a
b a
b) .2 2
a b a bf f
Nëse 1,1
xf xx
cakto shprehjen
.1
f x f yf x f y
Paraqite me më shumë shprehje analitike funksionin:
a) 2 2 1 ;f x x x b) 2sgn 1 .f x x x
4
5
6
Cakto funksionin :f x
a) ,f x ax b ako 1 1, 2 5;f f b) 2 3,f x ax bx ako 2 5, 1 4.f f
Cakto funksionin f x nëse: a) 1 2 3;2
f x x
b) 21 .f x ax bx c
Cakto fushën e përcaktimit të funksionit:
a) 2
2 ;4
xyx
b) 2
1 ;4
xyx
c) 3 2 3 ;y x ç) 2 5 6;y x x
d) 1 sin ;y x e) 2ln 2 5 .y x x x
7
8
9
Shkruaje varshmërinë funksionale të syprinës S dhe këndit pranë bazës së madhe te trapezi barakrahësme baza 6a dhe 4.b Cakto domenin dhe kodomenin e funksionit.
Shprehe syprinën S të drejtkëndëshit të brendashkruar në rreth me rreze R, si funksion të njërës brinjëtë tij e cila ka gjatësinë x.
12
11
Cakto bashkësinë e vlerave të funksionit f nëse: a) 2 , 2, 1 ;f x x A b) , 0,1 .
1xf x A
x
10
58
2 GRAFIKU I FUNKSIONIT. ZEROT E FUNKSIONIT.FUNKSIONET ÇIFT DHE TEK
A E ke të njohur se një funksion mund të jetë dhënë në formë; analitike, tabelare dhe grafike.
Përkufizimi. Për funksionin e dhënë f me domen D bashkësia e çifteve të radhitura
, | ,f fx y x D y f x G
quhet grafik i funksionit f.
Për shembull, për funksionin f të dhënë me tabelë, domeniështë 2, 1, 0, 1, 3 ,fD kurse grafiku i tij është 2,3 , 1,2 , 0,1 , 1, 2 , 3, 4 .f G
x
f x
2 1 0 1 3
3 2 1 2 4
Grafiku i funksionit 2y x është 2, ,f x x x G kurse grafiku i funksionit 1y
x është
1G , \ 0 .f x xx
Grafiku Gf është bashkësi e pafundme gjithmonë kur fD është bashkësi e pafundme, kurse e fundme kur fDështë e fundme. Mund të thuhet se “ Gf ka aq elemente, sa ka fD “. Pasi çdo çift i radhitur (a, b) i numrave realparaqet një pikë në rrafshin e koordinatave, domethënë grafiku i funksionit mund të paraqitet gjeometrikisht, sibashkësi e pikave në rrafsh.
1 Vizato grafikun e funksionit linear 1 2.2
y x
Shihe zgjidhjen:Për të vizatuar grafikun e një funksioni shpeshherë bëjmë tabelën e vlerave, d.m.th. përcaktojmë disa pika tëgrafikut, i paraqesim në rrafshin e koordinatave dhe me lidhjen e tyre fitojmë një parafytyrim të përafërt tëgrafikut të atij funksionit (fig. 1).
Në përgjithësi, grafiku i funksionit linear y kx n është drejtëz që e pret boshtin y në pikën 0,n dhekoeficient i drejtimit i tij është tg .k Nëse 0,n atëherë funksioni y kx është përkatësisht, funksion ipërpjesëtimit të drejtë (fig. 2). Nëse 0,k atëherë funksioni y = n është konstant (fig. 3).
y
x
y n
y
xn
12
2
3
1 2fig.1
y
x
fig.2
0
y kx
0fig.3
1 22
y x
59
Grafiku i funksionit 2f x x me domen 1,2D e ështëparaqitur në fig. 4.
2 Vizato grafikun e funksionit 1 .yx
Zgjidhje
Funksioni 1yx
quhet vlera reciproke e x ose funksion ipërpjesëtimit të zhdrejtë (koeficient i të cilit është 1).
Domeni i tij \ 0 ,D kurse ,0 0, .fV ∪Disa pika të grafikut të tij (fig. 5) janë dhënë në tabelë.
Zgjidhje
a) Prej përkufizimit të funksionit vijon1, 0
sgn 0, 0 .1, 0
xx x
x
za
za
za
(fig.6).
fig.6
x
y
1
1
0
b) Sipas përkufizimit , pjesa e plotë e x është numrimë i madh i plotë që nuk është më i madh se x(fig. 7).
Shigjeta tregon se pika e skajshme nuk i takon grafikut tëfunksionit.
fig.42 1 1 20
1
2
3
4
x
y
2 1
13
212
13
3
13
12
x
y
1
1
y
x
fig.5
1 2
1
2
1
2
12
3 Vizato grafikun e funksionit: a) sgn ;y x b) y x mënyrë që të x.
Kujtohu!
Caktoji 1 dhe 0f f nëse 1.f x x Në sistemin koordinativ kënddrejte paraqiti pikat 1,0 , 2,0 dhe 3,0 .A B C
Zgjidhe barazimin 22 1 0.x x Caktoji zerot e polinomit
4B Është dhënë funksioni 2 4.f x x
Caktoji 2 dhe 2 .f f Çka vëren?
Zgjidhje
22 2 4 0f dhe 22 2 4 0.f
Vëren se 2 2 0.f f Domethënë, për 2x dhe 2x vlera e funksionit është 0. 2 4 5.P x x x
0x
A
y
fig.7
1 2 3
1
2
12
1
2
60
Në fig. 9 është paraqitur grafiku i funksionit 2.y x
2 1 1 20
1
2
3
4
AB
x
y
fig.9
Vëre se grafiku i funksionit = x2 është simetrik në lidhje me boshtin y.
1 1 1, 2 2 4.f f f f Në Përgjithësi, ,f x f x për çdo .fx D
Funksioni f me domen D ështëfunksion çift nëse:1. D është simetrike në lidhe me qendrën ekoordinatave,d.m.th.
.x D x D
2. Për çdo , .x D f x f x
Zero e funksionit y f x quhet çdo numër real 0 fx D për të cilin vlen 0 0.f x
Vëre!
Zerot e funksionit y f x janë zgjidhjet e barazimit 0.f x Grafikisht, zerot e funksionit janë abshisat e pikë së prerjes të lakores me boshtin x.
Për 0 01,0,1,2,4 , 0,x f x d.m.th. zero të atijfunksioni janë elementet e bashkësisë 1,0,1,2,4 .
Në fig. 8 është paraqitur grafiku i një funksioni.
Cakto zerot e funksionit:
a) 2 1;xyx
b) 3 ;y x x c) ;xy xe ç) 2 4 lg 5 .y x x
Zgjidhjea) 2
1 21 0 1 ose 1;x x x
b) 3 21 2 30 1 0 0 1 1;x x x x x x x
c) 0 0xxe x , pasi 0;xe
ç) 21 2 34 0 5 1 2 2 4.x x x x x
6 Caktoji pikat në të cilat funksioni i dhënë ka vlerë zero:
a) 2 3 2;y x x b) 4 25 4;y x x c) 2 21 4 ;xy x x e ç) lg 1 .y x
5
1 10 2 4
x
fig. 8
Kujtohu!
Për çdo ,x janë të saktë barasitë: sin( ) sinx x dhe cos( ) cos .x x
V
61
Nëse pika ,A x f x shtrihet në grafikun e funksionit 2 ,f x x atëherë edhe pika , ,B x f x poashtu, shtrihet në grafikun e funksionit të dhënë, d.m.th. pikat A dhe B janë simetrike në lidhje meboshtin y.
Funksioni 4 22f x x x është çift, pasi që D është bashkësi simetrike në lidhje me qendrën ekoordinatave dhe për çdo x kemi; 4 2 4 22 2 .f x x x x x f x Funksione çift janë; 2 , | | .f x x f x x Funksioni 2f x x me 1, 2D nuk është çift, meqë bashkësia e definimit
nuk është simetrike në lidhje me qendrën e koordinatave.
7 Shqyrto cilët funksione janë çift:
a) 23 5;f x x b) 22 4, 0, ;ff x x D c) 2 sin 1.x x
x x xf xe e
Shihe zgjidhjen
a) D është bashkësi simetrike dhe 2 23 5 3 5 ,f x x x f x pra funksioni është çift.b) Funksioni nuk është çift, pasi 0,D nuk është bashkësi simetrike.
c) D është bashkësi simetrike.
2 2 2sin 1 sin 1 sin 1 ,x x x xxx
x x x x x x x x xf x f xe e e ee e
funksioni është çift.
8 Vërteto se funksioni është çift:
a) sin ;| |
x xf xx
b) 2
2
3 cos ;4x xf x
x
c) 12 .
2x
xf x
Funksioni f me domen D është funksion tek nëse:1. D është bashkësi simetrike në lidhje me qendrën e koordinatave.2. Për çdo , .x D f x f x
Vëre se grafiku i funksionit siny x është simetrik në lidhje me qendrën e koordinatave.
1, ndersa 1,2 2
f f
pra
.2 2
f f
Pikat , dhe ,M x f x N x f x shtrihet në grafikun e funksionit siny x dhe janë simetrike në lidhjeme qendrën e koordinatave, pasi ,sin dhe , sinM x x N x x shtrihen në drejtëzën MN që kalon nëpërqendrën e koordinatave dhe janë njëlloj të larguara prej tij.
Në fig. 10 është paraqitur grafiku i funksionit y = sin x.
x
N
M
x 2
2
32
2x
y
1
1fig.10
0
62
ç) 2: 2 0,D x x d.m.th. , 2 0,x ∪ nuk është bashkësi simetrike, domethënë funksioni nukështë as çift as tek.
Nëse domeni D i funksionit f është bashkësi simetrike, atëherë f është edhe çift edhe tek nëse dhe vetëmnëse për çdo , 0x D f x (këtë veti e ka vetëm funksioni zero i definuar në D)
Detyra
2 Cakto zerot e funksionit:
a) 2 1;3
f x x b) 3 2.2
f x x
6 Vërteto se funksionet janë tek:
a) 1 ;f xx
b) 3 ;f x x x c) 3 sin .f x x x
Zgjidhjea) \ 0D është bashkësi simetrike në lidhje me qendrën e koordinatave dhe
1 1 .f x f xx x
b) D i 3 3 3 .f x x x x x x x f x
c) , 3 sin 3 sin 3 sin .D f x x x x x x x f x
7 Shqyrto cili prej funksioneve është çift dhe cili është tek, nëse:
a) 2
4 ;1
xyx
b) 21 ;y x c) sin ;
1 cosx xy
x
d) 2 2 .y x x
Zgjidhje
a) D është bashkësi simetrike në lidhje me qendrën e koordinatave,
2 2 2
4 4 4 ,1 11
x x xf x f xx xx
funksioni është tek.
b) D . 22 21 1 1 1 ,f x x x x f x nuk është çift; 21 ,f x x f x nuk është tek. Domethënë, funksioni nuk është as çift as tek.
c) \ 1 2 ,D k k është bashkësi simetrike në lidhje me qendrën e koordinatave.
sin sin sin ,1 cos 1 cos 1 cos
x x x x x xf x f xx x x
funksioni është çift
1 Vizato grafikun e funksionit:
a) 2 3;y x b) 2 2 3;y x x c) 2 , \ 0 .y xx
Mbaj mend!
Funksionet grafikët e të cilëve janë simetrike në lidhje me boshtin y, quhen funksione çift. Funksionetgrafikët e të cilëve janë simetrike në lidhje me qendrën e koordinatave quhen funksione tek.
63
a) 22 3 ;f x x x b) 5 35 4 .f x x x x
a) 3
3
8 ;8
xf xx
b) 4 2
2
17 16 .2
x xf xx
a) 1sin ;2
f x x b) sin 1.f x x
a) 2 33 3;xf x b) 22log 2 3.f x x x
Vërteto se funksioni është çift nëse:
a) 2 sin ;f x x x b) 2
2
3 ;4
xf xx
c) cos .f x x
Vërteto se funksioni është tek nëse:
a) 3 5 72 2 ;f x x x x b) 3 4tg .f x x x
Konstato cilat nga funksionet vijuese janë çift e cilat tek.
a) 2 1 3cos ;f x x x b) 3 2 sin ;f x x x c) , .nf x x n
a) 3
2
sin tg ;cos
x x xf xx
b) 2 1.
2 1
x
xf x
a) 21
;x
x
af x
a
b) 2lg 1 .f x x x
3
4
5
6
8
9
10
11
7
3 PERIODITETI I FUNKSIONIT. MONOTONIA E FUNKSIONIT
Kujtohu!
Domeni i funksioneve trigonometrike siny x dhe cosy x është bashkësia . Pika M (fig. 1),
duke lëvizur nëpër rrethin trigonometrik (për shembull në kahjepozitive), do të gjendet në pozitën e njëjtë pas një rrotullimi tëplotë,d.m.th. për këndin prej 2 radianë.Prandaj, funksionet sinusdhe kosinus do të kenë vlera të njëjta përkatëse për këndin 2x si dhe për këndin x, për çfarëdo ,x d.m.th. x
y
fig.1
AMxOx
cos ,sinM x x
sin 2 sin ;x x cos 2 cos .x x
Pasi që për çdo x dhe për çdo k vlen:
sin 2 sinx k x dhe cos 2 cos ,x k x
domethënë se vlerat e sin x dhe cos x përsëriten periodikisht pas çdo ndërrimi të argumentit x për 2 (osepër 2k ), prandaj për funksionet siny x dhe cosy x themi se janë funksione periodike, kurse përnumrin 2 se është perioda më e vogël. Funksionet periodike janë edhe funksionet tgy x dhe ctg ,y xkurse perioda më e vogël e tyre është .
64
b) Nëse funksioni f x me domen D është periodik me periodë dhe nëse a është numër real indryshueshëm prej zeros, atëherë funksioni F x f ax me domen D1, ku 1x D ax D është
Shihe mënyrën e vërtetimitPrej 1 1,x D ax D ax D a x D x D
a a
pra
.F x f a x f ax f ax F xa a
Prej pohimit paraprak vijon se perioda më e vogël efunksionit sin 2y x është 2 ,
2 kurse të
funksionit2cos3xy perioda më e vogël është
2 3 .23
1 Cakto periodën më të vogël të funksionit sin .y a bx c
Shihe zgjidhjen:Le të jetë perioda e kërkuar . Prej përkufizimit sin sina b x c a bx c rrjedh
sin sin 0.b x c bx c Me transformimin e prodhimit fitojmë:
2cos sin 0,2 2
b x c bx c b x c bx c d.m.th. 2
2cos sin 0.2 2
bx c b b
Prej këtu vijon sin 02
b nëse 0,
2b
d.m.th. 0 ose ,2
b d.m.th. 2 ,b domethënë perioda themelore
është 2 .b
2 Cakto periodën më të vogël të funksionit: a) tg ;y a bx c b) 32 ctg .2 3xy
3 Cakto periodën themelore të funksionit: a) 2 sin 3 ;y x b) 1 cos4 ;3
y x v) tg .2xy
4 Cakto periodën më të vogël të funksionit: a) 2cos ;y x b) sin cos ;y x x
c) sin sin3 .y x x
A Ka edhe funksione tjera, përpos atyre trignometrike, që kanë perioditetin e vet.
Përkufizim. Funksioni f me domen D është periodik, nëse ekziston numër real , ashtu që:
a) Nëse ,x D atëherë , .x x D b) Për çdo , .x D f x f x
Numri quhet periodë e funksionit kurse numri më i vogël prej tyre, nëse ekziston, quhet perioda më e vogëlose themelore e funksionit.
Prej përkufizimit vijon saktësia e këtyre pohimeve:a) Nëse funksioni f me domen D është periodik me periodë , atëherë numri ,k k është periodë efunksionit f, d.m.th. .f x k f x
Kujtohu!Për çdo ,x e saktë është barasia:
sin sin 2 cos sin .2 2
x y x yx y
periodik me periodë .| |a
65
c) Domethënë 1 1sin , 2 ;y x kurse për 2 22sin3 , .3
y x
Perioda më e vogël 1 22Sh.V.P. , Sh.V.P. 2 , 2 .3
Domethënë, perioda themelore është 2 .
5 Funksioni ,f x x x D është periodik me periodë 1. Vërteto.
Shihe zgjidhjenFunksioni x është pjesa e plotë e x, d.m.th. numri më i madh i plotë që nuk është më i madh se x, kurse funksioni f x x x quhet pjesa thyesore e x. Pasi 1 1,x x kemi:
1 1 1 1 1 1 1 .f x x x x x x x x x f x
Perioditeti, ngjashëm sikurse funksioni çift dhe tek, të funksionit të dhënë mundëson që shqyrtimi i tij tëkufizohet në një nënbashkësi ku ai është i definuar.
Nëse funksioni f x është periodik me period , që t’i shqyrtojmë vetitë e tij mjafton t’i shqyrtojmë vetitëvetëm te segmenti ,a b me gjatësi . Për shembull, grafiku dhe vetitë e funksionit, sin , cosy x y x ishqyrtojmë në segmentin 0, 2 .
Nëse 0,1 ,x atëherë 0,x pra për 0,1x
grafiku i funksionit f x x x puthitet me grafikun e 1 .f x x Pasi funksioni f x x x është periodik
me periodë 1, grafikun do ta fitojmë ashtu që grafikun 1 , 0,1f x x x do ta tejbartim nëpër boshtin x
majtas dhe djathtas për 1 (fig. 2).
x
y
0 321123
fig.2
Kujtohu !
y
x 1f x
2f x
1
fx
x
fig. 3x1 x2 0
x
y
fig. 4
1f x
2f x
Në fig. 3 është paraqitur grafiku 1f x x me domen .D
Vërejte se për çfarëdo dy vlera të ndryshme x1 dhex2 domenit, vlerës më të madhe të argumentit ipërgjigjet vlera më e madhe e funksionit, d.m.th.funksioni rritet në intervalin , .
Në fig. 4 është paraqitur grafiku i funksionit 2 .f x x Vëren se funksioni zvogëlohet në
intervalin ,0 , kurse rritet në intervalinà 0, .
a) 2 1 cos2 1 1cos cos2 .2 2 2
xy x x Domethënë
.
b) 1 1sin cos 2sin cos sin2 .2 2
y x x x x
.
Zgjidhje
për
Do të thotë
66
Në përgjithësi. Për një funksion f x të definuar në bashkësinë D themi se në D
a) rritet (është rritës), nëse për 1 2x x vijon 1 2 ;f x f xb) zvogëlohet (është zvogëlues ose zbritës), nëse për 1 2x x vijon 1 2 ;f x f x
c) nuk zvogëlohet (është jozvogëlues), nëse për 1 2x x vijon 1 2 ;f x f x
ç) nuk rritet (është jorritës), nëse për 1 2x x vijon 1 2 ;f x f x
x
y
1f x
x 1 x2
2f x
fig. 6
x
y
1f x 2f x
a x 1 x 2 bfig.5
Funksioni që ka ndonjërën prej vetive a) deri ç) quhet funksion monoton.Funksionet të cilët vetëm rriten ose vetëm zvogëlohen quhen funksione monotono rigoroze.Në fig. 5 është paraqitur grafiku i funksionit që rritet,kurse në fig. 6 grafiku i funksionit që zvogëlohet.
Më tutje D më së shpeshti do të jetë interval, pra monotonin e funksionit do ta shqyrtojmë në intervale.
6 Shqyrto monotonin e funksionit: a) 2 3;f x x b) 3 2;f x x c) 2 .f x x
Zgjidhjea) Domeni i funksionit , .D Le të jetë 1 2,x x D dhe le të jenë 1 2 .x x Kemi:
1 2 1 2 1 22 3 2 3 2 .f x f x x x x x
Prej 1 2x x vijon 1 2 0,x x pra
1 2 1 22 0,f x f x x x d.m.th. 1 2 .f x f x
Domethënë, funksioni 2 3y x zvogëlohet në intervalin , .
B
c) Funksioni 2f x x vo ,D nuk është monoton, pasi,për shembull,
2 1 dhe 2 4 1 1 ,f f ndersa 1 3 dhe 1 1 9 3 .f f Por, në çdonjërin prej
intervaleve ,0 dhe 0, në veçanti, ai është monoton.
Funksionet 3 3 5, 2, 1y x y x y x janë rritës,kurse funksionet 3 3, 2y x y x janë zvogëlues.
7 Funksioni eksponencial 2xy rritet monotonisht në mënyrë rigoroze. Vërteto.
Nëse funksioni f x është zvogëlues, atëherë për disa vlera të argumentit 1 2,x x D mund të jetë 1 2 .f x f x
për çfarëdo numra 1 2, .x x D
67
Në atë rast, ta shqyrtojmë segmentin 1 2,x x dhe çfarëdo vlere të argumentit 1 2, .x x x Pasi funksioniështë zvogëlues dhe 1 2 ,x x x vijon se
1 2 ,f x f x f x d.m.th. 1 2 ,f x f x f x
x
y
xx 1 x2
f x 1f x 2f x
0fig. 7
y
xx1 x2
f x 1f x 2f x
0
fig. 8
x
që do të thotë se funksioni f x është konstant në segmentin 1 2,x x (fig. 7). Në mënyrë të njëjtë, deri tei njëjti përfundim arrihet edhe nëse funksioni është jorritës (fig. 8).
8 Funksioni
per ,1
1 per 1,3
1 per 3,
x x
f x x
x x
është monoton që rritet në pjesë, d.m.th. në intervalet ,1 dhe 3, , kurse në intervalin [1, 3) ështëkonstant.
Detyra
1
Cakto periodën themelore të funksionit:
a) 4sin ;5
y x b) ctg ;2xy c) 2cos3 .y x
a) sin ;y x b) sin cos ;y x x c) 2sin .2xy
a) 3 2sin cos ;2 3
y x x b) 3cos3 sin .2xy x
2
3
Provo cili prej funksioneve është periodik:
a) sin ;f x x x b) sin 2 sin .f x x x
a) 2 sin ;f x x b) cos .f x x x
Vërteto se funksioni: a) 2 13
f x x është zvogëlues; b) 1 32
f x x është rritës.
Vërteto se funksioni:a) 2logy x është rritës; b) 1
2
logy x është zvogëlues; c) 3 xy është zvogëlues.
Cili prej funksioneve është rritës, kurse cili zvogëlues në intervalin e dhënë:
a) 2 1, 0, ;y x b) 1 , 0,1 ;1
yx
c) 2
1 , 0, ?1
yx
4
5
6
7
8
68
Funksioni sinf x x (fig. 2) është i kufizuar, pasi për çdo , sin 1.x x Gjithashtu,funksioni cosy xështë i kufizuar, d.m.th. cos 1x për çdo .x
Funksioni 3f x x është i pakufizuar në bashkësinë e numrave real, pasi sa do që të jetë i madh numri k,gjithmonë mund të gjendet numër real x, ashtu që 3| | .x k
4 FUNKSIONI I KUFIZUAR. VLERAT EKSTREME TË FUNKSIONIT
Kujtohu!
Në fig. 1 është paraqitur grafiku i funksioni 2 1y x me domen ,D kurse në fig. 2grafiku i funksionitsiny x me domen .D
2 1 20
1
2
3
x
y
fig.1
1
1
Vërejte se bashkësia e vlerave të funksionit2 1y x është 1, .fV
Funksioni ka vlerë më të vogël,d.m.th. është ikufizuar prej poshtë.
Funksioni nuk është i kufizuar prej sipër.Nëse 0,2 ,x atëherë 2 1 1, 3 .y x
Vërejte se bashkësia e vlerave të funksionitsiny x e 1, 1 ,fV është 1 sin 1.x
Funksioni ka vlerë më të madhe 1, kurse vlera më evogël është -1.
A Definicioni. Funksioni f, me domen D është i :
a) i kufizuar prej poshtë nëse ekziston numër real m, ashtu që m f x për çdo ;x D
b) i kufizuar prej sipër nëse ekziston numër real M, ashtu që M f x për çdo ;x D
c) i kufizuar nëse ekziston numër real k, ashtu që f x k për çdo .x D
Prej përkufizimi të funksionit të kufizuar vijon se grafiku i një funksioni të kufizuar f x gjendet ndërmjetdrejtëzave paralele y k dhe ,y k d.m.th. .k f x k
2
2
32
2x
y
1
1fig. 2
0
Me fjalë tjera, f x është: i kufizuar prej poshtë, i kufizuar prej sipër, i kufizuar, nëse atë veti e ka bashkësiae vlerave të saj Vf.
Numri M quhet kufiri i sipërm, kurse m kufiri i poshtëm i funksionit f.Për çdo funksion që nuk e plotëson kushtin c) themi se është i pakufizuar në D.
69
Nëse funksioni është i kufizuar prej sipër, atëherë ai ka pakufi shumë kufi të sipërm. Për shembull,funksioni 2 2f x x është i kufizuar prej sipër, d.m.th. 2.f x Kufiri i sipërm i funksionit 2 2f x x mund të jetë çdo numër real 2.a
Minimumi dhe maksimumi absolut me emrin e përbashkët quhen ekstreme absolute të funksionit f .
1 Shqyrto funksionin 2
2 ,1
xf x Dx
a është i kufizuar.
Zgjidhje
2 2 2
2 2 2 2 2
1 1 1 1 11 .1 1 1 1 1
x x xf xx x x x x
Vërejte se për çdo , 0.x f x Gjithashtu, 2
11 1.1
f xx
Prej këtu, vijon se 0 1,f x
pra mundemi të përfundojmë se ekziston numër real k = 2 ashtu që 2,f x d.m.th. funksioni f është ikufizuar.
Mbaj mend!
Për funksionin f themi se ka maksimum absolut në pikën xo në domeni i tij D, nëse
0( ) ( ), .f x f x x D Për funksionin f themi se ka minimum absolut në pikën õî nga domeni i tij D, nëse
0( ) ( ), .f x f x x D
Vërejte se maksimumi absolut është vlera më e madhe që e ka funksioni f, d.m.th. numri më i madh ibashkësisë së vlerave të funksionit Vf, kurse minimumi absolut është vlera më e vogël që e ka funksioni fd.m.th. numri më i vogël i bashkësisë së vlerave të funksionit Vf.
Çdo funksion nuk ka ekstrem absolut. Ekzistojnë funksione të cilët nuk kanë maksimum absolut ose mini-mum absolut, ose asnjërën prej të tyre.
fig.31 20
1
2
3
4
x
y
3
fig. 41 20
1
2
3
4
x
y
3
fig. 51 20
1
2
3
4
x
y
3
Për shembull, funksioni ( ) 2 1, [0,3]f x x x ka maksimumi absolut f(3) = 4 në pikën x = 3, dheminimumi absolut f(0) = 1 në pikën x = 0 (crt. 3). Funksioni ( ) 2 1, [0,3)g x x x (crt.4) ka minimumiabsolut f(0) = 1, por nuk ka maksimumi absolut, pasi 4 .gV Funksioni ( ) 2 1, (0,3)h x x x (crt.5) nukka as maksimumi absolut, as minimumi absolut.
për çdo
për çdo
70
fig. 6
x
y
0f
x0x 0x x0
fig. 7
Përkufizimi. Funksioni f x me domen D ka minimum lokal në pikën 0 ,x D nëse ekziston numër realpozitiv , ashtu që 0 0,x x D dhe 0f x ) është vlera më e vogël e funksionit f x nëbashkësinë 0 0, ,x x d.m.th.
0f x f x për çdo 0 0, .x x x
Numri 0f x quhet minimum lokal i funksion f , kurse x0 quhet pika e minimumit lokal (fig. 7). Nëse
Mbaj mend
0f x f x për çdo , ,x c c atëherë 0f x quhet minimum lokal rigoroz.
Maksimumi lokal dhe minimumi lokal me emër të përbashkët quhen vlera ekstreme lokale ose vetëmekstreme.Me ekstrem do të nënkuptojmë ekstrem lokal rigoroz, nëse nuk është theksuar ndryshe.
2 Shqyrto funksionin a është i kufizuar dhe a ka ekstreme absolute:a) 2 4 3, [ 1, );y x x x b) 22 3, [ 1,5];y x x c) 22 3, ( 1,5].y x x
B Përkufizimi. Funksioni f x me domen D ka maksimum lokal në pikën 0 ,x D nëse ekzistonnumër real pozitiv , ashtu që 0 0,x x D dhe 0f x është vlera më e madhe e funksionit f x në bashkësinë 0 0, ,x x d.m.th.
0f x f x për çdo 0 0, .x x x
Numri 0f x quhet maksimum lokal i funksion f , kurse x0 quhet pika e maksimumit lokal (fig. 6).Nëse
0f x f x për çdo 0 0, ,x x x atëherë 0f x quhet maksimum lokal rigoroz.
Të theksojmë se nëse një funksion ka maksimum dhe minimum absolut, atëherë ai është i kufizuar.
Por, nëse një funksion është i kufizuar, nuk do të thotë që ka edhe ekstreme absolute.
Për shembull, funksioni ( ) 2 1, [0,3)g x x x është funksion i kufizuar, pasi 4,g x por, siç vërejtëmmë parë, ky funksion ka vetëm minimum absolut, por jo dhe maksimum absolut.
y
0f
x
0x 0x
xx0
71
3 Cakto ekstremet lokale të funksionit 21 .y x
Zgjidhje
22
2
1 , per 1,11
1 , per , 1 1, .
x xy x
x x
∪
Funksioni ka maksimum lokal 0 1f për 0,x kurse minimumlokal për 1 1x dhe 2 1,x d.m.th. 1 1 0f f (fig. 8).
Ekstremet absolute të një funksioni (nëse ekzistojnë) duhet të kërkohennë pikat ku funksioni ka ekstreme lokale ose në pikat e skajshme tëintervalit.
Detyra
1
Shqyrto cili prej funksioneve të dhënë është i kufizuar; prej poshtë, prej sipër dhe i kufizuar.a) 22 3;y x b) 23 ;y x c) 3 2.y x
a) 2 5 6;y x x b) 22 3 2.y x x
a) 1;y x x b) 1 1 .y x
a) 3 1;xy b) 3 1.xy
a) sin cos ;y x x b) 3cos2 .y x
Te detyrat 6 -8, cakto ekstremet lokale dhe absolute, nëse ekzistojnë:
a) 2 2 ;y x x b) 2 3 2;y x x c) | | .y x
a) sin , 0,2 ;y x x b) cos 1, 0,2 .y x x
a) 2
1 ;1
yx
b) 3 2 .xy
x
2
3
4
5
6
7
8
Është dhënë funksioni 2
2 .1
xf xx
a) Cakto Df e funksionit. b) Cakto Vf e funksionit.c) Shqyrto kufizueshmërinë e funksionit. ç) Cakto ekstremet e funksionit .d) Cakto intervalet e monotonisë. e) Shqyrto funksioni a është periodik.f) Shqyrto funksioni a është çift, tek.
9
x1
1
y
fig.8
1
fig.92 1 1 20
1
2
3
4
x
y
Për shembull,për funksionin 2( ) , [ 1,2],f x x x minimumabsolut në pikën x = 0, që njëkohësisht është edhe pikë e minimumitlokal, kurse maksimumi apsolut është në pikën x = 2, që është pikëe skajshme e intervalit [ 1,2].
72
2 Le të jetë 2 3, ff x x D dhe 2 1, \ 2 .
2 gxg x Dx
Caktoji:
;f g x ; ; ff g x f g x xg
dhe domenet e tyre.
Zgjidhje
2 21 3 7 52 3 , \ 2 ;
2 2x x xf g x f x g x x Dx x
2 21 7 72 3 , \ 2 ;
2 2x x xf g x f x g x x Dx x
Le të jenë f dhe g dy funksione me domen fD dhe ,gD përkatësisht. Atëherë, shuma ,f g ndryshimi
,f g prodhimi f g dhe herësi fg
janë funksione të përkufizuara në këtë mënyrë:
a) : ;f g x f x g x b) : ;f g x f x g x c) : ;f g x f x g x ç)
: .f xf x
g g x
Funksionet a), b) dhe c) janë të përcaktuara për të gjitha vlerat e x për të cilët janë të përcaktuar f dhe g,
d.m.th. për ,f gx D D D ∩ kurse funksioni fg
është përcaktuar për të gjitha vlerat e õ për të cilët janë
përcaktuar funksionet f dhe g, ku 0,g x d.m.th. domeni është \ : 0 .f g gD D D x D g x ∩
5 OPERACIONET ME FUNKSIONE.FUNKSIONI I PËRBËRË. FUNKSIONI INVERZ
Le të jenë dhënë polinomet 21 1P x x x dhe 2 2.P x x Cakto shumën, ndryshimin,
prodhimin dhe herësin e polinomeve të dhënë.
Zgjidhje
2 21 2 1 2 3;P x P x x x x x 2 2
1 2 1 2 2 1;P x P x x x x x x
2 3 21 2 1 2 2;P x P x x x x x x x 2
1 2: 1 : 2 3P x P x x x x x dhe mbetja 7.
1A
Vërejte: shuma, ndryshimi dhe prodhimi i dy polinomeve është përsëri polinom, kurse herësi i dy polinomeve nukështë gjithmonë polinom. Herësin e dy polinomeve mund ta shqyrtojmë edhe si thyesë, përkatësisht
1
1 2 22
: , 0,P x
P x P x P xP x
d.m.th. si funksion racional thyesor.
73
2 3 21 2 3 2 32 3 , \ 2 ;
2 2x x x xf g x f x g x x Dx x
2
2 2 2
2 3 22 3 2 7 6 , \ 2 1,1 \ 2, 1, 1 ,1 1 12
f x x xf x x xx Dxg g x x xx
∪
pasi për 1x dhe 1, 0.x g x
3 Le të jetë 2, 2,ff x x D dhe 2 9, .gg x x D Caktoji: , ,f g x f g x
, ff g x xg
dhe domenet e tyre.
Operacionet të përkufizuara më lart ndërmjet dy funksioneve mund të zgjerohet edhe për më shumë se dyfunksione sipas të njëjtave rregulla.
Le të jetë 2, 2,ff x x D i 1 , ,1 .gg x x D Atëherë 2 1 .f x g x x x
Domeni është ,f g f gD D D ∩ d.m.th. f gD është bashkësi e zbrazët. Në këtë rast
:f g x f x g x nuk paraqet funksion, pasi nuk e plotëson përkufizimin e funksionit. Për “ funksionet“ e tilla të shkruara në formën analitike themi se janë të zbrazëta.
Vërej se për funksionet f, g, edhe “ funksionet “ ,f g x f g x dhe f xg
janë të zbrazëta.
BLe të jetë f f pasqyrim i A në B, kurse g pasqyrim i B në C, d.m.th. : , : .f A B g B C Me pasqyrimin f çdo elementi x A i është shoqëruar elementi .f x B
Me pasqyrimin f x elementit f(x) të bashkësisë B i është shoqëruar elementi i vetëm i bashkësisë
C, , të cilin shënojmë me e .g f x
Në këtë mënyrë është përcaktuar një pasqyrim i A në C. Kypasqyrim quhet përbërje ose kompozicion i funksioneve f dheg, të cilin e shënojmë me .g f
1
2
3
abc
pqr
A B C
df gPrandaj:
A B C ose ( ) ( ) ,x f x g f x d.m.th. : .g f A Cgf
Vërejte se pasqyrimi i përbërë g f është përcaktuar vetëm nëse bashkësia e vlerave f i takon domenit të g,d.m.th. t.e. nëse .f gV D
Duke pasur parasysh se funksionet janë lloje të veçanta të pasqyrimeve ,D përbërja g f i dyfunksioneve f dhe g është funksion për të cilin mund të shprehet ky përkufizim:
në
74
Përgjigje. f gD dhe .g fD
a) 2 2( ) ( ) 3 ( ) 2 3 1 2 3 1;g f x g f x f x x x
b) 2 2 2( ) ( ) ( ) 1 3 2 1 9 12 5.f g x f g x g x x x x
Vërejte, për përbërjen e funksioneve f dhe g nuk vlen vetia komutative, d.m.th. .f g g f
5 Le të jetë 2, 2,ff x x D dhe 211 , .gg x x D Caktoji funksionet e përbëra f gdhe g f dhe domenet e tyre.Zgjidhje
2 2( ) ( ) ( ) 2 11 2 9 , 3,3 ;f gf g x f g x g x x x D
22( ) ( ) 11 ( ) 11 2 13 , 2, .g fg f x g f x f x x x D
6 Caktoji funksionet e përbëra h g f dhe f g nëse 2 1, \ 3f x x x dhe 1 , \ 5 .
5g x x
x
Zgjidhje
1 1( ) ( ) , \ 3 ;( ) 5 2 3 g fh x g f x g f x D
f x x
1 7( ) ( ) 2 1 , \ 5 .5 5 f g
xx f g x f g x Dx x
7 Le të jenë funksionet 31, 2 dhef x x g x x h x x të përcaktuara për çdo .x Vërteto sevlen vetia asociative (e shoqërimit)
.f g h f g h
4 Janë dhënë funksionet 2 1f x x dhe 3 2.g x x Caktoji funksionet: a) ;g f b) .f g
Përkufizimi. Nëse f dhe g janë funksione të dhëna, atëherë përbërjen (ose kompozicionin) e f dhe g tëshënuar me g f (i quajtur funksion i përbërë i f dhe g) është funksioni,
: ( )g f x g f x
i përcaktuar për ato numra x, për të cilin është përcaktuar funksioni i dhënë f dhe për të cilat numri ( )f xi takon domenit të funksionit g. Domethënë, g f është funksion për të cilin vlen:
1. ( ) ,g f f gx D x D f x D d.m.th. ( )g f f gD x D f x D dhe2. ( ) ( )g f x g f x për çdo .g fx D
Funksioni g f paraqet rregull,ku së pari zbatohet f, kurse pastaj g. Ndërsa, te funksioni f g sëpari zbatohet g kurse pastaj f. Ke kujdes, g f nuk është i njëjtë sikurse edhe prodhimi g f .
( ) [2, ) 2 [2, )g f f gD x x D f x D x x x
2 2( ) ( ) (11 ) 2 ( ) ( 9) [ 3, 3]f g g fD x x D g x D x x x x x x
75
Kujtohu!
Në fig. 1 janë paraqitur grafikët e funksioneve 2xy dhe 2log .y x
Për funksionin eksponencial2xy është:
, .f fD V
Për funksionin logaritmik
2logy x është:
, .f fD V
Grafiku i funksionit 2xy është lakore e cila kalonnëpër pikën M(a,b).
Grafiku i funksionit
2logy x është lakore ecila kalon nëpër pikënM1(b,a).
Grafikët e të dy funksioneve kanë formë të njëjtë dhe janë simetrike me drejtëzën ,y x d.m.th.simetralja e kuadrantit të parë dhe të tretë.
Nëse pika ,M a b i takon grafikut të funksionit 2 ,xy atëherë pika 1 ,M b a i takon grafikut tëfunksionit 2log .y x
Funksionet 22 dhe logxy y x janë inverse njëra me tjetrën.
Vëre: y
yx
2xy
2logy x
M
M 1
fig.1
xb
a
a
b
V Përveç operacioneve aritmetike dhe kompozicioni i funksioneve, interes të veçantë paraqet edheoperacioni inverz.
Nëse është dhënë funksioni f me domen Df dhe bashkësia e vlerave Vf, parashtrohet pyetja, aekziston funksion g me domen g fD V dhe bashkësia e vlerave ,g fV D ashtu që ka veprim tëanasjelltë, d.m.th.
,g y x f x y për çdo fx D dhe .fy V
Funksioni g që i plotëson kërkesat paraprake quhet funksion inverz (inverzioni) i funksionit f.
Tregohet, nëse funksioni f ka funksion inverz, atëherë ai është i vetëm. Funksionin inverz të f do tashënojmë me 1,f d.m.th. nëse g është inverzioni i f, atëherë funksioni inverz 1 .g x f x
Për funksionin e dhënë f a ekziston inverzioni g, përgjigjen e jep kjo teoremë:
Teorema. Për funksionin e dhënë f ekziston inverzioni g nëse dhe vetëm nëse f e plotëson kushtin 1 2 1 2 ,f x f x x x për çdo 1 2, .fx x D
Në këtë rast inverzioni g është njëvlerësisht i përcaktuar.Këtë pohim nuk do ta vërtetojmë, kurse në praktikë nuk është e domosdoshme të provohet a është i
plotësuar kushti i kërkuar, por mjafton të provohet barazimi y f x a ka zgjidhje të vetme sipas x, ku .fy VNëse x është zgjidhje e atij barazimi, atëherë 1f y g y x është funksion inverz i f.
76
Teorema. Çdo funksion f i cili është monoton rigoroz në domenin fD ka funksion inverz 1f i cili poashtu është monotono rigoroz në bashkësinë e vlerave .fVMe ç’rast, 1dhef f kanë natyrë të njëjtë të monotonisë, d.m.th. të dy ose janë rritës ose zvogëlues.
Funksioni që është monoton jorritës ose jozvogëlues nuk ka funksionin e vet inverz.Nëse ,a b është segment te i cili f ka vlerë konstante, atëherë për çdo
Anasjelltas, vlerës y c nuk i përgjigjet një, por bashkësia e vlerave x, ajo është bashkësia e të gjithavlerave për të cilat y= c, d.m.th. ,y c d.m.th. , .x a b Prandaj, nuk është e mundshme tëpërkufizohet funksioni inverz. Më parë theksuam se grafikët e funksioneve 22 dhe logxy y x janësimetrike në lidhje me drejtëzën y x (simetralja e kuadrantit të parë dhe të tretë).
, , .x a b f x f a f b c
Në fig. 2 janë paraqitur grafikët e funksioneve reciprokisht inverze 2y x dhe 1 ,2
y x kurse në fig. 3grafikët e funksioneve 3y x dhe 3 .y x
8 Cakto funksionin inverz të f, nëse f fD V dhe nëse:
a) 3 1;y x b) 1 2;2
y x c) 3.y x
Zgjidhje
a) Prej 3 1y x vijon 3 1,x y d.m.th. 1 1.3 3
x y Domethënë, funksioni inverz 1 1 1( ) .3 3
f y g y y
Prandaj, 1 1 13 3
f x x ose 1 13 3
y x është funksion inverz i funksionit 3 1.y x
b) 1 2 4;y f x x c) 1 3 .y f x x
Për funksionin , 0, 1xy a a a me domen D dhe fV inverz është funksioni 1 logay f x x me domen 1f
D i 1 .
fV
Vërejte se të gjitha funksionet në detyrën 8 janë monotono rigoroze, kurse funksionet e tyre inverze janë,gjithashtu monotono rigoroze, ndërsa kjo vlen edhe në përgjithësi, e cila parashtrohet me këtë teoremë.
Zakonisht,me x shënohet ndryshorja e pavarur , kurse me - ndryshorja e varur.Prandaj, funksioni inverz gshkruhet në formën
.y g x
y
x
yx
2y
x
12yx
1 2
1
2
fig.2
21
1
2
12
1
x
y
fig.3
3y x3y x
y x
77
Funksionet y f x me domen fD dhe 1x f y me domen 1 ffD V janë reciprokisht inverze,
d.m.th.
1 1( ) dhe ( ) .f f x x f f y y
9 Shqyrto funksionet e dhëna a kanë funksione inverze:
a) 2( ) , ;ff x x D b) 1
21( ) , ( ,0];ff x x D c)
2
22 ( ) , [0, ).ff x x D
Zgjidhjea) Funksioni i dhënë nuk ka funksion inverz, pasi 2 4 2 ,f f d.m.th. nuk është i plotësuar kushti 1 2 1 2 .f x f x x x
b) dhe c) Funksionet f1 dhe f2 e plotëson kushtin 1 2 1 2 ,f x f x x x pra ekzistojnë funksionet etyre inverze. Ato janë funksionet 1
1 ( ) , 0f x x x dhe 12 ( ) , 0.f x x x
Por, funksionet e fituara nuk janë inverze në funksionin 2y x me domen .fD
Për shembull, 2x dhe 2log x janë funksione reciprokisht inverze. Për ato vlen: 2log2 x x dhe 2log 2 .x x
Nëse është dhënë funksioni f x me domen fD dhe kodomen ,fV atëherë funksioni inverz 1( )f x ështëme domen 1 ffD V dhe kodomen 1 .ff
V D Funksioni inverz 1f i funksionit f mundëson shumë më lehtëtë caktohet bashkësia fV e funksionit f.
10 Shqyrto kufizueshmërinë e funksionit: a) 2 4 5;y x x b) 2 .y x x
ZgjidhjeKufizueshmëria e funksionit f është e përcaktuar prej vlerave të bashkësisë s Vf , d.m.th. prej fushës sëpërkufizim të funksionit inverz.
a) 2 24 5; 4 5 0.y x x x x y
Funksioni 1x f y është i përcaktuar për numrin real y për të cilin 2 4 0.D b ac Prandaj,
16 20 4 0,D y d.m.th. 1.y Domethënë, 1, ,fV pra funksioni është i kufizuar prej poshtë.
b) Prej 2y x x vijon 2 0, 1 4 0,x x y D y d.m.th. 1 ,4
y pra 1, .4fV
Domethënë,
funksioni është i kufizuar prej sipër.
11 Cakto bashkësinë e vlerave të funksionit:
a) 1 , \ 2 ;2
xy Dx
b) 2 5 4, \ .3 4 3
xy Dx
Zgjidhjea) E caktojmë funksionin inverz të funksionit të dhënë:
1 2 12 1, .1
yy x x x f yy
Bashkësia e vlerave të funksionit të dhënë është bashkësia e definimit të funksionit inverz ,d.m.th.
1 \ 1 .f fV D
78
6 FUNKSIONET ELEMENTARE
A Në parashtrimet e deri tanishme të mësimit të matematikës hase në funksione të ndyshme.Funksionet në vijim i quajmë funksione themelore elementare:1. c funksioni konstant ( ñështë konstante);2. Funksioni i fuqisë , ;rx r3. Funksioni eksponencial , \ 1 ;xa a4. Funksioni logaritmik log , 0;a x a
5. Funksionet trigonometrike: sin , cos , tg , ctg .x x x x
Me ndihmën e këtyre funksioneve do ta përkufizojmë klasën e funksioneve elementare.
Caktoji funksionet e përbëra fog dhe f g i g f nëse:
a) 5 4,f x x x dhe 2 3 , ;g x x x
b) 1 , \ 22
f x xx
dhe 2 3, .g x x x
1 ,f x x x dhe 3 , \ 2 .2 4xg x xx
, 0, , cos , .f x x x g x x x
4
7
5
6
Nëse 1 3 , \ 3 ,3xf x x
x
vërteto se ( ) .f f x x
Cakto funksionin inverz të funksionit:
a) 2 1 ;3 4
y x b) 2 3;
2xy
x
c) 3 1;y x d) 210 3.xy
Vërteto se funksioni:
a) 1 ;yx
b) 11
xyx
është inverz me vetveten.
9
8
10
Detyra
1 Caktoji f g dhe f g dhe domenet e tyre:
a) 22 5, 3 1;f x x g x x b) 1 , 1;1
f x g x xx
c) 21 , 3 1.1xf x g x x
x
Le të jetë 1dhe .1
x xf x g xxx
Caktoji: a) ;f g b) f g dhe domenet e tyre.
Nëse 2 1,f x x cakto: a) ;f f b) .f f f
2
3
Nëse 2 1,2
xf xx
vërteto se .f f x x
79
Përkufizimi. aritmetike (mbledhje, zbritje, shumëzim dhe pjesëtim ) dhe operacionin kompozim quhet funksionelementar.
Për shembull, funksioni 21 sinf x x x është shumë e funksioneve elementare 1x me domen 1 1,D dhe 2sin x me domen 2 , ,D pra funksioni f x me domen 1 2 1,D D D ∩
është funksion elementar.
Llojet e funksioneve elementare janë:
1. FUNKSIONET POLINOMIAL (OSE E PLOTA RACIONALE)
Shembull: 4 2 2 33 12 3 5; 34 2
P x x x x R x x x itn.
2. FUNKSIONET RACIONALE THYESORE
Shembull: 2
2 2
3 4 1 2,1 4 5
x x xg x xx x x
ose në përgjithësi
,
P xf x
Q x ku P x dhe
Q x janë polinome ,me ç’rast është polinom jo zero.
Vërejte se funksionet racionale janë fituar prej funksioneve elementare të llojit 1. dhe 2. për ,r mezbatimin e operacioneve aritmetike dhe operacionit kompozim.
Mbaj mend!
Çdo funksion racional (polinomial ose thyesor) është funksion algjebrik. E anasjelltas nuk vlen,d.m.th. çdo funksion algjebrik nuk është racional.
Për shembull, 2 31 , 1y x y x janë algjebrike, por nuk janë racionale.
3. Funksionet algjebrike që nuk janë racionale quhen funksione iracionale.
Shembull: 1
2 23 22 3 5; 1 ; | | ; , \rx x x x x x x r etj.
4. Funksionet elementare që nuk janë algjebrike quhen funksione transcendente.Të atilla janë : funksioni eksponencial, funksioni logaritmik, funksioni trigonometrik etj. Ndarja e
Funksion f x quhet algjebrik nëse është fituar prej funksioneve elementare të llojit 1. dhe 2. për rme zbatimin e operacioneve aritmetike, operacionit kompozim dhe operacionit nxjerrja e rrënjës, d.m.th.për ; , .mr m n
n Nëse n e është numër çift,atëherë punohet me vlera aritmetike të rrënjës.
funksioneve elementare është paraqitur me këtë tabelë.
Çdo funksion që mund të fitohet prej funksioneve themelore elementare duke zbatuar operacionet
80
II. Treguesi r është numër natyror tek, d.m.th.
2 1, .nf x x n Treguesi r është numër natyror tek, d.m.th.10. Domeni është .fD 20. .fV 30.Funksioni është
tek,d.m.th. 2 1 2 1 .n nf x x x f x 40. Funksioni është rritës, fig. 2.
III. Treguesi r është numëri plotë negativ:
a) 22
1 , .nnf x x n
x b) 2 1
2 1
1 , .nnf x x n
x
Disa veti të funksionit janë: Disa veti të funksionit janë:10. \ 0 ,0 0, .fD ∪ 10. \ 0 ,0 0, .fD ∪
20. 0, .fV 20. \ 0 ,0 0, .fV ∪30. Funksioni është çift, d.m.th.
2 2
1 1 .n nf x f xxx
30. Funksioni është tek, d.m.th.
2 1 2 1
1 1 .n nf x f xxx
1 Ta shqyrtojmë funksionin ,rf x x r i cili quhet funksioni i fuqisë.
Nëse treguesi r është numër racional, atëherë funksioni i fuqisë është algjebrik, por kur r është numëriracional, atëherë funksioni i fuqisë është transcendente.
Funksionin e fuqisë do ta shqyrtojmë në këto raste: I. Treguesi r është numër natyror çift, d.m.th. funksioni është i llojit 2 , .nf x x n
Disa veti të funksionit janë:10. Domeni është .fD 20. 0 .fV ∪30. Funksioni është çift, 2 2 .n nf x x x f x 40. Zvogëlohet në intervalin ,0 , kurse rritet në intervalin 0, .
y
x
2y x
fig.1
4y x
11
y
x
5y x
fig.2
11
1
1
Funksionet transcendenteFunksionet algjebrike
Funksionet elementare
Funksionet e plotaracionale (polinomiale)
Funksionet racionalethyesore
Funksionet iracionale
3y x
50. Grafiku kalon nëpër pikat ( 1,1), (0,0) dhe (1,1) (fig. 1)
50. Funksioni kalon nëpër pikat (-1,-1), (0,0) dhe (1,1) (fig. 2)
81
40. Rriten në intervalin ,0 , kursezvogëlohet në intervalin 0, .
40. Funksioni zvogëlohet për çdo .fx D
IV. Treguesi r është numër racional pozitiv,d.m.th. ,mrn
ku m dhe n janë numra reciprokisht të thjeshtë,
Nëse n është numër tek, atëherë f fD V dhe funksioni rritet.
Në fig. 5 janë paraqitur grafikët e funksioneve:11
332 ,y x x y x x i 3
32 .y x x
Nëse n është numër çift,atëherë 0, ,f fD V f x rritet.
Detyra
Vizato grafikun e funksionit.
a) 6 5, ;y x y x b) 15 .y x
a) 5 ;xy b) 0,2 ;xy c) 5log ;y x ç) 0,2log .y x
a) 2sin ;y x b) cos .2xy
1
2
3
fig.5
3x
x
3 x
x
y
1
1
4
2
1
1
7 SKICIMI I GRAFIKËVE TË DISA FUNKSIONEVE ME
NDIHMËN E GRAFIKËVE TË FUNKSIONEVE ELEMENTARE
Kujtohu!
Në të njëjtën sistem koordinativ janë paraqitur grafikët efunksioneve 1f x x dhe 1.g x x x
y 1
fx
x
1
gx
x
Vëre, .g x f x
Grafikët e funksioneve f x dhe g x janë simetrike në lidhjeme boshtin x.
y
x
4
1x
fig.3
1
11
2
1x
y
x
3
1x
fig.4
1
11
1
1x
50. Grafiku kalon nëpër pikat ( 1,1)dhe(1,1) (fig. 3).
50. Grafiku i funksionit kalon nëpër pikat( 1, 1)dhe(1,1) (fig.4)
pra .m
n mnf x x x
��� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
fi g.5
82
1A Grafiku i një funksioni f x është paraqitur nëfig. 1. Skico grafikun e funksionit:
a) ;f x b) ;f x c) 1 .
f x
a) Vëre se grafiku i funksionit f x është simetrik me f(x) në lidhje me boshtin x (fig. 2).
y
x
1, 1
2,0
2,5;0,5
3,0 0,0
y f x
y f x
1
1
2,5; 0,5
fig. 2
y
x 0,0
1, 1
2,0
2,5;0,5
3,0
1
2
y f x
fig.4
b) Grafiku i funksionit f x do ta vizatojmë ashtu që pjesën e grafikut f x ku 0f x do ta pasqyrojmë
simetrikisht në lidhje me boshtin x, kurse pjesën e grafikut f x ku 0f x është grafik edhe i funksionit
f x (fig. 3).
c) Grafiku i funksionit 1 ,
f x i cili quhet
funksioni reciprok i funksionit ,f x është paraqiturnë fig. 4.Vërejte se funksioni
1 ,
f x nuk është definuar për
0, 2x x dhe 3,x pra grafiku i funksionit i afrohet
drejtëzave 0, 2x x dhe 3,x por asnjëherë ato nuki takon.Nëse 1,f x atëherë edhe
1 1.
f x
Gjatë skicimit të grafikut të funksionit 1
f x duhet pasur parasysh këtë:
1. nëse 1,f x atëherë 10 1;
f x 2. nëse 0 1,f x atëherë
11 ;f x
3. nëse 1 0,f x atëherë 1 1;
f x 4. nëse 1,f x atëherë
11 0.
f x
Zgjidhje
y
x 0,0
y f x
10,5
| |y f x
fig. 3
0,5
y
x 0,0
1, 1
2,0
2,5;0,5
3,0
fig.1
2 1, 1N i takojnë grafikut të f x ,
Prandaj,nëse ndonjëra nga pikat 1 1,1 ,M
i takojnë edhe grafikut të funksionit 1 .
f x
2 1, 1 ,M 1 1,1 ,N
83
a)x
f x
2 0 2
2 1 0
2f x 0 1 2 0x
y
fig.5
1 2 3
1
2
1
2
1
2
2
yf x
1 1
2f xx
Vërej se grafiku i funksionit 2f x fitohet metejbartjen e grafikut të funksionit f x për 2 njësipërpjetë (fig. 5).
b) Grafiku i funksionit f x është vizatuar ashtu që pjesa e grafikut f x ku 0f x
c) Grafiku i funksionit 1
f x është paraqitur në fig. 7.
Vëre se domeni i funksionit 1
f x është ,2 2, . ∪ Funksioni inverz i f x është
11 2 1
. \ 0 ,y
x y Dy
pra bashkësia e vlerave \ 0 .yV
Pikat 0, 1 dhe 4,1 i takojnë grafikut të funksionit 1 .
f x Pasi 6 2,f
1 1 ,6 2f
kurse
1 1 ,
2 2f
1 1 2.3 0,5f
2 Është dhënë funksioni 1 1.2
f x x Skicoje grafikun e funksionit:
a) 2;f x b) ;f x c) 1 .
f x
Zgjidhje
3 Vizato grafikun e funksionit: a) 2 3 ;x b) 2log .x
0 x
y
fig.6
1 2 3
1
2
1
2
1
2
y
f x
1 1
2f xx
x
2
2- 2
- 1
1 1
2f xx
1yf x
- 2
y
fig.7
12
12
3 6
është pasqyruar simetrikisht në lidhje me boshtin x, kurse pjesa e grafikut f x ku 0f x ështëpjesë edhe e grafikut të funksionit f x (fig. 6).
84
4 Është dhënë funksioni 21 2 .2
f x x x Skicoje grafikun e funksionit:
a) 2;f x b) ;f x c) 1 .
f xZgjidhje
Grafikun e funksionit f x do ta vizatojmë ashtu që me sistemin e koordinatave ndihmës 1 1 1x O y do taparaqesim grafikun e funksionit ( ),f x ku
2
14, , , .
2 4b b acOa a
12, 2, gjegjësisht 2, 2 .O
Grafiku i fituar është grafiku i funksionit
21 22
f x x x në sistemin e koordinatave xOy.
a) Grafiku i funksionit 2f x është fituar ashtu që koordinata e çdo pike e funksionit f x është zvogëluarpër 2, d.m.th. grafiku i funksionit f x është zhvendosur poshtë përgjatë boshtit y për 2 njësi (fig. 8).
x
yy1
x1
4
21
fig.8
21 22
y x x
2y f x
Disa veti të funksionit f x , nëse
20. 1, 0, .2yV
40. max12
y për 2.x Nuk ka maksimum absolut
as minimum absolut (fig. 10).
30. Rritet në intervalet ,0 dhe 0,2 , zvogëlohet
në 2, 4 dhe 4, .
01
x1
y1
24
x
y
2
21 22
y x xy f x
fig.9
b)
2
40
x1
y1
v)
fig.10
x
y
1
1
20,5
01
x 1 0 1 2 3
0212
x 32
2 32
52
21 22
f x x x janë:
10. .yD 20. 0, .yV30. Funksioni nuk është as çift as tek.40. max 2y për min2, 0x y për 0x dhe
4.x50. Nuk ka maksimum absolut, por ka minimum absolut.60. Rritet në intervalet 0 , 2 dhe 4, , kurse
zvogëlohet në , 0 dhe 2,4 (fig. 9).
Disa veti të funksionit 1f x
janë:
10. ,0 0,4 .yD
� �
��
��
��
�
�
�
������
��
fi g.9
b) c)
85
5 Është dhënë funksioni sin , 0, 2 .f x x x Vizato grafikun e funksionit:
a) ;f x b) 1 .
f xZgjidhje
a) Për 0, dhe 2 , 0.x x x f x Për , 1,2 2
x f ndërsa për 3 3, 1.2 2
x f
b) Vëre: 10. Funksioni nuk është i përcaktuar nëpikat 0, 2 .x x xi
20. 0, ,2 .yD 30. , 1 1, .yV
40. max 1y za 3 ,2
x min 1y za .2
x Nuk ka minimum absolut as maksimum absolut.
50. Rritet në intervalin ,2
dhe 3, ,2 kurse zvogëlohet në 0,
2 dhe
3 , 22 (fig.12)
Detyra
1
Vizato grafikun e funksionit:
a) 3;y x b) 2 ;xy c) 1 .yx
a) 12 3;xy b) 12
log ;y x c) 12
log .y x
a) | 2 | 3;y x b) 2|1 |;y x c) | cos | .y x
a) 2 6 | |;y x x b) | | 1 .y x a) 2 3 ;y x x b) 2
1 .3
yx x
a) | 3 2 |;y x b) 1 ;
3 2y
x c) 1 .
| cos |y
x
a) | 2 | ;xy
x b) | 2 | 2 3.y x x a)
1 ;2
yx
b) 2
2 .| 4 |
yx
2
3
4 5
6
7 8
Pjesa e grafikut të f x ku 0f x do tapasqyrojmë simetrikisht në lidhje me boshtin x,kurse pjesën tjetër në vetvete (fig. 11).
02
32 2
fig.11
siny x siny xa)
0 32 2
b)
2
fig. 12
1sin
yx
� � ��
�������
��
�
�
��
86
Prej tabelës mund të vërehen se vlerat nf x të funksionit i afrohen 1, kurse ndryshimi | 1|nf x i afrohet
zeros, kur argumenti x tenton drejt zeros nëpërmjet vargu 1 , 1,2,3,...nn
Përkufizimi 1. Le të jetë funksioni f x i përcaktuar në ndonjë rrethinë të pikës a,ku në pikën a nukështë e thënë që funksioni të jetë i përcaktuar.Numri A quhet vlera kufitare ose kufiri i funksionit f x në pikën ,x a nëse për çdo varg ,nx dhe
,n f nx D x a i lim ,nnx a
varg përkatëse i vlerave të funksionit :f x
Zgjidhje
Nëse e marrim cilindo varg nx që konvergjon drejt numri zero 0,d.m.th. lim 0,nnx
mund të bindemi se vargu
përkatës i vlerave të funksionit 11n
n
f xx
tenton drejt numri 1, d.m.th. lim 1.nnf x
Prandaj themi se 1 është vlera kufitare e funksionit në pikën 0 .x
1 2, ,..., ,...nf x f x f x konvergjon drejt A, d.m.th. lim .nnf x A
Në këtë rast shënojmë; lim ,
x af x A
(ose f x A kur .x a ).
8 VLERA KUFITARE E FUNKSIONIT
Kujtohu!
Numri a është kufiri i vargut 1 2 3, , ,..., ,...na a a a nësepër çfarëdo numër pozitiv , ekziston numërnatyrorë n0 (n0 varet prej ), ashtu që | |na a për çdo n dhe 0 ,n n shkruajmë
lim .nna a
Për vargun na që ka kufirin a themi se ai vargkonvergjon drejt a, d.m.th. është konvergjent.
1A Është dhënë funksioni
Argumenti x le të afrohet nga 0, nëpërmjet
Formo tabelë që i përmban vlerat
2
1 , .1
y xx
Intervali 0 0,x x quhet rrethina e pikësështë qendra e rrethinës dhe x0, x0 është rrezja easaj rrethine e radius na taa okolina.
vargut të vlerave 1 11, , ,...,2 3
d.m.th.,1 , .nx nn
xn të argumentit dhe vlerat 1 , 1,2,3,...,ny f nn
Vëre, nga cili numër tenton vargu ,nf x kurse nga cili numër afrohet ndryshimi 1 .nf x
si dhe vlerat 1 1 , 1,2,3,...f nn
nx
nf x
| 1|nf x 0,5 0,009901
1 12
13
14
. . .
. . .
. . .
110
1100
11000
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
0,5 0,8 0,9 0,94 0,9999 0,999999
0,2 0,1 0,06 0,0001 0,000001
0,990099
87
2 Shqyrto funksioni 3 1f x x a ka vlerë kutitara në pikën 1.a Zgjidhje
Domeni i funksionit është ,fD pra f x është përcaktuar në (çdo) rrethinën e pikës 1, 1 .fD
Le të jetë 1x nëpërmjet vargut: 1 2 3 41 1 1 12, 1 , 1 , 1 ,..., 1 ,...,2 3 4 nx x x x x
n d.m.th. i afrohet
numrit 1 nga e djathta. Vargu i vlerave përkatës të funksionit është :nf x
1 3 2 1 5,f x 21 33 1 1 2 ,2 2
f x
3 3,f x 432 , ,4
f x 32 ,nf xn
i cili tenton nga 2 kur ,n d.m.th. kur 1.x
Tani le të jetë 1x nëpërmjet vargut: 111 ,2
x 211 ,3
x 311 ,4
x 41 11 , , 1 ,5 1nx x
n
d.m.th. afrohet numrit 1 nga e majta, atëherë
1 2 3 41 3 3 3, 1, 2 , 2 , , 2 ,2 4 5 1nf x f x f x f x f x
n
Është e qartë, 2nf x kur ,n për 1 11 dhe 1 .n nx xn n
lim lim 3 1 3 lim 1 3 1 1 2n n nn n nf x x x
(fig.1).
Prandaj:
1 1
lim lim 3 1 3 1 1 2.x x
f x x
Nëse nx është çfarëdo varg që konvergjon drejt 1, d.m.th. lim 1,nnx
atëherë:
3 Cakto vlerën kufitare të funksionit 2 4
2xf xx
në pikën 2.x
Zgjidhje
Funksioni është i definuar për 2 0,x d.m.th. 2,x pra , 2 2, .fD ∪ Edhe këtu mund tëshqyrtojmë çfarëdo varg nx në rrethinën e pikës -2, edhe pse 2 fD të funksionit .f xNëse nx është çfarëdo varg 2,n n fx x D dhe lim 2,nn
x
atëherë
2 2 24lim lim lim lim 2 2 2 4,
2 2n nn
n nn n n nn n
x xxf x xx x
t.e.
2lim 4.x
f x
Vërejte se thyesën e thjeshtuam me 2,nx kurse thjeshtimi është i mundshëm pasi që 2,nx d.m.th.2 0.nx
Prandaj,
2
2 2 2 2
2 24lim lim lim lim 2 4.2 2x x x x
x xxf x xx x
(Edhe këtu thjeshtimi është i mundshëm, pasi që x është afër -2, por 2,x d.m.th. 2 0x ).
x
y
1
2
1
fig.10
88
Numri A është vlera kufitare e funksionit f x kur ,x a nësepër çfarëdo 0 mund të gjendet rrethinë ,a a tëa, ashtu që për çfarëdo , , ,x a a x a vlera efunksionit f x është në intervalin , .A A
Kuptimin e kufirit të funksionit mund ta parashtrojmë edhe me këtë përkufizim.
Përkufizimi 2. Numri A është kufi i funksionit y f x në pikën ,a i cili nuk është e thënë t’i takojë Df,nëse për çdo 0, ekziston 0, ( varet prej ) ashtu që për çdo fx D që e plotëson kushtin0 | |x a është e saktë jobarasia
| | .f x A
Të dy definicionet për vlerën kufitare të funksionit janë ekuivalente, d.m.th. i pari është rrjedhim i të dytitdhe anasjelltas.Vërtetimin e këtij pohimi nuk do ta bëjmë.Interpretimi gjeometrik i përkufizimit 2 është paraqitur në fig.3.
x
y
fig.3a a a
A
A
A
Detyra1 Cakto vlerën kufitare të funksionit në pikën a, me ndihmën e përkufizimit 1, nëse:
a) 2 3, 1;f x x a b) 2 1, 1.f x x a
Vërteto se funksioni 1cos , \ 0 ,ff x Dx
nuk ka vlerë kufitare në pikën 0.2
Të shqyrtojmë ndryshimin | 1|nf x të dhënë me tabelën e detyrën 1. Mund të vërejmë se ndryshimi
| 1|nf x tenton drejt 0 kur x tenton drejt 0a nëpërmjet vargut 1 .n
Vëre, ndryshimi | 1|nf x
mund të zvogëlohet vazhdimisht dhe të jetë më i vogël se çdo numri pozitiv , mjafton që xn merret afër0,a d.m.th. nëse ndryshimi | |nx a bëhet mjaft i vogël.
4 Shqyrto funksioni | | , \ 0xf x xx
se a ka kufi në pikën 0 0.x Përgjigje
Pasi 0
| | 0 0,0
x xx x
x x
za
za
za
1 per 0
,1 per 0
xf x
x
kurse grafiku i tij
është dhënë nëfig.2.
fig.2
x
y
1
1
0
Ky funksion nuk ka kufi në pikën 0 0,x pasi nëse0nx nga e majta, atëherë 1,nf x por nëse 0nx nga e djathta nëpërmjet vlerave pozitive, atëherë
1.nf x Prandaj, nuk ekziston numër real A, ashtu që ndryshimi | |f x A të mund të zvogëlohetvazhdimisht për çdo x që është afër 0, d.m.th. për çdo 0 ,0 .x
89
Caktoje vlerën kufitare (3- 6):
a) 2
1
1lim ;2x
xx
b) 2
1
1lim .2x
xx
a)
2
1
1lim ;1x
xx
b) 2
2
4lim .2x
xx
a) 2
21
1lim ;x
xx x
b) 3
1
1lim .1x
xx
a) 0
1lim ;| | 1x
xx
b) 2
0lim ;
| |x
xx
3 4
5 6
9 VLERA KUFITARE E MAJTË DHE E DJATHTË. ZGJERIMI I KUPTIMIT VLERË KUFITARE
A Shqyrto funksionin | | , \ 0xf x xx
në mësimin e mëparshëm, vërejtëm se,
1 për 0,
1 për 0x
f xx
gjegjësisht nëse 0nx nga e majta nëpërmjet vargut të numrave negativ, atëherë
1,nf x ndërsa nëse 0nx nga e djathta nëpërmjet vargut të numrave pozitiv, atëherë 1.nf x
Domethënë, funksioni nuk ka kufi kur 0.x Ky shebull na tregon se ka kuptim të flasim për kufirin e majtë dhe të djathtë të funksionit f x në pikën
.x a
Në mënyrë të njëjtë përkufizohet edhe kufiri i djathtë i funksionit ,f x vetëm që në atë rast ,nx a dheshkurtimisht shkruajmë:
2lim .x a
f x A
1 Cakto kufirin e funksionit 3 2f x x në pikën 2.x
Zgjidhje
Funksioni është i definuar për x të atillë 2 0,x d.m.th. 2.x , 2 ,fD pra x mund të tentojë drejt2 vetëm kah ana e majtë; d.m.th. mund të kërkojmë vetëm kufi të majtë.
Le të tenton drejt 2 nëpërmjet vargut
kurse vargu përkatës nf x është:
1 2 3 41 1 1 1: 2 1, 2 , 2 , 2 , , 2 ,2 3 4n nx x x x x x
n
Për numrin A1 themi se është kufiri i majtë i funksionit f x në pikën ,x a nëse për çdo varg ,nxashtu që ,n f nx D x a dhe lim ,nn
x a
vargu 1 2, , , ,nf x f x f x i vlerave të funksionit f xështë konvergjent dhe ka kufirin A1.
Në këtë rast shënojmë:
1lim .x a
f x A
1 21 1 1 13 2 1 4, 3 2 2 3 , , 3 2 2 3 ,2 2 nf x f x f x
n n
90
Pasi x mund të tentojë drejt 3 vetëm prej anës së djathtë, mund të kërkojmë vetëm kufi të djathtë
33 3 0
lim lim 5 3 lim 5 3 lim 5 3 3 5.x hx x h
f x x x h
3 Cakto vlerën kufitare të funksionit 2 4 3
1x xf x
x
në pikën 1.x
ZgjidhjeFunksioni është i përcaktuar për 1 0,x d.m.th. 1,x pra ,1 1, .fD ∪
Nëse nx është varg i çfarëdoshëm, ashtu që 1,n n fx x D dhe lim 1,nnx
atëherë
2 1 34 3lim lim lim lim 3 lim 3 1 3 2.
1 1n nn n
n n nn n n n nn n
x xx xf x x xx x
Vëre se thjeshtimi i thyesës me 1nx është i mundshëm, pasi 1,nx d.m.th. 1 0.nx
2
1 1 1 1
1 34 3lim lim lim lim 3 2.1 1x x x x
x xx xf x xx x
(Thjeshtuam me 1,x pasi 1,x d.m.th. 1 0x .)Gjatë përcaktimit të kufirit të majtë dhe të djathtë të funksionit në pikën 1, 1 ,fx D kemi:
1 11 0
1 3lim lim lim 3 lim 1 3 2.
1x h x hx h
x xf x x h
x
1 11 0
1 3lim lim lim 3 lim 1 3 2,
1x h x hx h
x xf x x h
x
përkatësisht
Vëre: 1 1 1
lim lim lim .x x x
f x f x f x
Gjatë zgjidhjes të detyrës veprojmë në këtë mënyrë:
Pasi 1 0n kur ,n vijon se 3nf x kur .n
Le të jetë nx varg i çfarëdoshëm, ashtu që n fx D dhe lim 2.nnx
Atëherë
lim 3 2 lim 3 2 2 3,n nn nf x x
dhe shënojmë:
2 2
lim lim 3 2 3.x x
f x x
Zakonisht, gjatë përcaktimit të kufirit të majtë dhe të djathtë,d.m.th.kur x a ose x a marrimzëvendësimin x a h ose , 0 ,x a h h ashtu që 0h kur x a ose .x a
Duke zbatuar këtë zëvendësim te detyra paraprake kemi:
22 0lim lim 3 2 lim 3 2 2 3.
x hx hf x x h
2 Cakto vlerën kufitare të funksionit 5 3f x x në pikën 3.x Zgjidhje
Funksioni është i definuar për 3 0,x d.m.th. 3,x pra 3, .fD
91
Mbaj mend!
Nëse funksioni f x është përcaktuar në ndonjë rrethinë të pikës x a (por jo në pikën a) dhe nëpikën x a ka vlerë kufitare, atëherë ai ka vlerë kufitare të majtë dhe të djathtë dhe po ashtu
lim lim lim .x a x a x a
f x f x f x
Anasjelltas, nëse funksioni y f x në pikën x a ka vlerë kufitare të majtë dhe të djathtë dhe nëseato janë të barabartë, d.m.th. lim lim ,
x a x af x f x
atëherë funksioni f x në atë pikë ka vlerë
kufitare dhe po ashtu vlen barasia
lim lim lim .x ax a x a
f x f x f x
4 Cakto vlerë kufitare të majtë dhe të djathtë të funksionit 1 11
x xf x
x x
za
zanë pikën 1.x
B Në vazhdim do të shqyrtojmë disa përgjithësime për kufirin e një funksioni.
1. KUFIRI I PAFUNDËM
Le të jetë dhënë funksioni f x so domen .fD Nëse për çdo varg nx , ashtu që ,n f nx D x a dhelim ,nn
x a
vargu përkatës 1 2, , , ,nf x f x f x i vlerave të funksionit f x rritet pafundësisht(zvogëlohet), përkatësisht lim gjegjësisht lim ,n nn n
f x f x
atëherë themi se funksioni f xtenton drejt (gjegjësisht ), kur x tenton drejt a, dhe në këtë rast shkruajmë:
fig.1
x0
y
a a a
y f x y f x
x0
ya a a
y f x y f x
Le të jetë dhënë funksioni f x me domen fD . Nëse për çdo varg ,nx ashtu që ,n fx D nx adhe lim ,nn
x a
vargu përkatës 1 2, , ..., nf x f x f x ,... i vlerave të funksionit f x rritet pafundësisht
sipas vlerës absolute, përkatësisht, lim ,nnf x
atëherë funksioni f x tenton dejt kur x tenton drejt à,
d.m.th. funksioni f(x) ka kufi të pafundëm, në këtë rast shkruajmë:
lim gjegjësisht lim ,x a x a
f x f x
fig. 1.
lim .x a
f x
92
6 Cakto kufirin e funksionit 11
xf xx
në pikën 1.x
ZgjidhjeFunksioni është i përcaktuar për 1 0,x d.m.th. për 1,x pra ,1 1, .fD ∪ Prandaj do tacaktojmë kufirin e majtë dhe të djathtë kur 1.x
0
1lim .x x
11 0 0
1 1 1 2lim lim lim lim .1 1 1x hx h h
x h hf xx h h
11 0 0
1 1 1 2lim lim lim lim ;1 1 1x hx h h
x h hf xx h h
Domethënë, funksioni nuk ka vlerë kufitare kur 1,x por ka kufi të majtë të pafundëm dhe kufi të djathtëtë pafundëm (ato nuk janë të barabartë). Funksioni sipas vlerës absolute rritet pafundësisht në rrethinën epikës 1,x d.m.th.
1 2 31 11, 2, 3,..., ,...,11
2
nf x f x f x f x n
pa 1x koga 0 ,x t.e.
Mbaj mend!
Funksioni 1x
rritet pafundësisht sipas vlerës absolute në rrethinën e pikës 0,x d.m.th.
0
1lim .x x
1
lim .x
f x
5 Trego se funksioni 1f xx
ka kufi të pafundëm kur 0.x
Zgjidhje
Domeni i funksionit është \ 0 .fD Le të jetë 0x nëpërmjet vargut
1 2 31 1 11, , ,. , , ,2 3 nx x x x
n d.m.th. x i afrohet nga 0 e djathta. Atëherë vargu përkatës i vlerave të
funksionit është 1 2 31 1 11, 2, 3, , ,1 11
2
nf x f x f x f x n
n
Është e qartë,vargu nf x kur ,n pra 0
1lim .x x
Nëse 0x nëpërmjet vargut 1 2 31 1 11, , , , , ,2 3 nx x x x
n d.m.th. x i afrohet 0 nga
e majta, atëherë vargu përkatës i vlerave të funksionit f x është
93
2. KUFIRI NË PIKËN E PAFUNDME
themi se f x tenton drejt A kur x tenton në ose , ose , d.m.th. funksionià f(x) ka vlerë kufitarenë pikën e pafundme dhe shkruajmë
Domeni fD i funksionit f x le të jetë bashkësi e pakufizuar dhe le të jetë nx një varg, ashtu që
lim ,nnf x A
limx
f x A
d.m.th. ose lim ose lim , .x x
f x A f x A
7
Zgjidhje
a) Vargu përkatës i vlerave të funksionit 2 3 ,1
xf xx
për vargun ,n n fx x D dhe
n fx D dhe lim d.m.th. ose lim ose lim .n n nn n nx x x
Nëse për çdo varg nx që i ka vetitë
Vërteto se: a) 2 3lim 2;1x
xx
b)
2
2
3 2 3lim .2 3 2x
xx
paraprake,vargu përkatës 1 2 3, , , , ,nf x f x f x f x është konvergjent dhe ka kufirin A, d.m.th.
3. KUFIRI I PAFUNDMË NË PIKËN E PAFUNDME
Domeni fD i funksionit f x le të jetë bashkësi e pakufizuar dhe le të jetë nx një varg, ashtu që n fx D dhelim .nn
x
Nëse për çdo varg nx që i ka këto veti, vargu përkatës 1 ,..., ,...nf x f x pafund rritet sipasvlerës absolute, themi se funksioni f x tenton në , kur x tenton në , d.m.th. funksioni f(x) ka kufi tëpafundmë në pikën e pafundme dhe shënojmë:
322 3lim lim lim 2.11 1
n nnn n n
n
n
x xf xx
x
Prandaj, 322 3lim lim lim 2.11 1
x x x
x xf xx
x
lim .x
f x
Në mënyrë analoge, përkufizohet: lim , lim , lim ,x x x
f x f x f x
lim nnx
me anëtarin e përgjithshëm 2 3.
1n
nn
xf xx
ZgjidhjeLe të jetë x nëpërmjet vargut 1 2 3, , ,..., ,...nx x x x ashtu që n fx D dhe lim .nn
x
Vargu i vleravepërkatëse të funksionit nf x është: 2 2 2 2
1 1 2 2 3 3, , , , ,n nf x x f x x f x x f x x Është e qartë,vargu nf x kur ,n d.m.th.
lim nnf x
ose 2lim .
xx
Trego se 2lim .x
x
8
94
Detyra:
1
Njehso vlerën kufitare të majtë dhe të djathtë të funksionit f x në pikën a, nëse:
a) 2 , 1;1
xf x ax
b) 3 , 1.1
xf x ax
a) 2
1 , 1;1
xf x ax
b) 2 1, 1.
1xf x ax
2
Cakto kufirin: a) 2
3lim ;2x x
b) 2
3lim .2x x
3
Njehsoji kufijtë:
a) 3lim ;2x
xx
b) 3lim .2x
xx
a) 2
2
2 1lim ;1x
x xx
b) 2
1lim ;4x
xx
c) 2
1lim .4x
xx
a) 2 4lim ;
1x
xx
b) 2 4lim ;
1x
xx
c) 2 4lim .
1x
xx
4
5
6
Cakto vlerën kufitare të djathtë të funksionit f x në pikën a, nëse:7
a) 2 , 3;3
f x ax
b) 2 3 , 0;xf x ax
c) 2
3 , 2;4
xf x ax
ç)
2
2
1 , 1.1xf x a
x
9 Vërteto se 2 2 1lim .
1x
x xx
Zgjidhje
Le të jetë dhënë vargu nx i tillë që n fx D dhe lim .nnx
Atëherë
2 2 1,1
n nn
n
x xf xx
a
2
122 1lim lim lim lim 2 ,11 1
nn n n
n nn n n nn
n
xx x xf x x
xx
pasi 1lim 0.n
nx
Prandaj,
2
122 1lim lim lim .11 1x x x
xx x xf xx
x
95
10 OPERACIONET ME VLERAT KUFITARE TË FUNKSIONEVE
Kujtohu!
Nëse na dhe nb janë vargje konvergjente, ku lim , lim ,n nn na a b b
atëherë konvergjente janë edhe
vargjet ,n n n na b a b dhe ,n na b por nëse 0nb dhe 0,b atëherë edhe vargu n
n
ab
është
konvergjent dhe po ashtu:
a) lim lim lim ;n n n nn n na b a b a b
b) lim lim lim ;n n n nn n n
a b a b a b
c) lim lim lim ;n n n nn n na b a b a b
d)
limlim .
limnn n
nn nn
aa ab b b
Përcaktimi i vlerës kufitare shpeshherë është punë e ndërlikuar. Me ndihmën e vetive paraprake të vargjevekonvergjente mund të vërtetohen edhe vetitë përkatëse për vlerën kufitare të funksionit dhe me ndihmën etyre lehtësohet përcaktimi i vlerës kufitare të disa funksioneve.
Teorema 1. Funksionet f x dhe g x le të jenë të përcaktuar në rrethinën e ndonjë pike a, ku në pikëna nuk është e thënë që funksionet të jetë të përcaktuar. Nëse ekzistojnë kufijtë lim
x af x A
dhe
lim ,x a
g x B
atëherë:
4) lim lim lim .x a x a x a
f x g x f x g x A B
3) lim lim lim ;x a x a x a
f x g x f x g x A B
2) lim lim ;x a x a
c f x c f x c A
1) lim ;x a
c c
5) Nëse 0,B atëherë
limlim .
limx a
x ax a
f xf x Ag x g x B
Rregullat e mësipërme 3) dhe 4) mund të përgjithësohen për më tepër se dy funksione.Teorema 2. Funksionet 1 2, ( ), , ( )nf x f x f x le të jenë të përcaktuara në rrethinën e ndonjë pike a, kunë pikën a nuk është e thënë që funksionet të jenë të përcaktuar. Nëse ekzistojnë kufijtë lim kx a
f x
për çdo 1, 2, , ,k n atëherë
1 2 1 2lim lim lim lim .n nx a x a x a x af x f x f x f x f x f x
1 2 1 2lim lim lim lim .n nx a x a x a x af x f x f x f x f x f x
Me zbatimin e teoremës 2 mund të njehsohet edhe vlera kufitare:1
96
Nëse x
f xx
dhe lim lim 0,x a x a
x x
atëherë
limlim
limx a
x ax a
xf x
x
është shprehje e
Me zbatimin e Teoremës 3 cakto vlerën kufitare: 2
1lim 2 3 4 ;x
x x
2
Teorema 3. Vlera kufitare e polinomit P x në pikën x a është e barabartë me vlerën e polinomit në atëpikë,d.m.th.
lim .nx aP x P a
Në bazë të rregullave të Teoremës I dhe 2 dhe Shembullit I, mund ta vërtetojmë teoremë që vijon.
Vërtetim. Le të jetë 11 1 0( ) .n n
n nP x c x c x c x c Tani,
here
here
lim lim( ) lim lim lim .n n
x a x a x a x a x an
n
x x x x x x x a a a a
11 1 0
1 11 1 0 1 1 0
lim ( ) lim( )
lim lim lim ( ).
n nn nx a x a
n n n nn n n nx a x a x a
P x c x c x c x c
c x c x c x c c a c a c a c P a
Zgjidhje 2 2
1lim 2 3 4 2 1 3 1 4 3.x
x x
Nëse f x është funksion racional thyesor dhe nëse ( ) 0,Q a atëherë
Cakto kufirin: 2
1
3 1lim .2x
x xx
Zgjidhje
32 2
1
3 1 1 3 1 1lim 1.2 1 2x
x xx
lim lim .
x a x a
P x P af x f a
Q x Q a
padefinuar 0" ".0
Në raste të tilla ( )x dhe ( )x thjeshtohen me ( ).x a Prandaj, kryejmë transformime të
caktuara të funksionit ,f x të cilët do të mundësojnë përcaktimin e kufirit.
4 Cakto kufijtë: a) 23
3lim ;9x
xx
b) 2
3
4 3lim ;2 6x
x xx
c) 0
2 2lim .x
xx
Zgjidhjea) Nëse
2
3 3lim( 3) lim( 9) 0,x x
x x
fitohet shprehje e padefinuar 0" ".0
Prandaj shprehjen e transformojmë
në këtë mënyrë:
23 3 3
3 3 1 1lim lim lim .9 3 3 3 6x x x
x xx x x x
Këtu thjeshtuam me 3,x ndërsa kjo lejohet pasi 3x d.m.th. 3 0.x
b) Pasi 2
3 3lim ( 4 3) lim (2 6) 0,x x
x x x
fitohet shprehje e padefinuar 0" ",0
Prandaj, numëruesin do tazbërthejmë si trinom katrorë 2
1 2 ,ax bx c a x x x x d.m.th., 2 4 3 3 2 ,x x x x ku
1 3x 2ose 1x janë rrënjë të barazimit 2 4 3 0.x x Prej saj kemi:
97
c) Pasi 2 2xx
është shprehje e padefinuar 0" ",0
kur 0,x kryejmë racionalizimin e numëruesit tëthyesës dhe kemi:
2 2
0 0 0
2 2 2 2 2 22 2lim lim lim2 2 2 2x x x
x x xxx x x x x
0 0
2 2 1 1lim lim2 2 2 22 2x x
xxx x
(thjeshtuam me x, pasi 0x ).
5 Cakto vlerën kufitare të: a) 3 2lim 2 1 ;x
x x x
b) 3
2
1lim .1x
x xx x
Zgjidhje
a) 3 2 32 3
2 1 1lim 2 1 lim 1 ,x x
x x x xx x x
pasi që 2 3
2 1 1lim lim lim 0.x x xx x x
b)
33 2 3 2 3
22
22
1 1 1 11 11lim lim lim .1 11 11 11
x x x
x xx x x x x xx x x
x xx x
6 Caktoji vlerat kufitare: a) 4
sin coslim ;2x
x xx
b) tglim .sin 2x
xx
Zgjidhje
a) 4
sin cossin cos 2 24 4lim ;2 2
4x
x xx
b) 2
sintg 1 1coslim lim lim .
sin 2 2sin cos 2 cos 2x x x
xx xx x x x
Nëse limx a
x
dhe lim ,x a
x
atëherë
,xx
kur ,x a është shprehje e padefinuar e llojit .
Në raste të këtilla përsëri kryejmë transformime të caktuara të cilat do të mundësojnë caktimin e vlerëskufitare.
Ekzistojnë edhe shprehje të tjera të pacaktuara, si për shembull: 0 0, , 0 , 0 , 1 etj. Të theksojmëse këtu me simbolet 0, 1, , nuk shënohen numra, por me ndihmën e tyre shprehen procese tëvlerave kufitare përkatës. Për shembull,shkruajmë 1 për vlerën kufitare ( )lim ( ) ,g x
x af x
ku
lim 1, kurse lim .x a x a
f x g x
Shprehja 1 është e pacaktuar, pra në varshmëri prej funksioneve f dheg vlera kufitare ( )lim ( ) g x
x af x
mund të ekziston ose të mos ekziston.
2
3 3 3
3 14 3 1lim lim lim 1.2 6 2 3 2x x x
x xx x xx x
98
Caktoji këto vlera kufitare:
a) 3
2lim 5 7 ;x
x x
b) 4 3lim 2 1 .x
x x x
a) 1
3 4lim ;2 1x
xx
b) 3 2
1lim 4 3 2 6 .x
x x
a) 2
22
4lim ;2x
xx x
b) 2
23
9lim .2 3x
xx x
a)
1
3 2lim ;1x
xx
b) 0
1lim .1 1x x
a) 2
2
3 2lim ;2 1x
x xx x
b) 3
3
3 4 1lim .2 1x
x xx x
a) 2lim 2 ;x
x x x
b) 21
2lim .2 2 1x
x xx x
a)
4
2tglim ;sin 2x
xx
b) 2
0
sin 2lim .
1 cos2x
xx a) 30
tg sinlim ;sinx
x xx
b)
0
sin5 sin 3lim .sinx
x xx
1 2
4
5 6
7 8
11 DISA VLERA KUFITARE KARAKTERISTIKE
Këtu do t’i caktojmë vlerat kufitare të disa funksioneve të cilat i zbatojmë gjatë njehsimit të vlerave kufitaretë funksioneve tjera.
Një vlerë kufitare mjaft e rëndësishëm është 0
sinlim 1.x
xx
Që ta caktojmë vlerën kufitare, pa vërtetim do ta përvetësojmë këtë teoremë:
Teoremà. Nëse ekziston rrethina e pikës a, ashtu që f x h x g x për çdo ,x a a dhe nëse lim lim ,
x a x af x g x A
atëherë;
lim .x a
h x A
1 Është dhënë funksioni sin , \ 0 .fxf x D
x Vërteto se sinlim 1.x
x
0x
3
Vërtetim
Funksioni sin xf xx
është i përcaktuar për çdo x të rrethinës të pikës 0,x përveç për pikën
0.x Në vizatim është paraqitur rrethi me rreze r = 1 dhe është shënuar sektori rrethor me kënd qendrorAOB. T’i krahasojmë syprinat e trekëndëshave OAB dhe OAC si dhe syprinën e sektorit rrethor OAB.Kemi:
SR ,OAB OACP P P përkatësisht 1 1sin tg ,2 2 2
xx x d.m.th. sin tg .x x x
Pasi sin 0,x për çdo 0, ,2
x
kemi:
Detyra
Vëre se sin x
x është shprehje e pacaktuar e formës
0" ",0
kur 0.x
A
99
x1r
sin
x tgx
y
x
CB
A0
11 ,sin cos
xx x
përkatësisht sin1 cosx xx
( pasi prej 1 1a b vijon a b ), d.m.th. sincos 1.xx
x
Kjo jobarasi është e saktë edhe nëse ,0 ,2
x pasi
sin sinx xx x
dhe cos( ) cos .x x Domethënë, jobarasitë
janë të saktë për çdo , \ 0 .2 2
x pasi
0 0
lim cos lim 1 1,x x
x
Sipas teoremës paraprake vijon
Këtë formulë mund ta përgjithësojmë:
2 Caktoji vlerat kufitare:
a) 0
tglim ;x
xx
b) 0
sin5lim ;x
xx
c) 0
sin 2lim ;sin3x
xx
ç) 0
sin 3lim .sinx
x xx
Zgjidhje
a) 0 0 0 0
tg sin sin 1lim lim lim lim 1;cos cosx x x x
x x xx x x x x
b) 0
sin 5lim 5;x
xx
c) 0 0 0 0 0
sin 2 1 2 sin 2 3 2 sin 2 3 2lim lim sin 2 lim lim lim ;sin3 sin3 2 3 sin3 3 2 sin 3 3x x x x x
x x x x xxx x x x x x
Në përgjithësi: 0
sinlim , 0, 0.sinx
mx m m nnx n
ç) 0 0 0
sin 3 sin 3lim lim lim 1 3 2.sin sin sin sinx x x
x x x x xx x x x
0
sinlim 1.x
xx
B Pa vërtetim do t’i parashtrojmë vlerën kufitare 1lim 1x
xe
x
dhe 1
0lim 1 xx
x e
për të njehsuar shprehjet e pacaktuara të formës 1 . Vlera kufitare e parë kur x tenton drejt sipas vlerësabsolute (d.m.th. kur xose x ). Prandaj do të shënojmë vetëm .x
3 Caktoji vlerat kufitare:
a) 21lim 1 ;
x
x x
b) 3lim 1 ;x
x x
c) 32lim 1 ;
x
x x
ç) 3
0lim 1 2 .xx
x
0 0
sin 1lim ose lim , 0.sinx x
kx xk kx kx k
100
Zgjidhje
a) 2 2 2
21 1 1 1 1lim 1 lim 1 1 lim 1 lim 1 1 ;x x x
x x x xe e
x x x x x
b)
33
3 3
33 1 1lim 1 lim 1 lim 1 .
3 3
x x
x
x x xex xx
Vërej!
Formulat paraprake mund të përgjithësohen:
1
0
1lim 1 ose lim 1 .f x
f xf x f x
x x
e f x ef x
koga koga
c)
6 6
3 62 2 2
362 1 1 1 1lim 1 lim 1 lim 1 lim 1 lim 1 ;
2 2 2 2
x x xx
x
x x x x xex x x xx
ç) 6 63 2 6 1 13
62 2 2 20 0 0 0 0
lim 1 2 lim 1 2 lim 1 2 lim 1 2 lim 1 2 .x x x xxx x x x x
x x x x x e
Detyra
1
Caktoji vlerat kufitare (1 - 8):
a) 0
tglim ;sin 4x
xx
b) 20
1 cos2lim .x
xx
a)
20
1 coslim ;x
xx
b) 0
1 coslim .x
xx
2
a) 0
sin 2lim ;1 cosx
x xx
b) 0
1 cos2lim .sinx
xx x
a) 20
cos cos3lim ;x
x xx
b) 0
1 cos4lim .sin 2x
xx x
a) 51lim 1 ;
x
x x
b) 1lim 1 .5
x
x x
a) 5lim 1 ;
x
x x
b) 24lim 1 .
3
x
x x
a) lim ;1
x
x
xx
b) 33lim .
1
x
x
xx
a) 1
0lim 1 2 ;xx
x
b) 0
lim 1 3 .x
xx
3 4
5 6
7 8
V Pa vërtetim do të parashtrojmë edhe vlerën kufitare 0
1lim ln ,x
x
a ax
për a > 0, cila është e
papërcaktuar e formës, 0" ".0
4 Caktoji vlerat kufitare: a) 0
2 1lim ;x
x x
b)
0
1lim ;x
x
ex
c) 0
lim .ax bx
x
e ex
a) 0
2 1lim ln 2;x
x x
Zgjidhje b)
0
1lim 1;x
x
ex
c) 0 0 0 0 0 0
1 ( 1) 1 1 1 1lim lim lim lim lim lim .ax bx ax bx ax bx ax bx
x x x x x x
e e e e e e e ea b a bx x x x ax bx
101
Përkufizim. Funksioni f(x) është i vijueshëm në pikën a nëse:
1) ,fa D d.m.th. f a ekziston;
2) lim ,x a
f x A f x
ka vlerë kufitare për ;x a
3) lim .x a
f x A f a
1 Le të jetë dhënë funksioni 2 , \ 1 .1
xf x xx
Shqyrto vijueshmërinë e funksionit f x në pikën:
12 VIJUESHMËRIA E FUNKSIONEVE
Në fig. 1 është paraqitur grafiku i funksionit 21 ,2
y x kurse në fig. 2 grafiku i funksionit , .y x x
Vërejte se grafiku i funksionit në fig.1 mund të vizatohet “pa e ngritur lapsin” prej A deri në B. Që tëvizatohet grafiku i funksionit në fig.2 lapsi patjetër duhet të “ ngrihet “ që të arrihet prej pikës C1 deri te pikaC2 dhe prej pikës C3 deri te pika C4. Domethënë, lakorja 21
2y x është i vijueshëm (vazhdueshme) në
intervalin , ,a b ndërsa y x është i pavijueshëm në pikat C1 dhe C3 .
Funksioni 212
y x në çdo pikë x ka vlerë të caktuar. E njëjta vlen edhe për funksionin .y x
Për funksionin y x kemi:
Domethënë, funksioni y x nuk ka vlerë kufitare në pikën 1.x
x
BA
a b
y
fig.1
0
0x
B
A
y
fig. 2
1 2 3
1
2
1 2
1
C1
C2 C3
C4
nëse 0 1,x atëherë 0x dhe 1
lim 0,x
x
por nëse 1 2,x atëherë 1,x pra 1
lim 1.x
x
Kuptimi i vijueshmërinë të funksionit f x në pikën e dhënë është ngushtë i lidhur me vlerën kufitare tëfunksionit në pikën e dhënë a.
a) 3;a b) 1.a
Nëse funksioni f x nuk e plotëson së paku njërin prej kushteve 1), 2) ose 3), atëherë funksioni nuk ështëi vijueshëm në pikën a dhe themi se ai ka ndërprerje në pikën a, kurse pika à quhet pika e ndërprerjes.
102
Nëse funksioni , ,f x x a b është i vijueshëm në çdo pikë të intervalit , ,a b atëherë themi se aiështë i vijueshëm në intervalin , .a b
2 Shqyrto vijueshmërinë e funksionit:
b) Meqë 1 fD vijon se f x nuk është i vijueshëm në atë pikë (d.m.th. f x ka ndërprerje në 1 dhe1 është pikë e ndërprerjes për funksionin f x )
Funksioni 1f xx
është i vijueshëm në çdo pikë 0,a pasi që
1 1lim ,x a x a
për 0.a
a) 22 3
2xf xx
në pikën 1;x b)
1 , 0, 0;
, 0
xf x xx
x x
zavo
zac) f x x në pikën 2;x ç)
11xf x e 1.x
Zgjidhjea) \ 2 , 1f fD D dhe
1
1lim 1 ,3x
f x f
domethënë funksioni është i vijueshëm në x = 1.
b) Meqë 0 0
lim 0 dhe lim ,x x
f x f x
0
limx
f x
nuk ekziston,
c) Funksioni f ka ndërprerje në pikën 2,x meqë
ç) \ 1 ,fD pra pasi 1 fD vijon se funksioni f x ka ndërprerje nëpikën 1.x
3 Shqyrto vijueshmërinë e funksionit: a) sin ,xf xx
për 0;x
b) 2 0
;1 0x x
f xx
za
za c)
2 4 2.22 2
x xf x xx
pra funksioni ka ndërprerje në pikën 0x (fig. 3).
2 2
lim lim 1,x x
f x x
kurse 2
lim 2,x
x
pra 2
limx
x
nuk ekziston.1
1
1
1x
y
fig.3
0
Zgjidhjeb)
0lim 0,x
f x
kurse 0 0,f domethënë pika 0x është pika endërprerjes, meqë kushti lim ,
x af x f a
nuk është plotësuar (fig. 4).
1 2
112
01 fig.4
Vijueshmëria e funksioneve është një kuptim i rëndësishëm, për vërtetimin e vijueshmërisë të një funksioniparashtrohen mjaft pohime. Në vijim po japim këtë pohim:
Zgjidhje:
a) Meqë 3 fD dhe 3
lim 3 3 ,x
f x f
rrjedh se funksioni është i vijueshëm në pikën 3.x
në pikën
103
Teorema. Nëse funksionet , dhe ,f gf x x D g x x D janë të vijueshëm në pikën a, ,f ga D D ∩atëherë në pikën a janë të vijueshëm edhe funksionet:
a) ;y f g x b) ;y f g x c) ,fy xg
Vërtetim. Prej vijueshmërisë së funksioneve f x dhe g x në pikën a kemi
lim dhe lim ,x a x a
f x f a g x g a
kurse prej vetisë për vlerën kufitare të funksioneve kemi
lim lim lim lim ,x a x a x a x a
f g x f x g x f x g x f a g a f g a
d.m.th. f g është funksion i vijueshëm në pikën .x a
Pohimet tjera vërtetoji vet.Prej teoremës vijon:
Çdo funksion i plotë racional, (d.m.th. çdo funksion) 11 1 0...n n
n nP x a x a x a x a është i
vijueshëm në pikën ,a pasi është i përcaktuar në a, ekziston vlera kufitare në a dhe lim .
x aP x P a
Funksioni racional thyesor
,P x
f xQ x
ku P x dhe Q x janë polinome të vijueshëm në çdo pikën
x a për të cilën 0.Q a
4 Cakto në cilat pika funksioni ka ndërprerje:
a) 2 ;3
f xx
b) 2
2 ;4
xf xx
c) 2 1, 0
;2, 0
x xf x
x
za
za g) tg .y x
Përgjigjeb) 2 4 0;x f x ka ndërprerje në 2x dhe 2x .
5 Në cilin interval funksioni është i vijueshëm:
a) 2
1 ;1
yx
b) 2
2 ;4
xyx
c) 2
5 1 ?2 3
xyx x
Të vijueshëm janë edhe funksionet
, 0,xy a a për çdo ;x log , 0, 1,ay x a a për çdo ;x sin ,y x për çdo ;x cos ,y x për çdo .x
Detyra1 Shqyrto vijueshmërinë e funksioneve:
a) 2 1,y x në pikën 2;x b) 1 ,yx
në pikën 0.x
Vërteto se funksioni 1, 0
sgn 0, 01, 0
xf x x x
x
ka ndërprerje në pikën 0.x 2
në qoftë se g a 0 .
104
13 ASIMPTOTAT E GRAFIKUT TË FUNKSIONIT
Kujtohu!
Në fig. 2 është paraqitur grafiku i funksionit
boshti x d.m.th. drejtëza 0y është asimptotëhorizontale e grafikut të funksionit, pasi
boshti y d.m.th. drejtëza 0x është asimptotëvertikale e grafikut të funksionit, pasi
lim 2 0.x
x 2
0lim log .x
x
Largësia d prej pikës 0 0( , )M x y deri te drejtëza y kx n njehsohet me formulën:
0 0
2.
1
kx n yd
k
Vërteto se funksioni sgnf x x x është i vijueshëm në pikën 0.x
Vërteto se funksioni , 0 1
2, 14 , 1
x xf x x
x x
ka ndërprerje në pikën 1.x
Shqyrto vijueshmërinë e funksionit sin , për 0
, për 0.
x xf x x
A x
Shqyrto vijueshmërinë e funksionit 1 , për 0
, ., për 0
xf x xx
x x
Është dhënë funksioni 2
3
2 , \ 1 .2 1 fx xf x D
x
Vërteto se funksioni është i vijueshëm në çdo
pikë 1.x A mundet ky funksion të jetë i përcaktuar për 1,x ashtu që të jetë i vijueshëm në pikën1?x
3
4
5
6
7
Sa duhet të jetë vlera e A, që funksioni f x të jetë i vijueshëm në pikën 0?x
x
y
10
1
2
fig. 1
x
y
10
1
2
fig. 2
Në fig. 1 është paraqitur grafiku i funksionit
2 .xy 2log .y x
105
y
0
fig.4
xx
d(x) ,M x f x
p
N.
1 Është dhënë funksioni 1 1.2
f x x Skico grafikun e funksionit 1 .y
f x
Zgjidhje
2
1
1
0
1 12
y x
2x
fig.3
x
yGrafiku i funksionit f(x) është paraqitur në fig. 3 (shihe detyrën2c) të mësimit 7 të kësaj teme).Vërejte se grafiku i funksionit gjithnjë e më shumë i afrohetdrejtëzave 2x dhe 0,y por asnjëherë ato drejtëza nuktakon. Drejtëzat e këtilla quhen asimptota.
Le të jetë dhënë drejtëza p, grafiku i funksionit f x dhe pika earbitrare , ,M x f x fig. 4.
Përkufizim. Nëse largësia d e pikës arbitrare ,M x f x qështrihet në lakoren y f x deri te drejtëza e caktuar p tentondrejt zeros kur M pafund largohet prej qendrës të koordinatave,d.m.th.
lim 0,OM
d x
atëherë drejtëza p quhet asimptotë e lakores.
Për të themi se është:1. asimptotë vertikale nëse është paralele me boshtin y.2. asimptotë horizontale nëse është paralele me boshtin x.3. asimptotë e pjerrtë nëse nuk është paralele me asnjërin prej boshteve koordinative.
Mbaj mend!
Le të jetë dhënë funksioni .f x Nëse:
1. limx a
f x
limx a
f x
atëherë drejtëza y n është asimptotë horizontale ef.
2. limx
f x n
limx
f x n
atëherë drejtëza x a është asimptotë vertikalee grafikut të f.
2 Është dhënë funksioni 2
2
2 .2 3
x xf xx x
a) Cakto asimptotët horizontale dhe vertikale të grafikut për funksionin e dhënë.
b) Skico grafikun e funksionit.
Shihe mënyrën
2
2
2
212lim lim lim 1,2 32 3 1x x x
x x xf xx x
x x
kurse
2
21lim lim 1,2 31x x
xf x
x x
domethënë
drejtëza 1y
A
ose ose
106
Nëse i caktojmë prerjet e grafikut me boshtet e koordinatave, do të mundemi më lehtë ta vizatojmëgrafikun e funksionit.
Për 0, 0 0,x f pra grafiku kalon nëpërqendrën e koordinatave 0,0 .
Për 0f x kemi 2 0,x x d.m.th. 0x ose2,x domethënë grafiku e pret x-boshtin në
pikat 0,0O dhe 2,0 .A Grafiku ështëparaqitur në fig. 5.
është asimptotë horizontale e grafikut të f.Pikat e ndërprerjes janë zgjidhjet e barazimit 2 2 3 0,x x pra ato janë 1x 3.x
Do ta shqyrtojmë sjelljen e funksionit në rrethinën e pikave 1 dhe -3, kurse për atë shkak caktojmë kufirin nëpikat 1 dhe -3
22 2
22 21 1 0 0
1 2 12 1lim lim lim lim ,2 3 41 2 1 3x x h h
h hx x hf xx x h hh h
22 2
22 21 1 0 0
1 2 12 1lim lim lim lim ,2 3 41 2 1 3x x h h
h hx x hf xx x h hh h
2 2 2
2 2 2 23 3 0 3 3 0
2 15 8 2 15 8lim lim lim , lim lim lim .2 3 4 2 3 4x x h x x h
x x h h x x hf x f xx x h h x x h h
Domethënë, drejtëzat 3x dhe 1x janë asimptota vertikale.
Që drejtëza x a të jetë asimptotë vertikale elakores ,f x mjafton të jetë i pafundmë vetëmnjëri prej kufijve të njëanshëm (i majti ose i djathti)në atë pikë.
Për shembull, te detyra 2 b) nga mësimi i kaluar kemi
0lim ,x
f x
kurse 0
lim 0.x
f x
3 Caktoji asimptotët horizontale dhe vertikale të funksionit 2
2
2 3 ,1
xyx
pastaj skico grafikun e
funksionit.
Nëse për funksionin e dhënë f x ekziston vlera kufitare lim ,x
f x
atëherë është e mundshme,
por nuk do të thotë, se ekziston drejtëza y kx n e cila është asimptotë e grafikut të funksionit .y f x
Te vlerat kufitre me të cilët i caktojmë asimptotët që janë paralele me boshtet koordinative nukpërmbajnë kufi të llojit
lim .x
f x
x
1
0
y
33
x 1
x
1y
crt. 5
pra 0x është asimptotë vertikale e grafikut të f.
B
107
y
0
fig.6
xx
d ,M x f x
.
4 Caktoji asimptotët e lakores 22 , \ 2 .2
xf x xx
Zgjidhjea)
2 22 2lim lim , lim lim ,2 2x x x x
x xy f x f xx x
që do të thotë se funksioni nuk ka
asimptotë horizontale
Të supozojmë se grafiku i funksionit f x ka asimptotë të pjerrtë ,y kx n të supozojmë se është në anënpozitive të boshtit x, si në fig. 6.
Nëse ekzistojnë ato vlera për ,x atëherë kemi asimptotë të pjerrtë të djathtë, por nëse ekzistojnë ajovlerë kufitare kur ,x atëherë kemi asimptotë të pjerrtë të majtë.
Simboli x domethënë se duhet të shqyrtohet vlera kufitare kur, x dhe kur .x
b) Asimptotë vertikale:
22
2 2 0
2 22lim lim lim ,2 2 2x x h
hxf xx h
22
2 2 0
2 22lim lim lim ,2 2 2x x h
hxf xx h
Largësia d = d(x) pikës së çfarëdoshme ( , ( ))M x f x deri teasimptota është,
2
( )( ) ,
1
kx n f xd x
k
Prej nga fitojmë 2 1 ( ) ( ) ,k d x kx n f x d.m.th.
2 ( ) ( )1 .d x n f xk kx x x
Prej atij barazimi,për shkak kushtit lim ( ) 0,x
d x
vijon se
2 ( ) ( ) ( )0 1 lim lim lim .x x x
d x n f x n f xk k kx x x x x
Për ,x duhet të përsëritet të njëjtin logjikim.
Prej ( ) ( )0 lim lim lim ,x x x
n f x n f xk kx x x x
pasi lim 0,x
nx fitojmë:
lim .x
f xk
x
Mandej, prej 20 1 lim ( ) lim ( ) ,x x
k d x kx n f x
fitojmë se lim .x
n f x kx
Asimptotë horizontale:
108
Që ta caktojmë pozitën reciproke të lakores dhe asimptotë së pjerrtë, do ta shqyrtojmë ndryshimin ndërmjet
ordinatave të pikave përkatëse të grafikëve të tyre, d.m.th. 22 82 4 .2 2
xf x y xx x
0,f x y nëse 8 0,
2x
d.m.th. nëse 2.x
Domethënë, për 2, ,x f x y pra grafiku i funksionit f x është mbi asimptotën 2 4.y x
0f x y nëse 8 0,
2x
d.m.th. nëse 2.x
Domethënë, për 2, ,x f x y pra grafiku i funksionit f x është nën asimptotën 2 4.y x
Detyra
1
Caktoji asimptotët e lakores:
a) ;2
xyx
b) 2 1.
2xyx
a) 2
11 ;y xx
b) 2
1 .1
yx
a) 3
2 ;3
xyx
b) 3
2.
2 1xy
x
a) 2
2 ;2
xyx
b) .xy x e
2
3
4
2 2 22 2 2 4 4lim lim 2 lim lim 4.2 2 2x x x x
x x x x xn f x kx xx x x
Drejtëza 2 4y x është asimptotë e lakores së dhënë.
Grafiku është paraqitur në fig. 7.2
x
2 4y x
0 22
4
x
y
fig.7
domethënë drejtëza 2x është asimptotë vertikale.c) Asimptotë e pjerrtë .y kx n
2
2
2
222lim lim lim 2.
2x x x
xf x xxk
x x x x
109
TEMA 3
1
DERIVAT I FUNKSIONIT
Rritja e funksionit. Derivati ifunksionit......................................................
Derivati i disa funksioneveelementare.....................................................
Rregullat themelore të diferencimit.....
Në këtë temë do të mësosh:
2
3
110
116
119
4 Derivati i funksionit të përbërë.............
Derivati i rendit të lartë...........................
Diferenciali i funksionit...........................
5
6
124
129
131
Interpretimi gjeometrik i derivatit tëfunksionit......................................................
7134
x0
x
y
yf
x
0x x
Për realizimin e temës mund të shfrytëzohen aplikacionet:
- Gjeogjebra (Derivati i funksionit)- Km Plot (Derivati i funksionit; Derivati i disa funksioneve elementare)
110
Nëse argumenti x te funksioni 0,5 1y x kavlerë 4, atëherë vlera e funksionit është 3.
Për sa do të rritet funksioni nëse argumenti xrritet prej 4 në 6?
Zgjidhje:
0,5 6 1 0,5 4 1 1
y
x1
43
1
64
1
Funksioni y f x është i vijueshëm në pikën
,x a ako lim .x a
f x f a
Provo se a është i vijueshëm funksioni
2
11
xf xx
për 2.x
A Le të jetë funksioni f i përcaktuar në
intervalin ,a b dhe le të jenë 0 , , .x x a bVlerat përkatëse të funksionit f për x dhe x0 janë f(x) dhe f(x0).
Ndryshimi 0x x quhet rritja ose shtesë eargumentit dhe shënohet me ,x d.m.th.
0 .x x x
Prej 0x x x vijon se 0 ,x x x pra rritja efunksionit mund të shkruhet në këtë formë
0 0 .f f x x f x
1 Caktoji rritjet dhex f të 2f x x në pikën 0 2,x nëse: a) 1,9;x b) 2,1.x
Zgjidhje:
a) 0 1,9 2 0,1;x x x 2 20 0 2 0,1 2 1,9 2 0,39.f f x x f x f f
b) 0 2,1 2 0,1;x x x 2 22,1 2 2,1 2 0,41.f f f
Është dhënë funksioni 2 5 6.f x x x Cakto rritjen f të funksionit f nëse:2
Zgjidhje:
a) 2 20 0 3 1 3 4 3 4 5 4 6 3 5 3 6 2 0 2.f f x x f x f f f f
a) 0 3, 1.x x b) 0 1, 0,5.x x
Kujtohu!
1 RRITJA E FUNKSIONIT. DERIVATI I FUNKSIONIT
y
xa b( )
x0
f x
x x
f
yf
x
0f x
Ndryshimi i vlerave përkatëse të funksionit
0f x f x quhet rritja ose shtesë e
funksionit dhe shënohet me ,f d.m.th.
0 .f f x f x Nëse funksioni është dhënë me barazimin ,y f x atëherë 0 .y f x f x
111
Deri te i njëjti rezultat do të arrijmë edhe në mënyrë tjetër. Së pari e caktojmë rritjen f për vlera tëçfarëdoshme të argumentit x dhe ,x kurse pastaj i zëvendësojmë vlerat e tyre.
2 225 6 5 6 2 5 .f f x x f x x x x x x x x x x
Për 3 dhe 1x x kemi: 22 3 5 1 1 2.f
Cakto rritjen e funksionit 1
xyx
nëse: a) 0 3, 1;x x b) 0 3, 0,5.x x 3
Zgjidhje
.
1 1 1 1x x x xy f x x f x
x x x x x x
a) Për
1 13 1, .3 1 3 1 1 2
x x y
i
4 Cakto rritjen e funksionit:
a) 202 , 2 dhe 1;f x x x x x b) 0
1, 2 dhe 0,5.f x x xx
5B Funksioni 2 1f x x është i definuar për çdo numër real.
a) Cakto rritjen f të funksionit f në çfarëdo pikë x.
b) Cakto herësin të rritjes së funksionit dhe rritjes së argumentit, t.e. .fx
c) Cakto vlerën kufitare të herësit ,fx
kur 0
0, d.m.th. lim .x
fxx
Zgjidhje:
2 2
2 2 2
2
1 1
2 1 1
2 2 ;
f f x x f x
f x x x
f x x x x x
f x x x x x x
a)
Për 3,x kemi 0
lim 2 2 3 6.x
f xx
0 0
lim lim 2 2 .x x
f x x xx
c)
22 ;
x x xf x xx x
b)
Vërejte se 0
lim ,x
fx
në pikën 3x ka vlerë 6. Për numrin 6 themi se është derivati i funksionit
2 1f x x në pikën 3.x
Përkufizim. Nëse ekziston vlera kufitare e herësit ndërmjet rritjes së funksionit y f x dhe rritjes
së argumentit në pikën 0 ,fx D kur rritja e argumentit tenton nga zero,atëherë ai numër quhet
derivati i funksionit f x në pikën 0x dhe e shënojmë me
Cakto vlerën kufitare nëse 3.x
0 0ose .f x y x
nëse nëse
112
Prandaj:
Pasi x0 mund të jetë cilado pikë e Df, atëherë derivati i funksionit f x për secilën pikë fx D do të jetë:
0 0
lim lim .x x
f x x f xff xx x
00 0 0
lim lim .x x
f x x f xff xx x
Nëse funksioni f x është dhënë me barazimin , ,fy f x x D atëherë derivatin e shënojmë edhe me.y
Cakto derivatin e funksionit:a) 2 3y x x në pikat: 0 0 02; 1,5; 3,5.x x x
b) 22 ,y x në çfarëdo pikë .x
6
Zgjidhje:
a) Caktojmë ,y d.m.th.
2 23 3y f x x f x x x x x x x 2 3 .x x x
Njehsojmë herësin ,yx
d.m.th. 2 32 3 .
x x xy x xx x
Gjejmë 0
lim ,x
yx
d.m.th. 0
lim 2 3 2 3.x
y x x x
Për 0 0 0, 2 3.x x y x x Za 0 2, 2 2 2 3 7.x y
Për 0 1,5, 1,5 2 1,5 3 0.x y
Cakto derivatin e funksionit: a) 1 , \ 0 ;y xx
b) , \ 1 .1
xy xx
7
Shihe mënyrën
a) 1 1 .xy f x x f x
x x x x x x
1 .
xx x xy
x x x x x
20 0
1 1lim lim .x x
yyx x x x x
Domethënë 2
1 1 .x x
Për funksionin , 0f x x x në pikën x = 0 kemi:
Meqë nuk ekziston
0
0limx
fx
funksioni f x x nuk ka derivat në pikën 0,x edhe pse është i
përcaktuar në atë pikë .
0 0 0
0 0 0 1lim lim lim .x x x
f xx x x
113
Teorema. Nëse funksioni f x ka derivat në pikën x0, atëherë ai është i vijueshëm në atë pikë.
Vërtetim. Duhet të tregojmë se 0
0lim .x x
f x f x
Të supozojmë se 0f x ekziston. Atëherë
0 0
0 0 00 0 00
0
lim lim lim 0 0.x x x x x
f x f x f x x f xf x f x x x x f x
x x x
Prej 0 0
0 0lim lim 0,x x x x
f x f x f x f x
vijon 0
0lim ,x x
f x f x
që do të thotë
se funksioni f x është i vijueshëm në pikën x0.
Pohimi i anasjelltë nuk është e thënë të jetë i saktë, d.m.th. nëse funksioni , ff x x D është i vijueshëm
në pikën 0 ,fx D atëherë ai nuk do të thotë të ketë derivat në pikën x0. Këtë do ta tregojmë te funksioni
| |;f x x i cili është i vijueshëm në pikën ,x por në pikën 0 0x nuk ka derivat.
Do të tregojmë se funksioni f x x| | në pikën 0 0x nuk ka derivat.
0 0
1, 00 00 lim lim
1, 0.x x
xf x f xfxx x
| |
Funksioni ,f x x x | | është i vijueshëm në pikën 0 0,x pasi
00 0lim lim 0,x x
f x f x x
| | d.m.th. 0
lim 0 ,x
f x f
kurse kjo do të thotë se funksioni është i vijueshëm për çdo .x
Mënyra se si arrihet deri te derivati f x i funksionit f x quhet diferencim i atij funksioni.Pjesa e matematikës që i studion derivatet e funksioneve dhe zbatimin e tyre quhet njehsimi diferencial.
V Në të njëjtën mënyrë si edhe te vlera kufitare e majtë dhe e djathtë, për funksionin f x mund tëpërkufizohet derivati i majtë dhe i djathtë.
Domethënë, 0
limx
yx
nuk ekziston, pasi 0
lim 1,x
yx
kurse
0lim 1.x
yx
Prej nga, 0f nuk ekziston.
Le të jetë funksioni f x i përcaktuar për 0.x x Nëse ekziston 0
limx
f x x f xx
dhe nëse është i
fundmë, atëherë ai quhet derivat i djathtë i funksionit f x në pikën 0 ,x dhe e shënojmë me 0 .f x Në
mënyrë analoge,nëse ekziston
0lim ,x
f x x f xx
atëherë ai quhet derivat i majtë i funksionit f x
në pikën õ0 dhe e shënojmë me 0 .f x Derivatin e majtë dhe të djathtë të funksionit f x zakonisht quhenedhe derivate të njëanshëm.
Vëre, funksioni | |f x x në pikën 0x ka derivat të majtë dhe të djathtë, por ato janë të ndryshëm,d.m.th. 0 0 ,f f prandaj funksioni | |f x x nuk ka derivat në pikën 0.x
114
Shqyrto diferenciabilitetin e funksionit 2
, 0 1,
1, 1x x
f xx x
në pikën 0 1.x 8
Zgjidhje
0 0 0
1 1 1 11 lim lim lim 1.x x x
f x f x xfx x x
2 2
0 0 00
1 1 1 1 21 lim lim lim lim 2 2.
x x xx
f x f x x xf x
x x x
Pasi 1 1 ,f f funksioni nuk është diferenciabil në pikën 0 1.x Vërejte se funksioni f x ka
ndërprerje në pikën 0 1.x
Bashkësia fD e të gjitha vlerave të argumentit x të fushës së përcaktimit të funksionit f, në të cilin aiështë diferenciabil quhet fusha e diferenciabilitetit të funksiont f. Me ç’rast, fD është nënbashkësi e Df .
Domethënë 0f nuk ekziston, pra është \ 0 , d.m.th. .f f f fD D D D
Mbaj mend!
Nëse funksioni f x është diferenciabil në çdo pikë 0x prej intervalit , ,a b atëherë derivati f x ështëfunksion i përkufizuar në atë interval.
Nëse 0 0f x f x dhe f x është i vijueshëm në pikën x0, atëherë funksioni ka derivat në atë pikëdhe
Për funksionin f x themi se është diferenciabil në pikën 0 ,fx D nëse ekziston derivati 0 .f x
Nëse 0f x nuk ekziston, atëherë funksioni f x nuk është diferenciabil në pikën x0.
Funksioni f x është diferenciabil në intervalin e hapur , ,a b nëse është diferenciabil në çdo pikë tëatij intervali.
Mbaj mend!
0 0 .f x f x f x
Çdo funksion diferenciabil është gjithmonë i vijueshëm, por ka funksione të vijueshëm që nuk janëdiferenciabile.
Për shembull, për 2
, 0, ,
, 0 f
x xf x D
x x
në pikën 0 0x kemi 0 1, 0 0.f a f
115
Nëse në përkufizimin e derivat 0 0
lim limx x
f x x f xff xx x
zëvendësojmë ,t x x
atëherë ,t x kur 0.x Në atë rast, përkufizimi i derivatit merr formën ekuivalente me:
Detyra1 Brinjët e drejtkëndëshit janë 15 dhe 20 .m m Cakto rritjen e perimetrit dhe rritjen e syprinës së
drejtkëndëshit nëse:a) brinja më e vogël zmadhohet për 0,11 ;m b) brinja më e madhe zmadhohet për 0,2 .m
2 Rrezja e rrethit është e barabartë me 2 .cm Cakto gabimin gjatë njehsimit të syprinës së tij, nësegabimi gjatë matjes së gjatësisë së rrezes është:
a) ;r b) 0,2 ;cm c) 0,1 .cmCakto rritjen e funksionit f x në pikën x0, nëse:
a) 02 , 2, 0,2;f x x xx
b) 202 3, 3, 0,2;f x x x x
c) 03 1, 5, 0,01;f x x x x ç) 20
1 , 2, 0,1.2
f x x x x
3
Cakto rritjet dhex y në pikën x0 , nëse:
a) 204 , 2,5; 2,6;f x x x x x b) 02 1, 1,22; 1,345;f x x x x
c) 20
2 3cos , ; ;3 4
f x x x x ç) 0, ; .
4 3f x tg x x x
4
Cakto derivation e funksionit:
a) 2,y x në pikën 0 3;x b) 2 3,y x në pikën 0 2;x
c) 3 ,y x në pikën 0 1;x ç) 2 1,xyx
në pikën 0 1.x
5
Cakto derivatin e majtë dhe të djathtë të funksionit:a) | 1|,y x në pikën 1;x b) | 1|,y x në pikën 1;x
c) 32 ,y x në pikën 0.x
6
Shqyrto diferenciabilitetin e funksionit:7
a) 32 , ;f x x x b) 2
, 1 1,
, 1x x
f xx x x
në pikën 0 1;x
c) , 1,
1 , 1x x
f xx x
në pikën 0 1.x
lim .t x
f t f xf x
t x
Të dy definicionet janë ekuivalente dhe gjatë caktimit të derivatit mund të zgjidhet cilado prej tyre.
116
2 DERIVATI I DISA FUNKSIONEVE ELEMENTARE
Kujtohu!
Cilët janë funksione themelore elementare dhecilët janë funksione elementare?
sin sin 2cos sin .2 2
cos cos 2sin sin .2 2
0
sinlim 1.x
xx
1lim 1 .x
xe
x
0
1lim ln .x
x
a ax
log log log , 0, 0.AA B A BB
log log , 0.nn A A A
Përcaktimi i derivatit sipas përkufizimit të ndonjë funksioni, shpeshherë është punë e gjatë dhe e ndërlikuar.Këtu do t’i caktojmë sipas përkufizimit derivatet e disa funksioneve, të cilët duhet t’i dimë sikur “tabelën eshumëzimit”. Më tutje do ta kemi parasysh këtë:
1. Derivati i konstantës
0.c
2. Derivat i funksionit ,nf x x n
Rritja ,f f x x f x d.m.th. .n nf x x x
Për n = 2: 2 2 2 2 22 (2 ),f x x x x x x x x x x x pra 0
(2 )lim 2 .x
x x x xx
Domethënë:
2( ) 2 .x x
Le të jetë , .f x c c Atëherë ,f x x c pra 0 0
lim lim 0,x x
f x x f x c cf xx x
d.m.th.
Nëse funksioni është dhënë me ndonjë shprehje analitike, pa u theksuar domeni i tij, do të llogarisim sedomeni i përmban të gjitha numrat real për të cilin ajo shprehje analitike ka kuptim.
1n nx n x
Për n = 3: 3 3 2 2 3 2 23 3 (3 3 ),f x x x x x x x x x x x x x pra
2 22
0
(3 3 )lim 3 .x
x x x x x xx
Domethënë:
3 2( ) 3 .x x
Tregohet se, në përgjithësi, për çfarëdo n vlen:
3 3 2 2 3( ) 3 3 .a b a a b ab b
117
1 Duke e zbatuar formulën paraprake cakto derivatin e funksionit:
a) ;f x x b) 2 ;f x x c) 5.f x x
Zgjidhjea) 1 1 01 1 1;f x x x x b) 2 12 2 ;f x x x c) 5 1 45 5 .f x x x
Funksioni ,nf x x n quhet funksioni i fuqisë, kurse formula 1n nx n x vlen për çdo numër real
n. Këtë pohim nuk do ta vërtetojmë, kurse zbatimin e saj do ta vështrojmë në shembujt vijues.
2 Cakto derivatin e funksionit: a) ;f x x b) 3 2 ;y x c) 1 ;yx
g) 3
1 .yx
Zgjidhje
a) 1 1 112 2 21 1 1 ;
2 2 2f x x x x x
x
b) 2 2 13 2 3 3
3
2 2 ;3 3
f x x x xx
c) 1 1 12
1 11 ;f x x xx x
ç)
1 1 13 3
3 3 4
1 1 1 .3 3
f x x xx x
3. Derivati i funksionit eksponencial , 0, 1.xf x a a a
1x x x x xf f x x f x a a a a
00 0
1 1lim lim lim .x x x
x
xx x
a ay af x ax x x
Pasi 0
1lim lnx
x
a ax
kemi
ln ,xf x a a d.m.th. ln .x xa a a Nëse ,a e atëherë .x xe e
4. Derivati i funksionit logaritmik log , 0, 1.ay x a a
( ) log log log .a a ax xy f x x f x x x x
x
log 1 log 11 1log 1 log 1 .
xa a x
a a
x xy x x x xx xx x x x x x x x x
0 0
1 1lim log 1 lim log 1 .x xx x
a ax x
x xy xx x x x
Pasi 0
lim log 1 logxx
a ax
x ex
vijon se 1 1log ,lnay x e
x x a
d.m.th. 1log .
lna xx a
Nëse ,a e atëherë 1ln .xx
118
5. Derivati i funksionit trigonometrik sin .y x
sin sin 2cos sin 2cos sin .2 2 2 2
x x x x x x x xf f x x f x x x x x
2cos sin2 2 ,
x xxfx x
kurse 0 0
sin2lim cos lim .
22
x x
xxf x x x
Pasi 0
sin2lim 1
2x
x
x
kemi cos ,f x x t.e. sin cos .x x
Trego se cos sin .x x 3
Derivatet e disa funksioneve do t’i paraqesim në tabelë që vijon.
Detyra
1 Duke e zbatuar formulën përkatëse, cakto derivatin e funksionit:
1,x x
12
xx
lnx xa a a
x xe e
1ln xx
sin cosx x
cos sinx x
1
2
3
4
5
6
7
a) 6;y x b) ;y x x c) 10
1 .yx
Cakto sipas përkufizimit derivatin e funksionit: a) 1 ;yx
b) ;y x c) 1 .yx
Caktoji pikat te të cilat funksionet 2y x dhe 22 3 4y x x kanë derivate të barabarta.
Caktoji pikat te të cilat derivati i funksionit siny x është i barabartë me 1.
Caktoji pikat te të cilat derivati i funksionit cosy x është i barabartë me 0.
Caktoji pikat te të cilat derivati i funksionit siny x është i barabartë me derivatin e funksionitcos .y x
2
3
4
5
6
1loglna x
x a
8
ç) 22 3 4;y x x d) 1 .2 1xyx
119
3 RREGULLAT THEMELORE TË DIFERENCIMIT
Deri tani caktuam derivate të disa funksioneve elementare. Në praktikë do të hasim kombinime tëndryshme të këtyre funksioneve, të fituara nga disa operacione aritmetike. Caktimi i derivatit të funksioneve tëtillë duke u bazuar në rregullat e përkufizimit është i gjatë dhe i ndërlikuar. Për caktimin e derivatit të funksionevetë tillë ekzistojnë rregulla të caktuara të cilat mundësojnë më lehtë njehsimin e derivatit.
1. Derivati i prodhimit të konstantës dhe funksionit
Teorema 1. Nëse f është funksion diferenciabil në pikën x dhe c është konstantë, atëherë dhe (cf)(x)është diferenciabile në x për të cilën kemi;
Cakto derivatin e funksionit:
a) 45 ;f x x b) 53 ;f x ax c) 3sin ;f x x ç) 2 ln .3
f x x
Vërtetim. Duke zbatuar përkufizimin e derivatit, kemi:
0 0
0
( ) ( ) ( ) ( )( ) lim lim
( ) ( )lim ( ).
x x
x
c f x x c f x c f x x c f xc f xx x
f x x f xc c f xx
1
Zgjidhjea) 4 4 3 35 5 5 4 20 ;f x x x x x b) 5 5 4 43 3 3 5 15 ;f x ax a x a x ax
c) 3sin 3 sin 3cos ;f x x x x ç) 2 2 2 1 2ln ln .3 3 3 3
f x x xx x
Cakto derivatin e funksionit a) 43 ;4
y x b) 2cos ;y x c) 2 ;y x g) 4 .xy a2
2. Derivati i shumës së funksioneve
Teorema 2. Nëse ,u u x v v x janë funksione diferenciabile në pikën (u + v) (x) e atëherëedhe funksioni x është diferenciabil në õ dhe për të vlen;
Vërtetim. Funksionet u dhe v janë diferenciabile në pikën x, që do të thotë se ekzistojnë limitet:
,u v x u x v x d.m.th. .u v u v
.c f x c f x
0 0
( ) ( ) ( ) ( )( ) lim dhe ( ) lim .x x
u x x u x v x x v xu x v xx x
0 0
0 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) lim lim
( ) ( ) ( ) ( )lim lim ( ) ( ).
x x
x x
u v x x u v x u x x v x x u x v xu v xx x
u x x u x v x x v x u x v xx x
Sipas përkufizimit të derivatit mund të shënojmë:
120
4 Cakto derivatin e funksionit: a) 2 3 623 4 ;3
f x x x x b) 2 52 3 4 ;y x x x
c) 3 23ln ;y x x x ç) 23sin 2cos .f x x x x Zgjidhje
Gjatë zgjidhjes së detyrave shfrytëzoji formulat që i ke mësuar deri tani për derivatin e funksionit.
a) 2 3 6 2 5 2 52 23 4 3 2 4 3 6 6 12 4 ;3 3
f x x x x x x x x x x
c) 2 2 13 2 3 3
3
1 1 3 1 2 3 1 23ln 3 .32 2 2 3
y x x x x xx x xx x x x
Cakto derivatin e funksionit: a) 23 2sin 3 2 ;xf x x x b) 312cos log .y x xx
5
3. Derivati i prodhimit të funksioneve
Teorema 3. Nëse dheu u x v v x janë diferenciabile në pikën x, atëherë edhe funksioni ( )( )u v xështë diferenciabil në x dhe vlen relacioni;
, d.m.th. .u v x u x v x u x v x u v u v uv
Vërtetim. Duke zbatuar përkufizimin për derivatin, fitojmë:
3 Cakto derivatin e funksionit: a) 22 3 ;f x x x b) 3 21 1 ;3 2
f x x x c) 2 cos .f x x x
Zgjidhje
a) 22 3 2 2 3 1 4 3;f x x x x x b) 3 2 21 1 .3 2
f x x x x x
Kjo rregull vlen për tre dhe më shumë funksione diferenciabile në pikën x, d.m.th.
.u v w u v w
0 0
0
0
0
( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) lim lim
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )lim
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )lim
( )lim
x x
x
x
x
u v x x u v x u x x v x x u x v xu v xx x
u x x v x x u x v x x u x v x x u x v xx
u x x u x v x x u x v x x v xx
u x x u
0 0
( ) ( ) ( )lim ( ) ( ) lim
( ) ( ) ( ) ( ).x x
x v x x v xv x x u xx x
u x v x u x v x
Në këtë rast shfrytëzojmë se v është funksion diferenciabil në pikën x, pra ai është i vijueshëm në x. Prej
nga,0
lim ( ) lim ( ) ( ).x t x
v x x v t v x
121
Cakto derivatin e funksionit: a) 2 4 22 3 3 5 ;f x x x x
b) 2 sin ;f x x x c) 22 3 ln , 0;y x x x x ç) 1 sin cos .y x x
6
Krahasoje zgjidhjen tënde me zgjidhjen e dhënë:
a) Le të jetë 2 4 22 3 dhe 3 5.u x x v x x x Sipas formulës kemi:
,f x u x v x u x v x d.m.th.
4 2 2 34 3 5 2 3 4 6f x x x x x x x
2 4 2 2 4 22 3 3 5 2 3 3 5f x x x x x x x
5 3 5 3 34 12 20 8 12 12 18f x x x x x x x x
5 312 36 38 .f x x x x
ç) 1 sin cos 1 sin cosy x x x x
cos cos 1 sin siny x x x x
2 2cos sin siny x x x
Cakto derivatin e funksionit:
a) 2 3 1 ;y x x b) 2 , 0;y x x x c) 2 2 2 2 ;y x a x a ç) sin cos .y x x x
7
Teorema për derivatin e prodhimit të funksioneve diferenciabile mund të përgjithësohet për derivat tëprodhimit të tre e më shumë funksioneve, por për një numër të fundmë të funksioneve diferenciabile.
Nëse y u v w është prodhim i funksioneve diferenciabile , dhe ,u u x v v x w w x atëherë
,y u v w pra y u v w u v w ose y u v u v w u v w , d.m.th.
.y u v w u v w u v w
Në mënyrë të njejtë mund të caktohet derivati i prodhimit për katër e më shumë funksione.
Cakto derivatin e funksionit: a) 2 sin ;xy x e x b) sin cos .xy e x x8
Zgjidhje
a) 2 2 2sin sin sin ;x x xy x e x x e x x e x 2 22 sin sin cos ;x x xy xe x x e x x e x
2sin sin cos .xy xe x x x x x
4. Derivati i herësit të funksioneve
Teorema 4.. Nëse dheu u x v v x janë funksione diferenciabile në pikën x, ku 0,v x atëherë
edhe funksioni ( )u xv
është diferenciabil në x dhe për të vlenë:
2 2
( ) ( ) ( ) ( )( ) , d.m.th. .( )
u u x v x u x v x u u v u vxv v x v v
cos 2 sin .y x x
122
Vërtetim
Cakto derivatin e funksionit: a) 2
2 ;1
xyx
b) 2
2
1;xyx
c) 2
2
1.1
x xyx x
9
Zgjidhje
a) Duke zbatuar formulën 2 ,u u v u v
v v
ku 22 , kurse 1 ,u x v x kemi:
2 2 2 2
2 2 22 2 2
2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 .1 1 1
x x x x x x x xyx x x
Cakto derivatin e funksionit: a) tg , , ;2
y x x k k b) ctg , , .y x x k k 10
Zgjidhje
a) Pasi sincos
xtg xx
kemi;
2 2 2
sin cos sin cos cos cos sin sin 1 ,cos cos cos
x x x x x x x xy
x x x
d.m.th.
2
1tg .cos
xx
b) Vërteto se 2
1ctg .sin
xx
Këto formula mund të shtohen në tabelën e derivateve në fund të mësimit 2.
0 0
0
0
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) l i m li m
( ) ( ) ( ) ( )l i m( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )l i m( ) ( )
l i
x x
x
x
u x x u xu ux x xu v x x v xv vxv x x
u x x v x u x v x xx v x v x x
u x x v x u x v x u x v x u x v x xx v x v x x
0
0 0
0
2
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )m
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )l i m ( ) ( ) l i m
( ) l i m ( )
( ) ( ) ( ) ( ) .( )
x
x x
x
u x x u x v x x v xv x u xx x
v x v x xu x x u x v x x v xv x u x
x xv x v x x
u x v x u x v xv x
123
11 Cakto derivatin e funksionit: a) 1 ;
cosy
x b)
sin ;sin cos
xyx x
c) .sin
xx eyx
Zgjidhje
c)
2 2
sin cossin sinsin sin
x x xx x x e x e x xe xx e x xe x
yx x
2
sin sin cos.
sin
xe x x x x xx
Njehso 0f x nëse:
a) 01 , 1;f x x xx
b) 01, 0;x
xf x xe
c) 0ln , 1;
1xy x
x
ç) 0
1sin , 0.xxy e x x
e
12
Detyra
1
Duke i zbatuar formulat përkatëse njehsoji derivatet e funksioneve.
a) 20,5 ;y x b) 3;y x c) 44 ;y x ç) .y mx n
a) 22 3 5;y x x b) 22 3 4;y x x
c) 2 3
41 ;2 3 4x xy x x ç) 2 3 4
1 1 2 3 .yx x x x
a) 13 ;y x b)
25 ;y x
c) 3 2 ;y x ç) 344 3 .y x x
2
3
a) sin 2cos ;y x x b) 5 ln ;xy x e x c) tg ctg .y x x 4
a) 2 3 1 2 ;y x x x b) 23 2 4 1 ;y x x x c) 2 2 1 1 .y x x x 5
a) sin cos ;y x x b) sin tg ;y x x c) cos ctg .y x x 6
a) 3 ln ;y x x b) 2 ;xy x e c) ln .xy x e x
a) 2
2
1;1
xyx
b) 2
2
3 2 ;1
x xyx
c) 1 ;
siny
x ç)
cos .1 cos
xyx
a) ln 1;ln 1
xyx
b) 2
ln ;xyx
c) .x
xye
Për funksionin 11
x
x
ef xe
caktoji 0 dhe 1 .f f Vërteto se 1 1 .f f 10
9
8
7
124
4 DERIVATI I FUNKSIONIT TË PËRBËRË
Le të jetë
23 , dhe 1, .f x x x g x x x T´i
formojmë funksionet f g x i .g f x Kemi:
2 23 3 1 3 3f g x g x x x dhe
2 2( ) 1 9 1.g f x f x x
Vërejte se .f g x g f x
Funksioni f g x quhet funksion i përbërë
ose kompozicion i f x dhe .g x
Kujtohu!
1 Janë dhënë funksionet:
a) sin ;y x b) 2 3;xy e c) 2ln ;y x ç) cos3 ;y x d) 2ln 2 .y x x
Cakto funksionin u x dhe funksionin .y f u
Përgjigje
a) sin , ;u x x y u
c) 2ln , ;u x x y u ç) 3 , cos ;u x x y u
d) 2 2, ln .u x x x y u 2 Cakto funksionin u x nëse:
a) 2 ;xy e b) ln sin ;y x c) 142 3;y x ç) sin 3 2 .y x
Rregulla për caktimin e derivatit të funksionit të përbërë parashtrohet me këtë teoremë:
Teorema. Le të jetë funksioni u x diferenciabil në pikën 0 ,x kurse funksioni f x diferenciabil në
pikën 0 0 .u u x Atëherë funksioni i përbërë h x f u x është diferenciabil në pikën x0, dhevlen relacioni:
0 0 0 .h x f u x u x
Vërtetim. Le të jetë 0 0u x x u x k është rritja e funksionit .u x Prej këtu vijon
0 0 0 .u x x u x k u k
Pasi u x është funksion diferenciabil në pikën x0, ai është i vijueshëm në atë pikë, pra rritja e tij k në x0
tenton nga 0 kur 0.x
Funksioni 21y x mund ta shqyrtojmë sifunksion të përbërë, pra ai mund të shkruhet me
ndihmën e funksionit 21 , d.m.th. .u x x y u
Funksioni u(x) shpeshherë quhet funksionndërmjetësues.Funksioni 32 1y x është funksion i përbërë.
Funksioni ndërmjetësues është 2 1,u x x pra3.y u
Funksioni ndërmjetësues u x nuk ështënjëvlerësisht i përcaktuar.
125
0 0 0 00 0 0
lim lim .x x
f u x x f u x f u k f uh x
x x
Nëse numëruesin e shumëzojmë me k, pasi 0 0 ,k u x x u x kemi
0 0 0 0 0 00 0 0 0
lim lim limx k x
f u k f u f u k f u u x x u xkh xx k k x
0 0 0 0 .f u u x f u x u x
Gjatë zbatimit praktik të teoremës, funksionin e shënojmë me ,y f u x kurse derivati e funksionit
në pikën fx D është .y f u u x
3 Cakto derivatin e funksionit: a) 52 3 ;y x b) 2 3;y x v) 234 3 .y x
Vëreje mënyrën:a) Funksioni ndërmjetësues 2 3,u x pra 5 ,y ukurse derivati i tij është
45 ;y u u x
45 2 3 2 3 ;y x x
4 45 2 3 2 10 2 3 .y x x
b) 2 3, ;u x y u 1 ;2
y u xu
2
2
1 3 ;2 3
y xx
2 2
1 2 .2 3 3
xy xx x
Cakto derivatin e funksionit:
a) 2
;xy e b) 2 2 ;x xy e c) 2ln , 0;y x x ç) 2ln 2 3 .y x x
4
Krahasoje zgjidhjen tënde me zgjidhjen e dhënë:
a) 2 2 22 2; , , 2 .x u u x xy e u x x y e y e u x e x xe pa a
c) 2 2 2lnln ; ln , , 2 2ln ln .xy x u x x y u y u u x x xx
pa a
5 Cakto derivatin e funksionit:
a) 2sin ;y x b) cos2 ;y x c) 3tg tg .y x x
Zgjidhje
a) 2 2sin ; sin , , 2 2sin sin 2sin cos sin 2 ;y x u x y u y u u x x x x x x pa a
b) cos sin 2 2 2sin 2 ;y u u x x x x
c) 2
22 2
1 3tg 13tg tg .cos cos
xy x xx x
126
Më lartë në tabelë parashtruam derivatete e disa funksioneve elementare. Këtu do të parashtrojmë
tabelën për disa funksione të përbërë, ku u u x është funksioni ndërmjetësues.
1
2
3
4
6
7
5
8
9
1 ,u u u
12
u uu
lnu ua a a u
u ue e u
1lnu uu
cos sinu u u
2
1tgcos
u uu
2
1ctgsin
u uu
6 Cakto derivatin e funksionit:
a) 3sin ;y x b) 1ln ;1
xyx
c) 2cos ;y x x ç) ln sin .y x
Zgjidhje
a) 3 3 2 3cos 3 cos ;y x x x x
b)
2 2 2
1 1 1 11 1 1 1 1 1 2 ;1 1 1 1 11 11
x x x xx x x x xy x x x x xx xx
c) 2 2
2 2 21 cos coscos cos cos 2cos cos 2cos sin sin2 ;2 2 2
x xy x x x x x x x x x x x x xx x x
ç) 1 1 1 1 1sin cos cos ctg .sin sin sin 2 2
y x x x x xx x x x x
7 Cakto derivatin e funksionit:
a) 21 1;f x x x b) tg ;xf x e
c) 2 2 ;xf x x e ç) 2sin 1 .f x x
sin cosu u u
10 1loglna u u
u a
127
8 Cakto derivatin e funksionit y y x të përcaktuar me barazimin:
a) 2 2 1 0;x y b) 3 3 23 0;x y x x
c) 2 2
1;4 6x y
ç) .x y a
Shihe mënyrën:
Funksioni y y x është dhënë në formën implicite dhe për caktimin e derivatit y y x barazimin edhënë do ta zgjidhim sipas y, d.m.th. do ta shkruajmë në formën eksplicite, duke pasur llogari për fushën edefinimit të funksionit të fituar.
a) Prej barazimit të dhënë kemi:
2 21 ,y x t.e. 21y x d.m.th. 21 , 1,1 ,y x x pa
2
2 2
1 12 1 1
xy xx x
d.m.th. 2
,1
xyx
t.e. 2
.1
xyx
b) 3 2 33 ,y x x x t.e. 3 2 33 , ,y x x x x pa
2 3 2
3 32 3 2 3
3 1 6 3 .3 3 3 3
x x x x xyx x x x x x
ç) ,y a x t.e. 2, 0,y a x x pa
12 .2
x ay a xx x
9 Cakto vlerën e derivatit të funksionit në pikën x, i cili është dhënë me barazimin:
a) 2 3 2 0, 2;x xy x y x b) 2 2 0, 0.xe x yx y x
Vendim
a)
2 2
2
3 2 5 2, ; 2 5;1 1
x x x xy y yx x
b)
2 2
2
4 1, ; 0 .2 42
x x xx e x x xe ey y yx x
128
Detyra
1
Cakto derivatin e funksionit:
a) 423 5 1 ;y x x b) 1145 3 ;y x c) 2 ;y a bx ç) 53 .y a bx
a) 22 3 3 ;y x x b) 37 23 2 3 4 .y x x x
a) 2 2;y x b) 3 34 2 .y ax
2
3
a) 22 1 4 ;y x x b) 2 21 9 .y x x
a) 22 1;y x x b) 2
2 1 .1
xyx
5
4
Janë dhënë funksionet 23 2 ,f x x g x x dhe sin .p x x
Formo funksion të përbërë ,h x nëse:a) ;h x f g x b) ;h x g p x c) ;h x g f x ç) .h x p f x
Cakto derivatin e funksionit .h x
Janë dhënë funksionet 1 , cos1
f x g x xx
dhe .p x x Formoje funksionin e përbërë
,h x nëse: a) ;h x f g x b) ;h x f p x c) ;h x p g x ç) .h x p f x
Cakto fushën e përcaktimit të funksionit .h x Cakto derivatin e funksionit .h x
6
7
Cakto derivatin e funksionit:
a) 2 3;xy e b) 2ln 3 ;y x x c) ln sin .y x
Cakto derivatin e funksionit:
a) sin3 ;y x b) 3sin ;y x c) cos .2xy
8
9
10 Cakto derivatin e funksionit:
a) cos ;y ax b) 2cos2 tg .y x x
Cakto derivatin e funksionit y y x të përcaktuar me barazimin
a) 3 5 0;x y x b) 2 0;y x
c) 2 2 4 3 0;x y x ç) 22 0.x xy x y
11
129
5 DERIVATI I RENDIT TË LARTË
Kujtohu!
Si caktohet derivati i funksionit të dhënë sipas përkufizimit?
Nëse 3 22 3 4 5,y x x x atëherë derivati i tij është 26 6 4.y x x
1 Është dhënë funksioni 2 .f x x x Cakto derivatin e funksionit .f x
Zgjidhje:
Derivati i funksionit f x e 2 1,f x x kurse derivati i funksionit f x e
0 0 0 0
2 1 2 1 2lim lim lim lim 2.x x x x
f x x f x x x xf xx x x x
Derivati i funksionit 0f x në pikën 0 ,fx D nëse ekziston, quhet derivati i dytë ose derivati irendit të dytë dhe shënohet f x (lexohet f sekundum ose f sekondë). Në këtë kuptim f x quhet derivati
i parë ose derivati i rendit të parë. Prandaj, derivati i dytë i funksionit f x është derivati i funksionit ,f x
d.m.th. .f x f x
Për detyrën e dhënë kemi: 2 2.x x
Me diferencimin të mëtutjeshëm të funksionit f x fitohet derivati i tretë, d.m.th. ,f f kurse
4 4 5,f f f f etj. deri sa plotësohet supozimi për ekzistimin e derivatit pasardhës.
Mbaj mend!
Funksioni f i cili ka n-derivate quhet funksion n herë diferenciabil.
Për funksionin 4f x x kemi:
34 ;f x x 212 ;f x x 24 ;f x x 4 24;f x 5 0f x dhe çdo derivatpasardhës është i barabartë me zero.
2 Cakto derivatin e tretë të funksionit .xf x x e
Zgjidhje:
1 ;x x xf x x e x e x e 1 1 2 ;x x xf x x e x e x e
2 2 3 .x x xf x x e x e x e
130
3 Cakto derivatin e pestë të funksionit: a) sin ;y x b) cos .y x
Zgjidhje:
a) cos ,f x x sin ,f x x cos ,f x x 4 sin ,f x x 5 cos ;f x x
b) sin ,f x x cos ,f x x sin ,f x x 4 cos ,f x x 5 sin .f x x
Vazhdo me kërkimin e derivatit të rendit të lartë të funksioneve. Çka vëren?Vëre, të dy funksionet janë shumë herë diferenciabile në R, prandaj për këto funksione vlen barasia
4 , .n n
x xf f n
4 Cakto derivatin e dytë të funksionit: a) ;xy xe b) 2 ln ;y x x c) 2 1.y x
Zgjidhje:
C) 2
2 2
1 1 ;2 1 1
xy xx x
2 222 2
2 2
2 2 2 2 22
111 1 11 1 .1 1 1 11
x x xx xx x x x x xyx x x xx
5 Vërteto se funksioni sin cosy x x e plotëson barazimin 0.y y y y
Detyra:Cakto derivatin e dytë të funksionit (1 - 5 ):
a) 25 3 4;y x x b) 4 31 7 9 .12 6 5
y x x a) 2
4 ;1
xyx
b) 3 .y x x
a) ln ;y x x b) 2 .xy x e a) 1 ;1
xyx
b) 2 ;
1xyx
c) sin .xy x e
a) 2 2 25;x y b) 2 1.y xy x
Cakto vlerën e derivatit të dytë të funksionit:
a) 3 23 9 10, 1;y x x x x b) 2
, 4.2
xy xx
Caktoji koeficientët a, b dhe c të funksionit 2 ,f x ax bx c nëse 1 7,f 3 9f dhe
4.f x
Vërteto se funksioni sinxy e x e plotëson barazimin 2 2 0.y y y
Vërteto se funksioni 23
xyx
e plotëson barazimin 2 2 0.x y y y
Vërteto se funksioni 4 2x xy e e e plotëson barazimin 13 12 0.y y y
1 2
3 4
5
6
7
8
9
10
131
6 DIFERENCIALI I FUNKSIONIT
Prej saj fitojmë barasinë 0 0 ,f x f x x x i njohur si formula për rritje të fundshme. Formula
është e saktë edhe për 0,x pavarësisht prej asaj se si është përkufizuar .Nga ajo,rritja e funksionit f x paraqet shumën e dy mbledhësve
Mbledhësi i parë 0f x x quhet diferenciali i funksionit f x në pikën x0 dhe shënohet me
0df x ose .df
Diferenciali i funksionit y x zakonisht shënohet me dx. Prej nga, 1 ,dx dy x x x x t.e.
.dx x Prandaj:
0 0df x f x dx ose 0 .dy f x dx
Përkufizim. Diferenciali i funksionit f x në pikën fx D është prodhimi i derivatit të funksionit
f x në atë pikë dhe diferencialit të argumentit ,d.m.th. df f x dx ose .dy f x dx
Cakto diferencialin e funksionit:
a) 3 23 3 ;y x x x b) sin ;y x c) ;xy x e ç) 2 2 .y a x
1
Krahasoje zgjidhjen tënde me zgjidhjen e dhënë
a) 23 6 3,f x x x pra
,dy f x dx d.m.th.
23 6 3 ;dy x x dx
ç) 2 2 2 2
2 ,2
x xya x a x
pra
2 2.xdxdy
a x
Të supozojmë se funksioni f x është diferenciabil në intervalin ,a b dhe ka derivat në pikën
0 , .x a b Atëherë për çdo ,x kështu që , dhe 0x x a b x është definuar ndryshimi 0
0 ,f x
f xx
ku është funksion ,x d.m.th. ,x prej saj 0
lim 0.x
x
Që të jetë x i përcaktuar
në 0,x do të vëndojmë 0 0.
0f x x dhe .x
Vërej, prej dy f x dx vijon ,dyf xdx
pra dydx
është edhe një shënim për derivatin e
funksionin .f x
132
Prej barasisë 0 0f x f x x x kemi 0 0 ,f x df x dx d.m.th. 0 0 ,f x df x dx me
të, kur 0,x atëherë 0.dx Domethënë , për x mjaft të vogël, mund të thuhet se;
2 Cakto ndryshimin f df të funksionit 2f x x në pikën 2,x nëse 0,1.dx x Zgjidhje
2 2 2 ;f f x x f x x x x x x x 2 .df f x dx xdx
Për 2x dhe 0,1,dx 2 2 0,1 0,1 0,41, kursef
2 2 0,1 0,4,df pra 0,41 0,4 0,01.f df
3 Njehso diferencialin funksionit 3 2 1f x x x në pikën 2x dhe cakto gabimin nëse y
zëvendësohet me: a) 0,1;dx x b) 0,01.dx x Zgjidhje
a) 2 23 2, kurse 3 2 ;f x x df x dx 22 3 2 2 0,1 1.df
3 23 22 1 2 1 3 2 3 .f f x x f x x x x x x x x x x x x
Zgjidhje 23 2 ,f x x x x od f f x x x vijon
23 ,x x x x t.e. 3 .x x x
Për 2x dhe 0,1, 3 2 0,1 0,1 0,61.x Ndryshimi i kërkuar është 0,61 0,1 0,061.f df x Domethënë, nëse f e
zëvendësojmë me df do të bëjmë gabim për 0,061.
Në qoftë se x është shumë i vogël, gabimi do të jetë shumë më i vogël.Zgjidhe detyrën nën b),me të cilën do ta vërtetosh përfundimin paraprak.
Prej përfundimit 0 0 ,f x df x t.e. 0 0 0f x x f x f x dx kemi
0 0 0 .f x x f x f x dx
Kjo formulë mundëson zbatimin praktik të diferencialit për njehsime të përafërta të vlerës së funksionit
f x në pikën x e cila është në rrethinën e pikës x0, pasi diferenciali i një funksioni, sipas rregullës, më lehtëcaktohet nëpërmjet rritjes të funksionit.
4 Me zbatimin e diferencialit të funksionit,njehso përafërsisht : a) 10; b) 3 28.
Shihe mënyrën
a) Funksioni është .f x x Pasi e dimë saktësisht sa është 9, kurse 9 është afër 10, për 0 9x dhe
1,x sipas formulës 0 0 0 ,f x x f x f x dx kemi:
0 00
1 ,2
f x x f x dxx
d.m.th. 19 1 9 1,2 9
f f pa 1 1 1910 9 1 3 .
2 3 6 6
0 0 0,f x df x d.m.th. 0 0 .f x df x
133
b) Funksioni e 30, 27, 1,f x x x x dx pa 0 0 0 0 23
0
1 1,3
f x x f x f x dx f xx
d.m.th. 3 333 2
1 1 8228 27 1 3 .3 273 27
5 Përafërsisht njehso vlerën e:
a) 30, 1 0,1;f x x x x x ako i b) 5; v) 4 16,64.
Cakto vlerën e përafërt të a) 0tg 46 ; b) 0cos59 .6
Zgjidhje
a) 0 00tg , 45 , 1 ;
180f x x x x dx
b) 0 00cos , 60 , 1 ;
180f x x x x dx
0 0 0f x x f x f x dx
0 0 20
1cos
f x x f x dxx
0 0 02 0
1tg 45 1 tg 45cos 45 180
02
1tg 46 1 1 2 1,0349.180 1802
2
0 0 0sinf x x f x x dx
0 0 0 060 1 60 sin 60180
f f
0 1 3cos59 0,5151149.2 2 180
Detyra
Cakto rritjen dhe diferencialin e funksionit ,y f x nëse:
a) 201, 1, 0,1;y x x x x b) 3 2
02 3, 2, 0,2;y x x x x x
c) 0cos , , ;6 18
y x x x
Cakto diferencialin e funksionit ,y f x nëse:
a) 1 ;yx
b) 3
1 ;yx
c) 21 .y x
Cakto diferencialin e funksionit ,y f x nëse:
a) 21 ;y x x b) 2 ln ;y x x c) 2sin .y x
Cakto gabimin absolut që fitohet gjatë zëvendësimit të rritjes së funksionit me diferencialin, nëse
0, 4, 0,01.y x x x
1
2
3
4
134
t1
t2
t3
M
yf x
fig.1
5 Cakto diferencialin e funksionit f x në pikën x0, kurse për 0,01x caktoji vlerat e
0 0dhe ,f x x f x x nëse: a) 203 , 1;f x x x b) 0
1 , 1.f x xx
Njehso përafërsisht: a) 3 65; b) 8,76.6
Njehso përafërsisht: a) 0sin 31 ; b) ln 0,9.7
Sa është gabimi te syprina e katrorit brinja e të cilit është e gjatë 50 0,01 m?8
Brinja e katrorit është 20 0,01 m.a Cakto gabimin te syprina e tij.
Sa është gabimi i mundshëm te syprina e qarkut me rreze 50 0,2 cm?r
9
10
7 INTERPRETIMI GJEOMETRIK I DERIVATIT TË FUNKSIONIT
Kujtohu
Koeficienti k i drejtimit të drejtëzës y kx n në sisteminkënddrejtë koordinativ është tg ,k është këndi që drejtëza e formon me kahun pozitiv të x-boshtit.
y
x0
Drejtëzat 1 1 2 2dhey k x n y k x n janë:
a) paralele, nëse 1 2 ;k k
b) normale, nëse 1 21 0.k k
Tangjenta e rrethit është drejtëz e cila ka vetëm një pikë të përbashkët me rrethin.
Koeficienti i drejtimit të drejtëzës që kalon nëpër pikat 1 1 2 2, dhe ,A x y B x y është 2 1
2 1
.y ykx x
A Nëpër pikën M që shtrihet në lakoren kalojnëdrejtëzat t1, t2 dhe t3 të cilat me lakoren kanë njëpikë të përbashkët (fig.1). A janë ndonjëra ngadrejtëzat t1, t2 dhe t3 tangjenta të lakores?
Nëpër pikën T prej lakores (k) në fig. 2 janë tërhjekur drejtëzat; 1 2, , ,TA TA TA
135
x
y
0 x
T0
T1
M
N
fig.3
df
x0
G
t
0T
(k)
A2
A
s2A1
ss1
t
fig.2
Çdo drejtëz që kalon nëpër pikën T dhe cilëndo pikë A, A1, A2, ... tëlakores (k) quhet prerëse e lakores (k) (fig. 2).Nëse pika A lëviz nëpër lakoren (k), atëherë prerësja e ndërronpozitën, pra nëse gjatë procesit kufitar kur pikat
,iA 1,2,3,...i i afrohen pafund deri në puthitjen me T, atëherëprerësja i iTA s ka pozitë të caktuar kufitare dhe për drejtëzën efituar t themi se është tangjentë e lakores (k).
Përkufizim. Tangjenta e lakores (k) në pikën T është pozitakufitare, nëse ekziston, e prerëses TA, kur pika A nëpër lakoren(k) tenton drejt pikës T.
0
lim ,x x
pra 0
lim tg .x x
tg
0 ,x x x atëherë:
1 0
0 000
tg lim tg lim .T T x
f x x f xf x
x
Mbaj mend!
Koeficienti i drejtimit k i tangjentës së lakores y f x në pikën 0 fx D është
0 ,k f x nëse 0f x ekziston.
Nëse 0f x nuk ekziston, d.m.th. tg , atëherë tangjenta e lakores në pikën 0 0,T x f x është
paralele me boshtin y, d.m.th. është e formës 0.x x
Nëse pikat 0 0 0,T x f x dhe 1 ,T x f x shtrihen në lakoren G,atëherë koeficienti i drejtimit i prerëses T0T1 është
Në sistemin e koordinatave xOy lakorja G le të jetë grafik i funksionit ,y f x për të cilin supozojmë seështë diferenciabil në pikën x0 (crt. 3).
0
0
tg , 0 .f x f x
x x
kur 0 1 0 ,x x T T atëherë këndi i prerëses tenton drejtkëndit , d.m.th.
Pasi 0
0
tg ,f x f x
x x
kurse prej 0x x x vijon
Prej saj, drejtëza T0M ndaj të cilës tenton prerësja T0T1 kur 1 0T T është tangjentë e lakores nëpikën T0.
136
1 Cakto koeficientin e drejtimit të tangjentës së lakores që kalon nëpër pikën x, nëse :a) 2 2 , 1;f x x x x b) 3 22 3, 1;f x x x x
c) 2 , 0;1
xf x xx
ç) sin , .4
f x x x
Përgjigje a) 2 2, 1 2 1 2 0;f x x k f
c)
2 2 2
2 22 2
1 1 1 , 0 1.1 1
x x x x xf x k fx x
2 Në cilën pikë të lakores 3 22 1,y x x koeficienti i drejtimit të tangjentës është i barabartë me 4?
Zgjidhje23 4 .y x x Pasi 4,k vijon 0 4,y x d.m.th. 2
0 03 4 4,x x pra 023
x dhe 0 2.x
Për 02 ,3
x 3 2
02 2 5 2 52 1 ; , .3 3 27 3 27
y A
Për 3 20 02, 2 2 2 1 1; 2, 1 .x y A
3 Në cilën pikë të lakores 3y x tangjenta është:a) paralele me drejtëzëm 3 4;y x b) paralele me boshtin x;
c) normale me drejtëzëm 3 4 5 0?x y
Zgjidhjec) Drejtëza është e dhënë me barazimin 3 4 5 0,x y ose në formën eksplicite
3 5 .4xy
Koeficienti i drejtimit të tangjentës të lakores së dhënë në pikën x0 është 21 03 ,k x kurse koeficienti
i drejtimit të drejtëzës 23 .4
k
Për 3
0 02 2 8 2 8, , , .3 3 27 3 27
x y A
pa
Për 0 02 8 2 8, , , .3 27 3 27
x y A
Prej kushtit 1 21 0k k kemi 20
31 3 0,4
x t.e. 02 .3
x
Prandaj,interpretimi gjeometrik i derivatit të funksionit f x qëndron në këtë: derivati i funksionit f x nëpikën x0 është i barabartë me koeficientin e drejtimit të tangjentës që kalon nëpër pikën me abshisë x0,
d.m.th. 0 tg .f x k
Derivati i funksionit 3y x është 23 ,y x kurse derivati i funksionit 3 5
4xy
është 3 .4
y
137
x
y
0 x
T1
M
N
fig.4x0
df
f
dx x
T0
Të analizojmë kuptimin gjeometrik të diferencialit të funksionit .f x
Në fig. 4 vërejte se 0 0x x T N x është rritja e argumentit, kurse rritja e funksionit është
1 0 0 .f NT f x x f x Prej 0T NM vijon
0
tg ,NMT N
d.m.th. 0 tg .NM T N
Le të jetë 0 .T N x dx Pasi 0 tg ,f x vijon se
0 0 0tg , d.m.th. .NM T N NM f x dx df x
Domethënë,diferenciali 0df x i funksionit f xnë pikën x0 paraqet rritja e ordinatës të tangjentës së
lakores y f x të tërhequr në pikën me abshisëx0.
Numri 0 0 1 1f x df x NT NM MT tregon
gabimin i cili bëhet kur rritja f i funksionit do tëzëvendësohet me diferencialin df të funksionit
f x në pikën abshisë 0 .fx D
Detyra:1 Cakto koeficientin e drejtimit të tangjëntës së lakores 25 2y x x në pikën:
a) 0;x b) 1;x b) 2;x ç) 1 .5
x
Cakto koeficientin e drejtimit të tangjëntës së lakores cosy x në pikën:
a) 0;x b) ;4
x c)
2 .3
x
Cakto koeficientin e drejtimit të tangjëntës së lakores y tg x vo në pikën:
a) ;4
x b)
3 ;4
x c)
2 .3
x
Në cilat pika koeficienti i drejtimit të tangjentës së lakores 3y x është i barabartë me 3?
Në cilat pika të lakores 23y x x tangjenta është:a) paralele me x-boshtin; b) paralele me simetralën e kuadrantit të parë?
4
3
2
5
B
Prej fig. 4, mund të vërehet qartë se nëse x është më afër x0 aq më tepër ndryshimi ndërmjet f dhedf është më ti vogël, d.m.th. përafrimi i rritjes f të funksionit me vlerën e diferencialit df është më imirë.
138
Në cilat pika tangjenta e lakores: a) 2 3 2;y x x b) 3 2 2 1y x x me x-boshtin
formon kënd ?4
Në cilat pika tangjenta e lakores lny x është paralele me drejtëzën:
a) 1;y x b) 2 3?y x
Caktoji pikat te të cilat tangjentat e lakoreve 3 1y x x i 23 4 1y x x janë paralele.
Në cilat pika tangjenta e lakores 3 23 3 3y x x x është normale me drejtëzën 3 4 0?x y
Nën cilin kënd priten lakoret: a) 2y x dhe 2 ;y x b) siny x dhe cos ?y x
6
7
8
9
10
(Me kënd ndërmjet dy lakoreve L1 dhe L2 që priten në pikën M0 nënkuptojmë këndin ndërmjettangjentave të tyre në pikën M0.)
139
TEMA 4 ZBATIMI I DERIVATIT TË FUNKSIONIT
Barazimi i tangjentës dhe barazimi inormales...........................................
Interpretimi fizik i derivatittë funksionit ....................................
Shqyrtimi i monotonisë së funksionitme ndihmën e derivatit......................
Në këtë temë do të mësosh për:
1
2
3
140
143
147
Caktimi i vlerave ekstreme tëfunksionit me ndihmën e derivatit.......
4150
Disa zbatime praktike të maksimumitdhe minimumit .................................
5156
Konveksiviteti. Konkaviteti. Pikat elakimit .............................................
6161
Shqyrtimi i vetive të disa funksionevedhe të vizatuarit e grafikëve të tyre....
7164
0x
0
0
fx
x
0
0
fx
x
0x x 0x x
Për realizimin e temës mund të shfrytëzohen këto aplikacione:
- Gjeogjebra (Interpretimi gjeometrik i derivatit të funksionit (tangjenta e rrethit; Shqyrtimi ivijimit të grafikut të disa funksioneve me ndihmën e derivatit (monotonia, vlerat ekstreme,konveksiviteti, konkaviteti, pika e lakimit; vizatimi i grafikut të funksionit))
- Km Plot (Interpretimi gjeometrik i derivatit të funksionit (tangjenta e vijës rrethore); caktimii maksimumit dhe minimumit të funksionit me ndihmën e derivatit; Shqyrtimi i vijimit tëgrafikut të disa funksioneve me ndihmën e derivatit (monotonia, vlerat ekstreme,konveksiviteti, konkaviteti, pika e lakimit; vizatimi i grafikut të funksionit))
140
1 BARAZIMI I TANGJENTËS DHE BARAZIMI I NORMALËS
Prej më parë e dimë se barazimi i drejtëzës nëpër pikën 0 0,T x y dhe koeficientin e drejtimit tëdhënë k është
Pasi koeficienti i drejtimit k të tangjentës në pikën tëlakores së funksionit diferenciabil y = f (x) është
0 ,f x d.m.th. 0 ,k f x barazimi i tangjentës është
0 0 0 ,y y f x x x
Mbaj mend!
1 Cakto barazimin e tangjentës së parabolës 24 4 3y x x në pikën 1, .T y
ZgjidhjePër 21, 4 1 4 1 3 3,x y d.m.th. 1, 3 .T
8 4,y x 1 8 1 4 4,k f pra barazimi i tangjentës është 0 0 ,y y k x x d.m.th.
3 4 1y x ose : 4 7 0.t x y
A
Shkruaje barazimin e tangjentës së elipsës 2 23 4 48x y në pikën 2, 0 .T y 2
Zgjidhje
Prej barazimit 2 23 4 48x y vijon 2
2 48 3 .4
xy Pasi 0,y domethënë 21 48 3 ,
2y x pra
2
3 .2 48 3
xyx
Për 0 012, 3, kurse 2 ,2
x y k y pra barazimi i tangjentës në pikën 0 02,3 ,A y y k x x
3 Cakto barazimin e tangjentës të rrethit 2 2 8 9 0x y x në pikën 0, 3 .T
xx0
y0
y
T (x0,y0)
0
fig.1
y f x
Barazimi i tangjentës i grafikut të funksionit y f x i cili është diferenciabil në pikën x0 është
0 0 0 0 0, .y y f x x x y f x
ku 0 0 .y f x
d.m.th. 13 2 ose 2 8 0.2
y x x y
(Ke kujdes, kërkohet tangjenta në pikën ordinata e së cilës është y 0 ).
është
� �� ��� � � � � �
141
4B Cakto barazimin e normales së lakores y f x në pikën 0 0, .T x f x
Funksioni y f x le të jetë diferenciabil në pikën x0
(fig. 2).
Normalja e lakores y f x është drejtëza n qëështë normale me tangjentën t të lakores në pikëntakuese.
Pasi 0 ,tk f x prej kushti për dy drejtëza normalevijon
00
1 , 0,nk f xf x
Pra barazimi i normales është
0 0 00
1 , 0.y y x x f xf x
5
Cakto barazimin e tangjentës dhe barazimin e normalessë lakores x2 - y2 = 3 në pikën 2, .A y
6
Në fig. 3 janë paraqitur tangjenta t dhe normaljan e lakores y f x në pikën
0 0 0 0, , .T x y y f x
Gjatësia e segmentit të tangjentës ndërmjet pikëstakuese dhe pikëprerjes së tangjentësme boshtin xquhet gjatësia e tangjentës. Ajo është gjatësia esegmentit AT (fig. 3).
Gjatësia e proeksionit ortogonal të segmentit ATnë boshtin x quhet subtangjenta, kurse shënohetme ,ts d.m.th. 1.ts AT
n
xx0
y0
y
T (x0,y0)
y f x
0
fig.2
t
V
xT1
y0
y
T (x0,y0) y f x
0
fig.3
t
BA
st
n
sn
141
31 2 1 1, 1, 1 ,y A kurse 21 3 1 2 1.f
0 0 0: ,t y y f x x x
1 1 1 ,y x t.e.
2 0.x y
0 00
1: ,n y y x xf x
11 1 ,1
y x d.m.th. 0.x y
Shkruaje barazimin e tangjentës dhe barazimin e normales së lakores 3 2f x x x në pikën 01, .A y
Zgjidhje. Derivati i parë i funksionit është 23 2.y x Për 1x vijon se
Barazimi i tangjentës është: Barazimi i normales është:
142
Gjatësia e segmentit të normales ndërmjet pikës takuese dhe pikëprerjes me boshtin x quhet gjatësia enormales. Në fig. 3, ajo është gjatësia ï e segmentit BT, kurse gjatësia e BT1 quhet subnormale dheshënohet me sn, d.m.th. sn = BT1
Pasi 1TAB BTT (kënde me krah reciprokisht normal) kemi:
Prej 11
1
: ctg ,ATATTTT
pra 1 1 0ctg ctg ;ts AT TT y
Prej 11
1
: tg ,BTT BTTT
pra 1 1 0tg tg .ns BT TT y
Duke e ditur që 0tg f x kemi
0 0
0tgty ys
f x
dhe 0 0 .ns y f x
Prej
22 22 0
1 1 00
: ,tyATT t AT s TT y
f x
d.m.th.
200
0
1 .yt f xf x
Prej 2 2 221 1 0 0 0: ,nT BT n BT s TT y f x y d.m.th. 2
0 01 .n y f x
8 Caktoji gjatësitë t dhe ï të tangjentës dhe normales për lakoren 2
2 ,1
yx
në pikën 1,1 .TShihe zgjidhjen:
Derivati i parë është
2
2 2 22 2 2
2 1 2 2 4 .1 1 1
x x xyx x x
Për 0 0 22
4 11, 1,1 1
x f x pra
2 200
0
11 1 1 2,1
yt f xf x
kurse 20 01 1 2 2.n y f x
Mbaj mend!
Barazimi i tangjentës së grafikut të funksionit y f x i cili është diferenciabil në pikën x0
është 0 0 0 ,y y f x x x kurse barazimi i normales është 0 0
0
1 .y y x xf x
Gjatësia e tangjentës është 20
00
1 ,yt f xf x
kurse e normales është 20 01 ,n y f x
ku 0f x është derivati i parë i funksionit 0 0, kurse .y f x y f x
Gjatësia e subtangjentës është
0
0
,tys
f x
kurse e subnormales është 0 0 .ns y f x
8 Caktoji gjatësitë e tangjentës dhe normales të lakores ( )y f x në 0 0( , )T x y (fig. 3).
143
Detyra1 Shkruaje barazimin e tangjentës dhe barazimin e normales të lakores 4 2 3y x x në pikën 1, .M y
Shkruaje barazimin e tangjentës dhe barazimin e normales të lakores 1 3y x x në pikën:a) 1,0 ;A b) 2,3 .B Cakto gjatësinë e tangjentës dhe normales të lakores së dhënë.
Shkruaje barazimin e tangjentës dhe normales për parabolën 24y x në pikëprerjet me boshtin x.
Shkruaje barazimin e tangjentës dhe normales të rrethit 2 2 4 9 0x y x në prerjen me pjesënpozitive të boshtit x.
2
3
4
Shkruaje barazimin e tangjentës dhe normales të lakores 2
11
yx
në prerjet e saj me hiperbolën1 .
1y
x
5
Shkruaje barazimin e tangjentës të lakores 3 22 ,y x x koeficienti i drejtimit i të cilit është 4.6
Shkruaje barazimin e tangjentës të parabolës 2 4 3y x x e cila është paralele me simetralen ekuadrantit të dytë . Cakto gjatësinë e tangjentës.
7
Shkruaje barazimin e tangjentës të lakores 21 14 282
y x e cila është normale në drejtëzën2 4 3 0.x y Cakto gjatësinë e normalës.
8
Janë dhënë funksionet 3 22y x x i 22 3 2.y x x Caktoji pikat në të cilat tangjentat e grafikëvetë tyre janë paralele dhe shkruaji barazimet e atyre tangjentave.
Është dhënë rrethi 2 2 2.x y r Vërteto se barazimi i tangjentës të rrethit në pikën 0 0,T x y është2
0 0 .x x y y r
9
10
2 INTERPRETIMI FIZIK I DERIVATIT TË FUNKSIONIT
A Kur themi se largësia prej vendit À deri te vendi Â, treni e ka kaluar për 75km në orë, mendojmë përshpejtësinë mesatare me të cilën lëviz treni, edhe pse gjatë lëvizjes ai e ndryshon shpejtësinë.
Nëse me s e shënojmë rrugën e kaluar të pikësmateriale M nëpër drejtëzën p (fig.1), atëherë pozita epikës M në çdo moment të kohës t është përcaktuar
M0 M1Ms s
fig. 1
.s f t t f t
me funksionin ,s f t e cila në fizikë njihet si ligji për lëvizjen e trupave. Domethënë,në momentin t pikagjendet në pozitën M, kurse rruga e kaluar është .s f t Në momentin ,t t pika M0 do të gjendet nëpozitën M1, pra dhe rruga e kaluar është 1 ,s f t t d.m.th. në intervalin e kohës prej t deri t t pika Mka kaluar rrugën 1s s s ose
144
Domethënë,rruga e kaluar është rritja e funksionit f t që i përgjigjet rritjes t të kohës. Shpejtësia e pikës( trupit ) është përcaktuar me formulën
,f t t f ts
t t
d.m.th. ,sVt
sr
e njohur si shpejtësia mesatare e pikës lëvizëse ose trupit. Gjatë lëvizjes drejtvizore ,st
d.m.th. shpejtësiamesatare e trupit është madhësi konstante. Kur lëvizja e trupit nuk është drejtvizore,atëherë shpejtësiandryshon në çdo moment. Nëse rritja t e kohës është mjaft e vogël,atëherë në momentin t shpejtësiamesatare përkatëse Vsr do të jetë mjaft afër shpejtësisë së vërtetë V të trupit, e cila quhet shpejtësiamomentale. Sipas kësaj edhe ligji i shpejtësisë ,s f t shpejtësia momentale V në momentin t është vlerakufitare e shpejtësisë mesatare Vsr, nëse ekziston, kur 0,t d.m.th.
lim lim .f t t f t
V V f tt
sr0t 0t
Mbaj mend!
Shpejtësia momentale e trupit që lëviz sipas ligjit s f t është i barabartë me vlerën e derivatit tëfunksionit f t sipas ndryshores t në momentin t0, d.m.th.
0 .V f t
Nëse vlera kufitare 0
limx
V f t
sr në momentin e caktuar t nuk ekziston për ligjin e dhënë tëlëvizjes f t , që do të thotë nuk ekziston shpejtësia në momentin t. Dukuritë e tilla ndodhin gjatëgoditjes së trupit në ndonjë pengesë ose gjatë ndeshjeve të ndërsjellta kur shpejtësia ndryshonmenjëherë.
1 Cakto shpejtësinë e trupit gjatë rënies së lirë në kohën:
a) 2s;t b) 4,5s;t c) 10s.t
Zgjidhje
Dihet se rruga gjatë rënies njehsohet me formulën 2 21 9,81 m/s ,2
s gt g
pra 21 1 2 .2 2
V gt g t g t
a) Për 22s, 9,81m /s 2s =19,62m/s,t V që do të thotë se në fund të sekondës së dytë pas fillimit të
rënies trupi ka shpejtësinë 19,62m/s;
b) Za 4,5s, = 44,145m/s.t V
2 Cakto shpejtësinë e trupit sipas ligjit 25s t në momentin kur:
a) s3 ;t b) s10 .t
145
BLe të jetë t1 në të cilin është përcaktuar shpejtësia momentale 1 .V f t T’i shqyrtojmë funksionet
e shpejtësisë 1V f t dhe herësin Vt
në rrethinën t1, d.m.th. .f t t f tV
t t
Prej fizikës dimë se herësi Vt
e jep nxitimin mesatar të trupit në intervalin 0 0, ,t t t kurse 0
limt
Vt
është nxitimi momental a në momentin t0, d.m.th.
0 0
00lim .
t
f t t f ta V f t
t
Shkronja a është shkronja fillestare e fjalës latine accelerare(nxitim).
3 Cakto nxitimin e pikës në momentin 0 8st të lëvizjes drejtvizore të dhënë me ligjin 3 5.s t
Përgjigje
3 2 25 3 6 ; 8 6 8 48m / s .a t t t t a
4 Cakto shpejtësinë dhe nxitimin e pikës në fund të sekondës së pestë te lëvizja drejtvizore epërcaktuar me ligjin: a) 22 3 ;s t t b) 21 1 20;
2 10s t t c) 31 .
8s t t
5 Temperatura T një trupi ndryshon varësisht prej kohës t sipas ligjit 21,5 .T t Cakto shpejtësinë enxemjes së trupit në fund të sekondës së dytë.
Le të jetë Q f t ndonjë madhësi e cila ndryshon gjatë kohës t, sipas ligjit f. Shpejtësia mesatare e
ndryshimit të madhësisë Q në intervalin ,t t t është ,f t t f tQ
t t
kurse shpejtësia e
ndryshimit të madhësisë Q në momentin t është 0
lim .t
QQ f tt
Krahasoje përgjigjen tënde me përgjigjen tënde:
Sipas asaj që theksuam më pare kemi:
22 1,5 3 3 2 6.T f t t Domethënë, në fund të sekondës së dytë trupi nxehet me shpejtësi
prej 6 shkallë në sekondë.
6 Sa është energjia kinetike 212
E mV e trupit me masë 100 gramë në fund të sekondës së pestë kurlëvizja e trupit është përcaktuar me ligjin 2 3 2?s t t
2 22 2
0 0 0 0
1,5 1,5 1,5 2 1,5 22 lim lim lim lim 1,5 4 6,
t t t t
t t t tTT tt t t
ose
146
Detyra
1 Pika materiale bën lëvizja drejtvizore sipas ligjit 22 3 4,s t t ku koha është matur në sekonda,kurse rruga në metra.
a) Cakto shpejtësinë mesatare të lëvizjes në intervalin kohor prej 5t deri 5 ,t t nëse 1; 0,5; 0,1; 0,01 .t
b) Cakto shpejtësinë në fund të sekondës së pestë.c) Nxirre formulën për caktimin e shpejtësisë në çdo moment të kohës.
Një trup lëviz sipas ligjit 3 22 3 1.s t t t Cakto pozitën, shpejtësinë dhe nxitimin e trupit:
a) në momentin fillestar 0;t b) në momentin 2st të fillimit të lëvizjes.
Një pikë lëviz në mënyrë drejtvizore dhe për t sekonda kalon rrugë prej ¾ metra. Cakto shpejtësinëdhe nxitimin e pikës në fund të sekonda t,nëse ai lëviz sipas ligjit:
a) 3 23 4 5, 3;s t t t t b) 3 2 , 2;s t tt
c) 3sin 2 , 0,523.6
s t t
Trupi lëviz në mënyrë drejtvizore sipas ligjit 3 21 2 3 .3
s t t t Cakto shpejtësinë dhe nxitimin e trupit.Në cilin moment trupi e ndryshon kahen e lëvizjes?
Ligji për rrugën e lëvizjes së një trupi është 3 21 3 .3 2
s t t t Në cilin moment shpejtësia e trupitështë 5?V
2
3
4
5
7
6 Pika lëviz në mënyrë drejtvizore sipas ligjit .s t Trego se nxitimi i pikës është proporcionale mekubin e shpejtësisë.
Rrjedhja e sasisë Q të lëngut nëpër hapjen e një ene është përcaktuar me ligjin 2 31120 .3
Q t t t
a) Cakto shpejtësinë e rrjedhjes në fund të sekondës së dhjetë.b) Pas sa sekonda rrjedhja do të ndalet dhe sa lëng për atë kohë ka rrjedhë prej enës?
Temperatura te trupit ndryshon sipas ligjit 20,5 2 .T t t Cakto shpejtësinë e nxemjes (ftohjes) sëtrupit në fund të sekondës së pestë.
Trupi me masë 10 kg lëviz në mënyrë drejtvizore sipas ligjit 23 4.s t t Cakto energjinë kinetikeqë e ka trupi në fund të sekondës së katërtë.
Një trup lëviz sipas ligjit .t ts ae be Trego se nxitimi i tij numerikisht është i barabartë me rrugën ekaluar.
8
9
10
147
3 SHQYRTIMI I MONOTONISË ME NDIHMËN E DERIVATIT
Edhe në cilin interval rritet funksioni grafiku i të cilit është në fig. 1? Cakto shenjën e derivatit të .f xShqyrtimi i monotonisë së funksionit me zbatimin e definicionit për monotonin nuk është gjithmonë i thjeshtëdhe i lehtë. Me zbatimin e derivatit të funksionit shqyrtimi i monotonisë lehtësohet. Ajo shprehet teoremë qëvijon
x
y
a x
y f x
0
fig.2
bx x
f x x f x
Kujtohu!
Për një funksion , ff x x D themi se:
a) rritet, nëse: 1 2 1 2 ;x x f x f x b) zvogëlohet, nëse: 1 2 1 2 .x x f x f x
Le të jetë dhënë funksioni 2 1, ff x x D dhe le të jetë 1 2, ,x x dhe 1 2.x x Atëherë ikemi:
1 2 1 1 22 1 2 1 2 .f x f x x x x x Prej 1 2x x vijon 1 2 0,x x pra
1 2 1 22 0,f x f x x x d.m.th. 1 2 .f x f x Domethënë, funksioni rritet në intervalin , .
xc1
y
yf
x
0
fig. 1
a bc2
MA B
Le të jetë funksioni ,y f x grafiku i të cilit ështëparaqitur në fig.1 është diferenciabil në intervalin ,a bdhe le të jetë 0 , .x a bFunksioni f x rritet në intervalin 1, ,a c kurse natangjenta e lakores në çdo pikë x të intervalit 1,a c mekahen pozitive të boshtit x formon kënd të ngushtë ,pra tg 0, d.m.th. 0.f x Funksioni f x zvogëlohet në intervalin 1 2, ,c c kursetangjenta e lakores në çdo pikë x prej intervalit 1 2, ,c c me kahun pozitiv të boshtit x formon kënd të gjerë , pra tg 0, d.m.th. 0.f x
1. Nëse funksioni është monoton rritës në intervalin , ,a b atëherë 0,f x për çdo , .x a b
2. Nëse funksioni është monoton zvogëlues në intervalin , ,a b atëherë 0,f x për çdo , .x a b
Teorema1. Le të jetë funksioni f x diferenciabil në intervalin , .a b
Vërtetim. Le të jetë funksioni y f x diferenciabil dhemonoton rritet në intervalin ,a b (fig. 2) dhe , , .x x x a b Kur argumenti x rritet në intervalin , ,a b atëherë 0,x dherritja përkatëse e funksionit është 0,y f x x f x pra
0.f x x f xy
x x
Prandaj, derivati i parë nuk mund të jetë negativ , d.m.th.
0 0
lim lim 0.x x
f x x f xy f xx x
148
1 Shqyrto monotoninë e funksionit 2 3.f x x
ZgjidhjePrej 2 3f x x vijon 2 0f x për çdo ,x pra funksioni është monoton rritës.
x
y
a x0fig.3
bx x
f x x f x y f x
f x f x x
Le të jetë funksioni f x diferenciabil dhe monoton zvogëlues në intervalin ,a b (fig. 3).
Kur x rritet në intervalin , ,a b atëherë 0,x kurse 0,y f x x f x pra herësi
0,f x x f xy
x x
d.m.th. derivati i parë
nuk mund të jetë pozitiv, domethënë
Teorema 2. Funksioni f x le të jetë diferenciabil në intervalin , .a bNëse 0f x për çdo , ,x a b atëherë funksioni është monoton rritës në intervalin , .a bNëse 0f x për çdo , ,x a b atëherë funksioni është monoton zvogëlues në intervalin , .a b
Këtë teoremë nuk do ta vërtetojmë, por do ta zbatojmë në zgjidhjen e detyrave.
2 Është dhënë funksioni 22 4 3.f x x x Cakto intervalin në të cilin funksioni është:
a) monoton rritës; b) monoton zvogëlues (zbritës).Zgjidhje
4 4.f x x
3 Cakto intervalin në të cilin funksioni rritet,përkatësisht zvogëlohet:a) 2;y x b) 3 22 3 36 2;y x x x c) 3 26 9 4.f x x x x
Zgjidhjec) 2 23 12 9 3 4 3 3 3 1 ;f x x x x x x x
0 0lim lim 0.x x
f x x f xy f xx x
Pika x0 për të cilën 0f x quhet pikë stacionare. Prandaj 1x është pikë stacionare për funksionin 22 4 3.f x x x
Domethënë, funksioni rritet në intervalin (1, 3).
Kushti i mjaftueshëm për monotoninë e një funksioniështë dhënë me këtë teoremë:
a) 0 4 4 0 1;f x x x domethënë, funksioni rritet në intervalin 1, ;
b) 0 4 4 0 1;f x x x domethënë, funksioni zvogëlohet në intervalin ,1 .
Nëse 1,x atëherë 0.f x
3 0
0 3 1 0 1,3 .1 0
xf x x x x
x
0 3 1 0 ,1 3, ;f x x x x ∪ funksioni zvogëlohet në ,1 3, . ∪
149
4 Cakto intervalet në të cilin funksioni rritet, përkatësisht zvogëlohet:
a) 2
, \ 1 ;1
xf x xx
b) 2 .xf x x e
Zgjidhje
a)
2
2 2
2 1 2.
1 1
x x x x xf x
x x
Ke kujdes, 21 0x për çdo \ 1 .x
5 Vërteto se funksioni gjithmonë rritet:
a) 3 1;f x x b) 3 ;g x x c) tg , , .2 2
f x x x
Zgjidhje
Vëre!
Shqyrtimi i monotonisë të funksionit , fy f x x D sillet në zgjidhjen e jobarasisë 0f x ose 0.f x
Detyra
1
Cakto intervalet e monotonisë së funksionit 1 6 .
a) 1 2;2
y x b) 3 2;y x c) 2;y x ç) 3.y x
x
y
0
1
fig.5
1
1
1
x
y
0
0f x
0f x
1
2
1
0f x
fig.4
a) 22 ;y x x b) 4 21 2 ;4
y x x c) 3 3 5.y x x 2
0 2 0 ,0 2, ;f x x x ∪ funksioni rritet në intervalin ,0 dhe 2, .
0 2 0 0, 2 ;f x x x x funksioni zvogëlohet në intervalin (0,2).
a) Derivati është 23 ;f x x Ai është pozitiv për0.x Mirëpo, 0 0,f por funksioni megjithatë
rritet në intervalin , fig.4
b) Derivati është 3 2
1 ;3
g xx
Ai është pozitiv
për 0.x Mirëpo, 0g nuk, ekziston, por funksioni
megjithatë rritet në intervalin , fig.5
Domethënë,kushti 0f x (te teorema 2) është i mjaftueshëm, por jo edhe i nevojshëm për rritjen efunksionit .f x
150
a) 1;1
xf xx
b) 2
3 .1
xf xx x
3
a) 22 ;f x x x b) 2 3 2 .f x x x
a) 2ln 1 ;f x x b) 2
.xf x x e
a) sin ;f x x b) 2cos .f x x
4
5
6
7 Vërteto se funksionet gjithmonë zvogëlohen:a) ctg , 0, ;y x x b) 2 cos ;y x x c) 54 .y x
Shqyrto monotoninë e funksionit në intervalin e dhënë:
a) 4 3
, 2,1 ;4 3x xf x x b) 3 , ,1 .
2xf x xx
8
4 CAKTIMI I VLERAVE EKSTREME TË FUNKSIONITME NDIHMËN E DERIVATIT
Kujtohu!
x
y
0
t
x0 0x 0x
fx
0f
x
fig.2
x
y
0
fig.1
x00x 0x
0f
x
fx
t
Funksioni ,f x i definuar në intervalin , ,a b ka minimum në pikën 0 , ,x a b nëse ekziston -rrethina ex0, ashtu që 0 ,f x f x për çdo 0 0,x x x (fig. 2).
Maksimumi dhe minimumi lokal i një funksioni quhen vlerat ekstreme të funksionit.
Le të jetë funksioni y f x i definuar në intervalin ,a b dhe le të jetë 0 , .x a b Themi se f x kamaksimum në pikën 0,x nëse ekziston -rrethina e x0, ashtu që 0 ,f x f x për çdo
0 0,x x x (fig.1).
Fjalët minimum ,përkatësisht maksimum që janë përdorë në sqarimin paraprak nuk do të thotë vlera më evogël, përkatësisht vlera më e madhe e funksionit në tërë fushën e tij të përcaktimit. Këto janë vlera më evogël, përkatësisht vlera më e madhe e funksionit në rrethinën e pikës përkatëse. Për këtë shkak,shpeshherë quhen minimum lokal dhe maksimum lokal.
151
Pika x0 në të cilin funksioni f x ka vlerë ekstreme , i ndan intervalet e rritjes dhe zvogëlimit, d.m.th. për0 në intervalin 0 0,x x funksioni rritet ( zvogëlohet ) , atëherë në intervalin 0 0,x x zvogëlohet
( rritet).
1A Cakto vlerat ekstreme të funksionit 2 2 2.f x x x
Shihe zgjidhjen:Do t’i caktojmë intervalet e monotonisë së funksionit.
2 2; 0f x x f x nëse 2 2 0,x d.m.th.për ,1x funksioni rritet, kurse 0f x nëse
2 2 0,x d.m.th. për 1,x funksioni monotonishtzvogëlohet (fig. 3). Domethënë,kur argumenti x kalon nëpërpikën xQ = 1, derivati i parë e ndërron shenjën prej pozitivnë negativ, pra funksioni ka maksimum
2max 1 1 2 1 2 3.y f
Vëre!
Tangjenta e lakores në pikën 1,3T (pika e maksimumit ) me x-boshtin formon kënd00 (fig.3).
Në përgjithësi, vlen:
Teorema. është diferenciabil në intervalin (a,b) dhe nëse për ndonjë pikë 0 ,x a b funksionika vlerë ekstreme, atëherë 0 0.f x
Pohimi i anasjelltë nuk vlen,d.m.th. derivati i ndonjë funksioni në ndonjë pikë 0 fx D mund të jetë ibarabartë me zero , por megjithatë në pikën x0 funksioni të mos ketë vlerë ekstreme. Për shembull,përfunksionin 3f x x kemi: 23 ,f x x për 0 0, 0 0.x f Mirëpo, për 0 0x funksioni nuk ka vlerëekstreme, ai monotonisht rritet në intervalin 0 , .x (shihe fig. 4 nga mësimi i kaluar).Prej këtu vijon se 0 0f x paraqet kusht të nevojshëm ,por jo dhe kusht i mjaftueshëm për ekzistimin evlerës ekstreme të funksionit f x në pikën x0.
Kushti i mjaftueshëm për vlerë ekstreme.
Nëse funksioni f x është diferenciabil në intervalin (a,b) dhe nëse për ndonjë pikë 0 ,x a b janëplotësuar këto dy kushte:
a) 0 0f x dheb) f x e ndërron shenjën në rrethinën e x0,
atëherë 0f x është vlerë ekstreme e funksionit .f x
x
y t
0fig.3
x0
1
3
2
1,3T
0
fx
0f
x
152
2 Caktoji vlerat ekstreme të funksionit 22 3 4.f x x x
Zgjidhje
4 3; 0f x x f x nëse 4 3 0,x d.m.th. 3 .4
x
0f x nëse 4 3 0,x d.m.th. funksioni rritet për 3.4
x
fig.4
x
y
0
0
fx
0
fx
x0
min
b)
x
y
0
max
0
fx
0
fx
x0
a)
x0
x
y
0
0
fx
0f
x
v)
f x e ndërron shenjën prej pozitive në negative, atëherë funksioni ka maksimum, max 0 .y f x
f x e ndërron shenjën prej negative në pozitive, atëherë funksioni ka minimum, min 0 .y f x
Nëse gjatë kalimit të argumentit x nëpër x0 (fig. 4 a), b), c)):
f x nuk e ndërron shenjën, atëherë funksioni nuk ka vlerë ekstreme.
0f x nëse 4 3 0,x d.m.th. funksioni zvogëlohet për 3.4
x
Domethënë, 30, ,4
f x x kurse 30, ,4
f x x pra në rrethinën e pikës 34
x derivati e ndërron shenjën prej negative në pozitive, d.m.th. funksioni ka minimum,
2
min3 3 3 282 3 4 .4 4 4 3
y f
3 Caktoji vlerat ekstreme të funksionit 3 21 3 .3
f x x x x
Zgjidhje
Derivati i parë i funksionit është 2 2 3.f x x x Prej 0f x vijon 2 2 3 0,x x d.m.th. 3x dhe 1x janë pika stacionare ,pra në ato pikafunksioni mund të ketë vlera ekstreme , por nuk është e domosdoshme. Për këtë shkak e shqyrtojmëshenjën e derivatit të parë në rrethinën e pikës 1x dhe 3.x
0,f x ako 2 2 3 1 3 0,x x x x d.m.th. nëse , 1 3, .x ∪
0,f x ako 2 2 3 1 3 0,x x x x d.m.th. nëse 1,3x .
për për
153
Pika 51,3
A
është pika e maksimumit të funksionit,pra në atë pikëgrafiku e ka formën (fig. 5).“
“
x
y
0
1
2
3
1
9
3
A
fig.5
B
Për 1,3x funksioni zvogëlohet, kurse për 3,x funksionirritet, Domethënë,në rrethinën e pikës 3x derivati i parë e ndërronshenjën prej negative në pozitive, d.m.th. për 3x funksioni kaminimum
3 2min
13 3 3 3 3 9.3
y f
atë pikë grafiku e ka këtë formë (fig. 5).“ “Pika 3, 9B është pikë e minimumit të funksionit,pra në
Vërejtje. Nëse një funksion f x është diferenciabil në -rrethinën epikës x0, përveç në të njëjtën pikë x0, atëherë funksioni mund të ketëvlerë ekstreme në pikën x0, edhe pse në atë pikë nuk ka derivat,d.m.th. 0f x nuk ekziston. Për shembull, funksioni
, 0
| |, 0
x xf x x
x x
ka derivate për 0.x Ai është 1, 0
,1, 0
xf x
x
por nuk ka derivat në pikën 0.x
Vërej se ,derivati i parë e ndërron shenjën në rrethinën e pikës 0 0x prej negative në pozitiv, pra sipaskësaj, për 0x funksioni ka minimum min 0 0,y f edhe pse 0f nuk ekziston.
4 Caktoji vlerat ekstreme të funksionit: a) 23 6 7;y x x b) 3 12 6.y x x
5 Caktoji vlerat ekstreme të funksionit 2
.2
xyx
Shihe zgjidhjen:
2 2
2 2
2 2 2 4 .2 2
x x x x x xyx x
0y za 2 4 0,x x t.e. 0; 4.x x
Pasi 22 0x për çdo \ 2 ,x shenja e derivatit varet prej numëruesit.
Për , 1x funksioni rritet, kurse për 1,3x funksioni zvogëlohet, pra në rrethinën e pikës1x derivati i parë e ndërron shenjën prej pozitiv në negativ, d.m.th. për 1x funksioni ka maksimum
3 2max
1 51 1 1 3 1 .3 3
y f
154
0y x nëse 2 4 4 0,x x x x d.m.th. ,0 4, .x ∪
0y x nëse 2 4 0,x x d.m.th. 0,4x .
Në rrethinën e pikës 0x derivati i parë e ndërron shenjën prej pozitive në negative. Domethënë, për0x funksioni ka maksimum
2
max00 0.
0 2y f
Në rrethinën e pikës 4x derivati i parë e ndërron shenjën prej pozitive në negative. Domethënë, për4x funksioni ka minimum
2
min44 8.
4 2y f
BPërcaktimi i shenjës së derivatit të parë të funksionit nuk është gjithmonë e lehtë dhe e thjeshtë, kurseme atë edhe përcaktimi i vlerave ekstreme të funksionit nuk është aq e thjeshtë.
Me zbatimin e derivatit dytë të funksionit, zgjidhja e detyrave të këtij lloji është shumë më e thjeshtë. Mendihmën e shenjës së derivatit të parë f x konstatojmë se funksioni f x rritet ose zvogëlohet. Gjithashtu,me shenjën e f x f x mund të konstatohet se funksioni f x rritet ose zvogëlohet në rrethinën epikës x0, në të cilin 0 0.f x
Le të jetë funksioni f x dy herë diferenciabil në rrethinën e pikës 0 .fx D
Nëse funksioni f x në pikën x0 ka maksimum, atëherë derivati i parë i tij f x në rrethinën e pikës x0
prej vlerave pozitive 00, f x x x nëpërmjet zeros 0 0,f x merr vlera negative 00, ,f x x x domethënë funksioni f x zvogëlohet. Sipas kësaj,derivati i funksionit ,f x
d.m.th. f x f x në rrethinën e pikës është negative,domethënë 0 0.f x
Nëse funksioni f x në pikën x0 ka minimum, atëherë derivati i parë i tij f x në rrethinën e pikës x0
prej vlerave negative 0 , 0x x f x nëpërmjet zeros 0 0f x merr vlera pozitive 0 , 0 ,x x f x domethënë funksioni f x rritet. Sipas saj, derivati i funksionit ,f x d.m.th.
f x f x në rrethinën e pikës x0 është pozitive,domethënë, 0 0.f x
Funksioni f x le të ketë derivat të parë dhe të dytë të vijueshëm në rrethinën e pikës x0 dhe le të jetë
0 00 dhe 0.f x f x Atëherë funksioni f x ka vlerë ekstreme në pikën x0, dhe atë:
1. Nëse 0 0,f x funksioni ka maksimim, max 0 .y f x
Nëse 0 00 dhe 0,f x f x atëherë derivatin e dytë nuk mund ta shfrytëzojmë për caktimin e vleraveekstreme të funksionit. Në këtë rast do ta shqyrtojmë shenjën e derivatit të parë të funksionit në rrethinën epikës x0.
Kështu arrijmë deri te kjo rregull:
2. Nëse 0,f x funksioni ka minimum, min 0 .y f x
përpër
përpër
155
(Ekziston mënyrë tjetër për caktimin e vlerave ekstreme të funksionit në rastin kur 0 00 dhe 0,f x f x
por megjithatë për atë nuk do të flasim.)
6 Cakto vlerat ekstreme të funksionit:a) 22 3 1;y x x b) 2 33 2 ;y x x c) 4 22 3.y x x
Zgjidhjeb) 26 6 .y x x Prej 0y vijon 26 6 0,x x d.m.th. 0x dhe 1.x
6 12 .y x Për 0x kemi 0 6 0,y domethënë për 0x funksioni ka minimum
2 3min 0 3 0 2 0 0.y f
Për 1x kemi 1 6 12 1 6 0,y domethënë për 1x funksioni ka maksimum
2 3max 1 3 1 2 1 1.y f
Mbaj mend!
Caktimi i vlerave ekstreme të funksionit dy herë diferenciabil f x bazohet në këto rregulla:
1. Caktohet derivati i parë f x i funksionit.
2. Zgjidhet barazimi 0,f x d.m.th. caktohen pikat stacionare.
3. Caktohet derivati i dytë f x dhe shqyrtohet shenja e tij për çdo pikë stacionare.
6 Cakto vlerat ekstreme të funksionit 1 , \ 0 .f x x xx
Shihe zgjidhjen
1. Derivati i parë është 2
11 .f xx
2. 2
10; 1 0; 1 dhe 1.f x x xx
3. 4 3
2 20 .xf xx x
Për 3
21, 1 2 0,1
x f funksioni ka minimum min11 1 2.1
y f
Për 3
21, 1 2 0,1
x f
funksioni ka maksimum max11 1 2.1
y f
156
Detyra
1
Cakto vlerat ekstreme të funksioneve 1 7 :
a) 1 2;3
f x x b) 2 5 1;f x x x c) 4 22 3.f x x x
a) 3 22 9 12 ;f x x x x b) 3 26 12 5.f x x x x
a) 22 2 ;y x x b) 3 1 .y x x
a) 2 ;xy x e b) .x xy e e
a) ln , 0;y x x x b) ln , 0.xy x
x
a) 2 ;1
xf xx x
b) , 0.f x x x x
a) sin cos , 0,2 ;f x x x x b) sin 2 , 0,2 .f x x x x
2
3
4
5
6
7
8
9
Është dhënë trinomi 2 .ax bx c Cakto a, b dhe c, nëse për 2x trinomi ka minimum të barabartëme 1, kurse për 1x vlera e trinomit është i barabartë me zero.
Cakto a dhe b ashtu që funksioni 3 2 36 1f x ax bx x të ketë minimum për 3,x kursemaksimum për 2.x
Cakto vlerën më të madhe dhe më të vogël të funksionit në intervalin e dhënë:
a) 4 28 3, 2,2 ;f x x x x b) 24 , 2,2 .f x x x
10
5 DISA ZBATIME PRAKTIKE TË MAKSIMUMIT DHE MINIMUMIT
Me zbatimin e rregullave për caktimin e vlerave ekstreme të funksionit të dhënë mund të zgjidhen detyra tëndryshme nga fusha e shkencave natyrore dhe teknike. Gjatë zgjidhjes së tyre duhet të vërehet varshmëriandërmjet madhësive të cilat ndryshojnë dhe të formohet funksioni.
1 Numri 9 ndaje në dy pjesë ashtu që shuma e kubeve të tyre të jetë më e vogël.
Zgjidhje
Nëse njërën pjesë e shënojmë me x, tjetra është 9 .x Prej kushtit të detyrës vijon funksioni 33 9 ,y x x kurse prej këtu 223 3 9 9 54 243.y x x x x
0y nëse 54 243,x d.m.th. 4,5.x
54 0,y domethënë për 4,5x funksioni ka vlerë më të vogël, pra pjesët e kërkuara janë 4,5 dhe 4,5.
157
2 Prej të gjithë drejtkëndëshave me perimetër 22 cm cakto atë që ka syprinë më të madhe.
ZgjidhjePerimetri i drejtkëndëshit është 2L a b ose 22 2 ,a b 11,a b kurse .P a b Prej
11a b vijon 11 ,a b kurse 211 11 .P b b b b
Syprina e drejtkëndëshit është funksion i brinjës b, pra 11 2 ; 0P b b P b nëse 11 2 0,b d.m.th. 5,5;b 2 0;P b funksioni ka maksimum për 5,5,b kurse brinja 11 5,5 5,5.a Domethënë, prej të gjithë drejtkëndëshave me perimetër 22 cm, syprinë më të madhe ka katrori mebrinjë 5,5cm.
3 Prej kartuçi në formë të katrorit me brinjë a bën kuti e hapur me vëllim më të madh.Krahasoje zgjidhjen tënde me zgjidhjen e dhënë:
Që të bëjmë kuti, duhet në çdo kulm të katrorit të prejmë nga një katror me brinjëx. Pjesa tjetër e kartuçit mbështjellet në kuti me lartësi x dhe bazë katrorë mebrinjë a-2x ( fig. 1).Kutia e fituar ka formën e prizmit të rregullt katërkëndore, dhe për vëllimin e tijmund të shënojmë:
2 2 2 3 2 22 4 4 ; 8 12 .V B H a x x a x ax x V x a ax x
0,V x nëse 2 28 12 0,a ax x d.m.th. për dhe .2 6a ax x Këto janë vlerat e x për të cilat
V x mund të ketë ose jo maksimum. Është e qartë, nëse 2ax nuk mund të bëhet kuti.
Prandaj, zgjidhje e mundshme është ;6ax 8 24 ,V x a x pa 8 24 4 0
6 6a aV a a
(ke
kujdes, 0a ), domethënë funksioni V ka maksimum për ,6ax d.m.th.
2 3
max22 .
6 6 27a a aV a
4 Duhet të bëhet kazan i hapur në formë të cilindrit të rregullt me vëllim të dhënë V. Cakto rrezen dhelartësinë e kazanit,ashtu që përpunimi i saj të jetë sa më e lirë.
ZgjidhjePërpunimi i kazanit do të jetë më e lirë nëse syprina e tij është më e vogël (fig. 2).
xx
a
fig. 1
H
rfig.2
2 22
22 ,V VP r r rr r
d.m.th. syprina e kazanit është funksion i r.
3
42 ,VP rr
nëse 342 6 0.V VP V
2
22 ,VP r rr
dhe V janë konstante. 0P r nëse 2
22 0,Vrr
d.m.th. 3 .Vr
Për 3 ,Vr
syprina ka vlerë më të vogël,kurse dimensionet e kazanit janë 3 .VH r
2 ,V r H kurse 2 2 .P r r H Prej 2V r H vijon 2 ,VH
r kurse
158
5 Te topi me rreze R është brendashkruar koni me vëllim maksimal. Cakto rrezen dhe lartësinë ekonit.Krahasoje zgjidhjen tënde me zgjidhjen e dhënë:
Le të jetë r rreze, kurse H lartësia e konit (fig. Ç). Duhet vëllimin e konit ta shprehim si funksion ir dhe H, kurse njërën prej atyre madhësive ta shprehim me ndihmën errezes R të topit.
R
R
A B
S
rr
O
R H
fig.3
Vëllimi i konit është 21
1 , .3
V r H H O S Prej 1AO O kemi
22 2 ,R r R H d.m.th. 2 22 ,r HR H pra për vëllimin fitojmë
2 2 31 12 2 .3 3
V HR H H H R H Vëllimi i konit është
funksion i H, kurse dhe R janë konstante. 21 4 3 .3
V H HR H
0,V H nëse 2 44 3 0, 0 dhe .3
HR H H H R Për 0H detyra nuk ka zgjidhje.
1 4 6 ,3
V H R H kurse për 43
H R kemi 4 1 4 44 6 0.3 3 3 3
RV R R R
Domethënë,për 43
H R koni ka vëllim maksimal. Prandaj, 2 2
2 4 4 82 ,3 3 9
Rr R R R
d.m.th. 2 3
max2 2 1 8 4 32, kurse .
3 3 9 3 81R R Rr V R
O1
6
A1
A
B
B1C
ab
x C d x
fig.4
Prej burimit A depërton rreze drite, ndaj rrafshit , prej të cilës reflektohet, kurse pas reflektimitduhet të kalon nëpër pikën B. Cakto pozitën e pikës C në rrafshin , prej të cilës reflektohet rrezja edritës, nëse dihet se rrezja e kalon rrugën ÀÑÂ për kohë më të shkurtër, d.m.th. rruga ÀÑÂ ështëmë e shkurtër.Shihe zgjidhjen:
Pikat A, C dhe B, d.m.th. rruga e theksuar e rrezes së dritës gjendet në rrafshin 1 ke cila është normale nërrafshin (fig. 4).
1
Le të jenë A1 dhe B1 proeksionet ortogonale të pikave A dhe
22 2 2 ,ACB AC CB V t a x b d x d.m.th.
funksioni është 22 2 21 ,t x a x b d xV
pra
2 2 22
1 ;x d xt xV a x b d x
0t x nëse 2 2 22
,x d xa x b d x
d.m.th.
B mbi rrafshin dhe le të jenë 1 1 1 1, , .AA a BB b A B d Gjatësitë a, b, d dhe shpejtësia V e rrezes së dritës janëkonstante, kurse t është e ndryshueshme. Le të jetë 1 .A C xPër rrugën ACB kemi:
159
22
22 2 2,
d xxa x b d x
d.m.th.
222 2
22 ,b d xa x
x d x
prej ku
2 2
22 .a bx d x
Prej këtu,
, pra ose , pra .a b ad a b adx xx d x a b x d x a b
Prej kushtit ,a b zgjidhja e detyrës është
vetëm ,adxa b
pasi 2 .1
dx dba
Funksioni t x është i vijueshëm. Në pikën A1 për 0,x 2 2
0 0,dtV b d
kurse në pikën B1
për 2 2
, 0.dx d t dV a d
Domethënë, derivati e ndërron shenjën prej negative në pozitive në
rrethinën e pikës C, d.m.th. funksioni ka minimum në pikën C, e cila është në largësi adx
a b
prej pikës
A1.
Nëse është këndi i rrënjes,kurse është këndi i reflektimit të rrezes së dritës, atëherë
1 1dhe .A AC B BC
Prej 11 , sin ;ACA AC
AC Prej 1
1 , sin ;CBB BCBC
2 2 22
sin , sin ,x d xa x b d x
pra
barazimi 2 2 22
x d xa x b d x
për të cilin 0f x është i llojit sin sin , d.m.th. ,
kurse ky është ligji i njohur i reflektimit.
7 Mbi qendrën e një terase rrethore me rreze r duhet të vendoset burimi i dritës, ashtu që terasa të jetëmaksimalisht e ndriçuar . Në çfarë lartësie H duhet të vendoset burimi i dritës ,nëse intensiteti T e
ndriçimit është dhënë me formulën 2 2
sin ,kT Hr H
k është konstantë madhësia e së cilës është përcaktuar
me forcën e burimit të dritës është këndi që drejtëza SA e formon me rrafshin e terasës, S është burimi idritës, kurse A është çfarëdo pikë e tehut të terasës.
Zgjidhje
Le të jetë dheSO H SAO (fig. 5). Prej AOS kemi tg ,Hr
d.m.th. tg .H r
A
S
O
H
r
fig.5
Funksioni 2 2
sinkT Hr H
mund ta shqyrtojmë edhe si funksion
prej argumentit , d.m.th. 2 2 2 2 2
sin sintg 1 tg
k kTr r r
2 sin cos ,kr
k dhe r janë konstante.
160
Le të jetë 2 2sin , cos 1 ,x x pra funksioni T ësh t ë 22 1 ;kT x x x
r 2
2 1 3 .kT x xr
0T x nëse 21 3 0,x d.m.th. nëse 1 .3
x Vlera 13
x nuk është e mundshme , pasi që prej
1sin3
vijon 0180 . Zgjidhja e detyrës është 1 .3
x 2 6 0kT x xr
për 1 .3
x
Domethënë, funksioni T x ka maksimum për 1 .3
x Prej 1sin ,3
kemi 2
1 2cos 1 ,3 3
pra 2 ,
2tg d.m.th. lartësia e kërkuar është 2 .
2H r
8 Komponentët F1 dhe F2 të forcës F ndërmjet veti formojnë kënd . Për cilën vler të këndit forca
2 21 2 1 22 cosF F F F F ka vlerë maksimale?
Zgjidhje:
Forca F është funksion i këndit , pra 1 22 2
1 2 1 2
sin ; 02 cos
F FF FF F F F
nëse sin 0,
d.m.th. , .k k
Për 2k forca F është maksimale 1 2 ,F F F pasi F1 dhe F2 janë me kahe të njëjtë. Për 2 1k forca F është minimale, 1 2| |,F F F pasi F1 dhe F2 janë me kahe të kundërta.
9 Është e njohur se intensiteti i i rrymës elektrike që kalon nëpër përçues është funksion periodik prejkohës t, e shprehur me formulën 2sin ,ti c
T
ku ñ është intensiteti maksimal i rrymës, kurse T
është kohëzgjatja e një periode. Për cilën vlerë të t intensiteti i rrymës do të jetë maksimale?
Zgjidhje
Prej 2sin ti t cT
kemi 2 2 2 2cos cos .t c ti t cT T T T
0i t nëse 2cos 0,tT
d.m.th. 2 2 , .2
t k kT , 0, 1, 2, 3, . . . .
4Tt kT k k nuk mund të jetë
numër negativ,pasi koha e rrjedhjes së rrymës nëpër përçuesin nuk mund të jetë negativ.
Detyra:1 Numrin ndaje në dy mbledhësa x dhe y, ashtu që prodhimi i tyre të jetë sa më i madh.
Numrin a ndaje në dy mbledhësa, ashtu që shuma e rrënjëve katrore të tyre të jetë sa më i madh.
Është dhënë trekëndëshi me brinjë 10 cm dhe lartësi përkatëse 4 cm. Në trekëndësh ështëbrendashkruar drejtkëndësh, ashtu që dy kulmet e tij të shtrihen në brinjën e dhënë, kurse dy tjerat nëbrinjët tjera të trekëndëshit. Caktoji brinjët e drejtkëndëshit ashtu që syprina e tij të jetë sa më emadhe.
2
3
161
Prej kartonit që ka formën e drejtkëndëshit me dimensione 32 cm dhe 20 cm bën kuti të hapur mevëllim sa më të madh.
Prej trekëndëshave barakrahës me perimetër a, caktoji dimensionet e atij trekëndëshi, i cili ka syprinëmë të madhe.
Në gjysmërrethin me rreze r të brendashkruhet trapez barakrahës me syprinë më të madhe nëse bazae madhe e tij është diametri i rrethit. Cakto lartësinë dhe bazën e vogël të trapezit.
Cakto brinjët e trekëndëshit barakrahës që ka syprinë më të madhe, i cili është i brendashkruar teelipsa 2 2 2 2 2 2 ,b x a y a b me kulm në njërën nga skajet e gjysmëboshtit të vogël.
Cili kon i drejtë me syprinë 272 cm ka vëllim më të madh? Cakto vëllimin.
4
5
6
7
8
10
9
11
Prej të gjithë koneve të drejtë gjeneratrisat (përftuesjet) e të cilëve janë 12 cm, cakto dimensionet ekonit vëllimi i të cilit është më i madh.Cakto dimensionet e cilindrit të drejtë më vëllim maksimal, i cili mund të brendashkruhet te koni idrejtë me rreze të bazës R dhe lartësi H.Në një trup që gjendet në rrafsh i mënjanuar nën këndin në lidhje me rrafshin horizontal, vepron
forca ,cos sin
k GFk
k është koeficienti i fërkimit, kurse G është pesha e trupit. Për cilin kënd
forca F ka vlerë më të madhe?
A
Konkav, fjalë latine që do të thotë e thelluar.
y
xa b0
fig.1
y
xa b0
fig.2
Në fig.1 është paraqitur grafiku i lakores konvekse(të mysët), kurse në fig. 2 grafiku i lakores konkave(të lugët).
Gjatë shqyrtimit të monotonisë të një funksionit f x me ndihmën e derivatit .f x konstatuam se nëse 0,f x atëherë funksioni ishte rritës, kurse për 0,f x funksioni ishte zvogëlues.
Në mënyrë të njetë, por me ndihmën e shenjës së derivatit të dytë, mund të konstatojmë për “llojin e lakimit“ të lakores ( )y f x në intervalin e dhënë.
6 PËRKULSHMËRIA E LAKORËS.PIKA E LAKIMIT
Teorema. Funksioni f x le të ketë derivat të parë dhe të dytë të vijueshëm në intervalin , .a bNëse 0f x për çdo , ,x a b atëherë grafiku i funksionit është konveks në atë interval. Nëse
0f x për çdo , ,x a b atëherë grafiku i funksionit është konkav në atë interval
Përkufizim. Grafiku i funksionit diferenciabil f x në intervalin ,a b është konveks (konkav),nëse ai është nën (mbi) tangjentën e lakores të tërhequr në çfarëdo pike të intervalit , .a b
162
x
y
123
0x
x0
y
1 2 3 x0
y
4 5 6
fig.4
1 Cakto intervalet e përkulshmërisë të funksioneve:a) 3;y x b) 3 25 3 5;f x x x x c)
2
.xy e
Shihe zgjidhjenb) 23 10 3; 6 10. 0f x x x f x x f x nëse 6 10 0,x d.m.th. nëse
5.3
x Lakorja është
Këtë teoremë, të cilën nuk do ta vërtetojmë, namundëson ta shqyrtojmë natyrën epërkulshmërisë të grafikut të lakores
( ).y f x Funksioni f x le të ketë derivat tëdytë në intervalin , .a b
Nëse në atë interval 0,f x atëherëfunksioni f x zvogëlohet.Kjo do të thotë, gjatë lëvizjes nëpërgrafikun e funksionit f x nga e majta nëtë djathtë, këndi i tangjentës (d.m.th.koeficienti i drejtimit) zvogëlohet (fig. 3).Tangjenta rrotullohet në kahe në të cilinlëvizin akrepat e orës dhe në atë rastgrafiku i funksionit shtrihet nën tangjentatd.m.th. lakorja është konvekse ( e mysët).Nëse në atë interval 0,f x atëherëfunksioni f x rritet.
x0
y
456
fig.3
2 Në cilin interval lakorja ( )y f x është konvekse dhe në cilin konkave, nëse:a) 22 ln , 0;f x x x x b) ( ) sin , 0, 2 .f x x x
Zgjidhje
Kjo do të thotë, gjatë lëvizjes nëpër grafikun e funksionit f x prej majtas në të djathtë, këndi itangjentës (d.m.th. koeficienti i drejtimit) rritet (fig. 4). Tangjenta rrotullohet në kahe të kundërt të lëvizjessë akrepave të orës dhe në atë rast grafiku i funksionit shtrihet mbi tangjentat d.m.th. lakorja ështëkonkave (e lugët).
a) 2
1 14 ; 4 ;f x x f xx x
0f x nëse 2
14 0,x
24 1 0,x , 0,5 0,5; ;x ∪
0f x ako 22
14 0, 4 1 0,xx
0,5; 0,5 ;x lakorja është konvekse në intervalin 0,5; 0,5 .
Lakorja është konkave në intervalet ; 0,5 . dhe 0,5; . .
0f x nëse 6 10 0,x d.m.th. nëse 5 ;3
x lakorja është konvekse në intervalin 5, ,3
x
d.m.th. grafiku i tij në atë interval ka formën .
““
konkave, d.m.th. për 5 ,3
x
grafiku i tij ka këtë formë .“ “
163
Vëre!
Përcaktimi i intervaleve të përkulshmërisë të lakores y f x kur f x është dy herë diferenciabil,transformohet në zgjidhjen e jobarazimit 0 ose 0.f x f x
BËshtë dhënë funksioni f x që është dy herë diferenciabil në pikën x0. Nëse për 0x x funksioniështë konveks, kurse për 0x x është konkav (ose anasjelltas), d.m.th. në pikën x0 funksioni endërron “përkulshmërinë”, atëherë pika 0 0,x f x quhet pikë e lakimit ose pikë e infleksionit.Domethënë, kur x rritet dhe kur kalon nëpër pikën në atë rast derivati i dytë f”(x) e ndërron shenjëndhe në pikën x0 ai është i barabartë me zero, d.m.th.
0 0.f x
Mbaj mend!
Kusht i nevojshëm për lakoren y f x të ketë pikë të lakimit në pikën x0 është 0 0,f x kursekusht i mjaftueshëm është f x ) ta ndërron shenjën në rrethinën e pikës x0.
3 Caktoji pikat e lakimit të funksionit:
a) 3 26 9 4;f x x x x b) 4 26 .y x x Zgjidhje
Vëre!
Përcaktimi i pikave lakuese të lakores y f x kur f x ka derivat të dytë bëhet në këtë mënyrë:
1. Përcaktohet .f x
2. Zgjidhet barazimi 0.f x
3. Shqyrtohet shenja e f x në rrethinën e pikave që janë zgjidhje të barazimit 0.f x
b) 3 24 12 , 12 12.y x x y x
0,y nëse 212 12 0,x d.m.th. nëse 1.x
0,y nëse 2 21 0, 1x x ose , 1 1, .x ∪
0,y nëse 2 21 0, 1x x ose 1, 1x .
Në rrethinën e pikave 1x dhe 1,x derivati i dytë e ndërron shenjën.Për 4 21: 1 6 1 5,x y kurse për 1: 5,x y pra pikat 1 21, 5 dhe 1, 5P P janë pikat ekërkuara të lakimit.
164
4 Cakto intervalet e përkulshmërisë dhe caktoji pikat e lakimit të lakores:a) 3 22 2;y x x x b) 2 3 .y x x
Zgjidhjea) 23 4 1; 6 4.y x x y x 0y nëse 6 4 0,x d.m.th. 2 .
3x
0y nëse 6 4 0,x d.m.th. 2 .3
x Domethënë, për 2,3
x
lakorja është konkave,kurse
Për 3 22 2 2 20, 2 ,
3 3 3 27x y
pra pika e lakimit është
2 20, .3 27
P
Detyra1 Në cilin interval lakoret janë konvekse dhe në cilin janë konkave:
a) 2 33 10 ;y x x b) 4 34 4 ?y x x
Cakto intervale e përkulshmërisë të lakores :
a) 1 , 0;f x x xx
b) 4 22 12 .f x x x
Cakto pikat e lakimit për funksionet: a) , 1;1
xf x xx
b) 2
2 .1
xf xx
2
3
Cakto intervalin në të cilin lakorja është konvekse, përkatësisht konkave dhe caktoji pikat e tyre të lakimit 4 7 :
a) , 2;2
xf x xx
b) 2
2 .2
f xx
a) sin , 0,2 ;3
f x x x
b) cos2 , 0,2 .f x x x
a) 2
2 ;xf x x e b) .xf x x e
a) 2ln , 0;f x x x x b) ln , 0.f x x x x
4
5
6
7
7 SHQYRTIMI I VETIVE TË DISA FUNKSIONEVE DHEVIZATIMIT I GRAFIKUT TË TYRE
Deri më tani vërejtëm si me ndihmën e derivatit të parë dhe të dytë të funksionit të dhënë saktësishtshqyrtohen disa veti të tij , siç ishin: monotonia, vlerat ekstreme, përkulshmëria, pikat e lakimit. Me shqyrtimine vetive tjera: çift, tek, periodiciteti, pikat e ndërprerjes, caktimi i asimptotave, fitohen një numër ikonsiderueshëm i vetive të një funksionin, to mundësohet edhe vizatimi i grafikun e tij. Nëpërmjet grafikut tëfunksionit mund të vërejmë shumë veti të funksionit.
0y për 2,3
x
lakorja është konvekse
165
Që ta vizatojmë grafikun e funksionit f x i shqyrtojmë këto veti:
1. Fusha e përcaktimit të funksionit.2. Vetitë simetrike të funksionit (çiftësia, periodiciteti).
4. Asimptotat e funksionit.
3. Pikëprerjet e grafikut të funksionit me boshtet koordinative (zerot dhe prerje me boshtin y).
5. Vlerat ekstreme, natyra e tyre dhe intervalet e monotonisë.
6. Përkulshmërinë, pikat e lakimit.
Në bazë të të dhënave të cilat mund të paraqiten në tabelë (por, nuk është e domosdoshme) vizatohet grafikui funksionit. Megjithatë, të vizatuarit e grafikut shpeshherë bëhet paralelisht me shqyrtimin analitik të vetive tëfunksionit. Skema e theksuar nuk është e thënë të përmbahet sipas rendit d.m.th. radhitja e shqyrtimit tëvetive nuk është me rëndësi. Nëse funksioni është çift, mjafton të shqyrtohet për x > 0, e të shfrytëzohetsimetria. Nëse gjatë përcaktimit të vlerave ekstreme, caktimi i derivatit të dytë është i ndërlikuar, atëherëshqyrtoje ndryshimin e shenjës të derivatit të parë në rrethinën e pikës në të cilën derivati i parë është ibarabartë me zero etj. Shqyrtimi i vetive të funksionit dhe konstruksioni i grafikut të tij do ta konkretizojmë nëdisa detyra.
1 Shqyrtoje vijimin dhe vizato grafikun e funksionit 2 2 3.y x x
Shihe zgjidhjen:1. Funksioni është i përcaktuar për ,x d.m.th. .fD
2. 2 22 3 2 3 ,f x x x x x f x
Funksioni nuk është çift.
2 22 3 2 3 ,f x x x x x f x
Funksioni nuk është tek. Domethënë funksioni nuk është as çift, as tek.
Funksioni nuk është periodik. (Periodiciteti më së shpeshti është i pranishëm te funksionettrigonometrike).
3. Prerjet me boshtet koordinative.Prerja me boshtin x:0,y d.m.th. 2
1 22 3 0; 1 dhe 3.x x x x Prerjet janë 1,0 dhe 3,0 .A B
Prerja me boshtin y:0,x d.m.th. 20 2 0 3 3,y pika e prerjes është 0,3 .C
4. Asimototat e funksionit.
Asimptotë horizontale nuk ka, pasi
x x x 2 2
2
2 3lim lim 2 3 lim 1 .y f x x x xx x
Asimptotë vertikale nuk ka, funksioni është i definuar për çdo .x
166
““
Asiptota e pjerrtë y kx n
x x
5. Vlera ekstreme
0y nëse 2 2 0, 1,x x d.m.th. ,1x funksioni rritet.
0y nëse 2 2 0, 1,x x d.m.th. për 1,x funksioni zvogëlohet.
Pika 1,4D është pika e maksimumit, pra grafiku ka formën .
6. 2 0,y pra për çdo x lakorja nuk ka pika të lakimit dhe në gjithë intervalin është konveks,kurse grafiku i tij ka formën
Grafiku i funksionit është paraqitur në fig.1.
fig.1
C
BA
2 2 3y x x
D
x
y
1 3
4
2
2 Shqyrto vijimin dhe vizato grafikun e funksionit 3 2 1.f x x x x
Shihe zgjidhjen1. Funksioni është i përcaktuar për çdo numër real,d.m.th. , .x 2. 3 2 3 21 1f x x x x x x x f x dhe
3 2 1 ,f x x x x f x domethënë funksioni nuk është as çift,as tek.
3. Prerjet me boshtet koordinative.Prerja me boshtin y. Për 0, 0 1,x f prerja është pika 0, 1 .A
Zerot e funksionit, prerjet me boshtin x.Për 3 20, 1 0;y x x x
2 2 3lim lim ,f x x xk
x x
nuk ka asimptotë të pjerrtë.
Te funksionet polinomiale caktimi i zerove shpeshherë paraqet vështirësi pasi në atë rast kemizgjidhjen e barazimeve të shkallës më të lartë, për zgjidhjen e së cilës nuk ka rregull të përgjithshëm.
2 2; 0y x y nëse 2 2 0,x d.m.th. 1.x 2 0,y domethënë funksioni për 1x ka maksimum 2
max 1 1 2 1 3 4.y y
““
22 21 1 1 1 1 1 0,x x x x x x x për 1x dhe për 1,x pra prerjet janë 1,0 dhe 1,0 .B C
4. Asimptotat e funksionit.
x xPasi 3
2 3
1 1 1lim lim 1 ,y f x xx x x
nuk ka asimptotë horizontale.
Funksioni nuk ka asimptotë vertikale as asimptotë të pjerrtë.
Të dhënat e fituara i paraqesim në tabelë:
x
y
1 0 1
4
3
y
y
0 3
0
0
( ( (
167
5. Vlerat ekstreme. 23 2 1.f x x x
0f x nëse 23 2 1 0,x x pra 1x dhe 13
x janë pika në të cilat funksioni mund të ketë
vlera ekstreme.
6 2.f x x
Për 1, 1 6 2 4 0,x f domethënë për 1x funksioni ka maksimum
3 2max 1 1 1 1 1 0;y f 1,0N është pika e maksimumit.
Za 1 1 1, 6 2 4 0,3 3 3
x f
domethënë për 13
x funksioni ka minimum
3 2
min1 1 1 1 321 ;3 3 3 3 27
y f
1 32,3 27
M
është pika e minimumit.
23 2 1 1 3 1 .f x x x x x
0f x nëse 1 3 1 0,x x d.m.th. për 11,3
x
funksioni është monoton zvogëlues.
6. Përkulshmëria, pikat e lakimit, 6 2.f x x
10 ;3
f x x 0 6 2 0,f x x d.m.th. për 13
x lakorja është konkave.
0 6 2 0,f x x d.m.th. për 13
x lakorja është konvekse, kurse për 1 ,3
x
1 16 ,3 27
f
Tabela e të dhënave:
Grafiku i funksionit është dhënë në fig. 2.
d.m.th. 1 16,3 27
P
është pikë e lakimit
3227
CP
M
BN A
13
1 1
1
x
y
O
3 2 1y x x x
fig.2
0f x nëse 1 3 1 0.x x Funksioni është monoton rritës në intervalin 1, 1 , .3
i
x
f x
f x
1
0
0
f x
13
13
0
0
0
1
(( (
13227
1627
0
( (
për nëse
për
168
3 Shqyrto vijimin dhe vizato grafikun e funksionit 2
.2
xyx
Krahasoje zgjidhjen tënde me zgjidhjen e dhënë:
1. Funksioni është i përcaktuar për 2 0, 2, d.m.th. ,2 2, .fx x D ∪
2. Çiftësia. 2 2
;2 2
x xf x f xx x
2 2
,2 2
x xf x f xx x
funksioni nuk është
as çift as tek.3. Prerja me boshtet koordinative.
Prerja me boshtin y: për 0, 0, 0,0 .x y A
Prerja me boshtin x: për 2
0, 0, 0, 0,0 .2
xy x Ax
4. Asimtotat e funksionit.
Asimptota vertikale është drejtëza 2 0, 2.x x Do ta shqyrtojmë vijimin e funksionit në rrethinëne pikës 2.x
Horizontale: 2 2
lim lim lim lim ;222 11x x x x
x x xy f xx x
xx
lim lim .21
x x
xy f x
x
Funksioni nuk ka asimptotë horizontale.
2 2
22 0 0
2 2lim lim lim lim ;
2 2 2x hx h h
h hxf xx h h
Asimptota e pjerrtë. 2
2 2
22
2; lim lim lim lim 1;22 1
x x x x
xf x x xxy kx n k
x x x x xx
2 2lim lim lim 2;2 2x x x
x xn f x k x xx x
2y x është asimptotë e pjerrtë.
5. Vlerat ekstreme.
2
22
4 ; 0, 4 0, 0 ose 4;2
x xf x f x x x x xx
3
8 .2
f xx
Për 0, 0 1 0,x f funksioni ka maksimum max 0 0; 0,0 .y f A
Për 4, 4 1 0,x f funksioni ka minimum 2
min44 8; 4,8 .
4 2y f B
2 2
22 0 0
2 2lim lim lim lim .
2 2 2x hx h h
h hxf xx h h
0f x nëse 2 4 0, ,0 4,x x x ∪ funksioni rritet në ;0 dhe 4, .
0f x nëse 2 4 0,x x për çdo 0,4x funksioni zvogëlohet.
për
169
6. Pikat e lakimit. 0,f x nëse 3
8 0,2x
0f x për çdo ,fx D pra lakorja nuk ka pika të lakimit.
Pasi që 8 0, shenja e derivatit të dytë varet prej emëruesit.
0f x nëse 2 0,x d.m.th. për 2x lakorja është konkave.
0f x nëse 2 0,x d.m.th. për 2x lakorja është konvekse.
Të dhënat e fituara i paraqesim në tabelë:
Grafiku i funksionit është në fig.3
y
x
8
42
fig.3
1
1
10
32
x
y
2y x
4 Shqyrto vijimin dhe vizato grafikun e funksionit .xy x e
Krahasoje zgjidhjen tënde me zgjidhjen e dhënë:
1. Funksioni është i përcaktuar për çdo numër real, d.m.th. , .D
2. dhe ,xf x x e f x f x f x funksioni nuk është as çift as tek.
3. Për 0 kemi 0,x y pra (0,0)A është pikë e grafikut.
Asimptotë vertikale dhe të pjerrtë nuk ka.
5. Vlerat ekstreme. 1 ; 0xf x x e f x nëse 1 0,x d.m.th. 1.x 2 .xf x x e
Për 1 1 1 1min1, 1 0, 1 1 , 1, .x f e y f e e B e
0, 1 0, 1 0, 1.xf x x e x x Për 1,x funksioni rritet.
0, 1, , 1f x x x funksioni zvogëlohet.
6. Pikat e lakimit 2 22 ; 0 2, 2 2 . 2, 2 .xf x x e f x x f e P e
2
4. Asimptota horizontale: lim lim ;x
x xy f x xe
lim lim 0,x
x xy f x xe
domethënë
boshti x është asimptotë horizontale ndaj së cilës grafiku i afrohet prej poshtë: 0 ,y koga .x
4
8
x
0 0
0
0
2
( ( ((
y
y
y
për
170
0,f x nëse 2,x d.m.th. për 2,x lakorja është konkave.
0,f x nëse 2,x d.m.th. , 2x lakorja është konvekse.
Të dhënat janë parashtruar në tabelë:
Grafiku i funksionit është dhënë në fig. 4.
Detyra:
1
Shqyrto vijimin dhe vizato grafikun e funksionit 1 6 :
a) 22 3 2;y x x b) 3 3 2;y x x c) 4 22 .y x x
a) 2 ;
2 1xyx
b) 2
2 .1
xyx
a) 2
4 ;4
xyx
b) 2
2
4 .4 3
x xyx x
a) 2 ;xy x e b) 2
.xy x e
a) ln ;y x x b) ln .y x x
a) sin cos ;y x x b) 2sin 3sin .y x x
2
3
4
5
6
2
P BA
x
yxy xe
fig.4
0
x
f x
f x
0
f x
00
2 1
1e22e
(( (0
��
� ��
�
�� ���
������
171
VARGJET DHE PROGRESIONETTEMA 1
a) 3 4 5 62, , , , ;2 7 14 23
b) 1 1 1 1 1, , , , ;2 3 4 5 6
c) 0, 1, 0, 1, 0; ç) 1 1 1 11, , , , .2 6 24 120 21 1
b)
12 ;1 1 100
n
nan
c) 1 ;na
n n Ç) 11 .n
na n 3 a) 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55; b) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.
a) ;2n n
na
4 a) 1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,7320; b) 3; 3,1; 3,14; 3,141; 3,1415. 5 a) 4, 2 2, 2, 2, 1,...; b) 16, 8, 4, 2, 1,...
6 a) monoton rritës; b) monoton zvogëlues. 7 a) monoton zvogëlues; b) monoton rritës.
8 a) monoton rritës; b) monoton zvogëlues; c) Nuk është monoton, meqë për çdo numër natyror k vlen 2 1 2 ,k ka a
por edhe 2 1 2 ;k ka a Ç) monoton zvogëlues. 9 a) 1,na prej ku vijon se vargu është i kufizuar;
b) 0 2,na prej ku vijon se vargu është i kufizuar; c) 0 1,na i kufizuar; Ç) nuk është i kufizuar;
d) 1,4 2na ose 1 2na - kufizuar.
2 1 Vargje aritmetike janë nën a) dhe ç). 2 a) Po,pasi 2 0 2 0 2 0 2 0 1sin 60 sin 45 sin 45 sin 30 ;4
b) Po, pasi 2 0 2 0 2 2cos 45 cos 60 cos cos .6 4π π
4 a) 200; b) 325. 5 a) 25; b) 41; c) 1,5; ç) 20 .a b
6 a) 3, 1, 1, 3,5; b) 7, 9, 11, 13, 15; c) 10, 8, 6, 4, 2; Ç) 7, 10, 13, 16, 19.
72 1 2 1 1 218, 14 , 11 , 8, 4 , 1 , 2, 5 , 8 , 12.3 3 3 3 3 3
3 1 a) 1010, 265;n S b) 1616, 552.n S 2 a) 29, 3;na d b) 35, 2.na d
3 a) 1 135, 91;a S b) 1 92 , 54 36 .a a S a b 4 a) 3, 1, 1, 3,...; b) 2, 4, 6, 8,...; c) 3 9, 3, , 6,...2 2
5 Është dhënë: 1 3, 13 dhe 143.na a S sr Prej 1
2na aa
sr fitojmë 23,na kurse me zëvendësimin te formula
12n nnS a a do të fitojmë 11.n Ndryshimin d e caktojmë prej 11 1 10 ,a a d d.m.th. 2.d
6 Dihet se: 1 18, 3a d dhe 1 ,5n
nSa ku 1 1 1
11 , 2 2 .2n n
na a n d S a n d
Prej këtu me zëvendësim fitojmë 21, 4n n (nuk është zgjidhje), anëtari i kërkuar është 21 42.a
7 1 2, 1.a d 8 5, 9, 13, 17,... Udhëzim. Të tre anëtarët e njëpasnjëshëm shënoi me , dhe .x d x x d
9 10 a) 119 .2
x Udhëzim. 11 , 1, , 200.2 n na d a x S b) 2.x
PËRGJIGJE, UDHËZIME DHE ZGJIDHJE E DETYRAVE
20, 50, 80 ose 80, 50, 20.
172
4 1 Progresione gjeometrike janë vargjet nën a), b) dhe ç). 2 a) 3, 6, 12, 24,...; b) 2, 6, 18, 54,...;
c) 18, 4, 2, 1, ...;2
ç) 218, 6, 2, ,...3
3 a) 3, 9, 27, 81,...; b) 10 20 405, , , ,...3 9 27
4
b) 2 3 3, 1, , ,...2 43
a) 2, 8, 32, 128,...;
5 5 1.a 6 a) 9 13, 2 3 , 2 3 ;n b) 3 7
1 3 3, , ;2 2 2n
c) 9 12, 3 2 , 3 2 ;n
7ç) 9 11 1 1, 3 , 3 ;
2 2 2
n
d) 9 13, 2 3 , 2 3 ;n e) 9 11 1 1, , .
2 2 2
n
8 256 herë.
5 1 7 86.s 2 a) 63 4655, ;2 32
q s b) 11 111 2047 1 683, ; , .2 64 2 64
q s q s
3 a) 88, 896;n a b) 66, 486.n a 4 a) Duke shumëzuar me q të dy anët e formulës 11
nna a q fitojmë:
1 ,nna q a q kurse pastaj këtë rezultat e shfrytëzojmë në formulën për shumën e n anëtarëve,d.m.th.
11 11
1 .1 1 1
nnn
na q aa q aqs a
q q q
Duke i zëvendësuar vlerat për 1, dhen ns a a në barasinë 1 ,1
nn
a q asq
fitojmë
2048 22730 ,1
prej ku 4.q Pastaj prej 1
1n
na a q kemi 14 1024, 6.n n b) 5, 4.q n
5 1 3, 2,a q pra progresioni është: 3, 6, 12, 24, 48,... 6 9. Udhëzim. Shihe detyrë 4.
7 Prej kushtit të detyrës kemi 1 2 32 2 2
1 2 3
26,
364
a a a
a a a
d.m.th.
21
2 2 41
1 26.
1 364
a q q
a q q
Nëse barazimin e parë e
kuadrojmë dhe e pjesëtojmë me barazimin e dytë, do të fitojmë
22
2 2
1 26 2626 141 1
q q
q q q q
ose 23 10 3 0,q q prej
ku 13, ' .3
q q Prej 21 2 26a q q fitojmë 1 1
'2, 18.a a Domethënë, ekzistojnë dy progresione të atilla:
8 3232 2 1 4294967295.S
9 Ekzistojnë tre progresione të atilla,dhe atë: 27 27 27I 27, 27, 27, 27,... II 27, , , , ... III 27, 9, 3, 1,...2 4 8
2, 6, 18,... dhe 18, 6, 2...
10 1 10 10 9 ;81
nnS n Udhëzim.
2 310 1 10 1 10 1 10 11 , 11 , 111 ,. . . .,111...1 .9 9 9 9
n
n
6 2 a) 145;n b) 14445.n 3 a) 5;n b) 28.n 4 a) 1 , 2;9
n b) 27 , 1.99
n
5 a) 3 2 5 4 70, , , , , .2 3 4 5 6
b) c) Jo. ç) Po, 30 .2na d) 1. e) 1000.n
7 2 a) divergjente, me dy pika të grumbullimit; b) divergjente, me dy pika të grumbullimit.
3 Prej 2 2 1
1 1 1 1 1 1 11 . . . 1 . . . ,2 22 2 2 2 2n n n d.m.th. 1,n na a vijon se vargu është rritës.
0 1 223
45
76
54
32
1 1, 2.a q
173
Pasi
11 112 2 2
1 212
n
n
na
përfundojmë se vargu është i kufizuar,që do të thotë se vargu është konvergjent.
42 1 2 2 2lim lim 2, ,
1 1 1n nn n
n n na bn n n
d.m.th. ,n n na c b pra vijon se lim 2.nn
a
5 a) 5 2 ;n
nan
b) 5 4 .n
nbn
6 a), ç) ,d) konvergjent; b), c) divergjent.
8 2 a) ; b) oscilon; c) ; Ç) oscilon. 3 a) 3; b) 1. 4 a) 7; b) 3. 5 a) 2; b) 2 ;3
c) 4 .3
6 a) e; b) e; c) e. 7 a) 2 ;e b) 4 ;e c) 2 .e
a) 1; b) 8; c) 6 .7
2 a) ;ac
b) 3 ;5
c) 1. 3 a) 1; b) 1 .4 4 a)
1 ;3
b) 1; c) 2; Ç) 1.
5 a) 1 ;2
b) 2. 6 a) 1 ;9 b)
29.20
7 a) 3 5 ;
5 b) 0. Udhëzim. 2 2 3 3.a b a ab b a b
a) 2 ;3
b) 28 ;3
c) 2 1 2 ; Ç) 92 ;3
d) 2 2 3 ; e) 2 lg 3.3 3 a) 7; b) 3 45. 4
531 .99
5 a) 2929 ;900
b) 521.110
6 3 316 8, .75 25
a a 7 a) 3;x b) 1.
9 a) 4 , 6 3;i rπ ii r b) 24 .
3r πi 2 3.ii r
FUNKSIONET DHE VLERAT KUFTARE TË FUNKSIONEVETEMA 2
1 1 2 22 2 2 2 3 9; 1 6; 0 3; 2 3.f f f f a a a
2 2 1; 1 0; 0 1; 1 2; 2 4.f f f f f 3 1 12 1; 0 2; ; 3 2.2 2
φ φ φ φ
4 a) 2 2
për ;f b f a b a b a b a
b a b a
b)
2 2
.2 2 2 2 2 2
a b a b a b a b a b a b a b a bf f ab
5
1 11 1 .
1 11 111 1
x yf x f y x yx y
x yf x f y xyx y
6 a) 2
2
2 2, 1;
2 2, 1x x x
f xx x x
b)
2
2
1 , 00 0.
1, 0
x xf x x
x x
7 a) 1 2
;2 5 1
a b aa b b
b)
4 2 3 5 1.
3 4 2a b a
a b b
10 1
9 1
8 a) 3;a b) 6 ;a c) 2 3 .3
a
174
8 a) Le të jetë 1 1 .2 2
x t x t 12 3 2 2;2
f t t f x t
b) Le të jetë 21 , d.m.th. 1, 1 1 .x t x t f t a t b t c
2 2 22 2 2 .f t at at a bt b c at a b t a b c f x ax a b x a b c
9 a) ;fD b) \ 2,2 ;fD c) ;fD ç) 2 5 6 0 ,2 3, ;fx x D
d) 1 sin 0 sin 1 ;fx x D |) 2 2 0
; ,0 2,5 .5 0 fx x
Dx
11
12 22 2 2 22 , d.m.th. 4 ,b R x b R x Domethënë 2 24 .P xb x R x
2 1 a) 2 3; ; 4,f fy x D V (fig.1)
b) 2 2 3;y x x Zero: 1 21, 3;x x Kulmi: 1, 4;α β ,f fD V (fig.2)
c) 2 . 0y yx
është asimptotë horizontale; 0x është asimptotë vertikale
x
y
0,3
1,1
32
x
y
3
3
1 x
y
1 2
2
1
21
12
fig.1 fig.2 fig.3
\ 0 ; \ 0f fD V (fig. 3).
b) 3 3 34 tg 4 tg 4 tg .f x x x x x x x f x
a) 3 ;2
x b) 4 .3
x 3 a) 1 21, 2;x x b) 4 25 4 0;x x x Zerot janë -2,-1,0,1,2.
4 a) 2;x b) Zerot janë: -4,-1,1,4. 5 a) Zerot janë: 52 , 2 , ;6 6π πkπ kπ k b)
3 2 , .2π kπ k
6 a) 2 3 1;x Zerot janë: -2 dhe 2. b) 2 2 8 ;x x Zerot janë: -4 dhe 2.
7 a) 2 2 2sin sin sin ;f x x x x x x x f x b)
2 2
2 2
3 3 ;44
x xf x f xxx
c) cos cos .f x x x f x 8 a) 3 5 7 3 5 7 3 5 72 2 2 2 2 2 ;f x x x x x x x x x x f x
2
5tg ; \ | , ; .2πp α D α α kπ k V
175
10 a)
3 3 3
2 2 2
sin tg sin tg sin tg ;cos cos cos
x x x x x x x x xf x f xx x x
tek;
b) 2 1 1 2 2 1 ;2 1 1 2 2 1
x x x
x x xf x f x
tek
11 a)
2 2
1 1,
x x
x x
a af x f x
a a
çift
b) 2 2 2 2 12 2 2
2 2
1 1 1lg 1 lg 1 lg lg lg 11 1 1
x x x x x xf x x x x x x xx x x x
2lg 1 ,x x f x tek
3 1 a) 2 2 5 ;
4 25
π π πTb
b) 2 ;12
π πT πb
c) 2 .3πT 2 a) ;T π b) 2 ;T π c) 2 1 cossin ; 2 .
2 2x xy T π
3 a) 1 2 1 22 4 2, 3 ; Sh.V. P. ( , ) 12 ;3 232 3
T T T T T b) 1 22 2 4 4, ; .
33 3 32
π π π πT T T
4 a) sin ,f x T x T x T f x nuk është periodik; b) sin 2 sin sin ,f x T x T x T x
Periodik me period 2 .T π 5
b) cos ,f x T x T x T f x nuk është periodik.
a) 2 sin ,f x T x T f x periodik me periodë 2 ;T π
6 a) 2 2 1 13 31; 1;2 2
f x x f x x Për 2 1x x kemi 2 1 2 1 2 13 3 31 1 0;2 2 2
f x f x x x x x
b) 2 1 2 1 2 11 1 13 3 0.2 2 2
f x f x x x x x 7 a) Për 1 20 x x kemi 22 1 2 2 2 1 2
1
lg lg lg 0;xf x f x x xx
b) Për 1 20 x x kemi: 22 1 1 2 1 1 1
12 2 2
log log log 0;xf x f x x xx
c) Për 1 2x x kemi: 2 12 1 1
1 2 12 11 13 3 3 3 1 1 0.
3 3x xx x x
x x xf x f x
8 a) Për 1 20 x x kemi: 2 2 2 22 1 2 1 2 1 2 1 2 11 1 0,f x f x x x x x x x x x rritës;
b) za 1 20 1x x kemi: 1 2 1 2
2 12 1 2 1 2 1
1 11 1 0;1 1 1 1 1 1
x x x xf x f xx x x x x x
zvogëlues
c) za 1 20 x x kemi:
2 2 2 21 2 1 21 2 1 2
2 1 2 2 2 2 2 2 2 22 1 2 1 2 1 2 1
1 11 1 0;1 1 1 1 1 1 1 1
x x x xx x x xf x f xx x x x x x x x
zvogëlues
9 a) 2 21 3cos 1 3cos ;f x x x x x f x çift
b) 3 3 32 sin 2 sin ; 2 sin .f x x x x x f x f x x x f x As çift ,as tek;
c) për 2 ;
.për 2 1;
nn
n
x n k kf x x
x n k k
Domethënë, për n- çift, funksioni është çift,për n-tek,funksioni është tek.
176
4 1 a) 24 3; 3, ;
4 fac bβ V
a
b) 3, ,3 ;fβ V c) .fV
2 a) 49 49, , ;4 4fβ V
b) 25 25, , .8 8fβ V
3 a) 2 1, 0
, 1, ;1, 0 f
x xy V
x
b) 2 , 1, ,1 .
, 1 f
x xy V
x x
4 a) 1, ;fV b) 1, .fV
5 a) 2sin cos 1 1 1sin cos sin 2 . , ;
2 2 2 2fx xy x x x V
b) 3,3 .fV
6 a) min 1 për 1;y x b) max1 3për ;4 2
y x c) min 0 për 0.y x 7 a) max min31për , 1për ;
2 2y x y x
b) min 2 për .y x 8 a) max 1 për 0;y x b) nuk ka pika ekstrem.
9 a) 21 0,x do të thotë ;fD b) 1,1 ,fV pasi prej 2
2 ,1
xyx
fitojmë 2 2 0yx x y prej ku
2 24 4 0 d.m.th. 1 0;y y c) funksioni është i kufizuar, 1 1;f x ç) Për max1, 1;x y për min1, 1;x y
d) , 1 1, ;x f x zvogëlohet; 1,1 ;x f x rritet; ç)
2 2
2 211
x xf x f xxx
tek;
e)
2
2;
1
x Tf x T f x
x T
nuk është periodik.
5 1 a) 2 3 2( ) 3 2 4; ; ( ) 6 15 2 5; ;f gf g x x x D D D f g x x x x D
b) 21 2 1( ) 1 ; \ 1 ; ( ) 1; \ 1 ;
1 1x xf q x x D f g x D
x x
c) 3 2 3 2
21 3 3 2 3 3 1( ) 3 1 ; \ 1 ; ( ) ; \ 1 .1 1 1
x x x x x x xf g x x D f g x Dx x x
2 a) 2 21 1 ; 0, \ 1 ; ,1 \ 0 ; 0,1 .
1 1f g f g
x x x x x xf g x D D Dxx x x
b) 1 ; 0,1 .1
xf g x Dx
3 3 2( )( ) 4 2; ; ( ) 8 12 6 1; .f f x x D f f f x x x x D
177
x
y
11
6 ( ) cos ; (2 1) , (2 1) ;2 2f g
k
π πf g x f g x g x x D k k
( ) cos cos ; [0, ).g fg f x g f x f x x D
7
1 31 31 3 1 3 3 3 93( ) .1 33 3 1 3 3 93
3
xf x f x x xxf f x f f x x
xf x f x x xx
2 12 1 4 2 22 .
2 1 2 1 2 422
xx xxf f x x
x x xx
9 a) 8 1212 8 3 ; 3 8 12 ; ,3
yy x x y x domethënë, 1 8 12 ;
3xf x
b) 2 32 2 3; 2 2 3; ,2
yxy y x x y y xy
domethënë 1 2 3 ;2
xf xx
c) 3 1,x y domethënë 3 311 ; 1 ;x y f x x ç) 210 3,x y domethënë
1lg 3 2, lg 3 2.x y f x x
10 a) 1 1; ,f x xx y
domethënë 1 1 ;f xx
b) 11 1 1; 1 ; 1 ; , d.m.th. .1 1 1
x y xf x y xy x xy x y x f xx y x
1 a) 6y x (fig.1) b) 5y x (fig.2) c)
15y x (fig.3).
fig.1 fig.3
x
y
1
11
1 x
y
11
11
8
4 a) ( ) 5 4 5 2 3 4 15 6; ( ) 1 3 2 3 5 4 15 14;f g x f g x g x x x g f x g f x f x x x
b) 1 1 1 1 3 8( ) ; ( ) 2 3 2 3 .2 2 3 2 2 5 2 2
xf g x f g x g f x g f x f xg x x x x x
5
33 1 1 3 4( ) 1 ; ( ) .2 4 2 1 2 4 2 1 4 6 2
f xx x x xf g x f g x g f x g f xx x f x x x
fig.2
6
178
2 a) 5 xy (fig. 4). b) 0, 2 xy (fig. 5). c) 5logy x (fig. 6, vija e kaltër). Ç) 15
logy x (crt. 6, crna linija).
x
y
1
1
1
5
x
y
1
5
1 1
511
x
y
1
fig.4 fig.5fig.6
3
x
y2
2
2π 3
2ππ 2π
a) fig.7. b) fig.8.
x
y
1
1π 2π 3π 4π
7 1 a) fig.1. b) fig.2. v) fig.3.
x
y
11
11
3y x
3y x
x
y
1
2
1
2
2xy
2xy
x
y
1
1yx
1yx
fig.1fig.2
fig.3
fig.8
a) fig.4. b) fig.5. c) fig.5
x
y
1
12
lo gy x
12
lo gy x
2 3 a) fig.6. b) fig.7. c) fig.8
1 x
y2
x x
2 3x
fig.5 fig. 6
fig.7
x
y
1
u
v
1
11
2
12xy
2uv
fig.4
179
fig.8
cosy x
cosy x
x
y
1 2π
1
2π
32ππ 2π
4 a) 2
2
6 06 0
x x xy
x x x
(fig.9). b) fig.10.
fig.10
1x 1 1 x
y 1x
2 3x x
2 3x x
x
y
3
3 9,2 4
fig.11fig.12
3 4,2 9
3 0 x
y
2
13x x
5 a) fig.11. b) fig.12.
6 a) fig. 13 (vija e zezë). b) fig. 13 (vija e kaltër). c) fig. 14.
x
y3 2x
13 2x
32
13
0 32π
2π
π2π
x1
y
cos x
cos x1
1cos x
fig.13 fig.14 fig.15
0
2
2
x
y
7 a) 2 2; 0
2; 0x x
yxx
fig.15. b)
2 2 3 3 1, 22 2 3 5, 2
x x x xy
x x x x
fig.16 8 a) fig.17. b) fig.18.
fig.7
x
y
22
3
21y x
2 1x 2x
fig.9
x
y
336 6
9
3
180
7
x
y
2
2 2 3x x
fig.16
3
y
x
21
2y
x
0
2y x
fig.17
2
y
x2
24 x
2
24
yx
4
0
1
fig.18
8 1 a) 1; b) 1. 3 a) 1; b) 1. 4 a) 2; b) 4. 5 a) 2; b) 3. 6 a) 1; b) 0.
9 1 a) 1 0 1 0
2 1 2 12 2lim lim ; lim lim ;1 1 1 1 1 1x h x h
h hx xx h x h
b)
1 0 1 0
3 1 3 13 3lim lim ; lim lim .1 1 1 1 1 1x h x h
h hx xx h x h
2 a) 2 21 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1lim lim lim ; lim lim ;1 1 1 2 1 21 1x x x x x
x x xx x x xx x
b) 2 2
1 1 1 1 1
1 11 1lim lim lim ( 1) 2; lim lim ( 1) 2.1 1 1x x x x x
x xx xx xx x x
3 a) 2 0
3 3lim lim ;2 2 2x hx h
b)
2 0
3 3lim lim .2 2 2x hx h
4 a) 1; b) 1.
5 a) 1; b) 0; v) 0. 6 a) ; b) ; v) . 7 a) ; b) ; c) ; Ç) .
10 1 a) 5; b) . 2 a) 1 ;3
b) 1. 3 a) 2; b) 3 .2
4 a) 1 1
3 2 3 4 1lim lim ;1 41 3 2x x
x xx x x
b) . 5 a)
1 ;2
b) 3 .2
6 a) 2
2
2lim 2 lim 1;2x x
xx x xx x x
b)
2
1 1
4 14 2 5lim lim .2 1 1 2 1 1 4x x
x xx x xx x x x
7 a) 2
4
sin2 1 1coslim 2;12sin cos cos
4 2πx
xx
πx x
b) 2.
181
8 a)
2
30 0 2 2
2sinsin 1 cos 12lim lim ;2cos sin cos 4sin cos
2 2x x
xx x
x xx x x
b)
0
2sin cos 4lim 2.sinx
x xx
11 1 a) 0 0
sinsin 1lim lim ;
sinsin 4 cos 44 cos4
x x
x xx xxx x x x
x
b) 2
20
2sinlim 2.x
xx
2 a) 1 ;2
b) 0.
3 a) 4; b) 2. 4 a) 4; b) 4. 5 a) ;e b) ;e 6 a) 5 ;e b) 43 .e
7 a)
11
111 1lim lim 1 1 lim 1 lim 1 ;
1 1 1 1
x xx x x x
x x x x
x x ex x x x
b) 4 .e
8 a) 1 1 12 22
0 0lim 1 2 lim 1 2 ;x
x x xx x
x x e
b) 3.e
12 1 a) Funksioni është i vijueshëm në pikën x = 2, pasi:
2 0 2 0
lim 2 1 lim 2 2 1 5; lim 2 1 lim 2 2 1 5; 2 5;x h x h
x h x h f
b) Funksioni është i vijueshëm pasi 0 0
1 1lim ; lim .x xx x
2 0 0 0 0
lim sgn lim 1 1; lim sgn lim 1 1.x x x x
x x
Domethënë funksioni ka ndërprerje në x = 0.
30 0 0 0
lim sgn lim ( 1) 0; lim sgn lim 1 0.x x x x
x x x x x x
Domethënë funksioni është i vijueshëm në x = 0.
4 1 1
lim 1; lim 4 3.x x
x x
Domethënë, 1
lim ( )x
f x
nuk ekziston, pra funksioni ka ndërprerje në x = 1.
5 sinlim , për 0,x a
af x f a aa
pra f(x) është i vijueshëm për 0.a Pasi 0
sinlim 1,x
xx
funksioni
60 0
1lim ; lim 0,x x
xx pra f x ka ndërprerje në x = 0.
7
13 1 a) 2x është asimptotë vertikale ; 1y është asimptotë horizontale;
b) 2x është asimptotë vertikale; 2y x është asimptotë e pjerrtë.
2 a) 0x është asimptotë vertikale; 1y x është asimptotë e pjerrtë; b) 0y është asimptotë horizontale.
3 a) 3x dhe 3x janë asimptota vertikale; y x është asimptotë e pjerrtë; b)12
y x është asimptotë e pjerrtë.
4 a) 1y dhe 1y janë asimptota horizontale; b) 0y është asimptotë horizontale kur .x
sin për 0
1 për 0
x xf x x
x
është i vijueshëm edhe në x = 0.
është i vijueshëm edhe në x = 1.
2
3
2lim2 1x a
a af x f aa
pra 1.a Nëse
21
1 2 11, lim .22 1 1x
x xa
x x x
Domethënë
2
3
2, për 12 1 .1, për 12
x x xxf x
x
182
DERIVAT I FUNKSIONITTEMA 3
1 1 Pasi 2 ,L a b 15m, 20m,a b kemi:
a) 22 2 2 2 0,11 0,22m. 0,11 20 2,2m .L a a b a b a P a a b ab a b
b) 22 2 0, 2 0, 4 m; 15 0, 2 3m .L b P a b
2 22 2. 2 .P r π P r r π r π r r r π a) b) 20,2 2 2 0, 2 0,84 cm ;P π π c) 20, 41 cm .π
3 a) 0 02 12 0,2 2 1,8 2 1 2 .
1,8 9f f x x f x f f f f b) -2,32; v) 0,03; g) 0,205.
4 a) 2 22,6 2,5 0,1, 4 4 ; 4 2 .x f f x x f x x x x x x x f x x x
Për 0 2,5 dhe 0,1.x x x 0,1 4 2 2,5 0,1 0,11.f b) 0,125, 0,1.x f c) 3 2 ;4 3 12π π πx
2 22 22 2 2 1 1cos cos ;
3 12 3 2 2 4π π πf
ç) , 3 1.
3 4 12 3 4π π π π πx f tg tg
5 a) ' 1;y b) ' 2 ;y x za 0 2; ' 2 2 2 4.x y c) 3 2 33 23 3 ;y x x x x x x x x
222 22 2
00
3 3; ' lim 3 3 3 , për 1, ' 1 3 1 3.
x
x x x x xy y x x x x x x x yx x
ç) 2
02
1' , për 1, ' 1 2.xy x x yx
6 a) 1 për 1
1 ;1 për 1
x xy x
x x
për 0
' lim .x
f x x f xf x
x
0 0 0
'' 1 11 1lim 1; lim lim 1.x x x
x x xx x x xf x f xx x x
b) ' '1 1; 1 1.f f v) ' 0f nuk ekziston pasi funksioni për 0x nuk është i definuar,kurse ' 0 0.f
7 a) E shqyrtojmë diferenciabilitetin vetëm nga ana e djathtë pasi që [0, ).fD
3
122
0 0 0
' 0 00 lim lim lim 0.0 0x x x
f x f xf xx x
Domethënë ' 0 0,f d.m.th. funksioni është diferenciabil nga ana e djathtë. b) Funksioni nuk është diferenciabil, pasi
që ka ndërprerje edhe pse ' '1 1 .f f c) Funksioni nuk është diferenciabil.
2 1 a) 5' 6 ;y x b) 3 3 13 2 23 3; ' ;
2 2y x x y x x
C)
10 1111
10, ' 10 .y x y xx
2 a)
2 2 2 3 2 32 2 20 0
21 1 2 2 2; ; ' lim limx x
x x x y x x y x xy f x x f x yx xx xx x x x x x x x x x x
ose '
2 2 12 3
'1 22 ;x xx x
183
3
b) 0 0 0 0
1 1' lim lim lim lim ,2x x x x
x x x x x xf x x f x x x xf xx x x x x xx x x x
ose 1 12 2
'' 1 1 .
2 2x x x
x
c) 3
1' .2
yx
2 '2 ' 2 3 4 ; 1 4 3, 1.x x x x x
Për 1; 1 1 2 3x y dhe për funksionin e dytë 21 2 1 3 1 4 3, d.m.th. 1,3 .y A
4 ' cos ; cos 1, 2 , .y x x x kπ k 5 ' sin ; sin 0, , .y x x x kπ k
6 3sin ' cos '; cos sin 0, , .4πx x x x x kπ k
3 1 a) ' ;y x b) 23 ;y x c) 4 3
1' , ' .y y mx
2 a) ' 4 3;y x b) ' 2 6 ;y x c) 2 3' 1 ;y x x x
ç) 2 3 4 5
1 2 6 12' .yx x x x
3 a) 3 2
1' ;3
yx
b) 5 2
3' ;5
yx x
c)3
2' ;3
yx
ç) 34 3 2
1 1' .yx x
4 a) ' cos 2sin ;y x x b) 4 1' 5 ;xy x ex
c) 2 2 2 2 2
1 1 4 4' .cos sin 4sin cos sin 2
yx x x x
5 a) 2' 6 14 3;y x x b) 2' 9 20 11;y x x c) 4 3 2' 5 4 3 2 .y x x x x
6 a) ' cos2 ;y x b) 21 cos tg
' ;cos
x xy
x
c) 21 sin ctg
' .sin
x xy
x
7 a) 2' 3ln 1 ;y x x b) ' 2 ;xy xe x
c) '' ' ln ln ln '; ' ln ln 1 .x x x xy x e x x e x xe x y e x x x
8 a) 22
4' ;1
xyx
b)
2
22
3 2 3' ;1
x xyx
c) 2
cos' ;sin
xyx
ç) 2
sin' .1 cos
xyx
9 a) 2
2' ;ln 1
yx x
b) 3
1 2ln' ;xyx
c)
1' .x
xye
10 a)
1
2 2 2 2 21
2
22 1 2 2 2' ; ' 0 ; ' 1 , kurse ' 1 , d.m.th. ' 1 ' 1 .
2 1 1 11 1
x
x
e e e eef x f f f f fe e ee e
e
4 1 a) 3 32 2 2' 4 3 5 1 3 5 1 4 3 5 1 6 5 ;y x x x x x x x b) 103 4' 132 5 3 ;y x x
c) ' 2 ;y b a bx ç) 42 3' 15 .y bx a bx
2 a) ' 2 3 6 15 ;y x x b) 26 2 2' 3 3 2 3 4 13 26 34 .y x x x x x 3 a) 2
' ;2
xyx
b)
2
233
2' .4 2
axyax
a) 2
4' 2 ;1 4
xyx
b) 2
' 2 .9
xy xx
4 5 a) 2
2
4 1' ;2 1
xyx
b) 2 2
2' .1 1
xyx x
6 a) 23 2 3 2 ; ' 4 ;h x f g x g x x f x x b) 2 23 2 ; ' 4 3 2 ;h x g f x f x x h x x
c) 2 2sin sin , ' 2sin cos sin 2 ;h x g p x x x h x x x x
ç) sin sin 3 2 ; ' 2cos 3 2 .h x p f x f x x h x x
184
7 a) 2
1 1 sin, : 2 , . ' ;1 cos 1 cos 1
Rxh x f g x D x k k h x
g x x x
b) 2
1 1 1, \ 1 , ' ;1 1 2 1
h x f p x x R h xp x x x x
c) sincos ; 2 , 2 , ' ;2 2 2 cosπ π xh x p g x g x x x kπ kπ h x
x
ç) 2
'11 1 1, 1, ' .
1 1 2 1 11
xh x p f x f x x h x
x x x xx
8 a) 2 3 2 3' 2 3 ' 2 ;x xy e x e b) 2
2 2
'3 2 3' ;3 3
x x xyx x x x
c) sin '
' ctg .sin
xy x
x
9 a) ' 3cos3 ;y x b) 2' 3sin cos ;y x x c) 1' sin .2 2
xy
10 a) ' 1' sin sin ' sin ;
2 2ay ax ax ax ax ax
ax ax b) 2' 2sin 2 tg cos2 2tg tg ';y x x x x x
22
1' 2sin 2 tg cos 2 2 tg ,cos
y x x x xx
pas zbatimit të transformacioneve trigonometrike përkatëse kemi:
2
2
tg 2cos2 sin 2' .
cos
x x xy
x
5 1 a) ' 10 3, " 10;y x y b) 3 2 21 7' 4 3 , " 7 .
12 6y x x y x x
2 a)
2 22 2 2 2 22 2 22
2 4 42 2 2
'1 1 1 1 2 1 1 2 1 21' 4 , " 4 ; " 4 ;
1 1 1
x x x x x x x x xxy y yx x x
2 2 2 2
4 32 2
1 2 1 2 2 8 3" 4 ;
1 1
x x x x x xy
x x
b)
13
3
2 2' ; " .3 9
y x yx x
3 a) 1' ln 1; " ;y x yx
b) 2 2' 1 2 ; " 4 1 .x xy x e y x e
4 a)
2
2 2 32
2 12 4' ; " ;1 11
xy y
x xx
b)
22
2 32 2
2 31' ; " ;1 1
x xxy yx x
c) sin 2 sin' 1 cos ; " cos 2 cos sin .x xy x x e y x x x x x e
5
11 a)
25 3
435
1 3; ' ;5
xy x x yx x
b)
1' ;2
yx
c) 2
2' ;4 3
xyx x
ç)
2
2
1 4 2' .1
x xyx
a)
2
2 2 2
2525 ; ' , " ;25 25 25
xy x y yx x x
b) 3
4" .1
yx
185
6 a) 2' 3 6 9; " 6 6; ' 1 6 1 6 12;y x x y x y b)
2 2
2 2
2 2 4' ;2 2
x x x x xyx x
43 3
8 8'' ; " 1.2 4 2
y yx
' 2 ; " 2 .f x ax b f x a 7
Prej këtu vijon 2 4, 2.a a Prej ' 2 2 2 3 9; 3f b b i 21 2 1 3 1 7, 2.f c c
6 1 a) 20 0 0 01,1 1,1 1,1 1 1,11, 1 1; 1,11 1 0,11,f x x f f x f x f f f x x f x
c) 0,158919; 0,1309.f df
0 0 0' 2 1 2 1 1 0,1 0,1;df x f x dx x dx b) 3,88; 2 ' 2 4,2;f df f dx
2 a) 2
1 ;dy dxx
b) 4
3 ;dy dxx
c) 2
.1
x d xdyx
3
4 0,002498; 0,0025,f dy 0, 000002.f dy
5 a) 26 , 1 0,01 1 ' 1 0,01 ; 0,99 3 1 6 1 0,01 3 0,06 2,94;df xdx f f f f
b) 2
1 ; 1 0,01 1 1 1 0,01 0,99.df dx f f dfx
6 a) 3 3
3 2
1 164 1 64 4 4,0208;483 64
b) 2,96.
7 a) 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0
1sin sin sin ' ; 30 , 1 ; sin31 sin30 cos30 0,01511 0,51511;2180 180
π πx x x x dx x x
b) 0 0 00
1 1ln ln ; 1, 0,1; ln 9 0 0,1 0,1.1
x x x dx x dxx
8 Prej 2P x vijon 2 ,dP xdx kurse 2 2 2 .P x x x x x x Për 50m dhe 0,01x dx kemi:
2 2 250 2500m . 2 50 0,01 1m ,P dP kurse 22 50 0,01 0,01 1,0001m .P Prej P x x P x P
vijon ,P x x P x P d.m.th. 22500 1,0001 m ; ,P P x x P a dP d.m.th. 22500 1,00 m .P
Gabimi i syprinës së njehsuar është 21,0001m .P Nëse në vend të P zëvendësojmë 21,00 m ,dP ndryshimi është2 20,0001m 1cm , pra me saktësi të madhe mund të merret se gabimi është 21m .dP
9 0,4001, 0,4,P dP pra 0,0001.P dp
10 Gabimi është 62,9256,P kurse 262,8cm ,dP pra nëse në vend P zëvendësojmë dP, gabimi është
2 262,9256 62,8 0,1256cm 12,56 mm .
7 1 ' 10 2;y x a) ' 0 2;k y b) 8;k c) 22;k ç) 1' 10 2 0.5
y
2 ' sin ;y x a) sin0 0;k b) 2 ;
2k C) 3 .
2k 3
2
1' ;cos
yx
a)
22 2;
2k
b) 2;k c) 4.k
4 2 2 2' 3 , 3 3; 1;y x x x 3për 1, 1 1;x y 3për 1, ( 1) 1.x y Pikat e kërkuara janë 1,1A i 1, 1 .B
b) 2ln 1 ;dy x x dx c) sin 2 .dy x dx
a) 2
2
1 2;
1
x dxdy
x
21, 01 1 ' 1 0, 01 3 1 6 1 0, 01 3 0, 06 3, 06;f f f
186
5 ' 1 2 ;y x a)
21 1 1 11 1 110, pra 0 0 1 2 , , kurse 3 , ; , ;2 2 2 4 2 4
k tg x x y y A
o
6
b) 45 , kurse 1 pra 0; 3 d.m.th. 0, 3 .k x y A o
a) 2' 2 3; 1; 2 3 1; 2, kurse 2 3 2 2 0.4
y x k tg x x y Pika e kërkuar është 2,0 ;A b)
2 ,0 .3
A
71' ,yx
a) Prej kushtit 1 2 ,k k kemi 1 11 , 1; 1, d.m.th ln1 0, 1,0 ;x x y Ax x
t.e.
b) 1 1 1 12 3 ; 2 , , kurse ln ln 2; 2, ln 2 .2 2
x x y Ax x
8 Prej kushtit 1 2k k vijon 3 2 21 3 4 1 d.m.th. 3 1 6 4, pra 1.x x x x x x x Pikat e kërkuarakanë apshisë 1.x Ordinata e pikës që shtrihet në lakoren 3 31 është 1 1 1 1,y x x y d.m.th. pika e kërkuar
është 1, 1 ,A kurse në lakoren 23 4 1 është 3 12 4 1 1 0,y x x y pra 1,0 .B
9 Prej 3 4 0x y vijon 1 4 ,3 3
y x kurse prej kushtit të drejtëzave normale 1 21 0k k vijon
3 2 1 41 3 3 3 0,3 3
x x x x
d.m.th. 2 11 3 6 3 0.
3x x
Prej këtu vijon 2
11 2 1 0; 0x x x
dhe 2 2.x Ordinatat e pikës të lakores janë 1 23 dhe 5,y y pra pikat e kërkuara janë 0,3 ; 2,5 .A B
10 Këndi ndërmjet lakoreve të funksioneve që priten është kënd që e formojnë tangjentat e lakoreve në pikë e
prerjes të tyre. a) pikëprerja është zgjidhje e sistemit 2
2.
y xy x
Pikat e prerjes janë 0,0 dhe 1,1 .A B
Derivatet janë: 1' 2 , përkatësisht 2 ' 1, d.m.th. ' .2
y x y y yy
Në pikën A, 1 2 0 0,k tangjenta është paralele me boshtin
x kurse për lakoren e dytë k nuk ekziston, domethënë tangjenta është normale me boshtin y pra këndi ndërmjet tyre është
900. Në pikën 1 21, 2, ,2
B k k pra sipas formulës 2 1
1 2
,1k ktg
k k
kemi
3tg ;4
b) Zgjidhja e sistemit sincos
y xy x
është , .
4πx kπ k Për 2 20, , , ,
2 4 2πk y A
për 2 3 21, , , .2 4 2
πk y B
Pasi këndet ndërmjet lakoreve që priten janë të barabartë në të gjitha pikat e prerjes, A. Për funksionin siny x kemi
12' cos , .
2y x k Për funksionin cosy x kemi 2
2' sin , ,2
y x k pra tg 2 2.
1 1 Për 4 2 31, 1 1 3 3; 1,3 . ' 4 2 ,x y M f x x x pra 3' 1 4 1 2 1 2.k f
0 0 0 0 00
1: ' ; : 2 1 0; : ; 2 7 0.'
t y y f x x x t x y n y y x x x yf x
25 3' .
2 3xyx
a) 1 1' 1 2; : 2 2, : .
2 2tk y t y x n y x Gjatësia e tangjentës dhe e normales është
0. b) : 2 4 0,t x y gjatësia e tangjentës është 3 5; : 2 1,n x y gjatësia e normales është 1,5 5.
TEMA 4 ZBATIMI I DERIVATIT TË FUNKSIONIT
187
3 Pikat e prerjes me boshtin x - janë 2,0A dhe 2,0 , kurse ' 2 .B y x Në pikën 2,0 , 4,A k kurse
: 4 8; : 4 2 0.t y x n x y Në pikën : 4; : 4 8; : 4 2 0.B k t y x n x y
4
5 Pika e prerjes janë 22
1 20,1 , 1, , ' .2 1
xA B yx
Në pikën 0,1 , ' 0 0, pra : 1.A k f t y Pasi
tangjenta është paralele me boshtin x, normalja është paralele me boshtin y d.m.th. 0,x vet boshti y. Në pikën
1 11, , ' 1 ,2 2
B k f
pra : 2 2 0, kurse : 4 2 3 0.t x y n x y
6 Pasi 0' 4,k f x duhet ta gjejmë pikën. Prej 20 0 0' 3 4f x x x kemi 2
0 03 4 4.x x Zgjidhjet
0 022 dhe ,3
x x kurse për 3 20 02, 2 2 2 0, pra 2,0 .x y A Për
3 2
02 2 2 32, 2 ,3 3 3 27
x y
pra
2 32, .3 27
B
Në pikën , : 4 8; : 4 2 0,A t y x n x y kurse në , : 108 27 40 0; : 27 108 146 0.B t x y n x y
7 Simetralja e kuadrantit të dytë është ,y x kurse prej kushtit të drejtëzave paralele kemi 2 '4 3 ,x x x
d.m.th.52 4 1, ,2
x x kurse 25 5 34 3 .
2 2 4y
Koeficienti i drejtimit të tangjentës është
' 1,k x pra tangjenta është 4 4 13 0.x y Gjatësia e tangjentës është 2
334 1 1 2.
1 4t
8 Prej 2 4 3 0,x y vijon 1 , 2,2 tk k a kurse
2
7' ,14 28
xyx
ndërsa 2
7 2.14 28
xx
Vijon 4,x pra pika takuese e tangjentës është 4,7 ,A kurse tangjenta është 2 1.y x Normalja është
1: 7 4 ; 2 28 0.2
n y x x y Gjatësia e normales është 27 1 2 7 5.n
9 3 2 2 2 21 2
' ' 1 1 52 2 3 2 ; 3 4 4 3, 3 8 3 0. 3, ; (3) 15, .3 3 9
x x x x x x x x x x x y y
Në lakoren 3 21 1 1 2 2 2
7 1 1 72 ; 9, për 3; 3,9 , kurse për , , ,27 3 3 27
y x x y x A y x A
pra tangjentat janë
1 2: 15 36 0; : 9 2 0.t x y t x y Në lakoren 22 3 2,y x x pikat takuese janë 1 253,25 dhe , ,3 9
B
1 2: 15 20 0; : 15 27 70 0 .t x y t x y
10 0 0
0 0
' d.m.th. ,tx xy ky y
pra 0 00 0
0 0
: .x xt y y x xy y
Pas rregullimit fitojmë 2 20 0 0 0 ,y y y x x x
d.m.th. 2 2 20 0 0 0 .x x y y x y r
Për 20, 9 3.x y y Tangjentën e kërkojmë në pikën 0,3 .A Funksioni është dhënë në formën
implicite pra 29 4 ,y x x kurse 2
2' .9 4
xyx x
2' 0 ,3
y pra : 2 3 9 0,t x y kurse : 3 2 6 0.n x y
188
2 1 a) 2 22 3 4 2 3 4
;t t t t t ts t t s tsv
t t t
sr
4 2 3 4 5 2 3 17 2 .v t t t t sr Për 1, 17 2 1 19; 0,5, 18; 0,1, 17, 2;t v t v t v sr sr sr
0,01, 17,02 m/s.t v sr b) 22 3 4 ' 4 3, (5) 4 5 3 17.v t t t t v c) 4 3 m/s.v t
2 a) 20, 1m; 0 3; 0 4m/s ;t s v a b) 3 22, 2 2 2 3 2 1 7 m; 2 ' 2 7 m/s;t s v s
22 " 2 6 2 4 8m/s .a s
3 a) 258m/s; 46 m/s ;v a b) 212,5m/s; 11,5m/s ;v a c) 16cos 2 ; 6 cos 6 3m/s,
6 3 2π πv t v
2' 12 sin 2 12sin 2 12 sin 6 3 m/s .3πa v t t
4 2' 4 3; " 2 4.v s t t t a s t t Trupi e ndërron kahen në momentin kur 20, d.m.th. 4 3 0v t t
ose 1 21; 3.t t
5 2 3 1, ose 5v t t v vijon 21 23 1 5; 4, 1.t t t t Zgjidhja është 4t sekonda.
6 3
3
'1 1 1 1' ; " 2 ,
2 2 24v s t a s t
t t tt
d.m.th. 32 .a v
7 a) 10 40 ;V b) 2 2 3
max10; 120 2 0, 12sek. kurse 120 12 12 12 1008 .3
v t t t Q
8 25
'0,5 2 2 5 2 3,T t t t d.m.th. 3 shkallë në sekondë.
9
2 2
410 256 1; 6 4 1 25, kurse , 3125
2 2mvv t v E E
xula. 10
a) Zvogëlohet për , ;x b) rritet për , ;x c) rritet për 0,x kurse zvogëlohet për 0;x
2
3 1ç) zvogëlohet për çdo x.
a) Rritet për 1 ,2
x zvogëlohet për 1 ;2
x b) 2' 4 2 2 .f x x x x x x
Zerot e derivatit të parë janë 0,2 dhe -2. ' 0 2,0 2, ;f x x za 202
Funksioni rritet në 2,0 dhe 2, . ' 0 për , 2 0,2 ,f x x funksioni zvogëlohet në , 2 dhe 0,2 .
c) Rritet në , 1 dhe 1, , kurse zvogëlohet në intervalin 1,1 .
" .t ta s t ae be
34
5
a) Rritet në , 1 dhe 1, . ; b) rritet në 1,1 , kurse zvogëlohet në intervalin , 1 dhe 1, . a) Rritet në intervalin (0,1), kurse zvogëlohet në intervalin (1,2).
Pasi funksioni është i përcaktuar për 0,2 ,x kemi ,1 0,2 0,1 .x Për 0, 'x f x nuk ekziston, domethënë
funksioni rritet në 0,1 .
' 0f x për 1, ,x pra funksioni zvogëlohet për 0,2 1, 1,2 . Ke kujdes ' 2f nuk ekziston;
b) rritet në 2, , kurse zvogëlohet në ,1 .
a) Rritet për 0,x kurse zvogëlohet për 0.x 12 222 2 2
'1 1 1' 1 1 .11 1 2 1
xf x x xxx x x
Ndihmë:
2
2 2
'2 1' . ' 0; 1 0; ,1 .
2 2 2
x x xf x f x x xx x x x
189
4 04 2 1
0
a ba b c
a b c
e 1, 4, 3,a b c trinomi është 2 4 3.f x x x
6
7 a) 2
1 0 për (0, );sin
y xx
b) 2 sin 0y x për çdo .x 8 a) Zvogëlohet;b) zvogëlohet
4 1 a) 1' 0,3
f x zvogëlohet për çdo .x Nuk ka vlera ekstreme; b) ' 2 5 0f x x për 5 .2
x
" 2 0,f x funksioni ka minimum për min5 1. 5 ;2 4
x y c) 3' 4 4 , ' 0 Për 0, 1dhe 1.f x x x f x x x x
2min" 12 4, për 0, " 0 4 0, 3;f x x x f y për max1, " 1 8 0, 2;x f y për max1, " 1 8 0, 2.x f y
2 a) Maksimum në 1,5 , minimum në 2,4 . b) 2' 3 2 0f x x për çdo \ 2 ,x Funksioni vazhdimisht
rritet. Nuk ka as maksimum,as minimum.
3 a) Minimum në 0, 0 dhe 2,0 , maksimum në 1,1 . b) 2' 4 3 , ' 0y x x y për 30 dhe .4
x x
3 3" 6 2 1 , për ; " 0,4 4
y x x x y
ka minimum në 3 27, .4 256
Për 0, " 0 0.x y Me derivation e dytë
nuk mund të konstatojmë se çka funksioni për 0.x Do ta shqyrtojmë shenjën e 'y x në rrethinën e 0.x
Për shembull për 20,1, ' 0,1 0,1 4 0,1 3 0,x y kurse për 20,1, ' 0,1 0,1 4 0,1 3 0,01 3,4 0.x y
Domethënë derivati i parë në rrethinën e 0x nuk e ndërron shenjën d.m.th. për 0x funksioni nuk ka vlerë ekstreme.
4 a) Minimum në 0,0 , maksimum në 22,4 .e b) minimum në 0,2 .
5 a) Minimum në 1 1, ;e e b) maksimum vo 1, .e e
6 a)
2
22
1' , ' 0 për 1;1
xf x f x xx x
2 2
32
2 1 2 1 2 1" ;
1
x x x x xf x
x x
3
2 1 3 0 2" 1 0,93
f ka maksimum në
11, ;3
3
2 1 1 0" 1 2 0,
1f
ka minimum në 1, 1 .
b) minimum në 1 1, .4 4
7 a) Maksimum në , 2 ,4π
minimum në 5 , 2 ;4π
b) maksimum në
3 3, ,6 6π π
minimumi 3 3, .
6 6π π
8 Le të jetë 2 ; ' 2 .f x ax bx c f x ax b Për 2, ' 2 2 2 0, 4 0.x f a b a b
Për 2,x 22 2 2 4 2 1f a b c a b c dhe për 21, 1 1 0;x a b c Zgjidhja e sistemit:
b) Rritet në 2 2, ,2 2
kurse zvogëlohet në 2 2, dhe , .2 2
2 2 22 2'' 1 2 .x x xf x e x e x e x
a) Rritet në 2 , 2 ,2 2π πkπ kπ
kurse zvogëlohet në
32 , 2 , .2 2π πkπ kπ k
b) ' 2cos cos ' sin 2 .f x x x x Rritet në , ,2πkπ kπ
kurse zvogëlohet në intervalin , , .
2πkπ kπ k
190
9 2' 3 2 36; ' 3 27 6 36 0f x ax bx f a b dhe ' 2 12 4 36 0.f a b Zgjidhja e sistemit të dhënë ëhtë
2, 3,a b pra 3 22 3 36 1.f x x x x Provo se " 3 0, " 2 0.f a f
10 a) 3' 4 16 ; ' 0,f x x x f x për 0 dhe 2.x x 2" 12 16, " 0 16 0f x x f ka maksimum max 0 3.f f
" 2 32 0f ka minimum min 2 2 13.f f f Vlera e funksionit në skajet e intervalit puthitet me
minimumin.Vlera më e madhe është 0 3,f kurse më e vogla 2 13.f
b) Vlera më e madhe e maksimumit është 0 2.f
Vlerën më të vogël e arrinë në skajet e intervalit, d.m.th. 2 0.f
5 1 15.x y 2 max1 1; ' . ' 0 për , kurse 2 .
2 2 22 2a a af x x a x f x f x x f
x a x
3 Le të jenë fig.1, x dhe y brinjët e drejtkëndëshit. , .P x y x y
Prej ngjajshmërisë së trekëndëshave ABC dhe QPC vijon 1 2: : ,AB QP CC CC d.m.th.
220 220 2 20 210 : 4 : 4 ; . .5 5 5
x xx x xx y y P
20 4' , ' 05
xP x P x për 5.x 4" 0,
5P x syprina është maksimale , pra 25cm, 2cm, kurse 5 2 10cm .x y P
A
C
Q
M N
P
B
y
x
C1
C2
fig.1
4 Le të jetë x brinja e katrorit e cila duhet të prehet prej çdo kulmi të kartuçit. Baza e kutisë ështëdrejtkëndësh me brinjë 32 2 dhe 20 2 ,x x kurse lartësia x. 3 230 2 20 2 4 104 640 .V x x x x x x x
2 1' 12 208 640, ' 0, për 4 dhe 13 .3
V x x x V x x x Zgjidhja 1133
x nuk është i mundshëm, 4x është zgjidhje
3max" 24 208, " 4 112 0, 4 1152cm .V x x V V pa
5 Nëse baza e trekëndëshit është x, atëherë krahu ,2
a xb kurse lartësia
2 2
,2 2
a x xh
pra
2 22 2 31 1 1 2 .
2 2 2 2 4a x xP x h x a x ax
Syprina S do të jetë maksimale, nëse 2 2 32f x a x ax ka vlerë
maksimale. 2 2' 2 3 , ' 0 për 0 dhe . " 2 12 , për , " 2 0.3 3 3a a af x ax a x f x x x f x a ax x f a
Syprina është maksimale nëse brinja e trekëndëshit është ,3a d.m.th. trekëndëshi i kërkuar është barabrinjës.
6 Le të jetë x gjysma e bazës më të vogël, kurse y lartësia e trapezit (fig. 2).
32 2 2 22 2; ; .
2r x y
P r x y y r x P r x r x r x r x
3, 2 dhe .2 2r rx x r y
x
y r
rfig.2
191
7 Le të jetë baza e trekëndëshit të brendashkruar AB paralele me boshtin e madh, kurse majën në kulmin e boshtit tëvogël të elipsë.
Nëse , ,A x y atëherë 2 ,AB x lartësia
1
2, pra .
2x b y
CC b y P x b y
Prej barazimit të elipsit vijon
2
2 2 2 2 2 2 22 , , pra ,a a ax b y x b y P b y b y
b bb d.m.th.
3 .aP b y b yb
Syprina e trekëndëshit është maksimale nëse
3f y b y b y ka vlerë maksimale. Prej këtu: max3 3 3, 2 3, , .
2 2 4b b aby x a h b y P
,A x yB
C
C1
x
y
fig.3
8 Prej 272π π r π r s vijon 272 ,rs
r
prej 2 2 2H s r kemi 2 212 36 , pra 4 36H r V r r rr
ose
2 44 36 .V r π r r Vëllimi ka maksimum nëse 2 436f r r r ka maksimum. 3max3 2, 12, 72 cm .r H V π a
9 4 3, kurse 4 6.H r Ndihmë: 2 2 2 2 21 112 , 144 ,3 3
r H V r πH π H H d.m.th. 31 144 .3
V H π H H
10 Le të jetë r rreze e bazës,kurse h lartësia e cilindrit.
Prej ngjashmërisë së trekëndëshave 1 1dheOBS OBS (crt. 4) kemi
2 2 3: : , ; , ' 0.H R r πHR r H H h h V r π r h r R r V r
R R
Për 2
max2 4, , kurse .3 3 27R H R Hr h V
11 2
( sin cos )( ) ; ( ) 0(cos sin )
kG kF Fk
nëse sin cos 0, d.m.th. tg .k k 3
2(sin cos )( ) .(cos sin )
kG kFk
Për tg , sin cos 0,k k pra " 0,F φ domethënë forca ka maksimum nëse tg .k
6 1 a) Për 1, ,
10x
funksioni është konkav kurse për
1 , ,10
x
është konveks.
b) Funksioni është konkav në ,0 dhe 1 , ,2
kurse në 10,2
është konveks.
2
b) Në 1,1 është konveks, kurse në , 1 dhe 1, është konkave.
a) 3
2" .yx
Konkav në , 0 , konveks për 0, .
3 a)
3
2" . " 0,1
f x f xx
për çdo .fx D Nuk ka pika të lakimit. b)
32
8" , " 0,1
xf x f xx
nëse
0.x Për 0 0,x f x pra pika 0,0A është pikë e lakimit.
fig.4
S
A B
A1 B1
ROr
O1
192
fig. 3.
a) ' cos ; " sin . " 0 për 03 3 3
f x x f x x f x x
dhe 2, d.m.th. dhe .
3 3 3x x x
4
5
2 5 2" 0, nëse sin 0; d.m.th. 2 ; , . " 0 nëse sin 0, d.m.th. 0 ; , .3 3 3 3 3 3 3 3
f x x x x f x x x x
6
7
7 1
a)
3
4" ; " 02
f x f xx
për çdo .fx D Nuk ka pika të lakimit. Konkav në ,2 , konveks në 2, .
b)
2
32
4 3 2" ; " 0
2
xf x f x
x
për 2 2 3; . " 0
3 3 4x f f x
për 2 2 23 2 0, , dhe ,
3 3x x
konkav, " 0f x për 2 2,3 3
konveks. Pikat 1 2
2 3 2 3, dhe ,3 4 3 4
P P
janë pika të lakimit.
Për 2 2, 0; për , 0.
3 3 3 3x f x f
Pika të lakimit janë 1 2
2,0 ; ,0 .3 3π πP P
Konkav është në 2 5, ,3 3π π
konveks në 2, .3 3π π
b) " 4cos2 .f x x Pika të lakimit janë 1 2
3,0 , ,0 ,4 4π πP P
3 45 7,0 , ,0 .4 4π πP P
Konkav në 3 5 7, , .
4 4 4 4π π π π
i Konveks në 3 5 70, , , ,7 .
4 4 4 4π π π π π
i
a) 22" 2 4 . " 0xf x x e f x për çdo numër real. Konkav në ( , ). b) " 2 ; " 0xf x x e f x
për 2. " 0 për 2;x f x x Konkav në 2, . " 0 për 2;f x x konveks në , 2 . Pika e lakimit
22, 2 2x f e është 22,2 .P e
1" 0, nëse ln 1, ; " 0,f x x x e f x nëse 1ln 1, d.m.th. 0 .x x e Funksioni është konkav në 1, ,e
konveks në 10, .e Për 21 1 1 1 1, ln .x e f e e e e Pika e lakimit 1 1, .P e e
b) 1" .f xx
Nuk ka pikë të lakimit, " 0f x për çdo 0,x d.m.th. funksioni është konkav në 0, .
a) : ;fD x nuk është as çift ,as tek .Nuk ka zero, e pret boshtin y në 0,2 , nuk ka asimptota.
Ka minimum 7 3 3Për . Për8 4 4
y x x rritet, për 34
x zvogëlohet .Nuk ka pika të lakimit, funksioni është konkav,fig. 1.
a) 2 2 11 2' 1 ln 2 ln ln 2 ln . " ln 1 " 0, ln 1 0, ln 1, .f x x x x x x f x x f x x x x ex x
x
y
1
2
22 3 2y x x
fig. 1.
11 2
x
y4 22y x x
x
y
1
2
4
12
fig. 2.
3 3 2y x x
193
2
3
b) I përcaktuar për çdo numër real, d.m.th. .fD Zero të funksionit janë 2 dhe 1.x x Prerja me boshtin y në 0,2 .
Për 1x ka maksimum max 4.y Për 1x ka minimum min 0.y Pika e lakimit 0, 2 (fig. 2).
c) I përcaktuar për , .x Funksioni është çift, pra grafiku është simetrike në lidhje me boshtin y. Zerot janë
1 2,30, 2; 0,0 , 2,0 , 2,0 .x x Prerje me boshtin y në 0,0 . Vlera ekstreme për 0x
ka maksimum, max 0. Për 1y x ka minimum, min max min1. 0,0 ; 1, 1 .y Pika të lakimit janë 1
3 5,3 9
P
dhe
23 5, ,
3 9P
konveks në 3 3, ,
3 3
konkav në 3 3, dhe , ,
2 2
fig.3.
a) I definuar për 1 1 1, : , , .2 2 2fx D x
Nuk është as çift,as tek,prerja me boshtin x në
2,0 , prerja me boshtin y në 0,2 . Drejtëza 12
y është asimptotë horizontale, kurse 12
x asimptotë vertikale. Kur
12
x nga ana e majta ,y kurse kur 12
x nga ana e djathtë .y Nuk ka vlera ekstreme, monoton
zvogëlues në intervalet 1,2
dhe 1 , .2
Nuk ka pika të lakimit, konveks në 1, ,2
konkav në 1 , .2
b) .fD Funksioni është tek, grafiku është simetrik në lidhje me qendrën e koordinatave. Pika 0,0 është prerje me
boshtet. Boshti x është asimptotë horizontale. Në pikën 1,1 maksimum, në minimum, rritet në 1, 1 kurse zvogëlohet
në 1,1 , dhe , 1 dhe 1, . Pika e lakimit 1 2 33 33, , 0,0 , 3, .
2 2P P P
a) I përkufizuar për 24 0, d.m.th. : , 2 2,2 2, .fx D x funksioni është tek, grafiku është
simetrik në lidhje me qendrën e koordinatave. Pika 0,0 është prerje me boshtet. Drejtëzat 2 dhe 2x x janë asimptota
vertikale. Kur 2x nga e ana e majtë ,y nëse 2x nga ana e djathtë ;y Kur 2x nga ana e majtë,y kur 2x nga e djathta .y Boshti x është asimtotë horizontale.
Kur 0, 0 , nëse , 0.x y x y
2
22
16 4' .4
xf xx
Funksioni nuk ka vlera ekstreme. ' 0f x për çdo ,fx D është monoton rritës . Pika 1 0,0P është
pikë e lakimit. Konvekse në 2,0 dhe 2, , konkave në , 2 dhe 0,2 (fig . 6).
Konveks në , 3 dhe 0, 3 ; konkav në 3,0 dhe 3, (fig. 5).
1 x
y
12
y
1 2x
2
2
22 1xyx
fig.4 fig.5
x
y
1
2
21
xyx
1
1
1
(crt. 4).
194
b) I përkufizuar për 2 4 3 0, \ 1,3 .fx x D Nuk është çift,as tek; 0 dhe 4x x janë zero të funksionit. Drejtëza
1y është asimptotë horizontale , kurse 1 dhe 3x x janë asimptota vertikale. Për 2x ka minimum min 4.y Zvogëlohet
në intervalet ( ,1) dhe (1, 2), kurse rritet në (2, 3) dhe (3, ). Nuk ka pika të lakimit. (fig. 7).
4 a) : .fD x Nuk është çift,as tek; Për (0) 0;y Kur , 0,x y pra boshti x është asimptotë horizontale
Nëse , , 0,x y y për çdo 0;x Për 0x ka minimum, min 0; për 2y x ka maksimum, 2max 4 .y e Rritet
në , 2 dhe 0, , kurse zvogëlohet në (-2,0) (fig. 8).
x
y
2
2
44
xyx
2
fig.6
x
y
2
4
1
4
2
2
44 3
x xyx x
31
fig.7
fig.8
x
y
02
2 xy x e
24e
fig.9
x
y
2xy x e
122
122
2e
fig.10
y = 1
x
y
1
1e
lny x x
fig.11
x
y
e1
12
lny x x
b) , .fD Zero e funksionit është 0;x tek; 0y (boshti x) është asimptotë horizontale.
Vlera ekstreme: për 2
2x ka maksimum
12
max2 ,
2y e
për
22
x minimum 12
min2 .
2y e
Pika të lakimit për: 3 , 0
2x x dhe
32
x (crt. 9).
5 a) 0, .fD Zero e funksionit është 1.x Vlera ekstreme: për 1x e ka minimum1
min .y e Nuk ka pika të lakimit . Konkav për çdo .fx D Zvogëlohet në 10, ,e kurse rritet në 1 ,e (fig 10).
195
fig.12
x
y
2
4π 7
4π5
4π3
4π3
4π
2
0
sin cosy x x
fig.13
4
x
y
2π
2
π0 32π
2sin 3siny x x
b) 0, ;fD nuk ka zero, nuk është çift as tek; 0 për ;fy x D kur 0x atëherë ,y pra drejtëza 0x është
asimptotë vertikale, Për 1x ka minimum min 1;y në intervalin 0,1 zvogëlohet, kurse në 1, rritet; konkave në
0, (fig. 11).6 a) ;fD Zero të funksionit , ;
4πx kπ k Periodik me periodë 2 ;π vlera ekstreme:
' sin cos ; ' 0, 1; , ;4πy x x y tg x x kπ k funksioni ka maksimum max 2y për 2 ;
4πx kπ funksioni ka
minimum min22 2
2y
5për 2 ;4
x k pika të lakimit janë ,0 ,4πP kπ
d.m.th. zerot janë pika të lakimit (fig. 12)
b) ;fD zero të funksionit janë , ;x kπ k periodik me periodë 2 ;π
Për 2 ,2πx kπ k ka minimum, min 2.y Për 3 2 ,
2πx kπ k ka maksimum max 4y (fig. 13).
196
PASQYRA E KONCEPTEVE
AArgument............................ 52Asimptota:-- horizontale........................ 105--vertikale.............................105-- e pjerrtë............................105
D
Akstrem-- apsolut............................... 69-- lokal .................................. 70
M
I
K
kufiri-- i vargut.............................. 30~ i funksionit.......................... 86-- i pafundshëm...................... 91-- i djathtë-............................. 89-- i majtë-.............................. 89Kodomen.............................. 52Kufiri-- i sipërm ............................. 68-- i poshtëm .......................... 68
V
Barazimi-- i tangjentës....................... 140-- i normales........................ 141Bashkësia-- e përcaktimit .................... 53-- e vlerave ........................ 53
Diferencial-- i funksionit ....................... 131-- i argumentit ....................... 131Domen ............................... 113Derivati ................................. 52
-- i njëanshëm....................... 113-- i majtë ............................. 113
-- funksionit eksponencial .... 69-- i shumës së funksioneve .... 70
FFormula për rritje tëfundme................................ 131Funksioni, ealgjebrik................................ 79-- i dhënë analitikisht.............. 54-- grafiku i— ........................ 58-- diferenciabil...................... 114pjesa thyesore e .....................65-- të barabartë....................... 54-- i dhënë në formën eksplicite 54-- elementare........................ 79 shuma e............................... 72-- shenja prej x...................... 55-- inverze.............................. 75-- iracionale........................... 79 herësi prej—........................ 72kompozicioni i—.................... 79-- konveks........................... 159-- konkav............................. 159-- lineare............................... 58-- monoton.......................... 159
-- i herësit të funksioneve ........ 117-- i konstantës ..................... 119-- i funksionit logaritmik......... 121-- i prodhimit të konstantësdhe funksionit...................... 116-- i prodhimit të funksioneve.... 117-- i funksionit të përbërë........ 117-- i funksionit trigonometrik... 119-- y = sin x.......................... 121-- y = cos x......................... 116-- y = tg x............................. 117-- y = ctg x........................... 122-- i funksionit......................... 111-- i djathtë............................. 113
E
-- rigoroze..............................66-- i pakufizuar........................ 68-- tek.....................................62-- në pikën........................... 101-- në intervalin..................... 102 zero i....................................60-- kufizuar........................... 159-- prej sipër.......................... 68-- prej poshtë....................... 68-- argumentit real.............. 159-- zvogëlues ........................ 66-- çift................................... 62-- periodik ........................... 63-- ndërmjetësues .................124-- të zbrazëta..........................73-- i ndërprerë .......................101 -- prodhimi i......................... 72
ndryshimi i ........................... 72— rritës ............................... 66— signum prej x .................. 55— i përbërë ......................... 74— përbërje ......................... 73— i fuqisë............................. 80— transcedente..................... 79— pjesa e plotë e x ................55
Inverz................................... 75interval-- i mbyllur.............................. 8 skajet e ............................... 8-- i hapur ............................... 8 mesi i .................................. 28
Maksimum-- absolut .............................. 69-- lokal .................................. 70Madhësi-- të mëdha të pafundme..........38-- të vogla të pafundme............38Mesatarja-- aritmetik............................. 13-- gjeometrik.......................... 22
197
N
Normalja ............................. 141 Gjatësia— .......................... 141Ndryshore-- e varur............................... 54-- e pavarur .......................... 54Njehsimi diferencial ............. 113
P
Perioda................................. 64-- më e vogël .........................64-- themelore ..........................64Pasqyrim.............................. 52Progresion:-- aritmetik............................ 10-- i fundmë............................ 13-- gjeometrik......................... 18Pika-- stacionare........................ 148-- e lakimit........................... 161-- e grumbullimit.................... 29
R
Rang ................................... 53
Rrethina e pikës.................... 29Rritja-- e argumentit .................... 110-- e funksionit ..................... 110-- i pafundmë ........................47
RR
S
Subtangjenta....................... 141Subnormalja........................ 142
Sh
Shqyrtimi i-- monotonisë së funksionit....147-- vetive të funksionit ........ 162
T
Tangjenta............................. 135gjatësia ............................... 141
V
Vargu ..................................... 5-- aritmetik............................. 10-- i pafundmë .......................... 5-- gjeometrik.......................... 18-- divergjent........................... 33-- konvergjent......................... 33-- i fundmë .............................. 5-- konstant ............................ 10-- monoton .............................. 6-- i pakufizuar ......................... 8-- jozvogëlues .......................... 6-- jorritës................................. 6-- zero - .................................38-- i kufizuar.............................. 8-- anëtari i përgjithshëm.............4-- që zvogëlohet........................6-- që rritet................................ 6
198
PËRMBAJTJA
TEMA 1 Vargjet dhe progresionet.......... .....................................................................
TEMA 2 Funksionet dhe vlerat kufitare të funksioneve................. ..........
TEMA 3 Derivati i funksionit .............................................................................................
TEMA 4 Zbatimi i derivatit të funksionit ...............................................................
Përgjigje,udhëzime dhe zgjidhje............... ......................................
Pasqyra e koncepteve.................................................................................
3
51
109
139
171
196
199
Ministria e arsimit dhe shkencës e Republikë së MaqedonisëRr. „Mito Haxhi Vasilev - Jasmin”, bb - Shkup
dr. Boro Piperevski , kryetarmr. Mitrush Petrushev, anëtarBiljana Stefanovska, anëtar
Me vendim të ministrit të Arsimit dhe Shkencës të Republikës së Maqedonisë nr.22-4259/1 prej datës 28.07.2010 lejohet përdorimi i këtij libri.
Botues:
Komisioni recensues:
CIP – Каталогизација во публикацијаНационална и универзитетска библиотека “Св.Климент Охридски” , Скопје51(075.3)МАТЕМАТИКА за IV година : средно стручно образование за сите струки / Наум Целакоски ...[и др.]. - Скопје : Министерство за образование и наука на Република Македонија, 2010. - 200 стр. : илустр. ; 25 смАвтори: Наум Целакоски, Верица Бакева, Боривоје Миладиновиќ, Јово СтефановскиISBN 978-608-226-048-81. Целакоски, Наум [автор ] COBISS.MK-ID 84289546
Autorë:dr. Naum Cellakoski
Redaktor i botimit:Jovo Stefanovski
Lektor i botimit në maqedonisht:Suzana Stojkovska
Redaktim profesionalprof. dr. Ilir Spahiu
PërkthyesBashkim Jashari
Lektor i botimit në shqipmr. Ismail Hamiti
Përpunimi kompjuterik:Dragan Shopkoski Millço Avramoski Boban Avramovski
Korrekturë:Autorët
Përgatitje për shtyp:Jovo Stefanovski
Shtypi.Qendra grafi ke shpkpi, Shkup
Tirazhi.1.600
Me vendim të ministrit të Arsimit dhe Shkencës të Republikës së Maqedonisë nr. 22-4259/1 prej datës 28.07.2010 lejohet përdorimi i këtij libri.
�
dr. Verica BakevaBorivoje MilladinoviçЈovo Stefanovski
![Tema i - Familia[1]](https://img.pdfslide.tips/doc/110x75/55cf8e6e550346703b921336/tema-i-familia1.jpg)
![I [1] Tema Inv V2](https://img.pdfslide.tips/doc/110x75/55cf8c545503462b138b7cfc/i-1-tema-inv-v2.jpg)